1

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CULTURII ŞI CERCETĂRII AL REPUBLICII MOLDOVA

Aria curricularăMATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE

MATEMATICĂClasele X-XII

GHID de implementare a curriculumului

Chişinău, 2019

2

COORDONATORI:•• Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECC•• Valentin CRUDU, șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator al

managementului curricular •• Valentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului de

lucru

EXPERŢI-COORDONATORI:•• Vladimir GUŢU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator general•• Anatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice, ex-

pert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi știinţe și Tehnologii

GRUPUL DE LUCRU:•• Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, Chișinău •• Aliona LAŞCU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, Chișinău

3

Preliminarii

Schimbarea este legea vieţii. Acei care privesc numai în trecut sau în prezent în mod sigur vor pierde viitorul.

John Rennedy

Dezvoltarea Curriculumului şcolar la Matematică pentru liceu derivă din necesitatea:• racordării curriculumului şcolar la cerinţele Codului Educației al Republicii Mol-

dova (2014) şi la Recomandările Parlamentului European și ale Consiliului Uniu-nii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018);

• corelării sistemului de competenţe specifice matematicii cu prevederile deter-minate de definiţia modernizată a competenţei şcolare, formulată în Cadrul de Referință al Curriculumului Național [2];

• descongestionării informaţionale a conţinuturilor şcolare la matematică;• majorării interesului şi motivaţiei elevilor pentru studiul matematicii. În practica educațională din Republica Moldova se implementează a patra generație

de curriculum la disciplina Matematică pentru liceu. Dezvoltarea/reconceptualizarea curriculară la matematică implică apariția unor întrebări. Prezentul ghid oferă răspun-suri la multe dintre întrebările ce apar la etapa actuală privind procesul educațional la matematică și implementarea curriculumului în liceu. În lucrare sunt prezentate răs-punsuri atât la aspectele inovative, strategice, teoretice, cât și la cele aplicative ale pre-dării – învățării – evaluării matematicii în liceu în contextul implementării curriculumu-lui elaborat. Sunt specificate aspectele referitoare la profilurile real și umanist privind implementarea prevederilor curriculumului la matematică.

Profesorul are dreptul să abordeze creativ cele recomandate prin prezentul ghid. Desigur, în final, el e cel care-și selectează și determină strategiile și tehnologiile pentru a obține succesul în atingerea obiectivelor preconizate, în realizarea prevederilor deter-minate de unitățile de competență și în formarea competențelor.

Prin realizarea Curriculumului la Matematică în liceu trebuie să se creeze condiții favorabile fiecărui elev pentru a-și forma și a-și dezvolta competențele într-un ritm in-dividual, de a transfera cunoștințele matematice dobândite în diverse domenii, inclusiv în viața cotidiană și în domeniul determinat de aria curriculară, pentru a-și continua studiile în învățământul superior și/sau pentru inserția socială/profesională.

4

Responsabilitatea educațională a profesorului de matematică și ponderea matema-ticii ca disciplină școlară sunt majore. De faptul cum elevii însușesc matematica depind în mare măsură succesele acestora la studiul multora dintre celelalte discipline școlare. Așadar, profesorul de matematică continuu va ține cont atât de specificul matematicii „ca regină a tuturor științelor”, cât și de faptul că matematica este disciplina care asi-gură, totodată, studierea conștientizată a majorității disciplinelor școlare.

Implementarea prevederilor curriculumului va contribui eficient la majorarea calității învățământului matematic în liceu.

Stimați profesori, autorii Ghidului vă doresc succese frumoase în implementarea prevederilor Curriculumului la disciplina Matematică în practică.

5

1. Referințe conceptuale ale curriculumului la disciplina

Matematică

1.1. Conceptul Curriculum școlar la disciplina Matematică pentru liceuCurriculumul la disciplina Matematică – parte componentă a curriculumului națio-

nal – este proiectat în baza Cadrului de referinţă al Curriculumului Naţional (2017) și se adresează prioritar profesorilor care vor preda disciplina Matematică în liceu.

Curriculumul școlar de matematică pentru clasele a X-a - a XII-a reprezintă instru-mentul didactic și documentul normativ principal ce descrie condițiile învățării și per-formanțele de atins la matematică în învățământul liceal, exprimate în competențe, în unități de competențe, în conținuturi și activități de învățare și evaluare [7].

El este elaborat în corelare cu Curriculumul la Matematică pentru învățământul gim-nazial, constituind o continuare, o dezvoltare firească a acestuia.

Învățământul matematic în liceu are, ca obiectiv prioritar, formarea și dezvoltarea competențelor specifice matematicii, necesare pentru continuarea studiilor, pregătirea personalității pentru viață și integrare socială.

Profesorul de matematică este obligat să realizeze în practică prevederile acestui document normativ. Este important ca și ceilalți parteneri educaționali – părinții, elevii, întreaga comunitate – să conștientizeze importanța și ponderea implementării Curricu-lumului la Matematică pentru liceu.

1.2. Demersuri inovative ale curriculumului la disciplina Matematică1.2.1. Conceptul teoreticElaborat în conformitate cu prevederile Codului Educației al Republicii Moldova

(2014), ale Cadrului de referință al Curriculumului Național (2017), ale Curriculu-mului de bază: sistem de competențe pentru învățământul general (2018), dar și cu Recomandările Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018), Curriculumul la disciplina Matematică reprezintă un document reglator, care are în vedere prezentarea interconexă a demersurilor conceptuale, teleologice, conținutale și metodologice, accentul fiind pus pe sistemul de competențe ca un nou cadru de referință al finalităților educaționale.

6

Curriculumul şcolar la Matematică are, ca obiectiv fundamental, implementarea politici-lor educaționale vizate de Codul Educației al Republicii Moldova (2014), care, prin Articolul 11, determină: „Educația are ca finalitate principală formarea unui caracter integru și dezvoltarea unui sistem de competențe care include cunoștințe, abilități, atitudini și va-lori ce permit participarea activă a individului la viața socială și economică.” [1]

În acest context, a fost reconceptualizată definiția noțiunii competență școlară: Competența şcolară este un sistem integrat de cunoştințe, abilități, atitudini şi va-

lori dobândite, formate şi dezvoltate prin învățare, a căror mobilizare permite identi-ficarea şi rezolvarea diferitor probleme în diverse contexte şi situații. [7]

Este important ca atât profesorii, cât și elevii, părinții să conștientizeze esența noțiunii competenţă şcolară ca un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori, nu ca un ansamblu.

Axarea accentului pe formarea abilităților necesită conștientizarea de către profe-sori, elevi și părinți a conceptului abilitate:

ABILITATE – capacitatea de a face totul cu ușurință și iscusință; dibăcie; îndemânare; măiestrie.

CAPACITATE – posibilitatea de a lucra într-un domeniu, de a realiza ceva; posibilita-tea de a realiza ceva într-un domeniu de activitate; proprietate de a pătrunde în esența lucrurilor. [53]

În procesul de proiectare a Curriculumului la disciplina Matematică s-a ținut cont de: • abordările postmoderne și tendințele dezvoltării curriculare pe plan național și

pe cel internațional; • necesitățile de adaptare a curriculumului disciplinar la așteptările societății, la

nevoile elevilor, dar și la tradițiile școlii naționale; • valențele disciplinei în formarea competențelor transversale, transdisciplinare și

a celor specifice; • necesitățile asigurării continuității și conexiunii dintre ciclurile învățământului

general: educaţie timpurie, învăţământul primar, învăţământul gimnazial şi învăţământul liceal.

Curriculumul de Matematică pentru liceu și, în ansamblu, procesul educațional la matematică în învățământul matematic general rămâne fundamentat pe următoarele principii:

I. Principiul constructiv (al structuralității), care vizează procesul de reluare sistema-tică a informațiilor, a conceptelor de bază ca pe un aspect esențial al predării – în-vățării. În contextul acestui principiu, învățământul matematic modern se realizea-ză concentric în spirală, fiind axat pe noțiunea (conceptul) matematică și formarea, la finalizarea școlarizării, a unor structuri ale gândirii specifice matematicii.

7

II. Principiul formativ, care vizează formarea directă a personalității elevului în pro-cesul educațional la matematică.

Sistemul de valori și atitudini, care se preconizează a fi formate în cadrul procesului educațional la matematică, este prezentat în Curriculum la p. 4 [7]. Profesorul de ma-tematică este obligat, pentru fiecare lecție, să formuleze, inclusiv în proiectul didactic, pentru a fi operaționalizat în cadrul lecției, cel puțin un obiectiv de formare a atitudini-lor și valorilor.

Unitățile de competențe, fixate în curriculum, determină achizițiile care trebuie să fie dobândite de către elevi la finele compartimentului studiat sau la finele anului de studii. Ele servesc și ca elemente/pași în formarea competențelor specifice. Achizițiile respective vor fi evaluate formativ și/sau sumativ, la finele unității de învățare/capitolu-lui/modulului și/sau la finele anului de studii.

Unitățile de conținut sunt instrumente care contribuie la dobândirea de către elevi a achizițiilor determinate de către unitățile de competențe proiectate și la formarea competențelor specifice disciplinei și a celor transversale/transdisciplinare.

Activitățile de învățare și produsele școlare recomandate prezintă o listă deschisă de contexte semnificative de manifestare a unităților de competențe proiectate pentru formare/dezvoltare și evaluare în cadrul unității respective de învățare. Cadrul didactic are libertatea și responsabilitatea să valorifice această listă în mod personalizat la nive-lul proiectării și realizării lecțiilor, dar și să o completeze în funcție de specificul clasei concrete de elevi, de resursele disponibile etc. [7]

Curriculumul la disciplina Matematică fundamentează și ghidează activitatea cadru-lui didactic, facilitează abordarea creativă a demersurilor de proiectare didactică de lungă durată și de scurtă durată, dar și de realizare propriu-zisă a procesului de predare – învățare – evaluare.

1.2.2. Sistemul de competențeCompetențele reprezintă un pachet transferabil și multifuncțional de cunoștințe, ca-

pacități, deprinderi, abilități, atitudini și valori, care îi permite individului să-și realizeze împlinirea și dezvoltarea profesională, incluziunea socială și inserția profesională în do-meniul respectiv. Competența se naște și este supusă evaluării la confluența sensurilor date de verbele a ști, a ști să faci, a ști să fii, a ști să conviețuiești, a ști să devii, deci nu este rezultatul acțiunii educaționale numai pe domeniul cognitiv, ci se raportează și la cel afectiv-atitudinal și psihomotor. Astfel, fiecare competență posedă o structură internă bine determinată, ce include: cunoștințe, capacități cognitive, capacități praxi-ologice, abilități, atitudini, emoții, valori etice, morale, motivații.

8

Profesorul va conștientiza că achizițiile finale în termeni de competențe nu sunt niș-te liste de conținuturi disciplinare care trebuie memorate. Pentru ca un elev să-și for-meze o competență, este necesar ca el:

• să stăpânească un sistem de cunoştinţe fundamentale în funcţie de problema care va trebui rezolvată în final;

• să posede deprinderi şi capacităţi de utilizare/aplicare în situaţii simple/standarde pentru a le înţelege, realizând astfel funcţionalitatea cunoştinţelor obţinute;

• să rezolve diferite situaţii-problemă, conştientizând astfel cunoştinţele funcţiona-le în viziunea proprie;

• să rezolve situaţii semnificative în diverse contexte, care prezintă anumite proble-me din viaţa cotidiană, manifestând comportamente/atitudini conform achiziţii-lor finale, adică competenţa.

Curriculumul este fundamentat pe competențele-cheie/transversale stabilite în Codul Educaţiei pentru sistemul de învățământ din Republica Moldova:

• competenţe de comunicare în limba română;• competenţe de comunicare în limba maternă; • competenţe de comunicare în limbi străine;• competenţe în matematică, în ştiinţe şi tehnologie;• competenţe digitale; • competenţa de a învăţa să înveţi;• competenţe sociale şi civice;• competenţe antreprenoriale şi spirit de iniţiativă;• competenţe de exprimare culturală şi de conştientizare a valorilor culturale. [1]Prioritare pentru învățământul matematic sunt competențele-cheie a), d), e), f) și h).Competențele-cheie/transversale cuprind trei aspecte ale vieții:

• împlinirea personală şi dezvoltarea de-a lungul vieții: competențele-cheie tre-buie să dea posibilitate indivizilor să-și urmeze obiectivele individuale, conduși de interesele și aspirațiile personale, de dorința de a continua învățarea pe tot parcursul vieții;

• cetățenia activă şi incluziunea: competențele-cheie trebuie să le permită indivi-zilor să participe în societate în calitate de cetățeni activi;

• angajarea în câmpul muncii: competențele-cheie trebuie să asigure formarea ca-pacității fiecărei persoane de a obține o slujbă decentă pe piața forței de muncă.

Competențele specifice sunt deduse din competențele-cheie/transversale și repre-zintă un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori, pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu, pe întreaga perioadă de școlari-tate de liceu.

9

La disciplina Matematică pentru liceu sunt preconizate următoarele competențe specifice:

Profilul real 1. Operarea cu numere reale și complexe pentru a efectua calcule în diverse con-

texte, manifestând interes pentru rigoare și precizie.2. Utilizarea conceptelor matematice, a metodelor, a algoritmilor, a proprietăților,

a teoremelor studiate în contexte variate de aplicare, recurgând la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene și/sau pentru rezolvarea unor probleme din diverse domenii.

3. Aplicarea raționamentului matematic în identificarea și rezolvarea problemelor într-o varietate de contexte, dovedind claritate, corectitudine și concizie.

4. Analiza rezolvării unei probleme, a unei situații-problemă în contextul corectitu-dinii, al simplității, al clarității și al semnificației rezultatelor, dezvoltând spiritul de obiectivitate și de imparțialitate.

5. Extrapolarea achizițiilor matematice dobândite pentru a identifica și a explica procese, fenomene din diverse domenii, utilizând concepte și metode matemati-ce în abordarea diverselor situații.

6. Elaborarea strategiilor și proiectarea activităților pentru rezolvarea unor proble-me teoretice și/sau practice, dezvoltând capacitatea de a aprecia rigoarea, ordi-nea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme.

7. Justificarea unui demers sau rezultat matematic, recurgând la argumentări, do-vedind tenacitate și perseverență.

Acestea corelează cu cele șapte competențe specifice matematicii, preconizate pen-tru formare în cadrul învățământului gimnazial, dezvoltându-le. Pentru profilul umanist sunt propuse spre dezvoltare cele șapte competențe specifice matematicii, preconiza-te pentru învățământul gimnazial:

Profilul umanist1. Operarea cu numere reale pentru a efectua calcule în diverse contexte, manifes-

tând interes pentru rigoare și precizie.2. Exprimarea în limbaj matematic a unui demers, a unei situații, a unei soluții, for-

mulând clar și concis enunțul. 3. Aplicarea raționamentului matematic la identificarea și rezolvarea problemelor,

dovedind claritate, corectitudine și concizie.4. Investigarea seturilor de date, folosind instrumente, inclusiv digitale, și modele

matematice, pentru a studia/explica relații și procese, manifestând perseverență și spirit analitic.

10

5. Explorarea noțiunilor, relațiilor și instrumentelor geometrice pentru rezolvarea problemelor, demonstrând consecvență și abordare deductivă.

6. Extrapolarea achizițiilor matematice pentru a identifica și a explica procese, fe-nomene din diverse domenii, utilizând concepte și metode matematice în abor-darea diverselor situații.

7. Justificarea unui demers sau rezultat matematic recurgând la argumentări, susținând propriile idei și opinii.

Recomandările Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018) stabilesc opt competențe-cheie:

1. competențe de alfabetizare; 2. competențe lingvistice; 3. competențe în domeniul matematicii, științei, tehnologiei și ingineriei; 4. competențe digitale; 5. competențe personale, sociale și de învățare; 6. competențe civice; 7. competențe antreprenoriale; 8. competențe de sensibilizare și expresie culturală.

Evidențiem aspectele comprehensive ale acestor grupuri de competențe-cheie: 1. Competențe de alfabetizare. Alfabetizarea este capacitatea de a identifica, a

înțelege, a exprima, a crea și a interpreta concepte, sentimente, fapte și opinii, atât verbal, cât și în scris, folosind materiale vizuale, auditive/audio și digitale în diferite dis-cipline și în diferite contexte. Ea implică capacitatea de a comunica și a stabili conexiuni cu alte persoane, în mod eficient, adecvat și creativ.

Dezvoltarea alfabetizării reprezintă baza pentru continuarea învățării și a interacțiunii lingvistice. În funcție de context, competențele de alfabetizare pot fi dezvoltate în lim-ba maternă, în limba de școlarizare și/sau în limba oficială dintr-o țară sau regiune.

Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăAlfabetizarea implică cunoștințe de citire și scriere și o bună înțelegere a informațiilor

scrise. Alfabetizarea necesită cunoștințe de vocabular, de gramatică funcțională și privind funcțiile limbajului. Ea include cunoașterea celor trei tipuri principale de interacțiune verbală, o serie de texte literare și neliterare și principalele caracteristici ale diverselor stiluri și registre ale limbii.

Cetățenii ar trebui să dețină competențele necesare pentru a comunica atât oral, cât și în scris, într-o gamă largă de situații, să monitorizeze și să își adapteze comunicarea la cerințele situației. Această competență include, de asemenea, capacitatea de a distinge

11

și a utiliza diferite tipuri de surse, de a căuta, a culege și a prelucra informații, de a utiliza instrumente ajutătoare și de a formula și a exprima argumentele oral și în scris într-o manieră convingătoare și adecvată contextului.

O atitudine pozitivă în ceea ce privește alfabetizarea implică adoptarea unui dialog critic și constructiv, o apreciere a calităților estetice și un interes pentru interacțiunea cu alte persoane. Aceasta implică o conștientizare a impactului limbajului asupra celorlalți și necesitatea de a înțelege și a utiliza limba într-un mod pozitiv și responsabil din punct de vedere social.

2. Competențe lingvistice. Această competență definește capacitatea de a utiliza diferite limbi în mod corespunzător și eficient pentru comunicare. Ea împărtășește, în linii mari, principalele dimensiuni ale competențelor de alfabetizare: se bazează pe ca-pacitatea de a înțelege, a exprima și a interpreta concepte, gânduri, sentimente, fapte și opinii, atât oral, cât și în scris (ascultare, vorbire, citire și scriere), într-o varietate de contexte sociale și culturale, în funcție de necesități sau dorințe.

Totodată, poate include menținerea și dezvoltarea în continuare a competențelor de limbă maternă.

Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţă Această competență presupune cunoștințe de vocabular și gramatică funcțională în

diferite limbi și o cunoaștere a principalelor tipuri de interacțiune verbală și registre ale limbilor. Sunt importante cunoștințele privind convențiile societale, aspectul cultural și variabilitatea limbilor.

Aptitudinile esențiale pentru aceste competențe constau în capacitatea de a înțelege mesajele verbale, de a iniția, a susține și a încheia conversații, de a citi, a înțelege și a redacta texte, cu niveluri diferite de aptitudini în diferite limbi, în funcție de necesitățile individuale. Cetățenii ar trebui să aibă posibilitatea de a utiliza instrumente în mod adecvat și de a învăța limbi străine într-un mod formal, non-formal și informal, pe tot parcursul vieții. O atitudine pozitivă presupune aprecierea diversității culturale, intere-sul și curiozitatea cu privire la diferite limbi și comunicarea interculturală. Aceasta pre-supune, de asemenea, respectarea profilului lingvistic individual al fiecărei persoane, inclusiv respectul față de limba maternă a persoanelor care aparțin minorităților și/sau provenite din familii de imigranți.

3. Competențe în domeniile matematicii, științei, tehnologiei și ingineriei A. Competențele în domeniul matematicii sunt definite drept capacitatea de a dez-

volta și a folosi o gândire matematică pentru a rezolva o serie de probleme în situații de zi cu zi. Având ca bază stăpânirea competențelor numerice, se pune accent atât pe

12

procese și activități, cât și pe cunoștințe. Competențele matematice implică, la niveluri diferite, capacitatea și disponibilitatea de a utiliza moduri matematice de gândire (gân-dire logică și spațială) și de prezentare (formule, modele, grafice, diagrame).

B. Competențele în știință se referă la capacitatea și disponibilitatea de a utiliza cunoștințele și metodologia care servesc la explicarea fenomenelor naturale pentru a identifica întrebări și pentru a formula concluzii bazate pe dovezi. Competențele în domeniul tehnologiei și ingineriei sunt aplicarea acestor cunoștințe și metodologii pentru satisfacerea dorințelor și nevoilor cetățenilor. Competențele în știință, tehno-logie și inginerie implică înțelegerea schimbărilor cauzate de activitatea umană și a responsabilității fiecărui cetățean.

Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţă A. Cunoștințele necesare în domeniul matematicii includ cunoștințe temeinice pri-

vind numerele, măsurile și structurile, operațiunile de bază și prezentările matematice de bază, o înțelegere a termenilor și conceptelor matematice, precum și o sensibilizare față de întrebările la care matematica poate oferi răspunsuri. Cetățenii ar trebui să dispună de competențele de a aplica principiile și procesele matematice de bază în con-texte de zi cu zi, acasă și la muncă (de exemplu, competențe financiare), să urmărească și să evalueze înșiruiri de argumente. Cetățenii ar trebui să fie în măsură să utilizeze raționamentul matematic, să înțeleagă dovezile matematice, să comunice în limbaj ma-tematic și să utilizeze instrumente ajutătoare corespunzătoare, inclusiv date statistice și grafice. O atitudine pozitivă în matematică se bazează pe respectarea adevărului și pe dorința de a căuta raționamente și a verifica valabilitatea acestora.

B. Pentru știință, tehnologie și inginerie, cunoștințele esențiale cuprind principiile de bază ale naturii, concepte științifice, teorii, principii și metode fundamentale, tehno-logii, produse și procese tehnologice, precum și o bună înțelegere a impactului științei, al tehnologiei, al ingineriei și al activităților umane în general asupra naturii. Aceste competențe ar trebui să permită cetățenilor să înțeleagă mai bine limitările și riscurile teoriilor, ale aplicațiilor și ale tehnologiilor științifice în societate în general (cu referire la procesul de luare a deciziilor, la valorile morale, cultură etc.).

Competențele includ înțelegerea științei drept un proces de investigare a naturii prin experimente controlate, capacitatea de a utiliza și a gestiona instrumente și mașini tehnologice, precum și date științifice, pentru a îndeplini un obiectiv sau a ajunge la o concluzie sau pentru a lua decizii bazate pe dovezi, precum și capacitatea de a renunța la propriile convingeri, atunci când acestea sunt în contradicție cu constatările experi-mentale noi. Cetățenii ar trebui să fie, de asemenea, în măsură să recunoască carac-teristicile esențiale ale investigației științifice și să dețină capacitatea de a comunica concluziile și motivele care au condus la acestea.

13

Competența presupune o atitudine de analiză critică și curiozitate, o preocupare pentru aspectele etice și susținerea atât a siguranței, cât și a durabilității mediului, în special referitor la progresele științifice și tehnologice în ceea ce privește interesul pro-priu, familial, al comunității și interesul mondial.

4. Competențe digitale. Competențele digitale implică utilizarea cu încredere, cri-tică și responsabilă a tehnologiilor digitale, precum și aplicarea acestora în procesul de învățare, la locul de muncă, sau în societate. Ele includ alfabetizarea în domeniul informației și al datelor, comunicarea și colaborarea, crearea de conținuturi digitale (inclusiv programare), siguranța (inclusiv bunăstarea digitală și competențe legate de securitatea cibernetică), precum și soluționarea problemelor.

Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăCetățenii ar trebui să înțeleagă modul în care tehnologiile digitale pot sprijini comu-

nicarea, creativitatea și inovarea și să fie conștienți de posibilitățile, de limitările, de efectele și riscurile acestora. Ei ar trebui să înțeleagă principiile generale, mecanismele și logica care stau la baza tehnologiilor digitale aflate în plină evoluție și să cunoască funcția și utilizarea de bază a diferitelor dispozitive, programe informatice și rețele.

Cetățenii ar trebui să aibă o abordare critică a valabilității, a fiabilității și a impactului informațiilor și datelor puse la dispoziție prin mijloace digitale și să cunoască principiile etice și juridice implicate în ceea ce privește utilizarea tehnologiilor digitale.

Cetățenii ar trebui să poată utiliza tehnologiile digitale pentru a-și susține cetățenia activă și incluziunea socială, colaborarea cu ceilalți, precum și creativitatea în vederea realizării obiectivelor personale, sociale sau comerciale.

Competențele includ capacitatea de a utiliza, a accesa, a filtra, a evalua, a crea, a programa și a împărtăși conținuturi digitale. Utilizatorii trebuie să aibă posibilitatea de a gestiona și a proteja informațiile, conținutul, datele și identitățile digitale, precum și de a recunoaște și a utiliza efectiv softuri, dispozitive, inteligență artificială sau roboți.

Utilizarea tehnologiilor și conținuturilor digitale necesită o atitudine reflexivă și cri-tică, dar care manifestă în același timp curiozitate, este deschisă și orientată spre viitor în ceea ce privește evoluția acestora. Este necesară, de asemenea, o abordare etică, sigură și responsabilă a modului de utilizare a acestor instrumente.

5. Competențe personale, sociale și de învățare. Competențele personale, sociale și de învățare înseamnă capacitatea de a reflecta asupra propriei persoane, gestiona-rea eficace a timpului și a informației, munca în echipă în mod constructiv, păstrarea rezilienței și gestionarea propriului proces de învățare și a carierei. Ele includ capacita-tea de a face față incertitudinii și complexității, de a învăța să înveți, susținerea bunăs-tării fizice și emoționale, empatia și gestionarea conflictelor.

14

Cunoştinţe, competenţe şi atitudini esenţiale legate de această competenţăPentru a avea relații interpersonale și o participare socială de succes este esențială

înțelegerea codurilor de conduită și a normelor de comunicare acceptate în general de diferite societăți și medii.

Competențele personale, sociale și de învățare necesită, de asemenea, cunoștințe privind componentele unui corp sănătos, ale unei minți sănătoase și ale unui stil de viață sănătos. Aceasta implică o cunoaștere a strategiilor de învățare preferate, cunoașterea nevoilor de dezvoltare a competențelor și a diferitelor modalități de a-și dezvolta competențele, precum și căutarea oportunităților și orientărilor referitoare la educație, formare și carieră sau a măsurilor de sprijin disponibile.

Competențele includ capacitatea de a identifica propriile capacități și interese, ca-pacitatea de abordare a complexităților, de a gândi în mod critic și de a lua decizii. Aceasta include capacitatea de a învăța și a lucra atât în colaborare, cât și în mod indi-vidual, precum și de a-și organiza procesul de învățare și de a persevera, a evalua și a face schimb de cunoștințe, de a obține sprijin atunci când este necesar și de a gestiona în mod eficient propria carieră și interacțiunile sociale.

Cetățenii ar trebui să fie rezilienți și să poată face față nesiguranței și stresului. Ei ar trebui să aibă capacitatea de a comunica în mod constructiv în medii diferite, de a co-labora în echipe și de a negocia. Aceasta include manifestarea toleranței, exprimarea și înțelegerea unor puncte de vedere diferite, precum și capacitatea de a obține încredere și de a empatiza.

Competența respectivă se bazează pe o atitudine pozitivă față de propria bunăs-tare personală, socială și fizică și pe învățarea pe tot parcursul vieții. Ea se bazează pe o atitudine de colaborare, asertivitate și integritate. Aceasta cuprinde, de asemenea, respectul față de ceilalți și disponibilitatea de a depăși prejudecățile și de a ajunge la un compromis.

Cetățenii ar trebui să aibă capacitatea de a identifica și a stabili obiective, de a se (auto)motiva, precum și de a-și dezvolta reziliența și încrederea pentru a desfășura și a reuși în procesul de învățare pe tot parcursul vieții. O atitudine de soluționare a pro-blemelor sprijină atât procesul de învățare, cât și capacitatea individuală de a aborda obstacolele și schimbările. Aceasta include dorința de a aplica experiențele anterioare de învățare și de viață și curiozitatea de a căuta oportunități de învățare și de dezvolta-re în diverse situații din viață.

6. Competențe civice. Competențele civice înseamnă capacitatea de a acționa în calitate de cetățeni responsabili și de a participa pe deplin la viața civică și socială, pe baza înțelegerii conceptelor și structurilor sociale, economice și politice, precum și a evoluțiilor și a durabilității la nivel mondial.

15

Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăCompetențele civice se întemeiază pe cunoașterea conceptelor de bază cu privire

la indivizi, grupuri, organizații de muncă, societate, economie și cultură. Aceasta presu-pune o înțelegere a valorilor comune europene, astfel cum sunt formulate în articolul 2 din Tratatul privind Uniunea Europeană și în Carta drepturilor fundamentale a Uniunii Europene. Competențele civice includ cunoștințe despre evenimentele contemporane, precum și o înțelegere critică a principalelor evoluții ale istoriei naționale, europene și a lumii. În plus, aceasta include o cunoaștere a obiectivelor, a valorilor și a politicilor mișcărilor sociale și politice, precum și a sistemelor durabile, în special a schimbări-lor climatice și demografice la nivel mondial și a cauzelor care stau la baza acestora. Cunoștințele despre integrarea europeană, precum și conștientizarea diversității și identității culturale în Europa și în lume, reprezintă un aspect esențial. Acestea includ înțelegerea dimensiunilor multiculturale și socioeconomice ale societăților europene și a modului în care identitatea culturală națională contribuie la identitatea europeană. Competențele civice se referă la capacitatea de a se implica în mod eficient, împreună cu ceilalți cetățeni, în interes comun sau public, inclusiv în ceea ce privește dezvoltarea durabilă a societății. Acest lucru implică gândirea critică și participarea constructivă la activitățile comunității, precum și la procesele decizionale de la toate nivelurile, de la nivel local și național până la nivel european și internațional. Acest lucru implică, de asemenea, capacitatea de a accesa, de a avea o înțelegere critică și de a interacționa atât cu formele tradiționale, cât și cu noile forme ale mass-mediei. Respectarea dreptu-rilor omului ca bază a democrației reprezintă fundamentul unei atitudini responsabile și constructive. Participarea constructivă implică disponibilitatea de a participa la proce-sul decizional democratic de la toate nivelurile, precum și la activitățile civice. Aceasta include sprijinirea diversității sociale și culturale, a egalității între bărbați și femei și a coeziunii sociale, disponibilitatea de a respecta viața privată a altor persoane și de a-și asuma responsabilitatea pentru mediu. Interesul față de evoluțiile politice și socioeco-nomice și comunicarea interculturală reprezintă premise necesare atât pentru a depăși prejudecățile, cât și pentru a ajunge la un compromis atunci când este necesar și pentru a asigura justiția socială și de echitate.

7. Competențe antreprenoriale. Competențele antreprenoriale se referă la capaci-tatea de a acționa în fața oportunităților și a ideilor și de a le transforma în valori pentru ceilalți. Ele se întemeiază pe creativitate, gândire critică și soluționarea problemelor, pe luarea de inițiative și perseverență și pe capacitatea de a lucra în colaborare, cu scopul de a planifica și a gestiona proiecte care au o valoare comercială, culturală sau socială.

16

Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăCompetențele antreprenoriale necesită cunoașterea diferitelor contexte și

oportunități pentru punerea ideilor în practică în activitățile personale, sociale și profe-sionale, precum și o înțelegere a modului în care acestea pot să apară. Cetățenii ar tre-bui să cunoască și să înțeleagă abordările privind planificarea și gestionarea proiectelor care includ atât procesele, cât și resursele. Ei ar trebui să aibă cunoștințe de economie și să înțeleagă oportunitățile și provocările sociale și economice cu care se confruntă un angajator, o organizație sau societatea. Ei ar trebui, de asemenea, să cunoască principi-ile etice, precum și propriile puncte forte și slabe.

Competențele antreprenoriale sunt bazate pe creativitate care include imaginația, gândirea strategică, soluționarea problemelor, reflecția critică și constructivă în ca-drul proceselor creative și al inovării. Acestea includ capacitatea de a lucra atât inde-pendent, cât și în echipă, pentru a mobiliza resurse (persoane și materiale) și pentru a susține activitatea. Totodată, se are în vedere capacitatea de a lua decizii financiare referitoare la cost și valoare. Sunt esențiale capacitatea de a comunica eficient și de a negocia cu alte persoane, abordarea nesiguranței, a ambiguității și a riscului în procesul de luare a deciziilor în cunoștință de cauză.

