Math Online I คณิตศาสตร บทที่ 2 ระบบ ...mathstick.com/sites/default/files/m02.pdf · Math Online I บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง

Math Online I http://www.pec9.com บทท่ี 2 ระบบจํานวนจริง

68

คณิตศาสตร บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง ตอน 1 จํานวนจริง

หากเรานําจํานวนทุกจํานวน มาเขียนเปนแผนผังแยกประเภท จะไดดังนี ้

จํานวนจริง คือ จํานวนท่ีมีจริงบนเสนจํานวน จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนท่ีสามารถเขียนใหอยูในรูปเศษสวน โดยท่ีสวนไมเปนศูนยได ไดแก จํานวนเต็ม เศษสวน จํานวนอยูในรูปทศนิยมธรรมดา และ ทศนิยมซํ้า เชน 8 , –6 , 0 , 4

3 , 4.3 , 3.1 ! เปนตน จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนท่ีไมสามารถเขียนใหอยูในรูปเศษสวนได เชน รากซ่ึงถอดคาไมลงตัว , π เปนตน

1. จงพิจารณาวาจํานวนตอไปน้ีเปนจํานวนชนิดใด จํานวน จํานวนนับ จํานวนเต็ม จํานวนลบ จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ จํานวนจริง

–9 – 2

7

5 2

0

จํานวนเชิงซอน ( C )

จํานวนจริง ( R )

จํานวนตรรกยะ ( Q ) จํานวนอตรรกยะ ( Q/ )

จํานวนเต็ม ( I ) จํานวนไมเต็ม ( I/ )

จํานวนเต็มบวก ( I+ ) หรือ จํานวนนับ ( N )

จํานวนเต็มลบ ( I– ) จํานวนเต็มศูนย ( 0 )

จํานวนจินตภาพ


69

2. จงพิจารณาวาขอความตอไปน้ีเปนจริงหรือเท็จ 1) 0.001001001001... เปนจํานวนตรรกยะ (จรงิ)

2) 0.110110110110... เปนจํานวนตรรกยะ (จรงิ) 3) 0.767667666766667... เปนจํานวนตรรกยะ (เท็จ)

4) 0.5999... เปนจํานวนตรรกยะ (จรงิ) 5) 0 เปนจํานวนจริง (จรงิ)

6) จํานวนที่เขียนไดในรูปทศนิยมซ้ําไมเปนจํานวนตรรกยะ (เท็จ) 7) จํานวนท่ีเขียนไดในรูปทศนิยมไมซํ้าเปนจํานวนจริง (เท็จ)

8) 2b)(a − = a – b ไมวา a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ (เท็จ)

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอน 2 สมบัติของจํานวนจริงเก่ียวกับการบวกและการคูณ

สมบัติของการเทากัน สมบัติ ตัวอยาง

1) การสะทอน a = a 5 = 5 2) สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a

ถา 3 = 2+1 แลว 2+1 = 3

3) สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c

ถา 22 = 4 และ 4 = 3+1 แลว 22 = 3+1

4) สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน ถา a = b แลว a + c = b + c

ถา 32 = 9 แลว 32 + 5 = 9 + 5

5) สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน ถา a = b แลว a .c = b . c

ถา 42 = 16 แลว 42 . 3 = 16 . 3

3. จงบอกวาขอความตอไปน้ีเปนจริงตามคุณสมบัติอะไร 1. 6 = 4 + 2 ดังน้ัน 4 + 2 = 6 2. ถา 62 = 36 และ 36 = 30 + 6 แลว 62 = 30 + 6 3. ถา 23 = 8 แลว 23 + 5 = 8 + 5 4. ถา 52 = 25 แลว 52 . 3 = 25 . 3


70

สมบัติเกี่ยวกับการบวก สมบัติ ความหมาย ตัวอยาง

1. ปด ถา a , b ∈ R แลว a + b ∈ R 1 , 2 ∈ R ดังนั้น 1 + 2 ∈ R 2. การสลับที่ a + b = b + a 1 + 2 = 2 + 1 3. การเปลี่ยนหมู a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3 4. การมีเอกลักษณ มีจํานวนจริง 0 ซ่ึง 0 + a = a = a + 0 0 + 5 = 5 = 5 + 0 5. การมีอินเวอรส สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง –a

ที่ (-a) + a = 0 = a + (–a) (–3) + 3 = 0 = 3 + (–3)

