A Maxwell egyenletek - ELTE

A Maxwell�egyenletek

Elektromágneses térjellemz®k: ~E(~r, t) és ~H(~r, t) térer®sségek, ~D(~r, t)

elektromos eltolás és ~B(~r, t) mágneses indukció.

Milyen általános, a konkrét szituációtól (pl. közeg anyagi összetétele)

független összefüggések, 'téregyenletek' állnak fenn a térjellemz®k között?

Elektromágneses mez® forrásai az elektromos töltések és áramok, melyek

eloszlását a ρ(~r, t) töltés- és ~J(~r, t) árams¶r¶ségek jellemzik (nem függet-

lenek, összekapcsolja ®ket a lokális töltésmegmaradást kifejez® konti-

nuitási egyenlet).

1 A KONTINUITÁSI EGYENLET 1 A KONTINUITÁSI EGYENLET

1 A kontinuitási egyenlet

Tekintsünk egy ρ(~r, t) s¶r¶ség¶ folytonos töltéseloszlást, és jelölje ~J(~r, t)

az árams¶r¶ség vektorát. A lokális töltésmegmaradás következtében

egy, az id® során nem változó V térbeli tartomány belsejében talál-

ható Q(t) =´V

ρ(~r, t)d3~r töltés id®egység alatti megváltozása egyenl® a

V határán id®egység alatt áthaladó −¸∂V

~J(~r, t) ·d~s töltéssel (a negatív

el®jel ~J de�níciójának következménye), azaz

dQ

dt=

ˆ

V

∂ρ

∂td3~r = −

˛

∂V

~J(~r, t) · d~s

1 A KONTINUITÁSI EGYENLET 1 A KONTINUITÁSI EGYENLET

Innen, a Gauss�tétel felhasználásávalˆ

V

∂ρ

∂td3~r = −

ˆ

V

div~J d3~r

V tartomány tetsz®leges integrandusok egyenl®ek

∂ρ

∂t+ div~J = 0 kontinuitási egyenlet

Észrevétel. Kontinuitási egyenlet általános alakja

∂%A∂t

+ div A = σA

ahol %A a térfogati és A az árams¶r¶sége az A mennyiségnek, míg σA

jelöli annak forráss¶r¶ségét, azaz az egységnyi térfogatban egységnyi id®

alatt termel®d® mennyiségét (megmaradó mennyiségekre σA zérus).

2 A MAXWELL�EGYENLETEK 2 A MAXWELL�EGYENLETEK

2 A Maxwell�egyenletek

Kvázi-stacionárius jelenségek alaptörvényei

div ~D = 4πρ Gauss�törvény

rot ~H =4π

c~J Ampère�törvény

div ~B = 0 mágneses Gauss�törvény

rot ~E = −1

c

∂~B

∂tFaraday�törvény

Ampère�törvény és kontinuitási egyenlet

∂ρ

∂t= −div~J =

c

4πdiv rot ~H = 0

miatt csak id®ben állandó töltéss¶r¶ség esetén kompatibilis egymással.


Maxwell felismerése: Ampère�törvény kiegészítése!

Kontinuitási egyenlet következtében

div(rot ~H− 4π

c~J)

=−4π

cdiv~J=

4π

c

∂ρ

∂t=

1

c

∂(div ~D)

∂t=div

(1

c

∂ ~D

∂t

)ezért

rot ~H =4π

c~J +

1

c

∂ ~D

∂t

Korrekciós tag: eltolási áram (kvázi-stacionárius esetben elhanyagol-

ható).

Nem csak a mozgó töltések, de az id®ben változó elektromos mez® is lehet

a mágneses mez® forrása forrásoktól távol is létezhet elektromágneses

mez® (elektromágneses hullámok).


Vektoriális Maxwell�egyenletek:

rot ~H =4π

c~J +

1

c

∂ ~D

∂tAmpère�törvény

rot ~E = −1

c

∂~B


Skaláris Maxwell�egyenletek:

div ~D = 4πρ elektromos Gauss�törvény


Kompatibilitási feltétel

∂ρ

∂t+ div~J = 0 kontinuitási egyenlet


Források: ρ(~r, t) skalár- és ~J(~r, t) vektormez® (nem függetlenek, összeköti

®ket a kontinuitási egyenlet).

