iPusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionaliiHak Cipta ada Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangMatematika 1Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaanuntuk Kelas X SMK/MAKPenulis:Hendi Senja GumilarUkuran Buku:21 x 29,7 cm510.07GUM GUMILAR, Hendi Senja m Matematika 1 kelompok seni, pariwisata, dan teknologi kerumahtanggaan: untuk kelas X SMK/MAK/oleh Hendi Senja Gumilar. -- Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008.viii, 122 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi: hlm. 166 ISBN 979-462-846-81. Matematika-Studi dan PengajaranDiterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008Diperbanyak oleh ...iiiKata SambutanPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2007, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui website Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagaibukutekspelajaranyangmemenuhisyaratkelayakanuntukdigunakandalamproses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 2007.Kamimenyampaikanpenghargaanyangsetinggi-tingginyakepadaparapenulisyangtelah berkenanmengalihkanhakciptakaryanyakepadaDepartemenPendidikanNasionaluntuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia.Buku-bukutekspelajaranyangtelahdialihkanhakciptanyakepadaDepartemenPendidikan Nasional tersebut, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhiketentuanyangditetapkanolehPemerintah.Diharapkanbahwabukutekspelajaran iniakanlebihmudahdiaksessehinggapesertadidikdanpendidikdiseluruhIndonesiamaupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Selanjutnya, kepada para peserta didik kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwabukuinimasihperluditingkatkanmutunya.Olehkarenaitu,sarandankritiksangatkami harapkan.Jakarta, 25 Februari 2008Kepala Pusat PerbukuanivPrakataPrakataAdalah hal biasa jika terdengar ungkapan bahwa matematika adalah pelajaran yang sulit. Ungkapan ini tidak selamanya benar karena matematika justru bisa menjadi pelajaran yang mudah, menarik, dan menantang kreativitas berpikir. Sulitnya pelajaran matematika sebenarnya lebih disebabkan oleh beberapa faktor, di antaranya cara penyajian. Cara penyajian, baik secara lisan maupun tulisan, sangat berpengaruh terhadap mudah atau tidaknya pelajaran matematika diserap.Belajar matematika bukanlah beban yang harus dipikul siswa, terutama untuk menghafal rumus-rumus matematika. Namun, belajar matematika lebih ditekankan pada pemahaman konsep-konsep matematika, kelancaran berprosedur, dan penalaran adaptif.Berdasarkan hal tersebut, penulis mencoba mewujudkan pemikiran tentang konsep penyajian matematika yang mudah dan terarah dalam buku Matematika untuk SMK Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X ini. Dengan demikian, diharapkan siswa dapat dengan mudah mempelajari matematika dan menjadikan matematika sebagai pelajaran favorit. Untuk mencapai tujuan ini, penulis menyajikan pelajaran secara komunikatif yang mengacu pada fenomena mutakhir dan keseharian siswa.Materi pelajaran tersaji dengan bahasa yang sederhana dan dimulai dari materi yang mudah hingga materi yang sulit. Tentu saja materi pelajaran disertai dengan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya, serta tugas-tugas, kegiatan, dan Uji Kompetensi Bab dan Semester. Dilengkapi juga dengan soal-soal dan materi pengayaan, seperti Anda Pasti Bisa, DigiMath, dan MathNews, di mana sepenuhnya telah mengacu pada Standar Isi 2006.MateripelajarandalambukuMatematikauntukSMKKelompokSeni,Pariwisata,dan TeknologiKerumahtang-gaan Kelas X merupakan materi dasar yang akan berguna untuk Anda. Oleh karena itu, siswa hendaknya benar-benar cermat mempelajarinya karena merupakan kunci untuk mempelajari pelajaran selanjutnya dengan mudah pula. Jadi, persiapkanlah diri sebaik mungkin dan buanglah perasaan bahwa pelajaran matematika adalah pelajaran yang sulit.Akhir kata, penulis berharap buku ini benar-benar berguna sebagai pemandu mempelajari matematika secara mudah. Matematika akan bisa dikuasai jika biasa belajar dan berlatih. Selamat belajar dan semoga berhasil.Bandung, September 2007PenulisvMateri-materi pembelajaran dalam buku ini didasarkan pada Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 yang berlaku saat ini disajikan secara sistematis, komunikatif, dan integratif.Buku Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK ini, terdiri atas empat bab yang disajikan secara terstruktur dengan format yang menarik dan bahasa yang sederhana.BerikutinicarayangditawarkankepadaAndasebagaipanduandalammembacabukuini,agarmateriyang disajikan dapat dengan mudah dipahami oleh Anda sebagai pembaca.Panduan untuk PembacaPanduan untuk Pembaca1012119131416171519201857861234Awal bab terdiri atas:1.Judul Bab;2.Gambar Pembuka Bab;Berupa foto atau sebagai gambaran awal mengenai aplikasi materi yang akan dipelajari.3.Judul Subbab;4.Advanced Organizer.Berupa pengantar yang merupakan gambaran mengenai aplikasi materi ataupun motivasi untuk mempelajari materi.Bagian IsiTerdiri atas:5.Tes Kompetensi Awal; Berupa soal-soal materi prasyarat sebagai pengantar ke materi.6.Materi;7.Catatan;8.InfoMath;Berupa informasi-informasi seputar tokoh-tokoh matematika, sejarah matematika, dan informasi-informasi lain yang berhubungan dengan matematika.9.Contoh Soal;Berupa soal-soal yang disertai langkah-langkah dalam menjawabnya.10.Kegiatan;Berupa kegiatan yang dapat membantu siswa untuk lebih memahami materi.11.DigiMath; Berupa informasi mengenai alat-alat bantu yang dapat digunakan dalam pembelajaran ataupun kegiatan yang berhubungan dengan matematika. 12.Anda Pasti Bisa;Berupa soal-soal yang menguji kecerdikan Anda dalam memecahkan suatu masalah matematika.13.Solusi.Berupa soal-soal EBTANAS, UAN, UN, UMPTN, dan SPMB beserta pembahasannya.Soal-Soal serta Akhir BabTerdiri atas:14.Tugas;Berupa soal-soal, mencari informasi, berdiskusi dan melaporkan suatu kegiatan.15.Uji Kompetensi Subbab;Berupa soal-soal untuk mengukur pemahaman materi dari subbab tertentu.16.Rangkuman;Berupa ringkasan materi dari sebuah bab tertentu.17.Kata Mutiara;18.Daftar Topik;Berupa pemetaan materi dari bab tertentu.19.Latihan Bab Bab;Berupa soal-soal sebagai evaluasi akhir bab tertentu.20.Latihan Ulangan Semester.Berupa soal-soal yang merupakan ajang latihan bagi Anda sebagai persiapan menghadapi Ujian Akhir Semester.viviiDaftar IsiDaftar IsiKata Sambutan iiiPrakataivPanduan untuk PembacavDaftar IsiviiBab 1Bilangan Riil

1A.Macam-macam Himpunan Bilangan 2B.Operasi Hitung pada Bilangan Riil 5C.Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan6D.Konversi Bilangan10 Rangkuman14Daftar Topik 15Latihan Soal Bab 1

16Bab 2Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

19A.Bilangan Pangkat 20B.Bentuk Akar 24C.Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar 29D. Logaritma 33Rangkuman 44Daftar Topik 45Latihan Soal Bab 2 46Latihan Ulangan Semester 148Andadapatmenggunakankalkulatorsebagaialatbantu dalam perhitungan logaritma 41Sumber: world.casio.comviiiBab 3Persamaan dan Pertidaksamaan

51A.Persamaan Linear 52B.Persamaan Kuadrat53C.Pertidaksamaan Linear 68D.Pertidaksamaan Kuadrat 71E.Sistem Persamaan Linear 73Rangkuman 76Daftar Topik 77Latihan Soal Bab 3 78Bab 4Matriks

