1
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CULTURII ŞI CERCETĂRII AL REPUBLICII MOLDOVA
Aria curricularăMATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE
MATEMATICĂClasele X-XII
GHID de implementare a curriculumului
Chişinău, 2019
2
COORDONATORI:•• Angela CUTASEVICI, Secretar de Stat în domeniul educației, MECC•• Valentin CRUDU, șef Direcție învățământ general, MECC, coordonator al
managementului curricular •• Valentina CEAPA, consultant principal, MECC, coordonator al grupului de
lucru
EXPERŢI-COORDONATORI:•• Vladimir GUŢU, dr. hab., prof. univ., USM, expert-coordonator general•• Anatol GREMALSCHI, dr. hab., prof. univ., Institutul de Politici Publice, ex-
pert-coordonator pe ariile curriculare Matematică şi știinţe și Tehnologii
GRUPUL DE LUCRU:•• Ion ACHIRI (coordonator), dr., conf. univ., IȘE, Chișinău •• Aliona LAŞCU, grad did. superior, IPLT „Mihai Eminescu”, Chișinău
3
Preliminarii
Schimbarea este legea vieţii. Acei care privesc numai în trecut sau în prezent în mod sigur vor pierde viitorul.
John Rennedy
Dezvoltarea Curriculumului şcolar la Matematică pentru liceu derivă din necesitatea:• racordării curriculumului şcolar la cerinţele Codului Educației al Republicii Mol-
dova (2014) şi la Recomandările Parlamentului European și ale Consiliului Uniu-nii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018);
• corelării sistemului de competenţe specifice matematicii cu prevederile deter-minate de definiţia modernizată a competenţei şcolare, formulată în Cadrul de Referință al Curriculumului Național [2];
• descongestionării informaţionale a conţinuturilor şcolare la matematică;• majorării interesului şi motivaţiei elevilor pentru studiul matematicii. În practica educațională din Republica Moldova se implementează a patra generație
de curriculum la disciplina Matematică pentru liceu. Dezvoltarea/reconceptualizarea curriculară la matematică implică apariția unor întrebări. Prezentul ghid oferă răspun-suri la multe dintre întrebările ce apar la etapa actuală privind procesul educațional la matematică și implementarea curriculumului în liceu. În lucrare sunt prezentate răs-punsuri atât la aspectele inovative, strategice, teoretice, cât și la cele aplicative ale pre-dării – învățării – evaluării matematicii în liceu în contextul implementării curriculumu-lui elaborat. Sunt specificate aspectele referitoare la profilurile real și umanist privind implementarea prevederilor curriculumului la matematică.
Profesorul are dreptul să abordeze creativ cele recomandate prin prezentul ghid. Desigur, în final, el e cel care-și selectează și determină strategiile și tehnologiile pentru a obține succesul în atingerea obiectivelor preconizate, în realizarea prevederilor deter-minate de unitățile de competență și în formarea competențelor.
Prin realizarea Curriculumului la Matematică în liceu trebuie să se creeze condiții favorabile fiecărui elev pentru a-și forma și a-și dezvolta competențele într-un ritm in-dividual, de a transfera cunoștințele matematice dobândite în diverse domenii, inclusiv în viața cotidiană și în domeniul determinat de aria curriculară, pentru a-și continua studiile în învățământul superior și/sau pentru inserția socială/profesională.
4
Responsabilitatea educațională a profesorului de matematică și ponderea matema-ticii ca disciplină școlară sunt majore. De faptul cum elevii însușesc matematica depind în mare măsură succesele acestora la studiul multora dintre celelalte discipline școlare. Așadar, profesorul de matematică continuu va ține cont atât de specificul matematicii „ca regină a tuturor științelor”, cât și de faptul că matematica este disciplina care asi-gură, totodată, studierea conștientizată a majorității disciplinelor școlare.
Implementarea prevederilor curriculumului va contribui eficient la majorarea calității învățământului matematic în liceu.
Stimați profesori, autorii Ghidului vă doresc succese frumoase în implementarea prevederilor Curriculumului la disciplina Matematică în practică.
5
1. Referințe conceptuale ale curriculumului la disciplina
Matematică
1.1. Conceptul Curriculum școlar la disciplina Matematică pentru liceuCurriculumul la disciplina Matematică – parte componentă a curriculumului națio-
nal – este proiectat în baza Cadrului de referinţă al Curriculumului Naţional (2017) și se adresează prioritar profesorilor care vor preda disciplina Matematică în liceu.
Curriculumul școlar de matematică pentru clasele a X-a - a XII-a reprezintă instru-mentul didactic și documentul normativ principal ce descrie condițiile învățării și per-formanțele de atins la matematică în învățământul liceal, exprimate în competențe, în unități de competențe, în conținuturi și activități de învățare și evaluare [7].
El este elaborat în corelare cu Curriculumul la Matematică pentru învățământul gim-nazial, constituind o continuare, o dezvoltare firească a acestuia.
Învățământul matematic în liceu are, ca obiectiv prioritar, formarea și dezvoltarea competențelor specifice matematicii, necesare pentru continuarea studiilor, pregătirea personalității pentru viață și integrare socială.
Profesorul de matematică este obligat să realizeze în practică prevederile acestui document normativ. Este important ca și ceilalți parteneri educaționali – părinții, elevii, întreaga comunitate – să conștientizeze importanța și ponderea implementării Curricu-lumului la Matematică pentru liceu.
1.2. Demersuri inovative ale curriculumului la disciplina Matematică1.2.1. Conceptul teoreticElaborat în conformitate cu prevederile Codului Educației al Republicii Moldova
(2014), ale Cadrului de referință al Curriculumului Național (2017), ale Curriculu-mului de bază: sistem de competențe pentru învățământul general (2018), dar și cu Recomandările Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018), Curriculumul la disciplina Matematică reprezintă un document reglator, care are în vedere prezentarea interconexă a demersurilor conceptuale, teleologice, conținutale și metodologice, accentul fiind pus pe sistemul de competențe ca un nou cadru de referință al finalităților educaționale.
6
Curriculumul şcolar la Matematică are, ca obiectiv fundamental, implementarea politici-lor educaționale vizate de Codul Educației al Republicii Moldova (2014), care, prin Articolul 11, determină: „Educația are ca finalitate principală formarea unui caracter integru și dezvoltarea unui sistem de competențe care include cunoștințe, abilități, atitudini și va-lori ce permit participarea activă a individului la viața socială și economică.” [1]
În acest context, a fost reconceptualizată definiția noțiunii competență școlară: Competența şcolară este un sistem integrat de cunoştințe, abilități, atitudini şi va-
lori dobândite, formate şi dezvoltate prin învățare, a căror mobilizare permite identi-ficarea şi rezolvarea diferitor probleme în diverse contexte şi situații. [7]
Este important ca atât profesorii, cât și elevii, părinții să conștientizeze esența noțiunii competenţă şcolară ca un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori, nu ca un ansamblu.
Axarea accentului pe formarea abilităților necesită conștientizarea de către profe-sori, elevi și părinți a conceptului abilitate:
ABILITATE – capacitatea de a face totul cu ușurință și iscusință; dibăcie; îndemânare; măiestrie.
CAPACITATE – posibilitatea de a lucra într-un domeniu, de a realiza ceva; posibilita-tea de a realiza ceva într-un domeniu de activitate; proprietate de a pătrunde în esența lucrurilor. [53]
În procesul de proiectare a Curriculumului la disciplina Matematică s-a ținut cont de: • abordările postmoderne și tendințele dezvoltării curriculare pe plan național și
pe cel internațional; • necesitățile de adaptare a curriculumului disciplinar la așteptările societății, la
nevoile elevilor, dar și la tradițiile școlii naționale; • valențele disciplinei în formarea competențelor transversale, transdisciplinare și
a celor specifice; • necesitățile asigurării continuității și conexiunii dintre ciclurile învățământului
general: educaţie timpurie, învăţământul primar, învăţământul gimnazial şi învăţământul liceal.
Curriculumul de Matematică pentru liceu și, în ansamblu, procesul educațional la matematică în învățământul matematic general rămâne fundamentat pe următoarele principii:
I. Principiul constructiv (al structuralității), care vizează procesul de reluare sistema-tică a informațiilor, a conceptelor de bază ca pe un aspect esențial al predării – în-vățării. În contextul acestui principiu, învățământul matematic modern se realizea-ză concentric în spirală, fiind axat pe noțiunea (conceptul) matematică și formarea, la finalizarea școlarizării, a unor structuri ale gândirii specifice matematicii.
7
II. Principiul formativ, care vizează formarea directă a personalității elevului în pro-cesul educațional la matematică.
Sistemul de valori și atitudini, care se preconizează a fi formate în cadrul procesului educațional la matematică, este prezentat în Curriculum la p. 4 [7]. Profesorul de ma-tematică este obligat, pentru fiecare lecție, să formuleze, inclusiv în proiectul didactic, pentru a fi operaționalizat în cadrul lecției, cel puțin un obiectiv de formare a atitudini-lor și valorilor.
Unitățile de competențe, fixate în curriculum, determină achizițiile care trebuie să fie dobândite de către elevi la finele compartimentului studiat sau la finele anului de studii. Ele servesc și ca elemente/pași în formarea competențelor specifice. Achizițiile respective vor fi evaluate formativ și/sau sumativ, la finele unității de învățare/capitolu-lui/modulului și/sau la finele anului de studii.
Unitățile de conținut sunt instrumente care contribuie la dobândirea de către elevi a achizițiilor determinate de către unitățile de competențe proiectate și la formarea competențelor specifice disciplinei și a celor transversale/transdisciplinare.
Activitățile de învățare și produsele școlare recomandate prezintă o listă deschisă de contexte semnificative de manifestare a unităților de competențe proiectate pentru formare/dezvoltare și evaluare în cadrul unității respective de învățare. Cadrul didactic are libertatea și responsabilitatea să valorifice această listă în mod personalizat la nive-lul proiectării și realizării lecțiilor, dar și să o completeze în funcție de specificul clasei concrete de elevi, de resursele disponibile etc. [7]
Curriculumul la disciplina Matematică fundamentează și ghidează activitatea cadru-lui didactic, facilitează abordarea creativă a demersurilor de proiectare didactică de lungă durată și de scurtă durată, dar și de realizare propriu-zisă a procesului de predare – învățare – evaluare.
1.2.2. Sistemul de competențeCompetențele reprezintă un pachet transferabil și multifuncțional de cunoștințe, ca-
pacități, deprinderi, abilități, atitudini și valori, care îi permite individului să-și realizeze împlinirea și dezvoltarea profesională, incluziunea socială și inserția profesională în do-meniul respectiv. Competența se naște și este supusă evaluării la confluența sensurilor date de verbele a ști, a ști să faci, a ști să fii, a ști să conviețuiești, a ști să devii, deci nu este rezultatul acțiunii educaționale numai pe domeniul cognitiv, ci se raportează și la cel afectiv-atitudinal și psihomotor. Astfel, fiecare competență posedă o structură internă bine determinată, ce include: cunoștințe, capacități cognitive, capacități praxi-ologice, abilități, atitudini, emoții, valori etice, morale, motivații.
8
Profesorul va conștientiza că achizițiile finale în termeni de competențe nu sunt niș-te liste de conținuturi disciplinare care trebuie memorate. Pentru ca un elev să-și for-meze o competență, este necesar ca el:
• să stăpânească un sistem de cunoştinţe fundamentale în funcţie de problema care va trebui rezolvată în final;
• să posede deprinderi şi capacităţi de utilizare/aplicare în situaţii simple/standarde pentru a le înţelege, realizând astfel funcţionalitatea cunoştinţelor obţinute;
• să rezolve diferite situaţii-problemă, conştientizând astfel cunoştinţele funcţiona-le în viziunea proprie;
• să rezolve situaţii semnificative în diverse contexte, care prezintă anumite proble-me din viaţa cotidiană, manifestând comportamente/atitudini conform achiziţii-lor finale, adică competenţa.
Curriculumul este fundamentat pe competențele-cheie/transversale stabilite în Codul Educaţiei pentru sistemul de învățământ din Republica Moldova:
• competenţe de comunicare în limba română;• competenţe de comunicare în limba maternă; • competenţe de comunicare în limbi străine;• competenţe în matematică, în ştiinţe şi tehnologie;• competenţe digitale; • competenţa de a învăţa să înveţi;• competenţe sociale şi civice;• competenţe antreprenoriale şi spirit de iniţiativă;• competenţe de exprimare culturală şi de conştientizare a valorilor culturale. [1]Prioritare pentru învățământul matematic sunt competențele-cheie a), d), e), f) și h).Competențele-cheie/transversale cuprind trei aspecte ale vieții:
• împlinirea personală şi dezvoltarea de-a lungul vieții: competențele-cheie tre-buie să dea posibilitate indivizilor să-și urmeze obiectivele individuale, conduși de interesele și aspirațiile personale, de dorința de a continua învățarea pe tot parcursul vieții;
• cetățenia activă şi incluziunea: competențele-cheie trebuie să le permită indivi-zilor să participe în societate în calitate de cetățeni activi;
• angajarea în câmpul muncii: competențele-cheie trebuie să asigure formarea ca-pacității fiecărei persoane de a obține o slujbă decentă pe piața forței de muncă.
Competențele specifice sunt deduse din competențele-cheie/transversale și repre-zintă un sistem integrat de cunoștințe, abilități, atitudini și valori, pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu, pe întreaga perioadă de școlari-tate de liceu.
9
La disciplina Matematică pentru liceu sunt preconizate următoarele competențe specifice:
Profilul real 1. Operarea cu numere reale și complexe pentru a efectua calcule în diverse con-
texte, manifestând interes pentru rigoare și precizie.2. Utilizarea conceptelor matematice, a metodelor, a algoritmilor, a proprietăților,
a teoremelor studiate în contexte variate de aplicare, recurgând la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene și/sau pentru rezolvarea unor probleme din diverse domenii.
3. Aplicarea raționamentului matematic în identificarea și rezolvarea problemelor într-o varietate de contexte, dovedind claritate, corectitudine și concizie.
4. Analiza rezolvării unei probleme, a unei situații-problemă în contextul corectitu-dinii, al simplității, al clarității și al semnificației rezultatelor, dezvoltând spiritul de obiectivitate și de imparțialitate.
5. Extrapolarea achizițiilor matematice dobândite pentru a identifica și a explica procese, fenomene din diverse domenii, utilizând concepte și metode matemati-ce în abordarea diverselor situații.
6. Elaborarea strategiilor și proiectarea activităților pentru rezolvarea unor proble-me teoretice și/sau practice, dezvoltând capacitatea de a aprecia rigoarea, ordi-nea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme.
7. Justificarea unui demers sau rezultat matematic, recurgând la argumentări, do-vedind tenacitate și perseverență.
Acestea corelează cu cele șapte competențe specifice matematicii, preconizate pen-tru formare în cadrul învățământului gimnazial, dezvoltându-le. Pentru profilul umanist sunt propuse spre dezvoltare cele șapte competențe specifice matematicii, preconiza-te pentru învățământul gimnazial:
Profilul umanist1. Operarea cu numere reale pentru a efectua calcule în diverse contexte, manifes-
tând interes pentru rigoare și precizie.2. Exprimarea în limbaj matematic a unui demers, a unei situații, a unei soluții, for-
mulând clar și concis enunțul. 3. Aplicarea raționamentului matematic la identificarea și rezolvarea problemelor,
dovedind claritate, corectitudine și concizie.4. Investigarea seturilor de date, folosind instrumente, inclusiv digitale, și modele
matematice, pentru a studia/explica relații și procese, manifestând perseverență și spirit analitic.
10
5. Explorarea noțiunilor, relațiilor și instrumentelor geometrice pentru rezolvarea problemelor, demonstrând consecvență și abordare deductivă.
6. Extrapolarea achizițiilor matematice pentru a identifica și a explica procese, fe-nomene din diverse domenii, utilizând concepte și metode matematice în abor-darea diverselor situații.
7. Justificarea unui demers sau rezultat matematic recurgând la argumentări, susținând propriile idei și opinii.
Recomandările Parlamentului European şi ale Consiliului Uniunii Europene privind competențele-cheie din perspectiva învățării pe parcursul întregii vieți (Bruxelles, 2018) stabilesc opt competențe-cheie:
1. competențe de alfabetizare; 2. competențe lingvistice; 3. competențe în domeniul matematicii, științei, tehnologiei și ingineriei; 4. competențe digitale; 5. competențe personale, sociale și de învățare; 6. competențe civice; 7. competențe antreprenoriale; 8. competențe de sensibilizare și expresie culturală.
Evidențiem aspectele comprehensive ale acestor grupuri de competențe-cheie: 1. Competențe de alfabetizare. Alfabetizarea este capacitatea de a identifica, a
înțelege, a exprima, a crea și a interpreta concepte, sentimente, fapte și opinii, atât verbal, cât și în scris, folosind materiale vizuale, auditive/audio și digitale în diferite dis-cipline și în diferite contexte. Ea implică capacitatea de a comunica și a stabili conexiuni cu alte persoane, în mod eficient, adecvat și creativ.
Dezvoltarea alfabetizării reprezintă baza pentru continuarea învățării și a interacțiunii lingvistice. În funcție de context, competențele de alfabetizare pot fi dezvoltate în lim-ba maternă, în limba de școlarizare și/sau în limba oficială dintr-o țară sau regiune.
Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăAlfabetizarea implică cunoștințe de citire și scriere și o bună înțelegere a informațiilor
scrise. Alfabetizarea necesită cunoștințe de vocabular, de gramatică funcțională și privind funcțiile limbajului. Ea include cunoașterea celor trei tipuri principale de interacțiune verbală, o serie de texte literare și neliterare și principalele caracteristici ale diverselor stiluri și registre ale limbii.
Cetățenii ar trebui să dețină competențele necesare pentru a comunica atât oral, cât și în scris, într-o gamă largă de situații, să monitorizeze și să își adapteze comunicarea la cerințele situației. Această competență include, de asemenea, capacitatea de a distinge
11
și a utiliza diferite tipuri de surse, de a căuta, a culege și a prelucra informații, de a utiliza instrumente ajutătoare și de a formula și a exprima argumentele oral și în scris într-o manieră convingătoare și adecvată contextului.
O atitudine pozitivă în ceea ce privește alfabetizarea implică adoptarea unui dialog critic și constructiv, o apreciere a calităților estetice și un interes pentru interacțiunea cu alte persoane. Aceasta implică o conștientizare a impactului limbajului asupra celorlalți și necesitatea de a înțelege și a utiliza limba într-un mod pozitiv și responsabil din punct de vedere social.
2. Competențe lingvistice. Această competență definește capacitatea de a utiliza diferite limbi în mod corespunzător și eficient pentru comunicare. Ea împărtășește, în linii mari, principalele dimensiuni ale competențelor de alfabetizare: se bazează pe ca-pacitatea de a înțelege, a exprima și a interpreta concepte, gânduri, sentimente, fapte și opinii, atât oral, cât și în scris (ascultare, vorbire, citire și scriere), într-o varietate de contexte sociale și culturale, în funcție de necesități sau dorințe.
Totodată, poate include menținerea și dezvoltarea în continuare a competențelor de limbă maternă.
Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţă Această competență presupune cunoștințe de vocabular și gramatică funcțională în
diferite limbi și o cunoaștere a principalelor tipuri de interacțiune verbală și registre ale limbilor. Sunt importante cunoștințele privind convențiile societale, aspectul cultural și variabilitatea limbilor.
Aptitudinile esențiale pentru aceste competențe constau în capacitatea de a înțelege mesajele verbale, de a iniția, a susține și a încheia conversații, de a citi, a înțelege și a redacta texte, cu niveluri diferite de aptitudini în diferite limbi, în funcție de necesitățile individuale. Cetățenii ar trebui să aibă posibilitatea de a utiliza instrumente în mod adecvat și de a învăța limbi străine într-un mod formal, non-formal și informal, pe tot parcursul vieții. O atitudine pozitivă presupune aprecierea diversității culturale, intere-sul și curiozitatea cu privire la diferite limbi și comunicarea interculturală. Aceasta pre-supune, de asemenea, respectarea profilului lingvistic individual al fiecărei persoane, inclusiv respectul față de limba maternă a persoanelor care aparțin minorităților și/sau provenite din familii de imigranți.
3. Competențe în domeniile matematicii, științei, tehnologiei și ingineriei A. Competențele în domeniul matematicii sunt definite drept capacitatea de a dez-
volta și a folosi o gândire matematică pentru a rezolva o serie de probleme în situații de zi cu zi. Având ca bază stăpânirea competențelor numerice, se pune accent atât pe
12
procese și activități, cât și pe cunoștințe. Competențele matematice implică, la niveluri diferite, capacitatea și disponibilitatea de a utiliza moduri matematice de gândire (gân-dire logică și spațială) și de prezentare (formule, modele, grafice, diagrame).
B. Competențele în știință se referă la capacitatea și disponibilitatea de a utiliza cunoștințele și metodologia care servesc la explicarea fenomenelor naturale pentru a identifica întrebări și pentru a formula concluzii bazate pe dovezi. Competențele în domeniul tehnologiei și ingineriei sunt aplicarea acestor cunoștințe și metodologii pentru satisfacerea dorințelor și nevoilor cetățenilor. Competențele în știință, tehno-logie și inginerie implică înțelegerea schimbărilor cauzate de activitatea umană și a responsabilității fiecărui cetățean.
Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţă A. Cunoștințele necesare în domeniul matematicii includ cunoștințe temeinice pri-
vind numerele, măsurile și structurile, operațiunile de bază și prezentările matematice de bază, o înțelegere a termenilor și conceptelor matematice, precum și o sensibilizare față de întrebările la care matematica poate oferi răspunsuri. Cetățenii ar trebui să dispună de competențele de a aplica principiile și procesele matematice de bază în con-texte de zi cu zi, acasă și la muncă (de exemplu, competențe financiare), să urmărească și să evalueze înșiruiri de argumente. Cetățenii ar trebui să fie în măsură să utilizeze raționamentul matematic, să înțeleagă dovezile matematice, să comunice în limbaj ma-tematic și să utilizeze instrumente ajutătoare corespunzătoare, inclusiv date statistice și grafice. O atitudine pozitivă în matematică se bazează pe respectarea adevărului și pe dorința de a căuta raționamente și a verifica valabilitatea acestora.
B. Pentru știință, tehnologie și inginerie, cunoștințele esențiale cuprind principiile de bază ale naturii, concepte științifice, teorii, principii și metode fundamentale, tehno-logii, produse și procese tehnologice, precum și o bună înțelegere a impactului științei, al tehnologiei, al ingineriei și al activităților umane în general asupra naturii. Aceste competențe ar trebui să permită cetățenilor să înțeleagă mai bine limitările și riscurile teoriilor, ale aplicațiilor și ale tehnologiilor științifice în societate în general (cu referire la procesul de luare a deciziilor, la valorile morale, cultură etc.).
Competențele includ înțelegerea științei drept un proces de investigare a naturii prin experimente controlate, capacitatea de a utiliza și a gestiona instrumente și mașini tehnologice, precum și date științifice, pentru a îndeplini un obiectiv sau a ajunge la o concluzie sau pentru a lua decizii bazate pe dovezi, precum și capacitatea de a renunța la propriile convingeri, atunci când acestea sunt în contradicție cu constatările experi-mentale noi. Cetățenii ar trebui să fie, de asemenea, în măsură să recunoască carac-teristicile esențiale ale investigației științifice și să dețină capacitatea de a comunica concluziile și motivele care au condus la acestea.
13
Competența presupune o atitudine de analiză critică și curiozitate, o preocupare pentru aspectele etice și susținerea atât a siguranței, cât și a durabilității mediului, în special referitor la progresele științifice și tehnologice în ceea ce privește interesul pro-priu, familial, al comunității și interesul mondial.
4. Competențe digitale. Competențele digitale implică utilizarea cu încredere, cri-tică și responsabilă a tehnologiilor digitale, precum și aplicarea acestora în procesul de învățare, la locul de muncă, sau în societate. Ele includ alfabetizarea în domeniul informației și al datelor, comunicarea și colaborarea, crearea de conținuturi digitale (inclusiv programare), siguranța (inclusiv bunăstarea digitală și competențe legate de securitatea cibernetică), precum și soluționarea problemelor.
Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăCetățenii ar trebui să înțeleagă modul în care tehnologiile digitale pot sprijini comu-
nicarea, creativitatea și inovarea și să fie conștienți de posibilitățile, de limitările, de efectele și riscurile acestora. Ei ar trebui să înțeleagă principiile generale, mecanismele și logica care stau la baza tehnologiilor digitale aflate în plină evoluție și să cunoască funcția și utilizarea de bază a diferitelor dispozitive, programe informatice și rețele.
Cetățenii ar trebui să aibă o abordare critică a valabilității, a fiabilității și a impactului informațiilor și datelor puse la dispoziție prin mijloace digitale și să cunoască principiile etice și juridice implicate în ceea ce privește utilizarea tehnologiilor digitale.
Cetățenii ar trebui să poată utiliza tehnologiile digitale pentru a-și susține cetățenia activă și incluziunea socială, colaborarea cu ceilalți, precum și creativitatea în vederea realizării obiectivelor personale, sociale sau comerciale.
Competențele includ capacitatea de a utiliza, a accesa, a filtra, a evalua, a crea, a programa și a împărtăși conținuturi digitale. Utilizatorii trebuie să aibă posibilitatea de a gestiona și a proteja informațiile, conținutul, datele și identitățile digitale, precum și de a recunoaște și a utiliza efectiv softuri, dispozitive, inteligență artificială sau roboți.
Utilizarea tehnologiilor și conținuturilor digitale necesită o atitudine reflexivă și cri-tică, dar care manifestă în același timp curiozitate, este deschisă și orientată spre viitor în ceea ce privește evoluția acestora. Este necesară, de asemenea, o abordare etică, sigură și responsabilă a modului de utilizare a acestor instrumente.
5. Competențe personale, sociale și de învățare. Competențele personale, sociale și de învățare înseamnă capacitatea de a reflecta asupra propriei persoane, gestiona-rea eficace a timpului și a informației, munca în echipă în mod constructiv, păstrarea rezilienței și gestionarea propriului proces de învățare și a carierei. Ele includ capacita-tea de a face față incertitudinii și complexității, de a învăța să înveți, susținerea bunăs-tării fizice și emoționale, empatia și gestionarea conflictelor.
14
Cunoştinţe, competenţe şi atitudini esenţiale legate de această competenţăPentru a avea relații interpersonale și o participare socială de succes este esențială
înțelegerea codurilor de conduită și a normelor de comunicare acceptate în general de diferite societăți și medii.
Competențele personale, sociale și de învățare necesită, de asemenea, cunoștințe privind componentele unui corp sănătos, ale unei minți sănătoase și ale unui stil de viață sănătos. Aceasta implică o cunoaștere a strategiilor de învățare preferate, cunoașterea nevoilor de dezvoltare a competențelor și a diferitelor modalități de a-și dezvolta competențele, precum și căutarea oportunităților și orientărilor referitoare la educație, formare și carieră sau a măsurilor de sprijin disponibile.
Competențele includ capacitatea de a identifica propriile capacități și interese, ca-pacitatea de abordare a complexităților, de a gândi în mod critic și de a lua decizii. Aceasta include capacitatea de a învăța și a lucra atât în colaborare, cât și în mod indi-vidual, precum și de a-și organiza procesul de învățare și de a persevera, a evalua și a face schimb de cunoștințe, de a obține sprijin atunci când este necesar și de a gestiona în mod eficient propria carieră și interacțiunile sociale.
Cetățenii ar trebui să fie rezilienți și să poată face față nesiguranței și stresului. Ei ar trebui să aibă capacitatea de a comunica în mod constructiv în medii diferite, de a co-labora în echipe și de a negocia. Aceasta include manifestarea toleranței, exprimarea și înțelegerea unor puncte de vedere diferite, precum și capacitatea de a obține încredere și de a empatiza.
Competența respectivă se bazează pe o atitudine pozitivă față de propria bunăs-tare personală, socială și fizică și pe învățarea pe tot parcursul vieții. Ea se bazează pe o atitudine de colaborare, asertivitate și integritate. Aceasta cuprinde, de asemenea, respectul față de ceilalți și disponibilitatea de a depăși prejudecățile și de a ajunge la un compromis.
Cetățenii ar trebui să aibă capacitatea de a identifica și a stabili obiective, de a se (auto)motiva, precum și de a-și dezvolta reziliența și încrederea pentru a desfășura și a reuși în procesul de învățare pe tot parcursul vieții. O atitudine de soluționare a pro-blemelor sprijină atât procesul de învățare, cât și capacitatea individuală de a aborda obstacolele și schimbările. Aceasta include dorința de a aplica experiențele anterioare de învățare și de viață și curiozitatea de a căuta oportunități de învățare și de dezvolta-re în diverse situații din viață.
6. Competențe civice. Competențele civice înseamnă capacitatea de a acționa în calitate de cetățeni responsabili și de a participa pe deplin la viața civică și socială, pe baza înțelegerii conceptelor și structurilor sociale, economice și politice, precum și a evoluțiilor și a durabilității la nivel mondial.
15
Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăCompetențele civice se întemeiază pe cunoașterea conceptelor de bază cu privire
la indivizi, grupuri, organizații de muncă, societate, economie și cultură. Aceasta presu-pune o înțelegere a valorilor comune europene, astfel cum sunt formulate în articolul 2 din Tratatul privind Uniunea Europeană și în Carta drepturilor fundamentale a Uniunii Europene. Competențele civice includ cunoștințe despre evenimentele contemporane, precum și o înțelegere critică a principalelor evoluții ale istoriei naționale, europene și a lumii. În plus, aceasta include o cunoaștere a obiectivelor, a valorilor și a politicilor mișcărilor sociale și politice, precum și a sistemelor durabile, în special a schimbări-lor climatice și demografice la nivel mondial și a cauzelor care stau la baza acestora. Cunoștințele despre integrarea europeană, precum și conștientizarea diversității și identității culturale în Europa și în lume, reprezintă un aspect esențial. Acestea includ înțelegerea dimensiunilor multiculturale și socioeconomice ale societăților europene și a modului în care identitatea culturală națională contribuie la identitatea europeană. Competențele civice se referă la capacitatea de a se implica în mod eficient, împreună cu ceilalți cetățeni, în interes comun sau public, inclusiv în ceea ce privește dezvoltarea durabilă a societății. Acest lucru implică gândirea critică și participarea constructivă la activitățile comunității, precum și la procesele decizionale de la toate nivelurile, de la nivel local și național până la nivel european și internațional. Acest lucru implică, de asemenea, capacitatea de a accesa, de a avea o înțelegere critică și de a interacționa atât cu formele tradiționale, cât și cu noile forme ale mass-mediei. Respectarea dreptu-rilor omului ca bază a democrației reprezintă fundamentul unei atitudini responsabile și constructive. Participarea constructivă implică disponibilitatea de a participa la proce-sul decizional democratic de la toate nivelurile, precum și la activitățile civice. Aceasta include sprijinirea diversității sociale și culturale, a egalității între bărbați și femei și a coeziunii sociale, disponibilitatea de a respecta viața privată a altor persoane și de a-și asuma responsabilitatea pentru mediu. Interesul față de evoluțiile politice și socioeco-nomice și comunicarea interculturală reprezintă premise necesare atât pentru a depăși prejudecățile, cât și pentru a ajunge la un compromis atunci când este necesar și pentru a asigura justiția socială și de echitate.
7. Competențe antreprenoriale. Competențele antreprenoriale se referă la capaci-tatea de a acționa în fața oportunităților și a ideilor și de a le transforma în valori pentru ceilalți. Ele se întemeiază pe creativitate, gândire critică și soluționarea problemelor, pe luarea de inițiative și perseverență și pe capacitatea de a lucra în colaborare, cu scopul de a planifica și a gestiona proiecte care au o valoare comercială, culturală sau socială.
16
Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăCompetențele antreprenoriale necesită cunoașterea diferitelor contexte și
oportunități pentru punerea ideilor în practică în activitățile personale, sociale și profe-sionale, precum și o înțelegere a modului în care acestea pot să apară. Cetățenii ar tre-bui să cunoască și să înțeleagă abordările privind planificarea și gestionarea proiectelor care includ atât procesele, cât și resursele. Ei ar trebui să aibă cunoștințe de economie și să înțeleagă oportunitățile și provocările sociale și economice cu care se confruntă un angajator, o organizație sau societatea. Ei ar trebui, de asemenea, să cunoască principi-ile etice, precum și propriile puncte forte și slabe.
