MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 1

MATRIKSMATRIKSMATRIKSMATRIKS Pada pembahasan berikut ini kita akan mempelajari matriks, yakni meliputi sifat-sifat matriks, invers, determinan dan metode-metode yang berkaitan dengan matriks. Dengan mempelajari ini harapannya kita dapat mencari invers suatu matriks dengan operasi baris elementer dan determinan, kemudian mengenal dan dapat mengaplikasikan Aturan Cramer, serta memahami semua konsep matriks tentunya. Definisi Definisi Definisi Definisi Secara umum definisi matriks adalah suatu jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan yang terdapat dalam jajaran tersebut kita sebut sebagai entri dari matriks. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh berikut

M = () * + ,- . / 01 Matriks M berukuran 2x4. Lebih lanjut dapat kita sebutkan bahwa matriks diatas terdiri dari 2 baris dan 4 kolom. Selanjutya untuk memahami perilaku matriks, perhatikan sifat-sifat operasi matriks berikut. Sifat Sifat Sifat Sifat sifat Operasi Matrikssifat Operasi Matrikssifat Operasi Matrikssifat Operasi Matriks

1. A + B = B + A (hukum komutatif terhadap penjumlahan) 2. A + (B + C) = (A+B) +C (hukum asosiatif terhadap penjumlahan) 3. A(BC) = (AB)C (hukum asosiatif terhadap perkalian) 4. A(B>C) = (AB>AC) (hukum distributif kiri )

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 2

5. (B>C)A = (BA>CA) (hukum distributif kanan ) 6. a(B>C) = (aB>aC) 7. (a>b)C = (aC>bC) 8. (ab)C = a(bC) 9. a(BC) = (aB)C = B(aC).

A.A.A.A. Sifat penjumlahan dan perkalian matriksSifat penjumlahan dan perkalian matriksSifat penjumlahan dan perkalian matriksSifat penjumlahan dan perkalian matriks Sifat penjumlahan pada matriks berlaku hukum komutatif dan asosiatif. Penjumlahan matriks dapat dilakukan dengan syarat matriks-matriks yang akan dijumlahkan ukurannya sama. Misal A dan B adalah matriks yang berukuran sama nxm, maka pada kedua matriks ini dapat dilakukan operasi penjumlahan dan pengurangan, seperti berikut. A>B = [aij > bij] Dimana aij adalah entrientri dari matriks A yang terletak pada baris i kolom j , dan bij adalah entri-entri dari matriks B yang terletak pada baris i kolom j. Perkalian MatriksPerkalian MatriksPerkalian MatriksPerkalian Matriks A matriks berukuran nxp dan B matriks berukuran pxm, perkalian matriks A dan B akan menghasilkan matriks AB berukuran nxm, dengan entri ke-ij (baris i kolom j) matriks AB diperoleh dengan mengalikan baris i dari matriks A dengan kolom j pada matriks B.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 3

Contoh perkalian matriks Terdapat Matriks A dan B sebagai berikut A = F2 1 30 4 71 9 11H B = F

4 02 110 8H PPPPenyelesaianenyelesaianenyelesaianenyelesaian Hasil kali matriks A dan B adalah AB = F2 1 30 4 71 9 1H F

4 02 110 8H = F40 H

hasil perkalian AB entri baris 1 kolom 1 adalah (2.4)+(1.2)+(3.10) = 40. Kita lanjutkan melakukan perkalian matriks untuk mengisi entri-entri matriks AB Baris 2 kolom 1 = (0.4)+(4.2)+(7.10) = 78 Baris 3 kolom 1 = (1.4)+(9.2)+(1.10) = 32 Baris 1 kolom 2 = (2.0)+(1.1)+(3.8) = 25 Baris 2 kolom 2 = (0.0)+(4.1)+(7.8) = 60 Baris 3 kolom 2 = (1.0)+(9.1)+(1.8) = 17

B.B.B.B. Matriks ElementerMatriks ElementerMatriks ElementerMatriks Elementer Suatu matriks nxn disebut matriks elementer jika matriks tersebut diperoleh dengan melakukan operasi baris elementer tunggal terhadap matriks identitas In nxn. Matriks Identitas yaitu matriks bujursangkar nxn, dengan bilangan 1 pada diagonal utamanya dan bilangan nol pada entri-entri lainnya.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 4

Contoh matriks identitas

I2= K1 00 1L I3 = F1 0 00 1 00 0 1H I5 =MNNNO1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1PQ

QQR

Contoh matriks elementer

a) K1 00 7L , matriks ini diperoleh dengan mengalikan baris kedua matriks identitas I2 dengan 7.

b) F1 0 00 0 10 1 0H , matriks ini diperoleh dengan menukar baris ketiga dengan kedua pada matriks identitas I3.

c) F1 0 00 1 02 0 1H, diperoleh dengan menambahkan dua kali baris pertama ke baris tiga matriks identitas I3. C.C.C.C. Invers matriksInvers matriksInvers matriksInvers matriks Matriks A nxn dikatakan invertible bila ada matriks B S BA = AB = I, sehingga B = A-1.