81A.Pengertian dan Jenis Matriks82B.Operasi Aljabar pada Matriks 88C.Determinan dan Invers Matriks 94D. Aplikasi Matriks dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 103Rangkuman 108Daftar Topik 109Latihan Soal Bab 4 110Latihan Ulangan Semester 2 113Daftar Pustaka116Kunci Jawaban117Daftar Lampiran120Glosarium1221A.Macam-Macam iIangan.Dperasi Hitung pada iIangan RiiIC.Dperasi Hitung pada iIangan PecahanD.konversi iIanganAnda telah mempelajari konsep bilangan bulat di Kelas VII. Pada bab ini akan dibahaskonsepbilanganriilyangmerupakanpengembangandaribilangan bulat.Bilanganpecahanyangmerupakanbagiandaribilanganriilsangat bermanfaatdalamkehidupansehari-hari.Misalnya,sebuahtokoemasakan membuat satu set perhiasan. Jika emas 18 karat mengandung campuran 1824emas murni dan 624 campuran logam lain, tentukan berapa gram emas murni yang terdapat pada 48 gram emas 22 karat?Dengan mempelajari bab ini, Anda akan dapat menyelesaikan permasalahan tersebut.Sumber: upload.wikimedia.orgabIiIangan RiiIMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 2A.Macam-Macam Himpunan iIanganMatematika erat sekali kaitannya dengan bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan tersebutdapatdibedakanberdasarkandefnisitertentusehinggabilangan-bilangantersebutdapatdikelompokkanmenjadisuatuhimpunanbilangan tertentupula.Misalnya1,2,3,...danseterusnyadapatdikelompokkanke dalam himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan asli tersebut dapat ditulis dengan notasi A = {1, 2 , 3, 4, 5, ...}.Himpunan bilangan-bilangan secara skematis dapat ditunjukkan pada bagan berikut. 7es kompetensi AwaISebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1.Diketahui kumpulan bilangan berikut: 132 1 0 8 2150 31 0 43; ; ; ; ; ; , ; , ; - p.Manakahyangmerupakanbilanganrasionaldan bilangan irasional?2.Hitunglah nilai dari:a.223412+ c.325212b. + + 47103251d.20 0 3 213% , +3.Tentukanlah luas persegipanjang yang berukuran panjang 412 cm dan lebar231 cm.4.UangsebanyakRp30.000,00dibagikankepada Fani, Siska, dan Ary. Fani memperoleh 12, Siska memperoleh 13, dan Ary sisanya. Berapa rupiah banyaknya uang yang diterima masing-masing?Himpunan Bilangan RasionalHimpunan Bilangan BulatHimpunan Bilangan CacahHimpunan Bilangan AsliHimpunan Bilangan PrimaHimpunan Bilangan IrasionalHimpunan Bilangan Bulat Negatif{1}{0}Himpunan Bilangan KompositHimpunanBilangan RiilBilangan Riil 3Dari bagan tersebut diketahui bahwa himpunan bilangan riil terdiri atas himpunan bilangan-bilangan berikut ini.1.Himpunan iIangan AsIiBilanganaslimerupakanbilanganyangseringkitagunakan,sepertiuntuk menghitungbanyaknyapengunjungdalamsuatupertunjukanseniatau banyaknyatamuyangmenginapdihoteltertentu.Bilanganasliseringpula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dariangka1,2,3,danseterusnya.Bilangan-bilangantersebutmembentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian,himpunanbilanganaslididefnisikansebagaihimpunanbilangan yangdiawalidenganangka1danbertambahsatu-satu.Himpunanbilangan inidilambangkandenganhurufAdananggotahimpunandaribilanganasli dinyatakan sebagai berikut.A = {1, 2, 3, 4, ...}.2. Himpunan iIangan CacahDalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyaksiswayanghobimembaca15orang,hobijalan-jalansebanyak16 orang,hobiolahragasebanyak9orangdantidakadasiswayangmemilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan aslidanhimpunanbilangan0inidisebutsebagaihimpunanbilangancacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:C = {0, 1, 2, 3, 4,...}.3.Himpunan iIangan uIatHimpunanbilanganbulatadalahgabunganantarahimpunanbilangancacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:B = {..., 3, 2, 1, 0, 1,2, 3, ...}.4.Himpunan iIangan RasionaIHimpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pq, dengan p, q B dan q 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:Qpqp q B q = , , dan 0.5. Himpunan iIangan IrasionaIHimpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pq dengan p,q B dan q 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya:2 , , e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.Himpunanbilanganriiladalahgabunganantarahimpunanbilangan rasional dan himpunan bilangan irasional, yang dilambangkan dengan huruf R. Hubungan antara bilangan riil dan bilangan-bilangan pembentuknya dapat InfoMathiIangan-iIangan IstimewaBilangan-bilangan istimewa adalah bilangan-bilangan dengan ciri khusus yang membuat mereka berbeda dengan bilangan-bilangan lainnya. Bilangan-bilangan ini di antaranya bilangan prima, bilangan sempurna, bilangan kuadrat, dan bilangan segitiga. Sifat-sifat yang istimewa dari bilangan-bilangan ini memungkinkan mereka untuk ditulis sebagai sebuah rumus, seperti n2 untuk bilangan kuadrat.Sumber: Ensiklopedi Matematikadan Peradaban Manusia, 2002ACBQRMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 4Contoh SoaI 1.1Jika semesta pembicaraannya himpunan bilangan bulat, nyatakan himpunan bilangan di bawah ini dengan mendaftar anggotanya.a.A = {xx faktor positif dari 36} b.B = {x4 < x < 4}c.C = {xx 2 0} Jawab:a.A = {xx faktor positif dari 36}x didefnisikan sebagai faktor positif dari 36 maka anggota himpunan A jika semesta pembicaranya himpunan bilangan bulat adalahA = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. b.B = {x 4 < x < 4}x didefnisikan sebagai bilangan bulat antara 4 dan 4 maka anggota himpunan B B = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}.c.C = {x x 2 0}xdidefnisikansebagaibilangandimanabulatyangjikadikurangi2 hasilnya lebih besar atau sama dengan nol. Maka:C = {2, 3, 4, 5, ...}.Contoh SoaI 1.2Tentukanbilanganrasionalyangterletaktepatditengah-tengahbilangan berikut ini.a. 15 dan 25 b. 37 dan 47c. 512 dan 12Jawab:a. 15 dan 25Pertama-tama, nyatakan setiap bilangan di atas dalam bentuk perbandingan senilai sehingga diperoleh: 151522210252522410= == =Jadi, bilangan rasional yang terletak tepat di tengah antara 15 dan 25 adalah 310.b. 37 dan 47 Dengan cara yang sama, diperoleh: 373722614474722814= == =Jadi, bilangan rasional yang terletak tepat di tengah antara 37 dan 47 adalah 714.DigiMathKalkulator dapat digunakan untuk menyelesaikan Contoh SoaI 1.2 (a). Kalkulator yang digunakan disini adalah kalkulator jenis FX-3600 PV. Tombol-tombol yang harus ditekan untuk menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut.maka akan muncul 35 Kemudian, tekan tombol Diperoleh hasilnya, yaitu 310. 2 =15 =5 + 2abcabcBilangan Riil 5c. 512 dan 12 Dengan cara yang sama, diperoleh: 512512221024121212121224= == =Jadi, bilangan rasional yang terletak tepat di tengah antara 512 dan 12 adalah 1124.dinyatakan dalam diagram Venn di samping..Dperasi Hitung pada iIangan RiiISebagaimana yang telah diketahui sebelumnya, operasi-operasi hitung dalam sistemmatematikadiantaranyapenjumlahandanperkalian.Setiapoperasi hitungmemilikisifat-sifattersendirisehinggamembentuksebuahsistem bilangan.Berikut adalah sifat-sifat yang terdapat pada operasi hitung penjumlahan dan perkalian pada bilangan riil:1.Penjumlahana.Sifat tertutup Untuk setiap a, b R berlaku a + b = c, c R b.Sifat komutatifUntuk setiap a, b R berlaku a + b = b + ac.Sifat asosiatifUntuk setiap a, b, c R berlaku (a + b) + c = a + (b + c)d.Ada elemen identitas0 adalah elemen identitas penjumlahan sehingga berlaku:a + 0 = 0 + a = a, untuk setiap a R e.Setiap bilangan riil mempunyai invers penjumlahan Untuk setiap a R, elemen invers pada penjumlahan adalah lawannya, yaitu a sehingga a + (a) = (a) + a = 02.Perkalian a.Sifat tertutup Untuk setiap a, b R berlaku a b = c, c Rb.Sifat komutatifUntuk a, b R berlaku a b = b aLatihan SoaI 1.11.Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar semua anggotanya.a.A = {x3 < x < 5, x B} b.B = {x4 x < 9, x A }c.C = {xx < 11, x C}2.Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut rasional atau irasional.a.9b.13c.0,101001000...d.2Kerjakanlah soal-soal berikut.7ugas 1.1Diskusikanlah bersama teman Anda. Apakah sifat-sifat pada penjumlahan dan perkalian pada bilangan riil berlaku juga terhadap operasi hitung pengurangan dan pembagian?MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 6c.Sifat asosiatifUntuk setiap a, b, c R berlaku (a b) c = a (b c)d.Terdapat elemen identitas1 adalah elemen identitas perkalian sehingga berlaku:a 1 = 1 a = a, untuk setiap a R.e.Invers perkalian Untuk setiap a R, a 0 memiliki invers terhadap perkalian. Akan tetapi, jika a = 0 maka0101 . f.Sifat disributif perkalian terhadap penjumlahanUntuk setiap a, b, c R berlakua (b + c) = (a b) + (a c); (a + b) c = (a c) + (b c)g.Sifat distributif perkalian terhadap penguranganUntuk setiap a, b, c R berlaku a (b c) = (a b) (a c); (a b) c = (a c) (b c)DiskusikandengantemandikelompokAnda,sifat-sifatmanakahyang tidak berlaku untuk operasi berikut dan berikan contohnya.a.Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan asli.b.Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan cacah.kegiatan 1.1Latihan SoaI 1.21.Nyatakansifat-sifatyangdigunakanpada soal-soal berikut.a.(4 5) 3 = 4 (5 3)b.2 (5 + 3) = (2 5) + (2 3)c.(2x + 4) 1 = 2x + 4d.(x + 2) (x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)2.Jikaa=2,b=3,c=4,hitunglahnilai dari:a.5a + b 3cb.