Mat Risler

8/6/2019 Mat Risler

1/41

CebirLineer

Yazar:

Yrd.Do.Dr. Nezahat ETNr.Grv.Dr. Nevin ORHUN

Editr:Prof.Dr. Orhan ZER

T.C. ANADOLU N VERSTES YAYINLARI NO: 1074

AIKRETM FAKLTES YAYINLARI NO: 589

MATEMATK RETMENL

8/6/2019 Mat Risler

2/41

Bu kitabn basm, yaym ve sat haklar

Anadolu niversitesine aittir.

"Uzaktan retim" tekniine uygun olarak haz

rlanan bu kitab

nbtn haklar sakldr.

lgili kurulutan izin almadan kitabn tm ya da

blmleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayt

veya baka ekillerde oaltlamaz,

baslamaz ve datlamaz.

Copyright 1998 by Anadolu University

All rights reserved

No part of this book may be reproduced

or stored in a retrieval system, or transmitted

in any form or by any means mechanical, electronic,

photocopy, magnetic tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

Tasarm: Yrd.Do.Dr. Kazm SEZGN

ISBN 975 - 492 - 829 - 0

8/6/2019 Mat Risler

3/41

A N A D O L U N V E R S T E S

Balarken

Anadolu niversitesi Ak retim Fakltesi'nin retmenlere kazandrd nli-sans diplomasndan sonra, onlara lisans diplomas alma hakknn tannmas ve bu-na olanak salayacakekilde lisans tamamlama programlar amas taktirle karla-nabilecek bir hizmettir. Deerli retmenlerimizin bu frsat en iyi ekilde deerlen-direbileceklerinden hiphe yoktur. Bu yolla hem alan bilgilerini arttracaklar hemde yeni haklar kazanacaklardr. Bunun sonucu olarak da okullarnda daha nitelikli,daha ada hizmet sunabileceklerdir. Bu kitabn da bu hizmete kk bir katks-nn olacan umarm.

Kitap, lkretim retmenlii Lisans Tamamlama Program Matematik Yan Alanderslerinden Lineer Cebir dersinin ieriini kapsayacakekilde hazrlanmtr. Onniteden oluan bu kitapta, matrisler ve determinantlar, dorusal denklem sistem-

leri ve vektr uzay konular ele alnmtr. Bu konular sadece matematik alanndadeil, istatistik, iletme, iktisat, mhendislik hatta sosyal bilimler alanlarnda araolarak kullanlabilecek kavramlar ve yntemler iermektedir. Bu nedenle de temelsaylabilecek tanmlar ve kavramlar zerinde durulmutur. nitelerde teorik anla-tmdan kanlarak, kavramlar daha ok rneklerle anlatlmaya allmtr; konu-lar fazla nbilgiye gereksinim duyulmadan anlalabilecek, kendi iinde btnlolacakekilde verilmeye allmtr. Okuyucunun alrken rnekleri dikkatliceincelemesi, benzer rnekler oluturmas, metin iinde ve sonunda b raklan sorularzmesi konular kavrayp pekitirmesine yardmc olacaktr. Kaynak kitaplarabavurulmas her zaman yararl olmutur ve olacaktr.

Byle bir programn almasnda, dzenlenmesinde, bu kitap dahil kitaplarnn ha-zrlanmasnda, yazmnda, basmnda tm emei geenlere teekkrlerimi suna-rm; retmenlerimize yararl olmasn dilerim.

Prof.Dr. Orhan ZEREditr

8/6/2019 Mat Risler

4/41

8/6/2019 Mat Risler

5/41

Amalar

Bu niteyi altktan sonra;

Matris kavramn renecek,

ki matrisin toplam, bir matrisin skaler ile arpm, iki matrisin

arp

m

ilemlerini ve bu ilemlerin zelliklerini kavrayacak, Baz zel tip matrisleri tanyacak,

Bir matrisin rank hakknda fikir edinecek,

Bir matrisin tersinin ne olduunu reneceksiniz.

indekiler

Matris Kavram 3

zel Tipte Matrisler 4

Bir Matrisin Transpozesi 8

Matris lemleri 8

lkel Satr ve Stun lemleri 18

Bir Matrisin Basamak Biimi 21

Bir Matrisin Rank 22

Blok Matrisler 23

NTE

1Matrisler

Yazar

Yrd.Do.Dr. Nezahat ETN

8/6/2019 Mat Risler

6/41


Bir Kare Matrisin Tersi 24

Deerlendirme Sorular 32

alma nerileri Bu niteyi alrken tanmlar iyice kavrayp zlm rnek-

leri dikkatlice gzden geiriniz.

Okuyucuya braklan sorular znz.

8/6/2019 Mat Risler

7/41

A I K R E T M F A K L T E S

1. Matris Kavram

Gnlk yaantmzda, birden fazla veri aynanda kullanlmak istenildiinde bu ve-riler tablolar ile temsil edilir. Bu gsterim ekli pek ok alanda kullanlmaktadr. r-nein, muhasebe ilemleri, okullardaki ders programlarnn hazrlanmas ve ren-cilerin not durumlarnn takibi, anket sonularnn deerlendirilmesi, baz bilimdallarnda yaplan deneylerin sonularnn deerlendirilmesi bunlardan bir ka ta-nesidir. Aada, tablo ile gsterime bir rnek verilmitir.

1.1. rnek

Bir maazada satlan A, B, C ve D mallarnn maazaya giri fiyatlar, sat fiyatlarve bu mallardan ka adet alnp, ka adet satldn tablo ile gsterelim.

Tabloya gre, B mal 650.000 TL'ye alnp, 975.000 TL'ye satlmve alnan 2500 adet

maldan 1500 tanesi satlmtr.

Bu rnekler daha da oaltlabilir. te, elimizdeki verileri gsterdiimiz, belli say-da satr ve belli sayda stundan oluan tabloya, matris denir. Aada matrisin ma-tematiksel tanm verilmitir.

1.2. Tanm

m x n tane saynn, m satr ve n stuna yerletirilmesiyle oluturulan tabloya birmatris denir.

Genel olarak bir matris,

M A T R S L E R 3

Maln Al Fiyat Sat Fiyat Alnan Miktar Satlan MiktarAd (TL) (TL) (Adet) (Adet)

A 500.000 750.000 1100 950

B 650.000 975.000 2500 1500

C 775.000 1.165.000 800 530

D 825.000 1.240.000 950 822

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

a i1 a i2 a ij a in

am1 am2 amj amn m x n

8/6/2019 Mat Risler

8/41


eklinde gsterilir ve A, B, C, ... gibi harfler ile temsil edilir. m satr ve n stundan oluanbir matrise m x n tipinde bir matris ve aij saylarna da matrisin eleri denir. m x ntipindeki bir matris, ksaca A = (aij)mxn eklinde yazlr. Bir aij esindeki i indisi e-

nin i. satrda olduunu, j indisi ise j. stunda olduunu gsterir. Bundan dolay aijesi, matrisin i. satr ile j. stununun kesitii yerdedir. rnein,

matrisinde a23 esi, 2. satr ile 3. stunun kesitii yerde olan 5'tir.

