Máquinas Sincronas

PEA 5731

So Paulo

Setembro 2003

Anlise de Redes Eltricas: Conceituao e Mtodos

Computacionais

Reviso dos Modelos de Geradores

Trabalho apresentado Disciplina PEA

5731

Aluno: Cassiano Lobo Pires n 336 33 24

SUMRIO

1. INTRODUO ....................................................................................................................... 1

2. A MQUINA SNCRONA IDEAL ....................................................................................... 1

3. CLCULO DAS INDUTNCIAS ......................................................................................... 6

4. TRANSFORMAES DE PARK ......................................................................................... 9

4.1 Transformaes para correntes .................................................................................................. 9

4.2 Transformao para tenso ...................................................................................................... 11

5. EQUAES DA MQUINA SNCRONA ......................................................................... 13

6. VALORES EM PU ................................................................................................................ 16

7. MQUINA SNCRONA EM REGIME TRANSITRIO ................................................. 18

8. EFEITO DO ENROLAMENTO AMORTECEDOR ......................................................... 20

9. REATNCIAS DA MQUINA SNCRONA ..................................................................... 24

10. EQUAES MECNICA E ELETROMECNICA ........................................................ 26

11. MODELOS DE GERADORES PARA ESTUDOS DINMICOS .................................... 29

12. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................... 35

1

1. INTRODUO

A mquina sncrona aquela onde as correntes alternadas so impostas ou obtidas de

um conjunto de enrolamentos (armadura) e a corrente contnua imposta em um

outro conjunto de enrolamentos (o campo). O enrolamento de armadura,

normalmente localizado no estator, produz um campo magntico girante. O campo

do estator gira velocidade sncrona. O torque produzido atravs da interao dos

campos do estator e do rotor quando o rotor tambm gira velocidade sncrona.

2. A MQUINA SNCRONA IDEAL

A

A

BC

B C

d

q

Figura 1 - Esquema da mquina sncrona

Hipteses adotadas:

a) Mquina sem enrolamento amortecedor;

b) Observador no enrolamento de campo (indutor);

c) Mquina girando em sentido anti-horrio;

d) Conveno adotada para o equacionamento do indutor e induzido: receptor.

As caractersticas essenciais de uma mquina trifsica so mostradas na Figura 1. No

estator esto os trs enrolamentos A, B e C distribudos um em cada fase e so

simbolizados pelo enrolamento correspondente. Os eixos magnticos dos

enrolamentos de cada fase coincidem com os eixos de cada bobina. No rotor est o

enrolamento de campo (corrente contnua) F. A possibilidade de outros circuitos

2

eltricos formados pelas barras amortecedoras na mquina prtica ser ignorada por

enquanto para permitir uma maior concentrao nos eventos mais importantes.

O rotor tem dois eixos de simetria, o polar, ou direto (d) e o interpolar, ou em

quadratura (q). Para uma mquina sncrona de plos salientes, o fluxo magntico

encontra permencias diferentes nos dois eixos. Mesmo em um rotor cilndrico h

diferenas nos dois eixos criadas na maior parte por ranhuras relativamente grandes

para o enrolamento de campo. Os eixos d e q giram com o rotor, enquanto que os

eixos magnticos das trs fases do estator continuam fixas.

No instante mostrado na Figura 1, o ngulo do eixo da fase A ao eixo d. O ngulo

correspondente do eixo da fase B para o eixo d +240 (ou -120) e o ngulo da

fase C para o eixo d +120.

Conforme o rotor gira, varia com o tempo. Com uma velocidade angular constante,

t (1)

Para expandir a anlise, a mquina idealizada ignorando a saturao, histerese e

correntes induzidas. Assim, os circuitos acoplados so lineares e as superposies so

aplicveis. Assume-se que a fora magneto motriz no espao e as ondas de fluxo so

senoidalmente distribudas.

Todos os circuitos A, B, C e F possuem suas prprias resistncias e suas indutncias

prprias e mtuas em relao a todos os outros circuitos. Alm disto, as indutncias

mtuas e prprias associadas aos circuitos do estator so funes da posio do rotor,

variando periodicamente conforme o rotor gira.

Para a anlise da mquina idealizada, as relaes entre tenso e corrente so escritas

da seguinte maneira:

3

FFFF

CCCC

BBBB

AAAA

pirv

pirv

pirv

pirv

(2)

onde:

vA,B,C so as tenses nos enrolamentos A,B e C.

iA,B,C so as correntes nos enrolamentos A,B e C.

A,B,C so os fluxos concatenados nos enrolamentos A,B e C.

rA,B,C so as resistncias por fase.

Analogamente para o enrolamento F.

v+ -

i

Figura 2 Conveno de corrente e tenso na bobina

Os fluxos concatenados podem ser expressos em funo das correntes em todos os

enrolamentos:

F

C

B

A

FFFCFBFA

CFCCCBCA

BFBCBBBA

AFACABAA

F

C

B

A

i

i

i

i

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

(3)

onde:

Lij so as indutncias prprias das fases e enrolamento de campo, e indutncias

mtuas entre as fases e o campo.

