Másodfokú egyenletek

Másodfokú egyenletek


Bevezetés1. Másodfokú függvények

a) alapfüggvényb) általános alakc) kiegészítés teljes négyzettéd) transzformációk

2. Másodfokú egyenlet megoldásaa) általános alakb) grafikus megoldás 1 2 3c) különleges esetekd) diszkrimináns

• fogalom, példák• jelentése 1 2

e) megoldóképlet• levezetés 1 2• használat 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3. Gyöktényezős alak4. Viéte formulák 1 25. Paraméteres egyenletek 1 26. Másodfokúra redukálható egyenletek 1 27. Feladatgyűjtemény

Tartalomjegyzék


Másodfokú egyenletek alkalmazásával számos feladat és gyakorlati probléma megoldható.

A Mezopotániában Kr. E. 2000 táján kiégetett ékírásos agyagtáblák alapján megállapítható, hogy abban az időben már nagy biztonsággal oldották meg ezeket a faladattípusokat. Ebből az időből származik a következő feladat

Bevezetés

A feladatban szereplő négyzetoldalt x-szel jelölve, a következő egyenletet kapjuk eredményül:

,0810012013

,900090012049

,1000100340

94

2

22

22

xx

xxx

xxx

,10001032 2

2

xx

Másodfokú egyenletekMásodfokú függvények

Az olyan függvényt, amelyben a független változó az x a második hatványon szerepel, másodfokú függvénynek nevezzük.

Fogalom:

Az alapfüggvény: f(x) = x2

Alapfüggvény

Jellemzés:ÉT: x RÉK: y 0Képe: parabola, ehhez viszonyítjuk a

többi másodfokú függvénytMenete: x=0-ig szigorúan monoton

csökkenő,x=0-tól szigorúan monoton növekvő

Zérushelye: x=0Szélsőértéke: minimum x=0 helyen y=0.Paritása: párosKorlátosság: alulról korlátosFolytonos a függvény

Grafikon

Másodfokú egyenletekMásodfokú függvények

Általános alak:

A másodfokú függvény általános alakja:

f(x) = ax2+bx+c, ahol a, b, c R, de a 0

Az ilyen típusú függvények a teljes négyzetté kiegészítés módszerével a következő alakra hozhatók:

f(x) = a(x - u)2+v, ahol a, u, v R, de a 0

Minden másodfokú függvény képe parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel.

Csúcspontja: C(u;v)

Általános alak


Példa

1352 2 xxcbxax 21.

8129

452

2

x

Másodfokú kifejezésekKiegészítés teljes négyzetté

2.

acx

abxa 2

3.

ac

ab

abx

abxa 2

2

2

22

4422

abu2

cabv 4

2

4. aholcab

abxa ,

42

22

213

252 2 xx

213

1625

1625

4522 2 xx

16129

1625

4522 2 xx

8129

1625

4522 2

xx


x tengely mentén u-val, y tengely mentén v-vel tolódik el;ha a >1, akkor nyúlik;ha 0 < a < 1, akkor zsugorodik az y tengely mentén;ha a < 0, akkor tükröződik az x tengelyre

Az y = (x-1)2 függvény Az y = x2-2 függvény

Másodfokú függvényekTranszformáció

Másodfokú egyenletekMegoldás

Általános alak:

Általános alakra hozás:

Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja:

ax2 + bx + c = 0, ahol az a, b, c adott valós számok, és a 0

Az egyenletet mindig ax2 + bx + c = 0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z+ (megfelelő beszorzással szabadulunk a tizedes számoktól

Általános alak


Ha az egyenlet ún. nullára redukált alakú, akkor a baloldalt az ismeretlen függvényének tekintjük. A függvényt teljes négyzetté alakítjuk:

f(x) = a(x - u )2+ v

Az így kapott alakot transzformációs lépések segítségével ábrázoljuk koordináta-rendszerben. Ahol a grafikon metszi vagy érinti az x tengelyt, az lesz a zérushely. A zérushelyek adják a megoldást. Ha nincs zérushely, akkor nincs megoldás sem.

Megoldás

Megoldás: x = -1 és x = -3x2 + 4x = -3

x2 + 4x + 3 =0

f(x) = x2 + 4x + 3

f(x) = (x +2)2 - 1

Példa

Grafikus megoldás 1. módszer


Ennek a módszernek lényege, hogy a másodfokú egyenletet olyan alakra hozzuk, hogy az egyenlet egyik oldalán a másodfokú tag (x2) szerepeljen, a másik oldalon pedig az elsőfokú tag a konstans taggal (számmal).Az egyenlet bal oldalán levő másodfokú függvényt, és a jobb oldalon levő elsőfokú függvényt ábrázolva megkeressük a két függvény metszéspontját. (lehet 0; 1 vagy 2 metszéspont). Ezek a metszéspontok lesznek az egyenlet megoldásai.