Ismeretlenek: ~H(~r, t) , ~E(~r, t) , ~B(~r, t) és ~D(~r, t) vektormez®k, összesen

12 független vektorkomponenssel.

Két vektoriális + két skaláris Maxwell�egyenlet összesen 6 +2 = 8

egyenlet 12 ismeretlen függvény között (alulhatározott egyenletrendszer)

egyértelm¶ megoldáshoz szükség van a közeg tulajdonságait leíró

~D = ~D(~E, ~H)

~B = ~B(~E, ~H)

anyagi összefüggések �gyelembevételére.


Marad 8 összefüggés 6 független vektorkomponens között (túlhatározott

egyenletrendszer), de

∂

∂t

(div ~B

)= div

(∂~B∂t

)= −cdiv rot ~E = 0

és

∂

∂t

(div ~D−4πρ

)= div

(∂ ~D∂t

)− 4π

∂ρ

∂t

= div(c rot ~H− 4π~J

)+ 4πdiv~J = 0

a kontinuitási egyenlet következtében skaláris Maxwell-egyenletek kez-

deti feltételek szerepét játsszák (elég egyetlen pillanatban teljesülniük,

hogy mindig teljesüljenek).


AMaxwell�egyenletek egy els®rend¶ lineáris parciális di�erenciálegyenlet-

rendszert alkotnak, ez az elektromágneses mez® alaptörvényeinek lokális

(pontról pontra teljesül®) alakja.

Érvényességi feltétel: térjellemz®k hely- és id®függése sima (folytonosan

di�erenciálható), és az elektromágneses kölcsönhatás lokális, azaz a kör-

nyezet hatása csak a vizsgált térrész határán jelentkezik ('közelhatás',

ellentétben pl. a gravitációs er®vel).

Mér®berendezések véges kiterjedés¶ek kísérletileg csak integrális össze-

függések vizsgálhatók.

Kapcsolat lokális és integrális megfogalmazás között: integráltételek.


Alaptörvények integrális alakja

˛

∂S

~H(~r, t) · d~r =4π

cI +

1

c

d

dt

ˆ

S

~D(~r, t) · d~s

˛

∂S

~E(~r, t) · d~r = −1

c

d

dt

ˆ

S

~B(~r, t) · d~s

˛

∂V

~D(~r, t) · d~s = 4πQ

˛

∂V

~B(~r, t) · d~s = 0

ahol I a S felületen id®egység alatt keresztülfolyó töltés mennyisége, míg

Q a V tartományban található teljes elektromos töltés.


Különböz® közegek határán térjellemz®k nem folytonosak.

Térjellemz®k ugrását leíró illesztési feltételek az alaptörvények integrális

alakjából (speciálisan választott S és V révén).

~n×(~H+ − ~H−) =4π

c~Jf

~n×(~E+ − ~E−) = 0

~n · (~D+ − ~D−) = 4πη

~n · (~B+ − ~B−) = 0

3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK 3 ELEKTROMÁGNESES POTENCIÁLOK

3 Elektromágneses potenciálok és mérték-

invariancia

Maxwell-egyenletek

rot ~H =4π

c~J +

1

c

∂ ~D

∂tAmpère�törvény

div ~D = 4πρ Gauss�törvény

rot ~E = −1

c

∂~B




div ~B=0 mágneses Gauss-törvény következtében létezik olyan ~A(~r, t)

vektormez® (vektorpotenciál), amelyre

~B(~r, t) = rot ~A

Innen, a Faraday�törvény alapján

rot ~E = −1

c

∂~B

∂t= −1

c

∂

∂t

(rot ~A

)= rot

(−1

c

∂ ~A

∂t

)vagyis

rot(~E +

1

c

∂ ~A

∂t

)= ~0

létezik olyan Φ(~r, t) skalármez® (skalárpotenciál), amellyel

~E(~r, t) = −gradΦ− 1

c

∂ ~A

∂t


Elektromágneses mez® jellemzése Φ és ~A elektromágneses potenciálokkal.

Mértékinvariancia: tetsz®leges ψ(~r, t) skalármez®re

Φ′ = Φ − 1

c

∂ψ

∂t~A′ = ~A + gradψ

ugyanazt az elektromágneses mez®t írják le, mint Φ és ~A!

