of 111/111
UNIVERSITATEA „LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU FACULTATEA DE INGINERIE - pentru uzul studenţilor -

MatLat - Indrumator

  • View
    65

  • Download
    12

Embed Size (px)

Text of MatLat - Indrumator

  • UNIVERSITATEA LUCIAN BLAGA DIN SIBIU

    FACULTATEA DE INGINERIE

    - pentru uzul studenilor -

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    4

    CUPRINS

    CUPRINS ............................................................................................................................. 4

    I. PREZENTAREA TEMATICILOR I A LABORATORULUI .................................. 6

    1.1. OBIECTIVELE LUCRRII............................................................................................... 6 1.2. CONSIDERAII TEORETICE ........................................................................................... 6

    1.2.1. Legislaia n domeniul securitii i sntii n munc ..................................... 6 1.3. DESFURAREA LUCRRII .......................................................................................... 9

    II. MEDIUL DE LUCRU MATLAB GENERALITI ............................................. 10

    2.1. SCOPUL LUCRRII ..................................................................................................... 10 2.2. CONSIDERAII TEORETICE ......................................................................................... 10

    2.2.1. Structura sistemului MATLAB......................................................................... 11 2.2.2. Ferestrele de lucru MATLAB .......................................................................... 12

    2.2.2.1. Fereastra principal MATLAB (MATLAB Desktop) ............................................. 12 2.2.2.2. Ferestrele Desktop-ului ........................................................................................... 13 2.2.2.3. Configuraia predefinit a MATLAB Desktop ........................................................ 25 2.2.2.4. Proprieti generale ale MATLAB Desktop ............................................................ 26

    2.3. DESFURAREA LUCRRII ........................................................................................ 27

    III. DEFINIREA FUNCIILOR DE TRANSFER DE VARIABIL CONTINU N MEDIUL DE LUCRU MATLAB CONTROL SYSTEM TOOLBOX ...................... 28

    3.1. SCOPUL LUCRRII ..................................................................................................... 28 3.2. CONSIDERAII TEORETICE ......................................................................................... 28

    3.2.1. Funcia de transfer ........................................................................................... 28 3.2.2. Algebra schemelor funcionale cu funcii de transfer ...................................... 31 3.2.3. Modul de lucru ................................................................................................. 33

    3.2.3.1. Comanda tf .............................................................................................................. 34 3.2.3.2. Comanda zpk .......................................................................................................... 36 3.2.3.3. Comanda series ....................................................................................................... 37 3.2.3.4. Comanda parallel .................................................................................................... 38 3.2.3.5. Comanda feedback .................................................................................................. 39

    3.3. DESFURAREA LUCRRII ........................................................................................ 40

    IV. DEFINIREA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT PRIN ECUAII DE STARE N MEDIUL DE LUCRU MATLAB CONTROL SYSTEM TOOLBOX ... 42

    4.1. SCOPUL LUCRRII ..................................................................................................... 42 4.2. CONSIDERAII TEORETICE ......................................................................................... 42

    4.2.1. Modelul dinamic n spaiul strilor .................................................................. 42 4.2.2. Modul de lucru ................................................................................................. 46

    4.2.2.1. Comanda ss ............................................................................................................. 46 4.2.2.2. Conversii ntre modurile de reprezentare ................................................................ 47

    4.3. DESFURAREA LUCRRII ........................................................................................ 51

    V. ANALIZA ELEMENTELOR SIMPLE N MEDIUL DE LUCRU MATLAB CONTROL SYSTEM TOOLBOX ................................................................................... 53

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    5

    5.1. SCOPUL LUCRRII ..................................................................................................... 53 5.2. CONSIDERAII TEORETICE ......................................................................................... 53

    5.2.1. Analiza elementelor simple .............................................................................. 53 5.2.2. Modul de lucru ................................................................................................. 63

    5.2.2.1. Comanda step .......................................................................................................... 63 5.2.2.2. Comanda impluse ................................................................................................... 66 5.2.2.3. Comanda nyquist .................................................................................................... 68 5.2.2.4. Rspunsul indicial ................................................................................................... 69

    5.3. DESFURAREA LUCRRII ........................................................................................ 71

    VI. PERFORMANELE SISTEMELE AUTOMATE LINIARE CONTINUE .......... 72

    6.1. SCOPUL LUCRRII ..................................................................................................... 72 6.2. CONSIDERAII TEORETICE ......................................................................................... 72

    6.2.1. Performanele sistemelor automate liniare continue. Indici de performan... 72 6.2.2. Modul de lucru ................................................................................................. 74

    6.3. DESFURAREA LUCRRII ........................................................................................ 80

    VII. STUDIUL STABILITII SISTEMELOR AUTOMATE LINIARE CONTINUE ............................................................................................................................................. 82

    7.1. SCOPUL LUCRRII ..................................................................................................... 82 7.2. CONSIDERAII TEORETICE ......................................................................................... 82

    7.2.1. Stabilitatea sistemelor liniare continue ............................................................ 82 7.2.2. Modul de lucru ................................................................................................. 87

    7.3. DESFURAREA LUCRRII ........................................................................................ 93

    VIII. MEDIUL DE SIMULARE MATLAB-SIMULINK. BIBLIOTECILE

    STANDARD SIMULINK ................................................................................................. 94

    8.1. SCOPUL LUCRRII ..................................................................................................... 94 8.2. CONSIDERAII TEORETICE ......................................................................................... 94 8.3. DESFURAREA LUCRRII ...................................................................................... 100

    IX. APLICAIA SIMULINK 1 ...................................................................................... 101

    9.1. SCOPUL LUCRRII ................................................................................................... 101 9.2. CONSIDERAII TEORETICE ....................................................................................... 101 9.3. DESFURAREA LUCRRII ...................................................................................... 107

    X. APLICAIA SIMULINK 2 ....................................................................................... 108

    10.1. SCOPUL LUCRRII ................................................................................................. 108 10.2. CONSIDERAII TEORETICE ..................................................................................... 108

    10.2.1. Modul de lucru ............................................................................................. 108 10.3. DESFURAREA LUCRRII .................................................................................... 112

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    6

    Lucrarea 1

    I. PREZENTAREA TEMATICILOR I A LABORATORULUI

    1.1. Obiectivele lucrrii

    - definirea noiunilor de baz utilizate n cadrul lucrrilor de laborator; - familiarizarea cu semnele convenionale utilizate n acionrile electrice; - studiul principiilor de elaborare a schemelor pentru sistemele de acionare electric i instalaii electrice.

    1.2. Consideraii teoretice

    Scopul lucrrii este de a instrui studenii n vederea respectrii normelor de protecia muncii n scopul prevenirii accidentelor de munc n cadrul laboratorului prin msuri menite s elimine, s evite sau s diminueze aciunea factorilor de risc asupra organismului uman.

    1.2.1. Legislaia n domeniul securitii i sntii n munc

    n ultimii ani, legislaia romn n domeniul securitii i sntii n munc a suferit multe modificri n sensul transpunerii legislaiei europene n domeniu. Se poate afirma c n acest moment lucrtorul romn este aprat de aceleai prevederi legislative ca i cei din Uniunea European.

    Constituia Romniei 2003, art. 34 i 41; Legea 53/2003, Codul muncii, art. 171 187; Legea securitii i sntii n munc nr. 319/2006, publicat

    n Monitorul Oficial al Romniei nr. 646 din 26 iulie 2006; Normele generale de protecie a muncii 2002; Reglementri i bune practici n domeniul securitii i

    sntii n munc, 2005; HG nr.971/2006 privind cerinele minime pentru semnalizarea

    de securitate i/sau de sntate la locul de munc; HG nr.1048/2006 privind cerinele minime de securitate i

    sntate pentru utilizarea de ctre lucrtori a echipamentelor individuale de protecie la locul de munc;

    HG nr. 1091/2006 privind cerinele minime de securitate i sntate pentru locul de munc;

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    7

    HG nr. 1425/2006 pentru aprobarea Normelor metodologice de aplicare a prevederilor Legii securitii i sntii n munc nr. 319/2006.

    TERMINOLOGIE

    Scopul proteciei muncii l constituie prevenirea accidentelor de munc i a bolilor profesionale prin msuri menite s elimine, s evite sau s diminueze aciunea factorilor de risc asupra organismului uman.

    Factori - nsuiri, stri, procese, fenomene, comportamente proprii elementelor implicate n procesul de munc i care pot provoca accidente de munc i/sau boli profesionale.

    Evenimentul reprezint orice accident care a antrenat vtmri corporale sau decesul, orice incident periculos care s-a produs pe teritoriul

    persoanei juridice / fizice sau la orice loc de munc. Risc probabilitatea ca evenimentul de munc s se produc. Factori de risc cauze poteniale ale accidentelor de munc i

    bolilor profesionale. Dup producerea acestor evenimente negative, factorii de risc se transform n cauze ale accidentelor i bolilor profesionale.

    Factor periculos factor de risc a crui aciune asupra executantului duce, n anumite condiii, la accidentarea acestuia.

    Factor nociv factor de risc a crui aciune asupra executantului duce, n anumite condiii, la mbolnvirea acestuia.

    Pericol situaie, ntmplare care pune sau poate pune n primejdie existena sau integritatea angajatului. NORME DE PROTECIA MUNCII N LABORATOARE

    Laboratoarele sunt locurile n care studenii sunt mult expui riscurilor cauzate de existena reactivilor chimici, ustensilelor de laborator i aparatelor electrice. Se vor avea n vedere urmtoarele reguli generale:

    Instruciunile scrise s fie afiate la loc vizibil i regulile de securitate evideniate;

    Instruciunile de securitate s fie prezentate verbal i comunicate la nceputul fiecrei lucrri de laborator;

    Elaborarea unui set de Fie tehnice de securitate cu efectele asupra sntii, msurile de protecie necesare la manipularea lor i procedurile de urgen s fie cunoscute;

    Laborantul trebuie s aib un comportament exemplar din punct de vedere al securitii;

    S existe o supraveghere suficient a studenilor n orice moment;

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    8

    Trebuie purtat echipamentul individual de protecie i mbrcmintea de lucru adecvate;

    Aparatura electric s fie verificat i ntreinut n mod regulat, aparatele electrice s aib mpmntare;

    Laboratoarele trebuie s fie ventilate i iluminate corespunztor, s aib un nivel adecvat de umiditate, spaiu suficient i s fie curate;

    Pardoselile s fie bine ntreinute, pstrate curate pentru reducerea riscurilor de alunecare i mpiedicare;

    S fie asigurat dotarea corespunztoare pentru prim ajutor pentru utilizare n cazul unui eveniment sau situaie de urgen;

    S fie asigurate msurile i mijloacele de prevenire a incendiilor.