O conjunto de equaes diferenciais (2) e (3) permite resolver qualquer problema de

transitrio eltrico na mquina, conhecidos os parmetros Lij. A determinao das

4

expresses das indutncias facilitada considerando os eixos direto (d) e em

quadratura (q) nos quais as relutncias (e permencias) so bem conhecidas.

Assim, considerando a definio de indutncia por exemplo, a indutncia prpria da

fase A pode ser dada por:

A

AAA

iL

(4)

onde:

A o fluxo total concatenado com o enrolamento A (fluxo mtuo, com circuito

magntico comum ao estator a ao rotor, mais fluxo de disperso, ou seja, aquele

produzido em A e que no atravessa o entreferro).

Excitada apenas a fase A com iA (senoidal) aplica-se ao circuito magntico uma fora

magneto motriz A cujo eixo coincide com o da fase A e de amplitude varivel no

tempo:

sensen AmxAmxAA iN (5)

onde NA o nmero de espiras do enrolamento da fase A.

Pode-se decompor A nos eixo d e q do seguinte modo:

q

d

A

d

q

d

Acos

d

As

en

Figura 3 Decomposio da fora magneto motriz nos eixos d e q

Sendo Pd e Pq as permencias do circuito magntico (atravs do entreferro) segundo

os eixos d e q, d e q produzem os seguintes fluxos por plo:

5

sen

cos

AqqqqA

AddddA

PP

PP

(6)

A parte destes fluxos no entreferro dA e qA, concatenada com a bobina A

representada pelas respectivas projees no eixo desta bobina. Deste modo,

q

d

A

dAcos

qAsen

Figura 4 Projeo dos fluxos na bobina A

2cos22

2cos222

cos

cos1cos

sencos

sencos

2

22

22

qdqd

AAA

qdqdqAAA

qddAAA

qdAAA

qdAAA

qAdAAA

PPPP

PPPPP

PPP

PP

PP

(7)

Da mesma forma, o fluxo produzido por iA concatenado com a fase B igual a:

)1202cos(

22qdqdABA

PPPP

(8)

E o fluxo produzido por iA concatenado com a fase C igual a:

)1202cos(

22

qdqd

ACA

PPPP

(9)

Analogamente,

6

cos dAFA P (10)

3. CLCULO DAS INDUTNCIAS

A indutncia prpria da fase A LAA, considerando NA = NB = NC, dada por:

A

AtotalA

A

AtotalA

A

AAA

N

i

N

iL

(11)

Mas,

dispAAAtotal (12)

onde disp o fluxo produzido pela fase A que no atravessa o entreferro.

Aplicando (7) e (12) em (11),

2cos22

2cos22

22

2

qdAqdA

AAA

qdqd

A

A

dispA

AA

PPNPPNlL

PPPPN

i

NL

(13)

onde lA a indutncia de disperso da bobina A.

Separando os termos constantes do termo que varia de acordo com a segunda

harmnica tem-se:

LMLS

LAA

Figura 5 Separao dos termos da indutncia LAA

7

2cos MSAA LLL (14)

Analogamente, a indutncia mtua entre as fases do estator pode ser expressa do

seguinte modo:

1202cos24

22

qdAqdA

A

dispABA

AB

dispABBABAtotal

A

BAtotalA

A

BAtotalA

A

BAAB

PPNPPN

i

NL

N

i

N

iL

(15)

Fazendo,

A

dispABAASS

i

NlLM

2 (16)

Tem-se:

)1202cos( MSAB LML (17)

Para a fase C,

)1202cos( MSAC LML (18)

A indutncia mtua entre o estator e o rotor dada desenvolvendo (10):

cos FAF ML (19)

onde:

dFAF PNNM (20)

Os valores das indutncias pode ser assim definidos:

Indutor (prpria):

8

dFFF PNL 2

Induzido (prprias):

)1202cos(

)1202cos(

2cos

MSCC

MSBB

MSAA

LLL

LLL

LLL

Indutor e induzido:

)120cos(

)120cos(

cos

FFCCF

FFBBF

FFAAF

MLL

MLL

MLL

Induzido (mtuas)

2cos

)1202cos(

)1202cos(

MSCBBC

MSCAAC

MSBAAB

LMLL

LMLL

LMLL

A caracterstica mais importante deste conjunto de equaes que as indutncias

apresentam variaes em funo de resultando, de acordo com (2), em equaes

diferenciais a parmetros variveis. Deseja-se expressar estas equaes diferenciais

em equaes diferenciais a parmetros constantes.

A idia dividir a fora magneto motriz total do estator em componentes ao longo do

eixo direto e do eixo em quadratura atravs das transformaes de R. H. Park.

A substituio proposta facilmente percebida quando se trabalha com a mquina

sncrona com induzido girante.

9

q

d

F

A

B

C

q

d

F

d

q

Figura 6 Transformao do sistema ABC para o sistema dq

Nota-se atravs da Figura 6 que o enrolamento de campo estacionrio em ambos os

casos e portanto, no precisa ser modificado.

4. TRANSFORMAES DE PARK

4.1 Transformaes para correntes

As correntes axiais id e iq so definidas como as correntes que circulado nas bobinas

fictcias, situadas sobre os eixos e tendo um mesmo nmero de bobinas por fase,

produzem a mesma distribuio de f.m.m. que as correntes reais iA, iB e iC.

