Matko Milin i Ivica Friˇsˇcić - phy.pmf.unizg.hrifriscic/nf_skripta_8.pdf · 8 Nuklearne reakcije Nuklearna reakcija je, najopćenitije govoreći, svaka interakcija izmedu dvije

Vjezbe iz nuklearne fizike

Matko Milin i Ivica FriscicFizicki odsjek

Prirodoslovno-matematicki fakultetSveucilista u Zagrebu

verzija: 14. svibnja 2013.

8

Nuklearne reakcije

Nuklearna reakcija je, najopcenitije govoreci, svaka interakcija izmedu dvije (ili vise) atomske jezgre(neki autori pod nuklearnom reakcijom podrazumijevaju samo one procese koji se odigravaju poddjelovanjem jake nuklearne sile). Svaka od jezgara se u tom procesu moze, ali i ne mora, promijeniti,ovisno o mehanizmu same reakcije koji znaju biti vrlo razliciti. Pod pojmom reakcijskog kanalapodrazumijeva se odredena nuklearna reakcija s odredenim vrijednostima svih fizikalnih velicinakoje ju karakteriziraju: vrstom cestica, energijama, momentima impulsa itd. Za reakciju se de-finira ulazni i izlazni kanal. Pojedinom ulaznom kanalu odgovara vise razlicitih izlaznih kanala,svaki s odredenom vjerojatnoscu. Bitan faktor pri odredivanju te vjerojatnosti je energija nuklearnereakcije (”Q-vrijednost” reakcije). Iz definicije

Q = c2 (Σprijem− Σposlijem)

slijedi da je Q-vrijednost jednaka razlici ukupnih kinetickih energija cestica u ulaznom, odnosno,izlaznom kanalu.

Nuklearne reakcije cemo standaradno zapisivati u obliku t(p,e)r, gdje je s t oznacena jezgra mete,s p projektil, s e jezgra koja se detektira, a s r preostala jezgra. Razlika izmedu projektila i metenpr. pri razmatranju reakcija u plazmi ne postoji (kao ni razlika izmedu detektirane i nedetektiranecestice), pa cemo koristiti i zapis: p+t→e+r. Energije svih sudionika u reakciji izrazavat cemo ili ulaboratorijskom sustavu (i tada koristiti indeks l) ili u sustavu centra mase (i tada koristiti indeksmc).

Nuklearne reakcije su izvanredno slozene kvantnomehanicke pojave na koje utjecu i nuklearnastruktura i mehanizam reakcije. Zato su u teorijskoj razradi nuklearnih reakcija potrebne jos ostrijekvantnomehanicke aproksimacije nego pri razmatranju nuklearne strukture. Prema tipu reakcijeprimjenjuje se nekoliko modela. Najjednostavniji modeli (opticki, model slozene jezgre, model di-rektne interakcije) su bazirani na osnovnoj aproksimaciji za nuklearnu strukturu, na modelu ljusaka.

Nuklearne reakcije mogu se s obzirom na mehanizam reakcije razvrstati u dvije osnovne ek-stremne kategorije: reakcije slozenom jezgrom i direktne reakcije. Osnovni je kriterij za takvorazvrstavanje trajanje reakcije. Kategorija direktnih reakcija obuhvaca reakcije kojima je trajanjeistog reda velicine kao i vrijeme proleta projektila kroz jezgru metu (≈ 10−22s), dok se u reakcijeslozenom jezgrom ubrajaju one kojima je trajanje bitno (reda velicine 106) duze. Za svaku od dvijekategorije reakcija upotrebljavaju se zasebni modeli i aproksimativni kvantnomehanicki postupci.Ove dvije kategorije reakcija medusobno se ne iskljucuju; oba tipa procesa mogu u razlicitim om-jerima doprinositi danoj reakciji. I dok za nize energije upadnog projektila prevladava reakcijskimehanizam slozenom jezgrom, za vece energije projektila (vece od ≈ 10 MeV) sve vise se pojavljujudirektne reakcije.

Za lake jezgre se umjesto o reakcijama slozenom jezgrom govori o rezonantnim reakcijama (os-novno razlika izmedu lakih i tezih jezgara je u broju pobudenih stanja - za teze jezgre taj je brojtoliko velik da se ne razmatraju pojedina stanja, vec se statistickim pristupom diskutira gustocastanja na nekoj energiji pobudenja).

142

8. NUKLEARNE REAKCIJE 143

8.1 Udarni presjek nuklearnih reakcija

Grubo govoreci, udarni presjek je mjera relativne vjerojatnosti da se reakcija dogodi. Diferencijalniudarni presjek definiran je kao vjerojatnost (po jedinicnom prostornom kutu) rasprsenja cestice uprostorni kut ∆Ω.

U klasicnom limesu (koji prakticki nikad ne vrijedi, ali daje nam osjecaj za redove velicina),udarni bi se presjek geometrijski racunao iz:

σ = π(Rp +Rt)2 ,

dok je u limesu malih brzina udarni presjek u prvoj aproksimaciji dan s:

σ = πλ

2π,

gdje je λ de Broglieva valna duljina:

λ =mp +mt

mt

h√2mpEl

.

U sustavu centra mase vrijedi:

λ =h√

2µEcm, (8.1)

gdje je µ reducirana masa sustava, a Ecm energija u sustavu centra mase.Iz eksperimentalnih podataka, diferencijalni udarni presjek racuna se pomocu izraza:

N =dσ

dΩ·∆Ω · Nt

A· I · t ,

gdje je:N - broj dogadaja zabiljezen u detektoru,dσ/dΩ - diferencijalni udarni presjek,∆Ω - prostorni kut pokriven detektorom,Nt/A - broj cestica u meti po jedinici povrsine,I - intenzitet snopa (kao broj cestica u sekundi),t - vrijeme mjerenja.

Za opis mete uobicajeno se koriste razlicite velicine, pa su korisne i sljedece relacije medu njima:

Nt

A [cm2]= d [g/cm2] · NA

M [g],

d [g/cm2] = d [cm] ρ [g/cm3] ,

d [µg/cm2] = 106 d [g/cm2] ,

gdje je NA Avogardova konstanta (6×1023), a M molarna masa izotopa u meti. S d je oznacenaparcijalna debljina (ili “povrsinska gustoca”, ako je izrazena u µg/cm2) sloja izotopa od interesau meti (npr. u meti 7LiF povrsinske gustoce 100 µg/cm2, parcijalna povrsinska gustoca za 7Li je26.97 µg/cm2).

U praksi se diferencijalni udarni presjek racuna pomocu sljedeceg izraza:(dσ

dΩ

) [mbsr

]=

(N

∆Ω

)· 1027 1

d[g/cm2]M [g]NA

1CT

q

QFC,

gdje je:N - broj detektiranih h dogadaja u prostornom kutu ∆Ω,d - parcijalna debljina materijala od interesa u meti,


CT - faktor koji uzima u obzir efekt mrtvog vremena (1/CT>1 !),QFC - naboj skupljen u Faradeyovoj casi (iza mete),q - naboj iona snopa nakon prolaska kroz metu,QFC/q - ukupan broj cestica sakupljenih u Faradeyovoj casi.Faktor 1027 pojavljuje se iz definicije barna: 1 b= 10−28 m2, 1 mb= 10−27 cm2.

8.2 Kinematika dvocesticnih nuklearnih reakcija

Dvocesticne nuklearne reakcije su reakcije s dvije cestice u izlaznom kanalu, oblika p+t→1+2. SEL

i i pLi obicno se oznacuju kineticka energija, odnosno, impuls i-te cestice dobivene u reakciji, a

s θLi kut otklona te cestice od smjera upada projektila p. Definiranje smjera cestica nastalih u

reakciji moguce je samo jednim kutom jer se dvocesticne reakcije odigravaju unutar ravnine. Naniskim energijama (do 30-tak MeV-a po nukleonu) dovoljno je zadrzat se se na nerelativistickojaproksimaciji. Zakon sacuvanja energije daje:

ELp +Q = EL

1 +EL2 (8.2)

gdje je ELp kineticka energija projektila u laboratorijskom sistemu, a Q-vrijednost reakcije velicina

definirana s:Q = (mp +mt −m1 −m2) · c2 .

Zakon sacuvanja impulsa vodi na sistem jednadzbi:

pL1 cos θL

1 + pL2 cos θL

2 = pLp , (8.3)

pL1 sin θL

1 − pL2 sin θL

2 = 0 . (8.4)

Zakoni sacuvanja daju nam, dakle, tri uvjeta na kinematicke varijable cestica nakon reakcije. Tihvarijabli ima cetiri (pL

1 , θL1 , pL

2 , θL2 ), pa je dovoljna specifikacija jedne od njih da bi reakcija postala

u potpunosti kinematicki odredena.

————————————————————————————————Zadatak 8.1Pretpostavite da je u nekom eksperimentu detektor postavljen na fiksan kut θL

1 -izracunajte kolika ce biti energija cestica iz neke tocno odredene dvocesticne reakcije.——————Rjesenje 8.1Kvadriranjem izraza (8.3) i (8.4) dobiva se:

(pL1 cos θL

1 )2 = (pLp − pL

2 cos θL2 )2 ,

(pL1 sin θL

1 )2 = (pL2 sin θL

2 )2 .

Zbrajanjem:(pL

1 )2 = (pLp )2 + (pL

2 )2 − 2pLpp

L2 cos θL

2 ,

te uz:pi =

√2miEi ,

slijedi:

EL1 =

mp

m1EL

p +m2

m1EL

2 − 2√mpm2

m1

√EL

pEL2 cos θL

2 ,

i:EL

2 =mp

m2EL

p +m1

m2EL

1 − 2√mpm1

m2

√EL

pEL1 cos θL

1 .


Kombiniranjem ovog izraza i izraza (8.2):

EL2 = EL

p +Q−EL1 ,

slijedi:mp

m2EL

p +m1

m2EL

1 − 2√mpm1

m2

√EL

pEL1 cos θL

1 = ELp +Q− EL

1 ,

EL1 (1 +

m1

m2)−

√EL

1

(2√mpm1

m2

√EL

p cos θL1

)−

(Q+EL

p −mp

m2EL

p

)= 0 .

Ova kvadratna jednadzba po√EL

1 ima rjesenja:

(√EL

1

)

1,2=

√mpm1EL

p

m1 +m2

cos θL

1 ±√√√√cos2 θL

1 +(Q+EL

p −mp/m2ELp )(m1 +m2)m2

mpm1ELp

.

