Luka Sopta i Lado Kranjcevic -Mehanika Fluida Kratka Skripta Za Studente

7/25/2019 Luka Sopta i Lado Kranjcevic -Mehanika Fluida Kratka Skripta Za Studente

1/37

MEHANIKA FLUIDAKratka skripta za studente Tehnikog fakulteta u Rijeci

Luka SoptaLado Kranjevi

Rijeka, 2003.


2/37

SADRAJ

1. Statika fluida2. Osnove dinamike fluida3. Strujanje idealnog fluida4. Strujanje realnog fluida u cijevi5. Optjecanje tijela

1


3/37

UVOD

Materija se dijeli na vrstu, tekuu i plinovitu. U vrstom stanju materije molekule se nalaze u

kristalnoj reetki s malim stupnjem slobode gibanja. U tekuem stanju molekule imaju veuslobodu gibanja i mogu zauzeti proizvoljan oblik zadravajui isti volumen, a u plinovitom stanjumolekule mogu zauzeti proizvoljan prostor.

Najvei dio svemira je u fluidnom stanju. Galaksije, zvijezde i planete u veem dijelu sepromatraju kao fluid. Atmosfera, oceani, mora, jezera i rijeke su fluidi. Unutranjost zemlje je ufluidnom stanju. Za gotovo sve industrijske grane vana je mehanika fluida: automobilska,avionska, brodograevna, kemijska industrija, energetika ovjekovo tijelo je veim dijelomfluid. Za medicinu je od velike vanosti poznavanje strujanja krvi i drugih fluida u tijelu.

Definicija fluida: fluid je materija koja se deformira za proizvoljno malo tangencijalnonaprezanje(Sl.1.1).

0),(,0 => txv rr

0),(,0 >> txv rr

Krutina Fluid

Sl.1.1

1. STATIKA FLUIDA

Statika fluida se bavi fluidom u stanju mirovanja. Fluid je u stanju mirovanja akopostoji koordinatni sustav u kojem je brzina estica fluida u svakoj toki jednaka nuli.

1.1 Osnovni zakoni statike fluida

U statici fluida vrijede dva osnovna zakona:

1.Suma sila na svako tijelo fluida jednaka je nuli.

2.Suma momenata na svako tijelo fluida jednaka je nuli.

F

F

S

m

m

Sukupnifluid t

n

S

Sl.1.2 Sl.1.3

Sile u mehanici fluida dijele se na [Cauchy]:r

- masene ili tjelesne sile, u oznaci mF ,(gravitacija, inercijalna sila, centrifugalna sila, Coriolisova

sila, elektromagnetska sila)

- kontaktne ili povrinske sile, u oznaci sFr

.

2


4/37

Gustoa masene sile, u oznaci fr

, se definira u svakoj toki promatranog tijela fluida kao

( )V

F

m

Fzyxf

m

V

m

m

=

=

rrr

00000 limlim,, ,

gdje je m masa tijela V koje sadri toku (xo, yo, zo) i mFr

masena sila na to tijelo (Sl.1.2).

Gustoa kontaktne sile, u oznaci tr

, se definira u svakoj toki tijela fluida kao

( )S

Fzyxt S

A

=

rr

0lim,, ,

gdje je S povrina diferencijalnog dijela ravnine definirane tokom (x, y, z) i normalom nr

, teSF

r kontaktna sila na S (Sl.1.3).

Uz osnovna dva zakona statike fluida, koji su ujedno osnovni zakoni statike bilo kojegkontinuuma, potrebno je definirati konstitutivnu relaciju za fluid koja se oituje u definiranjutenzora naprezanja. Fluid u stanju mirovanja nema tangencijalnih naprezanja, odnosno gustoakontaktne sile u proizvoljnoj toki (x, y, z) fluida kolinearna je vektoru normale za proizvoljnozadanu ravninu u toki (x, y, z) (Sl.1.3), tj.

( ) ntzyxt rrr

=000 ,, .

Intezitet gustoe kontaktne sile zove se tlak i oznaava se sap. Stoga:

( ) npzyxt rr

=000 ,,

Intenzitet tlaka ne mijenja se s promjenom poloaja plohe u promatranoj toki.

Kad fluid miruje, sila na plohu je okomita i tlak je uvijek isti, kako god postavili plohu .s

Tlak je temeljna varijabla u mehanici fluida.

Tlak u toki (x, y, z),p(x,y,z), definiran je omjerom intenziteta kontaktne sile i povrinom plohe.Osnovna jedinica za tlak je paskal, u oznaci Pa, i jednaka je kvocijentu sile od jednog njutna i

povrine od jednog metra kvadratnog, Pa (paskal) =N/m2. esto se koristi i jedinica bar= 105Pa.

1.2 Osnovna jednadba statike fluida Eulerova jednadba

fpr

=grad

Eulerova jednadb predstavlja sustav diferencijalnih jednadbi:

xfx

p

= yf

y

p

= zf

z

p

=

Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se iz Eulerove jednadbe statike fluida uz poznatu fr

-

gustou volumne sile i - gustou (mase), izrauna raspodjela tlaka p(x,y,z).

