1

Uvod

Hidrauličko frakturiranje je postupak kojim se u stijenama stvara visoko

protočna pukotina. Stvaranjem visoko protočne pukotine u ležištu ugljikovodika,

povećava se površina pritjecanja, tj. kontaktna površina izmeñu bušotine i ležišta. Time

se prividno povećava efektivni polumjer bušotine. Povećanjem efektivnog polumjera

bušotine, smanjuje se pad tlaka pri protjecanju fluida u ležištu. Zbog toga se

frakturiranjem bušotine povećava indeks proizvodnosti, a zbog nižeg tlaka napuštanja

ležišta se povećava i iscrpak ležišta. Povećanjem proizvodnosti bušotina, skraćuje se

vrijeme iskorištavanja ležišta.

Hidrauličko frakturiranje se osim kod primarnih, primjenjuje i kod sekundarnih i

tercijarnih metoda iskorištavanja ležišta ugljikovodika. Kod sekundarnih i tercijarnih

metoda, frakturiranje se koristi za poboljšanje proizvodnosti i injektivnosti bušotina, a

uz poznavanje orijentacije frakture i postavljanje optimalne mreže bušotina, i za

povećanje arealnog koeficijenta obuhvata.

Bez obzira na namjenu hidrauličke frakture, njezina djelotvornost i kvaliteta,

ovise o njezinoj geometriji i o odnosu propusnosti ležišta i frakture, a kod sekundarnih i

tercijarnih metoda bitna je i orijentacija frakture.

Geometrija frakture tj. njezina širina, duljina i visina, usko su povezane s

volumenom fluida za frakturiranje, tlakom frakturiranja, tempom utiskivanja fluid za

frakturiranje, količinom podupirača koji se utiskuje u frakturu, reološkim svojstvima

fluida, mehaničkim svojstvima stijena koje se frakturiraju, kao i sa stanjem naprezanja

u njima.

Ako uvjeti dozvoljavaju (dozvoljena visina frakture), hidrauličko frakturiranje se

obično izvodi pri većim obrocima utiskivanja nego što je potrebno s obzirom na uvjet

napredovanja frakture. Na taj način se zbog većeg gradijenta tlaka fluida postiže veća

širina frakture, što omogućava sigurnije utiskivanje podupirača, ali veći tlak uzrokuje i

veću visinu frakture.

Viskoznost fluida za frakturiranje utječe na pad tlaka u kanalu bušotine i u

frakturi. Kod frakturiranja s viskoznijim fluidima potreban je veći tlak na površini zbog

većih hidrauličkih gubitaka, a veći gradijent tlaka u frakturi utječe na povećanje visine i

širine frakture.

2

Podupirač, s obzirom na svoju čvrstoću, mora zadovoljiti uvjete naprezanja

kojima je izložen pri zatvaranju frakture. Naprezanje, oblik i veličina zrna podupirača

odreñuju propusnost frakture.

Hidrauličko frakturiranje je složen tehnološki postupak, u kojem je, u cilju

stvaranja hidrauličke frakture točno odreñene geometrije (širine, duljine i visine),

potrebno pravilno odabrati radni fluid, podupirač, njihove količine, redoslijed utiskivanja

i prilagoditi ih karakteristikama površinske opreme i opreme u bušotini, kao i

mehaničkim svojstvima stijena i stanju naprezanja u njima.

Vrsta radnog fluida i podupirača, protok i maksimalno dozvoljen tlak kod

frakturiranja, često su unaprijed odreñeni ili limitirani kapacitetima površinske opreme i

opreme ugrañene u bušotini. U takvim uvjetima, geometrija frakture, a time i protočna

svojstava, maksimalno potreban tlak i količine podupirača i radnog fluida, ovise o

mehaničkim svojstvima stijena i stanju naprezanja u njima.

Osnovna pretpostavka na kojoj se temelji teorija hidrauličkog frakturiranja je da

se stijena ponaša poput linearno elastičnog materijala. U tom se slučaju ponašanje

stijene u napregnutom stanju, tj. pri frakturiranju, može točno opisati matematičkim

izrazima u funkciji njezinih mehaničkih svojstva.

Bitna mehanička svojstva pri tome su Youngov modul elastičnosti, Poissonov

omjer, posmični modul, volumni modul i žilavost stijene.

U realnim uvjetima ponašanje stijene odstupa od ponašanja linearno elastičnih

materijala.

Simulacija nastajanja hidrauličke frakture, odnosno matematičko definiranje tog

procesa je kompleksan problem koji zahtjeva istodobno rješavanje jednadžbi

elastičnosti, jednadžbi protjecanja frakturom i zadovoljavanje kriterija napredovanja

frakture.

Trodimenzionalna simulacija hidrauličkog frakturiranja se zasniva na

numeričkim metodama rješavanja matematičkih problema koji povezuju mehaniku

frakture, mehaniku protjecanja fluida i kriterij napredovanja frakture.

Analitički pristup u razmatranju utjecaja mehaničkih karakteristika stijena i

naprezanja na geometriju frakture zahtijeva aproksimaciju trodimenzionalnog modela s

dvodimenzionalnim.

U prvom poglavlju ovog rada opisana su osnovna mehanička svojstva linearno

elastičnog materijala i mehanička svojstava stijena bitna pri projektiranju hidrauličke

frakture. Takoñer dijelom su prikupljene vrijednosti mehaničkih svojstava različitih

stijena prema literaturi.

Stanje naprezanja u tlu i u okolini kanala bušotine, iniciranje frakture i osnove

teorija njezinog napredovanja opisani su u drugom poglavlju.

3

U trećem poglavlju je kod dvodimenzionalnog ravninskog stanja deformacija

kvalitativno analiziran utjecaj mehaničkih svojstava stijena i naprezanja na geometriju

frakture.

Osnovni matematički modeli za projektiranje hidrauličke frakture opisani su u

četvrtom poglavlju.

U petom poglavlju je na primjeru bušotine Žu–226, variranjem mehaničkih

svojstava stijena u opsegu vrijednosti koje se mogu naći u literaturi, modeliranjem na

trodimenzionalnom simulatoru kvantitativno ispitan utjecaj mehaničkih svojstava stijena

na geometriju frakture, količinu radnog fluida i podupirača, tlak frakturiranja i ostale

parametre bitne pri projektiranju hidrauličke frakture, što je i osnovni cilj ovog rada.

4

Poglavlje 1

Osnove mehanike stijena i mehanike linearno elasti čnih

materijala

Teorija hidrauličkog frakturiranja se temelji na pretpostavci da se stijena ponaša

poput linearno elastičnog materijala. To znači da se ponašanje stijene u napregnutom

stanju može točno definirati u funkciji njezinih elastičnih svojstva.

Ponašanje stijena pod opterećenjem, zbog njezine nehomogenosti i

anizotropnosti, može odstupati od ponašanja linearno elastičnih materijala. Zbog toga

je potrebno preciznije definirati elastična svojstva stijena i parametre koji na njih utječu.

Youngov modul elastičnosti, Poissonov omjer, posmični modul, volumni modul,

i žilavost stijene se mogu izdvojiti kao bitna mehanička svojstva koja se koriste u opisu

ponašanja stijene pri hidrauličkom frakturiranju.

Uz pretpostavku da je stijena homogen, izotropan i linearno elastičan materijal,

navedena mehanička svojstva, izuzevši žilavost stijene, se mogu meñusobno izraziti

kao funkcija druga dva, tako da je dovoljno poznavanje dva mehanička svojstva,

odakle se mogu proračunati ostala.

1.1 Elasti čna svojstva linearno elasti čnih materijala

1.1.1 Youngov modul elastičnosti

Youngov modul elastičnosti, E, je kod jednoosnog naprezanja definiran

Hookeovim zakonom39 kao konstanta proporcionalnosti izmeñu normalnog naprezanja,

σ, i deformacije u smjeru tog naprezanja, ε, slika 1,:

εσ ⋅= E . 1.

5

Slika 1. Jednoosna kompresija.

Youngovim modulom opisano je svojstvo podložnosti materijala deformiranju

pod utjecajem vanjske sile. Materijali s većim Youngovim modulom otporniji su na

deformacije, tj. manje se deformiraju od materijala manjeg Youngovog modula za istu

vrijednost vanjskog opterećenja.

Elastično područje linearno elastičnih materijala karakterizirano je linearnom

funkcijom naprezanja i deformacija. To znači da je Youngov modul u elastičnom

području konstanta.

1.1.2 Poissonov koeficijent

Osim deformacije u smjeru naprezanja, ε, kod jednoosnog naprezanja javlja se

i deformacija poprečno u odnosu na naprezanje, εpopr., slika 1. U području elastičnosti

omjer poprečne i uzdužne deformacije je konstantan. Poissonov koeficijent ili

Poissonov omjer, ν, definiran je kao apsolutna vrijednost omjera poprečne i uzdužne

deformacije.

εε

ν .popr= . 2.

6

U literaturi se upotrebljava i njegova recipročna vrijednost koja se naziva Poissonovim

brojem.

1.1.3 Posmični modul

Analogno prethodnom, primjenom Hookeovog zakona na tangencijalna

naprezanja definira se konstanta proporcionalnosti izmeñu tangencijalnog naprezanja,

τ, i tangencijalne deformacije, γ, slika 2, a naziva se modul posmika, modul klizanja ili

Coulombov modul39, G, odnosno može se pisati:

γτ ⋅= G . 3.

Slika 2. Tangencijalno naprezanje.

1.1.4 Volumni modul i stlačivost

Koristeći se elastičnim konstantama “ν”, “E” i “G”, definiranim na jednoosnom

naprezanju i primjenom zakona superpozicijeI definira se odnos naprezanja i

deformacija za prostorno stanje naprezanja.

I Ukupna deformacija jednaka je zbroju deformacija nastalih djelovanjem više opterećenja.

7

Normalno naprezanje u smjeru jedne osi prostornog sustava, “x”, “y” ili “z” osi, osim

deformacije u smjeru tog naprezanja, ovisno o Poissonovom omjeru, izaziva

deformacije u druga dva poprečna smjera. Ukupna deformacija u smjeru “x”, “y” ili “z”

osi, kod prostornog stanja naprezanja, jednaka je zbroju deformacija u pojedinom

smjeru, koje su nastale zbog naprezanja u sva tri prostorna smjera. Isti princip vrijedi i

za tangencijalna naprezanja i deformacije.

Na osnovu toga, slijede izrazi za deformacije, u homogenom prostornom stanju

naprezanjaII:

� normalne deformacije, εi,j, definirane osima prostornog sustava,

( )[ ]ε σ ν σ σxx xx yy zzE= ⋅ − ⋅ +

1, 4.

( )[ ]ε σ ν σ σyy yy zz xxE= ⋅ − ⋅ +

1, 5.

( )[ ]ε σ ν σ σzz zz xx yyE= ⋅ − ⋅ +

1, 6.

� tangencijalne deformacije, γi,j, odreñene osima prostornog sustava,

Gxy

xy

τγ = , 7.

Gyz

yz

τγ = , 8.

Gzx

zx

τγ = . 9.

II Indeksima “i” i “j” definiran je položaj ravnine u prostoru na koju djeluje komponenta naprezanja i smjer djelovanja komponente naprezanja. Prema tome “i,j”=”x,y,z”. Kod normalnih naprezanja i deformacija, “i=j”. Kod tangencijalnih naprezanja i deformacija, “i≠j”. Prvi indeks označava smjer normale ravnine na koju djeluje naprezanje. Drugi indeks označava smjer naprezanja. Normalna naprezanja, gdje je “i=j”, takoñer se označavaju samo s jednim indeksom koji označava i smjer normale ravnine i smjer djelovanja naprezanja, σxx=σx, σyy=σy, σzz=σz.

8

Zbrajanjem normalnih deformacija u sva tri prostorna smjera dobije se relativna

promjena volumena tijela, εv,:

( )zzyyxxv Eσσσνε ++⋅−= 21

. 10.

Ako su naprezanja, σxx, σyy i σzz, jednaka, mogu se zamijeniti tlakom “p” (hidrostatsko

opterećenjeIII) pa se prethodni izraz može napisati u slijedećem obliku:

K

pp

Ev −=⋅−−= νε 21, 11.

gdje je “K” volumenski modul elastičnosti.

Recipročna vrijednost volumenskog modula elastičnosti naziva se stlačivošću, “c”.

Ako se, εv, u jednadžbi 11 zamjeni sa, ∆V / Vi, slijedi:

p

V

Vc

i

∆⋅−= 1. 12.

Elastične konstante, E, G, ν i K, karakteristično su svojstvo elastičnih materijala.

Minimalno dvije konstante su dovoljne da bi se definirale ostale.

1.1.5 Žilavost materijala

Pukotina općenito može biti napregnuta na tri načina, kako je prikazano

slikom 3.

III σxx=σyy=σzz=-p

9

Slika 3. Tipovi pukotina6.

U prvoj varijanti pukotina je izložena djelovanju normalnog naprezanja (otvarajući tip

pukotine), a u drugoj i trećoj djelovanju posmičnog naprezanja (klizeći i parajući tip

pukotine).

Za razmatranje većine pojava kod hidrauličkog frakturiranja, dovoljno je definirati stanje

naprezanja u okolini pukotine napregnute normalnim vlačnim naprezanjem (razlika

minimalne komponente horizontalnog naprezanja i tlaka u pukotini).

Rješenje naprezanja u okolini vrha pukotine, za ravninu u vlačnom naprezanju, slika 4,

slijedi iz rješavanja jednadžbi ravnoteže i kompatibilnosti, uz zadovoljavanje graničnih

uvjeta, a dano je slijedećim izrazima6:

⋅−⋅=2

3sin

2sin1

2cos

2

θθθπ

σvp

Ix

r

K, 13.

⋅+⋅=2

3sin

2sin1

2cos

2

θθθπ

σvp

Iy

r

K, 14.

2

3sin

2cos

2sin

2,

θθθπ

τ ⋅⋅⋅=vp

Iyx

r

K. 15.

10

Svaki izraz je prvi član serije rješenja i daje dovoljno točno rješenje naprezanja za male

polumjere udaljenosti od vrha pukotine, rvp. Zbog toga kod velikih polumjera udaljenosti

od vrha pukotine, σy teži ka nuli, mada bi trebao poprimiti veličinu σ.

Jednadžbe 13, 14 i 15 daju rješenje naprezanja za linearno elastične materijale i ne

ograničavaju naprezanje u samom vrhu pukotine, tako da za “rvp = 0”, ono teži

beskonačnosti, slika 4.

Slika 4. Naprezanje pri vrhu pukotine6.

11

U realnim uvjetima naprezanje u samom vrhu pukotine je ograničeno zbog zone

plastičnih deformacija pri vrhu pukotine.

Prema izrazima 13, 14 i 15, naprezanje u okolini vrha pukotine funkcija je faktora KI,

kojim je izražen intenzitet naprezanja u blizini vrha pukotine. Intenzitet naprezanja, KI,

funkcija je naprezanja, σ, kojem je izložena pukotina i polu duljine pukotine, L,:

LK I πσ ⋅= . 16.

Kad vlačno naprezanje ili vlačna deformacija pri vrhu pukotine, dosegnu kritičnu

vrijednost pukotina će se produljiti. To znači da produljenje frakture treba očekivati kad

intenzitet naprezanja dosegne kritičnu veličinu. Kritična vrijednost intenziteta

naprezanja, KIC, ili veličina intenziteta naprezanja iznad koje pukotina napreduje,

svojstvo je materijala kojim se izražava otpornost materijala napredovanju pukotine, a

naziva se i žilavost materijala.

1.2 Elasti čna svojstava stijena

Većina stijena sastoji se od skupine kristala i amorfnih čestica povezanih

cementnim vezivom, što čini matricu stijene, i pornog prostora, ispunjenog fluidom. U

većini slučajeva stijena još može biti isprekidana pukotinama, rasjedima i slojnim

plohama. Time je stijena, u realnim uvjetima, definirana kao nehomogen i anizotropan

materijal. Nehomogenost i anizotropnost utječu na elastično ponašanje stijene. Zbog

toga je, za opis ponašanja opterećene stijene, potrebno preciznije definirati njezina

elastična svojstva i parametre koji na njih utječu.

Za dobivanje podataka o mehaničkim svojstvima stijena se koristi više različitih

vrsta mjerenja. Mjerenja se obzirom na princip njihova izvoñenja mogu podijeliti na

statička i dinamička, a obzirom na mjesto izvoñenja, na laboratorijska i “in-situ”

mjerenja.

Dinamičke metode mehanička svojstva odreñuju na osnovu brzina širenja

elastičnih valova elastičnim materijalom, a statičke ili direktne metode, mehanička

svojstva odreñuju na osnovu funkcionalnih odnosa naprezanja i deformacija pa njihova

primjena zahtijeva mjerenje deformacija u funkciji opterećenja kojem se stijena izlaže.

Radi jednostavnosti mjerenja uobičajeno je da se pri statičkim testovima stijena izloži

djelovanju jednostavnog polja naprezanja, obično jednoosnog, dvoosnog ili troosnog

12

normalnog naprezanja. Pri tome se bilježe deformacije stijene u funkciji razlike

maksimalnog i minimalnog glavnog naprezanja.

1.2.1 Statička elastična svojstva stijena

Ponašanje stijena u napregnutom stanju se zbog njihovog kompleksnog

sastava, pornog sustava, prisustva pukotina i anizotropnosti, razlikuje od ponašanja

linearno elastičnih materijala. Mehanička svojstva stijena ne moraju biti konstantne

vrijednosti u elastičnom području naprezanja, kao što je to slučaj kod linearno

elastičnih materijala.

Stijene se obzirom na dijagrame odnosa naprezanja i deformacija, kod

jednoosnog kompresionog naprezanja, općenito mogu podijeliti na tri kategorije27,

slika 5,:

0

C

A

B

deformacija

nap

reza

nje

Slika 5. Idealizirani oblici krivulja naprezanje-deformacija, kod jednoosnog tlačnog naprezanja stijena27.

Funkcijom “A” tipa prikazano je linearno elastično ponašanje, koje rezultira konstantnim

mehaničkim karakteristikama stijene do točke loma stijene. Približno takvu funkciju

naprezanja i deformacija pokazuju veoma čvrste stijene kao što su kvarciti, veoma tvrdi

pješčenjaci i vapnenci, i većina eruptivnih stijena.

13

Kod “B” tipa krivulje, za isti iznos porasta naprezanja, pri većim naprezanjima,

deformacije su veće. Takav tip ponašanja pokazuju mekše stijene kao što su šejl, siltiti,

tuf, mekši vapnenci i pojedine vrste ugljena.

Tip krivulje “C”, pokazuje smanjenje porasta deformacija pri višim naprezanjima. Takav

tip ponašanja pokazuju pješčenjaci, soli, ugljeni, i neke metamorfne stijene.

Stijene kod kojih je funkcionalna ovisnost naprezanja i deformacija “A” tipa, ponašaju

se poput linearno elastičnih materijala, odnosno po Hookeovom zakonu.

Stijene “B” i”C” tipa krivulja takoñer se smatraju elastičnim materijalima, ako

rasterećenjem stijena poprimi prvobitan oblik, tj. ako se odnos deformacije i

opterećenja može opisati istom krivuljom pri opterećivanju i rasterećivanju stijene. U

tom slučaju, stijena nema konstantne vrijednosti elastičnih svojstava za cijelo područje

naprezanja, već se one mijenjaju od točke do točke na krivulji.

Za razliku od idealiziranih prikaza ponašanja stijena prethodnim tipovima krivulja,

dijagrami realnih odnosa naprezanja i deformacija stijena, kombinacija su prethodnih

tipova krivulja, slika 6.

Slika 6. Kompletna krivulja naprezanja i deformacija27.

14

Na dijagramu se mogu izdvojiti karakteristični segmenti “OA”, “AB”, “BC” i “CK”. Kod

većine stijena intervali “OA” i “AB” su elastična područja, odnosno opterećenje stijene u

tim područjima ne dovodi do promjene u njihovoj strukturi ili do rezidualnih deformacija.

Točka B odgovara naprezanju iznad kojeg se javljaju rezidualne deformacije i dolazi do

promjene u strukturi stijene.

Najveće naprezanje koje stijena može izdržati, na dijagramu je naznačeno točkom C,

kad se stijena lomi, a daljnji izgled krivulje ovisi o tipu loma stijene.

Općenito se može smatrati, da se prema prikazanom dijagramu, proces deformacije

stijene odvija prema slijedećem redoslijedu:

� na “OA” intervalu krivulje zatvaraju se pukotine (mikro pukotine koje mogu primarno

postojati u stijeni, ili su nastale pri jezgrovanju ili obradi uzorka stijene),

� na slijedećem “AB” intervalu stijena pokazuje linearno elastično ponašanje,

� na “BC” intervalu počinje stabilan rast mikro pukotina,

� u točki “C” dolazi do loma stijene.

Dijagram naprezanja i deformacija kod vlačnog opterećenja ne mora pokazivati ova

četiri područja, ali je ili linearan do loma stijene ili pokazuje ponašanje B tipa krivulje.

Veličina “BC” intervala, kod čvrstih stijena, pri standardnim tlakovima i temperaturama,

uglavnom je manja. Kod mekših stijena ili pod djelovanjem visokih tlakova i

temperatura taj interval može biti i veći pa do loma, stijena na tom intervalu može

izdržati i veće deformacije. Stijene kod kojih je “BC” interval dijagrama naprezanja

manji, smatraju se krtim ili lomljivim materijalima.

1.2.1.1 Utjecaj temperature, bo čnih naprezanja, brzine optere ćivanja,

veli čine naprezanja i orijentacije uzorka na stati čka mjerenja elasti čnih

svojstava stijena

Na izgled dijagrama naprezanja, osim karakteristika stijene tj. njezinog sastava,

pornog sustava, prisustva pukotina, i anizotropnosti stijene, utječe još niz faktora koji

su bitni pri samom mjerenju. Meñu njima se mogu spomenuti geometrija ispitivanog

uzorka, izvedba ravnina za nanošenje opterećenja, tempo opterećivanja uzorka,

temperatura, odnos aksijalnih tlakova (odnos glavnih naprezanja), tlak u pornom

prostoru (drenirani i nedrenirani porni prostor) i veličina naprezanja.

Utjecaj pojedinih parametara općenito je manje ili više izražen, ovisno o vrsti ispitivane

stijene.

15

Tehnike izvoñenja pojedinih, standardnih testova i priprema uzoraka za testiranja, radi

smanjenja utjecaja pojedinih faktora na rezultate mjerenja, detaljnije su definirane od

meñunarodnog udruženja za mehaniku stijena (ISRM).

Pri standardnim tlakovima i temperaturama stijene se uglavnom ponašaju kao

krti materijali. Sniženjem temperature, povećava se modul elastičnosti i čvrstoća

stijene.

Utjecaj bočnog tlaka na modul elastičnosti ovisi o poroznosti stijene. Kod stijena

izrazito niske poroznosti, bočno opterećivanje stijene nema veliko značenje, ali kod

djelomično raspucane stijene, stijene visoke poroznosti ili stijene slabije vezane

matrice, bočno opterećenje može znatno utjecati na elastična svojstva i njegov utjecaj

ovisi o veličini bočnog tlaka.

Povećanjem bočnog opterećenja, povećava se i modul elastičnosti. Prema nekim

ispitivanjima27, razlike Youngovih modula kod pojedinih stijena, obzirom na iznose

bočnih tlakova, mogu biti i do 50%.

Utjecaj brzine opterećivanja uzorka stijene, na veličinu modula elastičnosti, ovisi

o zasićenju pornog prostora i vremenu potrebnom za njegovo dreniranje.

Pri trenutnom opterećivanju uzorka ili pri većim brzinama opterećivanja, zbog

nedovoljno dugog vremena za dreniranje pornog prostora, krutost stijene je veća (veći

modul elastičnosti). U suprotnom, kod dovoljno sporog tempa opterećivanja uzorka,

fluid iz pornog prostora ima dovoljno vremena za dreniranje pa su moduli elastičnosti u

tom slučaju manji.

Na osnovu većeg broja istraživanja27, općenito se može reći., da kod jednoosnog

opterećivanja homogenih, slabo poroznih stijena, koje se ponašaju kao linearno

elastični materijali, brzina opterećenja ne utječe na elastično ponašanje stijene.

Utjecaj veličine iznosa naprezanja na modul elastičnosti je izraženiji, što je veća

nelinearnost naprezanja i deformacija. Ovisno o vrsti stijene, s porastom naprezanja

moduli elastičnosti mogu rasti ili padati. Kod poroznih stijena, zbog elastičnih promjena

u strukturi (stlačivost pornog prostora, zatvaranje pukotina), porastom naprezanja raste

krutost stijene.

Zbog sastava stijene, elastična svojstva ovise o mineraloškom sastavu stijene,

udjelu pojedinih minerala, njihovom obliku i orijentaciji.

Zbog orijentacije ploha uslojavanja i pukotina, mehanička svojstva se mijenjaju

sa smjerom mjerenja. Stijene imaju veće vrijednosti modula elastičnosti kada se

opterećuju u smjeru paralelnom sa slojnim plohama ili plohama raspucanosti, nego kad

se opterećuju okomito na njih. Omjer ekstremnih vrijednosti modula elastičnosti smatra

se stupnjem anizotropnosti stijene. U većini laboratorijskih mjerenja27 omjeri se kreću

od 1 do 2, a u “in situ” uvjetima mogu biti i veći (do 3,5).

16

Anizotropnost nekih stijena, prema različitim istraživačima, navedene su u tablici 1.

