Matematikos Atmintine Moksleiviams

ISBN 9 9 8 6 - 9 1 5 0 - 7 - A

9 ,

VAIDOTAS MOCKUS

MATEMATIKOS ATMINTINĖ

MOKSLEIVIAMS

U D K 51 (075.3) Mo-09

2-asis leidimas

Leidinio autorius: Vaidotas Mockus

ISBN 9986-9150-7-4 © Vaidotas Mockus, 2001 © Vaidotas Mockus, 2004 © V.Mockaus įmonė, 2001 © V.Mockaus įmonė, 2004

TURINYS

Pratarmė 7 1. Skaičiai 9 2. Aibės 15 3. Modulis 17 4. Skaičių apvalinimas. Paklaidos 17 5. Sutrumpintos daugybos formulės 18 6. Procentai 19 7. Vidurkiai 19 8. Laipsniai ir šaknys 20 9. Logaritmai 21 10. Lygtys 22

10.1. Bendros sąvokos 22 10.2. Tiesinės lygtys 22 10.3. Kvadratinės lygtys 23 10.4. Kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais. Pilno

kvadrato išskyrimas kvadratiniame trinaryje 25 10.5. Bikvadratinės lygtys 25 10.6. Lygtys su modulio ženklu 26 10.7. Iracionaliosios lygtys 27 10.8. Rodiklinės lygtys 28 10.9. Logaritminės lygtys 28

11. Lygčių sistemos 30 12. Nelygybės 31

12.1. Tiesinės nelygybės 31 12.2. Kvadratinės nelygybės 32 12.3. Racionaliosios nelygybės 33 12.4. Dvigubos nelygybės 34 12.5. Nelygybės su moduliu 34 12.6. Rodiklinės nelygybės 35 12.7. Logaritminės nelygybės 36

Scann<MI (¾/ Cloud Dandng

13. Skaičių sekos. Progresijos 38 13.1. Skaičių sekos sąvoka 38 13.1. Aritmetinė progresija 39 13.2. Geometrinė progresija 40

14. Funkcijos ir jų grafikai 41 14.1. Bendros sąvokos 41 14.2. Tiesioginis proporcingumas 45 14.3. Tiesinė funkcija 45 14.4. Kvadratinė funkcija 46 14.5. Atvirkštinis proporcingumas 49 14.6. Laipsninė funkcija 49 14.7. Rodiklinė funkcija 53 14.8. Logaritminė funkcija 53 14.9. Funkcijų j ' = e* Iry = Injrgrafikai 53 14.10. Funkcijų grafikų transformacijos 54 14.11. Funkcijų su moduliu grafikų braižymas 56

15. Trigonometrija 57 15.1. Kampų matavimo vienetų tarpusavio priklausomybė 57 15.2. Trigonometrinių funkcijų apibrėžimas 58 15.3. Trigonometrinių funkcijų savybės 58 15.4. Trigonometrinių funkcijų ženklai ketvirčiuose ...... 59 15.5. Pagrindinių trigonometrinių funkcijų reikšmių

lentelė 59 15.6. Redukcijos formulės 60 15.7. Pagrindinės trigonometrinės formulės 61 15.8. Trigonometrinės lygtys 64 15.9. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos 65 15.10. Trigonometrinių funkcijų grafikai 66 15.11. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai .... 67

16. Ribos. Funkcijos tolydumas 68

17. Funkcijos išvestinė 70 17.1. Argumento pokytis ir funkcijos pokytis 70 17.2. Funkcijos išvestinės apibrėžimas 71 17.3. Elementariųjų funkcijų išvestinės 71 17.4. Išvestinių skaičiavimo taisyklės 72 17.5. Išvestinės mechaninė prasmė 72 17.6. Funkcijos grafiko liestinės ir normalės taške lygtys .. 73 17.7. Funkcijos kritiniai taškai. Funkcijos ekstremumo

taškai 74 17.8. Funkcijos monotoniškumo intervalai 76 17.9. Funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmė uždarame

intervale 77 17.10. Funkcijų tyrimas 78

18. Pirmykštė funkcija. Integralas 81 18.1. Pirmykštė funkcija 81 18.2. Neapibrėžtinis integralas 83 18.3. Apibrėžtims integralas 84 18.4. Plokščiųjų figūrų ploto skaičiavimas 85 18.5. Sukinio tūris 87

19. Kombinatorikos pradmenys 88

20. Tikimybių teorijos pradmenys 92 20.1. {vykiai 92 20.2. Įvykių tikimybės 93 20.3. Atsitiktiniai dydžiai 95

21. Matematinės statistikos pradmenys 96

22. Planimetrija 101 22.1. Kampai ir apskritimas 101 22.2. Trikampiai 107

22.3. Keturkampiai 118 22.4. Iškilasis daugiakampis 123 22.5. Taisyklingieji daugiakampiai 123 22.6. Plokščiųjų figūrų plotai 125

23. Stereometrija 132 23.1. Tiesės ir plokštumos erdvėje 132 23.2. Briaunainiai 136 23.3. Sukiniai 142

24. Vektoriai. Koordinačių metodas 147 24.1. Bendros sąvokos ir veiksmai su vektoriais 147 24.2. Vektoriaus reiškimas koordinatiniais vektoriais ... 150 24.3. Vektorių, išreikštų koordinatėmis, sudėtis, atimtis

ir daugyba iš skaičiaus 151 24.4. Vektoriaus ilgio reiškimas jo koordinatėmis 151 24.5. Vektorių skaliarinė sandauga 152 24.6. Dviejų vektorių statmenumo sąlyga 153 24.7. Kampo tarp vektorių skaičiavimas 153 24.8. Dviejų nenulinių vektorių kolinearumo požymis .. 154 24.9. Atkarpos vidurio taško koordinatės. Atstumas tarp

dviejų taškų. Vektoriaus ilgio radimas, kai žinomos jo pradžios ir galo koordinatės 155

24.10. Tiesės lygtis 156 24.11. Apskritimo lygtis 157 24.12. Sferos lygtis 158

/ priedas. Graikų kalbos abėcėlė 159 2 priedas. Metrinė matų sistema 159 3 priedas. Natūraliųjų skaičių nuo 10 iki 99 kvadratų lentelė . 161 4 priedas. Skaičių 2 ir 3 laipsniai 161 5 priedas. Kai kurių skaičių faktorialai 161 6 priedas. Gretinių skaičius 162 7priedas. Derinių skaičius 162

P R A T A R M Ė

Si knygelė tai antrasis papildytas V.Mockaus „Mate-matikos atmintinės moksleiviams" leidimas. Joje pateiktos pagrindinės mokyklinės matematikos formulės, sąvokų apibrė-žimai, teiginiai, lentelės. Daugelis formulių, taisyklių ir sprendimo būdų iliustruojami pavyzdžiais.

Pakartotinis knygelės leidimas buvo papildytas šiomis naujomis temomis ir sąvokomis: aibės, skaičių sekos sąvoka, funkcijų su moduliu grafikų braižymas, trigonometrinių funkcijų savybės, Bcrnulio formulė, argumento pokytis ir funkcijos pokytis, funkcijos didžiausia ir mažiausia reikšmė uždarame intervale, funkcijų tyrimas, imties mediana, kvartiliai. Taip pat skaitytojas šioje atmintinėje ras ir daugiau uždavinių sprendimo pavyzdžių, naujas lenteles „Gretinių skaičius A* ir „Derinių skaičius C* ". Visa knygelėje esanti medžiaga atitinka mokyk-linę matematikos programą.

Leidinys skirtas pagrindinių ir vidurinių mokyklų bei gimnazijų moksleiviams.

Autorius

1. S K A I Č I A I

• Skaičius 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., vartojamus daiktams skaičiuoti ar jų numeriui nurodyti, vadiname natūraliaisiais skaičiais. Visų

natūraliųjų skaičių aibė žymima raide N = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , . . . } .

Bet kurį dviženklį natūralųjį skaičių galima užrašyti pavidalu: 1 OJC + y ; čia x, y - skaičiaus skaitmenys.

Pavyzdžiui, 83 = 8 1 0 + 3 .

Bet kurį triženklį natūralųjį skaičių galima užrašyti pavidalu: 1 OOx +10j> + z ; čia χ, y, z - skaičiaus skaitmenys.

Pavyzdiiui, 527 = 5 100 + 2 10 + 7 .

Panašiai galima užrašyti keturženklius, penkiaženklius ir kt. skaičius.

•k k rk

Jei natūralusis skaičius dalijasi iš 2, tai j is vadinamas lyginiu. Lyginio natūraliojo skaičiaus bendras pavidalas yra

n = Ik, kur k = 1,2,3,4, . . .

Taigi lyginiai skaičiai yra šie: 2, 4, 6, 8, 10, 12,...

Jei natūralusis skaičius nesidalija iš 2, tai jis vadinamas nelyginiu. Nelyginio natūraliojo skaičiaus bendras pavidalas yra

n = 2k-\, kur Λ = 1,2,3,4, . . .

Taigi nelyginiai skaičiai yra šie: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...

Sumos dalumo teorema. Jeigu kiekvienas dėmuo dalijasi iš to paties skaičiaus, tai ir suma dalijasi iš to paties skaičiaus.

Sandaugos dalumo teorema. Jeigu bent vienas sandaugos dauginamasis dalijasi iš kurio nors skaičiaus, tai ir sandauga dalijasi iš to skaičiaus.

Natūraliųjų skaičių dalumo požymiai:

Dalumo iš 2požymis Natūralusis skaičius dalijasi iš 2, kai j o paskutinis skaitmuo yra O arba lyginis skaičius (2, 4, 6, 8).

Dalumo iš 3 požymis Naturalusis skaičius dalijasi iš 3, kai j o skaitmenų suma dalijasi iš 3.

Dalumo iš 4požymis \ Naturalusis skaičius, turintis nema-žiau kaip tris skaitmenis, dalijasi iš 4, kai du jo paskutiniai skaitmenys yra nuliai arba kai iš 4 dalijasi dviženklis skaičius, sudarytas iš paskutinių dviejų skaičiaus skaitmenų.

Dalumo iš 5 požymis Naturalusis skaičius dalijasi iš 5, kai jo paskutinis skaitmuo yra O arba 5.

Į Dalumo iš 6 požymis Į Natūralusis skaičius dalijasi iš 6, jeigu jis dalijasi iš 2 ir iš 3.

Dalumo iš 8 požymis Natūralusis skaičius dalijasi iš 8, jeigu trys jo paskutiniai skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 8.

Dalumo iš 9 požymis Naturalusis skaičius dalijasi iš 9, kai j o skaitmenų suma dalijasi iš 9.

Dalumo iš 25 požymis Į Natūralusis skaičius dalijasi iš 25, jeigu du jo paskutiniai skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 25.

Dalumo iš 10, 100 ir 1000 požymis Naturalusis skaičius dalijasi iš 10, kai jo paskutinis skaitmuo yra nulis, iš 100 - kai j o du paskutiniai skaitmenys yra nuliai, iš 1000 - kai jo trys paskutiniai skaitmenys yra nuliai.

Dalybos su liekana teorema. Kokie bebūtų natūralieji skaičiai m ir n (m > n) visada galima rasti tokius vienintelius natūraliuosius skaičius p ir r (r<n), kad būtų teisinga lygybė

m = n-p + r,

čia m - dalinys, n - daliklis, p - nepilnas dalmuo, r - liekana.

Kiekvieną teigiamą realųjį skaičių a galima užrašyti standartine išraiška:

a = a] 10",

čia 1 й α, < 10, n - sveikasis skaičius, vadinamas skaičiaus a eile.

Pavyzdžiui, 975 = 9,75 · 102; 0,0032 = 3,2 · 10"3; 7,32 = 7,32 • 10°.

Ie * *

Pirminiu vadinamas natūralusis skaičius, kuris turi tik du daliklius (vienetą ir patį save).

Pavyzdžiui, skaičiai 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... yra pirminiai.

Sudėtiniu vadinamas natūralusis skaičius, kuris turi daugiau kaip du daliklius.

Pavyzdžiui, skaičiai 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,... yra sudėtiniai.

Skaičiaus 1 nepriskiriame nei prie pirminių, nei prie sudėtinių skaičių.

Pagrindinė aritmetikos teorema. Kiekvieną sudėtinį natūralųjį skaičių galima vieninteliu būdu išskaidyti pirminiais dauginamaisiais (į dauginamųjų užrašymo tvarką neatsi-žvelgiama).

Pavyzdys. Išskaidykite pirminiais dauginamaisiais skaičius 300 ir 315.

2 315 3 2 105 3 3 35 5 5 7 7 5 1

300 150

75 25

5 1

300= 2-2-3·5·5 = 22 -3-52 315 = 3-3-5-7 = 3 2 -5 -7 Kiekvienas sudėtinis skaičius turi bent vieną pirminį daliklį.

Natūraliųjų skaičių a ir b didžiausiuoju bendruoju dalikliu DBD vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio dalijasi skaičiai a ir b. Skaičių a ir b didžiausias bendrasis daliklis žymimas DBD (a, b).

Pavyzdžiui, skaičių 28 ir 42 didžiausiasis bendrasis daliklis yra skaičius 14, t.y. DBD{28,42) = 14 .

Jei skaičiai a ir b yra tokie, kad DBD(a,b) = 1, tai juos vadiname tarpusavyje pirminiais.

Kelių natūraliųjų skaičių didžiausiojo bendrojo daliklio radimo taisyklė:

1) skaičius išskaidome pirminiais dauginamaisiais, 2) iš visų skaidinių išrenkame tiktai tuos dauginamuosius,

kurie įeina į visų skaičių skaidinius; dauginamuosius imame su mažiausiais laipsnio rodikliais,

3) randame išrinktųjų dauginamųjų sandaugą, kuri ir yra duotųjų skaičių DBD.

Pavyzdys. Raskime skaičių 126 ir 540 didžiausiąjį bendrąjį daliklį (D B D).

Skaičius išskaidome pirminių skaičių sandauga. 126 63 21

7 1

540 270 135 45 15

5 1

126 = 2 - 3 - 7 540 = 22 -33 -5 Iš gautųjų sandaugų išrenkame bendruosius dauginamuosius;

juos imame su mažiausiu (iš turimų) laipsnio rodikliu. Taigi DBD(126, 540) = 2-32 = 18 .

Natūraliųjų skaičių a ir b mažiausiuoju bendruoju kartotiniu MBK vadinamas mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi ir iš skaičiaus a, ir iš b, t.y. mažiausias iš visų bendrųjų kartotinių. Skaičių a ir b mažiausias bendrasis kartotinis žymimas MBK (a, b).

Pavyzdžiui, skaičių 8 ir 12 mažiausias bendrasis kartotinis yra skaičius 24, t.y. MBK(β, 12) = 24 .

Kelių natūraliųjų skaičių mažiausiojo bendrojo kartotinio radimo taisyklė:

1) skaičius išskaidome pirminiais dauginamaisiais, 2) iš visų skaidinių išrenkame tiktai tuos dauginamuosius,

kurie įeina į bent vieną duotųjų skaičių skaidinį; dauginamuosius imame su didžiausiu (iš turimų skaidiniuose) laipsnio rodikliu,

3) randame išrinktųjų dauginamųjų sandaugą, kuri ir yra duotųjų skaičių BMK.

Pavyzdys. Rasime skaičių 126 ir 540 mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (MBK ) . Šių skaičių DSDjau ieškojome. Skaičius 126 ir 540 buvome išskaidę pirminiais dauginamaisiais:

126 = 2-32 ·7 540 = 22 -З3 -5

Tada MBK {126,540) = 22 • З3 · 5 · 7 = 3780. Dviejų natūraliųjų skaičių a ir b mažiausiasis bendrasis

kartotinis yra lygus tų skaičių sandaugai, padalytai iš jų didžiausiojo bendrojo daliklio, t.y.

MBK (a, b)-- a b

DBD (a, b)

Ši lygybė rodo, kaip surasti kelių skaičių MBK, jei žinome tų skaičių DBD.

Pavyzdžiui, jei žinome, kad £>5£>(300,315)=15, tai

М Щ 3 0 0 , 3 1 5 ) = 3 0 0 3 1 5 = = 6300 . V ' DBD(300,315) 15

• Sveikieji skaičiai - tai natūralieji skaičiai 1, 2, 3, 4, .. . , natūraliesiems skaičiams priešingieji skaičiai - 1 , - 2 , - 3 , - 4 , ... ir skaičius 0. Sveikųjų skaičių aibė žymima raide Z = { . . . , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 ,1 ,2 ,3 ,4 , . . .} .

Natūralieji skaičiai dar vadinami teigiamais sveikaisiais skaičiais.

• Racionalieji skaičiai - tai skaičiai turintys pavidalą — , kur n

m - sveikasis skaičius, on- natūralusis skaičius. Vadinasi, bet

kuri nesuprastinama paprastoji trupmena — {m e Z, n e N) n

išreiškia kurį nors racionalųjį skaičių.

• Iracionaliaisiais skaičiais vadiname visus skaičius, kurie nėra racionalieji, t.y. visus skaičius, kurių negalima išreikšti

nesuprastinama paprastąja trupmena — {me Z, ne N), t.y.

baigtine dešimtaine arba begaline dešimtaine periodine trupmena.

Iracionalieji skaičiai gali būti išreiškiami begalinėmis dešimtainėmis neperiodinėmis trupmenomis.

Pavyzdžiui, skaičiai J i , S , e, π ir kt. yra iracionalieji:

• Realieji skaičiai - tai racionalieji ir iracionalieji skaičiai kartu paėmus. Realiųjų skaičių aibė žymima raide R.

2. A I B Ė S

Aibė, sudaryta iš visų elementų, kurie įeina bent į vieną iš aibių A, B, vadinama šių aibių sąjunga ir žymima AuB.

Pavyzdžiui, skaičių aibių A = {l ; 3} ir B = {з ; 4 ; 5} sąjunga yraaibė AuB = {1;3;4;5}.

Aibė, sudaryta tik iš tų elementų, kurie įeina ir į aibę A, ir į aibę B, vadinama šių aibių sankirta ir žymima AnB; jeigu nėra elementų, įeinančių į abi aibes, tai tų aibių sankirta yra tuščioji aibė. Diagramoje aibių A ir B sankirtą AnB vaizduojanti figūra nuspalvinta.

Pavyzdžiui, skaičių aibių Λ = { ΐ ; 2 ; 3 ; 4 } ir B = { 3 ; 4 ; 5 ; б } sankirta yra aibė AnB = { 3 ;4}; aibių Л = {5 ;6 ;7} ir 5 = { l ; 2 ; 3 ; 4 ; 8 ; 9 } sankirta yra tuščia aibė, t.y. AnB= 0 .

Aibė, sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nepriklauso aibei B, vadinama aibių A ir B skirtumu ir žymima A \ B.

Diagramoje aibių A ir B skirtumą A \ B vaizduojanti figūra yra užbrūkšniuota.

Pavyzdžiai. 1) Jei Λ = {1; 2 ; З}, o B = {3; 4 ; 5}, tai Λ \ β = { ΐ ; 2 } ;

2) Jei A = { a, b, c, d}, o B = {a,b,e, / } ,

tai A\B = {c,d}.

3) Jeigu Z - s v e i k ų j ų skaičių aibė, o N-na tūra l ių jų skaičių aibė, tai Z \ N = { O, - 1 , - 2 , - 3 , . . . } .

Jei visi aibės B elementai įeina ir į aibę A, tai sakoma, kad aibė B yra aibės A poaibis, ir žymima BdA.

Pavyzdžiui, skaičių aibė

B = { 2 ; 4} yra skaičių aibės

A = {1; 2 ; 3 ; 4} poaibis, t.y.

Bcz A.

3. M O D U L I S

a I= a, kai a > O, - a, kai a< 0.

modulio apibrėžimas.

Pavyzdžiui, | 5 | = 5 ; j - 5 Į= - ( -5> = 5, | 0 | = 0 .

Modulio savybės:

1) M > 0 ; 2) a\ = | - α I 3) | a | 2 = a 2 ;

4) | α · ζ > | = Μ Ή ; 5)

a b*0. 5)

b \b\

• Geometriškai \a \ reiškia koordinačių tiesės taško A, kurio koordinatė yra skaičius a, atstumą nuo koordinačių pradžios taško O.

4. S K A I Č I Ų A P V A L I N I M A S . P A K L A I D O S

Apvalindami skaičių iki kurio nors skyriaus, visus po to skyriaus einančius skaitmenis keičiame nuliais, o jeigu tie skaitmenys yra po kablelio, tai juos atmetame.

Jeigu pirmas po to skyriaus esantis skaitmuo yra 5, 6, 7, 8, 9, tai paskutinį likusį skaitmenį padidiname vienetu, t.y. apvali-name su pertekliumi.

Jeigu pirmas po to skyriaus esantis skaitmuo yra 0, 1,2, 3, 4, tai paskutinis skaitmuo nekeičiamas, t.y. apvaliname su trūkumu.

Pavyzdys. Skaičių 3578,2489 suapvalinkime: a) tūkstančių tikslumu: 3578,2489« 4000 ; b) šimtų tikslumu: 3578,2489 « 3 6 0 0 ; c) dešimčių tikslumu: 3578,2489 « 3580 ; d) vienetų tikslumu: 3578,2489 « 3 5 7 8 ; e) dešimtųjų tikslumu: 3578,2489 «3578 ,2 ; f) šimtųjų tikslumu: 3578,2489« 3578,25; g) tūkstantųjų tikslumu: 3578.2489 « 3578,249.