(2a 4b)cc.c2 3a + abd.b2(ab + ac + bc)3.Hitunglah keliling persegipanjang di bawah ini jika luasnya adalah 14 cm2.x + 4x 1Kerjakanlah soal-soal berikut.Misalkan: a = 5 R,b = 12 R, dan c = 3 R maka: a + b = 5 + 12 = 112, dan 112 R (sifat tertutup pada penjumlahan)(a + b) + c = (5 + 12) + 3 = 112+ 3 = 172a + (b + c) = 5 + (12 + 3) = 5 + 72= 172a b = 5 12 = 52, dan 52 R (sifat tertutup pada perkalian)Contoh SoaI 1.3 (sifatasosiatifpada penjumlahan)Bilangan Riil 7C.Dperasi Hitung pada iIangan PecahanBilanganrasionaldisebutjugabilanganpecahanyangdinyatakandalam bentuk abdengana,bBdanb0,denganadisebutpembilangdanb penyebut.Padabagianini, Andaakanmempelajarioperasihitungpadabilangan pecahan.1.PenjumIahan dan Pengurangan iIangan PecahanJika ab dan cd masing-masing adalah bilangan pecahan maka berlaku operasi penjumlahan dan pengurangan sebagai berikut:abcdad bcbdabcdad bcbd+ =+ =Contoh SoaI 1.4 1.Hitunglah nilai operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan berikut.a. 3425+d. 2965b. 213325+e. 434216c. 4 32756+ +d. 452341710 +Jawab:1.a. 34253 5 2 44 515 82023201320+ = + =+= =b.2133252 3132551 5 2 33 555 615+ = + ( ) + += + + = ++ == + = 5111551115 c. 4 327564 3275672 6 5 77 6712 3542+ + = + ( ) + += + + = ++ = + = +=747427 15428542 d. 29652 5 6 99 510 54454445 = == InfoMathAugustus De Morgan (1806 1871)Augustus De Morgan adalah salah satu matematikawan besar yang memperkenalkan notasi garis miring (slash) untuk menunjukkan pecahan seperti 1/2 dan 3/4. Pada suatu saat ada yang bertanya tahun berapa dia lahir. De Morgan menjawab "Aku lahir x tahun lebih tua dari x2". Dapatkah Anda menentukan nilai dari x? Sumber: Finite Mathematics and It's Applications, 1994Sumber: www.flosofcas.unam.mxMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 8e. 4342164 2341623 6 1 44 6218 424 = ( ) + = + = + = +=27122712 f. 4523417102 1453471014 4 3 5 7 220 + = + ( ) + += ( ) + + = ( ) + + = += += +=116 15 14201341 4 344 34142.Padasianghari,Ardimengerjakan 14daripekerjaanrumahnya, kemudian 13nya ia kerjakan di sore hari, dan sisanya dikerjakan pada malamhari.BerapabagiankahyangdikerjakanArdipadamalam hari?Jawab:Ardi harus meyelesaikan satu pekerjaan sehingga bagian yang harus dikerjakan pada malam hari adalah 1141312 3 41212 712512 = == pekerjaanJadi, yang dikerjakan Ardi pada malam hari adalah 512 bagian.2.PerkaIian dan Pembagian iIangan PecahanJika ab dan cd masing-masing adalah bilangan pecahan maka berlaku operasi perkalian dan pembagian sebagai berikut:abcda cb dabcdabdca db c == =:SoIusiDari sejumlah siswa baru yang diterima pada suatu SMK, 13 bagian dari mereka memilih kriya kayu, 14 bagian memilih kriya logam, 29 bagian memilih kriya tekstil, dan sisanya memilih kriya keramik. Siswa yang memilih kriya keramik adalah ....a. 736bagianb.2536bagianc. 2736bagiand. 2936bagiane.3236bagian1awab:Misalkan, jumlah kegiatan kriya 1 bagian sehingga banyak siswa yang memilih kriya keramik adalah113142936 12 9 836736- - -=- - -=Jadi, siswa yang memilih kriya keramik adalah 736 bagian.Jawaban: aSumber: UN SMK 2005Bilangan Riil 9Contoh SoaI 1.5Hitunglahnilaioperasiperkaliandanpembagianpadabilanganpecahan berikut.a. 57415b. 312234c. 21047:d. 535115:Jawab:a. 574155 47 1547 3 ===421b. 31223472114778 = = = 958c. 21047210742 710 4710 2: = ===720d. 5351152856528556286143: : = = = = = 423Contoh SoaI 1.6Jika emas 18 karat mengandung 1824 emas murni dan 624 campuran logam lain, tentukan berat emas murni yang terkandung dalam:a.72 gram emas 18 karat;b.120 gram emas 22 karat.Jawab:a.Berat emas murni dalam 72 gram emas 18 karat ada: 182472 54 = gram gram.b.Berat emas murni dalam 120 gram emas 22 karat ada: 2224120 110 = gram gram.AndaPasti isaBiasanya pecahan dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana. Akan tetapi, pada persoalan kali ini, Anda dapat memutarkan prosesnya, kemudian mencari beberapa cara yang berbeda untuk menuliskansebuah pecahan yang sama dengan 12. Coba tuliskan pecahan-pecahan lainnya yang sama dengan 12dengan menggunakan semua angka 1, 2, ..., dan 9. Salah satu contoh jawabannya adalah 672913458...Sebutkan enam jawaban lain!Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002 Latihan SoaI 1.31.Hitunglah hasil operasi-operasi bilangan berikut ini.a. 2775+ e.245123 b.25123231112+ + f. 11567110 c.2513 g.4253 114 +d. 1849h. 5 212314+ 2.Hitunglah hasil operasi-operasi bilangan berikut ini.a. 2345 e. 1512:b. 114315f. 3183 : c. 23412g.523223:d. 2343171511 h. 412189:Kerjakanlah soal-soal berikut.MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 10D.konversi iIanganDalamkeperluantertentu,suatubilanganperludinyatakandalambentuk-bentuk tertentu. Seperti untuk menyatakan tingkat infasi ekonomi suatu negara digunakan persen (%), untuk ketelitian dalam perhitungan digunakan bentuk desimal,atauuntukmenyatakanperbandinganduabuahobjekdigunakan pecahan. Pada bagian ini, Anda akan mempelajari kembali mengenai konversi bilangan pecahan dari satu bentuk ke bentuk yang lain.1.konversi entuk Pecahan ke daIam entuk DesimaI dan PersenMengubah bentuk pecahan menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang oleh penyebutnya. Adapun bentuk persen diperoleh dengan cara mengalikan bentuk pecahan atau desimal dengan 100%.Contoh SoaI 1.7Nyatakan pecahan di bawah ini ke dalam bentuk desimal dan persen.a. 35b. 234Jawab:a.Bentuk Desimal )355 30303000 6, Jadi, 35 = 0,6.Cara lain adalah dengan mengubah penyebutnya menjadi bilangan 10, 100, 1000, dst. 3535226100 6 = = = ,Bentuk Persen 3535100300560= = =%% % 3.Diketahuip q r = = =122314, , dan .Hitunglah nilai dari bentuk-bentuk berikut.a.p q rc.(q p) rb.pq + qrd.pq + pr qr 4.Dalampemilihanketuasuatuorganisasi,terdapat tigacalon,yaituA,B,danC.Setelahdiadakan pemungutansuara,ternyataAmemperoleh 25 bagian,Bmemperoleh 14bagian,dansisanya diperoleh C.a.Berapa bagian jumlah suara yang diperoleh C?b.Jikapemilih300orang,berapasuarayang diperoleh masing-masing calon?5.SeorangkaryawanmendapatupahRp120.000,00, per minggu. Berapakah upahnya selama seminggu jika ia mendapat kenaikan 15 dari upah semula? Bilangan Riil 112.konversi entuk DesimaI ke daIam entuk Pecahan dan PersenMengubahbentukdesimalmenjadibentukpecahanhanyaberlakuuntuk bilangandesimaldenganangkadibelakangkomaterbatasataubanyaknya angka di belakang koma tak terbatas dan berulang.b.Bentuk Desimal )2341144 1183028202002 75= ,Jadi, 234 = 2,75.Cara lain adalah sebagai berikut. 23423423425252751002 0 75= + = + = += +=,2, 75.Bentuk Persen 23411410011004275= = =%% %.Contoh SoaI 1.8Nyatakan bilangan desimal berikut ke dalam bentuk pecahan dan persen.a.1,4d.2,565656...b.2,413e.2,2156101...c.0,666...Jawab:Bentuk Pecahan:a.1,4 Terdapat 1 angka di belakang koma maka pecahan tersebut merupakan pecahan dengan penyebut 10 sehingga1 4141075125, = = = .b.2,413 Terdapat 3 angka di belakang koma maka pecahan tersebut merupakan pecahan dengan penyebut 1000 sehingga2 4132 4131 00024131 000,.. .= = .MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 123.konversi Persen ke daIam entuk Pecahan dan DesimaIPerubahan bentuk persen menjadi bentuk pecahan dapat Anda lakukan dengan mengganti tanda persen (%) menjadi seperseratus 1100, kemudian nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.Penulisan bilangan desimal berulang dapat ditulis dengan cara yang lebih singkat.Misalnya:0 6666 0 60 181818 0 182 3151515 2, ... ,, ... ,, ...=== ,, 315Catatanc.0,666...Misalkan,x=0,666...,terdapat1angkaberulangmakapemisalan dikali 10. 10 6 6660 6669 669230 66623xxxx==== =-=, ..., ..., , ... . Jadi Dengan cara lain, yaitu jika banyaknya angka yang berulang satu angka maka pecahannya adalah satu angka yang berulang itu dibagi dengan 9. Jadi, 0,666... angka yang berulang satu angka, yaitu angka 6 maka 0 6666923, ... = =.d.2,565656...Misalkan, x = 2,565656... terdapat 2 angka berulang maka pemisalan dikali 100. 100 256 5656562 56565699 254254992 565656xxxx====, ..., ..., , Jadi .... . =-25499e.2,2156101...Bentuk bilangan di atas tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan karena angka di belakang koma tak terbatas dan tidak berulang.Bentuk Persen:a.1,4 = 1,4 100% = 140%b.2,413 = 2,413 100% = 241,3%c.0,666...Angkadibelakangkomatidakterbatasmakadilakukanpembulatan terlebih dahulu sehingga diperoleh:0,666... 0,6670,667 = 0,667 100% = 66,67%.d.2,565656...Angkadibelakangkomatidakterbatasmakadilakukanpembulatan terlebih dahulu sehingga diperoleh:2,565656... 2,56572,5656 = 2,5657 100% = 256,57%.e.2,2156101...Angkadibelakangkomatidakterbatasmakadilakukanpembulatan terlebih dahulu sehingga diperoleh2,5156101... 2,5162,516 = 2,516 100% = 251,6%.InfoMathFibonacci(11801250)Pecahan telah digunakan sejak zaman Mesir kuno. Pada 1202 seorang ahli matematika Italia, Fibonacci, menjelaskan sebuah sistem bilangan pecahan yang rumit untuk digunakan dalam perubahan mata uang, ia juga menciptakan tabel-tabel konversi dari mulai pecahan-pecahan biasa, seperti 3/8, sampai dengan pecahan-pecahan yang pembilangnya selalu 1, seperti 1/8.Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002Sumber: www.uni-ulm.deBilangan Riil 13Contoh SoaI 1.9Nyatakan bentuk persen berikut ke dalam bentuk pecahan dan desimala.24%b.525%Jawab:a.Bentuk Pecahan: 24 24110024100% = = =625Bentuk Desimal: 2424100% = = 0, 24b.Bentuk Pecahan:5252752751100% % = = =27500Bentuk Desimal: 52527511002750022541 000%.= = = = 0, 054Latihan SoaI 1.41.Nyatakan bentuk pecahan berikut ke dalam bentuk desimal dan persen.a. 45c.4310e. 1029b. 258 d. 617 f.11452.Nyatakan bentuk desimal berikut ke dalam bentuk pecahan dan persen.a.0,12 d.0,333...b.8,25 e.1,414141...c.14,68f.21,623623...3.Nyatakanbentukpersenberikutkedalambentuk pecahan atau persen.a.20%d.1018%b.5%e. 2525%c. 214 f.32710%4.Hitunglah:a. 5450 25 % , + b. 652 4 11 + + , %c. 6 8 225234, % +d.24115112% +Kerjakanlah soal-soal berikut.MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 14Rangkuman1. Himpunan bilangan riil adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.2.Untuk setiap a, b, dan c R maka berlaku sifat-sifat berikut:a.Tertutup terhadap operasi hitung penjumlahan dan perkalian.b.Komutatif terhadap operasi hitung penjumlahan dan perkalian.c.Asosiatif terhadap operasi hitung penjumlahan dan perkalian.d.Distributif terhadap operasi hitung perkaliane.Memiliki elemen identitas terhadap operasi hitung penjumlahan dan perkalian.f.Memiliki invers terhadap operasi hitung penjumlahan dan perkalian.3.Jika ab dan cd adalah suatu bilangan pecahan maka berlaku:a. abcdad bcbd+ =+ b. abcdad bcbd = c. abcdacbd =d. abcdabdcadbc: = =4.Bilangan pecahan dapat dikonversi menjadi bentuk lain, yaitu pecahan biasa, desimal, dan bentuk persen. Bilangan Riil 15Macam-macam BilanganBilangan Asli,Bilangan Cacah,Bilangan Bulat,Bilangan Rasional,Bilangan Irasional.Operasi Hitungpada Bilangan RiilSifatSifatOperasi Hitungpada Bilangan PecahanPenjumlahandan PenguranganPerkaliandan PembagianKonversi Bilangan PecahanPecahan Biasa, Desimal,Persen.Bilangan Riilmembahasmenjadimempelajari mempelajarimempelajarikata MutiaraYang terpenting dari kehidupan bukanlah kemenangan, namun bagaimana bertanding dengan baik.Pierre De CoubertinAIur PembahasanPerhatikan aIur pembahasan berikut:Materi tentang iIangan RiiI yang sudah Anda peIajari digambarkan sebagai berikut.MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 167.Seorangsiswa berhasil menjawab dengan benar 28 soal, salah 9, serta tidak menjawab 3 soal. Jawaban yang benar nilainya 4, salah nilainya 1, serta tidak menjawabnilainya0.Nilaiyangdiperolehsiswa tersebut adalah ....a.96d.103 b.98e.121c.100Alasan: 8.Dalamsuatupermainan,apabilamenangmaka diberinilai3,tetapiapabilakalahdiberinilai2, danapabilaseridiberinilai1.Suaturegutelah bermainsebanyak47kali,21kalimenangdan3 kali seri. Nilai yang diperoleh regu itu adalah ....a.23d.14 b.7e.60 c.7Alasan: 9.