O atitudine antreprenorială se caracterizează prin inițiativă și autocontrol, prin ca-pacitate de anticipare și de evaluare prospectivă, prin curaj și perseverență în atingerea obiectivelor. Include dorința de a motiva alte persoane și de a pune în valoare ideile acestora, empatia, grija față de alte persoane și în general, precum și acceptarea abor-dărilor etice de asumare a responsabilității pe parcursul întregului proces.

8. Competențe de sensibilizare și expresie culturală. Competențele de sensibiliza-re și expresie culturală implică înțelegerea și respectul față de modul în care ideile și reflecțiile sunt formulate și comunicate în mod creativ în diferite culturi și printr-o serie de arte și alte forme culturale. Aceasta implică participarea la înțelegerea, dezvoltarea și exprimarea ideilor proprii și a sentimentului de apartenență sau a rolului în societate în diverse moduri și contexte.

Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăCompetența respectivă necesită cunoașterea culturilor și modurilor de exprimare

locale, naționale, europene și mondiale, inclusiv limbile, patrimoniul și tradițiile aces-tora, precum și cunoașterea produselor culturale, înțelegerea modului în care aceste exprimări pot influența opiniile individuale și se pot influența reciproc. Aceasta inclu-de înțelegerea diferitelor moduri de comunicare a ideilor între creator, participant și audiență în texte scrise, tipărite și digitale, teatru, film, dans, jocuri, artă și design, mu-zică, ritualuri și arhitectură, precum și în forme hibride. În acest context, este necesară

17

o înțelegere a propriei identități aflată în evoluție, într-o lume a diversității culturale, precum și a modului în care artele și alte forme culturale pot fi o modalitate de a vizu-aliza și a modela lumea.

Competențele includ capacitatea de a exprima și a interpreta cu empatie idei figura-tive și abstracte, experiențe și emoții, precum și capacitatea de a face acest lucru într-o serie de alte forme artistice și culturale. Competențele includ, de asemenea, abilitatea de a identifica și a concretiza oportunități în interes personal, social sau comercial prin intermediul artelor și al altor forme culturale și capacitatea de a se angaja în procese creative, atât ca individ, precum și ca membru al unei colectivități.

Sunt importante atitudinea deschisă și respectul față de diversitatea expresiilor cul-turale, împreună cu o abordare etică și responsabilă a proprietății intelectuale și cultu-rale. O atitudine pozitivă presupune, de asemenea, curiozitatea față de lumea înconju-rătoare, o atitudine deschisă spre noi posibilități și dorința de a participa la experiențe culturale.

În cadrul predării – învățării – evaluării matematicii în clasele a X-a - a XII-a vor fi formate și dezvoltate categoriile de competențe menționate mai sus.

1.2.3. Sistemul de conținuturiReferitor la sistemul de conținuturi propuse spre studiere în Curriculumul şcolar la

Matematică pentru liceu, în comparație cu curriculumul modernizat, s-au efectuat ur-mătoarele modificări:

18

Pofil

ul re

al

Clas

aCo

nțin

utur

i om

ise

Conț

inut

uri i

nclu

se

a X-

aI.

Num

ere

real

e•

Num

ere

real

e. M

ulțim

ile N

, Z, Q

, R•

Ope

rații

cu

num

ere

real

e (a

duna

rea,

scăd

erea

, înm

ulțir

ea, î

mpă

rțire

a,

ridic

area

la p

uter

e cu

exp

onen

t raț

iona

l, re

al).

Prop

rietă

ți•

Mod

ulul

num

ărul

ui re

al. P

ropr

ietă

ți: |

a| ≥

0;

|a| =

|-a|

; |a2 |

= |a

|2 =a2 ;

|ab|

= |a

||b|, a b

= a b

b ≠

0; |

a+b|

≤|a|

+|b|

III. F

uncț

ii nu

mer

ice.

Ecu

ații.

Inec

uații

. Sis

tem

e şi

tota

lităț

i •

Func

ții in

jecti

ve, s

urje

ctive

, bije

ctive

. •

Sunt

con

creti

zate

tipu

rile

de e

cuaț

ii, in

ecua

ții ș

i sis

tem

e pr

econ

izate

pe

ntru

stud

iere

. Prin

ace

asta

s-a

desc

onge

stion

at st

udie

rea

ecua

țiilo

r, in

ecua

țiilo

r, sis

tem

elor

de

ecua

ții și

inec

uații

VI. E

lem

ente

de

com

bina

toric

ă. B

inom

ul lu

i New

ton

• N

oțiu

nea

de m

ulțim

e or

dona

tă.

• N

oțiu

nea

de fa

ctor

ial

• Le

gile

com

bina

toric

ii•

Perm

utăr

i•

Aran

jam

ente

•

Com

bină

ri•

Prop

rietă

ți al

e co

mbi

năril

or•

Ecua

ții, i

necu

ații

ce c

onțin

ele

men

te d

e co

mbi

nato

rică

• Bi

nom

ul lu

i New

ton

• Fo

rmul

a te

rmen

ului

gen

eral

• Pr

oprie

tăți

fund

amen

tale

ale

coe

ficie

nțilo

r bin

omia

li •

Prop

rietă

ți al

e de

zvol

tării

bin

omul

ui la

put

ere

III.

Mon

oam

e. P

olin

oam

e. F

racț

ii al

gebr

ice

• N

oțiu

nea

de m

onom

cu

una

sau

mai

mul

te n

edet

er-

min

ate.

Ope

rații

cu

mon

oam

e•

Noț

iune

a de

pol

inom

cu

una

sau

mai

mul

te n

edet

er-

min

ate.

Ope

rații

cu

polin

oam

e: a

duna

rea,

scăd

erea

, în

mul

țirea

, rid

icar

ea la

put

ere

cu e

xpon

ent n

atur

al•

Form

a ca

noni

că a

unu

i pol

inom

de

o sin

gură

ned

e-te

rmin

ată.

Gra

dul u

nui p

olin

om d

e o

singu

ră n

ede-

term

inat

ă•

Împă

rţire

a po

linoa

mel

or d

e o

singu

ră n

edet

erm

i-na

tă. T

eore

ma

împă

rțiri

i cu

rest

pen

tru

polin

oam

e•

Împă

rţire

a la

bin

omul

X –

a

• Te

orem

a lu

i Bez

out

• De

scom

pune

rea

polin

oam

elor

în fa

ctor

i ire

ducti

bili

(met

oda

fact

orul

ui c

omun

, met

oda

grup

ării,

apl

ica-

rea

form

ulel

or d

e ca

lcul

pre

scur

tat,

desc

ompu

nere

a în

fact

ori a

trin

omul

ui d

e gr

adul

II, m

etod

e co

mbi

-na

te)

• N

oțiu

nea

de ră

dăci

nă a

unu

i pol

inom

de

o sin

gură

ne

dete

rmin

ată

• Ră

dăci

ni m

ultip

le•

Noț

iune

a de

frac

ție a

lgeb

rică.

DVA

• Am

plifi

care

a și

simpl

ifica

rea

frac

țiilo

r alg

ebric

e•

Ope

rații

cu

frac

ții a

lgeb

rice:

adu

nare

a, sc

ăder

ea,

înm

ulțir

ea, î

mpă

rțire

a, ri

dica

rea

la p

uter

e cu

exp

o-ne

nt în

treg

19

a XI

-a I.

Şiru

ri de

num

ere

real

e•

Noț

iune

a de

subș

ir de

num

ere

real

eII.

Lim

ite d

e fu

ncții

. Fun

cții

conti

nue

• O

pera

ții c

u fu

ncții

con

tinue

III. F

uncț

ii de

rivab

ile. A

plic

ații

ale

deriv

atel

or•

Aplic

ații

ale

dife

renț

iale

i la

calc

ulul

apr

oxim

ativ

V. M

atric

e. D

eter

min

anți.

Sist

eme

de e

cuaț

ii lin

iare

•

Ecua

ția m

atric

eală

AXB

= C

a XI

I-aIII

. Ele

men

te d

e te

oria

pro

babi

lităț

ilor

•Pr

obab

ilita

te c

ondi

ționa

tăIII

. Ele

men

te d

e co

mbi

nato

rică.

Bin

omul

lui N

ewto

n •

Noț

iune

a de

mul

țime

ordo

nată

. Noț

iune

a de

fact

o-ria

l•

Legi

le c

ombi

nato

ricii

• Pe

rmut

ări

• Ar

anja

men

te•

Com

bină

ri•

Prop

rietă

ți al

e co

mbi

năril

or•

Ecua

ții, i

necu

ații

ce c

onțin

ele

men

te d

e co

mbi

nato

-ric

ă•

Bino

mul

lui N

ewto

n•

Form

ula

term

enul

ui g

ener

al•

Prop

rietă

ți fu

ndam

enta

le a

le c

oefic

ienț

ilor b

inom

iali

• Pr

oprie

tăți

ale

dezv

oltă

rii b

inom

ului

la p

uter

e

Not

ă. L

a co

mpa

rtim

entu

l Ext

ensi

i: –

pent

ru c

lasa

a X

I-a, s

unt p

ropu

se sp

re st

udie

re m

odul

ele:

a) D

reap

ta în

pla

n; b

) Con

ice;

–pe

ntru

cla

sa a

XII-

a, s

unt p

ropu

se s

pre

stud

iere

mod

ulel

e: a

) Pol

inoa

me

în m

ulțim

ea n

umer

elor

com

plex

e; b

) Com

bină

ri de

co

rpur

i geo

met

rice.

20

Profi

lul u

man

ist

Clas

aCo

nțin

utur

i om

ise

Conț

inut

uri i

nclu

se

a X-

a I.

Num

ere

real

e •Cu

antifi

cato

rii e

xist

enția

l și u

nive

rsal

II. M

ulțim

i •In

terv

ale

de n

umer

e re

ale

III. F

uncț

ii. E

cuaț

ii. In

ecua

ții. S

iste

me

III.1

. Noț

iune

a de

func

ție •N

oțiu

nea

func

ţie. M

odur

i de

defin

ire a

func

ției

•Gr

aficu

l fun

cție

i •Pr

oprie

tăți

ale

func

țiilo

r ref

erito

are

la m

onot

onie

, zer

ouri,

ext

rem

eIII

. 4. F

uncț

ia p

uter

e. F

uncț

ia ra

dica

l •Ec

uații

iraț

iona

le d

e tip

ul:

fx

axb

���

�; abR

,∈

gx

fx

���

���

0

III. 5

. Fun

cția

exp

onen

țială

. Fun

cția

loga

ritm

ică

•Ec

uații

exp

onen

țiale

de

tipul

:1.

af(

x)=a

g(x) și

redu

ctibi

le la

ele

;2.

ecu

ații

expo

nenț

iale

redu

ctibi

le la

ecu

ații

alge

bric

e st

udia

te •Ec

uații

loga

ritm

ice

de ti

pul:

1 2. log

;

log

log

;

log

log

log

a aa

aa

a

fx

b

fx

gx

fx

gx

hx

���

���

��

���

���

��

3.

,

a>0,

a≠1

4. e

cuaț

ii lo

garit

mic

e re

ducti

bile

la e

cuaț

ii al

gebr

ice

stud

iate

21

IV. E

lem

ente

de

trig

onom

etrie

•Ce

rcul

trig

onom

etric

. Tr

ansf

orm

area

uni

tățil

or d

e m

ăsur

ă a

ungh

iuril

or d

in g

rade

în ra

dian

i și i

nver

s •Id

entit

ățile

trig

onom

etric

e fu

ndam

enta

le •Fo

rmul

ele

de re

duce

re •Fo

rmul

ele

sum

ei

•Fo

rmul

ele

ungh

iulu

i dub

luV.

Fig

uri g

eom

etric

e în

pla

n •N

oțiu

nea

de p

ropo

ziție

mat

emati

că. V

aloa

rea

de a

devă

r a p

ropo

ziție

i. N

oțiu

nile

de

axio

mă,

teor

emă,

teor

emă

reci

proc

ăVI

. Ele

men

te d

e co

mbi

nato

rică

•N

oțiu

nea

de fa

ctor

ial.

Mul

țimi o

rdon

ate

•Le

gile

com

bina

toric

ii •Pe

rmut

ări

•Ar

anja

men

te

•Co

mbi

nări

•Pr

oprie

tăți

ale

com

bină

rilor

•Ec

uații

ce

conț

in e

lem

ente

de

com

bina

toric

ă

a XI

-a II

. Fun

cții

deriv

abile

. Apl

icaț

ii al

e de

rivat

elor

• N

oțiu

nea

limita

func

ţiei î

ntr-u

n pu

nct

• N

oțiu

nea

deriv

ata

func

ţiei î

ntr-u

n pu

nct

• Pr

oble

me

din

dive

rse

dom

enii

ce c

ondu

c la

noț

iune

a de

der

ivat

ă•

Inte

rpre

tare

a ge

omet

rică

și fiz

ică

a de

rivat

ei. E

cuaț

ia ta

ngen

tei l

a gr

aficu

l fun

cție

i în

tr-u

n pu

nct

• Fu

ncții

der

ivab

ile p

e o

mul

țime

• Ta

belu

l der

ivat

elor

func

țiilo

r ele

men

tare

• Ca

lcul

ul d

eriv

atel

or. R

egul

i de

deriv

are

• De

rivat

a fu

ncție

i com

puse

(com

pusă

din

cel

mul

t dou

ă fu

ncții

ele

men

tare

)•

Punc

te c

ritice

. Pun

cte

de e

xtre

m, e

xtre

mel

e fu

ncție

i•

Prop

rietă

țile

func

țiilo

r der

ivab

ile: t

eore

ma

Ferm

at•

Aplic

ații

ale

deriv

atel

or d

e or

dinu

l 1 în

stu

diul

var

iație

i fun

cție

i pol

inom

iale

, rep

reze

n-ta

rea

grafi

că a

func

ției p

olin

omia

le•

Aplic

ații

dire

cte

ale

deriv

atel

or în

fizic

ă, g

eom

etrie

, eco

nom

ie (p

e ex

empl

e sim

ple)

• Pr

oble

me

simpl

e de

max

im și

min

im. O

ptim

izări

22

IV. M

atric

e. D

eter

min

anți.

Sis

tem

e de

ecu

ații

linia

re

• M

etod

a lu

i Gau

ssV.

Par

alel

ism

ul în

spaț

iu•

Axio

mel

e pl

anul

ui. P

ropr

ietă

ți al

e pl

anul

uiVI

. Per

pend

icul

arita

tea

în sp

ațiu

• Te

orem

a ce

lor t

rei p

erpe

ndic

ular

e. R

ecip

roca

VII.

Tran

sfor

măr

i geo

met

rice

în sp

ațiu

• Tr

ansf

orm

ări i

zom

etric

e în

spaț

iu•

Sim

etria

față

de

un p

unct

• Si

met

ria a

xial

ă•

Sim

etria

în ra

port

cu

un p

lan

a XI

I-aI.

Prim

itiva

. Int

egra

la n

edefi

nită

• N

oțiu

nea

de p

rimiti

vă•

Inte

gral

a ne

defin

ită•

Prop

rietă

ți•

Tabe

lul p

rimiti

velo

r uzu

ale

II. In

tegr

ala

defin

ită. A

plic

ații

• N

oțiu

nea

de in

tegr

ală

defin

ită•

Prop

rietă

ți•

Form

ula

lui N

ewto

n-Le

ibni

z•

Calc

ulul

arie

i, su

bgra

ficul

func

ției

I. El

emen

te d

e co

mbi

nato

rică

•N

oțiu

nea

de m

ulțim

e or

dona

tă.

Noț

iune

a de

fact

oria

l•

Legi

le c

ombi

nato

ricii

• Pe

rmut

ări (

fără

repe

tări)

•

Aran

jam

ente

(făr

ă re

petă

ri)•

Com

bină

ri (fă

ră re

petă

ri)•

Prop

rietă

ți al

e co

mbi

năril

or•

Aplic

ații

ale

com

bina

toric

ii în

acti

vi-

tate

a co

tidia

nă, î

n ec

onom

ie, fi

nanț

e,

soci

olog

ie, a

rte,

tehn

olog

ii, a

ntre

pre-

noria

t (ex

empl

e și

prob

lem

e). (

Mod

u-lu

l est

e tr

ansf

erat

din

cla

sa a

X-a

.)

23

1.2.4. Sistemul de activități de învățare și evaluareSistemele de activități de învățare fixate în curriculum sunt recomandabile pentru pro-

fesor. Realizarea însă a acestora facilitează dobândirea de către elevi a achizițiilor deter-minate prin unitățile de competență, formulate pentru fiecare compartiment conținutal. Profesorul are dreptul să completeze aceste sisteme cu alte tipuri de activități de învățare, în funcție de preferințele personale și pregătirea matematică a elevilor.

Lista produselor preconizate pentru a fi obținute de către elevi, ca rezultat al activităților realizate, de asemenea, este una recomandabilă. Profesorul, utilizând Referenţialul de evaluare [4], poate utiliza și alte produse în procesul educațional la matematică. Semnificative pentru formarea competențelor și pentru realizarea cone-xiunilor interdisciplinare/transdisciplinare sunt proiectele STEM și STEAM. Profesorul de matematică, de comun acord cu profesorii de alte discipline, va realiza cu elevii săi astfel de proiecte. Proiecte de acest tip sunt descrise în secvența 6.3. Proiecte STEM /STEAM din prezentul Ghid.

Profesorul de matematică va ține cont de faptul: competența se manifestă prin acțiune și se materializează în produse. Prin activitățile de învățare și produsele propu-se, curriculumul ghidează profesorul spre formarea la elevi a competențelor specifice matematicii.

1.2.5. Alte elemente de noutateCurriculumul dezvoltat la Matematică conține și alte elemente de noutate:1. Pentru fiecare clasă a X-a - a XII-a, la fiecare compartiment conținutal, este pre-

zentată lista de termeni matematici noi, care vor fi însușiți de către elevi în cadrul studierii temelor respective. Profesorul va fi atent să nu exagereze cu un număr mare de termeni, preconizați pentru studiere în cadrul lecției. Și în cadrul evalu-ărilor interne și/sau externe nu se permite utilizarea altor termeni, diferiți de cei indicați în curriculum și în manualele de matematică.

2. Curriculumului include și finalități prezentate după fiecare clasă (La finele clasei, elevul poate) și care reprezintă aspecte ale competențelor specifice disciplinei, manifestate gradual la etapa dată de învățare, care au și funcția de stabilire a obiectivelor de evaluare finale. Aceste finalități trebuie să fie aduse la cunoștința elevilor și a părinților/tutorilor acestora. Profesorul în procesul de predare, dar mai accentuat, în procesul de evaluare, va ține cont de finalitățile respective, pentru a fi formate și evaluate.

3. Sunt reiterate drepturile profesorului de matematică. Profesorul are dreptul: • să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut, dacă nu este afectată

logica științifică sau didactică;

24

• să repartizeze timpul efectiv pentru parcurgerea unităților de conținut în funcție de pregătirea matematică a elevilor la etapa respectivă a învățământului;

• să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;

• să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete din clasă.

25

2. Rolul obiectivelor în formarea competențelor

2.1. Modalități de operaționalizare a obiectivelor la matematicăPentru proiectarea și desfășurarea unei lecții este important să se formuleze corect

obiectivele operaționale, obiectivele lecției. În sprijinul unei formulări corecte a obiec-tivelor operaționale, prezentăm două tehnici (modele) de operaționalizare (formulare):

•– modelul pedagogului american R. F. Mager, care stabileşte trei parametri:1. descrierea comportamentului final al elevului (verbul);2. determinarea condițiilor în care se va realiza comportamentul (condițiile);3. precizarea criteriului performanței acceptabile (criteriul reușitei).

Exemplu. Elevul va fi capabil să rezolve în scris, prin metoda grafică, sistemul de ecu-aţii dat.

Deci, cei trei parametri sunt:1. să rezolve – comportamentul elevului;2. în scris, prin metoda grafică – condițiile;3. sistemul de ecuaţii dat – criteriul reușitei; •– modelul pedagogului belgian G. De Landsheere, care stabileşte cinci parametri:

1. cine va produce comportamentul dorit (subiectul);2. ce comportament observabil va confirma că obiectivul este atins (verbul);3. care va fi produsul acestui comportament (performanța);4. în ce condiții trebuie să aibă loc comportamentul (condițiile);5. pe temeiul căror criterii ajungem la concluzia că produsul e satisfăcător (cri-

teriul reușitei).Exemplu. Elevul va fi capabil să ordoneze în mod crescător sau descrescător două

șiruri dintre cele cinci șiruri de numere reale date, câte un șir pentru fiecare mod.Deci, cei cinci parametri sunt: 1. elevul – subiectul;2. să ordoneze – comportamentul elevului;3. şirurile de numere reale date – performanța;4. în mod crescător sau descrescător, câte un şir pentru fiecare mod – condițiile;5. două şiruri din cinci date – criteriul reușitei.Notă. Profesorul are dreptul să utilizeze în practică oricare dintre aceste modele de

formulare a obiectivelor operaționale. În definirea unui obiectiv, alegerea verbului este foarte importantă.

26

Profesorul va conștientiza că verbele să ştie, să înveţe, să afle, să cunoască, să poa-tă, să perceapă, să priceapă, să înţeleagă, să posede, să stăpânească, să sesizeze, să însuşească nu se vor utiliza la formularea obiectivelor lecției sau a unei activități edu-caționale.

În acest context, indicăm câteva norme ce trebuie respectate în formularea obiecti-velor operaționale ale activității didactice (lecției):

• un obiectiv operațional trebuie să vizeze o singură operaţie pentru a permite mă-surarea și evaluarea gradului său de realizare;

• un obiectiv operațional trebuie să fie exprimat în cuvinte cât mai puţine, pentru a facilita referirea la conținutul său specific;

• obiectivele operaționale trebuie să fie integrate şi derivabile logic, oferind o ex-presie clară a logicii conținutului informativ și a situațiilor de învățare;

• obiectivele operaționale trebuie să fie clare, explicite şi comprehensibile (înţelese) atât pentru elev, cât și pentru profesor;

• obiectivele operaționale trebuie să fie accesibile majorității elevilor și să poată fi realizate într-un interval concret de timp;

• obiectivele operaționale nu trebuie să fie prea numeroase pentru activitatea di-dactică planificată;

Sistemul de obiective proiectate pentru o lecție trebuie să includă: • cel puţin un obiectiv privind dobândirea cunoştinţelor (Ce va şti elevul?);• cel puţin două obiective privind aplicarea celor studiate, formarea priceperilor,

deprinderilor, abilităţilor, dezvoltarea capacităţilor (Ce va şti să facă elevul?) și• cel puţin un obiectiv privind formarea atitudinilor şi valorilor (Cum va şti să fie

elevul?).În ansamblu, de regulă, pentru o lecție de 45 de minute sunt acceptate 4-6 obiective

(operaționale). Numărul de unități de competențe acceptabile pentru o lecție de 45 de minute poate fi 1-5 unități de competență.

Obiectivele operaționale trebuie să corespundă vârstei elevilor, pregătirii şi achiziţi-ilor lor anterioare.

2.2. Metodologia convertirii unităților de competențe în obiectiveObiectivele (operaționale) ale lecției trebuie să rezulte din unitățile de competențe

preconizate la compartimentul, modulul (capitolul) respectiv. De fiecare dată elabo-rând proiectul didactic al unei lecții, profesorul, în conformitate cu proiectarea de lungă durată, va constata care sunt unitățile de competențe prioritare pentru lecția respecti-vă și le va converti în obiective (operaționale) ale acestei lecții.

27

În continuare, prezentăm câteva exemple de convertire a unităților de competențe în obiective:

1. Clasa a X-a, profilul real. Modulul I. Elemente de teoria mulțimilor şi logică ma-tematică

Unitatea de competență 1.6. Sortarea şi clasificarea obiectelor pe baza unor criterii date sau determinate

Ea poate fi convertită (utilizând modelul lui Mager) în următoarele obiective opera-ționale:

La finele lecției, elevii vor fi capabili: – să sorteze obiectele date în baza criteriilor date; – să sorteze obiectele selectate în baza criteriilor date; – să sorteze obiectele date în baza criteriilor determinate; – să sorteze obiectele selectate în baza criteriilor determinate; – să clasifice obiectele date în baza criteriilor date; – să clasifice obiectele selectate în baza criteriilor date; – să clasifice obiectele date în baza criteriilor determinate; – să clasifice obiectele selectate în baza criteriilor determinate.

Notă. Profesorul, la necesitate, va formula și obiective complexe. De exemplu: la finele lecției, elevii vor fi capabili să sorteze şi să clasifice obiectele date în baza criteriilor date sau la finele lecției, elevii vor fi capabili să sorteze şi să clasifice obiectele selectate în baza criteriilor determinate etc.

2. Clasa a XII-a, profilul real. Modulul III. Elemente de combinatorică. Binomul lui Newton

Unitatea de competență 3.1. Identificarea în diverse contexte şi clasificarea după diverse criterii a tipurilor de probleme de combinatorică studiate.

Ea poate fi convertită (utilizând modelul lui Mager) în următoarele obiective opera-ționale:

La finele lecției, elevii vor fi capabili: – să recunoască, în setul de probleme date, problemele de combinatorică; – să identifice, în situaţiile reale sau modelate, tipurile de probleme de combinato-

rică studiate; – să clasifice problemele de combinatorică conform criteriului: a) probleme de per-

mutări; b) probleme de aranjamente; c) probleme de combinări; d) probleme mix-te de combinatorică.

– să clasifice problemele de combinatorică conform criteriului: a) probleme de com-binatorică rezolvabile prin legea (regula) multiplicităţii (înmulţirii); b) probleme de combinatorică rezolvabile prin legea (regula) adunării.

28

Notă. Profesorul, la necesitate, va formula și obiective complexe. De exemplu: la finele lecției, elevii vor fi capabili să identifice, în situaţiile modelate date, problemele de combinatorică şi să le clasifice în baza criteriului: a) probleme de permutări; b) probleme de aranjamente; c) probleme de combinări; d) probleme mixte de combinatorică.

3. Clasa a XI-a, profilul umanist. Modulul III. Numere complexe.Unitatea de competență 2.2. Aplicarea numerelor complexe scrise în formă alge-

brică, a operaţiilor cu ele în rezolvarea problemelor, inclusiv în rezolvarea ecuaţiilor de gradul II, cu coeficienţi reali, poate fi convertită în următoarele obiective operaționale:

La finele lecției, elevii vor fi capabili: – să aplice numerele complexe scrise în formă algebrică în rezolvarea problemelor; – să utilizeze adunări, scăderi, înmulţiri, ridicări la putere cu exponent natural, îm-

părţiri cu numere complexe, scrise în formă algebrică, în rezolvarea problemelor; – să utilizeze proprietăţile operaţiilor cu numere complexe, scrise în formă algebri-

că, în calcule cu astfel de numere; – să aplice numerele complexe, scrise în formă algebrică, la rezolvarea ecuaţiilor de

gradul II cu coeficienţi reali.Un ajutor esențial la formularea obiectivelor ce derivă din unitățile de competență,

la selectarea verbelor adecvate, îi poate acorda profesorului de matematică taxonomia lui Bloom.

Pedagogia modernă identifică trei mari domenii de încadrare a obiectivelor: • domeniul cognitiv – asimilarea cunoștințelor, formarea deprinderilor și a capaci-

tăților intelectuale; • domeniul afectiv – formarea convingerilor, sentimentelor, atitudinilor; • domeniul psihomotor – elaborarea conduitelor motrice, a operațiilor manuale

etc. Verbele care indică comportamentele de învățare sunt prezentate mai jos; nivelele

clasificării corespund taxonomiei lui Bloom:

Categorii cognitive:(A) Cunoaşterea – a identifica, a distinge, a recunoaște, a dobândi;(B) Comprehensiunea (înțelegerea) – a traduce, a transforma, a exprima în cuvin-

te proprii, a ilustra, a pregăti, a citi, a reprezenta, a schimba, a scrie din nou, a redefini (Transpunerea); a interpreta, a reorganiza, a rearanja, a diferenția, a distinge, a face, a stabili, a demonstra (Interpretarea); a estima, a introduce, a conchide, a prevedea, a diferenția, a determina, a extinde, a interpola, a extra-pola, a completa (Extrapolarea);

29

(C) Aplicarea – a aplica, a generaliza, a stabili legături, a alege, a dezvolta, a organi-za, a utiliza, a se servi de, a transfera, a restructura, a clasifica;

(D) Analiza – a distinge, a detecta, a identifica, a discrimina, a recunoaște, a cate-gorisi, a deduce (Căutarea elementelor); a contrasta, a analiza, a compara, a distinge, a deduce (Căutarea relaţiilor); a analiza, a distinge, a detecta, a deduce (Căutarea principiilor de organizare);

(E) Sinteza – a scrie, a povesti, a relata, a produce, a construi, a crea, a transmite, a modifica, a se documenta (Crearea unei opere personale); a propune, a pla-nifica, a produce, a proiecta, a modifica, a specifica (Elaborarea unui plan de acţiune); a produce, a deriva, a dezvolta, a combina, a organiza, a sintetiza, a cla-sifica, a deduce, a formula, a modifica (Derivarea unor relaţii abstracte dintr-un ansamblu);

(F) Evaluarea – a judeca, a argumenta, a valida, a evalua, a decide, a considera, a compara, a standardiza.

Pentru domeniul afectiv (prezent și în procesul educațional la matematică), taxono-mia include următoarele categorii și verbele respective:

(A) Receptarea – a selecta, a alege, a transfera;(B) Reacția – a se conforma, a interpreta, a realiza, a selecta, a reveni, a motiva;(C) Valorificarea – a manifesta competenţă, preferinţă, angajare, pricepere, capaci-

tate; (D) Organizarea unui sistem de valori – a teoretiza, a defini un sistem de criterii

proprii, a se integra într-un univers superior de gândire şi de comportament;(E) Interiorizarea valorilor etico-estetice – a se bucura de aprecierea celor din jur,

a evita şi a dezaproba excesele.Notă. Verbele evidențiate mai sus îl vor ajuta pe profesor la convertirea unităților de

competențe în obiective.

30

3. Referințe proiective ale curriculumului la

disciplina Matematică

3.1. Curriculumul ca sursă de proiectare didactică de lungă duratăLa elaborarea proiectului didactic de lungă durată, profesorul utilizează:

– Curriculumul la Matematică; – manualul; – ghidul profesorului la manual (dacă există); – ghidul de implementare a Curriculumului la Matematică în liceu; – reperele metodologice privind organizarea procesului educațional la disciplina

Matematică pentru anul respectiv de studiu.Notă. Profesorul va realiza, de regulă, proiectarea de lungă durată în baza manualu-

lui de matematică, utilizat la clasă.Cerințe față de elaborarea proiectului de lungă durată (indiferent de modalitatea

de proiectare) din perspectiva formării de competențe: 1. Pentru fiecare modul, profesorul determină competențele specifice prioritare

pentru acest capitol și fixează indicatorii, conform curriculumului, în prima ru-brică.

2. Pentru fiecare secvență de conținut din modul, profesorul determină unitățile de competență care vor fi realizate prin conținutul concret și fixează indicatorii respectivi curriculumului în rubrica a doua.

3. Pentru secvențele de conținuturi recapitulative, în plan vor fi prevăzute una-do-uă ore, iar pentru conținuturi noi – cel puțin două-trei ore pentru o unitate.

4. Fiecare modul va conține, în mod obligatoriu, cel puțin o oră de sinteză a mate-riei din modulul respectiv și o oră de sinteză integrativă a materiei din modulele anterioare.

5. În proiectul de lungă durată se fixează orele de evaluare iniţială și cele de evaluare sumativă la început/sfârșit de unitate de învățare/capitol (modul), semestru, an.

6. Profesorul poate, după posibilitate, să proiecteze și ore pentru analiza evaluărilor realizate.

Notă: După ce proiectul de lungă durată este aprobat ca document de lucru, pro-fesorul are dreptul să efectueze modificări fixate în rubrica Observații (în funcție de situația concretă creată în clasa de elevi).