Jei skaičiaus χ apytikslė reikšmė lygi skaičiui a, tai apytikslės reikšmės absoliučioji paklaida yra | x-a |, o santykinė paklaida

lygį i i — f i Santykinė paklaida dažniausiai reiškiama procentais: M

i ^ . 1 0 0 % . H

Pavyzdys. Skaičių y = 0,666... suapvalinkime iki dešimtųjų

ir raskime gautos apytikslės reikšmės absoliučiąją ir santykinę paklaidas.

Sprendimas. - = 0,666... «0 ,7 .

Absoliučioji paklaida

2

Santykinė paklaida - 0 , 7

-0,7

1

2_J_

3 10 30 _1_ 30 '

0,7 = -22. = — , arba — 1 0 0 « 4 , 8 % .

Σ 21 21 10

5. S U T R U M P I N T O S D A U G Y B O S F O R M U L Ė S

1. (a + bY = a2 + 2ab + b2.

2. (a-b)2 = a2 - 2ab + b2.

3. a2-b2 = {a + b){a-b).

4. (a+b)> = a 3 + 3a2 b+ Iab2 +/>'.

5. (a-bY = a 3 - 3 a 2 b + iab2-b\

6. „3 i.3 a + o = (a + b)(a2-ab + b2).

7. a -b = (a-b)(a2 +ab + b2).

6. P R O C E N T A I

1% = — = 0,01 100

- procento apibrėžimas.

Jei p % nuo skaičiaus a yra skaičius b, tai b = y^ · p.

Dviejų skaičių α ir i procentinis santykis a = — T 00 % . b

Sudėtinių procentų formulė: Sn=S0- 1± 100,

čia Sn - galutinis dydis, iki kurio per n kartų padidėjo (suma-žėjo) pradinis dydis S0 , kaskart didėdamas (mažėdamas) p %.

Mišinio koncentracija: K=— 100%; M

čia M - mišinio bendra masė, kurioje yra m masės vienetų tam tikros medžiagos.

7. V I D U R K I A I

a + b - skaičių a ir b aritmetinis vidurkis.

•Ja·b - skaičių a ir b geometrinis vidurkis.

Dviejų skaičių aritmetinis vidurkis nėra mažesnis už jų geometrinį vidurkį, t.y.

8. L A I P S N I A I IR Š A K N Y S

1. a" = ąaa-...-ą; n dauginamųjų

čia a - realusis skaičius, n - natūralusis skaičius.

2. a1 = a , a ° = l .

3. a~" = — , kai a * 0 . a"

4. a " = U a m , kai a > 0.

1 1 5. a "

a' kai a > 0.

6. am - a" = am+n. m

7. — = am". a"

8. (am)"=am".

9. {ab)"=anb".

10. - I = — , kai b* 0. UJ b"

11.

1. Jei Ja=X, tai x" = a.

Jei a ž О, л: £ 0, tai Ja=X-

aritmetinė n - tojo laipsnio

šaknis iš skaičiaus a.

2. Iyla I =a, kai n> 1.

3. \ a =| a I,

kai n - lyginis skaičius.

Atskiru atveju:

3a M -a, kai a > 0,

-a, kai a<0.

am = a" ;y/a = a".

5. J^b=J^-Jb.

6 . kai b * 0 . U Jb

7.

8.

9. " J ^ = J ^ m .

9. L O G A R I T M A I

Skaičiaus χ logaritmas pagrindu a yra laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti skaičių a, norint gauti x, t.y.

Ioga χ = y, a" = χ, čia a > 0, a * 1 ir χ > 0.

Logaritmas pagrindu 10 žymimas Ig ir vadinamas dešimtainiu, o logaritmas, kurio pagrindas yra skaičius e ( e « 2,7) , vadinamas natūraliuoju ir žymimas In.

Pagrindinė logaritmų tapatybė:

Ologa* kai a > 0, a * 1 ir χ > 0.

Pavyzdžiui, 41°8 '5 = 5 , IO1g2 = 2.

Sukiekvienu α > 0 , a * \ ir χ > 0, y > 0 teisingos lygybės:

IO l g j t=X, e h j c = χ.

1. Iog 0 I = O, Igl = O, Inl = O; 7. loge„ xn = Iogfl x;

2. Iogfl a = \, IglO = I, Ine = I ; 8. Iog 0X-Iogâ = I

arba Iog f lX= ; Iog1 α 3. \°%a{xy)=Iog f lX + Iog0 y;

8. Iog 0X-Iogâ = I

arba Iog f lX= ; Iog1 α

4. Iogfl - = Iogfl χ - I o g a y; y

9. I o g e X = I 0 g ^ Iogi, α

5. log f l x" =Zilogfl x ; ( b > 0 , i>* l ) - logaritmo

pagrindo keitimo formulė.

6. log χ = - I o g a χ ; " n 10. Iogfl X = Iog iX-Iog f l b.

10. L Y G T Y S

10.1. BENDROS SĄVOKOS

• Norėdami surasti kintamųjų reikšmes, su kuriomis du reiškiniai A(x) ir B(x) įgyja tas pačias reikšmes, juos sulyginame, t.y. sudarome lygtį su vienu nežinomuoju χ:

A(x) = B(x).

Dažnai vienas iš reiškinių A(x), B(x) būna tiesiog skaičius.

• Aibė tų lygties A(x) = B(x) nežinomojo reikšmių, su

kuriomis lygties reiškiniai A(x), B(x) yra apibrėžti, vadi-

nama lygties apibrėžimo sritimi.

• Kiekvieną nežinomojo χ reikšmę, su kuria reiškiniai A (x) ir

B(x) įgyja lygias skaitines reikšmes, vadiname lygties

sprendiniu.

• Išspręsti lygtį - reiškia rasti visus jos sprendinius (arba nustatyti, kad jų nėra).

• Lygtys vadinamos ekvivalenčiomis, jeigu jos turi tuos pačius sprendinius (arba abi jų neturi). Kitaip sakant, dvi lygtys, kurių sprendinių aibės sutampa, yra ekvivalenčios.

10.2. TIESINĖS LYGTYS

Tiesine lygtimi su vienu kintamuoju χ vadiname lygtį αχ = b (a ir b realieji skaičiai), skaičius a vadinamas kintamojo koeficientu, b - laisvuoju nariu.

Galimi atvejai:

1) kai a *0, tai tiesinė lygtis ax = b turi vieną sprendinį b

χ = —; a

2) kai a = 0 , b = 0, tai lygtis 0 · χ = 0 turi be galo daug sprendinių, t.y. lygties sprendinys yra bet kuris realusis skaičius;

3) kai a = 0 , 6 * 0 , tai lygtis 0-x = b sprendinių neturi.

10 J . KVADRATINĖS LYGTYS

ax2 +&t + c = 0, a Φ 0 - kvadratinės lygties bendras pavidalas.

D = b2 - 4 a c kvadratinės lygties diskriminantas.

• Sprendžiant kvadratinę lygtį ax2 +bx + c = 0 galimi trys atvejai:

1) Kai D > 0 , tai kvadratinė lygtis turi du skirtingus sprendinius X1 Wx2 , kuriuos skaičiuojame pagal formulę:

_-b±yfp _ -b±^Jb2 - Лас • 12 — — >

2 a 2 a

2) Kai D = 0 , tai kvadratinė lygtis turi du lygius sprendinius, kuriuos randame remiantis formule

_ ~ b

X]'2 ~ 2a'

3) Kai D < 0 , tai kvadratinė lygtis realiųjų sprendinių neturi.

Kvadratinės lygties sprendiniai:

= -Jm ir X2= Jm.

Pavyzdžiui, lygties x2 = 2 sprendiniai yra jc, ir

X2=Jl.

• Vijeto teorema. Jei redukuotoji kvadratinė lygtis x2+px + q = O turi du

sprendinius X1 ir X2 , tai j ų suma lygi lygties koeficientui prie Χ su priešingu ženklu, o sprendinių sandauga lygi laisvajam nariui, t . y . X1 + X 2 = - P , X1-X2 = Q .

Atvirkštinė Vijeto teorema. Jei skaičių m ve n suma lygi -p, o jų sandauga lygi q, tai šie skaičiai yra lygties x 2 + px + q = O sprendiniai.

• Kvadratinė lygtis ox2 + bx + c = Q,a*Q turi:

1) dvi skirtingas teigiamas realiąsias šaknis, jei D > O,

tenkinamos šios sąlygos: X1 + X2 > O,

X1 X2 > 0;

2) dvi skirtingas neigiamas realiąsias šaknis, jei

D > O,

tenkinamos šios sąlygos: · X1 + x 2 < O,

X1 X2 > 0;

3) dvi skirtingų ženklų realiąsias šaknis, jei \d > O,

tenkinamos šios sąlygos: X1 ·χ 2 < 0 .

10.4. KVADRATINIO TRINARIO SKAIDYMAS DAUGINAMAISIAIS. PILNO KVADRATO

IŠSKYRIMAS KVADRATINIAME TRINARYJE

• Kvadratinio trinario skaidymo dauginamaisiais formulė:

αχ2 + bx +c = a(x - X1 )(x -x2);

čiaX1, X2 - kvadratinės lygties ax2 +bx + c = O sprendiniai.

Jei kvadratinės lygties ax~+bx + c = O diskriminantas

D = b2-4ac neigiamas, tai kvadratinio trinario išskaidyti

dauginamaisiais negalima.

Pavyzdys. 2 x 2 - 3 x + l = 2 ^ x - ^ j ( x - l ) = ( 2 x - l ) ( x - l ) , nes

čia a = 2, o kvadratinės lygties 2 x 2 - 3 x + l = 0 sprendiniai yra

1 · i *i = 2 ir X 2 = 1 -

• Pilno kvadrato išskyrimo formulė:

ax2 +bx + c f b) = a\ χ + — I 2a)

2 4ac - b2

+ ——. 4a

10.5. BIKVADRATINĖS LYGTYS

Bikvadratinė lygtis αχ4 + bx2 +c = 0,a*0 sprendžiama

nežinomojo pakeitimo metodu: keitinio x 2 = y pagalba

bikvadratinė lygtis suvedama į kvadratinę lygtį ay2 + by+ c = 0.

Suradę šios lygties sprendinius yt ir y2, rasime χ reikšmes

spręsdami lygtis x2 = ir x2 = y2.

10.6. LYGTYS SU MODULIO ŽENKLU

• Lygties | / ( x ) | = a , kai a ž O sprendinių aibė yra dviejų

lygčių f ( x ) = a ir f ( x ) = -a sprendinių aibių sąjunga.

• Lygtį \f(x)\ = g(x) galima spręsti dviem būdais:

1 būdas (remiantis modulio apibrėžimu).

Lygties |/(jc)| = g(jc) sprendinių aibė yra dviejų sistemų

( f ( x ) ž O, . j f (χ) < O, 1) < . , . τ 2) sprendinių

[ / W = g W [ - / W = g W aibių sąjunga.

2 būdas. Lygtis | / (x ) | = g(x) ekvivalenti sistemai

J g W ^ O ,

W(X))2 =OrW)2. • Lygtį \f(x)\ = | g W | galima spręsti dviem būdais:

1 bodas. Lygties |/(x)| = |g(x)| sprendinių aibė yra lygčių

/ W = g W ·Γ / W = - g W sprendinių aibių sąjunga.

2 badas. Lygtis \f(x)\ = |g(x)| ekvivalenti lygčiai

OrW)2 =Grw)2 .

• Lygties / ( | Χ I ) = g ( x ) sprendinių aibė yra dviejų sistemų

j χ > O, . fx < O,

l / w = 0 " 4 = g W i r 2 ) sprendinių

/ ( - * ) = g(x) aibių sąjunga.

10.7. IRACIONALIOSIOS LYGTYS

Iracionaliąją lygtimi vadiname lygtį, kurioje kintamasis yra |)o šaknies ženklu.

Pagrindiniai iracionaliųjų lygčių sprendimo metodai:

1. Iracionaliųjų lygčių sprendimas abi lygties puses keliant tuo pačiu laipsniu.

Keliant abi iracionaliosios lygties puses kvadratu (arba bet kuriuo lyginiu laipsniu), gaunama lygtis ne visada ekvivalenti pradinei lygčiai, t.y. gautoji lygtis gali turėti tokių sprendinių, kurie nėra pradinės iracionaliosios lygties sprendiniai (tokie sprendiniai vadinami pašaliniais), todėl gautuosius sprendinius būtina patikrinti įstatant juos į pradinę lygtį.

2. Iracionaliųjų lygčių sprendimas keičiant jas lygčiai ekvivalenčia sistema.

[ / W > 0 , 1) Lygtis y j f i x ) = yjg(x) ekvivalenti sistemai ^ g ( x ) > 0 ,

{ f ( x ) = g(x).

, igW * O, 2) Lygtis yjf(x)=g(x) ekvivalenti sistemai <

[ / W = g W-

3. Iracionaliųjų lygčių sprendimas pakeičiant nežinomąjį.

4. Iracionaliųjų lygčių sprendimas pakeičiant jas lygtimis su modulio ženklu.

* * -k

10.8. RODIKLINĖS LYGTYS

Rodiklinė lygtis af(x)=ag(x), čia a > 0 , a*\ yra ekviva-

lenti lygčiai / ( χ ) = g(x).

Pagrindiniai rodiklinių lygčių sprendimo bodai:

1) pagrindų suvienodinimo metodas, kai rodiklinė lygtis

pertvarkoma į lygtį = ag(x}, o po to į lygtį / ( x ) = g(x);

2) nežinomojo pakeitimo metodas, kai rodiklinė lygtis

pa2x + qax + r = 0 keitinio ax = y pagalba suvedama į

kvadratinę lygtį py2 + qy + r = 0.

10.9. LOGARITMINĖS LYGTYS

Pagrindiniai logaritminių lygčių sprendimo bodai.

1. Logaritminių lygčių sprendimas remiantis logaritmo apibrėžimu.

Lygtis Ioga f { x ) = b, α > O, a* 1, ekvivalenti lygčiai

f ( x ) = ab.

2. Logaritminių lygčių sprendimas keičiant jas ekvivalenčia lygčių sistema.

1) Lygtis Ioga / ( x ) = Ioga g ( x ) , α > O, a , ekvivalenti

, . f . / / ( * ) = £(*), , .f . \ f ( x ) = g(x), arba sistemai < arba sistemai

[ / (X) > O, > 0.

Jei paprastesnis reiškinys / ( x ) , tai sprendžiame pirmąją sistemą, o jei paprastesnis yra reiškinys / ( x ) , tai sprendžiame antrąją sistemą.

2) Logaritminė lygtis Iog / ( t )

f ( x ) = g(x), sistemai / ( x ) > O, arba sistemai

f (X)* L

a = Iog i rfxt a ekvivalenti arba

g(x)> O,

g(x)* i.

3) Logaritminė lygtis l o g j { x ) g(x) = b ekvivalenti sistemai

' ( / ( χ ) ) 4 =g (x ) ,

· / ( * ) > O,

f (Χ)* L

4) Logaritminė lygtis log f(x) g(x) = log f(x. h(x) ekvivalenti

arba sistemai

g(x) = h(x),

g(x)> O,

f ( x ) > O,

f (X)* 1,

arba sistemai

f ( X ) '

g(x) = h(x),

h(x) > O,

Д х ) > O,

f (Χ)* I

3. Naujo kintamojo įvedimo metodas

Logaritminė lygtis p log2 χ + q Ioga χ + r = O

(a > O, a Φ 1, χ > 0) keitinio Ioga χ = y pagalba suvedama į

kvadratinę lygtį

Py1 + qy + r = 0.

4. Lygties abiejų pusių Iogaritmavimas vienu ir tuo pačiu pagrindu.

* * *

11. L Y G Č I Ų S I S T E M O S

Sakykime, duota dviejų lygčių su dviem kintamaisiais

/ / ( J f j J O = O, sistema {

[g(x,y) = 0.

• Kiekvieną kintamųjų reikšmių porą, su kuria kiekviena sistemos lygtis virsta teisinga skaitine lygybe, vadiname lygčių sistemos sprendiniu.

• Išspręsti lygčių sistemą tai reiškia rasti visus jos sprendinius arba įrodyti, kad sistema sprendinių neturi.

• Dvi lygčių sistemos, turinčios tuos pačius sprendinius arba abi sistemos neturinčios sprendinių, vadinamos ekvivalen-čiomis.

Tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema axx+bxy = ct, a2x + b2y = C2:

1) turi vienintelį sprendinį, o lygčių grafikai (tiesės) susikerta , - 0 I b, viename taške, kai — Φ — :

a2 b2

2) neturi sprendinių, o tiesės lygiagrečios, kai = — Φ — ; a2 b2 c2

3) turi be galo daug sprendinių, o abi tiesės sutampa, kai

Q1 b2 C2

12. N E L Y G Y B Ė S

Kai norime nustatyti, su kuriomis kintamojo reikšmėmis vienas reiškinys įgyja mažesnes (arba didesnes) reikšmes negu kitas reiškinys, sprendžiame nelygybę.

Sąryšiai A(x)>B(x), A(x)<B(x), A(x)>B(x), A(x)<B(x)yra nelygybės su vienu nežinomuoju x; čia A(x) ir B(x) - reiškiniai su vienu kintamuoju*; dažnai vienas iš šių reiškinių būna tiesiog skaičius.

• Nelygybės su vienu nežinomuoju apibrėžimo sritimi vadinama aibė tų nežinomojo reikšmių, su kuriomis visi nelygybės reiškiniai turi prasmę.

Kiekvieną nežinomojo reikšmę, su kuria nelygybė tampa leisinga skaitine nelygybe, vadiname nelygybės sprendiniu.

Išspręsti nelygybę - reiškia surasti visus jos sprendinius arba įrodyti, kad nelygybė jų neturi.

Dvi nelygybės, kurios turi tuos pačius sprendinius arba abi sprendinių neturi, vadinamos ekvivalenčiomis.

12.1. TIESINĖS NELYGYBĖS

Tiesine nelygybe su vienu kintamuoju χ vadiname nelygybę ax>b ,a vadinamas kintamojo koeficientu, b - laisvuoju nariu.

Sprendžiant tiesinę nelygybę ax> b, galimi sekantys atvejai:

1) jei a > 0 , tai χ > — ir sprendinių aibė yra a

intervalas ( —; oo);

2) jei a < О , tai χ < — ir sprendinių aibė yra a

intervalas I - oo : — a, 3) jei α = O , tai gauname nelygybę O · д;> b.

Kai b> O, ši nelygybė sprendinių neturi,

kai b < O, tai nelygybės sprendinys yra kiekvienas

realusis skaičius χ e (-00;oo).

12.2. KVADRATINĖS NELYGYBĖS

1. Kvadratinė nelygybė ax2 + fox + c > O: 1) teisinga su visomis realiosiomis kintamojo χ

D< O,

α > 0;

Л < 0 ,

reikšmėmis, kai

2) sprendinių neturi, kai a< 0.

2. Kvadratinė nelygybė αχ2 + fox + c < O: 1) teisinga su visomis realiosiomis kintamojo χ

\D < O, reikšmėmis, kai

2) sprendinių neturi, kai

β < 0;

D< O,

α > 0.

Jei D £ O, tai kvadratinės nelygybės sprendžiamos intervalų metodu arba grafiko pagalba.

Pateikiame kvadratinių nelygybių sprendimo intervalų

metodu lentelę ( x , , X 2 - kvadratinės lygties a x 2 + f o x + c = 0

sprendiniai):

Kvadratinė nelygybė Pastovaus lenklo intervalai Sprendiniai

ax2 + bx + c > 0, a > 0 u(x - x,)(x- x2)> 0

+ V " ! X1 C2 X

χ e (- 00; X1 ) u (x2; со)

ax2 +bx + c >0, a > 0 a(x - j c , ) (x -x 2 )>0

χ e (-00; x,]w[x2; со)

αχ2 + bx + c < 0, a > 0 a(χ - X1 )(x - X2) < 0

XS(X1JX2)

ax2 + bx + c < 0, a > 0 a ( x - x , ) ( x - x 2 ) < 0

+ V V N Xi д

x e [ x , ; x 2 ]

12.3. RACIONALIOSIOS NELYGYBES

1. Nelygybės > O ( / ( x ) · g (x ) > θ) sprendinių aibė yra g W

J / ( x ) > 0 , . i / ( x ) < O, dviejų sistemų < ir

l & M > O U(X) < O sprendinių aibių sąjunga.

2. Nelygybės < 0 ( / ( x ) · g (x ) < θ) sprendinių aibė yra g(x)

J f ( x ) > O, . J / ( x ) < O, dvieių sistemų < ir

4 \g(x) < O U ( x ) > O sprendinių aibių sąjunga.

f ( x ) 3. Nelygybės ž O sprendinių aibė yra dviejų sistemų

g(x) / W i O , . i / M ^ o , . .

ir ·( sprendimų aibių sąjunga. g(x)> O [ g W < 0

f ( X ) 4. Nelygybės i O sprendinių aibė yra dviejų sistemų

g(x) f(x)Z O, . Jf(X)ZO, . .

ir < sprendinių aibių sąjunga. g ( x ) < 0 [g(x) > O

12.4. DVIGUBOS NELYGYBĖS

Dviguba nelygybė a<f(x)<b ekvivalenti nelygybių

. \ m < b , sistemai <

[ / ( • * ) > a-

12.5. NELYGYBĖS SU MODULIU

1. Nelygybė | / ( x ) | < a , kur α > O ekvivalenti dvigubai nelygybei -a < f(x)<a\ jei α < O, tai ši nelygybė spren-dinių neturi.

