Manual Autopreparacion Ppu

2012PPU

Pronóstico de PotencialUniversitarioConfirma la fecha de laprueba con tu coordinador

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_________________________________________________________________________ Cuaderno Autoinstructivo del PPU

BIENVENIDO AL CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO PARA EL PPU 2012 La Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC) tiene el agrado de presentarte el Cuaderno Autoinstructivo para el Pronóstico de Potencial Universitario (PPU). En este cuaderno, encontrarás toda la información necesaria para practicar y dominar, adecuadamente, los diversos temas y habilidades que evaluará el PPU 2012.

El PPU es una prueba que aplica la UPC a los alumnos de quinto de secundaria; sus fines son los siguientes:

� Ayudarte a conocer mejor tus habilidades numéricas, verbales y lógico-analíticas. � Brindarte información sobre las áreas en las que te desempeñas mejor y en las que

requieres más práctica.

Aproximadamente un mes después de rendir el PPU, recibirás un reporte completo sobre tus resultados, que permitirá que te informes claramente acerca de tu potencial como futuro estudiante universitario.

Este manual te ayudará a conocer el contenido del PPU a fondo y, así, a estar en óptimas condiciones para el día de la evaluación. En él, encontrarás lo siguiente:

� La temática que se evaluará en cada una de las áreas � Explicaciones sobre cómo resolver los problemas � Ejemplos resueltos para entrenarte � Dos «pruebas tipo» que tienen la misma estructura y contenidos que el PPU1, la primera

con el solucionario correspondiente y la segunda solo con las claves de respuesta � Sugerencias sobre cómo prepararse y rendir la Prueba de Pronóstico de Potencial

Universitario

Muchas gracias por acompañarnos en el PPU 2012. Esperamos que sus resultados te sean de utilidad. Recuerda que tú eres el principal responsable del descubrimiento y aprovechamiento de tu potencial; para lograrlo, requieres de esfuerzo y dedicación. Nosotros te estaremos apoyando en esa magnífica tarea.

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

1 Las «pruebas tipo» contienen 100 preguntas: 35 de aptitud numérica, 35 de aptitud verbal y 30 de habilidad lógico-analítica. Poseen una duración de 2 horas y 15 minutos. El PPU 2012 tendrá el mismo número de preguntas en total y por áreas; sin embargo, su duración será de 2 horas y 10 minutos.

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Cuaderno Autoinstructivo del Pronóstico de Potencial Universitario © Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. Derechos Reservados. Coordinación del Cuaderno Autoinstructivo del PPU Eduardo Mejía Carbonel Jefe Académico de la Oficina de Admisión Elaboración de textos Aptitud Numérica Manuel García-Naranjo Bustos Director del Área de Ciencias Aptitud Verbal Mauricio Aguirre Villanueva Docente del Área de Humanidades Habilidad Lógico-Analítica Eliana Mory Arciniega Docente del Área de Humanidades Corrección de estilo Raúl B. Montesinos Parrinello Docente del Área de Humanidades

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ÍNDICE

Página

Presentación 2

Créditos 3

I. Sección de Aptitud Numérica 5

II. Sección de Aptitud Verbal 103

III. Sección de Habilidad Lógico-analítica 135

IV. Prueba tipo con solucionario 177

V. Prueba tipo 223

VI. Sugerencias sobre cómo prepararse y rendir la Prueba de Pronóstico de Potencial Universitario (PPU) ®

246

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I. SECCIÓN DE APTITUD NUMÉRICA

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I. SECCIÓN DE APTITUD NUMÉRICA 1.1. ARITMÉTICA 1.1.1 TEORÍA DE CONJUNTOS 1.1.1.1 Definiciones básicas Noción de conjunto Un conjunto es una agrupación o colección de objetos llamados elementos. Pertenencia Si un elemento x pertenece al conjunto A , la relación de pertenencia se escribe: Ax ∈ Ejemplo Si }pares_números{A = se puede decir que A∈2 , y que A∉3 . Inclusión Se dice que el conjunto A está incluido en el conjuntoB o que A es subconjunto de B si y solo si todo elemento de A pertenece a B . La relación de inclusión se denota: BA ⊂ . Ejemplo Si }4;3;2;1{=A , }6;5;2;1{=B y }3;2{=C , entonces AC ⊂ , ya que todo elemento de C está

también en A . Por otro lado, C no es subconjunto deB .

Igualdad Se dice que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.

Conjuntos especiales

� Conjunto vacío o nulo: es aquel conjunto que carece de elementos. Se le denota por Φ ó { }.

� Conjunto unitario: es aquel que tiene un solo elemento.

� Ejemplo A = { x/x ∈ ℕ y 6 < x < 8 } = { 7 } � Conjunto universal: es aquel conjunto que se toma como referencia y en el que se

encuentran todos los elementos con los que se está trabajando 1.1.1.2 Operaciones con conjuntos Unión La unión de A y B se obtiene al reunir todos los elementos de ambos conjuntos. Se denota BA ∪ . Intersección La intersección de A y B se obtiene tomando todos los elementos comunes a ambos conjuntos. Se denota BA ∩ . Diferencia La diferencia de A y B se obtiene tomando todos los elementos del primer conjunto )A( que

no pertenecen al segundo ).B( Se denota BA − . Ejemplo Si }9;7;5;2{=A y }8;7;5{=B entonces:

� la unión será: { }8;9;7;5;2=BA U ,

� la intersección será: { }7;5=BA I , � la diferencia será: }9;2{BA =− ; y la diferencia }{AB 8=−

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Complemento de un conjunto Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A a todos los elementos que están fuera de A, pero dentro del universo. Se denota A’ ó AC. Se verifica que: A’ ó AC = U – A. Ejemplo 1 Si en un salón de 100 alumnos 40 son mujeres, 73 no usan lentes y 12 mujeres usan lentes, ¿cuántos hombres usan lentes? Solución El total de alumnos es 100 Si 40 son mujeres � 60 son hombres Si 73 no usan lentes � 27 sí usan lentes Se sabe que 12 mujeres usan lentes La cantidad de hombres que usa lentes será: 27 – 12 = 15 Ejemplo 2 Un alumno desayuna, durante todas las mañanas del mes de marzo, jugo y/o leche. Si durante 25 mañanas tomó jugo y 18 mañanas tomó leche, ¿cuántas mañanas desayunó jugo y leche? Solución El mes de marzo tiene 31 días. En el diagrama mostrado, sea x el número de días que desayuna jugo y leche. Debe verificarse: (25 – x) + x + (18 – x) = 31 � 43 – x = 31, de donde: x = 12 días 1.1.1.3 Conjuntos numéricos

El conjunto de los números reales, que se denota ℝ, tiene los siguientes subconjuntos notables:

� Números naturales: (se denota ℕ ) ℕ = ...}5;4;3;2;1{

� Números enteros: (se denota ℤ) ℤ = ...}3;2;1;0;1;2;3{... −−−

� Números racionales: (se denota ℚ): son los que pueden expresarse en la forma: ba

,

donde ∈a ΖΖ , ∈b ΖΖ y 0b ≠ . Ejemplos : .etc;25

5,2;0;5;2;52

;31 =−−

� Números irracionales (Se denota I): son los números reales que no son racionales.

Se verifica que: I = ℝ - ℚ. Ejemplos : 4 72 ; Notas

� Se observa que todo número natural es entero y todo número entero es racional. Así:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

� Se verifica que: I ∪ ℚ = ℝ y I ∩ ℚ = ∅ � Se llaman números positivos (negativos) a los que son estrictamente mayores

(menores) que cero 1.1.2 OPERACIONES BÁSICAS Y ORDEN DE OPERACIONES Las cuatro operaciones básicas son suma, resta, multiplicación y división. Adicionalmente, se define las operaciones de potenciación y radicación, tal como se detalla a continuación:

J L

25-x 18-x x

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1.1.2.1 Potenciación Potencia natural de un número real Se define: an = a.a.a …… .a El número real a recibe el nombre de base; el número n recibe el nombre de exponente. Ejemplo 32 = 3 x 3 = 9; 41 = 4; (-3)2 = (-3) x (-3) = 9 Se observa que, por regla de signos, cuando n es par � an ≥ 0 Ampliación para exponentes enteros no positivos a0 = 1, si y solo si a ≠ 0

nn

aa

1=−

, donde n es un entero positivo y a ≠ 0 Leyes de exponentes Sean m y n números enteros y a y b números reales, tales que las operaciones que se indican a continuación puedan realizarse, entonces:

� am.an = am+n � (a.b)n = an.bn � (am)n = am.n

� n

nn

b

aba =

, donde b ≠ 0

1.1.2.2 Radicación

Si n es un número entero positivo impar, entonces se define:

ban = , si y solo si bn = a

Ejemplos

283 =

283 −=−

Si n es un número entero positivo par y a ≥ 0, entonces se define:

ban = (b ≥ 0), si y solo si bn = a

Ejemplos

39 = ; 2164 =

Nota: 4 - ≠16 aunque (-4)2 = 16 Como n es par, la raíz debe ser positiva �

416 = Notas

� El símbolo n a utilizado para expresar la enésima raíz principal de a recibe el nombre radical.

� El número entero n recibe el nombre de índice y. � El número a se le conoce como radicando o cantidad subradical. � Cuando n es igual a 2, se habla de la llamada raíz cuadrada y usualmente se omite el 2

en el radical. Propiedad

Si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces: b.a=b.a 1.1.2.3 Orden de operaciones Para calcular expresiones numéricas en las cuales no hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o llaves), se opera en el siguiente orden:

n veces

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1. Potenciación y radicación 2. Multiplicación y división 3. Adición y sustracción Si hay dos operaciones de la misma jerarquía, se opera siempre de izquierda a derecha. Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves), se efectúan primero las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupación, empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones. Ejemplo 1

Calcúlese: E = 0,9 – 2 [6 ÷ 9 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 22)] Solución

E = 0,9 – 2 [6 ÷ 9 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 22)] = 0,9 – 2 [6 ÷ 3 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 4)] = 0,9 – 2 [2 x 0,2 – 0,4(6 + 0,25)] = 0,9 – 2 [0,4 – 0,4(6,25)] = 0,9 – 2 [0,4 – 2,5)] = 0,9 – 2 [–2,1] = 0,9 + 4,2 = 5,1 Ejemplo 2

Calcúlese : E = 23x243 −

Solución

E = 52518439x2433x243 2 ==−=−=− Ejemplo 3

Calcúlese: E = 10 – 4 ( 249 − ) Solución

E = 10 – 4 ( 249 − ) = 10 – 4 (3 – 16) = 10 – 4 (-13) = 10 + 52 = 62 Supresión de paréntesis Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación está precedida del signo +, se pueden quitar los símbolos respectivos sin hacer cambios de signos en los términos de la expresión. Ejemplo

( ) 325,935,73235,732 −=−+−=−+− Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación está precedida del signo -, se puede quitar los símbolos respectivos cambiando el signo de cada uno de los términos de la expresión. Ejemplo

( ) 5,535,73235,732 −=+−=−− -- Ejemplos complementarios Ejemplo 1 Efectúese E = ( )( ) ( ) ( )( ) 23754635472 +×+÷++−×−+

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10

Solución Se desarrollan primero los paréntesis interiores: E = (9 – 4) x (2) + (10 ÷ 5 + 7) x 3 + 2 = 5 x 2 + (2 + 7) x 3 + 2 = 5 x 2 + 9 x 3 + 2 = 10 + 27 + 2 = 39 Ejemplo 2 Efectúese E = 5 – 3 [(2+3) - 3(2+1)÷32 ] + [(72÷6)-22 ] x 3 Solución Se desarrollan primero los paréntesis interiores: E = 5 – 3 (5 – 9 ÷ 9) + (12 – 4) x 3 = 5 – 3 (5 – 1) + 8 x 3 = 5 – 12 + 24 = 17 1.1.3 DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS NATURALES

1.1.3.1 Múltiplos y divisores Dados dos números naturales a y b, se dice que a es divisible por b si, al dividir a entre b, se obtiene un cociente exacto. Ejemplo 36 es divisible por 4, ya que 36 ÷ 4 es 9, y no hay residuo. 25 no es divisible por 3 ya que 25 ÷ 3 es 8, con resto 1. Observaciones

� Si a es divisible por b, entonces a es múltiplo de b.

� Para expresar simbólicamente que a es múltiplo de b se escribirá: o

ba =

� Otra manera de expresar que a es múltiplo de b es señalando que existe k∈ℕ tal que a = k.b

� Si a es divisible por b, entonces b es divisor de a. � La unidad es divisor de todo entero; se conoce como divisor universal.

Ejemplo Los divisores de 15 son: D15 = {1; 3; 5; 15} (es un conjunto finito) Los múltiplos (positivos) de 15 son: M15 = {15; 30; 45; 60;…} (es un conjunto infinito) Propiedades

� Si a = o

n y b = o

n entones: (a + b) y (a – b) son múltiplos de n

� Si a = o

n entonces a es múltiplo de los divisores de n 1.1.3.2 Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o en cifra par. Ejemplo 234 es divisible por 2, porque es un número par.

Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

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11

Ejemplo 657 es divisible por 3, porque 6 + 5 + 7 = 18, y 18 es múltiplo de 3.

Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. Ejemplo 1248 es divisible por 4, porque 48 es múltiplo de 4 Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. Ejemplo 2340 es divisible por 5, porque termina en 0.

Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6 cuando, al mismo tiempo, lo es por 2 y por 3. Ejemplo 456 es divisible por 6, porque es divisible por 2 (al ser par) y por 3 (ya que la suma de las cifras 4 + 5 + 6 = 15, y 15 es múltiplo 3).

Divisibilidad por 8 Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. Ejemplo 3264 es divisible por 8, porque 64 es múltiplo de 8.

Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. Ejemplo 2475 es divisible por 9, porque 2 + 4 + 7 + 5 = 18, y 18 es múltiplo de 9. 1.1.3.3 Números primos Acerca de un número natural (y mayor que 1) se dice que es primo absoluto o simplemente primo cuando admite solo dos divisores diferentes: el mismo número y la unidad. Si un número natural (salvo el 1) tiene más de dos divisores, se lo denomina compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto. Se lo denomina número simple, porque posee únicamente un divisor. Ejemplos

� Los números primos menores que 30 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 � 12 es un número compuesto, porque tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Números primos relativos o primos entre sí (PESI) Dos o más números son primos entre sí cuando su único divisor común es la unidad. Ejemplo 8 y 15 son primos entre sí ya que: D8 = {1; 2; 4; 8}; D15 ={1; 3; 5; 15} � D8 ∩ D15 = {1} (el único divisor común es la unidad). 1.1.3.4 Descomposición en factores primos o descomp osición canónica Los números naturales (excepto el 1) se pueden descomponer de una forma única en un producto de factores primos.

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12

Ejemplo

180 2

90 2

45 3 � 180 = 22 x 32 x 5

15 3

5 5

1

Cantidad de divisores de un número En el ejemplo anterior, la cantidad total de divisores se obtiene como sigue:

180 = 22 x 32 x 5

CD(180) = (2+1) x (2+1) x (1+1) = 3 x 3 x 2 = 18

� Los divisores primos de 180 son: {2; 3; 5} (tres en total). � La unidad {1} es un divisor simple de 180. � Los divisores restantes (14 en total) serán compuestos: {4; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30;

36; 45; 60; 90; 180}. Ejemplo complementario ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 1980? Solución La descomposición canónica de 1 980 es: 22 x 32 x 5 x 11 La cantidad total de divisores es: (2+1) x (2+1) x (1+1) x (1+1) = 36 La cantidad de divisores compuestos se obtiene restando del total de divisores (36) los divisores primos (4) y el divisor simple correspondiente a la unidad (1) � Número de divisores compuestos = 31 1.1.3.5 Máximo común divisor El máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales es el mayor de los divisores comunes de dichos números. Cálculo del MCD a) Por descomposición en factores primos: para calcular el MCD, se descompone canónicamente cada número y se toma el producto de los factores primos comunes elevados a su menor exponente. Ejemplo 1 MCD de 300 y 360: La descomposición canónica de cada número es: 300 = 22 x 3 x 52 360 = 23 x 32 x 5 Luego, el máximo común divisor es: MCD (300; 360) = 22 x 3 x 5 = 60 Ejemplo 2 MCD de 18, 24 y 60: La descomposición canónica de cada número es: 18 = 2 x 32; 24 = 23 x 3; 60 = 22 x 3 x 5 Luego, el máximo común divisor es: MCD (18; 24; 60) = 2 x 3 = 6

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b) Por descomposición simultánea: 18 24 60 2 9 12 30 3 � MCD (18 ; 24 ; 60) = 2 x 3 = 6 3 4 10 Los números 3, 4 y 10 son primos entre sí; por ello, se detiene la descomposición simultánea. 1.1.3.6 Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números naturales es el menor de los múltiplos comunes de dichos números. Cálculo del MCM a) Por descomposición en factores primos: para calcular el MCM, se descompone canónicamente cada número y se toma el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. Ejemplo 1 MCM de 12 y 15 La descomposición canónica de cada número es: 12 = 22 x 3; 15 = 3 x 5 Luego, el mínimo común múltiplo es: MCM (12; 15) = 22 x 3 x 5 = 60 Ejemplo 2 MCM de 18, 24 y 60: La descomposición canónica de cada número es: 18 = 2 x 32; 24 = 23 x 3; 60 = 22 x 3 x 5 Luego, el mínimo común múltiplo es: MCM (18; 24; 60) = 23 x 32 x 5 = 360 b) Por descomposición simultánea: 18 24 60 2 9 12 30 2 9 6 15 2 � MCM (18 ; 24 ; 60) = 23 x 32 x 5 = 360 9 3 15 3 3 1 5 3 1 1 5 5 1 1 1 Propiedad para dos números

El producto de dos números es igual al producto de su MCD y su MCM. � Si: MCD (a; b) = M y MCM (a; b) = m, entonces: a x b = M x m

Ejemplo 1 Tres alambres de 120, 150 y 240 centímetros de longitud, respectivamente, se deben cortar en pedazos iguales de la mayor longitud posible. Si por cada corte se debe pagar 5 soles, ¿cuánto deberá pagarse en total? Solución La longitud «L» de cada pedazo debe ser divisor común de 120, 150 y 240. Como debe ser la mayor longitud posible, entonces: L = MCD (120, 150 y 240) La descomposición canónica de cada número es: 120 = 23 x 3 x 5 150 = 2 x 3 x 52 240 = 24 x 3 x 5

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Luego, el máximo común divisor es: MCD (120; 150; 240) = 2 x 3 x 5 = 30 � L = 30 Se calcula, a continuación, el número de pedazos y el número de cortes que deben efectuarse por cada alambre: 120 � 120 ÷ 30 = 4 pedazos � 3 cortes 150 � 150 ÷ 30 = 5 pedazos � 4 cortes � 14 cortes en total 240 � 240 ÷ 30 = 8 pedazos � 7 cortes Deberá pagarse: 14 x 5 = 70 (soles) Ejemplo 2 En un viaje por carretera, se observa que, sobre el lado derecho, aparecen postes cada 80 metros y, sobre el izquierdo, aparecen árboles cada 60 metros. Si al partir coinciden un árbol y un poste, ¿cuántos metros después coincidirán nuevamente un árbol y un poste? Solución La distancia d para que vuelvan a coincidir un árbol y un poste debe ser múltiplo común de 60 y 80. Como interesa la próxima ocurrencia simultánea: d = MCM (60; 80) La descomposición canónica de cada número es: 60 = 22 x 3 x 5 80 = 24 x 5 Luego, el mínimo común múltiplo es: MCM (60; 80) = 24 x 3 x 5 = 240

� d = 240 (metros) Ejemplo 3 ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 150, 180 y 200? Solución Los divisores comunes de 150, 180 y 200 son los divisores de su MCD. La descomposición canónica de cada número es: 150 = 2 x 3 x 52 180 = 22 x 32 x 5 200 = 23 x 52

Luego, el máximo común divisor es: MCD (150; 180; 200) = 2 x 3 x 5 = 30 La cantidad de divisores de 30 es: (1+1) x (1+1) x (1+1) = 8 Luego, los números 150, 180 y 200 tienen 8 divisores comunes, que son los siguientes: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, y 30 1.1.4 NÚMEROS RACIONALES 1.1.4.1 Fracciones Se denomina fracción a una expresión de la forma:

ba

, donde ∈a ΖΖ , ∈b ΖΖ y 0b ≠

Como puede apreciarse, una fracción consta de dos términos:

� el que va en la parte superior, a, que recibe el nombre de numerador, y � el que va en la parte inferior, b, que recibe el nombre de denominador.

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15

Ejemplo 1 Un señor compra una pizza para 8 personas. Al llegar a casa, su esposa la corta en 8 partes iguales, pero solo 2 de los hijos comen su parte respectiva y deciden guardar el resto para más tarde. Entonces, ¿cuánto queda de la pizza? Solución

La pizza es cortada en 8 octavos, (88 ), y se consumen 2 octavos, (

8

2 ); por lo tanto, quedan seis

octavos de pizza, (86

):

Ejemplo 2 Se tienen dos quintos de un molde de queso y se compra un molde más. Al final, ¿cuántos quintos se obtienen? Solución

57

=55

+52

=1+52 = (siete quintos de molde de queso)

1.1.4.2 Clasificación de las fracciones Fracciones propias Cuando el numerador es menor que el denominador. Ejemplos

85

;43

;32

Fracciones impropias Cuando el numerador es mayor que el denominador. Las fracciones impropias se pueden escribir como números mixtos, los cuáles tienen parte entera y parte fraccionaria. Ejemplo

52

6532 = , ya que, al dividir 32 entre 5, se obtiene un cociente de 6 y un resto de 2.

Inversamente, un número mixto también puede convertirse en fracción impropia. Ejemplo

323

3273

32

7 =+×=

52

1

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16

Fracciones equivalentes Son aquellas que representan el mismo valor. Ejemplo

126

105

63

42

21 ====

Fracción irreductible

La fracción ba

es irreductible si a y b son primos entre sí, esto es, si el MCD(a; b) = 1

a es el valor absoluto de a y: a = a si a ≥ 0;

a = -a si a < 0

Ejemplo

76

es irreductible, ya que MCD (6; 7) = 1

105

no es irreductible, ya que MCD (5; 10) = 5

Fracciones homogéneas Son aquellas fracciones que tienen igual denominador. Fracciones heterogéneas Son aquellas fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplo

58

y52

;51 − son homogéneas; mientras que

63

y72

;31 − son heterogéneas.

1.1.4.3 Operaciones con fracciones Simplificación de fracciones Es un procedimiento mediante el cual se dividen el numerador y el denominador de la fracción por un divisor común a ambos y diferente de 1, de modo que se obtiene una fracción equivalente cuyos términos sean menores que los de la fracción inicial. Ejemplo

53

630618

3018 =

÷÷=

Amplificación de fracciones Es un procedimiento mediante el cual se multiplican el numerador y el denominador de la fracción por un mismo factor entero no nulo, de modo que se obtiene una fracción equivalente cuyos términos sean, en valor absoluto, mayores que los de la fracción inicial. Ejemplo

3514

7572

52 =

××=

Potenciación y radicación de fracciones

Dada la fracción ba

y el número entero n, entonces:

n

nn

b

aba =

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17

n

nn

b

aba = ; donde n > 0

Adición y sustracción de fracciones a) Caso de fracciones homogéneas: la fracción resultante tendrá por denominador el de las fracciones consideradas en la suma, y por numerador la suma de los numeradores de las fracciones componentes. Ejemplo

1914

19752

197

195

192 =++=++

b) Caso de fracciones heterogéneas: se procede como sigue:

� se calcula el MCM de los denominadores; � se amplifican los términos de las fracciones para convertirlas en fracciones

equivalentes homogéneas; � se suman o restan los numeradores según el caso.

En ambos casos, los resultados deben estar consignados con una fracción irreductible. Ejemplo

Hállese el resultado de sumar: 43

52 +

Solución Se determina el denominador común, mediante el cálculo del mínimo común múltiplo de los denominadores. En este caso, MCM (4; 5) = 20

Se amplifican los términos de las fracciones: 208

4542

52 =

××= y

2015

5453

43 =

××=

Se suman los numeradores: 43

52 + =

203

12023

2015

208 ==+

De manera abreviada, el procedimiento anterior puede expresarse como sigue:

203

12023

205342

43

52 ==×+×=+

c) Caso de números mixtos: se tiene dos posibles enfoques:

� convertir los números mixtos en fracciones impropias y operar tal como se ha indicado en b); o

� realizar por separado el cálculo con las partes enteras y con las partes fraccionarias.

Ejemplo

Calcúlese 31

1672

3 +

Solución Convirtiendo los números mixtos a fracciones impropias:

2113

1921

41221

3436921

7x493x23349

723

31

1672

3 ==+=+=+=+

Calculando por separado las partes enteras y las partes fraccionarias:

� se suman las partes enteras: 3 + 16 = 19

_____________________________________________________________________________________


18

� se suman las partes fraccionarias: 2113

217132

31

72 =×+×=+

El resultado final se obtiene al sumar los resultados parciales: � 2113

1931

1672

3 =+

Multiplicación de fracciones El resultado de la multiplicación de dos o más fracciones es una nueva fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

� f.d.be.c.a

fe

xdc

ba =×

Siempre es conveniente simplificar cada fracción antes de efectuar las operaciones. Cuando hay números negativos, se aplica la regla de los signos al efectuar las operaciones. Ejemplo

54

534)2(83

52

38

43 −=

××−××=−××

División de fracciones El resultado de dividir una fracción entre otra es igual al producto de la primera por el inverso multiplicativo de la segunda.

c.bd.a

cd

ba

dc

ba =×=÷

También, se puede representar como: c.b

d.a

dcba

=

Ejemplo

87

1815

25

43

52

43 −=−=×−=÷−

1.1.4.4 Comparación de fracciones Se recomienda comparar solamente fracciones que tengan denominadores positivos. De no ser el caso, se multiplican el numerador y el denominador de la fracción por -1, a fin de que el denominador sea positivo. Si las fracciones a comparar son homogéneas y con denominador positivo, se compara los numeradores. Si las fracciones a comparar son heterogéneas y con denominador positivo, se deben convertir en homogéneas y se deben comparar sus numeradores. Ejemplo

Ordenar las siguientes fracciones de mayor a menor: 32

;43

;127

;85

MCD (8; 12; 4; 3) = 48

� 4830

6x86x5

85 == ;

4828

4x124x7

127 == ;

4836

12x412x3

43 == ;

4832

16x316x2

32 ==

Ordenando de mayor a menor: 4828

4830

4832

4836

⟩⟩⟩ � 127

85

32

43

⟩⟩⟩

____________________________________________________________________________________


19

Ejemplos complementarios 1) Un depósito se puede llenar con 2 llaves, A y B. La llave A, por sí sola, lo llena en 5 horas y la llave B, por sí sola, en 4. Si, estando el depósito vacío, se abren las 2 llaves durante 2 horas, ¿qué fracción de la capacidad del depósito faltará llenar? Solución

A por sí sola tarda 5 horas. Luego, en 1 hora llena 51

del depósito.

B sola tarda 4 horas. Luego, en 1 hora llena 41

del depósito.

Juntas, llenan en una hora 209

41

51 =+ del depósito.

Luego, en 2 horas llenan 2018

, es decir, 109

del depósito.

Por lo tanto falta llenar solamente 101 del depósito.

Ejemplo

2) En una ciudad, a 125

de sus habitantes les gusta el teatro; a 65

les gusta el cine, y a un

tercio les gusta ambos. ¿A qué fracción del total no le gusta ni el teatro ni el cine? Solución Se recomienda utilizar un diagrama como el siguiente: Fracción de personas a las que les gusta:

� Solo el teatro: 121

31

125 =−

� Solo el cine: 21

31

65 =−

� Ambos: 31

Sumando los datos excluyentes, se obtiene:1211

31

21

121 =++

Por lo tanto, la fracción de las personas a las que no les gusta ninguno es: 121

1.1.5 RAZONES Y PROPORCIONES 1.1.5.1 Introducción En la vida cotidiana, encontramos diversas magnitudes a nuestro alrededor: por ejemplo, la distancia de nuestra casa al colegio, el tiempo que nos toma ir al centro de la ciudad, la velocidad del bus en el que usualmente viajamos, el precio de la entrada al cine, la temperatura ambiental, etcétera. Todas las magnitudes que podamos identificar son susceptibles de ser medidas y de asociarse a un número real y a una unidad, a la que se denominará cantidad.

31

T: 125

C:65

_____________________________________________________________________________________


20

A continuación, se presentan algunos ejemplos:

Magnitud Número o valor Unidad Cantidad Longitud 20 Metro 20 m

Masa 10 Kilogramo 10 kg Tiempo 30 Segundo 30 s

Velocidad 100 Km/h 100 kilómetros/h Temperatura 18 °C 18 °C

Dinero 50 Soles soles 50 Otras magnitudes son capacidad, superficie, volumen, etcétera. 1.1.5.2 Razón Es una comparación de dos cantidades homogéneas. Dicha comparación se puede realizar de dos maneras: por diferencia (razón aritmética) o por cociente (razón geométrica). Razón aritmética (R A) Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Permite determinar en cuánto excede una cantidad a la otra. En general, dadas dos cantidades a y b, la razón aritmética entre ellas se escribe: RA = a – b, donde: a – antecedente b – consecuente RA – valor de la razón aritmética Razón geométrica (R G) Es la comparación de dos cantidades mediante la división. Permite determinar cuántas veces una cantidad contiene a la otra. En general, dadas dos cantidades a y b, la razón aritmética entre ellas se escribe:

RG = ba

, donde:

a – antecedente b – consecuente (b ≠ 0) RG – valor de la razón geométrica Ejemplo Si un padre tiene 40 años y su hijo tiene 10, podemos decir que el padre le lleva 30 años a su hijo (razón aritmética con RA = 4) o también que tiene 4 veces su edad (razón geométrica con RG = 4). 1.1.5.3 Proporción Es la igualdad de dos razones. Puede ser aritmética o geométrica. Proporción aritmética Una proporción aritmética es de la forma: a – b = c – d, donde: a y d se conoce como términos extremos de la proporción b y c se conocen como términos medios de la proporción En toda proporción aritmética se cumple que la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios, es decir: a + d = b + c Proporción aritmética discreta Es aquella proporción aritmética en la cual los términos medios son diferentes. Proporción aritmética continua Es aquella proporción aritmética en la cual los términos medios son iguales: a – b = b – c

____________________________________________________________________________________


21

Se dice que b es la media diferencial de a y c, cumpliéndose que: 2

cab

+=

Proporción geométrica

Una proporción geométrica es de la forma: dc

ba = , con b ≠ 0 y d ≠ 0; y se lee «a es a b como c

es a d». En la expresión, a y d se conocen como términos extremos de la proporción, mientras que b y c se conocen como términos medios de la proporción. En toda proporción geométrica se cumple que el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios, es decir: a x d = b x c Proporción geométrica discreta Es aquella proporción geométrica en la cual los términos medios son diferentes. Proporción geométrica continua Es aquella proporción geométrica en la cual los términos medios son iguales:

cb

ba =

Se dice que b es media proporcional de a y c, cumpliéndose que: c.ab = Observaciones Si en una proporción geométrica se suma, resta o intercambia el orden de los términos en cada razón, la igualdad se mantiene. Ejemplo

ddc

bba +=+

Si en una proporción geométrica en la cual todos los términos son no nulos se intercambian los términos medios, la igualdad se mantiene:

� si dc

ba = , entonces:

db

ca =

Es importante señalar que, por lo general, se emplearán razones y proporciones geométricas. 1.1.5.4 Serie de razones geométricas equivalentes

Si se tiene una serie de razones equivalentes: kcz

by

ax === , entonces se deduce que: x = k.a;

y = k.b; z = k.c Se dice que k es la constante de proporcionalidad y que los números x, y, z son respectivamente proporcionales a a, b y c. 1.1.5.5 Magnitudes proporcionales Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando, al variar una de ellas, la otra también varía. Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (DP) cuando, al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud aumenta o disminuye, respectivamente, en la misma proporción.

_____________________________________________________________________________________


22

Ejemplo Si un kilogramo de un producto cuesta 20 soles, es posible llenar la tabla siguiente:

Magnitudes Valores correspondientes

Costo (soles) 20 40 60 80

Peso (kg) 1 2 3 4

Se observa que el cociente de sus valores correspondientes es constante.

� 4

80360

240

120 === resulta siempre 20.

Se dice, entonces, que el costo es directamente proporcional al peso y, también, que el peso es directamente proporcional al costo; esto es, las dos magnitudes son directamente proporcionales. Nota Si A es directamente proporcional a B entonces:

kBA = o A = k B donde k es la constante de proporcionalidad.

En el ejemplo ilustrado, k = 20 Magnitudes inversamente proporcionales (IP) Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales (IP) cuando, al aumentar o disminuir una de ellas, el valor de la otra magnitud disminuye en el primer caso o aumenta en el segundo caso en la misma proporción. Ejemplo Supongamos que un móvil demora 20 horas para recorrer 600 kilómetros, si viaja a 30 kilómetros por hora. Entonces, para recorrer los mismos 600 kilómetros, se puede construir la siguiente tabla:

Magnitudes Valores correspondientes

Velocidad (km/h) 30 40 50 60

Tiempo (horas) 20 15 12 10

Se observa que el producto de sus valores correspondientes es constante: � 1060125015402030 ×=×=×=× = 600 En este caso, se dice, entonces, que la velocidad es inversamente proporcional al tiempo y que el tiempo es inversamente proporcional a la velocidad, esto es, que la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales. Nota Si A es inversamente proporcional a B entonces:

kAB = ó Bk

A = donde k es la constante de proporcionalidad.

En el ejemplo ilustrado, k =600

____________________________________________________________________________________


23

1.1.6 REPARTO PROPORCIONAL Se analizará la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores llamados índices de proporcionalidad. 1.1.6.1 Reparto simple Puede ser directo o inverso. Reparto directo Se efectúa de tal manera que las partes resultantes sean directamente proporcionales a los índices de proporcionalidad. Así, para repartir una cantidad C en forma directamente proporcional a, b y c, se procede como sigue: 1) Se suman los índices: a + b + c = S 2) Se divide la cantidad a repartir (C) entre dicha suma (S); se obtiene así como cociente la

llamada constante de proporcionalidad (K): SC

K =

3) Las partes resultantes del reparto se obtienen multiplicando cada índice por la constante de proporcionalidad: a x K; b x K; c x K

Ejemplo Repartir 600 en forma directamente proporcional a 5, 7 y 8. 1) Suma de los índices: 5 + 7 + 8 = 20

2) Constante de proporcionalidad: 3020

600K ==

3) Reparto: 5 x 30 = 150; 7 x 30 = 210; 8 x 30 = 240 Propiedad Si a todos los índices de proporcionalidad se los multiplica o divide por un mismo número, el reparto no se altera. Reparto inverso Para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a los índices, en primer lugar se invierten los índices y, a continuación, se efectúa un reparto directo en función a los índices invertidos. Ejemplo Repartir 420 en forma inversamente proporcional a 2, 3, 6 y 4/3. 1) Inversión de los índices: 1/2; 1/3; 1/6 y 3/4

2) Suma de los índices invertidos: 47

1221

129246

43

61

31

21 ==+++=+++

3) Constante de proporcionalidad: 2404

7420 =

4) Reparto: 120240x21 = ; 80240x

31 = ; 40240x

61 = ; 180240x

43 =

1.1.7 PROMEDIOS 1.1.7.1 Definición general de promedio Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad representativa de otras cantidades. Se cumplirá siempre que el promedio sea mayor o igual que la cantidad menor, y menor o igual que la cantidad mayor. Si se tienen las cantidades: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤…≤ an, entonces se verifica que: a1 ≤ promedio ≤ an

_____________________________________________________________________________________


24

1.1.7.2 Promedio aritmético o media aritmética (PA) Si se tiene n cantidades cuyos valores son a1, a2, a3, …an, entonces el promedio aritmético o la media aritmética de estos valores será:

cantidadesdenúmerocantidadeslasdesuma

.A.P =

o equivalentemente:

na.....aaa

.A.P n321 ++++=

Ejemplo 1 El promedio de 4 números es 15. Si la suma de los tres primeros es 50, hállese el último número. Solución En este caso, el promedio aritmético es 15 (PA = 15) y el número de cantidades es 4 (n = 4). La suma de las cantidades debe ser: PA x n = 15 x 4 = 60 Como la suma de los tres primeros números es 50 � el último debe valer 10 1.1.7.3 Promedio ponderado (PP) Si se tiene las cantidades: a1, a2, a3, …, an, y a cada una se le asigna respectivamente los pesos p1, p2, p3, …, pn, se define entonces el promedio ponderado de las cantidades a1, a2, a3, ….. , an como:

n321

nn332211

p.....pppa.p.....a.pa.pa.p

.P.P++++

++++=

Ejemplo Si en una clase de 30 alumnos la estatura promedio de los hombres es 1,70 metros, la de las mujeres es 1,60 metros y el promedio general es 1,63 metros, ¿cuál sería la cantidad de hombres? Solución Sea n el número de hombres. Como la clase tiene 30 alumnos, el número de mujeres será: 30 –n Aplicando la fórmula de promedio ponderado se tiene que:

1,63 = 30

60,1.)n30(70,1.n −+ � 48,90 = 1,70 n + 48 -1,60 n � 0,10 n = 0,90 � n = 10

Entonces, en el salón hay 10 hombres. 1.1.8 REGLA DE TRES La regla de tres es un procedimiento de cálculo que permite hallar un término desconocido de una proporción geométrica. 1.1.8.1 Regla de tres simple Es aquella en la que intervienen solo dos magnitudes que guardan una relación de proporcionalidad. Regla de tres simple directa Se presenta cuando las dos magnitudes que intervienen son directamente proporcionales.

____________________________________________________________________________________


25

Procedimiento Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales tales que el valor desconocido corresponde a la magnitud B. Se establece la siguiente tabla:

Magnitud A Magnitud B a1 b1 A2 x

Como las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple que:

xa

ba

KBA 2

1

1 =⇒=

Despejando: a1 . x = a2 . b1 � 1

12

a

b.ax =

Equivalentemente, se puede aplicar la llamada regla del aspa:

Magnitud A Magnitud B a1 b1 a2 x

Multiplicando en forma diagonal: a1 . x = a2 . b1 � 1

12a

b.ax =

Ejemplo 1 Si 5 lapiceros cuestan 10 soles, ¿cuánto costarán 40 lapiceros? Solución Como las magnitudes son directamente proporcionales, se aplica la regla de tres simple directa en la solución: 5 lapiceros --------------- 10 soles 40 lapiceros --------------- x soles � Por regla del aspa: 5. x = 40 . 10 � 5 x = 400 � x = 80 Por lo tanto, 40 lapiceros costarán 80 soles. Ejemplo 2 En un restaurante se cobra soles 48 por un total de 12 menús. Entonces, ¿cuánto cuestan 5 menús? Solución Como las magnitudes son directamente proporcionales, se aplica la regla de tres simple directa en la solución: 12 menús --------------- 48 soles 5 menús --------------- x soles � Por regla del aspa: 12 . x = 48 . 5 � 12 x = 240 � x = 20 Por lo tanto, los 5 menús cuestan 20 soles. Regla de tres simple inversa Se presenta cuando las dos magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales. Procedimiento Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales tales que el valor desconocido corresponde a la magnitud B. Se establece la siguiente tabla:

_____________________________________________________________________________________


26

Magnitud A Magnitud B a1 B1 a2 X

Como las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple que:

x.ab.aKB.A 211 =⇒=

Despejando x: 2

11a

b.ax =

Equivalentemente, se puede aplicar la llamada multiplicación en línea:

Magnitud A Magnitud B a1 B1 a2 X

Multiplicando en forma lineal: a1 . b1 = a2 . x � 2

11a

b.ax =

Ejemplo Si 6 obreros demoran 20 días en realizar un trabajo, ¿cuántos días demorarán 4 obreros trabajando en las mismas condiciones? Solución Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se aplica la regla de tres simple inversa en la solución: 6 obreros --------------- 20 días 4 obreros --------------- x días Aplicando multiplicación por líneas: 4 . x = 6 . 20 � 4 x = 120 � x = 30 Por lo tanto, 4 obreros demorarán 30 días en realizar el trabajo. 1.1.8.2 Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta es un procedimiento de cálculo que permite hallar un término desconocido de una serie de razones en las que intervienen más de dos magnitudes proporcionales. Procedimiento Para resolver el problema, se compara la magnitud que contiene a la incógnita con las demás magnitudes que intervienen, para determinar si son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Sean A, B, C y D magnitudes tales que la magnitud A corresponde al valor desconocido.

A B C D a1 b1 c1 d1 x b2 c2 d2

Si, por ejemplo, A y B son directamente proporcionales, A y C son inversamente proporcionales, y A y D son inversamente proporcionales, entonces el cuadro anterior se modifica como sigue:

A B C D a1 b2 c1 d1 x b1 c2 d2 D.P. (invertir) I.P. (igual) I.P. (igual)

____________________________________________________________________________________


27

Luego, se multiplica a lo largo de cada fila y se iguala: � x . b1 . c2 . d2 = a1 . b2 . c1 . d1

� 221

1121

d.c.bd.c.b.a

x =

Ejemplo Si 12 obreros, trabajando 8 horas diarias durante 15 días, pueden construir 160 metros de un muro, ¿cuántos días se demorarán 10 obreros, trabajando 10 horas diarias, para construir 200 metros del mismo muro? Solución En primer lugar, es necesario reconocer las magnitudes que intervienen y las relaciones de proporcionalidad (directa o inversa) que existen entre aquella magnitud que contiene a la incógnita y las demás.

Número de obreros

Número de días Horas por día Magnitud de obra (m)

12 15 8 160 10 X 10 200

I.P. (igual) I.P. (igual) D.P. (invertir) Al efectuar las inversiones requeridas, se tiene:

Número de obreros

Número de días Horas por día Magnitud de obra (m)

12 15 8 200 10 X 10 160

Multiplicando a lo largo de cada fila: � 10 . x . 10 . 160 = 12 . 15 . 8 . 200, de donde: x = 18 días 1.1.9 PORCENTAJES 1.1.9.1 Definición de porcentaje Un porcentaje es una razón cuyo antecedente a es racional y cuyo consecuente es 100. La

razón 100

a se denota «a %» y se lee «a por ciento».

1.1.9.2 Cálculo del porcentaje

El a % de una cantidad N se determina de la siguiente forma: a % de N N100

a=

Ejemplo 1 Calcúlese el 20% de 30. Solución

� 20% de 30 = 3010020 × = 0,02 x 30 = 6

Ejemplo 2 Calcúlese el 20% del 30% de 150.

_____________________________________________________________________________________


28

Solución

El 30% de 150 es: 45150x30,0150x10030 ==

Luego, el 20% de 45 es: 945x20,045x10020 ==

El mismo resultado se obtiene planteando la siguiente operación única:

20% del 30% de 150 = 9150x30,0x20,0150x10030

x10020 ==

1.1.9.3 Relación parte-todo Para determinar qué tanto por ciento es la parte del todo, se plantea la siguiente ecuación:

%100xtodoparte

Ejemplo ¿Qué porcentaje de 40 es 5? Solución En este caso se tiene:

parte = 5; todo = 40 � %5,12100x405 =

1.1.9.4 Conversión de fracción a porcentaje

Tomar ba

de N equivale a tomar el %b

100ade N.

Ejemplo 1 ¿A qué equivalen los 3/4 de 120? Solución

43

de 120 = 4100x3

de 120 = 75% de 120 = 90120x10075 =

Ejemplo 2 ¿Qué porcentaje de 250 es 50? Solución Sea «a» el porcentaje que representa 50 de100 Se tiene que 50 es a 250 como a % es a 100 % � 250 x a = 50 x 100 � a = 20% Ejemplo 3 Si un par de zapatos cuyo precio es de 150 soles se rebaja a 120 soles, ¿cuál es el porcentaje del descuento? Solución La rebaja asciende a: 150 – 120 = 30 (soles). Para calcular el porcentaje de descuento «a», se plantea que 30 es a 150 como a % es 100 � 150 x a = 30 x 100 � a = 20%

____________________________________________________________________________________


29

Ejemplo 4

Al ser lavada, una tela rectangular pierde 201 de su largo y 10

1 de su ancho. ¿Qué

porcentaje del área original se ha perdido? Solución

Si se pierde 201 del largo, entonces queda solo 20

19 del largo.

Si se pierde 101 del ancho, entonces queda solo 10

9 del ancho.

Luego queda

×

109

2019

, es decir 5,85100

5,85200171 == % del área original.

Se ha perdido 14,5%. 1.1.9.5 Aplicaciones comerciales Precio de venta El precio de venta (PV) está dado por el precio de costo (PC) + más la ganancia o utilidad (G): PV = PC + G Si el precio de costo es mayor que el precio de venta, entonces G será negativo; es decir, habrá una pérdida (P) y no una utilidad: PC = PV + P Ejemplo Si una tienda vende chompas a 60 soles y recibe una ganancia equivalente al 20% del costo, ¿cuál es el costo de una chompa? Solución Sea x el precio de costo (PC) de una chompa.

Por dato, la ganancia (G) es el 20% del costo � G = x2,0x10020 =

El precio de venta (PV) es 60 (soles). Sin embargo, PV = PC + G Entonces, reemplazando, se tiene: 60 = x + 0,2 x = 1,2 x � x = 50 Por lo tanto, el costo de una chompa es 50 (soles). Precio de lista Precio de lista (PL) es el precio de un artículo anunciado a través de avisos o carteles. Si se efectúa un descuento (D) sobre el precio de lista, el precio de compra (PCo) por parte del cliente será igual al precio de lista menos el descuento: PCo = PL – D Aumentos y descuentos sucesivos Se presenta, por lo general, en aplicaciones comerciales. Ejemplo 1 En una tienda se aplica un descuento del 10% al precio de lista (PL) de un artículo. Si por una oferta especial al precio ya rebajado se le aplica un descuento adicional del 20%, ¿cuál sería el descuento único equivalente a los dos descuentos anteriores? Solución Supongamos que el precio del artículo es N soles. Luego del primer descuento del 10%, el nuevo precio será solamente el 90% de N. Si se aplica un segundo descuento del 20%, este se aplicará al 90% de N. Por lo tanto, el precio final será:

_____________________________________________________________________________________


30

10090

10080 × de N, que es el 72% de N

Entonces, el descuento único equivalente será %28%72%100 =− Ejemplo 2 Un artículo aumenta su precio en 20% y, posteriormente, se le hace un descuento de 10%. ¿Qué porcentaje se gana o se pierde con respecto al precio original? Solución

El precio final será: %108100108

10090

100120 ==× del original.

Luego, el precio ha aumentado en 8%. 1.1.10 INTERPRETACION DE DATOS En este apartado se aplican los temas de aritmética para interpretar la información gráfica que se muestra en tablas, histogramas, cuadros, diagramas de pye, entre otros. Ejemplo 1 El cuadro siguiente muestra la distribución por sexo de la población del Perú.

A partir de este cuadro, puede inferirse que, durante los últimos 60 años, la población de varones ha representado: (A) El 40% de la población total (B) El 45% de la población total (C) El 60% de la población total (D) El 55% de la población total (E) El 50% de la población total Solución Puede observarse que durante los años (desde 1940 hasta 2005) la población de hombres ha sido casi igual a la de mujeres; por lo tanto, los varones representan el 50% del total. Ejemplo 2 De acuerdo con la pirámide poblacional por grupos de edad que se muestra, ¿qué porcentaje de la población total representan los jóvenes menores a 25 años?

____________________________________________________________________________________


31

(A) 50,7% (B) 59,4% (C) 25,7% (D) 30,1% (E) 42,4% Solución Hay que considerar a hombres y mujeres cuyas edades están comprendidas entre 0 y 24 años: Varones: 5,0% + 5,5% + 5,4% + 5,0% + 4,8% = 25,7% Mujeres: 4,9% + 5,3% + 5,2% + 4,9% + 4,7% = 25,0% Total de hombres y mujeres: 25,7% + 25,0% = 50,7% Ejemplo 3 El gráfico siguiente muestra la evolución de la inflación anual en el Perú durante el período comprendido entre 1980 y la actualidad. Se sabe que, durante aquellos períodos, los gobernantes han sido los siguientes: 1980 – 1985: Fernando Belaúnde 1985 – 1990: Alan García 1990 – 1995: Alberto Fujimori 1995 – 2000: Alberto Fujimori 2001 – 2006: Alejandro Toledo ¿Durante qué gobierno se registró la tasa de inflación más baja? (A) Fernando Belaúnde (B) Alan García (C) Alberto Fujimori (D) Alejandro Toledo (E) La tasa de inflación fue igual de elevada durante todos los gobiernos

_____________________________________________________________________________________


32

Solución A partir del gráfico puede observarse que el quinquenio con menor tasa de inflación fue el comprendido entre los años 2000 y 2005, correspondiente al gobierno de Alejandro Toledo. Ejemplo 4 El histograma siguiente muestra la variación anual del Producto Bruto Interno (PBI) del Perú.

Si un incremento del orden de 4% anual o más representa un crecimiento importante, ¿hace cuántos años consecutivos que el Perú está experimentando un crecimiento importante de su PBI? (A) 5 años (B) 6 años (C) 10 años (D) 9 años (E) 12 años

____________________________________________________________________________________


33

Solución El Perú está experimentando, desde el año 2002 y en forma consecutiva, un crecimiento del PBI igual o mayor al 4% � son 6 años en total. Ejemplo 5 El gráfico adjunto muestra los diferentes tipos de operaciones que se realizan en un hospital y el porcentaje que cada uno de ellos representa. Si diariamente se realizan 20 operaciones, ¿cuántas operaciones urológicas se efectúan durante un mes?

(A) 60 (B) 90 (C) 120 (D) 80 (E) 50 Solución El hospital realiza 20 operaciones al día. De ellas, 15% son urológicas. Esto significa que diariamente se efectúan en promedio 3 operaciones urológicas � en el mes se realizarán: 30 x 3 = 90 operaciones urológicas. 1.2. ÁLGEBRA 1.2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.2.1.1 Definición Una expresión algebraica es toda combinación finita de números y letras, sometidas un número finito de veces a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos

E(x) = 2x; R(x, y) = z5yx21

x5,0 323 −+

P(x) = x + 2; F(x, y) = z

yx6 2−

Q(x) = x2; G(x, y) = 5x2 – 15xy + 3y2

_____________________________________________________________________________________


34

1.2.1.2 Constantes y variables Constante Es un número fijo o una letra que representa a un número fijo. Variable Es el símbolo o letra utilizada para representar a cualquier número de un conjunto. Se considera que las constantes y las variables son números reales. 1.2.1.3 Valor numérico de una expresión algebraica Es el número real que se obtiene al sustituir las variables por números reales, reemplazando cada variable por un solo número. Ejemplos

� En la fórmula del área del cuadrado, A = l2, para l = 2, se obtiene el valor numérico: A

= (2)2 = 4; para l = 3, se obtiene el valor numérico: A = (3)2 = 9 � El valor numérico de: E = 5x2 – 15xy + 3y2 para x = 2 e y = 1 es: E = 5(2)2 - 15(2)(1) +

3(1)2 = -7

1.2.1.4 Valor admisible para una variable En una expresión algebraica, un valor admisible para una variable es un valor real que permite calcular el valor numérico de dicha expresión. El conjunto de los valores admisibles de una variable (CVA) recibe el nombre de dominio de la expresión algebraica para la variable. Ejemplo

En la expresión 2y

z6x −, los valores admisibles para la variable “y” son los números reales y

tales que y ≠ 0, es decir, {y ∈ R / y ≠ 0 }; mientras que para las variables “x” y “z” son todos los números reales.

1.2.1.5 Término algebraico Es una expresión algebraica que solo contiene productos, cocientes y potencias de variables y constantes numéricas. Ejemplo 2x3; 3x/y2; -9y2; ax1/2, -7x3y1/2

Partes -7 x 3 y 1/2 Términos algebraicos semejantes Dos o más términos son semejantes si se diferencian solo en sus coeficientes; es decir, presentan la misma parte literal donde las variables tienen respectivamente iguales exponentes. Ejemplos

� 5x2y, -4x2y, 7yx2 son términos semejantes. � 8x / y, -5xy-1 son términos semejantes. � 6x2y, -5x2y, -9xy2 no son términos semejantes, pues la parte literal no es la misma en

todos los términos.

Parte literal

Signo Exponente

Coeficiente

____________________________________________________________________________________


35

1.2.1.6 Monomios y polinomios Monomio Es todo término algebraico cuyas variables solo se encuentran en el numerador y que presentan exponentes enteros no negativos entre las variables que lo conforman. Ejemplos

� 5x2 es monomio.

� - 3 xy4 es monomio. � x-1 no es monomio, porque el exponente es entero negativo. � x 3/2 no es monomio, porque el exponente no es entero.

Grado de un monomio Es la suma de todos los exponentes de sus variables. Ejemplos

� -5x3 su grado es 3 � su grado es 0 � 4x2y3 su grado es 2 + 3 = 5

Polinomio Es la suma algebraica de un número finito de monomios. Notación Los polinomios se denotan usando letras mayúsculas e indicando, entre paréntesis, el nombre de la(s) variable(s) involucradas. Ejemplos

� P(x) = x2 – 6x + 12 � Q(x, y) = x2 + xy � R(x, y) = – 3x2y + xy – y3 + 5

Binomios Se denomina binomios a los polinomios formados por dos monomios no semejantes. Ejemplos

� P(x,y) = x + y es un binomio. � Q(x,y) = x2 y + 1 es un binomio. � P(x) = x3+ 2x2 es un binomio. � (x + y-1) no es binomio, porque y-1 no es un monomio.

Grado (absoluto) de un polinomio Es el grado correspondiente al monomio (o término) de mayor grado cuyo coeficiente sea distinto de cero. Nota El polinomio nulo, que se denota P(x) = 0, carece de grado. Ejemplos

� P(x) = x2 – 6x + 12 tiene por grado 2 � Si R(x, y) = – 3x2y + xy – y3 + 5, los grados de los 4 términos que conforman el

polinomio son: -3x2y grado 3; xy grado 2; -y3 grado 3; 5 grado 0 � Por consiguiente, el grado del polinomio es 3.

Opuesto de un polinomio (-P(x)) Dado un polinomio P(x), el polinomio opuesto, denotado por -P(x), es aquel que resulta de cambiar de signo los coeficientes de todos sus términos. Equivalentemente, puede decirse que –P(x) resulta de multiplicar P(x) por -1.

_____________________________________________________________________________________


36

Ejemplo Si P(x) = x2 – 6x + 12, entonces: -P(x) = -x2 + 6x - 12 Valor numérico de un polinomio Es el número real que se obtiene al sustituir cada variable por el valor asignado a ella. Ejemplos

� P(x) = x2 – 6x + 12; para x = 3, se obtiene: P(3) = (3)2 – 6(3) + 12 = 3 � R(x, y) = – 3x2y + xy – y3 + 5; para x = 2, e y = -1, se obtiene: R(2, -1) = -3(2)2(-1) + (2)

(-1) – (-1)3 + 5 = 16 1.2.1.7 Interpretación de textos

Enunciado Expresión algebraica

• Un número aumentado en siete x + 7

• Dos quintos de un número y52

• Cinco más que dos veces un número 2x+5

• Un número reducido a su 20% 0,20y

Frases que relacionan dos cantidades

Enunciado Identificación de una cantidad Identificación de otra cantidad • El televisor de Rafael

cuesta $100 más que el de Claudio.

El televisor de Claudio cuesta en dólares: x

El televisor de Rafael cuesta en dólares: x+ 100

El televisor de Claudio cuesta en dólares: x - 100

El televisor de Rafael cuesta en dólares: x

• El precio de un electrodoméstico aumentado en su 18% es $400.

P - Precio inicial en dólares El nuevo precio es:

1,18P

Q - precio final en dólares El precio inicial es:

Q/1,18

1.2.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.2.2.1 Símbolos de agrupamiento (o de agrupación) Los símbolos de agrupamiento (o de agrupación) más usados son los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Estos se emplean para indicar que los términos encerrados en ellos deben considerarse como una sola expresión algebraica. Supresión de símbolos de agrupamiento 1) Si un signo positivo (+) precede al símbolo de agrupamiento, dicho símbolo se puede suprimir sin modificar los términos que contiene. Ejemplo 6x + 5y + (2x2 - 3y2) = 6x + 5y + 2x2 - 3y2 2) Si un signo negativo (-) precede al símbolo de agrupamiento, dicho símbolo se puede suprimir cambiando el signo de cada uno de los términos que contiene. Ejemplo 3xy - (2x - 5y2) = 3xy - 2x + 5y2 3) Si en una expresión figura más de un símbolo de agrupamiento, para suprimirlos se comienza por los interiores.