(65)9=(p9)((5m).Nilaipdanm berturut-turut adalah ....a.6 dan 5d.5 dan 9b.6 dan 6 e.9 dan 6c.6 dan 9Alasan: 10.Seorang karyawan menggunakan 15% dari gajinya untukbiayatransportasiselamasebulan,23,5% untuk sewa rumah dan bayar listrik selama sebulan, dan sisanya 60% sebanyak Rp72.000,00 ditabung. Biaya untuk makan selama sebulan adalah ....a.Rp400.000,00d.Rp425.000,00b.Rp410.000,00e.Rp500.000,00c.Rp420.000,00 Alasan: 11.Jika a = 13, b = 14, dan c = 15, nilai dari a + bc = ....a. 530d. 2360 b. 2315e. 715c. 760Alasan: 1. Jika nilai p = 4, q = 5, dan r = 2, nilai dari 3p2 + q r adalah ....a.43d.55b.45e.65c.53Alasan: 2.Apabila nilai dari a = 3, b = 0, dan c = 3 maka nilai dari [a (b + c a)] (b + c) = ....a.54d.54 b.45e.43c.45Alasan: 3.Anggota dari himpunan A = {x6 x < 3, x B} adalah ....a.{6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}b.{5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}c.{6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2}d.{5, 3, 1, 1, 3}e.{5, 3, 1, 1}Alasan: 4.Hasil dari 1334 adalah ....a. 14d.1 b. 24e. 114c. 34Alasan: 5.Hasil dari 512314114 + adalah ....a.3d.334 b. 312e.4c.312Alasan: 6.Nilai dari 431312: ... =a.1d.8 b.20e.16c.4Alasan: Latihan SoaI ab 1A.Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.Bilangan Riil 1712.85% dari suatu bilangan adalah 85. Bilangan tersebut adalah ....a.80d.110 b.90e.120c.100Alasan: 13.Berikutadalahdatajumlahsiswayangmengikuti kegiatanekstrakulikulerdisuatuSMK.Siswa yangmengikutikegiatanolahragasebanyak40%, musik 20%,Paskibra10%,PMR5%,dansisanya mengikutikegiatanPramuka.Jikajumlahsiswa seluruhnya 600 orang maka banyaknya siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakulikuler pramuka adalah ....a.30 orangd.150 orangb.60 orange.240 orangc.120 orangAlasan: 14.Beras sebanyak 251 34 kg dibagikan kepada yang tidakmampu.Jikasetiaporangmendapatkan 238 kg, orang yang mendapat beras tersebut ada .... orang.a.104d.107b.105e.108c.106Alasan: 15.Pak Willy mempunyai135 ha tanah 35% dari luas tanahtersebutditanamijagung.Luastanahyang ditanami jagung adalah .... ha.a. 1225d. 1430b. 1425e. 1635c. 1625Alasan: 16.TokobukuABCmenjual3buahbukutulis denganhargaRp7.500,00,4buahpensildengan hargaRp5.000,00,dan6buahpenghapusseharga Rp4.500,00.JikaToniinginmembeli20buku tulis, 3 buah pensil, dan 2 buah penghapus dengan masing-masingmendapatdiskon10%makaToni harus membayar sebesar ....a.Rp69.465,00d.Rp49.725,00 b.Rp63.150,00e.Rp49.500,00c.Rp55.250,00Alasan: 17.Pedagang elektronik menjual televisi 14 inci seharga Rp1.500.000,00 dan memperoleh keuntungan 20% daripenjualantersebutmakahargapembelian televisi itu adalah ....a.Rp750.000,00 b.Rp1.150.000,00 c.Rp1.200.000,00d.Rp1.250.000,00e.Rp1.300.000,00Alasan: 18.Seperangkatperalatankantordijualdenganharga Rp2.000.000,00. Setelah dikenakan potongan, harganya menjadiRp1.600.000,00makapersentasepotongan tersebut adalah ....a.16%b.20%c.25%d.32%e.40%Alasan: 19.Rudi membeli sebuah buku. Setelah harga dipotong 20%,iamembayarsebesarRp48.000,00.Harga sebelum dipotong adalah ....a.Rp57.600,00 b.Rp60.000,00 c.Rp72.000,00d.Rp86.000,00e.Rp96.000,00Alasan: 20.Menjelanghariraya,sebuahtoko"M"memberikan diskon 15% untuk setiap pembelian barang. Jika Rini membayarpadakasirsebesarRp127.500,00maka hargabarangyangdibeliRinisebelumdikenakan diskon adalah ....a.Rp146.625,00 b.Rp150.000,00 c.Rp152.500,00d.Rp172.500,00e.Rp191.250,00Alasan: MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 18B.Jawablah soal-soal berikut.1.Nyatakanlahhimpunan-himpunanberikutdengan cara mendaftarkan semua anggotanya.a.A = {x3 < x < 12, x A}b.B = {x5 < x < 10, x C}2.Vina berbelanja di warung dan membeli112 gula, 34kgmentega,dan3kgtelur.Harga1kggula Rp6.500,00, 1 kg mentega Rp8.500,00, dan harga 1 kg telur Rp10.000,00. Berapakah uang yang harus dibayarkan Vina?3.Sebuah sekolah kejuruan memiliki siswa perempuan sebanyak 46darijumlahkeseluruhansiswa.Jika jumlah siswa perempuan 156 orang, berapa jumlah siswa laki-laki?4.Nyatakanlah ke dalam bentuk desimal dan persen.a. 25c.245b. 13d.1565.Yuli menggunakan 110 bagian dari uangnya untuk membeli pensil, 15 bagian untuk membeli pulpen, dan 12 bagian untuk membeli buku. Jika sisa uang YuliRp2.000,00,beraparupiahkahhargapensil, pulpen, dan buku masing-masing?19A. BilanganPangkatB. BentukAkarC. MerasionalkanPenyebutBentukAkarD. LogaritmaMateri tentang bilangan berpangkat telah Anda pelajari sebelumnya di Kelas IX.Padababiniakandipelajaribilanganberpangkatdandikembangkan sampaidenganbilanganberpangkatbulatnegatifdannol.Selainitu,akan dipelajari pula tentang logaritma.Dalamkehidupansehari-hari,banyakpermasalahanyangdapatdi-selesaikan dengan menggunakan logaritma. Sebagai contoh, Dodi menabung di bank sebesar Rp2.500.000,00. Jika bank tersebut memberikan bunga 10% pertahun,berapalamaiaharusmenabungagarnilaitabungannyamenjadi Rp3.660.250,00?Masalahtersebutdapatdiselesaikandenganmenggunakan logaritma. Untuk itu, pelajarilah bab ini dengan baik. Sumber: www.jakarta.go.idBabIIBentukPangkat,Akar,danLogaritmaMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK20 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 21MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK20 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 21A. BilanganPangkatTahukah Anda, berapa jarak antara matahari dan bumi? Ternyata jarak antara mataharidanbumiadalah150.000.000km.Penulisanjarakantaramatahari dan bumi dapat ditulis dengan bilangan pangkat. Bagaimana caranya?Pangkatbilanganbulatdapatberupabilanganbulatpositif,nol,atau negatif.1. PangkatBulatPositifa. PengertianPangkatBulatPositifJikaaadalahbilanganriildannbilanganbulatpositifmakaan(dibaca"a pangkatn")adalahhasilkalinbuahfaktoryangmasing-masingfaktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuka a a a ann= ...sebanyak faktor dengan:a = bilangan pokok (basis);n = pangkat atau eksponen;an= bilangan berpangkat.Denganmenggunakankonsepbilanganpangkatpenulisanjarakantara matahari dan bumi, yaitu 150.000.000 km dapat ditulis dengan cara yang lebih ringkas, yang dikenal sebagai notasi ilmiah, yaitu 1,5 108 km.ContohSoal2.1Tentukan nilai dari pemangkatan berikut.a.34b. 253c.(1)7Jawab:a.34 = 3 3 3 3 =81b. 253 = 252525 =8125c.(1)7 = (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) = 1TesKompetensiAwalSebelummempelajaribabini,kerjakanlahsoal-soalberikut.1.Sederhanakanlah bentuk pangkat berikut:a.(4a)2 (2a)3 c. 393 4 62 2 mnpm npb.(2a2)3 : 4a3 2.Hitunglah nilai dari:a. 81 8714231( ) + ( )b.125 4332322575( ) +3.Jikaa = + 2 32danb = 2 13makahitunglah nilai dari:a.2a + b b.a b 4.Tentukan nilai x dari persamaan eksponen berikut: 5 253 5 4 x x + +=5.Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut:a. 2log 48 + 5log 50 2log3 5log 2b. a a aa a log log3c.3 5 4 3433 2163log logloglog+ MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK20 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 21MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK20 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 21b. Sifat-SifatOperasiPemangkatan1)SifatPerkalianBilanganBerpangkatUntuk a R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku: am an = am+ nBukti:am an =a a a a a a a am n ... ...sebanyak faktor sebanyak ffaktor = a a a a a a a am n +... ...sebanyak faktor = am+ n (terbukti)2)SifatPembagianBilanganBerpangkatUntuk a R,a 0 dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n.a aaaam nmnm n: = =Bukti:am : an = a a a aa a a amn ......sebanyak faktorsebanyak f aaktor = a a a am n ...) sebanyak (faktor = am n (terbukti)3)SifatPangkatdariBilanganBerpangkatUntuk a R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:(am)n = am nBukti:(am)n =a a a am m m mn ...sebanyak faktor = ( ... ) ( ... ) ... ( ... ) a a a a a a a a amn sebanyak faktor = am n (terbukti)4)SifatPangkatdariPerkalianBilanganUntuk a,b R dan n bilangan bulat positif, berlaku:(ab)n = an bnBukti:(ab)n = ab ab ab abn ...sebanyak faktor = ( ... ) ( ... ) a a a a b b b bn sebanyak faktor sebanya kk faktor n = an bn (terbukti)5)SifatPangkatdariPembagianBilanganUntuk a,b R,b0 dan n bilangan bulat positif, berlaku:ababnnn= Bukti: abababababn= ...= a a a ab b b bnn ......sebanyak faktorsebanyak f aaktor = abnn(terbukti) SolusiBentuk sederhana dari 23 (22)3 adalah ....a.27d.212 b.28e.218c.29Jawab:23 (22)3= 23 26= 23 + 6= 29Jawaban: cSumber: UN SMK 2005MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK22 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 23MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK22 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 23Contoh Contoh Contoh Contoh Soal Soal 2.3Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut. Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut. Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut. Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut.a. 60b. (2a)0c.xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404Jawab Jawab:a. 60= 1b. (2a)0= 1, dengan syaratdengan syarat a 0c.xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404xy3 404 = 1, dengan syaratdengan syarat x 0 dan y 0ContohSoal2.2Sederhanakanlah bentuk pemangkatan berikut.a.p5 p10 p4d.(3x2 y)2b.(x2)4 e. a ba b7 55 22c.26 : 24Jawab:a.p5 p10 p4 =p19 (sifat perkalian bilangan pangkat)b.(x2)4 = x2 4 = x8 (sifat pangkat dari bilangan berpangkat)c.26 : 24 = 26 4 = 22 = 2 2 = 4(sifat pembagian bilangan pangkat)d.(3x2y)2 = 32(x2)2y2 (sifat pangkat dari perkalian bilangan)= 32x4y2 (sifat pangkat dari bilangan pangkat)= 9x4y2e. ababa baba b7 55 227 5 5 222 322232=( )=( )=( )( )=- -ab4 6