2. Nelygybės | / ( x ) | > a , kur a > O sprendinių aibė yra dviejų

nelygybių f(x)>a ir f(x)<~a sprendinių aibių sąjunga;

jei a < O, tai šios nelygybės sprendinys yra bet kuris realusis

skaičius x, priklausantis reiškinio f ( x ) apibrėžimo sričiai.

3. Nelygybės \f(x)\ > g(x) sprendinių aibė yra dviejų sistemų

f (χ) ž O, . f / ( x ) < O, . . . . . ir -į sprendinių aibių sąjunga.

f(x)>g(x) f ( x ) > g(x)

Nelygybė | / ( x ) | > | g ( x ) | ekvivalenti nelygybei

( /W) 2 >(gW) 2 ·

Nelygybės | / ( x ) | > a , k u r a ž O sprendinių aibė yra dviejų

nelygybių f(x)>a ir f(x)<-a sprendinių aibių sąjunga.

Kai a < O , tai nelygybės | / (x)[ > a sprendinys yra bet

kuris realusis skaičius x, priklausantis reiškinio f ( x )

apibrėžimo sričiai.

Nelygybė | / ( x ) | < a , kur a > O ekvivalenti dvigubai

nelygybei -a< f(x)<a, kurią galima pakeisti nelygybių

f(x)<a, i , sistema Kai aš O, tai nelygybė \f(x)\<a

f(x)>-a.

sprendinių neturi.

12.6. RODIKLINĖS NELYGYBĖS

Kai a> 1, tai rodiklinė nelygybė at<x) > aglx) ekvivalenti

nelygybei f ( x ) > g(x).

Kai O < a < 1, tai rodiklinė nelygybė a i<x> > agix)

ekvivalenti nelygybei / ( x ) < g(x).

Kai a > 1, b > O tai rodiklinė nelygybė a fix) > b

ekvivalenti nelygybei / ( x ) > Ioga b.

Jei O < a < 1, b > O , tai rodiklinė nelygybė af(x) > b ekvivalenti nelygybei f ( x ) < Ioga b.

5. Jei a>O, o b<>O, tai rodiklinės nelygybės af(x)>b sprendinys yra bet kuris realusis skaičius x, priklausantis reiškinio f ( x ) apibrėžimo sričiai.

6. Nelygybės Aa2x +Bax + C > O sprendimą keitinio y = ax

pagalba suvedame į kvadratinės nelygybės

Ay2 + By+ C > O sprendimą.

12.7. LOGARITMINĖS NELYGYBĖS

1. Kai a > i , tai nelygybė Ioga f ( x ) > Ioga g(x)

f f ( x ) > g ( x ) , ekvivalenti nelygybių sistemai g ( x ) > o.

2. Kai O < a < 1, tai nelygybė Ioga / ( x ) > Ioga g(x)

{ /(x) < g(x

f ( x ) > 0.

3. Kai a > 1 , tai nelygybė Ioga f(x)>b

ekvivalenti nelygybių sistemai f(x)>ab,

4. Kai 0 < α < 1 nelygybė l o g a f ( x ) > b

ekvivalenti nelygybių sistemai

/ ( * ) > 0.

Ax) < a", / W > 0 .

S. Nelygybės I o g g w f(x)> c sprendinių aibė

yra dviejų sistemų g(x) > I Дх) > O,

f(x)>(g(x))c

sprendinių aibių sąjunga.

O < g(x) < 1,

f ( x ) > O,

/(x)<{g(x)Y

(>. Nelygybės log ,X)f(x)>0 sprendinių aibė

yra dviejų sistemų g(x)>l / ( χ ) > o, ir

/ W > 1 sprendinių aibių sąjunga.

O < g(x) < 1, / ( X ) > O,

/ « < 1

7. Nelygybės I o g g w / ( x ) > log ? ( x ) h(x) sprendinių aibė

yra dviejų sistemų

g(x)> 1, / ( χ ) > O, h(x) > O, f ( x ) > h(x)

sprendinių aibių sąjunga.

O < g(x) < 1,

/ ( X ) > O,

h(x) > O,

/(x)<h(x)

•k ic "k

13. S K A I Č I Ų SEKOS. P R O G R E S I J O S

13.1. SKAIČIŲ SEKOS SĄVOKA

Skaičių seka vadinama natūraliojo argumento funkcija a„ = f (n). Šios funkcijos reikšmės o, = /(1); O2 = / ( 2 ) ; a3 = / (3) ; ...; an = f{n)\... vadinamos atitinkamai pirmuoju, antruoju, trečiuoju,... , n-uoju,... sekos nariu. Seka, kurios nariai yra α , ,ο 2 ,α 3 , . . . ,o„ , . . . žymima (o„).

• Seka gali boti išreikšta:

1) Formule, nurodančia, kaip apskaičiuoti sekos л-ąjį narį.

1 Pavyzdžiui, jei seka (o„) išreikšta formule a„ ••

n + 2

,r 1 1 1 1 1 1 · . . ne N, tai o, = =—; a2=—— = —; a , = = — irt.t. 1 1+2 3 2 2 + 2 4 ^ 3 + 2 5

2) Rekurentiniu būdu, kai nurodomas pirmasis sekos narys (arba keli pirmieji nariai) ir nurodoma formulė, pagal kurią n-asis sekos narys apskaičiuojamas iš prieš j į esančių narių.

Pavyzdžiui, jei žinoma, kad o„+1 =(n + 2)an ir a, = 1, tai

O2 = (1 + 2)-0, =3 ; O3 =(2 + 2)-o2 = 4-3 = 12 irt.t.

3) Žodiniu būdu, kai seka apibrėžiama žodine taisykle.

Pavyzdžiui, sekos 2,71; 2,718; 2,7182; ... kiekvienas narys

yra skaičiaus e = 2,71828... artinys.

• Skaičių seką, kaip skaitinę funkciją, galima geometriškai pavaizduoti taškais koordinačių plokštumoje.

• Skaičių seką (an), kurios kiekvienas narys yra didesnis už prieš jį einantį, t.y. a„+1 > a„ (n e N), vadiname didėjančia.

• Skaičių seką (a„), kurios kiekvienas narys yra mažesnis už priešjįeinantį,t.y. a„+1 < an (n e N), vadiname mažėjančia.

• Didėjančias ir mažėjančias sekas vadiname monotoninėmis.

13.2. ARITMETINĖ PROGRESIJA

Aritmetinė progresija yra skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančio nario ir pas-tovaus skaičiaus sumai. Kitaip sakant, seka (a„) yra aritmetinė progresija, jei su kiekvienu natūraliuoju n (n >2) teisinga lygybė an =an_į + d; skaičius d - aritmetinės progresijos skirtumas.

I. n - tojo nario formulė: an = al + (n-\)d

2. Charakteristinė savybė. Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai aritmetinė progre-sija yra baigtinė), lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui, t.y.

(n > 2).

3. am + an = ak + a , kai m + n = k + p.

4. Pirmųjų n narių sumos formulės:

1) 5,, = 0 ,+¾ + ¾ + ... + ¾;

2) Oj+fi į

n; 3) _ 2o, +(n-\)d

j . Γ n.

13.3. GEOMETRINĖ PROGRESIJA

Geometrinė progresija yra nelygių nuliui skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš j į esančiam nariui, padaugintam iš pastovaus skaičiaus. Kitaip sakant, seka (b„) yra geometrinė progresija, jei su kiekvienu natūraliuoju n [n > 2) teisinga lygybė b„ = bn_rq, bn*0, q * O, skaičius q - geometrinės progresijos vardiklis.

1. n - tojo nario formulė: bn=bvr\

2. Charakteristinė savybė. Kiekvienas geometrinės progre-sijos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai geometrinė progresija baigtinė), yra lygus prieš j į esančio nario ir po jo einančio nario geometriniam vidurkiui, t.y.

b„=yjb„., A + i (" - 2), arba b2„=b„_rb„+l,(n>2).

bmb„ = bkb , kai m + n = k + p.

4. Pirmųjų n narių sumos formulės:

2) 1) b\-qb„ _

1 -ą S„ =

bx(\~qn) 1 -q

S. Nykstamosios geometrinės progresijos, kurios | g | < 1, sumos formulė:

S = A . \-q

14. F U N K C I J O S IR J Ų G R A F I K A I

14.1. BENDROS SĄVOKOS

• Funkcija yra kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kai kiekvieną χ reikšmę pagal tam tikrą taisyklę atitinka vienintelėj reikšmė.

Kintamasis χ vadinamas nepriklausomuoju kintamuoju, arba argumentu, o kintamasis y - priklausomuoju kintamuoju arba argumentu. Kai kintamasis y yra kintamojo χ funkcija, rašome y = f ( x ) .

• Funkcijos reikšmė - kintamojo y reikšmė, atitinkanti kintamojo χ reikšmę.

• Funkcijos apibrėžimo sritį sudaro visos reikšmės, kurias gali įgyti nepriklausomasis kintamasis (argumentas) x.

Funkcijos / ( * ) apibrėžimo sritis žymima Df, arba D(J).

• Funkcijos reikšmių sritimi vadinama aibė visų funkcijos f ( x ) reikšmių ir žymima E f , arba E ( f ) .

• Funkcijos grafiku vadinama aibė visų koordinačių plokštumos taškų, kurių abscises yra argumento χ reikšmės, o ordinatės - funkcijos f ( x ) atitinkamos reikšmės.

• Funkciją galima apibrėžti: 1) Analiziškai, kai duotas reiškinys f ( x ) su kintamuoju x,

pagal kurį skaičiuojamos funkcijos y = f ( x ) reikšmės.

Pavyzdžiui, y = 5x2 +1; y = sin(x +1). 2) Reikšmių lentele (pavyzdliui, trigonometrinių funkcijų,

logaritmų ir kitos lentelės); 3) Grafiškai, jei žinomas funkcijos grafikas; 4) Pateikiant funkcijos aprašymą.

• Funkcija у = f ( χ ) vadinama

didėjančia intervale (a,b), jei bet

kuriems Jc1 ir x2 iš intervalo (a, b)

iš nelygybės x, < X1 seka nelygybė

/ ( X 1 ) < / ( x 2 ) .

• Funkcija y = / ( x ) vadinama

mažėjančia intervale (a,b), jei bet

kuriems x, ir x2 iš intervalo (a,b)

iš nelygybės x, < x 2 seka nelygybė

/ ( χ , ) > / ( x 2 ) .

• Didėjančias ir mažėjančias intervale funkcijas vadiname monotoninėmis funkcijomis tame intervale, o patį intervalą -monotoniškumo intervalu.

• Funkcija y = / ( x ) vadinama lygine, jei kartu su kiekviena

argumento χ reikšme iš funkcijos apibrėžimo srities D (y)

reikšmė ( - x ) irgi priklauso tos funkcijos apibrėžimo sričiai, be to, yra teisinga lygybė

A - X ) = f (χ).

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ordinačių ašies (Oy ašies) atžvilgiu.

M y = Ax)

• Funkcija y = f ( x ) vadinama nelygine, jei kartu su kiek-viena argumento χ reikšme iš funkcijos apbrėžimo srities D(y) reikšmė ( - x ) irgi priklauso tos funkcijos apibrėžimo sričiai, be lo, yra teisinga lygybė

A~x) = - / ( * ) ·

Nelyginės funkcijos grafi-kas yra simetriškas koordinačių pradžios taško O atžvilgiu.

• Funkcija y = f ( x ) vadinama periodine, jei egzistuoja toks skaičius T * O , kad kartu su kiekviena argumento χ reikšme ii funkcijos apbrėžimo srities reikšmės χ-T ir χ+ T irgi priklauso tos funkcijos apibrėžimo sričiai, be to, yra teisingi lygybė

f ( x ± T ) = f ( x ) .

Skaičius T* O vadinamas funkcijos y = f ( x ) periodu Ieigu skaičius T yra funkcijos y = f ( x ) periodas, tai vis:

skaičiai, kurių pavidalas yra kT, kur k e Z, k* O , taip pat yre

iios funkcijos periodai, t.y. periodinė funkcija turi be galo daug

periodų: ..., - 3 7 \ - 2T, - T , T , 27", 3T, . . .

Mažiausias teigiamas periodas (t.y. periodas T ) dar vadi-namas pagrindiniu. Jis paprastai ir nurodomas, kai kalbama apie funkcijos periodiškumą.

• Jei funkcijos y = f ( x ) periodas yra T, tai funkcijos T

y = f(ax + b) periodas yra skaičius —. a

У)

-a

1 y=Ax) / \ > V 0 α "x

PavyzdUui, funkcijos у = sin(3x + 2) mažiausias teigiamas

periodas yra skaičius ~ , o funkcijos y = tg2x - skaičius ~ .

• Jei funkcija y = / ( x ) apibrėžta ir didėja (mažėja) intervale

[e, i ] , o jos reikšmių sritis yra intervalas tai ji turi

atvirkštinę funkciją y = g(x), kuri yra apibrėžta, didėja (mažėja)

intervale \c,d ] , o jos reikšmių sritis yra intervale [a, b\.

Funkcijos y = / ( x ) ir y = g(x) vadinamos tarpusavyje atvirkštinėmis. Jų grafikai yra simetriški tiesės y = χ atžvilgiu.

Atvirkštinės funkcijos radimo taisyklė. Kai funkcija y = / ( x ) yra apgręžiama, tai, išreiškę χ iš formulės y = / ( x ) , gauname lygybę χ = g(y), kurioje, sukeitę χ ir y vietomis, gauname atvirkštinę funkciją y = g(x).

Pavyzdys. Raskime funkciją, atvirkštinę funkcijai y = 2x +1.

Sprendimas. Duotoji funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje (-00; 00) ir yra didėjanti. Todėl ši funkcija turi atvirkštinę

funkciją. Norėdami j ą surasti, naudosimės atvirkštinės funkcijos radimo taisykle.

v - 1 1) Iš lygybės y = Ix +1 išreikškime x. Turime χ = .

v - 1 2) Lygybėje x = — kintamuosius χ ir y sukeiskime

vietomis. Gausime: v = ——- = — χ—i-. Funkcija y = — x~— ir 2 2 2 2 2

yra atvirkštinė funkcija duotajai funkcijai y = 2x +1.

, , 1 1 Atsakymas. У =

14.2. TIESIOGINIS PROPORCINGUMAS

Tiesioginio proporcingumo y = kx (k * θ) grafikas yra tiesė, einanti per koordinačių pradžią (skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu).

14.3. TIESINĖ FUNKCIJA

Tiesinės funkcijos y = kx + b (k ir b - realieji skaičiai) grafikas yra tiesė. Skaičius k vadinamas krypties koeficientu;

k = tg a.

14.4. KVADRATINĖ FUNKCIJA

Kvadratinės funkcijos y = ox +bx+c, kur a, b, c — bet kurie realieji skaičiai, o a * O, grafikas yra parabolė. Parabolės viršūnės л(х0;y0) koordinatės:

b 2 , Aac-b2

x0 = - — , y0 = ax0+bx0+c = . 2a Ag

Kvadratinės funkcijos y = ax" + bx+ c grafiko ir abscisių ašies susikirtimo taškų skaičius lygus kvadratinės lygties ax2 +bx+c = 0 šaknų skaičiui, kurį nustato diskriminanto D = b1 - Aac ženklas.

Kai a > O, tai funkcijos y = ax2 +bx+c grafiko - parabolės šakos nukreiptos aukštyn, kai a < O, - žemyn.

Kvadratinės funkcijos y = ax2 + bx+c apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė R : D(y) = (-oo;oo).

Parabolės simetrijos ašis yra tiesė χ = — — . 2 a

Pavyzdys. Nubraižykime funkcijos y = x2 + Ax - 5 grafiką.

Sprendimas. Duotosios funkcijos grafikas yra parabolė, kurios viršūnės abscisę apskaičiuojame pagal formulę

χη = -—. Gauname: Xn = — ~ = -2. 2a 0 2 - 1

{ funkcijos išraišką y = x2 + Ax-5 vietoje д-įrašome (-2) ir randame parabolės viršūnės ordinatę:

j'0 = ( - 2 ) 2 + 4 - ( - 2 ) - 5 = - 9 .

Koordinačių plokštumoje pažymime parabolės viršūnės

tašką ( - 2 ; - 9 ) . Surasime, kuriuose taškuose parabolė kerta

abscisių ašį. Šių taškų abscises yra lygties x1 + Ax-S = O

sprendiniai Xi = - 5 ir X1 = X. Taigi parabolė kerta abscisių ašį

taškuose ( -5 ; 0) ir (1;0).

Randame, kuriuose taškuose parabolė kerta ordinačių ašį:

kai x = 0, tai j = 02 + 4 0 - 5 = - 5 . Taigi parabolė kerta

ordinačių ašį taške ( 0 ; - 5 ) .

Parabolės simetrijos ašis yra tiesė χ = - 2 . Parabolės šakos

nukreiptos aukštyn, nes funkcijos išraiškoje y = x2 + Ax-S

koeficientas prie x2 yra lygus 1, t.y. teigiamas skaičius.

Pateikiame įvairius parabolės y = ax2 + bx+c išsidėstymo koordinačių plokštumoje atvejus, priklausomai nuo koeficiento a ir diskriminanto D ženklų:

3. a > У) \

0, D = O

U, 0 *0 ^x

4. a <

y>

0 , D = 0

0

/

14.5. ATVIRKŠTINIS PROPORCINGUMAS

lę Atvirkštinio proporcingumo y = — (k - atvirkštinio

χ proporcingumo koeficientas, k ^ O ) grafikas yra hiperbolė.

14.6. LAIPSNINĖ FUNKCIJA

• y = χ", n - lyginis natūralusis skaičius, t.y. n = 2, 4, 6 , . . .

Atskiru atveju, kai n = 2 , šios funkcijos grafikas -parabolė

• у = χ", n- nelyginis natūralusis skaičius, t.y. n = 1, 3, 5 , .

it - lyginis skaičius

УА ' y = x

Atskiru atveju, kai n = 3 , šios funkcijos grafikas -parabolė

My

• Laipsninės funkcijos su sveikuoju neigiamuoju rodikliu

j» = j c " = — (n - natūralusis skaičius) grafikas.

n - lyginis s

У/ Л kaičius

1 ^

n - nelygini

У)

1

s skaičius

i

i i >

-1

Pavyzdys:

Laipsninės funkcijos su teigiamuoju trupmeniniu rodikliu

y = xn I — > 0 , и > 1J grafikas.

Atskiru atveju, kai m = 1, o n = 2 gauname funkciją

= x2, arba y =-Jx :

Pavyzdys:

• Laipsninės funkcijos su neigiamuoju trupmeniniu

rodikliu y = x" I — <0, л > 1 j grafikas.

n - lyginis skaičius

4

n - nelyginis skaičius

* * *

14.7. RODIKLINĖ FUNKCIJA

14.10. FUNKCIJŲ GRAFIKŲ TRANSFORMACIJOS

• Norint gauti funkcijos y = f ( x + c) grafiką iš funkcijos

y = f ( x ) grafiko, reikia visus pastarojo taškus pastumti per c

vienetų į kairę, jei c > 0 arba per | c \ vienetų į dešinę, jei c < 0 .

Paveiksle pavaizduoti funkcijų

y=Αχ), У — f ( x + 2) ir

У = Ax-2) grafikai.

• Norint gauti funkcijos y = f(ax) grafiką iš funkcijos

y = f ( x ) grafiko, reikia: pastarąjį suspausti išilgai abscisių

(Ox) a kartų, kai a > 1, ir ištempti (taip pat išilgai abscisių

(Ox) ašies) — kartų, kai 0 < a < 1. a


У = f ( X ) , y = f(2x) ir

grafikai.

y = f( ΛΓ+2) y = / (x-2)

1 2 3 4 5 JC

• Norint gauti funkcijos y = f(x)+B grafiką iš funkcijos

y = f ( x ) grafiko, reikia visus pastarojo taškus pastumti per B

vienetų į viršų, jei B > 0 arba per Į B | vienetų į apačią,

jei B < 0 .


У = Ax), y = f(JC) + 2 ir

У = Ax)~ 2 grafikai.

• Norint gauti funkcijos y = Af(x) grafiką iš funkcijos

У = f(x) grafiko, reikia: pastarąjį ištempti išilgai ordinačių (Oy) ašies A kartų, kai A > 1, ir suspausti (taip pat išilgai ordinačių

(Oy) ašies) — kartų, kai 0 < A < 1 .


y = Ax), y = 2.f(X) ir

y = \ f ( x )

grafikai.

14.1. FUNKCIJŲ SU MODULIU GRAFIKŲ BRAIŽYMAS

• Funkcijos y = | / ( x ) | grafikas gaunamas iš funkcijos y = f ( x ) grafiko sekančiu būdu: grafiko dalį, esančią virš χ ašies, paliekame nepakeistą, o grafiko dalį, esančią po χ ašimi, atvaizduojame į simetrinę jai dalį χ ašies atžvilgiu.

Pavyzdys:

• Funkcijos j = ( | j c | ) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f ( x ) grafiko sekančiu būdu: kai x > 0 funkcijos y = f ( x ) grafikas išlieka tas pats, t.y. grafiko dalis, esantis į dešinę nuo y ašies lieka nepakitusi , o kai χ < O, tai gautoji grafiko dalis, esanti į dešinę nuo y ašies, atvaizduojama į simetrišką jai dalį y ašies atžvilgiu.

Pavyzdys:

• Funkcijos j> = | / ( | x | ) | grafiką braižome sekančiu būdu:

pirmiausia jau žinomu būdu nubraižome funkcijos y = f ( |x|)

grafiką, o po to ieškomosios funkcijos y = | / (| χ | )| grafiką.

