ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Đức Thọ

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO

LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Đức Thọ

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO

LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán họcMã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:TS. Trần Trọng Nguyên

Hà Nội - 2011

Mục lục

Lời mở đầu 3

Lời cảm ơn 5

Chương 1. Tổng quan về lý thuyết cực trị 6

1.1. Phân phối cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Miền hấp dẫn cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Hàm phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4. Phân phối Pareto tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5. Hàm phân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6. Biểu đồ Q-Q và P-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7. Ước lượng các mô hình cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8. Một số mô hình cực trị mở rộng và mối liên hệ các mô hình . . . . . . . . . 29

Chương 2. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro tàichính 32

2.1. Rủi ro tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Mô hình đo lường rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1. Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2. Mô hình VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

2.2.3. Mô hình ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.4. Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.5. Một số độ đo rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.6. Một số công thức tính cho các độ đo rủi ro cho các phân phốithường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3. Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ và biến rủi ro . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1. Biểu diễn biến lợi nhuận và biến thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2. Sự thua lỗ với tài sản đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.3. Sự thua lỗ với danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4. Một số phương pháp tính các độ rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.1. Phương pháp tính Varq từ phân phối thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5. Phương pháp tính giá trị trong rủi ro đầu tư vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.1. Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn với danh mục tài sản đơn . . . . . . . . . . 49

2.5.2. Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho một tập hợp các danh mụcđầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong mô hình hóa đuôi của chuỗi lợisuất chứng khoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7. Áp dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu tư cổ phiếu ACB . . . . . . . . . 54

2.7.1. Số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.7.2. Ước lượng phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.7.3. Ước lượng giá trị rủi ro Varq và mức tổn thất kỳ vọng ESq . . . . . . . 60

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

2

LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, thị trường tài chính thế giới đã chứng kiến nhiềusự đổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn, chẳng hạn: cuộc khủng hoảng thịtrường chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ(1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997),... và mới đây là cuộc khủng hoảngthị trường vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng hoảng tài chính và suygiảm kinh tế toàn cầu. Các sự kiện trên tưởng như hiếm khi xảy ra nhưng gầnđây lại xảy ra thường xuyên và có những ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tàichính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Nguyên nhân chủ yếu là nghiệp vụquản lý rủi ro chưa được tốt. Do đó, việc nhận diện, đo lường và phòng hộ rủiro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động an toàn cho các tổ chứctài chính là một việc rất quan trọng.

Rủi ro tài chính có thể chia thành các loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng,rủi ro lãi suất, rủi ro thanh khoản, rủi ro hoạt động,...trong đó rủi ro thị trườngđóng một vai trò quan trọng. Trong đo lường rủi ro tài chính nếu chỉ dựa vàocác phân tích định tính thì thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phải hình thành vàphát triến các phương pháp lượng hóa mức rủi ro và tổn thất tài chính.

Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta môtả được các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, ... những biếncố này xảy ra thường gây nên những hậu quả đáng kể như một số ví dụ nêu trên.Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề trên, em chọn đề tài luận văn thạc sỹ là:

Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:

• Chương 1: Tổng quan về lý thuyết cực trị. Chương này trình bày định lýcủa Fisher, Tippet (1928) và Gnedeko (1943) về phân loại hàm cực trị, kháiniệm về miền hấp dẫn cực đại, điều kiện cần và đủ để một hàm phân phốiF nằm trong miền hấp dẫn của G, biểu đồ Q−Q và P−P, ...vv.

• Chương 2: Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro thị trường tàichính. Chương này tập trung làm rõ các khái niệm và công thức tính củacác độ rủi ro như VaRq, ESq là các thước đo thông dụng trong quản trị rủiro. Áp dụng lý thuyết EVT để mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi suất chứngkhoán RACB. Từ đó ước lượng mức độ tổn thất có thể xảy ra khi đầu tư vaòcổ phiếu này.

3

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên nộidung không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sựgóp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn hoànchỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011Học viên

Lê Đức Thọ

4

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thểhoàn thành luận văn này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạnbè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập vàthực hiện luận văn tốt nghiệp cao học .

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011Học viên

Lê Đức Thọ

5

Chương 1

Tổng quan về lý thuyết cực trị

1.1 Phân phối cực trịCho X1,X2, ...,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với hàm

phân phối là F và x∗ là điểm phải của F , tức là

x∗ = supx : F(x) < 1,x∗ có thể là vô hạn

Khi đó, max(X1,X2, ...,Xn)P→ x∗, khi n→ ∞, trong đó ký hiệu P→ là hội tụ

theo xác suất, vì

P(max(X1,X2, ...,Xn)≤ x) = P(X1≤ x,X2≤ x, ...,Xn ≤ x) = Fn(x)

hội tụ theo xác suất đến 0 nếu x < x∗ và 1 nếu x≥ x∗.Giả sử tồn tại dãy hằng số an > 0 và bn thực n = 1,2, · · · sao cho:

max(X1,X2, ...,Xn)−bn

an

có giới hạn là một hàm phân phối không suy biến khi n→ ∞, nghĩa là:

limn→∞

Fn(anx+bn) = G(x). (1.1)

Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm tất cả các hàm phân phối G có thể xảyra trong giới hạn (1.1) và các hàm này được gọi là các hàm phân phối giá trị cực

6

trị.Tiếp theo với mỗi phân phối giới hạn trên, chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và

đủ cho hàm phân phối F ban đầu sao cho (1.1) được thỏa mãn. Lớp các hàmphân phối F thỏa mãn (1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản làmiền hấp dẫn của G.

Từ (1.1) với mỗi x sao cho 0 < G(x) < 1, lấy logarit hai vế, ta có

limn→∞

n logF(anx+bn) = logG(x). (1.2)

Rõ ràng rằng F(anx+bn)→ 1, với mỗi x. Do đó:

limn→∞− logF(anx+bn)

1−F(anx+bn)= 1,

và (1.2) tương đương với:

limn→∞

n[1−F(anx+bn)] =− logG(x),

hoặc

limn→∞

1n[1−F(anx+bn)]

=− 1logG(x)

. (1.3)

Với mỗi hàm không giảm f , kí hiệu: f←(x) := infy : f (y) ≥ x, ta có bổđề sau.

Bổ đề 1.1.1. Giả sử fn là một dãy các hàm không giảm và g là một hàm khônggiảm. Giả sử rằng mỗi x trong khoảng (a,b) là điểm liên tục của g:

limn→∞

fn(x) = g(x). (1.4)

Khi đó với mỗi x ∈ (g(a),g(b)) là điểm liên tục của g← thì:

limn→∞

f←n (x) = g←(x). (1.5)

Chứng minh. Cho x là một điểm liên tục của g←. Cố định ε > 0, ta chứng minhvới n,n0 ∈ N, n≥ n0 :

f←n (x)− ε ≤ g←(x)≤ f←(x)+ ε.

Ta chứng minh vế phải còn vế trái chứng minh tương tự. Chọn 0 < ε1 < εsao cho g←(x)−ε1 là điểm liên tục của g, điều này là chọn được vì tập các điểm

7

liên tục của g là trù mật. Do g← là liên tục tại x, g←(x) là một điểm của hàmtăng g, do đó g(g←(x)− ε1) < x. Chọn σ < x− g(g←(x)− ε1). Do g←(x)− ε1

là điểm liên tục của g, do đó tồn tại n0 sao cho:

fn(g←(x)− ε1) < g(g←(x)− ε1)+σ < x (∀ n≥ n0).

Từ định nghĩa của hàm f←n suy ra: g←(x)− ε1≤ f←n (x).

Chúng ta áp dụng bổ đề 1.1.1 cho (1.3). Cho U =( 1

1−F

)←, chú ý U(t)

xác định với mọi t > 1, khi đó (1.3) tương đương với

limn→∞

U(nx)−bn

an= G←(e−

1x ) =: D(x) (1.6)

với mỗi x > 0.

Định lý 1.1.2. Cho an > 0 và bn là dãy hằng số thực, G là một hàm phân phốikhông suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương:

1. limn→∞

Fn(anx+bn) = G(x), tại mỗi điểm liên tục x của G.

2.limt→∞

t[1−F(a(t)x+b(t))] =− logG(x), (1.7)

với mỗi điểm liên tục x của G sao cho 0 < G(x) < 1, a(t) := a[t],b(t) := b[t] ([t] là phần nguyên của t).

3.

limt→∞

U(tx)−b(t)a(t)

= D(x) (1.8)

với mỗi x > 0 là điểm liên tục của D(x) = G←(e−1x ).

Chứng minh. Tính tương đương của 2. và 3. được suy ra từ bổ đề 1.1.1. Ta đãkiểm tra là 1. tương đương (1.6). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (1.6) suy ra 3.Cho x là điểm liên tục của D. Với mọi t ≥ 1,

U([t]x)−b[t]

a[t]≤

U(tx)−b[t]

a[t]≤

U([t]x

(1+

1[t]

))−b[t]

a[t].

8

Vế phải trong bất đẳng thức trên nhỏ hơn D(x′), với mọi điểm liên tục x′ > xvà D(x′) > D(x). Do D là liên tục tại x, ta có:

limt→∞

U(tx)−b[t]

a[t]= D(x).

Chúng ta cần xác định lớp các hàm phân phối không suy biến có trong giớihạn ở (1.1). Lớp các phân phối này gọi là lớp các phân phối cực trị, kí hiệu làEV .

Định lý 1.1.3. (Fisher, Tippet (1928) và Gnedenko (1943)) Lớp các hàm phânphối cực trị là Gγ(ax+b) với a > 0, b ∈ R, ở đây:

Gγ(x) = exp(− (1+ γx)−

1γ), 1+ γx > 0 (1.9)

γ là số thực khác 0; trường hợp γ = 0 thì vế phải (1.9) được coi là hàm sốexp(−e−x).

Chứng minh. Xét lớp các phân phối giới hạn D trong (1.8). Đầu tiên, giả sử rằng1 là điểm liên tục của D. Khi đó với mọi điểm liên tục x > 0,

limt→∞

U(tx)−U(t)a(t)

= D(x)−D(1) := E(x). (1.10)

Lấy y > 0 và viết

U(txy)−U(t)a(t)

=U(txy)−U(ty)

a(ty)· a(ty)

a(t)+

U(ty)−U(t)a(t)

. (1.11)

Với điều kiện limt→∞

U(ty)−U(t)a(t)

và limt→∞

a(ty)a(t)

cùng tồn tại.

Giả sử không đúng, thì tồn tại A1,A2,B1,B2 với A1 khác A2 hoặc B1 khác

B2, ở đây Bi là các điểm giới hạn củaU(ty)−U(t)

a(t)và Ai là các điểm giới hạn

củaa(ty)a(t)

, i = 1,2 khi t→ ∞. Ta tìm từ (1.11) để

E(xy) = E(x)Ai +Bi, i = 1,2, (1.12)

9

với tất cả các điểm liên tục x của E(·) và E(·y). Cho x tùy ý, lấy một dãy cácđiểm xn sao cho xn→ x khi n→ ∞, thì E(xny)→ E(xy) và E(xn)→ E(x), vì Elà liên tục trái. Do (1.12) thỏa mãn với mọi x và y > 0.

Trừ các biểu thức cho nhau với i = 1,2, ta có được

E(x)(A1−A2) = B2−B1, với mọi x > 0.

Vì E không thể là hằng số (hàm G là không suy biến) nên A1 = A2 và do đóB1 = B2. Cuối cùng :

A(y) := limt→∞

a(ty)a(t)

tồn tại với mọi y > 0, và với x,y > 0,

E(xy) = E(x)A(y)+E(y).

