LOGIKALOGIKA

VizsgaVizsga

Előadások:Előadások: http://hps.elte.hu/~gszabo/Filozofiadiszciplinai.htmlhttp://hps.elte.hu/~gszabo/Filozofiadiszciplinai.html

LogikaLogika

Tankönyv:Tankönyv: Madarász T., Pólos L., Ruzsa I.: Madarász T., Pólos L., Ruzsa I.: A logika elemei,A logika elemei, Osiris, Osiris,

2005.2005. Ruzsa I., Máté A.: Ruzsa I., Máté A.: Bevezetés a modern logikába,Bevezetés a modern logikába, Osiris, Osiris,

1997.1997.

Internet:Internet: Szabadbölcsészet / Filozófia / Kijelentéslogika: Szabadbölcsészet / Filozófia / Kijelentéslogika:

http://szabadbolcseszet.elte.hu/index.php?http://szabadbolcseszet.elte.hu/index.php?option=com_tanelem&task=all&id_tananyag=51option=com_tanelem&task=all&id_tananyag=51

Mi a logika?Mi a logika?

Régebbi elnevezés:Régebbi elnevezés: dialektika (a vitatkozás művészete)dialektika (a vitatkozás művészete) analitika (Arisztotelésznél)analitika (Arisztotelésznél)

Logika: az érvényes következtetés elméleteLogika: az érvényes következtetés elmélete

Következtetés:Következtetés: 1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út.1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út. 2. premissza: Esik az eső. 2. premissza: Esik az eső. Konklúzió: Sáros az út.Konklúzió: Sáros az út.

KövetkeztetésekKövetkeztetések

Érvényes következtetés:Érvényes következtetés: 1. premissza: Marci jön a keddi filmre, vagy Marcsi jön a 1. premissza: Marci jön a keddi filmre, vagy Marcsi jön a

keddi filmre. (Rövidebben: Marci vagy Marcsi jön a keddi keddi filmre. (Rövidebben: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre.)filmre.)

2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre.2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre.Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre.

Érvénytelen következtetés:Érvénytelen következtetés: 1. premissza: Ha Marci jön a keddi filmre, akkor Robi 1. premissza: Ha Marci jön a keddi filmre, akkor Robi

nem jön a keddi filmre.nem jön a keddi filmre. 2. premissza: Robi nem jön a keddi filmre.2. premissza: Robi nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marci jön a keddi filmre.Konklúzió: Marci jön a keddi filmre.

KövetkeztetésekKövetkeztetések

Érvényes következtetés:Érvényes következtetés: 1. premissza: Minden bálna hal. (hamis)1. premissza: Minden bálna hal. (hamis) 2. premissza: Minden hal szőrös (hamis)2. premissza: Minden hal szőrös (hamis) Konklúzió: Minden bálna szőrös. (hamis)Konklúzió: Minden bálna szőrös. (hamis)

Ha a premisszák és a konklúzió hamisak, akkor a Ha a premisszák és a konklúzió hamisak, akkor a következtetés még nem feltétlenül érvénytelen. következtetés még nem feltétlenül érvénytelen.

Érvénytelen következtetés:Érvénytelen következtetés: 1. premissza: Minden szamár gerinces. (igaz)1. premissza: Minden szamár gerinces. (igaz) 2. premissza: Minden szamár emlős. (igaz)2. premissza: Minden szamár emlős. (igaz) Konklúzió: Minden emlős gerinces. (igaz)Konklúzió: Minden emlős gerinces. (igaz)

Ha a premisszák és a konklúzió igazak, akkor a Ha a premisszák és a konklúzió igazak, akkor a következtetés még nem feltétlenül érvényes.következtetés még nem feltétlenül érvényes.

Mikor érvényes egy Mikor érvényes egy következtetés?következtetés?

Mit értünk azon, hogy az alábbi következtetés Mit értünk azon, hogy az alábbi következtetés érvényes?érvényes? Ha esik az eső, sáros az út.Ha esik az eső, sáros az út. Esik az eső.Esik az eső. Sáros az út.Sáros az út.

Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz.Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz. Aki elfogadja a premisszák igazságát, annak el „kell” Aki elfogadja a premisszák igazságát, annak el „kell”

fogadnia a konklúzió igazságát is.fogadnia a konklúzió igazságát is. „„Nem tudunk” elképzelni olyan szituációt, ahol a Nem tudunk” elképzelni olyan szituációt, ahol a

premisszák igazak, a konklúzió azonban hamis.premisszák igazak, a konklúzió azonban hamis.

TárgysemlegességTárgysemlegesség

1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út. 1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út. 2. premissza:Esik az eső.2. premissza:Esik az eső. Konklúzió: Sáros az út.Konklúzió: Sáros az út.

1. premissza: Ha dolgozom, elfáradok.1. premissza: Ha dolgozom, elfáradok. 2. premissza: Dolgozom.2. premissza: Dolgozom. Konklúzió: Elfáradok.Konklúzió: Elfáradok.

A következtetés sémája:A következtetés sémája: Ha A, akkor B.Ha A, akkor B. AA BB

A következtésben csak a logikai szerkezet számít, a tartalom A következtésben csak a logikai szerkezet számít, a tartalom nem!nem!

FormalizálásFormalizálás

Atomi mondatok:Atomi mondatok: p: Esik az eső.p: Esik az eső. q: Sáros az út.q: Sáros az út.

Funktorok:Funktorok: a.a. ~: nem~: nemb.b. &: és&: ésc.c. ∨∨: vagy: vagyd.d. ⊃⊃: : ha … akkorha … akkore.e. ≡≡: akkor és csak akkor: akkor és csak akkor

Formulák (összetett mondatok):Formulák (összetett mondatok): A = p A = p ⊃ q⊃ q: Ha esik az eső, sáros az út.: Ha esik az eső, sáros az út. B = p B = p & & ~q: Esik az eső, de (és) nem sáros az út.~q: Esik az eső, de (és) nem sáros az út.

FormalizálásFormalizálás

Természetes nyelvi mondat:Természetes nyelvi mondat: Vagy elhiszed, hogy baj van, és adsz pénzt, Vagy elhiszed, hogy baj van, és adsz pénzt,

hogy segíthessek, vagy nem hiszed el, és hogy segíthessek, vagy nem hiszed el, és megnézheted magad.megnézheted magad.

Jelölések: Jelölések: p: elhiszed, hogy baj vanp: elhiszed, hogy baj van q: adsz pénzt, hogy segíthessekq: adsz pénzt, hogy segíthessek r: megnézheted magadr: megnézheted magad

Szerkezet: (p & q) Szerkezet: (p & q) ∨∨ (~p & r) (~p & r)

Formalizálja az alábbi Formalizálja az alábbi mondatokat!mondatokat!

1.1. Visszavárhat Jóska, Sára, Tercsi, Fercsi, Kata, Klára.Visszavárhat Jóska, Sára, Tercsi, Fercsi, Kata, Klára.2.2. Vagy most mondasz igazat, de akkor a múlt héten hazudtál, Vagy most mondasz igazat, de akkor a múlt héten hazudtál,

vagy fordítva.vagy fordítva.3.3. Hittem neki, pedig egy férfinak soha nem szabadna hinniHittem neki, pedig egy férfinak soha nem szabadna hinni4.4. Tehetsz rá fokhagymát, friss borsot, esetleg kakukkfüvet Tehetsz rá fokhagymát, friss borsot, esetleg kakukkfüvet

vagy bazsalikomot; na meg egy csipet tengeri sót, de bolti vagy bazsalikomot; na meg egy csipet tengeri sót, de bolti jódozottat semmiképp.jódozottat semmiképp.

5.5. Vagy Hume téved az emberi természetet illetően, vagy Vagy Hume téved az emberi természetet illetően, vagy Nietzsche. Vagy egyikük sem téved, csak én vagyok Nietzsche. Vagy egyikük sem téved, csak én vagyok összezavarodva.összezavarodva.

6.6. El is ment a királyhoz, meg nem is; vitt is ajándékot, meg El is ment a királyhoz, meg nem is; vitt is ajándékot, meg nem is; fel is volt öltözve, meg nem is.nem is; fel is volt öltözve, meg nem is.

7.7. Nem igaz, hogy nem volt nyúl a cilinderben. Igenis volt, csak Nem igaz, hogy nem volt nyúl a cilinderben. Igenis volt, csak ügyesen elrejtették. Nyulak nem keletkeznek csak úgy ügyesen elrejtették. Nyulak nem keletkeznek csak úgy hirtelen.hirtelen.