Teorema Teorema Teorema Teorema Jika E adalah matriks elementer yang diperoleh dengan melakukan operasi baris terhadap matriks identitas In, dan jika A matriks nxm, maka hasil perkalian matriks EA diperoleh dengan melakukan operasi baris yang sama pada matriks A.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 5

Contoh Contoh Contoh Contoh Terdapat matriks elementer E, dan matriks A. Tentukan hasilkali matriks EA!

E = F1 4 00 1 00 0 1H A = F4 5 V6 1 V1V1 2 V1 10 33 0 4 V4 7 H PPPPenyelesaian enyelesaian enyelesaian enyelesaian Ingat bahwa matriks elementer itu adalah matriks yang diperoleh dengan cara melakukan operasi baris pada matriks identitas In. Berarti matriks elementer E diatas diperoleh dengan menambahkan empat kali baris kedua ke baris pertama pada matriks identitas I3. Kita akan aplikasikan teorema pada halaman 4, maka hasil perkalian matriks EA diperoleh dengan melakukan operasi baris yang sama pada A. operasi barisnya yaitu manambahkan empat kali baris kedua ke baris pertama.

F 4 5 V6 1 V1V1 2 V1 10 33 0 4 V4 7 H WXYZW[\]]]]^ F0 13 V10 41 11V1 2 V1 10 33 0 4 V4 7 H Jadi hasil perkalian matriks EA adalah

EA = F 0 13 V10 41 11V1 2 V1 10 33 0 4 V4 7 H. Selanjutnya perhatikan beberapa hal berikut : 1. Jika kita melakukan operasi baris pada matriks identitas In, akan diperoleh matriks elementer. 2. Matriks identitas dapat kita peroleh dengan malakukan operasi baris pada matriks elementer.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 6

Misal matriks elementer E diperoleh dengan mengalikan baris pertama dengan kontanta c, maka dapat kita peroleh matriks identitas dengan cara mengalikan baris pertama pada matriks elementer dengan konstanta a`. Berikut adalah macam-macam operasi invers yang bersesuaian dengan operasi baris yang dilakukan.

Operasi Baris Operasi Invers Mengalikan baris i dengan konstansta Mengalikan baris i dengan konstansta a` cb 0 Menukar baris i dan j Menukar baris i dan j

Menambahkan c kali baris i ke baris j Menambahkan -c kali baris i ke baris j

Sifat Invers: Jika matriks A invertible, matriks A dan B berukuran sama, maka : 1. (A-1)-1 = A 2. AB dan BA invertible 3. (AB)-1 = B-1A-1.

Hati-hati dalam matriks tidak berlaku hukum komutatif perkalian. AB belum tentu = BA.

Selanjutnya akan kita pelajari mencari invers suatu matriks dengan menggunakan OBE.

Teorema Teorema Teorema Teorema Jika E adalah matriks elementer, dan E0 adalah matriks elementer yang bersesuaian dengan operasi invers. Maka E invertible dan E-1 = E0.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 7

Pada bagian ini kita perlu menemukan urutan dari operasi baris elementer yang akan mereduksi A menjadi matriks identitas In kemudian mengaplikasikan urutan operasi baris yang sama terhadap In untuk mendapatkan A-1. Untuk melakukan prosedur seperti ini kita dapat melakukannya secara simultan yaitu dengan meletakan matriks identitas In di sebelah kanan matriks A. Bentuk matriksnya adalah seperti ini [ A | In ] Untuk mencari matriks A-1 yang kita lakukan adalah mereduksi matriks A menjadi matriks identitas In dengan melakukan operasi baris. Operasi baris yang dilakukan terhadap matriks A dilakukan juga pada matriks Identitas In yang ada di sebelah kanan, sehingga kita akan mendapatkan matriks A-1nya. Pada akhirnya bentuk matriksnya akan menjadi [ In | A-1 ] Perhatikan contoh berikut Tentukan invers dari matriks berikut, C = F 3 1 0V1 2 25 0 V1H Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