Pavyzdys:

15. T R I G O N O M E T R I J A

15.1. KAMPŲ MATAVIMO VIENETŲ TARPUSAVIO PRIKLAUSOMYBĖ

I r a r f = I ^ «57° , π

I 0 = rad » 0,01745 rad, 180

a° a rad, 180

Pavyzdys: 12° = — 12 = — rad. 180 15

, 180° . . a rad = a laipsnių. π

_ 7π 180° 7π „ , „ Pavyzdys: —rad = = 315°.

4 π 4

15.2. TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ APIBRĖŽIMAS

Ąa(xa-,ya)

sma= ya,

c o s α = xa,

s i n α _ ya t g « = -

cos α

C t g o - = s i n a ya

15.3. TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ SAVYBĖS

sin(-jc) = - s i n χ - sinusas nelyginė funkcija ; cos(-x) = cosx - kosinusas lyginė funkcija ; tg ( -x ) = - t g x - tangentas nelyginė funkcija ; ctg ( -x ) = - c t g x - kotangentas nelyginė funkcija . Trigonometrinės funkcijos 7 = s inx , y = cosx , y = t g x ,

y = c tgx , yra periodinės funkcijos.

(2)

(1) lygybės rodo, kad visi skaičiai, kurių bendras pavidalas 2 n k , k e Z, k Φ O yra funkcijų jy = s inx ir y = cosx periodai

(pvz.,... - 6 π , - 4 π , - 2 π , 2 π , 4 π , 6 π , . . . ) . Mažiausias

teigiamas šių funkcijų periodas (pagrindinis periodas) yra lit.

(2) lygybės rodo, kad visi skaičiai, kurių bendras pavida-

las π k, keZ, k* O yra funkcijų y = tgx ir .y = Ctgx perio-

dai (pvz.,. . . - 4 π , - 3 π , - 2 π , - π , π , 2 π , 3 π , 4 π , . . . ) .

Mažiausias teigiamas šių funkcijų periodas (pagrindinis periodas) yra 2π .

(1) ir (2) lygybės dažnai naudojamos trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimui, kai argumentai didesni už 360°.

15.4. TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ ŽENKLAI KETVIRČIUOSE

sinx cosx tgx ctgx

15.5. PAGRINDINIŲ TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ REIKŠMIŲ LENTELĖ

Argumentai a° 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270" 360°

arad O K π 4

π 7

π 2

π 3π 2

2π

sin ar O 1 2

A 2

A 2

1 0 - 1 0

cos a 1 A 2

A 2

1 2 0 - 1 0 1

tg a O A 3

1 л/J — 0 — 0

c t g a — VJ 1 A з

0 — 0 —

15.6. REDUKCIJOS FORMULĖS

• Redukcijos taisyklė:

1) kampų π ± α ir 2 π + α funkcijos pavadinimas nekei-

čiamas, o kampų l ± a ir funkcijos pavadinimas 2 2

keičiamas (sinusas - į kosinusą, kosinusas - į sinusą, tangentas - į kotangentą, kotangentas - į tangentą);

2) funkcija dešiniojoje lygybės pusėje rašoma su tokiu pat ženklu, kurį turi pradinė funkcija atitinkame ketvirtyje.

• Redukcijos formulių lentelė:

CS Argumentas t

Funk

cij

π a 2

π — + a 2

π- a π+α 3π a 2

3π — + a 2

2 π - a

sini cos α cos a sine? -s in α -cos α -cos a -s in a

cosi sin a -s in α -cos or -cos α -s in α sin a cos a

tg t ctg a - c t g a - t g a t g a ctga - c t g a - t g a

Ctg t t g a - t g a - c t g a ctga t g a - t g a - c t g a

15.7. PAGRINDINĖS TRIGONOMETRINĖS FORMULĖS

PAGRINDINĖS TAPATYBĖS

sin2 a + cos2 a = 1; t g a Ctga = I;

sin o r t g a - ;

2 1 1 + tg a = į—;

cos a cos a

cos a c tgar= . ;

, 1 1 + c t g V = - 3 - ,

s i n a sin a

ARGUMENTŲ SUDĖTIES FORMULĖS

s in(a + / ? ) = s i n a c o s / t f+cosarsin/?;

s i n fo - - / ? ) = sin cc cos β — cos α sin β\

cos ( α + β)= cos α cos β-sin «s in β\

cos(a -β)= cos a cos β + sin α sin β\

* + t g ( a - / * ) « J 8 p M 1 - t g a - t g / ? 1 + t g a · t g /

KARTOTINIO ARGUMENTO FORMULĖS

s in(2a) = 2 sin α cos α ;

cos(2a) = cos2 a - s i n 2 a = 1 - 2 s i n 2 α = 2cos2 a - 1 ;

t g ( 2 c t g ( 2 a ) = b ^ = ^ Z ^ . 1 - tg a 2 t g a 2

TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ SUMOS BEI SKIRTUMO KEITIMO SANDAUGA FORMULĖS

. . ал-β a - β sin ar+ sin Z?= 2sin — cos — r 2 2

. . a + ,0 . α-β s i n a - s i n / ? = 2 cos — sm — 2 2

cos a- + cos ρ = 2cos —cos —; 2 2

. . αλ-β . α-β cos or -cos B = - 2 s m — sin ;

2 2

TRIGONOMETRINIU FUNKCIJŲ SANDAUGOS KEITIMO SUMA FORMULĖS

sin a cos β = • i ( s i n ( a - /?) + sin(a + /?) ) ;

sin a sin/? = i (cos(a - /?) - cos(a + ) ) ;

cos a cos/? = i ( c o s ( a - + cos(a + ^ ) ) .

TRIGONOMETRINIU FUNKCIJŲ IŠREIŠKIMAS PUSĖS ARGUMENTO TANGENTU

< . - t g 2 f s m a = c o s a = s m a =

i + t g 2 -

_ a 2 t g -

c o s a = , 2 a' I + tg2 —

2 a 1- tg 2

T

t g a = 2 c tga = I t g a = , 2 « '

8 T

c tga =

LAIPSNIO ŽEMINIMO FORMULĖS

. 2 l - c o s ( 2 a ) 2 l + cos(2a) sin a = i — - ; cos α = 1 — - ; 2 2

1 - cos(2a) = 2 sin2 a ; 1 + cos(2a) = 2 cos2 a .

VIENŲ TRIGONOMETRINIU FUNKCIJŲ IŠREIŠKIMAS KITOMIS

, [•i Γ ~ t g a 1 i ar = ±V 1 - c o s a = — = = = = = — . ; ± y l + tg2ar l ^ / l + c tg 2 »

ISa = I V l - S i n a = — . = — . ; ±J\ + tg2a ± y l + ctg2ar

sin a ±Vl - c o s 2 a 1 t g a =

c t g a :

± V l - s i n 2 a c o s « c tS f l"'

± V l - s i n 2 a c o s a _ 1 s i n f l r ± V l - c o s 2 a tSfl"

Pastaba. Ženklas prieš šaknį priklauso nuo to, kokiame ketvirtyje yra atitinkamos trigonometrinės funkcijos kampas a .

15.8. TRIGONOMETRINĖS LYGTYS

1. Lygtis sin* = a.

Kai | α | > 1 lygtis sprendinių neturi.

Kai I a | < 1 lygties sprendinių radimo bendroji formulė yra

x = ( - l )* arcsin α + π fc, k e Z .

Atskiri atvejai:

sinx = 0, χ = ilk, k ε Ζ ;

sin χ = 1, χ = —+2nk, k e Ζ ; 2

sinx = - l , χ = - - + 2 nk,keZ. 2

2. Lygtis cosx = a.

Kai I a \ > 1 lygtis sprendinių neturi.

Kai I a \ < 1 lygties sprendinių radimo bendroji formulė yra

x = ±arccosa + 27t&, keZ.

Atskiri atvejai:

cosx = 0, x = — + nk, keZ; 2

cosx = 1, χ = 2nk, keZ\

cosx = - 1 , χ = π + 2 n k , keZ.

3. Lygties tgx = a sprendinių radimo bendroji formulė yra

x = arctga + Jifc, keZ.

4. Lygties ctg* = a sprendinių radimo bendroji formulė yra

x = arcctga + 7i&, k e Z.

15.9. ATVIRKŠTINĖS TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS

1. >> = arcsinx<=>x = sinj>, y e π π ~2'2"

arcsin(-x) = -arcs inx.

PavyzdHui, arcsin £ 2 . VŠ π

= - a r c s i n — = — . 2 3

2. > arccosx <=> χ = cos^, ^ ε [ θ ; π ] , x e [ - l ; l ] ,

arccos(-x) = π - arccosx.

S) л/з π 5π -— = n - a r c c o s — = π = — . 2 2 6 6

Pavyzdžiui, arccos

3. у = arctgx<=>χ = tgy, x e ^ -

arctg ( - χ ) = - arctg χ.

Pavyzdžiui, arctg ( - л/з )= - arctg л/з = - ~ .

4. у = arcctgx <=> χ = etgy, _με(θ;π), xeR. arcctg(-x) = π - arcctgx.

A 3

Pavyzdžiui, arcctg л/3 π 2π

= j t - a r c c t g — = π — = — . 3 3 3

15.10.TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ GRAFIKAI

15.11.ATVIRKŠTINIŲ TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ GRAFIKAI

16. R I B O S . F U N K C I J O S T O L Y D U M A S

• Skaičius a vadinamas sekos (jc„) riba, jeigu kiekvienam, kiek norima mažam, teigiamam skaičiui ε galima rasti tokį natūralųjį skaičių N, priklausantį nuo ε , kad visiems numeriams n > N būtų teisinga nelygybė:

\x„ - a < ε

Žymi/na: Iim xn = a. n .χ

• Sekų ribų teoremos:

Jeigu (jc„) ir (y„) konverguojančios sekos, tai

1. Iim (x„ +y„)= Iim x„ + Iim y„. n-> QO /»-»00 «->00

2. Iim (x„ • У„)= Iim xn • Iim yn. n-* 00 il-)® n-*<X>

3. Iim (c · Jcn ) = c • Iim jc„ , kur c - skaičius. n—>00 n-*aO

Iim jc„ 4. Iim = , kai Iim yn* 0.

η_>°° У n Hm y„ *-**> n * 00

5. Jei 11? I < 1, tai Iim q" = 0 . П » OO

• Skaičių b vadiname funkcijos f(x) riba taške a, kai, pasirinkus bet kokį ε > O, visi x * a , kurie pakankamai mažai skiriasi nuo a, tenkina nelygybę

| A * M <ε

Žymima·. Iim f ( x ) = b.

• Funkcijų ribų teoremos:

1. l im(/( jc) + g(x))= Iim / ( * ) + Iim g(x). x-> a χ-> a X-* a

2. I im(/ (*)• g(x))= Iim f(x)• Iim g(x).

3. Iim(c· f(xj)=c· Hm f(x), c - s k a i č i u s . x-> a x-> a

f (r\ lim /W 4. Iim 1Ю- = — , kai Iim g(x)*0.

χ-+" g(jc) lim g(x) x->a

• Funkcija / ( jc ) , kurios riba taške jc0 lygi funkcijos reikšmei

tame taške, vadinama tolydžia taške x0 , būtent

lim / ( * ) = / ( * o )

• Funkcija, tolydi kiekviename intervalo (a; b) taške,

vadinama tolydžia tame intervale. Intervalas ( а ; б ) , kuriame

funkcija / ( jc ) yra tolydi, vadinamas funkcijos tolydumo

intervalu.

• Kelios svarbios ribos:

.· sinjc , .. ( . 1 V lim = 1; lim 1+— = e ; X-* O JC

l im(l + jc)* = e ; e = 2,7182818... χ -»o

Neapibrėžtumai:

( f ) , ( o · · ) . ( » — ) . & · ) . M . И ·

17. F U N K C I J O S IŠVESTINĖ

17.1. ARGUMENTO POKYTIS IR FUNKCIJOS POKYTIS

Jei y = / ( x ) - funkcija, χ ir x0 - dvi nepriklausomo

kintamojo reikšmės iš funkcijos apibrėžimo srities Df, tai

Δχ = χ - x0 (skaitoma „delta iks") yra argumento pokytis.

Kadangi χ = x„ + Δχ , tai

^У = Δ/(*ο ) = / W - f (x o ) = Αχο + Δχ)- f (X0 )

(skaitoma „delta igrek" arba „delta ef taške X0 ") yra funkcijos pokytis taške дс0 . Funkcijos / ( x ) pokytis taške X0 trumpai žymimas Δ / arba Ay .

Pavyzdžiui, jei duota funkcija / ( x ) = x2 ir χ = 2,5, X0 = 2, tai argumento pokytis yra

Δχ = x - x į = 2 , 5 - 2 = 0,5,

o funkcijos y = / ( x ) pokytis

Δ / = / (x 0 + Δ χ ) - / (x 0 ) = /(2,5) - / ( 2 ) = 2,52 - 22 = = 6 ,25-4 = 2,25.

17.2. FUNKCIJOS IŠVESTINĖS APIBRĖŽIMAS

Funkcijos / ( x ) išvestine duotajame taške x0 vadinama funkcijos pokyčio šiame taške ir argumento pokyčio santykio riba, kai argumento pokytis artėja prie nulio, t.y.

/ ' ( x ) = Iim ^ = Hm Ж ^ x ) - / ( x 0 ) V ' Δχ-> 0 Δχ Δχ

kur Δ χ = χ - χ0 - funkcijos argumento pokytis taške x0;

ts.y = f(x0 + Ax)- f(x0) - funkcijos pokytis taške X0.

Jei funkcija turi išvestinę taške x 0 , tai ji vadinama

diferencijuojama tame taške. Funkcijos / ( x ) išvestinės

radimas vadinamas funkcijos diferencijavimu.

17 J . ELEMENTARIŲJŲ FUNKCIJŲ IŠVESTINĖS

c' = 0 (c - konstanta); ( x " ) ' = « x '

W = * ' ; И = * М

( l n x ) ' = į ; Ooga x) '=-

(sinx) =cosx; (cosx) = -

Ы = 2 ; (ctg*) = COS X

17.4. IŠVESTINIŲ SKAIČIAVIMO TAISYKLĖS

1. (c - f (x)) = c • f'{x), kai c - konstanta;

2. (/X*)+ « < * ) ) ' = / ' ( * ) + *'(*);

3. ( / W - g W ) ' = / ' W - g ' W ;

4. i/(x) g(x)i =f\x) g(x)+f(x) g'W;

5. k a i

U W j « W

čia / ( x ) ir g(x) - diferencijuojamos funkcijos.

• Sudėtinės funkcijos išvestinės skaičiavimo taisyklė

Jei h(x) = g ( f ( x j ) - sudėtinė funkcija, tai

h\x) = g \ f ( x ) \ f ( x ) . Pavyzdžiai:

1) (sin(3x)) = cos(3x) · (3x) =3cos(3x); t

2) ( ( x 2 + 3 x + l ) 3 ) = з ( х 2 +3x + l)2 -(x2 +3x + l) '=

= 3(2x + 3 ) ( x 2 + 3 x + l)2 .

17.5. IŠVESTINĖS MECHANINĖ PRASMĖ

Greitis yra kelio išvestinė laiko atžvilgiu:

v(/)= Iim — = s'(l). W Af-> О Д/ W

Pagreitis yra greičio išvestinė laiko atžvilgiu:

α (i)= Iim — = v'(/)· v / Δ ί ->o Δ /

Pavyzdys. Tiesiaeigis materialaus taško judėjimas aprašomas lygtimi s (t) = 312 - Ъ - 5, kur t - laikas, išreikštas sekundėmis, o j - kelias, išreikštas metrais. Raskime taško judėjimo greitį ir pagreitį laiko momentu t = S s.

Sprendimas. v(t) = s'(t) = (3/2 - 2t - 5)' = 6f - 2 ;

v(5) = s'(5) = 6- 5 - 2 = 2 8 — ; s

a (t) = v'(t) = (61 - 2)' = 6; a(5) = v'(5) = s

17.6. FUNKCIJOS GRAFIKO LIESTINĖS IR NORMALĖS TAŠKE LYGTYS

Funkcijos y = f ( x ) grafiko liestinės taške (x 0 ; / ( x 0 ) ) lygtis yra

y = f{xo)+f'(xo)-(x-xo)·

Pavyzdys. Parašysime funkcijos / ( x ) = x2 - 2x grafiko

liestinės taške, kurio abscisė x0 = 3, lygtį.

Sprendimas. Turime / ( x į ) = / ( 3 ) = 3 2 - 2 - 3 = 3;

/(*)= 2x-2, f(X0)=A3)=2-3-2 = 4.

Funkcijos f ( x ) = χ2 -2x grafiko liestinės taške (3;3) lygtis yra y = 3 + 4 ( x - 3 ) = 3 + 4 x - 1 2 = 4 x - 9 , y = 4 x - 9 .

Jei funkcija y = /(JC) taške X0 turi išvestinę / ' ( x 0 ) , tai funkcijos grafikas tame taške turi liestinę, sudarančią su Ox ašimi kampą, kurio tangentas lygus f'(x0), t.y.

Ax0)= tga.

Funkcijos y = /(JC) grafiko normalės taške (x0; / (x0)) lygtis yra

У = Ax0)- yęj-(x~*(>)•

17.7. FUNKCIJOS KRITINIAI TAŠKAI. FUNKCIJOS EKSTREMUMO TAŠKAI

Funkcijos kritiniai taškai yra tokie taškai, kuriose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba iš viso neegzistuoja. Funkcijos / ( χ ) kritinis taškas x0 yra šios funkcijos ekstremumo taškas, jei funkcijos išvestinės f'(x) ženklai iš kairės ir dešinės nuo taško x0 nesutampa t.y. pereidama per tašką x0 funkcijos išvestinė / ' ( x ) keičia ženklą (iš pliuso į minusą arba iš minuso į pliusą). Ekstremumo taškas x0 yra:

a) maksimumo taškas, jei taško x0 aplinkoje funkcijos išves-tinė keičia ženklą iš pliuso į minusą:

max Išvestinės ženklai: " ! I T ^ n ^ — ~

XQ X

=f(x0) y = Ax) Funkcijos reikšmė maksimumo taške vadinama funkcijos maksimumu.

a) minimumo taškas, jei taško X0 aplinkoje funkcijos išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą:

Išvestinės ženklai:

Ук

= I(X0) -

Funkcijos reikšmė minimumo taške vadinama funkcijos minimumu.

Funkcijos maksimumai ir minimumai vadinami funkcijos ekstremumais.

Pavyzdys. Raskime funkcijos / ( x ) = x 3 - 3 x 2 ekstremumo taškus ir eksremumus.

Sprendimas. Randame funkcijos / ( x ) išvestinę:

/ ' (x) = ( x 3 - 3x2 j = (r3)' - (зх2 j = 3x2 - 3 · 2x = 3x (x - 2).

Taigi išvestinė egzistuoja visuose taškuose, be to, / ' ( x ) = O,

kai x = 0 ir χ = 2. Vadinasi, funkcijos / ( x ) kritiniai taškai yra

x = 0 ir χ = 2. Pažymėkime funkcijos / ( x ) išvestinės ženklus

intervaluose (-oo;0), (0; 2) ir (2;oo):

Matome, kad pereinant tašką χ = O išvestinės f'(x) ženklas

keičiasi iš pliuso į minusą, o praeinant tašką χ = 2 - iš minuso į

pliusą. Vadinasi, taškas x = 0 yra funkcijos f ( x ) = х1 - 3x2

maksimumo taškas, o taškas χ = 2 - minimumo taškas.

Taške x = 0 funkcija įgyja maksimumą / (O) = O, o taške

x = 2 - minimumą / ( 2 ) = - 4 :

/ - , = / ( 0 ) = 0 , Z m m = / ( 2 ) = - 4 .

17.8. FUNKCIJOS MONOTONIŠKUMO INTERVALAI

Sakykime, kad funkcija f ( x ) kuriame nors intervale turi išvestinę. Tada, jeigu visame intervale:

1) / Ό 0 > 0 , tai funkcijos / ( x ) reikšmės didėja šiame

intervale;

2) / ( x ) < 0 , tai funkcijos f ( x ) reikšmės mažėja šiame

intervale;

3) f i x ) = 0 , tai f ( x ) = const., t.y. funkcija y = / ( x ) yra

pastovioji funkcija. Pavyzdys. Raskimefunkcijos f ( x ) = χ - 3 x 2 reikšmių didė-

jimo ir mažėjimo intervalus. Sprendimas. Randame funkcijos f ( x ) išvestinę:

f ( x ) = (r3 - 3x2 j = 3x2 - 6x = 3x(x - 2).

Nustatome išvestinės / ( x ) ženklą intervaluose ( -oo;0) ,

(0;2) ir (2;oo).

f \ x ) ženklai: + , ~ , + >

fix): s * O 2 S* *

Kai x < 0 ir χ > 2 , tai / ( x ) > 0 , vadinasi, intervalai

( -oo;0) ir (2;oo) yra funkcijos reikšmių didėjimo intervalai. Kai 0 < x < 2 , tai f'(x)<0, vadinasi, (0;2) yra funkcijos

reikšmių mažėjimo intervalas.

17.9. FUNKCIJOS DIDŽIAUSIA IR MAŽIAUSIA REIKŠMĖ UŽDARAME INTERVALE

Norint rasti funkcijos y = / ( x ) didžiausiąją ir mažiausiąją

reikšmę uždarame intervale [a;b], kuriame ta funkcija turi

baigtinį skaičių kritinių taškų, reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmes tuose kritiniuose taškuose bei intervalo galuose ir iš visų gautųjų reikšmių išrinkti didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmę.