8.8. Néha a ‘pedig’ ‘és’t jelent, meg a ‘de’ is, de a ‘meg’ is.Néha a ‘pedig’ ‘és’t jelent, meg a ‘de’ is, de a ‘meg’ is.

Érvényes-e az alábbi Érvényes-e az alábbi következtetés?következtetés?

1.1. Ebben a házban nincs más állat, csak macska.Ebben a házban nincs más állat, csak macska.2.2. Minden állat alkalmas kedvencnek, amelyik szereti a Holdat Minden állat alkalmas kedvencnek, amelyik szereti a Holdat

bámulni.bámulni.3.3. Ha egy állatot utálok, akkor elkerülöm.Ha egy állatot utálok, akkor elkerülöm.4.4. Minden húsevő éjjel jár a zsákmány után.Minden húsevő éjjel jár a zsákmány után.5.5. Nincs olyan macska, amely nem fog egeret.Nincs olyan macska, amely nem fog egeret.6.6. Csak olyan állat vonzódik hozzám, amely a házbeli.Csak olyan állat vonzódik hozzám, amely a házbeli.7.7. A kenguruk nem alkalmasak kedvencnek.A kenguruk nem alkalmasak kedvencnek.8.8. Csak húsevő állatok fognak egeret.Csak húsevő állatok fognak egeret.9.9. Utálom azokat az állatokat, amelyek nem vonzódnak Utálom azokat az állatokat, amelyek nem vonzódnak

hozzám.hozzám.10.10. Azok az állatok, amelyek éjjel járnak zsákmány után, szeretik Azok az állatok, amelyek éjjel járnak zsákmány után, szeretik

a Holdat bámulni.a Holdat bámulni.

Mindig elkerülöm a kengurukat.Mindig elkerülöm a kengurukat.

Szemantika és szintaxisSzemantika és szintaxis

Szemantika felépítés:Szemantika felépítés: A következmény-A következmény-

relációt az relációt az igazigaz és és a a hamishamis fogalmán fogalmán keresztül vezeti be.keresztül vezeti be.

Szintaktikai felépítés:Szintaktikai felépítés: A következmény-A következmény-

relációt a nyelvi relációt a nyelvi jelek jelek kombinációján kombinációján keresztül vezeti be.keresztül vezeti be.

IgazságértékIgazságérték

Az állítások igazságértékkel bírnak.Az állítások igazságértékkel bírnak.

Két Arisztotelésztől származó elv:Két Arisztotelésztől származó elv:1.1. A kizárt harmadik elve (Tertium non datur): Minden állítás A kizárt harmadik elve (Tertium non datur): Minden állítás

vagy igaz, vagy hamis.vagy igaz, vagy hamis.2.2. Az ellentmondás elve: Egy állítás nem lehet egyszerre igaz is, Az ellentmondás elve: Egy állítás nem lehet egyszerre igaz is,

és hamis is.és hamis is.

Összefoglalva: Összefoglalva: A kétértékűség elve: Minden állítás vagy igaz, vagy hamis, de A kétértékűség elve: Minden állítás vagy igaz, vagy hamis, de

nem lehet egyszerre mind a kettő.nem lehet egyszerre mind a kettő.

Az állítások igazságértéke objektív, és tudásunktól Az állítások igazságértéke objektív, és tudásunktól független.független.

A Tejútrendszerben a Földön kívül is van élet.A Tejútrendszerben a Földön kívül is van élet.

SzemantikaSzemantika

Igazságérték: Igazságérték: igaz: 1igaz: 1 hamis: 0hamis: 0

Atomi mondatok igazságértéke: Atomi mondatok igazságértéke: a mondat igaz: |p|=1a mondat igaz: |p|=1 a mondat hamis: |p|=0a mondat hamis: |p|=0

a. Negációa. Negáció

Nem igaz, hogyNem igaz, hogy Péter magasabb, mint Pál. Péter magasabb, mint Pál. Logikai jele: ~ (nem, non)Logikai jele: ~ (nem, non)

~(Péter magasabb, mint Pál) ~(p) ~p~(Péter magasabb, mint Pál) ~(p) ~p

Igazságtáblázata:Igazságtáblázata:

~p akkor és csak akkor igaz, ha p hamis.~p akkor és csak akkor igaz, ha p hamis.

Vigyázzunk a tagadásra:Vigyázzunk a tagadásra: ~(Minden prókátor hazudik)~(Minden prókátor hazudik)

pp ~p~p

11 00

00 11

b. Konjunkciób. Konjunkció

Péter magasabb, mint Pál, Péter magasabb, mint Pál, ésés Pál magasabb, mint Piroska. Pál magasabb, mint Piroska. Konjukció logikai jele: & (és, et)Konjukció logikai jele: & (és, et)

(Péter magasabb, mint Pál) & (Pál magasabb, mint (Péter magasabb, mint Pál) & (Pál magasabb, mint Piroska); p & qPiroska); p & q

Igazságtáblázata: Igazságtáblázata:

p & q akkor és csak akkor igaz, ha p is és q is igaz. p & q akkor és csak akkor igaz, ha p is és q is igaz.

A konjunkció egyéb köznyelvi kifejezései:A konjunkció egyéb köznyelvi kifejezései: ……is, …is; bár; noha; mindazonáltalis, …is; bár; noha; mindazonáltal

pp qq p & p & qq

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 00

c. Diszjunkcióc. Diszjunkció

Esik az eső, Esik az eső, vagyvagy fúj a szél. fúj a szél. Alternáció logikai jele: Alternáció logikai jele: ∨∨ (vagy, vel) (vagy, vel)

(Esik az eső) (Esik az eső) ∨∨ (Fúj a szél); p (Fúj a szél); p ∨∨ q q A „vagy” kétféle értelmezése:A „vagy” kétféle értelmezése:

csak az egyik (kizáró vagy: aut)csak az egyik (kizáró vagy: aut) esetleg mindkettő (megengedő vagy: vel; és/vagy) esetleg mindkettő (megengedő vagy: vel; és/vagy) →→ Ezt Ezt

használjuk!használjuk!

Igazságtáblázata: Igazságtáblázata:

p p ∨∨ q akkor és csak akkor hamis, ha p is és q is hamis. q akkor és csak akkor hamis, ha p is és q is hamis.

pp qq p p ∨∨ qq

11 11 11

11 00 11

00 11 11

00 00 00

Konjunkció és diszjunkcióKonjunkció és diszjunkció

Esik az eső, vagy fúj a szél. Esik az eső, vagy fúj a szél. ⇔⇔ Nem igaz, hogy sem nem esik az Nem igaz, hogy sem nem esik az eső, sem nem fúj a szél.eső, sem nem fúj a szél.

A diszjunkció definíciója a konjunkcióval és negációval:A diszjunkció definíciója a konjunkcióval és negációval:p p ∨∨ q q ⇔⇔ ~(~p & ~q) ~(~p & ~q)

A konjunkció és a diszjunkció egymás duálisai:A konjunkció és a diszjunkció egymás duálisai: A konjunkció akkor és csak akkor igaz, ha mindkét tagja igaz.A konjunkció akkor és csak akkor igaz, ha mindkét tagja igaz. A diszjunkció akkor és csak akkor hamis, ha mindkét tagja A diszjunkció akkor és csak akkor hamis, ha mindkét tagja

hamis.hamis.

pp qq p p ∨∨ qq

11 11 11

11 00 11

00 11 11

00 00 00

pp qq p & p & qq

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 00

d. Kondicionálisd. Kondicionális

HaHa esik az eső, esik az eső, (akkor)(akkor) vizes a járda. vizes a járda. Kondicionális logikai jele: Kondicionális logikai jele: ⊃⊃ (patkó) (patkó)

(Esik az eső) (Esik az eső) ⊃⊃ (Vizes a járda); (Vizes a járda); p p ⊃⊃ q q A kondicionális értelmezése:A kondicionális értelmezése:

A kondicionális akkor hamis: ha előtagja igaz és A kondicionális akkor hamis: ha előtagja igaz és utótagja hamis, a többi esetben igaz.utótagja hamis, a többi esetben igaz.

Igazságtáblázata: Igazságtáblázata: pp qq p p ⊃⊃ qq

11 11 11

11 00 00

00 11 11

00 00 11

e. Bikondicionálise. Bikondicionális

HaHa esik az eső, esik az eső, (akkor)(akkor) fúj a szél, és fúj a szél, és haha fúj a szél, fúj a szél, (akkor) (akkor) esik az eső.esik az eső.