F 3 1 0 |V1 2 2 |5 0 V1 | 1 0 00 1 00 0 1 H

F 3 1 0 |V1 2 2 |5 0 V1 | 1 0 00 1 00 0 1 H WXY dW[\]]]]^ F

1 5 4 |V1 2 2 |5 0 V1 | 1 2 00 1 00 0 1 H

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 8

W[Y WXWef gWX\]]]]^ F1 5 4 |0 7 6 |0 V25 V21 | 1 2 01 3 0V5 V10 1 H h`

W[\^ i1 5 4 |0 1 67 |0 V25 V21 | 1 2 017 37 0V5 V10 1 j

WeYdgW[\]]]]]^MNNNO1 5 4 |0 1 67 |0 0 37 |

1 2 017 37 0 V 107 57 1 PQQQR hkWe \]^

MNNNO1 5 4 |0 1 67 |0 0 1 |

1 2 017 37 0 V 103 53 73 PQQQR

W[f lhWeWXf ZWe\]]]]^

MNNNO1 5 0 |0 1 0 |0 0 1 |

433 V 143 V 2833 V1 V2 V 103 53 73 PQQQR WXf gW[\]]]]^

MNNNO1 0 0 |0 1 0 |0 0 1 |

V 23 13 23 3 V1 V2 V 103 53 73 PQQQR

C-1 = i V dk k` dk3 V1 V2 V `mk gk hk j

D.D.D.D. DeterminanDeterminanDeterminanDeterminan DefinisiDefinisiDefinisiDefinisi Misalkan A adalah matriks bujursangkar. Fungsi determinan dinyatakan oleh Det(A), dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A.

Teorema Teorema Teorema Teorema 1111 Jika A adalah sebarang matriks bujur sangkar yang mengandung sebaris bilangan nol, maka |A| = 0

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 9

Teorema 2Teorema 2Teorema 2Teorema 2 Jika A adalah matriks segitiga, baik matriks segitiga atas maupun bawah berukuran nxn, Maka, determinannya adalah hasil kali semua elemen diagonalnya. Teorema 3Teorema 3Teorema 3Teorema 3 Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka A dapat diinverskan jika dan hanya jika det(A) b 0 Sifat-Sifat Fungsi Determinan 1. Det(A) = det (At ) 2. Det(k A) = kn det(A) 3. Det(A+B) det(A) + det(B) 4. Det(AB) = det(A) det(B) Selanjutnya kita akan memanfaatkan determinan dalam mencari invers suatu matriks. Metodenya yaitu dengan ekspansi kofaktor. Definisi 1Definisi 1Definisi 1Definisi 1 Jika A adalah matriks bujursangkar nxn, minor dari aij, dinotasikan dengan Mij adalah determinan dari submatriks yang diperoleh setelah entri-entri baris ke-i dan kolom ke j dari matriks A dihilangkan. Definisi 2Definisi 2Definisi 2Definisi 2 Jika A adalah matriks persegi nxn, kofaktor dari aij, dinotasikan dengan Cij, adalah sebuah bilangan (-1)i+j Mij.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 10

Contoh Contoh Contoh Contoh Dari matriks berikut ini tentukan kofaktor C12, C24, C32. A = i 4 0 1 4V1 2 3 95 V5 V1 63 7 1 V2j Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Untuk menghitung kofaktornya terlebih dahulu kita tentukan nilai minornya. Kita mulai dengan mencari nilai M12, yaitu dengan cara menghilangkan entri-entri baris ke-1 dan kolom ke-2 baru kemudian hitung determinan submatriks A yang masih tersisa. Perhatikan

M12 = oV1 3 95 V1 63 1 V2o = 160 Selanjutnya dapat kita peroleh C12 = (-1)1+2M12 = (-1)3(160) = -160 Sekarang kita hitung kofaktor-kofaktor yang selanjutnya M24 = o4 0 105 V5 V13 7 1 o = 508. C24 = (-1)2+4M24 = (-1)6(508) = 508. Kofaktor yang terakhir,

M32 = o 4 10 4V1 3 93 1 V2o = 150. C32 = (-1)3+2M24 = (-1)5(150) = -150.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 11

Definisi 3Definisi 3Definisi 3Definisi 3 A matriks nxn dan Cij kofaktor dari aij. Bentuk matriks kofaktor dari A adalah, i p`` p`d p`r pd` pdd pdr : s s pr` prd prt j

Adjoin dari A adalah transpose dari matriks kofaktornya dan ini dinotasikan berupa adj(A). Teorema 1 Teorema 1 Teorema 1 Teorema 1 A adalah matriks nxn a) Pilih suatu baris pada matriks tersebut, misal baris i, dapat diperoleh Det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + . . . + ainCin. b) Pilih suatu kolom pada matriks tersebut, misal kolom j, dapat diperoleh Det (A) = a1jC1j + a2jC2j + . . . + anjCnj.

