MathSoft Mathcad 2000 Professional

MathSoft

Mathcad 2000 Professional Vejledning og opgaver

ENGBERG a/sNordre Jernbanevej 13C . 3400 Hillerød . Telefon 48 25 17 77 . www.engberg.dk

Copyright ENGBERG a/s

Lær-selv materiale til Mathcad

*** For hurtig navigation i dokumentet: benyt "Show Bookmarks". *** Feedback modtager ENGBERG meget gerne. Benyt bookmark "Feedback". Overvejer du et kursus i Mathcad 2000 Professional, så benyt bookmark "Kursuskalender on-line" for yderligere information. Vil du holdes opdateret med de seneste nyheder om Mathcad. Benyt bookmark "Matematik on-line news" for tilmelding. God fornøjelse ENGBERG a/s

www.engberg.dk | Mathcad 2000 Professional, Vejledning og opgaver

INDHOLDSFORTEGNELSE

1 Lidt om Mathcad .............................................. 12 Hjælp ............................................................... 43 Lighedstegn....................................................... 64 Indledende regninger......................................... 75 Formatering .................................................... 126 Variable.......................................................... 167 Funktioner ...................................................... 198 Graftegning ..................................................... 229 Mere om grafer............................................... 27

10 Løsning af ligninger.......................................... 3611 Uligheder........................................................ 4012 Ligningssystemer............................................. 4213 Symbolske regninger....................................... 4414 Differentialregning............................................ 4715 Integralregning................................................. 5116 Sandsynlighedsregning..................................... 5517 Vektorer......................................................... 5818 Matricer.......................................................... 6019 Komplekse tal................................................. 6320 Regression...................................................... 6521 Differentialligninger.......................................... 6822 Skrivning af tekst............................................. 7323 Flytning af data................................................ 7624 Udskrivning..................................................... 7925 Opgaver ......................................................... 81

Stikordsregister............................................. 167

www.engberg.dk | Mathcad 2000 Professional, Vejledning og opgaver

FORORD

Vejledningen dækker i det store og hele pensum på gymnasiets matematiske linje.

Af hensyn til den høje opgave og det valgfrie forløb i 3.g er medtaget kapitlerneMatricer og Komplekse tal. Mathcad kan endnu ikke løse differential-ligningersymbolsk, men da man i version 2000 kan indskrive ligningen i normal notation, findesder også et afsnit om numerisk løsning.

Opgavesamlingen rummer mange opgaver, der rækker ud over pensum. En del af disseer lagt eksperimentelt an, og kan forhåbentlig give eleverne idéer til den høje opgave ogtil det valgfrie forløb.

Mathcads største værdi i undervisningen er nok netop dette: at gøre erfaringer vedmatematiske eksperimenter.

Vejledningen er ikke til lænestolen, men skal læses foran computeren medMathcad åbnet. Samtlige eksempler, både i vejledningen og i opgavesamlingen børindtastes; ellers kommer metoderne ikke til at sidde i fingrene.

Engberg a/sdecember 1999

Nordre Jernbanevej 13CPostboks 1943400 Hillerødtelefon: 48 25 17 77telefax: 48 24 08 47e-mail: [email protected]: www.engberg.dk

www.engberg.dk | Mathcad 2000 Professional, Vejledning og opgaver 1

1 LIDT OM MATHCAD

Skærmbilledet i Mathcad minder meget om en tekstbehandler som f.eks. Word. Detbestår af skrivefeltet samt fem linjer

• titellinjen med dokumentets navn• menulinjen• standardlinjen (værktøjslinje)• formateringslinjen (værktøjslinje)• matematiklinjen (værktøjslinje)• statuslinjen (nederst)

Matematiklinjen Math, der er en såkaldt flydende værktøjslinje, ses her trukket over ivenstre kant af vinduet.Du kan vise/skjule værktøjslinjerne ved at vælge menupunktet View/Toolbars1.Statuslinjen vises/skjules via menupunktet View/Status Bar.På figuren ovenfor ses også paletterne Graph og Calculator med en række knappertil forskellige formål.Når du klikker et sted i skrivefeltet, ses et rødt kryds. Dette er indskrivnings-punktet,hvor din indtastning starter.

1 Denne korte skrivemåde for en menu og en undermenu bruges overalt i det følgende.


Du kalder et nyt dokument frem ved at klikke på knappen New på standardlinjen

Du kan klippe og klistre ligninger og tekst v.h.a. knapperne

Cut (klip) Copy (kopiér) Paste (sæt ind)

Iøvrigt kan du genkende knapperne

Open (åbn) Save (gem) Print (udskriv)

INDSTILLINGERVed normal brug af Mathcad bør Math/Automatic Calculation være slået til.

Når man arbejder med meget beregningskrævende opgaver, kan det være en fordelmidlertidigt at slå den automatiske beregning fra. Det vises på statuslinjen, om denautomatiske beregning (AUTO) er valgt (se figuren på forrige side).

SYSTEMKRAVIfølge filen Relnotes kræves der• Pentium 90-based IBM or compatible computer.• CD-ROM drive.• Windows 95 or higher or Windows NT 4.0 or higher.• At least 32 megabytes of memory. 48 or higher is recommended.• VGA or higher graphics card and monitor required. Super VGA recommended. 256

color display required. Higher than 256 color display recommended.


• Web Library, Web browsing, and Collaboratory features require a direct Internetconnection or Internet access through a service provider. Standard Web browsing inMathcad and the on-line help require components from Microsoft Internet Explorer 4.0or higher (the option to install these components is included in the Mathcad installation).

• The Excel, MATLAB, S-PLUS, Axum, and SmartSketch components in Mathcad andMathConnex require specific versions of the associated product. See the"Components" section for more information.

Mærkeligt nok står der ikke noget om harddisken, men til Mathcad 8 lød det

• At least 80 megabytes of disk space for the typical (default) installation. At least 30megabytes of disk space is required for a minimal installation.

I Mathcad 2000 er kravet til diskplads med sikkerhed ikke mindre.

INDHOLD AF CDén• The installation program for Mathcad which includes MathConnex, sample files, and

associated on-line Help and Resource Center files.• The installation program for Axum LE for Mathcad. Axum LE is a light version of

Axum 6.0 which you can use to create detailed publication quality 2D plots.• The installation program for SmartSketch LE for Mathcad. SmartSketch LE is an

application for creating 2D CAD drawings.• The installation program for on-line documentation which consists of the Adobe

Acrobat Reader 4.0 installation program and on-line versions of the Mathcad User'sGuide, Mathcad Reference Manual, and MathConnex User’s Guide (requires AdobeAcrobat Reader 3.0 or higher). Also includes an on-line file titled Creating a User DLLwhich describes how to create Mathcad functions using C or C++. If you do not wantto install the on-line documentation pieces, you can view them from the CD. They arelocated in the DOC folder on the CD.

• The installation program for Autodesk Volo View Express which assists you ininserting AutoCAD files into a Mathcad worksheet even if you do not have AutoCADinstalled.

• Internet Explorer 5.0. IE 4.0 or higher is recommended for optimal appearance andfunctionality of the on-line Help. To install IE 5.0, run Ie5Setup.EXE in the IE folder onthe CD. In order to have improved on-line Help, the IE icon does not need to appearon your desktop, nor does IE need to be your default browser.

Det kan ikke anbefales at installere en engelsksproget version af Explorer sammen meden dansk Windows!


2 HJÆLP

Mathcads fortræffelige online-hjælp hentes via to knapper på standardlinjen

Resourse Center Help

Browseren Microsoft Explorer (version 3.02 eller senere) være installeret.

Overview and TutorialsEn introduktion til Mathcads muligheder.

Quicksheets and Reference TablesHer kan den rutinerede bruger af Mathcad finde mange glimrende eksempler.

Extending MathcadEn oversigt over programmer, der kan samarbejde med Mathcad.


CollaboratoryHer kan du kontakte brugergrupper, der beskæftiger sig med Mathcad.

Web LibraryEt bibliotek over relevant litteratur o.l. om Mathcad.

Mathsoft.comDette er et link til producenten MathSofts hjemmeside. Her kan du f.eks. hentetilføjelser og rettelser til Mathcad 2000 Professional (servicepacks og patches).

Fanebladet IndholdEn systematisk samling af emner med korte forklaringer.

Fanebladet IndeksEn komplet liste over begreber og nøgleord i Mathcad.

Fanebladet SøgHer kan du lave tekstsøgning.


3 LIGHEDSTEGN

Mathcad anvender seks forskellige lighedstegn. Deres betydning vil blive forklaret pårette sted, men lad os alligevel give en samlet oversigt her.Klik på matematiklinjen Math på knapperne Evaluation Toolbar og BooleanToolbar

Paletten Evaluation indeholder fem knapper med lighedstegn, mens paletten Booleanindeholder én knap med lighedstegn.

sædvanligt lighedstegn på tastaturet

dynamisk lighedstegn; skriv kolon på tastaturet

globalt lighedstegn (tilde ∼)2

symbolsk lighedstegn (Ctrl og punktum)

udvidet symbolsk lighedstegn (Ctrl og Shift og punktum)

fedt lighedstegn (Ctrl og +)

Når du med markøren peger på en knap, dukker der en lille gul kasse op. Dette er etsåkaldt Tooltip, som dels fortæller hvad knappen hedder og dels angiver engenvejstast. Men da amerikanske tastaturer ikke helt ligner de danske, kan du ikkealtid stole på genvejen. F.eks. viser Tooltips, at det fede lighedstegn har genvejen Ctrlog = . På dansk skal man faktisk vælge Ctrl og + .

2 Denne genvej virker på en ret specielt måde, idet symbolet ≡ ikke indsættes med det samme.Lad os f.eks. skrive ORIGIN≡1. Start med at skrive ORIGIN, tast så ∼ (tasten Alt Gr plus tasten med∼) og skriv til slut 1.


4 INDLEDENDE REGNINGER

OperatorerMathcad anvender de sædvanlige regneoperatorer på tastaturet

+ - ∗ / ^

altså: addition, subtraktion, multiplikation, division og potensopløftning.

RegnetegnI et udtryk som f.eks. 2a + 3b bør gangetegnet altid skrives: 2∗a + 3∗b. Resultatetvises som 2·a + 3·b.Vær forsigtig med at benytte tasten Space (mellemrum) ved indskrivningen af mate-matiske udtryk; ellers kan Mathcad opfatte det indtastede som en tekst.Som i alle engelsksprogede programmer benytter Mathcad punktum som decimal-separator; et komma giver koks!Som nævnt i kapitel 3 anvender Mathcad seks forskellige slags lighedstegn; vedalmindelige beregninger benyttes det sædvanlige = fra tastaturet.

Vi starter med at udregne tallet 2 + 3·4.Når du skriver 2+ omgives det indtastede af en rektangulær matematikboks

Det lille sorte rektangel er den såkaldte pladsholder, som dukker op hver gang du harindtastet en operator. De to blå linjer er redigeringslinjerne3.

Skriv 3

Skriv *

Skriv 4

Skriv =

Pladsholderen yderst til højre er reserveret til eventuelle enheder. Den forsvindersammen med matematikboksen, når du taster Retur eller klikker et sted udenfor

3 På engelsk benyttes betegnelserne math region, placeholder og editing lines.

eks.


Lad os dernæst beregne tallet (2 + 3)·4

Skriv 2+

Skriv 3 og placér redigeringslinjerne om 2 + 3, f.eks. ved at taste Space (mellem-rum)

Skriv *

Skriv 4

Skriv =

Afslut ved at taste Retur eller ved at klikke med musen udenfor matematikboksen

Lad os til slut beregne tallene

234

+ (venstre søjle) og 2 3

4+

(højre søjle)

Læg nøje mærke til placeringen af redigeringslinjerne

eks.

eks.


KonstanterGrundtallet for den naturlige logaritme skrives v.h.a. bogstavet e på tastaturet.Det gode tal π benyttes så ofte, at du bør lære genvejen: Ctrl og Skift og p.

Sletning4

Du kan slette en enkelt ligning ved med musen at trække en stiplet ramme omligningen, og klikke på knappen Cut (klip).

Du kan slette to eller flere ligninger ved at trække en stiplet ramme omkringligningerne, og trykke på tasten Delete (slet).

Du kan alternativt holde tasten Ctrl (control) nede, mens du klikker på lignin-gerne énad gangen; tast så Delete .

4 Man kan desværre ikke som i en sædvanlig tekstbehandler fortryde en sletning ved at klikke påknappen Undo eller ved at vælge Edit/Undo. I det hele taget er der mange situationer, hvor Undo erafkoblet. Det er lidt ærgerligt, men måske kommer det med i den næste version af Mathcad?


RedigeringMan har ofte brug for at rette i det indskrevne. Nedenfor ses nogle få eksempler. Iøvrigthenvises der til on-line hjælpen; klik på knappen Help og vælg på fane-bladet“Indhold” punktet “Equations/Equation editing”.

I udtrykket nedenfor vil vi erstatte + med –

Placér redigeringslinjerne som vist, enten v.h.a. musen eller v.h.a. piletasterne

Tast Backspace (tilbage) for at fjerne +

Tast –

Tast Retur

Vi har glemt parenteser omkring 6 + 3

Placér redigeringslinjerne således

Tast (

Flyt redigeringslinjerne

Tast )

Tast Retur

eks.

eks.


Vi fjerner parenteserne

Placér redigeringslinjerne

Fjern begge parenteser ved at taste Backspace. Bemærk, at Mathcad ikke mate-matisk tager hensyn til, at der faktisk hæves en minusparentes!

Tast Retur

FejlHvis du begår en matematisk ulovlighed, giver Mathcad en fejlmeddelelse

Ret fejlen og tast Retur.Det er som bekendt strengt forbudt at uddrage kvadratroden af et negativt tal. Forsøgerdu på en lommeregner, kommer der en fejlmelding. Men Mathcad giver5

Der er tale om et såkaldt komplekst tal og altså ikke noget reelt tal. Hvis du kun kenderde reelle tal, er det stadig er grim fejl at uddrage kvadratroden af et nega-tivt tal.

5 Kvadratrodsfunktionen er omtalt i kapitel 7.

eks.


5 FORMATERING

Antal decimalerMathcad regner internt med 16 cifre, men viser som standard resultatet med 3 decimaler

Ønsker du f.eks. resultatet med 6 decimaler, skal du dobbeltklikke på ligningen.

På fanebladet “Number Format” skriver du 6 i feltet “Number of decimal places”

Hvis du klikker på knappen Set as Default (vælg som standard), bliver samtligeberegninger på arket vist med 6 decimaler.

Eksponentiel notationHvis et beregnet tal enten er “tilpas stort” eller “tilpas lille” (dvs. tæt på 0), skrives det ieksponentiel notation

Du kan vælge normal notation ved at dobbeltklikke på ligningen og på fanebladet“Number Format” (se ovenfor) vælge en større værdi af “Exponential threshold”.


Hvis et beregnet tal er mindre end 1510− , bliver det som standard vist som 0

Dette lidt dumme problem klares ved at klikke et “neutralt sted” i skrivefeltet og vælgemenuen Format/Result. På fanebladet “Tolerance” ændres standardværdien 15 i feltet“Zero threshold” til et større tal (dog højest 307).

FlytningDu kan flytte en ligning ved at klikke på den. Når du så peger på matematikbok-sensramme, forvandles markøren til en sort hånd

Nu kan du trække ligningen til det ønskede sted. Du kan på samme måde flytte enmarkeret gruppe af ligninger.Den lodrette afstand mellem ligninger kan også ændres uden den sorte hånd

Placér som vist ovenfor det røde kryds mellem de to ligninger og tast Retur én ellerflere gange. Du kan på samme måde gøre afstanden mindre ved at placere krydset ogtaste Delete .

JusteringDu kan justere to eller flere udtryk enten vandret eller lodret v.h.a. knapperne

Align Across (vandret) Align Down (lodret)

Du justerer følgende to ligninger vandret ved at markere ligningerne med stiplede linjer

Markeringen sker enten ved at trække med musen hen over ligningerne eller ved atholde tasten Ctrl nede og derpå klikke på ligningerne én ad gangen.


Klik så på knappen Align Across

Du kan på samme måde justerere lodret v.h.a. knappen Align Down

Tabulator og linealNår du klikker på et matematisk udtryk og derpå taster Retur, flyttes indskriv-ningspunktet (det røde kryds) én standardafstand nedad

Du kan flytte indskrivningspunktet mod højre ved at taste Tab (tabulator); det kanf.eks. se således ud

Det er ikke pænt med forskellige afstande. Det skyldes, at du ikke kan se, hvortabulatormærkerne er placeret.Vælg derfor menuen View/Ruler. På linealen kan du nu se, at tabulatormærkerne eranbragt for hver 1,25 cm (standardværdien). På figuren nedenfor er de tre udtryk inederste linje skrevet ved at placere indskrivningspunktet til venstre for førstetabulatormærke, taste Tab og derpå skrive a:=1 osv.


Du kan lave dine egne tabulatormærker ved at klikke på linealen. Nedenfor er de treudtryk er placeret ved 2, 4 og 6 cm

Ved 8 cm ses et “privat” tabulatormærke med tilhørende hjælpelinje.Klik på tabulatormærket med højre museknap og vælg “Show Guideline”.

Valg af skriftstil6

Skriv følgende udtryk og klik på variablen x

Du kan på formateringslinjen se, at der er tale om en variabel (Variables), skrevet medstandardskriften Times New Roman i størrelse 10

Vælg nu skriften Arial i størrelse 16 og skrevet med kursiv I (Italic)

Klik dernæst på et tal. På formateringslinjen ses, at der er tale om en konstant(Constants), igen skrevet med standardskriften Times New Roman i størrelse 10.Vælg Times New Roman i størrelse 20 og skrevet med fed B (Bold)

Samtlige tal og variable på arket bliver skrevet med de nye formateringer.Faktisk er det noget pjank med disse “smarte” valg af skriftstil. Det kan dog værepraktisk at ændre skriftstørrelsen, alt afhængig af øjnenes alder og af skærmop-løsningen.

6 Mathcad anvender betegnelsen skriftstil (Math styles) for det samlede valg af skrifttype,skriftstørrelse, udseende (fed, kursiv, understreget) og farve i ligninger.


6 VARIABLE

Sædvanlig variabelBetragt et udtryk med to variable a og b

(∗)a ba b

ab

b+−

+ +2

Vi vil beregne værdien af udtrykket for a = 7 og b = 4 .En variabel skrives v.h.a. det dynamiske lighedstegn := (kolon plus lighedstegn), mendu kan nøjes med kolon.Skriv a:7 og b:4 og afslut hver gang med at taste Retur. Skriv så udtrykket (∗) ogafslut med et sædvanligt lighedstegn samt Retur

Prøv at ændre på værdierne af a og b ; resultatet opdateres øjeblikkeligt.

OmrådevariabelDen såkaldte områdevariabel bruges, når en variabel skal gennemløbe en rækkeværdier med lige stor afstand.Lad som eksempel beregne tallet x2 for x = 0,1 , 0,2 , 0,3 , ... , 1,9 , 2. Mathcad skalkun kende de to første og det sidste tal, idet de to første tal fastlægger skridt-længden

1,02,0 −=x∆ .Skriv x:0.1,0.2;2 og tast Retur

Nu skal vi beregne tabeller over tallene x og x2 . Skriv først x= , klik et andet sted iskrivefeltet og skriv her x^2= .


Bemærk, at ikke alle tabelværdier kan ses. Det klares ved at klikke på tabellen ogderpå trække nedad i det nederste, midterste håndtag.Du kan alternativt rulle ned gennem tabellen.Skridtlængden kan udelades, hvis den har standardværdien 1 ; skriv f.eks. x:3;10

Indiceret variabelMan har ofte brug for at forsyne en variabel med et indeks

195 eller ax

hvor indekset er tallet ved foden af variablen.


Lad os f.eks. skrive den indicerede variabel a0 5= − ; start med

Klik dernæst på knappen Calculator Toolbar på matematiklinjen og på knappenSubscript (indeks) på paletten Calculator

Nu ses et symbol med en pladsholder til indekset7

Skriv 0 i pladsholderen, skriv :–5 og tast Retur

Lad os som eksempel gentage beregningen af kvadrattabellen fra forrige side v.h.a. enindiceret variabel nx

7 Selv om udenadslæring er meget umoderne (ja næsten ulovligt) i vore dage, kan det alligevelanbefales at lære genvejen [ for indeks.


7 FUNKTIONER

Egne funktionerVi vil bestemme funktionsværdien f ( )5 for tredjegradspolynomiet

f x x x( ) = − −3 2 5

Funktionsforskriften skrives v.h.a. det dynamiske lighedstegn := mens beregningen skerv.h.a. det sædvanlige lighedstegn = .Skriv f(x):x^3–2∗∗ x–5 og f(5)=

Bemærk, at beregningsudtrykket f(5)= skal placeres til højre for eller under funk-tionsforskriften.Og så et eksempel, hvor en kompliceret funktion tabellægges

Funktionsværdierne formateres med 5 decimaler ved at dobbeltklikke på tabellen og påfanebladet “Number Format” skrive 5 i feltet “Number of decimal places”.