31

Se recomandă următoarea repartizare a temelor pe clase şi pe unități de timp:Profilul real

Clasa Temele Nr. de ore

a X-a

I. Elemente de teoria mulțimilor și logică matematicăII. Puteri. Radicali. LogaritmiIII. Monoame și polinoameIV. Figuri geometrice în plan. Recapitulare și completări (cercul, triunghiuri)V. Funcții realeVI. Funcția de gradul IVII. Funcția de gradul IIVIII. Funcția putere. Funcția radicalIX. Funcția exponențială. Funcția logaritmicăX. Elemente de trigonometrieXI. Figuri geometrice în plan. Recapitulare și completări (patrulatere, poligoane)La decizia profesorului

109

168

1710151222261510

Total: 170 de ore

a XI-a

I. Șiruri de numere realeII. Limite de funcții. Funcții continueIII. Funcții derivabile. Aplicații ale derivatelorIV. Numere complexeV. Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații liniareVI. Paralelismul în spațiuVII. Perpendicularitatea în spațiuVIII. Transformări geometrice în spațiuLa decizia profesorului

122435192116181510

Total: 170 de ore

a XII-a

I. Primitiva. Integrala nedefinităII. Integrala definităIII. Elemente de combinatorică. Binomul lui NewtonIV. Elemente de statistică matematică și teoria probabili-tăților, elemente de calcul financiar V. PoliedreVI. Corpuri de rotațieVII. Recapitulare finalăLa decizia profesorului

1821182521223010

Total: 165 de ore

Notă: 1. Repartizarea timpului de predare – învățare – evaluare se va determina pornind

de la cinci ore pe săptămână.2. Repartizarea orelor pe teme și stabilirea ordinii compartimentelor sunt orientative.3. Ordinea compartimentelor, în cadrul aceleiași clase, poate fi schimbată, dacă nu

este afectată logica științifică sau didactică.

32

Profilul umanist

Clasa Temele Nr. de ore

a X-a

I. Numere reale. Recapitulare și completăriII. MulțimiIII. Funcții. Ecuații. Inecuații. SistemeIV. Figuri geometrice în planLa decizia profesorului

158

422710

Total: 102 ore

a XI-a

I. Șiruri de numere realeII. Numere complexeIII. Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații lineareIV. Paralelismul în spațiuV. Perpendicularitatea în spațiuLa decizia profesorului

111620212410

Total: 102 ore

a XII-a

I. Elemente de combinatorică II. Elemente de statistică matematică și de calcul financiar III. Elemente de teoria probabilitățilorIV. PoliedreV. Corpuri de rotațieLa decizia profesorului

141712232310

Total: 99 de ore

Notă: 1. Repartizarea timpului de predare – învățare – evaluare se va determina pornind

de la trei ore pe săptămână.2. Repartizarea orelor pe teme și stabilirea ordinii compartimentelor sunt orientative.3. Ordinea compartimentelor, în cadrul aceleiași clase, poate fi schimbată, dacă nu

este afectată logica științifică sau didactică.

33

3.2.

Pro

iect

area

did

actic

ă de

lung

ă du

rată

la M

atem

atică

3.2.

1. P

roie

ctar

ea te

mati

co-c

alen

daris

tică

Clas

a a

X-a,

pro

filul

real

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nțe

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i (M

odul

e)N

r. de

or

eD

ata

Obs

erva

ții

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

Pr

edar

e –

învă

țare

Eval

uare

Tota

l:

23 135

12 170

I II III IV V VI VII

1.1,

1.4

, 1.6

, 1.7

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

, 1.5

, 1.6

, 1.7

1.1,

1.7

, 1.9

1.1,

1.7

, 1.8

, 1.9

1.1,

1.2,

1.6,

1.7,

1.8,

1.9

1.1

– 1.

91.

1 –

1.9

CS g

imna

ziu: I

-VII

I. 1 2 3-4 5 6-7 8 9 10

Elem

ente

de

teor

ia m

ulțim

ilor ş

i log

ică

mat

emati

că

Noț

iune

a de

mul

țime.

Mul

țimi n

umer

ice.

Sub

mul

țimi.

Ope

rații

cu

mul

țimi.

Prop

rietă

ți fu

ndam

enta

le.

Noț

iune

a de

pro

poziț

ie m

atem

atică

.M

etod

a re

duce

rii la

abs

urd.

Met

oda

indu

cție

i mat

emati

ceO

ra d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

iniți

ală.

10 1 1 2 1 2 1 1 1

Sem

. I

I II III IV V VI VII

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

, 2.5

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

, 2.5

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7

2.1

– 2.

7, 1

.8

2.1

– 2.

7

II.11

-12

13-1

415

-16

17 18 19

Pute

ri. R

adic

ali.

Loga

ritm

iPu

teri.

Pro

prie

tăți

Radi

cali.

Pro

prie

tăți.

Loga

ritm

ul u

nui n

umăr

poz

itiv.

Pro

prie

tăți.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

9 2 2 2 1 1 1

Sem

. I

34

I II III IV V VI VII

3.1,

3.2

3.1,

3.2

, 3.5

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

, 3.5

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

, 3.5

3.3,

3.4,

3.5,

3.6,

3.7,

3.8

3.3,

3.4,

3.5,

3.6,

3.7,

3.8

3.3,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.7

, 3.8

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

, 3.5

3.2

- 3.8

3.1

- 3.8

3.1

- 3.8

, 1.8

, 2.5

3.1

- 3.8

III.

20 2122

-23

24-2

526 27-2

829

-30

31-3

2

33-3

435 36 37

Mon

oam

e. P

olin

oam

e. F

racț

ii al

gebr

ice

Noț

iune

a de

mon

om. O

pera

ții c

u m

onoa

me.

Noț

iune

a de

pol

inom

. For

ma

cano

nică

a u

nui p

olin

om.

Ope

rații

cu

polin

oam

e.Îm

părț

irea

polin

oam

elor

.Îm

părț

irea

la b

inom

ul „

X –

a”.

Desc

ompu

nere

a po

linoa

mel

or în

fact

ori i

redu

ctibi

li.N

oțiu

nea

de ră

dăci

nă a

unu

i pol

inom

. Răd

ăcin

i mul

tiple

.N

oțiu

nea

de fr

acție

alg

ebric

ă. D

VA. A

mpl

ifica

rea

și sim

-pl

ifica

rea

frac

țiilo

r alg

ebric

e.O

pera

ții c

u fr

acții

alg

ebric

e.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

18 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1

Sem

. I

I II III IV V VI VII

7.1,

7.2

, 7.3

, 7.4

, 7.5

7.3,

7.4

, 7.1

07.

1 –

7.5

7.2

– 7.

77.

3, 7

.6, 7

.8, 7

.97.

4, 7

.5, 7

.6, 7

.77.

5, 7

.8, 7

.9, 7

.10

7.5,

7.8

, 7.9

, 7.1

07.

5, 7

.8, 7

.9, 7

.10

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

7.1

- 7.1

07.

1 –

7.10

7.1

– 7.

10

IV.

38 39 40 41 42 43 4445

-46

47-4

849

50-5

152 53 54

Figu

ri ge

omet

rice

în p

lan.

Rec

apitu

lare

şi c

ompl

etăr

i (c

ercu

l, tr

iung

hiur

i)N

oțiu

ni g

eom

etric

e fu

ndam

enta

le.

Cerc

ul. R

elaț

ii m

etric

e în

cer

c.Po

ziția

rela

tivă

a un

ei d

rept

e fa

ță d

e un

cer

c.U

nghi

la c

entr

u. U

nghi

însc

ris.

Triu

nghi

uri.

Lini

i im

port

ante

în tr

iung

hi. P

ropr

ietă

ți.Tr

iung

hiur

i con

grue

nte.

Crit

erii.

Triu

nghi

uri a

sem

enea

. Crit

erii.

Te

orem

a Th

ales

. Teo

rem

a fu

ndam

enta

lă a

ase

măn

ării.

Teor

ema

bise

ctoa

rei u

nghi

ului

inte

rior a

l triu

nghi

ului

.Re

lații

met

rice

în tr

iung

hi.

Triu

nghi

însc

ris în

cer

c. T

riung

hi c

ircum

scris

cer

culu

i.O

ră d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

17 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1

35

I II III IV V VI VII

4.1,

4.2

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.5

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

4.2,

4.3

, 4.4

, 4.5

, 4.6

4.1

– 4.

64.

1 –

4.6,

4.

1 –

4.6

V. 55 56 5758

-59

60 61 62

Func

ții re

ale.

N

oțiu

nea

func

ţie. M

odur

i de

defin

ire a

func

ției.

Prop

rietă

ți al

e fu

ncții

lor.

Ope

rații

cu

func

ții. F

uncț

ii co

mpu

se.

Func

ții in

vers

abile

. Fun

cția

inve

rsă.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

8 1 1 1 2 1 1 1

Sem

. I

I II III IV V VI VII

5.1,

5.2

, 5.3

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.1,

5.3

, 5.4

, 5.5

, 5.6

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

5.4,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.1

– 5.

85.

1 –

5.8

5.1

– 5.

8

VI.

63 64 6566

-67

68 69 70 71 72 73

Func

ția d

e gr

adul

I Fu

ncţia

de

grad

ul I.

Pan

ta d

rept

ei.

Ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă.

Sist

eme

de e

cuaț

ii. N

oțiu

nea

tota

litat

e.

Ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă, c

u m

odul

și/s

au

para

met

ru.

Inec

uații

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

. In

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

o n

ecun

oscu

tă, c

u m

odul

.Si

stem

e de

inec

uații

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

11 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

Sem

. I

I II III IV V VI VII

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.7

5.1,

5.3

, 5.4

, 5.5

, 5.6

5.1,

5.3

, 5.4

, 5.5

, 5.6

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.7

, 5.8

5.4,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.4,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.4,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.4,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.1

– 5.

85.

1 –

5.8

5.1

– 5.

8

VII.

74 7576

-77

78-7

9

8081

-82

83-8

485

-86

87 88 89

Func

ția d

e gr

adul

IIN

oțiu

nea

Func

ţia d

e gr

adul

II.

Ecua

ții d

e gr

adul

II. R

elaț

iile

lui V

iete

. In

ecua

ții d

e gr

adul

II.

Inte

rpre

tare

a ge

omet

rică

a ec

uație

i de

grad

ul d

oi c

u do

uă n

ecun

oscu

te.

Sist

eme

de d

ouă

ecua

ții a

lgeb

rice

de g

radu

l I, I

I. Si

stem

e de

ecu

ații

simet

rice,

om

ogen

e de

gra

dul I

I.Ec

uații

de

grad

ul II

cu

mod

ul, c

u pa

ram

etru

.Ec

uații

și in

ecua

ții ra

ționa

le c

u o

necu

nosc

ută.

O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

16 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1

Sem

. I,

sem

. II

36

I II III IV V VI VII

5.1

– 5.

45.

1 –

5.4

5.4,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.4,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.1

– 5.

85.

1 –

5.8

5.1

– 5.

8

VIII.

90-9

192

-93

94-9

697

-99

100

101

102

Func

ția p

uter

e. F

uncț

ia ra

dica

lFu

ncția

put

ere.

Func

ția ra

dica

l. Ec

uații

iraț

iona

le.

Inec

uații

iraț

iona

le.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

13 2 2 3 3 1 1 1

Sem

. II

I II III IV V VI VII

5.1

– 5.

45.

1 –

5.4

5.2,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.2,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.2,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.2,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.2,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.2,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.1

– 5.

85.

1, 5

.8, 3

,5, 2

.55.

1 –

5.8

5.1

– 5.

8

IX.

103-

104

105-

107

108-

109

110-

111

112-

114

115-

117

118-

119

120-

122

123

124

125

126

Func

ția e

xpon

enția

lă. F

uncț

ia lo

garit

mic

ăFu

ncția

exp

onen

țială

.Fu

ncția

loga

ritm

ică.

Ec

uații

exp

onen

țiale

.Ec

uații

exp

onen

țiale

cu

mod

ul.

Inec

uații

exp

onen

țiale

.Ec

uații

loga

ritm

ice.

Ec

uații

loga

ritm

ice

cu m

odul

.In

ecua

ții lo

garit

mic

e.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

24 2 3 2 2 3 3 2 3 1 1 1 1

Sem

. II

37

I II III IV V VI VII

6.1,

6.2

, 6.3

6.3,

6.4

, 6.6

6.2,

6.3

, 6.5

, 6.6

6.2,

6.3

, 6.5

, 6.6

6.2,

6.3

, 6.5

, 6.6

6.2,

6.3

, 6.5

, 6.6

6.1

– 6.

66.

1, 6

.3, 6

.4, 6

.56.

3, 6

.4, 6

.5

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.5

, 7.6

, 6.3

, 6.5

6.3,

6.4

, 6.5

, 6.7

6.3,

6.4

, 6.5

, 6.7

6.3,

6.4

, 6.5

, 6.7

6.3,

6.4

, 6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.3,

6.5

, 6.7

, 6.8

6.1

– 6.

86.

1 –

6.8,

1.8

6.1

– 6.

8

X.

127-

128

129-

130

131

132

133

134

135

136

137-

138

139-

140

141-

142

143-

144

145-

146

147-

148

149-

150

151

152

153

Elem

ente

de

trig

onom

etrie

Cerc

ul tr

igon

omet

ric.

Func

țiile

trig

onom

etric

e.

Iden

tităț

ile tr

igon

omet

rice

fund

amen

tale

. For

mul

ele

de

redu

cere

. Fo

rmul

ele

sum

ei. F

orm

ulel

e un

ghiu

lui d

ublu

.Fo

rmul

ele

subs

tituț

iei u

nive

rsal

e.Ca

lcul

ul v

alor

ilor f

uncț

iilor

trig

onom

etric

e.Ev

alua

re su

mati

vă.

Noțiu

nile

arc

sinus

, arc

cosin

us, a

rcta

ngen

tă, a

rcco

tang

entă

. Ca

lcul

ul v

alor

ilor a

rcsin

us, a

rcco

sinus

, arc

tang

entă

, ar

ccot

ange

ntă

ale

num

erel

or re

ale

uzua

le.

Rela

ții m

etric

e în

triu

nghi

. Teo

rem

a sin

usur

ilor.

Teor

ema

cosin

usul

ui.

Ecua

ții tr

igon

omet

rice

fund

amen

tale

.Ec

uații

trig

onom

etric

e re

ducti

bile

la e

cuaț

ii al

gebr

ice.

Ec

uații

trig

onom

etric

e om

ogen

e de

gra

dul I

, II.

Ecua

ții tr

igon

omet

rice

de fo

rma

axb

xcabcR

sin

cos

,,,

��

�In

ecua

ții tr

igon

omet

rice

fund

amen

tale

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

27 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

Sem

. II

38

I II III IV V VI VII

7.1,

7.2

, 7.4

, 7.5

7.1

– 7.

77.

4, 7

.5, 7

.6, 7

.77.

7, 7

.8, 7

.9, 7

.10

7.2,

7.3

, 7.4

, 7.7

7.6,

7.7

, 7.8

, 7.9

, 7.1

07.

1 –

7.10

7.1

– 7.

107.

1 –

7.10

7.1

– 7.

10

XI.

154-

155

156-

157

158-

159

160

161-

162

163-

164

165

166

167

168

Figu

ri ge

omet

rice

în p

lan.

Rec

apitu

lare

şi c

ompl

etăr

i (p

atru

late

re, p

olig

oane

)Pa

trul

ater

e co

nvex

e: p

aral

elog

ram

, par

alel

ogra

me

parti

-cu

lare

, tra

pez.

Patr

ulat

ere

însc

rise

în c

erc.

Pa

trul

ater

e ci

rcum

scris

e un

ui c

erc.

Po

ligoa

ne c

onve

xe. N

oțiu

nea

polig

on re

gula

t.Po

ligoa

ne re

gula

te în

scris

e în

cer

c. P

olig

oane

regu

late

ci

rcum

scris

e un

ui c

erc.

Aria

supr

afeț

elor

pol

igon

ale.

Lung

imea

cer

culu

i. Ar

ia d

iscul

ui.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

15 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1

Sem

. II.

1.1

– 7.

1016

9-17

0Re

capi

tula

re.

2

Clas

a a

XI-a

, pro

filul

real

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nțe

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i (M

odul

e)N

r. de

or

eD

ata

Obs

erva

ții

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

Pr

edar

e –

învă

țare

Eval

uare

Tota

l:

21 139

10 170

39

I II III IV V VI VII

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

, 1.5

, 1.6

, 1.7

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

, 1.5

, 1.6

, 1.7

1.1,

1.2

, 1.4

, 1.5

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.1

– 1.

71.

1 –

1.7

1.1

– 1.

7

I. 1-2

3-4

5-6

7-8 9 10 11 12 13

Şiru

ri de

num

ere

real

eN

oțiu

nea

şir d

e nu

mer

e re

ale.

Cla

sifică

ri.Pr

ogre

sia a

ritm

etică

. Pro

prie

tăți.

Apl

icaț

ii.

Prog

resia

geo

met

rică.

Pro

prie

tăți.

Apl

icaț

ii.Li

mita

unu

i șir.

Defi

niția

în li

mba

jul v

ecin

ătăț

ilor,

limba

jul

ε –

δ.N

oțiu

nea

de și

r con

verg

ent.

Noț

iune

a de

șir d

iver

gent

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

13 2 2 2 2 1 1 1 1 1

Sem

. I

I II III IV V VI VII

2.1,

2.2

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.6

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.6

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.6

, 2.7

, 2.8

2.2,

2.3

, 2.6

, 2.7

2.3,

2.6

, 2.7

, 2.8

2.3,

2.6

, 2.7

, 2.8

2.1-

2.3,

2.6

-2.8

2.3,

2.6

, 2.7

, 2.8

2.1,

2.4

, 2.5

, 2.6

2.1,

2.4

, 2.5

, 2.6

2.1,

2.4

, 2.5

, 2.6

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

, 2.5

, 2.6

2.1

– 2.

82.

1 –

2.8,

1.5

2.1

– 2.

8

II. 1415

-16

1718

-19

20 21-2

223

-24

2526

-27

28-2

9

30-3

1

32-3

334

-36

37 38 39

Lim

ite d

e fu

ncții

. Fun

cții

conti

nue

Punc

t de

acum

ular

e, p

unct

izol

at a

l une

i mul

țimi.

Noț

iune

a lim

ita u

nei f

uncţ

ii în

tr-u

n pu

nct.

Noț

iune

a lim

i-ta

une

i fun

cţii

la ±

∞.

Lim

ite la

tera

le.

Lim

itele

func

țiilo

r ele

men

tare

.O

pera

ții c

u lim

ite d

e fu

ncții

. Cal

culu

l lim

itelo

r de

func

ții.

Cazu

ri ex

cept

ate

la o

pera

ții c

u lim

ite d

e fu

ncții

.Li

mite

rem

arca

bile

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Noț

iune

a fu

ncţie

con

tinuă

într

-un

punc

t. Pu

nct d

e di

s-co

ntinu

itate

.Fu

ncție

con

tinuă

pe

o m

ulțim

e. C

ontin

uita

tea

la st

ânga

. Co

ntinu

itate

a la

dre

apta

. Cr

iterii

de

conti

nuita

te. C

ontin

uita

tea

func

țiilo

r ele

men

-ta

re.

Prop

rietă

țile

func

țiilo

r con

tinue

.As

impt

otel

e gr

afice

lor f

uncț

iilor

real

e.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

26 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 1 1 1

Sem

. I

40

I II III IV V VI VII

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

6.1,

6.4

, 6.5

, 6.6

6.3,

6.4

, 6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.5,

6.6

, 6.7

, 6.8

, 6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.

8, 6

.9, 6

.10

6.5,

6.6

, 6.7

, 6.8

, 6.9

, 6.1

0

6.1

– 6.

106.

1 –

6.10

, 1.5

, 2.6

6.1

– 6.

10

III.

40-4

142

-43

44-4

546

-47

48-4

950

-51

52-5

3

54 55 56

Para

lelis

mul

în sp

ațiu

Axio

mel

e ge

omet

riei î

n pl

an.

Axio

mel

e ge

omet

riei î

n sp

ațiu

. Pro

prie

tăți

ale

plan

ului

.Po

ziția

rela

tivă

a dr

epte

lor î

n sp

ațiu

.U

nghi

ul d

intr

e do

uă d

rept

e ne

copl

anar

e.Dr

epte

par

alel

e în

spaț

iu.

Poziț

ii re

lativ

e al

e dr

epte

lor î

n sp

ațiu

. Pro

prie

tăți,

crite

riu.

Poziț

ia r

elati

vă a

dou

ă pl

ane.

Pla

ne p

aral

ele,

pro

prie

tăți,

cr

iteriu

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

17 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

Sem

.I

I II III IV V VI VII

3.1,

3.2

, 3.3

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1

– 3.

53.

3, 3

.4, 3

.5, 3

.63.

3, 3

.4, 3

.5, 3

.63.

3, 3

.4, 3

.5, 3

.63.

1, 3

.2, 3

.3, 3

.63.

1, 3

.2, 3

.3, 3

.6

3.1

– 3.

6, 3

.8, 3

.93.

1. 3

.2, 3

.7, 3

.8

3.3,

3.4

, 3.7

, 3.9

3.6,

3.7

, 3.8

, 3.9

3.6,

3.7

, 3.8

, 3.9

3.3,

3.5

, 3.6

, 3.7

IV.

57

58-6

0

61-6

263

-64

65-6

768

-69

70-7

172

-73

7475

-76

77-7

8

79-8

081

-82

83-8

4

Func

ții d

eriv

abile

. Apl

icaț

ii al

e de

rivat

elor

Prob

lem

e di

n di

vers

e do

men

ii ce

con

duc

la n

oțiu

nea

de

deriv

ată.

Noț

iune

a de

rivat

e al

e fu

ncţie

i, de

rivat

a la

tera

lă a

une

i fu

ncţii

într

-un

punc

t. Fu

ncții

der

ivab

ile p

e o

mul

țime.

Tabe

lul d

eriv

atel

or fu

ncții

lor e

lem

enta

re.

Calc

ulul

der

ivat

elor

. Reg

uli d

e de

rivar

e.De

rivat

a fu

ncție

i com

puse

.De

rivat

a de

ord

in n

(n {2

,3}).

Inte

rpre

tare

a fiz

ică

a de

rivat

ei.

Inte

rpre

tare

a ge

omet

rică

a de

rivat

ei. E

cuaț

ia ta

ngen

tei l

a gr

aficu

l fun

cție

i înt

r-un

pun

ct.

Eval

uare

sum

ativă

.N

oțiu

nea

dife

renţ

iala

func

ţiei.

Regu

li de

cal

cul a

l di

fere

nția

lelo

r.Pr

oprie

tățil

e fu

ncții

lor d

eriv

abile

: teo

rem

ele

Ferm

at, R

ol-

le, L

agra

nge.

Punc

te c

ritice

. Pun

cte

de e

xtre

m, e

xtre

mel

e fu

ncție

i.Ap

licaț

ii al

e de

rivat

elor

de

ordi

n 1

și 2

în st

udiu

l var

iație

i fu

ncție

i.Re

prez

enta

rea

grafi

că a

func

ției.

37 1 3 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2

Sem

.I, II

41

3.6,

3.8

, 3.9

3.6,

3.7

, 3.8

, 3.9

3.1

- .3.

93.

1 –

3.9,

2.3

, 2.6

3.1

- .3.

93.

1 - .

3.9

85-8

6

87-8

990 91 92 93

Calc

ulul

lim

itelo

r fun

cție

i cu

ajut

orul

der

ivat

ei. R

egul

ile lu

i L̓H

ospi

tal.

Prob

lem

e de

max

im și

min

im. O

ptim

izări.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

2 3 1 1 1 1

I II III IV V VI VII

4.1,

4.2

, 4.3

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.5

4.1,

4.2

, 4.3

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.5

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

, 4.6

4.4,

4.5

, 4.6

, 4.7

, 4.8

4.5,

4.6

, 4.7

, 4.8

4.1

– 4.

84.

1 –

4.8

4.1

– 4.

84.

1 –

4.8

V. 94

95-9

6

97 9899

-100

101-

102

103-

105

106-

108

109

110

111

112

Num

ere

com

plex

eN

oțiu

nea

num

ăr c

ompl

ex. M

ulțim

ea C

. For

ma

alge

bric

ă a

num

ărul

ui c

ompl

ex.

Ope

rații

arit

meti

ce c

u nu

mer

e co

mpl

exe

scris

e în

form

ă al

gebr

ică.

Repr

ezen

tare

a ge

omet

rică

a nu

mer

elor

com

plex

e.

Mod

ulul

unu

i num

ăr c

ompl

ex.

Form

a tr

igon

omet

rică

a nu

măr

ului

com

plex

.O

pera

ții c

u nu

mer

e co

mpl

exe

scris

e în

form

ă tr

igon

ome-

tric

ă.Ec

uații

de

grad

ul II

, ecu

ații

bipă

trati

ce, e

cuaț

ii bi

nom

e.Ec

uații

reci

proc

e de

gra

dul I

II și

IV în

mul

țimea

C.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

19 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1

Sem

. II

I II III IV V VI VII

5.1,

5.2

5.1,

5.2

, 5.3

5.1,

5.2

, 5.3

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.3,

5.4

, 5.5

VI.

113

114-

115

116-

117

118-

120

121-

122

123-

124

Mat

rice.

Det

erm

inan

ți. S

iste

me

de e

cuaț

ii lin

iare

N

oțiu

nea

mat

rice.

Caz

uri p

artic

ular

e.

Ope

rații

cu

mat

rice.

Pro

prie

tăți.

Noț

iune

a de

term

inan

t de

ord

inul

doi

, de

ordi

nul t

rei,

de

ordi

nul n

. Pro

prie

tăți

fund

amen

tale

.Ca

lcul

ul d

eter

min

anțil

or d

e or

dinu

l doi

, tre

i, pa

tru.

M

atric

e in

vers

abilă

. Cal

culu

l mat

ricei

inve

rse.

Ecua

ții m

atric

eale

.

21 1 2 2 3 2 2

Sem

. II

42

5.3,

5.4

, 5.5

5.3,

5.4

, 5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.1

– 5.

85.

1 –

5.8,

4.2

, 4.5

5.1

– 5.

85.

1 –

5.8

125-

127

128-

129

130

131

132

133

Sist

eme

de e

cuaț

ii lin

iare

. Reg

ula

lui C

ram

er, m

etod

a lu

i Ga

uss,

met

oda

mat

ricea

lă.

Sist

eme

de e

cuaț

ii lin

iare

om

ogen

e.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

3 2 1 1 1 1

I II III IV V VI VII

7.1

– 7.

57.

1 –

7.5

7.1

– 7.

5, 7

.6, 7

.7

7.5,

7.6

, 7.7

, 7.8

, 7.9

, 7.1

0

7.1

– 7.

57.

5, 7

.6, 7

.7, 7

.8, 7

.9, 7

.10

7.1

– 7.

57.

1 –

7.5

7.5

– 7.

10

7.1

– 7.

107.

1 –

7.10

, 6.2

, 6.7

7.1

– 7.

10

VII.

134-

135

136-

137

138

139-

140

141

142-

143

144-

145

146-

147

148-

149

150

151

152

Perp

endi

cula

ritat

ea în

spaț

iuDr

epte

per

pend

icul

are

în sp

ațiu

, pro

prie

tăți,

crit

eriu

.Dr

eapt

a pe

rpen

dicu

lară

pe

plan

, pro

prie

tăți,

crit

eriu

.Pr

oiec

ții o

rtog

onal

e al

e pu

ncte

lor,

segm

ente

lor,

drep

te-

lor p

e pl

an.

Dist

anța

de

la u

n pu

nct l

a o

drea

ptă,

de

la u

n pu

nct l

a un

pl

an, d

e la

o d

reap

tă la

un

plan

.U

nghi

ul d

intr

e dr

eapt

ă și

plan

.Te

orem

a ce

lor t

rei p

erpe

ndic

ular

e. R

ecip

roca

.U

nghi

die

dru.

Plan

e pe

rpen

dicu

lare

, pro

prie

tăți,

crit

eriu

.Lu

ngim

ea p

roie

cție

i or

togo

nale

a u

nui

segm

ent

pe u

n pl

an. A

ria p

roie

cție

i ort

ogon

ale

a un

ei fi

guri

pe p

lan.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

19 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1

Sem

. II

I II III IV V

8.1,

8.2

, 8.4

, 8.5

8.1

– 8.

78.

1 –

6.7

8.1

– 8.

78.

1 –

8.7

8.1

– 8.

7

VIII.

153.

154-

155

156-

157

158-

159

160-

161

162-

163

Tran

sfor

măr

i geo

met

rice

în sp

ațiu

Tran

sfor

măr

i izo

met

rice

în sp

ațiu

. Pro

prie

tăți.

Sim

etria

față

de

un p

unct

. Pro

prie

tăți

Sim

etria

axi

ală

în sp

ațiu

. Pro

prie

tăți.

Sim

etria

în ra

port

cu

un p

lan.

Tran

slația

în sp

ațiu

. Pro

prie

tăți.

Asem

ănar

ea în

spaț

iu. P

ropr

ietă

ți.

16 1 2 2 2 2 2

Sem

. II

43

VI VII

8.1

– 8.

7 8.

1 –

8.7

8.1

– 8.

78.

1 –

8.7

164-

165

166

167

168

Rota

ția în

spaț

iu. P

ropr

ietă

ți.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

2 1 1 1

1.1

– 8.

716

9-17

0Re

capi

tula

re.

2

Cl

asa

a XI

I-a, p

rofil

ul re

al

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nțe

(sub

-com

pete

nțe)

(UC)

, con

form

cur

ri-cu

lum

ului

Nr.

crt.

Conț

inut

uri (

Mod

ule)

Nr.

de

ore

Dat

aO

bser

vații

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

Pr

edar

e –

învă

țare

Eval

uare

Tota

l:

47 109 9 165

I II III IV V VI VII

1.1,

1.2

, 1.3

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.2,

1.3

, 1.4

, 1.5

, 1.6

1.3,

1.4

, 1.5

, 1.6

, 1.7

1.3,

1.4

, 1.5

, 1.6

, 1.7

1.1

- 1.7

1.1

– 1.

71.

1 –

1.7

I. 1-2

3-4

5-6

7-9

10-1

213

-15

16 17 18

Prim

itiva

. Int

egra

la n

edefi

nită

Noț

iune

a pr

imiti

vă.

Inte

gral

a ne

defin

ită. P

ropr

ietă

ți.Ta

belu

l prim

itive

lor u

zual

e.Ca

lcul

ul in

tegr

alel

or n

edefi

nite

.M

etod

a de

schi

mba

re d

e va

riabi

lă.

Inte

grar

ea p

rin p

ărți.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

18 2 2 2 3 3 3 1 1 1

Sem

. I

44

I II III IV V VI VII

2.1,

2.2

2.1,

2.2

, 2.3

2.1,

2.3

, 2.3

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

, 2.6

2.4,

2.5

, 2.6

, 2.7

, 2.8

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

, 2.6

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

, 2.6

2.1-

2.8

2.1-

2.8,

1.4

2.1-

2.8

2.1-

2.8

II.19

-20

21-2

324

-26

2728

-29

30-3

132

-34

35-3

738 39 40 41

Inte

gral

a de

finită

. Apl

icaț

iiN

oțiu

nea

inte

gral

ă de

finită

. Pro

prie

tăți.

Form

ula

lui N

ewto

n-Le

ibni

z.Ca

lcul

ul in

tegr

alei

defi

nite

.Re

prez

enta

rea

geom

etric

ă a

inte

gral

ei d

efini

teAr

ia su

bgra

ficul

ui u

nei f

uncț

iiCa

lcul

ul a

riei u

nei fi

guri

măr

gini

te.

Volu

mul

cor

pulu

i de

rota

ție.

Rezo

lvar

ea p

robl

emel

or.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

23 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 1 1

Sem

. I

I II III IV V VI VII

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

, 5.9

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

, 5.9

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

, 5.9

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

, 5.9

5.1

– 5.

95.

1 –

5.9,

2.5

, 2.6

5.1

– 5.

95.

1 –

5.9

III.

4243

-44

45-4

647

-49

50 51-5

354

-55

56-5

758

-60

61 62 63 64

Polie

dre

Noț

iune

a de

pol

iedr

u. E

lem

ente

. Cla

sifică

ri.Po

liedr

e re

gula

te.

Prism

a. E

lem

ente

. Cla

sifică

ri. S

ecțiu

ni.

Arii

ale

supr

afeț

elor

pris

mei

. Vol

umul

pris

mei

.Pi

ram

ida.

Ele

men

te. C

lasifi

cări.

Sec

țiuni

. Ar

ii al

e su

praf

ețel

or p

iram

idei

. Vo

lum

ul p

iram

idei

.Tr

unch

i de

pira

mid

ă. E

lem

ente

. Cla

sifică

ri. S

ecțiu

ni.