3


5/37

Eulerova jednadba izraava zakonitost da je najvea promjena tlaka (grad p) u mirujuem fluidu

u smjeru masene siler

. Gradijent tlaka je vektor okomit na izobaru(plohu jednakog tlaka).f

1.3 Fluid konstantne gustoe u polju sile tee

Vaan sluaj je sluaj fluida konstantne gustoe (homogenog fluida) u konstantnom polju sile tee.Koordinatni sustav definiran je tako da je

kgfrr

= ,

gdje jeg= 9,81 m/s2ubrzanje sile tee (Sl.1.4).

voda z

x

y

zrak

= . kf g

p0

Izobare

Sl.1.4 Mirujui fluid u polju sile tee

Eulerova jednadba napisana po komponentama glasi:

gz

p

y

p

x

p

=== ,0,0 .

Iz prve dvije jednadbe izlazi da je pfunkcija samo varijablez, tj.p =p (z ). Trea diferencijalnajednadba je:

gdz

dp= .

Ope rjeenje ove jednadbe je

Cgzzp += )( .

Konstanta integracije C se odreuje iz poznavanja tlaka u jednoj toki fluida. Za z = 0, prema sliciSl.1.4 tlak je p = p0pa slijedi vrijednost konstatne integracije C:

Cpp == 0)0( .

Iz prethodnog izraza vidljivo je: Izobare, plohe jednakog tlaka, su ravnine , gdje je Cproizvoljan broj, odnosno izobare su ravnine okomite na smjer sile tee. Na odredenoj dubinifluidaz = htlak je:

Cz=

( ) ghpzp += 0 .

4


6/37

1.4 Mjerenje tlaka

Barometar

Barometarje instrument za mjerenje atmosferskog tlaka. Princip barometra [Torricelli, 1643] jeprikazan naSl.1.5. Cijev duine 1m napunjena je ivom i uronjena u posudu sa ivom . iva ucijevi se spusti na visinu H, priblino 760 mm , iznad povrine ive u posudi.

H

B C

A

zrak

voda

h

patm

Sl.1.5 Sl.1.6 Sl.1.7

iva Hg

p

AB

C

p0

h

atm

PremaSl.1.5: atmA pp = (atmosferski tlak)

AB pp = , ,)(0 vakuumpC hgpp HgCB +=

barPamkgNmkghgpp HgBatm 01396.11001396.176.0/81.9/1360053 =====

ManometarManometar je instrument koji mjeri tlak pomou stupca fluida. Princip rada manometra je prikazanna Sl.1.6.Sa slike mogue je zakljuiti:

ABatmfluidaCCB ppphgppp +==

Diferencijalni manometarZa diferencijalni manometar premaSl.1.7slijedi:

( )hxgpp AC ++= , hgxgpp mBD ++=

Izobara povuena kroz toke C i D daje DC pp = . Slijedi:

( ) hgpp mBA =

U sluaju da u cijeviSl.1.7 struji zrak, a mjerni fluid je voda, gornji izraz za razliku tlakovamogue je aproksimirati

hgpp mBA ,

poto je mjerni fluid (voda vodam =

zrak

) u ovom sluaju priblino tisuu puta gui od fluida iju

razliku tlakova mjerimo (zrak = ).

5


7/37

1.5. Relativno mirovanje fluida

Jednoliko ubrzanje fluida.Promatra se fluid u posudi koja se giba konstantnim ubrzanjem a

r, (Sl.1.8) estice fluida miruju u

koordinatnom sustavu vezanom za spremnik.

Sl.1.8

Gustoa masene sile je:

gaf rrr

=

Eulerova jednadba glasi:

( )gafpgrad rrr

+== ,

odnosno po komponentama:

gz

p

y

pa

x

p

=== 0

Iz druge jednadbe slijedi

( )zxpp ,= .

Integracijom iz prve jednadbe slijedi

)(zaxp +=

Uvrtavanjem u treu jednadbu dobije se:

Cgzzgdz

dp

z

p+===

)(,.

Konano se moe napisati

Czgxap += .

6


8/37

Konstanta C se odreuje iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj toki fluida. Izobare su ravnine (u XZravnini pravci):

0=+ Czgxa

Ako fluid ima slobodnu povrinu, onda je ona jedna izobara. Kut izobara u odnosu nahorizontalnu ravninu moe se izraunati iz relacije:

g

a=tan .

Rotacija fluida.Fluid u posudi rotira (Sl.1.9) konstantnom kutnom brzinom . estice fluida miruju ukoordinatnom sustavu koji je vezan za posudu.

