Matematičke sposobnostiNastavni proces je zajednička aktivnost nastavnika i učenika i zato uspješnost nastave matematike u velikoj mjeri ovisi o kvaliteti toga odnosa. Učitelju je lakše raditi u razredu u kojem većina učenika pokazuje interes za matematiku, brzo shvaća, pravilno zaključuje. Takvi učenici očito imaju određene sposobnosti za učenje matematike. U nekom drugom razredu nastavnik se pri izvođenju nastave matematike susreće s nizom teškoća, nastava ne teče glatko, rezultati su slabiji. Prirodno se nameće pitanje: Mogu li i trebaju li svi učenici savladati programom predviđeno nastavno gradivo iz matematike i jesu li za to savladavanje potrebne posebne matematičke sposobnosti?Kod mnogih ljudi, roditelja i nekih nastavnika, javlja se nedoumica i stanovite zablude. Posebno teška zabluda, koja za matematičko obrazovanje i psihički razvoj nekih učenika može imati vrlo loše posljedice, je ta da neki učenici nemaju sposobnost za matematiku ili da oni nisu za matematiku. Svaki nastavnik matematike čuo je ne jedanput neku od sljedećih primjedbi: "Matematika je težak predmet". "Učenike treba naučiti samo dobro računati". "Profesor mnogo traži, kao daje matematika najvažnija stvar na svijetu.'". "To nam neče trebati u životu“. Mnogo je sličnih primjedbi u vezi s matematikom. Matematičko obrazovanjeUbrzan razvoj znanosti i tehnike te pojava novih tehnologija, postavljaju pred nove generacije mladih ljudi sve veće zahtjeve u pogledu opsega znanja, ovladavanja novim područjima kao što su informatika, statistika, programiranje, rad uz pomoć kompjutora, poznavanje metoda znanstvenoistraživačkog rada i sposobnosti kreativne primjene znanja, te brzog usvajanja novih znanja i metoda. Za taj razvoj matematika je od posebnog značaja Dobro matematičko obrazovanje i matematički način mišljenja nužni su danas ne samo matematičarima, već i ljudima u mnogim drugim područjima koji se u svakodnevnom životu ne bave matematikom i ona nije važan dio njihove životne djelatnosti, ali su im takva zna-nja i mišljenje vrlo korisni (biologija, pravo, medicina i dr.).Nepobitna je činjenica: učiti dokazivati znači učiti rasuđivati, a to je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike. Rasuđivanje nam omogučava da izdvojimo istinite izjave, provjerimo valjanost dokaza, opovrgnemo nečije mišljenje, donesemo ispravan zaključak, izaberemo primjeren sadržaj za neku temu i sl. Zato učiti dokazivati treba svaki učenik. Da bi se primjereno odgovorilo na zahtjeve društva i doprinijelo njegovom razvoju te usavršavanju obrazovanja, pred suvremenu nastavu matematike se kao nužnost i glavni zadatak postavlja razvoj matematičkih sposobnosti i matematičkog mišljenja učenika.

Matematičke sposobnostiSvaki učenik ima određene sposobnosti koje su dovoljne za praćenje, savladavanje i usvajanje matematičkih sadržaja propisanih nastavnim programom. Te sposobnosti trebaju mu omogućiti razumijevanje osnovnih matematičkih pojmova, ideja i metoda, te samostalno rješavanje standardnih zadataka. Međutim, uspješnost tog procesa ovisi o ispunjavanju nekoliko važnih preduvjeta: primjeren izbor matematičkih sadržaja u nastavnom

programu za odgovarajući uzrast učenika, dobri udžbenici i vježbenice, kvalitetno izvođenje nastave, i najvažnije su sklonost učenika prema matematici i svakodnevni sistematični rad. Učenici nisu uvijek svjesni koliko su sposobni i one su nerijetko veće nego što sami pretpostavljaju.Pod matematičkom sposobnosti se ne ubraja sposobnost usvajanja što više nastavnog gradiva i pamćenje matematičkih činjenica. Osnovni cilj nastave matematike nije puko usvajanje gradiva propisanog programom i stje-canje znanja koja se temelje na nizu pravila, formula i umijeća rješavanja standardnih zadataka. Cilj je pokretati mišljenje svakog učenika, učiti ga analizirati, sintetizirati, generalizirati, specijalizirati, konkretizirati, inducirati, deducirati. Na taj način stečeno znanje i pamćenje činjenica postaju samo pomoćna sredstva pri praktičnomradu kao što su dokazivanje poučaka i rješavanje problema. Tu se onda javljaju i dolaze do punog izražaja matematičke sposobnosti učenika: sposobnost brzog izvođenja računskih operacija, sposobnost lakog izvođenja složenijih računskih operacija, vještog transformiranja složenih algebarskih izraza, sposobnost nalaženja uspješnih i nestandardnih načina rješavanja jednadžbi, lakog i jasnog predočivanja prostornih objekata i odnosa, lakog razumijevanja srži problema, otkrivanja različitih načina rješavanja problema, sposobnost uočavanja i postavljanja novih problema, stvaranja i iznošenja novih ideja,logičkog rasuđivanja, uspoređivanja i povezivanja dobivenih rezultata, sposobnost uspostavljanja analogija, poopćavanja,specijaliziranja, konkretiziranja. Matematičke sposobnosti susrećemo u raznim kombinacijama. Učenik može imati jednu ili nekoliko matematičkih sposobnosti, ali već razvoj samo jedne od tih sposobnosti može značiti mnogo. Ako se s njom još povezu kreativne osobine učenika kao što su radoznalost uma, oštroumnost, ustrajnost, samostalnost, maštovitost, dosjetljivost, može se od njega očekivati vrlo uspješan rad u području matematike i dobri rezultati.

Nastava matematike i problemiNastava matematike je složen i vrlo zahtjevan proces i njezina uspješnost ovisi o mnogo činitelja što može prouzročiti i niz problema. Prvi problem pojavljuje se na samom početku ostvarivanja nastavnog programa matematike ako se ustanovi da je on preopsežan, a odgovarajući udžbenik neprimjereno i metodički slabo obrađuje njegov sadržaj. U tom slučaju uspješnost nastave matematike ovisi samo o nastavniku i njegovoj umješnosti izvođenja nastave. Njegova kreativnost može nadoknaditi manjkavosti programa i udžbenika. Ne uspije li on pronaći najbolji način izvođenja nastave, neće pomoći nikakve matematičke sposobnosti učenika.U razredu se mogu naći učenici koji pokazuju interes za matematiku, imaju želju, ali ne znaju učiti matematiku. Umijeće učenja matematike ne dolazi samo od sebe, već kao rezultat zajedničkog napora nastavnika i učenika. Umijeću učenja ne poklanja se dovoljno pozornosti. Ne postoji strogo pravilo kako treba učiti matematiku, već više iskustveno pravilo koje kaže da se najprije uči teorija, upoznaju definicije novih pojmova, proučavaju poučci i dokazi, a onda se prelazi na rješavanje odgovarajućih zadataka.

1

Zanemarivanje teorije i pokazivanje pretjeranog interesa za rješavanje zadataka mogu dovesti do zastoja u razvoju matematičkog mišljenja i matematičkih sposobnosti učenika, a može se dogoditi i gubitak nekih od njih.U svakom razredu su i učenici s posebnim sklonostima i sposobnostima za dublje razumijevanje matematike. Oni su nerijetko najviše zapostavljeni u nastavi pretežno usmjerenoj na izvršavanje plana i programa. Oni u početku uče s lakoćom i veseljem, a onda, budući da nisu primjereno opterećeni i da mogu bez napora usvojiti ono što se od njih traži, stječu pogrešan dojam da za učenje matematike i ne treba veliki napor ili postupno gube volju za učenjem. Važan dio njihovih matematičkih sposobnosti tada miruje i ne razvija se. U razredu se mogu naći učenici koji nemaju naviku ni želju za sistematičnim i ustrajnim radom, imaju slabije predznanje , gradivo uče površno, domaće zadaće ne pišu ili ih prepisuju, teško prelaze iz razreda u razred. Razlog svog predvidljivog neuspjeha nalaze u spasonosnoj izjavi "ja nisam za matematiku". Neki od njih tijekom vremena počinju sumnjati u svoje sposobnosti. S druge strane, mogu se naći i nastavnici matematike koji opravdanje za slabo izvođenje nastave i stalan neuspjeh nekog svog učenika traže u izjavi "učenik nema matematičkih sposobnosti". Tako se "stvaraju" učenici koji "nisu za matematiku"!Osim svih navedenih razloga, velik broj slabih ocjena iz matematike leži i u naravi matematike i načinu rada u njoj. Pojmovi koji se u njoj razmatraju su apstraktni, gradivo je logički čvršće povezano, težina postupno raste, a stečeno znanje treba znati primijeniti. Savladavanje i usvajanje gradiva zahtijeva samostalan, sistematičan i neprekidan rad, na što učenici najčešće nisu naviknuti.Duži prekid praćenja nastave i učenja matematike teško se nadoknađuje. To kao posljedicu svog kampanjskog učenja brzo osjete slabiji učenici. Za njih je to gotovo nesavladiva teškoća. Ali za savladavanje ove teškoće trebaju i bolji učenici više vremena i dodatni napor.

Razvoj matematičkih sposobnostiMatematičke sposobnosti ispoljavaju se obično vrlo rano.. To omogućuje učitelju matematike njihovo pravovremeno uočavanje, neprekidno praćenje i djelotvorno utjecanje na njihov daljnji razvoj. Budući da se matematičke sposobnosti slabijih i naprednijih učenika mogu znatno razlikovati, potreban je pažljiv i primjeren pristup razvoju i jednih i drugih.Njegovanje i razvoj matematičkih sposobnosti slabijih učenika odvija se pretežno u okvirima redovne nastave. Čak i dobra redovna nastava ne može u potpunosti zadovoljiti potrebe i interese određenog broja učenika s posebnim sklonostima i sposobnostima za dublje razumijevanje matematike. To su učenici koji uz odgovarajući rad mogu kasnije dati natprosječne rezultate. Zbog toga se nameće potreba da se uvode i njeguju posebne aktivnosti koje omogućuju što ranije otkrivanje takvih učenika i usmjeravanje i praćenje njihovog rada. Prvi korak pri rješavanju problema rada s naprednijim učenicima su dodatni zadaci u redovnoj nastavi.Osim redovne nastave postoje i druge mogućnosti s kojima nastavnik matematike može razvijati matematičke sposobnosti i matematičko mišljenje svojih učenika. To su: dodatna nastava, izborna nastava, matematičke grupe,

seminari, matematički časopisi, matematička literatura, matematička natjecanja i dr.Posebno su važna matematička natjecanja. Jedan od ciljeva natjecanja je pobuđivanje interesa za učenje matematike. Na pojedinim natjecanjima mogu sudjelovati svi učenici, ne samo najbolji. Tako je iznimno velik interes učenika različitih matematičkih sposobnosti za međunarodno natjecanje "Klokan bez granica". Na natjecanjima se učenicima ispunjava prirodna želja da provjere svoje matematičke sposobnosti. Obično naj-sposobniji učenici postižu i najbolji uspjeh. Međutim, dugogodišnje praćenje natjecanja pokazuje da se često i najbolji učenici dobro ne snalaze u rješavanju nekih složenijih i nestandardnih matematičkih problema. Manjkaju im neka znanja, ne poznaju neke jednostavne metode rješavanja matematičkih problema i postižu slabe rezultate. Neke njihove matematičke sposobnosti, obzirom na njihov uzrast, nisu dovoljno razvijene. Razlog slabih rezultata može ležati i u naglom prijelazu sa standardnih na rješavanje problemskih zadataka. Zato je nužno sposobnost rješavanja problemskih zadataka razvijati i njegovati ustrajno i neprekidno.

Često se preuveličava potreba posebnih sposobnosti za učenje i razumijevanje matematike. Prosječne ljudske sposobnosti potpuno su dovoljne da se uz dobro vođenje ili pomoću dobrih knjiga usvoji osnovnoškolska i srednješkolska matematika. Poboljšanje nastave matematike treba provesti tako da ona bude dostupna i zanimljiva za većinu učenika, a ne samo za mali broj izabranih. Razmatranja postavljenih pitanja nastave i učenja matematike možemo sažeti u nekoliko rečenica: Svaki učenik treba i može savladati programom predviđeno nastavno gradivo. Svaki učenik ima potrebne matematičke sposobnosti. Ne postoje učenici koji "nisu za matematiku".Samo se po sebi razumije da nikakve sposobnosti neće pomoći bez ljubavi prema svome djelu niti bez sistematičnog svakodnevnog rada.