Từ đó với s = logx, t := logy ( x,y khác 1 ), và H(x) := E(ex), ta có

H(t + s) = H(s)A(et)+H(t). (1.13)

Ta có thể viết lại như sau (do H(0) = 0):

H(t + s)−H(t)s

=H(s)−H(0)

sA(et). (1.14)

Tồn tại t sao cho tại đó hàm H là khả vi (do H đơn điệu); vì vậy từ (1.14) Hkhả vi tại mọi điểm và

H ′(t) := H ′(0)A(et). (1.15)

Đặt Q(t) :=H(t)H ′(0)

. Chú ý rằng H ′(0) khác 0: H không là hằng số do G

không suy biến, khi đó Q(0) = 0, Q′(0) = 1.Từ (1.13):

Q(t + s)−Q(t) = Q(s)A(et),

và từ (1.15):Q(t + s)−Q(t) = Q(s)Q′(t). (1.16)

Trừ các biểu thức trên cho nhau ta có:

Q(t) · Q′(s)−1

s=

Q(s)s

[Q′(t)−1].

10

Cho s→ 0, ta có,Q(t)Q′′(0) = Q′(t)−1.

Từ đó suy ra Q khả vi cấp 2 và ta có,

Q′′(0)Q′(t) = Q′′(t).

Do đó(logQ′)

′(t) = Q′′(0) := γ ∈ R, ∀ t.

Từ đó suy ra Q′(t) = eγt , (Q′(0) = 1) và:

Q(t) =

t∫

0

eγsds, (Q(0) = 0).

Điều này nghĩa là:

H(t) = H ′(0) · eγt−1

γ,

vàD(t) = D(1)+H ′(0) · t

γ −1γ

.

Do đó

D←(x) =(

1+ γ · x−D(1)

H ′(0)

)1γ. (1.17)

Bây giờ D(x) = G←(e−1x ), và do đó

D←(x) =− 1logG(x)

. (1.18)

Từ (1.17) và (1.18), ta có kết luận của định lý.

Nếu 1 không phải điểm liên tục của D thì ta chứng minh với hàm số U(tx0),với x0 là điểm liên tục của D.

Định nghĩa 1.1.4. Cho X1,X2, ...,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phânphối, với hàm phân phối F . Hàm phân phối F được gọi là max-ổn định nếu chọnđược dãy an > 0 và bn sao cho:

P(max(X1,X2, ...,Xn)−bn

an≤ x

)= P(X1≤ x)

với mọi x và n = 1,2....

11

Hình 1.1: Họ các phân phối cực trị Gγ

Định nghĩa 1.1.5. Tham số γ trong (1.9) gọi là chỉ số cực trị.

Chú ý 1.1.6. Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.9), ta có:

• Với γ > 0, sử dụng hàm Gγ(x−1

γ ), đặt α =1γ

> 0,

Φα(x) =

0, x≤ 0

exp(−x−α), x > 0.

Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Frechet, còn kí hiệu là EV1 :G1,α(x).

• Với γ = 0, G0(x) = exp(−e−x) với mọi x ∈R. Phân phối này gọi phân phốiGumbel, còn kí hiệu là (EV0).

• Với γ < 0, dùng hàm Gγ

(− 1+ x

γ

),và với α =−1

γ> 0,

Ψα(x) =

exp(−(−xα)), x < 0

1, x≥ 0.

12

Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Weibull, còn kí hiệu là EV2 :G2,α(x).

Nhắc lại là nếu (1.1) được thỏa mãn với G = Gγ , với γ ∈R, ta nói rằng phânphối F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ . Kí hiệu là: F ∈D(Gγ).

Định lý 1.1.7. Cho γ ∈ R. Các mệnh đề sau là tương đương:

1. Tồn tại các hằng số thực an > 0 và bn thực sao cho

limn→∞

Fn(anx+bn) = Gγ(x) = exp(− (1+ γx)

−1γ), ∀x với 1+ γx > 0.

(1.19)

2. Tồn tại một hàm dương a sao cho với x > 0,

limt→∞

U(tx)−U(t)a(t)

= Dγ(x) =xγ −1

γ, (1.20)

ở đây với γ = 0 thì vế phải được coi là logx.

3. Có một hàm dương a sao cho

limt→∞

t[1−F(a(t)x+U(t))] = (1+ γx)−1

γ , ∀x với 1+ γx > 0. (1.21)

4. Có một hàm dương f sao cho:

limt→x∗

1−F[t + x f (t)]1−F(t)

= (1+ γx)−1

γ , ∀xvới 1+ γx > 0, (1.22)

ở đây x∗ = supx : F(x) < 1.

Ngoài ra (1.19) thỏa mãn với bn := U(n) và an := a(n). Tương tự, (1.22) thỏa

mãn với f (t) =a

1−F(t).

Chứng minh. Chứng minh tính tương đương của 1., 2. và 3. được suy ra từ địnhlý 1.1.2.

Ta chứng minh 2.⇒ 4.: Với mọi ε > 0, dễ nhận thấy rằng

g(h←(t)− ε)≤ t ≤ g(h←(t)+ ε),

13

Với g là một hàm không giảm và h← là hàm ngược liên tục phải của nó. Từ đósuy ra

(1− ε)γ −1γ

←U

( 1− ε1−F(t)

)−U

( 11−F(t)

)

a(

11−F(t)

) <t−U

(1

1−F(t)

)

a(

11−F(t)

)

<

U( 1+ ε

1−F(t)

)−U

( 11−F(t)

)

a(

11−F(t)

) → (1+ ε)γ −1γ

.

khi t→ x∗, và suy ra

limt→x∗

t−U(

11−F(t)

)

a(

11−F(t)

) = 0.

Từ 2., với mọi x > 0,

limt→x∗

U(

11−F(t)

)− t

a(

11−F(t)

) =xγ −1

γ,

và từ bổ đề 1.1.1,

limt→x∗

1−F(t)

1−F[t + xa

( 11−F(t)

)] = (1+ γx)1γ ,

nghĩa là 4. thỏa mãn. Ngược lại 4.⇒ 2. được chứng minh tương tự.

Ví dụ 1.1.8. Cho F là hàm phân phối chuẩn tắc. Ta sẽ chứng minh (1.3) đúng:với mọi x > 0,

limn→∞

n[1−F(anx+bn)] = e−x (1.23)

vớibn := (2logn− loglogn− log(4π))1/2 (1.24)

vàan :=

1bn

. (1.25)

14

Đầu tiên, chú ý rằng bn/(2logn)1/2→ 1 khi n→ ∞; vì vậy

logbn−2−1 log logn−2−1 log2→ 0

và do đób2

n

2+ logbn− logn+

12

log(2π)→ 0, (1.26)

khi n→ ∞. Bây giờ do (1.25),

− ddx

n[1−F(anx+bn)] =n

bn√

2πexp

(−

( xbn

+bn

)2/2

)

= exp−

(b2n

2+ logbn− logn+

12

log(2π))

e−x2/(2b2n)e−x→ e−x

với x ∈ R. Vì vậy

n[1−F(anx+bn)] =n

bn√

2π

∞∫

x

exp(−

( ubn

+bn

)2/2

)du

= exp−

(b2n

2+ logbn− logn+

12

log(2π)) ∞∫

x

e−u2/(2b2n)e−udu→ e−x

bởi định lý Lebesgue về hội tụ trội. Vì vậy (1.23) đúng.Do trong giới hạn (1.23), chúng ta có thể thay an bởi a′n, bn bởi b′n với điều

kiện là an/a′n→ 1, (b′n− bn)/an→ 0, chúng ta có thể thay an, bn từ (1.24) và(1.25) bởi

b′n = (2logn)1/2− log logn+ log(4π)

(2logn)1/2và a′n = (2logn)−1/2.

1.2 Miền hấp dẫn cực đạiTrong phần này, ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho hàm phân phân phối

F nằm trong miền hấp dẫn của G.Ta xác định điều kiện miền hấp dẫn từ (1.8) với

D(x) =xγ −1

γ, lim

t→∞

U(tx)−U(t)a(t)

=xγ −1

γ(1.27)

với mọi x > 0, γ là tham số thực, a là một hàm dương.

15

Định lý 1.2.1. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cựctrị Gγ nếu và chỉ nếu

1. Với mọi γ > 0, x∗ := supx : F(x) < 1 là vô hạn và

limt→∞

1−F(tx)1−F(t)

= x−1

γ , với mọi x > 0. (1.28)

Điều này có nghĩa là hàm 1−F là biến đổi chính tắc tại vô hạn với chỉ số −1γ

2. Với mọi γ < 0, x∗ là hữu hạn và

limt→0

1−F(x∗− tx)1−F(x∗− t)

= x−1

γ , với mọi x > 0. (1.29)

3. Với γ = 0, x∗ có thể là hữu hạn hoặc vô hạn và

limt→x∗

1−F(t + x f (t))1−F(t)

= e−x (1.30)

với mọi x ∈ R, ở đây f là một hàm hợp lý dương. Nếu (1.30) thỏa mãn với hàmf thì

x∗∫

t

(1−F(s))ds < ∞, với mọi t < x∗.

và (1.30) thỏa mãn với

f (t) =

x∗∫t(1−F(s))ds

1−F(t). (1.31)

Định lý 1.2.2. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cựctrị Gγ nếu và chỉ nếu

1. Với γ > 0: F(x) < 1 với mọi x,

∞∫

1

1−F(x)x

dx < ∞ và

limt→∞

∞∫t(1−F(x))dx

1−F(t)= γ. (1.32)

16

2. Với γ < 0: tồn tại x∗ < ∞ sao cho

x∗∫

x∗−t

1−F(x)x∗− x

dx < ∞ và

limt→0

x∗∫

x∗−t

1−F(x)x∗− x

dx

1−F(x∗− t)=−γ. (1.33)

3. Với γ = 0 (x∗ có thể hữu hạn hoặc vô hạn):

x∗∫

x

x∗∫

t

[1−F(s)]dsdt < ∞ và hàm

h xác định bởi:

h(x) =

(1−F(x))x∗∫x

x∗∫t[1−F(s)]dsdt

( x∗∫

x

(1−F(s))ds)2

(1.34)

thỏa mãnlimt→x∗

h(t) = 1. (1.35)

Chú ý 1.2.3. Giới hạn (1.32) tương đương với: limt→∞

E(logX − logt|X > t) = γ .Thật vậy

∞∫

t

1−F(x)x

dx

1−F(t)= E(logX− logt|X > t), từ đó

∞∫

t

(logx− logt)dF(x) =

∞∫

t

1−F(x)x

dx.

Hệ thức (1.32) và (1.33) là cơ sở cho ước lượng Hill của γ . Tương tự (1.33)biểu diễn như:

limt→0

E(log(x∗−X)− logt|X > x∗− t) = γ.

17

Hệ quả 1.2.4. Nếu F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ thì

1. Với γ > 0:

limn→∞

Fn(anx) = exp(− x−1

γ),

với mọi x > 0 và an := U(n);

2. Với γ < 0:

limn→∞

Fn(anx+ x∗) = exp(− (−x)

−1γ),

với mọi x < 0 và an := x∗−U(n);

3. Với γ = 0:limn→∞

Fn(anx+bn) = exp(−e−x),

với mọi x và an = f (U(n)), bn = U(n), hàm f như trong định lý 1.2.1 ý 3.

Định lý 1.2.5. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cựctrị Gγ nếu và chỉ nếu với một hàm dương f ,

limt→x∗

1−F(t + x f (t))1−F(t)

= (1+ γx)−1

γ (1.36)

với mọi x, 1+ γx > 0. Nếu (1.36) thỏa mãn với f > 0 thì nó thỏa mãn với

f (t) =

γt, γ > 0

−γ(x∗− t), γ < 0x∗∫

t

1−F(x)1−F(t)

dx, γ = 0.

Hơn nữa nếu f thỏa mãn (1.36) thì thỏa mãn

limt→∞

f (t)t

= γ, γ > 0,

limt→x∗

f (t)x∗− t

=−γ, γ < 0,

f (t) ∼ f1(t),với f1(t) là hàm nào đó mà limt→x∗

f ′1(t) = 0, γ = 0.

