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  2009 Innovación Educativa Ricardo Villafaña Figueroa EL CÁLCULO SIMBÓLICO EN EL SALÓN DE CLASES MATHCAD Ejemplos de cálculo simbólico utilizando Mathcad para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.  Orientación a la enseñanza media superior. 

Introduccion mathcad

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2009InnovacinEducativaRicardoVillafaaFigueroa ELCLCULOSIMBLICOENELSALNDECLASESMATHCADEjemplosdeclculosimblicoutilizandoMathcadparalaenseanzayaprendizajedelasmatemticas.Orientacinalaenseanzamediasuperior.2ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaTABLADECONTENIDOIntroduccin........................................................................................................................................4EjemplosdeClculoSimblico..........................................................................................................10Representacinsimblicaoalgebraicadeexpresionesmatemticas..........................................10Simplificacindeexpresionesalgebraicas(comandoSimplify)....................................................10Expansindeexpresionesalgebraicas(comando/funcinExpand)............................................11Factorizacindeexpresionesalgebraicas(comando/funcinFactor)........................................13Definicindefunciones.................................................................................................................14Solucindeecuaciones(comando/funcinSolve).......................................................................15Solucindeunsistemadeecuaciones..........................................................................................16Solucingrficadeecuaciones(comando/funcinPlot).............................................................17Matricesydeterminantes(comando/funcinMatrix)................................................................20Sumaydiferenciadematrices.................................................................................................20Productodeunamatrizporunescalar.....................................................................................20Productodedosmatrices.........................................................................................................20Inversadeunamatriz................................................................................................................21Determinantes..........................................................................................................................21Clculodesumatorias(comando/funcinSum)..........................................................................23Clculodeproductos(comando/funcinMul)............................................................................24Clculodelmites(comando/funcinLimit)................................................................................25Clculodederivadas(comando/funcinDiff)..............................................................................26Clculodeintegrales(comando/funcinInt)..............................................................................27AplicacionesGeneralesdelClculoSimblicoenelSalndeClases................................................28AplicacionesenTrigonometra..........................................................................................................33Grficasdefuncionestrigonomtricas.....................................................................................33Ecuacionestrigonomtricas......................................................................................................35AplicacionesenGeometraAnaltica................................................................................................36Distanciaentredospuntos...........................................................................................................36PuntoMedio..................................................................................................................................37Lnearecta.....................................................................................................................................393ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaEcuacindeunarectaquepasapordospuntosdados............................................................39Ecuacindeunarectaformapendienteyordenadaalorigen.................................................41nguloentredosrectas............................................................................................................43Tringulos......................................................................................................................................46Clculodelosngulosinterioresdeuntringulo.....................................................................46Clculodelreadeuntringulo...............................................................................................49Clculodelbaricentro/centroidedeuntringulo....................................................................54Clculodelortocentrodeuntringulo.....................................................................................60Circunferencia...............................................................................................................................63Parbola........................................................................................................................................69AplicacionesenClculoDiferencial...................................................................................................73Lmites...........................................................................................................................................73Derivadas.......................................................................................................................................75Bibliografa........................................................................................................................................864INTRODUCCIN Amaneradeintroduccin,podemosdecirqueloslenguajescomputacionalesdeclculosimblicoson aquellos que permiten la representacin y el manejo computacional de expresionesalgebraicas.ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa3 x 2 + ( ) 3 x 6 + =c radio2 =Loslenguajessimblicostrabajanconvariablesoletrastalcomoloharaunprofesorenunpizarrnoennotasdeclasesparademostraralgnteoremaoderivaralgunafrmulamatemtica.x y + ( )2x22 x y + y2+3 2 + ( )23 ( )22 3 ( )2 ( ) + 2 ( )2+ 25Sucapacidaddeclculosepuedeobservarenlafacilidadconquerealizanoperacionesalgebraicasbsicascomoson:suma,resta,multiplicacin,divisinypotenciacindemonomiosypolinomios.3x24x + x 2x2+ 5 x23 x + =x 1 + ( )x 1 ( ) x21 x y +3 x y + ( )13As mismo, tienen capacidades de simplificacin, factorizacin y expansin de expresionesalgebraicas.5xxxx 1 simplify1x 2 1 + =2x y + ( )2expand 4 x24 x y + y2+ =ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa4 x24 x y + y2+ factor 2 x y + ( )2=El clculo simblico hace por el lgebra, por la trigonometra, por el clculo y por el lgebra lineal lo que la calculadora cientfica hace por la aritmtica. Esta amplia gama de facilidades permiten al profesor disponerde una calculadora algebraica para acelerar clculos o unaherramienta didctica para explicar o ejemplificar conceptostericoprcticosdellgebra.Adems de las capacidades bsicas mencionadas, los lenguajesde clculo simblico cuentan conuna amplia gama de funciones matemticas para solucionar sistemas de ecuaciones einecuacioneslineales,encontrarracesrealesycomplejasdepolinomios.x21 solve1 1=7x 4y + 135x 2y 19 solve x ,y ,3 2 ( ) =Cuentancon herramientas,notacionesysmbolosqueamplansuusoenlatrigonometra,enlageometra analtica y en el clculo integral y diferencial; proporcionando con esto un contextopedaggico muy amplio para la explicacin conceptual del lgebra, sus herramientas y susconsecuentesaplicacionesenlasmatemticas,enlaingenierayenlasciencias.615xx=15 =15ii=120 =2 xx 1 +x 1 lim3 =xx33x2+ 5 +( )dd3 x26 x + =x 3 x26 x +d x33 x2+ =Los lenguajes simblicos tienen la capacidad de generar grficas a partir de funciones orepresentacionesalgebraicas.f1x ( ) x2=h1x ( ) x23 + =g1 x ( ) x23 =5 2.5 0 2.5 55 2.510f1x ( )g1x ( )h1x ( )xEsta capacidad de graficacin permite al estudiante comprender ms fcilmente las relacionessubyacentesentrelaestructuramatemticaysurepresentacinvisual,almismotiempoquehaceposible que el estudiante derive expresiones matemticas a travs de la visualizacin de unagrficaoviceversa(apropiacinvisual).LagraficacintambinpermitecrearmodeloscambiandoClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa7el valor de los parmetros que generan las grficas y con esto analizar y entender con mayorprofundidadlasrelacionesentrecadaparmetroylagrficaquerepresenta.f x ( ) 2x39x2 12x + =0 1 2 33456f x ( )xLacapacidadyflexibilidaddeloslenguajesdeclculosimblicosepuedenampliarcontinuamentea travs de sus facilidades de programacin y creacin de bibliotecas de funciones matemticasespecializadas. Estas facilidades han hecho que lenguajes comerciales como Mathematica,Maple,MaximayMathcadseconviertanenverdaderoshitosdelacomputacinmodernaporsusamplias aplicaciones pedaggicas, de investigacin y de aplicacin en reas tan diversas como laBiologa,laMedicina,laFarmacia,laGenticaylasCienciasJurdicas,entreotras. ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa8ELCLCULOSIMBLICOENELSALNDECLASESLoslenguajesdeclculosimblicopermitenalprofesordematemticas,ingenierayciencias:Crearambienteseducativosinteractivos,desarrollarmaterialeducativoyformarcomunidadesdeprofesores,estudiantes,einvestigadores.AMBIENTESACADMICOSINTERACTIVOSLasmltiplesalternativasqueofreceelclculosimblicoparaelmanejodeexpresionesmatemticasysurepresentacingrficavisualpermitenalprofesorcrearambientesacadmicosinteractivosparalademostracin,exploracinyeldescubrimientodenuevosconceptostantoenlascienciascomoenlasmatemticasmismas.Losambientesacadmicosinteractivospermitenalestudianteinvestigarpropiedades,relacionarconceptos,plantearyprobarhiptesis,hacerdeducciones,establecerteoremasyplantearyresolverproblemasbasadosenmatemticas.Lasimplificacinenelmanejoalgebraicopermitealestudianteyalprofesorconcentrarseenproblemasdemayorcomplejidadyalcance;yconesto,analizarmsalternativasparasolucionarunproblemamatemticodado.Loslenguajessimblicospermitendistinguirclaramenteentrelatecnologacomputacional,losmtodosasociadosparasuuso,losconceptosmatemticosinvolucradosylosproblemasquesedeseanresolver.Paradigmaqueesvlidoparaotrosusosdelatecnologaenelsalndeclases. ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa9DESARROLLODEMATERIALEDUCATIVOLos lenguajes de clculo simblico son herramientas que facilitan el desarrollo de materialeducativobasadoencomputadorasatravsde:LibroselectrnicosCalculadorasgraficadorasespecializadasparaelanlisisdefuncionesmatemticasoelanlisisdeespaciosgeomtricos.Desarrollodecuestionariosinteractivosdereforzamiento.Desarrollodematerialdedifusin/textos/ejerciciosenlared(Internet)COMUNIDADESDEPROFESORESDEMATEMTICASYDECIENCIASLa facilidad que proporciona la Internet para publicar el material didctico elaborado con unlenguajesimblico,permiteformarcomunidadesdeprofesores,investigadoresypracticantesqueintercambian continuamente experiencias y materiales en la red. Estacolaboracin facilita la creacin de bibliotecas digitales que diseminan lasmejores prcticas y herramientas para el aprendizaje de las matemticas ydelascienciasendiferentesnivelesydisciplinas.ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa10EJEMPLOS DE CLCULO SIMBLICO Elclculosimblicoreproducedesdeunacomputadoralosconceptos,lasreglasylasnotacionesutilizadasenellgebratradicional.RepresentacinsimblicaoalgebraicadeexpresionesmatemticasEnunlenguajedeclculosimblicoseutilizanlosmismossmbolosqueenellgebratradicional.ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa3x 2y + 1 +x2y2+ 25 +x 1 + ( )2x 1 + ( ) x 1 ( ) +2x 3y + 16Simplificacindeexpresionesalgebraicas(comandoSimplify)Normalmentelasimplificacindeexpresionesalgebraicasserealizademaneraautomticacomoseobservaenlossiguientesejemplos:3 x 2 + ( ) 3 x 6 + =x 1 + ( )2x 1 + ( )x 1 + =2a 3a+2b+5b+5a7b+ =11Sinembargo,siintentamossimplificarlasiguienteexpresintendramoscomoresultado:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaEnestoscasosesnecesarioutilizarelcomandocorrespondientedesimplificacin(simplify): Acontinuacinsemuestranotrosejemplosdesimplificacinalgebraica: Expansindeexpresionesalgebraicas(comando/funcinExpand)Observemoselsiguienteejemplo.Desarrollarlaexpresin:x22 x + 1 +x 1 +x22 x + 1 +x 1 +=x22 x + 1 +x 1 +simplify x 1 + =1 a ( )3a 1 simplify a 1 ( )2 =x25x 6 +2a x 6a simplifyx 2 2 a=a x29a 3x 3y x2 x y +simplifya x 3 + ( )x y Siintentamosporlosmtodosanterioresobtendramos:Multiplicacindirecta: =b3a 2a b + ( )3a2a b + ( ) 3 a2 a + ( ) =12Simplificacin:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa3a2a b + ( ) simplify 3 a2 a b + ( ) =Elmtododirectodelamultiplicacinyelmtododelasimplificacinnodesarrollanlaexpresin;paraestoutilizamoselcomandoexpand:3a 2a b + ( ) expand 6 a23 b aVeamosotrosdosejemplosdeexpansinalgebraica: + =a b + ( ) a c + ( ) expand a2a b + a c + b c + =3aa b +a2expand3 baEjemplosdeexpansinalgebraicaaplicadaabinomiosytrinomios: 3 + =x y + ( )3expand x33 x2y + 3 x y2+ y3+ =x y + z + ( )2expand x22 x y + 2 x z + y2+ 2 y z + z2+ = 13Factorizacindeexpresionesalgebraicas(comando/funcinFactor)Elcomandofactorseutilizaparasimplificarexpresionesalgebraicas.Factorizacindepolinomios: ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaFactorizacindediferenciadecuadrados: Factorizacindeuntrinomiocuadradoperfecto: Factorizacindeuntrinomiodelaforma: 3a36a2 factor 3 a2a 2 ( ) =13a226a3+ factora2a 1 + ( )3=x2y2 factor x y ( ) x y + ( ) =14m4n6 factorm22 n3( ) (m22 n3+)4=x22x y + y2+ factor x y + ( )2=x24 x y + 4 y2+ factor x 2 y + ( )2=x2b x + c +x25x 6 + factor x 2 ( ) x 3 ( ) =14DefinicindefuncionesLoslenguajesdeclculosimblicopermitenalusuariodefinirsuspropiasfunciones.Acontinuacinsemuestranalgunosejemplos.Funcinparaelencontrareldobledeunnmerocualquiera: f x ( ) 2x :=Ejemplosdeuso: f 4 ( ) 8 f1412Clculossimblicos:f a ( ) 2 a fz2z Funcinparaencontrarelreadeuntringulo: Area_TringuloBaseAltura ,( )Base Altura2:=Ejemplosdeuso: Area_Tringulo105 ,( ) 25Clculosimblico: Area_Tringuloa b ,( )a b2 ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa15Solucindeecuaciones(comando/funcinSolve)Elcomandoutilizadopararesolverecuacionesessolve.Resolverlaecuacin 6x 7 2x 1 +6x 7 2x 1 + solve x ,2 =Resolverlaecuacin xx 1 +58+52 x 1 + ( )34+ xx 1 +58ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaResolverlaecuacin Resolverlaecuacin +52 x 1 + ( )34solve x ,3 = +x27x 10 + 0x27x 10 + 0 solve x , 52 = a x2b x + c + 0a x2b x + c + 0 solve x , b b24 a c 2 ab b24 a c =+2 a 16SolucindeunsistemadeecuacionesResolverelsiguientesistemadeecuaciones2x 3y + 163x 7y 1 2x 3y + 16 ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaUnsistemacontresvariables 3x 7y 1 solve x ,y ,z ,5 2 0 ( ) =x y + z + 6x y + z + 6x y 2x + 5x y 3x 10 x y 2x + 5 solve x ,y ,z ,1 8 15 ( ) = x y 3x 1017Solucingrficadeecuaciones(comando/funcinPlot)Encontrarlasolucingrficadelasiguienteecuaciny 4x 8 +Graficamoselladoderechodelaecuacin:4 2 0 2 48 816244x 8 +xConelcomandosolvetenemoselsiguienteresultado: 4x 8 + solve 2 =Encontrarlasolucingrficadelasiguienteecuacin y x2x 2 Otraformaderesolverestaecuacinesescribirlaenfuncindex:f x ( ) x2x 2 =ygraficarlafuncinobtenida:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa182 1 0 1 2f x ( )xUtilizandoelcomandosolveobtendramos: ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaResolverelsiguientesistemadeecuacionesporelmtodogrficoRepresentamoselpardeecuacionescomofuncionesparasugraficacin:f x ( ) solve x , 1 2 = x y + 5x y 1x y + 5 solve y ,5 x =f1x ( ) 5 x =x y 1 solve y ,x 1 =f2x ( ) x 1 =196 3 0 3 67 2.5 26.511f1x ( )f2x ( )xUtilizandoelcomandosolve:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa x y + 5x y 1 solve x ,y ,3 2 ( ) = 20Matricesydeterminantes(comando/funcinMatrix)SumaydiferenciadematricesSumaryrestarlassiguientesmatrices: M11 2 0251 325= M11 2 0251 325=ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaProductodeunamatrizporunescalarMultiplicarlasiguientematrizpor5:ProductodedosmatricesMultiplicarlasdossiguientesmatrices:M1 N1 +1 3 3061635 = M1 N1 1 1 3 443 015 = M11 2 0251 325=M1 ( )5 ( )5 10 010255 151025 = 21A11 0121 0= B11 101 =ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaInversadeunamatrizInvertirlasiguientematrizymultiplicarelresultadoobtenidoporlamatizoriginal:DeterminantesObtenereldeterminantedelasiguientematriz:A1 ( ) B1 ( )31 1 2 10 = C1111 11 11 11=C11 12 12012012 01212= C1 C11 100010001 = D2121373595=22D2 0 = ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa23Clculodesumatorias(comando/funcinSum)Sumatorianumricadelosprimeroscinconmerosnaturales ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaSumatoriasimblicadelosprimeroscinconmerosnaturales. 