2

diferencirana nastava – homogene grupeMnogi zahtjevi suvremene nastave matematike mogu se ostvariti primjerenim izborom nastavnih oblika i metoda. Među važnijim je zahtjev da se matematika treba dobrim dijelom naučiti na nastavnom satu. Preduvjet za to je aktivnost svih učenika. To nije llako postići jer se učenici razlikuju po matematičkim sposobnostima i predznanjima. Jedan od načina da se postigne postavljeni cilj jest primjena diferencirane nastave.Diferencirana nastava vodi računa o konkretnoj si-tuaciji u razredu, uvažava razlike među učenicima i nastoji da se optimalno izraze matematičke i druge sposobnosti svakoga pojedinog učenika. Postoji nekoliko podoblika diferencirane nastave: individualni rad, rad u parovima, grupni rad, timski rad i homogene grupe.Individualni rad Napredniji učenici u redovitoj nastavi s lakoćom usvajaju gradivo propisano programom i stječu znanja koja se temelje na nizu pravila, formula i umijeća rješavanja standardnih zadataka. Ali mogu više. Slabiji učenici često imaju znatnih teškoća pri svladavanju nastavnog gradiva. nastavnik matematike treba pratiti i poticati op-timalan razvoj naprednijih učenika, a istovremeno pomagati slabijim učenicima da i oni napreduju Svi se sudionici nastave moraju primjereno uvažavati, pripremati i razvijati. Preduvjet za uspješnost nastave jest poznavanje i uvažavanje osobina učenika kao što su matematičke sposobnosti, mišljenje, pamćenje, volja, karakter.Jedan od djelotvornih načina za poticanje uspješnosti nastave je individualizacija nastave.U tradicionalnoj organizaciji nastavnog procesa in-dividualni pristup i njegovo ostvarenje nailaze na ozbiljne poteškoće. Nije lako u razredu s većim brojem učenika voditi brigu o individualnim brzi-nama usvajanja gradiva. Pogotovo kad je riječ o matematičkim sadržajima za čije je usvajanje potre-ban veći misaoni napor i viši stupanj apstrahiranja i poopćavanja.Postoje razne mogućnosti individualizacije nastave matematike. Prva su posebni nastavni sustavi: dopunska i dodatna nastava, problemska nastava, programirana nastava, izborna nastava, fakultativna, mentorska. Uvjet za izvođenje nekog od ovih sustava su matematičke sposobnosti posebnih skupina učenika.U okvirima tradicionalne organizacijenast mat,, ne trebaju neki posebni uvjeti,posebna sredstva ni posebno vrijeme, već sve ovisi o samom nastavniku matematike i njegovoj umješnosti. Neki dijelovi nastavnog procesa posebno su pogodni za ostvarivanje takve individualizacije.

U školskoj matematici postoje mnogi sadržaji koji se slično, analogno obrađuju. Nakon obrade jednog sadržaja, drugi sadržaj, može se obraditi lakše i brže. Takva nastavna situacija omogućuje nastavniku izmjenu nastavnog oblika i nastavne metode: rad s homogenim grupama zamijeniti individualnim radom, a metoda dijaloga metodom rada s tekstom.1) Dokazi tvrdnji da je svaka točka simetrale dužine jednako udaljena od njezinih krajeva i svaka točka simetrale kuta jednako udaljena od njegovih krakova su analogni.; duljine dijagonala kvadra i kocke. Ovdje je individualizacija vrlo korisna, jer učenicima omogućuje istraživanja. Na taj se način nastavno gradivo povezuje, predavanje pojedno-stavnjuje, ranije usvojeno gradivo se obnavlja i utvrđuje, a novo gradivo brže svladava.Naprednije učenike u redovnoj nastavi treba dodatno opteretiti, tako da se njihove matematičke sposobnosti prirodno razvijaju. Jedan jednostavan način poboljšanja rada s naprednijim učenicima su dodatni zadaci. To su u pravilu složeniji i nestandardni zadaci. Oni mogu služiti produbljivanju gradiva koje se upravo obrađuje, ali mogu biti i izvan toga. Svaki puta kad se ukaže prilika nastavnik treba naprednijim učenicima ponuditi na rješavanje dodatne zadatke. Prilika za individualni pristup naprednijim učenicima uvijek ima: domaće zadaće, sat vježbanja i ponavljanja, sat provjeravanja znanja, školske zadaće i dr. Dodatna pitanja i češća matematička komunikacija na relaciji nastavnik matematike - napredniji učenici sigurno ćenastavniku pomoći da pravilno procijeni njihove potrebe i pravac u kojem se kreće interes najsposobnijih učenika. Na taj način napredniji učenici mogu svojim sposobnostima steći primjereno znanje.Razlozi za poteškoće slabijih učenika u praćenju i usvajanju novog nastavnog gradiva najčešće su praznine u znanju. Za popunjavanje praznina služe i dopunski zadaci. To su u pravilu standardni zadaci, neposredno vezani uz gradivo koje učenici nisu usvojili na zadovoljavajući način, a koje je potrebno da bi se razumjelo novo gradivo.

Budući da individualizacija na neki način slabi povezanost učenika u razredu i smanjuje komunikaciju među njima, potrebno je misliti i na oblike rada gdje su te slabosti manje izražene. Podoblik diferencirane nastave koji je najbliži individualizaciji jest rad u parovima. Organizacija razrednog kolektiva s redovima klupa omogućuje jednostavnu primjenu ovog oblika rada. Može se primjenjivati u svim etapama nastavnog procesa, ali je najpogodniji za vježbanje i ponavljanje, posebno zajedničkog rješavanja zadataka i uporabe džepnog računala. Dobre strane rada u parovima: učvršćuje psihološki odnos među članovima pojedinih parova, poboljšava radnu atmosferu u razredu, stvara poziti-van odnos prema radu, potiče aktivnost učenika.

3

Rad u parovima obično počinje i završava frontalnim oblikom rada, a prema svojim značajkama on je prijelazni oblik između individualnog i grupnog rada.Grupni je rad izrazito djelotvoran način stjecanja znanja. Povezan s individualnim radom učenika, u nastavnom procesu daje najbolje rezultate. Taj oblik nastave ima i odgojno značenje: povećava njihovo samopouzdanje, razvija pojedinačne odgovornosti, pospješuje komunikaciju, navikava učenike da pružaju pomoć jedan drugom, produbljuje odnose među učenicima i dr.Uspješnost primjene grupnog rada ovisi o nekoliko činitelja: učestalost primjene, dobru pripremu, kvalitetu pisanih i drugih materijala, vrijeme koje je nastavnik matematike predvidio za izvođenje.Timski radTim je manja grupa ljudi sa znanjima i vještinama koje se nadopunjuju, koji rade individualno, a cilj ostvaruju zajedno, koji su zaduženi za posebne poslove, koji imaju određen stupanj samostalnosti i koji su svi zajedno odgovorni za ostvarenje cilja.Još neke značajke uspješnosti tima. otvorena komunikacija, poštovanje razlika, djelotvorno donošenje odluka, konstruktivno rješavanje konflikata, imenovanje vođe i njegova pomoćnika, onda se opis u prvom redu odnosi na timski rad u okviru neke društvene organizacije.mnogi učenici nakon završenog školovanja i sresti će se s opisanim oblikom rada, ali u okviru nastavnog procesa neki su zahtjevi timskog rada prestrogi. Za učenike je primjereniji naziv grupni rad. Bitno: uvažavanje dobi, različitosti matematičkih sposobnosti i psihičkih osobina učenika.Homogene grupeOvaj podoblik nije najracionalniji, ali u okviru tradicionalne nastave matematike ima određene prednosti. Podoblik homogene grupe ne zahtijeva nikakav preustroj razrednog kolektiva, za rad s homogenim grupama pripremu pravi samo nastavnik matematike i o toj njegovoj pripremi isključivo ovisi uspješnost nastave, može se izvoditi i treba na svakome nastavnom satu matematike neovisno o naravi matematičkih sadržaja obrade, osim u slučaju kad je nastavnik predvidio rad s nekim boljim oblikom nastave.

Homogene grupe (zbog njegove jednostavnosti, široke primjene, djelotvornosti i posebne važnosti za poboljšanje nastavnog procesa.)su takav podoblik diferencirane nastave u kojemu nastavnik prividno dijeli razred na grupe prema predznanju i matematičkim sposobnostima učenika. Obično je riječ o ove tri grupe:I. grupi učenika s ocjenama 1 i 2, II. grupi učenika s ocjenom 3, III. grupi učenika s ocjenama 4 i 5. Bitno je da pritom razred ostaje kolektiv u pravom smislu te riječi, a za grupe zna samo nastavnik matematike.

Tijekom nastavnog procesa nastavnik postavlja učenicima svake od navedenih grupa pitanja prim-jerena upravo njihovu predznanju. Budući da pri obradi nekog matematičkog sadržaja uvijek ima lakših i težih dijelova, moguće je gotovo na sva-kome nastavnom satu primijeniti rad s homogenim grupama.Osnovni cilj rada s homogenim grupama: aktiviranje svih učenika. Poželjan cilj: pomicanje učenika iz niže grupe u višu na temelju postignutih rezultata rada, što bi bio znak i uspješnosti nastavnikova poučavanja i napredovanja učenika.U našoj nastavnoj praksi najčešće primjenjuje ili bi se trebao primjenjivati ovaj oblik diferencirane nastave. Tako imamo jedan standardni par oblika i metode za izvođenje nastave matematike: homogene grupe i metodu dijaloga.Dobre strane. Aktivnost svih učenika, zadržavanje duže koncentracije i pozornosti svih učenika, ra-zvijanje interesa za matematiku, učenje na satu, mogućnost stalnog praćenja napredovanja svih učenika, povišenje učinkovitosti nastave mat.Slabe strane. Nemogućnost primjerene komuni-kacije u razredu s većim brojem učenika, postoji mogućnost otkrivanja prividne podjele s negativnim psihološkim posljedicama.Pretpostavka. Nastavnikovo dobro poznavanje osobina svih učenika u pogledu razine znanja, inte-resa i matematičkih sposobnosti, dobra pripremlje-nost nastavnika matematike (anaiiza težine novog nastavnog gradiva, priprema pitanja i radnih mate-rijala za svaku pojedinu grupu).

matematika zbog svoje raznolikosti i različitih težina pojedinih dijelova nastavnog gradiva vrlo pogodna za primjenu homogenih grupa. Izbor matematičkih sadržaja u kojima su uočene slabosti, posebno učenika prve homogene grupe, ali koji omogućuju postizanje poboljšanja rada s tom grupom.1) Konkretni primjeriDjelotvorna i uspješna nastava matematike teško se može zamisliti bez navođenja konkretnih primjera. Nastavnik matematike treba svim učenicima pružiti priliku da sudjeluju u tome navođenju.• Konkretni primjeri: u procesu uvođenja novih matematičkih pojmova pospješuju postizanje jas-noće, razumijevanja i njihova brzog usvajanja. (do punog izražaja: prosti broj, višekratnik, linearna jednadžba, linearna funkcija, potencija s prirodnim eksponentom, drugi korijen, iracionalni broj, vektor, kvadratna jednadžba, sustavi jednadžbi.), u procesu ustanovljivanja zakonitosti među srodnim objektima (prethode postupku apstrahiranja i formuliranja generalizacija)., u procesu ovladavanja različitim metodama rješavanja matematičkih prob-lema. Tako i učenici slabijeg predznanja trebali bez poteškoća metodom supstitucije riješiti sustav (prim) ili metodom suprotnih koeficijenata sustav (prim)2) Posebni slučajevi

4

Mnogi matematički sadržaji lakše se usvajaju ako se najprije ispitaju posebni slučajevi. To je u skladu s načelom od lakšeg prema težem.• Pri obradi kvadratne funkcije razlikujemo nekoliko posebnih slučajeva. Za prvi posebni slučaj f(x) = ax2 potrebno je promatrati dva podslučaja: a > 0 i a < 0. • Obrada rotacijeuspješnija je ako se prije toga obradi centralna simetrija, koja jeposebna rotacija3) ZornostZornost čine svi oni postupci kojima se apstraktni matematički sadržaji prevode u one zasnovane na iskustvu. U mišljenju učenika stvaraju se slikovite predodžbe apstraktnih matematičkih pojmova i bolje se usvajaju apstraktni matematički odnosi. Potreban stupanj apstrakcije učenici će lakše postići ako promatraju i koriste realne modele. Zato zornost treba koristiti za pravilno shvaćanje i usvajanje nastavnog gradiva i za razvoj apstraktnog mišljenja. Zorna sredstva: ploča, crteži, slike, grafovi, sheme, tablice, formule, modeli križaljke, grafoskop, dž.računalo, računalo Ploča je osnovno zorno sredstvo u nastavnikovu radu i posrednik u prenošenju znanja učenicima. Zapisi na ploči moraju biti dobro osmišljeni i uredni kako bi primjereno doprinijeli ostvarenju ciljeva nastave. Nastavnik treba češće na ploči raditi s učenicima prve homogene grupe, a ne pretvarati ih u obične "prepisivače". Karakteristična mjesta: rješavanje standardnih zadataka, grafikoni, predočivanje objekata u koordinatnom sustavu, pomoćni crtežiAko trebamo naći sjecišta2 pravca Metodički je ispravno algebarskom rješenju priložiti sliku s geometrijskim rješenjem jer Geometrijsko rješenje daje uvjerljivost u ispravnost algebarskog rješenja, a sliku bi trebali znati izraditi svi učenici.