Ariil

e su

praf

ețel

or tr

unch

iulu

i de

pira

mid

ă. V

olum

ul tr

un-

chiu

lui d

e pi

ram

idă.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

23 1 2 2 3 1 3 2 2 3 1 1 1 1

Sem

. I

45

I II III IV V VI VII

3.1,

3.2

, 3.3

3.1,

3.2

, 3.3

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.6

, 3.7

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.6

, 3.7

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.6

, 3.7

3.1,

3.2

, 3.3

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.6

, 3.7

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

, 3.5

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

, 3.5

3.1

– 3.

73.

1 –

3.7

3.1

– 3.

7, 2

.4, 2

.63.

1 –

3.7

IV.

65 6667

-68

69-7

071

-72

73 74-7

576 77-7

879

-80

81 82 83

Elem

ente

de

com

bina

toric

ă. B

inom

ul lu

i New

ton

Noț

iune

a de

mul

țime

ordo

nată

. Noț

iune

a de

fact

oria

l.Le

gile

com

bina

toric

ii.Pe

rmut

ări (

fără

repe

tări)

. Ar

anja

men

te (f

ără

repe

tări)

. Co

mbi

nări

(fără

repe

tări)

.Pr

oprie

tăți

ale

com

bină

rilor

.Ec

uații

, ine

cuaț

ii ce

con

țin e

lem

ente

de

com

bina

toric

ă.Bi

nom

ul lu

i New

ton.

For

mul

a te

rmen

ului

gen

eral

.Pr

oprie

tăți

fund

amen

tale

ale

coe

ficie

nțilo

r bin

omia

li.

Prop

rietă

ți al

e de

zvol

tării

bin

omul

ui la

put

ere.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

19 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1

Sem

. I,

sem

. II

I II III IV V VI VII

4.1,

4.2

4.2,

4.3

, 4.4

, 4.5

4.2,

4.3

, 4.4

, 4.5

4.1

- 4.5

, 4.1

04.

1 - 4

.5, 4

.10

4.1

- 4.5

, 4.1

0, 3

.5, 3

.64.

1 - 4

.5, 4

.10

V. V.I

84-8

5

86-8

788

-89

90-9

293 94 95

Elem

ente

de

teor

ia p

roba

bilit

ățilo

r, st

atisti

că m

atem

a-tic

ă şi

cal

cul fi

nanc

iar

Elem

ente

de

stati

stică

mat

emati

că și

cal

cul fi

nanc

iar

Noț

iuni

fund

amen

tale

. Sel

ecta

rea,

înre

gist

rare

a și

grup

a-re

a da

telo

r.Re

prez

enta

rea

grafi

că a

dat

elor

stati

stice

M

ărim

i med

ii al

e se

riilo

r sta

tistic

e.El

emen

te d

e ca

lcul

fina

ncia

r.O

ra d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

28 12 2 2 2 3 1 1 1

Sem

. II.

46

I II III IV V VI VII

4.1,

4.6

4.1,

4.6

, 4.7

, 4.8

, 4.1

04.

1, 4

.6, 4

.84.

1, 4

.6, 4

.8, 4

.10

4.1,

4.6

, 4.8

, 4.9

4.1

-4.1

04.

1 -4

.10,

3.1

– 3

.54.

1 -4

.10

4.1

-4.1

0

V.2

96-9

798

-100

101-

102

103-

104

105-

107

108

109

110

111

Elem

ente

de

teor

ia p

roba

bilit

ățilo

rEv

enim

ent.

Clas

ifica

rea

even

imen

telo

r. De

finiți

a cl

asic

ă a

prob

abili

tății

.Ev

enim

ente

ale

atoa

re. O

pera

ții cu

eve

nim

ente

ale

atoa

re.

Even

imen

te a

leat

oare

inde

pend

ente

. Va

riabi

lă a

leat

oare

. Val

oare

a m

edie

a v

aria

bile

i ale

atoa

re.

Ora

de

sinte

ză.

Oră

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

16 2 3 2 2 3 1 1 1 1

Sem

. II.

I II III IV V VI VII

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

6.4,

6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

6.4,

6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

6.4,

6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.1,

6.2

, 6.3

, 6.4

6.4,

6.5

, 6.6

, 6.7

, 6.8

6.1

– 6.

86.

1 –

6.4

6.1

– 6.

86.

1 –

6.8,

2.5

, 2.6

6.1

– 6.

8

VI.

112

113-

115

116

117-

119

120

121-

123

124-

125

126-

127

128-

129

130-

132

133

134

135

Corp

uri d

e ro

tație

Cilin

drul

circ

ular

dre

pt. E

lem

ente

. Sec

țiuni

.Ar

iile

supr

afeț

elor

cili

ndru

lui c

ircul

ar d

rept

. Vol

umul

ci

lindr

ului

circ

ular

dre

pt.

Conu

l circ

ular

dre

pt. E

lem

ente

. Sec

țiuni

.Ar

iile

supr

afeț

elor

con

ului

circ

ular

dre

pt. V

olum

ul c

onu-

lui c

ircul

ar d

rept

. Tr

unch

iul d

e co

n ci

rcul

ar d

rept

. Ele

men

te. S

ecțiu

ni.

Ariil

e su

praf

ețel

or tr

unch

iulu

i de

con

circ

ular

dre

pt. V

o-lu

mul

trun

chiu

lui d

e co

n ci

rcul

ar d

rept

. Sf

era.

Ele

men

te. S

ecțiu

nea

sfer

ei c

u un

pla

n.Ar

ia su

praf

eței

sfer

ice.

Co

rpul

sfer

ic. V

olum

ul c

orpu

lui s

feric

.Se

cțiu

nea

supr

afeț

ei c

onic

e cu

un

plan

. O

ra d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

24 1 3 1 3 1 3 2 2 2 3 1 1 1

Sem

. II.

47

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Clas

a a

X-a

: 1.1

– 7

.10

Clas

a a

XI-a

: 1.

1 –

8.7

Clas

a a

XII-a

: 1.

1 –

6.8

136-

165

Reca

pitu

lare

fina

lă (v

a in

clud

e și

cel p

uțin

dou

ă or

e de

ev

alua

re)

30Se

m. I

I.

Clas

a a

X-a,

pro

filul

um

anis

t

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nțe

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i (M

odul

e)N

r. de

or

eD

ata

Obs

erva

ții

CSU

C

Repa

rtiza

rea

gene

rală

a o

relo

r:Re

capi

tula

re

Pred

are

– în

văța

reEv

alua

reTo

tal:

24 69 9 102

I II III IV VI VII

1.1,

1.6

, 1.8

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.5

, 1.8

1.

2, 1

.3, 1

.4, 1

.5, 1

.71.

2, 1

.3, 1

.6, 1

.7СS

gim

naziu

: I-V

II1.

2, 1

.3, 1

.4, 1

.5, 1

.71.

2, 1

.3, 1

.4, 1

.51.

3, 1

.5, 1

.6, 1

.7, 1

.81.

1 –

1.8

1.1

– 1.

81.

1 –

1.8

I. 1 2-3 4 5 6 7-8

9-11

12-1

314 15 16

Num

ere

real

e. R

ecap

itula

re ş

i com

plet

ări

Num

ere

real

e. M

ulțim

ile N

, Z, Q

, R.

Ope

rații

cu

num

ere

real

e. P

ropr

ietă

ți.Pu

teri

cu e

xpon

ent n

umăr

într

eg. R

adic

ali d

e or

dinu

l 2.

Prop

orții

. Pro

cent

e.Ev

alua

re in

ițial

ă.Pu

teri

cu e

xpon

ent n

umăr

rațio

nal.

Radi

cali d

e or

dinu

l 2 și

3.

Loga

ritm

ul u

nui n

umăr

poz

itiv.

Pro

prie

tăți.

Aplic

ații

ale

oper

ațiil

or c

u nu

mer

elor

real

e.O

ra d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

16 1 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1

Sem

. I

48

I II III IV VI VII

2.1,

2.3

, 2.4

, 2.5

2.2,

2.3

, 2.5

, 2.6

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

, 2.6

2.1

- 2.6

2.1

– 2.

6, 1

.5, 1

.62.

1 –

2.6

II. 1718

-19

20-2

122 23 24

Mul

țimi

Noț

iune

a de

mul

țime.

Mul

țimi n

umer

ice.

Ope

rații

cu

mul

țimi.

Aplic

ații

ale

mul

țimilo

r și a

le o

pera

țiilo

r cu

mul

țimi.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

8 1 2 2 1 1 1

Sem

. I

I II III IV V VI VII

4.1,

4.2

, 4.4

, 4.5

4.1,

4.2

, 4.3

,4.4

,4.5

, 4.6

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

4.5,

4.6

, 4.7

, 4.8

, 4.1

04.

5, 4

.6, 4

.7, 4

.8, 4

.10,

4.1

1

4.3,

4.5

, 4.6

,4.7

, 4.1

14.

1-4.

5,4.

8, 4

.10,

4.1

14.

1-4.

5, 4

.8, 4

.10,

4.1

14.

1-4.

5, 4

.8, 4

.10,

4.1

1

III.

25 26 27 2829

-30

31-3

2

33-3

435 36 37

Figu

ri ge

omet

rice

în p

lan

Noț

iuni

geo

met

rice

fund

amen

tale

. Dre

aptă

. Sem

idre

ap-

tă. P

unct

e co

linia

re. S

egm

ent.

Triu

nghi

uri.

Clas

ifică

ri.

Lini

i im

port

ante

în tr

iung

hi.

Triu

nghi

uri c

ongr

uent

e. C

riter

ii.

Met

oda

triu

nghi

urilo

r con

grue

nte.

Apl

icaț

ii.Tr

iung

hiur

i ase

men

ea. C

riter

ii. M

etod

a tr

iung

hiur

ilor

asem

enea

. Re

lații

met

rice

în tr

iung

hiul

dre

ptun

ghic

. Apl

icaț

ii.O

ră d

e sin

teză

.O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

13 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1

Sem

. I

49

I II III IV VI VII

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.5,

3.6

, 3.7

, 3.1

0, 3

.11

3.6,

3.8

, 3.9

, 3.1

1, 3

.12

3.6,

3.8

, 3.9

, 3.1

1, 3

.12

3.6,

3.8

, 3.9

, 3.1

1, 3

.12

3.6,

3.8

, 3.9

, 3.1

1, 3

.12

3.1

– 3.

123.

1 –

3.12

3.1

– 3.

12

IV.

IV.1

.38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

Func

ții n

umer

ice.

Ecu

ații.

Inec

uații

. Sis

tem

e III

.1. F

uncț

ia d

e gr

adul

I. E

cuaț

ii, in

ecua

ții, s

iste

me

Noț

iune

a de

func

ție. N

oțiu

nea

func

ţia d

e gr

adul

I. G

rafi-

cul f

uncț

iei d

e gr

adul

I.

Prop

rietă

țile

func

ției d

e gr

adul

I.

Prop

orțio

nalit

atea

dire

ctă.

Apl

icaț

ii al

e fu

ncție

i de

grad

ul

I și a

le p

ropo

rțio

nalit

ății

dire

cte

în d

iver

se d

omen

ii.Ec

uații

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

. Ine

cuaț

ii de

gra

dul I

cu

o n

ecun

oscu

tă.

Sist

eme

de d

ouă

ecua

ții d

e gr

adul

I cu

dou

ă ne

cuno

scut

e.

Sist

eme

de d

ouă

inec

uații

de

grad

ul I

cu o

nec

unos

cută

.Ap

licaț

ii al

e ec

uații

lor,

inec

uații

lor,

siste

mel

or.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

45 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Sem

. I

I II III IV VI VII

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.5,

3.6

, 3.7

, 3.1

0, 3

.11

3.6,

3.8

, 3.9

, 3.1

1, 3

.12

3.6,

3.8

, 3.9

, 3.1

1, 3

.12

3.6,

3.8

, 3.9

, 3.1

1, 3

.12

3.6,

3.8

, 3.9

, 3.1

1, 3

.12

3.10

, 3.1

1, 3

.12

3.1

- 3.1

23.

1 –

3.12

3.1

– 3.

12

IV.2

.48 49 50 51

52-5

354

-55

56 57 58 59

Func

ția d

e gr

adul

II. E

cuaț

ii. In

ecua

ții. S

iste

me

Noț

iune

a fu

ncţia

de

grad

ul II

. Gra

ficul

func

ției d

e gr

adul

II.

Prop

rietă

țile

func

ției d

e gr

adul

II.

Ecua

ții d

e gr

adul

II. C

lasifi

care

a ec

uații

lor.

Rezo

lvar

ea

ecua

țiilo

r de

grad

ul II

.Re

lații

le lu

i Viè

te.

Inec

uații

de

grad

ul II

cu

o ne

cuno

scut

ă.Si

stem

e de

dou

ă ec

uații

alg

ebric

e cu

o e

cuaț

ie d

e gr

adul

I ș

i o e

cuaț

ie d

e gr

adul

II c

u do

uă n

ecun

oscu

te.

Aplic

ații

ale

func

ției d

e gr

adul

II în

div

erse

dom

enii.

O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.

12 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1

Sem

. II

50

I II III IV VI VII

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.7,

3.1

0, 3

.11,

3.1

2

3.1

– 3.

123.

1 –

3.12

3.1

– 3.

12

IV.3

.60

-61

6263

-64

65-6

6

67 68 69

Func

ția p

uter

e. F

uncț

ia ra

dica

l.N

oțiu

nea

func

ţia p

uter

e. G

rafic

ul fu

ncție

i put

ere.

Pr

oprie

tăți

ale

func

ției p

uter

e.Pr

opor

ționa

litat

ea in

vers

ă. P

ropr

ietă

ți.N

oțiu

nea

func

ţia ra

dica

l. Pr

oprie

tăți

ale

func

ției r

adic

al.

Aplic

ații

ale

func

ției p

uter

e, a

le fu

ncție

i rad

ical

și a

le

prop

orțio

nalit

ății

inve

rse.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

10 2 1 2 2 1 1 1

Sem

. II

I II III IV VI VII

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

3.5,

3.6

, 3.7

, 3.1

0, 3

.

3.5,

3.6

, 3.7

, 3.1

0, 3

.11

3.1

– 3.

121.

4, 1

.5, 2

.5, 3

.1 –

3.1

13.

1 –

3.12

3.1

– 3.

12

IV.4

.70

-72

73-7

5

76-7

8

79 80 81 82

Func

ția e

xpon

enția

lă. F

uncț

ia lo

garit

mic

ă.N

oțiu

nea

func

ţia e

xpon

enţia

lă. P

ropr

ietă

țile

func

ției

expo

nenț

iale

.N

oțiu

nea

func

ţia lo

garit

mic

ă. P

ropr

ietă

țile

func

ției l

oga-

ritm

ice.

Aplic

ații

ale

func

ției e

xpon

enția

le și

ale

func

ției l

ogar

it-m

ice.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

13 3 3 3 1 1 1 1

Sem

. II

51

I II III IV V VI VII

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.5

, 4.6

, 4.1

1

4.4,

4.6

, 4.8

,4.1

0, 4

.11

4.4,

4.6

, 4.8

, 4.9

, 4.1

0, 4

.11

4.5,

4.6

, 4.7,

4.8

, 4.9

, 4.1

0, 4

.11

4.6,

4.7

, 4.8

, 4.9

4.8,

4.9

, 4.1

0, 4

.11

4.8,

4.9

, 4.1

0, 4

.11

4.8,

4.9

, 4.1

0, 4

.11

4.5,

4.6

, 4.7

, 4.8

, 4.9

4.1

– 4.

114.

1 –

4.11

, 1.1

– 1

.8, 2

.1 –

2.6

4.1

– 4.

11

V. 83

84-8

586

-87

8889

-90

91-9

2

93-9

4

9596

-97

98 99 100

Figu

ri ge

omet

rice

în p

lan

Patr

ulat

ere

conv

exe:

păt

ratu

l, dr

eptu

nghi

ul, p

aral

elog

ra-

mul

, rom

bul,

trap

ezul

. Pro

prie

tăți.

Ap

licaț

ii al

e pa

trul

ater

elor

. Pav

aje.

Polig

oane

regu

late

: triu

nghi

ul e

chila

tera

l, pă

trat

ul, h

exa-

gonu

l reg

ulat

. Apl

icaț

ii. P

avaj

e.Ce

rcul

. Coa

rde.

Arc

e. D

iscul

. Apl

icaț

ii. P

avaj

e.Po

ziția

rela

tivă

a un

ei d

rept

e fa

ță d

e un

cer

c. U

nghi

la

cent

ru. U

nghi

însc

ris.

Triu

nghi

însc

ris în

cer

c. T

riung

hi c

ircum

scris

unu

i cer

c.

Aplic

ații.

Ar

ia su

praf

ețel

or p

olig

onal

e. A

plic

ații

ale

ariil

or p

olig

oa-

nelo

r. Pa

vaje

.Lu

ngim

ea c

ercu

lui.

Aria

disc

ului

. Apl

icaț

ii.Se

cțiu

nea

de a

ur. A

plic

ații.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

18 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1

Sem

. II

I-VII

1.1

– 4.

1110

1-10

2Re

capi

tula

re2

Clas

a a

XI-a

, pro

filul

um

anis

t

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nțe

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i (M

odul

e)N

r. de

or

eD

ata

Obs

erva

ții

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

Pr

edar

e –

învă

țare

Eval

uare

Tota

l:

20 77 5 102

52

I II III IV VI VII

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.6

, 1.7

, 1.8

1.

1, 1

.2, 1

.3, 1

.6, 1

.7, 1

.8

1.1

– 1.

81.

1 –

1.8

1.1

– 1.

81.

1 –

1.8

I. 1 2-3

4-5

6-8 9 10 11 12

Șiru

ri de

num

ere

real

eN

oțiu

nea

șir d

e nu

mer

e re

ale.

Șiru

ri fin

ite, i

nfini

te. Ș

iruri

mon

oton

e.Pr

ogre

sia a

ritm

etică

. Pro

prie

tăți.

Apl

icaț

ii.

Prog

resia

geo

met

rică.

Pro

prie

tăți.

Apl

icaț

ii.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

12 1 2 2 3 1 1 1 1

Sem

. I

I II III IV VI VII

2.1,

2.3

, 2.6

2.1,

2.2

, 2.6

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

, 2.6

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.6

2.1,

2.5

, 2.6

2.1

– 2.

6, 1

.5, 1

.6

2.1

– 2.

62.

1 –

2.6,

1.4

– 1

.72.

1 –

2.6

2.1

– 2.

6

II.13

-14

15-1

617

-19

20-2

1

22-2

324

-25

26 27 28 29

Num

ere

com

plex

e. F

orm

a al

gebr

ică

Noț

iune

a nu

măr

com

plex

. Mul

țimea

C.

Form

a al

gebr

ică

a nu

măr

ului

com

plex

.O

pera

ții a

ritm

etice

cu

num

ere

com

plex

e sc

rise

în fo

rmă

alge

bric

ă.N

umăr

opu

s. C

onju

gatu

l unu

i num

ăr. I

nver

sul u

nui n

u-m

ăr.

Mod

ulul

unu

i num

ăr c

ompl

ex.

Rezo

lvar

ea e

cuaț

iilor

de

grad

ul II

cu

coefi

cien

ți re

ali î

n m

ulțim

ea C

.O

ra d

e sin

teză

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

17 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1

Sem

. I

53

I II III IV VI VII

4.1,

4.2

, 4.3

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.6

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.7

4.1

– 4.

74.

1 –

4.7,

1.1

– 1

.64.

1 –

4.7

4.1

– 4.

7

III.

30-3

132

-33

34-3

637

-39

40-4

142

-44

45-4

748 49 50 51

Para

lelis

mul

în sp

ațiu

Poziț

ia re

lativ

ă a

două

dre

pte

în sp

ațiu

. Dr

epte

par

alel

e în

spaț

iu. A

plic

ații.

Poziț

ia re

lativ

ă a

drep

tei ș

i a p

lanu

lui.

Drea

pta

para

lelă

cu

plan

ul, p

ropr

ietă

ți, c

riter

iu. A

plic

ații.

Poziț

ia re

lativ

ă a

două

pla

ne. A

plic

ații.

Plan

e pa

rale

le, p

ropr

ietă

ți, c

riter

iu. A

plic

ații.

Aplic

ații

ale

rela

ției d

e pa

rale

lism

în sp

ațiu

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

22 2 2 3 3 2 3 3 1 1 1 1

Sem

. I

3.1,

3.3

, 3.6

3.1,

3.3

, 3.6

, 3.7

3.1,

3.2

, 3.4

,3.5

, 3.6

3.1,

3.2

, 3.4

,3.5

, 3.6

3.1,

3.2

, 3.4

,3.5

, 3.6

3.1,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.7

3.1,

3.4

, 3.5

, 3.6

, 3.7

3.1

– 3.

7

3.1

– 3.

73.

1 –

3.7,

2.1

– 2

.53.

1 –

3.7

3.1

– 3.

7

IV.

52-5

354

-55

56-5

758

-59

60-6

263

-64

65-6

667

-68

69 70 71 72

Mat

rice.

Det

erm

inan

ți. A

plic

ații

Noț

iune

a m

atric

e. C

azur

i par

ticul

are.

Ope

rații

cu

mat

rice.

Pro

prie

tăți.

Noț

iune

a de

term

inan

t de

ordi

nul d

oi, o

rdin

ul tr

ei.

Prop

rietă

țile

fund

amen

tale

nec

esar

e pe

ntru

cal

culu

l de

term

inan

ților

.Ca

lcul

ul d

eter

min

anțil

or d

e or

dinu

l doi

, tre

i.Si

stem

e de

ecu

ații

linia

re d

e tip

ul n

×n, n!

N, n

≤ 3

.Re

gula

lui C

ram

er.

Aplic

ații

ale

mat

ricel

or, a

le d

eter

min

anțil

or, a

le si

stem

e-lo

r de

ecua

ții.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

21 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1

Sem

. I,

sem

. II

54

I II III IV V VI VII

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

, 5.5

, 5.7

5.1

– 5.

75.

1 –

5.7

5.1

– 5.

75.

2, 5

.3, 5

.4, 5

.5, 5

.6, 5

.75.

1 –

5.7

5.1

– 5.

7, 4

.1 –

4.7

5.1

– 5.

75.

1 –

5.7

V.73

-75

76-7

8

79-8

0

81-8

3

84-8

586

-87

88-9

091

-93

94 95 96 97

Perp

endi

cula

ritat

ea în

spaț

iuDr

epte

per

pend

icul

are

în sp

ațiu

, pro

prie

tăți,

crit

eriu

. Ap

licaț

ii.Dr

eapt

a pe

rpen

dicu

lară

pe

plan

, pro

prie

tăți,

crit

eriu

. Ap

licaț

ii.Di

stan

ța d

e la

un

punc

t la

o dr

eapt

ă, d

e la

un

punc

t la

un

plan

. Apl

icaț

ii.Pr

oiec

ții o

rtog

onal

e al

e pu

ncte

lor,

ale

segm

ente

lor,

ale

drep

telo

r pe

plan

. Apl

icaț

ii.U

nghi

ul d

intr

e dr

eapt

ă și

plan

. U

nghi

die

dru.

Apl

icaț

ii.Pl

ane

perp

endi

cula

re, p

ropr

ietă

ți, c

riter

iu. A

plic

ații.

Aplic

ații

ale

rela

ției d

e pe

rpen

dicu

larit

ate

în sp

ațiu

.O

ra d

e sin

teză

.O

ra d

e sin

teză

inte

grati

vă.

Eval

uare

sum

ativă

.An

aliza

eva

luăr

ii su

mati

ve.

25 3 3 2 3 2 2 3 3 1 1 1 1

Sem

. II

1.1

– 5.

798

-102

Reca

pitu

lare

5

Clas

a a

XII-a

, pro

filul

um

anis

t

Indi

cato

rii c

ompe

tenț

elor

spec

ifice

(C

S) şi

ai u

nită

ților

de

com

pete

nțe

(UC)

, con

form

cur

ricul

umul

uiN

r. cr

t.Co

nțin

utur

i (M

odul

e)N

r. de

or

eD

ata

Obs

erva

ții

CSU

CRe

parti

zare

a ge

nera

lă a

ore

lor:

Reca

pitu

lare

Pr

edar

e –

învă

țare

Eval

uare

Tota

l:

17 77 5 99

55

I II III IV VI VII

1.1,

1.2

1.1,

1.2

, 1.6

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.5

, 1.6

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.5

, 1.6

1.1,

1.2

, 1.3

, 1.4

, 1.5

, 1.6

1.2,

1.3

, 1.5

, 1.6

1.1

– 1.

6–

1.6

– 1.

61.

1 –

1.6

I. 1-2 3 4-5

6-7

8-9

10-1

112

-13

14 15 16

Elem

ente

de

com

bina

toric

ă N

oțiu

nea

mul

ţime

ordo

nată

. Noț

iune

a fa

ctor

ial.

Legi

le c

ombi

nato

ricii.

Perm

utăr

i (fă

ră re

petă

ri).

Aran

jam

ente

(făr

ă re

petă

ri).

Com

bină

ri (fă

ră re

petă

ri).

Prop

rietă

ți al

e co

mbi

năril

or.

Aplic

ații

ale

com

bina

toric

ii.O

ra d

e sin

teză

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

16 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1

Sem

. I

I II III IV VI VII

2.1,

2.2

2.1,

2.2

, 2.3

2.1,

2.2

, 2.3

, 2.4

, 2.5

2.1,

2.2

, 2.5

, 2.6

, 2.7

2.2,

2.3

, 2.4

, 2.5

, 2.6

, 2.7

2.1,

2.2

, 2.4

, 2.6

, 2.7

2.1,

2.2

, 2.4

, 2.6

, 2.7

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7,

1.3

2.1

– 2.

72.

1 –

2.7

II. 1718

-19

20-2

122

-23

24-2

526

-28

29-3

132 33 34 35

Elem

ente

de

stati

stică

mat

emati

că ş

i cal

cul fi

nanc

iar

Noț

iuni

fund

amen

tale

. Se

lect

area

, înr

egis

trar

ea și

gru

pare

a da

telo

r.Re

prez

enta

rea

grafi

că a

dat

elor

stati

stice

. Apl

icaț

ii.M

ărim

i med

ii al

e se

riilo

r sta

tistic

e. A

plic

ații.

Aplic

ații

ale

elem

ente

lor d

e st

atisti

că m

atem

atică

.El

emen

te d

e ca

lcul

fina

ncia

r.Ap

licaț

ii al

e el

emen

telo

r de

calc

ul fi

nanc

iar.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

19 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1

Sem

. I

I II III IV V VI VII

4.1,

4.2

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.7

4.3,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.8

4.3,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.8

4.1,

4.2

, 4.7

4.1,

4.2

, 4.3

, 4.7

4.3,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.8

III.

3637

-38

39-4

041 42

43-4

445

-46

Polie

dre

Prism

a. E

lem

ente

. Cla

sifică

ri.Pr

isma

drea

ptă:

sec

țiuni

par

alel

e cu

baz

a se

cțiu

nii d

iago

-na

le, s

ecțiu

ni c

e co

nțin

înăl

țimea

.Ar

ii al

e pr

ismei

dre

pte.

Vo

lum

ul p

rism

ei d

rept

e.Pi

ram

ida.

Ele

men

te. C

lasifi

cări.

Pi

ram

ida

regu

lată

. Sec

țiuni

. Ar

ii al

e pi

ram

idei

regu

late

.

24 1 2 2 1 1 2 2

Sem

. I, I

I

56

4.3,

4.4

, 4.5

, 4.6

, 4.8

4.1,

4.2

, 4.7

4.

1, 4

.2, 4

.3, 4

.74.

3, 4

.4, 4

.5, 4

.6, 4

.84.

3, 4

.4, 4

.5, 4

.6, 4

.84.

1 –

4.8

4.1

– 4.

84.

1 –

4.8,

1.3

, 2.4

, 3.4

4.1

– 4.

84.

1 –

4.8

47 4849

-50

51-5

253

54-5

556 57 58 59

Volu

mul

pira

mid

ei re

gula

te.

Trun

chi d

e pi

ram

idă.

Ele

men

te. C

lasifi

cări.

Tr

unch

i de

pira

mid

ă re

gula

tă. S

ecțiu

ni.

Arii

ale

trun

chiu

lui d

e pi

ram

idă

regu

lată

.Vo

lum

ul tr

unch

iulu

i de

pira

mid

ă re

gula

tă.

Aplic

ații

ale

polie

drel

or.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

1 1 2 2 1 2 1 1 1 1

I II III IV VI VII

3.1,

3.2

, 3.4

3.1,

3.2

, 3.3

, 3.4

, 3.6

3.1,

3.3

, 3.4

, 3.5

3.1,

3.3

, 3.4

, 3.5

3.1

– 3.

73.

1 –

3.7

3.1

– 3.

7, 2

.1 –

2.5

3.1

– 3.

73.

1 –

3.7

IV.

6061

-62

63-6

465

-66

67-6

869 70 71 72

Elem

ente

de

teor

ia p

roba

bilit

ățilo

rEv

enim

ent.

Clas

ifica

rea

even

imen

telo

r. De

finiți

a cl

asic

ă a

prob

abili

tății

.Ev

enim

ente

ale

atoa

re. O

pera

ții cu

eve

nim

ente

ale

atoa

re.

Even

imen

te a

leat

oare

inde

pend

ente

. Ap

licaț

ii al

e pr

obab

ilită

ții.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

13 1 2 2 2 2 1 1 1 1

Sem

. II

57

I II III IV V VI VII

5.1,

5.2

, 5.3

5.2,

5.3

, 5.4

, 5.5

, 5.6

, 5.8

5.1,

5.2

, 5.3

5.2,

5.3

, 5.4

, 5.5

, 5.6

, 5.8

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.7

5.3,

5.4

, 5.5

, 5.6

, 5.8

5.1,

5.2

, 5.3

, 5.4

5.3,

5.4

, 5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.5,

5.6

, 5.7

, 5.8

5.4,

5.5

, 5.6

, 5.7

, 5.8

5.1

– 5.

85.

1 –

5.8,

4.1

– 4

.85.

1 –

5.8

5.1

– 5.

8

V. 73 74-7

5

76-7

778

-80

81-8

283

-84

85-8

687

-88

89-9

091

-92

93 94 95 96

Corp

uri d

e ro

tație

Cilin

drul

circ

ular

dre

pt. E

lem

ente

.Se

cțiu

ni p

aral

ele

cu b

aza.

Sec

țiuni

axi

ale.

Sec

țiuni

par

a-le

le c

u ax

a.Ar

ii. V

olum

.Co

nul c

ircul

ar d

rept

. Ele

men

te. S

ecțiu

ni p

aral

ele

cu b

aza.

Se

cțiu

ni a

xial

e.Ar

ii. V

olum

.Tr

unch

iul d

e co

n ci

rcul

ar d

rept

. Ele

men

te. S

ecțiu

ni p

ara-

lele

cu

baza

. Sec

țiuni

axi

ale.

Sec

țiuni

par

alel

e cu

axa

.Ar

ii. V

olum

.Sf

era.

Ele

men

te (c

entr

u, r

ază,

dia

met

ru).

Aria

sup

rafe

ței

sfer

ice.

Co

rpul

sfer

ic. V

olum

ul c

orpu

lui s

feric

.Se

cțiu

nea

supr

afeț

ei c

onic

e cu

un

plan

. Apl

icaț

ii al

e co

r-pu

rilor

de

rota

ție.

Ora

de

sinte

ză.

Ora

de

sinte

ză in

tegr

ativă

.Ev

alua

re su

mati

vă.

Anal

iza e

valu

ării

sum

ative

.

24 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1

Sem

. II

1.1

– 5.

897

-99

Reca

pitu

lare

3Se

m. I

I

3.2.

2. P

roie

ctar

ea p

e un

ități

de în

văța

reCa

pito

lul/m

odul

ul p

reze

ntat

în m

anua

l poa

te fi

con

sider

at c

a un

itate

de

învă

țare

. Pro

iect

area

pe

unita

te d

e în

văța

re p

oate

fi re

a-liz

ată

conf

orm

mod

elul

ui d

e m

ai jo

s. În

ace

st ta

bel s

e va

pre

zent

a se

para

t fiec

are

lecț

ie d

in m

odul

ul/c

apito

lul r

espe

ctiv.

58

Clas

a a

XI-a

, pro

filul

real

. Uni

tate

a de

învă

țare

I. Ş

iruri

de n

umer

e re

ale

(13

ore)

Indi

cato

rii

Nr.

crt.

Subi

ectu

l lec

ției

Tipu

l le

cție

i

Tehn

olog

ii di

dacti

ceAc

tivită

ți de

învă

țare

Recapitulare

Eva luare

CSU

C

Forme

Metode

Resurse

În clasă

Acasă

Integrative

13 o

reI.

Şiru

ri de

num

ere

real

e.