Indbyggede funktionerLad os se på nogle af de grundlæggende funktioner. Husk altid at skrive paren-teseromkring variablen som i f.eks.

sin( ) log( )x xog

De trigonometriske funktioner anvender som standard radianmål.Skriv sin(2)=


Hvis du ønsker at regne i gradmål, skal du skrive vinklen som 2deg

Mathcad kan naturligvis også finde x når det f.eks. vides, at sin x = 0,7.Men hvad hedder den omvendte funktion til sinus på engelsk? Du kan undersøge sagenved klikke på knappen Insert Function (indsæt funktion) på standardlinjen

Vælg “Function Category: Trigonometric” og rul ned gennem listen “Function Name”.Navnet asin ser lovende ud, og den korte forklaring i feltet nederst viser, at det er denønskede funktion. Klik på knappen Insert

Skriv så 0.7 i pladsholderen og tast lighedstegn

Du kan naturligvis også selv skrive asin(0.7)= .Resultatet angives i grader, hvis du skriver deg i den tomme pladsholder


I en trekant med kendte sidelængder kan vinklerne beregnes v.h.a. af cosinusrela-tionerne

Du kan også vælge en række standardfunktioner ved at klikke på knappen Calcu-latorToolbar på den matematiske værktøjslinje

På paletten Calculator findes knappen Square Root (kvadratrod)

Alternativ kan du beregne tallet som en potens

Paletten rummer også tegnet for den n´te rod

Roduddragning og potensopløftning af negative tal giver ikke det samme

Forklaringen på dette sære resultat kræver kendskab til komplekse tal.


8 GRAFTEGNING

Vi vil tegne grafen for en funktion af én variabel i et sædvanligt koordinatsystem. Og vivælger igen tredjegradspolynomiet

f x x x( ) = − −3 2 5

Vi ønsker at finde antallet af rødder (der er 1, 2 eller 3 rødder) og deres omtrent-ligeværdi.Skriv forskriften v.h.a. det dynamiske lighedstegn

og klik så et sted til højre for eller under forskriften (det røde kryds).På den matematiske værktøjslinje klikker du på knappen Graph Toolbar

Når du på paletten Graph klikker på knappen X-Y Plot, tegnes der ved indskriv-ningspunktet en figur med to pladsholdere ved det indre rektangel (og tre håndtag pådet ydre rektangel)


Skriv x i pladsholderen ved x-aksen og f(x) i pladsholderen ved y-aksen

Grafen tegnes, når du taster Retur eller klikker udenfor figuren

Grafen er som standard omgivet af et rektangel med aksetal, men det er bedre med etpar sædvanlige koordinatakser. Dobbeltklik i diagrammet og vælg på fanebladet “X-YAxes” indstillingen “Axes Style: Crossed”


Nu skal diagrammet gøres større.Klik på diagrammet og placér markøren på højre håndtag på det yderste rektangel.Markøren forvandles til en dobbeltpil, som du trækker mod højre.Placér eventuelt markøren (den sorte hånd) på det ydre rektangel og træk diagram-mettil et passende sted på arket.

Mathcad tegner som standard på intervallet − ≤ ≤10 10x . For at finde antallet afrødder i polynomiet, skal tegneintervallet indskrænkes til f.eks. − ≤ ≤2 3x .Ved et klik på diagrammet vises fire pladsholdere, to ved hver akse.

Klik på de to pladsholdere ved x-aksen og erstat standardværdierne –10 og 10 med –2og 3.


Nu ses det tydeligt, at polynomiet har netop én rod (hvorfor?), og at værdien er cirka2,1.

Aflæsning af koordinaterDet er muligt at aflæse koordinaterne til udvalgte punkter i et diagram.Klik med højre museknap på diagrammet, vælg Trace og afkryds i dialogboksen ved“Track Data Points”

Når du klikker i diagrammet, viser der sig to stiplede linjer, som skærer hinanden i etpunkt på grafen. Hvis du trækker i én af linjerne med musen, flytter skærings-punktet siglangs grafen; og du kan aflæse punktets koordinater i dialogboksen. Du kan med fordelflytte skæringspunktet v.h.a. piletasterne.Hvad sker der, hvis afkrydsningen ved “Track Data Points” fjernes?


ZoomDet er muligt at zoome ind på særligt interessante dele af grafen. Klik med højremuseknap på diagrammet og vælg Zoom

Træk nu med musen en stiplet kasse omkring det ønskede område og klik på knap-penZoom. Gentag eventuelt proceduren.

Polynomiets rod er åbenbart en smule mindre end 2,1.Du kan gendanne diagrammets oprindelige størrelse ved at klikke på knappen FullView.


9 MERE OM GRAFER

Flere graferVi vil i samme koordinatsystem tegne graferne for funktionerne f og g givet ved

f x x x

g x x x

( ) sin ,

( ) cos ,

= − ≤ ≤= − ≤ ≤

6 6

6 6

Da de to funktioner har samme definitionsmængde, kunne vi blot skrive –6 og 6 i de topladsholdere ved x-aksen, men lad os se på en anden metode.Et grafprogram kan kun tegne linjestykker. Men er linjestykkerne tilpas korte, blivergrafen smukt jævn. Vi skal blot oplyse Mathcad om hvilke støttepunkter, der fastlæggerlinjestykkerne; vi vælger skridtlængden 0,01

–6,00 , –5,99 , –5,98 , ... , 5,98 , 5,99 , 6,00

Af disse mange tal skal Mathcad blot kende de to første og det sidste. Definér der-forområdevariablen x ved på arket at skrive x:–6,–5.99;6 .På paletten Graph klikker du på knappen X-Y Plot. Skriv så x i den nederstepladsholder og sin(x),cos(x) i pladsholderen til venstre og tast Retur.Gør diagrammet større og tegn normale akser, helt som beskrevet i forrige kapitel.

Det er pænt med lidt plads omkring de to grafer.Skriv derfor –6,5 og 6,5 i de to pladsholdere ved x-aksen, samt –1,2 og 1,2 i de topladsholdere ved y-aksen.


Diagrammet mangler nu blot en smule formatering.Dobbeltklik på diagrammet og vælg fanebladet “Traces”, hvor udseendet af de to graferkan ændres.

Grafen for f kaldes “trace 1”, mens “trace 2” er grafen for g . Vælg de viste ind-stillinger for trace 2.Prøv at eksperimentere med de forskellige indstillinger, f.eks.• Afkryds ved “Hide Arguments”.• Fjern afkrydsningen ved “Hide Legend”.


GaffelfunktionVi vil tegne grafen for funktionen f givet ved forskriften

f xx x

x x( ) =

+ − ≤ ≤

− + < ≤

3 1 3 1

10 1 42

,

,

Vælg to forskellige navne for den uafhængige variable og skriv8 f.eks.

Klik så på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv x1,x2 og f1(x1),f2(x2) ide to pladsholdere

Vi kan også tegne en åben cirkel i punktet (1,9).Skriv på arket x3:1 og tilføj ,x3 og ,f2(x3) i de to pladsholdere ved akserne. Til slutskal punktet (trace 3) formateres mht. farve og symbol.

8 Det er her nødvendigt at vælge to forskellige funktionsnavne f1 og f2 ; men bemærk, at der faktiskkun er tale om én funktion f .


ParameterfremstillingNår en cirkel ruller langs en ret linje, vil et fast punkt på cirklen gennemløbe en kurve, ensåkaldt cykloide. Kurven beskrives v.h.a. en parameterfremstilling

x a t tt R

y a t

= −∈

= −

( sin ),

( cos )1

Kurven er periodisk med perioden 2π , og vi vil tegne fem af disse perioder.Vælg a = 1 og skriv

Klik dernæst på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv x(t) og y(t) i de topladsholdere ved akserne

Dobbeltklik på diagrammet og vælg på fanebladet “X-Y Axes” indstillingen “AxesStyle: Crossed”.Vælg fanebladet “Labels”, skriv teksten CYKLOIDEN i feltet “Title” og afkryds i feltet“Show Title”.Nu kan vi beundre den elegante kurve, der fascinerede 1600-tallets matematikere såmeget


PunktdiagramPå et amerikansk gymnasium udvalgte man på tilfældig måde 10 elever fra en storgruppe, der var til eksamen i både algebra og fysik. Tabellen viser det antal point, someleverne fik i de to fag

algebra 75

fysik

80 93 65 87 71 98 68 84 77

82 78 86 72 91 80 95 72 89 74

Er der er en sammenhæng mellem præstationen i de to fag? Er det sådan, at jo bedreman er til algebra, jo bedre er man også til fysik?For at kunne overskue sagen, vil vi tegne datamaterialet som 10 punkter i etkoordinatsystem med algebrapointene på x-aksen og fysikpointene på y-aksen.Vælg menuen Insert/Component/Input Table. Nu indsættes en tabel, der minder omet regneark

Giv tabellen et navn som f.eks. “data”. Skriv data i den tomme pladsholder, klik påtabellen og udvid ved at trække nedad i det midterste, nederste håndtag. Indskriv såalgebrapointene i venstre søjle og fysikpointene i højre søjle. Når du taster Retur,flyttes markeringen til næste celle, helt som i et regneark.

Du kan slette en hel række ved at• klikke (med venstre museknap) på en celle i rækken• klikke med højre museknap på cellen• vælge menuen “Delete Cells”• vælge “Delete: Entire Row”


Mathcad nummererer som standard søjlerne 0, 1, 2, ... regnet fra venstre. Vi kalder deto søjler for “algebra” og “fysik” og skriver

Den trekantede symbol i eksponenten skrives ved at klikke på knappen MatrixColumn (søjlematrix) på paletten Matrix

Tegn nu diagrammet ved at klikke på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skrivealgebra hhv. fysik i de to pladsholdere ved akserne.

Det ligner jo et moderne maleri! Sagen er den, at de ti punkter er forbundet medlinjestykker på kryds og tværs; vi skal blot fjerne linjestykkerne.• Gør diagrammet større.• Dobbeltklik på diagrammet og vælg normale akser på fanebladet “X-Y Axes”.• Vælg på fanebladet “Traces” disse indstillinger for den røde graf


Der er en tydelig, voksende sammenhæng mellem resultaterne i algebra og fysik.Vi vender tilbage til dette eksempel i kapitel 20 om regression.

Funktion af to variableBetragt en funktion f af to variable som f.eks.

f x y x y( , ) = −2 2

Grafen for en sådan funktion er en flade i rummet, her en såkaldt saddel.Placér indskrivningspunktet et passende sted og klik på knappen Surface Plot påpaletten Graph

Der tegnes nu et rumligt koordinatsystem med en pladsholder nederst; her skriver du f


Nu kommer det snedige: du kan dreje kurven ved med musen at trække forskelligesteder indenfor rammen; prøv at eksperimentere!

Klik på diagrammet, hold Shift nede mens du trækker i grafen med musen og slip såmusen igen. Figuren vil nu rotere indtil du igen klikker på diagrammet.Rotationshastigheden og rotationsaksen afhænger af hastigheden og retningen af dittræk.Du kan zoome på en 3D-graf ved at klikke på diagrammet og holde Ctrl nede, mensdu enten trækker opad eller nedad med musen. Hvis du har en mus med centerhjul, kandu blot klikke på diagrammet og derpå dreje hjulet.Du kan formatere grafen ved at dobbeltklikke i diagrammet. Prøv at vælge disseindstillinger på fanebladet “Appearance” (udseende)

Indstillingen “Line Options: No Lines” er også interessant.


Du kan fjerne koordinatsystemet ved på fanebladet “General” at vælge “Axes Style:None”.Du kan fjerne diagramrammen ved på fanebladet “General” at fjerne afkrydsningen ved“Frames: Show Border”.Vælg også fanebladet “QuickPlot Data”

Felterne “start” og “end” i “Range1” og “Range2” fastlægger x-intervallet og y-intervallet, her standardværdierne 55 ≤≤− x og 55 ≤≤− y .Tallene “Number (# ) of Grids” n bestemmer skridtlængderne x∆ og y∆

nstartend −== yx ∆∆

Prøv f.eks. at skrive 4 i de to felter.Iøvrigt er der så mange muligheder for formatering, at det er håbløst at gennemgå demher; prøv dig frem!Du kan få vejledning ved at klikke på knappen Hjælp på fanebladet.Du kan også finde et udvalg af flotte og komplicerede eksempler ved at klikke påknappen Resource Center på standardlinjen. Vælg her

• Overview and Tutorials: Creating 3D Graphs• Quicksheets and Reference Tables: Graphing and Visualization og Gallery of Curves

and Surfaces.


10 LØSNING AF LIGNINGER

Vi så i kapitel 8, at tredjegradspolynomiet

f x x x( ) = − −3 2 5

har netop ét nulpunkt, og værdien blev aflæst til cirka 2,1. Vi vil her beregne dettenulpunkt v.h.a. forskellige snedige metoder.

1. metodeNår du på en lommeregner vil finde nulpunkter, skal du ofte selv levere et start-gæt;Mathcad virker på samme måde.Definér funktionen og skriv så x:2 og løsning:root(f(x),x) og løsning=

Dette stemmer nydeligt med det grafiske resultat.Og resultatet ser imponerende præcist ud, men kan vi stole på samtlige cifre? Vi kanundersøge sagen ved at beregne funktionsværdien af den fundne løsning.Skriv f(løsning)=

Funktionsværdien er næsten nul, men altså ikke helt. Det er muligt at komme tættere pånul, men det kræver lidt forklaring.Når Mathcad (og visse lommeregnere) finder nulpunkter, beregnes der en rækkeværdier x x1 2, ,K som nærmer sig mere og mere til “den korrekte værdi”. Menregneprocessen skal jo stoppe på et tidspunkt, og i Mathcad sker det som standardførste gang to x-værdier adskiller sig mindre end 0,001. Er dette f.eks. opfyldt for

x x8 7 0 001− < ,

leverer Mathcad altså tallet x8 som resultat9.

9 Funktionen root anvender som standard den såkaldte sekantmetode.


Tallet 0,001 er den såkaldte tolerance, som du selv kan ændre. Ønskes tolerancenf.eks. nedsat til 10 10− skriver du blot TOL:10^–10 på selve arket

Sammenlign med resultatet ovenfor!Da funktionsværdien er mindre end 1510− , er den formateret som vist i kapitel 5.Prøv at eksperimentere med forskellige værdier af tolerancen TOL.

2. metodeDen ovenfor beskrevne metode kan benyttes med alle typer funktioner. Mathcad harimidlertid en meget snedig nulpunktsmetode, specielt beregnet på polynomier (medgrad på højest 99).Det generelle polynomium af n´te grad har formen

f x a x a x a x ann

nn( ) = + + + +−

−1

11 0K

Det givne tredjegradspolynomium har koefficienterne

a a a3 1 01 2 5= = − = −, og

idet vi kun medtager de koefficienter, der er forskellige fra nul.Skriv de tre koefficienter (indeks har genvejen [ ) samt polyroots(a)=

Polynomiet har altså den reelle rod 2,095 (samt to komplekse rødder, som du ikkeskal bekymre dig om). Vi formaterer rødderne med det maksimale antal decimaler


Bemærk, at den reelle rod ikke har helt samme værdi som ved den første metode. Lados kontrollere ved at beregne funktionsværdien.Træk markøren hen over tallet, så det bliver sort og klik på knappen Copy påstandardlinjen. Skriv f( ) og kopiér tallet over i den tomme pladsholder ved at klikkepå knappen Paste

Resultatet er altså ikke helt så godt som ved den første metode! Og desværre hartolerancen TOL ingen virkning ved en beregning med funktionen polyroots.

3. metodeDenne metode er ganske imponerende, idet rødderne beregnes eksakt. Metoden virkerdog ikke ved alle ligninger!Du får her brug for et par knapper på paletterne Boolean og Evaluation

Skriv ligningen f x( ) = 0 med det fede lighedstegn, vælg det udvidede symbolskelighedstegn n→ , skriv solve,x i pladsholderen10 og tast Retur

f x( ) x3 2 x⋅− 5−:=

f x( ) 0 solve x,

1

6540 12 1929⋅+( )

1

3

⋅4

540 12 1929⋅+( )1

3

+

1−12

540 12 1929⋅+( )1

3

⋅

2

540 12 1929⋅+( )13

−1

2i⋅ 3⋅

1

6540 12 1929⋅+( )

1

3

⋅

4

540 12 1929⋅+( )13

−

⋅+

1−12

540 12 1929⋅+( )1

3

⋅2

540 12 1929⋅+( )1

3

−1

2i⋅ 3⋅

1

6540 12 1929⋅+( )

1

3

⋅4

540 12 1929⋅+( )1

3

−

⋅−

→

10 solve er et såkaldt symbolsk nøgleord.


Ligningens reelle rod ses øverst på eksakt form; det er da flot!Du kan beregne tilnærmede værdier ved at klikke på resultatet og taste lighedstegn

altså helt samme resultat som ved metode 1.Mathcad kan også løse den generelle andengradsligning rent symbolsk

Du genkender sikkert udtrykket?

4. metodeVi vil til slut se på den såkaldte løsningsblok Given/Find, en meget stærk metode, somofte kan løse ligninger eksakt.Start med at skrive Given og skriv så ligningen med det fede lighedstegn. Skriv endeligFind(x)→→ med det symbolske lighedstegn fra paletten Evaluation og tast Retur

Resultatet bliver ganske som ved metode 3, nu blot skrevet vandret (ovenfor ses kun endel af skærmbilledet).Også den generelle andengradsligning kan løses v.h.a. Given/Find


11 ULIGHEDER

Uligheder kan (somme tider) løses v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn medsolve,x i pladsholderen.

Først en helt enkel ulighed af første grad

altså1331 >⇔−<− xxx

Ulighedstegnene < og > findes på tastaturet, mens ≤ ≥og må hentes på palettenBoolean.

Mathcad kan løse mere komplicerede uligheder som f.eks.

Gangetegnet i den første ulighed skal læses som et logisk og

x x x x x2 3 10 0 5 2 5 2+ − < ⇔ − < ∧ < ⇔ − < <

Søjlenotationen i den anden ulighed skal læses som et logisk eller

2501032 >∨−<⇔>−+ xxxx

Mathcad kan også klare uligheden

altså6420484412 23 >∨<<⇔>−+− xxxxx

Læseren opfordres til som kontrol at tegne grafen for funktionen f givet ved

484412)( 23 −+−= xxxxf

eks.

eks.

eks.


Endelig en temmelig kringlet ulighed

Her skal vi passe på, da kvadratroden jo kun er defineret for 0≥x .For kontrollens skyld bør løsningen ledsages af en grafisk illustration

Den viste markeringslinje tegnes ved at dobbeltklikke på diagrammet og på fanebladet“X-Y Axes” afkrydse ved “X-Axes: Show Markers”. Der dukker nu to nye plads-holdere op nederst i diagrammet; her skrives tallet 324 + .Nu kan vi med god samvittighed angive løsningen til uligheden som

3240121 +≤≤⇔−≥ xxx

eks.


12 LIGNINGSSYSTEMER

Mathcad kan også løse n ligninger med n ubekendte; et eksempel

x y z

x y z

x y z

+ − =− + − =− + − =

0

2 3 9 0

5 3 2 0

Vi anvender løsningsblokken Given/Find

Ligningssystemet har altså løsningen ( , , ) ( , , )x y z = 12 3 .

Vi beregner koordinaterne til skæringspunkterne mellem parablen med ligningen y x= 2

og linjen med ligningen y x= +2 3

Idet koordinaterne aflæses lodret, er skæringspunkterne altså A B( , ) ( , )−11 3 9og .

Følgende opgave går ud på at bestemme løsningsmængden til ligningssystemet

ax y

x ay

+ =+ =

2 2

8 4

for enhver værdi af parametren a R∈ .

eks.

eks.

eks.


Skriv

Denne løsning kræver tilsyneladende kun, at a ≠ −4 . Men en håndregning viser, at vimå kræve, at a a≠ − ∧ ≠4 4 . Og Mathcad oplyser intet om, hvad der sker, hvisbetingelsen ikke er opfyldt. Læseren opfordres til at vise, at

{ }a L

a L x y y x

= − = ∅

= = = − +

4

4 2 1

:

: ( , )|

Mathcads løsning kan derfor ikke bruges for a = 4 .Igen ser vi det interessante: et matematikprogram kan kun bruges med fornuft, hvis mani forvejen kan noget matematik.Nu vi er blevet så meget klogere, kan vi jo passende se, hvad Mathcad stiller op itilfældet a = –4

Det passer jo fint, da der faktisk ikke er nogen løsning.Men hvad med a = 4?

Mathcad giver løsningen på formen ( , )x x− +2 1 , altså det korrekte svar!


13 SYMBOLSKE REGNINGER

Mathcad tilbyder en række muligheder for at arbejde med bogstavsudtryk; vi ser pånogle af de vigtigste.

UdregningSkriv

Vælg det udvidede symbolske lighedstegn n→ på paletten Evaluation, skriv expand ipladsholderen og tast Retur

Vi kan også eftervise de såkaldte additionsformler fra trigonometrien

ReduktionMathcad kan (somme tider) reducere v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn medsimplify i pladsholderen

Mathcad har det med at sætte overflødige parenteser.

FaktoriseringMathcad kan (somme tider) faktorisere v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn medfactor i pladsholderen


Den omvendt opgave, at gange udtrykket ud, klares v.h.a. det udvidede symbolskelighedstegn med collect,x i pladsholderen

GrænseværdiPaletten Calculus rummer tre grænseværdisymboler

Vælg det sædvanlige grænseværdisymbol

Udfyld de tre pladsholdere som vist, idet symbolet ∞ også hentes på paletten.Vælg så det symbolske lighedstegn → og tast Retur

Bemærk, at Mathcad på en uheldig måde blander de to skrivemåder

limx

xx

xx

x→∞

+−

=+−

→ → ∞2

2

2

2

74 9

14

74 9

14

og for

På paletten Calculus findes også symboler for ensidige grænseværdier

Man kan undersøge hvilke funktioner, der vinder kapløbet mod uendelig


SummerDu kender sumsymbolet sigma (det store græske S) fra et regneark som f.eks. Excel.Symbolet anvendes til at skrive en sum på en kort måde

nn

2

1

10002 2 21 2 1000

=∑ = + + +K

Vælg sumsymbolet på paletten Calculus

Udfyld de fire pladsholdere og tast lighedstegn

Prøv også med det symbolske lighedstegn

Pionererne bag udviklingen af integralregningen anvendte bl.a. formlen

1 2 1 2 12 2 2 16+ + + = + +K k k k k( )( )

Denne flotte formel kan vi let finde ved symbolske regninger

Bemærk dog, at vi ikke har bevist formlen!