Competențele antreprenoriale sunt bazate pe creativitate care include imaginația, gândirea strategică, soluționarea problemelor, reflecția critică și constructivă în ca-drul proceselor creative și al inovării. Acestea includ capacitatea de a lucra atât inde-pendent, cât și în echipă, pentru a mobiliza resurse (persoane și materiale) și pentru a susține activitatea. Totodată, se are în vedere capacitatea de a lua decizii financiare referitoare la cost și valoare. Sunt esențiale capacitatea de a comunica eficient și de a negocia cu alte persoane, abordarea nesiguranței, a ambiguității și a riscului în procesul de luare a deciziilor în cunoștință de cauză.
O atitudine antreprenorială se caracterizează prin inițiativă și autocontrol, prin ca-pacitate de anticipare și de evaluare prospectivă, prin curaj și perseverență în atingerea obiectivelor. Include dorința de a motiva alte persoane și de a pune în valoare ideile acestora, empatia, grija față de alte persoane și în general, precum și acceptarea abor-dărilor etice de asumare a responsabilității pe parcursul întregului proces.
8. Competențe de sensibilizare și expresie culturală. Competențele de sensibiliza-re și expresie culturală implică înțelegerea și respectul față de modul în care ideile și reflecțiile sunt formulate și comunicate în mod creativ în diferite culturi și printr-o serie de arte și alte forme culturale. Aceasta implică participarea la înțelegerea, dezvoltarea și exprimarea ideilor proprii și a sentimentului de apartenență sau a rolului în societate în diverse moduri și contexte.
Cunoştinţe, abilităţi şi atitudini esenţiale legate de această competenţăCompetența respectivă necesită cunoașterea culturilor și modurilor de exprimare
locale, naționale, europene și mondiale, inclusiv limbile, patrimoniul și tradițiile aces-tora, precum și cunoașterea produselor culturale, înțelegerea modului în care aceste exprimări pot influența opiniile individuale și se pot influența reciproc. Aceasta inclu-de înțelegerea diferitelor moduri de comunicare a ideilor între creator, participant și audiență în texte scrise, tipărite și digitale, teatru, film, dans, jocuri, artă și design, mu-zică, ritualuri și arhitectură, precum și în forme hibride. În acest context, este necesară
17
o înțelegere a propriei identități aflată în evoluție, într-o lume a diversității culturale, precum și a modului în care artele și alte forme culturale pot fi o modalitate de a vizu-aliza și a modela lumea.
Competențele includ capacitatea de a exprima și a interpreta cu empatie idei figura-tive și abstracte, experiențe și emoții, precum și capacitatea de a face acest lucru într-o serie de alte forme artistice și culturale. Competențele includ, de asemenea, abilitatea de a identifica și a concretiza oportunități în interes personal, social sau comercial prin intermediul artelor și al altor forme culturale și capacitatea de a se angaja în procese creative, atât ca individ, precum și ca membru al unei colectivități.
Sunt importante atitudinea deschisă și respectul față de diversitatea expresiilor cul-turale, împreună cu o abordare etică și responsabilă a proprietății intelectuale și cultu-rale. O atitudine pozitivă presupune, de asemenea, curiozitatea față de lumea înconju-rătoare, o atitudine deschisă spre noi posibilități și dorința de a participa la experiențe culturale.
În cadrul predării – învățării – evaluării matematicii în clasele a X-a - a XII-a vor fi formate și dezvoltate categoriile de competențe menționate mai sus.
1.2.3. Sistemul de conținuturiReferitor la sistemul de conținuturi propuse spre studiere în Curriculumul şcolar la
Matematică pentru liceu, în comparație cu curriculumul modernizat, s-au efectuat ur-mătoarele modificări:
18
Pofil
ul re
al
Clas
aCo
nțin
utur
i om
ise
Conț
inut
uri i
nclu
se
a X-
aI.
Num
ere
real
e•
Num
ere
real
e. M
ulțim
ile N
, Z, Q
, R•
Ope
rații
cu
num
ere
real
e (a
duna
rea,
scăd
erea
, înm
ulțir
ea, î
mpă
rțire
a,
ridic
area
la p
uter
e cu
exp
onen
t raț
iona
l, re
al).
Prop
rietă
ți•
Mod
ulul
num
ărul
ui re
al. P
ropr
ietă
ți: |
a| ≥
0;
|a| =
|-a|
; |a2 |
= |a
|2 =a2 ;
|ab|
= |a
||b|, a b
= a b
b ≠
0; |
a+b|
≤|a|
+|b|
III. F
uncț
ii nu
mer
ice.
Ecu
ații.
Inec
uații
. Sis
tem
e şi
tota
lităț
i •
Func
ții in
jecti
ve, s
urje
ctive
, bije
ctive
. •
Sunt
con
creti
zate
tipu
rile
de e
cuaț
ii, in
ecua
ții ș
i sis
tem
e pr
econ
izate
pe
ntru
stud
iere
. Prin
ace
asta
s-a
desc
onge
stion
at st
udie
rea
ecua
țiilo
r, in
ecua
țiilo
r, sis
tem
elor
de
ecua
ții și
inec
uații
VI. E
lem
ente
de
com
bina
toric
ă. B
inom
ul lu
i New
ton
• N
oțiu
nea
de m
ulțim
e or
dona
tă.
• N
oțiu
nea
de fa
ctor
ial
• Le
gile
com
bina
toric
ii•
Perm
utăr
i•
Aran
jam
ente
•
Com
bină
ri•
Prop
rietă
ți al
e co
mbi
năril
or•
Ecua
ții, i
necu
ații
ce c
onțin
ele
men
te d
e co
mbi
nato
rică
• Bi
nom
ul lu
i New
ton
• Fo
rmul
a te
rmen
ului
gen
eral
• Pr
oprie
tăți
fund
amen
tale
ale
coe
ficie
nțilo
r bin
omia
li •
Prop
rietă
ți al
e de
zvol
tării
bin
omul
ui la
put
ere
III.
Mon
oam
e. P
olin
oam
e. F
racț
ii al
gebr
ice
• N
oțiu
nea
de m
onom
cu
una
sau
mai
mul
te n
edet
er-
min
ate.
Ope
rații
cu
mon
oam
e•
Noț
iune
a de
pol
inom
cu
una
sau
mai
mul
te n
edet
er-
min
ate.
Ope
rații
cu
polin
oam
e: a
duna
rea,
scăd
erea
, în
mul
țirea
, rid
icar
ea la
put
ere
cu e
xpon
ent n
atur
al•
Form
a ca
noni
că a
unu
i pol
inom
de
o sin
gură
ned
e-te
rmin
ată.
Gra
dul u
nui p
olin
om d
e o
singu
ră n
ede-
term
inat
ă•
Împă
rţire
a po
linoa
mel
or d
e o
singu
ră n
edet
erm
i-na
tă. T
eore
ma
împă
rțiri
i cu
rest
pen
tru
polin
oam
e•
Împă
rţire
a la
bin
omul
X –
a
• Te
orem
a lu
i Bez
out
• De
scom
pune
rea
polin
oam
elor
în fa
ctor
i ire
ducti
bili
(met
oda
fact
orul
ui c
omun
, met
oda
grup
ării,
apl
ica-
rea
form
ulel
or d
e ca
lcul
pre
scur
tat,
desc
ompu
nere
a în
fact
ori a
trin
omul
ui d
e gr
adul
II, m
etod
e co
mbi
-na
te)
• N
oțiu
nea
de ră
dăci
nă a
unu
i pol
inom
de
o sin
gură
ne
dete
rmin
ată
• Ră
dăci
ni m
ultip
le•
Noț
iune
a de
frac
ție a
lgeb
rică.
DVA
• Am
plifi
care
a și
simpl
ifica
rea
frac
țiilo
r alg
ebric
e•
Ope
rații
cu
frac
ții a
lgeb
rice:
adu
nare
a, sc
ăder
ea,
înm
ulțir
ea, î
mpă
rțire
a, ri
dica
rea
la p
uter
e cu
exp
o-ne
nt în
treg
19
a XI
-a I.
Şiru
ri de
num
ere
real
e•
Noț
iune
a de
subș
ir de
num
ere
real
eII.
Lim
ite d
e fu
ncții
. Fun
cții
conti
nue
• O
pera
ții c
u fu
ncții
con
tinue
III. F
uncț
ii de
rivab
ile. A
plic
ații
ale
deriv
atel
or•
Aplic
ații
ale
dife
renț
iale
i la
calc
ulul
apr
oxim
ativ
V. M
atric
e. D
eter
min
anți.
Sist
eme
de e
cuaț
ii lin
iare
•
Ecua
ția m
atric
eală
AXB
= C
a XI
I-aIII
. Ele
men
te d
e te
oria
pro
babi
lităț
ilor
•Pr
obab
ilita
te c
ondi
ționa
tăIII
. Ele
men
te d
e co
mbi
nato
rică.
Bin
omul
lui N
ewto
n •
Noț
iune
a de
mul
țime
ordo
nată
. Noț
iune
a de
fact
o-ria
l•
Legi
le c
ombi
nato
ricii
• Pe
rmut
ări
• Ar
anja
men
te•
Com
bină
ri•
Prop
rietă
ți al
e co
mbi
năril
or•
Ecua
ții, i
necu
ații
ce c
onțin
ele
men
te d
e co
mbi
nato
-ric
ă•
Bino
mul
lui N
ewto
n•
Form
ula
term
enul
ui g
ener
al•
Prop
rietă
ți fu
ndam
enta
le a
le c
oefic
ienț
ilor b
inom
iali
• Pr
oprie
tăți
ale
dezv
oltă
rii b
inom
ului
la p
uter
e
Not
ă. L
a co
mpa
rtim
entu
l Ext
ensi
i: –
pent
ru c
lasa
a X
I-a, s
unt p
ropu
se sp
re st
udie
re m
odul
ele:
a) D
reap
ta în
pla
n; b
) Con
ice;
–pe
ntru
cla
sa a
XII-
a, s
unt p
ropu
se s
pre
stud
iere
mod
ulel
e: a
) Pol
inoa
me
în m
ulțim
ea n
umer
elor
com
plex
e; b
) Com
bină
ri de
co
rpur
i geo
met
rice.
20
Profi
lul u
man
ist
Clas
aCo
nțin
utur
i om
ise
Conț
inut
uri i
nclu
se
a X-
a I.
Num
ere
real
e •Cu
antifi
cato
rii e
xist
enția
l și u
nive
rsal
II. M
ulțim
i •In
terv
ale
de n
umer
e re
ale
III. F
uncț
ii. E
cuaț
ii. In
ecua
ții. S
iste
me
III.1
. Noț
iune
a de
func
ție •N
oțiu
nea
func
ţie. M
odur
i de
defin
ire a
func
ției
•Gr
aficu
l fun
cție
i •Pr
oprie
tăți
ale
func
țiilo
r ref
erito
are
la m
onot
onie
, zer
ouri,
ext
rem
eIII
. 4. F
uncț
ia p
uter
e. F
uncț
ia ra
dica
l •Ec
uații
iraț
iona
le d
e tip
ul:
fx
axb
���
�; abR
,∈
gx
fx
���
���
0
III. 5
. Fun
cția
exp
onen
țială
. Fun
cția
loga
ritm
ică
•Ec
uații
exp
onen
țiale
de
tipul
:1.
af(
x)=a
g(x) și
redu
ctibi
le la
ele
;2.
ecu
ații
expo
nenț
iale
redu
ctibi
le la
ecu
ații
alge
bric
e st
udia
te •Ec
uații
loga
ritm
ice
de ti
pul:
1 2. log
;
log
log
;
log
log
log
a aa
aa
a
fx
b
fx
gx
fx
gx
hx
���
���
��
���
���
��
3.
,
a>0,
a≠1
4. e
cuaț
ii lo
garit
mic
e re
ducti
bile
la e
cuaț
ii al
gebr
ice
stud
iate
21
IV. E
lem
ente
de
trig
onom
etrie
•Ce
rcul
trig
onom
etric
. Tr
ansf
orm
area
uni
tățil
or d
e m
ăsur
ă a
ungh
iuril
or d
in g
rade
în ra
dian
i și i
nver
s •Id
entit
ățile
trig
onom
etric
e fu
ndam
enta
le •Fo
rmul
ele
de re
duce
re •Fo
rmul
ele
sum
ei
•Fo
rmul
ele
ungh
iulu
i dub
luV.
Fig
uri g
eom
etric
e în
pla
n •N
oțiu
nea
de p
ropo
ziție
mat
emati
că. V
aloa
rea
de a
devă
r a p
ropo
ziție
i. N
oțiu
nile
de
axio
mă,
teor
emă,
teor
emă
reci
proc
ăVI
. Ele
men
te d
e co
mbi
nato
rică
•N
oțiu
nea
de fa
ctor
ial.
Mul
țimi o
rdon
ate
•Le
gile
com
bina
toric
ii •Pe
rmut
ări
•Ar
anja
men
te
•Co
mbi
nări
•Pr
oprie
tăți
ale
com
bină
rilor
•Ec
uații
ce
conț
in e
lem
ente
de
com
bina
toric
ă
a XI
-a II
. Fun
cții
deriv
abile
. Apl
icaț
ii al
e de
rivat
elor
• N
oțiu
nea
limita
func
ţiei î
ntr-u
n pu
nct
• N
oțiu
nea
deriv
ata
func
ţiei î
ntr-u
n pu
nct
• Pr
oble
me
din
dive
rse
dom
enii
ce c
ondu
c la
noț
iune
a de
der
ivat
ă•
Inte
rpre
tare
a ge
omet
rică
și fiz
ică
a de
rivat
ei. E
cuaț
ia ta
ngen
tei l
a gr
aficu
l fun
cție
i în
tr-u
n pu
nct
• Fu
ncții
der
ivab
ile p
e o
mul
țime
• Ta
belu
l der
ivat
elor
func
țiilo
r ele
men
tare
• Ca
lcul
ul d
eriv
atel
or. R
egul
i de
deriv
are
• De
rivat
a fu
ncție
i com
puse
(com
pusă
din
cel
mul
t dou
ă fu
ncții
ele
men
tare
)•
Punc
te c
ritice
. Pun
cte
de e
xtre
m, e
xtre
mel
e fu
ncție
i•
Prop
rietă
țile
func
țiilo
r der
ivab
ile: t
eore
ma
Ferm
at•
Aplic
ații
ale
deriv
atel
or d
e or
dinu
l 1 în
stu
diul
var
iație
i fun
cție
i pol
inom
iale
, rep
reze
n-ta
rea
grafi
că a
func
ției p
olin
omia
le•
Aplic
ații
dire
cte
ale
deriv
atel
or în
fizic
ă, g
eom
etrie
, eco
nom
ie (p
e ex
empl
e sim
ple)
• Pr
oble
me
simpl
e de
max
im și
min
im. O
ptim
izări
22
IV. M
atric
e. D
eter
min
anți.
Sis
tem
e de
ecu
ații
linia
re
• M
etod
a lu
i Gau
ssV.
Par
alel
ism
ul în
spaț
iu•
Axio
mel
e pl
anul
ui. P
ropr
ietă
ți al
e pl
anul
uiVI
. Per
pend
icul
arita
tea
în sp
ațiu
• Te
orem
a ce
lor t
rei p
erpe
ndic
ular
e. R
ecip
roca
VII.
Tran
sfor
măr
i geo
met
rice
în sp
ațiu
• Tr
ansf
orm
ări i
zom
etric
e în
spaț
iu•
Sim
etria
față
de
un p
unct
• Si
met
ria a
xial
ă•
Sim
etria
în ra
port
cu
un p
lan
a XI
I-aI.
Prim
itiva
. Int
egra
la n
edefi
nită
• N
oțiu
nea
de p
rimiti
vă•
Inte
gral
a ne
defin
ită•
Prop
rietă
ți•
Tabe
lul p
rimiti
velo
r uzu
ale
II. In
tegr
ala
defin
ită. A
plic
ații
• N
oțiu
nea
de in
tegr
ală
defin
ită•
Prop
rietă
ți•
Form
ula
lui N
ewto
n-Le
ibni
z•
Calc
ulul
arie
i, su
bgra
ficul
func
ției
I. El
emen
te d
e co
mbi
nato
rică
•N
oțiu
nea
de m
ulțim
e or
dona
tă.
Noț
iune
a de
fact
oria
l•
Legi
le c
ombi
nato
ricii
• Pe
rmut
ări (
fără
repe
tări)
•
Aran
jam
ente
(făr
ă re
petă
ri)•
Com
bină
ri (fă
ră re
petă
ri)•
Prop
rietă
ți al
e co
mbi
năril
or•
Aplic
ații
ale
com
bina
toric
ii în
acti
vi-
tate
a co
tidia
nă, î
n ec
onom
ie, fi
nanț
e,
soci
olog
ie, a
rte,
tehn
olog
ii, a
ntre
pre-
noria
t (ex
empl
e și
prob
lem
e). (
Mod
u-lu
l est
e tr
ansf
erat
din
cla
sa a
X-a
.)
23
1.2.4. Sistemul de activități de învățare și evaluareSistemele de activități de învățare fixate în curriculum sunt recomandabile pentru pro-
fesor. Realizarea însă a acestora facilitează dobândirea de către elevi a achizițiilor deter-minate prin unitățile de competență, formulate pentru fiecare compartiment conținutal. Profesorul are dreptul să completeze aceste sisteme cu alte tipuri de activități de învățare, în funcție de preferințele personale și pregătirea matematică a elevilor.
Lista produselor preconizate pentru a fi obținute de către elevi, ca rezultat al activităților realizate, de asemenea, este una recomandabilă. Profesorul, utilizând Referenţialul de evaluare [4], poate utiliza și alte produse în procesul educațional la matematică. Semnificative pentru formarea competențelor și pentru realizarea cone-xiunilor interdisciplinare/transdisciplinare sunt proiectele STEM și STEAM. Profesorul de matematică, de comun acord cu profesorii de alte discipline, va realiza cu elevii săi astfel de proiecte. Proiecte de acest tip sunt descrise în secvența 6.3. Proiecte STEM /STEAM din prezentul Ghid.
Profesorul de matematică va ține cont de faptul: competența se manifestă prin acțiune și se materializează în produse. Prin activitățile de învățare și produsele propu-se, curriculumul ghidează profesorul spre formarea la elevi a competențelor specifice matematicii.
1.2.5. Alte elemente de noutateCurriculumul dezvoltat la Matematică conține și alte elemente de noutate:1. Pentru fiecare clasă a X-a - a XII-a, la fiecare compartiment conținutal, este pre-
zentată lista de termeni matematici noi, care vor fi însușiți de către elevi în cadrul studierii temelor respective. Profesorul va fi atent să nu exagereze cu un număr mare de termeni, preconizați pentru studiere în cadrul lecției. Și în cadrul evalu-ărilor interne și/sau externe nu se permite utilizarea altor termeni, diferiți de cei indicați în curriculum și în manualele de matematică.
2. Curriculumului include și finalități prezentate după fiecare clasă (La finele clasei, elevul poate) și care reprezintă aspecte ale competențelor specifice disciplinei, manifestate gradual la etapa dată de învățare, care au și funcția de stabilire a obiectivelor de evaluare finale. Aceste finalități trebuie să fie aduse la cunoștința elevilor și a părinților/tutorilor acestora. Profesorul în procesul de predare, dar mai accentuat, în procesul de evaluare, va ține cont de finalitățile respective, pentru a fi formate și evaluate.
3. Sunt reiterate drepturile profesorului de matematică. Profesorul are dreptul: • să schimbe ordinea parcurgerii elementelor de conținut, dacă nu este afectată
logica științifică sau didactică;
24
• să repartizeze timpul efectiv pentru parcurgerea unităților de conținut în funcție de pregătirea matematică a elevilor la etapa respectivă a învățământului;
• să grupeze în diverse moduri elementele de conținut în unități de învățare, cu respectarea logicii interne de dezvoltare a conceptelor matematice;
• să aleagă sau să organizeze activități de învățare adecvate condițiilor concrete din clasă.
25
2. Rolul obiectivelor în formarea competențelor
2.1. Modalități de operaționalizare a obiectivelor la matematicăPentru proiectarea și desfășurarea unei lecții este important să se formuleze corect
obiectivele operaționale, obiectivele lecției. În sprijinul unei formulări corecte a obiec-tivelor operaționale, prezentăm două tehnici (modele) de operaționalizare (formulare):
•– modelul pedagogului american R. F. Mager, care stabileşte trei parametri:1. descrierea comportamentului final al elevului (verbul);2. determinarea condițiilor în care se va realiza comportamentul (condițiile);3. precizarea criteriului performanței acceptabile (criteriul reușitei).
Exemplu. Elevul va fi capabil să rezolve în scris, prin metoda grafică, sistemul de ecu-aţii dat.
Deci, cei trei parametri sunt:1. să rezolve – comportamentul elevului;2. în scris, prin metoda grafică – condițiile;3. sistemul de ecuaţii dat – criteriul reușitei; •– modelul pedagogului belgian G. De Landsheere, care stabileşte cinci parametri:
1. cine va produce comportamentul dorit (subiectul);2. ce comportament observabil va confirma că obiectivul este atins (verbul);3. care va fi produsul acestui comportament (performanța);4. în ce condiții trebuie să aibă loc comportamentul (condițiile);5. pe temeiul căror criterii ajungem la concluzia că produsul e satisfăcător (cri-
teriul reușitei).Exemplu. Elevul va fi capabil să ordoneze în mod crescător sau descrescător două
șiruri dintre cele cinci șiruri de numere reale date, câte un șir pentru fiecare mod.Deci, cei cinci parametri sunt: 1. elevul – subiectul;2. să ordoneze – comportamentul elevului;3. şirurile de numere reale date – performanța;4. în mod crescător sau descrescător, câte un şir pentru fiecare mod – condițiile;5. două şiruri din cinci date – criteriul reușitei.Notă. Profesorul are dreptul să utilizeze în practică oricare dintre aceste modele de
formulare a obiectivelor operaționale. În definirea unui obiectiv, alegerea verbului este foarte importantă.
26
Profesorul va conștientiza că verbele să ştie, să înveţe, să afle, să cunoască, să poa-tă, să perceapă, să priceapă, să înţeleagă, să posede, să stăpânească, să sesizeze, să însuşească nu se vor utiliza la formularea obiectivelor lecției sau a unei activități edu-caționale.
În acest context, indicăm câteva norme ce trebuie respectate în formularea obiecti-velor operaționale ale activității didactice (lecției):
• un obiectiv operațional trebuie să vizeze o singură operaţie pentru a permite mă-surarea și evaluarea gradului său de realizare;
• un obiectiv operațional trebuie să fie exprimat în cuvinte cât mai puţine, pentru a facilita referirea la conținutul său specific;
• obiectivele operaționale trebuie să fie integrate şi derivabile logic, oferind o ex-presie clară a logicii conținutului informativ și a situațiilor de învățare;
• obiectivele operaționale trebuie să fie clare, explicite şi comprehensibile (înţelese) atât pentru elev, cât și pentru profesor;
• obiectivele operaționale trebuie să fie accesibile majorității elevilor și să poată fi realizate într-un interval concret de timp;
• obiectivele operaționale nu trebuie să fie prea numeroase pentru activitatea di-dactică planificată;
Sistemul de obiective proiectate pentru o lecție trebuie să includă: • cel puţin un obiectiv privind dobândirea cunoştinţelor (Ce va şti elevul?);• cel puţin două obiective privind aplicarea celor studiate, formarea priceperilor,
deprinderilor, abilităţilor, dezvoltarea capacităţilor (Ce va şti să facă elevul?) și• cel puţin un obiectiv privind formarea atitudinilor şi valorilor (Cum va şti să fie
elevul?).În ansamblu, de regulă, pentru o lecție de 45 de minute sunt acceptate 4-6 obiective
(operaționale). Numărul de unități de competențe acceptabile pentru o lecție de 45 de minute poate fi 1-5 unități de competență.
Obiectivele operaționale trebuie să corespundă vârstei elevilor, pregătirii şi achiziţi-ilor lor anterioare.
2.2. Metodologia convertirii unităților de competențe în obiectiveObiectivele (operaționale) ale lecției trebuie să rezulte din unitățile de competențe
preconizate la compartimentul, modulul (capitolul) respectiv. De fiecare dată elabo-rând proiectul didactic al unei lecții, profesorul, în conformitate cu proiectarea de lungă durată, va constata care sunt unitățile de competențe prioritare pentru lecția respecti-vă și le va converti în obiective (operaționale) ale acestei lecții.
27
În continuare, prezentăm câteva exemple de convertire a unităților de competențe în obiective:
1. Clasa a X-a, profilul real. Modulul I. Elemente de teoria mulțimilor şi logică ma-tematică
Unitatea de competență 1.6. Sortarea şi clasificarea obiectelor pe baza unor criterii date sau determinate
Ea poate fi convertită (utilizând modelul lui Mager) în următoarele obiective opera-ționale:
La finele lecției, elevii vor fi capabili: – să sorteze obiectele date în baza criteriilor date; – să sorteze obiectele selectate în baza criteriilor date; – să sorteze obiectele date în baza criteriilor determinate; – să sorteze obiectele selectate în baza criteriilor determinate; – să clasifice obiectele date în baza criteriilor date; – să clasifice obiectele selectate în baza criteriilor date; – să clasifice obiectele date în baza criteriilor determinate; – să clasifice obiectele selectate în baza criteriilor determinate.
Notă. Profesorul, la necesitate, va formula și obiective complexe. De exemplu: la finele lecției, elevii vor fi capabili să sorteze şi să clasifice obiectele date în baza criteriilor date sau la finele lecției, elevii vor fi capabili să sorteze şi să clasifice obiectele selectate în baza criteriilor determinate etc.
2. Clasa a XII-a, profilul real. Modulul III. Elemente de combinatorică. Binomul lui Newton
Unitatea de competență 3.1. Identificarea în diverse contexte şi clasificarea după diverse criterii a tipurilor de probleme de combinatorică studiate.
Ea poate fi convertită (utilizând modelul lui Mager) în următoarele obiective opera-ționale:
La finele lecției, elevii vor fi capabili: – să recunoască, în setul de probleme date, problemele de combinatorică; – să identifice, în situaţiile reale sau modelate, tipurile de probleme de combinato-
rică studiate; – să clasifice problemele de combinatorică conform criteriului: a) probleme de per-
mutări; b) probleme de aranjamente; c) probleme de combinări; d) probleme mix-te de combinatorică.
– să clasifice problemele de combinatorică conform criteriului: a) probleme de com-binatorică rezolvabile prin legea (regula) multiplicităţii (înmulţirii); b) probleme de combinatorică rezolvabile prin legea (regula) adunării.
28
Notă. Profesorul, la necesitate, va formula și obiective complexe. De exemplu: la finele lecției, elevii vor fi capabili să identifice, în situaţiile modelate date, problemele de combinatorică şi să le clasifice în baza criteriului: a) probleme de permutări; b) probleme de aranjamente; c) probleme de combinări; d) probleme mixte de combinatorică.
3. Clasa a XI-a, profilul umanist. Modulul III. Numere complexe.Unitatea de competență 2.2. Aplicarea numerelor complexe scrise în formă alge-
brică, a operaţiilor cu ele în rezolvarea problemelor, inclusiv în rezolvarea ecuaţiilor de gradul II, cu coeficienţi reali, poate fi convertită în următoarele obiective operaționale:
La finele lecției, elevii vor fi capabili: – să aplice numerele complexe scrise în formă algebrică în rezolvarea problemelor; – să utilizeze adunări, scăderi, înmulţiri, ridicări la putere cu exponent natural, îm-
părţiri cu numere complexe, scrise în formă algebrică, în rezolvarea problemelor; – să utilizeze proprietăţile operaţiilor cu numere complexe, scrise în formă algebri-
că, în calcule cu astfel de numere; – să aplice numerele complexe, scrise în formă algebrică, la rezolvarea ecuaţiilor de
gradul II cu coeficienţi reali.Un ajutor esențial la formularea obiectivelor ce derivă din unitățile de competență,
la selectarea verbelor adecvate, îi poate acorda profesorului de matematică taxonomia lui Bloom.
Pedagogia modernă identifică trei mari domenii de încadrare a obiectivelor: • domeniul cognitiv – asimilarea cunoștințelor, formarea deprinderilor și a capaci-
tăților intelectuale; • domeniul afectiv – formarea convingerilor, sentimentelor, atitudinilor; • domeniul psihomotor – elaborarea conduitelor motrice, a operațiilor manuale
etc. Verbele care indică comportamentele de învățare sunt prezentate mai jos; nivelele
clasificării corespund taxonomiei lui Bloom:
Categorii cognitive:(A) Cunoaşterea – a identifica, a distinge, a recunoaște, a dobândi;(B) Comprehensiunea (înțelegerea) – a traduce, a transforma, a exprima în cuvin-
te proprii, a ilustra, a pregăti, a citi, a reprezenta, a schimba, a scrie din nou, a redefini (Transpunerea); a interpreta, a reorganiza, a rearanja, a diferenția, a distinge, a face, a stabili, a demonstra (Interpretarea); a estima, a introduce, a conchide, a prevedea, a diferenția, a determina, a extinde, a interpola, a extra-pola, a completa (Extrapolarea);
29
(C) Aplicarea – a aplica, a generaliza, a stabili legături, a alege, a dezvolta, a organi-za, a utiliza, a se servi de, a transfera, a restructura, a clasifica;
(D) Analiza – a distinge, a detecta, a identifica, a discrimina, a recunoaște, a cate-gorisi, a deduce (Căutarea elementelor); a contrasta, a analiza, a compara, a distinge, a deduce (Căutarea relaţiilor); a analiza, a distinge, a detecta, a deduce (Căutarea principiilor de organizare);
(E) Sinteza – a scrie, a povesti, a relata, a produce, a construi, a crea, a transmite, a modifica, a se documenta (Crearea unei opere personale); a propune, a pla-nifica, a produce, a proiecta, a modifica, a specifica (Elaborarea unui plan de acţiune); a produce, a deriva, a dezvolta, a combina, a organiza, a sintetiza, a cla-sifica, a deduce, a formula, a modifica (Derivarea unor relaţii abstracte dintr-un ansamblu);
(F) Evaluarea – a judeca, a argumenta, a valida, a evalua, a decide, a considera, a compara, a standardiza.
Pentru domeniul afectiv (prezent și în procesul educațional la matematică), taxono-mia include următoarele categorii și verbele respective:
(A) Receptarea – a selecta, a alege, a transfera;(B) Reacția – a se conforma, a interpreta, a realiza, a selecta, a reveni, a motiva;(C) Valorificarea – a manifesta competenţă, preferinţă, angajare, pricepere, capaci-
tate; (D) Organizarea unui sistem de valori – a teoretiza, a defini un sistem de criterii
proprii, a se integra într-un univers superior de gândire şi de comportament;(E) Interiorizarea valorilor etico-estetice – a se bucura de aprecierea celor din jur,
a evita şi a dezaproba excesele.Notă. Verbele evidențiate mai sus îl vor ajuta pe profesor la convertirea unităților de
competențe în obiective.
30
3. Referințe proiective ale curriculumului la
disciplina Matematică
3.1. Curriculumul ca sursă de proiectare didactică de lungă duratăLa elaborarea proiectului didactic de lungă durată, profesorul utilizează:
– Curriculumul la Matematică; – manualul; – ghidul profesorului la manual (dacă există); – ghidul de implementare a Curriculumului la Matematică în liceu; – reperele metodologice privind organizarea procesului educațional la disciplina
Matematică pentru anul respectiv de studiu.Notă. Profesorul va realiza, de regulă, proiectarea de lungă durată în baza manualu-
lui de matematică, utilizat la clasă.Cerințe față de elaborarea proiectului de lungă durată (indiferent de modalitatea
de proiectare) din perspectiva formării de competențe: 1. Pentru fiecare modul, profesorul determină competențele specifice prioritare
pentru acest capitol și fixează indicatorii, conform curriculumului, în prima ru-brică.
2. Pentru fiecare secvență de conținut din modul, profesorul determină unitățile de competență care vor fi realizate prin conținutul concret și fixează indicatorii respectivi curriculumului în rubrica a doua.
3. Pentru secvențele de conținuturi recapitulative, în plan vor fi prevăzute una-do-uă ore, iar pentru conținuturi noi – cel puțin două-trei ore pentru o unitate.
4. Fiecare modul va conține, în mod obligatoriu, cel puțin o oră de sinteză a mate-riei din modulul respectiv și o oră de sinteză integrativă a materiei din modulele anterioare.
5. În proiectul de lungă durată se fixează orele de evaluare iniţială și cele de evaluare sumativă la început/sfârșit de unitate de învățare/capitol (modul), semestru, an.
6. Profesorul poate, după posibilitate, să proiecteze și ore pentru analiza evaluărilor realizate.
Notă: După ce proiectul de lungă durată este aprobat ca document de lucru, pro-fesorul are dreptul să efectueze modificări fixate în rubrica Observații (în funcție de situația concretă creată în clasa de elevi).