~E′ = −gradΦ′ − 1

c

∂ ~A

∂t= −grad

(Φ− 1

c��∂ψ

∂t

)− 1

c

∂

∂t

(~A+��gradψ

)= −gradΦ− 1

c

∂ ~A

∂t= ~E

és~B′ = rot ~A′=rot

(~A + gradψ

)=rot ~A+rot gradψ = ~B

Elektromágneses potenciálok nem egyértelm¶ek!


Észrevétel. Ha ψ(~r, t) kielégíti a

∆ψ − α

c

∂2ψ

∂t2= −div ~A− α∂Φ

∂t

parciális di�erenciálegyenlet, ahol α tetsz®leges konstans paraméter (ilyen

ψ mindig létezik), akkor

div ~A′ + α∂Φ′

∂t=div

(~A+gradψ

)+α

∂

∂t

(Φ− 1

c

∂ψ

∂t

)=0

mindig el®írható a

div ~A + α∂Φ

∂t= 0 Lorentz�mértékl

4 ELEKTROMÁGNESES DUALITÁS 4 ELEKTROMÁGNESES DUALITÁS

4 Elektromágneses dualitás

Forrásmentes

rot ~H =1

c

∂ ~D

∂tdiv ~D = 0

rot ~E = −1

c

∂~B

∂tdiv ~B = 0

Maxwell�egyenletek szimmetrikusak a térjellemz®k

~E ~H ~D −~B

cseréjére.

Források asszimmetriája mágneses monopólusok hiánya miatt!


Szimmetria visszaállítható �ktív mágneses töltések bevezetésével:

rot ~H =4π

c~Je +

1

c

∂ ~D

∂tdiv ~D = 4πρe

rot ~E =4π

c~Jm−

1

c

∂~B

∂tdiv ~B = 4πρm

szimmetrizált egyenletek alakja nem változik

~E ~H ~D −~B~Je ~Jm ρe −ρm

csere során, ahol ρm(~r, t) a mágneses töltéss¶r¶ség és ~Jm(~r, t) a mágneses

árams¶r¶ség.


Szimmetrizált egyenletek invariánsak a sokkal általánosabb

~E→ cos(ξ) ~E− sin(ξ) ~H ~D→ cos(ξ) ~D− sin(ξ) ~B

~H→ sin(ξ) ~E + cos(ξ) ~H ~B→ sin(ξ) ~D + cos(ξ) ~B

~Je → cos(ξ)~Je − sin(ξ)~Jm ρe → cos(ξ) ρe − sin(ξ) ρm

~Jm → sin(ξ)~Je + cos(ξ)~Jm ρm → sin(ξ) ρe + cos(ξ) ρm

dualitási transzformációkra (ξ valós paraméter)!

Ha minden elemi részecske (elektron, proton, stb.) mágneses és elektro-

mos töltésének κ hányadosa ugyanakkora, akkor ρm(~r, t) =κρe(~r, t), és

ξ =− arctan(κ) paraméter¶ dualitási transzformáció eltünteti ρm-et és

~Jm-et Maxwell-egyenletek szokásos alakja.

Kísérleti korlát: |κproton| < 10−24.

5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZ� ENERGIAS�R�SÉGE 5 AZ ELEKTROMÁGNESES MEZ� ENERGIAS�R�SÉGE

5 Az elektromágneses mez® energias¶r¶sége

Energiamegmaradás: különböz® energiafajták (mechanikai, kémiai, ter-

mikus, elektromágneses, stb.) összege egy adott térbeli tartomány belse-

jében csak a határon keresztülfolyó energiamennyiséggel változhat meg.

Vizsgáljunk egy ρ(~r, t) s¶r¶ség¶ folytonos töltéseloszlást vákuumban,

amely egy küls® elektromágneses mez®ben ~v(~r, t) sebességgel mozog.

Nincs jelen anyagi közeg csak két energiafajta jöhet számításba: me-

chanikai (töltéshordozók kinetikus energiája) és elektromágneses.