(1.37)

18

Định lý 1.2.6. Hàm phân phối F nằm trong D(Gγ) nếu và chỉ nếu tồn tại cáchàm dương c và f , f liên tục, sao cho với mọi t ∈ (t0,x∗), t0 < x∗,

1−F(t) = c(t)exp−

t∫

t0

dsf (s)

với limt→x∗

c(t) = c ∈ (0,∞).

limt→∞

f (t)t

= γ, γ > 0

limt→x∗

f (t)x∗− t

=−γ, γ < 0,

limt→x∗

f ′(t) = 0 và limt→x∗

f (t) = 0 nếu x∗ < ∞, γ = 0.

Để chứng minh các định lý trên chúng ta cần một số kết quả của các bổ đềsau :

Bổ đề 1.2.7. Giả sử (1.27) thỏa mãn.

1. Nếu γ > 0, thì

limt→∞

U(t) = ∞ và limt→∞

U(t)a(t)

=1γ. (1.38)

2. Nếu γ < 0, thì limt→∞

U(t) < ∞ và U(∞) := limt→∞

U(t),

limU(∞)−U(t)

a(t)=−1

γ. (1.39)

Đặc biệt điều này suy ra limt→∞

a(t) = 0.

3. Nếu γ = 0, thì

limt→∞

U(tx)U(t)

= 1 (1.40)

với mọi x > 0 và limt→∞

a(t)U(t)

= 0. Hơn nữa nếu U(∞) < ∞,

limt→∞

U(∞)−U(tx)U(∞)−U(t)

= 1 (1.41)

19

với mọi x > 0 và limt→∞

a(t)U(∞)−U(t)

= 0. Hơn nữa,

limt→∞

a(tx)a(t)

= 1. ∀x > 0 (1.42)

Hệ quả 1.2.8. 1. Với γ > 0 thì (1.27) tương đương với

limt→∞

U(tx)U(t)

= xγ , với x > 0. (1.43)

2. Với γ < 0 thì (1.27) tương đương với U(∞) < ∞ và

limt→∞

U(∞)−U(tx)U(∞)−U(t)

= xγ , với x > 0. (1.44)

Bổ đề 1.2.9. Cho F1 và F2 là hai hàm phân phối có chung x∗. Cho F1 nằm trongmiền hấp dẫn của Gγ , tức là,

limt→∞

U1(tx)−U1(t)a(t)

=xγ −1

γ, x > 0, (1.45)

ở đây a là hàm hợp lý dương và Ui =( 1

1−Fi

)←, i = 1,2. Các mệnh đề sau là

tương đương:

1. limt→x∗

1−F2(t)1−F1(t)

= 1.

2. limt→∞

U2(t)−U1(t)a(t)

= 0.

Hơn nữa, từ mỗi mệnh đề trên suy ra là F2 nằm trong miền hấp dẫn của Gγ .

Chứng minh định lý 1.2.1 cho γ > 0: Từ định nghĩa hàm U(x), với mọi ε > 0,

U( 1− ε

1−F(t)

)≤ t ≤U

( 1+ ε1−F(t)

)

hayU

( x1−F(t)

)

U( 1+ ε

1−F(t)

) ≤ t−1U( x

1−F(t)

)≤

U( x

1−F(t)

)

U( 1− ε

1−F(t)

) . (1.46)

20

Giả sử (1.27) thỏa mãn, tức là ta có (1.43). Vế trái và vế phải hội tụ lần lượt

tới( x

1+ ε

)γvà

( x1− ε

)γ, mệnh đề thỏa mãn với mọi ε > 0, tức là

limt→∞

t−1U( x

1−F(t)

)= xγ . (1.47)

Áp dụng bổ đề 1.1.1 và (1.47), ta có kết quả của định lý

limt→∞

1−F(t)1−F(tx)

= x1γ .

Chứng minh định lý 1.2.2 cho γ > 0: Từ (1.28) với ε > 0, t đủ lớn,

1−F(te)1−F(t)

≤ eε− 1

γ ,

do đó,1−F(ten)

1−F(t)=

n

∏k=1

1−F(tek)

1−F(tek−1)≤ e

(ε− 1

γ

)n,

với mọi x > 1,

1−F(tx)1−F(t)

≤ 1−F(te[logx])

1−F(t)≤ e

(ε− 1

γ

)[logx]

≤ e

(ε− 1

γ

)(1+ logx)

= e−1

γ + ε · x−1γ + ε

.

Từ (1.28),

limt→∞

∞∫

1

1−F(tx)1−F(t)

dxx

=

∞∫

1

x−1

γ dxx

= γ,

đó là (1.32). Mặt khác∞∫

1

1−F(x)x

dx < ∞, từ tính hội tụ, giả sử rằng

limt→∞

a(t) =1γ

21

với a(t) :=1−F(t)

∞∫t

1−F(x)x dx

.

Chú ý rằng

− log

∞∫

t

1−F(x)x

dx+ log

∞∫

1

1−F(x)x

dx =

t∫

1

a(x)dxx

.

Sử dụng định nghĩa của hàm a, ta có:

1−F(t) = a(t)

∞∫

t

1−F(x)x

dx = a(t)

∞∫

1

1−F(x)x

dxexp(−

t∫

1

a(x)x

dx),

với mọi x > 0, t→ ∞,

1−F(tx)1−F(t)

=a(tx)a(t)

exp(−

x∫

1

a(tγ)dγγ

)→ exp

(− 1

γ

x∫

1

dγγ

)= x−1

γ .

1.3 Hàm phân phối vượt ngưỡngCho F là một hàm phân phối và x∗ := supx : F(x) < 1. Xét u là một

ngưỡng nhỏ hơn điểm bên phải x∗ của hàm F . Ta gọi F [u] là phân phối điều kiệnvượt ngưỡng tại u, nếu X là một biến ngẫu nhiên với phân phối F thì:

F [u](x) = P(X ≤ x|X > u) =P(X ≤ x,X > u)

P(X > u)=

F(x)−F(u)

1−F(u), (x ≥ u)

F [u](x) =F(x)

F(u), (x ≥ u).

Với: F(x) = 1−F(x) được gọi là đuôi của phân phối F .Điểm trái của F tại u là α(F [u]) = infx : F [u](x) > 0. Ta có α(F [u]) = u.

1.4 Phân phối Pareto tổng quátTa có mối liên hệ giữa phân phối Pareto, kí hiệu là GPD và phân phối cực trịEV :

W (x) = 1+ logG(x) nếu logG(x) >−1.

22

Các dạng biểu diễn của hàm phân phối GPD thông qua hàm phân phối cựctrị EV ở chú ý 1.1.6 là:

• Phân phối mũ GP0: W0(x) =

0, x < 0

1− e−x, x≥ 0

• Phân phối GP1, α > 0: W1,α(x) =

0, x < 1

1− x−α , x≥ 1

• Phân phối GP2, α < 0: W2,α(x) =

1, x > 0

1− (−x)−α , −1 < x≤ 0

0, x≤−1

Ta có các hàm mật độ tương ứng là:

• Mật độ mũ (GP0): w0 = e−x với x≥ 0.

• Pareto (GP1), α > 0: w1,α(x) = αx−(1+α) với x≥ 1.

• Beta (GP2), α < 0: w2,α(x) = |α|(−x)−(1+α) với −1≤ x≤ 0.

Chúng ta phải thêm vào các hàm phân phối GPD hai tham số µ và σ để có được

một họ các thống kê đủ GPD, kí hiệu W1,α ,µ ,σ (x) = W1,α

(x−µσ

).

Hàm phân phối GPD được gọi là liên tục đối với phân phối F , nếu ta chọnđược các hằng số bu và au thỏa mãn:

F [u](bu +aux) = F(x).

Ở đây F [u](x) =F(x)−F(u)

1−F(u) là hàm phân phối vượt ngưỡng tại u.

• Hàm phân phối vượt ngưỡng của W0 có điểm trái bằng 0,

W [u]0,0,σ = W0,µ ,σ

23

• Hàm phân phối vượt ngưỡng của W1,α ,µ ,σ với µ +σ < µ :

W [u]1,α ,µ ,σ = W1,α ,µ ,u−µ

• Hàm phân phối vượt ngưỡng Wγ ,µ ,σ với µ < u và σ + γ(u−µ) > 0,

W [u]γ ,µ ,σ = Wγ ,u,σ+γ(u−µ)

2 4

0,5

1

2 4

0,5

1

Hình 1.2: Hình vẽ bên trái: mật độ mũ (nét đứt) và mật độ Pareto với γ = 0,5;

γ = 1. Hình vẽ bên phải: mật độ mũ (nét đứt) và mật độ beta với γ = −0,3;

γ =−0,5.

1 2 3

0,5

1

Hình 1.3: Hàm phân phối beta W−0,3 (nét liền) và phân phối vượt ngưỡng

W [1]−0,3 = W−0,3,1,0,7 (nét đứt).

24

1.5 Hàm phân vịNếu hàm phân phối F là liên tục và tăng ngặt trên (α(F);x∗) thì hàm F←

sẽ là hàm ngược của F và để đơn giản ta kí hiệu là F−1:

F−1(q) := infx : F(x)≥ q (0 < q < 1).

Chú ý: F−1(q) là q-phân vị của F . Khi đó, nếu Fµ ,σ là phân phối có trungbình là µ và độ lệch chuẩn σ thì:

F−1µ ,σ = µ +σF−1

ở đây F = F0,1 là phân phối chuẩn.

Hàm phân vị của phân phối cực trị EV với biểu diễn tham số α:

• Gumbel (EV0): G−10 (q) =− log(− log(q)).

• Frechet (EV1), α > 0: Φ−1α (q) = (− log(q))−

1α .

• Weibull (EV2), α < 0: Ψ−1α (q) =−(− log(q))−

1α .

Hàm phân vị của phân phối cực trị EV với biểu diễn tham số γ:

G−1γ (q) =

[(− log(q))−γ −1

]

γ, γ 6= 0

trường hợp γ = 0 ta có hàm phân vị Gumbel là G−10 .

Hàm phân vị của phân phối GPD với biểu diễn tham số α:

• dạng mũ (GP0): W−10 (q) =− log(1−q),

• Pareto (GP1), α > 0: W−11,α(q) = (1−q)−

1α ,

• Beta (GP2), α < 0: W−12,α(q) =−(1−q)−

1α .

25

1.6 Biểu đồ Q-Q và P-P• Biểu đồ Q-Q: Giả sử dãy dữ liệu x1,x2, ...,xn có hàm phân phối Fµ ,σ (x) =

F(x−µ

σ

)với các tham số trung bình µ và độ lệch chuẩn σ > 0. Kí hiệu :

Fn(x) :=1n ∑

i≤nI(xi ≤ x)

F = F0,1 là phân phối chuẩn, thống kê thứ tự của x1, ...,xn kí hiệu là

x1:n ≤ x2:n ≤ ·· · ≤ xn:n.

Giá trị của hàm phân vị F−1n (q) sẽ được vẽ tương ứng với F−1(q). Biểu đồ

Q−Q được vẽ bởi các điểm:

(F−1(qi); F−1n (qi)), i = 1,n, qi =

in+1

.

Vì F−1n (qi) = xi:n, do đó

F−1n (qi)≈ F−1

µ ,σ (qi) = µ +σF−1(qi).

Do đó, biểu đồ Q-Q là tập các điểm: (F−1(qi);xi:n), i = 1,n. Nó sẽ xấp xỉđồ thị (x; µ + σx). Hiển nhiên hệ số chặn và hệ số góc của biểu đồ Q-Q là ước

lượng của µ và σ , thông thường chọn qi =i−0,5

n.

•Biểu đồ P-P được cho bởi:(

qi;F(xi:n−µn

σn

)), i = 1,n

ở đây µn và σn là các ước lượng. Ta có

F(xi:n−µn

σn

)= Fµn,σn(F

−1n (qi)).