I II III IV VI VII

1.1,

1.2,

1.3

, 1.4

1N

oțiu

nea

şir d

e nu

mer

e re

ale.

Cl

asifi

cări

I

1.1,

1.2,

1.3

, 1.4

2Cl

asifi

care

a șir

urilo

rII

1.2,

1.3,

1.4

,1.5

, 1.6

, 1.

73

Prog

resia

arit

meti

că. P

ropr

ie-

tăți.

Apl

icaț

ii I

1.2,

1.31

.4,1

.5, 1

.6,

1.7

4Pr

ogre

sia a

ritm

etică

. Pro

prie

-tă

ți. A

plic

ații

II

1.2,

1.3,

1.4

,1.5

, 1.6

, 1.

75

Prog

resia

geo

met

rică.

Pro

prie

-tă

ți. A

plic

ații

I

1.2,

1.3,

1.4

,1.5

, 1.6

, 1.

76

Prog

resia

geo

met

rică.

Pro

prie

-tă

ți. A

plic

ații

III

59

1.1,

1.2,

1.4

, 1.5

7Li

mita

unu

i șir.

Defi

niția

în

limba

jul v

ecin

ătăț

ilor,

limba

jul

I

1.1,

1.2,

1.4

, 1.5

8Li

mita

unu

i șir.

Defi

niția

în

limba

jul v

ecin

ătăț

ilor,

limba

jul

II

1.1,

1.2,

1.3

, 1.4

9N

oțiu

nea

șir c

onve

rgen

tLe

cție

mix

tă

1.1,

1.2,

1.3

, 1.4

10N

oțiu

nea

șir d

iver

gent

Lecț

iem

ixtă

1.1

-1.7

11O

ră d

e sin

teză

IV

1.1

-1.7

12O

ră d

e sin

teză

inte

grati

vă

IV

1.1

-1.7

13Ev

alua

re su

mati

văV

60

Note: 1. Profesorul este în drept să elaboreze fie proiectarea tematico-calendaristică, fie

proiectarea pe unitate de învăţare la disciplina de studiu.2. Proiectarea pe unitate de învățare se elaborează în cazul funcționării unui manu-

al stabil la disciplina respectivă și poate fi valabilă pe parcursul întregii perioade de funcționare a acestui manual. Proiectarea pe unitate de învățare, în fond, re-prezintă miniproiecte de perspectivă ale lecțiilor.

3. Proiectarea pe unitate de învățare nu substituie proiectul didactic al lecției, de-oarece în această proiectare lipsesc obiectivele preconizate pentru a fi atinse în cadrul lecțiilor.

61

4. Lecția de Matematică și specificul ei

4.1. Cerințele față de o lecție modernă de matematicăIndiferent de tip, lecția de matematică, pentru a fi o lecție modernă și adecvată în-

vățământului formativ, trebuie să corespundă următoarelor caracteristici: – să fie axată pe obiective și, în final, pe formarea competențelor; – să fie centrată pe elevi: activitatea profesorului în cadrul lecției constituie, de

regulă, 30%, iar activitatea elevilor – 70% din timpul ei; – să reflecte o materie de studiu rațional, selectată de către profesor; – să fie axată pe metode optime de predare – învățare – evaluare, corelate cu mij-

loace eficiente de învățământ; – să fie axată pe parteneriat de tipul profesor – elev, elev – elev, elev – profesor; – să fie fundamentată pe realizarea triadelor:

a) cunoștințe-capacități/deprinderi-atitudini;b) predare – învățare – evaluare;

– să fie bazată pe diversitatea formelor, metodelor și tehnicilor de evaluare aplica-te în cadrul lecției;

– să fie interesantă și motivantă pentru elevi!

4.2. Clasificări ale tipurilor de lecții de matematicăDin perspectiva formării competențelor, considerăm acceptabile pentru învățămân-

tul liceal utilizarea clasificărilor tipurilor de lecții la matematică conform:A. Criteriului competenței, criteriu care solicită angajarea unor priorităţi metodolo-

gice evidente la nivelul valorilor cognitive dobândite în cadrul lecţiei.Clasificarea tipurilor de lecții conform criteriului competenței:

• „lecţie de formare a capacităţilor de dobândire a cunoştinţelor” (vizează prioritar formarea capacităților de dobândire a cunoștințelor);

• „lecţie de formare a capacităţilor de înţelegere a cunoştinţelor” (vizează prioritar formarea capacităților de înțelegere a cunoștințelor dobândite anterior);

• „lecţie de formare a capacităţilor de aplicare a cunoştinţelor” (vizează prioritar formarea capacităților de aplicare a cunoștințelor dobândite și înțelese anterior);

• „lecţie de formare a capacităţilor de analiză-sinteză a cunoştinţelor” (vizează pri-oritar formarea capacităților de analiză-sinteză a cunoștințelor dobândite, înțe-lese și aplicate anterior);

62

• „lecţie de formare a capacităţilor de evaluare a cunoştinţelor” (vizează prioritar formarea capacităților de evaluare critică a cunoștințelor dobândite, înțelese, aplicate și interpretate analitico-sintetic anterior).

Această clasificare a lecțiilor este valabilă pentru secvențe didactice extinse, de exemplu, în cadrul unei unități de învățare, al unui modul de studiu, al unui capitol.

Practica proiectării și dezvoltării curriculare a activității didactice confirmă impor-tanța lecţiei combinate (mixte), lecție centrată prioritar pe realizarea interdependenței obiective – conținuturi – metodologie – evaluare și a corelațiilor pedagogice profesor – elev, elev – elev, elev – profesor. Însă, din perspectiva formării competențelor, lecţia combinată (mixtă) trebuie să dispară din practica educațională.

Fiecare dintre cele cinci tipuri de lecții și lecția combinată (mixtă) cuprind un ansam-blu de secvențe – componentele structurale ale lecției. Vom utiliza Modelul secvențial de structurare a lecțiilor de matematică.

I. Lecția de formare a capacităților de dobândire a cunoştințelorSecvențele lecției:

1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă; reactualizarea cunoștințelor și a capacități-

lor;3. predarea – învățarea materiei noi;4. consolidarea materiei și formarea capacităților (la nivel de reproducere);5. evaluarea (curentă, instructivă, fără aprecieri cu note);6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.

II. Lecția de formare a capacităților de înțelegere a cunoştințelorSecvențele lecției:

1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă;3. reactualizarea cunoștințelor și a capacităților;4. consolidarea materiei și formarea capacităților:

a) la nivel de reproducere;b) la nivel productiv.

5. evaluarea (curentă, instructivă, fără aprecieri cu note);6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.

63

III. Lecția de formare a capacităților de aplicare a cunoştințelorSecvențele lecției:

1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă;3. reactualizarea cunoștințelor și a capacităților;4. consolidarea materiei și formarea capacităților:

a) la nivel productiv;b) la nivel de transferuri în alte domenii;

5. evaluarea (formativă de tip sumativ, cu aprecieri cu note);6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.

IV. Lecția de formare a capacităților de analiză-sinteză a cunoştințelorSecvențele lecției:

1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă;3. analiza-sinteza materiei teoretice studiate (sistematizarea, clasificarea, gene-

ralizarea);4. analiza-sinteza metodelor de rezolvare studiate:

a) la nivel productiv, cu transferuri în alte domenii;b) la nivel creativ;

5. evaluarea (formativă de tip sumativ, cu aprecieri cu note);6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.

V. Lecția de formare a capacităților de evaluare a cunoştințelorSecvențele lecției:1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. instrucțiuni privind realizarea lucrării de evaluare;3. realizarea lucrării de evaluare (testul, lucrarea practică, lucrarea de laborator,

proiectul, autoevaluarea etc.);4. bilanțul lecției; concluzii; 5. anunțarea temei pentru acasă. Lecțiile I-V formează sistemul de lecții clasificat conform criteriului competenței. La necesitate, profesorul poate realiza și lecții combinate (mixte). * Lecția mixtă se structurează astfel:Secvențele lecției:

1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă; reactualizarea cunoștințelor și a capacităților;

64

3. predarea – învățarea materiei noi;4. consolidarea materiei și formarea capacităților:

a) la nivel de reproducere;b) la nivel productiv, cu unele transferuri în alte domenii;

5. evaluarea: a) curentă, fără aprecieri cu note pentru materia nouă;b) sumativă, cu aprecieri cu note pentru materia studiată anterior;

6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.

Observații: 1. În structura lecției, secvențele „Bilanțul lecției” și „Anunțarea temei pentru aca-

să” pot fi, la dorință, schimbate cu locurile între ele.2. În funcție de necesitate, verificarea temei pentru acasă poate fi: a) cantitativă și

b) calitativă.Sunt aplicabile următoarele procedee de verificare a temei pentru acasă: •• realizarea unei lucrări de sine stătător, pe cinci-şapte minute, cu probleme simila-

re celor propuse pentru rezolvare acasă;•• realizarea unei lucrări de sine stătător, pe cinci-şapte minute, cu aceleaşi proble-

me care au fost propuse pentru rezolvare acasă;•• discutarea numai a răspunsurilor la problemele rezolvate acasă;•• discutarea răspunsurilor la întrebarea: Aveți întrebări la tema pentru acasă?;•• analiza colectivă (frontală) a rezolvărilor problemelor semnificative din tema pen-

tru acasă;•• schimbul caietelor;•• analiza metodelor aplicate în cadrul rezolvării exerciţiilor şi problemelor date pen-

tru acasă;•• verificarea reciprocă etc.

3. În cadrul secvenței Reactualizarea cunoştinţelor şi a capacităţilor prin intermediul unui sistem de întrebări și răspunsuri, elevii realizează o trecere organică la studierea materiei noi sau la consolidarea materiei studiate la lecțiile precedente.

4. Predarea – învățarea materiei noi se face prin metode optimale pentru clasa re-spectivă și, de regulă, prin crearea situației-problemă, fiind o continuare logică a activi-tăților de la secvența precedentă.

5. Consolidarea materiei şi formarea capacităţilor pe parcursul realizării acestui sis-tem de lecții se efectuează pe următoarele niveluri (vezi structurile tipurilor de lecții de mai sus):

65

a) nivelul reproductiv;b) nivelul productiv;c) transferuri în alte domenii;d) nivelul creativ.Aceste niveluri sunt corelate cu cele patru categorii de obiective (transdisciplinare)

realizabile în cadrul lecției. 6. Evaluarea cu note a rezultatelor școlare ale elevilor se va efectua, de regulă, în ca-

drul lecțiilor de tipurile III-IV-V și la lecția mixtă (vezi structurile acestor tipuri de lecții).7. Bilanţul lecţiei va conține: a) aspectul cantitativ și b) aspectul calitativ. Prin aspec-

tul cantitativ se efectuează o sinteză a materiei studiate în cadrul lecției (de regulă, prin intermediul conversației, care include trei-patru întrebări de sinteză). În cadrul aspec-tului calitativ se deduc concluziile privind atingerea obiectivelor lecției și se evaluează activitățile, în ansamblu, ale elevilor la lecție și ale unor elevi, în particular.

8. La prezentarea temei pentru acasă, profesorul va ține cont de faptul că în agenda elevului sau pe caietul acestuia trebuie să fie prezente răspunsuri concrete la următoa-rele întrebări:

1. Ce trebuie de învăţat?2. Ce trebuie de recapitulat?3. Ce trebuie de rezolvat? Observație. La prezentarea temei pentru acasă, profesorul va da și unele explicații

succinte privind rezolvările posibile ale problemelor propuse. Important! Profesorul va respecta cerinţa referitoare la volumul temei pentru acasă

la matematică: sarcinile date pentru acasă nu trebuie să constituie mai mult de 30% din numărul celor rezolvate în cadrul lecției.

Profesorul de matematică are dreptul să utilizeze și alte modalități de structurare a lecției. De exemplu, lecția de matematică poate fi structurată și utilizând:

• Cadrul ERRE, care include secvențele: 1. Evocarea2. Realizarea sensului3. Reflecţia4. Extinderea.

Corelarea dintre Modelul secvențial și Modelul Cadrul ERRE se reprezintă astfel: I. Evocare:

• salutul; momentul organizatoric; captarea inițială a atenției elevilor; • formularea obiectivelor (în corelare cu tipul lecției); • verificarea temei pentru acasă; • reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.

66

II. Realizarea sensului (această secvență este prezentă doar atunci când va fi studi-ată materia nouă în cadrul lecției):

• Predarea – învățarea materiei noi (doar în cazul studierii materiei noi);III. Reflecție: • consolidarea materiei și formarea capacităților; • aplicații; • evaluarea atingerii obiectivelor preconizate; • bilanțul lecției; concluzii; • *tema pentru acasă (în cazul lipsei secvenței Extinderea).

IV. Extindere/extensie: • aplicații extinse; conexiuni intra- și interdisciplinare; realizarea proiectelor,

investigațiilor etc.; • prezentarea temei pentru acasă.

Atenție! În funcție de tipul lecției, unele dintre aceste secvențe sunt lipsă. Este im-portant să utilizăm corect Cadrul ERRE pentru structurarea lecției. [25 ]

Un model funcțional și eficient de structurare a lecției poate fi:modelul celor 5E, care include secvențele:1. Angajarea (Engage)2. Explorarea (Exploration)3. Explicarea (Explain)4. Elaborarea (Elaborate)5. Evaluarea (Evaluate). [25]Atenție! În funcție de tipul lecției, unele dintre aceste secvențe sunt lipsă.Detalii despre aplicarea acestor modele și a altor modele posibile de structurare a

lecțiilor de matematică sunt prezentate în [25].

B. Modul (forma) de organizare și desfășurare a lecției.Procesul educațional modern se axează pe o nouă paradigmă didactică, numită

structural-cognitivă în bază de competențe, fundamentată pe aplicarea unor modali-tăți de selectare și organizare a obiectivelor și a conținuturilor conform principiului „nu mult, ci bine”; important este nu doar ce anume, dar cât de bine, când și de ce se învață, la ce va servi mai târziu ceea ce s-a învățat la școală. Sensul major al referințelor actuale în predarea – învățarea – evaluarea matematicii constă în deplasarea accentului de pe predarea informațiilor pe formarea de capacități mintale, abilități, atitudini și valori prin intermediul unor cunoștințe funcționale, adică pe formarea de competențe.

Astfel, accentul se deplasează de pe transmiterea informației de către profesor pe dobândirea cunoștințelor de către elevi, pe formarea și dezvoltarea capacităților și a

67

atitudinilor și, în final, pe formarea de competențe, fiind ghidați de către profesor în aceste activități.

În acest context, este eficientă realizarea unui sistem de predare – învățare – evalu-are pe module la matematică în învățământul liceal. Un modul poate să reprezinte unul, mai multe capitole ale manualului respectiv de matematică sau compartimente ale ma-tematicii (de exemplu, modulul Algebra, modulul Geometria în plan, modulul Geome-tria în spaţiu, modulul Analiza matematică, modulul Combinatorica, modulul Elemente de statistică matematică etc.), determinate de către curriculumul școlar la matematică.

În prisma proiectării didactice modulare la matematică, propunem următorul sistem de lecții, clasificare realizată în baza modului (formei) de organizare a activităților în cadrul lecției:

• Lecție-prelegere. • Lecție-seminar aplicativ (rezolvare de exerciții, probleme, situații simple). • Lecție-seminar de reluare și aprofundare. • Lecție-practicum (rezolvări de exerciții, probleme situații mai complicate, non-

standarde; lucrări de laborator, practice sau grafice; excursii didactice; lecții inte-grative (de exemplu, lecție mixtă de fizică și chimie, istorie și geografie, matema-tică și literatura română, matematică și arta plastică etc.)).

• Lecție-sinteză (ora de sinteză, ora de sinteză integrativă). • Lecție-evaluare (testare, colocviu, proba de evaluare, susținerea proiectelor, in-

clusiv a proiectelor STEM/STEAM, investigația etc.).

4.3. Metodologia elaborării unui proiect didactic la matematicăElaborarea proiectului didactic se fundamentează pe următorul algoritm:Profesor __________________________________________________________Disciplina de învățământ _____________________________________________Clasa _____________________________________________________________Data ______________________________________________________________Numărul lecției în sistemul de lecții (conform proiectării de lungă durată) (De exem-

plu, 3/28, adică este lecția a III-a din sistemul de lecții la capitolul/modulul/unitatea de învățare și lecția a 28-a din sistemul general de lecții la clasa respectivă)

Numărul lecției conform orarului _______________________________________Durata lecției _______________________________________________________Capitolul/Modulul/Unitatea de învățare _________________________________Subiectul lecției _____________________________________________________Unitățile de competență ______________________________________________

68

Obiectivele lecției: La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 _________________________________________________________________O2 _________________________________________________________________O3 _____________________________________________________________ etc.Tipul lecției _________________________________________________________Tehnologii didactice:

• Forme ______________________________________________________________• Metode _____________________________________________________________• Mijloace de învățământ ________________________________________________

Evaluarea: a) Tipul evaluării ___________________________________________b) Forme, metode, tehnici de evaluare, produse ___________________________

Scenariul lecției:Notă. Scenariul lecției poate fi prezentat atât în formă tabelară, cât și în formă tex-

tuală.Tabelul poate fi structurat în diverse moduri: a)

Nr.crt.

Secvențelelecției Timp Obiectivele

lecțieiActivitatea

profesoruluiActivitatea

elevuluiEvaluarea

(de proces)

1.2.

etc.

b)

Nr.crt.

Secvențelelecției Timp Obiectivele

lecțieiStrategiadidactică

Metode, procedee

Evaluarea(de proces)

1.2.

etc.

Notă. În cazul prezentării textuale, scenariul se prezintă în formă de text, evidențiind secvențele structurale ale lecției și activitățile preconizate în cadrul acestor secvențe. Se va indica asupra cărora dintre obiective se va lucra la secvența respectivă și cât timp se preconizează pentru această secvență.

4.4. Exemple de proiecte didactice la MatematicăÎn continuare propunem exemple de proiecte didactice la Matematică pentru lecții

de diferite tipuri.

69

Proiect didactic al lecției de matematicăProfesor: Laşcu AlionaDisciplina de învățământ: MatematicăClasa: a XI-aData: Numărul lecţiei în modul: 10/16 Durata lecţiei: 45 min.Capitolul: Șiruri de numere realeSubiectul lecţiei: Progresia aritmetică. Progresia geometrică. AplicațiiUnităţi de competenţă:1.1. Recunoaşterea șirurilor, progresiilor aritmetice, progresiilor geometrice în con-

texte diverse.1.2. Identificarea şi utilizarea terminologiei și notațiilor specifice șirurilor și progre-

siilor în diverse situații.1.6. Utilizarea șirurilor, progresiilor în diverse domenii.Obiectivele lecţiei:La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 – să identifice şi să utilizeze terminologia şi notaţiile specifice şirurilor şi progresi-

ilor în diverse situaţii;O2 – să recunoască o progresie aritmetică, o progresie geometrică în enunţul dat;O3 – să determine raţia unei progresii aritmetice, a unei progresii geometrice date

sau identificate;O4 – să utilizeze progresiile aritmetice, geometrice în contextele propuse, inclusiv în

rezolvarea problemelor din diverse domenii;O5 – să formeze obişnuinţa de a recurge la concepte şi metode matematice în abor-

darea unor situaţii cotidiene şi pentru rezolvarea unor probleme interdisciplinare.

Tipul lecţiei: Lecție de formare a capacităților de aplicare a cunoștințelor.Tehnologii didactice:1. Forme:

• frontală; • în perechi; • în grup; • individuală.

2. Metode: • conversația; • metoda exercițiului; • argumentarea; • algoritmizarea.

70

Mijloace de învăţământ:• I. Achiri, V. Neagu, V. Ciobanu, P. Efros, V. Garit, N. Prodan, D. Taragan, A. Topală.

Matematică. Manual pentru clasa a XI-a. Ed. Prut Internațional. Chișinău, 2014;• prezentarea în PPT (conține: subiectul lecției, obiectivele, sarcinile, tema pentru

acasă);• computerul;• proiectorul sau tabla interactivă;• fișe.Evaluarea: formativă, evaluare orală și în scris, reciprocă; produse – răspunsuri orale

și în scris, probleme rezolvate, algoritmi aplicați, poster, argumentări (aprecieri cu note).

71

Scen

ariu

l lec

ției

Nr.

Secv

ențe

lele

cție

iTi

m-

pul

Obi

ec-

tivel

eAc

tivita

tea

prof

esor

ului

Activ

itate

ael

evilo

rEv

alua

rea

1.2.

3.4.

5.6.

7.

Mom

ent o

r-ga

niza

toric

1 m

in.

Salu

tare

a.Ve

rifica

rea

preg

ătirii

ele

vilo

r de

lecț

ie

Salu

tăpr

ofes

orul

Vizu

al

Verifi

care

a te

mei

pen

-tr

u ac

asă

2 m

in.

- Car

e a

fost

tem

a pe

ntru

aca

să?

De

învă

țat:

p. 1

7 -1

9 , M

odul

ul I,

§2

. Pun

ctul

2.2

.D

e re

zolv

at: p

. 21,

ex.

15(b

), 19

(b),

20

La p

anou

l de

anu

nțur

i,el

evul

re

spon

sabi

l afiș

ează

tem

a pe

ntru

acas

ă și

elev

iise

aut

over

ifică

- Ce

într

ebăr

i sun

t la

tem

a pe

ntru

ac

asă?

Dacă

est

e ca

zul,

elev

ii fo

rmul

ează

în-

treb

ări.

Reac

tual

iza-

rea

cuno

ș-tin

țelo

r și a

ca

paci

tățil

or

12

min

.Se

anu

nță

subi

ectu

l și o

biec

tivel

e le

cție

i; se

pro

iect

ează

pe

ecra

n pr

ezen

tare

a PP

T (s

e pr

oiec

teaz

ă pe

ec

ran

Slid

e 1)

Elev

ii de

schi

d ca

iete

le și

not

ează

dat

a,

„Tem

a în

cla

să“

și su

biec

tul l

ecție

i: Pr

ogre

sia

aritm

etică

. Pro

gres

ia g

eo-

met

rică.

Apl

icaț

ii.

O1

O2

O3

O4

O5

Activ

itate

în g

rup

de p

atru

per

-so

ane

(se

grup

ează

ele

vii d

in d

ouă

bănc

i vec

ine)

Recu

noaș

teți

form

ulel

e pe

ntru

pro

-gr

esiil

e ar

itmeti

ce și

geo

met

rice.

Elev

ii pr

imes

c fiș

e au

toco

lant

e cu

păr

ți di

n fo

rmul

ele

term

enul

ui g

ener

al și

su

ma

prim

ilor n

term

eni a

i une

i pro

-gr

esii

aritm

etice

, pro

gres

ii ge

omet

rice.

Pe

un

post

er, e

levi

i, în

baz

a fiș

elor

pe

care

le-a

u pr

imit,

vor

recu

noaș

te u

na

dint

re fo

rmul

ele

pent

ru p

rogr

esiil

e ar

it-m

etică

și g

eom

etric

ă, v

or a

ranj

a fiș

ele

și vo

r com

plet

a cu

sem

nele

=, +

,- „p

en-

tru

a ob

ține

form

ulel

e re

spec

tive:

1. G

rupu

l I: b

n = b

1 · q

n-1

2. G

rupu

l II:

a n = a

1 + r

(n-1

);

Răsp

unsu

ri or

ale

și în

scris

.Po

ster

e el

abor

ate.

72

3. G

rupu

l III:

Sa

nr n

n�

��

��

21

2

1;

4. G

rupu

l IV:

Sa

an

nn

��

1

2;

5. G

rupu

l V: S

bbq q

nn

�� �

1 1;

6. G

rupu

l VI: S

bq q

n

n

��

� ��

�1

1 1To

ate

răsp

unsu

rile

vor fi

afiș

ate

pe ta

-bl

a m

agne

tică

cu c

omen

tare

a ră

spun

-su

lui,

la lo

c vi

zibil,

pen

tru

a fi

utiliz

ate

pe p

arcu

rsul

lecț

iei.

O1

O2

O3

O4

Activ

itate

fron

tală

(Se

proi

ecte

ază

pe e

cran

Slid

e 2)

Dete

rmin

ați d

acă

șirul

dat

est

e o

prog

resie

arit

meti

că sa

u o

pro-

gres

ie g

eom

etric

ă. A

rgum

enta

ți ră

spun

sul.

1. 1

; 3; 5

; 7; .

..; 9

92.

4; 8

; 12;

.....

.....;

240

3.

1; 2

; 4; 8

; ...;

102

4

4. -4

; −4 3

; −4 9

; −4 27

; ...

Elev

ii ră

spun

d or

al și

arg

umen

teaz

ăRă

spun

suri

oral

e.Ar

gum

entă

ri.

O1,

O2, O3

Activ

itate

în p

erec

hiPe

ntru

șiru

rile

ante

rioar

e,

dete

rmin

ați f

orm

ula

term

enul

ui

gene

ral ș

i cal

cula

ți te

rmen

ul a

l op

tule

a.

Elev

ii di

scut

ă în

per

echi

și în

depl

ines

c sa

rcin

a.De

la fi

ecar

e pe

rech

e se

cer

e un

răs-

puns

, un

elev

not

ează

pe

tabl

ă ră

s-pu

nsur

ile e

levi

lor (

lâng

ă fie

care

șir s

e no

teaz

ă fo

rmul

a și

term

enul

cer

ut):

Răsp

unsu

ri or

ale.

73

1. a

nn

an�

��

���

��

12

12

115

8,

2. a

nnb

n�

��

���

�44

14

32

8,

3. b

bn

n�

��

2128

1

8,

4. b

bn

n

���� ��

� ����

�

41 3

4

2187

1

8,

Activ

itate

fron

tală

Pent

ru și

ruril

e an

terio

are,

de

term

inaț

i sum

a tu

turo

r ter

men

i-lo

r șiru

lui.

Câte

un

repr

ezen

tant

al fi

ecăr

ui râ

nd

rezo

lvă

la ta

blă,

cei

lalți

ele

vi re

zolv

ă în

ca

iet:

Rând

ul I

– șir

ul I:

Sn=

250

0.Râ

ndul

al I

I-lea

– și

rul a

l II-l

ea: S

n= 7

320

Rând

ul a

l III-

lea

– șir

ul a

l III-

lea:

Sn=

204

7

Prob

lem

e re

zol-

vate

.

Cons

olid

a-re

a m

ater

iei

și fo

rmar

ea

capa

cită

ților

13

min

O4, O5

Activ

itate

fron

tală

(Se

proi

ecte

ază

pe e

cran

Slid

e 3)

Se p

ropu

ne sp

re a

naliz

ă ur

măt

oa-

rea

situa

ție d

in a

ctivi

tate

a co

tidi-

ană,

tran

spun

erea

ei î

n lim

baju

l șir

urilo

r și r

ezol

vare

a pr

oble

mei

ob

ținut

e:Pe

tru

este

stud

ent l

a o

univ

ersit

ate

din

capi

tală

şi v

rea

să se

ang

ajez

e la

o c

ompa

nie

pent

ru p

art-ti

me.

Co

mpa

nia

prop

une

2 fo

rmul

e de

sa

lariz

are:

Form

ula

1: S

alar

iul a

nual

în p

rimul

an

de

anga

jare

est

e de

230

00 d

e le

i, ia

r la

înce

putu

l fiec

ărui

urm

ător

an

de

anga

jare

(înc

epân

d cu

al

doile

a), s

alar

iul a

nual

se m

ăreş

te c

u 50

0 de

lei.

Răsp

unsu

ri or

ale

și în

scris

.

74

Form

ula

2: S

alar

iul a

nual

iniţi

al

este

de

21 0

00 d

e le

i, ia

r la

înce

pu-

tul fi

ecăr

ui u

rmăt

or a

n de

ang

ajar

e (în

cepâ

nd c

u al

doi

lea)

, sal

ariu

l an

ual s

e m

ăreş

te c

u 4%

.Ce

sala

riu v

a av

ea P

etru

la fi

nele

ce

lui d

e-al

8-le

a an

de

anga

jare

, da

că e

l va

răm

âne

la a

cest

job

şi du

pă st

udiil

e sa

le u

nive

rsita

re?

Care

form

ulă

este

mai

con

vena

bilă

?

Adre

seaz

ă în

treb

ări a

jută

toar

e:1.

Scr

ieți

term

enii

șirul

ui, c

are

re-

prez

intă

sala

riul p

entr

u pr

imii

pa-

tru

ani,

cu a

mbe

le fo

rmul

e.

Elev

ii di

scut

ă, a

naliz

ează

, răs

pund

la

într

ebăr

ile a

jută

toar

e, u

n el

ev n

otea

-ză

răsp

unsu

rile

pe ta

blă,

cei

lalți

– în

ca

iete

.Fo

rmul

a 1:

Ter

men

ii șir

ului

sunt

:a 1

= 23

000;

a 2 =

230

00 +

500

= 2

3500

; a 3 =

235

00 +

500

= 2

4000

; a 4 =

240

00 +

500

= 2

4500

.Fo

rmul

a 2:

Ter

men

ii șir

ului

sunt

:a 1 =

230

00;

a 2 = 2

3000

+ 0

,04

2300

0 =

1,04

230

00;

a 3 = 1

,04

· 230

00 +

0,0

4 · 1

,04

· 230

00 =

=

1,04

2300

0 (1

+ 0

,04)

= 1

,042 ·

2300

0;

a 4 = 1

,042 ·

2300

0 +

0,04

· 1,

042 ·

2300

0 =

= 1,

042 ·

2300

0 (1

+0,0

4) =

1,0

43 · 23

000.

1. C

e pu

teți

spun

e de

spre

șiru

rile

date

? Ar

gum

enta

ți ră

spun

sul.

Form

ula

1: Ș

irul r

epre

zintă

o p

rogr

esie

ar

itmeti

că c

u a 1=

2300

0 și

r = 5

00.

Form

ula

2: Ș

irul r

epre

zintă

o p

rogr

esie

ge

omet

rică

cu b

1= 23

000

și q

=1,0

4.

75

2. D

eter

min

ați f

orm

ulel

e te

rmen

ului

ge

nera

l pen

tru

fieca

re p

rogr

esie

.Fo

rmul

a 1:

an =

230

00 +

500

(n-1

) Fo

rmul

a 2

: bn =

230

00 ·

1,04

n-1

3. C

e tr

ebui

e să

află

m p

entr

u a

răs-

pund

e la

într

ebar

ea p

robl

emei

?Te

rmen

ul a

l opt

ulea

.Fo

rmul

a 1:

a8 =

230

00 +

500

· 7

= 26

500

Form

ula

2: b

8 = 2

3000

· 1,

048-

1 = 30

266,

43.

4. C

are

form

ulă

este

mai

conv

enab

ilă?

Mai

con

vena

bilă

est

e fo

rmul

a 2.

Activ

itate

în p

erec

hi(P

erec

hile

se fo

rmea

ză d

in d

oi c

o-le

gi d

e ba

ncă.

Se

proi

ecte

ază

pe

ecra

n Sl

ide

4.Pr

oble

ma

va fi

rezo

lvat

ă co

nfor

m

plan

ului

:1.

Scr

ieți

prim

ii pa

tru

term

eni a

i șir

ului

car

e m

odel

ează

pro

blem

a da

tă.

2. C

e fe

l de

prog

resii

repr

ezin

tă

șirur

ile o

bțin

ute?

3. D

eter

min

ați f

orm

ula

term

enul

ui

gene

ral/s

umei

prim

ilor n

term

eni

(în fu

ncție

de

într

ebar

ea p

robl

e-m

ei).

4. R

ezol

vați

și ră

spun

deți

la în

tre-

bare

a pr

oble

mei

.

Disc

ută

în p

erec

hi.

Prob

lem

e re

zol-

vate

.

Se p

ropu

ne sp

re a

naliz

ă, m

odel

are

mat

emati

că o

pro

blem

ă di

n bi

o-lo

gie,

pen

tru

a că

rei r

ezol

vare

se

utiliz

ează

pro

gres

iile:

Esch

eric

hia

coli,

cun

oscu

tă su

b nu

mel

e co

libac

ille

sau

E. c

oli,

este

o

bact

erie

inte

stina

lă d

es în

tâln

ită

la m

amife

re, d

eci ş

i la

oam

eni.

Disc

ută

în p

erec

hi, r

ăspu

nd la

într

e-bă

rile

proi

ecta

te p

e ec

ran

și re

zolv

ă pr

oble

mel

e pr

opus

e.1

20min

��

��

2

20min

��

��

420min

��

��

8

20min

��

��

……

?