    SEMNE DE AVERTIZARE

    Pentru studeni:

    Vor utiliza materialele didactice numai sub supravegherea profesorului/laborantului;

    Aparatura, standurile existente i ustensilele folosite n laborator nu trebuie demontate i/sau acionate nici n cazul

    n care nu sunt alimentate; nu constituie obiecte de

    joac;

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    9

    Vor avea grij de mobilierul i mijloacele didactice din dotarea laboratoarelor;

    Conectarea la reea a standurilor se va realiza numai n prezena cadrului didactic ndrumtor;

    Modificarea sau adaptarea configuraiei standurilor va fi realizat numai sub supravegherea cadrului didactic ndrumtor;

    nainte de nceperea lucrului (punerea n funciune a standului) cadrul didactic ndrumtor va verifica priza de pmnt cu ajutorul pixului de tensiune sau a aparatului de msur;

    Orice situaie n care standul nu funcioneaz normal va fi adus la cunotin cadrului didactic ndrumtor;

    Dup terminarea experimentelor se va respecta procedura de oprirea standurilor, prezentat de cadrului didactic ndrumtor, apoi se proceda la deconectarea de la reea;

    Dup parcurgerea etapei anterioare se va dezasambla standul dac a fost realizat n cadrul lucrrii de laborator.

    1.3. Desfurarea lucrrii

    1 protecia muncii, prezentarea normelor de tehnica securitii muncii specifice laboratoarelor de acionri, automatizri; ncheierea procesului verbal i luarea la cunotin;

    2 prezentarea tematicilor lucrrilor de laborator, descrierea structurii acestora;

    3 modul de desfurare a lucrrilor de laborator; pregtirea lucrrii de laborator, obligaiile studentului.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    10

    Lucrarea 2

    II. MEDIUL DE LUCRU MATLAB GENERALITI

    2.1. Scopul lucrrii

    Scopul acestei lucrri este familiarizarea studenilor cu mediul de lucru MATLAB, cu principalele componente ale programului i cu interfaa acestuia cu utilizatorul.

    Materialul pe baza cruia este redactat aceast aplicaie se bazeaz pe documentaia pachetului software.

    2.2. Consideraii teoretice

    MATLAB (MATtrix LABoratory) este un pachet de programe de

    nalt performan, interactiv, destinat calculului matematic, tiinific i ingineresc. Utilizarea programului MATLAB permite realizarea de:

    Calcule matematice att n variant numeric ct i analitic;

    Dezvoltarea de algoritmi i programe; Realizarea de grafice 2D i 3D; Modele matematice ale sistemelor complexe i simularea

    comportrii acestora; Achiziii i prelucrri de date; Achiziii i prelucrri de imagini; Dezvoltarea de aplicaii software, incluznd construcie de

    interfee grafice cu utilizatorul (GUI graphical user interface);

    Aplicaii din domeniul sistemelor automate, logicii fuzzy, reelelor neuronale, etc.

    Pachetul software MATLAB este un produs al companiei americane

    The Mathworks Inc. (http://www.mathworks.com) i lucreaz sub majoritatea sistemelor de operare de pe pia. n cadrul acestui material se vor descrie facilitile variantei pentru Windows a programului. Matlab include toate facilitile unui limbaj complet de programare, admind interfee cu limbajul de programare C, C++ i FORTRAN.

    MATLAB constituie astzi n mediile universitare o unealt standard de calcul, fiind asociat diverselor cursuri introductive sau avansate n matematic, tiin i inginerie. n industrie, MATLAB este recunoscut ca

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    11

    un mijloc de investigaie numeric performant, utilizat n sprijinul unei activiti de cercetare, dezvoltare i analiz de nalt nivel.

    Versiunea complet a pachetului de programe MATLAB conine o ntreag familie de module specifice, denumite toolbox-uri, respectiv blockset-uri, care permit rezolvarea unor aplicaii din diverse domenii cum ar fi: teoria sistemelor i reglaj automat, logic fuzzy, reele neuronale, sisteme de acionare electrice, sisteme de acionare hidraulice, achiziii i prelucrri de date i semnale, aplicaii DSP (digital signal processing), sisteme robotice, industria aeronautic i de automobile, statistic, finane i multe altele.

    n principiu, toolbox-urile sunt module suplimentare ale nucleului MATLAB, n timp ce blockset-urile sunt module suplimentare ale programului de simulare dinamic Simulink (inclus la rndul lui n MATLAB).

    Aceste module sunt colecii de funcii MATLAB (M-files), uor de asimilat, care extind puterea de calcul a pachetului de programe MATLAB

    n vederea rezolvrii unor clase particulare de probleme. Colecia de module MATLAB (toolbox-uri i blockset-uri) conine,

    printre altele: Simulink, Control System Toolbox, SimHydraulics Blockset,

    SimPowerSystems Blockset, SimMechanics Blockset, Data Acquisition

    Toolbox, Fuzzy Logic Toolbox, Image Processing Toolbox, Partial

    Differential Equations Toolbox, Neural Network Toolbox, Optimization

    Toolbox, System Identification Toolbox, Financial Toolbox, Statistics

    Toolbox, Communications Toolbox, Communications Blockset, Database

    Toolbox, Virtual Reality Toolbox, aceasta fiind doar o enumerare sumar, numrul total al toolbx-urilor si blockset-urilor fiind semnificativ mai mare.

    2.2.1. Structura sistemului MATLAB

    Structura sistemului MATLAB const n cinci pri principale: I. Mediul de dezvoltare. Acesta este alctuit dintr-un set de unelte

    care faciliteaz folosirea funciilor i fiierelor MATLAB. Multe dintre acestea reprezint de fapt interfeele grafice i includ fereastra principal MATLAB sau MATLAB Desktop, fereastra de comenzi sau Command

    Window, fereastra ce memoreaz istoria comenzilor sau Command History, i browser-ele de Help, Workspace, Files, Search Path etc.

    II. Biblioteca de funcii matematice MATLAB. Const ntr-o vast colecie de algoritmi de calcul, pornind de la funcii elementare precum sum, sinus, cosinus i aritmetic complex, pn la funcii mai sofisticate

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    12

    precum inversare de matrici, calcul de valori proprii, funcii Bessel, i transformata Fourier.

    III. Limbajul MATLAB. Limbajul MATLAB este un limbaj

    matrice/vector de nalt nivel ce include instruciuni de control al buclelor, funcii, structuri de date, comenzi de intrare/ieire i instruciuni de programare orientat pe obiecte. Limbajul MATLAB permite att programarea superficial pentru crearea rapid a unor mici programe de calcul specifice, ct i "programarea n detaliu" n vederea dezvoltrii unor programe complexe de nivel superior.

    IV. Handle Graphics. Handle Graphics reprezint sistemul de grafic MATLAB i include att comenzi de nalt nivel pentru vizualizarea 2D i 3D a datelor, procesare de imagini, animaie i grafic, ct i comenzi de jos nivel ce permit personalizarea complet a reprezentrilor grafice i construirea integral a interfeelor grafice (GUI) pentru aplicaiile MATLAB.

    V. MATLAB Application Program Interface (API). Aceasta este o

    bibliotec ce permite scrierea programelor C i Fortran ce interacioneaz cu MATLAB. Biblioteca conine facilitai de apel de subrutine din MATLAB (dynamic linking), de apelare a MATLAB-ul ca pe o main de calcul, i de citire i scriere de fiiere MAT-files.

    2.2.2. Ferestrele de lucru MATLAB

    2.2.2.1. Fereastra principal MATLAB (MATLAB Desktop)

    Dup lansarea programului MATLAB, n prim plan apare fereastra principal MATLAB, ce conine unelte de control al directoarelor, fiierelor, variabilelor i al aplicaiilor asociate MATLAB-ului (figura 2.1).

    MATLAB Desktop Toolbar (figura 2.2) permite accesul uor la uneltele clasice MATLAB. innd cursorul deasupra unui buton, o indicaie ajuttoare descriind unealta, va apare ntr-o csu galben. Unele ferestre au propriul lor toolbar inclus n sistemul de afiare.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    13

    Fig. 2.1. Fereastra principal MATLAB

    Fig. 2.2. MATLAB Desktop Toolbar (bara de istrumente)

    2.2.2.2. Ferestrele Desktop-ului

    Urmtoarele ferestre sunt supervizate de MATLAB Desktop, dei nu toate apar implicit dup lansare:

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    14

    Fereastra de comenzi (Command Window), permite lansarea

    comenzilor MATLAB.

    Fereastra Command History, permite memorarea, vizualizarea,

    editarea i relansarea funciilor lansate anterior n Command Window. Fereastra Launch Pad, permite lansarea uneltelor i accesarea

    documentaiei MATLAB. Fereastra Current Directory Browser, permite controlul asupra

    fiierelor MATLAB i a celor asociate. Fereastra Help Browser, permite vizualizarea i cutarea

    documentaiei MATLAB. Fereastra Workspace Browser permite vizualizarea i schimbarea

    coninutului spaiului de lucru. Fereastra Array Editor permite editarea i vizualizarea coninutului

    variabilelor ntr-un format tabelar. Fereastra Editor/Debugger permite crearea, editarea i verificarea

    fiierelor M-files ce conin funcii MATLAB. Alte unelte i ferestre MATLAB cum ar fi ferestrele grafice nu sunt

    supervizate de MATLAB Desktop.

    Fereastra Command Window

    Command Window (figura 2.3) este fereastra principal de comunicare a utilizatorului cu programul MATLAB. Aceast fereastr permite lansare de funcii i efectuarea de operaii MATLAB. Pentru deschiderea ferestrei se selecteaz Command Window din meniul View.

    Proprietile specifice ferestrei Command Window permit modificarea formatului de afiare a valorilor numerice, setarea automat a ecoului n cadrul unei sesiuni MATLAB, specificarea fontului, a stilului, a dimensiunii literelor, setarea culorilor folosite pentru sublinierea

    instruciunilor specifice etc. Pentru afiarea cutiei de dialog cu proprietile ferestrei Command Window, se selecteaz Preferences din meniul File al MATLAB Desktop. Cutia de dialog (figura 2.4) se deschide permind modificarea proprietilor ferestrei Command Window.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    15

    Fig. 2.3. Fereastra Command Window

    Fig. 2.4. Modificarea proprietilor ferestrei Command Window

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    16

    Fereastra Command History

    Fereastra Command History (figura 2.5) apare cnd se lanseaz MATLAB. Fereastra Command History afieaz o list a funciilor lansate recent n Command Window.

    Fig. 2.5. Fereastra Command History

    Afiarea funciilor n Command History Window. Lista de comenzi afiate n Command History include att funcii din sesiunea curenta ct i funcii din sesiuni anterioare. Ora i data pentru fiecare sesiune apar n partea superioar a listei de funcii aferente acelei sesiuni de lucru. Pentru a naviga n fereastra Command History se utilizeaz scroll-bar-ul sau sgeile up i down.

