MATEMAT‹KSEL ‹KT‹SAT...T.C. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 2669 AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 1635 MATEMAT‹KSEL ‹KT‹SAT Yazarlar Doç.Dr. Murat TAﬁDEM‹R

T.C. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 2669

AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 1635

MATEMAT‹KSEL‹KT‹SAT

YazarlarDoç.Dr. Murat TAfiDEM‹R (Ünite 1)

Yrd.Doç.Dr. Erkan ÖZATA (Ünite 2, 6)Doç.Dr. Sezgin AÇIKALIN (Ünite 3)

Yrd.Doç.Dr. Ahmet T‹RYAK‹ (Ünite 4)Prof.Dr. Mustafa ÖZER (Ünite 5)

Yrd.Doç.Dr. Levent ERDO⁄AN (Ünite 7)Doç.Dr. Y›lmaz KILIÇASLAN (Ünite 8)

EditörlerDoç.Dr. Sezgin AÇIKALINYrd.Doç.Dr. Erkan ÖZATA

ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹

Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›fl haklar› Anadolu Üniversitesine aittir.“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.

‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›tveya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.

Copyright © 2012 by Anadolu UniversityAll rights reserved

No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmittedin any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹

Genel Koordinatör Doç.Dr. Müjgan Bozkaya

Genel Koordinatör Yard›mc›s›Arfl.Gör.Dr. ‹rem Erdem Ayd›n

Ö¤retim Tasar›mc›lar›Doç.Dr. Cengiz Hakan Ayd›n

Yrd.Doç.Dr. Evrim Genç Kumtepe

Grafik Tasar›m YönetmenleriProf. Tevfik Fikret Uçar

Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z Ö¤r.Gör. Nilgün Salur

Dil Yaz›m Dan›flman›Okt. Ferdi Bozkurt

GrafikerlerHilal Küçükda¤aflan

Gülflah Y›lmaz

Kitap Koordinasyon BirimiUzm. Nermin Özgür

Kapak DüzeniProf. Tevfik Fikret Uçar

Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›z

DizgiAç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi

Matematiksel ‹ktisat

ISBN 978-975-06-1336-4

1. Bask›

Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 33.500 adet bas›lm›flt›r.ESK‹fiEH‹R, A¤ustos 2012

‹çindekilerÖnsöz ............................................................................................................ vii

Türev ve Kurallar›.................................................................... 2TÜREV VE ‹KT‹SAD‹ ANAL‹Z ...................................................................... 3L‹M‹T VE SÜREKL‹L‹K ................................................................................. 3Limit Kavram› ................................................................................................ 4

Sa¤dan Limit ............................................................................................ 4Soldan Limit............................................................................................. 4

Bir Fonksiyonun Limitinin Bulunmas› ......................................................... 5Limitin Özellikleri .......................................................................................... 5Süreklilik ........................................................................................................ 7TÜREV............................................................................................................ 8De¤iflimi Oran› ve Türev .............................................................................. 8Türevi Al›nabilir Fonksiyonlar ...................................................................... 10Türevin Anlam›.............................................................................................. 10TÜREV ALMA KURALLARI............................................................................ 11Sabit Fonksiyon Kural›.................................................................................. 11Kuvvet Fonksiyonu Kural› ............................................................................ 11Toplam Kural›................................................................................................ 12Çarp›m Kural› ................................................................................................ 12Bölüm Kural› ................................................................................................. 12Zincir Kural›................................................................................................... 13Üstel Fonksiyon Kural›.................................................................................. 14Logaritmik Fonksiyon Kural› ........................................................................ 14Trigonometrik Fonksiyon Kural› .................................................................. 16Kapal› Foksiyon Kural› ................................................................................. 16‹K‹NC‹ VE DAHA YÜKSEK DERECEDEN TÜREVLER ................................ 17MARJ‹NAL FONKS‹YONLAR......................................................................... 18Marjinal Has›la ............................................................................................... 19Marjinal Maliyet ............................................................................................. 23Marjinal Ürün................................................................................................. 24ESNEKL‹K ...................................................................................................... 26TÜKET‹M VE TASARRUF.............................................................................. 29Özet ............................................................................................................... 30Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 31Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 32S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 32Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 33

Tek De¤iflkenli Fonksiyonlar .................................................. 34FONKS‹YON KAVRAMI VE FONKS‹YONLA ‹L‹fiK‹L‹ TEMELKAVRAMLAR.................................................................................................. 35Fonksiyonla ‹liflkili Temel Kavramlar........................................................... 36

Fonksiyonlar›n Grafiklerinin Çizilmesi................................................... 38FONKS‹YONLARIN ÖZELL‹KLER‹................................................................ 39Artan ve Azalan Fonksiyonlar ...................................................................... 39Monoton, Kesin Monoton ve Monoton Olmayan Fonksiyon .................... 39Birebir Fonksiyon.......................................................................................... 40Ters Fonksiyon .............................................................................................. 40Minimum ve Maksimum Noktalar................................................................ 40Ortalama De¤iflim Oran› ............................................................................... 40Bükeylik......................................................................................................... 41DO⁄RUSAL FONKS‹YONLAR ...................................................................... 42Do¤rusal Fonksiyonun E¤imi ....................................................................... 42

‹ ç indek i ler iii

1. ÜN‹TE

2. ÜN‹TE

Nokta-E¤im Formülü............................................................................... 43Nokta-Nokta Formülü ............................................................................. 43

Do¤rusal Fonksiyonlar›n ‹ktisadi Uygulamalar› .......................................... 43Arz ve Talep Fonksiyonlar› .................................................................... 44Piyasa Dengesi ........................................................................................ 45Esneklik .................................................................................................. 46Yay Esnekli¤i ........................................................................................... 46Nokta Esnekli¤i ...................................................................................... 46

KARESEL (KUADRAT‹K) FONKS‹YONLAR ................................................. 48Karesel Fonksiyonlar›n Çözümü .................................................................. 48Karesel Fonksiyonlar›n Grafi¤i ..................................................................... 49Karesel Fonksiyonlar›n ‹ktisadi Uygulamalar› ............................................. 50

Arz ve Talep Fonksiyonlar› .................................................................... 50Has›la, Maliyet ve Kar Fonksiyonlar› ..................................................... 51

Özet................................................................................................................ 55Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 56Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 57S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 57Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 58

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar.......................................... 60ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARA G‹R‹fi ................................... 61B‹LEfi‹K FA‹Z VE e (DO⁄AL SAYI) SAYISI ................................................ 62Logaritmik Fonksiyon ................................................................................... 65‹KT‹SAT UYGULAMALARI ............................................................................ 67Bileflik Faiz..................................................................................................... 67Üstel Azalma.................................................................................................. 68Türevler.......................................................................................................... 69Lojistik E¤risi.................................................................................................. 69Esneklik.......................................................................................................... 70

Fiyat Esnekli¤i ......................................................................................... 71Toplam Has›la ......................................................................................... 72Ters Talep................................................................................................ 72Marjinal Has›la......................................................................................... 72

Esneklik ve Logaritma................................................................................... 73Di¤er Esneklikler ........................................................................................... 74Özet ............................................................................................................... 76Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 77Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 78S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 78Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 79

Eflanl› Denklem Sistemleri...................................................... 80DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹............................................................ 81E¤im-Kesiflim Formunu Kullanarak Çözüm................................................. 81‹kame (Yerine Koyma) Metodu ................................................................... 82DO⁄RUSAL DENKLEMLER‹N ‹KAME (YER‹NE KOYMA)METODUYLA ÇÖZÜMÜ ............................................................................... 83Do¤rusal denklem Sisteminde Eflitlikleri ve Bilinmeyenleri Sayma........... 83En Küçük Durum: ‹ki Eflitlik ve ‹ki Bilinmeyen ......................................... 84En S›k Karfl›lafl›lan Durum: Üç Eflitlik ve Üç Bilinmeyen........................... 85Üç Eflitlik ve Üç Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Aflamalar›.. 85Daha Fazla Eflitlik ve Daha Fazla Bilinmeyen............................................. 86Daha Fazla Örnek Çözüm ............................................................................ 87Eleme Metodu ............................................................................................... 89Eflzamanl› Denklemlerde Çözümün Varl›¤› ve Tekli¤i ............................... 90

‹ ç indek i leriv

3. ÜN‹TE

4. ÜN‹TE

Do¤rusal ve Do¤rusal Olmayan Denklem Sistemleri ve Çözümler ........... 91DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N EKONOM‹K UYGULAMALARI.. 91Arz ve Talep Modeli ..................................................................................... 91Talep .............................................................................................................. 91Talep E¤risi (Do¤rusu).................................................................................. 92Arz ................................................................................................................. 92Arz E¤risi........................................................................................................ 92Arz, Talep ve Piyasa Dengesi....................................................................... 93Piyasa Dengesinin Grafiksel Gösterimi........................................................ 93Dengesizlik Durumu (qD > qS) ................................................................... 94KARfiILAfiTIRMALI STAT‹K DENGE ANAL‹Z‹ ............................................. 94Tüketici Gelirinin Artmas› ve Dengenin De¤iflmesi.................................... 95Vergi Politikas› ve Piyasa Dengesinin De¤iflmesi ....................................... 96Do¤rusal Denklemler ve Makroekonomik Denge ...................................... 98

Modelin Anahtar ‹liflkisi .......................................................................... 98Karfl›laflt›rmal› Dura¤anl›k....................................................................... 100

DO⁄RUSAL ‹KT‹SAD‹ MODELLERE ‹L‹fiK‹N ÖRNEK ÇÖZÜMLER ........... 101Piyasa Dengesinin Bulunmas› ile ‹lgili Örnekler ........................................ 101Tüketim Vergileri ve Piyasa Dengesine Etkisi ile ‹lgili Örnekler............... 101Ulusal Gelirin Belirlenmesi ile ‹lgili Örnek ................................................. 102Özet................................................................................................................ 103Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 104Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 105S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 106Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 107

Matrisler ve Denklem Sistemlerinin Matrislerle Çözümü.. 108G‹R‹fi .............................................................................................................. 109MATR‹SLERLE ‹LG‹L‹ TANIMLAR VE TER‹MLER ........................................ 109TEMEL MATR‹S ‹fiLEMLER‹........................................................................... 113Matrislerin Eflitli¤i ......................................................................................... 113Matrislerde Toplama ve Ç›karma ................................................................ 114Matrisin ‹z De¤eri.......................................................................................... 115Matrislerde Çarpma ....................................................................................... 115

Matrisin Bir Say› ile Çarp›m›................................................................... 115Matrislerin Çarp›m›.................................................................................. 115

Matris ‹fllemlerinin Yasalar›........................................................................... 117Matrisin Evri¤i .............................................................................................. 117TERS MATR‹S‹N BULUNMASI ...................................................................... 118Gauss Eleme Yöntemi veya Pivot Yöntemi................................................. 118Ek Matris Yöntemi......................................................................................... 120DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N ÇÖZÜMÜ......................................................... 124Ters Matris Yöntemi...................................................................................... 124Gauss Eleme Yöntemi................................................................................... 126Cramer Kural› ................................................................................................ 128Özet................................................................................................................ 130Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 132Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 133S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 134Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 136

Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar .................................................. 138ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YON KAVRAMI ................................................ 139‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar.......................................................................... 139

‹ki De¤iflkenli Fonksiyonun Tan›m Kümesi .......................................... 140‹ki De¤iflkenli Fonksiyonun Grafi¤i ....................................................... 140

‹ ç indek i ler v

5. ÜN‹TE

6. ÜN‹TE

‹kiden Fazla De¤iflkenli Fonksiyonlar.......................................................... 141KISM‹ TÜREV ................................................................................................ 141‹kinci Dereceden K›smi Türevler ................................................................. 142ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARIN ‹KT‹SAD‹ UYGULAMALARI......... 145Esneklikler ..................................................................................................... 145Fayda Fonksiyonu ......................................................................................... 146Üretim Fonksiyonu........................................................................................ 148

Üretim Fonksiyonunun Homojenli¤i ve Ölçe¤e Göre Getiri ............... 149Euler Teoremi.......................................................................................... 150Azalan Marjinal Ürün .............................................................................. 150

Kâr Fonksiyonu ............................................................................................. 151Özet................................................................................................................ 152Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 154Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 155S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 156Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 157

K›s›ts›z Optimizasyon.............................................................. 158OPT‹M‹ZASYON............................................................................................ 159TEK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA KISITSIZ ....................................... 159OPT‹M‹ZASYON............................................................................................ 159Yerel Maksimum ve Minimum ‹çin Birinci Türev Yöntemi ....................... 160Yerel Maksimum ve Minimum ‹çin ‹kinci Türev Yöntemi......................... 160ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA KISITSIZ OPT‹M‹ZASYON ......... 163‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlarda K›s›ts›z Optimizasyon................................. 163Üç De¤iflkenli Fonksiyonlarda K›s›ts›z Optimizasyon ................................ 166Özet................................................................................................................ 170Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 171Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 172S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 173Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 174

K›s›tl› Optimizasyon................................................................ 176G‹R‹fi .............................................................................................................. 177KISITLI OPT‹M‹ZASYON .............................................................................. 178Yerine Koyma Metodu ‹le K›s›tl› Optimizasyon.......................................... 178Toplam Diferansiyel Yaklafl›m› ‹le K›s›tl› Optimizasyon ............................ 179Lagrange Çarpan› Metodu ‹le K›s›tl› Optimizasyon .................................... 180Lagrange Çarpan›’n›n Anlam› ....................................................................... 182ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA KISITLI OPT‹M‹ZASYON ........... 183ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ ÇOK KISITLI FONKS‹YONLARDA OPT‹M‹ZASYON .. 183‹K‹NC‹ DERECEDEN KOfiULLAR ................................................................. 184KISITLI OPT‹M‹ZASYON ‹LE ‹KT‹SAD‹ UYGULAMALAR .......................... 185Tüketicinin Fayda Maksimizasyonu ............................................................ 185Tüketicinin Harcama Minimizasyonu........................................................... 188Firmalarda K›s›tl› Optimizasyon ................................................................... 190Maliyet Minimizasyonu ................................................................................. 190Üretim Maksimizasyonu................................................................................ 191Özet ............................................................................................................... 192Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 193Yaflam›n ‹çinden............................................................................................ 195Okuma Parças› .............................................................................................. 195Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 196S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 196Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 197

‹ ç indek i lervi

7. ÜN‹TE

8. ÜN‹TE

Önsöz

Merhaba. Elinizdeki bu ders kitab›, Matematiksel ‹ktisat Dersi için uzaktane¤itim alan›nda Anadolu Üniversitesi altyap›s›yla haz›rlanan alan›n›n ilk kitab›d›r.‹lk olarak kitab›n haz›rlanmas›nda eme¤i olan tüm akademik ve teknik ekibeteflekkürlerimizi sunuyoruz.

‹ktisat bir bilim olarak ele al›nd›¤›nda, günümüz dünyas›nda vazgeçilmezyard›mc›lar›ndan biridir matematik. Bununla birlikte dikkat edilmesi gerekli duru-mu Galbraith flöyle ifade eder: “‹ktisat biliminde matematiksel al›flt›rmalara uzunuzad›ya ba¤l› kalmak, hiçbir soruya yer b›rakmaks›z›n zarar verici olabilir. ‹ktisa-di yarg› ve yorumlar›n körelmesine yol açar”. Bu anlamda iktisat biliminin matem-atikle olan iliflkisi tam da tad›nda olmal›d›r denilebilir. ‹flte bu kitab›n iktisat lisansö¤rencileri için haz›rlanmas›nda gerekli bilgi, beceri ve örnekler tam da bu tad›naray›fl›na uygun biçimde sunulmaya çal›fl›lm›flt›r.

Kitab›n üniteleri içerisinde matematiksel altyap› genel olarak verilirken, ö¤ren-cilere iktisat bilgilerini artt›rmak için daha geliflmifl bir dizi matematiksel arac›nsunulmas› da ihmal edilmemifltir. Bu amaçla, optimizasyon, karfl›laflt›rmal› statikanaliz, do¤rusal denklem çözümlemeleri ve matris teorisi ile iktisat uygulamalar›gibi daha özel konular standart matematiksel teknikleri klasik ve ça¤dafl iktisatbilgi ve örnekleriyle harmanlayarak ele alm›flt›r.

Fayda maksimizasyonu gibi ekonomik davran›fllar›n modellenmesiyle matem-atiksel araçlar iktisat biliminde ciddi bir flekilde 19. Yüzy›lda yer bulmaya bafllad›.20. Yüzy›l›n ilk yar›s› boyunca iktisat bilimi giderek daha matematiksel bir yap›yabüründü. ‹kinci Dünya Savafl› sonras› ise daha yeni ve genellefltirilmifl matem-atiksel tekniklerin iktisatta önemli yer tuttu¤unu izlemek mümkün olmufltur. ‹kti-sat bilimindeki bu h›zl› sistematik ve matematiksel de¤iflim baz› bilim insanlar›n›endiflelendirmifltir. Keynes, Hayek ve Heilbroner gibi iktisatç›lar iktisat bilimininh›zl› biçimde matematikselleflmesini elefltirdilerse de onlar› takip eden nesillergiderek matematik kullan›m›na iktisatta daha fazla yer vermifltir. Günümüzde bil-imsel olmayan iktisad›n alg›lanmas› ve anlafl›lmas› için bile matematik vazgeçilmezolmufltur. Bu anlamda iktisat bilimini alg›lamak, anlamak ve ö¤renmek için gerek-li matematiksel altyap› bu ders kitab› ile siz ö¤renmek isteyenlere sunulmufltur.Buyrun…

EditörlerDoç. Dr. Sezgin AÇIKALIN

Yrd. Doç. Dr. Erkan ÖZATA25 Haziran 2012

Önsöz vii

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Limit ve süreklilik kavramlar›n› aç›klayarak, fonksiyonlar›n limitlerini bulabi-lecek,Türevin matematiksel ve iktisadi anlam›n› aç›klayarak, fonksiyonlar›n türev-lerini alabilecek,Marjinal kavram›n› aç›klayabilecek,Türevi iktisadi analize uygulayabilecekbilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Limit• Süreklilik• De¤iflim oran›• Türev• Artan ve azalan fonksiyon• Monoton fonksiyon

• ‹çbükey ve d›flbükey fonksiyon• Marjinal fonksiyon• Esneklik• Marjinal tüketim e¤ilimi• Marjinal tasarruf e¤ilimi

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

N

NN

Matematiksel ‹ktisat Türev ve Kurallar›

• TÜREV VE ‹KT‹SAD‹ ANAL‹Z• L‹M‹T VE SÜREKL‹L‹K• TÜREV• TÜREV ALMA KURALLARI• ‹K‹NC‹ VE DAHA YÜKSEK

DERECEDEN TÜREVLER• MARJ‹NAL FONKS‹YONLAR• ESNEKL‹K• TÜKET‹M VE TASARRUF

1MATEMAT‹KSEL ‹KT‹SAT

TÜREV VE ‹KT‹SAD‹ ANAL‹ZMatematikteki türev kavram›, iktisadi analizde çok önemli bir yer iflgal etmektedir.Birçok iktisadi kavram, ancak türev yard›m›yla ifade edilebilmektedir. Bu nedenletürev kavram›, iktisadi analizleri matematik yard›m›yla yapabilmemiz için önemlibir araç olarak karfl›m›za ç›kmaktad›r. ‹ktisatç›lar›n cevap arad›klar› birçok soru,asl›nda türev kavram› ile ifade edilebilecek niteliktedir. Afla¤›da iktisat literatürün-de karfl›laflt›¤›m›z baz› sorular s›ralanm›flt›r:

• Acaba bir y›l daha fazla okula gitmenin bireylerin ortalama ücretlerine etki-si ne kadard›r?

• Bir mal›n fiyat›ndaki 1 liral›k art›fl, mala olan talebi ne kadar azaltacakt›r? • Döviz kurlar›ndaki 1 kuruflluk art›fl, net ihracat› ne yönde ve hangi miktar-

da de¤ifltirecektir? • Üretim miktar›ndaki bir birimlik art›fl, toplam maliyetleri ne kadar art›racakt›r?• Vergi oran›ndaki %1’lik bir art›fl, vergi has›las›n› art›racak m›d›r, yoksa azal-

tacak m›d›r? Bütün bu sorular, matematikteki türev kavram›na karfl›l›k gelmektedir. Ayr›ca,

iktisatta çok s›k kullan›lan analiz yöntemlerinden biri olan “karfl›laflt›rmal› statikanaliz”in gerçeklefltirilebilmesi için, türev kavram›na ihtiyac›m›z vard›r.

Bu bölümde tek de¤iflkenli fonksiyonlar›n türevleri ele al›nacakt›r. Öncelikle,türev kavram›n› anlayabilmemiz için gerekli olan limit ve süreklilik kavramlar›n›görece¤iz. Bu kavramlardan yararlanarak türevin anlam›n› ve türev alma kurallar›-n› örneklerle ele alaca¤›z. Her örne¤in ad›m ad›m tekrar edilmesi, materyalin an-lafl›lmas› için önemlidir. Daha sonra türevin iktisattaki baz› kullan›m alanlar›ndanörnekler verece¤iz. Türevin kullan›m›na örnek olarak s›ras›yla, marjinal fonksiyon-lar›, esnekli¤i ve tüketim ve tasarruf konular›n› ele alaca¤›z.

L‹M‹T VE SÜREKL‹L‹K Limit ve süreklilik kavramlar›, nispeten soyut kavramlar olmakla birlikte matema-tiksel analiz için oldukça önemlidir. ‹ktisat alan›nda en fazla kullan›lan matematik-sel araçlardan biri olan türevin anlafl›labilmesi için, öncelikle limit ve süreklilikkavramlar›n› bilmemiz gerekir. Türevi tan›mlayabilmemiz için limit kavram›n› bil-memiz gereklidir. Ayr›ca bu bölümde görece¤imiz gibi, bir fonksiyonun türevininmevcut olabilmesi için gerekli ilk koflul, sürekli olmas›d›r. Süreklilik ise ancak limitkavram› yard›m›yla belirlenebilecek bir özelliktir.

Türev ve Kurallar›

Limit Kavram›Limit, bir fonksiyonun ba¤›ms›z de¤iflkeni belli bir de¤ere yaklafl›rken, fonksiyo-nun yaklaflt›¤› de¤eri gösterir. y = f (x) gibi bir fonksiyonu ele alal›m. Bu fonksi-yonda x de¤iflkeni a gibi bir de¤ere yaklafl›rken y’nin yaklaflt›¤› de¤er limit kavra-m› ile ifade edilir ve afla¤›daki gibi gösterilir:

Bu ifade “x, a’ya giderken (yaklafl›rken) fonksiyonun limiti L’dir” fleklin-de okunur. Bu ve bundan sonraki bölümlerde x gibi bir de¤iflkenin a gibi bir de-¤ere yaklaflt›¤›n› ifade etmek için, zaman zaman “x → a” gösterimini kullanaca¤›z.Limit kavram›n› düflünürken x’in a’ya yaklaflt›¤›n› fakat asla a de¤erini almad›¤›n›ve L’nin sonlu bir de¤eri ifade ettti¤ini unutmamal›y›z. L = +– ∞ ise bu fonksiyonunlimiti yoktur.

ise bu fonksiyonun limiti yoktur.

Burada x de¤iflkeni a de¤erine, a’dan daha küçük veya daha büyük de¤erler-den yaklaflabilir. E¤er x a’ya küçük de¤erlerden yaklafl›yorsa “x a’ya soldan yakla-fl›yor” deriz. Benzer flekilde, x a’ya a’dan büyük de¤erlerden yaklafl›yorsa “x a’yasa¤dan yaklafl›yor” deriz. x’in a’ya sa¤dan veya soldan yaklaflmas›na göre sa¤danlimit ve soldan limit kavramlar› tan›mlanmaktad›r.

Sa¤dan LimitBir f (x) fonksiyonunun, x a’ya yaklafl›rken sa¤dan limiti xa’ya, a’dan daha büyük de¤erlerden yaklafl›rken fonksiyo-nun yaklaflt›¤› de¤erdir ve afla¤›daki gibi gösterilir:

Soldan LimitBir f (x) fonksiyonunun, x a’ya yaklafl›rken soldan limiti xa’ya, a’dan küçük de¤erlerden yaklafl›rken fonksiyonun yak-laflt›¤› de¤erdir ve afla¤›daki gibi gösterilir:

Sa¤dan ve soldan limitleri ifade ederken a’n›n üzerindeki iflaretlere dikkat edi-niz. “+” iflareti sa¤dan limiti gösterirken, “–” iflareti soldan limiti göstermektedir.

E¤er bir fonksiyonun sa¤dan ve soldan limitleri mevcut ve birbirlerine eflit ise bufonksiyonun limiti vard›r. Bu durumda sa¤dan ve soldan limitler fleklinde ifade et-meye gerek yoktur ve “+”/“–” iflaretlerini kullanmadan sadece fonksiyonun limitin-den bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun bir a noktas›nda sa¤dan ve soldan limitleri mev-cut olsa bile, bu limitler birbirlerine eflit de¤ilse bu fonksiyonun a noktas›nda limitiyoktur. Böyle bir fonksiyon fiekil 1.1’de gösterilmifltir. fiekilde x, a’ya soldan yakla-

lim ( )x a

f x→

= ±∞

4 Matematiksel ‹k t isat

lim ( )x a

f x L→

=

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE SIRA S ‹ZDE

AMAÇLARIMIZAMAÇLARIMIZ N NK ‹ T A P

T E L E V ‹ Z Y O N

K ‹ T A P


‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E T

M A K A L EM A K A L E

Limit: Bir fonksiyonunba¤›ms›z de¤iflkeni belli birde¤ere yaklafl›rkenfonksiyonun yaklaflt›¤›de¤erdir.

lim ( )x a

f x L→ +

=

lim ( )x a

f x L→ −

=

E¤er bir fonksiyonun sa¤danve soldan limitleri mevcut vebirbirlerine eflit ise bufonksiyonun limiti vard›r.

Bir fonksiyonun anoktas›nda sa¤dan vesoldan limitleri mevcut olsabile, bu limitler birbirlerineeflit de¤ilse bu fonksiyonuna noktas›nda limiti yoktur.

L1

L2

x=a

y=f(x)

x

fiekil 1.1

Sa¤dan ve soldan limitler

fl›rken fonksiyon L1’e yaklaflmaktad›r. x, a’ya sa¤dan yaklafl›rken fonksiyon L2’yeyaklaflmaktad›r. Görüldü¤ü gibi sa¤dan ve soldan limitler birbirlerinden farkl›d›r:

Bir Fonksiyonun Limitinin Bulunmas›Bir y = f (x) fonksiyonunun x a’ya yaklafl›rken limitini bulmak için x’e, soldan vesa¤dan a’ya yaklaflan de¤erler vererek y’nin hangi de¤ere yaklaflt›¤›na bakmam›zgerekir. Örne¤in y = x2 fonsiyonunun, x 2’ye yaklafl›rken limitini bulmaya çal›fla-l›m. Önce x 2’ye soldan yaklafl›rken fonksiyonun hangi de¤ere yaklaflt›¤›nda baka-l›m. x’e, 2’ye soldan yaklaflan de¤erler verdi¤imizde fonksiyonun de¤erinin 4’eyaklaflt›¤›n› görmekteyiz. Bu durum Tablo 1.1’in ilk iki sütununda görülmektedir.Ayn› flekilde x’e 2’ye sa¤dan yaklaflan de¤erler verdi¤imizde, fonksiyonun de¤eri-nin yine 4’e yaklaflt›¤›n› görmekteyiz. Bu durum ise tablonun son iki sütünundagörülmektedir. Her iki limit de ayn› oldu¤u için bu fonksiyonun limitini afla¤›dakigibi yazar›z:

Limitin ÖzellikleriHerhangi bir fonksiyonun limitini bulurken limit ile ilgili afla¤›daki özellikler iflimi-zi kolaylaflt›racakt›r:

L1:

Örnek:

L2:

Örnek: limx

x→

=0

0

limx a

x a→

=

limx→

=2

5 5

limx a

c c→

=

x y = x2 x y = x2

1 1 3 9

1,5 2,25 2,5 6,25

1,8 3,24 2,2 4,84

1,9 3,61 2,1 4,41

1,99 3,9601 2,01 4,0401

1,999 3,996001 2,001 4,004001

51. Ünite - Türev ve Kural lar ›

lim lim limx x x

x x x→ → →− +

= = ⇒ =2

2

2

22

24 4

Tablo 1.1Sa¤dan ve SoldanLimit

limx

x→ −

=2

2 4 limx

x→ +

=2

2 4

lim ( ) lim ( )x a x a

f x L f x L→ →− +

= ≠ =1 2

L3:

Örnek:

L4:

Örnek:

L5:

Örnek:

L6:

Örnek:

L7:

Örnek:

L8:

Örnek:

L9:

Örnek: limlim

xx x

x

→

= = =→

33 3 32 2 2 83

lim ( ) lim ( )

x af x f x

c c x a

→

= →

lim limx x

x x→ →

= = =3 3

3 3 9 3

lim ( ) lim ( )x a

nx a

nf x f x→ →

=

lim limx x

x x→ →

=

= =2

2 2

22

224 16

lim ( ) lim ( )x a

n

x a

nf x f x

→ →

=

limlim

limxx

x

xx

x

x→→

→+

=+( )

=2

22

2

2

21

2

183

lim ( )( )

lim ( )

lim ( )lim ( )

x ax a

x ax a

f xg x

f x

g xg x

→→

→→

= ≠ 0

lim limx x

x x→ →

⋅ = ⋅ = ⋅ =2

2

2

25

25

25 2 10


c f x c f x→ →

⋅ = ⋅

lim lim limx x x

x x x x→ → →

⋅

= ⋅ = ⋅ =

2

2

2

2

223

23 4

26 112

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

⋅

= ⋅

lim lim limx x x

x x x x→ → →

+

= + = + =

22

22

23 3 4 6 10

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

±

= ±


Yukar›daki özelliklerin kullan›m›na bir örnek olmas› amac›yla, afla¤›daki fonk-siyonun x 1’e yaklafl›rken limitini bulmaya çal›flal›m:

SüreklilikBir fonksiyonun limiti mevcut ise ve bu limit fonksiyonun de¤erine eflit ise o fonk-siyon “sürekli” bir fonksiyondur. Süreklilik özelli¤i afla¤›daki gibi tan›mlan›r:

Bir f (x) fonksiyonu 1. a noktas›nda tan›ml› ise, yani f (a) mevcut ise2. a noktas›nda limiti var ise:

3. ve bu limit, fonksiyonun s noktas›ndaki de¤erine eflit ise

f (x) fonksiyonu a noktas›nda süreklidir. Afla¤›daki fonksiyonu ele alal›m:

Bu fonksiyon sürekli de¤ildir. Çünkü fonksiyon x = 0 noktas›nda tan›ml› de¤il-dir. Dolay›s›yla süreklili¤in birinci koflulunu sa¤lamamaktad›r. Bu fonksiyonungrafi¤i fiekil 1.2’deki (a) panelinde görülmektedir. Sürekli fonksiyonlar›n grafikleride sürekli olur. E¤er bir fonksiyonun grafi¤ini çizdi¤imizde, kesintiler veya s›çra-malar görüyorsak bu fonksiyon sürekli de¤ildir. fiekil 1.2’de (b) panelindeki fonk-siyon sürekli bir fonksiyondur. Buna karfl›l›k fiekil 1.1’deki ve fiekil 1.2’de (a) ve(c) panellerindeki fonksiyonlar ise sürekli de¤ildir.

f xx

( ) =12

lim ( ) ( )x a

f x L f a→

= =


f x f x L→ →+ −

= =

f x x xx

x xx

x xxx x

( )

lim lim

=+ −

+ −=

+ −

→ →

2

1

2

1

2

2 1

2 1 2 1

=+ −

→ →

(Kural L8)

lim lim

limx x

x

x x1

21

2 1

→→

=+ −

1

1 2 11

2

x(Kural L3, L4 ve L6)

=


TÜREV‹ktisatç›lar›n araflt›rd›klar› sorular›n ço¤u, iliflkili iki de¤iflkenden birinin de¤eri ar-tarken di¤erinin de¤erinin hangi yönde ve ne kadar de¤iflece¤i ile ilgilidir. Bu so-rulardan bir kaç›n› örnek olmas› amac›yla s›ralayabiliriz:

• Acaba bir y›l daha fazla okula gitmenin bireylerin ortalama ücretlerine etki-si ne kadard›r?

• Bir mal›n fiyat›ndaki 1 liral›k art›fl, mala olan talebi ne kadar azaltacakt›r? • Döviz kurlar›ndaki 1 kuruflluk art›fl, net ihracat› ne yönde ve hangi miktar-

da de¤ifltirecektir? • Üretim miktar›ndaki bir birimlik art›fl, toplam maliyetleri ne kadar art›racakt›r? • Vergi oran›ndaki %1’lik bir art›fl, vergi has›las›n› art›racak m›d›r, yoksa azal-

tacak m›d›r? ‹ktisat gibi di¤er bütün bilim dallar›, benzer sorularla doludur. Bütün bu soru-

lara matematikteki türev kavram› yard›m›yla cevap bulunabilir. Türev, birbirleriyle iliflkili iki de¤iflkenden biri artarken di¤er de¤iflkenin nas›l

de¤iflece¤ini gösterir. Bir y = f (x) fonksiyonunu ele al›rsak bu fonksiyonun her-hangi bir x0 noktas›ndaki türevi, x de¤iflkeninin x0 noktas›ndan çok küçük bir de-¤iflimin y’yi nas›l de¤ifltirece¤ini gösterir. Türevi anlayabilmek için öncelikle de¤i-flim oran› kavram›ndan hareket etmek gerekir.

De¤iflimi Oran› ve TürevBir y = f (x) fonksiyonunun de¤iflim oran› veya e¤imi, y de¤iflkenindeki de¤ifli-min x de¤iflkenindeki de¤iflime oran› olarak ifade edilir:

De¤iflim oran›

E¤er f (x) do¤rusal bir fonksiyon ise de¤iflim oran› ∆x’in bütün de¤erlerinde ay-n›d›r. Do¤rusal olmayan bir fonksiyonda ise de¤iflim oran› farkl› de¤erler alacak-t›r. Bunu fiekil 1.3’te görebiliriz. fiekilde x’in de¤eri x0’dan x3’e de¤iflti¤inde, de¤i-flim oran› AD do¤rusunun e¤imine eflittir: f (x3) – f (x0) / x3 – x0. Ayn› flekilde x,x0’dan x2’ye de¤iflti¤inde, de¤iflim oran› AC do¤rusunun e¤imine eflit olacakt›r. fie-kilde aç›kça görüldü¤ü gibi, her iki do¤runun e¤imi birbirlerinden farkl›d›r. x’dekide¤iflim miktar› azald›kça, yani ∆x küçüldükçe, de¤iflim oran› da KL do¤rusunune¤imine yaklaflacakt›r.

=+( )− ( )

=−

−=

−

−=

f x x f xx

f x f xx x

y yx x

0 0 1 0

1 0

1 0

1 0

∆

∆∆( ) ( ) yy

x∆


y

x

y

x

y

x

(a) (b) (c)

fiekil 1.2

Sürekli (b) veSüreksiz (a,c)Fonksiyonlar

Türev, birbirleriyle iliflkili ikide¤iflkenden biri artarkendi¤er de¤iflkenin nas›lde¤iflece¤ini gösterir.

De¤iflim oran›, fonksiyonunde¤erindeki de¤ifliminba¤›ms›z de¤iflkendekide¤iflime oran›d›r.

KL do¤rusu fonksiyona, x = x0 noktas›nda “te-¤et”tir. Bu do¤runun e¤imi y = f (x) fonksiyonu-nun x = x0 noktas›ndaki türevini verir ve x’in x0bafllang›ç noktas›ndan s›f›ra yak›n bir miktardade¤iflti¤inde, y’nin nas›l de¤iflece¤ini gösterir. Tü-rev matematiksel olarak afla¤›daki gibi tan›mlan›r:

Bu ifadeden hareketle y = f (x) fonksiyonununtürevi, “∆x s›f›ra yaklafl›rken fonksiyonun de¤iflimoran›” olarak da tan›mlanabilir. Türevi ifade et-mek için çeflitli gösterimler kullan›lmaktad›r. Afla-¤›dakilerin hepsi türevi ifade etmektedir:

Bu bölümde, yukar›daki her üç gösterim flekliyle de karfl›laflacaks›n›z. Bu gös-terimlere aflinal›k kazanman›z, ilgili materyali anlayabilmeniz aç›s›ndan önemlidir.

Türevin tan›m›ndan hareketle, y = 3x + 2x2 foksiyonunun türevini bulal›m. Bu-nun için x’in herhangi bir x0 de¤erinden x1 de¤erine de¤iflti¤ini düflünerek fonk-siyonun de¤iflim oran›n› yazal›m:

Yukar›daki ifadede, fonksiyonda s›ras›yla x0 ve x0 + ∆x de¤erlerini yerine koy-duk. Burada x0 + ∆x de¤erinin, x’in de¤iflimden sonraki de¤erine, yani x1’e eflit ol-du¤una dikkat ediniz. De¤iflim oran›n›n pay›nda yer alan ifadeyi geniflletip düzen-leyelim:

En son ifadedeki bölüm ifllemini yaparsak de¤iflim oran›n› afla¤›daki flekilde el-de ederiz:

∆∆

∆yx

x x= + +3 4 20

∆∆

∆ ∆ ∆yx

x x x x x x x x=

+( )+ + +( )

− ( )+ (3 2 2 3 20 0

20

20 0))

=( ) + + + + − ( ) −

2

0 02

02

03 3 2 4 2 3 2

∆

∆ ∆ ∆

x

x x x x x x x xx

xx x x x

x

02

023 4 2

∆

∆ ∆ ∆

∆=

+ +

∆∆

∆

∆

∆ ∆yx

f x x f xx

x x x x=

+( )− ( )=

+( )+ +( )

0 0 0 02

3 2− ( )+ ( )

3 20 02x x

x∆

dydx

ddx

f x f x≡

≡ ′( ) ( )

dydx

yx

f x x f xxx x

= =+( )− ( )

→ →lim lim

∆ ∆

∆∆

∆

∆0 00 0


x0 x1 x2 x30

K

A

B

C

DLy y=f(x)

fiekil 1.3

Do¤rusal olmayan bir fonksiyonun de¤iflim oran›

Bir y = f (x) fonksiyonununx = x0 noktas›ndaki türevi,bu noktadan geçen te¤etine¤imine eflittir.

Bu de¤iflim oran›n›n ∆x → 0 için limitini al›rsak, fonksiyonun x0 noktas›ndakitürevini elde ederiz:

Buldu¤umuz bu türev de¤eri, x0 noktas›ndaki te¤etin e¤imine eflittir ve bafllan-g›ç de¤erine ba¤l› olarak de¤iflecektir. Bunun nedeni fonksiyonun do¤rusal olma-mas›d›r. Di¤er bir ifade ile, do¤rusal olmayan bir fonksiyonun türevi bir sabit de-¤il, yine bir fonksiyon olacakt›r. Dolay›s›yla türev “türetilmifl bir fonksiyondur.”

Türevi Al›nabilir FonksiyonlarHer foksiyonun türevi al›nabilir mi? Bu sonun cevab› “hay›r”olacakt›r. Bir fonksiyonun türevinin al›nabilmesi için, iki koflu-lu sa¤lamas› gerekir: (1) sürekli olmas›, (2) keskin köflelere sa-hip olmamas›. Fonksiyonlar›n süreklili¤ini limit konusunda elealm›flt›k. Köfleli fonksiyonlara bir örnek olarak, y = x fonksi-yonunu ele alal›m. Bu fonksiyonun grafi¤i fiekil 1.4’te görül-mektedir.

fiekil 1.4’deki fonksiyon sürekli olmas›na ra¤men, x = 0 nok-tas›nda bir köfleye sahiptir. Bu nedenle fonksiyonun bu nokta-da türevi al›namaz. Bunu görmek için de¤iflim oran›n›n, x s›f›rayaklafl›rken soldan ve sa¤dan limitlerini alal›m:

Görüldü¤ü gibi soldan ve sa¤dan limitler birbirine eflit de¤ildir. Dolay›s›yla, sü-rekli olmas›na ra¤men, bu fonksiyonun türevi al›namaz.

Türevin Anlam›Bir fonksiyonun türevi, bize fonksiyon hakk›nda ne gibi bilgiler verir? Bu soruyabir cevap aramadan önce, fonksiyonun belli bir noktadaki türevinin nas›l buluna-ca¤›n› görelim.

Bir fonksiyonun türevinin x0 gibi belli bir noktadaki de¤erini, x0 de¤erini türevifadesinde yerine koyarak bulabiliriz. Bunun için afla¤›daki gösterimlerden her-hangi birini kullan›r›z:

Örne¤in y = 3 + 2x2 foksiyonunun türevinin x0 = 2 noktas›ndaki de¤eri,

olarak bulunur. Buldu¤umuz 11 de¤eri, x = 2 noktas›nda fonksiyona te¤et olando¤runun e¤imidir.

dydx

fx=

= + = ′ = + =2

3 4 2 11 2 3 4 2 11( ) ( ) ( ) veya

dydx

f xx x=

′

0

0veya ( )

lim lim | | | | lim | |∆ ∆ ∆

∆∆

∆∆

∆∆x x x

yx

xx

x→ → →− − −

=+ −

=0 0 0

0 0xx

yx

xx

x x

= − = −

=+ −

→

→ →

−

+ +

lim

lim lim | | | |∆

∆ ∆

∆∆

∆0

0 0

1 1

0 0∆∆

∆∆∆ ∆x

xxx x

= = =→ →+ +

lim | | lim0 0

1 1

dydx

yx

x x xx x

= = + +( ) = +→ →

lim lim∆ ∆

∆∆

∆0 0 0 03 4 2 3 4


Bir fonksiyonun türevi, yinebir fonksiyondur.

Bir fonksiyonun türevininal›nabilmesi için, sürekliolmas› ve keskin köfleleresahip olmamas› gerekir.

y

x0

y= x

fiekil 1.4

Sürekli fakat türevi al›namayan birfonksiyon

Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktada artanm›, yoksa azalan m› oldu¤unu gösterir. Fonksiyonun bir noktadaki türevi pozitifise, fonksiyon o noktada artand›r. Yani x artt›¤›nda fonksiyonun de¤eri de artmak-tadad›r. Fonksiyonun bir noktadaki türevi negatif ise fonksiyon bu noktada azalan-d›r. Yani x artt›¤›nda fonksiyonun de¤eri azalmaktad›r. Bir fonksiyonun türevi ta-n›ml› oldu¤u aral›kta sürekli pozitif ise bu fonksiyona artan fonksiyon ad› veri-lir. Bir fonksiyonun türevi tan›ml› oldu¤u aral›kta sürekli azalan ise bu fonksiyonaazalan fonksiyon ad› verilir. Artan veya azalan fonksiyonlar, genel olarak mono-ton fonksiyon olarak adland›r›l›r.

Bütün fonksiyonlar monoton fonksiyon de¤ildir. Birçok do¤rusal olmayanfonksiyon, tan›ml› oldu¤u aral›ktaki baz› yerlerde artan bir fonksiyon iken, baz›yerlerde azalan bir fonksiyondur. Yukar›da aç›kland›¤› gibi, fonksiyonun neredeartan, nerede azalan bir fonksiyon oldu¤unu fonksiyonun o noktadaki türevininiflaretine bakarak anlayabiliriz. Fonksiyonun artarken azalmaya döndü¤ü veyaazal›rken artmaya döndü¤ü noktalarda, fonksiyonun türevi s›f›rd›r. Bu noktalar-da fonksiyona te¤et olan do¤runun e¤imi s›f›rd›r, yani yatay eksene paraleldir.

TÜREV ALMA KURALLARIFonksiyonlar›n türevlerini al›rken her zaman de¤iflim oran›n›n limitini almakla u¤-raflmam›za gerek yoktur. Bunun yerine k›sa yoldan türev almak için gelifltirilmiflkurallar› uygular›z. Afla¤›da y = f (x) fleklindeki bir fonksiyonun türevini al›rkenkullan›lacak kurallar verilmifltir.

Sabit Fonksiyon Kural›k bir sabit ise, y = k gibi bir sabit fonksiyonun türevi s›f›rd›r: f' (x) = 0. Örne¤iny = 3/5 fonksiyonunun türevi f' (x) = 0 olacakt›r. Bununla birlikte g (x) = k . f (x)gibi bir fonksiyonun türevi ise g (x) = k . f' (x) olarak elde edilir.

Kuvvet Fonksiyonu Kural›y = xk gibi bir fonksiyonun türevini almak için, fonksiyon x’in kuvveti olan n ileçarp›l›r ve x’in kuvvetinden bir ç›kar›l›r: f' (x) = kxk–1. Bunu birkaç örnek yard›m›ile görelim:

Kuvvet fonksiyonu kural›, c ve k gibi iki sabit için, y = cxk gibi daha genel birfonksiyonun türevinin al›nmas›nda da kullan›labilir. Böyle bir fonksiyonun türevif' (x) = ckxk–1 olacakt›r. Bu kural› kullanarak afla¤›daki türevleri elde edelim:

y x ddx

x x x

y x x

= ⇒

= =

= = ⇒

34

34

34

2 32

5 5

2 2

1 2

,

, dddx

x xx

5 52

52

1 2 1 2( ) = =−

y x dydx

x

y x dydx

x x

= ⇒ =

= ⇒ = =− −

3 2

3 434

1 14

3

34

34

,

,


Bir fonksiyonun herhangi birnoktadaki türevi pozitif isefonksiyon o noktadaartand›r. Bir fonksiyonunherhangi bir noktadakitürevi negatif ise fonksiyonbu noktada azaland›r.

Artan veya azalanfonksiyonlar, monotonfonksiyon olarakadland›r›l›r.

Bir fonksiyonun, artarkenazalmaya döndü¤ü veyaazal›rken artmaya döndü¤ünoktalarda, fonksiyonuntürevi s›f›rd›r.

Toplam Kural›f (x) ve g (x) gibi, türevi al›nabilir iki fonksiyonun toplamlar›n›n türevi, fonksiyon-lar›n ayr› ayr› türevlerinin toplam›na eflittir:

Bu kural› kullanarak, gibi bir fonksiyonun türevi,

olarak elde edilir. Ayn› flekilde, y = 2x5 – 4x–3 + 3x – 15 öfonksiyonunun türevi iseafla¤›daki gibi bulunur:

Çarp›m Kural›‹ki fonksiyonun çarp›m› olarak yaz›labilen bir fonksiyonun türevini al›rken afla¤›-daki kural kullan›l›r:

Burada, f (x) ve g (x)’in her ikisinin de x’in birer fonksiyonu olduklar›na dikkatediniz. Bu kural› kullanarak y = (2x + 3x2) x3 gibi bir fonksiyonun türevini afla¤›-daki gibi al›r›z:

Bölüm Kural›f (x) ve g (x) gibi iki fonksiyonun bölümünün türevini almak için, afla¤›daki kuraluygulan›r:

ddx

f xg x

g x ddx

f x f x ddx

g( )( )

( ) ( ) ( ) (

=

− xx

g x

g x f x f x g x

g x

)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

=′ − ′

2 2

ddx

x x x x ddx

x x x x ddx

x2 3 2 3 2 32 3 3 2 2 3+( )

= +( )+ +( ) (( )= +( )+ +( )= + + +

= +

x x x x x

x x x x

x

3 2 2

3 4 3 4

3

2 6 2 3 3

2 6 6 9

8 15xx4

ddx

f x g x g x ddx

f x f x ddx

g x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

+

= ′ + ′g x f x f x g x( ) ( ) ( ) ( )

ddx

x x x ddx

x ddx

x ddx

2 4 3 15 2 4 35 3 5 3− + −

= ( )− ( )+− − xx d

dxx x

( )− ( )

= + +−

15

10 12 34 4

ddx

x x ddx

x ddx

x xx

4 4 12 12

3 3 2+

= ( )+ ( ) = +

y x x= +4 3

ddx

f x g x ddx

f x ddx

g x( ) ( ) ( ) ( )±

=

±

= ′′ ± ′f x g x( ) ( )


Örne¤in,

fonksiyonunun türevi afla¤›daki gibi bulunur:

Zincir Kural›f (g (x)) gibi bir bileflke fonksiyonun türevi f' (x) = f' (g (x)) g' (x) olarak elde edi-lir. Zincir kural› ad› verilen bu yöntemde, önce d›fl fonksiyonun türevi al›n›r veiç fonksiyonun türevi ile çarp›l›r. Zincir kural›n› afla¤›daki gibi ifade edebiliriz:

y = f (z), z = g (x) ⇒ y = f (g (x)),

veya f' (x) = f' (g (x)) g' (x)

Örnek olarak, y = 2(3x + 2)3 fonksiyonunu ele alal›m. Bu fonksiyon f (g (x)) =2(g (x))3 ve g (x) = 3x2 + 2x fleklinde yaz›labilir. Bu fonksiyonun türevi zincir ku-ral› yard›m› ile,

f' (x) = f' (g (x)) g' (x)= 6(3x2 + 2x)2 6x + 2

olarak bulunur.

Zincir kural›n› uygularken en önemli nokta herhangi bir fonksiyonu bileflke

fonksiyon olarak yazabilmektir. Örne¤in, fonksiyonunu ele

alal›m. Bu fonksiyonu , z = g (x) = 2 + 4x3 – 2x2 fleklinde iki

fonksiyon hâlinde yazabilir ve zincir kural›n› uygulayabiliriz:

dydz

dydz

dzdx

ddz

z ddx

x x= =

+ −( )

3 2 4 23 2

=

−( ) = +−32

12 4 32

2 41 2 2 3z x x x −−( ) −( )−2 12 42 1 2 2x x x

y f z z= =( ) ( )3

y x x= + −3 2 4 23 2

dydx

dydz

dzdx

=

ddx

x

x

x ddx

x x2 3

1

1 2 3 2 3

2

2+

+

=+( ) +( )− +( ) dd

dxx

x

x x x

x

x

1

1

1 2 2 3 2

1

2 2

2

2 2

2

2 2

2

+( )+( )

=+( ) − +( )

+( )=

+ −− −

+ +

=− −

+ +

4 6

1 2

2 2 6

1 2

2

2 4

2

2 4

x x

x x

x x

x x

y x

x=

+

+

2 3

1 2


Üstel Fonksiyon Kural›y = enx fleklindeki bir üstel fonksiyonun türevini al›rken afla¤›daki kural uygulan›r.

Örne¤in, y = e3x fonksiyonunun türevi, f' (x) = 3e3x olarak bulunur. Üstel fonk-siyon kural›n›, zincir kural› yard›m›yla genellefltirebiliriz. Bir g (x) fonksiyonu için,f (x) = eg(x) fonksiyonun türevi,

fleklinde elde edilir. Örne¤in f (x) = e5x2–2x fonksiyonunun türevi f' (x) = (10x –2)e5x2–2x folarak bulur. f (x) = kx gibi bir fonksiyonun türevi ise f' (x) = kx . 1n kolarak yaz›l›r.

y = 32x2fonksiyonunun türevini bulunuz.

Logaritmik Fonksiyon Kural›y = 1n x gibi logaritmik bir fonksiyonunun türevi afla¤›daki gibidir:

f (x) 1n g (x) gibi bir fonksiyonun türevi, logaritmik fonksiyon kural› ve zincirkural› uygulanarak bulunabilir:

Örne¤in f (x) = 1n (3x2 + 2x) fonksiyonunun türevi,

olarak bulur.Logaritmik fonksiyon kural› s›kl›kla, bir de¤iflkenin büyüme oran›n› bulmak

için kullan›l›r. Bir y = f (x) fonskiyonunun “anl›k büyüme oran›” afla¤›daki gibitan›mlan›r:

Bu ifadenin logaritmik fonksiyonun türevine karfl›l›k geldi¤ine dikkat ediniz.Büyüme oran› zaman ile ilgili bir kavram oldu¤u için, genellikle ba¤›ms›z de¤ifl-ken olarak x yerine, zaman› ifade eden t kullan›l›r. Yukar›daki büyüme oran› ifa-desinin logaritmik fonksiyonun türevine karfl›l›k geldi¤ine dikkat ediniz. Fonksi-yonu y = f (t) olarak yazarsak y’nin anl›k büyüme oran› afla¤›daki gibi yaz›l›r:

g dy dxy

f xf xy = =′( )( )

′ =+

+f xx x

x( ) ( )1

3 26 2

2

ddx

g xg x

g xln ( )( )

( )( ) = ′1

ddx

xx

ln( ) =1

ddx

e g x eg x g x( ) ( )( )( ) = ′

ddx

e nenx nx( ) =


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




1

Büyüme oran›n› nüfus örne¤ini kullanarak aç›klayal›m. Ülke nüfusunu “N” ilegösterirsek nüfusun zaman içerisindeki art›fl›n› afla¤›daki gibi bir fonksiyon ile gös-terebiliriz:

N = N0ert

Bu fonksiyonda N0 > 0 ve r > 0 birer sabit, t ise zaman de¤iflkenini göstermek-tedir. Nüfus art›fl oran›n› bulmak için, yukar›daki büyüme oran› formülündeki heriki ifadeyi de kullanabiliriz. Önce normal türevi kullanarak bulal›m. Buna göre nü-fus art›fl oran› gN = N' /N olacakt›r:

fiimdi de nüfus art›fl oran›n› logaritmik formül yard›m›yla bulal›m. Bunun içinöncelikle fonksiyonun logaritmas› alal›m. Daha sonra ise logaritmik fonksiyonuntürevini alal›m:

Görüldü¤ü gibi, her iki yöntemle buldu¤umuz nüfus art›fl oran› ayn›d›r ve r’yeeflittir. Say›sal bir örnek olarak, y = 12e0,02t fonksiyonunu ele alal›m ve y de¤iflke-ninin büyüme oran›n› bulal›m:

Bir ülkenin gayrisafi yurtiçi has›las›n› Y (t) ile, nüfusunu da N (t) ile gösterelim.Her ikisi de zaman›n bir fonksiyonu olsun. Kifli bafl›na gayrisafi yurtiçi has›la, top-lam gayrisafi yurtiçi has›lan›n ülke nüfusuna bölünmesiyle elde edilir:

Kifli bafl›na gayrisafi yurtiçi has›lan›n büyüme oran›n› bulmak için, önce y (t)’ninlogaritmas›n› al›r, daha sonra da türevini al›r›z:

y t Y tN t

( ) ( )( )

=

ln ln

ln ( , )

,

,,

y e

g ddt

ye

e

t

y t

= ( )= =

12

1

1212 0 02

0 02

0 020 022 0 02t = ,

ln ln

ln

N N e

g ddt

N eN e

N r e

rt

Nrt

rtrt

= ( )= ( )

=

0

00

01

== r

′ =

=′

= =

N N re

g NN

N r e

N er

rt

N

rt

rt

0

0

0

g ddt

f t f tf ty =

=

′ln ( ) ( )

( )


Y (t)’nin büyüme oran›n› gY ile, N (t)’nin büyüme oran›n› ise gN ile gösterirsekkifli bafl›na gayrisafi yurtiçi has›lan›n büyüme oran›, gY = gY – gN olarak bulunacak-t›r. Örne¤in gayrisafi yurtiçi has›la y›ll›k %4, nüfus ise y›ll›k %0,05 oran›nda büyü-yorsa, kifli bafl›na gayrisafi yurtiçi has›la gY = 0,04 – 0, 005 = 0,035, yani y›ll›k %3,5oran›nda büyüyecektir.

Trigonometrik Fonksiyon Kural›Temel trigonometrik fonksiyonlar›n türevleri afla¤›daki gibi elde edilir:

Kapal› Foksiyon Kural›Buraya kadar yapt›¤›m›z türev alma ifllemlerinde hep, y = f (x) fleklindeki fonksi-yonlar›n türevlerini bulduk. ‹ktisatta birçok iliflki kapal› fonksiyonlar fleklinde ifa-de edilir. Örne¤in, farks›zl›k e¤rileri ve efl ürün e¤rileri bunlardan baz›lar›d›r. Her-hangi bir y = f (x) fonksiyonunu, F (y, x) ≡ y – f (x) = 0 fleklinde bir kapal› fonk-siyon olarak yazabiliriz. Böyle bir kapal› fonksiyonun türevini nas›l al›r›z? Bununbir yolu, fonksiyonu tekrar normal formunda, y = f (x) fleklinde ifade etmektir.Örne¤in, F (x, y) = y – 4x3 + 5x2 – 4x = 0 fonksiyonunu y de¤iflkeni için çözüpy = 4x3 – 5x2 + 4x fleklinde yazabilir, daha sonra da türevini alabiliriz. Fakat buher zaman mümkün olmayabilir. Örnek olarak afla¤›daki fonksiyonu ele alal›m:

F (y, x) ≡ y2 + x2 xy = 0

Bu fonksiyonu y cinsinde çözerek y = f (x) formunda ifade etmemiz mümkünde¤ildir. Buna ra¤men, böyle bir fonksiyon için dy /dx türevini bulabiliriz. Bununiçin kapal› fonksiyon kural›n› uygulamam›z gerekir:

F (y, x) = 0 ise,

Yukar›daki kuralda dF (y, x) /dx veya Fx ile gösterilen türevi al›rken, y de¤iflke-nini bir sabit gibi düflünmemiz gerekmektedir. Ayn› flekilde, dF (y, x) /dy veya Fyile gösterilen türevi al›rken de x de¤iflkenini sabit bir say› gibi düflünmeliyiz.

dydx

dF y xdx

dF y xdy

FF

Fy

x

x

yy= − = −

( , )

( , ),sabit

sabit

≠≠ 0

ddx

x x ddx

x xsin cos cos sin= = −ve

ln ( ) ln ( )( )

ln ( ) ln ( )y t Y tN t

Y t N t

g dy

=

= −

=ddt

y t

ddt

Y t ddt

N t

ln ( )

ln ( ) ln ( )

=

−

==

′−

′Y tY t

N tN t

( )( )

( )( )


Kapal› foknsiyon kural›n› uygulayarak yukar›da ele ald›¤›m›z kapal› fonsiyonuntürevini alal›m:

F (y, x) ≡ y2 + x2 xy = 0

‹K‹NC‹ VE DAHA YÜKSEK DERECEDEN TÜREVLERDaha önce, bir fonksiyonun türevinin de yine bir fonksiyon oldu¤una dikkat çek-mifltik. Bu gerçek, bir fonksiyonun türevinin de türevinin al›nabilece¤i anlam›nagelir. Yani, türevini ald›¤›m›z bir fonksiyonun, tekrar türevini alabiliriz. Bunun içintek koflul, ilk türevin sabit bir say› olmamas›d›r. Örne¤in, do¤rusal bir fonksiyonuntürevi sabit bir say› olaca¤› için, ikinci türevi yoktur. Buna karfl›l›k, iki ve daha yük-sek dereceden polinomlar›n ikinci türevleri vard›r.

‹kinci kez türev al›narak elde edilen bu fonksiyona “ikinci dereceden türev”,veya k›saca “ikinci türev” ad› verilir. Asl›nda, ikinci türev de bir fonksiyon oldu-¤una göre, onun da türevi al›nabilir. Dolay›s›yla, mevcut olmas› kofluluyla birfonksiyonun ikinci, üçüncü, dördüncü ve daha yüksek derecelerden türevlerindenbahsedebiliriz. En s›k kullan›lan türevler, birinci ve ikinci türevlerdir. Bunun yan›n-da, baz› durumlarda daha yüksek derecelerden türevlere de ihtiyac›m›z olabilir.

y = f (x) gibi bir fonksiyonun ikinci türevi, bu fonksiyonun türevinin türevidirve afla¤›daki gibi gösterilir:

Yukar›daki gösterimlerin hepsi ikinci türevi ifade etmektedir. Örne¤in, y = x2

fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri afla¤›daki gibi olacakt›r:

Daha önce türevin bir fonksiyonun artan veya azalan bir fonksiyon olup olma-d›¤›n› gösterdi¤ini ö¤renmifltik. Yukar›daki fonksiyonun birinci türevi, x’in pozitifde¤erleri için pozitif, negatif de¤erleri için negatifdir. Bu da bize bu fonksiyonun,x’in negatif oldu¤u bölgede azalan bir fonksiyon oldu¤unu, x’in pozitif oldu¤ubölgede ise artan bir fonksiyon oldu¤unu göstermektedir. ‹kinci türev ise bizefonksiyonun birinci türevinin artan veya azalan bir fonksiyon olup olmad›¤› hak-k›nda bilgi verir. Fonksiyonun birinci türevi o fonksiyonun e¤imi oldu¤una göre,ikinci türev fonksiyonun e¤iminin nas›l hareket etti¤i hakk›nda bilgi verir. Yukar›-daki fonksiyonun ikinci türevi sabit ve pozitiftir. Buradan fonksiyonun e¤imininsürekli artt›¤› sonucunu ç›karmaktay›z.

dydx

x d y

dx= =2 2

2

2,

d f xdx

ddx

dydx

d ydx

f x f′( )

≡

≡ ≡ ′′ ≡( )

( ) (2

222)( )x

dF y xdx

F x y dF y xdy

F yy

xx

y( , ) , ( , )

sabit sabit= = + = =2 2 ++

= − = −++

x

dydx

FF

x yy x

x

y

22


‹kinci türev bir fonksiyonune¤iminin azald›¤›, artt›¤›veya sabit kald›¤› hakk›ndabilgi verir. ‹kinci türevpozitif ise e¤im artmakta,negatif ise e¤im azalmakta,s›f›r ise e¤im sabitkalmaktad›r.

y = x2 fonksiyonunun grafi¤ini çizerek, x < 0 için fonksiyonun azald›¤›n›, x > 0 için fonk-siyonun artt›¤›n›, fonksiyonun e¤iminin ise sürekli artt›¤›n› gösteriniz.

E¤imi sürekli artan, yani ikinci türevi daima pozitif olan fonksiyonlar d›flbükeyfonksiyon olarak adland›r›l›r. Bu fonksiyonlar›n yerel minimum noktalar› mevcut-tur. Örne¤in, y = x2 fonksiyonu d›flbükey bir fonksiyondur. Bu fonksiyon x = 0noktas›nda en küçük de¤erine ulafl›r.

E¤imi sürekli azalan, yani ikinci türevi daima negatif olan fonksiyonlar ise iç-bükey fonksiyon olarak adland›r›l›r. Bu fonksiyonlar› yerel maksimum noktalar›mevcuttur. Örne¤in, y = 5x – x2 fonksiyonu içbükey bir fonksiyondur. Çünkü ikin-ci türevi daima negatiftir: f'' (x) = –2.

Yukar›da ele ald›¤›m›z y = x2 fonksiyonunun 3. türevi s›f›rd›r. Yani fonksiyo-nun en fazla iki türevi al›nabilmektedir. Baz› fonksiyonlar›n ikiden daha fazla tü-revini almam›z mümkündür. Bir fonksiyonun 3. türevi, 2. türevinin türevidir. Fonk-siyonun 4. türevi ise, 3. türevin türevidir. Üçüncü dereceden türevleri gösterirkenafla¤›daki gösterimleri kullan›r›z:

4. ve daha yüksek dereceden fonksiyonlar› gösterirken ise genellikle afla¤›dakigösterimler tercih edilir:

Örne¤in fonksiyonunun yüksek dereceden türevleri mevcuttur:

MARJ‹NAL FONKS‹YONLARTürevin iktisattaki en önemli kullan›m alanlar›ndan biri marjinal fonksiyonlard›r. Birfonksiyonun türevi al›narak elde edilen fonksiyon, “marjinal fonksiyon” olarakadland›r›l›r. Marjinal fonksiyon, bir fonksiyonun ba¤›ms›z de¤iflkenindeki çok kü-çük bir de¤iflimin fonksyonun de¤erini nas›l de¤ifltirdi¤ini gösterir. Dolay›s›yla, ma-tematikteki türev kavram›n›n iktisattaki karfl›l›¤›d›r. ‹ktisatta s›kl›kla kullan›lan bafll›-ca marjinal fonksiyonlar aras›nda marjinal has›la ve marjinal maliyeti sayabiliriz.

y x x

f x x

f x x

f x

= =

′ =

′′ = −

′′′ =

−

−

10 10

552

154

1 2

1 2

3 2

( )

( )

( ) xx

f x x

−

−= −

5 2

4 7 2758

( ) ( )

M

y x= 10

d ydx

f xn

nn≡ ( ) ( )

d y

dxf x f x

3

33≡ ′′′ ≡( ) ( )( )


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




2

‹kinci türevi daima pozitifolan fonksiyonlar, d›flbükeyfonksiyon olarakadland›r›l›r.

‹kinci türevi daima negatifolan fonksiyonlar, içbükeyfonksiyon olarakadland›r›l›r.

Bir fonksiyonun türevial›narak elde edilenfonksiyon, “marjinalfonksiyon” olarakadland›r›l›r. Marjinalfonksiyon, bir fonksiyonunba¤›ms›z de¤iflkenindeki çokküçük bir de¤ifliminfonksyonun de¤erini nas›lde¤ifltirdi¤ini gösterir.

Türevin iktisattaki kullan›m›na iliflkin yard›mc› bir kaynak olarak Alpha C. Chiang ve Ke-vin Wainwright isimli yazarlar›n, Gazi kitabevi taraf›ndan çeviri olarak bas›lan “Matema-tiksel ‹ktisad›n Temel Yöntemleri” isimli kitab›ndan yararlan›labilir.

Marjinal Has›laBir mal›n sat›fl›ndan elde edilen toplam has›la (TR), mal›n fiyat› (P) ile sat›lan malmiktar›n›n (Q) çarp›m›na eflittir:

TR = Q

Toplam has›la fonksiyonu monopol piyasas›nda faaliyet gösteren bir firmayaait ise firman›n karfl› karfl›ya kald›¤› fiyat talep edilen miktara ba¤l› olacakt›r. Fiya-t›, talep edilen miktar›n bir fonksiyonu olarak gösteren denkleme talep fonksiyonuad› verildi¤ini biliyoruz. Do¤rusal bir talep fonksiyonunu P = a – bQ fleklinde ya-zabiliriz. Bu denklemde a > 0 ve b > 0 “katsay›” ad›n› verdi¤imiz sabit de¤erlerdir.Bu talep fonksiyonunu toplam has›la ifadesinde yerine koyarak monopolcü fir-man›n toplam has›la fonksiyonunu sadece sat›lan mal miktar›n›n bir fonksiyonuolarak elde edebiliriz:

TR = (a – bQ) Q

TR = aQ – bQ2

Örne¤in, P = 100 – 2Q fleklinde ifade edilen bir talep fonksiyonu, bize afla¤›da-ki toplam has›la fonksiyonunu verecektir:

TR = 100Q – 2Q2

Bu ifadeyi kullanarak, herhangi bir Q de¤eri için toplam has›lay› hesaplayabiliriz.

Monopolcü firma negatif e¤imli bir talep fonksiyonu ile karfl› karfl›yad›r. Firman›n satt›¤›ürün miktar› ile fiyat› aras›nda ters yönlü bir iliflki vard›r.

‹ktisat derslerinde marjinal has›la (MR), sat›fl miktardaki ilave bir birim art›-fl›n, toplam has›lada meydana getirece¤i de¤ifliklik olarak tan›mlanmaktad›r. Bu ta-n›m› de¤iflim oran› olarak afla¤›daki gibi ifade ederiz:

Has›la fonksiyonunun türevi al›nabilir, yani sürekli bir fonksiyon oldu¤unu var-sayarsak, marjinal has›lay› miktardaki çok küçük bir art›fl›n, toplam has›lada mey-dana getirece¤i de¤ifliklik olarak tan›mlayabiliriz. Di¤er bir ifadeyle marjinal has›-la, toplam has›la fonksiyonunun türevidir:

Bu tan›ma göre, yukar›daki toplam has›la fonksiyonunun türevi bize marjinalhas›lay› verecektir:

MR dTRdQ

=

∆∆

TRQ


D ‹ K K A TD ‹ K K A T




K ‹ T A P




S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




Marjinal has›la, toplamhas›la fonksiyonununtürevidir.

Görüldü¤ü gibi, marjinal has›la fonksiyonu da toplam has›la fonksiyonu gibisat›lan mal miktar›n›n›n bir fonksiyonudur. Marjinal has›la fonksiyonunu kullana-rak, herhangi bir Q de¤eri için marjinal has›la de¤erini bulabiliriz. Örne¤in Q = 15için marjinal has›la, MR = 100Q – 4(15) = 40 olacakt›r.

Marjinal fonksiyolarla ilgili önemli bir noktay› vurgulamam›z gerekir. De¤iflimoran› ile türev ifadelerinden elde edilecek marjinal has›la de¤erleri tam olarak ay-n› olmayacak, fakat birbirlerine çok yak›n olacakt›r:

Bunun nedeni, türevin çok küçük bir de¤iflimi ifade etmesidir. Buna karfl›l›kde¤iflim oran›, herhangi bir miktardaki de¤iflimi gösterebilir. Bu noktay› daha iyianlayabilmek için, yukar›daki örne¤imizi kullanarak marjinal has›lay› hem de¤iflimoran› hem de türev yard›m›yla hesaplayal›m. Önce, sat›fl miktar›ndaki bir birimlikbir art›fl›n toplam has›lay› nas›l de¤ifltirdi¤ine bakal›m. Q = 15 de¤erini toplam ha-s›la fonksiyonunda yerine koyarsak

TR = 100(15) – 2(15)2 = 1050

olarak elde ederiz. fiimdi sat›fl miktar›ndaki bir birimlik bir art›fl›n toplam has›lay›ne kadar art›rd›¤›na bakal›m. Q = 16 için toplam has›la,

TR = 100(16) – 2(16)2 = 1088

olacakt›r. Burada ∆Q = 16 – 15 = 1’dir. Görüldü¤ü gibi, sat›fl miktar›ndaki biri bi-rimlik art›fl toplam has›lay›, ∆TR = 1088 – 1050 = 38 kadar art›rm›flt›r. Dolay›s›yla,de¤iflim oran› olarak elde edilen marjinal has›la

olarak elde edilir. Buna karfl›l›k tü-rev kullanarak, marjinal has›lay› 40olarak elde etmifltik. Aradaki bu far-k› flekil üzerinde görelim.

fiekil 1.5’te de¤iflim oran› ve tü-rev kullan›larak elde edilen marji-nal has›la de¤erleri aras›ndaki farkgösterilmifltir. Toplam has›lan›n tü-revini alarak elde etti¤imiz marjinalhas›la, A noktas›daki te¤etin e¤imi-ne eflittir. De¤iflim oran›n› kullana-rak elde etti¤imiz marjinal has›la iseA ve B noktalar› aras›daki do¤ru-nun e¤imine eflittir. Görüldü¤ü gi-

MR TRQ

= = =∆∆

381

38

∆∆

TRQ

dTRdQ

≈

MR dTRdQ

Q= = −100 4


Q

Q0=15 Q0+1=16Q

A

B

TRTe¤etin e¤imi=

dTRdQ

TR(Q)

fiekil 1.5

MarjinalHas›lan›nDe¤iflimOran› veTürevKullan›larakElde Edilmesi

bi te¤etin e¤imi daha fazla oldu¤u için, türev kullanarak elde etti¤imiz marjinal ha-s›lan›n de¤eri de, de¤iflim oran› kullanarak elde etti¤imiz marjinal has›lan›n de¤e-rinden daha fazlad›r. ∆Q de¤iflim miktar› küçüldükçe her iki de¤er birbirine yakla-flacakt›r.