E = Ekin + Eem


Egységnyi térfogatban található töltéshordozókra kifejtett er®

~f = ρ~E +ρ

c~v×~B

Egységnyi térfogatban található töltéshordozókon ∆t id® alatt végzett

munka

W = ~f ·∆~r = ρ{~E +

1

c~v×~B

}·~v∆t = (ρ~v)·~E∆t

Töltésáramlás vákuumban tisztán konvektív, így ρ~v=~Jkonv=~J, és ezért

W = ~J·~E∆t

Energiamegmaradás: töltéshordozók kinetikus energiájának megváltozása

= elektromágneses mez® által rajtuk végzett munka.

∆Ekin =

ˆWd3~r = ∆t

ˆ~J·~Ed3~r


kinetikus energia változási sebessége

dEkin

dt=

ˆ~J(~r, t)·~E(~r, t) d3~r

Az Ampère�törvény alapján

~J·~E ={ c

4πrot ~H− 1

4π

∂ ~D

∂t

}·~E =

c

4π~E·rot ~H− 1

4π~E· ∂

~D

∂t

=c

4π~H·rot ~E− c

4πdiv (~E× ~H)− 1

4π~E· ∂

~E

∂t

felhasználva a

~E·rot ~H = ~H·rot ~E− div (~E× ~H)

vektoranalitikai összefüggést.


A Faraday�törvényb®l

c

4π~H·rot ~E = − 1

4π~H· ∂

~B

∂tígy

~J·~E = − c

4πdiv (~E× ~H)− 1

4π~E· ∂

~D

∂t− 1

4π~H· ∂

~B

∂t

Mivel vákuumban (vagy bármely más izotrop közegben) ~D és ~E, valamint

~B és ~H párhuzamos egymással, végül

~J·~E = −∂u∂t− div ~S energiamérleg

ahol

u =1

8π(~E· ~D + ~H·~B)

és~S =

c

4π~E× ~H


Észrevétel. vákuumban

u =

∣∣~E∣∣2 +∣∣~H∣∣2

8π≥ 0

és általában is belátható, hogy u nemnegatív.

Tekintsünk egy olyan, az összes töltést tartalmazó V tartományt melynek

határán az elektromágneses mez® elt¶nik. Mivel a V belsejében talál-

ható töltések nem hatnak kölcsön se mechanikailag, se elektromágne-

sesen a külvilággal (zárt rendszert alkotnak), ezért a V-ben tárolt teljes

E = Ekin + Eem energia megmarad:

dEem

dt= −dEkin

dt= −ˆ

V

~J·~Ed3~r =

ˆ

V

(∂u

∂t+ div ~S

)d3~r


A Gauss�tétel alapjánˆ

V

div ~Sd3~r =

˛

∂V

~S · d~s

és a felületi integrál zérus, mivel a térer®sségek elt¶nnek a határon

dEem

dt=

d

dt

ˆ

V

u(~r, t) d3~r

Egy id®t®l független tag erejéig´Vu(~r, t) d3~r adja a V-ben tárolt elek-

tromágneses energiát u(~r, t) az elektromágneses mez® energias¶r¶sége!

Tekintsünk most egy olyan V tartományt, amely egyetlen töltést sem

tartalmaz, és ezért a belsejében ~J = ~0. Mivel, a fentiek alapján, u az

elektromágneses energias¶r¶ség, ezért a V-ben tárolt elektromágneses


energia változási sebessége

dEem

dt=

d

dt

{̂V

u(~r, t)d3~r}

=

ˆ

V

∂u

∂td3~r =−

ˆ

V

div ~Sd3~r =−˛

∂V

~S·d~s

De mivel V belsejében nincsenek töltések, ezért az elektromágneses

energia csak úgy változhat, ha energia áramlik át a ∂V határon

˛

∂V

~S·d~s

az id®egység alatt ∂V-n átfolyó elektromágneses energia

~S =c

4π~E× ~H Poynting�vektor

az elektromágneses mez® energiaáram-s¶r¶sége.


Teljes általánosságban, amikor mind konvektív, mind konduktív áramokat

megengedünk, az

~Jkonv ·~E +∂u

∂t+ div ~S = −~Jkond ·~E

energiamérleget integrálva V-re

dEkin

dt+

dEem

dt+

˛

∂V

~S·d~s = −ˆ

V

(~Jkond ·~E)d3~r

Baloldalon a mechanikai és elektromágneses energia változási sebességének,

valamint a határon id®egység alatt átáramló energiának az összege áll

jobb oldali tag a fenti energiafajták képz®dését vagy elt¶nését, más

szóval azok disszipációját, a véletlen h®mozgás kinetikus energiájává való

átalakulását írja le (Joule-h®).