4) Domaće zadaćeDomaća zadaća nije formalnost nego ozbiljan obrazovni element. Ona služi utvrđivanju obrađenog gradiva i razrješenju eventualnih nejasnoća i ima ulogu motivacije za obradu sljedećih matematičkih sadržaja. Osnovni je problem što domaće zadaće najčešće ne rješavaju najslabiji učenici Budući da je samostalno rješavanje domaćih zadaća jedan od uvjeta uspješnog učenja matematike, treba kod svih učenika razvijati tu naviku.• nastavnik matematike zadaje zadatke različitih težina s napomenom da njegov izbor učenici mogu nadopuniti s par zadataka po svome izboru;• na sljedećem satu bar jedan učenik svake grupa prezentira na ploči poneko rješenje;• nastavnik dodatnim pitanjima ustanovljuje ima li među rješenjima originalnih i pohvaljuje sve učenike za izvršeni rad, a u svoje zabilješke unosi nova zapažanja.1) učenici samostalno biraju koje će od predloženih zadataka rješavati,2) učenici samostalno odabiru neke zadatke za domaću zadaću,

3) učenici sami sastavljaju neke zadatke za domaću zadaću.

Rad s homogenim grupama koliko je prividno jed-nostavan, toliko je stvarno zahtijevan. Ne postoji prosječan učenik, u razredima sjede učenici s različitim osobinama i različitim predznanjima. Svi trebaju biti subjekti nastave, svi trebaju aktivno raditi, a ne samo najbolji. Ako se nastavnik matematike previše oslanja samo na pomoć najboljih učenika, stječe pogrešan dojam o uspješnosti svoje nastave. Možda i pored prividno dobro izvođene nastave matematike slabiji učenici zaostaju.Zato je potrebno pojačati rad s učenicima prve ho-mogene grupe tako da se oni aktivnije uključe u nastavni proces. Tek tada može se govoriti o uspješnosti nastave. Kad god ulazimo u razred, trebamo se podsjetiti na staru mudrost:Snaga lanca leži u najslabijoj karici!

Računalo postupno ulazi u nastavu matematike kao važno pomagalo. Ono pruža pomoć nastavnicima i učenicima u prenošenju znanja i učenju. Rad na računalu može biti potpuno individualiziran. Učenicima viših razreda osnovne škole rad na računalu može biti izvrsna motivacija za učenje matematike i razvijanje interesa za predmet, može pospješiti razvoj navike ustrajnog rada, sposobnosti duže koncentracije, logičkog mišljenja i zaključivan.Postoji više računalnih programa koji su namijenjeni proučavanju i rješavanju matematičkih problema. Računalni program The Geometer's Sketchpad napravljen za izučavanje planimetrije. Program omogućuje: usvajanje novih činjenica i postupaka, uvježbavanje naučenih postupaka, otkrivanje novih svojstava, primjenu novih znanja. to je dinamičan program -Pomicanjem nekog čvorišta i promjenom oblika crteža na ekranu ostaju nepromijenjeni odnosi među elementima objekta. Individualni rad učenika ovim programom postupno razvija u istraživački radPri usvajanju novog gradiva učenici osjećaju stanovit psihološki pritisak. Za promjenu Nisu dovoljne samo češće izmjene poznatih nastavnih metoda, potrebno je uvesti nove oblike rada, rad još više individualizirati.Evo samo nekih od mo-gućnosti: rješavanje matematičkih križaljki, kvizovi, zabavni zadaci, zabavni sati, matematičke igre, izrada panoa, izrada modela geometrijskih tijela, školski časopis i dr. Uvođenje novih oblika rada zahtijeva od nastavnika matematike ozbiljnu pripremu i dodatni napor. Sve bi to trebalo biti neznatno prema zadovoljstvu koje bi trebao osjećati nastavnik matematike kada vidi interes učenika i njihovo usvajanje novog gradiva bez psihološkog opterećenja i prisile.

5

Projekt u nastavi matematike U mnogim djelatnostima ljudi svakodnevno dolaze u različite problemske situacije koje moraju znati razriješiti. Problemske situacije i problemi s kojima će se učenici sresti u životu i svom radu stavljaju školu pred ozbiljan zadatak da učenike primjereno pripremi za takav rad. Na nastavnom satu matematike učenici trebaju aktivno i samostalno raditi, istraživati i rješavati probleme za koje su potrebne različite matematičke sposobnosti. Problemska situacija potiče učenike na kreativan i stvaralački rad.Suvremena metodika nastave matematike ukazuje na razne mogućnosti za rješavanje pitanja razvoja stvaralačkog mišljenja i stvaralačkih sposobnosti učenika. Važne elemente rješavanja ovog pitanja učitelj matematike može naći u načelima nastave matematike, u nastavnim i znanstvenim metodama te u izboru postojećih nastavnih sustava. U suvremenom obrazovnom sustavu jedan od važnih oblika učenja i poučavanja matematike postaje projektna nastava.

Projektna nastava je proces aktivnog, istraživačkog učenja u kojem učenici dolaze do novih spoznaja istražujući neko teorijsko ili praktično pitanje. Rad na zadanom problemu, to jest na projektu, uvodi učenike u istraživanje i pronalaženje, te pisano ili verbalno izvještavanje.Ključni elementi projekta su aktivno učenje, plan i istraživanje.Mnogo više o projektnoj nastavi i načinu kako je treba provoditi saznajemo iz ciljeva projektne nastave, njenih značajki i etapa.

Za razliku od klasične nastave koju karakterizira ograničenost nastavnim planom i programom i koncentriranost na njegovu realizaciju,jasno odijeljene nastavne cjeline, rijetka odstupanja iz okvira matematičkih sadržaja te nedostatak povezanosti s realnim svijetom i nedostatak zadataka otvorenog i problemskog tipa te zanemarivanje odgojne zadaće nastave koja je uglavnom ograničena na razvijanje sustavnosti, preciznosti i urednosti, projektna nastava donosi mnoge prednosti. Projektnu nastavu karakterizira primjena metode suradničko-timskog rada, samostalna organiziranost i osobna odgovornost učenika, etapno ciljno planiranje i interdisciplinarnost, realna mogućnost primjene znanja u stvarnom životu, razvoj interesa za istraživanje i istraživački pristup učenju te razvoj vještina komunikacije i tolerancije. Projektna nastava je otvorena prema problemskim situacijama i zadacima iz realnog života, potiče stvaranje matematičkih kompetencija, a ne samo vještina rješavanja tradicionalnih zadataka. U njoj se

kombinira osnovno stručno znanje s eksperimentima i osobito je pogodna za povezivanje matematike s drugim predmetima i različitim područjima znanosti i ljudske djelatnosti. Posebna pažnja se posvećuje razvijanju organizacijskih i komunikacijskih kompetencija učenika.

Uloga učitelja u projektnoj nastavi je da vodi projekt, usmjerava ga i njime upravlja. On ne daje rješenja, već kontrolira i usmjerava učenike. Odgovoran je za organizaciju i način rada projektnog tima i mora biti u stanju prepoznati probleme i pokušati ih konstruktivno i sustavno riješiti. Učitelj preuzima zadatke izbora projektnih tema, podjele u grupe, vođenja pri preciziranju postavljanja zadataka, vođenja zajedničkih rasprava, organiziranja pomoći u radu i podnošenja izvještaja, pripreme u matematičkih i drugih pomoćnih sredstava, pripreme medija za rad i objave rezultata.

Zbog svega navedenog, projektna nastava zahtijeva dodatni trud i motivaciju učitelja, odstupanje od uskih okvira nastavnog plana, primjenu novih nastavnih metoda te umješnost u svladavanju problema jer takva vrsta nastave sa sobom može nositi i neke neočekivane situacija i probleme i mogućnost neizvjesnog ishoda projekta.

Najvažniji odgojno – obrazovni učinci projektne nastave za učenike su: usvajanje novih metoda rada ,razvijanje kompetencije planiranja, razvijanje kritičkog odnosa prema vlastitom i tuđem radu, razvijanje vještina timskog rada i donošenja odluka samostalno i u timu, razvijanje sposobnosti odlučivanja, izražavanja i argumentacije i sposobnosti rješavanja problema, osposobljavanje za samostalno pronalaženje informacija i kritički odnos prema njima te pravilnu procjenu raspoloživih resursa, razvijanje samostalnosti i odgovornost u radu, osposobljavanje za integriranje zajednički dobivenih radnih rezultata, stvaranje proizvoda za vlastito korištenje ili za korištenje od strane drugih.

Učenički matematički projekt je rad tima učenika na složenijem matematičkom problemu, često bliskom realnom svijetu. Radom na projektu postiže se cjelovito učenje s jakim samostalnim elementom, veza sa životnom praksom i društvom, komunikacija i interdisciplinarni rad Svaki projekt mora imati cilj. Učenički matematički projekti trebaju biti orijentirani na konačni proizvod. To mogu biti: matematički panoi, plakati, matematički članci, časopisi, web stranice, predavanja ili radni materijali za druge učenike i slično. Projekt mora imati određen rok za završetak.Vrijeme potrebno za jedan projekt je nekoliko školskih sati, no mogući su i manji

6

projekti. Učenički projekt se može kombinirati s izvanučioničkom nastavom ili u prilikama dana integrirane ili otvorene nastave. Vremenski plan mora biti prikladan i poznat učenicima. Izuzetno je važan odabir teme. Projekt podrazumijeva složeniji zadatak koji se smisleno može podijeliti na jednostavnije zadatke. Također mora biti jasna veza i važnost odabrane teme za prethodnu i buduću nastavu.Projekt u pravilu uključuje rad više učenika (grupa) i podrazumijeva suradnju i koordinaciju svih sudionika. Učenike treba podijeliti u grupe koje su u stanju surađivati i koje imaju dovoljno znanja za svoj potproblem. Prema broju sudionika projekti mogu biti: mali osobni projekti koje učenici izrađuju samostalno ili u skupinama, razredni projekti koje provodi cijeli razred ili projekti cijele škole koje provode svi učenici škole i javno ih predstavljaju u školi.

Tijek i realizacija matematičkog projekta ima nekoliko etapa. Prva etapa je priprema projekta u kojoj je izabrati temu ili problem koji će se obrađivati (dio gradiva, izborni sadržaj, istraživački projekt). Ako je moguće, temu projekta odabiremo u području interesa učenika, tematski okvir postavljamo na temelju sadržaja koji su primjereni i dostupni učenicima. Učitelj treba izraditi plan istraživanja te imati na umu vremensku i prostornu organizaciju, potrebne resurse i materijale i metode   rada i prikupljanja podataka.Nakon planiranja slijedi određivanje zadaće ili cilja projekta, tj. postavljanje problema. Problem mora biti postavljen dovoljno otvoreno i složeno i po mogućnosti da izlazi iz okvira matematike. Učenike treba potaknuti da zapišu sve idejei pitanja unutar dogovorenog tematskog okvira. Važno je odabrati pitanje na koje bi željeli i mogli naći odgovor uz provedbu manjeg istraživanja. Tada se prelazi na sređivanje i grupiranje ideja, izbor parcijalnih problema koji će se obraditi, preciziranje zadataka, određivanje strukture tima i podjela rada u grupi, izbor materijala i metoda rada, dogovor o mjestu i vremenu radaTreća etapa je provedba projekta i izvođenje istraživanja i karakterizira ju rad u grupama, prikupljanje radnih materijala i izvora informacija, upotreba pomoćnih sredstava i dokumentacijski radovi. Bitno je da učenici rade uredne i precizne bilješke na kojima će se temeljiti zaključak jer o tome kako prikazujemo rezultate često ovisi može li se iz njih nešto jasno uočitiVažno je da učitelj cijelo vrijeme nadgleda rad na projektu i ima ulogu menadžera projekta. On može saslušati izvještaje o radu grupa, pogledati prezentacije međurezultata i dati eventualne kritika i nove smjernice.