Tablica 1. Anizotropnost nekih stijena27, 23

Stijena E h/Ev Stijena E h/Ev

Lapor - Turon (K22) 2,17 Škriljavac 1,30-3,20

Glinoviti šejl 1,30-2,86 Granit 1,40-2,00

Glinoviti vapnenac – Mastriht (4K23) 0,62 Siltit 1,08

Glinoviti vapnenac – Turon (K22) 0,84-1,69 Krupnozrnati filit 1,28

Lapor “Opaka” – Mastriht (4K23) 0,85-1,00 Sitno zrnati filit 1,33

Lapor “Opaka” – Turon (K22) 1,30-2,06 Kloritni škriljavac 1,57

Pjeskoviti šejl 1,28-1,68 “Laurencijski” granit 1,24

Vapnenac 1,80-3,5 Bazalt 1,05-1,34

Vapnenac “Opaka” – Turon (K22) 0,92 Peridot 1,78

Pješčenjak 1,23-1,53 Gnajs 5,40

Pješčenjak “Barea” 1,40 Granit “Barre” 0,73

Pješčenjak “Bandera” 1,50 Čvrsti slejt 1,50

Tufitski pješčenjak 1,26 Slejt 1,70

“Iva” pješčenjak 1,25 Bazalt 1,50

* Eh –Youngov modul horizontalnog smjera ; Ev – Youngov modul vertikalnog smjera.

Utjecaj prisustva pukotina, anizotropnosti stijene, bočnih tlakova, temperature,

brzine opterećivanja i drugih faktora na Poissonov omjer, sličan je utjecaju na Youngov

modul.

Poroznost stijene i prisustvo pukotina smanjuju veličinu Poissonovog omjera, ali

ukoliko su pukotine orijentirane paralelno smjeru opterećivanja uzorka, Poissonov

omjer može rasti.

Pri većim naprezanjima, pukotine paralelne sa smjerom naprezanja se otvaraju, što

povećava bočne deformacije pa vrijednost Poissonovog omjera tada može biti veća od

teoretski maksimalnog Poissonovog omjera izotropnih materijala, νmaks.=0,5.

Bočno opterećenje stijene kod više aksijalnih testova rezultira u nižim Poissonovim

omjerima kod slabije vezanih stijena, dok kod tvrñih stijena bočno opterećenje stijene

nema utjecaja na Poissonov omjer.

Takoñer treba napomenuti, da pri testiranju slojevitih uzoraka stijena, Poissonov omjer

ovisi o orijentaciji slojnih ploha i o položaju naprave za registriranje deformacija.

17

1.2.1.2 Stlačivost stijena

Stlačivost je za homogene materijale definirana jednadžbom 12, kao promjena

volumena materijala po jedinici promjene tlaka.

Stlačivost stijena ovisna je o stlačivostima njezinih sastavnih dijelova, odnosno

stlačivostima zrna stijene, pornog prostora i pukotina. Uzimajući u obzir prisustvo

pornog prostora i fluida u njemu i činjenicu da je naprezanje ležišnih stijena funkcija

petrostatskog tlaka i tlaka fluida u pornom prostoru, definiciju stlačivosti kod stijena

povezanog pornog prostora moguće je proširiti, odnosno mogu se definirati slijedeće

stlačivosti48:

� stlačivost stijene, cbc, u funkciji promijene petrostatskog tlaka, pc, uz konstantni

porni tlak, pp,

cV

V

pbcb

b

c pp

=−

1 ∂∂

, 17.

� stlačivost stijene, cbp, u funkciji promjene pornog tlaka, pp, uz konstantan

petrostatski tlak , pc,

cV

V

pbpb

b

p pc

=−

1 ∂∂

, 18.

� stlačivost pornog prostora, cpc, u funkciji promjene petrostatskog tlaka, pc, uz

konstantan porni tlak, pp,

ppc

p

ppc p

V

Vc

−=∂∂1

, 19.

� stlačivost pornog prostora, cpp, u funkciji promjene pornog tlaka, pp uz konstantan

petrostatski tlak, pc,

18

cpp

p

ppp p

V

Vc

−=∂∂1

. 20.

Poznavajući stlačivost matrice stijene, cr, i poroznost, ∅, navedene stlačivosti se mogu

povezati sljedećim izrazima:

rbcbp ccc −= , 21.

i

rbcpc

ccc

φ−= , 22.

( )i

ribcpp

ccc

φφ ⋅+−= 1

. 23.

Izrazi 17, 18, 19 i 20, se zasnivaju na pretpostavci da su porni i petrostatski tlak

neovisni parametri (opterećivanje stijene uz dreniranje pornog prostora), tj. promjena

petrostatskog tlaka ne uvjetuje promjenu pornog tlaka i obratno. U tom se slučaju,

stlačivost “cbc “smatra efektivnom volumetrijskom stlačivošću stijene.

Pri hidrauličkom frakturiranju promjena vanjskog opterećenja na stijenu uvjetuje

promjenu pornog tlaka, jer je za dreniranje pornog prostora slabo propusne stijene

potrebno dulje vrijeme od vremena u kojem je stijena pri frakturiranju izložena

opterećenju.

U općem slučaju, ukupna deformacija stijene, εb, i deformacija pornog prostora, εp,

mogu se izraziti sljedećim izrazima:

pbpcbcb dpcdpcd ⋅+⋅−=ε , 24.

pppcpcp dpcdpcd ⋅+⋅−=ε . 25.

Za slučaj trenutnog izlaganja stijene opterećenju (nedrenirana kompresija), promjena

vanjskog opterećenja, dpc se može smatrati nezavisnom varijablom, a, εb, εp i promjena

pornog tlaka, dpp, predstavljaju tri nepoznanice u dvije jednadžbe.

19

Masa fluida u pornom prostoru je konstantna i u potpunosti ispunjava porni prostor pa

je volumen fluida, Vf, u pornom prostoru jednak volumenu pornog prostora, Vp, i tlak

fluida, pf, jednak je tlaku pornog prostora, pp.

Prema tome može se pisati da je:

pfp

pff

f

f dpcV

dVdpc

V

dV⋅−==⋅−= , 26.

iz čega slijedi:

d c dpp f pε = − ⋅ . 27.

Time je uz prethodne dvije jednadžbe deformacija 24 i 25, uvedena i treća 27 pa

sustav jednadžbi postaje rješiv.

Definiranjem stlačivosti za nedreniranu kompresiju, cu, kao:

cd

dpub

c

= −

ε, 28.

iz jednadžbi 24, 25 i 27, slijedi:

c cc c

c cu bc

bp pc

pp f

= −⋅+

. 29.

Uvrštavanjem izraza 21, 22 i 23, u izraz 29, slijedi:

( ) ( )( ) ( )c

c c c c c c

c c c cu

bc f r r bc r

f r bc r

=⋅ ⋅ − + ⋅ −

⋅ − + −

φφ

. 30.

Time je definirana parametar koji kvantificira odnos izmeñu vanjskog opterećenja i

promjena volumena, za slučaj kad promjena vanjskog opterećenja uvjetuje i promjenu

pornog tlaka.

20

Laboratorijskim mjerenjima stlačivost se može odrediti direktno, mjerenjem

promjene volumena uzorka s tlakom ili se može proračunati iz deformacija u tri različita

smjera.

U većini slučajeva rezultati mjerenja se prikazuju u slijedećem obliku27:

2pbpaV

V

i

⋅−⋅=∆, 31.

gdje su “a” i “b” konstante koje ovise o temperaturi, a ∆V=Vi-V.

Ako se “(∆V/V)/p” nacrta u funkciji tlaka, p, konstanta “a” je odsječak funkcije na “y”osi,

a koeficijent smjera pravca je konstanta “b”. Kad stlačivost stijena nije linearna funkcija

tlaka, tako odreñene konstante su aproksimativne.

Općenito, kod stijena stlačivost raste s povećanjem poroznosti stijene. Bitan utjecaj

takoñer imaju oblik pornog prostora, veličina i orijentacija zrna stijene i veličina tlaka

kojem je stijena izložena. Pri nižim tlakovima stlačivost je u glavnom pod utjecajem

pukotina.

1.2.1.3 Sekantna i tangencijalna elasti čna svojstva stijena

Obzirom na nelinearnost dijagrama naprezanja i deformacija, moguće je na

različitim intervalima krivulja definirati vrijednosti elastičnih konstanti koje se po svom

iznosu razlikuju. Tako se za Youngov modul, pri odreñenim uvjetima mjerenja,

definiraju sekantne i tangencijalne vrijednosti, slika 7.

21

Slika 7. Sekantne i tangencijalne vrijednosti Youngovog modula elastičnosti.

O području primjene ovisi koja vrijednost modula se koristi. Ako je od interesa modul

elastičnosti pri točno odreñenom opterećenju (naprezanju), precizniji opis ponašanja

stijene dati će tangencijalni moduli (koeficijent smjera tangente krivulje), dok se za opis

ponašanja stijene na odreñenom intervalu naprezanja obično koriste sekantne

vrijednosti.

Uobičajeno je, ako nije drukčije navedeno, da se za prosječnu vrijednost modula

elastičnosti uzima tangencijalna vrijednost pri 50% kompresione čvrstoće.

Sekantna vrijednost modula elastičnosti računana za maksimalnu deformaciju do loma

stijene ili do odreñenog opterećenja, smatra se deformacionim modulom elastičnosti.

Porastom bočnih opterećenja, početni tangencijalni modul elastičnosti raste.

Utjecaj bočnog opterećenja, σb, na početni tangencijalni modul elastičnosti, Ei, za

različite vrste stijena, ukoliko se ne raspolaže podacima mjerenja, moguće je izračunati

obrascem27:

22

m

a

bai p

pME

⋅⋅= σ

, 32.

gdje su :

pa - atmosferski tlak,

M – broj modula i

m – eksponent modula.

Trend vrijednosti parametara “M” i “m” za pojedine vrste stijena navedene su u tablici 2,

a detaljniji podaci mogu se naći u literaturi27.

Tablica 2. Sažetak podataka o poroznosti, gustoći i parametrima “M” i “m”, za različite tipove stijena27

Vrsta stijene

magmatska metamorfna sedimentna Parametar

infuzivna efuzivna bez

škriljavosti škriljave klastična kemijska

sve

Broj modula

M (103)

broj podataka

maksimum

minimalan

prosjek

13 (11)

1101,0

63,2

683,9

16

756,0

1,4

181,4

11 (10)

730,0

39,5

398,6

13 (4)

434,0

23,8

134,9

37 (22)

161,8

0,1

62,2

25 (24)

742,0

1,0

186,4

115 (87)

1101,0

0,1

216,5

Eksponent m

broj podataka

maksimalan

minimalan

prosjek

13 (11)

0,19

-0,01

0,03

16

1,15

-0,08

0,12

11 (10)

0,14

0,00

0,02

13 (4)

0,36

0,02

0,19

37 (22)

1,22

0,00

0,20

25 (24)

0,67

0,00

0,17

115 (87)

1,22

-0,08

0,14

Poroznost (%)

broj podataka

maksimalan

minimalan

prosjek

11 (9)

4,9

0,02

0,7

14

30,0

4,6

13,5

4

0,3

0,1

0,2

2

1,9

0,5

1,2

8

27,0

0,9

10,1

8 (8)

40,0

0,5

12,0

47 (44)

40,0

0,02

8,0

Gustoća

(g/cm3)

broj podataka

maksimalan

minimalan

prosjek

10 (8)

3,16

2,61

2,76

14

2,70

1,45

2,14

4

2,69

2,48

2,62

1

-

-

2,79

6

2,69

1,90

2,37

6

2,70

1,62

2,37

41 (39)

3,16

1,45

2,45

*Brojevi u zagradama odnose na broj različitih vrsta uzoraka u pojedinoj grupi stijena.

Niže vrijednosti parametra “m”, a visoke vrijednosti parametra “M” uglavnom kod tvrdih,

homogenih ili slabo poroznih stijena znače slabiju osjetljivost modula elastičnosti na

bočne tlakove, što je obrnuto kod poroznih, raspucanih i elastičnijih stijena. Utjecaj

anizotropnosti stijena takoñer se može primijetiti po varijacijama parametra “M”.

Početni Poissonov omjer, νi, u funkciji bočnog opterećenja, σb, za različite vrste

stijena, se može izračunati empirijskim obrascem27:

23

−=

a

bi p

FNσν log , 33.

gdje su “N” i “F” konstante. Konstanta “N” je početni tangencijalni Poissonov omjer pri

atmosferskom tlaku.

Konstante "N" i "F" nekih stijena navedene su u tablici 3.

Tablica 3. Pregled podataka o poroznosti, gustoći i parametrima N i F, za pojedine stijene27

Parametri Stijena

Gusto ća

(g/cm 3)

Poroznost

(%) N F

bočni tlak

(MPa)

Granit – lokalitet: AEC, Nevada

(krupno zrnat, netrošen) 2,69 0,3 0,23 -0,01 0-27,6

Kvarc - monconit

(srednje zrnati, porfiritni)

meñusobno okomite osi

2,68

2,69

2,68

0,2

0,2

0,2

0,19

0,20

0,19

0

0,01

-0,01

0-20,7

0-20,7

0-20,7

Tonalitet “Cedar City”

(srednje do sitno zrnat)) - 4,9 0,11 -0,05 0-248,0

Bazalt – lokalitet: AEC, Nevada

(sitno zrnat, netrošen) 2,70 4,6 0,28 0,05 0-34,5

Tuf – lokalitet: AEC

(prilično stopljen pepeo, W =21,1 %) 1,92 19,8 0,24 0,03 0-10,3

Škriljavi gnajs

(sitno zrnat) 2,79 0,5 0,11 -0,04 0-70,0

Pješčenjak

(dobro cementiran) 1,90 27,0 0,13 -0,01 1,4-34,4

Vapnenac – lokalitet: AEC, Nevada

(sitno zrnat, sa stiliolitnim pukotinama 2,70 0,5 0,30 -0,01 0-27,6

1.2.2 Dinamička elastična svojstva stijena

Osim statičkih metoda ispitivanja mehaničkih svojstava, u praktičnoj primjeni su

i dinamičke metode, koje se zasnivaju na funkcijama brzine širenja transverzalnog i

longitudinalnog vala, elastičnim sredstvom.

Djelovanjem sile, u obliku impulsa, u odreñenoj točki elastičnog tijela izaziva se

naprezanje i deformacija koja je najjače izražena u području djelovanja sile.

24

Deformacija se s mjesta nastanka kroz elastično tijelo prenosi kao serija izmjeničnih

kompresija i dilatacija, u valnom obliku.

Elastični valovi se mogu podijeliti na valove koji se šire površinom ili granične

valove i valove kojima se deformacija prenosi kroz elastično tijelo, a to su longitudinalni

i transverzalni elastični valovi. Brzina širenja elastičnih valova, elastičnim materijalom,

ovisi o elastičnim svojstvima materijala kroz koji se val širi pa se brzine širenja

longitudinalnog vala, vp, i transverzalnog vala, vs, mogu napisati u funkciji elastičnih

svojstava:

( )

( ) ( )

21

21

121

1

3

43v

+⋅−

−⋅

=

+=νν

νρ

ρ

E

GKp , 34.

( )2

12

1

12v

+⋅=

=

νρρEG

s . 35.

Poznavajući brzine širenja elastičnih valova kroz elastični medij i gustoću, moguće je

rješavanjem dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, odrediti dva elastična svojstva,

korištenjem kojih se mogu proračunati i ostala.

U osnovi za dinamička ispitivanja mehaničkih svojstava stijena koristi se

nekoliko metoda, meñu kojima su: rezonantna metoda, visoko frekventna mjerenja i “in

situ” mjerenja brzina seizmičkih valova.

Kod rezonantne metode, u uzorku stijene se pobuñuje rezonancija, u

longitudinalnom, transverzalnom i torzionom obliku. Longitudinalna i transverzalna

rezonancija se koriste za odreñivanje Youngovog modula elastičnosti, a torziona

rezonancija za odreñivanje posmičnog modula.

Kod visoko frekventnih laboratorijskih mjerenja, mjere se brzine prolaza

mehaničkog impulsa, longitudinalnog i transverzalnog vala, kroz uzorak stijene.

Dinamička elastična svojstva se za homogena izotropna tijela, uz poznatu gustoću

uzorka, računaju iz brzina longitudinalnog i transverzalnog vala:

( )22

222

vv

v4v3v

sp

spsE−

−⋅=

ρ, 36.

25

2v sG ⋅= ρ , 37.

( )22

22

vv2

v2v

sp

sp

−−

=ν . 38.

Pouzdanost elastičnih svojstava odreñenih jednadžbama 36, 37 i 38, je upitna, ako se

brzina vala u bilo koja od tri meñusobno okomita smjera, razlikuje za više od 2% od

njihove srednje vrijednosti27. Greška mjerenja modula elastičnosti i posmičnog modula,

u tom slučaju uključivši i pogrešku mjerenja, ne prelazi 6%. Kod većih anizotropnosti

pogreška odreñivanja elastičnih konstanti, je veća.

Bitna razlika izmeñu rezonantne metode i visoko frekventne metode je u frekvenciji

koju pojedina metoda koristi. Rezonantna metoda koristi raspon frekvencija od 1 do 30

kHz, a visoko frekventna metoda od 50 do 10000 kHz. Raspon frekvencija ne utječe

znatnije na elastična svojstva.

Rezonantna i visoko frekventna metoda razlikuju se takoñer u raspodjeli naprezanja i

deformacija, kojima je stijena izložena pri mjerenju. Rezonantnom metodom nastaje

stojni val, a visoko frekventnom prolazni impulsni val. Nivo naprezanja i amplituda

deformacija u oba slučaja su neznatni, meñutim kod rezonantne metode je deformacija

uvijek maksimalna na sredini uzorka, dok je na krajevima uzorka jednaka nuli. Zbog

toga položaj eventualne pukotine na uzorku može utjecati na rezultat mjerenja. Položaj

pukotine prema krajevima uzorka manje utječe na rezultat, nego što bi utjecao, ako je

položaj pukotine bliže centru. Smatra se da razlike u distribuciji naprezanja i

deformacija ne utječu na elastične module kod homogenih uzoraka.

Bitno je napomenuti, da na brzinu širenja elastičnih valova kroz stijene, a time i na

elastična svojstva, utjecaj imaju: vrsta stijene, njezina tekstura, gustoća, porozitet,

anizotropnost, veličina naprezanja kojem je stijena izložena, zasićenje pornog prostora

i temperatura.

Brzina širenja elastičnih valova, ovisi o brzinama valova u različitim mineralnim

komponentama, koje čine stijenu. Brzina takoñer ovisi o veličini zrna stijena. U fino

zrnatim stijenama, za razliku od krupno zrnatih, brzine širenja valova su veće.

Iako su prema izrazima 34 i 35, brzine primarnog i sekundarnog vala obrnuto

proporcionalne drugom korijenu gustoće, općenito, povećanjem gustoće stijene, raste

brzina širenja elastičnih valova. To se može objasniti povećanjem Youngovog i

26

posmičnog modula s porastom gustoće, ali i smanjenjem poroznosti stijene s

povećanjem gustoće. Porastom poroziteta brzina se smanjuje.

Brzine uzduž i popreko uzorka uslojene stijene se razlikuju. Brzina, mjerena paralelno s

plohama uslojavanja, je uvijek veća od one mjerene okomito na nju.

Povećanjem tlaka, povećavaju se brzine širenja elastičnih valova. Pri nižim tlakovima

porast je veći zbog smanjenja poroziteta, zatvaranja pukotina i povećanja kontakta

izmeñu zrna stijene. Kad tlak preñe odreñenu granicu, brzina se takoñer može

smanjivati, što se povezuje s nastajanjem, širenjem ili otvaranjem mikro pukotina u

stijeni.

Zasićenje stijene vodom povećava brzinu širenja longitudinalnog vala, a na

transverzalni nema utjecaja, jer su za njega bitna svojstva matrice stijene.

Brzine širenja valova i dinamička elastična svojstva se smanjuju porastom temperature.

“In situ” dinamička mjerenja, obuhvaćaju mjerenja kojima se mogu prikupiti

podaci o brzinama longitudinalnih i transverzalnih valova. Teoretski to znači da se u tu

svrhu mogu koristiti površinska seizmička mjerenja, bušotinska seizmika (vertikalno

seizmičko profiliranje i seizmička mjerenja izmeñu bušotina), kao i zvučna karotažna

mjerenja, kojima se uz podatke o brzinama longitudinalnih valova mogu dobiti i brzine

transverzalnih valova.

Za sada se u praksi za potrebe odreñivanja elastičnih svojstava stijena, kod

hidrauličkog frakturiranja, koristi zvučna karotaža sa sondom povećanog razmaka

izmeñu predajnika i prijemnika (“long spacing sonic tool”).

LSS sonde, za razliku od konvencionalnih akustičnih sondi, zbog većeg razmaka

prijemnika i predajnika omogućuju dublji prodor vala u formaciju i bolju separaciju

nailaska longitudinalnog i transverzalnog vala.

Izvor akustičnog signala na sondi odašilje kompresione elastične valove, čija se

energija nailaskom na diskontinuitet (isplaka – stjenka kanala bušotine), dijelom

pretvara i u transverzalni val.

Prijemnik akustičnog signala registrira puni nailazak vala, tj. primarni i sekundarne

nailaske, slika 8.

27

Slika 8. Shematski prikaz punog signala registriranog na prijemniku akustične sonde3.

Novije karotažne sonde digitaliziraju signale s prijemnika pa se za odreñivanje

vremena nailazaka primarnih i sekundarnih valova koristi kompjuterska obrada signala.

Za obradu signala sa LSS sonde koristi se DPD (direct phase determination) tehnika

kompjuterske obrade, koja se zasniva na Fourierovoj analizi registriranog signala.

Primjer dijela karotažnog dijagrama s intervalnim vremenima primarnih i sekundarnih

valova prikazan je slikom 9.

28

Slika 9. Intervalna vremena nailazaka longitudinalnog i transverzalnog vala, tL i tT, registrirana LSS

karotažom3.

29

Elastična svojstva stijena duž profila bušotine, računaju se prema izrazima 36, 37 i 38,

iz brzina longitudinalnih i transverzalnih valova, uz poznatu gustoću stijene.

Odstupanje elastičnih svojstava stijena dobivenih sa LSS karotažom, od stvarnih “in

situ” elastičnih svojstava, može biti posljedica izmijenjenih uvjeta naprezanja i

zasićenja fluidima pri kanalu bušotine.

Laboratorijska i “in situ” mjerenja brzina valova mogu se razlikovati zbog različitih

uvjeta mjerenja. U približno jednakim uvjetima mjerenja, brzine laboratorijskih i “in situ”

mjerenja trebale bi biti približno jednake.

1.2.3 Usporedba statičkih i dinamičkih elastičnih svojstava stijena

Elastična svojstva stijena, dobivena dinamičkim i statičkim mjerenjima, mogu se

znatno razlikovati. Bitan razlog njihove različitosti proizlazi iz nejednakosti uvjeta

mjerenja, kao i različitog utjecaja svojstava stijena na rezultate mjerenja. Statička

elastična svojstva, u usporedbi s dinamičkim, dobivaju se pri većim naprezanjima i

deformacijama. Kod statičkih mjerenja deformacije su i do 10-2, dok su deformacije pri

dinamičkim mjerenjima reda veličine 10-5 i nastale su pri velikim brzinama

opterećivanja (brzina širenja zvuka stijenom).

Meñusobna usporedba statičkih i dinamičkih svojstava ima osnova samo ukoliko se

usporeñuju elastična svojstva mjerena pri približno usporedivim iznosima naprezanja.

To znači da se za usporeñivanje s dinamičkim elastičnim svojstvima, mogu koristiti

jedino početne tangencijalne vrijednosti statičkih svojstava.

Vrijednosti statičkih elastičnih modula općenito su niže od dinamičkih. Razlike

svojstava mogu varirati od 0 do 300% pa i više27. Različitost se takoñer objašnjava i

različitim utjecajem pukotina na statička i dinamička mjerenja. Mikro pukotine imaju

veći utjecaj na statička mjerenja, nego što utječu na brzinu širenja visoko frekventnih

valova.

Što je kompaktnost stijene veća, to je razlika statičkih i dinamičkih modula manja.

Statičke i dinamičke vrijednosti Youngovog modula i Poissonovog omjera za neke

stijene, prema različitim autorima, navedene su u tablici 4.

30

Tablica 4. Pregled statičkih i dinamičkih vrijednosti Youngovih modula i Poissonovih omjera za pojedine

stijene, prema različitim autorima27, 23

Est. (MPa) Edin. (MPa) Edin. /Est. ννννst. ννννdin. ννννdin. /ννννst.

Kalcedonski vapnenac 55158,08 46884,37 0,85 0,18 0,25 1,39

Vapnenac 66879,17 71016,03 1,06 0,25 0,28 1,12

Oolitni vapnenac 45505,42 53779,13 1,18 0,18 0,21 1,17

Kvarcni šejl 16547,42 22063,23 1,33 0,08

Porfiritni monconit 41368,56 56537,03 1,36 0,18 0,21 1,17

Kvarc - diorit 21373,76 30336,94 1,42 0,05 0,19 3,8

Stiliolitni vapnenac 38610,66 56537,03 1,46 0,11 0,27 2,45

Biotitni škriljavac 39989,61 59294,94 1,48 0,01 0,16 16

Vapnenac 16547,42 28268,52 1,71 0,18 0,2 1,11

Vapnenac 33784,32 52400,18 1,55 0,17 0,31 1,82

Siltit 13100,04 26889,56 2,05 0,05 0,08 1,6

Subgrauvaka 12410,57 26200,09 2,11 0,03 0,19 6,33

Sericitni škriljavac 7584,24 17926,38 2,36 -0,02 0,44 -22

Subgrauvaka 11031,62 26200,09 2,38 0,02 0,06 3

Kvarcni filit 7584,24 18615,85 2,45 -0,03

Kalcitni šejl 15857,95 24821,14 1,57 0,02

Subgrauvaka 9652,66 24821,14 2,57 0,02 0,29 14,5

Granit (lagano izmijenjen) 5515,81 15168,47 2,75 0,04 0,1 2,5

Grafitni filit 9652,66 26889,56 2,79

Subgrauvaka 8963,19 26200,09 2,92 0,05 0,08 1,6

U.S

. Bur

eau

of R

ecla

mat

ion,

195

3.