31
Se recomandă următoarea repartizare a temelor pe clase şi pe unități de timp:Profilul real
Clasa Temele Nr. de ore
a X-a
I. Elemente de teoria mulțimilor și logică matematicăII. Puteri. Radicali. LogaritmiIII. Monoame și polinoameIV. Figuri geometrice în plan. Recapitulare și completări (cercul, triunghiuri)V. Funcții realeVI. Funcția de gradul IVII. Funcția de gradul IIVIII. Funcția putere. Funcția radicalIX. Funcția exponențială. Funcția logaritmicăX. Elemente de trigonometrieXI. Figuri geometrice în plan. Recapitulare și completări (patrulatere, poligoane)La decizia profesorului
109
168
1710151222261510
Total: 170 de ore
a XI-a
I. Șiruri de numere realeII. Limite de funcții. Funcții continueIII. Funcții derivabile. Aplicații ale derivatelorIV. Numere complexeV. Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații liniareVI. Paralelismul în spațiuVII. Perpendicularitatea în spațiuVIII. Transformări geometrice în spațiuLa decizia profesorului
122435192116181510
Total: 170 de ore
a XII-a
I. Primitiva. Integrala nedefinităII. Integrala definităIII. Elemente de combinatorică. Binomul lui NewtonIV. Elemente de statistică matematică și teoria probabili-tăților, elemente de calcul financiar V. PoliedreVI. Corpuri de rotațieVII. Recapitulare finalăLa decizia profesorului
1821182521223010
Total: 165 de ore
Notă: 1. Repartizarea timpului de predare – învățare – evaluare se va determina pornind
de la cinci ore pe săptămână.2. Repartizarea orelor pe teme și stabilirea ordinii compartimentelor sunt orientative.3. Ordinea compartimentelor, în cadrul aceleiași clase, poate fi schimbată, dacă nu
este afectată logica științifică sau didactică.
32
Profilul umanist
Clasa Temele Nr. de ore
a X-a
I. Numere reale. Recapitulare și completăriII. MulțimiIII. Funcții. Ecuații. Inecuații. SistemeIV. Figuri geometrice în planLa decizia profesorului
158
422710
Total: 102 ore
a XI-a
I. Șiruri de numere realeII. Numere complexeIII. Matrice. Determinanți. Sisteme de ecuații lineareIV. Paralelismul în spațiuV. Perpendicularitatea în spațiuLa decizia profesorului
111620212410
Total: 102 ore
a XII-a
I. Elemente de combinatorică II. Elemente de statistică matematică și de calcul financiar III. Elemente de teoria probabilitățilorIV. PoliedreV. Corpuri de rotațieLa decizia profesorului
141712232310
Total: 99 de ore
Notă: 1. Repartizarea timpului de predare – învățare – evaluare se va determina pornind
de la trei ore pe săptămână.2. Repartizarea orelor pe teme și stabilirea ordinii compartimentelor sunt orientative.3. Ordinea compartimentelor, în cadrul aceleiași clase, poate fi schimbată, dacă nu
este afectată logica științifică sau didactică.
33
3.2.
Pro
iect
area
did
actic
ă de
lung
ă du
rată
la M
atem
atică
3.2.
1. P
roie
ctar
ea te
mati
co-c
alen
daris
tică
Clas
a a
X-a,
pro
filul
real
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nțe
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i (M
odul
e)N
r. de
or
eD
ata
Obs
erva
ții
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
Pr
edar
e –
învă
țare
Eval
uare
Tota
l:
23 135
12 170
I II III IV V VI VII
1.1,
1.4
, 1.6
, 1.7
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
, 1.5
, 1.6
, 1.7
1.1,
1.7
, 1.9
1.1,
1.7
, 1.8
, 1.9
1.1,
1.2,
1.6,
1.7,
1.8,
1.9
1.1
– 1.
91.
1 –
1.9
CS g
imna
ziu: I
-VII
I. 1 2 3-4 5 6-7 8 9 10
Elem
ente
de
teor
ia m
ulțim
ilor ş
i log
ică
mat
emati
că
Noț
iune
a de
mul
țime.
Mul
țimi n
umer
ice.
Sub
mul
țimi.
Ope
rații
cu
mul
țimi.
Prop
rietă
ți fu
ndam
enta
le.
Noț
iune
a de
pro
poziț
ie m
atem
atică
.M
etod
a re
duce
rii la
abs
urd.
Met
oda
indu
cție
i mat
emati
ceO
ra d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
iniți
ală.
10 1 1 2 1 2 1 1 1
Sem
. I
I II III IV V VI VII
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
, 2.5
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
, 2.5
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7
2.1
– 2.
7, 1
.8
2.1
– 2.
7
II.11
-12
13-1
415
-16
17 18 19
Pute
ri. R
adic
ali.
Loga
ritm
iPu
teri.
Pro
prie
tăți
Radi
cali.
Pro
prie
tăți.
Loga
ritm
ul u
nui n
umăr
poz
itiv.
Pro
prie
tăți.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
9 2 2 2 1 1 1
Sem
. I
34
I II III IV V VI VII
3.1,
3.2
3.1,
3.2
, 3.5
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
, 3.5
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
, 3.5
3.3,
3.4,
3.5,
3.6,
3.7,
3.8
3.3,
3.4,
3.5,
3.6,
3.7,
3.8
3.3,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.7
, 3.8
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
, 3.5
3.2
- 3.8
3.1
- 3.8
3.1
- 3.8
, 1.8
, 2.5
3.1
- 3.8
III.
20 2122
-23
24-2
526 27-2
829
-30
31-3
2
33-3
435 36 37
Mon
oam
e. P
olin
oam
e. F
racț
ii al
gebr
ice
Noț
iune
a de
mon
om. O
pera
ții c
u m
onoa
me.
Noț
iune
a de
pol
inom
. For
ma
cano
nică
a u
nui p
olin
om.
Ope
rații
cu
polin
oam
e.Îm
părț
irea
polin
oam
elor
.Îm
părț
irea
la b
inom
ul „
X –
a”.
Desc
ompu
nere
a po
linoa
mel
or în
fact
ori i
redu
ctibi
li.N
oțiu
nea
de ră
dăci
nă a
unu
i pol
inom
. Răd
ăcin
i mul
tiple
.N
oțiu
nea
de fr
acție
alg
ebric
ă. D
VA. A
mpl
ifica
rea
și sim
-pl
ifica
rea
frac
țiilo
r alg
ebric
e.O
pera
ții c
u fr
acții
alg
ebric
e.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
18 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1
Sem
. I
I II III IV V VI VII
7.1,
7.2
, 7.3
, 7.4
, 7.5
7.3,
7.4
, 7.1
07.
1 –
7.5
7.2
– 7.
77.
3, 7
.6, 7
.8, 7
.97.
4, 7
.5, 7
.6, 7
.77.
5, 7
.8, 7
.9, 7
.10
7.5,
7.8
, 7.9
, 7.1
07.
5, 7
.8, 7
.9, 7
.10
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
7.1
- 7.1
07.
1 –
7.10
7.1
– 7.
10
IV.
38 39 40 41 42 43 4445
-46
47-4
849
50-5
152 53 54
Figu
ri ge
omet
rice
în p
lan.
Rec
apitu
lare
şi c
ompl
etăr
i (c
ercu
l, tr
iung
hiur
i)N
oțiu
ni g
eom
etric
e fu
ndam
enta
le.
Cerc
ul. R
elaț
ii m
etric
e în
cer
c.Po
ziția
rela
tivă
a un
ei d
rept
e fa
ță d
e un
cer
c.U
nghi
la c
entr
u. U
nghi
însc
ris.
Triu
nghi
uri.
Lini
i im
port
ante
în tr
iung
hi. P
ropr
ietă
ți.Tr
iung
hiur
i con
grue
nte.
Crit
erii.
Triu
nghi
uri a
sem
enea
. Crit
erii.
Te
orem
a Th
ales
. Teo
rem
a fu
ndam
enta
lă a
ase
măn
ării.
Teor
ema
bise
ctoa
rei u
nghi
ului
inte
rior a
l triu
nghi
ului
.Re
lații
met
rice
în tr
iung
hi.
Triu
nghi
însc
ris în
cer
c. T
riung
hi c
ircum
scris
cer
culu
i.O
ră d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
17 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1
35
I II III IV V VI VII
4.1,
4.2
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.5
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
4.2,
4.3
, 4.4
, 4.5
, 4.6
4.1
– 4.
64.
1 –
4.6,
4.
1 –
4.6
V. 55 56 5758
-59
60 61 62
Func
ții re
ale.
N
oțiu
nea
func
ţie. M
odur
i de
defin
ire a
func
ției.
Prop
rietă
ți al
e fu
ncții
lor.
Ope
rații
cu
func
ții. F
uncț
ii co
mpu
se.
Func
ții in
vers
abile
. Fun
cția
inve
rsă.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
8 1 1 1 2 1 1 1
Sem
. I
I II III IV V VI VII
5.1,
5.2
, 5.3
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.1,
5.3
, 5.4
, 5.5
, 5.6
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
5.4,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.1
– 5.
85.
1 –
5.8
5.1
– 5.
8
VI.
63 64 6566
-67
68 69 70 71 72 73
Func
ția d
e gr
adul
I Fu
ncţia
de
grad
ul I.
Pan
ta d
rept
ei.
Ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă.
Sist
eme
de e
cuaț
ii. N
oțiu
nea
tota
litat
e.
Ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă, c
u m
odul
și/s
au
para
met
ru.
Inec
uații
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
. In
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
o n
ecun
oscu
tă, c
u m
odul
.Si
stem
e de
inec
uații
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
11 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1
Sem
. I
I II III IV V VI VII
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.7
5.1,
5.3
, 5.4
, 5.5
, 5.6
5.1,
5.3
, 5.4
, 5.5
, 5.6
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.7
, 5.8
5.4,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.4,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.4,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.4,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.1
– 5.
85.
1 –
5.8
5.1
– 5.
8
VII.
74 7576
-77
78-7
9
8081
-82
83-8
485
-86
87 88 89
Func
ția d
e gr
adul
IIN
oțiu
nea
Func
ţia d
e gr
adul
II.
Ecua
ții d
e gr
adul
II. R
elaț
iile
lui V
iete
. In
ecua
ții d
e gr
adul
II.
Inte
rpre
tare
a ge
omet
rică
a ec
uație
i de
grad
ul d
oi c
u do
uă n
ecun
oscu
te.
Sist
eme
de d
ouă
ecua
ții a
lgeb
rice
de g
radu
l I, I
I. Si
stem
e de
ecu
ații
simet
rice,
om
ogen
e de
gra
dul I
I.Ec
uații
de
grad
ul II
cu
mod
ul, c
u pa
ram
etru
.Ec
uații
și in
ecua
ții ra
ționa
le c
u o
necu
nosc
ută.
O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
16 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1
Sem
. I,
sem
. II
36
I II III IV V VI VII
5.1
– 5.
45.
1 –
5.4
5.4,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.4,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.1
– 5.
85.
1 –
5.8
5.1
– 5.
8
VIII.
90-9
192
-93
94-9
697
-99
100
101
102
Func
ția p
uter
e. F
uncț
ia ra
dica
lFu
ncția
put
ere.
Func
ția ra
dica
l. Ec
uații
iraț
iona
le.
Inec
uații
iraț
iona
le.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
13 2 2 3 3 1 1 1
Sem
. II
I II III IV V VI VII
5.1
– 5.
45.
1 –
5.4
5.2,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.2,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.2,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.2,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.2,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.2,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.1
– 5.
85.
1, 5
.8, 3
,5, 2
.55.
1 –
5.8
5.1
– 5.
8
IX.
103-
104
105-
107
108-
109
110-
111
112-
114
115-
117
118-
119
120-
122
123
124
125
126
Func
ția e
xpon
enția
lă. F
uncț
ia lo
garit
mic
ăFu
ncția
exp
onen
țială
.Fu
ncția
loga
ritm
ică.
Ec
uații
exp
onen
țiale
.Ec
uații
exp
onen
țiale
cu
mod
ul.
Inec
uații
exp
onen
țiale
.Ec
uații
loga
ritm
ice.
Ec
uații
loga
ritm
ice
cu m
odul
.In
ecua
ții lo
garit
mic
e.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
24 2 3 2 2 3 3 2 3 1 1 1 1
Sem
. II
37
I II III IV V VI VII
6.1,
6.2
, 6.3
6.3,
6.4
, 6.6
6.2,
6.3
, 6.5
, 6.6
6.2,
6.3
, 6.5
, 6.6
6.2,
6.3
, 6.5
, 6.6
6.2,
6.3
, 6.5
, 6.6
6.1
– 6.
66.
1, 6
.3, 6
.4, 6
.56.
3, 6
.4, 6
.5
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.5
, 7.6
, 6.3
, 6.5
6.3,
6.4
, 6.5
, 6.7
6.3,
6.4
, 6.5
, 6.7
6.3,
6.4
, 6.5
, 6.7
6.3,
6.4
, 6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.3,
6.5
, 6.7
, 6.8
6.1
– 6.
86.
1 –
6.8,
1.8
6.1
– 6.
8
X.
127-
128
129-
130
131
132
133
134
135
136
137-
138
139-
140
141-
142
143-
144
145-
146
147-
148
149-
150
151
152
153
Elem
ente
de
trig
onom
etrie
Cerc
ul tr
igon
omet
ric.
Func
țiile
trig
onom
etric
e.
Iden
tităț
ile tr
igon
omet
rice
fund
amen
tale
. For
mul
ele
de
redu
cere
. Fo
rmul
ele
sum
ei. F
orm
ulel
e un
ghiu
lui d
ublu
.Fo
rmul
ele
subs
tituț
iei u
nive
rsal
e.Ca
lcul
ul v
alor
ilor f
uncț
iilor
trig
onom
etric
e.Ev
alua
re su
mati
vă.
Noțiu
nile
arc
sinus
, arc
cosin
us, a
rcta
ngen
tă, a
rcco
tang
entă
. Ca
lcul
ul v
alor
ilor a
rcsin
us, a
rcco
sinus
, arc
tang
entă
, ar
ccot
ange
ntă
ale
num
erel
or re
ale
uzua
le.
Rela
ții m
etric
e în
triu
nghi
. Teo
rem
a sin
usur
ilor.
Teor
ema
cosin
usul
ui.
Ecua
ții tr
igon
omet
rice
fund
amen
tale
.Ec
uații
trig
onom
etric
e re
ducti
bile
la e
cuaț
ii al
gebr
ice.
Ec
uații
trig
onom
etric
e om
ogen
e de
gra
dul I
, II.
Ecua
ții tr
igon
omet
rice
de fo
rma
axb
xcabcR
sin
cos
,,,
��
�In
ecua
ții tr
igon
omet
rice
fund
amen
tale
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
27 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
Sem
. II
38
I II III IV V VI VII
7.1,
7.2
, 7.4
, 7.5
7.1
– 7.
77.
4, 7
.5, 7
.6, 7
.77.
7, 7
.8, 7
.9, 7
.10
7.2,
7.3
, 7.4
, 7.7
7.6,
7.7
, 7.8
, 7.9
, 7.1
07.
1 –
7.10
7.1
– 7.
107.
1 –
7.10
7.1
– 7.
10
XI.
154-
155
156-
157
158-
159
160
161-
162
163-
164
165
166
167
168
Figu
ri ge
omet
rice
în p
lan.
Rec
apitu
lare
şi c
ompl
etăr
i (p
atru
late
re, p
olig
oane
)Pa
trul
ater
e co
nvex
e: p
aral
elog
ram
, par
alel
ogra
me
parti
-cu
lare
, tra
pez.
Patr
ulat
ere
însc
rise
în c
erc.
Pa
trul
ater
e ci
rcum
scris
e un
ui c
erc.
Po
ligoa
ne c
onve
xe. N
oțiu
nea
polig
on re
gula
t.Po
ligoa
ne re
gula
te în
scris
e în
cer
c. P
olig
oane
regu
late
ci
rcum
scris
e un
ui c
erc.
Aria
supr
afeț
elor
pol
igon
ale.
Lung
imea
cer
culu
i. Ar
ia d
iscul
ui.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
15 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1
Sem
. II.
1.1
– 7.
1016
9-17
0Re
capi
tula
re.
2
Clas
a a
XI-a
, pro
filul
real
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nțe
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i (M
odul
e)N
r. de
or
eD
ata
Obs
erva
ții
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
Pr
edar
e –
învă
țare
Eval
uare
Tota
l:
21 139
10 170
39
I II III IV V VI VII
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
, 1.5
, 1.6
, 1.7
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
, 1.5
, 1.6
, 1.7
1.1,
1.2
, 1.4
, 1.5
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.1
– 1.
71.
1 –
1.7
1.1
– 1.
7
I. 1-2
3-4
5-6
7-8 9 10 11 12 13
Şiru
ri de
num
ere
real
eN
oțiu
nea
şir d
e nu
mer
e re
ale.
Cla
sifică
ri.Pr
ogre
sia a
ritm
etică
. Pro
prie
tăți.
Apl
icaț
ii.
Prog
resia
geo
met
rică.
Pro
prie
tăți.
Apl
icaț
ii.Li
mita
unu
i șir.
Defi
niția
în li
mba
jul v
ecin
ătăț
ilor,
limba
jul
ε –
δ.N
oțiu
nea
de și
r con
verg
ent.
Noț
iune
a de
șir d
iver
gent
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
13 2 2 2 2 1 1 1 1 1
Sem
. I
I II III IV V VI VII
2.1,
2.2
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.6
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.6
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.6
, 2.7
, 2.8
2.2,
2.3
, 2.6
, 2.7
2.3,
2.6
, 2.7
, 2.8
2.3,
2.6
, 2.7
, 2.8
2.1-
2.3,
2.6
-2.8
2.3,
2.6
, 2.7
, 2.8
2.1,
2.4
, 2.5
, 2.6
2.1,
2.4
, 2.5
, 2.6
2.1,
2.4
, 2.5
, 2.6
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
, 2.5
, 2.6
2.1
– 2.
82.
1 –
2.8,
1.5
2.1
– 2.
8
II. 1415
-16
1718
-19
20 21-2
223
-24
2526
-27
28-2
9
30-3
1
32-3
334
-36
37 38 39
Lim
ite d
e fu
ncții
. Fun
cții
conti
nue
Punc
t de
acum
ular
e, p
unct
izol
at a
l une
i mul
țimi.
Noț
iune
a lim
ita u
nei f
uncţ
ii în
tr-u
n pu
nct.
Noț
iune
a lim
i-ta
une
i fun
cţii
la ±
∞.
Lim
ite la
tera
le.
Lim
itele
func
țiilo
r ele
men
tare
.O
pera
ții c
u lim
ite d
e fu
ncții
. Cal
culu
l lim
itelo
r de
func
ții.
Cazu
ri ex
cept
ate
la o
pera
ții c
u lim
ite d
e fu
ncții
.Li
mite
rem
arca
bile
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Noț
iune
a fu
ncţie
con
tinuă
într
-un
punc
t. Pu
nct d
e di
s-co
ntinu
itate
.Fu
ncție
con
tinuă
pe
o m
ulțim
e. C
ontin
uita
tea
la st
ânga
. Co
ntinu
itate
a la
dre
apta
. Cr
iterii
de
conti
nuita
te. C
ontin
uita
tea
func
țiilo
r ele
men
-ta
re.
Prop
rietă
țile
func
țiilo
r con
tinue
.As
impt
otel
e gr
afice
lor f
uncț
iilor
real
e.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
26 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 1 1 1
Sem
. I
40
I II III IV V VI VII
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
6.1,
6.4
, 6.5
, 6.6
6.3,
6.4
, 6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.5,
6.6
, 6.7
, 6.8
, 6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.
8, 6
.9, 6
.10
6.5,
6.6
, 6.7
, 6.8
, 6.9
, 6.1
0
6.1
– 6.
106.
1 –
6.10
, 1.5
, 2.6
6.1
– 6.
10
III.
40-4
142
-43
44-4
546
-47
48-4
950
-51
52-5
3
54 55 56
Para
lelis
mul
în sp
ațiu
Axio
mel
e ge
omet
riei î
n pl
an.
Axio
mel
e ge
omet
riei î
n sp
ațiu
. Pro
prie
tăți
ale
plan
ului
.Po
ziția
rela
tivă
a dr
epte
lor î
n sp
ațiu
.U
nghi
ul d
intr
e do
uă d
rept
e ne
copl
anar
e.Dr
epte
par
alel
e în
spaț
iu.
Poziț
ii re
lativ
e al
e dr
epte
lor î
n sp
ațiu
. Pro
prie
tăți,
crite
riu.
Poziț
ia r
elati
vă a
dou
ă pl
ane.
Pla
ne p
aral
ele,
pro
prie
tăți,
cr
iteriu
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
17 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
Sem
.I
I II III IV V VI VII
3.1,
3.2
, 3.3
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1
– 3.
53.
3, 3
.4, 3
.5, 3
.63.
3, 3
.4, 3
.5, 3
.63.
3, 3
.4, 3
.5, 3
.63.
1, 3
.2, 3
.3, 3
.63.
1, 3
.2, 3
.3, 3
.6
3.1
– 3.
6, 3
.8, 3
.93.
1. 3
.2, 3
.7, 3
.8
3.3,
3.4
, 3.7
, 3.9
3.6,
3.7
, 3.8
, 3.9
3.6,
3.7
, 3.8
, 3.9
3.3,
3.5
, 3.6
, 3.7
IV.
57
58-6
0
61-6
263
-64
65-6
768
-69
70-7
172
-73
7475
-76
77-7
8
79-8
081
-82
83-8
4
Func
ții d
eriv
abile
. Apl
icaț
ii al
e de
rivat
elor
Prob
lem
e di
n di
vers
e do
men
ii ce
con
duc
la n
oțiu
nea
de
deriv
ată.
Noț
iune
a de
rivat
e al
e fu
ncţie
i, de
rivat
a la
tera
lă a
une
i fu
ncţii
într
-un
punc
t. Fu
ncții
der
ivab
ile p
e o
mul
țime.
Tabe
lul d
eriv
atel
or fu
ncții
lor e
lem
enta
re.
Calc
ulul
der
ivat
elor
. Reg
uli d
e de
rivar
e.De
rivat
a fu
ncție
i com
puse
.De
rivat
a de
ord
in n
(n {2
,3}).
Inte
rpre
tare
a fiz
ică
a de
rivat
ei.
Inte
rpre
tare
a ge
omet
rică
a de
rivat
ei. E
cuaț
ia ta
ngen
tei l
a gr
aficu
l fun
cție
i înt
r-un
pun
ct.
Eval
uare
sum
ativă
.N
oțiu
nea
dife
renţ
iala
func
ţiei.
Regu
li de
cal
cul a
l di
fere
nția
lelo
r.Pr
oprie
tățil
e fu
ncții
lor d
eriv
abile
: teo
rem
ele
Ferm
at, R
ol-
le, L
agra
nge.
Punc
te c
ritice
. Pun
cte
de e
xtre
m, e
xtre
mel
e fu
ncție
i.Ap
licaț
ii al
e de
rivat
elor
de
ordi
n 1
și 2
în st
udiu
l var
iație
i fu
ncție
i.Re
prez
enta
rea
grafi
că a
func
ției.
37 1 3 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2
Sem
.I, II
41
3.6,
3.8
, 3.9
3.6,
3.7
, 3.8
, 3.9
3.1
- .3.
93.
1 –
3.9,
2.3
, 2.6
3.1
- .3.
93.
1 - .
3.9
85-8
6
87-8
990 91 92 93
Calc
ulul
lim
itelo
r fun
cție
i cu
ajut
orul
der
ivat
ei. R
egul
ile lu
i L̓H
ospi
tal.
Prob
lem
e de
max
im și
min
im. O
ptim
izări.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
2 3 1 1 1 1
I II III IV V VI VII
4.1,
4.2
, 4.3
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.5
4.1,
4.2
, 4.3
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.5
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
, 4.6
4.4,
4.5
, 4.6
, 4.7
, 4.8
4.5,
4.6
, 4.7
, 4.8
4.1
– 4.
84.
1 –
4.8
4.1
– 4.
84.
1 –
4.8
V. 94
95-9
6
97 9899
-100
101-
102
103-
105
106-
108
109
110
111
112
Num
ere
com
plex
eN
oțiu
nea
num
ăr c
ompl
ex. M
ulțim
ea C
. For
ma
alge
bric
ă a
num
ărul
ui c
ompl
ex.
Ope
rații
arit
meti
ce c
u nu
mer
e co
mpl
exe
scris
e în
form
ă al
gebr
ică.
Repr
ezen
tare
a ge
omet
rică
a nu
mer
elor
com
plex
e.
Mod
ulul
unu
i num
ăr c
ompl
ex.
Form
a tr
igon
omet
rică
a nu
măr
ului
com
plex
.O
pera
ții c
u nu
mer
e co
mpl
exe
scris
e în
form
ă tr
igon
ome-
tric
ă.Ec
uații
de
grad
ul II
, ecu
ații
bipă
trati
ce, e
cuaț
ii bi
nom
e.Ec
uații
reci
proc
e de
gra
dul I
II și
IV în
mul
țimea
C.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
19 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1
Sem
. II
I II III IV V VI VII
5.1,
5.2
5.1,
5.2
, 5.3
5.1,
5.2
, 5.3
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.3,
5.4
, 5.5
VI.
113
114-
115
116-
117
118-
120
121-
122
123-
124
Mat
rice.
Det
erm
inan
ți. S
iste
me
de e
cuaț
ii lin
iare
N
oțiu
nea
mat
rice.
Caz
uri p
artic
ular
e.
Ope
rații
cu
mat
rice.
Pro
prie
tăți.
Noț
iune
a de
term
inan
t de
ord
inul
doi
, de
ordi
nul t
rei,
de
ordi
nul n
. Pro
prie
tăți
fund
amen
tale
.Ca
lcul
ul d
eter
min
anțil
or d
e or
dinu
l doi
, tre
i, pa
tru.
M
atric
e in
vers
abilă
. Cal
culu
l mat
ricei
inve
rse.
Ecua
ții m
atric
eale
.
21 1 2 2 3 2 2
Sem
. II
42
5.3,
5.4
, 5.5
5.3,
5.4
, 5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.1
– 5.
85.
1 –
5.8,
4.2
, 4.5
5.1
– 5.
85.
1 –
5.8
125-
127
128-
129
130
131
132
133
Sist
eme
de e
cuaț
ii lin
iare
. Reg
ula
lui C
ram
er, m
etod
a lu
i Ga
uss,
met
oda
mat
ricea
lă.
Sist
eme
de e
cuaț
ii lin
iare
om
ogen
e.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
3 2 1 1 1 1
I II III IV V VI VII
7.1
– 7.
57.
1 –
7.5
7.1
– 7.
5, 7
.6, 7
.7
7.5,
7.6
, 7.7
, 7.8
, 7.9
, 7.1
0
7.1
– 7.
57.
5, 7
.6, 7
.7, 7
.8, 7
.9, 7
.10
7.1
– 7.
57.
1 –
7.5
7.5
– 7.
10
7.1
– 7.
107.
1 –
7.10
, 6.2
, 6.7
7.1
– 7.
10
VII.
134-
135
136-
137
138
139-
140
141
142-
143
144-
145
146-
147
148-
149
150
151
152
Perp
endi
cula
ritat
ea în
spaț
iuDr
epte
per
pend
icul
are
în sp
ațiu
, pro
prie
tăți,
crit
eriu
.Dr
eapt
a pe
rpen
dicu
lară
pe
plan
, pro
prie
tăți,
crit
eriu
.Pr
oiec
ții o
rtog
onal
e al
e pu
ncte
lor,
segm
ente
lor,
drep
te-
lor p
e pl
an.
Dist
anța
de
la u
n pu
nct l
a o
drea
ptă,
de
la u
n pu
nct l
a un
pl
an, d
e la
o d
reap
tă la
un
plan
.U
nghi
ul d
intr
e dr
eapt
ă și
plan
.Te
orem
a ce
lor t
rei p
erpe
ndic
ular
e. R
ecip
roca
.U
nghi
die
dru.
Plan
e pe
rpen
dicu
lare
, pro
prie
tăți,
crit
eriu
.Lu
ngim
ea p
roie
cție
i or
togo
nale
a u
nui
segm
ent
pe u
n pl
an. A
ria p
roie
cție
i ort
ogon
ale
a un
ei fi
guri
pe p
lan.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
19 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1
Sem
. II
I II III IV V
8.1,
8.2
, 8.4
, 8.5
8.1
– 8.
78.
1 –
6.7
8.1
– 8.
78.
1 –
8.7
8.1
– 8.
7
VIII.
153.
154-
155
156-
157
158-
159
160-
161
162-
163
Tran
sfor
măr
i geo
met
rice
în sp
ațiu
Tran
sfor
măr
i izo
met
rice
în sp
ațiu
. Pro
prie
tăți.
Sim
etria
față
de
un p
unct
. Pro
prie
tăți
Sim
etria
axi
ală
în sp
ațiu
. Pro
prie
tăți.
Sim
etria
în ra
port
cu
un p
lan.
Tran
slația
în sp
ațiu
. Pro
prie
tăți.
Asem
ănar
ea în
spaț
iu. P
ropr
ietă
ți.
16 1 2 2 2 2 2
Sem
. II
43
VI VII
8.1
– 8.
7 8.
1 –
8.7
8.1
– 8.
78.
1 –
8.7
164-
165
166
167
168
Rota
ția în
spaț
iu. P
ropr
ietă
ți.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
2 1 1 1
1.1
– 8.
716
9-17
0Re
capi
tula
re.
2
Cl
asa
a XI
I-a, p
rofil
ul re
al
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nțe
(sub
-com
pete
nțe)
(UC)
, con
form
cur
ri-cu
lum
ului
Nr.
crt.
Conț
inut
uri (
Mod
ule)
Nr.
de
ore
Dat
aO
bser
vații
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
Pr
edar
e –
învă
țare
Eval
uare
Tota
l:
47 109 9 165
I II III IV V VI VII
1.1,
1.2
, 1.3
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.2,
1.3
, 1.4
, 1.5
, 1.6
1.3,
1.4
, 1.5
, 1.6
, 1.7
1.3,
1.4
, 1.5
, 1.6
, 1.7
1.1
- 1.7
1.1
– 1.
71.
1 –
1.7
I. 1-2
3-4
5-6
7-9
10-1
213
-15
16 17 18
Prim
itiva
. Int
egra
la n
edefi
nită
Noț
iune
a pr
imiti
vă.
Inte
gral
a ne
defin
ită. P
ropr
ietă
ți.Ta
belu
l prim
itive
lor u
zual
e.Ca
lcul
ul in
tegr
alel
or n
edefi
nite
.M
etod
a de
schi
mba
re d
e va
riabi
lă.
Inte
grar
ea p
rin p
ărți.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
18 2 2 2 3 3 3 1 1 1
Sem
. I
44
I II III IV V VI VII
2.1,
2.2
2.1,
2.2
, 2.3
2.1,
2.3
, 2.3
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
, 2.6
2.4,
2.5
, 2.6
, 2.7
, 2.8
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
, 2.6
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
, 2.6
2.1-
2.8
2.1-
2.8,
1.4
2.1-
2.8
2.1-
2.8
II.19
-20
21-2
324
-26
2728
-29
30-3
132
-34
35-3
738 39 40 41
Inte
gral
a de
finită
. Apl
icaț
iiN
oțiu
nea
inte
gral
ă de
finită
. Pro
prie
tăți.
Form
ula
lui N
ewto
n-Le
ibni
z.Ca
lcul
ul in
tegr
alei
defi
nite
.Re
prez
enta
rea
geom
etric
ă a
inte
gral
ei d
efini
teAr
ia su
bgra
ficul
ui u
nei f
uncț
iiCa
lcul
ul a
riei u
nei fi
guri
măr
gini
te.
Volu
mul
cor
pulu
i de
rota
ție.
Rezo
lvar
ea p
robl
emel
or.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
23 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 1 1
Sem
. I
I II III IV V VI VII
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
, 5.9
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
, 5.9
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
, 5.9
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
, 5.9
5.1
– 5.
95.
1 –
5.9,
2.5
, 2.6
5.1
– 5.
95.
1 –
5.9
III.
4243
-44
45-4
647
-49
50 51-5
354
-55
56-5
758
-60
61 62 63 64
Polie
dre
Noț
iune
a de
pol
iedr
u. E
lem
ente
. Cla
sifică
ri.Po
liedr
e re
gula
te.
Prism
a. E
lem
ente
. Cla
sifică
ri. S
ecțiu
ni.
Arii
ale
supr
afeț
elor
pris
mei
. Vol
umul
pris
mei
.Pi
ram
ida.
Ele
men
te. C
lasifi
cări.
Sec
țiuni
. Ar
ii al
e su
praf
ețel
or p
iram
idei
. Vo
lum
ul p
iram
idei
.Tr
unch
i de
pira
mid
ă. E
lem
ente
. Cla
sifică
ri. S
ecțiu
ni.