Četvrta etapa je integriranje radnih rezultata i predstavljanje projekta U njoj se daju završni izvještaji grupa i prezentacije rezultata, podnosi se dokumentacija i daju dopune, rezultati se integriraju u cjeloviti proizvod. Ova je etapa iznimno važna jer se u njoj usavršavaju i izgrađuju složene vještine i važne životne kompetencije: timsko usuglašavanje i demokratičnost odlučivanja kod grupnih radova, argumentirani odabir onoga što najbolje pokazuje što je važno i što želimo istaknuti, preglednost, kompozicija  i skladnost, preciznost, urednost i estetska vrijednost, te uvjerljivost, dinamičnost, sigurnost, i dopadljivost u nastupu. Naglašavaju se teškoće u radu i uspjesi, a također se mogu iznijeti i neke ideje za nastavak istraživanja. Posljednji dio je vrednovanje projekta. Procjenjuje se ostvarenost projekta, provedba i predstavljanje projekta. Mogu se ocjenjivati različiti elementi: usvojenost znanja, primjena znanja, samostalnost u radu, praktičan rad. Grupni se uradak može ocijeniti cijeloj grupi ili se može ocijeniti izvjestitelj. U grupi se mogu dogovoriti i timske uloge te se pri ocjenjivanju tada može znati što je čiji doprinos. Grupni rad također može biti prilika za vježbanje samoevaluacije i evaluacije rada u grupi.

Postoji širok spektar tema koje se u matematici mogu zanimljivo obraditi kao projekt.Jedna od projektnih tema može biti i „Sve o krugovima“.Kao polazište za postavljanje podtema može biti slika ili fotografija. U početnoj etapi je važno ne raditi selekciju ideja. Svaki učenik bilježi svoje ideje na papir. Tako dobiveni parcijalni zadaci mogu biti: elementi kruga (središte, polumjer, promjer), krug i kružnica, dijelovi kruga (isječak, odsječak), mjerenje kruga i njegovih dijelova (opseg,površina), trokutu opisana i upisana kružnica, četverokut i kružnica, broj π, krug i kružnica u koordinatnom sustavu, krug i kružnica u prirodi ( valovi, Sunčev sustav.), u umjetnosti (likovna umjetnost, arhitektura), u sportu ili u književnosti, sfera i kugla i mnoge druge. Potrebno je voditi računa da projekt ne bude preambiciozno i preširoko postavljen.Još neki primjeri projekata su: mostovi(oblici, dijelovi mostova) , egipatski razlomci, iteracije (nizovi, rekurzije, Fibonaccijevi brojevi, fraktali, mozaici), kriptografija (šifre, Enigma) i naravno mnogi drugi.

U klasično organiziranom nastavnom procesu, najveći problem pri uvođenju projekta u nastavu je organizacijskog tipa te se učitelji rijetko odlučuju za takav oblik podučavanja, iako su svjesni mnogih koristi koje se ostvaruju primjenom projekta u nastavi. Matematički sadržaji su također najčešće alati u projektima, a ne temeljni problem koji se istražuje budući da se istraživanje u matematici najčešće temelji na apstraktnom mišljenju.

7

Uzimajući u obzir realnost i prednosti koje sobom nosi projektno učenje potrebno je pronaći načine da projektno učenje i u klasično organiziranoj nastavi postane svakodnevica.Velike mogućnosti u nastavi matematike pruža činjenica da polazište za projekt može biti bilo koja tema. Tako tema istraživanja projekta može postati bilo koji matematički problem, postavljen od strane nastavnika ili učenika. Uvođenjem u nastavu zadataka koje sadržajno predstavljaju mali projekt te uz to sadrže obavezu prezentacije i refleksiju, ostvarujemo i velik dio ciljeva projektne nastave, posebno onih vezanih uz vještine komunikacije, sposobnosti objektivnog vrednovanja svog i tuđeg rada i toleranciju. Obzirom da se u matematici skoro svaki klasičan problemski zadatak može transformirati u mali projektni zadatak, na ovaj način se otvara širok spektar tema za male projektne zadatke koji mogu obogatiti svakodnevnu nastavu matematike i u velikoj mjeri povećati kvalitetu usvojenih znanja i vještina.

Zadaci projektnog tipa Zadatak projektnog tipa je jasno definiran zadatak koji treba riješiti detaljnim istraživanjem po unaprijed utvrđenom planu te pripremiti prezentaciju i prezentirati bitne korake u istraživanju i rezultate, a može biti individualan ili grupni.

Zadaci projektnog tipa mogu se zadati vrlo lako i uklopiti u klasično organiziran nastavni proces i u skoro svaku nastavnu temu. Prikladni su za učenje teoretskih sadržaja matematike i sistematizaciju gradiva te za primijenjene sadržaje. Sadržajno mogu biti vrlo raznoliki pa se mogu prilagoditi učenicima raznih sposobnosti za matematiku tako da svaki učenik u razredu može raditi na ovakvim zadacima, a treba odlučiti i da li će traženje materijala biti dio projekta ili je literatura poznata. Zadaci mogu biti takvi da zahtijevaju kratko vrijeme za istraživanje i da se u cijelosti mogu izvesti tijekom sata ili da je za istraživanje potrebno više dana pa se dio poslova obavlja se kod kuće, a dio tijekom nastavnih sati. Ovakvi zadaci mogu se postaviti čak i tako da se u potpunosti, uključujući pripremu prezentacije i prezentaciju, mogu izvesti u jednom nastavnom satu, pri čemu učenicima moraju biti na raspolaganju odgovarajući mediji i materijali za dokumentaciju.

Projektni se zadatak može izraditi u sklopu redovite nastave jednog predmeta ili više predmeta, pri čemu više nastavnika surađuje u ostvarivanju interdisciplinarnosti.Zadatke projektnog tipa karakteriziraju slijedeći elementi: istraživački karakter, plan istraživanja, prezentacija tijeka istraživanja i rezultata i postupak vrednovanja.

Za zadavanje ovakvih zadataka učitelj treba precizno odrediti zadatak,dati smjernice za istraživanje i literaturu, navesti kriterije za vrednovanje i odrediti vrijeme trajanja prezentacije. Kao kriterije vrednovanja možemo navesti: preciznost izračuna, domišljatost pri odabiru, točnost iskazanih tvrdnji i dokaza, preciznost konstrukcija,preciznost i sistematičnost zapisa, jasnoća i zanimljivost prezentacije, kreativnost plakata.

Primjer 1. Zadatak teorijskog tipa za 5. razred osnovne škole.Ostatak pri dijeljenju brojem 7Zadatak je istražiti koji se brojevi mogu pojaviti kao ostatak pri dijeljenju brojem 7, objasniti zašto vrijedi ta tvrdnja i pripremiti kratku prezentaciju. Smjernice za istraživanje:• Izaberi nekoliko prirodnih brojeva manjih od 20 i svaki od njih podijeli sa 7 i prikaži u obliku 7a + b.Zadatak je prikladan za individualni rad i koristan je za uvođenje u matematičku teoriju.Učenike upoznaje s različitim načinima prikaza broja.

Primjer 2 . zadatak za učenike 5. razreda - veliki brojeviZadatak je istražiti “velike” brojeve. Smjernice: Istražiti što su to „veliki brojevi“ i koji je najveći broj koji je netko zapisao.

Primjer 3. zadatak za učenike 5. razreda – brojevi u povijestiZadatak je istražiti kako su stare civilizacije zapisivale brojeve i kako su njima računali.

Primjer 4. Zadatak za učenike 6. razreda i eventualno učenike 5. razreda Razotkrijte matematičku igruZadatak je otkriti pravilo kako pogoditi zamišljeni broj iz rezultata te dokazati pravilo i pripremiti prezentaciju pravila i dokaza te izmisliti sličnu igru. • Igra: Zamislite jednoznamenkasti broj. Pomnožite ga brojem 7. Dodajte mu trostruki zamišljeni broj. Rezultat pomnožite brojem 2 i umnošku dodajte zamišljeni broj. Recite rezultat.Smjernice za istraživanje: Ponoviti igru i zapisati postupak izračuna s nekoliko zamišljenih brojeva te pokušati odgonetnuti pravilo. Primjeniti postupak izračuna koristeći nepoznanicu x, te zapisati i srediti izraz.

Primjer 5 . Zadatak za učenike 7. razreda Odnos duljine dlana i stopalaZadatak je grafički prikazati i komentirati odnos između duljine dlana i duljine stopala nekoliko učenika.Smjernice za istraživanje: Izmjeriti duljinu stopala i duljinu dlana nekoliko učenika i podatke prikazati

8

tablično za svakog od izabranih učenika.U pravokutnom koordinatnom sustavu ucrtati uređene parove duljine stopala i dlana. Izabrati po dvije točke i odrediti i ucrtati pravac koji prolazi kroz njih te procijeniti koji pravac bolje opisuje vezu duljine dlana i stopala.

Primjer 6 . Zadatak za učenike 8. razreda Oplošje Platonovih tijela.Zadatak je istražiti u literaturi što su to Platonova tijela, koja su im svojstva, gdje se pojavljuju u prirodi te kako im možemo izračunati oplošje.Smjernice za istraživanje: Proučiti Platonova tijela i način računanja površine likova od kojih se ona sastoje.Za svako tijelo analizirati koje su informacije potrebne za računanje oplošja. Izraditi jedno tijelo pomoću mreže i izračunati mu oplošje te pripremiti kratku prezentaciju.

Prednost koja se ostvaruje uključivanjem ovakvih zadataka u nastavu je u navikavanju učenika na planski, istraživački način učenja u klasično organiziranom nastavnom procesu. Ovakvi zadaci pripremaju učenike za izvođenje opsežnijih interdisciplinarnih projekata.Navikavanjem učenika na prezentiranje rezultata i zajedničko vrednovanje realiziraju se neki od bitnih ciljeva suvremene škole. Zadaci projektnog tipa organizacijski su vrlo jednostavni za provođenje u klasičnom nastavnom procesu, a zadržavaju dobre strane projektne nastave.

Postupak vrednovanja bitan je element koji upotpunjuje projektne zadatke.Zadatak završava prezentacijom pa imamo mogućnost uključiti sve učenike razreda u diskusiju i vrednovanje. Iako konačnu i realnu ocjenu može dati jedino učitelj, postupak vrednovanja od strane učenika i samovrednovanje radi se u svrhu razvijanja sposobnosti vrednovanja kod učenika te stvaranje obaveze pažljivog slušanja prezentacije. U tu svrhu možemo tražiti od učenika zapis podataka o prezentaciji te komentare najuspješnijeg i najmanje uspješnog aspekta u bilježnicu. Da bismo pomogli učenicima u razvijanju sposobnosti objektivnog vrednovanja možemo definirati kriterije po kojima se projektni zadaci vrednuju. Pri tome se od učenika ne očekuje ocjena po svim elementima nego im ti kriteriji mogu poslužiti kada navode najuspješniji i najmanje uspješan aspekt prezentacije. Time učenici ujedno postupno usvajaju navedene elemente vrednovanja kao bitne elemente prezentacija i sami ih u svojim prezentacijama nastoje zadovoljiti.

Svi matematički sadržaji nose u sebi stanovitu problemnost. Zato je moguće pri obradi svakog sadržaja pobuditi interes učenika stvaranjem

prikladne problemske situacije. O težini matematičkog sadržaja, uzrastu i predznanju učenika i umješnosti nastavnika ovisi kako će se problem obrađivati i koje će se oblici i nastavne metode koristiti. Bitna pretpostavka za uspješnu nastavu je da su učenici primjereno osposobljeni za umni rad (pravilan izbor izvora za proučavanje, izdvajanje potrebnih teorijskih činjenica, postavljanje i provjeravanje hipoteza, jezično oblikovanje i zapis rezultata rada i dr.). Sposobnost umnog rada postiže se postupno i u svim nastavnim sustavima. Ako je projektna nastava organizirana tako da ima navedene značajke, da zadovoljava navedene ciljeve i prolazi kroz predviđene etape ima mnogo prednosti pred klasičnom nastavom. Na taj način se mnogo dublje povezuje znanje i razmišljanje, pomaže se učenicima u stjecanju vještina rješavanja problema, potiče se razvoj navike razmišljanja, istraživanja i planiranja u svim segmentima života, uključuju se i motiviraju učenici koji se dosađuju ili su indiferentni, povezuju se sadržaji koji su u klasičnoj nastavi bitno razdvojeni, uči se djecu kako prezentirati rezultete, razvija se kritičnost prema svom i tuđem radu, ali se i razvija sposobnosti objektivnog vrednovanja svog i tuđeg rada. Jednom riječju, ogromne su koristi od projektno organiziranog učenja.Uz sve navedene prednosti, projektna nastava nije prikladna za sve školske sadržaje, na primjer za razvijanje vještine računanja. Sve nastavne metode i nastavni sustavi imaju svoje mjesto u nastavi i usko su povezani i uvijek treba voditi računa da dobru nastavu karakterizira česta izmjena različitih nastavnih metoda. I stalna projektna nastava jednako tako postaje dosadna kao i stalna frontalna nastava.