Vapnenac “Lauders” (orijentacija

okomito na slojnu ravninu) 24131,66 33370,64 1,38 0,21 0,22 1,05

Vapnenac “Lauders” (orijentacija

paralelno sa slojnom ravninom) 24821,14 33370,64 1,34 0,21 0,22 1,05

Šejl “Green River” (orijentacija

okomito na slojnu ravninu) 29647,47 40058,56 1,35 0,18 0,22 1,22

Šejl “Green River” (orijentacija

paralelno sa slojnom ravninom) 35163,28 42540,67 1,21 0,17 0,27 1,59 C

hene

vert

(19

64)

i You

ash

(197

0)

Pješčenjak s kalcedonskim

cementom 71588,55 76295,74 1,07

Dolomit ujednačene veličine zrna 49523,58 52073,31 1,05

Vapnenac 18436,50 23732,09 1,29

Kalcitni dolomit 34225,21 46287,39 1,35

Sitno zrnati vapnenac s detritusom 46777,72 55995,97 1,20

Granit 64723,89 69627,22 1,08

Gabro 69627,22 73549,88 1,06

Dunit 146119,09 160829,1 1,10

Sijenit 72569,21 79433,87 1,09

Rzh

evsk

y i N

ovik

(19

73)

“Iva” pješčenjak 21838,8

31

1.2.4 Odreñivanje elastičnih svojstava stijena za potrebe

hidrauličkog frakturiranja

Zbog veličine raspona vrijednosti elastičnih svojstava stijene, s obzirom na

uvjete mjerenja i metode odreñivanja, bitno je da se pri njihovom mjerenju postignu

uvjeti zasićenja stijene, opterećenja stijene i temperature, što sličniji onima u ležištu, a

takoñer i brzina opterećivanja treba odgovarati onoj kojom se stijena opterećuje tlakom

frakturirajućeg fluida u hidrauličkoj frakturi. Mehanička svojstva, odreñena u takvim

uvjetima, dala bi najrealniji opis ponašanja stijene pri hidrauličkom frakturiranju.

Ukoliko se laboratorijskim mjerenjima takvi uvjeti ne mogu u potpunosti postići, treba

nastojati da se oni bar djelomično zadovolje. Mehaničke karakteristike koje su

odreñene pri neodgovarajućim uvjetima naprezanja, temperature, zasićenja fluidom,

orijentacije uzorka mogu se naknadno korigirati, ukoliko je poznat približan utjecaj

pojedinog parametra na rezultat mjerenja.

Brzine deformiranja stijene pri frakturiranju su izmeñu brzina deformiranja kod

dinamičkih i statičkih metoda, ali su bliže onima kod statičkih mjerenja, jer je brzina

napredovanja frakture daleko manja od brzine zvuka u stijeni.

Opterećenje stijene (tlak u frakturi) pri hidrauličkom frakturiranju nešto je veće od

minimalnog “in situ” naprezanja (minimalnog horizontalnih naprezanja ako se radi o

vertikalnoj frakturiIV) pa se u takvim uvjetima za opis ponašanja stijena koriste početne

tangencijalne vrijednosti elastičnih svojstava.

Uvjeti opterećenja stijene, slični “in situ” uvjetima, približno se mogu postići

troaksijalnim mjerenjima. Pri troaksijalnom testu uzorak stijene je potrebno optereti

troosno do veličine naprezanja koje odgovara srednjem efektivnom naprezanju ležišne

stijene. Nakon toga uzorak se dalje opterećuje aksijalno, a bočna se opterećenja

održavaju konstantnim. Pri tome se bilježi aksijalno naprezanje, σz, bočno naprezanje,

σb, bočna (poprečna) i aksijalna deformacija, εpopr. i εz.

Iz bilježenih podataka računaju se Youngov modul i Poissonov omjer, izrazima

dobivenim iz izraza 4, 5 i 6, kako slijedi:

( )z

bzEε

σνσ ⋅−= 2 , 39.

IV Smjer hidrauličke frakture okomit je na smjer minimalne komponente glavnog naprezanja. To znači da je kod vertikalne frakture, minimalno naprezanje horizontalnog smjera.

32

ako je σb konstantno, onda je:

E z

z

=∆∆

σε , 40.

z

popr

εε

ν∆

∆−= . , 41.

ili iz volumenske deformacije, εv i deformacije u smjeru maksimalnog naprezanja, εz,:

∆∆−=

z

v

εεν 1

2

1. 42.

Zbog prisustva mikro pukotina koje mogu nastati u procesu pripreme uzorka ili su

njegov sastavni dio, početni tangencijalni Youngov modul, dobiven troosnim

ispitivanjem, može imati nerealno niske vrijednosti.

Opterećenjem uzorka stijene do iznosa minimalnih horizontalnih naprezanja, prisutne

pukotine se ne moraju u potpunosti zatvoriti, što pri testiranju daje prividno nižu

vrijednost Youngovog modula. Takvo se ponašanje može registrirati pomoću

Poissonovog omjera, koji zatvaranjem pukotina naglo mijenja svoju vrijednost.

Za vrijeme statičkih mjerenja, u istim uvjetima, mogu se izvoditi i dinamička mjerenja.

Ispitivanja su pokazala da je odnos statičkih i dinamičkih elastičnih svojstava pri

simuliranim “in situ” uvjetima približno jednak odnosu statičkih elastičnih svojstava i

dinamičkih elastičnih svojstava iz karotažnog mjerenja.

Odnos statičkih i dinamičkih svojstava iz laboratorijskih mjerenja može se koristiti za

korelaciju s dinamičkim karotažnim mjerenjem pa se iz kontinuiranog karotažnog

mjerenja mogu dobiti približne statičke vrijednosti elastičnih svojstava i za one intervale

ležišta za koje se ne raspolaže s laboratorijskim mjerenjima.

Posmični modul se pri laboratorijskim mjerenjima teže mjeri, ali se može proračunati iz

ostalih elastičnih svojstava.

33

Poglavlje 2

Naprezanja u naslagama stijena

Pri razmatranju stanja naprezanja u naslagama stijena, okolini kanala bušotine i

u okolini hidrauličke frakture, potrebno je razlikovati primarno i sekundarno stanje

naprezanja.

Primarnim stanjem naprezanja smatra se naprezanje koje je u tlu postojalo prije izrade

kanala bušotine. Izradom kanala bušotine ili drugih otvora u tlu, stijene u okolini otvora

prelaze iz primarnog u sekundarno, izmijenjeno stanje naprezanja.

Da bi se definiralo sekundarno stanje naprezanja, potrebno je poznavati primarno

stanje naprezanja.

2.1 Primarno naprezanje u naslagama stijena

Promatrajući stanje naprezanja u podzemlju samo kao posljedicu gravitacije, uz

pretpostavku da je vertikalna komponenta naprezanja posljedica ukupne težine stijena,

vertikalna komponenta naprezanja može se definirati kao težina naslaga stijena po

jediničnoj površini na odreñenoj dubini, odnosno, ako je gustoća naslaga stijena, ρ,

funkcija dubine, z, vertikalna komponenta naprezanja, σz, je25:

∫ ⋅⋅=z

z dzg0

ρσ , 43.

ako je gustoća konstantna za odreñeni interval dubine, onda je:

σ ρz g z= ⋅ ⋅ . 44.

Zbog vertikalnog naprezanja stijena nastoji bočno ekspandirati. Bočna ekspanzija

stijena, teoretski, može biti ograničena, dijelom ograničena ili neograničena.

Koristeći teoriju elastičnosti, iz vertikalne komponente naprezanja mogu se

proračunati horizontalne komponente naprezanja. Pri tome su moguća dva pristupa.

34

Prvi pristup se zasniva na pretpostavci da stijena ne može bočno ekspandirati

pa su horizontalne deformacije, εx i εy, jednake nuli. U tom slučaju zbog nemogućnosti

bočne ekspanzije, kao posljedica vertikalnog naprezanja, javljaju se horizontalna

naprezanja, σx i σy.

Rješavanjem jednadžbi deformacija, izrazi 4 i 5, uz uvjete εx=0 i εy=0, dobivaju se izrazi

za horizontalna naprezanja, σx i σy, u funkciji vertikalne komponente naprezanja, σz, i

Poissonovog omjera, ν, kako slijedi:

zyx σν

νσσ ⋅−

==1

. 45.

Uvrštavanjem izraza za vertikalno naprezanje, izraz 44, u izraz 45, horizontalne

komponente naprezanja mogu se napisati u funkciji dubine, z, gravitacije, g, i gustoće

stijena, ρ:

zgyx ⋅⋅⋅−

== ρν

νσσ1

. 46.

Drugi pristup polazi od pretpostavke da stijena može slobodno horizontalno

ekspandirati. Zbog mogućnosti neograničene bočne ekspanzije, horizontalna

naprezanja stijena u funkciji vertikalnog naprezanja, jednaka su nuli.

Obzirom na ta dva granična pristupa, horizontalne komponente naprezanja u

funkciji vertikalnog naprezanja, mogu biti izmeñu nule i vrijednosti definirane izrazom

45, može se pisati :

zyx A σσσ ⋅== , 47.

gdje je: 0<A<1.

Prema izrazu 47, teorijom elastičnosti se ne može precizno definirati iznos

horizontalnih naprezanja u funkciji vertikalnog naprezanja, ukoliko nisu poznate

horizontalne deformacije.

U praktičnim razmatranjima stanja naprezanja u sedimentnim bazenima, općenito je

prihvaćen prvi pristup koji polazi od pretpostavke nemogućnosti bočne ekspanzije

stijena.

35

Izrazi 45, 46 i 47 se zasnivaju na pretpostavci da je površina tla ravna.

U slučaju neravne površine nema egzaktnog analitičkog rješenja za naprezanje

elastičnog medija pod djelovanjem gravitacione sile.

2.1.1 Dodatna naprezanja i utjecaj pornog tlaka

Bitnu ulogu u naprezanju u kolektorskim stijenama ima porni tlak. Porni tlak

djeluje suprotno smjeru vertikalne komponente naprezanja i umanjuje njezino

djelovanje, slika 10.

Slika 10. Shematski prikaz naprezanja matrice stijene11.

Efektivno vertikalno naprezanje stijene, σz ef., tada je:

36

pzefz pασσ −=. , 48.

Utjecaj pornog tlaka, pp, na efektivno vertikalno naprezanje, ovisi o korekcionom

faktoru, α, koji varira izmeñu 0 i 1, a funkcija je geometrije pornog prostora i fizičkih

svojstava matrice stijene. Može se izračunati poznavajući Poissonov omjer stijene pri

dreniranom, νd, i nedreniranom, νu, mjerenju, i Skemptonov koeficijent pornog tlaka, B,

formulom:

( )( )( )ud

du

B ννννα

+−−=

121

3. 49.

Skemptonov koeficijent, B, definiran je kao promjena pornog tlaka po promjeni

vanjskog opterećenja stijene pri mjerenju u nedreniranim uvjetima. U idealnom slučaju

gdje nema promjene poroziteta i kad je B=1, izraz 49 se može pojednostaviti pa je:

r

u

K

K−=1α , 50.

gdje je Ku, volumni modul stijene pri nedreniranim uvjetima i Kr, volumni modul matrice

stijene. Za ležišta ugljikovodika α je približno 0,7.

Iz izraza 45 i 48 slijede efektivna horizontalna naprezanja matrice stijena:

( )pzefzefyefx pασν

νσν

νσσ −−

=−

==11 ... . 51.

Pribrajanjem člana, αp, izrazu 51, dobiju se horizontalna naprezanja u stijeni zbog

tlaka u pornom prostoru i tlaka naslaga stijena, σx p. i σy p.:

( ) ppzpefzpypx ppp αασν

νασν

νσσ +−−

=+−

==11 ... . 52.

“In situ” naprezanja mogu znatno odstupati od vertikalnih i horizontalnih

naprezanja definiranih formulama 43, 51 i 52. To se može objasniti različitim dodatnim

naprezanjima koja se javljaju u zemljinoj kori.

37

Dodatna naprezanja se mogu podijeliti na tektonska, strukturna i rezidualna

naprezanja25.

Smjerove tektonskih naprezanja moguće je odrediti razmatranjem položaja

rasjednih ploha i drugih geoloških pojava u odreñenom području. Različiti tipovi

rasjeda, bora, navlaka i sl., mogu ukazivati na relativne odnose glavnih komponenti

naprezanja potrebnih za njihovo nastajanje20. Poznavanje relativnih odnosa glavnih

naprezanja bitno je radi odreñivanja smjera hidrauličke frakture. Smjer hidrauličke

frakture, u uvjetima nejednakih naprezanja, je u većini slučajeva okomit na smjer

glavnog minimalnog naprezanja.

Strukturna naprezanja su posljedica nehomogenosti stijena u razmatranom

području. Stijene različitih elastičnih svojstava se za isti iznos deformacija različito

naprežu.

Rezidualna naprezanja obuhvaćaju niz naprezanja koja su povezana s

procesom pri nastanku stijena i periodom nakon njega. Rezidualnim naprezanjima

mogu se pripisati naprezanja uslijed termalnog efekta, odnosno naprezanja nastala

promjenom volumena jednog dijela materijala, čemu može biti uzrok bubrenje

materijala zbog apsorpcije vode, kontrakcija zbog sušenja ili stvaranje topline za

vrijeme metamorfizma, zatim promjene kondukcije i konvekcije topline.

Dodatno naprezanje vektorski se pribraja naprezanju uslijed gravitacije, u

smjeru u kojem djeluje. Iznos dodatnog naprezanja okomito na smjer njegovog

djelovanja ovisan je o Poissonovom omjeru stijene.

Prema tome, izrazu 52, mogu se pribrojiti vektorske komponente dodatnih

naprezanja u “x” i “y” smjeru, ∆σxd i ∆σyd pa su konačne formule kojima su definirana

naprezanja u horizontalnim smjerovima kako slijedi:

( ) dxppzdxpefzukx ppp σαασν

νσασν

νσ ∆++−−

=∆++−

=11 .. , 53.

( ) dyppzdypefzuky ppp σαασν

νσασν

νσ ∆++−−

=∆++−

=11 .. . 54.

Izrazi za horizontalna naprezanja, 53 i 54, zasnivaju se na pretpostavkama:

� stijena se ponaša kao linearno elastičan materijal,

� nepravilnosti površine se, s obzirom na dubinu, mogu zanemariti,

� deformacija u smjeru “z” osi je slobodna pa je promjena naprezanja u vertikalnom

smjeru zbog dodatnog horizontalnog naprezanja jednaka nuli,

38

� efektivno vertikalno naprezanje stijena funkcija je težine stijena i pornog tlaka,

� horizontalne deformacije stijene zbog vertikalnog naprezanja, jednake su nuli.

Stvarno stanje naprezanja u stijenama znatno je složenije, funkcija je meñusobnog

utjecaja ležišnih svojstava, tektonike i procesa nastanka stijena, gdje se u obzir trebaju

uzeti promjene svojstava stijena s dubinom, temperaturom i vremenom.

Jednadžbe 53 i 54, rijetko daju točno stanje naprezanja u podzemlju, obzirom na to

da navedene pretpostavke ne zadovoljavaju realne uvjete i da je iznos dodatnog

naprezanja nepoznat. Više se koriste za procjenu horizontalnih naprezanja u funkciji

dubine i procjenu kontrasta u naprezanjima stijena s obzirom na dubinu i različita

elastična svojstva stijena.

U područjima gdje nisu izražena dodatna naprezanja (tektonski neaktivna područja), za

očekivati je, prema izrazu 52, uz pretpostavku da je porni tlak približno jednak

hidrostatskom tlaku, da su gradijenti horizontalnih naprezanja u granicama izmeñu 13,6

i 15,8 kPa/m, što je često potvrñeno “in situ” mjerenjima14.

Kao rezultat gravitacijskog djelovanja i dodatnih naprezanja, stanje naprezanja

u podzemlju je takvo, da su tri glavna naprezanja nejednaka. Neujednačenost

komponenti naprezanja u različitim smjerovima se potvrñuje činjenicom da je zemljina

kora promatrano kroz duži geološki period bila izložena rasjedanju i boranju.

Prema teoriji elastičnosti, pri troosnom naprezanju, moguće je definirati tri

meñusobno okomite ravnine u kojima su posmična naprezanja jednaka nuli, a

normalna naprezanja primaju ekstremne vrijednosti. U tim ravninama kutne

deformacije jednake su nuli. Pravci kojima su definirane te tri meñusobno okomite

ravnine su smjerovi glavnih naprezanja.

Orijentacija glavnih naprezanja u podzemlju definirana je uvjetima koji se moraju

zadovoljiti i na površini zemlje. Površina zemlje, jedna je od ravnina na kojoj nema

posmičnih naprezanja. Iz toga slijedi da je jedan od smjerova glavnih naprezanja

okomit na površinu zemlje, a druga dva moraju biti paralelna s tom površinom. Prema

tome u područjima blage topografije i jednostavnih geoloških struktura dva glavna

naprezanja su približno horizontalna, a treće glavno naprezanje okomito je na zemljinu

površinu i približno je jednako tlaku geoloških naslaga.

39

2.2 Naprezanje u okolini kanala bušotine

Izradom bušotine stanje naprezanja u podzemlju u okolini kanala bušotine se

mijenja. Stijene u okolini kanala bušotine, koje su prije njegove izrade bile pod

primarnim stanjem naprezanja, prelaze iz primarnog u sekundarno stanje naprezanja.

Naprezanje u okolini kanala bušotine, u dvodimenzionalnim uvjetima, može se riješiti

analitički, koristeći pojam efektivnog horizontalnog naprezanja i aproksimirajući presjek

bušotine s beskonačnom horizontalnom ravnom pločom s kružnim otvorom41, 20, uz

slijedeće pretpostavke:

� os bušotine paralelna je sa smjerom glavne vertikalne komponente naprezanja,

� horizontalne komponente glavnih naprezanja ne variraju po dubini na promatranom

intervalu,

� deformacija stjenke kanala bušotine nije vremenski ovisna,

� presjek bušotine kružnog je oblika,

� stijena je linearno elastična, homogena i izotropna.

U okolini kanala bušotine stanje naprezanja je izmijenjeno, ali na izvjesnoj udaljenosti

promjena stanja naprezanja je zanemariva i ono je definirano primarnim stanjem

naprezanja, slika 11.

40

Slika 11. Shematski prikaz zona naprezanja u okolini kružnog otvora u horizontalnoj ravnini izloženoj

dvoosnom naprezanju.

Ako se nepromijenjeno stanje naprezanja na izvjesnoj udaljenosti od kanala bušotine,

izrazi efektivnim horizontalnim komponentama naprezanja, ako je tlak u kanalu

bušotine jednak pornom tlaku, ∆p=0, i pretpostavi li se da je radijalno normalno

naprezanje na stjenci kanala bušotine jednako nuli, a obodno normalno naprezanje

poprima maksimalnu vrijednost, onda je rješenje naprezanja, u polarnim koordinatama,

u funkciji polumjera bušotine, rw, udaljenosti od ishodišta bušotine, r, i kuta θ, kojima je

odreñen položaj u horizontalnoj ravnini obzirom na os bušotine, slika 11, dano

slijedećim izrazima:

( )θσσ

σ 2cos43

12

12 2

2

4

4.

2

2.

)( ⋅

−++

−⋅=

r

r

r

r

r

r wwefxwefxxr , 55.

41

( )θσσ

σθ 2cos3

12

12 4

4.

2

2.

)( ⋅

+−

+⋅=

r

r

r

r wefxwefxx , 56.

( )θσ

τ θ 2sin23

12 2

2

4

4.

)(, ⋅

+−=

r

r

r

r wwefxxr , 57.

gdje su σr(x), σθ(x) i τr,θ(x) radijalno, obodno i posmično naprezanje na stjenci i u okolini

kanala bušotine, inducirani efektivnom horizontalnom komponentom naprezanja σx ef..

Jednadžbe su dobivene rješavanjem diferencijalne jednadžbe ravnoteže, uz

odgovarajuće granične uvjete i zadovoljavanje jednadžbe kompatibilnosti41.

Efektivno horizontalno naprezanje σy ef., inducira radijalno, obodno i posmično

naprezanje, σr(y), σθ(y) i τr,θ(y), s pomakom za 90O u odnosu na naprezanja zbog

efektivnog naprezanja σx ef.. Njihovim zbrajanjem dobiju se rezultantna naprezanja,

σr(x,y), σθ(x,y) i τrθ(x,y), u funkciji efektivnih naprezanja, σx ef. i σy ef.:

( )θσσσσ

σ 2cos43

12

12 2

2

4

4..

2

2..

),(

−+

−+

−⋅

+=

r

r

r

r

r

r wwefyefxwefyefxyxr , 58.

( )θσσσσ

σθ 2cos3

12

12 4

4..

2

2..

),(

+

−−

+⋅

+=

r

r

r

r wefyefxwefyefxyx , 59.

( )θσσ

τ θ 2sin23

12 2

2

4

4..

),(,

+−

−=

r

r

r

r wwefyefxyxr . 60.

Grafički prikaz obodnih naprezanja na stjenci i u okolini kanala bušotine induciranih

efektivnim horizontalnim naprezanjima, σx ef. i σy ef., kad su ona po intenzitetu

meñusobno jednaka, prema izrazima 56 i 59, prikazano je slikom 12.

42

Slika 12. Obodna naprezanja na stjenci bušotine i njegovoj okolini (do polumjera 1,007 m), inducirana

efektivnim horizontalnim naprezanjima od 10 MPa, prema izrazima 56 i 59.

Obodno naprezanje na stjenci bušotine, zbog jednoosnog naprezanja, slika 12a, i 12b,

poprima maksimalnu vrijednost (3σx ef.) za kut θ = 90o u odnosu na smjer naprezanja,

dok se u okomitom smjeru, tj. za kut θ = 0o javlja vlačno naprezanje (-σx ef.). Radijalno

naprezanje na stjenci kanala bušotine za sve vrijednosti θ jednako je nuli, jednadžbe

55 i 58.

43

Kad su horizontalna efektivna naprezanja, σx ef. i σy ef., jednaka po iznosu, rezultantno

obodno naprezanje na stjenci dvostruko je veće od primarnih efektivnih naprezanja,

slika 12c.

U slučaju meñusobno različitih iznosa primarnih efektivnih naprezanja, rezultantno

sekundarno naprezanje ovisi o njihovom omjeru. Rezultantno obodno naprezanje za

dva različita omjera primarnih efektivnih naprezanja prikazano je slikom 13.

Slika 13. Obodna naprezanja na stjenci i okolini kanala bušotine pri različitim omjerima efektivnih

horizontalnih naprezanja: a) σx ef. /σy ef. =1,5, b) σx ef. /σy ef. =3.

44

Treba napomenuti da su rezultantna sekundarna naprezanja, jednadžbe 58, 59 i 60,

približno rješenje naprezanja u okolini kanala nezacijevljene bušotine jer se zasnivaju

na pretpostavkama koje nisu u potpunosti ispunjene. Zacijevljivanjem kanala bušotine

stanje naprezanja se dodatno mijenja.

2.3 Iniciranje hidrauli čke frakture u bušotini

Matematičko rješenje naprezanje stjenke kanala bušotine i njegove okoline,

uzrokovano tlakom fluida u bušotini, može se aproksimirati naprezanjem šupljog

cilindra u funkciji tlaka na unutarnjoj i vanjskoj granici cilindra41, 20. Pri tome, analogijom

uvjeta, unutarnji polumjer cilindra aproksimacija je polumjera bušotine, rw, gdje djeluje

tlak, ∆p (razlika tlaka fluida u bušotini i slojnog tlaka), a na vanjskom polumjeru cilindra,

re, koji je puno veći od unutarnjeg, tlak je jednak nuli.

Rješenja naprezanja su u polarnim koordinatama dana slijedećim izrazima:

2

2

)( r

rp w

pr ⋅∆=∆σ , 61.

2

2

)( r

rp w

p ⋅∆−=∆θσ , 62.

0)(, =∆ pr θτ . 63.

Naprezanja stijene zbog filtracije fluida iz kanala bušotine u formaciju, su u ovim

rješenjima zanemarena.

Obodno naprezanje stjenke kanala bušotine i njegove okoline u funkciji tlaka u kanalu

bušotine, kad je ∆p>0, prikazano je slikom 14.

45

Slika 14. Vlačno obodno naprezanje na stjenci i okolini kanala bušotine pri razlici tlakova fluida u bušotini i

ležištu, ∆p=20 MPa.

Da bi se dobilo ukupno stanje naprezanja kanala bušotine, potrebno je naprezanju

bušotine zbog porasta tlaka u bušotini, pribrojiti naprezanje bušotine zbog primarnih

efektivnih horizontalnih naprezanja.

Prema tome, rješenje naprezanja kanala bušotine u funkciji efektivnih naprezanja i

tlaka fluida u bušotini, slijedi iz formula 58, 59, 60, 61, 62 i 63:

( )2

2

2

2

4

4..

2

2.. 2cos

431

21

2 r

rp

r

r

r

r

r

r wwwefyefxwefyefxr ⋅∆+

−+

−+

−⋅

+= θ

σσσσσ , 64.

46

( )2

2

4

4..

2

2.. 2cos

31

21

2 r

rp

r

r

r

r wwefyefxwefyefx ⋅∆−

+

−−

+⋅

+= θ

σσσσσθ , 65.

( )θσσ

τ θ 2sin23

12 2

2

4

4..

,

+−

−=

r

r

r

r wwefyefxr . 66.

Zbrajanjem naprezanja, vlačno obodno naprezanje zbog tlaka fluida u bušotini,

poništava tlačno obodno naprezanje nastalo zbog efektivnih horizontalnih naprezanja,

slika 15.

47

Slika 15. Ukupno obodno naprezanje kanala bušotine uslijed efektivnih horizontalnih naprezanja i razlike

tlakova fluida u bušotini i ležištu.

48

Povećavanjem tlaka u kanalu bušotine, do poništavanja tlačnih obodnih naprezanja,

najprije dolazi u smjeru djelovanja veće komponente horizontalnog naprezanja.