____________________________________________________________________________________


37

Ejemplo 3x - {2x3 - (5x2 - 1)} = 3x - {2x3 - 5x2 + 1} = 3x - 2x3 + 5x2 - 1 1.2.2.2 Adición y sustracción Para sumar (restar) polinomios, se suman (restan) los coeficientes de los respectivos términos semejantes. Ejemplo 1 Sumar P(x) = 6x2 + 4x - 3 con Q(x) = 9 - 2x2 - 6x Solución Se ordenan los polinomios y se agrupan los términos semejantes: P(x) + Q(x) = (6x2 + 4x - 3) + (-2x2 - 6x + 9) = (6x2 - 2x2) + (4x - 6x) + 9 - 3 = 4x2 – 2x + 6 4x2 – 2x 6 Ejemplo 2 Sustraer P(x) = (6x2 + 4x - 3) de Q(x) = 9 -2x2 - 6x Solución Lo anterior es equivalente a operar

Q(x) - P(x) = (9 - 2x2 - 6x) - (6x2 + 4x - 3) = 9 - 2x2 - 6x - 6x2 - 4x + 3 = -2x2 - 6x2 - 6x - 4x + 9 + 3 = - 8x2 – 10x + 12 - 8x2 - 10x + 12

1.2.2.3 Multiplicación Al efectuar esta operación, resulta necesario, para calcular los términos del producto, aplicar las llamadas leyes de los exponentes. Recordando la definición de potencia de un número real a ≠ 0: Por ahora se necesitan solamente las tres leyes de exponentes, en el caso donde a y b son números reales y donde m y n son números enteros positivos: Nota Se debe ser muy cuidadoso con las variantes indicadas a continuación:

22 23 = 25, 82 223

= , (22)3 = 26

donde n : exponente entero positivo, a : base

an : potencia

a0 = 1

an = a.a.a …… a

n veces

Producto de potencias de igual base: am.an=am+n

Potencia de potencia: (am)n = amn

Potencia de un producto: (a.b)m = am.bm

_____________________________________________________________________________________


38

Multiplicación de monomios Para multiplicar dos o más monomios, se multiplican sus respectivos coeficientes y variables y se aplican las leyes de exponentes tanto para los coeficientes como para las variables Ejemplos

� (6x2y3) (-3x4y) = (6)(-3) x2 x4 y3 y = -18 x6 y4 � (-3x2y3)2 = (-3)2(x2)2(y3)2 = 9 x4 y6

Multiplicación de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la ley distributiva: se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo Efectúese el producto -5x (2x4 - x2 - 6x) Solución -5x (2x4 - x2 - 6x) = -10x5 + 5x3 + 30x2 Multiplicación de dos polinomios Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de uno de los polinomios por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se reducen los términos semejantes. Ejemplo Efectúese el producto (3x2 - x + 2) (2x - 5) Solución

3x2 - x + 2 2x – 5

-15x2 + 5x - 10

6x3 - 2x2 + 4x 6x3 - 17x2 + 9x - 10 Productos notables Las fórmulas presentadas a continuación son el resultado de algunos de los productos que, con mayor frecuencia, se hallan en el cálculo algebraico. La comprobación de dichos resultados se realiza a través de las multiplicaciones correspondientes. Cuadrado de un binomio

Ejemplos

� (x + 3)2 = (x)2 + 2(x)(3) + (3)2 = x2 + 6x + 9

� (3x - 5y)2 = (3x)2 - 2(3x)(5y) + (5y) 2 = 9x2 - 30xy + 25y2 Diferencia de cuadrados

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(a + b)(a - b) = a2 - b2

¡Cuidado!

(a + b)2 ≠ a2 + b2 (2 + 3)2 ≠ 22 + 32

(5)2 ≠ 4 + 9 25 ≠ 13

____________________________________________________________________________________


39

Ejemplos

� (3x - 1) (3x + 1) = (3x)2 - (1)2 = 9x2 – 1 � (x + 2y) (x - 2y) = (x)2 - (2y)2 = x2 - 4y2

Cubo de un binomio

Ejemplos

� (x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2)2 + (2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 � (2x - y2)3 = (2x)3 - 3(2x)2 (y2) + 3(2x)(y2)2 - (y2)3 = 8x3 - 12x2y2 + 6xy4 - y6

1.2.2.4 División Al efectuar esta operación, es necesario recordar la ley de exponentes, que hace posible la división de potencias en el caso de exponentes m y n enteros positivos y de bases a y b reales. Además, se parte de la premisa de que los denominadores no son cero.

División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del dividendo entre el divisor y se suman los cocientes obtenidos. Ejemplo Divídase -12x4 + 18x3 - 6x2 entre 2x2

Solución

2

234

2x

6x18x12x −+− = 39x6x

2x

6x

2x

18x

2x

12x 22

2

2

3

2

4

−+−=−+−

División de un polinomio entre otro polinomio La división de un polinomio P (dividendo) entre otro polinomio D (divisor), donde el grado de P es mayor o igual que el grado de D, implica encontrar los polinomios Q (cociente) y R (residuo), tales que: P = D.Q + R, donde el grado de R es menor que el grado de D o es el polinomio nulo si no hay residuo. Cuando el residuo es nulo, se dice que la división es exacta y el divisor recibe el nombre factor del dividendo.

La relación anterior puede también re-escribirse como: DR

QDP += , para todos los valores

admisibles de las variables.

Potencia de un cociente: m

mm

b

aba =

Cociente de potencias de igual base: n

m

a

a = am-n si m > n

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

_____________________________________________________________________________________


40

Ejemplo Divídase 2x3 - 3x2 + 8x + 3 entre x2 - x + 2 Solución Disponer la operación como si fuera una división entre números:

Dividendo Divisor 2x3 - 3x2 + 8x + 3 x2 - x + 2

- (2x3 - 2x2 + 4x) -x2 + 4x +3 2x - 1

-(-x2 + x –2) Cociente 3x +5 Residuo 1.2.3 FACTORIZACIÓN Es el proceso por el cual un polinomio se transforma en un producto de polinomios (factores) que ya no se pueden factorizar. Estos factores se conocen como factores primos o irreductibles. Ejemplo x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

Nota En el caso de polinomios de una sola variable, los factores primos son:

� los polinomios de primer grado, esto es, polinomios de la forma: P(x) = ax + b con a ≠ 0;

� los polinomios de segundo grado sin raíces reales (véase en ecuación de segundo grado), como por ejemplo: P(x) = x2 – x + 1

Observación No existe una regla general para factorizar. A continuación, se presenta una serie de métodos, pero la elección del procedimiento más adecuado dependerá de una práctica continua. 1.2.3.1 Factor común Factor común monomio Es el monomio cuyo coeficiente es el MCD de los coeficientes del polinomio y cuya parte literal está conformada por las variables comunes con el menor exponente en que aparecen.

Procedimiento para dividir un polinomio entre otro 1. Se ordenan el dividendo y el divisor según las potencias descendentes de una misma

variable; se completan los coeficientes con ceros para las potencias de la variable que no aparecen.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; el resultado es el primer término del cociente. Se multiplica todo el divisor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo.

3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el proceso del paso 2 para obtener el segundo término del cociente.

4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior que el del divisor.

Factorización

____________________________________________________________________________________


41

Ejemplo Factorizar 4x2y - 12xy2 + 8xy Solución El máximo común divisor de los coeficientes es: MCD (4, 12, 8) = 4 Las variables comunes con su menor exponente son: x, y � el factor común monomio es 4xy, con lo cual el polinomio 4x2y - 12xy2 + 8xy se puede factorizar como sigue: 4xy (x - 3y + 2) Factorización por agrupamiento Cuando todos los términos de un polinomio no tienen la misma parte literal, se agrupan los términos con el fin de obtener un factor común. Ejemplo Factorizar P(x, y) = 4xy + 6y - 2x - 3

Solución Se agrupan los dos primeros términos y se factoriza: 4xy + 6y = 2y (2x + 3); después, se agrupan los dos últimos términos y se factorizan: - 2x - 3 = -1 (2x + 3) Con ello, se tiene: P(x, y) = 2y (2x + 3) - (2x + 3) Se puede apreciar que (2x+3) es factor común a ambos términos, con lo que P(x, y) puede factorizarse como sigue: P(x, y) = (2x + 3) (2y - 1)

1.2.3.2 Factorización de algunos trinomios de la fo rma ax 2 + bxy + cy 2 con b ≠≠≠≠ 0 Para factorizar trinomios de ésta forma se puede utilizar el conocido método del aspa simple. Ejemplo 1 Factorizar P(x) = 2x2 - 5x - 3 Solución Se descomponen los términos de los extremos: 2x2 = 2x . x; -3 = 1 . -3 Se escribe: 2x 1 x -3 Se comprueba que el monomio central sea igual a la suma de los productos obtenidos en aspa:

2x 1 � x x -3 � - 6x Suma: - 5x (es igual al término central del polinomio) Por lo tanto, la factorización de P(x) = 2x2 - 5x – 3 es: (2x + 1) (x - 3) Ejemplo 2 Factorizar P(x) = 16x2 - 40xy + 25y2 Solución Se descomponen los términos de los extremos: 16x2 = 4x . 4x; 25y2 = -5y . -5y Se escribe:

4x -5y 4x -5y

Se comprueba que el monomio central sea igual a la suma de los productos obtenidos en aspa:

4x -5y � -20xy 4x -5y � -20xy

_____________________________________________________________________________________


42

Suma: -40xy (es igual al término central del polinomio)

Por lo tanto, la factorización de P(x) = 16x2 - 40xy + 25y2 es: (4x – 5y) (4x – 5y) = (4x – 5y)2

1.2.3.3 Factorización de binomios especiales Algunas identidades que involucran a binomios son las siguientes: Ejemplos 1) Factorizar 25x2 - 64y2

Se trata de una diferencia de cuadrados � 25x2 - 64y2 = (5x + 8y) (5x – 8y) 2) Factorizar x3 – 27y3

Se trata de una diferencia de cubos � x3 – 27y3 = (x)3 – (3y)3 = (x – 3y) (x2 + 3xy + 9y2)

3) Factorizar 2x4 -18x2

El polinomio tiene como factor común el término 2x2; el otro factor es una diferencia de cuadrados � 2x4 - 18x2 = 2x2 (x2 - 9) = 2x2 (x + 3) (x - 3) 1.2.4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 1.2.4.1 Definiciones Múltiplo Un polinomio que es divisible exactamente entre otro se conoce como múltiplo de aquel último. Ejemplo x2 - y2 es un múltiplo de x + y. En efecto, x2 - y2 = (x + y) (x – y) Múltiplo común Un polinomio que es múltiplo de dos o más polinomios se conoce como múltiplo común de esos polinomios. Ejemplo x2 - y2 es un múltiplo común de (x + y) y de (x – y) 1.2.4.2 Mínimo común múltiplo Aquel múltiplo común de dos o más polinomios que tiene el menor grado posible se conoce como mínimo común múltiplo (MCM) de dichos polinomios. El MCM se obtiene al multiplicar todos los factores diferentes de dichos polinomios, tomando cada factor con el máximo exponente con que aparezca. Ejemplos 1) Hállese el MCM de: 6x2, 3xy2, 12x3y El mínimo común múltiplo será un monomio cuyo coeficiente es el MCM de los coeficientes de los monomios considerados y cuya parte literal esté conformada por todas las variables con el mayor exponente en que aparecen � MCM (6, 3, 12) = 12 ; variables con su mayor exponente: x3; y2 Por lo tanto, MCM = 12x3y2

Diferencia de cuadrados: a2 - b2 = (a + b) (a - b) Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) Diferencia de cubos: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

____________________________________________________________________________________


43

2) Hallar el MCM de: x4 - 1, x3 + 1, 2x2 – 2 En primer término, se factoriza cada polinomio: x4 - 1 = (x + 1) (x - 1) (x2 + 1) x3 + 1 = (x + 1) (x2 - x + 1) 2x2 + 2 = 2 (x2 + 1) Se identifican los factores con su mayor exponente � (x + 1), (x - 1), (x2 + 1) y (x2 - x + 1) El mínimo común múltiplo de los coeficientes es 2. Por lo tanto, MCM = 2 (x + 1) (x - 1) (x2 + 1) (x2 - x + 1)

1.2.5 EXPRESIONES RACIONALES 1.2.5.1 Definiciones Expresión fraccionaria Es el cociente de dos expresiones algebraicas

Expresión racional Es el cociente de dos polinomios. Se trata de un caso particular de expresión fraccionaria. Es necesario observar que, cuando un polinomio se divide entre otro, el resultado no necesariamente es otro polinomio. Ejemplos de expresiones racionales

1x2+

; 5x

32x2

−+

; 4x

2-x2 −

y 32xx

1x2 −−

−

Dominio de una variable en una expresión racional Es el conjunto de todos los números reales para los cuales el valor numérico del denominador es distinto de cero. Ejemplo

En 1x

2+

el dominio de la variable es {x / x ≠ -1};

5x

32x2

−+

el dominio de la variable es {x / x ≠ 5}

4x

2-x2 −

el dominio de la variable es {x / x ≠ -2 y x ≠ 2}

32xx

1x2 −−

− el dominio de la variable es {x / x ≠ -1 y x ≠ 3}

1.2.5.2 Propiedades de las expresiones racionales En la resolución de problemas, con frecuencia se debe operar con expresiones racionales, para luego reducir las expresiones obtenidas a su presentación más simple. Para este fin, resulta importante tomar en cuenta las propiedades de las fracciones (vistas en la aritmética) que se resumen en el cuadro siguiente:

_____________________________________________________________________________________


44

1.2.5.3 Simplificación de una expresión racional Se dice que una expresión racional está reducida a sus términos más sencillos o que está totalmente simplificada cuando no existen factores comunes entre el numerador y el denominador. Al presentar los resultados, es importante hacerlo mediante la expresión más simple posible. Ejemplo

Simplifíquese la expresión racional 234

3

12x8x4x

2x2x

−−

−

Solución Primero, se factoriza el numerador y el denominador y luego se cancelan los factores comunes a ellos:

234

3

12x8x4x

2x2x

−−− =

3)2x(x4x1)2x(x

22

2

−−− =

3)1)(x(x4x1)1)(x(x2x

2 −+−+ =

3)(x2x

1)(x

−−

1.2.5.4 Suma y resta de expresiones racionales Caso de expresiones racionales con el mismo denomin ador Si las expresiones racionales tienen el mismo denominador, entonces su suma o diferencia se obtiene al sumar o restar los numeradores. El denominador será común a todos los términos. Ejemplo

Efectúese 1x

2x1x2x

1x5

−−

−−+

−

Solución Todas las expresiones racionales tienen el mismo denominador; entonces, la suma es la siguiente:

1x

x3

1x

x2)2x(5

1x

2x

1x

2x

1x

5

−−=

−−−+=

−−

−−+

−

Caso de expresiones racionales con diferente denomi nador Si las expresiones racionales no tienen denominador común, entonces pueden ser transformadas en otras expresiones racionales equivalentes que sí lo tengan. Al transformar

Dados a, b, c y d, se tiene:

1) Adición o sustracción: b

cabc

ba ±=±

b.d

c.ba.db.db.c

b.da.d

dc

ba ±=±=±

2) Multiplicación: b.da.c

dc

xbb =

3) División: cd

ba

dc

ba ⋅=÷

4) Cancelación: ba

b.ca.c = , siendo c ≠ 0

En todos los casos, el denominador debe ser diferente de cero.

____________________________________________________________________________________


45

dos o más expresiones racionales en expresiones racionales equivalentes con denominador común, conviene considerar el MCM de los denominadores. Ejemplo 1

Calcúlese la suma de 44xx

1

4x

x22 ++

+−

Solución Se determina el MCM de los denominadores: (x - 2) (x + 2)2

Se transforma cada expresión racional en otra equivalente cuyo denominador sea el MCM:

� 4x

x2 −

=)2x)(2(x

x+−

=2)2x)(2(x

2)x(x

+−+

44xx

12 ++

=22)(x

1

+=

)2x(2)(x

2)-(x2 −+

Se suman las expresiones racionales equivalentes para encontrar el resultado buscado:

� 44xx

1

4x

x22 ++

+−

= 2)2x)(2(x

2)x(x

+−+

+ )2x(2)(x

2)-(x2 −+

= )2x(2)(x

2)-x( 2)x(x2 −+++

El resultado es )2x(2)(x

2-3xx2

2

−+

+

Ejemplo 2

Calcúlese la suma de a1

1

43aa

32a2 −

+−+

+

Solución Se determina el MCM de los denominadores: (a + 4) (a - 1) Se transforma cada expresión racional en otra equivalente cuyo denominador sea el MCM:

� )1a()4a(

3a2

43aa

32a2 −+

+=−+

+

)1a()4a(

a11

−+−=

−

Se suman las expresiones racionales equivalentes para encontrar el resultado buscado:

� a1

1

43aa

32a2 −

+−+

+ =

4

1

14

1

+=

−+−=

−+++

a)a)(a()a(

1)a( 4)(a4)(a-32a

El resultado es 4a +

1

1.2.5.5 Multiplicación y división de expresiones racionales Multiplicación de expresiones racionales El producto de dos expresiones racionales es otra expresión racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores de las expresiones racionales dadas. Ejemplo

_____________________________________________________________________________________


46

Efectúese 22

2

3

2

4ba

x

x

2b)(a

−⋅−

Solución

Factorizando numeradores y denominadores: 2b)2b)(a-(a

2x3x

22b)(a+

⋅−

Se cancela x2 así como un factor (a – 2b), con lo que se obtiene: 2b)x(a2ba

+−

División de expresiones racionales El cociente de dos expresiones racionales es igual al producto del dividendo por el recíproco del divisor. Ejemplo 1

Divídase 1x

6xx2

2

−−+

entre 1x4x2

+−

Solución Para dividir, se invierte el divisor y luego se procede como en la multiplicación

� 1x

6xx2

2

−−+ ÷

1x4x2

+−

= 1x

6xx2

2

−−+ .

4x

1x2 −

+

= 4)-(x1)(x

1)(x6)x(x22

2

−+−+

= 2)-(x2)(x1)-(x1)(x

)1(x2)-(x3)(x++

++

Se cancela (x + 1) y ( x - 2), con lo que se obtiene: 2)1)(x-(x

3x+

+

Ejemplo 2

Divídase x

411x26x +− entre

2x2x

82x23x

+

−+

Solución Para dividir, se invierte el divisor y luego se procede como en una multiplicación:

2xx

82x3xx

411x6x2

22

+−+÷+−

= 8x2x3

x2x.

x411x6x

2

22

−+++−

= )2x()4x3(

)2x(x.

x1)-(2x4)-(3x

+−+

Se cancela (3x – 4); x y (x + 2), con lo que se obtiene: 2x - 1 1.2.6 EXPONENTES Y RADICALES 1.2.6.1 Exponentes enteros positivos Las cinco leyes de exponentes establecidas para exponentes enteros y positivos señalan lo siguiente:

____________________________________________________________________________________


47

1.2.6.2 Exponentes enteros negativos Las reglas establecidas anteriormente pueden extenderse a todos los enteros m y n, incluyendo a los enteros negativos. Para ello, se define «an», donde n es entero negativo, como sigue:

an = n-a

1 para a ≠ 0

Ejemplo 1

¿Cuál debe ser el valor de «a» para que, al reducir la expresión

−8

a3

y3

xy)yx( , x tenga igual

exponente que y ? Solución

−8

a3

y3

xy)yx( = x3aya .

31

xy.y8 = 31

x3a+1 ya+9

Para que x e y tengan igual exponente, debe verificarse que: 3a+1 = a+9, de donde: a = 4 1.2.6.3 Radicales

La enésima raíz principal de un número a es un número b, simbolizado por n a , el cual cumple con bn = a � Debe verificarse que:

� a ≥ 0 y b ≥ 0, si n es par; y que � a, b cualesquiera, si n es impar.

Terminología

� El símbolo n a se denomina radical. � El número n recibe el nombre de índice. � El número a es el radicando o cantidad subradical:

Las siguientes leyes se usan para simplificar radicales y, con ellos, efectuar diversas operaciones algebraicas:

Leyes de exponentes

I. am.an= am+n

II. (am)n = amn

III. (ab)m = ambm

IV. m

ba

=

m

m

b

a, b ≠ 0

V. nm si ,aa

a nmn

m>= − y a ≠ 0

n a = b, si y solo si bn = a

_____________________________________________________________________________________


48

1.2.6.4 Simplificación de radicales

Se dice que el radical simple n a está simplificado (o expresado en su formulación más simple) cuando satisface las siguientes condiciones:

� El subradical a no contiene factores afectados de exponentes mayores que el índice n del radical.

� El subradical a no contiene fracciones. � El índice del radical n es el menor posible.

Ejemplos

3 58a = 3 233 aa2 = 2a 3 2a

6yxy56x6y xy4xy96x )y3x)(2y2x(3 −−=−+−=−+

1.2.6.5 Racionalización Es el procedimiento mediante el cual se eliminan los radicales del numerador o del denominador de una expresión algebraica. Este procedimiento implica la multiplicación de la expresión original por el número 1, pero escrito de una manera equivalente que resulte conveniente para el proceso de racionalización. Ejemplo 1

Racionalícese el denominador de la expresión 1x

1

−

Se multiplica y divide por 1x − para eliminar el radical:

� 1x1x

1x

1x

1x

1

1x

1−−=

−−⋅

−=

−

Ejemplo 2

Racionalícese el denominador de la expresión 2x

1

−

Se multiplica y divide por 2x + para hacer uso de la propiedad de diferencia de cuadrados:

Leyes de los radicales

I. ( n a )n = a

II.

=par es n si ,a

impar es n si a,an n

III. nnn abba =⋅

IV. nn

n

ba

b

a = si b ≠ 0.

V. m nnmn m aaa == Es necesario recordar que los subradicales a y b deben ser números no negativos si m y n son pares.

¡Cuidado! Es un error común simplificar:

2x como x.

No es correcto.

¿Por qué?

4 = 2 correcto.

4 = -2 incorrecto. ¿?

____________________________________________________________________________________


49

� 2x

1

− = ( ) 4x

2x

2x

2x

2x

2x.

2x

122 −

+=−

+=++

−

1.2.6.6 Exponentes racionales Se conjuga el concepto de raíz enésima con la definición de potencia de un número para definir los exponentes racionales. Como se apreciará en las aplicaciones, con frecuencia es más conveniente trabajar con exponentes racionales que con radicales. Se define: Ejemplos Simplifíquese cada expresión:

� (x2/3y-3/4)(x-2y)1/2 = (x2/3y-3/4)(x-1y1/2) = x2/3x-1y-3/4y1/2 = x-1/3y-1/4 = 1/41/3 yx

1

� 3 232

31

35

31

610

31

23

61

6236 2 xyyyyxyxyxyyxyyx =====

1.2.7 ECUACIONES CON UNA VARIABLE 1.2.7.1 Definiciones Ecuación Es una igualdad que se verifica entre dos expresiones algebraicas para algunos valores asignados a sus incógnitas (variables). Ejemplo

104x9

3x4 +=+ es una ecuación en la que la igualdad se verifica para x = 4

Clasificación de las ecuaciones por su estructura Fraccionaria Presenta incógnita en el denominador. Ejemplo

xbxax111 =

++

+

Irracional La incógnita se encuentra dentro de un radical. Ejemplo

71x6x =−++ Entera o polinómica Las expresiones que se comparan son polinomios.

a1/n = n a si a es real y n > 2 un entero

am/n = mnn m )a(a = si a es real y, m y n son enteros primos, siendo n > 2

siempre y cuando n a exista

_____________________________________________________________________________________


50

Ejemplo x3 + 6x = 6x2 + 1 Solución de una ecuación Es el valor que, al ser reemplazo en lugar de la incógnita, verifica la igualdad. En el caso de una ecuación polinómica P(x) = 0, donde P es un polinomio, la solución se conoce también como raíz del polinomio P(x). Conjunto solución (CS) Es el conjunto de todas las soluciones. Ejemplo x2 + x = 12 tiene por soluciones: x = - 4 y x = 3 � CS = {-4, 3} Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones se conocen como equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Ejemplo

Las ecuaciones: 2x – 5 = 3 y 2x3

2x −=−+son equivalentes por que tienen el mismo conjunto

solución: CS = { 4 } 1.2.7.2 Ecuación de primer grado Es aquella ecuación que, una vez reducida, adopta la forma: ax + b = 0, donde a ≠ 0; a, b

constantes. Su resolución se realiza despejando la incógnita: a

bx −=

Ejemplo 1 Resuélvase 4x – 3 = 5 + 2x Solución Transponiendo términos: 4x – 2x = 5 + 3 2x = 8, de donde: x = 4 � CS = {4} Ejemplo 2

Resuélvase 4x

23

53x −=−+

Solución Se determina el MCM de los denominadores � MCM (5, 2, 4) = 20 Se obtiene una ecuación equivalente en la que todos los términos tengan igual denominador:

4x

23

53x −=−+

� 20

5.x2010.3

204.)3x( −=−+

20x5

2030

2012x4 −=−+

� 20

x520

18x4 −=−

Igualando numeradores: 4x – 18 = -5x Transponiendo términos: 4x + 5x = 18 9x = 18, de donde: x = 2 � CS = {2}

____________________________________________________________________________________


51

Ejemplo 3

Resuélvase 2x

612x

3x−

+=−

Solución En este caso de ecuación fraccionaria, se debe cumplir que el denominador sea diferente de cero, es decir, que x - 2 ≠ 0 � x ≠ 2 Para resolver, se multiplican ambos lados de la ecuación por (x – 2):

� 2x

62)(x2)(x

2x

3x2)(x

−−+−=

−−

Cancelando y transponiendo: 3x = (x – 2) + 6 2x = 4, de donde: x = 2

Empero, al inicio se señaló que x no puede tomar el valor 2; en otras palabras, la ecuación no tiene solución � CS = Φ 1.2.7.3 Ecuación de segundo grado Es aquella ecuación que, una vez reducida, adopta la forma ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0; a, b, c constantes reales. Métodos de resolución A partir de la forma general ax2 + bx + c = 0, pueden apreciarse los siguientes casos particulares:

� Si b = 0 � ax2 + c = 0 � ac

x −±=

� Si c = 0 � ax2 + bx = 0 � ab

x −= y x = 0

� Si b = 0 y c = 0 � ax2 = 0 � x = 0 Ejemplo 1 Resuélvase x2 = 32 La ecuación puede re-escribirse como: x2 – 32 = 0 Corresponde al primer caso particular, con a = 1 y c = -32

� 24321

)32(x ±=±=−−±=

� CS = { }24,24 −

Visto de otro modo, tomando directamente raíz cuadrada, se tiene: x = ± 4 2 Ejemplo 2 Resuélvase 4x2 – 9 = 0 Corresponde al primer caso particular, con a = 4 y c = -9

� 23

49

4)9(

x ±=±=−−±=

� CS =

−

23

,23

Visto de otro modo, la ecuación original puede re-escribirse como: x2 = 49

Tomando raíz cuadrada, se tiene: x = ± 23

_____________________________________________________________________________________


52

Ejemplo 3 Resuélvase x2 = -9 La ecuación puede re-escribirse como: x2 + 9 = 0 Corresponde al primer caso particular, con a = 1 y c = 9

� 919

x −±=−±=

� CS = Φ, ya que el radicando es un número negativo (imaginario) Entre los métodos generales de resolución de ecuaciones cuadráticas, se tienen los siguientes: Resolución por factorización Se factoriza la ecuación y se aplica la siguiente propiedad del factor cero:

Ejemplo 1 Resuélvase x2 = 5x Solución Ordenando la ecuación: x2 - 5x = 0 Factorizando (factor común x): x (x - 5) = 0 Por propiedad del factor cero: x = 0 ó x – 5 = 0 Por lo tanto, x = 0 ó x = 5 � CS = {0, 5} Ejemplo 2 Resuélvase x2 - 2x - 3 = 0 Solución Factorizando: (x – 3) (x + 1) = 0 Por propiedad del factor cero: x – 3 = 0 ó x + 1 = 0 Por lo tanto, x = 3 ó x = -1 � CS = {-1, 3} Ejemplo 3 Resuélvase 2x2 - 5x + 2 = 0 Solución Factorizando: (2x – 1) (x - 2) = 0 Por propiedad del factor cero: 2x – 1 = 0 ó x - 2 = 0

Por lo tanto, x = 2

1 ó x = 2

� CS =

2,21

Ejemplo 4 Resuélvase 3x2 + 2x - 5 = 0 Solución Factorizando: (3x + 5) (x - 1) = 0 Por propiedad del factor cero: 3x + 5 = 0 ó x - 1 = 0

Por lo tanto, x = 3

5− ó x = 1

Si a.b = 0, entonces: a = 0 ó b = 0

____________________________________________________________________________________


53

� CS =

− 1,

35

Ejemplo 5 Resuélvase 4 (3x2 – 1) = 13x. Se debe dar como respuesta la mayor raíz al cuadrado. Solución Reescribiendo la ecuación: 12x2 – 4 = 13x 12x2 – 13x – 4 = 0 Factorizando: (4x + 1) (3x -4) = 0 Por la propiedad del factor cero: 4x + 1 = 0 ó 3x – 4 = 0

Por lo tanto, x = 4

1− ó x = 3

4

La mayor raíz es 4/3 � Respuesta: 16/9 Ejemplo 6

Resuélvase x1

189x2 =+

Se debe dar como respuesta el cociente entre la mayor raíz y la menor raíz. Solución Re-escribiendo la ecuación: (2x + 9) . x = 1 . 18 2x2 + 9x = 18 2x2 + 9x – 18 = 0 Factorizando: (2x – 3) (x + 6) = 0 Por propiedad del factor cero: 2x – 3 = 0 ó x + 6 = 0

Por lo tanto, x = 23

ó x = -6

La mayor raíz es 3/2 y la menor raíz es -6

El cociente de la primera entre la segunda es: 962

3−=

−

Respuesta: -9 1.2.7.4 Modelación y resolución de problemas En la modelación y resolución de problemas, es importante tomar en cuenta las siguientes etapas:

� Comprensión del problema : léase bien el problema, elíjase la variable e indíquese con unidades.

� Planteamiento : establézcanse las relaciones entre la variable y los datos � Resolución : es la parte operativa del problema. Es conveniente verificar siempre los

resultados obtenidos. � Análisis de respuesta y respuesta completa : reflexiónese sobre el sentido de los

valores obtenidos y escríbase la respuesta completa. Recuérdese indicar las unidades. Problemas con ecuaciones de primer grado Problema 1 Un alambre de 21 metros se divide en dos partes, de tal modo que la longitud de una de ellas es las tres cuartas partes de la longitud de la otra. ¿Cuál es la longitud de la parte mayor? Solución Sea x la longitud en metros de la parte mayor. Entonces, por dato del problema, la parte menor medirá (21 - x)

_____________________________________________________________________________________


54

Por condición del problema, se tiene que: 21 - x = 4

3x

Re-escribiendo la ecuación: 84 - 4x = 3x � 7x = 84 � x = 12 La longitud de la parte mayor es 12 metros. Problema 2 José tiene 4 billetes más de $100 que de $50. Si la cantidad total de dinero que tiene es $2350, ¿cuántos billetes de $100 y de $50 tiene José? Solución Sea x la cantidad de billetes de $50 que tiene José Por dato del problema, la cantidad de billetes de $100 es (x + 4) Por condición del problema: 50 x + 100 (x + 4) = 2350 Re-escribiendo la ecuación: 50x + 100x + 400 = 2350, 150x = 1950, x = 13 José tiene 13 billetes de $50 y 17 billetes de $100 Problemas con ecuaciones de segundo grado

Problema 1 La suma de las edades de Carlos y Alberto da como resultado 22 años. Si el producto de ambas edades es 120, y si se sabe que Carlos es el mayor, ¿cuál es la diferencia de ellas? Solución Sea x la edad de Carlos. La edad de Carlos será (22 – x), pues la suma de las edades debe ser 22. Por dato del problema: x . (22 – x) = 120 Efectuando cálculos: 22x – x2 = 120 ó equivalentemente: x2 – 22x + 120 = 0 Factorizando: (x – 12) (x – 10) = 0 Por propiedad del factor cero: x – 12 = 0 ó x – 10 = 0 Por lo tanto, x = 12 ó x = 10 Dado que Carlos es el mayor, tendrá 12 años. Entonces, la edad de Alberto es 10 años. Problema 2 Si a un número positivo le resto 2, el resultado es el triple de su inverso. ¿Cuál es el doble del número? Solución Sea x el número buscado.

Por dato del problema: x – 2 =x1

.3

Re-escribiendo: x2 – 2x = 3, o equivalentemente: x2 – 2x -3 = 0 Factorizando: (x – 3) (x + 1) = 0 Por propiedad del factor cero: x – 3 = 0 ó x + 1 = 0 Por lo tanto, x = 3 ó x = -1 Como el número es positivo, deberá ser 3 � doble del número: 6 1.2.7.5 Ecuaciones exponenciales Son ecuaciones que se caracterizan por presentar la incógnita como parte del exponente. Criterios de solución Por bases iguales: si am = an � m = n Por comparación: se brinda la misma forma a ambos miembros de la ecuación para identificar partes semejantes. Ejemplos 1) Si xx = 1010, hállese x. Por comparación, x = 10

____________________________________________________________________________________


55

2) Si 82x 6x 6x =

+, hállese x.

La ecuación original puede reescribirse como sigue: 262x 6x 6x

++=

Por comparación, x = 6

3) Resuélvase: 6x1x 42 33

−−=

La ecuación original puede reescribirse como sigue: )6x(21x 22 33

−−=

Por comparación: x – 1 = 2 (x – 6) Transponiendo: x -11 = 0 � x = 11

4) Resuélvase: xx+1 = 815 Dese como respuesta 1xx ++

La ecuación original puede reescribirse como sigue: 10521x 9)9(x ==+ Por comparación, x = 9

Respuesta: 1xx ++ = 13193199 =++=++ 1.2.8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.2.8.1 Definiciones Sistemas de ecuaciones lineales Se conoce como sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas. En este cuaderno, solo se tratarán sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas o variables, esto es, sistemas de la forma: A1x + B1y = C1 A2x + B2y = C2

Solución de un sistema La solución de un sistema de dos ecuaciones lineales es todo par ordenado de valores reales que, sustituidos en las ecuaciones en forma simultánea, convierten dichas ecuaciones en identidades numéricas. Ejemplo El sistema de ecuaciones: 5x + 3y = -2 3x - 2y = 14 tiene por solución al par ordenado (2, - 4), puesto que, al ser reemplazado, satisface cada una de las ecuaciones planteadas. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener solo una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. De acuerdo con ello, el sistema de ecuaciones se clasifica en compatible e incompatible. Sistema compatible Un sistema de ecuaciones será compatible cuando admita una o infinitas soluciones. Ejemplos � El sistema 4x - y = -5 tiene por única solución al par ( -1; 1) � CS = {( -1; 1)}, 2x + 4y = 2

� El sistema x + 2y = 7 admite infinitas soluciones. � CS = {(7 – 2t; t) , siendo t∈ℝ }, 2x + 4y = 14

donde: A1, A2, B1, B2, C1, C2 son constantes.

_____________________________________________________________________________________


56

Sistema incompatible Un sistema de ecuaciones será incompatible cuando no admita soluciones. Ejemplo El sistema x + y = 3 no admite solución � CS= Φ, 3x + 3y = 12 1.2.8.2 Resolución de un sistema de dos ecuaciones de prime r grado con dos incógnitas Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Entre los más importantes, se encuentra el método de reducción o de eliminación. Este método consiste en multiplicar cada ecuación por un número real, de tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos (o iguales). Con ello, al sumar (restar) las dos ecuaciones transformadas, se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita. Ejemplo 1

Resuélvase el sistema:

=−=+

15y3x73y2x

Solución Para eliminar la variable y, se multiplican la primera ecuación por (5) y la segunda por (3):

10x + 15y = 35 9x - 15y = 3 Luego, se suman ambas ecuaciones: 19x = 38 de donde x = 2 Se reemplaza x = 2 en la primera ecuación para calcular y � 2(2) + 3y = 7 � 3y = 3, de donde se despeja: y = 1 Por lo tanto, el conjunto solución es: C.S = {( 2; 1)} Ejemplo 2

Al resolver el sistema:

=

=+

21

yx

224y3x la suma de las soluciones es:

Solución El sistema original puede reescribirse equivalentemente como sigue:

==+

yx2

224y3x ó

=−=+0yx2

224y3x

Para eliminar la variable y, se multiplica la segunda ecuación por (4): 3x + 4y = 22 8x - 4y = 0 Luego, se suman ambas ecuaciones: 11x = 22 de donde x = 2 Como 2x – y = 0, se reemplaza x = 2 para despejar y � 2(2) - y = 0 � y = 4 Por lo tanto, el conjunto solución es: CS = {( 2; 4)}, y la suma de las soluciones es 6. 1.2.8.3 Modelación y resolución de problemas Se aplica la misma metodología (de los cuatro pasos) planteada para ecuaciones con una variable o incógnita. Problema 1 El costo total de 5 ejemplares de un libro y 4 lapiceros es $32; el costo total de 6 ejemplares del mismo libro y 3 lapiceros es $33. Hállese el costo de cada artículo.

____________________________________________________________________________________


57

Solución Sea x el costo en dólares de cada libro e y el costo en dólares de cada lapicero. Se forman las ecuaciones: 5x + 4y = 32, 6x + 3y = 33 La solución de este sistema es: x = 4, e y = 3 Por lo tanto, el costo de cada ejemplar del libro es $4 y el costo de cada lapicero es $3. 1.2.9 INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 1.2.9.1 Relación de orden Dados dos números reales a y b , donde a ≠ b, es posible compararlos mediante diversas relaciones de orden, algunas de la cuales se resumen en el cuadro siguiente:

Relación de orden

Significado

a > b a es mayor que b (o bien a - b es un número positivo)

a < b a es menor que b (o bien a - b es un número negativo)

a ≥ b a es mayor o igual que b (o a no es menor que b)

a ≤ b a es menor o igual que b (o bien a no es mayor que b)

a < x < b x es mayor que a, pero menor que b

a < x < b x es mayor o igual que a, pero menor o igual que b

1.2.9.2 Inecuación Se forma una inecuación cuando se relacionan dos expresiones algebraicas con un símbolo de orden. Las expresiones relacionadas por el símbolo de orden son llamadas lados o miembros de la inecuación.

Nota En este cuaderno, solo se estudiarán las inecuaciones con una sola variable. Ejemplos

� 2x - 5 ≤ 7-x � 3x + x2 > 6+x

Solución de una inecuación Es cualquier número real al ser sustituido en la variable, hace que el enunciado sea verdadero. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de conjunto solución de la inecuación (CS). Ejemplos

� La inecuación: x2 +1 > 0 se verifica para todo x real. � CS = ℝ

Observación La recta de números reales es útil para observar la relación de orden menor que; a < b significa que el punto que le corresponde al número a en la recta se halla a la izquierda del punto que corresponde a b.

-3 -2 -1 0 1 2 3

_____________________________________________________________________________________


58

� La inecuación: 2x +3 < 5 se verifica para todo x < 1. � CS= { }1/ xRx <∈

� La inecuación: x2 +5 < 0 no se verifica para ningún valor de x � CS = Φ Inecuaciones equivalentes Dos inecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Ejemplo Las inecuaciones 2x + 3 < 5 y 2x + 1< 3 son equivalentes porque ambas se verifican para todo x< 1 Propiedades de las desigualdades (y de las inecuaci ones equivalentes) Sean a, b, y c números reales. Se verifican, entonces, las siguientes propiedades:

N° Propiedad Comentario

1 Si a < b y c ∈ ℝ, entonces a ± c < b ± c

El sentido de una desigualdad no se modifica si se suma, o se resta, una misma cantidad a sus dos miembros.

2 Si a < b y c es positivo, entonces a . c < b . c

El sentido de una desigualdad no se altera si se multiplica (o divide) por una misma cantidad positiva a sus dos miembros.

3 Si a < b y c es negativo, entonces a . c > b . c

El sentido de una desigualdad se invierte cuando se multiplica (o divide) por una misma cantidad negativa a sus dos miembros.

4 Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d

Dadas dos desigualdades mayor que (o menor que) el sentido de la desigualdad no se altera si se suman miembro a miembro los términos de cada lado de las desigualdades

5 Si a > b y n es positivo, entonces an > bn

El sentido de una desigualdad no se modifica cuando se eleva a una potencia positiva (n) a sus dos miembros.

6 Si a > b y n es negativo, entonces an < bn

El sentido de una desigualdad se invierte cuando se eleva a una potencia negativa (n) a sus dos miembros.

7 Si a > b > 0 y c > d > 0, entonces a . c > b . d

Dadas dos desigualdades mayor que (o menor que) el sentido de la desigualdad no se altera si se multiplica miembro a miembro los términos de cada lado de las desigualdades

Ejemplo 1

Si a > b, se tiene:

>−−>−+>+

0ba

3b3a

3b3a

Ejemplo 2

Si a > b, se tiene:

>

>

5b

5a

5b5a; también: si 2a > b , entonces a >

2b

Ejemplo 3

Si a > b, se tiene:

−<

−

−<−

4b

4a

4b4a; también: si -2a > b, entonces a <

2b

−

____________________________________________________________________________________


59

1.2.9.3 Intervalos Son subconjuntos de los números reales y se utilizan para expresar gráficamente la solución de las inecuaciones; estos intervalos se representan en la recta numérica real. Pueden ser abiertos o cerrados, finitos o infinitos. Notación Para indicar un intervalo cerrado se usa corchetes. Ejemplo [2, 5] Para indicar un intervalo abierto, existen diferentes notaciones, tales como: ]-2 , 5 [ ó (-2; 5) ó < -2; 5 >

TIPOS NOTACIÓN DESIGUALDAD GRÁFICA

Inte

rval

os fi

nito

s

] a, b [

a < x < b

[ a, b ]

a < x < b

[ a, b [

a < x < b

] a, b]

a < x < b

Inte

rval

os in

finito

s

] a, ∞ [

x > a

[ a, ∞ [

x > a

] -∞, b [

x < b

] -∞, b ]

x < b

] -∞, ∞ [

-∞ < x < ∞

Operaciones con intervalos Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos las propiedades operativas de los conjuntos, como son la unión y la intersección.

a b

a b

a b

a b

+ ∞

- ∞

- ∞ b

-∞ +∞

a + ∞

b

a

_____________________________________________________________________________________


60

Ejemplo Si A = ]-5, 8] B = ]-2, ∞ [ hállense: a) A ∩ B; b) A ∪ B Solución Graficando los intervalos A y B en la recta numérica real se tiene: De donde se observa que: a) A ∩ B = ]-2, 8], b) A ∪ B = ]-5, ∞ [ 1.2.9.4 Inecuación de primer grado con una incógnita Es aquella inecuación que puede reducirse a cualquiera de las siguientes formas: ax + b < 0; ax + b > 0; ax + b ≤ 0 o ax + b ≥ 0, donde, en todos los casos, a y b son constantes reales y a ≠ 0. Resolución de una inecuación Consiste en hallar un conjunto solución, es decir, en encontrar aquel intervalo que contenga los valores que puede tomar la incógnita para que se verifique la inecuación. Así, para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita, se deja la variable en un solo lado del símbolo de la desigualdad y las constantes en el otro, para lo cual se emplean las propiedades anteriormente señaladas. Ejemplo 1

Resuélvase 4 - 5x43 −≥

Solución

Se multiplica la inecuación por 4: )5(.4x43

4.4 −≥

− , 16 - 3x > -20, -3x > - 36

Dividiendo entre (-3): x < 12 (la desigualdad cambió porque -3 < 0) CS = ]-∞, 12 ] Ejemplo 2

Resuélvase 6

23x32

212x

512x −−>+−−

Solución Se determina el MCM de los denominadores: MCM (5, 2, 3, 6) = 30 Se multiplican ambos lados de la inecuación por 30 � 6(2x - 1) - 15(2x + 1) > 10(2) - 5 (3x - 2), 12x - 6 - 30x - 15 > 20 - 15x + 10, -18x - 21 > -15x + 30, -18x + 15x > 30 + 21 -3x > 51 Dividiendo entre (-3): x < -17 (la desigualdad cambió por que -3 < 0) CS= ]-∞, -17 [

-5 -2 8

A B

+ ∞ - ∞

-17 - ∞

12 - ∞

____________________________________________________________________________________


61

Modelación y resolución de problemas Problema En un taller de carpintería, se fabricó una cierta cantidad de sillas de las que vendieron 38 y, al final, quedaron disponibles más de la tercera parte. Luego se fabricaron 8 sillas más y enseguida se vendieron 10, y al final quedaron menos de 19 sillas. Entonces, ¿cuántas sillas se fabricaron en total? Solución Sea x el número de sillas que se fabricó inicialmente. De la primera afirmación se tiene que:

x - 38 >3

1x � 3x – 114 > x � 2x > 114 � x > 57

De la segunda afirmación, se tiene que: (x – 38) + 8 - 10 < 19 � x < 59 Como debe cumplirse: 57 < x < 59, entonces, al ser x un número entero, deberá ser 58 Se fabricaron en total: 58 + 8 = 66 sillas. 1.3. GEOMETRÍA 1.3.1 NOCIONES PRELIMINARES: SEGMENTOS Y ÁNGULOS 1.3.1.1 Nociones preliminares Objeto de la geometría La geometría estudia las figuras geométricas desde el punto de vista de su forma, extensión y relaciones que guardan entre sí. La geometría plana se ocupa del estudio de las figuras planas, esto es, de aquellas cuyos puntos se encuentran en un mismo plano. La geometría del espacio, por otro lado, estudia las figuras sólidas, esto es, de aquellas que ocupan un espacio. Nota En el presente cuaderno, solo se estudiará temas propios de la geometría plana. Nociones elementales de la geometría Existen dos nociones elementales, a partir de las cuales se definen las otras. Noción de punto Solo indica un lugar en el espacio. No tiene forma ni dimensiones. La noción de punto geométrico puede estar dada por la punta de un alfiler o por la marca que deja un lápiz sobre el papel. Se denota con letras mayúsculas. Noción de línea Corresponde a una sucesión continua e infinita de puntos. Clasificación de las líneas Las líneas se clasifican en rectas, curvas, quebradas y mixtas.

� Línea recta (o, simplemente, recta): es un conjunto de puntos que siguen una misma dirección. Se extiende en forma ilimitada en ambos sentidos. Se denota con una letra minúscula, mayúscula o por dos puntos de la recta debajo de una flecha doble.

Ejemplos

Recta AB Recta L1

L1

A B

_____________________________________________________________________________________


62

� Línea curva: es aquella que cambia de dirección continuamente. Ejemplo

� Línea quebrada: es aquella compuesta por dos o más porciones de rectas que siguen direcciones diferentes, pero que, entre sí, tienen los puntos extremos en común.

Ejemplo

� Línea mixta: es aquella constituida por uno o más segmentos rectilíneos, alternados con uno o más segmentos curvilíneos.

Figura geométrica Es aquella formada por líneas y puntos. 1.3.1.2 Segmento de recta Dados dos puntos A y B situados sobre una recta, se denomina segmento de recta de

extremos A y B (y se denota por AB ) al conjunto constituido por los puntos A y B y todos aquellos puntos de la recta que se encuentran entre A y B. Ejemplo

Extremos del segmento AB Longitud de un segmento

Se define la longitud del segmento AB como el número real positivo que se obtiene al medir el segmento usando una unidad de medida. Se denota por AB. Congruencia de segmentos Se dice que dos segmentos son congruentes cuando tienen la misma longitud o medida. Comparación de dos segmentos

Dados dos segmentos AB y CD , se verifica, necesariamente, alguna de las siguientes condiciones: AB > CD; AB = CD; AB < CD. Operaciones con segmentos Como a la longitud de un segmento le corresponde un número real positivo, las operaciones con segmentos gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones aritméticas. Definición de rayo Es cada una de las partes en las que queda dividida una recta cuando se toma un punto de ella, que será el origen de cada rayo.

A B A

B

____________________________________________________________________________________


63

Ejemplos Rayo OA Rayo OB Ejemplo 1 Sobre una recta, se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Hállese AB, sabiendo que: AC = 16 cms, BD = 24 cms y CD = 2 AB Solución Sea AB = x Por dato del problema: AC = AB + BC = 16 x + BC = 16 � BC = 16 - x También se sabe que: CD = 2 AB, CD = 2x Asimismo, se tiene: BD = BC + CD = 24, BC = 24 – CD � BC = 24 – 2x Igualando las dos expresiones de CD: 16 – x = 24 - 2x Transponiendo términos: x = 8 Por lo tanto, el segmento AB mide 8 cms Ejemplo 2 Sobre una recta, se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D. Si: AB = 3 BC = 4 CD y AD = 19 cms, hállese la medida del segmento BC . Solución Se determina el MCM de los coeficientes de la doble igualdad: MCM {1, 3, 4} = 12 Se determina otra expresión equivalente dividiendo cada miembro entre el MCM

� AB = 3 BC = 4 CD se reescribe como: 3412

CDBCAB == ,

lo cual significa que los segmentos AB, BC y CD son directamente proporcionales a 12, 4 y 3 respectivamente. � AB = 12x; BC = 4x; CD = 3x Empero, AB + BC + CD = 2AD = 19 � 12x + 4x + 3x = 19 19x = 19 x = 1 Por lo tanto, BC = 4x = 4 (1) = 4 cms 1.3.1.3 Ángulos Definición de ángulo

Se define comúnmente como ángulo a la unión de los dos rayos OA y OB , que parten de origen común O, llamado vértice del ángulo. Los rayos que forman el ángulo reciben el nombre de lados. Notación: ∠ AOB o ∠ BOA Ángulo geométrico Es un ángulo de medida comprendida entre 0° y 180°.

A B C D

x y 2x

• O B A

B O

A

_____________________________________________________________________________________


64

Medida de un ángulo geométrico A todo ángulo AOB se le asigna un número real comprendido entre 0° y 180°, conocido como la medida del ángulo AOB ( m∠ AOB). Ángulos congruentes Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. De esta manera:

∠ A ≅ ∠ B si y solo si m ∠ A = m ∠ B Bisectriz de un ángulo Se llama bisectriz de un ángulo a un rayo que parte del vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos congruentes, es decir, de la misma medida. Clasificación de los ángulos

SEGÚN SU MAGNITUD

Ángulo agudo Es aquel cuya medida es mayor que 0° pero menor que 90°.

Ángulo recto

Es aquel cuya medida es igual a 90°. Sus lados son dos rayos perpendiculares.

Ángulo obtuso

Es aquel cuya medida es mayor que 90° pero menor que 180°.

SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes si tienen el mismo vértice y un lado común.

Ángulos consecutivos

Son dos o más ángulos que tienen el mismo vértice y cada uno tiene con el siguiente un lado común.

Ángulos opuestos por el vértice

Son dos ángulos en donde los lados de uno son rayos opuestos a los lados del otro. Los ángulos

opuestos por el vértice son congruentes.

α α

____________________________________________________________________________________


65

SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS

Ángulos complementarios Dos ángulos (α y β) son complementarios si sus medidas suman 90° ( α + β = 90°). En tal caso, se dice que α es el complemento de β o que β es el complemento de α.

α + β = 90°

Ángulos suplementarios Dos ángulos (α y β) son suplementarios si sus medidas suman 180° ( α + β = 180°). En tal caso, se dice que α es el suplemento de β o que β es el suplemento de α.

α + β = 180°

Propiedades de los ángulos

La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta es igual a 180°.

La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo punto es iguala 360°.

Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo recto.

Las bisectrices de dos ángulos consecutivos complementarios forman un ángulo de 45°.

α β γ α + β + γ = 180°

α β γ

φ

α + β + γ + φ = 360°

α α β

β α + β = 180°

α β

α β

α + β = 45°

_____________________________________________________________________________________


66

1.3.1.4 Paralelas y perpendiculares Rectas paralelas

Se dice que dos rectas son paralelas si están situadas en un mismo plano y no tienen ningún puntos comunes (no se intersecan)

Rectas secantes Se dice que dos rectas son secantes si se cortan (intersecan) y tienen, por lo tanto, un punto común (el punto de intersección)

Rectas perpendiculares L1 ⊥ L2

Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando, al cortarse, forman un ángulo recto. La perpendicularidad se denota por el símbolo ⊥.

Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta equivale a la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto hacia la recta. Ejemplo

•••• P Distancia de P a la recta L L

1.3.1.5 Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante

1 2

3 4

5 6

7 8

L1

L2

____________________________________________________________________________________


67

Designación Propiedad

Internos Son los comprendidos entre las dos rectas, a un lado y a otro lado de la secante (∠ 3, ∠ 4, ∠ 5, ∠ 6).

Externos

Son los situados fuera de las dos rectas, a ambos lados de la secante (∠ 1, ∠ 2, ∠ 7, ∠ 8).

Alternos internos Son los pares de ángulos internos, no adyacentes, situados a distintos lados de la secante (∠ 3 y ∠ 6; ∠ 4 y ∠ 5).

Son congruentes.

m∠ 3 = m∠ 6; m∠ 4 = m∠ 5

Alternos externos Son los pares de ángulos externos, no adyacentes, situados a distintos lados de la secante (∠ 1 y ∠ 8; ∠ 2 y ∠ 7).

Son congruentes.

m∠ 1 = m∠ 8; m∠ 2 = m∠ 7

Conjugados internos

Son los pares de ángulos internos situados al mismo lado de la secante (∠ 3 y ∠ 5; ∠ 4 y ∠ 6).

Son suplementarios.

m∠ 3 + m∠ 5 = 180° m∠ 4 + m∠ 6 = 180°

Conjugados externos

Son los pares de ángulos externos situados al mismo lado de la secante (∠ 1 y ∠ 7; ∠ 2 y ∠ 8).

Son suplementarios.

m∠ 1 + m∠ 7 = 180° m∠ 2 + m∠ 8 = 180°

Correspondientes

Son los pares de ángulos no adyacentes, uno interno y el otro externo, situados a un mismo lado de la secante (∠ 1 y ∠ 5; ∠ 2 y ∠ 6; ∠ 3 y ∠ 7; ∠ 4 y ∠ 8).

Son congruentes.

m∠ 1 = m∠ 5; m∠ 2 = m∠ 6 m∠ 3 = m∠ 7; m∠ 4 = m∠ 8

Reglas prácticas

� Dadas L1 // L2 y una línea quebrada, la suma de los ángulos a la izquierda de la línea quebrada es igual a la suma de los ángulos a la derecha de la línea quebrada. Esta propiedad se conoce como regla del serrucho.

Ejemplo

_____________________________________________________________________________________


68

� Dadas L1 // L2 y un conjunto de rayos que definen los ángulos a, b, c, se cumple que el ángulo x determinado con la línea L1 es igual a la suma de los demás ángulos formados. Esta propiedad se conoce como regla de la escalera.

Ejemplo

1.3.1.6 Ángulos de lados paralelos Propiedades

� Son congruentes dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido o en sentido contrario.

� Son suplementarios dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos, de los cuales dos están dirigidos en el mismo sentido y los dos restantes dirigidos en sentido contrario.

Ángulos de lados perpendiculares Propiedades

� Son congruentes dos ángulos agudos o dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares.

� Son suplementarios dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares.

Ejemplo 1 La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces la medida del ángulo. Hállese la medida del ángulo. Solución Sea α el ángulo buscado. De acuerdo al enunciado, se tendrá: (180°- α) – (90°- α) = 6 α,

α

β

α

β

α

β

α

β

____________________________________________________________________________________


69

de donde: 6α = 90° � α = 15° Ejemplo 2 Se tienen dos ángulos complementarios. Hállese la suma de las medidas de los ángulos suplementarios a los primeros. Solución Sean α y β las medidas de los ángulos complementarios. Sus respectivos suplementos tendrán por medida: (180° - α) y (180° - β) La suma de la medida de estos ángulos será: S = (180° - α) + (180° - β) = 360° - ( α + β) Como los ángulos α y β son complementarios � α + β = 90° Por lo tanto, la suma S buscada será: S = 360° - 90 ° = 270° Ejemplo 3 Dos ángulos adyacentes suplementarios AOB y BOC tienen sus medidas en la relación 2 a 3

respectivamente. Hállese la medida del ángulo formado por la bisectriz de AOB y el rayo OC . Solución De acuerdo al enunciado: m∠ AOB = 2K y m∠ BOC = 3K Por ser ángulos suplementarios, se tendrá: 2K + 3K = 180°, 5K = 180°, de donde: K = 36° De esta manera, los ángulos AOB y BOC medirán 72° y 108° respectivamente. En la figura, el ángulo buscado es el XOC, cuya medida será: m∠ XOC = 108° + 36° = 144° 1.3.2 TRIÁNGULOS 1.3.2.1 Definición Dados tres puntos no colineales A, B y C, se denomina triángulo ABC a la reunión de los

segmentos AB , BC y AC . Se denota por ABC∆ . La región del plano limitada por el triángulo se conoce como interior del triángulo o región triangular. 1.3.2.2 Elementos A m c b n a p C

B a p Los elementos de un triángulo son los siguientes:

36° A

X

B

C O

36° 108°

Interior del triángulo

_____________________________________________________________________________________


70

Vértices Son los extremos comunes de los segmentos que forman el triángulo (A, B y C). Lados Son los segmentos que definen el triángulo ( AB , BC y AC ). Usualmente, las longitudes de los lados se denotan con letras minúsculas correspondientes a los vértices opuestos. Notación AB = c, BC = a y AC = b Ángulos interiores Son los ángulos formados, en el interior del triángulo, por dos lados y el vértice común (∠A, ∠B y ∠C). Ángulos exteriores Son los ángulos formados, en el exterior del triángulo, por un lado, un vértice y la prolongación del lado consecutivo (∠m, ∠n y ∠p). 1.3.2.3 Perímetro Se denomina perímetro de un triángulo a la suma de las longitudes de sus tres lados. El perímetro se denota usualmente por el símbolo 2p. La notación p se reserva para el semiperímetro. De esta manera, se tiene: Perímetro: 2p = a + b + c 1.3.2.4 Clasificación Los triángulos se clasifican de acuerdo con sus lados y de acuerdo con sus ángulos. De acuerdo con sus lados

� Equilátero: si sus tres lados son congruentes. En el caso del triángulo equilátero, además, los tres ángulos interiores también son congruentes y miden 60° cada uno:

� Isósceles: si cuenta con dos lados congruentes. En el caso del triángulo isósceles, usualmente el lado desigual se denomina base:

Semiperímetro: 2

cbap

++=

____________________________________________________________________________________


71

Base

� Propiedad del triángulo isósceles: «En todo triángulo isósceles, a lados congruentes, se oponen ángulos congruentes. Recíprocamente, a ángulos congruentes, se oponen lados congruentes».

