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  • Cours de mathmatiques

    PSI

    Aurlien Monteillet

    9 dembre 2015

  • ii

  • Ce document contient les notes dun cours de mathmatiques pour la classe de PSI.

    Les dmonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement repres commetelles dans les notes.

    Bonne lecture !

    Ce document est mis disposition selon les termes de la Licence Creative Commons

    (Attribution Pas dUtilisation Commerciale Partage dans les Mmes Conditions 3.0 France)

    http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/fr/

    iii

  • iv

  • Sommaire

    1 Suites numriques 1I. Dfinitions et rsultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1II. Suites dfinies par rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4III. Suites rcurrentes linaires dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 Sries numriques 11I. Dfinition et convergence dune srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II. Sries de rels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III. Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23IV. La formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25V. Le thorme des sries alternes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26VI. Produit de deux sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3 Espaces vectoriels et applications linaires 31I. Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II. Somme et somme directe de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 40III. Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45IV. Isomorphismes et automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53V. Rang et thorme du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57VI. Formes linaires et hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4 Matrices 63I. Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II. Matrices, vecteurs et applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65III. Image, noyau et rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71IV. La mthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73V. Trace dune matrice et dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89VI. Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91VII. Dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5 Espaces vectoriels norms. Convergence et continuit 107I. Espaces vectoriels norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107II. Suites dun espace vectoriel norm de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . 113III. Vocabulaire de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115IV. Fonctions entre espaces vectoriels norms :

    limite et continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119V. Proprits des fonctions continues valeurs relles . . . . . . . . . . . . . . . . . 125VI. Le cas des applications linaires et multilinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    6 Suites et sries de fonctions 129I. Diffrents modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130II. Limite et continuit des suites et sries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 138III. Intgration des suites et sries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140IV. Drivation des suites et sries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    v

  • 7 Drivation et intgration des fonctions de R dans K 145I. Thorme de Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145II. Drives dune bijection rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148III. Intgration sur un segment des fonctions continues : quelques rappels . . . . . . . 150IV. Intgrale sur un segment des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . 153V. Mthodes de calculs dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156VI. Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    8 Rduction des endomorphismes et des matrices carres 161I. lments propres dun endomorphisme et dune matrice carre . . . . . . . . . . 161II. Recherche des lments propres, polynme caractristique . . . . . . . . . . . . . 165III. Diagonalisabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169IV. Rduction et polynmes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173V. Endomorphismes et matrices trigonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    9 Espaces probabiliss 183I. Ensembles dnombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183II. Espaces probabiliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185III. Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IV. vnements indpendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    10 Intgrales gnralises 199I. Convergence des intgrales gnralises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199II. Intgrales absolument convergentes, fonctions intgrables . . . . . . . . . . . . . . 204III. Mthodes de calcul des intgrales gnralises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207IV. Comparaison entre une srie et une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210V. Espaces fonctionnels et fonctions intgrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

    11 Interversions pour les intgrales gnralises. Intgrales paramtre 215I. Les thormes dinterversion pour les intgrales gnralises . . . . . . . . . . . . 215II. Intgrales paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    12 Espaces prhilbertiens, espaces euclidiens 225I. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225II. Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229III. Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238IV. Formes linaires sur un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

    13 Sries entires 243I. Dfinition et convergence des sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243II. Oprations sur les sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248III. Rgularit de la somme dune srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249IV. Dveloppements en sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

    14 Variables alatoires 257I. Dfinitions, premires proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257II. Loi dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258III. Familles de variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266IV. Esprance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270V. Sries gnratrices des variables alatoires valeurs dans N . . . . . . . . . . . . 275VI. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

    15 Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 289I. Isomtries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289II. Endomorphismes symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294III. Espaces euclidiens orients de dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

    vi

  • 16 Fonctions vectorielles. Arcs paramtrs 307I. Drivation des fonctions valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307II. Drives dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311III. Arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

    17 quations diffrentielles 323I. Rsultats thoriques sur les systmes diffrentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323II. Systmes coefficients constants sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . 326III. quations scalaires dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329IV. quations scalaires dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

    18 Fonctions de plusieurs variables. Calcul et gomtrie diffrentiels 341I. Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341II. Problmes dextrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351III. Drives partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353IV. Rsolution dquations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353V. Courbes et surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

    Annexe 1 : Relations de comparaison 367I. Le cas des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367II. Le cas des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

    Annexe 2 : Intgrales de Wallis 373

    vii

  • viii

  • Chapitre 1

    Suites numriques

    I. Dfinitions et rsultats fondamentaux

    Dans cette partie, on considre une suite (un)nN dlments de K = R ou C, i.e., uneapplication de N dans K. Toutes les dfinitions et tous les thormes que nous allons donnerpeuvent tre adapts au cas dune suite (un)n>p dfinie partir dun certain rang p.

    1. Convergence dune suite

    Soit K. On dit que (un) converge vers (ou que un tend vers ) s

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