    Fiierul specific uneltei Command History este history.m. Pentru a vedea locaia acestui fiier se tasteaz prefdir n Command Window. Fiierul history.m este ncrcat odat cu lansarea programului MATLAB i suprascris cnd ieii din MATLAB.

    tergerea funciilor din Command History Window. Se recomand tergerea funciilor din Command History window cnd se strng prea multe i navigarea devine dificil. Toate funciile sunt nregistrate pn cnd se alege opiunea de a le terge.

    Pentru a terge o funcie, se selecteaz funcia sau se folosete Shift+click sau Ctrl+click pentru a selecta mai multe, sau Ctrl+A pentru a

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    17

    le selecta pe toate. Apoi click-dreapta i se selecteaz una dintre opiunile de tergere din meniul contextual:

    Delete Selection terge funcia selectat Delete to Selection terge toate funciile anterioare pn la cea

    selectat Delete Entire History terge toate funciile din Command

    History window O alt cale de tergerea a ntregii liste de funcii const n selectarea

    comenzii Clear Command History din meniul Edit.

    Lansarea funciilor din Command History Window. Dublu-click pe orice funcie din Command History window pentru a executa acea funcie. De exemplu, dublu-click pe edit myfile pentru a deschide fiierul myfile.m n Editor.

    Se poate de asemenea lansa o funcie cu click-dreapta pe funcie i selectnd Evaluate Selection din meniul contextual, sau copiind funcia n Command Window.

    Copierea funciilor din Command History Window. Se selecteaz o funcie, sau cu Shift+click sau Ctrl+click mai multe funcii, sau Ctrl+A pentru a selecta toate funciile. Ulterior, se pot executa urmtoarele comenzi, prezentate n tabelul de mai jos.

    Aciune Mod de lucru

    Lansarea funciilor n Command Window

    Se copiaz selecia n clipboard prin click-dreapta i selectarea opiunii Copy din meniul contextual. Selecia se copiaz cu Paste n Command Window (alt alternativ const n executarea unui dragging al seleciei n Command Window). n Command Window se editeaz la nevoie funcia i se apas pe Enter sau Return pentru executarea funciei.

    Copierea funciilor n alt fereastra

    Se copiaz selecia n clipboard prin click-dreapta i selecia comenzii Copy din meniul contextual. Se copiaz selecia ntr-un fiier M-file deschis n Editor sau alt aplicaie.

    Crearea unui fiier M-file din funciile selectate

    Click-dreapta pe selecie i selecteaz Create M-File din meniul contextual. Editor-ul deschide un nou fiier M-file ce conine funciile selectate din Command History window.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    18

    Fereastra Launch Pad

    Fereasta Launch Pad (figura 2.6) din MATLAB permite accesul

    uor la unelte, fiiere demo i documentaia produselor MathWorks. Pentru lansare se selecteaz Launch Pad din meniul View din MATLAB Desktop. Concomitent vor fi listate toate produsele MathWorks instalate pe

    sistem.

    Fig. 2.6. Fereastra Launch Pad

    Pentru listarea n detaliu a unui produs, click pe semnul + plasat n stnga produsului. Pentru a anula listarea, click pe semnul din stnga produsului. Pentru a deschide una sau mai multe liste, dublu-click pe lista,

    sau click-dreapta i se selecteaz Open din meniul contextual. Aciunea depinde de lista care a fost selectat dup cum este prezentat n tabelul urmtor.

    Pictogram Descrierea aciunii n urma lansrii

    Documentaia produsului respectiv se deschide n fereastra Help browser

    Se lanseaz Demo launcher al produsului respectiv

    Unealta selectat se deschide

    Pagina web a produsului pe site-ul MathWorks Web cu informaii recente se deschide n browser-ul de web

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    19

    Actualizarea ferestrei Launch Pad. Fereastra Launch Pad include

    comenzi pentru toatele produsele gsite n calea de cutare MATLAB cnd se lanseaz sesiunea MATLAB. Dac se schimb calea de cutare dup lansarea unei sesiuni, de pild prin adugarea unui director toolbox, fereastra Launch Pad nu este automat actualizat.

    Pentru a actualiza fereastra Launch Pad aa nct sa afieze toate produsele n calea curent de cutare se execut Click-dreapta n fereastra Launch Pad i se selecteaz Refresh din meniul contextual

    Current Directory Browser

    Pentru a cuta, vizualiza, deschide, i pentru a modifica directoare i fiiere asociate MATLAB-ului, se utilizeaz Current Directory browser (figura 2.7). Pentru a deschide Current Directory browser, se selecteaz Current Directory din meniul View din MATLAB Desktop, sau se

    tasteaz filebrowser la cursorul Command Window. Poate fi de asemenea deschis din Launch Pad, sub MATLAB.

    Fig. 2.7. Current Directory Browser

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    20

    Principalele operaiuni cu directoare i fiiere ce pot fi efectuate folosind Current Directory browser sunt:

    vizualizarea i modificarea directoarelor; crearea, redenumirea, copierea i tergerea

    directoarelor i fiierelor deschiderea fiierelor; lansarea i vizualizarea coninutului fiierelor; cutarea i nlocuirea coninutului fiierelor.

    Fereastra Help Browser

    Se folosete Help browser pentru cutarea i vizualizarea documentaiei MATLAB i a produselor MathWorks. Help browser este un Web browser integrat n MATLAB Desktop care afieaz documente HTML.

    Fereastra Workspace Browser

    Workspace browser (fig. 2.8) este utilizat pentru executare de operaiuni n spaiul de lucru MATLAB. Pentru a lansa Workspace browser, exist mai multe modaliti i anume:

    Din meniul View din MATLAB Desktop, se selecteaz Workspace, n Launch Pad, dublu-click pe Workspace, Se tasteaz workspace la cursorul Command Window. Printre operaiunile ce pot fi executate din Workspace browser sunt:

    vizualizarea Current Workspace salvarea Current Workspace ncrcarea Saved Workspace tergerea Workspace Variables crearea graficelor din Workspace Browser vizualizarea i editarea Workspace Variables

    folosind Array Editor

    Proprietile specifice ferestrei Workspace Browser pot fi modificate selectnd Preferences din meniul File al ferestrei MATLAB Desktop. Cutia de dialog se deschide i permite selectarea opiunii Workspace n urma creia se deschide fereastra Workspace Preferences pentru modificarea proprietilor ferestrei Workspace. Se pot modifica caracteristicile fontului folosit n Workspace browser i se poate opta pentru afiarea unei csue de dialog de confirmare a tergerii variabilelor.

    Fereastra Array Editor

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    21

    Fereastra Array Editor (fig. 2.9) se folosete pentru afiarea i editarea unei reprezentri vizuale 1D i 2D a vectorilor de tip numere, iruri de caractere etc. Pentru a lansa Array Editor din Workspace browser se selecteaz n Workspace browser variabila care se dorete a fi afiat (Shift+click sau Ctrl+click pentru a selecta mai multe variabile). Se face click pe butonul open de

    pe toolbar, sau click-dreapta i se selecteaz Open Selection din meniul contextual. Alternativ, n cazul unei singure variabile, se poate face dublu-click pe aceasta pentru a o deschide. Array Editor se lanseaz, afind valorile variabilelor selectate. Nu se poate deschide un vector cu 10,000 elemente sau mai

    multe. Pentru a afia coninutul unei variabile n workspace, se tasteaz numele variabilei la cursorul Command Window. Pentru a afia o variabila n Array Editor, se folosete funcia openvar ('nume_variabila') avnd ca argument numele variabilei care se dorete a fi afiat.

    Fig. 2.8: Fereastra Workspace Browser

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    22

    Fig. 2.9. Fereastra Array Editor

    Modificarea valorilor elementelor n Array Editor. n Array Editor, click pe celula a crei valoare se dorete a fi modificat. Se tasteaz o nou valoare, apoi se apas Enter sau Return, sau click n alta celula i modificarea va avea loc. Pentru a modifica dimensiunile unui vector, se

    tasteaz noile valori corespunznd numrului de rnduri i coloane n Size fields. Dac se mrete dimensiunea, noile rnduri i coloane sunt adugate la sfrit i sunt umplute cu zerouri. Dac se descrete dimensiunea, se vor pierde datele; MATLAB terge rndurile i coloanele de la sfrit. Anumite tipuri de date nu permit modificarea dimensiunii; pentru aceste variabile,

    cmpul Size nu este editabil. Dac se deschide un fiier MAT-file existent i se efectueaz modificri asupra acestuia folosind Array Editor, va trebui salvat acel MAT-file dac se dorete ca modificrile s fie salvate.

    Controlul afirii valorilor n Array Editor. n Array Editor, se selecteaz o variabil n lista Numeric format pentru a controla modul de afiare a valorilor numerice.

    Proprietile specifice ferestrei Array Editor pot fi modificate selectnd Preferences din meniul File al ferestrei MATLAB Desktop. Cutia de dialog se deschide i permite selectarea opiunii Array Editor n urma creia se deschide fereastra Array Editor Preferences de modificare a

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    23

    proprietilor. Se pot modifica caracteristicile fontului folosit n fereastra Array Editor, se poate selecta formatul numeric implicit etc.

    Fereastra Editor/Debugger

    Fereastra Editor/Debugger (fig. 2.10) a MATLAB-ului pune la

    dispoziie o interfa grafic cu utilizatorul ce permite editarea elementara de text i verificarea (debugging) oricrui tip de fiier M-file. Editor/Debugger este o unealt care se poate folosi pentru editare, debugging sau ambele. Exist diferite modaliti de lansare a ferestrei Editor/Debugger:

    Pentru a crea un nou fiier M-file n Editor/Debugger, fie se execut

    click pe butonul new file din toolbar-ul MATLAB, fie se selecteaz File + New + M-file din meniul MATLAB Desktop. Se poate de asemenea

    crea un fiier M-file folosind meniul contextual n Current Directory browser. Editor/Debugger se deschide dac nu cumva deja este deschis, cu un fiier gol n care se pot scrie instruciunile fiierului M-file.

    Daca Editor/Debugger este deschis, se pot crea mai multe fiiere noi

    folosind butonul new file din toolbar, sau prin selectarea File + New +

    M-file. Funcia echivalent de creare a fiierelor M-file noi n Editor/Debugger este funcia edit tastat n Command Window. Dac se tasteaz edit filename.m i fiierul cu acest nume nu exist nc, apare un mesaj care va ntreba utilizatorul dac dorete s creeze un nou fiier cu numele filename.m. Daca se alege da, Editor/Debugger creeaz un fiier gol cu numele filename.m, altfel fiierul nu va fi creat.