4. จงบอกวาขอความตอไปน้ีเปนจริงตามคุณสมบัติอะไร 1. 17 + 23 เปนจํานวนจริง 2. ( 5 + 7 ) + 3 = ( 7 + 5 ) + 3 3. ( 8 + 4 ) + 1 = 1 + ( 8 + 4 ) 4. ( 2 + 3 ) + 20 = 2 + ( 3 + 20 ) 5. 9 + 0 = 9 6. –9 + 9 = 0 5. จงหาอินเวอรสการบวกของจํานวนตอไปน้ี 8 , –2 , ( a + b ) , – ( x – y ) , ( –x + y )

สมบัติเกี่ยวกับการคูณ สมบัติ ความหมาย ตัวอยาง

1. ปด ถา a , b ∈ R แลว a .b ∈ R 1 , 2 ∈ R ดังนั้น 1 x 2 ∈ R 2. การสลับที่ a . b = b . a 1 x 2 = 2 x 1 3. การเปลี่ยนหมู a ( b . c ) = ( a . b ) . c 1 x ( 2 x 3 ) = ( 1 x 2 ) x 3 4. การมีเอกลักษณ มีจํานวนจริง 1 ซ่ึง 1 . a = a = a . 1 1 x 5 = 5 = 5 x 1 5. การมีอินเวอรส สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง a–1

ที่ (a–1) + a = 1 = a + ( a–1 ) ( 31 ) x 3 = 1 = 3 x ( 3

1 )

6. ขอความตอไปน้ีเปนจริงตามคุณสมบัติใด 1. (42)(–5) เปนจํานวนจริง 2. ( 3 x 5 ) x 8 = ( 5 x 3 ) x 8 3. ( 3 x 2 ) x (–2) = 3 x (2 x (–2)) 5. (1.32 x 5.1) x 9 = 9 x (1.32 x 5.1) 6. (a – b) . 1

( )a b− = 1


71

นอกจากสมบัติตางๆ ที่ไดกลาวมาแลวขางตน ยังมีสมบัติที่เกี่ยวของกับการบวก และ การ คูณ อีกสมบัติหนึ่ง คือ สมบัติการการกระจาย ซึ่งมีความวา

a . ( b + c ) = a.b + a.c เชน 2 . ( 5 + 8 ) = 2 . 5 + 2 . 8

7. ขอความตอไปน้ีเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริงขอใด 1) q ⋅37 = 37⋅q ( การสลับที่สําหรับการคูณ )

2) (2 + 3) p = 2 p + 3 p ( การกระจาย ) 3) 6 + (5 + y) = (6 + 5) + y ( การจัดหมูสําหรับการบวก )

4) (2 + 3)(5 + 6) = (5 + 6)(2 + 3) ( การสลับที่สําหรับการคูณ ) 5) 3 + (4 + 6) = 3 + (6 + 4) ( การสลับที่สําหรับการบวก )

6) a (b+ c) = (b + c) a ( การสลับที่สําหรับการคูณ ) 7) –5 + π เปนจํานวนจริง ( สมบัติปดสําหรับการบวก ) 8) มีจํานวนจริงที่บวกกับ –15 แลวได 0 ( การมีอินเวอรสการบวก )

9) 1 x 1 = 1 ( การเอกลักษณการคูณ )

8. พิจารณาขอความตอไปน้ีวาเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริงขอใดหรือไม 1) 6 + (3 ⋅2) = (6 + 3) ⋅2 ( ไมเปนจริง )

2) x – (y – z) = (x – y) – z ( ไมเปนจริง ) 3) x – y = y – x ( ไมเปนจริง ) 4) 5p + 5q = 5 (p + q) ( สมบัติการกระจาย )

5) 3⋅(2 – x) = (3⋅2) – (3)(x) ( สมบัติการกระจาย )

9. เซตตอไปน้ี มีสมบัติของจํานวนจริงขอใดบาง

สมบัติ เซตของ จํานวนนับ

เซตของ จํานวนเต็มลบ

เซตของ จํานวนเต็ม

เซตของจํานวน ตรรกยะ

สมบัติปดของการบวก สมบัติปดของการลบ สมบัติปดของการคูณ สมบัติปดของการการ

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


72

ตอน 3 ทฤษฏีเศษเหลือ และ การแกสมการพหุนามตวัแปรเดียว

ทฤษฎีเศษเหลือ “ เม่ือ p(x) เปนพหุนามใดๆ ถาหาร p(x) ดวยพหุนาม x – c แลวเศษจากการหาร