(8.5)Uvodenjem zamjena:

α ≡ (m2 −mp)ELp +m2Q

m1 +m2,

β ≡√mpm1EL

p

m1 +m2,

izraz (8.5) transformira se u:(√

EL1

)

1,2= β

(cos θL

1 ±√

cos2 θL1 +

α

β2

). (8.6)

Kvadriranjem:

(EL

1

)1,2

= β2(

cos2 θL1 ± 2

√cos2 θL

1 +α

β2· cos θL

1 + cos2 θL1 +

α

β2

),

(EL

1

)1,2

= α+ 2β2 cos θL1

(cos θL

1 ±√

cos2 θL1 +

α

β2

). (8.7)

Kineticka energija cestice 2 sada se jednostavno nalazi iz izraza 8.2.

————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 8.2Na koji se maksimalan kut moze postaviti detektor da bi se detektirali produkti neketocno odredene reakcije

——————Rjesenje 8.2Rjesenje jednadzbe (8.7) postoji samo ako je izraz pod znakom korijena veci ili jednak0; dakle:

cos2 θL1 ≥

m2(m2 +m1)mpm1

(mp

m2− 1− Q

ELp

); (8.8)

ovaj izraz definira maksimalan kut (θL1 )max.

————————————————————————————————


————————————————————————————————Zadatak 8.3Kolika je minimalna laboratorijska energija snopa potrebna za izazivanje neke nuk-learne reakcije negativne Q-vrijednosti?——————Rjesenje 8.3Transformiranjem izraza (8.8) (tj. izraz pod znakom korijena u izrazu (8.7)), dobiva sei izraz za minimalnu energiju snopa (energiju praga, engl. threshold energy) potrebnuda reakcija s negativnom Q-vrijednoscu bude energetski moguca:

mpm1ELp

(m1 +m2)2cos2 θL

1 +(m2 −mp)EL

p +m2Q

m1 +m2= 0 ,

mpm1ELp cos2 θL

1 + (m1 +m2)[(m2 −mp)ELp +m2Q] = 0 ,

ELp (−mpm1 sin2 θL

1 +m1m2 +m22 −mpm2) + (m1 +m2)m2Q = 0 .

Najmanja energija ELp (th) dobiva se kada je sin2 θL

1 = 0:

ELp (th) = −Q m1 +m2

m1 +m2 −mp. (8.9)

ELp (th) je, dakle, uvijek nesto veci od −Q zbog nuznosti da, uz zakon sacuvanja

energije, bude zadovoljen i zakon sacuanja impulsa.

————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 8.4Kada ce dana reakcija imati dva rjesenja za energiju jednog produkta na fiksnomkutu detektora?——————Rjesenje 8.4Izvedeni izraz za EL

p (th) moze se sada uvrstiti u (8.8); dobiva se:

ELp

[−mpm1 sin2 θL

1 −Qm2m1 +m2

ELp (th)

]+ (m1 +m2)m2Q ≥ 0 ,

sin2 θL1 ≤ −

(m1 +m2)m2

m1mp

Q

ELp

[1− EL

p

ELp (th)

].

Dakle, reakcije s negativnom Q-vrijednoscu bit ce kinematicki fokusirane naenergijama snopa bliskim energiji praga.

Dva rjesenja postojat ce u izrazu (8.6) ako je drugi clan manji od prvog; tj. ako jeα ≤ 0:

Q

ELp

+ 1 <mp

m2.

————————————————————————————————


8.2.1 Sustav centra mase

Centar mase sistema cestica definiran je s:

r =∑

imiri∑imi

.

Sustav centra mase (CM) je sustav u kojem centar mase miruje. Dakle:

pCMp + pCM

t = pCM1 + pCM

2 = 0 .

Brzina centra mase u laboratorijskom sustavu (dakle, relativna brzina dva sustava) dana je s:

VCM =mp

mp +mtvLp . (8.10)

Ova brzina se ne mijenja nakon reakcije samo ako se i mase ne mijenjaju (dakle, ako je Q=0); uprotivnom impuls centra mase ostaje konstantan, a brzina se mijenja!

Smisao prelaska u sustav centra mase je odvajanje translatornog gibanja citavog sistema cesticaod njihovog medusobnog relativnog gibanja koje nam daje informaciju o pobudenjima unutar sis-tema. Eksperimenti se u nuklearnoj fizici uvijek izvode s fiksnom metom (za razliku od fizikeelementarnih cestica gdje se radi postizanja sto visih energija koriste sudaraci), pa je nuzno dobropoznavanje transformacije relevantnih velicina iz jednog sustava u drugi.

————————————————————————————————Zadatak 8.5Izracunajte ukupnu kineticku energiju projektila i mete u sustavu centra mase. Taenergija, uvecana za Q-vrijednost reakcije, na raspolaganju je za pobudivanje raznihstanja produkata reakcije.——————Rjesenje 8.5Projektil u CM-sustavu ima brzinu:

vCMp = vL

p − VCM = vLp −

mp

mp +mtvLp =

mp +mt −mp

mp +mtvLp =

mt

mp +mtvLp ,

i energiju:

ECMp =

mp(vCMp )2

2=

m2t

(mp +mt)2EL

p .

Meta u CM-sustavu ima brzinu:

vCMt = −VCM = − mp

mp +mtvLp ,

i energiju:

ECMt =

mt(vCMt )2

2=

mtmp

(mp +mt)2EL

p .

Ukupni impuls u CM-sustavu jednak je nuli:

mpvCMp = −mtv

CMt ,

m1vCM1 = −m2v

CM2 ,

pa vrijedi i:vCMp

vCMt

= −mt

mp,


vCM1

vCM2

= −m2

m1.

Laboratorijska energija snopa moze se stoga napisati kao:

ELp =

12mp(vL

p )2 =

=12mp

(vCMp + VCM

)2=

=12mp(vCM

p )2 +mpvCMp VCM +

12mp(VCM)2 =

=12mp(vCM

p )2 +12mt(vCM

t )2 −

−12mt(vCM

t )2 −mtvCMt VCM +

12mp(VCM)2 =

=(

12mp(vCM

p )2 +12mt(vCM

t )2)

+12M(VCM)2 =

= Ein + ECM . (8.11)

gdje je ukupna masa:M = mp +mt ,

a kineticka energija povezana s gibanjem centra mase:

ECM =12M(VCM)2 .

Ein je kineticka energija relativnog gibanja u CM-sustavu. Vrijedi:

Ein = ECMp +ECM

t =mt

mp +mtEL

p . (8.12)

Reducirana masa u ulaznom kanalu definirana je s:

µin =mpmt

mp +mt;

pomocu nje se energija relativnog gibanja moze napisati ovako:

Ein =µinv

2rel

2.

Po sudaru gibanje centra mase (pa zato i velicine ECM i VCM) ostaje nepromjenjeno.Energija relativnog gibanja Ein ostat ce ista ako je u pitanju elasticno rasprsenje iakoce se smjer gibanja cestica promijeniti. Za reakcije vrijedi:

Eout = Ein +Q .

Uocite da je reducirana masa u izlaznom kanalu dana s:

µout =m1m2

m1 +m2,

te da ona ne mora biti identicna reduciranoj masi u ulaznom kanalu (zbog pretvorbemase u energiju i obrnuto).————————————————————————————————


————————————————————————————————Zadatak 8.6Nadite vezu izmedu energija i kutova produkata reakcije izrazenih u laboratorijskomsustavu i u sustavu centra mase.——————Rjesenje 8.6

v CMi

θ θ

VCM

CML

v Li

i i

Slika 8.1: Trokut brzina za i-tu cesticu.

Na slici (8.1) prikaz je trokut brzina za i-tu cesticu. Pomocu njega moguce je izvestirelacije izmedu kutova i energija u larobartorijskom sustavu, te sustavu centra mase.U smjeru gibanja snopa vrijedi:

vLi cos θL

i = vCMi cos θCM

i + VCM ,

a u smjeru okomitom na snop:

vLi sin θL

i = vCMi sin θCM

i .

Sredivanjem se dobiva:

vCMi =

vLi sin θL

i

sin θCMi

,

tan θCMi =

vLi sin θL

i

vLi cos θL

i − VCM.

Uz izraz:cos2 θ =

11 + tan2 θ

,

te koristenjem izraza (8.10) za brzinu centra mase:

VCM =

√2mpEL

p

mp +mt

i uz definiciju:

ai =√mi

2VCM =

√mimpEL

p

mp +mt,

mozemo izvesti relacije koje povezuju energiju i kut izlazne cestice ”i” u sistemucentra mase s odgovarajucim velicinama u laboratorijskom sistemu:

ECMi = EL

i − 2ai

√EL

i cos θLi + a2

i


cos θCMi =

√EL

i cos θLi − ai√

ELi − 2ai

√EL

i cos θLi + a2

i

ΦCMi = ΦL

i

Inverzne relaciju su:

ELi = ECM

i + 2ai

√ECM

i cos θCMi + a2

i

cos θLi =

√ECM

i cos θCMi + ai√

ECMi + 2ai

√ECM

i cos θCMi + a2

i

ΦLi = ΦCM

i

————————————————————————————————

8.3 Elasticno rasprsenje

Elasticno rasprsenje je proces u kojem su ulazne i izlazne cestice identicne i nepobudene. Doelasticnog rasprsenja moze doci i pod utjecajem nuklearne sile i pod utjecajem kulonske interakcije(a moguca je i interferencija medu ovim procesima). Ako je energija projektila bitno manja odkulonske barijere izmedu projektila i mete, rasprsenje ce biti posve kulonsko. Kutna raspodjela zaposve kulonsko rasprsenje dana je Rutherfordovim izrazom (izvod vidjeti npr. u Krane str. 399):

dσdΩ

=

(zZe2

4πε0

)21

16E2a

1sin4 θ/2

. (8.13)

Definiramo li tzv. Sommerfeldov parametar kao:

η = Z1Z2

(e2

hv

)= Z1Z2

(e2

hc

) (c

v

)= Z1Z2

(e2

hc

) (µc2

2ECM

)1/2

. (8.14)

Rutherfordov izraz postaje:dσdΩ

=η2

4k2

1sin4 θ/2

,

gdje je k valni broj:

k =

√2µEcm

h2 .