76

Porn

ind

cu o

cel

ulă,

ace

asta

va

da

naşt

ere

la d

ouă

celu

le-fi

ice

care

, la

rând

ul lo

r, vo

r da

naşt

ere

la a

lte

două

cel

ule

etc.

Tim

pul n

eces

ar

dubl

ării

num

ărul

ui d

e ce

lule

est

e de

20

de m

inut

e pe

ntru

Esc

heric

hia

coli.

Por

nind

de

la o

cel

ulă,

cât

e ce

lule

vor

fi p

este

24

de o

re?

Șiru

l rep

rezin

tă o

pro

gres

ie

geom

etric

ă cu

b1=

1 și

q =

2.

b n= b

1· qn-

1 = 1

· 2n-

1

1 or

ă =

60 m

in.

3 în

jum

ătăț

iri24

de

ore

……

……

72 d

e în

jum

ătăț

iriDe

ci, n

= 7

3.b 73

= b

1 · q

73-1 =

1 ·

273-1=

272

cel

ule.

(Se

proi

ecte

ază

pe e

cran

Slid

e 5)

Un

negu

stor

are

16

cupe

de

argi

nt.

Gre

utat

ea fi

ecăr

ei u

rmăt

oare

cup

e cr

eşte

cu

30 g

faţă

de

prec

eden

ta.

Cât c

ântă

reşt

e ce

a m

ai u

şoar

ă cu

pă d

in c

olec

ţia n

egus

toru

lui?

Cât

câ

ntăr

eşte

toat

ă co

lecţ

ia d

e cu

pe a

ne

gust

orul

ui d

acă

ultim

a (c

ea m

ai

grea

) cân

tăre

şte

500

g?

Term

enii

șirul

ui su

nt :

500

g; 4

70 g

; 44

0 g;

410

g; …

..Și

rul r

epre

zintă

o p

rogr

esie

arit

met

ică

cu a

1= 50

0, r

= -3

0 și

a n = 5

00 –

30(

n -

1).

a 16 =

500

– 4

50 =

50

g.S 16

= 40

00 g

r = 4

kg.

6 m

inAc

tivita

te în

gru

puri

de p

atru

per

-so

ane

(se

grup

ează

ele

vii d

in d

ouă

bănc

i vec

ine)

.El

evii

prim

esc

câte

un

post

er c

u o

prob

lem

ă pr

opus

ă sp

re re

zolv

are.

Disc

ută

și sc

riu re

zolv

ările

pe

post

ere.

Eval

uare

reci

proc

ă în

tre

grup

uri

(sch

imb

de p

oste

re

și ve

rifica

re)

Gru

puril

e 1

şi 5

Iod1

31 (

131 I )

est

e un

ato

m ra

dio-

activ

, a c

ărui

per

ioad

ă de

dez

inte

-gr

are

radi

oacti

vă (d

e în

jum

ătăț

ire)

este

de

T =

8 zil

e.

Ce c

antit

ate

de Io

d 13

1 a

fost

cu

1

000

de zi

le în

urm

ă, d

acă

acum

a

răm

as 1

g d

e Io

d 13

1?

xgzile

8

1 2�

���

xgxg

zile

8

1 4�

���

xgxg

zile

8

1 8�

���

88

1zile

zile

g�

���

��

��

...

1000

: 8

= 12

5 or

i s-a

pro

dus

înju

măt

ățire

a.De

ci, n

= 1

26.

77

Șiru

l rep

rezin

tă o

pro

gres

ie

geom

etric

ă cu

b12

6= 1

g și

q =

bbq

xg

126

1

1261

125

1 21

��

��� ��

� ���

�

bbq

xg

126

1

1261

125

1 21

��

��� ��

� ���

�

bx

g1

125

2=

=

Gru

puril

e 2

şi 6

Po

pula

ția u

nui o

raș s

e m

ăreș

te c

u 1%

în fi

ecar

e an

. Dac

ă în

201

9 su

nt

110

000

de lo

cuito

ri, c

âți l

ocui

tori

vor fi

în 2

032

(110

00 x

1,1

13)?

Term

enii

șirul

ui su

nt:

Anul

201

9 : a

1 =11

0000

; An

ul 2

020:

a2 =

110

000

+ 0,

01 1

1000

0 =

1,01

110

000;

An

ul 2

021:

a3 =

1,0

1 11

0000

+ 0

,011

,01

1100

00 =

1,0

1110

000

(1 +

0,0

1 ) =

1,

012 11

0000

; An

ul 2

022:

a4 =

1,0

12 1100

00 +

0,

011,

012 11

0000

= 1

,012 11

0000

(1+

0,01

) = 1

,013

1100

00.

Șiru

l rep

rezin

tă o

pro

gres

ie g

eom

etric

ă cu

b1=

1100

00 și

q =

1,0

1 și

bbq

nn

n�

��

��

�1

11

110000101

,

Anul

203

2:

b 14

13

110000101

125190

��

�,

lo

cuito

ri.

Gru

puril

e 3

şi 7

U

n tr

acto

r tre

buie

să sa

pe u

n șa

nț

pent

ru m

onta

rea

subt

eran

ă a

cond

ucte

lor d

e ga

ze. Î

n pr

ima

zi el

a

săpa

t 30

m, i

ar în

urm

ătoa

rele

zil

e –

cu 5

m m

ai m

ult d

ecât

în zi

ua

prec

eden

tă.

Term

enii

șirul

ui su

nt:

Prim

a zi:

a1 =

30;

A

doua

zi: a

2 = 3

0 +

5 =

35;

A tr

eia

zi: a

3 = 3

0 +

5 +

5 =

30 +

2·5

= 4

0;

A pa

tra

zi: a

4 = 3

0 +

5 +

5 +

5 =

30 +

3·5

=

45.

78

Ce lu

ngim

e de

con

duct

e va

fi m

on-

tată

, dac

ă tr

acto

rul a

lucr

at 1

4 zil

e?Și

rul r

epre

zintă

o p

rogr

esie

arit

met

ică

cu a

1= 30

, r =

5 și

aa

rn

nn�

��

���

��

��

11

305

1. I

ar

pent

ru a

răsp

unde

la în

treb

area

pro

-bl

emei

, util

izăm

form

ula

sum

ei:

Sa

nr n

n�

��

��

21

2

1

Astfe

l, S 14

230

1415

214875

��

��

���

� ·

S 14

230

1415

214875

��

��

���

�

(m d

e co

nduc

tă).

Gru

puril

e 4

şi 8

U

n po

d es

te su

sţin

ut d

e 25

de

cabl

uri n

umer

otat

e de

la 1

la 2

5,

de la

cel

mai

scur

t la

cel m

ai lu

ng.

Lung

imea

prim

ului

cab

lu e

ste

de

10,5

8 m

, al u

rmăt

orul

ui –

de

17,6

4 m

, cel

ui d

e-al

trei

lea

– 24

,70

m şi

aş

a m

ai d

epar

te, î

n ba

za a

cele

iaşi

regu

li de

măr

ire. C

are

este

num

ărul

ca

blul

ui c

u lu

ngim

ea d

e 15

1,78

m?

Câţi

met

ri de

cab

lu a

u fo

st n

eces

ari

pent

ru a

susţ

ine

aces

t pod

?

Term

enii

șirul

ui su

nt: 1

0,58

m; 1

7,64

m

; 24,

70 m

;…..

Șiru

l rep

rezin

tă o

pro

gres

ie a

ritm

etic

ă cu

a1=

10,5

8, r

= a 2

- a1 =

17,6

4 –

10,5

8 =

7,06

și a

n = 1

0,58

+ 7

,06(

n - 1

) = 1

51,7

8,

n =

21

Sa

nr

n�

��

��

21

2

1

S 25

21058

251706

22523825

��

��

���

��

,,

,

= 23

82,5

m d

e ca

blu.

79

Eval

uare

a7

min

.O

1O

2O

3O

4O

5

Lucr

are

inde

pend

entă

1. C

arbo

nul 1

4 es

te u

n at

om

radi

oacti

v, a

căr

ui p

erio

adă

de

înju

măt

ăţire

(per

ioad

a de

dez

inte

-gr

are

radi

oacti

vă) e

ste

de T

= 5

730

de a

ni.

Ce c

antit

ate

de C

arbo

n 14

a fo

st c

u 28

650

de

ani î

n ur

mă,

dac

ă ac

um

au ră

mas

2g

de C

arbo

n 14

?

2. P

entr

u a

deco

ra m

ânec

a un

ei ii

au

fost

util

izate

6 p

ătra

te c

once

n-tr

ice

(unu

l în

altu

l) di

n m

ărge

luşe

. Pe

ntru

păt

ratu

l cel

mai

mic

au

fost

util

izate

4 m

ărge

luşe

, iar

pen

-tr

u fie

care

păt

rat u

rmăt

or –

cu

4 m

ărge

luşe

mai

mul

t. De

cât

e cu

tii

de m

ărge

luşe

ave

m n

evoi

e pe

ntru

a

orna

2 ii

, dac

ă m

ărge

luşe

le su

nt

vând

ute

în c

utii a

cât

e 50

.

Elev

ii pr

imes

c fiș

a cu

sarc

inile

pro

puse

. Vo

r rez

olva

inde

pend

ent s

arci

nile

.Do

i ele

vi v

or re

zolv

a pe

pos

tere

pro

-bl

emel

e (fi

ecar

e câ

te o

pro

blem

ă). L

a fin

ele

activ

ității

, pos

tere

le v

or fi

afiș

ate

pent

ru a

put

ea fi

ver

ifica

te re

zulta

tele

.

1.xg

xg

xg xg

xg

ani

ani

ani

ani

5730

5730

5730

5730

1 2

1 4 1 8

��

��

��

��

��

��

��

���

��

��

...

5730

2ani

g

xgxg

xg xg

xg

ani

ani

ani

ani

5730

5730

5730

5730

1 2

1 4 1 8

��

��

��

��

��

��

��

���

��

��

...

5730

2ani

g

2865

0 : 5

730

= 5

ori s

-a p

rodu

s în

jum

ătăț

irea.

Dec

i, n

= 6.

2. Ș

irul r

epre

zintă

o p

rogr

esie

ge

omet

rică

cu b

g62

= și

q=1 2

,

bbq

xgb

xg

61

61

5

1

1 22

64

��

��� ��

� ���

��

�

bbq

xgb

xg

61

61

5

1

1 22

64

��

��� ��

� ���

��

�.

Term

enii

șirul

ui su

nt: 4

; 8; 1

2 ; …

..Și

rul r

epre

zintă

o p

rogr

esie

arit

met

ică

cu a 1=

4, r

= 4

și a

n = 4

+ 4

(n -

1)

Sa

nr n

n�

��

��

21

2

1

S 624

614

2684

���

��

����

măr

gelu

șe

pent

ru o

mân

ecă,

84

· 4 =

336

măr

gelu

șe

pent

ru 2

ii, 3

36 : 5

0 =

6,72

. Dec

i, sun

t ne

voie

de

7 cu

tii d

e m

ărge

lușe

.

Lucr

are

inde

pen-

dent

ă sc

risă.

80

Bila

nțul

le

cție

i3

min

.O

1O

2O

3O

4

Bila

nţul

can

titati

v:- C

e am

real

izat a

stăz

i la

lecț

ie?

- Din

ce

dom

enii

am re

zolv

at p

ro-

blem

e, u

tilizâ

nd p

rogr

esiil

e?- C

are

este

alg

oritm

ul d

e re

zolv

are

a un

ei p

robl

eme?

Elev

ii ră

spun

d or

al.

Răsp

unsu

ri or

ale.

Bila

nţul

cal

itativ

:- S

e de

term

ină

care

obi

ectiv

e au

fo

st re

aliza

te la

lecț

ie.

- Se

dedu

c co

nclu

ziile

priv

ind

acti-

vita

tea

clas

ei în

ans

ambl

u și

a un

or

elev

i în

parti

cula

r.

Tem

a pe

n-tr

u ac

asă

1

min

.O

1O

2O

3O

4

Se p

roie

ctea

ză p

e ec

ran

Slid

e 5

cu

tem

a pe

ntru

aca

să:

1. D

e re

capi

tula

t: p.

14-

19, M

odul

ul

I, §2

.2.

De

rezo

lvat

: p. 2

1, e

x. 5

, 6, 7

.3.

Sup

limen

tar:

O p

otco

avă

are

gros

imea

de

1 cm

. Un

fiera

r vre

a să

o

subţ

ieze

pân

ă la

0,5

cm

. Pen

tru

acea

sta,

el l

oveş

te p

otco

ava

fără

să

se o

prea

scă,

în fi

ecar

e se

cund

ă.La

fiec

are

lovi

tură

, gro

simea

met

a-lu

lui s

cade

cu

1%. C

are

este

tim

pul

min

im n

eces

ar p

entr

u fie

rar c

a să

-şi

real

izeze

sarc

ina?

(69

sec.

)M

ulțu

mes

c pe

ntru

lecț

ie.

La re

vede

re!

Not

ează

în a

gend

e sa

u în

cai

ete.

81

4.5. Metodologia evaluării (autoevaluării) lecției asistate (realizate)Lecția asistată (realizată) poate fi analizată și evaluată (аutoevaluată) conform urmă-

toarei scheme:Schema evaluării (autoevaluării) lecției (SEL)

I. Determinarea aspectelor fundamentale ale lecției:1.1. locul lecției asistate (realizate) în sistemul de lecții la tema (modulul, unita-

tea de învățare, capitolul) respectivă (respectiv);1.2. obiectivele lecției, corelate cu unitățile de competență selectate;1.3. tipul și structura lecției.

II. Analiza structurală a fiecărei secvențe (etape) a lecției:2.1. determinarea problemei didactice care se rezolvă la etapa respectivă a lecției;2.2. determinarea obiectivelor lecției asupra cărora se lucrează la etapa respectivă;2.3. selectarea materiei de studiu și repartizarea ei pe etape;2.4. evidențierea formelor, metodelor și procedeelor aplicate de către profesor

la fiecare etapă:a) formele de organizare a activităților elevilor (frontal, pe grupuri, individual);b) metodele și procedeele de predare – învățare;c) tipul, formele și metodele de evaluare a rezultatelor școlare ale elevilor;2.5. realizarea feedbackului (evaluarea de proces) la fiecare secvență a lecției.

III. Analiza particularităților didactice şi psihologice ale lecției (evaluarea activită-ții cadrului didactic):3.1. Sunt oare determinate și formulate corect obiectivele lecției? Sunt oare co-

rect corelate obiectivele cu unitățile de competențe respective?3.2. Corespunde oare tipul lecției obiectivelor preconizate?3.3. Sunt oare corect determinate problemele didactice, care se rezolvă la eta-

pele respective ale lecției?3.4. Este oare argumentată selectarea materiei de studiu (conținutul științific)

pentru această lecție? (Corespunde oare conținutul lecției obiectivelor ei? Este oare suficient volumul materiei de studiu pentru lecție?)

3.5. Sunt oare admise greșeli științifice în procesul lecției?3.6. Corespund oare formele de organizare a activităților elevilor, metodele și

procedeele de predare – învățare – evaluare obiectivelor și conținutului lecției? Originalitatea formelor, metodelor și procedeelor aplicate în cadrul lecției.

3.7. Cum este realizată predarea – învățarea – evaluarea materiei noi (noțiunile, regulile, legitățile, formulele noi) (în cazul când aceasta este prezentă în ca-drul lecției)?

82

3.8. Ce particularități specifice ale parteneriatelor dintre profesor – elev, elev – elev, elev – profesor au fost evidențiate în cadrul lecției (adaptarea profe-sorului la particularitățile de vârstă ale elevilor; abaterile nejustificate de la subiectul lecției; emoțiile pozitive și negative ale elevilor; captarea atenției elevilor pe parcursul lecției; limbajul utilizat de către cadrul didactic; sti-mularea activităților de învățare a elevilor; folosirea ideilor și propunerilor elevilor privind conținutul și desfășurarea lecției; motivația învățării; menți-nerea interesului elevilor pentru lecție)?

3.9. Mijloacele de învățământ (manualul, materialele și mijloacele didactice) au fost utilizate oportun și în corelație cu obiectivele lecției?

3.10. Care a fost ritmul lecției? (Sunt oare rețineri nejustificate în timpul lecției?) 3.11. Volumul temei pentru acasă, concretizarea și diferențierea ei. 3.12. În ce mod s-a realizat bilanțul lecției (cantitativ și calitativ)?

IV. Concluzii generale cu privire la lecție:4.1. Concluzii privind organizarea și desfășurarea lecției.4.2. Concluzii privind realizarea obiectivelor lecției.

V. Propuneri privind înlăturarea lacunelor observate şi perfecționarea activității educaționale a cadrului didactic

VI. Aprecierea lecției şi a activității cadrului didacticAprecierea lecției și a activității profesorului se va efectua în funcție de numărul de

puncte acumulate la realizarea secvenței a III-a a acestei scheme. Pentru fiecare din pozi-țiile 3.1.-3.12. scorul maxim este zece puncte, iar cel minim – un punct. Sumând punctele acordate, se determină calitatea lecției și se apreciază activitatea profesorului astfel:

120 - 95 de puncte – lecţie foarte bună – nota 9 sau 10; 94 - 70 de puncte – lecţie bună – nota 7 sau 8;69 - 45 de puncte – lecţie satisfăcătoare – nota 5 sau 6;44 - 1 punct – lecţie nesatisfăcătoare – nota 4. Important! Pentru о evaluare obiectivă a lecției asistate (inclusiv în procesul atestă-

rii cadrului didactic) se recomandă ca ea să fie apreciată de cel puțin trei asistenți-spe-cialiști (cadre didactice, inspectori, metodiști, manageri) în domeniul respectiv. Apreci-erea finală se va efectua reieșind din suma mediilor aritmetice ale punctelor acordate de către fiecare asistent pentru fiecare dintre pozițiile 3.1-3.12 ale prezentei scheme și în conformitate cu grila de evaluare, indicată mai sus.

83

5. Referințe metodologice și procesuale ale curriculumului

la Matematică

5.1. Strategii și tehnologii didactice de formare a competențelorDin perspectiva formării competențelor, activitatea profesională a profesorului de

matematică se va fundamenta pe:Crezul instruirii active (Kees Both):Ce aud – uit!Ce aud şi văd – îmi amintesc puțin!Ce aud, văd şi întreb sau discut cu cineva – încep să înțeleg!Ce aud, văd, discut şi fac – însuşesc şi mă deprind!Ce redau altcuiva – învăț!Ceea ce pun în practică – mă transformă! În activitatea profesională, profesorul de matematică se va axa pe:

ALGORITMUL UNEI PREDĂRI AXATE PE MOTIVAŢIE:•• Începeţi predarea printr-o anecdotă, un studiu de caz, o istorioară legată de teo-

ria ce urmează a fi predată sau printr-o problemă de soluţionat;•• Chestionaţi elevii asupra cunoştinţelor lor anterioare în legătură cu fenomenul ori

teoria ce urmează a fi explicat(ă);•• Prezentaţi planul lecţiei sub formă de întrebări (acest mod de a prezenta materia

îi obligă pe elevi să-şi focalizeze atenţia asupra aspectelor importante şi să caute să afle răspunsurile la întrebările puse);•• Organizaţi cunoştinţele sub formă de scheme, care permit evidenţierea legături-

lor dintre concepte;•• Daţi exemple care să îi intereseze pe elevi;•• Utilizaţi analogiile (astfel îi determinăm pe elevi să stabilească legături între un

domeniu pe care îl cunosc şi altul nou).Recomandări privind aplicarea strategiilor şi tehnologiilor de predare a matemati-

cii în învățământul gimnazial sunt formulate și în Curriculum la secvența 1.7. Repere metodologice de predare – învățare – evaluare [6]. Profesorul de matematică este obligat să țină cont de ele în practica educațională.

În lucrarea [20] sunt detaliat exemplificate următoarele metode active de predare – învățare a matematicii:

84

1. Asaltul de idei (Brainstormingul);2. Jocul didactic „Senecteca” (Brainstormingul pe echipe); 3. Jocul intelectual „Brain ring matematic”. Aceste metode pot fi aplicate cu succes în oricare dintre clasele a V-a - a IX-a.În lucrarea [15] sunt exemplificate tehnicile: Teambuilders (constituirea echipei),

SINELG, Interviul în trei trepte, RAI, Presupunerea prin termeni, Echipe – Jocuri – Turnire, Mai multe capete la un loc, Rezolvare în lanț și metodele: Jocurile didactice DOMINO, PUNCTE DE SPRIJIN, FIGURA-ŢINTĂ, PICTORI-GEOMETRI, GHICI FIGURA GE-OMETRICĂ, TURNURI GEOMETRICE.

Aceste tehnici și metode pot fi utilizate și la studiul diferitor teme din cursul liceal de matematică, în funcție de conținuturile studiate.

În continuare propunem și alte exemple de utilizare a unor metode active de preda-re – învățare a matematicii în gimnaziu din perspectiva formării competențelor.

1. Crearea condițiilor favorabile antrenării elevilor pe calea căutărilor, cercetării, descoperirii este posibilă prin aplicarea metodei Studiul de caz.

Această metodă dă posibilitate elevilor să-și exprime liber opiniile referitoare la ca-zul expus, dar și să aleagă cea mai bună soluție în urma dezbaterilor. Pentru această metodă sunt preconizate următoarele etape:

1. Selectarea cazului concret (inclusiv din activitatea cotidiană).Profesorul propune cazul/problema pentru discuție în funcție de nivelul de dezvol-tare matematică a elevilor și specificul vârstei acestora.2. Expunerea cazului de către profesor.Profesorul expune cazul pe înțelesul elevilor.3. Dezbaterea cazului de către elevi.Are loc o discuție între profesor și elevi, în care se realizează o analiză detaliată,

argumentată a cazului pentru descoperirea cauzelor care au determinat cazul și a fac-torilor implicați.

4. Stabilirea variantelor de soluţionare.Elevii sunt stimulați de profesor prin întrebări provocatoare, întrebări care direcțio-

nează demersul soluționării cazului.5. Compararea variantelor de soluţionare.În funcție de modalitatea de organizare, se compară variantele de rezolvare.6. Alegerea soluţiei.Se aleg soluțiile cele mai bune/optime.7. Evaluarea.Profesorul face o evaluare a modului de rezolvare a situației respective.

85

2. Tehnica dezbaterilorSe pune în discuție un subiect.

• Clasa se divizează în două echipe, una favorabilă subiectului, cealaltă – în opoziție cu prima.

• Câte doi participanți sunt selectați din fiecare echipă. • Primul vorbitor, afirmator sau negator, prezintă viziunea sa timp de 5 minute. • Al doilea vorbitor, afirmator sau negator, prezintă 3 minute completând cele evi-

dențiate de către coechipier. • Subiectul este apoi deschis la comentarii, întrebări și răspunsuri din partea echi-

pelor. • Un membru al fiecărei echipe formulează concluziile respective. • Dezbaterea se încheie cu o analiză a concluziilor propuse la care participă întrea-

ga clasă.3. Tehnica Matricea de asociereMatricea de asociere reprezintă un tabel cu două intrări, care oferă posibilitate să

se determine diverse asocieri dintre conceptele matematice și proprietățile acestora. Prin intermediul a astfel de matrice se realizează sinteza materiei studiate în cadrul unității de învățare sau de conținut. Completarea matricei poate fi individuală sau prin activități de grup. Se poate propune și ca temă pentru acasă. Tehnica poate fi utilizată la orele de sinteză.

De exemplu, la Modulul Poliedre (clasa a XII-a) poate fi propusă elevilor spre com-pletare următoarea Matrice de asociere:

Poliedrul Elemente Arii Volume Reprezentarea în plan

Paralelipipedul

Prisma

Piramida

Trunchiul de piramidă

Poliedre regulate

4. METODA „BBB” (Batelle – Bilmappen – Brainwriting)Această metodă este cunoscută și sub denumirea de Brainwriting cu mapa de imagini.Algoritmul utilizării acestei metode este următorul:1. Problema se prezintă frontal în faţa întregii clase. 2. Brainstorming (asaltul de idei) oral cu clasa.3. Clasei i se prezintă consecutiv câte o imagine, în contextul problemei puse în discuţie.

86

4. Brainstorming (asaltul de idei) individual (în linişte) inspirat de imaginile propuse, prin care se îmbunătăţesc ideile din brainstormingul oral, ori se propun alte idei. Fiecare elev ia notiţe în caietul său.

5. Câţiva elevi citesc cu voce ideile lor.6. Clasa discută pentru a găsi şi alte variante.Avantaje: •• este valorificată asociația mintală liberă a fiecărui elev;•• se studiază ideile celorlalți colegi;•• se realizează stimularea prin imagini;•• este evitat blocajul unora care nu lucrează bine față în față.

Imaginea Ce sugerează imaginea? Ce idei apar?

5. Tehnica Harta conceptuală. Începând cu prima oră la modulul respectiv și pe parcursul studiului acestuia, elevii

completează pe foi separate (A4) un tabel de sinteză axat pe conceptul matematic, funda-mental pentru modulul studiat. În acest tabel se fixează toate aspectele matematice ce țin de noțiunea corespunzătoare. Exemple de hărți noționale se pot vedea în manualele de matematică pentru liceu. Completând aceste hărți pentru fiecare capitol, elevii vor partici-pa activ la dobândirea cunoștințelor și pot obține hărți diferite de cele propuse în manual. În final, poate fi elaborat câte un Atlas matematic la clasa respectivă. Hărțile conceptuale vor fi de folos la orele de sinteză, la recapitularea finală, la studiul altor module etc.

6. Jocul de „mimă” la matematicăClasa se împarte în două echipe. Pe rând, fiecare echipă prezintă prin mimă un con-

cept matematic: figură, grafic, funcție, ecuație etc. Cealaltă echipă va determina ce concept a fost prezentat prin mimă.

7. Tehnica 3-2-1Înainte de terminarea orei, elevilor li se cere să scrie pe foiță trei termeni (concepte)

din tema învățată, două idei despre care ar dori să învețe mai mult în continuare și o capacitate, o pricepere sau o abilitate pe care consideră ei că au dobândit-o în urma activităților de predare – învățare. Strângând foițele, profesorul obține un feedback imediat în legătură cu eficiența lecției.

8. Tehnica „Răspunsul la minut” sau a răspunsului scurt, la întrebări precise, clare, ce se adresează fiecărui elev, convenind cu elevii că răspunsurile la aceste întrebări nu se comentează sau corectează, permițând cadrului didactic să sesizeze ce parte din lecție/temă trebuie reluată sau clarificată.

87

5.2. Probleme de matematică și rolul acestora în formarea competențelor5.2.1. Problemele de matematică de tip cascadă și rolul lor din perspectiva formă-

rii competențelorProblemele de matematică de tip cascadă contribuie eficient la formarea și dez-

voltarea competențelor. Și viața de zi cu zi pune în fața noastră diverse probleme, a căror rezolvare necesită trecerea prin mai multe cascade. Din aceste considerente, se recomandă aplicarea, în procesul educațional la matematică, rezolvarea problemelor matematice, și nu numai, de tip cascadă.

Definiție. Problema de matematică de tip cascadă este problema în care răspunsul la întrebarea (sarcina) următoare este oferit/formulat în funcție de rezultatul obținut la pasul precedent (cascada precedentă).

De exemplu: Fie ecuația 2x2- x - 3 = 0.1. Rezolvați în R ecuația.2. Scrieți trinomul de gradul doi, ale cărui rădăcini sunt inversele soluțiilor ecua-

ției date. 3. Reprezentați grafic funcția f de gradul doi, asociată trinomului de la p. 2.4. Utilizând graficul de la p. 3, determinați intervalele de monotonie ale funcției f. 5. Scrieți o inecuație de gradul I, mulțimea soluțiilor căreia este intervalul pe care

funcția f este strict crescătoare.Este un exemplu de problemă de matematică de tip cascadă, structurată pe cinci

cascade, care poate fi propusă în clasa a X-a sau în clasa a XII-a la recapitularea finală. Problemele de matematică de tip cascadă pot fi structurate în cascadă liniară sau

cascadă ramificată. În exemplul de mai sus, problema propusă posedă o structurare în cascadă liniară.În continuare prezentăm un exemplu de problemă de tip cascadă ramificată:Fie ΔABC, m A m B�� � � � �� � � �30 45, , AB= 8cm.1. Aflați lungimile laturilor triunghiului.2. Calculați perimetrul ΔABC.3. Calculați aria ΔABC.4. Aflați raza cercului înscris în ΔABC.5. Calculați lungimea cercului înscris în ΔABC.6. Determinați raza cercului circumscris ΔABC.7. Calculați aria discului cu raza obținută în p. 6.8. Aflați distanța dintre centrul cercului înscris în ΔABC și raza cercului circum-

scris acestui triunghi.Observații. 1. Ramificarea se referă la cercurile înscris și circumscris triunghiului dat.2. Problema va fi propusă elevilor clasei a X-a sau a XII-a la recapitularea finală.

88

În aspect didactic, problemele de matematică de tip cascadă sunt eficiente la:• studierea materiei şi formarea competenţelor preconizate în curriculumul la ma-

tematică; • realizarea conexiunilor intra- şi interdisciplinare în cadrul studierii matematicii;• organizarea şi realizarea recapitulării materiei studiate;• formarea şi dezvoltarea gândirii logice;• dezvoltarea interesului pentru matematică;• dezvoltarea capacităţilor creative ale elevilor;• pregătirea pentru susţinerea examenelor la matematică;• evaluarea rezultatelor şcolare la matematică (cu o atenţie sporită).Sarcinile incluse în problema de matematică de tip cascadă pot avea corelări cu di-

verse teme matematice, ceea ce majorează șansele elevilor de a conștientiza esența materiei matematice studiate.

De exemplu: Fie funcția f R R f x x x x: ,� � � � �� � �� �21 2

1. Determinați punctele de extrem ale funcției f.2. Scrieți o ecuație ale cărei soluții vor fi opusele valorilor lui x, obținute la p. 1.3. Aflați primitiva funcției g, asociate ecuației de la p. 2.

4. Calculați integrala g x dx� ��0

2

.

5. Aflați lungimea muchiei cubului a cărui arie a suprafeței totale este valoarea numerică (în unități pătrate), obținută la p. 4.

6. Calculați volumul tetraedrului regulat, a cărui muchie este congruentă cu mu-chia cubului de la p. 5.

Observăm că problema de tip cascadă, propusă pentru clasa a XII-a, integrează cu-noștințe, deprinderi și capacități dobândite și formate în cadrul studierii modulelor Funcţii derivabile; Ecuaţii. Inecuaţii. Sisteme. Totalităţi; Primitive şi integrale nedefinite; Integrale definite; Poliedre.

Considerăm că astfel de probleme eficient contribuie la realizarea conexiunilor in-tra- și transdisciplinare, la formarea competențelor specifice, preconizate în curriculu-mul liceal la matematică.

Rezolvarea problemelor de tip cascadă solicită o atenție sporită din partea elevilor în procesul rezolvării acestora, deoarece greșeala admisă la una dintre etapele prece-dente ale cascadei conduce la obținerea rezultatelor incorecte la toate etapele urmă-toare ale cascadei. De acest aspect se va ține cont în cadrul aplicării problemelor de matematică de tip cascadă în cadrul evaluării rezultatelor școlare la matematică.

Este eficientă și activitatea de compunere de către elevi a problemelor de matema-tică de tip cascadă.

89

Profesorul va propune sistematic astfel de probleme în procesul studierii matema-ticii. Probele de evaluare propuse la clasă și testele propuse la examenele de absolvire sau la examenele de BAC la matematică ar putea include și itemi structurați pe cascade.

5.2.2. Probleme integrative, care pot fi utilizate în procesul formării competențe-lor la treapta liceală

Competența se formează și, respectiv, se evaluează prin acțiune, inclusiv prin acțiuni cotidiene. În acest context sunt importante activitățile referitoare la rezolvarea unor probleme cu aspect aplicativ, practic. Prin astfel de probleme, elevii vor învăța cum se extrag, din condițiile date, elementele semnificative și informațiile relevante, necesare pentru soluționarea problemei reale și/sau modelate.

În contextul formării competențelor, profesorul va propune elevilor diferite tipuri de probleme a căror rezolvare necesită integrarea cunoștințelor din mai multe dome-nii matematice și nu doar. Realizarea conexiunilor intra- și interdisciplinare în procesul educațional la matematică poate fi efectuată prin rezolvarea unor probleme integrative. Propunem în continuare un set de probleme integrative, probleme de tip PISA, care, în perspectivă, probabil, vor fi propuse și în cadrul examenului de BAC, pe care profesorul le poate aplica cu succes în cadrul lecției sau să le propună elevilor pentru rezolvare acasă.