9

Načelo zornosti

Matematika je znanost čije su postavke egzaktne, ali nerazumljive i apstraktne za veliki broj učenika. Zadatak učitelja je kroz nastavni predmet približiti učenicima matematiku kao znanost, naučiti ih povezivati sadržaje, zaključivati,istraživati te razviti interes i timepovećati motivaciju za rad. Uz ostale didaktičke principe, veliku pomoć učiteljima pruža i načelo zornosti. Držati se principa zornosti znači omogućiti učenicima da osjetilnim organima neposredno dožive stvarnost koja se u nastavi proučava. Zornost potiče razumijevanje i olakšava učenje te učenicima omogućava prijelaz od konkretnog prema apstraktnom. Načelo zornosti nalaže da se nastavni sadržaji usvajaju promatranjem konkretnih činjenica koje omogućavaju doživljavanje i stvaranje predodžbi te potiču misaone aktivnosti te tako olakšavaju i usvajanje onih sadržaja koji predstavljaju apstrakcije. Preko osjetilne spoznaju u mišljenju učenika stvaraju se slikovite predodžbe apstraktnih matematičkih pojmova, apstraktni matematički sadržaji prevode se u iskustvene, perceptivne sadržaje i tako se lakše se usvajaju apstraktni matematički odnosi. Na primjer, apstraktni pojam broja 4 učenicima se može prikazati kao 4 prsta ruke, kao broj 4 na brojevnom pravcu ili kao 4 dužine i slično. Stjecanja znanja ne iscrpljuje se samo usvajanjem činjenica nego i na temelju usvojenih činjenica treba učenike misaonom aktivnošću induktivno dovesti do generalizacija, a to znači do formiranja pojmova, zakona, principa, pravila, aksioma, formula, simbola, jednadžbi i sl. Zato na temelju zornosti treba u nastavi izdvojiti samo one činjenice koje su materijalna baza za formiranje određene vrste generalizacije.

Uloga zornosti je da različitim materijalnim objektima (nastavnim sredstvima) konkretizira sadržaje matematičkih pojmova Radi ostvarivanja principa zornosti nastavnici primjenjuju zorne izvore znanja, počevši od neposrednog promatranja u stvarnosti, preko promatranja nastavnih sredstava pa sve do zornog , odnosno slikovitog pripovijedanja, pri čemu se na posredan način formiraju odgovarajuće predodžbe.Ponekad se čini da, za razliku od drugih prirodnih predmeta, u matematici nema toliko raznovrsnih mogućnosti za zorno prikazivanje i opisivanje matematičkih pojmova. Kreativan nastavnik će koristeći kredu i ploču, grafoskop i folije, džepno računalo, računalo i odgovarajuće programe, modele geometrijskih likova i geometrijskih tijela od papira i žice, postere i plakate, crteže, slike, grafove, sheme,

tablice, križaljke i naravno svoju maštu biti u stanju svoje predavanje učiniti zornim, a samim time i zanimljivijim.

Ploča je osnovno zorno sredstvo u nastavnikovu radu i posrednik u prenošenju znanja učenicima. Zato zapisi na ploči moraju biti dobro osmišljeni i uredni kako bi primjereno doprinijeli ostvarenju ci-ljeva nastave. Kako nastavnik popunjava ploču, tako učenici popunjavaju stranice svojih bilježnica. Radu na ploči treba posvetiti pravu pozornost.

Razvoj tehnologije, a osobito računala i računalnih programa znatno je unaprijedio mogućnosti uvođenja zornosti u sve faze nastavnog procesa te smanjio primjenu starog modela rada na ploči. Koristeći računalo na satu je moguće izvoditi različite pokuse, prikazati različite apstraktne sadržaje, pojasniti specijalne slučajeve, dokazati teoreme i sl. Primjenjujući računala učenici na zoran način jednostavnije dolaze do traženih zaključaka.Poželjno bi bilo da svaki učenik radi samostalno na računalu, čime se postiže potpuna individualizacija nastave, tj. učenicima je omogućeno da do zakonitosti i zaključka dolaze samostalno. Ako u matematičkoj učionici postoji prijenosno računalo i projektor, moguće je obogatiti klasičnu nastavu prikazivanjem pojedinih prezentacijskih materijala i u slučaju kad učenici ne rade samostalno za računalom. Primjena tehnologije u nastavi bitno doprinosi ostvarenju obrazovnih ciljeva nastave matematike budući da potiče aktivnost u radu. Ovakvim oblikom rada učenike se potiče na različite vrste aktivnosti: mišljenje, pažnja, pamćenje, zaključivanje, analiza, verbalne aktivnosti, manipuliranje konkretnim predmetima, vizualizaciju matematičkih sadržaja, crtanje, slikovno prikazivanje. Računalo i program omogućavaju učenicima bolju koncentraciju na matematičku pozadinu problema koje trenutno rješavaju, a računalo im pomaže u zaključivanju i generalizaciji. Sve to naravno doprinosi i povećanju motivacije učenika za matematiku. Zbog zornosti i osobne aktivnosti pojedinca, znanja do kojih učenici dođu samostalnim radom ostaju kao trajnija.

Zornost je uzrokovana prirodom matematičkih sadržaja. Geometrija pruža velike mogućnosti za zorno prikazivanje sadržaja. Čim u geometrijskom zadatku skiciramo sliku, već primjenjujemo načelo zornosti. Jedan od primjera je određivanje sjecišta dvaju pravaca. Možemo koristiti standardni postupak i riješiti sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice te tako dobiti točku sjecišta. Metodički je ispravno algebarskom rješenju priložiti sliku s geometrijskim rješenjem jer geometrijsko rješenje daje potrebnu uvjerljivost u ispravnost algebarskog rješenja i zorno prikazuje vezu algebre i geometrije.

10

Isto tako neki algebarki identiteti i tvrdnje mogu se prikazati koristeći geometrijske sličice. Geometrijsko predočavanje prirodnih brojeva točkicama ili kvadratićima omogućuje zorno izvođenje raznih algebarskih svojstava i relacija. Slaganjem sličica zaključujemo kako se u nizu konstruira broj koji slijedi. Jedan od primjera su trokutasti brojevi (računanje sume prvih n brojeva), kvadratni (računanje kvadrata broja) i td.

Zornost se u nastavnom procesu koristi pri obradi, uvježbavanju i usustavljivanju nastavnog gradiva, a jednako uspješno može se koristiti i u izradi pismenih ispita. .Pri obradi novog gradiva koristeći načelo zornosti uvode se simboli, formiraju pojmovi, objašnjavaju se definicije, izvode se formule, crtaju se grafički prikazi, koriste se modeli od žice, papira i sl. Na primjer, pri obradi mjernih jedinica duljine, površine i volumena učenicima se mogu zorno prikazati te jedinice koristeći ravnalo, krojački i zidarski metar, papire različitih dimenzija, posude različitih volumena i slično . Učenici mogu izraditi i plakate slaganjen kvadratića veličine 1 cm2 ili 1 dm2 te tako zorno prikazati površinu od 1m2. Pri obradi računskih operacija s prirodnim ili cijelim brojevima učenicima se te operacije mogu prikazati zorno na pravcu ili kao računanje površine ili obujma.Zornost nastave olakšavaju i razni modeli koje učitelj izrađuje sam ili zajedno s učenicima. U šestom razredu, pri obradi teorema o sumi kutova u trokutu, za provjeravanje istinitosti teorema pogodni su modeli trokuta, kojima učenici izrezivanjem i lijepljenjem mogu provjeriti da je zbroj kutova u trokutu 180°. U osmom razredu, na sličan se način može provjeriti istinitost Pitagorina poučka. Pri proučavanju toka linearne funkcije u 7. razredu, svaki se slučaj treba popratiti slikom pravca u odgovarajućem položaju, ovisno o nagibu pravca.Za trajno pamćenje definicije kružnice može se provesti njena vrtlarska konstrukcija. Vrste kutova učenicima se mogu predočiti izradom modela od dvije papirne kružnice različitih boja.

Pri uvježbavanju zadataka crtaju se skice, koriste se različite vrste zadataka i načini provjere točnosti rezultata, primjenjuje se matematička teorija u zadacima. U 5. razredu pri obradi osne simetrije učenicima se može zadati da kod kuće pronađu primjere osnosimetričnog oblika: pročelja zgrada, ornamenti po crkvama, ornamenti u čipki, motivi u reklamama, motivi u automobilskim znakovima itd. Mogu izraditi i osnosimetrične slike vodenim bojama. Pri uvježbavanju računskih zadataka vezanih uz geometrijske pojmove, može se uz zadatak dati i slika potrebnog geometrijskog lika ili geometrijskog tijela. Učenici mogu izraditi i mreže geometrijskih

tijela te ih koristiti pri računanju opsega ili površine tih tijela.

Pri usustavljivanju gradiva zornost služi za povezivanje novih sa stečenim znanjima i zaokruživanje cjeline. Učenike se može potaknuti na izradu mentalnih mapa, grozdova, shema ili manjih plakata koji zorno sistematiziraju gradivo.

Pismeni ispiti i ostale pismene provjere znanja najčešće su klasične i sastavljene od standardnih zadataka u kojima najčešće nije u dovoljnoj mjeri primijenjeno načelo zornosti. Pismeni ispiti također mogu učiniti matematiku zanimljivijom ako se dobro i kvalitetno osmisle i realiziraju. Načini obrade nastavnih sadržaja i provjere tih sadržaja morali bi biti u potpunosti usklađeni. Važno je naučiti učenike praktično primijeniti stečeno znanje na novom, problemskom zadatku, ali ne po prvi puta na ispitu. Ako se na takav način pripremi i vodi učenike, oni će znati što se i kako od njih na ispitu i očekuje.Pri sastavljanju pismenih ispita treba voditi računa da zadaci budu ciljani i nedvosmisleni, primjerene težine i stupnjevani od lakšeg prema težem te da, ukoliko je to moguće, imaju primjenu u svakodnevnom životu. Pored dobrog odabira zadataka, velika je važnost grafičkog uređivanja ispita. Poželjno je i nadopuniti ispit sličicom ili porukom ohrabrenja. Bodovanje zadataka u ispitu treba biti jasno i transparentno te motivirajuće za učenika. Analiza ispita je obavezna, a često se zanemaruje. Učenik će iz kvalitetno provedene analize ustanoviti greške kako ih ne bi ponavljao kroz slijedeće provjere. Uz klasičnu analizu na ploči i bilježnici, mogu se koristiti i prozirnice, prezentacije te računalni programi kojima se povećava razina zornosti kod učenika.

Korištenjem različitih tipova zadataka može se postići da učenicima nastavni sadržaji budu jasni, konkretni i razumljivi. Učeniku treba biti jasno što se u svakom zadatku traži, a način na koji će riješiti zadatke ovisi o usvojenom znanju i njegovoj kreativnosti.

1. Klasično postavljen zadatak s pričom i slikomKlasični zadaci mogu se približiti učenicima ukoliko se osvježe pričom i poprate odgovarajućom slikom. Kasnije ih učenici mogu jednostavnije primijeniti nazadatke iz svakodnevnog života.Primjer je primjena sličnosti na problem određivanja visine zgrade, širine jezera i slično. Ako je zadatak zadan samo pričom, bez popratne slike, učenici mogu imati problema pri postavljanju odgovarajućih omjera.