Na energijama iznad kulonske barijere, pri elasticnom rasprsenju dolazi do interferencije kulonskei nuklearne amplitude, pa kutna raspodjela postaje bitno kompliciranija; modeliranje iste zahtijevauvodenje optickog modela, cija primjena nije trivijalna (vidi npr. Satchler).


————————————————————————————————Zadatak 8.7Alfa-cestica mase 4M i brzine v prolazi u blizini atomske jezgre masenog broja A(AÀ 4). Neka je parametar upada dan s b, a kut rasprsenja s θ.(a) Pokazite da za male kuteve θ vrijedi:

θ =Ze2

4πε0Mv2b

(b) Jednolik snop α-cestica brzine v = 2 × 107 ms−1 udara okomito u zlatnu foliju(Z=79, A=197, gustoca 1.9×104 kg/m3), debljine 10−5 m. Procjenite udio α-cesticakoje ”dozive” dvostruko rasprsenje pri prolasku kroz foliju, a da za svako rasprsenjevrijedi da je θ veci od 10.——————Rjesenje 8.7(a) Ovaj zadatak moze se rijesiti i krecuci od Rutherfordovog izraza, no ovdje ce bitirijesen na nacin slican samom izvodu Rutherfordove formule.

b

x P dx

Ze

α

Pretpostavit cemo, kao sto je zadano, da je otklon α-cestice od putanje na pravcumalen. U casu kada se nalazi u tocki P, sila na α-cesticu bit ce dana s:

F =Zze2

4πε0 (b2 + x2).

U vremenu dt= dx/v (v je brzina α-cestice u tocki P), α-cestica ce primititransverzalni impuls jednak:

dpT =Zze2

4πε0 (b2 + x2)dxv

b

(b2 + x2)1/2.

Ukupnu promjenu transverzalnog momenta dobit cemo integriranjem (uvrstavamo iz=2):

∆pT =2Ze2

4πε0v

∫ +∞

−∞dx

(b2 + x2)3/2=

Ze2

πε0vb.

Dakle, α-cestica impulsa 4Mv dozivjet ce otklon za maleni kut θ koji nalazimo iz:

θ =∆pT

4Mv=

Ze2

4πε0Mv2b.

Ovaj izracun je priblizno tocan samo za male otklone θ jer je integral izracunatpretpostavljajuci gibanje po pravcu...

(b) Sve cestice ciji je parametar sudara manji od b, bit ce otklonjene za kut veci od θ.Dakle, udarni presjek za otklon veci od nekog kuta θ dobit cemo racunajuci povrsinukruga polumjera b:


σ(> θ) = π [b(θ)]2 = π

(Ze2

4πε0Mv2b

)2

.

Pri prolasku kroz debelu metu (s koncentracijom jezgara n) broj cestica snopa N cepadati prema izrazu (d je debljina folije):

dNdx

= −Nnσ ⇒ N = N0e−nσd .

Vjerojatnost da je α-cestica (jednom) rasprsena za kut veci od 10 dana je s:

P (θ > 10) = 1− e−nσ(θ>10)d ,

gdje je d= 10−5 m, a n koncentracija jezgara zlata (broj po jedinici volumena):

n =6.022 · 1026

197· 1.9 · 104 m−3 .

Dobiva se:P (θ > 10) = 4.4 · 10−2 .

Ovdje treba uociti da je pri izvodu kuta otklona pretpostavljeno da je isti malen - udaljnjem racunu to se odnosi samo na granican kut (10); vjerojatnost za rasprsenjena vece kutove i dalje se moze racunati iz dobivenog izraza, kao sto je napravljeno.

Rasprsenje je slucajan proces za koji vrijedi Poissonova statistika; vjerojatnost da seneki dogadaj ucestalosti m dogodi n puta tada je s:

P (n,m) =m2e−m

n!.

Izracunali smo vjerojatnost da se rasprsenje dogodi jednom - pomocu tog rezultatamozemo naci m:

P (1,m) = me−m = P (θ > 10) ⇒ m = 4.65 · 10−2 .

Pomocu Poissonove formule sad mozemo izracunati vjerojatnost da se rasprsenje zakut veci od 10 desi dva puta:

P (2,m) =m2e−m

2!= 1.03 · 10−3 .

Uocite da je rezultat vrlo blizu m2/2. Razlog tomu je sljedeci: vjerojatnostda se desi jedno rasprsenje dana je s m i nakon njega ce se cestica nalazitiu prosjeku na pola debljine folije - vjerojatnost da ce se rasprsenje ponoviti napreostalom putu je stoga pribliznom/2, sto daje ukupnu vjerojatnostm·m/2=m2/2.

Zakljucak ovog zadatka je da se u realnim mjerenjima dvostruka (i visestruka)rasprsenja desavaju relativno cesto i da se moraju uzeti u obzir u analizi eksperi-mentalnih rezultata.————————————————————————————————


8.4 Direktne reakcije

Direktne reakcije su periferni procesi izmedu dvije jezgre koji se odvijaju uz minimum preuredenjaunutar njih, tj. u njima sudjeluje samo nekoliko nukleona iz jezgre; tipicni primjeri direktnih reakcijasu: (d,p), (d,t), (d,3He), (p,α), (d,α), itd. Osobito naglasen tip direktnih reakcija su tzv. reakcijeprijenosa u kojima meta i projektil u direktnom procesu izmjenjuju jedan ili vise nukleona. Cesticaprojektil u direktnim reakcijama tezi zadrzavanju smjera gibanja, pa se u kutnim distibucijama tihreakcija pojavljuju karakteristicni vrhovi u smjeru gibanja. Teorijsko modeliranje direktnih reakcijavrse se u najjednostavnijoj varijanti pomocu npr. Bornove aproksimacije s distordiranim valovima.

————————————————————————————————Zadatak 8.8Kvalitativno diskutirajte utjecaj momenta impulsa i energije snopa na brzinu odvi-janja nuklearnih reakcija.——————Rjesenje 8.8Poluklasicno i vrlo kvalitativno, ako s p oznacimo relativni impupls cestice snopau odnosu na jezgru metu, s L relativni moment impulsa, a s ρL parametar sudara,vrijedi:

L = pρL = h√L(L+ 1) ,

pa za parametar sudar dobivamo:

ρL =h

p

√L(L+ 1) ≈ h

pL = λ∗L ,

gdje je s λ∗ oznacena reducirana de Broglieva valna duljina. Efektivno ovakvimpostupkom upad projektila opisujemo razvojem po parcijalnim valovima razlicitogmomenta impulsa L.Upadni snop dakle “dijelimo” na cilindricne zone polumjera ρL unutar kojih cestices datim impulsom p imaju moment impulsa L. Ako domet interakcije oznacimo s r0,tada iz uvjeta:

ρL,maks =h

pLmaks ≤ r0 ,

vidimo da je “val” s najvecim L koji ce jos sudjelovati u reakciji onaj s:

Lmaks =[r0λ∗

]=

[pr0h

]= [kr0] , (8.15)

gdje uglata zagrada oznacava najveci cijeki broj od izraza u njoj.

Udarni presjek za reakciju danog parcijalnog vala u ovakvoj aproksimaciji moze seizjednaciti s povrsinom prstena polumjera ρL (za homogeni upadni snop):

σL = π(ρ2

L+1 − ρ2L

)= (2L+ 1)πλ∗2 .

Uz:Lmaks =

r0λ∗

,


totalni udarni presjek postaje:

σ =∑

L

σL =Lmaks∑

L=0

(2L+ 1)πλ∗2 =

= πλ∗2

Lmaks∑

L=0

2L

+ Lmaks + 1

=

= πλ∗2[2Lmaks (Lmaks + 1)

2+ Lmaks + 1

]=

= πλ∗2 (Lmaks + 1)2 == π (r0 + λ∗)2 .

Pogledajmo dva ekstremna slucaja. U granici visokih energija:

λ∗ ¿ r0 (kr0 À 1) ,

vrijedi:σ ≈ πr20 .

Radi se o slucaju geometrijske optike, u kome je klasicno razmatranje po trajektori-jama dobra aproksimacija.U granici niskih energija:

λ∗ À r0 (kr0 ¿ 1) ,

vrijedi Lmaks= 0 (samo S-val sudjeluje u reakciji), pa dobivamo:

σ = πλ∗2 .

Vidimo da je za niskoenergijska raspresenja udarni presjek opcenito veci nego navisokim energijama. Dakako, ovaj zakljucak ne odnosi se na situacije kada zbogkulonskog odbijanja projektil male energije i meta uopce ne dodu dovoljno blizu zainterakciju putem nuklearne sile - tada se reakcije odigravaju samo tuneliranjemkroz barijeru i njihov je udarni presjek vrlo malen.

Uvjet za maksimalan moment impulsa ekvivalentan je uvjetu koji mora zadovoljavatikineticka energija projektila da bi uz relativni moment impulsa L cestica stupila uinterakciju s drugom na udaljenosti r0:

p ≥ h

r0

√L(L+ 1) ,

T =p2

2µ≥ h2

2µr20L(L+ 1) .

U ovom izrazu moze se prepoznati centrifugalni clan potencijalne energije - do in-terkacije cestica relativnog momenta impuls L doce ce samo ako je energija veca odvisine centrifugalne (+ kulonske) barijere - ovaj utjecaj drastcno smanjuje udarnepresjeke za rasprsenje visih parcijalnih valova.Uz r0≈ 1.2A1/3 fm, visina centrifugalne barijere moze se procjeniti kao:

Vcf =h2

2µr20L(L+ 1) ≈ 10

A2/3L(L+ 1) MeV .