(sifat pangkat dari bilangan pangkat)(sifat pangkat dari perkalian bilangan)(sifat pembagian bilangan pangkat)2. PangkatBulatNegatifdanNola.BilanganBerpangkatNolUntuk a R dan a 0 makaa0 = 1Bukti:a0= ann = aann (sifat pembagian bilangan berpangkat) = a a a aa a a ann ......faktorfaktor = 1Jadi, a0 = 1.00 tidak terdefinisi.karena:00 = 0nn ===0000nnTDCatatantidak terdefinisiMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK22 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 23MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK22 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 23SolusiBentuk sederhana dari a ba b( )1 239 3adalah .... a.a5b3b.a6b3c.a6b8d.a7b6e.a8b3Jawab:a ba ba ba ba ba ba b ( ) ( )= == =1 239 31 3 2 39 33 69 33 9 6 3ab6 3Jawaban: bSumber: UN SMK 2006 b.BilanganBerpangkatNegatifUntuk a R dan a 0 didefinisikan: aann=1Definisi ini berasal dari bentuk berikut.Misalkana a a aa aaa a am m n m m n nm m nmm n n::( ) + + += == =1maka aann=1.ContohSoal2.41.Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat negatif.a.a4b.x3 y2 c. 15 2pq Jawab:a. a4=-14a b.x yx y3 23 21 1 = =- - - -13 2x y c. 1 1 15 2 5 2pq p q= = p q 5 22.Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat positif.a.p5 b.33pq2c.xyz2 12 52