15xx=15 =15ini=n1n2+ n3+ n4+ nSumatoriasimblicadelinversodelosprimeroscinconmerosnaturales: + =15i1ni51n2 =1n1+1n3+1n4+1n5+ =24Clculodeproductos(comando/funcinMul)Productonumricodelosprimeroscinconmerosnaturales: 15ii=120ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaProductosimblicodelosprimeroscinconmerosnaturales: =15ini=n1 n2 n3 n4 nProductosimblicodelinversodelosprimeroscinconmerosnaturales: =15i1ni5 =1n1 n2 n3 n4 n5=25Clculodelmites(comando/funcinLimit)Ejemplosbsicos: 3 x2x21 +( )lim19 =1 xx2x x 1 lim3 =2 xx24 x 2 lim4 =Clculosdellmiteporlaizquierdayporladerecha: f x ( )11 x2=1 xf x ( ) lim+ =1 xf x ( ) lim = ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa26Clculodederivadas(comando/funcinDiff)Calcularladerivadadelassiguientesexpresionesysimplificarelresultadosiesnecesario:x53x4+ x3+ 10 +x33x2x2x xx53x4+ x3+ 10 +( )ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa dd5 x412 x3+ 3 x2+ =xx33x2x2x (dd6 x 3 x2x x2x33 x2)2 x 1 ( )x x2( )2 =6 x 3 x2x x2(x33 x2)2 x 1 ( )x x2( )2 simplify2x 1 ( )21 + =27Clculodeintegrales(comando/funcinInt)Ejemplodeclculodeintegralesindefinidas: x x3dx44=x x25 +( )2dx5510 x33ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa Ejemplosdeclculodeintegralesdefinidas: + 25 x + =x exd ex=03x x2d 9 =1 1x x21 +( )2d5615=101x exd e =28APLICACIONES GENERALES DEL CLCULO SIMBLICO EN EL SALN DE CLASES Ejemplo1Elsiguienteejemplomuestraelmanejoalgebraicotradicionalversuselmanejosimblicoparalasolucindeunsistemadeecuaciones.Resolve deecuaciones: relsiguientesistema (1) 7x +4y = 1S (2) Sx -2y = 19Mtodotradicional(igualacin)DespejarlaincgnitaXenelpardadodeecuaciones: 7x 4y + 13 =x13 4y 7= 5x 2y 19 = x19 2y +5=IgualarlosvaloresobtenidosparalasX:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa 13 4y 719 2y +5ResolverentrminosdeYlaecuacinanterior: =2y 5 13 4y ( ) 7 19 + ( ) = 65 20y 133 14y + =2920 y 14y 133 65 =34 y 68 =y 2 =SustituirelvalordelaYobtenidaenlaecuacin(1)seobtiene:7x 4 2 ( ) + 13 =7x 8 13 = x 3 =Solucindadaconunlenguajedeclculosimblico:7x 4y + 13 =5x 2y 19 = solve x ,y ,3 2 ( ) =Reflexiones:EnelmtodotradicionalnosinteresaelconocimientopormenorizadodelprocesoalgebraicoparalasolucindelsistemadeecuacionesEstemtodotieneunenfoquedidctico.Elestudianteyelprofesorestninteresadosenconocerunmtodoenparticularparalasolucindeunsistemadeecuaciones.Conelusodelclculosimbliconosinteresanicamentelasolucin(independientementedelmtodoutilizadoporelsistemacomputacionalpararesolverlo)Estemtodotieneunenfoquedeeficiencia:rapidezyexactitud.Elprofesoryelestudiantebuscannicamentelasolucinalsistemadeecuacionesdado. ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa30Ejemplo2Supongamosquelaecuacin x2 +x =-12representaelcomportamientoseguidoporunapelotadebeisboldespusdequeunjugadorlehapegadoconciertavelocidadyconciertongulo.Calcularlossiguientesdatos:a)Elalcancehorizontaldelapelotayb)laalturamximaalcanzada.SolucinParafacilitarlasolucindelproblema,vamosestablecerlaecuacinenfuncindexygraficarla:f x ( ) x2 x + 12 + =10 5 0 5 10100 50 50f x ( )x Ajustemoslosparmetrosoriginalesparatenerunmayoracercamientoalagrfica(zoom):4 2 0 2 410 10f x ( )xClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa31VamosaencontrarlospuntosdeintercepcinconelejedelasX:f x ( ) solve3 4=Lospuntosdeintercepcinsonx1=3yx2=4.Paraencontrarelalcancehorizontaldelapelota,supondremosquelapelotahasidogolpeadaenelpuntox1yquelapelotatocaelsueloenpuntox2:Distanciahorizontalx2x1=4(3)=7(unidadesdedistancia) Enunaecuan may = o x2 +b x + celvrticedelaparbolavienedadopor ci delaforI(-b2 o,4 o c -b4 o2)Sustituyendolosvaloresdea,bycdelaecuacindadaenlafrmulaobtenemos: a 1 =b 1 =c 12 =b 2a12= 0.5 =4a c b24a494ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaLaalturamximalaalcanzaenelpuntoX=0.5yesdeY=12.25(unidadesdealtura). = 12.25 =32ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaReflexiones:Enestecaso,elmtodoseguidoparalasolucindelaecuacindesegundogradonoestanrelevantecomoloeslacomprensindeloquerepresentaenslamismaecuacin:oUnaparbolaoElpuntomximo(omnimo)delaparboladadoporsuvrticeoLospuntosdecorteenelejedelasX(dadasenlasolucindelaecuacin)Estostreselementosnosconducenalasolucindelproblema:oElpuntodearranquedelabola(lospuntosdecorteenelejedelasX)oLamximaalturaalcanzada(elvrticedelaparbola)Enesteejemplo,tomarelevanciaelusodeunacalculadoraodeunpaquetecomputacionalparacentrarseenelproblemaysusolucin,ydejarensegundotrminoelmtodoalgebraicoodeprocedimiento.33APLICACIONES EN TRIGONOMETRA GrficasdefuncionestrigonomtricasEjemplo1Graficarlasfuncionessenoycosenoenelrangodeua2n.SolucinDefinir raficaxu = n x1 =2nelrangode g cin:0 1.571 3.142 4.712 6.2831.5 0.75 00.751.5sinx ( )cos x ( )xEjemplo2Graficarlasfuncionesscno(x),S scno(x)yS scno(x)enelrangode-2na2n.Observarelefectodelcoeficientedelafuncinenamplituddelafuncin.SolucinDefinirelra godegraxu = -2 n,x1 =2nn ficacin:Graficarlasfunciones:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa34 6.283 3.142 0 3.142 6.2835 05sinx ( )3sinx ( )5sinx ( )xEjemplo3Graficarlasfuncionesscno(x)y scno(Sx)enelrangode-2na2n.ObservarelefectodelcoeficientedelaX,enelargumentodelafuncin,sobrelafrecuenciadelafuncin.SolucinDefinirelra raficaxu = - 2n x1 =2nngode g cin:Graficarlasfunciones:6.283 3.142 0 3.142 6.2832 1 012sinx ( )sin3x ( )xClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa35EcuacionestrigonomtricasEjemplo4Resulvaselasiguienteecuacinparavaloresnonegativosde 0ymenoresde2n.Grafiquelaecuacin.2sin ( ) 1 0SolucinClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa Paraobservarmejorlospuntosdecorteenelejedelas0,convertiremoslosresultadosobtenidosaunnmerorealdetresdecimalesygraficaremoslafuncinenunrangode0an. 2sin ( ) 1 0 solve , 65 6 = 60.524 =5 62.618 =0 0.524 1.047 1.571 2.094 2.618 3.1421 0.5 0.512sin ( ) 1 36APLICACIONES EN GEOMETRA ANALTICA DistanciaentredospuntosEjemploDemostraranalticamentequelasdiagonalesdeunrectnguloABCDsoniguales.SolucinDefinirloscuatropuntosqueformanlasdiagonales:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa A00= B0Definirunafrmulaparaencontrarladistanciaentredospuntosdados:Utilizarlafrmuladedistanciadefinidaanteriormenteparaencontrarlalongituddelasdiagonales.DistanciaentreladiagonalAC: b= Cab=aDa0=abDistancia PQ ,( ) P1Q1 ( )2P2Q2 ( )2+ =Distancia AC ,( ) a2b2+ =37DistanciaentreladiagonalBD: Distancia BD ,( ) a2b2+ =El resultado encontrado demuestra que las diagonales son iguales. PuntoMedioEjemploDemostraranalticamentequeelsegmentoqueunelospuntosmediosdelosdosladosdeuntringulo,esparaleloaltercerladoytienelamitaddesulongitud.Solucin SolucinDefinirlostrespuntosquedeterminaneltringulo:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa A00= B0Definirunafrmulaparaencontrarelpuntomedioentredospuntosdados:ConsideremoslospuntosmediosdelosladosAByAC:b=baC0=aPuntoMedio XY ,( )X1Y1+2X2Y2+2=38ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaD PuntoMedio AB ,( ) = BD0b2=E PuntoMedio A,( ) = CCEa20=Calculemos la delsegm(1) BE = Bistancia(B, E) longitud entoDEqueunelospuntosmediosdeltringulo:DEa24b24+ =Simplificandoelresultadoobtenido(asumimosqueelvalordeaybsonmayoresquecero):a24b24+simplifyassume ALL 0 > , a2b2+2=CalculemoslalongituddeltercerladoparaleloyqueesparaleloalsegmentoDE:BC Distancia C ,( ) = B B BC a2b2+ =Dividamoselresultadoobtenidoentredos: BC2a2b2+2=AldividirentredoslalongituddelsegmentoBC,obtenemoselmismovalorqueelobtenidoparaDEenlaexpresin(1).39LnearectaEcuacindeunarectaquepasapordospuntosdadosTEOREMALaecuacindeunarectaquepasaporlospuntos1 1( , ) x y y2 2( , ) x y estdadapor:2 12 22 1( )(y yy y x xx x) = con1 2x x EjemploDeterminarlaecuacindelarectaquepasaporlospuntosP1(10,5)yP2(0,5);graficarlaecuacinobtenida,calcularsupendienteyngulodeinclinacin,ydeterminarlascoordenadasdecorteenelejeXyenelejeY.SolucinDefinicinnumricadelospuntos: P110 5 = P205=Definicindelarectaenfuncindedospuntos:rectaAB ,x ,( )B2A2B1A1x A1 ( ) A2+ =Definicindelapendientedelarecta:mAB ,( )B2A2B1A1=ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa40Clculodelaecuacinsimblicadelarecta: ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaGraficarlafuncin:Clculodelapendienteyngulodeinclinacin:PuntodecorteenX (cuando y = 0):PuntodecorteenY (cuando x = 0):rectaP1P2 ,x ,( ) x 5 + =10 5 0 5 105 51015recta P1 P2 ,x ,( )xmP1P2 ,( ) 1 =atan mP1P2 ,( ) ( ) 45 deg =y 0rectaP1P2 ,x ,( ) y solve x ,5 =x0rectaP1P2 ,x ,( ) 5 =41EcuacindeunarectaformapendienteyordenadaalorigenTEOREMALaecuacindeunarecta(noparalelaalejeY)quecortaointerceptaalejeYenelpunto(0,b),ytieneunapendienteigualames:y = m x + bEjemploHallarlaecuacindelarectaconpendientem=1yconordenadaenelorigenb=5.GraficarlaecuacinencontradaycalcularelgradodeinclinacindesupendienteSolucinDefinirlosvaloresparamyparab:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroam 1 := b 5 :=Definirlafrmulaentrminosdem,byx: f mb ,x ,( ) m x b + =Encontrarlaecuacindelarectasolicitada:f mb ,x ,( ) x 5 42Apartirdelafuncindefinidagraficarlafuncin:10 5 0 5 1015 10 5 5f mb ,x ,( )xCalcularelngulodependientedelarecta: atan 45 m ( ) deg = ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa43nguloentredosrectasTEOREMADadasdosrectaL1yL2,conpendientesm1ym2,respectivamente,elnguloqueseformacuandosevadeL1aL2enladireccincontraria a llasdelrelojestdadapor alasdel smanecitan([) =m1 -m21 + m1m2conm1m2 = -1EjemploEncuentreelnguloentrelasrectas:x 3y + 2 + 0x 3y + 5 + 0PrimeraSolucinDefinimoslosvaloresdeA1,B1,A2yB2paralasecuacionesdadas:A11 := B13 := A21 := B23 :=Calculamoslaspendientesdecadaunadelasrectas:m1A1B113 :=m2A2B213 := ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa44Calculamoselnguloentrelasdosrectas:tanm1 m2 1 m1 m2 +34 :=atan tan ( )18036.87 =SegundasolucinAislandoloscoeficientesdelaprimeraecuacinycalculandolaprimerapendiente:A x 3yy + 2 + coeffs x , 3 y 2 +1 :=ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaB x 3y + 2 + coeffs y , x 2 +3 :=xA1A21 :=B1B23 :=m1A1B113 :=Aislandoloscoeficientesdelasegundaecuacinycalculandolasegundapendiente:A x 3 + 5 + coeffs x , 3 y 5y+1 := yB x 3y + 5 + coeffs y , 5 x 3 := x45A2A21 :=B2B23 :=m2A2B213 :=Calculandoelnguloentrelasdosrectas:tanm1 m2 1 m1 m2 +34 :=atan tan ( )18036.87 =SolucingrficadadaporGeogebra: ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa46TringulosClculodelosngulosinterioresdeuntringuloEjemploCuntomidenlosngulosinterioresdeltringulocuyosvrticessonlospuntosA(2,6),B(3,1)yC(4,5)?SolucinRepresentacingrficadelproblema:Frmulaparacalcularlapendienteentredospuntosdados: my2y1x2x1yy:= ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa47RepresentacindelospuntosylapendienteenMathcad:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa ClculodelnguloentrelosladosAByAC:ClculodelnguloentrelosladosAByBC:Ay1x1:=x1 x2By2:=x2mB2A2B1A1 B:=m1B2A2B1A175 :=m3C2A2C1A1112 :=tanm3 m1 1 m3 m1 +6967 := atan tan ( )18045.843 = :=m2B2C2B1C147 :=tanm1 m2 1 m1 m2 +697 := atan tan ( )18084.207 = :=48Clculodeltercerngulodeltringulo: SolucingrficadadaporGeogebra: 180 49.95 = :=ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa49ClculodelreadeuntringuloEjemploCalcularelreadeltringulocuyosvrticessonA(1,1),B(3,4)yC(5,1).PrimerasolucinDadaslascoordenadasdelosvrtices,elreadeuntringulovienedadaporlasiguientefrmula:K12y1 y3 ( ) x2 x1 x3 ( ) y2 x1 y3 + x3 y1 DefinirlosvrticesdadosentrminosdeMathcad: A1 1:= B34:= C51 :=SuequivalenteencoordenadasX,Yeselsiguiente: x1 A1:= y1 A2:= x2 B y2 B1:=2:= x3 C y3 C1:=2:=DefinirelreaentrminosdeMathcadycalcularsuvalor:K12y1 y3 ( ) x2 x1 x3 ( ) y2 x1 y3 + x3 y1 := K 13 ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa50SegundasolucinLafrmulaK12y1 y3 ( ) x2 x1 x3 ( ) y2 x1 y3 + x3 y1 Sepuedeexpresarentrminosdeundeterminante:K12x1x2x3y1y2y3111:=Donde x1 A1:= y1 A2:= x2 B y2 B1:=2:= x3 C y3 C1:=2:=Obtenemos: K 13 ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa51TercerasolucinSepuedeobtenerelreadeuntringuloenfuncindelalongituddecadaunodesusladosutilizandolafrmuladeHern:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroac K s s a ( ) s b ( )s ( )Dondea,bycrepresentancadaunadelaslongitudesdeltringuloysvienedadaporlafrmula: s12a b + c + ( )Grficamentepodemosobservareltringulodadodelasiguientemanera: Paracalcularlalongituddecadaunodeloslados,definimoslasiguientefrmula(distanciaentredospuntosdados): Longitud PQ ,( ) P1Q1 ( )2P2Q2 ( )2+ := 52Calculamoslalongituddecadaunodeloslados.LadoBC:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaa LongitudBC ,( ) 29 := a 5.385 =LadoAC:b LongitudAC ,( ) 2 10 := b 6.325 =LadoAB:c LongitudAB ,( ) :=5CalculamoselvalordesydeK(readeltringulo): s12a b + c + ( ) := s 10292+52 + c K s s a ( ) s b ( )s ( ) :=K 1029252+10292+52 10292+52+29210 52+ K simplify 13 53SolucingrficadadaporGeogebra: ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa54Clculodelbaricentro/centroidedeuntringuloEjemploLosvrticesdeuntringulosonlossiguientes:A(4,0),B(3,4)yC(4,1).Encontrarelbaricentrodeltringulo.SolucinMediana:rectaquepasaporelvrticeyporelpuntomediodelladoopuesto.Baricentro:puntodeinterseccindelasmedianasdeuntringulo.Representacinvisualdelproblema(Geogebra):Definirlafrmulaparacalcularelpuntomediodeunsegmento:PuntoMedio XY ,( )X1Y1+2X2Y2+2:=Definirlostrespuntosdados: A4 0:= B34:= C41 :=ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa55Calcularlospuntosmediosdecadaunodelosladosdeltringulo:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa D PuntoMedio AB ,( ) := E PuntoMedio BC ,( ) := F PuntoMedio AC ,( ) := D122E7232F012Definirlafrmulaparacalcularlaecuacindelasmediatrices:f AB ,x ,( )B2A2B1A1x A1 ( ) A2+ :=Calcularlasecuacionesdelasmediatrices: l1 f AE ,, ( ) :=l1x545+ xx l23 x 212 l2 f BF ,x ,( ) := x l3 f CD ,,( ) :=l3532 x 3 xxCalcularelpuntodeinterseccin(baricentro/centroide)dedosdelasmediatrices: l1 y l2 y solve x ,y ,1 1 ( ) l1 y solve x ,y ,1 1 ( ) l3 y56Baricentro/centroide.RepresentacingrficadelasolucindadaporGeogebra.Nota.Elpuntodeinterseccindelasmedianastambinsepuedeencontrarmediantelasiguientefrmula:Interseccion AB ,C ,( )A13B13+C13+A23B23+C23+:= Interseccion AB ,C ,( )11 ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa57EjemploDemostrarquesiuntringulotienelosvrticesen x1 , y1` a,x2 , y2` a,x3 , y3` a,elpuntodeinterseccindesusmedianasestenx1+ x2+ x23fffffffffffffffffffffffffffffffffffff, y1+ y2+ y23ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff gParaesteejercicio,tomeencuentaquelasmedianasdeltringuloconcurrenenunpuntoqueestadosterciosdeladistanciadecadavrticealamitaddesuladoopuesto.SolucinDefinirlostrespuntosquedeterminaneltringulo:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa Definirlafrmulaparacalcularelpuntomediodeunsegmento:Calcularcadaunodelospuntosmediosdelosladosdelafiguradada:Ay1x1:=x1 x2By2:=x2 x3Cy3:=x3PuntoMedio XY ,( )X1Y1+2X2Y2+2:=D PuntoMedio B ,( ) := AA58Dx12x22+y12y22+ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaE PuntoMedio C ,( ) := AAEx12x32+y12y32+F PuntoMedio C ,( ) := BBFx22x32+y22y32+Definirlafrmulaquecalculaelpuntodedivisindeunsegmentoenunarazndada:PuntoRazon AB ,r ,( )A1r B1A1 ( ) +A2r B2A2 ( ) +:=Definirlarazn:razon23:=Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeA:PuntoRazon AF ,razon ,( )x13x23+x33+y13y23+y33+ 59Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeB:PuntoRazon BE ,razon ,( )x13x23+x33+y13y23+y33+Calcularlascoordenadasdelpuntoqueseencuentraa2/3delvrticedeC:PuntoRazon CD ,razon ,( )x13x23+x33+y13y23+y33+Las coordenadas delpunto de interseccin de los segmentos AF, BE y CD son iguales. ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa60ClculodelortocentrodeuntringuloEjemploLosvrticesdeuntringulosonlossiguientes:A(3,0),B(0,2)yC(1,2).Encontrarlasecuacionesdecadaunodesusladosyelortocentro.SolucinAlturadeuntringulo:eslarectaquepasaporunvrticeyesperpendicularalarectaquecontienealladoopuesto.Ortocentro:Interseccindelastresalturasdeltringulo.Representacinvisualdelproblema(Geogebra):Definirlostrespuntosdados: A3 0:= B02:= C12 :=ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa61Definirlafrmulaparacalcularlapendienteentredospuntos:mAB ,( )B2A2B1A1:=Calcularlapendienteparacadaunodelosladosdeltringulo:LadoAB:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa mAB mAB ,( ) :=mAB23LadoBC:mBC mBC ,( ) :=mBC 4 LadoCA:mCA mCA ,( ) :=mCA12 Definirlafrmulapuntopendienteparacalcularcadaunadelasecuacionesdelasalturas:f Am ,x ,( ) m x A1 ( ) A2+ :=AlturaquepasaporA(perpendicularaBC):m1 mBC:=eqA f Am ,x ,( ) yyx434+ :=yAlturaquepasaporB(perpendicularaCA):m1 mCA:=62eqB y f Bm ,x ,( ) y 2 x 2 + :=yAlturaquepasaporC(perpendicularaAB):m1 mAB:=eqC f Cm ,x ,( ) yClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroay3 x 212 :=yCalcularelpuntodeinterseccindedosdelasalturas: eqAeqBOrtocentro.RepresentacingrficadelasolucindadaporGeogebra. solve x ,y , 57 47 0.714 0.571 ( ) =eqAeqC solve x ,y , 57 47 0.714 0.571 ( ) =63CircunferenciaEjemplo1EncontrarlaecuacindelacircunferenciaqueestangentealarectaSx - 4y -4 = uycuyocentroestsobrelasrectasSx - y + 7 = u, x -4y + 9 = u.Graficarcadaunadelasecuacionesqueintervienenenelproblema.SolucinEncontrarelcentrodelacircunferencia(laintercepcinentrelasdosrectas):ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa Encontrarlascoordenadashykdelcentroobtenido(elresultadovienedadoenunvectordeunacolumnaydosfilas) Calcularlalongituddelradio(ladistanciadelcentroalatangentedelacircunferencia).Frmulaparacalcularladistanciadeunpuntoaunarecta: Asignarlosvaloresdeloscoeficientesdelatangentedada ylascoordenadasdelcentroenlafrmuladedistanciaparaobtenerelradio Centro5x y 7 + 0x 4 0 y 9 +solve x ,y ,1 2 ( ) :=h Centroh 1 1 1 , := k Centro1 2 , :=k 2 distanciaAB ,C ,x1 ,y1 ,( )A x1 B y1 + C +A B +:=2 2A 3 := B 4 := C 4 :=r distancia AB ,C ,h ,k ,( ) :=64Sustituirlascoordenadasdelcentroyelradioenlafrmulageneralparaobtenerlacircunferenciapedida:Circunferencia