1.3. Tanm

A = (aij)mxn ve B = (bij)mxn matrisleri verilsin. Eer i = 1, 2, ... , m ve j = 1, 2,... , n iin aij = bij ise A ve B matrislerine eit matrisler denir ve bu matrisler A =B eklinde gsterilir.

ki matrisin eit olabilmesi iin ayn tipten matrisler olmas gerektiine dikkat edi-niz.

1.4. rnek

matrisleri eit matrisler ise b11 = a11 = 1, b12 = a12 = -1, b21 = a21 = 2, b22 = a22 = 1,b31 = a31 = 3 ve b32 = a32 = 0'dr.

2. zel Tipte Matrisler

Baz matrisler tipine gre ya da elerinin tadklar ksmi zelliklere gre zel ad-lar alabilmektedirler. Bu blmde, bu tr zel adlandrlan matrisler tanmlanp r-nekler sunulacaktr.

2.1. Tanm

A, mxn tipinde bir matris olsun. Eer m = 1 ise, yani A 1xn tipinde bir matris ise Amatrisine satr matrisi; n = 1 ise, yani A mx1 tipinde bir matris ise A matrisinestunmatrisi denir.

M A T R S L E R4

A =

2 3 1 6

0 4 5 2

1 0 2 3

2. satr

3. stun

A =

1 -1

2 1

3 0

ve B =

b11 b12

b21 b22

b31 b32

1

5

2

0 4 2

8/6/2019 Mat Risler

9/41


2.2. Tanm

Bir matriste satr says ile stun says eit ise bu matrise kare matris denir.

bir kare matristir. nk A matrisinin satr says ve stun says 3'tr.

nxn tipindeki bir kare matrise, n. mertebeden kare matris denir. Buna gre yukar-da kare matrise rnek verilen A matrisi 3. mertebeden bir kare matristir. Ayrca, n.mertebeden bir kare matriste, i = 1, 2, ..., n iin a ii elerine matrisin kegeneleri denir. rnein,

kare matrisinin kegen eleri 1, 0, -1 ve 5'tir.

2.3. Tanm

Bir matrisin tm eleri sfr ise, bu matrise sfr matrisdenir ve mxn tipindeki bir s-fr matrisi Omxneklinde gsterilir.

Aa

da s

f

r matrisine iki rnek verilmitir:

2.4. Tanm

A n. mertebeden bir kare matris olsun. Her i j iin aij = 0 ise A matrisine k-egen matris denir.

M A T R S L E R 5

A = (1 2 3 -5) matrisi satr matrisine, B =

0

-1

5

matrisi de stun matrisine bi-

rer rnektir.

A =

1 -1 1

0 1 2

2 1 3

A =

0 0 -1

0 2 3

1 2 4

2 3 4

1

0

-1

5

O2x3 =0 0 0

0 0 0, O4x4 =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

8/6/2019 Mat Risler

10/41


rnein,

matrisleri, srasyla 3. ve 4. mertebeden kegen matrislerdir. zel olarak, n. merte-beden bir sfr matris de kegen bir matristir.

2.5. Tanm

Bir kegen matriste, kegen zerindeki elerin hepsi eit ise bu matrise ska-ler matris denir.

2.6. rnek

zm

A matrisinde a11 = 2 dir. Dier taraftan skaler matriste a11 = a22 = a33 olmas

gerektiinden x = a22 = 2 ve y = a33 = 2 olmaldr.

2.7. Tanm

Bir kare matrisin kegeni zerindeki tm eleri 1 ve geriye kalan btn eleri 0ise, bu matrise bir birim matris denir.

n. mertebeden birim matris In ile gsterilir ve

biiminde de ifade edilir.

matrisleri srasyla 2. ve 5. mertebeden birim matrislerdir.

M A T R S L E R6

A = , B =

-2 0 0 0

0 0 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4

0 0

0 0

0 0

1

2

-1

-2

0

3

4

A =

2 0 0

0 x 0

0 0 y

matrisinin skaler matris olmas iin x ve y ne olmaldr?

In =

ij nxn,

ij

=

1 , i = j ise

0 , i j ise

I2 =1 0

0 1ve I5 =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

8/6/2019 Mat Risler

11/41


2.8. Tanm

Bir A = (aij)nxn kare matrisi verilsin. Eer her i, j iin aij = aji ise A matrisine simet-

rik matris denir.

matrisinin simetrik olup olmadn inceleyelim. A matrisinin simetrik olabilmesiiin i, j = 1, 2, 3 ve i j iin aij = aji olmaldr. a12 = a21 = -1, a13 = a31 = 0, a23= a32 = 4 olduundan A matrisi bir simetrik matristir.

2.9. Tanm

A = (aij)nxn kare matrisi verilsin. Eer her i, j iin aij = - aji ise A matrisine terssimetrik matris denir.

Bir ters simetrik matriste, i = j olmas durumunda aii = -aii koulunun ancak aii= 0 iken salandna dikkat edersek, ters simetrik matrisin kegen elerinin sfrolmas gerektiini syleyebiliriz.

2.10. rnek

matrisi 4. mertebeden ters simetrik bir matristir.

2.11. Tanm

A = (aij) nxn kare matrisinde her i < j iin aij = 0 ise A matrisine altgenselmatris , her i > j iin aij = 0 ise A matrisine stgensel matris denir.

Tanmdan anlalaca gibi, altgensel matrisin kegeninin stnde kalan elerve stgensel matrisin kegeninin altnda kalan eler sfrdr. Aada srasylaaltgensel ve stgensel matrislere birer rnek verilmitir:

M A T R S L E R 7

A =

1 -1 0

-1 2 4

0 4 3

A =

0 -1 2 3

1 0 -4 5

-2 4 0 -1

-3 -5 1 0

8/6/2019 Mat Risler

12/41


n. mertebeden bir kegen matrisin hem altgensel, hem de stgensel olduuaktr. Gerekten de,

matrisinde, kegenin st ksmnda kalan tm eler sfr olduundan bu matris biraltgensel matris ve benzer ekilde kegenin alt ksmnda kalan tm eler de s-fr olduundan bir stgensel matristir.

3. Bir Matrisin Transpozesi

3.1. TanmBir A matrisinin satrlar ile stunlarnn yer deitirilmesiyle elde edilen yeni mat-rise, A matrisinin transpozesi denir ve bu matris At ile gsterilir.