Assim, projetando-se as foras magneto motrizes no eixo dq tem-se:

)120sen()120sen(sen

)120cos()120cos(cos

CBAq

CBAd

(21)

com,

CCC

BBB

AAA

iN

iN

iN

(22)

E para o sistema dq :

qqq

ddd

iN

iN

(23)

Adotando,

10

2

3

Tqd

TCBA

NNN

NNNN

(24)

Igualando (21) e (23), levando em considerao (22) e (24),

qT

CBAT

dT

CBAT

iN

iiiN

iN

iiiN

2)120sen()120sen(sen

3

2)120cos()120cos(cos

3

(25)

Trs variveis esto presentes no sistema ABC. Em um caso geral, trs variveis

devem aparecer no sistema dq. Como as duas correntes id e iq produzem o campo

magntico exato, a terceira corrente no deve produzir campo no entreferro. Esta

condio pode ser satisfeita atravs de:

30

CBA iiii

(26)

A corrente i0 corresponde corrente de seqncia zero no mtodo das componentes

simtricas. Quando as correntes de fase esto balanceadas e sua soma for nula, i0

tambm deve ser nula.

Assim, na forma matricial tem-se:

][][][

212121

)120sen()120sen(sen

)120cos()120cos(cos

3

2

0

0

ABCdq

C

B

A

q

d

iTi

i

i

i

i

i

i

(27)

][][][

1)120sen()120cos(

1)120sen()120cos(

1sencos

0

1

0

dqABC

q

d

C

B

A

iTi

i

i

i

i

i

i

(28)

11

4.2 Transformao para tenso

Para definir completamente a onda de fluxo que em um instante determinado existe

no entreferro deve-se conhecer uma magnitude e um ngulo. Uma alternativa

expressar a onda de fluxo em termos dos seus componentes de eixo direto de eixo em

quadratura Md e Mq. Na prtica, este processo o melhor para se representar o

valor instantneo do fluxo.

Segundo a terminologia de R. H. Park, cada um dos componentes Md e Mq que so

utilizados para representar o fluxo no entreferro se subentende ser o fluxo

concatenado com uma bobina sobre o eixo correspondente.

Supondo conhecidos os componentes de fluxo concatenado Md e Mq pode-se

determinar a tenso induzida em uma bobina e deduzir a equao da tenso do

circuito do induzido. A tenso induzida na bobina A depende do valor dos

componentes do fluxo concatenado e da sua posio angular , uma vez que a tenso

diminui quando o eixo da bobina est defasado em relao ao eixo do fluxo. A tenso

induzida por Md p(Mdcos) e a tenso induzida por Mq p(Mqsen). A

tenso interna que se ope tenso induzida pelo fluxo fundamental do entreferro :

sencos MdMdp (29)

O fluxo no entreferro produzido pela ao combinada das correntes nos

enrolamentos do estator e do rotor. As correntes do induzido produzem fluxos locais

que no cruzam o entreferro mas esto concatenados com a fase A. A corrente iA

produz uma queda de tenso pelas reatncias de disperso lApiA, onde lA a

indutncia de disperso da fase A. As correntes iB e iC produzem nesta bobina,

respectivamente, uma queda de tenso -lMpiB e -lMpiC, onde lM representa a parte da

indutncia mtua entre as bobinas do induzido correspondente ao fluxo que no

cruza o entreferro. Estas duas ltimas quedas de tenso possuem um sinal negativo

porque as bobinas esto defasadas de 120 entre si. Pode-se considerar com

aproximao suficiente que as indutncias lA e lM no dependem da posio do rotor.

12

A tenso terminal na fase A igual soma da tenso interna produzida pelo fluxo

fundamental do entreferro, das quedas produzidas pelos fluxos locais do induzido e

pela resistncia rAiA. Deste modo, a equao ser a seguinte:

CMBMAAAMqMdA pilpiliplrpv sencos (30)

Utilizando a relao (26) e o valor de iA dado por (28), tem-se:

000

001

11

00

0

0

00

0

00

0

sencos

3

sencos

sencos3

sencossencos

sen

cossencos3

sencossencos

sencos3

sencossencos

irpilirpirpv

irpill

irilpirilpv

iririrpil

iiipllpv

irir

iriiiplpil

iiiplpv

iiiriipl

iiiplpv

AqAqdAdA

AM

qAqMqdAdMdA

AqAdAM

qdMAMqMdA

AqA

dAqdMM

qdAMqMdA

qdAAM

qdAMqMdA

(31)

De onde as seguintes grandezas foram introduzidas:

qMqq

dMdd

M

MA

il

il

lll

lll

1

1

10

1

3

(32)

As magnitudes d e q so os fluxos totais concatenados com uma bobina de

induzido situada sobre o eixo direto ou sobre o eixo em quadratura, e produzidos

pelo fluxo fundamental de entreferro e pelas disperses no induzido; l1 a indutncia

efetiva de disperso de qualquer uma das bobinas axiais e produz um fluxo

13

concatenado devido disperso. l0 o que se chama, como foi dito, de indutncia de

seqncia zero e produz um fluxo de disperso.