Da bi došlo do loma stijene i iniciranja hidrauličke frakture, potrebno je da povećanjem

tlaka u kanalu bušotine tlačno obodno naprezanje na stjenci bušotine u potpunosti

preñe u vlačno naprezanje, a stijena se lomi onda kada naprezanje na vlak bude veće

od vlačne čvrstoće stijene.

Maksimalno obodno naprezanje na stjenci kanala bušotine javlja se u slučaju kada su

horizontalne komponente naprezanja σx ef. i σy ef. po veličini jednake. Tada je obodno

naprezanje na stjenci kanala bušotine jednako dvostrukom iznosu primarnog

efektivnog horizontalnog naprezanja.

Kod nejednakih horizontalnih naprezanja, tlačno obodno naprezanje kanala bušotine

se smanjuje, a može preći i u vlačno naprezanje, ovisno o omjeru horizontalnih

naprezanja.

Prema tome, za tlak fluida u bušotini kojim se inicira hidraulička fraktura u

nezacijevljenom kanalu bušotine, pi.f., prema izrazu 51, uz pretpostavku da je α=1 i da

nema dodatnih naprezanja, može se napisati slijedeći izraz:

( ) SppSpp ppzpeffi ++−⋅−

=++= σν

νσ1

22 ... , 67.

gdje je, S, vlačna čvrstoća stijene.

Vlačna čvrstoća stijena općenito se kreće u rasponu od nule, kod nekonsolidiranih

stijena ili već raspucanih stijena pa do nekoliko MPa, kod čvrstih stijena. Prema tome,

kod nekonsolidiranih ili raspucanih stijena, minimalan tlak potreban za iniciranje

hidrauličke frakture jednak je tlaku fluida u bušotini kojim se postiže vlačno obodno

naprezanje, odnosno poništava minimalno tlačno naprezanje na kanalu bušotine.

2.4 Naprezanje u okolini inicirane frakture

Iniciranjem hidrauličke frakture svladana je povećana koncentracija naprezanja

u okolini kanala bušotine, čime je stvorena situacija da na stjenku frakture djeluje s

jedne strane tlak fluida u frakturi, a u suprotnom smjeru minimalna komponenta

horizontalnog naprezanja, slika 16.

49

Slika 16. Shematski prikaz opterećenja stjenke hidrauličke frakture tlakom fluida i minimalne komponente

horizontalnog naprezanja.

Utjecaj kanala bušotine na stanje naprezanja u okolini frakture je neznatan za frakture

čija je duljina veća od promjera bušotine17.

Uvjeti za daljnje napredovanje pukotine i nastajanje hidrauličke frakture mogu se

objasniti s tri općenito prihvaćene teoretske osnove, koje se koriste u teoriji

hidrauličkog frakturiranja, a to su6, 14:

� uvjet napredovanja pukotine na osnovu Griffitove teorije,

� Barenblattov uvjet napredovanja pukotine i

� uvjet linearno elastične mehanike frakture.

2.4.1 Griffitov uvjet napredovanja frakture

Griffit je razmatrajući nisku vlačnu čvrstoću stakla zbog prisustva mikro

pukotina, dao prvu prihvatljivu teoriju širenja pukotine. Smatrao je da će pukotina

napredovati ukoliko je elastična energija koja se oslobodi povećanjem duljine pukotine,

dovoljna da nadoknadi energiju potrebnu za povećanje duljine pukotine.

50

Osloboñena elastična energija po jediničnoj površini, GG, koja je definirana jedinicom

duljine napredovanja pukotine i jediničnom debljinom ravnine, po vrhu pukotine, za

eliptičnu pukotinu izloženu vlačnom naprezanju, u uvjetima ravninske deformacije,

definirana je kako slijedi:

E

LGG

⋅−⋅⋅= )1( 22 νσπ 68.

Energija potrebna za napredovanje pukotine po jediničnoj površini, može se smatrati

konstantom materijala, RG, koja se naziva otpornošću pukotine, a ovisi o površinskoj

energiji materijala i energiji za formiranje plastičnih deformacija pri vrhu pukotine.

Kod potpuno lomljivih materijala, kao što je staklo, Griffit je smatrao da je energija za

napredovanje pukotine jednaka energiji potrebnoj za nastajanje dvije slobodne

površine. U tom slučaju otpornost pukotine je funkcija površinske energije

materijala, γG:

GGR γ2= 69.

Kod materijala gdje se energija za napredovanje pukotine uglavnom troši na plastične

deformacije, površinska energija materijala se može zanemariti.

Da bi pukotina napredovala, osloboñena elastična energija, GG, minimalno mora biti

veća od otpornosti pukotine, RG. Minimalan iznos osloboñene elastične energije pri

kojem pukotina napreduje, karakteristika je materijala, a naziva se kritičnom

osloboñenom elastičnom energijom, GG cr.

Da bi osloboñena elastična energija, GG, dosegla kritičnu vrijednost, GG cr, vlačno

naprezanje, σ, kojem je izložena pukotina, mora doseći kritičnu vrijednost

naprezanja, σcr:

L

GE crGcr ⋅−⋅

⋅=

)1( 2νπσ . 70.

Kod materijala gdje je otpornost pukotine funkcija samo površinske energije, a ne i

energije potrebne za nastajanje plastičnih deformacija, tj. RG=2γG=GG cr, kritično

naprezanje se može napisati u funkciji površinske energije materijala, γG:

51

L

E Gcr ⋅−⋅

⋅=)1(

22νπ

γσ 71.

Izraz 71, uvjet je napredovanja pukotine prema Griffitu. Izraz 70, je takoñer uvjet

napredovanja pukotine, gdje energija za napredovanje pukotine obuhvaća i energiju za

nastajanje zone plastičnih deformacija.

2.4.2 Barenblattov kriterij napredovanja frakture

Barenblattov uvjet napredovanja pukotine sličan je prethodnom, a kao osnovu

koristi kohezivne sile koje se javljaju u vrhu pukotine i pukotinu nastoje glatko zatvoriti.

Kohezivne sile karakteristično su svojstvo materijala, a opisane su kohezivnim

modulom KB koji se može napisati u funkciji površinske energije kao:

( )21 νγπ−

⋅⋅= EK G

B , 72.

Kritično naprezanje pukotine, σcr, pri kojem pukotine napreduje u funkciji kohezivnog

modula, KB, je:

πσ B

c

K

L⋅= 2

. 73.

2.4.3 Linearno elastična mehanika frakture

Linearno elastična mehanika frakture, LEFM, stanje naprezanja u okolini

frakture izvodi na osnovu teorije linearne elastičnosti.

Uvjet napredovanja pukotine prema linearno elastičnoj mehanici frakture definiran je

kritičnim intenzitetom naprezanja.

52

Pukotina će napredovati kad intenzitet naprezanja pri vrhu pukotine dosegne kritični

intenzitet naprezanja, odnosno pukotina napreduje pri kritičnom naprezanju, σcr, koje je

funkcija kritičnog intenziteta naprezanja:

L

K Iccr π

σ = 74.

Naprezanja pri vrhu pukotine i intenzitet naprezanja pukotine, definirani su izrazima 13,

14, 15 i 16.

2.4.3.1 Uvjet napredovanja frakture kod nejednake r aspodijele naprezanja

u frakturi

Uvjeti napredovanja pukotine, izrazi 70, 71, 73 i 74, čine teoretsku osnovu za

razmatranje napredovanja frakture, ali nisu direktno primjenjivi na dinamičke uvjete pri

hidrauličkom frakturiranju. Za hidrauličko frakturiranje većeg je značenja uvjet

napredovanja frakture koji umjesto ujednačenog opterećenja tj. jednoliko rasporeñenog

tlaka unutar pukotine ili vlačnog naprezanja stjenke pukotine, u obzir uzima nejednaku

raspodjelu tlaka. Nejednaka raspodjela tlaka u frakturi u dinamičkim uvjetima, nastaje

zbog pada tlaka pri protjecanju fluida ili zbog kontrasta naprezanja u stijenama kroz

koje fraktura prolazi.

Intenzitet naprezanja pri vrhu pukotine u funkciji nejednakog opterećenja duž pukotine,

može se proračunati izrazom32,

( ) dxxL

xLp

LK

L

L

xI −+

⋅= ∫

−π1

, 75.

iz kojeg takoñer za uvjet jednolično rasporeñenog tlaka duž pukotine, slijedi izraz 16.

Za slučaj simetrične raspodijele naprezanja u pukotini, izraz 75 se može napisati u

granicama integriranja za polu duljinu pukotine,

∫ −=

Lx

IxL

dxpLK

022

)(2π

, 76.

odakle slijedi da je:

53

L

K

xL

dxpI

Lx π

2022

)(

∫ =−

, 77.

što za konstantan tlak u frakturi daje istovjetan uvjet napredovanja frakture u statičkim

uvjetima dan izrazom 74.

Izraz 77, je uvjet napredovanja pukotine koji se može koristiti u dinamičkim uvjetima.

Poznavajući raspodjelu tlaka duž pukotine (razlika tlaka fluida u frakturi i minimalne

komponente naprezanja), uz kritični intenzitet naprezanja, odreñeni su duljina pukotine

po “x” osi i visina pukotine po “y” osi (kod vertikalne frakture), dok je širina pukotine

funkcija raspodijele tlaka u frakturi.

2.5 Odreñivanje minimalnog naprezanja mikro hidrauli čkim

frakturiranjem

Test mikro frakturiranja sastoji se od utiskivanja malog volumena fluida (0,004

do 0,08 m3), konstantnim protokom, u pakerima izoliran interval formacije, čime se

inicira hidraulička fraktura. Nakon utiskivanja fluida u iniciranu frakturu, prestaje se s

utiskivanjem i postupak se ponavlja. Za vrijeme utiskivanja fluida i nakon prestanka

utiskivanja, registrira se ponašanje tlaka u funkciji vremena. Skica ponašanja tlaka pri

“mikrofrak” testu u nezacijevljenom kanalu bušotine, prikazana je slikom 17.

54

Slika 17. Skica ponašanja tlaka pri “mikrofrak” testu11.

Maksimalna vrijednost tlaka na dijagramu odgovara tlaku loma stijene, odnosno tlaku

koji je potreban za savladavanje povećane koncentracije naprezanja na stjenci kanala

bušotine i vlačne čvrstoće stijene. Nakon hidrauličkog loma, utiskivanjem fluida,

fraktura napreduje. Prestankom utiskivanja fluida, tlak se trenutno smanjuje. Tlak

trenutnog zatvaranja (“instantaneous shut-in pressure” ili ISIP) približno je jednak

minimalnom “in situ” naprezanju stijene. Zbog filtracije fluida kroz stjenku frakture tlak

se nadalje smanjuje. Otvaranjem ventila, tlak se nakon zatvaranja frakture smanjuje na

hidrostatski tlak stupca fluida. Ponavljanjem postupka utiskivanja fraktura se ponovo

otvara, a razlika tlaka hidrauličkog loma stijene i tlaka ponovnog otvaranja frakture je

vlačna čvrstoća stijene.

Ukoliko se “mikrofrak” test izvodi na dnu nezacijevljene bušotine, nakon orijentiranog

jezgrovanja, iz smjera frakture se može odrediti i azimut minimalnog naprezanja.

“Mikrofrak” test se izvodi i u perforiranim zacijevljenim bušotinama, ali tlakovi su tad

manje pouzdani nego kod nezacijevljenih bušotina.

55

Poglavlje 3

Geometrija frakture u funkciji mehani čkih svojstava

stijena u 2D uvjetima

3.1 Visina frakture

3.1.1 Visina frakture u funkciji naprezanja stijena

Stijene koje graniče s ležištem u velikom broju slučajeva su bogate glinom i

mekše su od ležišnih stijena pa je njihov Poissonov koeficijent veći od Poissonovog

koeficijenta kolektorskih stijena. Zbog toga su, prema izrazima 53 i 54, naprezanja u

krovini i podini ležišta u glavnom veća od naprezanja u ležištu.

Naprezanje stijena i tlak fluida u frakturi definiraju efektivni tlak, pef, ili efektivno

naprezanje frakture, koje je jednako njihovoj razlici.

Visina frakture funkcija je distribucije efektivnih naprezanja po njezinoj visini i kritičnih

intenziteta naprezanja stijena u kojima se nalaze vrhovi pukotine.

Uz aproksimaciju da je tlak fluida po visini frakture ujednačen, visina frakture se u

funkciji naprezanja stijena može izračunati na osnovu izraza 75.

3.1.1.1 Visina frakture kod izjedna čenih naprezanja krovinskih i podinskih

stijena

Najjednostavniji pristup u razmatranju visine frakture je pretpostavka

izjednačenog naprezanja stijena podine i krovine nekog ležišta38, 14.

Za simetričan slučaj naprezanja, slika 18, efektivni tlak u frakturi, pef, se može definirati

kako slijedi:

Lyl

lyl

Lyl

p

p

p

p

bf

af

bf

yef

−<<−<<−<<

−−−

=;

;

;

)(.

σσσ

78.

56

Slika 18. Shematski prikaz raspodijele naprezanja po vertikalnom presjeku frakture u uvjetima različitog

intenziteta naprezanja ležišta i stijena krovine i podine.

Uvrštavanjem raspodijele efektivnog tlaka u frakturi opisanog izrazom 78, u jednadžbu

76 i integriranjem slijedi izraz za intenzitet naprezanja prema slici 18:

( ) ( ) LpL

larc

LK bfabcI πσ

πσσ −+

−= sin2 79.

Preureñenjem, izraz 79, se može napisati u slijedećem obliku,

( )

−+−−−+

=−−

l

lLl

K

l

lLarc

p

ab

cI

ab

fb

11

1sin

2

πσσπσσ

σ

80.

pa se visina frakture u funkciji naprezanja stijena i tlaka u frakturi može prikazati u

obliku dijagrama, slika 19.

57

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

(σσσσ b-p f)/(σσσσ b-σσσσ a)

(L-l)

/l

KIc=0, za sve razlike naprezanja stijena

KIc=1,1 MPa, razlika naprezanja stijena je 7 MPa

KIc=1,1 MPa, razlika naprezanja stijena je 5 MPa

KIc=1,1 MPa, razlika naprezanja stijena je 3 MPa

Slika 19. Visina frakture u funkciji naprezanja stijena i tlaka u frakturi.

3.1.1.2 Visina frakture pri razli čitom naprezanju stijena krovine i podine

Kod različitog naprezanja stijena krovine i podine, slika 20, izrazi za visinu

frakture u funkciji efektivnog naprezanja frakture, slijede iz jednadžbe 75.

58

Slika 20. Visina pukotine pri različitom naprezanju stijena krovine i podine.

Distribucija efektivnog tlaka, pef, po vertikalnom profilu frakture, slika 20, može se

definirati izrazom:

( )

2

12

1

.

;

;

;

lyL

lyl

Lyl

p

p

p

p

bf

af

cf

yef

−<<−<<−

<<

−−−

=σσσ

. 81.

Rješavanjem jednadžbe 75, za kritični intenzitet naprezanja na vrhu i dnu pukotine, uz

distribuciju tlaka zadanu izrazom 81, nakon preureñenja i supstitucije, l2=l-l1, slijede

dvije jednadžbe kojima je iterativnim postupkom dano rješenje visine frakture u funkciji

tlaka u frakturi i naprezanja u stijenama:

( ) ( ) ( ) ( )2

2sinsin2

21 πσσσσσσπ

fbcabacbIccIc p

L

larc

L

larc

L

KK−+−

−+

−=+

, 82.

( ) ( ) ( ) 22

221

2

2lLlL

KKabac

cIcbIc −−−−−=−

σσσσπ

. 83.

59

Ako se zanemari utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja na tlak u frakturi, tad se visina

frakture i prodor frakture u stijene podine i krovine, u funkciji tlaka u frakturi i

naprezanja stijena, mogu prikazati familijom krivulja prikazanih slikom 21.

Slika 21. Visina frakture u uvjetima različitih naprezanja krovinskih i podinskih stijena14.

U prisustvu većeg broja slojeva ili proslojaka poznatih naprezanja, visinu frakture

moguće je proračunati kao i u prethodnim slučajevima, iterativnim postupkom,

jednadžbama koje su rezultat rješavanja jednadžbe 75, uz zadanu distribuciju tlaka,

odreñenu tlakom fluida u frakturi i naprezanjima stijena.

60

Za rješavanje visine frakture u slučaju više slojeva mogu se koristiti slijedeće

jednadžbe14:

( )∑∑==

+

+=+ n

j

ji

im

ii

IcnIcm

L

larcS

L

larcSS

L

KK

2,32,20 sinsin

22

ππ, 84.

( )∑∑==

−−−=+ n

jjj

m

iii

IcmIcn lLSlLSKKa

2,3

22

2,2

22

2

π. 85.

U jednadžbama 84 i 85, indeks, m, se odnosi na sloj u kojem se nalazi vrh frakture, a

indeks, n, na sloj u kojem se nalazi dno frakture. Uz to, S2=σ2-σ1, S3=σ3-σ1, Si=σi-σi-2

za i>2, Sj=σj-σj-2 za j>3, σ0=2pf-σm-σn i i=2,2 (ili j=3,2), znači da se i (ili j) povećava

za 2.

Izrazi 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84 i 85, zasnivaju se na pretpostavci da je tlak fluida u

vertikalnom presijeku frakture ujednačen, tj. zanemaruje se pad tlaka zbog vertikalnog

protoka i promjena tlaka fluida u frakturi s visinom, zbog gravitacije.

Takoñer se pretpostavlja da su slojevi u kojima se nalaze vrhovi pukotine,

neograničeni. U slučaju ograničenih slojeva, utjecaj kontrasta u naprezanjima na visinu

frakture je manji.

3.1.2 Visina frakture u funkciji Youngovog modula stijene

Youngov modul na visinu frakture indirektno utječe na dva načina38:

� utjecajem na intenzitet naprezanja pri vrhu pukotine i

� utjecajem na gradijent tlaka duž vertikalnog profila frakture.

Intenzitet naprezanja pukotine definiran izrazom 16, odnosi se na pukotinu u

neograničenoj ravnini. U ravnini konačnih dimenzija, širina ravnine utječe na intenzitet

naprezanja. Intenzitet naprezanja pukotine je tad, prema slici 22, definiran u funkciji

udaljenosti vrha pukotine od ruba ravnine, slijedećim izrazom6:

61

Slika 22. Pukotina u ravnini ograničene širine.

22

tan22

+

+=

L

rL

r

L

K

vr

vrI πσ

86.

Ograničena debljina slojeva stijena, odnosno izmjena kolektorskih i izolatorskih stijena

po profilu frakture, prema izrazu 86, takoñer utječu na intenzitet naprezanja pukotine.

Slikom 23, prikazan je utjecaj blizine slojne plohe na intenzitet naprezanja pri vrhu

pukotine, za dva primjera različitih odnosa Youngovih modula stijena izolatora i ležišne

stijene.

62

Slika 23. Promjena intenziteta naprezanja u funkciji udaljenosti od slojne ravnine38.

(ν1=ν2=0.14, E1=1.6 MPa, E2=3.1 MPa)

U prvom slučaju krutost izolatorskih stijena je manja od krutosti ležišta. Približavanjem

vrha pukotine slojnoj granici, intenzitet naprezanja raste, odnosno za rvr/L→0; KI→∞.

Tada će, što je fraktura bliže plohi uslojavanja, biti lakše njezino napredovanje. U

drugom slučaju, gdje je krutost stijena izolatora veća od krutosti ležišnih stijena,

približavanjem vrha pukotine plohi uslojavanja, intenzitet naprezanja se smanjuje

(vlačno naprezanje pri vrhu frakture je manje), odnosno za rvr/L→0; KI→0. Prema tome,

tada se javlja efekt barijere koji nastoji spriječiti napredovanje frakture stijenama koje

graniče s ležištem. Uzevši u obzir takav utjecaj modula elastičnosti na visinu frakture,

za očekivati je bolje rezultate frakturiranja u ležištima gdje je krutost stijene ležišta

manja od krutosti stijena izolatora.

63

Zbog manje deformabilnosti, širina pukotine u stijenama većih modula

elastičnosti je manja. Smanjenjem širine pukotine po njenoj visini, povećava se

vertikalni gradijent tlaka fluida pa je vertikalno napredovanje frakture teže. Krutost

izolatorskih stijena u većini je slučajeva manja od krutosti kolektora pa je vertikalno

napredovanje frakture potpomognuto manjom krutosti stijena krovine i podine.

Osim što su manje elastične, stijene krovine i podine, za razliku od stijena kolektora

imaju i veći Poissonov koeficijent pa su horizontalna naprezanja u njima veća od onih u

kolektorskim stijenama. Veća minimalna naprezanja u stijenama krovine i podine imaju

veći utjecaj na vertikalni rast frakture nego što na njega utječe veća širina frakture u

krovini i podini zbog manjih modula elastičnosti. Zbog toga se tendencija rasta frakture,

uslijed smanjenja modula elastičnosti stijena krovine i podine, uglavnom poništava.

3.1.3 Visina frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja stijene

Na osnovu navedenih izraza za intenzitet naprezanja pukotine, može se reći da

je kod većeg kritičnog intenziteta naprezanja stijena, potreban veći tlak u pukotini da bi

ona napredovala, horizontalno ili vertikalno. Pri istom efektivnom tlaku u frakturi, visina

frakture je veća, ukoliko su kritični intenziteti naprezanja izolatorskih ili kolektorskih

stijena manji.

Kod jednakog naprezanja stijena krovine i podine (slika 18), rješenje visine pukotine u

funkciji kritičnog intenziteta naprezanja slijedi iz izraza 80:

( ) ( )

1

1

1sin

2

2

2

−

−−−+−

=−

fbab

Ic

p

l

lLarcl

K

l

lL

σσσπ

π

.

87.

Visina frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja može se prikazati dijagramom,

slika 24, dobivenim iterativnim rješavanjem izraza 87.

64

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

KIc (MPam0,5)

(L-l)

/l

σa=30 MPa

σb=36 MPa

pf=35 MPa

σa=30 MPa

σb=40 MPa

pf=35 MPa

Slika 24. Prodor frakture u podinu i krovinu ležišta, pri jednakom naprezanju krovine i podine, u funkciji

kritičnog intenziteta naprezanja stijena krovine i podine.

Prema izrazu 87 i slici 24, utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja na visinu frakture

ovisan je o kontrastu u naprezanju stijena. Što je kontrast u naprezanju stijena manji,

utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja na visinu frakture je veći.

3.2 Širina frakture

Širina frakture ili deformacija stijene, funkcija je efektivnog naprezanja frakture i

elastičnih svojstava kojim se opisuje deformabilnost stijene.

Što je veće naprezanje stijena, za isti tlak fluida u frakturi i kod konstantnog modula

elastičnosti i Poissonovog omjera, širina frakture je manja. Takoñer, u stijenama većih

65

modula elastičnosti, tj. kod manje deformabilnih stijena, pri konstantnom efektivnom

naprezanju, širina frakture je manja.

Kontrasti naprezanja izmeñu kolektora i stijena krovine i podine, indirektno utječu na

širinu pukotine. Ukoliko su odnosi naprezanja u podini, krovini i koklektorskoj stijeni

takvi, da uslijed povećanog naprezanja u stijenama izolatorima sprječavaju vertikalno

napredovanje pukotine, to u pukotini može egzistirati veći tlak pa je i širina frakture

veća.

Na isti način može se opisati i utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja stijena. Što je

kritični intenzitet naprezanja stijene veći, to je za napredovanje frakture potreban veći

tlak, tako da je i širina frakture veća.

(Ako se utjecaj mehaničkih svojstava stijena na širinu frakture analizira promatrano za

isti volumen utisnutog fluida u frakturu, može se reći da sve što utječe na visinu i

duljinu frakture, odnosno na njezinu površinu, utječe i na širinu frakture.

Ograničavanjem visine i duljine frakture za isti volumen fluida koji se utiskuje, raste tlak

u frakturi a time i njena širina. )

England i Green13, 14 su za uvjete ravninske deformacije, prema slici 25, izveli

izraz za širinu pukotine, duljine od x=L do x=-L , u funkciji nejednoliko rasporeñenog

tlaka duž stjenke pukotine.

Slika 25. 2D model hidrauličke pukotine eliptičnog oblika.

( )( )

( )( )

∫ ∫−

∆

−⋅⋅−=

1

02

12

2

1

222

222

114

Lx

ff

x

ff

dfp

Lxf

dff

G

Lw

πν

, 88.

66

gdje je ∆p(f1)=pef.(f1)=p(f1)-σH(f1) razlika tlaka izmeñu hidrauličkog tlaka u pukotini i “in situ”

naprezanja koje djeluje na stjenku pukotine, a f1=x/L, za x<L0 i f2=x/L, za L0<x<L, su

dijelovi polu duljine pukotine (slika 25).

Za slučaj jednoliko rasporeñenog tlaka u pukotini i homogenog naprezanja u stijeni,

odnosno u statičkim uvjetima, jednadžba 88 se svodi na:

( )( ) 2

112

−∆⋅⋅−⋅=L

x

G

pLw x

ν. 89.

Ukoliko se “x” zamijeni sa “z”, a “L” sa “hf”, izrazi 88 i 89, daju širinu frakture u

vertikalnoj ravnini, tj. vertikalni profil frakture.

U horizontalnoj ravnini je zbog trenja pri protjecanju fluida, prisutan gradijent tlaka pa

se širina frakture u tom slučaju definira izrazom 88. U vertikalnoj ravnini, u odreñenim

uvjetima, vertikalno gibanje fluida se može zanemariti, a tlak po vertikalnom presjeku

frakture može se smatrati konstantnim. U tom slučaju, vertikalna širina frakture, ako se

u izrazu 89, “x” zamijeni sa “z”, a “L” sa “hf”, je:

( )( ) 2

21

1

−

∆−=

f

fz h

z

G

phw

ν. 90.

Slično izrazu 88, Sneddon13, 14 je izveo izraz za širinu frakture koja napreduje radijalno,

u slučaju kad nema vertikalnih barijera pa je R=L=hf/2:

( )( )

( )( )

∫∫−

∆

−

−=2

1

21

22

111

222

214f

Rr

f

Rr

r

w ff

dfpf

Rrf

df

G

Rw

πν

. 91.