Ariil
e su
praf
ețel
or tr
unch
iulu
i de
pira
mid
ă. V
olum
ul tr
un-
chiu
lui d
e pi
ram
idă.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
23 1 2 2 3 1 3 2 2 3 1 1 1 1
Sem
. I
45
I II III IV V VI VII
3.1,
3.2
, 3.3
3.1,
3.2
, 3.3
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.6
, 3.7
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.6
, 3.7
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.6
, 3.7
3.1,
3.2
, 3.3
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.6
, 3.7
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
, 3.5
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
, 3.5
3.1
– 3.
73.
1 –
3.7
3.1
– 3.
7, 2
.4, 2
.63.
1 –
3.7
IV.
65 6667
-68
69-7
071
-72
73 74-7
576 77-7
879
-80
81 82 83
Elem
ente
de
com
bina
toric
ă. B
inom
ul lu
i New
ton
Noț
iune
a de
mul
țime
ordo
nată
. Noț
iune
a de
fact
oria
l.Le
gile
com
bina
toric
ii.Pe
rmut
ări (
fără
repe
tări)
. Ar
anja
men
te (f
ără
repe
tări)
. Co
mbi
nări
(fără
repe
tări)
.Pr
oprie
tăți
ale
com
bină
rilor
.Ec
uații
, ine
cuaț
ii ce
con
țin e
lem
ente
de
com
bina
toric
ă.Bi
nom
ul lu
i New
ton.
For
mul
a te
rmen
ului
gen
eral
.Pr
oprie
tăți
fund
amen
tale
ale
coe
ficie
nțilo
r bin
omia
li.
Prop
rietă
ți al
e de
zvol
tării
bin
omul
ui la
put
ere.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
19 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1
Sem
. I,
sem
. II
I II III IV V VI VII
4.1,
4.2
4.2,
4.3
, 4.4
, 4.5
4.2,
4.3
, 4.4
, 4.5
4.1
- 4.5
, 4.1
04.
1 - 4
.5, 4
.10
4.1
- 4.5
, 4.1
0, 3
.5, 3
.64.
1 - 4
.5, 4
.10
V. V.I
84-8
5
86-8
788
-89
90-9
293 94 95
Elem
ente
de
teor
ia p
roba
bilit
ățilo
r, st
atisti
că m
atem
a-tic
ă şi
cal
cul fi
nanc
iar
Elem
ente
de
stati
stică
mat
emati
că și
cal
cul fi
nanc
iar
Noț
iuni
fund
amen
tale
. Sel
ecta
rea,
înre
gist
rare
a și
grup
a-re
a da
telo
r.Re
prez
enta
rea
grafi
că a
dat
elor
stati
stice
M
ărim
i med
ii al
e se
riilo
r sta
tistic
e.El
emen
te d
e ca
lcul
fina
ncia
r.O
ra d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
28 12 2 2 2 3 1 1 1
Sem
. II.
46
I II III IV V VI VII
4.1,
4.6
4.1,
4.6
, 4.7
, 4.8
, 4.1
04.
1, 4
.6, 4
.84.
1, 4
.6, 4
.8, 4
.10
4.1,
4.6
, 4.8
, 4.9
4.1
-4.1
04.
1 -4
.10,
3.1
– 3
.54.
1 -4
.10
4.1
-4.1
0
V.2
96-9
798
-100
101-
102
103-
104
105-
107
108
109
110
111
Elem
ente
de
teor
ia p
roba
bilit
ățilo
rEv
enim
ent.
Clas
ifica
rea
even
imen
telo
r. De
finiți
a cl
asic
ă a
prob
abili
tății
.Ev
enim
ente
ale
atoa
re. O
pera
ții cu
eve
nim
ente
ale
atoa
re.
Even
imen
te a
leat
oare
inde
pend
ente
. Va
riabi
lă a
leat
oare
. Val
oare
a m
edie
a v
aria
bile
i ale
atoa
re.
Ora
de
sinte
ză.
Oră
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
16 2 3 2 2 3 1 1 1 1
Sem
. II.
I II III IV V VI VII
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
6.4,
6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
6.4,
6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
6.4,
6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.1,
6.2
, 6.3
, 6.4
6.4,
6.5
, 6.6
, 6.7
, 6.8
6.1
– 6.
86.
1 –
6.4
6.1
– 6.
86.
1 –
6.8,
2.5
, 2.6
6.1
– 6.
8
VI.
112
113-
115
116
117-
119
120
121-
123
124-
125
126-
127
128-
129
130-
132
133
134
135
Corp
uri d
e ro
tație
Cilin
drul
circ
ular
dre
pt. E
lem
ente
. Sec
țiuni
.Ar
iile
supr
afeț
elor
cili
ndru
lui c
ircul
ar d
rept
. Vol
umul
ci
lindr
ului
circ
ular
dre
pt.
Conu
l circ
ular
dre
pt. E
lem
ente
. Sec
țiuni
.Ar
iile
supr
afeț
elor
con
ului
circ
ular
dre
pt. V
olum
ul c
onu-
lui c
ircul
ar d
rept
. Tr
unch
iul d
e co
n ci
rcul
ar d
rept
. Ele
men
te. S
ecțiu
ni.
Ariil
e su
praf
ețel
or tr
unch
iulu
i de
con
circ
ular
dre
pt. V
o-lu
mul
trun
chiu
lui d
e co
n ci
rcul
ar d
rept
. Sf
era.
Ele
men
te. S
ecțiu
nea
sfer
ei c
u un
pla
n.Ar
ia su
praf
eței
sfer
ice.
Co
rpul
sfer
ic. V
olum
ul c
orpu
lui s
feric
.Se
cțiu
nea
supr
afeț
ei c
onic
e cu
un
plan
. O
ra d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
24 1 3 1 3 1 3 2 2 2 3 1 1 1
Sem
. II.
47
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Clas
a a
X-a
: 1.1
– 7
.10
Clas
a a
XI-a
: 1.
1 –
8.7
Clas
a a
XII-a
: 1.
1 –
6.8
136-
165
Reca
pitu
lare
fina
lă (v
a in
clud
e și
cel p
uțin
dou
ă or
e de
ev
alua
re)
30Se
m. I
I.
Clas
a a
X-a,
pro
filul
um
anis
t
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nțe
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i (M
odul
e)N
r. de
or
eD
ata
Obs
erva
ții
CSU
C
Repa
rtiza
rea
gene
rală
a o
relo
r:Re
capi
tula
re
Pred
are
– în
văța
reEv
alua
reTo
tal:
24 69 9 102
I II III IV VI VII
1.1,
1.6
, 1.8
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.5
, 1.8
1.
2, 1
.3, 1
.4, 1
.5, 1
.71.
2, 1
.3, 1
.6, 1
.7СS
gim
naziu
: I-V
II1.
2, 1
.3, 1
.4, 1
.5, 1
.71.
2, 1
.3, 1
.4, 1
.51.
3, 1
.5, 1
.6, 1
.7, 1
.81.
1 –
1.8
1.1
– 1.
81.
1 –
1.8
I. 1 2-3 4 5 6 7-8
9-11
12-1
314 15 16
Num
ere
real
e. R
ecap
itula
re ş
i com
plet
ări
Num
ere
real
e. M
ulțim
ile N
, Z, Q
, R.
Ope
rații
cu
num
ere
real
e. P
ropr
ietă
ți.Pu
teri
cu e
xpon
ent n
umăr
într
eg. R
adic
ali d
e or
dinu
l 2.
Prop
orții
. Pro
cent
e.Ev
alua
re in
ițial
ă.Pu
teri
cu e
xpon
ent n
umăr
rațio
nal.
Radi
cali d
e or
dinu
l 2 și
3.
Loga
ritm
ul u
nui n
umăr
poz
itiv.
Pro
prie
tăți.
Aplic
ații
ale
oper
ațiil
or c
u nu
mer
elor
real
e.O
ra d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
16 1 2 1 1 1 2 3 2 1 1 1
Sem
. I
48
I II III IV VI VII
2.1,
2.3
, 2.4
, 2.5
2.2,
2.3
, 2.5
, 2.6
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
, 2.6
2.1
- 2.6
2.1
– 2.
6, 1
.5, 1
.62.
1 –
2.6
II. 1718
-19
20-2
122 23 24
Mul
țimi
Noț
iune
a de
mul
țime.
Mul
țimi n
umer
ice.
Ope
rații
cu
mul
țimi.
Aplic
ații
ale
mul
țimilo
r și a
le o
pera
țiilo
r cu
mul
țimi.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
8 1 2 2 1 1 1
Sem
. I
I II III IV V VI VII
4.1,
4.2
, 4.4
, 4.5
4.1,
4.2
, 4.3
,4.4
,4.5
, 4.6
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
4.5,
4.6
, 4.7
, 4.8
, 4.1
04.
5, 4
.6, 4
.7, 4
.8, 4
.10,
4.1
1
4.3,
4.5
, 4.6
,4.7
, 4.1
14.
1-4.
5,4.
8, 4
.10,
4.1
14.
1-4.
5, 4
.8, 4
.10,
4.1
14.
1-4.
5, 4
.8, 4
.10,
4.1
1
III.
25 26 27 2829
-30
31-3
2
33-3
435 36 37
Figu
ri ge
omet
rice
în p
lan
Noț
iuni
geo
met
rice
fund
amen
tale
. Dre
aptă
. Sem
idre
ap-
tă. P
unct
e co
linia
re. S
egm
ent.
Triu
nghi
uri.
Clas
ifică
ri.
Lini
i im
port
ante
în tr
iung
hi.
Triu
nghi
uri c
ongr
uent
e. C
riter
ii.
Met
oda
triu
nghi
urilo
r con
grue
nte.
Apl
icaț
ii.Tr
iung
hiur
i ase
men
ea. C
riter
ii. M
etod
a tr
iung
hiur
ilor
asem
enea
. Re
lații
met
rice
în tr
iung
hiul
dre
ptun
ghic
. Apl
icaț
ii.O
ră d
e sin
teză
.O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
13 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1
Sem
. I
49
I II III IV VI VII
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.5,
3.6
, 3.7
, 3.1
0, 3
.11
3.6,
3.8
, 3.9
, 3.1
1, 3
.12
3.6,
3.8
, 3.9
, 3.1
1, 3
.12
3.6,
3.8
, 3.9
, 3.1
1, 3
.12
3.6,
3.8
, 3.9
, 3.1
1, 3
.12
3.1
– 3.
123.
1 –
3.12
3.1
– 3.
12
IV.
IV.1
.38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
Func
ții n
umer
ice.
Ecu
ații.
Inec
uații
. Sis
tem
e III
.1. F
uncț
ia d
e gr
adul
I. E
cuaț
ii, in
ecua
ții, s
iste
me
Noț
iune
a de
func
ție. N
oțiu
nea
func
ţia d
e gr
adul
I. G
rafi-
cul f
uncț
iei d
e gr
adul
I.
Prop
rietă
țile
func
ției d
e gr
adul
I.
Prop
orțio
nalit
atea
dire
ctă.
Apl
icaț
ii al
e fu
ncție
i de
grad
ul
I și a
le p
ropo
rțio
nalit
ății
dire
cte
în d
iver
se d
omen
ii.Ec
uații
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
. Ine
cuaț
ii de
gra
dul I
cu
o n
ecun
oscu
tă.
Sist
eme
de d
ouă
ecua
ții d
e gr
adul
I cu
dou
ă ne
cuno
scut
e.
Sist
eme
de d
ouă
inec
uații
de
grad
ul I
cu o
nec
unos
cută
.Ap
licaț
ii al
e ec
uații
lor,
inec
uații
lor,
siste
mel
or.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
45 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Sem
. I
I II III IV VI VII
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.5,
3.6
, 3.7
, 3.1
0, 3
.11
3.6,
3.8
, 3.9
, 3.1
1, 3
.12
3.6,
3.8
, 3.9
, 3.1
1, 3
.12
3.6,
3.8
, 3.9
, 3.1
1, 3
.12
3.6,
3.8
, 3.9
, 3.1
1, 3
.12
3.10
, 3.1
1, 3
.12
3.1
- 3.1
23.
1 –
3.12
3.1
– 3.
12
IV.2
.48 49 50 51
52-5
354
-55
56 57 58 59
Func
ția d
e gr
adul
II. E
cuaț
ii. In
ecua
ții. S
iste
me
Noț
iune
a fu
ncţia
de
grad
ul II
. Gra
ficul
func
ției d
e gr
adul
II.
Prop
rietă
țile
func
ției d
e gr
adul
II.
Ecua
ții d
e gr
adul
II. C
lasifi
care
a ec
uații
lor.
Rezo
lvar
ea
ecua
țiilo
r de
grad
ul II
.Re
lații
le lu
i Viè
te.
Inec
uații
de
grad
ul II
cu
o ne
cuno
scut
ă.Si
stem
e de
dou
ă ec
uații
alg
ebric
e cu
o e
cuaț
ie d
e gr
adul
I ș
i o e
cuaț
ie d
e gr
adul
II c
u do
uă n
ecun
oscu
te.
Aplic
ații
ale
func
ției d
e gr
adul
II în
div
erse
dom
enii.
O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.
12 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1
Sem
. II
50
I II III IV VI VII
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.7,
3.1
0, 3
.11,
3.1
2
3.1
– 3.
123.
1 –
3.12
3.1
– 3.
12
IV.3
.60
-61
6263
-64
65-6
6
67 68 69
Func
ția p
uter
e. F
uncț
ia ra
dica
l.N
oțiu
nea
func
ţia p
uter
e. G
rafic
ul fu
ncție
i put
ere.
Pr
oprie
tăți
ale
func
ției p
uter
e.Pr
opor
ționa
litat
ea in
vers
ă. P
ropr
ietă
ți.N
oțiu
nea
func
ţia ra
dica
l. Pr
oprie
tăți
ale
func
ției r
adic
al.
Aplic
ații
ale
func
ției p
uter
e, a
le fu
ncție
i rad
ical
și a
le
prop
orțio
nalit
ății
inve
rse.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
10 2 1 2 2 1 1 1
Sem
. II
I II III IV VI VII
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
3.5,
3.6
, 3.7
, 3.1
0, 3
.
3.5,
3.6
, 3.7
, 3.1
0, 3
.11
3.1
– 3.
121.
4, 1
.5, 2
.5, 3
.1 –
3.1
13.
1 –
3.12
3.1
– 3.
12
IV.4
.70
-72
73-7
5
76-7
8
79 80 81 82
Func
ția e
xpon
enția
lă. F
uncț
ia lo
garit
mic
ă.N
oțiu
nea
func
ţia e
xpon
enţia
lă. P
ropr
ietă
țile
func
ției
expo
nenț
iale
.N
oțiu
nea
func
ţia lo
garit
mic
ă. P
ropr
ietă
țile
func
ției l
oga-
ritm
ice.
Aplic
ații
ale
func
ției e
xpon
enția
le și
ale
func
ției l
ogar
it-m
ice.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
13 3 3 3 1 1 1 1
Sem
. II
51
I II III IV V VI VII
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.5
, 4.6
, 4.1
1
4.4,
4.6
, 4.8
,4.1
0, 4
.11
4.4,
4.6
, 4.8
, 4.9
, 4.1
0, 4
.11
4.5,
4.6
, 4.7,
4.8
, 4.9
, 4.1
0, 4
.11
4.6,
4.7
, 4.8
, 4.9
4.8,
4.9
, 4.1
0, 4
.11
4.8,
4.9
, 4.1
0, 4
.11
4.8,
4.9
, 4.1
0, 4
.11
4.5,
4.6
, 4.7
, 4.8
, 4.9
4.1
– 4.
114.
1 –
4.11
, 1.1
– 1
.8, 2
.1 –
2.6
4.1
– 4.
11
V. 83
84-8
586
-87
8889
-90
91-9
2
93-9
4
9596
-97
98 99 100
Figu
ri ge
omet
rice
în p
lan
Patr
ulat
ere
conv
exe:
păt
ratu
l, dr
eptu
nghi
ul, p
aral
elog
ra-
mul
, rom
bul,
trap
ezul
. Pro
prie
tăți.
Ap
licaț
ii al
e pa
trul
ater
elor
. Pav
aje.
Polig
oane
regu
late
: triu
nghi
ul e
chila
tera
l, pă
trat
ul, h
exa-
gonu
l reg
ulat
. Apl
icaț
ii. P
avaj
e.Ce
rcul
. Coa
rde.
Arc
e. D
iscul
. Apl
icaț
ii. P
avaj
e.Po
ziția
rela
tivă
a un
ei d
rept
e fa
ță d
e un
cer
c. U
nghi
la
cent
ru. U
nghi
însc
ris.
Triu
nghi
însc
ris în
cer
c. T
riung
hi c
ircum
scris
unu
i cer
c.
Aplic
ații.
Ar
ia su
praf
ețel
or p
olig
onal
e. A
plic
ații
ale
ariil
or p
olig
oa-
nelo
r. Pa
vaje
.Lu
ngim
ea c
ercu
lui.
Aria
disc
ului
. Apl
icaț
ii.Se
cțiu
nea
de a
ur. A
plic
ații.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
18 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1
Sem
. II
I-VII
1.1
– 4.
1110
1-10
2Re
capi
tula
re2
Clas
a a
XI-a
, pro
filul
um
anis
t
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nțe
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i (M
odul
e)N
r. de
or
eD
ata
Obs
erva
ții
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
Pr
edar
e –
învă
țare
Eval
uare
Tota
l:
20 77 5 102
52
I II III IV VI VII
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.6
, 1.7
, 1.8
1.
1, 1
.2, 1
.3, 1
.6, 1
.7, 1
.8
1.1
– 1.
81.
1 –
1.8
1.1
– 1.
81.
1 –
1.8
I. 1 2-3
4-5
6-8 9 10 11 12
Șiru
ri de
num
ere
real
eN
oțiu
nea
șir d
e nu
mer
e re
ale.
Șiru
ri fin
ite, i
nfini
te. Ș
iruri
mon
oton
e.Pr
ogre
sia a
ritm
etică
. Pro
prie
tăți.
Apl
icaț
ii.
Prog
resia
geo
met
rică.
Pro
prie
tăți.
Apl
icaț
ii.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
12 1 2 2 3 1 1 1 1
Sem
. I
I II III IV VI VII
2.1,
2.3
, 2.6
2.1,
2.2
, 2.6
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
, 2.6
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.6
2.1,
2.5
, 2.6
2.1
– 2.
6, 1
.5, 1
.6
2.1
– 2.
62.
1 –
2.6,
1.4
– 1
.72.
1 –
2.6
2.1
– 2.
6
II.13
-14
15-1
617
-19
20-2
1
22-2
324
-25
26 27 28 29
Num
ere
com
plex
e. F
orm
a al
gebr
ică
Noț
iune
a nu
măr
com
plex
. Mul
țimea
C.
Form
a al
gebr
ică
a nu
măr
ului
com
plex
.O
pera
ții a
ritm
etice
cu
num
ere
com
plex
e sc
rise
în fo
rmă
alge
bric
ă.N
umăr
opu
s. C
onju
gatu
l unu
i num
ăr. I
nver
sul u
nui n
u-m
ăr.
Mod
ulul
unu
i num
ăr c
ompl
ex.
Rezo
lvar
ea e
cuaț
iilor
de
grad
ul II
cu
coefi
cien
ți re
ali î
n m
ulțim
ea C
.O
ra d
e sin
teză
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
17 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1
Sem
. I
53
I II III IV VI VII
4.1,
4.2
, 4.3
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.6
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.7
4.1
– 4.
74.
1 –
4.7,
1.1
– 1
.64.
1 –
4.7
4.1
– 4.
7
III.
30-3
132
-33
34-3
637
-39
40-4
142
-44
45-4
748 49 50 51
Para
lelis
mul
în sp
ațiu
Poziț
ia re
lativ
ă a
două
dre
pte
în sp
ațiu
. Dr
epte
par
alel
e în
spaț
iu. A
plic
ații.
Poziț
ia re
lativ
ă a
drep
tei ș
i a p
lanu
lui.
Drea
pta
para
lelă
cu
plan
ul, p
ropr
ietă
ți, c
riter
iu. A
plic
ații.
Poziț
ia re
lativ
ă a
două
pla
ne. A
plic
ații.
Plan
e pa
rale
le, p
ropr
ietă
ți, c
riter
iu. A
plic
ații.
Aplic
ații
ale
rela
ției d
e pa
rale
lism
în sp
ațiu
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
22 2 2 3 3 2 3 3 1 1 1 1
Sem
. I
3.1,
3.3
, 3.6
3.1,
3.3
, 3.6
, 3.7
3.1,
3.2
, 3.4
,3.5
, 3.6
3.1,
3.2
, 3.4
,3.5
, 3.6
3.1,
3.2
, 3.4
,3.5
, 3.6
3.1,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.7
3.1,
3.4
, 3.5
, 3.6
, 3.7
3.1
– 3.
7
3.1
– 3.
73.
1 –
3.7,
2.1
– 2
.53.
1 –
3.7
3.1
– 3.
7
IV.
52-5
354
-55
56-5
758
-59
60-6
263
-64
65-6
667
-68
69 70 71 72
Mat
rice.
Det
erm
inan
ți. A
plic
ații
Noț
iune
a m
atric
e. C
azur
i par
ticul
are.
Ope
rații
cu
mat
rice.
Pro
prie
tăți.
Noț
iune
a de
term
inan
t de
ordi
nul d
oi, o
rdin
ul tr
ei.
Prop
rietă
țile
fund
amen
tale
nec
esar
e pe
ntru
cal
culu
l de
term
inan
ților
.Ca
lcul
ul d
eter
min
anțil
or d
e or
dinu
l doi
, tre
i.Si
stem
e de
ecu
ații
linia
re d
e tip
ul n
×n, n!
N, n
≤ 3
.Re
gula
lui C
ram
er.
Aplic
ații
ale
mat
ricel
or, a
le d
eter
min
anțil
or, a
le si
stem
e-lo
r de
ecua
ții.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
21 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1
Sem
. I,
sem
. II
54
I II III IV V VI VII
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
, 5.5
, 5.7
5.1
– 5.
75.
1 –
5.7
5.1
– 5.
75.
2, 5
.3, 5
.4, 5
.5, 5
.6, 5
.75.
1 –
5.7
5.1
– 5.
7, 4
.1 –
4.7
5.1
– 5.
75.
1 –
5.7
V.73
-75
76-7
8
79-8
0
81-8
3
84-8
586
-87
88-9
091
-93
94 95 96 97
Perp
endi
cula
ritat
ea în
spaț
iuDr
epte
per
pend
icul
are
în sp
ațiu
, pro
prie
tăți,
crit
eriu
. Ap
licaț
ii.Dr
eapt
a pe
rpen
dicu
lară
pe
plan
, pro
prie
tăți,
crit
eriu
. Ap
licaț
ii.Di
stan
ța d
e la
un
punc
t la
o dr
eapt
ă, d
e la
un
punc
t la
un
plan
. Apl
icaț
ii.Pr
oiec
ții o
rtog
onal
e al
e pu
ncte
lor,
ale
segm
ente
lor,
ale
drep
telo
r pe
plan
. Apl
icaț
ii.U
nghi
ul d
intr
e dr
eapt
ă și
plan
. U
nghi
die
dru.
Apl
icaț
ii.Pl
ane
perp
endi
cula
re, p
ropr
ietă
ți, c
riter
iu. A
plic
ații.
Aplic
ații
ale
rela
ției d
e pe
rpen
dicu
larit
ate
în sp
ațiu
.O
ra d
e sin
teză
.O
ra d
e sin
teză
inte
grati
vă.
Eval
uare
sum
ativă
.An
aliza
eva
luăr
ii su
mati
ve.
25 3 3 2 3 2 2 3 3 1 1 1 1
Sem
. II
1.1
– 5.
798
-102
Reca
pitu
lare
5
Clas
a a
XII-a
, pro
filul
um
anis
t
Indi
cato
rii c
ompe
tenț
elor
spec
ifice
(C
S) şi
ai u
nită
ților
de
com
pete
nțe
(UC)
, con
form
cur
ricul
umul
uiN
r. cr
t.Co
nțin
utur
i (M
odul
e)N
r. de
or
eD
ata
Obs
erva
ții
CSU
CRe
parti
zare
a ge
nera
lă a
ore
lor:
Reca
pitu
lare
Pr
edar
e –
învă
țare
Eval
uare
Tota
l:
17 77 5 99
55
I II III IV VI VII
1.1,
1.2
1.1,
1.2
, 1.6
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.5
, 1.6
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.5
, 1.6
1.1,
1.2
, 1.3
, 1.4
, 1.5
, 1.6
1.2,
1.3
, 1.5
, 1.6
1.1
– 1.
6–
1.6
– 1.
61.
1 –
1.6
I. 1-2 3 4-5
6-7
8-9
10-1
112
-13
14 15 16
Elem
ente
de
com
bina
toric
ă N
oțiu
nea
mul
ţime
ordo
nată
. Noț
iune
a fa
ctor
ial.
Legi
le c
ombi
nato
ricii.
Perm
utăr
i (fă
ră re
petă
ri).
Aran
jam
ente
(făr
ă re
petă
ri).
Com
bină
ri (fă
ră re
petă
ri).
Prop
rietă
ți al
e co
mbi
năril
or.
Aplic
ații
ale
com
bina
toric
ii.O
ra d
e sin
teză
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
16 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1
Sem
. I
I II III IV VI VII
2.1,
2.2
2.1,
2.2
, 2.3
2.1,
2.2
, 2.3
, 2.4
, 2.5
2.1,
2.2
, 2.5
, 2.6
, 2.7
2.2,
2.3
, 2.4
, 2.5
, 2.6
, 2.7
2.1,
2.2
, 2.4
, 2.6
, 2.7
2.1,
2.2
, 2.4
, 2.6
, 2.7
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7,
1.3
2.1
– 2.
72.
1 –
2.7
II. 1718
-19
20-2
122
-23
24-2
526
-28
29-3
132 33 34 35
Elem
ente
de
stati
stică
mat
emati
că ş
i cal
cul fi
nanc
iar
Noț
iuni
fund
amen
tale
. Se
lect
area
, înr
egis
trar
ea și
gru
pare
a da
telo
r.Re
prez
enta
rea
grafi
că a
dat
elor
stati
stice
. Apl
icaț
ii.M
ărim
i med
ii al
e se
riilo
r sta
tistic
e. A
plic
ații.
Aplic
ații
ale
elem
ente
lor d
e st
atisti
că m
atem
atică
.El
emen
te d
e ca
lcul
fina
ncia
r.Ap
licaț
ii al
e el
emen
telo
r de
calc
ul fi
nanc
iar.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
19 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1
Sem
. I
I II III IV V VI VII
4.1,
4.2
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.7
4.3,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.8
4.3,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.8
4.1,
4.2
, 4.7
4.1,
4.2
, 4.3
, 4.7
4.3,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.8
III.
3637
-38
39-4
041 42
43-4
445
-46
Polie
dre
Prism
a. E
lem
ente
. Cla
sifică
ri.Pr
isma
drea
ptă:
sec
țiuni
par
alel
e cu
baz
a se
cțiu
nii d
iago
-na
le, s
ecțiu
ni c
e co
nțin
înăl
țimea
.Ar
ii al
e pr
ismei
dre
pte.
Vo
lum
ul p
rism
ei d
rept
e.Pi
ram
ida.
Ele
men
te. C
lasifi
cări.
Pi
ram
ida
regu
lată
. Sec
țiuni
. Ar
ii al
e pi
ram
idei
regu
late
.
24 1 2 2 1 1 2 2
Sem
. I, I
I
56
4.3,
4.4
, 4.5
, 4.6
, 4.8
4.1,
4.2
, 4.7
4.
1, 4
.2, 4
.3, 4
.74.
3, 4
.4, 4
.5, 4
.6, 4
.84.
3, 4
.4, 4
.5, 4
.6, 4
.84.
1 –
4.8
4.1
– 4.
84.
1 –
4.8,
1.3
, 2.4
, 3.4
4.1
– 4.
84.
1 –
4.8
47 4849
-50
51-5
253
54-5
556 57 58 59
Volu
mul
pira
mid
ei re
gula
te.
Trun
chi d
e pi
ram
idă.
Ele
men
te. C
lasifi
cări.
Tr
unch
i de
pira
mid
ă re
gula
tă. S
ecțiu
ni.
Arii
ale
trun
chiu
lui d
e pi
ram
idă
regu
lată
.Vo
lum
ul tr
unch
iulu
i de
pira
mid
ă re
gula
tă.
Aplic
ații
ale
polie
drel
or.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
1 1 2 2 1 2 1 1 1 1
I II III IV VI VII
3.1,
3.2
, 3.4
3.1,
3.2
, 3.3
, 3.4
, 3.6
3.1,
3.3
, 3.4
, 3.5
3.1,
3.3
, 3.4
, 3.5
3.1
– 3.
73.
1 –
3.7
3.1
– 3.
7, 2
.1 –
2.5
3.1
– 3.
73.
1 –
3.7
IV.
6061
-62
63-6
465
-66
67-6
869 70 71 72
Elem
ente
de
teor
ia p
roba
bilit
ățilo
rEv
enim
ent.
Clas
ifica
rea
even
imen
telo
r. De
finiți
a cl
asic
ă a
prob
abili
tății
.Ev
enim
ente
ale
atoa
re. O
pera
ții cu
eve
nim
ente
ale
atoa
re.
Even
imen
te a
leat
oare
inde
pend
ente
. Ap
licaț
ii al
e pr
obab
ilită
ții.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
13 1 2 2 2 2 1 1 1 1
Sem
. II
57
I II III IV V VI VII
5.1,
5.2
, 5.3
5.2,
5.3
, 5.4
, 5.5
, 5.6
, 5.8
5.1,
5.2
, 5.3
5.2,
5.3
, 5.4
, 5.5
, 5.6
, 5.8
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.7
5.3,
5.4
, 5.5
, 5.6
, 5.8
5.1,
5.2
, 5.3
, 5.4
5.3,
5.4
, 5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.5,
5.6
, 5.7
, 5.8
5.4,
5.5
, 5.6
, 5.7
, 5.8
5.1
– 5.
85.
1 –
5.8,
4.1
– 4
.85.
1 –
5.8
5.1
– 5.
8
V. 73 74-7
5
76-7
778
-80
81-8
283
-84
85-8
687
-88
89-9
091
-92
93 94 95 96
Corp
uri d
e ro
tație
Cilin
drul
circ
ular
dre
pt. E
lem
ente
.Se
cțiu
ni p
aral
ele
cu b
aza.
Sec
țiuni
axi
ale.
Sec
țiuni
par
a-le
le c
u ax
a.Ar
ii. V
olum
.Co
nul c
ircul
ar d
rept
. Ele
men
te. S
ecțiu
ni p
aral
ele
cu b
aza.
Se
cțiu
ni a
xial
e.Ar
ii. V
olum
.Tr
unch
iul d
e co
n ci
rcul
ar d
rept
. Ele
men
te. S
ecțiu
ni p
ara-
lele
cu
baza
. Sec
țiuni
axi
ale.
Sec
țiuni
par
alel
e cu
axa
.Ar
ii. V
olum
.Sf
era.
Ele
men
te (c
entr
u, r
ază,
dia
met
ru).
Aria
sup
rafe
ței
sfer
ice.
Co
rpul
sfer
ic. V
olum
ul c
orpu
lui s
feric
.Se
cțiu
nea
supr
afeț
ei c
onic
e cu
un
plan
. Apl
icaț
ii al
e co
r-pu
rilor
de
rota
ție.
Ora
de
sinte
ză.
Ora
de
sinte
ză in
tegr
ativă
.Ev
alua
re su
mati
vă.
Anal
iza e
valu
ării
sum
ative
.
24 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
Sem
. II
1.1
– 5.
897
-99
Reca
pitu
lare
3Se
m. I
I
3.2.
2. P
roie
ctar
ea p
e un
ități
de în
văța
reCa
pito
lul/m
odul
ul p
reze
ntat
în m
anua
l poa
te fi
con
sider
at c
a un
itate
de
învă
țare
. Pro
iect
area
pe
unita
te d
e în
văța
re p
oate
fi re
a-liz
ată
conf
orm
mod
elul
ui d
e m
ai jo
s. În
ace
st ta
bel s
e va
pre
zent
a se
para
t fiec
are
lecț
ie d
in m
odul
ul/c
apito
lul r
espe
ctiv.
58
Clas
a a
XI-a
, pro
filul
real
. Uni
tate
a de
învă
țare
I. Ş
iruri
de n
umer
e re
ale
(13
ore)
Indi
cato
rii
Nr.
crt.