Sl.1.9

Gustoa masene sile je sada

cagf rrr

+=

gdje je centrifugalno ubrzanje. Treba uoiti da secar

cagf

rrr

+= mijenja po smjeru i intezitetupoevi od osi rotacije do ruba posude.U cilindrinom koordinatnom sustavu (gdje je ishodite sustava na dnu posude, a osi z i rusmjerene kako je prikazano na slici Sl.1.9) je

( )kgeerf rrrrr

++= 02 .

i gradijent tlaka

kz

pe

p

re

r

ppgrad r

rrr

++=

1.

Eulerove jednadbe po komponentama glase:

7


9/37

gz

pp

rr

r

p

=== 0

12

Iz druge jednadbe slijedi p = p(r,z). Integracijom prve jednadbe dobija se

( ) ( )zr

zrp +=2

,2

2 .

gdje je (z) proizvoljna funkcija varijable z. Ako se navedeni izraz uvrsti u treu jednadbu,nalazimo:

Czgodnosnogdz

d

dz

dp+=== ,

Konano, polje tlaka je definirano relacijom:

Cr

zgzrp ++=2

),(2

2

Konstanta integracije C se dobije iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj toki fluida (npr. na povrinifluida p=p0):

00

22 )(

2),( pzZg

rzrp ++=

Izobare, plohe konstantnog tlaka, su rotacijski paraboloidi:

0

22

2Z

g

rz +=

.

Ako fluid ima slobodnu povrinu, onda je ona izobara rotacijski paraboloid.Volumen rotacijskog paraboloida jest pola volumena valjka visine ZR

RR ZRV 2

2

1= ,

gdje je (Sl.1.9):

g

RZR

2

22= .

8


10/37

1.6. Sile fluida na ravnu plohu

Na dio ravnine A treba izraunati silu F. Na dA djeluje sila u smjeru normaleFdr

nr

(Sl.1.10):

Sl.1.10

ndApFd rr

= .

Ukupna sila je (vektor normale u ovom sluaje je konstanta):

=A

dApnF rr

,

a intenzitet sile jednak je:

==A

dApFFr

.

Za sluaj fluida konstantne gustoe u konstantnom gravitacijskom polju tlak je definiran relacijom:

0

0

sin

sin,

pygp

yhphgp

+=

=+=

Sada za silu vrijedi:

+=+=+=A AA

dydxygApdApdAygdxdyygpF sinsin)sin( 000 A

,

Teorem o srednjoj vrijednosti daje:

=A

TAydydxy ,

gdje jeyTordinata teita T(xT,,yT)povrineA. Slijedi formula za izraun sile na dio ravnine A:

AygApF T sin0 +=

9


11/37

Centar tlakaCentar tlaka je toka P(xP, yP) za koju vrijedi:

Mx= yPF , My= xPF

gdje suMx, My momenti oko osi-x i osi-y.Kako je ukupni moment oko x-osi promjenjive sile po povrini A :

+=+====AAAAAA

xx dAygdAypdAygdApyypdAydFdMM2

00 sin)sin(

slijedi da je:

AypIgFy TxxP 0sin += ,

ApAygAypIgy

T

TxxP

0

0

sinsin

++=

gdje jeIxx(moment inercije prema osi x):

=A

xx dydxyI2

Na analogan nain mogue je dobiti i x-koordinatu centra tlaka :

+=+== A A ATxyP AxpIgdydxxpdydxyxgdApxFx 00 sinsin

ApAyg

AxpIgx

T

Txy

P0

0

sin

sin

+

+=

,

pri emu je:

=A

xy dydxxyI

produkt inercijaobzirom na osi x i y.

Za sluaj da je vanjski tlakpo isti s obje strane plohe (Sl.1.11) vrijedi:

sinsin 210201 ==+= AygFFApFAygApF TT

AygF T sin=

Ay

I

gAy

gIy

T

xx

T

xxP =

=

sin

sin.

10


12/37

F

p

p

0

0

F

1

2

Sl.1.11 Tlak p0s obje strane plohe

Translacijom koordinatnog sustava x-y u teite plohe A dobije se novi koordinatni sustav .

Ako se moment inercijeIxx izrazi pomou , gdje je moment inercije prema

osiIAyI Txx +=

2I

koja prolazi kroz teite plohe, slijedi:

Ay

AyIy

T

T

P

2+=

, tj.

Ay

Iyy

TTP

+=

Slino, dobije se i

Ay

Ixx

T

TP

+= ,

gdje je produkt inercijaobzirom na koordinatni sustav koji prolazi kroz teite plohe. Izraze za

moment inercije i produkt inercija za razliite geometrijske likove mogue je oitati u

veini adekvatnih prirunika.

I

I I

1.7. Sile fluida na plohu

Na dio plohe S, dS, djeluje sila dF u smjeru vektora normale (Sl.1.12):

fluid

S

F

n

S

S

Sl.1.12

ndSpFd

rr

= .

Ukupna sila je:

11


13/37

==SS

dSnpFdF rrr

.