Za jednoliko rasporeñen tlak, jednadžba 91 se svodi na:

( )( )

R

r

G

pRw r −∆−= 1

14

πν

. 92.

67

Mehanička svojstava stijena i naprezanja po vertikalnom profilu frakture nisu jednaka.

Zbog toga fraktura u području stijene manje krutosti ima veću širinu, dok je manje

široka u kompaktnijoj stijeni većeg modula elastičnosti.

3.3 Duljina frakture

Prema linearno elastičnoj mehanici frakture, duljina i visina frakture su funkcija

distribucije efektivnog tlaka u frakturi i kritičnog intenziteta naprezanja, što je

objašnjeno u drugom poglavlju (točka 2.4.3.1), a matematički se može opisati na

osnovu izraza 75.

Distribucija tlaka fluida po duljini frakture definirana je mehanikom fluida, tj. protokom

fluida kroz pukotinu poznatog oblika i njegovim gubitcima zbog filtracije kroz stjenku

frakture. Budući da je za poznavanje gradijenta tlaka duž pukotine potrebno

poznavanje oblika pukotine, a oblik pukotine funkcija je tlaka fluida u njoj, duljina

pukotine slijedi kao iterativno rješenje protjecanja fluida pukotinom i jednadžbi kojima je

duljina pukotine definirana u funkciji distribucije efektivnog tlaka.

68

Poglavlje 4

Matemati čki modeli za projektiranje hidrauli čke frakture

Matematički modeli nastajanja frakture i njezinog napredovanja zahtijevaju

istodobno rješavanje jednadžbi elastičnosti, jednadžbi protjecanja frakturom i

zadovoljavanje kriterija napredovanja frakture. Geometrija frakture definirana je

jednadžbama elastičnosti, kriterijem napredovanja frakture i gradijentom tlaka fluida u

frakturi. S druge strane gradijent tlaka u frakturi funkcija je protjecanja fluida pukotinom

poznatog oblika.

Uzajamnim rješavanjem jednadžbi kojima je definirana geometrija frakture (izrazi za

širinu frakture i uvjet napredovanja frakture) i jednadžbi protjecanja fluida u pukotini

poznatog oblika, dobivaju se izrazi koji uzajamno povezuju vrijeme, protok, geometriju

frakture i tlak frakturiranja.

Za praktičnu primjenu razvijeni su dvodimenzionalni i trodimenzionalni modeli

hidrauličke frakture.

Dvodimenzionalni modeli temelje se na pretpostavci ravninskog stanja deformacija. To

znači da je u linearno elastičnim neograničenim stijenama u svim paralelnim ravninama

deformacija neovisna o deformacijama u susjednim ravninama.

Osnovni dvodimenzionalni modeli su PKN (Perkins-Kern-Nordgen), KGD (Kristijanović-

Geertsma-de Klerk) i radijalni model.

4.1 KGD model

Na temelju Želtov-Kristijanovićevog koncepta mobilne ravnoteže pukotine26,

prema kojem pri utiskivanju fluida u pukotinu fluid nikad ne dotiče vrh pukotine i

Englang-Greenovog izraza za širinu frakture, Greetsma i de Klerk su razvili KGD model

(Kristijanovič-Geertsma-de Klerk model) 13, 7, slika 26.

69

Slika 26. Shematski prikaz linearno napredujuće frakture prema KGD modelu7.

Pretpostavke na osnovu kojih je izveden KGD model su slijedeće:

� fraktura je konstantne visine, pravokutnih uzdužnih presjeka,

� širina frakture je neovisna o njezinoj visini,

� protjecanja fluida frakturom je laminarno,

� gradijent tlaka fluida u smjeru napredovanja pukotine odreñen je otporom

protjecanja newtonskog fluida u uskom kanalu pravokutnog poprečnog presjeka,

čija se širina mijenja u smjeru napredovanja frakture,

� gubici fluida zbog filtracije su zanemareni.

Promjena tlaka zbog trenja po jedinici duljine, dp/dx, pri protjecanju newtonskog

viskoznog fluida, funkcija je Fanningovog koeficijenta trenja, f, gustoće, ρ, hidrauličkog

dijametra, dh, i srednje brzine protjecanja fluida, v ,:

70

hd

f

dx

dp 2v2 ρ= , 93.

Hidraulički dijametar za uski kanal pravokutnog poprečnog presjeka, kad je visina, hf,

puno veća od širine kanala, w, definiran je kao, dh=2w, a srednja brzina je definirana

kao, v =q/(wf⋅hf). Fanningov koeficijent trenja u navedenim uvjetima protjecanja može

se odrediti izrazom:

eRf

24= , 94.

gdje je Re, Reynoldsov broj, definiran kao Re=ρ v dh/µ.

Nakon uvrštavanja vrijednosti “dh”, “Re”, “f” i “ v ”, u jednadžbu 93 i integriranja, slijedi

izraz za pad tlaka uzduž pukotine promjenjive širine, pri konstantnom protoku:

( ) ( )( )

∫=−x

txftxt

w

dx

h

qpp

03

,

,,0

12µ. 95.

Jednadžbama 88 i 95, uz odgovarajući rubni uvjet, koji je uveo Barennblat, definiran je

oblik frakture.

Barenblattov rubni uvjet nadovezuje se na Kristijanovič-Želtov koncept mobilne

ravnoteže pukotine, a odnosi se na raspodjelu tlaka fluida u frakturi i naprezanje pri

vrhu pukotine. Raspodjela tlaka fluida, koji djeluje na stjenku frakture, mora biti takva

da osigura glatko zatvaranje vrha pukotine. Time je osigurano da je normalno

naprezanje pri vrhu pukotine konačno i da je jednako vlačnoj čvrstoći stijene. Uvjet

glatkog zatvaranja pukotine podrazumijeva da je promjena širine frakture po njenoj

duljini u vrhu pukotine jednaka nuli, odnosno može se napisati:

01

=

=L

xdx

dw 96.

Takoñer iz uvjeta glatkog zatvaranja pukotine slijedi da je otpor protjecanju fluida u

samom vrhu frakture neograničen, zbog čega je tlak fluida u vrhu frakture jednak nuli.

Zbog glatkog zatvaranja, porast širine frakture pri vrhu, proporcionalan je udaljenosti od

71

vrha pukotine, zbog čega se gradijent tlaka smanjuje s najmanje trećom potencijom

udaljenosti od vrha pukotine, izraz 95. Zbog toga se s povećanjem udaljenosti od vrha

pukotine, gradijent tlaka fluida veoma brzo smanji,. Distribucija tlaka u frakturi u tom

slučaju se može aproksimirati kako slijedi:

10

0

⊲⊲

⊲⊲

λλσλλσ

fH

fHf

p

pp

−=∆−=∆

, 97.

gdje je λf = L0/L, a L0 je duljina penetracije fluida u pukotini.

Rješavanjem izraza 77, uz distribuciju tlaka zadanu izrazom 97, slijedi rješenje duljine

penetracije fluida u pukotini:

+=

πσπλ

L

K

pI

f

Hf 2

sin . 98.

Zanemarivanjem kritičnog intenziteta naprezanja, izraz 98 se može napisati u

pojednostavljenom obliku:

=

f

Hf p2

sinπσλ . 99.

Isti rezultat slijedi primjenom uvjeta definiranog izrazom 96, na England-Greenovu

jednadžbu oblika frakture, jednadžba 88.

Rješavanjem jednadžbi 88 i 95, uz penetraciju fluida definiranu izrazom 98 ili 99 slijede

rješenja za:

� maksimalnu širinu pukotine, tj. širinu u njenom ishodištu,

( )( )

( )2

,0 114

fftft LpG

w λλπ

ν −−≅ 100.

� i tlak u ishodištu pukotine,

72

( )( )

23,0

,0

1

21

ftf

ft

wh

qLpp

λµ

−≅= . 101.

Iz jednadžbi 100 i 101 uz zamjenu protoka jednim krilom frakture, q, s ukupnim

protokom, qi, gdje je q=qi/2, slijedi rješenje maksimalne širine pukotine u funkciji njene

duljine:

( )( ) ( )

41

2

,0

142

−=f

tit h

Lq

Gw

µπ

ν. 102.

Uvrštavanjem izraza za volumen pukotine eliptičnog horizontalnog presjeka,

( ) ( ) tqwhLV itftf == ,02

π. 103.

u izraz 102, slijede rješenja duljine i širine pukotine u funkciji vremena utiskivanja:

( ) ( )3

26

1

3

3

3 121

8t

h

GqL

f

it

−=

µνπ, 104.

( )( )

31

61

3

3

3,0

1168t

Gh

qw

f

it

−≅

µνπ

. 105.

Aproksimacijom izraza 99, za duljinu penetracije fluida sa,

212

fffHf pp λλπ

σ −≅− 106.

i kombiniranjem s izrazom 100, slijedi izraz za efektivni tlak u ishodištu pukotine:

73

31

)(

),0(),0( .

)1(2tkonst

L

wGp

t

tHtf ⋅=

−=−

νσ . 107.

Osnovni KGD model dorañen je i prilagoñen za realne uvjete tj. uvjete u kojima se

koriste nenewtonski fluidi i gdje se javlja gubitak fluida zbog filtracije.

4.2 PKN model

Osnovna razlika PKN modela (Perkins-Kern-Nordgernov model) 35, 7 u odnosu

na KGD model je eliptičan vertikalni presjek frakture, slika 27.

Slika 27. Shematski prikaz frakture koja napreduje linearno (prema Perkinsu i Kernu)7.

74

Pretpostavke na kojima se zasniva PKN model vertikalne linearne frakture su:

� visina frakture je konstantna,

� tlak fluida u pukotini u vertikalnim poprečnim presjecima je konstantan,

� vertikalni presjek frakture u bilo kojoj točki je eliptičnog oblika, a definiran je izrazom

90, što znači da je maksimalna širina pukotine dana izrazom:

( )( ) ( )

G

phw Hff

tx

σν −−=

1, 108.

� gradijent tlaka fluida u smjeru napredovanja frakture odreñen je otporom

protjecanju fluida u uskom kanalu eliptičnog presjeka, izraz 93. Za eliptični presjek

Fanningov koeficijent trenja odreñen je izrazom, f= 2π2/Re, a hidraulički dijametar,

dh=πw/2, gdje je wf manja, a hf veća os elipse.

� tlak fluida duž frakture smanjuje se tako da je za x=L, pf=σH,

� u osnovnom modelu gubitak fluida za frakturiranje i promjena širine frakture s

vremenom su zanemareni tako da je ∂q/∂x=0 i protok fluida uzduž pukotine jednak

je polovini ukupnog protoka, q(x, t)=qi/2.

Iz jednadžbe 93, uvrštavanjem izraza za “dh”, “Re”, “f” i “ v ”, slijedi:

fhw

q

dx

dp3

64 µπ

= 109.

Uvrštavanjem izraza 108, u jednadžbu 109 i integriranjem, slijedi jednadžba za

efektivni tlak:

( )( )

( )

41

43

3

,012

4

−=−

f

tiHtf

h

LqGp

νπµ

σ . 110.

Uvrštavanjem izraza 110, u izraz 108, slijedi izraz za maksimalnu širinu frakture u

funkciji njene duljine:

75

( ) ( )4

1

, 2

14

−= tito LqG

w µπ

ν. 111.

Uvoñenjem jednadžbe za ukupni obujam pukotine,

( ) ( ) tqwhLV itftf == ,05

2π 112.

i njenim uvrštavanjem u jednadžbu 111, duljina i maksimalna širina frakture se mogu

izraziti u funkciji vremena:

( ) ( )5

45

1

4

3

1038,1 t

h

GqL

f

it ⋅

−=

µν, 113.

( )( ) 5

12

,0

1051,1

−=

f

it Gh

tqw

µν. 114.

Osnovni Perkins-Kernov model poboljšao je Nordgern31, 7, koji je uzeo u obzir utjecaj

širenja pukotine na protok, izrazivši ga izrazom:

x

wh

x

q f

∂∂=

∂∂

4

π, 115.

U tom slučaju konačni izrazi za duljinu i širinu frakture, koji uzimaju u obzir utjecaj

širenja pukotine na protok, su:

( ) ( )5

45

1

4

3

145,0 t

h

GqL

f

it ⋅

−=

µν, 116.

( )( ) 5

12

,0

189,1

−=

f

it Gh

tqw

µν. 117.

76

Kombinacijom izraza 108 i 117, slijedi izraz za efektivni tlak u ishodištu pukotine:

( ) ( )( ) 5

1,0,0,0 .

1tkonst

h

wGpp

f

tHtft ⋅=

−=−=∆

νσ 118.

4.3 Radijalni model

Kod radijalnog napredovanja frakture13, 7, tj. u slučaju kad vertikalnih barijera

uopće nema, raspodjela tlaka u osnovi je slična raspodjeli tlaka kod linearnog KGD

modela. Najveći gradijent tlaka je u području vrha pukotine, nakon čega slijedi područje

približno konstantnog tlaka.

Ako je hidraulički dijametar, dh=2w, koeficijent trenja, f=24/Re, i srednja brzina

protjecanja, v =q/A=q/(2rπwf), onda iz jednadžbe 93 slijedi izraz za pad tlaka u

radijalnom modelu pukotine:

( ) ( )( )

∫=−r

r tr

trt

wwr

drqpp

3,

,,0

6

πµ

119.

Uvoñenjem aproksimacije da je širina frakture konstantna i jednaka srednjoj širini, w ,

za rw ≤ r<r0 i da je za, r0 ≤ r<R, tlak jednak nuli, gornji izraz se može aproksimirati u

funkciji srednje širine:

( ) ( )w

trt r

r

w

qpp ln

63,,0 π

µ=− . 120.

Na osnovu Sneddonove jednadžbe oblika radijalne frakture, jednadžba 91, distribucije

tlaka u radijalnoj frakturi, jednadžba 120, i Barennblatovog rubnog uvjeta, izvodi se

rješenje maksimalne širine radijalne pukotine, koje se može napisati kako slijedi:

77

( )( ) ( )

41

,0

115,2

−=

G

Rqw ti

t

µν. 121.

Obujam radijalne pukotine paraboličnog oblika je,

( ) tqwRV itf == ,02

15

8π 122.

pa se kombiniranjem jednadžbi 121 i 122, polumjer i širina frakture mogu napisati u

funkciji vremena:

( ) ( )9

49

13

157,0 t

GqR i

t ⋅

−=

µν, 123.

( )( )

91

92

23

,0

186,1 t

G

qw i

t ⋅

−=

µν. 124.

Efektivni tlak u ishodištu pukotine dan je izrazom:

31

)(

),0(),0( .

)1(4

−⋅=−

=− tkonstR

Gwp

t

tHtf ν

πσ 125.

4.4 Nenewtonski fluidi

Prethodno navedene jednadžbe za projektiranje hidrauličke frakture u KGD,

PKN i radijalnom modelu, odnose se na hidrauličko frakturiranje sa newtonskim

fluidima i zanemaruju gubitak fluida zbog filtracije.

U praksi se u hidrauličkom frakturiranju koriste isključivo nenewtonski fluidi7 kod kojih je

odnos smičnog naprezanja, τ, i brzine smicanja, γɺ , karakterizirani indeksom

konzistencije, Ik, i indeksom ponašanja toka, n, izrazom:

78

nkI γτ ɺ= . 126.

Parametri Ik i n odreñuju se laboratorijski, pri čemu na njihov iznos utječe geometrija

viskozimetra pa se laboratorijski mjereni iznosi parametara označavaju sa Ik’ i n’.

Parametri Ik i n se u odnosu na Ik’ i n’ mogu odrediti različitim izrazima ovisno o

geometriji viskozimetra.

Prividna viskoznost nenewtonskih fluida, µa, se pri odreñenoj brzini smicanja, može

izračunati izrazom:

1−′′= nka I γµ ɺ , 127.

gdje je brzina smicanja kod protjecanja pravokutnim kanalom širine w, definirana

izrazom,

w

v6=γɺ 128.

i kod protjecanja kanalom eliptičnog poprečnog presjeka, kad ekscentričnost elipse teži

nuli, a njena manja os je w, brzina smicanja je,

w

v2πγ =ɺ . 129.

Uvrštavanjem izraza 128 ili 129, u izraz 127 i uvoñenjem srednjih brzina protjecanja,

v , slijedi da su prividne viskoznosti nenewtonskog fluida za protjecanje u kanalu

pravokutnog poprečnog presjeka i eliptičnog poprečnog presjeka, pri odreñenoj brzini

smicanja, slijedeće:

� za KGD model,

1

2

6−′

′=

n

ff

kawh

qIµ , 130.

� za PKN model,

79

1

8−′

′=

n

ffka hw

qIµ , 131.

� i za radijalni model,

1

2

3−′

′=n

ka wr

qI

πµ . 132.

Supstitucijom dinamičke viskoznosti u izvodima izraza za širinu frakture u PKN i

radijalnom modelu, ili direktnom supstitucijom dinamičke viskoznosti s prividnom

viskoznosti u izrazu za širinu frakture u KGD modelu, dobivaju se slijedeći izrazi za

širinu frakture:

� širina pukotine u ishodištu, u funkciji duljine frakture, za KGD model;

( ) ( )

22

1

2,0

167+′′

′

−′⋅=n

t

n

f

ik

n

t Lh

q

GIw

νπ

, 133.

� širina pukotine u ishodištu, u funkciji duljine frakture, za PKN model,

( )( ) ( )

( )

22

1

1

,0

1

2

228+′′

′

+′

−′+′=

n

tf

n

f

ikn

n

t Lhh

q

GI

nw

νπ

134.

� i širina pukotine u ishodištu, u funkciji vremena, za radijalni model,

( ) ( ) ( )22

1

2

2

1213

,0

1

18

53 +′′−′′

+′+′

′−′−

=n

nt

nikn

nn

t RqIGn

wν

π. 135.

80

4.5 Gubitci fluida

Gubitak fluida za vrijeme frakturiranja iz pukotine u ležište, kontroliraju tri zone7:

� filterski oblog,

� zona ispunjena filtratom i

� zona ispunjena ležišnim fluidom.

Brzina protjecanja kroz pojedinu zonu, definirana je kao omjer koeficijenta gubitka

fluida pripadne zone i drugog korijena vremena protjecanja, što slijedi iz rješenja

jednadžbe difuzije za jednodimenzionalni linearni protok.

Prema tome gubitak fluida za vrijeme frakturiranja je karakterizirana s tri koeficijenta:

� koeficijentom filtracije fluida, Cc, koji je kontroliran propusnošću ležišta, k,

šupljkavošću, φ, ukupnim koeficijentom stlačivosti, ct i viskoznošću ležišnog

fluida, µ,

πµt

c

ckpC

Φ∆= , 136.

� koeficijentom filtracije fluida, Cv, koji je kontroliran efektivnom propusnosti ležišta za

filtrat, ke, šupljikavošću, φ i prividnom viskoznošću filtrata, µa,

a

ev

pkC

µ2

Φ∆= , 137.

� koeficijentom filtracije fluida, Cw, koji je kontroliran propusnošću filterskog obloga,

kw, i prividnom viskoznošću filtrata, µa,

a

ww

pkC

µκ

2

∆= , 138.

gdje je κ, konstanta koja se odreñuje eksperimentalno, a ovisi o koncentraciji krutih

čestica u fluidu za frakturiranje.

Koeficijent filtracije Cw, se odreñuje eksperimentalno za odreñenu vrstu fluida, te za

vrstu i koncentraciju dodanih krutih čestica.

81

Budući da je protjecanje kroz zone koje kontroliraju gubitak fluida meñusobno

povezano, efektivna brzina protjecanja, vef, se može izraziti u funkciji efektivnog

koeficijenta filtracije, C i vremena, t, izrazom:

t

C=efv . 139.

Pri tome je efektivni koeficijent filtracije, C, funkcija koeficijenata gubitka fluida kojima je

karakterizirano protjecanje kroz pojedinu zonu, a definiran je izrazom:

( )[ ] 21

22222 4

2

wvcwvwc

wvc

CCCCCCC

CCCC

+++= . 140.

U periodu dok još nije formiran filterski oblog, gubitak fluida je kontroliran koeficijentima

Cv i Cc pa je u tom periodu efektivni koeficijent filtracije, Cvc, definiran izrazom:

( ) 21

22 4

2

cvv

vcvc

CCC

CCC

++= . 141.

Volumen izgubljenog fluida u tom periodu naziva se volumenom izlijevanja, Vsp, (“spurt

volume” ili “spurt loss”).

U slučaju kada Cw dominira filtracijom fluida, volumen izlijevanja se može smatrati

trenutnim gubitkom pa je tada ukupni gubitak fluida po jedinici površine, Vl, dan

izrazom:

21

2 tCVV wspl += . 142.

U uvjetima gubitka fluida djelotvornost fluida za frakturiranje se može izraziti kao omjer

volumena frakture (ili razlike utisnutog volumena i gubitaka) i utisnutog volumena

fluida:

tq

Vtq

tq

V

i

li

i

f −==η . 143.

82

Temelj za izvedbu jednadžbi za modeliranje hidrauličke frakture u uvjetima

gubitka fluida, postavio je Carter19, 7, koji je na osnovu jednadžbe za brzinu filtracije,

p

ltt

C

−=v , 144.

gdje je tp, vrijeme početka gubljenja fluida, a t, sadašnje vrijeme, i pretpostavke

konstantne visine i širine frakture, izveo jednadžbu za duljinu frakture, koja je dana

izrazom:

+−= απα

αα erfce

wh

tqL

f

i 2

12

2 2, 145.

gdje je

tw

C πα 2= . 146.

Za α>4, 112

⊲⊲

πααα ≅erfce , dok je 1

2⊳⊳

πα

pa se izraz 145, može svesti na:

Ch

tqL

f

i

π2

1= . 147.

Uključivanjem volumena izlijevanja, duljina frakture u funkciji vremena se može napisati

kako slijedi:

( )

+−+

= απα

αα erfce

hVw

tqL

fsp

i 2

12

22 2, 148.

gdje je

83

tVw

C

sp

πα2

2

+= . 149.

Na osnovu Carterove jednadžbe, izvedene su jednadžbe za projektiranje hidrauličke

frakture za KGD, PKN i radijalni model.

Da bi se udovoljilo Carterovom uvjetu konstantne širine, u KGD modelu je širina

frakture aproksimirana sa ( )ktw ,03

2,gdje je tk konačno vrijeme, tj. vrijeme svršetka

frakturiranja.

Konačno rješenje duljine frakture u uvjetima gubitka fluida za KGD model je:

( )[ ]

+−+

= απα

απα erfce

hVw

tqL

fspt

i

k

2

12

8

22

,0

, 150.

gdje je

( ) spt Vw

tC

k8

8

,0 +=

ππ

α . 151.

Širina frakture u funkciji duljine frakture za nenewtonske fluide dana je izrazom 133.

Rješenje duljine i širine frakture može se odrediti iterativnim rješavanjem jednadžbi 133

i 150.

Za slučaj kad je α>4, tj. kod dugotrajnih frakturiranja i/ili u slučaju velikog efektivnog

koeficijenta filtracije, uz zanemarivi obujam izlijevanja, jednadžba 150 se svodi na

jednadžbu 147. Jednadžba 147 se tada ne može koristiti kao druga jednadžba za

iterativno rješavanje, već se jednadžba 147 kombinira s Biotovim rješenjem KGD

modela4, 7, odakle slijedi izraz za širinu frakture u funkciji vremena,

( )( )

103

51

3

3

0

1t

CGh

qw

f

i

−=

µν, 152

Viskoznost fluida u prethodnom izrazu pri frakturiranju nenewtonskim fluidom se

supstituira s prividnom viskoznošću.

84

U radijalnom modelu konstantna širina frakture aproksimirana je sa ( )ktw ,09

8, a

konačno rješenje polumjera pukotine uz uključivanje gubitaka fluida, dano je izrazom:

( )[ ]

+−+

= απα

απα erfce

Vw

tqR

spt

i

k

2

12

1542

152

,0

2 , 153

gdje je

( ) spt Vw

tC

k154

15

,0 +=

πα . 154

Jednadžbama 153 i 135, dano je rješenje polumjera i širine frakture koje uključuje

gubitak fluida i korištenje nenewtonskog fluida za frakturiranje.

Rješenje PKN modela geometrije frakture uz gubitke fluida, dao je Nordgren31, 7.

Analitičko rješenje duljine pukotine jednako je Carterovom rješenju za α>4, izraz 147.

Maksimalna širina pukotine u ishodištu u funkciji vremena, za newtonski fluid, dana je

jednadžbom,

( )( )

81

41

3

2

,0 2

14 t

GCh

qw

f

it

−=

πµν

, 155

koja je primjenjiva kad je bezdimenzionalno vrijeme, definirano kao,

( )3

2

2

5

2 1

128

−=

i

fD

q

hGCtt

µνπ, 156

veće od jedinice. Kad je tD<0,01, primjenjivo je rješenje uz zanemarivi gubitak fluida,

izrazi 116 i 117.

Za nenewtonske fluide rješenje je dobiveno numeričkom simulacijom, a može se

napisati kao:

85

( )44

122

1

,0

1 +′

+′′

′−= n

nfi

n

f

ikt t

Ch

hq

h

qI

Gaw

ν, 157.

gdje je ( ) ( )( ) ( )( )[ ]{ } 22

14075,016311365,0123 +′′ ′−−+′′++′= nn nnnna ππ , h je efektivna

debljina ležišta i hf>h.

4.6 Trodimenzionalni modeli

Za razliku od 2D modela, gdje je u izvodu matematičkih rješenja geometrije

frakture pretpostavljena konstantna visina frakture i zanemaren vertikalni protok fluida,

3D modeli14 dozvoljavaju promjenu visine frakture s njenom duljinom i uzimaju u obzir

vertikalni protok fluida. Prema tome, daju realniju geometriju frakture, distribuciju

podupirača i ponašanje tlaka.