Subi
ectu
l lec
ției
Tipu
l le
cție
i
Tehn
olog
ii di
dacti
ceAc
tivită
ți de
învă
țare
Recapitulare
Eva luare
CSU
C
Forme
Metode
Resurse
În clasă
Acasă
Integrative
13 o
reI.
Şiru
ri de
num
ere
real
e.
I II III IV VI VII
1.1,
1.2,
1.3
, 1.4
1N
oțiu
nea
şir d
e nu
mer
e re
ale.
Cl
asifi
cări
I
1.1,
1.2,
1.3
, 1.4
2Cl
asifi
care
a șir
urilo
rII
1.2,
1.3,
1.4
,1.5
, 1.6
, 1.
73
Prog
resia
arit
meti
că. P
ropr
ie-
tăți.
Apl
icaț
ii I
1.2,
1.31
.4,1
.5, 1
.6,
1.7
4Pr
ogre
sia a
ritm
etică
. Pro
prie
-tă
ți. A
plic
ații
II
1.2,
1.3,
1.4
,1.5
, 1.6
, 1.
75
Prog
resia
geo
met
rică.
Pro
prie
-tă
ți. A
plic
ații
I
1.2,
1.3,
1.4
,1.5
, 1.6
, 1.
76
Prog
resia
geo
met
rică.
Pro
prie
-tă
ți. A
plic
ații
III
59
1.1,
1.2,
1.4
, 1.5
7Li
mita
unu
i șir.
Defi
niția
în
limba
jul v
ecin
ătăț
ilor,
limba
jul
I
1.1,
1.2,
1.4
, 1.5
8Li
mita
unu
i șir.
Defi
niția
în
limba
jul v
ecin
ătăț
ilor,
limba
jul
II
1.1,
1.2,
1.3
, 1.4
9N
oțiu
nea
șir c
onve
rgen
tLe
cție
mix
tă
1.1,
1.2,
1.3
, 1.4
10N
oțiu
nea
șir d
iver
gent
Lecț
iem
ixtă
1.1
-1.7
11O
ră d
e sin
teză
IV
1.1
-1.7
12O
ră d
e sin
teză
inte
grati
vă
IV
1.1
-1.7
13Ev
alua
re su
mati
văV
60
Note: 1. Profesorul este în drept să elaboreze fie proiectarea tematico-calendaristică, fie
proiectarea pe unitate de învăţare la disciplina de studiu.2. Proiectarea pe unitate de învățare se elaborează în cazul funcționării unui manu-
al stabil la disciplina respectivă și poate fi valabilă pe parcursul întregii perioade de funcționare a acestui manual. Proiectarea pe unitate de învățare, în fond, re-prezintă miniproiecte de perspectivă ale lecțiilor.
3. Proiectarea pe unitate de învățare nu substituie proiectul didactic al lecției, de-oarece în această proiectare lipsesc obiectivele preconizate pentru a fi atinse în cadrul lecțiilor.
61
4. Lecția de Matematică și specificul ei
4.1. Cerințele față de o lecție modernă de matematicăIndiferent de tip, lecția de matematică, pentru a fi o lecție modernă și adecvată în-
vățământului formativ, trebuie să corespundă următoarelor caracteristici: – să fie axată pe obiective și, în final, pe formarea competențelor; – să fie centrată pe elevi: activitatea profesorului în cadrul lecției constituie, de
regulă, 30%, iar activitatea elevilor – 70% din timpul ei; – să reflecte o materie de studiu rațional, selectată de către profesor; – să fie axată pe metode optime de predare – învățare – evaluare, corelate cu mij-
loace eficiente de învățământ; – să fie axată pe parteneriat de tipul profesor – elev, elev – elev, elev – profesor; – să fie fundamentată pe realizarea triadelor:
a) cunoștințe-capacități/deprinderi-atitudini;b) predare – învățare – evaluare;
– să fie bazată pe diversitatea formelor, metodelor și tehnicilor de evaluare aplica-te în cadrul lecției;
– să fie interesantă și motivantă pentru elevi!
4.2. Clasificări ale tipurilor de lecții de matematicăDin perspectiva formării competențelor, considerăm acceptabile pentru învățămân-
tul liceal utilizarea clasificărilor tipurilor de lecții la matematică conform:A. Criteriului competenței, criteriu care solicită angajarea unor priorităţi metodolo-
gice evidente la nivelul valorilor cognitive dobândite în cadrul lecţiei.Clasificarea tipurilor de lecții conform criteriului competenței:
• „lecţie de formare a capacităţilor de dobândire a cunoştinţelor” (vizează prioritar formarea capacităților de dobândire a cunoștințelor);
• „lecţie de formare a capacităţilor de înţelegere a cunoştinţelor” (vizează prioritar formarea capacităților de înțelegere a cunoștințelor dobândite anterior);
• „lecţie de formare a capacităţilor de aplicare a cunoştinţelor” (vizează prioritar formarea capacităților de aplicare a cunoștințelor dobândite și înțelese anterior);
• „lecţie de formare a capacităţilor de analiză-sinteză a cunoştinţelor” (vizează pri-oritar formarea capacităților de analiză-sinteză a cunoștințelor dobândite, înțe-lese și aplicate anterior);
62
• „lecţie de formare a capacităţilor de evaluare a cunoştinţelor” (vizează prioritar formarea capacităților de evaluare critică a cunoștințelor dobândite, înțelese, aplicate și interpretate analitico-sintetic anterior).
Această clasificare a lecțiilor este valabilă pentru secvențe didactice extinse, de exemplu, în cadrul unei unități de învățare, al unui modul de studiu, al unui capitol.
Practica proiectării și dezvoltării curriculare a activității didactice confirmă impor-tanța lecţiei combinate (mixte), lecție centrată prioritar pe realizarea interdependenței obiective – conținuturi – metodologie – evaluare și a corelațiilor pedagogice profesor – elev, elev – elev, elev – profesor. Însă, din perspectiva formării competențelor, lecţia combinată (mixtă) trebuie să dispară din practica educațională.
Fiecare dintre cele cinci tipuri de lecții și lecția combinată (mixtă) cuprind un ansam-blu de secvențe – componentele structurale ale lecției. Vom utiliza Modelul secvențial de structurare a lecțiilor de matematică.
I. Lecția de formare a capacităților de dobândire a cunoştințelorSecvențele lecției:
1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă; reactualizarea cunoștințelor și a capacități-
lor;3. predarea – învățarea materiei noi;4. consolidarea materiei și formarea capacităților (la nivel de reproducere);5. evaluarea (curentă, instructivă, fără aprecieri cu note);6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.
II. Lecția de formare a capacităților de înțelegere a cunoştințelorSecvențele lecției:
1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă;3. reactualizarea cunoștințelor și a capacităților;4. consolidarea materiei și formarea capacităților:
a) la nivel de reproducere;b) la nivel productiv.
5. evaluarea (curentă, instructivă, fără aprecieri cu note);6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.
63
III. Lecția de formare a capacităților de aplicare a cunoştințelorSecvențele lecției:
1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă;3. reactualizarea cunoștințelor și a capacităților;4. consolidarea materiei și formarea capacităților:
a) la nivel productiv;b) la nivel de transferuri în alte domenii;
5. evaluarea (formativă de tip sumativ, cu aprecieri cu note);6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.
IV. Lecția de formare a capacităților de analiză-sinteză a cunoştințelorSecvențele lecției:
1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă;3. analiza-sinteza materiei teoretice studiate (sistematizarea, clasificarea, gene-
ralizarea);4. analiza-sinteza metodelor de rezolvare studiate:
a) la nivel productiv, cu transferuri în alte domenii;b) la nivel creativ;
5. evaluarea (formativă de tip sumativ, cu aprecieri cu note);6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.
V. Lecția de formare a capacităților de evaluare a cunoştințelorSecvențele lecției:1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. instrucțiuni privind realizarea lucrării de evaluare;3. realizarea lucrării de evaluare (testul, lucrarea practică, lucrarea de laborator,
proiectul, autoevaluarea etc.);4. bilanțul lecției; concluzii; 5. anunțarea temei pentru acasă. Lecțiile I-V formează sistemul de lecții clasificat conform criteriului competenței. La necesitate, profesorul poate realiza și lecții combinate (mixte). * Lecția mixtă se structurează astfel:Secvențele lecției:
1. organizarea clasei (moment organizatoric);2. verificarea temei pentru acasă; reactualizarea cunoștințelor și a capacităților;
64
3. predarea – învățarea materiei noi;4. consolidarea materiei și formarea capacităților:
a) la nivel de reproducere;b) la nivel productiv, cu unele transferuri în alte domenii;
5. evaluarea: a) curentă, fără aprecieri cu note pentru materia nouă;b) sumativă, cu aprecieri cu note pentru materia studiată anterior;
6. bilanțul lecției; 7. anunțarea temei pentru acasă.
Observații: 1. În structura lecției, secvențele „Bilanțul lecției” și „Anunțarea temei pentru aca-
să” pot fi, la dorință, schimbate cu locurile între ele.2. În funcție de necesitate, verificarea temei pentru acasă poate fi: a) cantitativă și
b) calitativă.Sunt aplicabile următoarele procedee de verificare a temei pentru acasă: •• realizarea unei lucrări de sine stătător, pe cinci-şapte minute, cu probleme simila-
re celor propuse pentru rezolvare acasă;•• realizarea unei lucrări de sine stătător, pe cinci-şapte minute, cu aceleaşi proble-
me care au fost propuse pentru rezolvare acasă;•• discutarea numai a răspunsurilor la problemele rezolvate acasă;•• discutarea răspunsurilor la întrebarea: Aveți întrebări la tema pentru acasă?;•• analiza colectivă (frontală) a rezolvărilor problemelor semnificative din tema pen-
tru acasă;•• schimbul caietelor;•• analiza metodelor aplicate în cadrul rezolvării exerciţiilor şi problemelor date pen-
tru acasă;•• verificarea reciprocă etc.
3. În cadrul secvenței Reactualizarea cunoştinţelor şi a capacităţilor prin intermediul unui sistem de întrebări și răspunsuri, elevii realizează o trecere organică la studierea materiei noi sau la consolidarea materiei studiate la lecțiile precedente.
4. Predarea – învățarea materiei noi se face prin metode optimale pentru clasa re-spectivă și, de regulă, prin crearea situației-problemă, fiind o continuare logică a activi-tăților de la secvența precedentă.
5. Consolidarea materiei şi formarea capacităţilor pe parcursul realizării acestui sis-tem de lecții se efectuează pe următoarele niveluri (vezi structurile tipurilor de lecții de mai sus):
65
a) nivelul reproductiv;b) nivelul productiv;c) transferuri în alte domenii;d) nivelul creativ.Aceste niveluri sunt corelate cu cele patru categorii de obiective (transdisciplinare)
realizabile în cadrul lecției. 6. Evaluarea cu note a rezultatelor școlare ale elevilor se va efectua, de regulă, în ca-
drul lecțiilor de tipurile III-IV-V și la lecția mixtă (vezi structurile acestor tipuri de lecții).7. Bilanţul lecţiei va conține: a) aspectul cantitativ și b) aspectul calitativ. Prin aspec-
tul cantitativ se efectuează o sinteză a materiei studiate în cadrul lecției (de regulă, prin intermediul conversației, care include trei-patru întrebări de sinteză). În cadrul aspec-tului calitativ se deduc concluziile privind atingerea obiectivelor lecției și se evaluează activitățile, în ansamblu, ale elevilor la lecție și ale unor elevi, în particular.
8. La prezentarea temei pentru acasă, profesorul va ține cont de faptul că în agenda elevului sau pe caietul acestuia trebuie să fie prezente răspunsuri concrete la următoa-rele întrebări:
1. Ce trebuie de învăţat?2. Ce trebuie de recapitulat?3. Ce trebuie de rezolvat? Observație. La prezentarea temei pentru acasă, profesorul va da și unele explicații
succinte privind rezolvările posibile ale problemelor propuse. Important! Profesorul va respecta cerinţa referitoare la volumul temei pentru acasă
la matematică: sarcinile date pentru acasă nu trebuie să constituie mai mult de 30% din numărul celor rezolvate în cadrul lecției.
Profesorul de matematică are dreptul să utilizeze și alte modalități de structurare a lecției. De exemplu, lecția de matematică poate fi structurată și utilizând:
• Cadrul ERRE, care include secvențele: 1. Evocarea2. Realizarea sensului3. Reflecţia4. Extinderea.
Corelarea dintre Modelul secvențial și Modelul Cadrul ERRE se reprezintă astfel: I. Evocare:
• salutul; momentul organizatoric; captarea inițială a atenției elevilor; • formularea obiectivelor (în corelare cu tipul lecției); • verificarea temei pentru acasă; • reactualizarea cunoștințelor și a capacităților.
66
II. Realizarea sensului (această secvență este prezentă doar atunci când va fi studi-ată materia nouă în cadrul lecției):
• Predarea – învățarea materiei noi (doar în cazul studierii materiei noi);III. Reflecție: • consolidarea materiei și formarea capacităților; • aplicații; • evaluarea atingerii obiectivelor preconizate; • bilanțul lecției; concluzii; • *tema pentru acasă (în cazul lipsei secvenței Extinderea).
IV. Extindere/extensie: • aplicații extinse; conexiuni intra- și interdisciplinare; realizarea proiectelor,
investigațiilor etc.; • prezentarea temei pentru acasă.
Atenție! În funcție de tipul lecției, unele dintre aceste secvențe sunt lipsă. Este im-portant să utilizăm corect Cadrul ERRE pentru structurarea lecției. [25 ]
Un model funcțional și eficient de structurare a lecției poate fi:modelul celor 5E, care include secvențele:1. Angajarea (Engage)2. Explorarea (Exploration)3. Explicarea (Explain)4. Elaborarea (Elaborate)5. Evaluarea (Evaluate). [25]Atenție! În funcție de tipul lecției, unele dintre aceste secvențe sunt lipsă.Detalii despre aplicarea acestor modele și a altor modele posibile de structurare a
lecțiilor de matematică sunt prezentate în [25].
B. Modul (forma) de organizare și desfășurare a lecției.Procesul educațional modern se axează pe o nouă paradigmă didactică, numită
structural-cognitivă în bază de competențe, fundamentată pe aplicarea unor modali-tăți de selectare și organizare a obiectivelor și a conținuturilor conform principiului „nu mult, ci bine”; important este nu doar ce anume, dar cât de bine, când și de ce se învață, la ce va servi mai târziu ceea ce s-a învățat la școală. Sensul major al referințelor actuale în predarea – învățarea – evaluarea matematicii constă în deplasarea accentului de pe predarea informațiilor pe formarea de capacități mintale, abilități, atitudini și valori prin intermediul unor cunoștințe funcționale, adică pe formarea de competențe.
Astfel, accentul se deplasează de pe transmiterea informației de către profesor pe dobândirea cunoștințelor de către elevi, pe formarea și dezvoltarea capacităților și a
67
atitudinilor și, în final, pe formarea de competențe, fiind ghidați de către profesor în aceste activități.
În acest context, este eficientă realizarea unui sistem de predare – învățare – evalu-are pe module la matematică în învățământul liceal. Un modul poate să reprezinte unul, mai multe capitole ale manualului respectiv de matematică sau compartimente ale ma-tematicii (de exemplu, modulul Algebra, modulul Geometria în plan, modulul Geome-tria în spaţiu, modulul Analiza matematică, modulul Combinatorica, modulul Elemente de statistică matematică etc.), determinate de către curriculumul școlar la matematică.
În prisma proiectării didactice modulare la matematică, propunem următorul sistem de lecții, clasificare realizată în baza modului (formei) de organizare a activităților în cadrul lecției:
• Lecție-prelegere. • Lecție-seminar aplicativ (rezolvare de exerciții, probleme, situații simple). • Lecție-seminar de reluare și aprofundare. • Lecție-practicum (rezolvări de exerciții, probleme situații mai complicate, non-
standarde; lucrări de laborator, practice sau grafice; excursii didactice; lecții inte-grative (de exemplu, lecție mixtă de fizică și chimie, istorie și geografie, matema-tică și literatura română, matematică și arta plastică etc.)).
• Lecție-sinteză (ora de sinteză, ora de sinteză integrativă). • Lecție-evaluare (testare, colocviu, proba de evaluare, susținerea proiectelor, in-
clusiv a proiectelor STEM/STEAM, investigația etc.).
4.3. Metodologia elaborării unui proiect didactic la matematicăElaborarea proiectului didactic se fundamentează pe următorul algoritm:Profesor __________________________________________________________Disciplina de învățământ _____________________________________________Clasa _____________________________________________________________Data ______________________________________________________________Numărul lecției în sistemul de lecții (conform proiectării de lungă durată) (De exem-
plu, 3/28, adică este lecția a III-a din sistemul de lecții la capitolul/modulul/unitatea de învățare și lecția a 28-a din sistemul general de lecții la clasa respectivă)
Numărul lecției conform orarului _______________________________________Durata lecției _______________________________________________________Capitolul/Modulul/Unitatea de învățare _________________________________Subiectul lecției _____________________________________________________Unitățile de competență ______________________________________________
68
Obiectivele lecției: La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 _________________________________________________________________O2 _________________________________________________________________O3 _____________________________________________________________ etc.Tipul lecției _________________________________________________________Tehnologii didactice:
• Forme ______________________________________________________________• Metode _____________________________________________________________• Mijloace de învățământ ________________________________________________
Evaluarea: a) Tipul evaluării ___________________________________________b) Forme, metode, tehnici de evaluare, produse ___________________________
Scenariul lecției:Notă. Scenariul lecției poate fi prezentat atât în formă tabelară, cât și în formă tex-
tuală.Tabelul poate fi structurat în diverse moduri: a)
Nr.crt.
Secvențelelecției Timp Obiectivele
lecțieiActivitatea
profesoruluiActivitatea
elevuluiEvaluarea
(de proces)
1.2.
etc.
b)
Nr.crt.
Secvențelelecției Timp Obiectivele
lecțieiStrategiadidactică
Metode, procedee
Evaluarea(de proces)
1.2.
etc.
Notă. În cazul prezentării textuale, scenariul se prezintă în formă de text, evidențiind secvențele structurale ale lecției și activitățile preconizate în cadrul acestor secvențe. Se va indica asupra cărora dintre obiective se va lucra la secvența respectivă și cât timp se preconizează pentru această secvență.
4.4. Exemple de proiecte didactice la MatematicăÎn continuare propunem exemple de proiecte didactice la Matematică pentru lecții
de diferite tipuri.
69
Proiect didactic al lecției de matematicăProfesor: Laşcu AlionaDisciplina de învățământ: MatematicăClasa: a XI-aData: Numărul lecţiei în modul: 10/16 Durata lecţiei: 45 min.Capitolul: Șiruri de numere realeSubiectul lecţiei: Progresia aritmetică. Progresia geometrică. AplicațiiUnităţi de competenţă:1.1. Recunoaşterea șirurilor, progresiilor aritmetice, progresiilor geometrice în con-
texte diverse.1.2. Identificarea şi utilizarea terminologiei și notațiilor specifice șirurilor și progre-
siilor în diverse situații.1.6. Utilizarea șirurilor, progresiilor în diverse domenii.Obiectivele lecţiei:La finele lecției, elevii vor fi capabili:O1 – să identifice şi să utilizeze terminologia şi notaţiile specifice şirurilor şi progresi-
ilor în diverse situaţii;O2 – să recunoască o progresie aritmetică, o progresie geometrică în enunţul dat;O3 – să determine raţia unei progresii aritmetice, a unei progresii geometrice date
sau identificate;O4 – să utilizeze progresiile aritmetice, geometrice în contextele propuse, inclusiv în
rezolvarea problemelor din diverse domenii;O5 – să formeze obişnuinţa de a recurge la concepte şi metode matematice în abor-
darea unor situaţii cotidiene şi pentru rezolvarea unor probleme interdisciplinare.
Tipul lecţiei: Lecție de formare a capacităților de aplicare a cunoștințelor.Tehnologii didactice:1. Forme:
• frontală; • în perechi; • în grup; • individuală.
2. Metode: • conversația; • metoda exercițiului; • argumentarea; • algoritmizarea.
70
Mijloace de învăţământ:• I. Achiri, V. Neagu, V. Ciobanu, P. Efros, V. Garit, N. Prodan, D. Taragan, A. Topală.
Matematică. Manual pentru clasa a XI-a. Ed. Prut Internațional. Chișinău, 2014;• prezentarea în PPT (conține: subiectul lecției, obiectivele, sarcinile, tema pentru
acasă);• computerul;• proiectorul sau tabla interactivă;• fișe.Evaluarea: formativă, evaluare orală și în scris, reciprocă; produse – răspunsuri orale
și în scris, probleme rezolvate, algoritmi aplicați, poster, argumentări (aprecieri cu note).
71
Scen
ariu
l lec
ției
Nr.
Secv
ențe
lele
cție
iTi
m-
pul
Obi
ec-
tivel
eAc
tivita
tea
prof
esor
ului
Activ
itate
ael
evilo
rEv
alua
rea
1.2.
3.4.
5.6.
7.
Mom
ent o
r-ga
niza
toric
1 m
in.
Salu
tare
a.Ve
rifica
rea
preg
ătirii
ele
vilo
r de
lecț
ie
Salu
tăpr
ofes
orul
Vizu
al
Verifi
care
a te
mei
pen
-tr
u ac
asă
2 m
in.
- Car
e a
fost
tem
a pe
ntru
aca
să?
De
învă
țat:
p. 1
7 -1
9 , M
odul
ul I,
§2
. Pun
ctul
2.2
.D
e re
zolv
at: p
. 21,
ex.
15(b
), 19
(b),
20
La p
anou
l de
anu
nțur
i,el
evul
re
spon
sabi
l afiș
ează
tem
a pe
ntru
acas
ă și
elev
iise
aut
over
ifică
- Ce
într
ebăr
i sun
t la
tem
a pe
ntru
ac
asă?
Dacă
est
e ca
zul,
elev
ii fo
rmul
ează
în-
treb
ări.
Reac
tual
iza-
rea
cuno
ș-tin
țelo
r și a
ca
paci
tățil
or
12
min
.Se
anu
nță
subi
ectu
l și o
biec
tivel
e le
cție
i; se
pro
iect
ează
pe
ecra
n pr
ezen
tare
a PP
T (s
e pr
oiec
teaz
ă pe
ec
ran
Slid
e 1)
Elev
ii de
schi
d ca
iete
le și
not
ează
dat
a,
„Tem
a în
cla
să“
și su
biec
tul l
ecție
i: Pr
ogre
sia
aritm
etică
. Pro
gres
ia g
eo-
met
rică.
Apl
icaț
ii.
O1
O2
O3
O4
O5
Activ
itate
în g
rup
de p
atru
per
-so
ane
(se
grup
ează
ele
vii d
in d
ouă
bănc
i vec
ine)
Recu
noaș
teți
form
ulel
e pe
ntru
pro
-gr
esiil
e ar
itmeti
ce și
geo
met
rice.
Elev
ii pr
imes
c fiș
e au
toco
lant
e cu
păr
ți di
n fo
rmul
ele
term
enul
ui g
ener
al și
su
ma
prim
ilor n
term
eni a
i une
i pro
-gr
esii
aritm
etice
, pro
gres
ii ge
omet
rice.
Pe
un
post
er, e
levi
i, în
baz
a fiș
elor
pe
care
le-a
u pr
imit,
vor
recu
noaș
te u
na
dint
re fo
rmul
ele
pent
ru p
rogr
esiil
e ar
it-m
etică
și g
eom
etric
ă, v
or a
ranj
a fiș
ele
și vo
r com
plet
a cu
sem
nele
=, +
,- „p
en-
tru
a ob
ține
form
ulel
e re
spec
tive:
1. G
rupu
l I: b
n = b
1 · q
n-1
2. G
rupu
l II:
a n = a
1 + r
(n-1
);
Răsp
unsu
ri or
ale
și în
scris
.Po
ster
e el
abor
ate.
72
3. G
rupu
l III:
Sa
nr n
n�
��
��
21
2
1;
4. G
rupu
l IV:
Sa
an
nn
��
1
2;
5. G
rupu
l V: S
bbq q
nn
�� �
1 1;
6. G
rupu
l VI: S
bq q
n
n
��
� ��
�1
1 1To
ate
răsp
unsu
rile
vor fi
afiș
ate
pe ta
-bl
a m
agne
tică
cu c
omen
tare
a ră
spun
-su
lui,
la lo
c vi
zibil,
pen
tru
a fi
utiliz
ate
pe p
arcu
rsul
lecț
iei.
O1
O2
O3
O4
Activ
itate
fron
tală
(Se
proi
ecte
ază
pe e
cran
Slid
e 2)
Dete
rmin
ați d
acă
șirul
dat
est
e o
prog
resie
arit
meti
că sa
u o
pro-
gres
ie g
eom
etric
ă. A
rgum
enta
ți ră
spun
sul.
1. 1
; 3; 5
; 7; .
..; 9
92.
4; 8
; 12;
.....
.....;
240
3.
1; 2
; 4; 8
; ...;
102
4
4. -4
; −4 3
; −4 9
; −4 27
; ...
Elev
ii ră
spun
d or
al și
arg
umen
teaz
ăRă
spun
suri
oral
e.Ar
gum
entă
ri.
O1,
O2, O3
Activ
itate
în p
erec
hiPe
ntru
șiru
rile
ante
rioar
e,
dete
rmin
ați f
orm
ula
term
enul
ui
gene
ral ș
i cal
cula
ți te
rmen
ul a
l op
tule
a.
Elev
ii di
scut
ă în
per
echi
și în
depl
ines
c sa
rcin
a.De
la fi
ecar
e pe
rech
e se
cer
e un
răs-
puns
, un
elev
not
ează
pe
tabl
ă ră
s-pu
nsur
ile e
levi
lor (
lâng
ă fie
care
șir s
e no
teaz
ă fo
rmul
a și
term
enul
cer
ut):
Răsp
unsu
ri or
ale.
73
1. a
nn
an�
��
���
��
12
12
115
8,
2. a
nnb
n�
��
���
�44
14
32
8,
3. b
bn
n�
��
2128
1
8,
4. b
bn
n
���� ��
� ����
�
41 3
4
2187
1
8,
Activ
itate
fron
tală
Pent
ru și
ruril
e an
terio
are,
de
term
inaț
i sum
a tu
turo
r ter
men
i-lo
r șiru
lui.
Câte
un
repr
ezen
tant
al fi
ecăr
ui râ
nd
rezo
lvă
la ta
blă,
cei
lalți
ele
vi re
zolv
ă în
ca
iet:
Rând
ul I
– șir
ul I:
Sn=
250
0.Râ
ndul
al I
I-lea
– și
rul a
l II-l
ea: S
n= 7
320
Rând
ul a
l III-
lea
– șir
ul a
l III-
lea:
Sn=
204
7
Prob
lem
e re
zol-
vate
.
Cons
olid
a-re
a m
ater
iei
și fo
rmar
ea
capa
cită
ților
13
min
O4, O5
Activ
itate
fron
tală
(Se
proi
ecte
ază
pe e
cran
Slid
e 3)
Se p
ropu
ne sp
re a
naliz
ă ur
măt
oa-
rea
situa
ție d
in a
ctivi
tate
a co
tidi-
ană,
tran
spun
erea
ei î
n lim
baju
l șir
urilo
r și r
ezol
vare
a pr
oble
mei
ob
ținut
e:Pe
tru
este
stud
ent l
a o
univ
ersit
ate
din
capi
tală
şi v
rea
să se
ang
ajez
e la
o c
ompa
nie
pent
ru p
art-ti
me.
Co
mpa
nia
prop
une
2 fo
rmul
e de
sa
lariz
are:
Form
ula
1: S
alar
iul a
nual
în p
rimul
an
de
anga
jare
est
e de
230
00 d
e le
i, ia
r la
înce
putu
l fiec
ărui
urm
ător
an
de
anga
jare
(înc
epân
d cu
al
doile
a), s
alar
iul a
nual
se m
ăreş
te c
u 50
0 de
lei.
Răsp
unsu
ri or
ale
și în
scris
.
74
Form
ula
2: S
alar
iul a
nual
iniţi
al
este
de
21 0
00 d
e le
i, ia
r la
înce
pu-
tul fi
ecăr
ui u
rmăt
or a
n de
ang
ajar
e (în
cepâ
nd c
u al
doi
lea)
, sal
ariu
l an
ual s
e m
ăreş
te c
u 4%
.Ce
sala
riu v
a av
ea P
etru
la fi
nele
ce
lui d
e-al
8-le
a an
de
anga
jare
, da
că e
l va
răm
âne
la a
cest
job
şi du
pă st
udiil
e sa
le u
nive
rsita
re?
Care
form
ulă
este
mai
con
vena
bilă
?
Adre
seaz
ă în
treb
ări a
jută
toar
e:1.
Scr
ieți
term
enii
șirul
ui, c
are
re-
prez
intă
sala
riul p
entr
u pr
imii
pa-
tru
ani,
cu a
mbe
le fo
rmul
e.
Elev
ii di
scut
ă, a
naliz
ează
, răs
pund
la
într
ebăr
ile a
jută
toar
e, u
n el
ev n
otea
-ză
răsp
unsu
rile
pe ta
blă,
cei
lalți
– în
ca
iete
.Fo
rmul
a 1:
Ter
men
ii șir
ului
sunt
:a 1
= 23
000;
a 2 =
230
00 +
500
= 2
3500
; a 3 =
235
00 +
500
= 2
4000
; a 4 =
240
00 +
500
= 2
4500
.Fo
rmul
a 2:
Ter
men
ii șir
ului
sunt
:a 1 =
230
00;
a 2 = 2
3000
+ 0
,04
2300
0 =
1,04
230
00;
a 3 = 1
,04
· 230
00 +
0,0
4 · 1
,04
· 230
00 =
=
1,04
2300
0 (1
+ 0
,04)
= 1
,042 ·
2300
0;
a 4 = 1
,042 ·
2300
0 +
0,04
· 1,
042 ·
2300
0 =
= 1,
042 ·
2300
0 (1
+0,0
4) =
1,0
43 · 23
000.
1. C
e pu
teți
spun
e de
spre
șiru
rile
date
? Ar
gum
enta
ți ră
spun
sul.
Form
ula
1: Ș
irul r
epre
zintă
o p
rogr
esie
ar
itmeti
că c
u a 1=
2300
0 și
r = 5
00.
Form
ula
2: Ș
irul r
epre
zintă
o p
rogr
esie
ge
omet
rică
cu b
1= 23
000
și q
=1,0
4.
75
2. D
eter
min
ați f
orm
ulel
e te
rmen
ului
ge
nera
l pen
tru
fieca
re p
rogr
esie
.Fo
rmul
a 1:
an =
230
00 +
500
(n-1
) Fo
rmul
a 2
: bn =
230
00 ·
1,04
n-1
3. C
e tr
ebui
e să
află
m p
entr
u a
răs-
pund
e la
într
ebar
ea p
robl
emei
?Te
rmen
ul a
l opt
ulea
.Fo
rmul
a 1:
a8 =
230
00 +
500
· 7
= 26
500
Form
ula
2: b
8 = 2
3000
· 1,
048-
1 = 30
266,
43.
4. C
are
form
ulă
este
mai
conv
enab
ilă?
Mai
con
vena
bilă
est
e fo
rmul
a 2.
Activ
itate
în p
erec
hi(P
erec
hile
se fo
rmea
ză d
in d
oi c
o-le
gi d
e ba
ncă.
Se
proi
ecte
ază
pe
ecra
n Sl
ide
4.Pr
oble
ma
va fi
rezo
lvat
ă co
nfor
m
plan
ului
:1.
Scr
ieți
prim
ii pa
tru
term
eni a
i șir
ului
car
e m
odel
ează
pro
blem
a da
tă.
2. C
e fe
l de
prog
resii
repr
ezin
tă
șirur
ile o
bțin
ute?
3. D
eter
min
ați f
orm
ula
term
enul
ui
gene
ral/s
umei
prim
ilor n
term
eni
(în fu
ncție
de
într
ebar
ea p
robl
e-m
ei).
4. R
ezol
vați
și ră
spun
deți
la în
tre-
bare
a pr
oble
mei
.
Disc
ută
în p
erec
hi.
Prob
lem
e re
zol-
vate
.
Se p
ropu
ne sp
re a
naliz
ă, m
odel
are
mat
emati
că o
pro
blem
ă di
n bi
o-lo
gie,
pen
tru
a că
rei r
ezol
vare
se
utiliz
ează
pro
gres
iile:
Esch
eric
hia
coli,
cun
oscu
tă su
b nu
mel
e co
libac
ille
sau
E. c
oli,
este
o
bact
erie
inte
stina
lă d
es în
tâln
ită
la m
amife
re, d
eci ş
i la
oam
eni.