� Escaleno: si sus tres lados son de diferentes longitudes:

De acuerdo con sus ángulos

� Rectángulo: si cuenta con un ángulo recto. En el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa, mientras que los otros dos lados se conocen como catetos:

Hipotenusa Catetos

� Acutángulo: si sus tres ángulos son agudos. Un tipo particular de triángulo acutángulo es el triángulo equiángulo, que tiene sus tres ángulos de la misma medida. En este caso, cada ángulo medirá 60°, para que la suma de á ngulos internos totalice 180° (esta propiedad se desarrollará más adelante). Además, como a ángulos congruentes se oponen lados congruentes, todo triángulo equiángulo también será equilátero.

� Obtusángulo: si cuenta con un ángulo obtuso (mayor que 90°):

Ángulo obtuso

Acutángulo Obtusángulo

_____________________________________________________________________________________


72

1.3.2.5 Líneas y puntos notables en un triángulo Bisectriz interior Es el rayo que parte desde un vértice y divide al ángulo interior respectivo en dos ángulos congruentes. En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, las cuales se cortan en un punto interior al triángulo denominado incentro. Mediana Es el segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, las cuales se cortan en un punto interior al triángulo denominado baricentro. Mediatriz Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, trazada desde su punto medio. En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, las cuales se cortan en un punto denominado circuncentro. Altura Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta el lado opuesto o a su prolongación. En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, las cuales se cortan en un punto que recibe el nombre de ortocentro.

Bisectriz mediana

Observaciones

El incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro de un triángulo reciben el nombre de puntos notables del triángulo. El circuncentro de un triángulo se ubica:

� en el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo; � en el punto medio de la hipotenusa, en el caso de triángulo rectángulo; y � en el exterior del triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo.

El ortocentro de un triángulo se ubica:

� en el interior del triángulo, en el caso de triángulo acutángulo; � en el vértice del ángulo recto, en el caso de triángulo rectángulo; y � en el exterior del triángulo, en el caso de triángulo obtusángulo.

Propiedades

� De la bisectriz: todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.

αααααααα

Mediana

Mediatriz Altura

____________________________________________________________________________________


73

� De la mediatriz: todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

� Del baricentro: el baricentro divide a cada mediana de un triángulo en dos segmentos, uno desde el vértice al baricentro y el otro desde el baricentro al lado, cuyas medidas están, respectivamente, en la relación 2 a 1.

� Del incentro: el incentro de un triángulo equidista de los tres lados y, además, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

� Del circuncentro: el circuncentro equidista de los tres vértices del triángulo y, además, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

1.3.2.6 Propiedades básicas en el triángulo Sobre desigualdades A B C

� Propiedad 1: en todo triángulo, a mayor lado, se opone mayor ángulo, y viceversa: AC > AB es equivalente a m∠B > m∠C

� Propiedad 2: en todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos, pero mayor que su diferencia (desigualdad triangular):

AC - AB < BC < AB + AC Sobre la medida de los ángulos

� Propiedad 1: en todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180°:

m∠A + m∠B + m∠C = 180°

� Propiedad 2: en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo:

x = α + β

� Propiedad 3: la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°: x + y + z = 360°

x

y

z

A

β

α

x

_____________________________________________________________________________________


74

Propiedades de ángulos con las líneas notables de u n triangulo A partir de las propiedades relativas a las medidas de los ángulos en el triángulo, es posible establecer determinadas propiedades con las líneas notables.

� Propiedad 1: la medida del ángulo formado por dos bisectrices interiores es igual a 90° más la mitad de la medida del tercer ángulo:

� Propiedad 2: la medida del ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90°

menos la mitad de la medida del tercer ángulo:

� Propiedad 3: la medida del ángulo formado por dos bisectrices, una interior y la otra

exterior, de dos ángulos distintos de un mismo triángulo es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo:

� Propiedad 4: la medida del ángulo formado por una altura y una bisectriz interior de un

triángulo, trazadas desde un mismo vértice, es igual a la semidiferencia de la medida de los otros dos ángulos:

α α

β β

x

θ

2θ

90x +°=

α α β β

x

θ

2θ

90x −°=

α

2θ

x = α

α β

β

x θ

β

x

α

θ θ 2βα

x−=

____________________________________________________________________________________


75

� Propiedad 5: la medida del ángulo formado por la mediana y la altura, trazadas desde el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo, es igual a la diferencia de las medidas de los ángulos agudos del triángulo:

1.3.2.7 Segmentos en el triángulo Base media de un triángulo El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y, además, su longitud es igual a la mitad del lado al cual es paralelo. A M N B C Así, en el triángulo ABC mostrado, si M y N son puntos medios de AB y AC , respectivamente, entonces:

MN es paralelo a BC y además: 2

BCMN =

Mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo re ctángulo La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de la hipotenusa. 1.3.2.8 Congruencia de triángulos Congruencia de triángulos Se dice que dos triángulos ABC y MNP son congruentes cuando sus tres lados y sus tres ángulos son congruentes dos a dos:

AB = MN m∠ A = m∠ M BC = NP m∠ B = m∠ N AC = MP m∠ C = m∠ P

Se denota: ∆ABC ≡ ∆MNP

≡

A

B C

M

N P

β

x

α

Mediana β−α=x

_____________________________________________________________________________________


76

Casos de congruencia de triángulos � Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos adyacentes

a él respectivamente congruentes (caso ángulo-lado-ángulo). � Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente y los lados que lo

forman respectivamente congruentes (caso lado-ángulo-lado). � Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes

(caso lado-lado-lado). 1.3.2.9 Semejanza de triángulos Semejanza de triángulos Se dice que dos triángulos ABC y MNP son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño. Formalmente, esto se expresa al destacar que sus pares de ángulos correspondientes son congruentes y que las longitudes de sus lados correspondientes u homólogos son proporcionales. La razón de proporcionalidad se conoce como razón de semejanza.

∠ A ≅ ∠ M ∠ B ≅ ∠ N ∠ C ≅ ∠ P

rMPAC

NPBC

MNAB ===

∼

Casos de Semejanza

� Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes respectivamente congruentes (caso AAA).

� Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente y las longitudes de los lados que lo forman respectivamente proporcionales (caso LAL).

� Dos triángulos son semejantes si las longitudes de sus lados correspondientes u homólogos son respectivamente proporcionales (caso LLL).

Ejemplo 1 La distancia del centro de un triángulo equilátero a uno de los vértices es 2 metros. Hállese la distancia del centro a un lado. Solución De acuerdo con el enunciado, la distancia OA = 2 metros Se desea calcular la distancia OH. El centro de un triángulo equilátero es a su vez el baricentro del triángulo. Por propiedad de baricentro, se tendrá entonces que: OA = 2 OH Como OA = 2 m � OH medirá 1 metro Ejemplo 2 Dos lados de un triángulo miden 10 u y 1 u. Si la medida del tercer lado está expresada por un número entero, indíquese de qué clase es el triángulo según sus lados. Solución Por la propiedad de desigualdades entre los lados de un triángulo, el tercer lado debe medir menos que la suma de los otros dos lados pero más que su diferencia.

A

B C

M

N P

Se denota: ∆ABC ∼ ∆MNP

O

A

H

____________________________________________________________________________________


77

Si la medida del tercer lado es x, se tendrá que: (10 – 1) < x < (10 + 1) � 9 < x < 11. Por condición del problema, x debe ser entero; luego, el único valor que puede adoptar x es 10. Consecuentemente, el triángulo será isósceles, pues dos de los lados medirán 10 u. Ejemplo 3 En la figura, a + b = 36 cms. Hállese el mayor valor entero de x. Solución Por la propiedad de desigualdades entre los lados de un triángulo, se sabe que un lado de un triángulo debe medir menos que la suma de los otros dos. En este caso, uno de los triángulos tiene por lados: 10, a y x � x < 10 + a El otro triángulo que compone la figura tiene por lados: 8, b y x � x < 8 + b Sumando miembro a miembro: 2x < 18 + (a + b) Pero, por dato: a + b = 36 � 2x < 18 + 36, 2x < 54, x < 27 Como x debe ser entero, el mayor valor posible es 26. Ejemplo 4 Un ángulo externo de un triángulo mide 140°. De los ángulos internos no adyacentes al primero, uno es el triple del otro. Hállese la medida del mayor ángulo interno del triángulo. Solución La medida del ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes � 140° = 3x + x = 4x, de donde se obtiene que: x = 3 5° Por lo tanto, dos de los ángulos internos del triángulo miden 35° y 105°. El tercer ángulo interno deberá medir 40° para cumplir con la condición de s uma de ángulos internos = 180°. En consecuencia, el mayor de los ángulos internos mide 105°. Ejemplo 5 En la figura, AQ = QC y BQ = BC, hállese la medida del ángulo A del triángulo, si el ángulo B mide 84°. Solución

x

b

a 10 cm

8 cm

A

Q

C

B

A

Q

C

B

α α

β

β

84°

_____________________________________________________________________________________


78

En el triángulo AQC, AQ = QC � el triángulo es isósceles � m ∠QAC = m ∠ACQ = α En el triángulo QBC, BQ = BC � el triángulo es isósceles � m ∠BQC = m ∠BCQ = β En el triángulo BQC, la suma de ángulos internos debe ser 180° � 2 β + 84° = 180°, de donde, se despeja β = 48° Pero, en el triángulo AQC β es un ángulo exterior, cuya medida es igual a la suma de los interiores no adyacentes � β = α + α = 2α Por lo tanto, 2α = β = 48°, de donde: α = m ∠ A = 24° Ejemplo 6 Sea el triángulo equilátero ABC trazado en el interior del cuadrado ADEC. Hállese la medida del ángulo β. Solución Dado que el triángulo ABC es equilátero y ADEC es un cuadrado, entonces: BC = AC = EC Por consiguiente, el triángulo BEC es isósceles.

El ángulo BCE mide: 90° - 60° = 30°; por lo tanto, m ∠ EBC = °=°−°75

230180

Alrededor del punto B, se tendrá: 75° + 60° + β = 180°, de donde: β = 45° Ejemplo 7 En un triángulo ABC, m∠ B - m∠ A = 76° y la bisectriz del ángulo C corta al lado opuesto en D. Hállese la medida del ángulo CDB. Solución Si se considera que el ángulo A mide α, de acuerdo con el dato del problema, el ángulo B medirá α + 76°. De esta manera, se tendrá lo mostrado en la siguiente figura:

Suma de ángulos internos en el ∆ABC: 2x + 2α + 76° = 180° 2 (x + α) = 104° x + α = 52° Sin embargo, el ángulo CDB es ángulo externo en el triángulo CDA; entonces: m ∠ CDB = x + α

Por lo tanto, m ∠ CDB = 52° 1.3.3 CUADRILÁTEROS 1.3.3.1 Definición Dados cuatro puntos coplanares y no colineales A, B, C y D, se denomina cuadrilátero ABCD a la reunión de los segmentos AB , BC , CD y AD . Se, pues, denota por ABCD. La región del plano limitada por el cuadrilátero se define como interior del cuadrilátero o región cuadrangular.

C

B D

A

x x

α+76° α

β

A

D E

C

B

____________________________________________________________________________________


79

1.3.3.2 Elementos

A m D q n B p Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes :

� Vértices: son los extremos comunes de los segmentos que forman el cuadrilátero (A, B, C y D).

� Lados: son los segmentos que definen el cuadrilátero ( AB , BC , CD y AD ). Los

lados que no tienen vértices comunes reciben el nombre de lados opuestos. Así,

AB y CD y, por otro lado, BC y AD son lados opuestos.

� Ángulos interiores: son los ángulos formados en el interior del cuadrilátero por dos lados y el vértice común: (∠A, ∠B, ∠C y ∠D). En todo cuadrilátero se verifica que la suma de ángulos interiores es igual a 360°:

m∠A + m∠B + m∠C + m∠D = 360°

� Ángulos exteriores: son los ángulos formados en el exterior del cuadrilátero por un lado, un vértice y la prolongación del lado consecutivo (∠m, ∠n, ∠p y ∠q). En todo cuadrilátero se verifica que la suma de ángulos exteriores es igual a 360°:

m∠m + m∠n + m∠p + m∠q = 360°

� Diagonales: son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos

( AC y BD ). 1.3.3.3 Clasificación En general, los cuadriláteros se clasifican atendiendo a la forma de su contorno. Así, se tienen: Cuadriláteros convexos Son aquellos en que todos sus ángulos interiores son menores de 180°. En los cuadriláteros convexos, cualquier segmento que una dos puntos del interior del cuadrilátero está totalmente contenido en el cuadrilátero. Cuadriláteros no convexos Son aquellos en los que al menos uno de sus ángulos interiores es mayor que 180°. En los cuadriláteros no convexos, existe al menos un segmento que une dos puntos del interior del cuadrilátero, pero que no está totalmente contenido en el cuadrilátero.

C

_____________________________________________________________________________________


80

Convexo No convexo

1.3.3.4 Clasificación de los cuadriláteros convexos Los cuadriláteros convexos se clasifican como sigue:

Paralelogramos

Son aquellos cuadriláteros que cuentan con dos pares de lados opuestos paralelos.

Rectángulo

Es aquel paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos.

Rombo Es aquel paralelogramo cuyos cuatro son lados congruentes.

Cuadrado Es aquel paralelogramo que cuyos cuatro lados son congruentes y cuyos cuatro ángulos son rectos.

Trapecios

Son aquellos cuadriláteros que cuentan con un par de lados paralelos, los cuales reciben el nombre de bases del trapecio.

Base menor

Rectangular

Es aquel en el que uno de sus lados es perpendicular a las bases. Consecuentemente, posee dos ángulos rectos.

Isósceles

Es aquel cuyos lados no son paralelos congruentes.

Base mayor

____________________________________________________________________________________


81

Escaleno

Es aquel cuyos sus lados no son paralelos no congruentes.

Trapezoides

Son aquellos cuadriláteros que no cuentan con pares de lados opuestos paralelos.

Simétrico

Es aquel en el que alguna de sus diagonales constituye una línea de simetría de la figura. Se verificará que una de las diagonales es mediatriz de la otra.

Asimétrico Es aquel que no presenta simetría alguna.

1.3.3.5 Definiciones en el trapecio

Mediana del trapecio Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio. Se conoce también como base media.

Altura del trapecio Es el segmento perpendicular entre las bases.

1.3.3.6 Propiedades

En todo paralelogramo � Los lados opuestos son congruentes. � Los ángulos opuestos son congruentes y los ángulos adyacentes a un mismo lado

son suplementarios. � Las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

Rectángulo Rombo Cuadrado

¿Las diagonales son congruentes? SÍ NO SÍ ¿Las diagonales son perpendiculares

entre sí? NO SÍ SÍ

¿Las diagonales bisecan los ángulos del vértice?

NO SÍ SÍ

A H D

M N

B C

_____________________________________________________________________________________


82

En los trapecios

� La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de las bases. b

M N 2

bBMN

+=

B

� En todo trapecio, el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales

es igual a la semidiferencia de las bases. b

E F 2

bBEF

−=

B

En todo trapecio isósceles

� Los ángulos adyacentes a una misma base son congruentes. � Los ángulos opuestos son suplementarios. � Las diagonales son congruentes. � Las proyecciones de los lados congruentes sobre la base mayor del trapecio son

iguales a la semidiferencia de las bases. b

2

bBm

−=

m B m

Ejemplo 1 Hállese la medida de la base menor de un trapecio, si se sabe que la diferencia entre la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a 12 metros. Solución Sea B la base mayor y b la base menor del trapecio.

Por las propiedades del trapecio: mediana del trapecio = 2

bB +

Segmento que une puntos medios de las diagonales del trapecio = 2

bB −

Por lo tanto, la diferencia entre la mediana y el segmento que une los puntos medios de las

diagonales será: 2

bB + -

2bB −

= b

b.2 = b = 12 (por dato del problema).

Por lo tanto, la base menor del trapecio (b) mide 12 metros. Ejemplo 2 Dado un rectángulo ABCD, se traza la bisectriz interior del ángulo D, la cual corta al lado BC

en E. Calcúlese la medida del segmento que los puntos medios de BD y AE , sabiendo que el lado menor del rectángulo mide 5 metros.

____________________________________________________________________________________


83

Solución

En el gráfico, el triángulo ECD es isósceles, ya que (por ángulos alternos internos): m ∠CED = m ∠ADE = 45°. Entonces, EC = CD = 5 metros. Si la medida del segmento BE = b, se tendrá: BC = AD = b + 5 El segmento buscado es el segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio ABED.

Por lo tanto, m5,22

b)5b(2

BEADx =−+=−=

Ejemplo 3 En la figura, hállese la medida del ángulo x, si ABCD es un cuadrado y AFD y CDE son triángulos equiláteros. Solución Como el triángulo AFD es equilátero, el ángulo FDA medirá 60°. En consecuencia, el ángulo FDC medirá 30°. De la misma manera, al ser el trián gulo CDE equilátero, el ángulo CDE medirá 60°. En el triángulo FDE, el ángulo FDE medirá 90° ( = 3 0° + 60°) Como: AD = FD (por ser AFD un triángulo equilátero), CD = DE (por ser CDE un triángulo equilátero) y además: AD = CD (por ser ABCD un cuadrado), se concluye que FD = DE Consecuentemente, el triángulo FDE será isósceles rectángulo y el ángulo x medirá entonces 45°. 1.3.4 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 1.3.4.1 Definiciones Circunferencia Se denomina circunferencia al conjunto de puntos que equidistan de otro punto fijo llamado centro, ubicados todos en un mismo plano. Círculo Se denomina círculo a la región del plano limitada por una circunferencia. Toda circunferencia y círculo quedan definidos al especificar su centro y su radio.

A

B

D

C

F

E x

A

B E C

D

b 5

5 45°

45°

x

_____________________________________________________________________________________


84

1.3.4.2 Elementos

Centro (O) : punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia. De dos o más circunferencias con el mismo centro, se dice que son concéntricas.

Radio ( OA ): segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de ella.

Cuerda ( BC ): segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Diámetro ( DE ): segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro de ella.

Secante ( S ): recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Tangente ( T ): recta contenida en el plano de la circunferencia y que toca a esta en el punto P, denominado punto de tangencia o punto de contacto.

Arco ( AE ): parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. La medida angular de un arco es igual a la del ángulo central formado por los radios que lo subtienden.

Flecha (MN ): segmento que une el punto medio de una cuerda con el punto medio del arco interceptado. Es perpendicular a la cuerda. Su prolongación pasa por el centro de la circunferencia.

1.3.4.3 Regiones circulares

Sector circular Es la parte del círculo limitada por dos radios y por el arco subtendido.

Segmento circular Es la parte del círculo limitada por una cuerda y el arco que subtiende.

Corona circular Es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

Trapecio circular Es la porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios.

(

↔

↔

A

B

C

O D E

T

S

P

N

M

____________________________________________________________________________________


85

1.3.4.4 Algunas propiedades en la circunferencia

� Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado desde el centro hasta el punto de contacto:

� Los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior son congruentes:

PA = PB

� Un radio de una circunferencia biseca a una cuerda si y solo si el radio y la cuerda son perpendiculares:

� Por tres puntos no colineales pasa una circunferencia y solo una. El centro de dicha circunferencia es el punto de intersección de las mediatrices relativas a los segmentos que unen dichos puntos:

O

P (punto de tangencia)

T

A

B

P o

O

A

B C

O - centro

Mediatriz de AB

Mediatriz de BC

_____________________________________________________________________________________


86

� En toda circunferencia, a arcos congruentes, corresponden cuerdas congruentes y, si

dos arcos no son congruentes, a mayor arco corresponde mayor cuerda: Si AB ≅ CD ⇒ AB = CD

� Dentro de una misma circunferencia, los arcos comprendidos entre paralelas son congruentes:

1.3.4.5 Posiciones relativas de dos circunferencias Nota d = distancia entre los centros

Exteriores

R d r

d > R + r

Tangentes exteriormente

R r d

d = R + r

Secantes

R r d

R - r < d < R + r

A

B

C

D

•

• ( (

A B

C D

Si AB // CD ⇒ AC = BD

( (

____________________________________________________________________________________


87

Tangentes interiormente

d R r

d = R – r

Interiores

d r R

d < R - r

Concéntricas

•

d = 0

1.3.4.6 Ángulos en la circunferencia y su medida Un arco de una circunferencia se mide en grados. La medida del arco correspondiente a una circunferencia es 360° y el correspondiente a una s emicircunferencia es 180°. Arco mayor Arco menor Ángulo central Es aquel que tiene como vértice el centro de la circunferencia y, como lados, dos radios de ella. Su medida es igual a la medida del arco menor que subtiende (arco interceptado). x = m( AB )

Ángulo inscrito Es aquel cuyo vértice se halla sobre la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de ella. Su medida es igual a la mitad de la medida del arco que subtiende. A

2

)AB(mx =

B

(

A

B

x

x

(

_____________________________________________________________________________________


88

Se cumple lo siguiente: � El ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90°. � Todos los ángulos inscritos en un mismo arco son congruentes. � En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son

suplementarios. Como caso particular, se tiene el llamado ángulo semiinscrito, cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia, y cuyos lados son una cuerda y una tangente. Su medida es igual a la mitad de la medida del arco interceptado. A

2

)AB(mx =

B

Ángulo interior Es aquel cuyo su vértice se halla en el interior de la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas que se cortan. Su medida es igual a la semisuma de las medidas de las medidas de los arcos interceptados.

B A

2)BC(m)AD(m

x+=

D C

Ángulo exterior Es aquel formado por dos secantes, por una secante y una tangente, o por dos tangentes a una circunferencia, que se intersecan en un punto fuera de la circunferencia. Su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos interceptados.

B A

2

)AD(m)BC(mx

−=

D C

1.3.4.7 Longitud de una circunferencia La longitud de una circunferencia se denota por C, y es igual al producto del diámetro por la constante π (= 3.14159…). La longitud de un arco de circunferencia será proporcional a la fracción de circunferencia que representa dicho arco.

x

x

(

x

( (

( (

x

____________________________________________________________________________________


89

C = π D = 2 π R

Larc(AB) =

360α

Rπ2

Ejemplo 1 En una circunferencia, se encuentra inscrito un trapecio ABCD, de tal forma que: m∠ A = 50°,

siendo BC su base menor. Hállese la medida del arco BAD.

Solución El ángulo A del trapecio es un ángulo inscrito en la circunferencia. Por medida del ángulo inscrito, el arco BCD medirá 100° (el doble del áng ulo A). Por lo tanto, el arco BAD buscado habrá de medir: 360° - m (BCD) = 360° - 100° = 260° Ejemplo 2 En la figura, OA es radio, CA y CB son tangentes a la circunferencia y AN es perpendicular

a BC . Hállese el ángulo x. Solución Como el radio es perpendicular a la tangente, el ángulo NAC medirá 60°. En el triángulo rectángulo ANC, el ángulo x buscado medirá, entonces: 90° - 60° = 30°

A 50°

B C

D

O

30°

A

B

N

x C

α

R

A

B

(

_____________________________________________________________________________________


90

Ejemplo 3 En la figura mostrada, T es punto de tangencia y el arco AF mide 132°. Calcúlese la medida del ángulo α. Solución Por dato del problema, el arco AF mide 132° � el arco ATF medirá: 360° - 132° = 228° Empero, el arco ATF está compuesto por los arcos AT y TF � AT + TF = 228°

En la figura, el ángulo exterior TEF mide 60° � m ∠ TEF = °=−60

2ATTF

De las dos ecuaciones, se despeja: AT = 54° y TF = 174°.

Por lo tanto: α = °=°= 272

542

AT

Ejemplo 4 En la figura mostrada, hállese la relación entre las medidas de los arcos PQ y AF. Solución

Por medida del ángulo interior: 2

PQAF80

+=° � AF + PQ = 160°

Por medida del ángulo exterior: 2

PQAF30

−=° � AF – PQ = 60°

de donde: AF = 110° y PQ = 50° Por lo tanto, la relación buscada es: 50/110 = 5/11

1.3.5 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO Son las diferentes fórmulas que relacionan las longitudes de los lados y de los segmentos notables en un triángulo. Es posible distinguir relaciones métricas en el triángulo rectángulo relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo. En este cuaderno solo se estudiarán las relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

60° E A F

T

α

A

P

F

Q

80° 30° R

( (

( (

( (

(

( ( ( (

( ( ( (

( (

____________________________________________________________________________________


91

1.3.5.1 Relaciones métricas en el triángulo rectáng ulo Si en un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se traza la altura AH relativa a la hipotenusa, dicha altura dividirá a la hipotenusa en dos segmentos BH y HC , que serán, respectivamente,

las proyecciones de los catetos AB y AC sobre la hipotenusa. Al denotar las longitudes de los segmentos de la siguiente manera: AB = c; BC = a; AC = b; AH = h; BH = m; HC = n, se verificarán las siguientes relaciones métricas: A

c h b

B m H n C a

Propiedad Comentario

h2 = m . n La medida de la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones (m y n) de los catetos sobre la hipotenusa

b2 = a . n c2 = a . m

Cada medida de cada cateto es media proporcional entre la longitud de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

b . c = a . h

El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la medida de la altura relativa a ella.

mn

c

b2

2=

Los cuadrados de las longitudes de los catetos son proporcionales a sus proyecciones sobre la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo se cumple que «la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa». a2 = b2 + c2

Triángulos rectángulos notables

Triángulo 45°– 45° Es un triángulo isósceles rectángulo cuyos catetos (L)

son los lados de un cuadrado y cuya hipotenusa ( 2L ) es una diagonal del cuadrado. La medida de los catetos es proporcional a 1 y la medida de la hipotenusa es

proporcional a 2 .

L

L 2L

_____________________________________________________________________________________


92

Triángulo 30°– 60° Es un triángulo rectángulo formado por un lado (2L), la

mitad de otro lado (L) y una altura ( 3L ) de un triángulo equilátero. La hipotenusa mide el doble el cateto menor y

el cateto mayor mide 3 veces el cateto menor. Cabe también señalar, entre los más usuales triángulos rectángulos pitagóricos (aquellos que tienen por longitudes de sus lados números enteros), a los triángulos 3 – 4 – 5 y 5 – 12 – 13. En el triángulo 3 – 4 - 5, los catetos tienen longitudes proporcionales a 3 y 4, mientras que la longitud de la hipotenusa es proporcional a 5. Los ángulos agudos miden 37° y 53° aproximadamente. Ejemplo 1 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 metros. Hállese el perímetro del triángulo. Solución Se trata de un triángulo rectángulo 3 – 4 – 5. Por lo tanto, la hipotenusa medirá 10 metros (resultado que puede obtenerse también aplicando el Teorema de Pitágoras). Por lo tanto, el perímetro del triángulo será: 10 + 8 + 6 = 24 metros. Ejemplo 2 En un triángulo 3-4-5, la hipotenusa mide 20 cms. ¿A cuánto es igual el producto de las longitudes de los catetos? Solución La medida de los catetos es 3K y 4K. La medida de la hipotenusa es 5K. Pero, por dato del problema, 5K = 20, de donde K = 4. Por lo tanto, los catetos miden: 3K = 3 x 4 = 12 cms; 4K = 4 x 4 = 16 cms Consecuentemente, el producto de las longitudes de los catetos es: 16 x 12 = 192 cm2 Ejemplo 3

En la figura, si AB = 3 , hállese BC.

L

2L 3L

A

B

C

D

30°

30°

3K

4K

5K

37°

53°

____________________________________________________________________________________


93

Solución

Si AB = 3 , entonces: AD = 23

y 23

3.23

BD == (por ser ABD un triángulo 30 – 60).

Si AD =23

, entonces: CD = 21

(por ser ACD un triángulo 30 – 60).

Por lo tanto: BC = BD - BC = 3/2 - 1/2 = 1 Ejemplo 4

La figura muestra la vista en planta de una tienda. Calcúlese el ancho de la puerta x.

Solución En la esquina en la que se ubica la puerta es posible completar el siguiente triángulo: Dado que se trata de un triángulo 3-4-5, la medida de la puerta será: x = 5 metros. 1.3.6 POLÍGONOS 1.3.6.1 Definición de polígono Sean A, B, C, D, E… puntos distintos de un mismo plano. La unión de los segmentos AB , BC ,

CD ,… recibe el nombre de polígono si se cumplen las siguientes propiedades:

� no es posible que dos segmentos que tengan un punto en común descansen sobre una misma recta; y

� dos segmentos cualesquiera solo pueden tener como punto común sus extremos.

9m 5m

11m

8m

x

3m (=11-8)

4m (=9-5)

x

_____________________________________________________________________________________


94

A

B E C D La longitud total del contorno de un polígono recibe el nombre de perímetro del polígono, mientras que la porción de plano limitada por un polígono recibe el nombre de región poligonal. 1.3.6.2 Elementos Los elementos de un polígono son los siguientes:

� Lados ( AB , BC , CD ,…): son los segmentos rectilíneos que delimitan el polígono. � Vértices ( A, B, C, D, E,…): son los puntos de concurrencia de dos lados consecutivos.

La cantidad de vértices de un polígono es igual a su cantidad de lados. � Ángulos interiores ( αααα1, αααα2, αααα3, αααα4,…): son los ángulos formados en el interior del

polígono por dos lados consecutivos. � Ángulos exteriores ( ββββ1, ββββ2, ββββ3, ββββ4,…): son los ángulos formados en un vértice por un

lado y por la prolongación del lado consecutivo. Puede observarse que el ángulo interior y el ángulo exterior correspondientes a un mismo vértice son suplementarios.

� Diagonales ( ......BE,BD,AE,AD,AC ): son segmentos de recta que unen dos vértices

no consecutivos del polígono. 1.3.6.3 Clasificación Por la forma de su contorno Los polígonos pueden ser convexos o no convexos. Un polígono es convexo si el segmento que une dos puntos interiores cualesquiera del polígono está contenido en el interior del polígono. En caso contrario, el polígono se denomina no convexo.

Casos particulares de polígonos convexos

� Polígono equilátero: es aquel que tiene todos sus lados congruentes. � Polígono equiángulo: es aquel que tiene todos sus ángulos congruentes. � Polígonos regulares: son aquellos que, a la vez, son equiángulos y equiláteros.

Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia o circunscribirse a ella. Polígono inscrito Polígono circunscrito

α1

α2

α3 α4

α5

β1

β2

β3

β4

β5

____________________________________________________________________________________


95

Por el número de lados Según su número de lados, los polígonos se clasifican en:

Triángulo 3 lados Nonágono 9 lados Cuadrilátero 4 lados Decágono 10 lados Pentágono 5 lados Endecágono 11 lados Hexágono 6 lados Dodecágono 12 lados Heptágono 7 lados Pentadecágono 15 lados Octógono 8 lados Icoságono 20 lados

1.3.6.4 Propiedades de los polígonos Suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados Sα = 180° (n-2)

Suma de los ángulos exteriores de un polígono de n lados Sβ = 360°

Cantidad de diagonales trazadas desde un vértice de un polígono convexo de «n» lados d = n-3

Cantidad total de diagonales en un polígono convexo de n lados 2

)3n(nD

−=

En un polígono regular Medida del ángulo interior de un polígono regular de n lados n

)2n(180α

−°=

Medida del ángulo exterior de un polígono regular de n lados n

360β

°=

Suma de ángulos centrales de un polígono regular Sφ = 360°

Medida del ángulo central de un polígono regular de n lados n

360φ

°=

1.3.6.5 Congruencia y semejanza de polígonos Congruencia Dos polígonos de igual cantidad de lados son congruentes si las medidas de sus lados y ángulos son respectivamente congruentes.

Semejanza Dos polígonos de igual cantidad de lados son semejantes si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y las medidas de sus lados correspondientes u homólogos son proporcionales.

3.6.6 Polígonos regulares

Apotema Radio

_____________________________________________________________________________________


96

Elementos � Centro: se denomina centro de un polígono regular al centro de la circunferencia

inscrita o circunscrita. � Radio: se denomina radio de un polígono regular al radio de la circunferencia

circunscrita al polígono. � Apotema: se denomina apotema de un polígono regular al segmento perpendicular

trazado desde el centro del polígono a uno cualquiera de sus lados. Así, el apotema une el centro del polígono con el punto medio de uno cualquiera de los lados, y coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono.

1.3.6.7 Características de algunos polígonos regulares en f unción del radio R de la circunferencia circunscrita

POLÍGONO ÁNGULO CENTRAL

MEDIDA DEL LADO (Ln)

MEDIDA DEL APOTEMA (an)

Triángulo equilátero 120° 3R 2R

Cuadrado 90° 2R 2

2R

Hexágono regular 60° R 2

3R

Octógono regular 45° 22R − 2

22R

+

Ejemplo 1 Si la cantidad de lados de un polígono aumenta en 3, la cantidad de sus diagonales aumenta en 15. Entonces, ¿cuál es el polígono? Solución Sea n la cantidad de lados del polígono.

El número total de diagonales es: D =2

)3n(n −

Si la cantidad de lados aumenta en 3, el nuevo polígono tendrá: n + 3 lados.

El número total de diagonales será entonces: D’ = [ ]

2n)3n(

23)3n()3n( +=−++

Por condición del problema: D’ – D = 15:

� 152

)3n(n2

n)3n( =−−+ � (n2 + 3n) – (n2 – 3n) = 30

6n = 30 Por lo tanto: n = 5 (el polígono es un pentágono). Ejemplo 2 ¿Con cuántas diagonales cuenta el polígono regular en el cual el ángulo externo es la mitad del interno? Solución La medida del ángulo externo es 360°/n, siendo «n» la cantidad de lados del polígono.

La medida del ángulo interno es n

)2n.(180 −°

De acuerdo con el enunciado, se cumple que: n

)2n.(180x

21

n360 −°=°

Simplificando: 360° = 90° (n - 2) � n – 2 = 4 � n = 6

____________________________________________________________________________________


97

La cantidad de diagonales del polígono será: 92

)36(62

)3n(nD =−=−=

Ejemplo 3 ¿Cuál es el polígono convexo en el que, al duplicarse la cantidad de lados, la suma de ángulos internos se cuadruplica? Solución Sea n la cantidad de lados del polígono original. La suma de ángulos internos correspondiente es: Sα = 180° (n – 2) Si se duplica la cantidad de lados, el nuevo polígono tendrá: 2n lados. La suma de ángulos internos en este caso será: Sα’ = 180° (2n – 2) Por dato del problema: Sα’ = 4 . Sα

� 180° (2n – 2) = 4 [180° (n – 2)] Simplificando: 2n – 2 = 4n – 8 � 2n = 6 � n = 3 Luego, el polígono es un triángulo. Ejemplo 4

El perímetro de un triángulo equilátero inscrito dentro de una circunferencia es 33 cms. Calcúlese el perímetro del hexágono regular inscrito dentro de la misma circunferencia. Solución Sea R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo equilátero.

El lado del triángulo equilátero inscrito es entonces: 3R .

Por dato del problema, el perímetro del triángulo es 33

Al ser un triángulo equilátero, su lado medirá 3

Igualando la expresión del lado con su medida, se tiene: 3R = 3 , de donde R = 1 cm El lado del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia tiene por medida: L6 = R. Por lo tanto, el perímetro del hexágono será: 2p = 6R = 6 (1) = 6 cms Ejemplo 5 El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 2 metros. Calcúlese la medida del lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia.

Solución Si el lado del cuadrado inscrito es 2 metros, su diagonal

medirá 22 metros. Pero la diagonal del cuadrado es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

� Diámetro = 22 metros � Radio = 2 metros El lado del cuadrado circunscrito mide el doble del radio de la

circunferencia. Por lo tanto: L4 (circunscrita) = 22 metros

1.3.7 ÁREAS DE REGIONES PLANAS 1.3.7.1 Área del triángulo El área de un triángulo es igual al semiproducto de un lado por la altura relativa a dicho lado.

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98

A

c b 2

h.c

2

h.b

2

h.aA cba

ABC∆ ===

B a C Área del triángulo en función de sus lados En la fórmula anterior, p es el semiperímetro del triángulo. Esta relación se conoce como Fórmula de Herón. Área del triángulo en función del radio, r, de la circunferencia inscrita En la fórmula anterior, p es el semiperímetro del triángulo. Área del triángulo equilátero Propiedades de áreas de triángulos

� Propiedad 1: si dos triángulos tienen igual longitud de altura, sus áreas son proporcionales a las longitudes de sus respectivas bases.

� Propiedad 2: si dos triángulos tienen igual longitud de base, sus áreas son proporcionales a las longitudes de sus respectivas alturas.

� Propiedad 3: si dos triángulos son semejantes, sus áreas son proporcionales a los cuadrados de la longitud de cualquiera de sus elementos correspondientes u homólogos.

1.3.7.2 Áreas de cuadriláteros

Cuadrado

En función del lado (L): A = L2

En función de la diagonal (D): 2

DA

2

=

Rectángulo A = b . h

siendo: b - base h - altura

Paralelogramo A = b . h

siendo: b - base h - altura

r.pA ABC∆ =

h L L

L

43L

A2

= 3

3hA

2

=

ha

hb

hc

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99

Rombo 2d.D

A =

siendo D - diagonal mayor d - diagonal menor

Trapecio 2

h)bB(A

+=

siendo: B – base mayor b – base menor

h – altura 1.3.7.3 Área de polígonos regulares

La región poligonal regular puede descomponerse en tantos triángulos congruentes como lados tiene el polígono.

El área será: A = n . Área (∆) = n . 2a.L

� A = p.a

El área de los polígonos regulares, también puede expresarse en función de los siguientes elementos:

� R = radio de la circunferencia circunscrita � L = lado del polígono regular � r = radio de la circunferencia inscrita � a = apotema del polígono regular

El siguiente cuadro presenta las expresiones correspondientes al área de las respectivas figuras:

FIGURA EN FUNCION DE

R L R a

Triángulo equilátero 4

3R3 2

4

3L2

3r3 2 3a3 2

Cuadrado

2R2 L2 4r2 4a2

Hexágono regular 2

3R3 2

2

3L3 2

3r2 2 3a2 2

a

L

_____________________________________________________________________________________


100

1.3.7.4 Áreas de regiones circulares

Círculo

A=π R2 ó 4Dπ

A2

=

Sector circular

360αRπ

A2

=

Segmento circular

A(sector AOB) – A(∆AOB)

Zona o faja circular

A(segm.CD)-A(segm.AB)

Corona circular

A=π (R2 - r2)

Trapecio circular

360α)rR(π

A22 −=

Ejemplo 1 Hállese el área de un triángulo de 90 metros de perímetro, cuyos lados están en la relación 2, 3 y 4. Solución Los lados del triángulo medirán: 2K, 3K y 4K Dado que el perímetro del triángulo es 90, se tendrá: 2K + 3K + 4K = 90 � K = 10 Por lo tanto, los lados del triángulo medirán: 20 metros, 30 metros y 40 metros. Dado que se conoce los tres lados del triángulo, para hallar el área se aplica la Fórmula de

Herón: )cp)(bp)(ap(pA −−−=

Reemplazando valores, se obtiene: A = 1575 m2 Ejemplo 2 Los catetos de un triángulo rectángulo son, entre sí, como 3 es a 4. ¿Cuál es la medida de la hipotenusa, sabiendo que el área del triángulo es 24 m2?

A

C

B

D

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101

Solución Si los catetos son proporcionales a 3 y 4, el triángulo será 3 – 4 – 5, lo cual significa que la hipotenusa será proporcional a 5. Sean las medidas de los catetos: 3K y 4K

El área del triángulo será: 2K62

K4.K3 =

Pero, por dato del problema, el área del triángulo es 24 m2 � 6K2 = 24, de donde, K = 2 Los catetos medirán 6 y 8 metros y la hipotenusa medirá 10 metros. Ejemplo 3 Si el área del cuadrado ABCD es 27 m2, determínese el área de la región MNPQ. Tómese en cuenta que cada lado está dividido en tres partes iguales. Solución En la figura mostrada, considerando que el lado del cuadrado ABCD mide 3a, se tendrá: Área = (3a)2 = 27 � 9 (a2) = 27 � a2 = 3 m2

El área de la región MNPQ puede determinarse restando al área del cuadrado ABCD el área de los cuatro triángulos formados en las esquinas del cuadrado, cada uno de los cuales tiene por base 2a y por altura a:

A (MNPQ) = 2

a)a2(427 −

= 27 – 4 a2 = 27 – 4 (3) = 15 m2

Ejemplo 4

Hállese el área de un cuadrado inscrito dentro de un semicírculo de 53 metros de radio.

Solución Se construye el triángulo rectángulo de catetos L y 2L e hipotenusa R. Aplicando el Teorema de Pitágoras:

(L)2 + (2L)2 = R2 = ( 53 )2 = 45 � 5 L2 =45 � L = 3 metros. Por lo tanto, el lado del cuadrado medirá 6 metros. El área buscada es: A = 62 = 36 m2

Ejemplo 5 Hállese la relación entre las áreas del triángulo equilátero y del hexágono regular inscritos dentro de una misma circunferencia. Solución

43R3

43)3R(

43L

)equilátero∆(A222

===

23R3

23L3

)hexágono(A22

==

En consecuencia, la relación de áreas buscada es igual a 21

A B

D C

M

Q

N

P

L

2L R

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Ejemplo 6 Hállese el área sombreada si el arco APB es una semicircunferencia de centro O y radio 6, si el arco AP es un cuarto de circunferencia y si ABCD es un rectángulo.

Solución El área buscada es igual al área de la región APO más el área del cuarto de círculo OPB. Empero, el área de la región APO es igual al área de la región PCB. En consecuencia, el área buscada será equivalente al área del cuadrado OPCB � A = 62 = 36 m2

A

D

O B

C P

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103

II. SECCIÓN DE APTITUD VERBAL

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II. SECCIÓN DE APTITUD VERBAL Una de las definiciones de lenguaje humano afirma que este es una facultad natural para combinar las unidades que conforman la lengua. Una lengua o idioma es el medio a través del cual ejercitamos esa facultad. Las unidades que conforman cualquier lengua o idioma son los sonidos, unos con significado (las palabras y los morfemas), otros sin significado (los fonemas). Con los fonemas, formamos los morfemas y las palabras, y, con estas últimas, elaboramos las frases y oraciones que utilizamos todos los días para comunicarnos. Desde los inicios de la vida en comunidad, el ser humano ha necesitado comunicarse y se ha dado cuenta de las ventajas que implica utilizar, como medio de comunicación, su lengua. Ella le permite expresar y —en caso de que lo necesite— transmitir cualquier tipo de información a otro ser como él. Esta información puede ser simple o compleja, estar relacionada con su vida o con las vidas de otros, ser propia de su tiempo o de tiempos pasados o futuros, ser real o ficticia. Puede implicar deseos, órdenes o peticiones; preguntas o respuestas; afirmaciones o negaciones. Todo esto es posible gracias a nuestra facultad lingüística y a que los seres humanos hemos desarrollado idiomas, propios de nuestro entorno y surgidos por la necesidad de explicárnoslo y de relacionarnos con él. Finalmente, así como un ser humano puede expresar cualquier tipo de información, también tiene que recibir otro tanto. Precisamente, en este contexto, nos damos cuenta de todas las habilidades que los seres humanos hemos desarrollado casi conjuntamente con el desarrollo del lenguaje: la capacidad de producir enunciados complejos, pero también la capacidad para comprenderlos. Producir un enunciado significa que hemos procesado la información que queremos transmitir: la consideramos como válida o no, como real o irreal; es general o particular; la hemos deducido o la hemos inducido; conlleva nuestra intención. Y todo este mensaje se traduce en palabras que nuestro interlocutor debe comprender. Por tanto, para comprender —decodificar— un mensaje, también se ponen en juego un conjunto de habilidades —o capacidades— que están dirigidas a descifrar todo lo que el hablante dijo y quiso decir. Análisis, síntesis, comparación, explicación, descripción, demostración, enumeración, y un largo etcétera, son algunas de estas habilidades que ponemos en juego cada vez que conversamos con otra persona, producimos un texto, leemos un texto o, simplemente, resolvemos unos ejercicios de aptitud verbal. Finalmente, descubrimos que, en el momento de la comunicación, intervienen nuestra facultad del lenguaje para construir y comprender enunciados —o, más propiamente, para codificarlos o decodificarlos— en una determinada lengua, y nuestras habilidades cognitivas que nos permiten ir evaluando nuestros propios enunciados y los de los otros para llegar a lo que se quiso decir. El Pronóstico de Potencial Universitario (PPU), en el sentido mencionado líneas arriba, evalúa, entonces, las habilidades cognitivas de los alumnos a partir de su capacidad para manejar e interpretar palabras, enunciados o textos. En este sentido, la importancia de esta evaluación radica en que no solo medirá el sutil manejo que un alumno tenga de su lengua y, a través de él, las habilidades cognitivas explicadas, sino, también, en que se convierte en un ejercicio que ayuda de manera fundamental en el proceso de construcción de nuevos conocimientos. La construcción de nuevos conocimientos a partir de una información dada es el requisito más importante para una carrera fructífera en la universidad. En la sección de aptitud verbal, hay diferentes tipos de preguntas que están preparadas para descubrir, a través del manejo del idioma, las habilidades cognitivas: analogías, oraciones incompletas, ordenamiento de ideas, eliminación de una idea dentro de un contexto, serie de palabras, significado de palabras o frases dentro de un contexto y comprensión de lectura. 2.1 ANALOGÍAS 2.1.1 Generalidades Las preguntas de analogías evalúan la capacidad para identificar relaciones similares (o análogas, de ahí el nombre) entre pares de palabras. Su importancia reside, entonces, en que

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ayudan a desarrollar la creatividad a través de la construcción de oraciones que tienen que mostrar las relaciones de similitud. Cómo son Las preguntas de analogías consisten en descubrir la relación más cercana entre un par de palabras llamadas el par de base y cinco pares de opciones. El par de base aparece siempre en letras mayúsculas y las opciones en minúsculas. Se trata, entonces, de identificar la relación entre las palabras que constituyen el par de base para, luego, seleccionar, de entre las opciones, el par en el que se establezca la misma relación. Indicaciones Las indicaciones típicas para este tipo de preguntas suelen estar redactadas de la siguiente manera: Seleccione el par de palabras que exprese mejor la relación que existe entre las palabras en mayúsculas. Veamos un ejemplo. Luego de las indicaciones, aparecen las preguntas. A continuación, se puede apreciar un típico ejemplo de pregunta de analogía. ORADOR : ORAL : : (A) Escritor : palabras (B) Fotógrafo : audiovisual (C) Mimo : gestual (D) Profesor : doctrinal (E) Atleta : corporal Antes de responder, veamos el ejercicio con atención. Primero que nada, se debe establecer verbalmente (es decir, a través de palabras que formen una oración) la relación que existe entre las palabras del par base. Esta relación podría sintetizarse de la siguiente manera: el orador se expresa a través del medio oral. La respuesta correcta será aquel par que exprese la misma relación, es decir, X se expresa a través del medio Y. Teniendo esta relación en cuenta, examinemos todas las opciones. La primera (escritor : palabras) parece buena a primera vista, pues el escritor se expresa empleando palabras. Sin embargo, no podemos decir el escritor se expresa empleando el medio palabras. En realidad, el escritor se expresa a través del medio escrito. Tenemos, entonces, una alternativa menos. La segunda opción es fotógrafo : audiovisual, es decir, el fotógrafo se expresa a través del medio audiovisual. Es verdad que un fotógrafo podría combinar los modos de expresión visual y auditivo para realizar un trabajo innovador (por ejemplo, podría hacer una exposición de sus imágenes poniéndoles un fondo musical); sin embargo, el medio de trabajo por excelencia del fotógrafo es el visual y no el auditivo, así que esta opción excede la relación planteada por el par base. Luego, se tiene mimo : gestual. El mimo es un artista que se expresa exclusivamente a través de símbolos gestuales: posiciones y movimientos corporales, gestos faciales, todo lo que hace el mimo a través de sus gestos apunta a la representación de ciertas cosas y, por ende, a la expresión de ciertos contenidos. Además, si verbalizamos esta opción, obtendremos el mimo se expresa a través del medio gestual. Aparentemente, hemos encontrado lo que buscábamos. Sin embargo, un error muy frecuente que cometen los alumnos es marcar la «primera opción correcta» que encuentran sin revisar las que faltan. Este error puede llevar a no considerar otra opción que, inclusive, puede ser mejor y, por tanto, la respuesta acertada.

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Detengámonos en las opciones que nos faltan. La penúltima es profesor : doctrinal. ¿El profesor se expresa a través del medio doctrinal? Es verdad que todos hemos tenido profesores un poco dogmáticos que intentaron, precisamente, «adoctrinarnos» en más de una idea, pero, normalmente, se espera que los profesores no sean así. Se trata, entonces, de una opción que debe ser descartada. Finalmente, tenemos atleta : corporal. Es cierto que el atleta se desempeña en el ámbito corporal; utiliza su cuerpo para realizar sus actividades. ¿Tenemos, ahora, dos opciones correctas entonces? Para resolver esta duda, volvamos a la verbalización de la relación entre las palabras: ¿se expresa el atleta a través del medio corporal? En sentido estricto, no es así, por lo menos no en el sentido en que lo hace un orador a través del medio oral o un mimo a través del gestual. El atleta emplea el medio corporal para llegar a su meta (llegar más lejos, ir más rápido, conseguir más puntos); dicho de otra forma, lo emplea para conseguir objetivos que no tienen que ver primordialmente con la expresión de un mensaje. Ahora sí, la respuesta es clara: (C). 2.1.2 Tipos de analogías Las analogías que se aplican en el PPU tienen algunos tipos básicos. El objetivo de este cuaderno no es memorizar todos los tipos de analogías, pero sí familiarizarse con ellos para encontrar la relación entre los pares de palabras más fácilmente. A continuación, se presentan las relaciones más comunes de analogía con sus respectivos ejemplos. a. X es la característica que define a Y.

TACAÑERÍA : AVARO La tacañería es la característica del avaro.

JOCOSIDAD : COMEDIA La jocosidad es la característica que define a la comedia.

HUMOR : PAYASO El humor es la característica que define al payaso.

AISLAMIENTO : ERMITAÑO El aislamiento es la característica que define al ermitaño.

Este tipo de relación entre palabras puede verbalizarse también —en algunos casos— como X es la función que cumple Y . Por ejemplo, JOCOSIDAD : COMEDIA se interpretaría como la jocosidad es la función que cumple la comedia; NAVEGAR : BARCO, como navegar es la función que cumple un barco. b. La falta de X es la característica que define a Y. Este tipo de relación es el «espejo» de la anterior. Veamos los ejemplos mostrados a continuación.

OCIOSIDAD : TRABAJADOR La falta de ociosidad es la característica que define al trabajador. CORDURA : ORATE La falta de cordura es la característica que define al orate.

MEMORIA : AMNESIA La falta de memoria es la característica que define a la amnesia.

MOVIMIENTO : PARÁLISIS La falta de movimiento es la característica que define a la parálisis.

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c. X es el grado extremo de Y. En este tipo de relación, las dos palabras son, prácticamente, lo mismo; la diferencia está en el grado de intensidad.

CORRER : TROTAR Correr es el grado extremo de trotar.

ESTRUENDO : RUIDO El estruendo es el grado extremo del ruido. (También, se puede decir de la siguiente manera: el estruendo es un ruido extremo).

CONDENACIÓN : DESAPROBACIÓN La condenación es el grado extremo de la desaprobación.

REVOLUCIÓN : PROTESTA La revolución es el grado extremo de la protesta.

En algunos casos, esta clase de relación se limitará simplemente a presentar dos sinónimos , es decir, dos palabras que poseen el mismo significado. Veamos dos ejemplos.

DEBATE : CONTROVERSIA Un debate es una controversia. DESOBEDECER : CONTRAVENIR Desobedecer es lo mismo que contravenir.

d. X es una parte de Y. Estas relaciones muestran una cosa que es componente de otra. Observemos los ejemplos expuestos a continuación.

LADRILLO : PARED Un ladrillo es parte de una pared. TECLADO : COMPUTADORA Un teclado es una parte de la computadora.

MECHA : VELA La mecha es parte de la vela. TÓRAX : CUERPO El tórax es una parte del cuerpo.

e. X es un tipo de Y. En este tipo de analogía, algo es un tipo particular de una idea más general. Otra forma de expresar esta relación es X es miembro de la clase Y. Veamos cuatro ejemplos.

ÓLEO : PINTURA El óleo es un tipo de pintura.

SOBRESALIENTE : CALIFICACIÓN Sobresaliente es un tipo de calificación.

OFTALMÓLOGO : MÉDICO El oftalmólogo es un tipo de médico. ARVEJA : LEGUMBRE La arveja es un tipo de legumbre (o la arveja es miembro de la clase de las legumbres).

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f. X es seguido por Y en una secuencia. En esta relación, la secuencia puede ser lógica, temporal o de causa-efecto. Los siguientes ejemplos clarificarán la idea.

ENTRENAMIENTO : PARTIDO El entrenamiento es seguido por un partido.

ADOLESCENCIA : JUVENTUD La adolescencia es seguida por la juventud.

RENACUAJO : RANA El renacuajo es seguido por la rana.

JUICIO : SENTENCIA El juicio es seguido por la sentencia

g. X es una interrupción de Y. Este tipo de relación es, en algunos casos, la relación inversa de la que acabamos de presentar. Veamos algunos ejemplos.

MUERTE : VIDA La muerte es una interrupción de la vida. RECREO : CLASES El recreo es una interrupción de las clases. DIVORCIO : MATRIMONIO El divorcio es la interrupción del matrimonio. INTERMEDIO : OBRA El intermedio es la interrupción de una obra.

h. X es la herramienta usada por Y, o X es la herra mienta usada para lograr Y.

MEDICINA : MÉDICO La medicina es la herramienta usada por el médico.

ANTÍDOTO : CURACIÓN El antídoto es la herramienta usada para la curación.

BISTURÍ : CIRUJANO El bisturí es la herramienta usada por el cirujano.

FILTRO : PURIFICACIÓN El filtro es la herramienta usada para lograr la purificación.

i. X es el lugar donde, normalmente, uno encontrarí a a Y.

TEATRO : ACTOR El teatro es el lugar donde, normalmente, uno encuentra al actor.

PARQUE : DISTRACCIÓN El parque es el lugar donde, normalmente, uno encuentra distracción. AULA : PIZARRA El aula es el lugar donde, normalmente, uno encuentra la pizarra.

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CLÓSET : ROPA El clóset es el lugar donde, normalmente, uno encuentra la ropa.

j. X es un signo o símbolo de Y.

RISA : ALEGRÍA La risa es un signo de alegría.

LIBRO : CONOCIMIENTO El libro es un símbolo del conocimiento.

GEMIDO : DOLOR El gemido es un signo del dolor.

CEÑO : ENOJO El ceño es un signo de enojo.

k. X es lo contrario de Y. Aquí, se muestran palabras con significados opuestos.

DESABRIDO : SABROSO Lo desabrido es lo contrario de lo sabroso.

SENSATEZ : NECEDAD La sensatez es lo contrario de la necedad.

COMPLICAR : SIMPLIFICAR Complicar es lo contrario de simplificar.

SUBLIME : BAJO Lo sublime es lo contrario de lo bajo.

2.1.3 Claves para responder Las preguntas de analogías pueden tener desde un nivel de complejidad bastante sencillo hasta uno elevado. A continuación, se presentan algunos consejos que se pueden seguir en la resolución de este tipo de preguntas. � Es necesario no olvidarse nunca de verbalizar la relación existente entre las palabras que

conforman el par de base.

� Una vez que se haya verbalizado la relación entre los miembros del par de base, se debe tratar de precisar esa relación. Es muy común que varias de las opciones de respuesta cumplan con la relación que se ha establecido. En ese caso, se debe «pulir» esta relación hasta que solo una de las opciones concuerde con ella. Veamos un ejemplo a continuación.

BARCO : AGUA : :

(A) Automóvil : autopista (B) Tren : rieles (C) Trineo : nieve (D) Bicicleta : tierra (E) Peatón : acera

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Si establecemos la relación entre el par base como el barco se traslada a través del agua, esto no permitirá eliminar ninguna opción, pues todas las demás cumplen con la misma relación. Se debe, entonces, precisar más la relación entre las palabras del par base: el barco se desliza a través del agua, que es un medio natural. Ahora, sí podemos eliminar las cuatro opciones incorrectas y nos quedaremos solo con (C): el trineo se desliza a través de la nieve, que es un medio natural.

� La pareja análoga al par de base (es decir, la opción correcta) no solo debe mantener la

misma relación entre sus miembros, sino que debe hacerlo, también, en el mismo orden. Así, por ejemplo, podría haber una pregunta como la siguiente:

HUMOR : COMEDIANTE : :

(A) Aves : ornitólogo (B) Líquido : fluidez (C) ... (D) ... (E) ...

La relación entre las palabras del par de base es el humor es la característica que define al comediante. La opción (A) cumple con la misma relación: el estudio de las aves es la característica que define al ornitólogo. La opción (B) muestra la misma relación entre sus miembros, pero lo hace de manera inversa: el líquido se define por su característica de fluidez. Por lo tanto, la opción correcta es la (A).

Se debe ser sumamente cuidadoso con las opciones distractoras que presente un par que cumple con la misma relación que el par base, pero cuyos miembros están invertidos: esa no puede ser, de ninguna manera, la respuesta.

� Cuando, después de descartar todas las opciones incorrectas, aún quedan dos que cumplen con la misma relación del par de base, se debe escoger aquella respuesta que tiene algo más en común con la pareja base; por ejemplo, las palabras pertenecen a las mismas categorías gramaticales o son de la misma naturaleza. Veamos un ejemplo.