U osnovi razlikuju se potpuni 3D modeli i pseudo 3D modeli.

Pseudo 3D modeli temelje se na pretpostavci ravninskog stanja deformacija u

vertikalnoj ravnini. To znači da su deformacije u paralelnim vertikalnim ravninama

neovisne o deformacijama susjednih ravnina. Razvijeni su iz PKN modela, uklanjanjem

zahtjeva konstantne visine frakture. Visine frakture mijenja se po duljini frakture i sa

vremenom, u funkciji svojstava stijena i karakteristika fluida za frakturiranje.

Potpuni 3D modeli se zasnivaju na numeričkim metodama rješavanja složenih

matematičkih izraza, koji povezuju mehaniku frakture, mehaniku protjecanja fluida,

kriterij napredovanja frakture, prijenos topline i transport podupirača.

Korištenje trodimenzionalnih modela zahtijeva poznavanje varijacija minimalnog

“in situ” naprezanja sa dubinom. Takoñer korisno je poznavanje varijacije elastičnih i

ostalih svojstava stijena i svojstava fluida.

86

Poglavlje 5

Modeliranje hidrauli čke frakture 3-D simulatorom

U ovom poglavlju, korištenjem trodimenzionalnog simulatora za hidrauličko

frakturiranje (MFrac-III, Verzija 2.01, Meyer & Associates, Inc.) u Službi za projektiranje

bušotina, INA – Naftaplin d.d., konstrukcijom hidrauličkih fraktura u stijenama različitih

mehaničkih svojstava, na primjeru bušotine Žu-226, ispitan je kvantitativno utjecaj

mehaničkih svojstava stijena na geometriju frakture, a time i na količinu radnog fluida,

podupirača i tlak pri frakturiranju.

Da bi se izbjegao utjecaj protoka, vrste fluida za frakturiranje i podupirača na

geometriju frakture, u svim proračunima korišteni je isti protok od 3.9 m3/min i isti tip

radnog fluida i podupirača.

U svim proračunima u frakturu je utisnuto 200 m3 smjese fluida za frakturiranje i

podupirača.

5.1 Opis i definiranje ulaznih parametara na bušoti ni Žu-226.

Glavni nositelj nafte na polju Žutica je serija pješčenjaka nazvana Gama serija.

Seriju čine kvarc tinjčasti pješčenjaci, mjestimično proslojeni nepropusnim laporima. Na

bušotini Žu-226, Gama serija je nabušena na dubini 1967.0 – 2000.5 m, kao ležište

Gama-1 i na dubini 2005.0 – 2009.5 m, kao ležište Gama-x . Gama-1 se pojavljuje u

obliku jednog paketa pješčenjaka proslojenog laporovitim interkalacijama i zalaporenim

pjeskovitim proslojcima, što uzrokuje smanjenu poroznost i slabiju propusnost. Gama-x

je relativno dobro razvijeni sloj pješčenjaka. Konačna dubina bušotine je 2100 m.

Nakon osvajanja bušotine 1981 god., a prije puštanja u proizvodnju dubinskom

sisaljkom, na dubini 1990 m izmjeren je na osnovu testa porasta slojnog tlaka, ležišni

tlak od 10,52 MPa. Dnevna proizvodnja bušotine kretala se od 8 do 10 m3/dan

kapljevine sa do 20 % vode u prvih nekoliko godina rada, da bi proizvodnja pala na 3-5

m3/dan, s nepromijenjenim postotkom vode u zadnje dvije tri godine.

Razlog frakturiranja ležišta Gama-1 i Gama-x je povećanje proizvodnosti bušotine.

Kako od osvajanja bušotine nije bilo mjerenja slojnog tlaka, za projektiranje hidrauličke

frakture korištena je njegova procijenjena vrijednost od 8 MPa.

87

Perforirano je ukupno 22,5 m ležišta Gama-1 i Gama-x, na različitim intervalima, na

dubini od 1967.5 – 2007.5 m, s ukupno 270 perforacija. Promjer ulazne rupe je 10 mm.

Ulazni podaci potrebni za proračun gubitka radnog fluida korišteni pri konstrukciji

hidrauličke frakture, na bušotini Žu-226, navedeni su u tablici 5.

Tablica 5. Podaci korišteni za simulaciju gubitka radnog fluida pri frakturiranju bušotine Žu-22621

Dubina (m) do 1967,0 2000,5 2005,0 2009,5 od 2009,5

Litologija lapor pješčenjak lapor pješčenjak lapor

Porni tlak (MPa) 19,10 8,00 19,62 8,30 19,71

Stlačivost (MPa-1) 0,0015 0,0406 0,0015 0,0406 0,0015

Propusnost (10-3 µm2) 0,0001 5,0 0,0001 6,0 0,0001

Poroznost 0,001 0,212 0,001 0,3 0,001

Viskoznost pornog fluida (mPa s) 1,0 0,71 1,0 0,71 1,0

Viskoznost filtrata (mPa s) 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

Cw (m/min0.5) 0,000762 0,000762 0,000762 0,000762 0,000762

Volumen izlijevanja (m3/m2) 0,0 0,002 0,0 0,002 0,0

Na osnovu mjerenja ISIP-a, pri kalibracionom frakturiranjuV, od približno 28 MPa i

horizontalnog naprezanja stijena od 16,8 MPa odreñenog prema izrazu 52, na dubini

od 2000 m, uz litostatski gradijent od 0,0024 MPa/m, poroelastičnu konstantu 0.8 i

procijenjenu vrijednost Poissonovog koeficijenta za pješčenjak od 0.2, pretpostavljeno

je da je dodatno naprezanje u smjeru minimalnog horizontalnog naprezanja jednako

njihovoj razlici, što iznosi 11,2 MPa. Dodatno naprezanje od 11,2 MPa, uz

pretpostavljenu vrijednost Youngovog modula za pješčenjak od 25000 MPa, rezultat je

deformacije od 0.000448 u smjeru naprezanja.

Ako se pretpostavi da je pomak odnosno deformacija konstantna za krovinske,

podinske i ležišne stijene, onda se s obzirom na vrijednosti Youngovih modula stijena

mogu orijentaciono odrediti veličine dodatnih naprezana u njima. Zbrajanjem dodatnih i

horizontalnih naprezanja, dobivena su minimalna horizontalna naprezanja ležišnih,

krovinskih i podinskih stijena bušotine Žu-226, tablica 6.

V Kalibracioni test je test koji prethodi glavnom frakturiranju. Izvodi se s istim tipom fluida i obrokom utiskivanja, ali bez podupirača. Iz krivulje ponašanja tlaka pri kalibracionom testu, odnosno nakon prestanka utiskivanja fluida, i njezinim usklañivanjem sa simuliranom krivuljom, dobivaju se podaci o minimalnom naprezanju stijena, visini ili radijusu frakture, i gubitcima fluida.

88

Tablica 6. Minimalna naprezanja stijena korištena u konstrukciji hidrauličke frakture u bušotini Žu-226

Dubina (m) Litologija Minimalno horizontalno naprez anje (MPa)

1967,0 lapor 33,8

2000,5 pješčenjak 26,6

2005,0 lapor 34,5

2009,5 pješčenjak 27,0

2017,0 lapor 34,0

Tako odreñena minimalna naprezanja ne moraju biti stvarni iznosi naprezanja u

stijenama, ali za razliku od naprezanja iz prosječnih horizontalnih gradijenata, uzimaju

u obzir razlike u naprezanjima stijena različitih litologija, koje su nastale kao posljedica

različitih vrijednosti Poissonovih omjera, Youngovih modula i pornih tlakova. Litološki

stup ležišta s minimalnim naprezanjima, prikazan je slikom 28.

Slika 28. Minimalna horizontalna naprezanja i litološki stup ležišta bušotine Žu-226.

89

Mehanička svojstva stijena, Youngov modul elastičnosti, Poissonov omjer i kritični

intenzitet naprezanja, u proračunima su varirani u opsegu mehaničkih svojstava koja

se mogu naći u literaturi22, 23, 27, 29 za kolektorske i barijerne stijene i nisu reprezentativni

s obzirom na litologiju bušotine Žu-226, a njihov raspon naveden je u tablici 7.

Tablica 7. Opseg mehaničkih svojstava stijena korištenih u konstrukciji hidrauličke frakture

Stijene kolektori Barijerne stijene

Youngov modul elasti čnosti (MPa) 200 - 137500 160 - 110000

Poissonov koeficijent 0,048 - 0,4 0,06 – 0,5

Kriti čni intenzitet naprezanja (MPa m 0.5) 0,44 – 1,76 0,36 – 1,44

Pojedino mehaničko svojstvo pri konstrukciji frakture, varirano je tako da su ostala

svojstva bila konstantna u iznosima njihovih približno srednjih vrijednosti.

Bezdimenzionalna vodljivost konstruiranih fraktura računana je prema srednjem iznosu

propusnosti od 4,57.10-3 µm2, za interval od 1967,0 do 2009,5 m.

5.2 Rezultati modeliranja hidrauli čke frakture

5.2.1 Utjecaj Youngovog modula na konstrukciju frakture

Omjer Youngovih modula kolektorske i izolatorske stijene u svim proračunima

je konstantan i iznosi 1,25. Na taj način isključen je utjecaj promjene omjera Youngovih

modula stijena na rezultate frakturiranja. Rezultati konstrukcije hidrauličke frakture s

variranjem Youngovih modula navedeni su u tablici 8.

90

Tablica 8. Pregled rezultata konstrukcije hidrauličke frakture s različitim vrijednostima Youngovih modula

Youngov modul stijene kolektora (MPa) 200 1916,2 7065 27660 55120 82580 110040 137500

Youngov modul barijerne stijene (MPa) 160 1533 5652 22128 44096 66064 88032 110000

utisnuta masa pijeska (t) 130 88,618 66,225 49,252 42,577 40,765 37,505 36,693

potrebna hidraulička snaga (kWat) 2199,2 2234,5 2290,4 2422,2 2488,7 2562,8 2579,5 2631,5

minimalni tlak na površini (MPa) 31,836 32,103 32,59 33,5 34,332 34,996 35,575 36,091

maksimalni tlak na površini (MPa) 33,818 34,361 35,221 37,248 38,27 39,409 39,667 40,466

tlak na dnu bušotine, min. (MPa) 28,083 28,261 28,629 29,539 30,371 31,035 31,614 32,13

tlak na dnu bušotine, maks. (MPa) 28,791 29,359 30,28 32,345 33,395 34,518 34,907 35,726

hidrostatski tlak, min. (MPa) 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506

hidrostatski tlak, maks. (MPa) 30,642 30,605 30,51 30,44 30,394 30,42 30,207 30,225

gubitci tlaka uslijed trenja, min. (MPa) 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467

gubitci tlaka uslijed trenja, maks. (MPa) 35,669 35,608 35,452 35,343 35,269 35,312 34,966 34,996

utisnuti volumen smjese (m3) 200 200 200 200 200 200 200 200

utisnuti vol. fluida za frakturiranje (m3) 155,29 169,49 177,2 183,05 185,34 185,97 187,09 187,37

volumen prethodnice (m3) 26,109 69,014 97,001 122,66 134,94 137,39 144,78 145,88

gubitci fluida za frakturiranje (m3) 52,974 105,05 131,55 151,73 158,79 160,23 162,53 162,54

djelotvornost fluida za frakturiranje (%) 73,513 47,476 34,226 24,134 20,603 19,885 18,735 18,727

efektivni tlak u frak. pri kanalu buš. (MPa) 0,43284 1,0411 2,0529 4,2805 5,3755 6,5763 7,1463 7,9911

visina gornjeg dijela frakture (m) 24,451 28,12 26,749 29,014 31,927 34,475 37,006 38,994

visina donjeg dijela frakture (m) 4,02 5,7514 8,4522 11,817 20,255 24,194 27,342 29,74

ukupna visina frakture (m) 28,471 33,871 35,201 40,832 52,181 58,669 64,348 68,734

srednja poduprta visina frakture (m) 23,136 27,871 29,282 33,934 42,845 47,87 52,143 55,289

sr. podu. visina frak. u produkt. zoni (m) 23,136 27,871 29,282 33,934 39,533 40,608 40,977 41,002

maks. širina frak. pri perforacijama (mm) 72,09 25,269 16,26 10,092 8,0065 7,2288 6,2856 5,9545

srednja širina frakture (mm) 54,023 18,438 10,565 5,9852 4,3835 3,9009 3,3489 3,1899

sr. podu. širina frak. u produkt. zoni (mm) 28,08 10,649 6,2538 3,6116 2,8304 2,6161 2,2857 2,1796

sr. pod. šir. frak. pri kanalu bušotine (mm) 35,44 13,37 7,6646 4,092 3,4087 3,1816 2,8155 2,7069

duljina frakture (m) 58,776 92,327 110,59 118,62 109,45 105,92 106,29 104,78

ukupna poduprta duljina frakture (m) 58,731 92,227 109,91 117,3 108,01 104,5 104,7 102,81

sr. konc. podup./površini frakture (kg/m2) 47,782 17,228 10,231 6,1191 4,5407 4,0219 3,3731 3,1449

sr. konc. podup./površ. produk. zone (kg/m2) 27,493 12,382 7,5933 5,0456 4,5926 4,3481 3,8496 3,6943

sr. vodljiv. frakt. u produkt. zoni (10-3 µm2 m) 2815,6 1268,5 781,5 521,53 475,4 449,99 399,13 385,02

sr. bezdim. vod. frak. u produkt. zoni 10,49 3,0096 1,5559 0,97286 0,96314 0,94222 0,8342 0,81947

propusnost frakture (10-3 µm2) 175000 175000 175000 175000 175000 175000 175000 175000

poduprti dio frakture 0,51544 0,54454 0,56447 0,59535 0,60286 0,59805 0,58398 0,57154

vrijeme zatvaranja frakture (h) 2,781 0,63284 0,31273 0,16827 0,1345 0,1337 0,12564 0,13191

Za pojedine parametre iz tablice 8, nacrtane su krivulje kojima je grafički prikazano

njihovo ponašanje u funkciji modula elastičnosti stijena.

Porastom Youngovih modula, stijene pokazuje veću krutost, odnosno deformabilnost

stijena je smanjena pa je širina fraktura pri nižim vrijednostima modula veća, slika 29.

91

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)

Širi

na fr

aktu

re (

mm

)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

Efe

ktiv

ni tl

ak u

frak

turi

(MP

a)

maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm)

prosječna širina frakture (mm)

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)

Slika 29. Širina frakture i efektivni tlak pri kanalu bušotine u funkciji Youngovog modula elastičnosti

kolektorske stijene.

Pri nižim vrijednostima modula (200-15000 MPa) prosječna promjena širine frakture po

jedinici promjene krutosti stijene je približno 3,8.10-3 mm/MPa. Pri većim krutostima

stijena (15000-140000 MPa) prosječni gradijent promjene širine frakture po jedinici

promjene krutosti stijene je znatno manji i približno iznosi 0,065.10-3 mm/MPa. Razlike

u gradijentima širine mogu se objasniti različitim gradijentom porasta visine frakture. U

92

dijelu većeg gradijenta širine, tj. pri nižim vrijednostima modula elastičnosti, izraženije

smanjenje širine je posljedica većeg gradijenta porasta visine frakture. U tom dijelu

fraktura po visini napreduje kroz ležišnu stijenu, tj. stijenu manjih minimalnih

naprezanja. Nakon toga dosezanjem krovine i podine ležišta, tj. stijena većih

minimalnih naprezanja, gradijent porasta visine frakture se smanjuje, a zbog toga se

smanjuje i promatrani gradijent širine frakture.

Širina frakture povezana je s gradijentom tlaka fluida u frakturi. Kod konstantnog

protoka smanjenjem širine frakture, rastu hidraulički gubici i povećava se gradijent tlaka

fluida duž frakture. Zbog toga se porastom vrijednosti Youngovog modula povećava

tlak na ušću bušotine, kao i efektivni tlak u frakturi. U opsegu promjene modula

elastičnosti, efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine se mijenja od 0,430 MPa do

7,990 MPa, slika 29.

Veći porast efektivnog tlaka pri nižim vrijednostima modula može se povezati s većim

gradijentom širine frakture na istom intervalu, slika 29.

Promjena efektivnog tlaka u frakturi rezultira promjenom visine frakture. Visina frakture

u promatranom presjeku definirana je raspodjelom efektivnog tlaka i kritičnim

intenzitetima naprezanja. Pri istim vrijednostima kritičnih intenziteta naprezanja

povećanjem efektivnog tlaka, raste i visina frakture. Time se objašnjava povećanje

visine frakture s povećanjem krutosti stijene, slika 30.

93

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)

Vis

ina

frak

ture

(m

)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

Efe

ktiv

ni tl

ak u

frak

turi

(MP

a)

visina gornjeg dijela frakture (m)

visina donjeg dijela frakture (m)

ukupna visina frakture (m)

prosječna poduprta visina frakture (m)

prosječna poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m)

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)

Slika 30. Visine frakture i efektivni tlak u frakturi u funkciji modula elastičnosti kolektorske stijene.

Na slici su uz promjene ukupne visine frakture pri kanalu bušotine, prodor frakture

prema stijenama podine i krovine, prikazane i promijene prosječne ukupne visine

frakture i visine u produktivnoj zoni nakon zatvaranja frakture (poduprte visine). U

94

području krutosti stijene od 200 do 1916 MPa gradijent porasta visine je najveći. Tada

fraktura svojom visinom doseže krovinu i podinu ležišta Gama-1, nakon čega je ukupan

daljnji rast visine frakture usporen zbog većih minimalnih horizontalnih naprezanja

izolatorskih stijena. Prema gore, nakon dosega krovine ležišta Gama-1, fraktura raste

ravnomjerno. Porast visine frakture prema dolje, za razliku od porasta prema gore, nije

ujednačen. Pri prodoru frakture prema dolje, kroz interval povećanog naprezanja

(2000,5 - 2005,0 m) gradijent porasta visine je smanjen, nakon čega, kad fraktura uñe

u područje ležišta Gama-x, gradijent raste, da bi se pri dosegu stijena podine ležišta

Gama-x, gradijent ponovo smanjio.

Slično ponašanje pokazuju i krivulje prosječne ukupne visine frakture i prosječne visine

frakture u produktivnoj zoni. Budući da je kod kolektora krutosti do blizu 30000 MPa,

poduprta visina frakture sadržana u produktivnoj zoni, krivulje prosječne visine frakture

i prosječne poduprte visine frakture se poklapaju. Kod većih krutosti ukupna poduprta

visina izlazi iz produktivne zone i dalje ujednačeno raste, a prosječna visina frakture u

produktivnoj zoni nakon zatvaranja raste asimptotski prema 42.5 m.

Da bi se zadovoljio kriterij širine frakture za utiskivanje podupiračaVI, kod stijena većih

modula elastičnosti, za dosezanje potrebne širine za utiskivanje podupirača, potrebno

je utisnuti veći volumen prethodnice. Zbog toga se s porastom modula elastičnosti, pri

konstrukciji frakture s konstantnim volumenom smjese, smanjuje masa utisnutog

podupirača, a raste volumen utisnutog fluida, slika 31.

VI Kriterij za utiskivanje podupirača: 1. podupirač se utiskuje kad je širina frakture u ishodištu, w(0, t), minimalno 3 puta veća

od promjera zrna podupirača, dp, tj. w(0, t)≥3dp, 2. gibanjem kroz pukotinu podupirač se ne smije toliko približiti vrhu pukotine, da bi

lokalna širina pukotine, w(x, t), bila premala za njegovo sigurno gibanje, tj. w(x ,t)≥3dp, 3. gibanjem suspenzije fluida i podupirača kroz pukotinu i gubljenjem dijela fluida u sloj,

koncentracija podupirača ne smije postiči kritičnu vrijednost, tj. koncentraciju kod koje suspenzija postaje nepokretna, Cmax≤(ρp/ρp’-1), gdje je ρp, obujamska masa podupirača, a ρp’, nasipna obujamska masa podupirača.

95

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)

Vol

umen

(m

3 )

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

Mas

a po

dupi

rač

a ut

isnu

ta u

frak

turu

(t)

utisnuti volumen smjese (m3)

utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3)

gubitci fluida za frakturiranje (m3)

volumen prethodnice (m3)

utisnuta masa pijeska (kg)

Slika 31. Utrošen volumen radnog fluida i podupirača u 200 m3 smjese, u funkciji modula elastičnosti

kolektorske stijene.

Razlika u masi utisnutog podupirača, u ukupnom promatranom opsegu Youngovih

modula, blizu je 100 tona.

Gubitak fluida zbog filtracije, pri konstantnoj propusnosti formacije, ovisi o površini

frakture i tlaku fluida u njoj. Budući da je kod tvrñih stijena potreban veći volumen fluida

96

za frakturiranje, to će se povećavati i gubici fluida zbog filtracije, slika 31. Porast

gubitka fluida zbog filtracije, posljedica je i većeg tlaka frakturiranja, a i povećanja

površine frakture. Djelotvornost fluida za frakturiranje, odnosno omjer utisnutog

volumena fluida i gubitaka fluida, mijenja se od 18,7 do 73,5 %, slika 32.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)

Dul

jina

frak

ture

(m

)

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

Dje

lotv

orno

st fl

uida

za

frak

turir

anje

(%

)

duljina frakture (m)

ukupna poduprta duljina frakture (m)

djelotvornost fluida za frakturiranje (%)

Slika 32. Duljine frakture i djelotvornost fluida za frakturiranje.

Kao rezultat različite količina utisnutog podupirača, mijenjaju se svojstva frakture. Kod

niskih modula elastičnosti zbog veće širine frakture i veće mase utisnutog podupirača,

97

veća je i vodljivost frakture preračunata na visinu produktivne zone, a isto ponašanje

pokazuje i bezdimenzionalna vodljivost koja u obzir uzima i vodljivu duljinu frakture,

slika 33.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)

Vod

ljivo

st fr

aktu

re (

10-3

µµ µµm

2 m)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Bez

dim

enzi

onal

na v

odlji

vost

frak

ture

prosječna vodljivost frakture u produktivnoj zoni (mD m)

prosječna bezdimenzionalna vodljivost frakture u produktivnoj zoni

Slika 33. Vodljivosti frakture

Konture geometrije fraktura dobivene pri izrazito niskim modulima elastičnosti (Epš.=200

MPa, Elap.=160 MPa), približno srednjim (Epš.=27660 MPa, Elap.=22128 MPa) i izrazito

98

visokim Youngovim modulima (Epš.=137500 MPa, Elap.=110000 MPa), prikazane su

slikom 34.

Slika 34. Konture širina fraktura pri kanalu bušotine kod različitih vrijednosti modula elastičnosti stijena.

99

Iz prikazanih profila fraktura se vidi da se s porastom Youngovih modula stijena

smanjuje širina i raste visina frakture. Razlog smanjenja širine frakture je smanjenje

deformabilnosti stijene. Konstantan protok pri smanjenoj širini rezultira porastom tlaka

u frakturi zbog kojeg raste i njezina visina. Konture širina frakture po njenoj duljini

prikazane su slikom 35.

100

Slika 35. Konture širina frakture po njenoj duljini kod različitih vrijednosti Youngovih modula.

101

5.2.2 Utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja stijena na konstrukciju

hidrauličke frakture

Kritični intenziteti naprezanja kolektorske stijene varirani su u opsegu od 0,44

MPa m0,5 do 1.73 MPa m0,5, pri tome je omjer kritičnih intenziteta kolektorske i

izolatorske stijene iznosio 1,222. Rezultati konstrukcije frakture s različitim kritičnim

intenzitetima naprezanja stijena navedeni su u tablici 9.

102

Tablica 9. Rezultati modeliranja hidrauličke frakture s različitim kritičnim intenzitetima naprezanja stijena

kritični intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m0.5) 0,44 0,704 0,968 1,232 1,496 1,76

kritični intenzitet naprezanja stijene izolatora (MPa m0.5) 0,36 0,576 0,792 1,008 1,224 1,44

utisnuta masa pijeska (t) 48,665 48,899 49,134 49,37 49,608 49,849

potrebna hidraulička snaga (kWat) 2419 2420,1 2420,1 2422,7 2424 2425,4

minimalni tlak na površini (MPa) 33,458 33,474 33,474 33,508 33,526 33,545

maksimalni tlak na površini (MPa) 37,198 37,216 37,216 37,255 37,274 37,297

tlak na dnu bušotine, min. (MPa) 29,498 29,514 29,53 29,548 29,566 29,584

tlak na dnu bušotine, maks. (MPa) 32,292 32,31 32,334 32,353 32,374 32,398

hidrostatski tlak, min. (MPa) 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506

hidrostatski tlak, maks. (MPa) 30,446 30,444 30,441 30,439 30,437 30,434

gubitci tlaka uslijed trenja, min. (MPa) 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467

gubitci tlaka uslijed trenja, maks. (MPa) 35,353 35,349 35,349 35,341 35,337 35,333

utisnuti volumen smjese (m3) 200 200 200 200 200 200

utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3) 183,25 183,17 183,09 183,01 182,92 182,84

volumen prethodnice (m3) 123,55 123,2 122,84 122,48 122,12 121,75

gubitci fluida za frakturiranje (m3) 152,58 152,27 151,91 151,59 151,26 150,89

djelotvornost fluida za frakturiranje (%) 23,709 23,865 24,044 24,203 24,371 24,553

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa) 4,2174 4,2398 4,2669 4,2901 4,315 4,343

visina gornjeg dijela frakture (m) 29,035 29,025 29,018 29,009 29,002 28,996

visina donjeg dijela frakture (m) 11,838 11,827 11,821 11,811 11,803 11,798

ukupna visina frakture (m) 40,873 40,852 40,838 40,82 40,805 40,795

srednja poduprta visina frakture (m) 33,976 33,959 33,943 33,922 33,911 33,9

srednja poduprta visina frak. u produkt. zoni (m) 33,976 33,959 33,943 33,922 33,911 33,9

maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm) 9,9288 9,986 10,056 10,116 10,18 10,253

srednja širina frakture (mm) 5,8415 5,8942 5,9549 6,0091 6,0661 6,1283

srednja poduprta širina frak. u produkt. zoni (mm) 3,5343 3,5701 3,5912 3,6279 3,647 3,6878

sr. poduprta širina frak. pri kanalu bušotine (mm) 4,0188 4,0451 4,0764 4,1035 4,1322 4,1642

duljina frakture (m) 119,23 119,02 118,75 118,53 118,29 118,01

ukupna poduprta duljina frakture (m) 117,68 117,32 117,54 117,17 116,77 116,96

prosj. konc. podup./površini frakture (kg/m2) 6,0084 6,0511 6,096 6,1409 6,1861 6,2323

prosj. konc. podup./površini produktivne zone (kg/m2) 4,9458 4,9908 5,0192 5,0657 5,0916 5,1444

srednja vodljivost frakture u produkt. zoni (10-3 µm2 m) 512,06 517,29 518,41 523,78 527,1 530,76

sr. bezdim. vodljivost frak. u produktivnoj zoni 0,95211 0,96484 0,9651 0,97815 0,98778 0,99301

propusnost frakture (10-3 µm2) 175000 175000 175000 175000 175000 175000

poduprti dio frakture 0,5988 0,59775 0,59613 0,59507 0,59383 0,59227

vrijeme zatvaranja frakture (h) 0,1624 0,16441 0,16699 0,16908 0,17138 0,17404

Prema definiciji kritičnog intenziteta naprezanja i uvjetu za napredovanje frakture, može

se reći da je za napredovanje frakture u stijeni većeg intenziteta naprezanja potreban

veći tlak u frakturi.