จะเทากับ p(c ) เม่ือ c เปนจํานวนจริง ”

ตัวอยาง 1 จงหาเศษที่เหลือจากการหาร p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 ดวย x – 1 วิธีทํา ข้ัน 1 ให x – 1 = 0 จะได x = 1 ข้ัน 2 จาก p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 จะได p(1) = 13 + 12 + 4(1) + 1 P(1) = 7

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตัวอยาง 2 จงหาเศษที่เหลือจากการหาร p(x) = x3 + x + 1 ดวย x +3 วิธีทํา ข้ัน 1 ให x + 3 = 0 จะได x = –3 ข้ัน 2 จาก p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 จะได p(–3) = (–3)3 + (–3) + 1 p(1) = –29

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตัวอยาง 3 จงหาเศษที่เหลือจากการหาร p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 ดวย x วิธีทํา ข้ัน 1 ให x = 0 ข้ัน 2 จาก p(x) = x3 + x2 + 4x + 1 จะได p(0) = 03 + 02 + 4(0) + 1 p(0) = 1

10. จงหาเศษเม่ือหาร x3 – 4x2 + 6x – 4 ดวย x – 2 (0) วิธีทํา


73

11. จงหาเศษเม่ือหาร x3 – 7x2 + 11x – 4 ดวย x – 3 (–7) วิธีทํา 12. จงหาเศษเม่ือหาร 4x4 – 3x2 + 8 ดวย x2 – 3 (35) วิธีทํา 13. จงหาเศษเม่ือหาร 9x4 – 4x2 + 16 ดวย x2 – 2 (44) วิธีทํา 14. จงหาคา a ที่ทําให x – 2 หาร x2 – 7x + a ลงตัวพอดี (10) วิธีทํา 15. จงหาคา a ที่ทําให x – 3 หาร 3x3 – 7x2 – 9x – a ลงตัว (–9) วิธีทํา


74

16(มช 38) ถาพหุนาม p(x) = 6x3 + ax2 + bx – 1 มี (x – 1) เปนตัวประกอบ และเมื่อหาร ดวย ( x + 1) จะเหลือเศษ –24 แลว ab จะมีคาเทากับขอใด

1. 44 2. –44 3. 66 4. –66 (ขอ 4) วิธีทํา 17(En 41/2) กําหนด p(x) = x6 + ax3 – x + b โดยที ่ a และ b เปนจํานวนจริง ถา x – 1 หาร p(x) เหลือเศษ –1 และ x + 1 หาร p(x) เหลือเศษ 1 แลว x หาร p(x) จะเหลือเศษ เทากับขอใดตอไปน้ี

1. –1 2. 0 3. 1 4. 2 (ขอ 1) วิธีทํา


75

การแกสมการพหุนามตวัแปรเดียว

18. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี x3 + x2 – 8x – 12 = 0 (-2 , 3 ) วิธีทํา 19. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี x3 – 10x2 + 27x = 18 (1 , 3 , 6) วิธีทํา 20. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี x3 – x2 – 5x – 3 = 0 (3 , –1) วิธีทํา 21(มช 39) จงหาคําตอบของสมการ x3 – x2 – 5x – 3 = 0 ที่สอดคลองกับเงื่อนไข x2 > 2 (3) วิธีทํา


76

22. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี 1 – 3x2 + 2x3 = 0 ( 21− , 1 ) วิธีทํา 23. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี x3 – 7x – 6 = 0 (3 , –1 , –2) วิธีทํา 24. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี 6 – 13x + 4x3 = 0 (-2 , 21 , 23 ) วิธีทํา 25. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี x3 + 5x2 + 6x = 0 ( –3 , –2 , 0 ) วิธีทํา


77

26. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี 2x3 + 7x2 + 5x = 0 ( 25−−−− , –1 , 0)

วิธีทํา 27. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี x3 – 5x2 – 16x + 80 = 0 (–4 , 5 , 4) วิธีทํา 28. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี 3x3 + 2x2 – 12x – 8 = 0 (–2 , – 32 , 2) วิธีทํา 29. จงแกสมการหาคา x ตอไปน้ี 2x4 – 13x3 + 28x2 = 23x – 6 ( 21 , 1 , 2 , 3 ) วิธีทํา