U tablici je za nekoliko izabranih slucajeva dana visina kulonske i centrifugalne bar-ijere u MeV-ima:

Vcf Vcf Vcf Vkul

meta / snop p i n (S) p i n (P) p i n (D) p (svi L)p 0 20 60 1

7Li 0 5.5 17 1.616O 0 3.2 10 3.5

55Mn 0 1.4 4.2 6.6120Sn 0 0.8 2.5 10238U 0 0.4 1.2 15

————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 8.9Diskutirajte ovisnost prenesenog momenta impulsa u direktnoj reakciji o upadnojenergiji projektila. Izracunajte preferirani preneseni moment impulsa za reakciju12C(12C,9Be)15O na 114 MeV (i s R= 3 fm).——————Rjesenje 8.9Za reakcije s negativnom Q-vrijednoscu, prenesen moment impulsa trebao bi bitiokomit na ravninu reakcije; na taj se nacin favoriziraju stanja s J∼K0 gdje je K0

razlika izmedu L-vrijednosti za okrznuce u ulaznom i izlaznom kanalu.Kod reakcija skidanja (engl. stripping) nukleona ili klastera, prenesena cestica sasobom nosi moment impulsa koji se moze izracunati iz

hL = mxviR ,

gdje je R polumjer prijenosa. Uz R=1.4·A1/3 fm, vrijedi:

L =Ax · 1.67 · 10−27

√2Ei[MeV] · 1.6 · 10−13/(Ai · 1.67 · 10−27) · 1.4 · 10−15A

1/3t

6.63 · 10−34/(2π)=

=AxA

1/3t√Ai

√Ei[MeV] · 0.306 .

Za reakciju 12C(12C,9Be)15O na 114 MeV (i s R= 3 fm), preferirani preneseni an-gularni moment je L≈ 6. Taj efekt dovodi do selektivnosti pobudivanja konacnogstanja.Izraz analogan gornjem moze se izvesti za reakcije pobiranja (engl. pick-up) nukleonaili klastera; jedina je razlika sto se za R ovdje uzima polumjer projektila:

L =Ax

Ai1/6

√Ei [MeV] · 0.306 .

Da bi reakcija prijenosa A(a,b)B bila povecanog udarnog presjeka prenesen klaster(x=B-A=a-b) mora imati impuls okomit na os koja spaja dvije jezgre priblizno jednakprije i poslije reakcije. Oznace li se projekcije angularnog momenta s λi, tada moravrijediti:


λ2

RA+λ1

Rb=mxv

h,

gdje je v relativna brzina dviju sredica, okomita na os koja ih spaja. Buduci da jemxv obicno vrlo veliko, a λ1 maleno, λ2 mora bit veliko. Dakle, preferiran je prijenosu stanja visokog spina.————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 8.10

Reakcije prijenosa imaju maksimalan udarni presjek kada je brzina onog produktareakcije koji ima masu slicnu projektilu po smjeru i iznosu jednaka brzini projektila.Jezgre u izlaznom kanalu tada se ne nalaze u svom osnovnom stanju, vec su pobudene.Pokazite da za to pobudenje vrijedi:

Ex = Qgg + Epmxmt

mp(mx +mt),

gdje je:- Qgg ... Q-vrijednost za istu reakciju, ali kada su sve jezgre u svojim osnovnimstanjima;- Ep ... energija projektila;- mx ... masa prenesene cestice (“klastera”);- mt ... masa jezgara mete;- mp ... masa projektila.Ova relacija naziva se “Brinkovo pravilo” i vrijedi opcenito za reakcije prijenosana “srednjim” energijama. Primijenite to pravilo na reakciju 54Fe(16O,12C)58Ni sasnopom energije Ti= 100 MeV-a.

——————Rjesenje 8.10Direktne reakcije se odvijaju pri “rubnim” sudarima, kada se dvije jezgre jedvadodirnu (tj. samo se okrznu). Moment impulsa okrznuca (engl. grazing angular mo-mentum) moze se tada izracunati iz:

h√lg(lg + 1) = hkeffR ,

gdje je udaljenost okrznuca (engl. grazing distance) dana s:

R [fm] ≈ 1.3 · (A1/3p +A

1/3t ) ,

a keff je valni broj koji odgovara energiji relativnog gibanja u tocki okrznuca (ta jeenergija manja od upadne energije zbog kulonskog odbijanja):

keff =√

2µ/h2(E − VC) ,

gdje je Vc kulonska barijera:

VC [MeV] =1.44 · ZpZt

R [fm].


Dakle, moment impulsa okrznuca dan je s:

√lg(lg + 1) = 2η · Ecm

VC(1− VC

Ecm)1/2 ,

gdje je η Sommerfeldov parametar:

η = 0.16 · ZpZt

(µ [a.m.u.]Ecm [MeV]

)1/2

,

a µ reducirana masa.

m

m

m m

m

mvv

vx

x

i

ii

t t

ff

Slika 8.2: Shema reakcije skidanja na 0. Brzina vi je relativna brzina snopa imete.

Udarni presjeci ce biti veliki kada se putanje dobro slazu, sto ce se desiti ako su brzineulazne i konacne jezgre podjednake, tj. vf≈vi. To je tako ako je konacna kinetickaenergija Tf jednaka:

Tf = Ti − 12

mxmt

mx +mtv2i ;

mf = mi −mx .

Q-vrijednost reakcije definirana je kao razlika kinetickih energija, pa konacno dobi-vamo da je optimalna Q-vrijednost dana s:

Qopt = Tf − Ti = −Timxmt

mi(mx +mt).

Za reakciju 54Fe(16O,12C)58Ni (mx=4, mt=54, mi=16) vrijedi Qopt= -0.233·Ti, pa zaupadnu energiju od 100 MeV-a dobivamo optimalnu Q-vrijednost od ≈ -23.3 MeV-a.————————————————————————————————


————————————————————————————————Zadatak 8.11(a) Reakcijom (d,p) pobuduje se neko stanje teske parno-parne jezgre uz Q= +8MeV. Pretpostavljajuci da jezgre mete ostaju u mirovanju nakon primanja neutrona(tj. da je energija odboja malena, sto je najcesce ispunjeno), procjenite energijusnopa na kojoj ce naprijed emitirani protoni imati isti impuls kao ulazni deuteroni.Ako kutna raspodjela ima vrh na 40, a jezgre u meti imaju polumjer 4.1 fm, kolikije preneseni moment impulsa L?

(b) Reakcija 6Li(p,p’)6Li∗ (“∗” je standardna oznaka da je jezgra u nekom odpobudenih stanja) na energiji snopa Ep= 40 MeV tipican je primjer direktne reakcije.Ako je poznato da preneseni moment impulsa u ovoj reakciji iznosi ∆L= 2, procjenitena kojem kutu treba ocekivati maksimum kutne raspodjele. Koristiti aproksimacijuEp≈Ep′ , te za polumjer jezgre 6Li R= 3 fm (ova jezgra ima veci polumjer nego stopredvida formula R= 1.2·A1/3).——————Rjesenje 8.11(a) Za fiksirani impuls, energija je obrnuto proporcionalna masi (u nerelativistickomlimesu, posve primjenjivom za ovaj zadatak):

Ed/Ep = mp/md = 0.5 .

Buduci da je zadano i:Ep ≈ Ed +Q ,

dobivamo:Ep = 2Q = 16 MeV , Ed = Q = 8 MeV .

Preneseni moment imulsa poluklasicno se moze odrediti iz (gdje su pi i po impulsprojektila i lakog produkta reakcije):

p2t = p2

i − p2o − 2pipo cos θ = (pi − po)

2 + 4pipo sin2 θ/2 .

Moment impula unesen u reakciju je tada:

∆L =√L(L+ 1)h ≈ ptR .

Dakle, postoji jedinstvena veza izmedu smjera izlazne cestice (θ) i prenesenogimpulsa pt, a zbog toga i prenesenog ∆Lt.

Ako je dodatno prenesena energija vrlo malena u odnosu na upadnu (tj. ako postojivelika razlika u masama projektila i mete), tada vrijedi i (kao sto je eksplicitnozapisano u tekstu zadatka):

pi = po = p ,

sinθ

2=pt

2p=

√L(L+ 1)h

2pR.

Slijedi:

L(L+ 1) =(

2pR sin θ/2h

)2

,

pa konacno dobivamo:L(L+ 1) = 6 ⇒ L = 2 .


(b) Reakcija u kojoj projektil i meta ostaju isti, a jedan od njih (ili oboje) sepobuduje, zove se neelasticno rasprsenje. Kao i u zadatku (a), vrijedi:

∆L =ptR

h,

p2t = p2

t = p2i − p2

o − 2pipo cos θ .

Buduci da je energija projektila (po tekstu zadatka) priblizno ista prije i poslijerasprsenja, a i masa je ista, vrijedi kao i u dijelu zadatka (a):

po ≈ pi ,

pt = 2p sinθ

2.

Odavdje dobivamo:

sinθ

2=h∆L2pR

=hc∆L

2R√mc2Ep

,

te za kut pod kojim se pojavljuje prvi maksimum:

θ = 40 .

————————————————————————————————

8.5 Reakcije slozenom jezgrom

Kod reakcija slozenom jezgrom proces se odvija u dva nezavisna koraka. U prvom stupnjuspajanjem projektila a i jezgre mete A nastaje nova, slozena jezgra C u visoko-pobudenom stanju(a + A → C∗). Slozena visokopobudena jezgra se ne raspada dovoljno dugo vremena da se njezinaenergija podijeli manje-vise podjednako na sve nukleone u jezgri. Kada jedan nukleon ili grupa nuk-leona unutar jezgre skupi dovoljno energije uzbude da se odvoji od ostatka jezgre, jezgra se raspada(C∗ → B∗ + b). Preostala uzbudena jezgra B∗ moze se deekscitirati daljnjim cesticnim raspadomili beta, odnosno gama-raspadom. Zbog dugog vremenskog intervala izmedu nastanka i raspadaslozene jezgre, a i zbog intenzivnog i kompliciranog gibanja nukleona unutar jezgre tokom tog peri-oda, za slozenu jezgru C∗ moze se reci da se raspada potpuno neovisno o nacinu nastanka. Drugimrijecima, vjerojatnost odredenog izlaznog kanala bit ce nezavisna o ulaznom kanalu (tzv. Bohrovahipoteza).

Slozena jezgra niske energije pobudenja se kao cjelovit kvantnomehanicki sistem moze nalazitisamo u odredenim diskretnim energijskim stanjima. Ta stanja su jednostavno produ-zetak na viseenergije diskretnih stanja jezgre za energije ispod praga cesticnog raspada. Za stanja visoke energijepobudenja koja najcesce imaju kraca vremena zivota (a time i vecu sirinu Γ), a i gusca su, dobivamokontinum energijskih stanja.