În aspect didactic este semnificativ ca profesorul să propună elevilor să compună (în cadrul unui proiect propus la matematică) astfel de probleme.

Problema 1. Alunecări de zăpadă (Relații metrice în triunghi arbitrar) În baza unor analize și cercetări, s-a constatat că ză-

pada începe să alunece de pe acoperișul unei case, dacă acoperișul este înclinat sub un unghi mai mare de 200.

Dimensiunile casei din imagine sunt: baza frontonului mai mare este de 16 m, dimensiunile laterale sunt de 12 m. Să se determine dacă este pericol de alunecare a ză-pezii de pe acoperiș.

Problema 2. Triunghiul Bermude (Relații metrice în triunghi arbitrar) Vârfurile triunghiului Bermude trec prin Miami în

Florida, prin San Juan în Puerto Rico și insula Bermude. Miami este la distanța de 1600 km de insula Bermude. Insulele Bermude sunt la o distanță de 1500 km de Pu-erto Rico. Unghiul din vârful cu insulele Bermude este de 45,4O .

90

• Ce distanță este de la Miami la Puerto Rico?• Să se calculeze suprafața triunghiului Bermude.

Problema 3. Zona favorabilă (Operații cu numere reale, puteri) Energia eoliană este o sursă de energie regenerabilă,

generată de puterea vântului. Înainte de a începe proiec-tarea și instalarea unui sistem eolian, trebuie să găsim răspunsuri la mai multe întrebări fundamentale, una din-tre ele fiind viteza medie a vântului.

Două instalații eoliene sunt plasate în două zone diferite:Zona A: vântul suflă 2400 de ore pe an cu viteza de 10 m/s.Zona B: vântul suflă 1200 de ore cu viteza 20 m/s.

Să se compare cantitatea energiei electrice produse de două turbine de vânt, în funcție de viteza medie a vântului. Identificați care este zona unde turbina de vânt va produce mai multă energie electrică: zona cu mai multe ore de acțiune a vântului, dar cu viteză mai mică sau zona unde viteza vântului este mai mare?

Informaţie utilă: Cantitatea energiei (în kWh) se calculează după formula: E =P x t, unde: P – puterea cinetică a unui fluid în mișcare traversând o secțiune S cu viteza v, t – durata în h.Puterea cinetică este proporțională cu cubul vitezei acestui fluid: P = ½ x ρfluid x S x v3, unde ρfluid – densitatea fluidului în kg/m3, S – suprafața secțiunii în m2, v – viteza în m/s.Deci, E = ( ½ ρfluid S ) x t x v3.

Problema 4. Securitatea rutieră şi distanța de frânare (Operații cu numere reale)

Foarte multe accidente de circulație se dato-rează coliziunilor automobilelor, ce au avut loc în urma depășirii vitezei și a aprecierii incorecte a distanței optime de frânare.

O secundă de neatenție sau de întârziere în apăsarea pe frână face ca automobilul să par-curgă o distanță în plus, care, de multe ori, poa-te deveni fatală pentru participantul la traficul rutier.

Astfel, din cauza unui moment de neatenție sau a unei scurte ațipiri: sustragerea atenției pentru manevrarea butoanelor radioului, pen-tru cuplarea telefonului, pentru întoarcerea ca-pului spre pasagerii de pe bancheta din spate a mașinii, la deplasarea cu viteza de 50 km/oră, se produce întârzierea cu o secundă a frânării și automobilul va parcurge în plus 15 metri, iar la viteza de 60 km/oră............ (Ziarul de Gardă)

91

Distanța de oprire este ilustrată în desenul următor :

Văd obstacolul Frânez Vehiculul se oprește

Timp de reacție, distanța de reacție Distanța de frânare

Distanța de oprire

I. Distanța de reacție este distanța (în m) parcursă de automobil timp de o secun-dă – timpul de reacție pentru un șofer vigilent. Demonstrați că dependența din-tre viteza automobilului și distanța de reacție parcursă este ilustrată prin formula D v=3 6,

, unde: V – este viteza în km/h, D – distanța de reacție în m.a) Să se calculeze distanța de reacție (aproximată la unități), efectuată de un vehicul

condus de un șofer vigilent, care se deplasează cu viteza 100 km/h.b) Să se întocmească un tabel cu distanța de reacție în funcție de viteză (vezi mo-

delul).

Viteza (în km/h) 20 30 50 60 80 100

Distanța de reacție(în m) 6

II. Distanța de frânare este distanța necesară pentru oprirea vehiculului cu ajuto-rul frânei. Distanța de frânare reprezintă distanța parcursă de automobil de la acționarea pedalei de frână până la imobilizarea autovehiculului. Ea depinde de viteza vehiculului și de starea șoselei (umedă sau uscată). Această distanță poate fi calculată cu ajutorul formulei: d = k × v2, unde:

• d – este distanța în metri (m), • v – viteza în km/h, • k – un coeficient. Pe șoseaua uscată, coeficientul k = 4,8 × 10-3, iar pe cea umedă

– k = 9,8 × 10-3.a) Calculează distanța de frânare (aproximată la unități) a unui vehicul care se de-

plasează cu viteza de 90 km/h pe o șosea uscată.b) Știind că un șofer a frânat 12 m pe o șosea uscată, care era viteza lui?c) Dacă deplasarea ar fi fost pe o șosea umedă și cu aceeași viteză ca cea de la între-

barea precedentă, care avea să fie distanța de frânare? d) Un șofer nu lasă în fața lui decât o distanță de 20 m. Cu ce viteză trebuie să con-

ducă șoferul fără a crea un pericol de accident în caz de frânare bruscă pe o șosea uscată?

92

e) Dar dacă șoferul conduce cu aceeași viteză pe o șosea umedă, care este distanța minimală dintre mașina sa și mașina din față, pe care trebuie să o respecte șofe-rul pentru a nu face accident?

f) Să se discute în baza rezultatelor obținute.g) Să se continue completarea tabelului cu distanța de frânare (aproximată la

unități), în funcție de viteză (vezi modelul):

Viteza (în km/h ) 20 30 50 60 80 100

Distanța de reacție (în m) 6

Distanța de frânare (în m) pe șosea uscată 2

Distanța de frânare (în m) pe șosea umedă 4

III. Distanța de frânare se mai calculează și după formula: d vA

��

2

254, unde:

• d – este distanța în metri (m), • v – viteza în km/h, • A – coeficientul de aderență. Pe șoseaua uscată coeficientul A = 0,8, iar pe cea

umedă A = 0,4.a) Calculează distanța de frânare (aproximată la unități) a unui autovehicul ce se

deplasează cu viteza de 100 km/h pe o șosea uscată. b) Cu ce viteză trebuie să se deplaseze autovehiculul pe o șosea umedă, pentru

ca distanța de frânare să rămână neschimbată?c) O persoană este victima unui accident rutier, fiind lovită de un automobil care

se deplasa cu o viteză mare. Colaboratorii Inspectoratului auto au determinat că distanța de frânare este de 29 m, iar șoseaua este uscată. Care a fost viteza automobilului? (în m/s, apoi în km/h)

IV. Distanța de oprire presupune distanța parcursă în timpul de reacție și distanța parcursă în timpul frânării propriu-zise (atunci când a fost acționată pedala), deci distanța parcursă de automobil de la observarea pericolului până la oprirea au-tomobilului.a) Să se calculeze distanța de oprire a autovehiculului ce se deplasează cu viteza

de 100 km/h în situații optimale (șosea uscată, fără gropi, frâne performante și șofer vigilent, cu timp de reacție aproximativ o secundă).

b) Să se continue completarea tabelului cu distanțele de oprire, în funcție de viteză și de starea vremii:

93

Viteza (în km/h) 20 30 50 60 80 100

Distanța de reacție (în m) 6

Distanța de frânare (în m) pe șosea uscată 2

Distanța de frânare (în m) pe șosea umedă 4

Distanța de oprire (în m) pe șosea uscată 8

Distanța de oprire (în m) pe șosea umedă 10

Problema 5. Radarul (Elemente de trigonometrie) Procedura legală de instalare a radarului staționar pe

marginea unei șosele indică faptul că, pentru a fi consi-derată viteza validă, e necesar ca direcția de propagare a undei electromagnetice și direcția de deplasare a auto-vehiculului să formeze un unghi de 250. Radarul nu mă-soară direct viteza reală a vehiculului, dar viteza cu care autovehiculul se apropie de el (sau se depărtează, dacă radarul este în spatele autoturismului).

Utilizând calculele matematice de rigoare, se calculează viteza reală estimată, con-form căreia se aplică sau nu amenda.

Triunghiul ABC este dreptunghic în C. Lungimea laturii AB reprezintă viteza reală a vehiculului și lungimea laturii BC reprezintă viteza cu care se apropie vehiculul de radar.

Conform schemei, din cauza înclinării sub 250, viteza măsurată de radar este mai mică decât viteza reală. În acest caz se aplică un coeficient de corecție: se înmulțește viteza măsurată de radar și se obține o estimare a vitezei reale a vehiculului. Spunem o estimare a vitezei reale, deoarece radarul are o ușoară marjă de eroare.

Pentru radarele staționare, conform standardelor metrologice, erorile tolerate pen-tru măsurarea vitezei sunt:

– ± 5 km/h la viteza reală estimată, dacă ea este până la 100 km/h; – ± 5% din valoarea vitezei reale estimate, dacă ea este egală sau mai mare de 100

km/h.

94

1. Un radar fixat pe marginea unei șosele naționale, pe care viteza maximă permisă este 90 km/h, a constatat că automobilul condus de Sergiu se apropie de el cu viteza de 86 km/h.a) Care este viteza reală estimată a vehiculului (rotunjiți până la zecimi)?b) Care este coeficientul de corecție aplicat (rotunjiți până la miimi)?c) Va fi amendat Sergiu?

2. Peste 5 minute, pe aceeași șosea a trecut Dumitru care nu a observat radarul. El se deplasa cu viteza reală de 105 km/h. În momentul trecerii pe lângă radar, el depășește un automobil și unghiul dintre direcția vehiculului său și radar este de 350. Va fi amendat Dumitru sau nu?

3. Puțin mai târziu, pe aceeași autostradă, cu viteza permisă de 90 km/h, Sergiu trece pe lângă alt radar, cu aceeași viteză de apropiere – 86 km/h. Dar, cu regret, radarul este orientat puțin greșit, direcția de înclinare formând cu direcția șoselei un unghi de 300. Acum Sergiu va fi amendat sau nu?

4. Sergiu a fost amendat pe o autostradă (limita de viteză de 130 km/h), deoarece viteza fixată de radar a fost mai mare cu 3 km/h decât viteza permisă. Care este viteza reală estimată a lui Sergiu?

5. Lui Dumitru îi place viteza și crede că poate păcăli radarul. Anume el zice că dacă radarul este fixat pe partea dreaptă a șoselei, atunci este mai bine să se deplaseze pe banda din dreapta. Argumentarea sa este: „Dacă eu mă deplasez pe banda din stânga sau pe cea din mijloc, atunci mașina mea este mai departe de radar și deci direcția mea de deplasare formează un unghi mai mare cu radarul decât dacă aș merge pe banda din dreapta. Ca rezultat, pot fi detectat mai ușor, deci riscul de a plăti amenda este mai mare.” Ce credeți despre justificarea lui Dumitru?

Problema 6. Distanța minimă. Două drumuri auto АА1 și ВВ1 sunt reciproc perpen-diculare și se intersectează în punctul С. Se știe că АС = 150 km, ВС = 200 km. Din punctele А și В în direcția С concomitent s-au pornit două autovehicule, cu vitezele de V1 = 80km/h și, respectiv, V2 = 60km/h. Peste câte ore distanța dintre autovehicule va fi minimă?

A

BCB1

V1

V2

A1

95

Problema 7. Dobânda. Un businessman la scara mică a procurat de la producător două tipuri de marfă în sumă de 2250 de lei. Apoi a vândut-o și a obținut o dobândă de 40%. Cât a plătit businessmanul inițial pentru fiecare tip de marfă, dacă, în urma vânză-rii primului tip de marfă, el a obținut o dobândă de 25%, iar, în rezultatul vânzării mărfii de tipul al doilea, a avut o dobândă de 50%?

Problema 8. Accelerația. Două mobile se deplasează în conformitate cu următoa-rele ecuații de mișcare S t t t t

1

3 22 5 3� � � � � și S t t t t

2

3 22 3 11 7� � � � � � , unde S S

1 2, – dis-

tanțele măsurate în metri și timpul t – în secunde. Determinați accelerațiile celor două mobile în momentul când vitezele lor sunt egale.

96

6. Curriculumul și proiectarea evaluării rezultatelor școlare

la Matematică

6.1. Evaluarea rezultatelor școlare din perspectiva formării competențelorEvaluarea pedagogică are ca obiectiv determinarea eficienței învățământului prin

raportarea rezultatelor școlare la obiectivele stabilite.Etapele acțiunii de evaluare didactică reflectă dimensiunea funcțional-structurală

a operațiilor de măsurare – apreciere – decizie, angajate în direcția obținerii unor in-formații esențiale despre „actorii” procesului educațional și curricula școlară activată, informații ce vor contribui la perfecționarea continuă a procesului și a sistemului de învățământ. Structura acțiunii de evaluare pedagogică include trei operații ierarhice funcționale la nivel de sistem și de proces: măsurarea – aprecierea – decizia:

– măsurarea reprezintă operația de evaluare care asigură consemnarea „unor caracteristici observabile” exprimate în termeni cantitativi (scor, cifre, statistici etc.) sau/și prin descrieri concentrate asupra unor zone restrânse de manifestare (vezi Gilbert de Landsheere, Evaluarea continuă a elevilor și examenele. Manual de docimologie, EDP, București, 1975);

– aprecierea reprezintă operația de evaluare care implică interpretarea faptelor consemnate în funcție de anumite criterii calitative specific pedagogice, inde-pendente în raport cu instrumentele de măsură folosite în cadrul unei anumite metode sau strategii didactice;

– decizia reprezintă operația de evaluare care asigură prelungirea aprecierii într-o notă școlară, într-o caracterizare, hotărâre, recomandare etc., cu valoare de prognoză pedagogică.

Deci, evaluarea trebuie concepută ca o modalitate de ameliorare a predării și învățării, de eliminare a eșecului și de realizare a unui progres constant în pregătirea fiecărui elev.

Rolul fundamental al evaluării constă în asigurarea unui feedback permanent și co-respunzător, necesar atât actorilor procesului educațional, cât și factorilor de decizie și publicului larg. Așadar, în procesul educațional integrat predare – învățare – evaluare, componenta evaluare ocupă un loc nodal, de importanță supremă, atât psihopedago-gică, profesională, cât și socială. Acest fapt este confirmat și de algoritmul procesului educațional modern:

97

Evaluarea determină, de fiecare dată, dacă sunt atinse obiectivele preconizate și ce obținem în rezultatul activității respective: succes sau insucces. În cazul unui insucces, se vor determina cauzele acestuia și activitatea se va relua astfel încât rezultatul final să fie un succes. Următorul pas constă în formularea de obiective noi și procesul continuă, formând următoarea spirală educațională.

Procesul modern de evaluare a performanțelor școlare, axat pe principiile evaluării (vezi [6]), este preconizat:

– să scoată în evidență succesul fiecărui elev, dar nu eșecul acestuia; – să informeze agenții educaționali, indicând ce să se predea și cum să se predea; – să fie multidimensional, concentrându-se atât asupra evoluției sociale și emoțio-

nale, cât și asupra evoluției cognitive; – să includă o relație de cooperare între profesor și elevi, între elevi; – să evidențieze importanța studiului, să promoveze succesul și studiul optim pen-

tru toți elevii; – să fie înțeles ușor atât de toți elevii, cât și de părinți, de agenții educaționali etc.

Se evidențiază următoarele tipuri de evaluare, aplicabile în procesul educațional la matematică la etapa actuală:

a) evaluarea iniţială (prognostică);b) evaluarea curentă (formativă);c) evaluarea finală (sumativă).Și, în contextul formării competențelor, prioritară este evaluarea curentă/formativă.În cadrul activităților educaționale, evaluarea este un proces care se realizează con-

tinuu și prin care se determină dacă au fost atinse obiectivele preconizate pentru etapa respectivă sau nu, dacă rezultatul este un succes sau un insucces.

În general, orice activitate evaluativă trebuie să se desfășoare pe baza unei hărți tehnologice bine determinate din start, care ar concretiza:

– contingentul care va fi evaluat; – tipul evaluării [inițială, curentă (formativă), sumativă (finală)]; – obiectivele evaluării (corelate cu obiectivele curriculare);

Cauzele insuccesului

Obiective → Competențe

Instrumente

Conți-nuturi

Tehno-logii

Succes

InsuccesObiective

noi ș.a.m.d.

98

– tehnologiile de evaluare (forme, metode, procedee, mijloace etc.); – timpul rezervat fiecărei activități de evaluare; – spațiul (locul) unde se va realiza evaluarea; – monitorizarea activității evaluative; – baza de date (teste, probe, lucrări practice etc.); – reflexia (compararea rezultatelor învățării cu obiectivele preconizate); – concluzii (diagnoza și prognoza); – decizii.

Este important ca fiecare profesor de matematică să înțeleagă că orice evaluare, inclusiv cea sumativă, la nivel de stat, la matematică, este axată pe determinarea nive-lului de atingere a unităților de competență și de formare a competențelor preconiza-te în curriculumul școlar la Matematică [6]. În activitatea evaluativă, profesorul se va ghida de principiile evaluării rezultatelor școlare la matematică și de cerințele moderne referitoare la organizarea și desfășurarea acțiunilor evaluate, inclusiv stipulate în curri-culum la rubrica V. Repere metodologice de predare – învățare – evaluare. Important este ca atât elevul, cât și profesorul să conștientizeze că evaluarea în orice circumstanțe trebuie să fie obiectivă.

Accentul se va pune pe evaluarea formativă în cadrul fiecărei lecții. Succesul lecției e direct corelat cu nivelul de atingere a obiectivelor preconizate.

Profesorul are libertatea să aplice acele forme, metode și instrumente de evaluare pe care le consideră optimale la clasa respectivă, la tema (conținutul, modulul) respec-tivă etc. Strategiile de evaluare vor fi corelate cu cele propuse în Curriculumul moder-nizat, la rubrica Activităţi de învăţare şi evaluare, pentru fiecare clasă, și în secvența Strategii de evaluare.

Evaluarea sumativă la modul (capitol), la tezele semestriale se va axa pe determina-rea nivelului de dobândire a preachizițiilor determinate de unitățile de competenţă și a competenţelor specifice respective preconizate în curriculumul pentru liceu. În cadrul examenului de BAC se va determina care competențe, inclusiv competențele specifice disciplinei Matematică, sunt formate și la ce nivel.

La realizarea evaluării rezultatelor școlare la alinierea până la capăt de rând de com-petență pentru fiecare treaptă de învățământ.

În procesul educațional la matematică, profesorul va utiliza atât metodele de evalu-are tradiționale, cât și cele alternative. Reamintim esența unor metode alternative de evaluare prioritare în contextul formării competențelor:

1. Observarea sistematică a comportamentului elevilor în timpul activităților di-dactice este o metodă de evaluare care furnizează o serie de informații utile, greu de obținut pe alte căi. Pentru a le înregistra, profesorul poate utiliza trei remedii:

99

•• fișa de evaluare;•• scara de clasificare;•• lista de control/verificare.

Informații detaliate despre observarea sistematică a comportamentului elevilor pot fi selectate din [17].

2. Investigația reprezintă o activitate ce durează nu mai mult de o oră (lecție) și poate fi descrisă precum urmează: elevul primește, prin instrucțiuni precise, o sarcină pe care trebuie să o înțeleagă și apoi să o rezolve demonstrând o gamă largă de cu-noștințe și capacități. Investigația oferă elevului posibilitatea de a aplica în mod creativ cunoștințele și de a explora situații noi sau foarte puțin asemănătoare cu experiența sa anterioară [17].

3. Proiectul contribuie la transferul de cunoștințe în diverse domenii și la integrarea disciplinelor, cel puțin, în aria curriculară. Proiectul poate fi individual, realizat de un singur elev, sau colectiv, realizat de un grup de elevi. Modalitatea, în care ar putea fi realizat un proiect, ar fi următoarea: activitatea începe în clasă prin explicarea și înțele-gerea sarcinii, prin încercarea rezolvării acesteia. Apoi activitatea continuă pe parcursul a câteva zile sau săptămâni, în funcție de sarcină, în acest timp elevul (grupul de elevi) poate primi consultații de la profesor. Activitatea de cercetare se încheie în clasă, prin prezentarea rezultatelor obținute în fața colegilor.

Etapele realizării unui proiect includ:1. Alegerea temei și formularea problemei2. Planificarea activității:

•• stabilirea obiectivelor proiectului;•• formarea grupelor;•• alegerea subiectului în cadrul temei proiectului de către fiecare elev/grup;•• distribuirea responsabilităților în cadrul grupului;•• identificarea surselor de informare (manuale, proiecte mai vagi, cărți de speci-

alitate, reviste de specialitate, persoane sau instituții specializate în domeniu).3. Cercetarea propriu-zisă4. Elaborarea materialelor5. Prezentarea rezultatelor cercetării și/sau a materialelor create6. Evaluarea:

a) cercetării în ansamblu; b) modului de lucru; c) produsului realizat.

100

Metoda proiectelor reprezintă o metodă eficientă de evaluare a competențelor ele-vilor.

Exemple de teme de proiecte la matematică:I. Proiecte teoretice:

a) Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode.b) Compunerea de probleme la un subiect matematic indicat, inclusiv, probleme

integrative, probleme de tip cascadă. c) Probleme de minim și maxim în activități practice.d) Utilizarea numerelor complexe în tehnică. e) Creditele bancare în Republica Moldova și eficiența acestora etc.

II. Proiecte aplicative:a) Aplicații ale funcțiilor în tehnică. b) Exemple de combinări de corpuri geometrice în construcțiile observabile în

localitatea respectivă. c) Aplicații ale statisticii matematice în diverse activități cotidiene.d) Formarea bugetului personal și a celui familial.e) Elemente de geometrie în construcții.f) Secțiunea de aur și aplicații ale acesteia. g) Simetria în jurul nostru.h) Amenajarea teritoriului școlii, a grădiniței de copii, întreprinderii, satului etc.

III. Proiecte simulative a) Judecata figurilor geometrice.b) Ședința Academiei de Științe.c) Briefingul matematic.d) Lecția în școala lui Pitagora etc.

Notă. Proiectele elaborate, inclusiv proiectele STEM/STEAM, individuale sau de grup, vor fi susținute în cadrul unor lecții de evaluare – lecții de susținere a proiectelor. Din perspectiva formării competențelor, metoda proiectelor ar putea deveni una dintre cele mai eficiente metode de evaluare.

4. Portofoliul este un instrument complex de evaluare a rezultatelor școlare. Prac-tic, portofoliul este o mapă care conține toate rezultatele obținute prin alte metode și tehnici de evaluare: probele scrise și practice, proiectele, autoevaluarea, eseurile, referatele, testele etc. Portofoliul reprezintă „cartea de vizită” a elevului, urmărindu-i progresul de la un trimestru la altul, de la un an școlar la altul, de la o treaptă de învă-țământ la alta. Fiecare elev are acces liber la portofoliul său, completându-l sistematic cu diverse rezultate ale evaluării. O dată pe semestru, profesorul realizează o apreciere

101

globală a portofoliului, în conformitate cu criteriile comunicate elevilor din timp. Nota obținută la această apreciere poate deveni nota semestrială (sau anuală).

5. Jocurile didactice evaluative, prin realizarea scenariilor respective, oferă posibi-litatea de a evalua atât activitatea individuală a elevului, cât și a grupului (echipei) de elevi. De exemplu, scenariile jocurilor evaluative la matematică „Next” și „Brain ring” sunt propuse în [20].

6. Autoevaluarea oferă elevilor încredere în sine și îi motivează pentru îmbună-tățirea performanțelor școlare. Profesorul va ajuta elevii să-și dezvolte capacitățile autoevaluative, să-și compare nivelul la care au ajuns cu obiectivele, competențele și standardele educaționale și să-și impună un program propriu de învățare. Este absolut necesar de a-i învăța pe elevi să se autoevalueze adecvat pentru a lua decizii corecte în situațiile respective.

7. Evaluarea reciprocă îi va implica activ în procesul de evaluare a performanțelor școlare a colegilor contribuind, în ansamblu, la formarea competențelor respective.

6.2. TESTAREA – metodă de evaluare în bază de competențeTestarea rămâne una dintre metodele eficiente de evaluare a nivelului de formare a

competenţelor preconizate. Testele propuse vor conține mai puțini itemi axați pe eva-luarea unor cunoștințe sau capacități separate și mai mulți itemi integrativi, destinați evaluării nivelului de formare a competențelor fixate în curriculum.

Testul, inclusiv testul docimologic, este un instrument eficient de evaluare la ma-tematică. Elaborarea testului necesită respectarea unor algoritmi. Fiecare test include itemi/sarcini corelați/corelate cu următoarele domenii cognitive:

A. Cunoaștere și înțelegere (recunoaşterea, reprezentarea şi asocierea simboluri-lor, a termenilor, a noțiunilor din conținut).

Pentru a evalua acest domeniu, testele includ următoarele tipuri de itemi:I. Itemi obiectivi:a) itemi cu alegere multiplă;b) itemi de tip pereche;c) itemi cu alegere duală (adevăr, fals; da, nu);d) itemi cu răspuns scurt (de completare) la nivel de cunoaștere și înțelegere.

B. Aplicare (utilizarea procedeelor, a metodelor de rezolvare, a algoritmilor, a for-mulelor etc.).

Pentru a evalua acest nivel, testele includ următoarele tipuri de itemi:

102

II. Itemi semiobiectivi:a) întrebări, exerciții, probleme structurate de tip standard (cu argumentările re-

spective);b) itemi cu răspuns scurt la nivel de aplicare (cu argumentările respective);c) itemi cu alegere duală, cu argumentările respective, la nivel de aplicare; d) eseu structurat.De regulă, aceste tipuri de itemi conțin unele indicații privind rezolvarea lor. Elevul

este obligat să țină cont de aceste indicații.

C. Integrare (rezolvări de probleme nonstandard, rezolvări de situații-problemă)Pentru a evalua acest domeniu, testele conțin itemi de tipul:III. Itemi subiectivi (cu răspuns liber): – întrebări, exerciții, probleme nestructurate, situații de problemă ce verifică nive-

lurile cognitive superioare; – eseu nestructurat.

Acești itemi se vor rezolva prin metodele alese de către elevi. Important! Trebuie respectate următoarele cerințe referitoare la formularea itemu-

lui (sarcinii): a) Formularea itemului este corectă dacă ea răspunde la întrebările: Ce? Cât? Cum? Adică:

• Ce trebuie să facă elevul? • Cât trebuie să facă elevul? • Cum trebuie să facă elevul?

b) Numărul de itemi (sarcini) se determină conform raportului 1:3, adică un elev rezolvă de trei ori mai lent decât un matur.

Pentru a elabora testul respectiv, profesorul va ține cont de Harta tehnologică: 1. va selecta temele, conținuturile conform planificării tematico-calendaristice

și curriculumului, care vor fi supuse testării;2. va determina obiectivele de evaluare corespunzătoare unităților de

competențe/competențelor supuse evaluării;3. va elabora matricea de specificații a testului;4. va compune itemi de diferite tipuri în corelare cu matricea de specificații și

obiectivele de evaluare formulate;5. va rezolva testul elaborat pentru a determina dacă elevii vor putea să-l re-

zolve în perioada respectivă de timp; în urma acestei activități, profesorul va corecta testul;

6. va elabora baremul de corectare;

103

7. va elabora baremul de notare;8. va realiza administrarea testului ce include:

a) aprobarea testului și a baremelor respective la ședința catedrei/comisiei metodice;

b) aprobarea testului și a baremelor respective de către administrația gimna-ziului/liceului;

c) editarea testului pentru fiecare elev care va fi supus testării.Important! Cadrele didactice și manageriale vor conștientiza că, în fond,

competențele nu se evaluează. Competența se manifestă prin acțiune și se materia-lizează în produse. Se evaluează produsul obținut (testul rezolvat, proiectul elaborat, problema rezolvată etc.). Curriculumul dezvoltat recomandă ansambluri de produse pentru fiecare clasă la fiecare dintre compartimente.

Evaluarea sumativă la disciplina Matematică este semnificativă în trei contexte:a) la etapa evaluării unităților de competențe, la finele parcurgerii unității de învățare,

a capitolului, a modulului, la finele anului de învățământ (clasele a X-a - a XII-a).Testele sumative, aplicate în acest aspect de evaluare sumativă, vor fi elaborate în

baza următorului algoritm:

Obiectivele de evaluare (corelate cu unitățile de competențe selectate)

Unitățile de competențe (supuse evaluării)

Itemii/Sarcinile (corelați/corelate cu obiectivele de evaluare formulate)

Baremul de corectare

Testul/Proba de evaluare

Baremul de notare/Schema de convertire

Matricea de specificații

104

Matricea de specificații asigură că testul elaborat va măsura nivelul de atingere a obiectivelor educaționale preconizate și va avea o bună validitate de conținut. Prin Ma-tricea de specificații se realizează corelarea dintre domeniile cognitive (Cunoaşterea şi înțelegerea, Aplicarea, Integrarea), domeniile/conținuturile care se testează și numă-rul de itemi/sarcini necesari pentru elaborarea acestui test. În baza Matricei de specifi-cații, se elaborează testul respectiv, apoi Baremul de corectare și Baremul de notare.

Se recomandă aplicarea următorului Barem de notare, determinat de Referenţialul de evaluare [4]:

Nota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Punc

taj,

în %

95-1

00%

87-9

4%

76-8

6%

61-7

5%

45-6

0%

31-4

4%

20-3

0%

11-1

9%

5-10

%

0-4%

În continuare, pentru exemplificare, prezentăm realizarea acestui algoritm la elabo-rarea unui test sumativ pentru clasa a XII-a, profilul real, Sesiunea de iarnă:

Evaluarea sumativăUnitățile de competențe supuse evaluării:1.4. Calcularea integralelor nedefinite, aplicând proprietățile și tabelul de integrale ne-

definite, metodele de integrare (integrarea prin părți, schimbarea de variabilă).1.5. Determinarea primitivei unei funcții sau a funcției a cărei primitivă este dată în

baza unor condiții indicate.2.3. Calcularea integralelor definite aplicând proprietățile, formula lui Newton-

Leibnitz.2.4. Recunoaşterea în diverse contexte și aplicarea subgraficului unei funcții în re-

zolvarea problemelor.2.5. Calcularea ariei figurii și volumului corpului de rotație, aplicând integrala definită.2.6. Aplicarea integralei definite în abordarea unor situații cotidiene și/sau pentru

rezolvarea unor probleme din diverse domenii.5.4. Utilizarea proprietăților poliedrelor în rezolvarea problemelor.5.5. Calcularea ariilor suprafețelor și volumelor poliedrelor în situații reale și/sau

modelate.5.8. Utilizarea poliedrelor și proprietăților acestora pentru a identifica și a explica

situații, procese, fenomene din diverse domenii.

105

Obiectivele de evaluare: Elevii vor demonstra că sunt capabili:OE1 – să calculeze integrale nedefinite aplicând tabelul de integrale nedefinite;OE2 – să calculeze integrale definite aplicând proprietăți, formula Newton-Leibniz;OE3 – să determine primitiva unei funcții în baza unor condiții indicate;OE4 – să interpreteze geometric integrala definită a unei funcții continue cu valori

nenegative;OE5 – să aplice integrala nedefinită, integrala definită în situații reale și/sau modelate;OE6 – să aplice algoritmii specifici calculului ariilor suprafețelor în rezolvarea pro-

blemelor;OE7 – să utilizeze proprietățile poliedrelor în rezolvarea problemelor;OE8 – să interpreteze situații practice utilizând poliedrele și elementele lor.

Matricea de specificații

Domenii cognitive

Conținuturi

Cunoaștere și

înțelegereAplicare Integrare Total

Primitive și integrale nedefinite 1 item 1 item 1 item 3 itemi

30%

Integrale definite și aplicații ale integralelor definite 1 item 1 item 2 itemi 4 itemi

40%

Poliedrе (prisma, piramida) 1 item 1 item 1 item 3 itemi30%

Total 30%3 itemi

30%3 itemi

40%4 itemi

100%10 itemi

106

TESTUL SUMATIVTimp efectiv de lucru: 90 min.