78

30(En 38) ให a เปนจํานวนเต็ม ถา x – a หาร x3 + 2x2 – 5x – 2 เหลือเศษ 4 แลว ผลบวกของคา a ทั้งหมดที่สอดคลองเงื่อนไขดังกลาวเทากับขอใดตอไปนี้

1. –6 2. –2 3. 2 4. 6 (ขอ 2) วิธีทํา 31(มช 37) จงหาจํานวนเต็ม t ที่ทําให 21 t เปนคําตอบของสมการ 4x3 + 13x2 + t.x – 11 = 0 วิธีทํา (-2)


ตอน 4 ชวง และ การแกอสมการ

บทนิยาม เมื่อเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง และ a < b ชวงเปด ชวงปด ชวงครึ่งเปด ชวงครึ่งเปด ชวง ชวง ชวง ชวง ชวง

(a , b) [a ,b] (a ,b] [a ,b)

(a ,∞∞∞∞) [a ,∞∞∞∞)

(-∞∞∞∞ ,a) (-∞∞∞∞ ,a]

(-∞∞∞∞ , ∞∞∞∞)

หมายถึง หมายถึง หมายถึง หมายถึง หมายถึง หมายถึง หมายถึง หมายถึง หมายถึง

{ x ||||a < x a} { x |||| x ≥≥≥≥a} { x |||| x < a } { x |||| x ≤≤≤≤ a } เซตของจํานวนจริง R

32. จงเขียนชวงตอไปน้ีในรูปของเซต พรอมทั้งแสดงชวงดวยกราฟบนเสนจํานวน

(1) [ –3 , 1 )

(2) ( –2 , ∞ )

(3) [ 4 , 7 ]

(4) ( –3 , 0 )

(5) ( –∞ , –3 )

(6) [ 1 , ∞ ) (7) ( –∞ , 4 ]

(8) ( –∞ , 1 ]

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 1 0 1 2

4 5 6 7 8 9

1 2

0 1 2

-1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1 2
79
-3 -2 -1 0

-3 -2 -1


80

33. ถา A = (–1 , 2) , B = [0 , 4] จงหาเซตตอไปน้ี 1) A ∪ B 2) A ∩ B 3) A – B 4) B – A 5) A/ 6) B/

วิธีทํา

ตอบ 1. ( –1 , 4 ] 2. [ 0 , 2 ) 3. (–1 , 0) 4. [ 2 , 4 ] 5. (–∝∝∝∝ ,–1 ]∪ [ 2 , ∝∝∝∝ ) 6. (–∝∝∝∝ , 0)∪ ( 4 , ∝∝∝∝ )

การแกอสมการพหุนามดีกรีหน่ึง ตัวแปรเดียว สมบัติบางประการของการไมเทากัน ให a , b , c เปนจํานวนจริงใดๆ

1) สมบัติการถายทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c

เชน 10 > 8 และ 8 > 7 จะไดวา 10 > 7 2) สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน ถา a > b แลว a + c > b + c เชน 2 > 1 จะได 2 + 4 > 1 + 4

น่ันคือ 6 > 5 3) สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน

3.1) ถา a > b แลว a c > b c เม่ือ c > 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x 4 > 1 x 4

น่ันคือ 8 > 4


81

3.2) ถา a > b แลว a c 1 จะได 2 x (–5) < 1 x (–5)

น่ันคือ – 10 < – 5 3.3) ถา a > b แลว a c = b c เม่ือ c = 0 เชน 2 > 1 จะได 2 x (0) = 1 x (0)

น่ันคือ 0 = 0 4) ถา a d แลว ac < bd

7) ถา 0 < a d แลว da < cb 8) ถา 0 < a x + 7 2) 2x – 1 < x + 9 3) 8x – 5 ≥ 3x + 15

4) 3x – 2 ≤ x 5) 8 – 3x > x 6) 5 – 3m ≤ 6 – 4m 7) 6 – 3m ≥ 3m 8) 3m < m – 2 9) 4(m – 3) ≤ 3(m – 2)

ตอบ 1. ( 35 , ∝∝∝∝ ) 2. ( –∝∝∝∝ , 10 ) 3. [ 4 , ∝∝∝∝ ) 4. ( –∝∝∝∝ , 1 ] 5. ( –∝∝∝∝ , 2 ) 6. ( –∝∝∝∝ , 1 ] 7. ( –∝∝∝∝ ,–1 ] 8. ( –∝∝∝∝ , –1 ) 9. (–∝∝∝∝ , 6 ]