Tanmdan anlalacagibi, mxn tipindeki bir matrisin transpozesi nxm tipindedir.

3.2. rnek

Bir A matrisi iin (At)t= A olduu aktr.

4. Matris lemleri

Bu blmde, matrisler arasnda matris toplam, matris fark, matris arp m ilemle-rini ele alacaz. nce bu ilemleri srayla tanmlayp, sonra zelliklerini sralayprnekler vereceiz.

M A T R S L E R8

, B = 0

0 0

A =

0 0 0 0

0 0 0

0 0

0

0

2

3

4

5

1

2 0

-4 1 1

1 -1 2 2

1

-2

3

1 2

1

A =

a11 0 0

0 a22 0

0 0 ann

A =

1 2

-3 45 6

matrisinin transpozesi At

=1 -3 5

2 4 6 matrisidir.

8/6/2019 Mat Risler

13/41


4.1. Tanm

A = (aij)mxn ve B = (bij)mxn ayn tipten iki matris olsun. eleri,

cij = aij + bij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

eklinde oluturulan C = (cij)mxn matrisine A ve B matrislerinin toplamdenirve bu matris A + B eklinde gsterilir.

Bu tanmn aadaki gibi verilebilecei aktr:

matrisleri iin

dir.

ki matrisin toplanabilmesi iin ayn tipten matrisler olduuna dikkat ediniz.

4.2. rnek

Aada matris toplama ileminin zellikleri verilmitir:

a) Ayn tipten matrisler (toplanabilir matrisler) arasnda matris toplamnn bir-leme zellii vardr. Gerekten, A = (aij)mxn , B = (bij)mxn ve C = (cij)mxnmatrisleri iin (A+B) + C matrisinin i. satr, j. stunundaki

M A T R S L E R 9

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

, B =

b11 b12 b1n

b21 b22 b2n

bm1 bm2 bmn

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 a2n + b2n

am1 + bm1 am2 + bm2 amn + bmn

A =2 -1 0 1

3 4 5 6ve B =

-1 0 7 1

-2 1 1 2matrisleri iin

A + B =2 + (-1) -1 + 0 0 + 7 1 + 1

3 + (-2) 4 + 1 5 + 1 6 + 2=

1 -1 7 2

1 5 6 8dir

8/6/2019 Mat Risler

14/41


(aij + bij) + cij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

esi, A + (B+C) nin ayn satr ve stunundaki

aij + (bij + cij) (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

esine eittir. nk saylar arasnda toplama ileminin birleme zelliivardr. O halde

(A+B) + C = A + (B+C)

dir. Bu zellie parantez kaydrma zellii de denir. Bu zelliin sonucu ola-rak, ikiden fazla sayda toplanabilir matrisin toplamn parantezsiz olarak ya-zabiliriz. A, B, C ve D toplanabilir matrisler ise, bunlarn toplamA+B+C+D ola-rak yazlabilir.

b) Toplanabilir iki matris arasnda matris toplamnn deime zellii vardr.Yani A ve B toplanabilir iki matris ise A+B = B+A dr. Bu zelliin kantn, bir-leme zelliinin kantna benzer ekilde kolaylkla yapabilirsiniz.

c) A, mxn tipinde bir matris olmak zere,

A + Omxn = Omxn + A = A

dr. Bu eitliin doruluunu gstermek olduka kolaydr. A + Omxn matrisi-nin i. satr j. stunundaki

aij + 0 (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

esi, sfrn saylardaki toplama ilemine gre etkisiz eleman olmasndandolay,

aij , (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

esine eittir. Bu da A + Omxn = A demektir. Omxn + A = A olduu da

benzer ekilde gsterilir.

4.3. Tanm

A = (aij)mxn ve r R olsun. eleri,

bij = r aij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

eklinde oluturulan B = (bij)mxn matrisine A matrisinin r says ile arpmde-nir ve bu matris rA eklinde gsterilir.

M A T R S L E R10

8/6/2019 Mat Risler

15/41


matrisi ve r gerel says iin

dir. rnein,

Aada bir say ile matris arpm ileminin zellikleri verilmitir:

a) A bir matris ve r, s R olsun. Bu durumda,

(r + s) A = rA + sA

dr. Gerekten de, (r + s) A matrisinin i. satr ve j. stunundaki

(r + s) aij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

esi rA + sA matrisinin ayn konumdaki,

raij + saij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

esine eittir. nk saylarda arpma ileminin, toplama ilemi zerinedalma zellii vardr. Her i, j iin (r + s) aij = raij + saij olduundan ve mat-rislerin eitlii tanmndan (r + s) A = rA + sA olur.

b) A ve B toplanabilir iki matris ve r R olsun. Bu durumda,

r (A + B) = rA + rB

dir.

c) A bir matris ve r, s R olsun. Bu durumda,

(rs) A = r (sA)

dr.

M A T R S L E R 11

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

A =

ra11 ra12 ra1n

ra21 ra22 ra2n

ram1 ram2 ramn

A =

2 -5 1

1 0 2

3 4 1

-2 6 2

ve r = 2 ise r A =

4 -10 2

2 0 4

6 8 2

-4 12 4

dir.

8/6/2019 Mat Risler

16/41


(b) ve (c) zelliklerinin doruluunu, (a) kkna benzer ekilde gsterebilir-siniz.

d) mxn tipindeki bir A matrisi iin,

1A = A ve 0A = Omxn

olduu aktr.

Bir A matrisi iin (-1)A matrisi -A ile gsterilir ve bu matrise A matrisinintoplamsal tersi denir. rnein,

dir.

Aktr ki, mxn tipindeki bir A matrisi iin A + (-A) = 0 mxn dir.

A = (aij)mxn , B = (bij)mxn ve r, s R olmak zere, rA + sB matrisine Cmatrisi diyelim. C matrisinin eleri,

cij = raij + sbij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

eklindedir. Burada zel olarak r = 1 ve s = 1 alnrsa, C matrisinin eleri,

cij = 1aij + (-1)bij = aij - bij (i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

dir. Bu ekilde elde edilen C matrisine, A ile B matrisinin fark denir ve bumatris A - B eklinde gsterilir. Bir baka ifadeyle A - B = A + (-B) dir.

4.4. rnek

4.5. Tanm

A = (aij)mxp ve B = (bij)pxn olsun. eleri,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

eklinde oluturulan C = (cij)mxn matrisine A ile B matrisinin arpmdenir ve bumatris AB eklinde gsterilir.