Mas, segundo R. H. Park,

0sencos vvvv qdA (33)

Assim, desenvolvendo (31) e aplicando a relao apresentada em (1) tem-se:

00

00

)sen()cos(

sencossen

cossencos

iplr

tirptirpv

iplrtirttp

tirttpv

A

qAdqdAqdA

AqAqq

dAddA

(34)

O que vale analogamente para as fases B e C.

Assim,

000 iplrv

irpv

irpv

A

qAdqq

dAqdd

(35)

As tenses pd e pq so conhecidas como tenses variacionais e d e q so

conhecidas como tenses mocionais. Em muitos problemas as tenses variacionais

so pequenas se comparadas s tenses mocionais.

5. EQUAES DA MQUINA SNCRONA

Retomando (2) porm em sua forma matricial tem-se:

][][][ ABCABCABC pirv (36)

E,

FFF pirv (37)

Retomando tambm (28),

14

][][][ 01

dqABC iTi

(28)

Aplicando as transformaes de Park tambm para as tenses terminais e fluxos

concatenados obtm-se:

][][][ 01

dqABC vTv

(38)

][][][ 01

dqABC T

(39)

Substituindo (28), (38) e (39) em (36), obtm-se:

][][][][][][ 010101 dqdqdq TpiTrvT (40)

Multiplicando todos os membros de (40) por [T],

0

][][][

000

0023

0230

3

2][][][

][][][][][][][][

000

0

000

0

1

0

1

00

d

q

dqdqdq

q

d

dqdqdq

dqdqdqdq

pirv

pirv

TpTpTTirv

(41)

Deste modo, incluindo (37) tem-se o seguinte conjunto de equaes:

FFFF

dqqq

qddd

pirv

pirv

pirv

pirv

000

(42)

Comparando (42) com (35) pode-se notar a semelhana entre estas equaes.

Retomando (3), mas separando os fluxos concatenados das fases A, B e C do fluxo

concatenado do indutor tem-se:

15

][][][][][ 33 FFABCABC

F

C

B

A

CF

BF

AF

CCCBCA

BCBBBA

ACABAA

C

B

A

iLiL

i

i

i

i

L

L

L

LLL

LLL

LLL

(43)

][][][][][ 3 FFFABCt

FF

F

C

B

A

FFFCFBFAF

iLiL

i

i

i

i

LLLL

(44)

Substituindo (28) e (39) em (43) e (44) obtm-se:

][][][][][][

][][][][][][][

0

1

3

30

1

30

1

FFFdq

t

FF

FFdqFdq

iLiTL

iLiTLT

(45)

Aps alguns clculos e substituies trigonomtricas chega-se em:

dFFFFF

qqq

FFddd

iMiL

iL

iL

iMiL

2

3

000

(46)

onde:

SS

MSSq

MSSd

MLL

LMLL

LMLL

2

2

3

2

3

0

Relembrando que as indutncias LS, LM e MS so as mesmas encontradas em (14) e

(16).

16

Nota-se que as equaes (42) e (46) so vlidas para o modelo de Park e substituem

as equaes clssicas (36), (37), (43) e (44) com a vantagem de serem equaes

diferenciais a parmetros constantes (Ld, Lq, L0, MF e LFF). Nota-se tambm que para

o enrolamento indutor (campo, F) nada muda.

importante observar tambm que todo o equacionamento feito at agora no leva

em considerao o enrolamento amortecedor.

6. VALORES EM PU

Vantagens do sistema pu:

a) Torna a comparao entre as vrias mquinas muito mais fcil.

b) Acaba com o nmero de espiras.

c) Reduz o nmero de parmetros na matriz de indutncias.

total

1 2

iB1 iB2

Figura 7 Duas bobinas

A indutncia prpria de base da bobina 1 LB1 dada, considerando o tempo de base

igual a 1 segundo, por:

1

1

11

111

111

1

B

B

BB

BBB

Zi

vL

iLv

dt

diLv

(47)

Analogamente, a indutncia mtua de base entre as bobinas 1 e 2 MB12 dada por:

17

1

212

1122

1122

1

B

BB

BBB

i

vM

iMv

dt

diMv

(48)

A indutncia prpria L1 pode equacionada atravs do fluxo total concatenado com a

bobina 1 1 do seguinte modo:

111

2

1

1

2

11

1

2

11

111

1

11

1

1

1

11

lLL

R

N

R

NL

NL

RiN

i

N

i

N

iL

M

disp

disp

totaltotal

distotal

(49)

onde Rtotal a relutncia total.

Trabalhando com valores em pu,

pupuM

pu

puM

B

pu

B

puM

B

pu

B

M

B

pu

ML

M

L

M

RNNM

L

RNL

M

MM

L

lL

L

LL

121

12

1

12

12112

1

1

2

11

12

1212

1

11

1

11

1

(50)

Nota-se atravs de (50) que N1 = N2 e que a relutncia a mesma tanto para LM1pu e

M12pu.