1. Fie funcția integrabilă f R R f x x: ,� � � � �2 1 .

Se știe că f x dx� � ��01 4

3, iar f x dx� � ��1

2 10

3.

a) Completați caseta, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată f x dx� � ��02

.

b) Rezolvați în R ecuația: 6

72

0

22f x dx f x x� � � � � �� .

c) Calculați aria lotului de pământ care are forma mulțimii cuprinse între graficele funcțiilor f g R R f x x, : ,� � � � �2 2 și g x x x� � � � �2 2 .

2p.5p.8p.

2. Un mobil se mișcă rectiliniu cu viteza v t t� � � �13 . a) Încercuiți litera „A”, dacă propoziția este adevărată, sau litera „F”, dacă propoziția este falsă: s t v t� � � � �'' . A / F b) Aflați distanța parcursă (în metri) de mobil în intervalul de timp [0,7] (măsurat în secunde).c) Determinați accelerația mobilului la sfârșitul mișcării.

2p.7p.5p.

3. Acoperișul unui rezervor are forma unei piramide hexagonale regulate cu înălțimea de 2 m și latura bazei de 6 m. a) Completați spațiul rezervat, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată: „Piciorul înălțimii piramidei este situat în ____________________ __________”.b) Calculați aria acoperișului rezervorului.c) Determinați numărul de foi de tablă de formă dreptunghiulară necesare pentru acoperiș, dacă o foaie are dimensiunile de 0,7 m și 1,4 m și pentru încheieturi se folo-sesc 10% din suprafața necesară de tablă.

2p.

6p.

5p.

Determinați numărul real a, a > 0 , astfel încât aria subgraficului funcției f a R f x x: , ,0 3� �� � � � � să fie egală cu 4.

7p.

Baremul de corectare

Item Răspuns corect Etapele rezolvării Punctaj

acordatScor

maximObser-

vații

1 a. 14

3

Punctele se acordă numai pentru com-pletarea corectă a casetei.

2 p. 2 p.

1 b.

S={-1; 2}

- determinarea derivatei f;- obținerea ecuației x2 – x – 2 = 0;- rezolvarea ecuației de gradul II (câte un punct pentru fiecare soluție);- răspuns corect.

1 p.1 p.

2 p.1 p. 5 p.

107

1 c.

63,5 u.p.

- trasarea graficului Gf;- trasarea graficului Gg;- evidențierea suprafeței;- determinarea limitelor de integrare (câte un punct pentru fiecare limită);- scrierea formulei pentru calcularea ari-

ei: A g x f x dxa

b� � � � � ��� ���

- calcularea ariei A x x dx� � �� ��� 4 3

2

4

1

;- răspuns corect.

1 p.1 p.1 p.

2 p.

1 p.1 p.1 p. 8 p.

2 a. Fals Punctele se acordă numai pentru încer-cuirea corectă.

2 p. 2 p.

2 b.

11,25 m

- scrierea formulei s'(t)=v(t);- obținerea formulei s t v t dt� � � � �� ;- calcularea integralei cu ajutorul

schimbării de variabilă;- determinarea constantei c = − 34 ;- calcularea distanței parcurse s(t) =

11,25m;- răspuns corect.

1 p.1 p.

2 p.

1 p.1 p.1 p. 7 p.

2 c.

1

12

2m s

- scrierea formulei a(t)=v'(t);- determinarea derivatei:

a tt

� � � ��� �

1

3

1

12

3

;

- calcularea accelerației la sfârșitul mișcării;

- răspuns corect.

1 p.

2 p.

1 p.

1 p. 5 p.

3 a. Centrul cercului circum-

scris bazei

Punctele se acordă numai pentru com-pletarea corectă. 2 p. 2 p.

3 b.

18 312m

- evidențierea triunghiului echilateral din bază;

- determinarea înălțimii triunghiului din bază: 3 3m ;

- determinarea lungimii apotemei feței laterale a piramidei: 31m ;

- calcularea ariei suprafeței unei fețe laterale: 3 31 2m ;

- calcularea ariei suprafeței laterale a acoperișului: 18 31 2m ;

- răspuns corect.

1 p.

1 p.

1 p.

1 p.

1 p.

1 p. 6 p.

108

3 c.

113 foi

- calcularea ariei unei foi de tablă: 0,98 m2;

- calcularea ariei suprafeței folosite pen-tru încheieturi: 10,02 m2;

- determinarea ariei totale;- calcularea numărului de foi necesare

pentru acoperiș;- răspuns corect.

1 p.

1 p.1 p.

1 p.1 p. 5 p.

4

a � �17 3

- scrierea egalității f x dxa

� � ��0 4 ;

- calcularea integralei f x dxa

� ��0 ;

- obținerea ecuației a a26 8 0� � � ;

- determinarea soluțiilor - a

13 17� � � ; a

23 17� � � ,

- câte 1 p. pentru fiecare soluție;- - selectarea soluției;- - răspuns corect.

1 p.

1 p.1 p.2 p.1 p.1 p. 7 p.

Total puncte 49 p.

Baremul de notare/Schema de convertire

Nota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Punc

taju

l ac

umul

at

47- 4

9

44-4

6

39-4

3

32-3

8

24-3

1

16-3

0

10 -1

5

6-9

3-5

1-2

b) la etapa evaluării interne inițiale a nivelului de formare a competențelor speci-fice la Matematică.

Evaluările rezultatelor școlare în bază de competențe la matematică se realizează prin evaluările inițiale la etapele de trecere de la o treaptă de învățământ la alta. În acest context, importante și prioritare sunt evaluările inițiale realizate la începutul cla-sei a V-a (evaluarea nivelului de formare a competenţelor specifice preconizate pen-tru învăţământul primar) și la începutul clasei a X-a ((evaluarea nivelului de formare a competenţelor specifice preconizate pentru învăţământul gimnazial).

c) la etapa evaluării interne finale a nivelului de formare a competențelor specifi-ce la Matematică.

Acestea sunt evaluările sumative la finele clasei a IX-a și la finele clasei a XII-a.Instrumentul de evaluare/Testul sumativ (docimologic) pentru evaluările b) și c)

trebuie să fie elaborat în baza următorului algoritm:

109

Baremul de corectare

Baremul de notare/Schema de convertire

Din perspectiva evaluării în bază de competențe, se modernizează Matricea de spe-cificații, axată pe domenii ale disciplinei Matematică, determinate de Standardele de eficienţă ale învăţării, nu pe conținuturile parcurse în anul respectiv de învățământ:

Domeniicognitive

Domeniiale disciplinei

Cunoaștere și înțelegere Aplicare Integrare Total

Domeniul I X X X Un item ce conține 3-6 sarcini

Domeniul II X X X Un item ce conține 3-6 sarcini

Domeniul III X X X Un item ce conține 3-6 sarcini

Domeniul IV etc. X X X Un item ce conține 3-6 sarcini

Total 30% 40% 30%100%

Patru itemi ce conțin 12-24 de sarcini

Competențele specifice (competențele-cheie/transversale)

Standardele de eficiență a învățării Matematicii

Indicatorii de competență din standarde/Obiectivele de evaluare

Itemii (structurați)

Testul sumativ (docimologic)

Matricea de specificații

110

Important! Pentru a realiza o evaluare în bază de competență, fiecare item inclus în testul docimologic trebuie să fie structurat astfel încât să includă, conform definiției competenței școlare, sarcini de cunoștințe, sarcini de abilități și sarcini de atitudini (integrare).

Ca exemple de teste docimologice pentru examenul de BAC, pot servi Testele fina-le prezente în manualul de Matematică pentru clasa a XII-a. [14]

6.3. Proiecte STEM și STEAMȘtiința și tehnologia fac parte din viață noastră, iar a le folosi într-un mod care să

aducă valoare e important. În loc de a avea copii care sunt doar consumatori de tehno-logie, am putea avea copii care o înțeleg și o folosesc într-un mod conștient sau chiar o creează. De aceea, astăzi sistemul educațional din Republica Moldova are nevoie de noi provocări și abordări STEM, care ar putea reînvia interesul pentru studierea dis-ciplinelor precum știință, tehnologie, inginerie și matematică. Este necesar ca aceste discipline să devină mai provocatoare, să alimenteze imaginația și inspirația elevilor de azi, cetățenii lumii de mâine. Astfel, Educația STEM (Ştiințe, Tehnologie, Inginerie, Ma-tematică) devine o prioritate a învățământului internațional și național actual. STEM reprezintă un concept educațional ce se bazează pe ideea de educare a elevilor în patru domenii: Știinţe, Tehnologii, Inginerie și Matematică. Disciplinele STEM sunt predate integrat, interdisciplinar, bazându-se pe legătura cu realitatea, pe observația directă, pe experiment, pe logică, pe experiența copiilor. De aceea, unul dintre obiectivele pri-oritare ale educației STEM este utilizarea cunoașterii disciplinare într-o abordare inte-grată, prin învățarea bazată pe probleme nonstandard și pe elaborarea de proiecte. Ca rezultat, elevii sunt implicați în situații de învățare autentice, semnificative, care includ proiectarea, realizarea, testarea, reflectarea și documentarea. Astfel:

• se dezvoltă gândirea critică și autocritică a elevului; • se încurajează inovația; • se dezvoltă capacitatea de a colabora și a comunica eficient cu ceilalți atunci

când abordează o problemă și când formulează soluții; • se produce înțelegerea prin experimentare; • sporește motivația pentru învățare.

Scopul educației STEM este înțelegerea conceptelor, noțiunilor, procedurilor și for-marea de abilităților necesare pentru rezolvarea problemelor personale, sociale și glo-bale, care implică integrarea științei, tehnologiei, ingineriei și matematicii. Exemple de activități care pot fi realizate în contextual educației STEM:

• aplicații practice; • experimente;

111

• proiecte educaționale interdisciplinare: biologie, chimie, geografie, fizică, mate-matică, informatică, tehnologie, arhitectură, meteorologie etc.;

• activități creative legate de meșteșuguri și arte; • proiecte de cercetare ale elevilor în domeniile STEM; • vizite ale elevilor în institute, în muzee, în laboratoare de cercetare; • evenimente care promovează educația pentru științe și tehnologie (târguri,

expoziții, tabere, competiții pentru elevi)Proiectele STEM se raportează la standardele curriculare ale fiecărui domeniu co-

nex STEM (standard naționale), care implică conținuturile corespunzătoare nivelului fiecărei discipline, fără a se izola de o disciplină, și potențând utilitatea integratoare a cunoașterii.

STEAM (Științe, Tehnologia, Inginerie, Arte și Matematică) este o nouă abordare a conceptului STEM, ce implică folosirea principiilor STEM împreună cu integrarea tutu-ror disciplinelor umaniste.

Proiectele STEM/STEAM sunt realizate în comun cu profesorii care predau discipli-nele implicate în realizarea proiectului respectiv. Fiecare dintre acești profesori va acor-da asistența necesară elevilor la disciplina respectivă în procesul realizării proiectului. Timpul rezervat pentru realizarea proiectului diferă de la proiect la proiect: de la o săp-tămână până la două-trei luni. Susținerea proiectelor realizate poate fi publică, inclusiv cu participarea părinților. Evaluarea proiectului se face în raport cu următoarele criterii:

– validitatea proiectului vizează gradul în care acesta acoperă unitar și coerent, logic și argumentat tema propusă;

– completitudinea proiectului se reflectă în felul în care au fost evidențiate cone-xiunile și perspectivele interdisciplinare ale temei, competențele și abilitățile de ordin teoretic și practic și maniera în care acestea servesc conținutului științific;

– elaborarea şi structurarea proiectului în ceea ce privește acuratețea, rigoarea și coerența demersului științific, logica și argumentarea ideilor, corectitudinea con-cluziilor;

– creativitatea vizează gradul de noutate pe care-l aduce proiectul în abordarea temei sau în soluționarea problemei;

– calitatea produsului obţinut şi eficienţa acestuia; – prezentarea şi susţinerea publică a proiectului.

În continuare, propunem unele exemple de proiecte STEM/STEAM, recomandate de Curriculumul la Matematică pentru liceu, pe nivele de profiluri și clase:

112

Profi

lul r

eal

Clas

aSe

mes

trul

ISe

mes

trul

al I

I-lea

a X-

a

I. He

xago

anel

e re

gula

te în

tele

foni

a m

obilă

(STE

M)

Obi

ectiv

e:1.

det

erm

inar

ea ro

lulu

i hex

agoa

nelo

r reg

ulat

e în

te

lefo

nia

mob

ilă/î

n ap

icul

tură

/alte

dom

enii;

2. se

lect

area

și c

lasifi

care

a pr

odus

elor

din

div

er-

se d

omen

ii co

rela

te c

u he

xago

anel

e re

gula

te;

3. e

vide

nție

rea

prop

rietă

ților

hex

agoa

nelo

r re-

gula

te și

justi

ficar

ea u

tiliză

rii h

exag

oanl

eor r

egu-

late

în d

omen

iile

iden

tifica

te.

Dom

enii:

Mat

emati

că, I

nfor

mati

că, A

rte,

Bio

lo-

gie,

Fizi

că, I

ngin

erie

.Pr

odus

e fin

ale:

1. F

otog

rafii

/Des

ene/

Imag

ini a

le p

rodu

selo

r, cl

asifi

cate

în fu

ncție

de

hexa

goan

ele

regu

late

uti

lizat

e.2.

Pre

zent

are

Pow

er P

oint

cu

argu

men

tare

a av

anta

jelo

r util

izării

hex

agoa

nelo

r reg

ulat

e.

II. F

igur

i fra

ctal

e în

art

ă şi

nat

ură

( STE

AM)

Obi

ectiv

e:1.

det

erm

inar

ea n

oțiu

nii d

e fig

ură

frac

tală

și a

ca

ract

eris

ticel

or sa

le;

2. d

eter

min

area

figu

rilor

frac

tale

rem

arca

bile

(tr

iung

hiul

lui S

ierp

insk

i, Fu

lgul

de

zăpa

dă a

l lui

Ko

ch, M

ulţim

ea M

ande

lbor

t etc

.) și

a fr

acta

lilor

în

nat

ură;

3. c

rear

ea p

ropr

iilor

figu

ri fr

acta

le, a

pro

prie

i m

uzic

i fra

ctal

e et

c.Do

men

ii: M

atem

atică

, Art

e, M

uzic

ă, B

iolo

gie,

Fi

zică,

Ingi

nerie

, Inf

orm

atică

.

I. Co

voru

l mol

dove

nesc

(STE

AM)

Obi

ectiv

e:1.

det

erm

inar

ea fi

guril

or g

eom

etric

e di

n or

nam

ente

le c

ovoa

relo

r m

oldo

vene

ști;

2. d

eter

min

area

sem

nific

ație

i orn

amen

telo

r cov

oare

lor m

oldo

vene

ști;

3. se

lect

area

și c

lasifi

care

a co

voar

elor

mol

dove

nești

în fu

ncție

de

orna

-m

ente

le fo

losit

e;4.

cre

area

pro

priu

lui m

odel

de

covo

r, uti

lizân

d fig

uri g

eom

etric

e;5.

util

izare

a re

surs

elor

TIC

pen

tru

crea

rea

mod

elel

or d

e co

voar

e;6.

vizi

te la

fabr

ică/

la m

uzee

de

covo

are

mol

dove

nești

;7.

întâ

lniri

cu

meș

terii

pop

ular

i, cr

eato

ri ai

cov

oare

lor m

oldo

vene

ști.

Dom

enii:

Mat

emati

că, I

stor

ie, G

eogr

afie,

Fizi

că, C

him

ie, B

iolo

gie,

Info

rma-

tică,

Ingi

nerie

, Teh

nolo

gie,

Art

e.Pr

odus

e fin

ale:

1. Im

agin

i/des

ene/

foto

ale

col

ecții

lor d

e co

voar

e m

oldo

vene

ști c

u ex

plic

a-re

a se

mni

ficaț

iilor

.2.

Pre

zent

ări,

utiliz

ând

resu

rse

TIC,

ale

orn

amen

telo

r util

izate

în c

ovoa

rele

m

oldo

vene

ști.

3. E

xpoz

iție

a m

odel

elor

de

covo

are

crea

te.

II. D

rum

ul u

nei i

i mol

dove

neşti

(STE

AM)

Obi

ectiv

e:1.

det

erm

inar

ea fi

guril

or g

eom

etric

e di

n or

nam

ente

le c

ămăș

ilor

mol

dove

nești

; 2.

det

erm

inar

ea se

mni

ficaț

iei o

rnam

ente

lor c

ămăș

ilor m

oldo

vene

ști;

3. se

lect

area

și c

lasifi

care

a or

nam

ente

lor u

tiliza

te p

entr

u că

măș

ile

mol

dove

nești

;4.

vizi

te la

muz

ee e

tnog

rafic

e;5.

întâ

lniri

cu

meș

teri

popu

lari,

cre

ator

i de

ii și

căm

ăși m

oldo

vene

ști;

6. c

rear

ea p

ropr

iulu

i mod

el d

e că

maș

ă/ie

.

113

Prod

use

final

e:1.

Pre

zent

ări P

ower

Poi

nt.

2. G

aler

ia d

e im

agin

i/des

ene/

albu

m fo

to a

le/a

l fig

urilo

r fra

ctal

e re

mar

cabi

le și

ale

/al fi

guril

or

frac

tale

în n

atur

ă.3.

Exp

oziți

i de

dese

ne d

e fig

uri f

ract

ale

prop

rii.

Dom

enii:

Mat

emati

că, I

stor

ie, G

eogr

afie,

Info

rmati

că, I

ngin

erie

, Art

e.Pr

odus

e fin

ale:

1. Im

agin

i/des

ene/

foto

ale

col

ecții

lor d

e ii/

căm

ăși m

oldo

vene

ști c

u ex

pli-

care

a se

mni

ficaț

iei o

rnam

ente

lor.

2. P

reze

ntăr

i, uti

lizân

d re

surs

e TI

C, a

le o

rnam

ente

lor u

tiliza

te în

căm

ășile

m

oldo

vene

ști.

a XI

-aAp

licar

ea d

eriv

atei

în e

cono

mie

(STE

M)

Obi

ectiv

e:1.

det

erm

inar

ea ro

lulu

i der

ivat

ei în

stud

iere

a fe

nom

enel

or/p

roce

selo

r din

eco

nom

ie;

2. în

tâln

iri c

u ag

enți

econ

omic

i din

dom

eniu

l an

alize

lor ș

i pre

viziu

nilo

r eco

nom

ice

ale

dife

ritor

co

mpa

nii.

Dom

enii:

Mat

emati

că, E

cono

mie

, Inf

orm

atică

, In

gine

rie.

Prod

use

final

e:1.

Pre

zent

are

a in

vesti

gație

i rea

lizat

e în

baz

a un

ui p

roce

s eco

nom

ic, u

tilizâ

nd d

eriv

ate

cu in

-te

rpre

tări

a de

rivat

elor

și c

oncl

uziil

e re

spec

tive.

2. P

reze

ntar

e Po

wer

Poi

nt.

I. Cr

edit

pent

ru c

asa

mea

(STE

M)

Obi

ectiv

:de

term

inar

ea a

vant

ajel

or d

iver

selo

r tipu

ri de

cr

edita

re o

ferit

e de

băn

cile

exi

sten

te în

Rep

ubli-

ca M

oldo

va.

Dom

enii:

Mat

emati

ca, E

cono

mie

, Inf

orm

atica

.Pr

odus

e fin

ale:

1. P

reze

ntar

ea c

erce

tării

tipu

rilor

de

cred

itare

of

erite

de

trei

băn

ci a

lese

în m

od a

leat

or, i

nter

-pr

etar

ea re

zulta

telo

r și c

oncl

uzia

fina

lă.

2. P

reze

ntar

ea e

xem

plel

or d

e cr

edita

re

nere

ușită

din

pra

ctică

cu

anal

iza c

auze

lor r

e-sp

ectiv

e și

dete

rmin

area

solu

țiilo

r.

I. Ca

sa m

ea d

e vi

s (ST

EAM

)O

biec

tive:

1. d

eter

min

area

rolu

lui M

atem

atici

i, Fi

zicii,

Bio

logi

ei și

Chi

mie

i în

cons

truc

ția v

iitoa

rei c

ase;

2. e

labo

rare

a un

ui p

roto

tip (r

eal s

au d

igita

l) al

cas

ei d

e vi

s.Do

men

ii: M

atem

atică

, Fizi

că, C

him

ie, B

iolo

gie

Info

rmati

că, I

ngin

erie

, Art

e.Pr

odus

e fin

ale:

1. P

roto

tipul

Cas

ei d

e vi

s.2.

Exp

oziți

a de

mac

hete

și p

rodu

se c

reat

e.3.

Pre

zent

are

Pow

er P

oint

/Vid

eo sp

ot.

114

Profi

lul u

man

ist

Clas

aSe

mes

trul

ISe

mes

trul

al I

I-lea

a X-

a

I. M

atem

atica

în a

rta

culin

ară

(STE

AM)

Obi

ectiv

e:1.

det

erm

inar

ea ro

lulu

i mat

emati

cii î

n ar

ta

culin

ară;

2. c

alcu

lare

a ca

ntită

ții d

e in

gred

ient

e pe

ntru

un

men

iu d

e să

rbăt

oare

;3.

det

erm

inar

ea ro

lulu

i figu

rilor

geo

met

rice

pent

ru c

rear

ea d

eser

turil

or.

Dom

enii:

Mat

emati

că, A

rta

culin

ară,

Isto

rie,

Ingi

nerie

, Bio

logi

e, C

him

ie, F

izică

, Art

e.Pr

odus

e fin

ale:

1. M

eniu

de

sărb

ătoa

re c

u m

ențio

nare

a ca

ntită

ților

de

ingr

edie

nte.

2. C

rear

ea d

esig

nulu

i unu

i des

ert u

tilizâ

nd

elem

ente

de

geom

etrie

.

I. Co

voru

l mol

dove

nesc

(STE

AM)

Obi

ectiv

e:1.

det

erm

inar

ea fi

guril

or g

eom

etric

e di

n or

nam

ente

le c

ovoa

relo

r m

oldo

vene

ști;

2. d

eter

min

area

sem

nific

ație

i orn

amen

telo

r cov

oare

lor m

oldo

vene

ști;

3. se

lect

area

și c

lasifi

care

a co

voar

elor

mol

dove

nești

în fu

ncție

de

orna

men

te-

le fo

losit

e;4.

cre

area

pro

priu

lui m

odel

de

covo

r, uti

lizân

d fig

uri g

eom

etric

e;5.

util

izare

a re

surs

elor

TIC

pen

tru

crea

rea

mod

elel

or d

e co

voar

e;6.

vizi

te la

fabr

ica/

muz

ee d

e co

voar

e m

oldo

vene

ști;

7. în

tâln

iri c

u m

ește

ri po

pula

ri, c

reat

ori a

i cov

oare

lor m

oldo

vene

ști.

Dom

enii:

Mat

emati

că, I

stor

ie, G

eogr

afie,

Info

rmati

că, F

izică

, Chi

mie

, Bio

logi

e,

Ingi

nerie

, Art

e.Pr

odus

e fin

ale:

1. Im

agin

i/des

ene/

foto

ale

col

ecții

lor d

e co

voar

e m

oldo

vene

ști c

u ex

plic

area

se

mni

ficaț

iilor

.2.

Pre

zent

ări,

utiliz

ând

resu

rse

TIC,

ale

orn

amen

telo

r util

izate

în c

ovoa

rele

m

oldo

vene

ști.

Expo

ziție

a m

odel

elor

de

covo

are

crea

te.

a XI

I-aCr

edit

pent

ru c

asa

mea

(STE

M)

Obi

ectiv

:de

term

inar

ea a

vant

ajel

or d

iver

selo

r tipu

ri de

cre

dita

re o

ferit

e de

băn

cile

exi

sten

te în

Re

publ

ica

Mol

dova

.Do

men

ii: M

atem

atică

, Eco

nom

ie, I

nfor

mati

-că

, Ing

iner

ie, B

iolo

gie,

Chi

mie

, Fizi

că.

II. C

asa

mea

de

vis (

STEA

M)

Obi

ectiv

e:1.

det

erm

inar

ea ro

lulu

i Mat

emati

cii,

Fizic

ii, B

iolo

giei

și C

him

iei î

n co

nstr

ucția

vi

itoar

ei c

ase;

2. e

labo

rare

a un

ui p

roto

tip (r

eal s

au d

igita

l) al

cas

ei d

e vi

s.Do

men

ii: M

atem

atică

, Fizi

că, C

him

ie, B

iolo

gie

Info

rmati

că, I

ngin

erie

, Art

e.

115

Prod

use

final

e:1.

Pre

zent

area

cer

cetă

rii ti

puril

or d

e cr

edita

-re

ofe

rite

de tr

ei b

ănci

ale

se în

mod

ale

ator

, in

terp

reta

rea

rezu

ltate

lor ș

i con

cluz

ia fi

nală

.2.

Pre

zent

area

exe

mpl

elor

de

cred

itare

ne

reuș

ită d

in p

racti

că c

u an

aliza

cau

zelo

r re

spec

tive

și de

term

inar

ea so

luții

lor.

Prod

use

final

e:1.

Pro

totip

ul C

asei

de

vis.

2. E

xpoz

iția

de m

ache

te și

pro

duse

cre

ate.

3. P

reze

ntar

e Po

wer

Poi

nt/V

ideo

spot

.

116

WEB-BIBLIOGRAFIE

1. Cadrul de referinţă al curriculumului naţional. Ministerul Educației, Culturii și Cer-cetării. Chișinău: Lyceum, 2017.

2. Codul Educaţiei al Republicii Moldova. Chișinău, 2014.3. Cu privire la aprobarea Instrucţiunii privind managementul temelor pentru acasă,

în învăţământul primar, gimnazial şi liceal. Ordinul Ministrului Educației, Culturii și Cercetării, nr. 1249 din 22.08.2018.

4. Curriculum naţional. Disciplina Matematică. Clasele a X-a - a XII-a. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării al Republicii Moldova. Chișinău: Lyceum, 2019.

5. Educaţia centrată pe elev. Ghid metodologic. Coordonatori T. Callo, A.Paniș. Chișinău: „Print-Caro” SRL, 2010.

6. Educaţia centrată pe cel ce învaţă. Ghid metodologic. Coordonator Vl. Guțu. Chi-șinău: CEP USM, 2009.

7. Evaluarea în învăţământ: orientări conceptuale. Ghid metodologic. Coordonatori: Pâslaru V., Cabac V. Chișinău: I.Ș.E., 2002.

8. Evaluarea criterială prin descriptori în învăţământul primar. Clasa a III-a. Ghid me-todologic. Institutul de Științe ale Educației, 2017. 64 p.

9. Metodologia privind implementarea evaluării criteriale prin descriptori. Clasa a III-a. Institutul de Științe ale Educației, 2017. 61 p.

10. Psihopedagogia centrată pe copil. Coordonator Vl. Guțu. Chișinău: CEP USM, 2009.

11. Referenţialul de evaluare a competenţelor specifice formate elevilor. Ministerul Educației al Republicii Moldova. Chișinău, 2014.

12. Repere metodologice privind asigurarea continuităţii la nivelul claselor a IV-a şi a V-a din perspectiva implementării Evaluării Criteriale prin Descriptori. Ministe-rul Educației, Culturii și Cercetării. IȘE, Chișinău, 2018.

13. Standarde de eficienţă a învăţării. Ministerul Educației al Republicii Moldova. Chișinău: Lumina, 2012.

14. Strategia Moldova Digitală 2020, publicată: 08.11.2013 în Monitorul Oficial al Republicii Moldova nr. 252-257, art.: 963.

15. Achiri I., Ceapa V., Șpuntenco O. Matematică. Ghid de implementare a curriculu-mului modernizat pentru treapta gimnazială de învăţământ. Chișinău: Lyceum, 2011.

16. Achiri I. Didactica matematicii. Chișinău: CEP USM, 2009.

117

17. Achiri I. Jocuri didactice la matematică. Chișinău: Lumina, 1990.18. Achiri I. Sofisme matematice. Chișinău: Știința, 1992. 19. Achiri I. et al. Matematică. Manual. Clasa a X-a. Chișinău: Editura Prut Interna-

țional, 2013.20. Achiri I. et al. Matematică. Manual. Clasa a XI-a. Chișinău: Editura Prut Interna-

țional, 2014.21. Achiri I. et al. Matematică. Manual. Clasa a XII-a. Chișinău: Editura Prut Inter-

național, 2016.22. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O., Ursu L. Matematică. Ghid pentru profesori.

Clasa a V-a. Chișinău: Editura Prut Internațional, 2010.23. Achiri I., Ceapa V., Copăceanu R., Șpuntenco O. Planşe la matematică pentru

liceu. Chișinău: Cartdidact, 2007.24. Stoica A., Musteață S. Evaluarea rezultatelor şcolare. Ghid metodologic. Chiși-

nău, 2003.25. Achiri I., Braicov A., Ceapa V., Șpuntenco O. Culegerile de teste privind pregăti-

rea pentru examenul de absolvire a gimnaziului la matematică. Chișinău: Editura Prut, 2018;

26. Achiri I., Ceapa V., Șpuntenco O. Culegerile de teste privind pregătirea pentru examenul de absolvire a gimnaziului la matematică. Chișinău: Editura Lyceum, 2018.

27. Achiri I., Cibotarenco E., Solomon A. ș.a. Metodica predării matematicii. Vol. I. Chișinău: Lumina, 1992.

28. Achiri I., Gaidargi Gh., Turlacov Z. ș.a. Metodica predării matematicii în învăţământul preuniversitar, metodica predării algebrei şi elementelor de anali-ză matematică. Vol. II. Chișinău: Lumina, 1995.

29. Achiri I., Anastasiei M., Solomon N. ș.a. Metodica predării geometriei în învăţământul preuniversitar. Chișinău: Lumina, 1997.

30. Bocoș M. Instruirea interactivă. Iași: Polirom, 2013.31. Cabac V. Evaluarea prin teste în învăţământ. Bălți: Universitatea de Stat „Alecu

Russo”, 1999. 32. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodolo-

gic pentru formarea cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chiși-nău: Știința, 2007.

33. Cartaleanu T., Cosovan O., Goraș-Postică V. ș.a. Formare de competenţe prin strategii didactice interactive. Chișinău: C.E. Pro Didactica, 2008.

34. Cerghit I. Metode de învăţământ, ediția a IV-a. Iași, Editura „Polirom”, 2006.35. Ciolan, L. Învăţarea integrată. Iași: Polirom, 2008.

118

36. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chișinău: Știința, 2007.

37. Cristea S. Dicţionar de pedagogie. Chișinău: Litera, 2000.38. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Chișinău: Editura Uniunii Scriitorilor,

2004.39. Guțu V., Pâslaru V. ș.a. Tehnologii educaţionale. Ghid metodologic. Ch.: Editura

Cartier, 1998.40. Minder M. Didactica funcţională: obiective, strategii, evaluare. Ch.: Cartier,

2003.41. Potolea D., Neacș, I. Manolescu M. Metodologia evaluării realizărilor şcolare ale

elevilor. Ghid metodologic general. București, 2011. 42. Radu I. T. Evaluarea în procesul didactic. Ed. a III-a. București: Editura Didactică

și Pedagogică, 2007, 288 p.43. Raileanu A., Achiri I., Prodan N. Matematică. În: Matematică şi Știinţe. Ghiduri

metodologice. Chișinău: Grupul editorial Litera, 2000.44. Vogler J. Evaluarea în învăţământul preuniversitar. Iași: Polirom, 2000, 204 p. 45. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики:

кн. для учителя. М. Просвещение, 2005.46. https://centruldeparenting.ro/copilul-tau-are-competente-stem-afla-care-

sunt-acestea-si-cum-le-poti-dezvolta-prin-48-de-idei-distractive/47. http://www.tribunainvatamantului.ro/stem-o-necesitate-in-stransa-conexiu-

ne-cu-realitatea/48. https://creeracord.com/2018/10/26/rezolvarea-unei-probleme-stem-planul-

de-lectie-nr-1-in-pbl/49. https://www.schooleducationgateway.eu/ro/pub/latest/practices/steam-lear-

ning-science-art.htm50. https://utm.md/blog/2016/10/12/prezentarea-conceptului-privind-educatia-

stem/ www.didactic.ro

51. https://www.didactic.ro/materiale didactice/probleme-de-tip-cascada.52. https://ru.scribd.com/document/325217413/Probleme -de-Tip-Cascadă.53. https://www.mathovore.fr/asie-2019-brevet-de-maths-avec-sujet-et-corrige54. www.dexonline.ro