11

2. Zadatak s ponuđenim rješenjima Zadatak s ponuđenim rješenjima može učenika asocirati na točno rješenje. Pomno izabranim netočnim mogućnostima, nastavnik otkriva razinu znanja učenika.Zadatak može biti na primjer da učenici od nekoliko ponuđenih odgovora izaberu sliku koja prikazuje zadani graf linearne funkcije. Ili da od slika različitih preslikavanja ravnine odaberu onu koja prikazuje rotaciju u negativnom smjeru.3. Višestruki izborU zadacima višestrukog izbora postoji mogućnost da više rješenja u zadatku može biti točno. Kroz tekst zadatka treba biti jasno koliko je odgovora točno.4. TOČNO - NETOČNO, DA - Ne pitalice – Da – ne pitalice omogućavaju procjenu učeničkog zaključivanja. Mogu se nadopuniti potrebom učeničkog obrazloženja odgovora.U petom razredu može se učenicima postaviti pitanje da li navedena slika prikazuje osnu simetriju i tražiti da obrazlože odgovor. 5. Poveži pojmove ili zadatke s rješenjima Spajanje, odnosno povezivanje pitanja s odgovorima korisno je u zadacima kojima se želi provjeriti poznavanje odnosa više povezanih činjenica iz određene nastavne cjeline.Učenicima se može zadati nekoliko razlomaka te tražiti da ih povežu s njihovim odgovarajućim decimalnim zapisom.6. Izbaci uljeza Već se samim tekstom zadatka postiže dojam igre. Nizom pretpostavki od kojih su jedna ili više netočnih ispituje se poznavanje odnosa u cjelini.Pri obradi dijelova kruga i kružnice možemo učenicima, uz točne odgovore, navesti i neki pojam koji nije vezan za pojam kružnice. 7. Nadopuni U zadacima s nadopunom treba pripaziti da zadatak bude zaista jednoznačno zadan. Može se primijeniti u i teorijskim i u računskim zadacima. Učenici mogu dopunjavati riječi koje nedostaju u zadanoj definiciji ili različitim računskim operacijama doći od zadanog do traženog broja.8. Rješenje je zadatak Zanimljiv je inverzni način zadavanja u kojem iz rješenja dobivamo zadatak . Do nastavnika dolazi povratna informacija o stečenoj višoj razini znanja od klasičnog načina provjere.Naravno može se kombinirati sve navedeno. Također su velike mogućnosti usavršavanja primjene zornosti u radu s nadarenim učenicima te kod učenika s posebnim potrebama.

Potreban stupanj apstrakcije učenici će lakše postići ako promatraju i koriste realne modele. Zato načelu zornosti u nastavi treba posvetiti nužnu pozornost i zornost koristiti za pravilno shvaćanje i usvajanje

nastavnog gradiva i za razvoj apstraktnog mišljenja svih učenika. U primjeni zornosti ne treba pretjerivati, jer mnogo novih činjenica može otežati generalizaciju. Nije niti moguće niti je potrebno da učenici odjednom usvoje sve činjenice. Nije potrebno u razred donijeti veliku količinu zornih sredstava i izmjenjivati ih velikom brzinom. U svijesti učenika tada ostaje samo nekoliko površnih dojmova, a ne i stvarno upoznavanje i usvajanje činjenica. Zornost je potrebna u tolikoj mjeri da učenici prihvate dovoljnu količinu činjenica na temelju kojih mogu dalje prijeći na apstrakcije, odnosno generalizacije. Zornost ne može i ne smije biti sama sebi svrha, već je samo jedna od smjernica u dinamičkom procesu učenja. Učeničku misao ne smije se ostavljati na razini zornosti, već je treba usmjeravati apstraktnosti Usmjeravanje prema apstraktnom na kraju dovodi do usvajanja pojmova i razvijanja intelektualnih sposobnosti

12

Heuristički oblik nastaveOsnovne smjernice za osuvremenjivanje nastave su pokretanje mišljenja učenika i nastojanje da dobar dio novih znanja učenici stječu vlastitim snagama i sposobnostima. Prioritet je osposobiti učenike za samostalan i stvaralački rad, uvesti ih u istraživačku nastavu i razviti sposobnost učenika za rješavanje problema. Velik dio postavki i ciljeva suvremene nastave matematike može se ostvariti primjerenim izborom nastavnih oblika i nastavnih metoda te njihovom češćom izmjenom. Jedna od osobina kreativnog nastavnika matematike je ovladavanje tim umijećem. Kreativan nastavnik, birajući pogodne probleme i primjenjujući različite metode, može učenike osposobiti za rad koji je vrlo blizak istraživačkom radu. Učenike treba postupno i primjereno naučiti analizirati, sintetizirati, konkretizirati, inducirati, deducirati, generalizirati, specijalizirati i uočavati analogije, bez obzira hoće li se oni kasnije ozbiljnije baviti matematikom ili ne. Matematički način mišljenja je dragocjen i pri-mjenjiv u mnogim drugim djelatnostima.

Svi matematički sadržaji nose u sebi stanovitu problemnost. Zato je pri obradi svakog matematičkog sadržaja moguće stvoriti prikladnu problemsku situaciju i učenike staviti pred neki problem. O težini matematičkih sadržaja i predznanju učenika ovisi kojim će se oblicima rada i nastavnim metodama problem kasnije obrađivati. Za nastavu matematike, a posebno za razvijanje sposobnosti učenika za rješavanje problema, izdvajaju se dva sustava: problemska nastava i heuristička nastavaProblemska nastava ima niz dobrih strana. One najbolje su: veća motiviranost učenika, istraživački pristup rješavanju problema, razvoj kritičkog mišljenja, bolje shvaćanje zakonitosti, trajnija stečena znanja, veća primjenjivost stečenih znanja. Bitna pretpostavka za uspješnu primjenu problemske nastave da su učenici primjereno osposobljeni za umni rad (pravilan izbor izvora za proučavanje, izdvajanje potrebnih teorijskih činjenica, misaono prerađivanje, postavljanje i provjeravanje hipoteza, jezično oblikovanje i zapis rezultata rada). Zbog složenosti i težine za primjenu problemske treba više vremena i ne može se primjenjivati na svakom satu, ali je poželjno je da nastavnik matematike učenicima češće postavlja problemske zadatke i njeguje stvaranje različitih problemskih situacija Rješavanje problemskih zadataka dobar je način postupnog uvođenja problemske nastave u nastavu matematike.

Kad god se problemska nastava ne može primijeniti, taj nastavni sustav treba zamijeniti s nastavnim sustavom čija je djelotvornost slabija, ali dovoljno

dobra za ostvarenje većine ciljeva suvremene nastave matematike. Takav sustav je heuristička nastava. Ovdje su aktivnost i samostalnost učenika smanjene, ali se sposobnost umnog rada učenika i dalje se razvija putem nastavnikovog misaonog vođenja.

Naziv heuristika potječe od Arhimedovog uzvika heureka (pronašao sam, otkrio sam).Cilj je heuristike istražiti pravila i metode koje vode do pronalaska i otkrića. Heuristička nastava se razvila početkom 20. stoljeća iz potrebe da se uvođenjem samostalnog rada učenika prevlada predavačka nastava i poboljša nastavni proces. Ona se tijekom vremena razvijala i usavršavala. Njezin razvojni put najbolje opisuju smjernice za primjenu: zadržati prividnost igre, uvažavati slobodu učenika, podržavati privid učeničkog samostalnog otkrivanja matematičke istine, izbjegavati zamorne vježbe pamćenja u početnom obrazovanju učenika, poučavati oslanjajući se na interes prema matematič-kom sadržaju koji se proučava, ne izlagati određeni dio matematike u potpuno gotovom obliku, razvijati umni rad, ne zahtijevati učenje napamet, pridržavati se načela primjerenih teškoća. Mnoge navedene smjernice ostale su prepoznatljive sve do danas.

Heuristička metoda je nastavna metoda u kojoj nastavnik ne priopćuje učenicima gotove činjenice i istine, nego ih navodi na samostalno otkrivanje odgovarajućih tvrdnji i pravila. Metoda se sastoji u tome da nastavnik pred razred postavlja problem, a onda pomoću odgovarajućih prikladnih pitanja vodi učenike do rješenja.Heuristička nastava mora dovesti učenike do shvaćanja.

Kao i svaki drugi nastavni sustav, i heuristička nastava ima svoje dobre i slabe strane. U heurističkom obliku nastave osnova za stjecanje znanja i sposobnosti je samostalni rad i aktivnost učenika, a svrha učiteljevog poučavanja o matematičkom sadržaju i načinu rada je pomoći učenicima. Učitelji svojim poučavanjem učenike misaono vode i dovode ih do razumijevanja i shvaćanja matematičkog sadržaja, a svojim pitanjima ih upućuju da u izvorima nalaze činjenice na osnovu kojih dolaze do shvaćanja poopćenja. Slobodan razgovor i rasprava omogućavaju učenicima postavljanje pitanja i to posebno kad im nedostaje neka spoznajna informacija. Iako heuristička nastava ne dovodi učenike do potpuno samostalnog rada u otkrivanju matematičkih istina, već do toga spoznavanja učenike vodi nastavnik, učenici su ipak misaono aktivni i u određenoj mjeri subjekti nastave. Slabe strane heurističke nastave su: nemogućnost misaonog vođenja baš svih učenika zbog po-manjkanja vremena i različitih brzina shvaćanja, nemogućnost neposredne komunikacije sa svim

13

učenicima, komunikacija s povučenim učenicima je otežana i često izostaju njihova pitanja, nepotpuna povratna informacija o proučenom matematičkom sadržaju. Ipak, dobre strane prevladavaju i one heurističku nastavu svrstavaju među više i suvremene nastavne sustave.

Heuristička se nastava može u potpunosti ili djelomično primijeniti na svakom nastavnom satu matematike. U većini nastavnih jedinica moguće je pronaći sadržaje koje je lako podijeliti na korake i na koji se može primjeniti ovakav tip nastave.

u 5. razr oš, obrađuje se nast.jed: Primjer1. 5. raz. oš: Djeljivost prirodnih brojeva s 9. Ova tema je pogodna za primjenu heurističke nastave jer je prije toga obrađena tema Djeljivost pri-rodnih bojeva s 3, pa je postupak istraživanja poznat i lako se uspostavlja problemska situacija. postupak provjere djeljivosti sa 3. Potom se promatraju višekratnici broja 9 i zbroj njihovih znamenaka. Učenici uočavaju da su zbrojevi znamenaka višekratnici broja 9, tj. brojevi djeljivi s 9. Zatim se promatraju veći brojevi čiji je broj znamenaka 9, 36, 27, 45 i dijeljenjem pokazuje da su i oni djeljivi sa 9. Nakon toga iskazuju se i zapisuju tvrdnje. Ako je prirodni broj djeljiv s 9, onda je i zbroj njegovih znamenaka djeljiv s 9.Ako je zbroj znamenaka prirodnog broja djeljiv s 9, onda je i taj prirodni broj djeljiv s 9.

Primjer2. 7. raz oš, Zbroj kutova u mnogokutu. Obrada ove nastavne jedinice u sedmom razredu osnovne. Ova se nastavna jedinica može na prirodan način raščlaniti na korake i temelji se na nizu jednostavnih induktivnih zaključivanja te se lako može osmisliti heuristički pristup njezine obrade. Otkrivanje kreće od ranije poznatih činjenica o zbroju kutova u trokutu i u četverokutu. Crtaju se crteži, uvode oznake K3 i K4, zapisuju jednakoti, a za četverokut se na crtežu povlači jedna dijagonala. Induktivno se postupak nastavlja za peterokut. Učitelj usmjeruje mišljenje učenika i upućuje ih na crtanje peterokuta i povlačenje njegovih dijagonala iz jednog vrha. Analogno se vodi razgovor o sljedećim mnogokutima i otkriva određena zakonitost među dobivenim jednakostima. Šesterokut se s tri dijagonale iz jednog vrha podijeli na četiri trokuta, a sedmerokut na pet trokuta te se zapisuju jednakosti. Razmatrani niz induktivnih zaključivanja vodi mišljenje učenika na iskazivanje opće izreke, generalizacije. Dokaz ove izreke zasniva se na činjenici da se iz jednog vrha n-terokuta mogu povući n — 3 dijagonale koje taj lik dijele na n - 2 trokuta.