Ako je bombardirajuca energija u kanalu a + A upravo tolika da se poklapa s jednom od diskret-nih vrijednosti energije Ep kvazistacionarnog stanja pobudene jezgre C dobit cemo rezonanciju. Usvojoj najjednostavnijoj formi, rezonancije vode na ostre vrhove u energijskoj ovisnosti udarnog pres-jeka. Analiza rezonantnih fenomena u udarnom presjeku nuklearnih reakcija pruza vrlo znacajnepodatke o strukturi jezgara. Iz izmjerenih eksperimentalnih vrijednosti u stanju smo odrediti en-ergiju i sirinu stanja, te iznose momenta impulsa, pariteta i izospina stanja kojima dane rezonancijeodgovaraju. Najjednostavniji tipovi rezonancija, osobito one dominantno jednocesticne prirode,


mogu se opisati Breit-Wignerovom formulom:

σ(E) = σ0

14Γ2

(E − Er)2 + 14Γ2

(8.16)

gdje je Γ sirina stanja, a Er energija rezonancije. Za potpunije fizikalno razumijevanje pojavarezonancije potrebna je i fundamentalnija teorija, npr. Wignerova teorija R-matrice. Ukljucivanjepuno rezonanca zahtjeva statisticki pristup problema (i primjenu tzv. Hauser-Feshbachovog modela).Za reakcije slozenom jezgrom vrijedi τ À 10−22s, pa je zbog Heisenbergovog principa neodredenostisirina stanja puno manja od 1 MeV.

————————————————————————————————Zadatak 8.12Izracunajte ukupni udarni presjek za reakciju 109Ag(n,γ)110Ag s termalnim neutron-ima energije 2 eV (ova energija je u toliko niska da odgovara “termalnom” gibanjucestica). Prva rezonanca za neutrone nalazi se na energiji 5.1 eV i za nju vrijedi:Γγ= 0.14 eV i Γn= 1.3·10−2 eV. Spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su 1/2 i 1.——————Rjesenje 8.12Reakcije uhvata neutrona su u pravilu reakcije koje se odvijaju preko slozene jezgre.Totalni udarni presjek za reakciju koja se odvija mehanizmom slozene jezgre:

a+A→ C∗ → b+B ,

u blizini rezonance na energiji E0, opisuje se Breit-Wignerovom formulom:

σab = πλ∗2gΓacΓb

(E − E0)2 + Γ2/4,

gdje je λ∗ reducirana de Broglieva valna duljina upadne cestice, Γac i Γb su parcijalnesirine za formiranje slozene jezgre i njezin raspad emisijom b, a Γ je suma svihparcijalnih sirina razmatranog stanja (rezonance). Velicina g (ponekad se koristi ioznaka ω) je spinski statisticki faktor dan s:

g =2JC + 1

(2Ja + 1)(2JA + 1).

U ovom je zadatku:

Ja = 1/2 , JA = 1/2 , JC = 1 ,

pa za spinski statisticki faktor dobivamo:

g =2 + 1

(1 + 1)(1 + 1)=

34

.

Buduci da vrijedi:Γn ¿ Γγ ,

imamo i:Γ = Γn + Γγ ≈ Γγ .


Za reduciranu valnu duljinu dobivamo:

λ∗n =h

pn=

hc√2mc2E

.

U gornjem izrazum je reducirana masa neutrona, no ona je priblizno jednaka stvarnojmasi jer je meta vrlo teska u odnosu na neutron.Konacno imamo:

σnγ =34π

(hc)2

2mc2EΓnΓγ

(E − E0)2 + Γ2γ/4≈ 46 barn .

Buduci da je barn relativno velika jedinica za udarni presjek, dobiven rezultatpokazuje ova reakcija uhvata neutrona ima ogroman udarni presjek - to je ujednokarakteristika vecine reakcija uhvata termalnih neutrona na jezgrama ciji je za jedannukleon tezi izotop takoder stabilan. Neki udarni presjeci za uhvat termalnih neu-trona imaju udarne presjeke reda velicine cak 105 barna!————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 8.13Spin neke slozene jezgre iznosi I i okomit je na pravac upadnog snopa cestica. Ta sejezgra raspada emisijom cestice b momenta impuls L, dok rezidualna jezgra ima spinJ . Pravac kretanja emitirane jezgre b nalazi se u ravnini okomitoj na njen momentimpulsa. Pretpostavljajuci da je LÀJ nadite kutnu raspodjelu emitiranih cestica b!——————Rjesenje 8.13Cestica b emitirana je u ravnini okomitoj na njen moment impulsa (pretpostavkazadatka) - to se moze shvatiti kao posljedica centrifugalne sile i u pravilu se emisijazbilja tako desava kod reakcija slozenom jezgrom. Raspodjelu cestica b (ciji je smjerdan s jedinicnim vektorom n) u odnosu na pravac definiran s L mozemo prikazatiδ-funkcijom:

δ(n ·L) .

Iz zakona sacuvanja momenta impulsa i uz LÀJ , slijedi:

L ≈ I ⇒ δ(n ·L) ≈ δ(n · I) .

Kutnu raspodjelu cestica b dobivamo usrednjavanjem distribucije δ(n · I) po azimu-talnim kutovima, tj.:

W (n) =12π

∫ 2π

0δ(n · I)dφ .

Definiramo li θ kao kut izmedu n i smjera upadnih cestica, imamo:

n · I = I cosφ sin θ ,

pa za kutnu raspodjelu dobivamo:

W (n) =12π

∫ 2π

0δ(I cosφ sin θ)dφ

Primijetite da funkcija unutar Diracove delta funkcije ima dvije nultocke unutar intervala inte-gracije, tj. φ = π/2 i φ = 3π/2. Tada vrijedi:


δ(g(x)) =∑

i

δ(x− xi)g′(xi)

gdje u xi nultocke funkcije g(x). Dakle, imamo:

δ(I cosφ sin θ) =δ(φ− π/2)

|I sin θ(− sinφ)|φ=π/2|+

δ(φ− 3π/2)|I sin θ(− sinφ)|φ=3π/2|

Uvrstimo ovo u gornji integral:

W (n) =1

2π|I sin θ|[∫ 2π

0δ(φ− π/2)dφ+

∫ 2π

0δ(φ− 3π/2)dφ

]

=1

2π|I sin θ| [1 + 1]

=1

π|I sin θ|

0 90 180o o o

d σd Ω

θ

Dobivena distribucija skicirana je na slici i karakteristicna za reakcije koje se odvijajupreko slozene jezgre.————————————————————————————————

8.5.1 Rezonantne reakcije

Reakcije slozenom jezgrom koje se odvijaju preko diskretnih rezonanca (sto je moguce ispuniti pr-venstveno za lake jezgre), nazivaju se jos “rezonantnim reakcijama”. Udarni presjeci se za njihtakoder racunaju iz Breit-Wignerovog izraza (8.16), a pomocu njih dobivaju se dragocjene informa-cije (energija pobudenja, spin, paritet, ...) o stanjima slozene jezgre (“rezonancama”).


————————————————————————————————Zadatak 8.14Pri mjerenju ekscitacijske funkcije (ovisnosti udarnog presjeka o energiji projektila)za reakciju 12C(α,γ) naden je izrazit vrh za α-cestice energije 7045 keV. Objasnite stouzrokuje postojanje tog vrha! Odredite energiju gama-zrake za tu energiju α-cestice.Diskutirajte da li je takvo objasnjenje moguce provjeriti mjerenjem udarnog presjekaza reakciju 15N(p,γ). Maseni defekti ∆ su 7289 keV za protona, za α-cesticu 2425keV, za 15N 100 keV, te za 16O -4737 keV.——————Rjesenje 8.14Ostri i izraziti vrhovi u spektrima ekscitacijskih funkcija u pravilu su potpispostojanja rezonacije slozene jezgre (jer direktne reakcije nemaju izrazitu ovisnosto energiji projektila). Dakle, trebamo provjeriti postoji li neko stanje jezgre 16Okoje bi kao rezonanca moglo bitno uvecati udarni presjek za reakciju u pitanju - zapocetak treba naci kojoj energiji pobudenja jezgre 16O odgovara zadana energijaα-cestice.

Prvo je stoga potrebno naci Q-vrijednost ove reakcije:


Q = c2 (Σprijem− Σposlijem) =

= ∆(α) + ∆(

12C)−∆

(16O

)=

= 2424 + 0− (−4737) keV == 7162 keV .

Buduci da u izlaznom kanalu reakcije imamo γ-zraku (bez mase mirovanja),izracunata Q-vrijednost je ujedno energija praga za raspad 16O u 12C+α.Relativna energija gibanja α-cestice i jezgre 12C moze se izracunati iz izraza 8.12:

Ein =m(12C)

m(α) +m(12C)EL

p = 5284 keV ,

gdje je za ELp uvrstena laboratorijska energija α-cestice na kojoj je uocena rezonanca

(7045 keV). Dakle, rezonanca se nalazi za 5284 keV iznad praga 12C+α u 16O, tj. naenergiji:

Ex = Ein + Eprag = 7162 + 5284 = 12446 keV .

Pri racunanju energije gama-zrake trebamo samo uzeti u obzir i odboj jezgre; izzakona sacuvanja impulsa i energije trivijalno se pokazuje:

Eγ = E0

(1− E0

2Mc2

),

gdje je s M oznacena masa jezgre koja emitira gama-zraku (u nasem slucaju 16O).Korekcija odboja kod gama-emisije je uvijek malena pa dobivamo: Eγ= 12440 keV.Isto stanje slozene jezgre 16O bit ce moguce pobuditi reakcijom:

p+15 N→16 O∗ → α+12 C ,

jedino ako se ono nalazi iznad praga za raspad u p+15N. Provjerimo gdje je taj prag(tj. kolika je Q-vrijednost za p+15N→16O):

Eprag = Q = c2 (Σprijem− Σposlijem) =

= ∆(p) + ∆(

15N)−∆

(16O

)=

= 7289 + 100− (−4737) == 12126 keV . (8.17)

Stanje uoceno kao rezonanca pri reakciji α+12C nalazi se, dakle, na 12440-12126=314 keV iznad praga za raspad 16O u kanal p+15N. Dakle, to se stanje mozevidjeti i kao rezonanca u ekscitacijskoj funkciji za reakciju 15N(p,α)12C. Dio spektraenergijskih stanja jezgre 16O dan je na slici 8.3. Na lijevoj strani slike dane suekscitacijske funkcije za razlicite reakcije kod kojih je ulazni kanal α+12C. Rezonancakoja se diskutira u ovom zadatku nalazi se sasvim lijevo i dodatno je naglesenacrvenom linijom. I iz slike se vidi da je odgovarajuce stanje iznad praga za raspadkroz kanal p+15N.