Yukar›da, TR = 100Q – Q2 olarak verilen toplam has›la fonksiyonunda bafllang›ç de¤eri Q= 15 olmak üzere, ∆Q için s›ras›yla {0,5; 0,2; 0,1; 0,05} de¤erlerini kullanarak, de¤iflimoran› yard›m›yla marjinal has›la de¤erlerini bulunuz ve bu de¤erlerin, ∆Q küçüldükçe tü-rev kullanarak elde etti¤imiz marjinal has›la olan 40 de¤erine yaklaflt›¤›n› gösteriniz.

Has›la ile ilgili di¤er bir kavram da ortalama has›lad›r. Ortalama has›la, sat›lanbirim bafl›na has›la de¤eridir ve toplam has›lan›n sat›lan mal miktar›na bölünme-siyle elde edilir:

Ortalama has›la da, marjinal has›la gibi sat›lan mal miktar›n›n bir fonksiyonu-dur. Örne¤in TR = 100Q – 2Q2 olarak verilen bir toplam has›la fonksiyonundan or-talama has›la fonksiyonunu afla¤›daki gibi elde ederiz:

Burada da görüldü¤ü gibi, ortalama has›la fonksiyonu toplam has›la fonksiyo-nunu elde etmek için kulland›¤›m›z talep fonksiyonu ile ayn›d›r. Gerçekten detoplam has›la fonksiyonunu TR = PQ olarak yaz›p, sonra da ortalama has›lay› bu-lursak, AR = TR /Q = P elde ederiz. Di¤er bir ifade ile, ortalama has›la mal›n fiya-t›na, yani talep fonksiyonuna eflittir.

Toplam has›la fonksiyonunu, ortalama has›lay› kullanarak da ifade edebiliriz:

TR = PQ = AR . Q

En sa¤daki ifadenin türevini al›rsak marjinal has›lay›, ortalama has›la cinsindenifade etmifl oluruz. Bu türevi almak için, çarp›m kural›n› uygulamam›z gerekecektir:

Yukar›da TR' ve AR' ifadeleri s›ras›yla, toplam has›la ve ortalama has›la fonksi-yonlar›n›n türevlerini ifade etmektedir. Toplam has›la ile ortalama has›la aras›nda-ki yukar›da elde edilen iliflkiden faydalanarak verilen bir ortalama has›la fonksiyo-nundan toplam has›la ve marjinal has›la fonksiyonlar›n› elde edebiliriz. Örne¤in,ortalama has›la fonksiyonu AR = P = 120 – 3Q ise toplam has›la fonksiyonu,

TR = AR . Q = (120 – 3Q) Q = 120Q – 3Q2

MR TR dTRdQ

dARdQ

Q dQdQ

AR

AR Q AR

= ′ = = +

= ′ ⋅ +

AR TRQ

Q QQ

Q= =−

= −100 2 100 2

2

AR TRQ

=


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




3

Ortalama has›la, sat›lanbirim bafl›na has›lade¤eridir ve toplamhas›lan›n sat›lan malmiktar›na bölünmesiyle eldeedilir.

ve marjinal has›la fonksiyonu,

MR = AR' . Q + AR= – 3Q + 120 – 3Q= 120 – 6Q

olarak bulunacakt›r.Toplam has›la, ortalama has›la ve marjinal has›la fonksiyonlar› aras›ndaki ilifl-

kiyi görmek için, TR = aQ – bQ2 gibi bir toplam has›la fonksiyonunu ele alal›m.Buradan ortalama has›la ve marjinal has›la fonksiyonlar›n› afla¤›daki gibi eldeederiz:

MR = a – 2bQ

AR = a – bQ

Görüldü¤ü gibi marjinal has›la fonksiyonunun e¤imi –2b iken, ortalama has›lafonksiyonunun e¤imi –b’dir. Di¤er bir ifade ile, marjinal has›la fonksiyonu ortala-ma has›la fonksiyonundan daha diktir. Bu durum fiekil 1.6’da görülmektedir.

Hem ortalama has›la, hem de marjinal has›la dikey ekseni ayn› noktadan kes-mektedir. Bu nedenle bütün Q de¤erleri için marjinal has›la daima ortalama has›-lan›n alt›nda olacakt›r: MR ≤ AR.

fiekil 1.6’da Q artt›kça toplam has›lan›n önce artt›¤›n› sonra azald›¤›n› görmek-teyiz. Toplam has›la, sat›fl miktar› Q = a/2b olana kadar artmaktad›r. Bu nedenle Q< a/2b olan bölgede, yani Q = a/2b noktas›n›n sol taraf›nda toplam has›lan›n türe-vi pozitif olacakt›r. Yani bu bölgede toplam has›la artan bir fonksiyondur. Di¤er birifade ile, bu bölgede marjinal has›la s›f›rdan büyüktür. Bunu sol taraftaki grafiktede görmekteyiz. Q > a/2b olan bölgede ise toplam has›la azalan bir fonksiyondur.Di¤er bir ifade ile, marjinal has›la s›f›rdan küçüktür.

Toplam has›la fonksiyonun artan fonksiyondan azalan fonksiyona dönüfltü¤ü,yani Q = a/2b oldu¤u noktada, türev s›f›ra eflittir. fiekilde görüldü¤ü gibi, bu nok-tadaki te¤et, miktar eksenine paraleldir, yani e¤imi s›f›rd›r. Marjinal has›lan›n s›f›roldu¤u bu nokta, ayn› zamanda toplam has›lan›n maksimum oldu¤u noktad›r.

Buraya kadar bir monopol firmas›n›n has›la fonksiyonu ele ald›k. Tam rekabetpiyasas›nda faaliyet gösteren bir firman›n toplam, marjinal ve ortalama has›la fonk-siyonlar› farkl› olacakt›r. Bir tam rekabet firmas› fiyat› veri ald›¤› için, miktara ba¤-


MRAR

a

a/2b a/b

MR

AR

Qa/2b a/b

Q

TRTR’=0

TR

fiekil 1.6

Toplam, Ortalamave Marjinal Has›laFonksiyonlar›

l› bir talep fonksiyonu ile karfl› karfl›ya de¤ildir. Tam rekabet firmas› için fiyat bü-tün sat›fl miktarlar› için ayn›d›r. Bu durumda toplam has›la fonksiyonu TR = PQfleklinde do¤rusal bir fonksiyon olacakt›r. Bu firman›n marjinal ve ortalama has›lafonksiyonlar› da sabit ve fiyata eflit olacakt›r:

MR = AR = P

Bu marjinal has›la ve ortalama has›la fonksiyonlar›n›n grafi¤ini çizdi¤imizdemiktar eksenine paralel tek bir sabit fonksiyon elde ederiz.

Tam rekabet firmas› miktar eksenine paralel bir talep fonksiyonu ile karfl› karfl›yad›r. Ürünfiyat› sat›lan mal miktar›ndan ba¤›ms›zd›r ve firma piyasada oluflan fiyat› veri olarak al›r.

Marjinal MaliyetHas›la için yapt›¤›m›z analizin bir benzerini maliyet için de yapabiliriz. Marjinalmaliyet, üretim miktar›ndaki bir birim art›fl›n toplam maliyette meydana getirdi¤iart›flt›r. Marjinal has›lan›n toplam has›la fonksiyonunun türevi oldu¤u gibi, marji-nal maliyet de toplam maliyet fonksiyonunun türevidir. Üretim miktar›n›n birfonksiyonu olarak ifade edebilece¤imiz toplam maliyet fonksiyonunu TC ile, mar-jinal maliyet fonksiyonunu ise MC ile gösterirsek, marjinal maliyet afla¤›daki gibiyaz›labilir:

Firmalar›n marjinal maliyet fonksiyonlar› genellikle önce azalan, sonra artan birgrafi¤e sahiptir. Böyle bir marjinal maliyet fonksiyonunun elde edilebilmesi için,toplam maliyet fonksiyonunun belli özelliklere sahip olmas› gerekir:

i) Toplam maliyet fonksiyonu türevi önce azalan, sonra artan bir fonksiyon ol-mal›d›r.

ii) Üretim miktar› artarken toplam maliyet fonksiyonu asla azalmamal›d›r.Afla¤›daki gibi kübik bir fonksiyon, her iki özelli¤i de tafl›maktad›r:

TR = aQ3 – bQ2 + cQ + d, a, b, c, d > 0 ve b2 < 3ac

Bu fonksiyon üçüncü dereceden bir polinomdur. Böyle bir toplam maliyetfonksiyonundan elde edilecek marjinal maliyet (MC) ve ortalama maliyet (AC)fonksiyonlar› flöyle olacakt›r:

Bu flekildeki maliyet fonksiyonlar›n›n grafikleri fiekil 1.7’de gösterilmifltir. Gö-rüldü¤ü gibi, toplam maliyet fonksiyonu monoton, yani sürekli artan bir fonksi-yondur. Buna karfl›l›k, marjinal ve ortalama maliyet fonksiyonlar› önce azalan, son-ra artan bir grafi¤e sahiptir. Bunun nedeni, her iki fonksiyonun da karesel birerfonksiyon olmalar›d›r.

MC TC aQ bQ c

AC TCQ

aQ bQ c dQ

= ′ = − +

= = − + +

3 22

2

MC dTCdQ

TC= = ′


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




Marjinal maliyetfonksiyonu, toplam maliyetfonksiyonunun türevidir.

Afla¤›da verilen toplam maliyet fonksiyonundan, ortalama maliyet ve marjinalmaliyet fonksiyonlar›n› elde edelim:

TC = 2,5Q3 – 13Q2 + 50Q + 12

Böyle bir toplam maliyet fonksiyonundan elde edilecek ortalama maliyet fonk-siyonu,

ve marjinal maliyet fonksiyonu,

olarak bulunacakt›r. Herhangi bir üretim seviyesi için ortalama veya marjinal mali-yeti bulmak için, üretim miktar›n› elde edilen fonksiyonlarda yerine koymak yeter-lidir. Örne¤in Q = 10 için ortalama ve marjinal maliyetler afla¤›daki gibi olacakt›r:

Marjinal Ürün‹ktisat derslerinde herhangi bir üretim faktörünün marjinal fiziki ürününü, o üre-tim faktöründen ilave bir birimin kullan›lmas› halinde toplam üretim miktar›ndameydana gelecek art›fl olarak ö¤renmifltik. Bu tan›m, üretim fonksiyonunun türe-vine karfl›l›k gelmektedir. Sadece emek (L) faktörü kullanarak mal veya hizmetüreten bir firmay› ele alal›m. Bu firman›n üretim fonksiyonunu iki temel özelli¤esahip olmas› gerekmektedir: (1) istihdam edilen emek faktörü artarken üretimmiktar› da artmal›d›r, (2) üretim miktar›ndaki art›fl, azalan oranda olmal›d›r. ‹lközellik eme¤in marjinal fiziki ürününün pozitif olmas› gerekti¤ini söylemektedir.‹kinci özellik ise, azalan marjinal fiziki ürün veya azalan verimler yasas›nakarfl›l›k gelmektedir. Azalan verimler yasas›, di¤er faktörler sabit iken bir üretimfaktöründen kullan›lan miktar› art›rmaya devam edersek toplam üretime yapaca¤›katk›n›n giderek azalaca¤›n› söylemektedir.

AC

MC

= − + + =

= −

2 5 10 13 10 50 1210

171 2

7 5 10 26

2

2

, ( ) ( ) ,

, ( ) (110 50 540) + =

MC dTCdQ

Q Q= = − +7 5 26 502,

AC TCQ

Q QQ

= = − + +2 5 13 50 122,


ACMC MC

AC

Q Q

TC

TC

fiekil 1.7

Toplam, Ortalamave Marjinal MaliyetFonksiyonlar›

Marjinal fiziki ürün, üretimfonksiyonunun türevial›narak bulunur.

fiimdi de bir üretim fonksiyonunun sahip olmas› gereken özelliklerin matema-tiksel karfl›l›klar›na bakal›m. Birinci özellik, üretim fonksiyonunun türevinin pozi-tif olmas› anlam›na gelmektedir. ‹kinci özellik ise üretim fonksiyonunun ikinci tü-revinin negatif olmas› demektir. Üretim miktar›n› Q ile, emek faktörünü L ile, eme-¤in marjinal fiziki ürününü ise MPL ile gösterirsek, 1. ve 2. özellikleri afla¤›daki gi-bi yazabiliriz:

Cobb-Douglas tipi bir üretim fonksiyonu, yukar›daki özellikleri sa¤lamaktad›r.

Örne¤in, fonksiyonunu ele alal›m. Bu fonksiyonun yukar›daki iki özel-

li¤e de sahip oldu¤unu kontrol edebiliriz. Önce bu fonksiyonun türevini alal›m:

Eme¤in marjinal fiziki ürününe eflit olan bu fonksiyon, bütün L > 0 de¤erleri içinpozitiftir. Dolay›s›yla bu fonksiyon, pozitif marjinal fiziki ürün koflulunu sa¤lamakta-d›r. Bu üretim fonksiyonunun azalan marjinal verimler yasas›na uyup uymad›¤›n›görmek için ikinci türevini almam›z gerekmektedir. Üretim fonksiyonunun ikinci tü-revinin, MPL fonksiyonunun birinci türevine karfl›l›k geldi¤ine dikkat ediniz:

Bu fonksiyon bütün L > 0 de¤erleri için negatiftir. Dolay›s›yla azalan marjinalverimler yasas› geçerlidir.

Üretimde kullan›lan üretim faktörlerini sermaye ve emek olarak iki gruba ay›-rabiliriz. Üretim sürecinde genellikle, üretim miktar›n› de¤ifltirmeden, bir faktöründi¤er faktör yerine ikâme edilmesi mümkündür. Örne¤in ayn› üretim miktar›nda,kullan›lan emek miktar› azalt›larak bunun yerine daha fazla sermaye kullan›lmas›mümkün olabilir. Bir faktörden daha fazla kullan›ld›¤›nda, art›r›lan miktar› ile üre-tim miktar›n› sabit tutmak için di¤er faktörden azalt›lmas› gereken miktara aras›n-daki orana marjinal teknik ikâme oran› denir ve MRTS olarak gösterilir. Q(K, L)gibi sermaye ve emek faktörlerinin kullan›ld›¤› bir üretim sürecinde, MRTS afla¤›-daki gibi tan›mlan›r:

Marjinal teknik ikâme oran› ayn› zamanda efl-ürün e¤rilerinin e¤imine eflittir.Örne¤in, Q = K1/3 L2/3 fleklindeki bir üretim fonksiyonunu ele alal›m. Bu fonksi-yonda sermaye faktörü K ile gösterilmifltir. Marjinal teknik ikâme oran›n› bulmakiçin, üretim fonksiyonunu sabit kabul ederek, fonksiyonu afla¤›daki gibi kapal› birfonksiyon olarak yazal›m.

MRTS dKdL

=

d QdL

d MPLdL

ddL L

L2

23 2150 150

2= =

= − = −−( ) 775 03 2L− <

MPL dQdL

ddL

LL L

≡ = ( ) = = >300 3002

1 150 0

Q L= 300

1. Özellik :

Özellik :

dQdL

MPL

d QdL

= >

=

0

22

2. dd MPL

dL( )

< 0


F (K, L) = K1/3 L2/3 = Q–

Bu fonksiyon, efl-ürün e¤risi olarak bilinir. Marjinal teknik ikâme oran›n› bul-mak için kapal› fonksiyon kural›n› uygulamam›z gerekir:

ESNEKL‹KFirmalar›n karfl› karfl›ya kald›klar› önemli problemlerden biri, fiyat de¤iflikliklerinintoplam has›lalar›nda yapaca¤› etkinin tahmin edilmesidir. Örne¤in, bir fiyat indiri-mi durumunda fiyat›n düflmesi, toplam has›lay› azalt›c› bir etki yarat›rken, sat›fllar-daki indirim nedeniyle gerçekleflecek olan art›fl, toplam has›lay› art›r›c› bir etki ya-ratacakt›r. Bu nedenle net etkinin nas›l olaca¤› pek aç›k de¤ildir. Negatif e¤imli birtalep fonksiyonu ile karfl› karfl›ya olan bir firma ürün fiyat›n› indirdi¤inde, toplamhas›lan›n nas›l de¤iflece¤i talebin fiyat esnekli¤ine ba¤l›d›r.

Talebin fiyat esnekli¤i, veya k›saca talep esnekli¤i, fiyattaki bir de¤iflimin sat›-lan mal miktar›n› nas›l etkileyece¤ini gösteren bir ölçüttür. Talep esnekli¤i, sat›lanmal miktar›ndaki yüzde de¤iflimin fiyattaki yüzde de¤iflime bölünmesiyle bulunur:

‹ktisatta çok çeflitli esneklikler söz konusudur. Bununla birlikte hepsinin he-saplanmas›ndaki mant›k ayn›d›r. Bütün esneklikler iki yüzde de¤iflimin birbirleri-ne oran›d›r. Peki ama, bir de¤iflkenin yüzde de¤iflimi nas›l hesaplan›r? Örne¤in fi-yat de¤iflkenini ele alal›m. Fiyatta meydana gelen de¤iflimi yüzdelik olarak hesap-lamak için, iki fiyat aras›ndaki fark› bafllang›ç fiyat›na böleriz. Fiyat›n P1 = 12’denP2 = 14’e yükseldi¤i durumu ele alal›m. Bu durumda fiyattaki yüzde de¤iflim,

yaklafl›k %16 olmufltur. Bu hesaplamadan hareketle esnekli¤i afla¤›daki gibi yaza-biliriz:

Fiyattaki çok küçük bir de¤iflimin etkisinden bahsetti¤imizde, ∆Q/∆P teriminidQ/dP türevi ile de¤iflirebiliriz. Bu durumda esneklik formülü afla¤›daki gibi ola-cakt›r:

E dQdP

PQ

= ⋅

E

QQP

P

QQ

PP

QP

PQ

= = ⋅ = ⋅

∆

∆∆

∆∆∆

P PP

PP

2 1

1 1

14 1212

16

0 16−

= =−

=∆

; ,

E =Miktardaki yüzde değiş imFiyattaki yüzde değiş iim

F K L

F K L

MRTS dKdL

FF

K L

K

L

L

K

=

=

= = − = −

−

−

1 3

2 3

2 3

2 3 2 3

1 3 1 3

1 3 −−

−= − = −

1 3

2 3 2 31 3

2 31 3

2K L

KL

KL


Bu flekilde hesaplanan esneklik nokta esneklik olarak adland›r›l›r. Fiyat ile ta-lep edilen miktar aras›nda ters yönlü bir iliflki oldu¤u için, bulaca¤›m›z esneklik de-¤eri negatif olacakt›r. Esneklik de¤erlerini de¤erlendirirken genellikle önemli olanmutlak büyüklükleridir. Esnekli¤in mutlak de¤erinin birden küçük, birden büyük vebire eflit olmas›na göre, talep hakk›nda afla¤›daki de¤erlendirmeler yap›l›r:

• E < 1 ise “inelastik” talep.• E = 1 ise “birim esnek” talep.• E > 1 ise “esnek” talep.fiimdi P = 50 – 2Q olarak verilen bir talep fonksiyonunu ele alal›m ve fiyat›n 30

oldu¤u durumdaki talep esnekli¤ini bulal›m. Bunun için önce dQ/dP türevini bul-mam›z gerekir. Fakat bu fonksiyon fiyat›, miktar›n bir fonksiyonu, P = P (Q) ola-rak ifade etmektedir. Bizim dQ/dP türevini bulabilmemiz için miktar›, fiyat›n birfonksiyonu, Q = Q (P) olarak ifade etmemiz gerekir. Q = Q (P) fonksiyonu ters ta-lep fonksiyonu olarak da adland›r›l›r. Ters talep fonksiyonunu elde etmek için,talep fonksiyonunu Q için çözmemiz gerekir:

Bu durumda, dQ/dP = –1/2 olacakt›r. Esnekli¤i bulabilmek için ayr›ca, P = 30oldu¤unda talep edilen miktara ihtiyac›m›z vard›r. Bunu da fiyat›, elde etti¤imiz ta-lep fonksiyonunda yerine koyarak buluruz: Q = 25 – 1/2(30) = 10. Art›k esnekli¤ihesaplamak için gerekli bütün de¤erlere sahibiz:

E >1 oldu¤u için talep fonksiyonunun bu noktada “esnek” oldu¤u sonucunavar›r›z.

Esneklik konusunda en s›k kar›flt›r›lan husus, esneklik ile e¤im aras›ndaki fark-t›r. Esneklik e¤im ile iliflkili olmas›na ra¤men, ayn› fley de¤ildir. Örne¤in, do¤rusalbir talep fonksiyonunda e¤im her noktada ayn› olmas›na ra¤men, esneklik hernoktada farkl› olacakt›r. Bunu yukar›daki örnekte görmekteyiz. P = 50 – 2Q olarakverilen talep fonksiyonu için buldu¤umuz esneklik de¤eri P ve Q’ya ba¤l› olarakde¤iflen bir fonksiyondur. Bununla birlikte bu talep fonksiyonunun e¤imi her yer-de -2’dir.

Esnekli¤in her yerde ayn› oldu¤u fonksiyonlar da vard›r. Bu tür fonksiyonlarsabit esneklik fonksiyonlar› olarak adland›r›l›rlar. Örne¤in P = 4Q-1/2 fonksiyonu-nu ele alal›m ve talep esnekli¤ini bulal›m. Öncelikle ters talep fonksiyonunu bul-mam›z gerekir:

Bu fonksiyonun türevini esneklik formülünde yerine koyarsak

E dQdP

PQ

P PQ

PQ

= ⋅ = − ⋅ = −−−

32 3232

Q P P=

=−

−14

162

2

E dQdP

PQ

= ⋅ = − ⋅ = −12

3010

1 5,

P Q Q P Q P= − ⇒ = − ⇒ = −50 2 2 50 25 12


Talep edilen miktar›, fiyat›nbir fonksiyonu olarak ifadeeden fonksiyona ters talepfonksiyonu ad› verilir.

ifadesini elde ederiz. Bu ifadede Q yerine ters talep fonksiyonunu yerlefltirir ve ge-rekli sadelefltirmeleri yaparsak, talep esnekli¤ini afla¤›daki gibi buluruz:

Görüldü¤ü gibi, esneklik Q veya P de¤erlerine ba¤l› olmadan her yerde ayn›-d›r. Bu fonksiyonun e¤imi ise her yerde ayn› de¤ildir.

Esneklik ile toplam has›la aras›nda ne gibi bir iliflki vard›r? Bu soruyu cevapla-mak için önce toplam has›lay› ele alal›m. Toplam has›la TR = PQ oldu¤una göre,fiyat art›fl›n›n toplam has›la üzerindeki etkisini görmek için afla¤›daki türeve bak-mal›y›z:

Dikkat ediniz, yukar›daki türevi bulabilmemiz için toplam has›lay› miktar›n birfonksiyonu, TR (Q) olarak de¤il, fiyat›n bir fonksiyonu, TR (P) olarak yazmam›zgerekir. Fiyat ve talep edilen miktar, talep fonksiyonu arac›l›¤›yla birbirleri ile ilifl-kili oldu¤undan, bunu yapmak zor de¤ildir. Yapmam›z gereken ters talep fonksi-yonu ad› verdi¤imiz Q (P) fonksiyonunu elde etmektir. Bunu daha önce yapm›fl-t›k. Bu fonksiyonu toplam has›la ifadesinde yerine koyarsak toplam has›lay› fiya-t›n bir fonksiyonu olarak ifade etmifl oluruz:

TR (P) = P . Q (P)

Buradan dTR/dP türevini elde etmek için, çarp›m kural›n› uygulamam›z gerekir:

Bu ifadeyi Q parantezine alal›m:

Parantez içerisindeki ikinci ifadenin talebin fiyat esnekli¤i oldu¤u görülmekte-dir. Bunu ifadede yerine koyarsak:

Talebin fiyat esnekli¤inin negatif oldu¤unu hat›rlayal›m. Bu nedenle e¤er E > 1ise, dTR/dP < 0 olacakt›r. Dolay›s›yla, fiyattaki bir indirim toplam has›lay› art›racakt›r.E¤er E < 1 ise, dTR/dP > 0 olacakt›r ve fiyattaki bir indirim toplam has›lay› azalta-cakt›r:

dTR PdP

Q E( )= +( )1

dTR PdP

Q dQ PdP

PQ

( ) ( )= + ⋅

1

dTR PdP

dPdP

Q dQ PdP

P

Q dQ PdP

P dPdP

( ) ( )

( )

= ⋅ +

= + =

1

dTRdP

E dQdP

PQ

P

P= ⋅ = − = −

−

−32

162

2

2


E¤er E =1 ise, dTR/dP = 0 olacakt›r ve fiyat de¤iflikli¤i toplam has›lay› etkile-meyecektir.

TÜKET‹M VE TASARRUF‹ktisat derslerinden Keynesyen tüketim fonksiyonunun toplam tüketim harcamalar›n›(C) , gelir (Y) ile aç›klad›¤›n› biliyoruz: C (Y). Bu fonksiyon, kamu sektörünün ve do-lay›s›yla vergilerin olmad›¤› basit bir ekonomi için, genellikle C = c0 + c1Y fleklindekido¤rusal bir fonksiyon olarak yaz›l›r. Fonksiyondaki c1 katsay›s› özel bir öneme sa-hiptir. Marjinal tüketim e¤ilimi ad› verilen bu katsay›, gelirdeki bir liral›k art›fl›n nekadar›n›n tüketime gitti¤ini gösterir. Bu aç›klamadan anlafl›laca¤› gibi asl›nda marjinaltüketim e¤ilimi, tüketim fonksiyonunun türevinden baflka bir fley de¤ildir:

Marjinal Tüketim E¤ilimi (MPC) =

Yine iktisat derslerinden, toplam gelirin tüketime gitmeyen k›sm›n›n tasarrufedildi¤ini biliyoruz: Y = C + S. Bu iliflkiyi kullanarak bir tasarruf fonksiyonu eldeedebiliriz:

Y = C + S ⇒ S = Y – CS = Y – c0 – c1YS = – c0 + (1 – c1)Y

Elde etti¤imiz bu tasarruf fonksiyonu, tüketim fonksiyonunun aksine pozitif e¤im-lidir. Tasarruf fonksiyonunun türevi bize marjinal tasarruf e¤ilimini verir. Marjinal ta-sarruf e¤ilimi, gelirdeki bir liral›k art›fl›n ne kadar›n›n tasarruf edildi¤ini gösterir:

Marjinal Tasarruf E¤ilimi (MPS) =

Marjinal tasarruf e¤ilimi ile marjinal tüketim e¤iliminin toplamlar›n›n bire eflitoldu¤una dikkat ediniz: MPS + MPC = (1 – c1) + c1 = 1. Elde edilen gelirin ya tü-ketime, ya da tasarrufa gitti¤i düflünülürse, bu sonuç hiç de sürpriz de¤ildir.

Yukar›daki aç›klamalar çerçevesinde C = 150 – 0,8Y olarak verilen bir tüketimfonksiyonundan hareketle, marjinal tüketim e¤ilimi, tasarruf fonksiyonu ve marji-nal tasarruf e¤ilimini elde edebiliriz. Marjinal tüketim e¤ilimi MPS = C' = 0.8 ola-cakt›r. Marjinal tasarruf e¤ilimini bulmak için tasarruf fonksiyonuna ihtiyac›m›zyoktur. MPC + MPS = 1 oldu¤una göre, MPS = 1 – 0,8 = 0,2 olacakt›r. Tasarruffonksiyonu ise

S = Y – C = Y – 150 + 0,8Y= –150 + (1 – 0,8)Y= – 150 + 0,2Y

olarak elde edilir.

dSdY

S c= ′ = −1 1

dCdY

C c= ′ = 1

E dTR PdP

P TR

E dTR PdP

P TR

> ⇒ < ⇒ ↓ ↑

< ⇒ > ⇒ ↓ ↓

1 0

1 0

( ) ,

( ) ,


Marjinal tüketim e¤ilimi,tüketim fonksiyonununtürevi al›narak bulunur.

Marjinal tasarruf e¤ilimi,tasarruf fonksiyonununtürevi al›narak bulunur.


Limit ve süreklilik kavramlar›n› aç›klayabilmek

ve fonksiyonlar›n limitlerini bulmak

Matematikteki türev kavram›, iktisadi analizdeçok önemli bir yer iflgal etmektedir. Birçok iktisa-di kavram ancak türev yard›m›yla ifade edilebil-mektedir. Bu nedenle türev kavram›, iktisadi ana-lizleri matematik yard›m›yla yapabilmemiz içinönemli bir araç olarak karfl›m›za ç›kmaktad›r.Limit, bir fonksiyonun ba¤›ms›z de¤iflkeni bellibir de¤ere yaklafl›rken, fonksiyonun yaklaflt›¤›de¤eri gösterir. Sa¤dan limit, bir f (x) fonksiyo-nunun, x a’ya yaklafl›rken sa¤dan limiti x a’ya,a’dan daha büyük de¤erlerden yaklafl›rken fonk-siyonun yaklaflt›¤› de¤erdir. Soldan limit, bir f (x)fonksiyonunun, x a’ya yaklafl›rken soldan limitix a’ya, a’dan küçük de¤erlerden yaklafl›rkenfonksiyonun yaklaflt›¤› de¤erdir.E¤er bir fonksiyonun sa¤dan ve soldan limitlerimevcut ve birbirlerine eflit ise bu fonksiyonun li-miti vard›r. Bu durumda sa¤dan ve soldan limit-ler fleklinde ifade etmeye gerek yoktur ve “+”/“-”iflaretlerini kullanmadan sadece fonksiyonun li-mitinden bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun bir anoktas›nda sa¤dan ve soldan limitleri mevcut ol-sa bile, bu limitler birbirlerine eflit de¤ilse bufonksiyonun a noktas›nda limiti yoktur.Bir fonksiyonun limiti mevcut ise ve bu limitfonksiyonun de¤erine eflit ise o fonksiyon “sü-

rekli” bir fonksiyondur.

Türevin matematiksel ve iktisadi anlam›n› aç›k-

layabilmek, fonksiyonlar›n türevlerini almak

Türev, birbirleriyle iliflkili iki de¤iflkenden biri ar-tarken di¤er de¤iflkenin nas›l de¤iflece¤ini göste-rir. Bir fonksiyonun türevinin al›nabilmesi için,sürekli olmas› ve keskin köflelere sahip olmama-s› gerekir.Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki türevi,fonksiyonun o noktada artan m›, yoksa azalanm› oldu¤unu gösterir. Fonksiyonun bir noktada-ki türevi pozitif ise, fonksiyon o noktada artan-d›r. Fonksiyonun bir noktadaki türevi negatif isefonksiyon bu noktada azaland›r.Türevini ald›¤›m›z bir fonksiyonun, tekrar türevi-ni alabiliriz. Bunlara yüksek dereceden türevlerad› verilir.

Marjinal kavram›n› aç›klamak

Bir fonksiyonun türevi al›narak elde edilen fonk-siyon, “marjinal fonksiyon” olarak adland›r›l›r.Marjinal fonksiyon, bir fonksiyonun ba¤›ms›z de-¤iflkenindeki çok küçük bir de¤iflimin fonksyo-nun de¤erini nas›l de¤ifltirdi¤ini gösterir.

Türevi iktisadi analize uygulamak

Monopolcü firma negatif e¤imli bir talep fonksi-yonu ile karfl› karfl›yad›r. Firman›n satt›¤› ürünmiktar› ile fiyat› aras›nda ters yönlü bir iliflki var-d›r. Marjinal has›la, toplam has›la fonksiyonununtürevidir. Marjinal maliyet, üretim miktar›ndakibir birim art›fl›n toplam maliyette meydana getir-di¤i art›flt›r. Marjinal maliyet toplam maliyet fonk-siyonunun türevidir.Bir firman›n üretim fonksiyonu iki temel özelli¤esahiptir: (1) pozitif marjinal fiziki ürün, (2) aza-lan marjinal verimler yasas›. Marjinal fiziki ürün,bir üretim faktöründen ilave bir birimin kullan›l-mas› halinde toplam üretim miktar›nda meydanagelecek art›flt›r.Talebin fiyat esnekli¤i, veya k›saca talep esnekli-¤i, fiyattaki bir de¤iflimin sat›lan mal miktar›n› na-s›l etkileyece¤ini gösteren bir ölçüttür. Talep es-nekli¤i, sat›lan mal miktar›ndaki yüzde de¤ifliminfiyattaki yüzde de¤iflime bölünmesiyle bulunur.Marjinal tüketim e¤ilimi, gelirdeki bir liral›k art›-fl›n ne kadar›n›n tüketime gitti¤ini gösterir. Mar-jinal tüketim e¤ilimi, tüketim fonksiyonunun tü-revi al›narak bulunur. Marjinal tasarruf e¤ilimi,gelirdeki bir liral›k art›fl›n ne kadar›n›n tasarrufedildi¤ini gösterir. Tasarruf fonksiyonunun türe-vi bize marjinal tasarruf e¤ilimini verir.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

4NA M A Ç


1. limiti afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 48b. 52c. 64d. 42e. 36

2. Bir f (x) fonksiyonunun x 2’ye, 2’den küçük de¤er-lerden yaklafl›rken limitine ne ad verilir?

a. Sa¤dan limitb. Soldan limitc. Sonsuz limitd. Sürekli limite. Sonlu limit

3. y = 2x(2x – 5)2 fonksiyonunun türevi afla¤›dakiler-den hangisidir?

a. f' (x) = 20x2 – 120x – 25b. f' (x) = 24x2 – 120x – 25c. f' (x) = 24x2 – 100x + 25d. f' (x) = 24x2 – 40x – 25e. f' (x) = 24x2 – 120x + 25

4. Bir firman›n satt›¤› ürünün fiyat› her y›l %3, sat›fllar›ise %2 artmaktad›r. Bu firman›n toplam has›las›n›n bü-yüme oran› nedir?

a. %2b. %3c. %4d. %5e. %6

5. Afla¤›daki fonksiyonlardan hangilerinin 4. derece-den türevi al›nabilir?(i) y = 2x2 – 3x

(ii) y = 15x4 – 3x3 + 2x2

(iii)

(iv) y = 18x – 4a. (i)b. (ii)c. (ii), (iii)d. (iii), (iv)e. (i), (iii)

6. Bir mal›n talep fonksiyonu P = 100 – 2/3Q ise, bufirman›n marjinal has›la fonksiyonu afla¤›dakilerdenhangisidir?

a.

b.

c.

d.

e.

7. Bir firman›n maliyet fonksiyonu TC = 4Q3 – 20Q2 +60Q + 40 ise, bu firman›n marjinal maliyet fonksiyonuafla¤›dakilerden hangisidir?

a. MC = 12Q – 40b. MC = 12Q2 – 40Q + 60c. MC = 24Q2 – 40Q + 60d. MC = 12Q2 – 40Q

e. MC = 12Q2 + 40Q – 60

8. Üretim fonksiyonu Q = 8L3/4 ise, eme¤in marjinal fi-ziki ürünü afla¤›dakilerden hangisidir?

a. MPL = 6L-1/4

b. MPL = 24L-2/4

c. MPL = 24L-1/4

d. MPL = 12/4L-1/4

e. MPL = 4L-1/4

9. Bir efl-ürün e¤risi 1240 = 2K1/2 L1/2 olarak verilmifl-tir. Sermaye faktöründen 10 birim, emek faktöründen 5birim kullan›ld›¤›nda, marjinal teknik ikâme oran› afla-¤›dakilerden hangisidir?

a. 1b. 2c. 3d. 2,5e. 1,5

10. P = 123Q-3/4 fleklindeki bir talep fonksiyonunda,P = 15 oldu¤unda talep esnekli¤i afla¤›dakilerden han-gisidir?

a. 2,5b. 3c. 3/4d. –3/4e. 1,5

MR Q=43

2

MR Q= −100 13

2

MR Q= −100 43

2

MR Q= −100 23

MR Q= −100 43

y x= 2

limx

x x→

+( )

23 2 5

Kendimizi S›nayal›m


1. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Limitin Özellikleri” konusu-nu yeniden gözden geçiriniz.

2. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Limit ve Süreklilik” konu-sunu yeniden gözden geçiriniz.

3. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Türev Alma Kurallar›” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz.

4. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Logaritmik Fonksiyon Ku-ral›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

5. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “‹kinci ve Daha Yüksek De-receden Türevler” konusunu yeniden gözdengeçiriniz.

6. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Marjinal Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz.

7. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Marjinal Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz.

8. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Marjinal Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz.

9. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Marjinal Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz.

10. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Esneklik” konusunu yeni-den gözden geçiriniz.

S›ra Sizde Yan›t Anahtar›S›ra Sizde 1

y = 32x2fonksiyonunun türevini almak için üstel fonk-

siyon ve zincir kurallar›n› birlikte kullanmam›z gerekir.Bu fonksiyonu y = 3z ve z = 2x2 olarak tan›mlarsakdy/dx türevi afla¤›daki gibi bulunur:

y = 32x2

S›ra Sizde 2

y = x2 fonksiyonunun grafi¤i afla¤›da görülmektedir.Grafikte x art›kça, fonksiyonun e¤iminin de artt›¤›n›gözlemliyoruz. Fonksiyonun e¤imi x artt›kça s›ras›yla {-12; -2; 0; 3; 14} olmaktad›r. Bu fonksiyon d›flbükey birfonksiyondur. Bunu fonksiyonun ikinci türevinin pozi-tif olmas›ndan anlamaktay›z. Görüldü¤ü gibi bu fonksi-yon, x = 0 noktas›nda bir minimum noktaya sahiptir.

S›ra Sizde 3

Bafllang›ç de¤eri Q0 = 15 olarak al›nd›¤›nda, ∆Q = {0,5;0,2; 0,1; 0,05} de¤erleri için Q1 = {15,5; 15,2; 15,1;15,05}olacakt›r. Bu Q1 de¤erleriyle hesaplanan toplamhas›la de¤erleri ve karfl›l›k gelen ∆TR ve MR de¤erleriafla¤›daki tabloda görülmektedir. Tabloya göre, ∆Q de-¤eri küçüldükçe, marjinal has›la de¤eri türev kullan›la-rak buldu¤umuz 40 de¤erine yaklaflmaktad›r.

dydx

x xx x=

( ) =3 3 4 3 4 32 22 2

ln ln

∆Q 0,5 0,2 0,1 0,005

Q1 15,5 15,2 15,1 15,005

TR(Q1) 1069,5 1057,92 1053,98 1050,2

TR(Q0) 1050 1050 1050 1050

∆TR(Q1) 19,5 7,92 3,98 0,19995

MR = ∆TR/∆Q 39 39,6 39,8 39,99

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›

0E¤im=0

E¤im=-2

E¤im=-12

y

E¤im=14

E¤im=3

x


Chiang, A. C. and Wainwright, K. (2005). Fundamen-

tal Methods of Mathematical Economics, 4thEdition, Boston: McGraw-Hill.

Klein, M. W. (2002). Mathematical Methods for Eco-

nomics, 2nd Edition, New York: Addison-Wesley.Rosser, M. (2003). Basic Mathematics for Economist,

2nd Edition, London: Routledge.Werner, F. and Sotskov, Y. N. (2006). Mathematics of

Economics and Business, London: Routledge.

Yararlan›lan Kaynaklar

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Fonksiyon kavram›n› ve fonksiyonla iliflkili di¤er temel kavramlar› tan›mlaya-bilecek,Fonksiyonlar›n matematiksel özelliklerini aç›klayabilecek,Do¤rusal fonksiyonlar› tan›mlay›p iktisattaki kullan›m alanlar›n› örnekleye-bilecek,Karesel fonksiyonlar›n çözümünü yap›p iktisadi uygulamalar›n› gösterebilecekbilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Fonksiyon• Tek de¤iflkenli fonksiyon• Do¤rusal fonksiyon

• Karesel fonksiyon• Fonksiyonun Grafi¤i

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

NN

N


• FONKS‹YON KAVRAMI VEFONKS‹YONLA ‹L‹fiK‹L‹ TEMELKAVRAMLAR

• FONKS‹YONLARIN ÖZELL‹KLER‹• DO⁄RUSAL FONKS‹YONLAR• KARESEL (KUADRAT‹K)

FONKS‹YONLAR

Tek De¤iflkenliFonksiyonlar


FONKS‹YON KAVRAMI VE FONKS‹YONLA ‹L‹fiK‹L‹TEMEL KAVRAMLARTeorik ve uygulamal› matematikte önemli bir kavram olan fonksiyonlar, iktisat bi-limi içerisinde de birçok uygulama alan› bulmaktad›r. ‹ktisadi olaylar› incelerkenarz ve talep fonksiyonu, maliyet fonksiyonu, üretim fonksiyonu, tüketim fonksiyo-nu gibi birçok tan›mla karfl›lafl›r›z. Bu kadar s›k karfl›laflt›¤›m›z bir kavram› daha iyianlayabilmek için önce fonsiyonlarla ilgili temel kavramlar› inceleyip sonras›nda datek de¤iflkenli fonksiyonlar›n iktisatta kullam›na yönelik uygulamalar yapaca¤›z.

Bir fonksiyonel iliflkide de¤iflik de¤erler alabilen niceliklere de¤iflken ad› veri-lir. Bir de¤iflkenin veri de¤erindeki de¤iflme, baflka bir de¤iflkende bir de¤iflmeyeyol aç›yorsa veri de¤iflken di¤er de¤iflkenin bir fonksiyonudur ve aralar›nda fonk-siyonel bir iliflki vard›r. K›saca bir fonksiyon, bir niceli¤in (ç›kt›) baflka bir niceli¤e(girdi) ne fleklide ba¤l› oldu¤unu ifade eden özel bir iliflki türüdür. Fonksiyoneliliflkiler genellikle girdiye karfl›l›k ç›kt›y› bulmak için ne yap›lmas› gerekti¤ini gös-teren bir formülle belirtilir. Örne¤in bir dairenin alan› yar›çap›n›n fonksiyonudurve A=πr2 formülü ile hesaplanabilir. Farkl› boyutlardaki dairelerin yar›çaplar› dafarkl› olaca¤›ndan de¤iflkenin veri de¤eri de¤iflmektedir. Buna ba¤l› olarak da be-lirtilen formüle göre hesaplanacak alan de¤iflecektir. ‹ktisatta da aralar›nda fonksi-yonel iliflki bulunan birçok de¤iflkenle karfl›lafl›r›z. Örne¤in harcanabilir gelir artt›-¤›nda tüketim harcamalar› da artar. Yani tüketim, harcanabilir gelirin bir fonksiyo-nudur. Bir mal›n fiyat› artt›¤›nda talep edilen miktar düfler. Dolay›s›yla talep edilenmiktar, fiyat›n bir fonksiyonudur.

Bir de¤iflkenin, baflka bir de¤iflkenin fonksiyonu oldu¤unu ifade etmek için herzaman matematiksel bir formüle ihtiyac›m›z olmaz. Örne¤in Tablo 2.1’ de 2004 -2010 döneminde Türkiye’nin reel GSYIH verileri gösterilmektedir. Bu tablo daGSYIH’yi takvim y›l›n›n ya da zaman›n bir fonksiyonu olarak ifade etmektedir.

Bazen günlük hayat›m›zda da bilerek veya bilmeyerek fonksiyonel iliflkilerdenbahsederiz. Örne¤in kad›nlar›n e¤itim düzeyi artarsa bebek ölümlerinin azalaca¤›-n› söyleriz. Yani kad›nlar›n e¤itim düzeyi ile bebek ölümleri aras›nda bir fonksiyo-

Y›l 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

GSYIH 83485591 90499731 96738320 101254625 101921730 97003114 105738813

Tek De¤iflkenli Fonksiyonlar

Tablo 2.1Sabit (1988)fiyatlarlaHarcamalarYöntemiyle GSYIH

Kaynak: TürkiyeCumhuriyeti MerkezBankas›

nel iliflki kurar›z. Ya da ülkedeki yat›r›m düzeyinin art›fl›na ba¤l› olarak millî geli-rin de artmas› gerekti¤ini belirtiriz. K›saca fonksiyon asl›nda hayat›m›z›n içine yer-leflmifl bir kavramd›r.

‹ki de¤iflken aras›ndaki fonksiyonel iliflki bir grafik yard›m› ile de gösterilebilir.fiekil 2.1’de arz yanl› iktisad›n önemli kavramlar›ndan biri olan Laffer e¤risi bulun-maktad›r. Bu e¤ri vergi oranlar› ile devletin tahsil edece¤i toplam vergi gelirleriaras›ndaki iliflkiyi gösterir. Buna göre, bireyler vergi oranlar›nda yap›lacak art›flla-ra tepki verirler. Vergi düzeyindeki art›fl belli bir noktaya kadar devletin vergi ge-lirlerinin artmas›n› sa¤larken, vergilerin daha da yükseltilmesi bireylerin vergi öde-mekten kaç›nma e¤ilimi göstermesine, dolay›s›yla devletin vergi gelirlerinin azal-mas›na yol açar. Uç durumlar› ele al›rsak; vergi oran› %0 ise elbette vergi geliri des›f›r olacakt›r, vergi oran› %100 oldu¤unda ise kimse tüm kazanc›n› devlete vergiolarak vermek istemeyece¤inden gene vergi geliri s›f›r olur.

Tüm bu iliflkilerin ortak özelli¤i bir de¤iflkenin de¤erini baflka bir de¤iflkeninde¤eri ile iliflkilendirirken belli bir kurala ba¤l› kalmas›d›r. Bu kural ise de¤iflkenle-rin neler olduklar›na ve aralar›ndaki iliflkilerin yap›s›na ba¤l› olarak de¤iflmektedir.

Fonksiyonla ‹liflkili Temel KavramlarKüme: Küme birtak›m nesnelerden oluflan bir topluluktur. Bir kümeyi oluflturannesnelere, bu kümenin elemanlar› ad› verilir. Kümeler genellikle A, B, C, ..... gibibüyük harflerle ve elemanlar› da a,b,c, ...... gibi küçük harflerle gösterilir. Örne¤in“2001 y›l› itibariyle Nobel ödülü alan iktisatç›lar” fleklinde tan›mlanan bir kümenin46 tane eleman› vard›r. Bir nesnenin, bir kümenin eleman› oldu¤unu belirtmekiçin ∈sembolü kullan›l›r. Örne¤in Nobel ödülü alan iktisatç›lar kümesine N dersek;

Robert Mundell ∈ N James Tobin ∈ N.

S›ral› ikili: A ve B gibi iki küme verilsin. a ∈ Α ve b ∈ B olmak üzere, bunlar-dan oluflturulan (a,b) çiftine bir s›ral› ikili denir. (a,b) s›ral› ikilisinde a’ya s›ral› iki-linin birinci terimi (koordinat›), b’ye s›ral› ikilinin ikinci terimi (koordinat›) ad› ve-rilir. (a,b) ve (c,d) gibi iki s›ral› ikilinin eflit olabilmesi için gerek ve yeter koflul, s›-ral› ikililerin birinci ve ikinci koordinatlar›n›n karfl›l›kl› olarak eflit olmas›d›r. Yani

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d olmal›d›r.


Vergi Geliri

Vergi Oran›100

fiekil 2.1

Laffer E¤risi

a ≠ b ise (a, b) ≠ (b, a)

Ba¤›nt›: A ve B kümeleri verilmifl olsun. A x B kümesinin her alt kümesine Akümesinden B kümesine bir ba¤›nt› denir.

Fonksiyon: Bir kümenin elemanlar›, baflka bir kümenin elamanlar› ile iliflkiiçerisinde olabilir. Bu iliflkinin baz› kurallar çerçevesinde oluflturulan özel bir biçi-mine de fonksiyon ad› verilir. Bir kümenin her elaman› di¤er kümenin tek bir ele-man› ile efllefliyorsa buna fonksiyon ad› verilmektedir.

Bofl olmayan A ve B kümeleri verilsin. A kümesinden B kümesine tan›mlananbir f ba¤›nt›s› afla¤›daki koflullar› sa¤larsa f’ye A’dan B’ye bir fonksiyondur denir:

i. f ba¤›nt›s› alt›nda A’n›n her eleman› B’nin en az bir eleman› ile efllenmelidir.ii. f ba¤›nt›s› alt›nda A’n›n her eleman› B’nin birden fazla eleman› ile efllenme-

melidir.Fonksiyonun bu tan›m›ndan hareketle, her fonksiyonun bir ba¤›nt› olmas› ge-

rekir ancak her ba¤›nt› bir fonksiyon olmayabilir. X kümesinin her eleman›n› Y kümesinin yaln›zca bir eleman› ile efllefltiren ƒ

fonksiyonu

fleklinde gösterilir. Bu durumda X kümesi fonksiyonun tan›m kümesidir. Veri-len kurala göre gerçekleflen de¤erler kümesi ise fonksiyonun de¤er kümesidir.

Örne¤in fonksiyonla belirlenen kural “üç kat›n› al›p iki ekle” fleklinde olsun. Bukural› k›saca y=3x+2 fleklinde veya ƒ(x) = 3x+2 fleklinde gösterebiliriz. Tan›m kü-mesinin elemanlar› da 2 ve -3 olsun. Bu durumda de¤er kümesinin elemanlar› da8 [y=3 (2)+2) ] ve -7 [y=3 (-3)+2 ] olur. 2 girdisine 8 ç›kt›s›n› atayan ƒ ’yi göstermekiçin ƒ(2)=8 yaz›l›r ve “2 noktas›nda ƒ 8’e eflittir” biçiminde okunur. Benzer olarakƒ(-3)=-7 ’dir.

Bir fonksiyon için girdi say›lar›n› temsil eden bir de¤iflken ba¤›ms›z de¤iflkenolarak adland›r›l›r. Ç›kt› say›lar›n› temsil eden bir de¤iflken ise ba¤›ml› de¤iflken ola-rak adland›r›l›r. Çünkü alaca¤› de¤er, ba¤›ms›z de¤iflkenin ald›¤› de¤ere ba¤l›d›r.

y =ƒ(x) flekildeki bir fonksiyonda, y ba¤›ml› de¤iflken ya da fonksiyonun de¤e-ridir. ‹ktisatta y de¤iflkenine içsel de¤iflken de denir. x ise ba¤›ms›z de¤iflken ya dafonksiyonun argüman›d›r. x de¤iflkenine ise genellikle d›flsal de¤iflken denir.

ƒ(x) fonksiyonu x ’in herhengi bir de¤eri için y ’ye tek bir de¤er atarken farkl›fonksiyonel biçimlerde olabilir. y = α+βx fleklindeki bir fonksiyonda yunan alfabe-sinden harfler olan α ve β parametre olarak adland›r›l›r. Parametre bir etki ya dailiflki göstermek için kullan›lan de¤iflkendir. Parametrelerin say›sal de¤erleri belir-lendikten sonra ba¤›ms›z de¤iflkenin farkl› de¤erlerine göre fonksiyonun de¤erinibulabiliriz. Örne¤in basit Keynesyen tüketim fonksiyonunda Tüketim (C ), harca-nabilir gelir (Yd ) ile iliflkilendirilmektedir. Bu iki de¤iflken aras›ndaki fonksiyoneliliflki C=200+0,7Yd fleklinde belirlenmifl ve harcanabilir gelirin farkl› de¤erlerineba¤l› olarak tüketim miktarlar› hesaplanarak Tablo 2.2’ de gösterilmifltir.

2 Üç kat›n› al›p iki ekle 8

Girdi Ç›kt›

f X Y: a

372. Ünite - Tek De¤iflkenl i FonksiyonlarS O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



A’dan B’ye bir f ba¤›nt›s›n›nbir fonksiyon olabilmesi içinA kümesinin her eleman› Bkümesinin tek bir eleman›ile efllenmelidir.

Tan›m Kümesi: Kural›nuyguland›¤› tüm girdisay›lar›n›n kümesidir.

De¤er Kümesi: Tüm ç›kt›say›lar›n›n kümesidir.

‹çsel de¤iflken: De¤erimodel taraf›ndan belirlenende¤iflkendir.

D›flsal de¤iflken: De¤eremodelin d›fl›nda belirlenende¤iflkendir. Bir modeldeiçsel olan bir de¤iflkenbaflka bir modelde d›flsalolabilir.

Fonksiyonlar›n Grafiklerinin ÇizilmesiTablo 2.2’de ba¤›ms›z de¤iflken olan harcanabilir gelirin farkl› de¤erlerine ba¤l›olarak ba¤›ml› de¤iflken olan tüketimin de¤erleri gösterilmektedir. Tüketim fonk-siyonunun grafi¤ini çizebilmek için gerekli olan s›ral› ikilileri bu tablodan yararla-narak elde edebiliriz. S›ral› ikililer bir parantez içerisinde ve birbirinden virgül ileayr›larak gösterilir. Parantezin içindeki ilk say› fonksiyonun argüman›n›, ikinci sa-y› ise fonksiyonun de¤erini temsil eder. y =ƒ(x) fleklindeki bir fonksiyonda s›ral›ikililer (x, y) biçiminde gösterilir. Tablo 2.2’den elde edilen s›ral› ikililerden baz›la-r› (1000,900), (2000,1600), (3000,2300) fleklindedir.

S›ral› ikililer kartezyen düzlemi üzerinde iflaretlendikten sonra belirlenen nok-talar birlefltirilerek fonksiyonun grafi¤ine ulafl›l›r. Kartezyen düzlemi eksen olarakadland›r›lan birbirine dik iki do¤runun kesifltirilmesi ile oluflturulur. Çizilen yatayve dikey eksenler belirli bir orijin (merkez ya da odak) noktas›nda kesiflir. Yatayeksene ayn› zamanda x ekseni, dikey eksene ise y ekseni denmektedir. Kartezyendüzleminde x de¤iflkeninin de¤erleri yatay eksende, y de¤iflkeninin de¤erleri di-key eksende ölçülür. x’in pozitif de¤erleri orijin noktas›n›n sa¤›nda, negatif de¤er-leri ise orijin noktas›n›n solunda yer al›r. y’nin pozitif de¤erleri orijin noktas›n›n üs-tünde, negatif de¤erleri ise orijin noktas›n›n alt›nda gösterilir. Bir noktan›n koordi-natlar› s›ral› ikilinin de¤erleridir ve düzlemde o noktan›n adresini temsil eder. (x,y)s›ral› ikilisinin x koordinat›na apsis, y koordinat›na ise ordinat ad› verilir. Dolay›-s›yla orijin (0,0) koordinatlar› ile gösterilir.

fiekil 2.2’de tüketim fonksiyo-nu için belirlenen s›ral› ikililerkartezyen düzleminde iflaretlen-mifl ve sonras›nda bu belirlenennoktalar birlefltirilerek tüketimfonksiyonunun grafi¤i elde edil-mifltir.

Bir fonksiyonun grafi¤i koor-dinatlar› s›ral› ikililer taraf›ndanbelirlenen tüm noktalar›n birlefl-tirilmesi ile elde edilir. Harcana-bilir gelirin [0,2000] aral›¤›nda ta-n›mland›¤› tüketim fonksiyonungrafi¤i fiekil 2.2’de KM do¤rusuile gösterilmektedir. Bu do¤rutablo 2.2’deki verilerden yararla-

n›larak iflaretlenen ilk 3 nokta birlefltirilerek elde edilmifltir. Tablodaki di¤er s›ral›ikililerden elde edilecek noktalar›n da bu do¤ru üzerinde yer ald›klar› gösterilebi-lir. Bir noktadan sonsuz say›da do¤ru geçebilmesine ra¤men, iki nokta birlefltirile-rek sadece bir do¤ru elde edilebilir.

fiekil 2.2’de gösterilmemesine ra¤men asl›nda kartezyen düzlemi çeyrek böl-geler ya da quadrant olarak adland›r›lan dört bölgeye ayr›lmaktad›r. fiekil 2.3’tegörüldü¤ü gibi örne¤in I. Çeyrek bölge x1 > 0 ve y1 > 0 olan tüm (x1, y1) nokta-lar›n› içerir.


Yd 0 1000 2000 3000 4000

C 200 900 1600 2300 3000

Tablo 2.2Keynesyen TüketimFonksiyonu

1600

900

200

1000 2000

C

M

L

Yd

(1000,900)

K

fiekil 2.2

TüketimFonksiyonu

FONKS‹YONLARIN ÖZELL‹KLER‹Fonksiyonlar› grafikler kullanarak görsel olarak inceleyebilece¤imiz gibi, matema-tiksel özelliklerini kullanarak iktisadi aç›dan da yorumlayabiliriz. Bunun için fonk-siyonlar›n temel özelliklerini bilmemiz gerekir. Örne¤in flekil 2.2’de gösterilen tü-ketim fonksiyonunda gelir artt›kça tüketim de sürekli artmaktad›r. ‹ktisatta kullan›-lan baflka fonksiyonlarda, fonksiyonun argüman›ndaki art›fl sonucunda, de¤erininazald›¤› da görülebilir. Örne¤in fiyat›n bir fonksiyonu olarak ifade edilen talepfonksiyonunda bir mal›n fiyat› art›nca talep edilen miktar azalmaktad›r. Bu neden-le artan ve azalan fonksiyon kavramlar›n› bilmek bizim için önemlidir.

Artan ve Azalan Fonksiyonlary =ƒ(x) formundaki bir fonksiyonun x2 > x1 koflulunu sa¤layan iki argüman› x1 vex2 olsun. E¤er

ƒ(x2) ≥ ƒ(x1) ise fonksiyon artand›r, ƒ(x2) > ƒ(x1) ise fonksiyon kesin artand›r,ƒ(x2) ≤ ƒ(x1) ise fonksiyon azaland›r,ƒ(x2) < ƒ(x1) ise fonksiyon kesin azaland›r.

Bu tan›mlardan hareketle, kesin artan fonksiyonun, ayn› zamanda artan birfonksiyon oldu¤unu ve kesin azalan bir fonksiyonun ayn› zamanda azalan birfonksiyon oldu¤unu söyleyebiliriz. Ancak bunun tersi geçerli de¤ildir. Yani artanbir fonksiyon, kesin artan bir fonksiyon olmayabilir. Çünkü artan bir fonksiyondaƒ(x2) =ƒ(x1) olan bir bölge bulunabilir.

Artan ve azalan fonksiyon kavramlar› ile iliflkili olan bir baflka konu da mono-ton ve monoton olmayan fonksiyon kavramlar›d›r.

Monoton, Kesin Monoton ve Monoton Olmayan FonksiyonE¤er bir fonksiyonArt›yor ya da azal›yorsa buna monoton fonksiyon denir. Kesin art›yor ya da kesin azal›yorsa kesin monoton fonksiyon denir.Belli bir aral›kta kesin art›yor ve baflka bir aral›kta da kesin azal›yorsa monoton ol-mayan fonksiyon denir.

392. Ünite - Tek De¤iflkenl i Fonksiyonlar

fiekil 2.3

y

x

Çeyrek Bölge II Çeyrek Bölge I

Çeyrek Bölge IVÇeyrek Bölge III

(x2, y2)(x1, y1)

(x3, y3)

x1

x3

x2

x4 y4

y1

y3 0,

0,0,

0,

0

0 0

0

(x4, y4)

y2

Çeyrek Bölgeler

Monoton olmayan fonksiyonlar birden fazla argüman› için ayn› de¤ere sahipolabilir. Örne¤in monoton olmayan y=x2 formundaki bir fonksiyonun de¤eri hemx=-3 hem de x=3 için 9’dur. Ancak kesin monoton fonksiyonlar herhangi bir argü-mana sadece bir de¤er atar. Bu nedenle kesin monoton fonksiyonlar birebir fonk-siyonlard›r.

Birebir Fonksiyonƒ : X → Y, x’ten y’ye giden bir fonksiyon olsun. E¤er her x1, x2 ∈ X içinƒ(x1)=ƒ(x2) eflitli¤i x1=x2 eflitli¤ini gerektiriyorsa, yani X’in iki de¤iflik eleman›,Y’nin ayn› eleman›na gidemiyorsa o zaman ƒ fonksiyonuna birebir fonksiyonad› verilir.

Ters FonksiyonHerhangi bir birebir fonksiyonun tersi al›nabilir. y =ƒ(x) fonksiyonunun tersiy=ƒ-1(x) fleklinde gösterilir. Fonksiyonun tersini bulmak için önce x ’i y cinsin-den ifade ederiz, sonra da x’lerle y ’leri yer de¤ifltiririz. Örne¤in y =ƒ(x)=3+6xfonksiyonunun tersini bulmak için önce x ’i y cinsinden çözeriz.

Sonra da x ’leri ve y ’leri yer de¤ifltirerek ters fonksiyona ulafl›r›z.

Minimum ve Maksimum Noktalar‹ktisadi analizde bir fonksiyonun minimum ya da maksimum de¤erlerini belirle-mek çok önemlidir. Örne¤in bir tekelci firman›n kâr› maksimize etmek için hangifiyat› belirlemesi gerekti¤ine ya da bir üreticinin maliyeti minimize etmek içinemek ve sermaye girdilerinden ne kadar kullanmas› gerekti¤ine karar verebiliriz.

Yerel maksimum ve yerel minimum kavramlar› bir noktan›n civar›ndaki fonk-siyon de¤erlerinin davran›fl› ile ilgili kavramlard›r. Yerel maksimum noktas›ndakifonksiyon de¤eri o noktaya yak›n noktalardaki fonksiyon de¤erlerinden daima bü-yük, yerel minimum noktas›ndaki fonksiyon de¤eri de o noktaya yak›n noktalar-daki fonksiyon de¤erinden daima küçüktür. K›saca fonksiyonun belli bir aral›kta-ki en yüksek de¤erine yerel maksimum, en düflük de¤erine de yerel minimum de-nir. Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalar›, fonksiyonunextremum noktalar›d›r.

Ortalama De¤iflim Oran›y =ƒ(x) fonksiyonunun [x1, y1] kapal› aral›¤›nda oartalama de¤iflim oran› flöyle he-saplan›r.

∆∆

=−−

y

x

f x f x

x x

( ) ( )2 1

2 1

f xf x

− ≠1 1( )

( )

y f x x= = − +−1 12

16

( )

6 3

1

2

1

6

x y

x y

= −

= − +


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Örne¤in daha önce harcanabilir gelirin bir fonksiyonu olarak belirledi¤imizC=C(Yd)=200+0,7Yd fleklindeki tüketim fonksiyonumuzu ele alal›m. Bu fonksiyo-nun [1000, 4000] kapal› aral›¤›nda ortalama de¤iflim oran›n› hesaplayabilmek içinöncelikle harcanabilir gelirin 1000 ve 4000 oldu¤u durumlarda fonksiyonun de¤e-rini hesaplamam›z gerekir.

Bu amaçla C (1000)=900 ve C (4000)=3000 de¤erlerini hesaplar›z. Buldu¤umuzde¤erleri de formülde yerine koyarsak

Do¤rusal bir fonksiyonda ortalama de¤iflim oran› sabittir ve fonksiyonun e¤imi-ne eflittir. Do¤rusal olmayan bir fonksiyonun ortalama de¤iflim oran› ise sabit de-¤ildir. De¤iflim oran›n›n hesapland›¤› aral›¤a ba¤l› olarak de¤iflir.

Bükeylik‹ktisatta önemli konulardan bir tanesi de azalan marjinal fayda konusudur. Örne-¤in çok aç oldu¤unuz bir zamanda yedi¤iniz ilk dilim pizzan›n faydas› ile dördün-cü dilim pizzan›n faydas› farkl› olacakt›r. Pizza yemeyi sürdürdü¤ümüz zaman fay-da artacak ancak azalarak artacakt›r. Dolay›s›yla böyle bir gerçe¤i yans›tan faydafonksiyonunu do¤rusal bir fonksiyonla gösteremeyiz. Çünkü do¤rusal fonksiyon-da e¤im sabit oldu¤undan yedi¤iniz her dilim pizzan›n faydas› eflit olacakt›r. Bunedenle fayda fonksiyonlar› bükümlü olarak çizilerek y ekseninde faydaya, x ek-seninde de kulland›¤›m›z ya da tüketti¤imiz maddeye yer verilir.

Tek de¤iflkenli bir fonksiyonun bükeyli¤i, grafi¤i üzerinde iki noktas›n› birlefl-tiren kiriflin durumuna göre belirlenir. Yukar› ve afla¤› bükey fonksiyonlar›n gra-fikleri flekil 2.4’te gösterilmifltir.

∆∆

=−−

=−

=C

Y

C C

d

( ) ( ),

4000 1000

4000 1000

3000 900

30000 7


y=ƒ(x)=ax+b formundakido¤rusal fonksiyonuns›f›rdan farkl› bir aral›k içinortalama de¤iflim oran›fonksiyonun e¤imi olan a ’yaeflittir.

fiekil 2.4

x1 x2x

y y

xx2x1

Yukar› Bükey veAfla¤› BükeyFonksiyonlar

y y

x1 x2x1 x2x x

(a) Yukar› bükey (konveks) fonksiyon

(b) Afla¤› Bükey (konkav) fonksiyon

E¤er fonksiyonun grafi¤i üzerinde al›nan herhangi iki noktay› birlefltiren kirifldaima grafi¤in üzerinde kal›yorsa ƒ fonksiyonuna yukar› bükey veya konveksfonksiyon, e¤er kirifl daima grafi¤in alt›nda kal›yorsa ƒ fonksiyonuna afla¤› bükeyveya konkav fonksiyon denir. Bir fonksiyon belli bir aral›kta yukar› bükey, baflkabir aral›kta afla¤› bükey de olabilir. Bir fonksiyonun bükeyli¤inin de¤iflti¤i noktayabüküm noktas› denir.

DO⁄RUSAL FONKS‹YONLARDo¤rusal fonksiyonlarla iktisatta çok s›k karfl›lafl›r›z. y =ƒ(x)=ax+b biçimindeki birfonksiyon do¤rusal fonksiyon olarak tan›mlan›r. Bu fonksiyonun kartezyen düzle-mindeki garfi¤i de düz bir do¤ru fleklinde olur. x için herhangi bir de¤er al›rsak:

ƒ(x+1) –ƒ(x)=a(x+1)+b – ax – b=a ’d›r. Buna göre a parametresi, x ’teki 1 bi-rimlik de¤iflim sonras›nda fonksiyonun de¤erindeki de¤iflimi ölçer. Bu nedenle a,do¤runun ve fonksiyonun e¤imini verir. E¤er a pozitif ise, do¤ru sa¤a yukar› yö-ne meyilli olur. a’n›n de¤eri artt›kça do¤ru da dikleflir. Ancak a negatif ise do¤rusa¤a afla¤› yönde çizilecektir. a=0 olmas› durumunda ise tüm x de¤erleri içiny=ax+b=b olaca¤›ndan do¤ru x eksenine paralel olur. Bu üç farkl› duruma göre çi-zilen fonksiyon grafikleri flekil 2.5’te gösterilmektedir. Do¤runun y eksenini kesti-¤i noktaya y kesiflimi ad› verilir. x=0 olmas› durumunda y=b oldu¤undan, b k›sacay kesiflimi ya da kesiflme terimi olarak adland›r›l›r.

1998-2010 dönemi için tahmin edilen afla¤›daki elma talebi fonksiyonunda e¤imi hesapla-yarak yorumlay›n›z. Eflitlikte p fiyat›, q ise kifli bafl›na talep edilen elma miktar›n› göster-mektedir. q=-0,26p+0,57

Do¤rusal Fonksiyonun E¤imiTek de¤iflkenli do¤rusal bir fonksiyonunun e¤imi fonksiyonun argüman›ndaki bel-li bir de¤iflime karfl›l›k de¤erindeki de¤iflimi ifade eder. x1 ve x2 (x1 ≠x2) gibi her-hangi iki noktas› belirlenen y=ax+b biçimindeki do¤rusal fonksiyonda e¤im

formülü ile hesaplan›r.

Burada ƒ(x2) –ƒ(x1) fonksiyonun de¤erindeki de¤iflimi, x2 – x1 ise fonksiyo-nun argüman›ndaki de¤iflimi göstermektedir. Elde edilen sonuca göre do¤rusal birfonksiyonun e¤imi sabittir ve a parametresine eflittir.

f x f x

x x

y y

x x

ax( ) ( ) (2 1

2 1

2 1

2 1

−−

=

−−

= 22 1

2 1

+ − +−

=b ax b

x xa

) ( )


y y y

b

b b

xxx

y=ax+b (a 0)

y=ax+b (a 0) y=b (a=0)

fiekil 2.5

Do¤rusal FonksiyonGrafikleri

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Nokta-E¤im FormülüÜzerindeki herhangi bir noktan›n koordinatlar› ve e¤imi bilinen bir do¤rununfonksiyonel biçimi rahatl›kla belirlenebilir. (x1, y1) noktalar›ndan geçen ve e¤imi aolan do¤runun denklemi

y – y1 = a(x– x1)

formülü ile hesaplan›r. Burada (x1, y1) do¤ru üzerinde bilinen bir noktan›n ko-ordinatlar›d›r. x ve y ise do¤ru üzerindeki herhangi bir noktan›n koordinatlar›n›temsil eden de¤iflkenlerdir.

Nokta-Nokta Formülüx1 ≠x2 olmak koflulu ile (x1, y1) ve (x2, y2) noktalar›ndan geçen bir do¤runundenklemini elde etmek için:

• Do¤runun e¤imi formülü ile hesaplan›r.

• E¤im için bulunan de¤er nokta-e¤im formülünde yerine koyulur.y – y1 = a(x– x1) Burada a yerine onu oluflturan ifade koyulursa

Bir mal›n talebinin fiyat›n do¤rusal bir fonksiyonu oldu¤unu varsayal›m. Fiyat (P) 10 ikentalep edilen miktar (Q) 200 birim ise ve fiyat 15’e ç›kt›¤›nda talep edilen miktar 150 biri-me düflüyorsa do¤rusal talep fonksiyonunu belirleyeniz.

Do¤rusal Fonksiyonlar›n ‹ktisadi Uygulamalar›Tüketim Fonksiyonu: Keynesyen makroekonomik teoride, mal ve hizmetlere ya-p›lan toplam tüketim harcamalar› (C ), harcanabilir gelirin (Yd) bir fonksiyonudur.

C=ƒ(Yd)

Tüketim fonksiyonunun do¤rusal oldu¤u varsay›l›rsa

C=a+bYd

fleklinde ifade edilir. Burada e¤imi ifade eden b, iktisatta marjinal tüketim e¤i-limi olarak adland›r›l›r. Harcanabilir gelirin ve tüketimin milyon T olarak ölçüldü-¤ünü düflünürsek marjinal tüketim e¤ilimi, harcanabilir gelirdeki T1 milyon’lik ar-t›fl sonucunda tüketimin kaç milyon T artaca¤›n› gösterir. Marjinal tüketim e¤ilimi0 ile 1 aras›nda bir de¤er al›r. Bunun anlam› harcanabilir gelir ile tüketim aras›ndapozitif bir iliflkinin oldu¤u, yani harcanabilir gelir artt›¤›nda tüketimin de artaca¤›ancak tüketimdeki art›fl›n, gelirdeki art›fl kadar olmayaca¤›d›r. Fonksiyonun kesifl-me terimi olan a ise iktisatta otonom harcamalar olarak adland›r›l›r. Bu da gelirinolmamas› ya da s›f›ra eflit olmas› durumunda yap›lacak tüketim harcamalar›n›n dü-zeyini temsil eder.

Türkiye ekonomisine ait makro tüketim fonksiyonu 1998’in 1. çeyre¤i ile 2011’in2. çeyre¤i aras›ndaki veriler kullan›larak afla¤›daki gibi tahmin edilmifltir.