6 A FESZÜLTSÉGTENZOR 6 A FESZÜLTSÉGTENZOR

6 A Maxwell-féle feszültségtenzor és az

impulzusmérleg

Tekintsük a

⇒

T =1

4π

{~E◦ ~D + ~H◦~B

}− 1

8π

{~E· ~D + ~H·~B

}⇒1

Maxwell-féle feszültségtenzort. A diadikus szorzatok divergenciájára vonat-

kozó általános összefüggések révén belátható, hogy vákuumban

div⇒

T =1

4π

{(div ~E)~E− ~E×rot ~E + (div ~H)~H− ~H×rot ~H

}


Figyelembe véve a

rot ~H =4π

c~J +

1

c

∂~E

∂tdiv ~H = 0

rot ~E = −1

c

∂ ~H

∂tdiv ~E = 4πρ

vákuumbeli Maxwell�egyenleteket, adódik a

div⇒

T=ρ~E +1

4πc~E× ∂

~H

∂t− 1

c~H×~J− 1

4πc~H× ∂

~E

∂t=~f +

∂~g

∂t

impulzusmérleg: itt~f = ρ~E +

1

c~J× ~H

az egységnyi térfogatra ható Lorentz�er®, és

~g =1

4πc~E× ~H


Vizsgáljunk egy V tartományt, amely az összes forrást � töltéseket és

áramokat � tartalmazza, és amely el van szigetelve a környezett®l (az

elektromágneses mez® elt¶nik a határán). A divergencia-tétel alapján

ˆ

V

~f d3~r +d

dt

(ˆV

~g d3~r)

=

ˆ

V

(div⇒

T)d3~r =

˛

∂V

⇒

T · d~s = 0

mivel⇒

T zérus a V határán. De ~F=´V

~f d3~r az elektromágneses mez® által

a V-re kifejtett teljes er®, vagyis az egységnyi id® alatt az elektromág-

neses mez® által a V-beli forrásoknak átadott impulzus impulzus-

megmaradás miatt´V~g(~r, t) d3~r az elektromágneses mez® impulzusa, így

~g az elektromágneses mez® impulzuss¶r¶sége!


Ha a mez® nem t¶nik el V határán, akkor a fentiek alapján¸∂V

⇒

T · d~s a

V-beli teljes (mechanikai + elektromágneses) impulzus a −⇒

T tenzor

az elektromágneses mez® impulzusáram-s¶r¶sége.

Elektromágneses impulzus kísérleti kimutatása: fénynyomás (pl. üstökösök

csóvája).

Észrevétel. A ~g impulzuss¶r¶ség és az ~S energiaáram-s¶r¶ség (Poynting�

vektor) közti

~g =1

c2~S

összefüggés az elektromágneses kölcsönhatás végtelen hatótávolságával

kapcsolatos.

7 TOVÁBBI MEGMARADÁSI TÉTELEK 7 TOVÁBBI MEGMARADÁSI TÉTELEK

7 További megmaradási tételek

Noether�tétel: �zikai rendszer szimmetriái! megmaradó mennyiségek.

id® homogenitása energia

tér homogenitása impulzus

tér izotropiája impulzusmomentum

mértékinvariancia töltés

Elektromágneses mez® impulzusmomentum-s¶r¶sége

~̀ = ~r× ~g

míg a forgatónyomaték-s¶r¶ség ~r×~f .

7 TOVÁBBI MEGMARADÁSI TÉTELEK 7 TOVÁBBI MEGMARADÁSI TÉTELEK

Izotrop közegben, az impulzusra vonatkozó mérlegegyenletb®l

∂~̀

∂t= div(~r×

⇒

T)−~r×~f

Az impulzusmomentum megmarad, és árams¶r¶sége −~r×⇒

T.

Sok más további megmaradó mennyiség, pl. az elektromágneses kiralitás,

melynek s¶r¶sége

χ = ~E · rot ~E + ~H · rot ~H

és árams¶r¶sége

~X = ~E× ∂~E

∂t+ ~H× ∂

~H

∂t

Documents

A Maxwell egyenletek - ELTE