Disc
ută
în p
erec
hi, r
ăspu
nd la
într
e-bă
rile
proi
ecta
te p
e ec
ran
și re
zolv
ă pr
oble
mel
e pr
opus
e.1
20min
��
��
2
20min
��
��
420min
��
��
8
20min
��
��
……
?
76
Porn
ind
cu o
cel
ulă,
ace
asta
va
da
naşt
ere
la d
ouă
celu
le-fi
ice
care
, la
rând
ul lo
r, vo
r da
naşt
ere
la a
lte
două
cel
ule
etc.
Tim
pul n
eces
ar
dubl
ării
num
ărul
ui d
e ce
lule
est
e de
20
de m
inut
e pe
ntru
Esc
heric
hia
coli.
Por
nind
de
la o
cel
ulă,
cât
e ce
lule
vor
fi p
este
24
de o
re?
Șiru
l rep
rezin
tă o
pro
gres
ie
geom
etric
ă cu
b1=
1 și
q =
2.
b n= b
1· qn-
1 = 1
· 2n-
1
1 or
ă =
60 m
in.
3 în
jum
ătăț
iri24
de
ore
……
……
72 d
e în
jum
ătăț
iriDe
ci, n
= 7
3.b 73
= b
1 · q
73-1 =
1 ·
273-1=
272
cel
ule.
(Se
proi
ecte
ază
pe e
cran
Slid
e 5)
Un
negu
stor
are
16
cupe
de
argi
nt.
Gre
utat
ea fi
ecăr
ei u
rmăt
oare
cup
e cr
eşte
cu
30 g
faţă
de
prec
eden
ta.
Cât c
ântă
reşt
e ce
a m
ai u
şoar
ă cu
pă d
in c
olec
ţia n
egus
toru
lui?
Cât
câ
ntăr
eşte
toat
ă co
lecţ
ia d
e cu
pe a
ne
gust
orul
ui d
acă
ultim
a (c
ea m
ai
grea
) cân
tăre
şte
500
g?
Term
enii
șirul
ui su
nt :
500
g; 4
70 g
; 44
0 g;
410
g; …
..Și
rul r
epre
zintă
o p
rogr
esie
arit
met
ică
cu a
1= 50
0, r
= -3
0 și
a n = 5
00 –
30(
n -
1).
a 16 =
500
– 4
50 =
50
g.S 16
= 40
00 g
r = 4
kg.
6 m
inAc
tivita
te în
gru
puri
de p
atru
per
-so
ane
(se
grup
ează
ele
vii d
in d
ouă
bănc
i vec
ine)
.El
evii
prim
esc
câte
un
post
er c
u o
prob
lem
ă pr
opus
ă sp
re re
zolv
are.
Disc
ută
și sc
riu re
zolv
ările
pe
post
ere.
Eval
uare
reci
proc
ă în
tre
grup
uri
(sch
imb
de p
oste
re
și ve
rifica
re)
Gru
puril
e 1
şi 5
Iod1
31 (
131 I )
est
e un
ato
m ra
dio-
activ
, a c
ărui
per
ioad
ă de
dez
inte
-gr
are
radi
oacti
vă (d
e în
jum
ătăț
ire)
este
de
T =
8 zil
e.
Ce c
antit
ate
de Io
d 13
1 a
fost
cu
1
000
de zi
le în
urm
ă, d
acă
acum
a
răm
as 1
g d
e Io
d 13
1?
xgzile
8
1 2�
���
xgxg
zile
8
1 4�
���
xgxg
zile
8
1 8�
���
88
1zile
zile
g�
���
��
��
...
1000
: 8
= 12
5 or
i s-a
pro
dus
înju
măt
ățire
a.De
ci, n
= 1
26.
77
Șiru
l rep
rezin
tă o
pro
gres
ie
geom
etric
ă cu
b12
6= 1
g și
q =
bbq
xg
126
1
1261
125
1 21
��
��� ��
� ���
�
bbq
xg
126
1
1261
125
1 21
��
��� ��
� ���
�
bx
g1
125
2=
=
Gru
puril
e 2
şi 6
Po
pula
ția u
nui o
raș s
e m
ăreș
te c
u 1%
în fi
ecar
e an
. Dac
ă în
201
9 su
nt
110
000
de lo
cuito
ri, c
âți l
ocui
tori
vor fi
în 2
032
(110
00 x
1,1
13)?
Term
enii
șirul
ui su
nt:
Anul
201
9 : a
1 =11
0000
; An
ul 2
020:
a2 =
110
000
+ 0,
01 1
1000
0 =
1,01
110
000;
An
ul 2
021:
a3 =
1,0
1 11
0000
+ 0
,011
,01
1100
00 =
1,0
1110
000
(1 +
0,0
1 ) =
1,
012 11
0000
; An
ul 2
022:
a4 =
1,0
12 1100
00 +
0,
011,
012 11
0000
= 1
,012 11
0000
(1+
0,01
) = 1
,013
1100
00.
Șiru
l rep
rezin
tă o
pro
gres
ie g
eom
etric
ă cu
b1=
1100
00 și
q =
1,0
1 și
bbq
nn
n�
��
��
�1
11
110000101
,
Anul
203
2:
b 14
13
110000101
125190
��
�,
lo
cuito
ri.
Gru
puril
e 3
şi 7
U
n tr
acto
r tre
buie
să sa
pe u
n șa
nț
pent
ru m
onta
rea
subt
eran
ă a
cond
ucte
lor d
e ga
ze. Î
n pr
ima
zi el
a
săpa
t 30
m, i
ar în
urm
ătoa
rele
zil
e –
cu 5
m m
ai m
ult d
ecât
în zi
ua
prec
eden
tă.
Term
enii
șirul
ui su
nt:
Prim
a zi:
a1 =
30;
A
doua
zi: a
2 = 3
0 +
5 =
35;
A tr
eia
zi: a
3 = 3
0 +
5 +
5 =
30 +
2·5
= 4
0;
A pa
tra
zi: a
4 = 3
0 +
5 +
5 +
5 =
30 +
3·5
=
45.
78
Ce lu
ngim
e de
con
duct
e va
fi m
on-
tată
, dac
ă tr
acto
rul a
lucr
at 1
4 zil
e?Și
rul r
epre
zintă
o p
rogr
esie
arit
met
ică
cu a
1= 30
, r =
5 și
aa
rn
nn�
��
���
��
��
11
305
1. I
ar
pent
ru a
răsp
unde
la în
treb
area
pro
-bl
emei
, util
izăm
form
ula
sum
ei:
Sa
nr n
n�
��
��
21
2
1
Astfe
l, S 14
230
1415
214875
��
��
���
� ·
S 14
230
1415
214875
��
��
���
�
(m d
e co
nduc
tă).
Gru
puril
e 4
şi 8
U
n po
d es
te su
sţin
ut d
e 25
de
cabl
uri n
umer
otat
e de
la 1
la 2
5,
de la
cel
mai
scur
t la
cel m
ai lu
ng.
Lung
imea
prim
ului
cab
lu e
ste
de
10,5
8 m
, al u
rmăt
orul
ui –
de
17,6
4 m
, cel
ui d
e-al
trei
lea
– 24
,70
m şi
aş
a m
ai d
epar
te, î
n ba
za a
cele
iaşi
regu
li de
măr
ire. C
are
este
num
ărul
ca
blul
ui c
u lu
ngim
ea d
e 15
1,78
m?
Câţi
met
ri de
cab
lu a
u fo
st n
eces
ari
pent
ru a
susţ
ine
aces
t pod
?
Term
enii
șirul
ui su
nt: 1
0,58
m; 1
7,64
m
; 24,
70 m
;…..
Șiru
l rep
rezin
tă o
pro
gres
ie a
ritm
etic
ă cu
a1=
10,5
8, r
= a 2
- a1 =
17,6
4 –
10,5
8 =
7,06
și a
n = 1
0,58
+ 7
,06(
n - 1
) = 1
51,7
8,
n =
21
Sa
nr
n�
��
��
21
2
1
S 25
21058
251706
22523825
��
��
���
��
,,
,
= 23
82,5
m d
e ca
blu.
79
Eval
uare
a7
min
.O
1O
2O
3O
4O
5
Lucr
are
inde
pend
entă
1. C
arbo
nul 1
4 es
te u
n at
om
radi
oacti
v, a
căr
ui p
erio
adă
de
înju
măt
ăţire
(per
ioad
a de
dez
inte
-gr
are
radi
oacti
vă) e
ste
de T
= 5
730
de a
ni.
Ce c
antit
ate
de C
arbo
n 14
a fo
st c
u 28
650
de
ani î
n ur
mă,
dac
ă ac
um
au ră
mas
2g
de C
arbo
n 14
?
2. P
entr
u a
deco
ra m
ânec
a un
ei ii
au
fost
util
izate
6 p
ătra
te c
once
n-tr
ice
(unu
l în
altu
l) di
n m
ărge
luşe
. Pe
ntru
păt
ratu
l cel
mai
mic
au
fost
util
izate
4 m
ărge
luşe
, iar
pen
-tr
u fie
care
păt
rat u
rmăt
or –
cu
4 m
ărge
luşe
mai
mul
t. De
cât
e cu
tii
de m
ărge
luşe
ave
m n
evoi
e pe
ntru
a
orna
2 ii
, dac
ă m
ărge
luşe
le su
nt
vând
ute
în c
utii a
cât
e 50
.
Elev
ii pr
imes
c fiș
a cu
sarc
inile
pro
puse
. Vo
r rez
olva
inde
pend
ent s
arci
nile
.Do
i ele
vi v
or re
zolv
a pe
pos
tere
pro
-bl
emel
e (fi
ecar
e câ
te o
pro
blem
ă). L
a fin
ele
activ
ității
, pos
tere
le v
or fi
afiș
ate
pent
ru a
put
ea fi
ver
ifica
te re
zulta
tele
.
1.xg
xg
xg xg
xg
ani
ani
ani
ani
5730
5730
5730
5730
1 2
1 4 1 8
��
��
��
��
��
��
��
���
��
��
...
5730
2ani
g
xgxg
xg xg
xg
ani
ani
ani
ani
5730
5730
5730
5730
1 2
1 4 1 8
��
��
��
��
��
��
��
���
��
��
...
5730
2ani
g
2865
0 : 5
730
= 5
ori s
-a p
rodu
s în
jum
ătăț
irea.
Dec
i, n
= 6.
2. Ș
irul r
epre
zintă
o p
rogr
esie
ge
omet
rică
cu b
g62
= și
q=1 2
,
bbq
xgb
xg
61
61
5
1
1 22
64
��
��� ��
� ���
��
�
bbq
xgb
xg
61
61
5
1
1 22
64
��
��� ��
� ���
��
�.
Term
enii
șirul
ui su
nt: 4
; 8; 1
2 ; …
..Și
rul r
epre
zintă
o p
rogr
esie
arit
met
ică
cu a 1=
4, r
= 4
și a
n = 4
+ 4
(n -
1)
Sa
nr n
n�
��
��
21
2
1
S 624
614
2684
���
��
����
măr
gelu
șe
pent
ru o
mân
ecă,
84
· 4 =
336
măr
gelu
șe
pent
ru 2
ii, 3
36 : 5
0 =
6,72
. Dec
i, sun
t ne
voie
de
7 cu
tii d
e m
ărge
lușe
.
Lucr
are
inde
pen-
dent
ă sc
risă.
80
Bila
nțul
le
cție
i3
min
.O
1O
2O
3O
4
Bila
nţul
can
titati
v:- C
e am
real
izat a
stăz
i la
lecț
ie?
- Din
ce
dom
enii
am re
zolv
at p
ro-
blem
e, u
tilizâ
nd p
rogr
esiil
e?- C
are
este
alg
oritm
ul d
e re
zolv
are
a un
ei p
robl
eme?
Elev
ii ră
spun
d or
al.
Răsp
unsu
ri or
ale.
Bila
nţul
cal
itativ
:- S
e de
term
ină
care
obi
ectiv
e au
fo
st re
aliza
te la
lecț
ie.
- Se
dedu
c co
nclu
ziile
priv
ind
acti-
vita
tea
clas
ei în
ans
ambl
u și
a un
or
elev
i în
parti
cula
r.
Tem
a pe
n-tr
u ac
asă
1
min
.O
1O
2O
3O
4
Se p
roie
ctea
ză p
e ec
ran
Slid
e 5
cu
tem
a pe
ntru
aca
să:
1. D
e re
capi
tula
t: p.
14-
19, M
odul
ul
I, §2
.2.
De
rezo
lvat
: p. 2
1, e
x. 5
, 6, 7
.3.
Sup
limen
tar:
O p
otco
avă
are
gros
imea
de
1 cm
. Un
fiera
r vre
a să
o
subţ
ieze
pân
ă la
0,5
cm
. Pen
tru
acea
sta,
el l
oveş
te p
otco
ava
fără
să
se o
prea
scă,
în fi
ecar
e se
cund
ă.La
fiec
are
lovi
tură
, gro
simea
met
a-lu
lui s
cade
cu
1%. C
are
este
tim
pul
min
im n
eces
ar p
entr
u fie
rar c
a să
-şi
real
izeze
sarc
ina?
(69
sec.
)M
ulțu
mes
c pe
ntru
lecț
ie.
La re
vede
re!
Not
ează
în a
gend
e sa
u în
cai
ete.
81
4.5. Metodologia evaluării (autoevaluării) lecției asistate (realizate)Lecția asistată (realizată) poate fi analizată și evaluată (аutoevaluată) conform urmă-
toarei scheme:Schema evaluării (autoevaluării) lecției (SEL)
I. Determinarea aspectelor fundamentale ale lecției:1.1. locul lecției asistate (realizate) în sistemul de lecții la tema (modulul, unita-
tea de învățare, capitolul) respectivă (respectiv);1.2. obiectivele lecției, corelate cu unitățile de competență selectate;1.3. tipul și structura lecției.
II. Analiza structurală a fiecărei secvențe (etape) a lecției:2.1. determinarea problemei didactice care se rezolvă la etapa respectivă a lecției;2.2. determinarea obiectivelor lecției asupra cărora se lucrează la etapa respectivă;2.3. selectarea materiei de studiu și repartizarea ei pe etape;2.4. evidențierea formelor, metodelor și procedeelor aplicate de către profesor
la fiecare etapă:a) formele de organizare a activităților elevilor (frontal, pe grupuri, individual);b) metodele și procedeele de predare – învățare;c) tipul, formele și metodele de evaluare a rezultatelor școlare ale elevilor;2.5. realizarea feedbackului (evaluarea de proces) la fiecare secvență a lecției.
III. Analiza particularităților didactice şi psihologice ale lecției (evaluarea activită-ții cadrului didactic):3.1. Sunt oare determinate și formulate corect obiectivele lecției? Sunt oare co-
rect corelate obiectivele cu unitățile de competențe respective?3.2. Corespunde oare tipul lecției obiectivelor preconizate?3.3. Sunt oare corect determinate problemele didactice, care se rezolvă la eta-
pele respective ale lecției?3.4. Este oare argumentată selectarea materiei de studiu (conținutul științific)
pentru această lecție? (Corespunde oare conținutul lecției obiectivelor ei? Este oare suficient volumul materiei de studiu pentru lecție?)
3.5. Sunt oare admise greșeli științifice în procesul lecției?3.6. Corespund oare formele de organizare a activităților elevilor, metodele și
procedeele de predare – învățare – evaluare obiectivelor și conținutului lecției? Originalitatea formelor, metodelor și procedeelor aplicate în cadrul lecției.
3.7. Cum este realizată predarea – învățarea – evaluarea materiei noi (noțiunile, regulile, legitățile, formulele noi) (în cazul când aceasta este prezentă în ca-drul lecției)?
82
3.8. Ce particularități specifice ale parteneriatelor dintre profesor – elev, elev – elev, elev – profesor au fost evidențiate în cadrul lecției (adaptarea profe-sorului la particularitățile de vârstă ale elevilor; abaterile nejustificate de la subiectul lecției; emoțiile pozitive și negative ale elevilor; captarea atenției elevilor pe parcursul lecției; limbajul utilizat de către cadrul didactic; sti-mularea activităților de învățare a elevilor; folosirea ideilor și propunerilor elevilor privind conținutul și desfășurarea lecției; motivația învățării; menți-nerea interesului elevilor pentru lecție)?
3.9. Mijloacele de învățământ (manualul, materialele și mijloacele didactice) au fost utilizate oportun și în corelație cu obiectivele lecției?
3.10. Care a fost ritmul lecției? (Sunt oare rețineri nejustificate în timpul lecției?) 3.11. Volumul temei pentru acasă, concretizarea și diferențierea ei. 3.12. În ce mod s-a realizat bilanțul lecției (cantitativ și calitativ)?
IV. Concluzii generale cu privire la lecție:4.1. Concluzii privind organizarea și desfășurarea lecției.4.2. Concluzii privind realizarea obiectivelor lecției.
V. Propuneri privind înlăturarea lacunelor observate şi perfecționarea activității educaționale a cadrului didactic
VI. Aprecierea lecției şi a activității cadrului didacticAprecierea lecției și a activității profesorului se va efectua în funcție de numărul de
puncte acumulate la realizarea secvenței a III-a a acestei scheme. Pentru fiecare din pozi-țiile 3.1.-3.12. scorul maxim este zece puncte, iar cel minim – un punct. Sumând punctele acordate, se determină calitatea lecției și se apreciază activitatea profesorului astfel:
120 - 95 de puncte – lecţie foarte bună – nota 9 sau 10; 94 - 70 de puncte – lecţie bună – nota 7 sau 8;69 - 45 de puncte – lecţie satisfăcătoare – nota 5 sau 6;44 - 1 punct – lecţie nesatisfăcătoare – nota 4. Important! Pentru о evaluare obiectivă a lecției asistate (inclusiv în procesul atestă-
rii cadrului didactic) se recomandă ca ea să fie apreciată de cel puțin trei asistenți-spe-cialiști (cadre didactice, inspectori, metodiști, manageri) în domeniul respectiv. Apreci-erea finală se va efectua reieșind din suma mediilor aritmetice ale punctelor acordate de către fiecare asistent pentru fiecare dintre pozițiile 3.1-3.12 ale prezentei scheme și în conformitate cu grila de evaluare, indicată mai sus.
83
5. Referințe metodologice și procesuale ale curriculumului
la Matematică
5.1. Strategii și tehnologii didactice de formare a competențelorDin perspectiva formării competențelor, activitatea profesională a profesorului de
matematică se va fundamenta pe:Crezul instruirii active (Kees Both):Ce aud – uit!Ce aud şi văd – îmi amintesc puțin!Ce aud, văd şi întreb sau discut cu cineva – încep să înțeleg!Ce aud, văd, discut şi fac – însuşesc şi mă deprind!Ce redau altcuiva – învăț!Ceea ce pun în practică – mă transformă! În activitatea profesională, profesorul de matematică se va axa pe:
ALGORITMUL UNEI PREDĂRI AXATE PE MOTIVAŢIE:•• Începeţi predarea printr-o anecdotă, un studiu de caz, o istorioară legată de teo-
ria ce urmează a fi predată sau printr-o problemă de soluţionat;•• Chestionaţi elevii asupra cunoştinţelor lor anterioare în legătură cu fenomenul ori
teoria ce urmează a fi explicat(ă);•• Prezentaţi planul lecţiei sub formă de întrebări (acest mod de a prezenta materia
îi obligă pe elevi să-şi focalizeze atenţia asupra aspectelor importante şi să caute să afle răspunsurile la întrebările puse);•• Organizaţi cunoştinţele sub formă de scheme, care permit evidenţierea legături-
lor dintre concepte;•• Daţi exemple care să îi intereseze pe elevi;•• Utilizaţi analogiile (astfel îi determinăm pe elevi să stabilească legături între un
domeniu pe care îl cunosc şi altul nou).Recomandări privind aplicarea strategiilor şi tehnologiilor de predare a matemati-
cii în învățământul gimnazial sunt formulate și în Curriculum la secvența 1.7. Repere metodologice de predare – învățare – evaluare [6]. Profesorul de matematică este obligat să țină cont de ele în practica educațională.
În lucrarea [20] sunt detaliat exemplificate următoarele metode active de predare – învățare a matematicii:
84
1. Asaltul de idei (Brainstormingul);2. Jocul didactic „Senecteca” (Brainstormingul pe echipe); 3. Jocul intelectual „Brain ring matematic”. Aceste metode pot fi aplicate cu succes în oricare dintre clasele a V-a - a IX-a.În lucrarea [15] sunt exemplificate tehnicile: Teambuilders (constituirea echipei),
SINELG, Interviul în trei trepte, RAI, Presupunerea prin termeni, Echipe – Jocuri – Turnire, Mai multe capete la un loc, Rezolvare în lanț și metodele: Jocurile didactice DOMINO, PUNCTE DE SPRIJIN, FIGURA-ŢINTĂ, PICTORI-GEOMETRI, GHICI FIGURA GE-OMETRICĂ, TURNURI GEOMETRICE.
Aceste tehnici și metode pot fi utilizate și la studiul diferitor teme din cursul liceal de matematică, în funcție de conținuturile studiate.
În continuare propunem și alte exemple de utilizare a unor metode active de preda-re – învățare a matematicii în gimnaziu din perspectiva formării competențelor.
1. Crearea condițiilor favorabile antrenării elevilor pe calea căutărilor, cercetării, descoperirii este posibilă prin aplicarea metodei Studiul de caz.
Această metodă dă posibilitate elevilor să-și exprime liber opiniile referitoare la ca-zul expus, dar și să aleagă cea mai bună soluție în urma dezbaterilor. Pentru această metodă sunt preconizate următoarele etape:
1. Selectarea cazului concret (inclusiv din activitatea cotidiană).Profesorul propune cazul/problema pentru discuție în funcție de nivelul de dezvol-tare matematică a elevilor și specificul vârstei acestora.2. Expunerea cazului de către profesor.Profesorul expune cazul pe înțelesul elevilor.3. Dezbaterea cazului de către elevi.Are loc o discuție între profesor și elevi, în care se realizează o analiză detaliată,
argumentată a cazului pentru descoperirea cauzelor care au determinat cazul și a fac-torilor implicați.
4. Stabilirea variantelor de soluţionare.Elevii sunt stimulați de profesor prin întrebări provocatoare, întrebări care direcțio-
nează demersul soluționării cazului.5. Compararea variantelor de soluţionare.În funcție de modalitatea de organizare, se compară variantele de rezolvare.6. Alegerea soluţiei.Se aleg soluțiile cele mai bune/optime.7. Evaluarea.Profesorul face o evaluare a modului de rezolvare a situației respective.
85
2. Tehnica dezbaterilorSe pune în discuție un subiect.
• Clasa se divizează în două echipe, una favorabilă subiectului, cealaltă – în opoziție cu prima.
• Câte doi participanți sunt selectați din fiecare echipă. • Primul vorbitor, afirmator sau negator, prezintă viziunea sa timp de 5 minute. • Al doilea vorbitor, afirmator sau negator, prezintă 3 minute completând cele evi-
dențiate de către coechipier. • Subiectul este apoi deschis la comentarii, întrebări și răspunsuri din partea echi-
pelor. • Un membru al fiecărei echipe formulează concluziile respective. • Dezbaterea se încheie cu o analiză a concluziilor propuse la care participă întrea-
ga clasă.3. Tehnica Matricea de asociereMatricea de asociere reprezintă un tabel cu două intrări, care oferă posibilitate să
se determine diverse asocieri dintre conceptele matematice și proprietățile acestora. Prin intermediul a astfel de matrice se realizează sinteza materiei studiate în cadrul unității de învățare sau de conținut. Completarea matricei poate fi individuală sau prin activități de grup. Se poate propune și ca temă pentru acasă. Tehnica poate fi utilizată la orele de sinteză.
De exemplu, la Modulul Poliedre (clasa a XII-a) poate fi propusă elevilor spre com-pletare următoarea Matrice de asociere:
Poliedrul Elemente Arii Volume Reprezentarea în plan
Paralelipipedul
Prisma
Piramida
Trunchiul de piramidă
Poliedre regulate
4. METODA „BBB” (Batelle – Bilmappen – Brainwriting)Această metodă este cunoscută și sub denumirea de Brainwriting cu mapa de imagini.Algoritmul utilizării acestei metode este următorul:1. Problema se prezintă frontal în faţa întregii clase. 2. Brainstorming (asaltul de idei) oral cu clasa.3. Clasei i se prezintă consecutiv câte o imagine, în contextul problemei puse în discuţie.
86
4. Brainstorming (asaltul de idei) individual (în linişte) inspirat de imaginile propuse, prin care se îmbunătăţesc ideile din brainstormingul oral, ori se propun alte idei. Fiecare elev ia notiţe în caietul său.
5. Câţiva elevi citesc cu voce ideile lor.6. Clasa discută pentru a găsi şi alte variante.Avantaje: •• este valorificată asociația mintală liberă a fiecărui elev;•• se studiază ideile celorlalți colegi;•• se realizează stimularea prin imagini;•• este evitat blocajul unora care nu lucrează bine față în față.
Imaginea Ce sugerează imaginea? Ce idei apar?
5. Tehnica Harta conceptuală. Începând cu prima oră la modulul respectiv și pe parcursul studiului acestuia, elevii
completează pe foi separate (A4) un tabel de sinteză axat pe conceptul matematic, funda-mental pentru modulul studiat. În acest tabel se fixează toate aspectele matematice ce țin de noțiunea corespunzătoare. Exemple de hărți noționale se pot vedea în manualele de matematică pentru liceu. Completând aceste hărți pentru fiecare capitol, elevii vor partici-pa activ la dobândirea cunoștințelor și pot obține hărți diferite de cele propuse în manual. În final, poate fi elaborat câte un Atlas matematic la clasa respectivă. Hărțile conceptuale vor fi de folos la orele de sinteză, la recapitularea finală, la studiul altor module etc.
6. Jocul de „mimă” la matematicăClasa se împarte în două echipe. Pe rând, fiecare echipă prezintă prin mimă un con-
cept matematic: figură, grafic, funcție, ecuație etc. Cealaltă echipă va determina ce concept a fost prezentat prin mimă.
7. Tehnica 3-2-1Înainte de terminarea orei, elevilor li se cere să scrie pe foiță trei termeni (concepte)
din tema învățată, două idei despre care ar dori să învețe mai mult în continuare și o capacitate, o pricepere sau o abilitate pe care consideră ei că au dobândit-o în urma activităților de predare – învățare. Strângând foițele, profesorul obține un feedback imediat în legătură cu eficiența lecției.
8. Tehnica „Răspunsul la minut” sau a răspunsului scurt, la întrebări precise, clare, ce se adresează fiecărui elev, convenind cu elevii că răspunsurile la aceste întrebări nu se comentează sau corectează, permițând cadrului didactic să sesizeze ce parte din lecție/temă trebuie reluată sau clarificată.
87
5.2. Probleme de matematică și rolul acestora în formarea competențelor5.2.1. Problemele de matematică de tip cascadă și rolul lor din perspectiva formă-
rii competențelorProblemele de matematică de tip cascadă contribuie eficient la formarea și dez-
voltarea competențelor. Și viața de zi cu zi pune în fața noastră diverse probleme, a căror rezolvare necesită trecerea prin mai multe cascade. Din aceste considerente, se recomandă aplicarea, în procesul educațional la matematică, rezolvarea problemelor matematice, și nu numai, de tip cascadă.
Definiție. Problema de matematică de tip cascadă este problema în care răspunsul la întrebarea (sarcina) următoare este oferit/formulat în funcție de rezultatul obținut la pasul precedent (cascada precedentă).
De exemplu: Fie ecuația 2x2- x - 3 = 0.1. Rezolvați în R ecuația.2. Scrieți trinomul de gradul doi, ale cărui rădăcini sunt inversele soluțiilor ecua-
ției date. 3. Reprezentați grafic funcția f de gradul doi, asociată trinomului de la p. 2.4. Utilizând graficul de la p. 3, determinați intervalele de monotonie ale funcției f. 5. Scrieți o inecuație de gradul I, mulțimea soluțiilor căreia este intervalul pe care
funcția f este strict crescătoare.Este un exemplu de problemă de matematică de tip cascadă, structurată pe cinci
cascade, care poate fi propusă în clasa a X-a sau în clasa a XII-a la recapitularea finală. Problemele de matematică de tip cascadă pot fi structurate în cascadă liniară sau
cascadă ramificată. În exemplul de mai sus, problema propusă posedă o structurare în cascadă liniară.În continuare prezentăm un exemplu de problemă de tip cascadă ramificată:Fie ΔABC, m A m B�� � � � �� � � �30 45, , AB= 8cm.1. Aflați lungimile laturilor triunghiului.2. Calculați perimetrul ΔABC.3. Calculați aria ΔABC.4. Aflați raza cercului înscris în ΔABC.5. Calculați lungimea cercului înscris în ΔABC.6. Determinați raza cercului circumscris ΔABC.7. Calculați aria discului cu raza obținută în p. 6.8. Aflați distanța dintre centrul cercului înscris în ΔABC și raza cercului circum-
scris acestui triunghi.Observații. 1. Ramificarea se referă la cercurile înscris și circumscris triunghiului dat.2. Problema va fi propusă elevilor clasei a X-a sau a XII-a la recapitularea finală.
88
În aspect didactic, problemele de matematică de tip cascadă sunt eficiente la:• studierea materiei şi formarea competenţelor preconizate în curriculumul la ma-
tematică; • realizarea conexiunilor intra- şi interdisciplinare în cadrul studierii matematicii;• organizarea şi realizarea recapitulării materiei studiate;• formarea şi dezvoltarea gândirii logice;• dezvoltarea interesului pentru matematică;• dezvoltarea capacităţilor creative ale elevilor;• pregătirea pentru susţinerea examenelor la matematică;• evaluarea rezultatelor şcolare la matematică (cu o atenţie sporită).Sarcinile incluse în problema de matematică de tip cascadă pot avea corelări cu di-
verse teme matematice, ceea ce majorează șansele elevilor de a conștientiza esența materiei matematice studiate.
De exemplu: Fie funcția f R R f x x x x: ,� � � � �� � �� �21 2
1. Determinați punctele de extrem ale funcției f.2. Scrieți o ecuație ale cărei soluții vor fi opusele valorilor lui x, obținute la p. 1.3. Aflați primitiva funcției g, asociate ecuației de la p. 2.
4. Calculați integrala g x dx� ��0
2
.
5. Aflați lungimea muchiei cubului a cărui arie a suprafeței totale este valoarea numerică (în unități pătrate), obținută la p. 4.
6. Calculați volumul tetraedrului regulat, a cărui muchie este congruentă cu mu-chia cubului de la p. 5.
Observăm că problema de tip cascadă, propusă pentru clasa a XII-a, integrează cu-noștințe, deprinderi și capacități dobândite și formate în cadrul studierii modulelor Funcţii derivabile; Ecuaţii. Inecuaţii. Sisteme. Totalităţi; Primitive şi integrale nedefinite; Integrale definite; Poliedre.
Considerăm că astfel de probleme eficient contribuie la realizarea conexiunilor in-tra- și transdisciplinare, la formarea competențelor specifice, preconizate în curriculu-mul liceal la matematică.
Rezolvarea problemelor de tip cascadă solicită o atenție sporită din partea elevilor în procesul rezolvării acestora, deoarece greșeala admisă la una dintre etapele prece-dente ale cascadei conduce la obținerea rezultatelor incorecte la toate etapele urmă-toare ale cascadei. De acest aspect se va ține cont în cadrul aplicării problemelor de matematică de tip cascadă în cadrul evaluării rezultatelor școlare la matematică.
Este eficientă și activitatea de compunere de către elevi a problemelor de matema-tică de tip cascadă.
89
Profesorul va propune sistematic astfel de probleme în procesul studierii matema-ticii. Probele de evaluare propuse la clasă și testele propuse la examenele de absolvire sau la examenele de BAC la matematică ar putea include și itemi structurați pe cascade.
5.2.2. Probleme integrative, care pot fi utilizate în procesul formării competențe-lor la treapta liceală
Competența se formează și, respectiv, se evaluează prin acțiune, inclusiv prin acțiuni cotidiene. În acest context sunt importante activitățile referitoare la rezolvarea unor probleme cu aspect aplicativ, practic. Prin astfel de probleme, elevii vor învăța cum se extrag, din condițiile date, elementele semnificative și informațiile relevante, necesare pentru soluționarea problemei reale și/sau modelate.
În contextul formării competențelor, profesorul va propune elevilor diferite tipuri de probleme a căror rezolvare necesită integrarea cunoștințelor din mai multe dome-nii matematice și nu doar. Realizarea conexiunilor intra- și interdisciplinare în procesul educațional la matematică poate fi efectuată prin rezolvarea unor probleme integrative. Propunem în continuare un set de probleme integrative, probleme de tip PISA, care, în perspectivă, probabil, vor fi propuse și în cadrul examenului de BAC, pe care profesorul le poate aplica cu succes în cadrul lecției sau să le propună elevilor pentru rezolvare acasă.