MegoldásGrafikus megoldás

2. módszer

Példa

x2 - x - 2 =0

x2 =x +2

f(x) = x2

g(x) =x +2

Megoldás: x = -1 és x = 2

Másodfokú egyenletekMegoldásGrafikus megoldás

Feladat

1. módszer

3

252)( 2xxf

652)( 2 xxxf

Oldd meg grafikusan (mindkét módszerrel) az alábbi egyenletet:

0652 2 xx

3

1625

1625

4522)( 2xxf

1673

1625

4522)( 2xxf

873

1625

4522)( 2

xxf

873

252)(

2

xxf

Megoldás:

9,04,3 21 xésx

Másodfokú egyenletekMegoldásGrafikus megoldás

2. módszer

652 2 xx22)( xxf

65)( xxg

Megoldás:

9,04,3 21 xésx

g

f


Konstans tag nélküli másodfokú egyenlet02 bxax

Különleges esetekMegoldás

05010 2 xxPélda

52 x

Megoldás

Példa

082 2 x

42 x

Megoldás

abx

baxx

2

1

00

0baxx

Tiszta másodfokú egyenlet

02 cax

acx 2

acx

0ac

0510 xx01 x05x

82 2 x

2x


Példáka) 4x2 - 5x + 3 = 0

b) x2 - 5x + 6 = 2

x2 - 5x + 4 = 0

c) x2 - 4x + 4 = 0

Az egyenletet mindig ax2 + bx + c =0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z+ (megfelelő beszorzással szabadulunk meg a tizedes számoktól).

A b2 - 4ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük és D-vel jelöljük.

MegoldásDiszkrimináns

2348253445 2 D

916251445 2 D

0161614442 D


Jelentés

A diszkriminánstól függ, hogy a másodfokú egyenletnek hány megoldása lehet a valós számok körében.

Az ax2 + bx + c = 0 (a 0) másodfokú egyenletnek:

– két valós van, ha D = b2 - 4ac > 0

– egy valós van, ha D = b2 - 4ac < 0

– nincs valós gyöke, ha D = b2 - 4ac = 0

MegoldásDiszkrimináns

Másodfokú egyenletekMegoldásDiszkrimináns

A másodfokú függvények képe, a hozzájuk tartozó egyenletek diszkriminánsa és az egyenletek gyökei közötti kapcsolat

cbxaxxf 2)( acbD 42

két valós gyök egy valós gyök nincs valós gyök

D>0 D=0 D<0


Megoldóképlet levezetéseA másodfokú egyenlet megoldóképlete:

Bizonyítás

Mivel, oszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát vele, majd vigyük át a

konstanst a jobb oldalra és adjunk mindkét oldalhoz -tet.

A bal oldalon teljes négyzet áll:

A jobb oldali tört előjele a számlálójától függ, jelöljük ezt D-vel.

Ha D < 0, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.

aDb

aacbbx

2242

12

0a

2

2

4ab

2

2

2

22

44 ab

ac

abx

abx

.44

2 2

22

aacb

abx

MegoldásMegoldóképlet


Ha D = 0, akkor a jobb oldalon 0 áll, így egy megoldás van, az

Ha D > 0, akkor két lehetőség van:

Ezekből:

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

abx2

aD

abx

22

aD

abx

22 vagy

aDbx

2

aDbx

2

vagy

MegoldásMegoldóképlet

Másodfokú egyenletekMegoldásPéldák

03165 2 xx 6221724347 xxx

-25 < 0, tehát nincs valós gyöke

51

102

101416

2

x

Megoldás Megoldás

1035425616

12

x

1019616

12

x

101416

12

x

3101416

1

x

624344347 2 xxx

xxx 4284347 2

28347 2 x

753 2 x

252 x


033253321 2 xxxxxx

Megoldás


225256483 22 xxxx

0911

, tehát nincs valós gyöke

Megoldás

03321535)3(22 32 xxxxxxxx 0332152323 32 xxxxxx 033215262933 3223 xxxxxxxx

01846116 323 xxxxx

024156 2 xx

0852 2 xx

4394

4284255

12

x

242536481664489 222 xxxxx

242536481664489 222 xxxxx

22418 2 x

2218 2 x

911

18222 x


xxx 12

34

2242

2

x

Megoldás

34

33

33

xx

xx

Megoldás

452 x


0,1234 xxxx

3642 xxx

0322 xx

2

1344212

x

242

2162

12

x

3242

1

x

3,3343333 22 xxxxx

94963963 222 xxxxx

3642718327183 222 xxxxx

364546 22 xx

36542 2 x

902 2 x


123

12

2

xxx

xxx

21

42

431

2

x

Megoldás

21,12

312

2

xésx

xxxx

xx

123

12

2

xxx

xxx

3221 xxxx

3422 xxx

012 2 xx

491

421411

12

x

431

12

x

1431

1

x


144

121

12 2

xxxx

Megoldás

MegoldásPéldák

41212 xxx

4122 2 xxx

21

21,

12124

121

12

xésx

xxxxx

032 2 xx

4251

423411

12

x

451

12

x

46

451

1

x

144

451

2

x


Ha két brigád együtt dolgozik, akkor a munkával 14 nap alatt készülnek el. Ha csak egy brigád dolgozik, akkor az elsőnek 8 nappal többre van szüksége, mint a másiknak. Hány napig tart a munka külön-külön mindegyik brigádnak?

Megoldás

A második brigád x nap alatt készül el a munkával, az első x + 8 nap alatt.

edx1

edx

81

Egy nap alatt az első brigád a munka részét, a második

pedig részét végzi el

A két brigád együtt naponta a munka részét végzi el.adxx

811

14 nap alatt elkészül a munka, tehát az egész munka részével egyenlő az egynapi munka

ed141


814/141

811

xxxx

814814 xxxx

xxxx 81411214 2

0112202 xx

284820

244840020

x

212,2920

x

56,456,24 21 xx

A feladat megoldása tehát: Az első brigád 32,56 nap, a második brigád pedig 24,56 nap alatt végzi el a munkát


Egy derékszögű háromszög két befogójának aránya 3 : 4. Milyen hosszúak a befogók, ha az átfogó 100 cm?

Megoldás

100

a = 3x

b = 4x

222 10043 xx

00010169 22 xx

1000025 2 x

4002 x

400x

020;20 21 xx

80204;60203 baTehát


Mennyi idő alatt esik le 200 m magasból egy kő?

Megoldás

A levegő ellenállását nem vesszük figyelembe; a mozgás szabad mozgás esés:

s = 200m; g = 10 m/s2;

;2

2tgs ;22

gst

;2gst .3,640

10

400 2

2

ss

smmt

Tehát a kő 6,3 másodperc alatt érkezik le.


A gyöktényezős alakAz alakot a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük.

021 xxxxa

1. példa

0132 xx

2. példaAlakítsuk szorzattá a 2x2 – 3x – 2 polinomot

221

21 xésx

1. Megkeressük a 2x2 – 3x – 2 = 0 egyenlet gyökeit.

Gyöktényezős alakPéldák

0103 xvagyx

13 21 xx

2. 02212

xx

3. 0212 xx

4. 212232 2 xxxxTehát

Másodfokú egyenletekViéte-féle formulák

Az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennállnak a következő összefüggések:

Ezeket az összefüggéseket Viéte-féle formuláknak nevezzük.

acxxés

abxx 2121

Viéte formulák

1. példa

A valós számok halmazán adott az x2 + x - 6 = 0 egyenlet. A gyökök kiszámítása nélkül határozza meg a gyökeinek a négyzetösszegét!

212

2122

21 2 xxxxxx

Példák

13621 222

21 xx

Másodfokú egyenletekViéte-féle formulákPéldák

2. példa

Adja meg azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei:

22;22 21 xx

Megoldás:

.4;4222221 abxx

.2;224222221 acxx

0242 xxTehát

Másodfokú egyenletekParaméteres egyenletekPéldák

1. példa

Állapítsa meg a c értékét az x2 - 4x + c =0 egyenletben úgy, hogy a másodfokú egyenlet egyik gyöke a másik négyszerese legyen.

Megoldás

Viéte formulákból következik:

421

21

xxcxx

A feladatból következik:

21 4xx

Akkor:44 22 xx

45 2 x

54

2 x516

1 x

2564

cTehát

Másodfokú egyenletekParaméteres egyenletekPéldák

2. példa

Határozza meg a c paraméter értékét úgy, hogy a 2x2 -4x +c =0 másodfokú egyenletnek két pozitív gyöke legyen!