M A T R S L E R12

A =3 -2 1

0 1 - 2

matrisinin toplamsal tersi -A =-3 2 -1

0 -1 2

A =5 7 -4 2

0 3 6 3

ve B =8 4 2 1

-2 3 5 0

ise A - B matrisi-3 3 -6 1

2 0 1 3

dir.

cij = a ikbkjk = 1

p

8/6/2019 Mat Risler

17/41


A = (aij)mxp ile B = (bij)pxn matrisinin arpm olan AB matrisinin satr says, Amatrisinin satr saysna, stun says ise B matrisinin stun saysna eittir. Ayrca,iki matrisin arplabilmesi iin birinci arpan matrisinin stun says ile ikinci ar-

pan matrisinin satr saysnn eit olmas gerektiine dikkat edilmelidir. Aada ikimatrisin arpmna bir rnek verilmitir.

4.6. rnek

AB matrisi,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak zere, C = (cij)3x4 matrisidir. Bu durumda,

dir.

imdi de matris arpmnn bir uygulamasn vereceiz:

4.7. rnek

Kredili sistemde okuyan be rencinin dnem sonu ortalamalar hesaplanmak is-tenmektedir. rencilerin bu dnemdeki toplam drt dersten aldklar harf notlar,derslerin kredileri ve harf notlarnn katsaylaraadaki tablolarla verilmiolsun.

M A T R S L E R 13

A =

3 2

1 1

0 4

ve B =2 -1 0 1

1 2 3 1olsun.

cij = a ikbkjk = 1

p

C = AB =

3 2

1 1

0 4

2 -1 0 1

1 2 3 1

=

3.2 + 2.1 3.(-1) + 2.2 3.0 + 2.3 3.1 + 2.1

1.2 + 1.1 1.(-1) + 1.2 1.0 + 1.3 1.1 + 1.1

0.2 + 4.1 0.(-1) + 4.2 0.0 + 4.3 0.1 + 4.1

=

8 1 6 5

3 1 3 2

4 8 12 4

8/6/2019 Mat Risler

18/41


Bu tablolara gre III nolu renci, dnem sonunda X1 dersinden B, X2, X3 veX4 derslerinden de C harf notu almtr. Bu dneme ait toplam kredi 18 oldu-una gre, bu rencinin dnem sonu ortalamasn hesaplamak iin, ald herbirdersin kredisi ile harf notunun katsaysnn arplp, daha sonra bunlar toplanp18'e blnmesi gereklidir.

Yani, III nolu rencinin dnem sonu ortalamas,

dir.imdi bu be rencinin ortalamalarn bir stun matris olarak hesaplayalm.

ve

M A T R S L E R14

DERS

RENC X1 X2 X3 X4I A B B B

II C C C D

III B C C C

IV C D F D

V A A B B

DERS KRED

X1 4

X2 6

X3 4

X4 4+

18

NOT KATSAYI

A 4

B 3

C 2

D 1

F 0

Xi nin kredisi . Xi nin harf notunun katsaysi=1

4

18

A =

4 3 3 3

2 2 2 1

3 2 2 2

2 1 0 1

4 4 3 3

x1 x2 x3 x4

I. rencinin harf notlar katsaylar

II. " " " "

III. " " " "

IV. " " " "

V. " " " "

B =

4

6

4

4

x1 in kredisi

x2 nin kredisi

x3 n kredisi

x4 n kredisi

8/6/2019 Mat Risler

19/41


olmak zere, matrisi rencilerin dnem sonu ortalamalar mat-

risi olacaktr. Buna gre,

olmak zere,

4.7. rnekte ksalk iin renci says be alnmtr. renci says ne olursa olsun(100, 1000, ..., n) matris arpm ile, bilgisayar kullanlarak rencilerin ortalamalarhesaplanabilir.

Aada matris arpm ileminin zellikleri verilmitir:

a) A mxp tipinde, B pxq tipinde ve C qxn tipinde birer matris olsunlar. Budurumda,

(AB)C = A(BC)

dir. Bu zellie matris arpma ileminin birleme zellii denir. Bu zelliinkant aada verilmitir.

Kant

AB = D ve BC = E diyelim. Bu durumda, iki matrisin arpm tanmndan,

(i = 1, 2 , ..., m; k = 1, 2, ..., q)

olmak zere D = (dik)mxq ve

(r = 1, 2 , ..., p; j = 1, 2, ..., n)

olmak zere E = (erj)pxn dir.

M A T R S L E R 15

C = 118

(AB)

AB =

4 3 3 3

2 2 2 1

3 2 2 2

2 1 0 1

4 4 3 3

4

6

4

4

=

4.4 + 3.6 + 3.4 + 3.4

2.4 + 2.6 + 2.4 + 1.4

3.4 + 2.6 + 2.4 + 2.4

2.4 + 1.6 + 0.4 + 1.4

4.4 + 4.6 + 3.4 + 3.4

=

58

32

40

18

64

C = 118

58

32

40

18

64

=

3.22

1.77

2.22

1

3.55

I. rencinin dnem sonu ortalamas

II. " " " "

III. " " " "

IV. " " " "

V. " " " " dr.

dik= a ir brkr=1

p

erj = brkckjk=1

q

8/6/2019 Mat Risler

20/41


Benzer ekilde, (AB)C = DC = F ve A(BC) = AE = G denilirse,

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak zere F = (fij)mxn ve

(i = 1, 2 , ..., m; j = 1, 2, ..., n)

olmak zere G = (gij)mxn dir. Bylece her i , j iin fij = gij olduugsterilirse F ile G matrisinin eit olduu, yani (AB)C = A(BC) eitlii gste-rilmi olur. fij = gij olduunu grmek iin her iki enin de eitlerini yazalm:

(i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n)

ve

(i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n)

olur. Buradan da her i, j iin fij = gij olduu grlr. Dolaysyla F = G dir.Yani (AB)C = A(BC) dir.

b) A mxp tipinde, B ve C de pxn tipinde matrisler olsunlar. Bu durumda,

A(B+C) = AB + AC

dir. Bu kural matris arpmnn matris toplam zerine dalm zellii ola-rak adlandrlr.

c) A mxp tipinde ve B pxn tipinde iki matris ve r, s R olsun. Bu durumda,

(rA) (sB) = (rs) AB

dir.

(b) ve (c) zelliklerinin kant okuyucuya braklp bu zellikler ile ilgili bi-rer rnek verilmitir.

M A T R S L E R16

fij = dikckjk=1

q

gij = a ir erjr=1

p

fij = dikckjk=1

q

= a irbrkr=1

p

ckjk=1

q

=k=1

q

a irbrkckjr=1

p

= r=1

p

a irbrkckjk=1

q

= k=1

q

a irbrkckjr=1

p

gij = a ir erjr=1

p

= a irr=1

p

brkckjk=1

q

8/6/2019 Mat Risler

21/41


4.8. rnek

A(B+C) = AB + AC eitliinin doru olduunu gsteriniz.

zm

4.9. rnek

(rA) (sB) = (rs)AB eitliinin doru olduunu gsteriniz.

zm

M A T R S L E R 17

A =

1 2

-1 1

0 1

, B = 1 02 1

ve C = 0 -11 3

is

B + C =1 -1

3 4ise A(B + C) =

1 2

-1 1

0 1

1 -1

3 4=

7 7

2 5

3 4

dir.