14 DIFFERENTIALREGNING

DifferentialkvotientLad os eftervise differentialkvotienten

f x x f( ) ( )= ⇒ ′ =3 1 3

Start med at skrive det tal, hvor differentialkvotienten skal beregnes

Mathcad anvender Leibniz ́differentiationssymboler

df xdx

f xd f x

dxf x

( )( ) ,

( )( ) .= ′ = ′′

2

2 osv

Symbolerne findes ved at klikke på knappen Derivative (den afledede) på palettenCalculus (differential- og integralregning)

Udfyld de tomme pladsholdere og tast lighedstegn

Det samlede resultat tager sig således ud

eks.


Lad os også beregne tallet ′′f ( )1 .Klik på knappen Nth Derivative (den n´te afledede) på paletten Calculus og udfyldpladsholderne

Den øverste pladsholder udfyldes automatisk, når 2-tallet skrives i nævneren. Tast tilslut lighedstegn

Og så et par slemme differentialkvotienter

Afledet funktionMathcad kan også bestemme en forskrift for den afledede funktion. Her skal duanvende det symbolske lighedstegn →→ fra paletten Evaluation og afslutte med at tasteRetur

Nu har vi længe nok døjet med dette pilesymbol, der kan forlede svage sjæle til at tro,at der er tale om en grænseværdi. Lad os se, hvordan man kan skrive integralet på enmere korrekt form.Markér venstre side af udtrykket

eks.

eks.

eks.


Klik på knappen Copy, klik med musen et eller andet sted i skrivefeltet (det rødekryds) og klik på knappen Paste

Flyt så redigeringslinjerne

Skriv dernæst det fede lighedstegn fra paletten Evaluation

Markér højre side af det oprindelige udtryk og klik på knappen Copy

Klik på den tomme pladsholder og på knappen Paste

Resultatet er ikke nogen skønhedsåbenbaring, men skrivemåden er i orden.

Og så et eksempel, som man næsten ikke orker at udregne i håndeneks.


Disse to udtryk trænger i høj grad til en reduktion. Tilføj derfor det udvidede symbol-ske lighedstegn n→ med factor i pladsholderen

De fleste ville nok i en håndregning gange faktoren x ind i tælleren og samtidig fjerne deoverflødige parenteser, men Mathcad sætter altså samtlige faktorer uden-for parentes.Lad os skrive resultatet med lighedstegn

Det overlades til læseren at vise, at

Ikke alle funktioner er differentiable; f.eks. har numeriskfunktionen som bekendt etproblem i x = 0

Grafen bekræfter problemet

eks.


15 INTEGRALREGNING

På paletten Calculus findes der knapper for både det bestemte integral og det ube-stemte integral

Det bestemte integralKlik på knappen Definite Integral (bestemt integral), udfyld de fire pladsholdere ogtast lighedstegn

Og så et eksempel, der viser forskellen mellem det sædvanlige lighedstegn og detsymbolske lighedstegn

Den symbolske integration giver ikke altid noget forståeligt (vi vender tilbage til detteeksempel)

eks.

eks.

eks.


Det bestemte integral eksisterer med sikkerhed, hvis integranden er kontinuert på etlukket og begrænset integrationsinterval. I modsat fald kan der opstå problemer.Lad os se på et eksempel, hvor integranden ikke er defineret på hele integrations-intervallet

En symbolsk regning bekræfter, at integralet er divergent

StamfunktionKlik på knappen Indefinite Integral11 (ubestemt integral), skriv integranden ogintegrationsvariablen i de to pladsholdere, vælg det symbolske lighedstegn → og tastRetur

Vi skriver for en ordens skyld den korrekte udgave uden pil

Bemærk, at Mathcad ikke skriver den additive konstant i stamfunktionen; den må manselv huske!

Det er lidt tarveligt, at Mathcad oftest udelader vigtige numerisktegn

Mathcads resultater skal altså (heldigvis!) fortolkes af en god matematiker.

11 Bemærk trykfejlen!

eks.

eks.

eks.


Og så en mere snedig stamfunktionsopgave

Udtrykket er for kompliceret, så vi prøver det udvidede symbolske lighedstegn medsimplify i pladsholderen; det bliver kun en smule pænere

Med factor i pladsholderen bliver udtrykket rimeligt

Tilføjes endnu et udvidet symbolsk lighedstegn med factor fås en god reduktion (kunsidste del af den meget lange linje ses her)

Det er svært at angive bestemte regler for regninger af den viste type; det er i høj grad etspørgsmål om at prøve sig frem.Lad os til slut skrive resultatet på en rimelig form

Som bekendt har enhver kontinuert funktion en stamfunktion. Men det er blot ikke altidmuligt at finde en forskrift for stamfunktionen; nogle eksempler

sin( ) ,sin

x dxx

xdx

ex

dxx

2∫ ⌠⌡

⌠⌡

og

I disse besværlige tilfælde må man gribe til numeriske metoder og beregne en tabel overstamfunktionens værdier.

eks.

eks.


Lad os se, hvordan Mathcad klarer stamfunktionsopgaven

Det er jo ikke ret oplysende. Men prøv at finde noget om funktionen Si ved at klikke påknappen Help og skrive “si” i søgefeltet på fanebladet “Indeks”. Vælg opslaget “Sifunction”, rul ned gennem listen til højre og klik på den blå tekst Si(x). Det fremgår, atder er tale om det såkaldte sinusintegral

dtt

tx

x

⌡⌠=0

sin)(Si

Idet

0)0(Siogsin

)('Si ==x

xx

ses, at Si er den stamfunktion til xx /sin , hvis graf går gennem O(0,0).Vi kan nu let tabellægge stamfunktionen Si


16 SANDSYNLIGHEDSREGNING

Mathcad kender et væld af sandsynlighedsfordelinger; vi vælger de to vigtigste:binomialfordelingen og normalfordelingen.

BinomialfordelingenEn stokastiske variabel X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsyn-lighedsparameter p .Frekvensfunktionen for X kan beregnes v.h.a. funktionen dbinom

P X k k n p( ) ( , , )= = dbinom

mens fordelingspunktionen beregnes v.h.a. funktionen pbinom

P X k k n p( ) ( , , )≤ = pbinom

Med antalsparameter 10 og sandsynlighedsparameter 0,3 fås

altsåP X P X( ) , ( ) ,= = ≤ =6 3 68% 6 98 64%og

Vi tegner et stolpediagram for fordelingen (se formatering nedenfor)

Det ses, at den mest sandsynlige værdi er X = 3 .


Ved formateringen er valgt følgende indstillinger på fanebladet “Traces”

samt tallene –1 og 11 i pladsholderne ved førsteaksen.Fjern på fanebladet “X-Y Axis” afkrydsningen ved “X-Axis: Auto Grid” og skriv 12 ifeltet “Number of Grids”, idet jo xmax – xmin = 11 – (–1) = 12.

NormalfordelingenEn stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi µ og spredning σ .Værdierne af frekvensfunktionen beregnes v.h.a. funktionen dnorm

f t t( ) ( , , )= dnorm µ σ

Fordelingsfunktionen for X beregnes v.h.a. funktionen pnorm

P X t t( ) ( , , )≤ = pnorm µ σ

mens den omvendte funktion hedder qnorm

P X t k t k( ) ( , , )≤ = ⇔ = qnorm µ σ

Med middelværdien 5 og spredningen 12 fås

altsåP X( ) ,≤ =6 97 72% og P X t t( ) , ,≤ = ⇔ =56 34% 5 080

Et eksempel: Levetiden for en bestemt type glødelampe antages at være normal-fordeltmed middelværdi 750 timer og spredning 25 timer. Vi kan da beregne det forventedeantal glødelamper med en levetid på mellem 700 timer og 775 timer i en tilfældigtudvalgt stikprøve på 300 glødelamper


Vi tegner også grafen for frekvensfunktionen

De to markeringslinjer tegnes ved at dobbeltklikke på diagrammet og på fanebladet“X-Y Axes” afkrydse ved “X-Axes: Show Markers”. Der dukker nu to nye plads-holdere op nederst i diagrammet; her skrives tallene 700 og 775.

Tilfældige tal

Du kan frembringe et tilfældigt tal i intervallet [ [0;a v.h.a. tilfældighedsfunktionen rnd12;

med a = 6 fås

Et terningkast simuleres ved at nedrunde tallet v.h.a. funktionen floor og addere 1

Ved gentagne kast med en terning kan man skrive

Du kan kaste en “ny serie” ved at vælge Math/Calculate Worksheet.

12 rnd står for random, tilfældig.


17 VEKTORER

En vektor skrives traditionelt enten a med fed kursiv eller med en pil ra . I Mathcad må

vi give afkald på pilesymbolet, mens skrivemåden a er omtalt i én af opga-verne tilkapitel 5. Her vil vi anvende symbolet a for en vektor; skriv

Klik så på knappen Matrix or Vector på paletten Matrix

Der dukker nu en dialogboks op

Vælg som vist 3 rækker (rows) og 1 søjle (columns) og klik på Insert

Skriv så vektorens koordinater, idet markøren flyttes mellem pladsholderne v.h.a. ententasten Tab (tabulator) eller piletasterne


De grundlæggende vektoroperatorer er

sum (sædvanligt +)

differens (sædvanligt –)

multiplikation af tal og vektor (sædvanligt ∗)

prikprodukt, skalarprodukt (sædvanligt ∗)

krydsprodukt, vektorprodukt (Ctrl og 8)

længde (sædvanligt | )

Krydsproduktet og længden kan også findes på paletten Matrix.Nedenfor ses de almindeligste vektorberegninger

Vinklen v mellem vektorerne a og b kan findes således

Mathcad kan også regne rent symbolsk med vektorer


18 MATRICER

En matrix indskrives på samme måde som en vektor (se forrige kapitel); det er ikke såoverraskende, da en vektor jo kan opfattes som en søjlematrix.Skriv

Her kunne vi også have anvendt skrivemåden A med fed kursiv (omtalt i én afopgaverne til kapitel 5).Man kan addere og subtrahere to matricer

Man kan gange to matricer med hinanden og man kan gange en matrix med et tal

Man kan opløfte en matrix til hel eksponent; specielt vigtig er den inverse matrix A-1

Man kan transponere en matrix v.h.a. knappen Matrix Transpose på palettenMatrix

Man kan beregne matricens determinant det(A)


Man kan også regne eksakt

Man kan opbygge en enhedsmatrix E

Man kan udlæse de enkelte elementer og de enkelte søjler i en matrix

I danske fremstillinger kaldes matricens elementer traditionelt a i j hvor rækkenum-meret

i og søjlenummeret j antager værdierne 1, 2, ... . Mathcad anvender derimod somstandard værdierne 0, 1, ... . For at undgå denne forvirring vælger vi start-indeks 1 vedat skrive ORIGIN ≡ 1 med det globale lighedstegn.Man kan finde antal rækker, antal søjler, det største element og det mindsteelement i en matrix

Man kan naturligvis formatere matricens tal med et dobbeltklik

Man behøver ikke at indskrive en matrix via paletten Matrix. Vælg alternativtInsert/Component/Input Table og indskriv tallene i tabellen


Hvis du beregner tabellen ved at skrive A= , vises den som standard på matrixform

En beregnet matrix kan omdannes til en tabel ved at dobbeltklikke på matricen og påfanebladet “Display Options” vælge “Matrix display style: Table” (se ovenfor til højre).Det er også muligt at arbejde rent symbolsk med matricer

Skulle man have glemt, hvordan man multiplicerer to matricer, er der også råd for det


19 KOMPLEKSE TAL

Den komplekse enhed i skrives som 1i uden gangetegn

Et tal som 3 + i skrives tilsvarende med et 1-tal

Passer man ikke på her, opfatter Mathcad fejlagtigt symbolet i som en variabel.Et tal som 7i skrives lettest uden gangetegn og med i til højre

Men det kan også skrives som et produkt

eller

Lad os kort gennemgå nogle grundlæggende regninger med komplekse tal; skriv

Addition og subtraktion

Multiplikation og division

Modulus og argument (med hovedværdien mellem –π og π )

Man kan også regne symbolsk (eksakt)


Potensopløftning og kompleks konjugering (skriv anførselstegn “)

Realdel og imaginærdel hvor Re og Im skal staves med stort begyndelsesbogstav

Mathcad kender også de komplekse funktioner

Lad os løse den binome ligning z3 5= − . Skriv ligningen med det fede lighedstegn, vælgdet udvidede symbolske lighedstegn n→ , skriv solve,z i pladsholderen og tast Retur

Beregn også tilnærmede værdier ved at klikke på udtrykket og taste lighedstegn.Vi kan også løse en andengradsligning med negativ diskriminant

Til slut et eksempel på, hvordan man kan regne med modulus og argument


20 REGRESSION

Vi tegnede i kapitel 9 et punktdiagram over eksamensresultater i algebra og fysik. Vi vilnu finde en eventuel lineær sammenhæng mellem resultaterne i de to fag.

De to søjler gives de korte navne X og Y . Hældningen af den bedste rette linje beregnesv.h.a. funktionen slope, mens afskæringen på y-aksen beregnes v.h.a. funktionenintercept.Den bedste rette linje har altså ligningen

y x= ⋅ +0 661 29 13, ,

Korrelationskoefficienten corr ( , )X Y er et mål for, hvor tæt punkterne ligger på denbedste rette linje. En værdi på corr ( , )X Y = ±1 fortæller, at punkterne ligger perfekt pålinjen. Med corr ( , ) ,X Y = 0 872 er sammenhængen ikke perfekt, men en nøjereundersøgelse viser, at det er rimeligt at tale om en lineær sammenhæng mellemresultaterne i algebra og fysik.Vi skal nu have tegnet et diagram med den bedste rette linje samt de 10 punkter. Skrivderfor på arket

og klik på knappen X-Y Plot på paletten Graph. Skriv X i pladsholderen ved x-aksenog Y,f(X) i pladsholderen ved y-aksen.


Diagrammet har tydeligvis brug for en større omgang formatering, nemlig• Gør diagrammet større.• Vælg almindelige koordinatakser på fanebladet “X-Y Axes”.• Vælg følgende indstillinger på fanebladet “Traces”

Et diagram er ikke komplet uden overskrift og aksetekster.• Skjul aksevariablerne ved på fanebladet “Traces” at afkrydse i feltet “Hide

Arguments”.• Skriv følgende på fanebladet “Labels”


Og så er vi ved vejs ende

Mathcad er virkelig stærk til regression og kurvefitning. Men fremgangsmåden er oftemeget kompliceret og kun forståelig for specialister og nørder. Ved regressioner aftypen

y b a

y b x

x

a

= ⋅

= ⋅

eksponentiel udvikling

potensudvikling

er et regneark som f.eks. Excel langt lettere at bruge end Mathcad. Men mon ikkeMathSoft i en kommende version får løst dette problem?


21 DIFFERENTIALLIGNINGER

Mathcad kan endnu ikke løse differentialligninger symbolsk. Men i version 2000 er detmed introduktionen af funktionen med det lystige navn Odesolve13 blevet overkommeligtat løse differentialligninger numerisk. Ligningen skal afhænge af én variabel og leddetmed den højeste afledede skal være lineært14.Differentialligningen skrives enten v.h.a. Leibniz ́ differentiationssymbol eller v.h.a.differentiationsmærket

KK ,)('',)('eller,)(,)(2

2

xfxfxfdxd

xfdxd

En afledet i en startbetingelse eller randbetingelse skal skrives v.h.a. differentiations-mærket. Differentiationsmærket skrives lettest v.h.a. accenten ` (accent grave).Det fede lighedstegn anvendes i både ligning og startbetingelse hhv. randbetingelse.Den uafhængige variable skal altid medtages K),(),( txxf .

Betragt differentialligningen

yx

dxdy cos=

Vi vil bestemme den positive løsning, hvis graf går gennem punktet )2,ð(P .Ligningen løses v.h.a. en løsningsblok Given/Odesolve.

Løsningen f bliver nu beregnet på intervallet 8≤≤ xπ .Integralkurven tegnes ved at skrive x og f(x) i de to pladsholdere ved akserne. Vitegner også grafen for den eksakte løsning

Rxxxg ∈+= ,4sin2)(

Læseren opfordres til at kontrollere ved at separere de variable.

13 Navnet kommer af Ordinary Differential Equation.14 Partielle differentialligninger og systemer af differentialligninger kan også løses i Mathcad, mendet er noget mere krævende.

eks.


Vi kan også udskrive en tabel over funktionsværdier

Resultaterne er ikke bare pæne, de er nydelige!

Vi vil bestemme den løsning til differentialligningen

yy 41'' =

hvis graf går gennem punktet )6,0(P , og her har en tangent med hældningen 1 .

eks.


Vi tegner integralkurven sammen med den eksakte løsning

Rxeexg xx ∈+= − ,24)( 21

21

Det overlades til læseren at eftervise dette udtryk.

Vi kan få et indtryk af nøjagtigheden ved at beregne et par værdier

Mange interessante differentialligninger kan principielt kun løses numerisk.Et matematisk pendul består af et legeme med massen m ophængt i en masseløs snormed længden l . Legemet, der uden luftmodstand svinger i en lodret plan, slippes frahvile med et startudsving på 0α .

m

α0αl

eks.


Ved hjælp af Newtons 2. lov kan man vise, at den øjeblikkelige værdi af udslaget )(tαtilfredsstiller differentialligningen

(∗) αα sin''l

g−=

Denne ubehagelige ligning kan ikke løses eksakt. Heldigvis kan vi redde situationen vedat benytte den kendte tilnærmelse

0forsin ≅≅ ααα

hvor α måles i radianer. I praksis skal vinklen blot være mindre end °−° 1510 .I denne tilnærmelse forvandles (∗) til en skikkelig differentialligning

(∗∗) ααl

g−=''

med startbetingelser

0)0('og)0( 0 == ααα

Det overlades til læseren at vise, at (∗∗) har løsningen

( )tt g ⋅⋅= lcos)( 0αα

Dette er en harmoniske bevægelse med svingningstiden (perioden)

gT

lπ2=

Vi vil nu lade Mathcad løse differentialligningen (∗) med et startudsving på °60


Vi tegner graferne for løsningerne til (∗) og (∗∗)

Det er meget interessant at sammenligne svingningstiderne for de to løsninger.Svingningstiden for den eksakte løsning bestemmes ved en nulpunktsberegning

Den relative fejl er betragtelig for et startudsving på °60 .


22 SKRIVNING AF TEKST

Hvis du vil skrive en tekst, kan du vælge Insert/Text Region (genvej “ )

Du kan også blot skrive løs; når du første gang anvender tasten Space (mellem-rum) vilMathcad automatisk opfatte det skrevne som en tekst. Skriv nu i tekstboksen

og klik til slut udenfor tekstboksen

Mathcad skriver tekster næsten på samme måde som en tekstbehandler. Du kan f.eks.genkende indsætningspunktet (den røde, lodrette streg), der kan flyttes v.h.a.piletasterne. Du kan slette mod venstre med tasten Backspace (tilbage) og slette modhøjre med tasten Delete (slet). Tasten Retur giver et hårdt linjeskift.Du kan formatere dele af en tekst ved at markere den ønskede del af teksten og derpåvælge skrifttype, skriftstørrelse o.l. på formateringslinjen.Du kan også blande formler og tekst. Start med at skrive teksten

Vælg Insert/Math Region og skriv brøken

Klik et sted på teksten og flyt v.h.a. piletasterne indsætningspunktet mod højre

Skriv nu resten af teksten

altså


Når man skal lave en matematikrapport eller lignende, har man ofte brug forspecialsymboler som f.eks. ⇔ ∨og . Disse symboler skrives på en ret besværlig måde

• Klik på knappen Resource Center på standardlinjen• Klik på knappen Quicksheets and Reference Tables• Vælg punktet “Extra Math Symbols”• Klik på det ønskede symbol og klik på knappen Copy.

Klik et passende sted i skrivefeltet og klik på knappen Paste.

Nedenfor ses et eksempel på en opgavebesvarelse med en blanding af tekst, ligningerog grafik. Mathcad skriver som standard tekst med “Times New Roman 10” ogligninger med “Arial 10”. Hvis læseren er over de 50, er det nok en god service atvælge størrelse 11 eller 12 for både tekst, variable og tal (se kapitel 5).

opgaveTo funktioner f og g er givet ved

f x x x g x x( ) ( )= − + + = − +2 4 1 5og

De to grafer afgrænser en punktmængde, som drejes 360o omkring x-aksen.Bestem eksakt rumfanget af det derved beskrevne omdrejningslegeme.

løsningJeg starter med at tegne de to grafer

f x( ) x2− 4 x⋅+ 2+:= g x( ) 2− x⋅ 5+:=

1 0 1 2 3 4 5 6

10

5

5

10

f x( )

g x( )

x

fortsættes


Jeg beregner dernæst koordinaterne til grafernes skæringspunkter

Given

y f x( ) y g x( )

Find x y,( )3 6+

1− 2 6⋅−

3 6−

1− 2 6⋅+

→

Altså har grafernes skæringspunkter x-koordinaterne

x1 3 6−:= x2 3 6+:=

Det søgte rumfang kan nu findes

V πx1

x2

xf x( )2 g x( )2−( )⌠⌡

d⋅:= V112

5π⋅ 6⋅→ 172.4=

altså

V112

5π⋅ 6⋅


23 FLYTNING AF DATA

Man kan importere og eksportere formler, tal, grafer og tekst mellem Mathcad,regneark og tekstbehandler. De følgende eksempler er lavet v.h.a. Office 2000 og tagersig måske anderledes ud i andre versioner.