Niije lako dovesti sve učenike do samostalnog otkrivanja odgovarajućih tvrdnji i pravila pa se mnogi učitelji matematike drže tradicionalnih nasta-vnih metoda i u nastavnom procesu primjenjuju metodu razgovora. Ta metoda je slabije djelotvorna od heurističke metode. Neke od slabosti su joj što nema postupnog otkrivanja novog, nastavnik kroz razgovor izlaže određeni matematički sadržaj u potpuno gotovom obliku, a ponekad i pitanja nisu dobro pripremljena.Zadržavanjem svih dobrih strana metode razgovora i dodavanjem dobrih strana heurističke metode stvara se metoda heurističkog razgovora, koja po svojim karakteristikama stoji između metode razgovora i heurističke metode. Ovom metodom dolazi se do novih matematičkih istina otkrivanjem kroz razgo-vor nastavnika i svih učenika, ali uz pojačano nastavnikovo misaono vođenje. Za dobro vođenje heurističkog razgovora osnovni je preduvjet vrsna nastavnikova priprema, posebno priprema pitanja za pojedine dijelove matematičkih sadržaja (pitanja koja se odnose na razumijevanje zadatka, pitanja koja se odnose na rješavanje zadatka, pitanja koja se odnose na postavljanje jednadžbi, pitanja u vezi s poučkom i njegovim dokazom).

Kao ilustracija mogu poslužiti primjeri primjene heurističkog razgovora pri obradi novog nastavnog gradiva i pri rješavanju zadataka.

Primjer 3. primjena heurističkog razgovora pri obradi novog gradiva.U poglavlju Mnogokuti u sedmom razredu osnovne škole obrađuje se nastavna jedinica Broj dijagonala mnogokuta. Cilj ove nastavne jedinice je uvođenje pojma dijagonale mnogokuta i određivanje broja svih dijagonala iz jednog vrha mnogokuta i broja svih dijagonala mnogokuta. U uvodnom dijelu ponavljaju se pojmovi mnogokut, vrhovi mnogokuta, susjedni vrhovi mnogokuta, stranice mnogokuta. Učenike treba navesti na razmišljanje o nesusjednim vrhovima mnogokuta budući da već poznaju nesusjedne vrhove četverokuta i na definiciju dijagonale mnogokuta. Problemska situacija može biti pitanje učenicima da odrede koliko dijagonala ima mnogokut sa 100 vrhova. Učenike treba uputiti da prvo crtanjem trokuta, četverokuta, peterokuta i šesterokuta odrede koliko je dijagonala iz jednog vrha.i skrenuti im pozornost na dobivene parove brojeva 4 i 1, 5 i 2, 6 i 3 (broj vrhova i broj dijagonala iz jednog vrha n-terokuta). Učenici trebaju zaključiti da kod spajanja vrhova dijagonalama treba isključiti 3 vrha te iz toga odrediti traženi broj n-3. Za konačno rješenje potrebno je uočiti da se broj dijagonala iz jednog vrha treba pomnožiti s ukupnim brojem vrhova mnogokuta. Učenici će vjerojatno doći do zaključka da je broj svih dijagonala mnogokuta n·(n- 3). Crtanjem peerokuta i šesterokuta i prebrojavanjem

14

dijagonala ili bojanjem svake dijagonale različitim bojama učenici trebaju zaključiti da su svaku dijagonalu brojali 2 puta te da dobiveno rješenje treba podijeliti sa 2, tj. broj svih dijagonala mnogokuta koji ima n vrhova dan je formulom

Primjer 2. Primjena heurističkog razgovora na rješavanje problemskih zadataka. Primjena linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom u 6. razredu oš, tj. rješavanje problemskih zadataka dobar je način postupnog uvođenja učenika u samostalan i stvaralački rad. Nije dobro odmah prozvati jednog učenika na ploču i krenuti s rješavanjem ovakvog zadatka.Tada obično nastaje pasivna atmosfera. Dok nastavnik i učenik na ploči traže put rješavanja, ostali učenici najčešće čekaju i prepisuju, adragocjeno vrijeme nepovratno teče. Ovakav početak rješavanja zadatka metodički je promašaj.U ovakvom slučaju se primjena heurističkog razgovora sama nameće. Zato nastavnik mora u pripremi nastavnog sata imati razrađen cijeli postupak rješavanja zadatka na taj način.Za ovakve tipove tekstualnih zadataka ne postoji neposredni matematički aparat za njegovo rješavanje. U formulaciji zadatka vidi se da postoji nepoznata veličina, pa se naslućuje da će to biti jed-nadžba, ali tekst treba prevesti na matematički jezik. Svaki takav zadatak sastoji se od sastavljanja jednadžbi prevođenjem govornog jezika na matematički jezik i od rješavanja jednadžbi.Prvi dio zahtijeva priličan umni napor i poznavanje postupka raščlanjivanja. Pvi korak je razumijevanje zadatka. Učitelj može pitati učenike koji su uvjeti zadatka, koje se veličine razmatraju, što je zadano, što se traži. Drugi korak je sastavljanje jednadžbe za nepoznanicu x prevođenjem govornog jezika na matematički jezik. Učitelj razgovorom treba s učenicima analizirati svaku pojedinu rečenicu zadatka te kako određena riječ ili podatak u tekstu mijenja jednadžbu. Završni korak je rješavanje jednadžbe koje učenicima najčešće ne predstavlja poteškoće.

Osnovni problem u nastavnom procesu nije samo usvajanje veće količine matematičkih sadržaja, već i načini na koje se to ostvaruje i obrazovna postignuća koja doprinose primjerenom razvoju mišljenja učenika. Zato su bitne češće izmjene nastavnih oblika i nastavnih metoda tijekom nastavnog procesa. Učitelj matematike treba izvoditi nastavu na način koji je primjeren predznanju njegovih učenika, ali uvijek treba tražiti i kvalitetnije načine koji će pomoći učenicima da razviju svoje sposobnosti.

Razvijanje stvaralačkih sposobnosti učenika glavni je zadatak nastave matematike.Ako nastavu matematike izvodimo metodom razgovora, uvijek trebamo težiti poboljšanju, a to je opisani heuristički razgovor, razgovor otkrivanja. S vremenom će razvoj mišljenja učenika dostići razinu koja omogućuje izvođenje nastave matematike primjenom heurističke metode, a možda i primjenom problemske metode.

15

Istraživačka nastavaU nastavi matematike danas još uvijek

prevladavaju tradicionalni oblici rada i nastavne metode, a njezin osnovni cilj je usvajanje gradiva. Uspješno svladavanje nastavnog gradiva često znači samo usvajanje još više novih informacija i činjenica i može rezultirati daljnjim opterećenjem učenika. Samo usvajanje znanja je niža razina matematičkog obrazovanja. Potrebno je podići kakvoću poučavanja, znanja i sposobnosti, osuvremeniti nastavu matematike.

Velik dio postavki i ciljeva obrazovnog standarda u skladu je s postavkama suvremene metodike nastave matematike.

Nastavnik matematike je nositelj kvalitete odgoja i matematičkog obrazovanja. Jedan od prioriteta procesa unapređenja nastave je trajno stručno usavršavanje nastavnika. Znanje postaje glavni čimbenik. Neprimjerene i nedjelotvorne metode treba zamijeniti suvremenim nastavnim metodama. U postojećoj satnici više vremena predvidjeti za učenikov samostalan i stvaralački rad. Razviti sustav vrjednovanja i nagrađivanja darovitih učenika. Rasteretiti učenika smanjivanjem udjela enciklopedijskih sadržaja usmjerenih prema zapamćivanju i reproduciranju. Nastavu utemeljiti na procesu poučavanja umjesto isključivo na predavanju/izlaganju. Poučavanje usmjeriti prema učeniku, uvažavajući učenikove sposobnosti i naravne sklonosti. Uvesti učenika u istraživačku usmjerenu nastavu. Nastavu usmjeriti na stjecanje trajnih i uporabljivih znanja, stjecanje sposobnosti i umijeća. Razvijati sposobnosti za rješavanje problema i donošenje odluka. Osposobiti učenike za cjeloživotno učenje.

Posebno se izdvajaju sljedeće postavke i ciljeve: samostalan rad učenika, stvaralački rad učenika, uvođenje učenika u istraživačku nastavu, razvijanje sposobnosti za rješavanje problema, suvremene nastavne metode.

Oblici rada i nastavne metode za uspješnu nastavu matematike trebaju biti: grupni rad, individualni rad, metoda razgovora, heuristička metoda, problemska metoda, metoda rada s tekstom i metoda demonstracije.

Osnovne su smjernice za osuvremenjivanje nastave pobuđivanje i pokretanje mišljenja učenika i nastojanje da dobar dio novih znanja stječu vlastitim snagama i sposobnostima. One se mogu ostvariti primjerenim izborom nastavnih oblika i nastavnih metoda. Jedna od osobina kreativnog nastavnika matematike jest upravo ovladavanje tim umijećem. Zato je potrebno preispitati uporabu svih oblika rada i nastavnih metoda i zadržati samo one koji ne

sputavaju učenike. Potrebna je i češća izmjena oblika rada i nastavnih metoda.

Osuvremenjivanju nastave može pridonijeti i uvo-đenje novih pomagala. Tu se prije svega misli na postupno uvođenje u nastavu matematike džepnog računala i računala.

Da bi se ostvarili gore navedeni ciljevi, potrebno je povisiti razinu matematičkog obrazovanja uče-nika. Viša razina matematičkog obrazovanja po-drazumijeva poučavanje umjesto predavanja, ot-krivanje puta k samostalnom stvaralačkom radu učenika i razvoj njihovog mišljenja tako da oni po-stupno i primjereno nauče analizirati, sintetizirati, konkretizirati, apstrahirati, inducirati, deducirati, generalizirati, specijalizirati, uočavati analogije.

Svi matematički sadržaji nose u sebi stanovitu problemnost. Zato je moguće pri obradi svakog sadržaja stvoriti najprije prikladnu problemsku si-tuaciju i učenike staviti pred neki problem. Kako će se u daljnjem problem obrađivati ovisi o težini matematičkog sadržaja, uzrastu i predznanju učenika i umješnosti nastavnika. Već samo postavljanje problemske situacije znači dobar početak. Nas posebno zanimaju one problemske situacije koje u nastavnom procesu stvara sam nastavnik matematike s posve određenim ciljem. Taj cilj je povišenje efikasnosti nastave matematike i podizanje razine matematičkog obrazovanja učenika, a najbolje se može ostvariti uvođenjem učenika u istraživačku nastavu.

Izbor tema iz osnovnoškolske matematike pogod-nih za istraživački rad učenika i primjenu džepnog računala ili računala:

V. razred: Djeljivost s 10, 5, 2, 3, 9; prosti i složeni brojevi; rastavljanje broja na proste faktore; zajednički djelitelji; zajednički višekratnici; simetrala dužine; osna simetrija; množenje decimalnih brojeva; dijeljenje decimalnih brojeva.

VI. razred: Zbroj kutova u trokutu; simetrala kuta; površina trokuta; rad sa zagradama; zbroj kutova u četverokutu; površina paralelograma i trapeza.

VII. razred: Grafički prikaz proporcionalnosti; postotak, računanje s postotcima; jednostavni kamatni račun; dijeljenje dužine; sličnost trokuta; dijagonale mnogokuta i kutovi mnogokuta; pravilni mnogokuti; opseg i površina mnogokuta; odnos središnjeg i obodnog kuta; Talesov poučak; opseg kruga; površina kruga; graf linearne funkcije, jednadžba pravca.

VIII. razred: Potencije s prirodnim eksponentom; drugi korijen; računanje s korijenima; Pitagorin poučak; iracionalni brojevi; translacija; osna simetrija; centralna simetrija; rotacija; oplošje i obujam valjka; oplošje i obujam stošca; oplošje i obujam kugle.

Osnovne kvalitete primjene istraživačke nastave: pravilan izbor izvora za proučavanje, izdvajanje

16

potrebnih teorijskih činjenica, misaono prorađivanje, postavljanje i provjeravanje hipoteza, jezično oblikovanje i zapis rezultata rada, rasprava i dr.

Primjeri koji slijede pokazuju djelotvornost pri-mjene istraživačke nastave, pogotovo kad se ona kombinira s poznatim istraživačkim metodama.

Djeljivost prirodnih brojeva s 9. Tema je pogodna za samostalni i istraživački rad učenika iz dva razloga: prije toga obrađena je tema djeljivost pri-rodnih brojeva s 3, pa je postupak istraživanja po-znat, analogija, i lako se uspostavlja problemska situacija. Evo kako:

• Ispišite prvo sve višekratnike broja 9 manje od 200 i zbrojeve njihovih znamenki i kažite koju tvrdnju možete izreći za te zbrojeve. Zatim promatrajte nekoliko većih brojeva čiji su zbrojevi znamenki višekratnici broja 9, pa opet kažite koju tvrdnju možete izreći o

polaznim brojevima.Prva tvrdnja: Ako je prirodni broj djeljiv s 9, onda

je i zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.Druga tvrdnja: Ako je zbroj znamenki prirodnog

broja djeljiv s 9, onda je i taj prirodni broj djeljiv sa 9

Ova obratna tvrdnja omogućuje brže ispitivanje djeljivosti prirodnih brojeva s 9, nego što se to može postići dijeljenjem. To je osobito važno kod velikih brojeva. Međutim, u tom slučaju može se primijeniti džepno računalo!