18

7. MQUINA SNCRONA EM REGIME TRANSITRIO

Retomando as equaes da mquina sncrona segundo o sistema dq0, tem-se:

FFFF

dqqq

qddd

pirv

pirv

pirv

pirv

000

(42)

dFFFFF

qqq

FFddd

iMiL

iL

iL

iMiL

2

3

000

(46)

Usando os valores em pu, as seguintes relaes so vlidas:

1

1

lLL

LM

lLL

Mqq

MdF

Mdd

(51)

onde:

LMd est associada ao fluxo mtuo no eixo d, LMq est associada ao fluxo mtuo no

eixo q e l1 a indutncia efetiva de disperso de qualquer uma das bobinas axiais.

As magnitudes v0 e i0 esto relacionadas entre si independentemente das outras e em

muitos casos s preciso utilizar as tenses e correntes axiais.

Em muitos problemas, no necessrio calcular a corrente iF que pode ser eliminada

das equaes (42) e (46). Deste modo, o fluxo concatenado d pode ser reescrito, em

funo de id e vF.

Reescrevendo a equao de d, presente em (46) e a equao de vF, presente em (42)

tem-se:

19

dMdFFFMdFF

FMddMdd

piLipLLrv

iLilL 1

(52)

Eliminando iF, tirada da equao de vF em (52) e substituindo na equao para d,

obtm-se:

Fdd

d

F

dF

Mdd

d

d

dd

dMd

FFMdF

dMdFMdd

vpG

ipX

vpTr

xi

x

pT

pT

ilLpLLr

piLvL

)()(

'1'1

'1

00

1

(53)

Onde Xd(p) conhecida como impedncia operacional.

O termo T'd e T'd0 so conhecidos respectivamente pela constante de tempo

transitria com a armadura em curto e constante de tempo transitria com a armadura

em circuito aberto. Seus valores so dados atravs de:

MdFFF

d

Md

dFF

F

d

xxr

T

xx

xxx

rT

1'

1'

0

1

1

(54)

De forma anloga, pode-se escrever para o eixo q uma expresso semelhante:

q

q

qqq ix

iL

(55)

As expresses (53) e (55) dos fluxos nos eixos d e q combinadas com as expresses

das tenses vd e vq (aplicadas armadura conforme a conveno adotada) permitem

qualquer anlise de transitrio na mquina sncrona (admitindo a inexistncia do

enrolamento amortecedor).

20

8. EFEITO DO ENROLAMENTO AMORTECEDOR

Os enrolamentos amortecedores reagem s variaes de fluxo concatenado

interferindo obviamente nos transitrios eltricos e mecnicos da mquina sncrona.

Desta forma, provocam alteraes nas equaes de Park anteriormente apresentadas,

que sob seu efeito devem representar os fenmenos subtransitrios por eles causados.

Genericamente o enrolamento amortecedor pode ser representado por m bobinas

curto-circuitadas no eixo d e n bobinas curto-circuitadas no eixo q. Mantendo as

convenes anteriormente adotadas, as m + n bobinas, fixas em relao aos plos

devem ser representadas por enrolamentos estacionrios, assim como o indutor (F).

Entretanto, as expresses que resultam nas impedncias operacionais para este

sistema so equaes diferenciais e de ordem elevada (m e n), de resoluo

trabalhosa.

Por esta razo, suficientemente preciso trabalhar com uma particularizao,

admitindo dois enrolamentos amortecedores, um para cada eixo, conforme mostra a

Figura 8.

q

d

F

d

q kd

kq

Mkq

Mkd

MF

MFkd

Figura 8 Incluso dos enrolamentos amortecedores

Em pu, as relaes presentes em (51) podem ser expandidas da seguinte maneira:

21

kqMqkq

kdMdkd

FMdFF

Mqqq

Mddd

Mqkq

MdFkdkdF

Mqq

Mdd

lLL

lLL

lLL

lLLM

lLLM

LM

LMMM

lLL

lLL

1

1

1

1

(56)

Novamente com a inteno de eliminar a corrente do indutor iF e tambm a corrente

do enrolamento amortecedor do eixo direto ikd da equao do fluxo concatenado d,

este ser escrito atravs da combinao das seguintes equaes:

kdkdkdFFkddkdkd

kdFkdFFFFdFF

kdkdFFddd

ipLrpiMpiMv

piMipLrpiMv

iMiMiL

0

(57)

Ou em pu,

kdkdMdkdFMddMd

kdMdFFMdFdMdF

kdMdFMddMdd

iplLrpiLpiL

piLiplLrpiLv

iLiLilL

0

1

(58)

Para o clculo da impedncia operacional Xd(p) e da funo G(p), deve-se calcular a

corrente id que dada pelo quociente entre os dois seguintes determinantes:

MdMdd

kdMdkdMd

MdFMdff

LL

plLrpL

pLplLrv

D

01

(59)

1

2

lLLpL

pLplLrpL

pLpLplLr

D

MdMdMd

MdkdMdkdMd

MdMdFMdf

(60)

De onde se pode deduzir o valor de d:

22

FFdkd

ddd

r

vL

pTTpTT

pT

iLpTTpTT

pTTpTT

2

3121

2

3121

2

6454

1

1

1

1

(61)