Takvo ponašanje pokazuje efektivni tlak u frakturi, ali je njegov porast, ako se promatra

u opsegu promjena efektivnog tlaka kod Youngovih modula, znatno manji, slika 36.

103

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

Kriti čni intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m 0,5)

Širi

na fr

aktu

re (

mm

)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

Efe

ktiv

ni tl

ak (

MP

a)

maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm)

prosječna širina frakture (mm)

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)

Slika 36. Promjene efektivnog tlaka i širina frakture kod različitih kritičnih intenziteta naprezanja stijena.

Efektivni tlak, u opsegu promijene kritičnih intenziteta naprezanja, raste u rasponu od

4,21 do 4,34 MPa.

Porastom kritičnog intenziteta naprezanja, a sa njime i tlaka koji može egzistirati u

frakturi, a da ona ne napreduje, raste širina frakture, slika 36.

Sukladno prema teoriji linearno elastične mehanike frakture, veći kritični intenzitet

naprezanja rezultira smanjivanjem visine i duljine frakture, slika 37.

104

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

Kriti čni intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m 0,5)

Vis

ina

frak

ture

(m

)

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

104

112

120

128

Dul

jina

frak

ture

(m

)

visina gornjeg dijela frakture (m)

visina donjeg dijela frakture (m)

ukupna visina frakture (m)

prosječna poduprta visina frakture (m)

prosječna poduprata visina frakture u produktivnoj zoni (m)

duljina frakture (m)

poduprta duljina frakture (m)

Slika 37. Visine i duljine frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja.

105

Zbog veće širine frakture, kod većih kritičnih intenziteta naprezanja, potreban volumen

prethodnice fluida za frakturiranje je manji, ranije počinje utiskivanje podupirača pa se

povećava masa podupirača u frakturi, slika 38.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

Kriti čni intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m 0,5)

Vol

umen

(m

3 )

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

Utis

nuta

mas

a po

dupi

rač

a (t

)

utisnuti volumen smjese (m3)

utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3)

gubitci fluida zafrakturiranje (m3)

volumen prethodnice (m3)

utisnuta masa pijeska (t)

Slika 38. Volumen radnog fluida i utrošena masa podupirača u 200 m3 smjese za frakturiranje stijena

različitih kritičnih intenziteta naprezanja.

106

Zbog smanjenja volumena fluida i smanjenja duljine i visine frakture, iako raste tlak, s

povećanjem kritičnog intenziteta naprezanja, gubici fluida za frakturiranje se smanjuju,

slika 38.

Povećanjem mase utisnutog podupirača s porastom kritičnog intenziteta naprezanja,

povećava se vodljivost frakture, slika 39, jer raste poduprta širina, a smanjuje se

poduprta duljina frakture.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

Kriti čni intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m 0,5)

Vod

ljivo

st fr

aktu

re (

10-3

µµ µµm

2 m)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Bez

dim

enzi

onal

na v

odlji

vost

prosječna vodljivost frakture u produktivnoj zoni (mD m)

bezdimenzionalna vodljivost frakture u produktivnoj zoni

Slika 39. Vodljivosti frakture u stijenama različitih kritičnih intenziteta naprezanja.

107

Promjene u volumenu utrošenog podupirača, fluida za frakturiranje i geometrije

frakture, rezultat su promjene tlaka koji može egzistirati u frakturi.

5.2.3 Utjecaj Poissonovog omjera na konstrukciju hidrauličke

frakture

Kao i u slučaju variranja ostalih mehaničkih svojstava, omjeri Poissonovih

omjera kolektorske stijene i stijene izolatora u proračunima su konstanta koja iznosi

0,8.

Iako su horizontalna naprezanja funkcija Poissonovih omjera stijene, Poissonovi omjeri

su varirani uz konstantna horizontalna naprezanja, a zatim i uz promjenu horizontalnih

naprezanja s promjenom Poissonovih omjera.

Variranjem Poissonovih omjera uz konstantna naprezanja stijena odvojen je indirektan

utjecaj Poissonovih omjera, putem minimalnih horizontalnih komponenti naprezanja, na

rezultat konstrukcije frakture, odnosno promjena rezultata funkcija su njegovog

direktnog utjecaja na geometriju frakture.

Rezultati modeliranja hidrauličke frakture, uz variranje Poissonovih omjera, kod

konstantnih minimalnih horizontalnih naprezanja stijena, navedeni su u tablici 10.

108

Tablica 10. Rezultati konstrukcije frakture s različitim Poissonovim koeficijentima stijena uz konstantna

minimalna naprezanja

Poissonov omjer stijene kolektora 0,08 0,144 0,208 0,272 0,336 0,4

Poissonov omjer stijene izolatora 0,1 0,18 0,26 0,34 0,42 0,5

utisnuta masa pijeska (t) 49,726 49,495 49,205 48,849 48,288 47,634

potrebna hidraulička snaga (kWat) 2417,1 2419,2 2422,6 2427,8 2434,4 2443,4

minimalni tlak na površini (MPa) 33,465 33,48 33,503 33,536 33,581 33,64

maksimalni tlak na površini (MPa) 37,169 37,201 37,254 37,334 37,435 37,573

tlak na dnu bušotine, min. (MPa) 29,505 29,519 29,542 29,576 29,62 29,679

tlak na dnu bušotine, maks. (MPa) 32,27 32,3 32,351 32,428 32,524 32,657

hidrostatski tlak, min. (MPa) 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506

hidrostatski tlak, maks. (MPa) 30,434 30,437 30,441 30,445 30,452 30,461

gubitci tlaka uslijed trenja, min. (MPa) 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467

gubitci tlaka uslijed trenja, maks. (MPa) 35,333 35,338 35,344 35,351 35,363 35,377

utisnuti volumen smjese (m3) 200 200 200 200 200 200

utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3) 182,88 182,96 183,06 183,18 183,38 183,6

volumen prethodnice (m3) 122,01 122,33 122,73 123,21 123,99 124,89

gubitci fluida za frakturiranje (m3) 151,26 151,48 151,8 152,19 152,79 153,5

djelotvornost fluida za frakturiranje (%) 24,372 24,26 24,102 23,904 23,604 23,252

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa) 4,207 4,2356 4,2862 4,3632 4,4579 4,5892

visina gornjeg dijela frakture (m) 28,873 28,931 29,028 29,17 29,364 29,631

visina donjeg dijela frakture (m) 11,656 11,722 11,833 11,993 12,212 12,512

ukupna visina frakture (m) 40,529 40,654 40,861 41,163 41,576 42,144

srednja poduprta visina frakture (m) 33,69 33,791 33,958 34,202 34,536 34,994

srednja poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m) 33,69 33,791 33,958 34,202 34,536 34,994

maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm) 10,246 10,174 10,072 9,9418 9,7483 9,5213

srednja širina frakture (mm) 6,0971 6,0459 5,9715 5,8755 5,7351 5,5656

srednja poduprta širina frakture u produktivnoj zoni (mm) 3,6851 3,652 3,6027 3,538 3,4448 3,3304

srednja poduprta širina frakture pri kanalu bušotine (mm) 4,1836 4,1423 4,0812 4,0009 3,8859 3,7457

duljina frakture (m) 118,45 118,55 118,65 118,74 118,96 119,16

ukupna poduprta duljina frakture (m) 117,19 117,25 117,36 117,46 117,67 117,88

prosj. konc. podup./površini frakture (kg/m2) 6,2323 6,1798 6,1073 6,0156 5,8785 5,713

prosj. konc. podup./površini produktivne zone (kg/m2) 5,1123 5,0811 5,0366 4,9808 4,8955 4,7938

srednja vodljivost frakture u produktivnoj zoni (10-3 µm2 m) 528,25 525,16 520,53 514,69 505,87 495,34

srednja bezdim. vodljivost frak. u produktivnoj zoni 0,98639 0,98008 0,97056 0,95879 0,9407 0,91949

propusnost frakture (10-3 µm2) 175000 175000 175000 175000 175000 175000

poduprti dio frakture 0,59521 0,59518 0,59556 0,59616 0,59679 0,59763

vrijeme zatvaranja frakture (h) 0,17099 0,16973 0,16781 0,16543 0,16187 0,15777

Porastom Poissonovog omjera, smanjuje se širina frakture, zbog čega raste tlak u

frakturi, a time i efektivan tlak pri kanalu bušotine jer su naprezanja stijena konstantna,

slika 40.

109

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Širi

na fr

aktu

re (

mm

)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

Efe

ktiv

ni tl

ak u

frak

turi

(MP

a)

maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm)

prosječna širina frakture (mm)

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)

Slika 40. Efektivni tlak i širina frakture u funkciji Poissonovog omjera stijene kolektora.

Porast efektivnog tlaka, uz isti kritični intenzitet naprezanja, praćen je s povećanjem

visine i duljine frakture, slika 41.

110

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Vis

ina

frak

ture

(m

)

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

104

112

120

128

Dul

jina

frak

ture

(m

)

ukupna visina frakture (m)

visina gornjeg dijela frakture (m)

visina donjeg dijela frakture (m)

prosječna poduprta visina frakture (m)

prosječna poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m)

duljina frakture (m)

ukupna poduprta duljina frakture (m)

Slika 41. Utjecaj promjene Poissonovog omjera stijena na visinu i duljinu frakture.

Zbog smanjenja širine frakture s povećanjem Poissonovog omjera stijena, povećava se

volumen prethodnice i ukupna količina fluida za frakturiranje, a time se smanjuje udio

111

podupirača u ukupnom volumenu smjese pa je masa utisnutog podupirača u frakturi

manja, slika 42.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Vol

umen

(m

3 )

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

Mas

a po

dupi

rač

a (t

)

utisnuti volumen smjese (m3)

utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3)

gubitci fluida za frakturiranje (m3)

volumen prethodnice (m3)

utisnuta masa pijeska (t)

Slika 42. Količina fluida za frakturiranje i podupirača u 200 m3 smjese za frakturiranje.

Povećanjem površine frakture, tlaka frakturiranja i volumena prethodnice, rastu gubitci

fluida i smanjuje se njegova djelotvornost, slika 42.

112

Iako raste poduprta visina frakture, zbog povećanja duljine i smanjenja poduprte širine

frakture, vodljivost produktivne zone i bezdimenzionalna vodljivost s porastom

Poissonovog omjera se smanjuju, slika 43.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Vod

ljivo

st fr

aktu

re (

10-3

µµ µµm

2 m)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Bez

dim

enzi

onal

na v

odlji

vost

frak

ture

prosječna vodljivost frakture u produktivnoj zoni (mD m)

prosječna bezdimenzionalna vodljivost frakture u produktivnoj zoni

Slika 43. Vodljivosti fraktura kod različitih Poissonovih omjera stijena.

Promjena geometrije frakture, volumena fluida, podupirača i tlaka u frakturi, ako se

zanemari utjecaj Poissonovog omjera na naprezanja stijena, posljedica su utjecaja

Poissonovog omjera na širinu frakture.

113

Da bi se dobio ukupan utjecaj Poissonovog omjera na konstrukciju hidrauličke frakture,

u projektiranje frakture je potrebno uključiti promjene u naprezanjima stijena koje su

posljedica promjena Poissonovih omjera.

Buduća da formula za minimalno horizontalno naprezanja nije egzaktno rješenje

naprezanja, već se može koristiti za procjenu naprezanja ili njegovu korelaciju s

obzirom na dubinu zalijeganja stijena, vrstu stijene i njezine karakteristike, ne može se

sa sigurnošću tvrditi koliki je utjecaj promjene Poissonovog omjera na promjenu stanja

naprezanja. Uz pretpostavku da se horizontalne komponente naprezanja mijenjaju

prema izrazu 53, gdje su dodatna naprezanja odreñena iz razlike ISIPA i minimalnog

horizontalnog naprezanja, s obzirom na pripadne module elastičnosti stijena i

prosječno za kolektorsku stijenu iznose 10,0 MPa, a za izolatorsku stijenu 8,0 MPa,

može se proračunati utjecaj promjene Poissonovih omjera na minimalna horizontalna

naprezanja.

Uključivanjem promjena naprezanja stijena uz variranje Poissonovih omjera, u

projektiranje frakture, uz prethodno opisan utjecaj Poissonovih omjera na konstrukciju

frakture pri konstantnom naprezanju, uključene su i indirektne promjene rezultata

nastale zbog promjene horizontalnih naprezanja. Pri tome je zadržan konstantan omjer

Poissonovog omjera kolektora i njegovih krovinskih i podinskih stijena. Rezultati su

prikazani tablicom 11.

114

Tablica 11. Rezultati projektiranja hidrauličke frakture s različitim Poissonovim omjerima stijena uz

variranje minimalnih naprezanja prema Poissonovim omjerima

Poissonov omjer stijene kolektora 0,08 0,144 0,208 0,272 0,336 0,4

Poissonov omjer stijene izolatora 0,1 0,18 0,26 0,34 0,42 0,5

min. napr. krovine ležišta Gama-1 (1950-1967m) (MPa) 26,8032 30,2174 34,3699 39,529 46,1113 54,8

min. napr. ležišta Gama-1(1967-2000,5 m) (MPa) 19,9478 23,2635 27,1152 31,644 37,0459 43,6001

min. napr. podine ležišta Gama-1 (2000,5-2005 m) (MPa) 27,293 30,7985 35,062 40,359 47,1173 56,0382

min. napr. ležišta Gama-x (2005-2009,5 m) (MPa) 20,249 23,622 27,54 32,147 37,6421 44,3094

min. napr. podine ležišta Gama-x (2009,5-2017 m) (MPa) 27,3801 30,9016 35,1846 40,5058 47,295 56,2567

utisnuta masa pijeska (t) 50,156 49,736 49,071 48,279 47,092 44,569

potrebna hidraulička snaga (kWat) 1985,9 2203,1 2455,4 2755,4 3123,7 3549,6

minimalni tlak na površini (MPa) 26,866 30,18 34,003 38,535 44,078 50,633

maksimalni tlak na površini (MPa) 30,538 33,879 37,758 42,371 48,035 54,583

tlak na dnu bušotine, min. (MPa) 22,906 26,22 30,042 34,575 40,117 46,673

tlak na dnu bušotine, maks. (MPa) 25,639 28,978 32,855 37,462 43,119 49,726

hidrostatski tlak, min. (MPa) 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506

hidrostatski tlak, maks. (MPa) 30,434 30,437 30,442 30,449 30,461 30,368

gubitci tlaka uslijed trenja, min. (MPa) 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467

gubitci tlaka uslijed trenja, maks. (MPa) 35,333 35,337 35,346 35,357 35,378 35,225

utisnuti volumen smjese (m3) 200 200 200 200 200 200

utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3) 182,73 182,88 183,11 183,38 183,79 184,66

volumen prethodnice (m3) 121,1 121,85 122,94 124,21 126,02 129,78

gubitci fluida za frakturiranje (m3) 150,49 151,02 151,94 153,11 154,43 156,43

djelotvornost fluida za frakturiranje (%) 24,756 24,488 24,032 23,445 22,784 21,787

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa) 4,1657 4,2077 4,2897 4,4053 4,5698 4,7519

visina gornjeg dijela frakture (m) 29,242 29,202 28,942 28,603 28,08 27,328

visina donjeg dijela frakture (m) 12,22 12,085 11,747 11,284 10,764 10,028

ukupna visina frakture (m) 41,461 41,287 40,689 39,887 38,845 37,356

srednja poduprta visina frakture (m) 34,435 34,296 33,824 33,195 32,38 31,219

srednja poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m) 34,435 34,296 33,824 33,195 32,38 31,219

maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm) 10,327 10,228 10,048 9,8003 9,5054 9,0176

srednja širina frakture (mm) 6,0832 6,0389 5,9664 5,8663 5,7543 5,5472

srednja poduprta širina frakture u produktivnoj zoni (mm) 3,622 3,6152 3,6044 3,6023 3,5576 3,4344

srednja poduprta širina frakture pri kanalu bušotine (mm) 4,1269 4,1046 4,0873 4,0608 4,0391 3,9754

duljina frakture (m) 117,97 118,04 118,88 120,21 122,12 125,68

ukupna poduprta duljina frakture (m) 116,54 116,95 117,6 118,9 120,31 123,53

prosj. konc. podup./površini frakture (kg/m2) 6,1747 6,1454 6,1029 6,0515 5,9559 5,68

prosj. konc. podup./površini produktivne zone (kg/m2) 5,1382 5,1052 5,0195 4,9201 4,7428 4,4208

srednja vodljivost frakture u produktivnoj zoni (10-3 µm2 m) 531,57 526,82 518,69 508,5 491,79 459,29

sr. bezdim. vodljivost frakture u produktivnoj zoni 0,99805 0,98567 0,9651 0,93583 0,89443 0,81359

propusnost frakture (10-3 µm2) 175000 175000 175000 175000 175000 175000

poduprti dio frakture 0,59104 0,59249 0,59568 0,60072 0,60297 0,59677

vrijeme zatvaranja frakture (h) 0,17737 0,17363 0,1669 0,15811 0,15002 0,1413

115

U opsegu Poissonovih omjera, horizontalna naprezanja kolektorskih i izolatorskih

stijena približno se dvostruko povećavaju, slika 44.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Min

imal

no n

apre

zanj

e st

ijena

(M

Pa)

minimalno naprezanje krovine ležišta Gama-1 (1950-1967m) (MPa)

minimalno naprezanja ležišta Gama-1(1967-2000,5 m) (MPa)

minimalno naprezanje podine ležišta Gama-1 (2000,5-2005 m) (MPa)

minimalno naprezanje ležišta Gama-x (2005-2009,5 m) (MPa)

minimalno naprezanje podine ležišta Gama-x (2009,5-2017 m) (MPa)

Slika 44. Naprezanje stijena u funkciji Poissonovog omjera.

Porastom naprezanja širina frakture se dodatno smanjuje, slika 45 pa je za isti protok

potreban veći tlak fluida u frakturi. Zbog toga, povećanjem Poissonovog omjera, a s

116

njime i naprezanja stijena, raste tlak fluida u frakturi i efektivan tlak u frakturi uz kanal

bušotine, slika 45.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Širi

na fr

aktu

re (

mm

)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

Efe

ktiv

ni tl

ak (

MP

a)

maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm)

prosječna širina frakture (mm)

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)

Slika 45. Širina frakture i efektivni tlak u frakturi kod različitih Poissonovih omjera stijena.

Smanjenje širine frakture i povećanje efektivnog tlaka, kad se u obzir uzmu i promjene

u naprezanjima, za razliku od direktnog utjecaja Poissonovog omjera, je veće.

Porast efektivnog tlaka u frakturi, u uvjetima konstantnih minimalnih horizontalnih

naprezanja, rezultira povećanjem visine frakture. U ovom slučaju efektivni tlak u frakturi

117

raste, a povećavaju se i minimalna horizontalna naprezanja, ali se visina frakture

smanjuje, slika 46.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Vis

ina

frak

ture

(m

)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

Efe

ktiv

ni tl

ak (

MP

a)

visina gornjeg dijela frakture (m)

visina donjeg dijela frakture (m)

ukupna visina frakture (m)

prosječna poduprta visina frakture (m)

prosječna poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m)

efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)

Slika 46. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na visinu frakture i efektivni tlak u frakturi.

118

Visina frakture je funkcija kritičnog intenziteta naprezanja i efektivnog tlaka u frakturi, ali

i kontrasta u naprezanju stijena pa se smanjenje visine frakture uz isti kritični intenzitet

naprezanja i porast efektivnog tlaka u frakturi može objasniti promjenom kontrasta

naprezanja kolektorskih i izolatorskih stijena. Promjena Poissonovih omjera u

variranom opsegu, uz dodatna naprezanja od 10,0 MPa za kolektorske stijene i 8,0

MPa za izolatorske stijene, rezultira porastom u razlici naprezanja izmeñu stijena

izolatora i kolektora od 7,3 MPa do 12,4 MPa, što je uzrok smanjenja visine frakture.

Zbog smanjenja širine frakture, raste volumen prethodnice, a time i volumen ukupno

utisnutog fluida pa je masa utisnutog podupirača manja, slika 47.

119

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Vol

umen

(m

3 )

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

Mas

a po

dupi

rač

a (t

)

utisnuti volumen smjese (m3)

utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3)

gubitci fluida za frakturiranje (m3)

volumen prethodnice (m3)

utisnuta masa pijeska (t)

Slika 47. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na količinu fluida za frakturiranje i masu podupirača u 200 m3

smjese za frakturiranje.

Smanjenjem mase utisnutog podupirača, a time i poduprte širine i visine frakture, iako

se povećava poduprta duljina frakture, smanjuju se vodljivosti frakture, slika 48.

120

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Vod

ljivo

st fr

aktu

re (

10-3

µµ µµm

2 m)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Bez

dim

enzi

onal

na v

odlji

vost

prosječna vodljivost frakture u produktivnoj zoni (mD m)

prosječna bezdimenzionalna vodljivost frakture u produktivnoj zoni

Slika 48. Utjecaj Poissonovog omjera na vodljivosti frakture.

Povećanjem efektivnog tlaka i povećanjem volumena utisnutog fluida, povećavaju se

gubitci fluida pa se djelotvornost fluida za frakturiranje smanjuje, slika 49.

121

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

Poissonov omjer stijene kolektora

Dje

lotv

orno

st fl

uida

za

frak

turir

anje

(%

)

djelotvornost fluida za frakturiranje (%)

Slika 49. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na djelotvornost fluida za frakturiranje.

122

Zaklju čak:

Ponašanje stijena pod opterećenjem, zbog njezine nehomogenosti i

anizotropnosti, dijelom se razlikuje od ponašanja linearno elastičnih materijala.

Elastična svojstva stijena, Youngov modul i Poissonov omjer funkcija su stanja

naprezanja, veličine naprezanja, pornog tlaka, zasićenja fluidima i temperature. Zbog

toga se elastična svojstva iste stijene, mjerena različitim metodama i u različitim

uvjetima, mogu znatno razlikovati. Budući da je kod hidrauličkog frakturiranja brzina

opterećivanja stijene bliža brzinama opterećivanja koje se mogu postići statičkim

metodama, za razliku od dinamičkih, upotrebom statičkih elastičnih svojstva stijene,

opis ponašanja stijene pri hidrauličkom frakturiranju biti će realniji.

Dijagrami naprezanja i deformacija kod statičkih metoda odreñivanja elastičnih

svojstava ne moraju pokazivati linearno elastično ponašanje. Odstupanje od linearnog

ponašanja, različito je za različite tipove stijena i uvjete mjerenja. S obzirom na

nelinearnost dijagrama naprezanja, na različitim intervalima krivulje naprezanja i

deformacije mogu se definirati različite vrijednosti elastičnih svojstava. Kod hidrauličkog

frakturiranja naprezanje stijena nešto je veće od minimalnog “in situ” naprezanja pa se

za opis elastičnog ponašanja stijene trebaju koristiti početne tangencijalne vrijednosti

elastičnih svojstava. Uz to za dobivanje što realnijih podataka o elastičnom ponašanju

stijene, statička mjerenja trebala bi se izvoditi u uvjetima što sličnijim “in situ” uvjetima.

To znači da bočni tlakovi, temperatura i zasićenje pornog prostora trebaju odgovarati

uvjetima u ležištu. U suprotnom, elastična svojstva stijena odreñena u neadekvatnim

uvjetima mogu znatno odstupati od njihovih “in situ” iznosa. Pri točno definiranim

uvjetima naprezanja, temperature i zasićenja pornog prostora, iznos elastičnih

svojstava stijena je konstantan.

Projektiranje hidrauličke frakture s 200 m3 smjese radnog fluida i podupirača, uz

konstantan tempo utiskivanja, u funkciji mehaničkih svojstava stijena, pokazalo je da

Youngov modul elastičnosti, Poissonov omjer i kritični intenzitet naprezanja utječu na

konstrukciju hidrauličke frakture i njezina svojstva.

Kratki pregled njihovog utjecaja na geometriju frakture, efektivni tlak, maksimalni tlak

na dnu bušotine, volumen radnog fluida i masu podupirača, dan je tablicom 12.

123

Tablica 12. Komparativni pregled utjecaja mehaničkih svojstava stijena na rezultat projektiranja hidrauličke

frakture

Eko

lekt

ora

= 20

0 ÷

1375

00 M

Pa

Eba

rijer

e =

160

÷11

0000

MP

a

ν kol

ekto

ra=

0,0

8 ÷

0,4

ν bar

ijere

= 0,

1 ÷

0,5

σ h. m

in.=

kon

st.