    Pentru a deschide un fiier M-file existent n Editor/Debugger, click

    pe butonul open din toolbar-ul MATLAB sau Editor/Debugger, sau se

    selecteaz File + Open i apoi din Open dialog box, se selecteaz fiierul M-file i se execut click pe Open. Se pot de asemenea deschide fiiere din Current Directory browser.

    Se poate selecta un fiier n vederea deschiderii din lista celor mai recent folosite fiiere, n partea inferioar a meniului File n MATLAB Desktop sau n Editor/Debugger. Se poate de asemenea modifica numrul de fiiere care apar n list.

    O funcie echivalent folosit pentru editarea sau deschiderea unui fiier M-file existent n Editor/Debugger este funcia edit filename.m

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    24

    Pe platformele Windows, se poate folosi MATLAB Editor fr lansarea MATLAB prin dublu-click pe fiierul M-file n Windows Explorer.

    Fig. 2.10. Fereastra Editor/Debugger

    Fiierul M-file se deschide n MATLAB Editor. Pentru a deschide fereastra Editor fr fiier, se lanseaz fiierul MATLAB6p5/bin/win32/meditor.exe. Cnd se lanseaz MATLAB Editor fr lansarea MATLAB, Editor devine o aplicaie de sine stttoare.

    Proprietile ferestrei Editor/Debugger se pot modifica (fig. 2.11).

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    25

    Fig. 2.11. Modificarea proprietilor ferestrei Editor/Debugger

    Pentru aceasta se selecteaz Preferences din meniul File al ferestrei MATLAB Desktop. Cutia de dialog se deschide i permite selectarea opiunii Editor/Debugger n urma creia se deschide fereastra Editor/Debugger Preferences de modificare a proprietilor.

    Se pot modifica caracteristicile fontului i culorilor folosite n fereastra Editor/Debugger, se poate selecta modul de afiare, salvare etc.

    2.2.2.3. Configuraia predefinit a MATLAB Desktop

    Exist ase configuraii predefinite de MATLAB Desktop, care pot fi selectate din meniul View + Desktop Layout:

    Default ferestrele Command Window, Command History i Current Directory browser grupate mpreun, i Launch Pad i Workspace browser grupate de asemenea mpreun.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    26

    Command Window Only - conine doar fereastra Command Window. Aceast opiune face ca MATLAB Desktop s apar similar cu versiunile de MATLAB anterioare.

    Simple - fereastra Command History i Command Window, una lng alta.

    Short History - fereastra Current Directory browser i Workspace browser grupate mpreun deasupra ferestrei Command Window i deasupra ferestrei Command History de talie redus.

    Tall History - ferestrele Command History n stnga i Current Directory browser i Workspace browser grupate mpreun deasupra ferestrei Command Window.

    Five Panel - fereastra Launch Pad deasupra ferestrei Command

    History n stnga, Workspace browser deasupra Current Directory browser n centru, i Command Window n dreapta. Dup selectarea unei configuraii predefinite, se pot muta, redimensiona, i deschide/nchide ferestrele.

    2.2.2.4. Proprieti generale ale MATLAB Desktop

    Proprietile predefinite ale MATLAB Desktop pot fi modificate (fig. 2.12).

    Proprietile rmn valabile pe durata sesiunii MATLAB. Unele ferestre permit controlul acestor aspecte din meniul propriu ferestrei

    respective. Pentru modificarea proprietilor se selecteaz Preferences din meniul File. Cutia de dialog Preferences se deschide i permite modificarea proprietilor prin selecia tipului de proprieti.

    n exemplul prezentat n figura 2.12 sunt modificate proprietile General. Dac apare un semn + n stnga articolului, se execut click pe + pentru a afia n detaliu articolele coninute, i apoi se selecteaz articolul ale crui proprieti urmeaz a fi modificate. Panelul din dreapta reflect tipul de proprieti care au fost selectate. n panelul din dreapta se specific proprietile dorite i apoi se execut click pe OK. Proprietile se vor schimba imediat.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    27

    Fig. 2.12. Modificarea proprietilor predefinite ale MATLAB Desktop

    2.3. Desfurarea lucrrii

    1 Pe parcursul desfurrii lucrrii se vor studia, pe baza materialelor prezentate n partea teoretic a aplicaiei toate componentele MATLAB Desktop.

    2 Studiul se va face individual, sau pe grupe de maximum doi studeni la o staie de lucru (PC) pe care se afl instalat pachetul software.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    28

    Lucrarea 3

    III. DEFINIREA FUNCIILOR DE TRANSFER DE VARIABIL CONTINU N MEDIUL DE LUCRU

    MATLAB CONTROL SYSTEM TOOLBOX

    3.1. Scopul lucrrii

    Scopul acestei lucrri este familiarizarea studenilor cu definirea funciilor de transfer i calculul funciilor de transfer echivalente pentru diferite tipuri de conexiuni n mediul Matlab, utiliznd comenzile specifice Control System Toolbox.

    3.2. Consideraii teoretice

    3.2.1. Funcia de transfer

    Comportarea unui sistem automat este descris de un ansamblu de ecuaii algebrice i difereniale care exprim dependena mrimii de ieire de cea de intrare. Pentru realizarea unui studiu analitic este necesar liniarizarea acestor relaii prin diverse metode. Prin eliminarea variabilelor intermediare se determin ecuaia diferenial a sistemului global, care, n cazul cnd toate ecuaiile componente ale sistemului sunt liniare sau liniarizate, are urmtoarea form:

    x(t)b + dt

    dx(t)b+ ... +

    dt

    x(t)db

    + dt

    x(t)db =y(t)a +

    dt

    dy(t)a ... +

    dt

    y(t)da +

    dt

    y(t)da

    011-m

    1-m

    1-m

    m

    m

    m011-n

    1-n

    1-nn

    n

    n

    (3.1)

    unde coeficienii ai i bi sunt considerai constani, iar pentru sisteme fizic realizabile n>m.

    Rezolvarea ecuaiei difereniale de mai sus este laborioas i utilizarea ei n practic este complicat. Sunt de preferat exprimri mai simple care permit o exprimare mai rapid a calitilor dinamice ale sistemului. n acest sens se adopt ipoteze simplificatoare cum ar fi:

    - condiii iniiale nule; - intrri standard ( treapt, impuls, ramp, sinus).

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    29

    O modalitate simpl de rezolvare a ecuaiilor difereniale de tipul celei de mai sus este dat de utilizarea transformatei Laplace.

    Pentru:

    0t daca 0

    0

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    30

    1...

    1...

    )(

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    sa

    as

    a

    a

    sb

    bs

    b

    b

    KsHnn

    mm

    (3.8)

    care scoate n eviden factorul de proporionalitate:

    0

    0

    a

    bK (3.9)

    care corespunde raportului dintre semnalele de ieire i de intrare n regim staionar.

    Pentru acest regim, K > 1 corespunde unui efect de amplificare, iar

    K < 1 corespunde unui efect de atenuare.

    ))...((

    ))...((')(

    1

    1

    n

    m

    p

    qssss

    zszs

    s

    KsH

    (3.10)

    unde soluiile zj, (j = 1,2,,m) i sj, (j = 1,2,,n-p) se numesc zerourile, respectiv polii funciei de transfer i pot avea forme reale, imaginare, complexe, distincte sau multiple.

    Cu pq

    s s-a notat polul sq, cu ordinul de multiplicitate p, iar cu

    n

    m

    a

    bK ' s-a notat un coeficient fr semnificaie deosebit.

    1 2

    1 2

    1 1

    2

    2

    1 1

    2

    2

    121

    )1(

    121

    )1(

    )(n

    j

    n

    j jj

    j

    m

    j

    m

    j jj

    j

    p

    sssT

    sssT

    s

    KsH

    , (3.11)

    unde 2121 mmnnp ,reprezint una din cele mai rspndite forme de

    scriere a funciei de transfer, deoarece scoate n eviden factorul de proporionalitate K, polii de origine multipl de ordinul p, constantele de

    timp Tj, factorii de amortizare j, i pulsaiile naturale j, parametri care contribuie la interpretarea fenomenologic mai complet a funciei de transfer.

    Utilitatea funciei de transfer deriv din simplitatea operaiilor matematice bazate pe aceast funcie i a interpretrilor fenomenologice directe i simple care rezult.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    31

    Astfel, din punct de vedere al analizei, se consider cunoscut semnalul de intrare i(t) i funcia de transfer H(s), pentru care intereseaz determinarea semnalului de ieire e(t), respectiv:

    I(s)H(s)=E(s) (3.12)

    de unde, aplicnd transformata Laplace invers rezult:

    I(s)][H(s)L=e(t) 1 (3.13)

    Pentru sintez, fiind cunoscute semnalele de intrare i(t) i de ieire e(t), se urmrete stabilirea structurii elementului care este capabil a efectua aceast transformare. Se poate determina astfel funcia de transfer sub forma:

    ][][ e(t)L=E(s) i i(t)L=I(s) unde I(s)

    E(s)=H(s) (3.14)

    3.2.2. Algebra schemelor funcionale cu funcii de transfer

    Algebra schemelor funcionale cu funcii de transfer cuprinde un grup de reguli care permit determinarea funciei de transfer a unui sistem n condiiile n care sunt cunoscute funciile de transfer ale elementelor componente, iar sistemul este reprezentat sub form de schem bloc.

    Schema bloc sau schema funcional, respect legea suprapunerii (superpoziiei) efectelor, datorit comportrii liniare a fiecrui element component i poate fi simplificat sau restructurat pe baza unor reguli simple.

    n figura 3.1 se prezint cele trei conexiuni de baz ale elementelor, respectiv n serie (fig. 3.1 a), n paralel (fig. 3.1 b) i cu reacie (fig. 3.1 c).

    Conexiunea n serie const n legarea ieirii unui element la intrarea elementului urmtor.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    32

    Fig. 3.1: Conexiunile serie (a), paralel (b) i cu reacie (c)

    Vom avea astfel:

    )(

    )()(,

    )(

    )()(

    2

    2

    2

    1

    1

    1sI

    sEsH

    sI

    sEsH (3.15)

    i

    )()(21

    sIsE (3.16)

    Funcia de transfer a elementului echivalent va fi:

    (s)H(s)HsI

    sE

    sI

    sE

    sI

    sE=H(s) 21

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    1

    1

    2

    2 (3.17)

    Generaliznd, pentru n elemente conectate n serie, se obine relaia:

    (s)H=H(s) j

    n

    j=1

    (3.18)

    Conexiunea n paralel const n legarea aceleiai intrri la toate elementele i nsumarea algebric a ieirilor. Vom avea:

    )(

    )()(,

    )(

    )()( 2

    2

    1

    1sI

    sEsH

    sI

    sEsH (3.19)

    i

    )()()(21

    sEsEsE (3.20)

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    33

    Funcia de transfer a elementului echivalent va fi:

    (s)H(s)HsI

    sEsE

    sI

    sE=H(s) 21

    )(

    )()(

    )(

    )( 21 (3.21)

    Generaliznd, pentru n elemente conectate n paralel, se obine relaia:

    (s)H=H(s) j

    n

    j=1

    (3.22)

    n cazul conexiunii n paralel nsumarea se consider algebric. Conexiunea cu reacie const n introducerea la intrarea I(s), a unui

    semnal dependent de semnalul de ieire, R(s), care se numete semnal de reacie.