1.7 Ước lượng các mô hình cực trị• Mô hình Gumbel (EV0): Đây là một mô hình truyền thống trong phân tích

giá trị cực trị. Nó được coi là mô hình chuẩn trong việc áp dụng vào các

26

lĩnh vực khác.Phân phối chuẩn Gumbel là G0(x) = exp(−e−x). Bằng cách thêm vào cáctham số µ , σ có mô hình Gumbel (EV0):

EV0 : G0,µ ,σ , µ thực , σ > 0

Các giá trị ước lượng cho µ và σ :MLE (EV0): ước lượng MLEs cho µn và σn. Đầu tiên σn là nghiệm củaphương trình:

σn−n−1 ∑i≤n

xi +

(∑xi exp

(− xi

σ

))

(∑exp

(− xi

σ

)) = 0

dùng phương pháp ước lượng bình phương tối thiểu cho σ và các giá trị banđầu:

µn =−σn log(

n−1 ∑i≤n

exp(− xi

σn

)).

Moment (EV0): ước lượng µ và σ được suy từ trung bình mẫu và phươngsai mẫu. Nhắc lại

λ =

∞∫

0

(− logx)e−xdx

là hằng số Euler’s và Var G0 = π2/6.

σn =

√6sn

π, µn = x−σnλ

là ước lượng của µ , σ trong mô hình Gumbel. Ở đây, x là trung bình mẫu,s2

n là phương sai mẫu.

• Mô hình Frechet (EV1): Phân phối chuẩn Frechet với tham số α > 0 đượccho bởi Φα = exp(−x−α) với x > 0. Với việc thêm tham số σ có mô hìnhEV1:

EV1 : G1,α ,0,σ : α,σ > 0.

Điểm α(

G[u]1,α ,0,σ

)= 0.

27

• Mô hình Weibull (EV2): Phân phối chuẩn Weibull với tham số α < 0 đượccho bởi Ψα(x) = exp(−(−x)−α) với x≤ 0. Mô hình:

EV2 : G2,α ,0,σ : α > 0,σ > 0.

• Mô hình cực trị đồng nhất: Mô hình EV đồng nhất là mô hình cực đại quantrọng nhất với các tham số µ ,σ thì ta có:

EV : Gγ ,µ ,σ : µ ,γ thực ,σ > 0.

•

Một số mục liên quan đến quá trình ước lượng:

• MLE (EV ): Ước lượng MLE trong mô hình EV là ước lượng bằng số vàlà nghiệm của phương trình hợp lý. MLE xác định cực đại địa phương củaphương trình hợp lý với γ >−1.

• MDE (EV ): cho d là một khoảng cách trên tập các hàm phân phối thì(γn,µn,σn) là một MDE nếu

d(Fn,Gγn,µn,σn) = infγ ,µ ,σ

d(Fn,Gγ ,µ ,σ )

Hơn nữa, MDE được thiết lập dựa trên khoảng cách giữa các hàm mật độ.

• LRSE (EV ): đây là ước lượng tổ hợp tuyến tính của tỉ số khoảng cách:

r =x[nq2]:n− x[nq1]:n

x[nq1]:n− γ[nq0]:n

ở đây q0 < q1 < q2. Thống kê này phụ thuộc vào tham số trong phân phối

r ≈G−1

γ (q2)−G−1γ (q1)

G−1γ (q1)−G−1

γ (q0)=

(− logq2

logq0

)−γ2.

Nếu q0,q1 và q2 thỏa mãn: (− logq1)2 = (− logq2)(− logq0), từ đây ta có:

γn =2log(r)

log( logq0

logq1

)

28

là ước lượng của γ . Nếu q0 = q, q1 = qa, q2 = qa2(0 < q,a < 1) thì:

γn =log(r)

log(

1a

) =− logrloga

1.8 Một số mô hình cực trị mở rộng và mối liên hệ

các mô hình

• Phân phối Log-Gamma và GP-Gamma: Nếu log(X) có mật độhr

(xσ

)

σvới

σ > 0 và hàm hr(x) được xác định bởi

hr(x) =1

Γ(r)· xr−1 · e−x

thì X có mật độ Log-Gamma:

f1,r,α(x) =αr

Γ(r)· (logx)r−1 · x−(1+α), (x > 1)

với α =1σ

. Ta thấy rằng phân phối Log-Gamma có các tham số r,α > 0.

Nếu r = 1 thì ta có mật độ chuẩn Pareto với tham số α .

Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Log - Gamma thì− 1X

có mật độ là:

GP-Gamma 2 : f2,r,α(x)=|α|rΓ(r)

(− log|x|)r−1(−x)−(1+α), (−1< x < 0), α < 0.

Chú ý mật độ chuẩn beta (GP2) là trường hợp đặc biệt, với r = 1. Kí hiệumật độ gamma là f0,r.

29

Gamma

exponential (GPO)

log-Gamma

Pareto (GP1)

GP-Gamma 2

Beta (GP2)

-1/X

log (X)

Hình 1.4: Mối liên hệ giữa các mô hình.

Với r > 0 và γ 6= 0, ta có:

GP-Gamma : fr,γ(x) =1

Γ(r)

[ log(1+ γ)

γ

]r−1(1+ γx)

−(

1+ 1γ

)

.

Với x > 0 và γ > 0, hoặc 0 < x <1|γ| nếu γ < 0, mật độ fr,0 có được bởi

limγ→0

fr,γ .

• Phân phối Gamma đủ và Log-Gamma đối với max: Nếu r < 1 và γ < −1thì mật độ GP-Gamma có cực điểm tại 0 và đơn điệu giảm. Nếu r > 1 thìcó một điều tương tự mật độ EV.

– Mật độ gamma có đuôi trên loại mũ và gần 0 bởi trung bình của thừa sốxr−1.

– Log-Gamma mật độ với µ =−1 có đuôi trên loại Pareto và gần 0 bởi

log(1+ x)r−1≈ xr−1

Vì vậy, mật độ gamma và Log-Gamma có hình dáng gần với mật độ Frechetnếu r > 1.

• Phân phối Gamma tổng quát: Nếu X là biến ngẫu nhiên gamma với r > 0thì X1/β là gamma tổng quát và mật độ

hr,β (x) =β

Γ(r)xβ r−1exp(−xβ ), x≥ 0, β > 0.

30

Mô hình gamma tổng quát gồm có mô hình Weibull ngược (r = 1); β = 2

và r =12

ta có phân phối nửa chuẩn. Phân phối gamma bội tổng quát bao

gồm phân phối chuẩn nếu mật độ dạng:hr,β (|x|)

2.

• Họ hai tham số Beta: Ta có phân phối beta với hai tham số được cho bởi

fa,b(x) =xa−1(1− x)b−1

B(a,b), 0≤ x≤ 1, a,b > 0

ở đây B(a,b) =

1∫

0

xa−1(1− x)b−1dx gọi là hàm beta. Hàm mật độ beta trong

mô hình GP2 tạo nên một trường hợp đặc biệt: W1,α ,1,1 = f1,−α .

31

Chương 2

Ứng dụng lý thuyết cực trịtrong đo lường rủi ro tàichính

2.1 Rủi ro tài chínhTrong lĩnh vực tài chính những biến cố cực trị như các vụ phá sản lớn, các

cuộc khủng hoảng trong kinh tế, tài chính và những cú sốc thị trường ... đượcnhiều người quan tâm, đặc biệt là các nhà đầu tư. Đây là lĩnh vực liên quan đếnquản lý rủi ro.

Trong vòng 24 năm từ 1987 đến 2011, khoảng thời gian không lớn so vớitiến trình phát triển của thị trường tài chính thế giới, chúng ta đã chứng kiếnnhiều sự kiện với hệ lụy dẫn tới sự đổ vỡ của các định chế, tổ chức tài chính lớngây ra khủng hoảng tài chính quy mô khu vực cũng như toàn cầu. Bảng dướiđây liệt kê, tóm tắt các sự kiện và hậu quả đối với thị trường tài chính thế giới.

Bảng 1: Sự kiện và hậu quả đối với thị trường tài chính thế giới giai đoạn1987-2011

32

Năm Sự kiện Hậu quả

1987 Khủng hoảng thị trường Chỉ số Dow Jones giảm 31 % sau một

chứng khoán thế giới tuần, thị trường chứng khoán toàn cầu

sụt giảm

1990 Khủng hoảng thị trường Sự phá sản của Drexel Burnham

trái phiếu Mỹ Lambert US S&L và sụp đổ thị trường

jumkbond

1991 Chiến tranh vùng vịnh Giá dầu thô biến động bất thường

lần thứ nhất

1994 Lãi xuất cơ bản của Mỹ Tổn thất lớn đối với các nhà đầu tư, đặc

tăng cao biệt trong lĩnh vực sử dụng phát sinh và

đòn bẩy

1994 Khủng hoảng tại Mexicô Thị trường Mexiccô sụp đổ kéo theo

khủng hoảng thanh khoản đối với các

thị trường mới nổi

1997 Khủng hoảng tài chính Khủng hoảng nợ của nhiều tổ chức tài

Châu Á chính, sự đổ vỡ của thị trường cổ phiếu

và tiền tệ Châu Á

1998 Khủng hoảng nợ tại Nga Khủng hoảng tại thị trường mới nổi

1998 Sụp đổ quỹ LTCM Khủng hoảng thanh khoản và tín dụng

1999 Thị trường vàng biến động Tổn thất lớn cho các quỹ phòng hộ

vàng

2000 Sự mất giá của cổ phiếu Chỉ số NASDAQ giảm gần 50 % sau

TMT một thời gian ngắn

33

2001 Khủng hoảng nợ của Khủng hoảng trên các thị trường mới

Argentina nổi

2002 Khủng hoảng thị trường Sự phá sản của Enron, WorldCom và

trái phiếu công ty Mỹ một số công ty lớn khác

2003 Chiến tranh vùng vịnh Giá dầu thô tăng kỷ lục

lần thứ hai

2007 Khủng hoảng thị trường Khủng hoảng tài chính và suy giảm

vay thế chấp ở Mỹ dẫn đến kinh tễ toàn cầu, lạm phát tăng cao tại

sự đổ vỡ của các ngân hàng, nhiều quốc gia

mất giá tiền tệ tại

nhiều quốc gia

2011 Sự kiện động đất và sóng Thiệt hại ước chừng khoảng 15 ngàn tỉ

thần tại Nhật Bản yên-tức là vào khoảng 3 % GDP của

ngày 11/3/2011 Nhật, đồng yên và các chỉ số khác giảm

mạnh như FTSE 100 (2,7 %), DAX

(4,9 %) và Dow Jones (1,15 %), Nikke

giảm kỷ lục 17 % trong 2 ngày. Trong

lĩnh vực bảo hiểm thiệt hại từ 12-35 tỉ

USD

Có thể nhận thấy hai đặc điểm của các sự kiện trên:

• Các sự kiện tưởng như "trăm năm mới có một lần" lại diễn ra tương đốithường xuyên, gần như hàng năm!

• Ảnh hưởng tiêu cực tới thị trường tài chính ngày càng mở rộng cả về quymô lẫn mức độ tổn thất.

Như vậy với quy mô phát triển và xu hướng toàn cầu hóa, trong quá trình vậnhành, thị trường tài chính thế giới hàm chứa nhiều yếu tố bất định, rủi ro. Để hỗ

34

trợ công tác quản trị rủi ro tài chính, cần có phương pháp tiếp cận, công cụ phântích định lượng đáng tin cậy về lý thuyết lẫn thực hành.Hiện nay, lý thuyết cực trị được sử dụng trong lĩnh vực quản lý rủi ro, đặc biệt đolường rủi ro thị trường. Rủi ro thực chất là phản ánh tính không chắc chắn củakết quả nên người ta sử dụng phân phối xác suất để đo lường rủi ro. Lý thuyếtEVT đưa ra những phương pháp để ước lượng các phân phối xác suất, đặc biệtlà đuôi phân phối. Nó giúp ta đánh giá và phân tích được các độ rủi ro như giá trịrủi ro (The Value at Risk – VaR); mức tổn thất kỳ vọng (The Expected shortfall–ES); giá trị rủi ro trong đầu tư vốn (The Capital – at –Risk) là các thước đotrong nghiên cứu.