82

35. จงแกอสมการตอไปน้ี 3x – 1 < x + 2 < 5 { (–∝∝∝∝ , 23 ) } วิธีทํา 36. จงแกอสมการตอไปน้ี –2x – 5 < 7 < 3x – 2 { (3 ,∝∝∝∝ ) } วิธีทํา

การแกอสมการพหุนามดีกรีสูง ตัวแปรเดียว

37. จงแกอสมการตอไปน้ี x2 – 7x + 12 < 0 ( 3 , 4 ) วิธีทํา


83

38. จงแกอสมการตอไปน้ี x2 – 5x + 6 ≤ 0 [ 2 , 3 ] วิธีทํา 39. จงแกอสมการตอไปน้ี x2 – 4x – 5 > 0 ( –∝∝∝∝ , –1 ) ∪∪∪∪ ( 5 , ∝∝∝∝ ) วิธีทํา

40. จงแกอสมการตอไปน้ี x2 + 2x ≥ 3 ( –∝∝∝∝ , –3 ] ∪∪∪∪ [ 1 , ∝∝∝∝ ) วิธีทํา

41. จงแกอสมการตอไปน้ี 2x < 3 – x2 ( –3 ,1) วิธีทํา 42. จงแกอสมการตอไปน้ี x2 + 2x < 15 ( –5 ,3) วิธีทํา


84

43. จงแกอสมการตอไปน้ี 3x2 + 2 ≥ 7x ( –∝∝∝∝ , 31 ] ∪∪∪∪ [ 2 , ∝∝∝∝ ) วิธีทํา 44. จงหาเซตคําตอบของ x2 < 16 ( –4 , 4 ) วิธีทํา 45. จงหาเซตคําตอบของ x2 ≥ 3 ( –∝∝∝∝ , – 3 ] ∪∪∪∪ [ 3 , ∝∝∝∝ ) วิธีทํา 46. จงแกอสมการตอไปน้ี 3) (x

1) (x . 2) (x −

−+ < 0 ( –∝∝∝∝ , –2 ) ∪∪∪∪ ( 1 , 3 ) วิธีทํา


85

47(มช 42) ให A เปนเซตคําตอบของอสมการ 3y2 – 2y – 5 ≤ 0 คอมพลิเมนตของ A คือขอใด 1. [–1 , 35 ] 2. [ 35− , 1 ] 3. ( –∞ , 35− ) ∪ (1 , ∞ ) 4. ( –∞ , –1) ∪ ( 35 , ∞ ) (ขอ 4) วิธีทํา

48(มช 40) ให D เปนเซตคําตอบของอสมการ 2x2 – 5x – 3 < 0 จงหาคอมพลีเมนตของ D วิธีทํา (–∞∞∞∞ , – 21 ] ∪∪∪∪ [3 , ∞∞∞∞ )

ตองทราบเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแกอสมการ 1) สมการพหุนามที่แก ตองเรียงกําลังตัวแปรมากไปหานอย และ ตัวแปรท่ีอยูหนาสุดตอง

มีคาเปนบวกเทานั้น 2) กรณีท่ีเปนเศษสวนใหคิดเหมือนเดิม แตตองระวังวา คําตอบที่ไดตองไมทําใหสวน เปนศูนย

3) ตัวแปรท่ีไมทราบคา + – หามคูณไขว 4) ตัวแปรรูป xคู หรือ | x | มีคาเปนบวกแนนอน คูณไขวได แตตองตรวจสอบวามี คาเปนศูนยไดหรือไมเสมอ


86

49. จงแกอสมการตอไปน้ี 6x – x2 ≥ 5 [ 1 , 5 ] วิธีทํา 50. จงแกอสมการตอไปน้ี 9 – x2 ≤ 0 (–∞∞∞∞ , –3] ∪∪∪∪ [3 , ∞∞∞∞ ) วิธีทํา 51. จงแกอสมการตอไปน้ี 4) (x

5) (x −− ≤ 0 (4 , 5]