    Dac A(s)=I(s)+R(s), reacia se numete pozitiv, iar dac A(s)=I(s)-R(s), reacia se numete negativ.

    Funcia de transfer a elementului de pe circuitul direct este:

    )(

    )()(

    sA

    sEsH

    d (3.23)

    Funcia de transfer de pe circuitul de reacie:

    )(

    )()(

    sE

    sRsH

    r (3.24)

    Funcia de transfer a elementului echivalent va fi:

    (s)H(s)H1

    (s)H

    sA

    sE

    sE

    sR

    sA

    sE

    sRsA

    sE

    sI

    sE=H(s)

    dr

    d

    )(

    )(

    )(

    )(1

    )(

    )(

    )()(

    )(

    )(

    )(

    (3.25)

    Semnele (+) i (-) de la numitor n cazul conexiunii cu reacie corespund reaciei negative respectiv reaciei pozitive. Dac pe circuitul de reacie nu exist element de reacie, atunci se consider Hr(s)=1, iar reacia se numete unitar.

    3.2.3. Modul de lucru

    Pe parcursul desfurrii lucrrii se vor studia principalele comenzi utilizate n Control System Toolbox pentru definirea funciilor de transfer i

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    34

    pentru calculul funciilor de transfer echivalente pentru diferite conexiuni n mediul Matlab.

    3.2.3.1. Comanda tf

    Comanda tf permite definirea unei funcii de transfer n mediul Matlab prin introducerea coeficienilor lui s ai polinoamelor de la numrtor i numitor.

    Sintaxa comenzii tf este:

    sys=tf(num,den);

    unde:

    sys reprezint numele alocat funciei de transfer (poate fi ales arbitar);

    num reprezint numrtorul funciei de transfer (prescurtarea termenului echivalent din limba englez numerator);

    den reprezint numitorul funciei de transfer prescurtarea termenului echivalent din limba englez denominator).

    De asemenea, termenii num respectiv den pot fi nlocuii de alte denumiri, important este ns modul de definire al acestora, sau altfel spus termenii din parte dreapt de dup semnul egal, dup cum se va exemplifica n continuare.

    Pentru a exemplifica modul de vor introduce n spaiul de lucru Matlab urmtoarea funcie de transfer:

    150037.0828.7241

    12675.05)(

    234

    23

    1

    ssss

    ssssH

    Definim numrtorul funciei de transfer cu comanda:

    num1=[0 5 0.5 7 126];

    Fiecare comand introdus n linia de comand se confirm prin apsarea tastei Enter de pe tastatur.

    Se observ c s-au introdus coeficienii puterilor lui s ntre cele dou paranteze ptrate, separate prin spaii. Termenul liber este considerat coeficientul lui s la puterea zero i este de asemenea introdus n expresie.

    Dac o putere a lui s lipsete din expresia numrtorului sau numitorului funciei de transfer, coeficientul acesteia se introduce n expresia num sau den cu valoarea 0.

    Trebuie de asemenea remarcat c s-a identificat puterea maxim a lui s prezent n funcie (care n acest exemplu este puterea a 4-a), iar

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    35

    coeficientul acestei puteri a fost de asemenea introdus. Deoarece

    numrtorul funciei de transfer nu prezint termen in s4, coeficientul acestuia a fost introdus cu valoarea 0. Acest lucru nu este obligatoriu, dar

    este util i contribuie la evitarea apariiei erorilor. Definim numrtorul funciei de transfer cu comanda:

    den1=[241 7.28 8 0.37 1500];

    Dup introducerea celor dou linii de comand n spaiul de lucru Matlab, se tasteaz comanda:

    sys1=tf(num1, den1)

    (atenie, de aceast dat fr a mai tasta simbolul ; )

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea: Transfer function:

    5 s^3 + 0.5 s^2 + 7 s + 126 ------------------------------------------ 241 s^4 + 7.28 s^3 + 8 s^2 + 0.37 s + 1500

    Definirea funciei de transfer de mai sus se poate face i direct, utiliznd o singur linie de comand n locul celor trei prezentate mai sus, astfel:

    sys1=tf([0 5 0.5 7 126], [241 7.28 8 0.37 1500])

    Ca i n situaia de mai sus, dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea:

    Transfer function:

    5 s^3 + 0.5 s^2 + 7 s + 126 ------------------------------------------ 241 s^4 + 7.28 s^3 + 8 s^2 + 0.37 s + 1500

    Fie funcia de transfer:

    1.07549.31518.010

    121582.022.17112)(

    3467

    235

    2

    sssss

    ssssH

    Succesiunea de comenzi pentru introducerea funciei de transfer n spaiul de lucru Matlab n prima variant este:

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    36

    num2=[0 0 112 0 17.22 0.82 15 12];

    den2=[10 0.18 0 15 3.49 0 75 0.1];

    sys2=tf(num2, den2)

    sau n varianta a II-a (difinirea direct):

    sys2=tf([0 0 112 0 17.22 0.82 15 12], [10 0.18 0 15 3.49 0 75 0.1])

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea: Transfer function:

    112 s^5 + 17.22 s^3 + 0.82 s^2 + 15 s + 12 --------------------------------------------------- 10 s^7 + 0.18 s^6 + 15 s^4 + 3.49 s^3 + 75 s + 0.1

    3.2.3.2. Comanda zpk

    Comanda zpk permite definirea funciilor de transfer prin introducerea zerourilor (Z), a polilor (P) i a factorului de amplificare K.

    Sintaxa comenzii este:

    sys=zpk(z,p,k)

    Pentru a exemplifica modul de utilizare al comenzii se vor introduce

    n spaiul de lucru Matlab urmtoarea funcie de transfer:

    )15)(7(

    )5)(1(3)(3

    ss

    sssH

    Dup cum se poate observa, funcia de transfer de mai sus are zerourile z1 = 1 i z2 = -5, polii p1 = 7 i p2 = 15, iar factorul de amplificare K = 3.

    Linia de comand pentru introducerea funciei de transfer n spaiul de lucru Matlab utiliznd comanda zpk este:

    sys3=zpk([1 -5],[7 15], 3)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea:

    Zero/pole/gain:

    3 (s-1) (s+5) ------------- (s-7) (s-15)

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    37

    Fie funcia de transfer:

    )39.0)(79.1)(5(

    2)(4

    ssssH

    Linia de comand pentru introducerea funciei de transfer n spaiul de lucru Matlab utiliznd comanda zpk este:

    sys4=zpk([],[-5 0.39 1.79], 2)

    Se observ c funcia de transfer H4 nu are poli, deci n locul polilor n comanda zpk s-a introdus secvena [] (paranteze ptrate fr coninut, definind de fapt o matrice vid).

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea:

    Zero/pole/gain: 2

    ----------------------------- (s+5) (s-1.79) (s-0.39)

    3.2.3.3. Comanda series

    Comanda series permite calculul funciei de transfer echivalente pentru conexiunea serie a dou elemente.

    Sintaxa comenzii este:

    sys=series(sys1, sys2)

    Pentru a exemplifica modul de utilizare al comenzii fie funciile de transfer:

    52)(5

    s

    ssH ,

    27.1

    1)(

    26

    ss

    ssH

    Pentru calculul funciei de transfer echivalente pentru conexiunea serie a celor dou elemente definite de funciile de transfer H5 i H6 se va introduce n spaiul de lucru Matlab urmtoarea secven de comenzi:

    num1=[1 0];

    den1=[2 5];

    num2=[0 1 1];

    den2=[1 1.7 2];

    sys1=tf(num1, den1);

    sys2=tf(num2,den2);

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    38

    sys=series(sys1, sys2)

    Dup introducerea ultimei comenzi i apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea:

    Transfer function: s^2 + s ----------------------------- 2 s^3 + 8.4 s^2 + 12.5 s + 10

    3.2.3.4. Comanda parallel

    Comanda parallel permite calculul funciei de transfer echivalente pentru conexiunea paralel a dou elemente.

    Sintaxa comenzii este:

    sys=parallel(sys1, sys2)

    Pentru a exemplifica modul de utilizare al comenzii fie funciile de transfer:

    75

    1001.0)(7

    s

    ssH ,

    1105.0

    12)(

    23

    2

    8

    sss

    ssH

    Pentru calculul funciei de transfer echivalente pentru conexiunea paralel a celor dou elemente definite de funciile de transfer H7 i H8 se va introduce n spaiul de lucru Matlab urmtoarea secven de comenzi:

    num1=[0.1 100];

    den1=[1 75];

    num2=[0 1 0 12];

    den2=[1 0.5 10 1];

    sys1=tf(num1, den1);

    sys2=tf(num2,den2);

    sys=parallel(sys1, sys2)

    Dup introducerea ultimei comenzi i apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea:

    Transfer function: 0.1 s^4 + 101.1 s^3 + 126 s^2 + 1012 s + 1000 --------------------------------------------- s^4 + 75.5 s^3 + 47.5 s^2 + 751 s + 75

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    39

    3.2.3.5. Comanda feedback

    Comanda feedback permite calculul funciei de transfer echivalente pentru conexiunea cu reacie a dou elemente.

    Sintaxa comenzii este:

    sys=feedback(sys1, sys2)

    n mod implicit se consider reacie negativ Pentru conexiunea cu reacie pozitiv se utilizeaz urmtoarea

    sintax a comenzii (se introduce suplimentar +1):

    sys=feedback(sys1, sys2, +1)

    Pentru a exemplifica modul de utilizarea al comenzii fie funciile de transfer:

    3

    1)(9

    ssH ,

    ssH

    5)(10

    Introducerea funciilor de transfer n spaiul de lucru Matlab se face utiliznd urmtoarea secven de comenzi:

    num1=[0 1];

    den1=[1 3];

    num2=[0 5];

    den2=[1 0];

    sys1=tf(num1, den1);

    sys2=tf(num2,den2);

    n cazul acestei comenzi, ordinea de introducere a celor dou funcii de transfer prezint o importan deosebit: prima funcie de transfer introdus (sy1) va fi considerat funcia de transfer pe calea direct n timp ce a doua (sys2) va fi considerat funcia de transfer pe calea de reacie.