Teorema 2Teorema 2Teorema 2Teorema 2 Jika A adalah matriks invertible maka A-1 = `uvw(x) adj (A). Contoh Contoh Contoh Contoh Dengan menggunakan kofaktor, tentukan invers matriks berikut. A = F 4 2 1V2 V6 3V7 5 0H Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian Pertama kita tentukan dulu nilai determinan A, mari kita coba dengan menggunakan teorema 1 diatas.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 12

Agar lebih mudah menghitungnya kita pilih kolom ketiga, sehingga det (A) = a13C13 + a23C23 + a33C33 det (A) = (1)(-1)1+3yV2 V6V7 5 y + (3)(-1)2+3 y 4 2V7 5y + (0)(-1)3+3y 4 2V2 6y = -52 + (3)(-34) + 0 = - 154 Selanjutnya kita tentukan entri-entri adjoint matriks A, yaitu dengan terlebih dahulu mencari semua kofaktor-kofaktor pada entri aij matriks A C11 = (+1) yV6 35 0y = -15 C12 = (-1)yV2 3V7 0y = -21 C13 =(+1) yV2 V6V7 5 y= -52 C21 =(-1) y2 15 0y = 5 C22 =(+1) y 4 1V7 0y = 7 C23 =(-1) y 4 2V7 5y = -34 C31 =(+1) y 2 1V6 3y = 12 C32 =(-1) y 4 1V2 3y = -14 C33 =(+1) y 4 2V2 V6y = -20 Sekarang kita sudah dapat menuliskan matriks kofaktor (A), yaitu

FV15 V21 V525 7 V3412 V14 V20H Bentuk adj (A) yaitu transpose dari matriks kofaktor (A)

Adj (A)=FV15 5 12V21 7 V14V52 V34 V20H Sekarang kita dapat menghitung matriks A-1

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 13

A-1 = `uvw(x) adj (A).

A-1 = `f`gZ FV15 5 12V21 7 V14V52 V34 V20H

A-1 =

MNNNO `g`gZ V g`gZ V lhhkdd V d`d ```dlhh `hhh `mhh PQQ

QR. E.E.E.E. Aturan Aturan Aturan Aturan CCCCramerramerramerramer Aturan Cramer digunakan untuk menentukan solusi SPL. Prosedurnya adalah sebagai berikut 1. Tuliskan matriks (A). Kita tahu bahwa suatu persamaan linier dapat kita tuliskan berupa Ax = b, misal kita punya sistem persamaan linier seperti berikut, 3x1 x2 + 5x3 = -2 -4x1 + x2 + 7x3 = 10 2x1 +4 x2 - x3 = 3. Sistem persamaan ini dapat kita bentuk sebagai matriks berikut

F 3 V1 5V4 1 72 4 V1H Fz`zdzkH = F

V2103 H A A A A xxxx = b = b = b = b

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 14

2. Hitung determinan matriks (A). 3. Bentuk matriks (Ai), yaitu matriks (A) kolom ke-i, gantikan dengan matriks

{b}. 4. Hitung determinan matriks (Ai). 5. Hitung Xi = |Ai| / |A|.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 15

Soal LatihanSoal LatihanSoal LatihanSoal Latihan 1. Selidiki apakah matriks berikut memiliki invers ? Tentukan inversnya bila ada .

a). FV1 3 42 4 1V4 2 V9H c). F2 6 62 7 62 7 7H

b). MNNNOV8 17 2 k`4 0 dg V90 0 0 0V1 13 4 2 PQ

QQR d). i0 0 2 01 0 0 10 V1 3 02 1 5 V3j 2. Tentukan determinan dari matriks berikut . a). F0 1 53 V6 92 6 1H c). F

3 1 0V2 V4 35 4 V2H b). F 3 V6 9V2 7 V20 1 5 H d). i

3 5 V2 61 2 V1 12 4 1 53 7 5 3j 3. Tentukan semua minor dan kofaktor matriks berikut. A = 1 V2 36 7 V1V3 1 4 4. Dengan menggunakan matriks kofaktor tentukan invers matriks berikut.

MATRIKS Minggu 2

M o d u l M a t e m a t i k a S a i n s M A 2 1 2 2

Halaman 16

a). 2 5 5V1 V1 02 4 3 b). 1 3 1 12 5 2 21 3 8 91 3 2 2 5. Dengan menggunakan Aturan Cramer tentukan solusi dari SPL a). x1 + 2x3 = 6 b). x1 - 4x2 + 2x3 + x4 = -32

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 2x1 - x2 + 7x3 + 9x4 = 14 x1 2x2 + 3x3 = 8 x1 + x2 + 3x3 + x4 = 11 x1 - 2x2 + x3 - 4x4 = -4 Catatan : Buku Pegangan Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics yang digunakan adalah Part A, Chapter 6 dan Part B, Chapter 6,(7 optional), 8 dan 9. Selamat Belajar !