h ( )2y k ( )2+ r2xClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroasimplify x22 x + y2+ 4 y 5 + 9 := xCircunferencia x22 x + y2+ 4 y 5 + 9 Visualizargrficamenteelproblema.Paragraficarlasrectasdadasylacircunferenciaencontrada,ponemoscadaunadelasecuacionesenfuncindex.Rectasdelcentro: f1x ( ) 5x y 7 + 0 solve y ,5 x 7 + :=f1 x ( ) 5 x 7 + f2x ( ) x 4y 9 + 0 solve y , x494+ :=f2x ( )x494+ Rectatangente:f3x ( ) 3x 4y 4 0 solve y , 3 x41 :=f3 x ( )3 x41 Circunferenciaencontrada:Cir x ( ) Circunferenciasolve y , x 2 ( ) x 4 + ( ) 2 +2 x 2 ( ) x 4 + ( ) :=Lasolucindelacircunferencianosdevuelvedosmediascircunferencias(elresultadodadoesunvectordeunacolumnaydosfilas):65Primeracircunferencia:Cir x ( )1 1 , x 2 ( ) x 4 + ( ) 2 + Segundacircunferencia:Cir x ( )2 1 , 2 x 2 ( ) x + ( ) 4 Grficafinal10 5 0 5 1010 5 510f1x ( )f2x ( )f3x ( )Cirx ( )11 , Cirx ( )21 , x ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa66Ejemplo2Deduciruna(s)ecuacin(es)delodeloscrculosderadio4,cuyocentroestenlarecta4x + Sy + 7 = uyes(oson)tangentesaSx + 4y +S4 = u.SolucinDisponemosdetrescondicionespararesolverelproblema:1. Elradioradio 4 :=2. Unpuntocualquiera(h,k)quepaseporlacircunferenciadebetambinsatisfaceralarectaquepasaporelcentro: 4h 3k + 7 + 03. Lafrmuladedistanciadeunpunto(elcentrodelarecta)aunarecta(latangentealarecta):distanciaA x B y1 + C 1+A2B2+:=x13 h 4 k + 34 +3242+radio Con estas tres condiciones podemos plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de las coordenadas del centro, h y k. Centro14 3k + 7 h + 03 h 4 k + 34 +3242+radio:=hh ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa67El valor absoluto del numerador nos da dos valores. Primera solucin (valor positivo): Centro14h 3k + 7 + 03 h 4 k + 34 +3242+radio solve h ,k ,2 5 ( ) := h Centro11 1 , :=h 2 k Centro11 2 , :=k 5 Sustituyendoelvalordehykobtenidos:x h ( )2y k ( )2+ radio2x 2 ( )2y 5 + ( )2+ 16 Expandiendolaexpresinresultante:x 2 ( )2y 5 + ( )2+ 16 0 expand x24 x y2+ 10 y + 13 + 0 Segunda solucin (valor negativo) Reiniciar valores para el segundo clculo h h := k k :=Centro24h 3k + 7 + 03 h 4 k + 34 +3242+radio solve h ,k , 13471957 :=h Centro21 1 , :=k Centro21 2 , :=Sustituyendoelvalordehykpreviamentecalculados:x h ( )2y k ( )2+ radio2x13472y1957+2+ 16 ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa68Expandiendolaexpresinencontrada:x13472y1957+2+ 16 expand x2268 x 7 y2+390 y 7+5598149+ 16 Simplificandolaexpresin:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa 49 x2268 x 7 y2+390 y 7+559814949 x2 1876 x 49 y2 + 2730 y + 55197 + + 16 0 0 69ParbolaEjemplo1Graficarlastressiguientesfuncionesyobservarelefectodeltrminoindependiente: f x ( ) x2= g x ( ) x210 + = hx ( ) x210 =Solucin2040f x ( )gx ( )hx ( )x ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa70Ejemplo2GraficarlasdossiguientesfuncionesyobservarelefectodelsignonegativoenelcoeficientedeX: f x ( ) x2= g x ( ) x2 =40 20 2040f x ( )gx ( )xEjemplo3GraficarlasdossiguientesfuncionesyobservarelefectodelcoeficientedelaX: f x ( ) x2= g x ( ) 3x2= hx ( ) 10x2=20 2040f x ( )gx ( )hx ( )xClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa71Ejemplo4Determinarlaecuacindelaparbolaensuformanormalquepasaporlospuntos(3,4),(0,1)y(2,9)ycuyoejeesparaleloalejey.Graficarlaecuacinresultante,SolucinComoelejedelaparbolaesparaleloalejey,sustituimosenlaecuacinx2D x + E y + F + 0lostrespuntosdadosylaecuacinresultantelaalmacenamosenunavariabletemporalparadespusutilizarlaenlasolucindelsistemadeecuacionesresultante:f1 x2x + E y + F + substitutex 3 DClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa,y 4 ,3 D 4 E + F + 9 + := DEf2 x2D x + y + F + substitutex 0 ,y 1 ,E F + := EEf3 x2D x + y + F + substitutex 2 ,y 9 ,9 E 2 D F + 4 + := EResolviendoelsistemadeecuaciones:f1 0f2 0f3 0 solve D ,E ,F ,2 1 1 ( ) Sustituyendolosvaloresobtenidosenlaformanormal:f4 D x + E y + F + substituteD 2 x2,E 1 ,F 1 ,x22 x y 1 + := xf4 x22 x y 1 + 72Paragraficarlaecuacin,dejamoslaexpresinobtenidasloentrminosdexyalmacenamoselresultadoenunanuevaecuacin:f5x ( ) f4 0 solve y ,x22 x 1 + :=10 5 0 5 1050100150f5x ( )xClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa73APLICACIONES EN CLCULO DIFERENCIAL LmitesEjemplo1Puededemostrarsequeelreadeunpolgonodenladosigualesinscritoenuncrculoderadio1estdadoporAnn2 sin2n=Completarlafrmulaconlossiguientesvaloresden:6,10,1000,10000.SolucinDefinimoslafrmulaenfuncindenyprocedemosasustituirlosvaloressolicitados: An ( )n2 sin2n=A6 ( ) 2.5980762114 = A10 ( ) 2.9389262615 =A1000 ( ) 3.1415719828 =ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaNota.Observecomoelltimovalortiendea.Calculemoselvalordelafuncincuandontiendeainfinito:A10000 ( ) 3.1415924469 = n2nsin2 n lim =74Ejemplo2Estudiarelcomportamientodelasiguientesucesin cuandontiendeainfinito. 212n+SolucinRepresentarlasucesinenformadefuncinparafacilitarsuestudio:f n ( ) 212n+ =Construirunatabladevaloresbajounrangodadoyobservarelcomportamientodelafuncin.Paraesto,leasignaremosanunvalorquevayacambiandodesdeunvalorinicialde1hastaunvalorfinaldadode50(puedeescogercualquierrangodevaloresparasuestudioeneserangoenparticular):ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroan 1 50 .. =f n ( )2.52.252.1252.0632.0312.0162.0082.0042.0022.001222...