C = 860851,9+0,69Yd

Burada marjinal tüketim e¤ilimi 0,69 olarak belirlenmifltir. Yani gelirdeki 1 bi-rimlik art›fl sonucunda tüketim harcamalar› 0,69 birim artmaktad›r.

y yy y

x xx x− =

−−

−12 1

2 11( )

ay y

x x=

−−

2 1

2 1


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Arz ve Talep Fonksiyonlar›Bir mal›n talep edilen miktar› piyasa fiyat›na ba¤l›d›r. Bu iliflkiyi Q=ƒ(P) fleklindegösterip talep fonksiyonu olarak adland›r›r›z. Herhangi bir mal için talep fonksiyo-nu türetildikten sonra grafi¤ini de rahatl›kla çizebiliriz. Ancak burada matematikçi-lerle iktisatç›lar aras›nda bir ayr›m söz konusudur. Matematikçiler, miktar› (Q) dü-fley eksende ve fiyat› (P) yatay eksende gösterirler. ‹ktisatta ise her ne kadar teori-de talep edilen miktar›n fiyat›n bir fonksiyonu oldu¤u söylense de uygulamada ön-celikle P=g(Q) fleklindeki ters talep fonksiyonu türetilip daha sonra grafikte fiyatdüfley eksende, miktar ise yatay eksende gösterilir. Bu 19. Yüzy›l›n sonlar›nda ‹n-giliz ‹ktisatç› Alfred Marshall’›n çal›flmalar›ndan sonra iktisatta standart uygulamahaline gelmifltir.

P=q(Q) fleklindeki bir talep fonksiyonundan sadece fiyat›n miktar›n bir fonksiyo-nu oldu¤unu ö¤reniriz fakat bu iki de¤iflken aras›ndaki iliflkinin yönü hakk›nda birbilgi elde edemeyiz. Bunun için iktisat teorisi ve ampirik analiz yard›m› ile belirle-necek fonksiyonu bilmemiz gerekir. Fonksiyonun do¤rusal oldu¤unu varsayarsak

P=g(Q)+b fleklinde ifade edebiliriz. Gerçekte fiyat ve miktar aras›ndaki ilflkilerçok daha karmafl›k olabilir. Ancak gerçek iliflki hakk›nda bir ön bilgi vermesi vematematiksel ifllemlerin kolayl›¤› aç›s›ndan do¤rusal fonksiyon tercih edilmektedir.Sonuçta iktisadi modeller bir iktisadi sorunun temel özelliklerini ortaya koymam›-za yard›mc› olacak ve üzerinde rahatl›kla de¤ifliklikler yapabilece¤imiz, gerçe¤inbir soyutlamas›d›r. Kaç›n›lmaz olarak modelin gerçekçili¤i ile matematiksel kolay-l›¤› aras›nda bir tezat söz konusudur. Model gerçe¤e yaklaflt›kça kullan›lan mate-mati¤in karmafl›kl›¤› da artmaktad›r.

Tipik bir do¤rusal talep fonksiyonu fiekil 2.6’n›n a bölümünde gösterilmekte-dir. ‹ktisat teorisine göre, fiyat artt›¤› zaman, talep edilen miktar düfler, yani do¤-runun e¤imi negatiftir. Matematiksel olarak fiyat miktar›n azalan bir fonksiyonu-dur. fiekil 2.6’n›n a bölümünde görüldü¤ü gibi a < 0 ve b > 0 d›r.

Ayn› zamanda üreticilerin belli bir zamanda arz etmek istedikleri miktar mal›nfiyat›na ba¤l›d›r. Tipik bir do¤rusal arz fonksiyonunun grafi¤i fiekil 2.6’n›n b bölü-münde gösterilmektedir. ‹ktisat teorisine göre fiyat artarsa arz edilen miktar da ar-tar. Matematiksel olarak fiyat miktar›n artan bir fonksiyonudur. Fiyattaki art›fl, mev-cut firmalar› üretimlerini artt›rmaya ve yeni firmalar› piyasaya girmeye teflvik eder.P=a (Q)+b fleklinde gösterilen arz fonksiyonunda e¤im a > 0 ve kesiflme terimi b >0 olur.


P

b

(a) (b)Q Q

P

P=aQ+bb

P=aQ+b

fiekil 2.6

Talep ve ArzFonksiyonlar›

Piyasa DengesiArz ve talebin birbirine eflit olduklar› yerde piyasa dengesi sa¤lanm›fl olur. Bu daarz ve talep e¤rilerinin kesifltikleri yerde gerçekleflir. Bu noktada arz edilen miktartam olarak talep edilen miktara eflittir. Bu durumda ortaya ç›kan fiyata denge fiya-t› (Pe) ve miktara, denge miktar› (Qe) ad› verilmektedir. Arz ve talep e¤rileri ile pi-yasa dengesi fiekil 2.7’de gösterilmektedir. Arz ve talep fonksiyonlar›n›n grafiklerido¤rusal olabilece¤i gibi, fonksiyonun yap›s›na ba¤l› olarak flekil 2.7’nin a bölü-münde oldu¤u gibi e¤risel de olabilir.

QD=100 – P fleklindeki talep fonksiyonunu ve QS=10+2P fleklindeki arz fonksi-

yonunu ele alal›m. Fiyat› eflitli¤in sol taraf›nda yaln›z b›rak›rsak ters talep fonksiyo-

nu P =100 – QD ve ters arz fonksiyonu fleklinde olur. Dengede talep

edilen miktar arz edilen miktara eflittir (QD=QS). Dolay›s›yla 100–P=10+2P ve 3P=90

bulunur. Buradan denge fiyat› Pe =30 olarak belirlenir. Bunu arz veya talep eflitlikle-

rinden herhangi birisinde yerine koyarak denge miktar›n› Qe=70 olarak hesaplar›z.

Piyasa dengesini geometrik ya da cebirsel yöntemler kullanarak belirleyebile-

ce¤imiz gibi, farkl› fonksiyonlar için kullanabilecepimiz genel bir formül de türe-

tebiliriz. Denge fiyat› ve denge miktar›n›n hesaplanmas›nda kullanabilece¤imiz ge-

nel formülü türetmek amac›yla ters talep fonksiyonunun P=a–bQD ve ters arz

fonksiyonunun P=c+dQS biçiminde oldu¤unu varsayal›m. Dengede a–bQ=c+dQ

olur. Buradan a–c=(b+d)Q ve dir.

Denge miktar›n› hesaplamak için kullanaca¤›m›z bu formülü talep eflitli¤inde

yerine koyarak denge fiyat›n›n hesaplanmas› için gerekli formülü türetebiliriz.

Elde etti¤imiz bu genel formülleri herhangi bir do¤rusal arz-talep fonksiyonu-na uyarlayarak denge miktar›n› ve fiyat›n› k›sa yoldan hesaplayabiliriz.

P a ba c

b da

b a c

b d

a b d b a c

be = −

−+

= −

−+

=+ − −( ) ( ) ( )

++

=+ − +

+=

++

d

ab ad ab bc

b d

ad bc

b d

Qa c

b de =

−+

P QS= −1

25


fiekil 2.7

P

Pe

Qe Q Q

(a) (b)70

30

E

PArz E¤risi

P=100-QD

P=12

QS-5

Talep E¤risi

Piyasa Dengesi

Esneklik Firmalar için önemli olan fiyat de¤iflti¤i zaman toplam has›lan›n bundan nas›l etki-lenece¤ini bilmektir. Negatif e¤imli bir talep e¤risinde fiyat düfltü¤ü zaman talepedilen miktar artar. TR = PQ oldu¤undan ve birbirine z›t yönde hareket eden( ) iki de¤erin çarp›lmas› ile elde edildi¤inden, bundan toplam has›lan›nnas›l etkilenece¤i talep ve miktardaki yüzde de¤iflimlere ba¤l›d›r. Miktardaki % de-¤iflme, fiyattaki yüzde de¤iflmeden fazla ise firman›n toplam has›las› artar. Bu du-rumda talebin fiyat de¤iflimlerine duyarl›l›¤›n›n fazla oldu¤unu ya da k›saca talebinesnek oldu¤unu söyleriz. Miktardaki yüzde de¤iflimin, fiyattaki yüzde de¤iflimdenaz olmas› durumunda ise talep fiyat de¤iflimlerine nispeten duyarl› de¤ildir ve ta-lep esnek de¤ildir. Bu durumda firma ürünün fiyat›n› artt›rarak toplam has›las›n›artt›rabilir. Fiyat ve miktardaki yüzde de¤iflimlerin birbirine eflit olmas› durumundaise toplam has›la de¤iflmez. Bu durumu ifade etmek için ise birim esnek kavram›kullan›l›r.

talep edilen miktardaki % de¤iflimTalebin fiyat esnekli¤i formülü ile

hesaplan›r. fiyattaki % de¤iflim

Talep e¤risi negatif e¤imli oldu¤undan fiyattaki pozitif de¤iflim, miktardaki ne-gatif de¤iflime neden olur. Dolay›s›yla esneklik de¤eri her zaman negatif olur. For-mülün önündeki (-) iflareti ise esneklik de¤erini pozitif hesaplamam›z› sa¤layan biryöntemdir.

Talebin fiyat esnekli¤inin hesaplanmas›nda kullan›lan iki yaklafl›m vard›r. Bun-lar nokta esnekli¤i ve yay esnekli¤idir.

Yay Esnekli¤iYay esnekli¤i fonksiyon üzerindeki bir aral›kta esnekli¤i ölçer. Esnekli¤in hesap-lanmas›nda aral›¤›n bafllang›ç ve bitifl noktalar›ndaki fiyat ve miktarlar›n ortalama-lar› kullan›lmaktad›r.

Talep fonksiyonu ise fiyat›n 210’dan 200’e düflmesi durumuda yay esnekli¤inin de¤erinihesaplay›n›z.

Nokta Esnekli¤i Esneklik de¤eri belli bir aral›kta de¤il, bir noktada da hesaplanabilir. Yay esnekli-¤i formülündeki ∆Q/∆P oran› talep e¤risi üzerindeki iki noktay› birlefltiren kirifline¤imidir. Bu iki nokta birbirine yaklaflt›kça, yani ∆Q ve ∆P ve s›f›ra yaklaflt›kça, yaybir noktaya dönüflür ve kiriflin e¤imi o noktada çizilen te¤etin e¤imine yaklafl›r.

K›saca olur. Bundan yararlanarak nokta esnekli¤i formülünü

belirleyebiliriz.

lim∆ →

∆∆

=Q

Q

P

dQ

dP0

εd

Q

P

P P

Q Q

Q

P

P P

Q Q= −

∆∆

×+[ ]

+[ ]= −

∆∆

×++

1

21

2

1 2

1 2

1 2

1 2

εd

Q

P

P

Q= −

∆∆

×εddQ

P

Q

QP

P

= −∆∆

= −

∆×

∆×

%

%

100

100

εd = −

P ⇓ ⇑ Q


Talebin fiyat esnekli¤i,fiyattaki de¤iflimlere talebinduyarl›l›¤›n› ölçer. ε<1 isetalep esnek de¤il, ε=1 isebirim esnek, ε>1 ise talepesnek denir.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

‹ktisatta genellikle talep eflitlikleri fiyat› miktar›n bir fonksiyonu olarak P=ƒ(Q)

biçiminde verir. Fakat nokta esnekli¤i formülünde kulland›¤›m›z türevi için

miktar› fiyat›n fonksiyonu olarak ifade etmemiz gerekir. a < 0 ve b > 0 koflulunu sa¤layan P= aQ+b fleklinde do¤rusal bir talep fonksi-

yonu alal›m. Öncelikle miktar› fiyat›n bir fonksiyonu olarak ifade edersek

aQ=P–b olur. Bu fonksiyonda d›r.

Talebin fiyat esnekli¤i formülünde Q yerine (1/a) (P–b) ve dQ/dP yerine 1/ayazarsak

bulunur.

Esnekli¤i hesaplamakta kullanaca¤›m›z bu formülde a yer almaz. Yani esnek-lik do¤rusal talep fonksiyonlar›n›n e¤imlerinden ba¤›ms›zd›r.

Do¤rusal bir talep e¤risi boyunca esneklik farkl› de¤erler al›r. Bu flekil 2.8’degösterilmektedir.

Talep fonksiyonunun P=aQ+b oldu¤u hat›rlan›rsa grafi¤in düfley ekseni kesti¤i

noktay› bulmak için Q=0 dersek buradan P=b bulunur. Bu noktadaki esneklik de-

¤eri ise dur. Grafi¤in yatay ekseni kesti¤i noktada P=0 d›r. Bu

noktadaki esneklik de¤eri ise olur. Talep e¤risi boyunca sol

yukar›dan sa¤ afla¤›ya do¤ru hareket edildikçe esneklik ∞ ile 0 aras›nda de¤erler

almaktad›r. ε=1 oldu¤unda talebin birim esnek oldu¤unu belirtmifltik. Talebin bi-

rim esnek olmas› durumda fiyat› da rahatl›kla belirleyebiliriz.

P=b-P 2P=b P=b/2 P

b P−= 1

ε =−

= =0

0

00

b b

ε =−

= = ∞b

b b

b

0

ε =−P

b P

ε = −−

× =−−

P

a P b a

P

P b( )( )1

1

dQ

dP a=

1Qa

P b= −1

( )

dQ

dP

εd

P

Q

dQ

dP= − ×


fiekil 2.8

P

b

b/2

-b/2a -b/aQ

1

1

1

0

=

=

=

Do¤rusal TalepE¤risi BoyuncaEsneklik De¤erleri

Fiyat için buldu¤umuz bu de¤eri dönüfltürülmüfl talep fonksiyonunda yerinekoyarsak ε=1 durumundaki miktar› buluruz.

Talep e¤risinin tam orta noktas›nda talep birim esnektir. Bu noktan›n solundaε>1 oldu¤undan talep esnektir. Bu noktan›n sa¤›nda ise ε<1 oldu¤undan talep es-nek de¤ildir.

Talep fonksiyonu Q=4P=60 olarak verilmiflse, Talebin birim esnek oldu¤u durumda fiyat nekadard›r?

KARESEL (KUADRAT‹K) FONKS‹YONLAR‹ktisatta kullan›lan tüm fonksiyonlar do¤rusal de¤ildir. Arz ve talep fonksiyonlar›-n›n do¤rusal oldu¤unu varsayarak matematiksel analizi daha kolay hâle getirebi-liriz ancak bu gerçekçilikten uzaklaflmam›za neden olur. Arz ve talep fonksiyon-lar›n›n grafikleri e¤risel olabilir ve bu fonksiyonlar› belirlemek için daha karmafl›kfonksiyonel iliflkilere ihtiyaç duyabiliriz. Arz ve talep haricinde de iktisadi iliflkile-rin ço¤unda fonksiyon grafikleri ya önce azal›p bir noktada minimum yapt›ktansonra tekrar artar; ya da önce art›p bir noktada maksimum yapt›ktan sonra azal-maya bafllar. Bu tür do¤rusal olmayan iliflkileri ifade etmek üzere karesel fonksi-yonlar› kullanabiliriz. Do¤rusal olmayan fonksiyonlar›n en basit biçimi kareselfonksiyonlard›r.

Karesel Fonksiyonlar›n Çözümüa, b, c sabit say›lar ve a≠ 0 olmak üzere, ƒ(x) fonksiyonu ancak ve ancakƒ(x)=ax2+bx+c biçiminde yaz›labiliyorsa, f fonksiyonu bir karesel fonksiyondur.

Karesel fonksiyonun çözümü formülü ile bulunur. Bura-

da çözümle ilgili üç farkl› durumla karfl›laflabiliriz. Karesel fonksiyonun ya iki çö-

zümü vard›r, ya tek çözümü vard›r, ya da çözümü yoktur. Çözüm say›s› formülde

karekök içindeki ifadenin (b2– 4ac) pozitif, s›f›r ya da negatif olmas› ile ilgilidir. • b2–4ac > 0 ise iki çözüm vard›r. Bunlar:

ve ile bulunur.

• b2–4ac = 0 ise tek çözüm vard›r.

• b2–4ac < 0 ise çözüm yoktur çünkü negatif bir ifadenin karekökü bulunamaz.

ƒ(x) = –x2 – 4x+12 fonksiyonunun çözümünü bulunuz.

Karesel bir fonksiyonun çözümünü bulmak için kullan›labilecek olan bir baflkayöntem çarpanlara ay›rmakt›r. Örne¤in

x2+3x+2= (x+1)(x+2) fleklinde çarpanlar›na ayr›labilir. Dolay›s›ylax2+3x+2= 0 fonksiyonunun çözümünde x+1=0 ya da x+2=0 olur. Buradan

fonksiyonun iki çözümü oldu¤unu belirleriz: x1= –1 x2= –2

xb

a

b

a=

− ±=

−0

2 2

xb b ac

a2

2 4

2=

− − −x

b b ac

a1

2 4

2=

− + −

xb b ac

a=

− ± −2 4

2

Qa

bb

b

a= −

= −

12 2


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

Ancak her zaman fonksiyonu kolayca çarpanlar›na ay›rabilecek kadar flansl› olma-yabiliriz. Bu durumda çözüme ulaflmak için yukar›da verilen formül kullan›lmal›d›r.

Karesel Fonksiyonlar›n Grafi¤iƒ(x)=ax2+bx+c karesel fonksiyonunun grafi¤i parabol olarak adland›r›l›r. (iktisat-ta genellikle parabol yerine U fleklinde kavram› kullan›l›r) E¤er a > 0 ise garfik yu-kar› do¤ru genifller. (flekil 2.9 a) Bu durumda parabolün yukar› do¤ru geniflledi¤isöylenir. K›saca grafik U fleklindedir. E¤er a < 0 ise parabol afla¤› do¤ru aç›lmakta-d›r. (fiekil 2.9 b) K›saca grafik ters U fleklinde olur.

Her parabol, simetri ekseni olarak adland›r›lan dikey bir eksene göre simetrik-tir. Simetri ekseninin parabolü kesti¤i noktalar tepe noktalar›d›r. a > 0 ise parabolyukar› do¤ru genifller ve tepe noktas› minimumu temsil eder. Yani fonksiyon bunoktada bir minimum de¤ere sahiptir.

ƒ(x)=ax2+bx+c fonksiyonunda a > 0 ise oldu¤unda fonksiyon mini-

mum de¤ere sahiptir. (fiekil 2.9 a) x’ in bu de¤erine karfl›l›k gelen y koordinat›

’ d›r. Böylece tepe noktas› olarak belirlenir.

ƒ(x)=ax2+bx+c fonksiyonunda a < 0 ise oldu¤unda fonksiyon mak-

simum de¤ere sahiptir.(fiekil 2.9 b)Parabolün x eksenini kesti¤i nokta ya da noktalar fonksiyonun çözümünden el-

de edilir. Parabolün y eksenini kesti¤i nokta (y kesiflimi) ise x yerine s›f›r koyula-rak hesaplan›r. Buna göre y kesifleni c ’ye eflittir.

Tepe noktas›n›, y kesiflimini ve parabolün x eksenini kesti¤i nokta ya da nok-talar› belirledikten sonra karesel fonksiyonun grafi¤ini çizebiliriz.

y=ƒ(x)=ax2+bx+c fleklindeki karesel fonksiyonun grafi¤i bir paraboldür.

• Temel flekil belirlenir : a > 0 ise parabol yukar› do¤ru genifller, a < 0 ise afla-¤› do¤ru genifller

• Tepe noktas› ile belirlenir.

• Parabolün y eksenini kesti¤i nokta c ’dir.• Parabolün x eksenini kesti¤i nokta (varsa) fonksiyonun çözümünden elde

edilir.

− −

b

af

b

a2 2, ( )

xb

a= −

2

− −

b

af

b

a2 2, ( )x f

b

a= −( )

2

xb

a= −

2


fiekil 2.9

Simetri Ekseni

Tepe Noktas›

(b)

a 0 afla¤› do¤ru geniflleryukar› do¤ru genifllera 0(a)

Simetri EkseniTepe Noktas›

y y

xx

, ,

Kareselfonksiyonun grafi¤i

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Karesel Fonksiyonlar›n ‹ktisadi Uygulamalar›

Arz ve Talep Fonksiyonlar›Arz ve talep fonksiyonlar› do¤rusal fonksiyonlarla olabildi¤i gibi, karesel fonksi-yonlarla da gösterilebilir. Örne¤in arz fonksiyonu P=2Q2

S +10QS+10 fonksiyonu ile,talep fonksiyonu da P=–Q2

D –5QD+52 fonksiyonu ile ifade edilmiflken, denge fiya-t›n› ve miktar›n› belirleyelim.

Dengede arz edilen miktar talep edilen miktara eflit olur (QS=QD). Denge mik-tar›na Q dersek arz ve talep eflitliklerini

P=2Q2–10Q+10

P=–Q2–5Q+52

fieklinde gösterebiliriz. Her iki fonksiyonda eflitli¤in solunda P yer ald›¤›ndan

2Q2+10Q+10=–Q2–5Q+52

Ortak terimleri bir araya toplarsak 3Q2+15Q – 42=0 eflitli¤ini elde ederiz. Sadelefltirmek için eflitli¤in her iki taraf›-

n› üçe bölersek Q2+5Q – 14=0 eflitli¤ine ulafl›r›z. Bu da Q cinsinden karesel bir eflit-liktir. Bu eflitli¤i çözerek denge miktar›na ulaflabiliriz.

Q1=–7 ve Q2=2 bulunur. Burada Q1=–7 çözümü ihmal edilebilir çünkü negatifmiktar›n iktisadi aç›dan bir anlam› yoktur. Dolay›s›yla denge miktar› 2’dir. Dengefiyat› ise miktar için elde etti¤imiz de¤eri bafllang›çtaki arz ve talep eflitliklerindenherhangi birisinde yerine koyarak hesaplanabilir. Arz eflitli¤inde yerine koyarsak:

P=2(2)2+10(2)+10=38 Denge fiyat› da 38 olarak belirlenir.

Q =− ± − −

=− ±

=− ±

5 5 4 1 14

2 1

5 81

2

5 9

2

2( ) ( )( )

( )


P

Arz

(2,38)

Talep

(-7,38)

Q

fiekil 2.10

Karesel Arz veTalepFonksiyonlar›n›nGrafikleri

Burada matematiksel olarak iki çözüm bulunmas›na ra¤men biri iktisadi aç›dananlaml› olmad›¤›ndan kullan›lmam›flt›r. Fonksiyonlar›n grafikleri ile denge çözümüflekil 2.10’da gösterilmektedir. Arz ve talep eflitliklerinin iki noktada kesifltikleri gö-rülmektedir. Ancak iktisatta fiyat ve miktar pozitif olmal›d›r. Bu nedenle fonksi-yonlar kartezyen düzlemin sa¤ üst köflesinde yer alan birinci çeyrek bölgede ta-n›mlan›r. Örne¤imizde bu bölgede yer alan sadece bir kesiflme noktas› vard›r. Oda (2,38) noktas›d›r.

Has›la, Maliyet ve Kar Fonksiyonlar›Farkl› amaçlar› da olabilmesine ra¤men bir firman›n en temel amac› kâr›n› maksi-mize etmektir. Kâr yunan alfabesinden π harfi ile gösterilir ve tan›m olarak toplamhas›la ile toplam maliyet aras›ndaki farka eflittir.

π=TR–TC

Toplam has›la bir firman›n, satt›¤› mallardan elde etti¤i kazançt›r. Toplam ma-liyet ise firman›n, mallar›n üretimi için harcad›¤› para miktar›d›r.

Bir firma Q miktar›ndaki mal›, P fiyat›ndan satarsa elde edece¤i kazanç

TR=PQ kadar olur.

Do¤rusal bir talep fonksiyonumuz varsa

P=aQ+b (a<0, b>0) Toplam has›la fonksiyonunu rahatl›kla belirleyebiliriz.

TR = PQ

= (aQ+b)Q

= aQ2+bQ

Bu karesel fonksiyonda a < 0 oldu¤undan TR fonksiyonunun grafi¤i ters U flek-linde olur. (fiekil 2.11) c = 0 oldu¤undan e¤ri düfley ekseni her zaman orijinde ke-ser. Bu asl›nda beklenen bir durumdur. Çünkü fonksiyonun grafi¤inde düfley ek-seni kesti¤i noktay› Q=0 vererek buluruz. Yani hiç mal sat›lmazsa bunun sonucun-da toplam has›la da s›f›r olur.

Toplam maliyet fonksiyonu(TC) ise üretim maliyetlerini ç›kt›-n›n (Q) bir fonksiyonu olarak gös-terir. Üretim miktar› artt›¤›nda, ma-liyetler de artaca¤›ndan TC fonksi-yonu artan bir fonksiyondur. An-cak k›sa dönemde bu maliyetlerinbir k›sm› sabittir. Sabit maliyetler(FC), toprak, makine teçhizat, binagibi k›sa dönemde de¤ifltirilmesizor olan maliyetleri içerir. Uzun dö-nemde ise tüm maliyetler de¤iflken-dir. De¤iflken maliyetler (VC) ise üretim düzeyi ile birlikte artt›¤›ndan, hammadde,enerji, vas›fs›z iflçi maliyetleri gibi maliyet kalemlerini içerir. E¤er de¤iflken maliyetç›kt›n›n birim maliyetini ifade ediyorsa, bu durumda Q birim mal›n üretimindekitoplam de¤iflken maliyet (TVC)

TVC = (VC)Q formülü ile hesaplan›r.


fiekil 2.11

TR

TR=aQ+bQ2

0Q

Toplam Has›laFonksiyonu

Sabit ve de¤iflken maliyetlerin toplam›ndan oluflan toplam maliyet ise

TC= FC+ (VC)Q formülü ile bulunur. E¤er birim bafl›na de¤iflken maliyet sabit-se, TC fonksiyonu do¤rusal bir fonksiyon olur. Y kesiflimi FC ile ve e¤imiVC ilebelirlenir.

Basitlefltirilmifl varsay›mlara göre toplam maliyet fonksiyonunu do¤rusal olarak belirle-dik. Ancak Mikro iktisat derslerinizde kulland›¤›n›z toplam maliyet fonksiyonunun biçimidaha farkl›d›r. Bu fark›n nedenleri nelerdir ve iktisat teorisine göre toplam maliyet fonk-siyonunun biçimi nas›l olmal›d›r?

Ekonomik aç›dan her ne kadar bu fonksiyon önemli de olsa firmalar aras›ndakarfl›laflt›rma yapmak için yeterli de¤ildir. Örne¤in Uluslararas› bir traktör firmas›-n›n biri Türkiye’de di¤eri de Almanya’da olmak üzere iki üretim tesisi oldu¤unuvarsayal›m. Bu tesislerden Türkiye’de olan›n y›ll›k toplam maliyeti T50 milyon, Al-manya’da olan›nki ise T200 milyon olsun. Türkiye’deki tesisin y›ll›k toplam mali-yeti daha düflük oldu¤u için bunu daha verimli ya da daha baflar›l› olarak de¤er-lendiremeyiz. Bu analizi yapabilmek için ayn› zamanda her iki tesiste üretilen top-lam traktör say›s›n› da bilmemiz gerekir. Dolay›s›yla burada önemli olan toplammaliyet de¤il, traktör bafl›na ortalama maliyettir. E¤er Almanya’daki fabrika y›lda100.000, Türkiye’deki fabrika y›lda 20.000 tarktör üretiyorsa bu durumda ortalamamaliyetler

olarak hesaplan›r.

Bu durumda Almanya’daki tesisin ortalama maliyeti daha düflük oldu¤undandaha verimli çal›flt›¤›n› söyleyebiliriz.

Genel olarak ortalama maliyet fonksiyonu (AC) toplam maliyet fonksiyonunuç›kt›ya bölerek elde edilir.

Örne¤in sabit maliyetler 2000 ve de¤iflken maliyetler birim bafl›na 5 ise, TC veAC fonksiyonlar›n› belirleyerek grafiklerini çizelim.

TC=2000+5Q olur. Buradan ortalama maliyet de

olarak belirlenir.

Toplam maliyet fonksiyonu do¤rusal bir fonksiyon oldu¤undan grafi¤inde ykesiflimi sabit maliyete ve e¤imi de de¤iflken maliyete eflit olur. Ortalama maliyetfonksiyonunun grafi¤i ise L fleklinde olur.

ACQ

= +2000

5

ACTC

Q

FC VC Q

Q

FC

Q

VC Q

Q

FC

Q

= =+

= +

=

( ) ( )

+VC

AC'

. .

.2

50 000 000

20 0002500= =AC1

200 000 000100 000

2000= =. .

.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



6

E¤er üretim düzeyi düflükse FC/Q de¤eri büyür. Bu nedenle AC grafi¤i düflükç›kt› düzeylerinde h›zla yukar› do¤ru yönelir. Üretim düzeyi artt›¤›nda ise FC/Q de-¤eri azalaca¤›ndan garifik afla¤› do¤ru yönelerek düzleflir. Çünkü sabit maliyet çoksay›da birim üzerine bölünmektedir. Bu nedenle AC e¤risi L fleklindedir.

Toplam has›la ve toplam maliyet fonksiyonlar›n› birlikte inceleyerek firman›nbaflabafl noktalar›n› bulup, kar ve zarar etti¤i bölgeleri belirleyebiliriz.

fiekil 2.13’de TR ve TC fonksi-yonlar›n›n grafikleri birlikte göste-rilmifltir. Bu grafikler talep fonksi-yonunun do¤rusal oldu¤u ve bunaba¤l› olarak TR fonksiyonunun ka-resel oldu¤u, birim bafl›na de¤ifl-ken maliyetin sabit oldu¤u ve bu-na ba¤l› olarak da toplam maliyetfonksiyonunun do¤rusal oldu¤uvarsay›mlar›na göre oluflturulmufl-tur. Grafikte yatay eksende ç›kt› Qgösterilmektedir. Ancak ç›kt› bu ikifonksiyon için de¤iflik anlam tafl›r.Has›la fonksiyonu için Q sat›lanmallar›n miktar›n› gösterir, maliyetfonksiyonu için ise üretim miktar›d›r. Bu iki fonksiyonu ayn› garfik üzerinde göste-rerek iki fonksiyon için Q de¤erinin birbirine eflit oldu¤unu, yani firman›n üretti¤itüm mallar› satt›¤›n› varsay›yoruz.

‹ki e¤ri A ve B noktalar›nda kesiflmektedir ve bu iki noktadaki ç›kt› miktarlar›flekil 2.13’de QA ve QB olarak gösterilmifltir. Bu noktalarda maliyet ve has›la birbi-rine eflit oldu¤undan firman›n bafla bafl noktalar›d›r. E¤er Q < QA veya Q > QB iseTC e¤risi TR’ nin üzerinde oldu¤undan maliyetler has›lay› aflmaktad›r. Bu ç›kt› dü-zeylerinde firma zarar etmektedir. E¤er QA< Q < QB ise has›la maliyeti geçmekteve firma kar etmektedir. Kar miktar› ise toplam has›la ile toplam maliyet e¤rileriaras›nda kalan düfley uzakl›k ile belirlenir. Maksimum kar ise iki e¤ri aras›ndakiaç›kl›¤›n en fazla olmas› durumunda gerçekleflir.

Örne¤in bir mal›n talep fonksiyonu Q=65–5P olarak verilsin. Sabit maliyet 30ve üretilen birim bafl›na de¤iflken maliyet 2 ise firman›n bafla bafl noktalar›n› vemaksimum kâr›n› hesaplayal›m.

Öncelikle ters talep fonksiyonunu bularak fiyat› ç›kt› cinsinden ifade etmeliyiz.Çünkü sonras›nda ihtiyac›m›z olan toplam has›la ve toplam maliyet fonksiyonlar›da ç›kt› cinsinden ifade edilir.


fiekil 2.12

TC

E¤im=VC=5

AC

5

Q Q

AC=2000

Q+5

Y kesiflimi=FC=2000

Toplam veOrtalama MaliyetFonksiyonlar›

fiekil 2.13

Maksimum Kâr

TC

TC

QQBQA

A

B

TR

TR Toplam Has›la veToplam MaliyetFonksiyonlar›

Ters talep fonksiyonunu elde ettikten sonra Toplam has›la fonksiyonunu bu-labiliriz.

TR=PQ

TR=(13–0,2Q)Q=13Q – 0,2Q2

Toplam maliyet fonksiyonu ise sabit maliyet ile de¤iflken maliyetin toplam›n-dan oluflur.

TC=FC+VC=30+2Q

Firman›n kar fonksiyonu π=TR–TC ile belirlenir.

π=13Q–0,2Q2–30–2Q

=–0,2Q2+11Q–30

Bu fonksiyonu çözerek baflabafl noktalar›na ulaflabiliriz. Çünkü bafla bafl nok-tas›nda TR=TC oldu¤undan π s›f›ra eflittir.

a= –0,2 b=11 c= –30

Q1=52 ve Q2=3 bulunur.

Parabolun tepe noktas›ndan geçen simet-

ri ekseni parabolü eflit iki parçaya böler. Bu

nedenle parabolun yatay ekseni kesti¤i nok-

talar›n simetri eksenine uzakl›klar› eflittir. Ya-

ni parabolün tepe noktas› 3 ile 52 noktalar›-

n›n tam ortas›d›r. Bu tepe noktas› da kâr›n

maksimize edildi¤i ç›kt› düzeyini verir.

π=-0,2Q2+11Q-30 biçimindeki karesel kâr fonksiyonunda tepe noktas›n› belirlemekte da-ha önce kulland›¤›m›z formülü kullanarak, kar› maksimize eden ç›kt› düzeyini ve maksi-mum kâr› hesaplay›n›z.

Bu ç›kt› düzeyinde maksimum kâr› hesaplayabilmek için bulunan de¤eri kârfonksiyonunda yerine koyar›z.

πmax= – 0,2 (27.5) 2 + 11 (27.5) – 30

= 121,2

Q =+

=3 52

227 5,

Q =− ±

−11 9 8

0 4

,

,

Qb b ac

a=

− ± −=

− ± − − −−

=−2 24

2

11 11 4 0 2 30

2 0 2

11( ) ( , )( )

( , )

±± −−

121 24

0 4,

Q P P Q PQ

= − = − =−

= −65 5 5 6565

513 0 , 22Q


Q

-30

3 27,5 52

121,2

fiekil 2.14

KarFonksiyonu

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



7


Fonksiyon kavram›n› ve fonksiyonla iliflkili di¤er

temel kavramlar› tan›mlamak

Bir fonksiyonel iliflkide de¤iflik de¤erler alabilenniceliklere de¤iflken ad› verilir. Bir de¤iflkeninveri de¤erindeki de¤iflme, baflka bir de¤iflkendebir de¤iflmeye yol aç›yorsa veri de¤iflken di¤erde¤iflkenin bir fonksiyonudur ve aralar›nda fonk-siyonel bir iliflki vard›r. K›saca bir fonksiyon, birniceli¤in (ç›kt›) baflka bir niceli¤e (girdi) ne flek-ilde ba¤l› oldu¤unu ifade eden özel bir iliflki tü-rüdür. Bir kümenin elemanlar›, baflka bir küme-nin elemanlar› ile iliflki içerisinde olabilir. Bu ilifl-kinin baz› kurallar çerçevesinde oluflturulan özelbir biçimine de fonksiyon ad› verilir. Bir kümeninher eleman› di¤er kümenin tek bir eleman› ile efl-lefliyorsa buna fonksiyon ad› verilmektedir. Kü-me, s›ral› ikili, ba¤›nt› fonksiyon tan›m›n› yapar-ken kulland›¤›m›z iliflkili kavramlard›r. Her fonk-siyonun bir ba¤›nt› olmas› gerekir ancak her ba-¤›nt› bir fonksiyon olmayabilir. Belirlenen s›ral›ikililer kullan›larak fonksiyonun grafi¤i çizilebilir.

Fonksiyonlar›n matematiksel özelliklerini aç›k-

lamak

Fonksiyonlar› grafikler kullanarak görsel olarakinceleyebilece¤imiz gibi, matematiksel özellik-lerini kullanarak iktisadi aç›dan da yorumlayabi-liriz. Bunun için fonksiyonlar›n matematikselözelliklerini bilmemiz gerekir. Bilmemiz gere-ken temel kavramlar aras›nda artan ve azalanfonksiyon, monoton, kesin monoton ve mono-ton olmayan fonksiyon, birebir fonksiyon, tersfonksiyon vard›r. ‹ktisadi analizde bir fonksiyo-nun minimum ya da maksimum de¤erlerini be-lirlemek çok önemlidir. Do¤rusal fonksiyonuns›f›rdan farkl› bir aral›k için ortalama de¤iflimoran› fonksiyonun e¤imine eflittir. Tek de¤iflken-li bir fonksiyonun bükeyli¤i, grafi¤i üzerinde ikinoktas›n› birlefltiren kiriflin durumuna göre be-lirlenir. ‹ktisatta yukar› ve afla¤› bükey fonksi-yonlarla karfl›lafl›r›z.

Do¤rusal fonksiyonlar› tan›mlay›p iktisattaki

kullan›m alanlar›n› örneklemek

Do¤rusal fonksiyonlarla iktisatta çok s›k karfl›la-fl›r›z. y=ƒ(x)=ax+b biçimindeki bir fonksiyondo¤rusal fonksiyon olarak tan›mlan›r. Bu fonksi-yonun kartezyen düzlemindeki grafi¤i de düz birdo¤ru fleklinde olur. Tek de¤iflkenli do¤rusal birfonksiyonunun e¤imi fonksiyonun argüman›n-daki belli bir de¤iflime karfl›l›k de¤erindeki de¤i-flimi ifade eder. Üzerindeki herhangi bir nokta-n›n koordinatlar› ve e¤imi biliniyorsa ya da ikinoktas›n›n koordinatlar› biliniyorsa bir do¤runundenklemine ulafl›labilir. Do¤rusal fonksiyonlariktisatta Keynesyen tüketim fonksiyonunda, arzve talep fonksiyonlar› ile piyasa dengesinin be-lirlenmesinde, talebin fiyat esnekli¤inin hesap-lanmas›nda kullan›labilir.

Karesel fonksiyonlar›n çözümünü yap›p iktisadi

uygulamalar›n› göstermek

‹ktisadi iliflkilerin ço¤unda fonksiyon grafikleriya önce azal›p bir noktada minimum yapt›ktansonra tekrar artar ya da önce art›p bir noktadamaksimum yapt›ktan sonra azalmaya bafllar. Butür do¤rusal olmayan iliflkileri ifade etmek üzerekaresel fonksiyonlar› kullanabiliriz. Do¤rusal ol-mayan fonksiyonlar›n en basit biçimi kareselfonksiyonlard›r. Karesel fonksiyonun ya iki çö-zümü vard›r, ya tek çözümü vard›r, ya da çözü-mü yoktur. Çözüm say›s› b2-4ac’nin pozitif, s›f›rya da negatif olmas› ile ilgilidir. Karesel fonksi-yonunun grafi¤i parabol olarak adland›r›l›r. An-cak iktisatta genellikle parabol yerine U fleklindekavram› kullan›l›r. Karesel fonksiyonlar iktisattaarz ve talep fonksiyonlar›nda ve piyasa dengesi-nin belirlenmesinde, has›la, maliyet, kâr fonksi-yonlar›nda ve bunlardan yararlanarak maksimumkar için üretim düzeyi ve fiyat›n belirlenmesindeve firman›n bafla bafl noktas›n›n hesaplanmas›n-da kullan›labilir.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

4NA M A Ç


1. y=ƒ(x)=4+2x fonksiyonunun tersi afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. y=-4-2x

b.c. y=4-4x

d.e. y=-2+3x

2. y=ƒ(x) formundaki bir fonksiyonun x2 > x1 koflulu-nu sa¤layan iki argüman› x1 ve x2 olsun. E¤erƒ(x2)>ƒ(x1) ise bu fonksiyon için afla¤›dakilerden han-gisi söylenebilir?

a. artand›rb. azaland›rc. kesin artand›rd. kesin azaland›re. kareseldir

3. C=C (Yd)=300+0,6Yd biçimindeki bir tüketim fonksi-yonu verilsin. Burada C tüketimi, Yd harcanabilir geliriifade etmektedir. Bu fonksiyonun [1000, 9000] kapal›aral›¤›nda ortalama de¤iflim oran› afla¤›dakilerden han-gisidir?

a. 1,2b. 0,8c. 2,4d. 1,7e. 0,6

4. Talep fonksiyonu P=-2QD+50 ve arz fonksiyonu

ise denge miktar› afla¤›dakilerden han-

gisidir?a. 8b. 10c. 5d. 12 e. 6

5. P=aQ+b fleklindeki bir do¤rusal talep fonksiyonu-nun grafi¤inde do¤runun yatay ekseni kesti¤i noktada-ki esneklik de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

a. -1b. 1 c. ∞d. 0e. 2

6. ƒ(x)=ax2+bx+c fleklindeki karesel fonksiyon için afla-¤›dakilerden hangisinde tek çözüm vard›r?

a. b2-4ac=0b. b2-4ac > 0c. b2-4ac < 0d. b=2a

e. -b/2a=0

7. y=ƒ(x)=ax2+bx+c fleklindeki karesel fonksiyonungrafi¤inde parabolün y eksenini kesti¤i nokta afla¤›da-kilerden hangisidir?

a. a

b. b

c. c

d. b/2a

e. b2-4ac

8. Sabit maliyetler 4, de¤iflken maliyetler birim bafl›na1 ve talep fonksiyonu P=10-2Q ise kar fonksiyonu afla-¤›dakilerden hangisidir?

a. Q2+5Q-8b. -2Q2+11Q-4c. -4Q2+6Q-12d. 3Q2-2Q-9e. -Q2+6Q-4

9. Bir firman›n bafla bafl noktas›nda afla¤›dakilerdenhangisi gerçekleflir?

a. TR=TC

b. Maksimum karc. Minimum maliyet d. TC > AC

e. FC=VC

10. Talep fonksiyonu P=50-2Q olarak verilmiflken, fiya-t›n P=30 olmas› durumunda talebin fiyat esnekli¤ininde¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 2b. 1,75c. 2,42d. 3,65 e. 1,5

P QS= +1

225

y x= − +21

2

y x= − −31

4



1. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Fonksiyonlar›n Özellikleri”konusunu yeniden gözden geçiriniz

2. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Fonksiyonlar›n Özellikleri”konusunu yeniden gözden geçiriniz

3. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Fonksiyonlar›n Özellikleri”konusunu yeniden gözden geçiriniz

4. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Do¤rusal Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz

5. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Do¤rusal Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz

6. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Karesel Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz

7. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Karesel Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz

8. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Karesel Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz

9. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Karesel Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz

10. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Do¤rusal Fonksiyonlar” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz

S›ra Sizde 1

E¤im -0,26’d›r. E¤er fiyat 1 birim artarsa talep edilen el-ma miktar› 0,26 birim azalmaktad›r.

S›ra Sizde 2

(P1,Q1)=(10,200) (P2, Q2)=(15,150)

Öncelikle do¤runun e¤imi hesaplan›r

E¤im için bulunan de¤er nokta-e¤im formülünde yeri-ne koyulursa

Q-200=-10(P-10)

Q-200=-10P-100

Q=-10P+300

S›ra Sizde 3

P1=210 ve P2=200 verilmifl. Bu fiyat düzeylerinde talepedilen miktarlar

1000-2Q1=210

-2Q1=-790

Q1=395

Benzer biçimde fiyat›n 210 olmas› durumunda daQ2=400 bulunur.

∆P=200-210=-10 ∆Q=400-395=5

Ortalama fiyat

Ortalama Miktar

S›ra Sizde 4

Öncelikle fiyat› miktar›n bir fonksiyonu olarak ifadeedip fonksiyonu P=aQ+b biçiminde yazmal›y›z. Veri-len talep fonksiyonu Q+4P=60

4P=-Q+60 olur.

ε=1 iken fiyat olur. Bu durumda P = =15

27 5,P

b=

2

P Q= − +1

415

εd = −−

×

=

5

10

205

397 50 26

,,

Q = + =1

2395 400 397 5( ) ,

P = + =1

2210 200 205( )

aQ Q

P P=

−−

=−−

=−

= −2 1

2 1

150 200

15 10

50

510

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› S›ra Sizde Yan›t Anahtar›


S›ra Sizde 5

ƒ(x)=-x2-4x+12 fonksiyonunda a=-1, b=-4 ve c=12 dir.

formülünü kullan›rsak

S›ra Sizde 6

Toplam maliyet fonksiyonunu do¤rusal olarak belirler-

ken varsay›m›m›z birim bafl›na de¤iflken maliyetin sabit

oldu¤udur. Ancak maliyetin üretilen birim bafl›na hep

ayn› düzeyde art›yor olmas› çok gerçekçi de¤ildir. Da-

ha gerçekçi olan ise üretimin düflük düzeylerinde mali-

yetlerin azalarak artmas›, üretim düzeyi artt›¤›nda ise

maliyetin artarak artmas›d›r. Bu durum da en iyi üçün-

cü dereceden bir fonksiyonla ifade edilebilir. Yani top-

lam maliyet fonksiyonu ç›kt› cinsinden üçüncü derece-

den bir fonksiyondur. TC=aQ3-bQ2+cQ+d (a, b, c ve d

sabit) biçiminde gösterilir.

S›ra Sizde 7

Parabolde tepe noktas› ile belirlenir.

π=-0,2Q2+11Q-30 fonksiyonunda a=-0,2 b=11 dir.

Buradan bulunur. Bu kâr› mak-

simize eden ç›kt› düzeyidir.

Bu da maksimum kârd›r.

Anthony M., ve Norman Biggs, (1996). Mathematics

for Economics and Finance, Cambridge Univer-sity Press.

A¤l› Esen, (1997). ‹ktisat ve ‹flletme Uygulamal› Ge-

nel Matematik, 1. Cilt, 4. Bask›, An› Yay›nc›l›k.Bradley T. ve Paul Patton, (1998). Essential

Mathematics for Economics and Business,

Wiley.Haeussler E. F., Richard S. Paul ve Richard J. Wood,

(2008). Introductory Mathematical Analysis for

Business, Economics, and the Life and Social

Sciences, 12. Bask›, Pearson. Haeussler E. F., Richard S. Paul ve Richard J. Wood,

(2010). Temel Matematiksel Analiz ‹flletme, ‹kti-

sat, Yaflam Bilimleri ve Sosyal Bilimler için, Aka-demi Yay›nc›l›k

Jacques I. (1999). Mathematics for Economics and

Business, 3. Bask›, Addison Wesley.Klein M.W. (2002). Mathematical Methods for

Economics, 2. Bask›, Pearson Education.Koçak fi., M. Gö¤üfl ve M. Üreyen (1994). Matematik I

‹ktisadi Uygulamal›, Eskiflehir.Sevütekin M., (2001). ‹ktisatta Matematik Kullan›m›,

Uluda¤ Üniversitesi Güçlendirme Vakf›.Sydsaeter K. Ve Peter Hammond, (2008). Essential

Mathematics for Economic Analysis, 3. Bask›,Prentice Hall.

fb

af

−

= = − + −

227 5 0 2 27 5 11 27 5 302( , ) , ( , ) ( , )

=121 2,

−=

−−

=b

a2

11

2 0 227 5

( , ),

− −

b

af

b

a2 2, ( )

x

x

=± − − −

−=

± +−

=±

−

=+

−

4 4 4 1 12

2 1

4 16 48

2

4 8

2

4 8

2

1

( ) ( )( )

( )

226

4 8

222= − =

−−

= x

xb b ac

a=

− ± −2 4

2


Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n temel özelliklerini aç›klayabilecek ve uy-gulama alan›nda kullanabilecek,Bu tip fonksiyonlar›n iktisat lisans e¤itiminde hangi alanlarda, ne amaçla kul-lan›ld›¤›n› tan›mlayabilecek,Makro iktisat ve mikro iktisat alanlar›nda konular› anlayabilmek için bu fonk-siyonlar› ve özelliklerini uygulamalar›n›zda kullanabilecekbilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Üstel fonksiyon• Do¤al say›• Logaritmik fonksiyon• Büyüme• Bileflik faiz• Do¤al logaritma• Üstel ve logaritmik türev kurallar›

• Lojistik e¤risi• Zaman• Esneklikler• Ters talep• Toplam Has›la• Marjinal Has›la

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

N

N

Matematiksel ‹ktisatÜstel ve LogaritmikFonksiyonlar

• ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹KFONKS‹YONLARA G‹R‹fi

• B‹LEfi‹K FA‹Z VE e (DO⁄AL SAYI)SAYISI

• ‹KT‹SAT UYGULAMALARI


ÜSTEL VE LOGAR‹TM‹K FONKS‹YONLARA G‹R‹fi Üstel fonksiyonlar ve bunlar›n tersi olarak logaritmik fonksiyonlar ve bu tip fonk-siyonlar›n iktisat lisans e¤itiminde nerede ve nas›l kullan›ld›¤› bu ünitenin konula-r› olacakt›r. Örne¤in sabit büyüme oranl› her türlü büyüme ifllemi üstsel fonksiyon-lar ile tan›mlanabilir. Nüfus art›fl›, yat›r›mlarda meydana gelen art›fl ve ya bir ülke-nin GSY‹H’s›nda meydana gelen büyüme, üstsel fonksiyon temelli aç›klanabilir.Yaln›zca bu basit örnekler bile bir iktisat ö¤rencisi üstel ve logaritmik fonksiyonla-r› neden tan›mal› ve anlamal› sorular›n›n yan›t›n› oluflturabilir.

Öncelikle, basitçe flu ayr›m› yapmal›y›z. Kuvvet fonksiyonlar› ve üstel fonksi-yonlar birbirinden farkl› iki tip fonksiyondur. fiekil olarak benzerlik göstermeleribafllang›çta iktisat ö¤rencileri için flafl›rt›c› olabilmektedir.

f(x) = y = xk genel flekliyle verilen basit kuvvet (güç) fonksiyonlar›nda, x tabanve k kuvvet (derece) olarak okunur. Taban›n pozitif ve üstün rasyonel say› olma-s› iktisat ifllemleri için ifllerimizi kolaylaflt›racakt›r. Burada x bir de¤iflken iken, k birsabittir. Bu durum üstel fonksiyonlarda de¤iflecektir.

Örnekler:

y= f (x)= x2

y= f (x)=

y= f (x)=

Yukar›daki dört örnekte rahatl›kla izlenebilece¤i gibi, y ba¤›ml› de¤iflkeni birtek x ba¤›ms›z de¤iflkeni ile aç›klanmaktad›r. x’in üstünde yer alan say›lar ise yu-kar›da aç›klad›¤›m›z k sabitini oluflturmaktad›r.

Üstel fonksiyonlara bakt›¤›m›zda ise de¤iflkenin tabanda de¤il üstte yer ald›¤›izlenir. Tek de¤iflkenli üstel fonksiyonlarda ba¤›ms›z de¤iflken tabanda de¤il üstteyer alacakt›r.

xx x

−

=3

2 1

x x12 =

y = f (x) = xx

-2 = 12

Üstel ve LogaritmikFonksiyonlar

Örnekler:

x= g(y) = 3y

z= xy

Yukar›daki üç örne¤in ilk ikisinde x ba¤›ml›, y ba¤›ms›z de¤iflken iken; üçün-cü fonksiyonda z ba¤›ml› y ise ba¤›ms›z de¤iflkendir. Kuvvet fonksiyonlar›ndançok aç›k farklar›, fonksiyonlarda ba¤›ms›z de¤iflkenlerin üstte yer almalar›d›r.

Üstel fonksiyonlar›n grafikleri incelendi¤inde fonksiyonun konkavl›¤› hakk›ndabasit bir kural gelifltirilebilece¤i rahatl›kla izlenebilir. fiöyle ki, üstel fonksiyonlardataban pozitif oldu¤u sürece fonksiyon her zaman konveks olacak ve fonksiyonungörüntü kümesi yaln›zca pozitif say›lardan oluflacakt›r.

E¤er taban 1’den büyük ise elimizde artan, yok e¤er taban 0 ile 1 aral›¤›nda (0ve 1 dahil de¤il) ise elimizde azalan bir fonksiyon var demektir.

Taban ve üstlü say›lar›n yer ald›¤› flu basit cebirsel kurallar› akl›m›zda tutmam›z, üstelfonksiyonlar› çal›fl›rken iflimize yarayacakt›r:

as+1 = asat

ast = (as)t

(ab)s = asbs

B‹LEfi‹K FA‹Z VE e (DO⁄AL SAYI) SAYISIVarsayal›m ki P0 > 0 (anapara) kadar paran›z› vadeli mevduat hesab›na yat›rd›n›zve bu hesap size r kadar sabit nominal y›ll›k faiz oran› önermektedir. Faiz ödeme-leri y›l içerisinde düzenli aral›klarla n defa yap›lmaktad›r.

Bir y›l sonunda anaparan›n yeni durumunu gösteren hesap flöyle olacakt›r:

Peki, bankada paran›z› bir y›l yerine t y›l tutu¤unuzu varsayal›m. Bu durumda he-sab›n›zda olmas› gerekli Pt miktar›nda paray› gösteren bileflik faiz formülü flöyledir:

Yukar›daki formüllerde y›l içerisinde her dönem ödenen faiz oran›n› ve nt

faiz ödemelerinin t y›lda toplam kaç kez yap›laca¤›n› gösterir.Burada önemli bir noktay› belirtmeden geçmeyelim. Yukar›da t y›lda belirli ara-

l›klarla anaparan›n nas›l büyüyece¤ine dair genel formül görmekteyiz. Bu formülyaln›zca bankalara yat›r›lan paran›n gelecekte alaca¤› de¤eri hesaplamakta kulla-n›lmaz. ‹ktisatta büyüme hesab› yap›lan bütün alanlarda bu formülü ya da bu for-mülün de¤iflik versiyonlar› kullan›lmaktad›r. Örne¤in P fiyatlar genel seviyesini ifa-de etti¤inde formül gelecekte fiyatlar genel seviyesinin nas›l olabilece¤ine dair bil-giler sunacakt›r. Bu durumda r enflasyon oran›n› ifade edecektir. Ya da yine mak-

rn


x g yy

y= ( ) =

= −13

3

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P


‹ N T E R N E T ‹ N T E R N E TP P rn

n

1 0 1= +

P P rnt

nt

= +

0 1

ro iktisat alan›ndan P’nin GSMH’yi temsil etti¤ini düflünebiliriz. Bu durumda r bü-yüme oran›n› temsil edecektir. Görüldü¤ü gibi yukar›daki formül iktisatta de¤iflikalanlarda büyüme hesab› yapabilmek için kullan›labilmektedir.

fiimdi yukar›daki büyüme formülünde biraz de¤iflikli¤e gidelim. Bu kez çokgerçekçi olmasa da faizin her an uyguland›¤›n› varsayal›m. Bir baflka ifadeyle faizdevaml› bir flekilde anaparaya ifllemektedir. Bu hesab› yapabilmek için gelifltirile-cek formülde e say›s› yani do¤al say› kullan›lacakt›r.

e say›s› flöyle tan›mlan›r:

Do¤al say› yard›m›yla flimdi sürekli iflleyen faizin anaparay› bir y›l sonunda nekadar de¤ifltirece¤ini hesaplayabiliriz:

Yani bir y›l için yap›lan büyüme formülünde art›k yerine er gelecek.

Bunu formülde kullanmadan önce exp (r) = er eflitli¤inin nas›l sa¤land›¤›na bakal›m:

Art›k t y›l sonra anaparan›n sürekli iflleyen bir faiz hesab›yla ne hâle gelece¤i-nin formülünü yazabiliriz:

Pt = P0 ert

Afla¤›da çeflitli n ve r verileri ile hesaplanm›fl de¤erlerine ait örnektabloyu görebilirsiniz:

1+

rn

n

1+

rn

n

633. Ünite - Üste l ve Logar i tmik Fonksiyonlar

enn

n

= ( ) = +

→∞

exp lim1 1 1

exp limr rnn

n

( ) = +

→∞

1

exp r er( ) =

exp lim lim,

r rn

rnn

n

m n rm( ) = +

= +

→∞ →∞ =1 1

= +

→∞

n

m

rm

mlim

1 1

lim lim= +

=→∞ →∞m

m r

mm1 1 1++

=1m

em r

r

r = %5,4 r = %5,5 r = %100

n = 4 1,055103375 1,056144809 2,44140625

n = 12 1,055356752 1,05640786 2,61303529

n = 364 1,055480375 1,056536225 2,714557303

n = 8736 1,055484426 1,056540432 2,718126265

n = 524160 1,055484599 1,056540612 2,718279235

n = 31449600 1,055484602 1,056540613 2,718281796

n →+ ∞ 1,055484602 1,056540615 2,718281828

Tablo 3.1Örnek bileflik faiztablosu

fiimdi do¤al tabanl› üstelfonksiyonlar›n en basit haliolan y = ex fonksiyonunungrafi¤i nas›l görünür, birlik-te inceleyelim:

fiekil 3.1’den de anlafl›la-ca¤› gibi, ex fonksiyonununtan›m kümesi bütün reel sa-y›lar olabiliyor iken, görün-tü kümesinde yaln›zca pozi-tif say›lar yer alabilmektedir.Fonksiyon artan x de¤erleriile birlikte artmaktad›r ve ta-n›m kümesinin bütün de¤er-leri için çok aç›k biçimde sü-rekli konvekstir.

e tabanl› üstel fonksiyonlar›n özellikleri1. e0 = 1;

2. e1 = e;

3. ex > 0, bütün x de¤erleri için;

4.

Asl›nda, ex sürekli artan ve konvekstir.

ifadesi, y = f (x) fonksiyonuna göre x’te meydana gelebilecek küçük bir bi-rimlik art›fl›n y’ de meydana getirece¤i yüzdesel büyüme oran›n› tan›mlar. ifadesi, y fonksiyonunun ani büyüme oran› olarak kabul edilir.

5. Üstel ve polinomyal büyüme:Herhangi bir P(x) polinomu için:

fleklinde gerçekleflir.

P(x) polinomu P(x) ≡ 1 sabit polinomu olarak ele al›nd›¤›nda:

6.

7. ea+b = eaeb (ea)b = eab

Gerçekte e-x ex = e0 = 1 oldu¤u için fleklinde yaz›l›r.

ex de¤erini hesaplamakta en kestirme yol afla¤›daki formülü kullanmakt›r:

e xx x x

nx

n= + + + + + +1

2 3

2 3

! !...

!...

1e

exx= −

limx

xe→−∞

= 0

limx

xe→+∞

= +∞

limx

xeP x→+∞ ( )

= +∞

dydx y

dydx y

d e

dxx

x

e( ) =


15

10

5

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y=ex

fiekil 3.1

y = ex

fonksiyonunungrafi¤i

ifadesi, x’e göre

tan›ml› y fonksiyonunun ani

büyüme oran›d›r.

dydx y

e0 = 1

e1 = e

ex > 0

d e

dxe

xx( )

=

fiimdi de ifadesinin do¤rulu¤unu ortaya koyabilmek için

yukar›daki özelliklerden baz›lar›n›n yorumlamalar›na bir göz atal›m.

Üçüncü özellik flu sebeplerle do¤ruluk bulmaktad›r:

faktörü x > 0 oldu¤u zaman veya n de¤eri ’e göre büyük

oldu¤unda pozitif olmaktad›r. Bu durumda fn (x) > 0 ve dolay›s›yla ex > 0 do¤ru olur. Dördüncü özelli¤e iliflkin flu yorumu getirmeliyiz:

ifadesi |x|’e göre büyük n

de¤erleri için do¤rudur. Çünkü ancak bu durumda ifadesi 1’e çok yak›nolabilmektedir.

Beflinci özelli¤in yorumu ise flu flekildedir:Varsayal›m ki P(x) = am xm-1 + ... polinomu m inci derecedendir. n de¤erinin

m’den büyük oldu¤u kabulü ile ex de¤erini fn (x) ile yak›nsayal›m. Bu durumda:

ifadesinin do¤ru oldu¤u görülmektedir.

Logaritmik FonksiyonDo¤al logaritmik fonksiyon en temel flekliyle x = ln(y) fleklindegösterilebilir ve y = ex do¤al tabanl› üstel fonksiyonunun tersidir. Bir baflka ifa-deyle:

x = ln (y) ⇔ y = ex ifadesi do¤rudur.Do¤al logaritmik fonksiyonun grafi¤i basit olarak do¤al taban-

l› üstel fonksiyon grafi¤inin x = y’ de çizilecek 45 derecelik do¤-ruya göre aynadaki yans›mas› gibidir:

Ters fonksiyonlar›n türevinin al›nmas› kural› bize logaritmikfonksiyonun türevinin hesaplanmas›nda yard›mc› olur:

ln(y) fonksiyonunun özellikleri1. ln (y) fonksiyonu yaln›zca y > 0 oldu¤u yerlerde tan›ml›d›r.

2. oldu¤undan ln(y) fonksiyonu sürekli artan ve konkav bir

fonksiyondur.Bu özelli¤i do¤al tabanl› üstel fonksiyon özelliklerine göre hem benzer hem de

fakl› karakter tafl›r. Do¤al tabanl› fonksiyonda oldu¤u gibi logaritmik fonksiyon dasürekli artan bir fonksiyondur. Ancak do¤al tabanl› üstel fonksiyon sürekli kon-veks iken, do¤al logaritmik fonksiyon tan›m kümesinin bütün elemanlar› için sü-

d y

dy y

ln( )=

1

d y

dy

dx

dy e ydydx

x

ln( )= = = =

1 1 1

lim lim limx

x

x

n

x

n ne

P x

sn

P xn x

→+∞ →+∞ →+∞( )≈

+( )( )

=( )1 1 ++

+= = +∞

→+∞

−...

...lim

a xCx

mm x

n m

1+( )xn

df

dxn

x

n n

x

nn

n n

= +

= +

+

− −1

11 1

1 1

≈xx

nf xn

= ( )

x1+

x

n

f xx

nn

n

( ) = +

1


fiekil 3.2

y y=ex y=x

x=In(y)

x

1

1

rekli konkav bir fonksiyondur. Üstel fonksiyonun tan›m kümesi tüm reel say›lariken, logaritmik fonksiyonun tan›m kümesi yaln›zca pozitif say›lardan oluflur. Sonolarak, do¤al tabanl› üstel fonksiyonun görüntüleri yaln›zca pozitif say›larda ta-n›ml› iken, logaritmik fonksiyonun de¤erleri bütün reel say›lar olabilir.

3. ln(1) = 0; ln (e) = 1

4.

5. ln (ab) = ln (a) + ln (b)

ln (ab) = b ln (a)

y = g (x) fonksiyonu türevi al›nabilir herhangi tan›ml› bir fonksiyon olsun. Zin-cir kural› ile birlefltirilerek logaritmik türev için afla¤›daki kural elde edilir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonlarda genel türev kurallar›ln (xy) = y ln (x) do¤ru oldu¤u için afla¤›daki genel kuvvet kural›n› yazabiliriz:xy = e y ln (x) = e üst x ln (taban) ; Bu durumda k›smi türev kurallar› flöyle yaz›l›r:

y = ax fleklinde üstel bir fonksiyonun türevi de

kural›na göre belirlenir.

Yukar›daki türev kurallar›n›n yard›m›yla ortaya ç›kan, iktisatç›lar için kullan›fll›,

bir bilgi vard›r. y = ax fleklindeki bir üstel fonksiyonun ani büyüme oran› ln (a)

fleklinde logaritmik ifade ile belirlenir. Bununla birlikte kuvvet fonksiyonlar›nda

türev kural› farkl›d›r. Unutmayal›m ki kuvvet ve üstel fonksiyonlar birbirinden

farkl› yap›da fonksiyonlard›.

y = xb tipinde kuvvet fonksiyonlar›nda türev,

kural›na göre al›n›rd›.

y = ax, (a > 0, a ≠ 1) fleklinde tan›mlanan üstel bir fonksiyonun tersi a tabanl›logaritmik fonksiyon olarak adland›r›l›r ve loga(y) fleklinde gösterilir. Bir baflka ifa-deyle üstel ve logaritmik fonksiyonlar aras›ndaki iliflki flöyledir:

dxdx

bxb b= −1

dadx

a ax x= ( )ln

d g x

dxg xg x

ln ( )( )=

′( )( )

lim lny

y→

( ) = −∞0


Do¤al tabanl› üstelfonksiyon tan›ml› oldu¤u heryerde sürekli konveks iken,do¤al logaritmik fonksiyonsürekli konkavd›r.

lim lny

y→+∞

( ) = +∞

ln ln1a a( ) = − ( )

∂∂

= ( ) = ( )

∂∂

=

( )

( )

x

ye x x x

x

xe y

x

yy x y

yy x

ln

ln

ln ln

1 = = −yx

xyxy y1 1

x = loga (y) ⇔ y = ax

ifadesi ile birlikte,

ifadelerinin do¤ru oldu¤unu biliyoruz. Bu iki bilgiyi birlefltirerek

loga(y) için türev kural›n› yazabiliriz:

‹KT‹SAT UYGULAMALARIÜnitenin bafl›nda ifade etti¤imiz gibi, üstel ve logaritmik fonksiyonlarla ilgili temelbilgilerden sonra flimdi de iktisat lisans e¤itiminde kullan›ld›klar› baz› alanlardakiörnek uygulamalar› inceleyece¤iz.

Bileflik Faiz

Varsayal›m ki Paragöz Bankas› bize ayl›k vade ile y›ll›k %5,5’lik nominal faiz ora-n› önermektedir. Cingöz Bankas› ise günlük vade ile y›ll›k %5,4’lük nominal faizoran› önermektedir. Bizim için hangi bankan›n önerisi daha iyi bir f›rsatt›r?

Çözüm: Paragöz Bankas› taraf›ndan ödenen efektif y›ll›k faiz (bir y›l sonra herliran›z için kazand›¤›n›z miktar› ifade eder)

Ayn› flekilde Cingöz Bankas›n›n efektif y›ll›k faiz ödemesi de

fleklinde hesaplan›r.

Paragöz ve Cingöz Bankalar›n›n bize ödedikleri efektif faiz oranlar› k›yasland›-¤›nda, görülür ki, Paragöz Bankas› bizim için daha iyi teklif sunmufltur.

Varsayal›m ki bir ticari banka bizim tasarruflar›m›z› de¤erlendirmek istiyor. Ban-ka bize r kadar y›ll›k nominal faiz oran› teklif ediyor. Bununla birlikte faiz hesa-b›nda sürekli bileflen yaklafl›m›n› kullanaca¤›n› yani, param›za her an faiz iflleye-ce¤ini söylüyor. Biz de bu durumda yat›rd›¤›m›z A kadar paran›n ne kadar süre-de ikiye katlanaca¤›n› merak ettik.

Çözüm: Sürekli bileflen formülünü hat›rlayal›m,

P1 = P0 ert fleklinde idi.

Biz bankaya A kadar para yat›rd›¤›m›za göre formülde A’y› yerine yazarsak

A1 = A0 e rt olur.

rr

ef BB

,,

= +

− = +

1

3651 1

0 054365

365

− =365

1 5 55% ,

logln

lna yy

a( ) =

( )( )

y a y e y x a xy

ax x a= ⇔ = ⇔ ( ) = ( ) ⇔ =

( )( )

( )ln ln lnln

ln


Ö R N E K 1

d y

dy a yalog

ln

( )( )=

( )1

rr

ef AA

,,

= +

− = +

1

121 1

0 055

12

12 122

1 5 64− = % ,

Ö R N E K 2

fiimdi de biliyoruz ki gelecekteki param›z flimdinin iki kat› olacak. Bu bilgiyi deformülde yerine yazarsak

2A0 = A0 e rt denklemini elde ederiz. Denklemin her iki taraf›n› da A0 ile bölersek

2 = e rt elde edilir. Eflitli¤in her iki taraf›n›n da do¤al logaritmas› al›n›rsa,

ln2 = ln e rt eflitli¤ine ulafl›r›z. ln e = 1 oldu¤u için,

ln 2 = rt eflitli¤i elde edilmifl olur. Art›k A kadar paran›n iki kat›na ç›kmas› içingerekli zaman› bulabilmek için t’ i yaln›z b›rakmam›z yeterlidir:

t = (ln 2) /r olur. ln 2 de¤eri yaklafl›k olarak 0,69 oldu¤u için buradan bir kuralgelifltirilebilir. 70 kural› olarak adland›r›labilecek bu kurala göre ikiye katlama içingerekli zaman› bulmak için 70’i faiz oran›na bölmek yeterli olacakt›r. Örne¤in faizoran› y›ll›k nominal %10 olur ise ikiye katlama için gerekli zaman (70/10) = 7 y›lolacakt›r.

fiimdiden 5 y›l sonra T10000 paran›z olsun istiyorsunuz. Size y›ll›k vade uygulayarak y›l-l›k nominal %10 faiz oran› öneren bir banka buldunuz. Bankaya bugün ne kadar yat›rma-n›z gerekir?

Üstel AzalmaDeneysel tecrübelerle elde edilen bir bilgiye göre radyoaktif partiküllerin bir ço¤uüstel fonksiyon kaideleriyle azalma veya silinme seyri izlerler. Radyoaktif partikü-lün bafllang›çtaki büyüklü¤ü Q0 olarak kabul edildi¤inde zaman içerisinde azalma-s›n› gösteren fonksiyon flöyle olacakt›r:

Q (t) = Q0e-kt

Yukar›daki fonksiyonda k pozitif bir sabittir ve azalma oran›n› ifade eder. Buoran genellikle bafllang›ç miktar›n›n tam yar›s›na kadar azalma olabilmesi için ge-rekli olan zamana göre tan›mlan›r. Bu gerekli zaman da radyoaktif partikülün ya-r›-yaflam› (half-life) olarak adland›r›l›r.

Q (t) = Q0e-kt formülüne göre üstel azalma seyri izleyen radyoaktif bir partikülün

yar› yaflam›n›n kadar oldu¤unu gösterin.

Çözüm: Gerekli zaman› ararken amac›m›z eflitli¤ini sa¤layacak

de¤erini hesaplamak olacakt›r. Öyleyse:

denkli¤ini do¤rulayacak de¤erini hesaplamak gereklidir. Bu

eflitli¤in her iki taraf›n› Q0 ile böldü¤ümüzde,

eflitli¤i elde edilir. Bu eflitli¤in her iki taraf›n›n da do¤al logaritmas›n›

al›rsak, lne = 1 oldu¤undan,

12

= −e kt

t1

2 0 0Q Q e kt= −

t

Q t Q( ) = 12 0

tk

=ln 2


Ö R N E K 3

70 kural›. Anaparan›n ikiyekatlanmas› için gerekli süre,70’i faiz oran›na bölerekbulunur.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

sa¤lanm›fl olur. Art›k yar›-yaflam için gerekli süreyi bulmakta

tek ifl bu eflitlikte ’i yaln›z b›rakmak olacakt›r. Böylece yar›-yaflam,

olarak hesaplan›r.

Türevler

g(x) = xx fonksiyonunun birinci türevini hesaplay›n.

Çözüm: Logaritmik türev alma kurallar›n› kullanarak çözüme ulaflmak gerek-mektedir. O zaman:

fleklinde elde edilir.

Lojistik E¤risi

A, B ve k’n›n pozitif birer sabit oldu¤u fonksiyonunun grafi¤i

lojistik e¤risi olarak adland›r›l›r. Lojistik e¤risi her türlü büyüme ifllemi için kullan›labilir. E¤er büyüme iflleminde çevresel faktörlerin büyüme oran›n› frenle-yecek etkisi varsa, o zaman lojistik e¤risi bu büyüme ifllemini tan›mlayabilmekiçin kullan›l›r.

tipindeki lojistik e¤risinin büyüme oran›n›n (1 - Q(t))’e eflit

oldu¤unu gösterin.