În aspect didactic este semnificativ ca profesorul să propună elevilor să compună (în cadrul unui proiect propus la matematică) astfel de probleme.
Problema 1. Alunecări de zăpadă (Relații metrice în triunghi arbitrar) În baza unor analize și cercetări, s-a constatat că ză-
pada începe să alunece de pe acoperișul unei case, dacă acoperișul este înclinat sub un unghi mai mare de 200.
Dimensiunile casei din imagine sunt: baza frontonului mai mare este de 16 m, dimensiunile laterale sunt de 12 m. Să se determine dacă este pericol de alunecare a ză-pezii de pe acoperiș.
Problema 2. Triunghiul Bermude (Relații metrice în triunghi arbitrar) Vârfurile triunghiului Bermude trec prin Miami în
Florida, prin San Juan în Puerto Rico și insula Bermude. Miami este la distanța de 1600 km de insula Bermude. Insulele Bermude sunt la o distanță de 1500 km de Pu-erto Rico. Unghiul din vârful cu insulele Bermude este de 45,4O .
90
• Ce distanță este de la Miami la Puerto Rico?• Să se calculeze suprafața triunghiului Bermude.
Problema 3. Zona favorabilă (Operații cu numere reale, puteri) Energia eoliană este o sursă de energie regenerabilă,
generată de puterea vântului. Înainte de a începe proiec-tarea și instalarea unui sistem eolian, trebuie să găsim răspunsuri la mai multe întrebări fundamentale, una din-tre ele fiind viteza medie a vântului.
Două instalații eoliene sunt plasate în două zone diferite:Zona A: vântul suflă 2400 de ore pe an cu viteza de 10 m/s.Zona B: vântul suflă 1200 de ore cu viteza 20 m/s.
Să se compare cantitatea energiei electrice produse de două turbine de vânt, în funcție de viteza medie a vântului. Identificați care este zona unde turbina de vânt va produce mai multă energie electrică: zona cu mai multe ore de acțiune a vântului, dar cu viteză mai mică sau zona unde viteza vântului este mai mare?
Informaţie utilă: Cantitatea energiei (în kWh) se calculează după formula: E =P x t, unde: P – puterea cinetică a unui fluid în mișcare traversând o secțiune S cu viteza v, t – durata în h.Puterea cinetică este proporțională cu cubul vitezei acestui fluid: P = ½ x ρfluid x S x v3, unde ρfluid – densitatea fluidului în kg/m3, S – suprafața secțiunii în m2, v – viteza în m/s.Deci, E = ( ½ ρfluid S ) x t x v3.
Problema 4. Securitatea rutieră şi distanța de frânare (Operații cu numere reale)
Foarte multe accidente de circulație se dato-rează coliziunilor automobilelor, ce au avut loc în urma depășirii vitezei și a aprecierii incorecte a distanței optime de frânare.
O secundă de neatenție sau de întârziere în apăsarea pe frână face ca automobilul să par-curgă o distanță în plus, care, de multe ori, poa-te deveni fatală pentru participantul la traficul rutier.
Astfel, din cauza unui moment de neatenție sau a unei scurte ațipiri: sustragerea atenției pentru manevrarea butoanelor radioului, pen-tru cuplarea telefonului, pentru întoarcerea ca-pului spre pasagerii de pe bancheta din spate a mașinii, la deplasarea cu viteza de 50 km/oră, se produce întârzierea cu o secundă a frânării și automobilul va parcurge în plus 15 metri, iar la viteza de 60 km/oră............ (Ziarul de Gardă)
91
Distanța de oprire este ilustrată în desenul următor :
Văd obstacolul Frânez Vehiculul se oprește
Timp de reacție, distanța de reacție Distanța de frânare
Distanța de oprire
I. Distanța de reacție este distanța (în m) parcursă de automobil timp de o secun-dă – timpul de reacție pentru un șofer vigilent. Demonstrați că dependența din-tre viteza automobilului și distanța de reacție parcursă este ilustrată prin formula D v=3 6,
, unde: V – este viteza în km/h, D – distanța de reacție în m.a) Să se calculeze distanța de reacție (aproximată la unități), efectuată de un vehicul
condus de un șofer vigilent, care se deplasează cu viteza 100 km/h.b) Să se întocmească un tabel cu distanța de reacție în funcție de viteză (vezi mo-
delul).
Viteza (în km/h) 20 30 50 60 80 100
Distanța de reacție(în m) 6
II. Distanța de frânare este distanța necesară pentru oprirea vehiculului cu ajuto-rul frânei. Distanța de frânare reprezintă distanța parcursă de automobil de la acționarea pedalei de frână până la imobilizarea autovehiculului. Ea depinde de viteza vehiculului și de starea șoselei (umedă sau uscată). Această distanță poate fi calculată cu ajutorul formulei: d = k × v2, unde:
• d – este distanța în metri (m), • v – viteza în km/h, • k – un coeficient. Pe șoseaua uscată, coeficientul k = 4,8 × 10-3, iar pe cea umedă
– k = 9,8 × 10-3.a) Calculează distanța de frânare (aproximată la unități) a unui vehicul care se de-
plasează cu viteza de 90 km/h pe o șosea uscată.b) Știind că un șofer a frânat 12 m pe o șosea uscată, care era viteza lui?c) Dacă deplasarea ar fi fost pe o șosea umedă și cu aceeași viteză ca cea de la între-
barea precedentă, care avea să fie distanța de frânare? d) Un șofer nu lasă în fața lui decât o distanță de 20 m. Cu ce viteză trebuie să con-
ducă șoferul fără a crea un pericol de accident în caz de frânare bruscă pe o șosea uscată?
92
e) Dar dacă șoferul conduce cu aceeași viteză pe o șosea umedă, care este distanța minimală dintre mașina sa și mașina din față, pe care trebuie să o respecte șofe-rul pentru a nu face accident?
f) Să se discute în baza rezultatelor obținute.g) Să se continue completarea tabelului cu distanța de frânare (aproximată la
unități), în funcție de viteză (vezi modelul):
Viteza (în km/h ) 20 30 50 60 80 100
Distanța de reacție (în m) 6
Distanța de frânare (în m) pe șosea uscată 2
Distanța de frânare (în m) pe șosea umedă 4
III. Distanța de frânare se mai calculează și după formula: d vA
��
2
254, unde:
• d – este distanța în metri (m), • v – viteza în km/h, • A – coeficientul de aderență. Pe șoseaua uscată coeficientul A = 0,8, iar pe cea
umedă A = 0,4.a) Calculează distanța de frânare (aproximată la unități) a unui autovehicul ce se
deplasează cu viteza de 100 km/h pe o șosea uscată. b) Cu ce viteză trebuie să se deplaseze autovehiculul pe o șosea umedă, pentru
ca distanța de frânare să rămână neschimbată?c) O persoană este victima unui accident rutier, fiind lovită de un automobil care
se deplasa cu o viteză mare. Colaboratorii Inspectoratului auto au determinat că distanța de frânare este de 29 m, iar șoseaua este uscată. Care a fost viteza automobilului? (în m/s, apoi în km/h)
IV. Distanța de oprire presupune distanța parcursă în timpul de reacție și distanța parcursă în timpul frânării propriu-zise (atunci când a fost acționată pedala), deci distanța parcursă de automobil de la observarea pericolului până la oprirea au-tomobilului.a) Să se calculeze distanța de oprire a autovehiculului ce se deplasează cu viteza
de 100 km/h în situații optimale (șosea uscată, fără gropi, frâne performante și șofer vigilent, cu timp de reacție aproximativ o secundă).
b) Să se continue completarea tabelului cu distanțele de oprire, în funcție de viteză și de starea vremii:
93
Viteza (în km/h) 20 30 50 60 80 100
Distanța de reacție (în m) 6
Distanța de frânare (în m) pe șosea uscată 2
Distanța de frânare (în m) pe șosea umedă 4
Distanța de oprire (în m) pe șosea uscată 8
Distanța de oprire (în m) pe șosea umedă 10
Problema 5. Radarul (Elemente de trigonometrie) Procedura legală de instalare a radarului staționar pe
marginea unei șosele indică faptul că, pentru a fi consi-derată viteza validă, e necesar ca direcția de propagare a undei electromagnetice și direcția de deplasare a auto-vehiculului să formeze un unghi de 250. Radarul nu mă-soară direct viteza reală a vehiculului, dar viteza cu care autovehiculul se apropie de el (sau se depărtează, dacă radarul este în spatele autoturismului).
Utilizând calculele matematice de rigoare, se calculează viteza reală estimată, con-form căreia se aplică sau nu amenda.
Triunghiul ABC este dreptunghic în C. Lungimea laturii AB reprezintă viteza reală a vehiculului și lungimea laturii BC reprezintă viteza cu care se apropie vehiculul de radar.
Conform schemei, din cauza înclinării sub 250, viteza măsurată de radar este mai mică decât viteza reală. În acest caz se aplică un coeficient de corecție: se înmulțește viteza măsurată de radar și se obține o estimare a vitezei reale a vehiculului. Spunem o estimare a vitezei reale, deoarece radarul are o ușoară marjă de eroare.
Pentru radarele staționare, conform standardelor metrologice, erorile tolerate pen-tru măsurarea vitezei sunt:
– ± 5 km/h la viteza reală estimată, dacă ea este până la 100 km/h; – ± 5% din valoarea vitezei reale estimate, dacă ea este egală sau mai mare de 100
km/h.
94
1. Un radar fixat pe marginea unei șosele naționale, pe care viteza maximă permisă este 90 km/h, a constatat că automobilul condus de Sergiu se apropie de el cu viteza de 86 km/h.a) Care este viteza reală estimată a vehiculului (rotunjiți până la zecimi)?b) Care este coeficientul de corecție aplicat (rotunjiți până la miimi)?c) Va fi amendat Sergiu?
2. Peste 5 minute, pe aceeași șosea a trecut Dumitru care nu a observat radarul. El se deplasa cu viteza reală de 105 km/h. În momentul trecerii pe lângă radar, el depășește un automobil și unghiul dintre direcția vehiculului său și radar este de 350. Va fi amendat Dumitru sau nu?
3. Puțin mai târziu, pe aceeași autostradă, cu viteza permisă de 90 km/h, Sergiu trece pe lângă alt radar, cu aceeași viteză de apropiere – 86 km/h. Dar, cu regret, radarul este orientat puțin greșit, direcția de înclinare formând cu direcția șoselei un unghi de 300. Acum Sergiu va fi amendat sau nu?
4. Sergiu a fost amendat pe o autostradă (limita de viteză de 130 km/h), deoarece viteza fixată de radar a fost mai mare cu 3 km/h decât viteza permisă. Care este viteza reală estimată a lui Sergiu?
5. Lui Dumitru îi place viteza și crede că poate păcăli radarul. Anume el zice că dacă radarul este fixat pe partea dreaptă a șoselei, atunci este mai bine să se deplaseze pe banda din dreapta. Argumentarea sa este: „Dacă eu mă deplasez pe banda din stânga sau pe cea din mijloc, atunci mașina mea este mai departe de radar și deci direcția mea de deplasare formează un unghi mai mare cu radarul decât dacă aș merge pe banda din dreapta. Ca rezultat, pot fi detectat mai ușor, deci riscul de a plăti amenda este mai mare.” Ce credeți despre justificarea lui Dumitru?
Problema 6. Distanța minimă. Două drumuri auto АА1 și ВВ1 sunt reciproc perpen-diculare și se intersectează în punctul С. Se știe că АС = 150 km, ВС = 200 km. Din punctele А și В în direcția С concomitent s-au pornit două autovehicule, cu vitezele de V1 = 80km/h și, respectiv, V2 = 60km/h. Peste câte ore distanța dintre autovehicule va fi minimă?
A
BCB1
V1
V2
A1
95
Problema 7. Dobânda. Un businessman la scara mică a procurat de la producător două tipuri de marfă în sumă de 2250 de lei. Apoi a vândut-o și a obținut o dobândă de 40%. Cât a plătit businessmanul inițial pentru fiecare tip de marfă, dacă, în urma vânză-rii primului tip de marfă, el a obținut o dobândă de 25%, iar, în rezultatul vânzării mărfii de tipul al doilea, a avut o dobândă de 50%?
Problema 8. Accelerația. Două mobile se deplasează în conformitate cu următoa-rele ecuații de mișcare S t t t t
1
3 22 5 3� � � � � și S t t t t
2
3 22 3 11 7� � � � � � , unde S S
1 2, – dis-
tanțele măsurate în metri și timpul t – în secunde. Determinați accelerațiile celor două mobile în momentul când vitezele lor sunt egale.
96
6. Curriculumul și proiectarea evaluării rezultatelor școlare
la Matematică
6.1. Evaluarea rezultatelor școlare din perspectiva formării competențelorEvaluarea pedagogică are ca obiectiv determinarea eficienței învățământului prin
raportarea rezultatelor școlare la obiectivele stabilite.Etapele acțiunii de evaluare didactică reflectă dimensiunea funcțional-structurală
a operațiilor de măsurare – apreciere – decizie, angajate în direcția obținerii unor in-formații esențiale despre „actorii” procesului educațional și curricula școlară activată, informații ce vor contribui la perfecționarea continuă a procesului și a sistemului de învățământ. Structura acțiunii de evaluare pedagogică include trei operații ierarhice funcționale la nivel de sistem și de proces: măsurarea – aprecierea – decizia:
– măsurarea reprezintă operația de evaluare care asigură consemnarea „unor caracteristici observabile” exprimate în termeni cantitativi (scor, cifre, statistici etc.) sau/și prin descrieri concentrate asupra unor zone restrânse de manifestare (vezi Gilbert de Landsheere, Evaluarea continuă a elevilor și examenele. Manual de docimologie, EDP, București, 1975);
– aprecierea reprezintă operația de evaluare care implică interpretarea faptelor consemnate în funcție de anumite criterii calitative specific pedagogice, inde-pendente în raport cu instrumentele de măsură folosite în cadrul unei anumite metode sau strategii didactice;
– decizia reprezintă operația de evaluare care asigură prelungirea aprecierii într-o notă școlară, într-o caracterizare, hotărâre, recomandare etc., cu valoare de prognoză pedagogică.
Deci, evaluarea trebuie concepută ca o modalitate de ameliorare a predării și învățării, de eliminare a eșecului și de realizare a unui progres constant în pregătirea fiecărui elev.
Rolul fundamental al evaluării constă în asigurarea unui feedback permanent și co-respunzător, necesar atât actorilor procesului educațional, cât și factorilor de decizie și publicului larg. Așadar, în procesul educațional integrat predare – învățare – evaluare, componenta evaluare ocupă un loc nodal, de importanță supremă, atât psihopedago-gică, profesională, cât și socială. Acest fapt este confirmat și de algoritmul procesului educațional modern:
97
Evaluarea determină, de fiecare dată, dacă sunt atinse obiectivele preconizate și ce obținem în rezultatul activității respective: succes sau insucces. În cazul unui insucces, se vor determina cauzele acestuia și activitatea se va relua astfel încât rezultatul final să fie un succes. Următorul pas constă în formularea de obiective noi și procesul continuă, formând următoarea spirală educațională.
Procesul modern de evaluare a performanțelor școlare, axat pe principiile evaluării (vezi [6]), este preconizat:
– să scoată în evidență succesul fiecărui elev, dar nu eșecul acestuia; – să informeze agenții educaționali, indicând ce să se predea și cum să se predea; – să fie multidimensional, concentrându-se atât asupra evoluției sociale și emoțio-
nale, cât și asupra evoluției cognitive; – să includă o relație de cooperare între profesor și elevi, între elevi; – să evidențieze importanța studiului, să promoveze succesul și studiul optim pen-
tru toți elevii; – să fie înțeles ușor atât de toți elevii, cât și de părinți, de agenții educaționali etc.
Se evidențiază următoarele tipuri de evaluare, aplicabile în procesul educațional la matematică la etapa actuală:
a) evaluarea iniţială (prognostică);b) evaluarea curentă (formativă);c) evaluarea finală (sumativă).Și, în contextul formării competențelor, prioritară este evaluarea curentă/formativă.În cadrul activităților educaționale, evaluarea este un proces care se realizează con-
tinuu și prin care se determină dacă au fost atinse obiectivele preconizate pentru etapa respectivă sau nu, dacă rezultatul este un succes sau un insucces.
În general, orice activitate evaluativă trebuie să se desfășoare pe baza unei hărți tehnologice bine determinate din start, care ar concretiza:
– contingentul care va fi evaluat; – tipul evaluării [inițială, curentă (formativă), sumativă (finală)]; – obiectivele evaluării (corelate cu obiectivele curriculare);
Cauzele insuccesului
Obiective → Competențe
Instrumente
Conți-nuturi
Tehno-logii
Succes
InsuccesObiective
noi ș.a.m.d.
98
– tehnologiile de evaluare (forme, metode, procedee, mijloace etc.); – timpul rezervat fiecărei activități de evaluare; – spațiul (locul) unde se va realiza evaluarea; – monitorizarea activității evaluative; – baza de date (teste, probe, lucrări practice etc.); – reflexia (compararea rezultatelor învățării cu obiectivele preconizate); – concluzii (diagnoza și prognoza); – decizii.
Este important ca fiecare profesor de matematică să înțeleagă că orice evaluare, inclusiv cea sumativă, la nivel de stat, la matematică, este axată pe determinarea nive-lului de atingere a unităților de competență și de formare a competențelor preconiza-te în curriculumul școlar la Matematică [6]. În activitatea evaluativă, profesorul se va ghida de principiile evaluării rezultatelor școlare la matematică și de cerințele moderne referitoare la organizarea și desfășurarea acțiunilor evaluate, inclusiv stipulate în curri-culum la rubrica V. Repere metodologice de predare – învățare – evaluare. Important este ca atât elevul, cât și profesorul să conștientizeze că evaluarea în orice circumstanțe trebuie să fie obiectivă.
Accentul se va pune pe evaluarea formativă în cadrul fiecărei lecții. Succesul lecției e direct corelat cu nivelul de atingere a obiectivelor preconizate.
Profesorul are libertatea să aplice acele forme, metode și instrumente de evaluare pe care le consideră optimale la clasa respectivă, la tema (conținutul, modulul) respec-tivă etc. Strategiile de evaluare vor fi corelate cu cele propuse în Curriculumul moder-nizat, la rubrica Activităţi de învăţare şi evaluare, pentru fiecare clasă, și în secvența Strategii de evaluare.
Evaluarea sumativă la modul (capitol), la tezele semestriale se va axa pe determina-rea nivelului de dobândire a preachizițiilor determinate de unitățile de competenţă și a competenţelor specifice respective preconizate în curriculumul pentru liceu. În cadrul examenului de BAC se va determina care competențe, inclusiv competențele specifice disciplinei Matematică, sunt formate și la ce nivel.
La realizarea evaluării rezultatelor școlare la alinierea până la capăt de rând de com-petență pentru fiecare treaptă de învățământ.
În procesul educațional la matematică, profesorul va utiliza atât metodele de evalu-are tradiționale, cât și cele alternative. Reamintim esența unor metode alternative de evaluare prioritare în contextul formării competențelor:
1. Observarea sistematică a comportamentului elevilor în timpul activităților di-dactice este o metodă de evaluare care furnizează o serie de informații utile, greu de obținut pe alte căi. Pentru a le înregistra, profesorul poate utiliza trei remedii:
99
•• fișa de evaluare;•• scara de clasificare;•• lista de control/verificare.
Informații detaliate despre observarea sistematică a comportamentului elevilor pot fi selectate din [17].
2. Investigația reprezintă o activitate ce durează nu mai mult de o oră (lecție) și poate fi descrisă precum urmează: elevul primește, prin instrucțiuni precise, o sarcină pe care trebuie să o înțeleagă și apoi să o rezolve demonstrând o gamă largă de cu-noștințe și capacități. Investigația oferă elevului posibilitatea de a aplica în mod creativ cunoștințele și de a explora situații noi sau foarte puțin asemănătoare cu experiența sa anterioară [17].
3. Proiectul contribuie la transferul de cunoștințe în diverse domenii și la integrarea disciplinelor, cel puțin, în aria curriculară. Proiectul poate fi individual, realizat de un singur elev, sau colectiv, realizat de un grup de elevi. Modalitatea, în care ar putea fi realizat un proiect, ar fi următoarea: activitatea începe în clasă prin explicarea și înțele-gerea sarcinii, prin încercarea rezolvării acesteia. Apoi activitatea continuă pe parcursul a câteva zile sau săptămâni, în funcție de sarcină, în acest timp elevul (grupul de elevi) poate primi consultații de la profesor. Activitatea de cercetare se încheie în clasă, prin prezentarea rezultatelor obținute în fața colegilor.
Etapele realizării unui proiect includ:1. Alegerea temei și formularea problemei2. Planificarea activității:
•• stabilirea obiectivelor proiectului;•• formarea grupelor;•• alegerea subiectului în cadrul temei proiectului de către fiecare elev/grup;•• distribuirea responsabilităților în cadrul grupului;•• identificarea surselor de informare (manuale, proiecte mai vagi, cărți de speci-
alitate, reviste de specialitate, persoane sau instituții specializate în domeniu).3. Cercetarea propriu-zisă4. Elaborarea materialelor5. Prezentarea rezultatelor cercetării și/sau a materialelor create6. Evaluarea:
a) cercetării în ansamblu; b) modului de lucru; c) produsului realizat.
100
Metoda proiectelor reprezintă o metodă eficientă de evaluare a competențelor ele-vilor.
Exemple de teme de proiecte la matematică:I. Proiecte teoretice:
a) Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode.b) Compunerea de probleme la un subiect matematic indicat, inclusiv, probleme
integrative, probleme de tip cascadă. c) Probleme de minim și maxim în activități practice.d) Utilizarea numerelor complexe în tehnică. e) Creditele bancare în Republica Moldova și eficiența acestora etc.
II. Proiecte aplicative:a) Aplicații ale funcțiilor în tehnică. b) Exemple de combinări de corpuri geometrice în construcțiile observabile în
localitatea respectivă. c) Aplicații ale statisticii matematice în diverse activități cotidiene.d) Formarea bugetului personal și a celui familial.e) Elemente de geometrie în construcții.f) Secțiunea de aur și aplicații ale acesteia. g) Simetria în jurul nostru.h) Amenajarea teritoriului școlii, a grădiniței de copii, întreprinderii, satului etc.
III. Proiecte simulative a) Judecata figurilor geometrice.b) Ședința Academiei de Științe.c) Briefingul matematic.d) Lecția în școala lui Pitagora etc.
Notă. Proiectele elaborate, inclusiv proiectele STEM/STEAM, individuale sau de grup, vor fi susținute în cadrul unor lecții de evaluare – lecții de susținere a proiectelor. Din perspectiva formării competențelor, metoda proiectelor ar putea deveni una dintre cele mai eficiente metode de evaluare.
4. Portofoliul este un instrument complex de evaluare a rezultatelor școlare. Prac-tic, portofoliul este o mapă care conține toate rezultatele obținute prin alte metode și tehnici de evaluare: probele scrise și practice, proiectele, autoevaluarea, eseurile, referatele, testele etc. Portofoliul reprezintă „cartea de vizită” a elevului, urmărindu-i progresul de la un trimestru la altul, de la un an școlar la altul, de la o treaptă de învă-țământ la alta. Fiecare elev are acces liber la portofoliul său, completându-l sistematic cu diverse rezultate ale evaluării. O dată pe semestru, profesorul realizează o apreciere
101
globală a portofoliului, în conformitate cu criteriile comunicate elevilor din timp. Nota obținută la această apreciere poate deveni nota semestrială (sau anuală).
5. Jocurile didactice evaluative, prin realizarea scenariilor respective, oferă posibi-litatea de a evalua atât activitatea individuală a elevului, cât și a grupului (echipei) de elevi. De exemplu, scenariile jocurilor evaluative la matematică „Next” și „Brain ring” sunt propuse în [20].
6. Autoevaluarea oferă elevilor încredere în sine și îi motivează pentru îmbună-tățirea performanțelor școlare. Profesorul va ajuta elevii să-și dezvolte capacitățile autoevaluative, să-și compare nivelul la care au ajuns cu obiectivele, competențele și standardele educaționale și să-și impună un program propriu de învățare. Este absolut necesar de a-i învăța pe elevi să se autoevalueze adecvat pentru a lua decizii corecte în situațiile respective.
7. Evaluarea reciprocă îi va implica activ în procesul de evaluare a performanțelor școlare a colegilor contribuind, în ansamblu, la formarea competențelor respective.
6.2. TESTAREA – metodă de evaluare în bază de competențeTestarea rămâne una dintre metodele eficiente de evaluare a nivelului de formare a
competenţelor preconizate. Testele propuse vor conține mai puțini itemi axați pe eva-luarea unor cunoștințe sau capacități separate și mai mulți itemi integrativi, destinați evaluării nivelului de formare a competențelor fixate în curriculum.
Testul, inclusiv testul docimologic, este un instrument eficient de evaluare la ma-tematică. Elaborarea testului necesită respectarea unor algoritmi. Fiecare test include itemi/sarcini corelați/corelate cu următoarele domenii cognitive:
A. Cunoaștere și înțelegere (recunoaşterea, reprezentarea şi asocierea simboluri-lor, a termenilor, a noțiunilor din conținut).
Pentru a evalua acest domeniu, testele includ următoarele tipuri de itemi:I. Itemi obiectivi:a) itemi cu alegere multiplă;b) itemi de tip pereche;c) itemi cu alegere duală (adevăr, fals; da, nu);d) itemi cu răspuns scurt (de completare) la nivel de cunoaștere și înțelegere.
B. Aplicare (utilizarea procedeelor, a metodelor de rezolvare, a algoritmilor, a for-mulelor etc.).
Pentru a evalua acest nivel, testele includ următoarele tipuri de itemi:
102
II. Itemi semiobiectivi:a) întrebări, exerciții, probleme structurate de tip standard (cu argumentările re-
spective);b) itemi cu răspuns scurt la nivel de aplicare (cu argumentările respective);c) itemi cu alegere duală, cu argumentările respective, la nivel de aplicare; d) eseu structurat.De regulă, aceste tipuri de itemi conțin unele indicații privind rezolvarea lor. Elevul
este obligat să țină cont de aceste indicații.
C. Integrare (rezolvări de probleme nonstandard, rezolvări de situații-problemă)Pentru a evalua acest domeniu, testele conțin itemi de tipul:III. Itemi subiectivi (cu răspuns liber): – întrebări, exerciții, probleme nestructurate, situații de problemă ce verifică nive-
lurile cognitive superioare; – eseu nestructurat.
Acești itemi se vor rezolva prin metodele alese de către elevi. Important! Trebuie respectate următoarele cerințe referitoare la formularea itemu-
lui (sarcinii): a) Formularea itemului este corectă dacă ea răspunde la întrebările: Ce? Cât? Cum? Adică:
• Ce trebuie să facă elevul? • Cât trebuie să facă elevul? • Cum trebuie să facă elevul?
b) Numărul de itemi (sarcini) se determină conform raportului 1:3, adică un elev rezolvă de trei ori mai lent decât un matur.
Pentru a elabora testul respectiv, profesorul va ține cont de Harta tehnologică: 1. va selecta temele, conținuturile conform planificării tematico-calendaristice
și curriculumului, care vor fi supuse testării;2. va determina obiectivele de evaluare corespunzătoare unităților de
competențe/competențelor supuse evaluării;3. va elabora matricea de specificații a testului;4. va compune itemi de diferite tipuri în corelare cu matricea de specificații și
obiectivele de evaluare formulate;5. va rezolva testul elaborat pentru a determina dacă elevii vor putea să-l re-
zolve în perioada respectivă de timp; în urma acestei activități, profesorul va corecta testul;
6. va elabora baremul de corectare;
103
7. va elabora baremul de notare;8. va realiza administrarea testului ce include:
a) aprobarea testului și a baremelor respective la ședința catedrei/comisiei metodice;
b) aprobarea testului și a baremelor respective de către administrația gimna-ziului/liceului;
c) editarea testului pentru fiecare elev care va fi supus testării.Important! Cadrele didactice și manageriale vor conștientiza că, în fond,
competențele nu se evaluează. Competența se manifestă prin acțiune și se materia-lizează în produse. Se evaluează produsul obținut (testul rezolvat, proiectul elaborat, problema rezolvată etc.). Curriculumul dezvoltat recomandă ansambluri de produse pentru fiecare clasă la fiecare dintre compartimente.
Evaluarea sumativă la disciplina Matematică este semnificativă în trei contexte:a) la etapa evaluării unităților de competențe, la finele parcurgerii unității de învățare,
a capitolului, a modulului, la finele anului de învățământ (clasele a X-a - a XII-a).Testele sumative, aplicate în acest aspect de evaluare sumativă, vor fi elaborate în
baza următorului algoritm:
Obiectivele de evaluare (corelate cu unitățile de competențe selectate)
Unitățile de competențe (supuse evaluării)
Itemii/Sarcinile (corelați/corelate cu obiectivele de evaluare formulate)
Baremul de corectare
Testul/Proba de evaluare
Baremul de notare/Schema de convertire
Matricea de specificații
104
Matricea de specificații asigură că testul elaborat va măsura nivelul de atingere a obiectivelor educaționale preconizate și va avea o bună validitate de conținut. Prin Ma-tricea de specificații se realizează corelarea dintre domeniile cognitive (Cunoaşterea şi înțelegerea, Aplicarea, Integrarea), domeniile/conținuturile care se testează și numă-rul de itemi/sarcini necesari pentru elaborarea acestui test. În baza Matricei de specifi-cații, se elaborează testul respectiv, apoi Baremul de corectare și Baremul de notare.
Se recomandă aplicarea următorului Barem de notare, determinat de Referenţialul de evaluare [4]:
Nota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Punc
taj,
în %
95-1
00%
87-9
4%
76-8
6%
61-7
5%
45-6
0%
31-4
4%
20-3
0%
11-1
9%
5-10
%
0-4%
În continuare, pentru exemplificare, prezentăm realizarea acestui algoritm la elabo-rarea unui test sumativ pentru clasa a XII-a, profilul real, Sesiunea de iarnă:
Evaluarea sumativăUnitățile de competențe supuse evaluării:1.4. Calcularea integralelor nedefinite, aplicând proprietățile și tabelul de integrale ne-
definite, metodele de integrare (integrarea prin părți, schimbarea de variabilă).1.5. Determinarea primitivei unei funcții sau a funcției a cărei primitivă este dată în
baza unor condiții indicate.2.3. Calcularea integralelor definite aplicând proprietățile, formula lui Newton-
Leibnitz.2.4. Recunoaşterea în diverse contexte și aplicarea subgraficului unei funcții în re-
zolvarea problemelor.2.5. Calcularea ariei figurii și volumului corpului de rotație, aplicând integrala definită.2.6. Aplicarea integralei definite în abordarea unor situații cotidiene și/sau pentru
rezolvarea unor probleme din diverse domenii.5.4. Utilizarea proprietăților poliedrelor în rezolvarea problemelor.5.5. Calcularea ariilor suprafețelor și volumelor poliedrelor în situații reale și/sau
modelate.5.8. Utilizarea poliedrelor și proprietăților acestora pentru a identifica și a explica
situații, procese, fenomene din diverse domenii.
105
Obiectivele de evaluare: Elevii vor demonstra că sunt capabili:OE1 – să calculeze integrale nedefinite aplicând tabelul de integrale nedefinite;OE2 – să calculeze integrale definite aplicând proprietăți, formula Newton-Leibniz;OE3 – să determine primitiva unei funcții în baza unor condiții indicate;OE4 – să interpreteze geometric integrala definită a unei funcții continue cu valori
nenegative;OE5 – să aplice integrala nedefinită, integrala definită în situații reale și/sau modelate;OE6 – să aplice algoritmii specifici calculului ariilor suprafețelor în rezolvarea pro-
blemelor;OE7 – să utilizeze proprietățile poliedrelor în rezolvarea problemelor;OE8 – să interpreteze situații practice utilizând poliedrele și elementele lor.
Matricea de specificații
Domenii cognitive
Conținuturi
Cunoaștere și
înțelegereAplicare Integrare Total
Primitive și integrale nedefinite 1 item 1 item 1 item 3 itemi
30%
Integrale definite și aplicații ale integralelor definite 1 item 1 item 2 itemi 4 itemi
40%
Poliedrе (prisma, piramida) 1 item 1 item 1 item 3 itemi30%
Total 30%3 itemi
30%3 itemi
40%4 itemi
100%10 itemi
106
TESTUL SUMATIVTimp efectiv de lucru: 90 min.