Bikondicionális logikai jele: Bikondicionális logikai jele: ≡≡ (id) (id) (Esik az eső) (Esik az eső) ≡≡ (Fúj a szél); (Fúj a szél); p p ≡≡ q q

A bikondicionális értelmezése:A bikondicionális értelmezése: A bikondicionális egy kondicionálist és megfordítását A bikondicionális egy kondicionálist és megfordítását

egyszerre állítja.egyszerre állítja. A bikondicionális akkor és csak akkor igaz, ha két A bikondicionális akkor és csak akkor igaz, ha két

bemenetének igazságértéke azonos.bemenetének igazságértéke azonos.

Igazságtáblázata:Igazságtáblázata: pp qq p p ≡≡ qq

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 11

Funktorok igazságtáblázataFunktorok igazságtáblázatatagadás (nem) konjunkció (és)tagadás (nem) konjunkció (és) diszjunkció (vagy) diszjunkció (vagy)

kondicionális (ha… akkor)kondicionális (ha… akkor) bikondicionális (akkor és csak bikondicionális (akkor és csak akkor)akkor)

pp qq pp⊃⊃qq

11 11 11

11 00 00

00 11 11

00 00 11

pp ~~pp

11 00

00 11

pp qq p&p&qq

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 00

pp qq pp∨∨qq

11 11 11

11 00 11

00 11 11

00 00 00

pp qq pp≡≡qq

11 11 11

11 00 00

00 11 00

00 00 11

InterpretációInterpretáció

Interpretáció:Interpretáció: Minden atomi mondathoz igazságértéket rendelünk.Minden atomi mondathoz igazságértéket rendelünk. Pl. két mondat esetén 4 lehetséges interpretáció van, Pl. két mondat esetén 4 lehetséges interpretáció van,

három mondat esetén 8.három mondat esetén 8.

n db atomi mondatnak 2n db atomi mondatnak 2nn interpretációja van. interpretációja van.

pp qq

II11 11 11

II22 11 00

II33 00 11

II44 00 00

pp qq rr

II11 11 11 11

II22 11 11 00

II33 11 00 11

II44 11 00 00

II55 00 11 11

II66 00 11 00

II77 00 00 11

II88 00 00 00

InterpretációInterpretáció

Az összetett mondatok a funktorokon Az összetett mondatok a funktorokon keresztül nyernek igazságértéket.keresztül nyernek igazságértéket. pl. (p pl. (p & & ~q) ~q) ⊃ r: Ha esik az eső, és nem sáros ⊃ r: Ha esik az eső, és nem sáros

az út, akkor elmegyek kirándulni.az út, akkor elmegyek kirándulni.

pp qq ~q~q pp&&~~qq

rr (p(p&&~q)~q)⊃⊃rr

II11 11 11 00 00 11 11

II22 11 11 00 00 00 11

II33 11 00 11 11 11 11

II44 11 00 11 11 00 00

II55 00 11 00 00 11 11

II66 00 11 00 00 00 11

II77 00 00 11 00 11 11

II88 00 00 11 00 00 11

KövetkezményrelációKövetkezményreláció

Érvényes következtetés: Ha a premisszák Érvényes következtetés: Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz.igazak, akkor a konklúzió is igaz.

Vagyis: ha minden olyan interpretációra, Vagyis: ha minden olyan interpretációra, amelyben az összes premissza igaz, a amelyben az összes premissza igaz, a konklúzió is igaz.konklúzió is igaz.

PP = {p = {p11, p, p22 …} …}: premisszák: premisszák K: konklúzióK: konklúzió Jelölés: Jelölés: PP ⇒⇒ K K

KövetkezményrelációKövetkezményreláció

Érvényes következtetés:Érvényes következtetés: 1. premissza: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre.1. premissza: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre. 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre.2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre.Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre.

Formalizálás: Formalizálás: p: p: Marci jön a keddi filmre.Marci jön a keddi filmre. q: Marcsi jön a keddi filmre.q: Marcsi jön a keddi filmre.

Premisszák:Premisszák: 1. premissza: p1. premissza: p ∨∨ qq 2. premissza: ~p2. premissza: ~p Konklúzió: qKonklúzió: q

Kérdés: Kérdés: {{p p ∨∨ q q, , ~p~p} } ⇒⇒ qq

pp qq pp∨∨qq

~p~p qq

11 11 11 00 11

11 00 11 00 00

00 11 11 11 11

00 00 00 11 00

FeladatokFeladatok

Érvényesek-e az alábbi következtetések?Érvényesek-e az alábbi következtetések? {~p & q, p {~p & q, p ⊃⊃ q, ~p} q, ~p} ⇒⇒ p p & ~q& ~q {p & ~q, ~p {p & ~q, ~p ∨∨ q} q} ⇒⇒ p p ∨∨ q q

Igazolja az alábbi következtetések érvényességét!Igazolja az alábbi következtetések érvényességét! {p {p ⊃⊃ q, p} q, p} ⇒⇒ q q (leválasztási szabály, modus (leválasztási szabály, modus

ponens)ponens) {p {p ⊃⊃ q, ~q} q, ~q} ⇒⇒ ~p ~p (modus tollens)(modus tollens) {p {p ⊃⊃ q, q q, q ⊃⊃ r r} } ⇒⇒ p p ⊃⊃ r r (láncszabály) (láncszabály) {p {p ∨∨ q, ~q} q, ~q} ⇒⇒ p p

{p {p ∨∨ q, ~p} q, ~p} ⇒⇒ q q p p ≡≡ q q ⇒⇒ p p ⊃⊃ q q

p p ≡≡ q q ⇒⇒ q q ⊃⊃ p p {p {p ≡≡ q, q, q q ≡≡ r} r} ⇒⇒ p p ≡≡ r r

Logikai igazságLogikai igazság

⇒⇒ A: Egy A mondatA: Egy A mondat logikai igazság (tautológia), ha minden logikai igazság (tautológia), ha minden interpretációra igaz.interpretációra igaz. ⇒⇒ (p (p ∨∨ ~p) ~p) ⇒⇒ (p (p ⊃⊃ p) p)

⇒⇒ (~p (~p ⊃⊃ p) p) ⊃⊃ p p ((consequentia mirabilis:consequentia mirabilis: Ha akkor is baj van, ha Ha akkor is baj van, ha nincs baj, akkor bizony baj van.)nincs baj, akkor bizony baj van.)

A logikai igazságok nem a világról szólnak, hanem a nyelvről.A logikai igazságok nem a világról szólnak, hanem a nyelvről. A logikai igazság a következményreláció speciális esete: a A logikai igazság a következményreláció speciális esete: a

konklúzió az üres premisszahalmazból következik.konklúzió az üres premisszahalmazból következik.

pp ~p~p p p ∨∨ ~p ~p

11 00 11

00 11 11

pp pp p p ⊃⊃ p p

11 11 11

00 00 11

EllentmondásEllentmondás

⇏⇏ A: Egy A mondatA: Egy A mondat ellentmondás (kontradikció), ha minden ellentmondás (kontradikció), ha minden interpretációra hamis.interpretációra hamis. ⇏⇏ ((p &p & ~p) ~p) ⇏⇏ ~ ~(p (p ⊃⊃ p) p)

Bonyolultabb ellentmondás:Bonyolultabb ellentmondás: ⇏⇏ ((p ((p ⊃⊃ q) v ~r) q) v ~r) ≡≡ ((p & ~q) & r)((p & ~q) & r)

pp ~p~p p p & ~p& ~p

11 00 00

00 11 00

pp pp ~(p ~(p ⊃⊃ p) p)

11 11 00

00 00 00

Logikai ekvivalenciaLogikai ekvivalencia

A A ⇔⇔ B: A és B mondatok B: A és B mondatok logikailag ekvivalensek, ha logikailag ekvivalensek, ha igazságtáblázatuk megegyezik.igazságtáblázatuk megegyezik. ~~p ~~p ⇔⇔ p p (kettős tagadás) (kettős tagadás)

p & q p & q ⇔⇔ q & p q & p (a konjunkció kommutativitása)(a konjunkció kommutativitása) ~(p ~(p ∨∨ q) q) ⇔⇔ (~p & ~q) (~p & ~q) ((De Morgan-törvények)De Morgan-törvények) ~~(p & q) (p & q) ⇔⇔ (~p (~p ∨∨ ~q) ~q)

A logikai ekvivalencia (A logikai ekvivalencia (⇔⇔) is a következményreláció ) is a következményreláció speciális esete: a jobb- (⇒) és baloldali (speciális esete: a jobb- (⇒) és baloldali (⇐⇐) ) következményreláció összeolvasztása.következményreláció összeolvasztása.