Megoldás

Az egyenletnek akkor lesz két valós gyöke, ha:

Másik oldalról a Viéte formulák alapján:

Mindkét gyök akkor és csak akkor lesz pozitív, ha a gyökök összege és szorzata pozitív. A felírt összefüggések szerint az összeg pozitív, a szorzat pedig akkor lesz pozitív, ha:

Tehát az egyenletnek akkor lesz mindkét gyöke pozitív, ha

.2,0816

ccD

22 2121

cxxésxx

0,02

cazazc

20 c

Másodfokú egyenletekMásodfokúra redukálható egyenletekMegoldás

Általános alak:

02 cbxax nn

Megoldás:

Példa 1

045 24 xxyxLegyen 2

0452 yy

;235

295

216255

y

.1235;4

235

21

yy

.14 22 xésx

.12 4,32,1 xésx

1;1;2;2 4321 xxxxTehát

Ismeretlennek xn-t választjuk, és meghatározása után már csak tiszta n-ed fokú egyenletet kell megoldanunk.

Másodfokú egyenletekMásodfokúra redukálható egyenletekPélda

Példa 2

087 36 xx

yxLegyen 3

0872 yy

;297

2817

2324972

y

1297;8

297

21

yy

1;8 33 xx

11;28 33 xx


Feladatokhoz kattints ide!!!

Másodfokú egyenletekFeladatgyűjtemény

Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán!

0355 2 x Megoldás x = 0 és x = 7

082 2 xx Megoldás x = 0 és x = - 4

0164 2 x Megoldás x = 2 és x = - 2

0753 2 x Megoldás Nincs megoldás

049142 yy Megoldás y= 7 és y = - 7

032 2 xx Megoldás x = 3 és x = 0,2

0435

2172 2 xx Megoldás x = 2,5 és x = 1,75

652 xx Megoldás x = 1 és x = - 6

Tovább


Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán!

xxx 511519210 Megoldás x = 0 és x = 0,4

23

573

xx

xx

Megoldás x = 1 és x = 0,5

955

44

xx

xx

Megoldás x = 5 és x = - 5

253 2 xx Megoldás (2 – 3x)(x – 1)

352 2 xx Megoldás (x – 3)(2x + 1)

642 2 xx Megoldás 2(x – 3)(x + 1)

Bontsd fel elsőfokú tényezők szorzatára a polinomokat!

Tovább


Add meg a következő gyökök másodfokú egyenletét gyöktényezős alakban!

7;3 Megoldás (x – 3)(x – 7) = 0

10;2 Megoldás (x + 2)(x – 10) = 0

0882 xxMegoldás - 1

01072 xxMegoldás 29

Mennyi az

Mennyi a

egyenlet valós gyökei reciprokának az összege?

egyenlet valós gyökeinek a négyzetösszege?

Tovább


Két szomszédos egész szám négyzetének a különbsége 51. Melyek ezek a számok?

Megoldás - 26 és -25

A labdarúgó-bajnokság őszi és tavaszi fordulójában összesen 306 mérkőzést játszottak a csapatok. Hány csapat mérkőzött?

Megoldás Az egyenlet: x(x – 1) =306; 18 csapat mérkőzött.

630 facsemetét két négyzet alakú parcellába akartak ültetni. Az egyik négyzet oldala mentén 5 fával kevesebbet ültettek, mint a másik mentén, és így 5 csemete megmaradt. Hány fát ültettek egy-egy parcellába?

Megoldás Az egyenlet: x2 + (x – 5)2 = 625; 400 és 225 fát ültettek

Egy szabályos sokszögnek 54 átlója van. Mekkora a sokszög egy szöge?

Megoldás 150°

Tovább


Egy víztároló két csövön át 18 óra alatt telik meg. Ha a víz csak egy csövön át folyik, akkor a második csövön át 15 órával több idő alatt telik meg, mint az első csövön át. Hány óra alatt tölti meg a víztárolót külön-külön mindegyik cső?

Megoldás Első cső 30 óra, második cső 45 óra alatt tölti meg a víztárolót

Állapítsa meg m értékét az x2 - 5x + m =0 egyenletben úgy, hogy az egyik gyök 6-tal nagyobb legyen, mint a másik.

Megoldás 411

m

A p valós paraméter mely értékei mellett lesz az x2 + px +3 = 0 egyenlet gyökeinek

a) különbsége 2;

b) négyzetösszege 19

a) Megoldás 4p

b) Megoldás 5p

Tovább


Oldja meg a következő egyenleteket a való számok halmazán.

a) 011716 24 xx Megoldás 1; -1; 0,25; -0,25

b) 0134 24 xx Megoldás 1; -1;

c) 087 36 xx Megoldás 2; -1;

Az m paraméter mely értékeire van az alábbi egyenletnek két különböző valós gyöke

0221 2 mmxxm

Megoldás 1,32

mdem

Documents

Másodfokú egyenletek