AB =

1 2

-1 1

0 1

1 0

2 1=

5 2

1 1

2 1

ve AC =

1 2

-1 1

0 1

0 -1

1 3=

2 5

1 4

1 3

is

AB + AC =

5 2

1 1

2 1

+

2 5

1 4

1 3

=

7 7

2 5

3 4

dir. Buradan da

A(B + C) = AB + AC olduu grlr.

A =1 -1 3

2 1 4, B =

0

1

-1

ve r = 2 , s = -1 i

rA = 21 -1 3

2 1 4=

2 -2 6

4 2 8ve sB = (-1)

0

1

-1

=

0

-1

1

is

rA sB =2 -2 6

4 2 8=

0

-1

1

=8

6dir. Dier taraftan,

8/6/2019 Mat Risler

22/41


Buradan da (rA) (sB) = (rs)AB olduu grlr.

d) A, n. mertebeden bir kare matris ise,

AIn = InA = A

dr. Gerekten de, A = (aij)nxn ve In = (ij)nxn olmak zere, AIn matrisinini. satr ve j. stunundaki esi,

dir. Birim matrisin tanmndan k j iin sij = 0 ve k = j iin sij = 1 oldu-

undan,

olur. Bu eitlik i, j = 1, 2, ..., n iin doru olduundan AIn = A dr. InA =A olduu da benzer ekilde grlebilir.

Not: A ve B matrisleri iin hem AB hem de BA ilemleri tanml olsa bilegenel olarak AB BA dr. rnein,

O halde, arplabilir matrisler iin matris arpmnn deime zellii yoktur,diyebiliriz.

5. lkel Satr ve Stun lemleri

5.1. Tanm

Bir A matrisi verilsin. A matrisinin satrlar (veya stunlar) zerinde yaplan aa-daki tip ileme ilkel satr (veya stun) ilemleri denir.

M A T R S L E R18

a ikijk=1

n

a ikijk=1

n

= a ij

A =-1 2

1 0ve B =

3 1

2 4olsun.

AB =-1 2

1 0

3 1

2 4=

1 7

3 1ve BA =

3 1

2 4

-1 2

1 0=

-2 6

2 4

olduundan AB BA dr.

AB =1 -1 3

2 1 4

0

1

-1

=-4

-3ise (rs)AB = (-2)

-4

-3=

8

6bulunu

8/6/2019 Mat Risler

23/41


I) A matrisinin herhangi iki satrn (veya stununu) kendi aralarnda yer de-

itirmek.

II) A matrisinin herhangi bir satrn (veya stununu) sfrdan farkl bir say ile

arpmak.

III) A matrisinin herhangi bir satrn (veya stununu) sfrdan farkl bir say ile

arpp baka bir satrna (veya stununa) eklemek.

5.2. rnek

A matrisinde 1. satr ile 3. satrn yerleri deitirildiinde,

A1 matrisinde 2. satr 1/2 says ile arplrsa,

A2 matrisinde 3. satr -1 ile arplp 2. satra eklenirse,

Bu ilemlere devam edilerek farkl matrisler elde edilebilir. Bu yeni matrisler Amatrisine eit deildir; fakat, A matrisi ile aralarnda aada tanmlayacamz biriliki vardr.

5.3. Tanm

A ve B matrisleri ayn tipten iki matris olsun. B matrisi, A matrisi zerinde yapla-cak ilkel satr ilemleri sonucu elde edilebiliyor ise A ile B matrisine denk matrislerdenir. Bu durum A B eklinde gsterilir.

M A T R S L E R 19

A =

1 2 3 -1

2 4 6 -2

0 1 1 2

matrisine ilkel satr ilemlerini uygulayalm.

A1 =

0 1 1 2

2 4 6 -2

1 2 3 -1

matrisi elde edilir.

A2 =

0 1 1 2

1 2 3 -11 2 3 -1


A3 =

0 1 1 2

0 0 0 0

1 2 3 -1


8/6/2019 Mat Risler

24/41


rnein, 5.2. rnekte verilen

matrisi A1, A2 ve A3 matrislerinin herbirine denktir. imdi de

matrisinin I3 'e denk olduunu grelim. A matrisinin 1. satrn -1 ile arpp3. satra ekleyelim.

Elde edilen bu matrisin 2. satrn 2 ile arpp 3. satra ekleyelim.

Son matrisin 2. satrn (-1) ile arpp 2. satra ekleyelim.

Bu matrisin 3. satrn (-1) ile arpp 1. satra ekleyelim.

Son olarak bu matrisin 1. satrn 1/2 , 2. satrn (-1) ve 3. satrn 1/3 ile arpalm.

M A T R S L E R20

2 -1 3

0 -1 0

2 1 6

~

2 -1 3

0 -1 0

0 2 3

~

2 -1 3

0 -1 0

0 0 3

~

2 0 3

0 -1 0

0 0 3

~

2 0 0

0 -1 0

0 0 3

~

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= I 3 elde edilir. Bu nedenle A ~ I3 tr

A =

2 -1 3

0 -1 0

2 1 6

A =

1 2 3 -1

2 4 6 -20 1 1 2

8/6/2019 Mat Risler

25/41


6. Bir Matrisin Basamak Biimi

6.1. Tanm

Bir A matrisinin her bir satrnda, sfrdan farkl bir e, iinde bulunduu satrdannce gelen satrdaki sfrdan farkl olan ilk enin daha sanda yer alyorsa A mat-risine basamak matris denir.

matrisleri basamak matrislere birer rnektir.

Herhangi bir A matrisine ilkel satr ilemleri uygulanarak, A matrisine denk olanbasamak matris elde edilebilir. Bu ekilde elde edilen matrise A matrisinin ba-samak biime dntrlm matrisi denir.

6.2. rnek

A matrisinin 1. satrn -3 ile arpp 2. satrna ve yine 1. satrn -1 ile arpp 3. sa-trna ekleyelim.

Elde edilen matrisin 2. satrn -1/2 ile arpp 3. satrna ekleyelim.

M A T R S L E R 21

A =

1 -1 2 1 2

3 1 0 1 2

1 1 0 1 1

matrisini basamak biime dntrelim.

A ~

1 -1 3 4 4

0 4 -6 -2 -4

0 2 -2 0 -1

~

1 -1 3 4 4

0 4 -6 -2 -4

0 0 1 1 1

matrisi A matrisinin basamak biimidir.