CÓLERA : PLÁCIDO : : (A) Estupidez : inteligente (B) Reconocimiento : fracaso (C) ... (D) ... (E) ... La relación presente en el par de base es la siguiente: la falta de cólera es la característica que define a la persona plácida. En (A), tenemos la falta de estupidez es la característica que define a la persona inteligente y, en (B), la falta de reconocimiento es la característica que define el fracaso. ¿Cuál es la correcta? Dado que tanto (A) como (B) cumplen con la relación buscada, se debe analizar las categorías gramaticales de las palabras: el par de base muestra, primero, un sustantivo y, luego, un adjetivo. La opción (A) tiene las mismas características. No ocurre algo similar con (B), pues la opción presenta dos sustantivos. ¿Cuál se debe marcar? Está claro que la respuesta correcta es la (A). Veamos otro ejemplo. INGENIERO : CONSTRUCCIÓN : : (A) Abogado : defensa (B) Lavandero : lavado (C) ... (D) ... (E) ... La relación entre el par de base es el ingeniero tiene como función (o se dedica a) la construcción. La opción (A) y la (B) cumplen con la misma relación; además, las dos

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opciones de respuesta presentan palabras pertenecientes a las mismas categorías gramaticales (se trata de sustantivos o nombres en todos los casos). Para decidir entre una de ellas, se debe optar por analizar la naturaleza de lo que refieren estas palabras: el ingeniero es un profesional, al igual que el abogado (y a diferencia del lavandero), por lo que se debe elegir (A).

2.2 ORACIONES INCOMPLETAS 2.2.1 Generalidades Las preguntas de oraciones incompletas evalúan, básicamente, dos aspectos de las aptitudes verbales: la comprensión de textos y el uso adecuado del vocabulario. En otras palabras, se trata de pequeños ejercicios de comprensión de lectura. Este ejercicio es importante porque, a través de las oraciones, trabajará ideas precisas y concretas conformadas por un grupo pequeño de palabras semántica y gramaticalmente. ¿Cómo son? Estas preguntas consisten en plantear oraciones en las cuales se han omitido algunas palabras que deben ser identificadas. Por lo general, las palabras omitidas son una, dos o tres. La idea es responder estas preguntas empleando los conocimientos sobre el español y el sentido común. Indicaciones Las indicaciones para esta parte de la sección de aptitud verbal suelen ser enunciadas de la siguiente manera: Complete las siguientes oraciones con la opción que considere más adecuada. Veamos un ejemplo. En el PPU, se podría encontrar una oración incompleta como esta: «El verano ...................., incluso, a las mujeres más ....................», dijo sonriendo al ver pasar a su tan poco ataviada amiga. (A) descubre – impúdicas (B) broncea – blancas (C) desviste – pudorosas (D) tolera – antipáticas (E) asienta – desastrosas Antes de responder, analicemos la oración con cuidado. Por lo general, las oraciones de este tipo de preguntas están compuestas por dos partes; una funciona como complemento de la otra. En este caso en particular, nos encontramos con una frase dicha por alguien («El verano […]») y, luego, la descripción de la situación en que la frase se dice (dijo sonriendo […] amiga). Esta vendría a ser el complemento de la anterior. A partir de estos datos, se puede concluir que alguien sonrió al ver a su amiga con poca ropa y dijo algo al respecto. Por otro lado, el análisis de la frase dicha por el personaje del ejemplo muestra que las palabras que completarían la oración adecuadamente tienen que mantener, de alguna manera, una relación de oposición: el verano hace algo (no sabemos aún qué) incluso a las mujeres menos propensas a ello. Teniendo esto en cuenta, podemos empezar a descartar opciones. Salta a la vista que la opción (A) no podría ser la respuesta correcta debido a que no es lógico decir que el verano descubre incluso a las mujeres más impúdicas (no hay una relación de oposición entre descubre e impúdicas). Ahora bien, las otras cuatro opciones sí mantienen esa relación de oposición, así que habrá que revisarlas cuidadosamente.

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Al completar la oración con las palabras de la opción (B), tendríamos lo siguiente: «El verano broncea, incluso, a las mujeres más blancas». Es verdad que el verano broncea a las personas más blancas, ¿pero sería esperable decir que broncea incluso a las mujeres más blancas? Al contrario; las personas blancas son las más propensas a verse afectadas por los rayos ultravioleta. Por otro lado, el hecho de que quien dijo la frase lo haya hecho sonriendo al ver a la amiga con poca ropa nos hace sospechar que la intención de sus palabras iba por otro lado (digamos, por uno un tanto más pícaro). La opción (C) completaría la frase así: «El verano desviste, incluso, a las mujeres más pudorosas». Esto tiene consistencia interna y, además, se corresponde con el sentido del complemento de la frase. Es decir, hasta las mujeres menos dadas a usar ropas breves aligeran mucho su atuendo en verano. Parece correcta, pero faltan revisar todas las opciones antes de marcar la respuesta. En (D), se tendría «El verano tolera, incluso, a las mujeres más antipáticas». Ni el verano ni el invierno ni ninguna de las cuatro estaciones que se conocen discrimina a las personas por sus rasgos de personalidad, así que esta opción puede ser descartada sin mayor análisis. Por último, (E) no podría ser la respuesta correcta, puesto que, así como el verano puede asentar a las mujeres más desastrosas, puede, también, resaltar sus atributos menos atractivos. La respuesta, entonces, es C. 2.2.2 Claves para responder Los siguientes son datos que pueden ser de mucha utilidad para completar estas oraciones. � Nunca puede ser una opción correcta de respuesta aquella que rompa con la estructura

gramatical correcta de la oración. En otras palabras, se deben descartar, rápidamente, todas las opciones que no den como resultado una oración bien formada en castellano. Veamos un ejemplo a continuación.

La .................... es el mejor juez que tiene un hombre de bien.

(A) conciencia (B) espíritu (C) ... (D) ... (E) ... Ambas opciones son adecuadas, porque apuntan a lo mismo, es decir, a la voz interior del ser humano que le dicta la opción correcta que este debería tomar, pero la opción (B) formaría una oración gramaticalmente incorrecta en castellano: *La espíritu es el mejor juez que tiene un hombre de bien. No hay concordancia gramatical de género entre la y espíritu. La opción correcta es, entonces, la (A).

� Siempre se debe tomar en cuenta la coherencia contextual . Puede haber varias palabras que, aparentemente, encajan en la oración incompleta, pero solo habrá una que concordará adecuadamente con el resto de información presente en ella. Veamos un ejemplo a continuación. El único Estado estable es aquel en el que todos los ciudadanos son .................... ante la ley. (A) iguales (B) poderosos (C) ... (D) ... (E) ...

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Teniendo en cuenta el contexto legal que presenta la oración —se habla del Estado y de las leyes—, es claro que la opción correcta es la (A) y no la (B), pues no es lógico que, en un Estado estable, la ley, que se debe cumplir igualmente para todos, conciba la existencia de ciudadanos poderosos. Si esto fuera así, entonces, también habría ciudadanos no poderosos y, por tanto, no serían iguales ante la ley.

� Se debe revisar con mucha atención la relación existente entre las diversas partes de la

oración. Estas relaciones pueden ser de diversos tipos, y de un análisis adecuado de estas depende que se responda correctamente o no. Por ejemplo, conectores como a pesar de, sin embargo, pero, etcétera, establecen una relación de contraste (con mayor o menor grado de oposición) entre dos partes de una oración. Asimismo, nos podemos encontrar con conectores de equivalencia, tales como es decir, en otras palabras, dicho de otro modo, etcétera, que implican que las dos partes de la oración que unen dicen, aproximadamente, lo mismo.

2.3 ORDENAMIENTO DE IDEAS 2.3.1 Generalidades Las preguntas de ordenamiento de ideas evalúan la capacidad de comprensión y síntesis de un conjunto limitado de ideas, y la de ordenarlas de acuerdo con una lógica determinada. Este ejercicio es importante porque ayuda al estudiante a darle coherencia y estructura a un conjunto de ideas desordenadas. ¿Cómo son? Este tipo de preguntas presenta, en sus opciones, un conjunto de cinco ideas que tratan sobre un tema en particular y que están en desorden. El objetivo es que sea ordenado siguiendo un determinado criterio lógico. Indicaciones Las indicaciones para la resolución del ordenamiento de ideas se enuncian del siguiente modo: Ordene las siguientes ideas de manera que conforme un texto lógicamente coherente. Veamos un ejemplo. En el PPU, se puede encontrar una pregunta tipo como la que se presenta a continuación. Elija el orden más adecuado para las siguientes oraciones, de tal forma que resulte un texto correctamente estructurado. a. Este gigantesco carnívoro, que tenía pequeñas manos casi atrofiadas, marcó el final de

una larga historia evolutiva, de la cual faltaba un eslabón. b. El más famoso de los dinosaurios, el tiranosaurio, desapareció con los demás dinosaurios

hace más de 6,5 millones de años. c. Aunque no había sido popular entre los paleontólogos, esta teoría ha quedado reivindicada

por el hallazgo de un estudioso. d. Sobre el origen del tiranosaurio, existían dos teorías, una de las cuales postula que es

descendiente de los pequeños predadores de la familia del velociraptor. e. En 1997, en la costa sur de Inglaterra, un paleontólogo encontró los restos fósiles del

eslabón perdido en la línea evolutiva del tiranosaurio: el eotyranus (tirano temprano). (A) b – a – d – c – e (B) b – a – c – d – e (C) a – b – c – d – e (D) d – c – e – a – b (E) d – e – c – b – a

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Antes de responder esta pregunta, se tienen que leer todas las opciones para tener una idea clara acerca de qué trata el conjunto de ideas. Una vez que tengamos una noción general de ella, se tiene que ver la información específica de cada una de las opciones. La lectura tiene que ser muy atenta, porque se tienen que descubrir los rasgos particulares de cada una que permitan decidir si colocar esta información en el final, en el inicio o en alguna otra parte determinada del conjunto. Siempre deberá haber algún detalle en cada oración que permita relacionarla con otro detalle de otra oración. Veamos cómo aplicar estas ideas. Para este caso en particular, es claro que el texto trata, en general, sobre el tiranosaurio. La primera afirmación menciona un gigantesco carnívoro con manos pequeñas que era parte de una cadena evolutiva a la que le faltaba un eslabón. Fijémonos en que esta oración no puede ser la primera, porque alude al dinosaurio de la siguiente manera: «Este gigantesco carnívoro (…)». El demostrativo este indica, con claridad, que, antes, se debería haber hecho mención del tal dinosaurio. En la segunda oración, se entiende que es la primera vez que nos presentan al animal en cuestión. De hecho, la opción b. tiene que ser la información que encabece el posible texto. La opción c. menciona una teoría sobre la que no habíamos leído nada, pero, además, que un estudioso ha realizado un hallazgo que confirma esta teoría. En cambio, la opción d es la que nos presenta la teoría: esta es aquella que postula que el tiranosaurio es descendiente de la familia del velociraptor. Finalmente, la opción e. informa sobre el descubrimiento realizado por el estudioso que había anticipado la opción c. Debe ir quedando claro, entonces, que, en primer lugar, se debe presentar la idea de la existencia de un tipo de dinosaurio, el tiranosaurio (opción b.) y, luego, que este forma parte de una historia evolutiva a la que le falta un eslabón (opción a.). Después de esta característica, se puede introducir la idea de las teorías sobre el origen del tiranosaurio (opción d.) para, luego, decir que una de estas teorías ha sido reivindicada por un hallazgo (opción c.). Se debe terminar el texto con la información del momento, el lugar y el descubrimiento del eslabón perdido del que ya se había hablado (opción e.). Por tanto, después de haber encontrado la mejor lógica al contenido de las opciones, se puede postular el orden establecido en la respuesta (A). 2.3.2 Tipos de ordenamientos de ideas Las diferencias entre los tipos de ordenamientos de ideas radican, fundamentalmente, en la formulación de la indicación y, a veces, en el tipo de ideas que conforman el cuerpo de la pregunta. A continuación, se presentan algunos tipos distintos del mostrado en el ejemplo. a. De lo general a lo particular o de lo particular a lo general Ordene las frases de la más general a la más particular. I. Altazor como uno de los mejores poemarios de Huidobro II. La poesía vanguardista de Huidobro III. La poesía hispanoamericana del siglo XX IV. La poesía vanguardista sudamericana V. Análisis del verso libre en un poema de Altazor (A) IV, III, I, II y V (B) III, IV, I, II y V (C) III, IV, II, I y V (D) II, IV, III, V y I (E) V, II, I, IV y III En este caso, la indicación ya está estableciendo el orden en el que se deben organizar las frases. Si se revisa la indicación del ejemplo comentado, se observará que, simplemente, se pide estructurar correctamente las ideas del cuerpo de la pregunta; sin embargo, a diferencia de este tipo que se está presentando, el alumno debe descubrir la lógica que se tiene que utilizar en el ordenamiento.

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Para resolver este ejemplo, entonces, se tiene que descubrir cuál es la frase más general. Esta es la III., puesto que informa sobre toda la poesía hispanoamericana del siglo XX. En segundo lugar, tiene que aparecer la IV., porque, de toda la poesía mencionada, solo se va a comentar acerca de la poesía de tipo vanguardista y sudamericana. En tercer lugar, debe aparecer la II., puesto que, de toda la poesía vanguardista, se va a tratar la de Huidobro. En cuarto lugar, de toda la poesía de Huidobro, solo se va a comentar el poemario Altazor. Para terminar, no se va a analizar todo el poemario, sino, únicamente, el verso libre en uno de todos los poemas. La respuesta es la opción (C). b. Ordenamiento a partir de un tema determinado Ordene los siguientes pasos para atender a una víctima de un accidente eléctrico. I. Revise sus signos vitales. II. Si la víctima se encuentra inconsciente, realice la reanimación cardio-pulmonar. III. Si el accidentado queda unido al conducto eléctrico, sepárelo con un palo aislante, por

ejemplo, de madera seca. IV. Desconecte la corriente. V. En cuanto pueda, trasládelo a un centro asistencial. (A) I, II, IV, V y III (B) IV, I, II, III y V (C) IV, III, I, II y V (D) IV, III, II, I y V (E) IV, II, III, I y V Este tipo de ordenamiento es, inclusive, más preciso que el anterior. Se presenta directamente el tema cuya información tiene que ser ordenada. Para resolver este ejemplo en particular, dado el tema, se tiene que aplicar el sentido común y cualquier experiencia que se haya tenido al respecto. El tema planteado (un accidente eléctrico) ya nos está indicando lo primero que se tiene que hacer. La lógica indica con claridad que, con urgencia, se tiene que desconectar la corriente. Por esta razón, la opción IV. es la primera. En segundo lugar, va la III. Se tendría que despegar al accidentado del conducto eléctrico y con un palo aislante por si acaso. Una vez que se tienen todas las medidas de seguridad, se debe tratar de resucitar a la víctima en caso de que esté inconsciente, es decir, la opción II. Inmediatamente después de resucitada la víctima, se tiene que comprobar que tenga signos vitales, o sea, la opción I. Finalmente, después de pasados estos primeros pasos de emergencia, se debe llevar a la víctima a un centro asistencial para que la estabilicen, es decir, la opción V. La respuesta, entonces, es la (D). c. Ordenamiento cronológico Ordene la siguiente información desde el punto de vista cronológico. a. Realización propiamente dicha del ataque al fuerte b. Búsqueda de los puntos débiles del interior del fuerte c. Introducción de un espía en el interior del fuerte d. Planeamiento del ataque al fuerte con la información obtenida e. Disposición estratégica de las fuerzas de ataque al fuerte (A) c, b, d, e, a (B) b, c, d, a, e (C) c, b, e, d, a (D) d, b, c, e, a (E) d, c, b, e, a Normalmente, esta pregunta no presenta temas de contenido histórico, porque eso implicaría evaluar, más bien, el conocimiento enciclopédico del alumno. Se presentarían temas de corte histórico en caso de que este sea muy básico y, por tanto, conocido por un alumno de

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secundaria. La idea de este tipo de pregunta consiste en que el alumno sea capaz de darse cuenta de qué información tiene que haberse dado en el tiempo antes o después que las otras. Después de leer todas las opciones, tenemos que darnos cuenta de que el tema central es el de un planeamiento y ataque a un fuerte. Una vez establecido este punto y releyendo la primera opción, debemos observar que la realización del ataque debe ser el punto final de todo el planeamiento. Si leemos la opción b., debemos saber, con claridad, que la búsqueda de los puntos débiles tiene que llevarse a cabo antes de atacar. Sin embargo, todavía no sabemos cuán antes tiene que estar. La opción c. realude a la introducción de un espía dentro del fuerte. Esto podría querer decir que este espía tiene la misión de buscar los puntos débiles. Si la opción d. dice que se planeará el ataque con la información obtenida por el espía, es claro que esta idea debe quedar después de la opción b. Una vez que está todo planeado, se tienen que disponer las fuerzas de ataque en los puntos clave del fuerte, es decir, e. Finalmente, se ataca el objetivo. Por tanto, la opción que ordena cronológicamente mejor las ideas es la (A). 2.3.3 Claves para responder Las siguientes son indicaciones importantes para el momento de responder las preguntas de este tipo: � Se debe leer el conjunto total de ideas que aparecen en la pregunta. De esta manera, se

debe obtener la idea central de ellas. Si no se tiene, previamente, la idea central del conjunto, entonces difícilmente se puede establecer un orden lógico o buscar el orden que pide la indicación. Lo demás viene por añadidura.

� Una vez que se tenga la idea central, se debe tratar de encontrar, de acuerdo con la

indicación, las ideas que van al extremo de las demás, es decir, aquellas que pueden ir al principio o al final. De esta manera, luego de descartar dos opciones (la primera y la última idea), solo nos queda reflexionar sobre el orden de las tres restantes.

� Para finalizar, y como ya se dijo en alguna explicación a una de las preguntas, hay que

observar, con minuciosidad y cuidado, la información particular o específica que tiene cada idea, porque esta es la que va a estar relacionada con la que le sigue o antecede.

2.4 ELIMINACIÓN DE UNA IDEA DENTRO DE UN CONTEXTO 2.4.1 Generalidades Estas preguntas evalúan la capacidad de comprensión y síntesis de un conjunto pequeño de ideas, y la habilidad para descartar aquella que no es importante para dicho conjunto. Esta pregunta es importante porque ayuda al alumno a discriminar las ideas principales de las secundarias. ¿Cómo son? Esta pregunta presenta, en las opciones, cinco ideas que tratan sobre un tema. Sin embargo, una de ellas se aleja del tema central y puede ser eliminada sin perjuicio de dejar al texto sin una información importante o fundamental. Indicaciones Las indicaciones para la resolución de la eliminación de una idea dentro de un contexto se enuncian de la siguiente manera: ¿Cuál de los siguientes enunciados puede eliminarse sin que ello afecte el sentido general del texto?

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Veamos un ejemplo. En el PPU, se puede encontrar una pregunta tipo como la siguiente: Señale la oración que puede eliminarse sin que, por ello, se perjudique la coherencia global del texto. (A) La Asociación Cardiológica Norteamericana informa de una nueva técnica para remediar

una obstrucción coronaria. (B) La operación convierte una vena en arteria, de modo que pueda irrigar el corazón en

reemplazo de la arteria bloqueada. (C) Un hombre de 53 años fue la primera persona operada con esa técnica en el Hospital de

Trier en Alemania. (D) La nueva técnica es una alternativa para los pacientes con arterias masivamente

obstruidas que no pueden ser sometidos a la cirugía tradicional, que requiere abrir el pecho y tomar una vena de la pierna o una arteria del abdomen para reemplazar la arteria obstruida.

(E) En esta nueva cirugía, se emplea una sonda guiada por ultrasonido a través de la aorta hasta las coronarias.

Como en todas las preguntas de este tipo en las que se da regular cantidad de información, lo que se tiene que hacer es leer todas las opciones y establecer el tema central que abarca a todas ellas. Una vez que se tiene la idea central, entonces, se empieza a observar las ideas particulares de cada una de las opciones. El objetivo de esta observación es tratar de establecer qué de común hay en todas las opciones menos en alguna de ellas. Esta carencia nos debe llevar a escoger la que se puede eliminar del contexto sin afectar el contenido del conjunto. El tema central de este conjunto de ideas es la nueva técnica en la operación de una obstrucción coronaria. Esta nueva técnica fue informada por la Asociación Cardiológica Norteamericana. Pareciera que esta información debe quedar, debido a que nos dice quién dio la información en general. La segunda opción (B) nos define en qué consiste esta nueva técnica operatoria. La opción (D) explicita quiénes se deben beneficiar con esta técnica. Finalmente, la opción (E) dice qué herramientas son las que se emplean con esta técnica. Todas las opciones analizadas están íntimamente relacionadas con el empleo o uso de esta técnica quirúrgica. Sin embargo, la opción (C) presenta un ejemplo de paciente operado con esa técnica. Por tanto, se debe eliminar la (C), que es, únicamente, un ejemplo de una persona operada. En este sentido, no se están dando más explicaciones o detalles acerca de las técnicas propiamente dichas, que es el tema central, sino que se presenta una idea tangencial o secundaria de dicho tema: quién se ha hecho la operación y dónde la han hecho. Por consiguiente, si se prescindiera de esta información, el texto no perdería nada relevante, puesto que lo desechado no está dando información sobre algún aspecto de la operación en sí. La respuesta es, por tanto, la opción (C). 2.4.2 Tipos de eliminación de una idea a. Búsqueda de la información más general o más par ticular ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la más general? (A) La astronomía es la ciencia que estudia el movimiento de los astros y las leyes que los

rigen. (B) Por excelencia, la herramienta más importante del astrónomo es el telescopio. (C) La física y las matemáticas son ciencias necesarias para el trabajo del astrónomo. (D) El objetivo de la ciencia consiste en postular teorías sobre el fenómeno que estudia. (E) Los límites en el estudio astronómico han variado desde la aparición de los grandes

telescopios.

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Este tipo de pregunta no busca, propiamente, que el alumno deseche una información de entre todas las que tiene, sino que encuentre aquella que se diferencia de las demás por ser más general. En este sentido, si se excluye de un contexto aquella idea que es más general, entonces nos estaríamos quedando, coherentemente, con aquellas que, siendo más particulares, constituyen, sin dificultad, un texto. En razón de este sentido general del ejercicio, hemos considerado pertinente incluir este tipo de pregunta dentro del tipo mayor que es Eliminación de una idea dentro de un contexto. En el caso de este ejercicio en particular, se observa que la afirmación (A) es bastante general, puesto que presenta una definición del concepto astronomía. El alumno debe saber que, por su objetivo, toda definición es general. La opción (B) indica cuál es la herramienta por excelencia que caracteriza el trabajo de esta ciencia. La opción (C) tiene un sentido parecido a la opción anterior, puesto que se trata de dos «herramientas» que usan los astrónomos: la física y las matemáticas. La opción (E), por su parte, es también particular en relación con las demás, porque realude a los grandes telescopios y las posibilidades que estos les dan a los astrónomos: otra vez, herramientas. En cambio, la opción (D) propone el objetivo de las ciencias, de ninguna en particular, sino de cualquier ciencia. Esta información, por tanto, es más general que la primera, que es una definición, puesto que no solo vale para la astronomía, sino para cualquier ciencia empírica. La respuesta correcta es, por tanto, la (D). Veamos otro ejemplo del mismo tipo. Señale cuál de las siguientes frases contiene la información más particular. (A) La computadora se ha convertido, rápidamente, en un medio con buena fidelidad para

reproducir música. (B) Los tornamesas, en los equipos tradicionales de música, son los que reproducen, con

mucha fidelidad, desde los discos de vinilo, música de todo tipo. (C) Los casetes, a diferencia de los discos de vinilo, son más manejables y manipulables, y

presentan buena calidad en la reproducción de música. (D) Varios son los medios eléctricos o electrónicos a través de los cuales se puede reproducir

música con distintas calidades de fidelidad. (E) MP3 es un programa de computadora que permite almacenar una gran cantidad de

información (cientos de temas musicales) en poco espacio del disco duro para, luego, reproducirla con relativa fidelidad.

En este caso, no se pide buscar la información más general sino, por el contrario, la más particular. Para resolverlo, busquemos la idea central del texto y enunciémosla: medios a través de los cuales se reproduce música con fidelidad. Teniendo esta idea en mente, analicemos opción por opción. La (A) menciona a la computadora y su buena fidelidad. Por tanto, la computadora es un aparato que reproduce música. La opción (B) postula que los antiguos tornamesas reproducían música con mucha fidelidad. La opción (C) menciona los casetes. Los casetes, en principio, no son medios que, propiamente, sean capaces de reproducir música, sino, antes bien, de almacenarla como la almacenan los discos de vinilo, los discos compactos o los discos duros. La opción (D) es la más general, puesto que es la que, prácticamente, presenta el tema del conjunto: no puede ser eliminada. Finalmente, la (E) realude al programa MP3, que, también, reproduce música. Por tanto, la información que se desvía un tanto del tema de los reproductores de música es la opción (C), porque es más particular que las demás. La (C) es, por ello, la que se debe marcar como respuesta correcta. 2.4.3 Claves para responder Repasemos las indicaciones más importantes para el momento de responder las preguntas de este tipo. � Antes de mirar las respuestas, se debe leer toda la información del texto para construir

la idea central. � Una vez que se tiene la idea central, se debe leer, nuevamente, todas las ideas para

tratar de ver la información que conecte a cada una de las opciones. Aquella opción que

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no esté conectada con las demás o que se desvíe un poco del tema establecido será la que se debe desechar.

� Para el caso de que se pregunte por la información más general o la más particular,

igualmente, hay que encontrar el tema central. Este debe ayudar, necesariamente, a buscar aquella que, por su generalidad o particularidad, puede ser prescindible.

� Es importante, siempre, leer, con detenimiento, todas las oraciones una y otra vez para

encontrar, en ellas, la clave que diferencie a una de las demás, bien porque se sale del tema, porque es más general o porque es más particular.

� Siempre, se debe buscar el hilo conductor que enlace todas las oraciones y que

descarte una sola. 2.5 SERIES DE PALABRAS 2.5.1 Generalidades Este tipo de pregunta mide la capacidad para establecer las relaciones semánticas entre las palabras e intuir aquella que falta para completar la serie. Este ejercicio es importante porque desarrolla la creatividad del alumno para encontrar la relación lógica que forma la serie de palabras. ¿Cómo son? Esta pregunta plantea una serie o sucesión incompleta de palabras con una relación semántica entre ellas. Esta serie debe ser completada con una palabra que aparece entre las opciones. Indicaciones Las indicaciones para la resolución de la serie de palabras se enuncian de la siguiente manera: Señale aquella opción que contenga la palabra que complete mejor la siguiente serie. Veamos un ejemplo. En el PPU, se puede encontrar una pregunta tipo como la siguiente: Lea con atención la siguiente serie: EDIFICIO – CASA – HABITACIÓN – ¿Cuál de las siguientes opciones completa mejor la serie de palabras propuesta? (A) jardín – pasto (B) piso – cemento (C) dormitorio – cama (D) pasadizo – paredes (E) lavabo – caño Este tipo de pregunta es un ejercicio similar al de las analogías en tanto que, antes de mirar las opciones, debe quedar claramente establecida y verbalizada la relación entre las palabras de la serie propuesta. Una vez que se tiene la relación, se debe buscar la opción que pueda completar la serie respetando la relación propuesta. En el ejemplo propuesto, se puede plantear la siguiente relación: la casa es un tipo de edificio y la habitación es una parte natural o necesaria que compone una casa. Por tanto, para completar la serie, deberíamos tener algo así como un tipo de habitación y, luego, se tendría que buscar algo que componga la habitación específica. En este caso, se tendría que buscar

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un tipo de habitación, en tanto que la casa es un tipo de edificio y, además, algo que componga o forme parte natural o necesaria de la habitación. Para la opción (A), tendríamos que preguntarnos si es que el jardín es un tipo de habitación; de hecho, la respuesta es que no, en tanto que el jardín no es un sitio donde habiten las personas; antes bien, es un espacio abierto y no cerrado, y, por esta razón, no es un sitio habitable como sí lo son los lugares dentro de una casa. Finalmente, el jardín tiene, de manera natural, pasto. El pasto conforma el jardín, pero no es una parte específica de él: está por todos lados. Se descarta esta opción. La opción (B) no es tan buena. Veamos por qué. Si bien es cierto el piso es una parte de la casa y, por tanto, de una habitación, no es una parte, de por sí, habitable. Es una parte muy general; es decir, en cualquier lado hay piso, no solo en una habitación. El piso es una palabra que se usa para designar cualquier cosa sobre la que uno se para, camina o se cae. Por tanto, se trata de una opción poco adecuada. Por lo demás, la segunda palabra, cemento, designa aquello de lo que está construido el piso; por lo tanto, no cumple con la relación de que sea una parte del piso; es casi la parte. La opción (C) propone el par dormitorio – cama. Si se aplica la relación, tendríamos que decir que el dormitorio es un tipo de habitación y que la cama es una parte o elemento natural o necesario del dormitorio. Hay casi una perfecta adecuación de las palabras a la relación que se quiere satisfacer. La opción (D) presenta el par pasadizo – paredes. Esta opción no es tan buena. Efectivamente, el pasadizo es una parte natural de la casa; sin embargo, no es un tipo de habitación. El pasadizo no es una parte habitable de una casa; es, más bien, una parte transitable. Por lo demás, el segundo componente de la serie termina por descalificar la opción: si bien es cierto las paredes son una parte natural o necesaria de toda edificación, no lo son, específicamente, de un pasadizo. Entonces, la palabra paredes es un concepto muy general como para completar la serie que requiere, más bien, de un concepto más particular. La opción (E) se descarta rápidamente, porque todos saben que el lavabo no es un tipo de habitación, sino un elemento natural y necesario de la lavandería, el baño, la cocina, etcétera. El análisis, entonces, debería llevar a marcar como opción correcta la (C). 2.5.2 Tipos de series de palabras a. Serie incorrecta Señale la serie de palabras que no siga los mismos criterios de las demás. (A) Velero, lancha, canoa (B) Moto, ómnibus, camioneta (C) Tigre, león, leopardo (D) Mosca, avispa, abeja (E) Cuchara, cuchillo, cubierto Este tipo de pregunta tiene una ligera semejanza con las analogías: se tiene que descubrir cuál es la relación que existe entre las palabras de la serie y, luego, se tiene que observar si esta relación se cumple o no. Aquí, no hay una serie de base, sino que todas deben cumplir una relación, menos una de las opciones. En este sentido, tenemos que ser capaces de construir y verbalizar una relación, aplicarla a todas las opciones y descartar aquella que no se acerque a la relación original o, simplemente, que no cumpla con alguno de los puntos establecidos. Analicemos las opciones. La (A) presenta una serie de nombres de embarcaciones. Ellos designan tipos de embarcaciones. Por tanto, la relación debe ser algo así como tipos de X.

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Veamos si es que esta relación se cumple con la opción (B). Esta muestra una serie de nombres que presenta vehículos motorizados que se desplazan por las pistas. La pregunta es si todas las palabras designan tipos de vehículos motorizados que se desplazan por las pistas: moto, ómnibus, camioneta. Efectivamente, todos los vehículos cumplen con la relación tipos de X. En el caso de (C), vemos que, también, se cumple la relación: tigre, león, leopardo son palabras que designan a distintos tipos de felinos salvajes. Esta opción, por tanto, no puede ser descartada. En (D), se tiene una serie de palabras que hacen referencia a distintos tipos de insectos voladores. Efectivamente, mosca, avispa, abeja son palabras que designan tipos de insectos voladores. Para terminar con el análisis, miremos la opción (E). Esta contiene las palabras cuchara, cuchillo, cubierto. Esta opción no cumple completamente con el criterio establecido para las demás. Las palabras cuchara y cuchillo aluden a tipos de cubiertos y, por tanto, cumplen con la relación propuesta; sin embargo, cubierto no está en el mismo nivel de particularidad que las otras dos. Esta palabra es más general; de hecho, es la que designa el tipo de X que debería cumplir. Por esta razón, esta opción no cumple a cabalidad con la relación que las otras series sí cumplen. La respuesta debe ser, por tanto, (E). b. Serie de sinónimos Elija la serie que contenga sinónimos de la palabra grave. (A) Risible, frágil, peligroso (B) Difícil, espinoso, mortal (C) Ligero, importante, riesgoso (D) Terrible, trágico, acentuado (E) Molesto, pesado, serio En este tipo de pregunta, el criterio de la relación ya está previamente definido: la sinonimia. Para esto, se proponen series de palabras cuyos significados sean similares o equivalentes al de la palabra base. Entonces, fundamentalmente, más que el establecimiento y verbalización de una relación, lo que exige esta pregunta es un conocimiento léxico, el manejo de vocabulario. Sin embargo, en tanto que se presenta un conjunto de palabras a la manera de una serie en que la relación entre ellas es de sinonimia, la hemos considerado como un tipo de pregunta dentro de la categoría de series de palabras. En este tipo de pregunta, lo primero que se tiene que ver es si se conoce la palabra base y, si fuera así, se debe tratar de formular el significado. El adjetivo grave se usa, fundamentalmente, para decir que la salud de una persona no es buena, sino, por el contrario, muy mala, y la persona está casi a punto de morir. También, se usa para calificar accidentes. En general, este adjetivo se usa para describir situaciones que van mal y que, por eso, son difíciles de solucionar. Una vez hecho este razonamiento en relación con el significado de la palabra, se tiene que analizar todas las opciones. La opción (A) contiene, como primera palabra de la serie, risible. Pues bien, de hecho, el significado de esta palabra no está relacionado con el de la palabra base. Lo grave provoca, más bien, seriedad antes que risa. Esta opción queda descartada. La opción (B) presenta la palabra difícil. Si tuviéramos una oración como la situación del paciente se tornó grave y reemplazamos grave por difícil, veremos que el significado de la frase no cambia mucho. Estamos ante un sinónimo. Lo mismo tendríamos que hacer con las otras dos palabras. La situación del paciente se tornó espinosa o mortal significa, también, que no hay nada bueno para el paciente; por el contrario, todo se pone mal. Así, hemos comprobado que las palabras de la serie (B) son sinónimas de la palabra base.

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Con respecto a la opción (C), observamos la primera palabra, ligero, y nos damos cuenta de que se trata de un antónimo de grave, es decir, una palabra cuyo significado es opuesto al de la palabra base. Con esto, esta opción queda descartada. La opción (D) presenta palabras más interesantes: terrible, trágico, acentuado. Si utilizamos las dos primeras en la oración la situación del paciente se tornó grave, entonces, observaríamos que casi cumplen con el requisito de no cambiar el significado del conjunto: la situación del paciente se tornó terrible, trágica. Las oraciones resultantes no son exactamente iguales a la original, pero cumplen en alguna medida. Sin embargo, la última palabra, acentuado, sí aleja a la frase del significado original: la situación del paciente se tornó acentuada es una oración neutral. Puede significar que el paciente mejoró o que empeoró, pero no hay nada en esta oración que nos dé pistas para interpretar alguna de las dos posibilidades. Finalmente, la primera palabra de la serie (E), molesto, no es sinónima de grave. Comprobémoslo: la situación del paciente se tornó molesta. De hecho, el significado de esta oración no es que el paciente vio complicada su situación, sino que hay algo que la perturba, pero no para agravarse. La siguiente palabra de la serie es pesada. Una situación que se vuelve pesada tiene un significado menos preciso y, por tanto, menos similar a grave. Esta opción se descarta. Por tanto, la respuesta correcta resulta la (B). c. Serie de inclusión Señale en qué serie de palabras uno de los conceptos no está incluido en los demás. (A) Golf, tenis, natación, deporte (B) Tigre, mamífero, orca, carnero (C) Cepillo, lija, lima, pulidor (D) Fruta, palta, plátano, manzana (E) Electrón, neutrón, átomo, protón Este tipo de ejercicio, de manera análoga al de serie de sinónimos, exige reconocer el significado de las palabras, puesto que se basa en la relación de inclusión de un concepto en la definición del otro. Entonces, el criterio ya está, de alguna manera, definido. Se tiene que definir cada palabra y analizar si, en la definición, se puede incluir uno de los términos de la serie. Revisemos el ejercicio. En la opción (A), se tienen una serie de palabras que designan deportes y hay una que es, de hehco, deporte. Pues bien, esta palabra es la más general de todas, puesto que no refiere a un deporte en particular. Lo que se tiene que hacer es definir las palabras de la serie. Por ejemplo, definamos golf: ‘deporte de campo abierto que se practica con una pelotita y un palo. Consiste en introducir con golpes (…)’. Pregunta: ¿dentro de la definición de golf se ha utilizado el concepto deporte? La respuesta es sí. Hacemos lo mismo con los demás conceptos. Definamos tenis: ‘deporte de campo delineado que se juega con raqueta y pelota. Los dos jugadores se enfrentan en el campo (…)’. Pregunta: ¿dentro de la definición de tenis se ha utilizado el concepto deporte? La respuesta es, asimismo, afirmativa. Si seguimos los mismos pasos para natación, entonces, nos daremos cuenta de que el concepto deporte está incluido en las definiciones de todas las palabras. Por ello, podemos concluir que, en la serie de palabras (A), uno de los conceptos (deporte) está incluido en los demás. Sigamos la misma mecánica para todas las opciones. Definamos tigre: ‘mamífero de la familia de los felinos (…)’. Pregunta: ¿dentro de la definición de tigre se ha utilizado el concepto mamífero? La repuesta es sí. Lo mismo sucederá con orca y con carnero. Ambos conceptos se definen como mamíferos. La opción (C) presenta una serie de palabras en las que ninguna es más general que las otras. Este hecho ya nos debe llevar a sospecha. De todas maneras, procedamos como lo hemos venido haciendo. Definición de la palabra cepillo: ‘instrumento de carpintería que se usa para

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alisar la madera’. Por el momento, no se observa, en la definición, una palabra que forme parte de la serie. Definamos lija: ‘papel con polvos o arenilla de vidrio o esmeril, que sirve para pulir maderas o metales’. Otra vez, no encontramos, en esta definición, algún concepto que aparezca en la serie. Definamos lima: ‘herramienta de acero con la superficie áspera para pulir superficies duras’. Nuevamente, no hallamos, en la definición, algún concepto incluido y que, también, aparezca en la serie. Finalmente, definamos pulidor: ‘instrumento con que se pule algo’. Concluimos que, en esta serie de palabras, no hay alguna que esté incluida en las definiciones de las demás. La opción (D) presenta una serie de palabras que, definitivamente, tienen que ser definidas como frutas y, también, aparece el concepto fruta en dicha serie. Por tanto, al hacer el ejercicio de definición, encontraremos que la palabra fruta está incluida en las definiciones de las otras. Finalmente, en la opción (E), al definir los términos protón, electrón y neutrón, encontramos que tenemos que usar, ineludiblemente, el concepto átomo, puesto que los elementos enumerados tienen que ser definidos como partes de aquel. En otras palabras, dicho concepto está incluido en la definición de las demás palabras. Queda claro que opción (C) es la respuesta. 2.5.3 Claves para responder � Es importante reconocer que este ejercicio requiere de un manejo solvente de vocabulario,

puesto que se tiene que saber significados y postular definiciones. � Es bueno construir definiciones de las palabras que forman parte de nuestro vocabulario

activo y contrastarlas con las que aparecen en el diccionario. De esta manera, nos ejercitamos en la elaboración de definiciones.

� Es muy importante que, al establecer la relación semántica entre las palabras de la serie,

la apliquemos correctamente en las demás. � No se debe olvidar que, en este tipo de ejercicio, no se presentan palabras complicadas,

sino de uso diario, de manera que se trata de palabras conocidas. La dificultad del ejercicio radica en el establecimiento y la verbalización de las relaciones semánticas de las palabras de la serie de base, y en la realización de las definiciones de las palabras de la serie.

2.6 SIGNIFICADO DE PALABRA O FRASE DENTRO DE UN CON TEXTO 2.6.1 Generalidades Esta pregunta mide la capacidad para definir el significado de una palabra o una frase a partir de un contexto dado. Este ejercicio es importante porque requiere que el alumno sea capaz de darse cuenta de que, aunque no conozca el significado exacto de una palabra, lo puede deducir por su relación con las otras palabras de la oración o párrafo. ¿Cómo son? Esta pregunta propone un pequeño texto, normalmente de un párrafo, dentro del cual se señala una palabra o una frase cuyo significado puede ser deducido a partir del contexto en el que aparece. Indicaciones Las indicaciones para la resolución del significado de la palabra dentro de un contexto se enuncian de la siguiente manera: A partir del siguiente texto, señale el significado más adecuado para la palabra (o frase) señalada.

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Veamos un ejemplo. En las elecciones municipales, se escucharon muchos ofrecimientos. Señale lo que quiere decir la frase subrayada del siguiente ofrecimiento:

Vecino, espero contar con tu apoyo para que, juntos, iniciemos el verdadero cambio que todos estamos esperando. Nuestro gobierno municipal será de puertas abiertas .

I. El alcalde estará dispuesto a escuchar las propuestas de los vecinos. II. Todos los que quieran trabajar para el alcalde serán bienvenidos. III. Todos los vecinos deben abrir sus puertas para iniciar el verdadero cambio. (A) Solo I y II (B) Solo II y III (C) Solo I (D) Solo II (E) I, II y III Las palabras tienen significados que son los que aparecen en el diccionario. Sin embargo, estos significados cambian, o no son exactamente los mismos, cuando aparecen dentro de un contexto. En un contexto, las palabras aparecen formando frases y oraciones, y las oraciones conforman párrafos. Estos párrafos conllevan un mensaje que es distinto del significado particular de las oraciones, frases y de las palabras que los conforman. Por esta razón, estas últimas adquieren un nuevo significado que está en función del significado de la oración en que están insertas. El contexto, por tanto, vendría a ser el tema general del que se habla en el párrafo. Por ejemplo, en el caso propuesto, el contexto es el de unas elecciones municipales. Los contextos pueden ser múltiples: economía, religión, derecho, deporte, caza, biología, etcétera. Este nuevo significado es el que los alumnos tienen que descubrir. Para descubrirlo, se tiene que leer completamente el texto y entenderlo a cabalidad. Si el texto es comprendido a cabalidad, entonces, el alumno podrá estar en capacidad de explicar cualquier palabra o frase del texto que contribuye, con su significado, a la construcción de un significado mayor. La lectura del texto nos debe dejar con la idea central de que el alcalde les está pidiendo a los vecinos su apoyo para gobernar; el alcalde quiere un gobierno conjunto de vecinos y autoridades. La pregunta que el lector se tiene que hacer es cómo se espera lograr este trabajo conjunto. La respuesta está en la última línea: el alcalde abrirá las puertas de su gobierno. Esta última frase es, claramente, metafórica. Por eso, se pregunta por su significado: qué es lo que el alcalde, en realidad, quiso decir. Vayamos paso por paso. Las casas tienen puertas y estas son las entradas a ellas. Cuando se abre la puerta de una casa, va a salir de ella una persona, pero, también, puede entrar alguien en ella. Por tanto, si las puertas del municipio van a estar abiertas, esto significa que el alcalde está dispuesto a recibir a las personas a las que, dicho sea de paso, está convocando. Ahora, la pregunta es para qué les abre las puertas a los vecinos que convoca. La respuesta está en las primeras líneas del párrafo y de esta explicación: quiere el apoyo de los vecinos para lograr un cambio en el distrito. El análisis realizado puede ser circular, pero nos permite entender, con claridad, la frase en cuestión. Una vez que se ha razonado de esta manera, se pueden revisar las posibles interpretaciones. La interpretación I. parece bastante razonable: puertas abiertas puede significar que el alcalde está dispuesto a escuchar las propuestas de los vecinos para llevar a cabo aquellas que sirvan para realizar el cambio que el distrito necesita. Con respecto a la interpretación II., no parece muy plausible, desde el punto de vista de un gobierno, que se puedan aceptar a todos los que quieran trabajar en el municipio. Por tanto, puertas abiertas no puede significar dar empleo a la gente. Finalmente, la interpretación III. es la que menos se puede deducir como significado de las palabras del alcalde. El alcalde va a

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abrir las puertas del municipio; él no ha pedido que los vecinos abran las puertas de sus casas. Por tanto, la respuesta es la (C). 2.6.2 Tipos de significado de palabras dentro de u n contexto a. Significado de dichos o refranes sin contexto Ahogarse en un vaso con agua es una frase cuyo significado es I. ‘no saber enfrentar los problemas’. II. ‘hacer de un problema simple uno muy complicado’. III. ‘no saber nadar en piscina pequeña’. (A) Solo I (B) Solo II (C) Solo III (D) Solo I y II (E) Solo II y III Este tipo de pregunta no necesita de un contexto, porque un dicho o refrán es una frase que se aplica a muchas situaciones que lo pueden contextualizar. Este tipo de pregunta ha sido incluido en este rubro porque, de la misma manera que en la pregunta canónica, las palabras, dentro del contexto del dicho o refrán, adquieren un nuevo significado de conjunto que el alumno debe saber manejar. Por tanto, el alumno, en el momento de responder, debe, en principio, analizar la frase y, luego, tratar de recordar los casos en que la ha producido o escuchado. En primer lugar, analicemos la frase. Si alguien se ahoga, lo hace en una piscina o en el mar. No hay posibilidad de ahogarse en un vaso con agua. Por tanto, este dicho es metafórico y así hay que tomarlo. Un vaso con agua, en principio, es inofensivo hasta para un niño que ya puede tomar agua por sus propios medios. Entonces, habría que pensar que este vaso con agua debe querer significar algo simple, sencillo, de fácil resolución. Entonces, si alguien es capaz de ahogarse en una situación simple y sencilla, es porque no sabe resolver problemas o situaciones simples, sencillas, fáciles. Esto quiere decir que la interpretación I. es correcta. La interpretación II. también sería correcta a la luz de lo analizado, puesto que, si uno no puede con un vaso con agua y se ahoga ahí, es porque está haciendo algo complicado de algo muy simple. La interpretación III. es claramente falsa, porque no es capaz de salirse del carácter metafórico de la frase y trata de interpretarla casi literalmente: se está relacionando al vaso con agua con una pequeña piscina con la esperanza de que las piscinas pequeñas pueden ser tan inofensivas como los vasos llenos de agua. Dicho sea de paso, el verbo ahogarse también está siendo tomado literalmente en esta interpretación. En cambio, en las otras interpretaciones, este verbo se está tomando como la capacidad para resolver problemas o como la capacidad para complicar situaciones. Luego de este análisis, se puede decir que la opción correcta es la (D). b. Deducciones lógicas No hay ningún hombre absolutamente libre: es esclavo de la riqueza, de la fortuna o de las leyes; o, si no es el caso, el pueblo le impide obrar con arreglo a su exclusiva voluntad. De acuerdo con el párrafo anterior, se puede deducir necesariamente que I. el hombre es, prácticamente siempre, un esclavo. II. nunca se puede ser libre por completo. III. la voluntad del pueblo restringe la voluntad de las personas.

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(A) Solo I (B) Solo I y II (C) Solo II (D) Solo II y III (E) I, II y III Este tipo de pregunta busca que, a partir de un pequeño texto propuesto, se hagan deducciones lógicas válidas. No se busca interpretar una parte del mismo texto (significado de una frase dentro del contexto propiamente dicho) ni tampoco descubrir el significado principal del mismo (significado de refranes sin contexto). Con este tipo de ejercicio, se desea que el alumno construya nueva información que no está explícita en el texto, que se deduzca a partir de la diferente información proporcionada. Se quiere que el alumno sea capaz de leer entre líneas, es decir, que vea lo que está implícito y que se puede llegar a ello desde lo explícito. En este ejercicio en particular, como en casi todos los ejercicios de aptitud verbal, se tiene que partir de la comprensión total de la información proporcionada. De acuerdo con lo leído, el texto trata, principalmente, de que el hombre no es completamente libre. Prácticamente, casi no hay espacio en que el hombre pueda desarrollarse con completa libertad. Por lo expuesto en el párrafo anterior, se puede deducir que la primera inferencia es verdadera, porque, si es cierto que no hay ningún hombre absolutamente libre, también es cierto lo contrario, es decir, que el hombre es prácticamente un esclavo. Se propone un ejemplo para que se vea esta deducción con claridad: Juan no consigue un trabajo estable, solo pequeñas tareas una o dos veces por semana; por tanto, dicho con otras palabras, Juan es prácticamente un desempleado. Es decir, lo contrario de empleado es desempleado. La opción II. prácticamente no es una deducción, porque el mismo texto lo dice casi textualmente en la primera oración. Por si esto no estuviera claro, también se puede deducir a partir de la siguiente información que afirma que el hombre es esclavo de varias circunstancias: de la riqueza, de la fortuna, de las leyes y de la observación del pueblo. Esto quiere decir que casi no hay espacio privado para que el hombre pueda ejercer, a sus anchas, su libertad. Por tanto, la opción II. es verdadera también. Finalmente, la opción III., la voluntad del pueblo restringe la voluntad de las personas, es una reformulación de la siguiente oración del texto: el pueblo le impide obrar con arreglo a su exclusiva voluntad. En otras palabras, las personas no pueden hacer todo lo que su voluntad desee, porque el pueblo va a establecer qué se puede o qué no se puede hacer. Esto quiere decir que esta opción, también, es verdadera. Por tanto, la alternativa (E) es la correcta. 2.6.2 Claves para responder � Es importante asegurarse de conocer el significado literal de lo pedido. Si se conoce este

significado, entonces, es necesario que sea definido. � En segundo lugar, es necesario que se comprenda el contexto en el que aparece la palabra

o frase resaltada. Solo así, se podrá deducir, con cierta facilidad, el significado requerido. � Una vez que se ha entendido el contexto y se ha definido la palabra o frase en cuestión, se

tienen que analizar, una por una, las opciones. � El significado de las opciones tiene que ser similar al de la frase en su contexto. � Para el caso de los significados de dichos o refranes, se tiene que saber que se trata de

frases que no deben ser entendidas al pie de la letra, es decir, literalmente, sino que se trata de frases cuya intención es aplicar su significado a una serie de situaciones variadas. Por tanto, es necesario que el alumno recuerde los contextos en los que ha escuchado dicho refrán.

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� Para el caso de las deducciones lógicas, es necesario que el alumno haya entendido la idea central del texto. Si esto fuera así, entonces, estará en capacidad de explicar la información particular de dicho texto. Si también se ha entendido la información particular, entonces, se podrá deducir información que no está expresada explícitamente en el texto.

2.7 COMPRENSIÓN DE LECTURA 2.7.1 Generalidades Las preguntas de comprensión de lectura evalúan la técnica para comprender textos con un cierto nivel de complejidad. ¿Cómo son? La sección de comprensión de lectura de la prueba incluye dos textos, de quinientas palabras como promedio cada uno. Las preguntas sobre cada lectura se ordenan según grado de dificultad ascendente y son cinco. Indicaciones Las indicaciones para la comprensión de lectura se enuncian del siguiente modo: El texto a continuación está seguido de preguntas basadas en su contenido. Responda de acuerdo con lo que el texto dice explícita o implícitamente. ¿Y los temas? Los textos pueden tratar temas de disciplinas muy diversas, como economía, medicina, filosofía, psicología, música, arte, sociología, astronomía, crítica literaria, etcétera. Incluso, puede aparecer un pasaje de alguna novela o cuento. Algunos de estos textos son, sobre todo, informativos, mientras que otros incluyen opiniones del autor acerca del tema. Es muy posible que el estudiante no esté familiarizado con muchos de los temas tratados en esta sección; esto se debe a que las personas que preparan el examen quieren evitar otorgarles ventaja a unos participantes sobre otros. En otras palabras, todos los que toman el PPU deben estar en las mismas condiciones. Por esa razón, lo inusual del tema o lo denso del contenido no deben ser un obstáculo para la comprensión. Hay que tener en cuenta que los textos seleccionados están escritos de tal forma que contienen toda la información que se necesita para resolver las preguntas. 2.7.2. Tipos de preguntas Las preguntas pueden ser de los siguientes tipos: a. Sobre la idea principal . Estas preguntas evalúan la habilidad para deducir el tema central

de un pasaje o juzgar su significado. Algunos ejemplos de este tipo de preguntas son los siguientes:

� La idea principal de esta lectura es � Esta lectura trata, principalmente, sobre � El principal propósito del autor en este fragmento es � ¿Cuál de las siguientes afirmaciones expresa mejor lo que se sostiene en este texto? � El texto anterior podría titularse

b. Sobre ideas secundarias . Estas preguntas no se refieren al tema central del texto, sino a los detalles o ideas específicas que el autor incluye para apoyar o desarrollar el tema principal. Estas preguntas pueden ser presentadas de las siguientes formas:

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� De acuerdo con lo expresado por el autor, � De acuerdo con el texto anterior, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera? � ¿Cuál de las siguientes opciones no se menciona en el texto anterior?

c. Sobre inferencias . Se trata de preguntas que evalúan la habilidad para ir más allá de lo

que el autor establece explícitamente y determinar lo que estas afirmaciones implican. En otras palabras, se tiene que «leer entre líneas» o inferir algo que no está dicho en el texto a partir de lo que sí se dice en él. Son típicos ejemplos de estas preguntas los siguientes:

� Del pasaje anterior, se podría concluir que � ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría desprenderse más exactamente de lo

expuesto por el autor del texto? � De acuerdo con el pasaje anterior, sería más probable que

d. Sobre la actitud y el tono emocional . Estas preguntas evalúan la capacidad para sentir el

carácter emocional de las afirmaciones del autor. Se trata de captar el «tono» del texto o la actitud del autor con respecto a algún punto que se discute en el pasaje presentado. Véanse los siguientes ejemplos:

� La actitud más probable del autor hacia los hechos descritos en el párrafo es � La exposición del autor está teñida por un tono de � El pasaje indica que el autor experimenta un sentimiento de

e. Sobre vocabulario en contexto . Las preguntas sobre vocabulario tienen por objetivo

evaluar la capacidad para descubrir el significado de alguna palabra o frase sobre la base del contexto en el que se encuentra. Se pueden presentar de las siguientes maneras:

� Tal como se usa en el texto, el término …………..…… puede ser entendido como � La frase ………..…...... es usada en el texto para indicar que � En el texto anterior, la palabra .................... significa

f. Sobre la estructura del texto o la técnica empleada por el autor . Estas preguntas se

refieren al método de organización del pasaje que ha seguido el autor. Preguntas de este tipo son las siguientes:

� La relación entre las ideas expuestas al principio y al final del texto puede ser descrita

como � Al presentar sus argumentos, el autor hace todo lo que se menciona a continuación,

excepto

2.7.3 ¿Cuál es la mejor manera de leer los textos? Esta es una pregunta básica que se debe hacer todo estudiante que se enfrente a un texto. En primer lugar, el tipo de preguntas que aparece en el PPU (y que acaba de ser explicado con relativo detalle) ya da una clave sobre qué aspectos se deben privilegiar en el momento de leer los textos. Los tres objetivos básicos que se deben intentar conseguir con la lectura son los siguientes: � Ser capaz de captar la idea general, así como la organización estructural del texto � Estar en capacidad de explicar qué significa algún detalle o información específica dentro

del texto y por qué aparece en el pasaje � Poder evaluar lo que ha escrito el autor y sacar conclusiones a partir de ello Algunos consejos que pueden ayudar para lograr estos objetivos son los siguientes: � Es preferible leer primero el texto y, después, las preguntas. Cuando se leen primero las

preguntas y después el texto, se pierde más tiempo del que se gana, pues se analiza la

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lectura con una serie de preguntas en mente que distraen la atención e impiden concentrarnos en el sentido global de lo que leemos.

� Se debe leer tan rápido como se pueda, siempre y cuando se esté comprendiendo el texto.

Hay que olvidarse del tiempo y no forzar ir a un ritmo que no es el propio. Si se va más rápido de lo que se puede, habrá que releer partes del texto que no se entendieron y eso hará perder valiosos minutos.

� Conforme se vaya leyendo, hay que tratar de imaginar qué es lo que puede venir a

continuación en torno del tema planteado. � Una buena estrategia para encontrar la idea principal es leer con cuidado la primera

oración de cada párrafo (por lo general, contiene la información más relevante). � Una vez que ya se tenga relativamente clara la idea principal, hay que preguntarse, cada

vez que se encuentre una idea nueva, ¿por qué ha introducido el autor esta idea? De esta manera, se podrá relacionar los detalles o las ideas secundarias con el tema central del texto.

� El subrayado de las partes del texto más importantes es una actividad fundamental. De esta forma, se podrá encontrar, rápidamente, las respuestas.

� Al final de la lectura, hay que revisar rápidamente la estructura del texto: ¿cuál es la idea

principal y cuáles son los argumentos utilizados por el autor para sustentarla? A la hora de responder… A continuación, se presentan algunos datos útiles que pueden servir cuando se ha terminado la lectura y se empiezan a revisar las preguntas. � Al responder preguntas sobre la idea principal, es conveniente eliminar las opciones que

sean muy amplias o muy específicas. Hay que tener en cuenta que algunas opciones distractoras serán muy tentadoras (por eso, precisamente, se llaman distractores), porque presentan ideas relacionadas con el texto; se debe buscar solo la opción que se refiera a lo principal del texto, ni más ni menos.

� Para contestar las preguntas referidas a las ideas secundarias, lo mejor es que se busque,

en el texto, el fragmento al que hace alusión la pregunta y se relea. Nuevamente, hay que tener cuidado con los distractores: pueden mencionar ideas que están efectivamente en el texto, pero que no son respuesta.

� Con respecto a las inferencias, las respuestas a estas preguntas no aparecen directamente

en el texto, pero se pueden deducir de la información presentada en él. Por lo general, se trata de deducciones «rápidas» (no se tiene que hacer una larga cadena de deducciones para llegar a la respuesta).

� Por último, se debe responder todas las preguntas que se pueda en una sola lectura y no

volver a ella inmediatamente después. Si no se sabe alguna respuesta, hay que seguir adelante. La memoria humana tiene la prodigiosa habilidad de procesar todo a la vez, de manera que, cuando, en las siguientes preguntas se vean otras palabras, términos y conceptos relacionados con el tema, muy probablemente, se empezará a recordar otras cosas de forma espontánea y, así, se podrá volver a las anteriores preguntas para responderlas. Eso sí, se hará esto solamente si no se tiene más remedio (si es que se han respondido muy pocas preguntas, por ejemplo), porque familiarizarse nuevamente con los contenidos de una lectura anterior costará tiempo y esfuerzo valiosos.

Ejemplo A continuación, presentamos un modelo de preguntas de comprensión de lectura, es decir, un texto seguido por una serie de preguntas de los distintos tipos explicados anteriormente.