pp ~p~p ~~p~~p

11 00 11

00 11 00

Logikai ekvivalenciákLogikai ekvivalenciák

~~p ~~p ⇔⇔ p p (kettős tagadás)(kettős tagadás) p & q p & q ⇔⇔ q & p q & p (kommutativitás)(kommutativitás) (p & q) & r (p & q) & r ⇔⇔ p & (q & r) p & (q & r) (asszociativitás)(asszociativitás) (p & q) v r (p & q) v r ⇔⇔ (p v r) & (q v r) (p v r) & (q v r) (disztributivitás)(disztributivitás) ~(p ~(p ∨∨ q) q) ⇔⇔ (~p & ~q) (~p & ~q) ((De Morgan-törvények)De Morgan-törvények)

~~(p & q) (p & q) ⇔⇔ (~p (~p ∨∨ ~q) ~q) p p ∨∨ q q ⇔⇔ ~(~p & ~q) ~(~p & ~q) (a diszjunkció (a diszjunkció

definíciója)definíciója) p p ⊃⊃ q q ⇔⇔ ~(p & ~q) ~(p & ~q) ⇔⇔ ~p ~p ∨∨ q q (a kondicionális definíciója)(a kondicionális definíciója) p p ≡≡ q q ⇔⇔ (p (p ⊃⊃ q) & (q q) & (q ⊃⊃ p) p) (a bikondicionális (a bikondicionális

definíciói)definíciói)p p ≡≡ q q ⇔⇔ (p & (p & q) v (~p & ~q) q) v (~p & ~q)

(p (p ⊃⊃ q) q) ⇔⇔ (~q (~q ⊃⊃ ~p) ~p) (kontrapozíció törvénye)(kontrapozíció törvénye) p p ⊃⊃ (q (q ⊃⊃ r) r) ⇔⇔ (p & q) (p & q) ⊃⊃ r r (áthelyezési törvény)(áthelyezési törvény)

FeladatokFeladatok

Formalizálja a premisszákat és a konklúziót! Formalizálja a premisszákat és a konklúziót! Ahol lehetséges, a De Morgan-szabályok Ahol lehetséges, a De Morgan-szabályok segítségével alakítsa át logikailag segítségével alakítsa át logikailag ekvivalens alakba a kijelentéseket! ekvivalens alakba a kijelentéseket!

A narancssárga vagy a virágmintás kardigánt, és A narancssárga vagy a virágmintás kardigánt, és a trapézfarmert vagy a bordó kordnadrágot a trapézfarmert vagy a bordó kordnadrágot veszem fel.veszem fel.

A narancssárga kardigánt és a bordó A narancssárga kardigánt és a bordó kordnadrágot nem veszem fel együtt.kordnadrágot nem veszem fel együtt.

Annyi már biztos, hogy vagy a virágmintás Annyi már biztos, hogy vagy a virágmintás kardigánt, vagy a trapézfarmert felveszem.kardigánt, vagy a trapézfarmert felveszem.

MegoldásMegoldás

A narancssárga vagy a virágmintás kardigánt, és a trapézfarmert vagy A narancssárga vagy a virágmintás kardigánt, és a trapézfarmert vagy a bordó kordnadrágot veszem fel.a bordó kordnadrágot veszem fel.

A narancssárga kardigánt és a bordó kordnadrágot nem veszem fel A narancssárga kardigánt és a bordó kordnadrágot nem veszem fel együtt.együtt.

Annyi már biztos, hogy vagy a virágmintás kardigánt, vagy a Annyi már biztos, hogy vagy a virágmintás kardigánt, vagy a trapézfarmert felveszem.trapézfarmert felveszem.

Jelölések: Jelölések: p: a narancssárga kardigánt veszem felp: a narancssárga kardigánt veszem fel q: a virágmintás kardigánt veszem felq: a virágmintás kardigánt veszem fel r: a trapézfarmert veszem felr: a trapézfarmert veszem fel s: a bordó kordnadrágot veszem fels: a bordó kordnadrágot veszem fel

Szerkezet: Szerkezet: (p (p ∨∨ q) & (r q) & (r ∨∨ s) s) ~ (p & s)~ (p & s) q q ∨∨ r r

De Morgan-szabályt a második premisszára lehet alkalmazni, ez ‘~p De Morgan-szabályt a második premisszára lehet alkalmazni, ez ‘~p ∨∨ ~s’-sel ekvivalens. (‘Nem veszem fel a narancssárga kardigánt vagy ~s’-sel ekvivalens. (‘Nem veszem fel a narancssárga kardigánt vagy nem veszem fel a bordó kordnadrágot.’)nem veszem fel a bordó kordnadrágot.’)

További feladatokTovábbi feladatok

Az nem megy, hogy apa is ott legyen a diplomaosztómon, meg anya is.Az nem megy, hogy apa is ott legyen a diplomaosztómon, meg anya is. Az sem megy, hogy se apa ne legyen ott, se anya.Az sem megy, hogy se apa ne legyen ott, se anya. Tehát vagy anya lesz ott, de apa nem, vagy apa lesz ott, de anya nem.Tehát vagy anya lesz ott, de apa nem, vagy apa lesz ott, de anya nem.

Mindenki ott lesz, aki számít, de vagy nem engednek be újságírókat, vagy nem Mindenki ott lesz, aki számít, de vagy nem engednek be újságírókat, vagy nem esik szó semmi érdemlegesről.esik szó semmi érdemlegesről.

Olyan nincs, hogy mindenki ott legyen, aki számít, és senkinek ne járjon el a Olyan nincs, hogy mindenki ott legyen, aki számít, és senkinek ne járjon el a szája.szája.

Ezeknél nagy a fegyelem. Vagy beengednek újságírókat, vagy senkinek nem jár Ezeknél nagy a fegyelem. Vagy beengednek újságírókat, vagy senkinek nem jár el a szája.el a szája.

Tehát nem esik szó semmi érdemlegesről.Tehát nem esik szó semmi érdemlegesről.

Tamás vagy Tibi biztosan ott van az értekezleten, és Tibi vagy az értekezleten Tamás vagy Tibi biztosan ott van az értekezleten, és Tibi vagy az értekezleten van, vagy ügyféllel tárgyal.van, vagy ügyféllel tárgyal.

Tibi nincs ott az értekezleten.Tibi nincs ott az értekezleten. Tehát Tamás ott van az értekezleten, vagy Tibi ügyféllel tárgyal.Tehát Tamás ott van az értekezleten, vagy Tibi ügyféllel tárgyal.

Tévedés, hogy Bogáncs is keverék, meg Morzsi is.Tévedés, hogy Bogáncs is keverék, meg Morzsi is. Az is tévedés, hogy Morzsi is keverék, meg Tóbiás is.Az is tévedés, hogy Morzsi is keverék, meg Tóbiás is. Sőt mi több, az is tévedés, hogy Tóbiás is keverék, meg Bogáncs is.Sőt mi több, az is tévedés, hogy Tóbiás is keverék, meg Bogáncs is. Tehát akkor sem Bogáncs, sem Morzsi, sem Tóbiás nem keverék.Tehát akkor sem Bogáncs, sem Morzsi, sem Tóbiás nem keverék.

Elsőrendű logikaElsőrendű logika

Nulladrend: A mondatokat nem bontjuk fel.Nulladrend: A mondatokat nem bontjuk fel. Elsőrend: A mondatokat felbontjuk.Elsőrend: A mondatokat felbontjuk.

A két grammatikai alapkategória:A két grammatikai alapkategória: Mondat: „Marci jön a keddi filmre”Mondat: „Marci jön a keddi filmre” Név:Név:

Tulajdonnév: „ XVI. Károly Gusztáv”Tulajdonnév: „ XVI. Károly Gusztáv” Határozott leírás: „a jelenlegi svéd király”Határozott leírás: „a jelenlegi svéd király” Névmások: „ő”Névmások: „ő”

Funktor (függvény): minden más értelmes kifejezésFunktor (függvény): minden más értelmes kifejezés Az autó Az autó megállmegáll.. A gepárd A gepárd gyorsabb, mintgyorsabb, mint az antilop. az antilop.

A funktorok fajtáiA funktorok fajtái

Az autó Az autó megállmegáll.. A gepárd A gepárd gyorsabb, mintgyorsabb, mint az antilop. az antilop.

Predikátum: név Predikátum: név →→ mondat mondat

Szerencse, hogySzerencse, hogy Mária már meggyógyult. Mária már meggyógyult. Péter nyugtalan volt, Péter nyugtalan volt, mertmert Mária késett. Mária késett.