Fra en tabel i Mathcad til en matrix i Mathcad.Lav en tabel ved at vælge Insert/Component/Input Table (nedenfor til venstre).Markér de relevante tal ved at trække hen over dem. Klik så med højre museknap pådet sorte område og vælg Copy Selection15

Skriv nu A: og klik på knappen Paste på standardlinjen

Hvis du vil kopiere en hel søjle, skal du blot klikke på søjlens nummer, og derpågentage den nævnte fremgangsmåde (se B ovenfor).Man kan kun formatere en beregnet tabel eller matrix. Skriv A= , dobbeltklik påmatricen og vælg på fanebladet “Display Options” indstillingen “Matrix display style:Table”

15 Det er ulogisk, at hverken knappen Copy på standardlinjen eller menuen Edit/Copy kan bruges.

eks.


Fra en tabel i Mathcad til Excel.Kopiér de relevante tal i tabellen “data” som beskrevet ovenfor, kald Excel frem, klikpå en celle og klik på knappen Sæt ind (nedenfor til venstre).

2.20 7.003.00 8.00

2,2 73 8

Men et tal med decimalpunktum opfattes oftest af den danske Excel som en tekst. Duskal derfor i Excel rette til decimalkomma. Det sker lettest ved at markere de relevanteceller, vælge Rediger/Erstat og erstatte punktum med komma (ovenfor til højre).

Fra Excel til en matrix eller en tabel i Mathcad.Hvis der indgår decimalbrøker i Exceltabellen, skal du først udskifte decimalkom-maetmed et decimalpunktum; i modsat fald går der totalt koks i Mathcad.

9 68,4 5

7 3

9 68.4 5

7 3

Markér så cellerne i regnearket og klik på knappen Kopier.Kald derpå Mathcad frem.• Lav en inputtabel med navnet C og klik i øverste, venstre celle. Klik nu med højremuseknap og vælg “Paste Table”. Bemærk, at der ved en fejl indsættes en ekstra linjemed nuller; slet linjen som vist i kapitel 9.• Skriv D: og klik på knappen Paste

Integration af en Exceltabel i Mathcad.Markér de seks celler i Exceltabellen (midt ovenfor til venstre) og klik på knappenKopiér. Kald så Mathcad frem og klik på knappen Paste.Nu tager de seks tal sig således ud

eks.

eks.

eks.


Nu kommer fidusen: ønsker du at rette i tallene, skal du blot dobbeltklik på tabellen.Tabellen vises så som den ville se ud i Excel, og du kan let lave dine ændringer.

Når du klikker udenfor den grå, skraverede tabelramme, forsvinder Excel. Af én elleranden grund kommer der nu rammer om tallene (ovenfor til højre).

Tekst, ligninger og diagrammer fra Mathcad til Word.Træk stiplede rammer omkring den relevente del af dokumentet16 og klik på knap-penCopy. Kald så tekstbehandleren frem og klik på knappen Sæt ind.Hvis hele Mathcaddokumentet skal kopieres, er det lettest at vælge Edit/Select All.Det indkopierede kan redigeres i Mathcad ved et dobbeltklik.

Ligninger fra Word til Mathcad.Markér ligningen i Word og klik på knappen Kopiér. Kald så Mathcad frem og klik påknappen Paste.Det indkopierede kan redigeres i Word ved et dobbeltklik.

16 Hvis man kopierer et diagram på denne måde, vises desværre også de fire pladsholdere vedakserne!

eks.

eks.


24 UDSKRIVNING

Før du udskriver, er det klogt at klikke på knappen Print Preview (vis udskrift) påstandardlinjen

Nu kan du f.eks. se, om sideskiftene er placeret fornuftigt. Der er to typer sideskift, heltsom i en tekstbehandler.Et blødt sideskift vises som en vandret, stiplet linje; dets placering afhænger afprinterindstillingen og af de valgte værdier for topmargenen og bundmargenen.Et hårdt sideskift vises som en vandret, fast linje. Du kan placere et hårdt sideskift veddet røde kryds ved at vælge menuen Insert/Page Break. Sideskiftet kan fjernes igenved med musen at trække ned over den vandrette linje og derpå taste Delete (slet).I menuen File/Page Setup (sideopsætning) kan du eventuelt ændre de fire margener.


I en rapport eller et sæt hjemmeopgaver kan du med fordel skrive dit navn og andrevigtige oplysninger i sidehovedet.Sidehoved og sidefod kaldes frem via menuen Format/(Headers /Footers ). Skrivf.eks. på fanebladet “Header”

Det aktuelle sidenummer med symbolet {n} skrives ved at klikke på knappen

Det samlede antal sider med symbolet {nn} skrives ved at klikke på knappen

Symbolerne adskilles f.eks. med en skråstreg (slash).


25 OPGAVER

INDLEDENDE REGNINGERBeregn tallene

987543

og8743

,3

76,

37

6⋅+⋅+

++++

3 4 3 4 3 477

8

7 3

8 11+ + +−−, og

( )( )4 5 6 714

15

16

17

2 2 2 23 3 3 3+ + +

+

og

Beregn den elegante brøk

8

11

76

4

8

97

139

39

3

4+

+

−−

++

Prøv at beregne 2 + 3 ved at taste Space (mellemrum) undervejs

2Space+3=

Hvad går der galt?

Beregn 7 + 9 – 6 og ret derefter til 7 – 9 + 6 .

Beregn 12 + (7 – 15) og fjern derefter parenteserne.

Beregn 3 7 59 12− ++

og anbring derefter parenteser omkring 7 + 5 .

4.1

4.2

4.3

4.4


FORMATERINGBeregn med 9 decimaler tallene

21117

17211

78

+ og

Du vil opdage, at brøken 7/8 vises som 0,875. Det skyldes naturligvis, at resultatet ereksakt: efter 5-tallet kommer der uendelig mange nuller.Du kan dog vise resultatet med 9 decimaler ved at dobbeltklikke på ligningen og påfanebladet “Number Format” afkrydse i feltet “Show trailing zeros” (vis efter-stilledenuller).Hvis du klikker på knappen “Set as default” (vælg som standard), bliver samtligeberegnede tal på arket vist med denne formatering.

Beregn og formatér med det maksimale antal decimaler og i normal talnotation

470000

9 311og ,

Beregn og formatér med 5 decimaler og i eksponentiel talnotation

2150

2 1 469 5og , ,⋅

Beregn med 5 betydende cifre tallet

4512 105,894105781,0 −− ⋅⋅⋅

Skriv disse fem sjusket placerede ligninger

Justér dernæst v.h.a. knapperne Align Across og Align Down ligningerne således

5.1

5.2

5.3


Indskriv følgende, hvor de to øverste udtryk er placeret 2 cm hhv. 6 cm inde, mens deto nederste udtryk er indrykket 4 cm hhv. 8 cm

I kapitel 5 omtaltes en global formatering af skriftstilen, hvor samtlige konstanter ogvariable i dokumentet bliver ændret. Man kan dog også foretage lokale ændringer.Du skal konstruere en skriftstil, der er specielt velegnet til vektorer og matricer (sekapitlerne 17 og 18).Vælg menuen Format/Equation

• Vælg i rullegardinet “Style Name: User 1”• Skriv “Vektor” i feltet “New Style Name”.• Klik på knappen Modify.• Vælg “Typografi: fed kursiv”.• Klik to gange på knappen OK.

Skriv følgende og klik på variablen x

Vælg så menuen Format/Equation, vælg “Style Name: Vektor” og klik på knappenOK.Nu står variablen x skrevet med fed kursiv, mens variablen y er uændret.Klik dernæst på variablen y og gentag proceduren.

5.4

5.5


VARIABLEBeregn for x = 18 og y = 7 tallet

3 9

5 6

2

3

x xy y

xy y

x+ +

+ +

Lav en tabel over tallene x 0 5, og med x-værdier fra 1 til 3 med skridt på 0,2.Tallene x 0 5, skal skrives med 6 decimaler.

Lav en rentetabel med tallene n og ( )1+ r n hvor r = 0,06 og n = 1, 2, ... 15.Mathcad benytter standardværdien 1 for skridtlængden. Du kan derfor nøjes med atskrive n:1;15 .

Paletten Greek rummer en del græske bogstaver, der indgår i mange fysiske ogkemiske formler

Et cylinderformet lod har massen m = 87,3 g , højden h = 5,17 cm og grundflade-radius r = 1,41 cm; vi beregner loddets rumfang og massefylde

hvor resultaterne er formateret med 3 betydende cifre.Det er selvfølgelig noget gris at undlade enhederne, men det er der råd for.

fortsættes

6.1

6.2

6.3

6.4


Skriv enheden umiddelbart efter talværdien som f.eks. m:87.3gm

Underenheden gram skrives altså gm. Det skyldes, at Mathcad opfatter variablen g somtyngdens acceleration på normalstedet ved Paris (med mindre du selv giver g en andenværdi).Mathcad omskriver automatisk til grundenhederne kg og m , hvad der her er lidtupraktisk. Skriv i de tomme pladsholdere de mindre enheder 3cm og 3gm/cm ogformatér til slut med 3 betydende cifre

Du kan se en liste over samtlige indbyggede enheder ved at klikke på knappen InsertUnit (indsæt enhed) på standardlinjen


Tyngdekraften på massen 70,5 kg beregnes som bekendt således

N692m/s82,9kg5,70 2 ≅⋅== mgF

hvor g er tyngdens acceleration.Skriv

Men der er noget rivende galt med kraftenheden. Mathcad har nemlig det fælles medmange elever, at det ikke kan skelne mellem den fysiske størrelse m (masse) og denfysiske enhed m (meter). Kald derfor massen for M

Nu får F den korrekte enhed N (newton).Bemærk, at Mathcad automatisk kontrollerer enhederne, så man ikke kommer til atlægge æbler og pærer sammen

Hvis en enhed ikke er indbygget i Mathcad, kan den defineres som en variabel.Lad os f.eks. finde frekvensen af det røde lys fra en He-Ne laser, idet vi definererenheden nm (nanometer)

En foton med frekvensen f har energien hfE = hvor Js1063,6 34−⋅=h er Planckskonstant.

Beregn energien af en foton fra He-Ne laseren.

6.5


I Jordens middelafstand fra Solen på ca. 150 mio. km har solstrålingen en intensi-tet på2W/m1353 ; dette er den såkaldte solarkonstant.

Hvor stor en energi udstråler Solen i løbet af ét sekund?

Ifølge Einstein (1905) repræsenterer energien E en masse m , hvor

E m c= ⋅ 2

hvor m/s1000,3 8⋅=c er lysets hastighed.

Hvor stor en solmasse omsættes hvert sekund til stråling?

En beholder med rumfanget 3cm950 rummer 0,165 mol af en gas med temperaturen

C47 o .Bestem gassens tryk v.h.a. idealgasloven

nRTpV =

hvor KmolatmL0821,0 ⋅⋅=R er gaskonstanten; temperaturen skal udtrykkes i kelvin (K).

Mathcad giver trykket i pascal (Pa); omsæt til trykenheden atm.

Omsæt til trykenheden bar; da enheden ikke findes i Mathcad, må du selv definere

6.6

6.7


FUNKTIONERHvad er der galt?

Betragt funktionen f givet ved forskriften

f x e xx( ) sin( , , ) ,,= + +−0 1 0 8 11 4 5

Lav en tabel over tallene x og f x( ) for x = 0 0 2 4, , , ,K .Funktionsværdierne skal angives med 4 decimaler.

En opgave om rekursive funktioner.• Mathcad har indbygget fakultetsfunktionen blandt sine standardfunktioner.Lav en tabel over fakultetstallene 0!, 1!, … , 10! ved at skrive n:0;10 og n!= .

Fakultetstallene er som bekendt defineret ved, at

0! 1

1 2 1 2

== ⋅ ⋅ ⋅ =n n n! , ,K Khvis

I en rekursiv definition beregnes en værdi på grundlag af én eller flere foregåendeværdier

0! 11 1 2

== ⋅ − =n n n n! ( )! , ,hvis K

Dette kan i Mathcad skrives v.h.a. funktionen if

og læses: for n = 0 er værdien 1; for alle andre tilladte værdier af n beregnesfunktionsværdien som n ganget med den foregående funktionsværdi.

Lav en tabel over fakultetstallene 0!, 1!, … , 10! .fortsættes

7.1

7.2

7.3


• Fibonaccitallene17 F(n) defineres rekursivt ved funktionen

F n,

F n 1 F n 2( )

for

( ) ( ) for = 3, 4,=

=− + −

1 1 2n

n K

Beregn de første ti Fibonaccital i hånden.

Beregn v.h.a. Mathcad en tabel over de første tyve Fibonaccital.

• En såkaldt talfølge a a1 2, ,K er defineret rekursivt ved

a a an nn

1 17 2= = +−og

Lav er tabel over de første 15 tal i følgen.

En opgave om talsystemer.De indgående tal skal være mindre end 2 31 .• I det binære talsystem benyttes de to cifre 0 og 1.Tallet indtastes med et afsluttende b

Hvis tallet er større end 1000, skrives det i eksponentiel notation. Dobbeltklik på talletog skriv et større tal i feltet “Exponential threshold” på fanebladet “Number Format”.Hvis du klikker på knappen “Set as default”, vil samtlige beregnede tal på arket blivevist i normal notation

• I det hexadecimale talsystem benyttes cifrene 0,1, ... , 9, A, B, ... , F.Indtast tallet 2D7FA med et afsluttende h . Bemærk, at Mathcad opfatter udtrykketsom en multiplikation af tallet 2 og variablen D7FAh ; fjern derfor gangetegnet

fortsættes

17 Tallene er opkaldt efter den italienske matematiker Leonardo fra Pisa, også kaldet Fibonacci, som i1202 udgav det meget indflydelsesrige skrift “Liber Abaci”. Her behandler han disse sære tal iforbindelse med et regnestykke om, hvor mange efterkommere der er efter to glade kaniner (én afhver!).

7.4


Hvis et hexadecimalt tal starter med et bogstav, vil Mathcad opfatte tallet som envariabel. Dette undgås ved at skrive et foranstillet nul; fjern igen gangetegnet

• Man kan omsætte fra ét talsystem til et andet.Dobbeltklik på resultatet og vælg på fanebladet “Display Options” indstillingen “Radix:Hexadecimal” (radix betyder grundtal)

• Man kan naturligvis også regne med binære og hexadecimale tal

Omsæt til de to andre grundtal

456789 , 10101010 og C9A37

Angiv resultatet hexadecimalt, binært og decimalt

987654 + 111000111 og 111000111987654 ⋅

Beregn vinklerne i en trekant med siderne 10, 15 og 20.

Beregn trekantens areal.

I trekant ABC er °= 14,31A , °= 45,67B og c = 15,88 .

Bestem de ukendte stykker i trekanten.

Arealet af en trekant med siderne a, b og c kan bestemmes v.h.a. Herons formel

)(,))()(( 21 cbascsbsassT ++=−−−=

hvor s er trekantens halve omkreds.

Beregn arealet af en trekant med siderne 10, 15 og 20.

7.5

7.6

7.7


GRAFTEGNINGTegn grafen for funktionen f givet ved

f x xx( ) ,= ⋅ − ≤ ≤6 3 4 4

Dobbeltklik på diagrammet og afkryds på fanebladet “X-Y Axes” ved “Y-Axes: LogScale”.

Tegn grafen for funktionen f givet ved

f x x x( ) ,,= < ≤3 0 121 7

Vælg logaritmisk skala på begge akser.

Det er muligt at ændre akseinddelingen i et diagram. Tegn

Dobbeltklik på diagrammet og fjern på fanebladet “X-Y Axes” afkrydsningen ved “X-Axis: Auto Grid”. Skriv 10 i feltet “Number of Grids”.Intervallet fra –10 til 10 på x-aksen bliver nu inddelt i 10 lige store dele, hvad der giveraksemærker ved –10, –8, ... , 8, 10.Prøv også at inddele intervallet fra –10 til 10 på y-aksen i 4 lige store dele.

Tegn på intervallet − ≤ ≤1 1x grafen for funktionen f givet ved

0,sin)( 1 ≠⋅= xxxf x

Gør diagrammet større, og indlæg sædvanlige koordinatakser.

Bevis, at f i et vilkårligt lille interval omkring 0 har uendelig mange nulpunkter (her kanMathcad ikke hjælpe). Der er altså tale om en temmelig sær funktion.

Bestem grafisk en værdi for funktionens største nulpunkt.

Zoom ind på et område omkring O(0,0); du skal sikkert ændre skridtlængden.

8.1

8.2

8.3

8.4


MERE OM GRAFERTegn grafen for funktionen f hvor

f x

x x

x x

x x

( )

,

,

,

=

+ − < ≤

− + < ≤− < <

4 5 3 1

10 1 4

7 34 4 6

2

Tilføj eventuelt åbne cirkler i endepunkterne.

Tegn for a = –1 og b = 4 grafen for funktionen f givet ved

f xx x

ax b x( )

,

,=

− + − ≤ ≤

+ < ≤

2 6 2 1

1 5

Eksperimentér dig frem til de værdier af a og b , der i x = 1

• gør grafen sammenhængende

• giver en jævn overgang uden knæk på grafen

Se også opgave 14.10.

Tegn i samme koordinatsystem graferne for de lineære funktioner f og g hvor

f x x g x x( ) ( )= − = − +12 1 2 5og

Graferne står faktisk vinkelret på hinanden (hvorfor?). Men det fremgår ikke afdiagrammet, da enhederne på de to akser ikke har samme længde.Dobbeltklik på diagrammet og afkryds på fanebladet “X-Y Axes” i feltet “Axes Style:Equal Scales”. Fjern også afkrydsningen “Autoscale” på begge akser.

Tegn i fire forskellige koordinatsystemer grafen for sinusfunktionen plus grafen for én affunktionerne

f x x x

g x x x

h x x

i x x

( ) sin( ) (sin( ))

( ) sin( ) ( )

( ) sin( ( ))

( ) (sin( ))

= ⋅

= ⋅

=

=

sign

sign

sign

sign

Kan du gennemskue, hvordan funktionen sign virker?

9.1

9.2

9.3

9.4


Funktionen sin3t svinger tre gange så hurtigt som funktionen sin t . Dette kan du fåbekræftet ved at tegne diagrammet nedenfor. Leddet 3n giver blot anledning til en lodretforskydning af graferne, så de ikke klumper sammen i én dynge.

En opgave om Fourierteori.Den franske matematiker Fourier viste i 1822, at en periodisk funktion kan skrives somen sum af uendelig mange sinusled og cosinusled. Du skal her tegne graferne for

sin

sin sin

sin sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin sin sin

t

t t

t t t

t t t t

t t t t t

++ +

+ + +

+ + + +

13

13

15

13

15

17

13

15

17

19

3

3 5

3 5 7

3 5 7 9

Definér en funktion af to variable

( )f n t i t nii

n

( , ) sin ( )= + ++=∑ 1

2 10

2 1 2

og tegn så i samme koordinatsystem graferne for

f t f t f t f t f t( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , )0 1 2 3 4og

Prøv at gætte på formen af den kurve, der ville fremkomme, hvis vi tog flere og flere ledmed.

fortsættes

9.5

9.6


Kvaliteten af en Hi-Fi forstærker kan undersøges ved at sende et såkaldt firkant-signalfra en tonegenerator ind i forstærkeren. Du kan få et indtryk af et sådant inputsignal vedi et separat koordinatsystem at tegne grafen for funktionen f t( , )500 , idetforskydningsleddet 2n dog udelades.Man iagttager så signalets udseende, når det har passeret gennem forstærkeren. Jomindre firkanten er blevet forvrænget, jo bedre er forstærkeren. En dårlig forstær-kerkunne levere et output givet ved grafen for funktionen f t( , )25 . Tegn denne graf, igenuden leddet 2n.Under redigeringen kan det være en god idé midlertidigt at fjerne afkrydsningen ved“Math/Automatic Calculation”. Herved forhindres Mathcad i at genberegnetidskrævende opgaver.

Dette er en fortsættelse af opgave 9.6.Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne

sin

sin sin

sin sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin sin sin

t

t t

t t t

t t t t

t t t t t

++ +

+ + +

+ + + +

12

12

13

12

13

14

12

13

14

15

2

2 3

2 3 4

2 3 4 5

Det gøres lettest ved for n = 1, 2, 3, 4 og 5 at tegne graferne for funktionerne

( )f n t it nii

n

( , ) sin= +=∑ 1

1

2

Kan du gætte “grænsekurvens” udseende?Du kan få svaret ved i et separat koordinatsystem at tegne grafen for funktionenf t( , )500 , idet leddet 2n udelades.

En opgave om periodiske funktioner.En ensrettet vekselstrøm kan beskrives ved funktionen f hvor

f xx x

( )sin sin

=≥

hvis

ellers

0

0

I Mathcad kan f defineres v.h.a. funktionen if

Tegn grafen for f .fortsættes

9.7

9.8


Andre eksempler kan findes ved at klikke på knappen Resource Center og vælgeQuicksheets and Reference Tables: Arithmetic and Algebra, Conditional Function.Bemærk, at man kan kopiere dele af et QuickSheet over i Mathcad; prøv!