Çözüm: Önce Q’ n›n zamana göre de¤iflimini türev yard›m›yla ölçelim. Unut-mayal›m ki bu ölçüm bize zamana göre büyümeyi gösterecektir,

Büyümeyi yukar›da elde etti¤imize göre art›k büyüme oran›n› tan›mlayabiliriz.E¤er yukar›daki büyümeyi, Q’n›n kendisiyle oranlarsak o zaman büyüme oran›n›elde ederiz:

Büyüme oran›n› yandaki gibi gösterdikten sonra, son olarak

bu ifadenin 1 - Q(t) ile ayn› oldu¤unu göstermemiz gerekiyor.

′( )( )

=+

−

−Q t

Q t

e

e

t

t1

′( ) =− −( )

+( )=

+( )−

−

−

−Q t

e

e

e

e

t

t

t

t

1

1 12 2

Q te t

( ) =+ −

1

1

Q tB

Ae Bkt( ) =

+ −1

′( )( )

=( )

=( )

=( )( )

( )g x

g x

d x

dx

d e

dx

d x x

dx

x x xln ln ln

ln

ln ln

ln

= × ( )+ × = ( )+

′( ) = ( )+( )

11

1

1

x xx

x

g x x xxx

tk k

ln

ln

=−

=

12 2

t

ln12

= −kt


Ö R N E K 5

Ö R N E K 4

Öyleyse, oldu¤unu yazmak bizi çözüme götürür.

Yap›lan bir araflt›rmaya göre bir tür grip salg›n› bafl gösterdikten t hafta sonra yaklafl›k

olarak bin kifli hastal›¤a yakalanmaktad›r. Bu bilgiye göre:

a) Hastal›k kendini ilk gösterdi¤inde kaç kifli hasta olmufltur? 2 hafta sonra kaç kiflihastad›r?

b) Yaklafl›k olarak ne kadar süre sonra hastal›¤›n yay›lmas› azalmaya bafllayacakt›r?c) E¤er e¤ilim hep böyle devam ederse, sonunda yaklafl›k kaç kifli hastal›¤a yakalan-

m›fl olacak?

Esneklik‹ktisatç›lar olarak biliyoruz ki, e¤er talebin fiyat esnekli¤i 0 ve -1 aral›¤›nda ise omal esnek olmayan mal olarak; yok e¤er fiyat esnekli¤i -1 ile -∞ aral›¤›nda ise omal esnek mal olarak ve son olarak da e¤er fiyat esnekli¤i -1’e eflitse o mal da bi-rim esnek mal olarak adland›r›l›r. Bu bilgilerin kullan›ld›¤› bir iktisat teoremini ör-nek olarak inceleyelim.

“Esnek olmayan bir mal için fiyatta bir art›fl toplam harcamalar› artt›r›c› bir etkiyaparken, esnek bir mal için fiyat art›fl› toplam harcamalar› düflürecektir”. Bu id-dian›n do¤ru olup olmad›¤›n› gösterin.

Çözüm: Q = F (p) ilgilendi¤imiz mal için talep fonksiyonu olsun. O zaman pfiyat›nda toplam harcamalar flöyle hesaplan›r:

E (p) = pQ = p F (p).

Toplam harcamalar›n, yani E(p)’ nin art›p azald›¤›n› anlayabilmek için birincitürevinin iflaretini incelememiz yeterli olacakt›r. Öyleyse

E' (p) = pF' (p) + 1F (p) fleklinde hesaplanan toplam harcamalar›n birinci türe-vinin iflaretini incelemeliyiz. Yukar›daki eflitlikte eflitli¤in her iki taraf›n› da F (p) ’ebölersek:

[E' (p)/F(p)] = (pF' (p)/F(p)) + 1 = ε + 1

elde edilir. Buna göre e¤er bir mal esnek olmayan bir mal ise -1<ε <0 do¤ru ola-cak ve de bu yüzden (ε +1)>0 olacakt›r. Böylece E' (p)’ n›n pozitif de¤er alaca¤›n›göstermifl olduk. Yani di¤er bir deyiflle toplam harcamalar›n (E(p) ’nin) fiyata göreartan bir fonksiyon oldu¤u gösterilmifl oldu. Di¤er yandan, bir mal esnek oldu¤un-da ε <-1 olaca¤›ndan, (ε + 1) <0 olacakt›r. Bu E' (p)’ nin negatif de¤er alaca¤› an-lam›na gelir ki bu da E(p) ’nin yani toplam harcamalar›n fiyata göre azalan birfonksiyon oldu¤unu gösterir.

Q(p) = 10p3 - 1000 fleklinde verilmifl bir arz fonksiyonu olsun. Arz›n fiyata göre esnekli-¤ini p = 10 de¤eri için hesaplay›n.

Q te t( ) =

+ −20

1 19 1 2,

11 1

1 1− ( ) =

+ −

+=

+

−

−

−

−Q te

e

e

e

t

t

t

t


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Ö R N E K 6

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

Fiyat Esnekli¤i

Afla¤›daki talep fonksiyonunu ele alal›m:

Qd = 1000 - P3. Bu fonksiyonda miktar ton cinsinden ve de fiyatlar T cinsindenolsun. Hemen birinci türevi hesaplarsak

elde edilir.

E¤er flu anki fiyat T5 iken fiyat T1 artt›r›l›rsa, talep edilen miktar yaklafl›k olarak

75 ton azalacakt›r. Bu durumda fiyatlardaki %1’lik bir art›fl fiyatlarda T’lik

bir art›fl› ima edecek ve dolay›s›yla talep miktar›n› ton kadar azaltacak-

t›r. Fiyat T5 oldu¤unda talep 1000-53=875 ton olaca¤›ndan yüzdesel talep aza-

l›fl› kadar olacakt›r. Yani, fiyatlardaki %1’lik art›fl, talep mik-

tar›n› %0,43 azaltacakt›r. Bu da elimizdeki mal›n incelenen fiyat düzeyinde esnek

olmayan bir yap›da oldu¤unu gösterir.

Genelleyerek ifade edersek, mal›n fiyat› T1 artt›¤›nda talepte meydana

gelecek yaklafl›k de¤iflimdir. Bafllang›ç fiyat›n› P olarak kabul edelim. T1’lik art›fl

yüzdesel olarak kadar art›fl anlam›na gelir. Böylelikle, fiyatta meydana gelen

%1’lik art›fl, talep miktar›n› yaklafl›k olarak ton kadar de¤ifltirmifl olur.

O zaman talep miktar›nda meydana gelen yüzdesel de¤iflim, yaklafl›k olarak

kadar olur.

Yukar›da elde etti¤imiz formül talebin fiyat esnekli¤i formülüdür. Bu formülüyeniden organize etti¤imizde,

= ε, elde edilir. Burada fiyattaki yüzdesel art›fl› ve

ise miktarda meydana gelen yüzdesel de¤iflimi ve ε genel olarak iktisatta

esnekli¤i ifade etmektedir. Örne¤imizdeki fiyat esnekli¤ine dönersek

= ε fleklinde hesab›m›z› yapar›z. Bu

örnekte talebin esnek olmayan bölümü incelenmek istendi¤inde, ε<1 olan bölümele al›nmal›d›r. Bu durumda,

ifadesi do¤ru olmal›d›r. Bir baflka ifadeyle,

3P 3 < 1000 - P 3 olmal›, yani,

4P 3 < 1000 olmal›d›r. Buradaki eflitsizli¤in her iki taraf›n› da 4’e böldü¤ümüzde,

31000

13

3P

P−<

ped P PP

Q

P

Pd( ) = −( )× = −

−3 3

10002

3

3

100 dQQ

d

d

100 dPP

ped PdQ

Q

dP

P

d

d( ) = ÷

ped PQ

P dQ

dP

dQ

dP

P

Qd

d d

d( ) = × × = ×

100

100

P dQdP

d

100×

100P

dQdP

d

3 758 75 0 0043 0 43,

, , % ,≈ =

3 75 7520, =

5 1120p = ×

dQ

dPP

d= −3 2


Ö R N E K 7

dQdP P

d

== × =

53 5 752

P 3 < 250 eflitsizli¤i elde edilir. Son olarak e¤er fiyat (P) yaklafl›k olarak 6,3’tenküçük olursa esnek olmayan talepten bahsedebiliriz. Böylece anl›yoruz ki,

oldu¤u zaman talep fiyata göre birim esnek ve bu de¤erden büyük isetalep esnektir.

Toplam Has›laYukar›daki örne¤imize bu bafll›k alt›nda da devam edece¤iz. Qd = 1000 - P 3 flek-linde talep fonksiyonu oldu¤unu kabul etti¤imize göre, toplam has›lay› bulurken,bu talep bilgisini kullanaca¤›z demektir. Toplam has›la sat›lan ya da üretilen top-lam miktar ile mal›n fiyat›n›n çarp›lmas›yla kolayca hesaplanabilir. Buna göre top-lam has›la örne¤imizde flöyle olur:

TR = PQd = P (1000 - P3).

Toplam has›lan›n maksimum oldu¤u nokta ise birinci türevinin s›f›ra eflit oldu¤u

yerdedir. Yani, oldu¤u zaman, toplam has›la maksimum dü-

zeye ulaflm›fl demektir. Bu hesab› yukar›da yapm›flt›k. bu hesab›n sonucuolarak karfl›m›za ç›kar. Demek ki fiyat bu düzeyde oldu¤unda toplam has›la mak-simum düzeyine ulaflmaktad›r. Bu fiyat düzeyinde talebin fiyata göre birim esnekoldu¤unu biraz önce söylemifltik.

‹kinci türev hesaplad›¤›m›zda,

oldu¤u bulunur. Bu durum düzeyinin solunda

toplam has›lan›n artmakta oldu¤unu, sa¤›nda ise azalmakta oldu¤unu ifade eder.

Ters Talep7. örnekteki verilerle yola devam ediyoruz. fiimdi de iktisatta ters talebin ne oldu-¤unu örnek üzerinde inceleyerek görece¤iz. Fiyat belirli bir düzeyde oldu¤undatüketicinin talep edece¤i miktar flu fonksiyonla belirlenir:

Q = Qd (P) = 1000 - P 3. Yanda gördü¤ümüz standart bir talep fonksiyonudur.Biz buradan fiyat› çeker ve onun için bir denklem yazmak istersek

P 3= 1000 - Q eflitli¤ini elde ederiz. Buradan da P ’i yaln›z b›rakt›¤›m›zda,

denklemini elde ederiz ki bu son denklem iktisatta ters talepfonksiyonu olarak adland›r›l›r.

Marjinal Has›laYukar›da kulland›¤›m›z talep fonksiyonunu kullanmaya devam edelim. Ters talebiaç›klamadan hemen önce örne¤imizdeki talep fonksiyonunu kullanarak toplamhas›lay› fiyat›n bir fonksiyonu olarak tan›mlad›k ve toplam has›lan›n fiyata göre

türevini hesaplad›k. ‹ktisatç›lar için bu türevin özel bir anlam› yoktur. Bu

noktada, toplam has›lay› ters talep fonksiyonu kullanarak miktar›n bir fonksiyonufleklinde yazabiliriz:

TR PQ Q Q Q Q= = − × = −( ) ×1000 1000313

dTRdP( )

P Qd = −10003

P = 2503d TRdP

P2

2 12 02= − <

P = 2503

dTR

dPP= − =1000 4 03

P = 2503


Unutmayal›m ki, fiyat artt›kça talep miktar› azalmaktad›r. Yani, toplam has›la fi-yat artt›¤› için artmakta, ama fiyat art›nca miktar azald›¤› için de azalmaktad›r.

Marjinal has›lan›n, piyasada sat›lan mal miktar› küçük bir birim artt›¤›nda top-lam has›lada dolay›s›yla meydana gelen ek de¤iflim oldu¤unu daha önceden bili-yorduk. Böylece, marjinal has›la formülünü bizim örne¤imize uygularsak

denklemini elde ederiz.

Bu denklemi kullanarak marjinal has›lay› s›f›r yapan miktar› hesaplayabiliriz:

Piyasada sat›lan mal miktar› 750 ton oldu¤u zaman marjinal has›la s›f›r de¤eri-ni almakta, baflka bir ifadeyle toplam has›la maksimum de¤erine ulaflmaktad›r. 750

tonluk talep miktar› fiyat›n oldu¤u zaman gerçekleflen taleptir. Talep

edilen miktar 750 tonun üzerinde olursa marjinal has›la negatif de¤er almakta vedolay›s›yla da toplam has›la azalmaktad›r. Yok e¤er talep edilen miktar piyasada750 tonun alt›nda olursa marjinal has›la pozitif de¤er al›r ve toplam has›la da bubölgede artar.

Genel olarak bak›ld›¤›nda talebin fiyat esnekli¤i ile marjinal has›la aras›nda biriliflki kurmak mümkündür. Bu iliflkiyi gösteren eflitlik,

MR = P.((1+1/ε )) fleklinde yaz›l›r. Burada ε notasyonu esnekli¤i ifade etmek-tedir. fiimdi bu iliflkinin elde edilmesinde kullan›lan ad›mlara bakal›m:

, toplam has›lan›n fiyata göre türevi yandaki gibidir.

Türevde zincir kural› gere¤i bu ifadeyi,

fleklinde de yazabiliriz. Bu flekilde yazd›¤›m›zda art›k iktisatç›lar

için anlaml› olan toplam has›lan›n miktara göre türevi kullan›labilir hale gelmektedir.Böylece marjinal has›la ile esneklik aras›ndaki iliflkiyi flu flekilde yazabiliriz:

Esneklik ve LogaritmaVarsayal›m ki, Qd (P) fleklinde tan›ml› bir talep fonksiyonu için elimizde fiyat ve miktar (P, Q) noktalar›n› gösteren veri kümesi bulunmaktad›r. Yine varsayal›mki çok dar bir fiyat kümesi için do¤rusal tahminleme modeli çal›flt›rd›k. Ama butahminlemeyi elimizdeki orijinal veriler için de¤il de¤iflime u¤ray›p (x, y) = (ln P,lnQ) halini alm›fl veriler için yapt›k. Do¤rusal tahminleme model sonuçlar›m›z›n bi-ze verdi¤i e¤im, talep fonksiyonunun de¤il de logaritmik transformasyona u¤ram›fl

dTR

dP

dTR

dQ

dQ

dP

d=

dTR

dP

d PQ

dPQ P

dQ

dP

dd

d=

( )= +

P = 2503

MRdTR

dQQ Q Q= = − −( ) × + −( )−1

31000 1000

23

13


1000 3 100023

13−( ) × = −( )−Q Q Q

= 3 (1000 - ) = 30Q Q 000 - 3

4 = 3000

Q

Q

= 750.Q

MRdTR

dQQ P

dQ

dP

dQ

dP

Qd

dQdP

Pdd d

d= = +

= + =

PPdQdP

PQ

Pd

d

+

talep e¤risinin e¤imini yaklafl›k olarak verir. Yani burada tahmin edilmifl olur.

ve P = ex oldu¤u için, elde edilir. Zincir kural›n› iki kere

uygulad›¤›m›zda

ε eflitli¤i elde edilir. Bir baflka deyiflle, logaritmik

transformasyona u¤rayarak do¤rusal hale gelen talep fonksiyonlar›nda lnQ’n›nlnP’e göre türevi hesaplan›rsa bu bize esnekli¤i verecektir.

Bu özelli¤i örnek 7’de kulland›¤›m›z talep fonksiyonuna benzer bir fonksiyon-

da logaritmik transformasyon yapt›ktan sonra kullanabiliriz.

Talep fonksiyonu Qd = 1000P-3 fleklinde tan›ml› olsun. Logaritma yard›m›yla tale-bin fiyat esnekli¤ini hesaplay›n.

Çözüm: Burada logaritmik transformasyon için do¤al logaritmay› kullanaca¤›z.Eflitli¤in her iki taraf›n›n do¤al logaritmas› al›nd›¤›nda, logaritma kurallar› gere¤i,lnQd = ln 1000 -3 lnP denklemi elde edilir. Elimizde üstel yap›da olan bir talepfonksiyonu vard›. Logaritma kullanarak bu fonksiyonu logaritmik ve do¤rusal ya-p›ya kavuflturduk. Art›k yaln›zca basit bir türev alarak talebin fiyat esnekli¤i hesap-lamak mümkün hâle gelmifltir:

ε = -3 Yanda görüldü¤ü gibi bu mal›n talebi fiyata göre esnek ç›km›flt›r.

Bir baflka özellik ise bu talep fonksiyonunun her noktas›nda esneklik sabit ve 3’eeflittir.

Qs = β Pa fleklinde tan›ml› bir arz fonksiyonu varsayal›m. Burada β > 0 ve a > 1 olacakt›r.Bu fonksiyona göre arz›n fiyat esnekli¤ini hesaplay›n.

Di¤er EsnekliklerTalep fonksiyonunu yazarken iktisada giriflte kulland›¤›m›z ceteris paribus kural›her zaman ifllerimizi kolaylaflt›rm›flt›r. Talebi belirleyen faktörler incelenirken, yal-n›zca ilgili mal›n fiyat› de¤il, gelir, zevk ve tercihler, di¤er mallar›n fiyatlar› gibi et-kenlerin de konunun ilgisini oluflturduklar›n› biliyoruz. Ancak basit talep ve arzdenklemleri yard›m›yla piyasada neler oldu¤unu anlayabilmek için ilgili mal›n fi-yat› hariç di¤er de¤iflkenler analiz boyunca sabit kabul edilmiflti. Talebi etkileyendi¤er faktörlerden gelir ve di¤er mallar›n fiyatlar› serbest b›rak›ld›¤›nda bir mal içintalep fonksiyonu,

Qd = 100 - p + 2p* - 3y gibi yaz›labilir. Bu fonksiyonda p ilgili mal›n fiyat›n›, p*baflka bir mal›n fiyat›n› ve y geliri temsil etmektedir. Denklemi buradaki gibi üç ay-r› aç›klay›c› de¤iflkenle yazd›¤›m›z da art›k k›smi türev kurallar›n› kullanarak çeflit-li esneklik hesaplamalar›n› yapabiliriz. Yukar›daki talep fonksiyonunu hesaplama-lar için örnek olarak kullanal›m.

Qd = 100 - p + 2p* - 3y yandaki talep fonksiyonuna göre, a) talebin fiyat esnekli¤ini hesaplay›n.b) Çapraz fiyat esnekli¤ini hesaplay›n ve iktisadi olarak yorumlay›n.c) Gelir esnekli¤ini hesaplay›n ve iktisadi olarak yorumlay›n.

d Q

d P

(ln )(ln ))

=

dy

dx

dy

dQ

dQ

dP

dP

dx Q

dQ

dPP= = =

1

dPdx

e Px= =dydQ Q

= 1

dydx


Ö R N E K 8

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

Ö R N E K 9

Çözüm:a) Daha önce çözülen talebin fiyat esnekli¤i problemlerinden tek fark bu so-

ruda çok de¤iflkenli fonksiyon olmas›d›r. Bu sebeple de direkt türev yerinek›smi türev yaklafl›m› kullan›lacakt›r. Bunun d›fl›nda baflka bir de¤ifliklik yeralmayacakt›r. Talebin fiyat esnekli¤i formülünü uygulad›¤›m›zda

sonucu elde edilir.

b) Bu sefer de k›smi türev kurallar›yla çapraz fiyat formülü kullan›lacakt›r:

Elde edilen sonuç yandaki gibidir. Bu sonuca bakt›¤›m›zda

önce sonucun pozitif ya da negatif olup olmad›¤›n› incelemeliyiz. Herhangi birfiyat ya da talep miktar› negatif de¤er alamayaca¤› için sonucumuz pozitifbir say›d›r. Burada di¤er mal için hesaplanacak çapraz fiyat esnekli¤inin depozitif sonuç verdi¤i kabulü ile, soruya konu bahsi olan mal ile di¤er mal›nikame mallar oldu¤u söylenebilir.

c) Talebin gelir esnekli¤ini hesaplamak için hemen verilerimizi formülde yerine

yazal›m: Elde edilen sonucun pozitif ya da negatif olmas›

konu olan mal›n özelli¤i için önemlidir. Elde edilen sonuçta gelir ve talep edilenmiktar rakamlar› da var. Bu de¤iflkenlerin negatif de¤er almas› söz konusude¤ildir. Bu durumda bu iki de¤iflkenle çarp›m durumunda olan -3 say›s› so-nucumuzun negatif olaca¤›n› belirlemektedir. Bu durumda talebin gelir es-nekli¤i negatif de¤er almaktad›r. Bu gelirimiz artt›kça bu maldan uzaklaflt›-¤›m›z, talep miktar›n› azaltt›¤›m›z anlam›na gelir. Bir baflka deyiflle söz ko-nusu mal düflük bir mal olmal›d›r.

∂∂

= −Q

y

y

Q

y

Q

d

d d3

∂

∂=

Q

p

p

Q

p

Q

d

d d*

* *2

∂∂

= −Q

p

p

Q

p

Q

d

d d



Üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n temel özellik-

lerini anlayabilmek ve uygulama alan›nda kul-

lanabilmek

Üstel fonksiyonlarda aç›klay›c› de¤iflken tabandade¤il üstte yer al›r. Üstel fonksiyonlarda tabanpozitif oldu¤u sürece fonksiyon her zamankonveks olacak ve fonksiyonun görüntü kümesiyaln›zca pozitif say›lardan oluflacakt›r. Do¤al ta-banl› fonksiyonda oldu¤u gibi logaritmik fonksi-yon da sürekli artan bir fonksiyondur. Ancak do-¤al tabanl› üstel fonksiyon sürekli konveksiken, do¤al logaritmik fonksiyonu sürekli kon-kav bir fonksiyondur. Üstel fonksiyonun tan›mkümesi tüm reel say›lar iken, logaritmik fonksi-yonun tan›m kümesi yaln›zca pozitif say›lardanoluflur. Ayr›ca, do¤al tabanl› üstel fonksiyonungörüntüleri yaln›zca pozitif say›larda aç›¤a ç›kar-ken, logaritmik fonksiyonun de¤erleri bütün re-el say›lar olabilir.

Bu tip fonksiyonlar›n iktisat lisans e¤itiminde

hangi alanlarda, ne amaçla kullan›ld›¤›n› an-

layabilmek

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar iktisatta, büyü-me, grafiksel anlat›m, talep, arz, esneklik gibibirçok konuda özellikleri itibar› ile kullan›l›rlar.Gelifltirilen formül ve kurallar iktisatta kendinerahatl›kla uygulama alan› bulur. Örne¤in büyü-me formülü bu tip fonksiyonlar yard›m›yla gelifl-tirilir. Büyüme ya da faiz formülleri yaln›zcaGSMH ve bankadaki para hesab›nda de¤il ikti-satta büyüme hesab› yap›lan bütün alanlarda de-¤iflik versiyonlar› ile kullan›lmaktad›r. Örne¤in Pfiyatlar genel seviyesini ifade etti¤inde, faiz for-mülü gelecekte fiyatlar genel seviyesinin nas›lolabilece¤ine dair bilgiler sunacakt›r. Bu durum-da r enflasyon oran›n› ifade edecektir.

Makro iktisat ve mikro iktisat alanlar›nda konu-

lar› anlayabilmek için bu fonksiyonlar› ve özel-

liklerini uygulamalar›n›zda kullanabilmek

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar›n özelliklerindenyararlan›larak iktisatç›lar alanlar›nda kullan›fll› bil-giler gelifltirmifllerdir. Örne¤in, y= ax fleklindekibir üstel fonksiyonun ani büyüme oran› ln (a)fleklinde logaritmik ifade ile belirlenir. Bir baflka

bilgi de esneklik hesaplar› için gelifltirilmifltir. ‹k-tisatç›lar olarak biliyoruz ki, e¤er bir talebin fiyatesnekli¤i 0 ve -1 aral›¤›nda ise o mal esnek olma-yan mal olarak; yok e¤er fiyat esnekli¤i -1 ile -∞aral›¤›nda ise o mal esnek mal olarak ve son ola-rak da e¤er fiyat esnekli¤i -1’e eflitse o mal da bi-rim esnek mal olarak adland›r›l›r. Bu bilgilerinkullan›ld›¤› iktisat teoremleri üstel ve logaritmikfonksiyonlar›n türevleri yard›m›yla gelifltirilmifltir. Bu tip fonksiyonlar sayesinde MR = (P (1+1/ε ))fleklinde yaz›lan iliflkiler sayesinde marjinal kavramla esneklik kavram› bir arada incelenebi-lir hale gelmifltir. Talep fonksiyonunu yazarken,iktisada giriflte kulland›¤›m›z ceteris paribus ku-ral› her zaman ifllerimizi kolaylaflt›rm›flt›r. Talebibelirleyen faktörler incelenirken, yaln›zca ilgilimal›n fiyat› de¤il, gelir, zevk ve tercihler, di¤ermallar›n fiyatlar› gibi etkenlerin de konunun ilgi-sini oluflturduklar›n› biliyoruz. Talep fonksiyon-lar›n› gerçek yaflama daha uygun yazabilmek içindi¤er mallar›n fiyatlar› ve tüketici geliri de denk-lem de yer almal›d›r. Bu tip fonksiyonlarda dak›smi türev kurallar›n› kullanarak çapraz fiyat es-nekli¤i ve gelir esnekli¤i gibi esneklik hesapla-malar›n› yapabiliriz.Bileflik faiz hesab›nda kullan›lan formül, büyümealan›nda da rahatl›kla kullan›labilir. Makro iktisatalan›nda düflündü¤ümüzde faiz formüllerindekiP’nin GSMH’y› temsil etti¤ini kabul edebiliriz. Budurumda r büyüme oran›n› temsil edecektir.Görüldü¤ü gibi üstel ve logaritmik fonksiyon tip-leri, özellikleriyle beraber iktisat lisans e¤itimin-de ciddi biçimde kullan›lmaktad›r. Bu ünitedebu fonksiyonlar›n özelliklerini k›saca tan›may›gerçeklefltirdikten sonra, iktisatta yayg›n olarakkullan›ld›¤› alanlar› örnekleriyle birlikte ele al-d›k. Bundan sonra bu bilgileri uygun di¤er ikti-sat alanlar›nda kullanabilece¤inizi biliyoruz.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç


1. Varsayal›m ki T100 tasarrufunuz var ve bunu banka-da de¤erlendirmeye karar verdiniz. Bankan›n size öne-risi y›ll›k vade ile %6 y›ll›k nominal faiz oran› oldu. Buteklifi kabul ettiniz. 5 y›l sonra bankadaki paran›z›n he-sab› hangi fl›kta do¤ru olarak verilmifltir?

a. 1065

b. 100[1 + 0,06]5

c. 100 (1 + 0,06)5

d. 100 (1,6)5

e. (106)5

2. Elimizde Qd = 52 - P2 fleklinde tan›ml› bir talep fonk-siyonu var. (P,Q) = (2,48) noktas›nda talebin fiyat es-nekli¤i ne olur? Hesaplay›n.

a. 1 - (104/Q)b. -1/6c. -1/8d. -4e. -2

3. 21. Bir banka bize her an faiz uygulayaca¤›n› söyle-yerek y›ll›k nominal %7 faiz oran› teklif etmektedir.Efektif faiz oran› ne olur? Hesaplay›n.

a. %10,725b. %7,25c. %7d. %1,07e. %8

4. Bir yat›r›m projesinin 5 y›l sonunda T200000 getir-mesi bekleniyor. ‹flin bafl›nda T100000 yat›r›lmas› gere-kiyor. Bu 5 y›ll›k süreçte faiz oranlar›n›n %6 olmas› bek-leniyor. Bu projenin net bugünkü de¤erini yaklafl›k ola-rak hesaplay›n.

a. T67653b. T50552c. T49452d. T149453e. T150554

5. Marjinal has›la ve esneklik iliflkisini veren formülMR = P((1 - 1/ε)( fleklinde idi. Bu formüle göre afla¤›-dakilerden hangisi do¤rudur?

a. ε = 0 oldu¤unda MR = 0 olurb. ε < 1 oldu¤unda MR> 0 olurc. ε > 1 oldu¤unda MR< 0 olurd. ε → ∞ oldu¤unda MR→ P olure. ε = 0 oldu¤unda MR = 1 olur

6. ‹ki mal aras›nda çapraz esnekli¤i hesaplad›¤›m›zdasonuç +2 olarak bulunmufltur. Bu iki mal için afla¤›da-kilerden hangisi söylenebilir?

a. ikame mallarb. tamamlay›c› mallarc. ilgisiz mallard. iyi ve kötü mallare. hiçbiri

7. Qd = 10 -2p + 3y2 , yandaki talep fonksiyonuna göretalebin gelir esnekli¤i ve mal›n özelli¤i ile ilgili tespithangi fl›kta do¤ru olarak verilmifltir?

a. 6y/Qd , normal malb. 3y2, düflük malc. 6y2/Qd , düflük mald. 3y/Qd , düflük male. 6y2/Qd , normal mal

8. , yandaki talep fonksiyonuna göre Q cinsindenyaz›lm›fl TR fonksiyonu afla¤›dakilerden hangisidir?

a.

b.

c. 2Q/5

d.

e. - Q

9. 8. sorudaki talep fonksiyonuna göre MR ne olur?Hesaplay›n.

a. 1/4Q1/2

b. (1/4)Q1/2

c. 1/2Q

d.

e. Q1/2

10. A Ülkesinin GSMH’s› 1990 y›l›nda X birimmifl. Ülkebu y›ldan sonra her y›l ortalama %5 büyümüfl. Büyümehesab›nda gerçekçi bir yaklafl›mla sürekli bileflen yakla-fl›m› kullan›lm›fl. Buna göre A Ülkesi ne zaman GSMHrakam›n› 4 kat›na ç›kar›r?

a. 2010 y›l› içindeb. 2018 y›l› içindec. 2020 y›l› içinded. 2022 y›l› içindee. 2023 y›l› içinde

1 21

2Q

Q

1

22

−

2 5

1

2Q

Q

1

2

QP

1

2 12

=



Q

15

10

5

-4 -2 0 2 4 6 8t

1. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Bileflik Faiz Hesaplar›” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz.

2. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Talebin Fiyat Esnekli¤i” ko-nusunu yeniden gözden geçiriniz.

3. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Faiz Formüllerini ve Uygu-lamalar›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

4. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Büyüme ve Bileflik Faiz”konusunu yeniden gözden geçiriniz.

5. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Esneklik ve Marjinal Has›-la” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

6. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Her Türlü Esneklik Hesab›ve ‹ktisadi Yorumlar›” konusunu yeniden göz-den geçiriniz.

7. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Gelir Esnekli¤i ve ÜstelFonksiyonlarda Türev” konusunu yeniden göz-den geçiriniz.

8. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Toplam Has›la ve ÜstelFonksiyonlarda Türev” konusunu yeniden göz-den geçiriniz.

9. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Marjinal Has›la ve ÜstelFonksiyonlarda Türev” konusunu yeniden göz-den geçiriniz.

10. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Büyüme ve Sürekli BileflenYaklafl›m›” konusunu yeniden gözden geçiriniz.


Yandaki formül, belirli miktar büyüklü¤e

y›lda belirli aral›klarla faiz oran› uyguland›¤›nda kullan›lanformüldü. n paraya y›l içerisinde kaç kez faiz uygulana-ca¤›n› ve de t geçen zaman› y›l cinsinden ölçüyordu.Bizim sorumuzda anaparay› de¤il ama bundan 5 y›lsonraki paran›n miktar›n› biliyoruz. Öyleyse,Pt = 10000. Banka bize y›ll›k vade uygulayaca¤›na gö-re param›za her y›l yaln›zca 1 kez faiz uygulanacakt›r.Bu durumda n = 1 olacakt›r. Bu verileri formülde yeri-ne yazal›m:

denklemi elde edilir. Burada P0’›

yaln›z b›rakt›¤›m›zda,

denklemi elde edilir. O zaman,

P0 = T6209,21 olarak hesaplan›r.

S›ra Sizde 2

a. Hastal›k ilk bafl gösterdi¤inde kaç kiflinin hasta oldu-¤unu hesaplayabilmek için t de¤eri yerine 0 yaz›pformüle göre hesap yapmal›y›z. Buna göre,

oldu¤u için en baflta 1000 kiflinin

hasta oldu¤unu söyleyebiliriz.Peki salg›n›n bafllang›c›ndan 2 hafta sonra durumuanlayabilmek için ne yapmal›y›z?

Salg›n formülüne geri dönerek t yerine 2 yaz›p he-

saplamalar› yeniden yapmal›y›z:t = 2 oldu¤unda olarak hesaplan›r. Yani yaklafl›k olarak 7343 kiflihastal›¤›n 2. haftas›n›n sonunda hastal›¤a yakalanm›flolacakt›r.

b. Fonksiyonun grafi¤ini afla¤›da görmektesiniz. Gra-fik incelendi¤inde döngü noktas›n›n oldu-¤unda gerçekleflti¤i izlenmektedir. Bu de¤erin so-luna bakt›¤›m›zda fonksiyonun konveks oldu¤u vehastal›¤a yeni yakalanan say›s›n›n giderek artt›¤› iz-lenmektedir. oldu¤u zaman ise fonksiyonkonkav olmakta ve art›k haftalar ilerledikçe hasta-l›¤a yeni yakalananlar›n say›s›n›n düflmekte oldu¤ugözlenmektedir.

c. Grafikten de anlafl›laca¤› gibi hastal›¤a yakalananla-r›n say›s› belli bir seviyeye ulaflt›ktan sonra dura¤anhale gelmektedir. Bu dura¤anl›¤›n nerede oldu¤unuölçmek için limitten yararlanabiliriz:

, oldu¤una göre, yaklafl›k 20 bin kiflinin

bu salg›nda hastal›¤a yakalanan toplam insan olaca¤›n›söyleyebiliriz.

limt

Q t→+∞

( ) = 20

t t<

t ≈ 2 5.

Qe

2 7 343201 19 2 4( )= ≈+ − . .

Q 0 1201 19( )= =+

P010000

=(1+0,1)5

10000 10 110

1 5

= +

P

, *


P Pr

nt

nt

= +

0 1


S›ra Sizde 3

Q (p) =10p3-1000 fleklinde tan›mlanm›fl arz fonksiyonuverildi¤ine göre önce p = 10 için arz miktar› ne kadarolur? Bunu hesaplayal›m:Q (10) = 10 *103-1000 = 9000. Yani p 10 de¤erini al›ncapiyasada arz miktar› 9000 birim olmaktad›r. fiimdi arz›n fiyat esnekli¤i formülünü hat›rlayal›m:

ε

Yukar›daki formülde p ve Q de¤erlerini hesaplad›k.Öyleyse arz fonksiyonunun fiyata göre birinci türevinihesaplamam›z gerekiyor.

3*10*p3-1 = 30p2. fiimdi hesaplad›klar›m›z› arz›n

fiyat esnekli¤i formülünde yerlerine yazal›m:

ε= (30*102)*(10÷9000) = 3,33. ‹ktisadi olarak arz›n fiya-ta göre esnek oldu¤unu söyleyebiliriz. Fiyattaki %1’likart›fla arz miktar› %3,33 art›flla cevap vermektedir.

S›ra Sizde 4

βPa, yanda bize verilen arz fonksiyonunu görmekte-yiz. Arz›n fiyat esnekli¤i formülü uyguland›¤›nda,

ε ε = (aβPa-1) * denklemleri elde edi-

lir. Burada, P taban›nda iki de¤er oldu¤una göreüstleri toplayabiliriz. Ayn› zamanda Qs yerine βPa ifa-desini yazabiliriz:

ε= (aβPa-1+1 / βPa) Yanda görüldü¤ü gibi gerekli sa-delefltirmelerden sonra arz›n fiyata göre esnekli¤i aolarak bulunmufltur. a sorumuzda sabit say› olarak ve-rilmiflti, asl›nda birden büyük pozitif bir sabitti. Bu arzfonksiyonu da bu anlamda özel bir fonksiyondur.Çünkü bu fonksiyonun tan›ml› oldu¤u bütün alanlardaesneklik sabittir.

Bradley T. ve Paul Patton, (1998). Essential

Mathematics for Economics and Business, Wiley.Chiang, A., C., (1984), Fundemental Methods of

Mathematical Economics, McGraw-Hill.Edward T. Dowling, (2000). Schaum’s Outline of

Introduction to Mathematical Economics,

McGraw-Hill UK.Gerard Debreu, (1986). Mathematical Economics,

Publisher: Cambridge University Press.Hoffmann L., D. ve Bradley G., L. (2000), Calculus for

Business, Economics an the Social Sciences, 8thInternational Edition, McGraw-Hill.

Klein M.W. (2002). Mathematical Methods for

Economics, 2. Bask›, Pearson Education.Knut Sydsaeter and Peter Hammond, (2005). Essential

Mathematics for Economic Analysis, FT PrenticeHall.

Simon C., P. ve Blume Lawrence, (1994). Mathematics

for Economists, W. W. Norton and Company, NewYork.

P

Qs= ×dQ

dP

P

Q

s

s

dQ

dP

s=

= ×dQ

dP

P

Q

s

s


Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Do¤rusal denklem sistemlerinin çözüm metotlar›n› aç›klayabilecek ve uygu-layabilecek,Özellikle ‹kame (yerine koyma) metoduyla sistem problemlerini çözebilecek,‹ktisadi uygulamalar›n› yapabilecekbilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Do¤rusal Denklemler • E¤im-Kesiflim Metodu• ‹kame (Yerine Koyma) Metodu• Eleme Metodu• Piyasa Dengesi

• Dengesizlik Durumu• ‹ndirgenmifl Form• Karfl›laflt›rmal› Statik Denge

Analizi

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

NN

Matematiksel ‹ktisat Eflanl› DenklemSistemleri

• DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹• DO⁄RUSAL DENKLEMLER‹N

‹KAME (YER‹NE KOYMA)METODUYLA ÇÖZÜMÜ

• DO⁄RUSAL DENKLEMS‹STEMLER‹N‹N EKONOM‹KUYGULAMALARI

• KARfiILAfiTIRMALI STAT‹K DENGEANAL‹Z‹

• DO⁄RUSAL ‹KT‹SAD‹ MODELLERE‹L‹fiK‹N ÖRNEK ÇÖZÜMLER


DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹Matematikte, do¤rusal denklem sistemlerini çözmek için üç farkl› metottan yarar-lan›l›r. Bu metotlar s›ras›yla; E¤im-Kesiflim Metodu, ‹kame (Yerine Koyma) Meto-du ve Eleme Metodu olarak s›ralan›r. Varsayal›m ki çözmek istedi¤imiz do¤rusaldenklem sistemi afla¤›da verilmifl örnek gibi olsun:

5x + 7y = 504x - 6y = -18 (1)

E¤im-Kesiflim Formunu Kullanarak ÇözümBu metotla çözebilmek için öncelikle her iki do¤rusal denklemi e¤im-kesiflim for-munda yeniden yazal›m; ‹flimizi kolaylaflt›rmak için bilinmeyenlerden y’leri denk-lemlerin sol taraf›na alal›m ve x’lerin bir fonksiyonuymufl gibi düflünelim. Bu du-rumda ilk do¤rusal fonksiyon;

7y = 50 - 5xy = 50/7 - 5/7x

ve ikinci do¤rusal fonksiyon ise;

4x - 6y = -186y = 4x + 18y = 2/3x + 3

fleklinde yaz›l›r. Her bir do¤rusaldenklem için, lineer (do¤rusal)fonksiyonlar› grafik olarak ifade et-mek istersek afla¤›daki Grafik 4.1’degösterilen do¤rusal denklemleri el-de ederiz.

Yandaki Grafik 4.1’de görüldü-¤ü gibi do¤rusal iki fonksiyonun ke-siflti¤i noktada y de¤erleri ayn› ol-mal›d›r. Bundan dolay›, y cinsindenyaz›lm›fl olan iki do¤rusal fonksiyo-nun birbirine eflitlenmesi gerekir.Bu ifllemin yap›lmas› durumunda;

Eflanl› Denklem Sistemleri

‹ktisatta, eflanl› do¤rusaldenklem sistemlerini çözmekiçin s›ras›yla E¤im-KesiflimMetodu, ‹kame (YerineKoyma) ve ElemeMetotlar›ndan yararlan›l›r.

-2 0 2 4 6

2

3

4

5

6

7

8

x

y=(2/3x)+3

y=(50/7)–(5/7)x

y E¤im-Kesiflim Formunda Çözüm

Grafik 4.1

50/7 - 5/7 x = y = 2/3 x + 3

eflitli¤i elde edilir. Buradan bilinenlerle bilinmeyenleri bir tarafa almam›z duru-munda;

50/7 - 3 = 2/3 x + 5/7x150 - 63 = 14x + 15x87 = 29xx = 87/29 = 3

sonucunu buluruz. Çözüm sonucunda x de¤erini 3 olarak bulundu. y de¤erini he-saplamak için e¤im-kesiflim formunun do¤rusal fonksiyonlar›ndan herhangi birinikullanabiliriz. Denklemlerden ikincisini kullanal›m. Bu denklemde x yerine 3 de-¤erini ikame etmemiz durumunda;

y = 2/3 * (3) + 3 = 5

y de¤eri 5 olarak hesaplan›r.Denklem sisteminin çözümü ise: x* = 3, y* = 5.

Çözümlerin do¤rulu¤unu kontrol etmek için bulunan x ve y de¤erlerinin ilk denklemde ye-rine koyulup kontrol edilmesi fliddetle tavsiye edilir.

5 * 3 + 7 * 5 = 15 + 35 = 504 * 3 - 6 * 5 = 12 - 30 = -18

Sa¤lama sonucunda bafllang›ç de¤erleri bulundu¤una göre ifllemimiz do¤rudur.

‹kame (Yerine Koyma) Metodu‹kame metodunda denklem sistemindeki do¤rusal fonksiyonlardan biri al›n›r ve yveya x cinsinden yaz›l›r. Diyelim ki y cinsinden yaz›lan fonksiyon daha sonra sis-temdeki di¤er fonksiyonda y görülen yer(ler)e ikame edilir ve x cinsinden ifadeedilen tek bilinmeyenli bir denklem haline dönüfltürülür. X cinsinden de¤eri bulu-nur ve bu x de¤eri sonra ikame yoluyla y de¤erinin hesaplanmas›nda kullan›l›r.

‹kame metoduyla çözümü görebilmek için yine do¤rusal denklem sistemindeayn› örne¤i kullanal›m:

5x + 7y = 504x - 6y = -18

‹kame metodu ile çözümü gösterebilmek için yukar›da verilen do¤rusal denk-lem sistemindeki denklemlerden birisini alal›m. Ald›¤›m›z denklem ikinci do¤rusalfonksiyon olan

4x - 6y = - 18

olsun. Denklemin y cinsinden yaz›l›p sadelefltirilmesi durumunda,

4x + 18 = 6yy = 4/6x + 3 = 2/3x + 3y = 2/3x + 3 (2)

sonucu elde edilir.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Buldu¤umuz y de¤erini (y = 2/3x + 3) sistemdeki di¤er denklemdeki (5x + 7y = 50)gördü¤ümüz y’nin yerine ifadeleri parantez içerisinde yazarak koyal›m.

5x + 7y = 505x + 7 (2/3x + 3) = 505x + 14/3 x + 21 = 5015/3x + 14/3x + 21 = 50

‹kame etmemiz ve sadelefltirme sonucunda iki bilinmeyenli denklem sistemi xcinsinden ifade edilen tek de¤iflkenli bir denklem hâline dönüfltü. Bilinen ve bilin-meyenleri bir tarafa ald›¤›m›zda,

29/3x = 50 - 21= 29 x = 3/29 * 29 = 3

x de¤eri 3 olarak bulunur. y de¤erini bulmak için buldu¤umuz x de¤erini y =2/3x + 3 denkleminde yerine koymam›z yeterli olacakt›r. ‹fllem sonucunda,

y = 2/3x + 3 = 2/3 * 3 + 3 = 5

y de¤eri 5 olarak bulunur. Dolay›s›yla sistem için çözüm, x = 3, y = 5’tir.

DO⁄RUSAL DENKLEMLER‹N ‹KAME (YER‹NE KOYMA)METODUYLA ÇÖZÜMÜYukar›daki örnek sistem haricinde, flimdi yerine koyma metoduyla do¤rusal denk-lem sistemi çözümünü daha detayl› inceleyelim. Bu ba¤lamda, iki bilinmeyenli veiki denklemli sistem çözümlerinden çok bilinmeyenli çok denklemli sistem çözü-münü yerine koyma metoduyla detayl› olarak ortaya koyal›m.

Do¤rusal denklem Sisteminde Eflitlikleri ve BilinmeyenleriSaymaBir eflitli¤i çözüp çözemeyece¤inizi nas›l belirlersiniz? Kural oldukça basittir: eflit-likleri ve sonra da bilinmeyenleri (de¤iflkenleri) sayar›z.

• E¤er eflitlik say›s›ndan daha fazla de¤iflken varsa sistemi çözmek için yeter-li ipucunuz yok demektir.Örne¤in, y = x + z ve z = 5 fleklinde iki eflitlik ve 3 de¤iflkene sahipseniz,y = x + 4 oldu¤unu bilirsiniz ama bir eflitlik daha olmadan y veya x’i çöze-cek yeterli bilgiye sahip olamazs›n›z.

• Di¤er taraftan, e¤er elinizde de¤iflkenlerden daha fazla eflitlik varsa, çok faz-la ipucunuz var demektir. Örne¤in, 4 eflitlik ve 3 bilinmeyene sahipseniz eflitliklerden bir tanesi ya tu-tars›z ya da ba¤›ml› olacakt›r.

Eflitlikleri sayd›ktan sonra kontrol etmemiz gerekir. Eflitliklerin, do¤rusal, ba-¤›ms›z ve tutarl› olmalar› gereklidir.

“Do¤rusal” nedir? Eflitli¤in do¤rusal olmas›, kontrol edilen bütün eflitliklerin,

y = a + bx

format›nda olmas› gereklili¤idir. Bu özellik formattaki a veya b’nin 0 ya da 1 oldu-¤u durumlar› da içerir ki böyle durumlarda y = a ya da y = x olur. Do¤rusal olma-s› format›n üs, kare (veya baflka bir seviyede), kök, xy veya x/y olmamas› duru-munu ifade eder.

834. Ünite - Eflanl › Denklem Sistemler i

Bir eflitli¤in do¤rusal olmas›,kontrol edilen bütüneflitliklerin, y = a + bx,format›nda olmas› veformat›n üs, kare, kök, xyveya x/y olmamas› anlam›nagelir. Do¤rusall›k özelli¤i,formattaki a veya b’nin 0 yada 1 oldu¤u durumlar› daiçerir ki böyle durumlarda y= a ya da y = x olur.

“Ba¤›ms›z” nedir? Bu durum en iyi, birbirinden ba¤›ms›z olmayan iki eflitlik-le gösterilebilir. Örne¤in, y = x ve 2y = 2x, denklemleri ba¤›ms›z de¤ildir. E¤er bi-risi do¤ruysa öteki de do¤ru olmak zorundad›r. Örnekteki denklemlerin gerçekteher ikisi de mükerrer yaz›lm›fl olan ayn› fonksiyondur, dolay›s›yla ikisini de denk-lem olarak sayamazs›n›z.

“Tutarl›” nedir? Bu durum daha bariz bir flekilde ifade edilebilir. Ayn› andahem y = x hem de y = x + 2 do¤ru olamaz.

En Küçük Durum: ‹ki Eflitlik ve ‹ki BilinmeyenBilinmeyen iki de¤iflkeni x ve y de¤iflkenleri olarak isimlendirelim. Öncelikle eflit-likleri yaz›p, gerekiyorsa sadelefltirmek gerekir. Daha sonra eflitlikler ve bilinme-yenler say›l›r ve devam›nda ba¤›ms›zl›klar›n› ve tutarl›l›klar›n› kontrol ederiz.

Varsayal›m ki iki eflitli¤imiz,

y = 300 - 11x y + x = 200

fleklinde verilmifl olsun. Öncelikle bilinmeyenlerden birini bir tarafa, di¤erini dedi¤er tarafa atmak gerekir. Bu yap›l›rsa

y = 300 - 11x y = 200 - x

denklemlerini elde ederiz. Denklemlere bakt›¤›m›zda do¤ru say›da eflitlik, do¤rusay›da bilinmeyenler, do¤rusall›k, ba¤›ms›zl›k ve tutarl›l›k oldu¤unu görürüz.

Buradan sonra çözüm için “Birinci Ad›m”, (hangisi daha kolaysa,) y=y veya x=xfleklinde bir eflitlik oluflturmakt›r.

Örnek denklemlere bak›nca, y’nin kolayda ve yaln›z bafl›na oldu¤unu görüyo-ruz, öyleyse y = y fleklinde eflitlik seçelim.

y = 300 - 11x y = 200 - x y = y 300 - 11x = 200 - x

fiimdi tek bilinmeyenli (x) tek bir denkleme düfltük. ‹kinci Ad›m: Öteki de¤ifl-ken için çözüm yapmakt›r. y=y yazm›flt›k, öyleyse bunun anlam› x için çözüm ya-paca¤›z demektir. x için çözüm yapt›¤›m›zda,

300 - 11x = 200 - x 300 - 200 = 11x - x 100 = 10x x = 10

de¤erini buluruz. Üçüncü Ad›m x için buldu¤umuz rakamsal de¤eri denklemler-den birine götürüp yerine koymak ve öteki de¤iflken (y) için çözüm bulmakt›r.

y = 300 - 11x y = 300 - 11(10) y = 300 - 110 y = 190


En S›k Karfl›lafl›lan Durum: Üç Eflitlik ve Üç BilinmeyenÜç eflitlik ve üç bilinmeyenli denklem sistemleri asl›nda 2-2’lik sisteme göre çokdaha zor olacakm›fl gibi görünse de gerçekte neredeyse daha kolayd›r. Bunun ne-deni ise karfl›laflaca¤›m›z neredeyse tüm üç eflitlik ve üç bilinmeyenli sistemlerinayn› yap›da olacak olmas›d›r. ‹ktisatta karfl›lafl›lacak üç eflitlik ve üç bilinmeyenliço¤u sistemler genellikle ya

• ‹ki davran›flsal veya politika denklemi ve• Bir denklem, optimizasyon ya da denge denklemi gibi bir yaklaflma kural›

uygulanarak çözümlenir.

Üç Eflitlik ve Üç Bilinmeyenli Denklem SistemlerininÇözüm Aflamalar›Bu tür 3-3’lük sistemlerin çözülmesi birkaç ad›mda gerçeklefltirilir. fiimdi bu ad›m-lar› s›ras›yla örnekler vererek aç›klayal›m.

Ad›m 1: Davran›flsal/politika içeren iki denklemi de yaklaflma koflulunda yeri-ne koymak ve indirgenmifl form olarak elde etmek gerekir.

Öncelikle bilinmeyen de¤iflkenleri qs, qd ve p fleklinde isimlendirelim. Arz ve talep fonksiyonlar› ve piyasa denge koflulunun s›ras›yla afla¤›daki flekil-

de verildi¤ini varsayal›m.

qs = 28 + 5p qd = 100 - p qs = qd

Birinci ad›m› gerçeklefltirmek için 3. Denklemde ifade edilen arz ve talep eflit-li¤i koflulunu uygulamak yeterlidir.

28 + 5p = 100 - p

Bu sistemin sadeleflmesini ve bir anda 3-3’lük sistemden 1-1’lik sisteme dönüfl-mesine sebep olur. Buna “indirgenmifl form denklemi” denir.

Ad›m 2: Yukar›da 1. Ad›mda elde etti¤imiz indirgenmifl form denklemi sadecefiyat (p) de¤iflkeninden oluflmaktad›r. ‹kinci ad›mda, bilinenleri bir yanda ve bilin-meyenleri bir yanda toplayarak denklem sistemini çözme yoluna gideriz. Çözümbize piyasa denge fiyat›n›,

28 + 5p = 100 - p5p + p = 100 - 286p = 72p = 72/6p* = 12

olarak verir.

Ad›m 3: Ad›m 2’de elde edilen fiyat (P) de¤erini davran›fl denklemlerinden bi-rinde yerine koyup ve di¤er de¤iflken (denge miktar, Q) için çözüm yapar›z. P de-¤erini arz fonksiyonunda yerine koyarsak, qs de¤erini,

qs = 28 + 5p qs = 28 + 5(12) qs = 28 + 60 qs = 88


olarak buluruz. Talep fonksiyonunda da ayn› ifllemi denemek mümkündü ve so-nuç fark etmeyecekti.

Ad›m 4: ‹lk elde etti¤imiz (P) de¤erini bu sefer di¤er davran›flsal denklemde(talep fonksiyonunda) yerine koymak suretiyle yapm›fl oldu¤umuz ifllemin sa¤la-mas›n› (do¤rulu¤unu) test ederiz. ‹fllem sonucunda qd de¤eri,

qd = 100 - p qd = 100 - 12 qd = 88

olarak bulundu. E¤er qd = qs = 88 ise yapm›fl oldu¤umuz çözümleme do¤rudur.

Arz, talep fonksiyonlar› ve piyasa denge koflulu afla¤›daki flekilde verilmifl ise yerine koy-ma metodu yard›m›yla denge fiyat ve denge miktar› bulunuz.

Qs = 20 + 6P Qd = 100 - 2P Qs = Qd

Daha Fazla Eflitlik ve Daha Fazla BilinmeyenDört bilinmeyenli ve dört denklemli bir makro denge sistemi afla¤›daki flekilde ve-rilmifl olsun. Sistemde cari toplam tüketim (C) cari gelirin (Y) fonksiyonu olarakverilmifltir. Yat›r›m (I) ve kamu harcamalar› (G) ise otonom harcamalar olarak ve-rilmifltir. Toplam gelir ise toplam efektif talebin fonksiyonudur.

8C = 500 + ––– Y

10I = 300G = 400 Y = C + I + G

Sistemde dört bilinmeyen ve dört denklem mevcuttur: Bilinmeyenler; C, I, G veY’dir. Hangi denklemin denge koflulunu ifade etti¤ini e¤er iktisadi olarak bilmiyor-sak, matematik kullanarak bu tahmini yapabilirsiniz: Di¤er tüm de¤iflkenleri içeri-sinde bar›nd›ran denklem do¤rudan veya dolayl› olarak denge kofluludur. Bu du-rumda örnek sistemimizdeki denge koflulunu, Y = C + I + G, eflitli¤i ifade eder.Dolay›s›yla çözüm 3-3’lük durumdaki çözüm gibi olacakt›r. fiimdi ad›mlarla çözü-mü takip edelim.

Ad›m 1: Öncelikle, tüm davran›fl ve politika denklemlerini, yaklaflma kofluludenkleminde yerine koyup, indirgenmifl formu elde etmemiz gerekir. Bu ba¤lam-da sistemdeki ilk üç tüketim, yat›r›m ve kamu harcamalar› (C, I ve G) davran›fl yada politika denklemleridir. Son denklemde bunlar› yerine koymak durumunda,

8Y = 500 + ––– Y + 300 + 400

10

gelir denklemini ifade ederiz. Bu indirgenmifl form denklemidir.

Ad›m 2: ‹kinci aflamada, elde etmifl oldu¤umuz indirgenmifl formu, formdakide¤iflken (Y) için çözmemiz gerekir. Sadelefltirip, bilinmeyenleri bir tarafa, bilinen-leri de di¤er tarafa alma sonucunda,

8Y = 1200 + ––– Y

10


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

E¤er iktisadi olarak sistemiçindeki hangi denklemindenge koflulunu ifadeetti¤ini bilmiyorsakmatematiksel olarak di¤ertüm de¤iflkenleri içerisindebar›nd›ran denklemdo¤rudan veya dolayl› olarakdenge kofluludur.

8Y – ––– Y = 120010

8(10/10) Y – ––– Y = 120010

2––– Y = 120010

Y = (10/2)*1200 Y = 5*(1200) Y = 6000

sonucuna ulafl›r›z. fiimdi öteki de¤iflkenleri bulmak kolay olacakt›r.

Ad›m 3: Y de¤erini bildi¤imize göre bu de¤eri di¤er tüm davran›fl/politikadenklemlerinde yerine koyup ve di¤er de¤iflkenler için çözüm yapar›z.

Y de¤erini tüketim fonksiyonunda yerine koymam›z durumunda, tüketim

8C = 500 + –– 6000

10C = 500 + 4800C = 5300

olarak hesaplan›r.Yat›r›m ve kamu harcamalar› gelirin fonksiyonu olmad›¤›ndan hesaplanmas›

gerekmez ve I = 300 ve G = 400 olarak hesaplan›r.Dolay›s›yla çözümümüz (C, I, G, Y) = (5300, 300, 400, 6000) olacakt›r.

Ad›m 4: Son ad›m çözülen de¤iflken de¤erlerini indirgenmifl form denklemin-de yerine koyarak cevaplar› kontrol etmektir. ‹fllem sonucunda,

C + I + G = Y 5300 + 300 + 400 = 6000 6000 = 6000

Sa¤lama yap›lm›fl olur.

Daha Fazla Örnek ÇözümSistem denkleminin afla¤›daki flekilde verilmesi durumunda çözüm karmafl›k gö-rülse de ayn›d›r.

1T = –– Y

109

C = 5000 + –– (Y – T)10

I = 18000 G = 15000 Y = C + I + G

Sisteme dikkatli bak›lmas› durumunda bütün bilinmeyenleri içeren denklem tü-ketim (C) fonksiyonudur ve tüketim fonksiyonu (C ) denge koflulunu ifade eder.

Ad›m 1: Bütün davran›fl/politika denklemlerini yaklaflma kural›nda yerine ko-yup ve indirgenmifl formu elde edelim.

9 1Y = 5000 + –– (Y – –– Y) + 18000 + 15000

10 10


Ad›m 2: ‹ndirgenmifl formu sadelefltirip gelir (Y) için çözelim.

9Y = 5000 + –– Y – (9/10)(1/10)Y + 33000

10

9 9Y = 38000 + –– Y – ––– Y

10 100

90 9Y = 38000 + ––– Y – ––– Y

100 100

90Y = 38000 + ––– Y

10090

Y – ––– Y = 38000100

100 90––– Y – ––– Y = 38000100 100

19––– Y = 38000100

Y = 38000(100/19)Y = 200,000

Bu bize Y de¤erini verir.

Ad›m 3: Y de¤erini di¤er tüm davran›fl/politika denklemlerinde yerine koyupve di¤er de¤iflkenler için çözüm yapal›m.

1T = –– (200,000)

10

T = 20,000

9C = 5000 + –– (200,000 – 20,000)

10

9C = 5000 + –– (180,000)

10

C = 5000 + 162000

C = 167,000

I = 18,000

G = 15,000

Bu çözümleme bütün de¤iflkenler için çözüm sonucunu verir.

Ad›m 4: Bütün çözülen de¤iflkenleri indirgenmifl form denkleminde yerine ko-yup eflitli¤i kontrol etmek suretiyle cevaplar›m›z›n sa¤lamas›n› yapal›m.

Y = C + I + G 200,000 = 167,000 + 18,000 + 15,000 200,000 = 200,000

Sonuç yapt›¤›m›z ifllemin do¤rulu¤unu ifade eder.


Eleme MetoduDo¤rusal denklem sistemini çözebilmenin 3. yolu eleme metodunu uygulamakt›r.Eleme metodunda verilen denklem sistemindeki bilinmeyenlerden x veya y’ninelenmesi yoluna baflvurulur. Bunu yapabilmek için ise (örne¤in x’i elemek için)iki aflamal› bir yol izlenir. Öncelikle, sistemdeki birinci denklem ikinci denklem-deki x’in katsay›s›yla ve ikinci denklem ise birinci denklemdeki x’in katsay›s›ylaçarp›l›r. Daha sonra ise çarp›mlar sonucu elde edilen ilk denklemden ikinci denk-lem ç›kart›l›r.

Yine ayn› denklem sistemini kullanal›m ve sistemdeki denklemlerden x’i eleye-lim. Bunun için öncelikle birinci denklemi ikinci denklemdeki x’in katsay›s› olan 4ile ve ikinci denklemi ise birinci denklemdeki x’in katsay›s› olan 5 ile çarpmam›zgerekir.

5x + 7y = 50 | * 44x - 6y = -18 | * 5

‹fllemler sonucunda denklem sistemi afla¤›daki flekle dönüflür.

20x + 28y = 20020x - 30y = -90

‹kinci aflamada ise ilk denklemden ikinci denklemin ç›kart›lmas› ifllemi yap›l›r.

20x + 28y = 20020x - 30y = -90 | –

Ç›kartma ifllemi neticesinde

0 + 28y - ( - 30y) = 200 - ( -90)58y = 290

de¤eri bulunur. Ve y için çözümü 5 de¤erini verir.

y = 290/58 = 5

y de¤erini bulduktan sonra x’i bulmak için ilk denklemlerden biri kullan›l›r vey yerine bulunan 5 de¤eri ikame edilir.

5x + 7y = 505x + 35 = 505x = 15x = 3

Dolay›s›yla sistem için çözüm eleme metodunda da yine, x = 3, y = 5’tir.‹lk önce x de¤iflkenini elemek yerine y de¤iflkeni de elenebilirdi ve çözüm yo-

lu yine ayn› olur ve elde edilen x ve y de¤erleri de¤iflmezdi. Y de¤iflkeninin elen-mesi durumunda ise,

5x + 7y = 50 | x 64x - 6y = - 18 | x 730x + 42 y = 30028x - 42y = - 126 | +x = 3


de¤eri bulunur. Sistemdeki denklemlerde x yerine 3 de¤erinin ikame y de¤erini 5olarak verecektir.

Eleme metoduna göre eflanl› denklem sisteminin aflamalar›n› nas›l s›ralars›n›z?

Eflzamanl› Denklemlerde Çözümün Varl›¤› ve Tekli¤iAfla¤›daki flekilde genel formda ifade edilmifl do¤rusal eflzamanl› denklemlersistemi,

ax + by = ecx + dy = f

s›f›r (çözümsüz), sadece bir ya da sonsuz (çok say›da) çözümlü olabilir. Ortayaç›kabilecek bu durumlar› görebilmek için, her iki denklemi de e¤im- kesiflimformunda y cinsinden ifade edelim (Burada b ve d katsay›lar›n›n s›f›r olmad›¤›varsay›lm›flt›r).

y = c/b - a/b xy = f/d - c/d x

E¤er bu iki do¤rusal denklemin e¤imleri eflitse bunlar özdefl veya paralel do¤-rular› tan›mlarlar. Örne¤in a/b = c/d ise e¤imler özdefl (efl)tir ki o zaman katsay›-lar matrisinin determinant› olan (ad - cb) s›f›rd›r. Ayr›ca kesiflimler eflitse her ikidenklem de ayn› do¤ruyu tan›mlar. Bu durumda do¤ru üzerindeki bütün noktalar(x,y) çözüm durumunu ifade eder. E¤er kesiflimler farkl›ysa bu durumda iki denk-lem birbirine paralel do¤rular› tan›mlar. Bu paralel do¤rular kesiflmezler ve bun-dan dolay› çözüm kümesi yoktur.

Örnek olarak afla¤›daki denklem sis-temini kullanal›m.

x + 2y = 32x + 4y = 4

Örnekte verilen denklem sistemininçözümü yoktur. E¤im- kesiflim formun-da ifade edilen iki do¤ru olan,

1y = 3/2 – –– x

2

1y = 1 – –– x

2

fonksiyonlar› Grafik 4.2’de görüldü¤ü gi-bi birbirlerine paraleldir ve afla¤›daki çö-zümde görüldü¤ü gibi ortak bir çözümkümesi yoktur.

1 1 13/2 – –– x = y = 1 – –– x + –– x

2 2 2

3/2 = 1


0-2 -1 1 2 3 4 5x

-1

-2

y

Grafik 4.2

Paralel Fonksiyonlar›n ve Çözümün Yoklu¤u

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Do¤rusal ve Do¤rusal Olmayan Denklem Sistemleri veÇözümlerVarsayal›m ki denklem sistemimiz afla¤›daki örnekte verilen do¤rusal ve do¤rusalolmayan iki denklemden oluflsun.

y2 + x - 1 = 0

1y + –– x = 1

2

Böyle bir durumda, do¤rusal olan denklemi x veya y de¤iflkenlerinden biri içinçözeriz ve sonucu do¤rusal olmayan denklemde yerine koyar›z. Sonuçta elde edi-len denklem tek bilinmeyenli do¤rusal olmayan bir denklemdir. Örne¤i x için çö-zelim. Do¤rusal denklemi x için çözmemiz sonucunda, x de¤eri;

1–– x = 1 – y2x = 2 – 2y

olarak bulunur. fiimdi bulunan x de¤erinin do¤rusal olmayan fonksiyonda yerinekonulmas› gerekir. Yerine koyma ifllemi sonucunda;

y2 + (2 – 2y) – 1 = y2 – 2y + 1 = (y – 1)2 = 0

Böylece tek bir çözüm vard›r, y* = 1 ve x* = 2 - (2 * 1) = 0

DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N EKONOM‹KUYGULAMALARI

Arz ve Talep ModeliArz ve talep modeli tüketici ve üretici davran›fllar›n›n fiyat de¤iflmeleri karfl›s›ndanas›l etkilendi¤ini ortaya koyar.

TalepHer ne kadar bir mal›n talep edilecek miktar›n› belirleyen en önemli faktör o ma-l›n fiyat› ise de genel olarak, piyasada veri bir zamanda bir mal›n talep edilen mik-tar›n› o mal›n fiyat›, tüketicilerin gelirleri, ilgili mallar›n fiyatlar›ndaki de¤iflmeler,tüketicilerin zevk ve tercihleri ve tüketicilerin beklentileri gibi birçok faktör etkiler.

Örne¤in, Coca-Cola’n›n fiyat› sabitken, Pepsi-Cola fiyat› artarsa; bu iki mal›nbirbirine yak›n ikame mallar oldu¤unu düflünen baz› tüketiciler daha fazla Coca-Cola tüketmeye bafllayabilir.

• Talep fonksiyonu kavram›, tüketici teorisine dayan›r. Di¤er faktörler veriiken (Ceteris-Paribus), bir mal›n fiyat› azald›kça tüketiciler o maldan dahafazla miktarda almak isterler.

• Veri fiyatlardan bütün bireysel talep miktarlar›n› toplad›¤›m›zda bize piyasatalebini verir. Talep fonksiyonu, talep edilen mal miktar›n› fiyat›n ters fonk-siyonu olarak ifade eder ve afla¤›daki flekilde ifade edilir.

qD = -ap + b,

Fonksiyonda; qD talep edilen mal miktar›n›, p piyasa fiyat›n› ifade eder ve ave b pozitif parametrelerdir.

• Talep e¤risi (do¤rusu) negatif e¤imlidir. Mal›n fiyat› artt›kça o mal›n talepedilen miktar› azal›r veya mal›n fiyat› azald›kça o mal›n talep edilen miktar›


artar. Fiyatla talep edilen mal miktar› aras›ndaki bu ters yönlü iliflki “TalepKanunu” olarak bilinir.

• Talep edilen mal miktar› (qD) ba¤›m-l› de¤iflkendir ve her birey için piyasafiyat› (p) bireyin o fiyattan ne kadar omal› alaca¤›n› gösteren veri olarak ka-bul edilir.

Talep E¤risi (Do¤rusu)Y (dikey) eksenine talep edilen miktar›(q) ve x (yatay) eksenine mal›n fiyat›n›(p) koymam›z durumunda talep e¤risiyandaki Grafik 4.3’teki gibi çizilir ve ta-lep kanununu yans›tacak flekilde negatife¤imlidir.

Geleneksel olarak, iktisat ders kitaplar›nda Y (dikey) eksenine fiyat (p) ve X (yatay) ekse-nine talep edilen miktar (q) konularak talep e¤risi çizilir.

Arz• Arz fonksiyonu kavram› firma teorisine dayan›r ve üreticilerin farkl› fiyatlardan

üretipte piyasaya getirmeye raz› olduklar› üretim miktarlar›n› ifade eder. Üreti-cilerin ne kadar miktarda mal arz edecekleri mal›n fiyat›, girdi fiyatlar› (maliyet-leri), teknolojik de¤iflmeler ve üretici beklentileri gibi faktörlerden etkilenir. Di-¤er faktörler sabit iken, bir mal›n piyasa fiyat› artt›kça firmalar o maldan arz et-mek istedikleri miktarlar›n› art›rma yolunu seçecektir.

• Farkl› fiyatlardan bütün firmalar›n arz miktarlar›n›n toplam› bize piyasa arz mik-tar›n› verir. Arz edilecek mal miktar› fiyat›n do¤rusal fonksiyonudur ve fiyat art-t›kça arz edilen mal miktar› da artar, vice-versa. Bu iliflkiye “arz kanunu” denir.

• Arz fonksiyonu,

qS = cp + d,

fleklinde ifade edilir ve qS arz edilen mal miktar›n› ifade eder. Fonksiyonda, c > 0.• Arz e¤risi (do¤rusu) pozitif e¤imlidir. Bir mal›n fiyat› artt›kça o maldan arz edi-

len miktar artar. (Arz Kanunu)• Arz foksiyonunda, arz edilen miktar

(qs) ba¤›ml› de¤iflken ve fiyat (p) iseba¤›ms›z de¤iflkendir.

Arz E¤risiArz e¤risi (do¤rusu) di¤er faktörler veriiken fiyatla arz edilen miktar aras›ndakido¤rusal iliflkiyi gösterir. Y (dikey) ekse-nine arz edilen miktar› (q) ve X (yatay)eksenine mal›n fiyat›n› (p) koymam›z du-rumunda arz e¤risi yanda Grafik 4.4’tekigibi çizilir ve arz kanununu yans›tacakflekilde pozitif e¤imlidir.


q arz edilen miktar

p piyasa fiyat›

qS=cp+d

Grafik 4.4

Arz E¤risi

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



q talep edilen miktar

p piyasa fiyat›

qD=-ap+b

Grafik 4.3

NegatifE¤imliTalep E¤risi

Geleneksel olarak, iktisat ders kitaplar›nda Y (dikey) eksenine fiyat (p) ve X (yatay) ekse-nine arz edilen miktar (q) konularak pozitif e¤imli arz e¤risi çizilir.

Arz, Talep ve Piyasa Dengesi• Piyasa dengesi, tüketicilerin almaya gönüllü oldu¤u mal miktar› ile üreticilerin

satmak için gönüllü oldu¤u mal miktar›n›n eflit oldu¤u durumu ifade eder. Pi-yasa denge koflulu;

qD = qS

olarak ifade edilir. Piyasada arz ve talep edilecek mal miktarlar›n› eflitleyecektek bir fiyat düzeyi vard›r ve bu fiyata “piyasa denge fiyat›” veya “piyasay› te-mizleyen fiyat” denir.

• E¤er qD > qS ise piyasada denge yoktur yani piyasada tüketiciler firmalar ta-raf›ndan arz edilen miktardan daha fazla miktarda mal sat›n almak istiyorlar-d›r. Bu ancak fiyat›n denge fiyat›ndan küçük olmas› durumunda söz konusuolabilir.