Zelimo li diskutiranu rezonancu vidjeti reakcijom 15N(p,α)12C, njoj bi odgovaralalaboratorijska energija protona (opet koristom izraz 8.12):

Elab(p) = EinM

(15N

)+M(p)

M (15N)= 335 keV .


7.05

Slika 8.3: Dio spektra energijskih stanja jezgre 16O.

U ovom zadatku razmotrena je samo problematika masa i energija - cinjenica da jenesto dozvoljeno zakonima sacuvanja, ne znaci nuzno i da ce se realizirati. Kao prvo,energija protona s kojom bi se trebalo provjeriti postojanje rezonance je vrlo niska pace ta reakcija biti jako potisnuta kulonskom barijerom. Zatim: hocemo li neko stanjevidjeti kao rezonacnu u ekscitacijskoj funkciji jako ovisi o preklapanju valnih funkcijaulaznog kanala, medu stanja u slozenoj jezgri, te izlaznog kanala. Konkretno, akostanje 16O na Ex= 12.44 MeV nema znacajan preklop valne funkcije s produktomvalnih funkcija protona i jezgre 15N, isto se nece manifestirati kao povecani udarnipresjek (“rezonanca”) u ekscitacijskoj funkciji reakcije 15N(p,α)12C.————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 8.15Na slici je prikazana ovisnost udarnih presjeka o energiji upadnih protona za razneizlazne kanale reakcije p+7Li:1) 7Li(p,γ)8Be,2) 7Li(p,α)4He,3) 7Li(p,p)7Li,4) 7Li(p,n)7Be.Ove reakcije popracene su emisijom gama-zraka energije E1= 14.7 MeV, E2= 17.6MeV, E3= 15.2 MeV i E4= 18.1 MeV - za sve ove game je iz eksperimentalnih kutnihkorelacija odredeno da su M1-tipa. Poznato je da su dva najniza stanja jezgre 8Beusko osnovno stanje 0+ (T1/2≈ 10−15 s) i vrlo siroko stanje 2+ (Γ≈ 800 keV) naEx≈ 2.9 MeV. Na temelju ovih podataka izracunajte polozaj dodatnih stanja jezgre8Be, njihove spinove i paritet, te shemu raspada. Kvalitativno objasnite ponasanjeudarnih presjeka navedenih reakcija i sirinu rezonanci. Potrebne mase jezgara ocitajteiz tablica.


1) 3) 2)

4)

σ

0.44 3.01.0 2.2 E(p) / MeV

——————Rjesenje 8.15Kao i u prethodnom zadatku, cinjenicu da se udarni presjeci naglo mijenjaju s en-ergijom projektila interpretiramo kao potpis mehanizma reakcije preko slozene jezgre(tj. rezonanci) - slozena jezgra u ovom zadatku je 8Be.Prvo pomocu tablica masa nalazimo Q-vrijednosti za svaku od 4 reakcije:1) 7Li(p,γ)8Be · · · Q1= 17.25 MeV,2) 7Li(p,α)4He · · · Q1= 17.34 MeV,3) 7Li(p,p)7Li · · · Q1= 0 MeV,4) 7Li(p,n)7Be · · · Q1= -1.64 MeV.

Jedina endotermna reakcija od 4 promatrane je reakcija (p,n). Reakcije (p,n) nastabilnim metama su u pravilu endotermne iz sva razloga: 1) masa neutrona veca jeod mase protona za ≈1.3 MeV; 2) teski produke reakcije je najcesce β-nestabilan, stoznaci da ima najmanje 500 keV manju energiju vezanja (vecu masu) od stabilne mete.Iako su endotermne, reakcije (p,n) obicno imaju vrlo visoke udarne presjeke - obicnonajvece od svih kanala osim elasticnog i neelasticnog rasprsenja. Zbog toga su overeakcije (koje se standardno nazivaju “reakcijama izmjene naboja” jer broj nukleonau jezgri ostaje isti, a naboj se mijenja), vrlo vazan alat u nuklearnoj spektroskopiji.Zbog negativne Q-vrijednosti, reakcija 4) ima prag ispod kojeg se ne moze odvijati -mozemo ga naci iz relacije 8.9:

ELp (th) = −Q m1 +m2

m1 +m2 −mp= 1.88 MeV .

U svakoj od cetiri ekscitacijske funkcije vidi se uze ili sire rezonance (na energi-jama projektila oznacenim na grafu). Stanja jezgre 8Be kojima odgovaraju pojedinirezonance odredit cemo krecuci od praga jezgre 8Be za raspad u kanal p+7Li (jersve promatrane reakcije imaju taj ulazni kanal). Energija tog praga identicna jeQ-vrijednosti za reakciju 1); dakle Eprag= 17.25 MeV. Toj energiji moramo dodatienergiju relativnog gibanja p i 7Li; nju nalazimo iz izraza 8.12:

Ein =m(p)

m(p) +m(7Li)EL

p ,

gdje za ELp uvrstavamo energije snopa na kojima vidimo rezonance (tj. energije

oznacene na grafu). Dobivamo:

Ex1 = 17.60 MeV , Ex2 = 19.80 MeV , Ex3 = 18.12 MeV , Ex4 = 19.15 MeV .


Spinove i paritet ovih stanja mozemo probati odrediti pomocu cinjenice da ih jakanuklearna sila cuva. Paritet ulaznog kanala a+X jednak je:

πa+X = πaπX(−1)L ,

i on mora biti jednak paritetu slozenog stanja C∗ s jedne strane, ali i paritetukonacnog kanala b+Y s druge strane.

Model ljusaka za osnovno stanje jezgre 7Li daje Jπ= 3/2− (i to se poklapa seksperimentalnim rezultatom). Vlastita parnost protona je “+”, pa ako jezgre 7Limedudjeluje sa S-protonom, paritet sistema p+7Li bit ce negativan, kao i paritetodgovarajuceg stanja u 8Be. Ako 7Li medudjeluje s P -protonom, paritet stanja u8Be bit ce pozitivan. Na energijama do ≈ 5 MeV, relativni moment impulsa za ovureakciju ne moze biti veci od 1 (vidi izraz 8.15) - dakle, L je ili 0 (“S-proton”) ili 1(“P -proton”).

Zakljucujemo da postoje dvije mogucnosti:

I) L=0 ⇒J(8Be)← 3

2+ 1

2+ 0 ⇒ J(8Be) = 1 ili 2 ,

π(8Be) = (−1)(+1)(−1)0 = −1 .

II) L=1 ⇒

J(8Be)← 32

+ 12

+ 1 ⇒ J(8Be) = 0− 3 ,

π(8Be) = (−1)(+1)(−1)1 = +1 .

Proucimo svaku od 4 rezonanci. Rezonanci na E(p)= 0.44 MeV odgovara energijapobudenja Ex= 17.60 MeV, a to je identicno energiji jedne od gama-zraka iz tekstazadatka - zakljucujemo da ta gama nastaje pri prelasku iz stanja na Ex= 17.6MeV u osnovno stanje jezgre 8Be. Nadalje, gama-prijelaz od 14.7 MeV moze seprepoznati kao prijelaz iz tog stanja u prvo pobudeno stanje jezgre 8Be. Za oba taprijelaza znamo da su M1-tipa, a osnovno i prvo pobudeno stanje jezgre 8Be imajuJπ= 0+ i 2+ - zakljucujemo da paritet stanja na Ex= 17.60 MeV mora biti pozitivan(M1-prijela cuva paritet, vidi poglavlje 6.5), a spin mora biti J=1 jer se samo takomogu M1-prijelazom intenzivno puniti stanja i 0+ i 2+. Dakle, pri pobudivanju overezonance, 7Li je medudjelovao s P -protonom. Gama-raspad je “spor” i zbog togaje ova rezonanca uza od ostalih koje se raspadaju emisijom cestica (kasnije cemovidjeti zasto se ovo stanje ne raspada emisijom cestica).

Pogledajmo rezonancu koja se pojavljuje u ekscitacijskoj funkciji za reakciju7Li(p,α)4He. Alfa-cestice su bozoni, pa je ukupna valna funkcija sistema α+αsimetricna (tj. paritet mora biti pozitivan). S druge strane, zaovaj paritet moravrijediti:

π2α = παπα(−1)L = (−1)L ,

gdje je L relativni moment impulsa dvije α-cestice - da bi paritet sistema bio pozi-tivan, L mora biti paran! To odgovara slucaju II) u gornjoj sistematizaciji - stanjena Ex= 19.80 MeV preko kojeg se odvija reakcija 7Li(p,α)4He mora stoga biti iliJπ= 0+ ili 2+ (spin na temelju podataka u ovom zadatku ne mozemo jednoznacnoodrediti). Relativno velika energija protona za formiranje ovog stanja pogoduje


prolasku kroz (preko) kulonsku i centrifugalnu barijeru, a stvorene α-cestice imajupak ogromnu brzinu pa i one laganu tuneliraju kroz barijere i raspad tog stanje jevrlo brz (tj. stanje je vrlo siroko). Valja primijetiti da za stanje na Ex= 17.6 MeVspin 1 zabranjuje raspad u dvije α-cestice.

Ni stanja 8Be negativnog pariteta ne mogu se raspadati kroz kanal α+α, parezonanca na Ex= 19.15 MeV (koja se raspada emisijom neutrona, ali ne i emisijomα-cestice) ima ili negativni paritet ili neparan spin. Prag za raspad emisijomneutrona je vrlo blizu (za 1.64 MeV blize od praga za rapad emisijom protona,vidi Q-vrijednost za ovu reakciju), pa je vrlo vjerojatno da se taj raspad desavaemisijom S-neutrona (jer tada nema centrifugalne barijere koja bi bitno potisnulaovaj raspad!). Buduci da izlazni kanal 7Be+n zrcalan ulaznom, za spinove i paritetevrijede ista ogranicenja kakva su pokazana na prethodnoj stranici za 7Li+p. Toznaci da stanje na Ex= 19.15 MeV ima Jπ ili 1− ili 2−. Uocite da se ovo stanje vidiiako je jako blisko pragu za raspad jer se emitira neutralna cestica, pa ne postojikulonska barijera u izlaznom kanalu.