En opgave om periodiske funktioner.• Nedenfor ses grafen for en periodisk funktion g med perioden 4 , en såkaldtfirkantfunktion

Forklaringen er denne:Vi starter med at definere funktionen f ved

f xx

( ) =≤

1 212

for

ellers

Vi definerer dernæst funktionen g ved

g xf x x

g x( )

( )

( )=

≤−

for

ellers

4

4

Det betyder f.eks., at

g g g f

g g g f

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,

5 7 5 7 4 1 7 1 7 1

6 3 6 3 4 2 3 2 3 0 5

= − = = == − = = =

En funktion, der som g er defineret v.h.a. sig selv, kaldes rekursiv.Bemærk, at vi kun tegner grafen for g for x ≥ 0 .

fortsættes

9.9


• Prøv at gennemskue nedenstående eksempel og tegn grafen for g

• Tegn savtakkurven

En opgave om bølgelære.En tone med frekvensen f kan beskrives ved funktionen

F t A f t( ) sin( )= ⋅ ⋅2π

hvor t er tiden og A er amplituden. Tonens styrke er proportional med A2 .To toner med forskellige frekvenser og samme styrke lyder samtidig

)2sin()2sin()( 21 tftftG ⋅+⋅= ππ

Udtrykket kan omskrives til

( )G t A t t A t tf f f f( ) ( ) sin( ) ( ) cos= ⋅ ⋅ = ⋅+ −2 2 21 2 1 22 2π πhvor

Hvis f f1 2≅ vil øret opfatte lyden som en tone med frekvensen

(∗) 12 1 2( )f f+

og med en lydstyrke, der svinger med frekvensen

(∗∗) f f1 2−

Fænomenet kaldes svævning, og benyttes af klaverstemmere og orgelbyggere til atfinjustere stemningen.

fortsættes

9.10


Nedenfor ses svævningen for tonerne med frekvenserne 10 Hz og 11 Hz

Undersøg om frekvensudtrykkene (∗) og (∗∗) ser ud til at passe.

Eksperimentér med andre frekvenser.

Prøv at vælge forskellige amplituder i de to toner (udelad her graferne for funktio-nerne

1A og 2A ).

En opgave om parameterfremstillinger.Det er noget af en sortekunst at tegne parameterkurver med lige store akseenheder. Deter nok lettest blot at udvide diagrammet pr. øjemål indtil det ser fornuftigt ud!

• Tegn Archimedes´ spiral givet ved

ttyt

ttx

sin0,

cos

=≥

=

• Tegn den trebladede rose

ttyt

ttx

sin3cos20,

cos3cos

⋅=<≤

⋅=π

fortsættes

9.11


• Tegn asteroiden

tyt

tx3

3

sin20,

cos

=<≤

=π

• Tegn de såkaldte Lissajoufigurer

x nt

y mt k

== +

sin

sin( )

hvor n og m er naturlige tal, mens faseforskellen k opfylder 0 ≤ ≤k π .Her er der rige muligheder for at eksperimentere.


( )

a) ( )

b) ( )

c) ( )

d) ( ) sin

( )

f x y x y

f x y x y

f x y e

f x y x y

x y

,

,

,

,

= +

= −

=

= +

− +

2 2

2 2

2 2

2 2

Af hensyn til skærmopdateringen bør der kun være én graf på hvert ark.Ved a) og b) kan du f.eks. lade x og y variere med skridt på 0,4Ved c) kan du f.eks. lade x og y variere fra –2 til 2 med skridt på 0,16.Ved d) kan du f.eks. lade x og y variere fra –15 til 15 med skridt på 0,5.

En opgave om rumlige parameterkurver.En cylindrisk skruelinje har parameterfremstillingen

ttztty

ttx

===

)(sin)(

cos)(

Indskriv de tre koordinatligninger v.h.a. det dynamiske lighedstegn := og klik påknappen Surface Plot på paletten Graph; skriv (x,y,z) i pladsholderen nederst.Vælg følgende formateringer• General: Vælg “Display As: Scatter Plot” og “Axes Style: None”• Appearance: Vælg “Line Options: Lines”

Vælg “Line Options, Color Options: Colormap”Fjern afkrydsningen ved “Point Options: Draw Points”

• QuickPlot Data: Vælg “Range: start 0, end 50, # of Grids 200”

9.12

9.13


Dette er en fortsættelse af opgave 9.13.Tegn den rumlige parameterkurve

tttz

ttyttx

3sincos)(

2sin)(cos)(

+===

Vælg følgende formateringer• General: Vælg “Display As: Scatter Plot”• Appearance: Vælg “Line Options: Lines”• QuickPlot Data: Vælg “Range: start 0, end 7, # of Grids 100”

En opgave om omdrejningsflader.Når grafen for en funktion f drejes 360o omkring x-aksen, fås en såkaldt omdrej-ningsflade, som vi nu vil beskrive.

xx

f (x)P

C

y

z

f

I et rumligt ),,( zyx -koordinatsystem har et vilkårligt grafpunkt P koordinaterne

)0),(,( xfxP

Når grafen drejes omkring x-aksen beskriver P en cirkel med radius )(xfr = ogcentrum i punktet )0,0,(xC på x-aksen (se figuren nedenfor).V.h.a. lidt trigonometri fås, at

vxfvrzvxfvry sin)(sinogcos)(cos ====

hvor v er drejningsvinklen. Det drejede punkt P har derfor koordinaterne

)sin)(,cos)(,( vxfvxfxPfortsættes

9.14

9.15


y

zz

v

P

r

y

C

Betragt funktionen f givet ved

60hvorcos)( ≤≤⋅= xxxxf

Grafen drejes 360o omkring x-aksen og omdrejningsfladen tegnes ved at skrive

Klik så på knappen Surface Plot på paletten Graph.Skriv K i pladsholderen nederst og afslut med en passende formatering.Prøv at eksperimentere med værdien af parametrene.

Bemærk, at koordinaterne til P indskrives på vektorform (se kapitel 17).Parametrene 1x og 2x fastlægger x-intervallet, mens 1v og 2v giver v-intervallet

2121 og vvvxxx ≤≤≤≤

Intervallet 21 xxx ≤≤ opdeles i 1−gx lige store dele, mens intervallet 21 vvv ≤≤opdeles i 1−gv lige store dele.

Funktionen CreateMesh er også beskrevet i Resource Center• Overview and Tutorials, Creating 3D Graphs.• Quicksheets and Reference Tables, Graphing and Visualization.


Et polært koordinatsystem består af et punkt O (polen) og en orienteret akse(polaraksen), der udgår fra O. Beliggenheden af et vilkårligt punkt P i planen kan nufastlægges ved afstanden r = |OP| samt P´s retningsvinkel v målt ud fra polar-aksen.Sammenhængen mellem r og v beskriver en kurve.

polarakseO

P

r

v

• Rosekurverne er i polære koordinater givet ved

K,3,2hvor)cos( == nnvr

Tegn den trebladede rose (se opgave 9.11)

Klik på knappen Polar Plot på paletten Graph og skriv v i den nederste pladsholderog r(v) i pladsholderen til venstre.Udvid diagrammet ved at trække i nederste, højre hjørne af rammen.Vælg på fanebladet “Polar Axes” indstillingen “Axes Style: None” og fjern ogsåafkrydsningen ved “Angular: Numbered”.

Mathcad har en uvane med at afskære de yderste dele af en graf. Det kan du klare vedat klikke på diagrammet og f.eks. skrive 1,1 i den øverste af de to pladsholdere i højreside. Denne pladsholder angiver nemlig den radiære udstrækning af det polærekoordinatsystem.

Undersøg, hvordan antallet af blade afhænger af parametren n .fortsættes

9.16


• Tegn tre hele omdrejninger af Archimedes´ spiral (se opgave 9.11)

r v v= ≥hvor 0

Definér vinkelintervallet v.h.a. en områdevariabel og vælg et lidt større tal i den øverstepladsholder.

• Tegn hjertekurven

r v v= − ≤ <1 0 2cos hvor π

Du behøver her ikke at definere vinkelintervallet.Zoom ind på hjertekurvens spids.

En opgave om polyedre.Klik på knappen Surface Plot på paletten Graph og skriv Polyhedron(“#28”) ipladsholderen. Og vips dukker der en rumlig trådfigur op, et såkaldt dodekaeder.Diagrammet skal nu formateres, og det er ikke helt let; nogle forslag• Generel: Vælg “Axes Style: None”• Appearence: Vælg “Fill Options: Fill Surface”

Vælg “Color Options: Solid Color”, dobbeltklik i feltet og vælg en farve.• Advanced: Vælg “30% Transparency”• Lighting: Afkryds i feltet “Enable Lighting”

Prøv også at vælge farver i de tre felter.

Figuren er én af de netop fem legemer, der kan opbygget af helt ens, regulærepolygoner. Disse såkaldte platoniske legemer18 har navne efter antallet af side-flader,her anført med de græske talnavne og Mathcads specielle kodenummer

tetraeder: 4 regulære trekanter (tetra = 4; #6)heksaeder: 6 regulære firkanter (heksa = 6; #11)oktaeder: 8 regulære trekanter (okta = 8; #10)dodekaeder: 12 regulære femkanter (dodeca = 12; #28)ikosaeder: 20 regulære trekanter (eikosi = 20; #27)

Mathcad kan tegne et væld af flotte polyedre, som findes beskrevet i ResourceCenter, Quicksheets and Reference Tables• Reference Tables, Geometry Formulas, Polyhedra.• Graphics and Visualization, Plotting a Polyhedron.Du kan lære meget om formateringen ved at dobbeltklikke på de viste polyedre.

18 Opkaldt efter den store græske filosof Platon (427-347 f.Kr.), der beskæftigede sig meget meddisse interessante former.

9.17


LØSNING AF LIGNINGERNår man finder nulpunkterne i et polynomium v.h.a. funktionen polyroots, skal manindskrive koefficienterne som indicerede variable. Og det er temmelig bøvlet forpolynomier af høj grad. Der findes dog en snedig metode til at udlæse dissekoefficienter.Skriv polynomiet og vælg det udvidede symbolske lighedstegn n→ på palettenEvaluation

Skriv coeffs,x i pladsholderen og tast Retur

Viola; her ses polynomiets koefficienter skrevet i en talsøjle.Markér så talsøjlen og klik på knappen Copy

Skriv nu

og klik på knappen Paste

Skriv endelig polyroots(a)=

som netop var det resultat, vi fandt i kapitel 10 med metode 2.

10.1


Find v.h.a. funktionen polyroots samtlige reelle rødder i ligningen

x x x x7 6 36 5 9 2 0− − + − =

Anvend den fikse fremgangsmåde fra opgave 10.1.

Find med 9 decimaler samtlige reelle rødder i ligningen

x x x3 22 4 3 0+ − − =

Anvend alle fire metoder.

Vis, at tredjegradspolynomiet f givet ved

f x x x( ) = + −3 1

har den ene reelle rod

31108

12

3 31108

12

3+ − −

Hvorfor nægter Mathcad at tegne grafen for funktionen f ?

Giv et grafisk argument for, at følgende ligning har netop én løsning

ln x x= 1

Bestem denne løsning med 8 cifre.

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6


En ligning som cos x x= kan ikke løses eksakt, hverken af Mathcad eller af nogetandet matematikprogram (prøv!).

Start med at argumentere for antallet af rødder ved i samme koordinatsystem at tegnekurverne med ligningerne y x= cos og y x= .

Bestem dernæst rødderne ved at finde nulpunkterne for funktionen f givet ved

f x x x( ) cos= −

I teorien for varmestrålingen fra et såkaldt sort legeme møder man ligningen

0151 =−+− xe x

Vis, at ligningen har netop én positiv rod.

Bestem denne rod med 6 cifre.

Undersøge betydningen af tolerancen TOL ved systematisk at ændre værdien fra 0,1 til1510−

Man kan også anvende funktionen root med et intervalgæt

Hvordan skal intervallet monstro vælges?

I forbindelse med modeemnet det gyldne snit møder man regningen

251

011

1 2 ±=⇔=−−⇔+

= xxxx

xx

Løs den venstre ligning eksakt v.h.a. metoderne 3 og 4 i kapitel 10.

Beregn også tilnærmede værdier ved at klikke på resultatet og taste lighedstegn.

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11


Kan Mathcad ikke engang løse en andengradsligning eksakt?

En væske med massen 1m , varmefylden 1c og temperaturen 1t blandes med en væskemed massen 2m , varmefylden 2c og temperaturen 2t , hvor 12 tt > .Hvis der ikke sker noget energitab, kan blandingens temperatur t bestemmes afligningen

)()( 222111 ttcmttcm −=−

Løs ligningen mht. t .

Beregn blandingens temperatur med disse måledata

g117

g231

2

1

==

m

m

K)kJ/(kg1,23

K)kJ/(kg18,4

2

1

⋅=⋅=

c

c

C93

C45o

2

o1

=

=

t

t

Bemærk, at Mathcad ikke kender enhederne Co og kJ.

Et joulemeter med massen skålm og varmefylden skålc påfyldes vand med massen vandm

og varmefylden vandc ; systemet har temperaturen ført .

Et metallod med massen lodm , varmefylden lodc og temperaturen førlod tt > anbringes

så i joulemetret, og der indstiller sig en ligevægt ved temperaturen eftert .

Den ækle joulemeterligning lyder

0)()()( førefterskålskålføreftervandvandlodefterlodlod =−+−+− ttcmttcmttcm

Løs ligningen mht. lodc (det letter indtastningen, hvis du udelader indeks og f.eks. skriver

clodlod =c , men det bliver selvfølgelig ikke så pænt!). Reducér yderligere ved at tilføje

et udvidet symbolsk lighedstegn med factor i pladsholderen.

Beregn loddets varmefylde på grundlag af følgende måledata

g7,181

g1,177

g9,121

vand

skål

lod

===

m

m

m

K)kJ/(kg4,18

K)kJ/(kg39,0

vand

skål

⋅=⋅=

c

c

C9,28

C2,24

C100

oefter

ofør

olod

=

=

=

t

t

t

10.12

10.13

10.14


ULIGHEDERLøs uligheden x x2 2 6 0− − ≤ .

I kapitel 11 løste vi uligheden

Prøv at udskifte faktoren 21 med decimalbrøken 0,5 .

Løs uligheden − + < −3 4 6 3x x .

Løs uligheden 02110 24 >+− xx .

Løs

13

14log ≤

−−

xx

Løs

3log

log1 ≤+x

x

Løs

xx

x −≤−−

21

3

Løs

1916

12

2

<−+−+

xx

xx

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8


LIGNINGSSYSTEMERLøs ligningssystemet

128 45 33

11 19 14 02

2 3 8

4 6 16) )

x y

x y

x y

x y

+ =+ − =

− =− + = −

Løs mht. ( , )x y ligningssystemet

16 5 9 0

7 12 8 02

5 11 12

6 12 13

2

2

1 1

1 1) )

x y

x y

x y

x y

− − =

− + − =

− =

− − = −

− −

− −

Der er givet en parabel og en linje med ligningerne

y x x y x= + + = − +2 1 2 2og

Tegn i samme koordinatsystem de to kurver, så man kan se skæringspunkterne.

Benyt Trace og Zoom til at finde tilnærmede værdier for koordinaterne til de toskæringspunkter.

Bestem både eksakt og tilnærmet koordinaterne til skæringspunkterne.

Bestem eksakt koordinaterne til skæringspunkterne mellem cirklen og linjen givet vedligningerne

x y2 2 4+ = og y x= + 1

Tegn i samme koordinatsystem kurverne med ligningerne

y x y x y x= − = − − = +4 4 12 2, og

Man kan også løse et ligningssystem således

Ligningerne skal indskrives på vektorform (se kapitel 17).

Løs opgave 12.4 v.h.a. denne metode.

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5


Der er givet to cirkler med ligningerne

36)(og64 2222 =+−=+ yaxyx

Bestem v.h.a. Given/Find koordinaterne til cirklernes fællespunkter.

Bestem de værdier af parametren a , for hvilke cirklerne har punkter fælles.

En opgave om lineær programmering.Følgende eksempel er taget fra “Lineær programmering”, udgivet på forlaget FAG. Herfindes mange gode eksempler, samt en gennemgang af den såkaldte simplexmetode,som Mathcad anvender.En lineær funktion f af to variable er givet ved forskriften

f x y x y( , ) = + 3

Funktionens definitionsmængde er en polygon givet ved det åbne udsagn

30 10 2800 2 210 5 450 0 0x y x y x y x y+ ≤ ∧ + ≤ ∧ + ≤ ∧ ≥ ∧ ≥

Opgaven består nu i at bestemme funktionens størsteværdi, samt det punkt, hvorstørsteværdien antages.Skriv funktionsudtrykket og to startgæt (som i praksis kan vælges frit)

hvor ORIGIN ≡ 1 tvinger Mathcad til at nummerere indices 1, 2, ... .Anvend så funktionen Maximize i en løsningsblok

hvor ulighedstegnene hentes i paletten Evaluation.Skriv endelig punkt= og f(punkt1,punkt2)=

Dette viser, at funktionen antager sit maksimum 290 for ( , ) ( , )x y = 50 80 .

12.6

12.7


Dette er en fortsættelse af opgave 12.7.Bestem maksimum og maksimumspunkt for den lineære funktion

f x y z x y z( , , ) = + +2 3

med definitionsmængden

3 4 6 2

2 2 11

3 2 5

0

0

0

x y z

x y z

x y z

x

y

z

− − ≤+ + ≤

+ − ≤≥≥≥

Betragt ligningssystemet

33

63

+=+=+

aayx

yax

hvor a er et reelt tal.

Vis ved en håndregning, at der findes netop én løsning, når 33 ≠∧−≠ aa .

Løs for enhver værdi af a ligningssystemet.

12.8

12.9


SYMBOLSKE REGNINGERUdregn v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn n→ med expand

1

2 4 7

3 2 3 4

5

4

3

) ( )

) ( )

) ( )

a b

x y

x y z

+

−

+ +

Faktorisér resultatet v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med factor.Klik på 3) og tilføj et udvidet symbolsk lighedstegn med collect,x i pladsholderen.

Udregn v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med expand

cos( ) cos( )

sin( ) sin( )

tan( ) tan( )

cos , sin tan

cos , sin tan

x y x y

x y x y

x y x y

x x x

x x x

+ −+ −+ −

og

og

og

og

og

2 2 2

3 3 3

Forkort brøken v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med simplify

13 7 25 8 4

27 106 5

2

2

4 2

4 2) )x xx x

x xx x

− +− −

− +− +

Reducér v.h.a. en symbolsk regning

767

4834

127

423

)23

17813

56

27

)1 −++−+−

Reducér udtrykket

22

2

2

2

22

)()()(

)3

323)1(

)2

3434)1

bababa

aba

baa

bbb

bbab

ab

ba

abba

−−++⋅

−−

+

−−−+

−

+−−

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5


Reducér de slemme udtryk

( )( )

1 23 4 2 3 3 2

2 2 2 5 3)

( )

( )

)( ) ( ) ( )

( )

ab a b

ab

a a

a a a

a a a

n p q n

np q n

⋅ ⋅

⋅ ⋅

− ⋅

− ⋅

−

− − −

− − −

−

I en trekant med siderne a, b og c kan arealet T , radius R i den omskrevne cirkel ogradius r i den indskrevne cirkel bestemmes v.h.a. formlerne

rsTR

abcTcsbsassT ==−−−= ,

4,))()((

hvor s er trekantens halve omkreds

)(21 cbas ++=

Beregn eksakt T , R og r i en trekant med siderne 10, 15 og 20.

Faktorisér udtrykket

5 40 745 33003 2x x x− − +

Løs dernæst ligningen

5 40 745 3300 03 2x x x− − + =

v.h.a. funktionen polyroots.

Fibonaccitallene F F1 2, ,K (se opgave 7.3) er givet ved Binets formel

Fn

n n

=

+

−

−

1 5

21 5

2

5

Beregn en række af disse tal, idet du anvender det udvidede symbolske ligheds-tegnmed simplify i pladsholderen.

13.6

13.7

13.8

13.9


En opgave om talteori.Man kan opløse et naturligt tal i primfaktorer v.h.a. det udvidede symbolskelighedstegn med factor i pladsholderen

Opløs følgende tal i primfaktorer

17, 123, 13579 og 123456789123456789123456789

Vi faktoriserer to tal

Tallene har faktorerne (divisorerne)

24: 2 2 2 3 2 3 2 3 2 32 3 2 3, , , , , ,⋅ ⋅ ⋅84: 2 2 3 7 2 3 2 3 2 7 2 7 3 7 2 3 7 2 3 72 2 2 2, , , , , , , , , ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ved inspektion findes den største fælles divisor 2 32 ⋅ .Denne fremgangsmåde: at opskrive samtlige divisorer i tallene, er i praksis håbløs forstore tal med mange primfaktorer. Den store græske matematiker Euklid fra Alexandria(ca. 360-275 f. Kr.) fandt dog en metode, som gør arbejdet overkom-meligt. Og det ersikkert denne såkaldte Euklids algoritme, som Mathcad benytter i funktionen gcd

Ved mindste fælles multiplum for to tal forstås det mindste naturlige tal, som de to talbegge går op i; mindste fælles multiplum for tallene 24 og 84 er 2 3 73 ⋅ ⋅ (overvejdette). Mathcad beregner tallet v.h.a. funktionen19 lcm

Reducér ved håndkraft og v.h.a. den mindste fællesnævner udtrykket

61

41

31 ++

Beregn også lcm(3,4,6) og bliv forbavset.