• E¤er qD < qS ise piyasada üreticiler tüketiciler taraf›ndan talep edilen miktardandaha fazla miktarda mal arz etmek istiyorlard›r. Bu ancak fiyat›n denge fiyat›n-dan büyük olmas› durumunda söz konusu olabilir. Yani piyasada bir dengesiz-lik vard›r.Piyasa denge durumunu bir örnek yard›m›yla çözelim. Varsay›n›z ki bir mal

(kulland›¤›n›z Matematiksel ‹ktisat Kitab›) için talep fonksiyonu (talep edilen mik-tar (Q) ve fiyat (P) aras›ndaki negatif yönlü iliflkiyi temsil edecek flekilde),

qD = 40 - 2p

ve arz fonksiyonu da

qS = 3p - 10

olarak verilsin. Veri fonksiyonlardan piyasa denge fiyat ve miktar›n› bulal›m.Piyasa denge koflulu, qD = qS’dir.Bu bir üç do¤rusal denklemli ve üç bilinmeyenli ( qD, qS, p) bir sistemdir. Den-

ge çözümü için öncelikle arz ve talep fonksiyonlar› eflitlik olarak yaz›l›p bu eflitlik-te bilinen ve bilinmeyenler ayr› taraflara çekildi¤inde,

40 - 2p = 3p - 10,

Denge fiyat, p* = 10 olarak bulunur.Bu sonucu (p de¤erini) denklemlerden (fonksiyonlardan) birinde yerine koyar-

sak (örne¤in arz fonksiyonunda) denge miktar› buluruz. ‹fllem sonucu denge mik-tar, q* = 3 (10) - 10 = 20’dir.

Dengede arz edilen mal miktar› talep edilen mal miktar›na eflit oldu¤undan bulmufl oldu-¤umuz denge miktar ayn› zamanda denge talep miktar›d›r.

Piyasa Dengesinin Grafiksel GösterimiDenge durumunu grafik olarak ifade edebilmek için öncelikle piyasa arz ve talepfonksiyonlar›n›n çizilmesi gerekir. Bunun için, verilen do¤rusal fonksiyonlar›n Yve X eksenlerini hangi noktalardan kesti¤ini hesaplamak gereklidir.

934. Ünite - Eflanl › Denklem Sistemler iS O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



‹fllemi öncelikle talep fonksiyonu için yapal›m.

Talep fonksiyonu, qD = 40 - 2p olarak verildi¤inden;

qD = 0 iken, p = 20’dir.

Bu de¤er talep e¤risinin yatay (p) ek-seni kesece¤i noktay› ifade eder.

P = 0 iken, qD = 40’t›r.

Bu de¤er talep e¤risinin dikey (q)ekseni kesece¤i noktay› ifade eder. Gra-fik 4.5’te 20 ve 40 de¤erleri talep e¤risi-nin yatay ve dikey eksenleri kesti¤i nok-talar› ifade etmektedir.

Arz e¤risini çizmek için ise benzerifllemi tekrarlamak gerekir. Arz fonksi-yonu, qS = 3p - 10 olarak ifade edildi-¤inden ve pozitif e¤imli oldu¤undan,

P = 0 iken, qS = -10’dur.

Bu arz e¤risinin bafllang›ç noktas›n› ifade eder.

qS = 0 iken ise, P = 10/3’tür.

Bu de¤erler Grafik 4.5’te görülmektedir. Denge grafikte E noktas›nda arz vetalep fonksiyonlar›n›n kesiflti¤i noktada ifade edilmifltir ve bu noktadaki piyasa

denge fiyat› daha önce hesapland›¤›gibi 10 (T) ve denge miktar ise 20’dir(birim).

Dengesizlik Durumu (qD > qS)Piyasa fiyat›n›n denge fiyat›n (T10) al-t›nda olmas› durumunda (örne¤in T5)talep edilen mal miktar› (30 Birim) arzedilen mal miktar›ndan (5 Birim) fazlaolacak ve piyasada talep fazlal›¤›ndandolay› denge söz konusu olmayacakt›r.Bu dengesizlik durumu afla¤›daki Grafik4.6’da “Talep Fazlas›” olarak ifade edil-mifltir.

Piyasada Dengesizlik durumu ne ifade eder ve hangi durumlarda gerçekleflir?

KARfiILAfiTIRMALI STAT‹K DENGE ANAL‹Z‹Yukar›da verdi¤imiz örnekte piyasa dengesi di¤er faktörlerde de¤iflme söz konu-su de¤ilken dura¤an ve tektir. Ancak piyasa koflullar›nda de¤iflmeler her zamansöz konusu olur ve bu de¤iflmelerin dengeyi (denge fiyat ve denge miktar) nas›lde¤ifltirdi¤i araflt›r›lmal› ve analiz edilmelidir.


q

p

qS=3p-10

20

40

qD=40-2p

p*=105-10

yD=30

E

yD=5

Grafik 4.6

PiyasadaDengesizlikDurumu(qD > qs)

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

q

p

qS=3p-10

20

40

qD=40-2p

p*=1010/3-10

q*=20 E

Grafik 4.5

Piyasa Dengesi

Piyasa koflullar›nda, örne¤in, al›c›lar›n gelirleri veya üretim teknolojisi de¤ifle-bilir ya da piyasaya vergiler yoluyla kamu müdahalesi olabilir. Sistemde gerçekle-flen floklar›n yol açt›¤› yeni oluflan dengeyi ilk denge karfl›laflt›rmak için temel dü-flünce “Karfl›laflt›rmal› Statik Denge Analizi”dir.

Piyasa dengesinin floklar sonucu nas›l de¤iflti¤ini flimdi Karfl›laflt›rmal› StatikDenge Analizi ile Örnekler yard›m›yla aç›klayal›m.

Tüketici Gelirinin Artmas› ve Dengenin De¤iflmesiVarsayal›m ki Matematiksel ‹ktisat kitab› için talep flimdi sadece fiyat de¤il de ay-n› zamanda fiyat (P) ve gelirin (I) bir fonksiyonu olarak afla¤›daki flekilde verilsin:

qD' = -2P + 40 + I

Kitab›n arz fonksiyonu ise hâlâ eskisi gibi,

qS = 3P – 10 olsun.

Piyasa Denge koflulu yine

qD' = qS olacakt›r ve

40 – 2P + I = 3P – 10,

P için çözülmesi durumunda,

IP = 10 + –– de¤eri bulunacakt›r.

5

E¤er gelir, I = 50 ise bu durumda denge fiyat ve miktar,

P* = 20 ve q* = 50

olarak bulunur.fiimdi varsayal›m ki gelir T50’den T100’ye

yükselsin. Gelirdeki T50’lik art›fl piyasa tale-binin artmas› nedeniyle piyasa denge fiyat›-n›n T20’sinden T30’sine ve denge miktar›-n›n da 50 birimden 80 birime ç›karak, den-ge miktar›n 30 birim, fiyatlar›n da 10 birim(T) artt›¤›n› gösterir.

Grafik 4.7 gelirin 50 ve T100 olmas› du-rumundaki talep fonksiyonlar›n› ve piyasadenge durumunu göstermektedir. Grafikteiki talep e¤risinin birbirine paralel oldu¤ufakat yeni talep e¤risinin orijinal halindenyukar›ya (sa¤a) do¤ru kayd›¤›n› görürüz. Bubize di¤er faktörler sabit iken, gelirdeki ar-t›fllar›n normal mallar için veri fiyatlardantalebin artmas›na sebep oldu¤unu ve talepfonksiyonunu sa¤a kayd›rd›¤›n› gösterir.


q

p

50

30 45 70

80

90

140

E0

E1

20

qDI

=-2p+40+1

qD=-2p+40

qS=3p-10

Piyasa Dengesinin GelirArt›fl› Dolay›s›yla De¤iflmesi

Grafik 4.7

Vergi Politikas› ve Piyasa Dengesinin De¤iflmesiK›rm›z› et için talep ve arz fonksiyonlar› s›ras›yla

qD = -7p + 1000qS = 5p - 200

olarak verilmifl olsun.Piyasa Denge koflulu, qD = qS oldu¤undan, çözüm sonucunda denge fiyat ve

denge miktar s›ras›yla,

p* = 100 ve q* = 300 olarak bulunur.

K›rm›z› et piyasas› böyle bir dengedeyken, varsay›n›z ki hükümet sa¤l›kl› bes-lenmeyi teflvik amac›yla sat›lan her kilo için t liral›k vergi koymufl ve bu vergiyi deet sat›c›lar› (üreticilerine) yüklemifl olsun.

Yine varsayal›m ki, t = 25. Bu durumda, vergi faturas› etin fiyat›na de¤il sat›lanet miktar›na ba¤l›d›r.

Vergi kime yüklenirse yüklensin; • Piyasan›n daralmas›na,• Üreticinin eline geçen fiyatla tüketicin ödeyece¤i fiyat aras›nda bir fark›n

oluflmas›na sebep olur.Verginin etkisini analiz etmek için ilk önce piyasa fiyat›, p, ile sat›c›lar›n eline

geçen fiyat, p' , aras›ndaki ayr›m›n fark›na var›lmal›d›r.Verginin sat›c›lara yüklenmesi durumunda, p piyasa fiyat›ndan ürününü satan

sat›c›, t lira kadar vergiyi devlete ödemek zorundad›r ve bu yüzden satt›¤› her bi-rimden piyasa fiyat› olan p de¤ilde, p' = p - t al›r.

Bu durumda veri vergi koflulu alt›nda, sat›c›lar›n arz etmeye gönüllü oldu¤uk›rm›z› et miktar› art›k p ye de¤il p' ’ye ba¤l›d›r.

Bu durumda vergi sonras› yeni arz fonksiyonunu,

qS' = 5p' - 200 fleklindedir.

Vergi sonras› de¤iflen ve oluflan (elde edilen) bütün denklemleri yenidenyazarsak,

qD = -7p + 1000 (1)

qS’ = 5 p' - 200 (2)

qD = qS' (3)p' = p - t (4)t = 25 (5)

Befl (5) denklemli ve befl (5) bilinmeyenli ( qD, qS', p, p' , t) do¤rusal bir denk-lem sistemi elde ederiz.

Bu denklem sistemini çözmek için önce denklem (5)’i denklem (4)’te yerinekoyal›m.

p' = p - t = p - 25 (4’)

Daha sonra elde etti¤imiz denklem (4’) ‘ü denklem (2)’de yerine koyarsak ver-gi sonras› arz fonksiyonu ortaya ç›kar.

qS' = 5 (p - 25) - 200 = 5p - 125 - 200 (2’)


Denklem (2’) de elde edilen vergi sonras› arz denklemi ile vergi öncesi arzfonksiyonunun, qS = 5p - 200 e¤imleri ayn›d›r. Bununla birlikte, veri bir fiyat dü-zeyinde ilk durumdaki vergi öncesi arz denkleminin vergi sonras› arz denklemin-den, (2’)’den daha büyük oldu¤unu görürüz. Yani vergi üreticiye yüklenmesi du-rumunda, arz fonksiyonunun azalmas›na (afla¤› do¤ru kaymas›na) sebep olur.

Her iki arz fonksiyonun da grafikleri paralel ancak denklem (2’) daha küçük biry de¤erini almaktad›r ve arz e¤risi afla¤› do¤ru kaym›flt›r.

Vergi sonras› piyasa dengesini bulmak için qD = qS' yap›lmas› gerekir. Bu du-rumda ortaya ç›kacak vergi sonras› denge fiyat (p), p = T110,4’dir. Bu fiyat vergisonras› tüketici taraf›ndan ödenen fiyatt›r. Vergi sonras› üreticinin eline geçen fiyatise;

p' = 110,4 - 25 = T85,4’dir.

Vergi sonras› piyasa denge miktar› ise, C birimdir.Vergi sonras› de¤erler incelendi¤i ve vergi olmad›¤› durumla karfl›laflt›r›ld›¤›nda;• Verginin arz fonksiyonunu 125 birim afla¤› kayd›rd›¤›,• Piyasa Denge Miktar›n› 300 birimden 227,1 birime düflürerek piyasay› da-

raltt›¤›n›,• Tüketicinin ödedi¤i fiyat› (piyasa fiyat›) T110,4’ye art›rarak, tüketicinin öde-

di¤i fiyat ile üreticinin eline geçen fiyat (p' = 110,4 - 25 = T85,4) aras›nda birfark yaratt›¤› ve bu fark›nda vergi oran›na eflit oldu¤unu,

• Vergi kime yüklenirse yüklensin bundan hem üretici ve hem de tüketicile-rin olumsuz yönde etkilendiklerini,

• Devletin t * q* kadar vergi geliri elde etti¤ini görürüz.

Grafik 4.8’de gölgelendirilmifl alan devlete tahakkuk eden vergi gelirini göster-mektedir ve örnekte q* = 227,1 çarp› vergi oran› t = T25’ye eflittir.

Piyasa dengesi hangi durumlarda ve nas›l de¤iflir?


85,4 100 110,4 142,9-200

227,1300

1000

q

E0E1

qS=5p-200

qS I

=5p-125-200

Vergi geliri

p

Vergi Politikas› vePiyasa DengesineEtkisi

Grafik 4.8

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

Do¤rusal Denklemler ve Makroekonomik DengeMakroekonomik teorinin ilgi alan› bir ekonominin bütünüdür. Ekonominin bütü-nünde özellikle gelir seviyesinin nas›l belirlendi¤ini göstermenin bir yolu da do¤-rusal bir makroekonomik model kullan›m›d›r.

Modelin Anahtar ‹liflkisiBir ekonomide belli bir dönemde üretilen tüm mal ve hizmetlerin de¤eri (Q), eko-nomik tüm birimlerin toplam üretim neticesinde elde ettikleri gelire (Y) ve bu ge-lirde ekonomideki tüm mal ve hizmetler için yap›lan toplam harcamalara (E) eflit(denk) olmak zorundad›r. Bu makroekonomik denklik,

Y ≡ Q ve Q ≡ E

olarak ifade edilir. Yani ekonomide toplam üretim de¤eri toplam gelire ve toplamgelirde toplam harcamalara eflittir.

Y ≡ Q ve Q ≡ E

denkli¤i bize

Y ≡ E (1)

eflitli¤ini verir.Eflitlik (1) ayn› zamanda bir özdeflliktir, yani bir ekonomide veri bir zamanda

toplam gelirle toplam harcama birbirine eflit olmal›d›r.Devletin olmad›¤› veya kamu harcamalar›n›n s›f›r oldu¤u kapal› bir ekonomide

toplam harcamalar (E), ekonomik bireylerin tüketim harcamalar›yla (C), firmalar›nyat›r›m harcamalar›n›, (I), içerir.

E ≡ C + I (2)

Ekonomik birimlerin planlanan ya da arzulanan tüketim harcamalar› harcanabi-lir gelirin bir fonksiyonu olarak afla¤›daki tüketim fonksiyonu fleklinde ifade edilir.

CÊ = aY + b, (3)

Eflitlik (3)’te CÊ , planlanan tüketimi; a ve b, pozitif parametrelerdir ve a para-metresi s›f›rdan büyük ve 1’den küçük de¤er alan Marjinal Tüketim E¤ilimini(MPC) ifade eder. Pozitif e¤imin anlam› ise harcanabilir gelir artt›kça, Y, tüketim(CÊ ) artaca¤›d›r. Spesifik bir tüketim fonksiyonun afla¤›daki flekilde verilmifl oldu-¤unu varsayal›m:

CÊ = 0.5Y + 200

Bu fonksiyonda MPC, 0.5’tir. Yani tüketici kazand›¤› ekstra her bir (1) T’nin ya-r›s›n› harcayacak, kalan yar›s›n› ise tasarruf edecektir.

Tasarruf gelirin harcanmayan k›sm›d›r ve planlanan tasarruf,

SÊ ≡ Y - CÊ

fleklinde ifade edilir.Bu bir özdeflliktir. Çünkü gelirin tüketilmeyen k›sm› ister istemez tasarruf

edilecektir.


Yukar›daki özdefllikte planlanan tüketimi (CÊ ) tasarruf fonksiyonunda yerinekoyarsak:

SÊ = Y - (aY + b) = Y(1-a) - b

elde edilir.Örne¤imize göre tasarruf fonksiyonu flu flekilde olur:

SÊ = Y - (0,5Y + 200) = 0,5Y - 200

Görüldü¤ü üzere tüketim (C) ve planlanan (arzulanan) tüketim (CÊ ) birbirineeflit de¤ildir. C cari tüketim miktar›, CÊ ise tüketicinin tüketmek istedi¤i miktard›r.

Cari tüketimin planlanan tüketime eflit olmad›¤› durumlarda, C ≠ CÊ , asl›nda ge-lirdeki de¤iflimlere neden olan harcamalardaki de¤iflimler olacakt›r.

Bu yüzden denge koflulu için,

C = CÊ (4)

eflitli¤ine ihtiyaç vard›r.Oluflturdu¤umuz dört (4) eflitlik bizim befl (5) bilinmeyenli (Y, E, I, C, CÊ ) mak-

roekonomik modelimizi ortaya koyar.Elimizde eflitlik say›s›ndan daha fazla bilinmeyen oldu¤u için, çözüm flekli tek

de¤ildir.Denklem sisteminin çözümü için, toplam gelir toplam harcamalara eflit oldu-

¤undan, eflitlik (2)’deki harcamalar (E) yerine eflitlik (1)’deki geliri (Y) yazal›m.

Y ≡ C + I (5)

Daha sonra (4). denklemi (5). denklemde yerine yazal›m,

C = 0,5Y + 200 (6)

Ve elde etmifl oldu¤umuz (6). denklemi (5). denklemde yerine koyal›m. Bu ifl-lemler sonucunda gelir,

Y = 0,5Y + 200 + I,

fleklini al›r. Yeniden düzenleyip geliri eflitli¤in sol taraf›na al›rsak,

Y - 0,5Y = 200 + I

Y(1 - 0,5Y) = 200 + I200+I

Y = –––––– (7)0,5

sonucuna ulafl›r›z. Bu (7). denklem bize gelirin (Y) yat›r›m harcamalar›n›n (I) birfonksiyonu oldu¤unu ifade eder.

Elde etti¤imiz gelir denklemin de iki tane bilinmeyen oldu¤u için, bunun tekbir çözümü yoktur.

Yedinci (7.) denklemin paydas› (0.5), bir eksi marjinal tüketim e¤ilimine yani,

(1- MPC) = (1 - a)’ya eflittir.

E¤er a = 1 ise, payda s›f›r de¤erini alacakt›r. E¤er a > 1 ise, payda negatiftir. Bunedenle MPC’nin s›f›rla bir de¤eri aras›nda de¤erler almas› arzulan›r (a < 1).


Makroekonomik denge durumundaki denge reel geliri (Y) için belirli bir de-¤er elde etmek istiyorsak, yat›r›m harcamalar› (I) ile ilgili ilave bilgilere sahipolmal›y›z.

Basitlefltirmek için, varsayal›m ki, yat›r›m harcamalar› (I)’n›n sabit bir de¤eri varve I = 500 olsun. Bu durumda daha önce elde etmifl oldu¤umuz (7) no.lu denk-lemde bu de¤eri yerine koyarsak, denge gelir düzeyi;

200+I 200+500Y = ––––– = –––––––– = 1400

0,5 0,5

olarak bulunur. Bu de¤er denge gelir düzeyidir ve ekonomik birimlerin planlanantüketim harcamalar› ve firmalar›n yat›r›m harcamalar› ekonominin bu tüketim veyat›r›m mallar›n›n fiili üretimi ile uyum içindedir.

Çözmüfl oldu¤umuz modelde yat›r›m harcamalar› (I) d›flsal (ekzojen) bir de¤ifl-ken olarak kabul edilmifltir. De¤erleri model içerisinde belirlenen de¤iflkenler iseY ve C gibi, içsel (endojen) de¤iflkenlerdir.

Yukar›da çözümü gösterilen makro modelin grafiksel gösterimi afla¤›daki Gra-fik 4.9’dad›r.

Karfl›laflt›rmal› Dura¤anl›kVarsayal›m ki yat›r›m harcamalar› 500 birimden 550 birime yükseldi. Bu geliflmedenge gelir düzeyinin yat›r›m harcamalar›ndaki art›fltan daha fazla artmas›na sebepolur.

200+I 200+550Y = ––––– = –––––––– = 1500

0,5 0,5

Yat›r›m harcamalar›ndaki 50 birimlik bir art›fl gelirde 100 birimlik bir art›fl sa¤-lam›flt›r. Bu etkiye yat›r›m çarpan etkisi denir. Grafik 4.9’da görüldü¤ü gibi, yat›r›mharcamalar›ndaki bir art›fl toplam talep fonksiyonunda yukar› yönlü bir kaymayaneden olur, E = CÊ + I, ve denge gelir düzeyinin art›fl›yla sonuçlan›r.


200

700

750

1400

1500

C,E=C+1^ ^Y=E E=C+1=0,5Y+750^

E=C+1=0,5Y+700^

C=0,5Y+200^

1400 1500Y

MakroekonomikDenge GelirDüzeyinin Gösterimive DengeninDe¤iflmesi

Grafik 4.9

DO⁄RUSAL ‹KT‹SAD‹ MODELLERE ‹L‹fiK‹N ÖRNEKÇÖZÜMLER

Piyasa Dengesinin Bulunmas› ile ‹lgili ÖrneklerBir piyasa için talep ve arz fonksiyonlar› s›ras›yla,

QD = 50 - PQS = 20 + 2P

fleklinde verilmifl olsun. Piyasa dengesi, QS = QD eflitli¤ini sa¤lan fiyat (p) düzeyin-de gerçekleflir. ‹fllem sonucunda,

20 + 2P = 50 - P

Denge fiyat, P = 10 ve denge miktar, Q = 40 olarak bulunur.Piyasa denge durumunu genel form olarak ifade etmek istersek talep ve arz

fonksiyonlar› s›ras›yla,

QD = a + bPQS = c + dP

ifade edilir ve piyasa denge fiyat ve miktar› ise

a–c ad–bcP = –––– ve Q = ––––––

d–b d–b

olarak ifade edilir.

Tüketim Vergileri ve Piyasa Dengesine Etkisi ile ‹lgili ÖrneklerE¤er bir piyasada sat›fllar üzerinden üreticilerden (sat›c›lardan) devlet taraf›ndanher birim için t kadar vergi al›n›yorsa, yukar›daki örnekte verilen piyasadaki arz vetalep fonksiyonlar› vergi sonras› afla¤›daki flekilde ifade edilir.

QD = 50 - PQS = 20 + 2(P - t).

Bu koflullar alt›nda vergi sonras› yeni piyasa denge fiyat ve miktar› ise

2P = 10 + (–––) t

3

2Q = 40 – (––) t3

fleklinde olur.Bu eflitlikler t kadar verginin P ve Q denge de¤erlerini nas›l etkiledi¤ini göster-

mektedir. Unutmayal›m ki, tüketiciler taraf›ndan ödenen fiyat (P), arz ediciler tara-f›ndan al›nan fiyat (P - t)’ye eflit de¤ildir, bu yüzden P fiyat›n›n “tüketicilerin öde-di¤i fiyat” oldu¤unu tekrar belirtelim.

Tüketim vergilerinin söz konusu oldu¤u durumda iki eflitli¤imiz ancak üç de-¤iflkenimiz vard›r (P, Q ve t). Bunun anlam›, her de¤iflkenin çözümünü içlerindenbiri ekzojen (d›flsal) olarak verilmedikçe yapamay›z. Yukar›da P ve Q, t’nin birfonksiyonu olarak yaz›lm›flt›. Bu durumda t de¤iflirse piyasa dengesi de de¤iflecek-tir- bu grafiksel olarak e¤rilerden birinin kaymas› demektir. Vergilerdeki de¤iflim-


lerden kaynaklanan denge de¤iflimini incelemek karfl›laflt›rmal› statik analiz olarakbilinmektedir.

Ulusal Gelirin Belirlenmesi ile ‹lgili ÖrnekBir ekonomide denge gelir düzeyinin (Y) bulunmas› istenmektedir ve toplam tü-ketim harcamalar› toplam gelirin bir fonksiyonu olarak tüketim (C) fonksiyonu,

C = 1000 + 0,8Y

olarak verilmifltir. Toplam talep, tüketim talebinin ve yat›r›m talebinin toplam›naeflittir. Denge gelir (Y) düzeyi, gelir ve toplam talep (C + I) eflitli¤i yard›m›yla bu-lunabilir. Yat›r›mlar›n otonom veya d›flsal oldu¤u varsay›m›nda toplam talep,

Y = 1000 + 0,8Y + I olarak yaz›l›r.

Geliri yat›r›m harcamalar›n›n fonksiyonu yazmam›z durumunda,

Y = 5000 + 5I

ve

C = 5000 + 4I

olarak yaz›l›r. Örnekte, millî gelir-yat›r›m çarpan› 5’tir. Yat›r›m çarpan› yat›r›mlar-daki bir birimlik de¤iflmenin milli gelirde ne kadarl›k de¤ifliklik yarataca¤›n› ifadeeder.

Genel formda ifade etmek istersek tüketim fonksiyonu,

C = a + bY

olarak ifade edilir ve buradan denge gelir, denge tüketim düzeyi ve çarpan form-lar› s›ras›yla,

a IY = –––– + ––––

1–b 1–b

a bIC = –––– + ––––

1–b 1–b

1Ve çarpan = ––– olur.

1-b



Do¤rusal denklem sistemlerinin çözüm metotla-r›n› aç›klamak ve uygulamak‹ktisatta, eflanl› do¤rusal denklem sistemleriniçözmek için s›ras›yla E¤im-Kesiflim Formunu Kul-lanma, ‹kame (Yerine Koyma) ve Eleme Metotla-r›ndan yararlan›l›r. E¤im-Kesiflim Formunu Kullanarak çözebil-mek için öncelikle her iki do¤rusal denklemie¤im-kesiflim formunda yeniden yazmak gerekir.Sonra bilinmeyenlerden birini denklemin sol ta-raf›na al›p, örne¤in y, bu bilinmeyeni di¤er bilin-meyen, x, cinsinden yazmak gerekir. Do¤rusaliki fonksiyonun kesiflti¤i noktada y de¤erleri ay-n› olmal›d›r. Bundan dolay›, y cinsinden yaz›lm›flolan iki do¤rusal fonksiyonun birbirine eflitlen-mesi gerekir. Buradan bilinenlerle bilinmeyenle-ri bir tarafa almam›z ve x de¤eri bulunur. x de-¤eri bulunduktan sonra herhangi bir denklemdebu de¤eri yerine koyarak y de¤eri elde edilir.‹kame metodunda denklem sistemindeki do¤-rusal fonksiyonlardan biri al›n›r ve y veya x cin-sinden yaz›l›r. Diyelim ki y cinsinden yaz›lanfonksiyon daha sonra sistemdeki di¤er fonksi-yonda y görülen yer(ler)e ikame edilir ve x cin-sinden ifade edilen tek bilinmeyenli bir denklemhâline dönüfltürülür. x cinsinden de¤eri bulunurve bu x de¤eri sonra ikame yoluyla y de¤erininhesaplanmas›nda kullan›l›r.Eleme metodunda verilen denklem sisteminde-ki bilinmeyenlerden x veya y’nin elenmesi yolu-na baflvurulur. Bunu yapabilmek için ise (örne-¤in x’i elemek için) iki aflamal› bir yol izlenir. Ön-celikle, sistemdeki birinci denklem ikinci denk-lemdeki x’in katsay›s›yla ve ikinci denklem ise bi-rinci denklemdeki x’in katsay›s›yla çarp›l›r. Dahasonra ise çarp›mlar sonucu elde edilen ilk denk-lemden ikinci denklem ç›kart›l›r. x de¤erini ele-memiz bize y de¤erini verir. y de¤erini bulduktansonra x’i bulmak için ilk denklemlerden biri kul-lan›l›r ve y yerine bulunan de¤er ikame edilir.

Özellikle ikame (yerine koyma) metoduyla sistemproblemlerini çözmek‹kame metodunda denklem sistemindeki do¤ru-sal fonksiyonlardan birisi al›n›r ve y veya x cin-sinden yaz›l›r. Diyelim ki y cinsinden yaz›lanfonksiyon daha sonra sistemdeki di¤er fonksi-yonda y görülen yer(ler)e ikame edilir ve x cin-sinden ifade edilen tek bilinmeyenli bir denklemhaline dönüfltürülür. x cinsinden de¤eri bulunur

ve bu x de¤eri sonra ikame yoluyla y de¤erininhesaplanmas›nda kullan›l›r.Bir eflitli¤i çözüp çözemeyece¤inizi belirleyebil-mek için öncelikle eflitlikleri ve sonra da bilin-meyenleri (de¤iflkenleri) saymam›z gerekir. E¤ereflitlik say›s›ndan daha fazla de¤iflken varsa siste-mi çözmek için yeterli ipucunuz yok demektir.Örne¤in, y = x + z ve z = 5 fleklinde iki eflitlik ve3 de¤iflkene sahipseniz, y = x + 4 oldu¤unu bilir-siniz ama bir eflitlik daha olmadan y veya x’i çö-zecek yeterli bilgiye sahip olamazs›n›z.Di¤er taraftan, e¤er elinizde de¤iflkenlerden da-ha fazla eflitlik varsa çok fazla ipucunuz var de-mektir. Örne¤in, 4 eflitlik ve 3 bilinmeyene sa-hipseniz eflitliklerden bir tanesi ya tutars›z ya daba¤›ml› olacakt›r. Eflitlikleri sayd›ktan sonra kontrol etmemiz gere-kir. Eflitliklerin, do¤rusal, ba¤›ms›z ve tutarl› ol-malar› gereklidir. Bir eflitli¤in do¤rusal olmas›,kontrol edilen bütün eflitliklerin, y = a + bx, for-mat›nda olmas› ve format›n üs, kare, kök, xy ve-ya x/y olmamas› anlam›na gelir. Do¤rusall›k özel-li¤i, formattaki a veya b’nin 0 ya da 1 oldu¤u du-rumlar› da içerir ki böyle durumlarda y = a ya day = x olur. Eflitli¤in ba¤›ms›z olmas› en iyi birbirinden ba-¤›ms›z olmayan iki eflitlikle gösterilebilir. Örne-¤in, y = x ve 2y = 2x, denklemleri ba¤›ms›z de-¤ildir. E¤er birisi do¤ruysa öteki de do¤ru ol-mak zorundad›r. Örnekteki denklemlerin ger-çekte her ikisi de mükerrer yaz›lm›fl olan ayn›fonksiyondur, dolay›s›yla ikisini de denklem ola-rak sayamazs›n›z.Eflitli¤in “Tutarl›” olmas› ayn› anda hem y = xhem de y = x + 2 do¤ru olmamas› anlam›n› tafl›r.

‹ktisadi uygulamalar›n› yapmakEflanl› do¤rusal denklem sistemleri iktisat teori-sinde çok yayg›n kullan›m alan›na sahiptir. Busistem çözümleri kullan›larak mikroekonomi ala-n›nda piyasa dengesinin belirlenmesi, dengeninde¤iflmesinin karfl›laflt›rmal› statik analiz yönte-miyle ortaya konulmas›, piyasa flartlar›ndaki vevergi politikalar›ndaki de¤iflmelerin dengeye et-kilerinin analizi yap›l›r.Makroekonomi alan›nda ise özellikle ekonomi-nin genel denge gelir düzeyinin ve bu denge du-rumunda di¤er bilinmeyenlerin örne¤in tüketim,yat›r›m vb. tahmininin yap›lmas› ifllemlerinde kul-lan›m alan› bulur.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç


1. Afla¤›daki denklemlerden hangisi do¤rusald›r?a. t = x + ab2

b. t = x2 + abc. t = x + 2d. t = 5y4

e. t = y + y2 z3

2. Afla¤›daki arz-talep modellerinden hangisi pozitife¤imli bir talep e¤risini (mesela bir Giffen mal›n›n talepe¤risi) gösterir?

a. qD = -ap + bb. qD = ap - bc. qD = -ap - bd. qD = -ap + b + 5e. qD = -ap - 2p

3. qD = -3p + 20 ve qs = 2p denklemleri verilmifltir. Pi-yasada dengeyi sa¤layan arz-talep miktar› nedir?

a. 8b. 4c. 20d. 12e. 10

4. Toplam gelirin tüketim harcamalar› (C), yat›r›m har-camalar› (I) ve devlet harcamalar› (G)ndan olufltu¤u birekonomide afla¤›daki denklemler verilmifltir:

1C = 1000 + –– Y3

I = 200G = 250

Buna göre bu ekonominin toplam geliri afla¤›dakiler-den hangisidir?

a. 2075b. 2100c. 2125d. 2175e. 2225

5. Toplam gelirin tüketim harcamalar› (C), yat›r›m har-camalar› (I) ve devlet harcamalar› (G)ndan olufltu¤u birekonomide devlet sabit 100 birim vergi almaktad›r. Afla-¤›daki denklemler verilmifltir:

1C = 1000 + –– Y - 1003

I = 200G = 250

Buna göre bu ekonominin toplam geliri afla¤›dakiler-den hangisidir?

a. 2075b. 2100c. 2125d. 2175e. 2225

6. Afla¤›dakilerden hangisi ba¤›ms›zl›k koflulunun ihlaledilmesine bir örnektir?

a. y = a ve y = 2ab. y = a ve 2y = a/2c. y = a ve y/4 = a/4d. y = a ve y = a2

e. y = a ve y = t

7. Afla¤›dakilerden hangisi tutarl›l›k koflulunun ihlaledilmesine bir örnektir?

a. x = b ve x = 5b. x = c ve x = bc. x = 3 ve x = 6d. x = c2 ve x = b3

e. x = 0 ve x = d30

8. Yaln›zca tüketim ve yat›r›m›n yap›ld›¤› bir ekonomi-de afla¤›daki bilgiler verilmifltir:

C = 300 + 0,5YY = C + I

Buna göre afla¤›dakilerden hangisi yat›r›m çarpan›d›r?a. 0,5b. 1c. 1,5d. 2e. 2,5




9. Tasarruf denkleminin afla¤›daki gibi oldu¤u bir eko-nomide tasarruflar›n pozitif olabilmesi için toplam geli-rin kaçtan büyük olmas› gerekir?

S = -300 + 10Ya. Y>2b. Y>5c. Y>10d. Y>20e. Y>30

10. Marjinal tüketim e¤iliminin 0.8 ve ekonomideki top-lam gelirin 1000 oldu¤u durumda devlet harcamalardan%10 oran›nda vergi almaya karar vermifltir. Bu durum-da tüketim miktar› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 610b. 700c. 720d. 800e. 1000

1. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Do¤rusal DenklemlerinYerine Koyma Metoduyla Çözümü” konusunuyeniden gözden geçiriniz.

2. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Arz, Talep ve Piyasa Den-gesi” ve “Talep ve Talep E¤risi (Do¤rusu)” ko-nular›n› yeniden gözden geçiriniz.

3. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Do¤rusal Denklemlerin Ye-rine Koyma Metoduyla Çözümü” ve “Arz, Talepve Piyasa Dengesi” konular›n› yeniden gözdengeçiriniz.

4. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Ulusal Gelirin Elde Edilifli”,“Do¤rusal Denklem Sistemlerinin EkonomikUygulamalar›” ve “Do¤rusal ‹ktisadi Modellere‹liflkin Örnek Çözümler” konular›n› yenidengözden geçiriniz.

5. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Ulusal Gelirin Elde Edilifli”,“Do¤rusal Denklem Sistemlerinin EkonomikUygulamalar›” ve “Do¤rusal ‹ktisadi Modellere‹liflkin Örnek Çözümler” konular›n› yenidengözden geçiriniz.

6. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Do¤rusal Denklemlerin Ye-rine Koyma Metoduyla Çözümü” konusunu ye-niden gözden geçiriniz.

7. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Do¤rusal Denklemlerin Ye-rine Koyma Metoduyla Çözümü” konusunu ye-niden gözden geçiriniz.

8. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Ulusal Gelirin Elde Edilifli”,“Do¤rusal Denklem Sistemlerinin EkonomikUygulamalar›” ve “Do¤rusal ‹ktisadi Modellere‹liflkin Örnek Çözümler” konular›n› yenidengözden geçiriniz.

9. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Ulusal Gelirin Elde Edilifli”,“Do¤rusal Denklem Sistemlerinin EkonomikUygulamalar›” ve “Do¤rusal ‹ktisadi Modellere‹liflkin Örnek Çözümler” konular›n› yenidengözden geçiriniz.

10. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Ulusal Gelirin Elde Edilifli”,“Do¤rusal Denklem Sistemlerinin EkonomikUygulamalar›” ve “Do¤rusal ‹ktisadi Modellere‹liflkin Örnek Çözümler” konular›n› yenidengözden geçiriniz.


S›ra Sizde 1

Arz, talep ve piyasa denge koflulu afla¤›daki flekilde ve-rilmifl ise yerine koyma metodu yard›m›yla denge fiyatve denge miktar› bulal›m.

Qs = 20 + 6P Qd = 100 - 2P Qs = Qd oldu¤undan,

20 + 6P = 100 - 2P8P = 80, P* = 10

P de¤erini herhangi bir fonksiyonda yerine koyarsakörne¤in arz fonksiyonunda,

Qs = 20 + 6*10 =80 de¤erini buluruz.

Sa¤lamas›n› yapmak için P de¤erini talep fonksiyonun-da da yerine koyal›m. E¤er sonuç 80 ise ifllem do¤rudemektir.

Qd = 100 - 2*10 = 80

S›ra Sizde 2

Eleme metodunda verilen denklem sistemindeki bilin-

meyenlerden x veya y’nin elenmesi yoluna baflvurulur.

Bunu yapabilmek için ise (örne¤in x’i elemek için) iki

aflamal› bir yol izlenir. Öncelikle, sistemdeki birinci

denklem ikinci denklemdeki x’in katsay›s›yla ve ikinci

denklem ise birinci denklemdeki x’in katsay›s›yla çarp›-

l›r. Daha sonra ise çarp›mlar sonucu elde edilen ilk

denklemden ikinci denklem ç›kart›l›r. X de¤erini ele-

memiz bize y de¤erini verir. y de¤erini bulduktan son-

ra x’i bulmak için ilk denklemlerden biri kullan›l›r ve y

yerine bulunan de¤er ikame edilir.

S›ra Sizde 3

Piyasa dengesi, tüketicilerin almaya raz› oldu¤u mal

miktar› ile üreticilerin satmaya raz› oldu¤u mal miktar›-

n›n eflit oldu¤u durumu ifade eder ve, qD = qS, olarak

ifade edilir. Piyasada arz ve talep edilecek mal miktar-

lar›n› eflitleyecek tek bir fiyat düzeyi vard›r ve bu fiyata

“piyasa denge fiyat›” veya “piyasay› temizleyen fiyat”

denir.

• E¤er qD > qS ise piyasada denge yoktur yani piyasa-

da tüketiciler firmalar taraf›ndan arz edilen miktar-

dan daha fazla miktarda mal sat›n almak istiyorlar-

d›r. Bu ancak fiyat›n denge fiyat›ndan küçük olmas›

durumunda söz konusu olabilir.

• E¤er qD < qS ise piyasada üreticiler tüketiciler tara-

f›ndan talep edilen miktardan daha fazla miktarda

mal arz etmek istiyorlard›r. Bu ancak fiyat›n denge

fiyat›ndan büyük olmas› durumunda söz konusu ola-

bilir. Yani piyasada bir dengesizlik vard›r.

S›ra Sizde 4

Piyasa dengesi tüketicilerin almaya raz› oldu¤u mal

miktar› ile üreticilerin satmaya raz› oldu¤u mal mikta-

r›n›n eflit oldu¤u durumu ifade eder ve piyasada arz ve

talep edilecek mal miktarlar›n› eflitleyecek tek bir fiyat

düzeyi vard›r ve bu fiyata “piyasa denge fiyat›” denir.

Fiyat d›fl›ndaki arz ve talebi etkileyen di¤er bütün fak-

törlerdeki de¤iflmeler, örne¤in tüketici gelirindeki, ilgi-

li di¤er mallar›n fiyatlar›ndaki, vergi politikas›ndaki,

teknoloji ve girdi fiyatlar›ndaki de¤iflmeler arz veya ta-

lep fonksiyonunda de¤ifliklik yaratarak piyasa dengesi-

nin de¤iflmesine neden olur. Bu tür de¤iflmeler arz ve

talep fonksiyonunun e¤imini de¤ifltirmez sadece veri

fiyatlardan daha fazla veya daha az miktarda üretilme-

sine veya talep edilmesine neden olarak arz veya talep

do¤rular›n›n sa¤a veya sola kaymas›na neden olur.

S›ra Sizde Yan›t Anahtar›


Anthony, A., ve Biggs, N. (1996). Mathematics for

Economics and Finance, Cambridge UniversityPress.

Bradley, Teresa ve Paul Patton, (2002). Essential

Mathematics for Economics and Business, JohnWiley & Sons.

Dowling, Edward T. (1992). Introduction to

Mathematical Economics, Mc Graw HillJacques, Ian, (2002). Mathematics for Economics and

Business, Financial Times, Prentice Hall.Klein, Michael W. (2002). Mathematical Methods for

Economics, Pearson Education, (2 ed.).Renshaw, Geoff, (2005). Maths for Economics, OUP

Oxford, Rosser, M.J. (2003). Basic Mathematics for

Economists, Routledge.Thomas, Leighton, (1999). Using Mathematics in

Economics, Pearson Education, (2 ed.).


Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Matris cebiri terminolojisi ile kullan›lan notasyonlar› tan›yabilecek,Matrisleri toplay›p ve ç›karabilecek,Matrisleri bir say› ve baflka bir matris ile çarpabilecek,Bir matrisin determinant›n› ve tersini hesaplayabilecek,Ters matris, Gauss Yöntemi ve Cramer kural› ile denklem sistemlerini çöze-bilecekbilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Vektör• Matris• Birim matris• Kare matris• Matrisin evri¤i• Minör

• Kofaktör• Determinant• Ters matris• Gauss Eleme Yöntemi• Cramer Kural›• Do¤rusal Denklem Sistemi

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NNNNN


• G‹R‹fi• MATR‹SLERLE ‹LG‹L‹ TANIMLAR VE

TER‹MLER • TEMEL MATR‹S ‹fiLEMLER‹• TERS MATR‹S‹N BULUNMASI• DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N

ÇÖZÜMÜ

Matrisler ve Denklem SistemlerininMatrislerle Çözümü


G‹R‹fiBirçok iktisadi modelde, birçok de¤iflkenin eflanl› olarak etkileflimi söz konusudur.Örne¤in, emek ve sermaye gibi iki girdi kullanan ve kâr›n› maksimize etmeye ça-l›flan bir firma durumunda, karfl›laflt›rmal› statik analiz yapabilmek için iki taneeflanl› do¤rusal eflitli¤in çözümü gerekmektedir. Asl›nda bu durum n de¤iflkeninyer ald›¤› n tane do¤rusal eflitlikten oluflan denklem sistemleri için de geçerlidir.Bu denklem sistemlerinin çözümü de bir flekilde matrislerin ve matrislerle ilgili be-lirli ifllemlerin yap›lmas›n› gerektirir. Asl›nda iktisad›n çeflitli alanlar›nda matrisleryo¤un bir biçimde kullan›lmaktad›r. Matris ifllemleri sayesinde iktisadi modellerianaliz etmek hem daha basittir hem de bu modellerle ilgili daha ayr›nt›l› bilgi eldeetme flans›m›z vard›r. Matrisleri kullanarak bir verideki tek tek gözlemler yerine,verinin tümüyle ilgilenebiliriz. Matrisler özellikle do¤rusal denklem sistemleri söz-konusu oldu¤unda çok yararl› ve güçlü bir araçt›r. ‹ktisatta da birçok teorik modelya do¤rusald›r ya da baz› basit iflemlerle, örne¤in logaritmik dönüflüm uygulaya-rak, do¤rusal hâle getirilebilir. Matrisler sayesinde çok karmafl›k gibi görünendenklem sistemleri basit ve oldukça aç›k bir biçimde ifade edebilir; eflanl› do¤ru-sal denklem sistemlerinin çözümünün olup olmad›¤›n› çözmeye bafllamadan belir-leyebilir ve nihayet bu denklem sistemlerini çözebiliriz. Bu ba¤lamda matislerleiliflkili determinantlar› kullanarak, sistemin tek bir çözümü olup olmad›¤›n› belirle-yebiliriz. Ayr›ca modern iktisadi analizlerde yo¤un olarak kullan›lan Cramer kura-l› ile bir eflitlikte yer alan bilinmeyen bir katsay› için, eflitliklerde yer alan di¤er kat-say›lar cinsinden çözüm bulabiliriz.

Q = AKα Lβ biçimindeki do¤rusal olmayan Cobb - Douglas üretim fonsiyonunun her iki ta-raf›n›n logaritmas› al›narak, yani logQ = logA + αlogK + βlogL biçiminde yeniden yaz›la-rak, do¤rusal hâle getirilir.

MATR‹SLERLE ‹LG‹L‹ TANIMLAR VE TER‹MLERMatrisleri tan›mlayabilmek ve iktisatta nas›l kullan›ld›klar›n› aç›klayabilmek içinöncelikle iki eflitlik ve iki bilinmeyenden (x1 ve x2) oluflan afla¤›daki denklem sis-temini göz önüne alal›m.

a x a x b

a x a x b11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

+ =+ =

Matrisler veDenklem Sistemlerinin

Matrislerle Çözümü

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Bu denklem sisteminin sol taraf›, iki sat›r ve iki sütundan olufltu¤u için, iki eflit-lik ve iki bilinmeyen de¤iflkenden oluflan bu sistem, bir kare sistemdir. Herbir de-¤iflkene ait katsay› için iki tane indis kullan›lm›flt›r. Bu sayede bu say›lar› rahatl›k-la ay›rdedebiliriz. Örne¤in a12, birinci sat›r ve ikinci sütunda gözükmektedir. Eflit-lik sisteminde her de¤iflkenin pozisyonu kendi katsay›s› ile endekslenmifltir. Buanlamda a12, birinci sat›r, ikinci sütundaki de¤iflkenin katsay›s› olmaktad›r.

m tane do¤rusal eflitlik ve n tane bilinmeyen de¤iflkenden (x’ler) oluflan denk-lem sistemi ise,

biçiminde yaz›l›r. Bu denklem sisteminde i ninci sat›r ve j ninci sütunda yer alande¤iflkenin katsay›s› aij dir.

A, sistemin katsay› matrisini temsil etsin:

Ayr›ca çözüm vektörü ile sabit terimler vektörü s›ras›yla,

oldu¤unda; yukar›daki denklem sistemi, matris formu ile afla¤›daki gibi yaz›labilir.

Buradaki sistemde m tane sat›r› ve n tane sütunu olan bir matris, m tane sat›r›ve 1 tane sütunu olan bir baflka matris (vektör) ile çarp›larak sa¤ taraftaki m tanesat›r› ve 1 tane sütunu olan bir baflka matris oluflturmufltur. Yani, aij (i = 1, 2, ... ,m; j = 1, 2, ... , n) katsay›lar›n›n yer ald›¤› matris ile x de¤iflkenlerinin yer ald›¤›vektör çarp›larak, b’lerin yer ald›¤› bir vektör elde edilmifltir.

A =

a a

a a

x

x

x

x

x

n

m mn

n

11 1

1

1

2

3

L

M ML M

=

b

b

b

bm

1

2

3

M

x b=

=

x

x

x

x

ve

b

b

b

bn m

1

2

3

1

2

3

M M

A =

=

a a

a aa

n

m mn

ij mxn

11 1

1

L

M ML

a x a x a x a x b

a x a x11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2

+ =

++ + … +

++ + … + =a x a x b23 3 2n n 2

.......................................................................

amm1 1 m2 2 m3 3 mn n mx a x a x a x b+ =+ + … +


Matris: Bir köfleli büyükparantez içinde sat›r vesütunlara yaz›l› say›,de¤iflken veya fonksiyonlar›temsil eden elemanlardanoluflan dikdörtgen biçimindebir tablodur.

Burada sözünü etti¤imiz matris, köfleli büyük bir parantez içinde sat›r vesütunlara yaz›l› say›, de¤iflken veya fonksiyonlar› temsil eden elemanlar-dan oluflan dikdörtgen biçiminde bir tablodur. Bir matris, bir veri setinin do-¤al yorumu olan, sütunlar seti ya da sat›rlar seti olarak da düflünülebilir (Tablo5.1’e bak›n›z). Matris, ya A = [aij] ya da [A]ij biçiminde gösterilir. aij (i = 1, 2, ... , m;j = 1, 2, ... , n) say›lar›, A matrisinin girdileridir. Sat›r ve sütun say›lar› matrisin bo-yutu olarak adland›r›l›r. A matrisinin boyutu mxn’dir. 1 × 1 boyutundaki bir matris5, 10 gibi bir say› iken, m × 1 boyutundaki matris bir sütun vektörü; 1 × n boyu-tundaki matris ise bir sat›r vektörü olarak adland›r›l›r.

Matrisler oluflturulurken ya büyük köfleli parantez ya da sadece parantez kullan›l›r. Biz buünitede köfleli parantez kullanmay› tercih etmekteyiz. Ayr›ca matrisleri ifade ederken bü-yük kal›n harfler kullanaca¤›z, örne¤in A gibi. Matrisin boyutu yaz›l›rken önce sat›r say›s›sonra sütun say›s› yaz›l›r.

Kendi uzay vektöründe bir vektör olan ve sat›r ve sütundaki elemanlar›n reel ve-ya karmafl›k say› olabilece¤i matrislerin say›sal bir de¤eri yoktur. Her matrisin hersat›r› ve sütunu birer vektör olarak düflünülür. m sat›rl›, n sütunlu bir matriste hereleman iki indis ile gösterilir. Örne¤in aij eleman›, (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ... , n)ininci sat›r, j ninci sütunda bulunmaktad›r.

Bir matriste yer alan her bir eleman›n yeri, katsay›n›n ikili indisi ile belirlenmektedir. ‹lkindis eleman›n bulundu¤u sat›r›, ikincisi ise sütunu gösterir. Örne¤in aij eleman›, i nincisat›r ve j ninci sütunda bulunur.

Tek bir sat›r veya sütundan oluflan matrislere de vektör denir. E¤er matris tek-bir sütundan olufluyorsa sütun vektör; buna karfl›l›k tek bir sat›rdan olufluyorsa sa-t›r vektör olarak adland›r›l›r. Örne¤in, m × 1 boyutundaki bir matris sütun vektöriken; 1 × n boyutundaki bir matris sat›r vektördür.

Vektörlerde say›lar ya sat›r ya da sütun olarak s›ralan›rlar. Örne¤in, tablo 5.1’deyer alan GDP ve bileflenlerine ait 2010 y›l› gözlemleri, bir sat›r vektör olufltururken;GDP’ye ait 2006-2010 y›l› aras› y›ll›k gözlemler bir sütun vektör oluflturur.

1115. Ünite - Matr is ler ve Denklem Sistemler in in Matr is ler le Çözümü

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Vektör: Tek bir sat›r veyasütundan oluflan matristir.

Tablo 5.1HarcamalarYöntemiyle GayriSafi Yurtiçi Has›la(1998 fiyatlar›yla),1998-2010 (T1000 )

Y›llarGayri Safi

YurtiçiHas›la

TüketimHarcamalar›

KamuHarcamalar› Yat›r›mlar Net ‹hracat

1998199920002001200220032004200520062007200820092010

70.203.14767.840.57072.436.39968.309.35272.519.83176.338.19383.485.59190.499.73196.738.320

101.254.625101.921.73097.003.114

105.738.813

46.668.56146.707.90049.444.45046.182.64548.372.69153.295.98159.143.61963.787.20766.749.82170.421.39870.198.48668.597.60373.199.512

7.197.7307.487.2337.910.7647.826.8448.283.0798.066.7808.553.8868.766.8849.506.407

10.127.09810.304.17511.105.78811.327.507

16.046.64913.445.80415.794.12511.060.44712.684.57314.481.76118.589.13121.821.58824.714.46725.480.80823.912.29419.358.02725.154.548

14.167.22313.640.97916.607.95012.496.59215.104.29618.657.14222.545.35525.289.81627.031.71229.913.97828.678.67224.578.35829.657.682

Vektörler matrislerin özel durumlar›d›r ve matris ifllemlerini karekterize eden bü-tün kurallar vektörler için de geçerlidir. Her ne kadar matrisleri ifade etmek için bü-yük kal›n harfler kullansak da vektörleri, a, b gibi küçük kal›n harflerle gösterece¤iz.

E¤er iki matrisin sat›r ve sütun say›lar› birbirine eflitse, yani boyutlar› ayn›ysa,bu iki matrise çarp›l›r matrisler denir. Örne¤in Amxn ve Bmxn matrisleri çarp›l›r mat-rislerdir, çünkü sat›r ve sütun say›lar› birbirine eflittir.

Sat›r ve sütun say›s› birbirine eflit olan matrise kare matris denir. E¤er m = nise A matrisi bir kare matristir. Anxn biçimindeki bir matris kare matristir, çünkü sa-t›r ve sütun say›s› ayn›d›r. Bu durumda A matrisi afla¤›daki gibidir.

E¤er bir matrisin tüm elemanlar› s›f›rsa, o matrise s›f›r matris denir. Afla¤›da yeralan A matrisi bir s›f›r kare matris örne¤idir.

‹ktisatta ve özellikle ekonometride s›kça kullan›lan baz› kare matris tipleri var-d›r. Bunlar›n bafl›nda üçgensel matris gelir. Üçgensel matris, köflegeninin alt ve-ya üstündeki elemanlar› s›f›rdan oluflan kare matristir. E¤er üçgensel matrisin kö-flegeninin üstündeki elemanlar s›f›r ise o matrise alt üçgensel matris; köflegeni-nin alt›ndaki elelmanlar s›f›r ise o matrise üst üçgensel matris denir. Örne¤in afla-¤›da yer alan A matrisi, bir üst üçgensel matris örne¤idir.

Bir matrisin köflegen elemanlar›, sat›r ve sütun indisleri birbirine eflit olan elemanlard›r.Örne¤in, bir A matrisi için, a11, a22, a33, ... ,ann gibi.

E¤er bir matriste tüm i ve j’ler için, aij = aji gerçeklefliyorsa, o matrise simetrikmatris denir. Ayr›ca daha sonra görece¤imiz gibi, simetrik matrisin evri¤i kendisi-ne eflit olur. Afla¤›da yer alan A matrisleri birer simetrik matristir.

Anxn

n

nn

a a

a=

11 1

00 0

…

O M

Anxn =

0 0

0 0

…M O M

L

Anxn

n

n nn

a a

a a=

11 1

1

…

M O ML

x =

9673832010125462510192173097003114

105738813

=y 105738813 73199512 11327507 255154548 29657682


Kare matris: Sat›r ve sütunsay›s› birbirine eflit olanmatristir.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Üçgensel matris:Köflegeninin alt veyaüstündeki elemanlar›s›f›rdan oluflan karematristir.

Simetrik matris: Tüm i vej’ler için, aij = aji koflulugerçekleflen matristir.

ve

E¤er bir kare matrisin sadece köflegen elemanlar› s›f›rdan farkl›ysa o matriseköflegen matris denir. Afla¤›daki A matrisi, s›f›rdan farkl› elemanlar› sadece köfle-gen üzerinde yer ald›¤› için bir köflegen matristir.

E¤er bir köflegen matrisin köflegen elemanlar› birbirine eflitse o matrise skalermatris denir. Örne¤in afla¤›da yer alan A matrisinin köflegen elemanlar› birbirineve onlar da a’ya eflit oldu¤u için A matrisi skaler matristir.

Köflegen elemanlar› bire eflit olan skaler matrise de birim matris denir. Birimmatris her zaman I ile gösterilir. Birim matris yaz›l›rken matrisin boyutunu ifade et-mek için genellikle bir indis kullan›l›r. Örne¤in afla¤›da yer alan matris, nxn boyut-lu bir birim matris örne¤idir.

TEMEL MATR‹S ‹fiLEMLER‹fiimdiye kadarki aç›klamalar›m›zda matrisin ne oldu¤unu, özellikle ekonometrideyayg›n olarak kullan›lan matris türlerini tan›tt›k. Ancak matrislerle ilgili aç›klamala-r›m›z sadece bunlarla s›n›rl› de¤ildir. Çünkü biz daha ileri gidip matrisleri, iktisattasorunlar›n çözümünde ve özellikle de denklem sistemlerinin çözümünde kullana-ca¤›z. Bunun için de, evri¤in al›nmas›, toplama ve ç›karma, matrislerin eflitli¤i,matrisin bir say› ile çarp›m› ve matrislerin çarp›m› gibi birçok matematiksel ifllemin;matrisler kullan›larak nas›l yap›ld›¤›n› da gösterece¤iz. fiimdi matrislerin eflitli¤in-den bafllayarak bunlar› tek tek aç›klamaya çal›flal›m.

Matrislerin Eflitli¤i ‹ki matris veya vektörün eflit olabilmesi için, her ikisinin hem ayn› boyutta yani ay-n› sat›r ve sütun say›s›na sahip olmas› ve her iki matrisin karfl›l›k gelen sat›r ve sü-tun elemanlar›n›n biribirine eflit olmas› gerekir. Örne¤in, m sat›r ve n sütun say›s›-

In

nxn

=

1 0

0 1

…M O M

L

Anxn

a

a=

…M O M

L

0

0

Anxn

n

a

a=

1 0

0

…

M O ML

A3 3

1 3 73 5 27 2 1

x =

A2 2xa bb d

=


Köflegen matris: Sadeceköflegen elemanlar› s›f›rolmayan matristir.

Birim matris: Köflegenelemanlar› bir olan skalermatristir.

na eflit olan, yani boyutu mxn olan A ve B gibi iki matrisin eflit olabilmesi için, tümi ve j de¤erleri için,

aij = bij

olmas› gerekir.

i = 1, ... , m ve j = 1, ..., n dir.

A ve B gibi eflit iki matris afla¤›daki gibi olsun. Buna göre x ve y de¤erlerini bulunuz.

Matrislerde Toplama ve Ç›karma ‹ki matrisin toplan›p ç›kar›labilmesi için iki matrisin ayn› boyutta, yani iki matrisinsat›r ve sütun say›lar›n›n birbirine eflit olmas› gerekir. Toplama ve ç›karma ifllem-leri sonucu elde edilen yeni matrisin boyutu da toplanan ve ç›kar›lan matrisle ay-n› olur. m tane sat›r› ve n tane sütunu olan, yani mxn boyutunda, A ve B gibi ikimatris olsun. A ve B matrisinin toplam›,

ve farklar› ise

olur.

Örne¤in, ve ise A ve B matrisleri toplam›

afla¤›daki gibi olacakt›r.

Yukar›daki örnekte verilen A ve B matrislerini kullarak A-B’yi bulunuz.

A B+ =−

+−

=3 7 2

0 1 8

4 0 1

2 3 02 3 2 3x x

(33 4 7 0 2 1

0 2 1 3 8 02

+ − + +

+ + − +

) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( )xx

x

3

2 3

7 7 3

2 2 8=

−

−

B=4 0 1

2 3 0−

A=3 7 2

0 1 8

−

A B− =

+

a a

a a

b bn

m mnmxn

n11 1

1

11 1…

M O ML

…

M OO ML

…

M O Mb b

a b a b

am mnmxn

n n

1

11 11 1 1

=

− −

mm m mn mnmxn

b a b1 1− −

L

A B+ =

+a a

a a

b bn

m mnmxn

n11 1

1

11 1…

M O ML

…

M OO ML

…

M O Mb b

a b a b

am mnmxn

n n

1

11 11 1 1

=+ +

mm m mn mnmxn

b a b1 1+ +

L

A B=−

=

1 22

1

0 2x yy


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

Matrisin ‹z De¤eriHoy (2001) de tan›mland›¤› gibi, bir kare matrisin iz de¤eri (trace), matrisin köfle-gen elemanlar›n›n toplanmas›yla bulunur ve Tr(A) veya trace(A) biçiminde göste-rilir. Kare A matrisi nxn boyutunda ise A’n›n izi,

biçiminde hesaplan›r. Örne¤in biçiminde ise, iz de¤eri,

olur. ‹z de¤eri ifllemcisinin baz› özellikleri vard›r. Bunlar,• ‹ki matrisin toplam›n›n iz de¤eri, ayr› ayr› matrislerin iz de¤erleri toplam›na

eflittir. Yani, Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)• Tr(AB) = Tr(BA) d›r.

Matrislerde ÇarpmaMatrislerde çarpma ifllemi iki flekilde gerçeklefltirilir. Bunlar›n ilkinde, belli bir de-¤er, örne¤in bir say› ile matris çarp›l›r ve bu iflleme skalerle çarp›m denir. ‹kinci-sinde ise bir matris baflka bir matris ile çarp›l›r. fiimdi bunlar› s›ras›yla aç›klayal›m.

Matrisin Bir Say› ile Çarp›m›Matrisler skaler ad› da verilen reel say›larla çarp›l›r. Herhangi bir say›n›n matris ileçarp›m›na skaler çarpan denir. Matrisin skalerle çarp›m›, matrisin her eleman›n›nbelli bir say›yla tek tek çarp›lmas›yla gerçekleflir. Örne¤in, k gibi bir sabitin nxnboyutunda A matrisinin çarp›m› olan kA matrisi, A matrisinin tüm elemanlar›n›n kile çarp›lmas›yla elde edilir.

Matrislerin Çarp›m›Nas›l 5 ve 8 gibi iki say›y› çarp›yorsak, matrisleri de çarpabiliriz. Ancak matrislerinçarp›m› ile say›lar›n çarp›m› aras›nda iki tane önemli fark vard›r. Birincisi, her mat-ris ikilisi çarp›lamaz ve çarp›lan matrislerin boyutu önemlidir. A ve B gibi iki mat-risin çarp›labilmesi için, yani AB’nin elde edilebilmesi için ilk matrisin yani A mat-risinin sütun say›s›n›n, ikinci matrisin, yani B matrisinin, sat›r say›s›na eflit olmas›gerekir. Örne¤in, A matrisi mxn boyutunda ve B matrisi de nxp boyutunda ise an-cak AB matrisi bulunur. AB çarp›m matrisinin, örne¤in C matrisinin, boyutu mxpolur. Yani birinci matrisin sat›r say›s›yla ikinci matrisin sütun say›s› çarp›m matrisi-nin boyutunu oluflturur.

k ka k

a a

a aij

n

n nn

A =

=

=

11 1

1

…

M O ML

kka ka

ka ka

n

n nn

11 1

1

…

M O ML

Tr aiii

( )A = = + + ==∑ 1 20 300 321

1

3

A =

1 2 310 20 30

100 200 300

Tr a a a aii nni

n( ) ...A = = + + +

=∑ 11 22

1


Çarp›m matrisinin elemanlar› bulunurken, birinci matrisin sat›r elemanlar› ileikinci matrisin sütun elemanlar›n›n çarp›mlar› toplam› al›n›r.

E¤er ise A ve B matrislerinin çar-

p›m matrisi olan C, mxp boyutunda bir matris olacakt›r. Yani,

dir. Burada, olacakt›r. Matrislerle

gösterirsek;

fiimdi bir örnekle iki matrisin nas›l çarp›ld›¤›n› gösterelim. Diyelim ki A matrisi3 × 3 boyutunda,

B matrisi de 3 × 2 boyutunda,

olsun. AB = C matrisinin nas›l elde edildi¤ini flimdi ayr›nt›l› olarak gösterelim. Çar-p›ma geçmeden önce çarp›m koflulunun sa¤lan›p sa¤lanmad›¤›n› kontrol ediyo-ruz. Görüldü¤ü gibi, A matrisinin sütun say›s›, B matrisinin sat›r say›s›na eflit oldu-¤u için, çarp›m koflulunu sa¤lamaktad›r. C çarp›m matrisinin ilk sat›r ve sütunun-da yer alan c11 de¤erini hesaplamak için, A matrisinin birinci sat›r›nda yer alan ele-manlar ile B matrisinin birinci sütununda yer alan elemanlar karfl›l›kl› çarp›laraktoplam› al›n›r. Yani c11 de¤erini bulmak için afla¤›daki ifllemler yap›l›r:

‹lk iki sat›rda yer alan de¤erleri ise afla¤›daki gibi hesaplar›z.

c x x x12 2 1 423

02 2 1 3 4 0= −

−

= + − − + =( ) 44 3 0 7

1 0 2541

1 5 0 421

+ + =

=

= + +c x x( ) 22 1 5 2 0 7

1 0 223

0

1 222

x

c x

= + + =

=

−

= + (00 3 2 0 2 0 0 2x x− + = + + =)

c x x x11 2 1 4541

2 5 1 4 4 1 10= −

= + − + =( ) −− + =4 4 10

B = −

5 24 31 0

A =−

−

2 1 41 0 22 3 8

AB C= =

a a

a a

b bn

m mnmxn

n11 1

1

11 1…

M O ML

…

M OO ML

…

M O MLb b

c c

c cm mnnxp

p

m mp1

11 1

1

=

mxp

c a b a b a b a bik i k i k ij jk in nk= + + + + +1 1 2 2 ... ...

AB C= =

cij mxp( )

A Bmxn ij mxn ij nxpa b i m j=

= =; ; ... ; ...= 1 1 pp


Dolay›s›yla AB = C matrisi,

biçiminde bulunur.

C matrisinin boyutunun kural gere¤i 3 × 2 oldu¤unu yani A matrisinin sat›r say›s›yla B mat-risinin sütun say›s›na eflit oldu¤unu unutmay›n›z.

Yukar›daki örnekte çarp›m matrisinin üçüncü sat›r elemanlar›n› bulunuz.

Matris ‹fllemlerinin Yasalar›Yukar›da aç›klamaya çal›flt›¤›m›z matris ifllemlerinin aritmetik ifllemlerle benzerözellik tafl›d›¤›n› rahatl›kla anlam›fls›n›zd›r. fiimdi bu baz› aritmetik kurallar› biran›msayal›m:

• a(b+c) = ab+ac (Çarpman›n, toplama üzerine soldan da¤›lma özelli¤i)• (a+b)c = ac+bc (Çarpman›n, toplama üzerine sa¤dan da¤›lma özelli¤i)• a(bc) = (ab)c (Çarpman›n birleflme özelli¤i)• ab = ba (Çarpman›n de¤iflme özelli¤i)Bu kurallar›n matris cebirinde de, son kural hariç, hemen hemen birebir karfl›-

l›¤› vard›r. Bu nedenle de matrisleri (Vinogradov, 1999) da belirtildi¤i gibi genel-lefltirilmifl say›lar olarak düflünebiliriz. Bu kurallar› matrisler için afla¤›daki gibi ya-zabiliriz:

• (A+B)+C = A+(B+C) (Matris toplam›n›n birleflme özelli¤i)• (AB)C = A(BC) (Matris çarp›m›n birleflme özelli¤i)• A+B = B+A (Matris toplam›n›n de¤iflme özelli¤i)• A(B+C) = AB+AC (Matris çarp›m›n, toplama üzerine soldan da¤›lma özelli¤i)• (A+B)C = AC+BC (Matris çarp›m›n, toplama üzerine sa¤dan da¤›lma özelli¤i)Aritmetikte geçerli ancak matrislerde geçerli olmayan kural ise matris çarp›m›-

n›n de¤iflme özelli¤idir. Her ne kadar aritmetikte ab = ba olsa da matrislerde heriki çarp›m matrisi var olsa bile AB = BA olmayabilir.

Matrisin Evri¤i Matrislerle ilgili bu ünitede s›kça kullanaca¤›m›z çok yararl› bir di¤er ifllem de mat-risin evri¤inin al›nmas›d›r. Bir matrisin evri¤i, matrisin sat›rlar› sütunlar› ile de¤iflti-rilerek elde edilir. Bu durumda matrisin birinci sat›r› birinci sütun, ikinci sat›r› ikin-ci sütun ve sonuncu sat›r sonuncu sütun olur. Yani evri¤i al›nan matrisin sat›r sa-y›s›, evrik matrisinin sütun say›s›na; sütun say›s› da sat›r say›s›na eflit olur. Bununsonucunda evri¤i al›nan A matrisinin boyutu mxn ise evri¤i olan matris nxm boyu-tunda olur.

Örne¤in,

olur.

A =

a a a

a a a11 12 13

21 22 23 ′ =

A

a a

a a

a a

11 21

12 22

13 23

ve evri¤i

AB C= =−

−

−

2 1 41 0 22 3 8

5 24 31 0

3 3x

=−

3 2 3 2

10 77 2

14 5x x


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

Matrisin evri¤i, matrisinsat›r ve sütunlar›n›n yerde¤ifltirilmesi ifllemidir.

Görüldü¤ü gibi A matrsinin evri¤inin al›nmas› sonucu A matrisinin birinci sa-t›r›, A′ matrisinin birinci sütunu; ikinci sat›r› da ikinci sütunu oldu.

matrisinin evri¤ini bulunuz.

Evrik iflleminin baz› özellikleri vard›r. Bunlar; • ‹ki matrisin toplam›n›n evri¤i, matrislerin evrikleri toplam›na eflittir. Yani

(A + B)′ = A′ + B′ olur.• ‹ki matrisin fark›n›n evri¤i, matrislerin evriklerinin fark›na eflittir. Yani

(A - B)′ = A′ - B′ olur.• Bir matrisin evri¤inin evri¤i orijinal matrise yani kendisine eflittir. Yani

(A′)′ = Α olur.• Bir say› ile matrisin çarp›m›n›n evri¤i o say› ile matrisin evri¤inin çarp›m›na

eflittir. Yani (kA)′ = kA′ olur.• A ve B gibi iki matrisin çarp›m›n›n evri¤i B′ A′ olur. Yani (AB)′ = B′ A′ olur.

Bu kural A, B ve C gibi üç matris için, (ABC)′ = C′B′A′ fleklinde olur.• E¤er A matrisi kare matrisse ve evri¤i kendisine eflitse, yani A′ = Α oluyor-

sa A matrisi simetrik matristir.

TERS MATR‹S‹N BULUNMASIHess (2002) ’de vurguland›¤› gibi matrisleri koflullar sa¤land›¤› takdirde toplayabi-lir, ç›karabilir ve çarpabiliriz. Ancak iki matrisi birbirine bölemeyiz. Yani iki matri-sin oran› diye bir fleyden söz edemeyiz. Bununla birlikte nas›l bir say›y› s›f›rdanfarkl› bir say›ya bölmek, o say›y› böldü¤ümüz say›n›n tersiyle çarpmak anlam›nageliyorsa, ayn› mant›¤› matrislerin tersine de uygulayabiliriz.

Ünitenin ileriki k›s›mlar›nda aç›klayaca¤›m›z gibi denklem sistemlerini çözerkenkullanaca¤›m›z yöntemlerden biri ise ters matris yöntemidir ve burada da katsay›larmatrisinin tersini almak zorunday›z. Bir matrisin tersinden söz edebilmek için herfleyden önce o matrisin kare matris olmas› gerekir. Ancak bu her kare matrisin detersi olaca¤› anlam›na gelmez. E¤er A gibi bir kare matrisin A-1 biçiminde gösteri-len ters matrisi varsa, A matrisiyle tersinin çarp›m›n›n birim matrise eflit olmas› ge-rekmektedir. AB = BA = I olacak flekilde B matrisi varsa B’ye A’n›n tersi denir.

Bir matrisin tersinin al›nabilmesi için gerek koflul o matrisin kare matris olma-s›d›r. Ancak bu yeterli de¤ildir, çünkü A gibi bir kare matrisin tersinin al›nabilme-si için |A| biçiminde gösterilen A ’n›n determinant›n›n s›f›rdan farkl› olmas› gerekir.E¤er bir matrisin determinant de¤eri s›f›rdan farkl›ysa o matrise tekil olmayan mat-ris denir ve tekil olmayan matrisin tersi al›nabilir. Determinant› s›f›r olan matrise isetekil matris denir.