2.2 Mô hình đo lường rủi ro

2.2.1 Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽTa xét một nhà đầu tư (cá nhân hoặc tổ chức) nắm giữ một danh mục. Đặt

t: thời điểm hiện tại, (t +1): thời điểm cuối của kỳ đầu tư (thời điểm trong tươnglai), Vt , Vt+1: giá trị của danh mục tại t và (t +1). Giá trị Vt đã biết, Vt+1 chưabiết và là biến ngẫu nhiên do đó khi nắm giữ danh mục nhà đầu tư sẽ đối mặtvới rủi ro: nhà đầu tư sẽ bị thua lỗ (tổn thất) nếu Vt+1 < Vt và mức thua lỗ:X = Vt+1−Vt cũng là biến ngẫu nhiên. Vấn đề đặt ra là:

• Có thể tìm ra một thước đo chung, khái quát (độ đo rủi ro), một chỉ tiêuđịnh lượng vừa thể hiện mức độ rủi ro của danh mục (mức thua lỗ) – bất kểnguồn gốc phát sinh (biến động của thị trường, tỷ giá, lãi suất, vỡ nợ. . . ) –vừa thuận tiện cho yêu cầu giám sát, quản trị?

• Độ đo rủi ro cần phải đáp ứng những yêu cầu cơ bản nào (những tiên đề) đểphù hợp logic và thực tiễn?

Vào giữa những năm 90 của thế kỷ trước, P. Artzner, F. Delbaen, D. Heath vàmột số tác giả khác (tham khảo trong [1], [2]) đã nghiên cứu vấn đề trên và đềxuất một mô hình lý thuyết về độ đo rủi ro và được gọi là “Độ đo rủi ro chặtchẽ” để đo lường rủi ro của danh mục. Hoạt động của thị trường tài chính diễnra trong môi trường bất định, môi trường này được mô hình hóa bởi không gianxác suất (Ω,F ,P). Gọi X0 là tập các biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắc chắn

35

trong không gian trên. Cho X ⊆ X0 là một nón lồi. Các nhà đầu tư tham giathị trường thông qua việc nắm giữ danh mục. Rủi ro tài chính của việc nắm giữdanh mục biểu hiện bởi mức thua lỗ tiềm ẩn sau kỳ đầu tư và được mô hình hóabởi biến ngẫu nhiên X ∈X .

Định nghĩa 2.2.1. Độ đo rủi ro chặt trẽ của danh mục: Ánh xạ ρ : X → R gọilà độ đo rủi ro của danh mục. Danh mục với mức thua lỗ X có mức rủi ro ρ(X).Trong quản trị, giám sát rủi ro có thể xem ρ(X) như khoản dự phòng, khoản thếchấp ...

Định nghĩa 2.2.2. Độ đo rủi ro ρ(X) gọi là độ đo rủi ro chặt chẽ nếu thỏa mãncác điều kiện (tiên đề) sau:

T1: Bất biến theo phép tịnh tiến: Với mọi X ∈X , với mọi a ∈ R:

ρ(X +a) = ρ(X)−a.

T2: Cộng tính dưới: Với mọi X1,X2 ∈X ta có: ρ(X1+X2)≤ ρ(X1)+ρ(X2).

T3: Thuần nhất dương: Với mọi X ∈X và với mọi λ > 0: ρ(λ X) = λ ρ(X).

T4: Đơn điệu tăng: Với X1,X2 ∈ X mà X1≤ X2 hầu chắc chắn, ta có: ρ(X1)≤ρ(X2).

Ta có thể giải thích tính logic của các tiên đề như sau:T1: Với danh mục có độ rủi ro ρ(X), khi bổ sung tài sản phi rủi ro có giá trị athì mức độ rủi ro của danh mục giảm còn ρ(X)−a.T2: Rủi ro của danh mục tổng hợp (ứng với X1+X2) không lớn hơn tổng rủi rocủa các danh mục thành phần. Yêu cầu này phù hợp với nguyên lý Đa dạng hóađầu tư.T3: Danh mục có quy mô lớn thì rủi ro cũng lớn.T4: Danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn cao thì rủi ro cũng cao.

Như vậy tất cả các yêu cầu (các tiên đề) đối với độ đo rủi ro đều hợp lývà phù hợp với thực tiễn.

Độ đo rủi ro của danh mục theo cách tiếp cận trên rất tổng quát. Người làmcông tác quản trị rủi ro có thể căn cứ vào nguồn gốc của rủi ro mà xây dựng cácđộ đo cụ thể. Kết quả sau sẽ cung cấp tiêu chuẩn để đánh giá một độ đo rủi ro

36

cụ thể có phải là độ đo rủi ro chặt chẽ hay không.Ký hiệu A là tập các hàm φ(p), xác định trên [0,1], φ(p)≥ 0, đơn điệu giảm

và1∫

0

φ(x)dx = 1. Ta có thể xem φ(p) như một dạng hàm mật độ xác suất.

Gọi F(x) là hàm phân phối của mức tổn thất X . Ta xây dựng độ đo rủi ronhư sau:

ρ(X) =−1∫

0

F−1(p)φ(p)d p (2.1)

với φ(p): xác định trên [0,1], φ(p) ≥ 0 và1∫

0

φ(x)dx = 1. Có thể coi φ(p) là

hàm tỷ trọng.

Định lý 2.2.3. (Định lý biểu diễn độ đo rủi ro chặt chẽ) Độ đo rủi ro (2.1) làchặt chẽ khi và chỉ khi φ(p) ∈ A.

Với công thức biểu diễn (2.1) của độ đo rủi ro chặt chẽ ta có thể xây dựngcác độ đo cụ thể phù hợp với nguồn gốc phát sinh rủi ro thông qua việc chọnhàm φ(p). Đây là gợi ý rất quan trọng trong đo lường rủi ro.

2.2.2 Mô hình VaRĐịnh nghĩa 2.2.4. Xét danh mục có mức thua lỗ tiềm ẩn X trong chu kỳ k(đơn vị thời gian) có hàm phân phối F(x). VaR của danh mục với độ tin cậy(1−q)100%-ký hiệu là VaRq- là phân vị mức q của hàm F(x):

VaRq = F−1(q) (2.2)

Theo thông lệ quốc tế, độ tin cậy thường được chọn là 99%hoặc 95%. Chukỳ tính VaR-chu kỳ k-thường là 1 ngày, 5 ngày hay 10 ngày. Dấu âm của VaRbiểu thị tổn thất (thua lỗ).

Ý nghĩa của VaRq: Nếu nhà đầu tư nắm giữ danh mục sau chu kỳ k, trongđiều kiện thị trường hoạt động bình thường, với xác suất (1− q)100%mức tổnthất (nếu có) sẽ không vượt quá khoản |VaRq|.

Để thuận tiện trong ước lượng và tính toán, thay vì trực tiếp xét mức thua lỗX người ta thường xét qua lợi suất r của danh mục.

37

Sau đây là ưu điểm và hạn chế của độ đo rủi ro VaR.Ưu điểm:

1. VaRq của danh mục được tính toán và biểu thị bằng một số lượng tiền nêndễ hình dung và so sánh mức rủi ro giữa các danh mục và chu kỳ khác nhau.

2. Về phương diện ước lượng, do VaRq có cấu trúc tương đối đơn giản nên cóthể sử dụng nhiều phương pháp ước lượng trong thống kê, kinh tế lượng.

Hạn chế về phương diện lý thuyết: VaRq là độ đo rủi ro của danh mục, thỏa mãncác tiên đề T1, T3 và T4. Tuy nhiên do không thỏa mãn tiên đề T2: cộng tínhdưới, nên VaR không phải là độ đo chặt chẽ. Trong [4], [7] các tác giả đã đưa ranhững ví dụ minh chứng. Mặt khác, nếu mức thua lỗ X có phân phối chuẩn thìđộ đo VaRq sẽ thỏa mãn cả 4 tiên đề nên khi này VaRq là độ đo rủi ro chặt chẽ.

Hạn chế về phương diện thực tiễn: Nhiều bằng chứng thực nghiệm chỉ rarằng giả định X có phân phối chuẩn tỏ ra chưa phù hợp kể cả đối với thị trườngchứng khoán Việt nam (xem [9]). Các phân phối của lợi suất danh mục thuộcdạng có đuôi dày, điều này chứng tỏ rằng khả năng thị trường có những biếnđộng lớn và mức tổn thất cao là đáng kể. Với tình huống này VaRq không phảilà độ đo chặt chẽ. Nếu tiếp tục sử dụng VaRq như công cụ quản trị rủi ro rất cóthể sẽ gánh chịu các hậu quả:

• Tổn thất thực tế sẽ lớn hơn nhiều so với ước tính theo VaRq.

• Do VaRq không có tính chất cộng tính dưới (tiên đề T2) nên quy tắc đa dạnghóa bị phá vỡ và nguyên lý phân cấp quản trị rủi ro có thể bị vô hiệu hóa vàlợi dụng.

Một số nghiên cứu mới đây về nguyên nhân của khủng hoảng tài chính toàn cầunăm 2008 cho thấy rất có thể những hậu quả trên có vai trò nhất định.

Trong tình huống độ đo VaRq là chặt chẽ thì VaRq cũng chỉ giúp ta trả lờicâu hỏi: “Ta có thể bị mất tối đa bao nhiêu trong phần lớn các tình huống?”Tuy nhiên độ đo VaRq không trả lời được câu hỏi: “Trong một phần nhỏ cáctình huống còn lại (1% hay 5% tình huống xấu - tương ứng với diễn biến bấtthường của thị trường), khi xảy ra tổn thất, mức tổn thất có thể dự tính được làbao nhiêu?”. Như tổng kết thực tế đã nêu trong bảng 1, các sự kiện, tình huốngtưởng chừng hiếm khi xảy ra lại xuất hiện khá thường xuyên, nên 1% hay 5%tình huống xấu cũng đáng để quan tâm và câu hỏi trên rất cần lời giải để hỗ trợcông tác quản trị và giám sát rủi ro tài chính. Mô hình ES sẽ giúp ta tìm câu trảlời.

38

2.2.3 Mô hình ESTheo logic, sau khi đã tính VaRq của danh mục chúng ta quan tâm tới

những trường hợp tổn thất thực tế của danh mục vượt ngưỡng VaRq và tínhtrung bình (kỳ vọng) của các mức tổn thất này. Như vậy ta có:

Định nghĩa 2.2.5. Tổn thất kỳ vọng của danh mục với độ tin cậy (1−q)100%-ký hiệu là ESq-là đại lượng kỳ vọng có điều kiện:

ESq = E(X |X > VaRq) (2.3)

Một số tính chất của ESq:

• ESq là độ đo rủi ro chặt chẽ của danh mục.

• Mọi độ đo rủi ro chặt chẽ ρ(X) khác của danh mục có thể biểu diễn nhưmột tổ hợp lồi của ESq với các tham số q phù hợp và ESq ≤ ρ(X).

Như vậy việc xác định, tính toán ESq của danh mục vừa thay thế VaRq trong vaitrò đo lường rủi ro đầy đủ hơn vừa chỉ ra đây là thước đo rủi ro ưu việt.

2.2.4 Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ESĐể thuận tiện trong phân tích thống kê và tính toán ước lượng, thay vì xét

mức lỗ/lãi X của danh mục ta xét lợi suất (loga lợi suất) của danh mục. Ta định

nghĩa: rt = ln( Vt

Vt+1

)là lợi suất của danh mục. Nếu tính được VaRq, ESq của

lợi suất rt sẽ dễ dàng suy ra VaRq, ESq của danh mục.Cũng tương tự như khi ước lượng VaRq từ số liệu quá khứ, có hai phương

pháp chính ước lượng ESq: phương pháp tham số và phi tham số.Phương pháp tham số dựa trên giả định về phân phối của lợi suất r: chẳng

hạn phân phối chuẩn, T- Student, Pareto tổng quát. . . Sau đó từ số liệu quá khứcủa r, sử dụng các phương pháp ước lượng trong thống kê, kinh tế lượng (hợplý tối đa, moment tổng quát, ARCH, GARCH. . . ) để ước lượng các tham số đặctrưng của phân phối và suy ra các ước lượng của VaRq (tham khảo trong [9] vàESq tương ứng (tham khảo trong [3],[4],[6],[7]).