    Astfel, dac se introduce urmtoare secvena de comenzi:

    sysa=feedback(sys1, sys2)

    dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea: Transfer function: s ------------- s^2 + 3 s + 5

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    40

    iar dac se introduce secvena:

    sysb=feedback(sys2, sys1)

    dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea: Transfer function: 5 s + 15 ------------- s^2 + 3 s + 5

    Se observ c funciile de transfer care caracterizeaz sistemele sy1 i sys2 sunt diferite.

    Pentru calculul funciei de transfer a conexiunii cu reacie pozitiv se introduce comanda:

    sysc=feedback(sys1, sys2, +1)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea: Transfer function: s ------------- s^2 + 3 s 5

    3.3. Desfurarea lucrrii

    1 S se introduc n spaiul de lucru Matlab urmtoarele funcii de transfer:

    a. 153.019

    126701.05)(

    346

    24

    sss

    sssH

    b. 7890069.71500098.0

    009.022.0)(

    3456

    5

    ssss

    sssH

    c. )120)(7)(15(

    )8)(006.0()(

    sss

    sssH

    d. )724.9)(19)(12)(105(

    )326.0)(9)(34(5)(

    ssss

    ssssH

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    41

    2 S se realizeze calculul funciei de transfer echivalente pentru conexiunile serie i paralel pentru elementele definite de urmtoarele funcii de transfer:

    a. 451287.0

    27)(

    21

    ss

    ssH ,

    754.15

    237.0)(

    32

    s

    ssH

    b. 101.05

    )(231

    sss

    ssH ,

    25)(

    24

    2

    2

    ss

    ssH

    c. 1000

    1)(

    71

    ssH ,

    12.0

    0037.0)(

    232

    ss

    ssH

    3 S se realizeze calculul funciei de transfer echivalente pentru conexiunea cu reacie (negativ i pozitiv) pentru urmtoarele funcii de transfer:

    a. 125.0

    1)(1

    ssH ,

    ssH

    2000)(2

    b. 12.0009.0

    5.0)(

    21

    ss

    ssH ,

    875

    502.0)(

    22

    s

    ssH

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    42

    Lucrarea 4

    IV. DEFINIREA SISTEMELOR DE REGLARE

    AUTOMAT PRIN ECUAII DE STARE N MEDIUL DE LUCRU MATLAB CONTROL SYSTEM TOOLBOX

    4.1. Scopul lucrrii

    Scopul acestei lucrri este familiarizarea studenilor cu introducerea sistemelor definite prin variabile de stare n mediul Matlab, utiliznd comenzile specifice Control System Toolbox. De asemenea, se va studia

    modul de conversie ntre diferite reprezentri: reprezentarea prin funcii de transfer, reprezentarea prin poli i zerouri i reprezentarea n spaiul strilor.

    4.2. Consideraii teoretice

    4.2.1. Modelul dinamic n spaiul strilor

    Descrierea sistemelor liniare continue prin intermediul funciei de transfer nu este singura metod utilizat n analiza comportrii dinamice a acestora. O alt dezvoltare a modelului matematic se bazeaz pe spaiul abstract al variabilelor de stare.

    Variabilele de stare se constituie ca un grup de mrimi care definesc n mod complet starea momentan a unui sistem. Aceste variabile mai ndeplinesc i rol de condiii iniiale pentru evoluia ulterioar a sistemului.

    Numrul variabilelor de stare pentru un sistem dat este egal cu ordinul sistemului. Alegerea variabilelor de stare reprezint o opiune a modelrii. Ele pot fi de exemplu ieirea i derivatele ei n raport cu timpul (variabile de faz) sau alte variabile sau alte mrimi fizice care caracterizeaz starea momentan a sistemului (variabile fizice).

    Vectorul variabilelor de stare va fi:

    TnxxxX ...21 (4.1) Modelul sistemului n spaiul strilor este de forma:

    uDxCy

    uBxAx

    (4.2)

    unde:

    - u intrarea sistemului;

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    43

    - y ieirea sistemului; - A matricea de stare (nxn); - B matricea intrare-stare (nx1); - C matricea stare-ieire (1xn); - D matricea intrare-ieire (nx1). Cunoscnd ecuaia diferenial liniar care descrie funcionarea n regim

    dinamic a sistemului, dezvoltarea unui model de forma (4.2) utilizeaz urmtorul algoritm:

    a. Ecuaia (4.1) se aduce sub forma:

    x(t)b + dt

    dx(t)b+ ... +

    dt

    u(t)db

    + dt

    u(t)db =y(t)a +

    dt

    dy(t)a ... +

    dt

    y(t)da +

    dt

    y(t)da

    011-n

    1-n

    1-n

    n

    n

    n011-n

    1-n

    1-nn

    n

    n

    (4.3)

    unde toi termenii bi, pentru care i > n sunt nuli. b. Se definete vectorul variabilelor de stare:

    TnxxxX ...21 (4.4)

    c. Matricea de stare A (nxn) va avea expresia:

    1210 ...

    1...000

    ...............

    0...100

    0...010

    naaaa

    A (4.5)

    Matricea stare-ieire C (1xn) i matricea intrare-ieire D (1x1) vor avea expresiile:

    C = [1 0 0 ... 0] (4.6)

    i

    D = [ bn ] (4.7)

    d. Matricea intrare-stare B (nx1) este de forma:

    B =[1, 2, 3, , n ]T (4.8)

    unde:

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    44

    1 = bn-1 - an-1bn

    2 = (bn-2-an-2bn) -an-11

    3 = (bn-3-an-3bn) -an-21-an-12 (4.9)

    .

    .

    .

    k = (bn-k-an-kbn) -an-k+11-an-k+22-...- an-2k-1- an-1k

    c. Elementele vectorului de stare Y vor fi:

    uxx

    uxx

    uxx

    ubyx

    nnn

    n

    11

    223

    112

    1

    .

    .

    . (4.10)

    de unde elementele derivatei vectorului de stare rezult:

    uxaxaxax

    uxx

    uxx

    uxx

    nnnn

    nnn

    12110

    .

    11

    .

    232

    .

    121

    .

    ...

    .

    .

    .

    (4.11)

    relaii care se exprim matricial sub forma (4.2). Aceast form a modelului matematic permite rezolvarea ecuaiei

    difereniale i analiza n domeniul timp a comportrii dinamice a sistemului, utiliznd algoritmi specifici.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    45

    Pentru exemplificarea utilizrii variabilelor de stare vom considera sistemul mecanic din figura 4.1:

    Fig. 4.1: Sistem mecanic

    a crui funcionare este descris de ecuaia diferenial:

    )()()()( tutkytyctym (3.12)

    unde:

    m masa [kg]; y mrimea de ieire (deplasare) [m]; c constanta frecrii vscoase [Ns/m]; k constanta de elasticitate [N/m] Pentru exprimare dependenei dintre mrimea de intrare i mrimea

    de ieire pe baz de funcii de transfer se face trecerea la variabila complex s. Astfel, ecuaia diferenial (4.12) se transform n ecuaia algebric de mai jos:

    )()()()(2 sUskYscsYsYms (4.13)

    Pe baza relaiei (4.13) putem exprima funcia de transfer a sistemului astfel:

    kcsmssU

    sYsH

    2

    1

    )(

    )()( (4.14)

    Pentru realizarea modelului n spaiul strilor, vom alege ca variabile

    de stare deplasarea y i viteza y astfel:

    yxyx 21 , (4.15)

    Vom avea:

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    46

    ukxcxxm

    xx

    122

    21

    (4.16)

    respectiv:

    uxm

    xm

    cx

    m

    kx

    xx

    1212

    21

    1

    (4.17)

    Pe baza relaiilor de mai sus putem extrage modelul sistemului n spaiul strilor sub form matricial conform relaiilor (4.2) astfel:

    2

    1

    2

    1

    10

    x

    x

    m

    c

    m

    kx

    x

    u

    x

    xy

    001

    2

    1 (4.18)

    unde:

    A =

    m

    c

    m

    k

    10

    , B =

    1

    0, C = 01 i D = [0]

    4.2.2. Modul de lucru

    Pe parcursul desfurrii lucrrii se vor studia principalele comenzi utilizate pentru introducerea sistemelor definite prin variabile de stare n mediul Matlab, utiliznd comenzile specifice Control System Toolbox, precum i comenzile utilizate pentru conversiile ntre reprezentarea prin funcii de transfer, reprezentarea prin poli i zerouri i reprezentarea n spaiul strilor.

    4.2.2.1. Comanda ss

    Comanda ss creeaz modelul unui sistem n spaiul strilor cu matricile A, B, C, D. Sintaxa comenzii este:

    sys = ss(A,B,C,D)

    Pentru exemplificarea modului de lucru se va prezenta crearea

    modelului n spaiul strilor pentru sistemul prezentat la punctul 4.2. Vom considera valorile numerice pentru constantele sistemului astfel: m = 0.5 kg,

    c =1.5 Ns/m, k = 12 N/m.

    Secvena de comenzi Matlab va fi:

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    47

    m=0.5;

    c=1.5;

    k=12;

    A=[0 1; -k/m c/m]; B=[0; 1/m];

    C=[1 0];

    D=0;

    sys=ss(A,B,C,D)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va aprea:

    a = x1 x2 x1 0 1 x2 -24 -3

    b = u1 x1 0 x2 2

    c =

    x1 x2 y1 1 0

    d = u1 y1 0

    Continuous-time model.

    4.2.2.2. Conversii ntre modurile de reprezentare

    Fie sistemul definit de funcia de transfer:

    24223

    5.11424.3927.3)(

    23

    2

    1

    sss

    sssH

    care se va introduce n spaiul de lucru Matlab cu secvena de comenzi:

    num=[0 3.27 39.24 114.5];

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    48

    den=[1 3 22 24]; systf=tf(num, den)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    Transfer function: 3.27 s^2 + 39.24 s + 114.5 -------------------------- s^3 + 3 s^2 - 22 s - 24

    Pentru conversia acestei reprezentri ntr-o reprezentare de tip poli-zerouri se va utiliza comanda:

    syspz=zpk(systf)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    Zero/pole/gain: 3.27 (s+7) (s+5) ----------------- (s+6) (s-4) (s+1)

    Pentru conversia reprezentrii de tip funcie de transfer n reprezentare n spaiul strilor se va utiliza comanda:

    syssps=ss(systf)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    a = x1 x2 x3

    x1 -3 2.75 1.5 x2 8 0 0 x3 0 2 0

    b = u1

    x1 4 x2 0 x3 0

    c = x1 x2 x3

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    49

    y1 0.8175 1.226 1.789

    d = u1 y1 0

    Continuous-time model.