วิธีทํา 52. จงแกอสมการตอไปน้ี 2) (x

3) (x 1) (x −

+− ≤ 0 (–∞∞∞∞ , –3 ] ∪∪∪∪ [1 , 2 ) วิธีทํา


87

53. จงแกอสมการตอไปน้ี 5) (x 2) (x 3) (2x −+

− > 0 (–2 , 32 ) ∪∪∪∪ (5 , ∞∞∞∞) วิธีทํา 54. จงแกสมการตอไปนี ้ x1 ≤ 3 (–∞∞∞∞ , 0 ) ∪∪∪∪ [ 31 , ∞∞∞∞) วิธีทํา 55. จงแกอสมการตอไปน้ี x – x4 ≥ 0 [–2 , 0) ∪∪∪∪ [2 , ∞∞∞∞) วิธีทํา 56. จงแกอสมการตอไปน้ี x 12 2x + > 7 (0 , 3) ∪∪∪∪ ( 4 , ∞∞∞∞) วิธีทํา


88

57. จงแกอสมการตอไปน้ี 1) (x x 6 x +

+ < 6 (–∞∞∞∞ , – 23 ] ∪∪∪∪ (–1 , 0 ) ∪∪∪∪ [ 32 , ∞∞∞∞ ) วิธีทํา 58. จงแกอสมการตอไปน้ี 1 x 1+ ≥ 4 x 1+ (–∞∞∞∞ , –4) ∪∪∪∪ (–1 , ∞∞∞∞ ) วิธีทํา 59. จงแกอสมการตอไปน้ี x3 – x2 < 0 (–∞∞∞∞ , 0 ) ∪∪∪∪ (0 , 1 ) วิธีทํา 60. จงแกอสมการตอไปน้ี x2 (x + 1) > 0 (–1 , 0) ∪∪∪∪ (0 , ∞∞∞∞ ) วิธีทํา


89

61. จงแกอสมการตอไปน้ี x2 (x + 1) < 0 (–∞∞∞∞, –1) วิธีทํา 62. จงแกอสมการตอไปน้ี (x + 2)2 (x + 1) < 0 (–∞∞∞∞ , –2 ) ∪∪∪∪ (–2 , –1 ) วิธีทํา 63. จงแกอสมการตอไปน้ี (x + 2)2 (x + 1) ≤ 0 (–∞∞∞∞ , –1 ] วิธีทํา

64. จงแกอสมการตอไปน้ี (x + 2)2 (x + 1) ≥ 0 {–2} ∪∪∪∪ (–∞∞∞∞ , –1) วิธีทํา


90

65. จงแกอสมการตอไปน้ี (x + 2) (x – 3)6 . (x – 5) < 0 (–2 , 3 ) ∪∪∪∪ (3 , 5 ) วิธีทํา 66. จงแกอสมการตอไปน้ี 22) (x . 71) (x

7) (x . 2) (x −−−− < 0 (–∞∞∞∞ , 1 ) ∪∪∪∪ (3 , 7 )

วิธีทํา 67. จงแกอสมการตอไปน้ี 15 2x 2x

6) x 2(x 10) 3x 2(x−+

−+−+ ≥ 0 (–∞∞∞∞ , –3 ] ∪∪∪∪ (3 , ∞∞∞∞) ∪∪∪∪ {2 }



91

68. จงแกอสมการ (x2 + 5) (x – 2) (x – 6) ≤ 0 ( [2,6] ) วิธีทํา 69. จงแกอสมการ (x10 + 1) (x – 1) (x + 2) (x + 3) ≥ 0 { [–3,–2] ∪∪∪∪ [1 , ∞∞∞∞) } วิธีทํา 70(มช 33) ถา A = { x / x. (x + 1) ≥ 0 } B = { x / x2 (x + 1) ≥ 0 } และ C = { x / x. (x + 1)2 ≥ 0 } แลว A – (B ∩ C) = ……………. { x / x < –1 } วิธีทํา


92

71. จงแกอสมการตอไปน้ี x < x2 – 12 < 4x {(4 ,6) } วิธีทํา 72. จงแกอสมการตอไปน้ี 6 – 7x < x2 – 5x – 2 < 4 {(2 ,6) } วิธีทํา


93

73. จงแกอสมการตอไปน้ี –1 < 1 x x− < 2 { (–∞∞∞∞ , 21 )∪∪∪∪ (2 , ∞∞∞∞) } วิธีทํา 74. จงแกอสมการตอไปน้ี x2 – 5x – 3 < 2x2 – x + 2 < x2 – x + 6 {(–2 ,2) } วิธีทํา


94

75(En 30) ถา A เปนเซตคําตอบของอสมการ 3x2 + 5x + 2 < 0 และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ 3 x 1 2x