Faktorisér 42 og 96 og beregn største fælles divisor og mindste fælles multiplum.

Beregn produktet af 42 og 96 samt produktet af deres største fælles divisor og deresmindste fælles multiplum.

19 gcd er en forkortelse af “greatest common divisor”, mens lcm står for “least common multiple”.

13.10


En opgave om talteori.Lad der være givet to tal a Z b N∈ ∈og . Der findes da to entydigt bestemte, hele talq og r med

a q b r r b= ⋅ + ≤ <hvor 0

Tallet r er resten ved divisionen af a med b . Og divisionen går op når r = 0 .Divisionsresten kan bestemmes v.h.a. modulofunktionen mod

Da resten er 3, går 6 ikke op i 987654321.

Bestem samtlige de hele tal mellem 1 og 20, som går op i 987654321.

Bestem a N∈ , så 5 går op i 4 37 913 5 11⋅ + ⋅a .

Bestem grænseværdierne

( )nnnxx

x

xxxe 11

0

1000 1limogsinlim,)(lnlim +⋅⋅∞→→

−

∞→

Udregn og reducér mest muligt

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2 2

3 3 3

4 4 4

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

K

K

K

K

n

n

n

n

Ved en annuitetsopsparing indsættes der én gang pr. termin et beløb b på en konto ibanken. Efter n indbetalinger til %r pr. termin er saldoen

rr

brbrbrbbAn

n 1)1()1()1()1( 12 −+⋅=+++++++= −K

Eftervis dette udtryk ved en symbolsk summation med simplify i pladsholderen.

Beregn værdien af en annuitet med b = 3000 kr., r = 4% p.a. og n = 15 (år).

Beregn også værdien v.h.a. funktionen fv (future value), idet du skriver fv(r,n,b).Tallet bliver af en eller anden grund negativt; men økonomer er ret underlige.Se også Resource Center, Quicksheets and Reference Tables, Business and Finance.

13.11

13.12

13.13

13.14


Vis, at

nn

q

nqqnn

q

qnKbabaqnK 2),(og)(),(00

=+=⋅⋅ ∑∑=

−

=

hvor

)!(!!

),(qnq

nqnK

−=

Når man anvender det sædvanlige sumsymbol, er indeks et helt tal og skridtlæng-den erlig med 1.På paletten Calculus findes der et sumsymbol med kun to pladsholdere. Summa-tionsområdet angives her af en områdevariabel, og kan derfor vælges ret frit

Beregn summen 4 3 4 9 9 12 2 2, , ,+ + +K .

Beregn summen sin( , ) sin( , ) sin( , )01 0 2 1 4+ + +K .

En opgave om produkter.Man kan udregne produkter som f.eks.

nn

2

1

102 2 21 2 10

=∏ = ⋅ ⋅ ⋅K

Det store græske pi står for produkt; betydningen fremgår af eksemplet.Klik på produktsymbolet på paletten Calculus og udfyld de fire pladsholdere

Vi beregner dels numerisk og dels symbolsk

Prøv at ændre antallet af faktorer.

13.15

13.16

13.17


Dette er en fortsættelse af opgave 13.17.Den engelske matematiker John Wallis viste omkring 1650, at π kan skrives som etsåkaldt uendeligt produkt

K⋅⋅⋅⋅⋅⋅=76

56

54

34

32

12

2π

Vis, at udtrykket kan opfattes som et produkt af faktorerne

f nn

nn

nn N( ) =

−⋅

+∈

22 1

22 1

hvor

Beregn symbolsk tallet

f nn

( )=

∞

∏1

Beregn numerisk tallet

f nn

( )=

∏ −1

10012 π

Der gælder ifølge Wallis, at

f n kn

k

( )=

∏ → → ∞1

12 π for

Du skal nu eftervise, at denne konvergens er meget langsom.Bestem det mindste tal k , der opfylder, at

f nn

k

( )=

−∏ − <1

12

510π

Din computer skal nok mindst være en Pentium 200 MHz eller tilsvarende; ellers varerregningen for længe.

13.18


En opgave om Taylors formel.Lad f være en funktion, der er n gange differentiabel i et interval I , og lad x og x0

være vilkårlige tal i I . Der findes da mindst ét tal x1 i I , således at

)(!

)()(

)!1()(

)(!2

)()(

!1)()(

1)(0

0)1(

10

0

20

00

0

xfnxx

xfn

xx

xfxx

xfxx

xfxf

nn

nn −

+−

−+

+′′−+′−+=

−−

K

Sidste led er det såkaldte restled. Hvis restleddet går mod nul for n gående moduendelig, kan funktionen f skrives som en uendelig række, en såkaldt Taylor-række

K+′′−+′−

+= )(!2

)()(

!1)()( 0

20

00

0 xfxx

xfxx

xfxf

Når Mathcad rækkeudvikler en given funktion, skal der oplyses

funktionsudtrykket f x( )at der er tale om en rækkeudvikling (a series)tallet x0

antal led i rækkeudviklingen

Skriv funktionsudtrykket, vælg det udvidede symbolske lighedstegn, skriv v.h.a. detfede lighedstegn series,x=0,9 i pladsholderen og tast Retur

Der er tilsyneladende kun fire led i Taylorrækken; forklar!Definér funktionerne F, G, H og I ved

75040

15120

1361

5120

1361

361

)(

)(

)(

)(

xxxxxI

xxxxH

xxxG

xxF

−+−=

+−=

−=

=

Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne sin , F og G .

Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne sin , H og I .

I begge tilfælde er tegneintervallet − ≤ ≤4 4x passende.

13.19


Dette er en fortsættelse af opgave 13.19.Lav en Taylorrække for

f xx

x( ) , ,=+

=1

10 150 led

Argumentér v.h.a. en rækkeudvikling for den nyttige approksimationsformel

1 1 012+ ≅ + ≅x x xfor

Dette er en fortsættelse af opgave 13.19.Den store tyske matematiker Leibniz fandt omkring 1670, at

(∗) K+−+−=71

51

31

14π

Dette udtryk vakte stor forbavselse hos samtidens matematikere. Vi vil benytteMathcad til at argumentere for (men ikke bevise!) Leibniz´ resultat.

Funktionen tan har på intervallet ] [− 12

12π π; en omvendt funktion Arctan, som

Mathcad kalder atan. Lav en Taylorudvikling af denne funktion ud fra 0 og med 15 led.

Argumentér for, at Arctan(x) kan skrives som en uendelig sum af led af formen

f x nxn

nnn

( , ) ( ) , , ,= −+

=+

12 1

0 1 22 1

hvor K

Argumentér for, at Leibniz´ udtryk (∗) fremkommer af formlen

Arctan hvor( ) ( , )x f x n xn

= ==

∞

∑0

1

Beregn symbolsk tallet

f nn

( , )10=

∞

∑

Beregn numerisk tallet

f nn

( )10

10014,

=∑ − π

fortsættes

13.20

13.21


Der gælder ifølge Leibniz, at

f nn

k

( , )10

14

=∑ → → ∞π for k

Du skal nu eftervise, at denne konvergens er meget langsom.Bestem det mindste tal k , der opfylder, at

f nn

k

( , )1 100

14

5

=

−∑ − <π

Din computer skal nok mindst være en Pentium 200 MHz eller tilsvarende; ellers varerregningen for længe.

Dette er en fortsættelse af opgave 13.19.Lav en Taylorudvikling af ln(x + 1) ud fra x = 0 og argumentér for, at

K+−+1−=41

31

212ln

Opstil en forskrift f n( ) for det enkelte led i summen ovenfor.Beregn summen af f n( ) érne v.h.a. sumsymbolet fra paletten Calculus .

Dette er en fortsættelse af opgave 13.19.Lav en Taylorudvikling af e x ud fra x = 0 og argumentér for, at

K+++=!2

1!11

1e

Opstil en forskrift f n( ) for det enkelte led i summen ovenfor.Beregn summen af f n( ) érne v.h.a. sumsymbolet fra paletten Calculus .

13.22

13.23


• Funktionen f givet ved

f xx

x( )

sin=

er ikke defineret og dermed ikke kontinuert i x = 0 .

Tegn grafen for f på standardintervallet fra –10 til 10 og undersøg, hvordan dis-kontinuiteten viser sig?

Vis, atlim ( )x

f x→

=0

1

Vi kan derfor på naturlig måde definere en kontinuert funktion f 1 ved

f xx

xx

x1

0

1 0( )

sin=

≠

=

for

for

Vi siger, at f har en hævelig diskontinuitet i x = 0 .

Tegn grafen for f 1 v.h.a. den boolske notation

• Vis, at funktionen g givet ved

g xx xx x

( )sin

cos=

−⋅3

har en hævelig diskontinuitet i x = 0.

Illustrér resultatet grafisk.

• Undersøg på samme måde funktionen h givet ved

h x x x( ) sin= ⋅ 1


13.24


Da Mathcads normale talområde er cirka ± 10307, kan tal blive så store, at en numeriskberegning kikser

En direkte symbolsk beregning svigter også, men vi kan dog narre den symbolskeregnemaskine ved at skrive eksponenten som 800,0

Tallet beregnes med 20 cifre. Er dette ikke nok, anvendes det udvidede symbolskelighedstegn med float,antalcifre i pladsholderen

For meget små tal gælder noget tilsvarende

Beregn med 40 cifre tallene 1000!1

2000!og

En opgave om talteori.Den såkaldte zetafunktion er for a > 1 defineret ved

zeta( )ana

n

==

∞

∑ 1

1

Det lykkedes 1700-tallets største matematiker Leonard Euler at beregne zeta( )a foren række lige værdier af a ; han måtte dog give op overfor ulige værdier.Eksperimentér med forskellige værdier af a .

13.25

13.26


DIFFERENTIALREGNINGBestem differentialkvotienten ′f ( )2 hvor

1 3 9

2 42 3

9 8 7

4

3 32

) ( ) ) ( ) ln( )

) ( ) cos ) ( )

f x x f x x x

f x x x f xx

x x

= = +

= ⋅ =+

+ +−

Beregn ′ ′′f f f f( ) , ( ) , ( ) ( )( ) ( )4 4 4 43 4og idet

f x x x( ) sin( )= ⋅7 3

Bestem den afledede funktion ′f når

1 3 9

2 42 3

9 8 7

4

3 32

) ( ) ) ( ) ln( )

) ( ) cos ) ( )

f x x f x x x

f x x x f xx

x x

= = +

= ⋅ =+

+ +−

Reducér mest muligt.

Hvorfor bliver der i sidste linje ikke beregnet en forskrift for den afledede?

Bestem med 10 cifre den mindste løsning til ligningen ′ =f x( ) 0 idet

f x x x x( ) cos= +2

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5


En opgave om maksimum og minimum.Vi vil undersøge ekstremalforholdene for funktionen f givet ved forskriften

1sin

)(2 +

=x

xxxf

Grafen tegnes

Det er tydeligt, at værdierne af de lokale maksima aftager med voksende x-værdi(overvej dette!). Vi bestemmer værdien af det næststørste maksimum ved 8≅x .

1. metode

2. metodeMan kan også benytte løsningsblokken Given/Find samt et startgæt

3. metodeMan kan benytte funktionen Maximize med et startgæt

Som det ses, skal man her passe på med startgættet; prøv at eksperimentere!

fortsættes

14.6


4. metodeMan kan benytte en løsningsblok med funktionen Maximize og bånd på x-værdien.Bemærk, at det ikke kommer sig så nøje med startgættet.

Bestem v.h.a. de tre metoder det næstmindste minimum, idet funktionen Maximizeudskiftes med funktionen Minimize.

Bestem det globale maksimum og det globale minimum for funktionen.

Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne f og ′f hvor

f xx

x( )

sin( )=

Anvend f.eks. notationen fra opgave 13.24

Undersøg, om ′f -grafen forløber som ventet.

Bestem med 10 cifre den x-værdi mellem 0 og 5, hvor de to grafer skærer hinanden.

En funktion f er givet ved forskriften

f x x x( ) = − +2 7 10

Bestem en forskrift for den afledede funktion ′f .

Kontrollér udtrykket ved en håndregning.

Tegn i samme koordinatsystem graferne for f og ′f (vælg f.eks. 0 og 7 i plads-holderne ved x-aksen).

Ser graferne “rigtige” ud?

14.7

14.8


Skriv følgende

Tegn graferne for f og p i samme koordinatsystem.Skriv –2 og 6 i pladsholderne ved x-aksen og –5 og 20 i pladsholderne ved y-aksen.

Prøv at ændre værdien af variablen x0 .

Hvad er det, der tegnes?

En funktion f er kontinuert i x0 , hvis den er defineret i et interval omkring x0 og

lim ( ) lim ( ) ( )x x x x

f x f x f x→ →− +

= =0 0

0

Hvis yderligere f er differentiabel i et interval til venstre for x0 og i et interval til højrefor x0 med

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x k→ →− +

′ = ′ =0 0

så er f differentiabel i x0 med differentialkvotienten k .En funktion f er givet ved

f xx x

ax b x( )

, ,

,=

− + − ≤ ≤

+ < ≤

2 6 2 1

1 5

hvor a og b er reelle konstanter.

Beregn de værdier af a og b , der gør f differentiabel i tallet x = 1 .


14.9

14.10


En opgave om differenskvotienten og differentialkvotienten.Mathcad er rasende hurtig til at differentiere en funktion

Det går faktisk så let, at man helt glemmer, hvad sagen egentlig drejer sig om. Lad osderfor gå en omvej for at se på detaljerne.Lad funktionen f være defineret i et interval omkring tallet x0 .Vi beregner først differenskvotienten, som er hældningen af sekanten gennemgrafpunkterne A x f x B x f x( , ( )) ( , ( ))0 0 og

f x f xx x

( ) ( )−−

0

0

Vi ser så på grænseværdien af differenskvotienten for x gående mod x0 . Det betyder,at sekanten vipper omkring det faste punkt A. Hvis grænseværdien eksisterer, siges fat være differentiabel i x0 med differentialkvotienten ′f x( )0

f x f xx x

f x x x( ) ( )

( ) for−−

→ ′ →0

00 0

Og ′f x( )0 er hældningen af sekantens grænsestilling, altså tangentens hældning.I Mathcad kan vi beregne således

Af én eller anden grund kan Mathcad ikke finde grænseværdien af et udtryk, hvor derindgår et indeks, så vi skifter variabelnavn

Efterprøv selv med andre funktioner.

14.11


En opgave om maksimum og minimum.Betragt funktionen f af to variable givet ved

3)2()1(),( 22 +++−= yxyxf

Det er ses umiddelbart, at f har (globalt) minimum 3min =f for )2,1(),( 00 −=yx .

Det er oftest ganske kompliceret at finde et ekstremumspunkt, så vi vil derfor se pånogle mere generelle metoder.

1. metodeVi starter med at tegne grafen for f

Der er åbenbart tale om et minimum, men det er svært at aflæse koordinaterne tilpunktet.Dobbeltklik derfor på grafen og vælg på fanebladet “General” indstillingen “Plot 1,Display As: Contour Plot”. En niveaukurve er skæringskurven mellem grafen og enplan med ligningen kz = , altså en plan parallel med ),( yx -planen. Et niveauplotbestår af en række niveaukurver svarende til forskellige værdier af k . På niveau-plottetovenfor kan vi se, at minimumspunktet må have koordinater i nærheden af (1,-2) .Vi kan foretage en egentlig beregning v.h.a. funktionen Minimize, der blot kræver etrimeligt startgæt

Funktionen har måske et lokalt minimum 3min =f for )2,1(),( 00 −=yx .

fortsættes

14.12


2. metodeFor en “pæn” funktion f af én variabel med 0)(' 0 =xf er der tre muligheder

f har lokalt maksimum i 0x

f har lokalt minimum i 0x

f har hverken maksimum eller minimum i 0x

(grafen har en vandret vendetangent i punktet)

Man kan så konsultere den anden afledede i 0x

hvis 0)('' 0 <xf har f lokalt maksimum i 0x

hvis 0)('' 0 >xf har f lokalt minimum i 0x

For en funktion af to variable lyder opskriften således:Hvis der for ),(),( 00 yxyx = gælder, at

0),(og0),( == yxfdyd

yxfdxd

er der tre muligheder

f har lokalt maksimum i ),( 00 yx

f har lokalt minimum i ),( 00 yx

f har hverken maksimum eller minimum i ),( 00 yx

(grafen har et såkaldt saddelpunkt i ),( 00 yx )

Hvilken af de tre muligheder, det drejer sig om, afgøres af funktionerne

2

2

2

2

2

),(),(),(),(

−

⋅

= yxf

dxd

dyd

yxfdyd

yxfdxd

yxD

),(),(2

2

yxfdxd

yxg =

Der er lokalt maksimum i ),( 00 yx hvis

0),(og0),( 0000 <> yxgyxD

Der er lokalt minimum i ),( 00 yx hvis

0),(og0),( 0000 >> yxgyxD

fortsættes


Der er et saddelpunkt i ),( 00 yx hvis

0),( 00 <yxD

Vi anvender en løsningsblok Given/Find med startgæt

Dette viser blot, at der måske er lokalt minimum i )2,1(),( 00 −=yx .

Vi kører så den store kanon i stilling

Altså har f med sikkerhed et lokalt minimum 3min =f for )2,1(),( 00 −=yx .

Bestem et lokalt minimum for funktionen f givet ved

14),( 22 ++−++= xyyxyxyxf

I kapitel 9 betragtede vi funktionen f givet ved

22),( yxyxf −=

Vis, at f har et saddelpunkt i (0,0).

14.13

14.14


Tegn på området 22 ≤≤− x og 1010 ≤≤− y grafen for funktionen20 f hvor

222 )1()(100),( −+−= xxyyxf

Vis, at f har et lokalt minimum i (1,1).

Man kan definere en definitionsmængde i løsningsblokken; men så er det blot ikkesikkert, at man finder et lokalt minimum. Prøv at skrive

Udskift funktionen Minimize med funktionen Maximize.

Bestem maksimum for f på definitionsmængden

5041 ≤≤∧≤≤− yx

der skrives som fire enkeltudsagn uden logiske tegn.

Fire landbyer går sammen om at opføre et vandværk. Indtegnet i et koordinatsystemligger landbyerne på positionerne

)2,6(og)5,4(,)4,2(,)1,1( DCBA

hvor tallene er givet i km.

Bestem den placering af det fælles vandværk, der giver de mindste udgifter til vand-ledningen.

Bestem de samlede udgifter, når vandledningen koster 120 kr. pr. meter.

20 Mathcad omtaler af uvisse grunde f som Rosenbrochs bananfunktion.

14.15

14.16


INTEGRALREGNINGDu vil lave en symbolsk beregning og taster ved en fejltagelse lighedstegn

Du skal altså erstatte det sædvanlige lighedstegn med det symbolske lighedstegn.Klik på udtrykket, tast Delete , skriv det symbolske lighedstegn og tast Retur.Prøv på samme måde at erstatte → med = .

Beregn både numerisk og symbolsk integralerne

1 21

1

3 7 4

3

02

0 3

1 5

2

3

8

0

2

3

) cos )

) )

,

,

x dxx

dx

x xe ee e

dxx x

x x

π

∫ ∫

∫ ∫

+

+−+

−

−

En funktion f er givet ved forskriften

f x x x x( ) = − −13

3 13

2 2

Bestem eksakt arealet af den punktmængde, der afgrænses af grafen for funktionen ogx-aksen.

Grafen for funktionen f givet ved

f x x x x( ) = − +4 34 3

afgrænser sammen med koordinatsystemets førsteakse en punktmængde, der har etareal.

Bestem den eksakte værdi af dette areal.

Den del af punktmængden, der er beliggende i 3. kvadrant, deles af linjen med ligningenx = k i to dele med lige store arealer.

Bestem k med 10 decimaler.

15.1

15.2

15.3

15.4


Tegn grafen for funktionen f hvor

f x x x( ) cos sin= +3 3

Bestem med 10 decimaler arealet af punktmængden

{ }( , )| ( )x y a x b y f x≤ ≤ ∧ ≤ ≤0

hvor a er det største, negative og b det mindste, positive nulpunkt for f .

En funktionen f er givet ved forskriften

f x x( ) sin( )= 4

Bestem med 12 decimaler arealet af punktmængden

{ }( , )| ( ) ( )x y x a f x y f x0 ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ′

hvor a er det mindste, positive nulpunkt i ligningen f x f x( ) ( )= ′ .

En punktmængde M afgrænses af graferne for de to funktionen f og g , hvor

f x x g x x x( ) sin , ( ) sin ,= = − ≤ ≤1 0 π

Bestem eksakt rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes360o omkring x-aksen.

Tegn grafen for funktionen f defineret ved

f xt

dt xx

( ) ,= >∫1

01

Beregn (om muligt) tallene og sig AHA!

f f f

f f f

f f

f f e

f f

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 4 3 4

3 4

3 4 3

1

0 7

34

4

⋅ +

−

⋅

−

og

og

og

og

og

15.5

15.6

15.7

15.8



f x x x x( ) ,= − − + − ≤ ≤2 3 10 7 4

Formatér diagrammet med normale akser og lad tallene på x-aksen gå fra –8 til 5.

Vælg på fanebladet “Traces” følgende indstillinger

Fjern på fanebladet “X-Y Axes” afkrydsningen ved “Auto Grid” og skriv 13 i feltet“Number of Grids”.