1. Fie funcția integrabilă f R R f x x: ,� � � � �2 1 .
Se știe că f x dx� � ��01 4
3, iar f x dx� � ��1
2 10
3.
a) Completați caseta, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată f x dx� � ��02
.
b) Rezolvați în R ecuația: 6
72
0
22f x dx f x x� � � � � �� .
c) Calculați aria lotului de pământ care are forma mulțimii cuprinse între graficele funcțiilor f g R R f x x, : ,� � � � �2 2 și g x x x� � � � �2 2 .
2p.5p.8p.
2. Un mobil se mișcă rectiliniu cu viteza v t t� � � �13 . a) Încercuiți litera „A”, dacă propoziția este adevărată, sau litera „F”, dacă propoziția este falsă: s t v t� � � � �'' . A / F b) Aflați distanța parcursă (în metri) de mobil în intervalul de timp [0,7] (măsurat în secunde).c) Determinați accelerația mobilului la sfârșitul mișcării.
2p.7p.5p.
3. Acoperișul unui rezervor are forma unei piramide hexagonale regulate cu înălțimea de 2 m și latura bazei de 6 m. a) Completați spațiul rezervat, astfel încât propoziția obținută să fie adevărată: „Piciorul înălțimii piramidei este situat în ____________________ __________”.b) Calculați aria acoperișului rezervorului.c) Determinați numărul de foi de tablă de formă dreptunghiulară necesare pentru acoperiș, dacă o foaie are dimensiunile de 0,7 m și 1,4 m și pentru încheieturi se folo-sesc 10% din suprafața necesară de tablă.
2p.
6p.
5p.
Determinați numărul real a, a > 0 , astfel încât aria subgraficului funcției f a R f x x: , ,0 3� �� � � � � să fie egală cu 4.
7p.
Baremul de corectare
Item Răspuns corect Etapele rezolvării Punctaj
acordatScor
maximObser-
vații
1 a. 14
3
Punctele se acordă numai pentru com-pletarea corectă a casetei.
2 p. 2 p.
1 b.
S={-1; 2}
- determinarea derivatei f;- obținerea ecuației x2 – x – 2 = 0;- rezolvarea ecuației de gradul II (câte un punct pentru fiecare soluție);- răspuns corect.
1 p.1 p.
2 p.1 p. 5 p.
107
1 c.
63,5 u.p.
- trasarea graficului Gf;- trasarea graficului Gg;- evidențierea suprafeței;- determinarea limitelor de integrare (câte un punct pentru fiecare limită);- scrierea formulei pentru calcularea ari-
ei: A g x f x dxa
b� � � � � ��� ���
- calcularea ariei A x x dx� � �� ��� 4 3
2
4
1
;- răspuns corect.
1 p.1 p.1 p.
2 p.
1 p.1 p.1 p. 8 p.
2 a. Fals Punctele se acordă numai pentru încer-cuirea corectă.
2 p. 2 p.
2 b.
11,25 m
- scrierea formulei s'(t)=v(t);- obținerea formulei s t v t dt� � � � �� ;- calcularea integralei cu ajutorul
schimbării de variabilă;- determinarea constantei c = − 34 ;- calcularea distanței parcurse s(t) =
11,25m;- răspuns corect.
1 p.1 p.
2 p.
1 p.1 p.1 p. 7 p.
2 c.
1
12
2m s
- scrierea formulei a(t)=v'(t);- determinarea derivatei:
a tt
� � � ��� �
1
3
1
12
3
;
- calcularea accelerației la sfârșitul mișcării;
- răspuns corect.
1 p.
2 p.
1 p.
1 p. 5 p.
3 a. Centrul cercului circum-
scris bazei
Punctele se acordă numai pentru com-pletarea corectă. 2 p. 2 p.
3 b.
18 312m
- evidențierea triunghiului echilateral din bază;
- determinarea înălțimii triunghiului din bază: 3 3m ;
- determinarea lungimii apotemei feței laterale a piramidei: 31m ;
- calcularea ariei suprafeței unei fețe laterale: 3 31 2m ;
- calcularea ariei suprafeței laterale a acoperișului: 18 31 2m ;
- răspuns corect.
1 p.
1 p.
1 p.
1 p.
1 p.
1 p. 6 p.
108
3 c.
113 foi
- calcularea ariei unei foi de tablă: 0,98 m2;
- calcularea ariei suprafeței folosite pen-tru încheieturi: 10,02 m2;
- determinarea ariei totale;- calcularea numărului de foi necesare
pentru acoperiș;- răspuns corect.
1 p.
1 p.1 p.
1 p.1 p. 5 p.
4
a � �17 3
- scrierea egalității f x dxa
� � ��0 4 ;
- calcularea integralei f x dxa
� ��0 ;
- obținerea ecuației a a26 8 0� � � ;
- determinarea soluțiilor - a
13 17� � � ; a
23 17� � � ,
- câte 1 p. pentru fiecare soluție;- - selectarea soluției;- - răspuns corect.
1 p.
1 p.1 p.2 p.1 p.1 p. 7 p.
Total puncte 49 p.
Baremul de notare/Schema de convertire
Nota 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Punc
taju
l ac
umul
at
47- 4
9
44-4
6
39-4
3
32-3
8
24-3
1
16-3
0
10 -1
5
6-9
3-5
1-2
b) la etapa evaluării interne inițiale a nivelului de formare a competențelor speci-fice la Matematică.
Evaluările rezultatelor școlare în bază de competențe la matematică se realizează prin evaluările inițiale la etapele de trecere de la o treaptă de învățământ la alta. În acest context, importante și prioritare sunt evaluările inițiale realizate la începutul cla-sei a V-a (evaluarea nivelului de formare a competenţelor specifice preconizate pen-tru învăţământul primar) și la începutul clasei a X-a ((evaluarea nivelului de formare a competenţelor specifice preconizate pentru învăţământul gimnazial).
c) la etapa evaluării interne finale a nivelului de formare a competențelor specifi-ce la Matematică.
Acestea sunt evaluările sumative la finele clasei a IX-a și la finele clasei a XII-a.Instrumentul de evaluare/Testul sumativ (docimologic) pentru evaluările b) și c)
trebuie să fie elaborat în baza următorului algoritm:
109
Baremul de corectare
Baremul de notare/Schema de convertire
Din perspectiva evaluării în bază de competențe, se modernizează Matricea de spe-cificații, axată pe domenii ale disciplinei Matematică, determinate de Standardele de eficienţă ale învăţării, nu pe conținuturile parcurse în anul respectiv de învățământ:
Domeniicognitive
Domeniiale disciplinei
Cunoaștere și înțelegere Aplicare Integrare Total
Domeniul I X X X Un item ce conține 3-6 sarcini
Domeniul II X X X Un item ce conține 3-6 sarcini
Domeniul III X X X Un item ce conține 3-6 sarcini
Domeniul IV etc. X X X Un item ce conține 3-6 sarcini
Total 30% 40% 30%100%
Patru itemi ce conțin 12-24 de sarcini
Competențele specifice (competențele-cheie/transversale)
Standardele de eficiență a învățării Matematicii
Indicatorii de competență din standarde/Obiectivele de evaluare
Itemii (structurați)
Testul sumativ (docimologic)
Matricea de specificații
110
Important! Pentru a realiza o evaluare în bază de competență, fiecare item inclus în testul docimologic trebuie să fie structurat astfel încât să includă, conform definiției competenței școlare, sarcini de cunoștințe, sarcini de abilități și sarcini de atitudini (integrare).
Ca exemple de teste docimologice pentru examenul de BAC, pot servi Testele fina-le prezente în manualul de Matematică pentru clasa a XII-a. [14]
6.3. Proiecte STEM și STEAMȘtiința și tehnologia fac parte din viață noastră, iar a le folosi într-un mod care să
aducă valoare e important. În loc de a avea copii care sunt doar consumatori de tehno-logie, am putea avea copii care o înțeleg și o folosesc într-un mod conștient sau chiar o creează. De aceea, astăzi sistemul educațional din Republica Moldova are nevoie de noi provocări și abordări STEM, care ar putea reînvia interesul pentru studierea dis-ciplinelor precum știință, tehnologie, inginerie și matematică. Este necesar ca aceste discipline să devină mai provocatoare, să alimenteze imaginația și inspirația elevilor de azi, cetățenii lumii de mâine. Astfel, Educația STEM (Ştiințe, Tehnologie, Inginerie, Ma-tematică) devine o prioritate a învățământului internațional și național actual. STEM reprezintă un concept educațional ce se bazează pe ideea de educare a elevilor în patru domenii: Știinţe, Tehnologii, Inginerie și Matematică. Disciplinele STEM sunt predate integrat, interdisciplinar, bazându-se pe legătura cu realitatea, pe observația directă, pe experiment, pe logică, pe experiența copiilor. De aceea, unul dintre obiectivele pri-oritare ale educației STEM este utilizarea cunoașterii disciplinare într-o abordare inte-grată, prin învățarea bazată pe probleme nonstandard și pe elaborarea de proiecte. Ca rezultat, elevii sunt implicați în situații de învățare autentice, semnificative, care includ proiectarea, realizarea, testarea, reflectarea și documentarea. Astfel:
• se dezvoltă gândirea critică și autocritică a elevului; • se încurajează inovația; • se dezvoltă capacitatea de a colabora și a comunica eficient cu ceilalți atunci
când abordează o problemă și când formulează soluții; • se produce înțelegerea prin experimentare; • sporește motivația pentru învățare.
Scopul educației STEM este înțelegerea conceptelor, noțiunilor, procedurilor și for-marea de abilităților necesare pentru rezolvarea problemelor personale, sociale și glo-bale, care implică integrarea științei, tehnologiei, ingineriei și matematicii. Exemple de activități care pot fi realizate în contextual educației STEM:
• aplicații practice; • experimente;
111
• proiecte educaționale interdisciplinare: biologie, chimie, geografie, fizică, mate-matică, informatică, tehnologie, arhitectură, meteorologie etc.;
• activități creative legate de meșteșuguri și arte; • proiecte de cercetare ale elevilor în domeniile STEM; • vizite ale elevilor în institute, în muzee, în laboratoare de cercetare; • evenimente care promovează educația pentru științe și tehnologie (târguri,
expoziții, tabere, competiții pentru elevi)Proiectele STEM se raportează la standardele curriculare ale fiecărui domeniu co-
nex STEM (standard naționale), care implică conținuturile corespunzătoare nivelului fiecărei discipline, fără a se izola de o disciplină, și potențând utilitatea integratoare a cunoașterii.
STEAM (Științe, Tehnologia, Inginerie, Arte și Matematică) este o nouă abordare a conceptului STEM, ce implică folosirea principiilor STEM împreună cu integrarea tutu-ror disciplinelor umaniste.
Proiectele STEM/STEAM sunt realizate în comun cu profesorii care predau discipli-nele implicate în realizarea proiectului respectiv. Fiecare dintre acești profesori va acor-da asistența necesară elevilor la disciplina respectivă în procesul realizării proiectului. Timpul rezervat pentru realizarea proiectului diferă de la proiect la proiect: de la o săp-tămână până la două-trei luni. Susținerea proiectelor realizate poate fi publică, inclusiv cu participarea părinților. Evaluarea proiectului se face în raport cu următoarele criterii:
– validitatea proiectului vizează gradul în care acesta acoperă unitar și coerent, logic și argumentat tema propusă;
– completitudinea proiectului se reflectă în felul în care au fost evidențiate cone-xiunile și perspectivele interdisciplinare ale temei, competențele și abilitățile de ordin teoretic și practic și maniera în care acestea servesc conținutului științific;
– elaborarea şi structurarea proiectului în ceea ce privește acuratețea, rigoarea și coerența demersului științific, logica și argumentarea ideilor, corectitudinea con-cluziilor;
– creativitatea vizează gradul de noutate pe care-l aduce proiectul în abordarea temei sau în soluționarea problemei;
– calitatea produsului obţinut şi eficienţa acestuia; – prezentarea şi susţinerea publică a proiectului.
În continuare, propunem unele exemple de proiecte STEM/STEAM, recomandate de Curriculumul la Matematică pentru liceu, pe nivele de profiluri și clase:
112
Profi
lul r
eal
Clas
aSe
mes
trul
ISe
mes
trul
al I
I-lea
a X-
a
I. He
xago
anel
e re
gula
te în
tele
foni
a m
obilă
(STE
M)
Obi
ectiv
e:1.
det
erm
inar
ea ro
lulu
i hex
agoa
nelo
r reg
ulat
e în
te
lefo
nia
mob
ilă/î
n ap
icul
tură
/alte
dom
enii;
2. se
lect
area
și c
lasifi
care
a pr
odus
elor
din
div
er-
se d
omen
ii co
rela
te c
u he
xago
anel
e re
gula
te;
3. e
vide
nție
rea
prop
rietă
ților
hex
agoa
nelo
r re-
gula
te și
justi
ficar
ea u
tiliză
rii h
exag
oanl
eor r
egu-
late
în d
omen
iile
iden
tifica
te.
Dom
enii:
Mat
emati
că, I
nfor
mati
că, A
rte,
Bio
lo-
gie,
Fizi
că, I
ngin
erie
.Pr
odus
e fin
ale:
1. F
otog
rafii
/Des
ene/
Imag
ini a
le p
rodu
selo
r, cl
asifi
cate
în fu
ncție
de
hexa
goan
ele
regu
late
uti
lizat
e.2.
Pre
zent
are
Pow
er P
oint
cu
argu
men
tare
a av
anta
jelo
r util
izării
hex
agoa
nelo
r reg
ulat
e.
II. F
igur
i fra
ctal
e în
art
ă şi
nat
ură
( STE
AM)
Obi
ectiv
e:1.
det
erm
inar
ea n
oțiu
nii d
e fig
ură
frac
tală
și a
ca
ract
eris
ticel
or sa
le;
2. d
eter
min
area
figu
rilor
frac
tale
rem
arca
bile
(tr
iung
hiul
lui S
ierp
insk
i, Fu
lgul
de
zăpa
dă a
l lui
Ko
ch, M
ulţim
ea M
ande
lbor
t etc
.) și
a fr
acta
lilor
în
nat
ură;
3. c
rear
ea p
ropr
iilor
figu
ri fr
acta
le, a
pro
prie
i m
uzic
i fra
ctal
e et
c.Do
men
ii: M
atem
atică
, Art
e, M
uzic
ă, B
iolo
gie,
Fi
zică,
Ingi
nerie
, Inf
orm
atică
.
I. Co
voru
l mol
dove
nesc
(STE
AM)
Obi
ectiv
e:1.
det
erm
inar
ea fi
guril
or g
eom
etric
e di
n or
nam
ente
le c
ovoa
relo
r m
oldo
vene
ști;
2. d
eter
min
area
sem
nific
ație
i orn
amen
telo
r cov
oare
lor m
oldo
vene
ști;
3. se
lect
area
și c
lasifi
care
a co
voar
elor
mol
dove
nești
în fu
ncție
de
orna
-m
ente
le fo
losit
e;4.
cre
area
pro
priu
lui m
odel
de
covo
r, uti
lizân
d fig
uri g
eom
etric
e;5.
util
izare
a re
surs
elor
TIC
pen
tru
crea
rea
mod
elel
or d
e co
voar
e;6.
vizi
te la
fabr
ică/
la m
uzee
de
covo
are
mol
dove
nești
;7.
întâ
lniri
cu
meș
terii
pop
ular
i, cr
eato
ri ai
cov
oare
lor m
oldo
vene
ști.
Dom
enii:
Mat
emati
că, I
stor
ie, G
eogr
afie,
Fizi
că, C
him
ie, B
iolo
gie,
Info
rma-
tică,
Ingi
nerie
, Teh
nolo
gie,
Art
e.Pr
odus
e fin
ale:
1. Im
agin
i/des
ene/
foto
ale
col
ecții
lor d
e co
voar
e m
oldo
vene
ști c
u ex
plic
a-re
a se
mni
ficaț
iilor
.2.
Pre
zent
ări,
utiliz
ând
resu
rse
TIC,
ale
orn
amen
telo
r util
izate
în c
ovoa
rele
m
oldo
vene
ști.
3. E
xpoz
iție
a m
odel
elor
de
covo
are
crea
te.
II. D
rum
ul u
nei i
i mol
dove
neşti
(STE
AM)
Obi
ectiv
e:1.
det
erm
inar
ea fi
guril
or g
eom
etric
e di
n or
nam
ente
le c
ămăș
ilor
mol
dove
nești
; 2.
det
erm
inar
ea se
mni
ficaț
iei o
rnam
ente
lor c
ămăș
ilor m
oldo
vene
ști;
3. se
lect
area
și c
lasifi
care
a or
nam
ente
lor u
tiliza
te p
entr
u că
măș
ile
mol
dove
nești
;4.
vizi
te la
muz
ee e
tnog
rafic
e;5.
întâ
lniri
cu
meș
teri
popu
lari,
cre
ator
i de
ii și
căm
ăși m
oldo
vene
ști;
6. c
rear
ea p
ropr
iulu
i mod
el d
e că
maș
ă/ie
.
113
Prod
use
final
e:1.
Pre
zent
ări P
ower
Poi
nt.
2. G
aler
ia d
e im
agin
i/des
ene/
albu
m fo
to a
le/a
l fig
urilo
r fra
ctal
e re
mar
cabi
le și
ale
/al fi
guril
or
frac
tale
în n
atur
ă.3.
Exp
oziți
i de
dese
ne d
e fig
uri f
ract
ale
prop
rii.
Dom
enii:
Mat
emati
că, I
stor
ie, G
eogr
afie,
Info
rmati
că, I
ngin
erie
, Art
e.Pr
odus
e fin
ale:
1. Im
agin
i/des
ene/
foto
ale
col
ecții
lor d
e ii/
căm
ăși m
oldo
vene
ști c
u ex
pli-
care
a se
mni
ficaț
iei o
rnam
ente
lor.
2. P
reze
ntăr
i, uti
lizân
d re
surs
e TI
C, a
le o
rnam
ente
lor u
tiliza
te în
căm
ășile
m
oldo
vene
ști.
a XI
-aAp
licar
ea d
eriv
atei
în e
cono
mie
(STE
M)
Obi
ectiv
e:1.
det
erm
inar
ea ro
lulu
i der
ivat
ei în
stud
iere
a fe
nom
enel
or/p
roce
selo
r din
eco
nom
ie;
2. în
tâln
iri c
u ag
enți
econ
omic
i din
dom
eniu
l an
alize
lor ș
i pre
viziu
nilo
r eco
nom
ice
ale
dife
ritor
co
mpa
nii.
Dom
enii:
Mat
emati
că, E
cono
mie
, Inf
orm
atică
, In
gine
rie.
Prod
use
final
e:1.
Pre
zent
are
a in
vesti
gație
i rea
lizat
e în
baz
a un
ui p
roce
s eco
nom
ic, u
tilizâ
nd d
eriv
ate
cu in
-te
rpre
tări
a de
rivat
elor
și c
oncl
uziil
e re
spec
tive.
2. P
reze
ntar
e Po
wer
Poi
nt.
I. Cr
edit
pent
ru c
asa
mea
(STE
M)
Obi
ectiv
:de
term
inar
ea a
vant
ajel
or d
iver
selo
r tipu
ri de
cr
edita
re o
ferit
e de
băn
cile
exi
sten
te în
Rep
ubli-
ca M
oldo
va.
Dom
enii:
Mat
emati
ca, E
cono
mie
, Inf
orm
atica
.Pr
odus
e fin
ale:
1. P
reze
ntar
ea c
erce
tării
tipu
rilor
de
cred
itare
of
erite
de
trei
băn
ci a
lese
în m
od a
leat
or, i
nter
-pr
etar
ea re
zulta
telo
r și c
oncl
uzia
fina
lă.
2. P
reze
ntar
ea e
xem
plel
or d
e cr
edita
re
nere
ușită
din
pra
ctică
cu
anal
iza c
auze
lor r
e-sp
ectiv
e și
dete
rmin
area
solu
țiilo
r.
I. Ca
sa m
ea d
e vi
s (ST
EAM
)O
biec
tive:
1. d
eter
min
area
rolu
lui M
atem
atici
i, Fi
zicii,
Bio
logi
ei și
Chi
mie
i în
cons
truc
ția v
iitoa
rei c
ase;
2. e
labo
rare
a un
ui p
roto
tip (r
eal s
au d
igita
l) al
cas
ei d
e vi
s.Do
men
ii: M
atem
atică
, Fizi
că, C
him
ie, B
iolo
gie
Info
rmati
că, I
ngin
erie
, Art
e.Pr
odus
e fin
ale:
1. P
roto
tipul
Cas
ei d
e vi
s.2.
Exp
oziți
a de
mac
hete
și p
rodu
se c
reat
e.3.
Pre
zent
are
Pow
er P
oint
/Vid
eo sp
ot.
114
Profi
lul u
man
ist
Clas
aSe
mes
trul
ISe
mes
trul
al I
I-lea
a X-
a
I. M
atem
atica
în a
rta
culin
ară
(STE
AM)
Obi
ectiv
e:1.
det
erm
inar
ea ro
lulu
i mat
emati
cii î
n ar
ta
culin
ară;
2. c
alcu
lare
a ca
ntită
ții d
e in
gred
ient
e pe
ntru
un
men
iu d
e să
rbăt
oare
;3.
det
erm
inar
ea ro
lulu
i figu
rilor
geo
met
rice
pent
ru c
rear
ea d
eser
turil
or.
Dom
enii:
Mat
emati
că, A
rta
culin
ară,
Isto
rie,
Ingi
nerie
, Bio
logi
e, C
him
ie, F
izică
, Art
e.Pr
odus
e fin
ale:
1. M
eniu
de
sărb
ătoa
re c
u m
ențio
nare
a ca
ntită
ților
de
ingr
edie
nte.
2. C
rear
ea d
esig
nulu
i unu
i des
ert u
tilizâ
nd
elem
ente
de
geom
etrie
.
I. Co
voru
l mol
dove
nesc
(STE
AM)
Obi
ectiv
e:1.
det
erm
inar
ea fi
guril
or g
eom
etric
e di
n or
nam
ente
le c
ovoa
relo
r m
oldo
vene
ști;
2. d
eter
min
area
sem
nific
ație
i orn
amen
telo
r cov
oare
lor m
oldo
vene
ști;
3. se
lect
area
și c
lasifi
care
a co
voar
elor
mol
dove
nești
în fu
ncție
de
orna
men
te-
le fo
losit
e;4.
cre
area
pro
priu
lui m
odel
de
covo
r, uti
lizân
d fig
uri g
eom
etric
e;5.
util
izare
a re
surs
elor
TIC
pen
tru
crea
rea
mod
elel
or d
e co
voar
e;6.
vizi
te la
fabr
ica/
muz
ee d
e co
voar
e m
oldo
vene
ști;
7. în
tâln
iri c
u m
ește
ri po
pula
ri, c
reat
ori a
i cov
oare
lor m
oldo
vene
ști.
Dom
enii:
Mat
emati
că, I
stor
ie, G
eogr
afie,
Info
rmati
că, F
izică
, Chi
mie
, Bio
logi
e,
Ingi
nerie
, Art
e.Pr
odus
e fin
ale:
1. Im
agin
i/des
ene/
foto
ale
col
ecții
lor d
e co
voar
e m
oldo
vene
ști c
u ex
plic
area
se
mni
ficaț
iilor
.2.
Pre
zent
ări,
utiliz
ând
resu
rse
TIC,
ale
orn
amen
telo
r util
izate
în c
ovoa
rele
m
oldo
vene
ști.
Expo
ziție
a m
odel
elor
de
covo
are
crea
te.
a XI
I-aCr
edit
pent
ru c
asa
mea
(STE
M)
Obi
ectiv
:de
term
inar
ea a
vant
ajel
or d
iver
selo
r tipu
ri de
cre
dita
re o
ferit
e de
băn
cile
exi
sten
te în
Re
publ
ica
Mol
dova
.Do
men
ii: M
atem
atică
, Eco
nom
ie, I
nfor
mati
-că
, Ing
iner
ie, B
iolo
gie,
Chi
mie
, Fizi
că.
II. C
asa
mea
de
vis (
STEA
M)
Obi
ectiv
e:1.
det
erm
inar
ea ro
lulu
i Mat
emati
cii,
Fizic
ii, B
iolo
giei
și C
him
iei î
n co
nstr
ucția
vi
itoar
ei c
ase;
2. e
labo
rare
a un
ui p
roto
tip (r
eal s
au d
igita
l) al
cas
ei d
e vi
s.Do
men
ii: M
atem
atică
, Fizi
că, C
him
ie, B
iolo
gie
Info
rmati
că, I
ngin
erie
, Art
e.
115
Prod
use
final
e:1.
Pre
zent
area
cer
cetă
rii ti
puril
or d
e cr
edita
-re
ofe
rite
de tr
ei b
ănci
ale
se în
mod
ale
ator
, in
terp
reta
rea
rezu
ltate
lor ș
i con
cluz
ia fi
nală
.2.
Pre
zent
area
exe
mpl
elor
de
cred
itare
ne
reuș
ită d
in p
racti
că c
u an
aliza
cau
zelo
r re
spec
tive
și de
term
inar
ea so
luții
lor.
Prod
use
final
e:1.
Pro
totip
ul C
asei
de
vis.
2. E
xpoz
iția
de m
ache
te și
pro
duse
cre
ate.
3. P
reze
ntar
e Po
wer
Poi
nt/V
ideo
spot
.
116
WEB-BIBLIOGRAFIE
1. Cadrul de referinţă al curriculumului naţional. Ministerul Educației, Culturii și Cer-cetării. Chișinău: Lyceum, 2017.
2. Codul Educaţiei al Republicii Moldova. Chișinău, 2014.3. Cu privire la aprobarea Instrucţiunii privind managementul temelor pentru acasă,
în învăţământul primar, gimnazial şi liceal. Ordinul Ministrului Educației, Culturii și Cercetării, nr. 1249 din 22.08.2018.
4. Curriculum naţional. Disciplina Matematică. Clasele a X-a - a XII-a. Ministerul Educației, Culturii și Cercetării al Republicii Moldova. Chișinău: Lyceum, 2019.
5. Educaţia centrată pe elev. Ghid metodologic. Coordonatori T. Callo, A.Paniș. Chișinău: „Print-Caro” SRL, 2010.
6. Educaţia centrată pe cel ce învaţă. Ghid metodologic. Coordonator Vl. Guțu. Chi-șinău: CEP USM, 2009.
7. Evaluarea în învăţământ: orientări conceptuale. Ghid metodologic. Coordonatori: Pâslaru V., Cabac V. Chișinău: I.Ș.E., 2002.
8. Evaluarea criterială prin descriptori în învăţământul primar. Clasa a III-a. Ghid me-todologic. Institutul de Științe ale Educației, 2017. 64 p.
9. Metodologia privind implementarea evaluării criteriale prin descriptori. Clasa a III-a. Institutul de Științe ale Educației, 2017. 61 p.
10. Psihopedagogia centrată pe copil. Coordonator Vl. Guțu. Chișinău: CEP USM, 2009.
11. Referenţialul de evaluare a competenţelor specifice formate elevilor. Ministerul Educației al Republicii Moldova. Chișinău, 2014.
12. Repere metodologice privind asigurarea continuităţii la nivelul claselor a IV-a şi a V-a din perspectiva implementării Evaluării Criteriale prin Descriptori. Ministe-rul Educației, Culturii și Cercetării. IȘE, Chișinău, 2018.
13. Standarde de eficienţă a învăţării. Ministerul Educației al Republicii Moldova. Chișinău: Lumina, 2012.
14. Strategia Moldova Digitală 2020, publicată: 08.11.2013 în Monitorul Oficial al Republicii Moldova nr. 252-257, art.: 963.
15. Achiri I., Ceapa V., Șpuntenco O. Matematică. Ghid de implementare a curriculu-mului modernizat pentru treapta gimnazială de învăţământ. Chișinău: Lyceum, 2011.
16. Achiri I. Didactica matematicii. Chișinău: CEP USM, 2009.
117
17. Achiri I. Jocuri didactice la matematică. Chișinău: Lumina, 1990.18. Achiri I. Sofisme matematice. Chișinău: Știința, 1992. 19. Achiri I. et al. Matematică. Manual. Clasa a X-a. Chișinău: Editura Prut Interna-
țional, 2013.20. Achiri I. et al. Matematică. Manual. Clasa a XI-a. Chișinău: Editura Prut Interna-
țional, 2014.21. Achiri I. et al. Matematică. Manual. Clasa a XII-a. Chișinău: Editura Prut Inter-
național, 2016.22. Achiri I., Braicov A., Șpuntenco O., Ursu L. Matematică. Ghid pentru profesori.
Clasa a V-a. Chișinău: Editura Prut Internațional, 2010.23. Achiri I., Ceapa V., Copăceanu R., Șpuntenco O. Planşe la matematică pentru
liceu. Chișinău: Cartdidact, 2007.24. Stoica A., Musteață S. Evaluarea rezultatelor şcolare. Ghid metodologic. Chiși-
nău, 2003.25. Achiri I., Braicov A., Ceapa V., Șpuntenco O. Culegerile de teste privind pregăti-
rea pentru examenul de absolvire a gimnaziului la matematică. Chișinău: Editura Prut, 2018;
26. Achiri I., Ceapa V., Șpuntenco O. Culegerile de teste privind pregătirea pentru examenul de absolvire a gimnaziului la matematică. Chișinău: Editura Lyceum, 2018.
27. Achiri I., Cibotarenco E., Solomon A. ș.a. Metodica predării matematicii. Vol. I. Chișinău: Lumina, 1992.
28. Achiri I., Gaidargi Gh., Turlacov Z. ș.a. Metodica predării matematicii în învăţământul preuniversitar, metodica predării algebrei şi elementelor de anali-ză matematică. Vol. II. Chișinău: Lumina, 1995.
29. Achiri I., Anastasiei M., Solomon N. ș.a. Metodica predării geometriei în învăţământul preuniversitar. Chișinău: Lumina, 1997.
30. Bocoș M. Instruirea interactivă. Iași: Polirom, 2013.31. Cabac V. Evaluarea prin teste în învăţământ. Bălți: Universitatea de Stat „Alecu
Russo”, 1999. 32. Cartaleanu T., Ghicov A. Predarea interactivă centrată pe elev. Ghid metodolo-
gic pentru formarea cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chiși-nău: Știința, 2007.
33. Cartaleanu T., Cosovan O., Goraș-Postică V. ș.a. Formare de competenţe prin strategii didactice interactive. Chișinău: C.E. Pro Didactica, 2008.
34. Cerghit I. Metode de învăţământ, ediția a IV-a. Iași, Editura „Polirom”, 2006.35. Ciolan, L. Învăţarea integrată. Iași: Polirom, 2008.
118
36. Cosovan O., Ghicov A. Evaluarea continuă la clasă. Ghid metodologic pentru formarea cadrelor didactice din învățământul preuniversitar. Chișinău: Știința, 2007.
37. Cristea S. Dicţionar de pedagogie. Chișinău: Litera, 2000.38. Fryer M. Predarea şi învăţarea creativă. Chișinău: Editura Uniunii Scriitorilor,
2004.39. Guțu V., Pâslaru V. ș.a. Tehnologii educaţionale. Ghid metodologic. Ch.: Editura
Cartier, 1998.40. Minder M. Didactica funcţională: obiective, strategii, evaluare. Ch.: Cartier,
2003.41. Potolea D., Neacș, I. Manolescu M. Metodologia evaluării realizărilor şcolare ale
elevilor. Ghid metodologic general. București, 2011. 42. Radu I. T. Evaluarea în procesul didactic. Ed. a III-a. București: Editura Didactică
și Pedagogică, 2007, 288 p.43. Raileanu A., Achiri I., Prodan N. Matematică. În: Matematică şi Știinţe. Ghiduri
metodologice. Chișinău: Grupul editorial Litera, 2000.44. Vogler J. Evaluarea în învăţământul preuniversitar. Iași: Polirom, 2000, 204 p. 45. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики:
кн. для учителя. М. Просвещение, 2005.46. https://centruldeparenting.ro/copilul-tau-are-competente-stem-afla-care-
sunt-acestea-si-cum-le-poti-dezvolta-prin-48-de-idei-distractive/47. http://www.tribunainvatamantului.ro/stem-o-necesitate-in-stransa-conexiu-
ne-cu-realitatea/48. https://creeracord.com/2018/10/26/rezolvarea-unei-probleme-stem-planul-
de-lectie-nr-1-in-pbl/49. https://www.schooleducationgateway.eu/ro/pub/latest/practices/steam-lear-
ning-science-art.htm50. https://utm.md/blog/2016/10/12/prezentarea-conceptului-privind-educatia-
stem/ www.didactic.ro
51. https://www.didactic.ro/materiale didactice/probleme-de-tip-cascada.52. https://ru.scribd.com/document/325217413/Probleme -de-Tip-Cascadă.53. https://www.mathovore.fr/asie-2019-brevet-de-maths-avec-sujet-et-corrige54. www.dexonline.ro