Oddelek za fiziko

Seminar

Lomna mehanika

Avtor: Marjan MačekMentor: dr. Gregor Skačej

Ljubljana, november 2012

Povzetek

Raziskovanje lomne mehanike je pomembno, saj stane škoda zaradiloma veliko denarja in človeških življenj. V seminarju bom predstaviltako kontinuumske modele, ki zadevajo predvsem inženirje, kot mrežnemodele, ki so osnova za preučevanje lastnosti loma. Predstavil bomtudi zanimiv eksperiment obravnave hrapavosti razpok. Večinoma bomobravnaval krhki lom tipa I.

Kazalo

1 Uvod 1

2 Načini loma 12.1 Načini loma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Modeli loma 23.1 Kontinuumski pristop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.1 Napetost pri eliptični razpoki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.2 Griffithov pogoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.3 Irwinove izboljšave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.4 Slabosti analitičnega pristopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Metoda končnih elementov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Razširjena metoda končnih elementov - XFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Molekularna dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5 Mrežni modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5.1 Rezultati simulacij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5.2 Perkolacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Hrapavost razpok: primer na trganju papirja 114.1 Eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Zaključek 13

1 UvodMehanska odpoved materiala teži civilizacijo že od nekdaj. Zato ni čudno, da se je njenega raziskovanjalotil že Leonardo da Vinci. Med preizkušanjem natezne trdnosti kovinskih žic je ugotovil, da daljšeodpovejo pri manjši obremenitvi. Sprva so mislili, da se je zmotil, saj mehanika kontinuov tega nepredvideva [1]. Vzrok je v nepravilnostih v zgradbi materiala, ki se mu v proizvodnem procesu ne moremoizogniti. Ravno te imajo ključno vlogo pri raziskovanju širjenja razpok in odpovedi materiala. Pri večjihpredmetih (npr. daljših žicah) se katastrofalne napake glede na napetost pojavijo z večjo verjetnostjo.

Raziskovanje lomne mehanike je pomembno. Odpoved materiala je leta 1982 samo v ZDA znašala 119milijard dolarjev, kar je približno 2% takratnega BDP [2]. Z upoštevanjem inflacije je ta znesek enakdanašnjim 220 milijardam evrov. Še hujša je cena, ki jo plačujemo s človeškimi življenji. Zelo znani soprimeri prelomov tovornih ladij razreda Liberty na pol iz 2. svetovne vojne in nesreče potniških letalComet zaradi utrujanja trupa. Pojav je zanimiv tudi iz fizikalnega vidika, vendar praktično še ni raziskan.Zaradi širokega območja zanimanja (slika 1) se je razvilo več pristopov računanja, tako inženirskih kotfizikalnih. Najprej so se razvili analitični pristopi in nato z razvojem računalnikov še numerični modeli.

2 Načini lomaMaterial se lahko lomi na več načinov. Lom je lahko posledica nenadne obremenitve ali dalj časaponavljajočih se šibkejših obremenitev (utrujanje materiala). Material se lahko pred lomom deformira aline. Na način lahko vpliva okolica, ki ga lahko pospeši ali zavira. V nalogi se bom osredotočil na krheklom tipa I, ki ga bom opisal v nadaljevanju.

Material se začne lomiti pri nepravilnostih v zgradbi. Na atomski skali so to manjkajoči atomi, vrinjenidrugi atomi ali le prekinjene vezi (slika 1 skrajno levo). Na večjih skalah se to odraža kot premaknjenemrežne ravnine, mikroskopske razpoke (mikrorazpoke) ali različne orientacije zrn (druga slika levo nasliki 1). Do loma lahko pride tudi zaradi že obstoječih poškodb, na primer površinskih prask.

1

Slika 1: Lomna mehanika zajema širok nabor ved. Sam lom in fizikalne zanimivosti potekajo namajhnih skalah, medtem ko lom zadeva inženirje predvsem na velikih skalah. Metode obravnave sezato tudi zelo razlikujejo [3].

2.1 Načini lomaOdziv materiala na natezno napetost prikazuje levi graf na sliki 2. Plastične dislokacije v kristalni mrežise zgodijo že pri nizkih napetostih (točka 1), vendar se material navzven odziva elastično. Dislokacije seodražajo kot zamaknjene ali vrinjene mrežne ravnine. Sprva je odziv sorazmeren, kot predvideva linearenHookov zakon. Odziv v točki 2 ni več sorazmeren (meja sorazmernosti) in kmalu pridemo v plastičnoobmočje (točka 3 – meja prožnosti). Material se po sprostitvi napetosti ne vrne v prvotno stanje. Pogostoprehod v plastično območje težko zaznamo, zato podajamo potrebno napetost za določeno deformacijo(denimo 0.2%, točka 4).

Če se material lomi v elastičnem območju, govorimo o krhkem lomu (slika 3 desno), sicer pa o žilavem(slika 3 levo in na sredini). Plastično območje do maksimalne napetosti izkoriščamo za utrjevanje jeklaE′ > E in nato pride do deformacij pred lomom (slika 3 na sredini). Na način loma vpliva okolje. Obstajaprehod v krhek lom pri nizkih temperaturah (npr. jeklo) in prehod v žilav lom ob velikih pritiskih.Primer je marmor pod izotropnim pritiskom p in v osi kompresijsko obremenjen s silo F . Za p > 100MPase lomi žilavo (desni graf na sliki 2). Podobno se obnašajo tudi kamenine v Zemljini skorji. Ploščinapod grafom predstavlja absorbirano energijo. Krhki materiali lahko kljub majhni sposobnosti absorpcijeenergije prenesejo velike napetosti (so trdni in niso žilavi) [3]. Material se lahko zlomi zaradi utrujenosti- mikrorazpoke - zaradi dalj časa trajajočih obremenitev, čeprav vsaka posamezna mikrorazpoka ne bisprožila loma (slika 3 desno). Število mikrorazpok in velikost le-teh skozi čas narašča. Sčasoma postanekakšna mikrorazpoka dovolj velika, da pride do loma že pri majhni obremenitvi. Razpoke lahko povzročitudi korozija (npr. rjavenje železa). Korozija lahko tudi pomaga k večji odpornosti, če gladi površino in stem preprečuje nastanek površinskih razpok [3].

Napetost je lahko natezna, kompresijska, strižna ali torzijska. Samo geometrijo loma ločimo na tritipe glede na smeri napetosti na razpoko: odpiranje razpoke pri natezni napetosti (tip I), vzdolžni (tip II)in prečni strig (tip III) (slika 4). Vse prej omenjene napetosti (natezna, kompresijska, ...) lahko razvijemopo teh treh tipih. Najbolj obravnavano je odpiranje razpoke. Slika 4 je shematična. Lom ne poteka nujnale s površja v notranjost, ampak se lahko začne tudi v notranjosti. Tudi za to zadostujejo omenjeni trijetipi loma.

3 Modeli lomaZnanstvenike je begala nekajkrat nižja trdnost materialov, kot so jo napovedovale jakosti kristalnih vezi.Trdnost je nižja, zaradi ojačanja napetosti ob vrhovih razpok, kar je leta 1913 razložil Charles Inglisna modelu elipsaste razpoke v neskončni ravnini. Preprost pogoj za napredovanje razpoke je leta 1920izpeljal Alan Arnold Griffith. Izboljšave za različne geometrije loma je leta 1957 vpeljal George R. Irwin.Sledile so še nadaljnje izboljšave, predvsem za žilav lom, ki jih podrobneje ne bom obravnaval.

Analitični pristopi te pojave sicer razložijo, vendar niso primerni za računanje inženirskih problemov.

2

Na tem področju se je še zlasti uveljavila numerična metoda končnih elementov (FEM - Finite ElementMethod) in njene izpeljanke (XFEM - eXtended FEM, hp-FEM). Metoda končnih elementov je stara večkot 60 let in se uporablja na mnogo področjih. XFEM je leta 1999 razvil Ted Beltyschko s sodelavcikot izboljšavo FEM za nezveznosti. Obe metodi uporabljata Griffithove in Irwinove ugotovitve zanapredovanje razpok. Metoda hp-FEM je le izboljšava FEM v smislu natančnosti in je podrobneje nebom obravnaval. Omogoča adaptacijo velikosti elementov in funkcij (stopenj polinomov).

Oba zgornja pristopa delujeta v kontinuumskem območju. Mikroskopske nepravilnosti povprečita,temu pravimo homogenizacija. Pogosto zaradi širokega velikostnega razpona nepravilnosti to ni mogoče.Natančen model napredovanja razpok dobimo s simulacijo medsebojnih interakcij atomov in molekul (mo-lekularna dinamika), ki je še danes računsko zelo zahtevna. Tudi ta pristop privzame nekaj poenostavitev.Za računsko manj zahtevno obravnavanje loma, so razvili mrežne metode.

Slika 2: Grafi odvisnosti napetosti p od deformacije ε. Levi graf prikazuje različne točke nakrivulji od popolnoma elastičnega do plastičnega območja za aluminijasto palico [4]. Na srednjemgrafu je modra črta za napetost, ki jo občuti predmet. Napetost je večja, zaradi zmanjševanjapreseka ob plastičnih deformacijah. Desni graf [3] prikazuje prehod v žilav lom za marmor pri 100MPa. Prehod prepoznamo kot podaljšano krivuljo do loma po maksimalni napetosti.

Slika 3: Leva slika prikazuje žilavi lom. Pred zlomom se je palica plastično deformirala. Desnaslika prikazuje krhki lom kolesarske gonilke [4].

Slika 4: Trije osnovni tipi loma glede na smer sile. Vse vrste mehanskega loma lahko razvijemopo teh treh [4].

3

3.1 Kontinuumski pristop3.1.1 Napetost pri eliptični razpoki

Za model tipične razpoke v materialu vzamemo eliptično luknjo z veliko polosjo a in malo b v neskončniravni plošči. V smeri y je pod napetostjo p. Izračunali bomo, kako se napetost ob temenu T ojača(slika 5). Račun začnemo s Saint Venantovim pogojem kompatibilnosti za deformacijski tenzor uij [5]

∂2uij∂xk∂xl

+ ∂2ukl∂xi∂xj

− ∂2uik∂xj∂xl

− ∂2ujl∂xi∂xk

= 0.

Tenzor mora zadostiti temu pogoju, da lahko predstavlja deformacijo telesa u. Enačba omeji 6 prostihkomponent simetričnega tenzorja na 3, kot jih ima vektor deformacije u. V 2D ga zapišemo kot

∂2uxx∂y2 + ∂2uyy

∂x2 − 2∂2uxy∂x∂y

= 0. (1)

Za ploščo velja Cauchyev zakonρui = ∂pik

xk+ ρfzi ,

ki je generalizacija Newtonovega zakona za zvezno telo. V mirovanju je u = 0 in brez zunanjih sil fz seenačba poenostavi v

∂pikxk

= 0. (2)

Zvezo med deformacijskim in napetostnim tenzorjem pik podaja Hookov zakon

pik = E

1 + σ

(uik + σ

1− 2σullδik)

kjer je E napetostni modul (Youngov modul) in σ Poissonovo razmerje. Komponente napetostnegatenzorja v 2D izrazimo kot

uxx = 1E

(pxx − σpyy

), uyy = 1

E

(pyy − σpxx

), uxy = 1 + σ

Epxy.

in jih vstavimo v (1). Za lažji izračun vpeljemo še Airyevo stresno funkcijo φ

pxx = ∂2φ

∂y2 , pyy = ∂2φ

∂x2 , pxy = − ∂2φ

∂x∂y.

in dobimo enačbo za napetost∇2(∇2φ) = 0. (3)

Takšna izbira stresne funkcije nam avtomatsko izpolnjuje (2). Za eliptično luknjo v ravnini napeto vsmeri osi y z napetostjo p rešimo (3) v eliptičnih koordinatah [6]. Za robni pogoj ob robu elipse velja, daso radialne in strižne napetosti enake nič. Za napetost ob temenu elipse dobimo

pyy = p

(1 + 2a

b

)= p

(1 + 2

√a

ρ

), (4)

kjer je ρ = b2/a krivinski polmer v temenu elipse. Napetost z oddaljenostjo od razpoke pada kot 1/√r [3].

Tipično razpoko lahko opišemo z zelo majhnim b. Rezultat (4) razloži zakaj dolge in tanke razpokenapredujejo tako hitro in zakaj je kritična napetost toliko nižja od teoretične. Za r → 0 napetost divergira,kar seveda ne more biti res. Razpoki se ne moremo poljubno približati, saj pridemo do atomske skale, kjermehanika kontinuov ne velja več. Poleg tega pride pod močnimi napetostmi do že omenjenega prehoda vplastično območje in žilav lom.

Rešitvi za napetosti pyy in pxx sta na sliki 5. Jakost pyy je približno petkrat večja od pxx in jeskoncentrirana ob temenu elipse [7]. Napetost pxx je skoncentrirana v bližini temena in je približnopetkrat manjša od pyy. Vlaknasti materiali (npr. les ali kost) se lažje cepijo vzdolž vlaken kot lomijoprečno. Če je napetost pxx dovolj velika, sproži lom v pravokotni smeri na elipso, kar lahko ustavi(elipsasto) razpoko (Cook-Goordonov mehanizem ustavitve razpoke) [7].

4

Slika 5: Leva slika prikazuje geometrijo problema. Desna grafa prikazujeta jakosti pyy (na sredi)in pxx (desno) [7].

3.1.2 Griffithov pogoj

Zgornji račun ne razloži, kdaj so ustrezni pogoji za napredovanje razpoke. To je pojasnil Griffith zenergijskim ravnovesjem. Predpostavil je, da do širjenja razpoke pride, če bo sproščena elastična energijavečja od potrebne energije za nastanek novih površin. Na plošči debeline h zarežemo razpoko dolžine a.Elastična energija se sprosti v približno trikotnem območju pod in nad razpoko z osnovnico a in višinoβa (slika 6). Izkaže se β = π [7] in da sama geometrija ni pomembna [8]. Enako odvisnost bi dobili tudiz dimenzijsko analizo. Velja

∂(Eel + Epov)∂a

≤ 0, Eel = − p2

2E 2(

12πa

2h

), Epov = 2γah

−πp2a

E+ 2γ ≤ 0.

Parameter γ je specifična površinska energija. Odvisnost E(ac) vidimo na grafu na sliki 6. Izrazimo lahkokritično napetost ali kritično dolžino razpoke

pc =√

2γEπa

, ac = 2γEπp2 . (5)

Zavedati se je treba, da sta pc in ac absolutni količini in nista odvisni od velikosti vzorca [7]. Griffith jezvezo preveril eksperimentalno. Na steklene cevi in krogle je zarezal površinske razpoke dolžine 4− 23mm.V njih je načrpal tekočino in cevi oziroma krogle so pri kritičnem pritisku (napetosti) počile. Ugotovil je,da je pc

√a za material konstanta [8].

3.1.3 Irwinove izboljšave

Griffithov pogoj napačno predpostavlja ravnovesje energij. Širjenje razpok je hiter neravnovesni pojav,katerega del energetskih izgub gre v nastanek novih mikrorazpok in plastičnih deformacij v okolici loma [3].Sproščena elastična energija mora biti enaka površinski energiji in plastičnim deformacijam Eel = 2γ+Gp.Za krhek lom je Gp zanemarljivo majhen, medtem ko je pri žilavem lomu Gp � 2γ. Gp ni merljiv, zatoso bile potrebne še nadaljnje izboljšave za žilav lom, ki jih ne bom obravnaval. Poleg tega je Irwin vpeljaltudi ojačanje napetosti za različne geometrije. Napetost ob razpoki je opisal kot

pij ∝Kψij(θ)√

r, (6)

kjer je K faktor ojačanja in ψ oblika kotne porazdelitve napetosti v okolici razpoke. V Inglisovi izpeljavismo videli, da napetost za r → 0 divergira. Divergenco odpravimo s faktorjem K, definiranim kot [3, 9]

KI = limr→0

√πrpyy(r, 0), KII = lim

r→0

√πrpyx(r, 0), KIII = lim

r→0

√πrpyz(r, 0).

5

Slika 6: Geometrija za lom pri Griffithovi izpeljavi. Z belimi črtami si lahko predstavljamoojačitve napetosti ob vrhu razpoke. Energija se nad kritično velikostjo čedalje bolj sprošča, zato selom sam od sebe ne ustavi. [7]

To smo lahko naredili, saj je divergenca zgolj matematična posledica modela in ne fizikalno dejstvo.Namesto divergence imamo v resnici omejeno plastično območje, ki ga povzamemo s temi faktorji. Odvisenje tudi od geometrije problema (razpoka na robu ploskve, končno razsežna ploskev, razpoka pod kotom,. . . ). Kritično vrednost napetosti izrazimo s skupno konstanto – lomna žilavost KIc (fracture toughness)kot

pc = KIc

α√πa.

S parametrom α smo označili različne geometrije razpoke in telesa [7]. Za različne tipe loma se lomnažilavost zapiše kot K2

Ic = K2I +K2

II + (1 + σ)K2III . KIc je lastnost materiala in ni odvisna od tipa loma

ali geometrije ter velikosti telesa. Tipične vrednosti so 20− 50 MPa√

m za kovine in okoli 0.5− 5 MPa√

mza krhke materiale (steklo, keramika, beton).

3.1.4 Slabosti analitičnega pristopa

Temeljna slabost analitičnega pristopa je zahteva po homogeni snovi in deluje le za eno izrazito razpoko.Zato je tudi Griffith pri svojih poskusih sam zarezal veliko razpoko, ki je prevladala nad ostalimimikrorazpokami. Izračun ψij(θ) (enačba 6) je mogoč samo za preproste geometrije, zato moramo prizapletenejših geometrijah, ki nastopajo v praksi, poseči po numeričnem računanju. V sistemu z večrazpokami bi morali upoštevati interakcijo razpok med sabo. Razpoke lahko med sabo napetost ojačajoali oslabijo. Problem je tudi, ker se ne moremo odločiti, katera razpoka se bo širila kako hitro. S tempostanejo numerične simulacije zahtevne, ker moramo preučiti več različnih scenarijev [3]. Odgovor na toso mehanika poškodb, molekularna dinamika in mrežni modeli. Mehanika poškodb je termodinamskipristop k lomu in ga ne bom obravnaval. Denimo vpliv poškodb vpelje kot faktor D (v splošnem tenzorčetrtega reda) med zunanjimi in notranjimi napetostmi.

3.2 Metoda končnih elementovPri metodi končnih elementov (FEM) prostor razdelimo (diskretiziramo) na končno velike kose preprostegeometrije – elemente. Najpogosteje to storimo z Delanuayevo triangulacijo (trikotniki v 2D, tetraedri v3D). Nato rešitev razvijemo po linearnih poskusnih funkcijah ϕi. V 1D si jih predstavljamo kot trikotnikez vrhom v dani točki in osnovnico med sosednjima točkama. V 2D podobno geometrijo predstavljajopiramide (slika 7). Za elastični problem najprej zapišemo elastično energijo

E1 =∫Dpik[u(r)

]uik[u(r)

]d r3,

6

kjer je u vektor deformacije in D volumen telesa. Nato zapišemo še delo prostorninsko porazdeljenih silf (npr. teža) in zunanjih površinsko porazdeljenih sil F (npr. strig)

E2 =∫D

f(r) · u(r) d r3 +∫∂D

F (r) · u(r) d r2.

Ko energiji E1 in E2 izenačimo in izrazimo vektor deformacije s poskusnimi funkcijami

u(x) =∑i

aiϕi(x),

dobimo sistem linearnih enačbKijaj = Ri,

kjer je

Kij = 12

∫Dpkl[ϕi(r)

]ukl[ϕj(r)

]d r3 in Ri =

∫D

f(r) · u(ϕi(r)) d r3 +∫∂D

F (r) · ϕi(r) d r2.

Pri tem smo vse vektorje zložili v enega: (a1, a2, . . . )T . Problem je hitro rešljiv, ker je matrika Kij

razpršena, saj posamezna funkcija ϕi zadeva le nekaj točk [3].Čeprav je metoda FEM zelo učinkovita in uporabna, za lomno mehaniko ni primerna. Mreža mora

biti glede na spremembe polj dovolj fina, kar privede do težav v okolici razpoke. Razpoka se tudi širi,zato moramo v vsakem koraku mrežo vzpostaviti na novo. Pri tem moramo biti pazljivi, saj lahko z izbiromreže vnaprej določimo smer širjenja razpoke. Vse to se odraža v veliki časovni zahtevnosti računanja [1].

3.3 Razširjena metoda končnih elementov - XFEMNamesto fine mreže ob razpoki lahko razpoko upoštevamo preko dodatnih nezveznih funkcij (enrichmentfunctions). Vektor deformacije zapišemo kot

u(x) =∑i

aiϕi(x) +∑j∈J

bjϕjH(x) +∑k∈K

ϕk( 4∑l=1

cklFl(x)).

Funkcija H(x) predstavlja nezveznost ob razpoki (na sliki 7 v točkah označenimi s krogi) in je enaka 1oziroma −1 na različnih straneh razpoke. Funkcije

F1 =√r sin θ2 , F2 =

√r cos θ2 , F3 =

√r sin θ2 sin θ, F4 =

√r cos θ2 sin θ.

predstavljajo nezveznosti ob vrhu razpoke (na sliki 7 kvadrati) [10]. Koordinate se merijo glede naorientacijo vrha razpoke. Pri XFEM ni potrebna drobna delitev prostora kot pri FEM, saj nam zanezveznosti ob razpoki poskrbijo dodatne funkcije. Tako nam na preprostih geometrijah zadostuje žerazdelitev na kvadrate oziroma kocke (slika 7 desno).

Rast razpoke se oceni iz (6) v polarni obliki. Pogoji so različni: minimalna deformacijska energija, ma-ksimalna sprostitev elastične energije, . . . Z XFEM lahko obravnavamo več razpok, vendar z naraščajočimštevilom to postaja čedalje težje [1]. Rezultat loma za vse tri tipe vidimo na sliki 8.

3.4 Molekularna dinamikaNamesto kontinuumskega pristopa se lahko problema lotimo z molekularno dinamiko. Vzpostavimoustrezno kristalno mrežo atomov in nato za vsak atom rešujem Newtonove enačbe gibanja. Za medatomskipotencial se večinoma vzame Lennard-Jonesov potencial

φij(rij) = ε

((d/rij

)12 − 2(d/rij

)6)

kjer je jakost potenciala ε in ravnovesna razdalja d. Računanje pohitrimo, če doseg potenciala omejimosamo na najbližje sosede, po navadi je to 1.6 d. Pri molekularni dinamiki težko simuliramo realne

7

Slika 7: Levo so prikazane poskusne funkcije v 1D in rešitev, ki jo predstavljajo. V 2D so poskusnefunkcije piramide nad trikotno mrežo (na sredi) [11]. Razpoka pri XFEM primeru (desno). Točkamoznačenim s kvadratom, se prištejejo funkcije za vrh razpoke in točkam označenim s krogom, seprištejejo funkcije za razpoko. Ostale točke ostanejo nespremenjene [12].

Slika 8: Rezultat loma za vse tri tipe. Z barvami je prikazana jakost ustreznih napetosti. Končnielementi so po celem telesu enako veliki.

(inženirske) probleme. Prvič, to zahteva računsko preveliko število atomov in, drugič, niti ne poznamopravih potencialov za različne kristale (materiale) [1].

Kljub temu so z molekularno dinamiko potrdili Griffithovo konstanto zvezo pc√a (5) [8]. Zanimiva

je simulacija krhkega loma tipa I v kvazikristalu Al-Zn-Mg [13]. Simulacijo so naredili na 4–5 milijonihatomov. Razpoka se širi šele za faktor ojačanja napetosti K ≥ 1.4KIc. Opazili so tudi ujetje razpoke(lattice trapping), t.j. ko se razpoka ne širi in ne celi. Oboje je posledica diskretne narave kristala.Simulacija je pokazala ujemanje hrapavosti nastale razpoke z eksperimentalno pridobljeno razpoko nakvazikristalu Al-Mn-Pd. Čeprav je molekularna dinamika prezahtevna za inženirske probleme, lahkoz njo študiramo različne pojave, na primer mehansko valovanje snovi ob lomu (srednja slika na sliki 7prikazuje gostoto kinetične energije).

3.5 Mrežni modeliMrežni modeli so preprosti modeli, s katerimi opišemo in preučujemo osnovne lastnosti lomne mehanike.Modeli sami po sebi inženirsko niso uporabni, so le model za opis vpliva nereda in osnovnih lastnosti loma.Zato lahko z njimi opišemo tudi nekristalne snovi. Namesto vpliva posamezne razpoke na neki predmet znjimi preučujemo: samopodobnost razpok, fazni prehod, vpliv velikosti predmeta na dovzetnost za lom,vpliv nereda, . . . Večinoma se uporabljata 2D trikotna ali kvadratna mreža (slika 10). Po zahtevnostiopisa poznamo več pristopov:

• Mreža naključnih varovalk (random fuse model – RFM) je najenostavnejši možni opis. Izvira izanalogije z izračunom gostote električnega toka. Na primer gostota električnega toka ob elipsasti

8

Slika 9: Na sliki levo je prikazan potek razpoke. Na sredini je prikazana gostota kinetične energije.Slika desno prikazuje profil razpoke za numerični model in eksperiment. Za numerični del črnabarva predstavlja višino razpoke 2r0 pod povprečjem, siva barva povprečno višino in bela 2r0 nadpovprečjem. Sliki sta prikazani v približno enaki skal (20r0 ≈ 5nm) [14].

luknji je enaka kot za pyy (enačba 4). Med zgornjim in spodnjim robom mreže postavimo potencialnorazliko V . Levi in desni rob sta periodično sklenjena. Razporeditev tokov dobimo iz Kirchoffovihzakonov. Vez med točkama i in j bo “pregorela”, če bo tok Iij večji od kritičnega Ic. Analognorečemo, da vez poči, če je sila prevelika. Ker taka mreža ne omogoča deformacije, opisuje le zelokrhek lom (npr. steklo).

• Mrežo naključnih vzmeti (random spring model – RSM) dobimo, če vezi v zgornjem mo-delu zamenjamo s prosto vrtečimi vzmetmi s koeficientom k. Model definira hamiltonka H =∑i,j kij/2(ui−uj)2. Z izračunom minimuma H dobimo ravnovesne položaje točk ui. Ker so vzmeti

prosto vrteče, model ne prenaša dobro striga. Tak primer je kvadratna mreža ali že poškodovanamreža, medtem ko ga trikotna mreža prenaša. Poleg tega je Poissonovo razmerje odvisno od izbiremreže (npr. trikotna: σ = 1/3). Tu lahko vez odpove glede na maksimalno dovoljeno deformacijoali silo. Tokrat lahko vpliv okolice opišemo z več načini: kompresijo, nategom ali strigom.

• Mreža z upogljivimi vezmi (bond-bending model) je najboljši opis snovi. Model je razširitev zgor-njega modela z dodatnim členom v hamiltonki H =

∑i,j kij/2(ui−uj)2 +

∑i,j,k bijk/2(∆θ)2, kjer je

∆θ kot med vezema ij in jk s togostjo za zvijanje b. Vez odpove, ko je F/Fc+max(|Mi|, |Mj |)/Mc ≥1. Parametra Fc in Mc opisujeta maksimalno dovoljeno silo in navor. S tem modelom lahko opišemosnov s poljubnim Poissonovim razmerjem, tudi s kvadratno mrežo [1].

Nered v sistem vnesemo na tri načine z naključno izbiro:

• maksimalnih vrednosti, ki jih vez prenese (Ic, Fc oziroma Mc),

• že prekinjenih vezi,

• prevodnostjo oziroma togostjo vezi (upor R, k oziroma b).

Lom lahko simuliramo na tri načine:

• V vsakem koraku poiščemo najšibkejšo vez skozi katero teče največji tok Imax. Postavimoλ(n)Imax = Ic in izračunamo λ(n). Indeks n predstavlja število že prekinjenih vezi. Nato vse Iijpomnožimo z λ(n). To si lahko predstavljamo kot večanje napetosti V oziroma deformacije. Novoporazdelitev tokov dobimo z rešitvijo Kirchoffovih zakonov. V naslednjem koraku zopet poiščemoImax. Algoritem ponavljamo dokler mreža še prevaja tok oziroma ima ne ničeln Youngov modul.

• Za neko napetost V prekinemo vse vezi z Iij nad kritično vrednostjo. Nato povečamo napetost za∆V in izračunamo novo porazdelitev toka. Zopet pogledamo katere vezi so nad kritično vrednostjo.Ponavljamo dokler mreža še prevaja tok.

Večinoma se uporabljata samo prvi vnos nereda, ker nam omogoča opisati nered z želenimi porazdelitvami.Hkrati lahko postavimo R in k na 1. Simulacija ponavadi poteka na prvi način. Drugi način jeproblematičen. S preveliki ∆V slabo opišemo lom, ker bi v koraku prekinili vezi na več mestih in s temne bi zajeli ojačanja tokov ob vrhu razpoke. Hkrati lahko s premajhnimi ∆V v korakih prepogosto neprekinemo nobene vezi. Algoritma za RSM in upogljive vezi sta enaka, le da imamo sile namesto tokov inminimiziramo hamiltonko.

9

Slika 10: Sistem za prevajanje toka oziroma za lom za RFM. Kvadratna mreža je zasukana za45◦, zato da so ob enakih uporih v vezeh na začetku vsi Iij enaki [3].

3.5.1 Rezultati simulacij

Kot primer poglejmo s simulacijami pridobljeno odvisnost I(V ) oziroma p(u) (slika 11). Za tak rezultatje potrebno povprečiti več simulacij po n prekinjenih vezeh. Kakšen je lom na mreži, vidimo na sliki 12.

Za resne rezultate je bil potreben razvoj tako računalnikov kot računskih metod. Simulacija tudi takopreprostih mrež je zahtevna, ker moramo v vsakem koraku rešiti velik sistem. Tako so konec osemdesetihlet računali na mrežah velikosti do 24× 24 [15] za RSM in leta 2006 na velikosti 1024× 1024 oziroma100× 100× 100 [16] za RFM. Zahtevnost je reda O(L6.5) za 3D.

Tako so sprva predvidevali kar nekaj lastnosti, ki so se na večjih mrežah izkazale za napačne [1, 16].Ena izmed teh je poveza s perkolacijo in faznimi prehodi.

Slika 11: Levi graf prikazuje odvisnost toka I od potencialne razlike V . Zveza je linearna dokonca, kar predstavlja idealni krhki lom. Desni graf prikazuje enako simulacijo za RSM. Pri relativnideformaciji ε = 0.01 napetost izgine, čeprav še ni prišlo do končnega loma, ker model ne prenašastriga. To je očitna slabost modela RSM [3].

3.5.2 Perkolacija

Perkolacija je filtriranje tekočin skozi porozne materiale, denimo zemljine. Iz tega se je razvila teorijaperkolacije. Med točke neskončne mreže postavljamo vezi z verjetnostjo p. Lahko bi tudi imeli perkolacijomest namesto vezi med točkami. V tem primeru mesti prevajata, če imata skupni stranici. Ob kritičnivrednosti pc postanejo nasprotni robovi povezani. Gre za zvezni fazni prehod, kjer je parameter urejenostiverjetnost P , da točka pripada neskončni gruči, ki povezuje robove mreže. Za p < pc je P = 0 in natozvezno narašča do P = 1 za p = 1. Zvezni fazni prehod nima značilne velikostne skale. Dokaz za to jedivergenca korelacije med dvema točkama (t.j. ali sta točki del iste gruče), ki divergira kot

ξ ∝ |p− pc|−γ .

V podobnem smislu opišemo tudi druge lastnosti s kritičnimi eksponenti. Da ni tipične velikostne skale,si lahko razlagamo, kot hkratni obstoj neskončne gruče, posameznih osamljenih vezi in vseh velikostnihrazredov vmes.

Primerjava s perkolacijo se tako zdi priročna, saj je perkolacija dobro raziskana. Širjenje razpoke silahko predstavljamo kot pronicanje vode skozi zemljino. Vendar voda pronica skozi material povsem

10

Slika 12: Leva in srednja mreža sta za RFM. Pikice označujejo razpoko. Za večji nered (p = 0.7)je lom veliko bolj razvejan. Desne tri mreže so za RSM. Pri ε = 0.006, kjer je σ = 0 na desnemgrafu na sliki 11 [3]

naključno, medtem ko je smer napredovanja razpoke določena. Razpoke (slika 12) so veliko manj razvejanein zavite kot neskončna perkolacijska gruča (slika 13). Tako razpoko bi dobili v limiti neskončnega nereda,kjer bi nered prevladal nad lomno mehaniko. Perkolacija se kdaj uporablja za opis loma, primer je širjenjerazpoke med geološkimi prelomi [3].

Lom kot zvezni fazni prehod je tudi v nasprotju z Griffithovim pogojem, ki zahteva sprostitev energije.To je očitno nezvezni fazni prehod. Danes v resnici niti še ni dorečeno ali je lom sploh fazni prehod aline [1]. Po drugi strani je vprašanje, če lom sploh lahko obravnavamo kot ravnovesni pojav in s tem polagadvom v Griffithov ravnovesni pogoj [3].

Slika 13: Značilna oblika “neskončne” gruče, ki povezuje robove [3]. Takšna razpoka je velikobolj zavita in razvejana, kot smo jih dobili z mrežnimi modeli (slika 12).

4 Hrapavost razpok: primer na trganju papirjaPapir je zanimiv za študij razpok. Zaradi oblike lahko privzamemo 2D obliko. Lahko ga poceni kupimo vveč vrstah. Sestavljen je iz celuloznih vlaken, ki so med seboj povezana z vodikovimi vezmi. Hrapavost

11

razpoke W (ε) lahko definiramo na več načinov. Najbolj običajna definicija je [17]

W (ε) = 1N

N−ε∑i=ε

√√√√ 12ε+ 1

i+ε∑j=i−ε

(h(xj)− 〈h〉i

)2, 〈h〉i = 1

2ε+ 1

i+ε∑j=i−ε

h(xj).

Hrapavost smo definirali na dolžinski skali ε kot povprečje kvadrata odstopanja višine razpoke h(xj) odpovprečja vrednosti 〈h〉i na tej skali. Razpoke so si samopodobne, zato velja potenčna odvisnost

W (ε) ∼ εH

kjer je H eksponent hrapavosti ali Hurstov eksponent omejen na [0, 1]. Zveza pomeni, da bomo na večjihskalah ε, videli čedalje večja odstopanja od povprečne vrednosti. Za H = 1 je zveza linearna. Za H < 1so odstopanja glede na oddaljenost počasneje večajo. Sprva so mislili, da je eksponent univerzalen inpribližno 0.8. Zato so imeli tako eksperimentalne (les, beton, zlitine) kot numerične dokaze [1, 17].

Problem pri numeričnih dokazih je bil zopet v premajhnih mrežah [16]. Trenutno velja, da je H ' 0.7na majhnih skalah in H ' 0.8 na velikih. Velikost skale je odvisna od velikosti nepravilnosti v zgradbi.Zanimivo rezultati so podobni ne glede na mrežo (trikotna, kvadratna) ali model (RFM, RSM, modelz upogljivimi vezmi, . . . ), kar nakazuje na neko univerzalnost [1, 16]. Kljub temu obstajajo materiali,kateri imajo samo en eksponent ne glede na skalo [1]. Za 3D je eksponent nižji (0.5 oziroma 0.6). Razlageoziroma modela za izračun H nimamo [1], kakor tudi ne merila za najmanjšo in največjo skalo ε.

4.1 EksperimentNaslednji eksperiment je zanimiv zaradi same preprostosti in različnih vrednosti H za različne vrste inorientacije papirja, kar je zopet argument proti univerzalnosti. Avtorji članka [17] so 20× 20 cm velikekose papirja navpično vpeli in na robu vodoravno zarezali 2 cm dolge začetne razpoke. Nato so na papirobesili približno 200 N utež in pustili, da se papir pretrga. Preizkusili so papir različnih specifičnih tež,med njimi časopisni papir, papirnate brisače, svilnat papir, prevlečen papir in papir narejen po sulfitnempostopku. Na papirju poteka vertikalna os ob daljši stranici originalnega lista papirja. Pretrgan papir soskenirali in s pretvorbo slike v črno-belo z ustreznimi parametri dobili grafe razpok. Dobljene vrednostiso v tabeli 1.

Tabela 1: Eksponent hrapavosti zarazlične vrste papirja [17]

Papir Hv Hh

Časopisni papir 0.73± 0.02 0.65± 0.02Prevlečen papir 0.74± 0.04 0.74± 0.03Papirnate brisače 0.78± 0.02 0.71± 0.03Sulfitni papir 0.80± 0.04 0.77± 0.04Svilnat papir 0.94± 0.02 0.90± 0.02Hv označuje primer, ko smo zarezali začetno razpokov vertikalni smeri. Hh je za horizontalno smer.

Rezultati ne samo, da se lahko razlikujejo za različno orientacijo, ampak se tudi bistveno razlikujejo zarazlične vrste papirja, kar res priča proti univerzalnosti. Avtorji razliko za različne orientacije pojasnjujejoz anizotropnostjo papirja, kar potrdi tudi mikroskopska slika (slika 15). Papir se večinoma strga zaradiprekinitev vodikovih vezi in ne posameznih vlaken. V smeri pravokotno na vlakna se papir težje pretrga,ker moramo posamezno vlakno zaobiti. Zato je H večji, kar pomeni bolj grobo obliko.

12

Slika 14: Na levi ima sliko strganega papirja in dobljen graf razpoke iz nekega drugega ekspe-rimenta [1]. Na desni sta pridobljena grafa za časopisni papir v horizontalni in vertikalni smeri.Enote so v točkah (pikslih) [17]. Nižji Hh kot Hv se odraža kot manj hrapava razpoka.

Slika 15: Leva fotografija prikazuje časopisni papir in desna prevlečen papir. Pri časopisnempapirju vidimo, da so vlakna usmerjena večinoma v horizontalni smeri [17]. Ker razpoki ne bopotrebno tolikokrat obiti vertikalno orientirana vlakna, bo razpoka manj hrapava.

5 ZaključekV seminarju sem predstavil dva vidika lomne mehanike: inženirski ter fizikalni pogled. Izpustil semfraktografijo – eksperimentalno preučevanje razpok. Izpustil sem tudi akustično emisijo. Materiali oblomu vibrirajo in izpuščajo zvok. Pojav je zanimiv, saj je tako kot hrapavost razpok amplituda čez čassamopodobna. Hkrati podaja pogled tudi v dinamiko loma.

Lomna mehanika in mehanika poškodb sta z inženirskega vidika že dobro uveljavljeni disciplini.Dandanes ob načrtovanju zgradb, letal in ostalih predmetov, vemo, kako preprečiti oziroma vplivati narazvoj loma. Kljub temu ostajajo odprta vprašanja. Kakšen je točen vpliv razpok med sabo? Katerarazpoka bo prevladala? Pred gradnjo se pogosto preizkusijo pomanjšane makete in še teh malo. Treba jepoznati velikostno odvisnost loma in tudi kakšna je verjetnostna distribucija za lom.

Iz fizikalnega vidika pojav sploh še ni dobro raziskan. Začetni optimizem po univerzalnosti ni vzdržalkasnejših preverjanj. Odprta vprašanja ostajajo. Razvoj temelji predvsem na mrežnih modelih, čeprav soposkusi na primer tudi v zvezni in usmerjeni perkolaciji. Rezultati bi bili tudi uporabni. Iz hrapavostirazpoke in akustične emisije bi lahko razbrali, kakšne vrste lom je bil in tudi ugotovili koliko je še domehanske odpovedi materiala. Izziv ostaja žilav lom, tega mrežni modeli sploh še ne obravnavajo.

13

Literatura[1] Alava, M.J. et al. Statistical Models of Fracture. Advances in Physics. 2006,55,3-4,349-476.

[2] Posredno citirano iz [7]. Reed, R.P. et al. NBS Special Publication 647-1. Washington, 1983.

[3] Hermann, H.J. in Roux, S. Statistical Models for the Fracture of Disordered Media. North-Holland,Oxford, 1990.

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Fracture. Citirano 19.11.2012.

[5] Podgornik, R. Mehanika kontinuov. Dostopno na: http://www-f1.ijs.si/~rudi/lectures/mk-1.9.pdf. Citirano 19.11.2012.

[6] Del predavanj za mehaniko materialov z MIT.Roylance, D. Mechanics of Materials. 2001. Dostopno na: http://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/frac.pdf Citirano 19.11.2012.

[7] Del predavanj za mehaniko materialov z MIT.Roylance, D. Mechanics of Materials. 2001. Dostopno na: http://ocw.mit.edu/courses/materials-science-and-engineering/3-11-mechanics-of-materials-fall-1999/modules/airy.pdf Citirano 19.11.2012.

[8] Chakrabarti, B.K. in Hilles Benguigui, L. Statistical Physics of Fracture and Breakdown in DisorderedSystems. Claredon Press, Oxford, 1997.

[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_intensity_factor. Citirano 21.11.2012.

[10] Noes, M. et al. A Finite Element Method for Crack Growth Without Remeshing. InternationalJournal for Numerical Methods in Engineering 1999,46,131-150.

[11] http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method. Citirano 20.11.2012.

[12] Loehnert S. in Wriggers P. On the eXtended Finite Element Method. 2009. Dostopno na:http://www.fgg.uni-lj.si/Symech/WriggersLectures/XFEM.pdf. Citirano 21.11.2012.

[13] Rösch, F. et al. Dynamic fracture of icosahedral model quasicrystals: A molecular dynamics studyPhysical Review B. 2005,72,1.

[14] Crack Propagation in Quasicrystals. Institute for Theoretical and Applied Physics. Universität Stut-tgart. Dostopno na: http://www.itap.physik.uni-stuttgart.de/forschung/trebin/qk/riss/riss_en.php. Citirano 21.11.2012

[15] Hansen, A. et al. Rupture od central force lattices. Journal de Physique. 1989,50,733-744.

[16] Nukala, P. K. V. V. et al. Statistical physics of fracture: scientific discovery through high-perfomrancecomputing. Journal of Physics: Conference Series. 2006,46,278-291.

[17] Menezes-Sobrinho, I. L. et al. Anisotropy in rupture lines of paper sheets.Physical review E. 2005, 712.

14