A =

1 2 0 3 5

0 3 1 4 2

0 0 1 2 -1

0 0 0 3 0

ve B =

0 1 -1 1

0 0 0 2

0 0 0 0

8/6/2019 Mat Risler

26/41


7. Bir Matrisin Rank

7.1. Tanm

Bir A matrisi verilsin. A matrisinin basamak biime dntrlm olan matri-sin, sfrdan farklsatrlar saysna A matrisinin rankdenir ve r(A) ile gsterilir.

zel olarak, herhangi bir sfr matrisinin rank 0 kabul edilir.

7.2. rnek

A matrisinin 1. satrn 2 ile arpp 3. satrna ve 1. satrn -1 ile arpp 4. satrnaekleyelim.

Elde edilen matriste 3. satr ile 4. satr yer deitirelim.

Bu matriste 2. satr 1/2 ile arpp 3. satra ekleyelim.

matrisinde sfrdan farkl en az bir eleman ieren satr says 3 olduundan r(A) = 3tr.

n. mertebeden bir kegen matris basamak biiminde bir matris olacandan, bylebir matrisin rank, kegen zerindeki sfra eit olan elerin says k ise n-k dr.rnein,

M A T R S L E R22

A ~

1 2 -1 0

0 2 1 2

0 0 0 0

0 -1 2 1

~

1 2 -1 0

0 2 1 2

0 -1 2 1

0 0 0 0

~1 2 -1 00 2 1 2

0 0 5/2 2

0 0 0 0

A =

1 2 -1 0

0 2 1 2

-2 -4 2 0

1 1 1 1

kare matrisinin rankn bulalm.

8/6/2019 Mat Risler

27/41


matrisi 5. mertebeden bir kegen matristir ve n = 5 , k = 1 olduundan

rank (A) = 5-1 = 4 tr.

Rank tanmndan anlalaca gibi, denk matrislerin ranklar ayn saydr.

Bir matrisin rank, vektr uzaylar ve vektrlerin lineer bamszl konular veril-

dikten sonra tekrar incelenecektir.

8. Blok Matrisler

Blok matrisi tanmlamadan nce, bu tanmda gerekli olan alt matris kavramnverelim. Bir A = (aij)mxn matrisinde, k tane satr ve l tane stun karldn-da elde edilen (m - k) x (n - l) tipindeki yeni matrise A matrisinin alt matrisi denir.rnein,

matrisinde, 3. satr ve 2. ile 4. stunlar karldnda elde edilen

matrisi A nn bir alt matrisidir.

8.1. Tanm

Bir

matrisini,

M A T R S L E R 23

A =

-1 2 3 4

7 8 0 1

2 3 -4 -5

1

6

1

0 1 0 1 2

B =

1 2 4

6 8 1

0 0 2

A =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

A =

1 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 -1 0

0 0 0 0 3

8/6/2019 Mat Risler

28/41


r1 + r2 + ... + rp = m , s1 + s2 + ... + sq = n ve

(k = 1, 2, ..., p ; l = 1, 2, ..., q)

ler A nn alt matrisleri olmak zere

eklinde yazabiliriz. Bu yazm ekline A matrisinin bloklara ayrlmasdenir.

8.2. rnek

olmak zere

Burada, p = 2 , q = 3 , r1 = r2 = 2 , s1 = 2 , s2 = 3 , s3 = 1 dir.

9. Bir Kare Matrisin Tersi

9.1. Tanm

A, n. mertebeden bir kare matris olsun. Eer,

AB = In ve BA = In

olacakekilde n. mertebeden bir B kare matrisi var ise, B matrisine A matrisinin tersidenir.

M A T R S L E R24

A =

1 0 -1 3

3 6 0 6

2 2 2 1

-1

2

5

1

0 1 0 2

4

5

2

-3

matrisini

A11 =1 2

3 5, A12 =

0 -1 3

6 0 6, A13 =

4

5

A21 =2 1

-1 0, A22 =

2 2 1

1 0 2, A23 =

2

-3

A =A11 A12 A13

A21 A22 A23 eklinde yazabiliriz.

Akl = (a ij)r xs

A11 A12 A1q

A21 A22 A2q

Ap1 Ap2 Apq

8/6/2019 Mat Risler

29/41


A kare matrisinin tersinin olabilmesi iin AB = In ve BA = In koullarndanyalnzca birinin salanmasyeterlidir. Ayrca, A nn tersi var ise bu tektir ve ters mat-ris A-1 ile gsterilir. Bir kare matrisin tersi var ise tek olduunu aadaki ekilde

gsterebiliriz:

A, n. mertebeden bir kare matris ve B ile C matrisleri de A matrisinin ters matrisiolsunlar. B ile C nin eit matrisler olduunu gstermeliyiz.

AB = In ve CA = In dir. (Ters matris tanmndan)

Dier taraftan,

(CA) B = C (AB) dir. (arpma ileminin birleme zelliinden)

In B = CInB = C

elde edilir.

Aada matris tersi ile ilgili iki rnek verilmitir:

9.2. rnek

olduundan B = A-1 dir.

9.3. rnek

zm

AB = I2 olacakekilde bir matrisinin olup olmadn aratracaz.

M A T R S L E R 25

A =3 2

1 1matrisi verilsin. B =

1 -2

-1 3matrisinin, A'nn tersi olduun

gsterelim. Gerekten,

AB =3 2

1 1

1 -2

-1 3=

1 0

0 1= I2

ve

BA =1 -2

-1 3

3 2

1 1=

1 0

0 1= I2

A =1 -1

-1 1olsun. A matrisinin tersi var mdr?

B =x y

z t

8/6/2019 Mat Risler

30/41


ki matrisin eitlii tanmndan,

x-z = 1 y-t = 0-x+z = 0 -y+t = 1

olmaldr. Fakat bu eitlikleri salayan x, y, z ve t saylar olmadndan AB = I2

koulunu salayacak B matrisi bulunamaz. Dolay

s

yla A matrisinin tersi yoktur.

Not: Eer A = (a) ise a 0 iken A-1 vardr ve

Aada, bir kare matrisin tersini, ilkel satr ilemleri yardmyla elde edebilecei-miz bir yntem vereceiz. nce yntemde kullanlacak olan ilkel matrisi kavramntanmlayalm.

9.4. Tanm

In birim matrisine, ilkel satr ilemlerinin herhangi bir tipi uygulandnda eldeedilen matrise bir ilkel matris denir.

n. mertebeden bir A kare matrisine birinci tip ilkel satr ilemi uygulandnda eldeedilen matrise A1, In birim matrisine ayn ilkel satr ilemi uygulandnda eldeedilen ilkel matrise de E1 dersek A1 = E1 A dr.

rnein,

matrisinin 1. satr ile 3. satrn yer deitirelim.