Os valores das constantes T esto expressas em funo das reatncias:

kd

kdkd

FFMdMd

FMdkd

kd

Md

Mdkd

kd

Md

MdF

F

FMd

FMdkd

kd

kdMd

kd

FMd

F

r

xT

xxxxxx

xxxx

rT

xx

xxx

rT

xx

xxx

rT

xx

xxx

rT

xxr

T

xxr

T

11

16

1

15

1

14

3

2

1

1

1

1

1

1

1

(62)

A impedncia operacional Xd(p) e a funo G(p) podem ser retiradas de (61):

FMdkd

dd

r

x

pTTpTT

pTpG

xpTTpTT

pTTpTTpX

2

3121

2

3121

2

6454

1

1)(

1

1)(

(63)

De onde as novas constantes de tempo so dadas pelas seguintes identidades:

pTpTpTTpTT

pTpTpTTpTT

dd

dd

00

2

3121

2

6454

"1'11

"1'11

(64)

As novas constantes de tempo T'd0, T"d0, T'd e T"d so as quatro constantes de tempo

fundamentais em toda mquina sncrona. T"d0 a constante de tempo subtransitria

23

de eixo direto em circuito aberto e T"d a constante de tempo subtransitria de eixo

direto em curto circuito.

Os valores destas constantes de tempo podem ser calculados exatamente resolvendo

as equaes quadrticas. Normalmente, estes valores so calculados fazendo uma

nova aproximao, baseada no fato que a resistncia em pu do enrolamento de

amortecedor (kd) muito maior que a do enrolamento de excitao (F). T2 e T3 so

muito menores que T1, e o primeiro membro da segunda equao de (64) difere muito

pouco de (1+T1p)(1+T3p). Deste modo, T'd0 e T"d0 so aproximadamente iguais a T1

e T3 respectivamente. De forma similar, T'd e T"d so aproximadamente iguais a T4 e

T6. Assim, (63) fica:

FMd

dd

kd

d

dd

ddd

r

x

pTpT

pTpG

xpTpT

pTpTpX

00

00

"1'1

1)(

"1'1

"1'1)(

(65)

Deste modo, o fluxo d agora pode ser escrito da seguinte forma:

Fdd

d vpG

ipX

)()(

(66)

Para o eixo q, eliminando a corrente ikq, so vlidas as seguintes relaes:

kqkqkqqkdkd

kqkqqqq

ipLrpiMv

iMiL

0

(67)

Ou em pu,

kqkqMqkqqMq

kqMqqMqq

iplLrpiL

iLilL

0

1

(68)

O valor da impedncia operacional Xq(p) obtido eliminando-se ikq das equaes

presentes em (68):

24

plLr

xplL

lLl

rpX

kqMq

kq

q

Mq

Mq

kq

kq

q

1

1

11

)(1

1

(69)

q

q

q

q xpT

pTpX

0"1

"1)(

(70)

Onde T"q0 a constante de tempo subtransitria do eixo em quadratura em circuito

aberto e T"q a constante de tempo subtransitria do eixo em quadratura em curto

circuito.

E o fluxo q pode ser dado por:

q

q

q ipX

)(

(71)

9. REATNCIAS DA MQUINA SNCRONA

Reescrevendo as equaes da mquina sncrona, considerando os enrolamentos

amortecedores e todos os valores em pu tm-se:

kqMddMdFFMdFF

dqqq

qddd

piLpiLiplLrv

ipLrv

pirv

pirv

000

(72)

onde:

Fdd

d vpG

ipX

)()(

(66)

e,

25

q

q

q ipX

)(

(71)

Atravs destas trs equaes podem-se deduzir dois circuitos equivalentes, um para

cada eixo, que podem ser utilizados como ajuda na anlise da mquina sncrona.

vF

rF

lF

LMdp

l1p

Lkdp

rkd

id

ikd

iF

ikd

iF

id

pd

LMqp

l1p

Lkqp

rkq

iq

ikq

iq

pq

eixo d

eixo q

Figura 9 - Circuito equivalente para os eixos direto e em quadratura

Atravs do circuito equivalente da mquina sncrona pode-se tirar as reatncias da

mquina sncrona.

As reatncias sncronas de eixo direto e do eixo em quadratura so dadas por:

Mqq

Mdd

xxx

xxx

1

1

(73)

A reatncia transitria de eixo direto dada atravs de:

FMd

FMdd

xx

xxxx

1'

(74)

A reatncia subtransitria de eixo direto dada por:

26

FkdFFMd

kdFMdd

xxxxxx

xxxxx

1

1" (75)

A reatncia subtransitria do eixo em quadratura dada atravs de:

kqMq

kqMq

qxx

xxxx

1"

(76)

interessante notar que para os turbogeradores, que possui um rotor cilndrico, x'd e

x'q so aproximadamente iguais, e xd e xq so quase iguais.

10. EQUAES MECNICA E ELETROMECNICA

As equaes mecnica e eletromecnica fazem a interface na mquina sncrona entre

as equaes eltricas e a ao da turbina e/ou alteraes da rede eltrica, sendo por

essa razo igualmente importantes por exemplo, para estudos de estabilidade.