Beregn

f x dx( )−∫7

4

Løs mht. x ligningen

1

3 31

2

− +=

−

∫ tdt

x

Prøv at anvende flere af løsningsmetoderne fra kapitel 10.

Hvis en funktion f er differentiabel med kontinuert afledet på et interval [ ]a b; , erlængden s af grafen givet ved

∫s f x dxa

b

= + ′1 2( )

Bestem længden af den del af parablen med ligningen y x x= − +2 7 10 , der svarer til2 6≤ ≤x .

Bestem længden af en enkelt periode af sinusgrafen.

Benyt både det sædvanlige lighedstegn = og det symbolske lighedstegn → .

15.9

15.10

15.11


En kurve har parameterfremstillingen

x x ta t b

y y t

=≤ ≤

=

( ),

( )

Hvis koordinatfunktionerne er differentiable med kontinuert afledet, er kurvelængden sgivet ved

s x t y t dta

b

= ′ + ′∫ ( ) ( )2 2

Længden af asteroiden (opgave 9.11) findes så let som at smutte mandler

• Beregn længden af 5 hele omdrejninger af Archimedes´ spiral (opgave 9.11).

• Beregn længden af den trebladede rose (opgave 9.11).

• En ellipse med halvakserne 2 og 1 er givet ved parameterfremstillingen

x tt

y t

=≤ <

=

20 2

cos,

sinπ

Beregn omkredsen af ellipsen.

• Beregn længden af en enkelt periode af cykloiden (se kapitel 9).

Beregn

1 21

1

3 7 4

32

2

) cos )

) )

x dxx

dx

x xe ee e

dxx x

x x

∫ ∫

∫ ∫

+

+−+

−

−

15.12

15.13


Vi viste i kapitel 15, at

x

xdx x x x k

215

2

2 32 6 2 3

+= − + + +

⌠⌡

( )

Kontrollér dette v.h.a. integrationsprøven.

Vis, at

⌡⌠ +++−=

+kbax

ababxxa

dxbax

x3

2222

15)843(2

En opgave om partialbrøker.Når man vil integrere en polynomiumsbrøk ved håndkraft, skal man ofte først opløsebrøken i en sum af simple brøken, såkaldte partialbrøker.Skriv funktionsudtrykket, vælg det udvidede symbolske lighedstegn fra palettenEvaluation, skriv convert,parfrac,x i pladsholderen og tast Retur

Bestem v.h.a. Mathcad stamfunktioner til funktionerne f og g givet ved

f xx

x x x

g xx x x

( )

( )( )

=+

+ + +

=−+

++

++

3 25 8 4

11

42

12

3 2

2

Opløs i en sum af partialbrøker

112 15

311

4 3

23

41

4

2 2

2 2

) )

)( )

)

x xx

x xx

x x x

+ −−

− +

+ +

Tabellæg den stamfunktion til sin( )x2 , hvis graf går gennem punktet A(1,3).

Tabellæg den stamfunktion til e xx ⋅ −1 , hvis graf går gennem punktet B(2,7).

Tabellerne beregnes for x-værdierne 4 , 4,1 , ... , 5 mens y-værdierne angives med 5decimaler.

15.14

15.15

15.16


Tegn grafen for sinusintegralet Si på intervallet fra –30 til 30

Bestem grænseværdien

lim ( )x

x→∞

Si

Vis ved en håndregning, at Si er en ulige funktion

Si Si for alle( ) ( )− = − ∈x x x R

Argumentér for, at

Si for( )x x x≅ ≅ 0

Kontrollér ved at beregne nogle funktionsværdier.

Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne sin og Si.

En opgave om uegentlige integraler.

Lad funktionen f være kontinuert på intervallet [ [a;∞ .

Symbolet

f x dxa

( )∞

∫

er et såkaldt uegentligt integral, der er defineret ved

f x dx f x dxa

ba

b

( ) lim ( )∞

→∞∫ ∫=

hvis vel at mærke grænseværdien eksisterer!

Beregn

lim sin sina

xa

xe x dx e x dx→∞

− −∞

∫ ∫0 0

og

og

dxx

dxx

a

a⌡⌠

+⌡⌠

+

∞

∞→0

2

0

2 11

og1

1lim

15.17

15.18


En opgave om Eulers konstant.Beregn, dels v.h.a. det sædvanlige lighedstegn, dels v.h.a. det symbolske ligheds-tegnog dels v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med float,20 i plads-holderen

e x dxx−∞

∫ ln0

Eulers konstant γ er defineret ved det flotte udtryk

γ = −

→∞ =

∑lim ln( )N

nn

N

N1

1

Beregn Eulers konstant, dels v.h.a. det symbolske lighedstegn og dels v.h.a. detudvidede symbolske lighedstegn med float,20 i pladsholderen.

Dette er en fortsættelse af opgave 13.14.Tegn på intervallet fra –1 til 10 grafen for funktionen f givet ved

f xx

e x( ) =−

2

1

Beregn grænseværdien af f x( ) for x gående mod uendelig.

Beregnx

edxx

2

0 1−

∞

∫

En opgave om dobbeltintegraler.Tegn grafen for funktionen f givet ved

f x y x y( , ) = +2 2

Rumfanget V af punktmængden

{ }( ) ( )x y z x y z f x y, , | ,− ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ ∧ ≤ ≤1 1 1 1 0

kan bestemmes v.h.a. et såkaldt dobbeltintegral

V f x y dxdy f x y dx dy= =

−− −−∫∫ ∫∫( ) ( ), ,1

1

1

1

1

1

1

1

fortsættes

15.19

15.20

15.21


Vis ved en håndregning, at V = 83 .

Mathcad klarer sagen som en mis

Beregn rumfanget af punktmængden

{ }( )x y z x y z x y, , | 0 2 0 5 0 2≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ∧ ≤ ≤ ⋅

Dette er en fortsættelse af opgave 15.21.Betragt funktionen f hvor

f x y x y( ), = 3 4 6

Vi vil bestemme rumfanget V af punktmængden

{ }( , , )| ( , )x y z x y z f x y2 2 4 0+ ≤ ∧ ≤ ≤

Da integrationsområdet i (x,y)-planen ikke er rektangulært, skal der lidt snedighed til.

( )x x, 4 2−

( )x x,− −4 2

Vis v.h.a. figuren ovenfor, at

V f x y dydxx

x

=− −

−

−∫∫ ( , )4

4

2

2

2

2

Beregn V både numerisk og symbolsk.

15.22


Dette er en fortsættelse af opgave 15.21.Kuglen med radius r har som bekendt rumfanget

(∗) V r= 43

3π

Dette skal du nu eftervise på to helt forskellige måder.

• Vis, at den øverste halvdel af cirklen med centrum i O(0,0) og radius r er graf forfunktionen

f x r x r x r( ) ,= − − ≤ ≤2 2

Drej grafen 360o omkring x-aksen og vis formlen (∗).

• Vis, at den øverste halvdel af kuglen med centrum i O(0,0,0) og radius r er graf forfunktionen

g x y r x y x y r( , ) ,= − − + ≤2 2 2 2 2 2

Bestem kuglens rumfang (∗) v.h.a. et dobbeltintegral.

En funktion f er differentiabel med kontinuert afledet på intervallet [ ]ba; .Grafen for funktionen drejes en hel omgang omkring x-aksen og beskriver derved denkrumme overflade på et omdrejningslegeme.Arealet af denne overflade er givet ved

∫ +=b

a

dxxfxfT 2)('1)(2π

• Vis, at en kugle med radius r har overfladearealet 24 rπ .

• Grafen for funktionen

12,)( 6,0 ≤≤−= xexf x

drejes °360 omkring x-aksen.En stor metaltragt smedes i netop denne facon, idet de indgående tal udtrykkes i meter.Tragten er af jern med densiteten 3g/cm87,7 og tykkelsen 3 mm.

Beregn tragtens masse.

Tegn tragten (se opgave 9.15).

15.23

15.24


SANDSYNLIGHEDSREGNINGEn stokastisk variabel X er binomialfordelt med antalsparameter 10 og sandsyn-lighedsparameter 0,3 .Lav en tabel over fordelingsfunktionens værdier (de kumulerede sandsynligheder).

En stokastisk variabel X er binomialfordelt med antalsparameter 15 og sandsyn-lighedsparameter 0,4 .Bestem sandsynlighederne P X( )= 8 og P X( )≤ 8 , dels v.h.a. funktionerne dbinomog pbinom og dels v.h.a. de kendte udtryk

P X( )!

)!, ( , )= =

−⋅ ⋅ − −8

158!(15 8

0 4 1 0 48 15 8

P Xr r

r r

r

( )!

!( )!, ( , )≤ =

−⋅ ⋅ − −

=∑8

1515

0 4 1 0 4 15

0

8

Binomialkoefficienterne kan også beregnes v.h.a. funktionen combin

combin( , )!

!( )!n k

nk n k

=−

Det en grundlæggende egenskab ved normalfordelingen, at

π22

21

=∫∞

∞−

− dxe x

Kontrollér dette, dels ved en numerisk regning med = og dels ved en symbolsk regningmed → . Bemærk, at Mathcads symbolske regnemaskine opfatter 2

1 og 0,5 helt

forskelligt.For en standardnormalfordelt stokastisk variabel X er f.eks.

∫∞−

−=≤6,0

21

221

)6,0( dxeXP x

π

Beregn denne sandsynlighed, dels ved at integrere og dels v.h.a. funktionen pnorm.

En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi 5 og spredning 12 . Tegn i

samme koordinatsystem graferne for frekvensfunktionen og fordelings-funktionen for X; tegneintervallet fra 3 til 7 er passende.

16.1

16.2

16.3

16.4


Tabellæg standardnormalfordelingens fordelingsfunktion for x-værdierne

x = 0,0 , 0,1 , ... , 2,0

Funktionsværdierne skal angives med 4 decimaler.

• Frembring 10 tilfældige tal i intervallet [ [0 6; ; genberegn tallene ved at vælge

menupunktet Math/Calculate Worksheet.

• Frembring 15 tilfældige tal i intervallet [ [0 5 9 5, ; , .

• Simulér 20 kast med en 12-kantet terning.

• Kan du gennemskue, hvad der sker her?

En opgave om gentagne terningkast.Vi simulerer 600 kast med en terning v.h.a. funktionen21 runif

Tabellen til venstre viser kun de første seks resultater.

fortsættes

21 r står for random (tilfældig), mens unif er den uniforme (rektangulære) fordeling.

16.5

16.6

16.7


Vi vil tegne et stolpediagram for fordelingen af øjentallene. Det gør vi på en lidt kunstigmåde, idet vi grupperer resultaterne på intervallerne 0,5 < 1,5 < … < 6,5. Dissedelepunkter er skrevet i vektoren a ovenfor (se kapitel 17).Funktionen hist optæller hyppigheden af øjentallene

Tegn så et (x,y)-diagram med a i nederste pladsholder og hyppighed i pladshol-deren til venstre. Formatér som stolpediagram (se kapitel 16).

Stolperne bør placeres ved øjentallene; skriv derfor a+0.5 i nederste pladsholder.Skriv til slut overskrift og aksetekster

Simulér nye måleserier ved at vælge menupunktet Math/Calculate Worksheet.

Prøv også at ændre antallet af kast.

En opgave om simulering af møntkast.Dette er en fortsættelse af opgave 16.7.Simulér 1000 kast med en mønt og illustrér med et stolpediagram.

16.8


En opgave om Poissonfordelingen.En stokastisk variabel X siges at være Poissonfordelt, hvis

P X k ek

kk

( )!

, , ,= = ⋅ =−λ λhvor 0 1 2 K

mens parametren λ er positiv.Vis, at der er tale om en sandsynlighedsfunktion

P kk

( , )λ ==

∞

∑ 10

hvor P k ek

k

( , )!

λλλ= ⋅−

Beregn middelværdien af X

µ λ= = ⋅=

∞

∑E X k P kk

( ) ( , )0

Beregn også variansen og spredningen af X

( )V X k P kk

( ) ( , )= − ⋅=

∞

∑ µ λ2

0

og σ( ) ( )X V X=

Værdierne af frekvensfunktionen beregnes v.h.a. funktionen dpois

),(dpois)( λkkf =

Illustrér Poissonfordelingen med middelværdi 3 v.h.a. et stolpediagram.

En opgave om Cauchyfordelingen.Cauchyfordelingen er en kontinuert sandsynlighedsfordeling med frekvensfunktion

f x kx

x R( ) ,= ⋅+

∈1

1 2

Vis ved en symbolsk regning, at

k =1π

Tegn grafen for frekvensfunktionen f .

Beregn P X( , , )− ≤ ≤2 3 1 9 hvor X er en Cauchyfordelt stokastisk variabel.

fortsættes

16.9

16.10


Cauchyfordelingens middelværdi µ er defineret ved

µ = ⋅−∞

∞

∫ x f x dx( )

Vis, at µ = 0 .

Vis ved en symbolsk regning, at Cauchyfordelingen ikke har nogen spredning σ , hvor

σ µ2 2= − ⋅−∞

∞

∫ ( ) ( )x f x dx

Find ved en symbolsk regning et udtryk for fordelingsfunktionen F

F x f t dtx

( ) ( )=−∞∫

Tegn grafen for F .

Den franske matematiker Montmort udgav i 1708 en meget anvendt lærebog isandsynlighedsregning. Her behandler han bl.a. følgende spil: Spilleren kaster en terningindtil han første gang slår en sekser; så er spillet slut. Gevinsten beregnes således

hvis sekseren slås i 1. kast, vinder han 1 kr.hvis sekseren slås i 2. kast, vinder han 2 kr.osv., osv.

Hvad kan spilleren i det lange løb forvente at vinde pr. spil?

Vi bemærker først, at udfaldsrummet er ikke endeligt

{ }U = 6 66 666, , ,K

Der er derfor ikke nogen garanti for, at spillet nogensinde stopper!

Vis, at sandsynligheden for at spillet stopper efter det n´te slag er

( )P nn

( ) = ⋅−56

1 16

Vis, at der er tale om et sandsynlighedsfelt

P nn

( )=

∞

∑ =1

1

16.11


Lad X være gevinsten i et spil

X n n( ) =

Bestem middelværdien (forventningsværdien) af X

µ = = ⋅=

∞

∑E X X n P nn

( ) ( ) ( )1

Beregn også variansen og spredningen af X

( )V X X n P n X V Xn

( ) ( ) ( ) og ( ) ( )= − ⋅ ==

∞

∑ µ σ2

1

Kommentér spillet!

I det følgende benyttes en såkaldt Monte Carlo-metode til at bestemme π eksperi-mentelt. Kan du gennemskue, hvad der foregår?

16.12


En opgave om statistik.Der er givet en række målinger x x xn1 2, , ,K af en størrelse x .Det aritmetiske gennemsnit x af målerækken er givet ved

xn

xii

n

==∑1

1

Standardafvigelsen s er et mål for, hvor tæt tallene x i ligger på x . Der findes toudtryk for standardafvigelsen

sn

x xii

n

11

1

2= −=∑ ( ) og s

nx xi

i

n

21

1 1

2=−

−=∑ ( )

I Mathcad beregnes tallene x s s, 1 2og v.h.a. funktionerne mean, stdev og Stdev22

Der findes yderligere to typer gennemsnit: det harmoniske gennemsnit xh og detgeometriske gennemsnit xg , der for positive værdier er defineret ved

1 1 1 1 1

1 2x n x x xh n

= + + +

K og x x x xg n

n= ⋅ ⋅ ⋅1 2 K

Disse lidt eksotiske gennemsnit beregnes v.h.a. funktionerne hmean og gmean

Beregn de tre typer gennemsnit samt de to typer standardafvigelse for talsættet

51 , 47 , 53 , 57 , 49 , 52 , 53 , 56

22 Dette er en forkortelse af det engelske standarddeviation.

16.13


VEKTORERBestem længden af vektorerne

2 3 4 5 13

14

15

16a b c d a b c d− + − + + +og

hvor

a b c d=

=

−

=

−

=

−−

2

3

4

2

6

3

5

6, , og

Der er givet to vektorer

a b=

=

−−

6

2 2 1

2

ogt

t

Bestem eksakt t R∈ , så vektorerne udspænder et parallelogram med arealet 14.Bemærk, at Mathcad ikke kender begrebet “tværvektor”.

Beregn vinklen mellem vektorerne

a b=

=−

4

5

3

1

7

6

og

Beregn arealet af den trekant, der udspændes af de to vektorer.

Bestem koordinaterne til projektionen af a bpå .

En plan i rummet går gennem punktet 0P og rummer vektorerne p og q , hvor

−

−=

−=−

1

2

5

og

4

1

3

,)1,3,2(0 qpP

Bestem en ligning for planen.

Bestem eksakt afstanden mellem planen og punktet )3,2,1(A .

17.1

17.2

17.3

17.4


Der er givet vektorerne

v a b c=−

=−

−

=−

−

=−

2

6

7

2

1

3

4

1

7

2

4

5

, , og

Skriv v som en linearkombination af a b c, og .

Du skal her eksperimentere med vektorfunktionerne sort og reverse.Start med at indskrive en 7-dimensional vektor v , hvor tallene kommer hulter til bulter!Beregn så vektorerne

reverse(v), sort(v), reverse(sort(v)) og sort(reverse(v))

I denne fysikopgave er det underforstået, at der arbejdes i SI-enheder.En partikel P bevæger sig langs en kurve. Den position til tidspunktet t er givet vedstedvektoren til P

r( ) ,tt t

tt=

−

≥

2 60

Tegn banekurven.

Partiklen er påvirket af kraften

F( )tt

t=

+

7

3

I tidsrummet a t b≤ ≤ udfører kraften arbejdet

A t t dta

b

= •∫ F v( ) ( )

hvor v r( ) ( )t t= ′ er partiklens hastighed.

Beregn kraftens arbejde i tidsrummet fra 0 til 9 .

Hvornår står kraften vinkelret på hastigheden?

17.5

17.6

17.7


En plan kurve er givet ved vektorfunktionen (parameterfremstillingen)

btaty

txt ≤≤

= ,

)(

)()(r

Hvis )(tr er differentiabel med kontinuert afledet, er kurvelængden givet ved

dttsb

a∫= )('r

Denne formel har du allerede mødt i opgave 15.12.Når parametren t løber fra a til b , overstryger stedvektoren )(tr et område iplanen

O

T

r(a)

r(b)

Hvis )(tr “hele tiden drejer til samme side”, er områdets areal givet ved

dtttTb

a∫ •= )(')(ˆ2

1 rr

Bestem arealet af asteroiden, den trebladede rose og ellipsen med halvakserne 2 og 1(se opgave 15.12).

Bestem kurvelængde og areal “under” en enkelt periode af cykloiden (se kapitel 9).

17.8


MATRICERUdregn matrixprodukterne

E A A E⋅ ⋅og

A B B A⋅ ⋅og

A B C A B + A C⋅ + ⋅ ⋅( ) og

hvor

=

−

−=

=

−=

10

01og

53

86,

24

53,

13

72ECBA

Prøv at formulere nogle generelle sætninger.

Beregn produktet C A B= ⋅ af de to matricer

−

−=

=

211

302

111

og

231

123

121

BA

Vis, at

det(C) = det(A)·det(B) og C B A− − −= ⋅1 1 1

Betragt de tre lineære ligninger i tre ubekendte fra kapitel 12

x y z

x y z

x y z

+ − =− + − =− + − =

0

2 3 9 0

5 3 2 0

Vis, at ligningssystemet kan skrives som matrixligningen A X B⋅ = hvor

A B X=−

−−

=

=

1 1 1

2 1 3

5 3 1

0

9

2

, og

x

y

z

Der gælder, at ligningssystemet har én løsning netop nårdet( )A ≠ 0 .

Vis, at det( )A ≠ 0 .

Beregn løsningen som X A B= ⋅−1 .

Find løsningen v.h.a. funktionen lsolve; skriv lsolve(A,B)= .

Løs ligningssystemet v.h.a. løsningsblokken Given/Find.

18.1

18.2

18.3


Løs v.h.a. matricer ligningssystemet

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

3 2 4

4 5 2 6

2 3 1

Løs også ligningssystemet v.h.a. løsningsblokken Given/Find.

En opgave om egenvektorer og egenværdier.Der er givet en matrix A ; hvis der findes en egentlig vektor u og et tal λ , så

A u u⋅ = λ

kaldes en u en egenvektor for A med tilhørende egenværdi λ .Ved beregningen anvendes funktionerne eigenvecs og eigenvals.

Vi aflæser her de tre sæt egenvektorer/egenværdier for matricen A

fortsættes

18.4

18.5


Bemærk, at egenvektorerne er normeret

Vi kan også let kontrollere resultatet

Kontrollér på samme måde de to andre sæt egenvektorer/egenværdier.

Beregn egenvektorer og egenværdier for matricen

− 72

32

En opgave om affine afbildninger.En affin afbildning f er en afbildning af planen på planen med forskriften

⋅

+

=

y

x

aa

aa

b

a

y

xf

2221

1211

Vi vil i det følgende se på en specielt affin afbildning: en drejning omkring O(0,0).Lad en kurve være givet ved parameterfremstillingen

Ittg

tftP ∈

= ,

)(

)()(

Drejes kurven vinklen v omkring O(0,0) fås en kurve med parameterfremstillingen

)()( tPvD ⋅

hvor D(v) er den såkaldte drejningsmatrix

−=

vv

vvvD

cossin

sincos)(

I det følgende eksempel drejes ellipsen med halvakserne 2 og 1.fortsættes

18.6


Skriv –2 og 2 i de to pladsholdere ved begge akser og vælg på fanebladet “X-Y Axes”indstillingen “Equal Scales”.