    Se va crea acum un sistem reprezentat prin poli i zerouri, utiliznd urmtoarea secven de comenzi:

    syspz=zpk([-3 2], [5+2i 5-2i], 4.5)

    Se remarc modul specific de introducere al polilor compleci conjugai 5+2i, respectiv 5+2i.

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    Zero/pole/gain: 4.5 (s+3) (s-2) ----------------- (s^2 - 10s + 29)

    Pentru conversia din reprezentarea de tip poli-zerouri ntr-o reprezentare de tip funcie de transfer se va utiliza comanda:

    systf=tf(syspz)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    Transfer function: 4.5 s^2 + 4.5 s - 27 -------------------- s^2 - 10 s + 29

    Pentru conversia din reprezentarea de tip poli-zerouri ntr-o reprezentare n spaiul strilor se va utiliza comanda:

    syssps=ss(systf)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    a = x1 x2

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    50

    x1 10 -7.25 x2 4 0

    b = u1 x1 8 x2 0

    c = x1 x2 y1 6.188 -4.922

    d = u1 y1 4.5

    Se va defini un sistem n spaiul strilor utiliznd secvena de comenzi:

    A=[-3 2; 0 -8];

    B=[0;1];

    C=[0.5 0];

    D=0;

    syssps=sys(A, B, C, D)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    a = x1 x2 x1 -3 2 x2 0 -8

    b = u1 x1 0 x2 1

    c = x1 x2 y1 0.5 0

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    51

    d = u1 y1 0

    Pentru conversia acestei reprezentri ntr-o reprezentare de tip funcie de transfer se va utiliza comanda:

    systf=tf(syssps)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    Transfer function: 1 --------------- s^2 + 11 s + 24

    Pentru conversia reprezentrii n spaiul strilor ntr-o reprezentare de tip poli zerouri se va utiliza comanda:

    syszpk=zpk(syssps)

    Dup apsarea tastei Enter n spaiul de lucru Matlab va apare:

    Zero/pole/gain: 1 ----------- (s+3) (s+8)

    4.3. Desfurarea lucrrii

    1 S se realizeze conversiile n reprezentrile alternative pentru urmtoarele sisteme:

    1.1. 1080106232132

    11403.5514.817.3)(

    234

    23

    1

    sss

    ssssH

    1.2. 100732.0

    15001.0)(

    3

    2

    2

    ss

    ssH

    1.3. )25)(17)(4(

    )5)(3(34.11)(3

    sss

    sssH

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    52

    1.4. )24.6)(3.0(

    5)(4

    sssH

    1.5. A=

    150

    47, B=

    5.0

    0, C= 05.0 , D=0

    1.6. A=

    200

    4472.05.00

    7746.03464.04.3

    , B=

    162.3

    0

    0

    ,

    C= 7906.03536.0449.2 , D=0

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    53

    Lucrarea 5

    V. ANALIZA ELEMENTELOR SIMPLE N MEDIUL DE LUCRU MATLAB CONTROL SYSTEM TOOLBOX

    5.1. Scopul lucrrii

    Scopul acestei lucrri este familiarizarea studenilor cu analiza elementelor simple, de ordinul zero i de ordinul 1, utiliznd comenzi specifice mediului Matlab Control System Toolbox.

    5.2. Consideraii teoretice

    5.2.1. Analiza elementelor simple

    n continuare se va opera cu noiunea de element, care se reprezint simbolic sub forma unui dreptunghi (fig. 5.1) i prezint urmtoarele proprieti:

    reprezint o unitate fenomenologic sau funcional simpl i bine determinat;

    posed cel puin o intrare i o ieire (e), excepie fcnd elementele de nsumare, la care exist mai multe intrri i o singur ieire;

    transferul de semnale este unidirecional, ntotdeauna de la intrare spre ieire;

    semnalul de ieire (e) nu depinde dect de semnalul de intrare (i) i de structura elementului.

    i e

    Fig. 5.1: Simbolizarea elementelor

    Scopul analizei elementelor simple const n studiul comportrii sistemelor, n regim tranzitoriu i staionar, cunoscnd parametrii care defi-nesc aceste sisteme i semnalele care acioneaz asupra acestora. Prin intermediul analizei se stabilesc concluzii generale asupra corelaiei care exist ntre comportarea sistemului i structura sa, n vederea clasificrii, att a elementelor componente, ct i a sistemelor n ansamblu.

    n acest scop, se procedeaz, de obicei, la descompunerea unui sistem (considerat a avea o structur complex), n elemente simple, avnd -

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    54

    n mod uzual - numitorul funciei de transfer de gradul cel mult doi, ceea ce permite simplificarea metodelor de analiz i cunoaterea direct a contribuiei fiecrui element, sau a unui grup de elemente, asupra comportrii ntregului sistem.

    Dac elementele simple nu posed proprietatea acumulrii energiei (deci nu posed inerie, sau constant de timp mecanic, termic, electric etc.), se numesc elemente ideale, iar dac posed proprietatea acumulrii energiei (respectiv, posed inerie sau constante de timp), se numesc elemente reale. Numrul constantelor de timp, evideniat la numitorul funciei de transfer, definete ordinul elementului real, iar forma polinomului de la numrtor, definete aciunea (sau tipul) acestui element, ca de exemplu: aciu-nea proporional (P), integratoare (I), derivativ (D), sau combinaii ale acestor aciuni.

    n unele cazuri, elementul posed i o constant de timp mort (Tm) , care determin o comportare particular.

    Pe lng factorul de proporionalitate K i constantele de timp T i Tm, comportarea elementelor simple mai poate fi studiat i prin intermediul altor parametri, ca de exemplu factorul de amortizare () i pulsaia natural

    n, care sunt tot funcii de T i Tm, ceea ce asigur uneori posibilitatea unei tratri mai intuitive sau mai complete a fenomenelor.

    Principalele etape ale analizei sunt:

    - Stabilirea ecuaiei, sau a sistemului de ecuaii, prin care se definete dependena semnalului, sau a semnalelor de ieire, n raport cu semnalul, sau semnalele de intrare. n cazul general al elementelor liniare, aceast ecuaie sau aceste ecuaii, sunt difereniale, liniare (cu coeficieni constani).

    - Calcularea funciei, sau a matricei (echivalente) de transfer, prin aplicarea transformatei Laplace, pentru condiii iniiale nule, precum i evidenierea principalilor parametri, ca de exemplu: factorul de proporionalitate (K), constante de timp (T), factori de amortizare (),

    pulsaii naturale (n) i altele. - Calculul i interpretarea semnalului, sau semnalelor, de ieire, n

    raport cu timpul, pentru un anumit tip de semnal, sau semnale, de intrare. De

    obicei, aceste semnale de intrare se consider, de forma treapt unitar, impuls unitar, sau sinusoid.

    - Studiul analitic, sau grafo-analitic, al comportrii fiecrui element

    i a ntregului sistem, cu evidenierea influenei parametrilor K, T , , n etc., asupra regimului tranzitoriu i staionar.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    55

    n continuare se va considera cazul uzual al semnalului de intrare de forma treapt unitar, pentru care rezult la ieire rspunsul indicial.

    Semnalul treapt unitar are urmtoarea form:

    t

    ttu

    ,1

    ,0)( (5.1)

    i corespunde unei variaii discontinue unitare n momentul t = aa cum se arat i n figura 5.2.

    1

    t

    u(t )

    Fig. 5.2: Semnalul treapt unitar

    Acest semnal se folosete des, mai ales pentru stabilirea rspunsului elementelor la astfel de semnale i prezint avantajul c se poate reproduce cu suficient exactitate n practic.

    Transformata Laplace a semnalului treapt rezult direct din definiie:

    0

    1)()([ sst

    sdtetutuL (5.2)

    ceea ce, pentru cazul particular al treptei n origine (

    stuL

    1)([ (5.3)

    Se va studia forma analitic i rspunsul la frecven al funciei de transfer, precum i rspunsul indicial, mpreun cu interpretarea rezultatelor obinute. Desigur analiza poate fi efectuat, n mod asemntor i pentru alte tipuri de semnale de intrare.

    A. Elemente ideale fiind lipsite de inerie, deci i de constante de timp, polinomul A(s) al numitorului funciei de transfer este de grad nul, astfel nct aceste elemente se mai numesc i elemente de ordinul zero.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    56

    n tabelul 5.1 se prezint ecuaia de definiie i funcia de transfer a elementelor ideale. Rspunsul la frecven i rspunsul indicial sunt reprezentate grafic n tabelul 5.2.

    Tabel 5.1

    Tipul

    elementului Ecuaia de definiie Funcia de transfer Rspunsul indicial

    Cu aciune proporional

    P0

    eiKP

    PP KH 0 pKte )(

    Cu aciune integratoare

    I0 eidtK i

    s

    KH I

    I

    0 tKte I )(

    Cu aciune derivativ

    D0

    edt

    diK

    D sKH DD 0 )()( tKte D

    Cu aciune proporional-integratoare

    PI0

    eidtKiK iP s

    KKH I

    PPI

    0 tKKte IP )(

    Cu aciune proporional-

    derivativ PD0

    edt

    diKiK

    DP

    sKKHDPPD

    0

    )()( tKKteDP

    Cu aciune proporional-integratoare-

    derivativ PID0

    idtKiK iP

    edt

    diK

    D

    s

    KKH I

    PPID

    0

    sKD

    tKKteIP)(

    )(tKD

    Coeficienii (parametrii) constani din aceast tabel corespund cu

    factorul de proporionalitate (Kp), constanta de integrare (i

    iT

    K1

    ),

    constanta de timp cu efect de integrare (TI), constanta de derivare (KD=TD)

    i constanta de timp cu efect de derivare (TD).

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    57

    Tabel 5.2

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    58

    Din ecuaiile de definiie, se poate observa c semnalul de ieire, este format - funcie de cazul considerat - din nsumarea efectelor

    proporionale (KIi), integratoare ( idtTidtK

    i

    I

    1), respectiv derivative

    (dt

    diT

    dt

    diK

    DD ), n raport cu timpul. Cele trei efecte de mai sus pot fi

    regsite i sub forma analitic a funciei de transfer respectiv KI pentru

    aciunea proporional, sTs

    K

    I

    I 1 pentru aciunea integratoare i sTsKDD

    pentru aciunea derivativ. Rspunsul la frecven corespunde unor drepte verticale, cu excepia

    elementului P0 pentru care apare sub forma unui punct.

    Rspunsul indicial conine cele trei efecte sus amintite, sub forma coeficientului de proporionalitate KP pentru efectul proporional, a unei creteri

    uniforme n raport cu timpul tT

    tKI

    I

    1 pentru efectul integrator i a unui

    impuls )(T)(KDD

    tt pentru efectul derivativ. Deoarece legea superpoziiei

    efectelor este valabil pentru elementele liniare, rezult c rspunsul indicial poate nsuma, dup caz, o parte sau toate efectele sus amintite.