Rastavljanje broja na proste faktore. U nastavi matematike osnovne škole učenici obično nauče rastavljati na proste faktore male brojeve. Pomoću džepnog računala i tablice prostih brojeva manjih od 100 (manjih od 1 000) brzo se može istražiti djeljivost prirodnih brojeva manjih od 10 000 (manjih od 1 000 000). Narav teme omogućuje da učenici bez teškoća sami sastavljaju nove probleme u vezi s temom i vrše dodatna istraživanja.

Zbroj kutova u trokutu. Učitelj postavlja problem-sku situaciju na temelju činjenica da učenici znaju da su sva četiri kuta pravokutnika prava i da visina jednakokračnog trokuta dijeli kut uz isti vrh na dva jednaka dijela. Promatrajte pravokutni i jednakokračni trokut. Nađite zbrojeve kutova u tim trokutima. Teško da bi učenici šestog razreda mogli potpuno samostalno razriješiti ovu problemsku situaciju. Zato je ipak potrebno da ih učitelj vodi.

Učitelj će vođenjem navesti učenike da u prvom koraku istražuju pravokutni trokut, nadopune ga do pravokutnika, uoče par paralelnih pravaca i njihovu presječnicu te kutove uz nju i zaključe da je zbroj kutova u pravokutnom trokutu jednak 180° .

Sljedeći korak je istraživanje jednakokračnog tro-kuta. Visina toga trokuta dijeli ga na dva sukladna pravokutna trokuta. To znači da se može primijeniti prethodni rezultat i doći do zaključka da je i u svakom jednakokračnom trokutu zbroj kutova jednak 180°

Kao treći korak učenici mogu istraživati konkretne trokute.

• Nacrtajte nekoliko trokuta, pomoću kutomjera odredite njihove kutove i načinite tablicu

tih kutova i njihovih zbrojeva. Opišite koji zaključak možete izvesti na temelju tablice.

Na temelju tablice zbrojeva kutova učenici mogu naslutiti da vrijedi tvrdnja: Zbroj kutova u svakom trokutu jednak je 180°

Tek sad će učenici moći s razumijevanjem pratiti dokaz tvrdnje. Pri obradi teme moguća je i uporaba računala.

Osobite točke trokuta. Važne dužine i pravci za trokut su visine, težišnice, simetrale stranica i simetrale kutova. Za te dužine i pravce vrijede jed-nostavne tvrdnje. Istraživanje tih tvrdnji vrlo je po-godno za obradu na računalu. Evo problemskih situacija:

• Nacrtajte bilo koji trokut i konstruirajte simetrale njegovih stranica. Istražite odnos tih pravaca.Učenici trebaju spoznati da se simetrale stranica trokuta sijeku u jednoj točki.

• Nacrtajte bilo koji trokut i konstruirajte njegove težišnice. Istražite odnos tih dužina.

Učenici trebaju spoznati da se težišnice trokuta si-jeku u jednoj točki.

• Nacrtajte bilo koji trokut i konstruirajte sime-trale njegovih kutova. Istražite odnos tih pravaca.Učenici trebaju spoznati da se simetrale kutova trokuta sijeku u jednoj točki.

• Nacrtajte bilo koji trokut i konstruirajte njegove visine. Istražite odnos tih dužina.

Učenici trebaju spoznati da se pravci na kojima le-že visine trokuta sijeku u jednoj točki.

Tako se malim istraživanjem otkrivaju četiri važne točke trokuta: središte opisane kružnice S, središte upisane kružnice U, težište T\ ortocentar O. To su osobite ili karakteristične točke trokuta. Tvrdnje o tim točkama u nastavi obično se ne dokazuju.

• Istražite položaj točaka S, T, O.Posljednja problemska situacija otkriva da točke S,

T, O leže na jednom pravcu - Eulerov pravac. Pritom vrijedi \TO\ = 2\ST].

Odnos središnjeg i obodnog kuta. Svakom sre-dišnjem kutu može se pridružiti beskonačno mnogo obodnih kutova. Posebno je važan slučaj kad je tetiva nad kojom se promatraju središnji i obodni kut promjer kružnice. Obrada teme može početi upravo otkrivanjem Talesovog poučka.Nacrtajte kružnicu k(S,r), jedan njezin promjer i bilo koju njezinu točku C. Ispitajte mjeru kuta ACB za razne položaje točke C na danoj kružnici (kutomjer, računalo, animacija). Opišite što ste uočili.Učenici trebaju spoznati da vrijedi tvrdnja: Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut (Talesov poučak).

• Nacrtajte kružnicu k(S,r), jednu njezinu tetivu ~AB i bilo koju njezinu točku C s iste strane tetive na kojoj je središte kružnice. Istražite mjeru kuta ACB za razne položaje točke C na danoj kružnici

17

(kutomjer, računalo, animacija). Opišite što ste uočili.

Učenici trebaju otkriti sljedeći poučak o središ-njem i obodnom kutu: Obodni kut jednak je polovici pripadnog središnjeg kuta.

Poučak je generalizacija Talesovog poučka i zato metodika predlaže obradu ove nastavne jedinice u osnovnoj školi primjenom istraživačke nastave nakon obrade Talesovog poučka. U srednjoj školi može se zadržati uobičajeni način obrade: najprije opći poučak, a onda Talesov poučak. U tom slučaju Talesov poučak dobiva se specijalizacijom. Tema je pogodna za obradu na računalu.

Pravila. Raznovrsnost matematičkog gradiva za-htijeva podrobnu analizu toga gradiva i uočavanje i izdvajanje pojedinih njegovih dijelova koji su po-sebno važni i koje treba pamtiti. Među takve dijelove ubrajaju se i razna pravila, posebno pravila za brojeve.

Za istraživački rad učenika ovdje postoje dvije mo-gućnosti. Nakon dokaza pravila najprije iz meto-dičkih razloga primjenom metode analogije treba proširiti na više od dva broja.

Analogijom se ono proširuje na tri broja.Daljnji korak u produbljivanju gradiva je generali-

zacija tih pravila. Poopćenja u udžbenicima najčešće nema. Međutim, nedostajanje poopćenja pruža nastavniku mogućnost da tu iskaže svoju kreativnost i vođenjem pomogne učenicima da naprave mala otkrića, pa možda i dokažu, poopćenja i tako pridonese razvoju njihovoga stvaralačkog mišljenja.

• Sva navedena pravila mogu se generalizirati. Kada se u nastavnom gradivu naiđe na neko pravilo, treba se uvijek sjetiti analogije i generalizacije!

Pitagorin poučak. Tradicionalna obrada ove teme ima jedan izraziti metodički nedostatak: počinje najčešće tako da se odmah na početku iskaže svojstvo duljina a,b\c stranica pravokutnog trokuta u obliku Pitagorina poučka c2 = a2 + b2. Nerijetko manjka i dokaz, već se brzo prelazi na primjenu poučka na razne geometrijske likove.

Istraživanja u ovoj temi mogu se provesti u neko-liko smjerova. Za samo otkriće Pitagorina poučka dovoljna su samo dva koraka. Nakon kratkog nastavnikovog uvođenja u problemsku situaciju, svaki korak omogućuje istraživački rad učenika. Možemo još dodati da su koraci vrlo pogodni za primjenu još jedne korisne metode u nastavi ma-tematike u osnovnoj školi - metode demonstracije (računalo).

• Izračunavanje površine kvadrata u kvadratnoj mreži. Učenici crtaju ili precrtavaju s prozirnice kvadratnu mrežu i u njoj nekoliko kvadrata različitih položaja s vrhovima u čvorištima mreže. Površine takvih kvadrata su cjelobrojne. Korak završava izradom tablice površina kvadrata.

• Pitagorine figure. Pitagorina figura sastoji se od pravokutnog trokuta i tri kvadrata nad njegovim stranicama. Sada se u kvadratnoj mreži crta niz takvih figura i na temelju prvog koraka određuju površine kvadrata i unoseu tablicu. Korak završava uočavanjem veze među površinama i formulacijom poučka.

Mogući daljnji koraci:• Istraživanje analogona pravokutnog trokuta

(polovica kvadra, Pitagorin tetraedar, tetraedar omeđen pravokutnim trokutima).

• Istraživanje analogona Pitagorinog poučka.• Otkrivanje generalizacija Pitagorinog poučka.

Postoje tri pogodne zamjene kvadrata nad stranicama pravokutnog trokuta koje vode do generalizacija Pitagorinog poučka: kvadrati —> slični četverokuti, kvadrati —pravilni mnogokuti, kvadrati -slični mnogokuti.

• Postoji još jedan zanimljiv smjer istraživanja u vezi Pitagorinog poučka - Pitagorine trojke brojeva. Pravokutni trokut čije su duljine stranica prirodni brojevi naziva se Pitagorin trokut. Uređena trojka prirodnih brojeva (a, b, c) koja zadovoljava Pitagorinu jednadžbu x2+y2 = z1 naziva se Pitagorina trojka. Jasno je da za svaku Pitagorinu trojku (a, b, c) postoji pravokutan trokut kojemu su a, b, c duljine stranica. Pritom trojke (a, b, č) i (b, a, c) geometrijski ne razlikujemo jer određuju sukladne pravokutne trokute. Istražite sve Pitagorine trokute kojima duljine stranica nisu veće od 100.

Pomoću tablice kvadrata ili rješavanjem Pitagorine jednadžbe metodom razlikovanja slučajeva učenici mogu otkriti da postoje 52 Pitagorina trokuta koji zadovoljavaju uvjet:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (7, 24, 25),.Približne vrijednosti i pogreške. Često se pri

izračunavanju različitih veličina pojavljuju iracio-nalni brojevi. Tako ćemo u mnogim geometrijskim zadacima naći brojeve iz, e, Budući da ne možemo račune provoditi s njihovim točnim vrijednostima, konačne rezultate ili zapisujemo s ovim oznakama, ili izračunavamo s približnim vrijednostima tih brojeva zaokruženim na dvije decimale Pritom nastaju manje ili veće pogreške.

Svako džepno računalo ispisuje za iracionalne brojeve veći broj decimala, što znači da pri izraču-navanjima primjena džepnog računala daje mnogo točnije rezultate. To je prilika za jedno istraživanje koje učenicima može pomoći da bolje shvate prirodu iracionalnih brojeva i pitanje aproksimacija matematičkih veličina. Na početku svakako treba uključiti procjenu kao važan korak u procesu mišljenja.

• Ako uzmemo da je Zemlja kugla polumjera R = 6371 km, istražite kolika je razlika njezinih površina pri računanju s brojem k ~ 3.14 i s 3.141592654 (džepno računalo).

18

Istraživačka nastava je suvremen, ali viši nastavni sustav. Ta činjenica odmah upozorava na njezinu težinu i učenicima i nastavnicima matematike, Učenicima je ona teška zato što samostalno rje-šavanje problema nije ni jednostavno, ni lako. Prva bitna pretpostavka za uspješnu primjenu ove nastave je da su učenici primjereno osposobljeni za umni rad.

Težina istraživačkog rada učenika može se ublažiti tako da se pretpostavljeni samostalni rad učenika kombinira radom u paru ili grupnim radom, a sama nastava s heurističkom i problemskom nastavom. Razred ne gubi svoju cjelovitost, a suradnja, razmjena mišljenja i ideja učenika pridonose kvaliteti nastave. Sve se to treba provoditi u ma-tematičkoj radionici! I u svakodnevnom životu istraživanja najčešće provode istraživačke grupe, odnosno istraživački timovi.

lako se poučavanje nastavnika matematike u istra-živačkoj nastavi znatno smanjuje, ovaj nastavni sustav relativno je težak i za nastavnika. Uloga na-stavnika u njemu sastoji se u stvaranju problemskih situacija, savjetovanju i pomaganju učenika pri izboru izvora, ukazivanju na potrebne teorijske činjenice i završnoj raspravi o rezultatima istraživačkog rada učenika. Tu se mogu pojaviti i postavke učenika koje nastavnik nije predvidio. Na takvu situaciju on mora biti pripravan. Zato je druga bitna pretpostavka za primjenu istraživačke nastave dobra osposobljenost nastavnika matematike.

S istraživačkim radom treba početi vrlo rano, već od petog razreda

19