Prøv at eksperimentere med drejningsvinklen.

Prøv at dreje andre kurver.

Dette er en fortsættelse af opgave 18.6.Følgende affine afbildning f beskriver en drejning omkring )( 00 yxQ

⋅

−+

=

y

x

y

xf

135

1312

1312

135

8

3

Punktet Q er et såkaldt fixpunkt, der er defineret ved

=

0

0

0

0

y

x

y

xf

Bestem koordinaterne til Q v.h.a. en løsningsblok Given/Find.

18.7


KOMPLEKSE TALBeregn tallene

( )( ) , , ( ) ( )4 2 9 74 29 7

4 2 9 73 2+ −+−

+ − −i iii

i iog

Find modulus og argument for tallet

76og54,57,32 iiii −−+−−−+

Skriv på formen z = a + bi når

1 6 60

2 4 135

3 6 789 292 74

) arg( )

) arg( )

) , arg( ) ,

z z

z z

z z

= = − °= = − °= = °

og

og

og

Ved multiplikation og division af komplekse tal a og b gælder formlerne

a b a b a b a b

ab

ab

ab

a b

⋅ = ⋅ ⋅ = +

=

= −

og arg( ) arg( ) arg( )

og arg arg( ) arg( )

Efterprøv f.eks. med tallene a i b i= − = +4 3 5 7og .

Udregn potenserne

( ) ( )76

14

17 13

8 121 0 5678 0 8765− + −−i i i, ( , , )og

Løs den binome ligning

1 2 1 3 33 4 5) ) )z i z z i= − = = − +

Løs den binome ligning z3 8= − .

Beregn dernæst tallet ( )−813 og forklar det sære resultat fra kapitel 7.

19.1

19.2

19.3

19.4

19.5

19.6

19.7


Løs den komplekse andengradsligning

1 3 4

2 5 12

3 4 5 5 0

2

2

2

)

) ( )

) ( ) ( )

z i

z i z

z i z i

= +

= − −

+ + + + =

Løs mht. de komplekse tal z og u ligningssystemet

iiuziiuz

2223

=+=−

Kontrollér resultatet.

19.8

19.9


REGRESSIONTabellen viser sammenhængen mellem motoreffekten og tophastigheden for tolvtilfældigt udvalgte biler

P

v

/

/ ( )

kW

km / h

70 63 72 60 66 70 74 65 62 67 65 68

155 150 180 135 156 168 178 160 132 145 139 152

Lav en lineær regression med tilhørende (P,v)-diagram; kommentér resultatet.

Tabellen viser sammenhængen mellem trykket og temperaturen af en indespærret gas

t

p

/

/

°C

mmHg

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

79 80 82 84 85 86 87 89 90 92

Vis, at trykket med god tilnærmelse vokser lineært med temperaturen.

Beregn den temperatur, hvor trykket er lig med nul.

Resultatet er meget følsomt for ændringer i måledata; prøv f.eks. at ændre den førstetrykmåling fra 79 mmHg til 80 mmHg.

En opgave om polynomiumsregression.Vi vil bestemme forskriften for det andengradspolynomium, der bedst beskriverfølgende seks datapar( , )x y . Ved beregningen benyttes funktionen regress.

fortsættes

20.1

20.2

20.3


De tre koefficienter i andengradspolynomiet aflæses nederst i søjlen koeff 23

p x x x( ) , , ,= − +1084 0 448 5 2182

Det er muligt at tegne et diagram med både datapunkter og regressionsgraf uden atskulle indskrive forskriften; dertil anvendes funktionen interp

Punkterne (trace 1) er naturligvis formateret på passende måde.

En parabel går gennem punkterne A(1,5) , B(3,11) og C(9,–115).

Bestem ved regression en ligning for parablen; tegn parabel og punkter.

Løs også opgaven ved at opstille tre ligninger med tre ubekendte.

Den tid, det tager en bil at stoppe i en kritisk situation, består af reaktionstiden plusbremsetiden. En simpel beregning viser, at den totale bremselængde d afhænger afhastigheden v som et andengradspolynomium.Tag stilling til denne model på grundlag af følgende data

3962922061389054m/

706050403020)m/s/(

d

v

23 2-tallet viser polynomiets grad, mens de øverste to tal er helt uinteressante.

20.4

20.5


En opgave om interpolation.Det forudsættes, at der overalt i opgaven anvendes SI-enheder.En bil kører hen ad landevejen; v.h.a. en radarmåling bestemmes dens hastighed v im/s til tidspunkterne t = 0, 1, ... 16 s.

Den tilbagelagte vej s er givet ved integralet af hastighedsfunktionen v t( )

s v t dt= ∫ ( )0

16

Hvis vi kendte funktionstypen, kunne vi bestemme en forskrift for v t( ) v.h.a. enpassende regression. Denne metode er langt at foretrække.I dette tilfælde kender vi ikke nogen matematisk model. Men vi kan alligevel lave enfornuftig beregning af v t( ) v.h.a. funktionerne cspline24 og interp

fortsættes

24 Ved denne interpolation (cubic spline interpolation) tilpasses et tredjegradspolynomium påethvert af delintervallerne på en sådan måde, at den anden afledede i delepunkterne bliverkontinuert.

20.6


Vi tegner et diagram med datapunkterne ( , )T V samt grafen for den interpoleredehastighedsfunktion v(t)

Vi kan så beregne den tilbagelagte vej

Metoden giver glimrende resultater, hvis vel at mærke måleusikkerhederne er små. Herer det nok realistisk at sætte s = 371 m.

Tegn ( , )t a − grafen hvor

a t v t( ) ( )= ′

Beregn den resulterende krafts arbejde (se opgave 17.7)

A F t v t dtres res= ⋅∫ ( ) ( )0

16

hvor F t m a tres ( ) ( )= ⋅ er den resulterende kraft på en bil med massen 950 kg.

Beregn til sammenligning den resulterende krafts arbejde v.h.a. arbejdssætningen

A Eres k= ∆

Formatér diagrammerne med teksterne

overskrift: HASTIGHED AF BILx-aksen: tidspunkt t/sy-aksen: hastighed v/(m/s)

overskrift: ACCELERATION AF BILx-aksen: tidspunkt t/sy-aksen: acceleration a/(m/s2)


Dette er en fortsættelse af opgave 20.6.Ved interpolationen i opgave 20.5 tvinges grafen til at gå gennem samtlige måle-punkter.Men det er uheldigt, hvis der er store måleusikkerheder på data. Man kan så f.eks.vælge at tilpasse et polynomium til målingerne.

Lav en polynomiumsregression af 2., 3. ... grad og bestem i hvert tilfælde dentilbagelagte vej (se metoden i opgave 20.3).

Tegn ( , )t a − grafen og beregn den resulterende krafts arbejde, dels ved en integra-tionog dels v.h.a. arbejdssætningen.

En funktion som f.eks. cspline kræver, at x-værdierne er skrevet i voksende række-følge. En rodet tabel kan heldigvis sorteres v.h.a. funktionen csort.

Parametren 0 i funktionen csort viser, at der sorteres mht. den første søjle (nr. 0).Tabellen til højre er formateret ved at dobbeltklikke på matrixtabellen og på fane-bladet“Display Options” vælge “Matrix display style: Table”.

Sortér følgende tabel mht. den anden søjle (nr. 1) hhv. den tredje søjle (nr. 2)

20.7

20.8


En opgave om kurvefitning v.h.a. de mindste kvadraters metode.Vi har foretaget n målinger af sammenhængen mellem to størrelser x og y

n

n

yyyy

xxxx

K

K

21

21

og vi ønsker at finde den funktion f , der bedst beskriver disse måledata.Funktionen afhænger af en række parametre a, b, ... som bestemmes ved at mini-merekvadratsummen

( )∑=

−=n

iii xfyK

1

2)(

hvor K afhænger af parametrene a, b, ... .Denne meget stærke metode, de mindste kvadraters metode, blev udviklet af den storematematiker C.F.Gauss omkring år 1800.I princippet kan man bestemme mindsteværdien af K ved at løse ligningssystemet

K,0,0 ==dbdK

dadK

I praksis dur denne fremgangsmåde dog kun for simple sammenhænge som f.eks.

cbxaxxfxbxf a ++=⋅= 2)(og)(

Man benytter i stedet en generel metode, hvor parametrene a, b, ... systematisk ændresindtil K ikke kan blive mindre.

eksempelTabellen nedenfor viser, hvordan antallet af bakterier pr. rumfangsenhed i enbakteriekultur vokser med tiden

27519013292654732

6543210h/

N

t

Når man skal vælge en matematisk model, er det vigtigt med et godt kendskab til detpågældende fagområde, her biologi. Og biologerne véd, at størrelsen af enbakteriekultur ofte vokser eksponentielt med tiden

atebtN ⋅=)(fortsættes

20.9


Vi starter med at indskrive måledata i en inputtabel

Så skal modelfunktionen og mindste kvadraters udtrykket defineres

Vi minimerer nu K v.h.a. funktionen Minerr og en løsningsblok med startgæt

Resultatet udskrives

Antallet af bakterier er dermed bestemt ved

tetN ⋅⋅= 3613,037,31)(

Vi lader Mathcad udregne fordoblingstiden

altsåh92,12 =T

fortsættes


Vi har dog glemt noget meget væsentligt: uden en grafisk kontrol aner vi ikke, ommodellen er rimelig.

Der er tydeligt tale om en eksponentielt voksende funktion.Læseren opfordres til - som ekstra kontrol - at vælge logaritmisk skala på y-aksen.

Dette er en fortsættelse af opgave 20.9.Et regneark som f.eks. Excel anvender beregningsmetoder, der er specielt tilpasset denvalgte funktionstype. Og man fås derfor også mere præcise resultater.Anvend et regneark til at lave en regressionsregning på tallene fra opgave 20.9.

Dette er en fortsættelse af opgave 20.9.Løs opgave 20.1 ved at anvende de mindste kvadraters metode på den lineære funktion

baxbaxf +=),,( .

Dette er en fortsættelse af opgave 20.9.Løs opgave 20.3 ved at anvende de mindste kvadraters metode på andengradspoly-nomiet cbxaxcbaxf ++= 2),,,( .

Løs også opgave 20.3 ved at løse ligningssystemet

0og0,0 ===dcdK

dbdK

dadK

v.h.a. en løsningsblok Given/Find med det symbolske lighedstegn.

20.10

20.11

20.12


DIFFERENTIALLIGNINGERBetragt den logistiske differentialligning

)24(' yyy −=

Vis, at løsningskurven gennem punktet ),1( 101P er givet ved

441912

)(+−+

=xe

xf

Tegn i samme koordinatsystem den numerisk bestemte løsningskurve på inter-vallet5,21 ≤≤ x og den eksakte løsningskurve på intervallet 5,30 ≤≤ x .

Tegn også løsningskurvens vandrette asymptote som en markeringslinje.

Funktionen Odesolve virker ikke altid helt problemløst.Betragt den separable differentialligning

yx

dxdy 16−=

Vis, at integralkurven gennem punktet )1,0(P er givet ved funktionen

41

412 ,116)( ≤≤−+−= xxxf

Tegn på intervallet 410 ≤≤ x både den numerisk bestemte integralkurve og den

eksakte integralkurve. Du vil opdage, at de to kurver afviger fra hinanden på den sidstedel af intervallet. Det klares v.h.a. en ekstra parameter25, her f.eks. tallet 50

Løs numerisk differentialligningen på intervallet 10 ≤≤ x og bliv bekymret!

Tegn på intervallet 100 ≤≤ x den løsningskurve til differentialligningen

yy 9'' −=

1) som går gennem punktet )1,0(P og her har en tangent med hældningen 52) som går gennem punkterne )1,0(P og )3,7(Q .

I det første tilfælde taler vi om to startbetingelser, i det andet tilfælde om to rand-betingelser.

25 Mathcad anvender som standard en Runge-Kutta metode af 4.orden med n = [10(b - a)]. I dettetilfælde er n = [10(0,25 - 0)] = 2 for lille til at give et godt resultat.

21.1

21.2

21.3


Et lod ophænges i en skruefjeder og sættes til at svinge lodret. Loddets position )(txkan med god tilnærmelse beskrives ved en 2.ordensligning af formen

0''' =++ bxaxx

hvor koefficienterne a og b på kompliceret måde afhænger af loddets masse, affjederens masse samt af forskellige gnidningskræfter.Man kan vise, at ligningen for 2

41 ab > har løsningen

(∗) )sin()( 2412

1

ϕ+⋅−⋅= −tabeKtx

at

hvor integrationskonstanterne K og ϕ afhænger af, hvordan svingningen bliver sat i gang.Funktionen (∗) beskriver en såkaldt dæmpet, harmonisk svingning.

Vælg a = 1 og b = 10 og tegn for 60 ≤≤ x grafen for løsningen f , hvor

1)5(og0)0()2

3)0('og0)0()1

====

ff

ff

En bil kører hen ad en landevej og sættes pludselig i frigear. Hvor langt et stykketilbagelægger bilen før den standser?Hvis vi forudsætter, at landevejen er plan og uden krumninger, samt at der er vindstille,bestemmes bilens bevægelse af• rullemodstanden, som er proportional med tyngdekraften på bilen

mgbFr −=

hvor m er bilens masse, g er tyngdens acceleration og b er en brøk, der erfarings-mæssigt sættes til b = 0.02 for hastigheder mindre end 130 km/h.• luftmodstanden, som er proportional med hastighedskvadratet

221 vAcF wl ρ−=

hvor ρ er luftens massefylde, cw er den såkaldte formmodstand for bilen, mens A erbilens maksimale tværsnitsareal målt vinkelret på bevægelsesretningen.Formmodstanden er et dimensionsløst tal, som her kan regnes for at være konstant.Hvis )(tx betyder den tilbagelagte vej, målt ud fra det sted bilen blev sat i frigear, følgerdet af Newtons 2. lov, at

221 )'('' xAcmgbmx wρ−−=

eller

221 )'('' x

mAc

gbx wρ−−= fortsættes

21.4

21.5


Denne 2.ordensligning er ulineær og derfor så ubehagelig, at en numerisk løsning liggerlige for.

Løs ligningen med følgende parametre

30

2

2

kg/m2,1km/h80

35,0m/s8,9

m3,2kg1200

==

==

==

ρv

cg

Am

w

Hvor langt kører bilen?

Dette er en fortsættelse af eksemplet med det matematiske pendul.

Tegn de to løsninger på intervallet 100 ≤≤ t .

Undersøg tilfældet med startudsvinget °6 .

Man kan vise, at den eksakte værdi af svingningstiden T er givet ved et såkaldt elliptiskintegral

⌡

⌠

−=

2/

0

22 )sin(1

14

π

dxxk

T gl

hvor( )02

1sin α=k

Beregn T for startudsving på °60 hhv. °6 .

21.6


STIKORDSREGISTERStikordet anføres som hovedregel kun det første sted, det optræder.

affin afbildning 152afledet funktion 48akseinddeling, ændring af 91akseinddelinger, ens 92akser, sædvanlige 23Align Across, knap 13Align Down, knap 13annuitet 114antal decimaler 12arbejde, fysisk 148Archimedes´ spiral 97aritmetisk gennemsnit 146asin, funktion 20asteroiden 98atan, funktion 118auto 2Automatic Calculation, menuen Math 2, 94

bestemt integral 51Binets formel 112binom ligning 64binomialfordelingen 55binomialkoefficient 140binære tal 89Boolean, palet 6

Calculate Worksheet, menuen Math 57Calculator, palet 18Calculus, palet 45coeffs, symbolsk nøgleord 103collect, symbolsk nøgleord 45cols, funktion 61combin, funktion 140convert, symbolsk nøgleord 135CreateMesh, funktion 100csort, funktion 160cspline, funktion 158cykloiden 30

dbinom, funktion 55diagramtekst 66differenskvotient 126differentiabilitet 125differentialkvotient 47diskontinuitet, hævelig 120divergent integral 52dnorm, funktion 56dobbeltintegral 137dpois, funktion 143drejning 152

efterstillede nuller 82egenvektor 151

egenværdi 151eigenvals, funktion 151eigenvecs, funktion 151eksakt værdi 38eksponentiel notation 12ekstremum, funktion af to variable 128ellipse 134Equation, menuen Format 83Eulers konstant 137Evaluation, palet 6expand, symbolsk nøgleord 44exponential threshold 12

Factor, menuen Symbolics 53factor, symbolsk nøgleord 44faktorisering 44fakultetstal 88fedt lighedstegn 38fedt lighedstegn, korrekt genvej 6fejl 11Fibonaccital 89, 112Find 39firkantkurve 95flade i rummet 33float, symbolsk nøgleord 121floor, funktion 57flytning af data 76flytning af ligning 13Fourierteori 93funktion af to variable 33funktioner, egne 19funktioner, indbyggede 19fv, funktion 114

gaffelfunktion 29gcd, funktion 113gennemsnit 146genvejstaster 6geometrisk gennemsnit 146Given/Find 39globalt lighedstegn 61globalt lighedstegn, genvej 6gmean, funktion 146gradmål 20grafer, flere 27graftegning 22Graph, palet 22Greek, palet 84grænseværdi 45græske bogstaver 84

harmonisk gennemsnit 146hexadecimale tal 89hist, funktion 142


hjertekurven 102hmean, funktion 146håndtag 17, 22

identity, funktion 61if, funktion 88Im, funktion 64indeks 17indiceret variabel 18indskrivningspunkt 1indsæt enhed 85indsæt funktion 20indsætningspunkt i tekst 73inputtabel 31Insert Function, knap 20Insert Unit, knap 85integralregning 51integration af dokumenter 77intercept, funktion 65interp, funktion 157interpolation 158

justering 13

komplekse tal 63konstanter 9kontinuitet 120, 125konvergens 116, 119koordinatakser 23koordinater, aflæsning af 25kurvefitning 161kurvelængde 133, 134kvadratrod, funktion 21

lcm, funktion 113Leibniz´ sum 118lighedstegn, alle typer 6lighedstegn, dynamisk 16lighedstegn, fedt 6, 38lighedstegn, globalt 61lighedstegn, symbolsk 39lighedstegn, sædvanligt 7lighedstegn, udvidet symbolsk 38ligninger, løsning af 36ligningssystemer 42lineal 14lineær programmering 109lineær regression 65linjeskift, hårdt 73Lissajoufigurer 98logaritmisk skala 91logisk eller 40logisk og 40lsolve, funktion 150løsningsblok 39

margen 79markeringslinje i diagram 41

matematikboks 7matematiklinjen 1, 6matricer 60Matrix, palet 32max, funktion 61Maximize, funktion 109, 123mean, funktion 146min, funktion 61mindste fælles multiplum 113mindste kvadraters metode 161Minerr, funktion 162Minimize, funktion 127mod, funktion 114modulo 114Monte Carlo-metode 145

niveauplot 127normalfordelingen 56numerisk værdi 50, 52

Odesolve, funktion 68omdrejningsflade 99områdevariabel 16, 27operatorer 7ORIGIN 6, 61

Page Break, menuen Insert 79Page Setup, menuen File 79palet 1parameterfremstilling 30parameterkurve 3D 98partialbrøk 135pbinom, funktion 55pendul 70periodisk funktion 94pi 9pladsholder 7, 33platonisk legeme 102pnorm, funktion 56Poissonfordelingen 143polyedre 102polynomiumsregression 156polyroots, funktion 37polært koordinatsystem 101primfaktor 113Print Preview, knap 79produkter, beregning af 115produktsymbol 115punktdiagram 31

qnorm, funktion 56

radianmål 19randomfunktionen 57Re, funktion 64redigering 10redigeringslinjer 7reduktion 44


regress, funktion 156regression 65rekursiv funktion 88, 95rentetabel 84reverse, funktion 148rnd, funktion 57root, funktion 36rosekurverne 101rotation af 3D-graf 34rows, funktion 61Ruler, menuen View 14runif, funktion 141rækkeudvikling 117

saddelgraf 33saddelpunkt 128sandsynlighedsregning 55savtakkurve 96series, symbolsk nøgleord 117Si, funktion 54sidehoved/sidefod 80sidenummer 80sideopsætning 79sideskift 79sign, funktion 92simplexmetoden 109simplify, symbolsk nøgleord 44sin, funktion 19sinusintegralet 54, 136skridtlængde 16skridtlængde, standardværdi af 17skriftstil 15skruelinje 98sletning 9sletning i tabel 31slope, funktion 65solve, symbolsk nøgleord 38sort hånd 13sort, funktion 148specialsymboler 74spredning 143stamfunktion 52standardafvigelse 146stdev, funktion 146Stdev, funktion 146stolpediagram 55største fælles divisor 113

summer, beregning af 46sumsymbol 46sumsymbol, specielt 115svævning 96symbolsk lighedstegn 39systemkrav 2sædvanlig variabel 16sædvanligt lighedstegn 7søjlediagram 141

tabel 16talfølge 89talsystemer 89Taylorrække 117tekst 73tekstboks 73terningkast, simulering af 57tilfældige tal 57TOL 37tolerance 37tone, bølgelære 96tooltips 6trace 25Traces, faneblad 28transponeret matrix 60trebladet rose 97

ubestemt integral 52udregning, symbolsk 44udskrivning 79udvidet symbolsk lighedstegn 38uegentligt integral 136uligheder 40

variabel 16varians 143vekselstrøm 94vektorer 58vektorfunktion 149vektoroperatorer 59vis udskrift 79

Wallis´ produkt 116

zetafunktionen 121zoom på 2D-graf 26zoom på 3D-graf 34

Documents

MathSoft Mathcad 2000 Professional