Bir matrisin tersi al›n›rken iki yöntem uygulan›r. Bunlar ek matris yöntemi ileGauss Eleme yöntemi ya da Pivot yöntemi denilen yöntemlerdir. fiimdi bunlar› s›-ras›yla aç›klayal›m.

Gauss Eleme Yöntemi veya Pivot YöntemiBu yöntemde A gibi bir matrisin tersi bulunurken A matrisinin sa¤ taraf›na bir bi-rim matris yaz›l›r. Daha sonra her iki matrise ayn› sat›r ifllemleri uygulan›r. Bu ifl-lemler A matrisi bir birim matrise dönüflünceye kadar sürdürülür. Bu sat›r ifllemle-ri sonucunda birim matrise dönüflen matris, A matrisinin ters matrisi olacakt›r. fiim-

A =

2 53 64 7


Tekil olmayan matris: Tersial›nabilen matristir.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

di bu söylediklerimizi bir örnekle gösterelim. Diyelim ki A matrisi 2 × 2 boyutun-da ve afla¤›daki gibi olsun.

A matrisinin tersini alabilmek için önce A matrsinin sa¤›na 2 × 2 boyutunda bi-rim matris yazal›m ve sonras›nda da afla¤›daki ifllemleri s›ras›yla yapal›m.

1. Birinci sat›r› ikiye böl.

2. Birinci sat›r› ikinciden ç›kar.

3. ‹kinci sat›r› -2/7 ile çarp.

4. ‹kinci sütunu 1/2 ile çarp ve birinci sat›rdan ç›kar.

A matrisi birim matrise dönüfltü¤ü için yan›ndaki matris olan matris A matrisi-nin tersi olacakt›r. Yani,

olacakt›r.

matrisinin tersini Gauss Eleme yöntemi ile bulunuz.A =

7 96 12

A− =−

1

37

17

17

27

1 00 1

37

17

17

27

−

11

20 1

1

20

1

7

2

7

−

11

2

07

2

1

20

1

21−

−

11

21 3

1

20

0 1−

2 11 3

1 00 1−

A =−

2 11 3


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

Ek Matris YöntemiBu yöntem ile ters matrisin bulunabilmesi için afla¤›daki aflamalar›n izlenmesi gerekir:

• Matrisin determinant›n›n bulunmas›,• Matrisin kofaktör matrisinin oluflturulmas›,• Kofaktör matrisinin evri¤inin al›narak ek matrisin bulunmas›,• Ek matrisin her bir eleman›n›n determinant de¤erine bölünmesi.fiimdi bu aflamalar›n nas›l yap›ld›¤›n› gösterelim. ‹fllemlere determinant›n bu-

lunmas› ile bafllayal›m.Daha önce de¤indi¤imiz gibi determinant bir do¤rusal denklem sisteminin çö-

zümünün bulunmas›nda kullan›l›r. 2 × 2 boyutundaki bir kare matris için determi-nant de¤eri, matrisin köflegen elemanlar› çarp›m›ndan köflegen d›fl› elemanlar› çar-p›m›n›n ç›kar›lmas›yla bulunur.

biçimindeki bir A matrisinin determimant›, |A|

olur. Örne¤in, biçimindeki bir A matrisinin determinant›

olur.

Her ne kadar 2 × 2 boyutundaki bir kare matris için determinant hesaplanmas›kolay olsa da matrislerin boyutu artt›kça bu hesaplama biraz kar›fl›k hâle gelecek-tir. ‹kiden daha yüksek boyutlu matrisler için determinant hesaplayabilmek içinmatrislerin minör ve kofaktör de¤erlerinin kullan›lmas› gerekir. Çünkü bu boyutta-ki bir matrisin determinant›, matrisin herhangi bir sat›r veya sütunundaki eleman-lar›n›n kendi kofaktörleriyle çarp›mlar› toplam›d›r.

n × n boyutunda olup da, n ≥ 2 olan matrislerin i ninci sat›r j ninci sütununda-

ki eleman›n minörü, , A matrisinin i ninci sat›r› ile j ninci sütununun silin-

mesiyle oluflturulan (n-1) × (n-1) boyutundaki yeni matrisin determinant de¤eridir.

Örne¤in,

biçimindeki bir matrisin birinci sat›r›nda yer alan elemanlar›n›n minör de¤eri s›ra-s›yla flunlardan oluflur:

M

M

1122 23

32 3322 33 32 23

1221 23

31 33

= = −

= =

a a

a aa a a a

a a

a aaa a a a

a a

a aa a a a

21 33 31 23

1321 22

31 3221 32 31 22

−

= = −M

A =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Mij

A = − = − − = + =2 13 5

2 5 3 1 10 3 13x x( )

A = −

2 13 5

A = −a a a a11 22 21 12

A =

a a

a a11 12

21 22


Determinant: Bir matrisindeterminant› o matrisin,herhangi bir sat›r veyasütunundaki elemanlar›n›nkendi kofaktör de¤erleriyleçarp›mlar› toplam›d›r.

Yine n × n boyutundaki ve n ≥ 2 olan matrislerin i ninci sat›r j ninci sütunun-

daki eleman›n kofaktörü, , minör de¤erine bir iflaret verilerek

formülüyle bulunur. Minörlerin iflareti e¤er i+j toplam› çift say› ise de¤iflmezken

tek say› ise de¤iflir. Örne¤in, minör de¤erleri ile kofaktör de-

¤erlerinin iflareti ayn› olacakt›r. Yani,

olacakt›r. Buna karfl›l›k için s›ras›yla kofaktör de¤erleri

ve olacakt›r. 3 × 3 boyutundaki bir matrisin minör de¤erlierini ko-

faktöre çevirirken afla¤›daki iflaret matrisi kullan›l›r.

Matrisin herhangi bir sat›r veya sütunundaki elemanlar›n›n kofaktör de¤erleribulunduktan sonra s›ra matrisin determinant›n›n bulunmas›na gelir. Bunun içinmatrisin herhangi bir sat›r veya sütunundaki elemanlar› kendi kofaktörleriyle çar-p›l›r. Örne¤in, A matrisinin determinant de¤erini bulmak için A matrisinin birincisat›r›nda yer alan elemanlar›n› kendi kofaktörleriyle çarpal›m.

Minör de¤erlerini de kullan›rsak determinant de¤eri,

veya,

olur.fiimdi bir örnek yard›m›yla konuyu iyice anlamaya çal›flal›m.

A matrisinin determinant› afla¤›daki gibi hesaplan›r.

A

A

=− + −

=− − + − −

2 6 10 4

5 4 19 4

2 4 69 0

2 6 4 0 1 5 4 4 9 1 2( ) ( ) (x x x x 44 0 9 6

2 24 5 7 2 54

48 35 108

x x

x x

−=− + − −=− + +

)

( )

= 95

A =

4 6 12 5 29 0 4

A = − +aa a

a aa

a a

a aa

a a

a a1122 23

32 3312

21 23

31 3313

21 22

31 332

11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13A = − − − +a a a a a a a a a a a( ) ( ) (aa a a a21 32 31 22− )

A M M M= + +a a a11 11 12 12 13 13

A = + +a c a c a c11 11 12 12 13 13

+ − +− + −+ − +

C M23 23=−

C M21 21=−M M21 23,

M C M C M C11 11 22 22 33 33= = =, ve

M M M11 22 33, ve

C Miji j

ij= − +( )1

Cij


matrisinin birinci satr›n› kullanarak determinant de¤erini bulunuz.

Bu flekilde aç›klamaya çal›flt›¤›m›z detrminant›n baz› faydal› özellikleri vard›r.Bunlar:

1. Bir matrisin sat›r veya sütunundaki elemanlar› herhangi bir sabitle çarp›ld›-¤›nda detrminant de¤eri de o sabit kadar artar. Yani örne¤in

2. Bir matrisin iki sat›r veya sütununun karfl›l›kl› de¤iflimi determinant›n mut-lak de¤erini de¤il ama iflaretini de¤ifltirir.

3. Bir matrisin evri¤inin determinant› da matrisin determinant›yla ayn›d›r. Ya-ni, |A| = |A′| dir.

4. Bir matrisin herhangi bir sat›r veya sütununu k gibi bir sabitle çarp›p sonuç-ta bir baflka sat›r veya sütuna eklendi¤inde determinant de¤eri de¤iflmez.

Determinant de¤eri bulunduktan sonra tersi al›nacak matrisin önce kofaktörmatrisi, daha sonra da kofaktörler matrisinin evri¤i olan ek matris bulunur. Birmatrisin kofaktör matrisi (C ile gösterilir) oluflturulurken matrisin her eleman›n›nyerine kendi kofaktör de¤eri yaz›l›r. Örne¤in,

gibi bir matrisin, kofaktör matrisi,

ve kofaktörler matrisinin evri¤i olan ve Ek(A) fleklinde gösterilen ek matrisi de

ek

c c

c c

n

n nn

( )=A C′ =

11 1

1

…

M O ML

C =

c c

c c

n

n nn

11 1

1

…

M O ML

A =

a a

a a

n

n nn

11 1

1

…

M O ML

a a

a a

a a

a aa a a a a11 12

21 22

21 22

11 1221 12 11 22 11− =− − − =( ) aa a a22 21 12−

ka a

a a

ka ka

a a

ka a

ka a

ka

11 12

21 22

11 12

21 22

11 12

21 22

11

= =

aa ka a k a a a a k22 21 12 11 22 21 12− = − =( ) A

A = −

1 2 30 1 11 2 1


a a

a a

a a

a ka a kaa a ka11 12

21 22

11 12

21 11 22 1211 22 11=

+ += + aa a a ka a a a a a12 12 21 11 12 11 22 12 21− − = −

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



6

A matrisinin tersi, biçiminde yaz›l›r. fiimdi

biçimindeki A matrisinin tersini bulal›m. Bunun için öncelikle matrisin determinantde¤eri ile ek matrisi bulmam›z gerekmektedir. Bunlar içinse önce matrisin kofaktör-ler matrisini ve kofaktörler matrisi için de her bir eleman›n minör de¤erini bulma-m›z gerekir. A matrisinin elemanlar›n›n minör de¤erleri afla¤›daki gibi hesaplan›r.

Kofaktörleri,

ve kofaktörler matrisi

C x

C x

111 1

112

121 2

123

1 1 25 25

1 1

= − = − =

= − = −

+

+

( ) ( )

( ) ( )

M

M 115 15

1 1 14 14

1

131 3

134

212

=−

= − = − − =−

= −

+

+

C x

C

( ) ( ) ( )

( )

M11

213

222 2

224

1 14 14

1 1 2 2

M

M

= − =−

= − = − − =−+

( )

( ) ( ) ( )

x

C x

C2232 3

235

313 1

31

1 1 12 12

1 1

= − = − − =

= − = −

+

+

( ) ( ) ( )

( ) (

M

M

x

C )) ( )

( ) ( ) ( )

(

4

323 2

325

33

15 15

1 1 9 9

1

x

C x

C

− =−

= − = − − =

= −

+ M

)) ( ) ( )3 333

61 2 2+ = − − =−M x

M

M

11

12

5 02 5

5 5 2 0 25 0 25

3 04 5

3 5 4 0 15 0 1

= = − = − =

= = − = − =

x x

x x 55

3 54 2

3 2 4 5 6 20 14

4 32 5

4 5 2 3 20

13

21

M

M

= = − = − =−

= = − = −

x x

x x 66 14

2 34 5

2 5 4 3 10 12 2

2 44 2

2 2 4 4

22

23

=

= = − = − =−

= = − =

M

M

x x

x x 44 16 12

4 35 0

4 0 5 3 0 15 15

2 33 0

2 0

31

32

− =−

= = − = − =−

= = −

M

M

x x

x 33 3 0 9 9

2 43 5

2 5 3 4 10 12 233

x

x x

= − =−

= = − = − =−M

A =

2 4 33 5 04 2 5

AA

A− =1 1ek( )


biçimindedir. Ek matris,

Matrisin determinant› ise

A matrisinin ters matrisi ise

olacakt›r. Ters matrisin baz› özellikleri vard›r (Hess, 2002). Bunlar:1. Bir matrisin tersi ile çarp›m› birim matrise eflittir. Yani, AA-1 = I = A-1 A dir.2. Bir matrisin tersinin tersi kendisine eflittir. Yani, (A-1)-1 = A ’d›r.3. ‹ki matrisin çarp›m›n›n tersi matrislerin terslerinin tersten çarp›m›na eflittir.

Yani, (AB)-1 = B-1 A-1 dir.4. Bir matrisin evri¤inin tersi matrisin tersinin evri¤idir. Yani, (A′)-1 = (A-1)′ dir.

matrisinin tersini bulunuz.

DENKLEM S‹STEMLER‹N‹N ÇÖZÜMÜMatris cebiri sayesinde do¤rusal denklem sistemini çok kompakt bir biçimde ya-zabilir, sistemin bir çözümü olup olmad›¤›n› belirleyebilir, e¤er varsa sistemin çö-zümünü yapabiliriz. ‹ktisadi modellerde eflitlik sisteminde yer alan eflitlik say›s›ylabilinmeyen say›s› genellikle eflit oldu¤u için kulland›¤›m›z birçok matris kare vetersi al›nabilen matristir.

Do¤rusal denklem sistemleri ters matris yöntemi, Gauss yöntemi ve Cramer ku-ral› ile çözülebilir. fiimdi bunlar› s›ras›yla aç›klayal›m.

Ters Matris YöntemiN tane do¤rusal eflitlik ve n tane bilinmeyenden oluflan bir denklem sistemi düflü-nelim. Böyle bir denklem sistemi daha önce de de¤indi¤imiz gibi matris ve vektör-ler kullanarak

Ax = b

biçiminde ifade edilir. Burada A katsay›lar matrisini x çözüm vektörünü ve b desabitler vektörünü verir. E¤er A matrisin tersi al›nabilirse x in çözümü,

A =

20 56 2

AA

ek(A)−−

− −− −− −

1 1 1

52

25 14 1515 2 914 12 2

= =

A = + − + − = − − =−2 25 4 15 3 14 50 60 42 52( ) ( ) ( ) .dir

ek(A) C = ′ =− −

− −− −

25 14 1515 2 914 12 2

C =− −

− −− −

25 15 1414 2 1215 9 2


Ek matris: Bir matrisinkofaktör matrisinin evri¤idir.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



7

x = A-1 b

fleklinde bulunabilir.Ters matris yöntemini kullanarak denklem sistemini nas›l çözebilece¤imizi

(Roy, 2001, s.366) verilen örne¤i kullanarak gösterebiliriz. Kapal› bir ekonomiyimal ve hizmet piyasa dengelerini gösteren IS-LM fonksiyonlar› ile tan›mlamaya ça-l›flal›m. IS eflitlikleri afla¤›da yer almaktad›r.

C = 15 + 0.8 (Y - T)T = -25 + 0.25YI = 65 - RG = 94

Bu eflitliklerde C, tüketim harcamalar›n›; T, vergileri; Y, toplam geliri; I, yat›r›mharcamalar›n›; R, faiz oran›n› ve G, kamu harcamalar›n› göstermektedir.

Para piyasas› dengesini veren LM eflitlikleri ise

L = 5Y - 50RM = 1500

fleklindedir. Burada L para talebini ve M de para arz›n› verir. fiimdi bu verilenlerikullanarak ekonominin genel dengesini sa¤layan gelir ve faiz iklisini ters matrisyöntemiyle bulal›m.

Bunun için önce sistemi Ax = b biçiminde ifade edelim. Bunun için de önce-likle verilen eflitlikleri kullanarak IS ve LM fonksiyonlar›n› elde etmemiz gerekir.Bilindi¤i gibi IS fonnsiyonu mal piyasas› dengesini gösterir ve Y = C + I + G eflitli-¤inden elde edilir. Buna göre, IS fonksiyonu

Para piyasas› dengesini veren LM fonksiyonu ise para talebini para arz›na eflit-leyerek elde edilir. Buna göre LM fonksiyonu ise

1500 = 5 Y - 50R ⇒ Y = 300 + 10R L = M

IS ve LM fonksiyonlar›n› elde ettikten sonra bu fonksiyonlar› kullanarak afla¤›-daki denklem sistemini

Y + 2.5R = 485Y - 10R = 300

ve matris biçiminde de bu denklem sistemini

biçiminde yazabiliriz. Modeli gelir ve faiz oran› için çözdü¤ümüzde ise

1 2 51 10

485300

.−

=

YR

Y Y Y R

Y

= + − + + − ++ − −

15 0 8 25 0 25 65 94

15 0 8 0 8 25

. ( . )

. . ( = ++ + − +− + + + + −

−

0 25 65 94

0 8 0 2 15 20 65 94

1 0

. )

. .

( .

Y R

Y Y Y R

Y

=

88 0 2 15 20 65 94

1940 4 0 4

485 2 5

+ = + + + −

= − = −

. )

. ..

R

YR

R


olur. Y ve R nin çözüm de¤erlerini bulmak için A matrisinin tersini bulmam›z ge-rekir. Bunun için de öncelikle A matrisinin kofaktör matrisini ve ek matrisini bu-lursak; bunlar

biçimindedir. A matrisinin determinant› |A| = 1(-10) - (-2.5) (-1) = -10 -2.5 = -12.5’dir. Dolay›s›yla A matrisinin tersi,

olur. Buradan da Y ve R de¤erleri

biçiminde bulunur. Bu sonuçlara göre bu kapal› ekonomide denge ç›kt› düzeyi 448 vefaiz oran› da 14.8% ’dir. Denge gelir düzeyinde vergi gelirleri, T = -25 + 0.25 (448) =87 ve kamu harcamalar› da 94 birim oldu¤u için ilgili ekonomide bir bütçe aç›¤›ndansöz edilebilir.

‹ki mal için denge koflulu afla¤›daki eflitliklerde verilsin:-4P1 + P2 = -132P1 - 5P2 = -7

Ters matris yöntemiyle P1 ve P2 fiyatlar›n› bulunuz.

Gauss Eleme YöntemiBu yöntemle denklem sistemleri çözülürken A matrisi ile b vektörü üzerine basitsat›r ifllemleri uygulanarak A matrisinin birim matrise dönüflümü sa¤lan›r. Bu süreçsonucunda elde edilen b vektörü de çözüm vektörü olur.

fiimdi bu yöntemle denklem sisteminin nas›l çözüldü¤ünü (Dadkhah, 2007,s.144) yer alan örne¤i kullanarak gösterelim.

Örnekte kulland›¤›m›z denklem sistemi iki do¤rusal eflitlikten oluflmakta ve

2x1 + x2 = 5x1 - 3x2 = -8

biçimindedir. Sistemi Ax = b biçiminde yazabiliriz. Bu durumda

YR

=

−

0 8 0 2

0 08 0 08485300

. .. .

= + = + == + −

Y

R

0 8 485 0 2 300 388 60 448

0 08 485 0

. ( ) . ( )

. ( ) ( .. )( ) . ( ) .08 300 38 8 24 14 8= + − =

A− =−

− −−

= −

−

1 1

12 510 2 51 1

0 8 0 20 08 0 08.

. . .. .

C A C= − −−

= ′ = − −

−

10 12 5 1

10 2 51 1.

( ) .; ek

YR

=

−

−1 2 51 10

485300

1.


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



8

olur. Gauss eleme yöntemi ile x1 ve x2 de¤erlerini bulmak için sistemi önce

biçiminde yaz›p; daha sonra flu aflamalar› izlememiz gerekir:1. A matrisi ve birim matrisinin birinci sat›r›n› 2 ile böleriz.

2. Birinci sat›r› ikinci sat›rdan ç›kart›r›z.

3. ‹kinci sat›r› -2/7 ile çarpar›z.

4. ‹kinci sat›r›n 1/2sini birinci sat›rdan ç›kart›r›z.

Bu ifllem sonucunda A matrisinin tersini fleklinde elde ede-

riz. Bunu b vektörüyle çarparsak x1 ve x2 de¤erlerini elde ederiz.

A− =−

1

3

7

1

71

7

2

7

1 00 1

3

7

1

71

7

2

7

1

2

=

−

x

x

−

58

11

20 1

12

0

17

27

1

2

=

−

x

x

−

58

11

2

07

2

1

20

1

21

1

2−

=

−

x

x

−

58

2

2

1

21 3

1

2

0

20 1

1

2−

=

x

x

−

58

2 11 3

1 00 1

58

1

2−

=

−

x

x

A x b=−

=

=−

2 11 3

58

1

2;

x

xve


Cramer Kural›Do¤rusal eflanl› denklem sistemini çözümünde kullan›lan bir di¤er yöntem de Cra-mer Kural›’d›r. Bu kural özellikle denklem sisteminde yer alan tüm bilinmeyen de-¤iflkenlerin de¤eri de¤il de bunlardan baz›lar› ve hatta bir tanesinin de¤eri bulanmakistendi¤inde kullan›labilecek oldukça yararl› bir yöntemdir. Bu nedenle bu yöntemflimdiye kadar aç›klamaya çal›flt›¤›m›z di¤er iki yöntemle karfl›laflt›r›ld›¤›nda hemdaha çabuk hem daha kolayl›kla uygulanabilecek bir yöntemdir. Bu yöntemde sis-temin çözümü için determinantlar kullan›l›r. Yöntemin nas›l uyguland›¤›n› göste-rebilmek için denklem sisteminin matris gösterimini tekrar an›msayal›m.

Ax = b

Bu gösterimde yer alan A matrisi nxn boyutunda parametre matrisi x vektörünx1 boyutunda bilinmeyen de¤iflkenler vektörü ya da çözüm vektörü; b yine nx1boyutunda sabit de¤erler vektörüdür.

Cramer Kural›’na göre denklem sisteminde yer alan ve de¤eri bilinmeyen de-¤iflkenlerden herhangi birinin örne¤in xi nin de¤eri, A matrisinde i ninci sütununadenk gelen elemanlar›n (de¤erlerin), b vektöründeki sabitlerle de¤ifltirilmesiyle el-de edilen yeni matrisin determinant›n›, A matrisinin determinant›na oranlanmas›y-la bulunur.

E¤er A matrisinin i ninci sütünunun b vektöründeki sabitlerle de¤ifltirilmesiy-le elde edilen yeni matrise Ai matrisi dersek Cramer Kural›’na göre xi de¤erini

formülünü kullanarak bulabiliriz. Cramer Kural›’n› kullanarak denklem

sistemini çözmek için afla¤›daki ad›mlar› izlemek yararl›d›r:1. Sistemi matris formunda ifade et yani Ax = b biçiminde yeniden yaz2. A matrisinin determinat›n› bul. Yani |A| ’y› bul.3. Hangi x de¤iflkeninin de¤erini bulacaks›n›z A matrisinde o de¤iflken katsa-

y›lar›n›n yerine b vektöründeki sabit de¤erleri koyarak Ai matrisini oluflturve Ai matrisinin determinant›n› bul, yani |Ai| ’y› bul.

4. formülünü kullanarak xi de¤erini bul.

fiimdi bu aflamalar› izleyerek ve (Dowling, 1980, s.231)de ald›¤›m›z örne¤i kul-lanarak denklem sisteminin nas›l çözüldü¤ünü gösterelim.

2 eflitlik ve 2 bilinmeyenden oluflan denklem sistemimiz afla¤›daki gibidir:

7P1 + 2P2 = 60P1 + 8P2 = 78

xii=

A

A

xii=

A

A

x

x1

2

37

17

17

27

58

=

−

−

= + − = − = =

= + −

x

x

1

2

3

75

1

78

15

7

8

7

7

71

17

527

( ) ( )

( ) ( )(−− = + = =857

167

217

3)


Cramer Kural›: Ax = bbiçimindeki denklemsistemini determinantlarkullanarak çözmeyöntemidir. Sistemde yeralan xi de¤iflkeninin de¤erini

bulmak için

formülü kullan›l›r.

xii=

A

A

fiimdi Cramer Kural› ile P1 ve P2 fiyatlar›n› bulal›m. Yukar›da önerdi¤imiz afla-malar› izlersek;

1. Önce sistemi matrislerle Ax = b biçiminde yazal›m.

2. fiimdi A matrisinin determinant›n› bulal›m. |A| = 7(8) - 2(1) = 543. A1 ve A2 matrislerini olufltural›m. A1 matrisini olufltururken A matrisinin bi-

rinci sütunundaki elemanlar› b vektöründeki sabit de¤erlerle ve A2 matrisi-ni oluflturuken de A matrisinin ikinci sütunundaki elemanlar› b vektöründe-ki sabit de¤erlerle de¤fltirelim. Bu durumda A1 ve A2 matrisleri afla¤›daki gi-bi olur.

4. A1 ve A2 matrislerinin determinantlar›n› bulal›m.|A1| = 60(8) - 2(78) = 324|A2| = 7(78) - 1(60) = 486

5. Cramer Kural›’n› uygulayarak P1 ve P2 fiyatlar›n› afla¤›daki gibi elde edelim.

P

P

1

2

324

546

486

549

= = =

= = =

A

A

A

A

1

2

A A1 260 278 8

7 601 78

=

=

ve

7 21 8

6078

1

2

=

P

P


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



9biçimindeki denklem sisteminde x ve y de¤erlerini Camer Kural›’n› kulla-

narak hesaplay›n›z.

6x + 7y = 104x + 5y = 8


Matris cebiri terminolojisi ile kullan›lan notas-

yonlar› tan›mak

Matris, bir köfleli büyük parantez içinde sat›r vesütunlara yaz›l› say›, de¤iflken veya fonksiyonlar›temsil eden elemanlardan oluflan dikdörtgen bi-çiminde bir tablodur. Bir matris, bir veri setinindo¤al yorumu olan, sütunlar seti ya da sat›rlar se-ti olarak da düflünülebilir. Matris, ya A = [aij] yada [A]ij biçiminde gösterilir. aij (i = 1, 2, ... , m; j =1,2, ... , n) say›lar›, A matrisinin girdileridir. Sat›rve sütun say›lar› matrisin boyutu olarak adland›-r›l›r. A matrisinin boyutu mxn’dir. 1×1 boyutun-daki bir matris 5, 10 gibi bir say› iken, m×1 boyu-tundaki matris bir sütun vektörü; 1×n boyutun-daki matris ise bir sat›r vektörü olarak adland›r›-l›r. Matrisler oluflturulurken ya büyük köfleli pa-rantez ya da sadece parantez kullan›l›r. Ayr›camatrisleri ifade ederken büyük kal›n harfler kul-lan›l›r, örne¤in A gibi. Matrisin boyutu yaz›l›rkenönce sat›r say›s› sonra sütun say›s› yaz›l›r. Bir mat-riste yer alan her bir eleman›n yeri, katsay›n›nikili indisi ile belirlenmektedir. ‹lk indis eleman›nbulundu¤u sat›r›, ikincisi ise sütunu gösterir. Tekbir sat›r veya sütundan oluflan matrislere de vek-tör denir. E¤er matris tek bir sütundan olufluyor-sa, sütun vektör; buna karfl›l›k tek bir sat›rdanolufluyorsa sat›r vektör olarak adland›r›l›r. Sat›rve sütun say›s› birbirine eflit olan matrise karematris denir. Üçgensel matris, köflegeninin alt ve-ya üstündeki elemanlar› s›f›rdan oluflan kare mat-ristir. E¤er bir matriste tüm i ve j’ler için, aij = aji

gerçeklefliyorsa, o matrise simetrik matris denir.Köflegen elemanlar› bire eflit olan skaler matrisede birim matris denir.

Matrisleri toplay›p ç›karmak

‹ki matrisin toplan›p ç›kar›labilmesi için iki mat-risin ayn› boyutta, yani iki matrisin sat›r ve sütunsay›lar›n›n birbirine eflit olmas› gerekir. Toplamave ç›karma ifllemleri sonucu elde edilen yeni mat-risin boyutu da toplanan ve ç›kar›lan matrisle ay-n› olur. m tane sat›r› ve n tane sütunu olan, yanim×n boyutunda, A ve B gibi iki matris olsun. Ave B matrislerinin toplam› ve farklar› da genemxn boyutunda olur.

Matrisleri bir say› ve baflka bir matris ile çarpmak

Matrislerde çarpma ifllemi iki flekilde gerçekleflti-rilir. Bunlar›n ilkinde, belli bir de¤er, örne¤in birsay› ile matris çarp›l›r ve bu iflleme skalerle çar-p›m denir. ‹kincisinde ise bir matris baflka birmatris ile çarp›l›r. Matrisler skaler ad› da verilenreel say›larla çarp›l›r. Herhangi bir say›n›n matrisile çarp›m›na skaler çarpan denir. Matrisin ska-lerle çarp›m›, matrisin her eleman›n›n belli birsay›yla tek tek çarp›lmas›yla gerçekleflir. Örne-¤in, k gibi bir sabitin n×n boyutunda A matrisi-nin çarp›m› olan kA matrisi, A matrisinin tüm ele-manlar›n›n k ile çarp›lmas›yla elde edilir. Hermatris ikilisi çarp›lamaz ve çarp›lan matrislerinboyutu önemlidir. A ve B gibi iki matrisin çarp›-labilmesi için, yani AB’nin elde edilebilmesi içinilk matrisin yani A matrisinin sütun say›s›n›n,ikinci matrisin yani B matrisinin sat›r say›s›na eflitolmas› gerekir. Örne¤in, A matrisi m×n boyutun-da ve B matrisi de n×p boyutunda ise ancak AB

matrisi bulunur. AB çarp›m matrisinin, örne¤in Cmatrisinin, boyutu m×p olur. Yani birinci matri-sin sat›r say›s›yla ikinci matrisin sütun say›s› çar-p›m matrisinin boyutunu oluflturur. Çarp›m mat-risinin elemanlar› bulunurken, birinci matrisinsat›r elemanlar› ile ikinci matrisin sütun eleman-lar›n›n çarp›mlar› toplam› al›n›r.

Bir matrisin determinant›n› ve tersini hesaplamak

Bir matrisin tersinin al›nabilmesi için gerek ko-flul o matrisin kare matris olmas›d›r. Ancak buyeterli de¤ildir çünkü A gibi bir kare matrisintersinin al›nabilmesi için |A| biçiminde gösterilenA’n›n determinant›n›n s›f›rdan farkl› olmas› gere-kir. Bir matrisin tersi al›n›rken iki yöntem uygu-lan›r. Bunlar ek matris yöntemi ile Gauss Elemeyöntemi ya da Pivot yöntemi denilen yöntemler-dir. Gauss Eleme yönteminde A gibi bir matrisintersi bulunurken A matrisinin sa¤ taraf›na bir bi-rim matris yaz›l›r. Daha sonra her iki matrise ay-n› sat›r ifllemleri uygulan›r. Bu ifllemler A matrisibir birim matrise dönüflünceye kadar sürdürülür.Bu sat›r ifllemleri sonucunda birim matrise dönü-flen matris A matrisinin ters matrisi olacakt›r. Ekmatris yöntemi ile ters matrisin bulunabilmesiiçin önce matrisin determinant›n›n bulunmas›

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

4NA M A Ç


gerekir. Sonra matrisin kofaktör matrisi oluflturu-lur. Daha sonra kofaktör matrisinin evri¤i al›na-rak ek matris elde edilir. Son olarak ek matrisinher bir eleman› determinant de¤erine bölünür.Bir matrisin determinant› o matrisin, herhangibir sat›r veya sütunundaki elemanlar›n›n kendikofaktör de¤erleriyle çarp›mlar› toplam›d›r. 2×2boyutundaki bir kare matris için determinant de-¤eri, matrisin köflegen elemanlar› çarp›m›ndanköflegen d›fl› elemanlar› çarp›m›n›n ç›kar›lmas›y-la bulunur. ‹kiden daha yüksek boyutlu matris-ler için determinant hesaplayabilmek için matris-lerin minör ve kofaktör de¤erlerinin kullan›lma-s› gerekir. Çünkü bu boyuttaki bir matrisin de-terminant›, matrisin herhangi bir sat›r veya sütu-nundaki elemanlar›n›n kendi kofaktörleriyle çar-p›mlar› toplam›d›r.

Ters matris, Gauss Yöntemi ve Cramer kural› ile

denklem sistemlerini çözmek

Do¤rusal denklem sistemleri ters matris yöntemi,Gauss yöntemi ve Cramer kural› ile çözülebilir.Ters matris yönteminde N tane do¤rusal eflitlikve n tane bilinmeyenden oluflan bir denklem sis-temi ele al›n›r. Böyle bir denklem sistemi matrisve vektörler kullanarak Ax = b biçiminde ifadeedilir. Burada A katsay›lar matrisini x çözüm vek-törünü ve b de sabitler vektörünü verir. E¤er Amatrisin tersi al›nabilirse x in çözümü, x = A-1 b

fleklinde bulunabilir. Gauss eleme yöntemiyledenklem sistemleri çözülürken A matrisi ile bvektörü üzerine basit sat›r ifllemleri uygulanarakA matrisinin birim matrise dönüflümü sa¤lan›r.Bu süreç sonucunda elde edilen b vektörü deçözüm vektörü olur. Do¤rusal eflanl› denklemsistemini çözümünde kullan›lan bir di¤er yön-tem de Cramer Kural›’d›r. Bu kural özellikle denk-lem sisteminde yer alan tüm bilinmeyen de¤ifl-kenlerin de¤eri de¤il de bunlardan baz›lar› vehatta bir tanesinin de¤eri bulunmak istendi¤indekullan›labilecek oldukça yararl› bir yöntemdir.Ax = b biçimindeki denklem sistemini determi-nantlar kullanarak çözme yöntemidir. Sistemdeyer alan xi de¤iflkeninin de¤erini bulmak için

formülü kullan›l›r.xii=

A

A

5NA M A Ç


1. biçiminde verilen A matrisinin iz

(trace) de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir? a. 15b. 10c. 11d. 14e. 12

2. Afla¤›daki matrislerden hangisi bir üst üçgensel mat-ristir?

3. ise AB çar-

p›m matrisinin ikinci sat›r›n›n ilk eleman› afla¤›dakiler-den hangisidir?

a. 17b. 6c. 5d. 14e. 23

4. ise A ve B

matrislerinin toplam› afla¤›dakilerden hangisidir?

5. ise A matrisinin evri¤i (A′) afla¤›-

dakilerden hangisidir?

6. matrisinin determinant› afla¤›daki-

lerden hangisidir?a. 20b. 0c. 10d. 5e. 40

A =

2 54 10

a

b

c

.

.

.

1 4 67 2 5

7 12 45 6

1 74 26 5

d

e

.

.

8 6 117 4 6

1 00 11 1

A =

7 2 51 4 6

a

b

c

.

.

4 55 51 4

11 63 4

12 7

−−

− −

..

.

.

7 3 41 5 6

14 13 75 4

5 8 1211 6

−

d

e44

A B= =9 34 12 0

5 21 6

3 4

−

−

ve

A B=

=

2 1 01 0 4

3 1 2 11 0 1 25 4 1 1

ve

a

b

c

.

.

1 0 02 8 04 9 7

1 2 32 4 53 5 6

..

.

1 4 20 3 40 0 1

1 4 52 1 62 3 1

d

e..1 1 11 1 11 1 1

A =

5 2 32 4 53 5 6



7. matrisinin kofaktörler matrisinin

birinci sat›r ve birinci sütununda yer alan C11 eleman›-n›n de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 19b. 15c. 14d. 3e. -23

8. matrisinin tersi (A-1) afla¤›dakilerden

hangisidir?

9. Ek matris afla¤›daki seçeneklerin hangisinde do¤rutan›mlanmaktad›r?

a. Köflegenin alt›ndaki elemanlar› s›f›r olan matristirb. Bir matrisin sat›rlar›yla sütunlar›n›n yer de¤ifltir-

mifl biçimidir.c. Köflegenin üzerindeki elemanlar› s›f›r olan mat-

ristir d. Bir matrisin kofaktör matrisinin evri¤idire. Köflegen elemanlar› bir olan skaler matristir

10. ‹ki mal için denge koflulu afla¤›daki eflitliklerle ve-rilmektedir.

9P1 + P2 = 432P1 + 7P2 = 57

Bu eflitlik sistemi matris formunda ifade edilip çözüldü-¤ünde P1 ’in de¤eri afla¤›dakilerden hangisi olur?

a. 7b. 6c. 4d. 9e. 2

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›1. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Temel Matris ‹fllemleri”

konusunu yeniden gözden geçiriniz. 2. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Matrislerle ‹lgili Tan›mlar ve

Terimler” konusunu yeniden gözden geçiriniz.3. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Temel Matris ‹fllemleri”

konusunu yeniden gözden geçiriniz.4. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Temel Matris ‹fllemleri”

konusunu yeniden gözden geçiriniz.5. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Temel Matris ‹fllemleri”

konusunu yeniden gözden geçiriniz.6. b Yan›t›n›n›z yanl›fl ise “Ters Matrisin Bulunmas›”

konusunu yeniden gözden geçiriniz.7. e Yan›t›n›n›z yanl›fl ise “Ters Matrisin Bulunmas›”

konusunu yeniden gözden geçiriniz.8. a Yan›t›n›n›z yanl›fl ise “Ters Matrisin Bulunmas›”

konusunu yeniden gözden geçiriniz.9. d Yan›t›n›n›z yanl›fl ise “Ters Matrisin Bulunmas›”

konusunu yeniden gözden geçiriniz.10. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Denklem Sistemlerinin

Çözümü” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

a

b

c

.

.

.

1 4 1 2

1 8 3 4

1 6 1 3

1 4 2 5

4

−−

−−

−−−

−−

28 3

6 14 2

1 2 1 3

1 4 3 5

d

e

.

.

A =

6 41 2

A =

6 2 75 4 93 3 1



‹ki matris eflit oldu¤u için, matrislerin karfl›l›k gelen tüm elemanlar›n›n birbirine eflit olmas› gerekir. Bu nedenle, x -y = 0 ve y = 2 olacakt›r. Y = 2 oldu¤u için de, x = 2 olacakt›r.

S›ra Sizde 2

Yukar›da aç›klad›¤›m›z ç›karma kural›n› izlerseniz, iki matris fark›n› afla¤›daki gibi bulabilirsiniz.

S›ra Sizde 3

S›ra Sizde 4

Matrisin evri¤ini bulmak için, matrisin sat›rlar› sütun olarak yaz›l›r. Buna göre olur.

S›ra Sizde 5

Matrisin tersini alabilmek için afla¤›daki ifllemler izlenir:

1. Matrisin birinci sat›r›n› 1/7 ile çarpal›m.

2. Birinci sat›r› 6 ile çarp›p ikinci sat›rdan ç›karal›m.

3. ‹kinci sat›r› 7/30 ile çarpal›m.

19

70 1

1

70

1

5

7

30

−

654

7

030

7

1

70

6

71

−

19

76 12

1

70

0 1

7 96 12

1 00 1

′ =

A 2 3 4

5 6 7

c x x x31 2 3 8541

2 5 3 4 8 1 10= −

= + +− =( ) ++ − =

= −

−

= +

12 8 14

2 3 823

0

2 2 332c x x( −− + = − + = −3 8 0 4 9 0 5) x

A-B=3 7 2

0 1 8

4 0 1

2 3 02 3 2 3

−

+−

=x x

(33 4 7 0 2 1

0 2 1 3 8 02

− − − −

− − − −

) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( )xx x3 2 3

1 7 1

2 4 8=

− −

−


4. ‹kinci sat›r› 9/7 ile çarp›p birinci sat›rdan ç›karal›m.

Görüldü¤ü gibi A matrisi birim matrise dönüfltü¤ü için A matrisinin yan›nda yer alan matrisi A matrisinin tersmatrisi olacakt›r.

S›ra Sizde 6

Önce birinci sat›r›n minör de¤erlerini bulal›m.

S›ra Sizde 7

C = −−

= ′ = −

−

2 65 20

2 56 20

; ( ) ek A C

AA

AA

= + − = − =

= = −−

−

20 2 6 5 40 30 10

1 1

102 56 20

1

x x

ek A

( )

( )

=

−

−

=−

−

2

10

5

106

10

20

10

1

5

1

23

552

M

M

11

12

1 12 1

1 1 2 1 1 2 3

0 11 1

0 1 1 1

= − = − − = + =

= − = − − =

x x

x x

( )

( ) 00 1 1

0 11 2

0 2 1 1 0 1 1

1 1

13

111 1

11

+ =

= = − = − =−

= − = −+

M

C M

x x

( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2

121 2

123

131 3

1

3 3

1 1 1 1

1

=

= − = − = −

= −

+

+

C M

C M 3341 1 1

1 3 2 1 3 1 3 2 3 2

= − − = −

= + − + − = − − =−

( ) ( )

( ) ( )A x x x olur..

2

5

3

101

5

7

30

−

−

1 00 1

2

5

3

101

5

7

30

−

−


S›ra Sizde 8

Önce eflitlik sistmini matris formunda yazal›m.

S›ra Sizde 9

Aleskerov F., Ersel H. & Piontkovski D. (2011). Linear

Algebra for Economists, Springer Verlag, Berlin,Germany.

Dadkhah Kamran (2007). Foundations of Mathematical

and Computational Economics, Thomson SouthWestern, USA.

Dadkhah Kamran (2011). Foundations of Mathematical

and Computational Economics, Springer Verlag,Berlin, Germany.

Dowling E. T., (1980). Mathematics for Economics

Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill BookCompany, USA.

Hands D.Wade (1991). Introductory Mathematical

Economics, D.C. Heath and Company, Lexington,Massachusetts, USA.

Hess Peter (2002). Using Mathematics in Economic

Analysis, Prentice Hall, New Jersey, USA.Hoy M., Livernois J., McKenna C., Rees R. & Stengos T.

(2001). Mathematics for Economics, MIT Press,Cambridge, Massachusetts, USA.

Jacques Ian (2006). Mathematics for Economics and

Business, Pearson Education Limited, Essex,England.

Karris S. T. (2007). Mathematics for Business Science

and Technology, Orchard Publications, California,USA.

Luderer B., Nollau V. & Vetters K. (2010). Mathematical

Formulas for Economists, Springer Verlag, Berlin,Germany.

Rosser Mike (2003). Basic Mathematics for Economists,Routledge Taylor & Francis Group, London and NewYork.

Simon C. P. & Blume L. (1994). Mathematics for

Economists, W.W. Norton & Company Inc., USA.Sydsaeter K., Strom A., Berck P. (2005). Economists’

Mathematical Manual, Springer, Berlin, Germany.Vassilis C. M. & Phillips T. N. (2007). Elements of

Mathematics for Economics and Finance,Springer Verlag, USA.

Vinogradov Viatcheslav (1999). A Cook Book of

Mathematics, Center for Economic Research andGraduate Education, Prague, Czech Republic.

1 6 74 5

108

2 6 5

.

. ( )

=

= −

xy

A 44 7 30 28 2

3 10 78 5

6 104 8

( )

.

= − =

=

=

A Ax yve

= − = − = −

= − = −

4 10 5 8 7 50 56 6

6 8 10 4 48 4

. ( ) ( )

( ) ( )

A

A

x

y 00 8

56

23

8

24

=

= = − =−

= = =

. x

y

A

A

A

A

x

y

P

P1

2

14 1

2 5137

= −

−

−−

= −

−

C 55 21 4

5 12 4

4

−− −

= − −

− −

=−

; ( ) ek A

A (( ) ( )− + − = − =

= − −− −

=

−−

5 1 2 20 2 18

1

185 12 4

5

181A−−

− −

=

1

182

18

4

18

1

181

2

P

P−− −− −

−−

= − − + − −

5 12 4

137

5 13 11P

( ) ( )( 77

18

65 7

18

72

184

2 13 4 7

18

26 28

12

)

( ) ( )( )

= + = =

= − − + − − = +P

88

54

183= =

−−

= −

−

4 12 5

137

1

2

P

P


Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Çok de¤iflkenli fonksiyon kavram›n› tan›mlay›p iki ve daha fazla de¤iflkenlifonksiyonlar› aç›klayabilecek,Birinci ve ikinci dereceden k›smi türevlerin nas›l al›nd›¤›n› aç›klayabilecek,Çok de¤iflkenli fonksiyonlar› ve k›smi türevi iktisadi konularda kullanabilecek,bilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• ‹ki de¤iflkenli fonksiyon• Çok de¤iflkenli fonksiyon• Fonksiyonun tan›m kümesi• K›smi türev• ‹kinci dereceden k›smi türev• Esneklikler

• Üretim fonksiyonu• Fayda fonksiyonu• Kâr fonksiyonu• Homojen fonksiyon• Ölçe¤e göre getiri

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

N

NN

Matematiksel ‹ktisat Çok De¤iflkenliFonksiyonlar

• ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONKAVRAMI

• KISM‹ TÜREV• ÇOK DE⁄‹fiKENL‹

FONKS‹YONLARIN ‹KT‹SAD‹UYGULAMALARI


ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YON KAVRAMIDaha önce tek de¤iflkenli fonksiyonlar› ve bu fonksiyonlar›n temel özellikleriniinceledik. Bu ünitede de çok de¤iflkenli fonksiyonlar›n temel özelliklerini göz-den geçirip bu tür fonksiyonlar›n iktisatta kullan›m› ile ilgili örnekler verece¤iz.Çok de¤iflkenli fonksiyonlar›n en basit biçimi iki de¤iflkenli fonksiyonlard›r. Ko-nuyu daha iyi anlayabilmek için öncelikle iki de¤iflkenli fonksiyonlar› inceleyipdaha sonra de¤iflken say›lar›n› artt›rarak n de¤iflkenli fonksiyon kavram›n› aç›k-layaca¤›z. Çünkü iktisattaki ço¤u iliflki ikiden fazla de¤iflken içerir. Örne¤in birmal›n talebi sadece mal›n fiyat›na de¤il, ayn› zamanda tüketicinin geliri, ikame vetamamlay›c› mallar›n fiyatlar›, tüketicinin zevk ve tercihleri gibi birçok faktöreba¤l›d›r. Benzer flekilde, bir üretim sürecinde ç›kt› miktar› toprak, sermaye, emekgibi birçok girdinin kullan›m›na ba¤l› olarak de¤iflir. K›saca ekonomik davran›fl-lar› analiz etmek amac›yla daha önce gördü¤ümüz tek de¤iflkenli fonksiyon kav-ram›n› biraz daha geniflletip daha fazla de¤iflkenin kullan›m›na imkân tan›mam›zgerekir.

‹ki De¤iflkenli FonksiyonlarBofl küme olmayan herhangi A, B ve C kümeleri verilsin.

A × B = {(x, y) x ∈ A, y ∈ B }

E¤er A×B kümesinden al›nm›fl her (x, y) çiftini C kümesinden tek bir z elema-n› ile eflleyen bir ƒ kural› verilmiflse bu ƒ kural›na A×B kümesinden C kümesine ikide¤iflkenli fonksiyon denir ve

ƒ : A × B → C, z = ƒ(x, y) veya ƒ = ƒ(x, y) fleklinde gösterilir.

A×B’ye fonksiyonun tan›m kümesi veya tan›m bölgesi, C’ye ise de¤er kümesi ad›verilir. Burada x ve y ba¤›ms›z de¤iflkenler, z ise ba¤›ml› de¤iflkendir. Tüm (x, y)s›ral› ikililerini içeren iki boyutlu düzlem genellikle R2 ile ifade edilir.

Daha aç›k ifade etmek gerekirse iki de¤iflkenli bir ƒ fonksiyonu her (x, y ) s›ra-l› ikilisi ile gösterilen girdiye, tek bir z ç›kt›s›n› atayan bir kurald›r. Bu eflleflmede,her bir s›ral› ikili daima tek bir elemanla efllenmektedir. fiekil 6.1’de görüldü¤ü gi-bi ortada yer alan kare x ve y girdileri üzerinde baz› aritmetik ifllemler yaparak zç›kt›s›n› üretmektedir.

Çok De¤iflkenli Fonksiyonlar

‹ki de¤iflkenli bir ƒfonksiyonu her (x, y ) s›ral›ikilisi ile gösterilen girdiye,tek bir z ç›kt›s›n› atayan birkurald›r.

Örne¤in uygulanmas› gereken kural “iki say›y› birbiri ile çarp›p iki kat›n› al veikinci say›n›n üç kat›n› ekle” fleklinde olabilir. Bu sözel ifadeyi k›saca sembollerlegösterebiliriz.

ƒ (x, y ) = 2xy + 3y ya da z = 2xy + 3y

(2,3) ikilisinin bu fonksiyon alt›ndaki görüntüsünü, di¤er bir deyiflle ƒ (2,3) sa-y›s›n› bulal›m. Bunun için 2xy + 3y ifadesinde x yerine 2 ve y yerine 3 yazar›z. Bu-na göre ƒ(2,3) = 2(2)(3) + 3(3) = 21 olur.

ƒ (3,2) de¤eri ise 2(3)(2) + 3(2) = 18 bulunur. Yani ƒ (2,3) de¤eri ƒ (3,2) de¤e-rinden farkl›d›r. Bu nedenle de¤iflkenlerin s›ras›na dikkat edilmesi gerekir.

ƒ (x, y) ≠ ƒ (y, x)

‹ki De¤iflkenli Fonksiyonun Tan›m KümesiTek de¤iflkenli fonksiyonlarda gördü¤ümüz gibi kural›n uyguland›¤› tüm girdi sa-y›lar›n›n kümesine tan›m kümesi ad› verilmektedir. Ancak iki de¤iflkenli fonksiyo-nun tan›m kümesinin elemanlar› (x, y ) gibi ikililerdir. Bu nedenle iki de¤iflkenlifonksiyonun tan›m kümesine, düzlemin bir alt kümesi oldu¤u için, tan›m bölgeside denir. Düzlemin herhangi bir alt kümesi iki de¤iflkenli bir fonksiyonun tan›mbölgesi olarak al›nabilir. Ancak iktisadi analizlerle bizim en s›k karfl›laflaca¤›m›ztan›m bölgesi {(x, y) x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∈ R} kümesidir. Örne¤in ƒ (x, y ) fonksiyo-nu bir üretim fonksiyonuysa ve x sermayeyi, y eme¤i temsil ediyorsa üretimin ger-çekleflmesi için her iki girdiden de kullanmak gerekti¤inden x ≥ 0 ve y ≥ 0 oldu-¤u varsay›l›r.

iki de¤iflkenli bir fonksiyondur. y = 3 iken payda 0 oldu¤un-

dan ƒ ’nin tan›m kümesi y ≠ 3 iken tüm (x, y ) ikililerinden oluflur. g (x, y ) =5y fonksiyonu ise g ’yi x ve y ’nin bir fonksiyonu olarak tan›mlar. Ta-

n›m kümesi gerçel say›lar›n tüm s›ral› ikilileridir. Burada fonksiyonun de¤erleri se-çilen x ’ten ba¤›ms›zd›r.

z2 = x2 + y2 ise tan›mlad›¤›m›z anlamda bir fonksiyonel iliflki de¤ildir. Çünküher bir s›ral› ikili tek bir elemanla efllenmemektedir. Örne¤in x = 4 ve y = 3 içinz2 = 42 + 32 = 25 ve z = ±5 olur.

‹ki De¤iflkenli Fonksiyonun Grafi¤iTek de¤iflkenli bir fonksiyonun grafi¤ini çizmek için koordinatlar› s›ral› ikililer ta-raf›ndan belirlenen tüm noktalar›n birlefltirilmesi yeterliydi. ‹ki veya daha fazla ba-¤›ms›z de¤iflkenli fonksiyonlar›n grafiksel gösterimi ise biraz daha karmafl›kt›r. ‹kide¤iflkenli bir fonksiyon, düzlemin bir noktas›n› bir gerçel say›yla efllemesinden

ƒ( , )x y xy

=+−

23


ƒz

x

y

fiekil 6.1

‹ki De¤iflkenliFonksiyon

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



‹ki de¤iflkenli fonksiyonuntan›m kümesine, düzleminbir alt kümesi oldu¤u için,tan›m bölgesi denir.

‹ki de¤iflkenli birfonksiyonun grafi¤i tüm (x, y, ƒ (x, y )) noktalar›n›içeren 3 boyutlu uzayda biryüzeydir.

dolay›, üç boyutlu uzay›n noktalar›ylageometrik olarak temsil edilebilir. Yani ƒfonksiyonun grafi¤i tüm (x, y , ƒ (x, y ))noktalar›n› içeren 3 boyutlu uzayda biryüzeydir. ƒ ’nin tan›m kümesindeki herbir (x, y ) s›ral› ikilisine (x, y , ƒ (x, y ))noktas›n› atar›z. Bu türdeki tüm noktala-r›n kümesi ƒ ’nin grafi¤i olarak adland›r›-l›r. fiekil 6.2’de görüldü¤ü gibi, fonksiyo-nun ba¤›ml› de¤iflkenlerinden oluflan iki-li (x, y )’yi yatay düzlemde gösterirsekfonksiyonun de¤eri bu noktan›n üzerin-de yer alan ve yüksekli¤i z ile belirlenenyüzeydir. Fonksiyonun grafi¤ini elle çiz-mek kolay olmasa da üç boyutlu grafik-ler çizebilen bilgisayar programlar› yard›-m› ile bu ifllem yap›labilir.

‹kiden Fazla De¤iflkenli Fonksiyonlar‹ktisatta inceledi¤imiz fonksiyonlar›n ço¤u ikiden fazla ba¤›ms›z de¤iflken içerir.Örne¤in bir ülkenin Gayri Safi Milli Has›la (GSMH)’si, tasarruf, yat›r›m, tüketim, fa-iz, konjonktür gibi birçok de¤iflkenin fonksiyonudur. Elbette de¤iflken say›s› artt›k-ça matematiksel analiz daha karmafl›k hâle gelmektedir. Çok de¤iflkenli bir fonksi-yonu matematiksel olarak flöyle ifade edebiliriz:

n ∈ N olmak üzere, bofl küme olmayan A1, A2, ......., An ve C kümeleri verilsin.x1 ∈A1, x2 ∈A2, ......., xn ∈An olmak üzere, tüm (x1, x2, ......., xn) s›ral› n-lilerinkümesine A1, A2, ......., An kümelerinin kartezyen çarp›m› denir ve A1×A2×.......×Anfleklinde gösterilir. K›saca

A1×A2×.......×An = { (x1, x2, ......., xn) x1 ∈A1, x2 ∈A2, ......., xn ∈An} ’dir.

Her bir (x1, x2, ......., xn) ∈A1×A2×.......×An n-lisine C kümesinden bir tek z ele-man› atayan ƒ kural›na A1×A2×.......×An’ den C ’ye n-de¤iflkenli fonksiyon denir ve

ƒ : A1×A2×.......×An → C, z = ƒ (x1, x2, ......., xn) veya ƒ (x1, x2, ......., xn)

fleklinde gösterilir. A1×A2×.......×An kümesine fonksiyonun tan›m kümesi veya ta-n›m bölgesi, C ’ye ise de¤er kümesi denir.

Bir fonksiyonda, tan›m kümesinin herhangi bir noktas›na de¤er kümesindekarfl›l›k gelen say›ya, fonksiyonun o noktadaki de¤eri denir. Fonksiyon de¤erleri-nin kümesi ise görüntü kümesi olarak adland›r›l›r.

KISM‹ TÜREVy = ƒ (x) fleklindeki tek de¤iflkenli fonksiyonda ƒ' (x) ile gösterilen türev, x ’teki de-¤iflim sonucunda fonksiyonun de¤erindeki de¤iflimi ölçüyordu. z = ƒ (x, y ) biçi-mindeki çok de¤iflkenli fonksiyonda da ba¤›ms›z de¤iflkenlerdeki de¤iflim sonu-cunda fonksiyonun de¤erinin nas›l de¤iflece¤ini ö¤renmek isteyebiliriz. Örne¤inƒ (x, y ) fonksiyonu, üretim sürecinde x ve y gibi iki farkl› girdi kullanan bir firma-n›n kâr fonksiyonu ise, her iki girdideki de¤iflim sonucunda kâr›n nas›l etkilenece-¤ini bilmek firma aç›s›ndan önemlidir.

1416. Ünite - Çok De¤iflkenl i Fonksiyonlar

fiekil 6.2

z

x

y

(x,y)

z=f(x,y)

‹ki De¤iflkenliFonksiyonGrafi¤i

Kaynak: JacquesI. Mathematicsfor Economicsand Business,s.296.

z = x2 + 4y 3 fonksiyonunu ele alal›m. Önce y ’nin sabit tutuldu¤unu varsayar-

sak bu durumda 4y 3 sabit olaca¤›ndan elimizde tek de¤iflken kal›r. z ’nin x ’e göre

de¤iflim oran› ise olarak belirlenir. Benzer flekilde x ’i sabit tutup, y ’deki

de¤iflimin z’yi nas›l etkileyece¤ini de belirleyebiliriz. Bunun için x sabitken z ’nin

y ’ye göre türevini almam›z gerekir. Sonuç ise olur. Elbette x ve y de-

¤iflkenleri birlikte de de¤iflebilir. Ancak flimdilik k›smi türev kavram›n› tan›mak için

de¤iflkenlerden birinin sabit oldu¤unu varsay›yoruz.

Çok de¤iflkenli fonksiyonlarda z ’nin x ’e göre k›smi türevini ifade etmek için

dz /dx yerine ∂z/ ∂x ifadesi kullan›l›r. d ile ∂’n›n de¤ifltirilmesi ile yap›lan bu kü-

çük de¤ifliklik di¤er ba¤›ms›z de¤iflkenler sabit tutularak sadece bir tanesindeki

de¤iflimin incelendi¤ini ifade etmektedir. Benzer flekilde x’i sabit tutup y ’deki de-

¤iflimin etkisini inceleyece¤imiz zaman da dz /dy yerine ∂z/ ∂y yazar›z. K›saca

’dir.

Genel olarak z = ƒ(x, y ) iki de¤iflkenli fonksiyonunda, ƒ ’nin x ’e göre k›smi tü-

revi ya da ya da ƒx fleklinde gösterilir ve y sabitken, fonksiyonun x ’e

göre türevi al›narak bulunur. Benzer olarak ƒ ’nin y ’ye göre k›smi türevi de ya

da ya da ƒy fleklindedir ve x sabitken fonksiyonun y ’ye göre türevi al›narak

hesaplan›r.

‹ki de¤iflkenli bir ƒ fonksiyonu ƒ(x,y) = xy2 + x2y ise ƒx ve ƒy k›smi türevlerini hesapla-y›n›z.

Burada iki de¤iflkenli fonksiyonlar›n k›smi türevleri üzerine yo¤unlaflsak da iki-

den fazla de¤iflkenli fonksiyonlar›n da k›smi türevleri al›nabilir. Çok de¤iflkenli

fonksiyonun genel gösterimi y = ƒ (x1, x2,.....,xn) fleklindedir. Buradan ya da

ƒi (i = 1,2,......,n) ile gösterilen n tane k›smi türev bulunabilir. Bunu yaparken her

seferinde fonksiyonun bir de¤iflkene göre türevini al›p kalan n – 1 de¤iflkenin sa-

bit oldu¤unu kabul ederiz.

‹kinci Dereceden K›smi Türevler‹ki de¤iflkenli bir fonksiyonun türevini ald›¤›m›z zaman, gene iki de¤iflkenli bir

baflka fonksiyon elde ederiz. Yani z = ƒ(x, y ) ise z ’nin x ve y ’nin bir fonksiyonu

oldu¤unu biliyoruz. Ayn› zamanda ƒx ve ƒy de x ile y ’nin birer fonksiyonudur.

E¤er ƒ ’nin ikinci dereceden k›smi türevlerini elde etmek istersek, ƒx ve ƒy ’nin

tekrar türevini alabiliriz. Buradan dört farkl› ikinci dereceden k›smi türev elde

edebiliriz.

∂∂

ƒxi

∂∂

ƒy

∂∂

zy

∂∂

ƒx

∂∂

zx

z x y zx

x zy

y= + ⇒∂∂

=∂∂

=2 3 24 2 12 ve

dzdy

y= 12 2

dzdx

x= 2


z = ƒ(x, y ) iki de¤iflkenli

fonksiyonunda, ƒ ’nin x ’e

göre k›smi türevi

ya da ya da ƒx

fleklinde gösterilir.

∂

∂

ƒ

x

∂

∂

z

x

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

Fonksiyonun x’e göre iki kez k›smi türevi al›n›rsa

Fonksiyonun y ’ye göre iki kez k›smi türevi al›n›rsa

Fonksiyonun önce x’e sonra y ’ye göre k›smi türevi al›n›rsa

Fonksiyonun önce y ’ye sonra x’e göre k›smi türevi al›n›rsa

ƒ(x, y) = x2y + x2y 2 fonksiyonunun ikinci dereceden dört k›smi türevini belirleyiniz.

ƒxy ve ƒyx türevlerine çapraz k›smi türev ad› verilir. Ço¤u zaman bir fonksiyo-nun çapraz k›smi türevleri birbirine eflittir. Yani türev alma s›ras› önemli de¤ildir.Matematikte ƒxy = ƒyx kural›n›n geçerli olmad›¤› fonksiyonlarla karfl›lafl›labilir an-cak iktisadi analizlerde ve bu kitap içerisinde inceleyece¤imiz fonksiyonlarda bukural›n geçerli oldu¤unu söyleyebiliriz.

y = ƒ(x1, x2,.....,xn) fleklindeki çok de¤iflkenli bir fonksiyonda da ikinci derece-

den k›smi türevler benzer flekilde bulunabilir. Örne¤in ƒ(x1,x2,x3) = x 31 + x1x

23 +

5x 42 fonksiyonunda k›smi türevini bulmak için önce fonksiyonun

x1’e göre k›smi türevi al›n›p sonra da x3’e göre k›smi türevi al›n›r. Dolay›s›yla

bulunur. Buradan olur.

K›smi türev, herhangi bir de¤iflkendeki de¤iflimin, di¤er bütün de¤iflkenler sa-bit tutuldu¤unda etkisini göz önüne al›r. Bu iktisatta bize çok tan›d›k olan bir kav-ramla ayn› anlama gelmektedir. “Ceteris Paribus” yani di¤er fleylerin sabit kald›¤›varsay›m›. ‹ktisatta birçok analiz sadece bir de¤iflken üzerinde yo¤unlaflarak di¤erfaktörlerin sabit oldu¤u varsay›m›na göre yap›lmaktad›r. Örne¤in iktisada giriflderslerinizde gördü¤ünüz talep kanununa göre di¤er fleyler sabitken (tüketiciningeliri, ikame ve tamamlay›c› mallar›n fiyatlar›......) bir mal›n fiyat› ile talep edilenmiktar› aras›nda negatif iliflki vard›r. Bu durumda herhangi bir talep fonksiyonun-da ceteris paribus varsay›m› alt›nda k›smi türev uygulayarak fiyat›n bir birim artma-s› sonucunda talep edilen miktar›n ne kadar azalaca¤›n› belirleyebiliriz.

ƒ ƒ31

2

3 132=

∂∂ ∂

=x x

xƒ ƒ1

112

323=

∂∂

= +x

x x

ƒ ƒ31

2

3 1=

∂∂ ∂x x

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2 2zx y x y xy ƒya da ya da

ƒ

∂∂ ∂

∂∂ ∂

2 2zy x y x yx ƒya da ya da

ƒ

∂

∂

∂

∂

2

2

2

2z

y yyy ƒya da ya da

ƒ

∂

∂

∂

∂

2

2

2

2z

x xxx ƒya da ya da

ƒ


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂=

2 2ƒ

y x

ƒ

x y

y = ƒ(x) fonksiyonunda y ’nin x ’e göre de¤iflim oran› dy/dx türevi ile bulunabi-

liyordu. E¤er x ’teki de¤iflim yani ∆x çok küçük olursa, y ’deki de¤iflimi hesaplamak

için formülü kullan›labilir. ∆x de¤eri küçüldükçe ∆y de¤erini do¤ru

hesaplama flans›m›z artar. Tek de¤iflkenli bir fonksiyon kullanarak gösterdi¤imiz

bu kural›, k›smi türevi kullanarak çok de¤iflkenli fonksiyonlara da uyarlayabiliriz.

z = ƒ(x, y ) fonksiyonunda, y sabitken x küçük miktarda ∆x kadar de¤iflirse

z ’deki de¤iflim yaklafl›k olarak kadar olur. Benzer flekilde x sabitken,

y küçük miktarda ∆y kadar de¤iflirse z ’deki de¤iflim yaklafl›k olarak

kadar olur. x ve y ’nin birlikte de¤iflmesi durumunda, z ’deki toplam de¤iflim, x ve

y ’nin bireysel de¤iflimlerinin toplam› kadard›r. Yani

olur.

Bu ifade z ’deki de¤iflimi yaklafl›k olarak hesaplasa da, ∆x ve ∆y s›f›ra yaklafl-t›kça hata pay› azalaca¤› için formül bir eflitli¤e dönüflür.

Burada dx, dy ve dz diferansiyellerdir ve ∆x, ∆y ve ∆z ’nin limit de¤erlerini tem-sil ederler.

Örne¤in toplam has›lan›n, iflçi ücretleri ile reklam harcamalar›n›n fonksiyonuoldu¤u afla¤›daki çok de¤iflkenli fonksiyonu ele alal›m.

TR = 5W 2A3 Burada TR toplam has›lay›, W iflçi ücretlerini ve A reklam harca-malar›n› ifade etmektedir. Önce toplam has›lan›n diferansiyelini belirleyelim.

fiimdi de iflçi ücretlerinin %5 artmas› ve reklam harcamalar›n›n de¤iflmemesidurumunda toplam has›lan›n yaklafl›k olarak nas›l etkilenece¤ini bulal›m.

Ücretler %5 artt›¤›na göre ∆W =5W/100 olur. Reklam harcamalar› de¤iflmedi¤i-ne göre ∆A=0’d›r. Bu de¤iflim de¤erlerini eflitlikte yerine koyarsak

5W 2A3 = TR oldu¤undan

Yani toplam has›la yaklafl›k olarak %10 artar.∆( )TR TR≈

110

100

∆ ∆ ∆

∆

( ) ( )( )

( )( )

( ) (

TR TRW

W TRA

A

WA W W A

≈∂∂

+∂∂

≈ +5 2 153 2 2 ))

( )

∆A

WA W

W A

≈ × +

≈

5 21

5100

0

51

10100

3

2 3

d TR TRW

dW TRA

dA

WA dW W A

( ) ( )( )

( )( )

( ) (

=∂∂

+∂∂

= +5 2 5 33 2 2 ))dA

dz zx

dx zy

dy=∂∂

+∂∂

∆ ∆ ∆z zx

x zy

y≈∂∂

+∂∂

∆ ∆z zy

y≈∂∂

∆ ∆z zx

x≈∂∂

∆ ∆y dydx

x≈


ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARIN ‹KT‹SAD‹UYGULAMALARI

EsnekliklerTek de¤iflkenli fonksiyonlar› anlat›rken talebin fiyat›n bir fonksiyonu oldu¤unuifade edip fiyat›n artmas› durumunda talep edilen miktar›n azalaca¤›n› söylemifl-tik. fiimdi çok de¤iflkenli fonksiyonlar› kullanarak bu basitlefltirilmifl ifadeyi gelifl-tirerek talebi etkileyen di¤er faktörleri de inceleyebiliriz. Bir mal›n talebinin (Q),mal›n fiyat›na (P), ikame veya tamamlay›c› mal›n fiyat›na (Pi ) ve tüketicinin geli-rine (Y ) ba¤l› oldu¤unu varsayal›m. Bunu çok de¤iflkenli bir fonksiyon kullana-rak Q = ƒ(P, Pi , Y ) fleklinde gösterebiliriz. Talebi etkileyen bu üç de¤iflkendekide¤iflime talebin ne kadar duyarl› oldu¤unu belirlemek için esneklik kavram›n›kullan›r›z.

‹nceleyece¤imiz ilk esneklik türü daha önce tek de¤iflkenli fonksiyonlar bölü-münde de kullan›lan talebin fiyat esnekli¤i olsun. Bu çok de¤iflkenli fonksiyondatalebin fiyat esnekli¤i, ikame mal›n›n fiyat› ve tüketici geliri sabitken, mal›n kendifiyat›ndaki yüzde de¤iflim sonucunda, talepteki yüzde de¤iflimi ifade etmektedir.

K›saca

Burada k›smi türevi kullanmam›z›n nedeni, Q ’nun birçok de¤iflkenin fonksiyo-

nu olmas› ve Pi ve Y ’nin sabit tutulmas›d›r. Benzer flekilde, talebin ikame veya ta-

mamlay›c› mal›n fiyat›ndaki de¤iflime ne kadar duyarl› oldu¤unu belirlemek için

de talebin çapraz fiyat esnekli¤i kavram›n› kullan›r›z. Mal›n kendi fiyat› ve tüketici

geliri sabitken, ikame veya tamamlay›c› mal›n fiyat›ndaki yüzde de¤iflimin sonu-

cunda talebin hangi oranda de¤iflece¤ini belirlemek için formülü

kullan›l›r. Çapraz fiyat esnekli¤inin iflareti alternatif mal›n türüne göre de¤iflir. E¤er

alternatif mal, ikame malsa Pi artt›¤›nda, Q da artar. Çünkü tüketiciler nispi olarak

daha ucuz kalan maldan tüketmeyi tercih ederler. Dolay›s›yla olaca¤›n-

dan EPi > 0 olacakt›r. Alternatif mal›n tamamlay›c› bir mal olmas› durumunda ise al-

ternatif mal›n fiyat›n›n artmas› sonucunda talep azal›r. Dolay›s›yla olaca-

¤›ndan EPi < 0 olur.

Talebin gelir esnekli¤i ise, gelirdeki yüzde de¤iflim sonucunda talebin nas›l et-

kilenece¤ini inceler. formülü ile hesaplan›r. Talebin gelir esnekli¤i

pozitif ya da negatif de¤er alabilir. Normal mallar için gelir artt›¤›nda talep de ar-

taca¤›ndan gelir esnekli¤i pozitif ç›kar. Düflük mallarda ise gelir art›fl› sonucunda

talep azalaca¤›ndan gelir esnekli¤i negatiftir.Örne¤in talep fonksiyonu Q = 500 – 3P – 2Pi + 0,001Y fleklinde verilmifl olsun.

P=20, Pi =30 ve Y =5000 olmas› durumunda talebin fiyat esnekli¤ini, çapraz fiyatesnekli¤ini ve gelir esnekli¤ini hesaplayal›m.

E YQ

QYY = ×

∂∂

∂∂

<QPi

0

∂∂

>QPi

0

EPQ

QPP

i

ii= ×

∂∂

E PQ

QPp = − ×

∂∂


Öncelikle P=20, Pi =30 ve Y =5000 iken talep edilen miktar› hesaplayal›m.

Q = 500–3(20)–2(30)+0,001(5000)=430

Fiyat esnekli¤ini hesaplayabilmek için Q ’nun P ’ye göre k›smi türevine ihtiyac›-

m›z var. Buradan bulunur.

Çapraz fiyat esnekli¤ini bulmak için ise öncelikle fonksiyonun alternatif mal›nfiyat›na göre k›smi türevini hesaplar›z.

Buradan bulunur.

Son olarak talebin gelir esnekli¤ini bulmak için fonksiyonun gelire göre k›smi

türevini al›r›z. Buradan bulunur.

Örne¤e göre fonksiyonda yer alan mallar›n ikame ya da tamamlay›c› mallardan hangisi ol-du¤unu belirleyiniz.