A conveno adotada para a equao mecnica a do "receptor mecnico", isto

potncia mecnica fornecida mquina sncrona pela turbina.

Celetromag

Cinrcia

Catrito

Cturbina

Figura 10 Conjugados na mquina sncrona

Assim, de acordo com a Figura 10,

eletromagatritoinrciaturbina CCCC (77)

onde:

Cturbina o conjugado aplicado pela turbina.

Cinrcia o conjugado de inrcia.

Catrito o conjugado de atrito.

27

Celetromag o conjugado eletromagntico da mquina.

Com,

k

DC

dt

d

k

JC

atrito

inercia

(78)

Onde:

J o momento de inrcia.

D o coeficiente de atrito viscoso.

k o nmero de pares de plos.

Para a determinao do conjugado eletromagntico tem-se:

Ueletromag

PC

(79)

onde:

PU a potncia til fornecida (instantnea no eixo).

a velocidade angular do rotor.

A velocidade angular do rotor tambm pode ser expressa em funo da velocidade

angular do seguinte modo:

k

nkf

nkf

22

(80)

onde n a freqncia de rotao.

A potncia til fornecida dada por:

28

ABCt

ABCCCBBAAU ivivivivP (81)

mas,

][][][

][][][][][

0

1

0

1

0

1

dqABC

t

dq

tt

dq

t

ABC

iTi

vTvTv

(82)

Deste modo,

00

00

0

11

0

32

3

][

300

0230

0023

][

][][][][

ivivivP

ivP

iTTvP

qqddU

dq

t

dqU

dq

tt

dqU

(83)

Substituindo as expresses para vd, vq e v0 j desenvolvidas e presentes em (42) vem:

0022 32

3ivipiiripiirP qdqqqdqdddU

(84)

Desta potncia nos terminais se obtm a potncia total no eixo que foi convertida de

mecnica para eltrica.

Pode-se notar que o termo rid2 + riq

2 equivale s perdas joule, idpd + idpd

corresponde a um termo armazenado no circuito magntico e o termo 3v0i0

corresponde disperso. Assim,

qddqU iiP

2

3

(85)

Aplicando (80) e (85) em (79) tem-se:

dqqdeletromag iikC 2

3

(86)

Desta forma, aplicando (86) e (78) em (77) tem-se:

29

dqqdturbina iik

k

D

dt

d

k

JC

2

3

(87)

A variao do ngulo entre um eixo fixo no rotor e um vetor de referncia que gira

com a velocidade sncrona, s, dada por:

stdt

d

)(

(88)

E (87) torna-se:

dqqdsturbina iik

dt

d

k

D

dt

d

k

JC

2

32

2

(89)

Estas expresses completam o conjunto necessrio para a anlise de problemas

dinmicos ligados estabilidade da mquina sncrona.

11. MODELOS DE GERADORES PARA ESTUDOS DINMICOS

Durante o estudo dos problemas prticos das mquinas sncronas , em geral, mais

conveniente conservar as magnitudes vd e vq em vez de utilizar as equaes presentes

em (72). Deste modo, retomando as expresses de tenso e fluxo para os eixos d e q

sem a presena de enrolamentos amortecedores tem-se:

dqqq

qddd

pirv

pirv

(90)

qqq

FFddd

iL

iMiL

(91)

Aplicando (91) em (90) e considerando regime permanente senoidal (os termos em p

so nulos) tem-se:

qddqFFddqq

qqdqqdd

eixiriMiLirv

ixiriLirv

(92)

30

onde a tenso eq conhecida como a tenso atrs da impedncia sncrona.

Trabalhando com valores eficazes,

qddqq

qqdd

EIxIrV

IxIrV

(93)

Extraindo Id e Iq de (93) tem-se:

qd

ddqq

q

qd

dqqq

d

xxr

xVrVEI

xxr

rVxVEI

2

2

(94)

A potncia ativa por fase pode ser dada por:

qqdd IVIVP (95)

Substituindo (94) em (95) tem-se:

qd

dqqdqdqqdq

xxr

xxVVVVrrVxVEP

2

22

(96)

Fazendo:

2sen21sencos

sen

cos

22

222

VVVV

VVV

VV

VV

qd

qd

d

q

(97)

Aplicando (97) em (96),

qd

dqqq

xxr

xxVVrrxVEP

2

22 2sen21cossen

(98)

31

Se as resistncias em srie so desprazveis se comparadas s reatncias, a equao

(98) torna-se:

2sen

2sen

2

qd

dq

d

q

xx

xxV

x

VEP

(99)

A potncia tambm pode ser expressa em ternos da tenso no eixo de quadratura E'q

atrs da reatncia transitria, da tenso terminal V e do ngulo entre estas duas

tenses. A expresso similar equao (99) exceto que a tenso Eq e a reatncia xd

so substitudas por E'q e xd. O ngulo o mesmo em ambos os casos porque tanto

E'q quanto Eq esto sobre o eixo em quadratura. Deste modo,

2sen

'2

'sen

'

' 2

qd

dq

d

q

xx

xxV

x

VEP

(100)

Uma simplificao pode ser feita se o segundo termo de (100) for desprezado.