Vektor normale moe se napisati kao

knjninn zyx

rrrr++=

pri emu je nx=cos , ny=cos , nz=cos , a , , kutevi koje vektor normale zatvara sakoordinatnim osima. Sila po komponentama:

==S A

xx

x

dzdypdSnpF , , ==yAS

yy dxdzpdSnpF ==zAS

zz dydxpdSnpF

pri emu suAx,Ay, iAzodgovarajue projekcije plohe Su ravnine yz, xz i xy.

1.8. Uzgon

Ukupna kontaktna sila mirujueg fluida na tijelo koje pluta ili je potopljeno u njemu zove seuzgon. Ukupna kontaktna sila fluida na tijelo jednaka je:

kVgF tijelafluida

rr

=

tijelaz gVFU ==

odnosno, sila fluida na tijelo, uzgon (U), ne ovisi o gustoi (materijalu) tijela, nego o gustoifluida, gravitacijskom ubrzanju i volumenu tijela. Ako je teina tijela vea od uzgona, ,tijelo tone, ako je teina tijela jednaka uzgonu,

UG>UG= , tijelo lebdi u fluidu, a ako je teina tijela

manja od uzgona, , tijelo izranja.UG>A2, slijedi

v1=v2(A2/A1),

odnosno . Iskustveno, brzina sputanja razine povrine je malena ako je otvor spremnika

relativno mali u odnosu na volumen spremnika, odnosno brzina v1je relativno malena.

01 v

Za sluaj prikazan na slici (Sl.3.1) vrijedi

1 1 20 ; 0 ;v z z= = = h 1 atmp p; = ; 2 atmp p=

Gornji izraz govori da je tlak u okolini otvorenog mlaza na izlazu iz spremnika jednakatmosferskom pa je stoga i kroz itav mlaz tlak jednak atmosferskom jer bi u protivnom dolo do

promjene poprene povrine mlaza. Iz Bernoullijeve jednadbe slijedi:

2

2 2v g= h

tj.

22v g= h .

Prethodni izraz predstavlja tzv.Torricellijevu formulu.

Hidrostatski tlak raunamo:

0p p gh= +

.

Na izlaznom presjeku (toka 2)vrijednost brzine je

22v k g= h

gdje je k korekcijski faktor koji ukljuuje efekt viskoznosti (Sl.3.2).

20


22/37

Sl.3.2 - razliiti faktori k

Primjer 2- Istjecanje kroz otvore proizvoljne veliine (Sl.3.3)

Sl.3.3

Izvod izraza za izraun protoka dan je u slijedu:

dQ v dA=

( )

( ) ( ) ( )

=====

b

aA A A

b

a

xy

xy

dxxyxygdyydxgdxdygydAgydAvQ 23

123

2322222

2

1

Za specifian sluaj kada je otvor pravokutnik (Sl.3.4)

Sl.3.4

1

2

( )

( )

y x M

y x M c

=

= +

Poto gore navedeni izrazi nisu funkcije odxnego su konstante, vrijedi:

( ) ( )3322

22

3Q g M c M b

a= +

21


23/37

Primjer 3- PreljevU sluaju preljeva M=0, slijedi:

( )abcgQ = 23

23

2,

odnosno uz oznake prema slici (Sl.3.5) gdje c=H, (b-a)=Li uz dodavanje empirijskog koeficijentapreljeva CEkako bi se dobila efektivna vrijednost protoka ovisno o geometriji preljeva, slijedi:

LHgCQ E2

3

23

2= .

B

Sl.3.5 Preljev

Protok otvorenih vodotoka mogue je tono izraunati na osnovu geometrije presjeka(preljeva)(Sl.3.5) toka. Primarno se mjeri dubina vode na preljevu. Primjenom samo Bernoulijeve

jednadbe dobije se gruba aproksimacija, ali se eksperimentalno mogu dobiti dodatni korekcijskifaktori (CE) koji simuliraju viskozne efekte.

Primjer 4 - Venturijeva sapnicaVenturijevom sapnicom (Sl.3.6) mjeri se protok na osnovu razlike tlakova. Ona se sastoji od

postupnog koninog suenja pod kutem 20o, kratkog cilindrinog dijela te difuzora pod kutem 5odo 7o. Radi tonosti

1

2

Z

hm

Q

m

Cv

0.99

0.98

0.97

0.96

0.95

0.94

1.00

10 4 510 6101.5 2 3 4 5 6 8 2 3 4 5 6 81.5Re

Sl.3.6 Venturijeva sapnica

mjerenja uzvodno od venturimetra cijev treba biti ravna u duini barem trideset cjevnih promjera.

Na bazi venturimetra i u suenju tlak se najee mjeripiezometrinim prstenovima. Pri mjerenjuprotoka plinova potrebno je neovisno mjeriti temperaturu i tlak na bazi venturimetra dok za

22


24/37

mjerenje protoka tekuina dovoljno je izmjeriti razliku tlakova. Primjenom jednadbe kontinuiteta

1 1 2 2A v A v=

uz konstantnu vrijednost tlaka p=const. i prosjene vrijednosti brzina v1 i v2 po presjecima,

postavlja se Bernoullijeva jednadba od 1 do 2 (SL.3.6)

22

22

11

21

22z

g

p

g

vz

g

p

g

v++=++

Primjenom jednadbe kontinuiteta v1=v2(A2/A1) i uz p=p1-p2 slijedi:

( )( )21

212

2 22

/1

1zzg

p

AA

v +

=

.

U gornji izraz potrebno je dodati korekcijski faktor brzine Cv kojim se obuhvaaju gubici zbogviskoznih efekata. Protok kroz venturimetar sada se moze izraziti:

( )( )21

212

2 22

/1zzg

p

AA

ACQ

v +

=

Vrijednosti empirijskog faktora Cv u ovisnosti o Reynoldsovom broju i geometriji venturimetradane u dijagramu (Sl3.6 ) primjenjive su za odnose promjera venturimetra D2/D1 u rasponu od0.25 do 0.75 koji je prikazan iscrtkanim krivuljama na dijagramu. Kod izboru venturimetra dobro

je izabrati onaj kod kojega je koeficijent venturimetra Cv priblino konstantan za rasponreynoldsovog broja koji se oekuje pri upotrebi. Izrazimo li razliku tlaka p u gornjem izrazu

pomou stupca mjernog fluida hmgustoe m, tada je izraz za protok kroz venturijevu cijev:

4

1

2

2

1

12

=

d

d

hg

ACQ

mm

v

Uoljivo je da ako izrazimo razliku tlakova pomou stupca mjernog fluida u diferencijalnommanometru hmizraz za protok postaje neovisan o nagibu venturimetra.

Primjer 5 Pitotova cijevPitotova cijev (Sl.3.7) je ureaj kojim se mjeri brzina strujanja u odreenoj toki. Princip mjerenja

brzine pomou Pitotove cijevi prikazan je na slici pomou cijevi (npr. staklena cijev) savinute podpravim kutem. Cijev je usmjerena u pravcu strujanja fluida tako da fluid ustrujava direktno u otvorsve dok se u cijevi ne povea tlak toliko da se izjednai s djelovanjem fluida koji nastrujava te tadaneposredno ispred otvora cijevi fluid miruje (toka 2). Toka neposredno ispred otvora cijevi ukojoj fluid miruje , zove se stagancijska ili zaustavna toka. Postavljanjem bernoullijeve02 =v

23


25/37

v 1 2

h

h0

p1 p2

Sl.3.7 Princip mjerenja brzine fluida pomou jednostavne Pitotove cijevi

jednadbe du strujnice izmeu toaka 1 i 2 (Sl.3.7) uzimajui u obzir i , slijedi:21 zz = 02 =v

g

p

g

v

g

p

2211

2 =+ .

Tlak u toki 2mogue je izmjeriti pomou visine strupca fluida u cijevi

( )hhgp += 02

to predstavlja totalni tlak. Totalni tlak je sastavljen od dvije komponente, statikog tlaka

01 ghp =

h

predstavljenog visinom stupca h0i dinamikog tlaka kojeg predstavlja dio stupca fluida

. Izjednaavanjem dvaju prethodnih izraza slijedi izraz za brzinu strujanja lokalno:

hgv = 21 .

24


26/37

4. STRUJANJE REALNOG FLUIDA U CIJEVI

4.1 Viskoznost

Fluid je tvar koja se kontinuirano deformira pod utjecajem sminog naprezanja ma kako malo tonaprezanje bilo.Viskoznost mjera otpornosti gibajueg fluida na smik. Viskoznost se gotovo ne mijenja

promjenom tlaka, a mijenja se s promjenom temperature. Kod tekuina, poveanjem temperaturesmanjuje se viskoznost, dok se kod plinova poveanjem temperature viskoznost poveava (Sl.4.3.).

U F

x

y

y

u

Sl.4.1

Izmeu dvije paralelne ploe nalazi se neka tvar (Sl.4.1). Donja ploa je fiksna, dok na gornjudjeluje sila F, koja proizvodi smino naprezanje =F/A na tvar meu ploama.Aje povrinagornje ploe. Ako silaF prouzrokuje gibanje ploe stalnom brzinom, tada je mogue zakljuiti da

je tvar meu ploama fluid. Fluid u neposrednom kontaktu s vrstom granicom ima istu brzinu kaovrsta granica (tzv. ''no slip condition'').

SlijediNewtonov zakon viskoznosti:

dy

du= ,

gdje je smino naprezanje, du/dybrzina kutne deformacije pri 1D strujanju fluida, a

dinamiki koeficijent viskoznosti.

[ ]sPa

Osnovna podjela fluida je na njutnovske i nenjutnovske (ili newtonske, nenewtonske) fluide(Sl.4.2). Kod njutnovskih fluida (plinovi, veina tekuina) postoji linearna relacija (kao na Sl.4.1)izmeu intenziteta sminog naprezanja i odgovarajue brzine deformacije. Nenjutnovski fluidi jesunpr. dugolanani hidrokarbonati, krv, zubna pasta, neke boje, blato... (Sl.4.2) i kod njih je odnos

izmeu intenziteta sminog naprezanja i odgovarajue brzine deformacije nelinearan.

25


27/37

Sl.4.2 Sl.4.3

Koeficijent kinematske viskoznosti fluida

=

s

m2

. Za vodu pri normalnim uvjetima vrijedi

cSts

m1101

26 =

(centi Stokes), odn. [ ] cPsPa 1101 3 = (centi Poise).

4.2 Turbulentno i laminarno strujanjeStrujanje realnog fluida mogue je klasificirati kao laminarno, turbulentno, odn. prijelazno (Sl.4.4,

Sl.4.5).Laminarno strujanje estice fluida gibaju se po glatkim putanjama u infinitezimalno tankimlaminama (slojevima), koji klize mirno jedan po drugom.Turbulentno strujanje nepravilno kaotino gibanje estica fluida sa jakim fluktuacijama brzineu svim tokama strujnog polja.

Laminarno

Prijelazno

Turbulentno

Q

DTinta

Trag tinte

Sl.4.4 Osborne Reynoldsov eksepriment injektiranjatinte u cijev u kojoj struji voda. Klasifikacija strujanja.

26


28/37

0.8

0.6

0.4

0

v/V

0

0.2

0.6 0.8 1.0

Laminarno

1.0

r/R

0.40.2

0.8

0.6

0.4

0

v/V

0

0.2

Re2

0.6 0.8 1.0

Turbulentno

1.0

r/R

0.40.2

Re . Za Reynoldsove brojeve izmeu danih kritinih vrijednosti

pretpostavlja se prijelazno strujanje. Na slici (Sl.4.5) brzina vpredstavlja srednju brzinu priturbulentnom strujanju, a V je brzina u centru cijevi. Poveanjem Reynoldsovog broja turbulentan

profil brzina postaje sve "spljoteniji". Radi usporedbe prikazan je jedan laminaran parabolianprofil brzina. Uoljivo je da je u blizini stijenke cijevi turbulentan profil brzine znatno strmiji.

4.3 Gubici pri strujanju realnog fluida u cijevima

Gubici se klasificiraju kao duinski (glavni) i lokalni.

Duinski gubiciDuinski gubici nastaju zbog trenja i proporcionalni su duini cijevi, priblino proporcionalnikvadratu brzine, obrnuto proporcionalni unutarnjem dijametru cijevi, ovise o povrinskojhrapavosti unutarnje stijenke cijevi, ovise o gustoi i viskoznosti fluida i neovisni su o tlaku.Duinski gubici raunaju se pomou Darcy-Weisbachove formule:

[mgv

D

L

h 2

2

= ] ili [mDg

QL

h 52

28

= ]

,gdje je koeficijent hrapavosti,Dpromjer cijevi,Lduina cijevi, vbrzina strujanja i Qprotok.esto se za proraun duinskih gubitaka koriste i drugi empirijski izrazi (npr. Hazen-Williamsovaformula). Koeficijent trenja odreuje se u ovisnosti o reimu strujanja (Re) ili kvaliteti cjevovoda(relativna hrapavost e/D) pomou Moodyjevog dijagrama (Sl.A.1) ili pomou sljedeih empirijskihizraza:

a. Pri laminarnom strujanju =(Re)Re

64= .

b. Pri turbulentnom strujanjub1. Za umjereno hrapave stijenke cijevi =(Re,e/D)(najei sluaj u praksi), vrijediColebrookova implicitna formula

27


29/37

+

=

Re

523,2

7,3ln869,0

1

D

e

dok se najee koristi priblina (greka unutar 1%) Colebrookova fomula

2

9,0Re

74,5

7,3ln

325,1

+

=

D

e

;

b2. Za jako hrapave cijevi =(e/D)vrijedi von Karmanov izraz

D

eln869,014,1

1=

;

b3. Za glatke cijevi =(Re)koristi se Blasiusova formula uz ogranienjeRe


30/37

lokalne gubitke uslijed promjene presjekastruje fluida (naglo proirenje/suenje, ulazna ua iotvori, izlazni otvori, prigunice, sapnice, difuzor postupno proirenje, konfuzor postupnosuenje, venturijeva cijev, ventili, slavine, zasuni, zaklopke ...) (Sl.4.6 a,b,c,e);

Sl 4.6 c,d,e Lokalni gubici

lokalne gubitke uslijed promjene smjera struje fluida ( nagla promjena smjera - koljeno, blagapromjena smjera - luk) (Sl.4.6 d).Postoje i lokalni otpori koji objedinjuju dvije gornje grupe i nastaju zbog promjene smjera i

presjeka (rave, bifurkacije, sastavci ...)Openit izraz za raunanje veine lokalnih gubitaka jest

[mg

vkh

=

2

2

] ili [mgD

Qkh

24

28

= ]

gdje je kkoeficijent koji se odreuje eksperimentalno (Sl.4.6).

Serijski spojene cijevi

12

34

Q

v,A,h1 1 v ,A ,h2 2v ,A ,h3 3 v ,A ,h4 4

1 2

3 4

L1 L2 L3L4

Sl.4.7Serijski spojene cijevi

29


31/37

Kod serijskih (u nizu) spojenih cijevi (Sl.4.7) ukupni gubitak jednak je sumi duinskih i lokalnihgubitaka

== +

=

n

j

j

j

m

i

i

i

i

iUK g

vk

g

v

D

Lh

1

2

1

2

22 .

Za protok kroz cjevovod vrijedi

Q=Q1= Q2= ... Qi= ...= Qn

pa je za raunanje ukupnih gubitaka pogodno koristiti i varijablu protoka umjesto brzine

[ ]mDg

Qk

Dg

QLh

n

j j

j

j

m

i i

iiUK

==

+

=

152

2

152

2 88

.

Paralelno spojene cijevi

Kod paralelno spojenih cijevi (Sl.4.8) gubici u svim paralelnim granama su jednaki, a ukupniprotok kroz cjevovod jednak je zbroju svih protoka u pojedinim granama:

niUK hhhhh ====== ......21

ni QQQQQ +++++= ......21

Ukupne (duinske i lokalne) gubitke po pojedinim granama (izraz 6d) mogue je izraziti u obliku2iii QKh = , za i=1 .. n

gdje jeKkoeficijent ukupnih gubitaka. Uzevi u obzir izraz prethodna dva izraza vrijedi

n

n

i

i

UK

UK

K

h

K

h

K

h

K

h

K

h+++++= ......

2

2

1

1 ,

odnosno slijedi izraz za ukupni koeficijent gubitaka za paralelni spojKUK

niUK KKKKK

1...1...111

21

+++++= .

5Q ,K5

4Q ,K4

3Q ,K3

2Q ,K2

1

Q ,K1

Q Q

h ,KUK

Sl.4.8 Paralelno spojene cijevi

30


32/37

5. OPTJECANJE TIJELA

Gibanje tijela kroz fluid (odn. gibanje fluida oko tijela) uzrokuje naprezanja i to smina

naprezanja na stijenku tijela i normalna tlana naprezanja na stijenku p. Ukupno dobivenu silufluida na tijelo mogue je razloiti na dvije meusobno okomite komponente, silu otpora FD(drag) i dinamiki uzgon FL (lift). Sila otpora FD je komponenta ukupne sile fluida nagibajue tijelo paralelna s relativnom brzinom vkojom se fluid pribliava tijelu, a dinamiki uzgonFLje komponenta ukupne sile okomita na relativnu brzinu pribliavanja fluida v. Openito, sminai normalna naprezanja sudjeluju i usili otporai u dinamikom uzgonu.

dSdSpFD += cossin i dSdSpFL = sincos

Raspodjelatlaka p > 0

p < 0

v

Sminonaprezanje

v

v

FL

FD

p dS cosp dS

p dS sin

dS cosdS sin

dS

dSp

Sl.4.1 Viskozne i tlane sile na avionsko krilo

Granini sloj

Dio struje fluida koja je pod utjecajem sminih sila naziva segranini sloj.Granini sloj i njegovekarakteristike te nain opstrujavanja tijela, kontroliraju intenzitete sila dinamikog uzgona i otpora.Ako je na uzvodnoj povrini nastrujavanja fluida na tijelo stijenka glatka, poetni granini sloj jelaminaran (Sl.4.2), zatim granini sloj sve vie deblja, u njemu strujanje postaje nestabilno, ikonano se transformira u turbulentan granini sloj. Treba napomenuti da u turbulentnomgraninom sloju postoji veoma tanak laminaran sloj uz samu stijenku koji se naziva laminaran

podsloj.

Laminarangranini sloj

Turbulentangranini sloj

Prijelaznopodruje

profili brzina

Sl.4.2 Rast graninog sloja. Optjecanje ravne ploe.

Granini sloj ovisan je o gradijentu tlaka. U sluaju pada tlaka u nizvodnomsmjeru, granini slojpostaje sve tanji, a u sluaju porasta tlaka u nizvodnom smjeru granini sloj naglo dobiva nadebljini. Porast tlaka u smjeru strujanja i smina naprezanja smanjuju koliinu gibanja u graninomsloju te konano uzrokuju odvajanje graninog sloja od stijenke tijela separaciju (Sl4.3) .

31


33/37

Porastom tlaka u smjeru strujanja, nizvodno od toke separacije javlja se protustrujanje fluida uvrtlonoj zoni (wake) ublizini stijenke. Hidrodinamino i aerodinamino oblikovana tijelaeliminiraju odn. reduciraju efekte separacije, dok npr. nehidrodinamina tijela razvijaju jaku siluotpora (drag) zbog niskog tlaka u vrtlonoj zoni (wake). Reim strujanja u graninom sloju(laminarno, turbulentno) vaan je za mjesto pojave separacije, tj. odvajanja graninog sloja odstijenke tijela. Mnogo vea izmjena koliine gibanja unutar turbulentnog graninog sloja, uusporedbi s laminarnim, uzrokuje duu slijepljenostgraninog sloja uz stijenku tijela, tj. kasnijutoku separacije nizvodno. Na Sl4.3 vidljivo je da je pri laminarnom graninom sloju tokaseparacije vie uzvodno na stijenci kugle nego to je u sluaju turbulentnog graninog sloja. Takoe npr. golf loptica koja ima neravnu povrinu i mogue ju je poistovijetiti sa treim sluajem naslici Sl4.3, imati zbog formiranog turbulentnog graninog sloja i kasnije toke separacije, veidomet u letu nego npr. neka glatka kuglica.

Stagnacijska

to

kav

CD> 2.5RE< 1.0

Separacija

CD0.45

3

10 2.5 10

Turbulentangranini sloj

vStagnacijskatoka

5

Vrtlona zona

Sl.4.3 Optjecanje kugle (malen RE, turbulentan i laminaran granini sloj)

Koeficijenti sile otpora CDi sile dinamikog uzgona CL

Iako izrazi za silu otpora FDi dinamikog uzgonaFL (dani na poetku poglavlja) vrijede za bilokoje tijelo, njihova je primjenjivost jako limitirana. Openito, za veinu opstrujavanih tijelanemogue je tono izraunati distribuciju sminih i tlanih naprezanja na stijenku tijela.

Alternativa jest u priblinom odre

ivanju dvaju bezdimenzijskih parametara (eksperimentalno,numeriki) koeficijenta sile otporaCD i koeficijenta dinamikog uzgona CL,kako bi se izraunalesile otporaFDi dinamikog uzgonaFL:

AvCFAvCF LLDD22

2

1

2

1 ==

gdje jeA neka karakteristina povrina tijela, a najee je to povrina projekcije tijela na ravninuokomitu na vektor brzine nastrujavanja.

32


34/37

Ravna ploa

Krug

Elipsa

Avionsko krilo

Ravna ploa

CD

1.0

0.1

0.01

D

D

D

D

0.5 D

D

D0.18 D

104

105

106

107

RE= vD

Sl.4.4 Koeficijent otpora strujanja gdje je b irina.DC

Brojevi CD i CL jesu funkcije drugih bezdimenzijskih vrijednosti npr. Reynoldsovog broja,

Machovog broja, Froudeovog broja, relativne hrapavosti stijenke tj. CD=f(oblika, Re, Ma, FR, e/D).Primjer ovisnosti sile otpora o obliku ilustrirana je na (Sl.4.5) gdje se kod dva tijela velike razlikeu veliini javlja ista sila otporaFD.

10 Dv

Promjer = D

(a) (b)FD(a)= FD(b)

v

Sl.4.5 Dva tijela razliitih dimenzija koja imaju istu silu otpora FD

Kod konstruiranja tijela kod kojih je vana sila dinamikog uzgona kao to su avionska krila,lopatice turbostrojeva itd., vano je dobiti to veu silu dinamikog uzgona FL i istovremeno

minimizirati silu otporaFD. Od izuzetne je vanosti i kut vektora brzine nastrujavanja, a na (Sl.4.6)prikazana je ovisnost koeficijenata CDi CLo tom kutu. Za avionsko krilo javlja se sila dinamikoguzgona i pri kutu nastrujavanja od 0O poto je krilo asimetrino. Poveanjem kuta nastrujavanjaobrnuti gradijent tlaka na gornjoj povrini krila se poveava i toka separacije se pomie nizvodno.Maksimalna sila dinamikog uzgona dosee se pri odreenom kutu nastrujavanja koji varira zarazliita avionska krila u rasponu od 12Odo 20O. Daljnje poveanje kuta nastrujavanja uzrokujenagli pad dinamikog uzgona i poveanje sile otpora. To stanje se zovezastoj i jasno je vidljivo nadijagramu (Sl.4.6) (promjena kuta nastrujavanja postie se npr. zakretanjem avionskih krilaca).

33


35/37

Sl.4.6 Koeficijenti CL, CDu ovisnosti o kutu nastrujavanja. U izrazima za CLi CDvrijednost

specifine povrine A se za ovaj sluaj rauna kao umnoak duine tetive krila (prema slici) i

duine krila. Kut nastrujavanjaO je kut kojeg ini vektor brzine slobodne struje i tetiva krila.

34


36/37

35


37/37

Documents

Luka Sopta i Lado Kranjcevic -Mehanika Fluida Kratka Skripta Za Studente