Fayda FonksiyonuFirmalar›n kârlar›n› maksimize etmeye çal›flmalar› gibi bireyler da faydalar›n› mak-simize etmeye çal›fl›rlar. Bunu gerçeklefltirmek için de ne kadar çal›fl›p ne kadarbofl zaman geçireceklerine ya da farkl› mallar›n hangisinden ne kadar tüketecek-lerine karar vermek durumundad›rlar. Bu tercihleri say›sal olarak ifade edebilmekiçin iktisatta U ile gösterilen fayda fonksiyonlar›n› kullan›r›z. Bir tüketicinin faydafonksiyonu, toplam fayda veya tüketilen mal miktarlar›n›n bir fonksiyonu olaraktüketiciler taraf›ndan sa¤lanan tatmin olarak aç›klanabilir. E¤er tüketici M1 mal›n-dan x1 birim ve M2 mal›ndan x2 birim tüketerek fayda sa¤l›yorsa fayda fonksiyonuU = U (x1, x2) fleklinde gösterilebilir. Bu fonksiyonu daha fazla mal›n tüketimineolanak sa¤layacak flekilde geniflletmek elbette mümkündür.

Herhangi bir mal› tüketen tüketicinin marjinal faydas›, di¤er bütün mallar›n tü-

ketimi de¤iflmedi¤i durumda, sözkonusu mal›n tüketimindeki birim bafl›na art›fl›n

faydada sa¤lad›¤› art›fl olarak tan›mlan›r. Yani fayda fonksiyonunun herhangi bir

mal›n tüketim miktar›na göre k›smi türevini al›rsak buldu¤umuz de¤ere o mal›n

marjinal faydas› denir. k›smi türevi bize xi mal›n›n marjinal faydas›n› verir

(MUxi ) . E¤er xi küçük miktarda ∆xi kadar artarsa ve di¤er de¤iflken sabit tutulur-

sa, faydadaki de¤iflim yaklafl›k olarak

kadar olur. E¤er x1 ve x2 birlikte de¤iflirse faydadaki de¤iflim

formülü ile hesaplan›r.

Bir mal›n tüketim miktar› artt›kça, tüketilen son birim, bir önceki birime göre

daha az fayda sa¤lar. Buna iktisatta azalan marjinal fayda kanunu diyoruz. Bu ka-

∆ ∆ ∆U Ux

x Ux

x≈∂∂

+∂∂1

12

2

∆ ∆U Ux

xi

i≈∂∂

∂∂

Uxi

E YQ

QYY = ×

∂∂

= × =5000430

0 01 0 12( , ) ,∂∂

=QY

0 01,

EPi= × − = −

30430

2 0 14( ) ,∂∂

= −QPi

2

E PQ

QPp = − ×

∂∂

= − × − =20

4303 0 14( ) ,∂

∂= −

QP

3


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

Fayda fonksiyonu, tüketilenmal miktarlar›n›n birfonksiyonu olarak tüketiciyesa¤lanan tatmindir.

nunu fayda fonksiyonu üzerinden matematiksel olarak gösterebiliriz. k›smi

türevi M1 mal›n›n marjinal faydas›n› veriyordu. Marjinal faydan›n x1’e göre tekrar

k›smi türevini al›rsak de¤eri negatif ç›kar. Yani M1 mal›n›n tüketimi artt›kça

marjinal faydas› azalmaktad›r.

Örne¤in bir tüketicinin fayda fonksiyonunun U = 1000x1 + 450x2 + 5x1x2 – 2x21

– x22 oldu¤unu varsayal›m. Burada x1 haftal›k bofl zaman, x2 ise haftal›k gelirdir.

x1 = 140 ve x2 = 400 olmas› durumunda bofl zaman›n ve gelirin marjinal faydas›n›

hesaplayal›m.

Bofl zaman ve gelir (140,400) ise

fiimdi de tüketicinin iki saat fazladan çal›flarak haftal›k gelirini T40 artt›rmas› so-nucunda faydas›nda meydana gelecek de¤iflimi hesaplayal›m.

E¤er haftal›k çal›flma saati iki saat art›yorsa, bofl zaman da 2 saat azal›yor demek-

tir. Yani ∆x1 = –2 ve ∆x2 = 40 olur. Faydadaki de¤iflim ise

formülü ile hesaplan›r. ∆U ≈ 2440(–2)+350(40)=9120 olur.Azalan marjinal fayda kural›n›n burada da geçerli oldu¤unu ikinci dereceden

k›smi türevlerle gösterebiliriz.

Fayda fonksiyonlar›n›n grafik gösterimi farks›zl›k e¤rileri ile olur. U = ƒ (x1, x2)fonksiyonu için oluflturulacak farks›zl›k e¤risi tüketicinin ayn› fayda düzeyindekalmas› koflulu ile x1 ve x2 mallar›ndan tüketebilece¤i farkl› miktarlar› göstermek-tedir. Farks›zl›k e¤risinin e¤imi genellikle negatif olur. Çünkü tüketici bir maldandaha az tüketiyorsa ayn› fayda düzeyinde kalabilmek için di¤er maldan daha faz-la tüketmelidir.

Farks›zl›k e¤risinin e¤imine Marjinal ikame oran› (MRS) ad› verilir. Bu bize x1bir birim azal›rsa ayn› fayda düzeyinde kalmak için x2’nin ne kadar artmas› gerek-ti¤ini verir. MRS x1 ve x2 mallar›n›n marjinal faydalar› kullan›larak hesaplanabilir.

Faydadaki toplam de¤iflimin oldu¤unu biliyoruz.

Verilen bir farks›zl›k e¤risi üzerinde fayda de¤iflmedi¤ine göre dU = 0’d›r. Eflit-likte dU yerine 0 koyarak dx2/dx1 (farks›zl›k e¤risinin e¤imi) de¤erine ulaflabiliriz.

dU Ux

dx Ux

dx=∂∂

+∂∂

1

12

2

∂

∂= − <

∂

∂= − <

2

12

2

22

4 0 2 0U

x

U

x ve

∆ ∆ ∆U Ux

x Ux

x≈∂∂

+∂∂1

12

2

∂∂

= + − =∂∂

= +Ux

Ux1 2

1000 5 400 4 140 2440 450 5 14( ) ( ) ( 00 2 400 350) ( )− =

∂∂

= + −

∂∂

= + −

Ux

x x

Ux

x x

12 1

21 2

1000 5 4

450 5 2

∂

∂

2

12U

x

∂∂

Ux1


Yani farks›zl›k e¤risinin e¤imi MRS, x1’in marjinal faydas›n›n x2’nin marjinalfaydas›na oran›d›r.

Fayda fonksiyonu U = x11/2 x2

1/2 ise marjinal ikame oran›n› x1 ve x2 cinsinden belirleyiniz.

Üretim FonksiyonuÜretim fonksiyonunda ç›kt› (Q), sermaye (K ) ve emek (L ) girdilerinin fonksiyonuolarak aç›klan›r:

Q = ƒ (K, L)

Sermayenin marjinal ürünü (MPK) emek girdisi sabitken, sermaye girdisindekibir birim art›fl›n ç›kt›da ortaya ç›karaca¤› art›fl olarak tan›mlan›r ve üretim fonksi-yonunun sermeyeye göre k›smi türevi al›narak bulunur.

Emek girdisi sabitken sermaye küçük miktarda ∆K kadar de¤iflirse ç›kt›daki de-

¤iflim formülü ile hesaplan›r.

Eme¤in marjinal ürünü (MPL) ise sermaye girdileri sabitken, emek girdisindekibir birim art›fl›n ç›kt›da ortaya ç›karaca¤› art›flt›r ve üretim fonksiyonunun eme¤egöre k›smi türevi al›narak bulunur.

Sermaye girdisi sabitken emek küçük miktarda ∆L kadar de¤iflirse ç›kt›daki de-

¤iflim formülü ile hesaplan›r.

Sermaye ve emek girdileri birlikte de¤iflti¤inde ise ç›kt›daki toplam de¤iflim

yaklafl›k olarak kadar olur.

Üretim fonksiyonunun grafi¤i efl ürün e¤rileri ile gösterilebilir. Efl ürün e¤risiayn› ç›kt› düzeyini sa¤layan emek ve sermaye girdilerinin farkl› bileflimleridir. Eflürün e¤risinin e¤imine Marjinal Teknik ‹kame Oran› (MRTS) ad› verilir. Efl ürün e¤-

∆ ∆ ∆Q QK

K QL

L≈∂∂

+∂∂

∆ ∆Q QL

L≈∂∂

MP QLL =

∂∂

∆ ∆Q QK

K≈∂∂

MP QKK =

∂∂

01

12

2=∂∂

+∂∂

−∂

Ux

dx Ux

dx

UUx

dx Ux

dx

MUx

∂

=∂∂

−

22

11

22 1

2 1

1

2

2 1

2

1

2

1

1

dx MU dx

MU dx

dx

MU

dxdx

MU

MU

x

x x

x

x

=

−=

−

= −


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4

risi üzerindeki herhangi bir noktada (L=L0, K=K0) e¤imin de¤eri, emekteki bir bi-rimlik art›fl sonucunda, sermayenin ne kadar azalaca¤›n›n ölçüsüdür.

Efl ürün e¤risinin e¤imi, emek ve sermayenin marjinal ürünleri cinsinden ifade

edilebilir. Ç›kt›daki toplam de¤iflim formülü ile hesapla-

n›yordu. Efl ürün e¤risi üzerinde ç›kt› miktar› sabit oldu¤undan dQ = 0 olur. Bunu

formülde yerine koyarak dK/dL ifadesine ulaflabiliriz.

fiimdi bu formülü kullanarak Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun genel biçi-mi için marjinal teknik ikame oran›n› belirleyelim.

Üretim Fonksiyonunun Homojenli¤i ve Ölçe¤e Göre GetiriQ = ƒ (K, L) biçimindeki bir üretim fonksiyonunda, herhangi bir n say›s› içinƒ (mK, mL) = mnƒ(K, L) ise fonksiyonun homojen oldu¤u söylenir. Hem sermayehem de emek girdisi m ile çarp›ld›¤›nda, m’y› ortak çarpan olarak fonksiyonun d›-fl›na ç›kartabiliriz. m’n›n kuvveti olan n fonksiyonun homojenlik derecesidir. Ho-mojenlik derecesini bilmek bizim için önemlidir, çünkü bu bize ölçe¤e göre getirikonusunda bilgi vermektedir.

n = 1 ise fonksiyon ölçe¤e göre sabit getiri sergiler. Yani girdilerdeki art›fl ora-n› ile ç›kt›daki art›fl oran› ayn›d›r.

n < 1 ise fonksiyon ölçe¤e göre azalan getiri sergiler. Yani girdiler belli biroranda artt›r›ld›¤›nda, ç›kt›daki art›fl bundan daha az olur.

n > 1 oldu¤unda fonksiyon ölçe¤e göre artan getiri sergiler. Yani girdiler bellibir oranda artt›r›ld›¤›nda, ç›kt›daki art›fl, bundan daha fazla olur.

Q = 2K1–2L

3–2 fonksiyonu kaç›nc› dereceden homojendir. Bu fonksiyonda ölçe¤e göre getirihakk›nda ne söyleyebilirsiniz?

Q AL K

MRTS dKdL

Q LQ K

MPMP

A L K

AL

K

=

= = −∂ ∂∂ ∂

= − = −−

a

a b

b

a//

1

bb

a

b

a

b

a b

b b

a a

L K

K KL L

KL

−

− +

− += − = −

1

1

1

dQ QL

dL QK

dK

QK

=∂∂

+∂∂

−∂∂

=∂∂

− =

−

dK QL

dL

MP dK MP dL

MPK L

KK L

L

K

dKdL

MP

dKdL

MPMP

MRTS

=

= =

1

dQ QL

dL QK

dK=∂∂

+∂∂


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



5

Üretim fonksiyonlar›n›n iktisatta çok s›k kullan›lan özel bir türü Cobb-Douglasüretim fonksiyonudur ve Q = AK aL b fleklinde gösterilir. Cobb-Douglas üretimfonksiyonunun a + b derecesinde homojen oldu¤unu rahatl›kla gösterebiliriz.

ƒ (K, L) = AKaL b Burada K ve L yerine mK ve mL yazarsak

ƒ (mK, mL) = A (mK )a (mL )b

= AmaKambLb

= ma+b (AKaLb)

= ma+b ƒ(K, L)

Dolay›s›yla Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda ölçe¤e göre getiriler de flöyleolur:

a + b < 1 ise ölçe¤e göre azalan getiri

a + b = 1 ise ölçe¤e göre sabit getiri

a + b > 1 ise ölçe¤e göre artan getiri

Euler TeoremiHomojen fonksiyonlar›n sonuçlar› ile ilgili gelifltirilen önemli fonksiyonlardan biride Euler teoremidir. Buna göre

’dir.

Dolay›s›yla birinci dereceden homojen bir fonksiyon için eflitli¤in sa¤ taraf› top-lam ç›kt› miktar›n› verir. Böyle bir fonksiyonda sermaye ile sermayenin marjinalürününü çarp›p buna emek ile eme¤in marjinal ürününün çarp›m›n› eklersek bizetoplam ç›kt› miktar›n› verecektir.

Örne¤in Q = K2 + 2L2 fleklindeki bir üretim fonksiyonuna Euler Teoremi’ni uy-

gularsak olur.

Dolay›s›yla bu üretim fonksiyonunun homojenlik derecesi 2’dir.

Azalan Marjinal ÜrünBir üreticinin hangi koflullarda üretimini sürdürdü¤ünü k›smi türevleri kullanaraközetleyebiliriz. Normal olarak bir üretici, girdi miktar› artt›¤›nda ç›kt›n›n da artma-s›n› ister. Bunun için eme¤in ve sermayenin marjinal ürününün pozitif olmas› ge-rekir. Ancak bir girdinin kullan›m miktar› artmaya devam ederse ç›kt›daki art›fl h›-z› genellikle azal›r. Yani ç›kt› artmaya devam eder ancak azalarak artar. Bu durumda ikinci dereceden k›smi türevin negatif olmas› ile gösterilir. K›saca

Emek girdisi için ve

Sermaye girdisi için ve

Örne¤in fleklindeki bir üretim fonksiyonunda bu kural›n geçerliolup olmad›¤›n› inceleyelim. Öncelikle eme¤in marjinal ürününü belirleyelim:

Q K L=16

12

d MPdK

Q

KK( )

=∂

∂<

2

20MP Q

KK =∂∂

> 0

d MPdL

Q

LL( )

=∂

∂<

2

20MP Q

LL =∂∂

> 0

K QK

L QL

K K L L K L K L Q∂∂

+∂∂

= + = + = + =( ) ( ) ( )2 4 2 4 2 2 22 2 2 2

K fK

L fL

nf K L∂∂

+∂∂

= ( , )


Eme¤in marjinal ürünü her zaman pozi-

tiftir. Yani kullan›lan emek miktar› artt›kça üretim düzeyi de artar. fiimdi de fonk-

siyonun ikinci dereceden k›smi türevini alal›m.

Yani eme¤in marjinal ürünü

azalmaktad›r. Bunun nedeni de sermaye düzeyi sabitken emek girdisinin artt›r›l-

mas› sonucunda ç›kt›da meydana gelen art›fl›n öncekilere göre daha az olmas›d›r.

Ayn› fley sermaye girdisi için de geçerlidir.

Kâr Fonksiyonu

Firman›n üretim fonksiyonu ile iliflkili olan bir baflka konu da kâr fonksiyonudur.

Çünkü ço¤u ticari iflletmenin nihai amac› kâr›n› maksimize etmektir. Üretimde kul-

lan›lan sermaye ve emek girdilerinin bir fonksiyonu olarak üretim fonksiyonunun

fleklinde oldu¤unu varsayal›m. Firma sermaye (K ≥ 0) ve

eme¤in (L ≥ 0) çeflitli bileflimlerini kullanarak belli bir üretim (Q ≥ 0) gerçeklefltir-

mektedir. Bu firman›n ürün ve faktör piyasalar›nda fiyat al›c›s› oldu¤unu varsaya-

l›m. E¤er üretilen ürünün fiyat› P, sermayenin fiyat› olan faiz r ve eme¤in fiyat›

olan ücret oran› w ile gösterilirse, K birim sermaye ve L birim emek kullanan fir-

man›n kâr fonksiyonu

olur.

Verilen herhangi fiyat, faiz ve ücret de¤erleri için, de¤erler yerlerine koyularak

kâr fonksiyonu belirlenebilir. Örne¤in P=12, r =1 ve w=1 için kâr fonksiyonu

dir.r( , )K L K L K L= − −12 316

12

r

r

( , )

( , )

K L TR TC

K L PQ rK wL

PK L rK wL

= −

= − −

= − −16

12

Q K L K L= =616

12

∂

∂=

∂∂

∂∂

= − = − <−2

2

16

32

6

32

14

14

Q

L LQL

K L K

L00

MP QL

K L KL

L =∂∂

= = >−1

212

016

12

6

2



Çok de¤iflkenli fonksiyon kavram›n› tan›mlay›p

iki ve daha fazla de¤iflkenli fonksiyonlar› aç›k-

lamak

‹ki de¤iflkenli bir ƒ fonksiyonu her (x, y ) s›ral›

ikilisi ile gösterilen girdiye, tek bir z ç›kt›s›n›

atayan bir kurald›r. Bu eflleflmede, her bir s›ral›

ikili daima tek bir elemanla efllenmektedir. Ku-

ral›n uyguland›¤› tüm girdi say›lar›n›n kümesi-

ne tan›m kümesi ad› verilmektedir. Ancak iki

de¤iflkenli fonksiyonun tan›m kümesinin ele-

manlar› gibi ikililerdir. Bu nedenle iki de¤ifl-

kenli fonksiyonun tan›m kümesine, düzlemin

bir alt kümesi oldu¤u için, tan›m bölgesi de de-

nir. ‹ki de¤iflkenli bir fonksiyon, düzlemin bir

noktas›n› bir gerçel say›yla efllemesinden dola-

y›, üç boyutlu uzay›n noktalar›yla geometrik

olarak temsil edilebilir. Yani ƒ fonksiyonun gra-

fi¤i tüm (x, y , ƒ(x, y )) noktalar›n› içeren 3 bo-

yutlu uzayda bir yüzeydir. ‹ktisatta inceledi¤i-

miz fonksiyonlar›n ço¤u ikiden fazla ba¤›ms›z

de¤iflken içerir. Örne¤in bir ülkenin Gayri Safi

Yurt ‹çi Has›la (GSMH)’s›, tasarruf, yat›r›m, tü-

ketim, faiz, konjonktür gibi birçok de¤iflkenin

fonksiyonudur. Çok de¤iflkenli bir fonksiyon

k›saca y = ƒ(x1, x2, ......., xn) fleklinde gösterile-

bilir.

Birinci ve ikinci dereceden k›smi türevlerin nas›l

al›nd›¤›n› aç›klamak

z = f (x, y ) biçimindeki çok de¤iflkenli fonksi-

yonda ba¤›ms›z de¤iflkenlerdeki de¤iflim sonu-

cunda fonksiyonun de¤erinin nas›l de¤iflece¤ini

ö¤renmek isteyebiliriz. Çok de¤iflkenli fonksi-

yonlarda z ’nin x ’e göre k›smi türevini ifade et-

mek için dz/dx yerine ∂z/ ∂x ifadesi kullan›l›r. d

ile ∂’n›n de¤ifltirilmesi ile yap›lan bu küçük de¤i-

fliklik di¤er ba¤›ms›z de¤iflkenler sabit tutularak

sadece bir tanesindeki de¤iflimin incelendi¤ini

ifade etmektedir. Benzer flekilde x ’i sabit tutup

y ’deki de¤iflimin etkisini inceleyece¤imiz zaman

da dz/dy yerine ∂z/ ∂y yazar›z. Genel olarak z =

ƒ(x, y ) iki de¤iflkenli fonksiyonunda, ƒ ’nin x ’e

göre k›smi türevi ya da ya da ƒx flek-

linde gösterilir ve y sabitken, fonksiyonun x ’e

göre türevi al›narak bulunur. Benzer olarak ƒ ’nin

y ’ye göre k›smi türevi de ya da ya da

ƒy fleklindedir ve x sabitken fonksiyonun y ’ye

göre türevi al›narak hesaplan›r. E¤er ƒ ’nin ikinci

dereceden k›smi türevlerini elde etmek istersek,

ƒx ve ƒy ’nin tekrar türevini alabiliriz. Buradan

dört farkl› ikinci dereceden k›smi türev elde ede-

biliriz. Bunlar ƒxx , ƒyy , ƒ xy ve ƒyx ’tir. ƒxy ve ƒyx

türevlerine çapraz k›smi türev ad› verilir. Ço¤u

zaman bir fonksiyonun çapraz k›smi türevleri bir-

birine eflittir.

∂

∂

fy

∂

∂

zy

∂

∂

fx

∂

∂

zx

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç


Çok de¤iflkenli fonksiyonlar› ve k›smi türevi ikti-

sadi konularda kullanmak

Bir mal›n talebinin (Q), mal›n fiyat›na (P), ikame

veya tamamlay›c› mal›n fiyat›na (Pi) ve tüketici-

nin gelirine (Y) ba¤l› oldu¤unu varsayal›m. Bunu

çok de¤iflkenli bir fonksiyon kullanarak Q = ƒ(P ,

Pi , Y ) fleklinde gösterebiliriz. Talebi etkileyen bu

üç de¤iflkendeki de¤iflime talebin ne kadar du-

yarl› oldu¤unu belirlemek için esneklik kavram›-

n› kullan›r›z. Bu çok de¤iflkenli fonksiyon ve k›s-

mi türev kullan›larak talebin fiyat esnekli¤i, çap-

raz fiyat esnekli¤i ve gelir esnekli¤i belirlenebilir.

Bir tüketicinin fayda fonksiyonu, toplam fayda

veya tüketilen mal miktarlar›n›n bir fonksiyonu

olarak tüketiciler taraf›ndan sa¤lanan tatmin ola-

rak aç›klanabilir. E¤er tüketici M1 mal›ndan x1 bi-

rim ve M2 mal›ndan x2 birim tüketerek fayda sa¤-

l›yorsa fayda fonksiyonu U = U (x1, x2) fleklinde

gösterilebilir. Fayda fonksiyonunun herhangi bir

mal›n tüketim miktar›na göre k›smi türevini al›r-

sak buldu¤umuz de¤ere o mal›n marjinal faydas›

denir. k›smi türevi bize xi mal›n›n marjinal

faydas›n› verir. Üretim fonksiyonunda ç›kt› (Q),

sermaye (K) ve emek (L) girdilerinin fonksiyonu

olarak aç›klan›r: Q = ƒ(K, L) Sermayenin marjinal

ürünü (MPK) emek girdisi sabitken, sermaye gir-

disindeki bir birim art›fl›n ç›kt›da ortaya ç›karaca-

¤› art›fl olarak tan›mlan›r ve üretim fonksiyonu-

nun sermeyeye göre k›smi türevi al›narak bulu-

nur. Eme¤in marjinal ürünü (MPL) ise sermaye

girdileri sabitken, emek girdisindeki bir birim ar-

t›fl›n ç›kt›da ortaya ç›karaca¤› art›flt›r ve üretim

fonksiyonunun eme¤e göre k›smi türevi al›narak

bulunur. Üretim fonksiyonlar›n›n iktisatta çok s›k

kullan›lan özel bir türü Cobb-Douglas üretim

fonksiyonudur ve Q = AKaL b fleklinde gösterilir.

∂

∂

Uxi

3NA M A Ç


1. ƒ(x, y ) = x2y 3 – 10x fonksiyonunun x de¤iflkeninegöre k›smi türevi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 2xy 3 – 10

b. 3x2y 2

c. 2xy – 10

d. 2x + 3y

e. 3y 3 + 10x

2. ƒ(x1, x2, x3) = x1x2 + x14 – x2

3x3 fonksiyonunda ƒ21

k›smi türevi afla¤›dakilerden hangisidir?

a. x2 + 4x13

b. 3x22 + 4x1

3

c. 1

d. x1 + 3x22

e. 4x13 + 3

3. Q = 150–2P +Pi + 0,2Y fleklindeki bir talep fonksiyo-nunda P mal›n fiyat›n›, Pi alternatif mal›n fiyat›n› ve Ytüketicinin gelirini temsil etmektedir. P =20, Pi =15 veY =3000 için talebin gelir esnekli¤i afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. 0,74b. 0,82c. 1,16d. 0,58e. 0,67

4. Sadece x1 ve x2 mallar›n› tüketen bir tüketicinin fay-da fonksiyonu U = 8x 1

0,5x 20,5 fleklindedir. Buna göre

farks›zl›k e¤risinin e¤imini olan Marjinal ikame oran›(MRS) afla¤›dakilerden hangisidir?

a.

b. x12x2

2

c.

d. x1 x2

e.

5. Q = 10K 0,3L 0,5 fleklinde verilen Cobb-Douglas üre-tim fonksiyonunun ölçe¤e göre getirisi afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. Sabitb. Önce artan sonra azalanc. Önce azalan sonra artand. Azalane. Artan

6. ƒ(x, y ) = xy2 + x2y ise ƒx (3,4) de¤eri afla¤›dakiler-den hangisidir?

a. 40b. 35c. 56d. 27e. 19

7. x1 ve x2 gibi iki mal tüketen bir tüketicinin faydafonksiyonu U = 8x1

0,5x20,5 olarak belirlenmiflse x1 mal›-

n›n marjinal faydas› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 8x1x2

b. 4x10,5x2

-0,5

c. 4x1-0,5x2

0,5

d. 8x12x2

2

e. 2x1x20,5

8. ƒ(x1, x2, x3) = 2x 13 + x1x 2

3 + 3x 32 çok de¤iflkenli

fonksiyonunda ƒ21 de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

a. 2x1x2

b. 6x12

c. 6x12 + 3x2

d. 3x22

e. 2x1 + 3x1x2

9. Üretim fonksiyonu Q = 500K 2L 2 – 2K 3L 3 fleklindebelirlenmiflse eme¤in marjinal ürünü afla¤›dakilerdenhangisidir?

a. 500K L – 3K 2L 2

b. 1000K 2L – 6K 3L 2

c. 1000K 2L 2 – 2K 3L 2

d. K 2L 2 – 3K L

e. 500K 2L 2 + 2K 3L 2

x x1 2

xx

1

2

−xx

2

1



10. Efl ürün e¤risinin e¤imini, emek ve sermayenin mar-jinal ürünleri cinsinden gösteren ifade afla¤›dakilerdenhangisidir?

a.

b. MPL × MPK

c.

d.

e.

1. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “K›smi Türev” konusunu ye-niden gözden geçiriniz

2. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “K›smi Türev” konusunu ye-niden gözden geçiriniz

3. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Çok De¤iflkenli Fonksiyon-lar›n ‹ktisadi Uygulamalar›” konusunu yenidengözden geçiriniz.

4. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Çok De¤iflkenli Fonksiyon-lar›n ‹ktisadi Uygulamalar›” konusunu yenidengözden geçiriniz.

5. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Çok De¤iflkenli Fonksiyon-lar›n ‹ktisadi Uygulamalar›” konusunu yenidengözden geçiriniz.

6. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “K›smi Türev” konusunu ye-niden gözden geçiriniz

7. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Çok De¤iflkenli Fonksiyon-lar›n ‹ktisadi Uygulamalar›” konusunu yenidengözden geçiriniz.

8. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “K›smi Türev” konusunu ye-niden gözden geçiriniz

9. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Çok De¤iflkenli Fonksiyon-lar›n ‹ktisadi Uygulamalar›” konusunu yenidengözden geçiriniz.

10. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Çok De¤iflkenli Fonksiyon-lar›n ‹ktisadi Uygulamalar›” konusunu yenidengözden geçiriniz.

−MP

MPL

K

∂

∂

QK

MP

MPK

L

∂

∂

QL



S›ra Sizde 1

ƒx’i bulmak için y sabit tutulup fonksiyonun x ’e göretürevi al›n›r.

ƒx = (1)y 2 + (2x)y = y 2 + 2xy

ƒy ’yi bulmak için x sabit tutulup fonksiyonun y ’ye gö-re türevi al›n›r.

ƒy = x (2y ) + x2(1) = 2xy + x2

S›ra Sizde 2

ƒx = 2xy + 2xy 2 oldu¤undan

ƒxx = 2y + 2y 2

ƒxy = 2x + 4xy

ƒy = x2 + 2x2y oldu¤undan

ƒyy = 2x 2

ƒyx = 2x + 4xy

S›ra Sizde 3

Çapraz fiyat esnekli¤i negatif bulundu¤undan bu mallartamamlay›c›d›r. Çünkü tamamlay›c› mal›n fiyat› artarsa,birlikte kullan›lan bu mallar›n maliyeti artaca¤›ndan bi-zim ilgilendi¤imiz as›l mala olan talep azal›r. Bunun so-nucunda da çapraz fiyat esnekli¤i negatif bulunur.

S›ra Sizde 4

S›ra Sizde 5

ƒ(K, L )=2K1/2L3/2

Burada K yerine mK ve L yerine mL yazarsak,

ƒ(mK, mL) = 2(mK )1/2(mL )3/2

= 2m1/2K 1/2m3/2L 3/2

= 2m2K 1/2L 3/2

= m2(2K 1/2L 3/2)

Yani

ƒ(mK, mL) = m2 (2K 1/2L 3/2)

ƒ(mK, mL) = m2 ƒ(K,L)

Dolay›s›yla fonksiyon 2. Dereceden homojendir. 2 > 1oldu¤una göre fonksiyonda ölçe¤e göre artan getirivard›r.

∂∂

=∂∂

=− −Ux

x x Ux

x x

MRS

11

1 221 2

211 2

21 21

212

/ / / / ve

== − = − = −

−

−

−MU

MU

x x

x xx x

x

x

1

2

1212

11 2

21 2

11 2

21 2

11

2

/ /

/ /

11 2

1= −

xx



Anthony M., ve Norman Biggs, (1996). Mathematics

for Economics and Finance, CambridgeUniversity Press.

A¤l› Esen, (1997). ‹ktisat ve ‹flletme Uygulamal›

Genel Matematik, 1. Cilt, 4. Bask›, An› Yay›nc›l›k.Bradley T. ve Paul Patton, (1998). Essential

Mathematics for Economics and Business,Wiley.

Haeussler E. F., Richard S. Paul ve Richard J. Wood,(2008). Introductory Mathematical Analysis for

Business, Economics, and the Life and Social

Sciences, 12. Bask›, Pearson. Haeussler E. F., Richard S. Paul ve Richard J. Wood,

(2010). Temel Matematiksel Analiz ‹flletme,

‹ktisat, Yaflam Bilimleri ve Sosyal Bilimler için,Akademi Yay›nc›l›k

Jacques I. (1999). Mathematics for Economics and

Business, 3. Bask›, Addison Wesley.Klein M.W. (2002). Mathematical Methods for

Economics, 2. Bask›, Pearson Education.Koçak fi., M. Gö¤üfl ve M. Üreyen (1994). Matematik I

‹ktisadi Uygulamal›, Eskiflehir.Sevütekin M., (2001). ‹ktisatta Matematik Kullan›m›,

Uluda¤ Üniversitesi Güçlendirme Vakf›.Sydsaeter K. Ve Peter Hammond, (2008). Essential

Mathematics for Economic Analysis, 3. Bask›,Prentice Hall.


Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;‹ktisadi fonksiyonlarda optimizasyon kavram›n› tan›mlayabilecek, Tek De¤iflkenli Fonksiyonlar›n maksimum ve minimum noktalar›n› bulabilecek,‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar›n maksimum ve minimum noktalar›n› bulabilecek,Üç De¤iflkenli Fonksiyonlar›n maksimum ve minimum nokatalar›n› bulabilecekbilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Optimizasyon• Kâr Fonksiyonu• Hessian Matrisi• Birinci ve ‹kinci Türev Yöntemi

• Marjinal Has›la • Marjinal Maliyet • Üretim

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NNNN

Matematiksel ‹ktisat K›s›ts›zOptimizasyon

• OPT‹M‹ZASYON• TEK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA

OPT‹M‹ZASYON• ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA

OPT‹M‹ZASYON• ‹K‹ DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA

OPT‹M‹ZASYON• ÜÇ DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA

OPT‹M‹ZASYON


OPT‹M‹ZASYONK›t kaynaklarla s›n›rs›z ihtiyaçlar›n karfl›lanmas› probleminin çözümüyle ilgileneniktisat bilimi temelde ekonomik birimlerin (bireyler, firmalar, hükümetler vs. gibi)karar alma ya da seçim yapma süreçlerini inceler. Seçim yapma problemiyle karfl›karfl›ya olan ekonomik birimlerin “Homo Economicus” di¤er bir ifadeyle rasyoneldavrand›klar› varsay›m› yap›lmaktad›r. Bu ba¤lamda rasyonel davranan bu ekono-mik birimlerin, di¤er koflullar sabitken (ceteris paribus), kendisi için en iyi olan›yapmaya çal›flt›¤› varsay›l›r. Bu varsay›m en basit anlam› ile optimizasyon olaraktan›mlanabilir. Matematiksel olarak ise ba¤›ms›z de¤iflken ve ba¤›ml› de¤iflken ara-s›ndaki iliflkiyi ifade eden fonksiyonun birinci türevini s›f›r yapan nokta ya da nok-talar optimal (maksimum ya da minimum) de¤erler olarak ifade edilir. Bu optimalnoktay› bulma yöntemine de optimizasyon ad› verilir.

Ekonomi teorisi genellikle ekonomik de¤iflkenler aras›ndaki iliflkileri ve bu ilifl-kiler sonucunda ulafl›lmak istenen sonuçlar› iktisadi modellerle aç›klamaya çal›fl›r.Her iktisadi model belirli bir amaç do¤rultusunda ulafl›lmak istenen sonuçlar›n op-timum yap›lmas› veya denge durumlar›yla ilgilenir. Dolay›s›yla, “Bir firman›n kâr›n›maksimum yapabilmek veya maliyetini minimum yapabilmesi için üretim miktar›ne olmal›d›r?”, “Bir bireyin faydas›n› maksimum yapan veya harcamas›n› minimumyapan tüketim miktarlar› ne olmal›d›r?”, “Hükümetler ekonomik büyümeyi maksi-mum yapmak için ne tür programlar uygulamal›d›r?”, “ Bir ülkenin tasarruf, tüketim,yat›r›m, faiz, enflasyon vb. ekonomik de¤iflkenlerinin optimal düzeyi ne olmal›d›r”gibi sorunlar› çözmek için izledi¤i yöntemlerin her biri optimal seçimdir.

Optimizasyon, k›s›tl› ve k›s›ts›z olmak üzere iki biçimde elde edilir. Bu ünitedek›s›ts›z optimizasyon kavram› tan›t›lacak ve amac› do¤rultusunda karar alan eko-nomik birimlerin (k›s›ts›z) optimum seçimleri tek de¤iflken ve çok de¤iflken duru-munda incelenecektir.

Bu üniteye çal›flmaya bafllamadan önce mikro iktisat teorisi ve makro iktisat teorisindedenge kavramlar›n› yeniden gözden geçiriniz.

TEK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA KISITSIZOPT‹M‹ZASYONTek de¤iflkenli bir fonksiyonun genel gösterimi; x ba¤›ms›z de¤iflkeni (seçim de¤ifl-keni ya da karar de¤iflkeni) ve y ba¤›ml› de¤iflkeni (sonuç de¤iflkeni) göstermek

K›s›ts›z Optimizasyon

Optimizasyon eldeki mevcutkaynaklar› en iyi flekildekullanmak ve amaçlanansonuca ulaflmak biçimindetan›mlanabilir. S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




üzere y = f (x) fleklinde gösterilir (y = f (x) fonksiyonunun sürekli ve iki kere türev-lenebilir oldu¤u varsay›lacakt›r.). Bu flekilde ifade edilen do¤rusal olmayan fonksi-yonun maksimumu ya da minimumu olup olmad›¤›na karar verebilmek için gerek-li koflul birinci türevini s›f›r yapan kritik nokta ya da noktalar›n belirlenmesidir. Bugerekli koflul sa¤lan›nca ikinci türev al›narak maksimum ve minimum için yeterlikoflul sa¤lanm›fl olur. Alternatif olarak birinci türevinin artan ve azalan oldu¤u ara-l›klar›n incelenmesi yoluyla da belirlenebilir. Bu ünitede maksimum ve minimumd›fl›ndaki kritik noktalar optimizasyonu ilgilendirmedi¤i için incelenmeyecektir.

Yerel Maksimum ve Minimum ‹çin Birinci Türev Yöntemi

Bu yöntemde ilk önce y = f (x) fonksiyonunun birinci türevini

s›f›r yapan kritik nokta ya da noktalar bulunur. Daha sonra birinci türevi s›f›r yapannokta ya da noktalar (a, b) s›ral› ikilileri ise bu noktalar›n artan ve azalan oldu¤u ara-l›klar incelenir. fiekil 7.1’e göre y = f (x) fonksiyonunun a noktas›nda yerel minimu-mu, b noktas›nda ise yerel maksimumu vard›r.

Yerel Maksimum ve Minimum ‹çin ‹kinci Türev Yöntemi

1. y = f (x) fonksiyonunun birinci türevini s›f›r yapan kritik nokta ya

da noktalar bulunur. 2. Birinci türevi s›f›r yapan nokta ya da noktalar (a, b) s›ral› ikili ise y = f (x)

fonksiyonun ikinci türevinde bu s›ral› ikililer yerine konur. E¤er;

i. ‹kinci türev negatif ise, a de¤eri y = f (x) fonksiyonunu

maksimum yapan de¤erdir.

ii. ‹kinci türev pozitif ise b de¤eri y = f (x) fonksiyonunu

minimum yapan de¤erdir.Tek de¤iflkenli fonksiyonlarda optimal de¤erleri bulmay› tan›tt›ktan sonra flim-

di bunlar›n iktisadi uygulamalar› tan›t›lacakt›r. Hem mikro hem makro ekonomi-de tüketim, tasarruf, fayda, millî gelir, toplam has›la, toplam maliyet, talep, arz, pa-ra talebi, para arz› gibi çok say›da iktisadi fonksiyon kullan›lmaktad›r. ‹ktisadifonksiyonlar›n hemen hemen hepsinde ekonomik birimlerin amac› do¤rultusun-da istenilen sonuca ulaflmak için optimizasyon kavram› kullan›labilir. Bu ünitedebasitlik sa¤lamak amac›yla bunlardan sadece kâr fonksiyonu konu anlat›m› çerçe-

d y

dxx = b

2

2 2( )

⟩0

d y

dxx = a

2

2 1( )

⟨0

dy

dx= 0


Kritik nokta, bir fonksiyonunbirinci türevini s›f›r yapande¤er olarak tan›mlan›r.

dy

dxf ' x= = 0( )

x

dy

dx

a b

Yerel Minimum Yerel Maksimum

-

fiekil 7.1

Yerel Maksimumve Minimum içinBirinci TürevYöntemi

vesinde ele al›nacakt›r. Bir firman›n kâr fonksiyonunun optimal de¤erleri belirlen-meden önce firman›n amac›n›n belirlenmesi gereklidir. ‹ktisadi aç›dan her firma-n›n amac› kâr›n› maksimum k›lmakt›r. Buna göre tek bir ürün üreten firman›n kârfonksiyonu;

π(Q) = TR(Q) - TC(Q)

fleklinde ifade edilebilir. Yukar›daki denklemde s›ras›yla (TR) toplam has›lay›, (TC)toplam maliyeti, (Q) ise üretim miktar›n› temsil etmektedir. Firman›n kâr›n› maksi-mum yapan üretim düzeyini bulabilmek için öncelikle kâr fonksiyonunun birincitürevini s›f›r yapan üretim miktar›n› bulmam›z gereklidir. Kâr fonksiyonunun birin-ci türevi al›n›r ve s›f›ra eflitlenirse,

sonucu bulunur. Buna göre firman›n marjinal has›las›n› MR(Q) marjinal maliyetineMC(Q) eflitleyen üretim miktar› kâr fonksiyonun birinci türevini s›f›r yapar (Tümpiyasa koflullar›nda kâr maksimizasyonu koflulu MR(Q) = MC(Q)’dir. Ancak, Tamrekabet piyasas›n›n varsay›mlar›n›n sonucunda firmalar›n fiyat› veri kabul etme-leri, firman›n marjinal has›las›n›n fiyata eflit olmas›n› garanti eder. Yani, MR(Q)= P’dir. Bu nedenle sadece tam rekabet piyasas›nda kâr maksimizasyon koflulu; P= MC(Q) fleklindedir.). Burada flunu anl›yoruz ki iktisadi bir kural olarak alg›lad›-¤›m›z MR(Q) = MC(Q) eflitli¤i, asl›nda bir matematik gere¤idir. ‹ktisadi mant›k tafl›-yan bu kural, matematiksel düflünme mant›¤›na dayand›r›larak elde edilen iktisadibulgulardan bir tanesidir.

Firman›n üretim miktar›n› s›f›r yapan üretim de¤er ya da de¤erlerinin maksi-mum olup olmad›¤›na karar verebilmek için ikinci türevi al›n›r ve birinci türevi s›-f›r yapan üretim de¤erleri ikinci türevde yerine konur.

E¤er yukar›daki kâr fonksiyonunun ikinci türev de¤eri negatif bir sonuç veriyorise birinci türev kural› ile elde edilen kritik nokta ya da noktalar›n firman›n kâr›n›maksimum yapt›¤› söylenir. Bu koflulu bir örnekle aç›klayal›m.

Senyoraj fonksiyonu oldu¤una göre, devletin senyoraj gelirini maksi-

mum yapan enflasyon oran›n› nas›l hesaplayabiliriz?

Bir firman›n toplam has›la fonksiyonu TR(Q) = 12Q - 2Q2 ve toplam maliyet fonk-

siyonu oldu¤una göre firman›n kâr›n› maksi-

mum yapan üretim düzeyini bulunuz.

TC Q Q Q Q( ) = − + +1

35 17 253 2

S e eMP

d

( )

= ×

d Q

dQ

d TR Q

dQ

d TC Q

dQ

2

2

2

2

2

2 0π * * *( ) ( ) ( )

= − =

d Q

dQ

dTR Q

dQ

dTC Q

dQ

d Q

dQMR Q MC Q

π

π

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= − =

= − =

0

00

MR Q MC Q( ) ( )=

1617. Ünite - K ›s › ts ›z Opt imizasyon

Kâr, veri bir teknoljidüzeyinde üretim yapan birfirman›n toplam has›las› iletoplam maliyeti aras›ndakipozitif fark olaraktan›mlan›r.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




1

Ö R N E K 1

Çözüm 1: Firman›n kâr fonksiyonu;

π(Q) = TR(Q) - TC(Q)

fleklindedir. ‹lk olarak firman›n kâr›n› maksimum yapan de¤erleri bulabilmek içinkâr fonksiyonun birinci türevini s›f›r yapan noktalar› belirleyelim. Buna göre;

sonucu elde edilir. Yukar›daki denklemin kökleri bulunurak birinci türevi s›f›r ya-pan üretim de¤eri ya da de¤erleri elde edilir.

Q1 = 5 ve Q2 = 1 üretim de¤erlerinin hangisinin firman›n kâr›n› maksimum ya-p›p yapmad›¤›na karar verebilmek için ikinci türev koflullar›na bak›l›r.

Yukar›da görüldü¤ü gibi iki farkl› üretim düzeyinden bir tanesi Q1 = 5 kâr fonk-siyonunun ikinci türevinde de¤erlendirildi¤inde negatif; bir di¤er üretim de¤eri Q2= 1 ise ikinci türevde pozitif bir sonuç vermektedir. Daha önce belirtti¤imiz gibi,bu iki kritik de¤erden kâr› maksimum k›lan ikinci türevi negatif yapan de¤erdir.Bu durumda kâr›n› maksimum yapmak isteyen bir firman›n 5 birimlik üretim yap-mas› gereklidir sonucu ç›kar›labilir.

R(t) = tQ vergi geliri fonksiyonu ve sat›fl miktar› Q = a - bt fleklinde verilmiflse devletinvergi gelirlerini maksimum yapan vergi oran› ne olmal›d›r?

d Q

dQQ

d Q

dQQ

d Q

2

2

2

2 1

2

2 6

5 2 5 6 4 0

π

π

π

( )

( )( ) ( )

= − +

= = − + = − ⟨

(( )( ) ( )= = − + = ⟩dQ

Q2 2 1 2 1 6 4 0

∆ = −

∆ = − − −

∆ = − =

∆ =

( )( )b ac2

2

4

6 4 1 5

36 20 16

4

Qb

a

Q

1 2

1 2

26 4

2 15 1

,

, ,

=− ∆

=−

−=

( )

∓

∓

d Q

dQQ Q Q

d Q

dQQ Q

π

π

( )

( )

= − − + − =

= − + − =

12 4 10 17 0

6 5 0

2

2

π Q Q Q Q Q Q( )

= − − − + +12 2

1

35 17 252 3 2


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




2

ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA KISITSIZOPT‹M‹ZASYON‹ktisadi problemlerde, fonksiyonlar genellikle çok de¤iflkenlidir ve ekonomik birim-lerin hedefleri çok say›da de¤iflkene ba¤l›d›r. Örne¤in, bir bireyin faydas›, tüketmifloldu¤u her mal›n miktar›na ba¤l›d›r. Bir firman›n üretim fonksiyonu, üretim sürecin-de kullanm›fl oldu¤u emek, sermaye ve hammadde miktar› gibi birçok faktöre ba¤-l›d›r. Buna göre, n say›da ba¤›ms›z de¤iflkenden oluflan z fonksiyonu afla¤›daki fle-kilde gösterilir.

z = f(x1, x2, x3, ................, xn)

Tek bir ürün üreten firman›n amaç fonksiyonuna ba¤l› olarak kâr fonksiyonu-nun optimal de¤erlerini elde etmifltik. Bu bölümde iki ve üç de¤iflkenli fonksiyon-larda optimal (yerel maksimum ve yerel minimum) noktalar›n nas›l bulunaca¤› ve-rildikten sonra, iki ve üç ürün üreten firman›n amaç fonksiyonuna ba¤l› olarak kârfonksiyonunun optimal de¤erleri ele al›nacakt›r.

‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlarda K›s›ts›z Optimizasyon‹ki de¤iflkenli bir fonksiyon (x1, x2) ba¤›ms›z de¤iflkenleri ve z ba¤›ml› de¤iflkenigöstermek üzere z = f(x1, x2) fleklindeki fonksiyonlarda yerel maksimum ya da ye-rel minimum de¤erlerin bulunmas› için afla¤›daki ad›mlar izlenir.

1. z = f(x1, x2) fonksiyonunun birinci mertebeden k›smi türevler efl anl› olaraks›f›ra eflitlenir.

Bu s›f›ra eflitleme sonucu birinci mertebeden k›smi türevini s›f›r yapan s›ral› iki-liler bulunur.

2. Bu s›ral› ikililer (a, b) ise, z = f(x1, x2) ikinci mertebeden k›smi türevleri al›-n›r ve bu s›ral› ikililer k›smi türevlerde yerine konur;

(a, b) s›ral› ikilisinin yerel maksimum ya da minimum olup olmad›¤›na karar ve-rebilmek için gerekli koflul Hessian matrisinin determinant de¤erinin s›f›rdan büyükolmas› gereklili¤idir. Daha sonra asal minörlerinin iflaretine bak›l›r. Buna göre;

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

∂

( ) ( )

( ) ( )

2

12 11

2

22 22

2

z

xa b z a b

z

xa b z a b

x

, ,

, ,

zz

xa b z a b

x

z

x

∂=

∂

∂

∂

∂

( ) ( )

1

12

1 2

, ,

( ) ( )=a b z a b, ,21

∂

∂= =

∂

∂= =

z

xz

z

xz

11

22

0

0


(Young Teoremi; z = f(x1, x2) fonksiyonu sürekli türevlenebiliyorsa ikinci mer-teben çapraz k›smi türevlerinin birbirine eflit oldu¤unu öne sürer. Bu önermeyeba¤l› olarak (z12 (a, b)) = (z21 (a, b)) olur.)

olmak üzere;i. E¤er z11(a, b)>0 veya z22(a,b)>0 asal minörleri ise (a, b) s›ral› ikilisinin ye-

rel minimum oldu¤u söylenir.ii. E¤er z11(a, b)<0 veya z22(a,b)<0 asal minörleri ise (a, b) s›ral› ikilisinin ye-

rel maksimum oldu¤u söylenir.iii. Hessian matirisinin determinant de¤eri H<0 ise ne maksimum ne de mi-

nimumu vard›r. H= 0 ise bu s›ral› ikililer için bir fley söylenemez. ‹ki de¤iflkenli fonksiyonlarda k›s›ts›z optimizasyonu iki mal üreten bir firman›n

kâr fonksiyonunu gözönüne al›p yeniden inceleyelim. Buna göre iki mal üretenbir firman›n kâr fonksiyonu

π(Q1, Q2) = TR(Q1) + TR(Q2) - TC(Q1, Q2)

fleklinde ifade edilir. Buna göre optimal üretim miktarlar›n› elde edebilmek içinkâr fonksiyonun birinci mertebeden k›smi türevleri s›f›ra eflitlenir:

elde edilir. Daha sonra Hessian matrisi oluflturulur ve asal minörlere bak›l›r

ise firman›n üretti¤i (Q1, Q2) mallar›n firman›n kâr›n› maksimum yapt›¤› söylenir.

Bir firman›n kâr fonksiyonu π(Q1, Q2) = 64Q1 - 2Q21 + 4Q1Q2 - 4Q2

2 + 32Q2 - 14oldu¤una göre firman›n kâr›n› maksimum yapan üretim düzeyini bulunuz.

Çözüm 2: Kâr fonksiyonunun birinci mertebeden k›smi türevi al›n›r ve çö-zümlenirse

HQ Q Q Q

Q Q Q Q

H

=

=

( ) ( )( ) ( )

π π

π π

π

11 1 2 12 1 2

21 1 2 22 1 2

11

, ,

, ,

QQ Q Q Q Q Q1 2 22 1 2 12 1 22

0, , ,( )( ) ( )( ) ( )( )

− ⟩π π

ikenn asal minör ,π11 1 2 0Q Q( )⟨

∂

∂= =

∂

∂= =

ππ

ππ

Q

Q

11

22

0

0

Hz a b z a b

z a b z a b

H z a b z

=

=

( ) ( )( ) ( )

( )( )

11 12

21 22

11

, ,

, ,

, 222 122

0a b z a b, ,( )( ) ( )( )

− ⟩


Hessian matrisi ikincimertebeden k›smitürevlerden elde edilenmatristir.

Ö R N E K 2

sonucu elde edilir. (Q1, Q2) = (40, 24) üretim miktarlar›n›n kâr› maksimum yapanmiktarlar olup olmad›¤›na karar verebilmek için ikinci mertebeden k›smi türevleral›n›rsa

sonuçlar› elde edilir. Bu sonuçlar› kullanarak Hessian matrisi oluflturulursa

kurgusunu elde ederiz. Son olarak, Hessian determinant›n› ve ikinci mertebedenk›smi türevi (40, 24) noktas›nda de¤erlendirir isek:

H = − − − = − = ⟩

= − ⟨

( )( ) ( )

( )

4 8 4 32 16 16 0

40 24 4 0

2

11π ,

HQ Q Q Q

Q Q Q Q= =

( ) ( )( ) ( )

π π

π π

π11 1 2 12 1 2

21 1 2 22 1 2

11 4, ,

, ,

00 24 40 24

40 24 40 24

4 44 8

12

21 22

, ,

, ,

( ) ( )( ) ( )

= −−

π

π π

H

∂

∂= = = −

∂

∂

( ) ( ) ( )2

12 1 2 11 1 2 11

2

22

40 24 4π

π π

π

QQ Q Q Q

QQ

, , ,

11 2 22 1 2 22

2 1

40 24 8, , ,Q Q Q

Q Q

( ) ( ) ( )

= = = −

∂

∂

∂

∂

π π

π

( ) ( )

= = =

∂

∂

∂

∂

π π

π

12 1 2 12

1 2

40 24 4Q Q

Q Q

, ,

( ) ( )= = =π π21 1 212 40 24 4Q Q, ,

π

π

1 1 2

2 1 2

2

2

64 4 4

32 4 8

96 4

96

424

64 4

= = −

= = − +

=

= =

=

Q Q

Q Q

Q

Q

Q11 2

1

1

1

4

64 4 4 24

160 4

160

440

−

= −

=

= =

( )Q

Q

Q

Q

∂

∂= = − + =

∂

∂= = − + =

ππ

ππ

QQ Q

QQ Q

11 1 2

22 1 2

64 4 4 0

4 8 32 0


sonuçlar› bulunur ve firman›n s›ras›yla (Q1, Q2) = (40, 24) birim üretmesi duru-munda kâr›n› maksimum yapt›¤› söylenir.

K ve L s›ras›yla sermaye ve eme¤i temsil etmek üzere toplam maliyet fonksiyonu TC(Q(K,L) = 160K - 3K2 - 2KL - 2L2 +120L - 45 ise firman›n maliyetini optimum yapan üretim dü-zeyini nas›l hesaplayabiliriz?

Üç De¤iflkenli Fonksiyonlarda K›s›ts›z OptimizasyonÜç de¤iflkenli bir fonksiyon (x1, x2, x3) ba¤›ms›z de¤iflkenleri ve z ba¤›ml› de¤iflke-ni göstermek üzere z = f(x1, x2, x3) fleklindedir. Bu tip fonksiyonlarda yerel maksi-mum ya da yerel minimum de¤erlerin bulunmas› için afla¤›daki ad›mlar izlenir.

1. Birinci mertebeden k›smi türevler al›n›r ve eflanl› olarak s›f›ra eflitlenir.

Bu s›f›ra eflitleme sonucu birinci mertebeden k›smi türevini s›f›r yapan de¤erlerbulunur. Bu de¤erler (a, b, c) ise ikinci mertebeden k›smi türevlerine bak›l›r.

2. z = f(x1, x2, x3) fonksiyonun ikinci mertebeden k›smi türevleri afla¤›daki gi-bi elde edilir.

(a, b, c) de¤erlerinin yerel maksimum ya da minimum olup olmad›¤›na kararverebilmek için Hessian matrisi oluflturulur ve asal minörlerinin iflaretine bak›l›r.

E¤er;i. Asal minörler

ise Hessian matrisi negatif belirlidir. Bu durumda (a, b, c) de¤erlerinin amaçfonksiyonunu maksimum k›lan de¤erler oldu¤u söylenir.

H z Hz z

z zve H H

z z z

z1 11 211 12

21 223

11 12 13

20 0= ⟨ = ⟩ = =, 11 22 23

31 32 33

0z z

z z z

⟨

Hz z z

z z z

z z z

=11 12 13

21 22 23

31 32 33

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

2

12 11

2 112

3 1

z

xz

x

z

xz

x

z

x

=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

z

x

z

xz

z

x

13

1 221

2

22 ==

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

zx

z

xz

x

z

x

223 2

23

1 3

=∂

∂

∂

∂=

∂

∂=z

x

z

xz

z

xz31

2 332

2

32 33

∂

∂= =

∂

∂= =

∂

∂= =

z

xz

z

xz

z

xz

11

22

33

0

0

0


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




3

Pozitif ve negatif belirlilik, n.mertebeden simetrik birmatrisin bütün asalminörleri s›f›rdan büyüksematris pozitif belirlidir.E¤er asal minörleri(-, +, -, +, .........) fleklindeise matris negatif belirlidir.

ii. Asal minörler

ise Hessian matrisi pozitif belirlidir. Bu durumda (a, b, c) de¤erlerinin amaçfonksiyonunu minimum k›lan de¤erler oldu¤u söylenir.

Üç mal üreten bir firman›n amac›na ba¤l› olarak kâr fonksiyonu düzenlenir veiki de¤iflkenli kâr fonksiyonuyla benzer flekilde

π(Q1, Q2, Q3) = TR(Q1) + TR(Q2) + TR(Q3) - TC(Q1, Q2, Q3)

biçiminde ifade edilir. Kâr fonksiyonunu maksimum k›lan üretim miktarlar›n› tes-pit edebilmek için birinci ve ikinci mertebeden k›smi türevlere bak›l›r. Buna görekâr fonksiyonun birinci mertebeden k›smi türevleri s›f›ra eflitlenir:

Yukar›daki üç denklem eflanl› çözülerek, (Q1, Q2, Q3) üretim miktarlar› belirle-nir. Daha sonra Hessian matrisi oluflturulur ve asal minörlere bak›l›r:

E¤er asal minörler

ise firman›n üretti¤i mallar›n firman›n kâr›n› maksimum k›lan üretim miktarlar› ol-du¤u söylenir.

Bir firman›n kâr fonksiyonu π(Q1, Q2, Q3) = 5Q21 - 2Q2

2 + 4Q23 + 10Q1 + 4Q2 +

Q1Q3 + 2Q2Q3 + 50 fleklinde verilmifltir. Kâr› maksimum k›lan üretim düzeylerinibulunuz. ‹kinci türev koflullar›n› test ediniz.

Çözüm 3: ‹lk olarak kâr fonksiyonunun birinci mertebeden k›smi türevleri s›-f›ra eflitlenir ve denklem sistemi çözümlenir.

H H ve H H1 11 211 12

21 223

11 12 13

20 0= ⟨ = ⟩ = =ππ π

π π

π π π

π, 11 22 23

31 32 33

0π π

π π π

⟨

H =

π π π

π π π

π π π

11 12 13

21 22 23

31 32 33

∂

∂= =

∂

∂= =

∂

∂= =

ππ

ππ

ππ

Q

Q

Q

11

22

33

0

0

0

H z Hz z

z zve H H

z z z

z1 11 211 12

21 223

11 12 13

20 0= ⟩ = ⟩ = =, 11 22 23

31 32 33

0z z

z z z

⟩


Ö R N E K 3

Yukar›daki denklem sistemini çözümleyebilmek için A katsay›lar matrisi, Q bi-linmeyenler vektörü ve B sabitler vektörünü temsil etmek üzere;

Bu soruyu çözmeye bafllamadan önce AX = B fleklinde verilen denklem sistemlerinin çö-züm yöntemleri için ünite 5’i yeniden gözden geçiriniz.

fleklinde yeniden düzenlenir ve Cramer kural› kullan›l›rsa birinci mertebeden k›s-mi türevini s›f›r yapan de¤erler afla¤›daki gibi hesaplan›r:

QA

A

QA

A

11

11

10 0 14 4 2

0 2 8

10 0 10 4 21 2 8

288

2

= =

−− −

−

−−

−

= =−

− 7761 04

10 10 10 4 21 0 8

10 0 10 4 21 2 8

22

2

≅

= =

− −−

−

−−

−

=

,

QA

A

QA11 336

2761 22

A=

−

−≅ ,

AQ B

Q

Q

Q

=

−−

−

=−−

10 0 10 4 21 2 8

104

0

1

2

3

∂

∂= = − + + =

∂

∂= = − + + =

∂

∂

ππ

ππ

π

QQ Q

QQ Q

Q

11 1 3

22 2 3

10 10 0

4 2 4 0

333 1 2 32 8 0= = + − =π Q Q Q


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




sonucu elde edilir. Buna göre üretim de¤erleri s›ras›yla (Q1, Q2, Q3) = (1,04; 1,22;0,43) dür. Bu de¤erlerin maksimum olup olmad›¤› test etmek için Hessian matrisioluflturulur ve asal minörlerinin iflaretine bak›l›r.

oldu¤undan Hessian matrisi negatif tan›ml›d›r ve bulunan de¤erler firman›n kâr›n›maksimum yapan üretim düzeyleridir.

Bireyin fayda fonksiyonu U(X1, X2, X3)=160X1-2X21+120X2-4X2

2+130X3-5X23+30 ise opti-

mum tüketim miktarlar›n› nas›l hesaplayabiliriz?

H

H H

=−

−−

= − ⟨ = −−

= − ×− − ×( ) (

10 0 10 4 21 2 8

10 0 10 00 4

10 4 0 01 2 ))

= ⟩

= = − ⟨

40 0

276 03H H

QA

A

QA

A

33

33

10 0 100 4 41 2 0

10 0 10 4 21 2 8

120

= =

− −− −

−−

−

= =−

−22760 43≅ ,


Sarrus kural›, “3x3”boyutundaki matrislerindeterminant›n› hesaplamakiçin kullan›lan bir yöntemdir.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P




4


‹ktisadi fonksiyonlarda optimizasyon kavram›n›

tan›mlamak

Optimizasyon mevcut koflullar alt›nda alternatif-ler aras›ndan en iyi olan seçene¤in tercih edil-mesi fleklinde tan›mlanabilir. Bu anlamda eko-nomi teorisinde tüm ekonomik birimlerin mecutalternatifler aras›nda rasyonel davrand›¤› varsa-y›l›r. Bu varsay›m kullan›larak ulafl›lmak istenensonuç matematiksel olarak, do¤rusal olmayanherhangi bir fonksiyonun kritik noktalar›n› bu-lunmas› ve bu kritik noktalar›n maksimum ya daminimumu sa¤lay›p sa¤lamad›¤›n› test etmek bi-çiminde özetlenebilir.

Tek De¤iflkenli Fonksiyonlar›n maksimum ve mi-

nimum noktalar›n› bulmak

Tek de¤iflkenli bir fonksiyonun maksimumu yada minimumunun olup olmad›¤›na karar verebil-mek için gerekli koflul birinci türevini s›f›r yapankritik nokta ya da noktalar›n belirlenmesidir. Bugerekli koflul sa¤lan›nca, ikinci türev al›narakmaksimum ve minimum için yeterli koflul sa¤-lanm›fl olur. Alternatif olarak birinci türevinin ar-tan ve azalan oldu¤u aral›klar›n incelenmesi yo-luyla da belirlenebilir.

‹ki De¤iflkenli Fonksiyonlar›n maksimum ve mi-

nimum nokatalar›n› bulmak

‹ki de¤iflkenli bir fonksiyonun maksimumu yada minimumunun olup olmad›¤›na karar vere-bilmek için birinci mertebeden k›smi türevini s›-f›r yapan s›ral› ikililer bulunur. Bu s›ral› ikililer(a, b) ise ikinci mertebeden k›smi türevlerinebak›l›r ve birinci mertebeden k›sm› türevlerini s›-f›r yapan s›ral› ikililer yerine konur. (a, b) s›ral›ikilisinin yerel maksimum ya da minimum olupolmad›¤›na karar verebilmek için Hessian matri-sinin determinant de¤erinin s›f›rdan büyük ol-mas› gerekir. Daha sonra asal minörlerinin iflare-tine bak›l›r.

Üç De¤iflkenli Fonksiyonlar›n maksimum ve mi-

nimum nokatalar›n› bulmak

Üç de¤iflkenli bir fonksiyonun maksimumu yada minimumunun olup olmad›¤›na karar verebil-mek için birinci mertebeden k›smi türevini s›f›ryapan noktalar bulunur. Bu noktalar (a, b, c) iseikinci mertebeden k›smi türevlerine bak›l›r veyerel maksimum ya da minimum olup olmad›¤›-na karar verebilmek için Hessian matrisinin ne-gatif belirli ya da pozitif belirli olmas›na bak›l›r.

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

4NA M A Ç


1. Monopolcü bir firman›n toplam has›la fonksiyonuTR(Q) = 42Q - 4Q2 + 20 ve toplam maliyet fonksiyonuTC(Q) = 2Q + 30 oldu¤una göre, firman›n kâr›n› maksi-mum yapan üretim düzeyini hesaplay›n›z.

a. 3b. 4c. 5d. 6e. 7

2. Bir firman›n üretim fonksiyonu Q(L) = -6L2 - 1320L

- 1200 fleklinde verilmifltir. Buna göre firman›n üretimi-ni maksimum yapan istihdam düzeyini belirleyiniz.

a. 100b. 110c. 120d. 130e. 140

3. Bir firman›n ortalama maliyet fonksiyonu AC(Q) =

Q2 - 10Q + 80 fleklindedir. Buna göre firman›n ortalamamaliyetini minimum yapan üretim düzeyini belirleyiniz.

a. 2b. 3c. 4d. 5e. 6

4. ‹ki mal üreten bir firman›n toplam maliyet fonksiyo-nu TC(Q1, Q2) = 3Q2

1 - Q1Q2 + 2Q22 - 4Q1 - 7Q2 + 20 ol-

du¤una göre, firman›n toplam maliyetini minimum ya-pan üretim de¤erlerini hesaplay›n›z.

a. (Q1, Q2) = (1, 2)

b. (Q1, Q2) = (2, 2)

c. (Q1, Q2) = (4, 2)

d. (Q1, Q2) = (2, 1)

e. (Q1, Q2) = (2, 4)

5. Bir firman›n kâr fonksiyonu π(Q1, Q2) = 60Q1 + 34Q2

- 4Q1Q2 - 6Q21 - 3Q2

2 + 25 fleklinde verilmifltir. Buna gö-re firman›n kâr›n› maksimum yapan üretim düzeyinibelirleyiniz.

a. (Q1, Q2) = (2, 2)

b. (Q1, Q2) = (2, 4)

c. (Q1, Q2) = (4, 2)

d. (Q1, Q2) = (3, 4)

e. (Q1, Q2) = (4, 3)

6. Monopolcü bir piyasada talep fonksiyonu P(Q) = 9- 3Q - 2Q2, ortalama maliyet fonksiyonu ise AC(Q) = Q+ 1 fleklindedir. Buna göre firman›n kâr›n› maksimumyapan üretim düzeyini hesaplay›n›z.

a.

b.

c.

d.

e.

7. Bir firman›n toplam maliyet fonksiyonu TC(Q) = Q3

- 4,5Q2 + 18Q - 7 ve sat›fl fiyat› 12 T fleklindedir. Bu fir-ma tam rekabet koflullar›nda olsayd› kâr›n› maksimumyapt›¤› üretim düzeyini ne oldurdu?

a. 1b. 2c. 3d. 4e. 5

8. Bir firman›n kâr fonksiyonu π(Q1, Q2, Q3) = 160Q1- 2Q2

1 + 120Q2 - 4Q22 + 130Q3 - 5Q2

3 - 140 fleklinde ve-rilmifltir. Buna göre firman›n kâr›n› optimum k›lan üre-tim düzeylerini bulunuz.

a. (Q1, Q2, Q3) = (40, 20, 15)b. (Q1, Q2, Q3) = (40, 10, 10)c. (Q1, Q2, Q3) = (40, 15, 13)d. (Q1, Q2, Q3) = (30, 15, 10)e. (Q1, Q2, Q3) = (25, 20, 13)

9. Monopolcü bir firman›n üretti¤i iki mala iliflkin kar-fl›laflt›¤› talep fonksiyonlar› flu flekildedir; P1(Q1) = 50 -2Q1 ve P2(Q2) = 30 - Q2. Bu firman›n ortak toplam ma-liyet fonksiyonu ise TC(Q1, Q2) = Q2

1 - 2Q1Q2 + 2Q22

fleklinde verilmifltir. Bu firman›n kâr›n› maksimum ya-pan üretim düzeyini hesaplay›n›z.

a. (Q1, Q2) = (7, 3)b. (Q1, Q2) = (9, 4)c. (Q1, Q2) = (5, 3)d. (Q1, Q2) = (4, 7)e. (Q1, Q2) = (7, 4)

8

3

7

3

5

3

4

3

2

3



10. Bir bireyin fayda fonksiyonu U(X, Y) = X - 2X2 + XY

+ 40Y - Y2 fleklinde verilmifltir. Buna göre bireyin fayda-s›n› maksimum yapan tüketim miktarlar›n› bulunuz.

a. (X, Y) = (6, 11)

b. (X, Y) = (23, 8)

c. (X, Y) = (23, 6)

d. (X, Y) = (6, 23)

e. (X, Y) = (8, 15)

1. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tek De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

2. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tek De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

3. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tek De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

4. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “‹ki De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

5. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “‹ki De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

6. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tek De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

7. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tek De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

8. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Üç De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

9. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “‹ki De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.

10. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “‹ki De¤iflkenli Fonksiyon-larda Optimizasyon” bafll›kl› konuyu yenidengözden geçiriniz.



S›ra Sizde 1

Hükümetler harcamalar›n› finanse edebilmek için birçok enstrümana baflvurur. Yüksek enflasyon yaflayanülkelerde, bu enstrümanlardan bir tanesi de para bas-makt›r. Bu yöntemle elde edilen gelir senyoraj olaraktan›mlanabilir. Amac› senyoraj gelirini maksimum yap-mak olan hükümetlerin, “optimal enflasyon oran›” neolmal› ki, hükümetlerin para bas›m›ndan elde ettiklerigelir maksimum olsun? sorusunun cevab› birinci türevve ikinci türev koflullar›n›n test edilmesiyle elde edilir.

S senyoraj fonksiyonunu, reel para talebini ve e

enflasyon oran› temsil etmek üzere;

fleklinde yaz›l›r. Optimal enflasyon oran›n› elde edebil-mek için senyoraj fonksiyonunun birinci türevi s›f›raeflitlenir. Birinci türevi s›f›r yapan enflasyon oran›n›nmaksimum olup olmad›¤›na karar verebilmek için ikin-ci türev testi yap›l›r.

yapan enflasyon oran› e* ise, ikinci türevin

olmas› durumunda bulunan enflasyon oran› senyorajgelirini maksimum yapar.

S›ra Sizde 2

Vergi fonksiyonu R(t) = tQ ve Q = a -bt fleklindedir. Bu-na göre vergi gelirini maksimum yapmak amaçlan›yor-sa, bu amac› sa¤l›yacak vergi oran›n› bulmak için vergigeliri fonksiyonunun birinci türevi s›f›ra eflitlenir. Birin-ci türevi s›f›r yapan vergi oran›n›n maksimum olup ol-mad›¤›na karar verebilmek için birinci türev ya da ikin-ci türev yöntemi kullan›labilir. ‹kinci türev yöntemiyleaç›klayacak olursak, ilk önce vergi geliri fonksiyonu-nun birinci türevini s›f›r de¤er bulunur.

yapan vergi oran› t* ise ikinci türevin

olmas› durumunda devletin elde etti¤i vergi gelirininmaksimum oldu¤u söylenir.

S›ra Sizde 3

Toplam maliyet fonksiyonu TC(Q(K, L)) = 160K - 3K2 -2KL - 2L2 + 120L - 45 fleklinde verilen firman›n amac›maliyetini minimum k›lmakt›r. Buna göre optimal de-¤erleri bulmak için

Birinci mertebeden k›smi türevleri s›f›r yapan sermayeve emek de¤erlerini efl anl› çözebilmek için yok etmeyöntemi kullan›l›rsa

L = 20 de¤eri birinci mertebeden k›smi türevleri s›f›r ya-pan denklemlerden herhangi birinde yerine konursa

(K, L) = (20, 20) s›ral› ikillerinin optimal de¤erler olupolmad›¤›na iliflkin ikinci türev testi yap›l›rsa

TC

TC

TC TC

KK

LL

KL LK

20 20 6

20 20 4

20 20 20

,

,

, ,

( )( )( )

= −

= −

= 220 2( ) = −

160 6 2

160 6 2 20

160 6 40

120 6

20

= +

= +

= +

=

=

( )K L

K

K

K

K

160 6 2

120 2 4 3

160 6 2360 6 12

2

= +

= + −

= +

− = − −

−

( )( )K L

K L

K LK L

000 10

20

= −

=

L

L

∂

∂= = − − =

∂

∂= = − − =

TC

KTC K L

TC

LTC K L

K

L

160 6 2 0

120 2 4 0

d R t

dtt

2

2 0( )( )⟨*

d S e

dee

2

2 0( )( )⟨*

M

P

d


S e eM

P

d

( )

= ×

dS e

de

( )= 0

dR t

dt

( )= 0


oldu¤undan bulunan de¤erler maksimum yapan de¤er-lerdir. Firman›n amac› maliyetini minimum yapmak ol-du¤u için bulunan de¤erler optimal de¤ildir.