Jawab: a.pp551=

b.33 2 = pq1313 2pq

c. xzxyzxyzy2 12 52 12 52 2 5212112 === 42 5xzy

LatihanSoal2.11.Sederhanakan bentuk pangkat berikut.a.m5 m7 b.2a5 5a2 3a c. 125 34 3a a a d.(53x5y) (52y4)e. 7143 2 4 6pqr pqr( )2.Sederhanakan bentuk pangkat berikut.a.510 : 58 b.a3b : ab4 c.(2p3q5r2) : (4pq2r2)d. 2733 5 22xyzxyzKerjakanlahsoal-soalberikut.MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK24 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 25MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK24 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 25B. BentukAkar1. KonsepBilanganIrasionalPadaBab1,Andatelahdiperkenalkanmengenaibilanganrasionaldan bilangan irasional. Bilanganirasionaldidefnisikan sebagai bilangan yangtidak dapatdinyatakandalambentukperbandingan abdengana ,bBdanb0. Sedangkan bilangan rasional adalah blangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan ab dengan a, b, B dan b 0.Contoh bilangan irasional:a. = 3,141592 ...b.e = 2,718281 ...c. 2 1 414213 = , ...d. 7 = 2, 6457...Contoh bilangan rasional:a. 17990 171717 = ,... b. 9 3 0000 = , ...c.4 = 4,0000 ...d.1 6 1 6666159, , ... = =Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional.2. BentukAkarDalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu lambang bentuk akar, radikan, dan indeks. Secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk:an ( an dibaca "akar pangkat n dari a")InfoMathNotasi radikal diperkenalkan pertama kali pada 1525 oleh seorang ahli aljabar Jerman, Christof Rudolf (15001545) dalam bukunya yang berjudul Die Coss. Simbol ini dipilih karena kelihatan seperti huruf r dari kata radix, yang dalam bahasa latin berarti akar.Sumber: Finite Mathematics and It's Applications, 1994e. 123225 243 3 57 3babababab 3.Sederhanakan bentuk pangkat berikut.a.(2p)3b.(3m2n5)3 c.(4 m3 n4)2 : (64 m n2)3 d. xyz325e. abab2 342 61( )( )4.Sederhanakanbentukpangkatberikut.Kemudian, nyatakan dalam pangkat positif.a. 3 33 37 65 4 b.(2a3b1) : (2a2b3)2 c. xyxy22212 4d. c dc d 1 1e. 11 2a b +5.Jika a = 2 dan b = 3, tentukan nilai dari:a. a ba b ++1 12 2 b. a ba bb aa b ( )++ ( )3231 c. 11111+abMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK24 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 25MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK24 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 25AndaPastiBisaDi antara bilangan-bilangan berikut, manakah yang merupakan bentuk akar?a. 0 016 , b. 3 5 , c.0 25 ,d.1 69 ,e. 0 036 ,f.0 625 ,dengan: an disebut bentuk akar (radikal),disebut lambang bentuk akar,ndisebut indeks (pangkat akar),adisebutradikan(bilangandibawahtandaakar),dengana bilangan riil positif untuk nbilangan asli dan untuk nbilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.Bentuk akar terbagi atas 2 jenis:1.AkarSenamaSuatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.Contoh:a.2 3 5 , , , mempunyai indeks 2b. 5 10 113 3 3, ,, mempunyai indeks 3.2.AkarsejenisSuatubentukakardikatakanakarsejenisjikaindeksdanradikannya sama.Contoh:2 2 2 5 23 3 3, ,mempunyai indeks 3, radikannya 2Sepertihalnyabilanganpangkat,bentukakarpunmemilikisifat-sifat tertentu, yaitu sebagai berikut:Untuk a,b bilangan riil dengan nbilangan asli yang sesuai berlaku: 1. a b a bn n n = 2. ababnnn=3.p a q a p q an n n = ( )Sifat-sifat bentuk akar di atas menjelaskan bahwa perkaliandua bentuk akarsenamadenganindeksn,samadenganperkalianradikandarimasing-masing bentuk akar dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar senama. Untuk penjumlahan dan pengurangan dengan bentukakarsejenismakayangdijumlahkanataudikurangkannyaadalah koefsien dari masing-masing bentuk akar, lalu dikalikan dengan bentuk akar tersebut.ContohSoal2.51.Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar, sederhanakanlah bentuk akar berikut.a. 54b. 72c. 225 d. 1283Jawab:a. 54 9 6 9 6 = = =3 6b. 72 36 2 36 2 = = = 6 2c. 225225= =25 d.128 64 2 64 23 3 3 3= = =4 23 2.Sederhanakanlah operasi bentuk pangkat berikut.a.45 3 20 5 5 + b.2 3 2 3 3 5 2 +( )( ) SolusiBentuk sederhana dari:2 8 181432 200 + + +adalah ....a. 14 2d. 20 2b. 17 2e. 21 2c. 18 2Jawab:2 8 181432 2002 2 2 3 2144 2 10 24 2 3 2 1 2 10 2+ + + + + ++ + +===18 2Jawaban: cSumber: Ebtanas 1998MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK26 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 27MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK26 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 273. PangkatTakSebenarnyaBilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat denganpangkatbulatpositifdisebutjugabilanganberpangkatsebenarnya.Untuk sebarang nilai a dengan a 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan n 2 berlaku: a. a ann=1 b. a am nmn=Bilanganan1 danamn disebut bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.Jawab:a. 45 3 20 5 5 3 5 3 2 5 5 53 5 6 5 5 53 6 5 5+ = +( ) = + = + ( )= 4 5 b.2 3 2 3 3 5 2 6 3 10 6 3 6 5 218 7 6 10+( )( ) = + = = 87 6 LatihanSoal2.21.Tentukannilaidaribentukakarberikutini. Kemudian,manakahyangmerupakanbilangan irasional?a. 83 d.2435b.0 04 , e. 0 036 ,c. 3232.Sederhanakanlah operasi bentuk pangkat berikut.a.150 24 2 54 +b.3 108 2 75 5 12 + +c. 1272 2 27 5 2 + d.3 22( )e.2 5 3 2 5 3 +( )+( )f. 5 2 2 3 2 2 ( )( )g. 3 6 2 6 3 2 +( )( )3.Diketahuip = + 5 75 , q = + 6 12dan r = 8 27 . Tentukan bentuk paling sederhana dari 2p + q 2r.4.Diketahui,sebuahpersegipanjangdenganpanjang 7 2 3 3 ( ) cm dan lebar2 2 3 +( ) cm. Berapa luas persegipanjang tersebut?5.Jika x =2 3 5 + ( ) dan y = 2 3 5 + ( ) , tentukan nilai dari xy.Kerjakanlahsoal-soalberikut.MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK26 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 27MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK26 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 27AndaPastiBisaNilai dari:( ) ( ) .... 64 12515231612=a.0,16b.1,6c.6,4d.16e.64ContohSoal2.61.Ubahlahbilangan-bilanganberikutkedalambentukbilangandalam bentuk pangkat tak sebenarnya.a. x b. 53 c.p34d. a10 5 Jawab:a. x = x12b. 53= 513 c. p34=p34d. a a10 5105= = a22.Ubahlah bilangan berikut ke dalam bentuk akar:a.x213( )c.32535x y b.634p ( )d. 24 3 212xy( )Jawab:a. x x x213232 3( )= = b. 6 6 621634343 3434p p pp( ) = ( ) == c. 3 3325352 3152 35x y xyxy=( )= d.2 224444 3 2124123122122323212xy x yx yyxy x xxy x( )=( ) ( ) ( )=== =4. Sifat-SifatOperasiPangkatTakSebenarnyaUntuk a,b R dengana,b 0, serta p,q bilangan rasional maka berlaku sifat-sifat operasi pangkat tak sebenarnya sebagai berikut.1.apaq=ap+q2.ap:aq=apq3.(ap)q=apq4.(a

b)p=ap bp5. ababbppp= , 06. aaapp, = 10MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK28 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 29MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK28 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 29ContohSoal2.7Sederhanakan operasi bentuk pangkat tak sebenarnya dari:a.x x2343 c. abc4 6 712( )b. a a2532:d. 23776Jawab:a.x x x x x23432343632 = = =+b. a a a aaa aaa a25322532410151011101110110101 11: = === ==- -- c. abc abcabccabc c4 6 7122 3722 3 3122 3 3( )=== d.2 2 2 23776377612= = = Operasi pada bilangan bentuk pangkat tak sebenarnya menjelaskan bahwa pada dasarnya operasi yang berlaku sama dengan operasi pada bilangan bentuk pangkatsebenarnya.Perludiperhatikandisinibahwapangkatyangdipakai adalah pangkat bilangan nol, bilangan bulat negatif, dan bilangan pecahan.LatihanSoal2.31.Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk pangkat sebenarnya:a.ab2 3b.46xyc.x3d. 168 64xy2.Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk akar:a. 523b.2213p q c. a b23414 d.x2128 ( )3.Tentukan hasil operasi dari:a.27 81025423131252( ) + ( ) +( ) b.125 81273133452( ) ( ) + Kerjakanlahsoal-soalberikut.AndaPastiBisaTentukan bentuk sederhana dari 2513154xx.MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK28 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 29MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK28 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 29C. MerasionalkanPenyebutBentukAkarDalam suatu bentuk operasi bilangan, ada kalanya bilangan tersebut memiliki penyebut dalam bentuk akar, seperti: 1533 12 32 5 3, ,+ . Bentuk-bentukbilangantersebutdapatdisederhanakandengancarame-rasionalkanpenyebutpecahan-pecahantersebut.Kegiatanmerasionalkan pada intinya mengubah bentuk akar pada penyebut menjadi bentuk bilangan rasional, yang pada akhirnya bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana.Suatubentukpecahanyangmemuatbilanganbentukakardikatakan sederhana jika dipenuhi:1.setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan2.tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan.Padabagianini,Andaakanmempelajarimengenaicaramerasionalkan berbagai bentuk pecahan agar lebih sederhana.1. PecahanBentukabBentuk akar ab dengan b 0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahandengan b sehingga:ababbbabb = =4.Jika x= 25 dan y = 64, tentukan nilai dari x yy x322313125.Tentukan bentuk sederhana dari:a. 16 4 43 5b. 155 2516250 04444 ,ContohSoal2.8Sederhanakanlah penyebut dari bentuk pecahan berikut.a. 36 b. 53 c. 233 d. 2313+Jawab:a. 363666366126 = = =b. 52 352 33312 3151615 = ==c.Agar penyebut 33 dapat dirasionalkan, maka 33 dikalikan dengan 32 3 sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut: 2323332 932393 32 32 333= = =d. 231323132313333333333 3+ = + = + == = =MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK30 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 31MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK30 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 312. PecahanBentukab cUntukmenyederhanakanbentukpecahan ab c +atau ab c adalahdengan mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk sekawan dari b c +adalahb c . Sebaliknya, bentuk sekawan darib c adalahb c +sehingga ab cab cb cb cab cb c+=+--=-( )-2 ab cab cb cb cab cb c-=-++=+( )-2ContohSoal2.9Sederhanakan penyebut dari bentuk pecahan berikut.a. 43 5 b. 27 1 +c. 32 2 3 +Jawab:a. 43 543 53 53 54 3 59 54 3 543 5-=-++=+( )-=+( )= +b. 27 127 17 17 12 7 17 12 7 167 13+=+--=-( )-=-( )=c. 32 2 332 2 32 2 32 2 32 6 3 38 92 6 3 313 3 2 6+=+--=--=--= SolusiBentuk sederhana dari 43 5 +