Phương pháp phi tham số không đưa ra giả định về phân phối của lợi suất rmà chỉ dùng các phương pháp ước lượng thực nghiệm, mô phỏng và bootstrapscùng các kỹ thuật tính toán xấp xỉ (phương pháp ngoại suy, mạng nơron. . . ) để

39

ước lượng (tham khảo trong [5], [8]).Công thức ước lượng: Cho mức ý nghĩa q∈ (0,1), theo thông lệ thường chọn

q = 0,01 (1%) hoặc 5%. Lập mẫu kích thước n: (X1,X2, ...,Xn). Ký hiệu Xi:n làthống kê thứ tự thứ i của mẫu, tức là: X1:n ≤ X2:n ≤ ·· · ≤ Xi:n ≤ ·· · ≤ Xn:n. Gọik là phần nguyên của nq, đặt p = nq− k. Nếu nq là số nguyên thì p = 0. Ta tínhthống kê trung bình mẫu của các thống kê thứ tự từ 1 đến k:

Xk:n =X1:n +X2:n + · · ·+Xk:n

k(2.4)

Ta có các công thức ước lượng thực nghiệm cho VaRq và ES (chi tiết thamkhảo trong [5], [8]):

VaRq =−Xk:n (2.5)

ESq =

−Xk:n (nq: nguyên)

−(1− p)Xk:n− pXk+1:n (nq: không nguyên)(2.6)

Đây là ví dụ Phương pháp thực nghiệm ước lượng ESq cho thị trường chứngkhoán Việt Nam. Trong khuôn khổ luận văn, tác giả sẽ giới thiệu phương phápước lượng thực nghiệm cho ESq áp dụng cho thị trường chứng khoán Việt Namthông qua chuỗi VnIndex trên sàn HOSE.

Diễn biến của lợi suất thị trường-lợi suất chỉ số VnIndex: Chuỗi VnIndex(giá trị đóng cửa theo ngày) được thu thập từ phiên giao dịch đầu tiên ngày28/7/2000 đến phiên giao dịch ngày 30/6/2010 (2320 phiên) từ nguồn VnDirect.Tính lợi suất (theo ngày) của chỉ số VnIndex (để thuận tiện trong tính toán vàgiải thích theo tỷ lệ %, lợi suất sẽ được nhân với 100). Công thức tính lợi suấtVnIndex:

LsVnindext = ln( VnIndext

VnIndext+1

)·100 (2.7)

Có thể thấy trong khoảng thời gian trên phân phối của LSVNINDEX khôngphải là phân phối chuẩn và thuộc dạng có đuôi dầy (Kurtosis = 5.143954 > 3).Để ước lượng theo kinh nghiệm thực tế của nhiều tác giả, không nên chọn chuỗithời gian quá dài vì với thời gian dài các điều kiện, môi trường hoạt động củathị trường sẽ có sự thay đổi lớn. Ta chọn số liệu trong khoảng thời gian từ tháng1/2006 đến 6/2010 để ước lượng vì các lý do sau:

40

Hình 2.1: Biểu đồ chuỗi lợi suất VnIndex

Hình 2.2: Một số thống kê mô tả

• Số lượng quan sát cũng đủ lớn (1116 quan sát) để thực hiện phân tích thốngkê, kinh tế lượng.

• Trong giai đoạn này thị trường chứng khoán Việt nam phát triển tăng nhanhsố lượng công ty niêm yết và với đủ sắc thái: bùng nổ (cuối 2006 đầu 2007),

41

trầm lắng, suy giảm (cuối 2007, 2008), phục hồi, khởi sắc (2009)

Trong giai đoạn này ta có kết quả:

Hình 2.3: Biểu đồ chuỗi lợi suất VnIndex

Có thể thấy trong giai đoạn này thị trường ổn định hơn thể hiện bởi đặc tínhphân phối chuẩn của lợi suất. Với n = 1116, q = 1% và 5%, ta có nq = 11,6 và55,8 suy ra k1 = 11, k2 = 55 và p1 = 0,6, p2 = 0,8.

Sử dụng công thức ước lượng (2.5), (2.6), ta được ước lượng thực nghiệmcủa VaRq và ESq cho lợi suất thị trường sàn HOSE:

VaRV nIndex(1%) = 4,604(%); VaRV nIndex(5%) = 3,686(%)

ESV nIndex(1%) = 4,731(%); ESV nIndex(5%) = 4,249(%)

Theo kết quả trên, ta có thể rút ra một số nhận xét:

• Sau mỗi phiên giao dịch tại sàn HOSE:

42

Hình 2.4: Một số thống kê mô tả

– Nếu lợi suất thị trường giảm thì với khả năng 95% mức giảm này khôngquá 3,686%; còn với 99% khả năng mức này không quá 4,604%.

– Trong tình huống xấu, nếu lợi suất thị trường giảm sâu vượt các ngưỡngtrên thì 95% khả năng mức giảm dự tính sẽ là 4,249 % và 99% khả năngmức giảm dự tính sẽ là 4,731 %.

• Với giới hạn cho phép của biên độ giá cổ phiếu là ±5%, các mức giảm ướctính ở trên đều nằm trong giới hạn này điều đó chứng tỏ rằng trong mộtphiên giao dịch, dù trong hoàn cảnh xấu, không thuận lợi thì hiện tượng tấtcả các cổ phiếu đồng loạt giảm giá kịch sàn hầu như không xảy ra.

• Do trong giai đoạn trên lợi suất thị trường có phân phối chuẩn vì vậy saukhi ước lượng VaRq, ESq cho ngày, ta có thể sử dụng “Quy tắc căn bậc 2theo thời gian” để tính VaRq, ESq cho các chu kỳ dài hơn. Nếu chu kỳ tínhlà: tuần (5 ngày giao dịch) hoặc 10 ngày, ta có:

VaRV nIndex−tuần(1%) = 10,294(%); VaRV nIndex−tuần

(5%) = 8,242(%)

ESV nIndex−10 ngày(1%) = 14,96(%); ESV nIndex−10 ngày(5%) = 13,43(%)

43

2.2.5 Một số độ đo rủi ro• Độ đo rủi ro biến dạng Độ đo rủi ro biến dạng được xác định như sau:

ρ(X) =

∞∫

0

g(1−FX(t))dt +

0∫

−∞

[g(1−FX(t))−1]dt

Trong đó g : [0,1]→ [0,1] là hàm không giảm và g(0) = 0, g(1) = 1. Hàmg như vậy gọi là hàm biến dạng. Ví dụ, gọi X là đại lượng ngẫu nhiên biểuthị cho số tiền phải trả trong một hợp đồng bảo hiểm, khi đó người ta cầnchọn một hàm g để định mức phí bảo hiểm sao cho:

ρg(X) =

∞∫

0

g(1−F(t))dt ≥ EX =

∞∫

0

(1−F(t))dt

Điều này xảy ra khi g thỏa mãn g(t)≥ t với mọi t ∈ [0,1].

• Độ đo TVaR (Tail-at-risk): VaR(X) được sử dụng nhiều trong quản trị tàichính, tuy nhiên nó không cho ta thông tin về độ dày của đuôi (upper tail)của phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X . Do đó, người ta sử dụng một độđo khác, đó là Tail Value -at-risk, ký hiệu là TVaRq(·). Với q ∈ (0,1), F làhàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X , TVaRq mức q được định nghĩanhư sau:

TVaRq(X) =1

1−q

1∫

q

F−1(t)dt

TVaRq(X) là trung bình của VaR lấy trên q-upper tail. Với X là đại lượngngẫu nhiên không âm, ta chứng minh được rằng

TVaRq(X) =

∞∫

0

g(P(X > t))dt với g(x) = min(

1;1− x1−q

)

TVaRq(X) thỏa mãn cả 4 tiên đề của độ đo rủi ro chặt chẽ.

44

• Độ đo phổ (Spectral risk measure): Một hàm tỷ trọng là một hàm

φ : [0,1]→ [0,+∞) không giảm và1∫

0

φ(t)dt = 1. Một độ đo rủi ro phổ với

hàm tỷ trọng φ được xác định như sau:

ρφ (X) =

1∫

0

F−1X (t)φ(t)dt.

• Độ đo CTEq(X) (Conditional tail Epectation) được định nghĩa như sau:

CTEq(X) = E(X |X > VaRq(X)).

• Độ đo CVaRq(X) được định nghĩa như sau:

CVaRq(X) = E(X −VaRq(X)|X > VaRq(X)) = CTEq(X)−VaRq(X).

2.2.6 Một số công thức tính các độ đo rủi ro cho các phân

phối thường gặp• X có phân phối chuẩn N(µ ,σ2):

1. VaRq(X) = µ +δΦ−1(q)

2. TVaRq(X) = µ +δϕ(Φ−1(q))

1−q

3. CTEq(X) = µ +δϕ(Φ−1(q))

1−q

4. CVaRq(X) = δ(ϕ(Φ−1(q))

1−q−Φ−1(q)

)

5. ESq(X) = δϕ(Φ−1(q))−δΦ−1(q)(1−q)

• X phân phối loga chuẩn: lnX ∼ N(µ ,σ2):

1. VaRq(X) = exp(µ +δΦ−1(q))

45

2. TVaRq(X) = exp(

µ +δ 2

2

)Φ(δ −Φ−1(q))

1−q

3. CTEq(X) = exp(

µ +δ 2

2

)Φ(δ −Φ−1(q))

1−q

4. CVaRq(X) =(

µ +δ 2

2

)Φ(δ −Φ−1(q))

1−q−exp(µ +δΦ−1(q))

5. ESq(X) = exp(

µ +δ 2

2

)Φ(δ −Φ−1(q))− (1−q)exp(µ +δΦ−1(q)).

2.3 Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ và

biến rủi ro

2.3.1 Biểu diễn biến lợi nhuận và biến thua lỗCho VT là giá thị trường của danh mục cổ phiếu đơn hoặc danh mục đầu tư

ở thời điểm t = 0 hoặc t = T (thời gian được tính là ngày hay là tháng).Lợi nhuận hoặc thua lỗ trong đầu tư được biểu diễn bởi trung bình của lợi

suất trong T - ngày:

LT =−(VT −V0)

LT > 0 : biểu thị sự thua lỗ

LT < 0 : biểu thị lợi nhuận.

Giá trị thua lỗ LT trong T− ngày được biểu diễn bởi

R(T ) = ∑t≤T−Rt (2.8)

2.3.2 Sự thua lỗ với tài sản đơnTổng số giá trị theo thị trường của Vt của một danh mục ở thời điểm t được

biểu diễn bởi: Vt = hSt , trong đó h là hằng số được chọn không đổi trong suốt

46

thời gian T− ngày, St giá tại thời điểm t. Xuất phát từ

ST = V0exp(∑t≤T

RT ), (2.9)

ta cóLT = V0(1−exp(−R(T )))≈V0R(T ).

2.3.3 Sự thua lỗ với danh mục đầu tưCho Vt, j = h jSt, j là giá thị trường của danh mục thứ j trong danh mục đầu

tư ở thời điểm t. St, j là giá ở thời điểm t của danh mục j.Vt = ∑

jVt, j là giá thị trường của danh mục ở thời điểm t.

Vectơ W = (W1,W2, ...,Wd), với W j =V0, j

V0, gọi là vectơ trọng lượng.

Vt = V0∑j

W jSt, j = V0WS′t (2.10)

ở đây S′t là vector biến đổi về giá, St = (St,1, ...,St,d). Ta có

LT = V0∑j

W j(1−exp(−R(T, j)))≈V0∑j

W jR(T, j) = V0WR′(T ) (2.11)

R(T ) = (R(T,1), ...,R(T,d)) là vector ngẫu nhiên lợi nhuận của T− ngày cho cácdanh mục đơn khác nhau.