−+ ≥ 0

แลว (A ∪ B) / คือขอใด 1. ∅ 2. [–1 , – 32 ) 3. (– 21 , 3 ] 4. ( –∞ , –1) ∪ [– 32 – 21 ] ∪ (3 , ∞) (ขอ 3) วิธีทํา 76. จงแกอสมการตอไปน้ี x3 – 3x2 ≤ 10x (–∞∞∞∞ , –2 ] ∪∪∪∪ [0 , 5 ] วิธีทํา


95

77. จงแกอสมการตอไปน้ี x3 – x > 2x2 – 2 (–1 , 1 ) ∪∪∪∪ (2 , ∞∞∞∞) วิธีทํา 78(มช 37) จงเขียนเซตคําตอบของอสมการ x 1 x 2x 3x +−− ≤ 0 ดวยกราฟบนเสนจํานวน วิธีทํา {–1 ≤≤≤≤ x < 0 } ∪∪∪∪ { 1}

"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#"#

ตอน 5 คาสัมบูรณ

นิยาม คาสัมบูรณของจํานวนจริง a ใดๆ หมายถึง ระยะหางจากจุด 0 บนเสนจํานวน ถึงจํานวนจริง a น้ัน

เชน | 2 | = 2 | –3 | = 3 | –1 | = 1 | 0 | = 0

–3 –2 –1 0 1 2 3


96

79. จงพิจารณาขอตอไปน้ีเปนจริงหรือเท็จ (1) | 4 + (–13)| = |4 | + | –13 | (เท็จ) (2) | –4 |2 = –(42 ) (เท็จ)

(3) | – 32 | = 3 2 − (จริง)

(4) | (–5) (3) | = | –5 | | 3 | (จริง) (5) | – 6 – 2 | ≤ | – 6 | – | 2 | (เท็จ)

(6) ถา x เปนจํานวนจริงลบ แลว | x | < x (เท็จ)

การแกสมการพหุนามเก่ียวกับคาสมับูรณ

80. จงหาเซตคําตอบของ | x + 1| = 10 {9 , –11} วิธีทํา 81. จงหาเซตคําตอบของ | 2x – 4| = 16 {10 ,–6 } วิธีทํา 82. จงหาเซตคําตอบของ | x2 – 3x + 1| = 5 {4 ,–1} วิธีทํา


97

83. จงหาเซตคําตอบของ | x + 1| = 3x + 4 (– 45 ) วิธีทํา 84. จงหาเซตคําตอบของ | x | = 2x – 3 ( 3 ) วิธีทํา 85. จงหาเซตคําตอบของ | 2x – 1| = 2x – 1 [ 21 , ∞∞∞∞ ) วิธีทํา 86. จงหาเซตคําตอบของ | 5x – 2| = 2 – 5x (–∞∞∞∞ , 52 ] วิธีทํา


98

87. จงแกสมการ | x |2 – 2| x | –24 = 0 {–6 , 6} วิธีทํา 88. จงแกสมการ | x |2 + | x | – 72 = 0 {–8 , 8} วิธีทํา

สมบัติบางประการของคาสัมบูรณ

1. <−

=0x เม่ือx 0x เม่ือx |x|

2. | x | ≥ 0 3. | x | ≥ x 4. | x | = | –x | 5. | x . y | = | x | . | y | 6. yx = y

x 7. | x – y | = | y – x | 8. | x |2 = | x2 | = x2

9. ถา | x | < a จะได –a < x < a ถา | x | ≤ a จะได –a ≤ x ≤ a ถา | x | > a จะได x < –a ∪ x > a ถา | x | ≥ a จะได x ≤ –a ∪ x ≥ a

10. | x + y | ≤ | x | + | y | และ | x – y | ≥ | x | – | y |


99

89. ถา a > b แลว | b – a | เทากับขอใด (ขอ 4) 1. b – a 2. a + b 3. –a –b 4. a – b วิธีทํา 90. ถา x + y > z แลว | x + y – z | เทากับขอใด (ขอ 2) 1. x + y + z 2. x + y – z 3. z – x – y 4. x – y – z วิธีทํา 91. ถา x > 0 และ y < 0 แลว | xy | มีคาเทากับเทาใด (ขอ 2) 1. xy 2. –xy วิธีทํา 92. จงแกสมการ | x – 2| = | x + 3| (–1/ 2) วิธีทํา