adalah ....a. 3 5b. 4 5 +c. 3 5 +d. 4 5 e. 3 5 Jawab:43 543 53 53 54 3 59 512 4 54+=+= ( )== 3 5 Jawaban: eSumber: UN SMK 2006MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK30 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 31MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK30 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 313. PecahanBentukab cDanuntukmenyederhanakanpenyebutdaribentukpecahan ab c +atau ab c , yaitu dengan cara mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya.Bentuksekawandarib c + adalahb c .Sebaliknya, bentuk sekawan dari b c adalahb c +sehingga ab cab cb cb ca b cb c+=+--=-( )- ab cab cb cb ca b cb c-=-++=+( )-SolusiDengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 615 10 adalah ....a. 25153510b. 25153510 c. 35102515 d. +25153510e. 35102515 +Jawab:615 10615 1015 1015 106 15 1015 1090 6053 10 2 155=+++= +( )=+=+= 35110 +2515Jawaban: eSumber: Ebtanas 1998Sederhanakanlah penyebut dari bentuk pecahan berikut.a. 72 5 6 +b. 2 36 3 c. 1 214 5Jawab:a. 72 5 672 5 62 5 62 5 67 2 5 620 67 2 5 6142 5 62+=+--=-( )-=-( )=b. 2 36 32 36 36 36 32 18 2 36 36 2 632 2 2-=-++=+ -=+= +c. 1 214 51 214 514 514 514 5 28 1014 514 5 2 7 109--=--++=+ - --=+ ContohSoal2.10MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK32 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 33MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK32 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 334. MenyederhanakanBentukAkara+b 2 ab ( ) Bentuk a b a b + ( ) 2dapatdiubahmenjadibentuka b ( )dengan syarat a, b Rdan a > b.Bukti:a b a a b ba b aba b a b ab( )= += + ( ) = + ( )2222Jadi,a b ab a b + ( ) = 2Sederhanakan bentuk akar berikut.a. 12 2 20 c. 11 6 2 +b. 21 2 80 +d. 55 2 6 Jawab:a. 12 2 20 10 2 2 10 210 210 22- = + ( )- = -( )= b. 21 2 80 16 5 2 16 516 516 54 52+ = + ( )+ = +( )= +( )= + c. 11 6 2 11 2 3 211 2 189 2 2 9 29 29 23 22+ = + = += + ( )+ = +( )= +( )= + d. 55 2 653 253 23 23 25 5 23 25 5 2-=-=-++=+( )-= +( )ContohSoal2.11AndaPastiBisaNilai dari 79265 656132x yx y x untuk x = 4 dan y = 27 adalah ....a. 1 2 2 9 2 +( )b.1 2 2 9 3 +( )c.1 2 2 18 3 +( )d.1 2 2 27 2 +( )e.1 2 2 27 3 +( )Sumber: UAN 2002(cari faktor dari 80 yang jika faktornya dijumlahkan bernilai 21)(cari faktor dari 18 yang jika faktornya dijumlahkan bernilai 11)(penyebutnya diubah menjadi5 2 6 3 2 = )(cari faktor dari 20 yang jika dijumlahkan bernilai 12)MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK32 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 33MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK32 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 33D. LogaritmaPadapembahasansebelumnya, Andatelahmempelajarimengenaibilangan berpangkat,misalnya24 =16,2disebutsebagaibasis,4sebagaipangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik,2pangkatberapamenghasilkannilai16,Andaakanmenjawab4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:24 = 16 2log 16 = 4Secara umum:Jikax=an maka alogx=n, dan sebaliknyajika alogx=n makax=an.Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:alog x = n x = andengan:a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a 1; x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x> 0n = hasil logaritma.(alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")Bentuklogaritmadapatdinyatakandalambentukpangkatdansebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.LatihanSoal2.41.Sederhanakan penyebut dari bentuk akar berikut.a. 52d. 211g. 984b. 62 3e. 3 65h. 3253c. 410f. 7232.Sederhanakanlah penyebut dari bentuk akar berikut.a. 37 2 d. 3 32 2+ b. 510 5 +e. 3 2 73 2 7+ c. 3 26 2 2 f. 5 2 47 2 4+3.Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.a. 15 2 54 +d. 11 4 7 +b. 9 2 8 e. 128 2 12 +c.20 10 3 f. 5 2 38 2 154.Denganmerasionalkanpenyebut,tentukanbentuk sederhana dari:a. 2 62 3 5 + + b. 11 12016 524 + c. 3 13 4 312+ +( )5.Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRS dengan panjang 22 3 + cm dan lebar 25 2 3 + cm.Tentukan:a.keliling persegipanjang tersebut;b.luas persegipanjang tersebut.Kerjakanlahsoal-soalberikut.MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK34 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 35MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK34 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 351. Sifat-SifatLogaritmaa. Sifat1Untuk a > 0, a 1, berlaku:alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1Bukti:Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, a1=a alog a = 1Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, a0 = 1 alog 1 = 0Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1b. Sifat2Untuk a > 0, a 1, x > 0 dan y > 0 serta a,x, dan y R berlaku:alog x + alog y = alog xyBukti: alog x = n an = x alog y = m am = y alog xy = p ap = xyDari bentuk pangkat tersebut diperoleh xy=anam

xy=an+map=an+m

p=n+m

ContohSoal2.121.Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat.a. 3log 9 = 2b. 511253 log = c. 2log 32 = 2p Jawab:a. 3log 9 = 2 9 = 32 b. 5112531125log = = 53 c. 2log 32 = 2p32 = 22p2.Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.a. 72 = 149b. 2 432a=c. 3 3332pp= Jawab:a. 71492 = 7log149 = 2 b. 2 432a= 2log4 = 32 ac. 3 3332pp= 3 3log 3 = 32ppSolusiNilai dari 2log 3 + 2log 8 2log 6 adalah ....a.3d.1b.2e. 12c. 32Jawab:2log 3 + 2log 8 2log6 = 2 2 2 223 864 22 2log log loglog= == = 2Jawaban: bSumber: UN SMK 2003InfoMathJohnNapier(15501617)Metode logaritma pertama kali dipublikasikan oleh matematikawan Scotlandia, yaitu John Napier pada 1614 dalam bukunya yang berjudul Mirifci Logarithmorum Canonis Descriptio. Metode ini memberikan kontribusi yang besar untuk kemajuan ilmu pengetahuan, salah satunya pada bidang astronomi dengan menjadikan perhitungan rumit menjadi mudah.Sumber: en.wikipedia.orgSumber: cantiques.karaokes.free.frMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK34 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 35MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK34 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 35Maka:n = alog x,m = alog y dan p = alog xy,sehingga alog x + alog y = alog xyc. Sifat3Untuk a > 0, a 1, x > 0 dan y > 0 serta a,x, dan y R, berlaku:a a ax yxylog log log =Bukti: alog x = n an = x alog y = m am = y

a pxyp axylog = =Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh: xyaaxyaa ap n mnmn mp n m= = = = Jadi,a a ax yxylog log log = .d. Sifat4Untuk a > 0, a 1, a, n dan x Rberlaku:alog xn = n alog xBukti:

a n an faktora ax x x x xx xlog log ( ... )log log .= = + + ... loglog+=an faktoraxn x Jadi, alog xn = n alog x. e. Sifat5Untuk a,m > 0, serta a,m,n,x R,berlaku:a n amxnmx log log =Bukti: alog x = p ap = x

a n m q nmx q a x log = =Dari bentuk pangkat di atas diperoleh: xn=amq

(ap)n = amq anp = amq

np=mq qnm p = Jadi,a n amxnmx log log =.SolusiNilai dari 2log 48 + 5log 50 2log 3 5log 2 adalah ....a.2d.2b.6e.6c. 1625Jawab:2 5 2 52 2 5 5248 50 3 248 3 50 248log log log loglog log log loglog+ + 3350216 2552 5+ +loglog log4+2= 6Jawaban: eSumber: UN SMK 2005MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK36 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 37MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK36 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 371.Sederhanakan bentuk logaritma berikut.a. 2log 6+2log 182log 27b. 3 3 39 3 2 27 log log log + c. 8log 32+8log 168log 128Jawab:a. 2 2 2 222 226 18 276 1827422 22log log log loglogloglog+ - ==== =b. 3 3 3 3 2 3123 33 39 3 2 27 3 3 2 32 312log log log log log loglog lo+ - = + -= + gg log 3 2 3 32126124723-= + -= -= -c. 8 8 8 882 2232 16 12832 16128422323log log log loglogloglog+ + ==== =2232.Tentukan nilai x dari bentuk logaritma log log log log x = + 138 91327Jawab: log log log loglog log log ( )logxsifat= + -= + -=138 913278 9 27 4213133(( )+ -( )= + -===133139 32 9 32 9366log loglog log loglogloglog log xx==6ContohSoal2.13SolusiJika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka nilai dari log 75 = ....a.0,7781d.1,2552b.0,9209e.1,8751c.1,0791Jawab:log 75= log 3004= log 300 log 4= log 100 + log 3 2 log 2= 2 + 0,4771 2(0,3010)= 2,4771 0,6020= 1,8751Jawaban: eSumber: UN SMK 2003MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK36 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 37MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK36 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 37f. Sifat6Untuk a,p > 0, dan a,p 1, sertaa,p, dan x R,berlaku:app xxxx alogloglog log= =1Bukti: alog x = n x = anlog x = log an(sifat 4 logaritma)