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Texto 1 La evolución de las especies sigue rutas variadas. Largos períodos de tiempo, difíciles de imaginar en términos de la vida humana, y cambios aleatorios determinan su curso. El clima, el alimento disponible, la presencia o ausencia de predadores, y el tiempo para adaptarse han determinado las formas de vida que conocemos. Entre estas, se hallan los mamíferos que caminaron por la tierra y, hoy, parecen peces (ballenas y delfines), roedores que desarrollaron alas entre los dedos (murciélagos) y aves que dejaron de volar (avestruces). Entre estas últimas, existe una gran variedad de tamaños y especializaciones: desde los pingüinos, que de volar en el aire han pasado a «volar» en el agua, en una evolución convergente con los que pasaron de la tierra al mar, hasta las avestruces, que dejaron de volar pero crecieron en tamaño, fuerza y destreza para correr. En el medio de esta variedad, existen aves que, debido a la abundancia de alimento y a la ausencia de predadores, no necesitaron volar y perdieron esta habilidad. Muchas de ellas ya se han extinguido y otras están amenazadas. Entre estas últimas, están el kiwi y los casuarios. Cuando los dinosaurios aprendieron a volar, hace más de doscientos millones de años, fueron los primeros vertebrados en conquistar el aire. Los grandes planeadores del Jurásico resultaron menos eficientes que el pequeño arqueopterix, antecesor de las aves modernas. Con menor peso específico y un mejor medio de propulsión, las aves se especializaron y perfeccionaron sus habilidades aéreas; sin embargo, ello tuvo un precio. Los potentes músculos, necesarios para mover las alas, requieren de un hueso grande y robusto para anclarse —el esternón o quilla—, a la vez que una reducción del peso. El desarrollo de patas livianas y delgadas, útiles para despegar o agarrar presas, pero ineficientes para trasladarse en tierra, es parte de ese precio. Las grandes y potentes alas, con controles aerodinámicos sutiles, permiten el dominio del aire, pero resultan inútiles e incómodas en tierra. Por ello, muchas aves se mantienen solo en las alturas y resultan indefensas si no tienen espacio para despegar rápidamente. El máximo exponente de la acrobacia aérea, el picaflor, no camina en absoluto; solo puede mantenerse parado en una rama. Al otro lado del espectro, están las aves que, a medida que no necesitaron volar, cambiaron alas, esternón y músculos pectorales por huesos más robustos y pesados, fuertes piernas y largo cuello. [Adaptado de © http://www.terra.com.pe/tomasunger/art-ave2.shtml] (Extraído del EI 2001-1) 1. ¿Cuál es el mejor título para el texto anterior? (A) Los antecesores de las aves (B) El origen de las aves (C) Los distintos tipos de aves (D) Las aves y sus formas (E) La variada evolución de las aves Esta pregunta está indagando por la idea central del texto. Lo que se tiene que hacer es analizar cada opción. Sin embargo, de nada sirve analizar cada opción si es que no se ha entendido la idea principal de cada párrafo; es muy importante que se las haya identificado para poder tener una noción de la idea que engloba a las demás. Así, el primer párrafo es introductorio, porque versa sobre las formas que adoptaron las especies animales en general durante su proceso evolutivo. El segundo párrafo trata sobre la variedad de tamaños y especializaciones de las aves. El tercer y el cuarto párrafo tratan sobre el precio que las aves han tenido que pagar por las transformaciones que las han especializado y perfeccionado durante su proceso de evolución. En este sentido, la primera opción (A) no puede ser la respuesta, porque la idea central no recae sobre los antecesores de las aves. A lo sumo, el segundo párrafo puede tratar de ello, pero ningún otro párrafo lo hace. En el mismo sentido de la pregunta anterior, al texto no le interesa el origen de las aves, sino su proceso evolutivo; por esta razón, la opción (B) tampoco es buena. La opción (C) alude a los distintos tipos de ave, pero el texto no da una clasificación de ellas. La opción (D) es la que más se acerca a la

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respuesta correcta, porque, efectivamente, el texto trata sobre las aves y las formas de algunas de ellas, pero la opción no toma en cuenta para nada que estas formas son producto de la evolución. Finalmente, la opción (E) sí toma en cuenta el proceso evolutivo y las formas que las aves adoptaron gracias a él. Por esta razón, esta última opción es la respuesta correcta. 2. Según el texto anterior, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? (A) Los primeros vertebrados que aprendieron a volar, hace más de doscientos millones de

años, fueron los dinosaurios. (B) Existen diversas formas de aves que dejaron de volar. (C) Las ballenas y delfines son mamíferos que caminaron por la tierra y que, hoy, parecen

peces. (D) Los murciélagos son aves que desarrollaron alas entre los dedos. (E) La evolución de las especies sigue rutas variadas que dependen de largos periodos de

tiempo y de cambios aleatorios que determinan su curso. Esta pregunta apunta a descubrir las ideas secundarias que están patentes en el texto. En este caso, hay cuatro opciones que son correctas y una que es incorrecta. La primera opción (A) es verdadera: está dicho en las primeras dos líneas del tercer párrafo. La opción (B), también, es verdadera; el texto, inclusive, da varios ejemplos al respecto. La opción (C) es, asimismo, verdadera: ello está dicho en la quinta y sexta línea del primer párrafo. La opción (D) es falsa, porque el texto no dice que los murciélagos sean aves; dice que son roedores que desarrollaron alas. Finalmente, aunque se encontró la posible respuesta, para estar completamente seguros de ella, se debe analizar la (E). Esta opción está expresada en las dos primeras líneas del primer párrafo. Esta pregunta es importante por varios motivos; solo nos centraremos en uno de ellos. Existe un tipo de lectura que apunta a la búsqueda de información que, seguramente, no es relevante para el texto que se está leyendo, pero que sí lo es para nosotros que, justamente, necesitamos ese dato para nuestra propia investigación. En este sentido, realizar una lectura atenta y cuidadosa que se fije en los detalles también es muy recomendable. 3. Las aves se especializaron y perfeccionaron sus habilidades aéreas; sin embargo, ello tuvo

un precio. ¿Cuáles de las siguientes opciones pueden considerarse parte de ese precio? I. El desarrollo de patas livianas y delgadas ineficientes para trasladarse en tierra II. Las grandes y potentes alas, que resultan inútiles e incómodas en tierra III. La poca capacidad para caminar que algunas aves poseen (A) Solo I y II (B) Solo I y III (C) Solo II y III (D) I, II y III (E) Solo III Esta pregunta apunta a la búsqueda de una idea particular que está especificada en el texto. En este caso, tenemos que leer las opciones y buscar la parte de la lectura que trata sobre el precio que pagan las aves por su especialización y perfeccionamiento. La primera y la tercera opción en romanos están expresadas en las tres últimas líneas del tercer párrafo. Por su parte, la segunda opción está expresada en las dos primeras líneas del cuarto párrafo. Por tanto, las tres opciones son verdaderas. La respuesta correcta es la (D). 4. Señale cuál de las afirmaciones siguientes se deduce del texto anterior. (A) Los avestruces tienen potentes músculos que son necesarios para mover las alas. (B) Las patas del picaflor no le sirven para trasladarse por suelo firme. (C) El kiwi y los casuarios son aves ya extinguidas. (D) Los pingüinos siempre volaron en el agua. (E) El pequeño arqueopterix es un ave del Jurásico.

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Esta pregunta apunta a la capacidad de deducir ideas . Las afirmaciones no están explícitas en el texto, sino que se deducen a partir de la información contenida en él. Así, la opción (A) es falsa, porque el texto afirma, en el primer párrafo, que los avestruces dejaron de volar y, en el tercer párrafo, se dice que, para volar, las aves desarrollaron potentes músculos para mover las alas. La opción (B) es verdadera, porque, en el último párrafo, el texto señala que el picaflor no camina en absoluto; esto quiere decir que sus patas no le sirven para trasladarse por suelo firme, es decir, para caminar. La opción (C) es falsa, porque el texto dice que el kiwi y los casuarios son aves en vías de extinción, es decir, todavía no están extintas. La opción (D) es falsa, porque el texto dice que pasaron de volar en el aire a volar en el agua; es decir, hubo un tiempo en que se movilizaban por el aire. Finalmente, la opción (E) es falsa, porque no se puede deducir del texto que el arqueopterix haya sido un ave. El texto solo dice que es un antecesor del ave. 5. Las formas de vida que conocemos han sido determinadas por I. el clima. II. el alimento disponible. III. la presencia o ausencia de predadores. IV. el tiempo de adaptación. (A) Solo I y II (B) Solo I y III (C) Solo II, III y IV (D) Solo I, II y III (E) Todas Esta pregunta está dirigida a descubrir ideas secundarias o particulares a partir de una principal que alude a que las especies animales han cambiado sus formas de vida durante su proceso evolutivo. Si leemos, con cierto detenimiento, la tercera y la cuarta línea del primer párrafo, nos daremos cuenta de que, efectivamente, esos cuatro factores son los que han determinado las formas de vida de las especies de animales. Por tanto, la respuesta correcta es la (E). 6. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra mejor la intención del autor del texto? (A) Explicar, a partir del ejemplo de las aves, los diferentes procesos de evolución (B) Enumerar los casos de aves que sufrieron distintas transformaciones (C) Comparar la evolución de los dinosaurios con la de las aves (D) Justificar que la evolución de las aves es la más compleja de todas las especies (E) Explicar que todo en la vida cambia, que nada permanece igual Esta pregunta intenta descubrir cuál es el objetivo del autor al redactar el texto. En este sentido, esta tendría como requisito saber, previamente, cuál es la idea central del escrito. Si ya se tiene esta idea clara, entonces, será relativamente fácil reconocer la intención de la redacción. La opción (A) es clara y se acerca mucho a la respuesta, porque, efectivamente, todo el texto es una explicación, con ejemplos de aves incluidos, de cómo es que las especies cambian su forma de vida durante su proceso evolutivo. En el caso de (B), si bien es cierto que se podría considerar que hay una serie de aves enumeradas, también es cierto que el objetivo del texto no es tal enumeración, sino que esta está supeditada a la explicación del cambio de forma de las aves. En el caso de (C), se dice que el autor intenta realizar una comparación; sin embargo, ni siquiera en el párrafo tercero, en el que se alude a los dinosaurios, se realiza una comparación entre estos y las aves. La opción (D) es incorrecta, porque, si bien se realiza una explicación de cómo las aves han cambiado de forma, en ninguna parte del texto se dice que esta transformación es la más compleja de todas las especies. Finalmente, la opción (E) es demasiado general para un texto que propone a las aves como ejemplo de que las especies animales cambian. Por tanto, la respuesta correcta es la (A).

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7. ¿Cómo ha organizado el autor la información principal del texto? (A) El clima como factor importante de cambio / el paso del aire al mar / el paso de los

dinosaurios a las aves (B) Las variadas rutas de la evolución de las especies / variedad de tamaño y especialización

de las aves / el precio pagado por las aves en su proceso evolutivo (C) La ausencia de predadores como facilitador del cambio / el paso del aire a la tierra / el

origen de las aves (D) El cambio de los mamíferos / la pérdida de las habilidades y destrezas de las aves /

algunos cambios necesarios en las aves (E) La conversión de los roedores en aves / extinción y amenaza de extinción de las aves / el

picaflor como máximo exponente de los cambios en las aves Esta pregunta busca que el lector comprenda las ideas principales de cada párrafo y que, a partir de ellas, descubra cuál es la organización de ideas del texto. En la respuesta a la primera pregunta, ya se han esbozado las ideas principales de cada párrafo. De todas maneras, haremos un análisis similar, con la diferencia de que, ahora, explicaremos la relación (organización) que existe entre ellas. En este sentido, el primer párrafo es el que contiene la idea más general y trata sobre cómo es que la evolución de las especies tiene preparados distintos fines. El segundo párrafo es más particular, porque explica cómo se producen los cambios evolutivos, pero solo en las aves; estos cambios que sufren las aves en su proceso evolutivo tienen un costo que las aves deben sufrir. Este es presentado en el tercer y cuarto párrafos. Por esta razón, la opción (B) es la respuesta. El problema con las otras opciones radica en que ninguna de ellas presenta, con exactitud, las ideas principales de cada párrafo; más bien, se centran en presentar ideas secundarias o muy particulares. Por ejemplo, en la opción (A), el clima es, efectivamente, un factor de cambio, pero, de hecho, no es la idea principal del párrafo. Lo mismo sucede con todas las ideas de las otras opciones. En este sentido, si el alumno marcara alguna de estas opciones, esto querría decir que no solo no ha sido capaz de discriminar las ideas principales de las secundarias, sino que no ha sabido relacionar una idea con otra. 8. La palabra convergente de la tercera línea del segundo párrafo podría ser reemplazada,

de acuerdo con su significado, por (A) que se parece a (B) que es igual a (C) que llega al mismo punto con (D) que se diferencia de (E) que depende de Esta pregunta evalúa la capacidad para comprender el uso de una palabra en particular dentro del texto. En este caso, se trata de la palabra convergente. En el texto, en el párrafo mencionado, se menciona que los pingüinos ya no vuelan por el aire sino «vuelan» en el agua. A renglón seguido, se dice que esta fue una «(…) evolución convergente con los que pasaron de la tierra al mar». Si entendemos que los pingüinos, especie aérea, terminaron en el mar y que la especie de la tierra también terminó en el mar, entonces, deberemos entender que convergente significa que ambos terminan en el mismo punto. Con este análisis, debe quedar claro que la mejor respuesta es la (C). OBSERVACIONES GENERALES Todos los ejercicios trabajados en esta sección nos muestran la importancia de un determinado desarrollo de la aptitud verbal en los alumnos. Este desarrollo tiene como objetivo asegurarle al evaluado que estará en capacidad de empezar, con éxito, una carrera universitaria. Toda carrera universitaria requiere de personas que generen conocimiento a partir de una investigación, pero, si el alumno no es capaz de realizar analogías, comprender oraciones, establecer —con claridad— las relaciones semánticas entre las palabras, o analizar y sintetizar

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textos, entre las muchas capacidades que debe tener, entonces, no estará preparado aún para realizar estudios superiores. Por esta razón, este Cuaderno Autoinstructivo tiene como objetivo introducir al estudiante en un mundo de razonamiento que, visto con paciencia y entusiasmo, será de mucha utilidad para su futuro.

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III. SECCIÓN DE HABILIDAD LÓGICO-ANALÍTICA

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III. SECCIÓN DE HABILIDAD LÓGICO-ANALÍTICA La sección de habilidad lógico-analítica evalúa la capacidad lógica de obtener conclusiones a partir de distintos tipos de datos. La manera en que son presentados los datos varía según los distintos tipos de preguntas; así, en algunos casos, la información es simple y directa, pero, en otros, es necesario sacar conclusiones en diferentes niveles para llegar a una conclusión final o general. Pero ¿y qué quiere decir sacar conclusiones? La habilidad de derivar conclusiones es más frecuente de lo que solemos darnos cuenta. Sacamos o derivamos conclusiones cuando decidimos, por ejemplo, qué transporte público utilizar. Imaginemos que estamos en un paradero de buses y tenemos dos opciones: o tomamos un ómnibus que se demora más pero en el que hay más espacio o tomamos una «combi» que se demora menos pero que es más incómoda. Si estamos apurados, seguramente optaremos por la «combi»; sin embargo, si no tenemos apuro y queremos sentarnos a leer, probablemente escogeremos el ómnibus. La decisión que tomemos en el ejemplo dado será producto de conjugar una serie de datos —o premisas— y de la conclusión a la que lleguemos. Otro ejemplo de qué significa sacar conclusiones es el siguiente: estamos en un juicio y el principal testigo ha afirmado que vio al acusado cometer el crimen; el abogado de la defensa empieza a atacar al testigo para que pierda credibilidad; el ataque consiste en presentar pruebas de que el testigo ha estado involucrado en casos de corrupción previamente… ¿Qué debemos concluir de todo ello? ¿Debemos creerle al testigo o no? La respuesta a esta pregunta será nuestra conclusión a todas las premisas presentadas en el juicio. Seguramente, si el testimonio del testigo está vinculado con temas de corrupción y él mismo ha estado implicado en casos de corrupción, nos será más difícil creerle; en cambio, si su testimonio no guarda ninguna relación con asuntos de corrupción, el ataque construido por la defensa perderá solidez. Considerando lo anterior, podemos, ahora, preguntarnos qué es exactamente lo que hacemos cuando sacamos conclusiones. Al sacar conclusiones, derivamos una idea nueva a partir de una serie de ideas previas, a las que llamamos premisas. Esta nueva idea debe ser consecuencia lógica de las premisas; de lo contrario, sería una conclusión equivocada o débil. El proceso de derivar, obtener o sacar conclusiones a partir de un conjunto de premisas también se llama razonamiento , inferencia o argumento . Las inferencias, razonamientos o argumentos son un conjunto de premisas de las cuales se deriva una conclusión. Así, las preguntas de la sección de habilidad lógico-analítica se caracterizan por ser preguntas en las que debemos construir inferencias sólidas o correctas. Decimos que hemos obtenido o derivado una conclusión correctamente cuando esta es necesariamente verdadera si las premisas se asumen como verdaderas. Es decir, si se asume que las premisas nos dan información verdadera, la conclusión correcta a partir de ellas será aquella que no podríamos rechazar. Obviamente, asumimos que los puntos de partida nos dan información verdadera. Asumimos; es decir, hacemos como si fuera verdadera. Se trata de solo una suposición, una ficción. En eso consiste el juego lógico al que nos vamos a someter al enfrentarnos a esta prueba de habilidad lógico-analítica: en asumir que los datos o premisas que se nos presentan son ciertos y en derivar, a partir de ellos, nuevas afirmaciones que serán consecuencia lógica de las premisas. Debemos asumir eso, pues, en casi todos los casos, se trata de situaciones ficticias. Así, la sección de habilidad lógico-analítica pretende ponernos a prueba en nuestra capacidad para obtener conclusiones correctas, necesariamente correctas. ¿Por qué es necesario poner a prueba nuestra capacidad para obtener conclusiones? Lo es porque dicha capacidad es necesaria en todos los ámbitos de nuestras vidas: el personal, el académico —de estudios—, el laboral, etcétera. Obtener conclusiones es una tarea que debemos realizar, sobre todo en el ámbito académico y profesional, de manera adecuada, sin confusiones, sin caer en errores de razonamiento. Ahí radica la importancia de esta sección de la prueba.

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Ahora bien, las diferencias entre las preguntas de la sección de habilidad lógico-analítica dependen del tipo de premisas que se presenten. Así, algunas preguntas exigirán de nosotros derivar conclusiones de manera directa a partir de una o dos premisas. Este es el caso de las preguntas que clasificamos como inferencias que involucran conjuntos y, también, el de inferencias basadas exclusivamente en conectores. Asimismo, están las preguntas que nos exigen evaluar la pertinencia o no de un argumento. Este tipo de preguntas, generalmente, consiste en presentar varios argumentos para determinar cuál de ellos es el más o menos sólido. Finalmente, está el gran grupo de preguntas que clasificamos como ordenamiento de datos. Estas preguntas son indirectas, pues no solo nos exigen derivar una conclusión a partir de una o dos premisas, sino, más bien, derivar varias conclusiones a partir de varias premisas. Además, tienen la particularidad de que las premisas que se presentan deben organizarse, de ahí el nombre de ordenamiento de datos. Dependiendo de qué tipo de datos se ofrezca y de cómo se relacionan estos entre sí, deberemos organizarlos de una manera o de otra. A continuación, veremos, uno a uno, los diferentes tipos de ejercicios que se acaba de describir y la forma en que recomendamos resolverlos. 3.1 INFERENCIAS QUE INVOLUCRAN CONJUNTOS 3.1.1 Generalidades Las inferencias que involucran conjuntos son, como ya hemos señalado, inferencias en las que debemos derivar una conclusión de manera directa a partir de algunas premisas. La peculiaridad de estas inferencias es que tanto en las premisas como en la conclusión aparecen ciertas palabras, expresiones o frases que pueden interpretarse y representarse como conjuntos. De esta manera, lo que debemos descubrir es una cierta relación entre dichos conjuntos para poder obtener una conclusión correcta. Estas inferencias también se conocen con el nombre de silogismos categóricos . Es importante entrenarnos en derivar conclusiones en esta clase de argumentos, pues son muy frecuentes tanto en la vida cotidiana como en la vida académica. Sin embargo, muchas veces, se cometen errores por carecer de entrenamiento o de un mecanismo efectivo de análisis. 3.1.2 Cómo se resuelven los ejercicios Las preguntas de este tipo que se incluyen en la sección de habilidad lógico-analítica son como las que se muestran en los dos ejemplos que aparecen a continuación. Ejemplos 1. Dadas las siguientes afirmaciones:

� Todos los mentirosos son manipuladores. � Nadie que sea un manipulador es una persona confiable. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente? (A) Todos los manipuladores son mentirosos. (B) Ningún mentiroso es manipulador. (C) Ningún mentiroso es una persona confiable. (D) Algunos mentirosos son personas confiables. (E) Algunas personas confiables no son manipuladoras.

2. Dadas las siguientes afirmaciones:

� Algunos medicamentos no producen adicción. � Todos los medicamentos son sustancias químicas.

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¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente? (A) Algunos medicamentos producen adicción. (B) Algunas sustancias químicas producen adicción. (C) Algunas cosas que producen adicción no son sustancias químicas. (D) Algunas sustancias químicas no producen adicción. (E) Todas las sustancias químicas son medicamentos.

Este es el tipo de preguntas que, usualmente, encontraremos en la prueba de habilidad lógico-analítica. ¿Qué podemos reconocer en estas preguntas como características importantes? ¿Cómo es más conveniente resolver este tipo de ejercicios? Para responder estas preguntas, comenzaremos resolviendo un ejemplo muy sencillo de silogismo categórico:

� Premisa 1: Todos los hombres son mortales. � Premisa 2: Sócrates es hombre.

¿Cuál será necesariamente la conclusión? Sócrates es mortal. ¿Es la conclusión propuesta en el ejemplo una conclusión correcta? Sin duda, sí lo es. ¿Por qué? ¿Cómo podemos estar totalmente seguros de ello? Podemos estar seguros de ello por la peculiar relación que aparece en los conjuntos que están involucrados en la inferencia. Hagamos un análisis detallado del ejemplo. La primera premisa, todos los hombres son mortales, contiene dos palabras que pueden interpretarse cada una como un conjunto diferente: hombres y mortales. Esa premisa establece una relación entre ambos conjuntos; al decir que todos los hombres son mortales, estamos afirmando que el conjunto de los hombres está totalmente incluido en el conjunto de los mortales. En la segunda premisa, se afirma que un individuo particular, Sócrates, es hombre; esto quiere decir que este individuo pertenece al conjunto hombres. Así, Sócrates pertenece al conjunto hombres, y este conjunto está totalmente incluido en el conjunto de mortales. De este modo, es válido concluir que el individuo Sócrates pertenece también al conjunto de los mortales. Esta conclusión es necesariamente verdadera a partir de lo que se afirma en las premisas. Para ilustrar este carácter necesario de la conclusión, es muy útil ilustrar la inferencia con un diagrama de conjuntos. La primera premisa tendría que graficarse así: Agregaremos la información de la segunda premisa, Sócrates es hombre, en el gráfico anterior. Como Sócrates no es un conjunto sino un individuo, lo representaremos en el gráfico con una x. El gráfico con la segunda premisa quedará así: Como se ve en este nuevo gráfico, es imposible negar que la x que representa a Sócrates esté dentro del conjunto de los mortales. Por ello, podemos afirmar que la conclusión Sócrates es mortal se deriva, necesariamente, de las dos premisas.

Hombres

Mortales

Hombres

Mortales X

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A partir de lo que se acaba de ejemplificar y explicar, podemos ir adelantando algunas ideas importantes sobre la forma de abordar este tipo de ejercicios.

� En primer lugar, estos ejercicios pueden resolverse de manera intuitiva si se pone mucha atención a la información contenida en las premisas.

� Por otro lado, es importante reconocer qué tipo de inferencias involucran conjuntos;

estas se caracterizan por tener, como mínimo, dos premisas. Estas últimas contienen expresiones como todos, algunos, ninguno y otras parecidas. Estas expresiones se llaman cuantificadores y son fundamentales para reconocer qué tipo de relaciones se puede establecer en los conjuntos.

� Además, es necesario reconocer cuáles son los conjuntos para poder establecer las

relaciones entre ellos. Los conjuntos aparecen mencionados en cada premisa y pueden expresarse mediante palabras —como hombre o mortal— y también con frases —como los que creen en Dios, los que han nacido en el Perú, etcétera—.

� Finalmente, si no se tiene seguridad de poder resolver los ejercicios de manera

intuitiva, una forma muy práctica de hacerlo es construyendo diagramas de conjuntos. Existen diversas formas de construir estos diagramas, algunas más eficaces que otras. En este manual, proponemos una forma certera de construir los diagramas, la cual veremos a continuación.

Diagramas de conjuntos Para usar eficientemente los diagramas de conjuntos en este tipo de ejercicio, debemos reconocer que hay, fundamentalmente, cuatro tipos de proposiciones que aparecen en los silogismos categóricos y son las siguientes: � Todos los S son P. � Ningún S es P. � Algún S es P. � Algún S no es P.

S y P representan a los conjuntos que se mencionan en cada proposición. Esos conjuntos podrían ser, por ejemplo, hombres, mortales, mentirosos, manipuladores, personas confiables, medicamento, sustancia química, lo que produce adicción, etcétera. Estas cuatro proposiciones básicas pueden tener variantes. Por ejemplo, en algunos casos, en vez de decir ningún, podría decirse nadie, o, en vez de decir todos, puede decirse cualquiera. Y, así, puede haber otras variantes. Además de reconocer las proposiciones básicas, es importante tener en cuenta que cada una de esas proposiciones establece una relación diferente entre los dos conjuntos y, por ello, el gráfico que podemos hacer de cada una será también distinto. A continuación, veremos la forma de graficar cada una de esas cuatro proposiciones. En los gráficos, veremos algunas zonas sombreadas. Las zonas sombreadas son zonas que deben estar vacías; es decir, las partes sombreadas son aquellas en las que alguna porción del conjunto está vacía. También, veremos zonas en las que aparece una x; al colocar una x en alguna zona del gráfico, estamos diciendo que esa zona no es vacía, es decir, que hay ahí algo, algún individuo. Veamos los gráficos de las cuatro proposiciones.

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Como se puede apreciar, los dos primeros gráficos —los que corresponden a las proposiciones que comienzan con todos y ningún— nos llevan a colocar alguna zona del diagrama como vacía, sombreada; en cambio, los otros dos gráficos —los que corresponden a las proposiciones que comienzan con algún— nos llevan a colocar una x en alguna zona del diagrama. Es importante reconocer esta peculiaridad. El uso de estos gráficos nos permitirá, con certeza, determinar qué conclusión se puede obtener de un cierto conjunto de premisas. Para ello, es conveniente, primero, entrenarnos en reconocer qué proposiciones deben representarse con qué gráfico y qué conjuntos aparecen mencionados dentro de cada proposición. Veremos, por ello, algunos ejercicios. Ejercicios A

1. Analice las siguientes proposiciones y reconozca cuáles son los conjuntos que aparecen en ellas. Observe, primero, el ejemplo. Ejemplo � Algunos juegos de azar requieren de estrategias para ganar.

Conjuntos J: juegos de azar R: lo que requiere estrategias para ganar

Todo S es P.

S P

En este gráfico, hay una parte del conjunto S que está sombreada. Esa zona vacía es una zona que está dentro de S pero fuera de P y debe estar vacía, pues, si hubiera algo ahí, habría un Sque no es P, lo cual es lo opuesto de lo que la proposición afirma.

Ningún S es P.

S P

En este gráfico, la parte vacía, sombreada, es la intersección del conjunto S con el conjunto P. Al decir que ningún S es P, estamos afirmando que S y P no tienen nada en común; por ello, es la intersección de ambos conjuntos lo que debe estar vacío.

Algún S es P.

S P

X

En este gráfico, la intersección del conjunto S con el conjunto P tiene una x,lo que significa que esa intersección no es vacía. Al decir que algún S es P, estamos afirmando que hay algo en común entre S y P, de ahí la necesidad de colocar una x en la intersección de ambos conjuntos.

Algún S no es P.

S P

X

En este gráfico, aparece la x dentro del conjunto S, pero, a la vez, fuera del conjunto P. Ello se debe a que, al afirmar que algún S no es P, estamos diciendo que hay, al menos, un individuo que pertenece al conjunto S, pero no al conjunto P.

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(a) Todos los mamíferos son vivíparos. (b) Todos los métodos experimentales suponen procedimientos inductivos. (c) Ningún pez es mamífero. (d) Nada que sea falso puede ser demostrado científicamente.

2. Construya el diagrama de cada una de las proposiciones siguientes. Recuerde que,

primero, es necesario reconocer cuáles son los conjuntos que aparecen mencionados en la proposición.

(a) Todo lo que sube tiene que bajar.

(b) Nada que se fabrique en masa es un artículo de lujo.

(c) Algunos métodos científicos son puramente deductivos.

(d) Algunos animales domésticos no están en peligro de extinción.

3. Analice los diagramas que aparecen a continuación y escriba la proposición que cada

diagrama representa.

(a) A: animales; S: salvajes

Proposición: _________________________________________________

A S

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(b) C: ciencias; E: experimentales

Proposición: _________________________________________________ (c) D: lo que es demostrable; F: falso

Proposición: _________________________________________________

(d) S: sabio; P: profeta en su tierra

Proposición: _________________________________________________

Ahora que ya sabemos cómo diagramar las proposiciones en este tipo de inferencias, podemos pasar a explicar el procedimiento para inferir conclusiones. El procedimiento, como ya dijimos, puede ser netamente intuitivo; es decir, podemos poner a prueba nuestra capacidad de abstracción y nuestra intuición lógica, y podremos llegar a la conclusión correcta en este tipo de ejercicio sin ningún tipo de mecanismo o estrategia en particular. Sin embargo, como ya señalamos también, el procedimiento con los diagramas de conjuntos ayuda mucho a resolver los ejercicios. Los pasos en este procedimiento son los siguientes: � Reconocer cuáles y cuántos son los conjuntos. Normalmente, en este tipo de ejercicios,

tendremos tres conjuntos. � Construir un diagrama con tres conjuntos y dibujar en él solamente las premisas que se

nos han presentado. Debemos decidir cuál de las premisas nos conviene dibujar primero en el gráfico. Lo recomendable es dibujar siempre, primero, aquellas premisas que nos lleven a sombrear alguna parte del gráfico y, luego, si las hay, dibujar las premisas que

S P

D F

X

C E

X

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nos llevan a colocar una x en alguna parte del gráfico. Hacerlo en este orden nos evitará la ambigüedad de no saber dónde colocar las x.

� Interpretar, en el diagrama, a partir de la zona nueva que resulte graficada, qué

proposición es la que dicha zona representa; así lo hemos hecho en el ejercicio 3. � Si, en el ejercicio, se presentaran más de tres premisas y, por tanto, más de tres

conjuntos, debemos trabajarlo como si se tratara de un ejercicio doble. Más adelante, veremos un ejemplo de este caso.

Veremos cómo aplicar estos pasos en los primeros ejemplos que vimos al inicio de esta sección. Los ejemplos fueron los siguientes:

Ejemplo 1 Dadas las siguientes afirmaciones:

� Todos los mentirosos son manipuladores. � Nadie que sea un manipulador es una persona confiable.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye, necesariamente, de ellas?

(A) Todos los manipuladores son mentirosos. (B) Ningún mentiroso es manipulador. (C) Ningún mentiroso es una persona confiable. (D) Algunos mentirosos son personas confiables. (E) Algunas personas confiables no son manipuladoras.

Solución Observamos que hay dos premisas: todos los mentirosos son manipuladores y nadie que sea manipulador es una persona confiable. Si comenzamos por reconocer los conjuntos que aparecen en esas dos premisas, tendremos los siguientes: M: mentirosos N: manipuladores C: persona confiable Ahora, debemos construir el diagrama con los tres conjuntos así:

Una vez hecho el diagrama con los tres conjuntos, procedemos a dibujar en él, una por una, cada premisa. Si dibujamos en el diagrama anterior la primera premisa, todos los mentirosos son manipuladores, el resultado sería el siguiente:

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Ahora, añadamos a este diagrama la segunda premisa: nadie que sea manipulador es una persona confiable.

En el gráfico, podemos observar que, al haber dibujado las dos premisas, se ha generado un nuevo dibujo, que expresa una nueva proposición. El nuevo dibujo que se ha generado es el sombreado de la intersección del conjunto M con el conjunto C. Que una zona esté sombreada en el gráfico significa que esa zona está vacía; no hay nada en ella. Recordemos los cuatro gráficos básicos. Cuando la intersección de dos conjuntos está sombreada, vacía, eso representa la proposición ningún S es P. En nuestro ejercicio, esta proposición sería ningún mentiroso es una persona confiable o, también, ninguna persona confiable es un mentiroso; ambas proposiciones significan exactamente lo mismo cuando se trata de una proposición que comienza con ningún. Debemos, por tanto, ver cuál de esas dos proposiciones aparece como alternativa en los distractores. Ahí, encontraremos la respuesta correcta al ejercicio. Clave: C

Ejemplo 2

Dadas las siguientes afirmaciones: � Algunos medicamentos no producen adicción. � Todos los medicamentos son sustancias químicas.


(A) Algunos medicamentos producen adicción. (B) Algunas sustancias químicas producen adicción. (C) Algunas cosas que producen adicción no son sustancias químicas. (D) Algunas sustancias químicas no producen adicción. (E) Todas las sustancias químicas son medicamentos.

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Solución Nuevamente, comenzaremos por determinar cuáles son los conjuntos: M: medicamentos A: lo que produce adicción Q: sustancias químicas Ahora, dibujaremos el diagrama general que incluye a estos tres conjuntos.

Continuamos dibujando, en este diagrama general, cada una de las premisas. En este caso, debemos hacer una explicación adicional. En este ejercicio, una de las premisas nos lleva a dibujar una zona sombreada, vacía, en el gráfico, mientras que la otra premisa nos obliga a colocar una x en alguna zona de este diagrama. Cuando esto ocurre, lo más práctico es comenzar por dibujar, en el gráfico, la premisa que nos lleva a colocar una zona vacía, pues eso facilitará la decisión sobre dónde puntualmente colocar la x. Entonces, al dibujar la segunda premisa, todos los medicamentos son sustancias químicas, el gráfico quedará así:

Una vez dibujada la segunda premisa, añadimos al gráfico la representación de la primera premisa: algunos medicamentos no producen adicción. De este modo, el nuevo gráfico quedará así:

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¿Qué podemos inferir de este gráfico ahora? Podemos observar que hay una x, un individuo, que está dentro del conjunto Q (sustancias químicas), pero que no está dentro del conjunto A (lo que produce adicción). ¿Qué quiere decir esto? Quiere decir que algunas sustancias químicas no producen adicción. No hay ninguna otra proposición que se concluya necesariamente de estas dos premisas, de modo que debemos buscar esa proposición entre las alternativas de respuesta y esa será la respuesta correcta. Clave: D

Ejemplo 3 Dadas las siguientes afirmaciones: � Todos los poetas son artistas. � Nadie que sea un artista carece de imaginación. � Todos los que copian a los demás carecen de imaginación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye necesariamente de ellas?

(A) Todos los artistas son poetas. (B) Nadie que copie a los demás carece de imaginación. (C) Ningún poeta copia a los demás. (D) Todos los poetas copian a los demás. (E) Todos los que carecen de imaginación copian a los demás.

Solución Como vemos en este ejercicio, hay tres premisas, y no dos como en los casos anteriores. Por ello, no solo tendremos tres conjuntos, sino cuatro, tal como se plantea a continuación: P: poetas A: artistas I: los que carecen de imaginación C: los que copian a los demás Tal y como lo planteamos en los pasos para resolver esta clase de ejercicios, en casos como este, debemos trabajar como si se tratara de dos ejercicios en uno. Por ello, comenzaremos haciendo el gráfico solo de las dos primeras premisas. Este quedará así:

X

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Procedemos ahora a dibujar, en el gráfico, la primera premisa: todos los poetas son artistas. Este quedará así:

Ahora, añadimos a este gráfico la segunda premisa: nadie que sea un artista carece de imaginación, con lo cual el nuevo gráfico será el siguiente:

En este gráfico, se puede observar que hay una nueva zona sombreada, distinta de la zona que representa a las dos premisas. Esa zona es la intersección de los conjuntos I (los que carecen de imaginación) y P (poetas). De ello, se concluye, necesariamente, que ningún poeta carece de imaginación. Esta nueva afirmación nos servirá, ahora, como una nueva premisa y la combinaremos con la tercera premisa planteada en el ejercicio.

De este modo, ahora, partiremos de un gráfico en el cual esa nueva afirmación aparecerá como una premisa (que ya debe estar dibujada en el gráfico), a la que le añadiremos la tercera premisa que aparecía en el ejercicio: todos los que copian a los demás carecen de imaginación.

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Vemos que, en este momento, aparece una nueva zona sombreada, vacía, que es la intersección de C (los que copian a los demás) con P (poetas). Esta nueva zona debe interpretarse como la proposición nadie que copie a los demás es un poeta o, también, ningún poeta copia a los demás. Buscamos alguna de esas dos proposiciones entre las alternativas y encontramos la clave. Clave: C

Como se ha podido apreciar, el procedimiento para resolver estos ejercicios puede parecer bastante extenso; sin embargo, con un poco de práctica, se hace muy sencillo y no resulta trabajoso. Además, hemos expuesto aquí la solución paso por paso; en la práctica, nos bastará un único gráfico al que le vamos añadiendo las premisas para encontrar la solución. Por ello, no hay que llevarse una impresión equivocada: con un solo gráfico de tres conjuntos, se puede resolver la mayor cantidad de esta clase de preguntas de la prueba de habilidad lógico-analítica. Para terminar esta sección, presentamos algunos ejercicios adicionales para practicar. Ejercicios B 1. Dadas las siguientes afirmaciones: � Todos los medios tecnológicos tienen utilidad. � Nada que tenga utilidad es desechable. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente?

(A) Todo lo que tiene utilidad es un medio tecnológico. (B) Nada que tenga utilidad es un medio tecnológico. (C) Todo lo desechable tiene utilidad. (D) Ningún medio tecnológico es desechable. (E) Ningún medio tecnológico tiene utilidad.

M U

D

C P

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2. Dadas las siguientes afirmaciones: � Algunas operaciones quirúrgicas son riesgosas. � Nada que sea riesgoso es fácil. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente?

(A) Algunas cosas fáciles no son operaciones quirúrgicas. (B) Algunas operaciones quirúrgicas no son fáciles. (C) Algunas cosas riesgosas son fáciles. (D) Algunas operaciones quirúrgicas no son riesgosas. (E) Todas las operaciones quirúrgicas son riesgosas.

3. Dadas las siguientes afirmaciones: � Algunos centros hospitalarios no son eficientes. � Todo centro hospitalario es una institución de servicios de salud. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente?

(A) Algunas instituciones de servicios de salud no son eficientes. (B) Algunas instituciones de servicios de salud son eficientes. (C) Toda institución de servicios de salud es un centro hospitalario. (D) Ninguna institución de servicios de salud es eficiente. (E) Algunos centros hospitalarios no son instituciones de servicios de salud.

4. Dadas las siguientes afirmaciones: � Todos los profesionales de la salud se dedican al cuidado de personas enfermas. � Todos los médicos son profesionales de la salud. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente?

(A) Todos los que se dedican al cuidado de personas enfermas son profesionales de la

salud. (B) Todos los profesionales de la salud son médicos. (C) Todos los que se dedican al cuidado de personas enfermas son médicos. (D) Algunos médicos no se dedican al cuidado de personas enfermas. (E) Todos los médicos se dedican al cuidado de personas enfermas.

O R

F

H E

S

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3.2 INFERENCIAS BASADAS EXCLUSIVAMENTE EN CONECTORE S 3.2.1 Generalidades Las inferencias que se resuelven analizando solamente los conectores se caracterizan por la presencia de ciertos conectores entre las proposiciones. Veamos dos ejemplos.

� Si el examen es fácil, aprobaré. Pero no he aprobado. Por lo tanto, el examen no fue fácil.

� Si llueve, habrá humedad. Pero no hay humedad. Por lo tanto, no ha llovido.

¿Qué podemos observar en estos dos ejemplos? Lo más notorio es que ambos tienen, exactamente, la misma estructura, que es la siguiente:

Si A, entonces B. Pero no B. Por lo tanto, no A. A representa a las proposiciones el examen es fácil, del primer ejemplo y llueve, del segundo ejemplo. Mientras, B representa a las proposiciones aprobaré, del primer ejemplo y hay humedad, del segundo ejemplo. Lo importante en el análisis de estos dos ejemplos es que tienen la misma estructura, porque tienen los mismos conectores: si (…), entonces (…), no y por lo tanto. Si continuamos el análisis de los dos ejemplos, veremos, además, que ambos son inferencias sólidas o correctas. Dadas las premisas, es realmente imposible rechazar la conclusión. ¿A qué se debe eso? Se debe a la estructura de ambos ejemplos. Al analizar inferencias, para determinar si son sólidas o no, es de suma utilidad considerar su estructura; la forma en que una inferencia está estructurada, muchas veces, determina si la inferencia es sólida o no. En las pruebas de habilidad lógico-analítica, se toma en cuenta esta característica estructural tanto en las inferencias que involucran conjuntos —silogismos categóricos— como en las inferencias que involucran conectores —silogismos proposicionales—; por ello, debemos tener estas estructuras en cuenta. 3.2.2 Cómo se resuelven los ejercicios Los tipos de preguntas que se incluyen en esta parte de la prueba son, por ejemplo, como los que aparecen a continuación. Ejemplo 1

Dadas las siguientes afirmaciones: � Si el problema no se resuelve pronto, la situación se agravará o se prolongará. � Se ha determinado ya que el problema no se resolverá pronto.

P C

M

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¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente?

(A) La situación se agravará o se prolongará. (B) La situación se agravará. (C) La situación se prolongará. (D) La situación no se agravará ni se prolongará. (E) La situación no se agravará, pero sí se prolongará.

Ejemplo 2 Dadas las siguientes afirmaciones: � Si la anemia persiste, deberá aumentarse la dosis de fierro. � Si debe aumentarse la dosis de fierro, la dieta deberá tener un contenido alto en fibras.


(A) Si la dieta debe tener un contenido alto en fibras, debe aumentarse la dosis de fierro. (B) Si debe aumentarse la dosis de fierro, la anemia persiste. (C) Si la dieta debe tener un contenido alto en fibras, la anemia persiste. (D) Si la anemia persiste, la dieta deberá tener un contenido alto en fibras. (E) La dieta deberá tener un contenido alto en fibras.

Como vemos, en estas inferencias, no aparecen las expresiones todos, algunos, ningún, etcétera. No se trata, por tanto, de inferencias que deben analizarse observando los conjuntos. Debemos observar los operadores, las proposiciones y la forma en que estas se relacionan entre sí. Por otro lado, en el ejercicio, solo nos dan las premisas y nosotros debemos encontrar la conclusión correcta. Existen muchas formas de resolver esta clase de ejercicios. En la prueba de habilidad lógico-analítica, solamente tomamos en consideración ciertas clases de inferencias basadas en conectores, no todas las posibilidades existentes, sino solamente algunas. Esto se debe a que se considera que hay ciertas clases de inferencias proposicionales que son muy usuales y que usamos con mucha frecuencia en la vida cotidiana; por ello, pueden ser analizadas de manera intuitiva. Sin embargo, del mismo modo que para las inferencias que involucran conjuntos, también proponemos aquí ciertas pautas que son de utilidad, en caso de que no se desee trabajar solo de manera intuitiva. Las pautas son las siguientes: � Reconocer las proposiciones que aparecen en la inferencia � Reconocer los conectores que aparecen en la inferencia y la estructura de esta � De manera intuitiva o aplicando la regla de inferencia adecuada para el caso, obtener la

conclusión que se deriva necesariamente de las premisas y ubicarla entre los distractores Como resulta evidente, para aplicar estas pautas, debemos tener presentes algunas reglas de inferencia. Las reglas de inferencia son modelos de inferencias correctas. La Lógica nos proporciona muchas de estas reglas; no obstante, en la prueba de habilidad lógico-analítica, solo trabajamos con cinco de estas reglas, las cuales se describen a continuación. Regla 1 Ejemplo P1) Si A, entonces B. Si sale el sol, iremos a la playa. P2) A. Ha salido el sol. Por lo tanto, B . Por ello, iremos a la playa.

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Regla 2 Ejemplo P1) Si A, entonces B. Si tuviera dinero, me compraría una computadora. P2) No B. No me compraré una computadora. Por lo tanto, no A. Por ello, no tengo dinero. Regla 3 Ejemplo P1) Si A, entonces B. Si llueve, entonces hay humedad. P2) Si B, entonces C. Si hay humedad, entonces hace frío. Luego, si A, entonces C. Por ello, si llueve, entonces hace frío. Regla 4 Ejemplo P1) A o B. Estudio Derecho o estudio Ingeniería. P2) No A. No voy a estudiar Ingeniería. Luego, B. Por tanto, estudio Derecho. Regla 5 Ejemplos P1) No (A y B). No es cierto que llueva y haga frío. Luego, no A o no B. Luego, no llueve o no hace frío. P1) No (A o B) No es cierto que estudie Historia o Filosofía. Luego, no A y no B. Luego, no estudio Historia ni Filosofía. Se trata de cinco reglas; la regla 5 tiene dos versiones. Cada regla plantea, a partir de una o dos premisas, qué conclusión es válido derivar. La regla 1 señala que debemos tener dos premisas. Una premisa —puede ser la primera o la segunda; el orden de las premisas no importa— establece una relación condicional entre dos proposiciones, A y B: si A, entonces B . La segunda premisa afirma la verdad del antecedente del condicional, A; de ahí, es válido concluir el consecuente, B. La regla 2 también plantea que debemos partir de dos premisas, una de las cuales es un condicional; la otra premisa es la negación del consecuente, B, de ese condicional. De ahí, se concluye válidamente la negación del antecedente, A. En la regla 3, las dos premisas son condicionales. Sin embargo, existe otra característica: hay una proposición que aparece como antecedente en una de las premisas y como consecuente en la otra, B. Esta proposición B es un elemento de enlace entre las dos premisas. Al final, se concluye una nueva proposición condicional, pero que no incluye a B. En la regla 4, hay una premisa disyuntiva: A o B. La otra premisa es la negación de uno de los elementos de esa disyunción. De ahí, se concluye el otro elemento de la disyunción válidamente. Finalmente, en la regla 5, solo aparece una premisa. En ella, el conector más importante —el que posee más jerarquía— es la negación. Esta niega a una expresión compuesta: A y B o también A o B. Al aplicar la regla, es como si introdujéramos la negación dentro del paréntesis y todos los «signos» se cambian: A por no A, B por no B, y por o, o por y. Luego de ver estas cinco reglas, podemos, ahora, resolver los ejemplos que planteamos líneas arriba.

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� Si el problema no se resuelve pronto, la situación se agravará o se prolongará. � Se ha determinado ya que el problema no se resolverá pronto.


(A) La situación se agravará o se prolongará. (B) La situación se agravará. (C) La situación se prolongará. (D) La situación no se agravará ni se prolongará. (E) La situación no se agravará, pero sí se prolongará.

Solución Primero, identifiquemos las proposiciones y asignemos a cada una alguna letra que nos permita identificarlas fácilmente (así como hicimos antes con los conjuntos). P: el problema no se resuelve pronto. A: la situación se agravará. L: la situación se prolongará.

Ahora, identifiquemos la estructura de la inferencia. P1) Si P, entonces S o L. P2) P. ¿Cuál de las cinco reglas podemos aplicar en este caso? Veamos. La primera premisa es un condicional; la segunda premisa es la afirmación del antecedente de ese condicional. Entonces, la regla que debemos aplicar es la regla 1. De este modo, la conclusión a la que debemos llegar tiene que ser el consecuente del condicional: S o L = la situación se agravará o se prolongará. Clave: A


� Si la anemia persiste, deberá aumentarse la dosis de fierro. � Si debe aumentarse la dosis de fierro, la dieta deberá tener un contenido alto en fibras.


(A) Si la dieta debe tener un contenido alto en fibras, debe aumentarse la dosis de fierro. (B) Si debe aumentarse la dosis de fierro, la anemia persiste. (C) Si la dieta debe tener un contenido alto en fibras, la anemia persiste. (D) Si la anemia persiste, la dieta deberá tener un contenido alto en fibras. (E) La dieta deberá tener un contenido alto en fibras.

Solución Nuevamente, comencemos por reconocer las proposiciones. A: la anemia persiste. F: debe aumentarse la dosis de fierro.

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C: la dieta deberá tener un contenido alto en fibras. Ahora, veamos la estructura de la inferencia. P1) Si A, entonces F. P2) Si F, entonces C.

¿Qué regla de inferencia es correcto aplicar ahora? Las dos premisas son condicionales y, en ambas, hay una proposición que se repite como antecedente en una premisa y como consecuente en la otra: F. La regla que debemos aplicar es, en consecuencia, la regla 3 y la conclusión a la que debemos llegar es si A, entonces C = si la anemia persiste, entonces la dieta deberá tener un contenido alto en fibras. Clave: D

Además de este tipo de ejercicios en los que se pide una conclusión directa a partir de algunas premisas, las reglas de inferencia pueden usarse, también, para obtener conclusiones correctas a partir de tres, cuatro o más premisas. En esos casos, debemos aplicar varias veces estas reglas al conjunto de premisas e ir obteniendo diversas conclusiones. Ejercicios C Escriba la proposición que se concluye necesariamente de cada conjunto de premisas. Considere la aplicación correcta de alguna de las cinco reglas vistas.

Premisas Conclusión a. Si la inflación aumenta, los precios de

muchos productos subirán también. Se sabe ya que la inflación aumentará.

Premisas Conclusión

b. O bien vamos en ómnibus y nos ahorramos un poco de dinero, o bien vamos en avión. Pero no podremos ir en avión.


c. No es cierto que vayamos a clasificar para el próximo mundial o que vayamos a ganar algún campeonato sudamericano.


d. No es cierto que estemos en invierno y que haga frío.


e. Si postulamos a la universidad, necesitaremos estudiar. Si necesitamos estudiar, tendremos menos tiempo para ir a fiestas.


f. Si compras manzanas y peras, entonces te quedarás sin dinero. Pero no te quedarás sin dinero.

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3.3 EVALUACIÓN DE ARGUMENTOS (reconocimiento de fal acias) 3.3.1 Generalidades En esta sección de la prueba de habilidad lógico-analítica, se exige que se evalúe si un argumento es sólido o si un argumento es mejor que otro. Tal y como señalamos al principio de esta parte del manual, un argumento consiste en un conjunto de premisas de las que se deriva una conclusión. Así, en estos ejercicios, no se nos pedirá que derivemos una conclusión, sino que, dado el argumento completo, con sus premisas y conclusión ya propuestas, debemos analizar y evaluar si la conclusión propuesta es la más adecuada o sólida. Veamos un ejemplo de cómo se plantean estos ejercicios en la prueba de habilidad lógico-analítica. Ejemplo 1. Analice los siguientes argumentos y determine cuál de ellos es el más sólido.

(A) La delincuencia ha aumentado porque así lo ha afirmado el profesor de matemáticas. (B) La delincuencia ha aumentado porque así lo demuestran las cifras, de 15% en 2005 a

18% en 2007. (C) La delincuencia ha aumentado pues es evidente que ha aumentado. (D) La delincuencia ha aumentado puesto que otros problemas sociales también se han

agravado. (E) La delincuencia ha aumentado dado que ayer asaltaron a una mujer en la calle.

Hay muchas maneras de hacer evaluaciones de argumentos. Sin embargo, en la prueba de habilidad lógico-analítica, solo nos centramos en la habilidad de distinguir qué argumentos pueden considerarse falacias y qué argumentos no pueden clasificarse como falacias. En el ejemplo anterior, observamos que se plantean cinco argumentos, todos ellos con la misma conclusión —en otros casos, podrían aparecer cinco argumentos totalmente distintos entre sí, es decir, argumentos en que ni las premisas ni las conclusiones sean las mismas—. Lo que debemos hacer es reconocer cuál de esos cinco argumentos es el mejor. Para hacerlo, es necesario evaluar cada uno de los distractores. Podemos analizar, en cada caso, qué tan sólida es la relación entre las premisas y la conclusión, y, así, tomar una decisión. No obstante, también podemos apelar a una clasificación tradicional de errores comunes en la argumentación: las falacias. 3.3.2 Cómo se resuelven los ejercicios Lo fundamental, entonces, es tener en claro qué es una falacia. Existen diversas maneras de interpretar una falacia. Para algunos una falacia es, simplemente, un enunciado falso; para otros es un enunciado engañoso. La idea de falacia que manejamos aquí se basa en la perspectiva de la lógica. Así, desde el punto de vista lógico, una falacia es un argumento incorrecto cuyo propósito es persuadir engañosamente. El hecho de que sea incorrecto significa que las premisas del argumento falaz no sustentan, no justifican o no garantizan su conclusión. Se trata, pues, de un argumento débil, pero que, a veces, puede resultar persuasivo. En el ejemplo que hemos visto líneas arriba, cuatro de los distractores son argumentos débiles o falaces. Ahora bien, las falacias se pueden clasificar en falacias formales y falacias no formales. En la prueba de habilidad lógico-analítica, nos centramos en evaluar solo las falacias no formales. Veamos una distinción general entre falacias formales y falacias no formales. Las falacias formales son aquellas en las que el error argumentativo se debe a la forma o estructura del argumento, y solo a eso. Por ejemplo, un argumento como el siguiente sería una falacia formal: ningún perro es felino y ningún felino es vegetariano; por lo tanto, ningún perro es vegetariano. Este es un argumento formalmente incorrecto, pues es su estructura la que

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contiene el error. Si analizamos el argumento haciendo diagramas de conjuntos, veremos, claramente, que la conclusión no se infiere correctamente de las premisas. En cambio, las falacias no formales son aquellas en las que el error se debe a un modo inapropiado de escoger las premisas o a un modo inadecuado de interpretarlas. Las falacias no formales apelan a las creencias, emociones, expectativas o a la distracción de un posible interlocutor; así, cuando somos persuadidos por una falacia no formal, lo que está ocurriendo en el fondo puede ser una suerte de manipulación. Por eso, se dice que las falacias no formales son manipuladoras y sutiles. Allí radica la importancia de abordar este tema en la prueba: entrenarnos y no dejarnos engañar por argumentos manipuladores. Para evitar ser persuadidos por falacias no formales, un mecanismo adecuado es el conocimiento de algunos tipos de estas falacias, es decir, una clasificación. En la literatura lógica, existe la más diversa gama de clasificaciones de falacias; hay textos en los que podemos encontrar una lista con trece, quince, dieciocho o cincuenta clases distintas de falacias. Sin embargo, no es nuestra pretensión, en la prueba de habilidad lógico-analítica, exigir que se aprenda una clasificación, sino, más bien, evaluar nuestra capacidad de reconocer errores argumentativos frecuentes, los que más recurrentemente cometemos. Por ello, la clasificación que veremos a continuación es bastante breve y debe servirnos no para aprender de memoria una lista de falacias, sino para reconocer que hay errores comunes que todos cometemos y que debemos evitar. Algunas clases de falacias no formales 1. Argumento dirigido contra la persona

Esta clase de falacia consiste en que, en las premisas del argumento, se ataca a una persona o se mencionan ciertas características de esta con el propósito de que dicha persona pierda credibilidad; así, al perder credibilidad, se pretende llegar a la conclusión de que lo esta persona dice o piensa no es cierto. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

Ejemplos Análisis

a. Tú no puedes tener la razón, puesto que eres una persona tonta y poco inteligente.

La premisa para la conclusión es un ataque ofensivo y directo a la persona con adjetivos, incluso, insultantes.

b. Alumno Pérez, lo que usted ha afirmado no puede ser cierto, dado que usted apenas tiene dieciséis años y una persona de esa edad no tiene suficiente experiencia.

En este caso, las premisas no contienen un ataque insultante hacia el alumno Pérez, pero sí pretenden desacreditarlo aludiendo a su edad.

2. Apelación a la piedad

En esta clase de falacias, las premisas contienen una forma de manipulación directa centrada en causar lástima o misericordia en un posible interlocutor. En la conclusión, se hace algún pedido basado en haber despertado compasión. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

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Ejemplos Análisis

c. Señores del jurado, el acusado es inocente. Para demostrar esto, basta considerar todo lo que ha sufrido desde su niñez: maltrato, abandono, violencia... Basta ello para darse cuenta de que es más una víctima que un victimario.

Para sostener que el acusado es inocente, se apela a despertar sentimientos de compasión por todo lo que el acusado sufrió en su infancia. Sin embargo, sin duda, el sufrimiento no explica si una persona es o no inocente de un crimen.

d. Profesor, yo estudié mucho para mi examen y, si usted no me aprueba, lo más seguro es que repita el año. Por ello, usted debe subirme dos puntos.

Para justificar que el profesor debe subir dos puntos en el examen, se le manipula diciendo que, si no lo hace, habrá graves consecuencias para el alumno, como repetir el año.

3. Apelación a la autoridad

En esta clase de falacia, la conclusión se pretende sustentar en la autoridad de algún personaje importante o reconocido, que, sin embargo, puede no poseer autoridad en el tema sobre el cual se está argumentando. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

Ejemplos Análisis

e. Como todos sabemos, Pelé ha sido el más grande jugador de fútbol de todos los tiempos. Por ello, si Pelé promociona la marca de televisores Sony para ver el próximo mundial, entonces esta debe ser la mejor marca.