Mondatfunktor: mondat Mondatfunktor: mondat →→ mondat mondat

Péter Péter anyjaanyja öt öt megmeg három három

Névfunkor: név Névfunkor: név →→ név név

Összefoglalóan:Összefoglalóan: Funktor: {név, mondat} Funktor: {név, mondat} →→ {név, mondat} {név, mondat}

Funktorok argumentumaiFunktorok argumentumai

… … megállmegáll ……, mert …, mert …

argumentumhely: üres helyekargumentumhely: üres helyek argumentumok száma: az üres helyek számaargumentumok száma: az üres helyek száma

… … megállmegáll egyargumentumú predikátum egyargumentumú predikátum bemenet: Az autó (név)bemenet: Az autó (név) kimenet: Az autó megáll. (mondat)kimenet: Az autó megáll. (mondat)

… … , mert …, mert … kétargumentumú mondatfunktorkétargumentumú mondatfunktor bemenet: Péter nyugtalan volt; Mária késett (mondatok)bemenet: Péter nyugtalan volt; Mária késett (mondatok) kimenet: Péter nyugtalan volt, mert Mária késett. (mondat)kimenet: Péter nyugtalan volt, mert Mária késett. (mondat)

FeladatokFeladatok

Melyek és hány argumentumúak a Melyek és hány argumentumúak a funktorok az alábbi mondatokban?funktorok az alábbi mondatokban? Éva okos.Éva okos. Juli kitartóbb, mint Éva.Juli kitartóbb, mint Éva. Márta pulóvere piros.Márta pulóvere piros. A dohányzás ártalmas az egészségre.A dohányzás ártalmas az egészségre. Mária fiatal nagymama.Mária fiatal nagymama. Ha Ádám megjön, Éva elmegy. Ha Ádám megjön, Éva elmegy. Itt van a kutya elásva.Itt van a kutya elásva. Tünde István és Péter között ül.Tünde István és Péter között ül.

Grammatika és szemantikaGrammatika és szemantika

Grammatika = nyelvtan: a Grammatika = nyelvtan: a nyelv értelmes („jólformált”) nyelv értelmes („jólformált”) kifejezéseivel foglalkozik.kifejezéseivel foglalkozik.

Szemantika = jelentéstan: a Szemantika = jelentéstan: a nyelvi kifejezéseknek a nyelven nyelvi kifejezéseknek a nyelven kívüli világhoz való kívüli világhoz való kapcsolódásával foglalkozik.kapcsolódásával foglalkozik.

nyelv

világ

nyelv

Faktuális értékFaktuális érték

Faktuális érték (extenzió): az a tárgy Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal.vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal.

Mondat faktuális értéke: az igazságértéke.Mondat faktuális értéke: az igazságértéke. Mondat: „A Föld gömbölyű” Mondat: „A Föld gömbölyű” →→ {1,0} {1,0}

mondat

{0,1}

Faktuális értékFaktuális érték

Faktuális érték (extenzió): az a tárgy Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal.utal.

Mondat faktuális értéke: az Mondat faktuális értéke: az igazságértéke.igazságértéke.

Mondat: „A Föld gömbölyű” Mondat: „A Föld gömbölyű” →→ {1,0} {1,0} Név faktuális értéke: a jelölete, vagyis az Név faktuális értéke: a jelölete, vagyis az

a tárgy, amit a név jelöl.a tárgy, amit a név jelöl. Név: „a jelenlegi svéd király” Név: „a jelenlegi svéd király” →→

név mondat

{0,1}

Faktuális értékFaktuális érték

Faktuális érték (extenzió): az a tárgy Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal.utal.

Mondat faktuális értéke: az igazságértéke.Mondat faktuális értéke: az igazságértéke. Mondat: „A Föld gömbölyű” Mondat: „A Föld gömbölyű” →→ {1,0} {1,0}

Név faktuális értéke: a jelölete, vagyis az Név faktuális értéke: a jelölete, vagyis az a tárgy, amit a név jelöl.a tárgy, amit a név jelöl.

Név: „a jelenlegi svéd király” Név: „a jelenlegi svéd király” →→ Funktor faktuális értéke:Funktor faktuális értéke:

névfunktor

mondat

{0,1}

Extenzionális és intenzionális Extenzionális és intenzionális funktorokfunktorok

Nem minden funktornak van faktuális értéke!Nem minden funktornak van faktuális értéke!

Extenzionális funktorok: a bemenet faktuális értéke Extenzionális funktorok: a bemenet faktuális értéke meghatározza a kimenet faktuális értékét.meghatározza a kimenet faktuális értékét. predikátum: … a Fekete-tengerbe ömlik.predikátum: … a Fekete-tengerbe ömlik.

Duna, Magyarország leghosszabb folyójaDuna, Magyarország leghosszabb folyója mondatfunktor: nem igaz, hogy …mondatfunktor: nem igaz, hogy …

2+2=5, Az Eiffel-torony Londonban van2+2=5, Az Eiffel-torony Londonban van névfunktor: … apjanévfunktor: … apja

Péter, az osztály legmagasabb fiújaPéter, az osztály legmagasabb fiúja

Intenzionális funktorok: a bemenet faktuális értéke nem Intenzionális funktorok: a bemenet faktuális értéke nem határozza meg a kimenet faktuális értékét. határozza meg a kimenet faktuális értékét. predikátum: Péter ismeri …-t predikátum: Péter ismeri …-t

körzeti orvos, bélyegklub titkárakörzeti orvos, bélyegklub titkára mondatfunktor: lehetetlen, hogy … mondatfunktor: lehetetlen, hogy …

2+2=5, A jelenlegi brit miniszterelnök nő2+2=5, A jelenlegi brit miniszterelnök nő névfunktor: az, aki nem tudja, hogy … írta a névfunktor: az, aki nem tudja, hogy … írta a PestisPestistt

Albert Camus, az 1957-ben Nobel-díjjal jutalmazott íróAlbert Camus, az 1957-ben Nobel-díjjal jutalmazott író

FeladatokFeladatok

Melyik funktor extenzionális az alábbiak Melyik funktor extenzionális az alábbiak közül?közül? Péter talált egy darab fát.Péter talált egy darab fát. Péter keresi a portást.Péter keresi a portást. István tudja, hogy nincs baj.István tudja, hogy nincs baj. Azt álmodtam, hogy otthon vagyok.Azt álmodtam, hogy otthon vagyok. Egyesek azt állítják, hogy ha piros az ég alja, Egyesek azt állítják, hogy ha piros az ég alja,

akkor szél lesz.akkor szél lesz. Lehetséges, hogy a szünetben elutazunk.Lehetséges, hogy a szünetben elutazunk. Péter leendő házára gondol. Péter leendő házára gondol.

FeladatokFeladatok

Keressük ki a predikátumokat az alábbi Keressük ki a predikátumokat az alábbi mondatokból! Osztályozzuk őket mondatokból! Osztályozzuk őket argumentumszámuk szerint!argumentumszámuk szerint! Dezső és Oszkár barátok.Dezső és Oszkár barátok. Az ég kék.Az ég kék. A nyolc nem prímszám.A nyolc nem prímszám. Senki sem okosabb mindenkinél.Senki sem okosabb mindenkinél. Amelyik kutya ugat, az nem harap.Amelyik kutya ugat, az nem harap. Móricz Zsigmond ismertebb, mint Tersánszky Móricz Zsigmond ismertebb, mint Tersánszky

Józsi Jenő.Józsi Jenő. Ez nem más, mint az utolsó példamondat.Ez nem más, mint az utolsó példamondat.

FeladatokFeladatok

Az alábbi predikátumok közül melyek azok, Az alábbi predikátumok közül melyek azok, amelyek argumentumaik sorrendjének amelyek argumentumaik sorrendjének felcserélésére felcserélésére

a.a. mindig más igazságértékű állítást adnak,mindig más igazságértékű állítást adnak,

b.b. néha más igazságértékű állítást is adnak,néha más igazságértékű állítást is adnak,

c.c. sohasem adnak más igazságértékű állítást!sohasem adnak más igazságértékű állítást! … … testvére …; … alacsonyabb, mint …; … testvére …; … alacsonyabb, mint …; …

szereti …; … párhuzamos …; … merőleges …; … szereti …; … párhuzamos …; … merőleges …; … megszökteti …; … anyja …; … évfolyamtársa …megszökteti …; … anyja …; … évfolyamtársa …

Változók és kvantorokVáltozók és kvantorok

Individuumnevek:Individuumnevek: tulajdonnevek (XVI. Károly Gusztáv)tulajdonnevek (XVI. Károly Gusztáv) leírások (a jelenlegi svéd király)leírások (a jelenlegi svéd király) névmások (ő)névmások (ő)

Szabad névmás: Ő álmos.Szabad névmás: Ő álmos. ő: A tárgyalási univerzum minden elemére vonatkozhat.ő: A tárgyalási univerzum minden elemére vonatkozhat.