Preostaje nam jos diskusija stanja na Ex= 18.12 MeV. Njemu pripisujemo preostaledvije detektirane gama-zrake (Eγ= 18.1 i 15.2 MeV) - jedna odgovara gama-prijelazuu osnovno stanje, a drugo u prvo pobudeno stanje. Slicno stanju na Ex= 17.60 MeV,time je spin i paritet ovog stanja jednoznacno odreden kao Jπ= 1+. Zasto ovo stanjevidimo i kao rezonancu u ekscitacijskoj funkciji za reakciju 7Li(p,p)7Li, a stanje naEx= 17.60 MeV ne? Odgovor je taj da je stanje na Ex= 17.60 MeV u tom kanalujako potisnuto kulonskom i centrifugalnom (L mora biti 1!) barijerom, dok je za visestanje na Ex= 18.12 MeV to potisnuce ipak manje...

Svi zakljucci doneseni za jezgru 8Be u ovom zadatku ilustrirani su na slici. Osimprikazanih stanja, za 8Be poznat je jos niz stanja za koje su spinovi i paritetiodredivani i nizom drugih proucavanih reakcija.————————————————————————————————


8.6 Inverzne reakcije i princip detaljne ravnoteze

Nuklearna reakcija se moze odigravati u “dva smjera”; za svaku reakciju:

1 + 2→ 3 + 4 (Q > 0) .

postoji i inverzni proces:3 + 4→ 1 + 2 (Q < 0) .

Promotrimo ove dvije inverzne reakcije na primjeru mehanizma slozene jezgre, koju cemo oznacitis C (svi zakljucci vrijedit ce i za druge mehanizme). Tada se udarni presjek za reakciju pozitivneQ-vrijednosti dobiva iz izraza:

σ12 = πλ12

2π

2 2J + 1(2J1 + 1)(2J2 + 1)

(1 + δ12) |〈3 + 4|HII |C〉〈C|HI |1 + 2〉|2 .

Ovaj se izraz sastoji od sljedecih clanova:- statistickog faktora (uobicajeno oznacenog s g ili ω) koji ukljucuje spin stanja slozene jezgre, tespinove ulaznih cestica; on je posljedica sumiranja preko svih konacnim stanjima i usrednjavanjapreko pocetnih stanja;- clana koji uzima u obzir cinjenicu da ne mozemo razlikovati projektil i metu ako su u pitanjuidenticne cestice (δ12);- dva matricna elementa koji uzimaju u obzir interakciju kojom se odvija reakcija.

Analogno, udarni presjek za inverznu reakciju zapisuje se na ovaj nacin:

σ34 = πλ34

2π

2 2J + 1(2J3 + 1)(2J4 + 1)

(1 + δ34) |〈1 + 2|HI |C〉〈C|HII |3 + 4〉|2 .

Matricni element su u oba slucaja jednaki (za jaku nuklearnu i elektromagnetsku interakciju), paih se moze pokratiti gledajuci omjer dva udarna presjeka (uz upotrebu izraza 8.1):

σ12

σ34=m3m4

m1m2

E34

E12

(2J3 + 1)(2J4 + 1)(2J1 + 1)(2J2 + 1)

(1 + δ12)(1 + δ34)

. (8.18)

Ovaj se izraz moze slicno izvesti i u opcenitijem obliku, koji ukljucuje mogucnost da u reakcijisudjeluju i cestice bez mase (npr. fotoni):

σ12

σ34=p234

p212

(2J3 + 1)(2J4 + 1)(2J1 + 1)(2J2 + 1)

(1 + δ12)(1 + δ34)

.

————————————————————————————————Zadatak 8.16Fotodesintegracija deuterona (γ+d→n+p) i radijativni uhvat neutrona (n+p→γ+d)dvije su inverzne reakcije. Koristeci princip detaljne ravnoteze nadite vezu izmeduukupnih udarnih presjeka ovih reakcija za fotone minimalne energije za fotodisinte-graciju. Energija vezanja deuterona je 2.2 MeV.——————Rjesenje 8.16Korstenjem izraza za omjer ukupnih udarnih presjeka za dvije inverzne reakcije do-bivamo:

σ(np)σ(γd)

=(2Jγ + 1)(2Jd + 1)(2Jn + 1)(2Jp + 1)

p2γd

p2np

.


Spinovi neutrona i protona su Jn=Jp=1/2, a deuterona i fotona Jd=Jγ=1. Rela-tivni impuls neutrona i protona u sistemu centra mase nalazimo iz zakona odrzanjaenergije:

hω +mdc2 = mnc

2 +mpc2 +

p2

2mn+

p2

2mp.

Buduci da vrijedi:EB(d) = (mn +mp −md) c2 ,

dobivamo:

hω −EB(d) =p2

2

(mn +mp

mnmp

)=

p2

2m.

Dakle:p2

np = 2m(hω − EB(d)) ,

σ(np)σ(γd)

=94

(hω)2

2m(hω − EB(d))= 5 · 10−2 .

Za hω je uzeto ≈ 2.22 MeV.————————————————————————————————

8.7 Zadaci za domacu zadacu

1. (2 boda) Alfa-cestica kineticke energije 6 MeV-a rasprsuje se na jezgrama zlata (A=197).a) Izracunajte minimalnu udaljenost izmedu α-cestice i jezgre zlata ako je sudar centralan(tj. ako je parametar sudara jednak nuli). Usporedite s polumjerom jezgre zlata izracunatimiz izraza 1.2×A1/3 fm.b) Moze li se za opis rasprsenja koristiti Rutherfordova formula? Obrazlozite!c) Koliki se postotak α-cestica rasprsuje na zlatnoj foliji debljine 1 µm na kutove θ ≥ π/2?Gustoca zlata je 19.3 g/cm3.

2. (1 bod) Ukupni udarni presjek za neku nuklearnu reakciju jednak je 1 b na energiji snopa(u sustavu centra mase) koja je dva puta veca od kulonske barijere. Izracunajte polumjerinterakcije pretpostavljajuci da se ista moze razmatrati klasicno.

3. (1 bod) Pri eksploziji supernove uocenoj sa Zemlje 23.02.1987. emitirano je N≈ 1057 an-tineutrina na udaljenosti R≈ 1.4·105 godina svjetlosti od Zemlje. Neki od tih antineutrinadetektirani su u japanskom detektoru Kamiokande putem reakcije νep→ne+. Udarni presjekza ovu reakciju na ocekivanoj srednjoj energiji antineutrina (≈ 15 MeV) je σ≈ 2·10−45 m2.Ako je detektor sadrzavao oko 2000 tona vode, koji broj antineutrina je trebao biti detektiran?

4. (1 bod) Procijenite koliko parcijalnih valova igra ulogu u reakciji n+125Sn, En= 9 MeV.Pretpostavite da je polumjer interakcije dan s R=1.2·A1/3 fm.

5. (1 bod) Chadwick je 1932. godine otkrio neutron i izmjerio mu masu tako da je mjerio elasticnorasprsnje tada nepoznate cestice na vodikovoj i dusikovoj meti. Za maksimalnu brzinu odbojaprotona izmjerio je 3.3·107 m/s, dok je za maksimalnu brzinu odboja iona dusika dobio 4.7·106

m/s. Izracunajte iz tih podataka masu neutrona! Usporedite s danas poznatom vrijednoscu.Kolika je bila energija upadnih neutrona?

6. (2 boda) Diferencijalni udarni presjek izmjeren je na θ=168 za reakciju 24Mg(α,p)27Al; zaenergiju snopa od 13.6 MeV dobiveno je 5.9±0.2 mb/sr. Za inverznu reakciju, 27Al(p,α)24Mg,na odgovarajucoj energiji dobiven je diferencijalni udarni presjek od 2.0±0.1 mb/sr. Iz nave-denog odredite spin osnovnog stanja jezgre 27Al. Q-vrijednost reakcije 24Mg(α,p)27Al je -1.59MeV.


7. (1 bod) Mjerenje udarnog presjeka za fuziju α+209Bi daje:

energija MeV 21 22 24.5 30 35 40udarni presjek mb 100 200 500 900 1210 1370

Iz tih podataka odredite efektivni polumjer interakcije i kulonsku barijeru za ovu reakciju.

8. (2 boda) Udarni presjek za reakciju 10B(n,α) je 630 b za neutrone upadne energije 1 eV. Tase reakcija cesto upotrebljava za detekciju neutrona putem ionizacijskih komora napunjenihplinom 10BF3. Jedna takva komora (plin pod standarnim uvjetima, debela 0.1 m) ima povrsinuizlozenu snopu neutrona (energije 1 eV) jednaku 2·10−2 m2 i pri tome se opaza 1000 dogadajasvake sekunde. Koliki je upadni fluks neutrona?

9. (1 bod) Promotrite reakciju 1H+AX→ 2H+A−1X. Za koju od sljedecih meta AX ocekujetenajveci udarni presjek i zasto: 39Ca, 40Ca i 41Ca?

10. (2 boda) Reakcija 6Li(d,α)4He ima jak rezonantan vrh na energiji E(d)= 0.6 MeV. Kutnaraspodjela na toj energiji dobro je opisana s (1+Acos2 θ). Mase cestica koje sudjeluju ureakciji su: M(d)= 2.0147u, M(α)= 4.003u, M(6Li)= 6.0170u i M(8Be)= 8.0079u (1u= 938.2MeV). Za spin / paritet vrijedi: Jπ(d)= 1+, Jπ(α)= 0+ i Jπ(6Li)= 1+. Iz navedenih podatakaodredite energiju pobudenja, te spin i paritet stanja jezgre 8Be preko kojeg se odvija ovareakcija.

11. (1 bod) Alfa-cestica kineticke energije 100 MeV-a rasprsuje se na jezgri 56Fe. Na kojim sekutevima javljaju prva dva difrakcijska minimuma? Jezgru shvatite kao disk polumjera 5 fm.

12. (2 boda) Odredite energiju praga reakcije u kojoj nakon sudara dvije cestice masa ma i mb

dobivamo dvije cestice masa mc i md. Gibanje cestica je relativisticko. Kakva je veza energijepraga i Q-vrijednosti reakcije? Dokazite da je Q-vrijednost endotermne reakcije uvijek manjaod energije praga (po iznosu).

13. (1 bod) Analiza mjerenja elasticnog rasprsenja protona, α-cestica i iona 16O (E= 10AMeV) nanekoj meti pokazala je da se dobar opis postize optickim potencijalima ciji realan i imaginarandio su:

p ... V= 55 MeV, W= 8 MeV;α ... V= 200 MeV, W= 45 MeV;

16O ... V= 750 MeV, W= 525 MeV.