=Observarquelafuncintomaelvalorde2cuandoxtiendeaunvalormuygrande.Utilizandolafuncinparaelclculodellmitedeunafuncintambinobtenemoselmismovalor: xf x ( ) lim2 =75SemuestralagrficadelafuncindadaparacomprobarvisualmentequecuandoXtiendeainfinitoelvalordellmitetiendea2:10 0 102345f x ( )xDerivadasEjemplo1Encontrarlosvrtices(puntomximoomnimo)delafunciny = o x2 +b x + c completandoeltrinomiocuadradoperfecto.Parafacilitarelejercicio,ledamosalafuncinlasiguienteforma:Multiplicamoslaecuacinpora,elcoeficientedelax2:a x2b x + c + yx2bax +ca+yaPasamoseltrminoindependientealaderechadelaecuacin:x2bax +yacaCompletamoselcuadradoalaizquierdadelaexpresinsumandoaambosmiembroselcuadradodelamitaddelcoeficientedex:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa76x2bax +b24 a2+yacab24 a2+Reducimoseltrinomiocuadradoresultanteenladoizquierdodelaecuacin:xb2a+2yacab24 a2+Simplificamoselextremodeladerechadelaecuacin:xb2a+21ayb24 a+ c oxb2a+21ay4 a c b24 aLaexpresinobtenidarepresentalasegundaformaordinariadelaecuacindelaparbolacuyovrticeeselpuntoI(-b2 o,4 o c -b4 o2)Reflexiones:Esteejercicioesesencialmentedeprocedimientoydeinterpretacindelresultadoobtenido.Esdepocaayudaunacalculadoraounpaquetecomputacional ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa77Ejemplo2Laecuacingeneraldeunaparbolavienedadaporlafrmulao x2 +b x + c = u;utilizandoelconceptodederivada,determinelascoordenadasdelvrticedelaecuacin.SolucinDefinimoslaecuacinenfuncindeX: f x () a x2b x + c + =DerivamoslafuncinconrespectoaX: xf x ()ddb 2 a x + =Igualamosacerolaexpresinencontrada(elvalordelapendientevaleceroenelpuntomximoomnimodeunafuncin),resolvemosparaXyencontramoslaprimeracoordenada:b 2 a x + 0 b 2 a x + 0 solve x , b2 a =ConelvalordeXencontramoselvalorY,lasegundacoordenadabuscada:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroafb2 acb24 a =cb24 a factor4 a c b24 a=Lascoordenadasdelvrticedelaparbolavienendadapor:I(-b2 o,4 o c -b4 o2) 78ReflexionesEsteejerciciomuestralafacilidadpararesolverelproblemaconlaayudadeunaherramientadeclculosimblico.ElestudiantedebeconocerlosprincipiosmatemticosquesustentanestasolucinEjemplo3A desudefinicinalgebraica,calculeladerivadadelafuncin(x) =x2 +1enelpunto partirx = S.Compruebesuresultadoutilizandolafuncinlmiteylafuncinderivadadadaporunsistemacomputacional.SolucinDefinimosenvalordelavariableyeldelafuncindada:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaxx 5 =f x ( ) x21 + =Ladefinicinalgebraicadeladerivadadeunafuncinvienedadaporlafrmula: f x h + ( ) f ( ) hParaencontrarsusolucinnumricaconstruiremosunatabladevaloresyobservaremossutendencia.Paraesto,establecemosunvalorinicialde0.001,unvalorfinalde0.0001yunincrementoparalavariablehde0.0009: h 0.0010.0009 ,0.0001 .. = 79Conlosvaloresdadosparaxyparah,calculamoslatablacorrespondienteyobservamoslatendenciadelaexpresin:f x h + ( ) f ( ) hx10.00110.00110.00110.00110.0011010101010Enlatablaanteriorseobservaunatendenciaalnmero10.Aplicandolafrmuladelmitesobrelamismaexpresintenemos:0 hf x h + ( ) f x ( ) hClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaAplicandolafuncindederivacinseobtieneelmismoresultado:Ejemplo4Dadalasiguientefuncin(x) = x2,(1)encontrarsuderivada,(2)elvalordelapendienteencualquierpuntodadodelacurva,(3)laecuacindelapendienteenelpuntoseleccionadoy(4)graficarlaecuacinylaecuacindelapendienteenelpuntodado.Solucinlim10 =xf x ( )dd10 =801)EncontrarladerivadaDefinirlafuncin: f x ( ) x2=Calcularladerivadasimblicamente:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa2)ValordelapendienteencualquierpuntodadodelacurvaDefinircualquierpuntonyasignarleunvalor: Calcularelvalordeladerivadaenelpuntondefinidoanterior(sealmacenarelvalorencontradoenunavariablellamadam(dependiente)parasuusoposterior:3)EcuacindelapendienteenelpuntoseleccionadoParaidentificarlaecuacindelapendiente,definimosunafrmuladeclculoenfuncindelapendienteyunpunto: Calculamoslascoordenadasdelpuntodeinterseccinentrelarectaylacurvadada: xf x ( )dd2 x =n12=mnf n ( )dd=m 1 =rectapendiente P ,x ,( ) pendientex P1 ( ) P2+ =Pnf n ( )=81 P1214=ConlapendientemyelpuntoPpodemosidentificarlaecuacindelarectapendiente:rectamP ,x ,( ) x14 =Gradodeinclinacindelapendiente: atan 45 m ( ) deg = atan m ( )4=4)Graficadelaecuacindadaylaecuacindelapendienteenelpuntodado:Definirelrangodegraficacin:x2 8 = x1 5 = y2 30 = y1 5 =5 0 5102030f x ( )recta mP ,x ,( )x ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa82Nota.Enesteejerciciosemuestralaposibilidaddecrearunaplantillaparalasolucindeestetipodeproblemas.Conlaplantillacreadasepuedenresolverproblemassemejantesyobservarelcambioquesetieneenlasolucinalcambiarunparmetrodado;porejemplo,vamosaresolverelmismoproblemacambiandoelvalordelpuntodeintercepcinden=an=3:ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroan 3 =mnf n ( )dd=m 6 =Pnf n ( )=P39=rectamP ,x ,( ) 6 x 9 =atan m ( ) 80.538deg =5 0 5102030f x ( )recta mP ,x ,( )x 83Ejemplo5Dadalacurvay = x33-x2 +2,hallar:a)Lainclinacindelacurvacuandox = 1b)LospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalejeX.c)Lospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalarecta2 x -S y = 6Solucina)Lainclinacindelacurvacuandox = 1DefinimoslacurvaenfuncindeX: f x ( )x33x2 2 + =Calculamoslainclinacindelacurvaenelpuntox=1: x 1 =xf x ( )dd1 =Inclinacindelacurva:atanxf x ( ) ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa b)LospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalejeX.LacurvaesparalelaalejeXcuandolapendienteenesepunto(s)esigualacero;sederivalafuncin,seigualaaceroyseencuentraelpuntobuscado:c)Lospuntosdondeladireccindelacurvaesparalelaalarecta2x3y=6.dd 45 deg =xf x ( )dd0 solve x , 20 = 84Silarectadadaesparalelaalapendientebuscadadebetenerlamismapendiente:Pendientedelarecta2x3y=6:Transformamoslaecuacindadaalaformay = m x +bdondemeslapendientedelarecta.2x 3y 6 solve y , 2 x32 = m232 0.75 0.5 1.75 35 2.5 2.55x33x2 2 +xClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa852 0.75 0.5 1.75 35 2.5 2.55x33x2 2 +2 x32 ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroa86ClculoSimblicoconMathcadRicardoVillafaaFigueroaBIBLIOGRAFA Diferentesejemplospresentadosenestosapuntesacadmicoshansidotomadosdelossiguienteslibros:LehmanC.,1959,GeometraAnaltica.EditorialUTHEA,Mxico.OteyzaE.,LamE.,HernndezC.,Carrillo,RamrezA.,2005,GeometraAnaltica.EditorialPearson,PrenticeHall,Mxico.