ν kol

ekto

ra=

0,0

8 ÷

0,4

ν bar

ijere

= 0,

1 ÷

,5

σ h. m

in.≠

kons

t.

KIc

kol

ekto

ra=0

,44

÷ 1,

76 M

Pa

m0,

5

KIc

bar

ijere

=0,

36÷1

,44M

Pa

m0,

5

razlika mase utisnutog podupirača (t) 93,31 2,09 5,59 1,18

razlika volumena radnog fluida (m3) 32,08 0,72 1,93 0,41

razlika maksimalnih tlakova na dnu bušotine (MPa) 6,94 0,39 24,09 0,11

razlika gubitka fluida za frakturiranje (m3) 109,57 2,24 5,94 1,69

razlika prosječne poduprte visine frakture (m) 32,15 1,30 3,22 0,08

razlika sr. poduprte širine frakture pri bušotini (mm) 32,73 0,41 0,15 0,15

razlika sr. vodljivosti frak. u produkt. zoni (10-3 µm2 m) 2430,58 32,91 72,28 18,70

razlika sr. bezdim. vod. frak. u produkt. zoni 9,67 0,07 0,18 0,04

razlika efektivnog tlaka u frakturi pri bušotini (MPa) 7,56 0,38 0,59 0,13

Najveći utjecaj na konstrukciju frakture i njezina svojstva, meñu spomenutim

mehaničkim svojstvima, ima Youngov modul elastičnosti.

Razlike u geometriji, tlakovima, masi podupirača i volumenu radnog fluida, u funkciji

Youngovog modula, posljedica su njegovog utjecaja na širinu frakture. U mekšim

stijenama, tj. stijenama nižeg Youngovog modula, širina frakture je veća. Povećanjem

širine frakture pri konstantnom tempu utiskivanja, smanjuju se hidraulički gubici u

frakturi pa su efektivni tlak u frakturi, kao i tlakovi na površini i dnu bušotine, manji.

Zbog manjeg efektivnog tlaka u frakturi, manja je visina frakture. Veća širina frakture

omogućava ranije utiskivanje podupirača, odnosno potreban volumen prethodnice je

manji pa je masa utisnutog podupirača veća, a volumen radnog fluida manji.

Povećanjem širine frakture i mase utisnutog podupirača, povećava se vodljivost

frakture.

Razlike u konstrukciji frakture i njezinim svojstvima u funkciji Poissonovih

omjera stijena, uz konstantna minimalna horizontalna naprezanja, istog su trenda, ali

su znatno manje od razlika istih parametara kod Youngovih modula, a rezultat su

direktnog utjecaja Poissonovog omjera na geometriju frakture, odnosno na njenu širinu.

124

Veće promjene u konstrukciji i svojstvima frakture u funkciji Poissonovog

omjera, dobivene su uključivanjem utjecaja Poissonovih omjera na horizontalna

naprezanja. Pri tome, variranjem Poissonovih omjera kolektorskih stijena u opsegu od

0,08 do 0,4 i barijernih stijena od 0,1 do 0,5, minimalna horizontalna naprezanja

kolektorskih stijena mijenjaju se za približno 24 MPa, a barijernih stijena za 28,5 MPa.

Iako je prema formulama za napredovanje frakture u statičkim i dinamičkim

uvjetima bilo za očekivati da kritični intenzitet naprezanja stijena ima veći utjecaj na

efektivni tlak i geometriju frakture, a time i volumen radnog fluida i masu podupirača,

njegov utjecaj na konstrukciju i svojstva frakture je najmanji. Razlika efektivnog tlaka u

frakturi pri kanalu bušotine od 0,13 MPa, dovoljna je da kompenzira povećanje kritičnih

intenziteta naprezanja, a da ne izazove znatnije promijene u geometriji frakture, a time i

u volumenu radnog fluida i masi podupirača.

Kod manjih razlika u naprezanju stijena ili kod stijena nižih modula elastičnosti, utjecaj

kritičnog intenziteta naprezanja, na konstrukciju frakture je veći.

S obzirom na navedene razlike u geometriji frakture i njezinim protočnim

svojstvima u funkciji elastičnih svojstava, promjene proizvodnje bušotine su relativno

male. U primjeru bušotine Žu-226, s obzirom na promjene vodljivosti i duljine

projektirane frakture u promatranom opsegu vrijednosti Youngovih modula, približna

prognozirana kumulativna proizvodnja kapljevine u prvoj godini, pri depresiji od 2 MPa,

kreće se od 5000 do 5200 m3, što odgovara prosječnoj proizvodnji od približno 14

m3/dan.

Stvarna proizvodnja kapljevine nakon frakturiranja bušotine, povećana je na približno

12 m3/dan uz približno 60 % vode, s tim da je u izvedbenom projektu utisnuti volumen

smjese iznosio 170 m3.

125

Literatura:

1. Abou-Sayed A. S., Sinha K. P., Clifton R. J., Brown U.: “Evaluation of the Influence

of “in situ” Reservoir Conditions on the Geometry of Hydraulic Fractures Using 3-D

Simulator: Part 1 – Technical Aproach”, Unconventional Gas Recovery Symposium,

SPE/DOE/GRI 12877, Pittsburgh, 13 –15 svibnja 1984.

2. Abou-Sayed A. S., Clifton R. J., Brown U., Dougherty R: L., Morales R. H.:

“Evaluation of the Influence of “in situ” Reservoir Conditions on the Geometry of

Hydraulic Fractures Using 3-D Simulator: Part 2 – Case Studies”, Unconventional

Gas Recovery Symposium, SPE/DOE/GRI 12877, Pittsburgh, 13 –15 svibnja 1984.

3. Bassiouni Z.: “Theory, Measurement, and Interpretation of Well Logs”,SPE

Textbook Series Vol. 4, Richardson, 1994.

4. Biot M. A., Masse L., Medlin W. L.: “A Two-Dimensional Theory of Fracture

Propagation”, SPE Production Engineering, Januar 1986, str. 17 - 30.

5. Breckels I. M., van Eekelen H. A. M.: “Relation ship Between Horizontal Stress and

Depth in Sedimentary Basins”, Journal of Petroleum Technology, Septembar 1982,

str. 2191 – 2199.

6. Broek D.: “Elementary Engineering Fracture Mechanics”, 1982.

7. Čikeš M.: “Mogunost povećanja pridobivih zaliha ugljikovodika primjenom postupka

hidrauličkog frakturiranja”, Disertacija, RGN-fakultet u Zagrebu, veljača 1995.

8. Daneshy A. A.: “Hydraulic Fracture Propagation in Layered Formations”, SPE 6088,

Society of Petroleum Engineers Journal, Februar 1978, str. 33 – 41.

9. Daneshy A. A.: “On the Design of Vertical Hydraulic Fractures”, Journal of

Petroleum Technology, Januar 1973, str. 83 – 97.

10. Desbrandes R.: “Encyclopedia of Well Logging”, Gulf Publishing Company, Book

Division, Houston, Texas, 1985.

11. Economides M. J., Nolte K. G.: “Reservoir Stimulation”, Schlumbarger Educational

Services, Huston, Texas, 1987.

12. Geertsma J.: “The Effect of Fluid Pressure Decline on Volumetric Changes of

Porous Rock”, Petroleum Transactions of AIME, 210, 1957, str. 331 –340.

13. Geertsma J., de Klerk F.: “A Rapid method of Predicting Width and Extent of

Hydraullicaly Induced Fractures”, Journal of Petroleum Technology, Decembar

1969, str. 1571 – 1581; Transactions of AIME, 246.

126

14. Gidley J. L., Holditch S. A., Nierode D. E., Veatch R. W.: “Recent Advances in

Hydraulic Fracturing”, Monograph Volume 12, Henry L. Doherty Series, Society of

Petroleum Engineers of AIME, New York, Dallas 1989.

15. Gnirk P.F.: “The Mechanical Behavior of Uncased Wellbores Situated in

Elastic/Plastic Media Under Hydrostatic Stress”, Society of Petroleum Engineers

Journal, Februar 1972, str. 49 – 59; Transactions of AIME, vol. 253.

16. Haimson B., Fairhurst C.: “Hydraulic Fracturing in Porous-Permable Materials”,

Journal of Petroleum Technology, Juli 1969, str. 811 – 817.

17. Haimson B., Fairhurst C.: “Initiation and Extension of Hydraulic Fractures in Rocks”,

Society of Petroleum Engineers Journal, Septembar 1967, str. 310 – 318.

18. Harrison E., Kieschnick W. F., McGuire W. J.: “The Mechanics of Fracture Induction

and Extension”, Petroleum Transactions of AIME, vol. 201, 1954, str. 252 – 263.

19. Howard G. C., Fast C. R.: “Optimum Fluid Characteristics for Fracture Extension”,

April 1957.

20. Hubbert M. K., Willis D. G.: “Mechanics of Hydraulic Fracturing”, Petroleum

Transactions of AIME, vol 210, 1957, str. 153 – 168.

21. “Idejni projekt za stimulaciju sloja na bušotini Žu-226”, Služba razrade ležišta, INA-

Naftaplin, Zagreb.

22. “Izvještaj o laboratorijskim ispitivanjima uzoraka jezgre iz bušotine Žutica-271”; 2.

dio, INA-Naftaplin, Sektor za istraživanje i razvoj, Služba laboratorijskih istraživanja,

Zagreb, rujan 1992.

23. “Izvještaj o laboratorijskim isdpitivanjima uzoraka jezgre iz bušotine Okoli-57

dobivene iz serije “c” (Iva-pješćenjaci)”; 3. dio, INA-Naftaplin, Sektor za istraživanje

i razvoj, Služba laboratorijskih istraživanja, Zagreb, svibanj 1993.

24. Jaeger J: C.: “Elasticity, Fracture and Flow”,Science Paperback, Chapman and

Hall, New York, London, 1983.

25. Jaeger J. C., Cook N. G. W.: “Fundamentals of Rock Mechanics”,Halsted Press

Book, New York 1976, Chapman and Hall, London 1976.

26. Kristianovic A., Zeltov Y. P.: “Formation of Vertical Fractures by Means of Highly

Viscous Liquid”, Section II/T.O.P., Paper 3, 4. Svjetski naftni kongres, Rim 1955,

Zbornik radova, str. 579 - 586.

27. Lama R. D., Vutukuri V. S.: “Handbook on Mechanical Properties of Rocks”,

Testing Techniques and Results, vol 2., Trans Tech Publications, Clausthal,

Njemačka 1978.

28. Medlin W. L., Masse L.: “Plasticity Effects in Hydraulic Fracturing”, Journal of

Petroleum Technology, Septembar 1986, str. 995 – 1006.

127

29. “MFRAC-II for Windows”, User’s Guide, Hydraulic Fracturing Simulator – Version

7.x, Meyer & Associates, Inc., Januar 1994.

30. Nolte K. G., Smith M. B.: “Interpretation of Fracturing Pressures”, Journal of

Petroleum Technology, Septembar 1981, str. 1767 – 1775.

31. Nordgren R. P.: “Propagation of a Vertical Hydraulic Fracture”, Society of

Petroleum Engineers Journal, August 1972, str. 306 – 314; Transactions of AIME,

253.

32. Paris P. C., Sih G. C.: “Stress Analysis of Cracks”, Fracture Thougness Testing, str.

30 – 39.

33. Paslay P. R., Cheatham J. B.: “Rock Stresess Induced by Flow of Fluids into

Boreholes”, Society of Petroleum Engineers Journal, Mart 1963, str. 85 – 93.

34. Perkins T. K.: “Application of Rock Mechanics in Hydraulic Fracturing Theories”, 7.

Svjetski naftni kongres, 1968, Rock Mechanics in Oilfield Geology Drilling and

Production, Zbornik radova, str. 75 – 84.

35. Perkins T. K., Kern L. R.: “Widths of Hydraulic Fractures”, Journal of Petroleum

Technology, Septembar 1961, str. 937 – 949; Transactions of AIME, 222.

36. Perkins T. K., Krech W. W.: “The Energy Balance Concept of Hydraulic Fracturing”,

Society of Petroleum Engineers Journal, Mart 1968, str. 1 – 12.

37. Sheriff R. E., Geldart L. P.: “Exploration Seismology”, 2. izdanje, Cambridge

University Press, 1995.

38. Simonson E. R., Abou-Sayed A. S., Clifton R. J.: “Containtment of Massive

Hydraulic Fractures”, Society of Petroleum Engineers Journal, Februar 1978, str. 27

– 32.

39. Šimić V.: “Otpornost Materijala – I”, Školska knjiga, Zagreb, 1992.

40. Šimić V.: “Otpornost Materijala – II”, Školska knjiga, Zagreb, 1995.

41. Timoshenko S. P., Goodier J. N.: “Theory of Elasticity”, McGraw-Hill Book

Company, Singapur 1985.

42. Veatch R. W.: “Overview of Current Hydraulic Fracturing Design and Treatment

Technology – Part 1”, Journal of Petroleum Technology, April 1983, str. 677 – 686.

43. Veatch R. W.: “Overview of Current Hydraulic Fracturing Design and Treatment

Technology – Part 2”, Journal of Petroleum Technology, Maj 1983, str. 853 – 864.

44. Wrapinski N. R.: “Measurement of Width and Pressure in a Propagating Hydraulic

Fracture”, Society of Petroleum Engineers Journal, Februar 1985, str. 46 – 54.

45. Wrapinski N. R., Branagan P., Wilmer R.: “In-Situ Stress Measurements at U.S.

DOE’s Multiwell Experiment Site, Mesaverde Group, Rifle, Colorado”, Journal of

Petroleum Technology, mart 1985, str. 527 – 536.

128

46. Wrapinski N. R., Schmidt R. A., Northrop D. A.: “In-Situ Stresess: The Predominant

Influence on Hydraulic Fracture Containtment”, Journal of Petroleum Technology,

Mart 1982, str. 653 – 664.

47. Wrapinski N. R., Teufel L. W.: “Influence of Geologic Discontinuities on Hidraulic

Fracture Propagation”, Journal of Petroleum Technology, Februar 1987, str. 209 –

220.

48. Zimmerman R. W.: “Compressibility of Sandstones”, Elsevier Science Publishing

Company Inc., Amsterdam, Oxford, New York, Tokyo 1991.

129

Uvod .............................................................................................................................1

Poglavlje 1 ....................................................................................................................4

Osnove mehanike stijena i mehanike linearno elastičnih materijala ..............................4

1.1 Elastična svojstva linearno elastičnih materijala...................................................4

1.1.1 Youngov modul elastičnosti...........................................................................4

1.1.2 Poissonov koeficijent.....................................................................................5

1.1.3 Posmični modul.............................................................................................6

1.1.4 Volumni modul i stlačivost .............................................................................6

1.1.5 Žilavost materijala .........................................................................................8

1.2 Elastična svojstava stijena.................................................................................11

1.2.1 Statička elastična svojstva stijena ...............................................................12

1.2.1.1 Utjecaj temperature, bočnih naprezanja, brzine opterećivanja, veličine

naprezanja i orijentacije uzorka na statička mjerenja elastičnih svojstava stijena

.........................................................................................................................14

1.2.1.2 Stlačivost stijena...................................................................................17

1.2.1.3 Sekantna i tangencijalna elastična svojstva stijena...............................20

1.2.2 Dinamička elastična svojstva stijena ...........................................................23

1.2.3 Usporedba statičkih i dinamičkih elastičnih svojstava stijena.......................29

1.2.4 Odreñivanje elastičnih svojstava stijena za potrebe hidrauličkog frakturiranja

............................................................................................................................31

Poglavlje 2 ..................................................................................................................33

Naprezanja u naslagama stijena .................................................................................33

2.1 Primarno naprezanje u naslagama stijena .........................................................33

2.1.1 Dodatna naprezanja i utjecaj pornog tlaka...................................................35

2.2 Naprezanje u okolini kanala bušotine ................................................................39

2.3 Iniciranje hidrauličke frakture u bušotini .............................................................44

2.4 Naprezanje u okolini inicirane frakture ...............................................................48

2.4.1 Griffitov uvjet napredovanja frakture............................................................49

2.4.2 Barenblattov kriterij napredovanja frakture ..................................................51

2.4.3 Linearno elastična mehanika frakture..........................................................51

2.4.3.1 Uvjet napredovanja frakture kod nejednake raspodijele naprezanja u

frakturi ..............................................................................................................52

2.5 Odreñivanje minimalnog naprezanja mikro hidrauličkim frakturiranjem..............53

Poglavlje 3 ..................................................................................................................55

Geometrija frakture u funkciji mehaničkih svojstava stijena u 2D uvjetima ..................55

3.1 Visina frakture....................................................................................................55

130

3.1.1 Visina frakture u funkciji naprezanja stijena.................................................55

3.1.1.1 Visina frakture kod izjednačenih naprezanja krovinskih i podinskih stijena

.........................................................................................................................55

3.1.1.2 Visina frakture pri različitom naprezanju stijena krovine i podine...........57

3.1.2 Visina frakture u funkciji Youngovog modula stijene....................................60

3.1.3 Visina frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja stijene..................63

3.2 Širina frakture ....................................................................................................64

3.3 Duljina frakture ..................................................................................................67

Poglavlje 4 ..................................................................................................................68

Matematički modeli za projektiranje hidrauličke frakture..............................................68

4.1 KGD model........................................................................................................68

4.2 PKN model ........................................................................................................73

4.3 Radijalni model ..................................................................................................76

4.4 Nenewtonski fluidi..............................................................................................77

4.5 Gubitci fluida......................................................................................................80

4.6 Trodimenzionalni modeli ....................................................................................85

Poglavlje 5 ..................................................................................................................86

Modeliranje hidrauličke frakture 3-D simulatorom........................................................86

5.1 Opis i definiranje ulaznih parametara na bušotini Žu-226. .................................86

5.2 Rezultati modeliranja hidrauličke frakture ..........................................................89

5.2.1 Utjecaj Youngovog modula na konstrukciju frakture ....................................89

5.2.2 Utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja stijena na konstrukciju hidrauličke

frakture...............................................................................................................101

5.2.3 Utjecaj Poissonovog omjera na konstrukciju hidrauličke frakture...............107

Zaključak:..................................................................................................................122

Literatura:..................................................................................................................125

131

Slika 1. Jednoosna kompresija......................................................................................5

Slika 2. Tangencijalno naprezanje.................................................................................6

Slika 3. Tipovi pukotina6. ...............................................................................................9

Slika 4. Naprezanje pri vrhu pukotine6.........................................................................10

Slika 5. Idealizirani oblici krivulja naprezanje-deformacija, kod jednoosnog tlačnog

naprezanja stijena27. ...................................................................................................12

Slika 6. Kompletna krivulja naprezanja i deformacija27. ...............................................13

Slika 7. Sekantne i tangencijalne vrijednosti Youngovog modula elastičnosti. .............21

Slika 8. Shematski prikaz punog signala registriranog na prijemniku akustične sonde3.

....................................................................................................................................27

Slika 9. Intervalna vremena nailazaka longitudinalnog i transverzalnog vala, tL i tT,

registrirana LSS karotažom3........................................................................................28

Slika 10. Shematski prikaz naprezanja matrice stijene11..............................................35

Slika 11. Shematski prikaz zona naprezanja u okolini kružnog otvora u horizontalnoj

ravnini izloženoj dvoosnom naprezanju.......................................................................40

Slika 12. Obodna naprezanja na stjenci bušotine i njegovoj okolini (do polumjera 1,007

m), inducirana efektivnim horizontalnim naprezanjima od 10 MPa, prema izrazima 56 i

59................................................................................................................................42

Slika 13. Obodna naprezanja na stjenci i okolini kanala bušotine pri različitim omjerima

efektivnih horizontalnih naprezanja: a) σx ef. /σy ef. =1,5, b) σx ef. /σy ef. =3.......................43

Slika 14. Vlačno obodno naprezanje na stjenci i okolini kanala bušotine pri razlici

tlakova fluida u bušotini i ležištu, ∆p=20 MPa..............................................................45

Slika 15. Ukupno obodno naprezanje kanala bušotine uslijed efektivnih horizontalnih

naprezanja i razlike tlakova fluida u bušotini i ležištu...................................................47

Slika 16. Shematski prikaz opterećenja stjenke hidrauličke frakture tlakom fluida i

minimalne komponente horizontalnog naprezanja.......................................................49

Slika 17. Skica ponašanja tlaka pri “mikrofrak” testu11. ................................................54

Slika 18. Shematski prikaz raspodijele naprezanja po vertikalnom presjeku frakture u

uvjetima različitog intenziteta naprezanja ležišta i stijena krovine i podine. .................56

Slika 19. Visina frakture u funkciji naprezanja stijena i tlaka u frakturi. ........................57

Slika 20. Visina pukotine pri različitom naprezanju stijena krovine i podine. ................58

Slika 21. Visina frakture u uvjetima različitih naprezanja krovinskih i podinskih stijena14.

....................................................................................................................................59

Slika 22. Pukotina u ravnini ograničene širine. ............................................................61

Slika 23. Promjena intenziteta naprezanja u funkciji udaljenosti od slojne ravnine38. ...62

132

(ν1=ν2=0.14, E1=1.6 MPa, E2=3.1 MPa).......................................................................62

Slika 24. Prodor frakture u podinu i krovinu ležišta, pri jednakom naprezanju krovine i

podine, u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja stijena krovine i podine...................64

Slika 25. 2D model hidrauličke pukotine eliptičnog oblika............................................65

Slika 26. Shematski prikaz linearno napredujuće frakture prema KGD modelu7. .........69

Slika 27. Shematski prikaz frakture koja napreduje linearno (prema Perkinsu i Kernu)7.

....................................................................................................................................73

Slika 28. Minimalna horizontalna naprezanja i litološki stup ležišta bušotine Žu-226. ..88

Slika 29. Širina frakture i efektivni tlak pri kanalu bušotine u funkciji Youngovog modula

elastičnosti kolektorske stijene. ...................................................................................91

Slika 30. Visine frakture i efektivni tlak u frakturi u funkciji modula elastičnosti

kolektorske stijene.......................................................................................................93

Slika 31. Utrošen volumen radnog fluida i podupirača u 200 m3 smjese, u funkciji

modula elastičnosti kolektorske stijene........................................................................95

Slika 32. Duljine frakture i djelotvornost fluida za frakturiranje. ....................................96

Slika 33. Vodljivosti frakture ........................................................................................97

Slika 34. Konture širina fraktura pri kanalu bušotine kod različitih vrijednosti modula

elastičnosti stijena. ......................................................................................................98

Slika 35. Konture širina frakture po njenoj duljini kod različitih vrijednosti Youngovih

modula. .....................................................................................................................100

Slika 36. Promjene efektivnog tlaka i širina frakture kod različitih kritičnih intenziteta

naprezanja stijena. ....................................................................................................103

Slika 37. Visine i duljine frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja. ..............104

Slika 38. Volumen radnog fluida i utrošena masa podupirača u 200 m3 smjese za

frakturiranje stijena različitih kritičnih intenziteta naprezanja......................................105

Slika 39. Vodljivosti frakture u stijenama različitih kritičnih intenziteta naprezanja. ....106

Slika 40. Efektivni tlak i širina frakture u funkciji Poissonovog omjera stijene kolektora.

..................................................................................................................................109

Slika 41. Utjecaj promjene Poissonovog omjera stijena na visinu i duljinu frakture....110

Slika 42. Količina fluida za frakturiranje i podupirača u 200 m3 smjese za frakturiranje.

..................................................................................................................................111

Slika 43. Vodljivosti fraktura kod različitih Poissonovih omjera stijena. ......................112

Slika 44. Naprezanje stijena u funkciji Poissonovog omjera. .....................................115

Slika 45. Širina frakture i efektivni tlak u frakturi kod različitih Poissonovih omjera

stijena. ......................................................................................................................116

Slika 46. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na visinu frakture i efektivni tlak u frakturi.

..................................................................................................................................117

133

Slika 47. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na količinu fluida za frakturiranje i masu

podupirača u 200 m3 smjese za frakturiranje.............................................................119

Slika 48. Utjecaj Poissonovog omjera na vodljivosti frakture. ....................................120

Slika 49. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na djelotvornost fluida za frakturiranje.121

134

Tablica 1. Anizotropnost nekih stijena27, 23 ...................................................................16

Tablica 2. Sažetak podataka o poroznosti, gustoći i parametrima “M” i “m”, za različite

tipove stijena27 ............................................................................................................22

Tablica 3. Pregled podataka o poroznosti, gustoći i parametrima N i F, za pojedine

stijene27 .......................................................................................................................23

Tablica 4. Pregled statičkih i dinamičkih vrijednosti Youngovih modula i Poissonovih

omjera za pojedine stijene, prema različitim autorima27, 23 ...........................................30

Tablica 5. Podaci korišteni za simulaciju gubitka radnog fluida pri frakturiranju bušotine

Žu-22621 ......................................................................................................................87

Tablica 6. Minimalna naprezanja stijena korištena u konstrukciji hidrauličke frakture u

bušotini Žu-226 ...........................................................................................................88

Tablica 7. Opseg mehaničkih svojstava stijena korištenih u konstrukciji hidrauličke

frakture........................................................................................................................89

Tablica 8. Pregled rezultata konstrukcije hidrauličke frakture s različitim vrijednostima

Youngovih modula ......................................................................................................90

Tablica 9. Rezultati modeliranja hidrauličke frakture s različitim kritičnim intenzitetima

naprezanja stijena.....................................................................................................102

Tablica 10. Rezultati konstrukcije frakture s različitim Poissonovim koeficijentima

stijena uz konstantna minimalna naprezanja.............................................................108

Tablica 11. Rezultati projektiranja hidrauličke frakture s različitim Poissonovim

omjerima stijena uz variranje minimalnih naprezanja prema Poissonovim omjerima.114

Tablica 12. Komparativni pregled utjecaja mehaničkih svojstava stijena na rezultat

projektiranja hidrauličke frakture................................................................................123