Si bien Pelé es una autoridad en temas futbolísticos, no es una autoridad en temas técnicos relacionados con televisores. Sin embargo, se usa su popularidad y su imagen para promocionar una marca de televisor.

f. Es imposible que exista vida en otros planetas, porque mi profesor de religión, que es un sacerdote muy preparado, nos dijo que solamente el ser humano fue creado a imagen de Dios.

El profesor de religión, sobre todo si es una persona preparada, puede ser una autoridad en los temas que él domina, pero no necesariamente es una autoridad en otros temas. Por ello, no puede basarse la conclusión en su autoridad.

4. Generalización apresurada

Generalizar significa aceptar que lo que ocurre para un único caso o para muy pocos casos ocurre, también, para la totalidad de los casos. Así, por ejemplo, si conocemos a tres personas a quienes han asaltado en un determinado punto de la ciudad a cierta hora de la noche, podemos generalizar que, en ese punto de la ciudad, por las noches, hay asaltos; esto no significa que a todas las personas que pasen por ese lugar en la noche las van a asaltar, pero ¿pasaría usted solo por ese lugar en la noche? Seguramente, no lo haría, porque es probable que sea asaltado. Esto sería una generalización, pero no apresurada porque hay datos medianamente suficientes o aceptables para sospechar que podemos ser asaltados.

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Sin embargo, hay generalizaciones que son apresuradas. Estas ocurren cuando, a partir de un único caso o de muy pocos casos que son excepcionales, raros o muy poco frecuentes, hacemos una generalización. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

Ejemplos Análisis

g. Este hombre es un alcohólico empedernido. Lleva años sumido en el vicio del alcohol y ha destruido a su familia; él bebe todos los días y sin ningún control. Por ello, todas las personas que consumen alcohol en cualquier cantidad y frecuencia corren el riesgo de destruir sus hogares.

A partir del caso extremo, y menos frecuente, de un alcohólico que debe sin control, se generaliza que todas las personas correrán la misma suerte. En esta falacia, lo más grave es que se generaliza para todas las personas, aunque no beban alcohol de la misma manera.

h. María es una estudiante excepcional que logró obtener los primeros puestos en sus últimos años escolares a pesar de haber estado gravemente enferma en tres ocasiones y haber faltado a clases varios meses. Ella logró esos resultados pues recibió mucho apoyo y es muy dedicada a los estudios. Por ello, cualquier alumno que falte a clases obtendrá primeros puestos.

A partir del caso, excepcional, de María, se generaliza que a todo alumno le puede ocurrir lo mismo. Al llegar a esta conclusión, no se toma en cuenta que Maria recibió mucho apoyo y que es una alumna excepcionalmente dedicada a los estudios.

5. Círculo vicioso (petición de principio)

Esta clase de falacia es una de las más frecuentes. Consiste en argumentar, como su nombre lo indica, de manera circular; esto quiere decir que afirmamos la verdad de una conclusión sobre la base de ella misma. Así, en la falacia de círculo vicioso, las premisas y las conclusiones dicen exactamente lo mismo, pero, normalmente, con palabras diferentes para que no sea tan evidente la argumentación circular. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

Ejemplos Análisis

i. El mejor curso que he llevado en toda la secundaria fue Historia, porque Historia fue el mejor curso de la secundaria. En ambos ejemplos, tanto la premisa como

la conclusión expresan la misma idea. Sin duda, las proposiciones que funcionan como premisa y como conclusión no son idénticas en cada caso, sino que tienen algunas diferencias.

j. Todos los que terminan el colegio deben prepararse para ingresar en alguna universidad. Por ello, al terminar el colegio, todos necesitan prepararse para ingresar a una universidad.

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6. Conclusión inatinente

Las falacias de conclusión inatinente son aquellas en las que no hay una relación lógica fuerte entre las premisas y la conclusión. Se considera a esta de falacias como una suerte de «cajón de sastre», pues toda falacia que no pueda clasificarse de un modo específico se clasifica como conclusión inatinente. También, se suele decir que la falacia de conclusión inatinente consiste en que las premisas abordan un tema o apuntan en una dirección, mientras que la conclusión aborda un tema distinto o desde una perspectiva distinta. Por ello, no hay una relación lógica directa entre ambas. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

Ejemplos Análisis

k. Profesor, mi proyecto es el mejor del salón, porque lo hice con ayuda de mis padres.

En ambos casos, las premisas no contienen una justificación razonable o suficiente para defender la conclusión. En el primer caso, la ayuda de los padres no hace que un proyecto escolar sea mejor que otros. En el segundo caso, la justificación para que una propuesta sea mejor que otras no consiste en que todas las personas tengan derecho a servicios de agua y desagüe.

l. Esta propuesta para mejorar los servicios de agua y desagüe es la más razonable y útil, puesto que todas las personas tienen derecho a gozar de estos servicios.

7. Equívoco La falacia de equívoco se basa en la ambigüedad de una palabra o una frase. Así, cuando, en las premisas del argumento, hay una palabra que tiene doble significado y en una premisa se usa en uno de sus dos significados y en la otra premisa en otro significado, al llegar a la conclusión, se obvia que, en realidad, se trata de dos conceptos o ideas distintos. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

Ejemplos Análisis

m. Todas las mesas tienen patas. Todas las patas ponen huevos. Por tanto, todas las mesas ponen huevos.

La palabra ambigua en este ejemplo es patas, pues posee dos significados. Al derivar la conclusión, se asume que se trata del mismo concepto; ese es el error.

n. El fin de una cosa es su perfección. La muerte es el fin de la vida. Luego, la muerte es la perfección de la vida.

La palabra ambigua en este ejemplo es fin. En la primera premisa, significa ‘objetivo’, ‘finalidad’; en la segunda, ‘final’, ‘término’. Al plantear la conclusión, se asume que se trata de un solo significado para dicha palabra.

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8. Composición Esta falacia consiste en atribuir las características de un objeto o individuo al conjunto de esos objetos o individuos, de ahí el nombre de composición. No es lo mismo que un jugador de un equipo sea famoso que el equipo sea famoso. Si el jugador es famoso, eso no garantiza que el equipo también lo sea. En eso consiste esta clase de falacia. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

Ejemplos Análisis

o. Cada una de las piezas de este motor es liviana y delicada, de modo que este motor también es liviano.

Que las piezas del motor sean livianas no garantiza que todo el motor sea liviano. Es decir, lo que es característica de una parte del motor no tiene que ser característica del motor como un todo.

p. Un ómnibus gasta más combustible que un auto; por ello, los ómnibus en conjunto gastan más combustible que el total de autos que circulan por la ciudad.

Un ómnibus, sin duda, si se lo compara con un solo auto, gasta más combustible. No obstante, en el conjunto de una ciudad, hay más autos que ómnibus; por ello, la conclusión no se sustenta en la premisa.

9. División

Esta clase de falacia es la opuesta de la falacia de composición. Consiste en que lo que es característico de un conjunto se atribuye, en la conclusión, a un elemento o parte del conjunto. Esto, sin duda, es un error, pues el hecho de que, por ejemplo, un equipo haya resultado el mejor de un torneo no garantiza que su arquero haya sido el mejor de dicho torneo. Veamos algunos ejemplos. En todos ellos, la conclusión es la proposición que aparece subrayada.

Ejemplos Análisis

q. Esta empresa es muy importante y el señor Pérez es empleado en esta empresa; entonces, el señor Pérez es muy importante también.

La empresa, como conjunto, es importante. Sin embargo, eso no garantiza que uno de sus empleados sea importante también. Se atribuye las características del conjunto a uno de sus elementos.

r. Los indios americanos están desapareciendo. Nubegrís es un indio americano. Luego, Nubegrís está desapareciendo.

Los indios americanos, como conjunto, están desapareciendo. No obstante, ello no significa que un individuo de ese conjunto esté desapareciendo también.

Vista la clasificación de las falacias, podemos, ahora, resolver el ejemplo planteado al inicio de este apartado. El ejemplo era el que se presenta a continuación.

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Ejemplo 1. Analice los siguientes argumentos y determine cuál de ellos es el más sólido.

(A) La delincuencia ha aumentado porque así lo ha afirmado el profesor de matemáticas. (B) La delincuencia ha aumentado porque así lo demuestran las cifras, de 15% en 2005 a

18% en 2007. (C) La delincuencia ha aumentado pues es evidente que ha aumentado. (D) La delincuencia ha aumentado puesto que otros problemas sociales también se han

agravado. (E) La delincuencia ha aumentado dado que ayer asaltaron a una mujer en la calle.

Lo que debemos hacer es, primero, identificar la conclusión. En este ejercicio, la conclusión es la misma en los cinco argumentos: la delincuencia ha aumentado. Y, en cada caso, se plantea una premisa diferente para sustentarla. Analicemos caso por caso. En (A), se apela a la autoridad del profesor de matemáticas; si este profesor no presenta las razones que explican por qué se puede afirmar que la delincuencia ha aumentado, entonces, se trata de una apelación a la autoridad. En (B), tenemos la alternativa correcta: la mejor manera de justificar si ha aumentado la delincuencia es presentado las cifras que evidencian el aumento. En (C), se comete una falacia de círculo vicioso, pues la premisa y la conclusión dicen lo mismo. En (D), se comete una falacia de conclusión inatinente (la premisa no atina o no da en el clavo), pero, también, puede tratarse de una falacia de división: como varios problemas han aumentado, la delincuencia también. Finalmente, en (E), se comete una falacia de generalización apresurada: a partir de un único caso, se afirma que la delincuencia, en general, ha aumentado. Ejercicio D Analice los siguientes pasajes y determine qué clase de falacia se comete en cada caso. Considere lo siguiente: � Primero, identifique la conclusión y subráyela. � Luego, identifique las premisas. � Finalmente, en el recuadro, explique qué clase de falacia se comete y por qué. � El primer ejercicio, el a., servirá a modo de ilustración.

a. Pero ¿puede usted dudar de que el aire tenga peso, cuando tiene el claro testimonio de Aristóteles, quien afirma que todos los elementos tienen peso, inclusive el aire, y con la sola excepción del fuego?

Galileo Galilei Diálogos concernientes a dos nuevas

ciencias

Si analizamos con detalle el pasaje, vemos que su intención es persuadirnos de que el aire tiene peso; esa idea será, por tanto, la conclusión y debemos subrayarla. Ahora bien, ¿en qué se basa el sustento que se ofrece para esa conclusión? Solamente se basa en que Aristóteles así lo creía. Se trata, pues, de una apelación a la autoridad, en este caso, a la autoridad de Aristóteles.

b. En su labor, un abogado tiene, siempre, la libertad de consultar libros de derecho. Un médico, a menudo, investiga casos en sus textos médicos. Todo el mundo debe gozar de similar libertad de consulta. Por consiguiente, debe permitirse a los estudiantes que usen sus libros de texto durante los exámenes.

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c. Mentir es una falta grave porque es no decir la verdad, y no decir la verdad es una grave falta.

d. El uso de métodos anticonceptivos en la campaña del control de la natalidad no debe propalarse, ya que va contra los principios católicos.

e. El grupo de música Locomía fue bastante novedoso en su momento; sin embargo, como tenían una imagen andrógina, su música era mala.

f. Profesor: solicito que revise la pregunta 2 de mi examen. Creo que me merezco más puntaje, pues estoy llevando el curso por tercera vez y podría salir de la universidad si no me sube dos puntos.

g. Profesor: solicito que revise la pregunta 2 de mi examen. Merezco más puntaje, porque es el tema que más estudié.

h. Las afirmaciones expresadas en el libro que estamos leyendo no son confiables, pues el autor, en su vida personal y profesional, demostró, siempre, que era una persona poco digna de confianza.

i. Mónica confesó que no había estudiado nada. Sin embargo, como sabemos, nada es más importante que descansar bien antes de un examen. Por tanto, Mónica confesó que no había descansado bien antes del examen.

j. Las conclusiones a las que llegó la Comisión de la Verdad y Reconciliación (CVR) no tienen sustento, pues varios de sus miembros tenían antecedentes de comunismo en sus trayectorias políticas, y difícilmente se puede tener confianza en personas que defienden ideas parecidas a las de los grupos terroristas.

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K. El banco que siempre ocupamos en el parque no estaba disponible hoy. Pero todo banco, como entidad financiera, siempre debería estar disponible para sus clientes. De modo que el banco que siempre ocupamos en el parque debió haber estado disponible.

3.4 ORDENAMIENTO DE DATOS 3.4.1 Generalidades Del mismo modo que en los casos anteriores, en este tipo de preguntas, debemos llegar a conclusiones correctas. Ahora, la diferencia está en que, para llegar a conclusiones en esta clase de ejercicios, debemos, primero, encontrar la forma apropiada de ordenar toda la información que nos proporcionan. Por ello, usualmente, en este tipo de ejercicios, nos plantearán un conjunto de datos con los cuales debemos responder de tres a cinco preguntas. Estos ejercicios, por tanto, nos sirven para resolver un bloque de preguntas. La importancia de resolver estos ejercicios es que nos exigen aplicar todas las habilidades anteriores —evaluar argumentos con conjuntos, evaluar argumentos usando solo conectores, evaluar falacias—, pero, asimismo, nos exigen una capacidad de análisis de información. Además de analizar la información, debemos crear un mecanismo eficiente y apropiado para analizar cada tipo de información. Esta es una habilidad adicional a la habilidad lógica de obtener y evaluar conclusiones. Para resolver estos ejercicios con eficacia, vamos a plantear, ahora, las formas más frecuentes en que se deben ordenar los datos. Debemos tener presente que no existe una única forma de ordenar los datos; cada uno tiene que descubrir la forma en que le resulte más cómodo hacerlo. Sin embargo, hay ciertos criterios que no debemos descuidar. Veamos las diferentes clases de ejercicios y datos que debemos ordenar. 3.4.2 Cómo se resuelven los ejercicios (a) Relaciones lineales (mayor-menor, antes-después , arriba-abajo, etcétera) Cuando se nos presentan datos entre lugares, personas, objetos, entre otros, entre los cuales se plantean relaciones de mayor-menor, antes-después, más grande-más pequeño, arriba-abajo, etcétera, debemos ordenar los datos en una línea, sea esta vertical u horizontal. Para reconocer esta clase de ejercicios, veamos un ejemplo. Ejemplo Los Rojos, los Verdes, los Morados, los Naranjas, los Lilas, los Celestes y los Grises concursaron en una competencia de velocidad. Los resultados fueron los siguientes: � Los Verdes llegaron a la meta antes que los Lilas, pero después de los Grises. � Los Morados llegaron a la meta después que los Lilas, pero antes que los Celestes. � Los Rojos llegaron a la meta antes que los Naranjas, pero después de los Morados. Solución Lo conveniente, aquí, es trazar una línea, vertical u horizontal, como se prefiera, e ir colocando, en ella, los datos que se plantean. Debemos definir qué extremos de la línea significará el

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antes y el después para no confundirnos. Esta será hecha, entonces, como se muestra a continuación.

Meta Ahora, vayamos colocando los datos, uno a uno. Primero, coloquemos el primer dato: los Verdes llegaron a la meta antes que los Lilas, pero después que los Grises.

Meta L V G

Añadamos, en este instante, el dato siguiente: los Morados llegaron a la meta después que los Lilas, pero antes que los Celestes.

Meta C M L V G

Finalmente, coloquemos el tercer y último dato: los Rojos llegaron a la meta antes que los Naranjas, pero después que los Morados.

Meta C M L V G

N R En este caso, no podemos establecer, con exactitud, la posición de los Rojos ni de los Naranjas; solo sabemos que los Rojos van después de los Morados. Por ello, quedará una ambigüedad. Esto, no obstante, no debe preocuparnos, pues seguramente es parte del ejercicio que la ambigüedad esté presente. Ahora, debemos ir a las preguntas y escoger el mejor distractor en cada caso según nuestro esquema final. 1. ¿Quiénes llegaron en primer lugar?

(A) Los Lilas (B) Los Verdes (C) Los Grises (D) Los Morados (E) Los Rojos Clave: C

2. ¿Quiénes llegaron en cuarto lugar?

(A) Los Morados (B) Los Rojos (C) Los Celestes (D) Los Naranjas (E) Los Verdes Clave: A

3. ¿Entre qué equipos pudo haber un empate?

(A) Entre los Celestes y los Morados (B) Entre los Rojos y los Morados (C) Entre los Celestes y los Rojos (D) Entre los Rojos y los Naranjas (E) Entre los Naranjas y los Morados Clave: C

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4. ¿Cuál de los siguientes datos es necesario para saber quiénes llegaron en último lugar?

(A) Los Morados llegaron a la meta antes que los Naranjas. (B) Los Naranjas llegaron a la meta antes que los Celestes. (C) Los Morados llegaron a la meta antes que los Grises. (D) Los Verdes llegaron a la meta antes que los Celestes. (E) Los Rojos llegaron a la meta después que los Verdes. Clave: B

(b) Relaciones lineales paralelas (norte-sur, este- oeste, dos competencias simultáneas, etcétera)

Esta clase de preguntas se parecen a las anteriores, pero con la diferencia de que debemos hacer dos veces un ordenamiento lineal y paralelo. Se trata de casos en los que, por ejemplo, se nos plantea una competencia entre equipos, pero es una doble competencia. También, puede ocurrir que se nos plantee ubicar lugares según una dirección norte o sur y, al mismo tiempo, este y oeste. En este último caso, no es conveniente construir una especie de mapa, pues eso puede distorsionar la información; se recomienda construir, también, dos líneas paralelas. Veamos un ejemplo. Ejemplo Carlos estaba desorientado en un recóndito poblado y solamente tenía la siguiente información para poder ubicarse: � La plaza estaba el norte del coliseo y al este del palacio. � El palacio estaba al sur del coliseo y al este del mercado. � El mercado estaba al norte de la plaza y al este de la iglesia. � La iglesia estaba al sur del palacio, el cual estaba al este del cuartel. � El coliseo estaba el oeste de la iglesia, la cual estaba al norte del cuartel. Solución Como se puede observar en el conjunto de datos presentados, las relaciones norte, sur, este y oeste están todas mezcladas. Por ello, lo que se propone es construir un diagrama en el que los datos se ordenen del modo siguiente:

Norte Este

Sur Oeste Ahora, empecemos a colocar los datos en el gráfico. Comencemos por el primero: la plaza estaba al norte del coliseo y al este del palacio.

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Norte Este

plaza plaza

coliseo palacio

Sur Oeste Añadamos el segundo dato: el palacio estaba al sur del coliseo y al este del mercado.

Norte Este

plaza plaza

coliseo palacio

palacio mercado

Sur Oeste Continuemos con el tercer dato: el mercado estaba al norte de la plaza y al este de la iglesia.

Norte Este

mercado

plaza plaza

coliseo palacio

palacio mercado

iglesia

Sur Oeste El gráfico va, poco a poco, completándose. Añadamos, ahora, el dato siguiente: la iglesia estaba al sur del palacio, el cual estaba al este del coliseo.

Norte Este

mercado plaza

plaza palacio

coliseo mercado / coliseo

palacio iglesia / coliseo

iglesia coliseo

Sur Oeste Como vemos, ha quedado una ambigüedad, pues no sabemos, con precisión, cuál es la ubicación del coliseo en relación con el mercado o la iglesia; solo sabemos que debe estar al

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167

oeste del palacio. Sin embargo, de igual forma que en el caso anterior, eso no debe preocuparnos, pues es parte del ejercicio. En este instante, veamos las preguntas y respondámoslas atendiendo a nuestra última versión del gráfico. 2. ¿Qué había en el extremo norte?

(A) El coliseo (B) La plaza (C) El palacio (D) La iglesia (E) El mercado Clave: E

3. ¿Qué había en el extremo noreste?

(A) La plaza (B) El mercado (C) El palacio (D) El coliseo (E) La iglesia En este caso, la respuesta no es directa como en el caso anterior; hace falta hacer una comparación. Así, vemos que, en el extremo noreste, podrían estar el mercado o la plaza. El mercado, si bien está en el extremo norte, no está en el extremo este. Ahora bien, la plaza no está en el extremo norte; en relación con el norte, está en segundo lugar; sin embargo, sí está en el extremo este. Por eso, la respuesta correcta es la plaza. Clave: A

4. ¿Qué había en el extremo sureste?

(A) La plaza (B) El coliseo (C) El mercado (D) La iglesia (E) El palacio En esta pregunta, ocurre lo mismo que en el caso anterior: debemos comparar las posiciones de la iglesia, el palacio y la plaza. El resultado de esa comparación nos indica que es el palacio lo que se encuentra más al sureste. Clave: E

5. ¿Qué dato se necesita para determinar qué había en el extremo oeste?

(A) La plaza está el este del coliseo. (B) El coliseo está el oeste de la iglesia. (C) El coliseo está al oeste del mercado. (D) El palacio está al este del coliseo. (E) El cuartel está al este del coliseo. En esta pregunta, debemos poner a prueba, uno a uno, los distractores para determinar cuál de ellos resuelve la ambigüedad. Clave: B

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168

Ejemplo Los Superamigos organizaron un concurso para determinar quién era más popular y más poderoso. Los resultados fueron los siguientes: � Supermán le ganó a la Mujer Maravilla en popularidad y en poder. � La Mujer Maravilla les ganó a los Gemelos Fantásticos en poder, pero no en popularidad. � Aquamán, increíblemente, le ganó a Supermán en poder, pero resultó menos popular que

la Mujer Maravilla. � Batman resultó ser menos poderoso que los Gemelos Fantásticos y menos popular que

Aquamán. � Robin resultó ser más popular pero menos poderoso que Supermán. Solución Este ejercicio puede resolverse exactamente del mismo modo que el ejercicio anterior, es decir, ordenando los datos en dos líneas paralelas, una para el resultado sobre popularidad y la otra para determinar el resultado sobre quién es más poderoso. El diagrama podría ser como sigue:

El más popular El más poderoso

El menos popular El menos poderoso Ahora, procedemos a incorporar en él, uno a uno, cada dato. Comencemos por el primero: Supermán le ganó a la Mujer Maravilla en popularidad y en poder.


Supermán Supermán

Mujer Maravilla Mujer Maravilla

El menos popular El menos poderoso Incorporemos el dato siguiente: Popularizada Mujer Maravilla les ganó a los Gemelos Fantásticos en poder, pero no en popularidad.

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169


Gemelos

Supermán / Gemelos Supermán


Gemelos

El menos popular El menos poderoso

Este dato ha generado una ambigüedad, pues no sabemos cuál es la posición de los Gemelos en relación con Supermán; por ello, en el gráfico, colocamos a los primeros arriba de la Mujer Maravilla, sin especificar qué relación tienen con Supermán. Veremos si la ambigüedad puede resolverse con el dato siguiente: Aquamán, increíblemente, le ganó a Supermán en poder, pero resultó menos popular que la Mujer Maravilla.


Gemelos Aquamán



Aquamán Gemelos

El menos popular El menos poderoso La ambigüedad no se resolvió, pues no se ha añadido nada nuevo sobre la relación entre Supermán y los Gemelos. Entonces, debemos continuar con el dato siguiente: Batman resultó ser menos poderoso que los Gemelos Fantásticos y menos popular que Aquamán.


Gemelos Aquamán



Aquamán Gemelos

Batman Batman

El menos popular El menos poderoso Nos falta incorporar el último dato: Robin resultó ser más popular pero menos poderoso que Supermán.

El más popular El más poderoso Gemelos

Robin / Gemelos Aquamán


Mujer Maravilla Mujer Maravilla / Robin

Aquamán Gemelos / Robin

Batman Batman / Robin

Robin El menos popular El menos poderoso

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170

Vemos que no está definido quién es el más popular: podrían ser los Gemelos Fantásticos o Robin, pues solo sabemos, con certeza, que los Gemelos son más populares que la Mujer Maravilla. Tampoco sabemos quién es el menos poderoso, pues solo conocemos que Robin es menos poderoso que Supermán. De este modo, el menos poderoso podría ser Robin, Batman, los Gemelos Fantásticos o la Mujer Maravilla. Ahora, veamos las preguntas y contrastemos los resultados que nos piden con nuestra última tabla. 1. ¿Quién resultó ser el más poderoso de todos los Superamigos?

(A) Supermán (B) Aquamán (C) La Mujer Maravilla (D) Batman (E) Los Gemelos Fantásticos Clave: B

2. ¿Quién perdió el concurso, es decir, en popularidad y poder?

(A) Robin (B) Supermán (C) Los Gemelos Fantásticos (D) La Mujer Maravilla (E) Batman

Aquí, debemos hacer una comparación entre Batman, los Gemelos Fantásticos y la Mujer Maravilla. Si comparamos las posiciones de estos tres en la columna de popularidad, vemos que el perdedor resulta ser Batman. Clave: E

3. ¿Qué dato se necesita para determinar quién resultó el más popular?

(A) Robin es más popular que Supermán. (B) Supermán es más popular que la Mujer Maravilla. (C) Supermán es más popular que los Gemelos Fantásticos. (D) Batman es menos popular que Supermán. (E) Aquamán es menos popular que Robin. Clave: C

(c) Relaciones circulares En este tipo de preguntas, generalmente, se presenta a personajes que se sientan alrededor de una mesa circular, simétricamente, es decir, a la misma distancia unos de otros. Dado eso, es obvio que necesitamos construir un gráfico circular en el cual podamos ubicar a los individuos; luego de ello, debemos ir ubicando a cada uno según los datos que se ofrezcan hasta tener la ubicación de todos. Ejemplo Ocho amigas se sentaron simétricamente alrededor de una mesa circular. Sus nombres eran Olga, Pierina, Roxana, Sonia, Tatiana, Úrsula, Verónica y Ximena. Se sabe lo siguiente: � Verónica se sentó a la derecha de Ximena, frente a Úrsula. � Tatiana se sentó frente a Sonia, a la izquierda de Ximena. � Olga se sentó frente a Pierina.

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171

Solución Para ordenar los datos en este ejercicio, es útil construir la mesa y ubicar a las ocho personas en ella.

Luego, procedemos a añadir, uno a uno, los datos. Para facilitar esta tarea y ahorrar tiempo, podemos asignar una letra a cada personaje, según la inicial de su nombre. Comencemos con el primer dato: Verónica se sentó a la derecha de Ximena, frente a Úrsula. Debemos tener mucho cuidado al colocar los datos que se refieren a la derecha o izquierda de algún personaje. A veces, tendremos que voltear el papel en el que estamos dibujando para no confundir lo que parece ser nuestra derecha o nuestra izquierda con la derecha o izquierda del personaje. En el diagrama anterior, hemos escogido como punto de referencia a Verónica (V), simplemente porque es el primer nombre que aparece. Continuemos con el dato siguiente: Tatiana se sentó frente a Sonia, a la izquierda de Ximena. El gráfico se va completando. Continuemos con el tercer y último dato: Olga se sentó frente a Pierina. Este dato no parece tan obvio de dibujar en nuestro diagrama. Sin embargo, en realidad, solo existe una posibilidad para ubicar a Olga: si ella se sentó frente a Pierina y no sabemos dónde está Pierina, ¿qué posibilidades tenemos? Los dos únicos espacios vacíos que están uno frente al otro son el que está a la derecha de Verónica y a la izquierda de Tatiana. Entonces, tenemos dos opciones para Pierina y Olga, y solo una opción para Roxana, tal y como se ilustra a continuación.

X

U

V

X

S T

U

V

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172

Ahora, respondamos las preguntas en función de estos dos últimos gráficos. 1. ¿Dónde se sentó Roxana?

(A) Frente a Tatiana (B) A la izquierda de Sonia (C) A la derecha de Úrsula (D) Frente a Ximena (E) Frente a Verónica

Clave: D 2. ¿Junto a quién se sentó Úrsula?

(A) Junto a Sonia (B) Junto a Verónica (C) Junto a Olga o a Pierina (D) Junto a Ximena o a Tatiana (E) Junto a Olga

Clave: C 3. ¿Quién se sentó entre Verónica y Sonia?

(A) Pierina (B) Ximena (C) Roxana (D) Pierina u Olga (E) Roxana o Úrsula

Clave: D 4. ¿Qué dato se necesita para saber quién se sentó a la izquierda de Tatiana?

(A) Pierina se sentó a la derecha de Verónica. (B) Pierina se sentó frente a Olga. (C) Ximena se sentó frente a Roxana. (D) Sonia se sentó a la izquierda de Roxana. (E) Ximena se sentó a la izquierda de Verónica.

Clave: A

X P

S T

R O U

V X O

S T

R P U

V

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173

(d) Relaciones entre personas u objetos y caracterí sticas (cuadros de doble entrada) Este tipo de ejercicio nos exige determinar qué personaje tiene qué característica. Generalmente, se combinan nombres de personas con profesiones, lugares en que viven, estudios, etcétera. También, pueden combinarse otra clase de individuos con diversas características. Dado que tendremos una lista de individuos y de características, lo recomendable es construir un cuadro de doble entrada, en el que colocaremos a un lado a los individuos y al otro lado sus características. La forma de resolver estos ejercicios es igual a la de los demás ejercicios de ordenamiento de datos: una vez que definimos cómo ordenaremos dichos datos, debemos ir colocando la información hasta tener el panorama completo. Ejemplo Raúl, Sandro, Tito, Uldarico y Víctor viven en Arequipa, Iquitos, Chiclayo, Trujillo y Tacna, pero no en ese orden. Se sabe lo siguiente: � Raúl y Tito nunca han vivido en la selva. � El que vive en Tacna es mayor que Sandro. � Víctor y el que vive en Iquitos son primos hermanos. � Raúl es el menor de todos y es hermano del que vive en Trujillo.

Solución Como se puede observar en el planteamiento del ejercicio, se trata de cinco personajes y los lugares en que cada uno vive. Entonces, es conveniente armar un cuadro como el que muestra a continuación; dado que los nombres de los cinco personajes comienzan con una letra diferente, para ahorrar tiempo en escribir, usamos solo las iniciales de cada nombre.

R S T U V Arequipa

Iquitos

Chiclayo

Trujillo

Tacna Debemos observar, además, que hay un dato sumamente importante: «(…) no en ese orden”; esto quiere decir que, en el gráfico, debemos marcar lo que se muestra a continuación.

R S T U V Arequipa no

Iquitos no

Chiclayo no

Trujillo no

Tacna no Ahora, procedemos a incorporar los datos que se han presentado, uno a uno. El primer dato dice Raúl y Tito nunca han vivido en la selva. De este, debemos concluir que ni Raúl ni Tito viven en Iquitos, así que el gráfico quedaría como sigue.

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174

R S T U V Arequipa no

Iquitos no no no

Chiclayo no

Trujillo no

Tacna no Agreguemos el segundo dato: el que vive en Tacna es mayor que Sandro. De este dato, podemos concluir que Sandro no vive en Tacna, pues es otro el que vive ahí. Ahora bien, debemos tener presente este apunte para otras posibles relaciones que aparezcan en las preguntas.

R S T U V

� El que vive en Tacna es mayor que Sandro.

Arequipa no

Iquitos no no no

Chiclayo no

Trujillo no

Tacna no no Continuemos con el dato siguiente: Víctor y el que vive en Iquitos son primos hermanos. De esta afirmación, podemos concluir que Víctor no vive en Iquitos, pues es otro, su primo hermano, el que vive ahí. Debemos tener presente también ese dato, pues puede sernos útil después. Entonces, el gráfico quedará como se muestra a continuación.

R S T U V � El que vive en

Tacna es mayor que Sandro.

� Víctor y el que vive en Iquitos son primos hermanos.

Arequipa no

Iquitos no no no no

Chiclayo no

Trujillo no

Tacna no no Si observamos con atención el gráfico anterior, vemos que, en la línea horizontal para Iquitos, solo queda un espacio vacío, de modo que este solo puede corresponder a Uldarico (U). Cuando esto ocurre —es decir, cuando queda solo una casilla vacía en una línea o columna—, debemos hacer lo siguiente:




Arequipa no no

Iquitos no no no sí no

Chiclayo no no

Trujillo no

Tacna no no no Esto se hace para indicar que nadie más vive en Iquitos y que Uldarico no vive en otro lugar. Eso ayuda a ir completando el gráfico. Añadamos, ahora, el último dato: Raúl es el menor de todos y es hermano del que vive en Trujillo. Esta información nos proporciona, en realidad, dos datos: primero, Raúl no vive en Trujillo, pues es su hermano el que vive ahí; segundo, Raúl no vive en Tacna, pues Raúl es el menor de todos y el que vive en Tacna es, al menos, mayor que uno de los cinco personajes, Sandro. De este modo, si añadimos estos dos datos, el gráfico quedará como aparece enseguida.

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175




Arequipa no no


Chiclayo no no

Trujillo no no

Tacna no no no no Vemos, en este momento, que solo queda una casilla vacía en la columna que corresponde a Raúl, de modo que este solo puede vivir en Chiclayo. Hagamos la misma operación que se practicó antes y el gráfico quedará así:




Arequipa no no


Chiclayo sí no no no no

Trujillo no no

Tacna no no no no Entonces, queda solo una casilla posible para el que vive en Tacna; por tanto, solo puede ser Tito. De este modo, el gráfico queda de la siguiente manera.




Arequipa no no no



Trujillo no no no

Tacna no no sí no no Esta es toda la información de la que disponemos, de modo que el gráfico no se puede completar; no queda definido dónde viven Sandro y Víctor. Cualquiera de los dos podría vivir en Arequipa o en Trujillo. Es momento de ver las preguntas. 1. ¿Quién vive en Chiclayo?

(A) Raúl (B) Sandro (C) Tito (D) Uldarico (E) Víctor Clave: A

2. ¿Dónde vive Uldarico?

(A) Arequipa (B) Iquitos (C) Chiclayo (D) Trujillo (E) Tacna Clave: B

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176

3. ¿Dónde vive Tito?

(A) Arequipa (B) Iquitos (C) Chiclayo (D) Trujillo (E) Tacna Clave: E

4. ¿Qué dato se necesita para completar los datos que faltan?

(A) Sandro no vive en Tacna. (B) Víctor y el que vive en Trujillo estudiaron juntos en la universidad. (C) Uldarico no vive en Tacna. (D) Víctor no vive en Chiclayo. (E) Sandro no vive Iquitos. Para resolver esta pregunta, debemos revisar, uno por uno, los distractores y verificar cuál de ellos nos permite completar el gráfico. Observamos que el distractor (B) indica que Víctor no vive en Trujillo; todos los demás distractores nos dan información que ya está incluida en el gráfico. Si añadimos ese dato al gráfico, este se completaría.




Arequipa no no no no sí



Trujillo no sí no no no

Tacna no no sí no no Clave: B

OBSERVACIONES FINALES Ahora que hemos terminado de revisar todas las clases de preguntas que se incluyen en la prueba de habilidad lógico-analítica, podemos darnos cuenta de que, en todas ellas, se pone a prueba nuestra capacidad lógica para inferir conclusiones y nuestra capacidad de análisis para evaluar argumentos —o inferencias— y para sistematizar cierta clase de información. Todas las formas de preguntas que hemos ilustrado se pueden resolver de varias maneras, pero, en este manual, hemos sugerido una forma para cada caso. Lo importante es tener en cuenta que es nuestra habilidad lógica y analítica la que vamos a poner a prueba y, por ello, debemos ser cuidadosos y sistemáticos al afrontar las preguntas. Como ya dijimos al comienzo, esta habilidad —y, por tanto, estas preguntas— es importante en nuestra vida cotidiana y también será importante en nuestra vida académica y profesional. La razón de ello es que siempre requerimos analizar información y evaluarla desde perspectivas lógicas. No toda la información con la que nos enfrentamos debe ser tratada así —por ejemplo, la información artística o la emocional—, pero buena parte de la información sí tiene que ser abordada de esa forma. Ahí radica la importancia de esta parte de la prueba: medir nuestra capacidad lógica y de análisis de información. Como última observación, recomendamos que, al resolver los ejercicios de esta sección de la prueba, usemos nuestro criterio lógico para discriminar y determinar si nuestro análisis está funcionando correctamente. Eso es lo más importante. No hay recetas secretas para resolver estas preguntas; no hay artificios, sino análisis y uso de criterios lógicos.

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177

IV. PRUEBA TIPO CON SOLUCIONARIO

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178

IV. PRUEBA TIPO CON SOLUCIONARIO 4.1 PRUEBA TIPO DE APTITUD NUMÉRICA CON SOLUCIONARI O

1. Efectúese: E= 322 8233255 −+×+−×+

(A) 831 + (B) 431 + (C) 12 (D) 8 (E) 10 Solución En el primer radical, se tiene:

16920594553255 22 =−+=−×+=−×+ = 4

Por lo tanto: E = 4 + 3 x 2 + 3 8− = 4 + 6 – 2 = 8 2. Un agricultor tiene, en su granero, 1000 kg de maíz y 920 kg de trigo. ¿Cuál es la menor

cantidad de sacos iguales en los cuales debe transportar dichos productos al mercado sin mezclarlos? ¿Qué capacidad tienen?

(A) 96 sacos ; 20 kg (B) 48 sacos ; 40 kg (C) 24 sacos ; 80 kg (D) 36 sacos ; 60 kg (E) 72 sacos ; 30 kg Solución Si desea utilizar la menor cantidad de sacos, estos deben tener la máxima capacidad posible: � la capacidad de cada saco será el MCD (1000 ; 920) = 40 kg Por lo tanto, requerirá 1000 / 40 = 25 sacos para transportar el maíz más 920 / 40 = 23 sacos para transportar el trigo, esto es, 48 sacos en total.

3. Calcúlese: 152

61

54 −+

(A) 5/6 (B) 11/12 (C) 3/4 (D) 8/9 (E) 7/8 Solución � Se determina el denominador común mediante el cálculo del mínimo común múltiplo de los

denominadores. En este caso, MCM(5 ; 6 ; 15) = 30 � Se amplifica los términos de las fracciones:

3024

6x56x4

54 == ;

305

5x65x1

61 == ;

304

2x152x2

152 ==

� Se suman y/o restan los numeradores:

65

3025

304

305

3024

152

61

54 ==−+=−+

De manera abreviada, el procedimiento anterior puede expresarse como sigue:

65

3025

302x2

305x1

306x4

152

61

54 ==−+=−+

4. El promedio aritmético de las edades de 6 personas es 48. Si ninguna de ellas es menor de

42 años, ¿cuál es la máxima edad que podrían tener dos de ellas? (A) 59 años (B) 60 años (C) 61 años (D) 58 años (E) 62 años

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179

Solución Si el PA de las edades es 48 y el número de personas (n) es 6 � La suma de las edades debe ser: 48 x 6 = 288. Para que dos personas tengan la máxima edad posible, las otras cuatro deben tener la mínima edad, a fin de que la suma de edades sea 288. Se sabe que nadie tiene menos de 42 años; por lo tanto, 4 personas deben tener esa edad. Estas suman: 4 x 42 = 168 años. Consecuentemente, las otras dos personas deben sumar 120 años (= 288 – 120), lo cual significa que cada una tendrá 60 años. 5. El siguiente gráfico muestra el PBI de cada país como porcentaje del PBI mundial. Si el PBI

actual de China se duplicara, manteniéndose el PBI de los demás países constante, ¿en qué porcentaje aumentaría la participación del PBI de China dentro del PBI mundial?

(A) 30% (B) 22.5% (C) 25% (D) 26.1% (E) 33.3% Solución Sea 100 el PBI mundial actual. Como el PBI actual de China representa el 15% � Su PBI es 15. Si el PBI de China se duplicara, pasaría de 15 a 30. Como, por premisa, el PBI de los demás países no aumenta, el PBI mundial se incrementaría de 100 a 115 (considerando solo el incremento en China). Por lo tanto, la participación del PBI de China en el PBI mundial sería: 30 / 115 = 0,261, lo cual, expresado porcentualmente, es 26,1%. 6. Si 250 quintales de remolacha producen cierta cantidad de azúcar y 300 quintales producen

4 kg más de azúcar. ¿Cuántos kilos de azúcar producen 250 quintales de remolacha? (A) 10 kg (B) 15 kg (C) 20 kg (D) 25 kg (E) 30 kg Solución Sea x kg la cantidad de azúcar producida por 250 quintales de remolacha.

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180

Por dato del problema, se sabe que, con 300 quintales, se produce x+4 kg de azúcar. Como las magnitudes son directamente proporcionales, se aplica la regla de tres simple directa en la solución:

250 quintales --------------- x kg de azúcar 300 quintales --------------- x+4 kg de azúcar

Por regla del aspa: 250 (x + 4) = 300 x � 250 x + 1000 = 300 x de donde: 50 x = 1000 � x = 20 kg Esto significa que 250 quintales de remolacha permiten producir 20 kg de azúcar.

7. Veinte operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días. ¿Cuántos operarios, igualmente hábiles, producen 80 pares de zapatos en 24 días?

(A) 6 (B) 12 (C) 8 (D) 16 (E) 10 Solución En primer lugar, es necesario reconocer las magnitudes que intervienen y las relaciones de proporcionalidad (directa o inversa) que existen entre aquella magnitud que contiene a la incógnita y las demás.

Número de operarios

Número de pares de zapatos

Número de días

20 120 18 x 80 24 DP (invertir) IP (igual)

Efectuando las inversiones requeridas, se tiene lo siguiente:

Número de operarios

Número de pares de zapatos

Número de días

20 80 18 x 120 24

Multiplicando a lo largo de cada fila: � 20 . 80 . 18 = x . 120 . 24 de donde: x = 10 operarios 8. Un automovilista va a comprar aceite para su motor en su grifo favorito y descubre que los

precios han aumentado en 15% respecto del mes anterior. Si, al comprar el aceite, el vendedor le hace una rebaja de 15% por ser cliente preferencial, ¿ha ganado o perdido el automovilista en la transacción? ¿Cuál es su porcentaje de ganancia o pérdida?

(A) No gana ni pierde. (B) Gana 4,5%. (C) Pierde 4,5%. (D) Gana 2,25%. (E) Pierde 2,25%.

Solución Sea P el precio inicial del aceite. Con el aumento de 15 % el nuevo precio es 1,15 P. Al aplicarse una rebaja de 15 % al nuevo precio, lo que tendrá que pagar el automovilista es: (0,85) (1,15 P), es decir: 0,9775 P. Transformado a porcentaje, el automovilista pagará el 97,75% del precio del mes anterior, con lo cual habrá de ganar el 2,25% (= 100% – 97,75%) sobre el precio del mes previo.

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181

9. Del gráfico siguiente, ¿qué países sudamericanos tienen más o menos la misma densidad

poblacional?

(A) Bolivia, Argentina y Paraguay (B) Venezuela, Colombia y Ecuador (C) Chile, Brasil y Perú (D) Uruguay, Chile, Brasil y Perú (E) Bolivia, Argentina, Paraguay y Uruguay

Solución Puede observarse que Brasil, Chile y Perú tienen una densidad poblacional del orden de 21 habitantes / km2.

10. Pedro practica el tiro al blanco y lleva realizados 80 tiros hoy, habiendo acertado el 75% de

ellos. Si le falta realizar 40 disparos ¿cuántos debe acertar si desea subir su eficiencia al 80%?

(A) 32 (B) 34 (C) 36 (D) 38 (E) 35 Solución Ha acertado 75% de 80 tiros, esto es, 60 tiros. Le falta efectuar 40 tiros � el total de tiros que efectuará es 120. Para llegar al 80% de efectividad en los 120 tiros, debe acertar: 0,80 x 120 = 96 tiros Si lleva ya 60 aciertos, entonces, en los 40 disparos siguientes, debe acertar la diferencia entre 96 y 60, es decir, 36. 11. Un barco tiene provisiones para 24 días y las distribuye equitativamente a todos los

tripulantes. Si se desea que las provisiones duren 6 días más, ¿en qué fracción se debe reducir la ración de cada tripulante?

(A) 1/5 (B) 1/4 (C) 1/3 (D) 1/6 (E) 1/8

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182

Solución Sea x la reducción de la ración asignada a cada tripulante. Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se aplica la regla de tres simple inversa en la solución: 1 ración --------------- 24 días 1-x ración --------------- 30 días Aplicando multiplicación por líneas: 1 . 24 = (1 – x) . 30 � 24 = 30 – 30x � 30x = 6 � x = 1/5 Por lo tanto, la ración de cada tripulante se debe reducir en 1/5. 12. El cuadro siguiente muestra la evolución de la inflación en Latinoamérica durante el periodo

2001-2007. ¿Qué orden ha ocupado el Perú el año 2007 entre los países de menor inflación?

(A) Primer puesto (B) Segundo puesto (C) Tercer puesto (D) Cuarto puesto (E) Quinto puesto Solución En el año 2007, la inflación del Perú ha sido 3,93%. Solo dos países, Ecuador y México, han tenido una inflación menor.

� Perú ha ocupado el tercer puesto. 13. En un restaurante, hay 52 personas, de las cuáles 25 consumen café, 24 consumen

gaseosa y 3 consumen ambas bebidas. ¿Cuántas personas no consumen ninguna de las dos bebidas?

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12

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183

Solución A partir del diagrama siguiente, se tiene: 52 C:25 G:24 3 14. Divídase x4 – x3y – xy3 + y4 entre x2 + xy + y2. Dese como respuesta el segundo término

del cociente. (A) 2xy (B) – 2xy (C) 2x (D) 2y (E) – xy Solución

Dividendo Divisor x4 - x3y – xy3 + y4 x2 + xy + y2 – (x4 + x3y + x2y2) –2x3y – x2y2 x2 – 2xy + y2 – (–2x3y – 2x2y2 – 2xy3) Cociente x2y2 + xy3 + y4 – (x2y2 + xy3 + y4) 0 Residuo

Respuesta: – 2xy 15. Factorizar x6 – 1. ¿Cuál de los siguientes no es uno de los factores?

(A) (x –1) (B) (x + 1) (C) (x2 + x + 1) (D) (x2 – x – 1) (E) (x2 – x + 1)

Solución Se considera, primero, la diferencia de cuadrados: � x6 – 1 = (x3)2 – 1 = (x3 – 1) (x3 + 1) Sin embargo, el primer factor es una diferencia de cubos y el segundo factor es una suma de cubos: � x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1) ; x3 + 1 = (x + 1) (x2 – x + 1) Finalmente, la factorización de x6 – 1 es: (x –1) (x + 1) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1)

16. ¿Cuál debe ser el valor de a para que al reducir la expresión2

33a2

y4

x)yx2(y

no aparezca la variable y ? (A) – 5/3 (B) – 7/3 (C) 5/3 (D) 7/3 (E) 2/3 Solución

2

33a2

y4

x)yx2(y

= y.2x6y3a. 62

2

yx41 −

=

81

x8y1+3a-6

Personas que consumen: � solo café: 22325 =− � solo gaseosa: 21324 =− � ambas bebidas (por dato): 3 � El total de personas que consumen una o ambas bebidas es: 22 + 21 + 3 = 46. Por lo tanto, no consumen ninguna bebida: 52 – 46 = 6 personas.

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184

Para que no aparezca la variable y, el exponente al que está elevado debe ser igual a cero. Debe verificarse que: 1+ 3a – 6 = 0 � a = 5/3 17. Un terreno rectangular tiene 10 m de largo y 6 m de ancho. Si se aumenta ambas

dimensiones en una misma cantidad de metros, el área del nuevo rectángulo excede en 20m2 al doble del área original. ¿En cuánto se incrementaron las dimensiones originales?

(A) 1 m (B) 2 m (C) 3 m (D) 4 m (E) 5 m Solución � Sea x el número de metros incrementados en cada lado. � El terreno original tiene las dimensiones indicadas: El terreno con las dimensiones modificadas será:

Por dato del problema: (10 + x) (6 + x) = 2 (60) + 20 � Efectuando cálculos: 60 + 10x + 6x + x2 = 120 + 20

Agrupando y transponiendo: x2 + 16x - 80 = 0 Factorizando: (x + 20) (x - 4) = 0 Por propiedad del factor cero: x + 20 = 0 ó x – 4 = 0 Por lo tanto, x = – 20 ó x = 4

� El incremento de longitud no puede ser negativo, entonces: x = 4 � Cada dimensión se ha incrementado en 4 m. 18. Un hombre deja de herencia 1/3 de su dinero a su esposa; 1/4 a su hija; y el resto, $14 000,

a su hijo. ¿Cuánto dinero dejó? (A) $42 000 (B) $38 400 (C) $33 600 (D) $36 200 (E) $40 800 Solución � Sea x el monto total del dinero en dólares que deja de herencia.

� A su esposa le corresponde 31

x; a la hija, 41

x ; y al hijo $14 000.

La suma de estas cantidades hace el monto total x, entonces: x14000x41

x31 =++

6 m

10 m

Área = (10) (6) m2 = 60 m2

(6 + x) m

(10 + x) m

Área = (10 + x)(6 + x) m2

____________________________________________________________________________________


185

� Reescribiendo la ecuación: 14000x41

x31

x =−− � 14000 125x =

de donde: x = 33 600 � El monto total de dinero que dejó como herencia es $33 600 19. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Si hubiera

habido 20 miembros más, el costo para cada miembro hubiera sido $1 menos. Calcúlese el número de miembros del club.

(A) 50 (B) 200 (C) 60 (D) 100 (E) 120 Solución � Sea x el número de miembros del club

� De acuerdo con los datos del problema, lo que cada miembro debe pagar es: x

600

Si hubiera habido 20 miembros más, lo que cada uno pagaría sería: 20x

600+

Por dato del problema: 20x

600+

= x

600 – 1

� La ecuación anterior puede ser llevada a la forma cuadrática: MCM de los denominadores: (x + 20) x

Ecuación equivalente: x)20x(x)20x(

x)20x()20x(600

x)20x(x600

++−

++=

+

Igualando numeradores: 600x = 600x +12000 – x2 – 20x Transponiendo términos: x2 + 20x – 12000 = 0 Factorizando: (x + 120) (x – 100) = 0 Las raíces son: x1 = –120; x2 = 100

� El número de miembros no puede ser negativo � Número de miembros = 100

20. Resuélvase el sistema x5

2)4(y3

52x =++−

y6

3y4

53x =+−−

Dese como respuesta el conjunto solución. (A) {(7; –3)} (B) {(7; 3)} (C) {(–7; 3)} (D) {(–7; –3)} (E) Ninguna de las anteriores Solución El MCM de los denominadores de cada ecuación es (15) y (12) respectivamente. Multiplicando cada ecuación por el MCM correspondiente, se obtiene el siguiente sistema equivalente de ecuaciones: 5(2x-5) + 12(y+2) = 15x 3(3x-5) – 2(y+3) = 12y Efectuando operaciones y reduciendo términos, se obtiene: – 5x + 12y = 1

9x – 14y = 21

_____________________________________________________________________________________


186

Para eliminar la variable x, se multiplica la primera ecuación por (9) y la segunda por (5): – 45x + 108y = 9 45x – 70y = 105 Se suma, luego, ambas ecuaciones: 38y = 114 de donde y = 3 Se reemplaza y = 3 en la ecuación 9x - 14y = 21 para obtener el valor de x: � 9x - 14(3) = 21 � 9x – 42 = 21 de donde se despeja: x = 7 � CS = {(7; 3)}

21. Resuélvase 32x2x

1x1x =

+−+

−+

Dese como respuesta el conjunto solución. (A) {5, 2} (B) {5, – 2} (C) {– 5, 2} (D) {– 5, –2} (E) Ninguna de las anteriores Solución Esta ecuación puede reducirse a una cuadrática procediendo como sigue: Se determina el MCM de los denominadores: � MCM {(x – 1), (x + 2)} = (x – 1) (x + 2) Se obtiene una ecuación equivalente, en la que todos los términos tengan igual denominador:

32x2x

1x1x =

+−+

−+

� )2x()1x(

2)(x1)-(x 31)-(x 2)(x1)-(x2)(x

2)(x1)(x2)(x1)(x

+−+=

+−+

+−++

)2x()1x(

2)-x(x 31)-(x 2)(x23x-x

2)(x1)(x23xx 222

+−+=

+++

+−++

)2x()1x(

6-x3 x32)(x1)(x

42x 22

+−+=

+−+

Igualando numeradores: 2x2 + 4 = 3x2 + 3x - 6 Transponiendo términos: x2 + 3x – 10 = 0 Factorizando: (x + 5) (x – 2) = 0 Por propiedad del factor cero: x + 5 = 0 ó x – 2 = 0 Por lo tanto: x = – 5 ó x = 2 Puede observarse que ambos valores (– 5 y 2) son valores admisibles, ya que —observando el denominador común— la variable x debe ser diferente de 1 ó –2. � CS = {–5, 2} 22. Efectúese 3 – {2 – [5 + (7 – 4x – 3y) + 2(x – 3y)] + 3} (A) 6 – 2x – 9y (B) 10 + 2x + 9y (C) 8 – 2x + 9y (D) 10 – 2x – 9y (E) 10 – x + 9y Solución Primero, se eliminan los símbolos de agrupamiento: 3 – {2 – [5 + (7 – 4x – 3y) + 2(x – 3y)] + 3} 3 – {2 – [5 + 7 – 4x – 3y + 2x – 6y)] + 3} 3 – {2 – [12 – 2x - 9y] + 3}

____________________________________________________________________________________


187

3 – {2 – 12 + 2x + 9y + 3} 3 – {– 7 + 2x + 9y} 3 + 7 – 2x – 9y 10 – 2x – 9y 23. En 5 años, Pedro tendrá 3 veces la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene

ahora? (A) 8 (B) 18 (C) 6 (D) 12 (E) 13 Solución � Sea x la edad que tiene Pedro actualmente. � La edad de Pedro dentro de 5 años será (x + 5); la edad que tuvo Pedro hace 7 años es

(x – 7) Por condición del problema: x+ 5 = 3 (x – 7)

� Reescribiendo la ecuación: x + 5 = 3x – 21 � 2x = 26 � x = 13 � La edad actual de Pedro es 13 años. 24. Hállese el MCM de 2x2 + 3x – 2, 6x2 – 7x + 2 Dese como respuesta la suma de los coeficientes de todos los términos que contienen a x. (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Solución En primer término, se factoriza cada polinomio: 2x2 + 3x – 2 = (2x – 1) (x + 2) 6x2 – 7x + 2 = (3x – 2) (2x – 1) Se identifica los factores con su mayor exponente: � (2x – 1), (x + 2) y (3x – 2) El mínimo común múltiplo de los coeficientes es 1. Por lo tanto, MCM = (2x – 1) (x + 2) (3x – 2) 25. Hace 18 años, la edad de Juan era el doble de la de Pedro; dentro de 9 años, la edad de

Juan solo será 45

la edad de Pedro. ¿Cuántos años tienen, actualmente, Juan y Pedro?

(A) Pedro: 27 años; Juan: 36 años (B) Pedro: 36 años; Juan: 27 años (C) Pedro: 24 años; Juan: 32 años (D) Pedro: 32 años; Juan: 24 años (E) Pedro: 18 años; Juan: 24 años Solución � Sea J la edad actual de Juan y P la edad actual de Pedro. � Se elabora el siguiente cuadro:

Hace 18 años Ahora Dentro de 9 años Edad de Juan J – 18 J J + 9 Edad de Pedro P – 18 P P + 9

Tomando en consideración los datos del problema y la información del cuadro, se construye el siguiente sistema de ecuaciones:

_____________________________________________________________________________________


188

+=+

−=−

9)(P459J

18)2(P18J

� Operando y reduciendo, se lleva a la forma estándar:

=−−=−

95P4J182PJ

Para eliminar la variable P, se multiplica a la primera ecuación por (– 4): – 4J + 8P = 72 4J – 5P = 9 Se suman, luego, ambas ecuaciones: 3P = 81 de donde P = 27 Se reemplaza P = 27 en la ecuación J – 2P = – 18 para calcular J: � J – 2(27) = – 18 � J – 54 = – 18, de donde se despeja: J = 36 � Las edades de Pedro y Juan son 27 y 36 años respectivamente. 26. En la figura, L1 // L2. Hállese la medida del ángulo x. (A) 100° (B) 90° (C) 120° (D) 80° (E) 110° Solución En la figura, el ángulo adyacente a 140° mide 40°. Por la llamada regla del serrucho: x = 60° + 40° � x = 100° 27. Sobre una recta se, tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, de tal forma que:

AD = 24 cm, AC = 15 cm y BD =17 cm. Hállese BC. (A) 4 cm (B) 6 cm (C) 12 cm (D) 10 cm (E) 8 cm Solución Sea BC = x. Por dato del problema: AC = AB + BC = 15 � AB + x = 15 � AB = 15 – x BD = BC + CD = 17 � x + CD = 17 � CD = 17 – x Por otro lado, AD = AB + BC + CD = 24 Reemplazando las expresiones de AB y CD, se tiene: (15 – x) + x + (17 – x) = 24 32 – x = 24 de donde: x = 8 Por lo tanto, BC mide 8 cm.

L1

L2

60°

140°

x

____________________________________________________________________________________


189

28. Se tiene un triángulo ABC, en cuyo interior se ubica el punto O, tal que BO es bisectriz del

ángulo B y CO es bisectriz del ángulo C. Si el ángulo BOC mide 110°, hállese la medida del ángulo A.

(A) 30° (B) 40° (C) 50° (D) 60° (E) 70° Solución Por propiedad de ángulos entre las líneas notables:

m ∠ BOC = 2Am

90⟨+°

� 110° = 2Am

90⟨+°

de donde: m ∠ A = 40°

29. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana BM y, luego, se ubica N, punto medio de BM . Si G es el baricentro del triángulo ABC y NG = 1 cm, hállese la medida de la hipotenusa AC .

(A) 8 cm (B) 10 cm (C) 12 cm (D) 16 cm (E) 24 cm Solución Sea BM = a Si N es punto medio de BM , entonces BN = NM = a/2

Si G es baricentro, entonces BG = 3

a2 y GM =

3

a

NG = NM – GM = 3

a

2

a − = 1 entonces: 6

a = 1

de donde: a = 6 Por propiedad, la hipotenusa mide el doble de lo que mide la mediana relativa a ella. Por lo tanto, AC = 2a = 12 cm. 30. En un paralelogramo ABCD, el ángulo B mide 120°. Hállese el mayor ángulo formado por la

bisectriz interior del ángulo A y la mediatriz del lado CD . (A) 100° (B) 120° (C) 140° (D) 90° (E) Ningun a de las anteriores Solución

Como: m∠B = 120° � el ángulo A medirá 60°. La bisectriz de A determinará ángulos de 30°. El ángulo D, opuesto a B, medirá 120°.