Kötött névmás: A főnök kirúgta a könyvelőt, aki becsapta Kötött névmás: A főnök kirúgta a könyvelőt, aki becsapta őt.őt. ő: A főnökre vonatkozik.ő: A főnökre vonatkozik.

A névmások jelölésére változókat használunk: x, y, z A névmások jelölésére változókat használunk: x, y, z Ő álmos. Ő álmos. → x álmos.→ x álmos.

szabad változó: a helyén nevek szerepelhetnek.szabad változó: a helyén nevek szerepelhetnek. kötött változó: a helyén nem szerepelhetnek nevek.kötött változó: a helyén nem szerepelhetnek nevek.

Nyitott és zárt mondatokNyitott és zárt mondatok

Predikátum: Predikátum: … … kezet fogott …-valkezet fogott …-val

A predikátum argumentumhelyeire változókat beírva nyitott A predikátum argumentumhelyeire változókat beírva nyitott mondatot kapunk:mondatot kapunk: x kezet fogott y-nal.x kezet fogott y-nal.

Nyitott mondat és predikátum:Nyitott mondat és predikátum: Micimackó mézéhes medve, és Malacka szereti őt.Micimackó mézéhes medve, és Malacka szereti őt. (Micimackó mézéhes) & (Micimackó medve) & (Malacka szereti (Micimackó mézéhes) & (Micimackó medve) & (Malacka szereti

Micimackót).Micimackót). (… mézéhes) & (… medve) & (… szereti …-t): négyváltozós (… mézéhes) & (… medve) & (… szereti …-t): négyváltozós

predikátumpredikátum (x mézéhes) & (x medve) & (y szereti x-t): kétváltozós nyitott (x mézéhes) & (x medve) & (y szereti x-t): kétváltozós nyitott

mondatmondat

Nyitott mondat: tartalmaz szabad változót. Nyitott mondat: tartalmaz szabad változót. Zárt mondat: csak kötött változót tartalmaz.Zárt mondat: csak kötött változót tartalmaz.

Hogyan lehet változókat lekötni? Hogyan lehet változókat lekötni? →→ Kvantorokkal. Kvantorokkal.

KvantorokKvantorok

Univerzális kvantor: Univerzális kvantor: ∀∀ (minden) (minden) Egzisztenciális kvantor: Egzisztenciális kvantor: ∃∃ (van olyan) (van olyan)

Nyitott mondat:Nyitott mondat: x álmos.x álmos.

Kvantort eléírva:Kvantort eléírva: ∀∀xx (x álmos): Minden x-re, x álmos. Röviden: Mindenki álmos.(x álmos): Minden x-re, x álmos. Röviden: Mindenki álmos. ∃∃x (x álmos): Van olyan x, x álmos. Röviden: Van, aki álmos.x (x álmos): Van olyan x, x álmos. Röviden: Van, aki álmos.

Kvantor alkalmazásának sémája:Kvantor alkalmazásának sémája: kvantor kvantor – változó – (hatókör)– változó – (hatókör)

A kvantor leköti a nyitott mondat szabad változóját.A kvantor leköti a nyitott mondat szabad változóját. Az egyváltozós nyitott mondatból zárt mondatot csinál.Az egyváltozós nyitott mondatból zárt mondatot csinál.

PéldákPéldák

Kétváltozós nyitott mondat:Kétváltozós nyitott mondat: (x ember) ⊃ (y barátja x-nek)(x ember) ⊃ (y barátja x-nek) Kiolvasás: Ha x ember, akkor y barátja x-nek.Kiolvasás: Ha x ember, akkor y barátja x-nek.

Kössük le y-t egzisztenciális kvantorral:Kössük le y-t egzisztenciális kvantorral: (x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek)(x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek) Kiolvasás: Ha x ember, akkor van olyan y, hogy x barátja y-Kiolvasás: Ha x ember, akkor van olyan y, hogy x barátja y-

nak.nak. Röviden: Ha x ember, akkor x-nek van barátja.Röviden: Ha x ember, akkor x-nek van barátja.

Kössük le x-et univerzális kvantorral:Kössük le x-et univerzális kvantorral: ∀∀x [(x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek)]x [(x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek)] Kiolvasás: Minden x-re: ha x ember, akkor x-nek van barátja.Kiolvasás: Minden x-re: ha x ember, akkor x-nek van barátja. Röviden: Minden embernek van barátja.Röviden: Minden embernek van barátja.

További példákTovábbi példák

Júliát mindenki szereti: Júliát mindenki szereti: ∀∀x (x szereti Júliát)x (x szereti Júliát)

Júlia mindenkit szeret: Júlia mindenkit szeret: ∀∀x (Júlia szereti x-et)x (Júlia szereti x-et)

Mindenki szeret valakit: Mindenki szeret valakit: ∀∀x ∃y (x szereti y-t)x ∃y (x szereti y-t)

Mindenkit szeret valaki: Mindenkit szeret valaki: ∀∀x ∃y (y szereti x-et)x ∃y (y szereti x-et)

Mindenki szeret mindenkit: Mindenki szeret mindenkit: ∀∀x ∀y (x szereti y-t)x ∀y (x szereti y-t)

A kvantifikáció A kvantifikáció igazságfeltételeiigazságfeltételei

~~∀x.F(x) ⇔ ∃x.~F(x)∀x.F(x) ⇔ ∃x.~F(x) ~~∃x.F(x) ⇔ ∀x.~F(x)∃x.F(x) ⇔ ∀x.~F(x)

A kvantifikáció logikai négyszöge:A kvantifikáció logikai négyszöge:

kontráriuskontrárius∀∀x.F(x)x.F(x) ∀∀x.~F(x)x.~F(x)

kontradiktórikuskontradiktórikus

∃∃x.F(x)x.F(x) ∃∃x.~F(x) x.~F(x) szubkontráriusszubkontrárius

FeladatokFeladatok

Írjuk fel kvantorokkal az alábbi Írjuk fel kvantorokkal az alábbi mondatokat!mondatokat! Mindenki olvasott mindent.Mindenki olvasott mindent. Mindenki olvasott valamit. Mindenki olvasott valamit. Valaki olvasott mindent.Valaki olvasott mindent. Senki sem okosabb mindenkinél.Senki sem okosabb mindenkinél. Valaki mindenkit elvitt mindenhova.Valaki mindenkit elvitt mindenhova. Mindenki elvitt valakit valahova.Mindenki elvitt valakit valahova.

Univerzális és Univerzális és egzisztenciaállításokegzisztenciaállítások

F(x) nyitott mondatF(x) nyitott mondat

∃∃: egzisztenciális kvantor : egzisztenciális kvantor

→ ∃→ ∃x.F(x): egzisztenciális állításx.F(x): egzisztenciális állítás ∀∀: univerzális kvantor : univerzális kvantor

→ ∀→ ∀x.F(x): univerzális állításx.F(x): univerzális állítás

EgzisztenciaállításokEgzisztenciaállítások

Egzisztenciaállítás: Egzisztenciaállítás: ∃x.F(x) ∃x.F(x) Létezik páros szám: ∃x (x páros szám)Létezik páros szám: ∃x (x páros szám)

Egyéb esetek:Egyéb esetek: Van olyan F, amely G: ∃x [F(x) & G(x)]Van olyan F, amely G: ∃x [F(x) & G(x)]

Van olyan gomba, amelyik mérgező: ∃x (x gomba & x mérgező)Van olyan gomba, amelyik mérgező: ∃x (x gomba & x mérgező)

Van olyan F, amely nem G: ∃x [F(x) & ~G(x)]Van olyan F, amely nem G: ∃x [F(x) & ~G(x)] Van olyan madár, amelyik nem repül: ∃x [x madár & ~(x repül)]Van olyan madár, amelyik nem repül: ∃x [x madár & ~(x repül)]

Nincs olyan F, amely G: ~∃x [F(x) & G(x)]Nincs olyan F, amely G: ~∃x [F(x) & G(x)] Nincs olyan diák, aki megbukott. ⇔ Egyetlen diák sem bukott Nincs olyan diák, aki megbukott. ⇔ Egyetlen diák sem bukott

meg.meg. ~∃x [F(x) & G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ~∃x [F(x) & G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ⊃⊃ ~G(x)] ~G(x)]

