Sytèmes dynamiques – modélisationEmmanuel Risler

2008 – 2009INSA de Lyon - GEN

Qu’est-ce qu’un modèle ?

Modèle = représentation simplifiée de la réalité (de certains aspects, sélectionnés, de la réalité)

• « physique » ex : maquette, globe terrestre, horloge• « conceptuel »• numérique (peut être très simple ou très

compliqué)

A quoi sert un modèle ?

• Simuler (prévoir)• Comprendre

Objectifs du cours : • se familiariser avec la démarche « modélisation »• analyser et comprendre des phénomènes

(principalement qualitatifs, mais les phénomènes peuvent parfois aussi être quantitatifs)• analyser en détails les phénomènes d’effondrement de

civilisations :• Île de Pâques• Mayas• Cerfs du plateau du Kaibab• Modèles intégrés environnement/économie, rapport du club de

Rome

Modèles : dynamiques = évoluent dans le temps

Modèles auxquels on va principalement s’intéresser :

• « systèmes » = plusieurs composantes• évoluent dans le temps (approche statique ne

permet pas d’appréhender les phénomènes)• temps continu• systèmes définis par un nombre fini de quantité

réelles (pas des EDPs, pas d’espace continu)• systèmes déterministes (le plus souvent)

Éventuellement : • avec perturbation aléatoire• avec des effets retard• avec une ou plusieurs variable(s) de contrôle

On ne se refait pas : un peu de théorie …

Système défini par un nombre fini de quantités réellesEspace des états (ou espace des phases) = Rn

Evolue dans le temps de façon déterministeTrajectoire dans l’espace des étatsSystème autonome / non autonome

Sa vitesse d’évolution instantanée est fonction de son étatChamp de vecteurs sur l’espace des étatsEquation différentielle associée

Réciproquement :

Tout système gouverné par une équation différentielle a un comportement déterministe

=Théorème d’existence et d’unicité des solutions

Pourquoi est-ce important ?

Parce que la complexité de la « dynamique » que l’on peut rencontrer est fonction de la dimension de l’espace des phases • Dimension 1 : équilibres• Dimension 2 : oscillations (et équilibres)• Dimension 3 : comportement « complexe » (= « chaotique »)

(et oscillations, et équilibres)

Et maintenant : la pratique !

Croissance exponentielle

Accroissement linéaire :

Exemples• Placement rémunéré à taux constant• Population biologique non contrainte

X(t+1) - X(t) = c . X(t)dX/dt = c . X(t)

X(t)

Dans « Limits to growth »• Population• Production industrielle

Temps de doublement

=> croissance exponentielle

Croissance = 2% par anÞtemps de doublement : 35 ans3% par anÞtemps de doublement : 24 ans

Le rapport du club de Rome, ou rapport « Meadows »

• 8 avril 1968 : création du « Club de Rome » • Objectif : réfléchir aux « grands problèmes du monde », notamment l’interaction entre l’économie et l’environnement• 1970 : Jay Forrester, MIT, modèle « World 1 »• 1972 : Sortie de « Limits to growth », mise en œuvre du modèle « World 3 », sous la direction de Dennis Meadows, improprement traduit en français par : « Halte à la croissance ! »• 1992 : « Beyond the limits »• 2004 : « Limits to growth, the 30-year update »