Lợi nhuận logarit của danh mục cho bởi:

R∗t = logVt− logVt−1, với Vt = ∑j

Vt, j.

2.4 Một số phương pháp tính các độ rủi ro

2.4.1 Phương pháp tính VaRq từ phân phối thua lỗVar là q−phân vị của phân phối thua lỗ, VaR với xác suất q thỏa mãn

phương trình:P(LT ≤ VaRq) = q (2.12)

47

trong đó LT là biến thua lỗ, VaR tại 99 % hay 95 % nếu q = 99%hoặc q = 95%.Va phụ thuộc vào phân phối của lợi suất.

VaR cho danh mục đơn:Cho FT là phân phối trong T−ngày của lợi nhuận logarit: R(T ) = ∑

t≤T(−Rt). Do

đó, ta cóFT (x) = P(R(T ) ≤ x) (2.13)

VaRq = V0(1−exp(−F−1T (q)))

(2.17)≈ V0F−1

T (q) (2.14)

trong đó V0 là giá thị trường ở thời điểm t = 0. VaR trong công thức (2.12) đượcxấp xỉ tốt vì 1−exp(−x)≤ x, với q−phân vị F−1

T (q) là không quá lớn.VaR cho một danh mục đầu tư:

VaRq là q−phân vị. Nó được tính xấp xỉ từ q−phân vị của các biến ngẫu nhiêntrong danh mục đơn trong (2.3). Giả sử lợi nhuận logarit trong T−ngày là

R(T, j) = ∑t≤T−Rt, j

của danh mục thứ j ở thời điểm t là biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình là0, phương sai δ 2

T, j > 0. Thêm nữa R(T, j) có ma trận covariance ∑T

= (δT,i, j) với

δT,i, j = δ 2T, j. Cho V0, j là giá thị trường ban đầu của danh mục thứ j trong hệ

thống danh mục ở thời điểm t = 0. Giá trị thua lỗ LT của danh mục ở thời điểmt = T , được xấp xỉ bởi:

LT ≈V0WR′(T ) (2.15)

R(T ) là vector lợi nhuận logarit trong T−ngày, W R′(T ) là biến ngẫu nhiên Gaus-sian với trung bình 0 và độ lệch chuẩn

δT =√

W ∑T

W ′ (2.16)

Do đó từ (2.13) và (2.14), ta có: VaRq = V0δT φ−1(q), với φ−1 là hàm phânvị của phân phối chuẩn Gauss.

48

2.5 Phương pháp tính giá trị trong rủi ro đầu tư

vốn

2.5.1 Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho danh mục tài sản

đơnĐịnh nghĩa 2.5.1. Giá trị thua lỗ trong đầu tư vốn (CaR) là số vốn có thể đầutư sao cho khả năng thua lỗ vượt qua một giới hạn L cho trước với một xác suấtthấp.

CaRq =L

(1−exp(−F−1(q)))(2.17)

Định nghĩa 2.5.2. Nếu H là phân phối của các quan sát cực đại trên nhữngkhoảng thời gian liên tiếp không trùng nhau có cùng thời gian, mức lợi suất

Rkn = H−1

(1− 1

k

)(2.18)

là mức kỳ vọng vượt quá k chu kỳ có độ dài quan sát là n.

Như phần trước ta thấy VaRq là giới hạn l, sao cho P(LT ≤ l) = q, trong đóLT là biến lợi suất hoặc thua lỗ ở thời điểm T .

Ngược lại, cố định l và tìm CaR(T,q, l), là số vốn để đầu tư sao cho lượngthua lỗ LT không vượt qua giới hạn cho trước l với xác suất q cho trước. VaRq =

V0(1−exp(−F−1T (q))), thay V0 = CaR(T,q, l) ta có :

P(LT ≤ l) = P(CaR(T,q, l)(1−exp(∑t≤T−Rt))≤ l) = q

Vì với ∀x > 0 đủ nhỏ thì ta có 1− e−x ≈ x và từ (2.17) nê ta có

CaR(T,q, l) ≈ 1

F−1T (q)

FT là phân phối lợi nhuận logarit trong T ngày.

49

2.5.2 Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho một tập hợp các

danh mục đầu tưCho H0 là một chiến lược kinh doanh. Nó xác định tỷ lệ tài sản đơn khác

nhau. Nhắc lại Vt, j = H0, jPt, j; Vt = ∑jVt, j tương ứng là giá của danh mục tài sản

đơn và của danh mục đầu tư liên quan tới H0.Tìm hằng số b sao cho biến lợi nhuận hoặc thua lỗ LT trong chu kỳ thời gian

từ t = 0 đến t = T nằm trong chiến lược bH0 ban đầu, phương trình đầy đủ là :

P(LT ≤ l) = P(b∑V0, j(1−exp(∑t≤T

Rt, j))≤ l) = q

Để có được điều này, ta chọn b =l

F−1T,H0

(q), với F−1

T,H0(q) là phân phối của

∑jV0, j(1−exp( ∑

t≤TRt, j)). Do đó, CaR(T,q, l) = bV0 =

lV0

F−1T,H0

(q)là rủi ro về đầu

tư vốn với xác suất q.

2.6 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong mô hình hóa

đuôi của chuỗi lợi suất chứng khoánChúng ta có hai cách để tiếp cận lý thuyết cực trị: Mô hình hóa maximum

của các khối (Phương pháp Block Maximum-BM) và Mô hình hóa các giá trịvượt ngưỡng (Phương pháp Peaks over Threshold-POT).

Từ hình 2.5 bên trái, ta thấy các quan sát X2,X5,X7 và X11 biểu diễn chocác khối cực đại trong chu kỳ thời gian tương ứng với 3 quan sát trong mỗi chukỳ. Hình vẽ bên phải các quan sát X1,X2,X7,X8,X9,X11 đều vượt ngưỡng u vàkiến tạo nên các sự kiện cực trị.

Giả sử biến ngẫu nhiên X đặc trưng cho lợi suất của một tài sản, có phân phốiF . Khi đó lợi suất của n ngày được mô tả bởi các biến ngẫu nhiên X1,X2, ...,Xn,trong đó Xi là lợi suất của ngày thứ i nào đó. Nội dung của phương pháp BM làmô hình hóa lợi suất lớn nhất của một tập hợp gồm n lợi suất trên.

50

Hình 2.5: Bên trái sơ đồ các khối cực đại và bên phải các giá trị vượt ngưỡng u

Theo kết quả của Fisher, Tippett (1928) và Gnedenko (1943), khi n đủ lớnthì phân phối chuẩn hóa của lợi suất lớn nhất của n ngày

Mn = max(X1,X2, ...,Xn)

sẽ xấp xỉ với một trong các phân phối: Fréchet, Weibull hay Gumbel.Tuy nhiên trong thực hành, phương pháp này gặp nhiều hạn chế khi số liệu

không đủ lớn. Do vậy, chúng ta sẽ tiếp cận lý thuyết cực trị theo một cách kháchiệu quả hơn, cách tiếp cận thứ hai của lý thuyết này cho phép chúng ta mô hìnhhóa mức lợi suất vượt một ngưỡng u nào đó, đây chính là nội dung của phươngpháp POT.

Xét biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối là F . Vấn đề đặt ra là với các giátrị x lớn hơn u, ta phải đi ước lượng hàm phân phối vượt ngưỡng F [u] như giớithiệu ở phần kiến thức trước.

Hình 2.6: Hàm phân phối F và phân phối điều kiện F [u]

Hàm phân phối vượt ngưỡng

F [u](y) = P(X −u≤ y|X > u), 0≤ y≤ xF −u (2.19)

51

ở đây u là một ngưỡng cho trước, y = x−u là giá trị vượt quá ngưỡng u và

xF = x∗ = sup(x : F(x) < 1).

Hàm phân phối vượt ngưỡng

F [u](y) =F(u+ y)1−F(u)

=F(x)−F(u)

1−F(u)(2.20)

Theo kết quả của Pickands (1975), Balkema và Haan (1974) (xem [2]): Vớimột lớp khá rộng các hàm phân phối F (các phân phối này thường gặp khinghiên cứu trong lĩnh vực tài chính, bảo hiểm,. . . ), khi ngưỡng u đủ lớn thìhàm phân phối vượt ngưỡng F [u](y) = P(X −u≤ y|X > u) sẽ xấp xỉ phân phốiGξ ,σ(y), trong đó

Gξ ,σ (y) =

1−(

1+ξσ· y

)− 1ξ nếu ξ 6= 0

1− e−yσ nếu ξ = 0

Gξ ,σ(y) được gọi là phân phối Pareto tổng quát (GPD). Nếu x = u+ y thì GPD

là một hàm số của x nghĩa là Gξ ,σ = 1−(

1+ξ · x−uδ

)−1ξ .

52

Hình 2.7: Hàm phân phối Pareto Gξ ,σ với σ = 1

Tham số ξ đặc trưng cho đuôi của GPD gọi là chỉ số đuôi, từ hình vẽ ta thấyvới ξ > 0 thì Gξ ,σ(y) là phân phối có đuôi nặng, đây là đối tượng có liên quannhiều tới mục tiêu quản lý rủi ro.

Các hàm rủi ro VaRq và ESq xét ở đây chủ yếu liên quan đến phần đuôi củaphân phối xác suất, ở đây chúng ta sẽ sử dụng GPD để xấp xỉ phân phối vượtngưỡng u, còn phần nhỏ hơn ngưỡng u thì chúng ta sử dụng phân phối thựcnghiệm để ước lượng. Khi đó nếu giả sử Nu là số quan sát vượt ngưỡng u, n làtổng số quan sát thì ta tìm công thức tính các độ đo rủi ro như sau: Từ

ESq = E(X |X > VaRq)

suy ra F(x) = (1−F(u))F [u](y)+ F(u), thay F [u] bởi GPD và F(u) bởi giá trị

ước lượngn−Nu

n, ta có hàm phân phối:

F(x) =Nu

n·[1−

(1+

ξδ

(x−u))−1

ξ]+

(1− Nu

n

)(2.21)

Từ (2.17) với xác suất p ta tính được:

VaRp = u+ξδ

[( nNu·q

)−ξ−1

](2.22)

Mức tổn thất kỳ vọng:

ESq = VaRq +E(X −VaRq|X > VaRq) (2.23)

Mặt khác, hàm trung bình vượt ngưỡng của phân phối GPD với tham sốξ < 1 là:

e(z) = E(X − z|X > z) =δ +ξ z1−ξ

, δ +ξ z > 0 (2.24)

53

Từ định nghĩa của ESp, ta thay z = VaRq−u vào (2.24) có được

ESq = VaRq +δ +ξ (VaRq−u)

1−ξ=

VaRq

1−ξ+

δ −ξ u1−ξ

Giá trị rủi ro:

VaRq = u+σξ

[( nNu

(1−q))−ξ−1

](2.25)

Mức tổn thất kỳ vọng:

ESq =VaRq

1−ξ+

σ −ξ u1−ξ

(2.26)

Do đó để ước lượng giá trị rủi ro VaRq và mức tổn thất kỳ vọng ESq, trướctiên chúng ta cần chọn một ngưỡng u, sau đó chúng ta đi ước lượng các tham sốξ và σ .

Trong phương pháp POT thì việc chọn một ngưỡng u là quan trọng, người tacó thể dựa trên một số cách khác nhau, nhưng thông thường dựa vào đặc điểmcủa hàm trung bình vượt ngưỡng của GPD. Với biến ngẫu nhiên X đặc trưng cholợi suất của một tài sản, nếu phần lợi suất vượt ngưỡng X −u là GPD với ξ < 1thì hàm trung bình vượt ngưỡng

e(u) = E(X −u|X > u) =σ +ξ u1−ξ

, σ +ξ u > 0

Hơn nữa, ta có hàm trung bình vượt ngưỡng của một phân phối đuôi nặng(đuôi béo) nằm giữa hàm trung bình vượt ngưỡng hằng số của phân phối mũ(nếu X − u có phân phối mũ với tham số λ thì e(u) = λ−1) và hàm trung bìnhvượt ngưỡng có dạng tuyến tính (hệ số góc dương) của GPD.