Nincs olyan F, amely nem G: ~∃x [F(x) & ~G(x)]Nincs olyan F, amely nem G: ~∃x [F(x) & ~G(x)] Nincs olyan ló, amelyik nem négylábú. ⇔ Minden ló négylábú.Nincs olyan ló, amelyik nem négylábú. ⇔ Minden ló négylábú. ~∃x [F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ~∃x [F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ⊃⊃ G(x)] G(x)]

Univerzális állításokUniverzális állítások

Univerzális állítás: Univerzális állítás: ∀x.F(x) ∀x.F(x) Minden mozog: ∀x (x mozog)Minden mozog: ∀x (x mozog)

Egyéb esetek:Egyéb esetek: Minden, ami F, az G: ∀x [F(x) Minden, ami F, az G: ∀x [F(x) ⊃⊃ G(x)] G(x)]

Minden ló négylábú: ∀x (x ló Minden ló négylábú: ∀x (x ló ⊃⊃ x négylábú) x négylábú) A madarak tojásrakók: ∀x (x madár A madarak tojásrakók: ∀x (x madár ⊃⊃ x tojáslakó) x tojáslakó)

Feladat: Formalizáljuk az alábbi mondatokat!Feladat: Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Mindenki gyanús nekem, aki él.Mindenki gyanús nekem, aki él. Péter minden barátjának van gyereke. Péter minden barátjának van gyereke. Csilla vett valamit, de elcserélte azt valakivel valamire.Csilla vett valamit, de elcserélte azt valakivel valamire.

FeladatokFeladatok

Írjuk fel az alábbi állításokat univerzális illetve Írjuk fel az alábbi állításokat univerzális illetve egzisztenciális kvantorok segítségével.egzisztenciális kvantorok segítségével. Az oroszlánok nem növényevők.Az oroszlánok nem növényevők. Nincsen rózsa tövis nélkül.Nincsen rózsa tövis nélkül. Nem szeretem a karrieristákat.Nem szeretem a karrieristákat. A tantestület nem minden tagja osztályfőnök.A tantestület nem minden tagja osztályfőnök. Nem minden külsőség előítélet.Nem minden külsőség előítélet. Aki nem kockáztat, az visszavonul.Aki nem kockáztat, az visszavonul. Csak a bátrak nem vonulnak vissza.Csak a bátrak nem vonulnak vissza. Akinek nincs barátja, az szomorú.Akinek nincs barátja, az szomorú. A pályázók közül csak a kiskorúak nem feleltek A pályázók közül csak a kiskorúak nem feleltek

meg.meg.

Kategorikus állításokKategorikus állítások

Általános állító (Általános állító (aaffirmo): a ffirmo): a Minden, ami F, az G: Minden, ami F, az G: ∀x [F(x) ⊃ G(x)] ∀x [F(x) ⊃ G(x)]

Részleges állító (affRészleges állító (affiirmo): i rmo): i Van olyan F, ami G: Van olyan F, ami G: ∃x [F(x) & G(x)]∃x [F(x) & G(x)]

Általános tagadó (nÁltalános tagadó (neego): e go): e Egyetlen F sem G: Egyetlen F sem G: ∀x [F(x) ⊃ ~G(x)] ∀x [F(x) ⊃ ~G(x)]

Részleges tagadó (negRészleges tagadó (negoo): o): o Van olyan F, ami nem G: Van olyan F, ami nem G: ∃x [F(x) & ~G(x)]∃x [F(x) & ~G(x)]

A kategorikus állítások a negációra zárt rendszert A kategorikus állítások a negációra zárt rendszert alkotnak.alkotnak.

Az azonosságAz azonosság

Logikai funktorokLogikai funktorok mondatfunktorok: ~, &, mondatfunktorok: ~, &, ∨∨, , ⊃⊃, , ≡≡ kétargumentumú predikátum: = (akétargumentumú predikátum: = (azonosságpredikátumzonosságpredikátum))

Azonosságpredikátum: két név Azonosságpredikátum: két név →→ mondat mondat A Vénusz azonos az Esthajnalcsillaggal.A Vénusz azonos az Esthajnalcsillaggal. Vénusz = Esthajnalcsillag.Vénusz = Esthajnalcsillag. Általánosan: a = bÁltalánosan: a = b

a = b akkor és csak akkor igaz, ha a két név a = b akkor és csak akkor igaz, ha a két név – a és b – – a és b – egyazon individuumot jelöl.egyazon individuumot jelöl.

Az azonosságpredikátum faktuális értéke: az a kétváltozós Az azonosságpredikátum faktuális értéke: az a kétváltozós függvény, amely az 1 értéket rendeli az olyan függvény, amely az 1 értéket rendeli az olyan individuumpárokhoz, amelyek két tagja azonos, és a 0 individuumpárokhoz, amelyek két tagja azonos, és a 0 értéket a többiekhez.értéket a többiekhez.

Az azonosságpredikátum terjedelme: a tárgyalási univerzum Az azonosságpredikátum terjedelme: a tárgyalási univerzum azonos elemeiből alkotott párok.azonos elemeiből alkotott párok.

Mi a különbség az a = a ésMi a különbség az a = a és az a = b között? az a = b között?

a = a triviálisan igaz.a = a triviálisan igaz. a = b: két név ugyanazt a tárgyat jelöli.a = b: két név ugyanazt a tárgyat jelöli.

a = a: A Vénusz azonos a Vénusszal a = a: A Vénusz azonos a Vénusszal – – logikai okokból igaz.logikai okokból igaz.

a = b: A Vénusz azonos az a = b: A Vénusz azonos az Esthajnalcsillaggal Esthajnalcsillaggal –– csillagászati csillagászati megfigyelés.megfigyelés.

a = a és a = b akkor lenne azonos, ha a a = a és a = b akkor lenne azonos, ha a minden tárgynak csak egy neve lenne.minden tárgynak csak egy neve lenne.

Klasszikus elsőrendű logika Klasszikus elsőrendű logika

Logikai konstansok: ~, &, Logikai konstansok: ~, &, ∨, ⊃, ≡, ∀, ∨, ⊃, ≡, ∀, ∃, =∃, = Elég lenne: Elég lenne: ~, &~, &, ∀, =, ∀, =

PéldákPéldák

Dezső mindenkitől elbúcsúzott.Dezső mindenkitől elbúcsúzott. ∀∀x [(x ember & Dezső ≠ x) ⊃ Dezső elbúcsúzott x [(x ember & Dezső ≠ x) ⊃ Dezső elbúcsúzott

x-től]x-től]

Mária is énekel.Mária is énekel. Mária énekel & Mária énekel & ∃x [x énekel & x ≠ Mária]∃x [x énekel & x ≠ Mária]

Csak Mária énekel.Csak Mária énekel. Mária énekel & ~Mária énekel & ~∃x [x énekel & x ≠ Mária]∃x [x énekel & x ≠ Mária] Mária énekel & Mária énekel & ∀x [x énekel ⊃ x = Mária]∀x [x énekel ⊃ x = Mária] ∀∀x [x énekel ≡ x = Mária]x [x énekel ≡ x = Mária]

RelációkRelációk

A dolgok közötti relációkat A dolgok közötti relációkat kétargumentumú predikátummal fejezzük kétargumentumú predikátummal fejezzük ki.ki. pl. … magasabb, mint …, … anyja …-nak, … pl. … magasabb, mint …, … anyja …-nak, …

párhuzamos …-val, … merőleges …-velpárhuzamos …-val, … merőleges …-vel Jelölés: R(x,y), röviden: RxyJelölés: R(x,y), röviden: Rxy

Relációk tulajdonságai: Relációk tulajdonságai: tranzitivitástranzitivitás

R reláció tranzitív, ha R reláció tranzitív, ha ∀x.∀y.∀z [(Rxy & Ryz) ∀x.∀y.∀z [(Rxy & Ryz) ⊃⊃ Rxz] Rxz] pl. párhuzamos, magasabb, mintpl. párhuzamos, magasabb, mint

R reláció intranzitív, ha R reláció intranzitív, ha ∀x.∀y.∀z [(Rxy & Ryz) ∀x.∀y.∀z [(Rxy & Ryz) ⊃⊃ ~Rxz] ~Rxz] pl. anyjapl. anyja

Intranzitív (anyja) Intranzitív (anyja) ≠≠ nem tranzitív (merőleges, szereti) nem tranzitív (merőleges, szereti)