Bu durumda

dir. Dier taraftan I3'e ayn

ilkel sat

r ilemini uygularsak

M A T R S L E R26

A-1 = 1a

dir.

A =

1 2 -1

3 1 10 2 4

A1 =

0 2 4

3 1 1

1 2 -1

Eer byle bir B matrisi varsa, AB = I2 eitliinden,1 -1

-1 1

x y

z t=

1 0

0 1ol-

mal

d

r.

arpma ilemini yaparsak,x-z y-t

-x+z -y+t=

1 0

0 1elde edilir.

ve

8/6/2019 Mat Risler

31/41

8/6/2019 Mat Risler

32/41


eitliinden A-1 = C olur. C matrisine dikkat edecek olursak, bu matris, In birimmatrisine, A matrisine uygulanan ilkel satr ilemlerinin ayn srada uygulanmasile elde edilen matristir. Dolaysyla B = (A , In) matrisinde, A matrisine ilkel sa-

tr ilemleri uygulayarak birim matrisi elde ettiimizde, In 'e de ayn ilemleri uygu-layarak elde ettiimiz matris, A nn tersi olan A-1 matrisidir.

9.5. rnek

matrisinde 1. satrn -1/2 katn 2. satra ekleyelim.

dir. Bu matrisin 2. satrn -2/3 ile arpalm.

olur. Elde edilen bu matriste 2. satrn 2 katn 3. satra ekleyelim.

bulunur. Bu matriste 2. sat rnn -3 katn1. satra ekleyelim, 3. satrn -1/3 ile arpa-

lm.

M A T R S L E R28

B =

2 3 -4 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 -2 1 0 0 1

B ~

2

3

-4 1 0

0

0

-3/2

3 -1/2

1

0

0

-2

1 0 0

1

~

2 3 -4 1 0 0

0 1 -2 1/3 -2/3 0

0 -2 1 0 0 1

~

2 3 -4 1 0 0

0 1 -2 1/3 -2/3 00 0 -3 2 3 -4 3 1

A =

2 3 -4

1 0 1

0 -2 1

matrisinin tersini ilkel satr ilemleri ile bulalm.

~

2 0 2 0 2 0

0 1 -2 1/3 -2/3 0

0 0 1 -2 9 4 9 -1 3

8/6/2019 Mat Risler

33/41


elde edilir. Son elde edilen matrisin 3. satrn -2 katn 1. satra, 3. satrn 2 katn 2.satra ekleyelim.

bulunur. Son olarak, 1. satr 1/2 ile arpalm.

olur. Bu son matriste A matrisinin yerinde I3 elde edilmitir. Dolaysyla I3 n ye-rinde elde edilen

matrisi A nn ters matrisidir.

9.6. rnek

zm

dir. B matrisinde, 1. satr ile 2. satr toplayp 2. satra, 1. satr ile 3. satr toplayp 3. sa-tra, 1. satr ile 4. satr toplayp 4. satra ekleyelim.

M A T R S L E R 29

~

1 0 0 2/9 5/9 1/3

0 1 0 -1/9 2/9 -2/3

0 0 1 -2 9 4 9 -1 3

2/9 5/9 1/3

-1/9 2/9 -2/3

-2 9 4 9 -1 3

A =

-1 1 1 1

1 -1 1 1

1 1 -1 1

1 1 1 -1

ise A-1 = ?

~

2 0 0 4/9 10/9 2/3

0 1 0 -1/9 2/9 -2/3

0 0 1 -2 9 4 9 -1 3

B =

-1 1 1 1 1 0 0 0

1 -1 1 1 0 1 0 0

1 1 -1 1 0 0 1 0

1 1 1 -1 0 0 0 1

8/6/2019 Mat Risler

34/41


olur. Bu matrisin 2. satr ile 3. satrn yer deitirelim.

dir. Elde edilen bu matrisin 2. satrnn -1 katn 4. satra ekleyelim.

bulunur. Bu matrisin 3. satrnn -1 katn 4. satra ekleyelim.

elde edilir. Elde edilen bu son matriste 3. satrn -1/2 katn 1. satra, 4. satrn 1/2

katn 2. satra ekleyelim.

bulunur. Bu matriste, 4. sat rn 1/2 katn 3. satra, 2. satrn -1/2 katn 1. satra ekle-

yelim.

M A T R S L E R30

~

-1 1 1 1 1 0 0 0

0 2 0 2 1 0 1 0

0 0 2 2 1 1 0 0

0 0 2 -2 0 0 -1 1

~-1 1 1 1 1 0 0 00 2 0 2 1 0 1 0

0 0 2 2 1 1 0 0

0 0 0 -4 -1 -1 -1 1

~

-1 1 0 0 1/2 -1/2 0 0

0 2 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2

0 0 2 2 1 1 0 0

0 0 0 -4 -1 -1 -1 1

B ~

-1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 2 2 1 1 0 0

0 2 0 2 1 0 1 00 2 2 2 1 0 0 1

~

-1 1 1 1 1 0 0 0

0 2 0 2 1 0 1 0

0 0 2 2 1 1 0 0

0 2 2 2 1 0 0 1

8/6/2019 Mat Risler

35/41


dir. Son olarak 1. satr -1 ile, 2. satr 1/2 ile, 3. satr 1/2 ile ve 4. satr -1/4 ile

arpalm.

bulunur. O halde,

matrisidir.

9.7. rnek

matrisinde 1. satrn -1/2 katn 2. satra ekleyelim ve 1. satr ile 3. satr toplayp3. satra yazalm.

M A T R S L E R 31

A =

2 -1 2

1 1 1

-2 1 -2

matrisinin tersini bulmaya alalm.

B =

2 -1 2 1 0 0

1 1 1 0 1 0-2 1 -2 0 0 1

B ~

2 -1 2 1 0 0

0 3/2 0 -1/2 1 0

0 0 0 1 0 1

~

-1 0 0 0 1/4 -1/4 -1/4 -1/4

0 2 0 0 1/2 -1/2 1/2 1/2

0 0 2 0 1/2 1/2 -1/2 1/20 0 0 -4 -1 -1 -1 1

~

1 0 0 0 -1/4 1/4 1/4 1/4

0 1 0 0 1/4 -1/4 1/4 1/4

0 0 1 0 1/4 1/4 -1/4 1/4

0 0 0 1 1 4 1 4 1 4 -1 4

A-1 = 14

-1 1 1 1

1 -1 1 1

1 1 -1 1

1 1 1 -1

8/6/2019 Mat Risler

36/41


Bu matrise gre rank (A) = 2 dir. Dier taraftan rank (I3) = 3 olduuna gre, Amatrisinden hareketle ilkel satr ilemleri ile I3 matrisi elde edilemez. nk Amatrisi ile I3 birim matrisinin ranklar farkl olduu iin denk matrisler deiller-

dir. Dolaysyla A matrisinin tersi yoktur.