Funkcijos y = / ( x ) didžiausioji reikšmė atkarpoje [a; b]

žymima шах / ( * ) , o mažiausioji - m i n / ( x ) • [ч.Ь\ (a; 61

Pavyzdys. Rasimefunkcijos / ( x ) = - 2 x 3 - 3x2 + 4 mažiau-sią ir didžiausią reikšmes uždarame intervale [ - 2 ; 1].

Sprendimas. Randame funkcijos kritinius taškus. Turime: / ' ( x ) = - 6 x 2 - 6x = - 6 x ( x +1); / ' ( x ) = O, - 6 x ( x + 1) = 0, kai x = 0 ir x = - l . Funkcijos kritiniai taškai yra x = 0 ir x = - l . Apskaičiuo-

jame funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose bei intervalo [ -2 ;1] galuose:

/ ( 0 ) = 4,

/ ( - 1 ) = - 2 · (-1)3 - 3 • (-1)2 + 4 = 3,

/ ( - 2 ) = - 2 · (-2)3 - 3 · (-2)2 + 4 = 8,

/(1) = - 2 · 1 3 - 3 · 1 2 + 4 = -1 . Matome, kad funkcijos / ( х ) = - 2 х 3 - З х 2 + 4 didžiausioji

reikšmė lygi 8 ir j ą funkcija įgyja taške χ = - 2 , o mažiausioji reikšmė lygi - 1 ir j ą funkcija įgyja taške x = \, t.y.

max f (x) = 8 , m i n / 0 0 = - 1 . [~2;1] [-2; 1]

17.10. FUNKCIJŲ TYRIMAS

Tirti funkcijos savybes patogu tokia tvarka: 1) Nustatome funkcijos apibrėžimo sritį. 2) Išsiaiškiname, ar funkcija yra lyginė, ar nelyginė, ar nei

lyginė, nei nelyginė. 3) Išsiaiškiname, ar funkcija yra periodinė. 4) Randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas kerta

koordinačių ašis (tokių taškų gali ir nebūti). 5) Nustatome funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo

intervalus, ekstremumo taškus ir ekstremumus. 6) Tiriame funkcijos elgesį, nepriklausomajam kintamajam

neaprėžtai didėjant arba mažėjant.

Pavyzdys. Ištirkime funkciją f(x) = x3 - 3 x ir nubraižykime jos grafiką.

Sprendimas. 1) Funkcija yra apibrėžta visoje realiųjų skaičių aibėje, t.y. Df = (-00; QO).

2) Kadangi f(-x) = ( - x f - 3 (-х) = -хг+ 3x = -f(x), tai funkcija yra nelyginė ir jos grafikas yra simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu.

3) Nustatysime, kuriuose taškuose funkcijos / ( x ) grafikas kerta abscisių ašį:

/ ( x ) = X3 - 3 x = x(x2 - 3 ) = xiįc-yF})iįc+yl3)= 0,

kai x = 0, х = л/з ir х = ~Уз . Vadinasi, funkcijos / ( x ) grafikas kerta abscisių ašį trijuose

taškuose (0;0), (ч/3;о) ir (-л /3;о). Nustatysime, kuriame taške funkcijos / ( x ) grafikas kerta

ordinačių ašį: / ( 0 ) = 0 3 - 3 0 = 0.

Vadinasi, funkcijos / ( x ) grafikas kerta ordinačių ašį taške (0;0).

4) Skaičiuojame funkcijos / ( x ) išvestinę:

/ ' (x ) = ( r 3 - 3xj = (r3 j - (Зх)' = 3x2 - 3 = 3 (c2 - 1 )= 3 (χ - l)(x +1).

Matome, kad / ' ( x ) = 0, kai x = - l ir x = l.

Nustatome funkcijos išvestinės / ' (x ) ženklus intervaluose ( - o o ; - l ) , (— 1; 1) ir (1;®):

f' ženklai + — + J 1 1 - 1 1 χ

Kai x < - l ir x > l , tai / ' ( x ) > 0, vadinasi, intervalai ( - 0 0 ; -1) ir (1; 00) yra funkcijos reikšmių didėjimo intervalai; kai - 1 < χ < 1, tai / ' ( x ) < 0 , todėl (-1;1) yra funkcijos reikšmių mažėjimo intervalas.

Taškas x = - l yra funkcijos / ( x ) maksimumo taškas, o taškas x = l yra funkcijos / ( x ) minimumo taškas.

Taške x = - 1 funkcija / ( χ ) įgyja m a k s i m u m ą / ( - 1 ) = 2, o

taške x = l - minimumą /(1) = - 2 .

Patogu šio tyrimo rezultatus surašyti į lentelę:

X (-<*>;-1) -1 (-i;i) 1 (l;oo)

f Αχ) > o, 0 Ax) <0, 0 Ax) > 0 ,

f X7 2, max

- 2 , min

Dabarjau galime nubraižyti funkcijos grafiką:

/ ( x ) = x 3 - :

-sl

У) !x

2

i . Į - i o

I - 2

X

* * *

18. P I R M Y K Š T Ė F U N K C I J A I R I N T E G R A L A S

18.1. PIRMYKŠTĖ FUNKCIJA

Funkcija F(x) vadinama funkcijos / ( x ) pirmykšte funk-cija nurodytame intervale, jei visos χ reikšmės iš to intervalo tenkina lygybę F\x) = / ( x ) .

Jei funkcija F(x) yra funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija, tai ir bet kuri funkcija F(x) + C (C - konstanta) taip pat yra funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija.

Pirmykščių funkcijų radimo taisyklės:

1. Jeigu F(x) yra funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija, o G(x)

yra funkcijos g{x) pirmykštė funkcija, tai funkcija

F(x) + G(x) yra funkcijų sumos f{x)±g(x) pirmykštė.

2. Jeigu k yra skaičius, F(x) yra funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija, tai funkcija k • F(x) yra funkcijos k f ( x ) pirmykštė.

3. Jeigu funkcija F{x) yra funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija,

o a, b (a* 0 ) du skaičiai, tai funkcijos g(x) = f(ax + b)

pirmykštė funkcija yra funkcija —F(ax+b) . a

Pavyzdžiui, remiantis 3. taisykle, viena iš funkcijos / ( x ) = s i n (3x -4 ) pirmykščių funkcijų yra funkcija

F , ( x ) = - - j c o s ( 3 x - 4 ) , o visų pirmykščių funkcijų bendras

pavidalas yra F(x) = - -i- cos (3x - 4) + C.

Kai kurių pirmykščių funkcijų radimo lentelė

Nr. Funkcija / (лг) Pirmykštė funkcija

F (χ)+ C

1. k - pastovus dydis kx + C

2. 0 С

3. I х + С

4. xn (ne R, ПФ- l) x"+1

- — + С л + 1

5. 1

4~x 2 л / х + С

6. 1 X

In I χ I +С

7. AX (a > 0 , A * l) — + С Ina

8. e * е* + С

9. sin χ - C O S X + С

10. COSX sin χ + С

11. 1

COS2 X t g x + C

12. 1

sin2 χ - c t g х + С

18.2. NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS

= F(x) + C - neapibrėžtinio integralo apibrėžimas,

čia F(x) - funkcijos / ( x ) pirmykštė funkcija ir F'(x) = f(x).

• Neapibrėžtinio integralo savybės: I

1) ( J / ( * ) & ) = / ( x ) ;

2) \kf(x)dx = k\f(x)dx-

3) J ( f ( x ) ± g { x ) ) d x = \f(x)dx± įg(x)dx-

4) j f ( k x + b)dx = -F(kx + b)+C.

• Paprasčiausių funkcijų neapibrėžtiniai integralai:

1) \dx = x + C\ 6) jexdx = ex + C;

r y"+1 r 2) \x"dx = + C; 7) sinxrfx = - c o s x + C;

J n+\ J

3) [-$=- = 2 y f x + C ; 8) fcosxi/x = sinx + C; j V x J

4) f — = l n | x | + C ; 9) f - A _ = tgx + C; J X j C O S X

5) (><& = — + C; 10) = - c t g x + C. J Ina J s i n χ

18.3. APIBRĖŽTIMS INTEGRALAS

Apibrėžtinio integralo skaičiavimo formulė (Niutono ir Leibnico formulė):

~b "b

\f{x)dx = F(x)\=F{b)-F{a); a a

čia a - apatinis integravimo rėžis, b - viršutinis integravimo rėžis, fix) - pointegralinė funkcija.

4 Pavyzdys. Apskaičiuokime integralą Jx2 dx.

2

C »· 4f 2 , JC3 I 43 23 6 4 8 56 , „ 2 Sprendimas. \xdx=— = = - = — = 18—. į 3 ι 3 3 3 3 3 3

• Apibrėžtinio integralo skaičiavimo taisyklės: b ь

1) J ' k f ( x ) d x = k j f ( x ) d x , kur k - pastovus dydis; a a b b b

2) j{f(x)±g(x))dx= jf(x)dx± Jgix)dx; a a a b c b

3) j / (x )« fc= J f ( x ) d x + jfix)dx, kai cĄa\b}. a a c

1 Pavyzdys. Remdamiesi 1) ir 2) taisyklėmis apskaičiuokime 4

integralą j"(-x2 + 5x - 4 ) jx . i

4 4 4 ч

Sprendimas. J ( -x 2 + 5 x - 4 ) d x = j-x2dx+ ^Sxdx- Âdx =

•34 Sx2 4 4

= - J x 2 dx + 5 jx<&-4 J<fo = - i - | + - ^ | - 4 x | = I - T +

= - 2 1 + 37,5-12 = 4,5.

Atsakymas. 4,5. ΐ

2 Pavyzdys. Apskaičiuokime integralą jsin(2x)i/x. π

Sprendimas. <· * *

3 j 3 ι / 2д Jsin(2x)dx= - -cos(2x) j = - - | c o s — — cos y j =

2 1 2 2 ! • ( - D = ! 2 2

Atsakymas. —

18.4. PLOKŠČIŲJŲ FIGŪRŲ PLOTO SKAIČIAVIMAS

У/Ь y = f(x\

x = b

Kreivinė trapecija yra figūra, apribota neneigiamos ir

tolydžios atkarpoje [a; b]

funkcijos y = f ( x ) grafiku, Ox

ašimi ir tiesėmis χ = a, χ = b .

• Figūrų ploto skaičiavimo atskiri atvejai:

Pavyzdys. Apskaičiuokime plotą figūros, apribotos kreivėmis

V)

1

i 2

y =—, jf = l, χ = 2, y = 0. χ

Sprendimas. Kreivinė trapecija pa-vaizduota paveiksle (užbrūkšniuotoji dalis). Jos plotas

2 2 2

S= f—die = Inx I =In 2 - I n l = I n - = Jx j 1

= In2. Atsakymas. In2.

18.5. SUKINIO TŪRIS

Sukinio, gauto kreivinę trapeciją sukant apie Ox ašį, tūris apskaičiuojamas pagal formulę:

t> •-к \ f \ x ) d x .

19. K O M B I N A T O R I K O S P R A D M E N Y S

• Kombinatorinė sudėties taisyklė. Jei kuriam nors elementui a pasirinkti yra л būdų, o elementus b pasirinkti yra m būdų, tai pasirinkti arba a, arba b yra n + m būdų.

• Kombinatorinė daugybos taisyklė. Jei kuriam nors elementui a pasirinkti yra л būdų, o elementui b pasirinkti yra m būdų, tai galimybių pasirinkti (sudaryti) a ir b elementų porą skaičius lygus m • n .

• Natūraliojo skaičiaus л faktorialas:

л!= л ( л - l ) ( / i - 2 ) - . . . - 3 - 2 - 1 = л ( л - 1 ) ! .

Pavyzdžiui: 5!= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Laikoma, kad 0 ! = 1 1!=1.

• Junginiai yra įvairios elementų grupės besiskiriančios viena nuo kitos arba pačiais elementais, arba jų išsidėstymo tvarka.

• Gretiniai iš л elementų po k yra tokie junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi arba pačiais elementais, arba jų išdėstymo tvarka.

Gretinių iš я elementų po k skaičius yra žymimas Ak (1 <k<n) ir apskaičiuojamas remiantis formulėmis:

4 = л ( Л - 1 ) ( Л - 2 ) - . . . - ( Л - ( * - 1 ) ) arba Ak=-n\

Cn-k)\

Pavyzdžiui: Ą = 5(5 -1)(5 - 2) = 5 · 4 • 3 = 60, arba

_5! 5! _ 5-4-3-2-1 ~ 2 !

Aib =

( 5 - 3 ) !

Laikoma, kad

2 - 1 = 60.

An =1 A0n=I

Gretinių su pasikartojimais iš n elementų po k skaičius

Ak=nk.

• Kėliniai iš n elementų yra gretiniai iš n elementų po n elementų. Kėlinių skaičius žymimas Pn ir apskaičiuojamas remiantis formule:

Pn = л (л -1 ) (л -2 ) - . . . -3 -2 -1 = л!.

Kėlinių su pasikartojimais skaičiaus formulė:

Рп{к\,к2,кг,...,к„)= Uk2\U:.,kn\'

čia л - j u n g i n i o elementų skaičius, /t, - elemento Oi1 pasikartojimų skaičius, k2 - elemento a2 pasikartojimų skaičius,

kn - elemento a„ pasikartojimų skaičius.

Visada t, +к2+къ+... + к„ = n.

• Deriniais iš л elementų po k elementų vadinami junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik pačiais elementais (į elementų išdėstymo tvarką neatsižvelgiame).

Derinių iš n elementų po k skaičius yra žymimas Ck

(1 <k<n) ir apskaičiuojamas remiantis formulėmis:

arba t л ( л - 1 ) ( л - 2) - . . , (л - ( t - l ) ) ^ n ~~ k\

Ck = " k\(n-k)\

Laikoma, kad C00=! C 0 = L

_ „ . . „3 5 (5-1) (5-2) 5 ·4 ·3 ι η , Pavyzdbui, C5 = — = = 10, arba 5 3! 3-2-1

^ 5' 5' C5

3 = = - ± - = 10. 5 31(5-3)! 3!-2!

• Derinių skaičius Ckn savybės:

t _ У-.В-* 1. - Ln .

Pavyzdiiui: C,970 = C™"9 ' = C3

00.

2. ^ Л ~ ^ n - 1 " + " C Z I - , kai Λ < n. Paskalio taisyklė

Pavyzdžiui: C5 = C 3 +C 3 - 1 -S - I + L S - I -= C4

3+C42.

3. + c · + C 2 + . . . + C ; = 2".

Pavyzdžiui: C40 + C į +C4

2 +C43 +C4

4 = 24.

• Derinių su pasikartojimais iš n elementų po k skaičius

^k _ (я+ * - ! ) ! _ * " И(и-1)! " я +*- ' '

—2 , - , 7 ' 7 ' Pavyzdžiui: C 6 = C 2

2 . = C 2 = = - 1 - = 21. 6 + 2 1 7 2!(6-1)! 2!·5!

Ryšys tarp gretinių ir derinių skaičiaus

Pavyzdžiui: Ai1 = 3!-C3 = 210.

• Niutono binomo formulė

(a+ i)" = fO „n . /--I Λ/i—l CnO +CnO į + c n V " 2 į 2 + . . . + + Ck

nank ьпА+сппьп·,

čia Cn - binominiai koeficientai.

Pavyzdžiui:

(a + bΫ = C 5 V +C5O4 Z> + C52O3 • Z>2 + C5

3O2 · i 3 + C54O• ft4 +

+ C 5 V =O5 +5o 4 - į +IOo3 V + IOo2 b* +5a b4 +bs.

Niutono binomo formulės dešinioji dalis vadinama binomo laipsnio dėstiniu. Dėstinyje yra n +1 narys.

Binomo dėstinio (k +1)- ojo nario formulė

τ /^k „n-kik Tk*\=Cna b •

• Paskalio trikampis

и = O Q0 1 /1 = 1 C1

0 с,1 1 1 /г = 2 2 2 2 1 2 1 /i = 3 C3

0 с ] C32 C3

3 1 3 3 1

/j = 4 У-тО y-ll ^--3 /^4 L4 4 4 4 1 4 6 4 1

/i = 5 s-<0 2 /^>3 L5 Lj L5 L5 L5 L5 1 5 10 10 5 1 /1 = 6 riO 2 y-,3 y-4 •чб C6 u6 c6 1 6 15 20 15 6 1

л = 7 C70 C) C2

1 C73 C7

4 C75 C7

6 C77 1 7 21 35 35 21 7 1

20. T I K I M Y B I Ų T E O R I J O S P R A D M E N Y S

20.1. ĮVYKIAI

• Įvykis yra bandymo arba stebėjimo rezultatas.

• Būtinas įvykis yra toks įvykis, kuris, atlikus bandymą, visada įvyksta.

• Negalimas įvykis - įvykis, kuris, atlikus bandymą, niekada neįvyksta.

• Atsitiktinis įvykis yra toks įvykis, kuris, atliekant bandymą, gali įvykti arba neįvykti.

• Nesutaikomi įvykiai yra tokie įvykiai, kurie, atliekant ban-dymą, negali įvykti visi vienu metu, t.y. gali įvykti tik vienas iš jų.

• Poromis nesutaikomi įvykiai yra tokie įvykiai Au A2,..., An, kai bet kurie du iš jų yra nesutaikomi.

• Įvykių A ir B suma yra toks įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš įvykių A ir B. Žymima taip: A+ B.

• Įvykių A ir B sandauga yra toks įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta abu įvykiai A ir B. Žymima taip: AB.

• Lygūs įvykiai A ir B yra tokie įvykiai, jei įvykus vienam iš jų, įvyksta ir kitas. Žymima: A = B .

• Įvykiui A priešingas įvykis yra toks įvykis A , kuris įvyksta tada ir tik tada, kai neįvyksta A.

• Elementarieji įvykiai yra tokie įvykiai, iš kurių susideda kai kurie kiti įvykiai, t.y. tokie įvykiai, kurių negalima išskaidyti į smulkesnius.

• Elementariųjų įvykių aibė yra bandymo visų elementariųjų įvykių visuma. Su bandymu susiję elementarieji įvykiai yra poromis nesutaikomi ir vienas iš jų yra būtinas įvykis.

Pavyzdys. Dėžėje yra 3 rutuliai: raudonas, geltonas ir mėlynas. Iš jos vienu metu ištraukiami du rutuliai. Su šiuo bandymu susiję elementarieji įvykiai yra šie:

E1 - „ištrauktas raudonas ir geltonas rutuliai",

E2 - „ištrauktas geltonas ir mėlynas rutuliai",

Ei - „ištrauktas raudonas ir mėlynas rutuliai".

Įvykiai E1, E2, E3 yra poromis nesutaikomi, t.y. negali

įvykti vienu metu ir vienas iš jų yra būtinasis įvykis.

• Įvykiui A palankūs elementarieji įvykiai yra tokie įvykiai, kuriems įvykstant įvyksta ir mus dominantis įvykis A.

• Du įvykiai yra sutaikomi, jei abiem įvykiams yra bent vienas palankus elementarus įvykis.

• Įvykis A nepriklausomas nuo B tada, kai jo tikimybė nesikeičia nuo to, ar įvykis B įvyko ar neįvyko.

• Įvykiai A ir B yra priklausomi, kai įvykio A tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis B įvyko ar neįvyko.

20.2. ĮVYKIŲ TIKIMYBĖS

• Įvykio A tikimybė skaičiuojama remiantis formule

čia n - visų elementariųjų įvykių skaičius, m - įvykiui A palankių elementariųjų

įvykių skaičius.

0<m<n; 0<P(A)<\.

Būtinojo įvykio tikimybė P(A) = 1, nes m = n.

Negalimo įvykio tikimybė P(A) = O, nes m = 0.

• Įvykiui A priešingo įvykio A tikimybė:

= 1 -P(A); P(A)=\-P 1 4

P(A) = ^ ; n

• Nesutaikomų įvykių A ir B sumos tikimybė:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Jei Ah A2,..., Λ „ - poromis nesutaikomi įvykiai, tai jų sumos

tikimybė skaičiuojama remiantis formule

ĄA,+ A2+...+ An)= P(A1)+P(A2)+...+ ĄA„) •

• Sutaikomų įvykių A ir B sumos tikimybė:

P(A +B) = P(A) +P(B)-P(AB).

• Nepriklausomų įvykių A ir B sandaugos tikimybė:

P(A B) = P(A) P(B).

• Jei kurio nors įvykio A tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis B įvyko ar neįvyko, tai įvykio A tikimybė su sąlyga B (sąlyginė tikimybė) skaičiuojama šitaip:

P(A\B) = ^ - , P(B)* 0.

• Dviejų priklausomų įvykių A ir B sandaugos tikimybė:

P(AB) = P(A)-P(B\A) = P(B)-P(A\B).

• Tikimybę, kad binominiame bandyme įvykis A įvyks k kartų iš n (k = 0,\,2,...,n), skaičiuojame remdamiesi Bernulio formule:

Pn(k) = Ckn pkg ~

čia p - įvykio A tikimybė, o q = 1 - p yra įvykiui A priešingo

įvykio A tikimybė.

20 J . ATSITIKTINIAI DYDŽIAI

• Sakykime, X - atsitiktinis dydis, Jt1, x2, ..., x„ - atsitikti-nio dydžio X įgyjamos skirtingos reikšmės, px = P(X = X1), P2 = P(X = x2), ..., pn = P(X = xn) - atsitiktinio dydžio X įgyjamų reikšmių x,, x2, ..., xn tikimybės.

Atsitiktinio dydžio X skirstinys gali būti užrašomas lentele,

m xI X 2 * 3 xn P(X = m) P\ Pi Рг Pn

kurioje Px+ p2 + p2+...+ pn =1.

• Jei atsitiktinio dydžio X skirstinys užrašytas lentele, tai atsitiktinio dydžio X matematinė viltis (vidurkis) apskai-čiuojama šitaip:

EX = X 1 P , + X2P2+... + χ,,ρ,

EX - matematinės vilties žymėjimas.

• Atsitiktinio dydžio X dispersija - skaičius

DX = E(X - EX)2 = (x, - EX)2 • P1 +

+ (X2-EX)2-p2+... + (xn-EX)2-Pn.

Dispersiją patogiau skaičiuoti pagal formulę

DX = EX2 -(EX)2 =

= (x2 -P1 +X2 -P2 +... + xn2 pn)-(EX)2.

Dispersija parodo, kaip atsitiktinio dydžio X reikšmės yra išsibarsčiusios apie j o matematinę viltį, t.y. dispersija yra atsitiktinio dydžio X reikšmių išsibarstymo apie jo vidurkį matas.

Vidutinis kvadratinis nuokrypis yra dydis:

21. M A T E M A T I N Ė S S T A T I S T I K O S P R A D M E N Y S

• Imties JC,, JC2, ДСЯ plotis

r = xd+xm\

čia xd - imties didžiausia reikšmė,

xm - imties mažiausia reikšmė.

• Imties centras (žymimas raide c) yra didžiausios ir mažiausios imties reikšmių aritmetinis vidurkis

xd+xm 2

• Imties tūris yra imties elementų skaičius.

• Imties mediana (žymima raide M) - skaičius, padalijantis imtį į dvi dalis: apatinę ir viršutinę. Norėdami j ą rasti, pirmiausia išrikiuojame imties elementus didėjimo tvarka (imtį sutvarkome), paskui randame skaičių (ar du tokius skaičius), esantį sutvarkyto sąrašo viduryje:

a) kai imties tūris n - nelyginis skaičius, vidurinio skaičiaus

numeris yra , todėl tas skaičius ir yra mediana;

b) kai imties tūris n - lyginis skaičius, imami du viduriniai

skaičiai, kurių numeriai yra ir — +1 . Mediana yra tų dviejų

skaičių aritmetinis vidurkis.

Pavyzdiiui, sutvarkytos imties 3, 4, 5, 7, 8 mediana M = 5 , 6 + 8

o imties 2, 4, 6, 8, 10, 12 mediana M = = 7 .

Pirmasis kvartilis (JSrt) yra imties apatinės pusės mediana, trečiasis kvartilis (Ki) - viršutinės pusės mediana.

Pavyzdiiui, sutvarkytos imties 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

mediana M = = 5,5 pirmasis kvartilis Ki = 3 , trečiasis

kvartilis X3 = 8 .

• Imties elemento dažnis (žymimas m k ) yra skaičius, parodantis, kiek kartų elementas xk pasikartoja imtyje.

• Dažnių lentelė. Stebėjimo duomenys dažniausiai surašomi į lentelę, kurios pirmoje eilutėje užrašome skirtingas variacinės eilutės reikšmes xk, o an t ro j e - j ų dažnius mk.

Pavyzdiiui·. imties 6, 8, 5, 6, 10, 5, 6, 10, 8, 6, 10 dažnių lentelė yra

xk 5 6 8 10

mk 2 4 2 3

• Imties elemento santykinis dažnis (žymimas raide pk ) yra imties elemento dažnio mk ir imties elementų skaičiaus n santykis:

• Dažnių lentelę galima pavaizduoti grafiškai tokiu būdu: abscisių ašyje atidedame imties reikšmes xux2,...,xk , o ordi-ačių ašyje - jų atitinkamus dažnius тх,т2,...,тк (arba santy-kinius dažnius Ρ',ΡΙ,.,.,ΡΙ)·, tiesių atkarpomis sujungiame taškus ( x k , mk) arba (xk;p'k). Kreivė, jungianti atidėtus taškus ir yra dažnių lentelės grafinis vaizdas. Ši kreivė vadinama poligonu.

• Imties χ , , x 2 , . . . , x„ vidurkiu (žymimas x ) vadinamas aritmetinis vidurkis

_ Xi +X7 + ... + Xn X = — — . n

• Jei imtis užrašyta dažniu lentele

X1 X2 Xn m, / / I 2 mk

tai tokios sugrupuotos imties vidurkis, kai k yra grupių skaičius, apskaičiuojamas pagal formulę

_=Xi m]+x2m2+...+ xkmk

n

• Imties X|,X2 , . . . ,X„ ( « > 1 ) dispersija (žymima s2) apskai-čiuojama pagal formulę

2 _ ( X į - X ) 2 + (X2-X)2 + ... + ( X „ - J ) 2

1 ' n-1

čia χ - imties vidurkis.

• Jei imtis užrašyta dažnių lentele

X\ X2 xn m, rnI mk

tai tokios sugrupuotos imties dispersija apskaičiuojama pagal formulę

2_ (xl-x)2ml + (x2-x)2m2 + ... + (x„-x)2mk

Imtiesdispersija s2 apibudina stebėjimo duomenų išsibars-tymo apie imties vidurkį dydį.

• Dažnai dispersiją patogu skaičiuoti taikant formulę

2 2 * 2 * 2 * — 2 j = x , A + X 2 P 2 + - + X K P K - χ ;

čia χ - imties vidurkis,

o p*, p2,..., p'k - imties elementų santykiniai dažniai.

• Imties x , , x 2 , . . . , x n vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu vadinama šaknis iš imties dispersijos. Jis žymimas raide 5:

(xt-xf+... + {xn-xf n - i

• Tarkime, kad atliekame n bandymų. Kiekvieno bandymo metu įvykis A įvyko arba neįvyko. Jei n bandymų serijoje įvykis A įvyko k kartų, tai įvykio A statistiniu dažniu vadiname

santykį — ir žymime PK{A}: n

'pAAsc-'

čia k - skaičius tų bandymų, kuriuose A įvyko.

• Stebėjimo duomenų grupavimas. Paprastai kurios nors objektų grupės tyrimo pagal tam tikrą požymį procese stebėjimo duomenų gauname labai daug. Jie dažniausiai būna labai išsibarstę, „negražūs". Su tokiais duomenimis sunku atlikti bet kokius skaičiavimus, taip pat sunku nustatyti kokius nors dėsningumus. Skaičiavimams palengvinti stebėjimo duomenys paprastai grupuojami. Grupuojant duomenis, intervalas, kuriame telpa visi stebėjimo duomenys x , , x 2 , . . . , x „ paprastai skaidomas į vienodo ilgio dalinius intervalus [ i , ; i 2 ) , [I2Ui), :.,[tkUk + i ) .

Dalinio intervalo dažnis yra imties reikšmių, patekusių į šį intervalą, skaičius. Jis žymimas л, ; čia i - dalinio intervalo numeris.

Intervalo santykinis dažnis (žymimas f , ) yra intervalo dažnio fiį ir imties tūrio N santykis:

Jei stebėjimo duomenis esame suskirstę į dalinius intervalus, t.y. esame juos sugrupavę, be to, apskaičiavę kiekvieno dalinio intervalo [/,;<,+)), / = 1 ,2 , . . . , k, dažnį л, ir santykinį dažnį f-,, tai visus šiuos skaičiavimo rezultatus patogu surašyti į lentelę

h iJt' lk+\)

"i "l "2 nk

f , /2 Л

Ši sugrupuota duomenų lentelė dar vadinama sugrupuotos imties dažnių lentele.

Turėdami sugrupuotos imties dažnių lentelę galime lengvai nubraižyti grafinį imties vaizdą - histogramą.

Histogramą braižome tokiu būdu: Ox ašyje atidedame dalinius intervalus, o Oy ašyje jų santykinius dažnius f , ; po to virš kiekvieno intervalo braižomas stulpelis, kurio aukštis lygus

santykiniams dažniui ft = — ; gautoji laiptuota figūra, sudaryta N

iš stačiakampių, ir yra histograma.

Histograma rodo, kokiomis proporcijomis duomenys pasis-kirstę pasirinktuose intervaluose.

22. P L A N I M E T R I J A

22.1. KAMPAI IR APSKRITIMAS

Kampai a ir β gretutiniai.

ал- β = 180° .

Kampai φ ir / kryžminiai.

φ = γ

Kampai, gaunami dvi lygiagrečias tieses a ir b kertant trečiąja tiese c.

Vienašaliai kampai: Z 3 ir Z5,

Z 4 ir Z6.

a

cI 2j\

4 / 3

b 6/5 8/7

a\\b

Z 3 + Z5 = 180°,

Z 4 + Z 6 = 180°.

Vidaus priešiniai kampai:

Z3 ir Z6, Z4 ir Z5. Z 3 = Z6, Z 4 = Z5.

• Atitinkamieji kampai:

Z l i r Z 5 , Z 2 i r Z 6 , Z l = Z5, Z 2 = Z6 ,

Z 3 i r Z 7 , Z 4 i r Z 8 . Z 3 = Z7, Z4 = Z8.

• Išorės priešiniai kampai:

Zl ir Z8, Z 2 ir Z7 . Z l = Z8, Z 2 = Z7.

Z1 + Z 7 = 180°, Z 2 + Z 8 = 180°,

Z 3 + Z 8 = 180°, Z 4 + Z 7 = 180°.

Kampo kraštinių kirtimas lygiagrečiomis tiesėmis.

Jei AA1 Il BB1 Il CC1 tai

OA OB OC OA1 OB OC, '

OC OC, CC1

OB OBi BB1 '

OB OB1 B B \ OA OA1 AAi '

OC OA ~

OC1

OA1

_ C C 1 ~ AA1 '

AB A1B1

BC S1C1

AC A1C1-

Talio teorema. Jei vienoje kampo kraštinėje nuosekliai ati-dėsime kelias lygias atkarpas ir per j ų galus išvesime lygiagrečias tieses, kertančias kitą kampo kraštinę, tai jos toje kampo kraštinėje iškirs viena kitai lygias atkarpas, t.y. jei OA1 =A1B1 =B1C1 ir AA1 Il SS1 Il CC1, tai

OA = AB = ВС.

ZAOB - centrinis kampas.

Lanko AKB laipsniniu matu vadinamas j į atitinkančio centri-nio kampo A OB laipsninis matas:

u AKB = ZAOB.

ZAOB - centrinis kampas, ZACB - įbrėžtinis kampas.

Ibrėžtinis kampas matuojamas puse lanko, į kurį jis remiasi:

ZACB = -kjAB. 2

Jeigu apskritimo centras O ir įbrėžtinio kampo A CB viršūnė C yra vienoje stygos AB pusėje, tai

ZACB = -ZAOB.

Jeigu apskritimo centras O ir įbrėžtinio kampo ADB viršūnė D yra skirtingose stygos AB pusėse, tai

Z ADB = \%0° - — Z AOB.

D C /

t? "4S4M J A y —

s 1 1

Įbrėžtiniai kampai, kurie re-miasi į tą patį lanką, yra lygūs.

įbrėžtiniai kampai ACB, ADB ir AEB remiasi į tą patį lanką AB ir todėl yra lygūs, t.y.

ZACB = Z ADB = ZAEB.

Įbrėžtiniai kampai, kurie remiasi į lanką, lygų pusei apskritimo (pusapskritimį), yra statūs.

Įbrėžtiniai kampai KML, KNL ir KPL remiasi į lanką KL, lygų pusei apskritimo, ir todėl yra statūs, t.y.

ZKML = ZKNL = ZKPL = 9 0 ° .

Jei MA ir MB - apskritimo liestinė ir kirstinė, išeinančios iš vieno taško M, tai

MA2 = MB- MC.

Kampas, kurį sudaro liestinė ir kirstinė, išeinančios iš vieno taško M:

ZAMB = ^(U AB-U AC).

O. - " T D

Jei KA ir KB - dvi apskritimo kirstinės, išeinančios iš vieno taško K ir kertančios apskritimą taškuose C ir D, tai

KAKC = KB-KD.

Kampas, kurį sudaro dvi kirs-tinės

Z AKB = —(u AB-UCD).

c > \ s

o, / D

AB ir CD - dvi susikertančios apskritimo stygos.

Susikertančių apskritimo sty-gų savybė:

MA-MB = MC-MD.

Kampas, kurį sudaro dvi susi-kertančios apskritimo stygos

Z AMD = U^J AD + UCB).

Lankas AD yra tarp kampo kraštinių, o lankas CB tarp kraštinių tęsinių.

Jei apskritimo liestinė MN ir styga AB, einančios per tą patį bendrą apskritimo tašką A, sudaro kampą NAB, tai

M A

QL ^ -

3· ZNAB = - U AB = - Z A O B , 2 2

čia ZAOB - apskritimo centrinis

kampas, besiremiantis į stygą AB.

Jei ZACB - apibrėžtinis , CA ir CB yra dvi apskritimo liestinės, išeinančios iš taško C, tai

1) CA = CB.

2) CO yra kampo A CB pusiau-kampinė.

3) OAL CA, OB -L CB - aps-kritimo spindulys, išvestas į lieti-mosi tašką, statmenas liestinei.

Z A CB = - i ( u AEB - VJADB) .

•k "k -k

1. Apskritimo ilgis C = INR arba C = Tid-,

čia R - apskritimo spindulys, d - apskritimo skersmuo: d = 2R .

C_

2R

Apskritimo ilgio ir skersmens santykis yra tas pats, kad ir kokie būtų apskritimai. π - iracionalusis skaičius, π = 3,1416...

Apskritimo lanko, atitinkančio a° centrinį kampą AOB, ilgis:

I _ NRA

1 8 0 '

Stygos AB ilgis:

AB = 2Λ8ΐΗΑ.

22.2. TRIKAMPIAI

a, b, c- trikampio kraštinės,

a, β, γ - trikampio vidaus kampai,

α , β , γ - trikampio vidaus

kampų priekampiai.

• Trikampio vidaus kampų, priekampių ir kraštinių sąryšiai:

1. Trikampio vidaus kampų suma lygi 180°, t.y.

a + β + y = \ 80°.

2. Trikampio priekampis yra didesnis už bet kurį jam negretu-linį trikampio vidaus kampą, t.y.

α > β, a > γ\ β>α,β>γ\ γ > α, γ > β.

3. Trikampio priekampis lygus dviejų jam negretutinių trikam-pio vidaus kampų sumai, t.y.

a' = β + y, β = a + /\ γ = a + β.

4. Trikampio priekampių suma lygi 360°, t.y.

a ' + β + / = 360°.

5. Trikampio nelygybė:

a<b + c, b<a + c, c<a + b.

6. Trikampio perimetras: P = a + b + c.

Trikampio pusperimetris: a + b + c

• Trikampio vidurine linija vadi-nama atkarpa, jungianti jo dviejų kraštinių vidurio taškus. Trikampio vidurinė linija (m) lygiagreti vienai jo kraštinei ir lygi pusei tos kraš-tinės:

m\\ a ir m = —a.

• Kosinusų teorema:

a 2 = b2 + c 2 -2bccosA,

b2 = a2 + c 2 - IaccosB,

c2 = a2 + b2 - 2abcosC.

• Sinusų teorema: sin A sin B sin С

= 2 R;

čia R - apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.

• Trikampio pusiaukampinės ker-tasi viename taške, kuris yra į tri-kampį įbrėžto apskritimo centras.

Sakykime, AD = I a - kampo A pusiaukampinė.

Pusiaukampinės savybė:

m b

n c

A

Pusiaukampinės Ia skaičiavimo formulė Ia = -Jbc - mn.

Trikampio pusiaukraštinės AK, BL ir CM susikerta viename taške O, kuris dalija kiekvienąjų santykiu 2 :1 (pradedant nuo viršūnės):

AO-OK = 2:1,

BO:OL = 2:1,

CO-.OM = 2:1.

AO = — AK, 3

OK = — AK, 3

BO = -BL, 3

OL = -BL, 3

CO = —CM, 3

OM- ---CM. 3

a, b, c - trikampio ABC kraštinės,

ma, mb, mc - trikampio ABC pusiaukraštinės.

b = ^2[m2a+mį)-m2

b, mb =^ΐ(α2+c2)-b2,

c - l ^ t e + m ž K 2 , mc=\Ua2+b2)-c2.

• Į trikampį įbrėžtas apskritimas

1. I kiekvieną trikampį galima įbrėžti apskritimą.

2. Į trikampį įbrėžto apskritimo centras O yra to trikampio pusiau-kampinių AO, BO ir CO susikir-timo taškas.

3. Jei į trikampį ABC įbrėžtas spindulio r apskritimas, tai

čia S - trikampio plotas, p - trikampio pusperimetris:

• Apie trikampį apibrėžtas apskritimas

1. Apie kiekvieną trikampį gali-ma apibrėžti apskritimą.

2. Apie trikampį apibrėžto aps-kritimo centras O yra to trikampio kraštinių vidurio statmenų susikir-timo taškas.

3. Apie trikampį ABC apibrėžto apskritimo spindulys

R = abc

čia S - trikampio plotas; a, b, c- trikampio kraštinės.

STATUSIS TRIKAMPIS

• Trikampis, kurio vienas kampas status, vadinamas stačiuoju. /C = 90°, a, b- statiniai, c - įžambinė.

a . - b sinar = —, s in / ; = —,

c c b a

cosor = —, cos β = —, C C

a 0 b tga = - , t g β = - ,

b a

ctga = - , CtgyJ = ^. a b

a = Csina = C COS β = btga = bcXgfi, b = cs in/? = c c o s a = Otgfi = a c t g a ,

a b b a sin a cos a sin/? cos β

Stačiųjų trikampių savybės

I. Stačiojo trikampio dviejų smailiųjų kampų suma lygi 90°, t.y.

ZA +ZB = 90°.

2. Stačiojo trikampio statinis, esantis prieš 30° kampą, lygus pusei įžambinės, t.y.

jei ZA = 30°, tai a = - .

V Jei stačiojo trikampio statinis lygus pusei įžambinės, tai prieš 1.1 statinį esantis kampas lygus 30°.

a, b - statiniai, с - įžambinė, hc - aukštinė, nuleista iš

stačiojo kampo viršūnės C į įžambinę,

ac — statinio a projekcija įžambinėje c,

bc - statinio b projekcija įžambinėje c.

1. Pitagoro teorema. Stačiojo trikampio įžambinės kvadratas lygus statinių kvadratų sumai:

C2=U2+b2.

Iš Pitagoro teoremos gauname:

C = Va 2 +b2, b = 4c2 -a2, a = V c 2 - b 2 .

2. Stačiojo trikampio statinis yra įžambinės ir jo projekcijos įžambinėje geometrinis vidurkis:

a =-Jc-Oc, t.y. a2 =c-ac,

b = JcTc, t.y. b2 = c-bc.

3. Stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo vir-šūnės, yra statinių projekcijų įžambinėje geometrinis vidurkis:

K= V«c bc t-y- hc =ac -b^

( statųjį trikampį įbrėžtas ir apie statųjį trikampį api-brėžtas apskritimas

a, b - statiniai, c - įžambinė, O - įbrėžto apskritimo centras, r - įbrėžto apskritimo spindulys.

a + b-c r = .

2

1. Apie statųjį trikampį api-brėžto apskritimo centras O yra įžambinės vidurio taškas.

2. Apie statųjį trikampį api-brėžto apskritimo spindulys R lygus pusei įžambinės:

R = - = m/, 2 c

čia mc - pusiaukraštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės <' į įžambinę c.

* * *

LYGIAŠONIS TRIKAMPIS

• Trikampis, kurio dvi kraštinės lygios, vadinamas lygiašoniu.

a h b- šoninės kraštinės, c - pagrindas.

a = b

(šoninės kraštinės lygios).

1. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs, t.y.

ZA = ZB.

2. Lygiašonio trikampio aukštinė, pusiaukampinė ir pusiau-kraštinė, nubrėžtos į pagrindą c sutampa, t.y.

K = m C = l C -

LYGIAKRAŠTIS TRIKAMPIS

• Trikampis, kurio visos kraštinės lygios, vadinamas lygiakraščiu.

1. Lygiakraščio trikampio visi kam-pai lygūs 60°.

2. Lygiakraščio trikampio aukštinė, pusiaukampinė, ir pusiaukraštinė, nubrėžtos iš bet kurios trikampio viršūnės į prieš ją esančią kraštinę, sutampa.

TRIKAMPIŲ LYGUMO POŽYMIAI

Trikampiai ABC ir AiBtCi IygOs (Д ABC = AAiBiCi), jei:

1. AB = AiBi, AC = AiCi, ZA = ZAi (trikampių lygumo

požymis pagal dvi kraštines ir kampo tarp jų),

2. AB = AiBi, ZA = ZAi, ZB = ZBi (trikampių lygumo požymis pagal kraštinę ir du prie jos esančius kampus),

3. AB = AiBi, BC=BiCi, AC=A1C1 (trikampių lygumo

požymis pagal tris kraštines).

TRIKAMPIŲ PANAŠUMAS IR TRIKAMPIŲ PANAŠUMO POŽYMIAI

Du trikampiai panašūs, kai jų atitinkami kampai lygūs ir atitinkamos kraštinės proporcingos, t.y. du trikampiai ABC ir AiBiCi panašūs (žymima: AABC ~ AAiBiCi), jei

ZA = ZAltZB = ZBitZC = ZCl

AB BC AC I-AiBl BlCi AiCi

čia k - panašumo koeficientas.

• Panašių trikampių savybės:

1) Dviejų panašių trikampių ABC ir AiBiC1 plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui, t.y.

Sabc _ Г AB Л 2

i BC r f c] sA1BlCl I AlBij {B1C1 J C, )

2) Dviejų panašių trikampių ABC ir AiBiCi perimetrų santykis lygus panašumo koeficientui:

ÂBC AB BC - A C -k-

pAtBiC1 A1B1 BiC1 AiCx

• Trikampių panašumo požymiai

Pirmasis trikampių panašumo požymis. Jei vieno trikampio du kampai atitinkamai lygūs kito

trikampio dviem kampams, tai tie trikampiai panašūs.

Antrasis trikampių panašumo požymis. Jei vieno trikampio dvi kraštinės proporcingos kito trikampio

dviem kraštinėms ir kampai tarp tų kraštinių lygūs, tai tie trikampiai panašūs.

Trečiasis trikampių panašumo požymis. Jei vieno trikampio visos trys kraštinės proporcingos kito

trikampio kraštinėms, tai tie trikampiai panašūs.

• Stačiųjų trikampių panašumo požymiai

Du statieji trikampiai yra panašūs:

1) jei j ie turi po vieną lygų smailųjį kampą,

2) jei vieno stačiojo trikampio statiniai proporcingi kito stačiojo trikampio statiniams,

3) jei vieno stačiojo trikampio įžambinė ir statinis yra proporcingi kito stačiojo trikampio įžambinei ir statiniui.

KETURI YPATINGI TRIKAMPIO TAŠKAI

1 taškas. Trikampio aukštinės kertasi viename taške.

2 taškas. Trikampio pusiaukampinės kertasi viename taške. Sis taškas yra į trikampio įbrėžto apskritimo centras.

3 taškas. Trikampio pusiaukraštinės kertasi viename taške.

4 taškas. Trikampio kraštinių vidurio statmenys kertasi viename taške. Šis taškas yra apie trikampį apibrėžto apskritimo centras.

•k -k -k

22.3. KETURKAMPIAI

Daugiakampio vidaus kampų suma lygi 180°(n-2) ,č ia n - daugiakampio kraštinių skaičius.

Keturkampio kampų suma lygi 360° (180°(4-2) = 360°).

1. Lygiagretainis

Lygiagretainiu vadina-mas keturkampis, kurio priešingosios kraštinės yra lygiagrečios.

Lygiagretainio savybės

1) Lygiagretainio priešingosios kraštinės yra lygios, priešingieji kampai lygūs.

2) Lygiagretainyje prie vienos kraštinės esančių kampų suma lygi 180°, t.y.

ZA + ZB= 180°, ZB + ZC = 180°,

ZC+ZD= 180°, ZA+ZD= 180°.

3) Lygiagretainio įstrižainės AC ir BD susikerta ir susikirtimo taškas jas dalija pusiau.

4) Lygiagretainio kraštinių kvadratų suma lygi įstrižainių kvadratų sumai:

l(a2 +b2)=d~ +d22\

čia a ir b - dvi gretimos lygiagretainio kraštinės d\ ir d2 -lygiagretainio įstrižainės.

2. Rombas

а/

Ar v d V /

Rombu vadinamas lygia-gretainis, kurio visos kraštinės lygios.

Rombo savybės 1) Rombo įstrižainės rf, ir d2 susikerta stačiuoju kampu:

rf, I d 2 .

2) Rombo įstrižainės yra jo kampų pusiaukampinės.

3) Rombo įstrižainių susikirtimo taškas kiekvieną jų dalija pusiau.

4) Rombo priešingieji kampai lygūs.

5) Ryšys tarp rombo įstrižainių ir kraštinių:

d2 ^d22= Aa2.

3. Stačiakampis

Stačiakampiu vadinamas lygiagretainis, kurio visi kam-pai statūs.

Stačiakampio savybės 1) Stačiakampio priešingosios kraštinės yra lygiagrečios ir

lygios, o kampai statūs.

2) Stačiakampio įstrižainės lygios.

4. Kvadratas

a

Kvadratu vadinamas stačia-kampis, kurio visos kraštinės lygios.

Kvadrato savybės

1) Kvadrato įstrižainės yra lygios ir kertasi stačiu kampu.

2) Kvadrato įstrižainė lygi d = a j l , a - kvadrato kraštinė.

5. Trapecija

Trapecija vadinamas ketur-kampis, kurio dvi priešingosios kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nelygiagrečios.

Trapecijos vidurinė linija m lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei:

N Il U а + Ь m\\a, m\\b, m= .

EF - atkarpa, lygiagreti tra-pecijos pagrindams ir einanti per įstrižainių susikirtimo tašką.

EF = Iab a + b'

ED = FD.

Lygiašonė trapecija

Lygiašonė trapecija - trape-cija, kurios šoninės kraštinės lygios.

Lygiašonės trapecijos savybės 1) Lygiašonės trapecijos šoninės kraštinės yra lygios: AB = CD.

2) Lygiašonės trapecijos kampai prie pagrindo lygūs: Z A = ZDY ZB = ZC.

3) Lygiašonės trapecijos, į kurią galima įbrėžti apskritimą, aukštinė h lygi pagrindų a ir b geometriniam vidurkiui:

-Jai).

Stačioji trapecija

Stačioji trapecija - trapecija, kurios vienas kampas status (ABI AD).

6. Įbrėžtiniai keturkampiai

Kiekvieno įbrėžtinio ketur-kampio priešingųjų kampų suma lygi 180°, t.y.

ZA + ZC = ZB + ZD = \ 80°.

Jeigu keturkampio priešingųjų kampų suma lygi 180°, tai apie j į galima apibrėžti apskritimą.

Apie trapeciją galima apibrėžti apskritimą tik tada, kai ji yra lygiašonė.

Ptolomėjo teorema: ac + bd = ef\

čia a, b, c, d-keturkampio kraštinės, e, f - keturkampio įstrižainės.

7. Apibrėžtiniai keturkampiai

C

Y ^ \ ( я \ "Ly i b

Kiekvieno apibrėžtinio ketur-kampio priešingųjų kraštinių sumos lygios, t.y.

AB + CD = BC + AD.

Jeigu iškiliojo keturkampio priešingųjų kraštinių ilgių sumos lygios, tai į jį galima įbrėžti apskritimą.

į keturkampį įbrėžto apskritimo spindulys:

čia S - apibrėžtinio keturkampio plotas, p - apibrėžtinio keturkampio pusperimetris.

22.4. IŠKILASIS DAUGIAKAMPIS

1. Iškiliojo n-kampio vidaus kampų suma lygi

2. Iškiliojo n-kampio įstrižainių skaičius lygus

3. Iškiliojo n-kampio priekampių suma lygi 360°.

22.5. TAISYKLINGIEJI DAUGIAKAMPIAI

Taisyklingojo daugiakampio visi kampai lygūs ir visos kraštinės lygios.

Taisyklingojo n-kampio visų kampų suma lygi

180°(n-2) .

n ( n - 3 ) 2

( « - 2 ) 1 8 0 ° ,

kiekvienas kampas a = ——--180°

it - taisyklingojo n-kampio kampų (kraštinių) skaičius.

a„ - taisyklingojo n-kampio kraštinės ilgis,

R - apibrėžtinio apskritimo spindulys,

r - įbrėžtinio apskritimo spin-dulys.

a„ = 2/fsin 180° r = R cos 180°

Lygiakraštis trikampis (и = 3) Visų kampų suma lygi 180°. Kiekvienas vidaus kampas a = 60°.

a = Rj3, a = 2λ/3 r,

R-aA R = 2r, 3

a j 3 R r " 6 ' 2

Visų kampų suma lygi 360°. = 90°.

a = Ryl2, a = 2 r,

R = Jlr, 2

a Ryj2 2" 2

Taisyklingasis šešiakampis (n = 6) Visų kampų suma lygi 720°. Kiekvienas vidaus kampas a = 120°.

22.6. PLOKŠČIŲJŲ FIGŪRŲ PLOTAI

1. Trikampio plotas

čia ha - aukštinė, nuleista iš viršūnės A į kraštinę a,

hb - aukštinė, nuleista iš viršūnės B į kraštinę b,

hc - aukštinė, nuleista iš viršūnės C į kraštinę c.

S = — absinC = — bcsin A = —acsin B. 2 2 2

Herono formulė:

S = Jp(p-a)(p-b)(p-c);

a +b +c čia p = trikampio puspenmetns.

S = pr\ čia p - trikampio pusperimetris,

r - į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys.

S = ^ ; 4 R

čia R - apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys, a, b, c - trikampio kraštinės.

Stačiojo trikampio plotas

S = -ab-2

čia a, b - statiniai.

S = ^chc- čia c - įžambinė,

hc - aukštinė, nuleista iš stačiojo kampo viršūnės C į įžambinę c.

Lygiakraščio trikampio plotas

S = a2S

čia a - trikampio kraštinė.

2. Kvadrato plotas

a

a V a

a

W ; čia a - kvadrato kraštinė.

-d2;

čia d - kvadrato įstrižainė.

3. Stačiakampio plotas

S = ab-čia a, b - stačiakampio kraštinės.

5 = —d2s\na>: 2

čia d - stačiakampio įstrižainė, φ - kampas tarp įstrižainių.

4. Lygiagretainio plotas

V Aa V

Aa /

η чУ a

/ а \ а/ / У

{ Г rfi \

d2 / о \ /а

S = aha=bhb;

čia ha, hb - lygiagretainio aukštinės.

5 = αί> sin or.

S = —dtd2 sin^;

čia dx,d2- lygiagretainio įstrižainės,

φ - kampas tarp įstrižainių.

S = ah;

čia a - rombo kraštinė, h - rombo aukštinė.

S = a 2 s inor ; čia a - kampas tarp gretimų rombo kraštinių.

2 ' 2

čia d x , d 2 - rombo įstrižainės.

S = pr\

čia p - pusperimetris: p = 2a, r - į rombą įbrėžto apskritimo

spindulys.

6. Keturkampio plotas

j/d• φ \

S = —d ,d 2 sin ¢7;

čia dbd2- keturkampio įstrižainės,


Įbrėžtinio keturkampio plotas

S = y](P~ a)(P ~ b)(p - c)(p - d) ',

čia p - keturkampio pusperimetris.

Apibrėžtinio keturkampio plotas

I G5 k S = pr;

čia p - keturkampio pusperimetris.

7. Trapecijos plotas

čia a, b - trapecijos pagrindai, h - aukštinė.

S1 = mh;

čia m = a + ^ - trapecijos vidurinė linija.

b

c V / / " I

a

S = — d,d2 sin φ\

čia dx,d2 - įstrižainės,


a + b a-b

yl(p-a)(p-b)(p-b-d)(p-b-c),

čia p - pusperimetris: p = a+b+c+d

Lygiašonės trapecijos, kurios įstrižainės statmenos vienai kitai, plotas

S = h2.

•k * *

8. Taisyklingojo daugiakampio plotas

Pr- c 1 „2 . 360° S = - R «sin ;

čia n - kraštinių skaičius, an - taisyklingojo n-kampio kraštinės ilgis, R - apie taisyklingąjį daugiakampį apibrėžto apskritimo

spindulys, r - į taisyklingąjį daugiakampį įbrėžto apskritimo spindulys, p - pusperimetris.

Lygiakraščio trikampio plotas

4 4

S = ^Zz2; (h = R+r; R:r = 2:l)

Kvadrato plotas

S = a2 ; S = 2R~;

S = Ar1

Taisyklingojo šešiakampio plotas

r _ зУ?а 2 _ З-УЗ/?2

2 ' 2 '

S = 2л/3г2.

skritulio išpjovos plotas

Skritulio plotas

S = nR2;

Čia π a 3,14 - pastovus skaičius; R - skritulio spindulys.

Skritulio išpjovos plotas

SispjAm=â

360 '

čia I - išpjovos lanko ilgis; a° - lanko laipsninis matas;

R - apskritimo spindulys.

Skritulio nuopjovos plotas (nelygios pusskrituliui)

nR2a 360

kai a < 180°.

360

kai a > 180°.

Abiematvejais S ^ o i =— Л2 sin a·, todėl universali nuopjo-

vos ploto skaičiavimo formulė yra

R ( πα 2 V 180

23. S T E R E O M E T R I J A

Stereometrijos aksiomos ir išvados iš aksiomų

1. Per bet kuriuos tris taškus, esančius ne vienoje plokštumoje, eina vienintelė plokštuma.

2. Jei du tiesės taškai yra plokštumoje, tai visi tiesės taškai yra toje plokštumoje.

3. Jei dvi skirtingos plokštumos turi bendrą tašką, tai jos susikerta tiese, kurioje yra visi bendri tų plokštumų taškai.

4. Per tiesę ir joje nesantį tašką eina plokštuma, tačiau tik viena.

5. Per dvi susikertančias tieses eina plokštuma, tačiau tik viena.

23.1. TIESĖS IR PLOKŠTUMOS ERDVĖJE

• Susikertančiosiomis tiesėmis vadinamos tiesės, kurios turi tik vieną bendrą tašką.

• Lygiagrečiosiomis tiesėmis erdvėje vadinamos dvi tiesės, kurios yra vienoje plokštumoje ir neturi bendrų taškų.

• Prasilenkiančiosiomis tiesėmis erdvėje vadinamos dvi tiesės kurios nėra vienoje plokštumoje.

• Galimos šios tiesės ir plokštumos padėtys erdvėje:

1) tiesė ir plokštuma susikerta (tiesė ir plokštuma turi vieną bendrą tašką),

2) tiesė priklauso plokštumai,

3) tiesė lygiagreti plokštumai (tiesė ir plokštuma neturi bendrų taškų).

• Tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis.

Jei plokštumoje nesanti tiesė lygiagreti kuriai nors toje plokš-tumoje esančiai tiesei, tai ta tiesė lygiagreti plokštumai, t.y.

Jei b e a, a t a ir a || b, tai a || a.

• Plokštumos erdvėje gali būti:

1. Susikertančios (jų susi-kirtimo linija yra tiesė a)

2. Lygiagrečios (neturi ben-drų taškų).

α<~\β = а / 4 a \\ β

M / Xfc

s

\ \

V

• Dviejų plokštumų lygiagretumo požymis.

Jei vienos plokštumos dvi susikertančios tiesės lygiagrečios kitos plokštumos dviem susikertančioms tiesėms, tai tos plokštumos lygiagrečios.

• Teorema. Jei dvi lygiagrečias plokštumas kerta trečia plokštuma, tai jų susikirtimo tiesės lygiagrečios.

• Tiesė vadinama statmena plokštumai, jei ji yra statmena kiekvienai tiesei, esančiai toje plokštumoje.

• Tiesės ir plokštumos statmenumo požymis.

Jei tiesė statmena dviem susikertančioms tiesėms, esan-čioms plokštumoje, tai ji stat-mena tai plokštumai, t.y.

Jei aLb ir a X c , tai a 1 a.

• Trijų statmenų teorema. Tiesė, išvesta plokštumoje, statmena pasvirosios projekcijai

toje plokštumoje, yra statmena ir pasvirajai.

AB- statmuo plokštumai a , AC- pasviroji, BC- pasvirosios A C projek-

cija plokštumoje a , a - tiesė, išvesta plokštumoje

a , statmena pasvirosios pro-jekcijai BC.

Jei a l BC, t a i o l ^ C .

Atvirkštinė teorema. Tiesė, išvesta plokštumoje, statmena pasvirajai, yra statmena ir jos projekcijai.

• Kampu tarp tiesės ir plokštumos, kertančios tą tiesę ir jai nestatmenos, vadinamas kampas tarp tiesės ir jos projekcijos

α - kampas tarp tiesės AK ir plokštumos β ,

AM - tiesės AK projekcija plokštumoje β .

plokštumoje.

• Dvisieniu kampu vadinama figūra, kurią sudaro tiesė a bei dvi pusplokštumės, turinčios bendrą kraštą a.

Norėdami išmatuoti dvisie-nio kampo didumą, iš bet kurio briaunos a taško A abiejose kampo sienose išveskime briau-nai statmenus spindulius AB ir AC (ABIDE ir AC IDE).

Tų spindulių sudarytas kampas ВАС vadinamas dvisienio kampo tiesiniu kampu.

Dvisienio kampo Iaipsniniu matu vadinamas jo tiesinio kampo laipsninis matas, t.y. dvisienis kampas matuojamas tiesiniu kampu

• Jei vienas iš keturių dvi-sienių kampų, gautų susikirtus dviem plokštumoms a ir β yra status, tai tokios plokštumos vadinamos statmenomis (viena kitai statmenomis).

• Dviejų plokštumų statmenumo požymis.

Jei viena iš dviejų plokštumų eina per tiesę, statmeną kitai plokštumai, tai tos plokštumos viena kitai statmenos.

23.2. BRIAUNAINIAI

STAČIOJI PRIZMĖ

• Prizmė, kurios šoninės briaunos statmenos pagrindams, vadinama stačiąja.

• Stačioji prizmė, kurios pagrindai yra taisyklingieji dau-giakampiai, vadinama taisyklingąja prizme.

h= AAi = BBi = CCi

- stačiosios prizmės aukštinė lygi jos šoninei briaunai.

1. Stačiosios prizmės šoninio paviršiaus plotas

S ton -Ph,

čia P - prizmės pagrindo perimetras, h - aukštinė.

2. Stačiosios prizmės paviršiaus plotas

S = Sion + ISpagr,

čia Spagr - prizmės pagrindo plotas.

3. Stačiosios prizmės tūris

y = Spagr- h.

GRETASIENIS. STAČIAKAMPIS GRETASIENIS

• Prizmė, kurios pagrindai lygiagretainiai, vadinama gretasieniu.

• Gretasienis, kurio šoninės sienos statmenos pagrindams, vadinamas stačiuoju.

• Statusis gretasienis, kurio pagrindai stačiakampiai, vadinamas stačiakampiu gretasieniu. Stačiakampio gretasienio visos sienos - stačiakampiai.

1. Gretasienio priešingos sienos yra lygiagrečios ir lygios.

2. Gretasienio įstrižainės susi-kerta viename taške, kuris kiek-vienąjų dalija pusiau.

3. Gretasienio įstrižainių susi-kirtimo taškas yra j o simetrijos centras.

a, b, c - stačiakampio greta-sienio matmenys.

1. Visos stačiakampio gretasienio įstrižainės yra lygios.

2. Stačiakampio gretasienio kiek-vienos įstrižainės kvadratas lygus jo matmenų kvadratų sumai:

d2 =a2 +b2 + c2.

3. Stačiakampio gretasienio šoninio paviršiaus plotas

Ss„„=2(ac + bc).

R, C1

h , i C1

I V / sI ^ _ 4 '

i ж įy—'-r

f 7 C

A υ

R, C1

A1 / C1

A1 I \ D i I 4 ι ^d I \

»·—-V-/ \

/ \

c

i

C

A a

c

i

4. Stačiakampio gretasienio viso paviršiaus plotas

S = SSo„+2S =2(ab + bc + ac).

Spagr=Vb pagrindo plotas.

5. Kiekvieno gretasienio turis lygus jo pagrindo ploto ir aukš-tinės sandaugai

V = S^ -h.

6. Stačiakampio gretasienio tūris

V = ab-c.

KUBAS

Kubas yra stačiakampis gre-tasienis, kurio visos briaunos lygios.

Visos kubo sienos kvadratai.

S = 6a1, V = a\

PIRAMIDĖ

Piramide vadinamas briaunainis, kurio viena siena (pagrindas) yra daugiakampis, o šoninės sienos - trikampiai, turintys bendrą viršūnę. • Piramidė, kurios pagrindas - taisyklingasis daugiakampis, o atkarpa, jungianti piramidės viršūnę su pagrindo centru, yra piramidės aukštinė, vadinama taisyklingąja piramide.

R \ Cl

A /u I I I

B) /

/

L) ι a

C C

A a L)

Jei piramidės pagrindas yra trikampis, tai piramidė vadinama trikampe, jei keturkampis - keturkampe, jei penkiakampis -penkiakampe ir t.t.

• Taisyklingosios piramidės šoninės sienos aukštinė, nuleista i š jos viršūnės, vadinama apotema.

Taisyklingoji trikampė piramidė, kurios visos briaunos yra lygios, vadinama tetraedru. 1. Taisyklingosios piramidės šoninio paviršiaus plotas

2. Taisyklingosios piramidės paviršiaus plotas

S = S.,

3. Taisyklingosios piramidės turis

čia h - piramidės aukštinė.

čia hno„ apotema, P - pagrindo perimetras, Spagr - pagrindo plotas, ψ kampas, kurį sudaro

šoninė siena su pagrindo plokštuma (dvisienio kampo prie pagrindo didumas).

NUPJAUTINĖ PIRAMIDĖ

• Jei piramidę perkirsime plokštuma, lygiagrečia pagrindo plokštumai, tai gausime du briaunainius. Vienas jų yra piramidė, o kitas - nupjautinė piramidė

• Nupjautinės piramidės šoninės sienos yra trapecijos.

• Tegu trikampė piramidė SABC yra perkirsta pagrindui lygiagrečia plokštuma. Tada piramidžių SA1B1C1 ir SABC pagrindai AxBiCi ir ABC yra panašieji trikampiai [AiBiCi ~ ABC). Jeigu

SOi - piramidės SAiBiCi aukštinė, SO - piramidės SABC aikštinė, 5, - piramidės SAiBiCi pagrindo plotas, S - piramidės SABC pagrindo plotas, Vi -p i ramidės SAiBiCi tūris,

V- >iramidės SABC tūris, tai

S, , AB1 ^- = Ic2; čia k = - = S AB

S1C1

BC

AiCi

AC

SOi

~~ŠO

V • , SA1 SBi SCi SOi

— = * ; čia k = —- = = V SA SB SC SO

Šios abi formulės galioja ir keturkampei, ir šešiakampei piramidei. Bendru atveju šios formulės galioja ir piramidei, kurios pagrindas yra bet koks iškilasis daugiakampis.

Taisyklingoji nupjautinė piramidė • Nupjautinė piramidė, kuri gaunama taisyklingąją piramidę perkirtus pagrindui lygiagrečia plokštuma, vadinama taisyklingąja nupjautinė piramide.

Taisyklingosios nupjautinės piramidės pagrindai yra tai-syklingieji daugiakampiai. Šoninės sienos - lygiašonės trapecijos. Šoninės sienos (lygiašonės trapecijos) aukš-tinė vadinama apotema (žymima hio„ ) . Hson=EEi.

1. Taisyklingosios nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas

S bon = ^ + ^2 Son '

čia hSo„ - apotema, Pi ir P2 - pagrindų perimetrai.

_ S1 S2

čia S, - apatinio pagrindo plotas, S2 - viršutinio pagrindo plotas, φ - kampas, kurį sudaro šoninė kraštinė su pagrindo

plokštuma (dvisienio kampo prie pagrindo didumas).

2. Nupjautinės piramidės paviršiaus plotas

S = Sfon + Si+ S2.

3. Nupjautinės piramidės toris

vĄh fa+s2+fiX),

čia h - nupjautinės piramidės aukštinė.

23.3. SUKINIAI

RITINYS

• Kūnas, gautas stačiakampį sukant apie ašį, kurioje yra jo kraštinė, vadinamas ritiniu.

1. Ritinio šoninio paviršiaus plotas

S t o l = 2 n r h ,

čia r - ritinio pagrindo spin-dulys,

h - ritinio aukštinė.

2. Ritinio pagrindo plotas

3. Ritinio paviršiaus plotas

4. RitiniotOris V =nr2h.

Spagr = T l r .

S = 2nr{r + h).

Ritinio paviršiaus išklotinė

Θ A

л < C = 2π V

r >

Θ SSun -Ch,

čia C = 2πr - apskritimo ilgis.

KŪGIS

• Kūnas, gautas statųjį trikampį sukant apie ašį, kurioje yra statinis, vadinamas kūgiu.

• Atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su pagrindo (apskritimo) tašku, vadinama kūgio sudaromąja (žymima raide I ) .

1. Kūgio šoninio paviršiaus plotas

SsoiI= nr^

čia r - kūgio pagrindo spin-dulys,

i - kūgio sudaromoji.

2. Kūgio paviršiaus plotas S = nr(r + ().

3. Kūgio tūris V = — nr h, čia h kūgio aukštinė.

Kūgio šoninio paviršiaus išklotinė yra skritulio išpjova, kurios spindulys SA lygus kūgio sudaromajai i , o išpjovos lanko ilgis - kūgio pagrindo apskritimo ilgiui. Kūgio šoninio paviršiaus plotu la ikomasjo išklotinės plotas.

S

" /

' У Λ

Sb», — π(2α 360 '

čia a - lanko laipsninis matas, ( - sudaromoji.

3. Nupjautinio kūgio tūris

• Sferos spindulys - atkar-pa, jungianti sferos centrą O su bet kuriuo sferos tašku (OA = R).

Sferos paviršiaus plotas

5 = AnR2,

Nupjautinis kūgis

1. Nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus plotas

Sia„=n(R + r)e,

čia R - apatinio pagrindo spindulys,

r - viršutinio pagrindo spindulys,

I - sudaromoji (paveiksle e=AB).

2. Nupjautinio kūgio paviršiaus plotas

S = n(R + r)t + nR2 + nr2.

V = -nh(R2 + r2 + Rr)

SFERA

Sfera vadinamas paviršius, sudarytas iš visų erdvės taškų, vienodai nutolusių nuo vieno taško.

čia R - sferos spindulys.

• Plokštuma, kuri su sfera turi vieną bendrą tašką, vadinama liečiamąja plokštuma a , o jų bendras taškas - plokštumos ir sferos lietimosi tašku B. Sferos spindulys, išvestas į sferos ir plokštumos lietimosi tašką, statmenas liečiamajai plokštumai (OB = RtOBla).

RUTULYS

Rutulio tūris

čia R - rutulio spindulys.

Rutulio nuopjova • Rutulio nuopjova vadinama rutulio dalis, kurią nuo jo

atkerta bet kuri jį kertanti plokštuma.

čia OB = R- rutulio spindulys, AB = r - rutulio nuopjovos

pagrindo spindulys, AC = h - rutulio nuopjovos

aukštinė.

1. Rutulio nuopjovos paviršiaus plotas

2. Rutulio nuopjovos tūris

S = InRh.

V = nh2[R-|j; V = — nh(h2 +ir2). 6 v '

Rutulio sluoksnis

• Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių kertamųjų plokštumų.

čia R=AO = CO- rutulio spindulys,

r, = AM - rutulio sluoksnio apatinio pagrindo spindulys,

r2 = CN - rutulio sluoksnio viršutinio pagrindo spindulys,

h = MN - rutulio sluoksnio aukštinė.

1. Rutulio sluoksnio paviršiaus plotas

2. Rutulio sluoksnio tūris

V =-nh' + - U i r 12 + r2

2

6 > v 1 2

Rutulio išpjova

• Rutulio išpjova vadinamas kūnas, gautas skritulio išpjovą, kurios kampas mažesnis už 90°, apsukus apie tiesę, einančią per vieną skritulio išpjovą ribojan-čių spindulių. Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis.

Sd =2nRh.

k

1. Rutulio išpjovos paviršiaus plotas

S ι Spj. = Sfiuopj. + S k.Son.'

čia SnuopJ - rutulio nuopjovos paviršiaus plotas, Sk forl - kūgio šoninio paviršiaus plotas.

Snuopj. = 2 π / ? / ι ;

čia R = OC = OB - ru tu l io spindulys, r = BD = CD - rutulio nuopjovos pagrindo spindulys, h = AD - rutulio nuopjovos aukštinė.

1. Rutulio išpjovos tūris

V=-nR2h. 3

24. V E K T O R I A I . K O O R D I N A Č I Ų M E T O D A S

24.1. BENDROS SĄVOKOS IR VEIKSMAI SU VEKTORIAIS

Vektoriumi vadiname atkarpą, ku-rioje nurodyta kryptis. Jeigu atkarpoje AB nurodyta kryptis iš A į B, tai A vadiname vektoriaus pradžios tašku, B - vektoriaus galo tašku, o patį vek-torių žymime AB.

Vektoriaus AB ilgiu vadiname atkarpos AB ilgį.

• Nuliniu vektoriumi vadiname bet kurį plokštumos tašką.

Nulinio vektoriaus pradžios ir galo taškai sutampa, kryptis neapibrėžta, o ilgis lygus nuliui.

Skson =TiRr,

B

Kai nurodome nulinio vektoriaus pradžios (kartu ir galo)

tašką, nulinį vektorių žymime AA ; kai nenurodome - tiesiog 0.

• Kolineriaisiais vadinami vektoriai, esantys vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse.

• Komplanariaisiais vadinami vektoriai, kurie yra lygiagretūs vienai plokštumai arba yra vienoje plokštumoje.

• Priešingaisiais vadinami vektoriai, kurių ilgiai lygūs, bet kryptys priešingos.

• Lygiais vadinami vienakrypčiai vektoriai, kurių ilgiai lygūs. Visus nulinius vektorius taip pat laikome lygiais.

• Vienetiniu vadinamas vektorius, kurio ilgis lygus vienetui.

1. Vienakrypčių kolinea-riųjų vektorių sudėtis

2. Priešpriešinių kolinea-riųjų vektorių sudėtis

a c

b d

a j b J

c = a + b

c : :

e=č+d \ \

3. Vektorių sudėties tai-syklė

A

4. Vektorių atimtis

Λ Х Ч m / \ m - / i

a + b n

5. Vektorių sudėties lygia-gretainio taisyklė

7. Vektorių sudėties greta-sienio taisyklė

OA = a, ~OB = b, OC = c -Trys nekomplanarieji vekto-

6. Vektorių sudėties dau-giakampio taisyklė

+ DE + EF = AF

8. Vektorių daugyba iš skaičiaus

i .

b

Vektorių sudėties dėsniai

1. a + b=b + a - perstatymo dėsnis.

2. (a + b)+č = a + [b+č) - jung imo dėsnis.

3. a + 0 = a.

24.2. VEKTORIAUS REIŠKIMAS KOORDINATINIAIS VEKTORIAIS

• Kiekvienas plokštumos vektorius a vieninteliu būdu išreiškiamas vienetiniais vek-toriais i , j :

a = xT + yj;

čia χ, y - vektoriaus a koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje; F(1; 0) ir 7(0; 1) - vieneti-niai vektoriai (| i |=| j |= 1). Vektoriaus koordinates nuro-dome taip: a(x\y).

• Kiekvienas erdvės vek-torius a vieninteliu būdu išreiškiamas vienetiniais vek-toriais i , j , k \

a = xi + yj + zk;

išraiškos koeficientai x, y, z vadinami vektoriaus a koordinatėmis turimoje koordinačių sistemoje;

Γ(1;0;0), 7(0; 1;0) ir

fc(0; 0; 1) - vienetiniai vek-

toriai (I Г |=| y I=I Л I= 1).

24.3. VEKTORIŲ, IŠREIKŠTŲ KOORDINATĖMIS, SUDĖTIS ATIMTIS IR DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS

• Jei a (x | ; ^1) ir b(x2\ _y2) - du plokštumos vektoriai, tai

vektoriaus a+ b koordinatės yra (JC, + X2; yx + y2), o vektoriaus

a - b koordinatės yra (*, - x 2 ; yt - y 2 ) ·

Jei a(x;y) - plokštumos vektorius, tai vektoriaus ka koor-dinatės yra (hc; ky); čia k - skaičius.

• Jei α(χ,; г,) ir b(x2; y2\ z2) - du erdvės vektoriai, tai

vektoriaus a + b koordinatės yra + x2 i У\+ У2i z\ + zi)> 0

vektoriaus a - b koordinatės yra ( x , - x 2 ; y\-y2', z , - z 2 ) .

Jei a(x;y;z) - erdvės vektorius, tai vektoriaus ka koor-dinatės yra (kx\ky\kz)\ čia k- skaičius.

24.4. VEKTORIAUS ILGIO REIŠKIMAS JO KOORDINATĖMIS

• Plokštumos vektoriaus a(x,y) ilgį galima apskaičiuoti

remiantis formule:

\а\ = т]х2 +y2;

čia χ, y - vektoriaus a koordinatės.

• Erdvės vektoriaus a(x;y;z) ilgį galima apskaičiuoti

remiantis formule:

a = V lx2+y2+z2.

24.5. VEKTORIŲ SKALIARINĖ DAUGYBA

• Dviejų nenulinių plokštumos vektorių a ir į skaliarine sandauga vadinamas skaičius, lygus tų vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai, t.y.:

a-b =|β|· b cos\a, b j;

• Vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus jo ilgio kvadratui, t.y.

a2 = a • a =\ a \2

• Jei ii(x,; y,) ir b(x2\y2) - du plokštumos vektoriai, tai jų

skaliarinė sandauga išreiškiama formule

ab= x,x2+ y,y2.

• Jei O(X1JJi1JZi) ir b(x2,y2;z2) - du erdvės vektoriai, tai jų

skaliarinė sandauga išreiškiama formule

a • b = XiX2 + yty2 +Z1Z2.

• Vektorių skaliarinės daugybos savybės:

1. a-b = b a - perstatymo dėsnis;

2. + = a c + b - c - skirstymo dėsnis;

3. (ka) b = k((i b) - j ung imo dėsnis.

24.6. DVIEJŲ VEKTORIŲ STATMENUMO SĄLYGA

• Jei vektoriai vienas kitam statmeni, tai jų skaliarinė sandauga lygi nuliui, t.y.

j e i a Iby t a i a-b = X 1 - X 2 +y, -y2 = 0 ;

čia a b- vektorių a(x,; yt) ir b(x2;y2) skaliarinė sandauga.

Analogiška statmenumo sąlyga galioja ir erdvės vektoriams

5 ( χ , ; Λ ; ζ , ) ir b (x2y y2, z2)

Jei aA-b, tai a b = Xi-x2 + yt-y2 + z, -Z2= 0;

24.7. KAMPO TARP VEKTORIŲ SKAIČIAVIMAS

• Jei a(x,; yt) ir b(x2;y2) yra plokštumoje, tai kampo a tarp jų kosinusui apskaičiuoti taikoma formulė:

cos a = - a-b X 1 X 2 + ^ y 2

V i2 +У\ -Jxl+y2!

• Kampo а tarp erdvės vektorių a(x,; y{; z,) I r i (X 2 Jy 2 Jz 2 ) kosinusas apskaičiuojamas pagal formulę:

cosor = -ab X1X2+ y,y2 +Z1Z2 cosor = -

a I- b ^ χ2+y2+z2-V

24.8. DVIEJŲ NENULINIŲ VEKTORIŲ KOLINEARUMO POŽYMIS

• ICad du vektoriai a ir b būtų kolinearūs, būtina ir pakanka, kad egzistuotų toks skaičius k * O, su kuriuo būtų teisinga lygybė

Ь=ка.

• Jei du plokštumos vektoriai a (x,; y]) ir b (x2; y2) yra ko-linearūs, tai jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos, t.y.

X2 y2

Atvirkščiai, jei dviejų plokštumos vektorių atitinkamos koor-dinatės proporcingos, tai tie vektoriai kolinearūs.

• Jei du erdvės vektoriai Л(х,; г,) ir b (x2; y2, z2) yra koli-nearūs, tai jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos, t.y.

*2 У2 z2

Atvirkščiai, jei dviejų erdvės vektorių atitinkamos koor-dinatės proporcingos, tai tie vektoriai kolinearūs.

* * *

24.9. ATKARPOS VIDURIO TAŠKO KOORDINATĖS. ATSTUMAS TARP DVIEJŲ TAŠKŲ. VEKTORIAUS

ILGIO RADIMAS, KAI ŽINOMOS JO PRADŽIOS IR GALO KOORDINATĖS

• Atstumas tarp dviejų plokštumos taškų Л (.*•,;>>,) ir B(x2;y2) išreiškiamas formule

AB •• V f e ~*l)2 +(У2 " Л ) 2 ·

Remiantis šia formule apskaičiuojamas ir plokštumos vektoriaus AB ilgis, kai jo pradžios A koordinatės yra (x,; j , ) , o galo B koordinatės yra (x2; y2), t.y.

AB -- y](x2~X\Y +{У2 ~У\У •

• Jei plokštumos taško A koordinatės yra (х , ;^ , ) , o taško B koordinatės - (x 2 ; .y 2) , tai atkarpos AB vidurio taško C koor-dinates (x; y) randame remdamiesi formulėmis:

У = У1+У2

» Atstumas tarp dviejų erdvės taškų Л (r,; y,; z,) ir

В(х2,y2,z2) išreiškiamas formule

AB = yJ(x2 - Χ , ) 2 +(y2-л)2 +(z2 - z , ) 2 .

Remiantis šia formule apskaičiuojamas ir erdvės vektoriaus AB ilgis, kai jo pradžios A koordinatės yra (x,; ; z , ) , o galo B

koordinatės yra (x2; y2\z2), t.y.

AB = v(*2-•X\ )2 + (У2 - У\)2 + (Z2 - zI )2 ·

• Jei erdvės taško A koordinatės yra (x,; Z1), o taško B

koordinatės - (x2; y2; z 2 ) , tai а1каф08 AB vidurio taško C

koordinates (x; >>; z) randame remdamiesi formulėmis:

Z i+Z? z, + z,

24.10. TIESES LYGTIS

Bendroji tiesės lygtis yra ax + by + c = 0

Jei b * 0 , tai bendrąją tiesės lygtį galima užrašyti taip:

y = kx + l;

a c čia k = , I = .

b b

Skaičius k vadinamas tiesės krypties koeficientu; k = t g a , čia a - kampas, kurį sudaro tiesė su χ ašimi.

Tiesės, einančios per tašką Л/(х,; y , ) , kai yra žinomas krypties koeficientas k = Iga , lygtis

У~У\=к{х~х,).

Tiesės, einančios per du taškus AZ1(X1J^1) ir M2(x2\y2), lygtis

У-У i У 2 ~ УI X2~X\

Tiesių y = k\X+lx ir y = k2x + /2 lygiagretumo sąlyga:

*> - k2.

Tiesių у = к,х + 1, ir y = k2x + l2 statmenumo sąlyga:

Ar, -Ar2 = — 1.

24.11. APSKRITIMO LYGTIS

čia χ, y - bet kurio apskritimo taško koordinatės, x0, y o - apskritimo centro O1 koordinatės, R - apskritimo spindulys.

У/

r RS

N У 2. Jei apskritimo centras su-tampa su koordinačių pradžia O, tai apskritimo lygtis yra

χ2 + y2 = R2;

čia χ, y - bet kurio apskritimo taško koordinatės,

R - apskritimo spindulys.

24.12. SFEROS LYGTIS

Sferos lygtį užrašysime dviem atvejais.

1. Stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz sferos, ku-rios spindulys R ir centras CTx0; .Vo; zo) lygtis

( X - X 0 ) 2 + (y-y0)2 + ( Z - Z 0 ) 2 = / ? 2 .

čia χ, y, z - bet kurio sferos taško koordinatės, x0; y0; z0 - sferos centro C koordinatės, R - sferos spindulys.

2. Jei sferos centras sutampa su koordinačių pradžia O, tai apskritimo lygtis yra

χ 2 + y 2 +z 2 = R 2 ;

čia χ, y, z - b e t kurio sferos taško koordinatės,

R - sferos spindulys.

* * *

1 PRIEDAS. GRAIKŲ KALBOS ABĖCĖLĖ

A a alfa Ii jota Pp TO Ββ beta K k кара Σσ sigma

Γγ gama Λλ lambda T r tau

Δδ delta Μμ mi Υυ ipsilon

Εε epsilon Nv ni Φφ fl

Ζζ dzeta Ξξ ksi Χχ chi

Ηη eta Oo omikron ψ ψ psi

Θθ teta Ππ P·

Ω ω omega

2 PRIEDAS. METRINĖ MATŲ SISTEMA

Ilgio matavimo vienetai

1 kilometras (km) = 1000 metrų (m), 1 metras (m) = 10 decimetrų (dm) = 100 centimetrų (cm), 1 decimetres (dm) = 10 centimetrų (cm), 1 centimetras (cm) = 10 milimetrų (mm).

Ploto matavimo vienetai

1 kvadratinis kilometras (km2) = 1000000 kvadratinių

metrų (m 2 ) ,

1 kvadratinis metras (m2) = 100 kvadratinių decimetrų

(dm1) = 10000 kvadratinių centimetrų (cm2),

1 hektaras (ha) = 100 arų (a) = 10000 kvadratinių metrų (m2),

1 aras (a) = 100 kvadratinių metrų (m2).

Torio matavimo vienetai

1 kubinis metras (m3) = 1000 kubinių decimetrų

(dm3) = 1000000 kubinių centimetrų (cm3) ,

1 kubinis decimetras (dm3) = 1000 kubinių centimetrų (cm3) ,

1 litras (() = 1 kubiniam decimetrui (dm3),

1 hektolitras (hi) = 100 litrų (t) .

Masės matavimo vienetai

1 tona (t) = 1000 kilogramų (kg), 1 centneris (cnt) = 100 kilogramų (kg), 1 kilogramas (kg) = 1000 gramų (g), 1 gramas (g) = 1000 miligramų (mg).

Laiko matavimo vienetai

1 sekundė (s) = —min = —-—h , 60 3600

1 minutė (min) = — h , 60

1 valanda (h) = — paros, 24

1 para = 24 h,

1 metai = 365 (366) paros (dienos),

1 amžius = 100 metų

3 PRIEDAS. NATŪRALIŲJŲ SKAIČIŲ NUO 10 IKI 99 KVADRATŲ LENTELĖ

5ft t-B >55 U

Vienetai

α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361

2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841

3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521

4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401

5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481

6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761

7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241

8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921

9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

4 PRIEDAS. SKAIČIŲ 2 IR 3 LAIPSNIAI

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2" 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

3" 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

5 PRIEDAS. KAI KURIŲ SKAIČIŲ FAKTORIALAI

2! = 2 6! = 720 101 = 3628800 3! = 6 71 = 5040 111 = 39916800 4! = 24 81=40320 121 = 479001600 5 != 120 9! = 362880 13! = 6227020800

6 P R I E D A S . G R E T I N I Ų S K A I Č I U S A * U Ž R A Š A M S

n k n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 2 2 3 3 6 6 4 4 12 24 24 5 5 20 60 120 120 6 6 30 120 360 720 720 7 7 42 210 840 2520 5040 5040 8 8 56 336 1680 6720 20160 40320 40320 9 9 72 804 3024 15120 60480 181440 362880 362880

10 10 90 720 5040 30240 151200 604800 1 8 1 4 4 0 0 3 6 2 8 8 0 0 3 6 2 8 8 0 0

7 P R I E D A S . D E R I N I Ų S K A I Č I U S Ck„

n k n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 I 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455

Documents

Matematikos Atmintine Moksleiviams