La mediatriz determina, con el lado CD , un ángulo de 90°, por definición de mediatriz.

El ángulo buscado es el ángulo x, el cual se determina en el cuadrilátero formado por los

lados AD y CD , la bisectriz de A y la

mediatriz de CD .

β

A

B

C

α α

β

110° O

A

B

C M

N • G •

120°

x

A

B

30°

30° 120° D

90°

C

_____________________________________________________________________________________


190

En dicho cuadrilátero, debe verificarse que la suma de ángulos internos sea 360°, con lo cual se tiene lo siguiente:

30° + 120° + 90° + x = 360° 240° + x = 360° de donde se despeja x = 120°

31. En una circunferencia, se trazan las cuerdas AB y CD , que se cortan en F. Si la medida del arco AD es dos veces la del arco BC y, además, el ángulo BFD mide 105°, hállese la medida del arco BC.

(A) 60° (B) 40° (C) 50° (D) 45° (E) 25° Solución Sea α la medida del arco BC. Por dato, la medida del arco AD será 2α. Si m ∠ BFD = 105° � m ∠ BFC = 75° Pero BFC es un ángulo interior, cuya medida es igual a la semisuma de las medidas de los arcos interceptados

� m ∠ BFC = 75° = 2α3

2αα2

2BCAD =+=+

de donde: α = 50° � BC = 50° 32. En la figura mostrada, hallar PQ. (A) 3 cm (B) 6 cm (C) 4 cm (D) 8 cm (E) 2 cm Solución Puede observarse que ∆ABC ~ ∆APQ

De la semejanza, se tiene: 12

)42(PQ2 +=

6 PQ = 24 de donde: PQ = 4 cm

A

B C

P Q 2 cm

4 cm

12 cm

A

B C

D

105° F

( ( (

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191

33. En la figura mostrada, calcúlese la medida del segmento AB .

(A) 2 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 3 Solución Aplicando Pitágoras: en el triángulo ABH: x2 = a2 + b2 en el triángulo BHC: 10 = b2 + c2 ….. (I) en el triángulo DHC: 25 = c2 + d2 ….. (II) en el triángulo AHD: 17 = a2 + d2 ….. (III) Efectuando (I) + (III) – (II): 10 + 17 – 25 = (b2 + c2) + (a2 + d2) – (c2 + d2) � Se obtiene: a2 + b2 = 2

Pero a2 + b2 = x2; por lo tanto, x = 2 34. Se tiene un triángulo ABC cuya área es 45 u2. Sobre BC, se toma un punto D tal que DC =

2 BD; y, sobre AC, se toma un punto E tal que AE = 2 EC. Hállese el área (en u2) del triángulo ADE.

(A) 30 u2 (B) 24 u2 (C) 32 u2 (D) 20 u2 (E) 16 u2

Solución Por dato, A(∆ABC) = 45 u2

Como DC = 2 BD � A(∆ADC) = 30)45(3

2)ABC(A

3

2 ==∆ u2

En el triángulo ADC:

Como AE = 2 EC � A(∆ADE) = 20)30(3

2)ADC(A

3

2 ==∆ u2

A

B

C

D

10

5 17

x

A

B

C

D

10

5 17

x

H a

b

c

d

B

A

C D 2k k

E

2q

q

_____________________________________________________________________________________


192

35. Se tiene un hexágono regular de 318 m2 de área, circunscrito a una circunferencia. Hállese el área del círculo inscrito.

(A) 4,5π m2 (B) 3π m2 (C) 6π m2 (D) 12π m2 (E) 9π m2 Solución Sea L el lado del hexágono regular. El hexágono está conformado por seis triángulos equiláteros de lado L.

Así, la expresión del área del hexágono, en función del lado L, es: A =2

3L3

4

3L6

22

=

Pero, por dato del problema, el área del hexágono es 318 m2

� 3182

3L3 2

= � L2 = 12 m2

El círculo inscrito tendrá por radio la apotema (a) del hexágono. Pero: a = 2

3L

� Área del círculo inscrito = π r2 = π a2 = π

2

2

3L

= π=π=π

94

)12(3

4

L3 2

m2

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193

4.2 PRUEBA TIPO DE APTITUD VERBAL CON SOLUCIONARIO ANALOGÍAS 36. TIJERA : PAPEL : : (A) Martillo : clavo (B) Aguja : tela (C) Comba : piedra (D) Cincel : escultura (E) Serrucho : madera La tijera es el instrumento con el que se corta papel es la oración que manifiesta la relación entre las palabras del par de base. La respuesta correcta es la (E), puesto que el serrucho es el instrumento con el que se corta la madera. Las otras opciones no son correctas, porque, con el martillo, no se corta el clavo; con la aguja, no se corta la tela; con la comba, no se corta la piedra; y, finalmente, con el cincel, no se corta la escultura. 37. AMANECER : ATARDECER : : (A) Día : noche (B) Nacimiento : muerte (C) Verano : invierno (D) Joven : viejo (E) Mañana : tarde Amanecer y atardecer son dos acciones que indican el comienzo y el fin del día. Por su parte, (B) presenta, también, dos acciones que indican el comienzo y el fin de la vida: nacimiento y muerte. La opción (A) muestra palabras que no indican acciones. Verano e invierno tampoco indican el comienzo y el fin de una temporada. La opción joven : viejo tampoco indica acciones, sino etapas. Finalmente, mañana : tarde tampoco indica acciones, sino momentos del día. Por esta razón, la opción (B) es la correcta. 38. ROBO : VÍCTIMA : : (A) Juego : ganador (B) Guerra : soldado (C) Homicidio : muerto (D) Venta : objeto (E) Confesión : pecador Como producto de un robo, siempre hay una víctima es la relación entre las palabras del par de base. Como producto de un juego, siempre hay un ganador siempre es una opción valedera, pero no necesariamente cierta. Como producto de la guerra, siempre hay soldados siempre no establece la correcta relación causa-efecto del par de base. Como producto de un homicidio, hay un muerto siempre es una opción buena y clara. Por lo demás, esta opción (C) reproduce, también, el carácter delincuencial de la acción del par de base. Como producto de la venta, siempre hay un objeto tampoco reproduce la relación causal que se establece en el par de base. Finalmente, como producto de la confesión, siempre hay un pecador no es correcta, porque, más bien, como producto de la confesión, hay un absuelto siempre. Por lo tanto la respuesta correcta es la (C). 39. ENFERMEDAD : MEDICAMENTO : : (A) Problema : solución (B) Esquizofrenia : terapia (C) Fractura : descanso (D) Envenenamiento : antídoto (E) Guerra : desarme

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194

La enfermedad es curada con el medicamento, así como el envenenamiento es curado con el antídoto. La respuesta correcta es la (D). El problema es curado con la solución no es una relación correcta, porque es mucho más general que la relación que se establece en el par de base. La esquizofrenia es curada con la terapia no es correcta, porque esquizofrenia es un tipo de enfermedad y, por tanto, es más particular que la palabra enfermedad. Podría ser una buena opción en caso de que no haya una mejor alternativa. La fractura es curada con el descanso es una relación que cumple, en parte, la relación del par de base; sin embargo, no es una opción completamente buena, porque la palabra descanso no es un objeto palpable como sí lo es medicamento. El envenenamiento es curado con el antídoto es la relación más análoga al par de base, porque el envenenamiento es un problema como lo es, también, la enfermedad, y el antídoto es algo tangible como lo es, asimismo, el medicamento. La guerra es curada con el desarme no es una relación correcta, porque, si bien, con el desarme, se pueden evitar las guerras, este no es una cura en el sentido con el que se usa en el par de base y en la respuesta correcta (D). 40 .TELESCOPIO : VISIÓN : :

(A) Estetoscopio : oído (B) Computadora : intelecto (C) Fax : lectura (D) Correo : mano (E) Microscopio : retina El telescopio se usa con el sentido de la visión es la relación que se puede establecer en el par de base. El estetoscopio se usa con el sentido del oído es una relación muy similar a la propuesta. Esta es la respuesta correcta por la siguiente razón: el intelecto, la lectura, la mano y la retina no son sentidos, como sí lo son la visión y el oído. 41. RESOLVER : SOLUCIÓN : : (A) Contribuir : dinero (B) Proponer : opción (C) Ayudar : mano (D) Mantener : comida (E) Calcular : problema Resolver implica dar una solución, así como proponer implica dar una opción. La respuesta correcta es (B). Contribuir no implica, necesariamente, dar dinero. Ayudar implica dar una mano constituye una oración metafórica; la oración del par de base no lo es. Mantener no implica, necesariamente, dar comida. Finalmente, calcular implica dar un problema es una oración sin sentido. SERIES DE PALABRAS 42. Seleccione la serie que no se corresponda, por su progresión, con las demás. (A) Noticia – lugar – protagonistas (B) Partido – cancha – jugadores (C) Obra – teatro – actores (D) Evento – sitio – espectadores (E) Concurso – escenario – participantes Todas las series mantienen la misma generalidad; es decir, se presenta un hecho, el lugar donde ocurre y los que participan en el hecho. Sin embargo, mientras que las opciones (A), (B), (C) y (E) proponen hechos específicos —noticia, partido, obra y concurso, respectivamente—, la opción (D) presenta una palabra que puede definir a las demás: evento; de hecho, todas las palabras mencionadas son eventos. Este grado de generalidad de la opción (D) es lo que la descarta.

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195

43. Cuál de las palabras presentadas a continuación continúa la serie. Sobrio – inmoderado – sonoro – estridente – armónico – ……………….. (A) ronco (B) distorsionado (C) sonante (D) elevadísimo (E) ruidoso La serie presenta pares de palabras antónimas. Por esta razón, se debe buscar, para completar la serie, una palabra cuyo significado sea opuesto al de la palabra armónico: distorsionado. La respuesta correcta es la (B). 44. Marque el par que continúe la serie. Colgar – descolgado – amarrar – desamarrado – .................... (A) fijar – fijado (B) romper – roto (C) pegar – despegado (D) combinar – combinado (E) encolar – encolado De manera similar que en la pregunta anterior, se busca un par de palabras cuyos significados sean opuestos entre sí. Además, la forma de las palabras es importante, porque, en la serie propuesta, las palabras opuestas tienen la misma raíz. De esta manera, luego de revisar las opciones, la respuesta que cumple con los requisitos es la (C). SIGNIFICADO DE PALABRA O FRASE 45. ¿Qué se puede afirmar correctamente del siguiente enunciado? Le dijo que se sacara el aro de matrimonio y que no lo use más. I. La mujer le habla molesta al esposo. II. El hombre le propone la separación a la esposa. III. La madre le grita a su niño por malcriado. (A) Solo I y II (B) Solo I y III (C) Solo II y III (D) I, II y III (E) No se puede deducir ninguna necesariamente. A partir del enunciado propuesto, no se puede deducir si es una mujer la que le pide al hombre que se saque el aro de matrimonio, como tampoco se puede decir que sea un hombre quien lo pide. Por esta misma razón, no se puede saber, con seguridad, que es hombre el que propone una separación. Finalmente, el contexto de la oración tampoco es suficiente como para suponer que quien propone que se saque el aro sea una madre que se dirige a su hijo. Por tanto, la respuesta es la (E). 46. Señale aquello que se pueda deducir correctamente de la siguiente proposición: En esta aula, tú eres más inteligente que Juan. (A) La persona referida como tú es la más inteligente del salón. (B) Juan era el más inteligente del aula antes de que llegue la persona referida como tú. (C) Juan es la persona menos inteligente del aula. (D) En dicha aula, solo hay dos personas. (E) No se puede definir, con exactitud, si la persona referida como tú es la persona más

inteligente del aula.

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196

A partir de la oración propuesta, no se puede deducir si Juan es el más o menos inteligente del salón. Por esta razón, tampoco se pueden deducir las opciones (A), (B) ni (C). Tampoco se puede decir, con certeza, que Juan y tú sean las únicas personas del salón; por esto, la opción (D) tampoco es deducible. En cambio, la opción (E) es la más certera, puesto que lo que propone es que, a partir de la comparación de tú con Juan, y no sabiendo si este último es el más o menos inteligente, tampoco se puede reconocer si es que tú es la persona más inteligente del aula. La opción (E) es la respuesta correcta. 47. Dado el siguiente enunciado: Todos saben que Juan es un bebedor empedernido, ¿qué se

puede afirmar correctamente sobre Juan? I. Juan suele beber bebidas alcohólicas. II. Juan siempre tiene mucha sed. III. Juan suele beber jugos de fruta. IV. Juan tiene mucho conocimiento de bebidas alcohólicas. (A) Solo I (B) Solo III y IV (C) Solo I, II y IV (D) Solo II, III y IV (E) I, II, III y IV Esta frase apela al conocimiento del significado de una frase como bebedor empedernido. En el uso que se le da a esta frase, se entiende que el bebedor solo lo puede ser de bebidas alcohólicas. Es poco probable que dicha frase haga referencia a una persona que siempre toma jugo o gaseosas. Por esta razón, lo único que se puede deducir es la opción I. Finalmente, la opción IV. no es, necesariamente, cierta, porque tampoco es necesariamente cierto que un bebedor tenga los conocimientos de un barman. Por esta razón, la opción correcta es la (A). 48. Dada la siguiente expresión: Los medios impuros desembocan en fines impuros, se puede

deducir, necesariamente, que I. algunos medios dan resultados cuestionables. II. los fines y los medios son irrelevantes. III. los fines son más importantes que los medios. (A) Solo I (B) Solo I y II (C) Solo II (D) Solo II y III (E) Ninguna se puede deducir necesariamente. De acuerdo con la expresión propuesta, la opción I. es cierta, puesto que, si hay medios impuros que llevan a fines impuros, también es cierto que algunos medios (como los impuros) llevan a resultados cuestionables (como los impuros). Sin embargo, la opción II. no es cierta, puesto que la expresión no dice nada con respecto a la relevancia de los medios y los fines. Por último, tampoco se dice nada en la expresión con respecto a si los medios son más importantes que los resultados. Entonces, la respuesta correcta es la (A). ORACIONES INCOMPLETAS 49. De tu cariño, solo me quedan ...................., cartas de amor, pañuelos con tu aroma; es

decir, .................... y nada más. (A) fotos – recuerdos (B) dinero – bagatelas (C) poemas – literatura (D) regalos – cachivaches (E) aretes – amuletos

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La respuesta correcta es la (A), puesto que las fotos, las cartas de amor y los pañuelos son recuerdos que se entregan los enamorados. Con respecto a la respuesta (B), alguien puede considerar las cartas y los pañuelos como bagatelas, pero el dinero no lo es. Con respecto a la (C), cartas de amor y los poemas pueden ser literatura, pero no los pañuelos. Cachivaches no es la palabra más apropiada para referirse a los objetos que le dio su enamorado(a). Finalmente, los objetos mencionados en la oración más los aretes de la opción (E) pueden ser considerados por la persona que enuncia la oración; sin embargo, no hay nada en el contexto de esta para pensar que los considera así. 50. Viajó al Polo Ártico sin la .................... adecuada; por esta razón, a la primera salida a

campo abierto, se .................... . (A) implementación – murió (B) indumentaria – congeló (C) vestimenta – enfermó (D) ropa – hiperventiló (E) casaca – resfrió Con respecto a la opción (A), la palabra implementación es muy general y, por tanto, no se puede asegurar que la persona que no llevó la adecuada se haya muerto. No hay nada en la oración que lo indique. Por su parte, la opción (B) presenta una palabra como indumentaria que hace referencia a la vestimenta que se debe usar en determinados contextos. Si esta no fue la adecuada, entonces, es de esperar que la persona se enfríe o congele en el Ártico. Con respecto a la opción (C), la palabra vestimenta es sinónima de indumentaria; sin embargo, nada en la oración indica que la persona descuidada en cuestión se enfermó. En (D), la hiperventilación no tiene que ver con la ropa usada. En (E), la palabra casaca es buena; sin embargo, se trata de un solo elemento que conforma la indumentaria. Cuando se va al Ártico, se debe pensar en toda la indumentaria, no solo en la casaca. Por tanto, la respuesta correcta es la (B). 51. Antiguamente, se practicaba ...................., la caza de animales con .................... . (A) la puntería – una escopeta (B) la armería – armas (C) la cetrería – un ave (D) la cacería – perros (E) el lanzamiento – una lanza Esta oración busca, particularmente, conocer el significado de una palabra. En este caso, se requiere conocer la palabra cetrería que se puede definir como ‘el arte de cazar con halcones’. Por esta razón, la única opción correcta es la (C). Otra opción posible es la (D); sin embargo, no es correcta, porque la caza de animales se puede hacer con o sin perros. 52. Contra lo que muchos creen, la labor .................... no consiste en un .................... de la

realidad, egoísta e irresponsable. (A) intelectual – aislamiento (B) filosófica – rechazo (C) psicológica – análisis (D) militar – deterioro (E) política – control Esta oración busca rebatir una creencia muy extendida entre la gente, a saber, que los intelectuales viven únicamente en sus escritorios pensando y elaborando en sus teorías y, por ello, de espaldas a la realidad. Por esta razón, la opción que mejor describe esta situación es la opción (A). Las otras opciones no constituyen creencias entre las personas, salvo la última. A todo esto, normalmente, los políticos tratan de tener el control de los hilos del poder.

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53. Hay una diferencia grande entre la actitud y el comportamiento del fanático religioso y del feligrés común y corriente: ..................... del primero ..................... otras creencias.

(A) el desconocimiento – de (B) la interacción – con (C) la convivencia – con (D) la aceptación – de (E) la intolerancia – hacia De todas las diferencias que caracterizan al fanático, la más resaltante y reconocida es la intolerancia; esta es la que lo lleva a cometer, generalmente, actos reprobables. El desconocimiento no puede ser una diferencia, porque se sabe que, aun conociendo los propósitos y creencias de los otros, ellos se comportan de manera intolerante. La interacción, la convivencia y la aceptación presentan, a su turno, oraciones contradictorias. Por esta razón, la respuesta (E) es la correcta. 54. Haríamos muchas más cosas si creyéramos que son muchas menos las ..................... . (A) malas (B) infames (C) imposibles (D) caras (E) desalentadoras La creencia de que hay cosas difíciles o imposibles de hacer desanima de realizarlas o de llevarlas a cabo. Por esta razón, la opción que completa, correctamente, esta idea es la (C). Malas, infames, caras o desalentadoras no dicen nada de la dificultad que desanima de ejecutar determinadas acciones. ELIMINACIÓN DE UNA IDEA 55. ¿Cuál de las siguientes opciones no mantiene el mismo grado de generalidad que las

demás? (A) Hay personas que, en una situación de peligro, usan pistolas o revólveres para

defenderse. (B) Las lanzas y las flechas fueron creadas no solo para la caza, sino, también, para la

autodefensa. (C) Luego de las armas de corto alcance, fueron creados los fusiles y las ametralladoras para

abatir al enemigo que estaba a mayor distancia. (D) Las armas son elementos destructivos que sirven tanto en tiempos de guerra como de

paz. (E) Las granadas, a diferencia de las pistolas y fusiles, tienen un mayor poder de destrucción. Mientras que las opciones (A), (B), (C) y (E) enumeran las armas que las personas usan para defenderse, la opción (D) realiza una definición de las armas y el momento en el que deben ser usadas. Por tanto, siendo la (D) una opción más general que las demás, en tanto que no describe el uso de un arma específica, esta es la idea que se puede eliminar. 56. ¿Cuál de los siguientes enunciados se puede eliminar sin que ello afecte el grado de

especificidad de los demás? (A) Los ebanistas son carpinteros que trabajan la madera de manera artística. (B) El objetivo de los artistas es elaborar obras que permanezcan en el tiempo. (C) Los carpinteros ebanistas utilizan, frecuentemente, herramientas como el formón y el

martillo de madera. (D) El ebanista debe tener algunos conocimientos del proceso artístico. (E) El ébano, la caoba y otras maneras finas son los insumos fundamentales de todo

ebanista.

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De manera similar que en la pregunta anterior, la opción (B) describe el objetivo de los artistas en general. Sin embargo, todas las demás opciones dan información acerca de los ebanistas: quiénes son (A), las herramientas que utilizan (C), sus conocimientos artísticos (D) y la madera que usan (E). Por tanto, la (B), en tanto que es la más general, puede ser eliminada. 57. ¿Cuál de los siguientes enunciados puede eliminarse sin que ello afecte el sentido general

del texto? (A) La pizarra y la tiza son elementos tradicionales que, dentro del salón de clases, el

profesor utiliza para las explicaciones a los alumnos. (B) Hace ya algún tiempo, en los salones de clase, se usan las transparencias, sobre todo,

para mostrar mapas o gráficos que faciliten la comprensión de los temas dictados. (C) El profesor debe preparar su dictado con anticipación para que su discurso sea claro y

coherente. (D) En la actualidad, las computadoras facilitan el dictado de clases enormemente, porque

proveen al profesor información inmediata sin que pierda tiempo en la pizarra. (E) Por mucho tiempo, los profesores usaron los papelógrafos para transmitir información que

les facilite el aprendizaje a sus alumnos Las opciones (A), (B), (D) y (E) realuden a las herramientas que los profesores utilizan dentro del salón de clases para su dictado: la pizarra, la tiza, las transparencias, las computadoras y los papelógrafos. Sin embargo, la opción (C) menciona que todo profesor debe preparar su dictado con anticipación. Esta opción no dice absolutamente nada acerca de los instrumentos que pueden ayudar al profesor en su dictado; por esta razón, la opción (C) es la que se puede eliminar. ORDENAMIENTO DE IDEAS 58. Ordene, lógicamente, las siguientes ideas sobre el tema Manifestaciones de la cultura

chicha. I. La música tropical andina en las celebraciones populares II. La migración del campo a la ciudad III. Encuentro de la cultura andina y la costeña IV. Fusión o mestizaje de lo andino y lo costeño (A) II, III, IV, I (B) I, II, III, IV (C) IV, III, II, I (D) I, IV, III, II (E) II, III, I, IV En primer lugar, se debe considerar las causas de la cultura chicha, en este caso, la migración del campo a la ciudad. Como resultado de la migración, se encuentran dos culturas, la andina y la costeña. Este encuentro produce, a su vez, la fusión o el mestizaje de ambas culturas. Finalmente, producto de este mestizaje es la música tropical andina en las celebraciones populares. La respuesta correcta, entonces, es la (A). 59. Ordene los siguientes pasos para preparar pan. I. Se forma la masa. II. Se separa la masa en piezas. III. Se hornea. IV. Se dejan reposar y se les da la forma. V. Se mezclan los ingredientes. (A) V, I, IV, II y III (B) V, I, II, IV y III (C) V, I, II, III y IV (D) I, V, IV, II y III (E) I, V, II, III y IV

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En primer lugar, se deben mezclar los ingredientes. Una vez mezclados, se forma la masa. La masa se separa en piezas. Estas se dejan reposar y se les da la forma. Finalmente, las piezas son horneadas. La respuesta correcta es, entonces, la (B). 60. Señale el orden más adecuado para el siguiente conjunto de ideas. I. Compra de los ingredientes II. Lista de ingredientes III. Medición de la cantidad por usar de cada ingrediente IV. Mezcla de ingredientes V. Idea o noción del postre que se va a preparar (A) I, V, II, III, IV (B) V, II, I, III, IV (C) II, I V, IV, III (D) V, I, II, IV, III (E) II, V, III, I, IV Antes de preparar cualquier cosa, se tiene que tener una idea de aquello que se quiere preparar. Luego, se hace una lista de los ingredientes que se usarán en aquello que se quiere preparar. Después, los ingredientes tienen que ser comprados. Una vez comprados, se mide la cantidad que va a ser usada de cada uno y, finalmente, estos son mezclados. La respuesta correcta es, entonces, la (B). COMPRENSIÓN DE LECTURA Texto 1 En los sistemas multimedia, confluyen diferentes tecnologías, lenguajes y formas de expresión. De la misma forma que cuando surgió el cinematógrafo, se sintetizaron, en él, recursos expresivos procedentes de otros medios precedentes (principalmente, del teatro y la fotografía —la opera, la literatura, la música y la pintura se pueden considerar incluidas en ambos—). Los sistemas multimedia consisten, esencialmente, en una síntesis de los programas audiovisuales grabados en video y en la información textual que, tradicionalmente, se registra en los libros. La cercanía del usuario a una pantalla y la posibilidad de interactuar con lo que observa y escucha son los aspectos que facilitan el empleo del texto en los programas multimedia. Dicha proximidad a la pantalla hace más llevadera la lectura. Además, la interactividad permite dejar el texto cuando no se desea leer y posibilita pasar a otros elementos del programa, como los visuales y los auditivos. Por otra parte, el libro se ha ido decantando, en los últimos decenios, hacia formas que incluyen, cada vez más, justificadamente o no, vistosos elementos visuales. Inclusive, se podría pensar que es la evolución del libro la que ha traído consigo el diseño de los multimedia actuales, más que la evolución de las formas audiovisuales convencionales. No se puede olvidar tampoco la importancia de los videojuegos en el origen de los programas multimedia: inicialmente, los juegos en las grandes máquinas situadas en bares y salones recreativos; y, después, las consolas y los minivideojuegos de mano. En los videojuegos, es imprescindible la interactividad y, quizá, sea este el elemento que más han aportado estos medios de entretenimiento que, además, como tales, constituyen uno de los grandes motores que mueven la economía y la sociedad contemporáneas. En síntesis, se puede afirmar que los sistemas multimedia poseen las siguientes características. En primer lugar, en ellos, confluyen diversos contenidos, pero, también, medios o soportes variados que implican una determinada mediación técnica en el resultado final. En segundo lugar, poseen una organización no lineal de la información, flexible y configurable (en diversos grados) por los usuarios del programa. Esta organización se traduce en un alto grado de interactividad que no sería, por tanto, una característica en sí misma de los sistemas multimedia, sino la forma en que los autores organizan la información para facilitar que los

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usuarios «naveguen» por ella. Más que de medios interactivos, se debería hablar de grados de interactividad, cuyo origen conceptual está en el hipertexto o estructura del programa. [Adaptado de © «Características comunicativas de los sistemas multimedia 2008». Tomado de http://tecno.unsl.edu.ar/multimedia/2.pdf (27.02.08; 10:00 h)] 61. El idea central del texto anterior es (A) la interactividad y la estructura de los sistemas multimedia (B) el libro como origen de los sistemas multimedia (C) las características de los sistemas multimedia y la interactividad (D) evolución y características de los sistemas multimedia (E) el origen de los sistemas multimedia: video y libros El primer párrafo del texto menciona las diferentes tecnologías que confluyen en y que caracterizan los sistemas multimedia. El segundo párrafo alude a la importancia de la interactividad en estos programas. Finalmente, el tercer párrafo es una síntesis de los dos anteriores. Tomando en cuenta estas ideas, se puede decir que la opción (C) es la que mejor resume la idea central del texto leído. Por lo demás, se puede asegurar que el texto no dice nada con respecto a la estructura de los sistemas, a su evolución ni a su origen. Con este análisis, se descartan las opciones (A), (D) y (E). Finalmente, la opción (B) no puede ser el tema central puesto, que la importancia del libro en estos sistemas es explicada, únicamente, en el segundo párrafo. 62. En la primera línea del segundo párrafo, la palabra decantando quiere decir (A) privilegiando (B) mejorando (C) alejando (D) orientando (E) especializando La línea referida dice así: «(…) el libro se ha ido decantando, (...), hacia formas que incluyen, cada vez más, (...), vistosos elementos visuales». Decantando quiere decir ‘dirigiéndose’, ‘yendo’, ‘orientándose hacia’. Por esta razón, la respuesta correcta es la (D). 63. ¿Cuál de los siguientes elementos no ha intervenido en la aparición de los sistemas multimedia? (A) Los libros (B) Los videojuegos (C) El video (D) El hipertexto (E) La interactividad En el primer párrafo, se dice que los libros y los programas audiovisuales grabados en video han intervenido en la aparición de los sistemas multimedia. Por tanto, la opción (A) y (C) son correctas. En el segundo párrafo, se menciona la importancia de los videojuegos (opción B) en la aparición de los multimedia. En la línea final del último párrafo, se dice que el hipertexto es el origen conceptual de la interactividad. La opción (D) es correcta. Finalmente, la interactividad no es un factor que originó estos tipos de sistema, sino una forma de organizar la información contenida en estos. Por tanto, la opción (E) no ha intervenido en la aparición de los sistemas multimedia. 64. Cuál de los siguientes no es un recurso expresivo incluido en el teatro o la fotografía: (A) Ópera (B) Cinematógrafo (C) Literatura (D) Música (E) Pintura

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En la cuarta línea del primer párrafo, se enumeran los recursos expresivos incluidos en el teatro y la fotografía. Ni ahí ni en algún otro lado del texto, se menciona al cinematógrafo como recurso expresivo de las artes mencionadas. Por tanto, la respuesta correcta es (B). 65. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? (A) Los sistemas multimedia son, básicamente, una síntesis de programas grabados en video

y de información textual. (B) Los videojuegos jugaron un importante papel en el origen de los programas multimedia. (C) La interactividad es imprescindible en los videojuegos. (D) La interactividad sería la forma en que los autores organizan la información para facilitar

que los usuarios «naveguen» por ella. (E) Solo existen medios interactivos y carece de sentido hablar de grados de interactividad. En las dos últimas líneas del último párrafo, se lee lo siguiente: «Más que de medios interactivos, se debería hablar de grados de interactividad, cuyo origen conceptual está en el hipertexto o estructura del programa». Esta información contradice, con claridad, lo expuesto por la opción (E). Por tanto, esta es la afirmación incorrecta. Texto 2 La base de la vida social de las abejas se centra en la constitución de una familia compuesta de una madre reproductora junto a la cual las hijas permanecen como obreras. El vínculo que une a las abejas es la trofalaxis, complicado ritual de entrega y recepción de alimento en el que un recolector trae a la colonia una carga de provisiones. La abeja recolectora ofrece parte del botín a otra obrera que lo pide sacando su «lengua» hasta recibir una porción que rezuma del aparato bucal de la primera. Luego, se separan y la que lleva el botín se acerca a otra abeja. Dentro de la colmena, las abejas entregan y reciben alimento, de tal modo que hay una constante circulación de comida entre ellas. Esta conducta de intercambio de alimento es instintiva e innata, y las antenas actúan como elementos imprescindibles para la consecución del intercambio de alimento. Este intercambio de alimento forma un sistema de circulación para el paso de sustancias químicas de abeja en abeja. Estas sustancias se encargan de regular la producción de las distintas «clases sociales» en la colmena. Según el alimento suministrado por las obreras, se forman las diversas clases de adultos: obreras, zánganos o reinas. Mientras haya una reina activa en la colmena, no se producirán otras; tan pronto como empieza a decaer o cuando muere, las obreras empiezan a construir las características celdas reales. Estas son algo mayores que las celdas ordinarias y, en ellas, solo se crían futuras reinas. La construcción se inicia cuando el suministro de jalea real que circula por la colmena mediante la trofalaxis empieza a disminuir. Dicha sustancia se produce en las glándulas cefálicas de la reina. Al lamerse, esta se embadurna el cuerpo con la jalea, la cual, a su vez, es lamida por las obreras que se encargan de su aseo. Estas pasan la jalea lamida a otras y, así, sucesivamente. Podemos afirmar que el «poder» de la reina sobre la colmena depende de la jalea real; mientras esta circula por la colmena, las obreras no producirán reinas sucesoras. El intercambio social de alimento entre los insectos, seguramente, está relacionado con la forma de reconocer a sus compañeros. Cada colmena tiene un olor propio que todos los miembros del grupo llevan consigo. El olor que distingue a una colonia de otra puede deberse al hecho de que todos los individuos de una misma colonia comen alimento que es reunido por unos cuantos de sus compañeros y que pasa de boca en boca. El trabajo en una colmena es muy complicado, tal como se expone a continuación. • Las abejas construyen el panal con placas de cera secretada por unas glándulas situadas

en su abdomen. La reina pone un huevo en cada celda y, cuando las larvas salen del huevo, son alimentadas con miel, polen y con las secreciones de las glándulas de algunas de las obreras. Las larvas ya desarrolladas son encerradas en una celda; cuando se han convertido en abejas adultas, salen rompiendo la cubierta.

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• Las obreras tienen otras muchas misiones aparte de recoger alimento y guardar la colmena. Pasan mucho tiempo limpiándola y renovando el aire con las alas para refrescarla y ventilarla.

• Una abeja adulta se encarga de la limpieza de la colmena durante los primeros días de su vida. Alimenta a las larvas hasta, más o menos, el día décimo; a partir de este día, empieza a construir el panal. Alrededor del día quince, cumple con los deberes de la guardia; finalmente, hacia el día veinte, sale de la colmena para recoger alimento. Sin embargo, la relación de edad y cargo no es inflexible; si hay necesidad de un mayor grupo de recolectores, se unen a él abejas más jóvenes de lo normal.

[Adaptado de © Sandiumenge, Jaime (2000). Las abejas: vida en sociedad. Tomado de http://www.arturosoria.com/botanica/art/abejas.asp (27.02.08; 11:00 h)] 66. ¿Cuál es la idea central del texto anterior? (A) El papel de la alimentación en la organización social de las abejas (B) El proceso de la trofalaxis en la producción de abejas reina (C) La organización de las abejas recolectoras (D) La abeja reina y su reproducción (E) La producción de la jalea real en la colmena A lo largo del texto, se explica con claridad cómo es que la organización social de las abejas está condicionada por la circulación (entrega y recepción) constante de alimento dentro del panal. Por esta razón, la respuesta que mejor resume la idea central del texto es la (A). El texto no se centra solo en la producción de las abejas reina, en la actividad de las recolectoras o en la producción de la jalea real. Por esto, las otras opciones son incorrectas, porque atienden solo a una parte no central del texto. 67. Señale aquella información que no sea correcta con respecto a la trofalaxis. (A) Es un ritual de entrega y recepción de alimentos. (B) Es un proceso que cumple la función de unir a las abejas de un panal. (C) A través de este proceso, circula la jalea real en el panal. (D) Se trata de una conducta aprendida por las abejas; no es natural en ellas. (E) Posiblemente, sea un mecanismo de reconocimiento de los compañeros de panal. Con respecto a la trofalaxis, las dos últimas líneas del segundo párrafo dicen lo siguiente: «Esta conducta de intercambio de alimento es instintiva e innata (...)». Esta idea contradice, con claridad, la información de la opción (D). Por tanto, esta opción es una información incorrecta con respecto a la trofalaxis. 68. Señale lo correcto en relación con las labores dentro del panal. (A) Las abejas construyen el panal con cera secretada del abdomen de la abeja reina. (B) Los huevos puestos por la abeja reina son alimentados con miel, polen y otras

secreciones. (C) La abeja cumple distintas funciones dependiendo del tiempo que tenga como adulta. (D) Cuando las abejas son adultas, rompen la cubierta del panal y salen a buscar alimento. (E) La labor más importante de la obrera es refrescar y ventilar el panal con sus alas. La (A) es incorrecta, porque la cera es secretada por el abdomen de las abejas, no de la abeja reina. La (B) es incorrecta, porque los huevos no son los alimentados, sino las larvas que salen de los huevos. La (D) es incorrecta, porque lo que hacen las abejas adultas cuando rompen la cubierta del panal es limpiar la colmena. Asimismo, la (E) no es exacta, pues es claro que las obreras tienen diferentes misiones, unas tan importantes como otras (por ejemplo, recoger alimento y guardar la colmena). En cambio, la (C) es la correcta, porque los tres últimos párrafos del texto describen las funciones de las abejas en correspondencia con su edad.

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69. Señale la(s) afirmación(es) correcta(s) con respecto a la jalea real. I. Solo la abeja reina la produce. II. Es embadurnada en el cuerpo de la abeja reina por otras abejas. III. Pasa de abeja en abeja en el proceso de la trofalaxis. IV. Puede ser considerada como el símbolo del poder de la abeja reina. (A) Solo I y III (B) Solo II, III y IV (C) Solo I, II y IV (D) I, II, III y IV (E) Solo I, III y IV Todas son afirmaciones correctas salvo la II. La abeja reina produce la jalea real en sus glándulas cefálicas (I.). Cuando las abejas lamen a la abeja reina, se pasan esta jalea entre ellas (III.). Al final del tercer párrafo, se afirma que esta sustancia es el poder de la reina (IV.). En la línea diez del tercer párrafo, se lee que la misma abeja reina es la que se embadurna la jalea real por el cuerpo al lamerse. Por estas razones, la respuesta correcta es la (E). 70. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de ideas refleja el orden en el que aparecen

desarrolladas en el texto anterior? (A) • El trabajo en la colmena • La trofalaxis y las clases sociales • Definición de trofalaxis • La trofalaxis y la pertenencia a la colmena

(B) • Definición de trofalaxis • La trofalaxis y las clases sociales • El trabajo en la colmena • La trofalaxis y la pertenencia a la colmena

(C) • Definición de trofalaxis • El trabajo en la colmena • La trofalaxis y las clases sociales • La trofalaxis y la pertenencia a la colmena

(D) • Definición de trofalaxis • La trofalaxis y las clases sociales • La trofalaxis y la pertenencia a la colmena • El trabajo en la colmena

(E) • La trofalaxis y la pertenencia a la colmena • Definición de trofalaxis • La trofalaxis y las clases sociales • El trabajo en la colmena

La respuesta correcta es la (D). Los dos primeros párrafos definen la trofalaxis. El tercer párrafo describe la conformación de las clases sociales en el panal a partir de la trofalaxis. El cuarto párrafo sustenta la idea de que cada colmena tiene un olor particular que es reconocible por las abejas, lo que les da un sentido de pertenencia. Este olor puede deberse a que, mediante la trofalaxis, se transmite una sustancia con un aroma particular. Finalmente, los últimos párrafos enumeran las responsabilidades que tienen todas las abejas en el panal.

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4.3 PRUEBA TIPO DE HABILIDAD LÓGICO-ANALÍTICA CON S OLUCIONARIO 71. Dadas las siguientes afirmaciones: � Todos los que trabajan con métodos científicos son hombres de ciencia. � Algunos de los que trabajan con métodos científicos trabajan con métodos experimentales.


(A) Algunos hombres de ciencia no trabajan con métodos experimentales. (B) Nadie que no trabaje con métodos experimentales es un hombre de ciencia. (C) Algunos de los que trabajan con métodos experimentales no son hombres de ciencia. (D) Algunos hombres de ciencia trabajan con métodos experimentales. (E) Todos los hombres de ciencia trabajan con métodos científicos.

Solución Lo primero que debemos reconocer es que, en las premisas, se mencionan tres conjuntos o categorías: los que trabajan con métodos científicos (C), los hombres de ciencia (H) y los que trabajan con métodos experimentales (E). A partir de ello, podemos construir el diagrama con estos tres conjuntos.

Una vez que hemos identificado estas tres categorías, podemos empezar a dibujar cada una de las premisas en el gráfico para determinar qué conclusión se deriva, necesariamente, de ellas. La primera premisa dice todos los que trabajan con métodos científicos son hombres de ciencia. Esta afirmación se dibuja en el diagrama así:

Ahora, debemos dibujar, en el diagrama, la otra premisa: Algunos de los que trabajan con métodos científicos trabajan con métodos experimentales. El diagrama quedará, entonces, así como se muestra a continuación.

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¿Qué podemos concluir con certeza? Recordemos que debe tratarse de una afirmación distinta de todo lo que se ha afirmado en los datos previos o premisas. Como se ve en el diagrama, la afirmación nueva que podemos concluir es que hay algún individuo que pertenece tanto a H como a E, de modo que la conclusión correcta sería algunos hombres de ciencia trabajan con métodos experimentales. Clave: D

72. Dadas las siguientes afirmaciones: � Algunas figuras geométricas son poliedros. � Ningún poliedro es una figura plana.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye necesariamente de ellas?

(A) Todos los poliedros son figuras geométricas. (B) Todas las figuras planas son figuras geométricas. (C) Algunas figuras geométricas no son figuras planas. (D) Algunas figuras planas no son figuras geométricas. (E) Algunas figuras geométricas son figuras planas.

Solución Nuevamente, debemos comenzar por identificar los tres conjuntos o categorías que se mencionan en este ejercicio: figuras geométricas (F), poliedros (P) y figuras planas (L). Entonces, haremos el diagrama.

Dibujemos, ahora, las premisas en el gráfico. La primera premisa dice algunas figuras geométricas son poliedros. Como esta premisa nos obliga a colocar una x en alguna zona del gráfico, si empezamos por esta premisa, no tendremos certeza de en qué zona del gráfico colocarla, de modo que, en este caso, comenzaremos por graficar la segunda premisa: ningún poliedro es una figura plana.

x

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Ahora, en este mismo gráfico, podemos dibujar la primera premisa: algunas figuras geométricas son poliedros. El gráfico quedaría como se muestra a continuación.

Del análisis del diagrama, se concluye que hay un elemento que pertenece a F pero no a L, lo que significa que la conclusión es algunas figuras geométricas no son figuras planas. Clave: C

73. Dadas las siguientes afirmaciones: � Todo lo que sube tiene que bajar. � Todo lo que tiene que bajar tiene peso. � Todo lo que tiene peso está sujeto a las leyes de gravedad.


(A) Todo lo que tiene que bajar sube. (B) Todo lo que sube está sujeto a las leyes de gravedad. (C) Todo lo que está sujeto a las leyes de gravedad tiene que bajar. (D) Todo lo que tiene peso sube. (E) Todo lo que tiene peso tiene que bajar.

Solución En este ejercicio, los conjuntos o categorías son más de tres; son cuatro: lo que sube (S), lo que tiene que bajar (B), lo que tiene peso (P) y lo que está sujeto a las leyes de gravedad (G). Debido a que hay más de tres conjuntos, deberemos hacer como si se tratara de dos ejercicios en uno. Comenzaremos por trabajar solo con las dos primeras premisas, como se muestra a continuación.

X

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Diagramemos la primera premisa: todo lo que sube tiene que bajar.

Añadamos, ahora, la segunda premisa: todo lo que tiene que bajar tiene peso, con lo que el diagrama quedaría así:

De estos dos gráficos, se deduce una nueva afirmación: Todo lo que tiene que subir tiene peso. Graficaremos esta afirmación y la última premisa (todo lo que tiene peso está sujeto a las leyes de gravedad) juntas en un último diagrama, lo que dará el siguiente resultado:

G

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De esto, se concluye que todo lo que sube está sujeto a las leyes de gravedad. Clave: B

74. Dadas las siguientes afirmaciones: � Todas las ciencias inductivas se basan en la observación. � Ninguna ciencia deductiva se basa en la observación.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye necesariamente de ellas?

(A) Algunas ciencias inductivas son deductivas. (B) Todas las ciencias deductivas son ciencias inductivas. (C) Ninguna ciencia deductiva es inductiva. (D) Algunas ciencias deductivas no son inductivas. (E) Algunas ciencias inductivas no son deductivas.

Solución En este ejercicio, tenemos tres conjuntos solamente, por lo cual bastará con hacer un diagrama con ellos: ciencias inductivas (I), lo que se basa en la observación (O) y ciencias deductivas (D). Graficaremos, en el diagrama, una por una, las dos premisas. El gráfico de la primera premisa (todas las ciencias inductivas se basan en la observación) sería el siguiente:

Añadimos, ahora, la segunda premisa, ninguna ciencia deductiva se basa en la observación, y el gráfico quedará del modo siguiente:

De este último diagrama, se concluye que ninguna ciencia inductiva es deductiva o, lo que es lo mismo, ninguna ciencia deductiva es inductiva. Clave: C

D

I O

D

I O

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75. Dadas las siguientes afirmaciones: � Si el acusado es culpable y se le condena a cadena perpetua, se hará justicia. � Pero no se hará justicia. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente?

(A) El acusado es inocente. (B) No se condena al acusado a cadena perpetua. (C) El acusado es inocente, pero se le condena a cadena perpetua. (D) El acusado es culpable, pero no se le condena a cadena perpetua. (E) El acusado es inocente o no se le condena a cadena perpetua.

Solución Las preguntas 5, 6, 7 y 8 son de un tipo diferente de las cuatro preguntas anteriores. En las anteriores, las conclusiones debían basarse en las relaciones entre ciertos conjuntos; ahora, las conclusiones deben basarse en las relaciones entre ciertas proposiciones, conectadas entre sí por diferentes operadores. En los cuatro casos siguientes, debemos reconocer cuáles son las proposiciones y qué conectores aparecen entre ellas. En la pregunta 5, las proposiciones son las siguientes:

A: el acusado es culpable. C: se condena al acusado a cadena perpetua. H: se hará justicia.

Las premisas afirman lo siguiente:

Si A y C, entonces H. Pero no H.

De ellas, podemos concluir (aplicando la regla 1) que

No es cierto que (A y C).

Ello, a su vez (por aplicación de la regla 5), se puede traducir a

No es cierto que A o no es cierto que C. Clave: E

76. Dadas las siguientes afirmaciones: � Si el misterio tiene solución, se hallará el tesoro o se encontrará el culpable. � El misterio sí tiene solución.


(A) Se hallará el tesoro. (B) Se encontrará al culpable. (C) Ni se hallará el tesoro ni se encontrará al culpable. (D) Se hallará el tesoro o se encontrará al culpable. (E) No se hallará el tesoro o no se encontrará al culpable.

Solución Las proposiciones, en este ejercicio, son las siguientes:

M: el misterio tiene solución. T: se halla el tesoro. C: se encuentra al culpable.

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211


Si M, entonces T o C. M.

De ellas, por tanto (por aplicación de la regla 1), solo se puede concluir lo siguiente:

T o C.

Clave: D 77. Dadas las siguientes afirmaciones: � Si los números pares son divisibles por 2, entonces 2 es un número par. � Si 2 es un número par, entonces hay, al menos, un número par que es número primo.


(A) Hay, al menos, un número par que es número primo. (B) Si hay, al menos, un número par que es número primo, entonces los números pares

son divisibles por 2. (C) Si los números pares son divisibles por 2, entonces hay, al menos, un número par que

es número primo. (D) Si hay al menos un número par que es número primo, entonces 2 es un número par. (E) Si 2 es un número par, entonces los números pares son divisibles por 2.

Solución Las proposiciones, en este ejercicio, son las siguientes:

D: los números pares son divisibles por 2. N: 2 es un número par. P: hay al menos un número par que es primo.


Si D, entonces N. Si N, entonces P.

Lo único que es correcto concluir, por tanto (por aplicación de la regla 3), es lo siguiente:

Si D, entonces P.

Clave: C 78. Dadas las siguientes afirmaciones: � O bien la teoría de conjuntos es la base de la matemática o bien, si dicha teoría es

paradójica, la base de la matemática es la aritmética. � Pero la teoría de conjuntos no es la base de la matemática.


(A) La teoría de conjuntos es paradójica. (B) La base de la matemática es la aritmética si la teoría de conjuntos es paradójica. (C) Si la teoría de conjuntos no es paradójica, la base de la matemática no es la

aritmética. (D) La aritmética es la base de la matemática. (E) La aritmética no es la base de la matemática.

_____________________________________________________________________________________


212

Las proposiciones, en este ejercicio, son las siguientes:

T: la teoría de conjuntos es la base de la matemática. P: la teoría de conjuntos es paradójica. A: la base de la matemática es la aritmética.


O bien T o bien, si P, entonces A. Pero no T.

Lo único que es correcto concluir, por tanto (por aplicación de la regla 4), es lo siguiente:

Si P, entonces A.

Clave: B 79. Analice los siguientes argumentos y determine cuál de ellos es el más sólido.

(A) Juan es uno de los mejores gerentes de ventas en su medio. Por ello, la empresa en la que trabaja es la mejor empresa en su medio.

(B) Una universidad moderna resulta atractiva, puesto que las universidades atractivas son universidades modernas.

(C) La muerte es el fin de la vida. El fin de una cosa es su perfección. Por tanto, la muerte es la perfección de la vida.

(D) Algunos escolares no postulan a la universidad, puesto que algunos tienen otras metas y nadie que tenga otras metas postula a la universidad.

(E) El testimonio del testigo no puede ser tomado seriamente, pues, cuando era adolescente, el testigo fue acusado de robo.

Solución En esta pregunta, debemos analizar, uno por uno, cada uno de los distractores para evaluar cuáles de ellos contienen un argumento falaz —una falacia— y cuál de ellos contiene un argumento consiste o sólido. Para ello, debemos, primero, en cada caso, reconocer cuáles son las premisas y cuáles son las conclusiones. En el distractor (A), la conclusión del argumento es «(…) la empresa en la que Juan trabaja es la mejor empresa en su medio». Esta conclusión atribuye a la empresa una de las cualidades del gerente. Esto constituye una falacia de composición. En el distractor (B), la conclusión es «Una universidad moderna resulta atractiva (…)». La premisa y la conclusión, en verdad, expresan la misma idea, solo que dicha de dos formas distintas. Esto constituye una falacia de círculo vicioso o petición de principio. En el distractor (C), la conclusión es «(…) la muerte es la perfección de la vida». Esta conclusión resulta de combinar las dos premisas del argumento, pero sin considerar que la palabra fin tiene un sentido distinto en cada premisa: fin como ‘término o final’ y fin como ‘objetivo o finalidad’. Esto constituye una falacia de equívoco. La conclusión en el distractor (D) es «Algunos escolares no postulan a la universidad (…)». En este caso, no se comete ninguna falacia. En el distractor (E), la conclusión es «El testimonio del testigo no puede ser tomado seriamente (…)». La premisa del argumento sostiene que el testigo fue acusado de robo antes y que eso invalida su testimonio. Esto constituye una falacia de argumento dirigido contra la persona. Clave: D

____________________________________________________________________________________


213

80. Analice los siguientes argumentos y determine cuál de ellos es el más sólido.

(A) Si la Iglesia está en contra de la reproducción in vitro, entonces no debería practicarse. (B) El equipo de fútbol del colegio de Andrés ha sido considerado el mejor del campeonato;

por ello, Andrés, que es el arquero del equipo, debe ser considerado como el mejor arquero del campeonato.

(C) Todos los integrantes del equipo de vóley tienen entre diecisiete y diecinueve años; por ello, Carlos, que es miembro de dicho equipo, tiene entre diecisiete y diecinueve años.

(D) Algunas verdades científicas son cuestionables; por ello, algunas verdades de la ciencia pueden ser puestas bajo cuestionamiento.

(E) No podemos dar crédito a lo que afirma Roberto, pues es solo un joven de quince años y tiene muy poca experiencia como para poder estar en lo cierto.

Solución La solución a esta pregunta es idéntica a la anterior, de modo que debemos, nuevamente, hacer el análisis de cada distractor. En el distractor (A), se comete una falacia de apelación a la autoridad, pues la conclusión, «(…) no debería practicarse la reproducción in vitro», se basa solo en la autoridad de la Iglesia. En el distractor (B), se comete una falacia de división, pues la conclusión, «(…) Andrés (…) debe ser considerado como el mejor arquero del campeonato» se basa en atribuir la cualidad del equipo a uno de sus integrantes. La conclusión en el distractor (C) es «(…) Carlos (…) tiene entre diecisiete y diecinueve años» y no se trata de un argumento falaz. Aunque este argumento pudiera parecer una falacia de división, no lo es pues no se atribuye la cualidad de un conjunto sino de todos los elementos del conjunto a Carlos. En el distractor (E), se comete una falacia de argumento dirigido contra la persona; la conclusión es «No podemos dar crédito a lo que afirma Roberto (…)». Clave: C

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 81-83 En un juicio por asesinato, se ha encontrado las siguientes pistas: � Si Juan cometió el crimen, entonces el móvil del crimen debió ser el dinero o los celos. � Si el principal testigo, que es Pedro, dice la verdad, entonces el móvil del crimen no debió

ser el dinero. � O Juan cometió el crimen o Pedro dice la verdad. � No es posible que el principal testigo esté diciendo la verdad, tal y como se ha comprobado

debido a sus diversas contradicciones con los hechos. Solución Este ejercicio es muy similar a cuatro preguntas anteriores (5-8), con la diferencia de que, ahora, se presentan más premisas que deben ser combinadas. La forma de resolver este ejercicio será igual a la forma que hemos usado en las preguntas 5-8. Comencemos, entonces, por reconocer las proposiciones y analizar lo que afirman las premisas. Las proposiciones son como sigue: J: Juan cometió el crimen. D: el móvil del crimen debió ser el dinero. C: el móvil del crimen debieron ser los celos. P: Pedro, el principal testigo, dice la verdad.

_____________________________________________________________________________________


214

Las premisas afirman lo siguiente: Si J, entonces D o C. Si P, entonces no D. O J o P. No es posible que P. 81. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es, necesariamente, verdadera?

(A) Juan no cometió el crimen. (B) El móvil del crimen debió ser el dinero o los celos. (C) El móvil del crimen no debió ser el dinero. (D) El móvil del crimen fueron los celos. (E) El móvil del crimen no fueron los celos.

Esta pregunta nos pide derivar una conclusión directamente a partir de los datos ofrecidos. Si combinamos las dos últimas premisas y aplicamos la regla del silogismo disyuntivo, entonces se concluye, necesariamente, J (Juan cometió el crimen); sin embargo, esta proposición no aparece como opción en las alternativas de respuesta, así que debemos seguir derivando alguna otra afirmación. Si combinamos J con la primera premisa, podemos aplicar la regla 1 y, entonces, se concluye que D o C; esta afirmación sí aparece como alternativa de respuesta: el móvil del crimen debió ser el dinero o los celos. Clave: B

82. Si fuese posible que el principal testigo estuviera diciendo la verdad, ¿cuál de las siguientes

afirmaciones sería verdadera necesariamente?

(A) El móvil del crimen no debió ser el dinero. (B) Juan cometió el crimen. (C) El móvil del crimen debió ser el dinero. (D) El móvil del crimen fueron los celos. (E) Juan es inocente.

Esta pregunta nos plantea rechazar la última premisa y asumir una nueva premisa: P (Pedro dice la verdad). Si combinamos esta nueva premisa con la segunda premisa (si P, entonces no D), podemos aplicar la regla 1 y obtenemos una nueva conclusión: no D (el móvil del crimen no debió ser el dinero). Clave: A

83. Si añadimos la siguiente pista: el móvil del crimen no pudo ser el dinero ni los celos, ¿cuál

de las siguientes afirmaciones resultaría verdadera necesariamente?

(A) Juan no cometió el crimen. (B) Pedro dice la verdad. (C) Es posible que el principal testigo esté diciendo la verdad. (D) Hay muchas contradicciones entre los hechos. (E) Juan dice la verdad. Esta pregunta nos plantea una nueva premisa: no D ni C, la cual puede combinarse con la primera premisa para aplicar la regla 2 para concluir que no J (Juan no cometió el crimen). Clave: A

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 84 - 87 Harry estaba perdido en un pueblo embrujado y solo tenía la siguiente información para poder ubicarse:

____________________________________________________________________________________


215

� La escuela estaba al norte del castillo y al sur de su casa. � El camino de salida estaba al sur del castillo y al este de su casa. � La estación de trenes estaba al noroeste de la escuela. � Su casa estaba al norte de la estación y esta estaba al este del castillo. � La escuela estaba al oeste de la casa de Harry.

Solución En este ejercicio, debemos ordenar los datos en dos ejes diferentes: el eje norte-sur y el eje este-oeste. Es importante manejar estos dos ejes como independientes uno de otro, pues los datos no nos permiten combinarlos. De este modo, lo más conveniente es ordenar los datos en un esquema como el que se muestra a continuación.

Norte Este

Sur Oeste

Luego de tener el esquema, debemos ir añadiendo los datos según se presentan y según sea posible. Así, el resultado final deberá ser el siguiente:

Norte Este

Casa de Harry Camino de salida

Estación de trenes Casa de Harry

Escuela Escuela

Castillo Estación de trenes

Camino de salida Castillo

Sur Oeste

84. ¿En qué dirección está la casa de Harry?

(A) Al sur (B) Al noroeste (C) Al noreste (D) Al sureste (E) Al suroeste

Clave: C

85. ¿Qué hay en el centro del pueblo embrujado?

(A) La escuela (B) La casa de Harry (C) El castillo (D) La estación de trenes (E) El camino de salida

Clave: A

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216

86. ¿Qué hay en el extremo noroeste del pueblo embrujado?

(A) La casa de Harry (B) La estación de trenes (C) El castillo (D) La escuela (E) El camino de salida

Clave: B

87. Si Harry está en el castillo y quiere llegar al camino de salida, ¿qué dirección debe tomar?

(A) Norte (B) Noreste (C) Suroeste (D) Sureste (E) Noroeste

Clave: D

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 88-90 Siete amigos salieron de Lima en auto con rumbo al sur. Competían para determinar quién llegaba primero hasta Tacna. Se sabe lo siguiente: � Pedro llegó antes que Wálter, pero después que Uldarico. � Víctor llegó antes que Ricardo, pero después que Wálter. � Sandro llegó después que Víctor. � Tito llegó antes que Pedro. Solución Esta pregunta exige hacer un ordenamiento lineal simple. Por ello, bastará con colocar los datos que se presentan en una línea, sea vertical o horizontal (como nos parezca más práctico), pero señalando con precisión qué implica, en nuestra línea, quién llega primero y quién llega al final. Proponemos hacer el ordenamiento en una línea horizontal, así: Una vez que hemos decidido cómo organizar los datos, debemos ir colocándolos según sea pertinente; de modo que el resultado al que debemos llegar es el siguiente:

R V W P U

S T

Lima Sur - Tacna

Lima Sur - Tacna

____________________________________________________________________________________


217

88. ¿Quién llegó en tercer lugar?