Deerlendirme Sorular

Aadaki sorularn yantlarn verilen seenekler arasndan bulunuz.

1.

A. -1 B. 1C. 2 D. 5E. 7

2.

A. x= -y B. x= yC. y= 1-x D. y= 1+xE. x y

3.

A. B.

C. D.

E.

M A T R S L E R32

2-2 1 3 2

1 0 1 0- 3

1 0 2 -1

0 1 2 2ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?

-1 2 12 1

2 3 8 6

-7 2 0 7

2 -3 -4 -6

-1 1 5 1

1 1 3 2

-1 2 12 1

2 3 7 6

-7 2 0 7

2 3 8 6

A =

-1 0 0 0

1 0 x+y 0

3 4 5 0

x-y 6 7 -5

A =

-1 2 3 5 6

2 0 1 -1 2

1 5 7 -2 1

matrisi, x ve y nin hangi deerleri iin alt-gensel bir matristir?

matrisinin a23 esi aadakilerdenhangisidir?

8/6/2019 Mat Risler

37/41


4.

A. (1) B. (0)

C. D.

E.

5. Aadaki matrislerden hangisi transpozesine eittir?

A. B.

C. D.

E.

6.

A. 0 B. 1C. 2 D. 3E. 4

M A T R S L E R 33

A =

1 1 1 2

1 1 2 1

1 2 1 1

2 2 4 2

1 -1 2 02 -2 4 0

1 -1 2 0

-1 1 -2 0

1 0 0

-2 1 1

0 2 1

5 0 1

0 5 2

1 -2 5

1 2 3

-2 1 3

-3 -3 1

5 4 -6

4 0 1

-6 1 2

4 5 6

-5 2 4

6 4 4

1

-1

20

1 2 1 -1 matrisi a adaki lerden h angisidir?

1 2 1 -1

-1 -2 -1 1

2 4 2 -2

0 0 0 0

1 2 1 -1

-1 -2 -1 1

2 4 2 -2

-1 2 1 -1

matrisinin rank aadaki saylardanhangisidir?

8/6/2019 Mat Risler

38/41


7. Aadaki matrislerden hangisi I4'e denktir?

A. B.

C. D.

E.

8.

A. B.

C. D.

E.

9.

A. (6) B. (9)

C. D. (0 -2 8)

E.

M A T R S L E R34

0 2 4

3

-1

2

ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?

0 0 0

6 -2 4

12 -4 8

0

-2

8

A =1 1

0 -1matrisinin tersi aadakilerden hangisidir?

-1 0

-1 1

1 0

1 -1

-1 10 1

-1 -10 1

1 1

0 -1

1 2 1 2

0 1 1 1

2 4 2 4

1 0 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 0

-1 0 0 1

3 1 2 -3

1 1 1 -1

1 1 3 -1

1 -1 1 1

-1 1 1 11 1 -1 1

1 1 1 -1

8/6/2019 Mat Risler

39/41


10.

A. B.

C. D.

E.

11. A bir kare matris olmak zere, aadaki ifadelerden hangisi her zaman do-rudur?

A. AAt simetrik bir matristir. B. A - At simetrik bir matristir.C. A + At ters simetrik bir matristir. D. A At skaler bir matristir.E. A - At alt gensel bir matristir.

12.

16

A. 12 B. 9C. 7 D. 5E. 2

13.

A. -2 B. -1C. 0 D. 1E. 2

14. A, 5x7 tipinde bir matris olmak zere, AB - 2I5 ileminin yaplabilmesi iin,B hangi tipte bir matris olmaldr?

A. 5x5 B. 7x7C. 7x5 D. 5x7E. Hibiri

M A T R S L E R 35

A =

3 1 -2

7 2 4

-1 3 00 2 -1

1 0 0

0 1+x 0

2-x 0 0

matrisinin kegen matris olmas iin x ne olmaldr?

A =1 1

2 1, B =

0 1

1 0matrisleri veriliyor.

A = BX matris eitliini salayan X matrisi aa

dakilerden hangisidir?

0 1

1 0 1 0

0 1

1 1

2 1 1 -1

2 1

2 1

1 1

matrisinin eleri kullanlarak yaplan a12 - a13 +2a42 + 2a43 ileminin sonucu nedir?

8/6/2019 Mat Risler

40/41


15.

A. a = 1 B. a = -1b = -1 b = 1

C. D.

E.

16.

A. B.

C. D.

E. A matrisinin tersi yoktur.

M A T R S L E R36

A =

1 1 2 1

2 1 1 1

1 2 1 1

1 1 2 1

matrisinin tersi varsa, aadakilerden hangisidir?

1 1 0 0

-1 -1 0 -3

0 -1 -2 0

1 0 2 3

1/2

1 1 0 0

-1 -1 0 -3

0 -1 -2 0

1 0 2 3

0 1 0 0

-2 -1 0 -3

2 -1 -2 0

-1 0 2 3

1/4

-1 -1 2 -1

2 -1 -1 -1

-1 2 -1 -1

-1 -1 2 -1

1

2

1 -2 0

4 6 1

6 8 00 0 1

-2

0 1 -1

2 1 1

3 0 a-b2 a+b 0

=

1/2 -3 2

-2 1 -3/2

-3 4 0-4 2 1/2

ise

a ve b nin deerleri aadakilerden hangisidir?

a = -1/2

b = -1 2

a = 1/2b = 1 2

a = -1/2

b = 1 2

8/6/2019 Mat Risler

41/41

17.

A. B.

C. D.

E. A matrisinin tersi yoktur.

Deerlendirme Sorularnn Yantlar

1. B 2. A 3. B 4. C 5. D 6. D 7. E 8. E 9. A 10. E11 A 12 D 13 E 14 C 15 C 16 E 17 B

M A T R S L E R 37

2 1 -3 1 1

0 -1 2 1 2

0 0 1 2 30 0 0 4 8

0 0 0 0 2

matrisinin tersi varsa, aadakilerden hangisidir?

1 1 1 -1 1

0 -2 4 -3/2 2

0 0 2 -1 1

0 0 0 1/2 -2

0 0 0 0 1

1/2

1 1 1 -1 1

0 -2 4 -3/2 2

0 0 2 -1 1

0 0 0 1/2 -2

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

1 -2 0 0 0

1 4 2 0 0

-1 -3/2 -1 1/2 0

1 2 1 -2 1

1/2

1 0 0 0 0

1 -2 0 0 0

1 4 2 0 0

-1 -3/2 -1 1/2 0

1 2 1 -2 1

Documents

Mat Risler