S›ra Sizde 4

Fayda fonksiyonu U(X1, X2, X3) = 160X1 - 2X21 + 120X2

- 4X22 + 130X3 - 5X2

3 + 30 fleklinde verilen bireyin ama-c› faydas›n› maksimum yapmakt›r. Bu optimal de¤erlerafla¤›daki flekilde belirlenir.

Birinci mertebeden k›smi türevleri s›f›r yapan tüketimmiktarlar› (X1, X2, X3) = (40, 15, 13) dür. Bu de¤erlerinmaksimum olup olmad›¤› test etmek için Hessian mat-risi oluflturulur ve asal minörlerinin iflaretine bak›l›r.

oldu¤undan bulunan de¤erler bireyin faydas›n› maksi-mum yapar.

Bradley Teresa ve Patton Paul (2002), Essential

Mathematics for Economics and Business,

Second Edition, John Wiley&Sons Ltd., England.Chiang Alpha C. ve Wainwright K. (2005),

Matematiksel ‹ktisad›n Temel Yöntemleri, 4.Bask›dan Çeviri, Gazi Kitabevi, Ankara.

Dowling Edward T.(1992), Introduction to

Mathematical Economics, McGraw Hill,Newyork.

Erdo¤an Kemal N. ve Alptekin Nesrin (2006), Lineer

Olmayan Programlama Problemleri, AnadoluÜniversitesi Yay›nlar›, Eskiflehir.

Jacques I. (1999), Mathematics for Economics and

Business, Third Edition, Addison-Wesley, Newyork.Klein Michael W. (2001), Mathematical Methods for

Economics, Second Edition, Addison Wesley,Newyork.

McKenna C.J. ve Rees Ray (1992), Economics: A

Mathematical Introduction, Oxford UniversityPress Inc., Newyork.

Silberberg Eugene ve Suen Wing (2001), The Structure

of Economics: A Mathematical Analysis, ThirdEdition, McGraw Hill, Newyork.

Simon Carl P. ve Blume Lawrence (1994), Mathematics

for Economists, First Edition, W.W.Norton&Company, Newyork.

∂

∂= = − =

∂

∂= = − =

∂

∂= =

U

XU X

U

XU X

U

XU

11 1

22 2

33

160 4 0

120 8 0

1300 10 0

160

440

120

815

130

1013

3

1 2

3

− =

= = = =

= =

X

X X

X

,

HTC TC

TC TCKK KL

LK LL

= =( ) ( )( ) ( )

20 20 20 20

20 20 20 20

, ,

, ,−− −− −

= − ×− − − = − = ⟩( ) ( )

6 22 4

6 4 22

24 4 20 0H

iken asaal minör TCKK 20 20 6 0,( ) = − ⟨


H

H

H

=−

−−

= − ⟨

= −−

= − ×− − ×( ) ( )

4 0 00 8 00 0 10

4 0

4 00 8

4 8 0 0

1

2

( ) ( ) ( )( )

= ⟩

= =− ×− ×− + × × + × × −

×

32 0

4 8 10 0 0 0 0 0 0

03H H

−− × + × ×− + × ×−

= = −

( ) ( ) ( )( )

8 0 0 0 4 0 0 10

3203H H ⟨⟨0

Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;‹ktisadi fonksiyonlarda k›s›tl› optimizasyon kavram›n› aç›klayabilecek, ‹ki de¤iflkenli fonksiyonlarda k›s›tl› optimizasyon problemlerini çözebilecek,K›s›tl› optimizasyon problemlerinde amaç fonksiyonunun minumum muyoksa maksimum mu oldu¤unu test edebilecek,Tüketicinin k›s›t alt›nda fayda maksimizasyonu ve harcama minimizasyonusa¤layan optimal tüketim bileflimini bulabilecek,Firman›n k›s›t alt›nda üretim maksimizasyon ve maliyet minimizasyon prob-lemlerini çözebilecekbilgi ve becerilere sahip olacaks›n›z.

‹çindekiler

• K›s›tl› optimizasyon• Birinci dereceden koflullar• ‹kinci dereceden koflullar• Lagrange fonksiyonu

• Lagrange çarpan›• S›n›rland›r›lm›fl Hessian matrisi• Fayda maksimizasyonu• Maliyet minimizasyonu

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

NNN

N

N

Matematiksel ‹ktisatK›s›tl›Optimizasyon

• G‹R‹fi• KISITLI OPT‹M‹ZASYON• ÇOK DE⁄‹fiKENL‹

FONKS‹YONLARDA KISITLIOPT‹M‹ZASYON

• ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ ÇOK KISITLIFONKS‹YONLARDAOPT‹M‹ZASYON

• ‹K‹NC‹ DERECEN KOfiULLAR• KISITLI OPT‹M‹ZASYON ‹LE

‹KT‹SAD‹ UYGULAMALAR


G‹R‹fiSonsuz olan insan ihtiyaçlar› karfl›s›nda kaynaklar›n k›t olmas› ço¤u zaman bir se-çim yapmay› gerektirir. Bu seçim problemi ile bireyler, firmalar, kurumlar, hükü-metler k›saca tüm ekonomik birimler karfl› karfl›ya kal›r. Yap›lacak seçim bazenkoflulsuz olacakt›r. Koflullar›n olmad›¤› durumda yap›lan seçime “k›s›ts›z optimi-zasyon” diyoruz. E¤er bir firma maliyetlerini göz önünde bulundurmadan baflkafirmalar›n piyasa girmesini engellemek için, has›lat›n› maksimize etmeyi amaçl›-yorsa, bu bir k›s›ts›z optimizasyondur. K›s›ts›z optimizasyonun nas›l yap›laca¤›n›bir önceki ünitede inceledik.

Fakat iktisatta seçim ço¤u zaman k›s›tlar alt›nda yap›lmak zorundad›r. Tüketicibütçesini ve ürün fiyatlar›n› göz önünde bulundurup faydas›n› maksimize etmeyiamaçlayacak, firma maliyetlerini göz önünde bulundurup üretimini maksime et-meye çal›flacak, hükümetler enflasyonu yükseltmeden istihdam› art›rmay› amaçla-yacakt›r. Tüm bu örnekler bir amac›n çeflitli k›s›tlar alt›nda gerçeklefltirilmesini ge-rektiren bir sürece iflaret etmektedir. ‹flte bir amac›n belirli k›s›tlar alt›nda gerçek-lefltirilmesine “k›s›tl› optimizasyon” diyoruz. Burada optimizasyon bazen birmaksimizasyon problemi olarak karfl›m›za ç›karken bazen de bir minimizasyonproblemi olarak karfl›m›za ç›kabilir. Tüketici s›n›rl› bütçesi ile kendisine en fazlafayday› sa¤layacak tüketim bileflimini seçerken bir k›s›t alt›nda maksimizasyonproblemi ile karfl› karfl›ya iken, belirli bir üretim miktar›n› en düflük maliyetle ger-çeklefltirmek isteyen firman›n karfl› karfl›ya kald›¤› problem ise bir minimizasyonproblemidir. Amaç ister maksimizasyon, isterse minimizasyon olsun her iki durumda belirli k›s›tlar alt›nda çözülen bir k›s›tl› optimizasyon problemidir.

K›s›tl› optimizasyon matematiksel olarak ise bir fonksiyonu belirli k›s›t ya da k›-s›tlar alt›nda minimum ya da maksimum yapan de¤erleri bulmak fleklinde tan›mla-nabilir. Optimizasyon problemlerine k›s›t konmas›n›n temel amac› iktisad›n k›tkaynak problemini esas almaktad›r. Örne¤in bireylerin çal›flma-bofl zaman tercihproblemlerini çözerken bir günde 24 saat oldu¤u ve bu 24 saatin 8 saatini uyuya-rak geçirece¤i k›s›t›n› koymaz isek birey faydas›n› maksimize edecek çal›flma-boflzaman bileflimi seçerken 16 saatten fazla çal›flmay› tercih edebilecektir. Böyle birsonuç ise gerçekle uyumsuz sonuçlar›n›n ortaya ç›kmas›na neden olabilecektir.

K›s›tl› Optimizasyon

Bir amac›n belirli k›s›tlaralt›nda gerçeklefltirilmesine“k›s›tl› optimizasyon” denir.

KISITLI OPT‹M‹ZASYONBir k›s›tl› optimizasyon problemi üç farkl› flekilde çözülebilir. Bunlar:

• Yerine koyma metodu,• Toplam diferansiyel metodu ve • Lagrange çarpan› metodudur.fiimdi s›ras›yla bu üç metodu aç›klayal›m.

Yerine Koyma Metodu ‹le K›s›tl› Optimizasyonf (x, y) amaç fonksiyonunu g (x, y) = k k›s›t› alt›nda optimize etmenin birinci yoluk›s›t› amaç fonksiyonu içerisine koymakt›r. Bunun için öncelikle k›s›t fonksiyo-nundaki y’yi, x ve k’n›n bir fonksiyonu olarak yazmal›y›z:

g (x, y) = k (8.1)y = h (x, k) (8.2)

fiimdi x ve k’n›n bir fonksiyonu olarak yeniden düzenlenmifl k›s›t› amaç fonk-siyonuna koyarsak amaç fonksiyonunu afla¤›daki gibi yazabiliriz:

f (x, h (x, k)) (8.3)

Asl›nda bu k›s›ts›z optimizasyondan baflka bir fley de¤ildir. E¤er yukar›dakifonksiyonun x’e göre türevini al›rsak I. dereceden koflullara ulaflabiliriz:

(8.4)

Kapal› fonksiyon kural›ndan faydalan›rsak;

olur. (8.5)

Buradan I. dereceden koflullar:

(8.6)

olacakt›r. Eflitlik (8.6)’da verilen birinci dereceden koflullar› sa¤layan x ya da y ifa-desi k›s›t fonksiyonunda yerine konulmak suretiyle, amaç fonksiyonunu g (x, y) =k k›s›t› alt›nda optimize eden x* ve y* kritik de¤erleri bulunabilir.

Bu ünitede incelenen k›s›tl› optimizasyon problemlerinde k›s›t fonksiyonu bir eflitlik du-rumundad›r. K›s›t›n eflitlik olmad›¤› durumlar bu kitab›n amaç ve kapsam›n› aflmaktad›r.

K›s›t fonksiyonun eflitsizlik oldu¤u durumlar için Chiang ve Wainwright (2005)’e bak›labilir.

f(x, y) = xy amaç fonksiyonunu g(x, y) = 4x+2y=40 k›s›t› alt›nda yerine koyma me-todu ile optimize ediniz.

Çözüm 1: Önce k›s›t fonksiyonunu y cinsinden yazal›m:

K›s›t: g (x, y) = 4x + 2y = 20y = h (x, k) = 20 - 2x

f

f

g

gx

y

x

y=

∂∂

= −h

x

g

gx

y

∂ ( )( )∂

= +∂∂

=f x h x k

xf f

h

xx h, ,

0


K›s›tl› optimizasyonda yerinekoyma metodu, problemik›s›ts›z optimizasyonproblemine dönüfltürür.

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Ö R N E K 1

1798. Ünite - K ›s › t l › Opt imizasyon

fiimdi bu k›s›t fonksiyonun amaç fonksiyonunda yerine yazal›m:

fiimdi yukar›daki k›s›t› içeren amaç fonksiyonunu optimize edelim:

x* = 5 bulunur.

Bu de¤eri y = h (x, k) = 20 - 2x fonksiyonunda yerine koyarsak:

y* = 10 olur.

x* ve y* de¤erleri veri iken, fonksiyonun de¤eri:

f (x, y) = x* y* = 50 bulunur.

Bulunan kritik de¤erlerin amaç fonksiyonunu minumum mu yoksa maksimummu yapt›¤›n› II. dereceden koflullar›n› inceleyerek söyleyebiliriz:

maksimum.

K›s›ts›z optimizasyonda II. Dereceden koflullar için bu kitab›n 7. ünitesini inceleyiniz.

Toplam Diferansiyel Yaklafl›m› ‹le K›s›tl› OptimizasyonAmaç fonksiyonunu bir k›s›t alt›nda optimize etmenin bir di¤er yolu toplam dife-ransiyel metodudur. Bu yaklafl›mda hem amaç fonksiyonunun hem de k›s›t›n top-lam diferansiyeli al›n›p eflanl› olarak çözülmesi gerekir.

Yine amaç fonksiyonumuz f (x, y) ve k›s›t fonksiyonumuz g (x, y) = k olsun.Her iki fonksiyonun toplam diferansiyeli flöyle yaz›labilir:

df = fxdx + fydy (8.7)dk = gxdx + gydy = 0 (8.8)

“k” bir sabit oldu¤undan k›s›t fonksiyonunun toplam türevi s›f›ra eflittir.

Yukar›daki ikinci eflitlikten;

(8.9)

yaz›labilir.Eflitlik (8.9)’daki ifadeyi eflitlik (8.7)’de yerine koyarsak;

(8.10)

olur. Birinci dereceden koflullar›n sa¤lanabilmesi için df = 0 olmas› gerekir. Bu ko-flulun sa¤lanabilmesi için ise:

df fg

gf dxx

x

yy= −

dyg

gdxx

y= −

∂ ( )( )∂

= − <2

24 0

f x h x k

x

, ,

∂ ( )( )∂

= − =f x h x k

xx

, ,20 4 0

f x y f x h x k x x, , ,( ) = ( )( ) = −[ ]20 2

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



(8.11)

olmas› gerekir.Bir önceki optimizasyon metodunda oldu¤u gibi birinci dereceden koflullar›

sa¤layan x yada y ifadesi k›s›t fonksiyonunda yerine konulmak suretiyle amaçfonksiyonunu g (x, y) = k k›s›t› optimize eden x* ve y* de¤erleri bulunabilir.

f (x, y) = xy2 amaç fonksiyonunu g (x, y) = 4x + 5y = 600 k›s›t› alt›nda optimizeediniz.

Çözüm 2: Amaç ve k›s›t fonksiyonunun I. dereceden koflullar› eflitlik (8.11) ve-rilmiflti. Buna göre:

fx = y2 fy = 2xygx = 4 gy = 5’tir.

Bunlar› yerlerine koyarsak:

olur.

Buradan ya da bulunur. Bu x ve y de¤erlerinden herhangi bi-

ri k›s›t fonksiyonunda yerine konursa:

g (x, y) = 4x + 5y = 600

x* = 50 olur.

oldu¤una göre:

y* = 80 bulunur.

Lagrange Çarpan› Metodu ‹le K›s›tl› Optimizasyonf (x, y) amaç fonksiyonunu g (x, y) = k k›s›t› alt›nda optimize etmek için LagrangeÇarpan› (λ) metodundan da faydalan›labilir. Asl›nda bu metot iktisatta k›s›tl› opti-mizasyon problemlerinin çözümünde kullan›lan en yayg›n metodtur. Nedeni isedi¤er iki metoda göre önemli bir üstünlü¤ünün olmas›d›r. Bu metotla yap›lan çö-zümlerin özelli¤i amaç fonksiyonunu bir ya da birden fazla k›s›t alt›nda optimizeeden de¤iflkenlerin de¤erleri ile birlikte, k›s›ttaki de¤iflimin amaca etkisini gösterenLagrange çarpan›n› da veriyor olmas›d›r. Her ne kadar amac›n k›s›ttaki de¤iflimeduyarl›l›¤›n› di¤er iki metotta da hesaplamak mümkün olsa da Lagrange çarpan›metodunda bunu do¤rudan veriyor olmas› bir üstünlük olarak görülebilir.

y x=8

5

= +

=4 5

85

600x x

y x=8

5x y=

5

8

y

xy

2

2

4

5=

f

f

g

gx

y

x

y=

f

f

g

gx

y

x

y=


f (x, y) amaç fonksiyonunung (x, y) = k k›s›t› alt›ndaoptimizasyonu için gereklibirinci dereceden koflullar

eflitli¤i ile

sa¤lanmaktad›r.

f

f

g

g

x

y

x

y

=

Ö R N E K 2

Lagrange metodu ile optimizasyon için: 1. Öncelikle k›s›t s›f›ra eflitlenir: k - g (x, y) = 02. Sonra k›s›t Lagrange çarpan› ile çarp›l›r ve Lagrange fonksiyonu oluflturulur:

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ) {k - g (x, y)} (8.12)

Yukar›daki eflitlikte L (x, y, λ) Lagrange fonksiyonunu, f (x, y) amaç fonksi-yonunu ve g (x, y) k›s›t› temsil etmektedir. Lagrange fonksiyonundaki k›s›t s›f›raeflit oldu¤undan, λ {k - g (x, y)} terimi de s›f›ra eflittir. Dolay›s›yla asl›nda Lagran-ge fonksiyonu amaç fonksiyonunun ta kendisidir.

3. Fonksiyonu optimize eden x, y ve λ de¤erlerini bulabilmek için ilk önceLagrange fonksiyonunun birinci dereceden türevleri al›n›r ve s›f›ra eflitlenir.Daha sonra elde edilen denklemler eflanl› çözümlenir ve de¤erler bulunur.

Lagrange fonksiyonuna k›s›t›n λ {k - g (x, y)} ya da λ {g (x, y) - k} fleklinde yaz›lmas› so-nucu de¤ifltirmeyecektir. Bu sadeceλ’n›n iflaretini de¤ifltirecektir.

Yukardaki aç›klanan 3 aflamal› optimizasyon süreci flöyledir:

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ {k - g (x, y)} (8.13)

Birinci dereceden koflullar. (8.14)

Yukardaki birinci dereceden koflullar eflanl› olarak çözülürse:

(8.15)

olur ve bu eflitlikten elde edilecek bir x ya da y de¤eri Lλ fonksiyonunda yerinekonarak amaç fonksiyonunu verilen k›s›t alt›nda optimize eden x, y ve λ de¤erle-ri bulunabilir.

fiimdi konunun anlafl›lmas› için bir örnekle inceleyelim.

f (x, y) = 8x2 + 6xy + 12y2 amaç fonksiyonunu g (x, y) = x + y = 70 k›s›t› alt›ndaoptimize ediniz.

Çözüm 3: Bu optimizasyon problemini çözmek için öncelikle k›s›t fonksiyonu-nu s›f›ra eflitleyip sonra Lagrange fonksiyonu oluflturmal›y›z.

L (x, y, λ) = 8x2 + 6xy + 12y2 + λ (70 - x - y)

flimdi her bir de¤iflken için I. derecen k›smi türevleri alarak, birinci dereceden ko-flullar› bulal›m:

λ = =f

g

f

gx

x

y

y

LL LL

LL LL

LL LL

x x x

y y y

xf g

yf g

k g x y

≡∂∂

= − =

≡∂∂

= − =

≡∂∂

= −

λ

λ

λλ

0

0

( , )) =

0


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



Ö R N E K 3

fiimdi buldu¤umuz x ya da y de¤erini Lλ fonksiyonunda yerine koyal›m.

bu eflitli¤i x için çözersek;

x* = 45 bulunur.

Buldu¤umuz bu x de¤erini fonksiyonunda yerine koyarsak;

y* = 25 olur.

Son olarak bu x ve y de¤erlerini kullanarak λ‘y› hesaplayabiliriz:

λ = 16x+6y = 6 * 45 + 24 * 25λ* = 870 bulunur.

Sonuç olarak f (x, y) amaç fonksiyonunu optimize eden ve toplam› 70 olan x,y ve λ de¤erleri:

x* = 45 ; y* = 25 ve λ* = 870’tir.

Bu de¤erler amaç fonksiyonunu optimize eden de¤erlerdir. Dolay›s›yla amaçfonksiyonunun maksimumda m› yoksa minimumda m› oldu¤u ile ilgili bir bilgiyehenüz sahip de¤iliz. Bunun için fonksiyonun ikinci dereceden koflullar›n› incele-mek gerekecektir.

Lagrange Çarpan›’n›n Anlam›K›s›tl› optimizasyon problemindeki Lagrange çarpan› amac›n k›s›ttaki de¤iflime du-yarl›l›¤›n› ölçmektedir. Dolay›s›yla Lagrange çarpan› amaç ile k›s›t aras›ndaki mar-jinal iliflkinin fliddetini ölçer.

Lagrange çarpan› iktisatç›lar için son derece önemlidir. Zira karfl› karfl›ya kal›-nan probleme göre Lagrange çarpan›na farkl› anlamlar yüklemek mümkün ola-cakt›r. Örne¤in tüketicinin bütçe k›s›t› alt›ndaki fayda maksimizasyon problemin-de, λ harcaman›n marjinal faydas›na iflaret ederken, bir firman›n belirli bir üretimkotas› alt›ndaki maliyet minimizasyon probleminde ise üretimin marjinal maliye-tini gösterecektir.

LagrangeÇarpanıd amaç

d kısıt( )λ =

[ ][ ]

y x=5

9

7059

0− − =x x

10 1895

59

x y x y y x = ⇒ = =yada

LL LL

LL LL

LL LL

x

y

xx y

yx y

≡∂∂

= + − =

≡∂∂

= + − =

≡∂∂

= −

16 6 0

6 24 0

70

λ

λ

λλ xx y

x y x y

− =

= + = +

0

16 6 6 24λ


Lagrange çarpan› (λ), amaçfonksiyonunun k›s›tfonksiyonundaki de¤iflimeduyarl›l›¤›n› ölçer.

LagrangeÇarpanıd amaç

d kısıt( )λ =

[ ][ ]

Örnek 1’de k›s›t›n de¤eri 70’ten 71’e yükselirse amaç fonksiyonunun de¤eri ne kadarde¤iflir?

ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLARDA KISITLIOPT‹M‹ZASYONAmaç ve/veya k›s›t fonksiyonlar›ndaki de¤iflken say›s›n›n ikiden fazla oldu¤u du-rumlarda da Lagrange metodunu kullanarak k›s›tl› optimizasyon problemleriniçözmek mümkündür. Varsayal›m ki n de¤iflkenli olan bir amaç fonksiyonumuz;

f (x1, x2, ......., xn) (8.16)

ve yine n de¤iflkenli bir k›s›t fonksiyonumuz

g (x1, x2, ......., xn) = k (8.17)

olsun.Bu durumda Lagrange fonksiyonu ve optimizasyon için gerekli I. dereceden

koflullar afla¤›daki gibi olacakt›r:

L (x1, x2, ....., xn, λ) = f (x1, x2, ......., xn) + λ {k - g (x1, x2, ......., xn)} (8.18)


Yukardaki birinci dereceden koflular eflanl› olarak çözülürse:

(8.20)

Eflitlik (8.20)’den anlafl›ld›¤› üzere, çok de¤iflkenli fonksiyonlar›n k›s›tl› optimi-zasyon çözümü iki de¤iflkenli fonksiyonlardan çok farkl› de¤ildir.

ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ ÇOK KISITLI FONKS‹YONLARDAOPT‹M‹ZASYONK›s›tl› optimizasyon problemlerinde Lagrange çarpan› metodu bir amaç fonksiyo-nunun fakat birden fazla k›s›t›n oldu¤u durumlarda da kullan›labilir. Böyle bir du-rumda k›s›t kadar Lagrange çarpan› olacakt›r. Yine varsayal›m ki n de¤iflkenli biramaç fonksiyonumuz;

f (x1, x2, ......., xn)

ve n de¤iflkenli iki farkl› k›s›t fonksiyonumuz olsun.

λ = = = =f

g

f

g

f

gx

x

x

x

x

x

n

n

1

1

2

2

........

LL LL

LL LL

LL

x x x

x x x

x

xf g

xf g

n

1 1 1

2 2 2

1

2

0

0

≡∂∂

= − =

≡∂∂

= − =

≡∂

λ

λ

.

.

LLLL

LL LL∂

= − =

≡∂∂

= − ( ) =

xf g

k g x x x

nx x

n

n nλ

λλ

0

01 2, , .......,


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



1

g (x1, x2, ......., xn) = k

z (x1, x2, ......., xn) = m

Bu durumda Lagrange fonksiyonu ve birinci dereceden koflullar afla¤›daki gibiolacakt›r:

(8.21)


Yukardaki denklem sistemi eflanl› olarak çözülürse söz konusu k›s›tlar alt›ndaamaç fonksiyonunu optimize eden x*

1, x*2,......, x*

n , λ*1, λ*

2 de¤erlerine ulafl›labilir.

‹K‹NC‹ DERECEDEN KOfiULLARK›s›tl› optimizasyon problemlerinde elde edilen sonuçlar her ne kadar amaç fonk-siyonunu optimize eden de¤erleri verse de asl›nda bulunan noktan›n fonksiyonuno k›s›t alt›nda bir maksimumda m› yoksa minimumda m› oldu¤u hakk›nda bilgivermez. Bunun için oluflturulan Lagrange fonksiyonunun ikinci dereceden koflul-lar›n›n incelenmesi gerekmektedir. Bunun için s›n›rland›r›lm›fl Hessian matrisinioluflturup oluflturulan matrisin negatif mi yoksa pozitif mi belirli oldu¤unu araflt›r-mak gerekmektedir.

f (x, y) amaç fonksiyonunu g (x, y) = k k›s›t› alt›nda optimize etmek için olufl-turulan Lagrange fonksiyonunun

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ {k - g (x, y)} (8.23)

s›n›rland›r›lm›fl Hessian Matrisi afla¤›daki gibidir:

(8.24)H

g g

g

g

yada H

g

g

x y

x xx xy

y yx yy

xx xy x

yx yy y= =

0

LL LLLL LL

LL LLLL LL

gg gx y 0

LL LL

LL LL

x x x x

x x x

xf g z

xf g

1 1 1 1

2 2 2

11 2

21

0≡∂∂

= − − =

≡∂∂

= − −

λ λ

λ λλ

λ λ

λλ

2

1 2

1

2

1

0

0

z

xf g z

x

xn

x x xn n n n

=

≡∂∂

= − − =

≡∂∂

=

.

.

LL LL

LL LLkk g x x x

m z x x

n− ( ) =

≡∂∂

= −

1 2

21 2

0

2

, , .......,

, , ....LL LLλ λ

...., xn( ) =

0

LL (x ,x , ....., x , , )1 2 n 1 2λ λ λ= ( )+f x x xn1 2, , ......., 11 1 2

2

k g x x x

m z

n− ( ){ }+ −

, , .......,

λ xx x xn1 2, , .......,( ){ }


Dikkat edilirse bu asl›nda normal ikinci dereceden türevlerden oluflan Hessianmatrisin, k›s›t fonksiyonunun birinci dereceden türevleri ile s›n›rland›r›lm›fl hâlidir.

K›s›t alt›nda optimize edilmifl amaç fonksiyonunun minimum mu yoksa maksi-mum mu oldu¤unu belirlemek için, s›n›rland›r›lm›fl Hessian’›n asal minörlerinebakmak gerekir.

S›n›rland›r›lm›fl Hessian’›n bütün asal minörleri negatifse, yani:H–2 < 0, H–3 < 0,.....,H–n < 0 ise, s›n›rland›r›lm›fl Hessian pozitif belirlidir. Po-

zitif belirli Hessian Lagrange fonksiyonunun, dolay›s›yla amaç fonksiyonunun, mi-nimum da oldu¤unu gösterir.

E¤er asal minörler pozitiften bafllayarak iflaret de¤ifltiriyorsa yaniH–2 > 0, H–3 < 0, H–4 > 0,....., (-1)n H– > 0 ise s›n›rland›r›lm›fl Hessian nega-

tif belirli ve Lagrange fonksiyonu maksimumda demektir.Eflitlik (8.24)’te verilen s›n›rland›r›lm›fl Hessian matrisinde, s›n›rland›r›lan asal

minör 2X2 boyunda oldu¤undan, minimum ya da maksimum için ikinci asal mi-nöre bakmak yeterli olacakt›r. Di¤er bir ifade ile amaç;

H–2 = H– > 0 ise maksimum

H–2 = H– < 0 ise minimum olur.

Çok de¤iflkenli ve/veya çok k›s›tl› optimizasyon problemlerinde ikinci derece-den koflullar›n incelenmesi bu kitab›n amaç ve kapsam›n› aflmaktad›r.

KISITLI OPT‹M‹ZASYON ‹LE ‹KT‹SAD‹UYGULAMALAR‹ktisadi hayatta k›t kaynaklar karfl›s›nda sonsuz ihtiyaçlar›n varl›¤› hemen hemenbirçok iktisadi sorunun bir k›s›t alt›nda çözümü, di¤er bir deyiflle, k›s›tl› optimizas-yonu gerektirir. Tüketicinin fayda maksimizasyon problemi, bireylerin çal›flma-boflzaman tercihi, firman›n kapasite k›s›t› alt›nda kâr maksimizasyon problemi, girdi fi-yatlar› sabit ve firman›n finansman olanaklar› s›n›rl› iken üretimin maksimize edil-mesi ya da belirli bir üretim düzeyinin en düflük maliyetle gerçeklefltirilmesi vebunlara benzer birçok iktisadi mesele k›s›tl› optimizasyon teknikleri kullan›larakçözülebilir. Biz burada bunlardan sadece en s›k karfl›lafl›lan optimizasyon prob-lemlerini ele al›p okuyucular›n k›s›tl› optimizasyon tekniklerini tüm iktisadi prob-lemlere uygulamalar›n› bekliyor olaca¤›z. fiimdi bu örnekleri k›saca inceleyelim.

Tüketicinin Fayda Maksimizasyonu Hemen hemen birçok iktisat teorisi kitab›nda karfl›n›za ç›kacak ilk k›s›tl› optimizas-yon problemi tüketicinin fayda maksimizasyon problemidir. Tüketicinin tüketti¤imallar›n fiyatlar› veri ve bu mallara harcayacak finansman olanaklar›n›n belirli birs›n›r› var iken, tüketicinin problemi faydas›n› maksimize etmektir. Konuyu basit-lefltirebilmek için tüketicinin x ve y gibi iki mal tüketti¤ini ve bu mallar› Px ve Pyfiyatlar›ndan sat›n alabildi¤ini varsayal›m. Tüketicinin faydas› tüketti¤i mallar›nmiktar›n›n bir fonksiyonu oldu¤una göre tüketicinin fayda fonksiyonunu, yaniamaç fonksiyonunu flöyle yazabiliriz.

U = U (x, y) (8.25)


S›n›rland›r›lm›fl Hessian’›nbütün asal minörlerinegatifse yani {H

–2 < 0,

H–

3 < 0,....., H–

n < 0} iseamaç fonksiyonuminimumdad›r.

S›n›rland›r›lm›fl Hessian’›nasal minörleri pozitiftenbafllayarak iflaretde¤ifltiriyorsa {H

–2 > 0,

H–

3 < 0, H–

4 > 0 ,.....,(-1)n H

– > 0} amaçfonksiyonu maksimumdad›r.

Tüketicinin bütçesini M ile gösterirsek, tüketicinin bütçe fonksiyonunu, yani k›-s›t fonksiyonunu da, afla¤›daki gibi yazabiliriz:

M = PxX + PyY (8.26)

Bu durumda tüketicinin problemi afla¤›daki gibi olacakt›r:

maksimize et: U = U (x, y)

k›s›t: M = PxX + PyY

Yukar›daki problemi “yerine koyma” ya da “toplam diferansiyel” yada “Lagran-ge” metotlar›ndan herhangi biri ile çözmek mümkün olsa da Lagrange metodunundaha önce bahsetti¤imiz üstünlü¤ü nedeni ile tüketicinin optimizasyon problemi-ni Lagrange metodu ile çözelim:

Bunun için önce Lagrange fonksiyonunu oluflturup I. dereceden koflullar› bulal›m:

Yukardaki eflitlik (8.28) ve (8.29)’dan:

(8.31)

Asl›nda x ve y mallar›n›n marjinal faydalar›ndan baflka bir

fley de¤ildir. x ve y mallar›n› marjinal faydalar›n› ve

ile gösterirsekEflitlik (8.31) flöyle yaz›labilir:

(8.32)

Eflitlik (8.32)’den bulunacak x ya da y ifadesi Lλ’da yerine konularak tüketici-nin bütçe k›s›t› alt›na faydas›n› maksimize eden x* ve y* mal› talep miktar› (ya dafonksiyonlar›n›), yani tüketicinin optimal tüketim bileflimi bulmak mümkündür.

Yukar›da bulunan sonuca “tüketicinin fayda optimizasyonu” veya “tüketicidengesi” denir ve flu flekilde yorumlan›r: ‹ki mal tüketen bir tüketicinin mevcutbütçe k›s›t› alt›nda faydas›n› maksimize edebilmesi için mallar›n marjinal faydalar›-n›n fiyatlar›na oran› birbirine eflit olmas› gerekir. Bu tüketicinin mallara harcad›¤›son liralar›n marjinal faylar›n›n birbirlerine eflit olmas› anlam›na gelir.

Eflitlik (8.32)’de gösterilen tüketici dengesi flu flekilde de yaz›labilir:

(8.33)MU

MU

P

Px

y

x

y=

MU

P

MU

Px

x

y

y=

MU Uy y

= ∂∂MU U

xx

= ∂∂

∂∂( ) ∂

∂( )Ux ve U

y

λ =∂

∂ =∂

∂Ux

P

Uy

Px y


LL(x,y, )λ λ= ( )+ − −( )U x y M P x P yx y, (8.277)

LL LLx xx

U

xP≡

∂∂

=∂∂

− =λ 0

(8.28)

LL LLy yy

U

yP≡

∂∂

=∂∂

− =λ 0

(8.29)

LL LLλ λ

≡∂∂

= − − =M P x P yx y 0 (8.30)

Bir mal›n tüketilen sonbiriminin tüketiciyesa¤lad›¤› faydaya o mal›nmarjinal faydas› denir.Dolay›s›yla x mal›n›nmarjinal faydas›

ve y mal›n›n marjinalfaydas›

‘d›r.MU Uy y

= ∂∂

MU Ux

x= ∂

∂

‹ki mal tüketen bir tüketicinin bu iki maldan sa¤lad›¤› marjinal faydalar›n birbi-rine oran›na marjinal ikame oran› (MRS) denir. Bu durumda yukar›daki eflitlik;

(8.34)

fleklini al›r. Eflitlik (8.34) mallar aras›ndaki MRS’nin fiyat oran›na eflit olmas› de-mektir ki, tüketicilerin tercihlerini yans›tan farks›zl›k e¤rinin e¤imi ile tüketicininbütçe k›s›t›n› gösteren bütçe do¤rusunun e¤iminin birbirine iflit olmas›ndan baflkabir fley de¤ildir.

Son olarak, Tüketicinin faydas›n› bütçe k›s›t› alt›nda maksimize ederek elde di-len talep fonksiyonalar›na baya¤› (Marshalgil) talep fonksiyonlar› denir. Baya¤›talep fonksiyonlar› talep miktar›n› tüketicin geliri ve mallar›n fiyatlar›n›n bir fonk-siyonu olarak ifade eder. x ve y mallar› baya¤› talep fonksiyonlar› afla¤›daki gibiyaz›labilir:

X mal› baya¤› talep fonksiyonu: X*M = X (Px, Py, M)

Y mal› baya¤› talep fonksiyonu: Y*M = Y (Px, Py, M)

Fayda fonksiyonu U (x, y) = x0,5 y0,3 biçiminde olan bir tüketici, x mal›n› 10 T, vey mal›n› 3 T’den sat›n almaktad›r. Bu iki mal için harcayabilece¤i toplam 400 T’siolan bu tüketicinin faydas›n› maksimize eden optimal tüketim bileflimini bulu-nuz. Bulunan tüketim bilefliminin fayday› maksimum yap›p yapmad›¤›n› kontrolediniz.

Çözüm 4: Bu problemi çözebilmek için öncelikle tüketicinin k›s›t fonksiyonu-nu (bütçe k›s›t›n›) oluflturmak gerekir. Yukar›da verilen bilgilere göre tüketicininbütçe k›s›t› flöyle yaz›labilir:

M = Pxx + Pyy ⇒ 400 = 10x + 3y

Bu durumda tüketicinin problemi:

Maksimize et: U (x, y) = x0,5 y0,3

k›s›t: 400 = 10x + 3y

Fayda optimizasyon probleminin çözümü için gerekli Lagrange fonksiyonu veI. dereceden koflullar› afla¤›daki gibi olacakt›r:

bulunur.

L

L L ( , , )

,

, ,x y x y x y

xxx

λ λ= + − −( )

≡∂∂

= −

0 5 0 3

0

400 10 3

0 5 ,, ,

, ,,

5 0 3

0 5 0 7

10 0

0 3 3 0

4

y

yx yy

− =

≡∂∂

= − =

≡∂∂

=

−

λ

λ

λλ

L L

L L000 10 3 0

0 5

10

0 3

31

2

0 5 0 3 0 5 0 7

− − =

= =

=

− −

x y

x y x y

x y

λ, ,, , , ,

ya da y x = 2

MU

MU= MRS =

P

Px

yyx

x

y


‹ki mal tüketen birtüketicinin bu iki maldansa¤lad›¤› marjinalfaydalar›n birbirine oran›naMarjinal ‹kame Oran› (MRS)denir:

MRSMU

MUyx

x

y

=

Ö R N E K 4

bulunan x yada y ifadesini Lλ’da yerine koyarsak:

400 - 10x - 3 (2x) = 0x* = 25y* = 50λ ≅ 0.03 bulunur.

Sonuç olarak bu tüketici, ürün fiyatlar› ve bütçesi veri iken, e¤er x mal›ndan 25ve y mal›ndan 50 birim tüketirse faydas› maksimum olmaktad›r. Bu tüketim bilefli-minin tüketicinin faydas›n› maksimum yap›p yapmad›¤› s›n›rland›r›lm›fl Hessian’abakarak teyit edebiliriz.

Lxx = -0,25x -1,5 y 0,3 Lxy = -0,15x -0,5 y -0,7

Lyy = -0,21x 0,5 y -1,7 Lyx = -0,15x -0,5 y -0,7

H–2 = [-10 (-2,1x0,5 y -1,7 - 0,45x-0,5 y -0,7)] + [3 (-1,5x-0,5 y -0,7) + 0,75x-1,5 y0,3]

H–2 = 21x0,5 y -1,7 + 0,45x-0,5 y -0,7 - 4,5x-0,5 y -0,7 + 2,25x-1,5 y0,3

H–2 = 21x0,5 y -1,7 + 2,25x -1,5 y0,3 > 0

H–2 = H– > 0 oldu¤u için s›n›rland›r›lm›fl Hessian negatif belirlidir. Dolay›s›y-la fayda (U) maksimize edilmifltir.

Yurtta kalan üniversite II. S›n›f ö¤rencisi Zarife, kahvalt›s›n› her gün yurtta yaparken, ö¤-le ve akflam yemeklerini okul yemekhanesinde veya d›flar›da lokantada yemektedir. Zari-fe’nin bir ayl›k ö¤le ve akflam yemekleri için ay›rd›¤› bütçesi T180’dir. Bir ö¤ün yeme¤inokul yemekhanesindeki fiyat› PY= T3 iken lokantada yemenin maliyeti PL= T6’dir. Heray›n 5 gününü ailesinin yan›nda geçiren Zarife’nin fayda fonksiyonu afla¤›da verilmektedir.(Not: Bir ay 30 gün olarak hesaplanm›flt›r. Dolay›s›yla, Zarife her gün iki ö¤ün olmak üze-re toplam 25 gün-50 ö¤ün yemekhane veya lokantada yemek yemesi gerekmektedir):

FAYDA = U (Y, L) = Y0,5 L0,25

Y: Okul yemekhanesinde yenilen yemek.L : Lokantada yenilen yemek.

Zarife’nin T180’lik yemek bütçesi ile faydas›n› maksimize edebilmesi için, ö¤le ve akflamyemeklerinin kaç›n› okul yemekhanesinde, kaç›n› lokantada yemelidir?

Tüketicinin Harcama MinimizasyonuTüketici her zaman faydas›n› maksimize etmeyi amaçlamayabilir. Bazen de belirlibir fayda düzeyine minimum harcamayla ulaflmay› hedefleyebilir. Böyle bir du-rumda amaç fonksiyonu tüketicinin bütçe fonksiyonu iken, k›s›t fonksiyonu faydafonksiyonu olacakt›r.

H

g g

g

g

H x

x y

x xx xy

y yx yy

= = −

0 0 10 3

10 0 25LL LLLL LL

, −− − −

− −

−

− −

1 5 0 3 0 5 0 7

0 5 0 7 0

0 15

3 0 15 0 21

, , , ,

, ,

,

, ,

y x y

x y x ,, ,5 1 7y−


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



2

‹ki mal tüketen bir tüketicinin bütçe fonksiyonu M = Pxx + Pyy ve fayda fonk-siyonu U = U (x, y) ise, tüketicinin problemi;

Minimize et: M = Pxx + Pyy

K›s›t: U–

= U (x, y)

Faydan›n (U) üzerindeki tire iflareti tüketicinin faydas›n›n sabit oldu¤unu göstermektedir.

Harcama minimizasyonu durumunda Lagrange fonksiyonu afla¤›daki gibiolacakt›r:

L (x, y, λ) = Pxx + Pyy + λ (U–

- U (x, y)) (8.35)

Eflitlik (3.39) asl›nda tüketicinin fayda maksimizasyon problemindeki dengekoflulundan (eflitlik 8.32) baflka bir fley de¤ildir:

(8.40)

O zaman buradan flu sonuç ç›kar›labilir. Tüketicinin belirli bir fayda düzeyineen düflük harcama ile eriflebilmesi için tüketti¤i mallar›n marjinal faydalar›n›n fiyat-lar›na oran› birbirine eflit olmal›d›r.

Eflitlik (3.40) yeniden düzenlenirse tüketicinin harcama minimizasyonu için ge-rekli koflul afla¤›daki gibi olacakt›r.

(8.41)

Tüketici ister belirli bir bütçe ile faydas›n› maksimize etmek istesin, isterse be-lirli bir fayda düzeyine minimum harcama ile ulaflmay› hedeflesin, her iki durum-da da mallar›n marjinal faydalar›n›n fiyatlar›na oran›n›n birbirlerine eflit olmas› ya-da MRS’nin fiyat oran›na eflit olmas› gerekti¤i sonucu ç›kar›labilir.

Tüketicinin hem fayda maksimizasyon hem de harcama minimizasyon problem-lerinde optimum tüketim bileflimini belirleyen denge koflullar› ayn› olmakla birlik-te talep fonksiyonlar› farkl›d›r. Tüketicinin belirli bir fayday› en düflük harcama ileelde etmesini sa¤layacak talep fonksiyonlar›, mallar›n fiyatlar› ile birlikte tüketicininfayda düzeyinin bir fonksiyonudur ve Hicksgil talep fonksiyonu olarak adland›r›l›r.Dolay›s›yla x ve y mallar›n›n Hicksgil talep fonksiyonlar› afla¤›daki gibidir:

x mal› Hicksgil talep fonksiyonu: X*H = X (Px, Py, U

–)

y mal› Hicksgil talep fonksiyonu: Y*H = Y (Px, Py, U

–)

MU

MUMRS

P

Px

yyx

x

y= =

MU

P

MU

Px

x

y

y=


S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



LL LLx xx

PU

x≡

∂∂

= −∂∂

=λ 0

(8.36)

LL LLy yy

PU

y≡

∂∂

= −∂∂

=λ 0

,

(8.37)

LL LLλ λ

≡∂∂

= − ( ) =U U x y 0

(8.38)

λ =∂

∂=

∂∂

PU

x

P

Uy

x y (8.39))

‹ki mal tüketen bir tüketiciister belirli bir bütçe ilefaydas›n› maksimize etmekistesin, isterse belirli birfayda düzeyine minimumharcama ile ulaflmay›hedeflesin, her iki durumdada mallar›n marjinalfaydalar›n›n fiyatlar›na oran›birbirine eflit olmal›d›r. Yanitüketici optimumu içingerekli koflul

’tir.

MU

MUyMRS

P

P

xyx

x

y

= =

MU

P

MU

Pyadax

x

y

y

=

Firmalarda K›s›tl› OptimizasyonT›pk› tüketiciler gibi firmalar da faaliyetleri ile ilgili kararlar al›rlarken çeflitli k›s›t-larla karfl› karfl›ya kal›r. Dolay›s›yla firmalar faaliyetleri ile ilgili olarak ald›klar› ka-rarlarda bir ya da birkaç k›s›t alt›nda belirli bir hedefe ulaflmak için optimal çözümyolunu bulmaya çal›fl›r. Firmalar›n karfl› karfl›ya kald›¤› en temel k›s›tl› optimizas-yon problemlerinden baz›lar› flöyle s›ralanabilir:

• Belirli bir üretim düzeyini en düflük maliyetle gerçeklefltirmek, • Faktör fiyatlar› ve üretim teknolojisi veri iken, maksimum üretimi sa¤layacak

faktör bileflimini (faktör talebini) belirlemek,• Kapasite k›s›t› alt›nda kâr›n› maksimize etmek.Asl›nda yukardaki problemlere daha birço¤u eklenebilir. Özellikle firman›n re-

kabet dereceleri farkl› piyasalarda faaliyette bulundu¤u göz önünde bulundurulur-sa firmalar rakip firmalar›n da kararlar›n› ve tepkilerini dikkate almalar› gerekenfakl› optimizasyon problemleri ile karfl› karfl›ya kalabilir. Fakat bu ünitede firmala-r›n karfl› karfl›ya kald›klar› en temel k›s›tl› optimizasyon problemlerinden ikisi olanmaliyet minimizasyonu ve üretim maksimizasyonundan bahsedilecektir.

Maliyet MinimizasyonuFirmalar ço¤u zaman kârlar›n› maksimize edebilmek için belirli bir üretimi en dü-flük maliyetle gerçeklefltirmeyi hedefler. Emek (L) ve sermaye (K) olmak üzere ikigirdi kullanan bir firman›n üretim fonksiyonu afla¤›daki gibi olsun.

q = q (K, L) (8.42)

Bu firman›n sermayeyi PK ve eme¤i PL fiyatlar›ndan sat›n ald›¤›n› varsayarsak ozaman toplam maliyet fonksiyonunu flöyle yazabiliriz:

TC = PKK + PLL (8.43)

E¤er firman›n amac› belirli bir üretim düzeyini en düflük maliyetle gerçeklefltir-mekse, o zaman firman›n problemi afla¤›daki gibi yaz›labilir.

minimize et: TC = PKK + PLL

k›s›t: q– = q (K, L)

Bu problemin çözümü için Lagrange fonksiyonu ve I. dereceden koflullar› afla-¤›daki gibi olacakt›r:

L (K, L, λ) = PKK + PLL + λ (q– - q (K, L)) (8.44)


LL LLK KK

Pq

K≡

∂∂

= −∂∂

=λ 0

(8.45)

LL LLL LL

Pq

L≡

∂∂

= −∂∂

=λ 0

,

(8.46)

LL LLλ λ

≡∂∂

= − ( ) =q q K L 0

(8.47)

λ =∂

∂

=∂

∂

Pq

K

Pq

L

K L (8.488)

(sermayenin marjinal fiziki ürünü) ve (eme¤in mar-

jinal fiziki ürünü) oldu¤undan;Eflitlik (8.48) flöyle yaz›labilir:

(8.49)

Faktörlerin marjinal fiziki ürünlerinin oran› fakatörleraras› marjinal teknik ika-me oran›na (MRTS) eflit olu¤undan;

olur. (8.50)

Eflitlik (8.50)’de bulunan firman›n optimizasyon koflulu, firman›n maliyet mini-mizasyonunu sa¤layan optimal üretim faktörü talep fonksiyonlar›n› verecektir.

Sermayeyi PK = T20 ve eme¤i PL = T5’den sat›n alan bir firman›n üretim fonksiyonu q =

10K0,5 L 0,5’dir. Firma ald›¤› 3600 birimlik siparifli en ucuz maliyetle gerçeklefltirebilmek

için her bir faktörden kaç birim sat›n almal›d›r?

Üretim MaksimizasyonuFirmalar›n s›kça karfl›laflt›klar› bir baflka optimizasyon problemi, s›n›rl› parasal ola-naklarla, yani s›n›rl› sermaye ile üretimlerini maksimize etmeleridir. Asl›nda buproblem maliyet minimizasyon probleminin tersidir. Bu optimizasyon problemin-de firman›n amaç fonksiyonu üretim fonksiyonu iken, k›s›t› maliyet fonksiyonu-dur. Firman›n k›s›tl› üretim maksimizasyon problemi afla¤›daki gibi yaz›labilir.

maksimize et: q = q (K, L)

k›s›t: TC = PKK + PLL

Firman›n maliyet k›s›t› alt›nda üretiminin maksimize edilmesi için Lagrange fonksiyonunuyaz›n›z ve I. derecen koflullar›n sonucu olan firma dengesini bulunuz.

MP

MPMRTS

P

PL

K

L

K= =

MP

MP

P

PL

K

L

K=

∂∂ =q

L MPL∂

∂ =qK MPK


Üretimde iki faktör kullananve belirli bir üretim düzeyinien düflük maliyetlegerçeklefltirmek isteyen birfirma üretimde kulland›¤›faktörlerin marjinal fizikiverimlerinin oran›n› (MRTS)faktörlerin fiyat oran›naeflitlemelidir.

MP

MPMRTS

P

P

L

K

L

K

= =

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



3

S O R U

D ‹ K K A T

SIRA S ‹ZDE

DÜfiÜNEL ‹M

SIRA S ‹ZDE

S O R U

DÜfiÜNEL ‹M

D ‹ K K A T




K ‹ T A P



4


‹ktisadi fonksiyonlarda k›s›tl› optimizasyon kav-

ram›n› aç›klamak

Sonsuz olan insan ihtiyaçlar› karfl›s›nda kaynak-lar›n k›t olmas› bir seçim yapmay› gerektirir. Buseçim problemi ile bireyler, firmalar, kurumlar,hükümetler k›saca tüm ekonomik birimler karfl›karfl›ya kalacakt›r. Bir amac›n belirli k›s›tlar alt›n-da gerçeklefltirilmesine “k›s›tl› optimizasyon”

diyoruz. Burada optimizasyon bazen bir maksi-mizasyon bazende bir minimizasyon problemiolarak karfl›m›za ç›kabilir.

‹ki de¤iflkenli fonksiyonlarda k›s›tl› optimizasyon

problemlerini çözmek

f (x, y) gibi amaç fonksiyonunu g (x, y) = k k›s›-

t› alt›nda optimize etmek için üç farkl› metot kul-

lan›labilir. Bunlar: yerine koyma, toplam diferan-

siyel ve Lagrange çarpan› (λ) metodudur. Lag-

range çarpan› metodu iktisatta k›s›tl› optimizas-

yon problemlerinin çözümünde kullan›lan en

yayg›n metottur. Nedeni ise di¤er iki metoda gö-

re önemli bir üstünlü¤ünün olmas›d›r. Bu metot-

la yap›lan çözümlerin özelli¤i amaç fonksiyonu-

nu bir ya da birden fazla k›s›t alt›nda optimize

eden de¤iflkenlerin de¤erleri ile birlikte k›s›ttaki

de¤iflimin amaca etkisini gösteren Lagrange çar-

pan›n› da veriyor olmas›d›r. Her ne kadar ama-

c›n k›s›ttaki de¤iflime duyarl›l›¤›n› di¤er iki me-

totta da hesaplamak mümkün olsa da Lagrange

çarpan› metodunun bunu do¤rudan veriyor ol-

mas› bir üstünlük olarak görülebilir. ‹ki de¤ifl-

kenli amaç ve k›s›t fonksiyonlar›nda her üç me-

totta da k›s›t alt›nda optimizasyonu sa¤layan I.

dereceden koflullar: ’tir.

K›s›tl› optimizasyon problemlerinde amaç fonk-

siyonunun minimum mu yoksa maksimum mu

oldu¤u test etmek

K›s›t alt›nda optimize edilmifl amaç fonksiyonu-nun minimum mu yoksa maksimum mu oldu¤u-nu belirlemek için, s›n›rland›r›lm›fl Hessian’›n asalminörlerine bakmak gerekir. S›n›rland›r›lm›fl Hes-sian’›n bütün asal minörleri negatifse yani:

H–2 < 0, H–3 < 0,....., H–n < 0 ise, s›n›rland›r›lm›fl

Hessian pozitif belirlidir, Lagrange fonksiyonu,

dolay›s›yla amaç fonksiyonu, minimumdad›r.E¤er asal minörler pozitiften bafllayarak iflaretde¤ifltiriyorsa, yani:H–2 > 0, H–3 < 0, H–4 > 0,....., (-1)n H– > 0 ise s›-n›rland›r›lm›fl Hessian negatif belirli ve Lagrangefonksiyonu maksimumda demektir.

Tüketicinin k›s›t alt›nda fayda maksimizasyonu

ve harcama minimizasyonu sa¤layan optimal

tüketim bileflimini bulmak

Fayda fonksiyonu U = U (x, y) ve bütçe k›s›t fonk-siyonu M = PxX + PyY fleklinde bir tüketici, isterfaydas›n› maksimize etmek istesin, isterse belirlibir fayda düzeyine minimum harcama ile eriflme-yi hedeflesin, tüketicinin k›s›tl› optimizasyonprobleminin I. dereceden koflullar›;

’tir.

Firman›n k›s›t alt›nda üretim maksimizasyon ve

maliyet minimizasyon problemlerini çözmek

Üretim fonksiyonu ve maliyet fonksiyonu q = q (K,

L) ve TC = PKK + PLL fleklinde olan bir firma, mali-yet k›s›t› alt›nda üretimini maksimize etmek yadabelirli bir üretim düzeyini en düflük maliyetle ger-çeklefltirebilmek için, üretimde kulland›¤› faktörle-rin marjinal fiziki ürünlerinin oran›n› (MRTS) faktörfiyatlar› oran›na eflitlemesi gerekmektedir:

MP

MPMRTS

P

PL

K

L

K

= =

MU

P

MU

Pyada

MU

MUMRS

P

Px

x

y

y

x

yyx

x

y

= = =

f

f

g

gx

y

x

y

=

Özet

1NA M A Ç

2NA M A Ç

3NA M A Ç

4NA M A Ç

5NA M A Ç


1. Ayl›k geliri T4000 olan bir bireyin zaman›n› çal›flma-ya (W) ve bal›k tutmaya (F) ay›rd›¤›n› varsayal›m. Bubireyin her iki aktiviteden elde etti¤i fayda düzeyi U(W, F) = W 0,2 F 0,8 olsun. Birey her iki aktiviteye toplam300 saat ay›rd›¤›na göre, bu k›s›t alt›nda her iki aktivi-teden elde edece¤i optimal fayda düzeyi ne kadard›r?

a. (W, F) = (80, 220)b. (W, F) = (100, 200)c. (W, F) = (50, 250)d. (W, F) = (60, 240)e. (W, F) = (140, 160)

2. Bir firman›n toplam maliyeti TC (K, L) = 10K2 + 6KL

+ 4L2 + 19 fleklinde verilmifltir. Bu firman›n üretim ka-pasite k›s›t› K+L =50 birim oldu¤una göre firman›n ma-liyetini optimum yapt›¤› durumda iken üretim kapasite-sinin 4 birim artmas› toplam maliyetini ne kadar ve neyönde etkiler?

a. 1550 birim azalmas›na neden olurb. 1550 birim artmas›na neden olurc. 387,5 birim azalmas›na neden olurd. 387,5 birim artmas›na neden olure. 775 birim artmas›na neden olur

3. Bir firman›n üretim fonksiyonu Q (K, L) = 20K0,4 L0,8

fleklinde verilmifltir. Bu firmada üretim faktörlerinin fi-yatlar› s›ras›yla PK= T2 ve PL= T4 fleklindedir. Bu firmaher iki üretim faktörüne toplam T540 ödedi¤ine göre,firman›n üretimini maksimum k›lmak için kaç birimemek ve sermaye istihdam etmesi gerekir?

a. (K, L) = (90, 140)b. (K, L) = (100, 90)c. (K, L) = (180, 90)d. (K, L) = (90, 110)e. (K, L) = (90, 90)

4. Bir firman›n üretim fonksiyonu Q (K, L) = 9K0,5 L0,5

fleklinde verilmifltir. Bu firmada üretim faktörlerinin fi-yatlar› s›ras›yla PK= T10 ve PL= T40 fleklindedir. Bu fir-ma her iki üretim faktörünü kullanarak toplam 216 bi-rim üretti¤ine göre firman›n maliyetini minimum k›lmakiçin kaç birim emek ve sermaye istihdam etmesi gerekir?

a. (K, L) = (28, 12)b. (K, L) = (48, 18)c. (K, L) = (48, 12)d. (K, L) = (30, 12)e. (K, L) = (48, 24)

5. Bir bireyin tüm gelirini sadece (X) ve (Y) mallar›naay›rd›¤›n› ve elde etti¤i fayda düzeyinin U (X, Y) = 8XYoldu¤unu varsayal›m. Birey X mal›n› sat›n almak içinT3 ve Y mal›n› sat›n almak için T9 ödemektedir. Her ikimal›n tüketiminden elde etti¤i toplam fayda 96 birimoldu¤una göre, harcamas›n› minimum yapabilmek içinher iki maldan kaç birim sat›n almal›d›r?

a. (X, Y) = (6, 2)b. (X, Y) = (6, 4)c. (X, Y) = (4, 2)d. (X, Y) = (6, 6)e. (X, Y) = (2, 2)

6. Bir firman›n üretim fonksiyonu Q (K, L) = AKα L1-α

ve toplam maliyet fonksiyonu ise TC (K, L) = PLL + PKKfleklinde verilmifltir. Maliyet k›s›t› alt›nda üretici dengekoflulu afla¤›daki seçeneklerden hangisinde verilmifltir?

a.

b.

c.

d.

e. α

α

α α

α α

K L

L K

P

PK

L

− −

−−=

( )

1 1

1

α

α

α α

α α

K L

L K

P

PK

L

− −

− −−=

( )

1 1

1 11

1 1 1−=

( ) − −

−

α

α

α α

α α

K L

L K

P

PK

L

α

α

α α

α α

K L

K

P

PK

L

− − −

−−=

( )

1 1 1

1 L

α

α

α α

α α

K L

L K

P

PK

L

− −

− −−=

( )

1 1

2 11



7. Bir bireyin fayda fonksiyonu ve büt-çe do¤rusu ise M (X, Y) = PXX + PYY fleklinde verilmifl-tir. Bütçe k›s›t› alt›nda tüketici denge koflulu afla¤›dakiseçeneklerden hangisinde verilmifltir?

a.

b.

c.

d.

e.

8 ve 9. sorular› afla¤›da verilenler do¤rultusunda

yan›tlay›n›z.

Bir firman›n kâr fonksiyonu π (Q (K, L)) = 6K+3L-5K2 -2KL-3L2+120 fleklinde veriflmifltir. Bu firman›n üretimkapasitesi birimdir.

8. Bu firman›n üretim kapasite k›s›t› alt›nda kâr›n› mak-simum yapmak için kaç birim sermaye ve emek istih-dam edece¤ini hesaplay›n›z.

a. (K, L) = (20.25,39.75)b. (K, L) = (21,39)c. (K, L) = (20.5,39.5)d. (K, L) = (20.75,39.5)e. (K, L) = (20.5,39.25)

9. Firma üretim kapasitesini bir birim artt›rsa kâr› nekadar de¤iflir?

a. Firman›n kâr› 300 birim azal›rb. Firman›n kâr› 300 birim artarc. Firman›n kâr› 276 birim artard. Firman›n kâr› 276 birim azal›r e. Firman›n kâr› de¤iflmez

10. Bir bireyin zaman›n› ders çal›flmaya (D) ve sporyapmaya (S) toplam haftal›k 8 saat ay›rd›¤›n› varsaya-l›m. Bu bireyin her iki aktiviteden elde etti¤i fayda dü-zeyi U (D,S) = In4D+InS olsun. Bireyin zaman k›s›t› al-t›nda her iki aktiviteden elde edece¤i optimal fayda dü-zeyi ne kadard›r?

a. (D, S) = (5, 3)b. (D, S) = (6, 2)c. (D, S) = (4, 4)d. (D, S) = (3, 5)e. (D, S) = (2, 6)

X Y

Y X

P

PX

Y

1 1

1 1

−

−=

α

α β

β

β α

β

α

α

α β

β

β α

X Y

Y X

P

PY

X

1 1

1 1

−

−=

β

α

α β

β

β α

X Y

Y X

P

PX

Y

1 1

1 1−=

β

α

α

α β

β

β α

X Y

Y X

P

PX

Y

1 1

1 1

−

−=

α

β

α

α β

β

β α

X Y

Y X

P

PX

Y

1 1

1 1

−

−=

U X Y X Y,( ) = α β


Kaynak: Resim wikipedia.org’dan al›nm›flt›r.

Eski M›s›r’dan Bir Optimizasyon Örne¤i

Bir iflin en iyi yolun seçilerek baflar›lmas› fikri uygarl›ktarihi kadar eskidir. Örne¤in, Yunan tarihçisi Herodc-tus’a göre, M›s›rl›lar Nil nehrinin her y›l taflmas› sonucuarazi s›n›rlar›n›n yeniden belirlenmesi ve yeni s›n›rlaragöre vergilendirme iflleminin en iyi yolla yap›labilmesiiçin çaba sarfetmifllerdir. Bu çabalar, ölçme ve kararverme arac› olarak düzlem geometrisinin temel kav-ramlar›n›n oluflturulmas›na yol açm›flt›r. M›s›rl›lar, Nilnehrinin bahar dönemlerindeki y›ll›k taflmalar›nda ne-hir k›y›s›ndan toplu halde uzaklafl›p sular çekildi¤indeyine büyük topluluklar halinde geri dönüyorlard›. Çe-kilme ifllemi çok k›sa sürede yap›lamamaktayd›. Bununiçin günlerce önceden halk uyar›lmal›yd›. Bu amaçla,M›s›rl›lar en iyi çekilme zaman›n› hesaplayabilmek içinbir tür takvim bile gelifltirmifllerdi. Söz konusu takvimide sayma ve geometri konusundaki birikimlerini kulla-narak yapm›fllard›.

Kaynak: Çetin, E. Matematik Bir Oyundur, TÜB‹TAK.http://www.biltek.tubitak.gov.tr/bilisim/matematikkuralim.htm

Lagrange Kimdir?

Joseph-Louis Lagrange

(25 Ocak 1375 - 10 Nisan 1813)

Joseph-Louis Lagrange birmatematikçi ve astronom-dur. Turin,Piedmont’ta do-¤an Lagrange hayat›n›n birk›sm›n› Prusya’da bir k›sm›-n› ise Fransa’da geçirmifltir.Analiz teorisi, say›lar kura-m›, klasik mekanik ve gökmekani¤i alanlar›nda çokönemli katk›larda bulun-mufltur. 1776’da Euler ve

d’Alembert’in tavsiyeleri ile Berlin’deki Prusya BilimlerAkademisinin Matematik Bölüm Baflkan› olmufl ve 20y›ldan fazla burada yaflam›flt›r. Çal›flmalar›n›n önemlibir k›sm›n› burada iken yapm›fl ve Fransa Bilimler Aka-demisi ödüllerini burada iken alm›flt›r. Lagrange Anali-tik Mekanik ile ilgili eserini Berlin’de 1788 y›l›nda ya-y›nlam›flt›r. Bu eser Newton’dan sonra klasik mekanikteorisi ile ilgili en kapsaml› çal›flma olup 19. yy. mate-matiksel fizi¤inin geliflmesine önayak olmufltur.Anne ve babas› ‹talyan olan Lagrange 1787 y›l›nda, 51yafl›nda iken Berlin’den Fransa’ya göç etmifl ve ömrü-nün sonuna kadar Fransa Akademisinin bir üyesi ol-mufltur. Bu yüzden Lagrange bir ‹talyan ve Frans›z bi-lim adam› olarak kabul edilir. Frans›z devrimine flahitolan Lagrange 1794’te kurulan Ecole Polytechnique’inilk analiz profesörü olmufltur. Lagrange 1808 y›l›ndaNapolyon taraf›ndan senatör ve kont ilan edilmifltir.1813’te yaflama veda eden Lagrange’in mezar› Panthe-on’dad›r ve ad› Eyfel Kulesinde yer alan 72 önemli flah-siyetten bir tanesidir.

Kaynak: wikipedia.org

Yaflam›n ‹çinden

”

“Okuma Parças›


1. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tüketicinin Fayda Maksimi-zasyonu” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

2. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Lagrange Çarpan› Metodu ‹leK›s›tl› Optimizasyon” ve “Maliyet Minimizasyo-nu” konular›n› yeniden gözden geçiriniz.

3. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Üretim Maksimizasyonu”konusunu yeniden gözden geçiriniz.

4. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Maliyet Minimizasyonu”konusunu yeniden gözden geçiriniz.

5. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tüketici Harcama Minimizas-yonu” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

6. e Yan›t›n›z yanl›fl ise “Üretim Maksimizasyonu”konusunu yeniden gözden geçiriniz.

7. b Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tüketicinin Fayda Maksimi-zasyonu” konusunu yeniden gözden geçiriniz.

8. a Yan›t›n›z yanl›fl ise “Lagrange çarpan› metodu ilek›s›tl› optimizasyon” ve “Üretim maksimizasyo-nu” konular›n› yeniden gözden geçiriniz.

9. d Yan›t›n›z yanl›fl ise “Lagrange çarpan› metoduile k›s›tl› optimizasyon” konusunu yeniden göz-den geçiriniz.

10. c Yan›t›n›z yanl›fl ise “Tüketicinin Fayda Maksimi-zasyonu” konusunu yeniden gözden geçiriniz.


K›s›tl› optimizasyon problemindeki Lagrange çarpan›amac›n k›s›ttaki de¤iflime duyarl›l›¤›n› ölçmektedir. Do-lay›s›yla Lagrange çarpan› amaç ile k›s›t aras›ndaki mar-jinal iliflkinin fliddetini ölçer. Bu ba¤lamda, Lagrangeçarpan› k›s›ttaki “a ” birimlik bir de¤iflmenin amaç fonk-siyonunu “axλ” kadar de¤ifltirece¤ini ifade eder. Örnek1’de Lagrange çarpan› λ=870 fleklinde hesaplanm›flt›r.Buna göre k›s›ttaki bir birimlik de¤iflme durumundaa=1 olmas›na ve amac›n da axλ=1x870 kadar artmas›naneden olur.

S›ra Sizde 2

Zarife’nin problemi:

Maksimize et: U (Y, L) = Y 0,5 L0,25

k›s›t: 180 = 3Y + 6L

Bu durumda Lagrange fonksiyonu I. dereceden koflul-lar› afla¤›daki gibi olacakt›r:

L (x, y, λ) = Y 0,5 L0,25 + λ (180 - 3Y - 6L)

Y = 4L

L *=10 ve Y *= 40

Bu durumda, Zarife lokantada 10 ö¤ün ve okul yemek-hanesinde 40 ö¤ün yemek yiyerek T180’lik bütçesi ilefaydas›n› maksimize edebilir.

S›ra Sizde 3

Belirli bir üretim k›s›t› alt›nda maliyetini minimize et-meyi amaçlayan bu firman›n Lagrange fonksiyonu ve I.dereceden koflullar afla¤›daki gibi olacakt›r:

L (K, L, λ) = 20K + 5L + λ (3600 - 10K0,5 L0,5)

L = 4K

K *=180L *=720TC *= PKK + PLL = 20*180 + 5*720 = T7200

LL LL

LL LL

KK

K L

LL

K L

≡∂

∂= − =

≡∂

∂= − =

−

−

20 5 0

5 5 0

0 5 0 5

0 5 0 5

λ

λ

, ,

, ,

LLLL LLλ λ

λ

≡∂

∂= − =

= =−

3600 10 0

20

5

5

5

0 5 0 5

0 5 0 5 0 5

K L

K L K

, ,

, , , LL−0 5,

LL LL

LL LL

xx

xx

Y L

Y L

≡∂

∂= − =

≡∂

∂=

−

−

0 5 3 0

0 25

0 5 0 25

0 5 0 7

,

,

, ,

, ,

λ

55

0 5 0 25

6 0

180 3 6 0

0 5

3

0 25

− =

≡∂

∂= − − =

= =−

λ

λ

λλ

LL LLY L

Y L, ,, , YY L0 5 0 75

6

, ,−



S›ra Sizde 4

Firman›n problemi;

maksimize et: q = q (K, L)

k›s›t: TC = PKK + PLL

oldu¤una göre, Lagrange fonksiyonu ve I. derecedenkoflullar afla¤›daki gibi olacakt›r:

L (K, L, λ) = q (K, L) + λ (Tc - PKK - PLL)

Yukar›daki eflitlik, maliyet k›s›t› alt›nda üretimini mak-simize etmeyi amaçlayan firman›n faktörlerin marjinalfiziki ürünlerinin oran›n› (MRTS) faktör fiyatlar› oran›naeflitlemesi gerekti¤ini göstermektedir. Bu durum, firmadengesi ve optimal faktör talebi aç›s›ndan maliyet mini-mizasyonu ile üretim maksimizasyonu aras›nda dengekoflulu bak›m›ndan bir fark olmad›¤›n› göstermektedir.

Bailey David (1998), Mathematics in Economics,

McGraw Hill, London.Binger Brian R. Ve Hoffman Elizabeth (1988),

Microeconomics with Calculus, Scott, Frosmanand Company, USA.

Bulmufl ‹smail (2008) Mikroiktisat, 6. Bask›, Ankara:Okutman Yay›nc›l›k.

Chiang Alpha C. ve Wainwright Kevin (2005),Matematiksel ‹ktisad›n Temel Yöntemleri, 4.Bask›dan Çeviri, Yay. Haz.: Sar›mefleli Muzaffer veAç›kgöz fienay, Gazi Kitabevi, Ankara.

Çetin Eyüp (2012) Matematik Bir Oyundur, TÜB‹TAK,http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/kuralim.htm, eriflim tarihi: 06.03.2012

Dowling Edward T. (2001), Introduction to

Mathematical Economics, McGraw Hill, USA.Jacques I. (1999), Mathematics for Economics and

Business, Third Edition, Addison-Wesley,Newyork.

Klein Michael W. (2001), Mathematical Methods for

Economics, Second Edition, Addison Wesley,Newyork.

McKenna C.J. ve Rees Ray (1992), Economics: A

Mathematical Introduction, Oxford UniversityPress Inc., Newyork.

Nicholson, Walter (1995) Microeconomic Theory:

Basic Principles and Extentions, 6th Edition,Dryden Pres, Fort Worth.

Silberberg Eugene ve Suen Wing (2001), The Structure

of Economics: A Mathematical Analysis, ThirdEdition, McGraw Hill, Newyork.

Simon Carl P. ve Blume Lawrence (1994), Mathematics

for Economists, First Edition, W.W.Norton&Company, Newyork.

Wikipedia (2012) The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

LL LL

LL LL

LL LL

K K

L L

K

q

KP

L

q

LP

TC

≡∂

∂=

∂

∂− =

≡∂

∂=

∂

∂− =

≡∂

∂= −

λ

λ

λ λ

0

0

PP K P L

qK

P

qL

P

MP

MPMRTS

P

P

K L

K L

L

K

L

K

− =

=∂

∂ =∂

∂

= =

0

λ


Documents

MATEMAT‹KSEL ‹KT‹SAT...T.C. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 2669 AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 1635 MATEMAT‹KSEL ‹KT‹SAT Yazarlar Doç.Dr. Murat TAﬁDEM‹R