Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques

Emmanuel Risler, INSA de Lyon

2 - Equations différentielles dans le plan

Equations différentielles dans le plan

x1’=f1 (x1, x2)x2’=f2(x1, x2)

x1

x2

Contrairement à la dimension 1, impossible de déterminer la dynamique uniquement à l’aide d’un dessin.

On va devoir calculer. En général les solutions ne se calculent pas.

x’ = f(x)x = (x1, x2)f = (f1, f2)

Etude locale au voisinage d’un équilibre

Linéarisation au voisinage d’un équilibre : f(xe)=0x = xe + ey e y’ = f(xe + ey) = Df(xe) . e y + O(e2)

y’ = Df(xe) . y + O(e)

y’ = Df(xe) . y

x1

xe

x2

0

y2

y1

xe

Linéarisation en dimension un : x’ = f(x) f : R->Rf(xe) = 0

y’ = Df(xe) . y = f’(xe) . yx

f(x)

xe

xe 0 y

Equations différentielles linéaires en dimension 2

x’ = Axx = (x1, x2)

a b c d A =

x1’ = a x1 + b x2

x2’ = c x1 + c x2

1. Cas où la matrice A est diagonale

l1 0 0 l2

A = x1’ = l1 x1

x2’ = l2 x2

x1(t) = x1(0) exp(l1 t)x2(t) = x2(0) exp(l2 t)

1.a. l1 < l2 < 0

x1

x2

1.a/b l1 < l2 = 0

« nœud attractif »

1.b l1 < 0 < l2

x1

x2

« col »

1.c 0 < l1 < l2x1

x2

« nœud répulsif »

1.b/c l1 = 0 < l2

x1

x2

2. Cas où la matrice A est diagonalisable (sur R)

x1

x2

y1

y2

y1

y2

Plan Trace - Déterminant

T

D D = 0

D >0D < 0

Polynôme caractéristique : P(l) = l2- Tl + DDiscriminant : D = T2-4D

col col

nœud répulsifnœud attractif

3. Cas où la matrice A a deux valeurs propres complexes conjuguées (D < 0)

Av=lv

Av=lvl C , v C2

x = z v + z v

z’ = l zz = r exp (i q) r‘ = Re (l) r q‘ = Im (l)

Re (z)

Im (z)

x1

x2

Re (l) < 0 -> « Foyer attractif »Re (l) > 0 -> « Foyer répulsif »Re (l) = 0 -> « Centre »

Plan Trace – Déterminant (suite)

T

D D = 0

D >0D < 0

Polynôme caractéristique : P(l) = l2- Tl + DDiscriminant : D = T2-4D

col col

nœud répulsifnœud attractif

foyer attractif foyer répulsif

foyer attractif / foyer répulsif

nœud / foyer

nœud / col

Allure locale au voisinage d’un point d’équilibre

• La stabilité locale de l’équilibre est donnée par la stabilité du linéarisé à l’équilibre• Un point selle (linéarisé de type « col ») admet une variété stable et une variété instable• La variété stable va jouer un rôle de séparatrice entre des comportements asymptotiques différents• En dimension supérieure, la stabilité d’un point d’équilibre est donnée par la partie réelle des valeurs propres du linéarisé• Un point d’équilibre est dit non dégénéré (= transverse) si aucune de ses valeurs propres n’est égale à zéro• Un point d’équilibre non dégénéré est robuste (si on perturbe légèrement le système, on conserve un unique équilibre, du même type, au voisinage)• Les bifurcations de codimension un d’équilibres sont de trois types : •  Une valeur propre s’annule (« nœud-col »)• Deux valeurs propres complexes conjuguées ont une partie réelle qui s’annule

(Hopf)• Deux valeurs propres réelles deviennent complexes conjuguées (nœud-foyer)

(la troisième bifurcation est moins importante, car elle ne modifie pas la stabilité de l’équilibre)• Cette classification reste valable en dimension supérieure

Bifurcation nœud-col

Point « selle » (ou « col ») et sa séparatrice

Bifurcation nœud-col

Application de premier retour

Application de premier retour pour une bifurcation de Hopf

Bifurcation de Hopf super-critique

Bifurcation de Hopf sous-critique

Espace des paramètres…

Bifurcation de Hopf super-critique en dimension 3

Bifurcation de confusion de deux orbites périodiques