Freqentemente esta simplificao levada um passo adiante se transformando no

modelo clssico da mquina sncrona para estudos de estabilidade como mostra a

Figura 11.

Ed

x'd

V

Figura 11 - Modelo clssico de mquina sncrona

A simplicidade desta representao aproximada da mquina sncrona uma

caracterstica valiosa quando a dinmica e os transitrios so investigados em redes

complexas multimquinas.

O modelo do tipo 2 no leva em conta os enrolamentos amortecedores e algumas

hipteses so estabelecidas:

32

0

0

qd pp

r

(66)

Deste modo, as equaes presentes em (42) so reescritas do seguinte modo, levando

em conta que a corrente de seqncia zero no produz campo resultante no

entreferro; apenas campo disperso:

FFFF

dq

qd

pirv

v

v

(101)

Considerando tambm as equaes de fluxo em pu tem-se:

dMdFFMdF

qMqq

FMddMdd

iLilL

ilL

iLilL

1

1

(102)

Retomando a equao da tenso de campo vF da presente em (101) e multiplicando-a

por xMd / rF tem-se:

FFMdMd

dFMd

F

FMd

F

FMd

Md

F

FMdFMd

F

FMd

F

F

Md

F

MdFF

F

FMd

pxx

xTix

r

vx

pxx

x

r

xxix

r

vx

pr

x

r

xir

r

vx

0'

(103)

A tenso e'q, utilizada para calcular os valores iniciais das correntes transitrias, pode

ser expressa atravs de:

F

FMd

MdF

FF

Fq

lL

L

L

Me

'

(104)

Aplicando (104) em (103) tem-se:

33

peTixr

vx

pe

Tixr

vx

qdFMd

F

FMd

q

dFMd

F

FMd

''

''

0

0

(105)

Isolando a corrente iF da equao de F presente em (102) tem-se:

FMddMdF

FMd

dMdFF

xx

ix

lL

iLi

(106)


peTixxer

vx

peTixxe

r

vx

peTixxxx

x

r

vx

peTxx

ixx

r

vx

qddddq

F

FMd

qdddd

q

F

FMd

qdddd

FMd

FMd

F

FMd

qd

FMd

dMdFMd

F

FMd

''''

''''

'''

''

0

0

0

0

(107)

Isolando e'q de (107),

F

FMdqddd

d

qr

vxeixx

Tpe ''

'

1'

0 (108)

Considerando a tenso vq em (101) e tambm o fluxo d em (102) tem-se:

dMdFMdq

dq

ilLiLv

v

1

(109)


34

ddddqq

Md

FMd

Md

d

q

q

dMd

FMd

dMd

FMd

FMd

q

dMd

FMd

dMdF

Mdq

dq

xxxiev

xxxx

xi

ev

ixxxx

ix

xx

xv

ixxxx

ixxv

v

''

'1

2

1

2

1

(110)

Multiplicando vq de (110) por -1 tem-se:

ddddqq xxxiev '' (111)

Deste modo, combinando (108) e (111) pode-se deduzir um diagrama de blocos cuja

sada vq. Se a relao para vq apresentada em (101) for acrescentada, a sada para o

diagrama de blocos ser d. Tambm utilizando a equao para q presente em (102)

um outro diagrama de blocos pode ser montado, como mostra a Figura 12.

vF

F

Md

r

x

0'

1

dT p

1

-

-vq

1

d

xd

idxd-xd

+

++

+

-

iq

xq

q

Figura 12 - Diagrama de blocos para o modelo do tipo 2

Fazendo um diagrama de blocos para o fluxo d e para o fluxo q utilizando as

reatncias operacionais presentes em (66) e (71) tem-se o modelo de gerador do tipo

3 que leva em considerao o perodo subtransitrio.

35

vF

d

id

+

iq

xq

q

dx pT

pT

d

d

0"1

"1

pT

pT

d

d

0'1

'1

pT

pT

d

kd

0"1pT d 0'1

1

F

Md

r

x

pT

pT

q

q

0"1

"1

+

Figura 13 - Diagrama de blocos do modelo do tipo 3

12. BIBLIOGRAFIA

ANDERSON, P. M.; FOUAD, A. A. Power system control and stability. Ames:

Iowa State University Press, 1977, 464 p.

ADKINS, B. The general theory of electrical machines. London: Chapman & Hall,

1957, 236 p.

DE MELLO, F. P. Dinmica das mquinas eltricas I. Rio de Janeiro:

ELETROBRS, 1979. 223 p. (Curso de engenharia eltrica em sistemas de

potncia srie P.T.I. v.4).

FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY Jr., C. Electric machinery: The dynamics and

statics of electromechanical energy conversion. New York: McGraw-Hill, 2 ed.,

1961, 568 p.

JORDO, R. G. Mquinas sncronas. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos

Editora, 1980, 215 p.

KIMBARK, E. W. Power system stability: Synchronous machines. New York:

Dover Publications, 1956, 322 p.

PENTEADO Jr., A. A. Teoria Geral das Mquinas Eltricas PEA 5751. Notas

de aula. So Paulo, 2000.

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Máquinas Sincronas