Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques

Emmanuel Risler, INSA de Lyon

1 - Equations différentielles sur la droite

Déterminisme et équations différentielles• Système S dont l’état peut évoluer dans le temps• On peut considérer l’ensemble E de tous les états possibles du système• Cet ensemble est appelé l’espace des états, ou espace des phases• Si l’état du système est caractérisé par un nombre fini de quantités réelles, alors l’espace des états est Rn ou un sous-ensemble de Rn

• On dit que le système évolue de façon déterministe si son état à un instant donné détermine tous ses états futurs• Dans ce cas, son état à un instant donné détermine également toutes ses vitesses futures, et en particulier sa vitesse à ce même instant

x2

x1

x3

x2

x1

x3

? ? ?

X(t)

(t) = V(x(t))dxdt

• A tout système déterministe, on peut associer un champ de vecteurs x->V(x) sur l’espace des phases, c’est le champ des vitesses instantanées d’évolution du système• L’évolution du système vérifie naturellement l’équation différentielle associée à ce champ de vecteur• Réciproquement, tout système dont l’évolution vérifie une telle équation différentielle se comporte-t-il de façon déterministe ? • Oui, c’est le théorème d’existence et d’unicité des solutions• Le caractère déterministe de l’évolution du fait de l’équation différentielle peut être illustré par la méthode d’Euler : x(t+dt) = x(t)+V(x(t)) dt• Le système est dit autonome si le second membre de l’équation différentielle ne dépend pas du temps (dans le cas contraire il est dit non autonome)

Déterminisme et équations différentielles (suite)

x1

x2

(t) = V(x(t))dxdt

(t) = V(x(t),t)dxdt

x

V(x)

Lorsqu’une équation fait intervenir plusieurs variables (espace des phases de dimension supérieure ou égale à deux), on parle de système d’équations différentielles (par opposition à : équation différentielle scalaire).

De nombreuses lois physiques (notamment en mécanique) s’écrivent naturellement comme des équations différentielles (ou des systèmes) d’ordre deux (ou plus).

Mais on peut toujours se ramener à un système d’ordre un, dont les composantes comprennent toutes les dérivées d’ordre inférieur à l’ordre de l’équation ou du système initial.

Exemple :

Remarque complémentaire

= f(x)d2xdt2

= ydxdt

= f(x)dydt

Objet de la théorie des systèmes dynamiquesEtudier le comportement dans le temps des systèmes déterministes, notamment le comportement asympotique lorsque t -> l’infini• à temps discret : x(n+1)=f(x(n))• à temps continu : dx/dt(t) = f(x(t))

En ce qui concerne les systèmes dynamiques à temps continu, régis par des équations différentielles (et autonomes), la complexité du comportement dynamique que l’on peut rencontrer est fortement contrainte par la dimension de l’espace des phases : • dimension 1 : équilibres (et bifurcations d’équilibres)• dimension 2 : oscillations (solutions périodiques)• dimension 3 et plus : comportements « complexes » (« chaotiques »)

Question : si on a un système dynamique avec « retard » de la forme : dx/dt = f(x(t-T)), quel niveau de complexité peut-on rencontrer, si x est scalaire (dimension un) ?

Réponse : dans ce cas l’espace des phases est de dimension infinie, donc on peut avoir tous les types de comportements.

Equations différentielles en dimension un

dx/dt = f(x) = ax, a>0

x

f(x)

1. Linéaire

Croissance exponentielle

Accroissement linéaire :

Exemples• Placement rémunéré à taux constant• Population en environnement (ressources) illimité

X(t+1) - X(t) = a . X(t)dX/dt = a . X(t)

X(t)

Temps de doublement

=> croissance exponentielle

Croissance = 2% par anÞtemps de doublement : 35 ans3% par anÞtemps de doublement : 24 ans

Population mondiale depuis 10 000 ans

Source : Musée de l’Homme

Croissance économique depuis un siècle

PIB mondial de 1900 à 2000 (reconstitution, car le PIB date de l’après-guerre), en dollars de 1990

x 20 environ Source : Maddison, 1995

dx/dt = f(x)

x

Equilibre stable

f(x)

1. Linéaire2. = 1 + ressources limitées

dx/dt = f(x)

x

Equilibre instablef(x)

1. Linéaire2. = 1 + ressources limitées3. = 2 + effet Hallee

Equilibre stable

dx/dt = f(x)

x

f(x)

1. Linéaire2. = 1 + ressources limitées3. = 2 + effet Hallee4. = 3 + prélèvement

propotionnel à l’effectif

Equilibre stableEquilibre instable

dx/dt = f(x)

x

f(x)

1. Linéaire2. = 1 + ressources limitées3. = 2 + effet Hallee4. = 3 + prélèvement

propotionnel à l’effectif

dx/dt = f(x)

x

f(x)

1. Linéaire2. = 1 + ressources limitées3. = 2 + effet Hallee4. = 3 + prélèvement

propotionnel à l’effectif

Equilibre stableEquilibre instable

Bifurcation de disparition d’équilibres, phénomène de seuil

Seuil, irréversibilité, hystérèseComportement contre-intuitif !

Signatures de la bifurcation de disparition d’équilibres

x’ = f(x, m) f : R->R

m < m0

m = m0

m > m0

x0

f( x0 , m0 ) = 0dx f( x0 , m0 ) = 0d2

x f ( x0 , m0 ) = a >0dm f ( x0 , m0 ) = b >0

f( x , m ) = a (x- x0)2 + b (m - m0) + …

V |m - m0| ~T (m) ~

1

V |m - m0|

Bifurcation de disparition d’équilibres vue dans un potentiel

• dx/dt = f(x), f: R -> R• Toute solution est monotone• Toute solution converge soit vers un équilibre, soit vers + ou – l’infini• Les équilibres instables jouent le rôle de frontières, « séparateurs » entre les bassins d’attraction des équilibres stables• Il y a une seule bifurcation de codimension un : la disparition d’une paire d’équilibres de stabilités opposées (également appelée « bifurcation nœud-col »)• En présence de symétries ou de contraintes supplémentaires, on va rencontrer d’autres bifurcations

Propriétés des équations différentielles en dimension un

Bifurcation fourche supercritique : http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dptsp.htmlBifurcation fourche sous-critique : http://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dptsb.htmlBifurcation fourche avec brisure de symétriehttp://www.aw-bc.com/ide/idefiles/media/JavaTools/bf1dspim.html

Bifurcation « fourche »

Bifurcation « fourche »Super-critique

Sous-critique

Bifurcation « fourche » supercritique