(A) Wálter (B) Pedro (C) Uldarico (D) Tito (E) Víctor

Clave: B

89. ¿Quién llegó en cuarto lugar?

(A) Víctor (B) Wálter (C) Ricardo (D) Sandro (E) Pedro

Clave: B

90. ¿Qué dato se necesita para determinar quién llegó en primer lugar?

(A) Tito llegó antes que Pedro. (B) Uldarico llegó antes que Wálter. (C) Tito llegó después que Uldarico. (D) Pedro llegó antes que Wálter. (E) Pedro llegó después que Víctor.

Clave: C

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 91-93 Ocho familias se mudaron a un edificio de cinco pisos. En cada piso, había dos departamentos. Como el edificio era nuevo, no había información en la entrada para identificar a cada familia, de modo que, para entregar la correspondencia, el cartero solo contaba con la siguiente información: � Los Pérez vivían en el mismo piso que los García, un piso más abajo que los Martínez. � Los López vivían un piso más arriba que los Sánchez y un piso más abajo que los Flores. � Los Martínez vivían en el piso más alto, del mismo modo que los Robles. � Los Quiroz no vivían en el primer piso ni en el tercero. Solución En este ejercicio, lo conveniente es ordenar los datos con la distribución de pisos del ejercicio, tal como se muestra a continuación.

Piso 5

Piso 4

Piso 3

Piso 2

Piso 1 Una vez que decidimos cómo organizar la información, procedemos a colocar los nombres de las familias, según los datos, en los pisos correspondientes. Aquí, es importante observar que hay datos que no pueden colocarse sino hasta haber colocado otros. En este caso, el primer dato que deberíamos colocar es el más obvio: los Martínez viven en el piso más alto, del mismo modo que los Robles. A partir de este dato, todos los demás serán fáciles de colocar.

_____________________________________________________________________________________


218

Piso 5 Martínez Robles

Piso 4 Pérez García

Piso 3 Flores

Piso 2 López Quiroz

Piso 1 Sánchez

Hay dos departamentos cuyos ocupantes no se mencionan en el ejercicio, de modo que hay dos espacios que quedan vacíos. 91. ¿Cuál de las siguientes familias vivía en el cuarto piso?

(A) Sánchez (B) Robles (C) Pérez (D) Flores (E) López

Clave: C

92. ¿Qué familia vivía en el primer piso?

(A) Sánchez (B) Robles (C) Pérez (D) Flores (E) López

Clave: A

93. ¿Cuál de las siguientes familias no compartía el piso con ninguna otra familia?

(A) García (B) Quiroz (C) Pérez (D) Flores (E) López Clave: D

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 94-97 Seis médicos, de distintas especialidades, se sentaron simétricamente alrededor de una mesa circular para analizar un caso. Sus nombres eran Ernesto, Federico, Gerardo, Horacio, Ildefonso y Jonás. Sus especialidades eran dermatología, endocrinología, psiquiatría, oncología, neonatología y cardiología, aunque no en ese orden . Además, se sabe lo siguiente:

� Ernesto se sentó frente al cardiólogo, a la derecha de Horacio. � Ildefonso se sentó a la izquierda del cardiólogo, a la derecha de Gerardo. � Federico se sentó frente al endocrinólogo, a la izquierda del neonatólogo. � El dermatólogo se sentó exactamente en medio de Jonás y el endocrinólogo. Solución Este ejercicio requiere de un doble ordenamiento. El primer ordenamiento de los datos debe hacerse en la mesa circular, reservando un espacio, simétricamente, para cada ocupante. El segundo ordenamiento debe ser un cuadro de doble entrada en el que podamos combinar los nombres de los personajes con sus especialidades médicas. Considerando el dato que aparece en negritas y subrayado, los diagramas deben ser como aparecen a continuación.

____________________________________________________________________________________


219

E F G H I J Dermatología no

Endocrinología no Psiquiatría no Oncología no

Neonatología no Cardiología no

También, debemos tener presente, en este ejercicio, qué datos deben colocarse antes o después en nuestros gráficos, pues, a veces, un dato solo puede aclararse una vez que otro se ha incluido en el diagrama. Luego de colocar todos los datos, el resultado debe ser el siguiente:

E F G H I J Dermatología no no no sí no no

Endocrinología sí no no no no no

Psiquiatría no no no no sí no

Oncología no no sí no no no

Neonatología no no no no no sí

Cardiología no sí no no no no 94. ¿Quién es el psiquiatra?

(A) Ernesto (B) Federico (C) Gerardo (D) Horacio (E) Ildefonso

Clave: E

95. ¿Qué especialidad tiene Gerardo?

(A) Dermatología (B) Endocrinología (C) Psiquiatría (D) Oncología (E) Neonatología

Clave: D

E: endocrinología G: oncología

I: psiquiatría H: dermatología

F: cardiología J: neonatología

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220

96. ¿Qué especialidad tiene Horacio?

(A) Dermatología (B) Endocrinología (C) Psiquiatría (D) Oncología (E) Neonatología

Clave: A

97. ¿Dónde se sentó el oncólogo?

(A) Frente a Gerardo (B) A la izquierda de Ernesto (C) A la derecha del psiquiatra (D) Frente a Horacio (E) Frente al neonatólogo

Clave: E

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 98-100 Lorena, Milena, Nadia, Olga y Patricia viven en un distrito limeño diferente cada una: Comas, Santa Rosa, Villa El Salvador, San Juan de Miraflores y Los Olivos, aunque no en ese orden . Además, cada una tiene una profesión diferente: medicina, administración, contabilidad, ingeniería y arquitectura, pero no necesariamente en ese orden. Se sabe lo siguiente: � Lorena, Olga y la que vive en Villa El Salvador siempre quisieron ser médicos, pero no

podían hacer una carrera tan larga. � Milena y la contadora estudiaron en la misma universidad que la que vive en Comas. � Nadia y Olga nunca han vivido en Comas y son muy amigas de la contadora. � La que vive en Comas es administradora. � La que vive en San Juan de Miraflores y Nadia estudiaron en el mismo colegio que la

ingeniera. � Olga y la que vive en Los Olivos son amigas de la arquitecta. Solución Este ejercicio se parece al anterior en el que debíamos ordenar la información en un cuadro de doble entrada; sin embargo, se diferencia en que no hay una mesa circular y, a cambio de ello, hay un tipo de datos adicional, además de personajes y profesiones: distritos en los que viven. Por ello, el cuadro en el que deberemos colocar, uno a uno, los datos tendrá que ser uno como el siguiente, considerando el dato que aparece subrayado y en negritas:

____________________________________________________________________________________


221

L M N O P Medic Adm. Cont. Ing. Arq.

Comas no

Sta. Rosa no Villa El

Salvador no

Sn. Juan Mirafl.

no

Los Olivos no

Medicina

Administración

Contabilidad

Ingeniería

Arquitectura Una vez que hemos diseñado el gráfico, podemos, ahora, ir colocando los datos según el orden que sea posible e ir descartando qué personajes viven en qué distrito y qué profesión tienen. De esta manera, al final, el gráfico debe quedar como sigue: L M N O P Medic Adm. Cont. Ing. Arq.

Comas no no no no sí no sí no no no

Sta. Rosa no no no sí no no no no sí no Villa El

Salvador no sí no no no no no no no sí

Sn. Juan Mirafl.

sí no no no no no no sí no no

Los Olivos no no sí no no sí no no no no

Medicina no no sí no no

Administración no no no no sí

Contabilidad sí no no no no

Ingeniería no no no sí no

Arquitectura no sí no no no 98. ¿Quién vive en Comas?

(A) Lorena (B) Milena (C) Nadia (D) Olga (E) Patricia

Clave: E

99. ¿Dónde vive la arquitecta?

(A) En Comas (B) En Santa Rosa (C) En Villa El Salvador (D) En San Juan de Miraflores (E) En Los Olivos

Clave: C

_____________________________________________________________________________________


222

100. ¿Quién es la ingeniera?

(A) Lorena (B) Milena (C) Nadia (D) Olga (E) Patricia

Clave: D

____________________________________________________________________________________


223

V. PRUEBA TIPO

_____________________________________________________________________________________


224

V. PRUEBA TIPO 5.1 PRUEBA TIPO DE APTITUD NUMÉRICA 1. Al realizarse una encuesta entre los alumnos de quinto año de un colegio, se sabe que: ½ de

los alumnos postulan a la universidad A, 7/12 de los alumnos postulan a la universidad B, 1/6 de los alumnos postulan a las dos universidades y 35 alumnos aún no deciden dónde postular. ¿Cuántos alumnos estudian en el quinto año de dicho colegio?

(A) 220 (B) 250 (C) 300 (D) 420 (E) Ninguna de las anteriores

2. Se desea colocar postes igualmente espaciados en el perímetro de un terreno rectangular de

280 m de largo por 120 m de ancho. Si se sabe que debe colocarse un poste en cada esquina y el número de postes debe ser el menor posible, determínese el número total de postes por colocar.

(A) 24 (B) 20 (C) 48 (D) 40 (E) 18

3. En una fábrica embotelladora, se tienen 3 máquinas (A, B y C). Por cada 7 botellas que

produce la máquina A, la máquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que produce la máquina B, la máquina C produce 2. En un día, la máquina A produjo 4400 botellas más que C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día?

(A) 2000 (B) 4000 (C) 6000 (D) 3000 (E) 8000

4. Un galón de pintura, cuyo costo es de S/.30 por galón, permite dar una mano de pintura a un

área de 36 m2. Si se desea pintar las paredes de una habitación rectangular, de 5 m de largo, 4 m de ancho y 3 m de altura, se pide determinar cuánto se gastará en pintura, considerando que se aplicarán dos manos de pintura.

(A) S/.60 (B) S/.75 (C) S/.45 (D) S/.90 (E) S/.120

5. ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es los 3/5 de lo que falta por transcurrir?

(A) 8 a. m. (B) 9 a. m. (C) 10 a. m. (D) 3 p. m. (E) 9 p. m. 6. Se han disuelto 100 gramos de un refresco en sobre en 1000 ml de agua. ¿Cuántos gramos

hay que agregar para que, por cada 7 gramos de refresco, haya 40 ml de agua?

(A) 7,5 (B) 75 (C) 100 (D) 175 (E) 275 7. Una llave llena un depósito en 2 horas y otra llave lo vacía en 3 horas. ¿En qué tiempo se

llenará el depósito si las dos llaves se abren a la vez?

(A) 6 horas (B) 5 horas (C) 4 horas (D) 8 horas (E) 12 horas 8. La facultad de Ingeniería de una universidad ofrece dos carreras: Ingeniería civil e Ingeniería

de sistemas. Actualmente, la facultad tiene 400 estudiantes, de los cuales 250 son hombres, 120 siguen Ingeniería civil y 110 mujeres siguen Ingeniería de sistemas. ¿Cuántos hombres en la facultad estudian la carrera de Ingeniería civil?

(A) 40 (B) 80 (C) 100 (D) 110 (E) Faltan datos.

9. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar una obra en 12 días. Al cabo de 8

días, solo ha hecho los 3/5 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrá que reforzarse la cuadrilla para terminar la obra en el plazo previsto?

(A) 5 (B) 10 (C) 8 (D) 20 (E) 12

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225

10. Un vendedor tiene entre 600 y 800 naranjas. Si se puede agruparlas de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24 sin que sobre alguna, ¿cuántas naranjas tiene el vendedor?

(A) 640 (B) 680 (C) 720 (D) 760 (E) 800

Analice la siguiente tabla y responda las preguntas que vienen a continuación.

[Tabla tomada de © http://www.ebj-prof.com/DESCUBRIR/pateras/estadisticas/stat2.jpg (10.03.08; 15:10 h)] 11. ¿En qué porcentaje se ha incrementado la entrada de inmigrantes en Francia entre los

años 2000 y 2004?

(A) 49,27 (B) 42,25 (C) 50,64 (D) 62,36 (E) 56,68 12. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones se puede(n) inferir de los datos presentados en la

tabla?

I. En todos los países, se incrementó el número de inmigrantes desde el año 2000 al año 2004.

II. Francia y Reino Unido son los únicos países que muestran un incremento creciente y continuo de inmigrantes desde el año 2000 hasta el año 2004.

III. El año 2004, decreció el número de inmigrantes en la mayoría de países de la OCDE con respecto al año anterior.

IV. Reino Unido mostró un ingreso de inmigrantes con fluctuaciones ascendentes y descendentes del año 2000 al 2004.

(A) Solo I (B) Solo II y III (C) Solo III (D) Solo IV (E) Solo II

13. ¿Cuál es el promedio de inmigrantes (en miles) que ingresaron en Alemania del año 2001

al año 2004?

(A) 639,3 (B) 643,5 (C) 651,1 (D) 628,4 (E) 659,4 14. Una compañía que construye y vende escritorios tiene gastos generales semanales,

incluyendo salarios y costos de la planta, de US$ 3400. El costo de los materiales para cada escritorio es US$ 40 y se venden a US$ 200 cada uno. ¿Cuántos escritorios deben fabricarse y venderse cada semana para garantizar utilidades?

(A) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 22 (E) 23

_____________________________________________________________________________________


226

15. Si: a # b = a (a + b), hállese el valor de m en la siguiente expresión: m + (4 # 3) = 3 # 4

(A) – 7 (B) 0 (C) 7 (D) 49 (E) – 49

16. Si 124a 3 6a

−−= , calcúlese:

3

a

2a

(A) 1/3 (B) 9 (C) 8 (D) 1/4 (E) 1/2

17. Un tren de carga que va a 40 km/h es seguido 4 horas después por un tren de pasajeros

que va a 60 km/h. ¿A qué distancia del punto de partida el tren de pasajeros alcanzará al tren de carga?

(A) 160 km (B) 240 km (C) 320 km (D) 400 km (E) 480 km

18. La relación entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2. Se sabe que, dentro de

8 años, dicha relación será 5/4. ¿Cuál es la edad actual de la hermana menor?

(A) 4 años (B) 6 años (C) 8 años (D) 10 años (E) 12 años 19. A una función de cine han asistido 400 personas entre adultos y niños. Cada niño ha

pagado una entrada de S/.8 y cada adulto S/.12. Si la recaudación total es S/.3760, ¿cuántos niños han asistido a la función de cine?

(A) 140 (B) 180 (C) 220 (D) 260 (E) 300

20. Factorizar (x + 2y)2 - (x – 3y)2

(A) y (2x + 5y) (B) – y (2x + 5y) (C) x (2x + 5y) (D) – x (2x + 5y) (E) – y (5x + 2y)

21. Simplifíquese

32xx14x

1x3

1x2x

2

2

−+−

++

−+

(A) 1x3x

−+

(B) 1x3x

−−

(C) 1x3x

++

(D) 1x3x

+−

(E) 3x1x

+−

22. La suma de las raíces de la ecuación 1x

161

x41

+=−

− es:

(A) – 11 (B) – 9 (C) 9 (D) 11 (E) 13

23. Calcúlese el valor de x en: 3x

94

x =

(A) 4/3 (B) 2/9 (C) 1/3 (D) 4/9 (E) 2/3

24. Resuélvase el sistema:

=+=−

53y2x2y3x

Dese como respuesta la suma de las raíces.

(A) 4 (B) 5 (C) 3 (D) 6 (E) 2

____________________________________________________________________________________


227

25. El conjunto solución de 53x

63x =

+++ es {a, b}. Hállese a2 + b2.

(A) 36 (B) 37 (C) 16 (D) 17 (E) 7

26. A, B, C y D son cuatro puntos consecutivos y colineales; M y N son los puntos medios de

los segmentos AB y CD respectivamente. Calcúlese la longitud del segmento MN si: AC = 15 cm y BD = 25 cm.

(A) 10 cm (B) 15 cm (C) 20 cm (D) 25 cm (E) 30 cm

27. Hállese el ángulo x mostrado en la figura.

(A) 100° (B) 110° (C) 120° (D) 130° (E) 150° 28. Los segmentos que unen el baricentro de un triángulo isósceles con los extremos de la

base del triángulo miden 25 m y la distancia del baricentro al vértice opuesto es 14 m. Hállese la medida de la base del triángulo.

(A) 24 m (B) 36 m (C) 48 m (D) 60 m (E) 72 m

29. En un trapecio, la relación entre el segmento que une los puntos medios de las diagonales

y la mediana es 3/5. Calcúlese la relación que existe entre las bases del trapecio (base menor (b) / base mayor (B)).

(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/6 (D) 1/5 (E) 1/4

30. En un trapecio rectangular, las bases miden 23 u y 7 u y la altura del trapecio mide 20 u. A

una distancia de 5 u de la base mayor, se traza un segmento paralelo a las bases. Hállese la medida de dicho segmento.

(A) 17 u (B) 18 u (C) 19 u (D) 20 u (E) 21 u

31. En el cuadrilátero ABCD mostrado, se sabe que: m ∠A = 45°, m ∠B = 172°, m ∠C = 83°.

Si AB = 25 cm y BC = 5 cm, hállese la medida de CD .

(A)3

316 cm (B)

338

cm (C) 36 cm (D) 34 cm

(E) Ninguna de las anteriores

5A 2A

x

A

B

C

D

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32. El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 10 cm. Calcúlese el perímetro del triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia.

(A) 65 cm (B) 615 cm (C) 35 cm (D) 315 cm (E) 30 cm 33. El terreno rectangular mostrado tiene por largo a y por ancho b. ¿A qué distancia x debe

ubicarse el extremo del segmento de recta que divida la región en dos áreas proporcionales a 3 y 2?

(A) a/6 (B) a/4 (C) a/5 (D) a/3 (E) a/2 34. Hállese la relación del área sombreada al área no sombreada en el rectángulo mostrado.

(A) 1/2 (B) 3/4 (C) 3/2 (D) 1/1 (E) 7/8 35. Calcúlese el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero, el cual, a su vez, está

inscrito en una circunferencia de longitud igual a 4π m.

(A) 2 m2 (B) 4 m2 (C) π m2 (D) 2π m2 (E) 3 m2

a

b

x

3A

2A

3 4 3

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229

5.2 PRUEBA TIPO DE APTITUD VERBAL ANALOGÍAS 36. ARMISTICIO : CONFLICTO : : (A) Interrupción : pelea (B) Suspensión : riña (C) Tregua : guerra (D) Paz : lucha (E) Negociación : transacción 37. INTENSIDAD : DEBILIDAD : : (A) Potencial : imaginario (B) Futuro : presente (C) Ficticio : tocable (D) Inexistente : real (E) Rigurosidad : flexibilidad 38. MONTAÑA : TIERRA : : (A) Remolino : río (B) Lluvia : aire (C) Tormenta : nubes (D) Brisa : humedad (E) Mar : agua 39. OFICIO : CARPINTERO : : (A) Ocupación : gasfitería (B) Empleo : recibir (C) Cargo : preparación (D) Profesión : ingeniero (E) Servicio : comercio 40. DESOCUPADO : EMPLEO : : (A) Irresponsable : responsabilidad (B) Desarreglado : arreglo (C) Desinformado : información (D) Desempleado : trabajo (E) Inmaduro : madurez 41. AVE : PICO : : (A) Marsupial : bolsa (B) Mamífero : hocico (C) Pez : agallas (D) Reptil : colmillo (E) Insecto : aguijón

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SERIES DE PALABRAS 42. Señale la serie cuyos términos no establezcan una relación adecuada. (A) Triciclo, bicicleta, monopatín (B) Solar, lunar, estelar (C) Televisor, radiorreceptor, estación (D) Rosa, geranio, tulipán (E) Papaya, melón, sandía 43. Seleccione la serie de palabras incorrecta. (A) Vid, uva, viñedo (B) Membrillero, membrillo, membrillar (C) Manzano, manzana, manzanar (D) Limonero, limón, limonar (E) Naranjo, naranja, naranjero 44. Seleccione la serie que no se corresponda, por su progresión, con las demás. (A) Juguete – niño – diversión (B) Martillo – carpintero – trabajo (C) Arma – vigilante – defensa (D) Almuerzo – obrero – alimentación (E) Estampilla – filatelista – pasatiempo SIGNIFICADO DE PALABRA O FRASE 45. Marque la expresión que no pueda reemplazar la frase que está resaltada en negrita

porque cambia el sentido de la oración. Los delincuentes lo asesinaron por un ajuste de cuentas . (A) una deshonestidad (B) una traición (C) una deslealtad (D) un error (E) una infidelidad 46. Señale cuál de las opciones no puede reemplazar la palabra subrayada de la siguiente

frase sin cambiarle el sentido. En pleno accidente, los vecinos auxiliaron a los damnificados. (A) ayudaron (B) socorrieron (C) defendieron (D) asistieron (E) remediaron 47. Dada la frase siguiente: Debemos obrar como hombres de pensamiento; debemos pensar como hombres de acción. La mejor interpretación es que (A) debemos pensar antes de actuar y comportarnos de forma valiente. (B) es mejor meditar antes que actuar de forma apresurada e irreflexiva.

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(C) lo correcto es actuar, aunque no se haya meditado lo suficiente. (D) los actos deben ser meditados y los pensamientos deben llevar a la actuación. (E) es menos importante ser una persona reflexiva que ser una persona que actúa. 48. Señale cuál de las palabras no puede reemplazar la palabra subrayada en la oración sin

que le cambie el sentido completamente. La señora no falleció hasta que vio a su familia. (A) murió (B) desfalleció (C) pereció (D) feneció (E) expiró ORACIONES INCOMPLETAS 49. La ignorancia afirma o niega rotundamente; la ciencia .................... . (A) informa (B) relata (C) avanza (D) duda (E) reafirma 50. Conviertan el árbol en leña, y podrá arder y dar calor, pero ya no producirá ni ….................

ni .................... . (A) flores – frutos (B) paz – bien (C) alegría – risas (D) naranjas – manzanas (E) ramas - hojas 51. La .................... solo tiene importancia en la medida en que nos hace reflexionar sobre el valor de la vida. (A) verdad (B) patología (C) desgracia (D) guerra (E) muerte 52. Todos los hombres estamos hechos del mismo …................., pero no del mismo .................... . (A) origen – destino (B) sentimiento – valor (C) barro – molde (D) presente – futuro (E) ser – tiempo 53. Todo hombre es como la Luna: posee una cara …….............. que a nadie .................... . (A) oscura – importa (B) oculta – muestra (C) siniestra – favorece (D) terrible – descubre (E) distante – enseña

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54. Ningún hombre es una isla, algo completo en sí mismo; todo hombre es un fragmento del

continente, una parte de un …….............. . (A) conjunto (B) vivir (C) presente (D) transcurso (E) futuro ELIMINACIÓN DE UNA IDEA 55. Señale la información que se puede eliminar sin que ello afecte el sentido del tema central. (A) El Estado incaico estaba bien organizado en sus distintos niveles. (B) Desde el Cusco, el Inca enviaba a sus funcionarios para que controlen el poder de los

señores locales. (C) Desde el punto de vista económico, los pueblos conquistados producían para ellos y para

el Estado. (D) Los incas permitieron las manifestaciones culturales distintas de las suyas. (E) Los españoles llegaron en el momento de mayor expansión del Estado incaico. 56. Señale aquella información que puede eliminarse sin que afecte el sentido que forman las demás. (A) Preparación del lienzo (B) Elección de los tintes (C) Selección de los pinceles (D) Elaboración del boceto (E) Búsqueda de la inspiración 57. Señale aquella información que puede eliminarse sin que afecte el sentido que forman las

demás. (A) Las telas de araña se tejen en los árboles de los jardines. (B) Las telas de araña tienen usos y características particulares. (C) Las telas de araña sirven para atrapar insectos. (D) Las telas de araña tienen la propiedad de ser bastante resistentes y elásticas. (E) Las telas de araña sirven como escondite para estos arácnidos. ORDENAMIENTO DE IDEAS 58. Ordene la siguiente información, desde un punto de vista lógico, sobre las clases de piano

para niños. a. El niño debe mostrar algunas cualidades musicales. b. El niño debe tener cierto interés en recibir clases de piano. c. Los padres deben participar en las clases del niño. d. Los padres deben participar en la práctica constante del instrumento. e. Los niños deben tener un horario de práctica con el instrumento.

(A) b, a, e, c, d (B) a, b, d, c, e (C) a, b, c, d, e (D) a, b, c, e, d (E) a, b, e, c, d

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59. Establezca el orden adecuado de los siguientes enunciados de manera que formen un texto coherente.

I. Pachacútec, convertido en Inca, conquistó la meseta del Collao, Arequipa, el valle del

Mantaro, Lima, entre otros territorios, además de a los chancas (icas), y organizó el Tahuantinsuyo.

II. Frente a las ruinas del viejo templo solar, el Inticancha, el general Yupanqui imploró su ayuda al dios Sol, el cual convirtió a las piedras que rodeaban la ciudad en soldados (conocidos como pururaucas) y estos derrotaron a los enemigos, los chancas.

III. Los chancas atacaron y destruyeron el Cusco, tras de lo cual Viracocha huyó. IV. La gente aclamó a Yupanqui como su nuevo inca y este asumió el cargo con el nombre de

Pachacútec (‘el que transforma el mundo’). V. Cuenta la leyenda que eran años en que gobernaba el inca Viracocha cuando

aparecieron, rodeando la ciudad del Cusco, los chancas, un pueblo muy belicoso de la sierra central del Perú.

(A) II, IV, III, V, I (B) III, II, IV, I, V (C) V, III, II, IV, I (D) I, V, III, II, IV (E) V, IV, III, II, I 60. Establezca el orden adecuado en los siguientes enunciados de manera que formen un

conjunto de ideas lógico y coherente.

a. El propósito de enmienda es fundamental para confesar, con seriedad, los errores propios. b. El reconocimiento de los errores es importante para saber que se ha actuado mal. c. El arrepentimiento es el momento del pesar por lo mal actuado. d. La confesión pone de manifiesto la honestidad y humildad para reconocer ante otra

persona que no se ha obrado rectamente. (A) b, c, a, d (B) c, b, a, d (C) c, b, d, a (D) b, c, d, a (E) a, b, c, d COMPRENSIÓN DE LECTURA Texto 1 El anuncio de un equipo de investigadores canadienses que ha conseguido descifrar el código genético del virus sospechoso de haber provocado el síndrome respiratorio agudo severo (SRAS) se ha convertido en un importante primer paso para desarrollar pruebas diagnósticas y tratamientos para esta mortífera enfermedad. También, constituye el último escalón de una carrera científica sin descanso por dar con el culpable de esta pandemia global. El genoma parece ser el de un coronavirus «completamente nuevo», una nueva cepa, una mutación de alguno de los tres microorganismos conocidos hasta ahora. Este virus, nunca detectado en humanos, podría ser el cuarto. El Dr. Marco Marra, director del Centro de Ciencias Genóminas de la Agencia Oncológica canadiense, explica que el virus es más grande que los identificados hasta ahora: «No se parece a un coronavirus más que a otro», dice. Según el Instituto Genómico de Pekín, la secuencia genética de muestras recogidas en la China continental presenta diferencias con las recogidas en Canadá. Los miembros de esta familia de microorganismos son responsables, también, del resfriado común y de otras enfermedades respiratorias leves.

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Los especialistas mantienen la hipótesis de que las alteraciones genéticas que dan lugar a microorganismos completamente nuevos se deben al paso de los patógenos por animales, una teoría que cuenta, también, con muchos partidarios en el caso de la neumonía asiática, ya que la mayoría de las cepas identificadas del coronavirus infectan a animales. De hecho, ya existen precedentes de este tipo en la zona. En 1997, se produjo, en Hong Kong, un conato de una forma nueva del virus que afectó a las aves y se bautizó como la gripe de los pollos. La alarma culminó con el sacrificio de miles de estos animales para evitar el salto del nuevo patógeno al humano. Sin ir más lejos, el año pasado, se aisló otra variante nueva, que apareció en unos pájaros (en Hong Kong) y que, pronto, demostró su potencial letal en humanos. Desde la Organización Mundial de la Salud (OMS), se alaba la velocidad con la que se ha secuenciado el genoma de este microorganismo, teniendo en cuenta que hace tan solo tres semanas se identificó el coronavirus como la posible causa de la enfermedad. No hay que olvidar que llevó varios años encontrar el virus que provocó el sida. Sin embargo, los científicos aún se muestran cautos ante este descubrimiento y recuerdan que es «un borrador y, probablemente, todavía puede contener algunos errores». De hecho, desde la aparición de los primeros casos, son muchas las teorías enunciadas y publicadas en prestigiosas revistas médicas que han ido quedando obsoletas a medida que avanzaban las investigaciones. Desde el Ministerio de Sanidad canadiense, por ejemplo, se advierte que este coronavirus podría no ser la única causa de la enfermedad. [Adaptado de © http://www.elmundo.es/documentos/2003/04/neumonia/mutante.html (28.02.08; 18:27 h)] 61. ¿Cuál de los siguientes es el mejor título para el texto anterior? (A) La identificación de los virus de la gripe (B) El ADN, las proteínas y la aparición de virus mutantes (C) El paso de las enfermedades de animales a los humanos (D) Estudio e identificación del virus del SRAS (E) La estructura genética del virus de la gripe 62. A partir de la siguiente expresión, que se encuentra en el segundo párrafo del texto

anterior:

«El genoma del virus SRAS parece ser el de un coronavirus ”completamente nuevo“, una nueva cepa, una mutación de alguno de los tres microorganismos conocidos hasta ahora».

Se puede deducir que I. el virus del SRAS pertenece a la familia de los coronavirus. II. se conocerían cuatro coronavirus en la actualidad. III. el virus del SRAS es el resultado de la mutación de un virus que no se conocía. (A) Solo I (B) Solo I y II (C) Solo II y III (D) Solo III (E) I, II y III 63. No se sigue del texto anterior: (A) SRAS significa síndrome respiratorio agudo severo. (B) La secuenciación del genoma del SRAS se ha tardado un tiempo relativamente muy

corto. (C) El Ministerio de Sanidad canadiense sostiene que el coronavirus estudiado podría no ser

la única causa de la enfermedad.

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(D) Genoma, virus y cepa son expresiones sinónimas. (E) Existen hipótesis acerca de que las mutaciones genéticas se deben al paso de los

patógenos por animales. 64. En el segundo párrafo del texto, se afirma lo siguiente:

«El Dr. Marco Marra (...) explica que el virus es más grande que los identificados hasta ahora: ”No se parece a un coronavirus más que a otro”, dice».

De esta expresión, se puede deducir que I. el coronavirus del SRAS es más grande que los otros coronavirus conocidos. II. el coronavirus del SRAS es igual de diferente a cualquiera de los otros. III. los tres coronavirus restantes son exactamente iguales entre sí. (A) Solo I (B) Solo I y II (C) Solo II y III (D) Solo III (E) I, II y III 65. En el texto anterior, en la última línea del primer párrafo, la frase pandemia global quiere

decir (A) enfermedad que afecta al mundo entero (B) virus de la SRAS (C) estudio de los virus mutantes (D) enfermedad mortífera (E) progreso científico Texto 2 El control de Jammu y Cachemira ha provocado dos de las tres guerras (1947, 1965 y 1971) que han librado la India y Pakistán desde su independencia. Hace ya casi seis décadas, grupos separatistas propaquistaníes combaten con las fuerzas indias en plena cordillera del Himalaya, a más de 6000 metros sobre el nivel del mar. El conflicto ha adquirido una nueva dimensión en los últimos años, ya que ambos países, potencias atómicas en «igualdad de condiciones» desde 1998 —la India ya había realizado su primera prueba nuclear en 1974—, han hecho continuas demostraciones de fuerza frente a su rival. Tras la división de la India colonial en 1947 en dos Estados, la India y Pakistán, ambos reclamaron el control de Cachemira, paso estratégico a través del Himalaya a todo el subcontinente. Según el acuerdo de partición, los principados de la India británica podrían decidir su anexión a uno u otro Estado según sus características geográficas, étnicas y religiosas. El marajá hindú de Cachemira, a pesar de que la mayoría de sus súbditos eran musulmanes, recurrió a Nueva Delhi para frenar a las guerrillas paquistaníes y, el 27 de octubre de 1947, firmó su adhesión «provisional» a la Unión India. El Gobernador británico recomendó que la incorporación definitiva se realizara tras un plebiscito que nunca ha llegado a celebrarse. El conflicto acababa de empezar. La primera guerra indo-paquistaní terminó en enero de 1949 con más de un millón de muertos. La ONU trazó, entonces, una línea de armisticio que dividía la región en dos (Azad Cahemira, al norte, controlada por Pakistán; y Jammu y Cachemira, al sur, bajo gobierno indio), a la espera del plebiscito. Sin embargo, en 1957, la India se anexionó «su» zona. Por si fuera poco, en 1962, China ocupó la región budista de Aksai-Chin. En 1965, las continuas reclamaciones soberanistas provocaron una segunda guerra. La tercera ocurrió en 1971 en el Pakistán oriental que, apoyado por Nueva Delhi, se independizó como Bangladesh. En 1971, una nueva Línea de Control (LOC) establecía ciertos cambios sobre la

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de 1949. No obstante, ninguno de los dos países ha respetado el compromiso de alto el fuego y de búsqueda de diálogo sellado en el acuerdo de Simla (1972). El fundamentalismo islámico aparece en escena a finales de 1989. Los independentistas, agrupados en la alianza Hurriyat ('Libertad') —en la que destaca el Frente de Liberación de Jammu y Cachemira (JKLF)—, combaten con los grupos propaquistaníes, encabezados por Hizb-ul Muyahidin ('Combatientes de Dios'), y ambos se enfrentan, a su vez, al Gobierno de Nueva Delhi, que acusa a Islamabad de alentar, entrenar y financiar a los terroristas islámicos que operan en la Línea de Control. En 1998, la India realizó hasta cinco pruebas nucleares, contestadas por otras tantas desde Pakistán. Las continuas escaramuzas en la frontera y los ensayos nucleares de ambas potencias, que estuvieron a punto de desembocar en una nueva guerra en 1999 y en 2002, hacen de Jammu y Cachemira uno de los puntos más calientes del planeta. [Adaptado de © Aparcicio, Sonia. Una bomba de relojería en el Himalaya. Tomado de http://www.elmundo.es/documentos/2003/04/guerras_olvidadas/cachemira.html (28.02.08; 18:42 h)] 66. ¿Cuál de los siguientes es el mejor título para el texto anterior? (A) El conflicto indo-pakistaní por el control de Jammu y Cachemira (B) La guerra indo-pakistaní y el papel de la ONU (C) La independencia de la India británica del principado inglés (D) El podería militar de la India y Pakistán y la guerra de Cachemira (E) La historia de los conflictos en la antigua India británica

67. A partir de la expresión siguiente, que se encuentra en el tercer párrafo del texto anterior:

«La ONU trazó, entonces, una línea de armisticio que dividía la región en dos (Azad Cahemira, al norte, controlada por Pakistán; y Jammu y Cachemira, al sur, bajo gobierno indio), a la espera del plebiscito. Sin embargo, en 1957, la India se anexionó “su” zona».

Se puede deducir que

I. la ONU intervino en el conflicto Indo-Pakistaní a favor de la independencia de Jammu y Cachemira.

II. la India anexionó Azad Cachemira para su territorio en 1957. III. la zonas controladas por los gobiernos indio y pakistaní pertenecían a la ONU.

(A) Solo I (B) Solo I y II (C) Solo II y III (D) Solo III (E) Ninguna de las anteriores se puede deducir. 68. No se sigue del texto anterior:

(A) En 1971, una zona del Pakistán oriental, apoyada por Nueva Delhi, se independizó como

Bangladesh. (B) El Gobierno de Nueva Delhi acusa a Islamabad de alentar, entrenar y financiar a los

terroristas islámicos que operan en la Línea de Control. (C) En el acuerdo de Simla, de 1972, la India y Pakistán se comprometieron a un alto el fuego y

a la búsqueda de un diálogo. (D) Los grupos propaquistaníes se encuentran encabezados por Hizb-ul Muyahidin

('Combatientes de Dios'). (E) El marajá hindú de Cachemira firmó, el 27 de octubre de 1947, su adhesión «provisional» a

Pakistán.

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69. En el segundo párrafo del texto, se afirma lo siguiente:

«El Gobernador británico recomendó que la incorporación definitiva se realizara tras un plebiscito que nunca ha llegado a celebrarse».

De esta expresión, se puede deducir que I. la incorporación de Cachemira a la India debía legitimarse con un plebiscito. II. Cachemira es controlada por gobernadores británicos. III. Cachemira, según los ingleses, debe pertenecer, necesariamente, a Pakistán. (A) Solo I (B) Solo I y II (C) Solo II y III (D) Solo III (E) I, II y III 70. En el primer párrafo del texto anterior, la frase igualdad de condiciones quiere decir que (A) Pakistán es menos poderoso que la India. (B) tanto Pakistán como la India son potencias nucleares. (C) el poderío nuclear de Pakistán y de la India son similares. (D) las dos ex colonias inglesas son tratadas por igual por la ONU. (E) ambos países, la India y Pakistán, tienen los mismos derechos por Jammu y Cachemira.

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5.3 PRUEBA TIPO DE HABILIDAD LÓGICO-ANALÍTICA 71. Dadas las siguientes afirmaciones: � Todo artista es creativo. � Nadie que sea creativo carece de imaginación.


(A) Todo artista carece de imaginación. (B) Algunos artistas carecen de imaginación. (C) Ningún artista es creativo. (D) Algunos que carecen de imaginación son artistas. (E) Nadie que carezca de imaginación es artista.

72. Dadas las siguientes afirmaciones: � Ningún ser vivo es eterno. � Todo lo que nace es un ser vivo.


(A) Algo que nace es eterno. (B) Algo que nace no es eterno. (C) Todo lo que nace es eterno. (D) Algunos seres vivos son eternos. (E) Nada que nace es eterno.

73. Dadas las siguientes afirmaciones: � Algunos animales domésticos son animales salvajes. � Ningún animal doméstico es un animal en peligro de extinción.


(A) Algunos animales en peligro de extinción son animales salvajes. (B) Algunos animales en peligro de extinción no son animales salvajes. (C) Algunos animales salvajes no son animales en peligro de extinción. (D) Algunos animales salvajes son animales en peligro de extinción. (E) Algunos animales domésticos son animales en peligro de extinción.

74. Dadas las siguientes afirmaciones: � Algunos problemas tienen solución. � Todo lo que tiene solución es realizable.


(A) Todo lo que es realizable tiene solución. (B) Algunas cosas realizables no tienen solución. (C) Algunas cosas realizables tienen solución. (D) Algunas cosas que tienen solución no son realizables. (E) Nada que sea realizable tiene solución.

75. Dadas las siguientes afirmaciones: � Si el vuelo se retrasa, habrá congestión en el aeropuerto o algunos pasajeros no llegarán a

tiempo a sus destinos. � Ya se ha determinado que el vuelo se retrasará.

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(A) Habrá congestión en el aeropuerto. (B) Algunos pasajeros no llegarán a tiempo a sus destinos. (C) Habrá congestión en el aeropuerto, pero algunos pasajeros sí llegarán a tiempo a sus

destinos. (D) Algunos pasajeros no llegarán a tiempo a sus destinos y sí habrá congestión en el

aeropuerto. (E) Habrá congestión en el aeropuerto o algunos pasajeros no llegarán a tiempo a sus

destinos. 76. Dadas las siguientes afirmaciones: � Si hay humedad y la temperatura es baja, los niños no saldrán de paseo. � Pero los niños sí saldrán de paseo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente?

(A) No hay humedad. (B) La temperatura es alta. (C) No hay humedad, pero la temperatura es baja. (D) No hay humedad o la temperatura no es baja. (E) Hay humedad, pero la temperatura no es baja.

77. Dadas las siguientes afirmaciones: � Si la fiebre persiste, entonces debe aplicarse un antibiótico. � Si debe aplicarse un antibiótico, entonces el paciente deberá permanecer en cama. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se concluye de ellas necesariamente?

(A) Si el paciente debe permanecer en cama, la fiebre persiste. (B) Si debe aplicarse un antibiótico, la fiebre persiste. (C) Si la fiebre persiste, el paciente debe permanecer en cama. (D) Si el paciente debe permanecer en cama, debe aplicarse un antibiótico. (E) El paciente debe permanecer en cama.

78. Dadas las siguientes afirmaciones: � O el testigo está en lo cierto y el acusado es inocente, o la evidencia está equivocada. � Pero se sabe ya que la evidencia no está equivocada.


(A) El testigo no está en lo cierto. (B) El acusado no es inocente. (C) El acusado no es inocente, pero el testigo está en lo cierto. (D) El testigo no está en lo cierto, pero el acusado es inocente. (E) El testigo está en lo cierto y el acusado es inocente.

79. Analice los siguientes argumentos y determine cuál de ellos es el más sólido.

(A) Juan es el mejor alumno de la clase, porque su colegio es el mejor colegio del distrito. (B) Juan es el mejor alumno de la clase, porque el párroco de mi iglesia así lo cree. (C) Juan es el mejor alumno de la clase, porque es el que siempre obtiene las mejores

notas. (D) Juan es el mejor alumno de la clase, porque el mejor alumno de la clase es él. (E) Juan es el mejor alumno de la clase, porque sus padres y sus hermanos siempre

fueron buenos estudiantes.

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80. Analice los siguientes argumentos y determine cuál de ellos es el menos sólido.

(A) Algunas aves de corral pueden volar. Nada que pueda volar es un animal terrestre. Por tanto, algunas aves de corral no son animales domésticos.

(B) Todas las figuras geométricas tienen área. Algunas figuras geométricas no tienen volumen. Por tanto, algunas cosas que tienen área no tienen volumen.

(C) Nada que sea demostrable es falso. Todo lo que se verifica experimentalmente es demostrable. Por tanto, nada que se verifique experimentalmente es falso.

(D) Ninguna película de terror es cómica. Algunas películas de terror son de suspenso. Por tanto, algunas películas de suspenso no son cómicas.

(E) Todas las patas tienen alas. Todas las mesas tienen patas. Por tanto, algunas mesas tienen alas.

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 81-84 Siete ciclistas partieron de la playa La Herradura con dirección hacia el Callao. Al respecto, se sabe lo siguiente: � Karina llegó a la meta antes que Fiorella, pero después que Grecia. � Irina llegó a la meta después que Lorena, pero antes que Juana. � Fiorella llegó a la meta antes que Lorena, pero después que Hortensia. 81. ¿Quién llegó en último lugar?

(A) Juana (B) Irina (C) Karina (D) Grecia (E) Hortensia

82. ¿Quién llegó en cuarto lugar?

(A) Hortensia (B) Lorena (C) Fiorella (D) Karina (E) Grecia

83. ¿Quiénes pudieron haber llegado en tercer lugar?

(A) Fiorella o Lorena (B) Lorena o Grecia (C) Irina o Fiorella (D) Irina o Grecia (E) Hortensia o Karina

84. ¿Qué dato se necesita para determinar quién llegó a la meta en primer lugar?

(A) Fiorella llegó a la meta después que Karina. (B) Grecia llegó a la meta antes que Karina. (C) Hortensia llegó a la meta antes que Karina. (D) Grecia llegó a la meta antes que Hortensia. (E) Fiorella llegó a la meta después que Karina.

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INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 85-88 Anette se encontraba perdida en el país de Los Tesoros; solo disponía de algunas indicaciones para ubicar ciertas ciudades. Se sabe lo siguiente: � Ciudad Perla estaba al sur de ciudad Diamante, al este de ciudad Oro. � Ciudad Plata estaba al norte de ciudad Diamante, al oeste de ciudad Platino. � Ciudad Platino estaba al sur de ciudad Perla, al oeste de ciudad Oro. � Ciudad Oro estaba al sur de ciudad Platino, al este de ciudad Diamante.

85. ¿Qué ciudad estaba en el extremo sur?

(A) Plata (B) Oro (C) Perla (D) Diamante (E) Platino

86. ¿Qué ciudad estaba en el extremo noroeste?

(A) Platino (B) Diamante (C) Plata (D) Oro (E) Perla

87. ¿Qué dato se necesita para determinar qué ciudad estaba en el extremo este?

(A) Ciudad Perla está al este de ciudad Diamante. (B) Ciudad Oro está el este de ciudad Plata. (C) Ciudad Platino está al oeste de ciudad Plata. (D) Ciudad Diamante está al este de ciudad Platino. (E) Ciudad Plata está al oeste de ciudad Perla.

88. Si Anette se encontrara en ciudad Perla, ¿qué dirección debería tomar para dirigirse hacia

ciudad Plata?

(A) Noroeste (B) Noreste (C) Suroeste (D) Sureste (E) Sur

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 89-92 Cinco equipos participaron en un concurso de matemáticas y lenguaje. Los nombres de los equipos eran Científicos, Numerosos, Lingüistas, Creativos y Verbales. Se sabe lo siguiente: � Los Científicos les ganaron a los Numerosos en matemáticas, pero perdieron frente a los

Lingüistas en lenguaje. � Los Verbales les ganaron a los Científicos en matemáticas, pero perdieron frente a estos

en lenguaje. � Los Lingüistas perdieron frente a los Numerosos en matemáticas y frente a los Creativos

en lenguaje. � Los Creativos les ganaron a los Científicos en matemáticas y estos últimos les ganaron a

los Numerosos en lenguaje.

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89. ¿Quiénes quedaron en último lugar en matemáticas?

(A) Los Numerosos (B) Los Lingüistas (C) Los Científicos (D) Los Verbales (E) Los Creativos

90. ¿Qué dato se necesita para determinar qué equipo ganó en matemáticas?

(A) Los Científicos les ganaron a los Numerosos en matemáticas. (B) Los Lingüistas perdieron frente a los Numerosos en matemáticas. (C) Los Verbales les ganaron a los Creativos en matemáticas. (D) Los Creativos les ganaron a los Lingüistas en matemáticas. (E) Los Científicos perdieron frente a los Verbales en matemáticas.

91. Considerando las dos competencias, matemáticas y lenguaje, ¿qué equipo perdió el

concurso?


92. Considerando las dos competencias, matemáticas y lenguaje, ¿qué equipo ganó el

concurso?


INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 93-96 Cinco parejas de esposos se reunieron para jugar cartas. Los nombres de las esposas eran Fanny, Gaby, Hilda, Inés y Jenny; los nombres de los esposos eran Lucho, Mario, Nacho, Orlando y Pablo, pero no en ese orden . Se sabe lo siguiente: � Fanny y la esposa de Mario son hermanas. � Orlando y el esposo de Jenny y el de Hilda estudiaron en el mismo colegio. � La única cuñada de Mario está casada con Pablo. � Jenny y la esposa de Nacho son amigas desde que estaban en el colegio. � Hilda y la esposa de Mario trabajan juntas. 93. ¿Quién es la esposa de Nacho?

(A) Fanny (B) Gaby (C) Hilda (D) Inés (E) Jenny

94. ¿Quién es la esposa de Lucho?

(A) Fanny (B) Gaby (C) Hilda (D) Inés (E) Jenny

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95. ¿Quién es el esposo de Inés?

(A) Lucho (B) Mario (C) Nacho (D) Orlando (E) Pablo

96. ¿Quién es el esposo de Gaby?

(A) Lucho (B) Mario (C) Nacho (D) Orlando (E) Pablo

INFORMACIÓN PARA LAS PREGUNTAS 97-100 Ocho amigas se sentaron simétricamente alrededor de una mesa circular. Sus nombres eran Marlene, Nani, Olga, Patty, Queca, Rosa, Silvia y Techi. Cada una tenía un número diferente de hijos, desde uno hasta ocho, pero no en ese orden . Se sabe lo siguiente: � La que tenía menos hijos se sentó frente a Nani, a la derecha de Techi. � Silvia se sentó a la izquierda de Queca, a la derecha de Patty. � La que tenía tres hijos se sentó a la izquierda de Techi, frente a Queca. � Marlene se sentó frente a Silvia, a la derecha de la que tenía siete hijos. � Olga se sentó frente a la que tenía dos hijos, a la derecha de Queca. � Marlene tenía, exactamente, un hijo más que Silvia y un hijo menos que Olga. 97. ¿Quién es la que tenía el mayor número de hijos?

(A) Olga (B) Patty (C) Queca (D) Rosa (E) Techi

98. ¿Cuántos hijos tenía Silvia?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

99. ¿Quién es la que tenía el menor número de hijos?

(A) Olga (B) Patty (C) Queca (D) Rosa (E) Silvia

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100. ¿Dónde se sentó Nani?

(A) A la derecha de Olga (B) A la izquierda de Olga (C) A la derecha de Marlene (D) Entre Queca y Olga (E) Entre Rosa y Marlene

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CLAVES DE RESPUESTA ÍTEM RESPUESTA ÍTEM RESPUESTA ÍTEM RESPUESTA 1. D 36. C 71. E 2. B 37. E 72. E 3. C 38. E 73. C 4. D 39. D 74. C 5. B 40. D 75. E 6. B 41. B 76. D 7. A 42. C 77. C 8. B 43. E 78. E 9. A 44. D 79. C 10. C 45. D 80. E 11. C 46. C 81. A 12. D 47. D 82. C 13. A 48. B 83. E 14. D 49. D 84. D 15. A 50. A 85. B 16. B 51. E 86. E 17. E 52. C 87. D 18. C 53. B 88. A 19. D 54. A 89. B 20. B 55. E 90. C 21. C 56. E 91. A 22. B 57. B 92. E 23. E 58. D 93. D 24. E 59. C 94. C 25. B 60. A 95. C 26. C 61. D 96. D 27. C 62. B 97. C 28. C 63. D 98. D 29. E 64. B 99. B 30. C 65. A 100. A 31. A 66. A 32. B 67. E 33. C 68. E 34. D 69. A 35. C 70. C

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VI. SUGERENCIAS SOBRE CÓMO PREPARARSE Y RENDIR LA PRUEBA DE PRONÓSTICO DE POTENCIAL

UNIVERSITARIO (PPU) ®

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VI. SUGERENCIAS SOBRE CÓMO PREPARARSE Y RENDIR LA P RUEBA DE PRONÓSTICO DE POTENCIAL UNIVERSITARIO (PPU) ®

Te presentamos, a continuación, algunas sugerencias que serán de utilidad para rendir el PPU. 6.1 Sugerencias previas a la presentación de la pru eba Para prepararte para rendir el PPU, te recomendamos seguir los siguientes pasos:

� Revisa el Cuaderno Autoinstructivo del PPU. Puedes empezar leyendo los aspectos

teóricos de las secciones de Aptitud Numérica, Aptitud Verbal y Habilidad Lógico-analítica. Puedes, también, iniciar tu lectura respondiendo la «prueba tipo» para conocer en qué aspectos requieres mayor refuerzo y, luego, revisar la parte teórica. Lo importante es identificar las áreas en las cuales requieres mayor preparación o repaso.

� Planifica tus horarios de estudio considerando el tiempo que dispones hasta la fecha del

PPU, dando prioridad a aquellos temas que consideres de mayor dificultad. Para mejorar tu desempeño en estas partes, programa ejercicios de práctica y busca materiales complementarios tales como libros, apuntes de clases, separatas, páginas web, entre otros.

� Asegúrate de entender bien el tipo de preguntas que vendrán en el PPU y cómo debes

contestarlas, así como de lo que estás estudiando. Trata de explicarlo en tus propias palabras; de nada sirve memorizar algo que no entiendes. No te des por vencido a la primera; identifica las dudas que tienes respecto del tema y pregunta a algún profesor o compañero que sea bueno en la materia.

� Para estudiar, selecciona un lugar adecuado con buena luz y ventilación, tranquilo y sin

distracciones. Para ello, debes estar en adecuadas condiciones físicas y suficientemente descansado.

� Recuerda que prepararte para el PPU te sirve, también, para mejorar tu desempeño en el

colegio y postular a cualquier universidad. 6.2 Recomendaciones para el día de la prueba Si vas a dar la prueba el día domingo, considera las siguientes recomendaciones; estas te evitarán aumentar la tensión o presión por aspectos ajenos a ella.

� Descansa y duerme lo suficiente la noche anterior. Levántate temprano para no estar

angustiado por el tiempo. Identifica rutas y tiempos para llegar con anticipación, lo cual te evitará angustias innecesarias. Es mejor estar en estado alerta y calmado, en vez de tenso y con ansiedad.

� Desayuna; es importante que tomes alimentos saludables y en cantidad suficiente. � Llega una hora antes del horario fijado para el inicio del examen; así, tendrás tiempo para

registrarte, e identificar el pabellón y la ubicación del salón en donde se llevará a cabo la prueba.

� Lleva solamente el material solicitado: lápiz #2, borrador, tajador y carné de participante. � Escucha con atención las indicaciones de los supervisores antes de cada una de las partes

de la prueba: Aptitud Numérica, Aptitud Verbal y Habilidad Lógico-analítica. Ellos te proporcionarán información importante para contestar la prueba.

Si vas a dar el PPU el día miércoles o viernes en tu colegio, considera las siguientes recomendaciones:

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� Descansa y duerme lo suficiente la noche anterior. Es importante que llegues al colegio alerta y relajado.

� Desayuna; es importante que tomes alimentos saludables y en cantidad suficiente. � Presta atención a las indicaciones que el supervisor de la UPC dará antes del inicio de la

prueba. � Compórtate de manera responsable antes del inicio de la prueba. Cualquier acto de

indisciplina puede afectarte no solo a ti sino a todo tu colegio. Mantén una actitud de respeto frente al supervisor de la UPC y a los profesores de tu colegio.

� Escucha con atención las indicaciones de los supervisores antes de cada una de las partes

de la prueba: Aptitud Numérica, Aptitud Verbal y Habilidad Lógico-analítica. Ellos te proporcionarán información importante para contestar la prueba.

� Utiliza solamente el material solicitado: lápiz #2, borrador, tajador y carné de participante. 6.3 Sugerencias para resolver la prueba � Antes de la prueba, concéntrate solamente en ella. No dejes que ideas distractoras o

perturbadoras («me va a ir mal», «me voy a poner nervioso», «que van a decir mis padres») no permitan que te enfoques completamente en la prueba.

� Durante la prueba, trata de mantenerte tranquilo y concentrado en la lectura de las preguntas.

� No trates de ser el primero o de los primeros en terminar; no te inquietes si otros terminan antes que tú. Usa todo el tiempo del que dispones para responder adecuadamente la prueba y, así, evita errores por descuido. De esta manera, puedes mejorar tus respuestas tanto como te sea posible.

� No contestes las preguntas al azar; esto puede traer malos resultados y hacerte perder puntos innecesariamente. Lo mejor es analizar cada pregunta y descartar las opciones que te parezcan inadecuadas; utiliza el tiempo para encontrar la mejor alternativa posible.

� Controla tú mismo el tiempo de duración de cada parte de la prueba para tratar de aprovecharlo de la mejor manera. Esto te ayudará a trabajar lo más rápido posible, pero sin sacrificar la exactitud por la velocidad.

� Utiliza el tiempo adecuadamente durante el examen. Revisa, rápidamente, toda la sección que toca responder (Aptitud Numérica, Aptitud Verbal y Habilidad Lógico-analítica). En cada una de ellas, hay preguntas de diferentes grados de dificultad. Si algunas te parecen especialmente difíciles, no te demores en ellas; identifícalas con una señal y continúa con las demás. Al finalizar, vuelve a ellas y trata de responderlas. No te detengas demasiado en una sola pregunta.

� Evita realizar cualquier acción que pueda ser interpretada como un acto deshonesto por el supervisor de la UPC (copiar las respuestas de un compañero, pasar las respuestas a otro compañero, llevar una ayuda-memoria, entre otros). Así no sea tu intención cometer un acto deshonesto, muestra, todo el tiempo, un comportamiento adecuado.

� Lee cada pregunta de la prueba cuidadosa y completamente antes de marcar tu respuesta. Si tienes dudas sobre lo que se está realmente pidiendo en la pregunta, consulta con el supervisor de la UPC para, así, tener claridad sobre ella.

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� Relee todas las preguntas que contengan palabras negativas «no» o «lo mínimo», así como aquellas que utilicen dos o tres veces una afirmación negativa dentro de una oración, ya que estas deben leerse con mucho cuidado para asegurar su absoluta comprensión.

� Pon cuidado a las ideas o conceptos múltiples dentro de una afirmación verdadera/falsa. Todas las partes de la afirmación deben ser verdaderas o la afirmación es completamente falsa.

� Revisa las inconsistencias gramaticales entre el cuerpo de la pregunta y la respuesta en el caso de preguntas de selección múltiple. Una selección, por lo general, está incorrecta si no forma una oración gramaticalmente correcta con el cuerpo principal.

� Si empiezas a tener muchas dificultades y te sientes ansioso, evita pensar en las consecuencias negativas de esto. Concéntrate en el reto que implica dar la prueba. Tranquilízate; asume esta situación de evaluación como una experiencia de aprendizaje que te ayudará a mejorar tus futuros desempeños en otras pruebas de admisión. Busca, nuevamente, concentrarte en las preguntas de la prueba.

6.4 Después de la prueba � Si rindes la prueba el día domingo, espera tranquilo y en silencio la señal del supervisor de

la UPC para salir del salón y de la universidad de manera pausada y ordenada.

� Si rindes la prueba en tu colegio, espera silencioso que den la señal de finalización de la prueba. No causes desorden ni hagas ruidos innecesarios que puedan afectar a tus compañeros.

Bibliografía ANCHANTE, Marlene (1995) Ansiedad ante la evaluación. Lima: Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. BROWN, William (1992) Guía de Estudio efectivo. México D. F.: Trillas. DOMÍNGUEZ, Héctor (1991) Excelencia al estudiar. México D. F.: Trillas. MARTINSON, Thomas (1994) SAT Supercourse. Nueva York: McMillan. UNIVERSIDAD LA SALLE PACHUCA (2006) Guía de estudios para el examen de admisión. Preparatoria (consulta: 10 de marzo de 2006). (http://www.lasallep.edu.mx/webulsa/Prepa/guia_prepa_ULSA_PACHUCA.doc)

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Manual Autopreparacion Ppu