= =log logloglogx n anxapp =appxxalogloglog (terbukti)Jika p = x maka

axxxxxaaloglogloglog==1

g. Sifat7Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a,x,dan y Rberlaku:alog xxlog y= alog yBukti: alog x = p ap = x xlog y = q xq = y

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh y

= xq

y = (ap)q y = apq

alog y = alog apq

alog y = pqalog a alog y = pq

alog y= alog xxlog yh. Sifat8Untuk a > 0, sertaa dan x R, berlaku:a xax log=Bukti: a nn xxx n a xx a x aa xaalog.loglog= == == Jadi,i. Sifat9Untuk a > 0, serta a dan x R berlaku:a xn x nalog=Bukti:n x p x px ax aa xa a nn pn n xn x naalog log, .loglog= ==== JadiAndaPastiBisaJika diketahui log x = a dan log y = b,log1032xy = ....a. 1032abb. 302abc.10 (3a 2b)d.10 + 3a 2be.1 + 3a 2bSumber: UN SMK 2004MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK38 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 39MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK38 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 39ContohSoal2.141.Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, nyatakan 12log 30 dalam a dan b.Jawab: 1233333 330301265 64 35logloglog( )logloglog log== ( ) ( )=+sifat664 325 2 32 15 23 33 33 23 3log log( )log logloglog log+=+ ( )+=+ +sifat33332 2 1112111212loglog +=+ ++=+++=+++baaab aaaaab aaaab aa=+ ++122.Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut.a. 2log 25 3log 8 5log 9b.2 9 52 3 257 2 4 log log log + Jawab:a.2 3 5 2 2 3 3 5 22 3 525 8 9 5 2 32 5 3 2 2log log log log log loglog log lo = = gglog log loglog log loglog32 3 2 5 2 312 5 3 212 22 3 52 5 32= = = =112 1 12 = b.2 9 5 7 3 57 2 572 3 25 3 522527 2 4 2 2 2222log log log log loglog- + = -( )+= - += - - += - +=4 57 4 2552 log MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK38 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 39MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK38 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 39Selain menggunakan tabel, perhitungan logaritma suatu bilangan dapat juga dilakukan dengan menggunakan kalkulator. Kalkulator yang dapat digunakan untuk menghitung logaritma adalah kalkulator ilmiah.Catatan2. MenentukanLogaritmaBerbasis10dariSuatuBilangandenganMenggunakanTabelLogaritmaDalamperhitunganmatematika,untuklogaritmabiasanyadigunakanbasis 10. Pada logaritma dengan basis 10, bilangan pokok 10 biasanya tidak ditulis. Selanjutnya,Andaakanmempelajaritabellogaritma(Tabel2.1)seperti berikut.LatihanSoal2.51.Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.a. 7 712= d. 35pq =b.2142q= e.4 81 x+=c.a xm n +=2.Nyatakan bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk pangkat.a. 21325 log = d. 2 24 loga = b. 312log x =e. 4 243 = logr c. 52 1 log p q + ( ) =3.Tentukan nilai x dari logaritma berikut.a. 2log (2x 6) = 3b. 3logx2 = 2c. 5log (x2 2x + 22) = 24.Sederhanakan bentuk logaritma berikut.a. 12log 3 + 12log 4b. 3log 16 + 3log 5 3log 4c. 4log 200 4log 25d. 131213137562536log log log + e. 3 5 81 161243125 312log log log log + 5.Sederhanakan bentuk logaritma berikut.a. 5log4 2log 3 9log 5b. 6 4 312736 8 log log log c. 5 4 275 2 310 3 2 log log log+ +d. 9 1633 4532 2312log logloglog+ 56.Jikaa = 5log 1; b = 10log 0,01; c = 5log 0,2; d =128 log .Tentukan nilai dari a b cd + ( )2.7.Jika2log (2x1) = 4; ylog 0,125 = 3; 22 log z =, tentukan nilai dari xyz.8.Jika log 2 = x dan log 3 = y,tentukan nilai dari 5log24.9.Jika 5log 3 = a dan 3log 4 = b,tentukan nilai dari 12log75.10.Jika 2log 3 = a, tentukan nilai dari nilai dari 3 2734 2114log loglog+ +.Kerjakanlahsoal-soalberikut.MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK40 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 41MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK40 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 41N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0000 3010 4771 6021 6990 7782 8451 9031 95421 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 27882 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 46243 4771 4914 5051 5158 5315 5441 5563 5682 5798 59114 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 69025 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 77096 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 83887 8451 8513 8573 8533 8692 8751 8808 8865 8921 89768 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 94949 9542 9590 9638 9638 9731 9777 9823 9868 9912 995610 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 037411 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 075512 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 110613 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 143014 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 173215 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 201416 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2101 2227 2253 227917 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2404 252918 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 276519 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2993 2945 2967 298920 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 320121 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 330422 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 359823 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 378424 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 396225 3978 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 413326 4150 4165 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 429827 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 445628 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 460929 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 475730 4771 4785 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 Tabel2.1Tabel LogaritmaMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK40 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 41MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK40 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 41karakteristik mantisaSebelummenentukannilailogaritmadenganmenggunakantabelini, Andaperlumemahamiterlebihdahuluhal-halyangberhubungandengan tabel logaritma tersebut.Logaritmasuatubilangannilainyaterdiriatasduabagian,yaitu karakteristik(bilanganyangterletakdidepankomadesimal)danmantisa (bilangan yang terletak di belakang koma).Contoh:log 4 ,65 = }0 , 667} Dalamtabellogaritmaterdapatkolom-kolom,kolompertama(disebut kolom N). Dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan yang berurutan mulai dari0sampaidengan1000.Barisjudulpadakolomkeduasampaidengan kolom kesebelas dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka 0,1,...,9. Pada kolom-kolom tersebut dari atas ke bawah memuat mantisa, yang terdiri atas 4 angka (digit).Besarkarakteristikdarilogaritmadapatditentukanberdasarkannilai numerusnya. alog x = na.Jika 1 < x < 10karakteristiknya 0b.Jika 10 < x < 100 karakteristiknya 1c.Jika 100 < x < 1000karakteristiknya 2Berikut akan diberikan langkah-langkah mencari logaritma suatu bilangan dengan tabel logaritma, seperti pada Contoh Soal 2.15. Tugas2.1Dengan menggunakan tabel logaritma dari sifat-sifat logaritma, hitunglah:1. log 732. log 153.log127Kemudian, diskusikan hasilnya dengan temanmu.ContohSoal2.15Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:a.log 2,6;b.log 2,65;c.log 26,5;d.log 265.Jawab:a.log 2,6 = 0,...Bagiandesimalnya(mantisa)diperolehdaripertemuanantarabaris yang memuat angka 2 dan kolomyang memuat angka 6, yaitu 4150.Jadi, log 2,6 = 0, 4150.b.log 2,65 = 0,...Bagiandesimalnya(mantisa)diperolehdaripertemuanantarabaris yang memuat angka 26 dan kolomyang memuat angka 5, yaitu 4232. Jadi,log 2,65 = 0, 4232.c.log 26,5 = 1,...Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) tersebut. Jadi log 26,5 = 1,4232.d.log 265 = 2,...Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) dan (c) tersebut. Jadi log 265 = 2,4232. Tabel logaritma yang lebih lengkap dapat Anda lihat di akhir halaman buku ini.CatatanDigiMathPerhitungan pada Contoh Soal 2.15 (a) dapat juga dilakukan dengan bantuan kalkulator. Kalkulator yang digunakan di sini adalah kalkulator jenis FX-3600 PV seperti pada gambar berikut.Carauntukmenentukanlog2,6 adalah sebagai berikut. Tekanlah tombol-tombolsehinggahasilyangdiperoleh adalah 0,414973348 0,4150.2 6 logSumber: world.casio.comMatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK42 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 43MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK42 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 43Jikanumerusdarilogaritma00makapersamaankuadrat2x2+3x14=0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.b.3x2 5x + 2 = 0Dengan nilai a = 3, b = 5, c = 1 makaD = (5)2 4 3 2= 25 24 = 1 Oleh karena D > 0 maka persamaan kuadrat 3x2 5x + 2 = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda.c.2x2 + 3x + 4 = 0Dengan nilai a = 2, b = 3, c = 4 makaD = 32 4 2 4= 9 32 = 23 OlehkarenaD 0b. m>32c. 322 6 < < > m m ataud.m > 6e.m < 2atau m > 6Jawab:4x2 2mx + 2m 3 = 0Dengan nilai a = 4, b = 2m,c = 2m 3, agar kedua akarnya riil berbeda dan positif maka D > 0b2 4ac > 0(2m)2 4(4)(2m3) = 04m2 32m + 48 = 0m2 8m + 12 = 0(m 6)(m 2) = 0m 6 > 0atau m 2 > 0m > 6ataum> 2maka nilai yang memenuhi m > 6 Jawaban: dSumber: SPMB 2002MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 62 Persamaan dan Pertidaksamaan 63 MatematikaKelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK 62 Persamaan dan Pertidaksamaan 63Contoh Soal 3.91.Persamaan kuadrat px2 + (2 2p)x + p = 0 mempunyai 2 akar riil yang berbeda. Tentukan nilai p.Jawab:px2 + (2 2p)x + p = 0Dengan nilai a = p, b = 2 2p, c = p makaD= (2 2p)2 4 p p= 4 8p + 4p2 4p2 = 4 8p Agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar riil yang berbeda maka syaratnya adalah D > 0 sehingga4 8p > 08p > 4 pp