    Datorit lipsei ineriei elementelor ideale, rspunsul indicial apare simultan cu momentul aplicrii semnalului treapt unitar, de la intrare.

    Deoarece toate elementele (fenomenele) din tehnic posed inerie (n msur mai mare sau mai mic), rezult c astfel de elemente ideale nu exist. Totui multe elemente pot fi aproximate a avea o comportare ideal, ca de exemplu amplificatoarele operaionale, care pot realiza - practic cu erori neglijabile - comportrile P0, I0, D0, PD0 i PID0.

    B. Elemente reale

    Posed inerie i au coresponden cu numeroase fenomene din tehnic. Dup cum polinomul A(s) al numitorului funciei de transfer este de gradul 1 sau 2, exist una, respectiv dou constante de timp.

    Elementul P1, sau cu aciune proporional de ordinul 1, este definit de ecuaia:

    edt

    deTiK

    P

    1 (5.4)

    unde KP este factorul de proporionalitate, iar T1 este constanta de timp.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    59

    Din relaia (5.4) rezult

    1)(

    11

    sT

    KsH PP (5.5)

    pentru care, n figura 5.3 a, se reprezint rspunsul la frecven, iar n figura 5.3 b este reprezentat rspunsul indicial obinut din:

    Fig. 5.3: Rspunsul la frecven (a) i rspunsul indicial (b)

    pentru elementul P1

    )1()1

    1()( 1

    1

    1 T

    t

    nP

    P eKssT

    KLte

    (5.6)

    Se observ c acest rspuns este o funcie exponenial, care tinde asimptotic spre Kp, cu subtangenta n origine egal cu T1.

    Spre deosebire de elementul ideal P0, acum rspunsul indicial nu poate urmri variaia treapt i se apropie la 98% din valoarea asimptotei Kp, dup un interval de timp 4T1 (cu en s-a notat baza logaritmilor naturali).

    Aceste elemente prezint comportare de filtru trece jos, cu ntrziere

    de faz, teoretic n limitele de la 0 la 2

    .

    Elementul P2 , sau cu aciune proporional de ordinul 2, este definit de ecuaia:

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    60

    edt

    deTT

    dt

    edTTiK

    P )(

    212

    2

    21 (5.7)

    sau

    edt

    de

    dt

    ediK

    nn

    P

    212

    2

    2 (5.8)

    unde T1 i T2 sunt cele dou constante de timp, iar

    21

    21

    2 TT

    TT (5.9)

    i

    21

    1

    TTn (5.10)

    reprezint factorul de amortizare, respectiv pulsaia natural. Din relaiile (5.9) i (5.10) rezult:

    1211)( 2

    221

    2

    21

    2

    se

    s

    K

    sTTsTT

    KH

    nn

    PP

    P

    (5.11)

    pentru care, n figura 5.4 a se reprezint rspunsul la frecven, avnd drept

    parametru pe curbe = const. Elementul fiind de ordinul doi, se parcurg dou cadrane, comportarea fiind tot de filtru trece jos, cu ntrziere de faz,

    avnd limita superioar 0, iar limita inferioar cuprins ntre /2 i -. Rspunsul indicial (fig. 5.4 b) se obine din relaia:

    )1

    121

    ()(2

    2

    1

    ss

    es

    KLte

    nn

    P

    (5.12)

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    61

    Fig. 5.4: Rspunsul la frecven (a) i rspunsul indicial (b) pentru elementul P2

    care pe baza teoremei dezvoltrii, conduce la urmtoarele trei concluzii.

    a) Cazul 0

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    62

    Revenind la relaia (5.13) se observ c efectul de amortizare este

    condiionat de termenul tne i este cu att mai mare, cu ct factorul de

    amortizare este mai mare.

    b) Cazul =1, conduce la rspunsul indicial de forma:

    ])11[)(t

    nnPnetKte

    (5.17)

    care corespunde unei comportri aperiodice exponeniale i reprezint o limit a regimului periodic amortizat.

    c) Cazul > 1, conduce la un rspuns indicial de forma:

    )1()( 211

    ts

    na

    ts

    nPeCeCKte (5.18)

    unde: 122,1 ns 21

    2

    1ss

    sc

    12

    1

    2ss

    sc

    (5.19)

    n figura 5.4.b sunt prezentate formele rspunsului indicial, pentru 0

    < < 1, =1 i > 1. Se poate observa importana factorului de amortizare e asupra

    evoluiei rspunsului indicial i anume:

    0 1: regim supraamortizat (aperiodic amortizat). Se deosebesc urmtoarele pulsaii

    pulsaia proprie, 21 np w , reprezint pulsaia cu

    care oscileaz rspunsul indicial, n prezena amortizrii.

    pulsaia natural n reprezint pulsaia cu care ar oscila

    rspunsul indicial, n ipoteza amortizrii nule (=0);

    pulsaia de rezonan 221 nr

    reprezint pulsaia

    pentru care modulul funciei de transfer este maxim, n raport cu w. n tehnic elementele Pl i P2 sunt foarte rspndite, ca de exemplu:

    traductoare de msur, elemente de execuie, servomotoare, procese tehnologice n domeniul termoenergetic, acionri electrice, instalaii chimice etc.

    Pe baza celor prezentate mai sus se pot trage cteva concluzii: a) Structura elementului este definit de ecuaia diferenial care

    stabilete dependena semnalului de ieire n raport cu semnalul de intrare.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    63

    b) Evoluia n timp a semnalului de ieire depinde att de structura elementului ct i de forma semnalului de intrare n raport cu timpul.

    c) Numrtorul funciei de transfer definete comportarea elementului (P,I,D sau combinaii ale acestora).

    d) Gradul n al numitorului funciei de transfer corespunde cu

    numrul constantelor de timp i nu influeneaz regimul staionar ( 0), ci numai regimul tranzitoriu ( ).

    e) Efectul proporional se regsete la majoritatea elementelor ntlnite n tehnic i influeneaz rspunsul la frecven mai ales n regim

    staionar ( 0). f) Efectul integrator introduce o variaie cresctoare n raport cu

    timpul asupra rspunsului indicial i deplaseaz captul de frecven pentru

    0, spre partea inferioar a unei asimptote verticale din semiplanul stng.

    g) Efectul derivativ accelereaz creterea rspunsului indicial n

    regim tranzitoriu ( ) i rotete rspunsul la frecven n sens trigonometric.

    h) Avansul de faz este introdus de efectul derivativ, iar ntrzierea de faz este introdus de efectul integrator i de ineriile (mecanic, electric, termic etc.) evideniate prin constantele de timp, astfel nct, din acest punct de vedere, cele dou efecte sunt antagoniste.

    5.2.2. Modul de lucru

    Pe parcursul desfurrii lucrrii se vor studia principalele comenzi utilizate n Control System Toolbox pentru analiza elementelor simple n mediul Matlab

    5.2.2.1. Comanda step

    Comanda step permite trasarea rspunsului indicial (rspunsul la semnal de intrare de tip treapt unitar) pentru un element cu o funcie de transfer cunoscut.

    Sintaxa comenzii step este:

    step(sys)

    unde: sys reprezint numele alocat sistemului a crui funcie de transfer a fost introdus n Matlab cu una din comenzile cunoscute (tf, zpk, etc).

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    64

    Pentru a exemplifica modul de utilizare al comenzii step fie

    urmtoarele funcii de transfer:

    12.0

    2.1)(1

    ssH - element P1 cu KP = 1.2, T1 = 0.2 secunde;

    104.00025.0

    5.1)(2

    sssH

    s - element P2 cu Kp = 1.5, n = 20

    rad/s, = 0.4 Introducerea funciilor de transfer a celor dou sisteme n spaiul de

    lucru Matlab se face utiliznd urmtoarea secven de comenzi: num1=[0 1.2];

    den1=[0.2 1];

    sys1=tf(num1, den1);

    num2=[0 0 1.5];

    den2=[0.0025 0.04 1];

    sys2=tf(num2, den2);

    Pentru trasarea rspunsului indicial al celor dou elemente se utilizeaz comenzile:

    step (sys1)

    respectiv

    step(sys2)

    Rspunsurile indiciale obinute dup apsarea tastei Enter (dup introducerea fiecreia dintre cele dou comenzi step sunt prezentate n figurile 5.5 i 5.6.

    Exist dou posibiliti pentru exportul figurilor din Matlab: utilizarea formatului bitmap (fig 5.5) sau utilizarea formatului windows

    metafile (fig. 5.6). Pentru selecia unuia dintre cele dou formate se acceseaz n fereastra figurii meniul Edit, submeniul Copy options i se selecteaz una din cele dou formate (exist i o a treia opiune, de a utiliza formatul windows metafile numai dac se poate evita pierderea informaiei).

    n figura 5.7 sunt ilustrate aspectele amintite mai sus referitor la formatul de export al figurilor din Matlab. Dup selectarea formatului de export, din fereastra figurii se acceseaz meniul Edit, submeniul Copy figure.

    Pentru importul figurii, n programul n care se dorete acest lucru (de exemplu un editor de texte) se acceseaz meniul Edit, submeniul Paste.

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    65

    Fig. 5.5. Rspunsul indicial pentru elementul sys1

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2

    Step Response

    Time (sec)

    Am

    plit

    ude

    Fig. 5.6. Rspunsul indicial pentru elementul sys2

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    66

    5.2.2.2. Comanda impluse

    Comanda impulse permite trasarea rspunsului la semnal de intrare de tip impuls unitar (funcia pondere) pentru un element cu o funcie de transfer cunoscut.

    Sintaxa comenzii impulse este:

    impulse(sys)

    unde: sys reprezint numele alocat sistemului a crui funcie de transfer a fost introdus n Matlab cu una din comenzile cunoscute (tf, zpk, etc);

    Fig. 5.7. Selectarea formatului de export al figurilor din Matlab

    Pentru a exemplifica modul de utilizare al comenzii impulse se va

    trasa funcia pondere a elementelor definite de funciile de transfer H1 i H2 definite mai sus, utiliznd comenzile:

    impulse(sys1)

    respectiv:

    impulse(sys2)

  • Baze le s is tem elor au tom ate Ap l ica i i

    67

    Funciile pondere obinute dup apsarea tastei Enter (dup introducerea fiecreia dintre cele dou comenzi impulse sunt prezentate n figurile 5.8 i 5.9.

    Ca i n cazul comenzii step, n cazul comenzii impulse se remarc faptul c programul selecteaz automat pentru vizualizare zona de maxim relevan a rspunsului sistemului.

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    Impulse Response

    Time (sec)

    Am

    plit