2.7 Ứng dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu

tư cổ phiếu ACB

2.7.1 Số liệuTrong phần này, chúng ta áp dụng phương pháp POT để phân tích chuỗi lợi

suất RACB = ln( Pt

Pt−1

)của giá đóng cửa của cổ phiếu ACB từ ngày 05-01-2009

54

đến 27-11-2011, các kết quả tính toán được dựa trên phần mềm S-plus.

Hình 2.8: Đồ thị chuỗi lợi suất RACB của giá cổ phiếu ACB

Kiểm định tính phân phối chuẩn của RACB với S-plus, ta được kết quả sau:Test for Normality: Jarque-BeraNull Hypothesis: data is normally distributedTest Statistics: RACB ; Test Stat 253.8864; p.value 0.00Dist. under Null: chi-square with 2 degrees of freedom; Total Observ.: 725

Như vậy theo tiêu chuẩn Jarque-Bera với mức ý nghĩa 5% thì chuỗi lợi suấtRACB không có phân phối chuẩn.

55

Hình 2.9: Đồ thị Q-Q

Dựa vào đồ thị Q-Q để xác định các giá trị lệch so với đường chuẩn khi ítbiết về phân phối gốc của dữ liệu, từ đó chọn được dạng của đuôi phân phối.Dựa vào đây chúng ta thấy phân phối của RACB có đuôi nặng hơn so với phânphối chuẩn.

2.7.2 Ước lượng phân phối vượt ngưỡngChúng ta tập trung nghiên cứu phần lợi suất thua lỗ, hay chính là việc mô

tả đuôi trái của phân phối của chuỗi lợi suất nhưng để cho thuận lợi ta sẽ đinghiên cứu đuôi phải của phân phối – RACB.

Ước lượng GPD có hai bước: Chọn ngưỡng u và ước lượng các tham số củaphân phối GPD.

56

2.7.2.1 Chọn ngưỡng u

a. Hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu

en(u) =

n∑

i=k(xn

i −u)

n− k +1, k = mini|xn

i > u, (u,en(u));xn1 < u < xn

n

Dựa vào đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu en(x), ta chọn u sao choen(x) tuyến tính khi x > u.

Hình 2.10: Đồ thị hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu

b. Dùng đồ thị HillGiả sử ta có mẫu ngẫu nhiên X1,X2, ...,Xn. Ký hiệu X (1) ≥ X (2) ≥ ...≥ X (n)

là các thống kê thứ tự được lập từ mẫu ngẫu nhiên trên. Với mỗi số nguyên dương

k, đồ thị Hill là tập hợp các điểm (k,H−1k,n ), trong đó Hk,n =

1k

k

∑i=1

ln( X (i)

X (k)

).

Hơn nữa, ta có Hk,n =1k

k

∑i=1

ln( X (i)

X (k)

)sẽ hội tụ theo xác suất đến ξ khi k→+∞.

Dựa vào đồ thị Hill, chúng ta sẽ chọn các giá trị k trong miền có chỉ số đuôi ξ(ước lượng) ổn định.

57

Hình 2.11: Đồ thị Hill

Dựa vào đồ thị Hill, ta chọn ngưỡng u cao trong miền giá trị ổn định của ξ . Căncứ vào đồ thị của hàm trung bình vượt ngưỡng mẫu và đồ thị Hill, ta có thể chọnu từ 0.025 đến 0.027. Chẳng hạn nếu chọn ngưỡng u = 0,025, bước tiếp theochúng ta đi ước lượng các tham số của GPD.

2.7.2.2 Ước lượng các tham số của GPD

Để ước lượng các tham số của GPD chúng ta có thể áp dụng một số phươngpháp: ước lượng hợp lý cực đại, ước lượng Pickands, ước lượng Drees-Pickands,ước lượng Hill. . . ở đây chúng ta sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại.

Giả sử ta có một mẫu cụ thể (x1,x2, ...,xn), với một ngưỡng u cao đã chọn,ký hiệu x(1),x(2), ...,x(k) là các quan sát vượt ngưỡng u.

Ta đặt yi = x(i)− u, i = 1,2, ...,k, theo kết quả của định lý Haan thì vớingưỡng u đủ lớn, ta có thể xem (y1,y2, ...,yk) là một mẫu độc lập nên từ GPDvới các tham số chưa biết ξ và σ = σ(u). Khi đó, ta có

• Log-hàm hợp lý trong trường hợp ξ khác 0

L(y1,y2, ...,yk,ξ ,σ) =−k lnσ−(1

ξ+1

) k

∑i=1

ln(

1+ξσ

yi

)

58

• Log-hàm hợp lý trong trường hợp ξ = 0

L(y1,y2, ...,yk,σ) =−k logσ − 1σ

k

∑i=1

yi

Ta có ước lượng cho ξ và σ như sau:Generalized Pareto Distribution Fit –Total of 725 observationsUpper Tail Estimated with ml –Upper Threshold at 0.025 or 9.379 % of the dataML estimation converged. Log-likelihood value: 216.6Parameter Estimates, Standard Errors and t-ratios:Value Std.Error t valuexi 0.0578 0.1712 0.3379sigma 0.0144 0.0030 4.7694.

Như vậy, nếu chọn ngưỡng u = 0.025, thì chúng ta có 9.379% mức lợi suấtvượt trên ngưỡng này. Sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại, chúngta thu được các ước lượng của các tham số của GPD: ξ = 0,0578, σ = 0,0144.Dưới đây ta có đồ thị hàm phân phối vượt ngưỡng ước lượng ( hình 2.12) và đồthị đuôi của phân phối ước lượng (hình 2.13).

Hình 2.12: Hàm phân phối vượt ngưỡng ước lượng

59

Hình 2.13: Đuôi của phân phối

2.7.3 Ước lượng giá trị rủi ro VaRq và mức tổn thất kỳ vọng

ESq

2.7.3.1 Ước lượng điểm

Như vậy sau khi ước lượng được các tham số ξ , σ của GPD, thì chúng taước lượng được VaRq và ESq. Ta có kết quả ước lượng:

q quantile sfall

[1, ]0.90 0.02408088 0.03927679

[2, ]0.95 0.03420630 0.05002377

[3, ]0.99 0.05934294 0.07670347

Dựa vào kết quả ước lượng ta thấy, chẳng hạn với độ tin cậy 95 % (q=0,95)chúng ta ước lượng được VaRq = 0.03420630và ESq = 0.05002377. Như vậyvới độ tin cậy 95 %, phần mất đi có thể có của ngày tiếp theo đối với người sởhữu một số cổ phiếu ACB có giá trị 10 triệu đồng là 342063 đồng và mức tổnthất kỳ vọng vượt trên giá trị VaRq là 500237.7 đồng.

60

2.7.3.2 Ước lượng khoảng

Chúng ta có thể tìm khoảng tin cậy đồng thời cho các tham số ξ và σ dựatrên thống kê: L(ξ ,σ)−L(ξ , σ) : χ2(2), hơn nữa ta có thể tìm khoảng tin cậyriêng cho từng tham số dựa trên thống kê 2(L(ξ , σ)−L∗(ξ )) : χ2(1), trong đóL∗(ξ ) = max

σL(ξ ,σ).

Hình 2.14: Đồ thị ước lượng khoảng cho ξ

Để tìm khoảng tin cậy cho VaRq, ta biếu diễn hàm phân phối của GPD như mộthàm của ξ ,VaRq:

Gξ ,VaRq(y) =

1−(

1+

( nNu

(1−q))−ξ−1

VaRq−u· y

)−1ξ nếu ξ 6= 0

1− nNu

(1−q)ey

VaRq−u nếu ξ = 0

Từ đây, chúng ta xác định được hàm mật độ xác suất và xây dựng đượckhoảng tin cậy cho VaRq. Vì khó tìm được dạng cụ thể của các khoảng tin cậynên người ta thường dùng phương pháp mẫu lặp để tìm khoảng tin cậy cho cáctham số nói trên.

61

Hình 2.15: Đồ thị khoảng tin cậy cho giá trị rủi ro VaRq và mức tổn thất kỳ vọng

ESq ở mức q = 0,99

Ta có thể đưa ra khoảng tin cậy 99 % của VaRq và ESq ở mức 0,99 tươngứng như sau:

VaRq Lower CI Estimate Upper CI

0.05215449 0.05934294 0.07237078

ESq Lower CI Estimate Upper CI

0.06425435 0.07670347 0.1280827

Theo kết quả ước lượng ở trên với độ tin cậy 99 %, thì phần mất đi ở mức0,99 có thể có của ngày tiếp theo đối với người sở hữu một số cổ phiếu RACBcó giá trị 10 triệu đồng là từ 521544,9 đồng đến 723707,8 đồng và mức tổn thấtkỳ vọng vượt trên VaRq ở mức 0,99 là từ 642543,5 đồng đến 1280827 đồng.

62

KẾT LUẬN

Trong luận văn này em đã trình bày những kết quả chính của lý thuyết cực

trị và áp dụng lý thuyết này để đo lường rủi ro tài chính. Đóng góp chính của

luận văn bao gồm:

1. Tổng quan về lý thuyết cực trị bao gồm các khái niệm và các định lý cơ bản

trong lý thuyết cực trị .

2. Ứng dụng lý thuyết cực trị với phần mềm S−PLUS để đo lường rủi ro tài

chính.

Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều còn có những sai sót em

rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh

hơn.

63

Tài liệu tham khảo

1. Acerbi, C., Nordio, C., Sirtori, C.(2001), Expected Shortfall as a Tool for

Financial Risk Management, AbaxBank – Working Paper.

2. Danielsson, J.&de Vries, C. (1997), Tail index and quantile estimation with

wery high frequency data, Journal of Empirical Finance 4, 241-257.

3. Danniel De Waal (2004), Statistics of Extremes- Theory and Applications,

John Wiley& Sons, Ltd.

4. Feter F. Christoffersen (2003), Elements of Financial.Risk.Management.

5. Fotios C. Harmantzis, Linyan Miao, Yifan Chien, Empirical Study of Value-

at-Risk and Expected Shortfall Models with Heavy Tails, Working Paper -

Financial Analytics Group, Stevens Institute of Technology, August 2005.

6. Hull, J. and A. White, Value at Risk When Daily Changes in Market Vari-

ables Are Not Normally Distributed, Journal of Derivatives, (1998) 5.

7. Koji Inui, Masaaki Kijima, On the significance of expected shortfall as a

coherent risk measure, Journal of Banking & Finance 29 (2005) 853–864p

8. Longgin. M (2000), From value at risk to stress testing: The extreme value

approach, Journal of Banking and Finance 24, pp.1097-1130.

64

9. Manfred Gilli, Evis Kellezi (2003), An Application of Extremme Value The-

ory for Measuring Risk.

10. McNeil. A. (1998), Calculating Quantile Risk Measures for Financial Re-

turn Series using Extreme Value Theory

11. McNeil. A. (1999), Extreme Value Theory for Risk Managers

12. Neftci, S., Value at Risk Calculations, Extreme Events, and Tail Estimation,

The Journal of Derivatives, (2000)

13. Rudiger Frey, Alexander J. McNeil, VaR and expected shortfall in portfo-

lios of dependent credit risks: Conceptual and practical insights, Journal of

Banking & Finance 26 (2002) 1317–1334p.

14. R.-D. Reiss & M. Thomas, Statistics Analysis of Extreme Values, with Ap-

plications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields

15. Yasuhiro Yamai, Toshinao Yoshiba, Value-at-risk versus expected shortfall:

A practical perspective, Journal of Banking & Finance 29 (2005) 997 –

1015p.

65