100

93. จงหาเซตคําตอบของสมการ | x – 2 | + |x + 3| = 0 ( { } ) วิธีทํา 94. จงหาเซตคําตอบของสมการ | x – 4 | + |x – 3| = 1 [3 , 4] วิธีทํา การแกอสมการพหุนามเกี่ยวกับคาสัมบูรณ

95. จงแกอสมการตอไปน้ี | 2x + 3| ≤ 7 [–5 , 2 ] วิธีทํา


101

96. จงหาคา x จาก | x – 2| < 3 (–1 , 5) วิธีทํา 97. จงแกอสมการตอไปน้ี | x – 9 | ≥ 5 (–∞∞∞∞ , 4 ] ∪∪∪∪ [ 14 , ∞∞∞∞ ) วิธีทํา

98. จงหาคา x จาก | x + 3 | > 2 (–∞∞∞∞ , –5 ) ∪∪∪∪ ( –1 , +∞∞∞∞ ) วิธีทํา

99. จงหาคา x จาก | x – 4 | ≥ x – 2 (–∞∞∞∞ , 3 ] วิธีทํา 100. จงแกอสมการตอไปน้ี | x + 1 | > x – 3 ( R ) วิธีทํา


102

101. จงแกอสมการตอไปน้ี | x (x – 5) | > 6 (–∞∞∞∞ , –1 ) ∪∪∪∪ (2 , 3 ) ∪∪∪∪ (6 , ∞∞∞∞) วิธีทํา 102. จงแกอสมการตอไปน้ี | 3x + 4 | ≤ x + 2 [– 23 , –1 ] วิธีทํา 103. จงแกอสมการตอไปน้ี |2x + 1| < 3x + 2 (– 53 , ∞∞∞∞) วิธีทํา 104. จงแกอสมการตอไปน้ี | x | ≥ | x – 1 | [ 21 , ∞∞∞∞ ) วิธีทํา


103

105(En 41) เซตคําตอบของ 2 x 1 x

−− > 2 คือ เซตหรือชวงในขอใดตอไปน้ี

1. ∅ 2. (2 , 3) 3. (–1 , 2) ∪ (2 , 7) 4. ( 35 , 2) ∪ (2 , 3) (ขอ 4) วิธีทํา 106. จงแกอสมการตอไปน้ี x4x − ≤ 3 [ –4 , –1 ] ∪∪∪∪ [ 1 , 4 ] วิธีทํา 107. จงหาเซตคําตอบจาก 2x2x

45x2x−+−− ≥ 1 ( (–∞∞∞∞,–2) ∪∪∪∪ (–2,–1] ∪∪∪∪ [– 31 ,1) ∪∪∪∪ (1,3] )



104

108. จงหาเซตคําตอบของอสมการ x > | x – 1 | [ ( 21 , ∞∞∞∞) ] วิธีทํา 109. จงหาเซตคําตอบของอสมการ | 3 – | x | | < 1 {(–4 ,–2) ∪∪∪∪ (2 , 4) } วิธีทํา 110. จงหาเซตคําตอบจาก 5 x

9+ – 3 > 0 ( (–8 , –2 ) – {–5} )



105

111. จงแกอสมการ xx

– 8 < x { (–9 , ∞∞∞∞)} วิธีทํา

112. จงแกอสมการ 1 x x1 3

−−

< – x {(–∞∞∞∞ , 1)} วิธีทํา


106

113. จงแกอสมการ 5x5x

++ + 2 > x [ (–∞∞∞∞ , 3) – {–5 } ]


114. จงแกอสมการ 1 1x23x −+

− > 5 { (–6 , –2) ∪∪∪∪ (0 , 41 ) }



107

115(มช 34) ถา A = [–1 , 3) B = { x / | x | ≥ 1 } และ C = { x / x2 < 2 } แลว ( A ∩ B) – C = …………….. [ 2 , 3 ) วิธีทํา 116(En 40) กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 x x 3

+− ≥ 0

และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ | 21 – 2x | ≤ 1 (A – B)/ เทากับขอใดตอไปน้ี 1. (–∞ , –2) ∪ (–1 , ∞ ) 2. (–∞ , –2) ∪ [–1 , –∞ ) 3. (–∞ , –2] ∪ (–1 , ∞ ) 4. (–∞ , –2] ∪ [–1 , ∞ ) (ขอ 4) วิธีทํา

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Documents

Math Online I คณิตศาสตร บทที่ 2 ระบบ ...mathstick.com/sites/default/files/m02.pdf · Math Online I บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง