VU Matematikos ir informatikos fakultetas - ALGIRDAS ...mif.vu.lt/lt3/dokumentai/dokumentai/DLSM_/mat_fiz1.pdfto Vilniaus universiteto taikomosios matematikos ir matematikos specialybiu˛

ALGIRDAS AMBRAZEVICIUS

MATEMATINES

FIZIKOS

LYGTYS

1 dalis

Vilnius1999

2

T U R I N Y S

Pratarme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 S K Y R I U S 7

PAGRINDINES SAVOKOS 71.1 Apibrežimai ir žymenys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Kai kurios dažnai vartojamos nelygybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Kai kurie matematines ir funkcines analizes teiginiai . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Integraliniai operatoriai su silpna ypatuma erdvese L2(Ω) ir C(Ω) . . . . . . . . . . . 19

2 S K Y R I U S 23

VARIACINIS SKAICIAVIMAS 232.1 Paprasciausi variacinio skaiciavimo uždaviniu pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Pagrindines variacinio skaiciavimo lemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Butina ekstremumo egzistavimo salyga. Oilerio lygtis. Ivairus apibendrinimai . . . . . . 302.4 Bendresni funkcionalai. Naturaliosios kraštines salygos . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Kintamu integravimo režiu atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 Trukiu sprendiniu atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Izoperimetrinis uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 Salyginio ekstremumo uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.9 Variacinio skaiciavimo uždavinys parametrine forma . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.10 Ležandro salyga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.11 Jakobio salyga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.12 Pakankama silpnojo ekstremumo salyga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.13 Hamiltono principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.14 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.15 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 S K Y R I U S 76

MATEMATINIAI FIZIKINIU PROCESU MODELIAI 763.1 Stygos svyravimu lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2 Membranos svyravimas ir pusiausvyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 Šilumos laidumas ir duju difuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3

3.4 Idealiojo skyscio hidrodinamikos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5 Garso bangu lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6 Maksvelo lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.7 Laisvieji elektriniai svyravimai laidininkuose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.8 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.9 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 S K Y R I U S 104

LYGTYS IR KRAŠTINIAI UŽDAVINIAI 1044.1 Daliniu išvestiniu lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2 Tiesiniu antros eiles lygciu klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3 Tiesiniu antros eiles lygciu su pastoviais koeficientais suvedimas i kanonini pavidala . . . 1104.4 Tiesiniu antros eiles lygciu su dviem nepriklausomais kintamaisiais suvedimas i kanonini

pavidala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5 Tiesiniu m-os eiles lygciu ir sistemu klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.6 Pagrindiniai uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.7 Kraštiniu uždaviniu korektiškumo savoka. Nekorektišku uždaviniu pavyzdžiai . . . . . . 1234.8 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.9 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5 S K Y R I U S 130

CHARAKTERISTIKOS IR KOŠI UŽDAVINYS 1305.1 Formaliai jungtiniai operatoriai ir Gryno formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.2 Tiesiniu antros eiles lygciu charakteristikos. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . 1325.3 Tiesiniu m-os eiles lygciu charakteristikos. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . 1375.4 Koši–Kovalevskajos ir Cholmgreno teoremos tiesinei m-os eiles lygciu sistemai . . . . . 139

6 S K Y R I U S 143

ŠTURMO–LIUVILIO UŽDAVINYS 1436.1 Šturmo–Liuvilio operatorius. Kraštinio uždavinio sprendiniu egzistavimo ir vienaties teoremos 1436.2 Tikrines reikšmes ir tikrines funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.3 Energetine erdve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.4 Furje eiluciu diferencijavimas panariui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.5 Apibendrintasis Šturmo–Liuvilio uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.6 Tikriniu reikšmiu ir tikriniu funkciju ekstremalios savybes. Kuranto teorema . . . . . . 1646.7 Asimptotines tikriniu reikšmiu ir tikriniu funkciju savybes . . . . . . . . . . . . . . 1686.8 Singuliarusis Šturmo–Liuvilio uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.9 Singuliariu ju Šturmo–Liuvilio uždaviniu pavyzdžiai ir specialiosios funkcijos . . . . . . 1776.10 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.11 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4

7 S K Y R I U S 190

FURJE, ARBA KINTAMUJU ATSKYRIMO, METODAS 1907.1 Furje metodo schema dvimaciu hiperbolines ir parabolines lygciu atvejais . . . . . . . . 1907.2 Kintamuju atskyrimo metodo pagrindimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.3 Vienaties teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.4 Kai kurie matematines fizikos uždaviniu pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.5 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.6 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8 S K Y R I U S 220

HIPERBOLINES LYGTYS. KOŠI UŽDAVINYS 2208.1 Dalambero formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.2 Koši uždavinys plokštumoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258.3 Gursa uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2298.4 Rymano metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.5 Energetines nelygybes. Vienaties teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2368.6 Bangavimo lygties sprendimas trimaciu atveju. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . 2418.7 Bangavimo lygties sprendimas dvimaciu atveju. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . 2468.8 Bangavimo lygties sprendimas n-maciu atveju. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . 2488.9 Telegrafo lygtis. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.10 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.11 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9 S K Y R I U S 260

PARABOLINES LYGTYS. KOŠI UŽDAVINYS 2609.1 Maksimumo principas. Vienaties teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.2 Šilumos laidumo lygtis. Koši uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.3 Puasono formules pagrindimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.5 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10 S K Y R I U S 283

PAPRASCIAUSIOS ELIPSINES LYGTYS 28310.1 Harmonines funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.2 Integraline funkciju u∈C2(Ω) išraiška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.3 Paprasciausios harmoniniu funkciju savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28710.4 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29310.5 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

5

11 S K Y R I U S 295

DIRICHLE IR NOIMANO UŽDAVINIAI 29511.1 Uždaviniu formulavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29511.2 Vienaties teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29811.3 Formalus Dirichle ir Noimano uždaviniu sprendimas. Gryno funkcija . . . . . . . . . . 30111.4 Dirichle uždavinio sprendimas rutulyje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30411.5 Harnako nelygybe ir Liuvilio teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30811.6 Harmonines funkcijos pašalinamasis ypatingas taškas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30911.7 Kelvino transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31111.8 Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31411.9 Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

12 S K Y R I U S 316

POTENCIALO TEORIJA 31612.1 Liapunovo paviršiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31612.2 Bendresnes kai kuriu integraliniu formuliu taikymo salygos . . . . . . . . . . . . . . 32112.3 Potencialai. Dvilypio sluoksnio potencialo savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32612.4 Paprasto sluoksnio potencialo savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33512.5 Dirichle ir Noimano uždaviniu suvedimas i integralines lygtis . . . . . . . . . . . . . 34112.6 Integralines (Di) ir (Ne) lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34412.7 Integralines (De) ir (Ni) lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34712.8 Singuliarieji integralai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35112.9 Turinio potencialo savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35412.10Uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36012.11Atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Dalykine rodykle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

6

P P A T A R M E

Šio matematines fizikos lygciu kurso pagrinda sudaro paskaitos, kurias autorius skai-to Vilniaus universiteto taikomosios matematikos ir matematikos specialybiu studen-tams. Ju turiniui didele i taka dare N. Uralcevos, O. Ladyženskajos, V. Solonikovo, S.Michlino ir kitu matematiku paskaitos, autoriaus klausytos bunant Sankt Peterburgouniversiteto studentu, o veliau ir doktorantu.

Kurse nagrinejamos elipsines, parabolines ir hiperbolines lygtys. Daugiausia de-mesio skiriama svarbiausiems ju atstovams - Laplaso, šilumos laidumo ir bangavimolygtims. Medžiaga išdestyta taip, kad nepriklausomu kintamuju skaicius dažnai neraesminis. Todel dvieju ir triju nepriklausomu kintamuju atvejai specialiai neišskiriami.Be to, placiai naudojamos funkcines analizes idejos ir metodai. Tai sumažina kursoapimti , daugelis teiginiu tampa paprastesni, ju irodymu neužgožia nereikšmingos de-tales. Kartais dvieju ar triju nepriklausomu kintamuju atvejai turi išskirtiniu savybiu .Jie nagrinejami atskirai.

Kursas padalintas i 12 skyriu . Yra nedidelis literaturos sarašas bei dalykine rodyk-le. Pirmas skyrius yra ivadinis. Jame pateikti pagrindiniai matematines ir funkcinesanalizes teiginiai. Daugelio fizikos ir mechanikos uždaviniu matematiniai modeliaisudaromi remiantis variaciniu Hamiltono principu. Todel antrame skyriuje išdestytivariacinio skaiciavimo elementai. Treciame skyriuje pateikti kai kuriu fizikos ir me-chanikos uždaviniu matematiniai modeliai. Ketvirtame ir penktame skyriuose išdestytibendrieji lygciu dalinemis išvestinemis teorijos elementai. Šeštame ir septintame sky-riuose ištirtas vienmatis Šturmo–Liuvilio uždavinys ir jo taikymai sprendžiant matem-atines fizikos uždavinius kintamuju atskyrimo metodu. Aštuntame ir devintame skyri-uose nagrinejamas Koši uždavinys parabolinems ir hiperbolinems lygtims. Paskutiniu-ose trijuose skyriuose sprendžiami paprasciausiu elipsiniu lygciu Dirichle ir Noimanouždaviniai taikant potencialo teorija.

Kiekvieno skyriaus pabaigoje pateikta po keliolika uždaviniu su atsakymais. Vieniiš ju yra lengvi, kiti sudetingesni. Skaitytojams, kurie studijuoja savarankiškai, reko-menduojame bent nedidele dali ju išspresti.

1 S K Y R I U S

Pagrindines savokos

1.1. APIBREŽIMAI IR ŽYMENYS

Daugelis gamtos reiškiniu aprašomi lygtimis, kurios vadinamos matematines fizikoslygtimis. Dažniausiai tai daliniu išvestiniu lygtys, t.y. lygtys, kuriose nežinomasis yrakeliu (ne mažiau kaip dvieju ) kintamuju funkcijos. Cia daugiausia nagrinesime vienoslygties su viena nežinomaja funkcija atveji . Ieškomaja argumento x = (x1, . . . , xn) ∈Rn funkcija žymesime raide u, o jos dalines išvestines –

uxi =∂u

∂xi, uxixj =

∂2u

∂xi∂xj, Dαu =

∂|α|u

∂xα11 . . . ∂xαnn

;

cia: α = (α1, . . . , αn) – multiindeksas, |α| =n∑i=1

αi, αi – sveikieji neneigiami

skaiciai. Funkcijos u gradienta ir jo moduli žymesime taip:

ux = (ux1, . . . , uxn), |ux| =

( n∑i=1

u2xi

)1/2.

Lygtis, kuri sieja nepriklausomaji kintamaji x, ieškomaja funkcija u ir jos dalinesišvestines, vadinama daliniu išvestiniu lygtimi. Daliniu išvestiniu lygtis vadinama k-osios eiles lygtimi, jeigu i ja ieina bent viena ieškomos funkcijos k-osios eiles dalineišvestine ir neieina aukštesniu eiliu dalines išvestines. Bendru atveju k-osios eilesdaliniu išvestiniu lygti galima užrašyti taip:

F (x, δku) = 0; (1.1)

cia:

δku =(u, ux1 , . . . , uxn , . . . ,

∂ku

∂xkn

)yra vektorius, turintis

Nk =(n+ k)!

n! k!

koordinaciu ; F – argumentu x ∈ Rn, p = (p1, . . . , pNk) ∈ RNk funkcija, tenkinantisalyga

Nk∑i=Nk−1+1

(∂F (x, p)

∂pi

)2

6= 0.

Daliniu išvestiniu lygties sprendiniu vadinama bet kokia funkcija u(x), kuria irašius i(1.1) lygti gaunama tapatybe nepriklausomo kintamojo x atžvilgiu.

8 1. PAGRINDINES SAVOKOS

P a s t a b a . Nagrinejamose lygtyse kartais patogu išskirti koki nors nepriklauso-ma kintamaji (pavyzdžiui, laika arba temperatura). Toki kintamaji žymesime raide t.Ieškomosios funkcijos u = u(x, t) išvestines t atžvilgiu žymesime

ut =∂u

∂t, utt =

∂2u

∂t2

ir t.t.Šioje knygoje vartosime tokius žymenis: Ω – sritis erdveje Rn, t.y. atvira jungioji

aibe; ∂Ω – srities Ω kraštinu tašku aibe; Ω = Ω ∪ ∂Ω; Ω′− griežtai vidine sritis, t.y.Ω′ yra kompaktas1 ir Ω ′ ⊂ Ω. Kai n ≥ 3, kraštiniu tašku aibe ∂Ω žymesime raideS ir vadinsime paviršiumi. Kai n = 2, kraštiniu tašku aibe ∂Ω žymesime raide l irvadinsime konturu. Be to, raide l žymesime ir uždaraji kontura erdveje R3.

n = (n1, . . . , nn) – išorinis srities Ω atžvilgiu vienetinis normales vektorius pavir-šiui S (konturui l, jei n = 2). Noredami pabrežti, kad normales vektorius n skaiciuo-jamas kokiame nors konkreciame taške x ∈ S, ji žymesime nx.

Integralus žymesime vienu integralo ženklu. Jeigu x – integravimo kintamasiserdveje Rn, tai simboliu dx žymesime turio elementa (Lebego mata). Paviršiaus Sploto elementa žymesime dS, o konturo l ilgio elementa – dl. Jeigu keliu kintamujufunkcija f(x, y) yra integruojama kurio nors vieno kintamojo (pavyzdžiui, y) atžvil-giu, tai paviršiaus S ploto elementa žymesime dSy . Srities Ω turi ir paviršiaus S plotažymesime taip:

|Ω| =∫Ω

dx, |S| =∫S

dS.

Priminsime kelis apibrežimus. Tiesine erdve X su joje apibrežta norma yra nor-muota erdve. Pilna normuota erdve vadinama Banacho erdve. Pilna normuota erdvesu joje apibrežta skaliarine sandauga vadinama Hilberto erdve.

Lp(Ω), 1 ≤ p <∞ – maciu ju srityje Ω funkciju , turinciu baigtine norma

‖u‖Lp(Ω) =(∫

Ω

|u(x)|p dx)1/p

,

Banacho erdve. Kai p = 1, Banacho erdve L1(Ω) žymesime L(Ω) . Jeigu u ∈ L(Ω),tai sakysime, kad u yra sumuojama srityje Ω funkcija. Kai p = 2, erdve L2(Ω) yraHilberto erdve. Skaliarine sandauga joje galima apibrežti taip:

(u, v) =

∫Ω

u(x)v(x) dx, ∀u, v ∈ L2(Ω) .

Lp,loc(Ω) – maciu ju ir lokaliai integruojamu laipsniu p srityje Ω funkciju tiesineerdve. Erdve L1,loc(Ω) žymesime Lloc(Ω) .

L∞(Ω) – maciu ju srityje Ω funkciju , turinciu baigtine norma

‖u‖L∞(Ω) =vrai supx∈Ω

|u(x)|,

1Aibe Q ⊂ Rn yra kompaktas, jeigu ji yra aprežta ir uždara.

1.1. APIBREŽIMAI IR ŽYMENYS 9

Banacho erdve.Ck(Ω) – tolygiai tolydžiu uždaroje srityje Ω (sritis gali buti ir neaprežta) funkciju ,

turinciu tolygiai tolydžias dalines išvestines iki k-osios eiles imtinai ir baigtine norma

‖u‖Ck(Ω) =∑|α|≤k

supx∈Ω|Dαu(x)|,

Banacho erdve.Ck(Ω) – tolydžiu srityje Ω funkciju , turinciu tolydžias dalines išvestines iki k-

osios eiles imtinai, aibe.C∞(Ω) – be galo diferencijuojamu srityje Ω funkciju aibe.suppu – funkcijos u atrama, t.y. aibes x : u(x) 6= 0 uždarinys erdveje Rn.

Funkcija u yra finicioji srityje Ω, jeigu suppu yra kompaktas ir suppu ⊂ Ω.C∞0 (Ω) – be galo diferencijuojamu finiciu srityje Ω funkciju aibe.osc u(x); Ω – funkcijos u svyravimas srityje Ω, t.y. skirtumas tarp sup

Ωu(x) ir

infΩu(x).

Sakysime, S yra paviršius klases Ck, jeigu kiekvieno jo taško aplinkoje ji galimaapibrežti lygtimi

yn = f(y1, . . . , yn−1),

kurioje f yra klases Ck funkcija, y1, y2, . . . , yn – vietine ortogonali koordinaciu sis-tema, ašis yn nukreipta normales kryptimi, o ašys y1, . . . , yn−1 yra lieciamojoje plokš-tumoje. Paviršiu klases C1 vadinsime glodžiuoju paviršiumi.

Sakysime, funkcija u srityje Ω tenkina Helderio salyga su rodikliu λ ∈ (0, 1] irHelderio konstanta M, jeigu

〈u〉λΩ ≡ supρ−λosc u; Ωρ

= M, ρ ≤ ρ0;

cia Ωρ yra srities Ω ir rutulio, kurio spindulys ρ, sankirta, o supremumas imamas pagalΩρ.

Jeigu srities Ω kraštas yra pakankamai glodus, pavyzdžiui, klases C1, tai 〈u〉λΩ ga-lima apibrežti ir taip:

〈u〉λΩ ≡ supx,y∈Ω|x−y|≤ρ0

|u(x)− u(y)||x− y|λ

.

Ck+λ(Ω) – tolygiai tolydžiu uždaroje srityje Ω funkciju , turinciu tolygiai tolydžiasdalines išvestines iki k-osios eiles imtinai ir baigtine norma

‖u‖Ck+λ(Ω) ≡k∑|α|=0

supΩ|Dαu(x)|+

∑|α|=k

〈Dαu〉λΩ,

Banacho erdve. Sakysime, kad funkcija u priklauso aibei Ck+λ(Ω), jeigu ji priklausoerdvei Ck+λ(Ω′) kiekvienoje griežtai vidineje srityje Ω′ ⊂ Ω.

Atstumas tarp dvieju tašku erdveje Rn

|x− y| =( n∑i=1

(xi − yi)2)1/2

.


Jeigu Ω yra kokia nors sritis erdveje Rn, tai jos skersmuo

diam Ω = supx,y∈Ω

|x− y|.

Tegu Q yra kokia nors aibe erdveje Rn. Tada taško x ∈ Rn atstumas iki aibes Q

distx,Q = infy∈Q|x− y|.

Jeigu E ir Q – dvi aibes erdveje Rn, tai atstumas tarp ju

dist E,Q = infx∈E,y∈Q

|x− y|.

Tegu x ∈ Rn. Rutuli , kurio centras yra taške x ir spindulys r, žymesime Br(x),t.y.

Br(x) = y ∈ Rn : |x− y| < r.

Sfera, kurios centras yra taške x ir spindulys r, žymesime Sr(x), t.y.

Sr(x) = y ∈ Rn : |x− y| = r.

Jeigu taškas x sutampa su koordinaciu pradžia, t.y. x = 0, rutuli Br(x) ir sfera Sr(x)žymesime trumpiau – Br ir Sr, o rutulio Br turi ir sferos Sr plota – atitinkamai |Br|ir |Sr|.

Suskaiciuosime sferos Sr plota ir rutulio Br turi . Sferos Sr ploto elementas

dS =r√

r2 − x21 − · · · − x2

n−1

dx1 · · · dxn−1;

cia r2 =n∑i=1

x2i . Tegu x1 = rα, x2 = r

√1− α2y2, . . . , xn = r

√1− α2yn. Tada

dS = rn−1(1− α2)n−3

2 dαdy2 · · · dyn−1√

1− y22 − · · · − y2

n−1

.

Iš šios lygybes išplaukia, kad|Sr| = rn−1|S1|,

|S1| = |σ1|1∫−1

(1− α2)n−3

2 dα = 2|σ1|1∫

0

(1− α2)n−3

2 dα; (1.2)

cia |σ1| – vienetines sferos erdveje Rn−1 plotas.Rutulio Br turis

|Br| =r∫

0

∫Sr

dSdr = |S1|r∫

0

rn−1dr =|S1|rn

n.

1.1. APIBREŽIMAI IR ŽYMENYS 11

Suskaiciuosime vienetines sferos plota. Iš pradžiu pastebesime, kad

∫Rn

e−|x|2

dx =( +∞∫−∞

e−s2

ds)n

= πn/2.

Ta pati integrala suskaiciuosime kitu budu.

∫Rn

e−|x|2

dx =

∞∫0

∫Sr

e−r2

dSrdr =

∞∫0

∫S1

e−r2

rn−1 dS1dr =

= |S1|∞∫

0

e−r2

rn−1 dr =1

2|S1|

∞∫0

e−ρρn/2−1 dρ =1

2|S1|Γ (n/2) .

Sulygine šiuos reiškinius, gausime

|S1| = 2πn/2Γ−1 (n/2) ;

cia

Γ(s) =

∞∫0

e−xxs−1 dx

yra gama funkcija.Kiekviename skyriuje yra sava formuliu , lemu , teoremu ir paveiksleliu numera-

cija. Pirmasis skaicius nurodo skyriaus, o antrasis – formules, lemos, teoremos arbapaveikslelio numeri. Teoremos arba lemos irodyma pradesime ženklu /. Irodymopabaiga žymesime ženklu .. Be to, kartais naudosime tokius ženklus: ∃ – egzistuoja;∀ – su visais; ⇐⇒ – tada ir tik tada; → – konverguoja, arba arteja; ⇒ – tolygiaikonverguoja; b.v. – beveik su visais (beveik visiems).


1.2. KAI KURIOS DAŽNAI VARTOJAMOS NELYGYBES

1. Tegu p > 1. Tada ∀a, b ∈ R1 yra teisinga Jungo nelygybe:

|ab| ≤ 1

p|a|p +

1

p′|b|p

′,

1

p+

1

p′= 1. (1.3)

/ Jeigu bent vienas iš skaiciu a arba b lygus nuliui, tai Jungo nelygybe yra akivaizdi.Tarkime, b 6= 0. Tada (1.3) nelygybe galima perrašyti taip:

|ab1−p′| ≤ 1

p|a|p|b|−p

′+

1

p′.

Pažymekime |a||b|1−p′ = t. Tada |a|p|b|−p′ = tp, ir pastaraja nelygybe galima per-rašyti taip:

1

ptp +

1

p′− t ≥ 0. (1.4)

Funkcija

f(t) =1

ptp +

1

p′− t

turi vieninteli minimumo taška t = 1, kuriame ji lygi nuliui. Todel (1.4) nelygybe yrateisinga ∀t ≥ 0. Kartu yra teisinga (1.3) nelygybe. .

I š v a d a . Pakartoje Jungo nelygybes irodyma sandaugai εa · ε−1b, gausime ne-lygybe

|ab| ≤ ε

p|a|p +

ε−p′/p

p′|b|p

′, ∀ε > 0, (1.5)

kuri, kai p = 2, virsta nelygybe

|ab| ≤ ε

2|a|2 +

1

2ε|b|2, ∀ε > 0. (1.6)

2. Tegu p > 1. Tada ∀f ∈ Lp(Ω) ir ∀g ∈ Lp′(Ω) yra teisinga Helderio nelygybe:∣∣∣ ∫Ω

f(x)g(x) dx∣∣∣ ≤ ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lp′ (Ω). (1.7)

/ Laisvai pasirenkame skaiciu ε > 0. Remiantis Jungo nelygybe,

|fg| = |εfε−1g| ≤ εp

p|f |p +

1

p′εp′|g|p

′, ∀ε > 0.

Reiškinys dešineje šios nelygybes puseje yra integruojama srityje Ω funkcija. Todelfunkcija fg taip pat yra integruojama ir∣∣∣ ∫

Ω

fg dx∣∣∣ ≤ ∫

Ω

|fg| dx ≤ εp

p

∫Ω

|f |p dx+1

p′εp′

∫Ω

|g|p′dx, ∀ε > 0.

1.2. KAI KURIOS DAŽNAI VARTOJAMOS NELYGYBES 13

Jeigu ‖f‖Lp(Ω) = 0, tai f(x) = 0 b.v. x ∈ Ω ir (1.7) nelygybe yra akivaizdi. Tegu‖f‖Lp(Ω) 6= 0. Imkime

ε = ‖f‖−1/p′

Lp(Ω)‖g‖1/pLp′ (Ω).

Tada ∣∣∣ ∫Ω

fg dx∣∣∣ ≤ 1

p‖g‖Lp′ (Ω)‖f‖Lp(Ω) +

1

p′‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lp′ (Ω) =

= ‖f‖Lp(Ω)‖g‖Lp′ (Ω). .

Taikant matematines indukcijos metoda, Jungo ir Helderio nelygybes galima api-bendrinti. Tiksliau, yra teisingos tokios nelygybes:

|a1 · . . . · aN | ≤N∑i=1

1

pi|ai|pi ,

∣∣∣ ∫Ω

f1 · . . . · fN dx∣∣∣ ≤ N∏

i=1

‖fi‖Lpi(Ω);

cia ai ∈ R1, fi ∈ Lpi(Ω), pi > 1, ∀i = 1, 2, . . . , N irN∑i=1

1pi

= 1.

3. Tegu p > 1. Tada ∀f, g ∈ Lp(Ω) yra teisinga Minkovskio nelygybe:

‖f + g‖Lp(Ω) ≤ ‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω). (1.8)

/ Jeigu ‖f + g‖Lp(Ω) = 0, tai (1.8) nelygybe yra akivaizdi. Tegu

‖f + g‖Lp(Ω) 6= 0.

Kadangi |f + g| ∈ Lp(Ω), tai |f + g|p/p′ ∈ Lp′(Ω). Be to, p/p′ = p− 1 ir

|f + g|p ≤ (|f |+ |g|)|f + g|p−1.

Pritaike sandaugoms |f ||f + g|p−1 ir |g||f + g|p−1 Helderio nelygybe, gausime iver-cius: ∫

Ω

|f ||f + g|p−1 dx ≤ ‖f‖Lp(Ω)‖f + g‖p/p′

Lp(Ω),

∫Ω

|g||f + g|p−1 dx ≤ ‖g‖Lp(Ω)‖f + g‖p/p′

Lp(Ω).

Iš ju išplaukia

‖f + g‖pLp(Ω) =

∫Ω

|f + g|p dx ≤(‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω)

)‖f + g‖p/p

′

Lp(Ω).

Padalije abi šios nelygybes puses iš ‖f + g‖p/p′

Lp(Ω), gausime (1.8) nelygybe. .


4. Tegu Ω yra aprežta sritis erdveje Rn. Tada ∀y ∈ Rn yra teisinga nelygybe∫Ω

|x− y|−ε dx ≤ |S1|(2 diam Ω)n−ε

n− ε, 0 ≤ ε < n. (1.9)

/ Jeigu dist (y,Ω) > diam Ω ≡ d, tai∫Ω

|x− y|−ε dx ≤ 1

dε|Ω| ≤ |S1|

ndn−ε

ir (1.9) nelygybe akivaizdi. Tegu dist (y,Ω) ≤ d. Tada Ω ⊂ B2d(y) ir

∫Ω

|x− y|−ε dx ≤∫

B2d(y)

|x− y|−ε dx = |S1|2d∫

0

rn−1−εdr = |S1|(2d)n−ε

n− ε.

Taigi ∀y ∈ Rn yra teisinga (1.9) nelygybe. .

1.3. KAI KURIE ANALIZES TEIGINIAI 15

1.3. KAI KURIE MATEMATINES IR FUNKCINESANALIZES TEIGINIAI

Tegu Ω – aprežta sritis erdveje Rn, S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius (konturas), ofunkcija w ∈ C1(Ω) . Tada yra teisinga Gauso–Ostrogradskio formule:∫

Ω

wxk(x) dx =

∫S

w(x) cos(nx, xk) dS, ∀k = 1, 2, . . . , n; (1.10)

cia n – išorinis srities Ω atžvilgiu vienetinis normales vektorius paviršiuje S. Jeigušitoje formuleje paimsime w = uv, u, v ∈ C1(Ω), tai gausime integravimo dalimisformule: ∫

Ω

uxkv dx =

∫S

uv cos(n, xk) dS −∫Ω

uvxk dx. (1.11)

Tuo atveju, kai viena iš funkciju u arba v paviršiuje S lygi nuliui, integravimo dalimisformule suprasteja ir ja galima perrašyti taip:∫

Ω

uxkv dx = −∫Ω

uvxk dx. (1.12)

Tegu X – Banacho erdve,Q ⊂ X.AibeQ yra salyginis kompaktas erdveje X, jeiguiš bet kurios jos sekos galima išskirti konverguojanti poseki.

Tegu X,Y – Banacho erdves. Operatorius A : X → Y yra aprežtas, jeigu jis betkokia aprežta aibe erdveje X perveda i aprežta aibe erdveje Y.Operatorius A : X→ Yyra visiškai tolydus (kompaktinis), jeigu jis bet kokia aprežta aibe erdveje X perveda isalygini kompakta erdveje Y.

Tegu X,Y – tiesines erdves. Operatorius A : X→ Y yra tiesinis, jeigu

A(λx+ µy) = λAx+ µAy, ∀x, y ∈ X, λ, µ ∈ R.

Jeigu A : X→ R, tai sakysime, kad operatorius A yra funkcionalas.Tegu X – Banacho erdve, A : X → X – tiesinis aprežtas operatorius. Sakysime,

kad skaicius λ yra operatoriaus A tikrine reikšme, o elementas x ∈ X – ja atitinkantitikrine funkcija, jeigu x yra netrivialus lygties

Ax = λx

sprendinys erdveje X. Sakysime, kad skaicius µ yra operatoriaus A charakteristinereikšme, jeigu lygtis

µAx = x

turi netrivialu sprendini erdveje X.Tegu X – tiesine erdve. Visuma tiesiniu funkcionalu , apibrežtu erdveje X, vadi-

nama jungtine erdve. Ja žymesime X∗.Tegu A : X → Y yra tiesinis operatorius ir g ∈ Y∗. Tada g(Ax), ∀x ∈ X yra

tiesinis funkcionalas, apibrežtas erdveje X. Kiekviena funkcionala g ∈ Y∗ atitinka


funkcionalas f ∈ X∗. Ši atitiktis apibrežia operatoriu , veikianti iš erdves Y∗ i erdveX∗. Gautas operatorius vadinamas jungtiniu operatoriui A. Ji žymesime A∗.

Tegu X – Banacho erdve, A : X → X – tiesinis visiškai tolydus operatorius,A∗ : X∗ → X∗ – jungtinis operatorius. Šiuo atveju X∗ taip pat yra Banacho erdve, oA∗ – visiškai tolydus operatorius.

1.1 teorema. Lygtisx−Ax = y, y ∈ X, (1.13)

turi sprendini erdveje X tada ir tik tada, kai f(y) = 0, ∀f ∈ X∗ :

f −A∗f = 0. (1.14)

I š v a d a . Jeigu (1.14) lygtis turi tik trivialu sprendini, tai (1.13) lygtis turi spren-dini ∀y ∈ X.

1.2 teorema. Homogenines lygtys

x−Ax = 0, (1.15)

f −A∗f = 0

turi vienoda skaiciu tiesiškai nepriklausomu sprendiniu .

1.3 teorema. Nehomogenine (1.13) lygtis turi sprendini ∀y ∈ X tada ir tik tada, kaihomogenine (1.15) lygtis turi tik trivialu sprendini. Be to, jeigu (1.15) lygtis turi tiktrivialu sprendini, tai (1.13) lygtis ∀y ∈ X turi vieninteli sprendini ir operatorius (I−A)−1 yra aprežtas. Tuo atveju, kai (1.15) lygtis turi netrivialu sprendini, bendraji(1.13) lygties sprendini galima išreikšti formule

x = x0 + x′;

cia: x′ – atskirasis (1.13) lygties sprendinys, o x0 – bendrasis (1.15) lygties sprendinys.

1.4 teorema. Tegu A : X→ X yra tiesinis visiškai tolydus operatorius. Tada

1. Operatoriaus A tikriniu reikšmiu aibe yra baigtine arba skaicioji. Be to, jeigu jiyra skaicioji, tai sudaro artejanciu i nuli skaiciu seka.

2. Jeigu skaicius λ 6= 0 yra operatoriaus A tikrine reikšme, tai ja atitinkanciutikriniu tiesiškai nepriklausomu funkciju aibe yra baigtine.

Šios keturios teoremos yra tiesiniu integraliniu lygciu teorijoje žinomu Fredholmoteoremu analogas. Todel jas tiesiog vadinsime Fredholmo teoremomis.

Tegu Ω ⊂ Rn, Q ⊂ Rm, aprežtos sritys, k ∈ L2(Ω×Q) ir

Ku =

∫Q

k(x, y)u(y) dy, x ∈ Ω

(tokie operatoriai vadinami Hilberto–Šmito operatoriais.

1.3. KAI KURIE ANALIZES TEIGINIAI 17

1.5 teorema. Tegu k ∈ L2(Ω×Q). Tada operatorius

K : L2(Q)→ L2(Ω)

yra visiškai tolydus.

Tegu H yra Hilberto erdve. Aprežtas tiesinis operatorius A : H→ H yra savijungis,jeigu A = A∗, t.y. jeigu

(Ax, y) = (x,Ay), ∀x, y ∈ H.

1.6 teorema. Tegu H yra Hilberto erdve ir A : H → H – savijungis visiškai tolydusoperatorius. Tada operatorius A turi bent viena tikrine reikšme.

Tegu λi yra tikriniu operatoriaus A reikšmiu sistema,

Ni = x ∈ X : Ax = λix.

Jeigu λ0 = 0 yra tikrine operatoriaus A reikšme, tai

N0 = x ∈ X : Ax = 0.

1.7 teorema. Tegu H yra Hilberto erdve ir A : H → H – savijungis visiškai tolydusoperatorius. Tada

H = N0 ⊕∑i

Ni;

cia ⊕ – tiesiogine suma.

1.8 teorema. (Ryso) Tegu f – tiesinis aprežtas (tolydus) funkcionalas Hilberto erdvejeH. Tada egzistuoja vienintelis elementas x0 ∈ H toks, kad

f(x) = (x, x0), ∀x ∈ H, (1.16)

ir ‖f‖ = ‖x0‖. Atvirkšciai, (1.16) lygybe ∀x0 ∈ H apibrežia tiesini aprežta (tolydu)funkcionala f : ‖f‖ = ‖x0‖.

Tegu X,Y – Banacho erdves, L(X,Y) – tiesiniu tolydžiu operatoriu , veikianciu išerdves X i erdve Y, aibe. Aibe L(X,Y) su joje apibrežta norma

‖A‖ = sup‖x‖≤1

‖Ax‖, A ∈ L(X,Y)

yra normuota erdve. Jeigu operatorius A ∈ L(X,X), tai jo norma žymesime ‖A‖X.

1.9 teorema. Tegu X, Y ir Z – Banacho erdves, A ∈ L(X,Y),B ∈ L(Y,Z). Jeigubent vienas iš operatoriu A arba B yra visiškai tolydus, tai ju sandauga BA yra visiškaitolydus operatorius, veikiantis iš erdves X i erdve Z.


1.10 teorema. Tegu A,An ∈ L(X,Y) ir operatoriai An, ∀n = 1, 2, . . . , yra visiškaitolydus. Jeigu ‖An − A‖ → 0, kai n → ∞, tai operatorius A taip pat yra visiškaitolydus.

Šitu teoremu irodyma galima rasti [9], [10] knygose.Funkcija u yra absoliuciai tolydi segmente [a, b], jeigu ∀ε > 0 galima rasti skaiciu

δ > 0 toki, kad bet kuriam baigtiniam segmento [a, b] skaidyniui

a ≤ x1 < x′1 ≤ . . . ≤ xm < x′m ≤ b

teisinga nelygybem∑i=1

|f(x′i)− f(xi)| ≤ ε,

jeigu tikm∑i=1

(x′i − xi) ≤ δ.

Šioje knygoje dažnai vartosime kita ekvivalentu apibrežima (žr. [8], [21]): api-brežta segmente [a, b] funkcija u yra absoliuciai tolydi, jeigu egzistuoja funkcija v ∈L(a, b) tokia, kad

u(x) = u(a) +

x∫a

v(y) dy, ∀x ∈ [a, b].

Be to, b.v. x ∈ [a, b] funkcija u yra diferencijuojama ir u′(x) = v(x).

1.4. INTEGRALINIAI OPERATORIAI 19

1.4. INTEGRALINIAI OPERATORIAI SU SILPNA YPATUMAERDVESE L2(Ω) IR C(Ω)

Tegu Ω – aprežta sritis erdveje Rn; k(x, y) – macioji ir aprežta srityje Ω×Ω funkcija;

K(x, y) =k(x, y)

|x− y|n−α, α ∈ (0, n).

Jeigu šios salygos patenkintos, tai sakysime, kad

Ku =

∫Ω

K(x, y)u(y) dy

yra integralinis operatorius su silpna ypatuma.

1.11 teorema. Tegu K yra integralinis operatorius su silpna ypatuma. Tada jis yravisiškai tolydus operatorius, veikiantis iš erdves L2(Ω) i erdve L2(Ω).

/ Tegu u ∈ L2(Ω) ir v = Ku. Panaudoje Helderio nelygybe, gausime

|v(x)| ≤(∫

Ω

|K(x, y)| dy)1/2(∫

Ω

|K(x, y)|u2(y) dy)1/2

≤

≤(

supx∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dy)1/2(∫

Ω

|K(x, y)|u2(y) dy)1/2

.

Kaire ir dešine šios nelygybes puses keliame kvadratu ir gauta nelygybe integruojamesritimi Ω. Tada∫

Ω

v2(x) dx ≤ supx∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dy supy∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dx∫Ω

u2(y) dy. (1.17)

Kadangi funkcija k yra aprežta, tai egzistuoja konstanta C tokia, kad∫Ω

|K(x, y)| dy ≤ C

∫Ω

dy

|x− y|n−α≤

≤ C

∫|x−y|<d

dy

|x− y|n−α= C|S1|dα/α; (1.18)

cia d = diam Ω. Iš šio ivercio ir (1.17) nelygybes išplaukia

‖K‖L2(Ω) ≤ C|S1|dα/α. (1.19)

Taigi operatorius K : L2(Ω)→ L2(Ω) yra aprežtas.P a s t a b a . Jeigu funkcija K(x, y) = 0, kai |x− y| ≥ ε, tai

‖K‖L2(Ω) ≤ C|S1|εα/α.


Tegu ζ ∈ C∞[0,∞) yra funkcija, tenkinanti salygas: ζ(t) = 1, kai t ∈ [0, 1/2],ζ(t) = 0, kai t ≥ 1, ir 0 ≤ ζ(t) ≤ 1. Operatoriu K išskaidysime i dvieju operatoriusuma

Ku = Kεu+ Kεu;

cia:

Kεu =

∫Ω

K(x, y)ζ(ε−1|x− y|

)u(y) dy,

Kεu =

∫Ω

K(x, y)(1− ζ

(ε−1|x− y|

))u(y) dy.

Kadangi K(x, y)ζ(ε−1|x− y|

)= 0, kai |x− y| ≥ ε, tai

‖Kε‖L2(Ω) ≤ C|S1|εα/α.

Operatoriaus Kε branduolys yra aprežta srityje Ω× Ω funkcija. Iš tikru ju

K(x, y)(1− ζ

(ε−1|x− y|

))= 0,

kai |x− y| < ε/2, ir

∣∣K(x, y)(1− ζ

(ε−1|x− y|

))∣∣ ≤ C

|x− y|n−α≤ C

(2/ε)n−α

,

kai |x − y| ≥ ε/2. Kadangi sritis Ω yra aprežta, tai operatoriaus Kε branduolys yrasumuojama kvadratu funkcija. Todel operatorius Kε, kaip Hilberto–Šmito operatorius(žr. 1.5 teorema), yra visiškai tolydus erdveje L2(Ω) . Be to,

‖K−Kε‖L2(Ω) = ‖Kε‖L2(Ω) ≤ C|S1|εα/α→ 0,

kai ε→ 0. Taigi operatoriu K galima aproksimuoti visiškai tolydžiais operatoriais Kε.Remiantis 1.9 teorema, operatorius K yra visiškai tolydus erdveje L2(Ω) . .

1.12 teorema. Tegu K yra integralinis operatorius su silpna ypatuma, o funkcija k yratolydi kintamojo x atžvilgiu srityje Ω \ y. Tada jis yra aprežtas erdveje C(Ω) ir

‖K‖C(Ω) ≤ C|S1|dα/α. (1.20)

/ Tegu

v(x) =

∫Ω

K(x, y)u(y) dy, u ∈ C(Ω), x, x′ ∈ Ω

ir x′ → x. Tada

|v(x)− v(x′)| ≤∫Ω

∣∣K(x, y)−K(x′, y)∣∣|u(y)| dy =

1.4. INTEGRALINIAI OPERATORIAI 21

=

∫Bρ(x)∩Ω

∣∣K(x, y)−K(x′, y)∣∣|u(y)| dy +

∫Ω\Bρ(x)

∣∣K(x, y)−K(x′, y)∣∣|u(y)| dy,

∀ρ > 0. Paskutinius du integralus pažymesime atitinkamai I1 ir I2. Kadangi x′ → x,tai galime imti x′ ∈ Bρ(x). Ivertinsime integralus I1 ir I2.

I1 ≤ C maxy∈Ω|u(y)|

( ∫Bρ(x)

dy

|x− y|n−α+

∫Bρ(x)

dy

|x′ − y|n−α)≤

≤ C maxy∈Ω|u(y)|

( ∫Bρ(x)

dy

|x− y|n−α+

∫B2ρ(x′)

dy

|x′ − y|n−α)

=

= C′maxy∈Ω|u(y)|

(ρα|S1|/α+ (2ρ)α|S1|/α

),

I2 ≤ supy∈Ω\Bρ(x)

|K(x, y)−K(x′, y)|maxy∈Ω|u(y)||Ω|.

Laisvai pasirenkame skaiciu ε > 0. Skaiciu ρ > 0 fiksuojame taip, kad butupatenkinta nelygybe

I1 ≤ ε/2.Toki ρ parinkti galima, nes α > 0 ir funkcija u yra aprežta. Kadangi funkcija K(x, y)yra tolydi, kai x 6= y, tai egzistuoja skaicius ρ′ < ρ toks, kad

I2 ≤ ε/2,

jei tik |x− x′| < ρ′. Todel

|v(x)− v(x′)| ≤ ε, ∀x′ ∈ Bρ′(x)

ir v ∈ C(Ω) . Be to,

maxx∈Ω|v(x)| ≤ max

y∈Ω|u(y)| sup

x∈Ω

∫Ω

|K(x, y)| dy ≤

≤ maxy∈Ω|u(y)|C|S1|dα/α. .

P a s t a b a . Iš 1.12 teoremos irodymo išplaukia, kad integralas

v(x) =

∫Ω

K(x, y)u(y) dy

yra tolydi uždaroje srityje Ω funkcija, jeigu funkcija u yra tik aprežta.

1.13 teorema. (apie integraliniu lygciu sprendiniu gloduma) Tegu K yra integra-linis operatorius su silpna ypatuma, f ∈ C(Ω) ir u yra lygties

u−Ku = f (1.21)

sprendinys erdveje L2(Ω) . Tada u ∈ C(Ω) .


/ Perrašysime (1.21) lygti taip:

u−Kεu = f + Kεu := gε(u), ε > 0;

cia Kε ir Kε – apibrežti 1.11 teoremoje integraliniai operatoriai.Tegu u yra (1.21) lygties sprendinys erdveje L2(Ω). Operatoriaus Kε branduolys

Kε(x, y) yra tolydi (netgi, kai x = y) funkcija. Todel Kεu ∈ C(Ω). Šito teig-inio irodymas yra visiškai analogiškas 1.12 teoremoje pateiktam funkcijos v tolydumoirodymui. Remdamiesi juo, galime tvirtinti, kad gε(u) ∈ C(Ω) . Toliau nagrinesimedvi lygtis:

u−Kεu = gε(u), u ∈ L2(Ω), (1.22)

iru−Kεu = gε(u), u ∈ C(Ω) . (1.23)

Operatoriaus Kε norma erdvese L2(Ω) ir C(Ω) neviršija C|S1|εα/α. Skaiciu εparinksime taip, kad C|S1|εα/α < 1. Tokiam ε operatorius Kε yra suspaudžiantysisoperatorius erdvese L2(Ω) ir C(Ω) . Todel (1.22) lygtis turi vieninteli sprendini u1 ∈L2(Ω), o (1.23) lygtis turi vieninteli sprendini u2 ∈ C(Ω) . Kadangi funkcija u taippat yra (1.22) lygties sprendinys, tai u1 = u. Be to, u2 ∈ L2(Ω) . Todel funkcija u2

yra ir (1.22) lygties sprendinys. Taciau tada u = u1 = u2 ∈ C(Ω) . .

2 S K Y R I U S

Variacinis skaiciavimas

2.1. PAPRASCIAUSI VARIACINIO SKAICIAVIMOUŽDAVINIU PAVYZDŽIAI

Vienas iš pirmuju variacinio skaiciavimo uždaviniu yra 1696 m. J. Bernulio suformu-luotas uždavinys apie brachistochrone:

1 u ž d a v i n y s . Plokštumoje Oxy yra du taškai, nesantys vienoje vertikaliojetieseje. Tegu x1, y1 ir x2, y2 yra šiu tašku koordinates. Iš taško (x1, y1) i taška (x2, y2)kreive l be trinties slenka materialus taškas. Pradiniu laiko momentu jo greitis v lygusnuliui. Aibeje tokiu kreiviu reikia rasti ta, kuria slinkdamas materialus taškas pasiektutaška (x2, y2) per trumpiausia laika. Ieškomoji kreive l yra vadinama brachistochrone.

Tarkime, koordinaciu ašys x, y parinktos taip, kaip nurodyta 2.1 paveikslelyje,

......................................................

......................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

x1 x2

y1

y2

l

y

x

2.1 pav.

o kreive l apibrežta lygtimi

y = y(x), x ∈ [x1, x2]. (2.1)

Taday(x1) = y1, y(x2) = y2. (2.2)

Pagal energijos tvermes desni

mv2

2= mg(y − y1);

cia: m – slenkancio taško mase, g – laisvojo kritimo pagreitis. Kadangi

|v| = dl

dt=

√1 + y′2

dx

dt,

tai

dt =

√1 + y′2√

2g(y − y1)dx.

Suintegrave šia lygybe nuo x1 iki x2, gausime

T ≡ I (y) =

x2∫x1

√1 + y′2√

2g(y − y1)dx; (2.3)

24 2. VARIACINIS SKAICIAVIMAS

cia T – laikas, kuri sugaišta materialus taškas, judedamas kreive l iš taško (x1, y1) itaška (x2, y2)

Kiekvienai pakankamai glodžiai kreivei l, apibrežtai (2.1) lygtimi ir tenkinanciai(2.2) salygas, (2.3) integralas igyja konkrecia skaitine reikšme. Todel i ji galima žiuretikaip i funkcionala ir nagrinejama uždavini performuluoti taip:

Tegu y = y(x), x ∈ (a, b) yra diferencijuojama funkcija, tenkinanti (2.2) salyga.Aibeje tokiu funkciju reikia rasti ta, kuriai (2.3) funkcionalas igyja mažiausia reikšme.

2 u ž d a v i n y s . Tegu v = v(x, y, z) yra šviesos sklidimo nehomogenineje me-džiagoje greitis. Rasti šviesos sklidimo trajektorija l, jungiancia taškus (x1, y1, z1) ir(x2, y2, z2).

Tarkime, šviesos sklidimo trajektorija yra apibrežiama lygtimis:

y = y(x), z = z(x), x ∈ [x1, x2]. (2.4)

Tada

y(x1) = y1, y(x2) = y2, z(x1) = z1, z(x2) = z2. (2.5)

Kadangi

|v| = dl

dt=

√1 + y′2 + z′2

dx

dt,

tai šviesos spindulys, išeinantis iš taško (x1, y1, z1), pasieks taška(x2, y2, z2) per laika

T ≡ I (y, z) =

x2∫x1

√1 + y′2 + z′2

|v(x, y, z)|dx. (2.6)

Pagal Ferma desni šviesa sklinda ta trajektorija, kuria laikas T yra minimalus.

Kiekvienai pakankamai glodžiai trajektorijai l, apibrežtai (2.4) lygtimis ir tenki-nanciai (2.5) salygas, (2.6) integralas igyja konkrecia skaitine reikšme. Todel i inte-grala I galime žiureti kaip i funkcionala ir (2.3) uždavini galime performuluoti taip:

Tegu y = y(x), z = z(x), x ∈ [x1, x2], yra diferencijuojamos funkcijos, tenki-nancios (2.5) salygas. Tokiu funkciju aibeje reikia rasti tas, kurioms (2.6) funkcionalasigyja mažiausia reikšme.

3 u ž d a v i n y s . Tegu l yra uždaras konturas erdveje R3, o S – paviršius, už-temptas ant konturo l. Tokiu paviršiu aibeje reikia rasti ta, kurio plotas yra mažiausias.

Tarkime, ortogonalioje koordinaciu sistemoje Oxyz paviršius S apibrežiamas lyg-

2.1. PAPRASCIAUSI VARIACINIO SKAICIAVIMO UŽDAVINIU PAVYZDŽIAI 25

timi z = u(x, y), x, y ∈ Ω, ∂Ω – konturo l projekcija i plokštuma Oxy (žr. 2.2 pav.).

.......................................................................................................

.........................

.....................

.........................

...........................

.............................

..............................

∂Ω

S

l

....................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............

..............

.....................................................................................................................

................................................

.......................................

.........................................

.

.......................................................................................................................................................

...................

..................................................

......................................................................................................

................................................................................................

.................................

........................

..................................

.....................................................................................................................................................................

...................

z

x

yΩ

2.2 pav.

Tada paviršiaus S plotas

|S| ≡ I(z) =

∫Ω

√1 + u2

x + u2y dxdy. (2.7)

Jeigu taškas (x, y) ∈ ∂Ω, tai taškas (x, y, u(x, y)) ∈ l. Tai reiškia, kad funkcija u(x, y)taškuose (x, y) ∈ ∂Ω igyja žinoma reikšme. Šia salyga galima užrašyti taip:

u∣∣∂Ω

= ϕ(x, y); (2.8)

cia ϕ – žinoma funkcija.Kiekvienai diferencijuojamai funkcijai z, tenkinanciai (2.8) salyga, (2.7) integralas

igyja konkrecia skaitine reikšme. Vadinasi, i integrala I galime žiureti kaip i funkcio-nala. Tai leidžia 3 uždavini performuluoti taip:

Tegu z = u(x, y) yra diferencijuojama srityje Ω funkcija, tenkinanti (2.8) salyga.Tokiu funkciju aibeje reikia rasti ta, kuriai (2.7) funkcionalas igyja mažiausia reikšme.

4 u ž d a v i n y s . PlokštumojeOxy yra du taškai, sujungti atkarpa ir kreive l, ku-rios ilgis a. Tokiu kreiviu aibeje reikia rasti ta, kuri kartu su atkarpa apriboja didžiausioploto figura.

Tarkime, kad tie taškai yra x ašyje ir turi koordinates (x1, 0), (x2, 0), o kreive lgalima apibrežti lygtimi y = y(x), x ∈ [x1, x2]. Tada

y(x1) = 0, y(x2) = 0. (2.9)

Figuros, apribotos kreive l ir atkarpa [x1, x2], plotas lygus

|S| = I(y) =

x2∫x1

y dx. (2.10)

Kreives l ilgis

|l| = G(y) =

x2∫x1

√1 + y′2 dx. (2.11)


Kiekvienai diferencijuojamai funkcijai y = y(x), x ∈ [x1, x2], tenkinanciai (2.9)salyga, (2.10) ir (2.11) integralai igyja konkrecias skaitines reikšmes. Todel i juosgalima žiureti kaip i funkcionalus ir 4 uždavini performuluoti taip:

Tegu y = y(x), x ∈ [x1, x2], yra diferencijuojama funkcija, tenkinanti (2.9) sa-lyga. Tokiu funkciju aibeje reikia rasti ta, kuriai (2.10) funkcionalas igyja mažiausiareikšme, o (2.11) funkcionalas igyja reikšme a.

Visuose šiuose uždaviniuose ieškome funkcijos (arba keliu funkciju ), kuri tenki-na tam tikras papildomas salygas ir suteikia funkcionalui ekstremalia, t.y. minimaliaarba maksimalia, reikšme. Tiesa, 4 uždavinyje ieškomoji funkcija kartu su (2.9) turitenkinti dar ir (2.11) salyga, kuri yra visai kitokio pobudžio. Apibendrindami šiuosuždavinius sakysime, kad pagrindinis variacinio skaiciavimo uždavinys yra rasti tokiafunkcija, kuriai nagrinejamas funkcionalas igyja ekstremalia reikšme. Šis uždavinysyra analogiškas elementariems analizes uždaviniams, kai yra ieškomi vienos arba keliukintamuju funkcijos ekstremumo taškai. Vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijosf atveju salyga f ′(x) = 0 yra butina lokalaus ekstremumo egzistavimo salyga. Funkci-onalo atveju taip pat yra išvedama butina ekstremumo egzistavimo salyga. Dažniausiaitai yra daliniu išvestiniu lygtis. Ja turi tenkinti ieškomoji funkcija, jeigu tik ji egzis-tuoja. Išvesdami butina ekstremumo egzistavimo salyga, naudosime kelis teiginius. Jieyra vadinami pagrindinemis variacinio skaiciavimo lemomis.

2.2. PAGRINDINES VARIACINIO SKAICIAVIMO LEMOS 27

2.2. PAGRINDINES VARIACINIO SKAICIAVIMO LEMOS

2.1 lema. Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir

b∫a

f(x)η(x) dx = 0, ∀η ∈ C∞0 (a, b) .

Tada f(x) ≡ 0, ∀x ∈ [a, b].

/ Tarkime priešingai, kad lemos salygos yra patenkintos, taciau funkcija f(x) 6≡ 0.Tada egzistuoja taškas x0 ∈ [a, b] : f(x0) 6= 0. Tegu f(x0) > 0. Kadangi funkcija fyra tolydi, tai egzistuoja taško x0 aplinka (x0 − ε, x0 + ε) tokia, kad f(x) > 0, ∀x ∈(x0−ε, x0+ε). Jeigu taškas x0 yra segmento [a, b] kraštinis taškas, pavyzdžiui, x0 = b,tai reikia imti vienpuse šio taško aplinka. Aibeje C∞0 (a, b) imkime kokia nors funkcijaη, kuri yra teigiama ∀x ∈ (x0−ε, x0 +ε) ir lygi nuliui, kai x ∈ [a, b]\ [x0−ε, x0 +ε].Tada

0 =

b∫a

f(x)η(x) dx =

x+ε∫x−ε

f(x)η(x) dx > 0.

Gauta prieštara irodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga. Taigi f(x) = 0, ∀x ∈[a, b]. Atvejis, kai f(x0) < 0, nagrinejamas analogiškai. .

Toks pats teiginys yra teisingas dvilypiu , trilypiu ir apskritai n-lypiu integraluatveju.

2.2 lema. Tegu Ω yra aprežta erdveje Rn sritis, f ∈ C(Ω) ir∫Ω

f(x)η(x) dx = 0, ∀η ∈ C∞0 (Ω) .

Tada f(x) ≡ 0, ∀x ∈ Ω.

P a s t a b a . Šios lemos irodymas yra analogiškas 2.1 lemos irodymui. Be to,2.2 lema išlieka teisinga ir tuo atveju, jeigu joje sriti Ω pakeisime glodžiu n-maciupaviršiumi S.

Kitu triju lemu irodymas yra visiškai kitokio pobudžio.

2.3 lema. Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir

b∫a

f(x)η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C1(a, b) : η(a) = η(b) = 0.

Tada funkcija f yra konstanta.


/ Pažymekime

1

b− a

b∫a

f(x) dx = C.

Tadab∫a

(f(x)− C) dx = 0. (2.12)

Tegu

η(x) =

x∫a

(f(t)− C) dt.

Akivaizdu, kad taip apibrežta funkcija η tenkina lemos salygas, o jos išvestine η′(x) =f(x)− C. Todel

b∫a

(f(x)− C)f(x) dx = 0. (2.13)

Padaugine (2.12) lygybe iš −C ir prideje prie (2.13), rezultata užrašysime taip:

b∫a

(f(x)− C)2 dx = 0.

Taciau ši lygybe yra galima tik tuo atveju, kai f(x) = C, ∀x ∈ [a, b]. .Ši teigini galima apibendrinti.

2.4 lema. Tegu f yra tolydi intervale [a, b] funkcija ir

b∫a

f(x)η(n)(x) dx = 0,

∀η ∈ Cn(a, b) : η(a) = · · · = η(n−1)(a) = 0, η(b) = · · · = η(n−1)(b) = 0.Tada

f(x) = C0 + C1(x− a) + C2(x− a)2 + · · ·+ Cn−1(x− a)n−1;

cia C0, C1, C2, . . . , Cn−1 yra tam tikros konstantos.

Šio teiginio irodyma galima rasti [1] knygoje.

2.5 lema. Tegu f ir g yra tolydžios segmente [a, b] funkcijos ir

b∫a

(g(x)η(x) + f(x)η′(x)) dx = 0, ∀η ∈ C1(a, b) : η(a) = η(b) = 0. (2.14)

Tada f ∈ C1(a, b) ir f ′(x) = g(x), ∀x ∈ [a, b].

2.2. PAGRINDINES VARIACINIO SKAICIAVIMO LEMOS 29

/ Tegu

w(x) =

x∫a

g(t) dt.

Tadab∫a

w(x)η′(x) dx = −b∫a

g(x)η(x) dx

ir (2.14) tapatybe galime perrašyti taip:

b∫a

(f(x)− w(x))η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C10(a, b) .

Funkcija f − w tenkina 2.4 lemos salygas. Todel ji yra konstanta, t.y.

f(x) =

x∫a

g(t) dt+ C.

Taip apibrežta funkcija f yra tolydi ir turi tolydžia išvestine f ′ = g. .


2.3. BUTINA EKSTREMUMO EGZISTAVIMO SALYGA.OILERIO LYGTIS. IVAIRUS APIBENDRINIMAI

Tegu Ω ⊂ R2, F ∈ C(Ω× R); l – glodi kreive, gulinti srityje Ω ir jungianti du taškus.Tarkime, kreive l galima apibrežti lygtimi y = y(x), x ∈ [a, b] ir y(a) = α, y(b) = β.Tada ∀x ∈ [a, b] taškas (x, y(x)) ∈ Ω. Aibe diferencijuojamu funkciju , tenkinanciušias salygas, pažymekime raide M.

Suformuluosime pagrindini variacinio skaiciavimo uždavini. Tegu

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx, y ∈M. (2.15)

Rasti funkcija y ∈M tokia, kad funkcionalas I igytu ekstremalia, t.y. minimalia arbamaksimalia, reikšme.

Šiuo atveju yra kalbama apie absoliutu ji ekstremuma. Norint apibrežti lokalausekstremumo savoka, reikia apibrežti funkcijos (kreives) aplinkos savoka.

Tegu ε > 0 yra fiksuotas skaicius ir y ∈ M. Funkcijos y nulines eiles (arbastipriaja) ε aplinka vadinsime aibe

M0 = y ∈M : maxx∈[a,b]

|y(x)− y(x)| ≤ ε.

Funkcijos y pirmosios eiles (arba silpnaja) ε aplinka vadinsime aibe

M1 = y ∈M : maxx∈[a,b]

|y(x)− y(x)|+ maxx∈[a,b]

|y ′(x)− y′(x)| ≤ ε.

A p i b r e ž i m a s . Sakysime, kad funkcija y ∈ M suteikia funkcionalui Istipru ji (silpnaji) lokalu ekstremuma, jeigu kokioje nors stipriojoje ε aplinkoje M0

(silpnojoje ε aplinkoje M1)

I(y) ≤ I(y), ∀ y ∈M0 (∀ y ∈M1)

arbaI(y) ≥ I(y ), ∀ y ∈M0 (∀ y ∈M1).

Jeigu kokia nors funkcija y suteikia funkcionalui I absoliutu ji ekstremuma, tai jisuteikia ir stipru ji lokalu ekstremuma, tuo labiau ir silpnaji lokalu ekstremuma. Todel,jeigu kokia nors salyga yra butina tam, kad funkcija y suteiktu funkcionalui I silpnajilokalu ekstremuma, tai ši salyga yra butina ir tam, kad funkcija y suteiktu funkcionaluiI stipru ji lokalu ekstremuma, tuo labiau ir absoliutu ji ekstremuma. Taigi išvedant bu-tina ekstremumo salyga, reikia išnagrineti silpnojo lokalaus ekstremumo atveji .

Toliau vietoje naturalios tolydumo salygos reikalausime, kad funkcija F turetutolydžias dalines išvestines iki antrosios eiles imtinai pagal visus savo argumentus.Atkreipsime demesi i tai, kad, irodant kai kuriuos teiginius, pakanka reikalauti tikpirmuju išvestiniu tolydumo.

Tarkime, funkcija y ∈M suteikia (2.15) funkcionalui silpnaji lokalu ekstremuma,o funkcija η ∈ C1

0(a, b) . Funkcija y + εη priklauso kokiai nors silpnai funkcijos y

2.3. BUTINA EKSTREMUMO EGZISTAVIMO SALYGA 31

aplinkai, jeigu skaiciaus εmodulis yra pakankamai mažas. Todel tokioms ε reikšmemsyra teisinga viena iš nelygybiu

I(y) ≤ I(y + εη) arba I(y) ≥ I(y + εη).

Tegu Φ(ε) = I(y + εη). Pagal apibrežima

Φ′(0) = limε→0

I(y + εη)− I(y)

ε=

b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y

′)η′(x)]dx.

Taškas ε = 0 yra funkcijos Φ lokalaus ekstremumo taškas. Todel Φ′(0) = 0. Šiasalyga galima perrašyti taip:

b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y

′)η′(x)]dx = 0, ∀η ∈ C1

0(a, b) . (2.16)

Taigi funkcija y turi tenkinti (2.16) integraline tapatybe.Atvirkštinis teiginys yra neteisingas. Jeigu funkcija y ∈M tenkina (2.16) integra-

line tapatybe, tai nebutinai ji suteikia funkcionalui silpnaji lokalu ekstremuma. Šiuoatveju sakysime, kad funkcionalas I igyja stacionariaja reikšme, o funkcija y yra sta-cionarusis funkcionalo I taškas.

Panaudoje integravimo dalimis formule, perrašysime (2.16) integraline tapatybetaip:

b∫a

[Fy′(x, y, y

′)−x∫a

Fy(t, y(t), y′(t)) dt]η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C1

0(a, b) .

Pagal 2.3 lema funkcija y turi tenkinti lygti

Fy′(x, y, y′)−

x∫a

Fy(t, y(t), y′(t)) dt = C. (2.17)

Ši lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi (integraline forma).Irodyta teigini galima suformuluoti taip: jeigu funkcija y ∈M suteikia funkciona-

lui I silpnaji lokalu ekstremuma, tai egzistuoja konstanta C tokia, kad funkcija y yra(2.17) integralines lygties sprendinys.

P a s t a b a . Išvesdami (2.17) lygti , nesinaudojome tuo, kad funkcija F turi toly-džia išvestine Fx. Galima irodyti (žr. [1]), kad funkcija y tenkina taip pat integralinelygti

F (x, y, y′)− y′Fy′(x, y, y′)−x∫a

Fx(t, y(t), y′(t)) dt = C, x ∈ [a, b]. (2.18)


Grižkime dabar prie (2.16) integralines tapatybes. Pagal 2.5 lema koeficientas prieη′ turi tolydžia kintamojo x atžvilgiu išvestine. Todel (2.16) integraline tapatybe gali-ma perrašyti taip:

Fy′(x, y, y′)η∣∣∣x=b

x=a+

b∫a

[Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))]η(x) dx = 0,

∀η ∈ C10(a, b) . Kadangi η(a) = η(b) = 0, tai

b∫a

[Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))]η(x) dx = 0, ∀η ∈ C1

0(a, b) .

Šioje integralineje tapatybeje reiškinys, esantis laužtiniuose skliaustuose, tenkina 2.1lemos salygas. Todel funkcija y yra diferencialines lygties

Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))

= 0 (2.19)

sprendinys. Ši lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi (diferencialine forma).Irodyta teigini galima suformuluoti taip: jeigu funkcija y ∈M suteikia funkciona-

lui I silpnaji lokalu ekstremuma, tai ji turi tenkinti (2.19) lygti .P a s t a b a . Funkcija Fy′(x, y, y′) turi pilnaja tolydžia kintamojo x atžvilgiu

išvestine. Taciau jos negalima skleisti pagal žinoma sudetines funkcijos diferencija-vimo formule, t.y. negalima panauduoti formules

d

dx(Fy′) = Fxy′ + Fyy′ + Fy′y′y

′′,

nes funkcija y turi tik pirmosios eiles tolydžia išvestine y′.Irodysime, kad išvestine y′′ egzistuoja ir yra tolydi, jeigu Fy′y′ 6= 0. Šis teiginys

kartais yra vadinamas Hilberto teorema. Funkcijos F antros eiles išvestines Fxy′ , Fyy′ ,Fy′y′ yra tolydžios. Todel

Fy′(x+ ∆x, y(x+ ∆x), y′(x+ ∆x))− Fy′(x, y(x), y′(x))

∆x=

= [Fxy′ ] + [Fyy′ ]∆y

∆x+ [Fy′y′ ]

∆y′

∆x.

Cia reiškiniai laužtiniuose skliaustuose yra atitinkamu išvestiniu reikšmes tarpiniuose

taškuose. Be to, kai ∆x→ 0, reiškinys kaireje šios lygybes puseje turi ribad

dx(Fy′), o

reiškiniai [Fxy′ ], [Fyy′ ],∆y∆x, ir [Fy′y′ ] arteja atitinkamai prie Fxy′ , Fyy′ , y′, ir Fy′y′ .

Todel, jeigu Fy′y′ 6= 0, tai reiškinys ∆y′∆x turi riba ir

lim∆x→0

∆y′

∆x:= y′′ =

ddx (Fy′)− Fxy′ − Fyy′y′

Fy′y′.


Taigi, jeigu Fy′y′ 6= 0, išvestine y′′ yra tolydi ir (2.19) Oilerio lygti galima perrašytitaip:

Fy′y′y′′ + Fyy′y

′ + Fxy′ − Fy = 0. (2.20)

Ši lygtis yra diferencialine antros eiles lygtis, o jos bendrasis integralas turi dvi laisva-sias konstantas. Jas galima surasti iš šiu salygu :

y(a) = α, y(b) = β. (2.21)

P a s t a b a . Jeigu Fy′y′ = 0 tik kai kuriuose taškuose, tai šiuose taškuose išvesti-ne y′′ arba neegzistuoja, arba turi truki .

Antros eiles lygtims, iš kuriu galima išreikšti išvestine y′′, yra teisinga tokia teo-rema.

2.1 teorema. (Bernšteino) Lygtis

y′′ = Φ(x, y, y′)

turi vieninteli sprendini, tenkinanti (2.21) salygas, jeigu funkcija Φ ir jos išvestinesΦy, Φy′ yra tolydžios ir egzistuoja konstanta k bei aprežtos neneigiamos funkcijosν(x, y), µ(x, y) tokios, kad

|Φ(x, y, y′)| ≤ ν(x, y)y′2

+ µ(x, y), Φy(x, y, y′) > k.

Šios teoremos irodyma galima rasti [1] knygoje.Keliu funkciju atvejis nagrinejamas analogiškai. Tegu y = (y1, . . . , yn) yra toly-

džiai diferencijuojama vektorine funkcija, tenkinanti salygas

y(a) = α, y(b) = β, α = (α1, . . . , αn), β = (β1, . . . , βn). (2.22)

Tokiu funkciju aibeje nagrinesime funkcionala

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx. (2.23)

Pagrindinis variacinio skaiciavimo uždavinys, taip pat stipriojo ir silpnojo lokalausekstremumo savokos šiam funkcionalui formuluojamos taip kaip ir vienos funkcijosatveju.

Tarkime, kad funkcija y, tenkinanti aukšciau nurodytas salygas, suteikia (2.23)funkcionalui silpna lokalu ekstremuma. Tada kiekvienai fiksuotai vektorinei funkci-jai η = (η1, . . . , ηn), ηi ∈ C1

0(a, b), i = 1, 2, . . . , n, ir vektoriui ε = (ε1, . . . , εn), εi– neneigiami realus skaiciai, yra teisinga viena iš nelygybiu

I(y) ≤ I(y + εη), I(y) ≥ I(y + εη), εη = (ε1η1, . . . , εnηn),

jeigu tik skaicius |ε| =( n∑i=1

ε2i

)1/2

yra pakankamai mažas. Tegu

Φ(ε) = I(y + εη).


Pagal apibrežima

Φεk(0) =

b∫a

[Fyk(x, y, y′)ηk(x) + Fy′k(x, y, y′)η′k(x)

]dx, ∀k = 1, 2, . . . , n.

Taškas ε = 0 yra funkcijos Φ lokalaus ekstremuno taškas. Todel Φ′εk(0) = 0, ∀k =1, 2, . . . , n. Taigi ∀k = 1, 2, . . . , n funkcija yk turi tenkinti integraline tapatybe

b∫a

[Fyk(x, y, y′)ηk(x) + Fy′k(x, y, y′)η′k(x)

]dx = 0.

Toliau, kaip ir vienos funkcijos atveju, galima irodyti, kad ∀k = 1, 2, . . . , n funkcijayk tenkina Oilerio lygti integraline forma:

Fy′k(x, y, y′)−x∫a

Fyk(t, y(t), y′(t)) dt = Ck (2.24)

ir Oilerio lygti diferencialine forma:

Fyk(x, y, y′)− d

dx

(Fy′k(x, y, y′)

)= 0. (2.25)

P a s t a b a . Jeigu funkcija y suteikia (2.23) funkcionalui silpna lokalu ekstremu-ma ir determinantas

det|Fy′ky′l(x, y, y′)| 6= 0,

tai galima irodyti (žr. [1]), kad ∀k = 1, 2, . . . , n funkcija yk turi antros eiles tolydžiasišvestines. Šiuo atveju (2.25) Oilerio lygtys yra antros eiles lygtys ir ju bendrieji in-tegralai turi 2n laisvu ju konstantu . Ieškomoji vektorine funkcija y turi tenkinti (2.22)salygas. I jas ieina lygiai 2n skaliariniu salygu . Taigi laisvu ju konstantu yra lygiaitiek pat, kiek ir salygu joms rasti.

Aukštesnes eiles išvestiniu atveju nagrinesime funkcionala

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′, . . . , y(n)) dx. (2.26)

Tarkime, funkcija y yra n kartu tolydžiai diferencijuojama ir tenkina salygas

y(a) = α, y′(a) = α1, . . . , y(n−1)(a) = αn−1, (2.27)

y(b) = β, y′(b) = β1, . . . , y(n−1)(b) = βn−1, (2.28)

o funkcija F turi pirmos eiles tolydžias dalines išvestines pagal visus argumentus.Absoliutaus ekstremumo uždavinys (2.26) funkcionalui formuluojamas taip kaip

ir (2.15) funkcionalui. Lokalaus ekstremumo uždavini galima apibrežti ivairiai. Taipriklauso nuo to, kaip apibrešime kreives aplinkos savoka. Nagrinejamu atveju kreives


aplinkos savoka naturaliai galima apibrežti nuo nulines iki n-osios eiles. Nulines eilesaplinka yra vadinama stipriaja, o n-osios eiles aplinka – silpnaja.

Tegu funkcija y, tenkinanti išvardytas salygas, suteikia (2.26) funkcionalui lokaluekstremuma (nesvarbu koki), o funkcija η ∈ Cn

0(a, b). Tada realaus kintamojo funkcijaΦ(ε) = I(y + εη) taške ε = 0 turi lokalu ekstremuma ir

Φ′(0) =

b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y

′)η′(x) + · · ·

+Fy(n)(x, y, y′)η(n)(x)]dx = 0.

Kelis kartus pritaike integravimo dalimis formule, perrašysime šia tapatybe taip:

b∫a

Fy(n) −

x∫a

Fy(n−1) dx+

x∫a

x∫a

Fy(n−2) dxdx− · · ·

+ (−1)nx∫a

· · ·x∫a

Fy dx · · · dx· η(n)(x) dx = 0. (2.29)

Kadangi reiškinys figuriniuose skliaustuose tenkina 2.4 lemos salygas, tai funcija y turitenkinti integraline Oilerio lygti :

Fy(n) −x∫a

Fy(n−1) dx+

x∫a

x∫a

Fy(n−2) dxdx− · · · (2.30)

+(−1)nx∫a

· · ·x∫a

Fy dx · · · dx = C0 + C1(x− a) + · · ·+ Cn−1(x− a)n−1.

Diferencijuodami ja n kartu , gausime diferencialine Oilerio lygti :

d

dx

(· · · d

dx

d

dx

[ ddxFy(n) − Fy(n−1)

]+ Fy(n−2)

− · · · (2.31)

+(−1)nFy′)

+ (−1)nFy = 0.

Jeigu funkcija F turi tolydžias dalines išvestines pagal visus savo argumentus iki (n+1)-os eiles imtinai, o funkcija y – tolydžias išvestines iki 2n-os eiles imtinai, tai (2.31)lygti galima perrašyti taip:

Fy −d

dxFy′ + · · ·+ (−1)n

dn

dxnFy(n) = 0. (2.32)

Daugialypio integralo atveju nagrinesime funkcionala

I(u) =

∫Ω

F (x, u, ux) dx. (2.33)


Cia: Ω ⊂ Rn – aprežta sritis; S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius; F – funkcija, turintitolydžias dalines išvestines iki antros eiles imtinai pagal visus savo argumentus; u –tolydžiai diferencijuojama srityje Ω funkcija, tenkinanti salyga

u∣∣S

= ϕ(x), x ∈ S, ϕ ∈ C(S) . (2.34)

Tokiu funkciju u aibeje reikia rasti ta, kuri (2.33) funkcionalui suteikia absoliutu eks-tremuma. Lokalaus (silpnojo ir stipriojo) ekstremumo savokos (2.33) funkcionaluiapibrežiamos visiškai taip pat kaip ir vienmaciu atveju. Reika tik apibrežti funkcijos usilpnaja ir stipriaja aplinkas.

Tarkime, aibeje funkciju , tenkinanciu nurodytas salygas, egzistuoja tokios, ku-rioms (2.33) funkcionalas igyja baigtine reikšme. Daugiamaciu atveju, skirtingai nuovienmacio, gali nebuti ne vienos diferencijuojamos funkcijos, tenkinancios (2.34) sa-lyga, kuriai (2.33) funkcionalas igytu baigtine reikšme. Smulkiau apie tai žr. [1]knygoje.

Tegu funkcija u, tenkinanti (2.34) salyga, suteikia (2.33) funkcionalui silpna lokaluekstremuma, o funkcija η ∈ C1

0(Ω). Be to, tegu srityje Ω funkcija u yra dukart dife-rencijuojama. Funkcija u + εη yra kokioje nors silpnoje funkcijos u aplinkoje, jeiguskaiciaus ε modulis yra pakankamai mažas. Todel tokiems ε yra teisinga viena iš nely-gybiu

I(u) ≤ I(u+ εη), I(u) ≥ I(u+ εη).

Tegu Φ(ε) = I(u+ εη). Pagal apibrežima

Φ′(0) =

∫Ω

[Fu(x, u, ux)η(x) +

n∑k=1

Fuxk (x, u, ux)ηxk(x)]dx.

Taškas ε = 0 yra realaus kintamojo funkcijos Φ lokalaus ekstremumo taškas. TodelΦ′(0) = 0 ir ∀η ∈ C1

0(Ω) yra teisinga integraline tapatybe:∫Ω

[Fu(x, u, ux)η(x) +

n∑k=1

Fuxk (x, u, ux)ηxk(x)]dx = 0. (2.35)

Pritaike integravimo dalimis formule, šia tapatybe perrašysime taip:∫Ω

[Fu(x, u, ux)−

n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)]η(x) dx+

+

∫S

n∑k=1

Fuxk (x, u, ux) cos(n, xk)η(x) dS = 0, ∀η ∈ C10(Ω) .

Funkcija η(x) = 0, kai x ∈ S. Todel integralas paviršiumi S yra lygus nuliui ir yrateisinga integraline tapatybe∫

Ω

[Fu(x, u, ux)−

n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)]η(x) dx = 0, ∀η ∈ C1

0(Ω) .


Reiškinys, esantis laužtiniuose skliaustuose, tenkina 2.1 lemos salyga. Todel jis yralygus nuliui, t.y.

Fu(x, u, ux)−n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)= 0. (2.36)

Irodyta teigini suformuluosime taip: jeigu dukart tolydžiai diferencijuojama funkcijau suteikia (2.33) funkcionalui bent silpna lokalu ekstremuma, tai ji turi tenkinti (2.36)Oilerio lygti .

Glodus Oilerio lygties sprendinys vadinamas ja atitinkancio funkcionalo ekstre-male. Aišku, ekstremale ne visada suteikia funkcionalui silpna lokalu ekstremuma.Nagrinejamu atveju, kaip ir vieno realaus kintamojo funkcijai, reikalingas papildomastyrimas.

P a s t a b a . Išvesdami (2.36) lygti reikalavome, kad funkcija u butu dukart dife-rencijuojama. Priminsime, kad vienmaciu atveju reikalavome tik pirmos išvestinestolydumo, o antros eiles išvestines tolyduma irodeme. Be to, vienmaciu atveju išpradžiu išvedeme integraline Oilerio lygti (i kuria ieina tik pirmosios išvestines), opo to diferencialine (i kuria jau ieina ir antrosios išvestines). Analogiška teorija yragalima ir daugiamaciu atveju. Taciau ji jau nera tokia paprasta.


2.4. BENDRESNI FUNKCIONALAI.NATURALIOSIOS KRAŠTINES SALYGOS

I rodyti 2.3 skyrelio teiginiai išlieka teisingi ir bendresniu pavidalu funkcionalams.Dažniausiai tai funkcionalai, i kuriuos, be iprasto integralo, ieina papildomi nariai,priklausantys nuo žinomu funkciju reikšmiu integravimo režiu taškuose arba integra-vimo srities kraštiniuose taškuose. Irodysime, kad tokiems fukcionalams Oilerio lygtisišlieka ta pati, o papildomi nariai turi i takos tik kraštinems salygoms. Be to, skirtingainuo ankšciau išnagrinetu uždaviniu , nereikalausime, kad ieškomoji funkcija tenkintukokias nors išankstines salygas.

Vienmaciu atveju nagrinesime funkcionala

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx+ ϕ(y(a)) + ψ(y(b)); (2.37)

cia: F – funkcija, turinti tolydžias dalines išvestines pagal visus argumentus iki antroseiles imtinai, o ϕ ir ψ – diferencijuojamos funkcijos.

Tarkime, kad dukart diferencijuojama funkcija y suteikia (2.37) funkcionalui bentsilpna lokalu ekstremuma. Laisvai pasirenkame funkcija η ∈ C1[a, b] . Funkcija y +εη priklauso kokiai nors silpnai funkcijos y aplinkai, jeigu tik skaiciaus ε modulisyra pakankamai mažas. Priminsime, kad taškuose a ir b funkcijai y nekeliame jokiuišankstiniu salygu . Todel funkcija η taškuose a ir b gali igyti bet kokias reikšmes.

Tegu Φ(ε) = I(y + εη). Tada

Φ′(0) = limε→0

I(y + εη)− I(y)

ε=

=

b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y′)η′(x)] dx+ ϕ′(y(a))η(a) + ψ′(y(b))η(b).

Taškas ε = 0 yra lokalaus ekstremumo taškas. Todel Φ′(0) = 0. Taigi funkcija y turitenkinti integraline tapatybe

b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y′)η′(x)] dx+ ϕ′(y(a))η(a) + ψ′(y(b))η(b) = 0.

Panaudoje integravimo dalimis formule, ja perrašysime taip:

b∫a

[Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))]η(x) dx+

+ Fy′(x, y, y′)η(x)

∣∣∣x=b

x=a+ ϕ′(y(a))η(a) + ψ′(y(b))η(b) = 0. (2.38)

2.4. BENDRESNI FUNKCIONALAI 39

Imdami η ∈ C10(a, b), gausime, kad funcija y turi tenkinti Oilerio lygti :

Fy −d

dx

(Fy′)

= 0. (2.39)

Grižkime dabar prie (2.38) integralines tapatybes. Kadangi funkcija y tenkina (2.39)Oilerio lygti , tai (2.38) tapatybe galima perrašyti taip:

Fy′(x, y, y′)η(x)

∣∣∣x=b

x=a+ ϕ′(y(a))η(a) + ψ′(y(b))η(b) = 0.

Priminsime, kad funkcija η taškuose a ir b gali igyti bet kokias reikšmes. Todelpaskutineje tapatybeje koeficientai prie η(a) ir prie η(b) turi buti lygus nuliui, t.y.taškuose a ir b turi buti patenkintos tokios salygos:

Fy′∣∣x=a

= ϕ′(y(a)), (2.40)

Fy′∣∣x=b

= −ψ′(y(b)). (2.41)

Šios kraštines salygos yra vadinamos naturaliosiomis kraštinemis salygomis.Daugiamaciu atveju nagrinesime funkcionala

I(u) =

∫Ω

F (x, u, ux) dx+

∫S

ϕ(x, u) dS; (2.42)

cia: Ω yra aprežta sritis erdveje Rn, S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius, F ir ϕ –pakankamai glodžios funkcijos.

Tarkime, dukart diferencijuojama srityje Ω funkcija u suteikia (2.42) funkcionaluibent silpna lokalu ekstremuma. Laisvai pasirenkame funkcija η ∈ C1(Ω) ir skaiciuε, kurio modulis yra pakankamai mažas. Tada funkcija u + εη priklauso kokiai norssilpnai funkcijos u aplinkai, o realaus kintamojo funkcija Φ(ε) = I(u + εη) taškeε = 0 igyja ekstremalia reikšme. Todel jos išvestine taške ε = 0 yra lygi nuliui. Šiasalyga galima užrašyti taip:∫

Ω

[Fu(x, u, ux)−

n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)]η(x) dx+

+

∫S

[ n∑k=1

Fuxk (x, u, ux) cos(n, xk)η(x) + ϕu(x, u)]η(x) dS = 0, (2.43)

∀η ∈ C1(Ω) . Imkime η ∈ C10(Ω) . Tada integralas paviršiumi S paskutineje tapatybeje

bus lygus nuliui. Atmete ji , gausime tapatybe∫Ω

[Fu(x, u, ux)−

n∑k=1

d

dxk

(Fuxk (x, u, ux)

)]η(x) dx = 0.


Pagal 2.2 lema ši tapatybe yra galima tik tuo atveju, kai funkcija u tenkina Oileriolygti :

Fu −n∑k=1

d

dxk

(Fuxk

)= 0. (2.44)

Grižkime dabar prie (2.43) integralines tapatybes. Kadangi funkcija u tenkina (2.44)lygti , tai (2.43) tapatybeje integralas sritimi Ω lygus nuliui ir yra teisinga tapatybe∫

S

[ n∑k=1

Fuxk (x, u, ux) cos(n, xk) + ϕu(x, u)]η(x) dS = 0, ∀η ∈ C1(Ω) .

Kadangi funkcija η paviršiaus S taškuose gali igyti bet kokias reikšmes, tai ši tapatybeyra galima tik tuo atveju, kai reiškinys laužtiniuose skliaustuose yra lygus nuliui, t.y.paviršiaus S taškuose funkcija u turi tenkinti salyga

n∑k=1

Fuxk (x, u, ux) cos(n, xk) + ϕu(x, u) = 0, x ∈ S.

Ši kraštine salyga taip pat yra vadinama naturaliaja kraštine salyga.

2.5. KINTAMU INTEGRAVIMO REŽIU ATVEJIS 41

2.5. KINTAMU INTEGRAVIMO REŽIU ATVEJIS

Tegu l1 ir l2 yra kokios nors kreives plokštumoje R2, o l – glodi kreive, kurios vienasgalas yra kreiveje l1, o kitas – kreiveje l2. Tokiu kreiviu aibe pažymekime raide M.Tarkime, kad kreives l, l1 ir l2 galima apibrežti atitinkamai lygtimis: y = y(x), y =α(x) ir y = β(x). Aibeje M ieškosime kreives l : y = y(x), kuri funkcionalui

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx (2.45)

suteikia ekstremuma.Tarkime, kreive l : y = y(x) suteikia (2.45) funkcionalui silpna lokalu ekstremu-

ma, o kreives l(ε) : y = y(x, ε) yra "artimos" kreivei l ir y(x, 0) = y(x). Kadangi"artimas" kreives turime imti iš aibes M, tai ju galai turi guleti kreivese l1 ir l2 (žr. 2.3pav.).

....

....

..

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

..

..............................................

..........................................................

.........................................................................................................

...................................................

....................................................................

..............................................

..................................................................................................................

.........................................................................

..........

.........................

.......................

.....................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

..............

...............................

..............

......................................

y(x)

y(x, ε)

l1

l2y

xa a(ε) b b(ε)

2.3 pav.

Tarkime, kreives l(ε) taškai, esantys kreivese l1 ir l2, turi koordinates a(ε), y(a(ε), ε

)ir b(ε), y

(b(ε), ε

). Akivaizdu, kad a(0) = a, b(0) = b.

Istatykime i (2.45) integrala vietoje funkcijos y funkcija y(x, ε), o integravimorežius a ir b pakeiskime režiais a(ε) ir b(ε). Taškas ε = 0 yra funkcijos

Φ(ε) =

b(ε)∫a(ε)

F (x, y(x, ε), y′(x, ε)) dx

lokalaus ekstremumo taškas. Todel Φ′(0) = 0. Kadangi

Φ′(0) = b′(0) · F (x, y, y′)∣∣x=b− a′(0) · F (x, y, y′)

∣∣x=a

+

+

b(ε)∫a(ε)

[Fy(x, y, y′)

∂y(x, ε)

∂ε+ Fy′(x, y, y

′)∂y′(x, ε)

∂ε

]dx∣∣∣ε=0

,

tai funkcija y turi tenkinti integraline tapatybe

b′(0) · F (x, y, y′)∣∣x=b− a′(0) · F (x, y, y′)

∣∣x=a

+


+

b(ε)∫a(ε)

[Fy(x, y, y′)

∂y(x, ε)

∂ε+ Fy′(x, y, y

′)∂y′(x, ε)

∂ε

]dx∣∣∣ε=0

= 0. (2.46)

Pastebesime, kad

b(ε)∫a(ε)

Fy′(x, y, y′)∂y′(x, ε)

∂εdx∣∣∣ε=0

=

b(ε)∫a(ε)

Fy′(x, y, y′)d

dx

(∂y(x, ε)

∂ε

)dx∣∣∣ε=0

=

= Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=b

∂y(b(ε), ε)

∂ε

∣∣∣ε=0− Fy′(x, y, y′)

∣∣∣x=a

∂y(a(ε), ε)

∂ε

∣∣∣ε=0−

−b(ε)∫a(ε)

d

dx

(Fy′(x, y, y

′))∂y(x, ε)

∂εdx∣∣∣ε=0

.

Be to,d

dεy(a(ε), ε)

∣∣∣ε=0

= y′(a) · a′(0) +∂y(a(ε), ε)

∂ε

∣∣∣ε=0

,

d

dεy(b(ε), ε)

∣∣∣ε=0

= y′(b) · b′(0) +∂y(b(ε), ε)

∂ε

∣∣∣ε=0

.

Todel (2.46) tapatybe galima perrašyti taip:

b′(0)(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣x=b−

−a′(0)(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣x=a

+

+Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=b

dy(b(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0− Fy′(x, y, y′)

∣∣∣x=a

dy(a(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

+

+

b∫a

[Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))]∂y(x, ε)

∂ε

∣∣∣ε=0

dx = 0. (2.47)

Iš pradžiu imkime "artimas" kreives l(ε) taip, kad ju galai sutaptu su ekstremalesgalais, t.y.

y(a(ε), ε) = y(a), y(b(ε), ε) = y(b) (2.48)

visoms galimoms parametro ε reikšmems. Tada (2.47) integralineje tapatybeje visineintegraliniai nariai yra lygus nuliui ir ja galima perrašyti taip:

b∫a

[Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))]∂y(x, ε)

∂ε

∣∣∣ε=0

dx = 0.

Pagal 2.1 lema ši tapatybe yra galima tik tada, kai funkcija y tenkina Oilerio lygti :

Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y

′))

= 0. (2.49)

2.5. KINTAMU INTEGRAVIMO REŽIU ATVEJIS 43

Grižkime prie (2.47) tapatybes. Kadangi funkcija y tenkina (2.49) Oilerio lygti , tai(2.47) tapatybe galima perrašyti taip:

b′(0) ·(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣x=b−

−a′(0) ·(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣x=a

+

+Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=b

dy(b(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0− Fy′(x, y, y′)

∣∣∣x=a

dy(a(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= 0.

Imdami šioje tapatybeje funkcijas y(x, ε) taip, kad jos tenkintu antraja iš (2.48) salygu ,gausime, kad taške x = a funkcija y tenkina salyga

a′(0) ·(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣∣x=a

+ Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=a

dy(a(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= 0.

Reikalaudami, kad funkcijos y(x, ε) tenkintu pirmaja iš (2.48) salygu , gausime, kadtaške x = b funkcija y tenkina salyga

b′(0) ·(F (x, y, y′)− Fy′(x, y, y′)y′

)∣∣∣x=b

+ Fy′(x, y, y′)∣∣∣x=b

dy(b(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= 0.

Šios salygos yra vadinamos transversalumo salygomis. Pastebeje, kad

dy(a(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= α′(a) · a′(0),dy(b(ε), ε)

dε

∣∣∣ε=0

= β′(b) · b′(0),

transversalumo salygas perrašysime taip:

F (x, y, y′)∣∣x=a

+ (α′(x)− y′(x))Fy′(x, y, y′)∣∣x=a

= 0,

F (x, y, y′)∣∣x=b

+ (β′(x)− y′(x))Fy′(x, y, y′)∣∣x=b

= 0.

Taigi transversalumo salygos apibrežia ryši tarp ekstremales y krypties koeficiento y′

ir kreiviu l1, l2 krypties koeficientu α′, β′ kiekviename kreiviu l1, l2 taške.P a s t a b o s :

1. Jeigu kreive l1 yra apibrežta lygtimi α(x, y) = 0, tai transversalumo salygagalima užrašyti taip:

F (x, y, y′)− y′(x)Fy′(x, y, y′)

αx(x, y)=Fy′(x, y, y

′)

αy(x, y).

2. Funkcionalo

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx, y = (y1, . . . , yn)

atveju, kai taškas a laisvai gali judeti paviršiumi α(x, y) = 0, transversalumosalyga yra tokia:

F (x, y, y′)− y′1(x)Fy′1(x, y, y′)− · . . . · −y′n(x)Fy′n(x, y, y′)

αx(x, y)=

=Fy′1(x, y, y′)

αy1(x, y)= . . . =

Fy′n(x, y, y′)

αyn(x, y).


2.6. TRUKIU SPRENDINIU ATVEJIS

Iš pradžiu išnagrinesime viena pavyzdi. Akivaizdu, kad

I(y) =

1∫−1

y2(1− y′)2 dx > 0, ∀y : y ∈ C1[−1, 1], y(−1) = 0, y(1) = 1.

Funkcija

y(x) =

x, x ∈ [0, 1],0, x ∈ [−1, 0]

taške x = −1 lygi nuliui, o taške x = 1 lygi vienetui. Jos išvestine y ′ taške x = 0turi truki . Todel funkcija y nera tolydžiai diferencijuojama intervale [−1, 1]. Vis deltointegralas I(y) turi prasme ir

I(y) =

1∫−1

y2(1− y ′)2 dx = 0.

Taigi minimuma funkcionalui I suteikia funkcija, kuri erdvei C1[−1, 1] nepriklauso.Apibendrindami ši pavyzdi, matome, kad kartais funkcionalo ekstremumo reikia

ieškoti platesneje funkciju klaseje, t.y. dalimis glodžiu funkciju klaseje.Tarkime, dalimis glodi kreive l : y = y(x) suteikia ekstremuma funkcionalui

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx. (2.50)

Be to, tegu funkcijos y išvestine y′ turi truki tik viename taške x ∈ (a, b).Artimas kreives pažymekime l(ε). Atskirai išnagrinesime du atvejus. Tegu l(ε) :

y = y(x) + εη(x), η ∈ C∞0 (a, b) (žr. 2.4 pav.).

...

........................

...

...

...

........................

....................

......................

..........................

.............................

......................................................................................

.......................

.........................

..........

....................................................................

........................................................................................................................

.........................

......................................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............

..............

......................

..............

.........................

..............

l

l(ε)y

xa bx

2.4 pav.

...

...

...

..

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..............

......................

.........................

..................................

........................................................

........... ..........................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..........................

..................................

......................................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............

..............

.........................

..................................

................. l

l(ε)y

xa bx(ε) x

2.5 pav.

Funkcija

Φ(ε) = I(y + εη) =

x∫a

F (x, y + εη, y′ + εη′) dx+

b∫x

F (x, y + εη, y′ + εη′) dx

2.6. TRUKIU SPRENDINIU ATVEJIS 45

turi ekstremuma taške ε = 0. Todel

Φ′(0) =

x∫a

(Fyη + Fy′η′) dx+

b∫x

(Fyη + Fy′η′) dx =

=

x∫a

(Fy −

d

dxFy′)η dx+

b∫x

(Fy −

d

dxFy′)η dx+ Fy′η

∣∣∣x=x−0

− Fy′η∣∣∣x=x+0

= 0.

Iš šios integralines tapatybes gauname, kad funkcija y tenkina Oilerio lygti

Fy −d

dxFy′ = 0, (2.51)

o reiškinys Fy′(x, y, y′) taške x = x yra tolydus, t.y.

Fy′∣∣x=x−0

= Fy′∣∣x=x+0

. (2.52)

Tegu l(ε) : y = y(x, ε), y(x(ε), ε) = y(x) (žr. 2.5 pav.) ir

Φ(ε) = I(y(x, ε)) =

x(ε)∫a

F (x, y(x, ε), y′(x, ε)) dx+

+

b∫x(ε)

F (x, y(x, ε), y′(x, ε)) dx.

Tada

Φ′(0) = x ′(0)F∣∣∣x=x−0

x=x+0+

+

x(ε)∫a

(Fy∂y

∂ε+ Fy′

∂y′

∂ε

)dx∣∣∣ε=0

+

b∫x(ε)

(Fy∂y

∂ε+ Fy′

∂y′

∂ε

)dx∣∣∣ε=0

.

Taškas ε = 0 yra funkcijos Φ lokalaus ekstremumo taškas. Todel Φ′(0) = 0. Kadangitaškuose x = x± 0 išvestine

d

dεy(x(ε), ε)

∣∣∣ε=0

= x ′(0) · y′(x)∣∣∣x=x±0

+∂y

∂ε

∣∣∣ε=0

= 0,

tai šia salyga galime perrašyti taip:

x ′(0)(F − y′Fy′

)∣∣x=x−0

− x ′(0)(F − y′Fy′

)∣∣x=x+0

+

+

x(ε)∫a

(Fy −

d

dxFy′)∂y′∂ε

dx∣∣∣ε=0

+

b∫x(ε)

(Fy −

d

dxFy′)∂y′∂ε

dx∣∣∣ε=0

= 0.


Iš šios tapatybes gauname, kad funkcija y tenkina (2.51) Oilerio lygti , o reiškinysF (x, y, y′)− y′Fy′(x, y, y′) taške x = x yra tolydus, t.y.(

F − y′Fy′)∣∣x=x−0

=(F − y′Fy′

)∣∣x=x+0

. (2.53)

Taigi taške x funkcija y turi tenkinti (2.52) ir (2.53) salygas. Šios salygos yravadinamos Erdmano–Vejerštraso salygomis.

Tarkime, yra žinomas bendrasis Oilerio lygties integralas. Kadangi Oilerio lygtisyra antros eiles lygtis, tai jis priklauso nuo dvieju laisvu ju konstantu . Be to, inter-valams (a, x) ir (x, b) jos apskritai yra skirtingos. Tiksliau, tegu

y = ω1(x,C1, C2)

yra bendrasis integralas intervale (a, x), o

y = ω2(x,C3, C4)

yra bendrasis integralas intervale (x, b). Šiuo atveju turime 5 laisvasias konstantasC1, C2, C3, C4 ir y(x). Joms apibrežti taip pat yra 5 salygos: dvi kraštines salygos

y(a) = α, y(b) = β,

dvi Erdmano –Vejerštraso salygos ir funkcijos y tolydumo salyga taške x.P a s t a b a . Analogiškas Erdmano–Vejerštraso salygas galima išvesti ir daugia-

lypio integralo atveju.

2.7. IZOPERIMETRINIS UŽDAVINYS 47

2.7. IZOPERIMETRINIS UŽDAVINYS

Kokioje nors uždaru , gulinciu plokštumoje, tam tikro ilgio kreiviu aibeje ieškosimetokios, kuri apriboja didžiausio ploto figura. Toks uždavinys vadinamas izoperimetri-niu uždaviniu siauraja prasme (žr. 2.1 skyrelio 4 uždavini). Jis susiveda i uždavini,kai reikia rasti funkcija, kuri vienam funkcionalui suteikia ekstremuma, o kitas funk-cionalas igyja konkrecia reikšme. Bendru atveju galima ieškoti funkcijos, kuri vienamfunkcionalui suteikia ekstremuma, o kiti funkcionalai igyja nurodytas reikšmes. Taipsuformuluotas uždavinys vadinamas izoperimetriniu placiaja prasme.

Nagrinesime paprasciausia izoperimetrini uždavini. Tegu M yra aibe diferencijuo-jamu segmente [a, b] funkciju , tenkinanciu kraštines salygas

y(a) = α, y(b) = β, (2.54)

ir tokiu , kad funkcionalas

J(y) =

b∫a

Ψ(x, y, y′) dx = d; (2.55)

cia d – tam tikras skaicius. Aibeje M reikia rasti funkcija, kuriai funkcionalas

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx (2.56)

igyja ekstremalia reikšme. Nagrinedami ši uždavini reikalausime, kad funkcijos F irΨ turetu tolydžias dalines išvestines pagal visus argumentus iki antros eiles imtinai,o skaiciu d parinksime taip, kad aibe M butu netušcia. Taikant Lagranžo daugikliumetoda, izoperimetrinis uždavinys susiveda i jau išnagrineta variacinio skaiciavimouždavini be papildomu funkciniu salygu . Irodysime paprasciausia Oilerio teoremosvarianta.

2.2 teorema. (Oilerio) Tarkime, funkcija y ∈ M suteikia (2.56) funkcionalui ekstre-muma ir nera funkcionalo J ekstremale. Tada egzistuoja skaicius λ toks, kad funkcijay yra funkcionalo

H(y) = I(y) + λJ(y) (2.57)

ekstremale.

/ Tarkime, kad funkcija y ∈ M suteikia (2.56) funkcionalui ekstremuma ir nerafunkcionalo J ekstremale. Laisvai pasirenkame funkcijas η1, η2 ∈ C∞0 (a, b) . Funkcijay + ε1η1 + ε2η2 priklauso kokiai nors silpnai funkcijos y aplinkai, jeigu tik skaiciu ε1

ir ε2 moduliai yra pakankamai maži. Apibrežkime dvieju realiu kintamuju funkcijaΦ(ε1, ε2) = J(y + ε1η1 + ε2η2). Jos pirmos eiles išvestines

∂Φ

∂εi

∣∣∣ε1=ε2=0

=

b∫a

[Ψy −

d

dx

(Ψy′)]ηi dx, i = 1, 2.


Pagal teoremos salyga funkcija y nera funkcionalo J ekstremale. Todel reiškinys[Ψy −

d

dx

(Ψy′)]

tapaciai nelygus nuliui ir funkcija η2 galima parinkti taip, kad

∂Φ

∂ε2

∣∣∣ε1=ε2=0

=

b∫a

[Ψy −

d

dx

(Ψy′)]η2 dx 6= 0.

Kadangi J(y) = d, tai taškas (0, 0) yra lygties Φ(ε1, ε2) = d sprendinys. Remiantisneišreikštiniu funkciju teorema, lygtis Φ(ε1, ε2) = d apibrežia ε2 kaip kintamojo ε1

funkcija, jeigu tik skaiciaus ε1 modulis yra pakankamai mažas. Be to, išvestine

dε2

dε1

∣∣∣ε1=0

= −Φε1Φε2

∣∣∣ε1=ε2=0

= −

b∫a

[Ψy − d

dx

(Ψy′)]η1 dx

b∫a

[Ψy − d

dx

(Ψy′)]η2 dx

.

Taškas ε1 = 0 yra funkcijos Φ(ε1) = I(y+ε1η1 +ε2(ε1)η2) lokalaus ekstremumotaškas. Todel

Φ′(ε1)∣∣ε1=0

= 0.

Šia salyga galima užrašyti taip:

b∫a

[Fy −

d

dx

(Fy′)]η1 dx+

dε2

dε1

∣∣∣ε1=0

·b∫a

[Fy −

d

dx

(Fy′)]η2 dx =

=

b∫a

[Fy −

d

dx

(Fy′)]η1 dx+ λ

b∫a

[Ψy −

d

dx

(Ψy′)]η1 dx = 0; (2.58)

cia

λ = −

b∫a

[Fy − d

dx

(Fy′)]η2 dx

b∫a

[Ψy − d

dx

(Ψy′)]η2 dx

.

Tegu F + λΨ = H . Tada (2.58) tapatybe galima perrašyti taip:

b∫a

[Hy −

d

dx

(Hy′)]η1 dx = 0, ∀η ∈ C∞0 (a, b) .

Pasinaudoje 2.1 lema, gausime, kad funkcija y turi tenkinti Oilerio lygti :

Hy −d

dx

(Hy′)

= 0. (2.59)

2.7. IZOPERIMETRINIS UŽDAVINYS 49

Taigi y yra funkcionalo

H(y) =

b∫a

H(x, y, y′) dx

ekstremale. .P a s t a b o s :

1. Nagrinejamu atveju bendrasis (2.59) lygties integralas priklauso nuo tryju lais-vu ju konstantu : dvieju integravimo konstantu ir parametro λ. Tiek pat yra irsalygu joms apibrežti. Tai – (2.55) funkcionaline salyga ir dvi (2.54) kraštinessalygos.

2. Teorema išliks teisinga, jeigu joje funkcija Teorema išliks teisinga, jeigu jojefunkcija y pakeisime vektorine funkcija y = (y1, . . . , yn). Be to, vietoje (2.55)funkcines salygos galime imti bet koki baigtini skaiciu tokiu salygu .


2.8. SALYGINIO EKSTREMUMO UŽDAVINYS

Variacinio skaiciavimo uždaviniuose papildomos salygos gali buti ivairaus pavidalo.Kartais papildoma salyga susiveda i tai, kad ieškomoji ekstremale turi guleti tam tik-rame paviršiuje. Šiame skyrelyje nagrinesime paprasciausia variacinio skaiciavimouždavini su tokia salyga. Tarkime, funkcijos y, z ∈ C1[a, b] tenkina kraštines salygas

y(a) = α1, y(b) = β1, z(a) = α2 z(b) = β2 (2.60)

ir lygtiΦ(x, y, z) = 0. (2.61)

Tokiu funkciju aibeje reika rasti tas, kurioms funkcionalas

I(y, z) =

b∫a

F (x, y, z, y′, z′) dx (2.62)

igyja ekstremalia reikšme.Geometrine šio uždavinio interpretacija yra tokia. Reikia rasti kreive, kuri yra

(2.61) paviršiuje, eina per du taškus ir suteikia (2.62) funkcionalui ekstremuma.Jeigu iš (2.61) salygos z galetume išreikšti kaip funkcija nuo x ir y, tai istate gauta

jos išraiška i (2.62) funkcionala gautume uždavini be jokios papildomos salygos. Pa-nauduosime šia ideja išvesdami lygtis, kurias turi tenkinti ieškomosios funkcijos y irz.

Tarkime, funkcijos y ir z tenkina (2.61) lygti , (2.60) kraštines salygas ir

Φz(x, y(x), z(x)) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]. (2.63)

Tada iš (2.61) lygties z galima išreikšti kaip kintamuju x ir y funkcija. Vadinasi, (2.61)lygti galima užrašyti taip: z = ϕ(x, y) ir z(x) ≡ ϕ(x, y(x)). Istate i (2.62) vietoje zfunkcija ϕ, gausime funkcionala:

b∫a

F (x, y, ϕ(x, y), y′, ϕx(x, y) + ϕy(x, y)y′) dx ≡b∫a

Ψ(x, y, y′) dx.

Funkcija y suteikia šiam funkcionalui ekstremuma (taciau dabar jau besalygini). Todelji turi tenkinti Oilerio lygti :

d

dx

(Ψy′)−Ψy = 0. (2.64)

Kadangi

Ψy = Fy + Fzϕy + Fz′(ϕxy + ϕyyy′), Ψy′ = Fy′ + Fz′ϕy,

d

dx

(Ψy′)

=d

dx

(Fy′)

+d

dx

(Fz′)ϕy + Fz′(ϕyx + ϕyyy

′), ϕy = −ΦyΦz

,

2.8. SALYGINIO EKSTREMUMO UŽDAVINYS 51

tai (2.64) lygti galima perrašyti taip:

d

dx

(Fy′)− Fy −

( ddx

(Fz′)− Fz

)ΦyΦz

= 0. (2.65)

Išilgai kreives y = y(x), z = z(x) reiškinys

d

dx

(Fz′)− Fz

Φz

yra kintamojo x funkcija. Pažymekime ji λ(x). Tada (2.65) lygtis išsiskaido i dviejulygciu sistema:

d

dx

(Fy′)− Fy − λ(x)Φy = 0,

d

dx

(Fz′)− Fz − λ(x)Φz = 0.

Šia sistema galima užrašyti taip:

d

dx

(F ∗y′)− F ∗y = 0, (2.66)

d

dx

(F ∗z′)− F ∗z = 0; (2.67)

cia F ∗ = F + λΦ.Taigi irodeme toki teigini: Tarkime, diferencijuojamos funkcijos y ir z tenkina

(2.61) lygti , (2.60) kraštines salygas ir (2.62) funkcionalui suteikia ekstremuma. Tadajos turi tenkinti (2.66) ir (2.67) lygtis.

Išvestos (2.66) ir (2.67) lygtys yra Oilerio lygtys funkcionalui

I∗(y, z) =

b∫a

F ∗(x, y, z, y′, z′) dx.

Atkreipsime demesi i tai, kad Lagranžo daugiklis λ yra kintamojo x funkcija.Eliminave λ ir z iš (2.61), (2.66) ir (2.67) lygciu , gausime funkcijos y atžvilgiu antro-sios eiles diferencialine lygti . Jos bendrasis integralas priklauso nuo dvieju laisvu jukonstantu . Šioms konstantoms apibrežti yra dvi kraštines salygos: y(a) = α1, y(b) =β1.

Jeigu (2.61) salygoje funkcija Φ nepriklauso nuo išvestiniu y′ ir z′, tai tokia salygayra vadinama holonomine, priešingu atveju neholonomine.

Irodytas teiginys išlieka teisingas ir neholonomines salygos

Φ(x, y, z, y′, z′) = 0 (2.68)

atveju (žr. [1]).


P a s t a b o s :

1. Oilerio lygciu sistema holonomines ir neholonomines salygos atvejais iš esmesskiriasi. Tai susije su tuo, kad neholonominiu salygu atveju (2.66) ir (2.67)lygtys yra pirmos eiles lygtys funkcijos λ atžvilgiu.

2. Nagrinejant tokio tipo uždavinius, holonominiu arba neholonominiu salygu galibuti bet koks baigtinis skaicius.

2.9. PARAMETRINE FORMA 53

2.9. VARIACINIO SKAICIAVIMO UŽDAVINYSPARAMETRINE FORMA

Tegu l yra kokia nors kreive, esanti plokštumoje R2. Šioje plokštumoje ne visadaegzistuoja ortogonali koordinaciu sistema Oxy, kurioje kreive l galima apibrežti lyg-timi y = y(x). Todel naturalu išnagrineti bendraji atveji , kai kreive l yra apibrežtaparametrinemis lygtimis:

x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [t1, t2].

Tokiu kreives l parametrizaciju egzistuoja be galo daug. Iš tikru ju , jeigu

g : (τ1, τ2)→ (t1, t2)

yra kokia nors monotoniškai didejanti diferencijuojama funkcija ir

ϕ(τ) = ϕ(g(τ)), ψ(τ) = ψ(g(τ)),

taix = ϕ(τ), y = ψ(τ), τ ∈ [τ1, τ2]

yra kita kreives l parametrizacija.Nagrinesime uždavini: rasti kreive l, kuri funkcionalui

I(l) =

t2∫t1

F (t, x, y, x, y) dt. (2.69)

suteikia ekstremuma. Taip suformuluotas uždavinys turi prasme, jeigu funkciona-lo reikšme nepriklauso nuo konkrecios kreives l parametrizacijos. Taigi formuluo-jant variacinio skaiciavimo uždavini parametrine forma pointegralines funkcijos ne-galima pasirinkti laisvai. Rasime salygas, kurias turi tenkinti funkcija F , kad (2.69)funkcionalas nepriklausytu nuo konkrecios kreives l parametrizacijos.

Tegu x ir y yra kokio nors parametro t funkcijos ir x(t1) = a, o x(t2) = b. Tadaintegrala

b∫a

F (x, y, y′) dx

galima perrašyti taip:t2∫t1

F(x, y,

y

x

)x dt.

Atkreipsime demesi i tai, kad šio integralo pointegraline funkcija tiesiogiai nepriklausonuo kintamojo t ir yra homogenine pirmo laipsnio funkcija kintamuju x ir y atžvilgiu.

Irodysime, kad (2.69) funkcionalas nepriklauso nuo konkrecios kreives l paramet-rizacijos tada ir tik tada, kai pointegraline funkcija F tiesiogiai nepriklauso nuo kinta-mojo t ir yra homogenine pirmo laipsnio funkcija kintamuju x ir y atžvilgiu.


Tegux = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [t1, t2],

yra kokia nors kreives l parametrizacija ir

g : (τ1, τ2)→ (t1, t2)

yra monotoniškai didejanti diferencijuojama funkcija. Tada

x = ϕ(τ) ≡ ϕ(g(τ)), y = ψ(τ) ≡ ψ(g(τ)), τ ∈ [τ1, τ2],

yra kita kreives l parametrizacija. Jeigu (2.69) funkcionalas nepriklauso nuo konkre-cios kreives l parametrizacijos, tai

t2∫t1

F (t, ϕ(t), ψ(t), ϕ(t), ψ(t)) dt =

=

τ2∫τ1

F (τ, ϕ(τ), ψ(τ), ˙ϕ(τ),˙ψ(τ)) dt. (2.70)

Teguh : (t1, t2)→ (τ1, τ2)

yra funkcijos g atvirkštine funkcija. Tada

dτ = h(t) dt, ϕ(t) = ˙ϕ(τ)h(t), ψ(t) =˙ψ(τ)h(t), h(t) > 0

ir (2.70) lygybe galima perrašyti taip:

t2∫t1

F(t, ϕ(t), ψ(t), ϕ(t), ψ(t)) dt =

=

t2∫t1

F (h(t), ϕ(t), ψ(t), ϕ(t)/h(t), ψ(t)/h(t))h(t) dt.

Išvedant šia lygybe, vietoje visos kreives l galima imti bet koki jos lanka. Todelji išliks teisinga, jeigu integravimo režius t1, t2 pakeisime bet kokiais kitais režiaist′1, t

′2 : t1 ≤ t′1 < t′2 ≤ t2. Taciau tai yra imanoma tik tuo atveju, kai pointegralines

funkcijos sutampa, t.y. kai

F(t, ϕ(t), ψ(t), ϕ(t), ψ(t)) =

= F (h(t), ϕ(t), ψ(t), ϕ(t)/h(t), ψ(t)/h(t))h(t). (2.71)

Paeme (2.71) formuleje funkcija h(t) = t+ C, gausime

F(t, ϕ(t), ψ(t), ϕ(t), ψ(t)) = F (t+ C,ϕ(t), ψ(t), ϕ(t), ψ(t)

).


Ši lygybe yra teisinga tik tuo atveju, kai funkcija F tiesiogiai nepriklauso nuo kinta-mojo t, t.y. kai

F = F (x, y, x, y).

Imkime (2.71) formuleje funkcija h(t) = kt, k = Const > 0. Tada

F(ϕ(t), ψ(t), ϕ(t), ψ(t)) = F (ϕ(t), ψ(t), ϕ(t)/k, ψ(t)/k

)k.

Ši lygybe yra ekvivalenti tokiai:

F (x, y, kx, ky) = kF (x, y, x, y). (2.72)

Pagal apibrežima tai reiškia, kad F yra homogenine pirmo laipsnio funkcija kintamujux ir y atžvilgiu. Tiksliau, funkcija F yra teigiamai homogenine pirmo laipsnio funkcijakintamuju x ir y atžvilgiu, nes daugiklis k > 0.

Jeigu funkcija F tiesiogiai nepriklauso nuo kintamojo t ir teigiamoms daugikliok reikšmems tenkina (2.72) salyga, tai yra teisinga (2.71) formule. Savo ruožtu taireiškia, kad (2.69) funkcionalas nepriklauso nuo konkrecios kreives l parametrizacijos.

Tarkime, funkcija F tiesiogiai neprilauso nuo kintamojo t ir teigiamoms daugikliok reikšmems tenkina (2.72) salyga. Be to, tegu Ω yra sritis plokštumoje R2; M – aibeglodžiu trajektoriju , esanciu srityje Ω ir jungianciu du taškus (trajektorija – tai kreivekartu su apejimo kryptimi). Pagrindinis variacinio skaiciavimo uždavinys funkcionalui

I(l) =

t2∫t1

F (x, y, x, y) dt (2.73)

formuluojamas taip: aibeje M reikia rasti kreive, kuri (2.73) funkcionalui suteikia eks-tremuma. Cia turime omenyje absoliutu ji ekstremuma. Norint apibrežti lokaliojo ek-stremumo salyga, kaip ir neparametriniu atveju reikia apibrežti kreives aplinkos sa-voka.

Sakysime, kreive l1 yra kreives l stiprioje ε aplinkoje, jeigu egzistuoja parametri-zacijos

l : x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ (t1, t2),

l1 : x = ϕ1(t), y = ψ1(t), t ∈ (t1, t2),

tokios, kad (ϕ1(t)− ϕ(t)

)2+(ψ1(t)− ψ(t)

)2 ≤ ε2, ∀t ∈ [t1, t2].

Jeigu kartu su šia nelygybe yra patenkinta dar ir nelygybe(ϕ′1(t)− ϕ′(t)

)2+(ψ′1(t)− ψ′(t)

)2 ≤≤ ε2

√ϕ′2(t) + ψ′2(t)

√ϕ′1

2(t) + ψ′12(t), ∀t ∈ [t1, t2],

tai sakysime, kad kreive l1 yra kreives l silpnoje ε aplinkoje.


Tiesiogiai galima isitikinti, kad šios nelygybes yra invariantines galimu kreives lparametrizaciju atžvilgiu. Be to, jos turi paprasta geometrine prasme. Pirmoji nely-gybe rodo, kad atstumas tarp atitinkamu kreives l ir kreives l1 tašku neviršija ε. Jeiguyra teisinga antroji nelygybe, tai galima irodyti, kad kampas tarp liestiniu atitinkamu-ose kreives l ir kreives l1 taškuose neviršija πε/2 (smulkiau apie tai žr. [1] knygoje).

Tarkime, kreive

l : x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ [t1, t2], l ∈M

suteikia (2.73) funkcionalui bent silpna lokalu ekstremuma. Be to, tegu η1, η2 ∈C∞0 (a, b) . Tada kreive

l1 : x = ϕ(t) + ε1η1(t), y = ψ(t) + ε2η2(t), t ∈ [t1, t2],

yra kokioje nors kreives l silpnoje aplinkoje, jeigu tik ε1 ir ε2 moduliai yra pakankamaimaži skaiciai. Pažymekime I(l1) = Φ(ε1, ε2). Taškas (0, 0) yra funkcijos Φ lokalausekstremumo taškas. Todel

Φε1(0, 0) = 0, Φε2(0, 0) = 0.

Iš šiu salygu lygiai taip pat kaip ir neparametriniu atveju gauname, kad funkcijos x =ϕ(t) ir y = ψ(t) tenkina Oilerio lygtis:

d

dt

(Fx)− Fx = 0,

d

dt

(Fy)− Fy = 0. (2.74)

Jeigu funkcijos x ir y yra dukart tolydžiai diferencijuojamos, tai abi (2.74) lygtysyra antros eiles diferencialines lygtys. Kadangi kreives l parametrizaciju yra be galodaug, tai šios lygtys turi buti priklausomos. Priešingu atveju jos apibrežtu ne tik kreivel, bet ir jos parametrizacija. Irodysime, kad abi (2.74) lygtis galima suvesti i viena.

Kaire ir dešine (2.72) formules puses diferencijuokime parametro k atžvilgiu, o poto imkime parametra k = 1. Tada gausime formule

Fxx+ Fy y = F.

Diferencijuodami šia formule kintamuju x, y, x, y atžvilgiu, gausime atitinkamai to-kias formules:

Fx = xFxx + yFyx, Fy = xFxy + yFyy,

0 = xFxx + yFxy, 0 = xFxy + yFyy. (2.75)

Paskutines dvi formules galima perrašyti taip:

Fxxy2

=Fxy−xy

=Fyyx2

.

Bendra šiu santykiu reikšme pažymekime F1. Pasinaudoje (2.75) formulemis, (2.74)lygtis perrašysime taip:

xFxx + yFxy + xFxx + yFxy = xFxx + yFyx,


xFyx + yFyy + xFyx + yFyy = xFxy + yFyy.

Suprastine vienodus reiškinius ir Fxx, Fxy , Fyy išreiške F1, gausime dvi lygtis:

y[(Fxy − Fyx) + (yx− xy)F1

]= 0,

x[(Fyx − Fxy) + (xy − yx)F1

]= 0.

Kadangi x2 + y2 6= 0, tai reiškinys laužtiniuose skliaustuose turi buti lygus nuliui.Vadinasi, (2.74) lygtys susiveda i viena Oilerio–Vejerštraso lygti:

Fxy − Fyx + (yx− xy)F1 = 0. (2.76)

Prie šios lygties su dviem nežinomom funkcijom x ir y reikia prijungti dar viena lygti ,kuri charkterizuoja konkretu parametro t parinkima. Pavyzdžiui, jeigu parametra tapibrežtume kaip kreives l lanko ilgi s, tai iš formules ds2 = dx2 +dy2 išplauktu , kadfunkcijos x ir y turi dar tenkinti lygti x2 + y2 = 1.

Jeigu (2.76) lygtyje F1 6= 0, tai ja galima perrašyti taip:

Fxy − FyxF1(x2 + y2)3/2

=xy − yx

(x2 + y2)3/2.

Kaire šios lygties puse yra nulines eiles homogenine funkcija kintamuju x ir y atžvil-giu, o dešine puse yra kreives l kreivis. Todel paskutine lygtis, kartu ir (2.76) nesikeicia,pakeitus kreives l parametrizacija.

Išvesdami (2.74) Oilerio lygtis, reikalavome tik pirmuju x ir y išvestiniu toly-

dumo. Todel šiose lygtyse išvestiniud

dt

(Fx)

ird

dt

(Fy)

negalima skleisti pagal žinomasudetines funkcijos išvestines skaiciavimo formule. Norint irodyti antros eiles išves-tiniu x ir y tolyduma, reikia irodyti Hilberto teoremos analoga parametriniu atveju.Tokia teorema yra teisinga. Reikia tik salyga Fyy 6= 0 pakeisti salyga F1 6= 0 (irodymažr. [1] knygoje).

P a s t a b a . Šia teorija galima apibendrinti, kai l yra kreive erdveje R3 arba Rn.Be to, ja taip pat galima apibendrinti ir kartotiniams integralams.


2.10. LEŽANDRO SALYGA

Tarkime, funkcija y, tenkinanti kraštines salygas

y(a) = α, y(b) = β, (2.77)

suteikia funkcionalui

I(u) =

b∫a

F (x, y, y′) dx (2.78)

bent silpnaji lokalu ekstremuma.Laisvai pasirenkame kokia nors funkcija η ∈ C∞0 (a, b) . Tada funkcija y + εη yra

kokioje nors silpnoje funkcijos y aplinkoje, jeigu tik ε modulis yra pakankamai mažasskaicius. Apibrežkime realaus kintamojo funkcija

Φ(ε) = I(y + εη).

Tarkime, šia funkcija galima skleisti Teiloro eilute ε laipsniais. Tada funkcijos Φpokytis

Φ(ε)− Φ(0) = εΦ′(0) +ε2

2Φ′′(0) + . . . ;

cia

εΦ′(0) = ε

b∫a

(Fyη + Fy′η′) dx,

ε2Φ′′(0) = ε2

b∫a

(Fyyη

2 + 2Fyy′ηη′ + Fy′y′η

′2) dx...

yra pirmasis, antrasis ir t.t. funkcijos Φ diferencialai, atitinkantys argumento pokyti ε.Paeme šiame skleidinyje ε = 1, gausime funkcionalo I pokyti

I(y + η)− I(y) = Φ′(0) +1

2Φ′′(0) + . . . .

Reiškiniai

δI(y, η) = Φ′(0) =

[d

dεI(y + εη)

]ε=0

,

δI2(y, η) = Φ′′(0) =

[d2

dε2I(y + εη)

]ε=0

,

...

yra vadinami pirmaja, antraja ir t.t. funkcionalo I variacijomis.

2.10. LEŽANDRO SALYGA 59

Pagal prielaida funkcija y suteikia funkcionalui I silpnaji lokalu ekstremuma. To-del pirmoji variacija δI(y, η) = 0, o funkcionalo I pokytis

I(y + εη)− I(y) =ε2

2δ2I(y, η) + . . . .

Salyga

δ2I(y, η) =

b∫a

(Fyyη

2 + 2Fyy′ηη′ + Fy′y′η

′2) dx ≥ 0 (≤ 0), ∀η ∈ C∞0 (a, b),

yra butina, kad ekstremale y suteiktu (2.78) funkcionalui I minimuma (maksimuma).Pastebeje, kad 2ηη′ = (η2)′, antraja variacija perrašysime taip:

δ2I(y, η) =

b∫a

[(Fyy −

d

dx(Fyy′)

)η2 + Fy′y′η

′2]dx. (2.79)

Pažymekime S = Fyy−d

dxFyy′ , R = Fy′y′ . Tarkime, ekstremale y suteikia (2.78)

funkcionalui minimuma. Tada

b∫a

(Sη2 +Rη′

2)dx ≥ 0, ∀η ∈ C∞0 (a, b) . (2.80)

Irodysime, kad koeficientas

R(x) = Fy′y′(x, y(x), y′(x)) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b].

Tarkime, priešingai, kad egzistuoja taškas x ∈ [a, b] toks, kad R(x) < 0. Taciau tadaegzistuoja taško x aplinka (x− ε, x+ ε), kurioje R(x) < 0.

Imkime (2.80) nelygybeje η(x) = 0, kai x 6∈ (x− ε, x+ ε). Tada (2.80) nelygybegalima perrašyti taip:

x+ε∫x−ε

(Sη2 +Rη′

2)dx ≥ 0.

Parinkime funkcija η taip, kad ji smarkiai osciliuotu ir jos modulis butu pakankamaimažas. Tada

x+ε∫x−ε

(Sη2 +Rη′

2)dx < 0.

Taigi tare, kad R(x) < 0, gavome prieštara. Kartu irodeme toki teigini: Tegu y yra(2.78) funkcionalo ekstremale. Tada salyga

Fy′y′(x, y(x), y′(x)) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], (2.81)


yra butina, kad ekstremale y suteiktu (2.78) funkcionalui minimuma.Analogiškai galima irodyti, kad salyga

Fy′y′(x, y(x), y′(x)) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b], (2.82)

yra butina, kad ekstremale y suteiktu (2.78) funkcionalui maksimuma. Šios salygospirma karta buvo išvestos A. M. Ležandro ir yra vadinamos Ležandro salygomis.

2.11. JAKOBIO SALYGA 61

2.11. JAKOBIO SALYGA

Šiame skyrelyje toliau nagrinesime antraja variacija. Tarkime, y yra funkcionalo

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx (2.83)

ekstremale, tenkinanti salygas:

y(a) = α, y(b) = β. (2.84)

Be to, tegu ekstremaleje yra patenkinta sustiprinta Ležandro salyga:

Fy′y′(x, y(x), y′(x)) > 0, ∀x ∈ [a, b]. (2.85)

Priminsime, kad antroji funkcionalo I variacija

δ2I(y, η) =

b∫a

(Sη2 +Rη′

2)dx, S = Fyy −

d

dxFyy′ , R = Fy′y′ .

Pakeiskime η funkcija u ir apibrežkime funkcionala

K(u) =

b∫a

(Su2 +Ru′

2)dx.

Funkcionala K atitinka Oilerio lygtis:

d

dx

(Ru′

)− Su = 0. (2.86)

Ši lygtis dar yra vadinama Jakobio lygtimi. Kadangi R > 0, tai Jakobio lygti galimaperrašyti taip:

u′′ + pu′ + qu = 0, ∀x ∈ [a, b]. (2.87)

Tai yra antros eiles tiesine diferencialine lygtis. Priminsime kai kuriuos žinomus faktusiš paprastu diferencialiniu lygciu teorijos (ju irodymus galima rasti [15] knygoje).Tarkime, funkcijos p, q ∈ C[a, b] ir c ∈ [a, b]. Tada bet kokiems σ, σ1 ∈ R egzistuojavienintelis (2.87) lygties sprendinys, tenkinantis pradines salygas

u(c) = σ, u′(c) = σ1.

Be to, šis sprendinys yra apibrežtas visame intervale [a, b]. Jeigu x ∈ (a, b) ir u 6≡ 0yra (2.87) lygties sprendinys, tenkinantis salyga u(x) = 0, tai u′(x) 6= 0. Todeltaške x = x funkcija u keicia ženkla. Jeigu u1 ir u2 yra kokie nors du (2.87) lygtiessprendiniai ir turi bendra šakni, tai jie yra tiesiškai priklausomi. Tarkime, u1 ir u2

yra du tiesiškai nepriklausomi (2.87) lygties sprendiniai. Tada tarp bet kuriu dviejugretimu vieno sprendinio šaknu yra lygiai viena kito sprendinio šaknis.


Tarkime, funkcija u0 yra (2.87) lygties sprendinys, tenkinantis pradines salygas

u0(a) = 0, u′0(a) = 1.

Be to, tegu u0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b]. Tada bet kuris kitas sprendinys intervale [a, b]negali tureti daugiau kaip viena šakni. Irodysime, kad egzistuoja toks sprendinys,kuris intervale [a, b] neturi ne vienos šaknies.

Tegu uµ yra (2.87) lygties sprendinys, tenkinantis pradines salygas

uµ(a) = µ, u′µ(a) = 1;

cia µ – mažas teigiamas parametras. Iš bendros diferencialiniu lygciu teorijos yražinoma, kad sprendinys uµ parametro µ atžvilgiu yra tolydi funkcija. Kai µ = 0,sprendinys uµ sutampa su u0. Pagal prielaida u0(b) > 0. Akivaizdu, kad pakankamaimažoms parametro µ reikšmems uµ(b) > 0. Be to, uµ(a) > 0. Todel, jeigu intervale[a, b] sprendinys uµ turi šaknis, ju turi buti ne mažiau kaip dvi. Taciau intervale [a, b]sprendinys uµ negali tureti daugiau kaip viena šakni. Norint tuo isitikinti, pakankaprisiminti, kad sprendinys u0 intervale [a, b] turi tiktai viena šakni. Taigi galima rastiparametro µ reikšme tokia, kad intervale [a, b] sprendinys uµ šaknu neturetu .

Tarkime, u0 yra (2.86) lygties sprendinys, tenkinantis pradines salygas

u0(a) = 0, u′0(a) = 1.

Jeigu sprendinys u0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b), tai sakysime, kad ekstremale y tenkinaJakobio salyga, o jeigu u0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b], tai sakysime, kad ekstremale y tenkinasustiprinta Jakobio salyga.

Tegu w ∈ C1[a, b]. Tada

(η2w)′ = 2ηη′w + η2w′

irb∫a

(2ηη′w + η2w′) dx = 0, ∀η ∈ C∞0 (a, b).

Panaudoje šia integraline tapatybe, antraja funkcionalo I variacija perrašysime taip:

δ2I(y, η) =

b∫a

[(S + w′)η2 + 2ηη′w +Rη′

2]dx.

Pointegralinis reiškinys laužtininiuose skliaustuose yra pilnas kvadratas

(S + w′)η2 + 2ηη′w +Rη′2

= R(η′ +

w

Rη)2

,

kai

S + w′ − w2

R= 0.

2.11. JAKOBIO SALYGA 63

Istate w = −Ru′

u, gausime lygti

S −(Ru′

u

)′−Ru

′2

u2= 0,

kuri lengvai susiveda i (2.86) Jakobio lygti .Tarkime, patenkintos sustiprintos Ležandro ir Jakobio salygos. Tada egzistuoja

(2.86) lygties sprendinys u1 : u1(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]. Tegu w = −Ru′1

u1. Tada antraja

funkcionalo I variacija galima perrašyti taip:

δ2I(y, η) =

b∫a

R(η′ +

w

Rη)2

dx.

Akivaizdu, kadδ2I(y, η) ≥ 0.

Be to,δ2I(y, η) = 0

tada ir tik tada, kaiη′ +

w

Rη = 0, ∀x ∈ [a, b].

Ši lygtis yra tiesine pirmos eiles lygtis. Jos sprendinys

η(x) = η(a) exp−

x∫a

w(s)

R(s)ds

= 0, ∀x ∈ [a, b],

nes η(a) = 0. Taigi antroji funkcionalo I variacija

δ2I(y, η) ≥ 0

ir lygybe yra galima tik tuo atveju, kai η = 0. Suformuluosime irodyta teigini .

2.3 teorema. Tarkime, ekstremale y tenkina sustiprintas Ležandro ir Jakobio salygas.Tada funkcionalo I antroji variacija

δ2I(y, η) ≥ 0

ir lygybe yra galima tik tuo atveju, kai η = 0.


2.12. PAKANKAMA SILPNOJO EKSTREMUMO SALYGA

Pagal apibrežima funkcija y suteikia funkcionalui

I(y) =

b∫a

F (x, y, y′) dx y(a) = α, y(b) = β

silpna lokalu ekstremuma, jeigu ji suteikia ekstremuma kokioje nors funkcijos y silp-noje ε aplinkoje, t.y. jeigu

I(y) ≥ I(y), ∀y : |y(x)− y(x)|+ |y′(x)− y ′(x)| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b],

arba

I(y) ≤ I(y), ∀y : |y(x)− y(x)|+ |y′(x)− y ′(x)| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b].

Priminsime, kad F yra dukart tolydžiai diferencijuojama funkcija pagal visus ar-gumentus, kai (x, y) ∈ Ω ⊂ R2, o y′ ∈ R. Irodysime teorema.

2.4 teorema. Jeigu funkcionalo I eksremale y tenkina sustiprintas Ležandro ir Jakobiosalygas, tai ji suteikia funkcionalui I silpna lokalu ekstremuma.

/ Tegu y yra funkcionalo I ekstremale; taškai (x, y(x)) ∈ Ω, ∀x ∈ [a, b]; ρ –pakankamai mažas teigiamas skaicius; η ∈ C1

0(a, b) . Funkcija y + η priklauso funkci-jos y silpnai ρ aplinkai, jeigu

|η(x)| ≤ ρ

2, |η′(x)| ≤ ρ

2.

Pagal Teiloro formule

I(y + η)− I(y) = δI(y, η) +1

2δ2I(y, η) + δ;

cia

δI(y, η) =

b∫a

(Fyη + Fy′η′) dx,

δ2I(y, η) =1

2

b∫a

(Fyyη2 + 2Fyy′ηη

′ + Fy′y′η′2) dx,

δ =1

2

b∫a

[(Fyy − Fyy)η2 + 2(Fyy′ − Fyy′)ηη′ + (Fy′y′ − Fy′y′)η′

2] dx,

o funkcijos Fyy, Fyy′ , Fy′y′ yra atitinkamu išvestiniu reikšmes tarpiniame taške

(x, y(x) + θ1(x)η(x), y′(x) + θ2(x)η′(x)), θi(x) ∈ [0, 1], i = 1, 2.

2.12. PAKANKAMA SILPNOJO EKSTREMUMO SALYGA 65

Pažymekime

Fyy − Fyy = ε1, Fyy′ − Fyy′ = ε2, Fy′y′ − Fy′y′ = ε3.

Kadangi F yra dukart tolydžiai diferencijuojama funkcija, tai

|ε1|, |ε2|, |ε3| → 0, kai |η|, |η′| → 0.

Laisvai pasirenkame skaiciu ε > 0. Imkime skaiciu ρ > 0 tiek maža, kad

|εi| ≤ ε, ∀i = 1, 2, 3.

Pagal teoremos salyga funkcija y yra funkcionalo I ekstremale. Todel

δI(y, η) =

b∫a

(Fyη + Fy′η′) dx = 0,

o skirtumas

I(y + η)− I(y) =1

2

b∫a

(Sη2 +Rη′

2)dx+ δ,

δ =1

2

b∫a

(ε1η

2 + 2ε2ηη′ + ε3η

′2) dx.Be to, yra teisingi tokie iverciai:

b∫a

η2(x) dx ≤ (b− a)2

b∫a

η′2(x) dx, |2ηη′| ≤ η2 + η′

2.

Todel

|δ| ≤ 1

2

b∫a

[(|ε1|+ |ε2|)η2 + (|ε2|+ |ε3|)η′

2]dx ≤ ε

(1 +

(b− a)2

2

) b∫a

η′2dx.

Pagal teoremos salyga ekstremale y tenkina sustiprintas Ležandro ir Jakobio saly-gas. Todel egzistuoja skaicius k > 0 : R(x)− k > 0, ∀x ∈ [a, b], ir lygties

d

dx

((R− k)u′

)− Su = 0

sprendinys, tenkinantis salygas

u(a) = 0, u′(a) = 1,

yra nelygus nuliui ∀x ∈ (a, b]. Jeigu 2.3 teoremos irodyme R pakeisime R − k, taigausime

b∫a

(Sη2 +Rη′

2)dx ≥ k

b∫a

η′2dx.


Be to, lygybe yra galima tik tuo atveju, kai η = 0. Taciau tada

I(y + η)− I(y) >1

2

[k − 2ε

(1 +

(b− a)2

2

)] b∫a

η′2dx > 0,

jeigu tik skaicius ε > 0 yra pakankamai mažas, o η 6≡ 0 ir tenkina nurodytas salygas.Taigi ekstremale y suteikia funkcionalui I silpna lokalu ekstremuma. .

P a s t a b a . Jeigu yra patenkintos sustiprintos Ležandro ir Jakobio salygos ir, beto, Ležandro salyga yra patenkinta kokioje nors ekstremales y aplinkoje, tai ekstremaley suteikia funkcionalui I stipru lokalu ekstremuma. Šio teiginio irodyma galima rasti[16] knygoje.

2.13. HAMILTONO PRINCIPAS 67

2.13. HAMILTONO PRINCIPAS

Variacinis skaiciavimas yra naudojamas fizikos ir mechanikos uždaviniu matemati-niams modeliams sudaryti, tiksliau išvesti lygtims, aprašancioms ivairius fizikos ir me-chanikos uždavinius. Šias lygtis galima išvesti tuo paciu variaciniu principu. Jo esmeyra tokia.

...........................................................................................

..............................................

...........................

.........................

..............

................................................................

......................................................

.......................

..............................................................

.......................................

.........................................................

.........................

....................................................................................

t1

t2

I

II

2.6 pav.Tarkime, laiko momentu t1 nagrinejamas kunas yra I padetyje, o laiko momentu t2 –II padetyje. Aišku, kad perejimas iš I padeties i II galimas skirtingais keliais (žr. 2.6pav).

Pažymesime raidemis T ir P kuno kinetine ir potencine energijas. Tada realiameprocese, veikiant potencinems jegoms, integralas

I =

t2∫t1

(T − P )dt

igyja stacionaria reikšme. Šis variacinis principas vadinamas Hamiltono principu. Kar-tais stacionari reikšme yra mažiausia integralo reikšme. Todel Hamiltono principas daryra vadinamas mažiausio veiksmo principu.

Išnagrinesime kelis pavyzdžius.1. Materialus taškas metamas vertikaliai aukštyn. Rasti taško trajektorija, jeigu

yra žinoma taško koordinate ir greitis pradiniu laiko momentu. Tarkime, kad taškotrajektorija galima apibrežti lygtimi y = y(t). Be to, tegu pradiniu laiko momentut = 0 aukštis y(0) = 0, o greitis v = c. Taško kinetine energija

T =mv2

2=my2

2.

Taško potencine energijaP = mgh = mgy.

Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome funkcionala

I(y) =

t2∫t1

(my2

2−mgy

)dt.

Ši funkcionala atitinka Oilerio lygtis

d

dt(my) +mg = 0.


Jos bendrasis sprendinys

y = −1

2gt2 + C1t+ C2.

Pagal prielaida y(0) = 0, y(0) = c. Todel C2 = 0, o C1 = c. Vadinasi, vertikaliaiaukštyn mesto materialaus taško trajektorija yra aprašoma lygtimi

y = −1

2gt2 + ct.

2. Materialus taškas metamas kampu α (žr. 2.7 pav.) pradiniu greiciu c. Rasti šiotaško trajektorija.

..........................................

....................

.....................

......................

.......................

.........................

..............................

........................................

.............

....................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............

..............

......................................................................................................................................................................................

....................................

.....................................

x

y

o

c

α

........

.................

....................

......................

2.7 pav.Tarkime, taško trajektorija galima apibrežti lygtimis

y = y(t), x = x(t).

Tada taško kinetine energijaT =

m

2(x2 + y2),

o potencine energijaP = mgh = mgy.


I(x, y) =

t2∫t1

(m2

(x2 + y2)−mgy)dt.

Ši funkcionala atitinka Oilerio lygtys:

d

dt(mx) = 0,

d

dt(my) +mg = 0.

Perrašysime jas taip:x = 0, y = −g.

Bendrieji šiu lygciu integralai:

x = C1t+ C2, y = −g2t2 + C3t+ C4.

Pagal prielaida x(0) = 0, y(0) = 0. Todel C2 = C4 = 0. Be to,

x(0) = c cosα, y(0) = c sinα, c = |c|.


TodelC1 = c cosα, C2 = c sinα.

Taigi nagrinejamojo taško trajektorija galima aprašyti lygtimis:

x = ct cosα, y = −g2t2 + ct sinα.

3. Išvesti planetu judejimo desnius. Tegu M yra Saules mase, m – planetos mase.Pagal visuotini traukos desni abi mases veikia viena kita jega

F = −γMm

r2.

Veikiant šiai jegai, potencine energija

P = −γMm

r, F = −dP

dr.

Pažymekime γM = k . Tada P = −kmr

. Planetos kinetine energija

T =m

2v2 =

m

2(x2 + y2).

Nagrinejant ši uždavini, patogu ivesti polines koordinates:

x = r cosϕ, y = r sinϕ.

Polinese koordinateseT =

m

2(r2 + r2ϕ2).


I(r, ϕ) =

t2∫t1

[m2

(r2 + r2ϕ2) +km

r

]dt.

Ši funkcionala atitinka Oilerio lygtys:

d

dt(mr) +

km

r2−mrϕ2 = 0,

d

dt(mr2ϕ) = 0.

Antrosios lygties bendrasis integralas

r2ϕ = C.

Rasime pirmosios lygties bendraji integrala. Padaugine pirmaja lygti iš r, o antraja išϕ, perrašysime jas taip:

rr − rrϕ2 +k

r2r = 0.

2rrϕ2 + r2ϕϕ = 0.


Sudeje šias lygtys gausime,

rr + rrϕ2 + r2ϕϕ+k

r2r = 0.

Pastebesime, kad kairioji pastarosios lygties puse yra pilnasis diferencialas. Todel jagalima perrašyti taip:

d

dt

[1

2(r2 + r2ϕ2)− k

r

]= 0.

Suintegrave šia lygti , gausime antraji Oilerio lygciu integrala

1

2(r2 + r2ϕ2)− k

r= C1.

Suintegrave pirmaji integrala nuo t1 iki t2, gausime

1

2

t2∫t1

r2ϕ dt =1

2

t2∫t1

r2 dϕ =1

2C(t2 − t1).

Tai yra antrasis Keplerio desnis. Jis teigia, kad planetos skrieja aplink Saule taip, kadspindulys, jungiantis planeta su Saule, per vienoda laiko tarpa apibrežia vienoda plota.

Išreiške iš pirmojo integralo ϕ ir istate i antraji , gausime

1

2

(r2 +

C2

r2

)− k

r= C1.

Perrašysime šia lygti taip:

dr√2C1 + 2k

r −C2

r2

= dt =r2

Cdϕ.

Šios lygties bendrasis integralas

arccos C2 − krr√k2 + 2C1C2

= ϕ− C2.

Perrašysime ji taip:

r =C2

k +√k2 + 2C1C2 cos(ϕ− C2)

.

Tai yra elipses lygtis polinese koordinatese. Kai C2 = 0, gausime, kad elipses ašis yratieseje ϕ = 0. Pažymekime

p =C2

k, ε =

√1 + 2C1C

2

k2 .

Tada elipses lygti galima užrašyti taip:

r =p

1 + ε cosϕ.


Tai yra pirmasis Keplerio desnis. Jis teigia, kad planeta skrieja aplink Saule elipse,kurios viename iš židiniu yra Saule.

Elipses pusašes

a =p

1− ε2= − k

2C1, C1 < 0, b =

√pa =

C√−2C1

.

Tegu T yra laikas, per kuri planeta apskrieja aplink Saule. Tada elipses plotas

πab =1

2CT.

Iš šiu formuliu lengvai galima išvesti, kad

T 2 = 4π2a3 1

k.

Tai yra treciasis Keplerio desnis. Jis teigia, kad laiko kvadratas, per kuri planeta ap-skrieja aplink Saule, yra proporcingas didžiosios pusašes kubui.


2.14. UŽDAVINIAI

1. Rasti funkcionalo I ekstremales:

(a) I(y) =1∫0

(xy′ + y′

2)dx,

(b) I(y) =1∫0

(y′

2+ 12xy

)dx,

(c) I(y) =1∫0

(y′

2+ y2 − 2y sinx

)dx,

(d) I(y) =1∫0

(y2 + 2xyy′

)dx,

(e) I(y) =1∫0

√1 + y′2 dx,

(f) I(y) =1∫0

x−1√

1 + y′2 dx,

(g) I(y, z) =1∫0

(y′2

+ z′2

+ 2yz) dx,

(h) I(y, z) =1∫0

(y′2

+ 2yz′ + z′2

+ 2zy′) dx,

(i) I(y) =1∫0

(1 + y′′2) dx, y(0) = 0, y′(0) = 1, y(1) = 1, y′(1) = 1,

(j) I(y) =1∫−1

( 12y′′2 + y) dx,

y(−1) = 0, y′(−1) = 0, y(1) = 0, y′(1) = 0,

(k) I(y) =1∫0

(y′′′2

+ y2 − 2yx3) dx.

2. Aibeje kreiviu , kurias vienareikšmiškai galima projektuoti i x aši ir kurios jungiadu fiksuotus taškus, rasti ta, kuria sukdami apie x aši gautume mažiausio plotopaviršiu .

3. Tarkime, taškai a ir b gali laisvai judeti kreivemis y = α(x) ir y = β(x), o

funkcionalas I(y) =b∫a

ϕ(x, y)√

1 + y′2 dx. Parašyti transversalumo salygas

taškuose a ir b.

4. Tegu I(y) =b∫a

y′2(1− y′)2 dx. Rasti dalimis glodžias ekstremales.

5. Tegu I(y) =b∫a

(y′4 − 6y′

2) dx, y(0) = 0, y(b) = β. Rasti dalimis glodžias

ekstremales.

2.14. UŽDAVINIAI 73

6. Patikrinti, ar funkcionalas I(y) =b∫0

(y′2−y2) dx, y(0) = 0, y(b) = β, tenkina

Jakobio salyga.

7. Patikrinti, ar funkcionalas I(y) =b∫0

(y′2

+ y2 + x2) dx, y(0) = 0, y(b) = β,

tenkina Jakobio salyga.

8. Rasti izoperimetrinio uždavinio ekstremales:

(a) I(y) =b∫a

y′2dx, y(a) = α, y(b) = β,

kaib∫a

y dx = S;

(b) I(y) =b∫a

y dx, y(a) = α, y(b) = β,

kaib∫a

√1 + y′2 dx = l;

(c) I(y) =b∫a

y√

1 + y′2 dx, y(a) = α, y(b) = β,

kaib∫a

√1 + y′2 dx = l.


2.15. ATSAKYMAI

1. (a) y = −1

4x2 + C1x+ C2,

(b) y = x3 + C1x+ C2,

(c) y = C1ex + C2e

−x +1

2sinx,

(d) integralas nepriklauso nuo integravimo kelio,(e) y = C1x+ C2,

(f) x2 + (y − C1)2 = C22 ,

(g) y = C1ex + C2e

−x + C3 cosx+ C4 sinx,z = C1e

x + C2e−x − C3 cosx− C4 sinx,

(h) y = C1x+ C2, z = C3x+ C4,

(i) y = x,

(j) y = − 1

24(x2 − 1)2,

(k) y = C1ex + C2e

−x + ex2

(C3 cos

√3

2 x+ C4 sin√

32 x)

+

+e−x2

(C5 cos

√3

2 x+ C6 sin√

32 x)

+ x3.

2. y = C1chx−C2

C1– grandinine kreive. Sukant ja apie x aši , gaunamas paviršius,

vadinamas katenoidu. Priklausomai nuo tašku išsidestymo plokštumoje galiegzistuoti vienas sprendinys, du arba ne vieno.

3. 1 + α′(a)y′(a) = 0, 1 + β′(b)y′(b) = 0.

4. Ekstremales yra laužtines linijos, kuriu visos dalys priklauso tiesiu y = C1 iry = x+ C2 šeimoms.

5. Ekstremales yra laužtines linijos, kurios jungia du fiksuotus taškus, ir kuriu visosdalys yra atkarpos su krypties koeficientais

√3 ir −

√3.

6. Jeigu 0 < b < π, tai Jakobio salyga yra patenkinta. Jeigu b ≥ π, tai Jakobiosalyga nera patenkinta.

7. Jakobio salyga yra patenkinta ∀b.

8. (a) y = λx2 + C1x+ C2; konstantos C1, C2 ir λ randamos iš salygu :

y(a) = α, y(b) = β,

b∫a

y dx = S;

(b) ekstremales yra apskritimai (x−C1)2+(y−C2)2 = λ2; konstantosC1, C2

ir λ randamos iš salygu :

y(a) = α, y(b) = β

b∫a

√1 + y′2 dx = λ;

2.15. ATSAKYMAI 75

(c) ekstremales yra grandinines kreives y + λ = C1 ch x−C2

C1; konstantos C1,

C2 ir λ randamos iš salygu :

y(a) = α, y(b) = β

b∫a

√1 + y′2 dx = λ.

3 S K Y R I U S

Matematiniai fizikiniu procesu modeliai

Tiriant fizikini procesa, visu pirma stebimi ji aprašantys dydžiai. Tokie dydžiai galibuti temperatura, greitis, slegis, tankis ir t.t. Po to atliekami ivairus bandymai. Apiben-drinant ju rezultatus, iškeliama viena arba kelios viena kitai neprieštaraujancios irnepriklausomos hipotezes. Remiantis jomis, parodoma, kad aprašantys tam tikra fi-zikini procesa dydžiai turi tenkinti viena arba kelias diferencialines lygtis. Surade šiulygciu sprendinius, išskiriame iš ju tuos, kurie tenkina tam tikras nagrinejamo fizikiniouždavinio salygas. Paprastai šitos salygos yra apibrežiamos srities, kurioje ieškomassprendinys, kraštiniuose taškuose. Todel jos dažniausiai vadinamos kraštinemis saly-gomis, o nagrinejami uždaviniai – kraštiniais uždaviniais. Tuo atveju, kai kuris norsvienas iš kintamuju (pavyzdžiui, laikas) yra išskiriamas iš kitu , ji atitinkancios salygosvadinamos pradinemis salygomis. Uždavinys tik su pradinemis salygomis vadinamaspradiniu, arba Koši, uždaviniu. Jeigu uždavinyje, be pradiniu salygu , yra ir kitos –kraštines salygos, tai toks uždavinys vadinamas mišriuoju.

Išvesdami diferencialines lygtis, pradines ir kraštines salygas, reikalausime tokiožinomu ir ieškomu dydžiu glodumo, koks bus reikalingas1.

Savaime aišku, kad iškeltos hipotezes tik apytiksliai atspindi realu fizikini pro-cesa. Todel kiekvienas matematinis modelis tera tik jo idealizacija. Netgi tikslus gautudiferencialiniu lygciu sprendinys tik apytiksliai aprašo realu procesa. Pavyzdžiui,nagrinejant šilumos pasiskirstyma erdveje, yra išvedama Puasono formule. Iš jos iš-plaukia, kad šilumos sklidimo greitis yra begalinis. Taciau tai yra neimanoma. Vad-inasi, Puasono formule nera tiksli. Visgi techniniams skaiciavimams ji yra sekmingainaudojama. Atmete joje kiek norima mažos eiles dydžius, gausime, kad šilumos sk-lidimo greitis yra baigtinis, o pati Puasono formule gana tiksliai aprašo šilumos pa-siskirstyma erdveje kiekvienu laiko momentu. Analogiška situacija yra ir su kitaismatematiniais modeliais.

Matematinis modelis yra blogas, jei juo remiantis gautos išvados labai skiriasi nuoeksperimento rezultatu . Tokiu atveju ji reikia pakeisti kitu, geriau atskleidžianciu na-grinejamo proceso ypatybes.

Fizikos ir mechanikos uždaviniu matematiniams modeliams sudaryti dažnai taiko-mas Hamiltono principas (ji taikysime nagrinedami stygos ir membranos svyravimus).

3.1. STYGOS SVYRAVIMU LYGTIS

Kieta kuna, kurio ilgis daug didesnis už kitus jo matmenis, vadinsime styga. Tarkime,itempta baigtine styga yra itvirtinta galuose ir pusiausvyros busenoje stygos taškai yratieseje. Pažymesime šita tiese x ašimi, o taškus, kuriuose styga itvirtinta – taškais

1Tokia prielaida fizikine prasme ne visuomet yra pagrista. Todel šiuolaikineje diferencialiniu lygciuteorijoje grižtama nuo diferencialiniu prie integro-diferencialiniu lygciu ir yra ivedama apibendrinto spren-dinio savoka.

3.1. STYGOS SVYRAVIMU LYGTIS 77

a ir b. Kokiu nors budu išveskime styga iš pusiausvyros. Nagrinesime tik tokiussvyravimus, kai stygos taškai juda vienoje plokštumoje statmenai x ašiai. Taško xnuokrypi nuo pusiausvyros padeties pažymesime u(x, t). Tada stygos svyravimusaprašo viena skaliarine funkcija u = u(x, t). Be to, nagrinesime tik mažus stygossvyravimus ir jegas, kurios priešinasi stygos išlenkimui, laikysime mažomis, lyginantsu jos itempimo jegomis.

...

.......

...............................

..................................................................................................................................................................

.....................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ...........................................................................................................................................................................................

a bdx

dl

x

u

3.1 pav.

Tegu K(x) – stygos, esancios pusiausvyros busenoje, tamprumo koeficientas taške x,dl – deformuotos stygos elemento ilgis (žr. 3.1 pav.). Darbas, reikalingas elemento dxdeformacijai, yra proporcingas stygos ilgio pokyciui:

K(x)(dl − dx) = K(x)(√

1 + u2x − 1) dx.

Kai svyravimai maži, šaknies√

1 + u2x skleidinyje ux laipsniais galima atmesti aukš-

tesniuosius laipsnius. Todel elemento dx potencine energija

K(x)(dl − dx) ≈ K(x)(1 +1

2u2x − 1) dx =

1

2K(x)u2

x dx.

Visos stygos potencine energija galima išreikšti integralu

b∫a

1

2K(x)u2

x dx.

Jeigu styga veikia išorines jegos, kuriu linijinis tankis f(x, t), tai šitu jegu atliekamasdarbas išreiškiamas integralu

−b∫a

f(x, t)u dx.

Taigi stygos sumine potencine energija

P =

b∫a

[1

2K(x)u2

x − f(x, t)u

]dx.

Tegu ρ(x) – linijinis stygos tankis taške x. Tada elemento dx kinetine energija

dT =1

2ρ(x)u2

t dx.

78 3. MATEMATINIAI FIZIKINIU PROCESU MODELIAI

Visos stygos kinetine energija

T =

b∫a

1

2ρ(x)u2

t dx.


I(u) =

t2∫t1

(T − P )dt =

t2∫t1

b∫a

[1

2ρ(x)u2

t −1

2K(x)u2

x + f(x, t)u

]dxdt.

Tarkime, funkcija u aprašo tikraji stygos svyravima, η – bet kokia diferencijuojamafiniti staciakampyje Ω = (t1, t2)× (a, b) funkcija, o ε – pakankamai mažas teigiamasskaicius. Funkcija u+ εη aprašo galima stygos svyravima.

Funkcija u yra funkcionalo I stacionarioji reikšme. Todel

δI(u, η) =

t2∫t1

b∫a

[ρ(x)utηt −K(x)uxηx + f(x, t)η] dxdt = 0. (3.1)

Pritaike integravimo dalimis formule ir pasinauduoje tuo, kad funkcija η staciakampyjeQ yra finiti, perrašysime (3.1) salyga taip:

t2∫t1

b∫a

[−(ρ(x)ut)t + (K(x)ux)x + f(x, t)

]η dxdt = 0.

Šioje integralineje tapatybeje η yra laisvai pasirinkta diferencijuojama finiti funkcija.Todel reiškinys kvadratiniuose skliaustuose lygus nuliui, t.y. funkcija u tenkino Oileriolygti :

ρ(x)utt − (K(x)ux)x = f(x, t). (3.2)

Iš visu (3.2) lygties sprendiniu reikia išrinkti ta, kuris tenkina visas nagrinejamo užda-vinio salygas. Išvesdami styga iš pusiausvyros padeties, suteikeme jai pradini nuokrypiir pradini greiti . Vadinasi, pradiniu laiko momentu (tarkime, momentu t = 0) funkcijau turi tenkinti pradines salygas:

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), ∀x ∈ [a, b]. (3.3)

Be to, taškuose a ir b styga yra itvirtinta. Todel bet kuriuo laiko momentu t ≥ 0 tuributi patenkintos kraštines salygos:

u|x=a = 0, u|x=b = 0. (3.4)

Tokiu budu itvirtintos taškuose a ir b stygos svyravimo uždavinys yra mišrusis (3.2)–(3.4) uždavinys.

3.1. STYGOS SVYRAVIMU LYGTIS 79

Jeigu styga yra homogenine ir tolygiai i tempta, t.y. funkcijos ρ ir K yra pastovios,tai (3.2) lygti galima perrašyti taip:

utt − a2uxx = F (x, t); (3.5)

cia: a2 = K/ρ, F = f/ρ. Ši lygtis yra vadinama vienmate bangavimo lygtimi.P a s t a b a . Esant kitokioms kraštinems salygoms, stygos svyravimas aprašomas

ta pacia Oilerio lygtimi (tai išplaukia iš jos išvedimo). Tos pacios išlieka ir pradinessalygos. Keiciasi tik kraštines salygos. Pavyzdžiui, jeigu taškas x = a juda pagal tamtikra desni arba ji veikia tam tikra jega, arba jis yra elastingai i tvirtintas, tai kraštinesalyga šiame taške reikia pakeisti atitinkamai viena iš salygu :

u|x=a = µ(t), K(x)ux|x=a = µ(t), K(x)ux + σ(x, t)u|x=a = 0.


3.2. MEMBRANOS SVYRAVIMAS IR PUSIAUSVYRA

Kieta kuna, kurio storis kur kas mažesnis už visus kitus jo matmenis, vadinsime mem-brana. Tarkime, pusiausvyros busenoje membrana užima sriti Ω ⊂ R2, apribotakonturu l, ir konturo l taškuose yra itvirtinta. Išveskime ja (kokiu nors budu) iš pu-siausvyros padeties. Nagrinesime tik tokius svyravimus, kai kiekvienas membranostaškas juda tiese, statmena Ω. Pažymesime u(x, t) taško x = (x1, x2) ∈ Ω nuokrypinuo pusiausvyros padeties laiko momentu t. Tada membranos svyravima galima apra-šyti viena skaliarine funkcija u = u(x, t). Be to, nagrinesime tik mažus membranossvyravimus ir laikysime membranos išlenkimo jegas mažomis, lyginant su jos itempi-mo jegomis.

Membranos ir stygos svyravimo lygties išvedimas yra analogiškas. Todel, išves-dami membranos svyravimo lygti , praleisime kai kurias pasikartojancias detales.

Potencine ir kinetine membranos energijas galima išreikšti integralais:

P =

∫Ω

1

2K(x)(u2

x1+ u2

x2) dx−

∫Ω

f(x, t)u dx,

T =

∫Ω

1

2ρ(x)u2

t dx;

cia: K(x) – membranos, esancios pusiausvyros busenoje, tamprumo koeficientas,f(x, t) – paviršinis išoriniu jegu tankis, ρ – paviršinis membranos tankis.


I(u) =

t2∫t1

∫Ω

[1

2ρ(x)u2

t −1

2K(x)(u2

x1+ u2

x2) + f(x, t)u

]dxdt.

Tegu funkcija u aprašo tikraji membranos svyravima, η – bet kokia diferencijuojamafiniti ritinyje Q = Ω × (t1, t2) funkcija, o ε – pakankamai mažas teigiamas skaicius.Funkcija u+ εη aprašo galima membranos svyravima.

Funkcija u yra funkcionalo I stacionarioji reikšme. Todel funkcionalo I pirmojivariacija

δI(u, η) =

t2∫t1

∫Ω

[ρ(x)utηt −K(x)(ux1ηx1 + ux2ηx2) + f(x, t)η] dxdt = 0.

Iš šios integralines tapatybes lengvai gauname, kad funkcija u turi tenkinti Oilerio lygti

ρ(x)utt −2∑i=1

(K(x)uxi)xi = f(x, t). (3.6)

Be to, funkcija u turi tenkinti pradines

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = φ(x) (3.7)

3.2. MEMBRANOS SVYRAVIMAS IR PUSIAUSVYRA 81

ir kraštineu|l = 0 (3.8)

salygas.Taigi i tvirtintos konture l membranos svyravimo uždavinys yra mišrusis (3.6)–

(3.8) uždavinys.Tuo atveju, kai membrana yra homogenine ir jos itempimas visomis kryptimis yra

vienodas, t.y. kai funkcijos K ir ρ yra pastovios, (3.6) lygti galima perrašyti taip:

utt − a22∑i=1

uxixi = F (x, t); (3.9)

cia: a2 = K/ρ, F = f/ρ. Ši lygtis yra vadinama dvimate bangavimo lygtimi.P a s t a b a . Jei membrana nera itvirtinta, tai Oilerio lygtis ir pradines salygos

išlieka tos pacios. Keiciasi tik kraštine salyga. Pavyzdžiui, jeigu membranos konturassvyruoja pagal tam tikra desni arba ji veikia tam tikra jega, arba jis yra elastingaii tvirtintas, tai vietoje (3.8) kraštines salygos reikia imti atitinkamai viena iš salygu :

u∣∣∣l= µ(x, t), K(x)

∂u

∂n

∣∣∣l= µ(x, t), K(x)

∂u

∂n

∣∣∣l+σ(x, t)u

∣∣∣l= 0;

cia: µ ir σ žinomos funkcijos, ∂u/∂n – funkcijos u išvestine normales kryptimi.Savaime aišku, kad galimos ir kitos kraštines salygos, taip pat ir netiesines.

Tarkime, konturo l taškuose nera jokiu išankstiniu salygu . Be to, tegu membranaveikianti jega f nepriklauso nuo laiko t. Veikiant šiai jegai, membrana išsilenks. Tegufunkcija u = u(x), x = (x1, x2) ∈ Ω aprašo deformuotos membranos paviršiu . Šiuoatveju membranos potencine energija

P (u) =

∫Ω

[1

2K(x)(u2

x1+ u2

x2)− f(x)u

]dx

igyja mažiausia reikšme.Tegu η ∈ C1(Ω), ε – mažas teigiamas skaicius. Tada funkcija u ± εη apibrežia

galima membranos deformacija ir

P (u) ≤ P (u+ εη).

Todel funkcionalo P pirmoji variacija

δP (u, η) =

∫Ω

[K(x)(ux1ηx1

+ ux2ηx2

)− f(x)η] dx = 0.

Panaudoje integravimo dalimis formule, šia integraline tapatybe perrašysime taip:∫Ω

[ 2∑i=1

(K(x)uxi)xi + f(x)]η dx−

∫l

K(x)∂u

∂nη dl = 0. (3.10)


Tarkime, funkcija η lygi nuliui konturo l taškuose. Tada∫Ω

[ 2∑i=1

(K(x)uxi)xi + f(x)]η dx = 0

ir funkcija u turi tenkinti Oilerio lygti

2∑i=1

(K(x)uxi)xi + f(x) = 0, x ∈ Ω. (3.11)

Grižkime prie (3.10) tapatybes. Tegu η yra bet kokia diferencijuojama funkcija.Kadangi funkcija u tenkina (3.11) Oilerio lygti , tai (3.10) tapatybe galime perrašytitaip: ∫

l

K(x)∂u

∂nη dl = 0.

Konturo l taškuose funkcija η gali igyti bet kokias reikšmes. Todel reiškinys K(x)∂u

∂nyra lygus nuliui, t.y. funkcija u tenkina kraštine salyga

K(x)∂u

∂n= 0, x ∈ l. (3.12)

Taigi membranos pusiausvyros uždavinys yra kraštinis (3.11), (3.12) uždavinys.Kai funkcija K yra pastovi, (3.11) lygtis yra Puasono lygtis

∆u = −F, F = f/K,

kuri, kai f = 0, virsta Laplaso lygtimi

∆u = 0;

cia ∆u =2∑i=1

uxixi .

P a s t a b a . Nagrinejant membranos pusiausvyros uždavini, galimos ir kitos kraš-tines salygos (žr. stygos ir membranos svyravimu lygtis).

3.3. ŠILUMOS LAIDUMAS IR DUJU DIFUZIJA 83

3.3. ŠILUMOS LAIDUMAS IR DUJU DIFUZIJA

Tarkime: erdveje R3 kietas kunas užima sriti Ω; žinoma jo temperatura pradiniu laikomomentu t = 0 ir paviršiaus S = ∂Ω temperatura bet kuriuo laiko momentu t ≥ 0.Ištirsime temperatura kuno viduje. Kuno temperatura taške x = (x1, x2, x3) ∈ Ω laikomomentu t pažymesime u(x, t). Tegu Ω′ ⊂ Ω – bet kokia vidine sritis su glodžiupaviršiumi S′. Pagal Furje desni šilumos kiekis, pratekantis per paviršiu S′ laikotarpiut2 − t1, išreiškiamas integralu

t2∫t1

∫S′

k(x, t, u)∂u

∂ndS′ dt;

cia: k – šilumos laidumo koeficientas, ∂u/∂n – funkcijos u išvestine normales kryp-timi.

Kai yra išoriniai šilumos šaltiniai su tankiu f(x, t), tai šilumos kiekis, patenkantisiš ju i sriti Ω′ laikotarpiu t2 − t1, lygus

t2∫t1

∫Ω′

f(x, t) dxdt.

Antra vertus, tas pats šilumos kiekio pokytis srityje Ω′ laikotarpiu t2 − t1 lygus∫Ω′

c(x)ρ(x)u(x, t2) dx−∫Ω′

c(x)ρ(x)u(x, t1) dx =

t2∫t1

∫Ω′

c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt;

cia ρ(x) ir c(x) – atitinkamai kuno tankis ir šilumos talpumas (specifine šiluma) taškex. Išskirtoje srityje Ω′ sudarome šilumos balanso lygti :

t2∫t1

∫S′

k(x, t, u)∂u

∂ndS′ dt+

t2∫t1

∫Ω′

f(x, t) dxdt =

t2∫t1

∫Ω′

c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt.

Pagal Gauso–Ostrogradskio formule∫S′

k(x, t, u)∂u

∂ndS′ =

∫Ω′

3∑i=1

d

dxi

(k(x, t, u)uxi

)dx.

Todel šilumos balanso lygti galima perrašyti taip:t2∫t1

∫Ω′

[ 3∑i=1

d

dxi

(k(x, t, u)uxi

)− c(x)ρ(x)ut + f(x, t)

]dxdt = 0. (3.13)

Kadangi integravimo režiai t1, t2 ir sritis Ω′ pasirinkti laisvai, tai reiškinys kvadratini-uose skliaustuose yra lygus nuliui, t.y. funkcija u tenkina lygti

3∑i=1

d

dxi

(k(x, t, u)uxi

)− c(x)ρ(x)ut + f(x, t) = 0, ∀x ∈ Ω, t > 0. (3.14)


Iš visu šios lygties sprendiniu reikia išrinkti ta, kuris tenkintu pradines ir kraštinessalygas. Nagrinejamu atveju yra žinoma kuno temperatura pradiniu laiko momentu irkuno paviršiaus temperatura bet kuriuo laiko momentu. Todel funkcija u turi tenkintipradine

u∣∣t=0

= ϕ(x) (3.15)

ir kraštineu∣∣S

= µ1(x, t) (3.16)

salygas. Taigi šilumos pasiskirstymo kietame kune Ω ⊂ R3 uždavinys yra mišrusis(3.14)–(3.16) uždavinys.

P a s t a b o s :

1. Paviršiuje S galimi ir kiti šilumos režimai. Pavyzdžiui, jeigu kiekvienu laikomomentu t žinome šilumos kieki µ2(x, t), kuris patenka i sriti Ω per paviršiuS, arba žinome supancios sriti Ω erdves temperatura µ3(x, t), tai vietoje (3.16)kraštines salygos reikia imti atitinkamai viena iš salygu :

k(x, t, u)∂u

∂n

∣∣∣S

= µ2, k(x, t, u)∂u

∂n

∣∣∣S

+ σ(x, t, u)(u− µ3)∣∣∣S

= 0;

cia σ – šilumos mainu koeficientas.

2. Jeigu Ω = Rn, tai (3.16) salyga neturi prasmes ir nagrinejamas uždavinys su-siveda i (3.14)–(3.15) Koši uždavini.

3. Tuo atveju, kai nagrinejamasis kunas yra homogeninis, t.y. funkcijos k, ρ ir c yrapastovios, (3.14) lygtis yra šilumos laidumo lygtis

ut − a2∆u = F (x, t); (3.17)

cia: a2 =k

cρ, F =

f

cρ,∆u =

3∑i=1

uxixi .

Jeigu procesas stacionarus, t.y. temperaturos pasiskirstymas yra nusistovejes irlaikui begant nekinta, tai funkcijos u, f ir k nepriklauso nuo kintamojo t. Todel ut = 0ir (3.14) lygti galima perrašyti taip:

3∑i=1

d

dxi

(k(x, u)uxi

)+ f(x) = 0, x ∈ Ω.

Kai funkcija k yra pastovi, ši lygtis yra Puasono lygtis

−∆u = F, F = f/k,

o kai ir f = 0, – Laplaso lygtis∆u = 0.

Aišku, kad nagrinejant stacionaru procesa, pradine salyga nereikalinga, o kraštine sa-lyga išlieka. Praktiniuose uždaviniuose dažniausiai naudojamos tokios kraštines saly-gos:

u∣∣∣S

= µ(x),∂u

∂n

∣∣∣S

= µ(x),∂u

∂n

∣∣∣S

+ σ(x)u∣∣∣S

= µ(x).

3.3. ŠILUMOS LAIDUMAS IR DUJU DIFUZIJA 85

Dvimaciu ir vienmaciu atvejais gaunamos analogiškos lygtys. Pavyzdžiui, jeigunagrinejamasis kunas yra plona plokštele arba plonas strypas, tai gausime dvimate arbavienmate šilumos laidumo lygti

ut − a2(ux1x1+ ux2x2

) = F, ut − a2ux1x1= F.

Išnagrinesime duju difuzijos uždavini. Tarkime, dujos arba ištirpintos tirpale me-džiagos daleles netolygiai pasiskirsciusios kokioje nors srityje Ω. Daleliu arba dujukoncentracija 2 taške x ∈ Ω laiko momentu t pažymesime u(x, t).

Tegu Ω′ ⊂ Ω – kokia nors vidine sritis; S′ = ∂Ω′ – glodus paviršius. Daleliu arbaduju kiekis, patenkantis per paviršiu S′ laikotarpiu t2 − t1, kai nera išoriniu šaltiniu ,išreiškiamas integralu

t2∫t1

∫S′

D(x, u)∂u

∂ndS′ dt;

cia D(x, u) > 0 – difuzijos koeficientas. Jeigu yra išoriniai šaltiniai ir f(x, t) juintensyvumas, tai visas duju arba daleliu kiekis, patenkantis i sriti Ω′ laikotarpiu t2 −t1, lygus

t2∫t1

∫S′

D(x, u)∂u

∂ndS′ dt+

t2∫t1

∫Ω′

f(x, t) dxdt.

Kita vertus, duju arba daleliu kiekio pokytis srityje Ω′ laikotarpiu t2 − t1 išreiškiamasintegralu ∫

Ω′

c(x)(u(x, t2 − u(x, t1)

)dx =

t2∫t1

∫Ω′

c(x)ut dxdt;

cia c(x) – medžiagos akytumo koeficientas. Sulygine gautas išraiškas, gausime lygybe

t2∫t1

∫S′

(x, u)∂u

∂ndS′ dt+

t2∫t1

∫Ω′

f(x, t) dxdt =

t2∫t1

∫Ω′

c(x)ut dxdt.

Iš jos, lygiai taip pat kaip ir šilumos pasiskirstymo kietame kune atveju, išplaukia, kadfunkcija u turi tenkinti lygti

cut −3∑i=1

d

dxi

(D(x, u)uxi

)= f(x, t), ∀x ∈ Ω, t > 0.

Jeigu funkcijos c ir D yra pastovios, tai ši lygtis yra šilumos laidumo lygtis.Tam, kad difuzijos procesas butu vienareikšmiškai apibrežtas, butina žinoti duju

arba medžiagos daleliu skystyje koncentracija pradiniu laiko momentu t = 0, t.y.2Koncentracija suprantame kaip medžiagos kieki turio vienete. Kalbedami apie maža skyscio arba duju

turio elementa, laikome ji mažu, lyginant su visu turiu, bet pakankamai dideliu, lyginant su atstumais tarpmolekuliu , t.y. manome, kad tokiame elemente yra dar pakankamai daug molekuliu . Pavyzdžiui, jeigunagrinejame kokio nors taško poslinki skystyje arba dujuose, tai turime omenyje ne kokios nors vienosmolekules poslinki, o viso elementariojo turio, kuriame yra daug molekuliu , poslinki.


funkcija u turi tenkinti (3.15) pradine salyga. Be to, bet kokiu laiko momentu t ≥ 0 tuributi žinomas difuzijos režimas nagrinejamos srities paviršiuje S. Pavyzdžiui, jeigu yražinoma duju arba medžiagos daleliu skystyje koncentracija paviršiuje S, tai funkcija uturi tenkinti (3.16) kraštine salyga.

3.4. IDEALIOJO SKYSCIO HIDRODINAMIKOS LYGTYS 87

3.4. IDEALIOJO SKYSCIO HIDRODINAMIKOS LYGTYS

Nagrinesime judanti skysti1, kuriame šilumos laidumo ir klampumo procesai yra ne-esminiai, t.y. manysime, kad nera šilumos perdavimo ir trinties tarp ivairiu skysciodaleliu , taip pat tarp skyscio daleliu ir ivairiu saveikaujanciu su jomis išoriniu kunu .Toks skyscio judejimas vadinamas idealiuoju.

Tegu v(x, t) yra skyscio greitis, p(x, t) – slegis, o ρ(x, t) – tankis taške x =(x1, x2, x3) laiko momentu t. Pabrešime, kad funkcijos v, p ir ρ priklauso nuo konkre-ciu erdves tašku , o ne nuo konkreciu judanciu erdveje skyscio daleliu .

Laisvai pasirenkame sriti Ω su glodžiu paviršiumi S. Skyscio mase srityje Ω laikomomentu t išreiškiama integralu ∫

Ω

ρ(x, t) dx.

Mases pokytis laikotarpiu t2 − t1 lygus

∫Ω

ρ(x, t2) dx−∫Ω

ρ(x, t1) dx =

t2∫t1

∫Ω

∂ρ(x, t)

∂tdxdt.

Antra vertus, skyscio mase, pratekanti per paviršiu S nuo išoriniu šaltiniu laikotarpiut2 − t1, yra lygi

−t2∫t1

∫S

ρvn dSdt+

t2∫t1

∫Ω

f dxdt;

cia: vn = (v,n) =3∑i=1

vini, vi – vektoriaus v projekcija i koordinaciu aši xi, i =

1, 2, 3; f(x, t) – vidiniu šaltiniu intensyvumas. Pagal mases tvermes desni

t2∫t1

∫Ω

∂ρ(x, t)

∂tdxdt = −

t2∫t1

∫S

ρvn dSdt+

t2∫t1

∫Ω

f dxdt. (3.18)

Remiantis Gauso–Ostrogradskio formule,∫S

ρvn dS =

∫Ω

3∑i=1

d

dxi

(ρvi)dx =

∫Ω

divρv dx;

cia

divv ≡3∑i=1

∂vi∂xi

.

1Šiame skyrelyje rašydami žodi "skystis" turesime omenyje ir skysti , ir dujas.


Todel (3.18) lygybe galime perrašyti taip:

t2∫t1

∫Ω

(∂ρ(x, t)

∂t+ divρv

)dxdt =

t2∫t1

∫Ω

f dxdt.

Kadangi sritis Ω ir integravimo režiai t1, t2 pasirinkti laisvai, tai pointegraliniai reiški-niai abiejose lygybes pusese yra lygus, t.y.

∂ρ(x, t)

∂t+ divρv = f. (3.19)

Ši lygtis yra vadinama tolydumo lygtimi. Kai skystis yra nesuspaudžiamas, t.y. tankisρ yra pastovus, (3.19) lygti galima perrašyti taip:

divv = F, F = f/ρ. (3.20)

Tuo atveju, kai skyscio srautas yra potencialus, t.y.

v = −gradu, gradu = (ux1, ux2

, ux3),

u – skaliarine funkcija, (3.20) lygtis yra Puasono lygtis

∆u = −F ;

cia ∆u =3∑i=1

uxixi .

Išvesime idealiojo skyscio judejimo lygtis. Pagal prielaida iš visu galimu vidiniujegu , veikianciu skyscio daleles srityje Ω, veikia tik slegio jegos. Jos kiekviena pavir-šiaus S elementa dS veikia vidines normales kryptimi. Vadinasi, slegio jega, veikiantielementa dS, lygi −pn dS. Šiu jegu atstojamoji

−∫S

pn dS = −∫Ω

grad p dx.

Jeigu kiekviena skyscio mases elementa veikia išorine jega F (x, t) (pavyzdžiui, sunkiojega), tai šitu jegu atstojamoji lygi ∫

Ω

ρF dx.

Inerciniu jegu , veikianciu sriti Ω, atstojamoji lygi

−∫Ω

ρdv

dtdx;

ciadv

dt– konkrecios skyscio daleles, judancios erdveje, pagreitis. Atkreipsime demesi

i tai, kad daline išvestine∂v

∂tapibrežia greicio pokyti fiksuotame erdves taške.

3.4. IDEALIOJO SKYSCIO HIDRODINAMIKOS LYGTYS 89

Pagal Dalambero principa skyscio dalele veikianciu jegu suma lygi nuliui. Todel∫Ω

(ρF − grad p− ρdv

dt

)dx = 0. (3.21)

Kadangi sritis Ω pasirinkta laisvai, tai reiškinys skliaustuose yra lygus nuliui, t.y.

dv

dt= −1

ρgrad p+ F. (3.22)

Gauta lygtis yra idealiojo skyscio judejimo lygtis. Ja 1755 m. pirma karta išvedeL. Oileris.

Pilnoji funkcijos v išvestine

dv

dt=∂v

∂t+

3∑i=1

∂v

∂xivi =

∂v

∂t+ (v, grad v).

Todel Oilerio lygti galima perrašyti dar ir taip:

∂v

∂t+ (v, grad v) = −1

ρgrad p+ F. (3.23)

Jeigu idealusis skystis yra nesuspaudžiamas, tai jo tankis ρ yra pastovus dydis, kurigalima laikyti žinomu. Šiuo atveju (3.19) tolydumo ir (3.22) Oilerio lygtys sudaroidealiojo skyscio hidrodinamikos lygciu sistema. Tiksliau, turime keturias lygtis irketurias nežinomas funkcijas v1, v2, v3 ir p.

Jeigu skystis yra suspaudžiamas, tai turime penkias nežinomas funkcijas v1, v2, v3,p, ρ ir keturias lygtis. Tam, kad hidrodinamikos lygciu sistema butu uždara, reikia prie(3.19) tolydumo lygties ir (3.22) Oilerio lygties prijungti skyscio busenos lygti

p = Φ(ρ), (3.24)

kuri apibrežia ryši tarp tankio ir slegio. I ja gali ieiti ir kiti fizikiniai dydžiai, pavyz-džiui, temperatura. Skirtingiems skysciams ju busenos lygtis nustatoma eksperimentobudu.

Prie hidrodinamikos lygciu sistemos reikia dar prijungti kraštines salygas. Pavyz-džiui, taškuose, kuriuose skystis lieciasi su nejudamu paviršiumi, turi buti patenkintasalyga vn = (v,n) = 0. Jeigu lieciasi du nesusimaišantys skysciai, tai lietimositaškuose ju slegiai ir greiciu projekcijos i normales vektoriu n turi buti lygus.

P a s t a b a . I duju judejima galima žiureti kaip i idealiojo skyscio judejima, kurioneveikia sunkio jegos ir nera išoriniu šaltiniu . Todel duju dinamikos lygciu sistemagalima užrašyti taip:

∂ρ

∂t+ divρv = 0,

∂v

∂t+ (v, grad v) +

1

ρgrad p = 0, (3.25)

p = Φ(ρ).


3.5. GARSO BANGU LYGTYS

Mažos amplitudes virpesiu sklidimas dujomis arba suspaudžiamu skysciu vadinamasgarso bangomis. Nagrinesime tik idealu ji judejima. Be to, manysime, kad nera išori-niu šaltiniu , o išorines jegos lygios nuliui. Tada garso bangu dinamikos lygciu sistemagalima užrašyti (3.25) lygtimis.

Kadangi nagrinejame mažus garso bangos svyravimus, tai greiti v ir jo išvestinesvxi , i = 1, 2, 3, galime laikyti mažomis. Del tos pacios priežasties slegio ir tankiopokyciai taip pat yra maži ir galime rašyti

p = p0 + p′, ρ = ρ0 + ρ′; (3.26)

cia: p0 ir ρ0 – slegis ir tankis ramybes buvyje, o p′ ir ρ′ – ju pokyciai garso bangoje.Be to, p′ << p0, ρ

′ << ρ0. Atmete tolydumo ir Oilerio lygtyse mažuosius aukštesneseiles dydžius

div ρ′v, ρ0(v, grad v), ρ′dv

dt,

perrašysime jas taip:∂ρ′

∂t+ ρ0div v = 0, (3.27)

ρ0∂v

∂t+ grad p′ = 0. (3.28)

Jeigu funkcija Φ yra diferencijuojama, tai pagal Teiloro formule

Φ(ρ0 + ρ′) = Φ(ρ0) + Φ′(ρ0)ρ′ + o(ρ′).

Atmete lygtyje p = Φ(ρ) mažuosius aukštesnes eiles dydžius, gausime lygti

p′ = Φ′(ρ0)ρ′. (3.29)

Toliau nagrinesime atveji , kai didejant tankiui dideja slegis. Šiuo atveju funkcija Φyra didejanti ir Φ′(ρ0) > 0. Pažymekime Φ′(ρ0) = a2.

Nežinomas funkcijas v, p′ ir ρ′ patogu išreikšti viena. Tam, kaip matoma iš lygciu(3.27)–(3.29) analizes, patogu ivesti nauja nežinoma funkcija u: v = −gradu. Tada iš(3.28), (3.29) lygciu išplaukia, kad p′ = ρ0ut, ρ′ = ρ0a

−2ut. Istate gautas ieškomufunkciju išraiškas i (3.27) lygti , gausime, kad potencialas u turi tenkinti bangavimolygti

utt − a2∆u = 0; (3.30)

cia ∆u = div gradu =3∑i=1

uxixi .

Taigi garso banga aprašo potencialas u. Paveike abi (3.30) lygties puses diferen-cialiniu ∂/∂t, arba gradiento, operatoriumi, gausime, kad slegis p′, tankis ρ′, taip patvisos greicio v komponentes v1, v2, v3 tenkina bangavimo lygti .

Dabar trumpai aptarsime kraštines salygas. Tegu skystis arba dujos trimateje erd-veje užima sriti Ω, apribota paviršiumi S. Tarkime, pradiniu laiko momentu t = 0 bet

3.5. GARSO BANGU LYGTYS 91

kokiame srities Ω taške duotas greicio v pasiskirstymas ir santykinis tankio pokytis.Tada pradines salygas galima užrašyti taip:

u∣∣∣t=0

= ϕ, ut

∣∣∣t=0≡ ρ′

ρ0a−2

∣∣∣t=0

= ψ.

Jeigu paviršius S yra fiksuotas (t.y. laikui begant nekinta) ir nelaidus skysciui, tai jotaškuose greicio v projekcija i normales vektoriu n lygi nuliui. Todel paviršiaus Staškuose potencialas u turi tenkinti kraštine salyga

∂u

∂n

∣∣∣S

= 0.


3.6. MAKSVELO LYGTYS

Tarkime, vakuume yra elektromagnetinis laukas. Tegul: x ∈ R3, t – laikas, E(x, t) =(E1, E2, E3) ir H(x, t) = (H1, H2, H3) yra atitinkamai elektrinio ir magnetinio laukostiprio vektoriai, ρ(x, t) – kruviu tankis, J(x, t) = (J1, J2, J3) – elektros sroves tankis.

Iš pradžiu užrašysime elektrinio ir magnetinio lauku tolydumo lygtis. Tegu Ω yrakokia nors aprežta sritis erdveje R3; S = ∂Ω. Pagal Kulono desni elektrinio laukosrautas, einantis per uždara paviršiu S, lygus suminiam kruviui, esanciam srityje Ω. Sisistemoje ši teigini galima užrašyti taip:∫

S

(E,n) dS =

∫Ω

ρ dx. (3.31)

Remiantis Gauso–Ostrogradskio formule,∫S

(E,n) dS =

∫Ω

div E dx.

Todel (3.31) lygybe galima perrašyti taip:∫Ω

div E dx =

∫Ω

ρ dx.

Iš šios integralines tapatybes lengvai galima išvesti elektrinio lauko tolydumo lygti

div E = ρ. (3.32)

Kadangi magnetiniu kruviu nera, tai magnetinio lauko tolydumo lygtis –

div H = 0. (3.33)

Laisvai pasirenkame koki nors uždara kontura l erdveje R3 ir paviršiu S : ∂S = l.Pagal Faradejaus desni magnetinio lauko pokytis indukuoja elektrini lauka, t.y.∫

l

(E, τ) dl = − ∂

∂t

∫S

(H,n) dS; (3.34)

cia: τ – vienetinis liestines vektorius konturui l. Pagal Stokso formule∫l

(E, τ) dl =

∫S

(rot E,n) dS;

ciarot E =

(E3x2

− E2x3, E1x3

− E3x1, E2x1

− E1x2

).

Todel (3.34) lygybe galima perrašyti taip:∫S

(rot E,n) dS = − ∂

∂t

∫S

(H,n) dS.

3.6. MAKSVELO LYGTYS 93

Kadangi konturas l ir paviršius S pasirinkti laisvai, tai iš šios integralines tapatybeslengvai išvedame lygti

rot E = −∂H

∂t. (3.35)

Jeigu ρ = ρ(x), o sroves tankis toks, kad div J = 0, tai, kaip rodo eksperimentai,∫l

(H, τ) dl =

∫S

(J,n) dS. (3.36)

Pagal Stokso formule ∫l

(H, τ) dl =

∫S

(rot H,n) dS.

Todel (3.36) integraline tapatybe galima perrašyti taip:∫S

(rot H,n) dS =

∫S

(J,n) dS.

Kadangi paviršius S pasirinktas laisvai, tai iš šios integralines tapatybes lengvai gau-name lygti

rot H = J.

Bendruoju atveju, kai div J 6= 0, prie dešines šitos lygties puses reikia prijungti darnežinoma nari , kuris vadinamas poslinkio srove ir žymimas Jp. Taigi bendruoju atvejuturime lygti

rot H = J + Jp. (3.37)

Paveike abi šitos lygties puses divergencijos operatoriumi, gausime

div J + div Jp = div rot H ≡ 0.

Pagal kruvio tvermes desni ∫S

(J,n) dS = − ∂

∂t

∫Ω

ρ dx.

Iš cia ir Gauso–Ostrogradskio formules išplaukia∫Ω

div J dx = − ∂

∂t

∫Ω

ρ dx.

Iš šitos integralines tapatybes lengvai išvedame lygti

div J = − ∂

∂tρ. (3.38)

Iš (3.32) ir (3.38) lygciu eliminave ρ, gausime

div J = − ∂

∂tdiv E.


Todeldiv Jp =

∂

∂tdiv E.

Gauta salyga galima patenkinti nevienareikšmiškai. Paeme

Jp =∂

∂tE

ir istate šita poslinkio sroves išraiška i (3.37) formule, gausime

rotH = J +∂

∂tE. (3.39)

Taigi gavome lygciu sistema

rot E = −∂H

∂t, div E = ρ,

rot H =∂E

∂t+ J, div H = 0,

kuri apibrežia elektromagnetini lauka. Šitos keturios lygtys vadinamos Maksvelo lyg-timis.

P a s t a b a . Paveike abi (3.35) lygties puses divergencijos operatoriumi ir pasi-naudoje tuo, kad div rot E = 0, gausime lygti

∂

∂tdiv H = 0,

kuri tapaciai patenkinta. Analogiškai iš (3.39) lygties ir tolydumo lygties

div J = −∂ρ∂t

išplaukia lygtis∂

∂tdiv E =

∂ρ

∂t,

kuri (3.32) deka tapaciai patenkinta. Tai reiškia, kad turime (3.35) ir (3.39) lygtis sudviem nežinomomis funkcijomis E ir H, o (3.32) ir (3.33) lygtys rodo (3.35) ir (3.39)lygciu neprieštaringuma ir yra tam tikri sprendiniu apribojimai.

Panagrinesime kai kuriuos Maksvelo lygciu atvejus. Tegu ρ = 0, J = λE (Omodesnis), λ = const. Paveike abi (3.35) ir (3.39) lygciu puses rotoriaus operatoriumi irpasinaudoje formule rot rot = grad div − ∆, gausime, kad vektoriu E ir H kompo-nentes turi tenkinti lygti

utt −∆u+ λut = 0;

cia ∆u =3∑i=1

uxixi . Ši lygtis vadinama telegrafo lygtimi. Jeigu, be to, dar ir λ = 0, tai

vektoriu E ir H komponentes tenkins bangavimo lygti:

utt −∆u = 0.

Tuo atveju, kai procesas yra stacionarus, gausime Laplaso lygti:

∆u = 0.

3.7. LAISVIEJI ELEKTRINIAI SVYRAVIMAI LAIDININKUOSE 95

3.7. LAISVIEJI ELEKTRINIAI SVYRAVIMAI LAIDININKUOSE

Tekant laidu kintamai elektros srovei, aplink ji susidaro elektromagnetinis laukas, kurissukelia sroves ir i tampos pokycius. Del ju laidininke atsiranda svyravimo proce-sai. Išvesime šiuos svyravimus aprašancias diferencialines lygtis. Tarkime, x ašisyra nukreipta išilgai laidininko. Tada srove I ir i tampa v bus kintamojo x ir laiko tfunkcijos. Laidininko savybes apibrežia varža R, saviindukcijos koeficientas L, elek-tros talpos koeficientas C ir nuotekio per izoliacija koeficientas G (šitos konstantospaskaiciuotos ilgio vienetui).

Pagal Omo desni i tampos kritimas laidininko elemente dx išreiškiamas formule

IRdx = E + E;

cia E ir E elektrovaros ir saviindukcijos elektrovaros jegos. Laidininko elemente dxelektrovaros jega

E = v(x, t)− v(x+ dx, t) = −∂v

∂xdx,

o saviindukcijos jega

E = −L∂I

∂tdx.

TodelIRdx = −∂v

∂xdx− L∂I

∂tdx.

Suprastine šia lygybe iš dx, gausime

IR+∂v

∂x+ L

∂I

∂t= 0. (3.40)

Laidininko elemente dx sroves pokytis

I(x, t)− I(x+ dx, t) = − ∂I

∂xdx.

Kita vertus, tas pats sroves pokytis lygus talpumo ir nuotekio sroviu sumai

∂v

∂tC dx+ vGdx.

Sulygine gautas išraiškas ir padalije iš dx, gausime antraja lygti

Gv +∂I

∂x+ C

∂v

∂t= 0. (3.41)

Lygciu (3.40) ir (3.41) sistema aprašo laisvuosius elektros svyravimus laidininke irvadinama telegrafo lygciu sistema1.

Tuo atveju, kai telegrafo sistemos koeficientai yra konstantos, ja galima suvesti ivienos telegrafo lygties sprendima. Tam pakanka (3.41) lygciai pritaikyti operatoriu

1Šias lygtis tiesiogiai galima išvesti iš Maksvelo lygciu , jeigu laidininko parametrai papildomai tenkinakai kurias fizikines hipotezes.


∂

∂x, o (3.40) lygciai operatoriu

∂

∂tir iš gautu dvieju lygciu eliminuoti išvestine Ixt.

Tada funkcijos v atžvilgiu gausime lygti

∂2v

∂x2− LC ∂

2v

∂t2− (RC +GL)

∂v

∂t−RGv = 0.

Lygiai taip pat galima parodyti, kad funkcija I turi tenkinti lygti

∂2I

∂x2− LC ∂

2I

∂t2− (RC +GL)

∂I

∂t−RGI = 0.

Taigi kiekvienos iš funkciju v ir I radimas susiveda i telegrafo lygties

utt − a2uxx + but + cu = 0

sprendima.Jeigu vietoje funkcijos u ivesime nauja nežinoma funkcija

w = eb/2tu,

tai gausime paprastesne lygti

wtt − a2wxx + (c− b2/4)w = 0.

3.8. UŽDAVINIAI 97

3.8. UŽDAVINIAI

1. Remiantis Hamiltono principu, išvesti homogenines stygos svyravimo lygti irkraštines salygas, jeigu oro pasiprešinimo jegos yra tiesiog proporcingos stygossvyravimo greiciui ir yra patenkinta viena iš salygu :

(a) styga kraštiniuose taškuose x = a ir x = b yra itvirtinta,

(b) stygos kraštiniai taškai laisvai juda tiesemis x = a ir x = b,

(c) stygos kraštiniai taškai yra elastingai i tvirtinti tiesese x = a ir x = b.

2. I tempta ilgio l homogenine styga juda absoliuciai glodžia sfera. Pusiausvyrosbusenoje ji yra ekvatoriuje. Remiantis Hamiltono principu, išvesti mažu ju sty-gos svyravimu lygti .

3. Remiantis Hamiltono principu, išvesti išilginiu strypo svyravimu lygti , jeiguvienas jo galas yra itvirtintas, o kitas laisvas.

4. Cilindrinis kapiliaras idetas i inda su skysciu, kurio talpa yra pakankamai didele(tai reiškia, kad skyscio lygis inde praktiškai nepasikeis, pakilus skysciui kapi-liare). Remiantis Hamiltono principu, išvesti kapiliaro laisvojo paviršiaus pu-siausvyros lygti ir kraštine salyga.

5. Kuginis kapiliaras idetas i inda su skysciu, kurio talpa yra pakankamai didele.Remiantis Hamiltono principu, išvesti kapiliaro laisvojo paviršiaus pusiausvyroslygti ir kraštine salyga.

6. Išvesti šilumos laidumo strype lygti .

7. Išvesti šilumos pasiskirstymo auštanciame žiede lygti .

8. Filtracijos uždavinys. Tarkime, medžiaga, iš kurios supilta užtvanka, yra ho-mogenine, izotropiška ir jos akytumo koeficientas lygus vienetui. Per užtvanka,kurios pjuvis yra aukšcio h ir plocio a staciakampis, vyksta vandens filtracija.Užtvankos pagrindas vandens nepraleidžia. Vandens aukštis prieš užtvanka yray1 (y1 < h), o už užtvankos – y2 (y2 < y1). Išvesti vandens srauto pa-siskirstymo užtvankoje lygti ir kraštines salygas.


3.9. ATSAKYMAI

1. Visais trim atvejais stygos svyravimo lygtis yra

utt − a2uxx + 2hut = 0,

o kraštines salygos kiekvienu konkreciu atveju yra tokio pavidalo:

(a) u|x=a = 0, u|x=b = 0,

(b) ux|x=a = 0, ux|x=b = 0,

(c) ux − h1u|x=a = 0, ux + h2u|x=a = 0; cia h, h1, h2 – fiksuoti teigiamiskaiciai, a2 = K/ρ.

N u r o d y m a s . Nagrinejamuoju atveju oro pasiprešinimo jega F = F (ut) =2hut (2h – proporcingumo koeficientas) yra nepotenciali. Nepotencialiu jeguatveju Hamiltono principas formuluojamas taip:

δ

t2∫t1

(T − P )dt−t2∫t1

b∫a

Fnep.η dxdt = 0.

Be to, (c) atveju potencine energija

P =1

2

b∫a

Ku2x dx+

h1

2Ku2

∣∣∣x=a

+h2

2Ku2

∣∣∣x=b

.

2. Stygos svyravimu lygtis yra

θtt − a2(θϕϕ + θ) = 0;

cia: a =1

R

√K

ρ, R – sferos spindulys, θ ir ϕ – stygos taško platuma ir ilguma

(žr. 3.2 pav.).

N u r o d y m a s . Stygos kinetine energija

T =R3ρ

2

α∫0

θ2t dϕ,

o potencine energija

P =1

2RK

α∫0

(θ2ϕ − θ2) dϕ;

cia α = l/R.

3.9. ATSAKYMAI 99

........

........

........

........

........

........

........

........

...............................................................................................................................................................................

.......................

............................

...............

................................................................................................................................................................................................

.............................................

................................

..........................

......................

.....

................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................

...............................................

.......................

..................

............................................................

........................

..............................................................................................................

.............................................................................................

..........................................................................................................................................................................

θ ϕ

.......................................

.......................

..............

......................

..............

....................................

........

........

.........................................................

..................

..................

....................

......................

.........................

................................

................................................................

............

3.2 pav.

3. Tarkime, strypas taške x = a yra itvirtintas, o taške x = b – laisvas. Jeiguu = u(x, t) yra strypo taško postumis x ašies kryptimi, tai strypo svyravimulygtis ir kraštines salygos yra tokio pavidalo:

σ2 ∂2

∂x∂t(ρpuxt) +

∂

∂x(|ω|Eux) = ρ|ω|utt,

σ2 ∂

∂t(ρpuxt)

∣∣∣x=b

+ |ω|Eux∣∣∣x=b

= 0, u∣∣∣x=a

= 0;

cia: ρ – strypo tankis, σ = const – Puasono koeficientas, E = E(x) – Jungomodulis, |ω| – strypo skersinio pjuvio plotas, o

p = p(x) =

∫ω(x)

(y2 + z2) dydz.

N u r o d y m a s . Parodyti, kad strypo potencine energija

P =1

2

b∫a

E|ω|u2x dx,

o strypo kinetine energija

T =1

2

b∫a

ρ|ω|u2t dx+

1

2

b∫a

ρ( ∫ω(x)

v2t dydz

)dx;

cia: pirmasis integralas apibrežia strypo kinetine energija jo taškams judant xašies kryptimi, o antrasis integralas apibrežia strypo kinetine energija kintantstrypo skersinio pjuvio plotui, v – strypo elemento skersinis poslinkis. Mažudeformaciju atveju galima laikyti v = σrux, r =

√y2 + z2.


4. Tegu Ω yra cilindrinio kapiliaro ir plokštumos, statmenos cilindro ašiai, pjuvis;x = (x1, x2) ∈ Ω; u(x) – atstumas nuo taško x iki skyscio laisvojo paviršiaus(žr. 3.3 pav.).

............ ........................ ............................................................................................................................. .................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

.......

........................................

........

........

........

........

...................

..............

x

u

3.3 pav.

Sriti Ω parinksime taip, kad skyscio, esancio cilindre Ω × (0, h), potencine en-ergija butu lygi mases, laisvojo kritimo pagreicio g ir aukšcio h sandaugai. Tadacilindrinio kapiliaro laisvojo paviršiaus pusiausvyros lygti ir kraštine salyga gal-ima užrašyti taip:

2∑i=1

d

dxi

( uxi√1 + u2

x

)= ku, x ∈ Ω,

2∑i=1

uxi√1 + u2

x

ni = κ, x ∈ S = ∂Ω;

cia: k = ρg/σ, σ – pastovus paviršiaus itempimo koeficientas, κ – pastovuskapiliariškumo koeficientas, charakterizuojantis skyscio prilipima prie kapiliarosieneliu , |κ| < 1, ρ = const.

N u r o d y m a s . Sumine sistemos energija

E = σ

∫Ω

√1 + u2

x dx+ σ

∫S

κu dS +

∫Ω

1

2ρgu2 dx;

cia: pirmasis integralas – kapiliaro laisvojo paviršiaus itempimo jegu energija,antrasis integralas – skyscio prilipimo prie kapiliaro sieneliu energija ir treciasisintegralas – skyscio, esancio kapiliare, sunkio jegos potencine energija.

5. Tegu kuginio kapiliaro K viršune yra koordinaciu pradžios taške, o S1 – viene-tine sfera su centru kugio viršuneje. Tada skyscio,

............ ......................................................................................................................................... .................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................................................................

..................

..................

..................

...............

.............................

......................................................

........

........

........

........

...................

..............

.................................................................

S

l0

3.4 pav. 3.5 pav.

................................................

............................................................

.......................

...............................................................................................................................................................

........................................................................................................................................

......................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

............

..........................

....................

......................................................................................................

..........

....................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

......................

..............

...................................................................................................................................................... ........................................................................................................................

x3

x3 = 1x

yu

x1, x2

3.9. ATSAKYMAI 101

esancio kapiliare (žr. 3.4, 3.5 pav.), laisvaji paviršiu galima apibrežti lygtimi

u = u(x), x = (x1, x2, x3) ∈ S1 ∩K.

Stereografine projekcija kiekviena taška x ∈ S1 atvaizduoja i taška y = (y1, y2)plokštumoje x3 = 1, o dali sferos S1∩K i sriti Ω ⊂ R2. Ryšis tarp koordinaciux ir y išreiškiamas formulemis:

x1 =4y1

4 + y2, x2 =

4y2

4 + y2, x3 =

4− y2

4 + y2.

Naujose koordinatese u(x) = u(x(y)). Pažymesime šia funkcija ta pacia raide u.Tada kuginio kapiliaro laisvojo paviršiaus pusiausvyros lygti ir kraštine salygagalima užrašyti taip:

2∑i=1

(a

uyi√u2y + (au)2

)− 2a2 au√

u2y + (au)2

=

= k4− y2

4 + y2a2(u2 − lu

), y ∈ Ω ⊂ y : |y| < 2,

2∑i=1

uyi√u2y + (au)2

ni = κ, y ∈ S = ∂Ω;

cia: k = ρg/σ, σ – pastovus paviršiaus itempimo koeficientas, ρ = const , κ –

kapiliarumo koeficientas, |κ| < 1, l = l04− y2

4 + y2, l0 – gylis, i kuri panardintas

kapiliaras, a =4

4 + y2, y2 = y2

1 + y22 .

N u r o d y m a s . Sumine sistemos energija

E = σ

∫Ω

au√u2y + (au)2 dy + σ

∫S

κ

2au2 dS+

+

∫Ω

ka2 4− y2

4 + y2

(u4 − l4

4− l u

3 − l3

3

)dy;

cia pirmasis, antrasis ir treciasis integralai yra kapiliaro atitinkamai laisvojo pa-viršiaus itempimo, kapiliariniu ir sunkio jegu energijos.

6. Tarkime, strypas yra x ašyje, o bet kurio jo skersinio pjuvio visu tašku tem-peratura yra pastovi. Jeigu u = u(x, t) yra strypo temperatura taške x (skers-menyje) laiko momentu t, tai šilumos pasiskirstymo strype lygtis yra tokia:

C(x)ρ(x)|ω(x)|ut −d

dx[k(x)|ω(x)|ux] + a(x)|l(x)|

(u− f(x, t)

)= 0;


cia: |ω(x)| – strypo skersinio pjuvio plotas, |l(x)| – skersinio pjuvio perimetras,ρ(x) – strypo tankis, C(x) – specifine šiluma, k(x) – šilumos laidumo koefi-cientas, a(x) – aušinimo koeficientas, f(x, t) – oro temperatura strypo aplinkoje.Lygties išvedima galima rasti [14] knygoje.

7. Tarkime, nagrinejamasis žiedas yra pakankamai plonas, o θ – kokia nors jokreivine koordinate (žr. 3.6 pav.)

.....................................................................................................................................................................................................................................

............................................

............................................

............................................

....

θ...................................

................

.......................................................

...................

......................

.................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................

..............................................................................................................

...................

.......................

..................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................

....................................................................

3.6 pav.

Jeigu u = u(θ, t) – žiedo temperatura taške θ laiko momentu t, tai šilumospasiskirstymo auštanciame žiede lygtis yra tokio pavidalo:

C(θ)ρ(θ)|ω(θ)|ut −d

dθ[k(θ)|ω(θ)|uθ] + a(θ)|l(θ)|u = 0;

cia koeficientai C, ρ, |ω|, k, a ir l turi tas pacias reikšmes kaip ir 6 uždavinyje.

8. Tegu v = v(x, t) – vektorine funkcija, apibrežianti vandens srauto greicio pasis-kirstyma užtvankoje, t.y. kreivineje trapecijoje OCBa (žr. 3.7 pav.). Viršutinetrapecijos OCBa linija CB taip pat nežinoma.

..................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

..

..................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

....................

..............

x

y

C B

F

O a3.7 pav.

Jeigu vektorines funkcijos v ieškosime kaip skaliarines funkcijos gradiento (v =−gradu), tai gausime toki uždavini:

Rasti funkcija y = ϕ(x), apibrežta segmente [0, a], ir funkcija u = u(x, y),apibrežta uždaroje srityje

Ω = (x, y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ ϕ(x),

tokias, kad:

3.9. ATSAKYMAI 103

a) funkcija ϕ butu mažejanti, ϕ(0) = y1, ϕ(a) ≥ y2;

b) srityje Ω funkcija u tenkintu Laplaso lygti

∆u = 0,

o konturo ∂Ω taškuose – kraštines salygas:

∂u

∂n

∣∣∣y=ϕ(x)

=∂u

∂n

∣∣∣y=0

= 0, ∀x ∈ (0, a),

u∣∣x=0

= y1, ∀y ∈ (0, y1), u∣∣x=a

= y2, ∀y ∈ (0, y2),

u∣∣x=a

= y, ∀y ∈ (y2, ϕ(a)), u∣∣y=ϕ(x)

= ϕ(x), ∀x ∈ (0, a).

4 S K Y R I U S

Lygtys ir kraštiniai uždaviniai

4.1. DALINIU IŠVESTINIU LYGTYS

Bendruoju atveju k-osios eiles daliniu išvestiniu lygti (žr. 1 sk.) galima užrašyti taip:

F (x, δku) = 0. (4.1)

Jeigu funkcija F yra tiesine aukšciausios eiles išvestiniu atžvilgiu, tai (4.1) lygtis va-dinama kvazitiesine lygtimi. Tiksliau, lygtis∑

|α|=k

aα(x, δmu)Dαu = f(x, δlu), 0 ≤ m, l < k, (4.2)

kurioje bent vienas iš koeficientu aα = aα(x, p), x ∈ Rn, p ∈ RN , nelygus nuliui,vadinama kvazitiesine k-osios eiles lygtimi. Jos kairioji puse vadinama k-osios eilesdiferencialiniu reiškiniu.

Jeigu funkcija F yra tiesine ieškomos funkcijos u ir visu jos daliniu išvestiniuatžvilgiu, tai (4.1) lygtis vadinama tiesine lygtimi. Tiksliau, lygtis∑

|α|≤k

aα(x)Dαu = f(x), (4.3)

kurioje bent vienas iš koeficientu aα = aα(x), kai |α| = k, x ∈ Rn, nelygus nuliui,vadinama tiesine k-osios eiles lygtimi, o jos kairioji puse – tiesiniu k-osios eiles difer-encialiniu reiškiniu.

Tiesine antros eiles lygti patogu užrašyti taip:n∑

i,j=1

aij(x)uxixj +

n∑i=1

ai(x)uxi + a(x)u = f(x). (4.4)

Jeigu koeficientai aij , ai ir a nepriklauso nuo kintamojo x, tai (4.4) lygtis vadinamatiesine lygtimi su pastoviais koeficientais.

Tarkime, (4.4) lygtyje funkcijos u antros eiles išvestines yra tolydžios. Tada jagalima suvesti i lygti , kurios koeficientai prie antros eiles išvestiniu tenkina salyga

aij(x) = aji(x), ∀i, j = 1, . . . , n.

Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad (4.4) lygtyje koeficientus aij galima pa-keisti koeficientais

aij(x) =1

2(aij(x) + aji(x)).

Todel toliau nagrinedami tiesines antros eiles lygtis, matrica, sudaryta iš koeficientuprie antros eiles išvestiniu , laikysime simetrine.

Jeigu (4.2), (4.3) arba (4.4) lygtyje funkcija f ≡ 0, tai tokia lygtis vadinama ho-mogenine lygtimi.

4.2. TIESINIU ANTROS EILES LYGCIU KLASIFIKACIJA 105

4.2. TIESINIU ANTROS EILES LYGCIU KLASIFIKACIJA

Nagrinedami fizikos ir mechanikos uždavinius, išvedeme juos aprašancias diferencia-lines lygtis. Dažniausiai tai tiesines antros eiles daliniu išvestiniu lygtys. Paprasciau-sios iš ju yra Puasono (Laplaso)

−∆u = f, (∆u = 0),

šilumos laidumout − a2∆u = f

ir bangavimoutt − a2∆u = f

lygtys; cia

∆u =

n∑i=1

uxixi

yra n-matis Laplaso operatorius.Šiame skyrelyje nagrinesime tiesines antros eiles lygtis

n∑i,j=1

aij(x)uxixj +

n∑i=1

ai(x)uxi + a(x)u = f(x). (4.5)

Išskirsime tris lygciu klases, kurioms priklauso Puasono, šilumos laidumo ir bangavi-mo lygtys.

Tarkime, (4.5) lygtyje funkcijos aij , ai, a ir f yra apibrežtos srityje Ω ⊂ Rn. Iškoeficientu prie antros eiles išvestiniu sudarome kvadratine forma

Λ(x, ξ) =

n∑i,j=1

aij(x)ξiξj , ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn. (4.6)

Tiesineje algebroje irodoma, kad (4.6) kvadratine forma fiksuotame taške x0 ∈ Ωnaudojant neišsigimusia tiesine transformacija

ξi =

n∑k=1

Ckiηk, i = 1, . . . , n,

galima suvesti i kvadratu suma

Λ(x0, ξ) =

n∑i,j=1

aij(x0)ξiξj =

n∑k=1

λkη2k; (4.7)

cia:n∑

i,j=1

aij(x0)CkiClj = λkδ

lk, δlk =

1, kai l = k,0, kai l 6= k,

, k, l = 1, . . . , n.

106 4. LYGTYS IR KRAŠTINIAI UŽDAVINIAI

Be to, visi koeficientai λk yra realus, nes aij yra simetrine matrica.Pagal kvadratiniu formu inercijos desni teigiamu, neigiamu ir lygiu nuliui koefi-

cientu skaicius nepriklauso nuo parinktos neišsigimusios transformacijos, suvedanciosšia forma i kvadratu suma. Todel yra galima tokia tiesiniu antros eiles lygciu klasi-fikacija.

A p i b r e ž i m a s . (4.5) lygtis taške x0 yra (α, β, γ) tipo, jeigu (4.7) kvadrati-neje formoje yra α teigiamu, β neigiamu ir γ lygiu nuliui koeficientu λk.

P a s t a b a . Savaime aišku, kad tipus (α, β, γ) ir (β, α, γ) galima sutapatinti. Beto, jeigu (4.5) lygtyje koeficientai aij yra pastovus, tai visuose erdves Rn taškuose šilygtis yra to paties tipo.

I š s k i r s i m e t r i s a t v e j u s :

1. Visi koeficientai λk 6= 0 ir yra vienodo ženklo. Tada (4.5) lygtis taške x0 yra(n, 0, 0) arba (0, n, 0) tipo ir vadinama elipsine lygtimi taške x0.

2. Visi koeficientai λk 6= 0 ir vieno iš ju ženklas skiriasi nuo kitu . Tada (4.5) lygtistaške x0 yra (n− 1, 1, 0) arba (1, n− 1, 0) tipo ir vadinama hiperboline lygtimitaške x0.

3. Vienas iš koeficientu , tarkime λk, lygus nuliui, o kiti nelygus nuliui ir vienodoženklo. Tada (4.5) lygtis taške x0 yra (n− 1, 0, 1) arba (0, n− 1, 1) tipo. Jeigu,be to, dar

n∑i=1

ai(x0)Cki 6= 0, (4.8)

tai (4.5) lygtis vadinama paraboline lygtimi taške x0. Jeigu (4.8) salyga yra ne-patenkinta, tai (4.5) lygtis vadinama paraboline lygtimi placiaja prasme.

P a s t a b a . Vietoje nepriklausomu kintamuju x1, . . . , xn iveskime naujus ne-priklausomus kintamuosius

yk =

n∑i=1

Ckixi, k = 1, . . . , n.

Atlike elementarius skaiciavimus, gausime, kad (4.5) lygti taške x0 galima užrašytitaip:

n∑k=1

λkuykyk +

n∑k=1

Akuyk + au = f ; (4.9)

cia koeficientai Ak =n∑i=1

ai(x0)Cki. Taigi parabolines lygties atveju (4.8) papildoma

salyga rodo, kad koeficientas Ak prie išvestines uyk nelygus nuliui. Tuo atveju, kai(4.8) salyga yra nepatenkinta, t.y. kai koeficientas Ak = 0, (4.9) lygtyje nera funkcijosu išvestiniu kintamojo yk atžvilgiu. Taciau tada i ši kintamaji galima žiureti kaip ilaisvaji parametra.

A p i b r e ž i m a s . Sakysime, kad (4.5) lygtis yra elipsine, hiperboline arbaparaboline srityje Ω, jeigu ji yra tokia kiekviename srities Ω taške. Toliau nagrinesimetik šiu triju tipu lygtis.


4.1 lema. Neišsigimusi nepriklausomu kintamuju transformacija (nebutinai tiesine)lygties tipo nekeicia.

/ Tegu

yk = yk(x), yk ∈ C2(Ω), k = 1, . . . , n, det∂yk∂xj

6= 0

yra kokia nors nepriklausomu kintamuju x transformacija. Tada

uxi =

n∑k=1

uyk∂yk∂xi

, i = 1, . . . , n,

uxixj =n∑

k,l=1

uykyl∂yk∂xi

∂yl∂xj

+n∑k=1

uyk∂2yk∂xi∂xj

, i, j = 1, . . . , n.

Istate šias funkcijos u išvestiniu išraiškas i (4.5) lygti , gausime

n∑k,l=1

Akluykyl +

n∑k=1

Akuyk + au = f ;

cia:

Akl =

n∑i,j=1

aij(x)∂yk∂xi

∂yl∂xj

,

Ak =

n∑i,j=1

aij(x)∂2yk∂xi∂xj

+

n∑i=1

ai(x)∂yk∂xi

k, l = 1, . . . , n.

Fiksuokime taška x0 ∈ Ω. Išvestiniu∂yk∂xi

reikšmes taške x0 pažymekime C0ki. Tarki-

me, neišsigimusi transformacija

ξi =

n∑k=1

Ckiηk, i = 1, . . . , n,

suveda kvadratine forma Λ taške x0 i kvadratu suma

Λ(x0, ξ) =

n∑i,j=1

aij(x0)ξiξj =

n∑k=1

λkη2k.

Tegu

Λ′(x0, p) =

n∑k,l=1

Akl(x0)pkpl

yra kvadratine forma, atitinkanti (4.9) lygti . Naudojant transformacija

n∑k=1

C0kipk =

n∑k=1

Ckiηk, i = 1, . . . , n, p = (p1, . . . , pn) ∈ Rn,


kvadratine forma Λ′ suvedama i kvadratu suma

Λ′(x0, p) ≡n∑

k,l=1

n∑i,j=1

aij(x0)C0

kiC0ljpkpl =

=

n∑k,l=1

n∑i,j=1

aij(x0)CkiηkCljηl =

n∑k=1

λkη2k.

Kadangi kvadratines formos Λ ir Λ′ susiveda i ta pacia kvadratu suma, tai (4.5) ir (4.9)lygtys yra vienodo tipo. .

P a v y z d ž i a i :

1. Puasono (Laplaso) lygti

∆u = −f (∆u = 0)

atitinka kvadratine forma

Λ(x, ξ) =

n∑k=1

ξ2k.

Visi jos koeficientai nelygus nuliui, vienodo ženklo (lygus 1) ir nepriklauso nuokonkretaus taško x ∈ Rn. Todel Puasono ir Laplaso lygtys yra elipsines lygtysvisoje erdveje Rn.

2. Šilumos laidumo lygtiut − a2∆u = f


Λ(x, t, ξ) = −a2n∑k=1

ξ2k + 0 · ξ2

n+1, ξ = (ξ1, . . . , ξn+1) ∈ Rn+1.

Vienas iš šios kvadratines formos koeficientu lygus nuliui, o kiti nelygus nuliuiir vienodo ženklo. Be to, visi lygties koeficientai nepriklauso nuo konkretaustaško (x, t) ∈ Rn×R. Todel šilumos laidumo lygtis yra paraboline lygtis visojeerdveje Rn × R.

3. Bangavimo lygtiutt − a2∆u = f


Λ(x, t, ξ) = −a2n∑k=1

ξ2k + 1 · ξ2

n+1, ξ = (ξ1, . . . , ξn+1) ∈ Rn+1.

Visi jos koeficientai nelygus nuliui ir vieno iš ju ženklas skiriasi nuo kitu . Beto, lygties koeficientai nepriklauso nuo konkretaus taško (x, t) ∈ Rn ×R. Todelbangavimo lygtis yra hiperboline lygtis visoje erdveje Rn × R.


4. Pateiksime pavyzdi lygties, kurios tipas priklauso nuo konkretaus srities taško.Plokštumoje R2 nagrinesime Trikomio lygti

yuxx + uyy = 0, (x, y) ∈ R2.

Šia lygti atitinka kvadratine forma

Λ(x, y, ξ, η) = yξ2 + 1 · η2, ξ, η ∈ R1.

Pusplokštumeje y > 0 jos koeficientai nelygus nuliui ir vienodo ženklo, pus-plokštumeje y < 0 jos koeficientai nelygus nuliui ir skirtingu ženklu , o tiesejey = 0 vienas iš koeficientu lygus nuliui. Todel pusplokštumeje y > 0 Trikomiolygtis yra elipsine, pusplokštumeje y < 0 – hiperboline, o tieseje y = 0 –paraboline. Trikomio lygtis atsiranda nagrinejant kieto kuno judejima dujosegreiciu, artimu garso greiciui. Sriti y < 0 atitinka judejimas greiciu, viršijanciugarso greiti , o sriti y > 0 – mažesniu už garso greiti .

P a s t a b o s :

1. Antros eiles kvazitiesines lygties

n∑i,j=1

aij(x)uxixj = Φ(x, u, ux)

tipas apibrežiamas lygiai taip pat kaip ir tiesines. Nedidelis skirtumas yra tikparabolines lygties atveju.

2. Jeigu lygtisF (x, u, ux, uxx) = 0

netiesine, tai jos tipas priklauso ne tik nuo taško x, bet ir nuo konkretaus spren-dinio. Norint apibrežti netiesines lygties sprendinio u0 taške x0 tipa, reikiasuskaiciuoti dalines išvestines Fuxixj ir iš koeficientu

aij(x0, u0) =

Fuxixj , i 6= j,12Fuxixj , i = j,

i, j = 1, . . . , n,

sudaryti kvadratine forma

n∑i,j=1

ai,j(x0, u0)ξiξj .

Toliau lygties tipas apibrežiamas taip pat kaip tiesines lygties atveju.


4.3. TIESINIU ANTROS EILES LYGCIU SU PASTOVIAISKOEFICIENTAIS SUVEDIMAS I KANONINI PAVIDALA

Nagrinesime antros eiles tiesine lygti

n∑i,j=1

aijuxixj +

n∑i=1

aiuxi + au = f. (4.10)

Tarkime, šioje lygtyje koeficientai aij = aji, ai ir a yra pastovus, o f – kintamojo xfunkcija, apibrežta srityje Ω ⊂ Rn.

Vietoje kintamuju x1, . . . , xn apibrešime naujus nepriklausomus kintamuosius

yk =

n∑i=1

Ckixi, k = 1, . . . , n;

cia Cki – kokia nors neišsigimusi matrica. Tada (4.10) lygtis virs lygtimi

n∑k,l=1

Akluykyl +

n∑k=1

Akuyk + au = f. (4.11)

Šioje lygtyje koeficientai

Akl =

n∑i,j=1

aij∂yk∂xi

∂yl∂xj

, Ak =

n∑i=1

ai∂yk∂xi

k, l = 1, . . . , n.

Matrica Cki parinkime taip, kad matrica Akl butu diagonali. Tiksliau, tegu ma-trica Cki yra tokia, kad

Akl =

n∑i,j=1

aijCkiClj = λkδlk, ∀k, l = 1, . . . , n.

Tada (4.11) lygti galima užrašyti taip:

n∑k=1

λkuykyk +

n∑k=1

Akuyk + au = f, Ak =

n∑i=1

aiCki, k = 1, . . . , n. (4.12)

Šioje lygtyje kiekviena iš koeficientu λk galima prilyginti +1, −1 arba 0. Iš tikru ju ,jeigu kuris nors koeficientas, tarkime λ1, igyja kitokia reikšme, tai atlikus transforma-cija

z1 =1√|λ1|

y1,

koeficientas prie išvestines uz1z1 bus lygusλ1

|λ1|, t.y. ±1.

4.3. TIESINIU ANTROS EILES LYGCIU KANONINIS PAVIDALAS 111

Taigi (4.10) lygti visada galima suvesti i paprastesne (4.12) lygti , kurios matrica,sudaryta iš koeficientu prie antros eiles išvestiniu , yra diagonali. Vadinasi, (4.12) lyg-tyje nera mišriu antros eiles išvestiniu . Toks (4.10) lygties pavidalas vadinamas kanon-iniu.

Atkreipsime demesi i tai, kad ir (4.12) lygti galima suprastinti. Tuo tikslu vietojefunkcijos u apibrešime nauja nežinoma funkcija

v = exp1

2

n∑k=1

ρkyk

u, ρk =

λ−1k Ak, kai λk 6= 0,

0, kai λk = 0,k = 1, . . . , n.

Tada (4.12) lygtis virs lygtimi

n∑k=1

λkvykyk +

n∑k=1

(Ak − λkρk)vyk +Av = F ; (4.13)

cia:

A =

n∑k=1

(1

4λkρ

2k −

1

2Akρk) + a, F = exp

1

2

n∑k=1

ρkyk

f.

Pastarosios lygties koeficientai Ak − λkρk lygus nuliui tokioms indeksu k reikšmems,kurioms λk 6= 0. Todel yra teisingi tokie teiginiai:

1. Jeigu (4.10) lygtis yra elipsine (tarkime, λk = 1, ∀k = 1, . . . , n), tai ja galimasuvesti i lygti

∆v +Av = F, ∆v =

n∑k=1

vykyk .

2. Jeigu (4.10) lygtis yra paraboline (tarkime, λk = −1, ∀k = 1, . . . , n − 1, oλn = 0), tai ja galima suvesti i lygti

vt −∆v +Av = F, ∆v =

n−1∑k=1

vykyk , t =ynA.

3. Jeigu (4.10) lygtis yra hiperboline (tarkime, λk = −1, ∀k = 1, . . . , n − 1, oλn = 1), tai ja galima suvesti i lygti

vtt −∆v +Av = F, ∆v =

n−1∑k=1

vykyk , t = yn.

Aišku, kad kiekviename fiksuotame taške i kanonini pavidala galima suvesti irtiesine (kvazitiesine) lygti su kintamais koeficientais. Taciau kiekviename taške reikiaapibrežti sava transformacija, leidžiancia tai atlikti.

P a s t a b a . Dvieju nepriklausomu kintamuju atveju tiesine hiperboline antroseiles lygtis turi kanonini pavidala

uxx − uyy + aux + buy + cu = f. (4.14)


Jis dar vadinamas pirmuoju kanoniniu hiperbolines lygties pavidalu. Jeigu (4.14) lyg-tyje ivesime naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = x+ y, η = x− y,

tai gausime toki antros eiles hiperbolines lygties kanonini pavidala:

uξη + auξ + buη + cu = f. (4.15)

Jis yra vadinamas antruoju kanoniniu hiperbolines lygties pavidalu. Akivaizdu, kadatlikus transformacija

x =1

2(ξ + η), y =

1

2(ξ − η),

(4.15) lygtis susiveda i (4.14) lygti .

4.4. DVIEJU NEPRIKLAUSOMU KINTAMUJU ATVEJIS 113

4.4. TIESINIU ANTROS EILES LYGCIU SU DVIEMNEPRIKLAUSOMAIS KINTAMAISIAISSUVEDIMAS I KANONINI PAVIDALA

Tiesine antros eiles lygti su kintamais koeficientais kiekviename fiksuotame taške gali-ma suvesti i kanonini pavidala. Bedruoju atveju visoje srityje arba bent tam tikro taškoaplinkoje to atlikti negalima (netgi tada, kai lygtis yra pastovaus tipo, o neišsigimusitransformacija yra netiesine). Tiksliau, jeigu kintamuju skaicius didesnis už du, tainet mažoje taško aplinkoje ne visada galima rasti neišsigimusia nepriklausomu kin-tamuju transformacija, kuri suvestu lygti i kanonini pavidala. Išimti sudaro dviejunepriklausomu kintamuju atvejis. Išnagrinesime ji .

Irodysime, kad tiesine antros eiles lygti

a(x, y)uxy + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + . . . = 0 (4.16)

su dviem nepriklausomais kintamaisiais taško (x0, y0) aplinkoje galima suvesti i ka-nonini pavidala.

Tarkime, funkcijos a, b ir c ir ju pirmosios eiles dalines išvestines yra tolydžioskurioje nors taško (x0, y0) aplinkoje U . Aplinka U iš anksto laikysime pakankamaimaža, t.y. tokia, kad visi žemiau atlikti veiksmai butu teiseti.

Iš koeficientu prie antros eiles išvestiniu sudarykime kvadratine forma

Λ(x, y, ξ, η) = a(x, y)ξ2 + 2b(x, y)ξη + c(x, y)η2. (4.17)

Kiekviename fiksuotame aplinkos U taške (x, y) šia forma galima suvesti i kanoni-ni pavidala. Iš tiesines algebros kurso yra žinoma, kad (4.17) kvadratines formos,suvestos i kvadratu suma, teigiamu, neigiamu ir lygiu nuliui koeficientu skaicius lygusatitinkamai teigiamu, neigiamu ir lygiu nuliui charakteristinio polinomo∣∣∣∣ a(x, y)− λ b(x, y)

b(x, y) c(x, y)− λ

∣∣∣∣ = 0

šaknu skaiciui.Tegu λ1(x, y), λ2(x, y) yra charakteristinio polinomo šaknys. Tada ju sandauga

λ1(x, y)λ2(x, y) = a(x, y)c(x, y)− b2(x, y). (4.18)

Galimi tokie atvejai:

1. Šaknys λ1, λ2 yra vienodu ženklu ir nelygios nuliui. Taip bus tada ir tik tada,kai

b2 − ac < 0. (4.19)

Taigi (4.16) lygtis yra elipsine tada ir tik tada, kai jos koeficientai prie antroseiles išvestiniu tenkina (4.19) nelygybe.

2. Šaknys λ1, λ2 turi skirtingus ženklus ir nelygios nuliui. Taip bus tada ir tik tada,kai

b2 − ac > 0. (4.20)

Taigi (4.16) lygtis yra hiperboline tada ir tik tada, kai jos koeficientai prie antroseiles išvestiniu tenkina (4.20) nelygybe.


3. Kuri nors iš šaknu λ1, λ2 lygi nuliui. Taip bus tada ir tik tada, kai

b2 − ac = 0. (4.21)

Taigi (4.16) lygtis yra paraboline tada ir tik tada, kai jos koeficientai prie antroseiles išvestiniu tenkina (4.21) lygybe.

P a s t a b a . Šaknys λ1, λ2 vienu metu negali buti lygios nuliui. Jeigu abi šaknysyra lygios nuliui, tai lengvai galima isitikinti, kad koeficientai a, b ir c taip pat yralygus nuliui. O tai prieštarauja tam, kad (4.16) lygtis yra antros eiles lygtis.

Vietoje kintamuju x, y apibrešime naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = ξ(x, y), η = η(x, y).

Tarkime, funkcijos ξ ir η aplinkoje U yra dukart diferencijuojamos, o jakobianas∣∣∣∣ ξx ξyηx ηy

∣∣∣∣ 6= 0.

Tada funkcijos u išvestines

ux = uξξx + uηηx, uy = uξξy + uηηy,

uxx = uξξξ2x + 2uξηξxηx + uηηη

2x + uξξxx + uηηxx,

uyy = uξξξ2y + 2uξηξyηy + uηηη

2y + uξξyy + uηηyy,

uxy = uξξξxξy + uξη(ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy.

Pasinaudoje šiomis formulemis, (4.16) lygti perrašysime taip:

A(ξ, η)uξξ + 2B(ξ, η)uξη + C(ξ, η)uηη + . . . = 0; (4.22)

cia koeficientaiA(ξ, η) = aξ2

x + 2bξxξy + cξ2y ,

C(ξ, η) = aη2x + 2bηxηy + cη2

y,

B(ξ, η) = aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy.

Tiesiogiai galima irodyti, kad

B2 −AC = (b2 − ac)∣∣∣∣ ξx ξyηx ηy

∣∣∣∣2 . (4.23)

Ši lygybe (dvimaciu atveju) dar karta parodo, kad neišsigimusi transformacija lygtiestipo nekeicia.

Funkcijas ξ ir η parinksime taip, kad (4.22) lygtis igytu paprasciausia pavidala.Taip bus tada ir tik tada, kai dalis (4.22) lygties koeficientu prie antros eiles išvestiniubus lygi nuliui. Prilygine nuliui koeficienta A, gausime lygti

aξ2x + 2bξxξy + cξ2

y = 0. (4.24)


Tarkime, bent vienas iš koeficientu a arba c nelygus nuliui (pavyzdžiui, a 6= 0).Tada (4.24) lygti atitinka kvadratine lygtis

aµ2 + 2bµ+ c = 0. (4.25)

Tegu µ1 = f(x, y) ir µ2 = g(x, y) yra šios lygties šaknys. Lengvai galima isitikinti,kad (4.24) lygtis išsiskaido i dvi lygtis:

ξx = f(x, y)ξy, ξx = g(x, y)ξy. (4.26)

Tai yra tiesines pirmosios eiles daliniu išvestiniu lygtys. Ju charakteristines lygtys

dy = −f(x, y) dx, dy = −g(x, y) dx (4.27)

yra paprastosios diferencialines pirmos eiles lygtys. Teguϕ(x, y) = const irψ(x, y) =const yra (4.27) lygciu bendrieji integralai, tenkinantys salygas:

ϕ2x + ϕ2

y 6= 0, ψ2x + ψ2

y 6= 0. (4.28)

Tada funkcijos ϕ ir ψ yra (4.26) diferencialiniu lygciu sprendiniai (kartu ir (4.24)lygties sprendiniai).

Išnagrinesime tris galimus atvejus:

1. Tarkime, aplinkoje U reiškinys b2 − ac > 0, t.y. (4.16) lygtis, yra hiperboline.Jeigu abu (4.16) lygties koeficientai a ir c lygus nuliui, tai (4.16) lygtis jau yra antrojokanoninio pavidalo ir keitiniu

x = ξ + η, y = ξ − η

susiveda i pirmaji kanonini pavidala

uξξ − uηη + . . . = 0.

Tarkime, vienas iš šiu koeficientu , pavyzdžiui, a, nelygus nuliui. Tada (4.27) lygtysturi du skirtingus integralus

ϕ(x, y) = const, ψ(x, y) = const,

tenkinancius (4.28) salygas. Pagal prielaida funkcijos a, b ir c yra tolydžiai diferen-cijuojamos taško (x0, y0) aplinkoje U . Iš bendrosios paprastu diferencialiniu lygciuteorijos yra žinoma, kad funkcijos ϕ ir ψ yra dukart diferencijuojamos aplinkoje U(priminsime, kad aplinka U iš anksto paimta pakankamai maža). Be to,

ϕx = f(x, y)ϕy, ψx = g(x, y)ψy.

Iš šiu lygciu , prielaidos a 6= 0 ir (4.28) salygu išplaukia, kad

ϕy 6= 0 ir ψy 6= 0.


Taciau tada jakobianas

∣∣∣∣ϕx ϕyψx ψy

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣−b+

√b2 − aca

ϕy ϕy

−b−√b2 − aca

ψy ψy

∣∣∣∣∣∣∣ = −2

√b2 − aca

ϕyψy 6= 0. (4.29)

Todel naujus nepriklausomus kintamuosius ξ ir η galima apibrežti taip:

ξ = ξ(x, y) = ϕ(x, y), η = η(x, y) = ψ(x, y).

Atlikus tokia transformacija (4.22) lygtyje, koeficientai A ir C bus lygus nuliui. Re-miantis (4.23) formule ir (4.29) nelygybe, galima tvirtinti, kad koeficientas B 6= 0.Padalije (4.22) lygti iš 2B, suvesime ja i antraji kanonini pavidala

uξη + . . . = 0. (4.30)

Keitiniuξ = ξ + η, η = ξ − η

(4.30) lygtis susiveda i pirmaji kanonini pavidala

uξ ξ − uη η + . . . = 0. (4.31)

P a s t a b a . Lygti , kuria galima suvesti i (4.30) pavidala, kartais pasiseka suin-tegruoti, t.y. rasti formule, apibrežiancia visus lygties sprendinius.

P a v y z d y s . Rasti lygties

uxx − uyy = 0

bendraji sprendini. Tai yra hiperboline lygtis. Ji yra pirmojo kanoninio pavidalo. Kei-tiniu

ξ = x+ y, η = x− y

ši lygtis susiveda i lygtiuξη = 0,

kuri yra antrojo kanoninio pavidalo. Tegu uξ = v. Tada

vη = 0.

Šios lygties bendrasis integralas yra v = f(ξ), f – bet kokia diferencijuojama funkcija.Integruodami lygti

uξ = f(ξ),

gausime

u =

∫f(ξ) dξ + ψ(η) = ϕ(ξ) + ψ(η);

cia ϕ ir ψ – bet kokios dukart diferencijuojamos funkcijos. Griže prie senu kintamujux ir y, gausime nagrinejamosios lygties bendra sprendini:

u(x, y) = ϕ(x+ y) + ψ(x− y).


2. Tarkime, aplinkoje U reiškinys

b2 − ac = 0, (4.32)

t.y. (4.16) lygtis yra paraboline. Šiuo atveju abi (4.27) lygtys sutampa ir turime vienalygti

a dy = b dx. (4.33)

Kadangi (4.16) lygtis yra antros eiles lygtis, tai koeficientai a, b ir c vienu metu nelygusnuliui. Kartu su (4.32) salyga tai reiškia, kad bent vienas iš koeficientu a arba c nelygusnuliui. Tarkime, a 6= 0. Jeigu koeficientas c = 0, tai iš (4.32) salygos išplaukia, kadb = 0. Taciau tada (4.16) lygtis jau yra kanoninio pavidalo. Todel pakanka išnagrinetiatveji , kai aplinkoje U koeficientai a, b ir c nelygus nuliui.

Teguϕ(x, y) = const

yra (4.33) lygties bendrasis integralas, tenkinantis salyga

ϕ2x + ϕ2

y 6= 0.

Iš bendrosios diferencialiniu lygciu teorijos yra žinoma, kad funkcija ϕ aplinkoje Uyra dukart tolydžiai diferencijuojama. Laisvai parinkime kokia nors diferencijuojamaaplinkoje U funkcija ψ tokia, kad jakobianas∣∣∣∣ϕx ϕy

ψx ψy

∣∣∣∣ 6= 0 (4.34)

(jeigu ϕy 6= 0, tai galima imti ψ(x, y) = x).Vietoje kintamuju x ir y apibrežkime naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = ξ(x, y) = ϕ(x, y), η = η(x, y) = ψ(x, y).

Kadangi funkcija ϕ tenkina (4.24) lygti , tai (4.22) lygtyje koeficientas A = 0. Iš(4.23) formules, (4.32) salygos ir (4.34) nelygybes išplaukia, kad koeficientas B = 0.Irodysime, kad koeficientas C 6= 0. Jeigu koeficientas C butu lygus nuliui, tai (4.22)lygtis butu pirmosios eiles lygtis. Pereje joje nuo kintamuju ξ ir η prie senu kintamujux ir y, gausime (4.16) lygti , kuri yra antros eiles lygtis. Taciau padarius nepriklausomukintamuju transformacija, lygties eile nepadideja. Gauta prieštara rodo, kad C 6= 0.Todel, padalije (4.22) lygti iš C, suvesime ja i kanonini pavidala

uηη + . . . = 0. (4.35)

P a s t a b a . Atkreipsime demesi i tai, kad pastarosios lygties nariai, pažymetidaugtaškiu, turi priklausyti nuo uξ. Priešingu atveju i šia lygti galima žiureti kaip ipaprasta diferencialine lygti , kurios kintamasis ξ yra laisvasis parametras.

3. Tarkime, aplinkoje U reiškinys

b2 − ac < 0, (4.36)


t.y. (4.16) lygtis yra elipsine. Šiuo atveju (4.27) lygtis galima užrašyti taip:

a dy −(b+ i

√ac− b2

)dx = 0, a dy −

(b− i

√ac− b2

)dx = 0. (4.37)

Iš (4.36) salygos išplaukia, kad funkcijos a ir c nelygios nuliui. Nagrinedami ši atveji ,papildomai pareikalausime, kad aplinkoje U funkcijos a, b ir c butu analizines. Esantšioms prielaidoms, galima remtis žinomais paprastu diferencialiniu lygciu teorijosrezultatais. Tiksliau, galime tvirtinti, kad (4.37) lygtys turi du tarpusavyje komplek-siškai jungtinius bendruosius integralus

p(x, y) = const, p(x, y) = const,

tenkinancius salyga|px|+ |py| 6= 0. (4.38)

Be to, funkcija p aplinkoje U yra analizine ir tenkina lygti

apx +(b+ i

√ac− b2

)py = 0. (4.39)

Tegup(x, y) = ϕ(x, y) + iψ(x, y);

cia: ϕ – realioji, o ψ – menamoji funkcijos p dalys. Tada (4.39) lygtis yra ekvivalentilygciu sistemai:

ϕx = − baϕy +

√ac− b2a

ψy, ψx = − baψy −

√ac− b2a

ϕy.

Pasinaudoje šiomis lygtimis ir (4.38) salyga, gausime∣∣∣∣ϕx ϕyψx ψy

∣∣∣∣ =

√ac− b2a

(ψ2y + ϕ2

y) 6= 0.

Todel vietoje kintamuju x ir y galima ivesti naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = ξ(x, y) = ϕ(x, y), η = η(x, y) = ψ(x, y).

Atlikus tokia transformacija, (4.22) lygties koeficientas B bus lygus nuliui, o koefi-cientai A ir C sutaps. Norint tuo isitikinti, reikia atskirti realiaja ir menamaja lygties

ap2x + 2bpxpy + cp2

y = 0

dalis ir pastebeti, kad

A = C =1

a(ac− b2)(ϕ2

y + ψ2y) 6= 0.

Taigi padalije (4.22) lygti iš bendros koeficientu A ir C reikšmes, suvesime ja i kano-nini pavidala

uξξ + uηη + . . . = 0. (4.40)


Jeigu (4.16) lygtyje vietoje kintamuju x ir y ivesime nepriklausomus kintamuosius

ξ = p(x, y), ξ = p(x, y),

tai gausime lygtiuξξ + . . . = 0. (4.41)

P a s t a b a . Elipsines lygties atveju reikalavimas, kad koeficientai a, b ir c butuanaliziniai, nera esminis. Taikant tikslesnius metodus (žr. [22] arba [23]), kuriuosenenaudojami kompleksiniai dydžiai, minetaji reikalavima galima gerokai susilpninti.Pavyzdžiui, pakanka reikalauti, kad koeficientai a, b ir c butu dukart tolydžiai diferen-cijuojamos funkcijos.


4.5. TIESINIUm-os EILES LYGCIU IR SISTEMU KLASIFIKACIJA

Srityje Ω ⊂ Rn nagrinesime tiesine m-os eiles lygti∑|α|≤m

aα(x)Dαu = f(x). (4.42)

Iš koeficientu prie m-os eiles išvestiniu sudarome forma

Λ(x, ξ) =∑|α|=m

aα(x)ξα11 · . . . · ξαnn .

Tarkime, egzistuoja neišsigimusi tiesine transformacija

ξi =n∑k=1

Ckiηk, i = 1, . . . , n, (4.43)

kuria atlikus, forma Λ(x, ξ) taške x virs forma, kurioje parametru η1, . . . , ηn skaiciusmažesnis už n. Tada (4.42) lygtis vadinama paraboline lygtimi, o forma Λ(x, ξ) –išsigimusia.

Jeigu taške x forma Λ(x, ξ) neišsigimusi ir sferoje ξ ∈ Rn : |ξ| = 1 visos lygtiesΛ(x, ξ) = 0 šaknys yra kompleksines, tai (4.42) lygtis vadinama elipsine lygtimi taškex.

Sakysime, kad (4.42) lygtis yra hiperboline taške x, jeigu:

1. Forma Λ(x, ξ) taške x neišsigimusi.

2. Vienetineje sferoje ξ ∈ Rn : |ξ| = 1 egzistuoja taškas ir tiesine neišsigimusitransformacija (4.43) tokia, kad viena iš koordinaciu η1, . . . , ηn ašiu eina per tataška ir lygtis

Λ(x, ξ) = 0

šios koordinates atžvilgiu turi m realiu šaknu (paprastu arba kartotiniu ) visomskitoms η1, . . . , ηn reikšmems.

Tiesine m-os eiles N lygciu su N nežinomuju sistema galima užrašyti taip:∑|α|≤m

Aα(x)DαU = F (x); (4.44)

cia: Aα –N×N matrica, U ir F – vektorines funkcijos suN komponenciu . Iš matricuprie m-os eiles išvestiniu sudarome matrica

Λ(x, ξ) =∑|α|=m

Aα(x)ξα11 · . . . · ξαnn ,

kurios determinantasQ(x, ξ) = det Λ(x, ξ) (4.45)

yra N · m eiles forma kintamuju ξ1, . . . , ξn atžvilgiu. Toliau (4.44) sistemos klasi-fikacija yra tokia pati kaip ir vienos m-os eiles lygties atveju.

4.6. PAGRINDINIAI UŽDAVINIAI 121

4.6. PAGRINDINIAI UŽDAVINIAI

Daugelis fizikos ir mechanikos uždaviniu aprašomi antros eiles lygtimis. Paprasciau-sios iš ju yra:

1. Puasono (elipsine) lygtis∆u = −f(x)

arba, kai f = 0, Laplaso lygtis

∆u = 0;

cia: x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, ∆u =n∑i=1

uxixi . Šios lygtys aprašo ivairius

stacionariuosius procesus ir pusiausvyros uždavinius.

2. Šilumos laidumo (paraboline) lygtis

ut − a2∆u = f(x, t),

aprašanti ivairius šiluminius procesus izotropiniame vienalyciame kune.

3. Bangavimo (hiperboline) lygtis

utt − a2∆u = f(x, t),

aprašanti garso, elektromagnetiniu bangu , hidrodinamikos, stygos ir membranossvyravimu procesus.

Šios lygtys yra geriausiai išnagrinetos, ir su jomis dažniausiai tenka susidurti spen-džiant praktinius uždavinius. Suformuluosime šioms lygtims tris pagrindinius už-daviniu tipus.

1. K o š i u ž d a v i n y s formuluojamas šilumos laidumo arba bangavimo lyg-tims. Šilumos laidumo lygties atveju reikia rasti funkcija u, kuri ∀x ∈ Rn, t > 0tenkintu lygti

ut − a2∆u = f(x, t)

ir ∀x ∈ Rn pradine salygau∣∣t=0

= ϕ(x).

Bangavimo lygties atveju Koši uždavinys formuluojamas taip: rasti funkcija u, kuri∀x ∈ Rn, t > 0 tenkintu lygti

utt − a2∆u = f(x, t)

ir ∀x ∈ Rn pradines salygas

u∣∣t=0

= ϕ(x), ut∣∣t=0

= ψ(x).

Kraštiniu salygu šiuose uždaviniuose nera.


2. K r a š t i n i s u ž d a v i n y s formuluojamas Puasono arba Laplaso lygtims.Abiem atvejais reikia rasti funkcija u, kuri srityje Ω ⊂ Rn tenkintu Puasono (Laplaso)lygti

∆u = −f(x) (∆u = 0),

ir paviršiaus S = ∂Ω taškuose viena iš kraštiniu salygu :

u∣∣S

= ϕ(x) – pirmoji kraštine salyga,

∂u

∂n

∣∣∣S

= ψ(x) – antroji kraštine salyga,

∂u

∂n

∣∣∣S

+ σu∣∣∣S

= µ(x) – trecioji kraštine salyga;

cia ∂u/∂n – funkcijos u išvestine normales kryptimi. Pradiniu salygu nera.Jeigu Laplaso lygtis nagrinejama kartu su pirmaja kraštine salyga, tai toks už-

davinys vadinamas pirmuoju, arba Dirichle, uždaviniu, jeigu su antraja – antruoju, arbaNoimano, uždaviniu, o jeigu su treciaja – treciuoju kraštiniu uždavinu.

3. M i š r u s i s u ž d a v i n i s formuluojamas šilumos laidumo arba bangavi-mo lygtims. Reikia rasti funkcija u, kuri cilindre QT = Ω× (0, T ), Ω ⊂ Rn tenkintušilumos laidumo

ut − a2∆u = f(x, t)

arba bangavimoutt − a2∆u = f(x, t)

lygti , atitinkamas pradines salygas (žr. Koši uždavini) ir viena iš kraštiniu salygu :

u∣∣S

= ϕ(x, t) – pirmoji kraštine salyga,

∂u

∂n

∣∣∣S

= ψ(x, t) – antroji kraštine salyga,

∂u

∂n

∣∣∣S

+ σu∣∣∣S

= µ(x, t) – trecioji kraštine salyga.

4.7. NEKOREKTIŠKU UŽDAVINIU PAVYZDŽIAI 123

4.7. KRAŠTINIU UŽDAVINIU KOREKTIŠKUMO SAVOKA.NEKOREKTIŠKU UŽDAVINIU PAVYZDŽIAI

Nagrinejant kraštini uždavini, jo sprendiniams paprastai keliami tam tikri apribojimai,kurie leidžia ieškomaji sprendini priskirti tam tikrai funkciju erdvei. Pažymesime šiaerdve B1. Pavyzdžiui, nagrinejant Dirichle uždavini, galima reikalauti, kad ieškomasissprendinys priklausytu erdvei C(Ω) .

Savo ruožtu sprendiniui keliami reikalavimai apibrežia tam tikrus apribojimus di-ferencialines lygties ir kraštiniu salygu dešinems pusems. I ju visuma galima žiuretikaip i funkcija, kuri priklauso kokiai nors kitai funkciju erdvei B2. Dažniausiai erdvesB1 ir B2 yra Banacho erdves.

Tarkime, yra nagrinejamas koks nors tiesinis kraštinis uždavinys, t.y. i ši uždaviniieinancios diferencialines lygtys ir kraštines salygos yra tiesines. I ju visuma galimažiureti kaip i operatoriu A, veikianti iš erdves B1 i erdve B2. Tokiu budu nagrinejamauždavini galima užrašyti operatorine lygtimi

Au = F ; (4.46)

cia: F ∈B2 – lygties ir kraštiniu salygu dešiniu pusiu visuma, u∈B1 – ieškomojifunkcija. Norint išspresti (4.46) lygti , reikia rasti visus erdves B1 elementus, kuriuosoperatorius A atvaizduoja i elementa F ∈B2.

Formuluojant kraštini uždavini, kraštines salygas dažniausiai norima apibrežti taip,kad sprendinys butu vienintelis. Sprendinio egzistavimas yra ekvivalentus teiginiui:operatoriaus A vaizdu aibe sutampa su visa erdve B2. Sprendinio vienatis yra ekvi-valenti atvirkštinio operatoriaus A−1 egzistavimui. Jeigu sprendinys egzistuoja ir yravienintelis, tai atvirkštinis operatorius A−1 egzistuoja ir yra apibrežtas visoje erdvejeB2.

Nagrinejant fizikini uždavini, i ji ieinantys dydžiai visada apibrežiami remiantismatavimo procesu. Kiekvienas matavimo procesas yra susijes su tam tikra paklaida.Kartu su paklaida yra apibrežiamos ir funkcijos, ieinancios i lygciu ir kraštiniu sa-lygu dešines puses. Todel naturalu ištirti, kokios itakos tures šita paklaida uždaviniosprendiniui.

A p i b r e ž i m a s . Sakysime, (4.46) uždavinys Banacho erdviu porai B1 ir B2

yra suformuluotas korektiškai, jeigu:

1. ∀F ∈B2 egzistuoja elementas u∈B1 toks, kad Au = F .

2. Jeigu Au1 = F ir Au2 = F , tai u1 = u2.

3. Sprendinys tolygiai priklauso nuo pradiniu duomenu , t.y., jeigu Au = F,Auk =Fk, k = 1, 2, . . . , ir Fk → F , kai k → ∞ erdves B2 normos atžvilgiu, taiuk → u, kai k →∞ erdves B1 normos atžvilgiu.

P a s t a b a . Jeigu bent viena iš šio apibrežimo salygu nera patenkinta, tai sakysi-me, kad uždavinys suformuluotas nekorektiškai.


4.1 teorema. Tarkime, operatorius A yra tiesinis. Tada Banacho erdviu B1, B2 porai(4.46) uždavinys yra suformuluotas korektiškai tada ir tik tada, kai egzistuoja operato-rius

A−1 : B2 → B1,

apibrežtas visoje erdveje B2, ir jis yra aprežtas.

/ Tarkime, (4.46) uždavinys yra suformuluotas korektiškai. Tada ∀F ∈B2 egzis-tuoja šio uždavinio sprendinys ir jis yra vienintelis. Sprendinio vienatis yra ekvivalentiatvirkštinio operatoriaus A−1 egzistavimui, o sprendinio egzistavimas ∀F ∈B2 reiškia,kad operatorius A−1 yra apibrežtas visoje erdveje B2. Irodysime, kad operatorius A−1

yra aprežtas.Kadangi operatorius A yra tiesinis, tai pakanka išnagrineti atveji , kai norma ‖F‖B2

yra kiek norima maža. Remiantis 3 apibrežimo punktu ∀δ > 0 egzistuoja ε > 0 toks,kad, jeigu Au = F ir ‖F‖

B2≤ε, tai

‖u‖B1= ‖A−1F‖B1

≤δ.

Fiksuokime tokius ε ir δ. Jeigu F ∈B2 ir ‖F‖B2

= 1, taiε

2F ∈B2 ir

‖ε2F‖

B2=ε

2‖F‖

B2=ε

2< ε.

Todel

‖A−1F‖B1

=2

ε‖A−1 ε

2F‖

B1≤2

εδ.

Pagal operatoriaus normos apibrežima

‖A−1‖≤2

εδ.

I rodysime atvirkštini teigini . Tarkime, operatorius A−1 egzistuoja, yra apibrežtasvisoje erdveje B2 ir yra aprežtas. Tada ∀F ∈B2 egzistuoja vienintelis (4.46) uždaviniosprendinys ir, jeigu ‖F‖

B2≤ε, tai

‖u‖B1= ‖A−1F‖B1

≤‖A−1‖‖F‖B2≤ε‖A−1‖. .

Akivaizdu, kad uždavinio korektiškumas priklauso nuo erdviu poros B1 ir B2 pa-rinkimo. Tas pats uždavinys vienai erdviu porai B1, B2 gali buti suformuluotas korek-tiškai, o kitai erdviu porai B′1, B′2 – nekorektiškai. Atkreipsime demesi dar i tai, kadoperatorius A gali tureti gana sudetinga struktura. I ja gali ieiti ivairios diferencialinesišraiškos, pradines ir kraštines salygos.

Pateiksime keleta nekorektiškai suformuluoto uždavinio pavyzdžiu . Pirma iš jusuformulavo Dž. Adamaras, ivedes kraštinio uždavinio korektiškumo savoka.

1 p a v y z d y s . Rasti Laplaso lygties

uxx + uyy = 0, x∈R, y ∈ (0, δ) (4.47)

4.7. NEKOREKTIŠKU UŽDAVINIU PAVYZDŽIAI 125

sprendini, tenkinanti pradines salygas

u∣∣y=0

= 0, uy∣∣y=0

= ψ(x), x∈R. (4.48)

Šio uždavinio sprendinio ieškosime tolydžiu ir aprežtu juostoje R × [0, δ] funkcijuerdveje, t.y. erdveje B1 = C(R× [0, δ]) . Ši uždavini atitinkanti operatoriu pažyme-kime raide A. Jo apibrežimo sritimi laikysime aibe funkciju erdveje B1, kurios turitolydžias dalines išvestines iki antros eiles imtinai juostuoje R× (0, δ), o pati funkcijau ir jos išvestine uy yra tolydi juostoje R × [0, δ). Be to, iš funkcijos ψ reikalausime,kad ji butu tolydi ir aprežta. Taigi, pasirenkame erdve B2 = C(R) .

Jeigu funkcija ψ(x) ≡ 0, tai funkcija u(x, y) ≡ 0 yra (4.47), (4.48) uždavinio

sprendinys. Tarkime, ψ(x) =1

nksinnx. Tiesiogiai galima isitikinti, kad funkcija

u(x, y) =1

nk+1sinnx shny

(sh t =

et − e−t

2

)tenkina (4.47) lygti ir (4.48) salygas. Cia n ir k – sveikieji teigiami skaiciai. Be to,∥∥∥ 1

nksinnx

∥∥∥B2

= maxx∈R

∣∣∣ 1

nksinnx

∣∣∣ =1

nk→ 0,

‖u‖B1= maxx∈R,y∈ [0,δ]

∣∣∣ 1

nk+1sinnx shny

∣∣∣ =1

nk+1shnδ →∞,

kai n → ∞. Taigi mažas pradiniu duomenu pokytis erdveje B2 suteikia sprendiniuiu dideli pokyti erdveje B1. Todel (4.47), (4.48) uždavinys erdviu porai B1, B2 yrasuformuluotas nekorektiškai.

2 p a v y z d y s . Rasti šilumos laidumo lygties

ut − uxx = 0, x∈ (0, π), t∈R, (4.49)

sprendini, tenkinanti pradine

u∣∣t=0

= ϕ(x), x∈ [0, π], (4.50)

ir kraštineu(0, t) = u(π, t) = 0, t∈R, (4.51)

salygas.Imkime B1 = C([0, π]× R), B2 = C[0, π] . Jeigu funkcija ϕ(x) ≡ 0, tai funkcija

u(x, t) ≡ 0 yra (4.49), (4.50), (4.51) uždavinio sprendinys. Tegu ϕ(x) =1

nksinnx, n

ir k – sveikieji teigiami skaiciai. Tiesiogiai galima isitikinti, kad funkcija

u(x, t) =1

nke−n

2t sinnx

tenkina (4.49) lygti , (4.50) pradine ir (4.51) kraštine salygas. Be to,∥∥∥ 1

nksinnx

∥∥∥B2

= maxx∈ [0,π]

∣∣∣ 1

nksinnx

∣∣∣ =1

nk→ 0,


‖u‖B1= maxx∈ [0,π],t∈R

∣∣∣ 1

nke−n

2t sinnxny∣∣∣→∞,

kai n→∞. Taigi erdviu porai B1, B2 uždavinys yra suformuluotas nekorektiškai.P a s t a b a . Erdviu porai B′1 = C([0, π]× [0,∞)), B′2 = C[0, π] šis uždavinys

yra suformuluotas korektiškai.3 p a v y z d y s . Rasti hiperbolines lygties

uxy = 0, (x, y)∈Ω = (0, 1)× (0, 1), (4.52)

sprendini, tenkinanti salygas:

u∣∣x=0

= ϕ0(y), u∣∣x=1

= ϕ1(y),

u∣∣y=0

= ψ0(x), u∣∣y=1

= ϕ1(x); (4.53)

cia ϕ0, ϕ1, ψ0 ir ψ1 – tolydžios funkcijos.Imkime B1 = C(Ω), B2 = C(∂Ω). Kadangi sprendinys ieškomas tolydžiu

funkciju erdveje, tai turi buti patenkintos suderinamumo salygos:

ϕ0(1) = ψ1(0), ψ0(1) = ψ1(1),

ϕ1(0) = ψ0(1), ϕ0(0) = ψ0(0). (4.54)

Bendrasis (4.52) lygties sprendinys

u(x, y) = f(x) + g(y);

cia f ir g – bet kokios dukart tolydžiai diferencijuojamos intervale (0, 1) funkcijos.Akivaizdu, kad (4.53) kraštines salygas galima perrašyti taip:

f(0) + g(y) = ϕ0(y), f(1) + g(y) = ϕ1(y),

f(x) + g(0) = ψ0(x), f(x) + g(1) = ψ1(x).

Taciau tadaϕ1(y) = ϕ0(y) + f(1)− f(0) = ϕ0(y) + const,

ψ1(x) = ψ0(x) + g(1)− g(0) = ψ0(x) + const.

Vadinasi, funkcijos ϕ1, ϕ0 ir ψ1, ψ0 yra tarpusavyje priklausomos ir bendruoju atvejunagrinejamasis uždavinys sprendiniu neturi.


4.8. UŽDAVINIAI

Suvesti 1–7 lygtis i kanonini pavidala:

1. ux1x1+ 2ux1x2

− 2ux1x3+ 2ux2x2

+ 6ux3x3= 0.

2. ux1x1 + 2ux1x2 − 2ux1x3 + 2ux2x2 + 2ux3x3 = 0.

3. ux1x1+ 2ux1x2

+ 2ux2x2+ 2ux2x3

+ 2ux2x4+ 2ux3x3

+ 3ux4x4= 0.

4. ux1x2− ux1x4

+ ux3x3− 2ux3x4

+ 2ux4x4= 0.

5. ux1x1+ 2ux1x3

− 2ux1x4+ ux2x2

+ 2ux2x3+ 2ux2x4

+ 2ux3x3+ 2ux4x4

= 0.

6. ux1x2+ ux1x3

+ ux1x4+ ux3x4

= 0.

7. ux1x1 + 2ux1x2 − 2ux1x3 − 4ux2x3 + 2ux2x4 + ux3x3 = 0.

Suvesti antros eiles 8–14 lygtis su dviem nepriklausomais kintamaisiais i kanon-ini pavidala:

8. uxx + 2uxy − 3uyy + 2ux + 6uy = 0.

9. uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0.

10. uxx − 2 cosxuxy − (3 + sin2 x)uyy − yuy = 0.

11. y2uxx + 2xyuxy + 2x2uyy + yuy = 0.

12. (1 + x2)uxx + (1 + y2)uyy + xux + yuy = 0.

13. sin2 xuxx − 2y sinxuxy + y2uyy = 0.

14. uxx − 2 sinxuxy + (2− cos2 x)uyy = 0.

Nustatyti, kuriuose erdves taškuose 15–18 lygtys yra hiperbolines, parabolinesarba elipsines, ir kiekvienoje iš sriciu , kurioje lygties tipas yra pastovus, suvestii kanonini pavidala:

15. uxx − xuyy = 0.

16. uxx − yuyy = 0.

17. xuxx − yuyy = 0.

18. yuxx − xuyy = 0.

Rasti bendruosius 19–23 lygciu sprendinius:

19. uxx − 2 sinxuxy − cos2 xuyy − cosxuy = 0.

20. xuxx − yuyy + 12 (ux − uy) = 0, x > 0, y > 0.

21. x2uxx − y2uyy − 2yuy = 0.

22. uxy + yux + xuy + xyu = 0.

23. uxy − xux + u = 0.


4.9. ATSAKYMAI

1. uξ1ξ1 + uξ2ξ2 + uξ3ξ3 = 0; ξ1 = x1, ξ2 = x2 − x1,ξ3 = x1 − 0.5x2 + 0.5x3.

2. uξ1ξ1 + uξ2ξ2 = 0; ξ1 = x1, ξ2 = x2 − x1, ξ3 = 2x1 − x2 + x3.

3. uξ1ξ1 + uξ2ξ2 + uξ3ξ3 + uξ4ξ4 = 0; ξ1 = x1, ξ2 = x2 − x1,ξ3 = x1 − x2 + x3, ξ4 = 2x1 − 2x2 + x3 + x4.

4. uξ1ξ1 − uξ2ξ2 + uξ3ξ3 + uξ4ξ4 = 0; ξ1 = x1 + x2, ξ2 = x2 − x1,ξ3 = x3, ξ4 = x2 + x3 + x4.

5. uξ1ξ1 + uξ2ξ2 = 0; ξ1 = x1, ξ2 = x2, ξ3 = −x1 − x2 + x3,ξ4 = x1 − x2 + x4.

6. uξ1ξ1 − uξ2ξ2 + uξ3ξ3 − uξ4ξ4 = 0; ξ1 = x1 + x2, ξ2 = x1 − x2,ξ3 = −2x2 + x3 + x4, ξ4 = x3 − x4.

7. uξ1ξ1 − uξ2ξ2 + uξ3ξ3 = 0; ξ1 = x1, ξ2 = x2 − x1,ξ3 = 2x1 − x2 + x3, ξ4 = x1 + x3 + x4.

8. uξη + 0.5uξ = 0; ξ = x+ y, η = 3x− y.

9. uξξ + uηη + uη = 0; ξ = 2x− y, η = x.

10. uξη + η−ξ32 (uξ − uη) = 0; ξ = 2x+ sinx+ y, η = 2x− sinx− y.

11. uξξ + uηη + 1ξ−ηuξ + 1

2ηuη = 0; ξ = x2 − y2, η = x2.

12. uξξ + uηη = 0; ξ = ln(x+√

1 + x2), η = ln(y +√

1 + y2).

13. uηη − 2ξξ2+η2uξ = 0; ξ = ytgx2 , η = y.

14. uξξ + uηη + cos ξuη = 0; ξ = x, η = y − cosx.

15. uξη + 16(ξ+η) (uξ + uη) = 0; ξ = 2

3x3/2 + y, η = 2

3x3/2 − y, x > 0;

uξξ + uηη + 13ξuξ = 0; ξ = 2

3 (−x)3/2, η = y, x < 0.

16. uξη + 12(ξ−η) (uξ − uη) = 0; ξ = x+ 2

√y, η = x− 2

√y, y > 0;

uξξ + uηη − 1ηuη = 0; ξ = x, η = 2

√−y, y < 0.

17. uξξ − uηη − 1ξuξ + 1

ηuη = 0; ξ =√|x|, η =

√|y|,

kai x > 0, y > 0 arba x < 0, y < 0;uξξ + uηη − 1

ξuξ −1ηuη = 0; ξ =

√|x|, η =

√|y|,

kai x > 0, y < 0 arba x < 0, y > 0.

18. uξξ − uηη + 13ξuξ −

13ηuη = 0; ξ = |x|3/2, η = |y|3/2,

kai x > 0, y > 0 arba x < 0, y < 0;uξξ + uηη + 1

3ξuξ + 13ηuη = 0; ξ = |x|3/2, η = |y|3/2,

kai x > 0, y < 0 arba x < 0, y > 0.

4.9. ATSAKYMAI 129

19. u(x, y) = ϕ(x+ y − cosx) + ψ(x− y + cosx).

20. u(x, y) = ϕ(√x−√y) + ψ(

√x+√y).

21. u(x, y) =√

xyϕ(xy) + ψ( yx ).

22. u(x, y) = exp−x

2+y2

2

(ϕ(x) + ψ(y)).

23. u(x, y) = xv(x, y)− vy(x, y), v(x, y) =∫ϕ(x)exy dx+ ψ(y).

N u r o d y m a s . Padaryti keitini ux = v.

5 S K Y R I U S

Charakteristikos ir Koši uždavinys

5.1. FORMALIAI JUNGTINIAI OPERATORIAIIR GRYNO FORMULE

Tegu Ω – aprežta erdveje Rn sritis, S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius, funkcijosu, v ∈ C2(Ω) . Tada yra teisinga Gryno formule∫

Ω

vLu dx =

∫S

(v∂u

∂N− u ∂v

∂N+

n∑i=1

ai cos (n, xi)uv)dS +

∫Ω

uL∗v dx,

kurioje

Lu ≡ −n∑

i,j=1

∂

∂xi(aijuxj ) +

n∑i=1

aiuxi + au, (5.1)

L∗v ≡ −n∑

i,j=1

∂

∂xj(aijvxi)−

n∑i=1

∂

∂xi(aiv) + av,

∂u

∂N≡ −

n∑i,j=1

aijuxj cos (n, xi),

o koeficientai ai, aij ∈ C1(Ω), ∀i, j = 1, . . . , n, a ∈ C(Ω) .Norint ja irodyti, pakankadu kartus pritaikyti integravimo dalimis formule (žr. (1.11)). Perrašysime Gryno for-mule taip:∫

Ω

(vLu dx− uL∗v) dx =

∫S

(v∂u

∂N− u ∂v

∂N+

n∑i=1

ai cos (n, xi)uv)dS. (5.2)

Diferencialine išraiška L∗v vadinama formaliai jungtine diferencialinei išraiškaiLu, o operarorius L∗ – formaliai jungtiniu operatoriui L. Pabrešime, kad ši savybeyra abipuse, t.y. diferencialine išraiška Lu taip pat yra formaliai jungtine išraiškaiL∗v. Jeigu Lu = L∗u, ∀u ∈ C2(Ω), tai tokios diferencialines išraiškos vadinamosformaliai savijungemis, o operatoriai L ir L∗ – formaliai savijungiais.

Diferencialine išraiška Lu yra savijunge tada ir tik tada, kai koeficientai ai =0, ∀i = 1, . . . , n, t.y. kai

Lu ≡ −n∑

i,j=1

∂

∂xi(aijuxj ) + au.

Savijungems diferencialinems išraiškoms (5.2) formule igauna paprastesni pavidala:∫Ω

(vLu− uLv) dx =

∫S

(v∂u

∂N− u ∂v

∂N

)dS. (5.3)

5.1. FORMALIAI JUNGTINIAI OPERATORIAI 131

Atskiru atveju, kai Lu = −∆u, Gryno formule yra tokio pavidalo:∫Ω

(v∆u− u∆v) dx =

∫S

(v∂u

∂n− u ∂v

∂n

)dS. (5.4)

Kai v ≡ 1, gauname ∫Ω

∆u dx =

∫S

∂u

∂ndS. (5.5)

P a s t a b a . Jeigu (5.1) diferencialines išraiškos koeficientai aij yra diferencijuo-jamos funkcijos, tai ja galima perrašyti taip:

n∑i,j=1

bijuxixj +

n∑i=1

biuxi + bu; (5.6)

cia:

bij = −aij , bi = −n∑j=1

∂

∂xj(aij) + ai, b = a.

Atvirkšciai, (5.6) diferencialine išraiška lengvai galima suvesti i (5.1). Diferencialineišraiška

n∑i,j=1

∂2

∂xi∂xj(biju)−

n∑i=1

∂

∂xi(biu) + bu

vadinama formaliai jungtine (5.6).Tegu

Lu =∑|α|≤m

aα(x)Dαu

yra m-os eiles diferencialine išraiška. Tarkime, koeficientai aα ∈ C|α|(Ω), o funkcijosu, v ∈ Cm(Ω). Tada yra teisinga antroji Gryno formule∫

Ω

(vLu− uL∗v) dx =

∫S

B(u, v) dS, (5.7)

kuriojeL∗v =

∑|α|≤m

(−1)|α|Dα(aαv),

o B(u, v) – bitiesine forma funkciju u, v ir ju išvestiniu iki m − 1 eiles imtinaiatžvilgiu. Diferencialine išraiška L∗v yra vadinama formaliai jungtine diferencialineiišraiškai Lv.

P a s t a b a . Tarkime, aα yra k × k eiles funkciju matricos, o u, v – vektorinesfunkcijos, turincios k komponenciu . Tada (5.7) formule išlieka teisinga. Reikia tik ireiškinius vLu, uL∗v ir B(u, v) žiureti kaip i skaliarine sandauga erdveje Rk.

132 5. CHARAKTERISTIKOS IR KOŠI UŽDAVINYS

5.2. TIESINIU ANTROS EILES LYGCIU CHARAKTERISTIKOS.KOŠI UŽDAVINYS

Tegu S ⊂ Rn – glodus n− 1 dimensijos paviršius,

Lu =

n∑i,j=1

aij(x)uxixj +

n∑i=1

ai(x)uxi + a(x)u

– tiesine antros eiles diferencialine išraiška.Nagrinesime Koši uždavini: rasti funkcija u, kuri paviršiaus S aplinkoje (vien-

puseje arba dvipuseje) tenkintu lygti

Lu = f(x), (5.8)

o paviršiuje S pradines salygas

u∣∣S

= ϕ(x),∂u

∂λ

∣∣∣S

= ψ(x); (5.9)

cia: λ = λ(x), x ∈ S nelieciamoji kryptis paviršiui S, o funkcijos ϕ,ϕ′ ir ψ yratolydžios paviršiuje S.

Taip suformuluotas Koši uždavinys skiriasi nuo kraštinio uždavinio tuo, kad išanksto nenurodoma sritis, kurioje yra ieškomas sprendinys. Visgi i Koši uždavinižiuresime kaip i viena iš kraštiniu uždaviniu .

Paprastosioms diferencialinems lygtims (ne daliniu išvestiniu ) Koši uždavini for-muluoti ir nagrineti nera sunku. Daliniu išvestiniu lygciu atveju situacija yra iš esmeskita. Daugiausia tai susije su srities dimensija ir iš to išplaukianciais išsprendžiamumoklausimais. Ištirsime salygas, kurioms esant (5.8) lygtis ir (5.9) pradines salygos vie-nareikšmiškai apibrežia paviršiuje S pati sprendini ir visas jo išvestines iki antros eilesimtinai.

Iš koeficientu prie antros eiles išvestiniu sudarome kvadratine forma

Λ(x, ξ) =

n∑i,j=1

aij(x)ξiξj , ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn.

Tarkime, paviršius S apibrežiamas lygtimi

ω(x) = 0. (5.10)

Jeigu kuriame nors taške x ∈ S reiškinys

Λ(x, ωx) =

n∑i,j=1

aij(x)ωxiωxj = 0, (5.11)

tai sakysime, kad šiame taške paviršius S operatoriaus L atžvilgiu turi charakteristinekrypti .

Paviršius S vadinamas charakteristiniu paviršiumi operatoriaus L atžvilgiu, jeigukiekviename savo taške jis turi charakteristine krypti . Kartais tokie paviršiai dar yra

5.2. CHARAKTERISTIKOS. KOŠI UŽDAVINYS 133

vadinami charakteristikomis. Paviršius S vadinamas laisvuoju paviršiumi operatoriausL atžvilgiu, jeigu kiekvieno jo taško kryptis nera charakteristine.

Pabrešime, kad (5.11) salyga atžvilgiu ω nera pirmos eiles daliniu išvestiniu di-ferencialine lygtis. Iš ω nereikalaujama, kad ji tapaciai tenkintu (5.11) lygti . Ji turitenkinti šia lygti tik tada, kai ω = 0, t.y. kiekviename charakteristinio paviršiaus Staške.

Jeigu i (5.11) salyga žiuresime kaip i lygti , t.y. reikalausime, kad ji butu tapaciaipatenkinta visu kintamuju x1, . . . , xn atžvilgiu, tai kiekvienas šios lygties sprendinys,tapaciai nelygus konstantai, apibreš ne viena charakteristini paviršiu , o visa šeima

ω(x1, . . . , xn) = const.

Galima irodyti, kad kiekviena charakteristini paviršiu galima itraukti i šia šeima. Šiuoatveju (5.11) lygtis yra pirmosios eiles daliniu išvestiniu lygtis. Ji yra vadinama (5.8)lygties charakteristiku lygtimi.

P a s t a b a . Formaliai jungtinius operatorius L ir L∗ atitinka ta pati kvadratineforma Λ(x, ωx). Todel paviršius S : ω(x) = 0 yra charakteristinis (laisvasis) operato-riaus L atžvilgiu tada ir tik tada, kai jis yra charakteristinis (laisvasis) operatoriaus L∗

atžvilgiu.Iš pradžiu ištirsime atveji , kai paviršius S yra hiperplokštuma xn = 0. Pažyme-

kime x′ = (x1, . . . , xn−1). Diferencijuodami pirmaja Koši salyga liestiniu kryptimis,rasime išvestines:

uxi∣∣xn=0

= ϕxi(x′), uxixj

∣∣xn=0

= ϕxixj (x′), i, j = 1, . . . , n− 1.

Pagal prielaida cos (λ, xn) 6= 0. Todel iš antrosios Koši salygos galime rasti išvestine

uxn∣∣xn=0

=1

cos (λ, xn)

(ψ(x′)−

n−1∑i=1

uxi cos (λ, xi))∣∣∣xn=0

=

=1

cos (λ, xn)

(ψ(x′)−

n−1∑i=1

ϕxi cos (λ, xi)).

Diferencijuodami ja liestiniu kryptimis, rasime išvestines

uxnxi∣∣xn=0

=∂

∂xi

[ 1

cos (λ, xn)

(ψ(x′)−

n−1∑i=1

ϕxi cos (λ, xi))],

∀i = 1, . . . , n− 1. Taigi Koši salygos leidžia hiperplokštumoje xn = 0 vienareikšmiš-kai apibrežti visas pirmos ir antros eiles išvestines, išskyrus išvestine uxnxn . Pastarajagalima rasti iš (5.8) lygties, jeigu koeficientas ann 6= 0. Tuo atveju, kai koeficientasann = 0, gauname arba tapatybe, arba lygybe, kuri yra negalima. Abiem atvejaisišvestine uxnxn lieka neapibrežta.

Išnagrinesime bendraji atveji . Tarkime, paviršius S apibrežiamas (5.10) lygtimi.Fiksuokime koki nors taška x0 ∈ S. Šiame taške ivesime vietine koordinaciu sistema

yi = ϕi(x), yn = ω(x), i = 1, . . . , n− 1. (5.12)


Funkcijas ϕi parinkime taip, kad taško x0 aplinkoje jos butu pakankamai glodžios irpaviršiaus S taškuose determinantas

det ∂yi∂xj

ni,j=1

6= 0.

Paviršiu S taško x0 aplinkoje galima apibrežti lygtimi yn = 0, o (5.8) lygti naujosekoordinatese galime perrašyti taip:

n∑k,l=1

Akluykyl +

n∑k=1

Akuyk + au = f. (5.13)

Taigi gavome jau išnagrineta atveji . Todel (5.8) diferencialine lygtis ir (5.9) Koši saly-gos paviršiuje S vienareikšmiškai apibrežia ieškomaja funkcija ir visas jos išvestinesiki antros eiles imtinai tada ir tik tada, kai koeficientas

Ann =

n∑i,j=1

aij∂yn∂xi

∂yn∂xj

=

n∑i,j=1

aijωxiωxj 6= 0. (5.14)

Šita salyga yra patenkinta tada ir tik tada, kai S yra laisvasis paviršius.Jeigu kuriame nors taške koeficientas Ann = 0, t.y. šiame taške paviršius S turi

charakteristine krypti , tai funkciju ϕ, ψ ir f negalima pasirinkti laisvai. Iš tikru ju ,jeigu minetame taške ivesime vietine ortogonalia koordinaciu sistema y1, . . . , yn−1,yn taip, kad ašys y1, . . . , yn−1 guletu paviršiaus S lieciamojoje plokštumoje, o ašis ynbutu nukreipta normales kryptimi, tai išvestines uyk , uykyl , uynyl , k, l = 1, . . . , n−1,galima išreikšti funkcijomis ϕ, ψ ir ju išvestinemis. Jeigu šiu išvestiniu išraiškasistatysime i (5.12) lygti , tai gausime saryši , kuri turi tenkinti funkcijos ϕ, ψ ir f .

Pateiksime kelis pavyzdžius. Tarkime, paviršius S yra apibrežtas (5.10) lygtimi irtaškas x0 ∈ S. Šiame taške ivesime vietine ortogonalia koordinaciu sistema y1, . . . ,yn−1, yn. Koordinates y1, . . . , yn−1 paimsime lieciamojoje plokštumoje, o koordinateyn nukreipsime normales kryptimi. Tada (5.11) salyga taške x0 galima perrašyti taip:

n∑i,j=1

aij∂yn∂xi

∂yn∂xj

= 0. (5.15)

1. Tarkime, (5.8) lygtis yra Laplaso lygtis. Tada (5.15) salyga galima užrašyti taip:n∑i=1

(∂yn∂xi

)2

= 0. (5.16)

Taciaun∑i=1

( ∂yn∂xi

)2

= 1.

Todel kiekvienas glodus paviršius S yra laisvas Laplaso operatoriaus atžvilgiu.P a s t a b a . Koši uždavinys Laplaso lygciai yra nekorektiškai suformuluotas (žr.

4 sk. Adamaro pavyzdi). Tiksliau, jo sprendiniai netolygiai priklauso nuo pradiniusalygu .

5.2. CHARAKTERISTIKOS. KOŠI UŽDAVINYS 135

2. Tarkime, (5.8) lygtis yra šilumos laidumo lygtis:

ut − a2n−1∑i=1

uxixi = f(x, t), t = xn, x = (x1, . . . , xn−1).

Tada (5.15) salyga yra tokia:n−1∑i=1

( ∂yn∂xi

)2

= 0.

Taciaun∑i=1

( ∂yn∂xi

)2

= 1,

todel ( ∂yn∂t

)2

= 1.

Suintegrave šia lygti , gausime yn = ±t + const. Taigi charakteristiniai šilumoslaidumo lygties paviršiai yra plokštumos, statmenos t ašiai.

P a s t a b a . Kadangi hiperplokštuma t = 0 šilumos laidumo lygciai yra charak-teristinis paviršius, tai Koši salygose

u∣∣t=0

= ϕ(x), ut∣∣t=0

= ψ(x)

funkciju ϕ ir ψ negalima pasirinkti laisvai. Parodysime, kad antroji salyga yra nerei-kalinga. Taške t = 0 išvestines

uxi = ϕxi , uxixi = ϕxixi , i = 1, . . . , n− 1.

Istate jas i šilumos laidumo lygti , gausime tapatybe

ψ = a2n−1∑i=1

ϕxixi + f.

Taigi antroji Koši salyga yra nereikalinga.3. Tarkime, (5.8) lygtis yra bangavimo lygtis:

utt − a2n−1∑i=1

uxixi = f(x, t), t = xn, x = (x1, . . . , xn−1).

Tada (5.15) salyga yra tokia:

( ∂yn∂t

)2

− a2n−1∑i=1

( ∂yn∂xi

)2

= 0.

Tiesiogiai galima parodyti, kad šia lygti tenkina funkcija

ω(x, t) = a(t− t0)± |x− x0|;


cia

|x− x0|2 =

n−1∑i=1

(xi − x0i )

2.

Lygtisa(t− t0)± |x− x0| = 0

apibrežia erdveje Rn kugio paviršiu (žr. 5.1 pav.).

..........................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

......

...

...

...

...

...

...

...

...................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

................

................................... .............

....................................

(x0, t0)

t

x

α.................................

5.1 pav.

Cia α – kampas tarp kugio ašies ir sudaromosios. Jis randamas iš formules tgα = a.Taip apibrežtas kugis dažnai vadinamas charakteristiniu kugiu.

Paviršius, kuris ne viename savo taške neliecia charakteristinio kugio, yra laisvasispaviršius. Pavyzdžiui, bet kokia plokštuma, statmena t ašiai, yra laisvasis paviršius(bangavimo lygciai).

5.3. TIESINIUm-os LYGCIU CHARAKTERISTIKOS. KOŠI UŽDAVINYS 137

5.3. TIESINIU m-os EILES LYGCIU CHARAKTERISTIKOS.KOŠI UŽDAVINYS

Tegu S ⊂ Rn – glodus n − 1 dimensijos paviršius. Jo aplinkoje nagrinesime tiesinem-os eiles lygti

Lu =∑|α|≤m

aα(x)Dαu.

Iš koeficientu prie m-os eiles išvestiniu sudarome forma

Λ(x, ξ) =∑|α|=m

aα(x) ξα11 · . . . · ξαnn .

Tarkime, paviršius S apibrežiamas lygtimi

ω(x) = 0.

Sakysime, paviršius S taške x turi charakteristine krypti operatoriaus L atžvilgiu, jeigušiame taške

Λ(x, ωx) = 0, ωx = (ωx1 , . . . , ωxn).

Charakteristinis ir laisvasis paviršiai operatoriaus L atžvilgiu apibrežiami taip pat kaipir tiesines antros eiles lygties atveju.

Nagrinesime Koši uždavini: rasti funkcija u, kuri paviršiaus S aplinkoje tenkintulygti

Lu = f(x) (5.17)

pradines salygas

u∣∣S

= ϕ0(x),∂u

∂λ

∣∣∣S

= ϕ1(x), . . . ,∂m−1u

∂λm−1

∣∣∣S

= ϕm−1(x); (5.18)

cia λ – nelieciamoji paviršiaus S kryptis, ϕi – žinomos funkcijos.Ištirsime salygas, kurioms esant (5.17) lygtis ir (5.18) Koši salygos paviršiuje S

vienareikšmiškai apibrežia ieškomaja funkcija ir visas jos dalines išvestines iki m-oseiles imtinai. Del paprastumo tarkime, kad paviršiuje S kryptis λ sutampa su nor-males kryptimi. Pradesime nuo paprasciausio atvejo, kai paviršius S yra hiperplokš-tuma xn = 0. Esant tokioms prielaidoms, (5.18) Koši salygas galima užrašyti taip:

u∣∣xn=0

= ϕ0(x′),∂u

∂xn

∣∣∣xn=0

= ϕ1(x′), . . . ,∂m−1u

∂xm−1n

∣∣∣xn=0

= ϕm−1(x′);

cia x′ = (x1, . . . , xn−1). Diferencijuodami šias formules pagal kintamuosius x1, . . . ,xn−1, rasime visas funkcijos u išvestines iki m-os eiles imtinai, išskyrus išvestine

∂mu

∂xmn.

Ja galima rasti iš (5.17) lygties, jeigu koeficientas

a(0,0,...,0,m) 6= 0.


Išnagrinesime bendraji atveji . Tegu paviršius S yra apibrežtas lygtimi

ω(x) = 0.

Laisvai pasirenkame taška x∈S. Šiame taške apibrešime vietine koordinaciu sistema

yi = ϕi(x), yn = ω(x), i = 1, . . . , n− 1.

Funkcijas ϕi parinksime taip, kad jos nagrinejamojo taško aplinkoje turetu tolydžiasdalines išvestines iki m-os eiles imtinai, o paviršiaus S taškuose determinantas

det ∂yi∂xj

ni,j=1

6= 0.

Naujose koordinatese (5.17) lygti ir (5.18) Koši salygas galima perrašyti taip:∑|β|≤m

bβ(y)Dβy u = F (y′),

u∣∣yn=0

= Φ0(y′),∂u

∂yn

∣∣∣yn=0

= Φ1(y′), . . . ,∂m−1u

∂ym−1n

∣∣∣yn=0

= Φm−1(y′).

Kadangi paviršius S yra apibrežtas lygtimi yn = 0, tai galime tvirtinti, kad (5.17)lygtis ir (5.18) Koši salygos paviršiuje S vienareikšmiškai apibrežia funkcija u ir visasjos išvestines iki m-os eiles imtinai tada ir tik tada, kai koeficientas b(0,...,0,m) 6= 0.Taciau

b(0,...,0,m) =∑|α|=m

aα(x)(∂yn∂x1

)α1

· . . . ·( ∂yn∂xn

)αn=

=∑|α|=m

aα(x)ωα1x1· . . . · ωαnxn ≡ Λ(x, ωx).

Taigi, jeigu pradines salygas pasirenkame laisvai, lygtis ir Koši salygos paviršiuje Svienareikšmiškai apibrežia funkcija u ir visas jos išvestines iki m-os eiles imtinai tadair tik tada, kai paviršius S yra laisvasis.

5.4. KOŠI–KOVALEVSKAJOS TEOREMA 139

5.4. KOŠI–KOVALEVSKAJOS IR HOLMGRENO TEOREMOSTIESINEI m-os EILES LYGCIU SISTEMAI

Tegu S – glodus n− 1 dimensijos paviršius erdveje Rn,

LU =∑|α| ≤m

Aα(x)DαU, α = (α1, . . . , αn);

cia: U ir F – vektorines N komponenciu funkcijos, Aα – N ×N matricos. Iš ju priem-os eiles išvestiniu sudarome matrica

Λ(x, ξ) =∑|α|=m

Aα(x) ξα =∑|α|=m

Aα(x) ξα11 · . . . · ξαnn .

Jos determinantasdet Λ(x, ξ) = Q(x, ξ)

yra N ×m eiles forma ξ1, . . . , ξn atžvigiu.Tarkime, paviršius S apibrežiamas lygtimi

ω(x) = 0.

Jeigu kuriame nors taške x∈S forma Q(x, ξ) = 0, tai sakysime, kad šiame taškepaviršius S operatoriaus L atžvilgiu turi charakteristine krypti .

Paviršius S vadinamas charakteristiniu paviršiumi operatoriaus L atžvilgiu, jeigukiekvienas jo taškas turi charakteristine krypti . Jeigu kiekvieno paviršiaus S taškokryptis nera charakteristine, tai toks paviršius vadinamas laisvuoju paviršiumi operato-riaus L atžvilgiu.

Nagrinesime Koši uždavini: rasti vektorine funkcija U, kuri paviršiaus S aplinkojetenkintu lygciu sistema

LU = F(x) (5.19)

ir pradines salygas

U∣∣∣S

= Φ0,∂U

∂λ

∣∣∣S

= Φ1, . . . ,∂m−1U

∂λm−1

∣∣∣S

= Φm−1; (5.20)

cia: λ – nelieciamoji kryptis paviršiui S, Φi – žinomos funkcijos.Jeigu funkcijos Φi, i = 1, . . . ,m− 1, pasirenkamos laisvai, tai galima irodyti (žr.

vienos lygties atveji), kad salyga

Q(x, ωx) 6= 0

yra butina ir pakankama, kad (5.19) sistema ir (5.20) pradines salygos vienareikšmiškaiapibrežtu paviršiuje S funkcija U ir visas jos išvestines iki m-os eiles imtinai. Tuoatveju, kai S yra charakteristinis paviršius, t.y.

Q(x, ωx) = 0, ∀x∈S,

funkciju Φi pasirinkti laisvai negalima.


Paprastosios diferencialines pirmos eiles lygties Koši uždavinio

du

dt= f(t, u), u

∣∣t=0

= u0 (5.21)

sprendinio egzistavima ir vienati pirma karta irode O. L. Koši. Tiksliau, parode, kadtaško t = 0 aplinkoje egzistuoja vienintelis analizinis (5.21) Koši uždavinio sprendi-nys, jeigu funkcija f yra analizine taško (0, u0) aplinkoje. Irodymo ideja yra labaipaprasta. Jeigu funkcija

u(t) =

∞∑i=0

αiti (5.22)

yra (5.21) Koši uždavinio analizinis sprendinys, tai α0 = u0, α1 = f(0, u0). Likekoeficientai α2, α3, . . . randami vienareikšmiškai diferencijuojant lygti taške t = 0.Pavyzdžiui,

α2 =1

2

(∂f(t, u)

∂t+∂f(t, u)

∂uf(t, u)

)∣∣∣t=0,u=u0

.

Taigi visi koeficientai αi randami vienareikšmiškai iš pacios lygties ir Koši salygu .Vadinasi, sprendinys yra vienintelis. Sprendinio egzistavimui pakanka irodyti, kadlaipsnine eilute su taip apibrežtais koeficientais konverguoja pakankamai mažoje taškot = 0 aplinkoje. Tam galima panauduoti mažorantu metoda.

Nagrinejamas Koši uždavinys

dv

dt= M

[(1− t

r

)(1− v − u0

r

)]−1

, v∣∣t=0

= u0.

Jo sprendini v galima rasti kintamuju atskyrimo metodu. Tegu

v(t) =

∞∑i=0

βiti.

Galima irodyti, kad ši eilute mažoruoja funkcijos u eilute, t.y. |αi| ≤ βi, ∀i =0, 1, . . ., jeigu tik skaicius M yra pakankamai didelis, o skaicius r pakankamai mažas.Tai irodo (5.22) eilutes konvergavima ir (5.21) Koši uždavinio sprendinio egzistavima.

S. V. Kovalevskaja apibendrino šia teorema daliniu išvestiniu diferencialinems lyg-tims. Cia be irodymo pateiksime viena iš Koši–Kovalevskajos teoremos variantu .

5.1 teorema. (Koši–Kovalevskajos) Tegu S – laisvasis operatoriaus L atžvilgiu anal-izinis n − 1 dimensijos paviršius erdveje Rn; Φi, i = 1, . . . ,m − 1, – analizinespaviršiuje S funkcijos. Be to, tegu funkcijos, ieinancios i operatoriaus L koeficientusir i (5.19) sistemos dešiniaja puse, yra analizines tam tikroje paviršiaus S aplinkoje.Tada pakankamai mažoje paviršiaus S aplinkoje egzistuoja vienintelis (5.19), (5.20)Koši uždavinio analizinis sprendinys.

P a s t a b a . Jeigu funkcija U yra analizinis Koši uždavinio sprendinys, tai ∀x∈Siš Koši salygu ir pacios sistemos galima vienareikšmiškai rasti visas bet kurios eilesišvestines. Tokiu budu ieškomo sprendinio Teiloro eilutes skleidinyje visi koeficien-tai taške x∈S randami vienareikšmiškai. Vadinasi, analizinis sprendinys yra vienin-telis. Sprendinio egzistavimui reikia irodyti Teiloro eiluciu , kuriu koeficientai randami

5.4. KOŠI–KOVALEVSKAJOS TEOREMA 141

nurodytu budu, konvergavima. Šis techniškai sudetingas irodymas remiasi mažorantumetodu.

Atkreipsime demesi i tai, kad Koši–Kovalevskajos teoremoje sistema yra m-oseiles, o ieškomasis sprendinys yra analizinis. Tuo atveju, kai (5.19) sistemos ir (5.20)Koši salygu dešines puses nera analizines funkcijos, bet pakankamai glodžios, negali-me reikalauti, kad sprendinys butu analizinis. Pakanka reikalauti tik tu jo išvestiniu ,kurios ieina i sistema, tolydumo. Neanaliziniu atveju Koši uždavinys, nežiurint dauge-lio matematiku pastangu , nera pilnai ištirtas.

Tarkime, ieinancios i operatoriaus L koeficientus funkcijos yra analizines kuriojenors paviršiaus S aplinkoje, S – laisvasis operatoriaus L atžvilgiu analizinis paviršius,o (5.20) Koši salygu ir (5.19) sistemos dešiniosios puses funkcijos yra pakankamaiglodžios, taciau ne analizines. Tada yra teisinga teorema.

5.2 teorema. (Holmgreno) Tarkime, patenkintos aukšciau nurodytos salygos. Tada,jeigu egzistuoja (5.19), (5.20) Koši uždavinio sprendinys (nebutinai analiziniu funkcijuklaseje), tai jis yra vienintelis.

/ Pakanka irodyti, kad homogeninis uždavinys

LU ≡∑|α| ≤m

Aα(x)DαU = 0, (5.23)

U∣∣∣S

= 0,∂U

∂λ

∣∣∣S

= 0, . . . ,∂m−1U

∂λm−1

∣∣∣S

= 0 (5.24)

turi tik trivialu sprendini.

...........................................................................................

..............................................

...........................

.........................

..............

.......................................

.........................................................

.........................

....................................................................................

S

Ω

Γ

5.2 pav.

Deformuokime paviršiu S taip, kad gautas paviršius Γ butu analizinis ir laisvasisoperatoriaus L atžvilgiu. Sriti , esancia tarp paviršiu S ir Γ, pažymekime Ω (žr. 5.2pav.). Pagal Gryno formule∫

Ω

VLU dx =

∫Ω

UL∗V dx+

∫S

B(U,V) dS +

∫Γ

B(U,V) dS; (5.25)

cia U ir V – bet kokios pakankamai glodžios vektorines funkcijos. Tegu U yra (5.23),(5.24) Koši uždavinio sprendinys. Tada integralai∫

Ω

VLU dx,

∫S

B(U,V) dS


yra lygus nuliui. Priminsime, kad paviršius Γ yra analizinis ir laisvasis operatoriaus Latžvilgiu. Taciau tada jis yra laisvasis ir jungtinio operatoriaus L∗ atžvilgiu. Tegu F∗

yra kokia nors analizine paviršiaus Γ aplinkoje funkcija, V – analizinis Koši uždavinio

L∗V = F∗,

V∣∣∣Γ

= 0,∂V

∂λ

∣∣∣Γ

= 0, . . . ,∂m−1V

∂λm−1

∣∣∣Γ

= 0

sprendinys (pagal Koši–Kovalevskajos teorema toks sprendinys egzistuoja ir yra vie-nintelis). Tada ∫

Γ

B(U,V) dS = 0

ir (5.25) formule galima perrašyti taip:∫Ω

UF∗ dx = 0. (5.26)

Kadangi funkcija F∗ pasirinkta laisvai, tai (5.26) formuleje lygybe yra galima tik tuoatveju, kai srityje Ω funkcija U = 0. .

6 S K Y R I U S

Šturmo–Liuvilio uždavinys

6.1. ŠTURMO–LIUVILIO OPERATORIUS. KRAŠTINIOUŽDAVINIO SPRENDINIU EGZISTAVIMOIR VIENATIES TEOREMOS

Operatoriu

Au = − d

dx

(p(x)u′(x)

)+ q(x)u(x)

vadinsime reguliariuoju Šturmo–Liuvilio operatoriumi (arba tiesiog Šturmo–Liuviliooperatoriumi) segmente [a, b], jeigu funkcijos p, p′, q ∈ C[a, b] ir

p(x)≥ p0 > 0, ∀x∈ [a, b].

Aibe funkciju u tokiu , kad u ir u′ yra absoliuciai tolydžios segmente [a, b], ou′′ ∈ L2(a, b), vadinsime operatoriaus A apibrežimo sritimi ir žymesime D(A).

Tegu A yra Šturmo–Liuvilio operatorius. Aibeje D(A) ieškosime lygties

Au = f(x), x∈ (a, b) (6.1)

sprendinio, tenkinancio kraštines salygasu(a) + αu′(a) = 0,u(b) + βu′(b) = 0.

(6.2)

Cia: f ∈ L2(a, b), o α ir β – bet kokie realus skaiciai (neišskiriant ir simboliu ±∞).Irodysime pagalbini teigini .

6.1 lema. Tegu u – absoliuciai tolydi segmente [a, b] funkcija, u′ ∈ L2(a, b) . Tada∀ε > 0 ir ∀x∈ [a, b] yra teisinga nelygybe

u2(x)≤ εb∫a

u′2(y) dy +

( 1

b− a+

1

ε

) b∫a

u2(y) dy. (6.3)

/ Laisvai pasirenkame taškus x, x0 ∈ [a, b]. Pagal Niutono–Leibnico formule

u2(x)− u2(x0) =

x∫x0

du2(y) = 2

x∫x0

u(y)u′(y) dy. (6.4)

Pasinaudoje nelygybe

2ab≤ εa2 +1

εb2, ε > 0, a, b∈R,

144 6. ŠTURMO–LIUVILIO UŽDAVINYS

ivertinsime paskutinio integralo moduli

∣∣∣2 x∫x0

u(y)u′(y) dy∣∣∣≤ 2

b∫a

|u(y)||u′(y)| dy≤ εb∫a

u′2(y) dy +

1

ε

b∫a

u2(y) dy.

Iš šio ivercio ir (6.4) formules išplaukia nelygybe

u2(x)≤u2(x0) + ε

b∫a

u′2(y) dy +

1

ε

b∫a

u2(y) dy.

Suintegrave ja nuo a iki b kintamojo x0 atžvilgiu ir rezultata padalije iš b− a, gausime(6.3) nelygybe. .

6.1 teorema. Tegu q(x)≥ q0, ∀x∈ [a, b]; cia q0≥ 0 pakankamai didelis skaicius (jisukonkretinsime irodydami teorema). Tada (6.1), (6.2) uždavinys funkciju klasejeD(A) negali tureti dvieju skirtingu sprendiniu .

/ Tegu funkciju klasejeD(A) yra du (6.1), (6.2) kraštinio uždavinio sprendiniai u1

ir u2. Tada ju skirtumas u = u1 − u2 ∈D(A), tenkina lygti

Au = 0 (6.5)

ir (6.2) kraštines salygas. Irodysime, kad u = 0.Kadangi funkcija u tenkina (6.5) lygti , tai

b∫a

uAu dx = 0.

Panaudoje integravimo dalimis formule, perrašysime šia tapatybe taip:

b∫a

(p u′

2+ q u2

)dx− p uu′|ba = 0. (6.6)

Atskirai išnagrinesime du paprasciausius atvejus.1. Tegu α = β = 0. Tada

b∫a

(p u′

2+ q u2

)dx = 0. (6.7)

Šiuo atveju galime imti q0 = 0. Iš tikru ju , jeigu q(x)≥ q0 = 0 ir funkcija u tenkina(6.2) kraštines salygas, tai (6.7) tapatybe yra galima tik tuo atveju, kai u = 0.

2. Tegu α < 0, β > 0 ir bent vienas iš šiu skaiciu yra baigtinis. Tada (6.6)tapatybe galima perrašyti taip:

b∫a

(p u′

2+ q u2

)dx+ p(b)

u2(b)

β− p(a)

u2(a)

α= 0. (6.8)

6.1. EGZISTAVIMO IR VIENATIES TEOREMOS 145

Šiuo atveju galime imti q0 = 0. Iš tikru ju , jeigu q(x)≥ q0 = 0, tai (6.8) tapatybe yragalima tik tuo atveju, kai u = 0.

Išnagrinesime bendraji atveji . Tarkime, koeficientai α ir β nelygus nuliui (atvejis,kai vienas koeficientas lygus nuliui, nagrinejamas analogiškai). Ivertinsime neinte-gralinius (6.8) tapatybes narius. Funkcijos u2 reikšmes taškuose a ir b (žr. (6.3) iverti)neviršija

ε

b∫a

u′2(x) dx+

( 1

b− a+

1

ε

) b∫a

u2(x) dx, ∀ε > 0.

Paeme

ε =1

2p0

(p(b)|β|

+p(a)

|α|

)−1

ir pažymeje

q0 =(p(b)|β|

+p(a)

|α|

)( 1

b− a+

1

ε

),

gausime nelygybeb∫a

(1

2p0 u

′2 + (q − q0)u2)dx≤ 0. (6.9)

Pagal teoremos salyga q(x)≥ q0. Be to, p0 > 0. Todel (6.9) nelygybe yra galima tiktuo atveju, kai u = 0. .

6.2 teorema. Tegu q(x)≥ q0, ∀x∈ [a, b] (cia skaicius q0 iš 6.1 teoremos). Tada ∀f ∈L2(a, b) egzistuoja vienintelis (6.1), (6.2) kraštinio uždavinio sprendinys u∈D(A).

/ Tegu u1 6≡ 0 ir u2 6≡ 0 paprastosios diferencialines lygties Au = 0 sprendiniai,tenkinantys salygas:

u1(a) + αu′1(a) = 0, u2(b) + βu′2(b) = 0.

Iš paprastu ju diferencialiniu lygciu teorijos yra žinoma, kad tokie sprendiniai egzis-tuoja. Ju galima ieškoti tarp lygties Au = 0 sprendiniu , tenkinanciu tam tikraspradines salygas. Pavyzdžiui, jeigu α 6= 0, tai u1 galima ieškoti tarp lygties Au = 0sprendiniu , tenkinanciu pradines salygas: u(a) = 1, u′(a) = −1/α. Be to, spren-diniai u1 ir u2 ∈ C2[a, b] (smulkiau apie tai žr. [11] knygoje).

Irodysime, kad sprendiniai u1 ir u2 yra tiesiškai nepriklausomi. Tarkime priešingai,u1 = cu2. Tada funkcija u1 tenkins (6.5) lygti ir (6.2) kraštines salygas. Kadangiq(x)≥ q0, tai (žr. 6.1 teoremos irodyma) u1 = 0. Taciau u1(a) = 1. Taigi padarytaprielaida yra neteisinga ir funkcijos u1, u2 yra tiesiškai nepriklausomos.

Tegu

G(x, y) =1

C

u1(x)u2(y), kai x≤ y,u1(y)u2(x), kai x≥ y.

Konstanta C sukonkretinsime veliau. O dabar irodysime keleta funkcijos G savybiu .1. Kvadrate [a, b]× [a, b] funkcija G yra tolydi ir simetrine. Tai tiesiogiai išplaukia

iš jos apibrežimo.


2. Funkcija G tenkina (6.2) kraštines salygas. Norint tuo isitikinti, pakanka paste-beti, kad [

G(x, y) + αGx(x, y)]x=a =u1(a) + αu′1(a)

Cu2(y) = 0,

[G(x, y) + βGx(x, y)]x=b =

u2(b) + βu′2(b)

Cu1(y) = 0.

3. Kiekviena iš funkciju u1 ir u2 tenkina (6.5) lygti . Todel, kai x 6= y, šia lygtitenkina ir funkcija G.

4. Konstanta C galima parinkti taip, kad

Gx(x, y)∣∣∣y=x+0

y=x−0=

1

p(x). (6.10)

/ Pagal funkcijos G apibrežima

Gx(x, y)∣∣∣y=x+0

y=x−0=u′1(x)u2(x)

C− u1(x)u′2(x)

C= − 1

C

∣∣∣∣u1(x) u2(x)u′1(x) u′2(x)

∣∣∣∣ .Determinanto

w(x) =

∣∣∣∣u1(x) u2(x)u′1(x) u′2(x)

∣∣∣∣išvestine

w′(x) = u1(x)u′′2(x)− u2(x)u′′1(x).

Kadangi

u′′i (x) =1

p(x)

(−p′(x)u′i(x) + q(x)ui(x)

), ∀i = 1, 2,

tai

w′(x) = −p′(x)

p(x)

(u′2(x)u1(x)− u2(x)u′1(x)

)= −p

′(x)

p(x)w(x).

Taigi funkcija w yra lygtiesw′(x)

w(x)= −p

′(x)

p(x)

sprendinys. Suintegrave šia lygti , gausime

w(x) = w(a)p(a)1

p(x).

Todel

Gx(x, y)∣∣∣y=x+0

y=x−0= − 1

Cw(a)p(a)

1

p(x)=

1

p(x),

kai C = −p(a)w(a).Funkcija, kuri tenkina visas 1 – 4 punktuose nurodytas salygas, vadinama Gryno

funkcija. Ji yra susijusi su operatoriumi A ir (6.2) kraštinemis salygomis.


Apibrešime funkcija

u(x) =

b∫a

G(x, y)f(y) dy, f ∈ L2(a, b) .

I rodysime, kad ji priklauso operatoriaus A apibrežimo sriciaiD(A), tenkina (6.1) lygtiir (6.2) kraštines salygas.

Iš pradžiu isitikinsime, kad funkcija u yra absoliuciai tolydi. Pagal Niutono–Leibnico formule

u(x2)− u(x1) =

b∫a

x2∫x1

Gx(x, y)f(y) dydx, ∀x1, x2 ∈ [a, b]. (6.11)

Kadangi funkcijos G išvestine Gx yra aprežta, o f ∈ L2(a, b), tai pointegraline funk-cija Gx(x, y)f(y), kaip dvieju kintamuju funkcija, yra sumuojama kvadrate (a, b) ×(a, b). Taciau tada funkcija

b∫a

Gx(x, y)f(y) dy

yra sumuojama intervale (a, b) ir (6.11) formuleje galima sukeisti integravimo tvarka.Taigi skirtumas

u(x2)− u(x1) =

x2∫x1

( b∫a

Gx(x, y)f(y) dy)dx, ∀x1, x2 ∈ [a, b].

Pagal apibrežima funkcija u yra absoliuciai tolydi segmente [a, b] ir b.v. x∈ (a, b)egzistuoja sumuojama išvestine

u′(x) =

b∫a

Gx(x, y)f(y) dy.

I rodysime, kad funkcija u′ yra absoliuciai tolydi. Iš pradžiu isitikinsime, kadfunkcija p u′ yra absoliuciai tolydi. Laisvai pasirenkame x1, x2 ∈ [a, b]. Tada skir-tumas

p(x)u′(x)∣∣∣x=x2

x=x1

=

b∫a

p(x)Gx(x, y)∣∣∣x2

x1

f(y) dy =

x1∫a


x1

f(y) dy+

+

x2∫x1


x1

f(y) dy +

b∫x2


x1

f(y) dy. (6.12)


Paskutinius tris integralus pažymesime atitinkamai I1, I2 ir I3. Pasinaudoje Niutono–Leibnico formule, taip pat 3 ir 4 funkcijos G savybemis, perrašysime juos taip:

I1 =

x1∫a

x2∫x1

d

dx

(p(x)Gx(x, y)

)f(y) dxdy =

x1∫a

x2∫x1

q(x)G(x, y)f(y) dxdy =

=

x2∫x1

( x1∫a

G(x, y)f(y) dy)q(x) dx,

I3 =

b∫x2

x2∫x1

d

dx

(p(x)Gx(x, y)

)f(y) dxdy =

b∫x2

x2∫x1

q(x)G(x, y)f(y) dxdy =

=

x2∫x1

( b∫x2

G(x, y)f(y) dy)q(x) dx,

I2 =

x2∫x1

p(x)Gx(x, y)

∣∣∣x=y−0

x=x1

− p(x)Gx(x, y)∣∣∣x=y−0

f(y) dy+

+

x2∫x1

p(x)Gx(x, y)

∣∣∣x=x2

x=y+0+ p(x)Gx(x, y)

∣∣∣x=y+0

f(y) dy =

=

x2∫x1

y∫x1

d

dx

(p(x)Gx(x, y)

)f(y) dxdy +

x2∫x1

x2∫y

d

dx

(p(x)Gx(x, y)

)f(y) dxdy−

−x2∫x1

f(y) dy =

x2∫x1

x2∫x1

q(x)G(x, y)f(y) dxdy −x2∫x1

f(y) dy.

Istate gautas integralu I1, I2 ir I3 reikšmes i (6.12) lygybe, gausime

p(x)u′(x)∣∣∣x=x2

x=x1

=

x2∫x1

( b∫a

G(x, y)f(y) dy)q(x) dx−

x2∫x1

f(x) dx =

=

x2∫x1

(u(x)q(x)− f(x)

)dx.

Kadangi intervale (a, b) funkcija uq− f yra sumuojama, tai pagal apibrežima funkcijap u′ yra absoliuciai tolydi segmente [a, b] ir b.v. x∈ (a, b) turi išvestine(

p u′)′

= qu− f, (6.13)


kuri yra sumuojama intrvale (a, b). Pagal teoremos salyga p∈ C1[a, b] ir p(x) > p0 >0. Todel funkcija p−1 ∈ C1[a, b] ir yra absoliuciai tolydi segmente [a, b]. Taciau tadafunkcija u′, kaip dvieju absoliuciai tolydžiu funkciju p u′ ir p−1 sandauga, yra ab-soliuciai tolydi segmente [a, b], o išvestine u′′ yra sumuojama intervale (a, b). Todelgalima atskliausti (6.13) lygybeje skliaustus ir perrašyti ja taip:

u′′ =q u− p′u′ − f

p. (6.14)

Kadangi funkcija f ∈ L2(a, b), tai dešine (6.14) lygybes puse yra erdves L2(a, b) ele-mentas. Taigi u′′ ∈ L2(a, b) , o u∈D(A). Beliko irodyti, kad funkcija u tenkina (6.1)lygti ir (6.2) kraštines salygas. Taciau tai faktiškai jau irodyta. Perstate (6.13) lygybesnarius, lengvai galime isitikinti, kad funkcija u tenkina (6.1) lygti . Remiantis 2 funkci-jos G savybe, galima tvirtinti, kad funkcija u tenkina (6.2) kraštines salygas. Be to,sukonstruotas sprendinys u yra vienintelis, nes yra patenkintos 6.1 teoremos salygos..

P a s t a b o s :

1. Jeigu funkcija f ∈ C[a, b], tai u′′ ∈ C[a, b]. Norint tuo isitikinti, pakanka paste-beti, kad (6.14) formules dešines puses glodumas sutampa su funkcijos f glo-dumu.

2. Nehomogeniniu kraštiniu salygu

u(a) + αu′(a) = σa, u(b) + βu′(b) = σb (6.15)

atveju (6.1), (6.15) kraštini uždavini galima suvesti i to paties pavidalo krašti-ni uždavini su homogeninemis kraštinemis salygomis. Iš tikru ju imkime kokianors funkcija h∈D(A), kuri tenkina (6.15) kraštines salygas. Tada funkcijau = v + h∈D(A), tenkins (6.1) lygti ir (6.15) kraštines salygas, jeigu funkcijav ∈D(A), tenkins lygti

Av = f −Ah, f −Ah∈ L2(a, b)

ir homogenines kraštines salygas

v(a) + αv′(a) = 0, v(b) + βv′(b) = 0.


6.2. TIKRINES REIKŠMES IR TIKRINES FUNKCIJOS

Iš pradžiu nagrinesime kraštini uždavini

Au = f(x), x∈ (a, b), (6.16)

u(a) + αu′(a) = 0, u(b) + βu′(b) = 0, (6.17)

kai q yra bet kokia tolydi segmente [a, b] funkcija (žr. 6.1 skyreli). Tuo tikslu per-rašysime (6.16) lygti taip:

Au+ λ0u = f + λ0u;

cia: λ0 : q(x) + λ0≥ q0, ∀x∈ [a, b] .Tegu G yra Gryno funkcija, atitinkanti operatoriu A + λ0I ir (6.17) kraštines saly-

gas. Iš 6.2 teoremos irodymo išplaukia:

1. Jeigu funkcija u∈D(A) yra (6.16), (6.17) kraštinio uždavinio sprendinys, tai jipriklauso L2(a, b) ir yra integralines lygties

u(x) =

b∫a

G(x, y)(f(y) + λ0u(y)

)dy (6.18)

sprendinys;

2. Jeigu funkcija u∈ L2(a, b) yra (6.18) lygties sprendinys, tai u∈D(A), tenkina(6.16) lygti ir (6.17) kraštines salygas.

Taigi (6.16), (6.17) kraštinis uždavinys turi sprendini funkciju klaseje D(A) tadair tik tada, kai (6.18) integraline lygtis turi sprendini erdveje L2(a, b).

Tegu G yra integralinis operatorius, kurio branduolys yra Gryno funkcija G(x, y),t.y.

Gu(x) =

b∫a

G(x, y)u(y) dy.

Tada (6.18) lygti galime perrašyti taip:

u = λ0Gu+ F ; (6.19)

cia F = Gf. Kadangi Gryno funkcija yra tolydi ir simetrine, tai

(Gu, v) =

b∫a

( b∫a

G(x, y)u(y) dy)v(x) dx =

=

b∫a

u(y)( b∫a

G(x, y)v(x) dx)dy = (u,Gv).

6.2. TIKRINES REIKŠMES IR TIKRINES FUNKCIJOS 151

Pagal apibrežima tai reiškia, kad operatorius

G : L2(a, b)→ L2(a, b)

yra savijungis. Be to, funkcija G∈ L2

((a, b)× (a, b)

). Todel operatorius G, veikian-

tis iš erdves L2(a, b) i erdve L2(a, b), yra visiškai tolydus (žr. 1.5 teorema). Vadinasi,(6.19) lygtis yra Fredholmo lygtis ir jai galima taikyti žinomas Fredholmo teoremas(žr. 1.1–1.4 teoremas). Iš 1.1 ir 1.3 Fredholmo teoremu išplaukia, kad yra galimos tiktokios dvi situacijos:

1. Homogenine lygtisu− λ0Gu = 0 (6.20)

erdveje L2(a, b) turi tik trivialu sprendini. Tada (6.19) lygtis su kiekviena funk-cija F ∈ L2(a, b) turi sprendini erdveje L2(a, b) ir jis yra vienintelis.

2. Jeigu (6.20) lygtis turi netrivialu sprendini, tai (6.19) lygtis turi sprendini erdvejeL2(a, b) tik tokioms funkcijoms F ∈ L2(a, b), kurios yra ortogonalios jungtineshomogenines lygties

u− λ0G∗u = 0

sprendiniams. Kadangi operatorius G yra savijungis, tai ši lygtis sutampa su(6.20) lygtimi.

Taigi norint išsiaiškinti, kada (6.16), (6.17) kraštinis uždavinys funkciju klasejeD(A) turi sprendini, reikia žinoti, kokioms parametro λ0 reikšmems egzistuoja netriv-ialus (6.20) lygties sprendinys erdveje L2(a, b). Parodysime, kad šis uždavinys yra ek-vivalentus Šturmo–Liuvilio uždaviniui: rasti tas parametro λ reikšmes, kurioms egzis-tuoja netrivialus lygties

Au = λu (6.21)

sprendinys u∈D(A), tenkinantis (6.17) kraštines salygas. Tokios parametro λ reikš-mes yra vadinamos tikrinemis reikšmemis, o jas atitinkantys netrivialus sprendiniai va-dinami tikrinemis funkcijomis. Toliau trumpumo delei (6.21), (6.17) uždavinio tikrinesreikšmes ir tikrines funkcijas vadinsime operatoriaus A tikrinemis reikšmemis ir tikri-nemis funkcijomis.

Tegu G yra Gryno funkcija, atitinkanti operatoriu A + λ0I ir (6.17) kraštines saly-gas; skaicius λ0 : q(x)+λ0≥ q0, ∀x∈ [a, b]; G – integralinis operatorius su branduoliuG(x, y). Perrašykime (6.21) lygti taip:

Au+ λ0u = (λ+ λ0)u.

Jeigu funkcija u∈D(A) yra netrivialus (6.21), (6.17) uždavinio sprendinys kokiai norsparametro λ reikšmei, tai (žr. 6.2 teoremos irodyma) ji yra operatorines lygties

u = (λ+ λ0)Gu = 0 (6.22)

sprendinys erdveje L2(a, b). Ir atvirkšciai. Jeigu kokiai nors parametro λ reikšmei uyra netrivialus (6.22) lygties sprendinys erdveje L2(a, b), tai funkcija u∈D(A) ir yra(6.21), (6.17) uždavinio sprendinys.


P a s t a b a . Skaicius λ yra (6.21), (6.17) uždavinio tikrine reikšme tada ir tiktada, kai skaicius λ+ λ0 yra operatoriaus G charakteristine reikšme.

Tegu λ yra operatoriaus A tikrine reikšme. Tada λ + λ0 yra operatoriaus A + λ0Itikrine reikšme. Irodysime, kad λ + λ0 6= 0. Tarkime priešingai, λ + λ0 = 0. Tadaegzistuoja funkcija u 6≡ 0, tenkinanti (6.17) kraštines salygas ir lygti

Au+ λ0u = 0 · u = 0.

Pagal 6.1 teorema vienintelis tokio uždavinio sprendinys yra funkcija u ≡ 0. Gautaprieštara irodo, kad skaicius λ+ λ0 = 0 nera operatoriaus A + λ0I tikrine reikšme.

Kiekviena operatoriaus A + λ0I tikrine reikšme λ+ λ0 atitinka tik viena tiesiškainepriklausoma tikrine funkcija. Jeigu kokia nors tikrine reikšme atitinka dvi tikrinesfunkcijos, tai taške a jos tenkina (6.17) kraštine salyga ir iš ju sudarytas Vronskiodeterminantas w taške a lygus nuliui. Taciau tada jis yra lygus nuliui ∀x∈ [a, b], otikrines funkcijos yra tiesiškai priklausomos.

Priminsime, kad q(x) + λ0≥ q0, ∀x∈ [a, b]. Todel (žr. 6.1 teoremos irodyma) yrateisinga nelygybe

(Au+ λ0u, u)≥ 0, ∀u∈D(A).

Be to, lygybe yra galima tik tuo atveju, kai u ≡ 0.Tarkime, λ+λ0 yra operatoriaus A+λ0I tikrine reikšme ir u – ja atitinkanti tikrine

funkcija. Tada

0 ≤ (Au+ λ0u, u) =((λ+ λ0)u, u

)= (λ+ λ0)(u, u). (6.23)

Kadangi (u, u) > 0 ir λ + λ0 6= 0, tai iš (6.23) nelygybes gauname, kad λ + λ0 > 0.Taigi visos operatoriaus A + λ0I tikrines reikšmes yra teigiamos.

Tegu λ + λ0 ir σ + λ0 yra operatoriaus A + λ0I tikrines reikšmes, o u ir v – jasatitinkancios tikrines funkcijos. Tada

(λ+ λ0)(u, v) =((A + λ0I)u, v

)=(u, (A + λ0I)v

)= (σ + λ0)(u, v).

Sulygine kaire ir dešine šiu lygybiu puses, gausime

(λ− σ)(u, v) = 0.

Iš šios lygybes išplaukia, kad skirtingas tikrines reikšmes atitinkancios tikrines funkci-jos yra ortogonalios erdveje L2(a, b) .

Priminsime, kad operatorius

G : L2(a, b)→ L2(a, b)

yra visiškai tolydus. Pagal 1.4 teorema jo tikriniu reikšmiu aibe yra baigtine arbaskaicioji. Be to, jeigu ji yra skaicioji, tai sudaro artejanciu i nuli skaiciu seka. Irody-sime, kad nulis nera tikrine operatoriaus G reikšme. Tarkime priešingai, kad erdvejeL2(a, b) egzistuoja funkcija f 6≡ 0 tokia, kad

b∫a

G(x, y)f(y) dy = 0 · f(x) = 0. (6.24)

6.2. TIKRINES REIKŠMES IR TIKRINES FUNKCIJOS 153

Kadangi funkcija u ≡ 0∈D(A) ir ja galima išreikšti (6.24) integralu, tai ji turi tenkintilygti

− d

dx

(p(x)u′(x)

)+(q(x) + λ0

)u(x) = f(x).

Kaire šios lygties puse yra lygi nuliui, nes u ≡ 0. Todel ir dešine šios lygties puse lyginuliui, t.y. funkcija f ≡ 0. Gauta prieštara irodo, kad skaicius nulis nera operatoriausG tikrine reikšme.

Irodysime, kad operatoriaus G tikriniu reikšmiu aibe nera baigtine. Kiekvienatikrine operatoriaus G reikšme atitinka viena tiesiškai nepriklausoma tikrine funkcija,kuri apibrežia vienmati tiesini erdveje L2(a, b) poerdvi. Šiu poerdviu tiesiogine sumasutampa su visa erdve L2(a, b). Kadangi nulis nera tikrine operatoriaus G reikšme,tai tikriniu reikšmiu aibe negali buti baigtine (priešingu atveju erdve L2(a, b) butubaigtines dimensijos erdve). Be to, operatoriaus G tikriniu funkciju sistema yra pilnair ortogonali erdveje L2(a, b). Akivaizdu, kad ja visada galima ortonormuoti.

Teguµk∞k=1

yra operatoriaus G tikriniu reikšmiu sistema. Tada skaiciai λk +

λ0 = µ−1k , k = 1, 2, . . . , yra operatoriaus A + λ0I tikrines reikšmes. Kadangi oper-

atoriaus G tikrines reikšmes µk → 0, kai k → ∞, tai operatoriaus A + λ0I tikrinesreikšmes λk +λ0 → +∞. Be to, tikrines reikšmes λk +λ0 > 0, ∀k = 1, 2, . . .. Todeljas galima sunumeruoti taip:

0 < λ1 + λ0 < λ2 + λ0 < · · · < λk + λ0 < · · · .

Kiekviena tikrine reikšme λk +λ0, k = 1, 2, . . . , atitinka vienintele normuota erdvejeL2(a, b) tikrine funkcija uk. Pagal apibrežima tikrine funkcija uk yra integralineslygties

uk = (λk + λ0)Guk

sprendinys. Todel (žr. 6.2 teoremos irodyma) funkcija uk ∈D(A), tenkina lygti

Auk + λ0uk = (λk + λ0)uk

ir (6.17) kraštines salygas. Išreiške iš šios lygties išvestine u′′k , gausime, kad tikrinefunkcija uk ∈ C2[a, b].

Irodytus teiginius suformuluosime teorema.

6.3 teorema. Tegu A yra Šturmo–Liuvilio operatorius, oλk

iruk

yra ji atitin-kanciu tikriniu reikšmiu ir tikriniu funkciju aibes. Tada:

1. Tikriniu reikšmiu aibe yra skaicioji artejanciu i +∞ realiu skaiciu seka, kuri-oje neigiamu tikriniu reikšmiu gali buti tik baigtinis skaicius (nes λk + λ0 >0, ∀k = 1, 2, . . . ir λk → +∞).

2. Kiekviena tikrine reikšme λk atitinka vienintele ortonormuota erdveje L2(a, b)tikrine funkcija uk.

3. Tikriniu funkciju sistemauk∞k=1

yra pilna ortonormuota erdveje L2(a, b) funk-ciju sistema. Be to, uk ∈ C2[a, b], ∀k = 1, 2, . . . .


I š v a d a . Teguuk∞k=1

– ortonormuota erdveje L2(a, b) operatoriaus A tikriniufunkciju sistema. Tada kiekviena funkcija u∈ L2(a, b) galima skleisti eilute

u =

∞∑k=1

(u, uk)uk(x),

konverguojancia erdveje L2(a, b) . Be to, funkcijos u normos1 kvadratas

‖u‖2 =

∞∑k=1

(u, uk)2 <∞.

1Šiame ir septintame skyriuose rašydami ‖ · ‖, turesime omenyje norma erdveje L2(a, b).

6.3. ENERGETINE ERDVE 155

6.3. ENERGETINE ERDVE

Tegu q(x)≥ 0, ∀x∈ [a, b] ir α = β = 0. Nagrinesime Šturmo–Liuvilio uždavini:

Au = λu, x∈ (a, b), (6.25)

u(a) = 0, u(b) = 0. (6.26)

Šiuo atveju (žr. 6.1 teorema) galima imti λ0 = 0. Kartu galime tvirtinti, kad visosoperatoriaus A tikrines reikšmes λk yra teigiamos.

Tegu HA yra aibe funkciju , kurios segmente [a, b] yra absoliuciai tolydžios, ten-kina (6.26) kraštine salyga ir kuriu pirmos eiles išvestines priklauso erdvei L2(a, b).Akivaizdu, kad aibe HA yra tiesine. Imkime aibeje HA kokia nors seka

uk∞k=1

.Sakysime, kad

ukHA−→ 0, kai k →∞,

jeigu

u′kL2(a,b)−→ 0, kai k →∞.

I rodysime, kad aibe HA su taip apibrežta topologija yra pilna erdve. Remiantis apibre-žimu, reikia irodyti, kad bet kokia fundamentali erdveje HA seka konverguoja.

Teguuk∞k=1

– fundamentali erdveje HA seka, t.y.

u′k − u′mL2(a,b)−→ 0, kai k, m→∞.

Kadangi erdve L2(a, b) yra pilna, tai egzistuoja elementas v ∈ L2(a, b) toks, kad

u′kL2(a,b)−→ v, kai k →∞.

I rodysime, kad funkcija

u =

x∫a

v(y) dy

priklauso erdvei HA. Akivaizdu, kad funkcija u yra absoliuciai tolydi. Be to, josišvestine u′ = v ∈ L2(a, b) ir u(a) = 0. Beliko irodyti, kad u(b) = 0. PasinaudojeHelderio nelygybe, ivertinsime skirtuma

|uk(x)− u(x)| =∣∣∣ x∫a

(u′k(y)− v(y)

)dy∣∣∣≤√b− a‖u′k − v‖.

Šis ivertis yra teisingas ∀x∈ [a, b]. Taške x = b kiekviena iš funkciju uk lygi nuliui.Be to,

u′kL2(a,b)−→ v, kai k →∞.

Todel u(b) = 0 ir galime tvirtinti, kad funkcija u∈HA ir

ukHA−→ u, kai k →∞.


Vadinasi, erdve HA yra pilna.Iš šio irodymo taip pat išplaukia, kad, jeigu

ukHA−→ u, kai k →∞,

tai segmente [a, b]uk(x)⇒u(x), kai k →∞,

t.y. seka uk konverguoja tolygiai segmente [a, b] i funkcija u. Be to, ∀u∈HA yrateisingi iverciai:

|u(x)| =∣∣∣ x∫a

u′(y) dy∣∣∣≤√b− a‖u′‖, ∀x∈ [a, b], (6.27)

‖u(x)‖≤ (b− a)‖u′‖. (6.28)

Erdveje HA apibrešime skaliarine sandauga

[u, v] =

b∫a

(pu′v′ + quv) dx

ir ja atitinkancia norma|||u ||| =

√[u, u].

Tiesiogiai galima irodyti, kad taip apibrežta skaliarine sandauga tenkina visas skaliari-nes daugybos apibrežimo salygas. Norma ||| · ||| yra vadinama energetine norma, o erdveHA su joje apibrežta energetine norma – energetine erdve.

Irodysime, kad ivesta topologija erdveje HA yra ekvivalenti topologijai, kuria in-dukuoja energetine norma. Kadangi aibe HA yra tiesine, tai pakanka irodyti toki teigi-ni: seka uk konverguoja i nuli erdveje HA tada ir tik tada, kai ši seka konverguoja inuli energetineje erdveje.

Tarkime |||uk ||| → 0, kai k →∞. Tada

|||uk ||| 2 =

b∫a

(pu′k2

+ qu2k) dx→ 0.

Pagal prielaida p(x)≥ p0 > 0 ir q(x)≥ 0, ∀x∈ [a, b]. Todel

b∫a

u′k2dx→ 0,

kai k →∞. Taigi sekau′k∞k=1

konverguoja i nuli erdveje L2(a, b).Tegu seka

u′k∞k=1

konverguoja i nuli erdveje L2(a, b). Pagal energetines normosapibrežima

|||uk ||| 2 = [uk, uk] =

b∫a

(pu′k2

+ qu2k) dx.

6.3. ENERGETINE ERDVE 157

Kadangi funkcijos p ir q yra aprežtos, o

b∫a

u2k dx≤ (b− a)2

b∫a

u′k2dx

(žr. (6.28) nelygybe), tai egzistuoja konstanta C > 0 tokia, kad

|||uk ||| 2≤C‖u′k‖2.

Taciau tada |||uk ||| → 0, kai k →∞.P a s t a b a . Jeigu u∈HA, v ∈D(A), tai [u, v] = (u,Av). Istate vietoje v tikrine

operatoriaus A reikšme uk, gausime

[u, uk] = (u,Auk) = λk(u, uk).

6.4 teorema. Teguuk∞k=1

yra operatoriaus A tikriniu funkciju sistema, ortonor-muota erdveje L2(a, b). Tada ji yra pilna ortogonali funkciju sistema erdveje HA.

/ Tikrines funkcijos uk ∈D(A), ∀k = 1, 2, . . .. Todel

[un, uk] = (Aun, uk) = λn(un, uk) = λnδkn, ∀n, k = 1, 2, . . . .

Kadangi tikrines reikšmes λk yra teigiamos, tai skaliarine sandauga

[un, uk] = 0,

kai n 6= k. Taigi tikriniu funkciju sistemauk∞k=1

yra ortogonali erdveje HA. I rody-sime, kad erdveje HA ji yra pilna. Tarkime priešingai. Tada egzistuoja funkcija u∈HA

(nelygi nuliui) tokia, kad

[u, uk] = 0, ∀k = 1, 2, . . . . (6.29)

Taciau[u, uk] = λk(u, uk), λk > 0, ∀k = 1, 2, . . . . (6.30)

Todel(u, uk) = 0 ∀k = 1, 2, . . . .

Taigi elementas u yra ortogonalus kiekvienam sistemosuk∞k=1

elementui. Taciau šisistema yra pilna erdveje L2(a, b) . Todel u = 0. Gauta prieštara irodo, kad tikriniufunkciju sistema

uk∞k=1

yra pilna erdveje HA. .I š v a d a . Tegu u∈HA. Tada

|||u ||| 2 = [u, u] =[ ∞∑k=1

(u, uk)uk,

∞∑k=1

(u, uk)uk]

=

=

∞∑k=1

(u, uk)2[uk, uk] =

∞∑k=1

C2kλk <∞; (6.31)

cia Ck = (u, uk), ∀k = 1, 2, . . ..


6.4. FURJE EILUCIU DIFERENCIJAVIMAS PANARIUI

Teguλk∞k=1

yra Šturmo–Liuvilio uždavinio

Au = λu, x∈ (a, b), (6.32)

u(a) = 0, u(b) = 0 (6.33)

tikriniu reikšmiu sistema, ouk∞k=1

– ja atitinkanti ortonormuota erdveje L2(a, b)tikriniu funkciju sistema. Be to, tegu q(x)≥ 0, ∀x∈ [a, b] ir α = β = 0. Irodysimepagalbine lema.

6.2 lema. Egzistuoja konstantos M1 ir M2 tokios, kad

∞∑k=1

λ−1k u2

k(x)≤M1,

∞∑k=1

λ−2k u′k

2(x)≤M2, ∀x∈ [a, b].

/ Tegu G yra Gryno funkcija, atitinkanti operatoriu A ir (6.33) kraštines saly-gas. Funkcija G(x, y)∈HA, o jos išvestine Gx(x, y)∈ L2(a, b), kiekvienam fiksuo-tam x∈ [a, b]. Be to, kai x 6= y, funkcija Gx(x, y) yra tolydi, o kai x = y, turi baigtinitruki . Todel integralai

|||G ||| 2 =

b∫a

[p(y)G 2

y (x, y) + q(y)G 2(x, y)]dy, ‖Gx‖2 =

b∫a

G 2x (x, y) dy

kintamojo x atžvilgiu yra tolydžios segmente [a, b] funkcijos. Taciau tada segmente[a, b] jos yra aprežtos. Taigi egzistuoja konstantos M1 ir M2 tokios, kad

|||G ||| 2≤M1, ‖Gx‖2≤M2.

Antra vertus,

|||G ||| 2 = [G,G ] =

∞∑k=1

(G, uk)2[uk, uk] =

∞∑k=1

λ−2k u2

k(x) · λk =

∞∑k=1

λ−1k u2

k(x),

‖Gx‖2 = (Gx, Gx) =

∞∑k=1

(Gx, uk)2 =

∞∑k=1

λ−2k u′k

2(x).

Lema irodyta. .

A p i b r e ž i m a s . Sakysime, eilute∞∑k=1

ψk(x) segmente [a, b] konverguoja reg-

uliariai, jeigu eilute∞∑k=1

|ψk(x)| segmente [a, b] konverguoja tolygiai.

Tegu u∈ L2(a, b). Tada

u =

∞∑k=1

Ckuk(x), Ck = (u, uk), ∀k = 1, 2, . . . , (6.34)

6.4. FURJE EILUCIU DIFERENCIJAVIMAS PANARIUI 159

ir

‖u‖2 =

∞∑k=1

C2k <∞.

Tikrines funkcijos uk ∈ C2[a, b], ∀k = 1, 2, . . . . Todel galime sudaryti eilutes

∞∑k=1

Cku′k(x), (6.35)

∞∑k=1

Cku′′k(x). (6.36)

Ištirsime šiu eiluciu konvergavima.

6.5 teorema. (apie Furje eiluciu diferencijavima panariui)1. Tegu funkcija u∈HA. Tada (6.34) eilute segmente [a, b] konverguoja reguliariai,

o (6.35) eilute konverguoja L2(a, b) erdveje ir

u′(x) =

∞∑k=1

Cku′k(x).

2. Tegu funkcija u∈D(A) ir tenkina (6.33) kraštines salygas. Tada (6.35) eilutesegmente [a, b] konverguoja reguliariai, o (6.36) eilute konverguoja L2(a, b) erd-veje ir

u′′(x) =

∞∑k=1

Cku′′k(x).

3. Tegu u∈D(A), Au∈HA ir funkcija u tenkina (6.33) kraštines salygas. Tada(6.36) eilute segmente [a, b] konverguoja reguliariai.

/ 1. Tegu u∈HA. Irodysime, kad (6.34) eilute segmente [a, b] konverguoja regu-liariai. Pasinaudoje Koši–Buniakovskio nelygybe, ivertinsime baigtine suma

m+n∑k=n

|Ck||uk(x)| ≤

≤(m+n∑k=n

λkC2k

)1/2(m+n∑k=n

λ−1k u2

k(x))1/2

≤M1/21

(m+n∑k=n

λkC2k

)1/2

. (6.37)

Kadangi u∈HA, tai

|||u ||| 2 =

∞∑k=1

λkC2k <∞

irm+n∑k=n

λkC2k → 0,


kai m,n → ∞. Iš cia ir (6.37) ivercio išplaukia, kad (6.34) eilute segmente [a, b]konverguoja reguliariai. Be to,∣∣∣∣∣∣∣∣∣ n∑

k=1

Ckuk − u∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 =

∞∑k=n+1

λkC2k → 0,

kai n → ∞. Todel (6.34) eilute konverguoja i funkcija u tolygiai, o (6.35) eilutekonverguoja i u′ erdveje L2(a, b).

2. Tegu funkcija u∈D(A) ir tenkina (6.33) kraštines salygas. Tada

Au =

∞∑k=1

(Au, uk)uk =

∞∑k=1

(u,Auk)uk =

∞∑k=1

λkCkuk ∈ L2(a, b)

ir

‖Au‖2 = (Au,Au) =

∞∑k=1

λ2kC

2k <∞. (6.38)

Pasinaudoje Koši–Buniakovskio nelygybe, ivertinsime baigtine suma:

m+n∑k=n

|Ck||u′k(x)| ≤

≤(m+n∑k=n

λ2kC

2k

)1/2(m+n∑k=n

λ−2k u′k

2(x))1/2

≤M1/22

(m+n∑k=n

λ2kC

2k

)1/2

. (6.39)

Kadangi (6.38) eilute konverguoja, taim+n∑k=n

λ2kC

2k → 0, kai m,n→∞. Iš cia ir (6.39)

ivercio išplaukia, kad (6.35) eilute segmente [a, b] konverguoja reguliariai.Irodysime, kad (6.36) eilute konverguoja erdveje L2(a, b). Priminsime, kad tikrines

funkcijos uk ∈ C2[a, b]. Todel lygybeje

− d

dx

(pu′k)

+ quk = λkuk

galima atskliausti skliaustus ir perrašyti ja taip:

u′′k = −p′

pu′k +

q

puk −

1

pλkuk.

Padaugine šia lygybe iš Ck ir susumave pagal k nuo n iki n+m, gausime

m+n∑k=n

Cku′′k = −p

′

p

m+n∑k=n

Cku′k +

q

p

m+n∑k=n

Ckuk −1

p

m+n∑k=n

Ckλkuk. (6.40)

Kadangi eilute∞∑k=1

λkCkuk konverguoja erdveje L2(a, b), o (6.34) ir (6.35) eilutes

konverguoja segmente [a, b] reguliariai, tai (6.36) eilute konverguoja erdveje L2(a, b)ir

∞∑k=1

Cku′′k = −p

′

pu′ +

q

pu− 1

pAu ≡ u′′.

6.4. FURJE EILUCIU DIFERENCIJAVIMAS PANARIUI 161

3. Tegu u∈D(A), Au∈HA ir funkcija u tenkina (6.33) kraštines salygas. Tada

|||Au ||| 2 = [Au,Au] =

∞∑k=1

λ2kC

2k [uk, uk] =

∞∑k=1

λ3kC

2k <∞. (6.41)

Norint irodyti (6.36) eilutes reguliaru konvergavima segmente [a, b], pakanka irodytieilutes (žr. (6.40))

∞∑k=1

λkCkuk (6.42)

reguliaru konvergavima segmente [a, b]. Pasinaudoje Koši–Buniakovskio nelygybe,ivertinsime baigtine suma

m+n∑k=n

λk|Ck||uk(x)| ≤

≤(m+n∑k=n

λ3kC

2k

)1/2(m+n∑k=n

λ−1k u2

k(x))1/2

≤M1/21

(m+n∑k=n

λ3kC

2k

)1/2

. (6.43)

Kadangi (6.41) eilute konverguoja, taim+n∑k=n

λ3kC

2k → 0, kai m,n→∞. Iš cia ir (6.43)

ivercio išplaukia, kad (6.42) eilute, kartu ir (6.36) eilute segmente [a, b] konverguojareguliariai. Teorema irodyta. .

P a s t a b a . Trecio ir ketvirto skyreliu pradžioje suformuluotos prielaidos neraesmines. Pavyzdžiui, jeigu q yra bet kokia tolydi segmente [a, b] funkcija, tai prieabieju lygties Au = λu pusiu reikia prideti nari λ0u, o skaiciu λ0 parinkti taip, kadq(x) + λ0≥ 0, ∀x∈ [a, b]. Koeficientai α ir β taip pat gali igyti bet kokias reikšmes.Šiuo atveju skaiciu λ0 reikia parinkti taip, kad q(x) + λ0≥ q0, ∀x∈ [a, b], o vietojeskaliarines sandaugos

[u, v] =

b∫a

(pu′v′ + quv) dx

reikia ivesti skaliarine sandauga

[u, v] =

b∫a

(pu′v′ + (q + λ0)uv

)dx+ p

uv

β

∣∣∣x=b− puv

α

∣∣∣x=a

.

Patikrinkite, kad taip apibrežta skaliarine sandauga tenkina visas skaliarines daugybosapibrežimo salygas.


6.5. APIBENDRINTASIS ŠTURMO–LIUVILIO UŽDAVINYS

Tarkime, operatoriaus A koeficientai p ir q tenkina 6.1 skyrelio salygas, o funkcija

ρ∈C[a, b], ρ(x)≥ ρ0 > 0, ∀x∈ [a, b].

Apibendrintas Šturmo–Liuvilio uždavinys formuluojamas taip: rasti tas parametro λreikšmes, kurioms egzistuoja netrivialus lygties

Au = λρu, x∈ (a, b), (6.44)

sprendinys u∈D(A), tenkinantis kraštines salygas

u(a) + αu′(a) = 0, u(b) + βu′(b) = 0. (6.45)

Tegu G yra Gryno funkcija, atitinkanti operatoriu A ir (6.45) kraštines salygas. Beto, tegu1 q(x)≥ q0, ∀x∈ [a, b]. Tada apibendrinta Šturmo–Liuvilio uždavini galimasuvesti i integraline lygti

u(x) = λ

b∫a

G(x, y)ρ(y)u(y) dy. (6.46)

Bendruoju atveju funkcija G(x, y)ρ(y) nera simetrine. Vadinasi, operatorius

Gu =

b∫a

G(x, y)ρ(y)u(y) dy

nera savijungis. Taciau (6.46) lygti lengvai galima suvesti i integraline simetrinio bran-duolio lygti . Norint tuo isitikinti, reikia abi (6.46) lygties puses padauginti iš

√ρ(x)

ir rezultata užrašyti taip:

v(x) = λ

b∫a

G(x, y)v(y) dy ≡ λGv;

cia: v(x) =√ρ(x)u(x), G(x, y) = G(x, y)

√ρ(x)ρ(y). Funkcija G kvadrate [a, b]×

[a, b] yra tolydi ir simetrine. Todel G yra visiškai tolydus savijungis operatorius,veikiantis erdveje L2(a, b). Lengvai galima isitikinti (žr. 6.3 teoremos irodyma), kad:operatoriaus G tikriniu reikšmiu aibe µk yra skaicioji ir sudaro artejanciu i nuliskaiciu seka; kiekviena tikrine reikšme µk atitinka vienintele ortonormuota erdvejeL2(a, b) tikrine funkcija vk; aibe tikriniu funkciju vk yra pilna ortonormuota erdvejeL2(a, b) funkciju sistema. Taciau tada λk = µ−1

k yra apibendrinto Šturmo –Liuviliouždavinio tikrines reikšmes, o uk = vk/

√ρ – jas atitinkancios tikrines funkcijos.

Tikrines funkcijos uk yra ortogonali erdveje L2,ρ(a, b) funkciju sistema, t.y.

b∫a

uk(x)um(x)ρ(x) dx = δmk .

1Ši prielaida nera esmine (žr. 6.4 skyrelio pabaiga).

6.5. APIBENDRINTASIS ŠTURMO–LIUVILIO UŽDAVINYS 163

Be to, erdveje L2,ρ(a, b) ji yra pilna.Pateiksime dar viena apibendrinto Šturmo –Liuvilio uždavinio tyrimo metoda. Tuo

tikslu vietoje kintamojo x ivesime nauja nepriklausoma kintamaji

t =

x∫a

ρ(s) ds

ir pastebesime, kadd

dx= ρ(x)

d

dt.

Pereje (6.44) lygtyje nuo kintamojo x prie kintamojo t, gausime

− d

dt

(p(t)ρ(t)u ′(t)

)+q(t)

ρ(t)u(t) = λu(t);

cia: u(t) = u(x), p(t) = p(x), ρ(t) = ρ(x), q(t) = q(x). Kai kintamasis x kinta nuo

a iki b, kintamasis t kinta nuo 0 iki T =b∫a

ρ(s) ds. Todel (6.45) kraštines salygos virs

tokiomis:u(0) + αρ(a)u ′(0) = 0, u(T ) + βρ(b)u ′(T ) = 0.

Taigi apibendrinto Šturmo–Liuvilio uždavinio sprendima galima suvesti i jau išna-grineto Šturmo–Liuvilio uždavinio sprendima.


6.6. TIKRINIU REIKŠMIU IR TIKRINIU FUNKCIJUEKSTREMALIOS SAVYBES. KURANTO TEOREMA

Tegu λk yra Šturmo–Liuvilio uždavinio

Au = λu, x∈ (a, b); u(a) = 0, u(b) = 0

tikriniu reikšmiu sistema, o uk – ja atitinkanti tikriniu funkciju , ortonormuotuerdveje L2(a, b), sistema. Be to, tegu q(x)≥ 0, ∀x∈ [a, b]. Tada tikrines reikšmesλk yra teigiamos ir jas galima sunumeruoti didejimo tvarka:

0 < λ1 < λ2 < . . . < λk < · · · .

Erdveje HA nagrinesime funkcionala

I(u) = [u, u] =

b∫a

(pu′2

+ qu2) dx.

TeguM1 = u∈HA : ‖u‖ = 1

ir u∈M1 – kokia nors funkcija. Tada

I(u) =[ ∞∑k=1

(u, uk)uk,

∞∑k=1

(u, uk)uk

]=

∞∑k=1

λk(u, uk)2≥

≥λ1

∞∑k=1

(u, uk)2 = λ1‖u‖2 = λ1.

TaciauI(u1) = [u1, u1] = (Au1, u1) = λ1‖u1‖2 = λ1.

Taigiminu∈M1

I(u) = λ1.

Pažymekime

M(m)1 = u∈HA : ‖u‖ = 1, (u, uk) = 0, ∀k = 1, 2, . . . ,m− 1.

Tadamin

u∈M(m)1

I(u) = λm, ∀m = 1, 2, . . . .

Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad tikrine funkcija um ∈M (m)1 ir

I(um) = [um, um] = (Aum, um) = λm‖um‖2 = λm,

o

I(u) =

∞∑k=1

λk(u, uk)2 =

∞∑k=m

λk(u, uk)2≥

6.6. KURANTO TEOREMA 165

≥λm∞∑k=m

(u, uk)2≥λm‖u‖2 = λm, ∀u∈M (m)1 ,

Tegu ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm−1 – kokios nors funkcijos erdveje L2(a, b). Kadangi aibejeM1 funkcionalas I(u) yra aprežtas iš apacios, tai jis yra aprežtas iš apacios ir aibeje

u∈HA : ‖u‖ = 1, (u, ϕk) = 0, ∀k = 1, 2, . . . ,m− 1.

Todel šioje aibeje egzistuoja tikslusis apatinis funkcionalo I(u) režis:

inf I(u) = λ(ϕ1, . . . , ϕm−1).

I rodysime, kad egzistuoja funkcija u, realizuojanti ši infimuma. Formule

lk(u) = (u, ϕk), ∀k = 1, 2, · · · ,m− 1,

apibrežia tiesini funkcionala. Be to,

|lk(u)| ≤ ‖u‖‖ϕk‖≤

≤ (b− a)‖u′‖‖ϕk‖≤ (b− a)p−1/20 ‖ϕk‖ |||u ||| = Ck |||u ||| , k = 1, 2, . . . ,m− 1.

Taigi kiekvienas iš funkcionalu lk erdveje HA yra aprežtas. Pagal Ryso teorema (žr.1.8 teorema) egzistuoja elementas Φk ∈HA toks, kad

(u, ϕk) = [u,Φk], ∀u∈HA, k = 1, 2, . . . ,m− 1.

Elementai Φ1, . . . ,Φm−1 apibrežia erdveje HA poerdvi

H(m)A = u∈HA : [u,Φk] = 0, ∀k = 1, 2, · · · ,m− 1.

Dabar mums reikia irodyti, kad egzistuoja funkcija u, realizuojanti funkcionalo I in-fimuma aibeje H

(m)A ∩M1. Pagal tikslaus apatinio režio apibežima egzistuoja seka

funkciju wk ∈H(m)A ∩M1 tokia, kad

I(wk)→ λ(ϕ1, . . . , ϕm−1),

kai k →∞. Kadangi skaiciu sekaI(wk)

turi baigtine riba, tai ji yra aprežta. Todel

egzistuoja konstanta C tokia, kad |||wk ||| ≤C, ∀k = 1, 2, . . . .I rodysime, kad wk yra salyginis kompaktas erdveje C[a, b]. Kadangi

|wk(x)| ≤√b− a ‖w ′k‖≤

√b− a p−1/2

0 |||u ||| ≤√b− a p−1/2

0 C,

tai seka wk yra tolygiai aprežta. Be to, ji yra vienodai tolydi

|wk(x+ z)− wk(x)| =∣∣∣ x+z∫x

w ′k(y) dy∣∣∣≤

≤√|z| ‖w ′k‖≤

√|z| p−1/2

0 |||wk ||| ≤√|z| p−1/2

0 C.


Pagal Arcelá–Askolio teorema seka wk yra salyginis kompaktas erdveje C[a, b].Todel iš jos galima išskirti konverguojanti poseki wki. Tegu w∗ ∈ C[a, b] yra šioposekio riba. Irodysime, kad w∗ ∈H

(m)A ∩M1 ir

I(w∗) = λ(ϕ1, . . . , ϕm−1).

Tegu w ir η – laisvai pasirinkti elementai iš H(m)A ir t – bet koks realus skaicius.

Tada w + tη ∈H(m)A ir remiantis tiksliojo apatinio režio apibrežimu

I(w + tη)≥ d‖w + tη‖2, d = λ(ϕ1, . . . , ϕm−1).

Šia nelygybe perrašysime taip:

t2(|||η ||| 2 − d‖η‖2

)+ 2t

([w, η]− d(w, η)

)+(|||w ||| 2 − d‖w‖2

)≥ 0.

Kaire šios nelygybes puse yra kvadratinis trinaris parametro t atžvilgiu. Kadangi jisyra neneigiamas, tai jo diskriminantas yra neteigiamas ir∣∣[w, η]− d(w, η)

∣∣≤√ |||η ||| 2 − d‖η‖2√ |||w ||| 2 − d‖w‖2.Paeme w = wki , η = wki − wkj , gausime nelygybe∣∣[wki , wki − wkj ]− d(wki , wki − wkj )

∣∣≤≤ |||wki − wkj |||

√|||wki ||| 2 − d≤ 2C

√|||wki ||| 2 − d. (6.47)

Kadangilimi→∞

|||wki ||| 2 = limi→∞

I(wki) = d,

tailim

i,j→∞

([wki , wki − wkj ]− d(wki , wki − wkj )

)= 0.

Šioje lygybeje indeksai i ir j yra lygiaverciai. Todel

limi,j→∞

([wkj , wkj − wki ]− d(wkj , wkj − wki)

)= 0.

Sudeje paskutines dvi lygybes, gausime

limi,j→∞

|||wki − wkj ||| 2 − d|wki − wkj |2

= 0.

Priminsime, kad seka wki konverguoja tolygiai i w∗. Kartu ši seka konverguoja iw∗ erdveje L2(a, b) . Todel

limi,j→∞

‖wki − wkj‖ = 0.

Taciau tada irlim

i,j→∞|||wki − wkj ||| = 0.

6.6. KURANTO TEOREMA 167

Vadinasi, seka wki yra fundamentali erdveje HA. Kadangi erdve HA yra pilna, taiseka wki konverguoja erdveje HA, o ribinis elementas sutampa su w∗.

Taigi w∗ ∈HA ir |||wki − w∗ ||| → 0, kai i→∞. Be to, akivaizdu, kad

[w∗,Φj ] = limi→∞

(wki , ϕj) = 0, ∀j = 1, 2, . . . ,m− 1,

|||w∗ ||| = limi→∞

‖wki‖ = 1,

I(w∗) = |||w∗ ||| 2 = limi→∞

|||wki ||| 2 = limi→∞

I(wki) = λ(ϕ1, . . . , ϕm−1).

6.6 teorema. (Kuranto) Tegu patenkintos visos šio skyrelio pradžioje suformuluotossalygos. Tada

supλ(ϕ1, . . . , ϕm−1) = λm.

Cia supremumas imamas pagal visus galimus funkciju

ϕ1, . . . , ϕm−1 ∈ L2(a, b)

rinkinius.

/ Tegu ϕ1, . . . , ϕm−1 – kokios nors fiksuotos erdveje L2(a, b) funkcijos, o u =m∑i=1

aiui. Koeficientus ai parinksime taip, kad butu patenkintos salygos

(u, ϕj) =

m∑i=1

ai(ui, ϕj) = 0, ∀j = 1, . . . ,m− 1.

I jas galime žiureti kaip i tiesiniu homogeniniu lygciu sistema, kurioje nežinomujuai skaicius yra didesnis už lygciu skaiciu . Tokia sistema turi be galo daug sprendiniu .

Imkime viena iš ju toki, kadm∑i=1

a2i = 1. Tada u∈M (m)

1 ir ‖u‖2 =m∑i=1

a2i = 1. Be to,

I(u) = [u, u] =

m∑i=1

λia2i ≤λm

m∑i=1

a2i = λm.

Vadinasi,inf

M(m)1

I(u) = λ(ϕi, . . . , ϕm−1)≤λm.

Kadangi funkcijas ϕ1, . . . , ϕm−1 pasirinkome laisvai, tai

supλ(ϕi, . . . , ϕm−1)≤λm.

Atkreipsime demesi i tai, kad griežta nelygybe negalima. Norint tuo isitikintipakanka pastebeti, kad

λ(ui, . . . , um−1) = λm.

Taigisupλ(ϕi, . . . , ϕm−1) = λm.

Teorema irodyta. .


6.7. ASIMPTOTINES TIKRINIU REIKŠMIUIR TIKRINIU FUNKCIJU SAVYBES

Tegu λk yra Šturmo –Liuvilio uždavinio

Au = λu, x∈ (a, b), (6.48)

u(a) = 0, u(b) = 0 (6.49)

tikriniu reikšmiu sistema, o uk – ja atitinkanti tikriniu ortonormuotu L2(a, b) erd-veje funkciju sistema. Jeigu (6.48) lygtyje vietoje p ir q paimsime kitas nemažesnesfunkcijas p∗ ir q∗, tai gauta Šturmo–Liuvilio uždavini atitiks kita tikriniu reikšmiu irtikriniu funkciju sistema. Pažymekime šia tikriniu reikšmiu sistema λ∗k. Atlikustoki keitini , tikslusis apatinis režis λ(ϕ1, . . . , ϕm−1) nesumažes. Kartu nesumažes irjo didžiausia skaitine reikšme. Tada pagal Kuranto teorema λk ≤λ∗k, ∀k = 1, 2, . . ..Šia savybe panaudosime tikrinems reikšmems ivertinti.

Tegu lygtyje−(Pu′

)′+Qu = Λu, x∈ (a, b), (6.50)

koeficientai P ir Q yra pastovus skaiciai. Ši lygtis turi nenulini sprendini, tenkinanti(6.49) kraštines salygas, tik tuo atveju, kai

Λ−QP

> 0.

Be to, jeigu pastaroji salyga patenkinta, tai bendrasis (6.50) lygties sprendinys

u(x) = C1 cos

√Λ−QP

x+ C2 sin

√Λ−QP

x.

Pareikalausime, kad jis tenkintu (6.49) kraštines salygas. Tada gausime lygti√Λ−QP

(b− a) = πk.

Jos sprendiniai

Λk =( πk

b− a

)2

P +Q

yra tikrines (6.50), (6.49) uždavinio reikšmes. Jas atitinka tikrines ortonormuotoserdveje L2(a, b) funkcijos

uk(x) =

√2

b− asin

πk

b− a(x− a).

Tegu p0 ir p1, q0 ir q1 yra funkciju p ir q mažiausia ir didžiausia segmente [a, b]reikšmes. Jeigu (6.50) lygtyje koeficientus P ir Q pakeisime atitinkamai p0, q0 irp1, q1, tai tikrinems λk reikšmems gausime ivercius:( πk

b− a

)2

p0 + q0≤λk ≤( πk

b− a

)2

p1 + q1. (6.51)

6.7. ASIMPTOTINES SAVYBES 169

Taigi, kai k didelis, λk yra dydis k2 eiles ir eilute

∞∑k=1

1

λk

konverguoja. Tikrinems reikšmems galima gauti ir tikslesnius ivercius. Tuo tiksluvietoje kintamojo x apibrešime nauja nepriklausoma kintamaji

t =

x∫0

ds√p(s)

,

o vietoje u – nauja ieškomaja funkcija

v = 4√p u. (6.52)

Be to, tegu p∈ C2[a, b]. Tada funkcija v turi tenkinti lygti

−v(t) + q(t)v(t) = λv(t), t∈ (0, l),

ir kraštines salygasv(0) = 0, v(l) = 0;

cia: l =b∫a

ds√p(s)

, o q – tolydi segmente [0, l] funkcija. Savaime aišku, kad pradinio

ir transformuoto uždavinio tikrines reikšmes išlieka tos pacios, o tikrines funkcijossusietos (6.52) formule. Taip pat lengvai galima isitikinti, kad tikrines funkcijos vkyra ortonormuotos erdveje L2(0, l), jeigu jas atitinkancios tikrines funkcijos uk yraortonormuotos erdveje L2(a, b).

Tegu q0 ir q1 yra didžiausia ir mažiausia funkcijos q segmente [0, l] reikšmes. Tada(žr. (6.51) nelygybe)(

πk

l

)2

+ q0≤λk≤(πk

l

)2

+ q1, ∀k = 1, 2, . . .

irλk =

(πkl

)2

+O(1),√λk =

πk

l+O(1). (6.53)

P a s t a b a . Lygiai tokias pat asimptotines tikriniu reikšmiu išraiškas galimagauti ir su kitomis kraštinemis salygoms.

Priminsime, kad tikrines funkcijos vk tenkina lygti

−vk + qvk = λkvk.

Be to, dideliems k tikrines reikšmes λk > 0, todel

t∫0

(vk(τ) + λkvk(τ)

)sin√λk (t− τ) dτ =

t∫0

q(τ)vk(τ) sin√λk (t− τ) dτ.


Du kartus pritaike integravimo dalimis formule, perrašysime šia lygybe taip:

√λk vk(t) = vk(0) sin

√λk t+

t∫0

q(τ) vk(τ) sin√λk (t− τ) dτ. (6.54)

Pasinaudoje Helderio nelygybe, ivertinsime paskutinio integralo moduli∣∣∣ t∫0

q(τ) vk(τ) sin√λk (t− τ) dτ

∣∣∣≤≤( l∫

0

v2k(τ) dτ

)1/2( t∫0

q 2(τ) sin2√λk(t− τ) dτ

)1/2

≤( t∫

0

q 2(τ) dτ)1/2

.

Kadangi funkcija q segmente [0, l] yra tolydi, tai integralas (6.54) formuleje yra aprež-tas ∀k = 1, 2, . . . , t∈ [0, l]. Todel (6.54) lygybe galima perrašyti taip:

vk(t) = ak sin√λk t+

mk(t)√λk

(6.55)

cia: ak = vk(0)/√λk ,mk – aprežta funkcija. Tikrines funkcijos vk yra ortonormuotos

erdveje L2(0, l), t.y.

‖vk‖2 = a2k

( l2− 1

4√λk

sin 2√λk l)

+ 2akbk√λk

+rk√λk

= 1, ∀k = 1, 2, . . . .

Atkreipsime demesi i tai, kad konstantos bk ir rk didejant k išlieka aprežtos. Taciautada ir konstanta ak didejant k taip pat išlieka aprežta, o paskutine tapatybe galimaperrašyti taip:

a2k =

2

l+O

( 1√λk

),

arba

ak =

√2

l+O

( 1√λk

).

Istate šia ak išraiška i (6.55), tikrinems funkcijoms vk gausime asimptotine formule:

vk(t) =

√2

lsin√λk t+O

( 1√λk

).

Kadangivk = 4

√p uk,

o √λk =

πk

l+O

(1

k

),

tai tikrinems funkcijoms uk yra teisinga tokia asimptotine formule:

uk(x) =

√2

l

14√p(x)

sin(πkl

x∫a

1√p(s)

ds)

+O(1

k

). (6.56)

6.8. SINGULIARUSIS ŠTURMO–LIUVILIO UŽDAVINYS 171

6.8. SINGULIARUSIS ŠTURMO–LIUVILIO UŽDAVINYS

Operatoriu

Au = − d

dx

(p(x)u′(x)

)+ q(x)u, x∈ (a, b),

vadinsime singuliariuoju, jeigu bent viename iš intervalo (a, b) kraštiniu tašku funk-cija p lygi nuliui arba funkcija q yra neaprežta, arba bent vienas iš tašku a, b lygus∞. Taškus, kuriuose patenkinta nors viena iš šiu salygu , vadinsime singuliariaisiaistaškais. Singuliariajame taške kraštines salygos laisvai pasirinkti negalima. Tam, kadja tinkamai apibrežtume, turime atlikti papildomus tyrimus. Bendrosios singuliariu jukraštiniu uždaviniu teorijos cia nenagrinesime, o ištirsime specialu ji atveji , kai

p(x) = (x− a)ϕ(x), ϕ(x) > 0, ∀x∈ [a, b].

Be to, reikalausime, kad funkcijos p, p′ ir q ∈ C(a, b).Tegu u1 ir u2 ∈ C2(a, b) – du tiesiškai nepriklausomi lygties

Au = 0, x∈ (a, b), (6.57)

sprendiniai. Irodysime keleta pagalbiniu teiginiu .

6.3 lema. Jeigu sprendinys u1 yra aprežtas taško x = a aplinkoje ir

u1(x) = (x− a)σψ(x), σ≥ 0, ψ(a) 6= 0, (6.58)

tai sprendinys u2 taške x = a turi ypatuma.

/ Kadangi funkcijos u1 ir u2 yra (6.57) lygties sprendiniai, tai reiškinys

u1Au2 − u2Au1 = 0.

Taciauu1Au2 − u2Au1 =

(p(u2u

′1 − u1u

′2))′.

Todelp(u2u

′1 − u1u

′2) = C. (6.59)

Cia konstanta C 6= 0, nes sprendiniai u1 ir u2 yra tiesiškai nepriklausomi. Pagal lemossalyga ψ(a) 6= 0. Todel egzistuoja taško x = a aplinka, kurioje funkcija ψ nelyginuliui. Tarkime, ψ(x) 6= 0, ∀x∈ [a, x1]. Tada (6.59) lygybe galima perrašyti taip:(u2(x)

u1(x)

)′= − C

p(x)u21(x)

, x∈ (a, x1].

Iš jos išplaukia, kad

u2(x) = u1(x)( x∫x1

−C dyϕ(y)ψ2(y)(y − a)2σ+1

+ C1

), x∈ (a, x1]. (6.60)


Pritaike viduriniu reikšmiu teorema, (6.60) lygybe perrašysime taip:

u2(x) = u1(x)( −Cϕ(x)ψ2(x)

x∫x1

dy

(y − a)2σ+1+ C1

), x∈ [x, x1].

Kadangi u1(x) = (x− a)σψ(x), tai

u2(x) = w1(x) ln(x− a) + w2(x),

kai σ = 0, iru2(x) = w1(x) (x− a)−σ + w2(x),

kai σ > 0. Cia w1 ir w2 – aprežtos taško x = a aplinkoje funkcijos. Taigi bet kuriuoatveju sprendinys u2 taške x = a turi ypatuma. .

I š v a d a . Sprendiniu u1 ir u2 sandauga taške x = a daugiausiai gali tureti tiklogaritmine ypatuma.

6.4 lema. Tarkime, patenkintos 6.3 lemos salygos ir

q(x) =q0(x)

(x− a)s, q0(a) 6= 0, q0 ∈ C(a, b), 0≤ s < σ + 1.

Tadalimx→a

p(x)u′1(x) = 0.

Be to, jeigu reiškinys q u1 yra aprežtas taško x = a aplinkoje, tai šioje aplinkojeišvestine u′1(x) taip pat yra aprežta.

/ Kadangi funkcija u1 tenkina (6.57) lygti , tai

p u′1

∣∣∣xx0

=

x∫x0

q(y)u1(y) dy =

x∫x0

q0(y)ψ(y)

(y − a)s−σdy.

Pagal lemos salyga s − σ < 1. Todel paskutinis šios lygybes integralas turi baigtineriba, kai x0 → a. Taciau tada reiškinys pu′1 taip pat turi baigtine riba, kai x0 → a.Tegu

limx0→a

p(x0)u′1(x0) := p(a)u′1(a).

I rodysime, kad ji lygi nuliui. Tarkime priešingai, kad p(a)u′1(a) 6= 0. Tada

u′1(x) =p(a)u′1(a)

p(x)+

1

p(x)

x∫a

q0(y)ψ(y)

(y − a)s−σdy. (6.61)

Taško x = a aplinkoje

p(a)u′1(a)

p(x)∼ 1

x− a,

1

p(x)

x∫a

q0(y)ψ(y)

(y − a)s−σdy ∼ 1

(x− a)s−σ.


Kadangi s − σ < 1, tai (žr. (6.61) formule) funkcija u1 taške a turi logaritmineypatuma. Gauta prieštara irodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga ir p(a)u′1(a) =0. Todel (6.61) formule galima užrašyti taip:

u′1(x) =1

p(x)

x∫a

q0(y)ψ(y)

(y − a)s−σdy =

1

p(x)

x∫a

q(y)u1(y) dy.

Priminsime, kad p(x) = (x − a)ϕ(x) ir ϕ(x) > 0, ∀x∈ [a, b]. Todel išvestine u′1 yraaprežta taško x = a aplinkoje, jeigu šioje aplinkoje yra aprežta funkcija q u1. .

Tegu u1 ir u2 – du tiesiškai nepriklausomi lygties Au = 0 sprendiniai. Be to, tegusprendinys u1 yra aprežtas ir tenkina (6.58) salyga. Tada sprendinys u2 taške x = ayra neaprežtas. Sprendiniu u1, u2 tiesinis darinys u = C1 u1 + C2 u2 yra bendrasis(6.57) lygties sprendinys. Taško x = a aplinkoje jis yra aprežtas tik tuo atveju, kaiC2 = 0. Kadangi lieka tik viena laisva konstanta, tai negalima reikalauti, kad aprežtassprendinys taške x = a tenkintu dvi laisvai pasirinktas pradines salygas. Kartu negal-ima reikalauti, kad aprežtas sprendinys taške x = a tenkintu laisvai pasirinkta kraš-tine salyga. Todel naturalu pati sprendinio aprežtuma pateikti kaip kraštine salyga.Užrašyti šia salyga galima ivairiai. Praktiniuose uždaviniuose dažniausiai ja užrašotaip:

|u(a)| <∞.

P a s t a b a . Jeigu abu taškai a ir b yra singuliarus (pavyzdžiui, kai p(a) = 0 irp(b) = 0), tai sprendinio aprežtumo salygas taškuose a ir b galima užrašyti taip:

|u(a)| <∞, |u(b)| <∞.

Tarkime, taškas a yra singuliarusis, taškas b – reguliarusis, o ρ – teigiama tolydifunkcija (singuliariajame taške ji gali buti lygi nuliui). Tada singuliaru ji Šturmo–Liuvilio uždavini galima suformuluoti taip: rasti tas parametro λ reikšmes, kuriomsegzistuoja netrivialus lygties

Au = λ ρu, x∈ (a, b) (6.62)

sprendinys, tenkinantis kraštines salygas

|u(a)| <∞, u(b) + β u′(b) = 0. (6.63)

Operatoriu A nagrinesime erdveje L2,ρ(a, b). Jo apibrežimo sriti D(A) apibrešimekaip aibe funkciju u erdveje L2,ρ(a, b) tokiu , kad:

1. ∀ε > 0 funkcija u ir jos išvestine u′ yra absoliuciai tolydžios segmente [a+ε, b].

2. Funkcija u tenkina (6.63) kraštines salygas.

3. Reiškinys 1ρ Au∈ L2,ρ(a, b) ir egzistuoja riba

limx→a

p(x)u′(x) = 0.


Srityje D(A) operatorius A yra savijungis, t.y.

(Au, v) = (u,Av), ∀u, v ∈D(A). (6.64)

Norint irodyti šia lygybe, reikia du kartus pritaikyti integravimo dalimis formule irpastebeti, kad

p u′v∣∣∣ba− p u v′

∣∣∣ba

= 0.

Iš (6.64) formules išplaukia, kad tikrines funkcijos, atitinkancios skirtingas tikrinesreikšmes, yra ortogonalios erdveje L2,ρ(a, b).

P a s t a b a . Nagrinejant (6.62) lygti , išlieka teisingi visi rezultatai, kurie irodyti6.3 ir 6.4 lemose. Norint tuo isitikinti, reikia (6.62) lygtyje koeficienta q − λ ρ priefunkcijos u pakeisti koeficientu q.

Tegu u1, u2 – du tiesiškai nepriklausomi (6.57) lygties sprendiniai ir yra patenkin-tos 6.3 ir 6.4 lemu salygos. Tada (6.62), (6.63) uždavinys yra ekvivalentus integralineilygciai

u(x) = λ

b∫a

G(x, y) ρ(y)u(y) dy, (6.65)

kuriojeG(x, y) yra Gryno funkcija, atitinkanti operatoriu A ir (6.63) kraštines salygas.Jeigu λ = 0 nera tikrine operatoriaus A reikšme, tai Gryno funkcija konstruojamalygiai taip pat kaip ir reguliariuoju atveju. Remdamiesi 6.3 lemos išvada, galime tvir-tinti, kad funkcija G taške (a, a) gali tureti tik logaritmine ypatuma. Kituose kvadrato[a, b]× [a, b] taškuose ji yra tolydi. Be to, Gryno funkcijaG yra simetrine; jos išvestineGx i strižaineje x = y turi truki

p(x)Gx(x, y)∣∣∣y=x+0

y=x−0= 1;

kai x 6= y, Gryno funkcija kintamojo x atžvilgiu tenkina lygti AG = 0 ir kraštinessalygas:

|G(a, y)| <∞, G(b, y) + β Gx(b, y) = 0.

Tuo atveju, kai λ = 0 yra tikrine operatoriaus A reikšme, Gryno funkcijos, kuritenkintu aukšciau nurodytas salygas, sukonstruoti negalima. Taciau galima sukon-struoti apibendrinta Gryno funkcija (smulkiau žr. [16]). Ji skiriasi tik tuo, kad vietoj(6.57) lygties tenkina lygti

AG = ρ(x)u0(x)u0(y),

kurioje u0 yra tikrine funkcija, atitinkanti tikrine reikšme λ = 0. Be to, funkcija Ggalima parinkti taip, kad

b∫a

G(x, y)u0(y) ρ(y) dy = 0.


Šiuo atveju (6.62), (6.63) uždavinys taip pat yra ekvivalentus (6.65) integralinei lygciai(išskyrus tikrine funkcija u0).

Taigi abiem atvejais (6.62), (6.63) uždavinys susiveda i (6.65) integraline lygti ,kuria standartiniu budu galima suvesti i simetrinio branduolio integraline lygti . Pa-vyzdžiui, jeigu (6.65) lygtyje vietoje ieškomos funkcijos u pasirinksime funkcija v =u√ρ, tai gausime lygti

v = λKv, (6.66)

kurioje operatoriaus K branduolys K(x, y) = G(x, y)√ρ(x) ρ(y) yra simetrine funk-

cija. Taške (a, a) funkcija K gali tureti logaritmine ypatuma, o kituose taškuose jiyra tolydi. Todel operatorius K yra Fredholmo operatorius ir nagrinejant (6.66) lygtigalima remtis bendraja Fredholmo lygciu teorija. Tiksliau, galima tvirtinti, kad:

1. Operatoriaus K charakteristiniu reikšmiu aibe yra skaicioji ir sudaro artejanciui +∞ skaiciu seka:

λ1 < λ2 < . . . < λk < . . . .

Kai q≥ 0 ir β≥ 0, tai λk ≥ 0, ∀k = 1, 2, . . . .

2. Operatoriaus K tikriniu funkciju sistemavk∞k=1

yra pilna ortogonali erdvejeL2(a, b) funkciju sistema. Tarkime, ji yra ortonormuota.

Grižkime prie (6.62), (6.63) uždavinio. Tiesiogiai galima patikrinti, kadλk∞k=1

yra šio uždavinio tikriniu reikšmiu sistema, ouk∞k=1

, vk = uk√ρ yra ja atitinkanti

tikriniu funkciju sistema. Be to, kiekviena tikrine funkcija uk ∈ C2(a, b]. Sistemauk∞k=1

yra pilna ir ortonormuota erdveje L2,ρ(a, b) . Jeigu u∈ L2,ρ(a, b), tai ja ga-lima skleisti Furje eilute

u(x) =

∞∑k=1

Ck uk(x), Ck =

b∫a

u(x)uk(x) ρ(x) dx, (6.67)

konverguojancia erdveje L2,ρ(a, b) .Nagrinejamuoju atveju taip pat galima irodyti Furje eiluciu reguliaru ji konverga-

vima segmente [a+ε, b]. Irodymas yra toks pat. Pavyzdžiui, jeigu q(x)≥ 0 ir β≥ 0, taienergetine erdve galima apibrežti kaip absoliuciai tolydžiu segmente [a+ε, b], ∀ε > 0funkciju aibe, kurios taške x = b tenkina salyga u(b) = 0 ir kurioms integralas

|||u ||| 2 =

b∫a

(p u′

2+ q u2

)dx <∞.

Jeigu funkcija u∈HA, tai (6.67) eilute konverguoja reguliariai segmente [a+ε, b], ∀ε >0. Be to, jeigu integralas

b∫a

[p(y)G2

y(x, y) + q(y)G2(x, y)]dy,


kaip kintamojo x funkcija, yra aprežtas segmente [a, b], tai (6.67) eilute konverguojareguliariai segmente [a, b].

P a s t a b a . Tarkime, funkcija u∈HA. Tada galima irodyti, kad:

1. Funkcija u yra aprežta taško x = a aplinkoje, jeigu šioje aplinkoje yra aprežtafunkcija q.

2. Jeigu q(x)→∞, kai x→ a, tai u(a) = 0.

6.9. SPECIALIOSIOS FUNKCIJOS 177

6.9. SINGULIARIUJU ŠTURMO–LIUVILIO UŽDAVINIUPAVYZDŽIAI IR SPECIALIOSIOS FUNKCIJOS

Diferencialiniu lygciu sprendiniai ne visada yra elementarios funkcijos. Lygtys, kuriusprendiniai nera elementarios funkcijos, gaunamos nagrinejant kai kuriuos svarbiusmatematines fizikos uždavinius. Todel tokios lygtys yra gerai išnagrinetos ir turi spe-cialius pavadinimus. Šitu lygciu sprendiniai yra vadinami specialiosiomis funkcijomis.Dažniausiai jos yra singuliariojo Šturmo–Liuvilio uždavinio tikrines funkcijos. Pateik-sime keleta pavyzdžiu .

1. Tegu

Au = − d

dx(xu′) +

ν2

xu, ν≥ 0, x∈ (0, 1).

Lygtis Au = 0 turi du tiesiškai nepriklausomus sprendinius: u1 = xν , u2 = x−ν , kaiν > 0, ir u1 = 1, u2 = lnx, kai ν = 0. Nagrinejamuoju atveju

p(x) = x, q(x) =ν2

x≥ 0.

Todel Šturmo–Liuvilio uždavinio

Au = λxu, x∈ (0, 1), (6.68)

|u(0)| <∞, u(1) = 0, (6.69)

tikrines reikšmes yra teigiamos ir sudaro artejanciu i +∞ skaiciu seka, o jas atitinkan-cios tikrines funkcijos yra pilna ortogonali erdveje L2,x(0, 1) funkciju sistema.

Rasime (6.68), (6.69) uždavinio tikrines reikšmes ir tikrines funkcijas. Tegu λ = 1.Tada (6.68) yra Beselio lygtis:

x2u′′ + xu′ + (x2 − ν2)u = 0. (6.70)

Bendruoju atveju (6.68) lygtis, padarius keitini y =√λx, susiveda i Beselio lygti .

Todel pakanka išnagrineti (6.70) lygti . Tegu

u(x) = xσ∞∑k=0

ak xk, a0 6= 0. (6.71)

Istate taip apibrežta funkcija u i (6.70) lygti , gausime rekurenciasias formules:a0(σ2 − ν2) = 0,a1

[(σ + 1)2 − ν2

]= 0,

...ak[(σ + k)2 − ν2

]+ ak−2 = 0, kai k = 2, 3, . . ..

Pirmoje formuleje koeficientas a0 6= 0. Todel σ = ±ν. Istate šia σ reikšme i kitasformules, gausime, a2k+1 = 0, ∀k = 1, 2, . . . .

Tegu σ = ν. Tada

a2k = − a2k−2

4k(k + ν)= · · · = (−1)k

a0

4kk! (ν + 1) . . . (ν + k).


Pasinaudoje Oilerio Γ funkcijos savybe Γ(s+ 1) = sΓ(s), gausime

a2k = (−1)ka0

4kk! Γ(ν + k + 1)/Γ(ν + 1).

Koeficienta a0 galima pasirinkti laisvai. Tegu

a0 =1

2νΓ(ν + 1).

Tadaa2k = (−1)k

1

22k+νΓ(k + 1) Γ(k + ν + 1),

o (6.71) eilute galima užrašyti taip:

Jν(x) =

∞∑k=0

(−1)k1

Γ(k + 1) Γ(k + ν + 1)

(x2

)2k+ν

. (6.72)

Taikant Dalambero požymi, galima irodyti, kad pastaroji eilute konverguoja visojetieseje (ir net visoje kompleksineje plokštumoje). Funkcija Jν yra vadinama pirmosrušies Beselio funkcija.

Tegu σ = −ν ir ν nera sveikasis skaicius. Tada ka tik atlikti skaiciavimai liekateisingi. Reikia tik i (6.72) formule vietoje ν i statyti −ν:

J−ν(x) =

∞∑k=0

(−1)k1

Γ(k + 1) Γ(k − ν + 1)

(x2

)2k−ν. (6.73)

Beselio funkcijos Jν ir J−ν yra tiesiškai nepriklausomos (kai ν nera sveikas skai-cius). Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad funkcija Jν taške x = a turi ν eilesnuli , o funkcija J−ν turi ν eiles poliu (kai ν = 0, funkcija J0 taške x = a yra aprežta).Todel bendrasis (6.70) lygties sprendinys

u(x) = C1 Jν + C2 J−ν .

Priminsime, kad funkcija J−ν yra apibrežta tik, kai ν nera sveikasis teigiamasskaicius. Tuo atveju, kai ν = n – sveikasis teigiamas skaicius ir k < n − 1, formaliaiapibrežkime Γ(k − n+ 1) =∞. Tada

J−n(x) =

∞∑k=n

(−1)k1

Γ(k + 1) Γ(k − n+ 1)

(x2

)2k−n=

= (−1)n∞∑k=0

(−1)k1

Γ(k + 1) Γ(k + n+ 1)

(x2

)2k+n

= (−1)nJn(x).

Taigi, kai ν = n yra sveikasis skaicius, funkcijos Jn ir J−n yra tiesiškai priklausomos.Rasime antra tiesiškai nepriklausoma (6.70) lygties sprendini, kai ν yra sveikasis

skaicius. Tuo tikslu apibrešime nauja funkcija

Nν(x) =Jν(x) cosπ ν − J−ν(x)

sinπ ν, ν 6= n. (6.74)


Ji vadinama antros rušies Beselio, arba Noimano, funkcija. Funkcija Nν tenkina Bese-lio lygti , nes ji yra funkciju Jν ir J−ν tiesinis darinys. Istate i (6.74) formule ν = n,gausime neapibrežtuma 0

0 . Taikant Lopitalio taisykle, galima irodyti:

Nn(x) := limν→n

Nν(x) =1

πlimν→n

[ ∂∂νJν(x)− (−1)n

π

∂

∂νJ−ν(x)

]=

=2

πJn(x) ln

x

2− 1

π

n−1∑k=0

(n− k − 1) !

k !

(x2

)−n+2k

−

− 1

π

∞∑k=0

(−1)k(x2 )n+2k

k !(n+ k) !

(Γ ′(k + 1)

Γ(k + 1)+

Γ ′(n+ k + 1)

Γ(n+ k + 1)

).

Kai n = 0,

N0(x) =2

πJ0(x) ln

x

2− 2

π

∞∑k=0

(−1)k(x2 )2k

(k !)2

Γ ′(k + 1)

Γ(k + 1).

Funkcijos Jν ir Nν yra tiesiškai nepriklausomos visoms parametro ν reikšmems.Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad Jν(0) = 0, o funkcija Nν taško x = 0aplinkoje yra neaprežta. Todel bendrasis (6.70) lygties sprendinys

u(x) = C1Jν(x) + C2Nν(x).

Kai C1 = 1, C2 = ±i, gausime kitus du tiesiškai nepriklausomus (6.70) lygties spren-dinius:

H(1)ν = Jν(x) + iNν(x),

H(2)ν = Jν(x)− iNν(x).

Jie vadinami atitinkamai pirmos ir antros rušies Hankelio funkcijomis.Diferencijuojant (6.72) eilute, tiesiogiai galima isitikinti, kad

d

dx

(Jν(x)

xν

)= −Jν+1(x)

xν,

d

dx

(xνJν(x)

)= xνJν−1(x).

Jei šiose formulese atskliausime skliaustus ir po to jas panariui sudesime, tai gausimerekurenciaja formule:

Jν+1(x) + Jν−1(x) =2ν

xJν(x). (6.75)

Kai ν = n+ 12 , n = 0, 1, 2, . . ., Beselio funkcijas Jν galima išreikšti elementario-

mis funkcijomis. Iš tikru ju

J 12(x) =

∞∑k=0

(−1)k

k ! Γ(k + 32 )

(x2

)2k+ 12

=

√2

π x

∞∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1) !=

√2

π xsinx.


J− 12(x) =

∞∑k=0

(−1)k

k ! Γ(k + 12 )

(x2

)2k− 12

=

√2

π x

∞∑k=0

(−1)k

2k !x2k =

√2

π xcosx.

Panaudoje (6.75) rekurenciaja formule, gausime:

Jn+ 12(x) =

√2

π x

sin(x− 1

2π n)Pn(1/x)

+ cos(x− 1

2π n)Qn−1

(1/x)

;

cia Pn ir Qn yra n-ojo laipsnio polinomai.Matematineje fizikoje dažnai yra naudojamos menamo argumento Beselio funkci-

jos Jν(i x) . Kai ν yra sveikasis lyginis skaicius, tai funkcija Jν(i x) igyja realiasiasreikšmes. Kitais atvejais jos reikšmes dažniausiai yra menamos. Todel paprastai yranagrinejama ne funkcija Jν(i x), o funkcija

I ν(x) = i−νJν(i x) =

∞∑k=0

1

k ! Γ(k + ν + 1)

(x2

)ν+2k

.

Ji yra atskirasis lygties

x2u′′ + xu′ − (x2 + ν2)u = 0. (6.76)

sprendinys. Šita lygtis gaunama iš Beselio lygties, pakeitus x i i x.Jeigu ν = n – sveikasis skaicius, tai funkcijos In ir I−n yra tiesiškai priklausomos.

Tiksliau, In(x) = I−n(x). Norint rasti bendraji (6.76) lygties sprendini, reikia rastikita tiesiškai nepriklausoma sprendini. Tuo tikslu ivesime nauja funkcija

K ν(x) = −π2

I ν(x)− I−ν(x)

sinπ ν, ν 6= n,

kuri yra vadinama Makdonaldo funkcija. Istate ν = n, gausime neapibrežtuma 00 .

Taikant Lopitalio taisykle, galima irodyti:

Kn(x) := limν→n

K ν(x) = −In(x) lnx

2+

1

2

n−1∑k=0

(−1)k(n− k − 1) !

k !

(x2

)−n+2k

+

+1

2

∞∑k=0

1

k !(k + n)!

(x2

)n+2k(Γ ′(k + 1)

Γ(k + 1)+

Γ ′(k + n+ 1)

Γ(k + n+ 1)

),

K 0(x) := limν→0

K ν(x) = −I 0(x) lnx

2+

1

2

∞∑k=0

1

(k !)2

(x2

)2kΓ ′(k + 1)

Γ(k + 1).

Atkreipsime demesi i tai, kad Kn(x)→∞, kai x→ 0 .Taikant kompleksinio kintamojo funkciju teorijos metodus, galima irodyti, kad:

Jν(x) =

√2

π xcos(x− 1

2π ν −π4

)+O

( 1

x√x

),

Nν(x) =

√2

π xsin(x− 1

2π ν −π4

)+O

( 1

x√x

),


H(1)ν (x) =

√2

π xei(x− 1

2π ν−π4

)+O

( 1

x√x

),

H(2)ν (x) =

√2

π xe−i(x− 1

2π ν−π4

)+O

( 1

x√x

),

I ν(x) = ex 1√

2π x+O

( 1

x√x

),

K ν(x) = e−x√ π

2x+O

( 1

x√x

)pakankamai dideliems x (žr. [20]).

I š v a d a . Funkcijos Jν ir Nν intervale (0,∞) turi be galo daug šaknu . Be to,atstumas tarp dvieju gretimu šaknu lygus π + o(1).

Grižkime prie (6.68) lygties. Jos bendrasis sprendinys

u(x) = C1 Jν(√λx) + C2Nν(

√λx).

Pareikalausime, kad jis tenkintu (6.69) kraštines salygas. Taške x = 0 ieškomassprendinys turi buti aprežtas. Todel C2 = 0. Iš antrosios kraštines salygos išplaukia,kad parametras λ turi tenkinti transcendenciaja lygti :

Jν(√λ) = 0.

Tegu µ(ν)1 , µ

(ν)2 , . . . , µ

(ν)k . . . yra lygties

Jν(µ) = 0 (6.77)

šaknys. Tada skaiciaiλ

(ν)k = (µ

(ν)k )2, k = 1, 2, . . .

yra (6.68), (6.69) uždavinio tikrines reikšmes, o

uk(x) = C1k Jν(µ(ν)k x)

yra jas atitinkancios tikrines funkcijos.Tikrines funkcijos uk yra ortogonalios erdveje L2,x(0, 1), t.y.

1∫0

xJν(µ(ν)k x) Jν(µ

(ν)l x) dx = 0, ∀k 6= l.

KoeficientusC1k parinksime taip, kad tikrines funkcijos uk butu ortonormuotos erdve-je L2,x(0, 1). Tuo tikslu suskaiciuosime funkcijos Jν(µνk x) norma erdveje L2,x(0, 1).

Kadangi funkcija Jν(µx) yra (6.68) lygties sprendinys, tai

− d

dx

(xJ ′ν(µx)

)+ν2

xJν(µx) = µ2 xJν(µx).


Padaugine šia lygybe iš xJ ′ν(µx), rezultata užrašysime taip:

−1

2

d

dx

((xJ ′ν(µx)

)2)+

1

2ν2 d

dx

(J2ν (µx)

)=

1

2µ2 x2 d

dx

(J2ν (µx)

).

Integruodami šia lygybe nuo 0 iki 1, gausime:

−1

2

(xJ ′ν(µx)

)2∣∣∣10

+1

2ν2 J2

ν (µx)∣∣∣10

=

=1

2µ2 x2 J2

ν (µx)∣∣∣10− 1

2µ2

1∫0

2xJ2ν (µx) dx.

Imkime µ = µ(ν)k . Tada Jν(µνk) = 0. Be to,

J ′ν(µ(ν)k x) = −Jν+1(µ

(ν)k x)

(irodant šia lygybe, reikia pasinaudoti (6.75) formule). Todel

‖Jν(µ(ν)k x)‖2L2,x(0,1) ≡

1∫0

xJ2ν (µ

(ν)k x) dx =

1

2

(J ′ν(µ

(ν)k ))2

=1

2J2ν+1(µ

(ν)k ).

Taigi jeigu koeficientai

C1k = ‖Jν(µ(ν)k x)‖−1

L2,x(0,1) =√

2 J−1ν+1(µ

(ν)k ),

tai tikrines funkcijos uk yra ortonormuotos erdveje L2,x(0, 1).P a s t a b a . Jeigu vietoje kraštines salygos u(1) = 0 nagrinesime kraštine salyga

u(1) + β u′(1) = 0, tai vietoje (6.77) gausime lygti

Jν(µ) + β µJ ′ν(µ) = 0.

2. Tegu

Au = − d

dx

((1− x2)u′

), x∈ (−1, 1).

Šiuo atveju p(x) = (1 − x)(1 + x), q(x) = 0. Lengvai galima isitikinti, kad u1 = 1

ir u2 = ln1 + x

1− xyra du tiesiškai nepriklausomi lygties Au = 0 sprendiniai. Todel

Šturmo–Liuvilio uždavinio

Au = λu, x∈ (−1, 1), (6.78)

|u(−1)| <∞, |u(1)| = 0, (6.79)

tikrines reikšmes yra neneigiamos ir sudaro artejanciu i +∞ skaiciu seka, o jas ati-tinkancios tikrines funkcijos yra pilna ortogonali erdveje L2(−1, 1) funkciju sistema.


Rasime (6.78), (6.79) uždavinio tikrines reikšmes ir tikrines funkcijas. Irodysime, kadtikrines funkcijos yra n-ojo laipsnio polinomai. Tegu

P (x) = (x2 − 1)n.

Tiesiogiai galima patikrinti, kad polinomas P tenkina lygti

(x2 − 1)P ′(x) = 2nxP (x).

Suskaiciuokime abieju šios lygties pusiu k + 1 eiles išvestine:

(x2 − 1)P (k+2)(x) =

= 2(n− k − 1)xP (k+1)(x) +(2n+ 2(n− 1) + · · ·+ 2(n− k)

)P k(x).

Tegu šioje formuleje k = n ir pažymekime

dnP (x)

dxn= u(x).

Tada funkcija u tenkins Ležandro lygti :

(1− x2)u′′ − 2xu′ + n(n+ 1)u = 0.

Perrašykime ja taip:

− d

dx

((1− x2)u′

)= n(n+ 1)u.

Iš šios lygties išplaukia, kad skaiciai λn = n(n + 1) yra (6.78), (6.79) uždaviniotikrines reikšmes , o n-ojo laipsnio polinomai

Pn(x) = Cndn

dxn(x2 − 1)n

yra jas atitinkancios tikrines funkcijos.Konstanta Cn parinksime taip, kad Pn(1) = 1. Kadangi

dn

dxn(x2 − 1)n =

dn

dxn((x− 1)n(x+ 1)n

)= n ! (x+ 1)n + (x− 1)Q(x),

Q yra n− 1 laipsnio polinomas, tai

Pn(1) = Cn n ! 2n.

Dešinioji šios lygybes puse lygi vienetui, kai

Cn =1

n ! 2n.

Polinomai

Pn(x) =1

n ! 2ndn

dxn(x2 − 1)n, n = 0, 1, 2, . . . , (6.80)


yra vadinami Ležandro polinomais. Akivaizdu, kad

Pn(−x) = (−1)nPn(x) ir Pn(−1) = (−1)n.

Iš (6.80) formules ir Rolio teoremos išplaukia, kad polinomai Pn intervalo (−1, 1)viduje turi lygiai n šaknu , o ju k-oji išvestine šiame intervale turi n− k šaknu .

I tikriniu funkciju sistema Pn ieina bet kokio laipsnio polinomai. Todel kiekvienapolinoma galima išreikšti Ležandro polinomu tiesiniu dariniu. Pagal Vejerštraso teo-rema kiekviena tolydžia funkcija galima aproksimuoti polinomais. Kadangi tolydžiufunkciju aibe yra tiršta erdveje L2(−1, 1), tai sistema Pn yra pilna erdveje L2(−1, 1)funkciju sistema. Savo ruožtu tai reiškia, kad kitu tikriniu funkciju , skirtingu nuoLežandro polinomu, (6.78), (6.79) uždavinys neturi.

Iš bendros teorijos žinome, kad Ležandro polinomai Pn yra ortogonalios erdvejeL2(−1, 1) funkcijos, t.y.

1∫−1

Pn(x)Pl(x) dx = 0,

kai n 6= l. Kai n = l,

1∫−1

P 2n(x) dx =

1

(n )2! 22n

1∫−1

dn

dxn(x2 − 1)n

dn

dxn(x2 − 1)n dx =

=(−1)n

(n )2! 22n

1∫−1

(x2 − 1)nd2n

dx2n(x2 − 1)n dx =

(−1)n(2n) !

(n )2! 22n

1∫−1

(x2 − 1)n dx =

=(−1)n(2n) !

(n !)2 22n(−1)n 2

2 · 4 · · · 2n3 · 5 · · · 2n+ 1

=2

2n+ 1.

Taigi kiekviena funkcija u∈ L2(−1, 1) galima skleisti Furje eilute:

u(x) =

∞∑n=0

Cn Pn(x), Cn =2n+ 1

2

1∫−1

u(x)Pn(x) dx.

Pabaigoje užrašysime Laplaso formule:

Pn(x) =1

π

π∫0

(x±√x2 − 1 cosϕ)n dϕ

(irodyma galima rasti, pavyzdžiui, [14] knygoje). Iš šios formules išplaukia ivertis

|Pn(x)|≤1, ∀x∈ [−1, 1], n = 0, 1, 2, . . . .

3. Tegu

Au = − d

dx

((1− x2)u′

)+

m2

1− x2u, x∈ (−1, 1),


m – sveikas teigiamas skaicius. Irodysime, kad m-osios eiles prijungtines Ležandrofunkcijos

P (m)n (x) = (1− x2)

m2dm

dxmPn(x), n = m,m+ 1, . . . ,

yra Šturmo–Liuvilio uždavinio

Au = λu, x∈ (−1, 1), (6.81)

|u(−1)| <∞, |u(1)| = 0, (6.82)

tikrines funkcijos, o λ = n(n+ 1) yra jas atitinkancios tikrines reikšmes.Tegu

u(x) = (1− x2)m2 v(x).

Istate taip apibrežta funkcija i (6.81) lygti , gausime

− (1− x2) v′′ + 2 (m+ 1)x v′ +m (m+ 1) v = λ v. (6.83)

Antra vertus, diferencijuodami (6.78) lygti m kartu , gausime

− (1− x2)u(m+2) + 2 (m+ 1)xu(m+1) +m (m+ 1)um = λu(m). (6.84)

Akivaizdu, kad (6.84) lygtis sutaps su (6.83) lygtimi, jeigu joje u(m) pakeisime v. Kaiλ = n (n+ 1), nenulinis (6.84) lygties sprendinys u = Pn. Todel, kai λ = n (n+ 1),nenulinis (6.83) lygties sprendinys

vn(x) =dm

d xmPn(x).

Taigi galime tvirtinti, kad prijungtines Ležandro funkcijos P (m)n yra (6.81), (6.82)

Šturmo–Liuvilio uždavinio tikrines funkcijos, o λ = n (n + 1) yra jas atitinkanciostikrines reikšmes.

Remiantis bendraja teorija, m-osios eiles prijungtiniu Ležandro funkciju sistemayra ortogonali erdveje L2(−1, 1), t.y.

1∫−1

P (m)n (x)P

(m)l (x) dx = 0, n 6= l.

I rodysime, kad m-osios eiles prijungtines Ležandro funkcijos yra pilna erdvejeL2(−1, 1) funkciju sistema. Kadangi tolydžios ir finicios segmente [a, b] funkcijos yratiršta erdveje L2(−1, 1) aibe, tai pakanka irodyti, kad bet kokia šios aibes funkcijagalima aproksimuoti m-osios eiles prijungtiniu Ležandro funkciju tiesiniu dariniu.

Tegu f yra tolydi ir finiti segmente [−1, 1] funkcija. Pagal Vejerštraso teoremafunkcija f(x) (1−x2)−

m2 intervale (−1, 1) galima aproksimuoti polinomais. Todel šia

funkcija galima aproksimuoti polinomudm

dxmPn tiesiniu dariniu. Taciau tada funkcija


f galima aproksimuoti m-osios eiles prijungtiniu Ležandro funkciju P(m)n tiesiniu

dariniu.I š v a d a . (6.81), (6.82) uždavinio tikriniu funkciju aibe sutampa su m-osios

eiles prijungtiniu Ležandro funkciju sistema.Suskaiciuosime prijungtiniu Ležandro funkciju P

(m)n norma L2(−1, 1) erdveje.

Istate i (6.81) lygti λ = n(n+ 1), u = P(m)n , gausime tapatybe. Padaugine ja iš

(1− x2)m2dmPn(x)

dxm,

rezultata užrašysime taip:

− d

dx

((1− x2)m+1 d

m+1Pn(x)

dxm+1

) dmPn(x)

dxm=

= (n+m+ 1)(n−m)(1− x2)m(dmPn(x)

dxm

)2

.

Šia tapatybe integruojame pagal kintamaji x nuo −1 iki 1. Tada, panaudoje integrav-imo dalimis formule, gausime

‖Pm+1n ‖2 =

1∫−1

(1− x2)m+1(dm+1Pn(x)

dxm+1

)2

dx =

= (n+m+ 1)(n−m)

1∫−1

(1− x2)m(dmPn(x)

dxm

)2

dx =

= (n+m+ 1)(n−m) ‖P (m)n ‖2.

Iš šios rekurenciosios formules išplaukia

‖P (m)n ‖2 = (n+m)(n−m+ 1) ‖P (m−1)

n ‖2 = . . .

=(n+m) !

(n−m) !‖Pn‖2 =

(n+m) !

(n−m) !

2

2n+ 1.

I š v a d a . Kiekviena funkcija u∈ L2(−1, 1) galima skleisti Furje eilute

u(x) =

∞∑k=m

Ck P(m+1)n (x);

cia

Ck =2k + 1

2

(k −m) !

(k +m) !

1∫−1

u(x)P (m+1)n (x) dx.


6.10. Uždaviniai

1. Rasti operatoriaus A Gryno funkcija intervale (0, 1) šiais atvejais:

1.1. Au = −u′′, u(0) = 0, u(1) = 0.

1.2. Au = −u′′, u(0) = 0, u′(1) = 0.

1.3. Au = −u′′, u(0) = 0, u(1) + βu′(1) = 0.

1.4. Au = −u′′ − u, u(0) = 0, u(1) = 0.

1.5. Au = −u′′ − u, u(0)− u′(0) = 0, u(1)− u′(1) = 0.

1.6. Au = −u′′ + u, u(0) = 0, u(1) = 0.

1.7. Au = −u′′ + u, u′(0) = 0, u′(1) = 0.

1.8. Au = −(1 + x2)u′′ − 2xu′, u(0)− u′(0) = 0, u(1) = 0.

1.9. Au = −(1 + x2)u′′ − 2xu′, u(0) = 0, u(1) + u′(1) = 0.

1.10. Au = −(

1x−2u

′)′

+ 3u(x−2)3 , u(0) = 0, u(1) = 0.

1.11. Au = −(e−

x2

2 u′)′

+ e−x2

2 u, u(0) = 0, u(1) = 0.

1.12. Au = −u′′ + (1 + x2)u, u(0) = 0, u′(1) = 0.

2. Išvesti integraline lygti , atitinkancia Šturmo–Liuvilio uždavini:

2.1. −u′′ = λu, u′(0) = 0, u(1) = 0.

2.2. −u′′ = λu, u′(0) = 0, u(1) + βu′(1) = 0.

2.3. −u′′ = λu, u′(0) = 0, u′(1) = 0.

2.4. −(1 + x2)u′′ − 2xu′ = λu, u(0) = 0, u′(1) = 0.

2.5. −exu′′ − exu′ = λu, u(0) = 0, u(1) + u′(1) = 0.

3. Rasti Šturmo–Liuvilio uždavinio tikrines reikšmes ir tikrines funkcijas:

3.1. −u′′ = λu, x∈ (a, b), u(a) = 0, u(b) = 0.

3.2. −u′′ = λu, x∈ (a, b), u(a) = 0, u′(b) = 0.

3.3. −u′′ = λu, x∈ (a, b), u′(a) = 0, u′(b) = 0.

3.4. −u′′ = λu, x∈ (a, b), u(a) = 0, u(b) + βu′(b) = 0, β > 0.

4. Sukonstruoti Gryno funkcija, atitinkancia operatoriu A ir kraštines salygas:

4.1. Au = −x−1(xu′)′

+ n2x−2u, |u(0)| <∞, u(1) = 0.

4.2. Au = −((1− x2)u′

)′, |u(−1)| <∞, |u(1)| <∞.

N u r o d y m a s . Atkreipkite demesi i tai, kad skaicius λ = 0 yra operatoriausA tikrine reikšme ir u0(x) = 1/

√2 – ja atitinkanti tikrine funkcija.

4.3. Au = −u′′ + x2u, u(−∞) = 0, u(∞) = 0.

4.4. Au = −(xu′)′

+ 14u, |u(0)| <∞, u(+∞) <∞.


6.11. ATSAKYMAI

1.1. G(x, y) =

x(1− y), 0≤x≤ y,y(1− x), y≤x≤ 1.

1.2. G(x, y) =

x, 0≤x≤ y,y, y≤x≤ 1.

1.3. G(x, y) =

1+β−y

1+β x, 0≤x≤ y,1+β−x

1+β y, y≤x≤ 1.

1.4. G(x, y) = 1sin 1

sinx sin(1− y), 0≤x≤ y,sin(1− x) sin y, y≤x≤ 1.

1.5. G(x, y) = 1−ctg12

(sinx+ cosx)

(ctg1+1ctg1−1 sin y + cos y

), 0≤x≤ y,(

ctg1+1ctg1−1 sinx+ cosx

)(sin y + cos y), y≤x≤ 1.

1.6. G(x, y) = 1sh1

shx sh(1− y), 0≤x≤ y,shy sh(1− x), y≤x≤ 1.

1.7. G(x, y) = 12(e2−1)

(ex + e−x)(ey + e2−y), 0≤x≤ y,(ey + e−y)(ex + e2−x), y≤x≤ 1.

1.8. G(x, y) = 4π+4

(1 + arctg x)(arctg y − π

4 ), 0≤x≤ y,(1 + arctg y)(arctg x− π

4 ), y≤x≤ 1.

1.9. G(x, y) =

arctg x

(− 4π+2arctg y + 1

), 0≤x≤ y,

arctg y(− 4π+2arctg x+ 1

), y≤x≤ 1.

1.10. G(x, y) = 160

((x− 2)3 − 16

x−2

)(1y−2 − (y − 2)3

), 0≤x≤ y,(

(y − 2)3 − 16y−2

)(1

x−2 − (x− 2)3), y≤x≤ 1.

1.11. G(x, y) = 1z(0)−z(1)

ex2+y2

2

(z(x)− z(0)

)(z(y)− z(1)

), 0≤x≤ y,

ex2+y2

2

(z(y)− z(0)

)(z(x)− z(1)

), y≤x≤ 1;

cia z(x) =x∫−∞

e−x2

2 ds.

1.12. G(x, y) = 1C

u1(x)u2(y), 0≤x≤ y,u1(y)u2(x), y≤x≤ 1; , C = e−1 +

1∫0

e−s2

ds,

u1(x) = ex2

2

x∫0

e−s2

ds, u2(x) = ex2

2

(e−1 +

1∫x

e−s2

ds).

N u r o d y m a s . Lygties −u′′ + (1 + x2)u = 0 atskirojo sprendinio ieškotipavidalu u = ez(x).

2.1. u(x) = λ1∫0

G(x, y)u(y) dy, G(x, y) = −y − 1, 0≤x≤ y,x− 1, y≤x≤ 1.

6.11. ATSAKYMAI 189

2.2. u(x) = λ1∫0

G(x, y)u(y) dy, G(x, y) = −x− 1− β, 0≤x≤ y,y − 1− β, y≤x≤ 1.

2.3. u(x) = (λ− a)1∫0

G(x, y)u(y) dy, a > 0, a 6= (πn)2, n = 1, 2, . . . ,

G(x, y) = − 1√a sin

√a

cos√a x cos

√a (y − 1), 0≤x≤ y,

cos√a y cos

√a (x− 1), y≤x≤ 1.

2.4. u(x) = λ1∫0

G(x, y)u(y) dy, G(x, y) = −

arctg x, 0≤x≤ y,arctg y, y≤x≤ 1.

2.5. u(x) = λ1∫0

G(x, y)u(y) dy,

G(x, y) = −

(−e−x + 1) e−y, 0≤x≤ y,(−e−y + 1) e−x, y≤x≤ 1.

3.1. λk = π2 k2

(b−a)2 , uk =√

2b−a sin πk(x−a)

b−a , k = 1, 2, . . . .

3.2. λk =(π(2k+1)

2(b−a)

)2, uk =

√2b−a sin π

2 (2k + 1)x−ab−a , k = 1, 2, . . . .

3.3. λk =(π kb−a)2, uk =

√2b−a cos πk(x−a)

b−a , k = 1, 2, . . . .

3.4. λk = µ2k, uk(x) = Ck sinµk

x−ab−a , Ck =

√2b−a

(1 + (b−a)2

(b−a)2+β2µ2k

);

cia µk yra teigiamos lygties tgµ+ βb−a µ = 0 šaknys.

4.1. G(x, y) = 12n

(x/y

)n − (xy)n, 0≤x≤ y,(y/x

)n − (xy)n, y≤x≤ 1,kai n > 0,

G(x, y) =

− ln y, 0≤x≤ y,− lnx, y≤x≤ 1, kai n = 0.

4.2. G(x, y) = − 12

ln[(1− x)(1 + y)

]+ 2 ln 2− 1, −1≤x≤ y,

ln[(1 + x)(1− y)

]+ 2 ln 2− 1, y≤x≤ 1,

4.3. G(x, y) = 1√πex2+y2

2

x∫−∞

e−ξ2

dξ∞∫y

e−η2

dη, −∞ < x≤ y,y∫−∞

e−ξ2

dξ∞∫x

e−η2

dη, y≤x <∞,

4.4. G(x, y) = ex+y

2

∞∫y

e−ξ

ξ dξ −∞ < x≤ y,∞∫x

e−η

η dη, y≤x <∞.

7 S K Y R I U S

Furje, arba kintamuju atskyrimo, meto-das

Kintamuju atskyrimo metoda galima taikyti gana placiai tiesiniu lygciu klasei. LygtisMu + Nu = 0 priklauso šiai klasei, jeigu diferencialiniu operatoriu M ir N koefi-cientai yra skirtingu kintamuju funkcijos ir ieškomosios funkcijos u išvestines ieina ireiškinius Mu ir Nu tik pagal skirtingus kintamuosius. Tarkime, v ir w yra funkcijos,priklausancios nuo šiu skirtingu kintamuju ir u = v w. Tada lygti Mv w + Nv w = 0galima suskaidyti i dvi lygtis. Šiu lygciu atskiru ju sprendiniu sandauga yra atskirasislygties Mu+Nu = 0 sprendinys. Bendraji sprendini gausime paeme tokiu sprendiniutiesini darini .

7.1. FURJE METODO SCHEMA DVIMACIU HIPERBOLINESIR PARABOLINES LYGCIU ATVEJAIS

Tegu A yra reguliarusis Šturmo–Liuvilio operatorius. Rasime formalu ji hiperbolineslygties

utt + Au = 0, x∈ (a, b), t > 0, (7.1)

sprendini, tenkinanti pradines

u∣∣t=0

= ϕ(x), ut∣∣t=0

= ψ(x), x∈ [a, b] (7.2)

ir kraštinesu+ αux

∣∣x=a

= 0, u+ β ux∣∣x=b

= 0, t≥ 0 (7.3)

salygas.Tegu u = v(x)T (t). Istate taip apibrežta funkcija i (7.1) lygti ir atskyre kintamuo-

sius, gausime

−T′′(t)

T (t)=

A v(x)

v(x).

Kaireje šios lygybes puseje yra kintamojo t, o dešineje – kintamojo x funkcija. Šiosfunkcijos sutampa tik tuo atveju, kai jos yra konstantos. Pažymekime bendraja jureikšme raide λ. Tada funkcija u = v T yra (7.1) lygties sprendinys, jeigu funkcija Tyra lygties

T ′′ + λT = 0, (7.4)

o funkcija v – lygtiesA v = λ v (7.5)

sprendinys. Be to, funkcija u = v T tenkins (7.3) kraštines salygas, jeigu šias saly-gas tenkins funkcija v. Taigi funkcijai v gavome Šturmo–Liuvilio uždavini: rasti tas

7.1. FURJE METODO SCHEMA 191

parametro λ reikšmes, kurioms egzistuoja netrivialus (7.5) lygties sprendinys, tenki-nantis kraštines salygas

v + α vx∣∣x=a

= 0, v + β vx∣∣x=b

= 0. (7.6)

Teguλk∞k=1

yra (7.5), (7.6) uždavinio tikrines reikšmes irvk∞k=1

– jas ati-tinkancios tikrines funkcijos, ortonormuotos erdveje L2(a, b). Kiekvienam λ = λkrasime bendraji (7.4) lygties sprendini. Neigiamiems λk

Tk = C1ke−√|λk| t + C2ke

√|λk| t.

Teigiamiems λkTk = C1k cos

√λk t+ C2k sin

√λk t.

Tuo atveju, kai λk = 0,Tk = C1k + t C2k.

Kiekviena iš funkciju vkTk, k = 1, 2, . . . , tenkina (7.1) lygti ir (7.3) kraštinessalygas. Todel funkcija

u(x, t) =

∞∑k=1

Tk(t)vk(x)

taip pat tenkina (7.1) lygti ir (7.3) kraštines salygas. Pareikalave, kad funkcija u ten-kintu (7.2) pradines salygas, gausime

u(x, t) =

m∑k=1

(akch

√|λk| t+

bk√|λk|

sh√|λk| t

)vk(x)+

+

∞∑k=m+1

(ak cos

√λk t+

bk√λk

sin√λk t

)vk(x); (7.7)

cia: m – neteigiamu tikriniu reikšmiu skaicius, ak = (ϕ, vk), bk = (ψ, vk) – funkcijuϕ ir ψ Furje koeficientai. Jeigu tikrine reikšme λm = 0, tai (7.7) formuleje vietojefunkciju ch

√|λm| t ir 1√

|λm|sh√|λm| t reikia imti atitinkamai 1 ir t.

Žinant (7.5), (7.6) uždavinio tikrines reikšmes ir tikrines funkcijas, lengvai galimarasti ir nehomogenines lygties

utt + Au = f(x, t), x∈ (a, b), t > 0, (7.8)

sprendini, tenkinanti pradines

u∣∣t=0

= 0, ut∣∣t=0

= 0, x∈ [a, b] (7.9)

ir (7.3) kraštines salygas. Jo ieškosime tokiu pavidalu:

u(x, t) =

∞∑k=1

Fk(t) vk(x).

192 7. KINTAMUJU ATSKYRIMO METODAS

Istate taip apibrežta funkcija u i (7.8) lygti , gausime

∞∑k=1

(F ′′k (t) + λkFk(t)

)vk(x) = f(x, t).

Kadangi funkcijos vk yra tiesiškai nepriklausomos, tai funkcija Fk, ∀k = 1, 2, . . . , turitenkinti paprastaja diferencialine lygti

F ′′k (t) + λkFk(t) = fk(t); (7.10)

cia fk = (f, vk) yra funkcijos f Furje koeficientai kintamojo x atžvilgiu. Be to, iš(7.9) išplaukia, kad funkcija Fk turi tenkinti pradines salygas

Fk(0) = 0, F ′k (0) = 0. (7.11)

Nehomogenines (7.10) lygties sprendinys, tenkinantis (7.11) pradines salygas,

Fk(t) =

1√λk

t∫0

sin√λk (t− τ) fk(τ) dτ, kai k > m,

1√|λk|

t∫0

sh√|λk| (t− τ) fk(τ) dτ, kai k≤m.

Todel formalu (7.8), (7.9), (7.3) uždavinio sprendini galima išreikšti eilute

u(x, t) =

m∑k=1

vk(x)1√|λk|

t∫0

sh√|λk| (t− τ) fk(τ) dτ+

+

∞∑k=1

vk(x)1√λk

t∫0

sin√λk (t− τ) fk(τ) dτ. (7.12)

Bendruoju atveju nehomogenines (7.8) lygties sprendinio, tenkinancio (7.2) pradi-nes ir nehomogenines kraštines salygas

u+ αux∣∣x=a

= ν(t), u+ β ux∣∣x=b

= µ(t), t≥ 0, (7.13)

galima ieškoti tokiu pavidalu:u = w + ω.

Šiuo atveju funkcija ω reikia parinkti taip, kad ji tenkintu (7.13) kraštines salygas. Tadafunkcijai w gausime kraštini uždavini

wtt + Aw = f − ωtt −Aω, x∈ (a, b), t > 0,

w∣∣t=0

= ϕ− ω∣∣t=0

, wt∣∣t=0

= ψ − ωt∣∣t=0

, x∈ [a, b],

w + αwx∣∣x=a

= 0, w + β wx∣∣x=b

= 0, t≥ 0,

7.1. FURJE METODO SCHEMA 193

su homogeninem kraštinem salygom. Savo ruožtu ši uždavini galima išskaidyti i duuždavinius taip, kad vieno uždavinio pradine ir kraštine salygos butu homogenines, okito lygtis ir kraštine salyga butu homogenines.

Išnagrinesime parabolines lygties atveji . Iš pradžiu rasime formalu lygties

ut + Au = 0, x∈ (a, b), t > 0, (7.14)


u∣∣t=0

= ϕ(x), x∈ [a, b], (7.15)

ir (7.3) kraštines salygas. Šiuo atveju vietoje (7.4) lygties gausime diferencialine lygti

T ′ + λT = 0, (7.16)

o (7.5) lygtis ir (7.6) kraštines salygos išliks tos pacios.Kai λ = λk, bendrasis (7.16) lygties sprendinys

Tk(t) = Ck e−λkt.

Todel funkcija uk = vk Tk, ∀k = 1, 2, . . . , tenkina (7.14) lygti ir (7.3) kraštinessalygas. Taciau tada funkcija

u(x, t) =

∞∑k=1

vk(x)Tk(t) =

∞∑k=1

Cke−λktvk(x)

taip pat tenkins (7.14) lygti ir (7.3) kraštines salygas. Pareikalave, kad funkcija utenkintu (7.15) pradine salyga, gausime formule

u(x, t) =

∞∑k=1

ak e−λkt vk(x), (7.17)

kurioje ak = (ϕ, vk) yra funkcijos ϕ Furje koeficientai.Nehomogenines lygties

ut + Au = f(x, t), x∈ (a, b), t > 0, (7.18)


u∣∣t=0

= 0, x∈ [a, b], (7.19)

ir (7.3) kraštines salygas, galima išreikšti eilute

u(x, t) =

∞∑k=1

vk(x)Fk(t), (7.20)

kurioje

Fk(t) =

t∫0

e−λk(t−τ) fk(τ) dτ


yra Koši ušdavinioF ′k + λk Fk = fk(t), Fk(0) = 0,

sprendinys. Cia fk = (f, vk) yra funkcijos f Furje koeficientai.Bendruoju atveju (7.18) lygties sprendini, tenkinanti (7.15) pradine ir (7.13) kraš-

tines salygas, galima rasti lygiai taip pat kaip ir hiperbolines lygties atveju.

7.2. KINTAMUJU ATSKYRIMO METODO PAGRINDIMAS 195

7.2. KINTAMUJU ATSKYRIMO METODO PAGRINDIMAS

Pirmame skyrelyje gauti mišriu kraštiniu uždaviniu formalus sprendiniai hiper-bolines ir parabolines lygciu atvejais. Šiame skyrelyje irodysime, kad formalus spren-diniai turi reikiama tolydžiu išvestiniu skaiciu , tenkina atitinkama lygti bei pradinesir kraštines salygas, jeigu tik lygciu ir pradiniu salygu dešines puses funkcijos yrapakankamai glodžios. Irodydami tai remsimes 6.5 teorema apie Furje eiluciu diferen-cijavima panariui.

Atsižvelge i 6.4 skyrelio pabaigoje esancia pastaba, atsisakysime neesminiu prie-laidu . Tiksliau, nagrinesime bendraji atveji , kai funkcija q yra tik tolydi, o α ir β – betkokie realus skaiciai, neišskiriant ir simboliu ±∞.

7.1 teorema. Tegu funkcijos ϕ, ψ ∈D(A), tenkina (7.6) kraštines salygas ir Aϕ∈HA.Tada funkcija u, apibrežta (7.7) formule, tenkina (7.1) lygti , (7.2) pradines ir (7.3)kraštines salygas. Be to, (7.7) eilute galima dukart diferencijuoti panariui pagal kinta-muosius x ir t ir gautos eilutes konverguos tolygiai, kai x∈ [a, b], t≥ 0.

/ Kadangi neigiamu tikriniu reikšmiu λk yra baigtinis skaicius, tai (7.7) eilute(arba iš jos nariu išvestiniu sudaryta eilute) konverguos tolygiai tada ir tik tada, kaitolygiai konverguos eilute (arba iš jos nariu išvestiniu sudaryta eilute)

∞∑k=m+1

(ak cos

√λk t+

bk√λk

sin√λk t

)vk(x).

Ši eilute ir eilutes, gautos dukart formaliai diferencijuojant ja pagal kintamuosius x irt, konverguos tolygiai, jeigu tolygiai konverguos eilutes:

∞∑k=m+1

(λk |vk(x)|+ |v ′k(x)|+ |v ′′k (x)|

)|ak|,

∞∑k=m+1

(√λk |vk(x)|+ 1√

λk|v ′k(x)|+ 1√

λk|v ′′k (x)|

)|bk|.

Priminsime, kad funkcija vk tenkina lygti

−p v ′′k − p ′v ′k + qvk = λkvk.

Todel paskutines dvi eilutes konverguos tolygiai, jeigu tolygiai konverguos eilutes:

∞∑k=m+1

(|vk(x)|+ |v ′k(x)|+ |v ′′k (x)|

)|ak|, (7.21)

∞∑k=m+1

(√λk |vk(x)|+ 1√

λk|v ′k(x)|

)|bk|. (7.22)


Pagal teoremos salyga funkcijos ϕ ir ψ ∈D(A), tenkina (7.6) kraštines salygas irAϕ∈HA. Todel (7.21) ir eilute

∞∑k=m+1

|v ′k(x)||bk|

konverguoja tolygiai (žr. teorema apie Furje eiluciu diferencijavima panariui). Taciautada eilute

∞∑k=m+1

1√λk|v ′k(x)||bk|

taip pat konverguoja tolygiai. Beliko irodyti, kad tolygiai konverguoja eilute

∞∑k=m+1

√λk |vk(x)||bk|. (7.23)

Pagal teoremos salyga Aψ ∈ L2(a, b) ir funkcija ψ tenkina (7.6) kraštines salygas.Todel

‖Aψ‖2 =

∞∑k=1

λ2kb

2k <∞. (7.24)

Be to, egzistuoja konstanta M1 (žr. 6.2 lema) tokia, kad

∞∑k=1

λ−1k v2

k(x)≤M1, x∈ [a, b].

Pasinaudoje Koši–Buniakovskio nelygybe, ivertinsime baigtine suma

m+n∑k=m

√λk |vk(x)||bk| ≤

√√√√m+n∑k=m

λ−1k v2

k(x)

√√√√m+n∑k=m

λ2kb

2k ≤M

12

1

√√√√m+n∑k=m

λ2kb

2k.

Kadangi (7.24) eilute konverguoja, tai

m+n∑k=m

λ2kb

2k → 0,

kai m,n→∞. Todel (7.23) eilute konverguoja tolygiai.Taigi irodeme, kad (7.7) eilute konverguoja tolygiai, kai x∈ [a, b], t≥ 0; ja galima

dukart diferencijuoti panariui pagal kintamuosius x ir t; gautos eilutes konverguojatolygiai i atitinkama funkcijos u išvestine. Taigi funkcija u tenkina (7.1) lygti , (7.2)pradines salygas

limt→0

u(x, t) = u(x, 0) =

∞∑k=1

akvk(x) = ϕ(x),

limt→0

ut(x, t) = ut(x, 0) =

∞∑k=1

bkvk(x) = ψ(x)


ir (7.3) kraštines salygas. .Nehomogenines lygties atveju formalusis (7.8), (7.9), (7.3) uždavinio sprendinys

u apibrežiamas (7.12) formule. Tarkime, funkcija f , kaip dvieju kintamuju funkcija,yra tolydi. Be to, tegu kiekvienam fiksuotam t > 0 ji, kaip kintamojo x funkcija,priklauso aibei D(A) ir tenkina (7.3) kraštines salygas. Tada funkcija u, apibrežta(7.12) formule, yra dukart diferencijuojama pagal kintamuosius x ir t, tenkina (7.8)lygti , (7.9) pradines ir (7.3) kraštines salygas. Šio teiginio neirodinesime. Nurodysimetik, kad ji galima irodyti taikant Diuamelio metoda (žr. 8.1 skyreli).

P a v y z d y s . Laisvo baigtines stygos, i tvirtintos galuose, svyravimo uždavinyssusiveda i mišriojo uždavinio

utt − uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0, (7.25)

u∣∣t=0

= ϕ(x), ut∣∣t=0

= ψ(x), x∈ [0, l], (7.26)

u∣∣x=0

= 0, u∣∣x=l

= 0, t≥ 0, (7.27)

sprendima. Jo formalusis sprendinys

u(x, t) =

∞∑k=1

(ak cos

√λk at+

bk√λk a

sin√λk at

)vk(x); (7.28)

cia

ak = (ϕ, vk), bk = (ψ, vk), vk =

√2

lsin√λk x, λk =

(πk

l

)2

.

Tegu funkcijos ϕ,ϕ′, ϕ′′, ψ, ψ′ ∈ C[a, b] , o funkcijos ϕ′′′, ψ′′ ∈ L2(0, l) ir

ϕ(0) = ϕ(l); ϕ′′(0) = ϕ′′(l); ψ(0) = ψ(l).

Remiantis 7.1 teorema, galima tvirtinti, kad funkcija u, apibrežta (7.28) formule, yra(7.25), (7.26), (7.27) uždavinio sprendinys.

Irodysime analogiška teorema parabolines lygties atveju.

7.2 teorema. Tegu funkcija ϕ∈HA. Tada funkcija u, apibrežta (7.17) formule, yratolydi juostoje [a, b]× [0,∞); turi tolydžias antros eiles išvestines pagal kintamaji x irbet kurios eiles išvestines pagal kintamaji t, kai (x, t)∈ [a, b]× (0,∞); tenkina (7.14)lygti , (7.15) pradine ir (7.16) kraštines salygas.

/ Pagal teoremos salyga ϕ∈HA. Todel eilute

∞∑k=1

|ak| |vk(x)|

segmente [a, b] konverguoja tolygiai (žr. 6.5 teorema). Cia ak yra funkcijos ϕ Furjekoeficientai. Priminsime, kad neigiamu tikriniu reikšmiu λk gali buti tik baigtinisskaicius ir λk → +∞, kai k →∞. Taciau tada ∀t≥ 0 eilute

u(x, t) =

∞∑k=1

ake−λktvk(x)


segmente [a, b] konverguoja tolygiai. Todel funkcija u∈ C([a, b]× [0,∞)) ir

limt→+0

u(x, t) = u(x, 0) =

∞∑k=1

akvk(x) = ϕ(x).

Tegu l yra sveikas teigiamas skaicius. Laisvai pasirenkame teigiamus skaicius τ irT , τ < T . Pakankamai dideliems k

e−λktλlk ≤ e−λkτλlk, ∀t∈ [τ, T ],

ir reiškinys dešineje šios nelygybes puseje yra aprežtas. Todel eilute

∞∑k=1

|ak(−λk)le−λktvk(x)|

staciakampyje [a, b]× [τ, T ] konverguoja tolygiai, o funkcijos u išvestine

∂lu

∂tl∈ C([a, b]× [τ, T ]) .

Artindami τ → 0, o T →∞, gausime

∂lu

∂tl∈ C([a, b]× (0,∞)) .

TeguG yra Gryno funkcija, atitinkanti operatoriu A ir (7.6) kraštines salygas. Tadatikrine funkcija vk yra integralines lygties

vk(x) = λk

b∫a

G(x, y) vk(y) dy

sprendinys, o jos išvestine

v′k(x) = λk

b∫a

Gx(x, y) vk(y) dy.

Padaugine paskutine lygti iš ake−λkt, užrašysime ja taip:

ake−λktv′k(x) =

b∫a

Gx(x, y)λkake−λktvk(y) dy.

Laisvai pasirenkame teigiamus skaicius τ ir T , τ < T . Gryno funkcijos išvestineGx(x, y) turi truki tik taškuose x = y. Be to, jis yra baigtinis. Todel staciakampyje[a, b]× [τ, T ] eilute

∞∑k=1

b∫a

Gx(x, y)λkake−λktvk(y) dy


konverguoja tolygiai. Kartu staciakampyje [a, b]× [τ, T ] tolygiai konverguoja eilute

∞∑k=1

ake−λktv′k(x).

Taigi funkcijos u išvestine ux ∈ C([a, b]× [τ, T ]). Artindami τ → +0, o T → ∞,gausime ux ∈ C([a, b]× (0,∞)).

Priminsime, kad tikrine funkcija vk tenkina lygti

−p v′′k − p′v′k + qvk = λkvk.

Todel eilute∞∑k=1

ake−λktv′′k (x)

konverguos tolygiai, jeigu tolygiai konverguos eilutes:

∞∑k=1

ake−λktvk(x),

∞∑k=1

akλke−λktvk(x),

∞∑k=1

ake−λktv′k(x).

Taciau šiu eiluciu tolygus konvergavimas jau irodytas. Todel

uxx ∈ C([a, b]× (0,∞)) .

Beliko irodyti, kad funkcija u tenkina (7.14) lygti , (7.15) pradine ir (7.3) kraštinessalygas. Taciau tai yra akivaizdu, nes eilute

u(x, t) =

∞∑k=1

ake−λktvk(x)

galima diferencijuoti panariui.Nehomogenines lygties atveju galima irodyti, kad funkcija u, apibrežta (7.20) for-

mule, turi tolydžias dalines išvestines ut, ux, uxx, jeigu tik funkcija

f : (0,∞)→ HA

yra tolydi.P a v y z d y s . Šilumos sklidimo strypu, kurio galuose yra palaikoma nuline tem-

peratura, uždavinys susiveda i mišriojo uždavinio

ut − uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0, (7.29)

u∣∣t=0

= ϕ(x), x∈ [0, l], (7.30)

u∣∣x=0

= 0, u∣∣x=l

= 0, t≥ 0, (7.31)

sprendima. Jo formalusis sprendinys

u(x, t) =

∞∑k=1

ake−λk a2tvk(x); (7.32)


cia

ak = (ϕ, vk), vk =

√2

lsin√λk x, λk =

(πk

l

)2

.

Tarkime, funkcija ϕ∈ C[0, l], ϕ′ ∈ L2(0, l) ir ϕ(0) = ϕ(l). Remiantis 7.2 teoremagalime tvirtinti, kad funkcija u∈ C([0, l]× [0,∞))∩C2,∞([0, l]× (0,∞)), tenkina(7.29) lygti , (7.30) pradine ir (7.31) kraštines salygas.

7.3. VIENATIES TEOREMA 201

7.3. VIENATIES TEOREMA

I rodysime, kad mišrusis uždavinys hiperbolinei ir parabolinei lygtims negali turetidvieju skirtingu sprendiniu . Hiperbolines lygties atveju nagrinesime mišru ji krašti-ni uždavini:

utt + Au = f(x, t), x∈ (a, b), t > 0, (7.33)

u∣∣t=0

= ϕ(x), ut∣∣t=0

= ψ(x), x∈ [a, b], (7.34)

u+ αux∣∣x=a


= µ(t), t≥ 0. (7.35)

7.3 teorema. Tegu A yra reguliarusis Šturmo–Liuvilio operatorius. Tada mišrusis(7.33), (7.34), (7.35) uždavinys negali tureti dvieju skirtingu sprendiniu .

/ Kadangi nagrinejamasis uždavinys yra tiesinis, tai pakanka irodyti, kad homoge-nine lygtis

utt + Au = 0, x∈ (a, b), t > 0, (7.36)

negali tureti dvieju skirtingu sprendiniu , tenkinanciu homogenines pradines

u∣∣∣t=0

= 0, ut∣∣t=0

= 0, x∈ [a, b], (7.37)

ir homogenines kraštines

u+ αux∣∣x=a

= 0, u+ β ux∣∣x=b

= 0, t≥ 0, (7.38)

salygas. Taigi reikia irodyti, kad (7.36), (7.37), (7.38) uždavinys turi tik trivialu spren-dini.

Tarkime, funkcija u yra (7.36), (7.37), (7.38) uždavinio sprendinys. Tada

t∫0

b∫a

ut(utt + Au

)dxdt = 0.

Pritaike integravimo dalimis formule, perrašysime šia tapatybe taip:

t∫0

b∫a

1

2

∂

∂t

(u2t + p u2

x + qu2)dxdt−

t∫0

p utux

∣∣∣x=b

x=adt = 0. (7.39)

Kadangi funkcija u tenkina (7.37) pradines salygas, tai (7.39) tapatybe galime perrašytitaip:

1

2

b∫a

(u2t + p u2

x + qu2)dx−

t∫0

p utux

∣∣∣x=b

x=adt = 0. (7.40)

Tarkime, (7.38) kraštinese salygose koeficientai α ir β nelygus nuliui. Tada (7.40)tapatybe galima perrašyti taip:

b∫a

(u2t + p u2

x + qu2)dx+ p

u2

β

∣∣∣x=b− p u

2

α

∣∣∣x=a

= 0.


Ivertinsime funkcijos u2 reikšmes taškuose a ir b. Imkime (6.3) nelygybeje ε =1

2p0. Tada

b∫a

(u2t +

1

2p u2

x

)dx≤C

b∫a

u2 dx; (7.41)

cia: konstanta C priklauso tik nuo α, β, p0 = minx∈ [a,b]

p(x) ir maxx∈ [a,b]

q(x).

Toki pati iverti (tik su kita konstanta) galima gauti ir tuo atveju, kai α = β = 0arba tik vienas iš skaiciu α, β lygus nuliui.

Pagal Niutono–Leibnico formule

u(x, t) =

t∫0

uτ (x, τ) dτ.

Pasinaudoje Helderio nelygybe, ivertinsime funkcijos u moduli

|u(x, t)| ≤( t∫

0

12 dτ)1/2( t∫

0

u2τ (x, τ) dτ

)1/2

.

Iš šito ivercio išplaukia nelygybe

b∫a

u2(x, t) dx≤ tt∫

0

b∫a

u2τ (x, τ) dxdτ. (7.42)

Sugretine (7.42) su (7.41), gausime

b∫a

(u2t +

1

2p u2

x

)dx≤C t

t∫0

b∫a

u2τ (x, τ) dxdτ. (7.43)

Irodysime, kad integralas

I(t) =

t∫0

b∫a

u2τ (x, τ) dxdτ

yra lygus nuliui. Akivaizdu, kad I(t)≥ 0 ir

I ′(t) =

b∫a

u2t (x, t) dx.

Atmete (7.43) nelygybeje nari1

2pu2

x, gausime nelygybe, kuria užrašysime taip:

I ′(t)≤C t I(t).

7.3. VIENATIES TEOREMA 203

Iš pastarosios nelygybes išplaukia, kad

I(t)≤ I(0) expCt2/2

.

Pagal apibrežima integralas I(0) = 0. Todel I(t) = 0, ∀t≥ 0 ir (7.43) nelygybegalime užrašyti taip:

b∫a

(u2t +

1

2p u2

x

)dx≤ 0.

Taciaub∫a

(u2t +

1

2p u2

x

)dx≥ 0.

nes koeficientas p(x)≥ p0 > 0. Sugretine šias nelygybes galime tvirtinti, kad ut =ux = 0. Taigi funkcija u yra konstanta. Taške t = 0 ši konstanta lygi nuliui (žr. (7.37)salyga). Todel u(x, t) ≡ 0 ∀x∈ [a, b], t≥ 0. Vadinasi, mišrusis (7.36), (7.37), (7.38)uždavinys turi tik trivialu sprendini. .

Parabolines lygties atveju nagrinesime mišru ji kraštini uždavini:

ut + Au = f(x, t), x∈ (a, b), t > 0, (7.44)

u∣∣t=0

= ϕ(x), x∈ [a, b], (7.45)

u+ αux∣∣x=a


= µ(t), t≥ 0. (7.46)

7.4 teorema. Tegu A yra reguliarusis Šturmo–Liuvilio operatorius. Tada mišrusis(7.44), (7.45), (7.46) uždavinys negali tureti dvieju skirtingu sprendiniu .

/ Kadangi nagrinejamas uždavinys yra tiesinis, tai pakanka irodyti, kad mišrus už-davinys

ut + Au = 0, x∈ (a, b), t > 0, (7.47)

u∣∣t=0

= 0, x∈ [a, b], (7.48)

u+ αux∣∣x=a

= 0, u+ β ux∣∣x=b

= 0, t≥ 0, (7.49)

turi tik trivialu sprendini.Tegu funkcija u yra (7.47), (7.48), (7.49) uždavinio sprendinys. Tada funkcija v =

e−λtu (skaiciu λ parinksime veliau) tenkina homogenine lygti

vt + Av + λv = 0, (7.50)

(7.48) pradine ir (7.49) kraštines salygas. Kadangi funkcija v yra (7.50) lygties spren-dinys, tai

t∫0

b∫a

v(vt + Av + λv

)dxdt = 0.


Pasinaudoje integravimo dalimis formule ir (7.48) pradine salyga, perrašysime šia ta-patybe taip:

1

2

b∫a

v2 dx+

t∫0

[ b∫a

p v2x + (q + λ)v2 dx− p vvx

∣∣∣x=b

x=a

]dt = 0. (7.51)

Parinksime skaiciu λ taip, kad reiškinys laužtiniuose skliaustuose butu neneigiamas(žr. 6 sk. 6.1 teoremos irodyma). Tada (7.51) tapatybe yra galima tik tuo atveju,kai v(x, t) ≡ 0. Prisimine funkcijos v apibrežima, galime tvirtinti, kad ir funkcijau(x, t) ≡ 0. Taigi (7.47), (7.48), (7.49) uždavinys turi tik trivialu sprendini. .

7.4. PAVYZDŽIAI 205

7.4. KAI KURIE MATEMATINES FIZIKOS UŽDAVINIUPAVYZDŽIAI

1 u ž d a v i n y s (radialinis duju svyravimas sferoje). Nagrinesime mažus duju da-leliu svyravimus sferoje. Sferos paviršiu laikysime kietu ir neskvarbiu. Treciame sky-riuje irodeme, kad duju daleliu greicio potencialas u turi tenkinti lygti

utt − a2∆u = 0, (7.52)

pradines salygasu∣∣t=0

= ϕ(r), ut∣∣t=0

= ψ(r) (7.53)

ir kraštine salyga∂u

∂r

∣∣∣r=R

= 0 (7.54)

cia: r – svyruojancios duju daleles atstumas iki sferos centro, R – sferos spindulys.Sprendžiant ši uždavini, patogu vartoti sferines koordinates:

x = r sin θ cosα, y = r sin θ sinα, z = r cos θ.

Tiesiogiai galima irodyti, kad sferinese koordinatese Laplaso operatorius

∆u =1

r2

∂

∂r(r2ur) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ(uθ sin θ) +

1

r2 sin2 θuαα.

Kadangi pradinese salygose funkcijos ϕ ir ψ priklauso tik nuo kintamojo r, tai naturalu(7.52), (7.53), (7.54) uždavinio sprendinio ieškoti kaip funkcijos u = u(r, t). Šiuoatveju funkcijos u išvestines pagal kintamuosius θ ir α yra lygios nuliui. Todel ban-gavimo lygti galime perrašyti taip:

utt − a2(urr +

2

rur

)= 0. (7.55)

Atskirojo (7.55) lygties sprendinio ieškosime pavidalu u = T (t)v(r). Istate taipapibrežta funkcija i šia lygti , gausime

T ′′(t)

a2T (t)=v′′(r) +

2

rv′(r)

v(r).

Kaireje šios lygybes puseje yra kintamojo t funkcija, o dešine – kintamojo r funkcija.Šios funkcijos sutampa tik tuo atveju, kai jos yra konstantos. Pažymekime ju bendrareikšme raide λ. Tada gausime dvi lygtis:

T ′′ + λa2T = 0, (7.56)

v′′ + 2rv′ + λv = 0 (⇔ (rv)′′ + λrv = 0). (7.57)

Be to, funkcija v turi tenkinti kraštine salyga

∂v

∂r

∣∣∣r=R

= 0. (7.58)


Ieškomas sprendinys sferos viduje turi buti tolydus. Taciau tada sferos viduje jis yraaprežtas. Kartu jis yra aprežtas ir sferos centre. Todel taške r = 0 funkcija v turitenkinti kraštine salyga

|v(0)| <∞. (7.59)

Bendrasis (7.57) lygties sprendinys

v(r) = C1sin√λ r

r+ C2

cos√λ r

r.

Taške r = 0 jis turi buti aprežtas. Todel C2 = 0. Pareikalausime, kad funkcija vtenkintu (7.58) kraštine salyga. Tada gausime lygti

√λR cos

√λR = sin

√λR.

Pažymeje√λR = µ, perrašysime ja taip:

tgµ = µ. (7.60)

Ši lygtis turi be galo daug neneigiamu šaknu . Pažymekime jas µ0, µ1, µ2, . . . Tada

λk =(µkR

)2

, vk =1

rsin

µkRr, k = 1, 2, . . . ,

yra (7.57), (7.58), (7.59) uždavinio tikrines reikšmes ir tikrines funkcijos. Be to,skaicius λ0 = 0 yra tikrine reikšme. Ja atitinka tikrine funkcija v0 = 1. Tikrinesfunkcijos vk, k = 0, 1, 2, . . . , yra ortogonalios erdveje L2,r2(0, R).

Kai λ = λk, k = 1, 2, . . . , bendrasis (7.56) lygties sprendinys

Tk(t) = αk cosµkat

R+ βk sin

µkat

R,

kai λ = λ0,T0(t) = α0 + β0t.

Todel bendrasis (7.52), (7.53), (7.54) uždavinio sprendinys

u(x, t) =

∞∑k=0

Tk(t)vk(x) =

= α0 + β0t+1

r

∞∑k=1

(αk cos

µkat

R+ βk sin

µkat

R

)sin

µkr

R(7.61)

tenkina (7.55) lygti ir (7.54) kraštine salyga. Funkcija u tenkins (7.53) pradines saly-gas, jeigu

α0 +1

r

∞∑k=1

αk sinµkr

R= ϕ(r), (7.62)

β0 +1

r

∞∑k=1

µka

Rβk sin

µkr

R= ψ(r). (7.63)


Tikrines funkcijos vk yra ortogonalios erdveje L2,r2(0, R). Be to,

R∫0

sin2 µkr

Rdr =

R

2

µk1 + µ2

k

, ∀k = 1, 2, . . . .

Todel koeficientai αk, βk tenkins (7.62), (7.63) salygas, jeigu

α0 =3

R3

R∫0

r2ϕ(r) dr, αk =2

R

1 + µ2k

µ2k

R∫0

rϕ(r) sinµkr

Rdr, k = 1, 2, . . . ,

µ0 =3

R3

R∫0

r2ψ(r) dr, βk =2

R

1 + µ2k

µ3k

R∫0

rψ(r) sinµkr

Rdr, k = 1, 2, . . . .

Funkcija u su taip apibrežtais koeficientais αk, βk tenkina (7.52) lygti , (7.53)pradines ir (7.54) kraštines salygas.

P a s t a b a . Norint apibrežti duju svyravima, primiausia reikia apibrežti ju dale-liu judejimo greiti v. Kadangi v = −gradu, tai (7.61) formules nari α0 + β0t galimaatmesti.

2 u ž d a v i n y s (radialinis duju svyravimas begaliniame cilindre). Nagrinesimemažus duju daleliu svyravimus begaliniame cilindre, kurio skersinis pjuvis yra ap-skritimas, R – apskritimo spindulys. Apsiribosime tik tokiais svyravimais, kuriu grei-cio potencialas u priklauso tik nuo laiko t ir svyruojancios daleles atstumo iki cilindroašies. Šiuo atveju patogu vartoti cilindrines koordinates:

x = r cosϕ, y = r sinϕ, z = z (r =√x2 + y2).

Cilindrinese koordinatese Laplaso operatorius

∆u = urr +1

rur +

1

r2uϕϕ + uzz.

Kadangi funkcija u nepriklauso nuo kintamuju ϕ ir z, tai bangavimo lygtis igaus tokipavidala:

utt − a2(urr +

1

rur

)= 0. (7.64)

Taigi funkcija u turi tenkinti (7.64) lygti , pradines salygas

u∣∣t=0

= ϕ(r), ut∣∣t=0

= ψ(r) (7.65)

ir kraštines salygas

|u|∣∣r=0

<∞, ∂u

∂r

∣∣∣r=R

= 0. (7.66)

Atskirojo (7.64) lygties sprendinio ieškosime pavidalu u(r, t) = T (t)v(r). Tada(7.64) išsiskaidys i dvi lygtis:

T ′′ + λa2T = 0, (7.67)


v′′ +1

rv′ + λv = 0

(⇔ −(rv′)′ = λrv

). (7.68)

Be (7.68) lygties, funkcija v dar turi tenkinti kraštines salygas:

|v(0)| <∞, ∂v

∂r

∣∣∣r=R

= 0. (7.69)

Bendrasis (7.68) lygties sprendinys (žr. 6.9 skyreli)

v(r) = C1J0(√λ r) + C2N0(

√λ r). (7.70)

Taško r = 0 aplinkoje funkcijaN0(√λ r) yra neaprežta. Todel (7.70) formuleje turime

imti C2 = 0. Pareikalave, kad funkcija v tenkintu (7.69) kraštine salyga taške r = R,gausime lygti

J ′0(√λR) = 0.

Tiesiogiai galima isitikinti, kad J ′0(x) = −J1(x). Todel pastaraja lygti galima per-rašyti dar ir taip:

J1(√λR) = 0.

Tegu µ1, µ2, . . . yra lygties J1(µ) = 0 teigiamos šaknys. Tada

λk =(µkR

)2

, vk(r) = J0

(µkrR

)yra (7.68), (7.69) uždavinio tikrines reikšmes ir tikrines funkcijos. Skaicius λ0 = 0taip pat yra tikrine reikšme. Ja atitinka tikrine funkcija v0(x) ≡ 1. Tikrines funkcijosvk, k = 0, 1, 2, . . . , yra ortogonalios erdveje L2,r(0, R).

Kai λ = λk, k = 1, 2, . . . , bendrasis (7.67) lygties sprendinys

Tk(t) = αk cosµkat

R+ βk sin

µkat

R.

Kai λ = λ0, bendrasis (7.67) lygties sprendinys

T0(t) = α0 + β0t.

Funkcija

u(r, t) = α0 + β0t+∞∑k=1

(αk cos

µkat

R+ βk sin

µkat

R

)J0

(µkrR

)(7.71)

tenkina (7.64) lygti ir (7.66) kraštines salygas. Funkcija u tenkins (7.65) pradinessalygas, jeigu

α0 +

∞∑k=1

αkJ0

(µkrR

)= ϕ(r), β0 +

∞∑k=1

µka

RβkJ0

(µkrR

)= ψ(r).

Priminsime, kad tikrines funkcijos vk yra ortogonalios erdveje L2,r(0, R). Pasinaudoješia tikriniu funkciju savybe, lengvai galime irodyti, kad

α0 =2

R2

R∫0

rϕ(r) dr, αk =2

R2J20 (µk)

R∫0

rϕ(r)J0

(µkrR

)dr,


β0 =2

R2

R∫0

rψ(r) dr, βk =2

aRµkJ20 (µk)

R∫0

rψ(r)J0

(µkrR

)dr.

Funkcija u su taip apibrežtais koeficientais αk, βk, k = 1, 2, . . . , yra (7.64), (7.65),(7.66) uždavinio sprendinys.

P a s t a b a . Kadangi duju daleliu judejimo greitis v = −gradu, tai (7.71) for-mules nari α0 + β0t galima atmesti.

3 u ž d a v i n y s (apskritos membranos svyravimas). Nagrinesime laisvus, i tvir-tintus konturo taškuose, apskritos membranos svyravimus. Tarkime, pusiausvyrospadetyje membrana yra plokštumojeOxy ir jos konturas yra apskritimas x2+y2 = R2.Tada funkcija u, aprašanti membranos svyravima, turi tenkinti dvimate bangavimolygti

utt −∆u = 0, x2 + y2 < R2, t > 0, (7.72)

pradines salygasu∣∣t=0

= ϕ(x, y), ut∣∣t=0

= ψ(x, y) (7.73)

ir kraštine salygau∣∣x2+y2=R2 = 0. (7.74)

Tegu u(x, y, t) = T (t)v(x, y). Istate taip apibrežta funkcija u i (7.72) lygti iratskyre kintamaji t nuo kintamuju x, y, gausime dvi lygtis:

T ′′ + λT = 0, (7.75)

∆v + λv = 0. (7.76)

Be to, funkcija v dar turi tenkinti kraštine salyga

v∣∣x2+y2=R2 = 0. (7.77)

Atskirojo (7.76) lygties sprendinio ieškosime kintamuju atskyrimo metodu. Var-tosime polines koordinates:

x = r cos θ, y = r sin θ, θ∈ [0, 2π], r∈ [0, R].

Polinese koordinatese Laplaso operatorius

∆v ≡ vxx + vyy = vrr +1

rvr +

1

r2vθθ.

Todel (7.76) lygti galima perrašyti taip:

vrr +1

rvr +

1

r2vθθ + λv = 0. (7.78)

Tegu v(x, y) = w(r)Φ(θ). Istate taip apibrežta funkcija v i (7.78) lygti ir atskyrekintamaji r nuo θ, gausime dvi lygtis:

r2w ′′ + rw ′ + (λr2 − µ)w = 0, (7.79)


Φ ′′ + µΦ = 0. (7.80)

Be to, funkcija Φ turi tenkinti periodiškumo salyga

Φ(θ) = Φ(θ + 2π). (7.81)

Priešingu atveju funkcija v = w(r)Φ(θ) butu daugiareikšme.Rasime (7.80), (7.81) uždavinio tikrines reikšmes ir tikrines funkcijas. Tiesiogiai

galima irodyti, kad skaiciai µk = k2, k = 0, 1, 2, . . . , yra (7.80), (7.81) uždaviniotikrines reikšmes. Tikrine reikšme µ0 atitinka normuota tikrine funkcija

Φ(θ) =1√2π.

Kiekviena tikrine reikšme µk = k2, k = 1, 2, . . . , atitinka dvi normuotos tikrinesfunkcijos:

Φk(θ) =

√2

πcos kθ, Φ∗k(θ) =

√2

πsin kθ.

Tikriniu funkciju aibe

Φk, Φ∗k

yra pilna ortonormuota erdveje L2(0, 2π) funkcijusistema.

Imkime (7.79) lygtyje µ = k2. Tada gausime

r2w ′′ + rw ′ + (λr2 − k2)w = 0. (7.82)

Be šios lygties, funcija w dar turi tenkinti kraštines salygas:

|w(0)| <∞, w(R) = 0. (7.83)

Taigi vel gavome Šturmo–Liuvilio uždavini. Tiesiogiai galima isitikinti, kad (7.82)lygtis keitiniu ρ =

√λ r susiveda i Beselio lygti . Todel vienintelis (daugiklio tikslumu)

aprežtas (7.82) lygties sprendinys

wk(r) = Jk(√λ r).

Pareikalave, kad taške r = R jis tenkintu (7.83) kraštine salyga, gausime

Jk(√λR) = 0.

Tarkime, lygties Jk(ν) = 0 šaknys yra ν(k)1 , ν

(k)2 , . . . . Tada

λ(k)n =

(ν(k)n

/R)2

yra (7.82), (7.83) uždavinio tikrines reikšmes, o

wkn(r) = Jk(ν(k)n

r

R

)/( R∫0

rJ2k

(ν(k)n

r

R

)dr) 1

2

yra jas atitinkancios tikrines funkcijos.


P a s t a b a . Dvimacio (7.76), (7.77) Šturmo–Liuvilio uždavinio tikrines reikšmes

λ(k)n =

(ν(k)n

/R)2.

Jas atitinka tikrines funkcijos:

Φk(θ)wkn(r), Φ∗k(θ)wkn(r), k = 0, 1, 2, . . . , n = 1, 2, . . . .

Šiu tikriniu funkciju aibe yra pilna ortonormuota erdveje L2,r

((0, R)× (0, 2π)

)funk-

ciju sistema.Imkime (7.75) lygtyje λ = λ

(k)n . Tada lygtis

T ′′ + λ(k)n T = 0

turi du tiesiškai nepriklausomus sprendinius:

Tkn(t) = cosν

(k)n t

R, T ∗kn(t) =

1

ν(k)n

sinν

(k)n t

R.

Funkcija

u =

∞∑k=0

∞∑n=1

((αknΦk(θ) + α∗knΦ∗k(θ)

)Tkn(t)+

+(βknΦk(θ) + β∗knΦ∗k(θ)

)T ∗kn(t)

)wkn(r)

tenkina (7.72) lygti ir (7.74) kraštine salyga. Koeficientus αkn, α∗kn ir βkn, β∗kn api-brešime taip, kad funkcija u tenkintu (7.73) pradines salygas, t.y.

∞∑k=0

∞∑n=1

(αknΦk(θ) + α∗knΦ∗k(θ)

)wkn(r) = ϕ(r, θ) ≡ ϕ(x, y),

∞∑k=0

∞∑n=1

(βknΦk(θ) + β∗knΦ∗k(θ)

)wkn(r) = ψ(r, θ) ≡ ψ(x, y).

Funkcija u su taip apibrežtais koeficientais αkn, α∗kn ir βkn, β∗kn tenkina (7.72) lygti ,(7.73) pradines ir (7.74) kraštine salygas.

4 u ž d a v i n y s (Dirichle uždavinys rutulyje). Ieškosime Laplaso lygties

∆u = 0, (x, y, z)∈BR ⊂ R3 (7.84)

sprendinio, tenkinancio kraštine salyga

u∣∣SR

= ψ(x, y, z). (7.85)

Sferinese koordinatese

x = r sin θ cosα, y = r sin θ sinα, z = r cos θ,


r∈ [0, R], θ∈ [o, π], α∈ [0, 2π], Laplaso operatorius

∆u =1

r2

∂

∂r(r2ur) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ(uθ sin θ) +

1

r2 sin2 θuαα.

Todel (7.84) lygti galima užrašyti taip:

∂

∂r(r2ur) +

1

sin θ

∂

∂θ(uθ sin θ) +

1

sin2 θuαα = 0. (7.86)

Šioje lygtyje atskirsime kintamaji r nuo kintamuju θ ir α. Tegu u = v(r)Y (θ, α).Istate taip apibrežta funkcija i (7.86) lygti , išskaidysime ja i dvi lygtis:

r2v′′ + 2rv′ = νv, (7.87)

1

sin θ

∂

∂θ(Yθ sin θ) +

1

sin2 θYαα + νY = 0. (7.88)

Fizikine prasme (7.86) lygties sprendinys turi buti aprežta vienareikšme funkcija. To-del funkcija Y turi tenkinti kraštines salygas:

|Y (0, α)| <∞, |Y (π, α)| <∞, (7.89)

Y (θ, α) = Y (θ, α+ 2π). (7.90)

Tegu Y = Q(θ)Φ(α). Istate taip apibrežta funkcija i (7.88) lygti , gausime dvi lygtis:

1

sin θ

∂

∂θ(Qθ sin θ) + νQ− µ

sin2 θQ = 0, (7.91)

Φ′′ + µΦ = 0. (7.92)

Be to, funkcija Φ turi tenkinti periodine kraštine salyga

Φ(α) = Φ(α+ 2π). (7.93)

Lengvai galima irodyti, kad skaiciai µk = k2, k = 0, 1, 2, . . . , yra (7.92), (7.93)uždavinio tikrines reikšmes. Tikrine reikšme µ0 = 0 atitinka tikrine funkcija Φ0 = 1.Tikrines reikšmes µk, k = 1, 2, . . . , atitinka tikrines funkcijos:

Φk = cos kα, Φ∗k = sin kα.

Imkime (7.91) lygtyje µ = k2. Tada funkcija Q turi tenkinti lygti

1

sin θ

∂

∂θ(Qθ sin θ) + νQ− k2

sin2 θQ = 0.

ir kraštines salygas:|Q(0)| <∞, |Q(π)| <∞.

Apibreže nauja kintamaji t = cos θ, gausime jau išnagrineta Šturmo–Liuvilio už-davini:

d

dt

((1− t2)Pt

)− k2P

1− t2+ νP = 0,


|P (−1)| <∞, |P (1)| <∞;

cia P (t) = P (cos θ) = Q(θ). Šio uždavinio tikrines reikšmes

νn = n(n+ 1), n = 0, 1, 2, . . . ,

o tikrines funkcijos P (k)n (t) yra prijungtines Ležandro funkcijos. Kai k = 0, funkcijos

P(0)n (t) = Pn(t) yra Ležandro polinomai.

Grižkime prie (7.88), (7.89), (7.90) uždavinio. Skaiciai

νn = n(n+ 1), n = 0, 1, 2, . . . ,

yra šio uždavinio tikrines reikšmes, o

Yn,0 = Pn(cos θ

), Yn,k = P (k)

n

(cos θ

)cos kα, Y ∗n,k = P (k)

n

(cos θ

)sin kα,

k = 1, 2, . . . n, yra jas atitinkancios tikrines funkcijos. Jos vadinamos elementario-siomis sferinemis funkcijomis. Galima irodyti, kad elementariosios sferines funkci-jos yra pilna ortogonali erdveje L2,sin θ

((0, π)× (0, 2π)

)= L2(S1) funkciju sistema.

Vadinasi, kitu tikriniu funkciju ir tikriniu reikšmiu (7.88), (7.89), (7.90) uždavinysneturi.

Imkime (7.87) lygtyje ν = n(n+ 1). Lygtis

r2v′′ + 2rv′ − n(n+ 1)v = 0

turi du tiesiškai nepriklausomus sprendinius: v1 = rn ir v2 = r−n−1. Pirmasis išju yra intervale (0, R) aprežtas, o antrasis taško r = 0 aplinkoje turi ypatuma. Todelaprežtas rutulyje BR Laplaso lygties atskirasis sprendinys

un = rnYn(θ, α);

cia

Yn(θ, α) = αnPn(cos θ) +

n∑k=1

(αnk cos kα+ βnk sin kα)P (k)n (cos θ).

Bendraji Laplaso lygties sprendini patogu užrašyti taip:

u =

∞∑n=0

( rR

)nYn(θ, α).

Kai r = R,

u =

∞∑n=0

Yn(θ, α).

Todel (7.85) kraštine salyga galime užrašyti taip:

∞∑n=0

Yn(θ, α) = ψ.


Ši salyga yra patenkinta, jeigu

αn =2n+ 1

4π

∫S1

ψ(θ, α)Pn(cos θ) dS,

αnk =2n+ 1

2π

(n− k) !

(n+ k) !

∫S1

ψ(θ, α)P (k)n (cos θ) cos kα dS,

βnk =2n+ 1

2π

(n− k) !

(n+ k) !

∫S1

ψ(θ, α)P (k)n (cos θ) sin kα dS;

cia dS = sin θ dθ dα – vienetines sferos ploto elementas. Funkcija u su taip apibrežtaiskoeficientais αn ir αnk, βnk yra (7.84), (7.85) uždavinio sprendinys.

5 u ž d a v i n y s (Laplaso operatoriaus tikrines reikšmes ir tikrines funkcijos ru-tulyje BR ⊂ R3). Nagrinesime uždavini

∆u = −λu, x2 + y2 + z2 < R3, (7.94)

u∣∣SR

= 0. (7.95)

Rasime jo tikrines reikšmes ir tikrines funkcijas. Sferinese koordinatese

x = r sin θ cosα, y = r sin θ sinα, z = r cos θ,

r∈ [0, R], θ∈ [o, π], α∈ [0, 2π], Laplaso operatorius

∆u =1

r2

∂

∂r(r2ur) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ(uθ sin θ) +

1

r2 sin2 θuαα.

Todel (7.94) lygti galime perrašyti taip:

urr +2

rur +

1

r2 sin θ

∂

∂θ(uθ sin θ) +

1

r2 sin2 θuαα + λu = 0.

Imkime šioje lygtyje u = v(r)Y (θ, α). Tolesne sprendimo eiga yra tokia pati kaip ir 4uždavinio. Cia tik funkcijai v gausime Šturmo –Liuvilio uždavini:

r2v′′ + 2rv′ − n(n+ 1)v + λr2v = 0, (7.96)

|v(0)| <∞, v(R) = 0. (7.97)

Vietoj funkcijos v apibrežkime nauja nežinoma funkcija ω =√r v. Tada (7.96)

lygtis virs Beselio lygtimi

ω′′ +1

rω′ +

(λ−

(n+

1

2

)2 1

r2

)ω = 0.

Jos sprendinys, aprežtas taško r = 0 aplinkoje, yra pirmos rušies Beselio funkcija

ω(r) = Jn+ 12(√λ r).


Taške r = R funkcija ω turi tenkinti (7.97) kraštine salyga. Todel

Jn+ 12(√λR) = 0.

Pažymekime√λR = µ. Tegu µ(n+ 1

2 )1 , µ

(n+ 12 )

2 , . . . yra lygties

Jn+ 12(µ) = 0

šaknys. Tada skaiciai

λin =(µn+ 1

2i

R

)2

yra (7.94), (7.95) uždavinio tikrines reikšmes. Kiekviena tikrine reikšme λin atitinka2n+ 1 tikriniu funkciju :

1√rJn+ 1

2

(µn+ 1

2i

r

R

)Yn0(θ, α),

1√rJn+ 1

2

(µn+ 1

2i

r

R

)Ynk(θ, α),

1√rJn+ 1

2

(µn+ 1

2i

r

R

)Y ∗nk(θ, α),

k = 1, 2, . . . , n.


7.5. UŽDAVINIAI

Kintamuju atskyrimo metodu išspresti kraštinius uždavinius:

1.

utt − a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= A sin πnxl , ut

∣∣t=0

= 0,

u∣∣x=0

= 0, u∣∣x=l

= 0;

cia: A – fiksuota konstanta, n – sveikas teigiamas skaicius.

2.

utt − a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= 4hl2 x(l − x), ut

∣∣t=0

= 0,

u∣∣x=0

= 0, u∣∣x=l

= 0;

cia: h – fiksuotas teigiamas skaicius.

3.

utt − a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= ϕ(x), ut∣∣t=0

= 0,

u∣∣x=0

= 0, u∣∣x=l

= 0;ϕ(x) =

hc x, x∈ [0, c],h(l−x)l−c , x∈ [c, l].

4.

utt − a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= 0, ut∣∣t=0

= ψ(x),

u∣∣x=0

= 0, u∣∣x=l

= 0;

ψ(x) =

A cos π(x−c)

h , |x− c| < h2 ,

0, |x− c| ≥ h2 ,

0≤ c− h2 < c+ h

2 ≤ l.

5.

utt + 2βut + β2u− a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= ϕ(x), ut∣∣t=0

= −βϕ(x),

u∣∣x=0

= 0, ux∣∣x=l

= 0.

6.

utt − a2uxx = A, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= 0, ut∣∣t=0

= 0,

u∣∣x=0

= 0, ux∣∣x=l

= 0.

7.

utt − a2uxx = A sinωt, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= 0, ut∣∣t=0

= 0,

u∣∣x=0

= 0, u∣∣x=l

= 0;

cia A ir ω – fiksuoti realus skaiciai.

8.

utt − a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= ϕ(x), ut∣∣t=0

= ψ(x),

u∣∣x=0

= 0, utt∣∣x=l

+ c2ux∣∣x=l

= 0.

9.

ut − a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= ϕ(x),

u∣∣x=0

= c1, u∣∣x=l

= c2;

cia c1 ir c2 – tam tikros konstantos.


10.

ut − a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= ϕ(x),

u∣∣x=0

= 0, ux∣∣x=l

+ hu∣∣x=l

= 0;

cia h – teigiama konstanta.

11.

ut − a2uxx = 0, x∈ (0, l), t > 0,u∣∣t=0

= ϕ(x),

ux∣∣x=0− hu

∣∣x=0

= 0, ux∣∣x=l

+ hu∣∣x=l

= 0;

cia h – teigiama konstanta.

12.

∆u = 0, x∈ (0, p), y ∈ (0, q),u∣∣∂Ω

= ϕ(x, y).

13.

utt − a2∆u = 0, R1 < |x| < R2, x = (x1, x2, x3)∈R3,u∣∣t=0

= 0, ut∣∣t=0

= ψ(r), r = |x|,ur∣∣r=R1

, ur∣∣r=R2

= 0.

14.

∆u = 0, x2 + y2 + z2 > R2,u∣∣SR

= ϕ(x, y, z).

15.

∆u = 0, x2 + y2 + z2 < R2,∂u

∂n

∣∣SR

= ϕ(x, y, z);

cia n – išorine sferos SR normale.


7.6. ATSAKYMAI

1. u(x, t) = A cos πnatl sin πnxl .

2. u(x, t) = 32hπ3

∞∑k=0

1(2k+1)3 sin (2k+1)πx

l cos (2k+1)πatl .

3. u(x, t) = 2hl2

π2c(l−c)

∞∑k=1

1k2 sin πkc

l sin πkxl cos πkatl .

4. u(x, t) =4hA

aπ2

∞∑k=1

1

k

sin πkcl cos πkh2l

1 + (khl )2sin πkx

l cos πkatl .

5. u(x, t) = 2l

∞∑k=0

ake−βt cos π(2k+1)at

2l sin π(2k+1)x2l ;

cia ak =l∫

0

ϕ(x) sin π(2k+1)x2l dx.

6. u(x, t) = Ax(2l−x)2a2 − 16Al2

π3a2

∞∑k=0

1(2k+1)3 cos (2k+1)πat

2l sin (2k+1)πx2l .

7. u(x, t) =∞∑k=1

2Alπ2k2a

(1− (−1)k

)ωk sinωtω2k−ω2 − ω sinωkt

ω2k−ω2

sin πkx

l ,

jeigu ω 6= ωk = πkal , ir

u(x, t) = 4Aπ

∞∑k=0

sinωt sin(2k+1)πx

l

(2k+1)(ω22k+1−ω2)

− 4Alaπ2

∞∑k=0

sin(2k+1)πat

l sin(2k+1)πx

l

(2k+1)2(ω22k+1−ω2)

,

jeigu ω = ωk = πkal .

8. u(x, t) =∞∑k=1

(ak cosλkat+ sinλkat) sinλkx;

cia: λk yra teigiamos lygties a2λ sinλl − c2 cosλl = 0 šaknys,

ak = 42λkl+sin 2λkl

l∫0

ϕ′ cosλkx dx,

bk = 4aλk(2λkl+sin 2λkl)

l∫0

ψ′ cosλkx dx.

P a s t a b a . Tikrines funkcijos sinλkx, k = 1, 2, . . . intervale (0, l) nera or-togonalios. Taciau galima irodyti, kad šiame intervale yra ortogonalios funkcijoscosλkx, k = 1, 2, . . ..

9. u(x, t) = c1 + (c2 − c1)xl +

+∞∑k=1

(2πk ((−1)kc2 − c1) + 2ak

l

)sin πkx

l exp −kπ2a2tl2 ;

cia ak =l∫

0

ϕ(x) sin πkxl dx.

N u r o d y m a s . Sprendinio galima ieškoti pavidalu u(x, t) = c1 +

+(c2 − c1)x

l+ v(x, t).

7.6. ATSAKYMAI 219

10. u(x, t) =∞∑k=1

2h2+λ2

k

h(lh+1)+λ2klak exp −λ2

ka2t sinλkx;

ak =l∫

0

ϕ(x) sinλkx dx,

λk yra teigiamos lygties λ cosλl + h sinλl = 0 šaknys.

11. u(x, t) =∞∑k=1

2akλk cosλkx+h sinλkx

h(lh+2)+λ2kl

exp −λ2ka

2t sinλkx;

ak =l∫

0

ϕ(x)(λk cosλkx+ h sinλkx) dx,

λk yra teigiamos lygties 2ctgλl = λh −

hλ šaknys.

12. u(x, y) = u0(x, y) + v(x, y),

u0(x, y) = ϕ(0, 0) + ϕ(p,0)−ϕ(0,0)p x+ ϕ(0,q)−ϕ(0,0)

q y+

+ϕ(p,q)−ϕ(p,0)−ϕ(0,q)+ϕ(0,0)pq xy;

v(x, y) =∞∑k=1

(αksh

πk(q−y)p +βkshπkyp

shπkqpsin πkx

p +

+γksh

πk(p−x)q +σkshπkxq

shπkqpsin πky

q

);

cia αk, βk ir γk, σk yra atitinkamai funkciju α(x) = ϕ(x, 0)− u0(x, 0),β(x) = ϕ(x, q)− u0(x, q) irγ(y) = ϕ(0, y)− u0(0, y), σ(y) = ϕ(p, y)− u0(p, y) Furje koeficientaiskleidžiant tikrinemis funkcijomis sin πkx

p , sin πkyq , k = 1, 2, . . . .

N u r o d y m a s . Funkcija u0 parinkti taip, kad ji staciakampio viršunese su-taptu su funkcija ϕ ir tenkintu Laplaso lygti . Funkcija v išreikšti dvieju har-moniniu funkciju , kuriu viena yra lygi nuliui, kai x = 0 ir x = p, o kita lyginuliui, kai y = 0 ir y = q, suma.

13. u(r, t) =∞∑k=1

αkcosλkr+σk sinλkr

r sin aλkt;

cia: λ1, λ2, . . . yra lygties

tgλ(R2 −R1) =λ(R2 −R1)

1 + λ2R1R2

teigiamos šaknys, o

σk =λkR2 sinλkR2 + cosλkR2

λkR2 cosλkR2 − sinλkR2, αk =

λkR1 sinλkR1 + cosλkR1

λkR1 cosλkR1 − sinλkR1.

14. u(r, θ, α) =∞∑k=0

Yk(θ, α)(Rr

)k+1.

15. u(r, θ, α) = C +∞∑k=1

Rk Yk(θ, α)

(rR

)k.

8 S K Y R I U S

Hiperbolines lygtys. Koši uždavinys

8.1. DALAMBERO FORMULE

Ieškosime vienmates bangavimo lygties

utt − a2uxx = f(x, t), x ∈ R, t > 0, (8.1)

sprendinio, tenkinancio pradines salygas:

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ R; (8.2)

cia f, ϕ, ψ – žinomos funkcijos.Bangavimo lygti atitinka charakteristiku lygtis x′2 − a2 = 0. Integruodami ja,

randame dvi charakteristiku klases:

x− at = const, x+ at = const. (8.3)

Kadangi (8.1), (8.2) Koši uždavinys yra tiesinis, tai ji patogu išskaidyti i du paprastes-nius Koši uždavinius:

utt − a2uxx = 0, u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x) (8.4)

irutt − a2uxx = f(x, t), u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0. (8.5)

Iš pradžiu rasime (8.4) Koši uždavinio sprendini. Tuo tikslu vietoje kintamuju xir t apibrešime naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = x− at, η = x+ at.

Tada homogenine bangavimo lygtis virs lygtimi

uξη = 0.

Jos bendrasis sprendinysu = c1(ξ) + c2(η);

cia c1 ir c2 – bet kokios dukart diferencijuojamos funkcijos. Istate i šita formule vietojekintamuju ξ ir η ju išraiškas kintamaisiais x ir t, gausime homogenines bangavimolygties bendraji sprendini

u = c1(x− at) + c2(x+ at). (8.6)

Funkcijas c1 ir c2 parinksime taip, kad funkcija u tenkintu (8.2) pradines salygas, t.y.pareikalausime, kad funkcijos c1 ir c2 tenkintu lygciu sistema

c1(x) + c2(x) = ϕ(x),

8.1. DALAMBERO FORMULE 221

−ac′1(x) + ac′2(x) = ψ(x).

Suintegrave antraja lygti , gausime dvieju lygciu su dviem nežinomomis funkcijomissistema. Šios sistemos sprendiniai

c1(x) =1

2ϕ(x)− 1

2a

x∫0

ψ(τ) dτ − c

2a,

c2(x) =1

2ϕ(x) +

1

2a

x∫0

ψ(τ) dτ +c

2a;

cia c – laisvoji konstanta. Pirmoje formuleje argumenta x pakeiskime x− at, o antrojeformuleje x+ at. Istate gautas funkciju c1, c2 išraiškas i (8.6) formule, gausime (8.4)Koši uždavinio sprendini

u(x, t) =1

2

(ϕ(x− at) + ϕ(x+ at)

)+

1

2a

x+at∫x−at

ψ(τ) dτ. (8.7)

Pastaroji formule vadinama Dalambero formule.Tarkime, funkcija ψ yra diferencijuojama, o funkcija ϕ – dukart diferencijuoja-

ma. Tada funkcija u, apibrežta (8.7) formule, yra dukart diferencijuojama, tenkinahomogenine bangavimo lygti ir (8.2) pradines salygas. Be to, jeigu šitos salygos yrapatenkintos, tai iš (8.7) formules išplaukia, kad (8.4) Koši uždavinio sprendinys yravienintelis ir tolygiai priklauso nuo pradiniu salygu .

P a s t a b a . Jeigu (8.4) Koši uždavinio sprendinys nagrinejamas tik trikampyje,apribotame tiesemis

x− at = const, x+ at = const, t = 0,

tai (8.2) pradines salygas pakanka apibrežti tik šio trikampio pagrinde (žr. 8.1 pav.).Rasime (8.5) Koši uždavinio sprendini. Tuo tikslu kiekvienam τ > 0 sudarome

pagalbini uždavini:vtt − a2vxx = 0, x ∈ R, t > τ, (8.8)

v|t=τ = 0, vt|t=τ = f(x, τ). (8.9)

Jeigu funkcija f yra diferencijuojama, tai pagal Dalambero formule (8.8), (8.9) Košiuždavinio sprendinys

v(x, t, τ) =1

2a

x+a(t−τ)∫x−a(t−τ)

f(y, τ) dy.

Parodysime, kad funkcija

u(x, t) =

t∫0

v(x, t, τ) dτ (8.10)

222 8. HIPERBOLINES LYGTYS

yra (8.5) Koši uždavinio sprendinys.

....................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..

............................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................. x− at = cx+ at = ct

x

8.1 pav.

Kadangi funkcija v yra (8.8), (8.9) Koši uždavinio sprendinys, tai

ut = v(x, t, t) +

t∫0

vt(x, t, τ) dτ =

t∫0

vt(x, t, τ) dτ,

utt = vt(x, t, t) +

t∫0

vtt(x, t, τ) dτ = f(x, t) +

t∫0

vtt(x, t, τ) dτ,

utt − a2uxx = f(x, t) +

t∫0

[vtt(x, t, τ)− a2vxx(x, t, τ)

]dτ = f(x, t).

Taigi funkcija u, apibrežta (8.10) formule, yra (8.5) Koši uždavinio sprendinys1.Akivaizdu, kad (8.4), (8.5) Koši uždaviniu sprendiniu suma, t.y. funkcija

u(x, t) =1

2


)+

1

2a

x+at∫x−at

ψ(y) dy+

1Šitas metodas vadinamas Diuamelio principu. Jo esme yra ta, kad tiesines nehomogenines daliniuišvestiniu lygties Koši arba mišraus uždavinio su nulinemis pradinemis salygomis sprendini galima išreikštiatitinkamu homogenines lygties sprendiniu. Pavyzdžiui, Koši uždavinio

utt + Lu = f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,

u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0

sprendini galima išreikšti formule

u(x, t) =

t∫0

v(x, t, τ) dτ,

kurioje v(x, t, τ) yra Koši uždavinio

vtt + Lv = 0, x ∈ Rn, t > τ,

v|t=τ = 0, vt|t=τ = f(x, τ)

sprendinys, o L – tiesinis diferencialinis operatorius, kurio koeficientai nepriklauso nuo t ir kuriame kin-tamojo t atžvilgiu yra ne aukštesnes kaip pirmos eiles išvestines. Analogiškai yra konstruojamas ir Košiuždavinio

ut +Mu = f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,

u|t=0 = 0

sprendinys. Cia M – tiesinis diferencialinis operatorius, kurio koeficientai nepriklauso nuo kintamojo t irkuriame yra išvestines tik pagal kintamuosius x.

8.1. DALAMBERO FORMULE 223

+1

2a

t∫0


f(y, τ) dydτ, (8.11)

yra (8.1), (8.2) Koši uždavinio sprendinys. Funkcija u yra dukart diferencijuojama,jeigu funkcijos ψ ir f yra diferencijuojamos, o funkcija ϕ – dukart diferencijuojama.

P a s t a b a . Naudojant (8.6) formule, galima rasti ne tik Koši, bet ir mišraus už-davinio sprendini. Sprendžiant mišru ji uždavini, reikia tureti omenyje tai, kad funkci-jos c1 ir c2 apibrežtos ne visoms argumentu reikšmems. Argumentai x−at ir x+at galiir nepriklausyti funkciju c1, c2 apibrežimo sritims. Taigi, sprendžiant mišru uždavini,reikia tinkamai pratesti funkcijas c1, c2 arba (tai visiškai ekvivalentu) ϕ ir ψ.

P a v y z d ž i a i : 1. Ieškosime lygties

utt − a2uxx = 0, x > 0, t > 0,

sprendinio, tenkinancio pradines salygas

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x > 0,

ir kraštine salygau|x=0 = µ(t).

Pratesime funkcijas ϕ, ψ ir µ taip:

ϕ(x) =

ϕ(x), x > 0,−ϕ(−x), x < 0, ψ(x) =

ψ(x), x > 0,−ψ(−x), x < 0,

µ(t) =

µ(t), t > 0,0, t < 0.

Tada ieškomasis sprendinys

u(x, t) =1

2


)+

1

2a

x+at∫x−at

ψ(y) dy + µ(t− x/a).

Jeigu vietoje kraštines salygosu|x=0 = µ(t)

imsime kraštine salygaux|x=0 = µ(t)

ir apibrešime funkcijas

ϕ(x) =

ϕ(x), x > 0,ϕ(−x), x < 0, ψ(x) =

ψ(x), x > 0,ψ(−x), x < 0,

µ(t) =

µ(t), t > 0,0, t < 0,


tai

u(x, t) =1

2


)+

1

2a

x+at∫x−at

ψ(y) dy − a

t− xa∫0

µ(y) dy.

2. Ieškosime lygties

utt − a2uxx = 0, x ∈ (0, l), t > 0,

sprendinio, tenkinancio pradines

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ [0, l],

ir kraštinesu|x=0 = 0, u|x=l = µ(t)

salygas.Iš pradžiu tarkime, kad µ(t) = 0. Funkcijos ϕ ir ψ yra apibrežtos segmente [0, l].

Jas nelyginiu budu prateskime i segmenta [−l, 0], o po to periodiškai (su periodu 2l)– i visa realiu ju skaiciu aši . Pažymekime gautas funkcijas ϕ ir ψ. Akivaizdu, kadfunkcija

u1(x, t) =1

2


)+

1

2a

x+at∫x−at

ψ(y) dy

tenkina nagrinejama lygti , pradines ir homogenines kraštines salygas.Tarkime, ϕ(x) = ψ(x) = 0. Funkcija

u2(x, t) = c1(x− at) + c2(x+ at), x ∈ [0, l], t > 0,

tenkina homogenine bangavimo lygti . Pareikalave, kad taške x = 0 ji tenkintu ho-mogenine kraštine salyga, gausime lygybe c1(−x) = −c2(x). Iš jos išplaukia, kad

u2(x, t) = c2(x+ at)− c2(at− x), x ∈ [0, l], t > 0.

Tare, kad funkcija u2 taške t = 0 tenkina homogenines pradines salygas, gausimec2(x) = c2(−x) = const, ∀x ∈ [0, l]. Akivaizdu, kad ši konstanta gali buti lyginuliui. Šiuo atveju

c2(x) = 0, ∀x ∈ [−l, l].Pasinaudoje kraštine salyga taške x = l, gausime

c2(at+ l)− c2(at− l) = µ(t).

Šita lygybe apibrežia funkcija c2, ∀x ∈ [−l,∞), nes jos reikšmes segmente [−l, l] yražinomos, o funkcija µ(t), kai t > 0, yra apibrežta. Taigi homogeniniu pradiniu salyguatveju sprendini galima apibrežti taip:

u2(x, t) = c2(at+ x)− c2(at− x);

cia

c2(x) =

0, x ∈ [−l, l],c2(x− 2l) + µ

(x−la

), x > l.

Bendruoju atveju nagrinejamojo kraštinio uždavinio sprendinys u = u1 + u2.

8.2. KOŠI UŽDAVINYS PLOKŠTUMOJE 225

8.2. KOŠI UŽDAVINYS PLOKŠTUMOJE

Tiesine hiperboline antros eiles lygti su dviem nepriklausomais kintamaisiais naudo-jant neišsigimusia transformacija galima suvesti i antraji kanonini pavidala. Todel iškarto nagrinesime lygti:

uxy + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f(x, y). (8.12)

Priminsime, kad pastarosios lygties charakteristikos yra tieses

x = const, y = const.

Tegu plokštumoje Oxy kreive l yra apibrežta lygtimis y = g(x) ir x = h(y) (funkcijah yra atvirkštine funkcijai g) ir ne viename taške neliecia (8.12) lygties charakteristiku .Be to, tegu funkcijos g ir h yra diferencijuojamos.

Kreives l aplinkoje ieškosime (8.12) lygties sprendinio, tenkinancio pradines saly-gas:

u|l = ϕ(x), uy|l = ψ(x). (8.13)

Tarkime, funkcijos a, b, c, f, ϕ, ϕ′ ir ψ yra tolydžios. Atkreipsime demesi i tai, kadfunkcijos u išvestine ux kreiveje l taip pat yra vienareikšmiškai apibrežta. Iš tikru judiferencijuodami pirmaja pradine salyga, gausime lygybe

ux|l + g′(x)uy|l = ϕ′(x),

kuria galima perrašyti taip:

ux|l = ϕ′(x)− g′(x)ψ(x) ≡ ω(x). (8.14)

Pažymekime ux = v, uy = w. Staciakampyje ABCD (žr. 8.2 pav.) imkime betkoki taška P (x, y). Iš jo brežiame atkarpas PM ir PN , lygiagrecias su koordinaciuašimis, iki susikirtimo su kreive l.

......................................................................................................................................................................................................................

......................................

...

...

...

...

...

...

...

...

...

..

...

...

...

...

...

...

...

......................................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

..............

x0 x1 x

y0

y1

yA B

PM

NC

D

8.2 pav.

Kaire ir dešine lygybes uy = w puses integruojame atkarpa PN , o (8.12) lygti –atkarpomis PN ir PM . Tada (8.12), (8.13) uždavinys susiveda i integraliniu lygciu


sistema:

u(x, y) = ϕ(x) +y∫

g(x)

w(x, η) dη,

v(x, y) = ω(x) +y∫

g(x)

(f(x, η)− av − bw − cu

)dη,

w(x, y) = ψ(x) +x∫

h(y)

(f(ξ, y)− av − bw − cu

)dξ.

Tegu

U =

uvw

.

Tada gauta integraline lygciu sistema galima perrašyti taip:

U = KU + F; (8.15)

cia

F =

ϕ(x)

ω(x) +y∫

g(x)

f(x, η)dη

ψ(x) +x∫

h(y)

f(ξ, y)dξ

, KU =

y∫g(x)

w(x, η)dη

y∫g(x)

(−a(x, η)v − bw − cu

)dη

x∫h(y)

(−a(ξ, y)v − bw − cu

)dξ

.

Funkcija U yra tolydus (8.15) lygties sprendinys tada ir tik tada, kai funkcija u yra(8.12), (8.13) uždavinio sprendinys. Todel pakanka išnagrineti (8.15) lygti .

Jeigu koeficientai a = b = c = 0, tai

u(x, y) = ϕ(x) + ψ(x)(y − g(x)

)+

y∫g(x)

x∫h(y)

f(ξ, η) dξ dη,

v(x, y) = ω(x) +y∫

g(x)

f(x, η) dη,

w(x, y) = ψ(x) +x∫

h(y)

f(ξ, y) dξ.

Išnagrinesime bendraji atveji . Irodysime, kad (8.15) lygtis turi tolydu sprendiniir jis yra vienintelis. Iš pradžiu isitikinsime, kad Kn yra suspaudžiantysis operatorius,jeigu tik n yra pakankamai didelis sveikas skaicius.

Tegu Ω – sritis, apribota kreive l ir atkarpomis AB ir BC (žr. 8.2 pav.),

|U| = max|u|, |v|, |w|, M = maxΩ|U|, A = max

Ω|a|+ |b|+ |c|+ 1.

Matematines indukcijos metodu irodysime nelygybe∣∣KnU(x, y)∣∣ ≤ MAn

n!(x+ y − x0 − y0)n, ∀n = 0, 1, 2, . . . . (8.16)

8.2. KOŠI UŽDAVINYS PLOKŠTUMOJE 227

Kai n = 0, nelygybe yra akivaizdi. Tegu n = 1. Tada

|KU| = max∣∣ y∫g(x)

w(x, η) dη∣∣∣,

∣∣∣ y∫g(x)

(a(x, η)v + bw + cu

)dη∣∣∣, ∣∣∣ x∫

h(y)

(a(ξ, y)v + bw + cu

)dξ∣∣∣ ≤

≤MA(x+ y − x0 − y0).

Tarkime, (8.16) nelygybe yra teisinga kokiam nors n. Irodysime, kad ji yra teisingan+ 1. Tegu un, vn ir wn yra vektoriaus KnU komponentes. Tada

|Kn+1U| = |K(KnU)| = max∣∣∣ y∫

g(x)

wn(x, η) dη∣∣∣,

∣∣∣ y∫g(x)

(a(x, η)vn + bwn + cun

)dη∣∣∣, ∣∣∣ x∫h(y)

(a(ξ, y)vn + bwn + cun

)dξ∣∣∣≤

≤ MAn

n!Amax

∣∣∣ y∫g(x)

(x+ η − x0 − η0)n dη∣∣∣, ∣∣∣ x∫

h(y)

(ξ + y − ξ0 − y0)n dξ∣∣∣ ≤

≤ MAn+1

(n+ 1)!(x+ y − x0 − y0)n+1.

Taigi ∀ n = 0, 1, 2, . . . yra teisinga (8.16) nelygybe.Tegu U ir U – bet kokie du vektoriai. Tada (žr. (8.16) nelygybe)

maxΩ

∣∣KnU−KnU∣∣ ≤ Andn

n!max

Ω

∣∣U− U∣∣; (8.17)

cia d = x1 + y1 − x0 − y0. Egzistuoja skaicius N toks, kad

Andn

n!< 1, ∀ n > N.

Tegu n > N. Tada Kn yra suspaudžiantysis operatorius.Pažymekime KU = KU + F. Pastebesime, kad∣∣KnU− KnU

∣∣ =∣∣K(Kn−1U

)+ F−K

(Kn−1U

)− F

∣∣ =

=∣∣K(Kn−1U− Kn−1U

)∣∣ = . . . =∣∣KnU−KnU

∣∣.Todel Kn taip pat yra suspaudžiantysis operatorius.


Tada lygtisKU = U,

kartu ir (8.15) lygtis turi vieninteli tolydu sprendini. Parodysime, kad (8.15) lygtiessprendinys tolygiai priklauso nuo pradiniu salygu . Tarkime,

U = KU + F, U = KU + F.

Tada

U− U = K(U− U) + F− F = K2(U− U) + K(F− F) + F− F = . . . =

= Kn(U− U) + Kn−1(F− F) + . . .+ K(F− F) + F− F

ir yra teisinga formule

U− U = Kn(U− U) + Kn−1(F− F) + . . .+ K(F− F) + F− F.

Pasinaudoje (8.17) nelygybe, ivertinsime kiekviena dešines šios lygybes pusesnari . Tada gausime iverti

(1− Andn

n!

)max

Ω|U− U| ≤ max

Ω|F− F|

n−1∑s=0

Asds

s!.

Kadangi

1− Andn

n!> 0,

tai

maxΩ|U− U| ≤

(1− Andn

n!

)−1 n−1∑s=0

Asds

s!max

Ω|F− F|.

Taigi esant mažam pradiniu duomenu pokyciui gaunamas mažas sprendinio pokytis.Apibendrindami šiuos rezultatus galime tvirtinti: jeigu funkcijos a, b, c ir f yra

tolydžios srityje Ω, o funkcijos ϕ, ϕ′ ir ψ yra tolydžios atkarpoje [x0, x1], be to, kreivel yra laisvoji (8.12) lygties atžvilgiu, tai egzistuoja vienintelis (8.12), (8.13) Koši už-davinio sprendinys, tolygiai priklausantis nuo pradiniu duomenu .

8.3. GURSA UŽDAVINYS 229

8.3. GURSA UŽDAVINYS

TeguΩ = (x, y) : 0 < x < x0, 0 < y < y0.

Srityje Ω ieškosime lygties

uxy + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f(x, y) (8.18)


u|x=0 = ϕ(y), u|y=0 = ψ(x). (8.19)

Taip suformuluotas uždavinys yra vadinamas Gursa uždaviniu.P a s t a b a . Tieses x = 0 ir y = 0 yra (8.18) lygties charakteristikos. Todel (8.19)

salygose funkcijos u išvestiniu ux ir uy laisvai apibrežti negalima.Tarkime, funkcijos a, b, c ir f yra tolydžios staciakampyje Ω, o funkcijos ϕ ir ψ

diferencijuojamos atkarpose [0, y0] ir [0, x0]. Be to, tegu ϕ(0) = ψ(0).Pažymekime ux = v, uy = w. Tada (8.18), (8.19) uždavinys, lygiai taip pat kaip ir

8.2 skyrelyje, susiveda i triju integraliniu lygciu sistema:

u(x, y) = ψ(x) +y∫0

w(x, η)dη,

v(x, y) = ψ′(x) +y∫0

(f(x, η)− av − bw − cu

)dη,

w(x, y) = ϕ′(y) +x∫0

(f(ξ, y)− av − bw − cu

)dξ.

Tegu

U =

uvw

.

Tada šia integraliniu lygciu sistema galima perrašyti kaip operatorine lygti :

U = KU + F; (8.20)

cia

F =

ψ(x)

ψ′(x) +y∫

g(x)

f(x, η)dη

ϕ′(x) +x∫

h(y)

f(ξ, y)dξ

, KU =

y∫g(x)

w(x, η)dη

y∫g(x)

(−a(x, η)v − bw − cu

)dη

x∫h(y)

(−a(ξ, y)v − bw − cu

)dξ

.

Vektorine funkcija U yra tolydus (8.20) lygties sprendinys tada ir tik tada, kaifunkcija u yra (8.18), (8.19) uždavinio sprendinys. Todel pakanka išnagrineti (8.20)


lygti . Šioje lygtyje operatorius K yra to paties tipo kaip ir (8.15) lygtyje. Be to, visosfunkcijos ieinancios i operatoriu K, tenkina reikiamas glodumo salygas. Todel galimetvirtinti, kad (8.20) lygtis staciakampyje Ω turi vieninteli tolydu sprendini, tolygiaipriklausanti nuo pradiniu duomenu .

P a s t a b a . Gursa uždavinio, taip pat (8.12), (8.13) uždavinio sprendini galimarasti nuosekliu ju artiniu metodu. Gursa uždavinio atveju pradini artini galima imtitoki:

u0 = ψ(x), v0 = ψ′(x) +

y∫0

f(x, η)dη, w0 = ϕ′(y) +

x∫0

f(ξ, y)dξ,

o kitus artinius apibrežti rekurenciosiomis formulemis:

us =

y∫0

ws−1(x, η)dη,

vs = −y∫

0

(a(x, η)vs−1 + bws−1 + cus−1

)dη,

ws = −x∫

0

(a(ξ, y)vs−1 + bws−1 + cus−1

)dξ.

Kadangi

|us| ≤MAs

s!(x+ y)s, |vs| ≤

MAs

s!(x+ y)s, |ws| ≤

MAs

s!(x+ y)s,

tai eilutes

u =

∞∑s=0

us, v =

∞∑s=0

vs, w =

∞∑s=0

ws

konverguoja tolygiai, o funkcijos u, v ir w tenkina (8.20) lygti .

8.4. RYMANO METODAS 231

8.4. RYMANO METODAS

Išvesime integraline formule, kuri apibrežia (8.12), (8.13) uždavinio sprendini funkci-jomis, esanciomis lygties ir pradiniu salygu dešinese pusese. Tarkime, diferencialinejeišraiškoje

Lu ≡ uxy + aux + buy + cu

funkcijos a ir b yra diferencijuojamos, o funkcija c tolydi. Tada operatoriu L atitinkaformaliai jungtinis operatorius

L∗v ≡ vxy − (av)x − (bv)y + cv.

Tegu l yra glodi plokštumoje Oxy kreive, ne viename savo taške neliecianti tiesiux = const, y = const; P (x0, y0) – koks nors fiksuotas taškas. Iš jo iki susikirtimo sukreive l brežiame lygiagrecias su koordinaciu ašimis atkarpas PM ir PN . Apribotakreive l ir atkarpomis PM,PN sriti pažymesime Ω.

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...............................................................................................................

........................................

...........................

........................

......................

......................

...

............................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

......................

..............

..................................

..................................

...................................

x

yP M

N

lΩ

8.3 pav.

Tarkime, srityje Ω funkcijos u ir v yra pakankamai glodžios. Tada yra teisinga Grynoformule ∫

Ω

(vLu− uL∗v) dxdy =

=

∫∂Ω

[vux cos(n, y) + auv cos(n, x) + buv cos(n, y)− uvy cos(n, x)] dl; (8.21)

cia konturas ∂Ω lygus atkarpu PM, PN ir lanko MN sumai. Kadangi atkarpos PNtaškuose cos(n, x) = −1, cos(n, y) = 0, tai (8.21) formuleje integralas šia atkarpalygus

P∫N

(vy − av)u dy.

Atkarpos PM taškuose cos(n, x) = 0, cos(n, y) = 1. Todel (8.21) formuleje inte-gralas šia atkarpa lygus

∫ M

P

(vux + buv) dx = vu∣∣∣MP−

M∫P

(vx − bv)u dx.


Istate šiuos reiškinius i (8.21) formule, perrašysime ja taip:

vu∣∣∣P

= vu∣∣∣M−∫Ω

(vLu− uL∗v) dxdy +

P∫N

(vy − av)u dy −M∫P

(vx − bv)u dx+

+

∫NM

[vux cos(n, y) + auv cos(n, x) + buv cos(n, y)− uvy cos(n, x)] dl.

Tarkime, šioje lygybeje u yra (8.12), (8.13) Koši uždavinio sprendinys, o v yra Gursauždavinio

L∗v = 0, v∣∣∣PN

= exp y∫y0

a(x, s) ds, v∣∣∣MP

= exp x∫x0

b(s, y) ds, v∣∣∣P

= 1

sprendinys. Tada

u∣∣∣P

= vu∣∣∣M−∫Ω

vf dxdy +

∫NM

[vux cos(n, y) + auv cos(n, x)+

+buv cos(n, y)− uvy cos(n, x)] dl.

Pakeite integrala konturu NM antros rušies kreiviniu integralu, gausime Rymano for-mule

u∣∣∣P

= vu∣∣∣M−∫Ω

vf dxdy +

∫NM

(vux + buv) dx+ (uvy − auv) dy. (8.22)

Funkcija v yra vadinama Rymano funkcija. Ji nepriklauso nei nuo Koši salygu , neinuo konturo l. Funkcija u ir jos išvestines ux, uy konturo NM taškuose yra žinomos.Todel (8.22) formule apibrežia (8.12), (8.13) Koši uždavinio sprendini taškeP Rymanofunkcija v ir funkcijomis, esanciomis (8.12) lygties bei (8.13) pradiniu salygu dešinesepusese.

Jeigu taikydami (8.21) Gryno formule išvestines uxy ir vxy pakeisime išvestinemisuyx ir vyx ir pakartosime (8.22) formules išvedima, tai gausime kita Rymano formule

u∣∣∣P

= vu∣∣∣N−∫Ω

vf dxdy +

∫NM

(buv − uvx) dx+ (−vuy − auv) dy, (8.23)

kuri kartais yra naudojama simetrine forma

u∣∣∣P

=1

2

(vu∣∣∣M

+ vu∣∣∣N

)−∫Ω

vf dxdy+

+1

2

∫NM

(vux − uvx + 2buv) dx+ (uvy − vuy − 2auv) dy. (8.24)


P a s t a b a . Jeigu patenkintos salygos, garantuojancios Koši ir Gursa uždaviniusprendiniu egzistavima (žr. 8.2 ir 8.3 skyrelius), tai (8.12), (8.13) Koši uždavinio spren-dini galima išreikšti bet kuria iš (8.21), (8.22), (8.23) formuliu . Be to, šios formulesapibrežia ta pati sprendini ir jis tolygiai priklauso nuo pradiniu salygu .

P a v y z d y s . Ieškosime telegrafo lygties

utt − a2uxx + 2but = 0


u|t=0 = ϕ(x), ut|t=o = ψ(x).

Apibrešime nauja nežinoma funkcija

w = ebtu.

Tada funkcija w tenkins lygti

wtt − a2wxx − b2w = 0

ir pradines salygasw|t=0 = ϕ(x), wt|t=o = ψ1(x);

cia ψ1(x) = ψ(x) + bϕ(x). Gauta lygtis yra hiperboline. Ji yra pirmojo kanoniniopavidalo. Suvesime ja i antraji kanonini pavidala. Apibrešime naujus nepriklausomuskintamuosius

ξ =b

a(x− at), η =

b

a(x+ at).

Tada gausime lygti

wξη +1

4w = 0.

Be to, pastebesime, kad, atlikus tokia kintamuju transformacija, tiese t = 0 virs tieseξ = η.

Plokštumoje Oξη pasirenkame taška P su koordinatemis ξ0, η0. Iš jo (žr. 8.4 pav.)iki susikirtimo su tiese ξ = η brežiame lygiagrecias su koordinaciu ašimis atkarpasPN ir PM.

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

....................................................................................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

..........

............................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

......................

..............

..................................

..................................

....................................

ξ

ηP

M

N

8.4 pav.

Sriti , apribota atkarpomis PN, PM ir MN, pažymesime Ω. Nagrinejamuoju atvejuRymano funkcija v yra Gursa uždavinio

vξη +1

4v = 0, (ξ, η) ∈ Ω, v

∣∣PN

= 1, v∣∣PM

= 1, v∣∣P

= 1


sprendinys. Jos ieškosime tokiu pavidalu:

v = F (√

(ξ − ξ0)(η − η0)).

Tada funkcijai F gausime lygti

F ′′(λ) +1

λF ′(λ) + F (λ) = 0;

cia λ =√

(ξ − ξ0)(η − η0). Tai yra Beselio lygtis, kurios atskirasis sprendinys yranulines eiles Beselio funkcija:

J0(λ) = 1− λ2

22+

λ4

(2 · 4)2− λ6

(2 · 4 · 6)2+ · · · .

Taške λ = 0 ji lygi vienetui. Todel galima imti

v = J0(√

(ξ − ξ0)(η − η0)).

Ieškomaji sprendini w išreikšime (8.24) formule. Nagrinejamuoju atveju a = b = f =0. Todel

w∣∣P

=1

2

(w∣∣M

+ w∣∣N

)+

1

2

∫NM

(vwξ − wvξ) dξ + (wvη − vwη)dη =

=1

2

(w∣∣M

+ w∣∣N

)+

1

2

η0∫ξ0

[v(wξ − wη)|η=ξ + w(vη − vξ)|η=ξ] dξ.

Pasinaudoje formulemis

x =a

2b(ξ + η), t =

1

2b(η − ξ),

gausimew|M = ϕ

(ab−1η0

), w|N = ϕ

(ab−1ξ0

),

w|η=ξ = ϕ(ab−1ξ

), (wξ − wη)|η=ξ =

1

bψ1

(ab−1ξ

),

(vη − vξ)|η=ξ =1

2J ′0(√

(ξ − ξ0)(η − η0))η0 − ξ0√

(ξ − ξ0)(η − η0).

Taigiw(ξ0, η0) =

1

2

ϕ(ab−1ξ0

)+ ϕ

(ab−1η0

)+

1

2

η0∫ξ0

J0(√

(ξ − ξ0)(η − η0)) · 1

bψ1

(ab−1ξ

)dξ+

+1

4

η0∫ξ0

ϕ(ab−1ξ

)J ′0(√

(ξ − ξ0)(η − η0))η0 − ξ0√

(ξ − ξ0)(η − η0)dξ.


Pereje nuo kintamuju ξ, η prie kintamuju x, t, perrašysime gauta formule taip:

w(x, t) =1

2


)+

1

2a

x+at∫x−at

Ψ(x, t, τ) dτ ;

ciaΨ(x, t, τ) = ψ1(τ)J0

(ab−1

√(τ − x)2 − a2t2

)+

+abtϕ(τ)J ′0(ab−1

√(τ − x)2 − a2t2

)· 1√

(τ − x)2 − a2t2.


8.5. ENERGETINES NELYGYBES. VIENATIES TEOREMA

Nagrinesime n-mate bangavimo lygti

utt − a2∆u = f(x, t), x ∈ Rn, t > 0. (8.25)

Ja atitinka charakteristine lygtis

ω2t − a2

n∑i=1

ω2xi = 0. (8.26)

Šios lygties sprendinys

ω(x, t) = a(t− t0)± |x− x0|

apibrežia erdveje Rn charakteristini kugi . Kugio paviršius apibrežiamas lygtimi

a(t− t0)± |x− x0| = 0.

Tegu KT – nupjautinis kugis, kurio pagrindai Ω0 ir ΩT yra plokštumose t = 0 irt = T , T ∈ [0, t0]; ST – jo šoninis paviršius (žr. 8.5 pav.).

......................................

....................................

...........................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

...

..........................................................................

.................................................................................

..................

..................

..................

..................

.........

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................

.........................

..............

.........................

..............

(x0, t0)

t

x

KT

Ω0

ΩT

ST

8.5 pav.

Tarkime, kugyje KT funkcija f yra tolydi, o funkcija u – dukart diferencijuojama irtenkina (8.25) lygti . Tada∫

KT

(utt − a2∆u)ut dxdt =

∫KT

utf dxdt. (8.27)

Pasinaudoje integravimo dalimis formule ir akivaizdžiomis tapatybemis

ututt =1

2

∂

∂tu2t , uxiuxit =

1

2

∂

∂tu2xi , ∀i = 1, 2, . . . , n,

perrašysime (8.27) tapatybe taip:∫∂KT

[1

2

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)cos(n, t)−

n∑i=1

a2uxiut cos(n, xi)]dS =

8.5. ENERGETINES NELYGYBES. VIENATIES TEOREMA 237

=

∫KT

utf dxdt; (8.28)

cia ∂KT – nupjautinio kugio KT paviršius; n – išorinis kugio KT atžvilgiu vienetinisnormales vektorius paviršiui ∂KT . Kadangi

cos(n, t)|ΩT = 1, cos(n, t)|Ω0 = −1,

cos(n, xi)|ΩT = 0, cos(n, xi)|Ω0= 0,

∀i = 1, 2, . . . , n, tai (8.28) tapatybe galima perrašyti taip:

1

2

∫Ωt

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx∣∣t=Tt=0

+1

2

∫ST

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)cos(n, t)−

− 2a2n∑i=1

uxiut cos(n, xi)dS =

∫KT

utf dxdt. (8.29)

Pastebesime, kad paviršiaus ST taškuose

ωt =∂ω

∂ncos(n, t), ωxi =

∂ω

∂ncos(n, xi), ∀i = 1, 2, . . . , n.

Istate šitas reikšmes i (8.26) lygti , gausime lygybe

cos2(n, t)− a2n∑i=1

cos2(n, xi) = 0.

Panaudoje ja (8.29) formuleje, integrala paviršiumi ST perrašysime taip:∫ST

a2

cos(n, t)

n∑i=1

(ut cos(n, xi)− uxi cos(n, t)

)2dS.

Kadangi cos(n, t)|ST > 0, tai pointegraline šio integralo funkcija yra neneigiama.Todel atmete (8.29) lygybeje integrala paviršiumi ST , gausime nelygybe∫

Ωt

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx∣∣t=Tt=0≤∫KT

2utf dxdt. (8.30)

Tuo atveju, kai f(x, t) ≡ 0, ja galima perrašyti taip:∫Ωt

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx ≤

∫Ω0

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx. (8.31)

Bendruoju atveju ∫KT

2fut dxdt ≤∫KT

f2 dxdt+

∫KT

u2t dxdt. (8.32)


Todel ∫Ωt

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx∣∣t=Tt=0≤∫KT

f2 dxdt+

∫KT

u2t dxdt. (8.33)

Kadangi integralo

I(T ) =

∫KT

u2t dxdt

išvestineI ′(T ) =

∫ΩT

u2t dx,

tai iš (8.33) lengvai galima gauti nelygybe

I ′(t) ≤∫Ω0

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx+

∫KT

f2 dxdt+ I(T ). (8.34)

Pasinaudoje ja, gausime integralo I(T ) iverti .

8.1 lema. Tarkime, ∀t > 0 funkcija y(t) yra neneigiama ir absoliuciai tolydi, o funkci-jos c1, c2 – integruojamos. Jeigu

y′(t) ≤ c1(t)y(t) + c2(t), (8.35)

tai

y(t) ≤ exp t∫

0

c1(s) ds[y(0) +

t∫0

c2(s) exp−

s∫0

c1(τ) dτds]. (8.36)

Be to, jeigu c1(t) ≥ 0, tai

y′(t) ≤ c1(t) exp t∫

0

c1(s) ds[y(0)+

+

t∫0

c2(s) exp−

s∫0

c1(τ) dτds]

+ c2(t) (8.37)

b.v. t > 0.

/ Padaugine (8.35) nelygybe iš exp−

t∫0

c1(s) ds, perrašysime ja taip:

d

dt

(y(t) exp

−

t∫0

c1(s) ds)≤ c2(t) exp

−

t∫0

c1(s) ds.

8.5. ENERGETINES NELYGYBES. VIENATIES TEOREMA 239

Integruodami šia nelygybe nuo 0 iki t, gausime (8.36) iverti . Tuo atveju, kai c1(t) ≥ 0,lengvai galima irodyti (8.37) nelygybe. .

Jeigu funkcija c1(t) yra konstanta, o c2(t) – nemažejanti funkcija, tai yra teisingostokios nelygybes:

y(t) ≤ ec1ty(0) +ec1(t) − 1

c1c2(t), y′(t) ≤

(c1y(0) + c2(t)

)ec1t.

Pritaike pirmaja nelygybe integralui I(t), gausime

I(T ) ≤(eT − 1

)∫Ω0

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx+

∫KT

f2 dxdt, ∀t > 0.

Pasinaudoje šiuo iverciu, (8.33) nelygybe perrašysime taip:∫ΩT

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx ≤

≤ eT∫

Ω0

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx+

∫KT

f2 dxdt. (8.38)

Nelygybes (8.31) ir (8.38) dažnai yra vadinamos energetinemis nelygybemis.P a s t a b a . Pateikta (8.38) nelygybes irodyma be dideliu pakeitimu galima at-

likti gana placiai hiperboliniu lygciu klasei. Šiai klasei priklauso lygtis

utt −n∑

i,j=1

aij(x, t)uxixj +

n∑i=1

ai(x, t)uxi + a(x, t)u = f(x, t);

cia: funkcijos ai, a ir f yra tolydžios, o funkcijos aij = aji yra diferencijuojamos, beto,

n∑ij=1

aijξiξj ≥ νn∑i=1

ξ2i , ∀ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn, ν = const > 0.

8.1 teorema. Tarkime, Koši uždaviniuoseutt − a2∆u = f1(x, t),u|t=0 = ϕ1(x), ut|t=0 = ψ1(x),

utt − a2∆u = f2(x, t),u|t=0 = ϕ2(x), ut|t=0 = ψ2(x)

funkcijos f1, f2 sutampa kugyje Kt0 , o funkcijos ϕ1, ϕ2 ir ψ1, ψ2 sutampa srityje Ω0.Jeigu egzistuoja šiu uždaviniu sprendiniai, tai kugyje Kt0 jie sutampa.

/ Tegu u1 yra pirmojo, o u2 – antrojo uždavinio sprendiniai. Tada kugyje Kt0

funkcija u = u1 − u2 tenkina homogenine bangavimo lygti

utt − a2∆u = 0,


o srities Ω0 taškuose nulines pradines salygas

u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0.

Todel (žr. (8.31) nelygybe)∫Ωt

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx ≤

∫Ω0

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx = 0.

Ši nelygybe yra galima tik tuo atveju, kai ut = ux1 = · · · = uxn = 0, t.y. kaiu(x, t) = const. Kadangi u(x, 0) = 0, tai u(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ Kt0 .

I š v a d a . Tegu u yra Koši uždavinioutt − a2∆u = 0, x ∈ Rn, t > 0,u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ Rn,

sprendinys. Jeigu aibiu suppϕ ir suppψ sankirta su sritimi Ω0 yra tušcia aibe, taikugyje Kt0 sprendinys u tapaciai lygus nuliui.

Pabaigoje dar irodysime, kad dukart tolygiai diferencijuojamu funkciju klaseje ne-gali egzistuoti dvieju skirtingu Darbu lygties

utt − a2∆u+λ

tut = 0, x ∈ Rn, t > 0 (λ > 0),

sprendiniu , tenkinanciu pradines salygas

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ Rn.

Tarkime, u1, u2 – du Darbu lygties sprendiniai, tenkinantys tas pacias pradinessalygas. Tada ju skirtumas u = u1 − u2 tenkins Darbu lygti ir homogenines pradinessalygas. Tegu kaip ir ankšciau KT yra kugis, apribotas charakteristiniu paviršiumi

ω(x, t) = a(t− t0)± |x− x0| = 0

ir hiperplokštumomis t = 0, t = T . Tada, elgdamiesi taip pat kaip ir bangavimolygties atveju, gausime

0 =

∫KT

(utt − a2∆u+λ

tut)ut dxdt =

=

∫KT

λ

tu2t dxdt+

1

2

∫Ωt

(u2t + a2

n∑i=1

u2xi

)dx∣∣t=Tt=0

+

+1

2

∫ST

1

cos(n, t)

n∑i=1

(ut cos(n, xi)− uxi cos(n, t)

)2dS;

cia ST kugio KT šoninis paviršius. Pagal prielaida λ > 0. Be to, paviršiaus STtaškuose cos(n, t) > 0. Todel gauta tapatybe yra galima tik tuo atveju, kai kugyje KT

funkcija u yra konstanta. Kadangi u|t=0 = 0, tai funkcija u yra lygi nuliui visamekugije KT . Tagi u1 = u2.

8.6. KOŠI UŽDAVINYS TRIMACIU ATVEJU 241

8.6. BANGAVIMO LYGTIES SPRENDIMAS TRIMACIUATVEJU. KOŠI UŽDAVINYS

Tegu n = 3. Ieškosime bangavimo lygties

utt − a2∆u = f(x, t), x ∈ R3, t > 0, (8.39)


u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ R3. (8.40)

Kadangi uždavinys yra tiesinis, tai ji galima išskaidyti i tris paprastesnius uždavinius.Kiekviena iš ju nagrinesime atskirai. Iš pradžiu rasime homogenines bangavimo lyg-ties

utt − a2∆u = 0, x ∈ R3, t > 0, (8.41)


u|t=0 = 0, ut|t=0 = ψ(x), x ∈ R3. (8.42)

Po to rasime (8.41) homogenines bangavimo lygties sprendini, tenkinanti pradines sa-lygas

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = 0, x ∈ R3. (8.43)

Pabaigoje rasime (8.39) nehomogenines bangavimo lygties sprendini, tenkinanti ho-mogenines pradines salygas

u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0, x ∈ R3.

Sudeje tokiu Koši uždaviniu sprendinius, gausime ieškomaji (8.39), (8.40) Koši už-davinio sprendini.

Pirmojo Koši uždavinio sprendinio ieškosime vidurkiu metodu. Tegu

v(x, r) =1

|Sr|

∫Sr(x)

ψ(y) dSy (8.44)

yra funkcijos ψ reikšmiu aritmetinis vidurkis sferoje

Sr(x) =y∈R3 : |x− y| = r

.

Ištirsime pagrindines funkcijos v savybes.1. Tarkime, funkcija ψ yra tolydi. Tada

v(x, 0) = ψ(x).

/ Ivertinsime skirtuma

|v(x, r)− ψ(x)| = 1

|Sr|

∣∣∣ ∫Sr(x)

(ψ(y)− ψ(x)) dSy

∣∣∣ ≤ maxy∈Br(x)

|ψ(y)− ψ(x)|.


Pagal prielaida funkcija ψ yra tolydi. Todel

maxy∈Br(x)

|ψ(y)− ψ(x)| → 0,

kai r → 0. Taigi v(x, 0) = ψ(x). .2. Tarkime, funkcija ψ yra diferencijuojama. Tada išvestine vr yra aprežta, kai

r → 0./ Kiekviena taška y ∈ Sr(x) vienareikšmiškai atitinka taškas ω ∈ S1(0), ir y =

x+ rω (žr. 8.6 pav.).

........................

...........................................................

ω rω

x r y

.................

..................................................................................................................

.................

........

..........................

......................

...........................................................................................................................................................................................................................................................

........................

......................................

..........

..........

.

..........

..........

.

.......

8.6 pav.

Be to, dSy = r2dω; cia dω – sferos S1(0) ploto elementas. Todel (8.44) formulegalima perrašyti taip:

v(x, r) =1

4π

∫S1(0)

ψ(x+ rω)dω. (8.45)

Kadangi funkcija ψ yra diferencijuojama, tai∣∣vr(x, r)∣∣ =1

4π

∣∣∣ ∫S1(0)

∂ψ(x+ rω)

∂rdω∣∣∣ ≤ max

y∈B1(x)|∇ψ(y)| <∞. .

3. Tarkime, funkcija ψ yra dukart diferencijuojama. Tada

vrr(x, r) +2

rvr(x, r) = ∆xv(x, r).

/ Pastebesime, kad

vr(x, r) =1

4π

∫S1(0)

∂ψ(x+ rω)

∂rdω =

1

4πr2

∫Sr(x)

∂ψ(y)

∂nydSy;

cia ny – sferos Sr(x) vienetinis normales vektorius taške y. Remiantis (5.5) formule,∫Sr(x)

∂ψ(y)

∂nydSy =

∫Br(x)

∆ψ(y) dy =

r∫0

∫Sρ(x)

∆ψ(y) dSdρ

(pasirinkome sferines koordinates). Todel

vr(x, r) =1

4πr2

r∫0

∫Sρ(x)

∆ψ(y) dSdρ,


o išvestine

vrr(x, r) =∂

∂r

( 1

4πr2

r∫0

∫Sρ(x)

∆ψ(y) dSdρ)

=

= −2

r

1

4πr2

r∫0

∫Sρ(x)

∆ψ(y) dSdρ+1

4πr2

∫Sr(x)

∆ψ(y) dS =

= −2

rvr(x, r) +

1

4π

∫S1(0)

∆xψ(x+ rω)dω = −2

rvr(x, r)+

+∆x

( 1

4π

∫S1(0)

ψ(x+ rω)dω)

= −2

rvr(x, r) + ∆xv(x, r).

Toliau funkcijos ψ reikšmiu aritmetini vidurki sferoje Sr(x) žymesime

ψx,r.

Parodysime, kad funkcija u(x, t) = tψx,at yra (8.41), (8.42) Koši uždavinio spren-dinys. Tiksliau, irodysime teorema.

8.2 teorema. Tegu ψ – dukart diferencijuojama erdveje R3 funkcija. Tada funkcija

u(x, t) = tψx,at =1

4πa2t

∫Sat(x)

ψ(y) dS

yra (8.41), (8.42) Koši uždavinio sprendinys.

/ Pasinaudoje 1 ir 2 funkcijos v savybemis, parodysime, kad funkcija u tenkinapradines salygas:

u|t=0 = 0 · ψ(x) = 0,

ut|t=0 = ψx,at|t=0 + at∂

∂atψx,at|t=0 = ψ(x).

Pasinaudoje 3 funkcijos v savybe, irodysime, kad funkcija u tenkina homogenine ban-gavimo lygti:

utt = 2a∂

∂atψx,at + ta2 ∂2

∂(at)2ψx,at =

= ta2

2

at

∂

∂atψx,at +

∂2

∂(at)2ψx,at

= ta2∆xψx,at =

= a2∆xtψx,at = a2∆u. .

8.3 teorema. Tegu ϕ yra triskart diferencijuojama erdveje R3 funkcija. Tada funkcija

u(x, t) =∂

∂t

(tϕx,at

)yra (8.41), (8.43) Koši uždavinio sprendinys.


/ Pasinaudoje 1 ir 2 funkcijos v savybe, gausime

u|t=0 = ϕx,at|t=0 + at∂

∂atϕx,at|t=0 = ϕ(x).

Naudodamiesi 3 funkcijos v savybe, suskaiciuosime išvestine

ut = 2a∂

∂atϕx,at + a2t

∂2

∂(at)2ϕx,at = a2t∆xϕx,at.

Kai t → 0, reiškinys ∆xϕx,at yra aprežtas. Todel išvestine ut|t=0 = 0. Be to,akivaizdu, kad

utt =∂

∂t

[a2t∆xϕx,at

]= a2∆x

∂

∂t

(tϕx,at

)= a2∆u.

Taigi funkcija u yra (8.41), (8.43) Koši uždavinio sprendinys. .Tarkime, yra patenkintos 2 ir 3 teoremu salygos. Tada funkcija

u(x, t) = tψx,at +∂

∂t

(tϕx,at

)(8.46)

tenkina (8.41) lygti ir (8.40) pradines salygas.I š v a d a . Tarkime, funkcijos ϕ ir ψ yra lygios nuliui aprežtos srities Ω ⊂ R3

išoreje, o pacioje srityje Ω igyja bet kokias reikšmes. Kadangi (8.46) formuleje in-tegruojama sfera Sat(x), kurios centras yra taške x, o spindulys lygus at, tai (8.41),(8.40) Koši uždavinio sprendinys:

u(x, t) ≡ 0, kai at < d,

u(x, t) 6≡ 0, kai d < at < D,

u(x, t) ≡ 0, kai D > at;

cia: d = infy∈Ω|x− y|, D = sup

y∈Ω|x− y|.

Beliko rasti (8.39) lygties sprendini, tenkinanti homogenines pradines salygas.Remdamiesi Diuamelio principu, suformuluosime pagalbini Koši uždavini:

wtt − a2∆w = 0, x ∈ R3, t > τ,w|t=τ = 0, wt|t=τ = f(x, t), x ∈ R3.

(8.47)

Tarkime, funkcija f(x, t) turi tolydžias antros eiles išvestines kintamuju x atžvilgiu iryra tolydi kintamojo t atžvilgiu. Tada pagal (8.46) formule (8.47) uždavinio sprendinys

w(x, t, τ) = (t− τ)fx,a(t−τ).

Akivaizdu, kad funkcija

u(x, t) =

t∫0

w(x, t, τ) dτ


ir jos išvestine

ut = w(x, t, t) +

t∫0

wt(x, t, τ) dτ =

t∫0

wt(x, t, τ) dτ

taške t = 0 lygios nuliui. Parodysime, kad funkcija u tenkina (8.39) lygti . Iš tikru ju

utt = wt(x, t, t) +

t∫0

wtt(x, t, τ) dτ =

= f(x, t) + a2∆

t∫0

w(x, t, τ) dτ = f(x, t) + a2∆u.

Integrale

u(x, t) =

t∫0

w(x, t, τ) dτ

vietoje kintamojo τ apibrešime nauja kintamaji r = a(t− τ). Tada

u(x, t) =

t∫0

1

4πa2(t− τ)

∫Sa(t−τ)(x)

f(y, τ) dSy

dτ =

=1

4πa2

at∫0

1

r

∫Sr(x)

f(y, t− r/a) dSdr =1

4πa2

∫Bat(x)

1

rf(y, t− r/a) dy;

cia r = |x− y|.Tegu funkcijos ϕ, ψ ir f tenkina nurodytas salygas. Tada funkcija

u(x, t) = tψx,at +∂

∂t

(tϕx,at

)+

1

4πa2

∫Bat(x)

1

rf(y, t− r/a) dy (8.48)

yra (8.39), (8.40) Koši uždavinio sprendinys. Formule (8.48) yra vadinama Kirchhofoformule.

P a s t a b a . Jeigu funkcijos ϕ, ψ ir f yra pakankamai glodžios, o funkcija uyra (8.39), (8.40) Koši uždavinio sprendinys, tai pagal vienaties teorema ši sprendinigalima išreikšti (8.48) formule. Be to, iš pacios formules matyti, kad maži tam tikraprasme funkciju ϕ, ψ ir f pokyciai duos maža sprendinio pokyti . Jeigu funkciju ϕ, ψir f glodumas yra mažesnis už ta, kuris reikalingas (8.48) formulei išvesti, tai funkcijau, apibrežta (8.48) formule, jau nebus dukart diferencijuojama. Kartu ji nebus (8.39),(8.40) Koši uždavinio sprendinys. Taciau tai dar nereiškia, kad (8.39), (8.40) Košiuždavinio sprendinys neegzistuoja. Šiuo atveju galime tvirtinti tik tai, kad jo negalimaišreikšti (8.48) formule. Kitais metodais galima irodyti (8.39), (8.40) Koši uždaviniosprendinio egzistavima, reikalaujant iš funkciju ϕ, ψ ir f mažesnio glodumo.


8.7. BANGAVIMO LYGTIES SPRENDIMAS DVIMACIUATVEJU. KOŠI UŽDAVINYS

Iš pradžiu nagrinesime Koši uždavini:utt − a2∆u = 0, x ∈ R2, t > 0,u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ R2.

(8.49)

Jo sprendini išreikšime (8.46) formule. Funkcija

u(x, t) =1

4πa2t

∫Sat(x)

ψ(y) dS +∂

∂t

( 1

4πa2t

∫Sat(x)

ϕ(y) dS), x ∈ R3, t > 0,

tenkina trimate bangavimo lygti ir (8.40) pradines salygas. Tarkime, šioje formulejefunkcijos ϕ ir ψ nepriklauso nuo treciojo argumento x3, t.y. ϕ = ϕ(x1, x2), ψ =ψ(x1, x2). Tada funkcija u(x, t) taip pat nepriklausys nuo argumento x3 ir tenkinsdvimate bangavimo lygti . Tai leidžia (8.46) formuleje integralus sfera Sat(x) ⊂ R3

suvesti i integralus skrituliu Bat(x) ⊂ R2.Tegu dσ = dy1dy2 – sferos Sat(x) elemento dS projekcija i plokštuma y3 = 0.

Tada (žr. 8.7 pav.)

........

........

........

........

........

........

...................................................................................................................................

.........................

.........................

.............................................................................................................................................................

......................................

...........................

....................

............................................................................................................................................................................................................

..................................................................................

............................................................................................................

................................................................................................................................

........................................

........................................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

................

y1

y2

y3

x

atdS

γ

dσ.....................

..............

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.................

..............

................................................................................................................................................................................. ..............

.................................. .................... ..............

........

........

.........................................

..................

....................

.......................

............................

....................................................

...............

....................................

8.7 pav.

cos γ =dσ

dS=

√(at)2 − (x1 − y1)2 − (x2 − y2)2

at.

Todel (8.46) formule galima užrašyti taip:

u(x1, x2, t) =1

2πa

∫Bat(x)

ψ(y1, y2) dy1dy2√(at)2 − (x1 − y1)2 − (x2 − y2)2

+

+1

2πa

∂

∂t

∫Bat(x)

ϕ(y1, y2) dy1dy2√(at)2 − (x1 − y1)2 − (x2 − y2)2

. (8.50)

Jeigu ϕ yra triskart, o ψ – dukart diferencijuojamos erdveje R2 funkcijos, tai funkcijau, apibrežta (8.50) formule, yra ieškomasis (8.49) Koši uždavinio sprendinys. Formule(8.50) yra vadinama Puasono formule.

8.7. KOŠI UŽDAVINYS DVIMACIU ATVEJU 247

I š v a d a . Funkcijos u reikšme taške (x1, x2, t) yra apibrežta (žr. (8.50)), jeigufunkciju ϕ ir ψ reikšmes yra žinomos ne sferoje

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 = (at)2,

kaip yra trimaciu atveju, o visame skritulyje

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 ≤ (at)2.

Tarkime, funkcijos ϕ ir ψ lygios nuliui aprežtos srities Ω ⊂ R2 išoreje, o srities Ωviduje gali igyti bet kokias reikšmes. Tada (8.50) formule apibrežtas (8.49) Koši už-davinio sprendinys

u(x, t) ≡ 0, kai at < d,

u(x, t) 6≡ 0, kai d < at < D,

u(x, t) 6≡ 0, kai D > at;

cia: d = infy∈Ω|x− y|, D = sup

y∈Ω|x− y|.

Beliko išspresti Koši uždavini:utt − a2∆u = f(x, t), x ∈ R2, t > 0,u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0, x ∈ R2.

(8.51)

Jo sprendini galima rasti taikant Diuamelio principa. Tegu f(x, t) yra dukart diferen-cijuojama kintamojo x atžvilgiu funkcija ir tolydi kintamojo t atžvilgiu. Tada, lygiaitaip pat kaip ir trimaciu atveju, galima irodyti, kad (8.51) Koši uždavinio sprendinys

u(x1, x2, t) =

=1

2πa

t∫0

∫Ba(t−τ)(x)

f(y1, y2, τ) dy1dy2√a2(t− τ)2 − (x1 − y1)2 − (x2 − y2)2

dτ. (8.52)

P a s t a b a . Jeigu (8.50) Puasono formuleje funkcijos ϕ ir ψ nepriklauso nuoantrojo argumento, t.y. ϕ = ϕ(x1), ψ = ψ(x1), tai sprendinys u taip pat nepriklausysnuo jo. Kartu jis tenkins vienmate bangavimo lygti . Galima parodyti, kad dvimatesbangavimo lygties sprendinys, apibrežtas (8.50) formule, susiveda i vienmates banga-vimo lygties sprendini, apibrežta (8.7) Dalambero formule.


8.8. BANGAVIMO LYGTIES SPRENDIMAS n-maciuATVEJU. KOŠI UŽDAVINYS

Tegu u ∈ C2(Rn × Rn). Funkcijos u reikšmiu aritmetini vidurki n-mate sfera

Sr(x) = y∈Rn : |x− y| = r

apibrešime formulemis:

v(x, y, r) =1

|Sr|

∫Sr(x)

u(z, y) dSz,

w(x, y, r) =1

|Sr|

∫Sr(y)

u(x, z) dSz.

I rodysime, kad funkcijos v ir w sutampa, jeigu funkcija u tenkina lygti

∆xu = ∆yu; (8.53)

cia: ∆xu =n∑i=1

uxixi , ∆yu =n∑i=1

uyiyi .

Tegu z ∈ Sr(x). Tada z = x + rω, dSz = rn−1dω, ω ∈ S1(0) (žr. 8.6 pav.) irfunkcijas v ir w galima užrašyti taip:

v(x, y, r) =1

|S1|

∫S1(0)

u(x+ rω, y) dω,

w(x, y, r) =1

|S1|

∫S1(0)

u(x, y + rω) dω.

Akivaizdu, kad funkciju v ir w reikšmes taške r = 0 sutampa ir

v(x, y, r)|r=0 = w(x, y, r)|r=0 = u(x, y).

Rasime išvestines

vr(x, y, r) =1

|S1|

∫S1(0)

∂u(x+ rω, y)

∂rdω =

=1

|Sr|

∫Sr(x)

∂u(z, y)

∂nzdSz =

1

|Sr|

∫Br(x)

∆zu(z, y) dz,

wr(x, y, r) =1

|S1|

∫S1(0)

∂u(x, y + rω)

∂rdω =

8.8. KOŠI UŽDAVINYS n-maciu ATVEJU 249

=1

|Sr|

∫Sr(y)

∂u(x, z)

∂nzdSz =

1

|Sr|

∫Br(y)

∆zu(x, z) dz.

Kadangi sferos Sr plotas proporcingas rn−1, o rutulio Br turis proporcingas rn, tai

vr(x, y, r)∣∣r=0

= wr(x, y, r)∣∣r=0

= 0.

Pasinaudodami sferinemis koordinatemis, išvestines vr ir wr perrašysime taip:

vr(x, y, r) =1

|Sr|

r∫0

∫Sρ(x)

∆zu(z, y) dSzdρ,

wr(x, y, r) =1

|Sr|

r∫0

∫Sρ(y)

∆zu(x, z) dSzdρ.

Diferencijuodami šias lygybes kintamojo r atžvilgiu, gausime:

vrr = − (n− 1)

rvr +

1

|Sr|

∫Sr(x)

∆zu(z, y) dSz,

wrr = − (n− 1)

rwr +

1

|Sr|

∫Sr(y)

∆zu(x, z) dSz.

Kadangi funkcija u yra (8.53) lygties sprendinys, tai funkcijos v ir w tenkina ta paciaDarbu lygti:

vrr −∆xv +(n− 1)

rvr = 0,

wrr −∆xw +(n− 1)

rwr = 0.

Be to, funkcijos v ir w tenkina tas pacias pradines salygas. Taciau Darbu lygtiesKoši uždavinio sprendinys, jeigu jis egzistuoja, yra vienintelis (žr. 5 skyreli). Todelv(x, y, r) = w(x, y, r).

Teisingas ir atvirkšcias teiginys, t.y., jeigu u ∈ C2(Rn × Rn) ir jos vidurinesreikšmes v ir w sutampa, tai funkcija u tenkina (8.53) lygti .

Atkreipsime demesi dar i tai, kad funkcija u gali ir nepriklausyti nuo kai kuriuargumentu . Toliau nagrinesime atveji , kai u = u(x, y1).

Tarkime, dukart tolydžiai diferencijuojama funkcija u tenkina homogenine banga-vimo lygti ir neigiamiems t lyginiu budu ja galima pratesti, išlaikant gloduma. Pratestafunkcija pažymekime ta pacia raide u. Tada taške t = 0 funkcija u sutampa su kokianors dukart tolydžiai diferencijuojama erdveje R3 funkcija ϕ, o jos išvestine ut lyginuliui. Be to, pratesta funkcija tenkina lygti ∆xu = uy1y1

; cia y1 = at. Todel jos


vidurines reikšmes sutampa1, t.y.

1

|Sr|

∫Sr(x)

u(z, t) dSz =1

|Sr|

∫Sr(at)

u(x, z1/a) dSz.

Jeigu šioje lygybeje t = 0, tai gausime integraline lygti

1

|Sr|

∫Sr(x)

ϕ(y) dSy =1

|Sr|

∫Sr(0)

u(x, z1/a) dSz. (8.54)

Taigi n-maciu atveju Koši uždavinioutt − a2∆u = 0, x ∈ Rn, t > 0,u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = 0, x ∈ Rn,

(8.55)

sprendimas susivede i (8.54) integralines lygties sprendima. Toliau nagrinesime šialygti . Iš pradžiu pastebesime, kad sferos Sr(0) ploto elementas

dSz =r√

r2 − z21 − · · · − z2

n−1

dz1 . . . dzn−1, r2 =

n∑i=1

z2i .

Pasirinke z1 = rα, z2 = r√

1− α2t2, · · · , zn = r√

1− α2tn, gausime

dSz = rn−1(1− α2)n−3

2 dαdt2 · · · dtn−1√

1− t22 − · · · − t2n−1

.

Todel (8.54) lygti galima perrašyti taip:

1

|Sr|

∫Sr(x)

ϕ(y) dSy =2

|S1||σ1|

1∫0

(1− α2)n−3

2 u(x, ra/α) dα; (8.56)

cia |σ1| – vienetines (n − 1)-mates sferos plotas. Priminsime, kad vienetines n-matessferos plotas |S1| = 2πn/2Γ−1(n/2).

Toliau funkcijos ϕ reikšmiu aritmetini vidurki sferoje Sr(x) žymesime ϕx,r.Tegu (8.56) lygtyje r = a

√t, α√t =√τ . Tada ja galima perrašyti taip:

tn−2

2 ϕx,a√t =1

|S1||σ1|

t∫0

(t− τ)n−3

2u(x,√τ)√

τdτ. (8.57)

1Jeigu funkcija u nepriklauso nuo paskutinio argumento, t.y. tenkina Laplaso lygti ∆xu = 0, tai josreikšme sferos centre lygi jos reikšmiu sferoje aritmetiniam vidurkiui, t.y.

u(x) =1

|Sr|

∫Sr(x)

u(y) dSy .

8.8. KOŠI UŽDAVINYS n-maciu ATVEJU 251

Nagrinejant šia lygti , patogu išskirti lyginio ir nelyginio n atvejus. Iš pradžiu tar-kime, n nelyginis. Tada diferencijuodami abi (8.57) lygties puses n−1

2 kartu , gausimelygybe

∂n−1

2

∂tn−1

2

(tn−2

2 ϕx,a√t)

=1

|S1||σ1|((n− 3)/2

)!u(x,√t)√

t,

iš kurios rasime

u(x, t) =|S1|

|σ1|(n−3

2

)!t∂n−1

2

∂(t2)n−1

2

(tn−2ϕx,at

). (8.58)

Tarkime n lyginis. Diferencijuodami (8.57) lygti n−22 kartu , gausime lygti1

∂n−2

2

∂tn−2

2

(tn−2

2 ϕx,a√t)

=|σ1||S1|

n− 3

2· n− 5

2· · · 1

2

t∫0

1√t− τ

u(x,√τ)√

τdτ.

Jos sprendini galima išreikšti formule

u(x,√τ)√

τ=

|S1|√π|σ1|Γ(n−1

2 )

∂

∂t

t∫0

1√t− τ

∂n−2

2

∂τn−2

2

(τn−2

2 ϕx,a√τ)dτ.

Iš šios formules randame

u(x, t) =|S1|Γ−1(n−1

2 )√π|σ1|

∂

∂t

t∫0

τ√t2 − τ2

∂n−2

2

∂(τ2)n−2

2

(τn−2ϕx,aτ

)dτ. (8.59)

Tegu funkcija ϕ ∈ C[ n2 ]+2(Rn). Tada funkcija u, apibrežta (8.58) arba (8.59)

formule, yra (8.55) Koši uždavinio sprendinys.Tarkime, funkcija v yra Koši uždavinio

vtt − a2∆v = 0, x ∈ Rn, t > 0,v|t=0 = ψ(x), vt|t=0 = 0, x ∈ Rn,

1Gautoji lygtis yra integraline Abelio lygtis ir priklauso pirmos rušies Voltero lygciu klasei. Abeliolygties

t∫0

µ(s)√t− s

ds = ν(t)

sprendinys

µ(t) =1

π

d

dt

t∫0

ν(s)√t− s

ds.

Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kadτ∫

0

ν(t)√τ − t

dt =

τ∫0

µ(s)

[ τ∫s

dt√(τ − t)(t− s)

]ds = π

τ∫0

µ(s) ds

(laužtiniuose skliaustuose darome keitini t = s+ (τ − s)v) ir gauta reiškini diferencijuojame τ atžvilgiu).


sprendinys. Tada funkcija

u(x, t) =

t∫0

v(x, τ) dτ

yra Koši uždavinioutt − a2∆u = 0, x ∈ Rn, t > 0,u|t=0 = 0, ut|t=0 = ψ(x), x ∈ Rn,

(8.60)

sprendinys. Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad

u|t=0 = 0, ut|t=0 = v(x, t)|t=0 = ψ(x),

utt − a2∆u = vt − a2

t∫0

∆v dτ =

t∫0

(vtt − a2∆v) dτ = 0.

Tegu ψ ∈ C[ n2 ]+1(Rn). Tada funkcija

u(x, t) =|S1|

|σ1|(n−3

2

)!

t∫0

τ∂n−1

2

∂(τ2)n−1

2

(τn−2ψx,aτ

)dτ, (8.61)

kai n – lyginis, ir funkcija

u(x, t) =|S1|√

π|σ1|Γ(n−12 )

t∫0

τ√t2 − τ2

∂n−2

2

∂(τ2)n−2

2

(τn−2ψx,aτ

)dτ, (8.62)

kai n – nelyginis, yra (8.60) Koši uždavinio sprendinys. Sudeje (8.55) ir (8.60) Košiuždaviniu sprendinius su atitinkamais n, gausime Koši uždavinio

utt − a2∆u = 0, x ∈ Rn, t > 0,u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ Rn,

(8.63)

sprendini.Nehomogenines bangavimo lygties

utt − a2∆u = f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,

sprendini, tenkinanti homogenines pradines salygas, galima rasti taikant Diuamelioprincipa.

8.9. TELEGRAFO LYGTIS. KOŠI UŽDAVINYS 253

8.9. TELEGRAFO LYGTIS. KOŠI UŽDAVINYS

Bendrojo pavidalo telegrafo lygti

wtt − a2∆w + 2bwt + cw = F (x, t), x ∈ Rn, t > 0,

apibrežus nauja ieškoma funkcija

v = e−btw,

galima suvesti i paprastesne

vtt − a2∆v − (b2 − c)v = F (x, t)ebt.

Tuo atveju, kai b2 − c > 0, šia lygti galima perrašyti taip:

vtt − a2∆v − λ2v = f(x, t);

cia: λ =√b2 − c, f(x, t) = F (x, t)ebt.

Rasime homogenines telegrafo lygties

vtt − a2∆v − λ2v = 0, x ∈ Rn, t > 0, (8.64)


v∣∣t=0

= ϕ(x), vt∣∣t=0

= ψ(x). (8.65)

Nehomogenines telegrafo lygties sprendini, tenkinanti homogenines pradines salygas,galima rasti taikant Diuamelio principa.

Koši uždavinio (8.64), (8.65) sprendinio ieškosime pagalbinio kintamojo ivedimometodu. Tegu funkcija v tenkina n-mate (8.64) telegrafo lygti ir (8.65) pradines saly-gas. Tada tiesiogiai galima parodyti, kad funkcija

u(x, xn+1, t) = v(x, t)eλxn+1

tenkina (n + 1)-mate homogenine bangavimo lygti

utt − a2∆u = 0, ∆u =

n+1∑i=1

uxixi (8.66)

ir pradines salygas

u∣∣t=0

= ϕ(x)eλxn+1 , ut∣∣t=0

= ψ(x)eλxn+1 . (8.67)

Jeigu funkcijosϕ ∈ C[ n+1

2 +2](Rn), ψ ∈ C[ n+12 +1](Rn),

tai šio Koši uždavinio sprendinys yra vienintelis ir ji galima išreikšti (8.58), (8.59),(8.61), (8.62) formulemis. Pavyzdžiui, kai n = 1, (8.66), (8.67) Koši uždavinio spren-dini galima išreikšti Puasono formule:

u(x1, x2, t) =1

2πa

∫Bat(x)

ψ(y1)eλy2 dy1dy2√(at)2 − (x1 − y1)2 − (x2 − y2)2

+


+1

2πa

∂

∂t

∫Bat(x)

ϕ(y1)eλy2 dy1dy2√(at)2 − (x1 − y1)2 − (x2 − y2)2

.

Padalije abi šios lygybes puses iš eλx2 ir pažymeje ξ1 = y1−x1, ξ2 = y2−x2, rasime(8.64), (8.65) Koši uždavinio sprendini

v(x1, t) =1

2πa

∫Bat(0)

ψ(x1 + ξ1)eλξ2dξ1dξ2√(at)2 − ξ2

1 − ξ22

+

+1

2πa

∂

∂t

∫Bat(0)

ϕ(x1 + ξ1)eλξ2dξ1dξ2√(at)2 − ξ2

1 − ξ22

.

Tegu n = 2, x = (x1, x2, x3). Tada (8.66), (8.67) Koši uždavinio sprendini galimaišreikšti Kirchhofo formule:

u(x, t) =1

4πa2t

∫Sat(x)

ψ(y1, y2)eλy3 dSy+

+1

4πa2

∂

∂t

∫Sat(x)

ϕ(y1, y2)

teλy3 dSy.

Padalije abi šios lygybes puses iš eλx3 ir pažymeje ξ1 = y1 − x1, ξ2 = y2 − x2, ξ3 =y3 − x3, x = (x1, x2) rasime (8.64), (8.65) Koši uždavinio sprendini

v(x1, x2, t) =1

4πa2t

∫Sat(0)

ψ(x1 + ξ1, x2 + ξ2)eλξ3 dSξ+

+1

4πa2t

∂

∂t

∫Sat(0)

ϕ(x1 + ξ1, x2 + ξ2)

teλξ3 dSξ.

Tegu n = 3, x = (x1, x2, x3, x4). Tada remdamiesi (8.59) ir (8.62) formulemis galimetvirtinti, kad (8.66), (8.67) Koši uždavinio sprendinys

u(x, t) =

t∫0

τ√t2 − τ2

∂

∂τ2

(τ2 1

|Sat|

∫Saτ (x)

ψ(y1, y2, y3)eλy4 dSy

)dτ +

+∂

∂t

t∫0

τ√t2 − τ2

∂

∂τ2

(τ2 1

|Saτ |

∫Saτ (x)

ϕ(y1, y2, y3)eλy4 dSy

)dτ.

Padalije abi šios lygybes puses iš eλx4 ir apibreže nauja kintamaji ρ = (τ/t)2, rasime(8.64), (8.65) Koši uždavinio sprendini

v(x′, t) =t

4π2

1∫0

1√1− ρ

∂

∂ρ

(ρ

∫S1(0)

ψ(x′ + at√ρω)eλat

√ρω4dω

)dρ+

8.9. TELEGRAFO LYGTIS. KOŠI UŽDAVINYS 255

+∂

∂t

t

4π2

1∫0

1√1− ρ

∂

∂ρ

(ρ

∫S1(0)

ϕ(x′ + at√ρω)eλat

√ρω4dω

)dρ

;

cia ω = (ω1, ω2, ω3, ω4), x′ = (x1, x2, x3).


8.10. UŽDAVINIAI

1. Išspresti Koši uždavini:

1.1. uxx + 2uxy − 3uyy = 0, u|y=0 = 3x2, uy|y=0 = 0.

1.2. 4y2uxx + 2(1− y2)uxy − uyy − 2y1+y2 (2ux − uy) = 0,

u|y=0 = ϕ(x), uy|y=0 = ψ(x).

1.3. uxx + 2 cosxuxy − sin2 xuyy − sinxuy = 0,u|y=sin x = ϕ(x), uy|y=sin x = ψ(x).

1.4. uxx + 4uxy − 5uyy + ux − uy = 0, u|y=0 = ϕ(x), uy|y=0 = ψ(x).

1.5. x2uxx − 2xyuxy − 3y2uyy = 0, u|y=1 = ϕ(x), uy|y=1 = ψ(x).

2. Rasti Gursa uždavinio sprendini:

2.1. uxx − uyy + 12 (ux + uy) = 0, y > |x|, u|y=x = 1, u|y=−x = (x+ 1)ex.

2.2. uxx + yuyy + 12uy = 0, −x

2

4 < y < 0, x > 0,u|y=0 = 0, u|

y=− x2

4

= x2.

2.3. uxy + uy = 1, x > 0, y > 0, u|x=0 = ϕ(y), u|y=0 = ψ(x);cia ϕ ir ψ – pakankamai glodžios funkcijos: ϕ(0) = ψ(0).

2.4. uxy − 1x−y (ux − uy) = 1, y < −x, x > 2,

u|y=−x = 0, u|x=2 = 2 + 2y + 12y

2.

2.5. uxx − uyy + 4xux + 2

x2u = 0, y > x, x > 1, u|y=x = 1, u|x=1 = y.

3. Rymano metodu išspresti Koši uždavini:

3.1. uxy + 2ux + uy + 2u = 1, 0 < x, y < 1, u|x+y=1 = x, ux|x+y=1 = x.

3.2. xyuxy + xux − yuy − u = 2y, 0 < x, y <∞,u|xy=1 = 1− y, uy|xy=1 = x− 1.

3.3. uxy + 1x+y (ux + uy) = 2, 0 < x, y <∞, u|y=x = x2, ux|y=x = 1 + x.

3.4. uxy − 12e−xuyy = 2x, −∞ < x, y <∞,

u|y=x = x5 cosx, uy|y=x = x2 + 1.

3.5. x2uxx − y2uyy = 0, x, y ∈ (−∞,∞), u|y=1 = ϕ(x), uy|y=1 = ψ(x).

4. Rasti Koši uždavinio sprendini:

4.1. utt −∆u = t sinx2, x = (x1, x2) ∈ R2, t > 0,u|t=0 = x2

1, ut|t=0 = sinx2.

4.2. utt −∆u = 0, x = (x1, x2) ∈ R2, t > 0,u|t=0 = cos(x1 + x2), ut|t=0 = sin(x1 + x2).


4.3. utt −∆u = 2x1x2x3, x = (x1, x2, x3) ∈ R3, t > 0,u|t=0 = x2

1 + x22 − 2x2

3, ut|t=0 = 1.

4.4. utt −∆u = 0, x = (x1, x2, x3) ∈ R3, t > 0,u|t=0 = cos r, ut|t=0 = cos r, r =

√x2

1 + x22 + x2

3.

5. Nustatyti, kuriuose erdves R3 taškuose Koši uždavinioutt −∆u = 0, x = (x1, x2, x3) ∈ R3, t > 0, u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x)sprendinys u(x, t) ≡ 0, jeigu funkcijos ϕ ir ψ tapaciai lygios nuliui rutulio|x| ≤ 1 išoreje ir t = 1, 2, 3, 4.

6. Nustatyti, kuriuose plokštumos R2 taškuose Koši uždavinioutt −∆u = 0, x = (x1, x2) ∈ R2, t > 0, u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x)sprendinys u(x, t) ≡ 0, jeigu funkcijos ϕ ir ψ tapaciai lygios nuliui apskritimo|x| ≤ 1 išoreje ir t = 1, 2, 3, 4.


8.11. ATSAKYMAI

1.1. u(x, y) = 3x2 + y2.

1.2. u(x, y) = ϕ(x− 23y

3) + 12

x+2y∫x− 2

3y3

ψ(t) dt.

1.3. u(x, y) = 12

(ϕ(x+ sinx− y) + ϕ(x− sinx+ y)

)+ 1

2

x−sin x+y∫x+sin x−y

ψ(t) dt.

1.4. u(x, y) = ϕ(x+ y) + 56e− x+y

6

[x− y5∫x+y

et6ϕ′(t) dt−

x− y5∫x+y

et6ψ(t) dt

].

1.5. u(x, y) = 34ϕ(xy

13 ) + 1

4yϕ(xy ) +

+ 316x

34 y

14

xy∫

xy13

ϕ(t)t−74 dt− 3

4x34 y

14

xy∫

xy13

ψ(t)t−74 dt.

2.1. u(x, y) = (1 + 12x−

12y)e

12 (x−y).

2.2. u(x, y) = 2x√−y.

2..3 u(x, y) = y + ψ(x) + (ϕ(y)− ϕ(0)− y)e−x.

2.4. u(x, y) = 12 (x+ y)2. Padaryti keitini: u = 1

x−yv.

2.5. u(x, y) = yx . Padaryti keitini: u = 1

x2 v.

3.1. u(x, y) = 12 + (4− 3y)e1−x−y − (2x+ 3

2 )e2(1−x−y); v = ex−x0+2(y−y0).

3.2. u(x, y) = xy − y, v = x0yxy0

.

3.3. u(x, y) = x− y + xy, v = x+yx0+y0

.

3.4. u(x, y) = (y − x)(x2 + 1) + x5 cosx, v = 1.

3.5. u(x, y) = 12ϕ(xy) + y

2ϕ(xy ) +√xy

4

xy∫xy

t−32ϕ(t) dt−

√xy

2

xy∫xy

t−32ψ(t) dt,

v =√

xx0

.

4.1. u(x1, x2, t) = x21 + t2 + t sinx2.

4.2. u(x1, x2, t) = cos(x1 + x2) cos(t√

2) + 1√2

sin(x1 + x2) sin(t√

2).

4.3. u(x1, x2, x3, t) = x21 + x2

2 − 2x23 + t+ t2x1x2x3.

4.4. u(x1, x2, x3, t) = (cos t+ sin t) cos r + 1r sin r(t cos t− t sin t− sin t).

8.11. ATSAKYMAI 259

5.1. t = 1 ⇒ |x| > 2; t = 2 ⇒ |x| < 1, |x| > 3;t = 3 ⇒ |x| < 2, |x| > 4; t = 4 ⇒ |x| < 3, |x| > 5.

5.2. t = 1 ⇒ |x| > 2; t = 2 ⇒ |x| > 3;t = 3 ⇒ |x| > 4; t = 4 ⇒ |x| > 5.

9 S K Y R I U S

Parabolines lygtys. Koši uždavinys

9.1. MAKSIMUMO PRINCIPAS. VIENATIES TEOREMOS

Tegu Ω ⊂ Rn – aprežta sritis, QT = Ω× (0, T ) – cilindras, kurio apatinis pagrindas –Ω, o viršutinis pagrindas ΩT , T – cilindro aukštis, ST = ∂Ω× [0, T ] – cilindro šoninispaviršius, ΓT = ST ∪ Ω (žr. 9.1 pav.).

....................

......................

......................

∂Ω

ST

ΩT

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

....................................................................................................................................................................................................................................... ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

..............

...........................................................................................

..............................................

....................................

.....................................

.

......................................................................................................................

..........................

..................................................................................................

......................................................................................................................

..........................

..................................................................................................

t

xn

x1, . . . , xn−1Ω

9.1 pav.

9.1 teorema. Tegu funkcija u ∈ C2,1(QT ∪ ΩT )∩C(QT ) tenkina homogenine šilu-mos laidumo lygti

ut − a2∆u = 0. (9.1)

Tada didžiausia ir mažiausia reikšmes ji igyja arba cilindro šoniniame paviršiuje ST ,arba jo apatiniame pagrinde Ω, t.y.

minΓT

u(x, t)≤u(x, t)≤ maxΓT

u(x, t), ∀(x, t)∈QT . (9.2)

/ Pakanka irodyti kuria nors viena nelygybe. Iš tikru ju , jeigu funkcija u tenkina(9.1) lygti ir didžiausia reikšme igyja paviršiuje ΓT , tai funkcija −u taip pat tenkins(9.1) lygti ir todel didžiausia reikšme igys paviršiuje ΓT . Taciau funkcijos−u didžiau-sia reikšme sutampa su funkcijos u mažiausia reikšme. Vadinasi, funkcija u mažiausiareikšme igys paviršiuje ΓT .

I rodysime, kad funkcija u didžiausia reikšme igyja paviršiuje ΓT . Pagal teoremossalyga u∈ C(QT ) . Todel egzistuoja taškas (x0, t0)∈QT , kuriame funkcija u igyjadidžiausia reikšme. Tegu

max(x,t)∈ΓT

u(x, t) = m, max(x,t)∈QT

u(x, t) = M.

Akivaizdu, kadm≤M . Reikia irodyti, kadm = M . Tarkime priešingai, kadm < M.Tada taškas (x0, t0) 6∈ ΓT , nes u(x0, t0) = M. Todel (x0, t0) yra cilindro QT vidinistaškas arba viršutinio pagrindo ΩT taškas.

9.1. MAKSIMUMO PRINCIPAS. VIENATIES TEOREMOS 261

Funkcijav(x, t) = u(x, t)− ε(t− t0), ∀ε > 0,

taške (x0, t0) lygi M . Taškuose (x, t)∈ΓT funkcija

v(x, t)≤m+ εT < M

visiems pakankamai mažiems ε. Todel didžiausia reikšme funkcija v igyja arba cilin-dro QT viduje, arba jo viršutiniame pagrinde ΩT . Tegu (x∗, t∗) yra taškas, kuriamefunkcija v igyja didžiausia reikšme. Iš pradžiu tarkime, (x∗, t∗)∈QT . Tada šitametaške

vt = vxi = 0, vxixi ≤ 0, ∀i = 1, . . . , n,

ir yra teisinga nelygybevt − a2∆v≥ 0.

Taciauvt − a2∆v = ut − a2∆u− ε = −ε < 0.

Gauta prieštara irodo, kad taškas (x∗, t∗) nera cilindro QT vidinis taškas.Tarkime, taškas (x∗, t∗)∈ΩT , t.y. t∗ = T, ir x∗ – vidinis srities Ω taškas. Tada

šitame taškevt≥ 0, vxi = 0, vxixi ≤ 0, ∀i = 1, . . . , n,

ir yra teisinga nelygybevt − a2∆v≥ 0.

Taciauvt − a2∆v = ut − a2∆u− ε = −ε < 0.

Gauta prieštara irodo, kad taškas (x∗, t∗) 6∈ ΩT . Taigi prielaida, jog m < M , yraneteisinga ir m = M . .

Ši teorema kartais vadinama šilumos laidumo lygties maksimumo principu. Ji gal-ima taikyti ir platesnei paraboliniu lygciu klasei. Pavyzdžiui, 9.1 teorema yra teisingalygciai

ut − Lu = 0,

kurioje

Lu =

n∑i,j=1

aij(x, t)uxixj +

n∑i=1

ai(x, t)uxi ,

o koeficientai aij tenkina nelygyben∑

i,j=1

aij(x, t)ξiξj ≥ νn∑i=1

ξ2i , ν = const > 0, ∀ξ = (ξ1, . . . , ξn)∈Rn.

Be to, maksimumo (minimumo) atveju pakanka reikalauti, kad funkcija u tenkintune lygti

ut − Lu = 0,

o nelygybeut − Lu≤ 0 (ut − Lu≥ 0).

Šitos pastabos leidžia suformuluoti bendresne teorema.

262 9. PARABOLINES LYGTYS

9.2 teorema. Tegu funkcija u ∈ C2,1(QT ∪ ΩT )∩C(QT ) tenkina nelygybe

ut − Lu≤ 0 (ut − Lu≥ 0.)

Tada didžiausia (mažiausia) reikšme funkcija u igyja paviršiuje ΓT .

Pasinaudoje maksimumo principu, irodysime mišriojo ir Koši uždaviniu vienatiesteoremas.

9.3 teorema. Mišrusis uždavinysut − a2∆u = f(x, t), (x, t) ∈ QT ,u∣∣t=o

= ϕ(x), x∈Ω,u∣∣ST

= ψ(x, t), (x, t)∈ST ,(9.3)

negali tureti dvieju skirtingu sprendiniu C2,1(QT ∪ ΩT )∩C(QT ) erdveje.

/ Tarkime, u1 ir u2 – du (9.3) uždavinio sprendiniai. Tada ju skirtumas u = u1−u2

yra mišriojo uždavinio ut − a2∆u = 0, (x, t) ∈ QT ,u|t=o = 0, x∈Ω,u|ST = 0, (x, t)∈ST ,

sprendinys. Paviršiaus ST ir srities Ω taškuose funkcija u lygi nuliui. Pagal maksi-mumo principa ji yra lygi nuliui bet kuriame cilindro QT taške. Taigi u1 = u2. .

9.4 teorema. Koši uždavinysut − a2∆u = f(x, t), x∈Rn, t > 0,u∣∣t=o

= ϕ(x), x∈Rn, (9.4)

erdveje C2,1(Rn × (0,∞))∩C(Rn × [0,∞)) negali tureti dvieju skirtingu aprežtusprendiniu .

/ Tegu u1 ir u2 – du aprežti (9.4) Koši uždavinio sprendiniai. Tada ju skirtumasu = u1 − u2 yra aprežtas Koši uždavinio

ut − a2∆u = 0, x∈Rn, t > 0,u|t=o = 0, x∈Rn,

sprendinys. Pažymesime

M = supx∈Rn,t≥ 0

|u(x, t)|, QaR,T = (x, t)∈Rn+1 : |x| < aR, 0 < t < T;

cia R ir T – fiksuoti teigiami skaiciai.Tiesiogiai galima irodyti, kad funkcija

vR(x, t) =M

R2

( |x|2a2

+ 2nt)

9.1. MAKSIMUMO PRINCIPAS. VIENATIES TEOREMOS 263

tenkina homogenine šilumos laidumo lygti ir

vR(x, 0)≥ 0, ∀x : |x| ≤ aR,

vR(x, t)≥M, ∀t : t∈ [0, T ], |x| = aR.

Bet tada funkcija vR − u taip pat tenkins homogenine šilumos laidumo lygti ir

vR(x, 0)− u(x, 0)≥ 0, ∀x : |x| ≤ aR,

vR(x, t)− u(x, t)≥ 0, ∀t : t∈ [0, T ], |x| = aR.

Pagal maksimumo principa funkcija vR − u igyja mažiausia reikšme cilindro QaR,Tšoniniame paviršiuje arba jo apatiniame pagrinde. Taciau šituose taškuose funkcijavR − u yra neneigiama. Taigi ji yra neneigiama ir visame cilindre QaR,T . Todel

u(x, t)≤ vR(x, t), ∀(x, t)∈QaR,T .

Kadangi funkcija−u taip pat tenkina homogenine šilumos laidumo lygti ir taške t = 0lygi nuliui, tai

−u(x, t)≤ vR(x, t), ∀(x, t)∈QaR,T .

Paskutines dvi nelygybes yra ekvivalencios nelygybei

|u(x, t)| ≤ vR(x, t) =M

R2

( |x|2a2

+ 2nt), ∀t≥ 0, ∀x : |x| ≤ aR.

Laisvai pasirenkame taškus x ir t, o skaiciu R artiname i begalybe. Tada iš pastaro-sios nelygybes išplaukia ivertis |u(x, t)| ≤ 0. Kadangi taškus x ir t pasirinkome lais-vai, tai galime tvirtinti, kad funkcija u(x, t) = 0 ir u1(x, t) = u2(x, t), ∀(x, t)∈Rn ×[0,∞). .


9.2. ŠILUMOS LAIDUMO LYGTIS. KOŠI UŽDAVINYS

Iš pradžiu nagrinesime Koši uždaviniut − a2∆u = 0, x∈Rn, t > 0,u|t=o = ϕ(x), x∈Rn. (9.5)

Irodysime, kad jo sprendini galima išreikšti Puasono formule:

u(x, t) =1

(4πa2t)n/2

∫Rn

e−|x−y|24a2t ϕ(y) dy. (9.6)

Išvesdami ja naudosime integralini Furje transformacijos metoda. Taikydami šimetoda, manysime, kad visi atliekami veiksmai yra teiseti. Kitame skyrelyje irodysi-me, kad funkcija u, apibrežta Puasono formule, yra (9.5) Koši uždavinio sprendinys,jeigu funkcija ϕ yra tik tolydi ir aprežta.

Priminsime, kad tiesiogine ir atvirkštine Furje transformacijos erdviniu kintamujuatžvilgiu apibrežiamos formulemis:

u(ξ, t) =1

(2π)n/2

∫Rn

eixξu(x, t) dx,

u(x, t) =1

(2π)n/2

∫Rn

e−ixξu(ξ, t) dξ;

cia xξ =n∑k=1

xkξk – skaliarine sandauga erdveje Rn.

Funkciju ut ir ∆u Furje transformacijos:

ut (ξ, t) =1

(2π)n/2

∫Rn

eixξut(x, t) dx =

=∂

∂t

( 1

(2π)n/2

∫Rn

eixξu(x, t) dx)

= ut(ξ, t),

∆u(ξ, t) =1

(2π)n/2

∫Rn

eixξ∆u(x, t) dx =

=1

(2π)n/2

n∑k=1

∫Rn

(−iξk)eixξuxk(x, t) dx =

=1

(2π)n/2

n∑k=1

∫Rn

(−iξk)2eixξu(x, t) dx = −ξ2u(ξ, t);

9.2. KOŠI UŽDAVINYS 265

cia ξ2 =∑nk=1 ξ

2k. Pritaike Furje transformacijos operatoriu abiems šilumos laidumo

lygties pusems, gausime paprastaja diferencialine kintamojo t atžvilgiu lygti

ut + a2ξ2u = 0.

I kintamaji ξ galima žiureti kaip i parametra. Ši lygtis yra tiesine pirmos eiles lygtis,ir jos bendrasis sprendinys

u(ξ, t) = C(ξ)e−a2ξ2t.

Kadangi

u(ξ, 0) =1

(2π)n/2

∫Rn

eixξu(x, 0) dx =1

(2π)n/2

∫Rn

eixξϕ(x) dx = ϕ(ξ),

taiϕ(ξ) = C(ξ)

iru(ξ, t) = ϕ(ξ)e−a

2ξ2t.

Pritaike šios lygybes abiems pusems atvirkštini Furje transformacijos operatoriu ,gausime

u(x, t) =1

(2π)n/2

∫Rn

e−ixξϕ(ξ)e−a2ξ2t dξ.

Vietoje funkcijos ϕ i statykime jos integraline išraiška ir sukeiskime integravimo tvar-ka. Tada gausime formule

u(x, t) =1

(2π)n

∫Rn

(∫Rn

e−i(x−y)ξ−a2ξ2t dξ)ϕ(y) dy =

=

∫Rn

G(x− y, t)ϕ(y) dy;

ciaG(x− y, t) =

1

(2π)n

∫Rn

e−i(x−y)ξ−a2ξ2t dξ.

Suskaiciuosime integrala

G(x, t) =1

(2π)n

∫Rn

e−ixξ−a2ξ2t dξ.

Tuo tikslu išskirsime pilnaji kvadrata

−a2ξ2t− ixξ = −n∑k=1

(a2ξ2kt+ ixkξk) = −

n∑k=1

[a2t(ξk + i

xk2a2t

)2

+x2k

4a2t

]


ir integrala G(x, t) perrašysime taip:

G(x, t) =1

(2π)ne−

x2

4a2t

n∏k=1

∞∫−∞

e−a2t

(ξk + i xk2a2t

)2

dξk. (9.7)

Šitoje formuleje visi integralai yra to paties tipo. Kiekviena iš ju galima užrašyti tokiupavidalu:

I =

∞∫−∞

e−a2t(s+ iσ0)2

ds.

Parodysime, kad integralas I nepriklauso nuo parametro σ0.Tegu l – uždaras konturas kompleksineje kintamojo z = s + iσ plokštumoje (žr.

9.2 pav.).

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

.

........

........

........

........

........

.

............................................................................................................................................................................................................ ......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

...................

..............

.................... ..............

..................................

......................................................

..............

s

σ

0−N

σ0

N

9.2 pav.Pagal Koši teorema

0 =

∫l

e−a2tz2

dz =

N∫−N

e−a2t(s+ iσ0)2

ds+

0∫σ0

e−a2t(N + iσ)2

dσ+

+

−N∫N

e−a2ts2

ds+

σ0∫0

e−a2t(−N + iσ)2

dσ. (9.8)

Kadangi ∣∣∣ σ0∫0

e−a2t(±N + iσ)2

dσ∣∣∣≤ e−a2tN2

σ0∫0

ea2tσ2

dσ → 0

kai N →∞, tai pereje (9.8) formuleje prie ribos, gausime

∞∫−∞

e−a2t(s+ iσ0)2

ds =

∞∫−∞

e−a2ts2

ds.

Iš šios lygybes išplaukia, kad (9.7) formuleje visi integralai po sandaugos ženklu yralygus. Be to, integralas

∞∫−∞

e−a2ts2

ds =1

a√t

∞∫−∞

e−x2dx =

2

a√t

∞∫0

e−x2dx =

9.2. KOŠI UŽDAVINYS 267

=2

a√t

( ∞∫0

∞∫0

e−x2 − y2

dxdy)1/2

=2

a√t

( ∞∫0

π/2∫0

e−r2rdϕdr

)1/2

=1

a

√π

t.

Todel funkcija

G(x, t) =1

(4πa2t)n/2e−

x2

4a2t . (9.9)

Tokiu budu formalu ji (9.5) Koši uždavinio sprendini galima išreikšti (9.6) formule.Užrašysime ja tokiu pavidalu:

u(x, t) =

∫Rn

G(x− y, t)ϕ(y) dy =1

(4πa2t)n/2

∫Rn

e−|x−y|24a2t ϕ(y) dy. (9.10)

Funkcija G yra vadinama šilumos laidumo lygties fundamentaliuoju sprendiniu (arbaGryno funkcija).

Koši uždavinio ut − a2∆u = f(x, t), x∈Rn, t > 0,u|t=o = 0, x∈Rn, (9.11)

formalu ji sprendini rasime taikydami Diuamelio principa. Tuo tikslu ∀τ > 0 rasimeformalu ji Koši uždavinio

vt − a2∆v = 0, x∈Rn, t > τ ,u|t=τ = f(x, τ), x∈Rn,

sprendini. Pagal (9.10) formule

v(x, t, τ) =

∫Rn

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dy.

Tiesiogiai galima patikrinti, kad funkcija

u(x, t) =

t∫0

v(x, t, τ) dτ =

t∫0

∫Rn

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ (9.12)

yra (9.11) Koši uždavinio formalusis sprendinys.Sudeje (9.5) ir (9.11) Koši uždaviniu sprendinius, gausime funkcija

u(x, t) =

∫Rn

G(x− y, t)ϕ(y) dy +

t∫0

∫Rn

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ, (9.13)

kuri yra formalusis Koši uždaviniout − a2∆u = f(x, t), x∈Rn, t > 0,u|t=0 = ϕ(x), x∈Rn,

sprendinys.


9.3. PUASONO FORMULES PAGRINDIMAS

Tarkime, funkcija ϕ yra tolydi ir aprežta erdveje Rn. Irodysime, kad funkcija

u(x, t) =

∫Rn

G(x− y, t)ϕ(y) dy (9.14)

yra aprežtas Koši uždaviniout − a2∆u = 0, x∈Rn, t > 0,u|t=o = ϕ(x), x∈Rn, (9.15)

sprendinys. Iš pradžiu irodysime pagrindines funkcijos G savybes.1. Srityje Rn × (0,∞) funkcija G yra teigiama ir be galo diferencijuojama. Tai

tiesiogiai išplaukia iš funkcijos G apibrežimo.2. Integralas ∫

Rn

G(x− y, t) dy = 1, ∀x∈Rn, t > 0.

/ Kadangi∞∫−∞

e−x2dx =

√π,

tai ∫Rn

G(x− y, t) dy =1

(4πa2t)n/2

∫Rn

e−|x−y|24a2t dy =

=1

(4πa2t)n/2

∫Rn

e−y2

4a2t dy =1

(4πa2t)n/2

n∏k=1

∞∫−∞

e−y2k

4a2t dyk =

=(2a√t)n

(4πa2t)n/2

( ∞∫−∞

e−x2dx)n

= 1. .

3. Tegu δ > 0 yra fiksuotas teigiamas skaicius. Tada∫|x|>δ

G(x, t) dx→ 0,

kai t→ 0./ Kadangi

∫Rn

e−x2dx =

( ∞∫−∞

e−s2ds)n

= (√π)n <∞,

9.3. PUASONO FORMULES PAGRINDIMAS 269

tai ∫|x|>δ

G(x, t) dx =1

(4πa2t)n/2

∫|x|>δ

e−x2

4a2t dx =1

πn/2

∫|ξ|> δ

2a√t

e−ξ2dξ → 0,

kai t→ 0. .4. Tegu funkcija ϕ yra aprežta ir tolydi erdveje Rn, M = max

x∈Rn|ϕ(x)| ir K ⊂ Rn

– kompaktas. Tada

u(x, t) =

∫Rn

G(x− y, t)ϕ(y) dy⇒ ϕ(x), x∈K,

kai t→ 0, irmax

x∈Rn,t≥ 0|u(x, t)| ≤M.

/ Laisvai pasirenkame kompakta K ir pakankamai maža teigiama skaiciu ε. Tada

|u(x, t)− ϕ(x)| =∣∣∣ ∫Rn

G(x− y, t)(ϕ(y)− ϕ(x)) dy∣∣∣≤

≤∣∣∣ ∫|x−y|<δ

G(x− y, t)(ϕ(y)− ϕ(x)) dy∣∣∣+

+∣∣∣ ∫|x−y|>δ

G(x− y, t)(ϕ(y)− ϕ(x)) dy∣∣∣≤

≤ max|x−y| ≤ δ

|ϕ(y)− ϕ(x)|+ 2M

∫|x−y|>δ

G(x− y, t) dy;

cia δ yra bet koks teigiamas skaicius. Parinksime ji taip, kad butu patenkinta nelygybe

max|x−y| ≤ δ,x∈K

|ϕ(x)− ϕ(y)| < ε

2.

Pagal 3 funkcijos G savybe egzistuoja skaicius t0 toks, kad

2M

∫|x−y|>δ

G(x− y, t) dy < ε

2, ∀t < t0.

Iš gautu iverciu išplaukia, kad

|u(x, t)− ϕ(x)| < ε x∈K, t∈ [0, t0).

Taigiu(x, t) ⇒ ϕ(x), x∈K,


kai t→ 0. Pasinaudoje 2 funkcijos G savybe, ivertinsime funkcijos u moduli:

supx∈Rn,t≥ 0

|u(x, t)| ≤ supx∈Rn

|ϕ(x)| = M..

5. Funkcija G tenkina šilumos laidumo lygti

Gt(x, t)− a2∆G(x, t) = 0, ∀x∈Rn, t > 0. (9.16)

/ Suskaiciuosime išvestines:

Gt =∂

∂t

( 1

(4πa2t)n/2e−

x2

4a2t

)=

1

(4πa2t)n/2e−

x2

4a2t

( x2

4a2t2− n

2t

),

Gxkxk =∂2

∂x2k

( 1

(4πa2t)n/2e−

x2

4a2t

)=

1

(4πa2t)n/2e−

x2

4a2t

( x2k

4a4t2− 1

2a2t

).

Istate jas i (9.16) lygti , gausime tapatybe. .

9.5 teorema. Tegu ϕ∈ C(Rn) ir supx∈Rn

|ϕ(x)| = M . Tada funkcija

u(x, t) =

∫Rn

G(x− y, t)ϕ(y) dy

yra (9.15) Koši uždavinio sprendinys. Be to,

supx∈Rn,t≥ 0

|u(x, t)| ≤M.

/ Iš pradžiu isitikinsime, kad funkcija u∈ C(Rn × (0,∞)). Fiksuojame teigia-mus skaicius R, τ ir T (τ < T ). Irodysime, kad funkcija u yra tolydi uždaramecilindre

QR,τ,T = (x, t)∈Rn+1 : |x| ≤R, t∈ [τ, T ].

Kiekvienam baigtiniam teigiamam skaiciui δ

u(x, t) =1

(4πa2t)n/2

∫|y|<δ

e−|x−y|24a2t ϕ(y) dy+

+1

(4πa2t)n/2

∫|y|>δ

e−|x−y|24a2t ϕ(y) dy. (9.17)

Pirmasis iš šiu integralu yra tolydi cilindre QR,τ,T funkcija. Irodysime, kad antrasisintegralas tolygiai arteja i nuli , kai δ →∞.

Tegu (x, t)∈QR,τ,T , |y| > δ ir δ > 2R. Tada

|x− y| ≥ |y| − |x| = 1

2|y|+ 1

2|y| − |x| ≥ 1

2|y|


ir yra teisingas ivertis

∣∣∣ 1

(4πa2t)n/2

∫|y|>δ

e−|x−y|24a2t ϕ(y) dy

∣∣∣≤ M

(4πa2τ)n/2

∫|y|>δ

e−|y|2

16a2T dy =

=M

(4πa2τ)n/2|S1|

∞∫δ

e−r2

16a2T rn−1dr.

Paskutinis reiškinys nepriklauso nei nuo x, nei nuo t. Be to, kai δ →∞, integralas

∞∫δ

e−r2

16a2T rn−1dr → 0,

nes toks pat integralas su režiais nuo 0 iki ∞ yra aprežtas. Taigi antrasis integralas(9.17) formuleje tolygiai arteja i nuli , kai δ → ∞. Taciau tada funkcija u cilindreQR,τ,T yra tolydi kaip tolygiai konverguojanciu tolydžiu funkciju riba. ArtindamiR ir T i ∞, o τ i 0, gausime, kad u∈ C(Rn × (0,∞)). Iš 4 funkcijos G savybesišplaukia, kad

u∈ C(Rn × [0,∞)), u∣∣t=0

= ϕ(x) ir supx∈Rn,t≥ 0

|u(x, t)| ≤M.

Dabar irodysime, kad funkcija u yra be galo diferencijuojama ir visas jos išvestinesgalima gauti diferencijuojant (9.14) formule po integralo ženklu. Iš pradžiu irodysime,kad funkcija u∈ C∞(QR,τ,T ); cia R, τ ir T (τ < T ) – bet kokie fiksuoti teigiamiskaiciai.

Laisvai pasirenkame multiindeksa β = (β1, · · · , βn), sveika neneigiama skaiciu αir formaliai skaiciuojame išvestine

Dαt D

βx u(x, t) =

∫Rn

Dαt D

βxG(x− y, t)ϕ(y) dy. (9.18)

Kadangi funkcija ϕ yra tolydi, o funkcija G – be galo diferencijuojama, tai (9.18)pointegraline funkcija yra tolydi ∀x, y ∈Rn ir t > 0. Tegu δ yra fiksuotas teigiamasskaicius. Tada integrala (9.18) formuleje galima išskaidyti i dvieju integralu suma:∫

|y|<δ

Dαt D

βxG(x− y, t)ϕ(y) dy +

∫|y|>δ

Dαt D

βxG(x− y, t)ϕ(y) dy.

Pirmasis iš ju yra tolydi cilindre QR,τ,T funkcija, nes sritis y ∈Rn : |y| < δ yraaprežta. Irodysime, kad antrasis integralas tolygiai arteja i nuli , kai δ →∞.

Visu pirma pastebesime, kad diferencijuojant funkcijaG(x−y, t) arba jos išvestinekintamojo t atžvilgiu, jos vardiklyje t laipsnis padides vienetu, o skaitiklyje |x − y|


laipsnis padides dviem. Analogiškai, diferencijuojant ja arba jos išvestine kintamojoxk atžvilgiu, vardiklyje t laipsnis ir skaitiklyje xk − yk laipsnis padides vienetu. Todel

Dαt D

βxG(x− y, t) =

|β|∑j=0

α∑i=0

e−|x−y|24a2t

Pij(x− y)

tn/2+i+j;

cia Pij yra 2i+ j laipsnio polinomas.Tegu (x, t)∈QR,τ,T , |y| > δ ir δ > 2R. Tada

|x− y| ≥ |y| − |x| ≥ 1

2|y|, |x− y| ≤ |y|+ |x| ≤ 3

2|y|.

Pasinaudoje šiomis nelygybemis, ivertinsime integrala∣∣∣ ∫|y|>δ

Dαt D

βxG(x− y, t)ϕ(y) dy

∣∣∣≤

≤M∫|y|>δ

|β|∑j=0

α∑i=0

cij(|x− y|2i+j + 1)

tn/2+i+je−|x−y|24a2t dy≤

≤M∫|y|>δ

|β|∑j=0

α∑i=0

c′ij(|y|2i+j + 1)

τn/2+i+je−

|y|216a2T dy≤

≤Mc(τ)

∫|y|>δ

(|y|2α+|β| + 1) e−|y|2

16a2T dy =

= Mc(τ)|S1|∞∫δ

(r2α+|β| + 1)rn−1 e−r2

16a2T dr; (9.19)

cia cij , c′ij ir c(τ) – teigiamos konstantos.Paskutinis reiškinys (9.19) nelygybeje nepriklauso nei nuo x, nei nuo t ir arteja i

nuli , kai δ →∞. Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad

∞∫0

(r2α+|β| + 1)rn−1 e−r2

16a2T dr <∞.

Remiantis teorema apie integralu , priklausanciu nuo parametro, diferencijavima po in-tegralo ženklu, funkcija Dα

t Dβx u(x, t)∈ C(Rn × (0,∞)) . Skaicius α ir multiindeksas

β pasirinkti laisvai. Todel galime tvirtinti, kad u∈ C∞(Rn × (0,∞)).Beliko irodyti, kad funkcija u tenkina homogenine šilumos laidumo lygti . Remian-

tis 5 funkcijos G savybe,

ut − a2∆u =

∫Rn

(Gt(x− y, t)− a2∆xG(x− y, t))ϕ(y) dy = 0.


Teorema irodyta. .Tegu funkcija ϕ yra tolydi ir aprežta. Tada funkcija

u(x, t) =

∫Rn

G(x− y, t)ϕ(y) dy

yra aprežtas (9.15) Koši uždavinio sprendinys. Pagal 9.4 teorema jis yra vienintelis.Be to, paskutine formule galima perrašyti taip:

u(x, t) = π−n2

∫Rn

e−ξ2ϕ(x+ 2a

√tξ) dξ.

Iš jos išplaukia, kadsup

x∈Rn,t≥ 0|u(x, t)| ≤ sup

x∈Rn|ϕ(x)|.

Gauta nelygybe irodo, kad sprendinys u tolygiai priklauso nuo pradiniu salygu . Tik-sliau, tegu B1 ⊂ C(Rn × (0,∞)) ir B2 ⊂ C(Rn) – funkciju erdves tokios, kad

‖u‖B1 = supx∈Rn,t≥ 0

|u(x, t)| <∞, ‖ϕ‖B2 = supx∈Rn

|ϕ(x)| <∞.

Tada (9.15) Koši uždavinys erdviu B1, B2 porai yra suformuluotas korektiškai.Tegu n = 3, o funkcija ϕ∈ C(R3) yra neneigiama ir nelygi nuliui tik mažoje taško

x0 aplinkoje. Pažymekime šia aplinka U(x0). Tada (9.15) Koši uždavinio sprendini ugalima interpretuoti kaip kuno temperatura taške x∈R3 laiko momentu t > 0. Pagal(9.14) formule

u(x, t) =

∫R3

G(x− y, t)ϕ(y) dy =

∫U(x0)

G(x− y, t)ϕ(y) dy.

Kadangi funkcija G yra teigiama, tai

u(x, t) > 0, ∀x∈R3, t > 0.

Be to,u(x, 0) = ϕ(x) = 0, ∀x ∈ U(x0).

Šios funkcijos u savybes leidžia tvirtinti, kad šilumos sklidimo greitis yra begalinis.Gauta prieštara galima paaiškinti tuo, kad prielaidos, kuriomis grindžiama šilumoslaidumo teorija, nera tikslios. Antra vertus, ši prieštara praktiniams skaiciavimamsitakos nedaro. Esant didelems |x| reikšmems ir mažoms t > 0 reikšmems, kuno tem-peratura u(x, t) yra be galo maža. Todel praktiškai (9.14) formule apibrežia baigtinišilumos sklidimo greiti ir pakankamai tiksliai aprašo ivairius šiluminius procesus.

P a s t a b o s :

1. Sakydami, kad funkcija u yra (9.15) Koši uždavinio sprendinys, turejome ome-nyje, be kita ko, kad funkcija u turi pirmos eiles tolydžia išvestine ut ir antroseiles tolydžias išvestines uxixi , ∀i = 1, . . . , n. Paskutineje teoremoje irodyta,


kad funkcija u turi bet kokios eiles tolydžias išvestines. Be to, jos glodumas betkokiu laiko momentu t > 0 visiškai nepriklauso nuo to, ar funkcija ϕ turi kokiosnors eiles tolydžias išvestines, ar ne. Toks sprendinio glodumas yra budingashomogeninei šilumos laidumo lygciai. Kitokio tipo lygties atveju situacija yravisiškai kita.

2. Neaprežtos funkcijos ϕ, tenkinancios nelygybe

|ϕ(x)| ≤ ceα|x|2,

atveju lengvai galima isitikinti, kad funkcija u, apibrežta (9.14) formule, taippat bus (9.15) Koši uždavinio sprendinys. Taciau jis bus apibrežtas tik, kait∈ (0, 1/4αa); cia c ir α – teigiamos konstantos.

9.6 teorema. Tegu funkcija f ∈ C2,1(Rn × (0,∞)) ir ‖f‖C2,1 ≤M <∞. Tada funk-cija

u(x, t) =

t∫0

∫Rn

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ (9.20)

yra Koši uždavinio ut − a2∆u = f(x, t), x∈Rn, t > 0,u|t=o = 0, x∈Rn, (9.21)

sprendinys.

/ Fiksuojame teigiamus skaicius R, h ir T , (h < T ). Irodysime, kad funkcijau∈ C2,1(QR,h,T ). Tuo tikslu (9.20) formuleje vietoje kintamuju y, τ apibrešimenaujus nepriklausomus kintamuosius z = y − x, s = t − τ . Rezultata užrašysimetaip:

u(x, t) =

t∫0

∫Rn

G(z, s)f(z + x, t− s) dzds.

Formaliai suskaiciuosime funkcijos u išvestines:

uxi(x, t) =

t∫0

∫Rn

G(z, s)fxi(z + x, t− s) dzds,

uxixj (x, t) =

t∫0

∫Rn

G(z, s)fxixj (z + x, t− s) dzds, (9.22)

ut(x, t) =

∫Rn

G(z, t)f(z + x, 0) dz +

t∫0

∫Rn

G(z, s)ft(z + x, t− s) dzds.


Kiekvienam δ > 0 apibrešime be galo diferencijuojamu funkciju seka

uδ(x, t) =

t−δ∫0

∫Rn

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ =

=

t∫δ

∫Rn

G(z, s)f(z + x, t− s) dzds.

Pasinaudoje 2 funkcijos G savybe, ivertinsime skirtumus:

|uδ(x, t)− u(x, t)| =∣∣∣ δ∫

0

∫Rn

G(z, s)f(z + x, t− s) dzds∣∣∣≤

≤ δ‖f‖C ≤ δM,

|uδxi(x, t)− uxi(x, t)| =∣∣∣ δ∫

0

∫Rn

G(z, s)fxi(z + x, t− s) dzds∣∣∣≤

≤ δ‖fxi‖C ≤ δM,

∣∣∣uδxixj (x, t)− uxixj (x, t)∣∣∣ =∣∣∣ δ∫

0

∫Rn

G(z, s)fxixj (z + x, t− s) dzds∣∣∣≤

≤ δ‖fxixj‖C ≤ δM,

|uδt (x, t)− ut(x, t)| =∣∣∣ δ∫

0

∫Rn

G(z, s)ft(z + x, t− s) dzds∣∣∣≤

≤ δ‖ft‖C ≤ δM.

Iš šiu iverciu išplaukia, kad integralai u, uxi , uxixj ir ut konverguoja tolygiai cilindreQR,h,T . Remiantis teorema apie integralu , priklausanciu nuo parametro, diferencija-vima po integralo ženklu, funkcija u∈ C2,1(QR,h,T ) ir yra teisingos (9.22) formules.Kadangi cilindro parametrai r, h ir T pasirinkti laisvai, tai artindamiR ir T i begalybe,o h – i nuli , gausime u∈ C2,1(Rn × (0,∞)).

Beliko irodyti, kad funkcija u yra (9.21) Koši uždavinio sprendinys. Pasinaudoje 5funkcijos G savybe, gausime

uδt (x, t)− a2∆uδ(x, t) =

∫Rn

G(x− y, δ)f(y, t− δ) dy+

+

t−δ∫0

∫Rn

(Gt(x− y, t− τ)f(y, τ)− a2∆xG(x− y, t− τ)

)f(y, τ) dydτ =


=

∫Rn

G(x− y, δ)f(y, t− δ) dy. (9.23)

Tegu δ → 0. Irodysime, kad integralas∫Rn

G(x− y, δ)f(y, t− δ) dy⇒ f(x, t)

cilindre QR,h,T .Laisvai pasirenkame skaiciu ε > 0. Pasinaudoje 2 funkcijosG savybe, ivertinsime

skirtuma ∣∣∣ ∫Rn

G(x− y, δ)f(y, t− δ) dy − f(x, t)∣∣∣ =

=∣∣∣ ∫Rn

G(x− y, δ)(f(y, t− δ)− f(x, t)) dy∣∣∣≤

≤∫Rn

G(x− y, δ)|f(y, t− δ)− f(y, t)| dy +

∫Rn

G(x− y, δ)|f(y, t)− f(x, t)| dy≤

≤ maxy∈Rn,t∈ [h,T ]

|f(y, t− δ)− f(y, t)|+ max|x−y|<d,t∈ [h,T ]

|f(y, t)− f(x, t)|+

+2M

∫|x−y|>d

G(x− y, δ) dy;

cia d – bet koks teigiamas skaicius. Ji parinksime taip, kad butu patenkinta nelygybe

max|x−y|<d,t∈ [h,T ]

|f(y, t)− f(x, t)| < ε

3.

Pagal 3 funkcijos G savybe egzistuoja skaicius δ > 0 toks, kad

2M

∫|x−y|>d

G(x− y, δ) dy < ε

3.

Jeigu reikia, ji dar sumažinsime tiek, kad

maxy∈Rn,t∈ [h,T ]

|f(y, t− δ)− f(y, t)| = maxy ∈Rn,t∈ [h,T ]

∣∣∣ t∫t−δ

fτ (y, τ)dτ∣∣∣≤ δM <

ε

3.

Iš šiu nelygybiu išplaukia, kad∣∣∣ ∫Rn

G(x− y, δ)f(y, t− δ) dy − f(x, t)∣∣∣ < ε, ∀(x, t)∈QR,h,T .


Taigi, kai δ → 0, integralas∫Rn

G(x− y, δ)f(y, t− δ) dy⇒ f(x, t)

cilindre QR,h,T . Be to, kai δ → 0,

uδt (x, t) ⇒ ut(x, t), ∆uδ(x, t) ⇒ ∆u(x, t)

cilindre QR,h,T . Pereje (9.23) formuleje prie ribos, kai δ → 0, gausime lygti

ut(x, t)− a2∆u(x, t) = f(x, t), ∀(x, t)∈QR,h,T .

Tegu R ir T →∞, o h→ 0. Tada funkcija u tenkins šia lygti ∀(x, t)∈Rn × (0,∞).Irodysime, kad funkcija u tenkina pradine salyga. Remiantis 2 funkcijosG savybe,

|u(x, t)| ≤ t‖f‖C ≤ tM.

Paeme t = 0, gausime u(x, 0) = 0. .Jei yra patenkintos 9.5 ir 9.6 teoremu salygos, tai funkcija

u(x, t) =

∫Rn

G(x− y, t)ϕ(y) dy +

t∫0

∫Rn

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ

yra Koši uždavinio ut − a2∆u = f(x, t), x∈Rn, t > 0,u|t=o = ϕ(x), x∈Rn, (9.24)

sprendinys. Be to,

supy∈Rn,t∈ [0,T ]

|u(x, t)| ≤ ‖ϕ‖C + T‖f‖C , ∀T > 0.

Iš šio ivercio ir 9.4 teoremos išplaukia, kad (9.24) uždavinys yra suformuluotas korek-tiškai. Šiuo atveju galima imti

B1 = u∈ C2,1(Rn × (0,∞)) : ‖u‖C2.1 <∞,

B2 = (ϕ, f)∈ C(Rn)×C2,1(Rn × (0,∞)) : ‖ϕ‖C <∞, ‖f‖C2.1 <∞.

P a s t a b o s :

1. Irodydami 9.6 teorema, reikalavome, kad funkcija

f ∈ C2,1(Rn × (0,∞)).

Iš tikru ju teorema galima irodyti esant daug mažesnems prielaidoms (žr. [12],[24]). Iš funkcijos f pakanka reikalauti, kad ji butu tolydi, aprežta ir pagal


erdvines koordinates tenkintu Helderio salyga, t.y. egzistuotu konstantos A > 0ir α∈ (0, 1] (priklausancios nuo šito taško) tokios, kad

|f(y, t)− f(x, t)| ≤A|x− y|α, ∀y ∈Rn.

Antra vertus, sprendiniui egzistuoti nepakanka vien tik funkcijos f tolydumo iraprežtumo. Tiksliau, galima sukonstruoti funkcija f (žr. [12], [13]), kuri yratolydi ir aprežta, taciau juostoje Rn × (0, T ), T > 0 (9.24) Koši uždavinyssprendinio neturi.

2. Integralini Furje transformacijos metoda galima taikyti ivairioms lygtims.


9.4. UŽDAVINIAI

Taikant integralines Furje transformacijas, išspresti uždavinius:

1. ut − a2uxx = 0, u(x, 0) = ϕ(x), x∈R, t > 0.

2. ut − a2uxx = f(x, t), u(x, 0) = 0, x∈R, t > 0.

3. utt − a2uxx = 0, u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x∈R, t > 0.

4. utt − a2uxx = f(x, t), u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x∈R, t > 0.

5. ut − a2uxx = 0, u(x, 0) = ϕ(x), u(0, t) = 0, x > 0, t > 0.

6. ut − a2uxx = 0, u(x, 0) = ϕ(x), ux(0, t) = 0, x > 0, t > 0.

7. ut − a2uxx = 0, u(x, 0) = 0, ux(0, t) = µ(t), x > 0, t > 0.

8. ut − a2uxx = 0, u(x, 0) = 0, u(0, t) = µ(t), x > 0, t > 0.

9. ut − a2uxx = f(x, t), u(x, 0) = 0, u(0, t) = 0, x > 0, t > 0.

10. ut − a2uxx = f(x, t), u(x, 0) = 0, ux(0, t) = 0, x > 0, t > 0.

11. utt − a2uxx = 0, u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), u(0, t) = 0,x > 0, t > 0.

12. utt − a2uxx = 0, u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), ux(0, t) = 0,x > 0, t > 0.

13. utt − a2uxx = 0, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, u(0, t) = µ(t),x > 0, t > 0.

14. utt − a2uxx = 0, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, ux(0, t) = µ(t),x > 0, t > 0.

15. utt − a2uxx = f(x, t), u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, u(0, t) = 0,x > 0, t > 0.

16. utt − a2uxx = f(x, t), u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, ux(0, t) = 0,x > 0, t > 0.

17. ut − a2(uxx + uyy) = 0, u(x, y, 0) = ϕ(x, y), x, y ∈R, t > 0.

18. ut − a2(uxx + uyy) = f(x, y, t), u(x, y, 0) = ϕ(x, y),x, y ∈R, t > 0.

19. ut − a2(uxx + uyy) = 0, u(x, y, 0) = ϕ(x, y), u(x, 0, t) = 0,x∈R, y > 0, t > 0.

20. ut − a2(uxx + uyy) = 0, u(x, y, 0) = 0, u(x, 0, t) = µ(x, t),x∈R, y > 0, t > 0.


21. ut − a2(uxx + uyy) = 0, u(x, y, 0) = ϕ(x, y), uy(x, 0, t) = 0,x∈R, y > 0, t > 0.

22. ut − a2(uxx + uyy) = 0, u(x, y, 0) = 0, uy(x, 0, t) = µ(x, t),x∈R, y > 0, t > 0.

9.5. ATSAKYMAI 281

9.5. ATSAKYMAI

1. u(x, t) = 12at√π

∞∫−∞

e−(x−y)2

4a2t ϕ(y) dy.

2. u(x, t) = 12a√π

∞∫0

∞∫−∞

e− (x−y)2

4a2t√t−τ f(y, τ) dydτ.

3. u(x, t) = 12 (ϕ(x− at) + ϕ(x+ at)) + 1

2a

x+at∫x−at

ψ(y) dy.

4. u(x, t) = 12a

t∫0


f(y, τ) dydτ.

5. u(x, t) = 12at√π

∞∫0

(e−

(x−y)2

4a2t − e−(x+y)2

4a2t

)ϕ(y) dy.

Nurodymas. Taikyti sinusine Furje transformacija:

us(ξ, t) =√

2π

∞∫0

u(x, t) sinxξ dx; u(x, t) =√

2π

∞∫0

us(ξ, t) sinxξ dξ.

6. u(x, t) = 12at√π

∞∫0

(e−

(x−y)2

4a2t + e−(x+y)2

4a2t

)ϕ(y) dy.

Nurodymas. Taikyti kosinusine Furje transformacija:

uc(ξ, t) =√

2π

∞∫0

u(x, t) cosxξ dx; u(x, t) =√

2π

∞∫0

uc(ξ, t) cosxξ dξ.

7. u(x, t) = − a√π

t∫0

µ(τ)√t−τ e

−x2

4a2(t−τ) dτ.

8. u(x, t) = − x2a√π

t∫0

1√t−τ3 e

−x2

4a2(t−τ) µ(τ) dτ.

9. u(x, t) = 12a√π

t∫0

∞∫0

1√t−τ

(e− (x−y)2

4a2(t−τ) − e−(x+y)2

4a2(t−τ)

)f(y, τ) dydτ.

10. u(x, t) = 12a√π

t∫0

∞∫0

1√t−τ

(e− (x−y)2

4a2(t−τ) + e− (x+y)2

4a2(t−τ)

)f(y, τ) dydτ.

11. u(x, t) = 12 (ϕ(x+ at) + ϕ(|x− at|)sign(x− at) + 1

2a

|x+at|∫|x−at|

ψ(y) dy.

12. u(x, t) = 12 (ϕ(x+ at) + ϕ(|x− at|)+

+ 12a

|x+at|∫

0

ψ(y) dy − sign(x− at)|x−at|∫

0

ψ(y) dy

.

13. u(x, t) =

0, 0 < t < x

a ;µ(t− x

a ), t > xa .

14. u(x, t) = −at− xa∫0

µ(y) dy.


15. u(x, t) = 12a

t∫0

x+a(t−τ)∫|x−a(t−τ)|

f(y, τ) dydτ.

16. u(x, t) = 12a

t∫0

x+a(t−τ)∫

0

f(y, τ) dy −

− sign(x− a(t− τ))|x−a(t−τ)|∫

0

f(y, τ) dy

dτ.

17. u(x, y, t) = ( 12at√π

)2∞∫−∞

∞∫−∞

e−(x−ξ)2+(y−η)2

4a2t ϕ(ξ, η) dξdη.

18. u(x, y, t) = ( 12at√π

)2∞∫0

∞∫−∞

∞∫−∞

1√t−τ e

− (x−ξ)2+(y−η)2

4a2t f(ξ, η, τ) dξdηdτ.

19. u(x, y, t) =

= ( 12at√π

)2∞∫−∞

∞∫0

(e−

(x−ξ)2+(y−η)2

4a2t − e−(x−ξ)2+(y+η)2

4a2t

)ϕ(ξ, η) dξdη.

20. u(x, y, t) = y(2at√π)2

t∫0

∞∫−∞

1(t−τ)2 e

− (x−ξ)2+y2

4a2(t−τ) µ(ξ, τ) dξdτ.

21. u(x, y, t) =

= ( 12at√π

)2∞∫−∞

∞∫0

(e−

(x−ξ)2+(y−η)2

4a2t + e−(x−ξ)2+(y+η)2

4a2t

)ϕ(ξ, η) dξdη.

22. u(x, y, t) = − 1√2π

t∫0

∞∫−∞

1t−τ e

− (x−ξ)2+y2

4a2(t−τ) µ(ξ, τ) dξdτ.

10 S K Y R I U S

Paprasciausios elipsines lygtys

10.1. HARMONINES FUNKCIJOS

Paprasciausia ir kartu viena iš svarbiausiu elipsiniu lygciu yra Laplaso lygtis

∆u = 0. (10.1)

Ja nagrinesime srityje Ω ⊂ Rn, n≥ 2. Priminsime, kad

∆u =

n∑i=1

uxixi .

A p i b r e ž i m a s . Sakysime, kunkcija u yra harmonine aprežtoje srityje Ω,jeigu u∈ C2(Ω) ir ∀x∈Ω tenkina Laplaso lygti . Funkcija u yra harmonine neap-režtoje1 srityje Ω, jeigu u∈ C2(Ω), ∀x∈Ω tenkina Laplaso lygti ir

u(x) = O(|x|2−n

), (10.2)

kai |x| → ∞.P a v y z d ž i a i :

1. Funkcija u(x) ≡ 1 yra harmonine bet kokioje srityje Ω ⊂ R2. Jeigu n > 2, taifunkcija u(x) ≡ 1 yra harmonine tik aprežtoje srityje Ω ⊂ Rn.

2. Funkcija

u(x, y) =x

x2 + y2, x, y ∈R,

yra harmonine visoje plokštumoje R2, išskyrus koordinaciu pradžios taška.

3. Funkcijau(x, y) = x2 − y2, x, y ∈R,

yra harmonine bet kokioje aprežtoje srityje Ω ⊂ R2. Neaprežtoje srityje ji neraharmonine.

1Šis harmonines funkcijos apibrežimas nera visuotinai priimtas. Kartais sakoma, kad funkcija u yraharmonine kokioje nors srityje Ω, jeigu ji šioje srityje yra dukart diferencijuojama ir tenkina Laplaso lygti .Jeigu funkcija u dar tenkina (10.2) salyga, tai sakoma, kad ji yra harmonine∞. Be to, vietoje (10.2) salygoskartais reikalaujama, kad

u(x)→ 0, kai |x| → ∞, n≥ 3,

u(x) = o(ln |x|), kai |x| → ∞, n = 2.

Naudojantis teorema apie harmonines funkcijos pašalinama ypatinga taška (žr. 11.6 teorema), galima irodyti,kad šios salygos yra ekvivalencios.

284 10. PAPRASCIAUSIOS ELIPSINES LYGTYS

4. Tegu x∈Rn. Funkcija

E (x) =

1

(n− 2)|S1||x|2−n, n > 2,

− 1

|S1|ln |x|, n = 2,

kai x 6= 0, tenkina Laplaso lygti (patikrinkite). Todel, kai n = 2, ji yra har-monine bet kokioje aprežtoje srityje Ω ⊂ Rn, jeigu tik 0 6∈ Ω. Neaprežtoje sri-tyje ji nera harmonine. Kai n > 2, funkcija E (x) yra harmonine tiek aprežtojesrityje, tiek ir neaprežtoje srityje Ω, jeigu tik taškas 0 6∈ Ω.

Funkcija E yra vadinama fundamentaliuoju (kartais singuliariuoju) Laplaso lyg-ties sprendiniu. Ji galima rasti ieškant Laplaso lygties sprendinio, priklausancio tiknuo spindulio r = |x|. Norint tuo isitikinti, reikia parašyti Laplaso lygti sferinesekoordinatese:

E ′′(r) +n− 1

rE ′(r) = 0.

Bendrasis šios lygties sprendinys

E (r) =

c1r

2−n + c2, n > 2,c1 ln r + c2, n = 2.

Atmete konstanta c2 ir atitinkamai parinke1 konstanta c1, gausime fundamentalu Lap-laso lygties sprendini.

1Skaitytojui, kuris susipažines su apibendrintu funkciju savoka, nurodysime, kad konstanta c1 parinktataip, kad funkcija E tenkintu lygti

−∆E(x) = δ(x);

cia δ(x) yra δ funkcija. Pastaroji lygtis reiškia, kad

−∫Rn

E(x)∆ϕ(x)dx = ϕ(0), ∀ϕ∈ C∞0 (Rn) .

10.2. INTEGRALINE FUNKCIJUu∈ C2(Ω) IŠRAIŠKA 285

10.2. INTEGRALINE FUNKCIJU u∈ C2(Ω) IŠRAIŠKA

Tegu Ω yra aprežta erdveje Rn sritis, S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius, o funkci-jos u, v ∈ C2(Ω). Tada yra teisinga Gryno formule∫

Ω


∫S

(v∂u

∂n− u ∂v

∂n

)dS.

Laisvai pasirenkame taška x0 ∈Ω. Pakankamai mažiems ε rutulys Bε(x0) ⊂ Ω. To-kiems ε apibrešime sriti Ωε(x

0) = Ω \ Bε(x0). Jos paviršius ∂Ωε(x0) = S ∪ Sε(x0)

(žr. 10.1 pav).

...................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................

..................

....................

.............................

........................

................................

..................................................

.....................

.......................

......................................

Sε(x0)

x0·

Ω

S...................

..............

...................

..............

............................................................................................................

...............................................................

10.1 pav.

Kadangi u, v ∈ C2(Ωε(x0)), tai srityje Ωε(x0) yra teisinga Gryno formule∫

Ωε(x0)


∫S∪Sε(x0)

(v∂u

∂n− u ∂v

∂n

)dS. (10.3)

Nagrinejant ja, patogu išskirti atvejus: n > 2 ir n = 2. Tarkime, n > 2, o v =r2−n, r = |x− x0|. Akivaizdu, kad v ∈ C2(Ωε(x0)). Be to, srityje Ωε(x

0) ji tenkinaLaplaso lygti . Todel ∫

Ωε(x0)

u∆v dx = 0.

Kadangi u∈ C2(Ω), tai egzistuoja konstanta c tokia, kad

∣∣∣ ∫Bε(x0)

v∆u dx∣∣∣≤ c ∫

Bε(x0)

1

rn−2dx = c

ε∫0

∫Sr

1

rn−2dSdr =

= c|S1|ε∫

0

r dr = c|S1|ε2

2.

Todel ∫Ωε(x0)

v∆u dx→∫Ω

v∆u dx,


kai ε→ 0. Sferos Sε(x0) taškuose v = ε2−n. Todel∣∣∣ ∫Sε(x0)

v∂u

∂ndS∣∣∣≤ c ∫

Sε(x0)

1

εn−2dS = εc|S1| → 0,

kai ε→ 0. Be to, funkcijos v išvestine normales kryptimi

∂v

∂n= − ∂

∂r(r2−n) = (n− 2)r1−n = (n− 2)ε1−n.

Todel ∫Sε(x0)

u∂v

∂ndS =

∫Sε(x0)

(n− 2)ur1−n dS = (n− 2)|S1|1

|Sε|

∫Sε(x0)

u dS.

Pagal vidutiniu reikšmiu teorema egzistuoja taškas x∈Sε(x0) toks, kad

1

|Sε|

∫Sε(x0)

u dS = u(x).

Kadangi funkcija u yra tolydi, tai u(x) → u(x0), kai ε → 0. Pereje (10.3) formulejeprie ribos, kai ε→ 0, gausime formule∫

Ω

v∆u dx =

∫S

(v∂u

∂n− u ∂v

∂n

)dS − (n− 2)|S1|u(x0)|.

Padalije ja iš (n− 2)|S1| ir x0 pakeite x, o x – y, rezultata užrašysime taip:

u(x) = −∫Ω

E (|x− y|)∆u(y) dy+

+

∫S

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy. (10.4)

Jeigu srityje Ω funkcija u yra harmonine, tai (10.4) formuleje integralas sritimi Ωyra lygus nuliui. Todel harmoninems funkcijoms yra teisinga paprastesne formule

u(x) =

∫S

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy. (10.5)

P a s t a b o s :

1. Paskutines dvi formules išlieka teisingos ir, kai n = 2. Norint tuo isitikinti,pakanka (10.3) formuleje paimti v = ln r ir pereiti prie ribos, kai ε→ 0.

2. Galima irodyti, kad (10.5) formule išlieka teisinga ir aprežtos srities išoreje,jeigu tik šioje srityje funkcija u tenkina Laplaso lygti ir u(x)→ 0, kai |x| → ∞(žr. [16] ).

10.3. PAPRASCIAUSIOS HARMONINIU FUNKCIJU SAVYBES 287

10.3. PAPRASCIAUSIOS HARMONINIU FUNKCIJU SAVYBES

10.1 teorema. Tarkime, kokioje nors srityje Ω ⊂ Rn funkcija u yra dukart diferenci-juojama ir tenkina Laplaso lygti . Tada šioje srityje ji yra be galo diferencijuojama.

/ Laisvai pasirenkame taška x0 ∈Ω. Tegu Ω′ ⊂ Ω — griežtai vidine sritis; S′ =∂Ω′ – glodus paviršius; x0 ⊂ Ω′. Pagal teoremos salyga u∈ C2(Ω). Todel funkcijau∈ C2(Ω′) ir ja galima išreikšti fundamentaliu Laplaso lygties sprendiniu, t.y.

u(x) =

∫S′

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy, ∀x∈Ω′.

Tegu Ω′′ taško x0 aplinka tokia, kad Ω′′ ⊂ Ω′. Pastarojoje formuleje pointegralinefunkcija yra tolydi kintamuju x∈Ω′′, y ∈S′ atžvilgiu ir be galo diferencijuojamakintamuju x∈Ω′′ atžvilgiu. Remiantis teorema apie integralu , priklausanciu nuoparametro, diferencijavima po integralo ženklu, u∈ C∞(Ω′′) . Kadangi taškas x0 ∈Ωpasirinktas laisvai, tai funkcija u∈ C∞(Ω) . .

10.2 teorema. (vidurines reikšmes teorema) Tarkime, srityje Ω ⊂ Rn funkcija uyra dukart diferencijuojama ir tenkina Laplaso lygti . Tada

u(x) =1

|SR|

∫SR(x)

u(y) dSy, ∀x∈Ω, R > 0 : BR(x) ⊂ Ω. (10.6)

/ Tegu BR(x) ⊂ Ω. Tada funkcija u∈ C2(BR(x)) ir yra teisinga formule

u(x) =

∫SR(x)

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy. (10.7)

Sferos SR(x) taškuose funkcija

E (|x− y|) = E (R),

o jos normaline išvestine∂E (|x− y|)

∂ny= − 1

|SR|.

Be to, ∫SR(x)

∂u(y)

∂nydSy =

∫BR(x)

∆u(y) dy = 0.

Todel (10.7) formule galima perrašyti taip:

u(x) =1

|SR|

∫SR(x)

u(y) dSy. .


10.3 teorema. (atvirkštine vidurines reikšmes teorema) Tegu Ω ⊂ Rn yra aprežtasritis, u∈ C(Ω) ir (10.6) formule yra teisinga ∀x∈Ω, R > 0 : BR(x) ⊂ Ω. Tadasrityje Ω funkcija u yra harmonine.

/ Iš pradžiu irodysime, kad u∈ C∞(Ω) . Tegu δ yra pakankamai mažas teigiamasskaicius, o f – kokia nors intervale (−δ, δ) be galo diferencijuojama neneigiama ir finitifunkcija. Akivaizdu, kad ∀x∈Ω \ x∈Ω : dist(x, S)≤ δ rutulys Bδ(x) ⊂ Ω. Todel∀x∈Ω \ x∈Ω : dist(x, S)≤ δ, ir ∀R≤ δ yra teisinga (10.6) formule. Padaugineja iš Rn−1f(R) ir rezultata suintegrave parametro R atžvilgiu nuo 0 iki δ, gausime

u(x)

δ∫0

Rn−1f(R) dR =

δ∫0

1

|SR|Rn−1f(R)

∫SR(x)

u(y) dSy dR =

=1

|S1|

∫Bδ(x)

f(|x− y|)u(y) dy =1

|S1|

∫Ω

f(|x− y|)u(y) dy.

Padalije šia formule išδ∫

0

Rn−1f(R) dR,

rezultata užrašysime taip:

u(x) =(|S1|

δ∫0

Rn−1f(R) dR)−1

∫Ω

f(|x− y|)u(y) dy. (10.8)

Esminis skirtumas tarp (10.6) ir (10.8) formuliu yra tas, kad (10.8) formuleje in-tegravimo sritis nepriklauso nuo kintamojo x. Todel galime pasinaudoti teorema apieintegralu , priklausanciu nuo parametro, diferencijavima po integralo ženklu. Nagrine-jamuoju atveju pointegraline funkcija yra be galo diferencijuojama kintamuju x atžvil-giu ir tolydi abieju kintamuju x, y atžvilgiu. Be to, integravimo sritis Ω yra aprežta.Todel funkcija u, apibrežta (10.8) formule, srityje Ω \ x∈Ω : dist(x, S)≤ δ yra begalo diferencijuojama. Artindami δ i nuli , gausime, kad u∈ C∞(Ω) .

I rodysime, kad funkcija u tenkina Laplaso lygti . Laisvai pasirenkame taška x∈Ωir teigiama skaiciu R toki, kad BR(x) ⊂ Ω. Tada funkcija u∈ C2(BR(x)) ir yrateisinga formule

u(x) = −∫

BR(x)

E (|x− y|)∆u(y) dy +

+

∫SR(x)

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy. (10.9)

Sferos SR(x) taškuose |x− y| = R. Todel∫SR(x)

E (|x− y|)∂u(y)

∂nydSy = E (R)

∫SR(x)

∂u(y)

∂nydSy = E (R)

∫BR(x)

∆u(y) dy.


Be to,∂E (|x− y|)

∂ny= − 1

|SR|.

Pasinaudoje (10.6) formule, gausime

−∫

SR(x)

u(y)∂E (|x− y|)

∂nydSy =

1

|SR|

∫SR(x)

u(y) dSy = u(x).

Istate gautas integralu išraiškas i (10.9) formule, perrašysime ja tokiu pavidalu:∫BR(x)

(E (R)− E (r)

)∆u(y) dy = 0; (10.10)

cia r = |x − y|. Akivaizdu, kad ∀y ∈BR(x) reiškinys E (R) − E (r) yra neigiamas.Todel (10.10) lygybe yra galima tik tuo atveju, kai rutulyje BR(x) funkcija ∆u keiciaženkla. Vadinasi, egzistuoja taškas x∈BR(x) toks, kad

∆u(x) = 0. (10.11)

Savaime aišku, kad kiekviena konkretu skaiciu R atitinka savas taškas x∈BR(x) irx→ x, kai R→ 0. Kadangi u∈ C2(Ω), tai (10.11) lygybeje galima pereiti prie ribos,kai R → 0. Taigi taške x∈Ω funkcija u tenkina Laplaso lygti . Kadangi taška x∈Ωpasirinkome laisvai, tai

∆u(x) = 0, ∀x∈Ω,

o tai ir reiškia, kad srityje Ω funkcija u yra harmonine. .

10.4 teorema. (harmoniniu funkciju maksimumo principas) Tegu u yra harmo-nine funkcija aprežtoje srityje Ω, S = ∂Ω ir u∈ C(Ω). Tada mažiausia ir didžiausiareikšmes ji igyja paviršiuje S.

/ Pagal teoremos salyga funkcija u∈ C(Ω) . Todel ji yra aprežta ir egzistuoja taškasx0 ∈Ω, kuriame funkcija u igyja didžiausia reikšme. Tegu u(x0) = M = max

x∈Ωu(x).

Reikia irodyti, kad x0 ∈S. Tarkime priešingai, kad x0 ∈Ω. Tada pakankamai mažiemsR rutulys BR(x0) ⊂ Ω. Remiantis 10.2 teorema,

u(x0) =1

|SR|

∫SR(x0)

u(y) dSy.

Taciau šita lygybe yra galima tik tuo atveju, kai

u|SR(x0) = u(x0) = M.

Pasirinke vietoje R skaiciu R′ < R, gausime

u|SR′ (x0) = u(x0) = M.


Todel galima tvirtinti, kad

u(x) = M, ∀x∈BR(x0).

I rodysime, kad u(x) = M, ∀x∈Ω.Laisvai pasirenkame taška x∗ ∈Ω. Tegu l yra kokia nors laužte, gulinti srityje Ω ir

jungianti taškus x∗, x0 (žr. 10.2 pav.).

Ω

.............

.................

...

.........................

.......................................................................................................................................................

l.......................

................

.......

.......

.......

.............................................................................................................................

.......................

..........................

..............................

.....................................

....................................................................................

........................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..............................................

.......................................................................................

.....................

.............................................

......................

......................

......................

......................

....................................................................................................................................................................................................

........

.................

.......................

............................................................................................................................................................................................................

................................

........

.................

.......................

............................................................................................................................................................................................................

................................

··

x0

x1

..............................................................................................................

............................................................

..........................

......................................................................................................................................................................................................

............................................................

..........................

........................................................................................ ··xN

x∗

10.2 pav.

Teguδ = 1

2distl, ∂Ω.

Laužteje l parenkame taškus x1, . . . , xN taip, kad butu patenkintos nelygybes

1

2δ < |xi+1 − xi| < δ, ∀i = 0, 1, . . . , N ;

cia xN+1 = x∗. Taškas x1 ∈Bδ(x0) ir rutulys Bδ(x0) ⊂ Ω. Todel

u(x) = u(x0) = M, ∀x∈Bδ(x0).

Taškas x2 ∈Bδ(x1) ir rutulys Bδ(x1) ⊂ Ω. Todel

u(x) = M, ∀x∈Bδ(x1).

Tesdami šita procesa N -uoju žingsniu gausime, kad

u(x) = M, ∀x∈Bδ(xN+1).

Taciau x∗ = xN+1 ∈Bδ(xN+1). Todel u(x∗) = u(x0) = M . Kadangi taškas x∗ ∈Ωpasirinktas laisvai, tai u(x) = M, ∀x∈Ω. Pagal teoremos salyga funkcija u∈ C(Ω).Todel u(x) = M, ∀x∈Ω. Taigi, jeigu funkcija u didžiausia reikšme igyja srities Ωvidiniame taške, tai ji yra konstanta (šiuo atveju teorema yra triviali). Priešingu atveju,kai u(x) 6= const, didžiausia reikšme funkcija u igyja taške x0 ∈S.

Šiame irodyme funkcija u pakeite −u, gausime, kad mažiausia reikšme funkcija uigyja paviršiuje S. .

I š v a d a . Jeigu harmonine funkcija yra konstanta paviršiaus S taškuose, tai ji yrakonstanta visoje uždaroje srityje Ω.


P a s t a b a . Neaprežtos srities atveju yra teisingas analogiškas teiginys. Jeigufunkcija u yra dukart diferencijuojama neaprežtoje srityje Ω ir tenkina šioje srityjeLaplaso lygti , tai funkcija u srityje Ω negali tureti nei lokalaus minimumo, nei lokalausmaksimumo tašku . Tiksliau, jeigu taške x0 yra teisinga nelygybe

u(x0)≥u(x) ∀x : |x− x0| < ε, ε > 0

arbau(x0)≤u(x), ∀x : |x− x0| < ε, ε > 0,

tai funkcija u yra pastovi visoje srityje Ω.

10.5 teorema. Tegu um yra harmoniniu funkciju aprežtoje srityje Ω ⊂ Rn seka,um ∈ C(Ω), ∀m = 1, . . . ,∞, ir tegu seka um konverguoja tolygiai paviršiuje S =∂Ω. Tada:

1. Seka um konverguoja tolygiai uždaroje srityje Ω.

2. Ribine funkcija u yra harmonine srityje Ω.

3. Bet kokioje griežtai vidineje srityje Ω′ ⊂ Ω seka, sudaryta iš funkciju um tospacios eiles išvestiniu , tolygiai konverguoja i atitinkama funkcijos u išvestine.

/ Pagal teoremos salyga

maxx∈S|um(x)− uk(x)| ≤ ε(m, k)→ 0,

kai m, k →∞. Funkcija um− uk yra harmonine srityje Ω ir tolydi uždaroje srityje Ω.Pritaike jai maksimumo principa, gausime

maxx∈Ω

|um(x)− uk(x)| = maxx∈S|um(x)− uk(x)| ≤ ε(m, k)→ 0,

kai m, k → ∞. Taigi seka um konverguoja tolygiai uždaroje srityje Ω. Ribinefunkcija pažymekime raide u. Aišku, kad u∈ C(Ω) . I rodysime, kad srityje Ω funkcijau yra harmonine.

Tegu BR(x) ⊂ Ω. Tada (žr. 10.2 teorema) yra teisinga formule

um(x) =1

|SR|

∫SR(x)

um(y) dSy, ∀m = 1, . . . ,∞.

Kadangi um⇒u, kai m → ∞, tai pastarojoje formuleje galima pereiti prie ribos pointegralo ženklu. Todel ribinei funkcijai u yra teisinga formule

u(x) =1

|SR|

∫SR(x)

u(y) dSy.

Remiantis 10.3 teorema, funkcija u yra harmonine srityje Ω.


I rodysime trecia teoremos teigini . Tegu Ω′ ⊂ Ω yra griežtai vidine sritis ir

δ = 12dist∂Ω, ∂Ω′.

Tada (žr. 10.3 teoremos irodyma) yra teisingos formules:

u(x) =(|S1|

δ∫0

Rn−1f(R) dR)−1

∫Ω

f(|x− y|)u(y) dy, ∀x∈Ω′,

um(x) =(|S1|

δ∫0

Rn−1f(R) dR)−1

∫Ω

f(|x− y|)um(y) dy, ∀x∈Ω′,

m = 1, . . . ,∞. Be to, funkciju u ir um bet kurios eiles išvestines

Dαu(x) =(|S1|

δ∫0

Rn−1f(R) dR)−1

∫Ω

Dαx f(|x− y|)u(y) dy,

Dαum(x) =(|S1|

δ∫0

Rn−1f(R) dR)−1

∫Ω

Dαx f(|x− y|)um(y) dy.

Todel

∣∣Dαum(x)−Dαu(x)∣∣≤ max

x∈Ω|um(x)− u(x)|

(|S1|

δ∫0

Rn−1f(R) dR)−1

×

×∫Ω

∣∣Dαx f(|x− y|)

∣∣ dy≤ cmaxx∈Ω

|um(x)− u(x)|.

Iš šios nelygybes išplaukia, kad

Dαum(x) ⇒ Dαu(x), ∀x∈Ω′ : Ω′ ⊂ Ω.

Teorema irodyta. .


10.4. UŽDAVINIAI

1. Tegu u yra harmonine funkcija. Ištirti, kurios iš nurodytu funkciju yra har-monines:

(a) u(cx), c – skaliarine konstanta;

(b) u(cx), c – pastovi ortogonali matrica;

(c)n∑i=1

xiuxi ;

(d)n∑i=1

u2xi .

2. Rasti parametro k reikšmes, kurioms nurodytos funkcijos yra harmonines:

(a) u(x) = |x|k, x∈Rn, n≥ 3;

(b) u(x) = k|x|, x∈R2.

3. Rasti funkcijos u(x, y) = xy ekstremumo taškus skritulyje x2 + y2≤ 1.

4. Tegu funkcija u∈C2(Ω) ir srityje Ω tenkina nelygybe ∆u < 0 (∆u > 0).Irodyti, kad srityje Ω funkcija u negali igyti neigiamo salyginio minimumo(teigiamo salyginio maksimumo).

5. Tarkime, funkcija u∈C2(Ω)∩C1(Ω) yra harmonine srityje Ω, x0∈S yra josekstremumo taškas ir S∈C2. Irodyti, kad taške x0 funkcijos u išvestine ∂u

∂nišorines normales kryptimi yra neigiama.

6. Tarkime, funkcija u yra dukart diferencijuojama ir tenkina Laplaso lygti srityjeΩ. Irodyti formule

u(x) =n

|S1|Rn

∫BR(x)

u(y)dy, ∀R : BR(x) ⊂ Ω.

7. Tarkime, funkcija u∈C2(Ω) ir ∀R : BR(x) ⊂ Ω integralas∫SR

∂u(y)

∂nydS = 0.

I rodyti, kad srityje Ω funkcija u yra harmonine.

8. Tarkime, funkcija u∈C1(Rn+) yra harmonine puserdveje Rn+. Irodyti formule

u(x) =

∫yn=0

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy.


10.5. ATSAKYMAI

1. (a) Taip. (b) Taip. (c) Taip. (d) Ne.

2. (a) k = 2− n. (b) k = 1.

3. maxu = 1/2 taškuose(1/√

2, 1/√

2),(−1/√

2, −1/√

2);

minu = −1/2 taškuose(−1/√

2, 1/√

2),(1/√

2, −1/√

2)

.

4. N u r o d y m a s . Pasinauduoti tuo, kad ekstremumo taške pirmos eiles išvesti-nes yra lygios nuliui, o antros eiles išvestines yra neneigiamos minimumo atvejuir neteigiamos maksimumo atveju.

5. N u r o d y m a s . Pasinauduoti 4 uždaviniu.

6. N u r o d y m a s . Pasinauduoti (10.6) formule.

7. N u r o d y m a s . Paimti Gryno formuleje Ω = BR(x), o funkcija v ≡ 1.

8. N u r o d y m a s . Parašyti (10.5) formule pusrutulyje |x| < R, xn > 0 irpereiti prie ribos, kai R→∞.

11 S K Y R I U S

Dirichle ir Noimano uždaviniai

11.1. UŽDAVINIU FORMULAVIMAS

Kraštini uždavini elipsinei lygciai vadinsime vidiniu, jeigu jo sprendiniai ieškomi ap-režtoje srityje, ir išoriniu, jeigu jo sprendiniai ieškomi aprežtos srities išoreje. Svar-biausi kraštiniai uždaviniai antros eiles elipsinems lygtims yra Dirichle (pirmasis kraš-tinis) ir Noimano (antrasis kraštinis) uždaviniai.

Bendros antros eiles elipsiniu lygciu teorijos cia nenagrinesime, o apsiribosimeLaplaso lygtimi. Ja nagrinesime arba aprežtoje srityje Ωi ⊂ Rn, arba jos išoreje Ωe =Rn \ Ωi. Bendra sriciu Ωi ir Ωe paviršiu žymesime raide S

Vidinis Dirichle uždavinys Laplaso lygciai formuluojamas taip:Rasti funkcija u∈ C2(Ωi)∩C(Ωi), kuri srityje Ωi tenkintu Laplaso lygti

∆u(x) = 0, x∈Ωi, (11.1)

ir pirma kraštine salygau(x) = ϕ(x), x∈S; (11.2)

cia: S – dalimis glodus paviršius, ϕ – tolydi funkcija.Išorinis Dirichle uždavinys Laplaso lygciai formuluojamas taip pat kaip vidinis.

Reikia tik papildomai pareikalauti, kad funkcija u tenkintu salyga

u(x) = O(|x|2−n), kai |x| → ∞. (11.3)

Tegu funkcija u∈ C1(Ωi), taškas ξ ∈S ir α – pakankamai mažas teigiamas skai-cius. Tada taškas ξ − αnξ yra vidinis srities Ωi taškas (žr. 11.1 pav.) ir egzistuojakryptine ižvestine

∂u(ξ − αnξ)

∂nξ.

A p i b r e ž i m a s . Tegu S ∈ C1. Sakysime, funkcija u∈ C1(Ωi) paviršiuje Sturi taisyklinga normaline išvestine, jeigu artinant α i +0 normaline išvestine

∂u(ξ − αnξ)

∂nξ

tolygiai konverguoja (tašku ξ ∈S atžvilgiu) i savo ribine reikšme.

.......................

............................

.........................................

..............................................................................................................................................................................................................

.............................

....S...........

........

........

........

........

........

........

........

........

..................

..............

..................................

......................

..............

ξ

nξ

ξ − αnξ

·Ωe

Ωi

11.1 pav.

296 11. DIRICHLE IR NOIMANO UŽDAVINIAI

Šita ribine reikšme žymesime[∂u(ξ)

∂nξ

]i

, t.y.

[∂u(ξ)

∂nξ

]i

= limα→+0

∂u(ξ − αnξ)

∂nξ.

Remiantis apibrežimu galima tvirtinti, kad taisyklinga normaline išvestine pavir-šiuje S yra tolydi. Tarkime, paviršiuje S egzistuoja funkcijos u taisyklinga normalineišvestine. Irodysime, kad u∈ C(Ωi) . Pagal Niutono–Leibnico formule

u(ξ) = u(ξ − αnξ) +

α∫0

∂

∂tu(tnξ + ξ − αnξ)dt, ∀ξ ∈S.

Kadangi ∣∣∣∣∂u(ξ − τnξ)∂nξ

∣∣∣∣ ≤ const, ∀ξ ∈S, τ ∈ [0, α],

taiu(ξ − αnξ)− u(ξ) ⇒ 0, ξ ∈S,

kai α→ +0, ir u∈ C(S) . Tegu dabar ξ ∈S, x∈Ωi ir η ∈S : x = η − αnη (žr. 11.2pav.). Kai α→ +0, taškas x→ ξ. Be to, išvestine

∂u(η − αnξ)

∂nη

yra aprežta ir u∈ C(S) . Todel

|u(x)− u(ξ)| ≤ |u(ξ)− u(η)|+ |u(η)− u(x)| ≤ |u(ξ)− u(η)|+ αC → 0,

kai x → ξ. Pagal apibrežima tai ir reiškia, kad u∈ C(Ωi).

.......................

............................

.........................................

..............................................................................................................................................................................................................S

...........

........

........

........

........

........

........

........

........

..................

..............

..................................

η

nη

x

·

11.2 pav.

·ξ

Ωe

Ωi

Jeigu funkcija u∈ C1(Ωe), tai jos taisyklinga normaline išvestine paviršiuje S apibre-žiama analogiškai, t.y. [

∂u(ξ)

∂nξ

]e

= limα→+0

∂u(ξ + αnξ)

∂nξ.

Formuluojant vidini ir išorini Noimano uždavinius, reikalausime, kad S ∈ C1. Vi-dinis Noimano uždavinys Laplaso lygciai formuluojamas taip:

11.1. UŽDAVINIU FORMULAVIMAS 297

Rasti funkcija u∈ C2(Ωi), kuri srityje Ωi tenkintu Laplaso lygti

∆u = 0,

ir paviršiuje S egzistuotu jos taisyklinga normaline išvestine[∂u(ξ)

∂nξ

]i

= ψ(ξ); (11.4)

cia ψ – tolydi paviršiuje S funkcija.Išorinis Noimano uždavinys Laplaso lygciai formuluojamas taip pat. Reikia tik

papildomai pareikalauti, kad dideliems |x| funkcija u tenkintu (11.3) salyga.P a s t a b a . Nagrinejant Noimano uždavini, galima atsisakyti prielaidos S ∈ C1

ir reikalauti, kad paviršius S butu tik dalimis glodus. Šiuo atveju kraštine salyga tuributi patenkinta tuose paviršiaus S taškuose, kuriuose normale egzistuoja.

P a s t a b a . Tiesinei antrosios eiles lygciai

n∑i,j=1

aij(x)uxixj +

n∑i=1

ai(x)uxi + a(x)u = f(x)

vidinis ir išorinis Dirichle uždaviniai formuluojami lygiai taip pat kaip ir Laplasolygciai. Formuluojant Noimano uždavini, kraštine salyga apibrežiama taip:

limx→ξ

n∑i,j=1

aij(x)uxj cos(n(ξ), xi) = ψ(ξ), ξ ∈S;

cia: x = ξ − αnξ ∈Ωi, α > 0 vidinio Noimano uždavinio atveju ir x = ξ +αnξ ∈Ωe, α > 0 išorinio Noimano uždavinio atveju.


11.2. VIENATIES TEOREMOS

11.1 teorema. Vidinis (išorinis) Dirichle uždavinys∆u(x) = f(x), x∈Ωi (x∈Ωe),u(x) = ϕ(x), x∈S,

negali tureti dvieju skirtingu sprendiniu .

/ Tarkime, vidinis (išorinis) Dirichle uždavinys turi du sprendinius u1 ir u2. Tadaju skirtumas u = u1 − u2 srityje Ωi (srityje Ωe) tenkina Laplaso lygti ir homogeninekraštine salyga

u(x) = 0, x∈S.

Išnagrinesime vidinio Dirichle uždavinio atveji . Pagal maksimumo principa didžiausiair mažiausia reikšmes funkcija u igyja paviršiuje S. Taciau paviršiuje S ji lygi nuliui.Todel u(x) = 0, ∀x∈Ωi. Taigi bet kokie du vidinio Dirichle uždavinio sprendiniaisutampa.

Nagrinejant Dirichle uždavini srityje Ωe, patogu išskirti du atvejus: n = 2 ir n > 2.Tegu n = 2. Dideliems |x| kiekviena iš funkciju u1, u2 yra aprežta. Todel egzistuojateigiamos konstantos M1 ir M2 tokios, kad

maxx∈Ωe

|u1(x)| ≤M1, maxx∈Ωe

|u2(x)| ≤M2

irmaxx∈Ωe

|u(x)| ≤M1 +M2 ≡M.

Laisvai pasirenkame taška x0 ∈Ωi ir skrituli BR0(x0) ⊂ Ωi. Akivaizdu, kadfunkcija ln(|x − x0|/R0) srityje Ωe yra teigiama ir tenkina Laplaso lygti . Be to,pakankamai dideliems R sritis Ωi ⊂ BR(x0). Tokiems R funkcija

uR = M

(ln|x− x0|R0

/ln

R

R0

)srityje ΩR(x0) = Ωe ∩BR(x0) yra teigiama ir harmonine. Be to,

u(x) = 0, uR(x) > 0, x∈S,

ir|u(x)| ≤M, uR(x) = M, x∈SR.

Todel pagal harmonines funkcijos maksimumo principa

|u(x)| ≤uR(x), ∀x∈ΩR.

Laisvai pasirenkame taška x∈Ωe. Artindami skaiciu R i +∞, gausime nelygybe

|u(x)| ≤ 0, ∀x∈Ωe.

11.2. VIENATIES TEOREMOS 299

Ši nelygybe yra galima tik tuo atveju, kai u(x) = 0. Taigi u1(x) = u2(x).Liko išnagrineti atveji , kai n > 2. Šiuo atveju funkcija u tenkina srityje Ωe Laplaso

lygti , lygi nuliui paviršiaus S taškuose ir tenkina (11.3) salyga. Pakankamai dideliemsR sritis Ωi ⊂ BR(0) ir u(x) = O(R2−n), kai x∈SR. Srityje ΩR(0) = Ωe ∩ BR(0)funkcija u yra harmonine. Todel didžiausia ir mažiausia reikšmes ji igyja arba pavirši-uje S arba sferos SR(0) taškuose. Taigi

|u(x)| ≤C/Rn−2, ∀x∈ΩR.

Laisvai pasirenkame taška x∈Ωe. Artindami skaiciu R i +∞, gausime, kadu(x) = 0 ir u1(x) = u2(x), ∀x∈Ωe. .

11.2 teorema. Tegu S ∈ C2 . Tada bet kokie du vidinio Noimano uždavinio∆u(x) = f(x), x∈Ωi,[∂u(x)∂nx

]i

= ψ(x), x∈S,

sprendiniai, jeigu jie egzistuoja, gali skirtis tik konstanta.

/ Tegu u1, u2 yra du nagrinejamo uždavinio sprendiniai. Tada funkcija u = u1−u2

srityje Ωi tenkina Laplaso lygti , o jos taisyklinga normaline išvestine[∂u(x)

∂nx

]i

= 0.

Kadangi S yra paviršius klases C2, tai (žr. (12.15) formule)∫Ωi

n∑k=1

u2xkdx =

∫S

u

[∂u(x)

∂nx

]i

dS = 0. (11.5)

Ši lygybe yra galima tik tuo atveju, kai u(x) = const, ∀x∈Ωi, t.y. u1(x)− u2(x) =const. .

11.3 teorema. Tegu S ∈ C2 . Tada bet kokie du išorinio Noimano uždavinio∆u(x) = f(x), x∈Ωe,[∂u(x)∂nx

]e

= ψ(x), x∈S,

u(x) = O(|x|2−n), |x| → ∞,

sprendiniai, jeigu jie egzistuoja, kai n = 2, gali skirtis tik konstanta ir, kai n > 2,sutampa.

/ Tegu u1, u2 yra du išorinio Noimano uždavinio sprendiniai. Tada funkcija u =u1 − u2 srityje Ωe tenkina Laplaso lygti , jos taisyklinga normaline išvestine[

∂u(x)

∂nx

]e

= 0


ir u(x) = O(|x|2−n), kai |x| → ∞.Pakankamai dideliems R sritis Ωi guli sferos SR viduje. Tokiems R apibrešime

sriti ΩR = Ωe ∩BR(0). Jos paviršius ∂ΩR = S ∪ SR. Sritis ΩR yra aprežta. Be to, Syra paviršius klases C2 . Todel (žr. (12.15) formule)∫

ΩR

n∑k=1

u2xkdx =

∫S

u

[∂u

∂n

]e

dS +

∫SR

u∂u

∂ndS.

Kadangi funkcijos u taisyklinga normaline išvestine lygi nuliui, tai pastaraja formulegalime perrašyti taip: ∫

ΩR

n∑k=1

u2xkdx =

∫SR

u∂u

∂ndS.

Dideliems |x| harmonines funkcijos išvestine

Dαu(x) =

O(|x|2−n−|α|), n > 2,O(|x|−1−|α|), n = 2

(ši teigini irodysime 11.7 skyrelyje). Todel∫ΩR(0)

n∑k=1

u2xkdx =

O(|R|2−n|), n > 2,O(|R|−1), n = 2.

Artindami šioje lygybeje R i ∞, gausime

u(x) = const, ∀x∈Ωe.

Kadangi u(x) = O(|x|2−n), kai |x| → ∞, tai

u(x) = u1(x)− u2(x) =

0, n > 2,const, n = 2.

Taigi bet kokie du išorinio Noimano uždavinio sprendiniai sutampa, jeigu n > 2, irgali skirtis tik konstanta, jeigu n = 2. .

P a s t a b a . Paskutines dvi teoremos yra teisingos, kai S ∈ C1+α, 0 < α < 1 (žr.[13]). Be to, jeigu yra žinoma, kad ieškomasis sprendinys yra dukart diferencijuojamauždaroje srityje funkcija, tai 11.2 ir 11.3 teoremos išlieka teisingos, kai paviršius S yratik dalimis glodus.

11.3. GRYNO FUNKCIJA 301

11.3. FORMALUS DIRICHLE IR NOIMANO UŽDAVINIUSPRENDIMAS. GRYNO FUNKCIJA

Iš pradžiu išnagrinesime vidini Dirichle uždavini:

∆u(x) = f(x), x∈Ωi, u(x) = ϕ(x), x∈S. (11.6)

Tarkime, kad šio uždavinio sprendinys egzistuoja ir ji galima išreikšti formule

u(x) = −∫Ω

E (|x− y|)∆u(y) dy+

+

∫S

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy. (11.7)

Be to, tegu ∀x∈Ωi egzistuoja funkcija g(x, y) tokia, kad

∆yg(x, y) = 0, y ∈Ωi, g(x, y) = −E (|x− y|), y ∈S, (11.8)

ir yra teisinga Gryno formule:∫Ωi

[g(x, y)∆u(y)− u(y)∆g(x, y)] dy =

=

∫S

[g(x, y)

∂u(y)

∂ny− u(y)

∂g(x, y)

∂ny

]dS. (11.9)

Tada (11.6) uždavinio sprendinys

u(x) = −∫Ω

G(x, y)f(y) dy −∫S

∂G(x, y)

∂nyϕ(y) dS; (11.10)

cia G(x, y) = g(x, y) + E (|x − y|). Funkcija G(x, y) yra vadinama Gryno funkcija.Ja naudojant, bendrojo pavidalo Dirichle uždavinio sprendimas susiveda i konkretaus(11.8) Dirichle uždavinio sprendima.

Jeigu f(x) ≡ 0, t.y. funkcija u tenkina Laplaso lygti , tai (11.6) Dirichle uždaviniosprendinys

u(x) = −∫S

∂G(x, y)

∂nyϕ(y) dS. (11.11)

Išvesdami (11.10) formule, reikalavome, kad funkcijos u ir g tenkintu (11.7) ir(11.9) integralines formules. Šios formules yra teisingos, jeigu paviršius S ir funkcijosu, g tenkina reikiamas glodumo salygas. Pavyzdžiui, pakanka reikalauti, kad paviršiusS butu dalimis glodus, o funkcijos u, g ∈ C2(Ωi) . Arba galima pareikalauti, kadpaviršius S ∈ C2, o funkcijos u, g ∈ C2(Ωi) ir paviršiuje S egzistuotu taisyklingosnormalines išvestines: [

∂u

∂n

]i

ir

[∂g

∂n

]i

.


Taigi, jeigu yra žinoma, kad (11.6) ir (11.8) Dirichle uždaviniu sprendiniai yra pakan-kamai glodžios funkcijos, tai visi atlikti veiksmai yra teiseti ir (11.10) formule apibrežia(11.6) Dirichle uždavinio sprendini.

Laplaso lygciai toks pats rezultatas yra teisingas ir išorinio Dirichle uždavinioatveju (kai n > 2). Norint tuo isitikinti pakanka pastebeti, kad formules

u(x) =

∫S

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy

ir

0 =

∫S

(g(x, y)

∂u(y)

∂ny− u(y)

∂g(x, y)

∂ny

)dS

yra teisingos tiek vidineje, tiek ir išorinese srityse.Išorinio Dirichle uždavinio atveju (11.10) formule išlieka teisinga, jeigu pareika-

lausime, kad funkcija u tenkintu papildomas salygas

u(x) = O(|x|2−n), uxi = O(|x|1−n), i = 1, . . . , n, |x| → ∞

ir integralas sritimi Ωe konverguotu . Atveji n = 2 rekomenduojame išnagrineti sava-rankiškai.

Noimano uždavinio formalus sprendinys yra ieškomas analogiškai. Vidinio Noi-mano uždavinio

∆u(x) = f(x), x∈Ωi,

[∂u(x)

∂nx

]i

= ψ(x), x∈S, (11.12)

sprendinys

u(x) = −∫Ωi

G(x, y)f(y) dy +

∫S

G(x, y)ψ(y) dS +

∫S

u(y) dS;

ciaG(x, y) = E (|x−y|)+g(x, y). Funkcija g(x, y), ∀x∈Ωi yra Noimano uždavinio

∆yg(x, y) = 0, y ∈Ωi,

[∂g(x, y)

∂ny

]i

= −∂E (|x− y|)∂ny

− 1, y ∈S, (11.13)

sprendinys.P a s t a b a . Jeigu (11.13) uždavinyje vietoje kraštines salygos imtume kraštine

salyga [∂g(x, y)

∂ny

]i

= −∂E (|x− y|)∂ny

, y ∈S,

tai ja atitinkantis Noimano uždavinys sprendiniu neturetu . Norint tuo isitikinti, pakan-ka pastebeti, kad yra teisingos tokios dvi tapatybes:

0 =

∫Ωi

∆yg(x, y) dy =

∫S

[∂g(x, y)

∂ny

]i

dSy, ∀x∈Ωi;

11.3. GRYNO FUNKCIJA 303

1 = −∫S

∂E (|x− y|)∂ny

dSy, ∀x∈Ωi.

Vidinio Noimano uždavinio sprendiniai yra apibrežiami konstantos tikslumu. Ati-tinkamai ja parinkus, integralui ∫

S

u dS

galima suteikti bet kokia iš anksto apibrežta reikšme. Todel i ši integrala galima žiuretikaip i laisvaja konstanta. Paeme ja lygia nuliui, gausime formaluji (11.12) uždaviniosprendini

u(x) = −∫Ωi

G(x, y)f(y) dy +

∫S

G(x, y)ψ(y) dS. (11.14)

Visi kiti sprendiniai gaunami pridejus prie jo laisvaja konstanta.Išorinis Noimano uždavinys nagrinejamas analogiškai. Laplaso lygciai (11.14) for-

mule galima apibendrinti tiesiogiai. Puasono lygciai reikia papildomai pareikalauti,kad integralas ∫

Ωe

G(x, y)f(y) dy

konverguotu ir dideliems |x| butu patenkintos salygos

u(x) = O(|x|2−n), uxi = O(|x|1−n), i = 1, . . . , n, (n > 2).

Be to, Gryno funkcijos G(x, y) apibrežime esanti funkcija g(x, y) turi tenkinti salyga[∂g(x, y)

∂ny

]e

= −∂E (|x− y|)∂ny

, y ∈S.

P a s t a b a . Kraštine salyga funkcijai g išorinio ir vidinio uždavinio atvejais ski-riasi todel, kad savybes ∫

S

[∂u(y)

∂ny

]i

dSy = 0

negalima apibendrinti funkcijoms u, kurios yra harmonines neaprežtoje srityje.


11.4. DIRICHLE UŽDAVINIO SPRENDIMAS RUTULYJE

Ieškosime funkcijos u∈ C2(BR(0))∩C(BR(0)), kuri rutulyje BR(0) tenkintu Lap-laso lygti

∆u(x) = 0

ir taškuose x∈S kraštine salyga

u(x) = ϕ(x), ϕ∈ C(SR) .

P a s t a b a . Puasono lygties atveju Dirichle uždavinys susiveda i Dirichle už-davini Laplaso lygciai. Todel cia nagrinesime tik Dirichle uždavini Laplaso lygciai.

Sprendžiant ši uždavini, panaudosime (11.11) formule. Tiksliau, tarsime, kadDirichle uždavinys rutulyje BR(0) turi sprendini ir jis yra pakankamai glodus. Po toišvesime integraline formule, apibrežiancia sprendini. Pabaigoje irodysime, kad tokiubudu sukonstruota funkcija iš tikru ju yra ieškomasis Dirichle uždavinio sprendinys.

Tarkime, kad nagrinejamo Dirichle uždavinio sprendinys egzistuoja. Pažymekimeji raide u ir tegu u∈ C2(BR(0)) . Sukonstruosime Gryno funkcija G(x, y). Tuo tikslulaisvai pasirenkame taška x∈BR(0). Raide x′ pažymesime taška, simetrini taškui xsferos SR atžvilgiu. Tai reiškia, kad taškai x ir x′ guli viename spindulyje, išeinancia-me iš koordinaciu pradžios, ir |x||x′| = R2. Raide ξ pažymekime taška sferoje SR.Taškus 0, x, x′ ir ξ sujunkime atkarpomis (žr. 11.3 pav.).

Trikampiai ∆0xξ ir ∆0x′ξ yra panašus, nes taške 0 jie turi bendra kampa ir prie joproporcingas kraštines.

........

.........................

...................

.........................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................

......................................................

11.3 pav.

......................................

......................................

......................................

......................................

.......................

...............................................................................................

......................

......................

......................

......................

..............

................................

......................

0R ξ

xr

r′

x′

Šia kraštiniu proporcingumo salyga galima užrašyti taip:

|x|R

=R

|x′|.

Kitos trikampiu ∆0xξ, ∆0x′ξ kraštines taip pat yra proporcingos. Pažymeje r =|x− ξ|, r′ = |x′ − ξ|, šiu kraštiniu proporcingumo salyga užrašysime taip:

r

r′=|x|R. (11.15)

Toliau nagrinesime atveji n > 2. Atkreipsime demesi i tai, kad dydžiai r ir r′ yraproporcingi, o

E (r) =

(R

|x|

)n−2

E (r′).

11.4. DIRICHLE UŽDAVINIO SPRENDIMAS RUTULYJE 305

Tegu y ∈ BR(0) ir r′ = |x′ − y. Tada funkcija E (r′), kaip kintamojo y funkcija,∀x∈BR(0) yra harmonine rutulyje BR(0). Todel funkcija

g(x, y) ≡ −(R

|x|

)n−2

E (r′)

yra Dirichle uždavinio

∆yg(x, y) = 0, y ∈BR(0), g(x, y) = −E (r), r = |x− y|, y ∈SR(0),

sprendinys. Taigi Gryno funkcija

G(x, y) = E (r)−(R

|x|

)n−2

E (r′).

Pagal (11.11) formule formalu Dirichle uždavinio sprendini rutulyje BR(0) galimaužrašyti taip:

u(x) = −∫

SR(0)

∂G(x, ξ)

∂nξϕ(ξ)dSξ. (11.16)

Suskaiciuosime Gryno funkcijos normaline išvestine

−∂G(x, ξ)

∂nξ= − ∂

∂nξ

[E (r)−

( R|x|

)n−2

E (r′)]

=

=1

|S1|

[ 1

rn−1cos(r,nξ)−

( R|x|

)n−2 1

r′n−1cos(r′,nξ)

]. (11.17)

Pagal kosinusu teorema

cos(r,nξ) =R2 + r2 − |x|2

2rR,

cos(r′,nξ) =R2 + r′2 − |x′|2

2r′R=R2 +R2|x|−2r2 −R4|x|−2

2rR2|x|−1.

Istate šias išraiškas i (11.17) formule ir suprastine panašius narius, gausime

−∂G(x, ξ)

∂nξ=

1

|S1|R2 − |x|2

Rrn≡ K(x, ξ).

Taigi (11.16) formule galima perrašyti taip:

u(x) =

∫SR

K(x, ξ)ϕ(ξ)dSR, x∈BR(0). (11.18)

Funkcija K(x, ξ) yra vadinama Puasono branduoliu, o (11.18) formule — Puasonoformule.

P a s t a b a . Puasono formule išvesta, kai n > 2. Atvejis n = 2 nagrinejamasanalogiškai. Reikia tik atkreipti demesi i tai, kad (11.16) formule yra teisinga ir, kain = 2.


11.4 teorema. Tegu ϕ∈ C(SR) . Tada funkcija u, apibrežta (11.18) formule, rutulyjeBR(0) tenkina Laplaso lygti ir sferos SR(0) taškuose sutampa su funkcija ϕ.

/ Iš pradžiu irodysime paprasciausias funkcijos K savybes.1. Funkcija K(x, ξ)≥ 0, ∀x∈BR(0), ξ ∈SR(0).2. Rutulyje BR(0) funkcija K(x, ξ) tenkina Laplaso lygti

∆xK(x, ξ) = 0, ∀ξ ∈SR(0).

/ Fiksuokime taška ξ ∈SR(0). Funkcija K nuo funkcijos

V (x) =R2 − |x|2

rn

skiriasi tik pastoviu daugikliu. Todel pakanka irodyti, kad funkcija V tenkina Laplasolygti . Suskaiciuosime jos išvestines:

Vxi(x) = −2xirn− n (R2 − |x|2)(xi − ξi)

rn+2,

Vxixi(x) = − 2

rn+ 4n

xi(xi − ξi)rn+2

− nR2 − |x|2

rn+2+

+n(n+ 2)(R2 − |x|2)(xi − ξi)2

rn+4.

Susumave išvestines Vxixi nuo 1 iki n, gausime

∆V (x) = −2n

rn+ 4n

|x|2

rn+2− 4n

(x, ξ)

rn+2− n2R

2 − |x|2

rn+2+ n(n+ 2)

(R2 − |x|2)

rn+2=

= n−2r2 + 4|x|2 − 4(x, ξ) + 2R2 − 2|x|2

rn+2= 0 . .

3. Integralas ∫SR(0)

K(x, ξ) dSR = 1, ∀x∈BR(0). (11.19)

/ Funkcija u(x) ≡ 1∈ C2(BR(0)) . Be to, rutulyje BR(0) ji yra harmonine irsferos SR(0) taškuose lygi vienetui. Todel ja galima išreikšti (11.18) formule, kuri, kaiϕ = 1, virsta (11.19) lygybe. .

Kintamuju x∈BR(0), ξ ∈SR(0) atžvilgiu funkcijaK(x, ξ) yra be galo diferenci-juojama, o funkcija ϕ sferoje SR(0) yra tolydi. Remiantis teorema apie integralu , prik-lausanciu nuo parametro, diferencijavima po integralo ženklu, funkcija u, apibrežta(11.18) formule, rutulyje BR(0) yra be galo diferencijuojama ir jos išvestines galimaskaiciuoti po integralo ženklu. Pasinaudoje antra funkcijos K savybe, galime tvirtin-ti, kad funkcija u tenkina Laplaso lygti . Irodysime, kad funkcija u∈ C(BR(0)) iru(ξ) = ϕ(ξ), ∀ξ ∈SR(0). Laisvai pasirenkame taška ξ ∈SR(0), skaiciu ε > 0 irtaška x∈BR(0), artima taškui ξ. Remiantis trecia funkcijos K savybe, skirtumas

u(x)− ϕ(ξ) =

∫SR(0)

K(x, η)(ϕ(η)− ϕ(ξ)) dSη.

11.4. DIRICHLE UŽDAVINIO SPRENDIMAS RUTULYJE 307

Tegu ρ yra koks nors teigiamas skaicius ir Σρ(ξ) = SR(0) ∩Bρ(ξ). Tada

|u(x)− ϕ(ξ)| ≤∣∣∣ ∫

Σρ(ξ)

K(x, η)(ϕ(η)− ϕ(ξ)) dSη

∣∣∣++∣∣∣ ∫SR(0)\Σρ(ξ)

K(x, η)(ϕ(η)− ϕ(ξ)) dSη

∣∣∣.Pažymekime paskutiniu dvieju integralu modulius atitinkamai I1 ir I2. Pasinaudoje 1ir 3 funkcijos K savybemis, ivertinsime I1 :

I1≤ maxη∈Σρ(ξ)

|ϕ(η)− ϕ(ξ)|∫

Σρ(ξ)

K(x, η) dSη ≤ maxη ∈Σρ(ξ)

|ϕ(η)− ϕ(ξ)|.

Skaiciu ρ parinksime taip, kad I1 ≤ ε/2. Tai padaryti galima, nes ϕ ∈ C(SR(0)) .Kadangi funkcija ϕ yra aprežta, tai

I2≤ 2 maxη∈SR(0)

|ϕ(η)| maxη ∈SR(0)\Σρ(ξ)

1

|x− η|n(R2 − |x|2)|SR|

|S1|R≤

≤ C

ρn(R2 − |x|2)≤ ε

2,

jeigu tik taškas x yra pakankamai arti taško ξ ∈ S. Tokiems x yra teisinga nelygybe

|u(x)− ϕ(ξ)| ≤ ε, ∀x∈SR(0).

Taigi funkcija u∈ C(BR(0)) ir u(ξ) = ϕ(ξ), ∀ξ ∈SR(0). .


11.5. HARNAKO NELYGYBE IR LIUVILIO TEOREMA

Tarkime, neneigiama funkcija u∈C2(BR(0))∩C(BR(0)) ir rutulyje BR(0) tenkinaLaplaso lygti . Pagal Puasono formule

u(x) =R2 − |x|2

|S1|R

∫SR(0)

u(ξ)

rndSξ, ∀x∈BR(0);

cia r = |x− ξ|. KadangiR− |x| ≤ r≤R+ |x|,

tai

u(x)≥ (R− |x|)Rn−2

(R+ |x|)n−1

1

|SR|

∫SR(0)

u(ξ) dSξ

ir

u(x)≤ (R+ |x|)Rn−2

(R− |x|)n−1

1

|SR|

∫SR(0)

u(ξ) dSξ.

Pagal vidurines reikšmes teorema

1

|SR|

∫SR(0)

u(ξ) dSξ = u(0).

Todel(R− |x|)Rn−2

(R+ |x|)n−1u(0)≤u(x)≤ (R+ |x|)Rn−2

(R− |x|)n−1u(0).

Šios nelygybes vadinamos Harnako nelygybemis.

11.5 teorema. (Liuvilio) Tarkime, funkcija u erdveje Rn yra aprežta iš apacios (arbaiš viršaus) ir ∀x∈Rn tenkina Laplaso lygti . Tada ji yra konstanta.

/ Jeigu funkcija u yra aprežta iš viršaus ir tenkina Laplaso lygti , tai funkcija−u yraaprežta iš apacios ir taip pat tenkina Laplaso lygti . Todel pakanka išnagrineti atveji ,kai funkcija u yra aprežta iš apacios.

Tarkime, u(x)≥ − C, ∀x∈Rn. Akivaizdu, kad funkcija u∗(x) = u(x) + C yraneneigiama ir ∀x∈Rn tenkina Laplaso lygti . Todel ∀R > 0 yra teisingos Harnakonelygybes:

(R− |x|)Rn−2

(R+ |x|)n−1u∗(0)≤u∗(x)≤ (R+ |x|)Rn−2

(R− |x|)n−1u∗(0).

Pereje prie ribos, kai R → 0, gausime nelygybes

u∗(0)≤u∗(x)≤u∗(0).

Iš ju išplaukia, kad u∗(x) = u∗(0). Taigi u(x) = u(0), ∀x∈Rn. .

11.6. PAŠALINAMASIS YPATINGAS TAŠKAS 309

11.6. HARMONINES FUNKCIJOSPAŠALINAMASIS YPATINGAS TAŠKAS

Tarkime, taškas x0 ∈Ω ir funkcija u yra harmonine srityje Ω \ x0. Taškas x0 yrafunkcijos u pašalinamasis ypatingas taškas, jeigu artinant x i x0 funkcija u didejaleciau už fundamentalu Laplaso lygties sprendini, t.y. u(x) = o

(E (|x − x0|)

), kai

|x− x0| → 0.

11.6 teorema. Tarkime, funkcija u yra harmonine srityje Ω \ x0, o taškas x0 yra jospašalinamasis ypatingas taškas. Tada funkcija u taške x0 galima apibrežti taip, kad jibutu harmonine visoje srityje Ω.

/ Koordinaciu ašis visada galima perkelti taip, kad taškas x0 pereitu i koordinaciupradžia. Tarkime, kad tai jau yra padaryta ir x0 = 0. Tada pakankamai mažiemsR > 0rutulys BR(0) ⊂ Ω. Tokiems R funkcija

U(x) =

∫SR(0)

K(x, ξ)u(ξ) dSξ

rutulyje BR(0) tenkina Laplaso lygti ir sferos SR(0) taškuose sutampa su funkcija u(žr. 11.4 teorema). Kadangi funkcija U ∈ C(BR(0)), tai ji rutulyje BR(0) yra aprežta.Todel U(x) = o

(E (|x|)

), kai |x| → 0. Taciau tada funkcija v = U − u srityje

BR(0) \ 0 yra harmonine, sferos SR(0) taškuose lygi nuliui ir v(x) = o(E (|x|)

),

kai |x| → 0.Tarkime, n > 2. Tada egzistuoja funkcija ω(δ) tokia, kad ω(δ) → 0, kai δ → 0,

ir

|v(x)| ≤ ω(δ)

|x|n−2, ∀x : |x| < δ.

Funkcija

ωδ(x) = 2

(1

|x|n−2− 1

Rn−2

)ω(δ)

yra harmonine srityje x : δ < |x| < R. Be to, sferos SR(0) taškuose

v(x) = ωδ(x) = 0,

o sferos Sδ taškuose (pakankamai mažiems δ)

v(x)≤ ω(δ)

δn−2≤ 2

(1

δn−2− 1

Rn−2

)ω(δ) = ωδ(x).

Pagal maksimumo principa (žr. 10.4 teorema)

v(x)≤ωδ(x), ∀x : δ≤ |x| ≤R.

Ši irodyma pakartoje funkcijai −v, gausime

−v(x)≤ωδ(x), ∀x : δ≤ |x| ≤R.


Paskutines dvi nelygybes galima užrašyti taip:

|v(x)| ≤ωδ(x), ∀x : δ≤ |x| ≤R.

Artindami skaiciu δ i 0, gausime, v(x) = 0, ∀x∈BR(0)\0. Taigi funkcija u srityjeBR(0) \ 0 sutampa su harmonine visame rutulyje BR funkcija U . Apibrežkimefunkcijos u reikšme taške x = 0 lygybe u(0) = U(0). Tada funkcija u bus harmoninevisame rutulyje BR(0), kartu ir visoje srityje Ω. .

Kai n = 2, šia teorema rekomenduojame irodyti savarankiškai.

11.7. KELVINO TRANSFORMACIJA 311

11.7. KELVINO TRANSFORMACIJA

Tarkime, funkcija u yra apibrežta srityje Ω ⊂ Rn, n≥ 2. Fiksuokime skaiciu R > 0toki, kad Ω ⊂ BR(0). Kiekvienam taškui x∈Ω priskirkime taška

y =x

|x|2R2,

simetrini sferos SR(0) atžvilgiu. Tada sriti Ω atitiks sritis

Q =

y ∈Rn : y =

x

|x|2R2, x∈Ω

.

Tegu

v(y) =Rn−2

|y|n−2u( y

|y|2R2), y ∈Q.

Taip apibrežta funcija v vadinsime funkcijos u Kelvino transformacija.I rodysime, kad funkcija u tenkina Laplaso lygti srityje Ω tada ir tik tada, kai

funkcija v tenkina Laplaso lygti srityje Q. Tuo tikslu suskaiciuosime išvestines:

vyi =∂

∂yi

( Rn−2

|y|n−2u)

= Rn−2 ∂

∂yi

( 1

|y|n−2

)u+

1

|y|n−2

n∑k=1

uxk∂xk∂yi

,

vyiyi = Rn−2 ∂2

∂y2i

( 1

|y|n−2

)u+ 2

∂

∂yi

( 1

|y|n−2

) n∑k=1

uxk∂xk∂yi

+

+Rn−2 1

|y|n−2

n∑k=1

uxk∂2xk∂y2

i

+1

|y|n−2

n∑k,l=1

uxkxl∂xk∂yi

∂xl∂yi

.

Sumuodami antros eiles išvestines nuo 1 iki n, gausime

∆v = Rn−2 n∑k=1

uxk

[2

n∑i=1

∂

∂yi

( 1

|y|n−2

)∂xk∂yi

+1

|y|n−2∆yxk

]+

+Rn−2 1

|y|n−2

n∑k,l=1

uxkxl

( n∑i=1

∂xk∂yi

∂xl∂yi

). (11.20)

Funkcijuxk =

yk|y|2

R2, k = 1, . . . , n,

išvestines∂xk∂yi

=

(δik|y|2− 2ykyi|y|4

)R2,

∂2xk∂y2

i

=

(−4yiδik|y|2

− 2yk|y|4

+8y2i yk|y|6

)R2.


Pasinaudoje šiomis formulemis, lengvai galime isitikinti, kad

2

n∑i=1

∂

∂yi

(1

|y|n−2

)∂xk∂yi

=2(n− 2)yk|y|n+2

R2,

n∑i=1

∂xk∂yi

∂xl∂yi

=δkl|y|4

, ∆yxk = −2(n− 2)yk|y|n+2

R2.

Istate šias išraiškas i (11.20) formule, gausime, kad visi koeficientai prie pirmos eilesišvestiniu uxk ir prie mišriu ju antros eiles išvestiniu uxkxl lygus nuliui. Todel pas-taraja formule galime perrašyti taip:

∆yv =Rn+2

|y|n+2∆xu.

Taigi funkcija v tenkina Laplaso lygti tada ir tik tada, kai ja tenkina funkcija u.Tarkime, sritis Q yra neaprežta (taip bus tada, kai taškas 0∈Ω) ir funkcija v srityje

Q yra harmonine. Tada funkcija

u(x) =Rn−2

|x|n−2v( x

|x|2R2)

tenkina Laplaso lygti srityje Ω \ 0 ir taškas x = 0 yra funkcijos u pašalinamasisypatingas taškas. Todel funkcija u taške x = 0 galima apibrežti taip, kad ji butuharmonine visoje srityje Ω.

11.7 teorema. Tarkime, funkcija v aprežtos srities išoreje tenkina Laplaso lygti ir

v(y) → 0, kai |y| → ∞, (n > 2),

|v(y)| ≤ const, kai |y| → ∞ (n = 2).

(Šios salygos kartais yra vadinamos reguliarumo salygomis.) Tada

Dαv(y) =

O(|y|2−n−|α|), kai |y| → ∞ (n > 2),O(|y|−1−|α|), kai |y| → ∞ (n = 2).

/ Fiksuokime skaiciu R > 0 toki, kad funkcija v tenkintu Laplaso lygti rutulioBR(0) išoreje. Tada funkcija

u(x) =1

|x|n−2v( x

|x|2)

tenkins Laplaso lygti srityje B1/R(0) \ 0. Be to, u(x) = o(E (|x|)

), kai |x| → 0.

Taškas x = 0 yra funkcijos u pašalinamasis ypatingas taškas. Tai leidžia (žr. 11.6teorema) funkcija u taške x = 0 apibrežti taip, kad gautoji funkcija (ja žymesime tapacia raide u) butu harmonine visame rutulyje B1/R(0). Kartu rutulyje B1/R(0) ji busbe galo diferencijuojama. Taciau tada funkcija

v(y) =1

|y|n−2u( y

|y|2), y ∈Rn \BR(0),

11.7. KELVINO TRANSFORMACIJA 313

taip pat bus be galo diferencijuojama.Taško x = 0 aplinkoje funkcija u yra aprežta ir turi aprežtas bet kurios eiles dalines

išvestines kintamuju xk, k = 1, . . . , n, atžvilgiu. Kai |y| → ∞, funkciju |y|2−n iryi|y|−2, i = 1, . . . , n, dalines išvestines

Dα(|y|2−n

)= O(|y|2−n−|α|),

Dα(yi|y|−2

)= O(|y|−1−|α|).

Todel, kai |y| → ∞, išvestine

Dαv(y) =

O(|y|2−n−|α|), (n > 2),O(|y|−1−|α|), (n = 2). .

11.8 teorema. Tegu ϕ∈ C(SR(0)) . Tada funkcija

v(y) =1

|S1|

∫SR(0)

|y|2 −R2

R |y − ξ|nϕ(ξ) dSξ, y ∈Rn \BR(0)

yra išorinio Dirichle uždavinio

∆v(y) = 0, y ∈Rn \BR(0),

v(y) = ϕ(y), y ∈SR(0),

v(y) = O(|y|2−n), |y| → ∞,

sprendinys.

/ Vidinio Dirichle uždavinio

∆u(x) = 0, x∈BR(0), u(x) = ϕ(x), x∈SR(0),

sprendinys

u(x) =1

|S1|

∫SR(0)

R2 − |x|2

R |x− ξ|nϕ(ξ) dSξ

(žr. (11.18) formule). Funkcijos u Kelvino transformacija

v(y) =Rn−2

|y|n−2u( y

|y|2R2)

=1

|S1|

∫SR(0)

|y|2 −R2

R |y − ξ|nϕ(ξ) dSξ

yra Dirichle uždavinio rutulio BR(0) išoreje sprendinys. Pastarojoje formuleje perei-dami nuo kintamuju x prie kintamuju y, pasinaudojome tuo, kad |x| = R2|y|−1 ir|x− ξ| = |y − ξ||x|R−1 = |y − ξ|R|y|−1. .


11.8. UŽDAVINIAI

1. Tegu G(x, y) yra Dirichle uždavinio Gryno funkcija. Irodyti, kad

G(x, y) = G(y, x).

2. Puserdveje Rn+ sukonstruoti Gryno funkcija ir irodyti, kad Dirichle uždavinio

∆u(x) = 0, x∈Rn+, u(x′, 0) = ϕ(x′), x′ = (x1, . . . , xn−1),

sprendini galima išreikšti formule

u(x) =2xn|S1|

∫yn=0

ϕ(y1, . . . , yn−1)[n−1∑i=1

(yi − xi)2 + x2n

]n/2 dy1 · · · dyn−1.

3. Tegu n = 3. Sukonstruoti Gryno funkcija:

(a) puserdveje x3 > 0;(b) dvisieniame kampe x2 > 0, x3 > 0;(c) pirmame ketvirtyje x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0;(d) pusrutulyje x3 > 0, |x| < R;(e) rutulio ketvirtyje x2 > 0, x3 > 0, |x| < R;(f) rutulio aštuntadalyje x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, |x| < R.

4. Skritulyje |x| < R, x∈R2, rasti Dirichle uždavinio

∆u(x) = 0, u∣∣|x|=R = ϕ(x)

sprendini:

(a) ϕ(x) = x1 + x1x2;

(b) ϕ(x) = 2(x21 + x2).

5. Skritulio |x| ≤R, x∈R2, išoreje rasti Dirichle uždavinio

∆u(x) = 0, u∣∣|x|=R = ϕ(x), |u(x)| <∞

sprendini:

(a) ϕ(x) = x1 + 2x1x2;

(b) ϕ(x) = 2x21 − x1 + x2.

6. Skritulyje |x| < R, x∈R2, rasti Dirichle uždavinio

∆u(x) = f(x), u∣∣|x|=R = ϕ(x)

sprendini:

(a) f(x) = 1, ϕ(x) = 0;

(b) f(x) = 4, ϕ(x) = 1.

11.9. ATSAKYMAI 315

11.9. ATSAKYMAI

1. N u r o d y m a s . Funkcijoms

u(z) = G(z, x), v(z) = G(z, y)

srityje Ωε(x, y) = Ω \(Bε(x) ∩ Bε(y)

)parašyti Gryno formule ir pereiti prie

ribos, kai ε → 0.

2. Isitikinti, kad Gryno funkcija

G(x, y) = E (|x− y|)− E (|x− y|);

cia y = (y1, . . . , yn−1,−yn) – taškas, simetrinis taškui y hiperplokštumos yn =0 atžvilgiu.

3. Tegu ymnk =((−1)my1, (−1)ny2, (−1)ky3

).

(a) G(x, y) = 14π

1∑k=0

(−1)k

|x−y00k| .

(b) G(x, y) = 14π

1∑n,k=0

(−1)n+k

|x−y0nk| .

(c) G(x, y) = 14π

1∑n,k,m=0

(−1)n+k+m

|x−ymnk| .

(d) G(x, y) = 14π

1∑n,k=0

(−1)k(

1|x−y00k| −

R|y||x−y∗00k|

);

cia y∗mnk = R2

|y|2 ymnk, |ymnk||y∗mnk| = R2.

(e) G(x, y) = 14π

1∑n,k=0

(−1)n+k(

1|x−y0nk| −

R|y||x−y∗0nk|

).

(f) G(x, y) = 14π

1∑m,n,k=0

(−1)n+k+m(

1|x−ymnk| −

R|y||x−y∗mnk|

).

4. (a) u(x) = x1 + x1x2.

(b) u(x) = x21 − x2

2 + 2x2 +R2.

5. (a) u(x) =(R|x|

)2

x2 + 2(R|x|

)4

x1x2.

(b) u(x) = R2 +(R|x|

)4

(x21 − x2

2)−(R|x|

)2

(x1 − x2).

6. (a) u(x) = 14 (|x|2 −R2).

(b) u(x) = |x|2 −R2 + 1.

12 S K Y R I U S

Potencialo teorija

12.1. LIAPUNOVO PAVIRŠIUS

Tegu S – uždaras n − 1 dimensijos paviršius erdveje Rn, ξ ∈S; nξ – vienetinis nor-males vektorius paviršiui S taške ξ; Σd(ξ) – paviršiaus S dalis, kuria iškerta sferaSd(ξ); Σ′d(ξ) – paviršiaus Σd(ξ) projekcija i lieciamaja plokštuma taške ξ; y1, . . . ,yn−1, yn – vietine ortogonali koordinaciu sistema taške ξ tokia, kad ašys y1, . . . , yn−1

guli lieciamojoje plokštumoje, o ašis yn nukreipta vektoriaus nξ kryptimi (žr. 12.1pav.); koordinaciu sistemoje y1, . . . , yn−1, yn paviršiu Σd(ξ) galima apibrežti lygtimi

yn = F (y′), y′ = (y1, . . . , yn−1)∈Σd(ξ). (12.1)

Paviršiu S vadinsime Liapunovo paviršiumi, jeigu kiekviename jo taške yra api-brežta lieciamoji plokštuma (kartu ir normale) ir egzistuoja skaiciai a > 0, d > 0 irα∈ (0, 1] tokie, kad:

1. ∀ξ ∈ S paviršius Σd(ξ) vienareikšmiškai projektuojasi i lieciamaja plokštumapaviršiui S taške ξ.

2. ∀ξ ∈S paviršiu Σd(ξ) galima apibrežti (12.1) formule ir∣∣∇F (y′)−∇F (y′)∣∣≤ a ∣∣y′ − y′∣∣α, ∀y′, y′ ∈Σ′d(ξ).

Taigi Liapunovo paviršiu kiekvieno jo taško aplinkoje galima apibrežti lygtimiyn = F (y′), kurioje funkcija F yra diferencijuojama, o jos pirmos eiles išvestinestenkina Helderio salyga su rodikliu α. Vadinasi, Liapunovo paviršius yra klases C1+α

paviršius.Jeigu skaicius d tenkina nurodytas salygas, tai sfera Sd(ξ) yra vadinama Liapunovo

sfera. Akivaizdu, kad ∀ρ∈ (0, d) sfera Sρ(ξ) yra Liapunovo sfera.Tarkime, paviršius S yra Liapunovo paviršius, ξ ∈S ir y1, . . . , yn−1, yn – vietine

ortogonali koordinaciu sistema taške ξ. Šioje koordinaciu sistemoje ξ = (0, . . . , 0), onξ = (0, . . . , 0, 1). Jeigu η ∈Σd(ξ) ir vietineje koordinaciu sistemoje

η =(y1, . . . , yn−1, F (y′)

),

tai vektorius

nη =(−Fy1

, . . . ,−Fyn−1, 1)/√

1 + |∇F (y′)|2.

Kampa tarp vektoriu nξ ir nη pažymesime raide θ.

12.1. LIAPUNOVO PAVIRŠIUS 317

........

.................................

...................

.......................

...................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................

.................................................................

12.1 pav.

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................

.......................

ξ........

...................

........................

......................................................

.......................................................................................................................................

............

.................. ..............

..................

..............

..................

..............

..................................

·

·

..............

...................

..................................

....................

..............

........................

.....

..........................

...........................nξ

Σd(ξ) Snη

η

Σ′d(ξ)

yn

y1, . . . , yn−1

Sd(ξ)

Jeigu taškas η → ξ, tai kampas θ → 0, o vektorius nη → nξ . Tiksliau, yra teisingitokie iverciai:

θ≤ tgθ =sin θ

cos θ=

|∇F (y′)|√1 + |∇F (y′)|2

√1 + |∇F (y′)|2 = |∇F (y′)| =

=∣∣∇F (y′)−∇F (0)

∣∣≤ a |y′|α≤ a |ξ − η|α, (12.2)

|nξ − nη| =√

2(1− cos θ) = 2 sinθ

2≤ θ ≤ a |ξ − η|α. (12.3)

Be to, jeigu skaicus d yra pakankamai mažas (pavyzdžiui, kai adα≤ 1/2), yra teisingitokie iverciai:

|∇F (y′)| = sin θ

cos θ≤ θ

1− 12θ

2≤ a |ξ − η|α

1− 18

<4

7, (12.4)

|ξ − η| =√|y′|2 + F 2(y′) ≤

≤√|y′|2 + |y′|2 max

|z′|≤|y′||∇F (z′)|2 ≤ |y′|

√65/7. (12.5)

Antra vertus, |y′| ≤ |ξ − η|. Todel dydžiai |y′| ir |ξ − η| yra ekvivalentus. Vadinasi,taško ξ aplinkoje paviršius Σd(ξ) yra artimas plokštumai. Iš (12.4) ir (12.5) lengvaigalima gauti tokius ivercius:

|∇F (y′)| ≤ 8

7a |ξ − η|α ≤ 8

7a(√

65/7)α|y′|α,

|F (y′)| =∣∣∣ |y′|∫

0

∂F(λ y′

|y′|)

∂λdλ∣∣∣ ≤ 8

7a(√

65/7)α |y′|∫

0

λαdλ =

=8

7a(√

65/7)α |y′|α+1

α+ 1≡ b |y′|α+1. (12.6)

Iš pastarosios nelygybes išplaukia, kad Liapunovo paviršius S bet kurio savo taško ξaplinkoje Σd(ξ) yra tarp dvieju paraboloidu

yn = ±b |y′|α+1.

318 12. POTENCIALO TEORIJA

Raide ϕ pažymekime kampa tarp vektoriaus nξ ir vektoriaus, kurio pradžia yrataške η ∈Σd(ξ), o viršune taške ξ (žr.12.2 pav.).

12.2 pav.

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

..............................

.............

........................

................... ξ

.................

......................

......................................

..................................................................................................................................................

..................... .................. ..............

..................

..............

..................

..............

.................................

·

·

nξ

Snη

η

yn

y1, . . . , yn−1

................................................................ ................... .........

.....ϕ

Tada |F (y′)| = |ξ − η| cosϕ ir

cosϕ =|F (y′)||ξ − η|

≤ b |y′|α+1

|y′|= b |y′|α ≤ b |ξ − η|α. (12.7)

P a s t a b a . Išvesdami (12.7) nelygybe reikalavome, kad η ∈Σd(ξ). Šis reikala-vimas nera esminis. Gauta nelygybe yra teisinga ∀ξ, η ∈S (galbut tik su kita konstantab). Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad | cosϕ| ≤ 1 ir (12.7) nelygybe yra aki-vaizdi, kai |ξ − η| >> 1.

12.1 lema. Tegu S – Liapunovo paviršius erdveje Rn, ξ ∈S, Sd(ξ) – Liapunovo sferair ρ≤ d. Tada sritis Σ′ρ(ξ) yra žvaigždine1 koordinaciu pradžios taško atžvilgiu iry′ : |y′| < 3ρ/4 ⊂ Σ′ρ(ξ).

/ Tarkime priešingai, kad sritis Σ′ρ(ξ) nera žvaigždine. Tada šioje srityje egzis-tuoja bent vienas taškas toks, kad ji sujunge su koordinaciu pradžios tašku gaunameatkarpa, kuri ne visa yra srityje Σ′ρ(ξ). Parinkime koordinaciu ašis y1, · · · , yn−1 taip,kad šita atkarpa butu ašyje y1. Tada plokštumoje y2 = 0, . . . , yn−1 = 0 lygtisyn = F (y1, 0, . . . , 0) ≡ f(y1) apibrežia kreive, kuri kerta sfera Sρ(ξ) taškuose(

y1, 0, · · · , F (y1, 0, · · · , 0)),(y1, 0, · · · , F (y1, 0, · · · , 0)

)

........

.........................

...................

.........................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................

......................................................

12.3 pav.

ξ

S

......................

.......................................................

..........................

...................................................................................................................................

......................................................

................

...........

.........

................. ..............

.................

..............

.................

..............

·

...................

..............nξy1y1

yn

y1, . . . , yn−1

Sd(ξ)

(žr. 12.3 pav.). Taške y1 funkcijos f išvestines modulis∣∣f ′(y1)∣∣ ≥ tgµ =

|y1|√ρ2 − |y1|2

≥ |y1|ρ.

1Sritis Ω yra žvaigždine kurio nors vidinio taško atžvilgiu, jeigu kiekvienas spindulys, išeinantis iš šiotaško, kerta ∂Ω tik viename taške.

12.1. LIAPUNOVO PAVIRŠIUS 319

Be to,∣∣f ′(y1

∣∣ < 4/7. Todel |y1| < 4ρ/7 ir |y1| < |y1| < 4ρ/7. Taciau tada

ρ =√y2

1 + f2(y1) ≤√y2

1 +(4y1/7

)2=

√65

7|y1| <

4

7

√65

7ρ < ρ.

Gauta prieštara irodo, kad sritis Σ′ρ(ξ) yra žvaigždine.Irodysime antraji lemos teigini . Pagal Lagranžo teorema

f(y1) = y1 f′(y1), y1 ∈ (0, y1).

Be to, ρ2 = y21 + f2(y1). Todel

|y1| =ρ√

1 + f ′2(y1)≥ ρ√

1 + (4/7)2> 3ρ/4.

Vadinasi, y′ : |y′| < 3ρ/4 ⊂ Σ′ρ(ξ). .Tegu S – Liapunovo paviršius, ξ ∈S, Σd(ξ) – paviršiaus S dalis, kuria iškerta

Liapunovo sfera Sd(ξ), Φ – funkcija, apibrežta paviršiuje S. Pagal apibrežima∫Σd(ξ)

Φ(η) dS ≡∫

Σ′d(ξ)

Φ(y1, . . . , yn−1, F (y′))√

1 + |∇F (y′)|2 dy′.

Integralas visu paviršiumi S apibrežiamas iprastai. Paviršiuje S pasirenkame baigtiniskaiciu tašku ξ1, . . . , ξN tokiu , kad

k=N⋃k=1

Σd(ξk) = S.

Aibiu sistemai

Σd(ξk)Nk=1

konstruojame vieneto skaidyni (smulkiau apie tai žr. [18]knygoje):

1 =

N∑k=1

ϕk(ξ), ∀ξ ∈S, suppϕk ⊂ Σd(ξk), ϕk ∈ C∞(S).

Tada funkcija

Φ =

N∑k=1

Φk, Φk = Φ · ϕk, suppΦk ⊂ Σd(ξk), ∀k = 1, . . . , N,

o integralas ∫S

Φ(η) dS =

N∑k=1

∫Σd(ξk)

Φk(η) dS.

12.2 lema. Tegu S yra Liapunovo paviršius, ξ – fiksuotas paviršiaus S taškas, skaiciusβ ∈ (0, n− 1) ir ρ≤ d. Tada∫

Σρ(ξ)

dSη|ξ − η|n−1−β ≤ cρ

β ,

∫S


β +|S|

ρn−1−β .


/ Tegu η ∈Σd(ξk), ξ ∈S; y1, . . . , yn−1, yn – vietine ortogonali koordinaciu sis-tema taške ξ. Tarkime, šioje koordinaciu sistemoje paviršius S taško ξ aplinkoje yraapibrežiamas lygtimi yn = F (y′) ir η = (y′, yn). Tada

|ξ − η| = |ξ − y| ≥ |y′|, |∇F (y′)| < 4

7.

Pagal lemos salyga∫Σρ(ξ)

dSη|ξ − η|n−1−β =

∫Σ′ρ(ξ)

√1 + |∇F (y′)|2|ξ − y|n−1−β dy′≤

≤√

65

7

∫Σ′ρ(ξ)

dy′

|y′|n−1−β ≤√

65

7|S1|

ρ∫0

rβ−1 dr =

=

√65

7|S1|

ρβ

β≡ cρβ , ∀ρ∈ (0, d].

Integrala paviršiumi S išskaidysime i dvieju integralu suma:∫S

dSη|ξ − η|n−1−β =

∫Σρ(ξ)

dSη|ξ − η|n−1−β +

∫S\Σρ(ξ)

dSη|ξ − η|n−1−β .

Kai η ∈S \ Σρ(ξ), skirtumas |ξ − η| > ρ. Todel∫S


β +|S|

ρn−1−β . .

Tarkime, funkcija k(ξ, η) yra aprežta ∀ ξ, η ∈S ir tolydi, kai ξ 6= η, β ∈ (0, n− 1).Tada integralini operatoriu

Kv(ξ) =

∫S

k(ξ, η)

|ξ − η|n−1−β v(η) dSη

vadinsime integraliniu operatoriumi su silpna ypatuma.Tegu K yra integralinis operatorius su silpna ypatuma. Naudojantis 12.2 lemoje

gautais iverciais, galima irodyti, kad 1.11 ir 1.12 teoremos išlieka teisingos ir tuoatveju, jeigu sriti Ω pakeisime Liapunovo paviršiumi S. Tiksliau, yra teisingos tokiosteoremos.

12.1 teorema. Tegu K yra integralinis operatorius su silpna ypatuma. Tada jis yravisiškai tolydus operatorius, veikiantis iš erdves L2(S) i erdve L2(S) .

12.2 teorema. Tegu K yra integralinis operatorius su silpna ypatuma. Tada jis yraaprežtas erdveje C(S) ir

‖K‖C(S) ≤CDβ

β;

cia D = supξ,η ∈S

|ξ − η|.

12.2. INTEGRALINES FORMULES 321

12.2. BENDRESNES KAI KURIU INTEGRALINIUFORMULIU TAIKYMO SALYGOS

Tegu Ω ⊂ Rn – aprežta sritis, S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius, u, v ∈ C2(Ω) . Tadayra teisingos Gryno formules:∫

Ω

n∑k=1

uxkvxk dx =

∫S

u∂v

∂ndS −

∫Ω

u∆v dx, (12.8)

∫Ω


∫S

(v∂u

∂n− u ∂v

∂n

)dS. (12.9)

Šios formules išlieka teisingos ir tuo atveju, kai funkcijos u, v ∈ C2(Ω)∩C1(Ω) irreiškiniai ∆u, ∆v yra sumuojami srityje Ω. Be to, šios formules išlieka teisingos irsrities Ω išoreje, jeigu tik funkcijos u, v yra reguliarios begalybeje.

Jeigu funkcijos u ir v yra harmonines srityje Ω, tai (12.8) ir (12.9) formules yrapaprastesnes: ∫

Ω

n∑k=1

uxkvxk dx =

∫S

u∂v

∂ndS, (12.10)

∫S

(v∂u

∂n− u ∂v

∂n

)dS = 0. (12.11)

Kai u = v, (12.10) formule galima perrašyti taip:∫Ω

n∑k=1

u2xkdx =

∫S

u∂u

∂ndS. (12.12)

Paskutines trys formules yra teisingos ir srities Ω išoreje. Reikia tik papildomai parei-kalauti, kad funkcijos u ir v artetu i nuli (jeigu n > 2) ir butu aprežtos (jeigu n = 2),kai |x| → ∞.

Tarkime, paviršius S ∈ C2, δ – pakankamai mažas teigiamas skaicius. Tada ∀ ξ ∈Satitinka taškas ξ = ξ − δnξ. Irodysime, kad tokia transformacija yra abipusiškaivienareikšme. Tarkime priešingai, kad paviršiuje S egzistuoja du taškai ξ ir η, kuriuvaizdai sutampa, t.y. ξ − δnξ = η − δnη . Tada

|ξ − η| = δ|nξ − nη|.

Kadangi|nξ − nη| ≤ a|ξ − η|

(žr. (12.3) formule), tai|ξ − η| ≤ aδ|ξ − η|.

Kai aδ < 1, ši nelygybe negalima. Gauta prieštara irodo, kad padaryta prielaida yraneteisinga ir transformacija ξ = ξ − δnξ yra abipusiškai vienareikšme.


Tegu δ – pakankamai mažas teigiamas skaicius. Aibe tašku ξ = ξ − δnξ, ξ ∈S,apibrežia uždara paviršiu Sδ . Paviršiu Sδ vadinsime lygiagreciuoju paviršiumi (žr.12.4 pav.).

........

.................

........................

..................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................

12.4 pav.

ξ

...

...

..

.................

..............

·

·

nξ

ξSδ

S

.........................................................................................

η

nη

η

··........

Irodysime, kad paviršius Sδ ∈ C1 . Fiksuokime taška ξ ∈S. Tegu y1, . . . , yn−1, yn –vietine ortogonali koordinaciu sistema taške ξ. Tarkime, kad šioje sistemoje paviršiusΣd(ξ) yra apibrežiamas lygtimi yn = F (y′). Jeigu taškas η ∈Σd(ξ), tai vietinejekoordinaciu sistemoje

η =(y1, . . . , yn−1, F (y′)

), η =

(y1, . . . , yn−1, yn

);

cia

yi = yi + δF (y′)√

1 + |∇F (y′)|2, yn = F (y′)− δ√

1 + |∇F (y′)|2,

∀i = 1, . . . , n − 1. Kadangi funkcija F ∈ C2(Σ′δ(ξ)

), tai jos dalines išvestines Fi =

Fyi ∈ C1(Σ′δ(ξ)

), ∀i = 1, . . . , n − 1. Remiantis neišreikštines funkcijos teorema, iš

pirmuju n − 1 lygciu galima (pakankamai mažiems δ) išreikšti kintamuosius y1, . . . ,yn−1. Tiksliau, egzistuoja diferencijuojamos funkcijos

yi = yi(y1, . . . , yn−1, δ

), ∀i = 1, . . . , n− 1,

kurias istate i minetas lygtis, gausime tapatybe. Taško ξ aplinkoje paviršiu Sδ galimaapibrežti lygtimi

yn = F(y′(y1, . . . , yn−1, δ)

)− δ√

1 + |∇F(y′(y1, . . . , yn−1, δ)

)|2,

kurios dešine puse yra diferencijuojama funkcija. Taigi Sδ yra C1 klases paviršius 1.Tegu ξ ∈S, ξ = ξ − δ nξ ∈Sδ . Isitikinsime, kad normale paviršiui S taške ξ ir

normale paviršiui Sδ taške ξ sutampa. Laisvai pasirenkame taška ξ ∈S ir diferencijuo-jama kreive ξ(t), t≥ 0, einancia per ta taška. Tada kreive ξ(t) = ξ(t) − δ nξ(t) yradiferencijuojama ir eina per taška ξ = ξ − δ nξ. Be to, yra teisinga tapatybe

|ξ(t)− ξ(t)|2 = δ2.

Diferencijuodami ja t atžvilgiu, gausime(ξ(t)− ξ(t), ξ′(t)− ξ′(t)

)= 0.

1Jeigu S yra klases C2 paviršius, tai galima irodyti, kad lygiagretus paviršius Sδ taip pat yra klaes C2

paviršius. Irodyma galima rasti [5] knygoje.


Taške t = 0 vektorius ξ(0)− ξ(0) = δ nξ. Todel

δ(nξ, ξ

′(0)− ξ′(0))

= 0.

Vektoriai nξ ir ξ′(0) yra ortogonalus. Todel ju skaliarine sandauga lygi nuliui. Taciautada vektoriu nξ ir ξ′(0) skaliarine sandauga taip pat lygi nuliui. Tai reiškia, kad vek-toriai nξ ir ξ′(0) yra ortogonalus. Kadangi kreive ξ(t) pasirinkta laisvai, tai vektoriusnξ = nξ(0) yra statmenas paviršiui Sδ taške ξ. Taigi nξ = nξ.

12.3 teorema. Tarkime, paviršius S ∈ C2 ir funkcija v, apibrežta paviršiaus S aplin-koje, yra tolydi normales kryptimi 1. Tada∫

Sδ

v(ξ) dS →∫S

v(ξ) dS,

kai δ → 0.

/ Tegu ξ1, . . . , ξN – baigtinis skaicius paviršiaus S tašku tokiu , kad Liapunovosferos Sd(ξk) iškerta paviršiuje S sritis Σd(ξk), kurios padengia visa paviršiu S, t.y.N⋃k=1

Σd(ξk) = S. Aibiu sistemai

Σd(ξk)Nk=1

konstruojame vieneto skaidyni:

1 =

N∑k=1

ϕk(ξ), ∀ξ ∈S, suppϕk ⊂ Σd(ξk), ϕk ∈ C(S).

Funkcijas ϕk pratesime i paviršiaus S aplinka normales kryptimi:

ϕk(ξ) = ϕk(ξ), ξ = ξ − δnξ, ξ ∈S, δ ∈ [0, d].

Panaudoje ši vieneto išskaidyma, funkcija v užrašysime taip:

v(ξ) =

N∑k=1

vk(ξ), vk(ξ) = ϕk(ξ)v(ξ).

Norint teorema irodyti, pakanka parodyti, kad∫Σd(ξk)

vk(ξ) dS →∫

Σd(ξk)

vk(ξ) dS, ∀k = 1, . . . , N,

kai δ → 0.Laisvai pasirenkame skaiciu k∈1, . . . , N. Tegu y1, . . . , yn−1, yn – vietine or-

togonali koordinaciu sistema taške ξk. Tarkime, kad paviršius Σd(ξk) šioje koordi-naciu sistemoje yra apibrežiamas lygtimi yn = F (y′). Tada∫

Σd(ξk)

vk(ξ) dS =

∫Σ′d(ξk)

vk(y(y′, F (y′), δ)

)√√√√ n∑i=1

I2i (y′) dy′;

1Funkcija v yra tolydi normales kryptimi, jeigu ∀ε > 0 egzistuoja skaicius ρ > 0 toks, kad |v(ξ) −v(ξ)| < ε, jeigu tik |ξ − ξ| = δ < ρ.


cia Ii yra n− 1 eiles determinantai, sudaryti iš n× (n− 1) eiles matricos ∂yi∂yj

.

Kadangi

∂yi∂yj

= δij + δ∂

∂yj

( Fi(y′)√

1 + |∇F (y′)|2), ∀i = 1, . . . , n− 1,

∂yn∂yj

= Fj(y′)− δ ∂

∂yj

( 1√1 + |∇F (y′)|2

),

tai artinant δ i nuli reiškinys√√√√ n∑i=1

I2i (y′) =

√1 + |∇F (y′)|2 + δΦ(y′) →

√1 + |∇F (y′)|2.

Cia pasinaudojome tuo, kad funkcija Φ∈ C(Σd(ξk)

)yra aprežta. Pagal teoremos sa-

lyga funkcija v yra tolydi normales kryptimi. Todel, kai δ → 0, integralas

∫Σd(ξk)

vk(ξ) dS =

∫Σ′d(ξk)

vk(y(y′, F (y′), δ)

)√√√√ n∑i=1

I2i (y′) dy′ →

→∫

Σ′d(ξk)

vk(y′)√

1 + |∇F (y′)|2 dy′ =

∫Σd(ξk)

vk(ξ) dS.

Teorema irodyta. .P a s t a b a . Irodytoje teoremoje salyga S ∈ C2 nera butina. Teorema išlieka

teisinga, jeigu paviršiui S galima sukonstruoti lygiagrecius paviršius Sδ su atitinkamo-mis savybemis.

Taikant 12.3 teorema, galima apibendrinti visas šio skyrelio pradžioje išvardytasformules. Pavyzdžiui, jeigu paviršius S ∈ C2, funkcijos u, v ∈ C2(Ω), reiškiniai∆u, ∆v yra sumuojami srityje Ω ir paviršiuje S egzistuoja taisyklingos normalinesišvestines [

∂u

∂n

]ir

[∂v

∂n

],

tai yra teisingos Gryno formules:∫Ω

n∑k=1

uxkvxk dx =

∫S

u

[∂v

∂n

]dS −

∫Ω

u∆v dx, (12.13)

∫Ω


∫S

(v

[∂u

∂n

]− u[∂v

∂n

])dS. (12.14)


Be to, jeigu (12.13) formuleje u = v ir funkcija u yra harmonine, tai∫Ω

n∑k=1

u2xkdx =

∫S

u

[∂u

∂n

]dS. (12.15)

Analogiškai apibendrinamos ir kitos formules. Jeigu papildomai pareikalausime, kadfunkcijos u ir v begalybeje butu reguliarios, tai minetos formules išlieka teisingos irsrities Ω išoreje.


12.3. POTENCIALAI. DVILYPIO SLUOKSNIOPOTENCIALO SAVYBES

Integralineje išraiškoje (10.4) yra triju tipu integralai. Bendruoju atveju juos galimaužrašyti tokiu pavidalu:

u(x) =

∫Ω

E (|x− y|)f(y) dy,

v(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ(η) dSη,

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη;

cia: Ω – sritis erdveje Rn, S ⊂ Rn – n − 1 matavimo paviršius (nebutinai uždaras),f, ϕ ir ψ – tam tikros funkcijos. Integralas u yra vadinamas turiniu, arba Niutono,potencialu. Integralai v ir w yra vadinami atitinkamai paprastojo ir dvilypio sluoksniopotencialais. Funkcijos f, ϕ ir ψ vadinamos potencialu u, v ir w tankiais.

Ištirsime potencialu u, v ir w savybes, kai paviršius S yra Liapunovo paviršius,dalijantis erdve Rn i aprežta sriti Ωi ir jos išore Ωe = Rn\Ωi. Iš pradžiu išnagrinesimedvilypio sluoksnio potencialo savybes.

Tarkime, funkcija ψ ∈ C(S) . Srityse Ωi ir Ωe funkcija

∂E (|x− y|)∂nη

, ∀η ∈S,

kintamuju x atžvilgiu yra be galo diferencijuojama. Be to, paviršius S yra aprežtas.Remiantis teorema apie integralu , priklausanciu nuo parametro, diferencijavima pointegralo ženklu, dvilypio sluoksnio potencialas

w(x) = −∫S

∂E (|x− y|)∂nη

ψ(η) dSη (12.16)

yra be galo diferencijuojama srityse Ωi ir Ωe funkcija.Funkcija E (|x − η|) kintamuju x atžvilgiu tenkina Laplaso lygti srityje Rn \

η, η ∈S. Todel potencialas w(x) tenkina Laplaso lygti srityse Ωi ir Ωe. Pagal har-monines funkcijos apibrežima potencialas w srityje Ωi yra harmonine funkcija. Paro-dysime, kad potencialasw yra harmonine funkcija srityje Ωe. Suskaiciuosime išvestine

−∂E (|x− η|)∂nη

= −n∑i=1

∂E (|x− η|)∂ηi

ni(η) =

=1

|S1|

n∑i=1

ηi − xi|x− η|n

ni(η) =1

|S1|cosϕ

|x− η|n−1; (12.17)

12.3. DVILYPIO SLUOKSNIO POTENCIALO SAVYBES 327

cia

cosϕ =

n∑i=1

ηi − xi|x− η|

ni(η).

Dideliems |x| atstumas |x− η| > 12 |x|, ∀η ∈S. Todel

|w(x)| ≤ 1

|S1||S|(2/|x|

)n−1maxη ∈S

|ψ(η)| = O(|x|1−n),

kai |x| → ∞. Taigi funkcija w srityje Ωe yra harmonine. Be to, kai |x| → ∞, poten-cialas w(x) arteja i nuli greiciau, negu reikalaujama harmonines funkcijos apibrežime.

Tarkime, taškas ξ ∈S. Potencialo w reikšme taške ξ, jeigu ji egzistuoja, vadinsimedvilypio sluoksnio potencialo tiesiogine reikšme ir žymesime w(ξ) .

12.4 teorema. Potencialo w tiesiogine reikšme w(ξ) egzistuoja ∀ξ ∈S ir paviršiuje Syra tolydi.

/ Laisvai pasirenkame taška ξ ∈S. Pasinaudoje (12.17) ir (12.7), ivertinsime dvi-lypio sluoksnio potencialo branduolio moduli∣∣∣∣−∂E (|ξ − η|)

∂nη

∣∣∣∣ =1

|S1|cosϕ

|ξ − η|n−1≤ 1

|S1|b

|ξ − η|n−1−α . (12.18)

Iš šito ivercio išplaukia, kad dvilypio sluoksnio potencialo w tiesiogine reikšme yraintegralinis operatorius su silpna ypatuma (žr. 12.1 skyreli). Todel ∀ξ ∈S dvilypiosluoksnio potencialo w tiesiogine reikšme egzistuoja ir paviršiuje S yra tolydi. .

P a s t a b a . Jeigu ψ ∈ L2(S), tai galima parodyti, kad w∈ L2(S).

12.5 teorema. (Gauso) Tegu S yra Liapunovo paviršius. Tada

−∫S

∂E (|x− η|)∂nη

dSη =

1, ∀x∈Ωi,0, ∀x∈Ωe,12 , ∀x∈S.

/ Tegu x∈Ωi. Funkcija u(x) ≡ 1∈ C2(Ωi) . Todel jai yra teisinga (10.4) formule,t.y.

1 = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

dSη.

Taigi pirmas teoremos teiginys irodytas.Tarkime, x∈Ωe. Tada srityje Ωi funkcija E (|x − y|) yra harmonine kintamuju y

atžvilgiu. Todel

0 =

∫Ωi

∆yE (|x− y|) dy =

∫S

∂E (|x− η|)∂nη

dSη

ir antras teoremos teiginys yra irodytas.


P a s t a b a . Irodant pirma ir antra teoremos teiginius pakanka reikalauti, kadpaviršius S butu tik dalimis glodus.

Irodysime trecia teoremos teigini . Tegu ε yra pakankamai mažas teigiamas skai-cius, x = ξ ∈S, Ω(ε) = Bε(ξ) ∪ Ωi,

S′ε(ξ) = η ∈Rn : |ξ − η| = ε, η /∈ Ωi.

Tada∂Ω(ε) = S′ε(ξ) ∪ (S \ Σε(ξ))

yra dalimis glodus paviršius ir taškas ξ yra vidinis srities Ω(ε) taškas. Todel pagalpirma teoremos teigini

1 = −∫

∂Ω(ε)

∂E (|ξ − η|)∂nη

dSη =

= −∫

S′ε(ξ)

∂E (|ξ − η|)∂nη

dSη −∫

S\Σε(ξ)

∂E (|ξ − η|)∂nη

dSη.

Kai ε → 0, integralas∫Σε(ξ)

∣∣∣∣∂E (|ξ − η|)∂nη

∣∣∣∣ dSη ≤ 1

|S1|

∫Σε(ξ)

| cosϕ||ξ − η|n−1

dSη ≤

≤ b

|S1|

∫Σε(ξ)

dS

|ξ − η|n−1−α dSη ≤Cεα → 0.

Todel, kai ε → 0, integralas∫S\Σε(ξ)

∂E (|ξ − η|)∂nη

dSη →∫S

∂E (|ξ − η|)∂nη

dSη.

Taigi, norint irodyti trecia teoremos teigini , reikia irodyti, kad integralas

−∫

S′ε(ξ)

∂E (|ξ − η|)∂nη

dSη →1

2,

kai ε → 0.Sferos S′ε(ξ) taškuose vektoriai η − ξ ir nη yra lygiagretus ir vienodu krypciu .

Todel

−∫

S′ε(ξ)

∂E (|ξ − η|)∂nη

dSη =1

|S1|

∫S′ε(ξ)

dSη|ξ − η|n−1

=1

|S1|εn−1

∫S′ε(ξ)

dSη.

Tegu y1, . . . , yn−1, yn yra vietine ortoganali koordinaciu sistema taške ξ. Aši yn nu-kreipsime vektoriaus nξ kryptimi (žr. 12.5 pav.).


........

.........................

...................

.........................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................

.........................................................................................

........

.........................

...................

.....

........

.................................................

.........................................................

...................................

........

.........................

...................

....

........

................................................

........................................................

12.5 pav.

ξ........

....................

...............................

.....................................................................................................................................

................. ..............

.................

..............

..................

..............

................. .........................................

...........................S′ε(ξ)

Sε(ξ)

yn = ±b|y′|1+ε

•

.....................................................................................

.................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................

................................................................................

S

yn

y1, . . . , yn−1

Kadangi S yra Liapunovo paviršius, tai ∀ξ ∈S jo dalis Σd(ξ) yra tarp dvieju parabo-loidu

yn = ±b |y′|1+α.

Sferos Sε(ξ) dali , kuri yra tarp šiu paraboloidu , pažymesime Sε(ξ), o jos viršutinepussfere – S+

ε (ξ). Tiksliau, tegu

Sε(ξ) = y ∈Rn : |y| = ε, |yn| ≤ b |y′|1+α,

S+ε (ξ) = y ∈Rn : |y| = ε, yn > 0.

Tada ∣∣∣ 1

|Sε|

∫S′ε(ξ)

dS − 1

2

∣∣∣ =∣∣∣ 1

|Sε|

∫S′ε(ξ)

dS − 1

|Sε|

∫S+ε (ξ)

dS∣∣∣≤

≤ 1

|Sε|

∫Sε(ξ)

dS =1

|S1| εn−1

∫Sε(ξ)

dS.

Paviršiaus Sε(ξ) plotas∫Sε(ξ)

dS = |Sε(ξ)| = |y ∈Rn : |y| = ε, |yn| < b |y′|1+α| ≤

≤ εn−1|z ∈Rn : |z| = 1, |zn| < b εα| = O(εn−1+α),

kai ε→ 0. Todel1

|S1| εn−1

∫Sε(ξ)

dS → 0,

kai ε→ 0. .

12.6 teorema. Tegu S yra Liapunovo paviršius (priminsime, kad S = ∂Ωi). Tadaegzistuoja konstanta C tokia, kad∫

S

∣∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣∣ dSη ≤C <∞, ∀x∈Rn.


/ Atskirai išnagrinesime atvejus, kai x∈S ir x /∈ S. Tegu x∈S. Tada, remdamiesi12.2 lema ir (12.18) iverciu, galime tvirtinti, kad∫

S

∣∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣∣ dSη ≤Cρα +C ′

ρn−1−α <∞, ∀ρ > 0 : ρ < d.

Tarkime, kad x /∈ S. Be to, tegu dist(x, S) < d/2, o ξ – toks paviršiaus S taškas,kad |x− ξ| = dist(x, S). Tada∫

S

∣∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣∣ dSη =

∫Σd(ξ)

∣∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣∣ dSη +

∫S\Σd(ξ)

∣∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣∣ dSη.Kiekviena iš šitu integralu ivertinsime atskirai. Tegu η ∈Σd(ξ) ir η′ – taško η projek-cija i paviršiaus S lieciamaja plokštuma taške ξ (žr. 12.6 pav.).

12.6 pav.

ξ

............................

...........................................

.................................................................................................................................................................

........

..... . .

. . .. . .

. .

........

................

..............

·

··ϕ................................

.................... ..............

nξ

S

xη

η′

......................................

Tada ∫Σd(ξ)

∣∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣∣ dSη ≤ ∫Σd(ξ)

∣∣∣∣∂E(x− η)

∂nη− ∂E(x− η)

∂nξ

∣∣∣∣ dSη+

+

∫Σd(ξ)

∣∣∣∣∂E(x− η)

∂nξ− ∂E(x− η′)

∂nξ

∣∣∣∣ dSη +

∫Σd(ξ)

∣∣∣∣∂E(x− η′)∂nξ

∣∣∣∣ dSη.Paskutinius tris integralus pažymekime atitinkamai I1, I2 ir I3. Kiekviena iš ju

ivertinsime atskirai.

I1 =1

|S1|

∫Σd(ξ)

∣∣∣ n∑i=1

ηi − xi|x− η|n

(ni(η)− ni(ξ)

)∣∣∣ dSη ≤≤ 1

|S1|

∫Σd(ξ)

|nξ − nη||x− η|n−1

dSη ≤a

|S1|

∫Σd(ξ)

|ξ − η|α

|x− η|n−1dSη.

Tegu y1, ..., yn−1, yn – vietine ortoganali koordinaciu sistema taške ξ; ašis yn nukreip-ta vektoriaus nξ kryptimi. Tada

|x− η| ≥ |y′|, |ξ − η| <√

65

7|y′|


ir

I1≤a

|S1|

√65

7

∫Σd(ξ)

dy′

|y′|n−1−α ≤Cdα

α<∞.

Ivertinsime integrala I2 :

I2 =1

|S1|

∫Σd(ξ)

∣∣∣ n∑i=1

ηi − xi|η − x|n

ni(ξ)−n∑i=1

η′i − xi|η′ − x|n

ni(ξ)∣∣∣dSη ≤

≤ 1

|S1|

∫Σd(ξ)

∣∣∣ n∑i=1

( ηi − xi|η − x|n

− ηi − xi|η′ − x|n

)ni(ξ)

∣∣∣dSη+

+1

|S1|

∫Σd(ξ)

∣∣∣ n∑i=1

ηi − η′i|η′ − x|n

ni(ξ)∣∣∣dSη.

Kadangi ∣∣∣∣ 1

|η − x|n− 1

|η′ − x|n

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣ 1

|η − x|− 1

|η′ − x|

∣∣∣∣ ( 1

|η − x|n−1+ . . .+

1

|η′ − x|n−1

)≤

≤∣∣|η′ − x| − |η − x|∣∣|η′ − x||η − x|

n

|η − x|n−1≤ n|η′ − η||η′ − x||η − x|n

,

tai1

|S1|

∫Σd(ξ)

∣∣∣ n∑i=1


− ηi − xi|η′ − x|n

)ni(ξ)

∣∣∣dSη ≤≤ n

|S1|

∫Σd(ξ)

|η′ − η||η′ − x||η − x|n−1

dSη ≤

≤ n b

|S1|

∫Σd(ξ)

dy′


α<∞. (12.19)

Be to, (žr. 12.1 skyreli)

∣∣∣ n∑i=1


ηi(ξ)∣∣∣≤ |F (y′)|

|y′|n≤ b

|y′|n−1−α .

Todel1

|S1|

∫Σd(ξ)

∣∣∣ n∑i=1


ni(ξ)∣∣∣dSη ≤


≤ b

|S1|

∫Σ′d(ξ)

dy′


α<∞. (12.20)

Sugretine (12.19) ir (12.20) ivercius, gausime, kad integralas I2 <∞.Ivertinsime integrala I3:

I3 =1

|S1|

∫Σd(ξ)

∣∣∣ n∑i=1

η′i − xi|η′ − x|n

ni(ξ)∣∣∣dSη =

1

|S1|

∫Σd(ξ)

| cosϕ0||x− η′|n−1

dSη =

=1

|S1||x− ξ|

∫Σd(ξ)

dSη|x− η′|n

=|x− ξ||S1|

∫Σ′d(ξ)

√1 + |∇F (y′)|2

(|x− ξ|2 + |y′|2)n/2dy′≤

≤√

65

7|S1|

∫Rn−1

dz′√1 + |z′|2

n <∞.

Cia kintamuosius y′ pakeiteme naujais kintamaisiais z′ = |x − ξ|y′ ir gauta integralabaigtine sritimi Σ′d(ξ) pakeiteme integralu visa erdve Rn−1. Taigi kiekvienas iš inte-gralu I1, I2 ir I3 yra aprežtas ir∫

Σd(ξ)

∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣dSη <∞.Liko ivertinti integrala paviršiumi S \ Σd(ξ). Pagal prielaida dist(x, S) < d/2.

Todel|x− η| > d/2, ∀η ∈S \ Σd(ξ),

ir ∫S\Σd(ξ)

∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣dSη ≤ 1

|S1|

∫S\Σd(ξ)

dSη|x− η|n−1

≤ |S||S1|

(2

d

)n−1

<∞.

Taigi, jeigu dist(x, S) < d/2, tai∫S

∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣dSη <∞.Tarkime, kad dist(x, S) > d/2. Tada

|x− η| > d/2, ∀η ∈S,

ir ∫S

∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣dSη ≤ |S||S1|

(2

d

)n−1

<∞.


Taigi ∀x∈Rn integralas ∫S

∣∣∣∂E(x− η)

∂nη

∣∣∣dSηyra aprežtas. .

Dvilypio sluoksnio potencialas kiekvienoje iš sriciu Ωi ir Ωe yra be galo diferenci-juojama funkcija. Taciau bendruoju atveju ji nera tolydi visoje erdveje Rn (žr. Gausoteorema). Ištirsime potencialo w savybes paviršiaus S aplinkoje. Pažymesime

wi(ξ) := limx∈Ωix→ξ∈S

w(x), we(ξ) := limx∈Ωex→ξ∈S

w(x).

12.7 teorema. Tegu ψ ∈ C(S) . Tada ∀ξ ∈S egzistuoja dvilypio sluoksnio potencialoribines reikšmes wi(ξ), we(ξ) ir

wi(ξ) = w(ξ) +1

2ψ(ξ), (12.21)

we(ξ) = w(ξ)− 1

2ψ(ξ). (12.22)

I š v a d a . w(ξ) = 12

(wi(ξ) + we(ξ)

), ψ(ξ) = wi(ξ)− we(ξ).

/ Ivesime pagalbine funkcija

w(x, ξ) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

(ψ(η)− ψ(ξ)

)dSη.

I rodysime, kad w(x, ξ)→ w(ξ, ξ), kai x→ ξ ∈S. Tuo tikslu ivertinsime skirtuma

w(x, ξ)− w(ξ, ξ) =

∫S

fξ(x, η) dSη;

cia

fξ(x, η) = −(∂E (|x− η|)

∂nη− ∂E (|ξ − η|)

∂nη

)(ψ(η)− ψ(ξ)

).

Laisvai pasirenkame skaiciu ε > 0. Pagal teoremos salyga ψ ∈ C(S) . Todelpakankamai mažoms d > 0 reikšmems∣∣∣ ∫

Σd(ξ)

fξ(x, η) dSη

∣∣∣≤≤ max

η∈Σd(ξ)|ψ(η)− ψ(ξ)|

(∫S

∣∣∣∂E (|x− η|)∂nη

∣∣∣ dSη +

∫S

∣∣∣∂E (|ξ − η|)∂nη

∣∣∣ dSη)≤≤C max

η ∈Σd(ξ)|ψ(η)− ψ(ξ)| ≤ ε/2.

Ivertindami integralus paviršiumi S, pasinaudojome 12.6 teorema.


Funkcija fξ(x, η)∈ C(S \ Σd(ξ)), kai |x− ξ| < d/2. Todel, kai x→ ξ,

fξ(x, η)⇒fξ(ξ, η) = 0, ∀η ∈S \ Σd(ξ),

ir egzistuoja taško ξ aplinka, kurioje∣∣∣ ∫S\Σd(ξ)

fξ(x, η) dSη

∣∣∣≤ ε

2.

Pagal apibrežima tai reiškia, kad

limx→ξ∈S

(w(x, ξ)− w(ξ, ξ)) = limx→ξ∈S

∫S

fξ(x, η) dSη = 0.

Tegu x∈Ωi ir x→ ξ ∈S. Tada (žr. Gauso teorema)

w(x, ξ)→ w(ξ, ξ) = w(ξ)− 1

2ψ(ξ).

Kita vertus,w(x, ξ) = w(x)− ψ(ξ)→ wi(ξ)− ψ(ξ).

Cia reikia atkreipti demesi i tai, kad iš pirmos ribos egzistavimo išplaukia ir antrosribos, kartu ir dvilypio sluoksnio potencialo ribines reikšmes wi(ξ) egzistavimas. Su-lygine šias ribas, gausime (12.21) formule.

Analogiškai irodoma (12.22) formule. Tegu x∈Ωe ir x→ ξ ∈S. Tada

w(x, ξ)→ w(ξ, ξ) = w(ξ)− 1

2ψ(ξ),

w(x, ξ) = w(x)→ we(ξ).

Sulygine šias ribas, gausime (12.22) formule. .P a s t a b a . Teoremoje, be kita ko, irodyta, kad dvilypio sluoksnio potencialas

w(x) tolygiai arteja i ribines reikšmes wi(ξ) ir we(ξ).

12.4. PAPRASTO SLUOKSNIO POTENCIALO SAVYBES 335

12.4. PAPRASTO SLUOKSNIO POTENCIALO SAVYBES

Tegu S – Liapunovo paviršius, dalijantis erdve Rn i aprežta sriti Ωi ir jos išore Ωe =Rn \ Ωi; ϕ∈ C(S) . Remiantis teorema apie integralu , priklausanciu nuo parametro,diferencijavima po integralo ženklu, paprasto sluoksnio potencialas

v(x) =

∫S

E (|x− η)ϕ(η) dSη

yra be galo diferencijuojama srityse Ωi ir Ωe funkcija. Be to, funkcija E (|x − η|)tenkina Laplaso lygti ∀x∈Rn \ η, η ∈S. Todel srityse Ωi ir Ωe potencialas v(x)tenkina Laplaso lygti . Taigi potencialas v(x) yra harmonine srityje Ωi funkcija.

Kai n > 2, x∈Ωe ir |x| → ∞,

|v(x)| ≤C maxη ∈S|ϕ(η)| |x|2−n = O

(|x|2−n

).

Todel, kai n > 2, potencialas v yra harmonine srityje Ωe funkcija.Tegu n = 2. Tada

v(x) =1

2π

∫S

ln1

|x− η|ϕ(η) dSη =

=1

2π

∫S

(ln |x| − ln |x− η|

)ϕ(η) dSη −

1

2πln |x|

∫S

ϕ(η) dSη.

Kai η ∈S, o |x| → ∞, reiškiniai

ln |x| − ln |x− η| = ln|x||x− η|

→ ln 1 = 0,

ln |x| → ∞.

Todel funkcija v yra aprežta (kartu ir harmonine) tada ir tik tada, kai∫S

ϕ(η) dSη = 0. (12.23)

12.8 teorema. Tegu ϕ∈ C(S), S – Liapunovo paviršius. Tada paprasto sluoksniopotencialas

v(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ(η) dSη

yra tolydi visoje erdveje Rn funkcija.

/ Kadangi v yra tolydi srityse Ωi ir Ωe funkcija, tai pakanka irodyti jos tolydumakokioje nors paviršiaus S aplinkoje.


Iš pradžiu tarkime, kad taškas x = ξ ∈S ir |ξ − η| → 0. Tada

E (|ξ − η|) =1

(n− 2)|S1||ξ − η|2−n = O

(|ξ − η|2−n

),

kai n > 2, ir

E (|ξ − η|) =1

2πln

1

|ξ − η|= O

( 1

|ξ − η|β), ∀β > 0,

kai n = 2. Taigi ∀n≥ 2 paprasto sluoksnio potencialas v yra integralinis operato-rius su silpna ypatuma. Pagal teoremos salyga funkcija ϕ∈ C(S) . Remdamiesii 12.2teorema, galime tvirtinti, kad ir funkcija v ∈ C(S) .

Tarkime, kad x /∈ S ir x → ξ ∈S. Irodysime, kad v(x) → v(ξ). Tuo tiksluivertinsime skirtuma

v(x)− v(ξ) =

∫S

hξ(x, η) dSη;

cia hξ(x, η) =(E (|x− η|)− E (|ξ − η|)

)ϕ(η).

Išnagrinesime atveji , kai n > 2 (kai n = 2, i rodymas yra analogiškas). Kadangifunkcija ϕ aprežta, tai egzistuoja konstanta C tokia, kad∣∣∣ ∫

Σδ(ξ)

hξ(x, η) dSη

∣∣∣≤C( ∫Σδ(ξ)


+

∫Σδ(ξ)

dSη|x− η|n−2

),

∀δ≤ d. Paskutinius du integralus ivertinsime atskirai. Tegu y1, . . . , yn−1, yn – vietineortoganali koordinaciu sistema taške ξ (žr. 12.1 skyreli). Tada∫

Σδ(ξ)


≤√

65

7

∫Σ′δ(ξ)

dy′

|y′|n−2≤Cδ.

Ivertinsime antraji integrala. Išskirsime du atvejus:

1. dist (x, S) < δ/2 2. dist (x, S)≥ δ/2.

Iš pradžiu tarkime, kad dist (x, S) < δ/2. Jeigu, be to, |x− ξ| < 2δ (žr. 12.7 pav.),..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................

.............................................................................

.............................................................................

............................................................................

............................................................................

12.7 pav.

ξ

S

ζ

x

Σδ(ξ) · ·η

δ...........................................................................................................

............................

...

......................................

...............................

.................

..............δ2

..... ··

tai Σδ(ξ) ⊂ Σ3δ(ζ) ir∫Σδ(ξ)

dSη|x− η|n−2

<

∫Σ3δ(ζ)

dSη|x− η|n−2

≤√

65

7

∫Σ′3δ(ζ)

dy′

|y′|n−2≤Cδ;


cia ζ toks paviršiaus S taškas, kad |x−ζ| = dist (x, S). Jeigu |x−ξ| ≥ 2δ, tai |x−η| >δ ir ∫

Σδ(ξ)

dSη|x− η|n−2

≤ δ2−n∫

Σδ(ξ)

dSη ≤Cδ.

Taigi abiem atvejais integralas ∫Σδ(ξ)

dSη|x− η|n−2

= O(δ).

Tarkime, kad dist (x, S)≥ δ/2. Tada |x− η| ≥ δ/2, ∀η ∈Σδ(ξ) ir∫Σδ(ξ)

dSη|x− η|n−2

≤(δ

2

)2−n ∫Σδ(ξ)

dSη ≤Cδ.

Iš gautu iverciu išplaukia, kad ∀ε > 0 egzistuoja skaicius δ > 0 toks, kad∣∣∣ ∫Σδξ

hξ(x, η) dSη

∣∣∣≤ ε

2.

Pakankamai mažoje taško ξ aplinkoje (pavyzdžiui, kai |x − ξ| < δ/2) funkcijahξ(x, η) yra tolydi paviršiuje S \ Σδ(ξ) ir tolygiai arteja i nuli , kai x → ξ. Todelegzistuoja skaicius ρ > 0 toks, kad∣∣∣ ∫

S\Σδ(ξ)

hξ(x, η) dSη

∣∣∣≤ ε

2, ∀x∈Bρ(ξ).

Taciau tada ∣∣∣ ∫S

hξ(x, η) dSη

∣∣∣≤ ε, ∀x∈Bρ(ξ),

jeigu tik skaicius ρ > 0 yra pakankamai mažas. Pagal apibrežima tai reiškia, kad

limx→ξ∈S

(v(x)− v(ξ)

)= limx→ξ∈S

∫S

hξ(x, η) dSη = 0.

Taigi funkcija v ∈ C(Rn) . .Tegu ξ ∈S. Tada ∀x /∈ S egzistuoja paprasto sluoksnio potencialo

v(x) =

∫S

E (|x − η|)ϕ(η) dSη

kryptine išvestine∂v(x)

∂nξ=

∫S

∂E (|x− η|)∂nξ

ϕ(η) dSη.


12.9 teorema. Tegu S yra Liapunovo paviršius, ϕ(S)∈ C(S) . Tada:

1. Paprasto sluoksnio potencialo normalines išvestines tiesiogine reikšme

∂v(ξ)

∂nξ≡∫S

∂E (|ξ − η|)∂nξ

ϕ(η) dSη, ∀ξ ∈S,

egzistuoja ir paviršiuje S yra tolydi.

2. Paviršiuje S egzistuoja paprasto sluoksnio potencialo taisyklingos normalinesišvestines: [∂v(ξ)

∂nξ

]i

= limx∈Ωi

x⊥→ξ∈S

∂v(x)

∂nξ,[∂v(ξ)

∂nξ

]e

= limx∈Ωe

x⊥→ξ∈S

∂v(x)

∂nξ

ir [∂v(ξ)

∂nξ

]i

=∂v(ξ)

∂nξ+

1

2ϕ(ξ), (12.24)[∂v(ξ)

∂nξ

]e

=∂v(ξ)

∂nξ− 1

2ϕ(ξ), (12.25)

(žymuo x ⊥→ ξ ∈S reiškia, kad taškas x arteja i taška ξ normales kryptimi, t.y.atkarpa, jungianti taškus x ir ξ, yra lygiagreti su vektoriumi nξ).

I š v a d a .

ϕ(ξ) =[∂v(ξ)

∂nξ

]i−[∂v(ξ)

∂nξ

]e,

∂v(ξ)

∂nξ=

1

2

[∂v(ξ)

∂nξ

]i+[∂v(ξ)

∂nξ

]e

.

/ I rodysime pirma teoremos teigini . Ivertinsime paprasto sluoksnio potencialo nor-malines išvestines tiesiogines reikšmes moduli . Pasinaudoje (12.7) nelygybe, gausime∣∣∣∂E (|ξ − η|)

∂nξ

∣∣∣ =1

|S1|

∣∣∣ n∑i=1

ηi − ξi|η − ξ|n

ni(ξ)∣∣∣ =

=1

|S1|| cosϕ||η − ξ|n−1

≤ b

|S1|1

|η − ξ|n−1−α , ∀ξ, η ∈S.

Taigi paprasto sluoksnio potencialo normalines išvestines tiesiogine reikšme yra inte-gralinis operatorius su silpna ypatuma. Todel potencialo v normalines išvestines tiesio-gine reikšme (žr. 12.2 teorema) egzistuoja ir paviršiuje S ji yra tolydi.

Irodysime antra teoremos teigini . Tegu

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ϕ(η) dSη

yra dvilypio sluoksnio potencialas, x /∈ S, ir x ⊥→ ξ ∈S. Apibrešime pagalbinefunkcija

v(x, ξ) =∂v(ξ)

∂nξ− w(x).


Irodysime, kad v(x, ξ)→ v(ξ, ξ), kai x ⊥→ ξ ∈S. Ivertinsime skirtuma

v(x, ξ)− v(ξ, ξ) =

∫S

hξ(x, η) dSη;

cia

hξ(x, η) =1

|S1|

n∑i=1


− ηi − ξi|η − ξ|n

)(ni(ξ)− ni(η)

)ϕ(η).

Tegu y1, . . . , yn−1, yn – vietine ortoganali koordinaciu sistema taške ξ (žr. 12.8pav.).

12.8 pav.

ξ

yn

.............................

.............................................................................................................................................................

........

........

.......

.................

..............

·

·· y1, . . . , yn−1

................. ..............

Sx

η

y′

Tarkime, šioje koordinaciu sistemoje η = (y1, ..., yn−1, yn). Tada

|x− η| ≥ |y′|, |ξ − η| ≥ |y′|.

Pasinaudoje šiomis ir (12.3) nelygybemis, gausime∣∣∣ ∫Σδ(ξ)

hξ(x, η) dSη

∣∣∣≤C ∫Σδ(ξ)

( 1

|x− η|n−1+

1

|ξ − η|n−1

)(|nξ − nη|

)dSη ≤

≤C ′∫

Σ′δ(ξ)

dy′

|y′|n−1−α ≤C′′δα, ∀δ≤ d.

Laisvai pasirenkame skaiciu ε > 0. Skaiciu δ > 0 parinksime taip, kad∣∣∣ ∫Σδ(ξ)

hξ(x, η) dSη

∣∣∣≤ ε

2.

Pakankamai mažoje taško ξ aplinkoje (pavyzdžiui, kai |x−ξ| < δ/2) funkcija hξ(x, η),kaip kintamojo η funkcija, paviršiuje S \ Σδ(ξ) yra tolydi ir tolygiai arteja i nuli , kaix⊥→ ξ ∈S. Todel egzistuoja taško ξ aplinka Bρ(ξ) tokia, kad∣∣∣ ∫

S\Σδ(ξ)

hξ(x, η) dSη

∣∣∣≤ ε

2, ∀x∈Bρ(ξ) : |x− ξ| = dist (x, S).

Pagal apibrežima tai reiškia, kad

v(x, ξ)− v(ξ, ξ) =

∫S

hξ(x, η) dSη → 0,


kai x ⊥→ ξ ∈S.Tarkime, kad x∈Ωi ir x ⊥→ ξ ∈S. Tada

v(x, ξ)→ v(ξ, ξ) =∂v(ξ)

∂nξ− w(ξ).

Kita vertus,

v(x, ξ) =∂v(x)

∂nξ− w(x)→

[∂v(ξ)

∂nξ

]i− wi(ξ).

Be to, iš pirmos ribos egzistavimo išplaukia ir antros ribos egzistavimas, kartu ir ribinesreikšmes

[∂v(ξ)∂nξ

]i

egzistavimas. Sulygine šias ribas ir prisimine, kad dvigubo sluok-snio potencialo ribine reikšme

wi(ξ) = w(ξ) +1

2ϕ(ξ),

gausime (12.24) formule.Analogiškai yra išvedama ir (12.25) formule. Šiuo atveju imame x∈Ωe ir x ⊥→

ξ ∈S. Tada

v(x, ξ)→ v(ξ, ξ) =∂v(ξ)

∂nξ− w(ξ).

Kita vertus,

v(x, ξ) =∂v(x)

∂nξ− w(x)→

[∂v(ξ)

∂nξ

]e− we(ξ).

Be to,

we(ξ) = w(ξ)− 1

2ϕ(ξ).

Todel [∂v(ξ)

∂nξ

]e

=∂v(ξ)

∂nξ− 1

2ϕ(ξ). .

P a s t a b a . Teoremoje, be kita ko, irodyta, kad paprasto sluoksnio potencialonormaline išvestine i ribine reikšme konverguoja tolygiai.

12.5. UŽDAVINIU SUVEDIMAS I INTEGRALINES LYGTIS 341

12.5. DIRICHLE IR NOIMANO UŽDAVINIU SUVEDIMASI INTEGRALINES LYGTIS

Tegu S – Liapunovo paviršius, dalijantis erdve Rn i aprežta sriti Ωi ir jos išore Ωe =Rn \ Ωi; ϕ∈ C(S) . Vidinio

∆w(x) = 0, x∈Ωi,w(x) = g(x), x∈S, (Di)

ir išorinio ∆w(x) = 0, x∈Ωe,w(x) = g(x), x∈S,w(x) = O

(|x|2−n

), |x| → ∞,

(De)

Dirichle uždaviniu sprendiniu ieškosime dvilypio sluoksnio potencialo

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη, ψ ∈ C(S),

pavidalu.Vidinio

∆v(x) = 0, x∈Ωi,[∂v(x)

∂nx

]i

= h(x), x∈S, (Ni)

ir išorinio ∆v(x) = 0, x∈Ωe,[∂v(x)

∂nx

]e

= h(x), x∈S,

v(x) = O(|x|2−n

), |x| → ∞,

(Ne)

Noimano uždaviniu sprendiniu ieškosime paprasto sluoksnio potencialo

v(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ(η) dSη, ϕ∈ C(S),

pavidalu.Priminsime, kad dvilypio sluoksnio potencialas w yra harmonine srityse Ωi ir Ωe

funkcija. Paprasto sluoksnio potencialas v yra harmonine srityje Ωi funkcija. SrityjeΩe paprasto sluoksnio potencialas yra harmonine funkcija, jeigu n > 2. Kai n = 2,paprasto sluoksnio potencialas yra harmonine srityje Ωe funkcija tada ir tik tada, kaiintegralas ∫

S

ϕ(η) dSη = 0.

Taigi funkcijos w ir v automatiškai tenkina Laplaso lygti . Belieka tik jas parinkti taip,kad butu patenkintos atitinkamos kraštines salygos.


Iš pradžiu nagrinesime vidini ir išorini Dirichle uždavinius. Tegu x∈Ωi ir x →ξ ∈S. Tada w(x) → w(ξ) ir vidinio Dirichle uždavinio kraštine salyga galima per-rašyti taip:

wi(ξ) = g(ξ).

Taciauwi(ξ) = w(ξ) +

1

2ψ(ξ).

Sulygine šias reikšmes, gausime integraline lygti

1

2ψ(ξ)−

∫S

∂E (|ξ − η|)∂nη

ψ(η) dSη = g(ξ). (Di)

Išorinio Dirichle uždavinio kraštine salyga galima perrašyti taip:

we(ξ) = g(ξ).

Taciauwe(ξ) = w(ξ)− 1

2ψ(ξ).


−1

2ψ(ξ)−

∫S

∂E (|ξ − η|)∂nη

ψ(η) dSη = g(ξ). (De)

Išvesime integralines lygtis, atitinkancias vidini ir išorini Noimano uždavinius.Tegu x∈Ωi ir x ⊥→ ξ ∈S. Tada

∂v(x)

∂nξ→[∂v(ξ)

∂nξ

]i

ir vidinio Noimano uždavinio kraštine salyga galima perrašyti taip:[∂v(ξ)

∂nξ

]i

= h(ξ).

Taciau [∂v(ξ)

∂nξ

]i

=∂v(ξ)

∂nξ+

1

2ϕ(ξ).


1

2ϕ(ξ) +

∫S

∂E (|ξ − η|)∂nη

ϕ(η) dSη = h(ξ). (Ni)

Išorinio Noimano uždavinio atveju kraštine salyga galima perrašyti taip:[∂v(ξ)

∂nξ

]e

= h(ξ).

12.5. UŽDAVINIU SUVEDIMAS I INTEGRALINES LYGTIS 343

Taciau [∂v(ξ)

∂nξ

]e

=∂v(ξ)

∂nξ− 1

2ϕ(ξ).


−1

2ϕ(ξ) +

∫S

∂E (|ξ − η|)∂nη

ϕ(η) dSη = h(ξ). (Ne)

Tegu

K(ξ, η) = −2∂E (|ξ − η|)

∂nη.

Tada integralines lygtis Di, De ir Ni, Ne galima užrašyti taip:

ψ(ξ) +

∫S

K(ξ, η)ψ(η) dSη = 2g(ξ), (Di)

−ψ(ξ) +

∫S

K(ξ, η)ψ(η) dSη = 2g(ξ), (De)

−ϕ(ξ) +

∫S

K(η, ξ)ϕ(η) dSη = −2h(ξ), (Ni)

ϕ(ξ) +

∫S

K(η, ξ)ϕ(η) dSη = −2h(ξ). (Ne)

Kadangi

K(ξ, η) =2

|S1|

∣∣∣ n∑i=1

ξi − ηi|ξ − η|n

ni(η)∣∣∣≤ C

|ξ − η|n−1−α ,

tai integraliniai operatoriai

Kψ ≡∫S

K(ξ, η)ψ(η) dSη, K∗ϕ ≡∫S

K(η, ξ)ϕ(η) dSη

yra integraliniai operatoriai su silpna ypatuma. Todel jie yra visiškai tolydus operato-riai, veikiantys iš erdves L2(S) i erdve L2(S) .Be to, operatoriai K ir K∗ yra jungtiniai.Kartu integralines lygtys (Di) − (Ne) ir (De) − (Ni) yra jungtines. Todel jas patogunagrineti poromis.


12.6. INTEGRALINES (Di) IR (Ne) LYGTYS

Tegu S – Liapunovo paviršius, dalijantis erdve Rn i aprežta sriti Ωi ir jos išore Ωe =Rn \ Ωi; ϕ∈ C(S) . Integralines lygtys (Di) ir (Ne) yra Fredholmo lygtys. Todelnagrinejant jas pirmiausia reikia ištirti homogenines lygtis:

ψ(ξ) +

∫S

K(ξ, η)ψ(η) dSη = 0, (D ′i )

ϕ(ξ) +

∫S

K(η, ξ)ϕ(η) dSη = 0. (N ′e)

Parodysime, kad (N ′e) lygtis erdveje L2(S) turi tik trivialu sprendini. Tarkime,ϕ0 ∈ L2(S) yra integralines lygties (N ′e) sprendinys. Remiantis teorema apie inte-graliniu lygciu sprendiniu gloduma (žr. 1.12 teorema) funkcija ϕ0 ∈ C2(S) . Atskiraiišnagrinesime atvejus: n > 2 ir n = 2. Iš pradžiu tarkime, kad n > 2. Tada paprastosluoksnio potencialas

v0(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ0(η) dSη

yra išorinio Noimano uždavinio∆v0(x) = 0, x∈Ωe,[∂v0(x)

∂nx

]e

= 0, x∈S,

v0(x) = O(|x|2−n

), |x| → ∞,

sprendinys. Remiantis išorinio Noimano uždavinio vienaties teorema, potencialas

v0(x) = 0, ∀x∈Ωe.

Kadangi paprasto sluoksnio potencialas yra tolydi visoje erdveje Rn funkcija, tai

v0(x) = 0, ∀x∈Ωe.

Taciau tada funkcija v0 yra vidinio Dirichle uždavinio∆v0(x) = 0, x∈Ωi,v0(x) = 0, x∈S,

sprendinys. Remiantis vidinio Dirichle uždavinio vienaties teorema, potencialas

v0(x) = 0, ∀x∈Ωi.

Taigi paprasto sluoksnio potencialas v0 tapaciai lygus nuliui visoje erdveje Rn. Bettada jo taisyklingos normalines išvestines[

∂v0(x)

∂nx

]i

=

[∂v0(x)

∂nx

]e

= 0

12.6. INTEGRALINES (Di) IR (Ne) LYGTYS 345

ir (žr. 12.9 teoremos išvada) ϕ0(x) ≡ 0, ∀x∈S.Tarkime, kad n = 2. Tada paprasto sluoksnio potencialas v0 tenkina Laplaso lygti

∆v0(x) = 0, ∀x∈Ωe,

ir kraštine salyga [∂v0(x)

∂nx

]e

= 0.

Remiantis išorinio Noimano uždavinio sprendiniu vienaties teorema, potencialas

v0(x) = const, ∀x∈Ωe.

Priminsime, kad

ϕ0(ξ) +

∫S

K(η, ξ)ϕ0(η) dSη = 0.

Šia lygybe integruojame paviršiumi S. Tada pasinaudoje Gauso teorema, gausime∫S

ϕ0(η) dSη = 0.

Todel paprasto sluoksnio potencialas

v0(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ0(η) dSη =

∫S

(E (|x− η|)− E (|x|)

)ϕ0(η) dSη → 0,

kai |x| → ∞. Taciau tai imanoma tik tuo atveju, kai

v0(x) = 0, ∀x∈Ωe.

Tolesne irodymo eiga yra visiškai tokia pati kaip ir n > 2 atveju.Taigi abiem atvejais (N ′e) lygtis turi tik trivialu sprendini. Remiantis Fredholmo

teorema (žr. 1.1 teorema) ∀h∈ L2(S) (Ne) lygtis turi vieninteli sprendini L2(S) erd-veje.

Priminsime, kad n = 2 atveju paprasto sluoksnio potencialas

v(x) =

∫S


yra harmonine srityje Ωe funkcija, kai∫S

ϕ(η) dSη = 0.

Tegu funkcija ϕ yra (Ne) lygties sprendinys. Suintegrave šia lygti paviršiumi S ir poto pritaike Gauso teorema, gausime lygybe

2

∫S

ϕ(η) dSη = −2

∫S

h(η) dSη.


Sugretine paskutines dvi lygybes, matome, kad potencialas v tada ir tik tada yra (Ne)uždavinio sprendinys, kai ∫

S

h(η) dSη = 0.

Kadangi lygtys (D ′i ) ir (N ′e) yra jungtines, tai (D ′i ) lygtis taip pat turi tik trivialusprendini. Taciau tada (Di) lygtis ∀g ∈ L2(S) erdveje L2(S) turi vieninteli sprendini.

Tegu ϕ ir ψ yra (Di) ir (Ne) integraliniu lygciu erdveje L2(S) sprendiniai. Pri-minsime, kad šiu lygciu dešines puses g ir h yra tolydžios paviršiuje S funkcijos.Remiantis teorema apie integraliniu lygciu sprendiniu gloduma (žr. 1.12 teprema),galime tvirtinti, kad funkcijos ϕ ir ψ ∈ C(S), o jas atitinkantys potencialai v ir w yraišorinio Noimano uždavinio ir vidinio Dirichle uždavinio sprendiniai.

Suformuluosime gautus rezultatus.

12.10 teorema. Tegu S yra Liapunovo paviršius. Tada:

1. ∀g ∈ C(S) vidinis Dirichle uždavinys turi vieninteli sprendini, ir ji galima iš-reikšti dvigubo sluoksnio potencialu

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη;

cia ψ yra (Di) lygties sprendinys.

2. ∀h∈ C(S) išorinis Noimano uždavinys turi vieninteli sprendini, ir ji galimaišreikšti paprasto sluoksnio potencialu

v(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ(η) dSη;

cia ϕ yra (Ne) lygties sprendinys. Jeigu n = 2, sprendinys v(x) yra aprežtas,kai |x| → ∞, tada ir tik tada, kai∫

S

h(η) dSη = 0.

12.7. INTEGRALINES (De) IR (Ni) LYGTYS 347

12.7. INTEGRALINES (De) IR (Ni) LYGTYS

Tegu S – Liapunovo paviršius, dalijantis erdve Rn i aprežta sriti Ωi ir jos išore Ωe =Rn \ Ωi; ϕ∈ C(S) . Iš pradžiu nagrinesime homogenines integralines lygtis:

−ψ(ξ) +

∫S

K(ξ, η)ψ(η) dSη = 0, (D ′e)

−ϕ(ξ) +

∫S

K(η, ξ)ϕ(η) dSη = 0. (N ′i)

Remiantis Gauso teorema, (D ′e) lygtis turi netrivialu sprendini

ψ0(η) ≡ 1.

Taciau tada ir jungtine (N ′i) lygtis turi erdveje L2(S) netrivialu sprendini. Pažyme-kime ji ϕ0. Dešine (N ′i) lygties puse h = 0∈ C(S) . Todel (žr. 1.12 teorema apieintegraliniu lygciu sprendiniu gloduma) jos sprendinys ϕ0 ∈ C(S) .

I rodysime, kad kitu tiesiškai nepriklausomu sprendiniu (N ′i) lygtis neturi. Tegu

v0(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ0(η) dSη.

Potencialas v0 tenkina srityje Ωi Laplaso lygti , o jo taisyklinga normaline išvestinepaviršiuje S lygi nuliui. Remiantis vidinio Noimano uždavinio vienaties teorema, po-tencialas v0(x) = C0 = const, ∀x∈Ωi. Irodysime, kad konstanta C0 6= 0. Tarkimepriešingai, kad C0 = 0. Tada v0(x) = 0, ∀x∈Ωi, nes v ∈ C(Rn) . Todel potencialasv0 yra išorinio Dirichle uždavinio

∆v0(x) = 0, x∈Ωe,v0(x) = 0, x∈S,v0(x) = O

(|x|2−n

), |x| → ∞,

sprendinys. Remiantis išorinio Dirichle uždavinio vienaties teorema, potencialas

v0(x) = 0, ∀x∈Ωe.

Taciau tada jis yra lygus nuliui visoje erdveje Rn. Kartu yra lygios nuliui jo taisyklin-gos normalines išvestines ir

ϕ0(x) =

[∂v0(x)

∂nx

]i

−[∂v0(x)

∂nx

]e

= 0, ∀x∈S.

Gauta prieštara irodo, kad C0 6= 0.Tarkime, kad ϕ1 yra koks nors kitas netrivialus (N ′i) lygties sprendinys. Tada pa-

prasto sluoksnio potencialas

v1(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ1(η) dSη = C1 = const 6= 0, ∀x∈Ωi.


Akivaizdu, kad sprendiniu ϕ0 ir ϕ1 tiesinis darinys ϕ2 = C1ϕ0 − C0ϕ1 taip pat yra(N ′i) lygties sprendinys. Todel potencialas

v2(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ2(η) dSη = C0C1 − C1C0 = 0, ∀x∈Ωi.

Iš šios formules(žr. analogiško teiginio irodyma su potencialu v0) išplaukia, kad po-tencialo v2 tankis ϕ2 = 0, t.y. C1ϕ0 − C0ϕ1 = 0. Taigi bet kokie du (N ′i) lygtiessprendiniai ϕ0 ir ϕ1 yra tiesiškai priklausomi.

Remiantis 1.2 teorema, (D′e) lygtis turi viena tiesiškai nepriklausoma sprendini.Pritaike (De) ir (Ni) lygtims 1.3 teorema, gausime tokius teiginius:

1. (Ni) lygtis turi sprendini erdveje L2(S) tada ir tik tada, kai∫S

1 · h(η) dSη = 0. (12.26)

2. (De) lygtis turi sprendini erdveje L2(S) tada ir tik tada, kai∫S

g(η)ϕ0(η) dSη = 0; (12.27)

cia ϕ0 yra (N ′i) lygties sprendinys.

3. Jeigu, be to, funkcijos g ir h∈ C(S), tai (De) ir (Ni) lygciu sprendiniai ψ irϕ∈ C(S), o potencialai

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη, v(x) =

∫S


yra atitinkamai vidinio Noimano ir išorinio Dirichle uždaviniu sprendiniai.

P a s t a b a . Jeigu (12.27) salyga nera patenkinta, tai (De) lygtis neturi spren-dinio. Taciau tai dar nereiškia, kad (De) uždavinys taip pat neturi sprendinio. Šiuoatveju galima tvirtinti tik tai, kad (De) uždavinio sprendinio negalima išreikšti dvily-pio sluoksnio potencialu.

Tarkime, kad (12.27) salyga nera patenkinta. Tada (De) uždavinio sprendinioieškosime pavidalu

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη + λE (|x− x|), x∈Ωi,

kai n > 2, ir pavidalu

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη + λ,

12.7. INTEGRALINES (De) IR (Ni) LYGTYS 349

kai n = 2. Iš pradžiu išnagrinesime atveji , kai n > 2. Tegu x∈Ωe ir x→ ξ ∈S. Tada(De) uždavinys susiveda i integraline lygti

−∫S

∂E (|ξ − η|)∂nη

ψ(η) dSη −1

2ψ(ξ) + λE (|ξ − x|) = g(ξ).

Perrašysime ja tokiu pavidalu:

− ψ(ξ) +

∫S

K(ξ, η)ψ(η) dSη = 2(g(ξ)− λE (|ξ − x|)

). (12.28)

Skaiciu λ parinksime taip, kad∫S

2(g(η)− λE (|η − x|)

)ϕ0(η) dSη = 0,

t.y. parinksime

λ =1

C0

∫S

g(η)ϕ0(η) dSη, C0 =

∫S

E (|η − x|)ϕ0(η) dSη 6= 0. (12.29)

Jeigu n = 2, tai (De) uždavinys susiveda i integraline lygti

−∫S

∂E (|ξ − η|)∂nη

ψ(η) dSη −1

2ψ(ξ) + λ = g(ξ).

Perrašysime ja taip:

− ψ(ξ) +

∫S

K(ξ, η)ψ(η) dSη = 2(g(ξ)− λ

). (12.30)

Skaiciu λ parinksime toki, kad∫S

2(g(η)− λ

)ϕ0(η) dSη = 0,

t.y.

λ =1

C0

∫S

g(η)ϕ0(η) dSη, C0 =

∫S

ϕ0(η) dSη. (12.31)

Irodysime, kad C0 6= 0. Tarkime priešingai, kad C0 = 0. Kadangi ϕ0 yra (N ′e )lygties sprendinys, tai paprasto sluoksnio potencialas

v0(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ0(η) dSη


yra vidinio Noimano uždavinio∆v0(x) = 0, x∈Ωi,[∂v0(x)

∂nx

]i

= 0, x∈S,

sprendinys. Remiantis vidinio Noimano uždavinio sprendiniu vienaties teorema,

v0(x) = const, ∀x∈Ωi.

Taciau tada v0(x) = const, ∀x∈Ωi, ir potencialas v0 yra išorinio Dirichle uždavinio∆v0(x) = 0, x∈Ωe,v0(x) = const, x∈S,v0(x) = O

(1), |x| → ∞,

sprendinys. Pagal maksimumo principa v0(x) = const, ∀x∈Ωe. Kartu v0(x) =const, ∀x∈Rn. Taciau ši konstanta lygi nuliui, nes

v0(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ0(η) dSη =

∫S

(E (|x− η|)− E (|x|)

)ϕ0(η) dSη → 0,

kai |x| → ∞. Taigi potencialas v0(x) = 0, ∀x∈Rn. Bet tada jo taisyklingos nor-malines išvestines yra lygios nuliui ir, remiantis 12.9 teoremos išvada, ϕ0 = 0. Gautaprieštara irodo, kad

C0 =

∫S

ϕ0(η) dSη 6= 0.

Suformuluosime gautus rezultatus.

12.11 teorema. Tegu S yra Liapunovo paviršius. Tada:

1. Vidinis Noimano uždavinys ∀h∈ C(S), tenkinanciai (12.26) salyga, turi spren-dini, ir ji galima išreikšti paprasto sluoksnio potencialu

v(x) =

∫S

E (|x− η|)ϕ(η) dSη;

cia ϕ yra (Ni) lygties sprendinys.

2. Išorinis Dirichle uždavinys ∀g ∈ C(S) turi sprendini, ir ji galima išreikšti tokiupavidalu:

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη + λE (|x− x|), x∈Ωi,

kai n > 2, ir

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη + λ,

kai n = 2; cia: ψ yra (12.28) lygties sprendinys, kai n > 2, ir (12.30) lygtiessprendinys, kai n = 2; skaicius λ yra apibrežiamas (12.29) formule, jeigu n > 2,ir (12.31) formule, jeigu n = 2.

12.8. SINGULIARIEJI INTEGRALAI 351

12.8. SINGULIARIEJI INTEGRALAI

Tegu Ω ⊂ Rn – aprežta sritis, f ∈ Cα(Ω), α∈ (0.1], K ∈ C(S1) – homogenine (−n)-ojo laipsnio funkcija1. Pastebesime, kad taip apibrežta funkcija K yra tolydi srityjeRn \ 0.

Tegu x∈Ω ir ε > 0. Srityje

Ω(ε) = y ∈Ω : |x− y| > ε

apibrešime seka funkciju

Fε(x) =

∫Ω(ε)

K(x− y)f(y) dy.

RibaF (x) = lim

ε→0Fε(x),

jeigu ji egzistuoja, vadinsime singuliariuoju integralu.

12.3 lema. Singuliarusis integralas egzistuoja tada ir tik tada, kai∫S1

K(ξ) dSξ = 0. (12.32)

/ Tegu x∈Ω ir δ > 0 : Bδ(x) ⊂ Ω. Be to, tegu ε, ε1 ∈ (0, δ), ε1 < ε. Tada

Fε(x)− Fε1(x) = −∫

ε1<|x−y|<ε

K(x− y)f(y) dy =

=

∫ε1<|x−y|<ε

K(x− y)(f(x)− f(y)

)dy −

∫ε1<|x−y|<ε

f(x)K(x− y) dy.

Ivertinsime pirmaji iš šiu integralu :∣∣∣ ∫ε1<|x−y|<ε

K(x− y)(f(x)− f(y)

)dy∣∣∣≤

≤C maxξ∈S1

∣∣K(ξ)∣∣ ∫|x−y|<ε

dy

|x− y|n−α≤C ′

∫|x−y|<ε

dy

|x− y|n−α≤C ′′εα. (12.33)

1Funkcija K yra homogenine (−n)-ojo laipsnio funkcija, jeigu ji tenkina salyga

K(x) = |x|−nK(x/|x|

),


Kadangi funkcija K yra homogenine (−n)-ojo laipsnio funkcija, tai∫ε1<|x−y|<ε

K(x− y) dy =

ε∫ε1

∫S1

1

rnK(ξ)rn−1 dSξdr = ln

ε

ε1

∫S1

K(ξ) dSξ.

Pastebesime, kad pastarasis integralas lygus nuliui. Todel∣∣Fε(x)− Fε1(x)∣∣≤C ′′εα.

Taigi sekaFε(x)

konverguoja.

Jeigu (12.32) salyga yra nepatenkinta, tai artejancias i nuli skaiciu sekas ε irε1 galima parinkti taip, kad reiškinys

lnε

ε1

∫S1

K(ξ) dSξ

konverguotu i bet kokia iš anksto apibrežta reikšme. Taciau tada sekosFε(x)

riba

neegzistuoja. .Tegu ζ ∈ C∞[0,∞) yra kokia nors neneigiama funkcija, tenkinanti salygas: ζ(t) =

1, kai t≥1, ir ζ(t) = 0, kai t≤ 1/2. Apibrešime seka funkciju

Fε(x) =

∫Ω

K(x− y)ζ( |x−y|

ε

)f(y) dy.

12.4 lema. Tegu Ω′ ⊂ Ω yra griežtai vidine sritis, o funkcijaK tenkina (12.32) salyga.Tada

Fε(x)⇒F (x), ∀x∈Ω′,

kai ε→ 0.

/ Tegu x∈Ω′ ir ε1 < ε – pakankamai maži teigiami skaiciai. Tada

Fε(x)− Fε1(x) =

∫ε1/2<|x−y|<ε

K(x− y)(ζ( |x−y|

ε

)− ζ( |x−y|

ε1

))f(y) dy =

= −∫

ε1/2<|x−y|<ε

K(x− y)(ζ( |x−y|

ε

)− ζ( |x−y|

ε1

)) (f(x)− f(y)

)dy+

+

∫ε1/2<|x−y|<ε

K(x− y)(ζ( |x−y|

ε

)− ζ( |x−y|

ε1

))f(x) dy.

Paskutinius du integralus pažymesime atitinkamai I1, I2 ir kiekviena iš ju ivertinsimeatskirai. Pagal lemos salyga f ∈ Cα(Ω) . Todel

|I1| ≤C ′∫

|x−y|<ε

dy

|x− y|n−α≤C ′′εα.

12.8. SINGULIARIEJI INTEGRALAI 353

Integralas I2 yra lygus nuliui. Norint tuo isitikinti, pakanka pasinaudoti sferinemiskoordinatemis ir (12.32) salyga. Taigi∣∣Fε(x)− Fε1(x)

∣∣≤C ′′εα, ∀x∈Ω′.

Todel sekaFε(x)

, kai ε→ 0, tolygiai konverguoja uždaroje srityje Ω′.

Tarkime, kad ε1 < ε/2. Tada∣∣Fε(x)− Fε1(x)∣∣ =

∣∣∣ ∫ε1<|x−y|<ε

K(x− y)(ζ( |x−y|

ε

)− 1)f(y) dy

∣∣∣≤≤∣∣∣ ∫ε1<|x−y|<ε

K(x− y)(ζ( |x−y|

ε

)− 1) (f(x)− f(y)

)dy∣∣∣+

+∣∣∣ ∫ε1<|x−y|<ε

K(x− y)(ζ( |x−y|

ε

)− 1)f(x) dy

∣∣∣≤C ′′εα.Artindami ε1 i nuli , gausime iverti∣∣Fε(x)− F (x)

∣∣≤Cεα, ∀x∈Ω′,

iš kurio išplaukiaFε(x)⇒F (x), ∀x∈Ω′,

kai ε→ 0. .


12.9. TURINIO POTENCIALO SAVYBES

Tegu Ω ⊂ Rn – aprežta sritis, S = ∂Ω – dalimis glodus paviršius,

u(x) =

∫Ω

E (|x− y|)f(y) dy, x ∈ Rn. (12.34)

12.12 teorema. Tarkime, f ∈ Cα(Ω) . Tada:

1. Funkcija u ir jos išvestines uxi , ∀i = 1, ..., n, yra tolydžios visoje erdveje Rn ir

uxi(x) =

∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

f(y) dy, ∀x ∈ Rn, i = 1, ..., n. (12.35)

2. Srityje Rn \ Ω funkcija u yra dukart diferencijuojama, o jos antrosios eilesišvestines

uxixj (x) =

∫Ω

∂2E (|x− y|)∂xi∂xj

f(y) dy, x ∈ Rn \ Ω, (12.36)

∀i, j = 1, ..., n.

3. Srityje Ω funkcija u yra dukart diferencijuojama, o jos antrosios eiles išvestines

uxixj (x) =

∫Ω

∂2E (|x− y|)∂xi∂xj

f(y) dy + γijf(x), (12.37)

∀x ∈ Ω, i, j = 1, ..., n; cia

γij = − 1

|S1|

∫S1

ξiξj dSξ, ξ = (ξ1, ..., ξn) ∈ S1

ir integralas (12.37) formuleje yra singuliarusis.

/ I rodysime, kad u ∈ C(Rn) . Laisvai pasirenkame taška x ∈ Rn. Tegu Ω1 kokianors aprežta sritis: x ∪ Ω ⊂ Ω1. Funkcija f yra apibrežta srityje Ω. Tegu f(x) = 0,kai x ∈ Rn\Ω. Tada srityje Ω1 funkcija f yra aprežta. Be to, f(y) = 0, kai y ∈ Ω1\Ω.Todel potenciala u galima užrašyti taip:

u(x) =

∫Ω1

E (|x− y|)f(y) dy, x ∈ Rn.

Remiantis funkcijos E apibrežimu,

∣∣E (|x− y|)∣∣≤ C

|x−y|n−2 , kai n > 2,C

|x−y|β , kai n = 2, ∀β > 0.

12.9. TURINIO POTENCIALO SAVYBES 355

Taigi potencialas u yra integralinis operatorius su silpna ypatuma ir todel (žr. 1.12teorema) yra tolydi srityje Ω1 funkcija. Kadangi taška x pasirinkome laisvai, tai poten-cialas u yra tolydi funkcija visoje erdveje Rn.

Irodysime, kad u ∈ C1(Rn) ir yra teisinga (12.35) formule. Formaliai diferenci-juodami potenciala u pagal kintamaji xi po integralo ženklu, gausime potenciala

ui(x) =

∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

f(y) dy.

Ivertinsime šio potencialo branduoli∣∣∣∣∂E (|x− y|)∂xi

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

|S1|xi − yi|x− y|n

∣∣∣∣ ≤ 1

|S1|1

|x− y|n−1, ∀n≥ 2.

Taigi potencialas ui yra integralinis operatorius su silpna ypatuma ir ui ∈ C(Rn) . Šioteiginio irodymas yra visiškai toks pat kaip ir potencialo u atveju.

Apibrešime be galo diferencijuojamu funkciju seka:

u ε(x) =

∫Ω

E (|x− y|)ζ( |x−y|

ε

)f(y) dy, ε > 0.

Kai ε→ 0 seka u ε(x) konverguoja i u(x),∀x ∈ Rn (netgi tolygiai). Be to,

∂u ε(x)

∂xi=

∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

ζ( |x− y|

ε

)f(y) dy +

∫Ω

E (|x− y|)∂ζ( |x−y|

ε

)∂xi

f(y) dy

ir skirtumas∣∣∣∂u ε(x)

∂xi− ui(x)

∣∣∣≤ ∣∣∣ ∫Ω

E (|x− y|)ζ ′( |x−y|

ε

)1εxi−yi|x−y| f(y) dy

∣∣∣++∣∣∣ ∫

Ω

∂E (|x− y|)∂xi

(1− ζ

( |x−y|ε

))f(y) dy

∣∣∣ ≤ C

ε

∫|x−y|<ε

dy

|x− y|n−2+

+C ′∫

|x−y|<ε

dy

|x− y|n−1≤C1ε+ C ′1ε≤C2ε, ∀x ∈ Rn.

Šia nelygybe irodeme, kai n > 2. Kai n = 2, galima gauti analogiška iverti . Remian-tis teorema apie integralu , priklausanciu nuo parametro, diferencijavima po integraloženklu, funkcija u yra diferencijuojama visoje erdveje Rn ir jos išvestine uxi = ui.

Irodysime antraji teoremos teigini . Kai x 6= y, funkcija E (|x − y|) yra be galodiferencijuojama. Be to, pagal teoremos salyga sritis Ω yra aprežta. Remiantis teoremaapie integralu , priklausanciu nuo parametro, diferencijavima po integralo ženklu, gali-me tvirtinti, kad potencialas u srityje Rn \Ω yra dukart diferencijuojama (netgi be galodiferencijuojama) funkcija ir yra teisinga(12.36) formule.


I rodysime treciaji teoremos teigini . Tegu

uij(x) =

∫Ω

∂2E (|x− y|)∂xi∂xj

f(y) dy

yra potencialo uxi formali išvestine pagal kintamaji xj . Šio potencialo branduolys

∂2E (|x− y|)∂xi∂xj

= − 1

|S1|

(δij

|x− x|n− n (xi − yi)(xj − yj)

|x− y|n+2

)≡ Kij(x− y)

yra homogenine (−n)-ojo laipsnio funkcija. Norint tuo isitikinti pakanka pastebeti,kad taip apibrežta funkcija Kij tenkina salyga

Kij(x) =1

|x|nKij

( x|x|

).

Taigi integralas uij yra singuliarusis. Irodysime, kad jis egzistuoja. Pagal 12.3lema reikia irodyti, kad ∫

S1

Kij(ξ) dSξ = 0. (12.38)

Laisvai pasirenkame teigiamus skaicius a ir b, a < b. Tada∫a<|x|<b

Kij(x) dx =

∫a<|x|<b

1

|x|nKij

( x|x|

)dx =

=

b∫a

(∫S1

Kij(ξ) dSξ

)rn−1

rndr = ln

b

a

∫S1

Kij(ξ) dSξ. (12.39)

Pasinaudoje integravimo dalimis formule, ta pati integala užrašysime taip:∫a<|x|<b

Kij(x) dx =

∫a<|x|<b

∂2E (|x|)∂xi∂xj

dx =

=

∫|x|=b

∂E (|x|)∂xi

cos(n, xj) dS +

∫|x|=a

∂E (|x|)∂xi

cos(n, xj) dS.

Integrale sfera |x| = b vietoje kintamojo x apibrešime nauja kintamaji ξ = b−1x, ointegrale sfera |x| = a vietoje kintamojo x – kintamaji ξ = a−1x. Kadangi šiuo-se integraluose normales vektoriai sferose |x| = b ir |x| = a nukreipti priešingomiskryptimis, tai∫

a<|x|<b

Kij(x) dx = − 1

|S1|

∫|ξ|=1

ξiξj dSξ +1

|S1|

∫|ξ|=1

ξiξj dSξ = 0. (12.40)


Sulygine (12.39) ir (12.40) lygybes, gausime

lnb

a

∫S1

Kij(ξ) dSξ = 0.

Kadangi skaiciai a ir b yra pasirinkti laisvai, tai ši lygybe yra galima tik tuo atveju, kaiyra patenkinta (12.38) salyga. Taigi singuliarusis integralas uij egzistuoja.

Beliko irodyti, kad u ∈ C2(Ω) ir yra teisinga(12.37) formule. Apibrešime be galodiferencijuojamu funkciju seka

u εi (x) =

∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

ζ( |x−y|

ε

)f(y) dy, ε > 0.

Kai ε→ 0, sekau εi (x)

konverguoja i uxi , ∀x ∈ Rn (netgi tolygiai). Be to,

∂u εi (x)

∂xj=

∫Ω

∂2E (|x− y|)∂xi∂xj

ζ( |x−y|

ε

)f(y) dy+

+

∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

∂ζ( |x−y|

ε

)∂xj

f(y) dy. (12.41)

Tegu sritis Ω′ : Ω′ ⊂ Ω. Remiantis 12.4 lema, integralas∫Ω

∂2E (|x− y|)∂xi∂xj

ζ( |x−y|

ε

)f(y) dy⇒uij(x), ∀x ∈ Ω′.

Antraji integrala (12.41) formuleje perrašysime taip:∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

∂ζ( |x−y|

ε

)∂xj

(f(y)− f(x)

)dy + f(x)

∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

∂ζ( |x−y|

ε

)∂xj

dy.

Kadangi funkcija f ∈ Cα(Ω), tai

∣∣∣∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

∂ζ( |x−y|

ε

)∂xj

(f(y)− f(x)

)dy∣∣∣≤

≤ 1

ε

∫|x−y|<ε

C dy

|x− y|n−1−α ≤C′εα.

Be to, integralas

f(x)

∫Ω

∂E (|x− y|)∂xi

∂ζ( |x−y|

ε

)∂xj

dy =


= − 1

|S1|f(x)

∫|x−y|<ε

xi − yi|x− y|n

∂ζ( |x−y|

ε

)∂|x− y|

xj − yj|x− y|

dy =

= − 1

|S1|f(x)

ε∫0

(∫S1

ξiξj dSξ

)rn−1

rn−1

dζ(rε

)dr

dr =

= − 1

|S1|f(x)

(ζ(1)− ζ(0)

) ∫S1

ξiξj dSξ = γijf(x).

Todel

∂u εi (x)

∂xj⇒uij(x) + γijf(x), ∀x ∈ Ω′,

kai ε → 0. Remiantis teorema apie integralu , priklausanciu nuo parametro, diferen-cijavima po integralo ženklu, funkcija uxi yra diferencijuojama uždaroje srityje Ω′ iršioje srityje yra teisinga (12.37) formule. Kadangi sritis Ω′ ⊂ Ω pasirinkta laisvai,tai funkcija uxi yra diferencijuojama visoje srityje Ω ir (12.37) formule taip pat yrateisinga visoje srityje Ω. .

I š v a d o s :

1. Funkcija u srityje Ω tenkina Puasono lygti:

−∆u(x) = f(x), x ∈ Ω.

2. Funkcija u srityje Rn \ Ω tenkina Laplaso lygti:

∆u(x) = 0, x ∈ Rn \ Ω.

P a s t a b o s :

1. Irodant pirma ir antra teoremos teiginius, pakanka reikalauti, kad funkcija fsrityje Ω butu macioji ir aprežta.

2. Treciasis teiginys išlieka teisingas ir tuo atveju, kai f ∈ Cα(Ω)∩C(Ω) . I rody-sime tai. Tegu x0 yra bet koks srities Ω taškas. Pasirinkime skaiciu δ > 0 taip,kad B4δ(x0) ⊂ Ω, o funkcija f išskaidykime i dvieju funkciju suma:

f(y) = f(y)ζ( |x0−y|

4δ

)+ f(y)

(1− ζ

( |x0−y|4δ

))≡ f1(y) + f2(y).

Funkcija f1(y) = 0, kai |x0 − y| ≤ 2δ. Todel pakankamai mažoje taško x0

aplinkoje funkcija

u1(x) =

∫Ω

E (|x− y|)f1(y) dy


yra be galo diferencijuojama. Funkcija f2 ∈ Cα(Ω) . Pakartoje 12.12 teoremosirodyma potencialui

u2(x) =

∫Ω

E (|x− y|)f2(y) dy,

gausime, kad jis yra dukart diferencijuojama srityje Ω funkcija. Taciau tadafunkcija u = u1 + u2 taip pat yra dukart diferencijuojama pakankamai mažojetaško x0 aplinkoje. Kadangi taškas x0 ∈ Ω pasirinktas laisvai, tai funkcija u yradukart diferencijuojama visoje srityje Ω.

3. Puasono lygties −∆u(x) = f(x) bendrasis sprendinys yra jos kokio nors atski-rojo sprendinio ir homogenines lygties ∆u(x) = 0 bendrojo sprendinio suma.Jeigu funkcija f yra pakankamai glodi, tai Puasono lygties atskiraji sprendinigalima išreikšti integralu

u0(x) =

∫Ω

E (|x− y|)f(y) dy.

Todel Puasono lygties −∆u(x) = f(x) sprendima galima suvesti i Laplasolygties ∆u(x) = 0 sprendima.


12.10. UŽDAVINIAI

1. Tegu n = 3, r = |x− y|, o E(r) =e−µr

4πr.

(a) Irodyti, kad funkcija E yra Helmholco lygties

∆u− µ2u = 0

sprendinys.

(b) Tarkime, funkcija u∈ C2(Ω) yra Helmholco lygties

∆u− µ2u = −f

sprendinys. Irodyti formule

u(x) =

∫Ω

E (|x− y|)f(y) dy+

+

∫S

(E (|x− y|)∂u(y)

∂ny− u(y)

∂E (|x− y|)∂ny

)dSy.

2. Tegu Ω ⊂ R3 – aprežta sritis, S = ∂Ω – Liapunovo paviršius,

w(x) = −∫S

∂E (|x− η|)∂nη

ψ(η) dSη

yra dvilypio sluoksnio potencialas, ψ ∈ C(S) .

(a) Irodyti, kad dvilypio sluoksnio potencialas w tenkina Helmholco lygti

∆u− µ2u = 0

srityje Ω ir jos išoreje.

(b) Irodyti, kad dvilypio sluoksnio potencialo tiesiogine reikšme w(ξ) egzis-tuoja ∀ξ ∈S ir yra tolydi paviršiuje S.

(c) Irodyti, kad dvilypio sluoksnio potencialo w ribines reikšmes wi ir weegzistuoja ir yra teisingos formules

wi(ξ) = w(ξ) +1

2ψ(ξ), we(ξ) = w(ξ)− 1

2ψ(ξ).


v(x) =

∫S


yra paprasto sluoksnio potencialas, ϕ∈ C(S) .


(a) Irodyti, kad paprasto sluoksnio potencialas v tenkina Helmholco lygti

∆u− µ2u = 0

srityje Ω ir jos išoreje.

(b) Irodyti, kad paprasto sluoksnio potencialas v yra tolydi visoje erdveje R3

funkcija.

(c) Irodyti, kad paviršiuje S egzistuoja paprasto sluoksnio potencialo v nor-

malines išvestines tiesiogine reikšme∂v(ξ)

nξir ji paviršiuje S yra tolydi.

(d) Irodykite, kad paviršiuje S egzistuoja paprasto sluoksnio potencialo v nor-maliniu išvestiniu ribines reikšmes

[∂v(ξ)/nξ

]i,[∂v(ξ)/nξ

]e

ir teisingosformules[

∂v(ξ)

nξ

]i

=∂v(ξ)

nξ+

1

2ϕ(ξ),

[∂v(ξ)

nξ

]e

=∂v(ξ)

nξ− 1

2ϕ(ξ).


u(x) =

∫Ω

E (|x− y|)f(y) dy

yra turinis potencialas, f ∈ Cα(Ω) .

(a) Irodyti, kad turinis potencialas u yra diferencijuojama visoje erdveje R3

funkcija ir

uxi(x) =

∫Ω

∂

∂xiE (|x− y|)f(y) dy, ∀i = 1, 2, 3.

(b) Irodyti, kad turinis potencialas u srities Ω išoreje tenkina Helmholco lygti

∆u− µ2u = 0.

(c) Irodyti, kad turinis potencialas u srityje Ω tenkina Helmholco lygti

∆u− µ2u = −f.


12.11. ATSAKYMAI

1. (a) N u r o d y m a s . Parašyti Laplaso operatoriu ∆u sferinese koordinatese,kai funkcija u = u(r), ir pastebeti, kad Helmholco lygtis virs lygtimi

urr +2

rur − µ2u = 0.

(b) N u r o d y m a s . Pasinaudoti (10.4) formules išvedimu.

2. (a) N u r o d y m a s . Pasinaudoti tuo, kad funkcija E(|x−y|) tenkina Helm-holco lygti kintamuju x atžvilgiu, kai x 6= y.

(b) N u r o d y m a s . Pasinaudoti 12.4 teoremos irodymu.

(c) N u r o d y m a s . Pasinaudoti 12.7 teoremos irodymu.

3. (a) N u r o d y m a s . Pasinaudoti tuo, kad funkcija E(|x−y|) tenkina Helm-holco lygti kintamuju x atžvilgiu, kai x 6= y.

(b) N u r o d y m a s . Pasinaudoti 12.8 teoremos irodymu.

(c) N u r o d y m a s . Pasinaudoti 12.5 teoremos irodymu.

(d) N u r o d y m a s . Pasinaudoti 12.5 teoremos irodymu.

4. N u r o d y m a s . Pasinaudoti 12.12 teoremos irodymu.

363

L I T E R A T U R A

[1] N. I. Axiezeris. Variacinio skaiciavimo paskaitos. – M.: 1954. – 248 p. – Rus.

[2] B. M. Budakas, A. A. Samarskis, A. N. Tixonovas. Matematines fizikos uždavi-niu rinkinys. – M.: 1980. – 688 p. – Rus.

[3] E. Giusti. Minimalus paviršiai ir baigtines variacijos funkcijos. – M.: Mir, 1989.– 240 p. – Rus.

[4] S. Fucikas, J. Necas, V. Soucekas Ivadas i variacini skaiciavima (Einfurung indie Variationsrechnung). – Leipzig.: 1977. – 176 p. – Vok.

[5] N. M. Giunteris. Potencialu teorija ir jos taikymai pagrindiniams matematinesfizikos uždaviniams. – M.: 1953. – 416 p. – Rus.

[6] V. Kabaila. Matematine analize. – V.: Mokslas, 1983. – 408 p. – D.1.

[7] V. Kabaila. Matematine analize. – V.: Mokslas, 1986. – 482 p. – D.2.

[8] J. Kubilius. Realaus kintamojo funkciju teorija. – V.: Mintis, 1970 – 283 p.

[9] L. V. Kantarovicius, G. P. Akilovas. Funkcine analize. – M.: Nauka, 1977. – 744p. – Rus.

[10] L. A. Liusternikas, V. I. Sobolevas. Funkcines analizes elementai. – M.: 1965. –520 p. – Rus.

[11] P. I. Lizorkinas. Diferencialiniu ir integraliniu lygciu kursas su papildomaisanalizes skyriais. – M.: Nauka, 1981. – 384 p. – Rus.

[12] V. P. Mihailovas. Diferencialines lygtys dalinemis išvestinemis. – M.: 1976. –392 p. — Rus.

[13] S. G. Michlinas. Tiesines daliniu išvestiniu lygtys. – M.: 1977. – 431 p. – Rus.

[14] V. Paulauskas. Matematines fizikos lygtys. – V.: Mintis, 1974. – 456 p.

[15] M. M. Smirnovas. Aukštosios matematikos kursas. – M.: Nauka, 1981. – T.2 –

[16] M. M. Smirnovas Aukštosios matematikos kursas. M.: Nauka, 1981. – T.4. –D.1-2. – 552 p. – Rus.

364

[17] M. M. Smirnovas. Matematines fizikos lygciu uždaviniai. – M.: Nauka, 1968. –164p. – Rus.

[18] M. Spivakas. Matematine analize daugdarose. – M.: Mir, 1968. – 164 p. – Rus.

[19] V. A. Steklovas. Pagrindiniai matematines fizikos uždaviniai. – M.: Nauka, 1983.– 432 p. – Rus.

[20] A. N. Tichonovas, A. A. Samarskis. Matematines fizikos lygtys. – M.: Nauka,1977. – 736 p. – Rus.

[21] B. Z. Vulichas. Trumpas realaus kintamojo funkciju teorijos kursas. – M.: Nauka,1973. – 352 p. – Rus.

[22] R. Kurantas. Lygtys dalinemis išvestinemis. – M.: Mir, 1964. 830p. – rus.

[23] I. N. Vekua. Apibendrintos analizines funkcijos. – M.: 1959. – Rus.

[24] A. Friedmanas. Parabolines lygtys dalinemis išvestinemis. – M.: Mir, 1968. – 428p. – Rus.

365

D A L Y K I N E R O D Y K L E

Adamaro pavyzdys 124Diuamelio principas 222Dvilypio sluoksnio potencialo

ribine reikšme 335tiesiogine reikšme 329

Ekstremale 37Ekstremumas

absoliutusis 30lokalusis 30silpnasis 30stiprusis 30

Energetine norma 156Erdve

Banacho 8Hilberto 8energetine 156normuota 8

FormuleGauso – Ostrogradskio 15Gryno 130, 131, 302, 323, 327Dalambero 221integravimo dalimis 15Kirchhofo 246, 255Puasono 247, 254, 265

Laplaso lygciai rutulyje 306šilumos laidumo lygciai 247

Rymano 233Fundamentalusis sprendinys

Laplaso lygties 285šilumos laidumo lygties 268

Funkcijaabsoliuciai tolydi 18Beselio

antros rušies 179menamo argumento 180pirmos rušies 178

finicioji 9Gryno 146, 268, 302Hankelio 179harmonine 284Ležandro prijungtine 185, 213Makdonaldo 180Noimano 179Rymano 233

sferine elementarioji 213tikrine 15, 151

Funkcijosatrama 9svyravimas 9

Funkcionalas 15Funkcionalo variacija 58Hamiltono principas 67Harmonines funkcijos pašalina-

mas ypatingas taškas 310Kanoninis pavidalas 111Konvergavimas reguliarusis 158Kraštine salyga 76

antroji 122naturalioji 39, 40pirmoji 122trecioji 122

Liapunovo sfera 317Ležandro polinomai 184, 213Lygtis

Abelio integraline 252bangavimo 79

dvimate 81Beselio 177daliniu išvestiniu 7Darbu 241elipsine 106, 120hiperboline 106, 120Jakobi 61kvazitiesine 104Laplaso 82Ležandro 183Oilerio 31, 32, 35paraboline 106, 120Puasono 82tiesine 104Trikomi 109šilumos laidumo 84telegrafo 234, 254

Maksimumo principasharmoninems funkcijoms 290parabolinems lygtims 262

Nelygybeenergetine 240

365

366

Jungo 12Harnako 309Helderio 12Minkovskio 13

Operatoriusaprežtas 15formaliai jungtinis 130formaliai savijungis 130Fredholmo 16Hilberto–Šmito 16jungtinis 16Laplaso 105

sferinese koordinatese 205, 212cilindrinese koordinatese 207polinese koordinatese 209

visiškai tolydus 15tiesinis 15savijungis 17su silpna ypatuma 19, 321Šturmo–Liuvilio 143

apibendrintasis 162singuliarusis 174

Paprasto sluoksnio potencialotaisyklinga normaline išvestine340normalines išvestines tiesioginereikšme 340

Paviršiuscharakteristinis 132, 139glodusis 9laisvasis 133, 139Liapunovo 317lygiagretusis 324

Potencialasturinis 328, 356paprasto sluoksnio 328, 337,dvilypio sluoksnio 328

Puasono branduolys 306Reikšme

charakteristine 15, 152tikrine 15, 151

SalygaErdmano–Vejerštraso 46holonomine 51Jakobi 62

sustiprinta 62kraštine 76Ležandro 60

sustiprinta 61neholonomine 51pradine 76transversalumo 43

Salyginis kompaktas 15Singuliarusis integralas 353Taisyklinga normaline išvestine

296Teorema

apie integraliniu lygciusprendiniu gloduma 21Bernšteino 33Holmgreno 141Gauso 329Fredholmo 16Koši – Kovalevskajos 140Kuranto 167Liuvilio 309Oilerio 47Riso 17vidurines reikšmes 288

atvirkštine 289Tiesiogine reikšme

dvilypio sluoksnio potencialo 329paprasto sluoksnio potencialo nor-

malines išvestines 340Transformacija

Furje integraline 265Kelvino 312

UždavinysDirichle 122

išorinis 296vidinis 296

filtracijos 97Gursa 230korektiškai suformuluotas 123Koši 76, 121kraštinis 76, 122

antrasis (Noimano) 122mišrusis 76, 122pirmasis (Dirichle) 122trciasis 122

Noimano 122išorinis 298vidinis 297

pradinis 76Šturmo–Liuvilio 151

apibendrintasis 162singuliarusis 171

Žvaigždine sritis 319

Documents

VU Matematikos ir informatikos fakultetas - ALGIRDAS ...mif.vu.lt/lt3/dokumentai/dokumentai/DLSM_/mat_fiz1.pdfto Vilniaus universiteto taikomosios matematikos ir matematikos specialybiu˛