Izracunajte iz tih podataka odgovarajuce srednje slobodne putove i usporedite s tipicnimdimenzijama jezgara.

14. (2 boda) Navedite izospine stanja jezgara 14N, 15C i 20Ne koji se mogu dostici reakcijama:(a) 10B(7Li,t)14N;(b) 16O(d,α)14N;(c) 9Be(7Li,p)15C;(d) 14C(d,p)15C;(e) 16O(α,γ)20Ne;(f) 18O(3He,n)20Ne.

15. (2 boda) U reakciji p+7Li→4He+4He (Ep= 18.6 MeV) diferencijalni udarni presjek ima maksi-mum od 1.67 barna/sr na kutu (u sustavu centra mase) θ= 75. Na tom je kutu na udaljenostiod 12.0 cm od mete postavljen detektor povrsine 0.5 cm2. Koliko ce alfa-cestica svake sekundepogadati taj detektor ako je debljina litija u meti 1.0 mg/cm2, intenzitet snopa 1.0 µA, a snopravnomjerno pogada povrsinu mete od 1 cm2?


16. (2 boda) Izracunajte udarni presjek za reakciju 109Ag(n,γ) s termalnim neutronima energije2 eV! Prva rezonancija za neutrone nalazi se na energiji 5.1 eV i njezina svojstva su Γγ= 0.14eV, Γn= 1.3·10−2 eV, a spinovi jezgara 109Ag i 110Ag su 1/2 i 1.

17. (1 bod) Pokazite da je ukupni udarni presjek za Rutherfordovo rasprsnje za kutove vece odnekog granicnog kuta θ0 dano s:

σ(θ > θ0) = 4π

(Zze2

16πε0E

)ctg2 θ0

2,

gdje su Z i z atomski brojevi jezgara mete i snopa, a E energija snopa.

18. (4 boda) Primijenite Bornovu aproksimaciju na jednodimenzionalno rasprsenje; krenite od:

ψ0(x) = Aeikx ,

te pretpostavite:ψ(x0) ≈ ψ0(x0) ,

da bi izracunali integral:

ψ(x) = ψ(x0)− im

h2k

∫ ∞

−∞eik|x−x0|V (x0)ψ(x0)dx0 .

Pokazite da je koeficijent refleksije dan s:

R ≈(m

h2k

)2 ∣∣∣∣∫ ∞

−∞e2ikxV (x)dx

∣∣∣∣2

.

19. (1 bod) Neutron kineticke energije od oko 1 MeV rasprsuje se na jezgri masenog broja Aizotropno u sustavu centra mase. Pokazite da prosjecan gubitak energije po sudaru jednak2A/(1+A)2E, gdje je E upadna kineticka energija neutrona.

20. (1 bod) Odredite omjer upadne i izlazne energije alfa-cestice koja se elasticno rasprsuje najezgri 16O pod kutem od 180.

21. (2 boda) Jezgra 5Li manifestira se kao rezonanca u elasticnom rasprsenju protona energije ≈2 MeV na 4He. Sirina rezonance je 0.5 MeV, a spin 3/2.(a) Koliko je vrijeme poluzivota jezgre 5Li?(b) Procijenite udarni presjek za rasprsenje p+4He na rezonantnoj energiji.

22. Jezgra 14N proucavana je mjerenjem ekscitacijskih funkcija za razne reakcije.a) U ekscitacijskoj funkciji za reakciju 13C(p,n)13N naden je iznimno jak vrh na laboratorijskojenergiji protona od 3.77 MeV.b) U ekscitacijskoj funkciji za reakciju 12C(d,d)12C vidi se jasan vrh na Elab

d = 0.92 MeV.c) U ekscitacijskoj funkciji za reakciju 10B(α,d)12C prvi vrh nalazi se za Elab

α = 1.13 MeV.d) U koincidenciji s gama-zrakom od 8.96 MeV (koji odgovara prijelazu iz stanja 5+ na Ex=8.964 u osnovno stanje) vidi se gama-zraka tipa E1 energije 3.46 MeV.Uoceni vrhovi tipicnih su sirina od ≈ 100 keV. Na temelju ovih podataka izvedite sto viseinformacija o stanjima jezgre 14N (ne zaboravite diskutirati izospin!).Pragovi za raspad 14N nalaze se na ovim energijama:→ 13C+p: 7.551 MeV;→ 12C+d: 10.273 MeV;→ 13N+n: 10.554 MeV;→ 10B+α: 11.613 MeV.


23. (1 bod) Reakcija 3He(n,p)3H ima udarni presjek u barnima dan s 5000·(2000/v), gdje je vbrzina neutrona zadana u m/s. Izracunajte udarni presjek za inverznu reakciju (zanemarujucikulonsku barijeru).

24. (3 boda) Pokazite pomocu Breit-Wignerove formule da je maksimalni moguci reakcijski udarnipresjek za spore neutrone dan s:

σr(max) = g0.65 · 106

Er(eV)(barn) .

Kakva je u tom slucaju veza izmedu Γγ i Γn? Primijenite formulu na 135Xe (I=3/2).

25. (3 boda) Jednostavan nacin izrade izvora neutrona je mijesanje α-emitera s berilijem i upotrebaegzotermne reakcije (Q= 5.7 MeV):

α+ 9Be→ n+ 12C .

Na energijama Eα= 4-6 MeV udarni presjek za ovu reakciju je ≈ 0.4b; ispod Eα=4 MeVudarni presjek eksponencijalno pada. Kolika mora biti aktivnost α-izvora kojeg cemo okruzitiberilijem da bi dobili neutronski izvor aktivnosti 1 Bq?Pomoc: izracunajte prvo energiju stvorenih alpha-cestica. Znajuci da one gube otprilike 1000MeV po centimetru berilija, izracunajte koliki ce put preci prije nego sto im energija padneispod 4 MeV. Iz izracunatog puta i poznatog udarnog presjeka odredite trazeni broj neutrona.Gustoca berilija je 1.8 g cm−3.

26. (2 boda) Snop neutrona energije 0.1 eV i fluksa 1012 s−1 cm−2 pada na 1 cm3 prirodnog urana.Udarni presjek za fisiju 235U je 250 b. Udio 235U u prirodnom uranu je 0.72%. Gustoca urana je19 g cm−3. U svakoj se fisiji oslobada 165 MeV energije. Koliko se nuklearne energije oslobadasvake sekunde? Ako je koeficijent pretvorbe nuklearne u elektricnu energiju 30%, koliku snagurazvija opisana nuklearna elektrana? Umjesto prirodnog urana, u realnim elektranama koristise obogaceni (udio 235U ≈ 3-4%).

27. (1 bod) Fuzija dvije identicne jezgre na niskim energijama moze se desiti kada je kulonskaenergija odbijanja u casu kada se one doticu kompenzirana razlikom energija vezanja stvorenejezgre i pocetnih jezgara. Koristeci semiempirijsku formulu mase, odredite granicni Z2/A dadode do ovako opisane fuzije. Pretpostavire da su jezgre sfericno simetricne, te zanemarireenergiju sparivanja i simetrije.

28. (1 bod) Zadani su sljedeci defekti mase: 1n = 8071 keV , 1H = 7289 keV , 7Li = 14907 keV ,7Be = 15769 keV .a) Pod kojim uvjetom (na energiju) je moguca reakcija 7Li(p, n)7Be ?b) Kolika ce biti energija neutrona na pragu u laboratorijskom sustavu pri emisiji neutrona?

29. (2 boda) Kutna raspodjela reakcije prijenosa 20Ne(d,n)21Na koja rezultira stanjem 5/2+ na2.14 MeV u 21Na ima vrh pri kutu rasprsenja 36 za deuteron uz energiju centra mase 6.0MeV. Koristeci Bornovo priblizenje ravnih valova odredite radijus 21Na te ga usporedite sastandardnom ocjenom R = 1.2A1/3 fm.

30. (2 boda) Dokazite tvrdnje: za direktne reakcije u Bornovom priblizenju s ravnim valovimasamo l = 0 prijelazi imaju maksimum za kut θ = 0 dok za l > 0 polozaj maksimuma raste,a za θ = 0 imaju minimum (u diferencijalnom udarnom presjeku).

31. (3 boda) Protoni energije 200 keV rasprsuju se na aluminiju. Za izravno rasprsenje unatrag(θ = π) nadeno je da iznosi 96% rezultata dobivena prema Ruthefordovom izrazu. Odstu-panje ima porijeklo u interferenciji kulonskog i nuklearnog medudjelovanja. Za nuklearni dio


medudjelovanja pretpostavite da utjece samo na l = 0 fazni pomak (zasto je to opravdano?).Odredite iznos i predznak doprinosa te odgovorite da li je privlacan ili odbojan.

Pomoc:f(θ) = fc(θ) + fnuc(θ)

gdje je s fc(θ) dan izrazom za amplitudu kulonskog rasprsenja (vidi npr. Wong C-73).

32. (2 boda) Za rasprsenje neutrona na neutronu pri niskim energijama, vrijednosti totalnihudarnih presjeka za singletno i tripletno rasprsenje iznose σ↑↓ = 70 b i σ↑↑=4 b. Pretpostavireda su upadni neutroni, te neutroni koji cine metu, polarizirani pod kutem od 30. Odredititotalni udarni presjek za takvo rasprsenje ako je poznato da izraz za udarni presjek sadrziclan proporcionalan produktu srednjih vrijednosti operatora spina.

33. (2 boda) Neutroni kineticke energije 1000 eV upadaju na metu od ugljika. Ako je neelasticniudarni presjek 400·10−24 cm2, koju gornju i donju granicu mozete postaviti na vrijednostielasticnog udarnog presjeka.

8.8 Dodatna literatura

1. K. Krane: “Introductory Nuclear Physics”, John Wiley and Sons, 1988.

2. G.R. Satchler: “Introduction to Nuclear Reactions”, Oxford University Press, 1990.

3. W.S.C. Williams: “Nuclear and Particle Physics”, Clarendon Press, Oxford, 1994.

Documents

Matko Milin i Ivica Friˇsˇcić - phy.pmf.unizg.hrifriscic/nf_skripta_8.pdf · 8 Nuklearne reakcije Nuklearna reakcija je, najopćenitije govoreći, svaka interakcija izmedu dvije