Relációk tulajdonságai: Relációk tulajdonságai: szimmetriaszimmetria

R reláció szimmetrikus, ha R reláció szimmetrikus, ha ∀x.∀y (Rxy ∀x.∀y (Rxy ⊃⊃ Ryx) Ryx) pl. testvére, rokona, párhuzamos, merőleges, azonospl. testvére, rokona, párhuzamos, merőleges, azonos

R reláció aszimmetrikus, ha R reláció aszimmetrikus, ha ∀x.∀y (Rxy ∀x.∀y (Rxy ⊃⊃ ~Ryx) ~Ryx) pl. anyja, őse, fiatalabb, kisebbpl. anyja, őse, fiatalabb, kisebb

Aszimmetrikus (fiatalabb) Aszimmetrikus (fiatalabb) ≠≠ nem szimmetrikus nem szimmetrikus (szereti)(szereti)

R reláció antiszimmetrikus, ha R reláció antiszimmetrikus, ha ∀x.∀y [(Rxy & Ryx) ∀x.∀y [(Rxy & Ryx) ⊃⊃ y=x] y=x] pl. kisebb vagy egyenlő (pl. kisebb vagy egyenlő (≤≤))

Relációk tulajdonságai: Relációk tulajdonságai: reflexivitásreflexivitás

R reláció reflexív, ha R reláció reflexív, ha ∀x.Rxx∀x.Rxx pl. azonos, egybevágó, osztójapl. azonos, egybevágó, osztója

R reláció irreflexív, ha R reláció irreflexív, ha ∀x[~Rxx]∀x[~Rxx] pl. anyja, öccse, felesége, kisebbpl. anyja, öccse, felesége, kisebb

Irreflexív (anyja) ≠ nem reflexív (szereti)Irreflexív (anyja) ≠ nem reflexív (szereti)

Ekvivalenciareláció és Ekvivalenciareláció és rendezésrendezés

R ekvivalenciareláció, ha reflexív, szimmetrikus és R ekvivalenciareláció, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív.tranzitív. pl. azonos, egybevágó, ugyanazon évben születettpl. azonos, egybevágó, ugyanazon évben született Partíció: az ekvivalenciareláció alosztályokra osztja fel a Partíció: az ekvivalenciareláció alosztályokra osztja fel a

tárgyalási univerzumot (pl. az azonos évjáratú személyek tárgyalási univerzumot (pl. az azonos évjáratú személyek alosztályaira). Két szélsőséges eset: alosztályaira). Két szélsőséges eset:

R: azonos R: azonos →→ Minden alosztály egyelemű. Minden alosztály egyelemű. U: a teremben levő diákok, R: évfolyamtárs U: a teremben levő diákok, R: évfolyamtárs →→ Csak egy Csak egy

alosztály van: U.alosztály van: U. Minden felosztás ekvivalenciareláció segítségével történik.Minden felosztás ekvivalenciareláció segítségével történik.

R gyenge rendezés, ha reflexív, antiszimmetrikus R gyenge rendezés, ha reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív.és tranzitív. pl. pl. kisebb vagy egyenlő (kisebb vagy egyenlő (≤≤))

R erős rendezés, ha irreflexív és tranzitív.R erős rendezés, ha irreflexív és tranzitív. pl. pl. kisebb (<), fiatalabbkisebb (<), fiatalabb

Kategorikus állításokKategorikus állítások

Kategorikus állítások (Arisztotelész, Kategorikus állítások (Arisztotelész, OrganonOrganon):): Általános állító (Általános állító (aaffirmo): ffirmo): ∀x(F ⊃ G)∀x(F ⊃ G) Részleges állító (affRészleges állító (affiirmo): rmo): ∃x(F & G)∃x(F & G) Általános tagadó (nÁltalános tagadó (neego): go): ∀x(F ⊃ ~G)∀x(F ⊃ ~G) Részleges tagadó (negRészleges tagadó (negoo): ): ∃x(F & ~G)∃x(F & ~G)

Terminológia:Terminológia: F: szubjektumF: szubjektum G: predikátumG: predikátum

A szillogizmusok A szillogizmusok osztályozásaosztályozása

Kategorikus szillogizmus:Kategorikus szillogizmus: a: ∀x(F ⊃ G): a: ∀x(F ⊃ G): felső tétel (maior)felső tétel (maior) a: ∀x(H ⊃ F): a: ∀x(H ⊃ F): alsó tétel (minor)alsó tétel (minor) BBaarbrbaarraa a: ∀x(H ⊃ G): zárótétela: ∀x(H ⊃ G): zárótétel

256 lehetőségből 24 érvényes szillogizmus: 256 lehetőségből 24 érvényes szillogizmus: Barbara, Celarent, Felapton …Barbara, Celarent, Felapton …

Középkori emlékeztető versike:Középkori emlékeztető versike: Barbara celarent darii ferio baraliptonBarbara celarent darii ferio baralipton

Celantes dabitis fapesmo frisesomorumCelantes dabitis fapesmo frisesomorumCesare campestres festino baroco; daraptiCesare campestres festino baroco; daraptiFelapton disamis datisi bocardo ferison. Felapton disamis datisi bocardo ferison.

Modális logikaModális logika

„„Szükségszerű, hogy minden gerincesnek van szíve.”Szükségszerű, hogy minden gerincesnek van szíve.” „„Lehetséges, hogy Anna lekéste a vonatot.”Lehetséges, hogy Anna lekéste a vonatot.” „„Esetleges, hogy holnap lesz tengeri csata.”Esetleges, hogy holnap lesz tengeri csata.” „„Lehetetlen, hogy senki sem látta a balesetet.”Lehetetlen, hogy senki sem látta a balesetet.”

⃞⃞p: szükségszerű, hogy pp: szükségszerű, hogy p ⃟⃟p: lehetséges, hogy pp: lehetséges, hogy p

~~ ⃞⃞p: esetleges, hogy pp: esetleges, hogy p ~~ ⃟⃟p: lehetetlen, hogy pp: lehetetlen, hogy p

⃟⃟p = ~p = ~ ⃞⃞~p: lehetséges = nem lehetetlen~p: lehetséges = nem lehetetlen ⃞⃞p = ~p = ~ ⃟⃟~p: szükségszerű = nem esetleges~p: szükségszerű = nem esetleges

Lehetséges világok Lehetséges világok szemantikájaszemantikája

Leibniz:Leibniz: „„számtalan világ van, amelyek közül az Istennek számtalan világ van, amelyek közül az Istennek

szükségképpen a legjobbat kellett kiválasztania”szükségképpen a legjobbat kellett kiválasztania”

Lehetséges világok: Lehetséges világok: @ v@ v11 v v22 … …

⃞⃞p: szükségszerű, hogy p,ha p minden világban igaz.p: szükségszerű, hogy p,ha p minden világban igaz. „„Öt meg hét szükségszerűen tizenkettő” = „Öt meg hét minden Öt meg hét szükségszerűen tizenkettő” = „Öt meg hét minden

világban tizenkettő”világban tizenkettő” ⃟⃟p: lehetséges, hogy p, ha van olyan világ, amelyikben p: lehetséges, hogy p, ha van olyan világ, amelyikben

p igaz.p igaz. „„Szókratész lehetett volna ostoba” = „Szókratész bölcs @-Szókratész lehetett volna ostoba” = „Szókratész bölcs @-

ban, de létezik egy v, ahol Szókratész ostoba”ban, de létezik egy v, ahol Szókratész ostoba”

De dictoDe dicto és és de rede re modalitás modalitás

de dicto:de dicto: a mondatról a mondatról A modális funktor zárt A modális funktor zárt

mondatra hat:mondatra hat: ∀⃞∀⃞ x (F(x) x (F(x) ⊃⊃ G(x)) G(x))

„„Szükségszerű, hogy Szükségszerű, hogy aki athéni, az athéni.”aki athéni, az athéni.” igazigaz

„„Szükségszerű, hogy a Szükségszerű, hogy a Naprendszerben a Naprendszerben a bolygók száma bolygók száma nagyobb, mint hét.”nagyobb, mint hét.” hamishamis

de re:de re: a dologról a dologról A modális funktor A modális funktor

nyitott mondatra hat:nyitott mondatra hat: ∀∀x (F(x) x (F(x) ⊃⊃ ⃞⃞G(x))G(x))

„„Aki athéni, az szükség-Aki athéni, az szükség-szerűen athéni.”szerűen athéni.” hamishamis

„„A Naprendszerben a A Naprendszerben a bolygók száma bolygók száma szükségszerűen szükségszerűen nagyobb, mint hét.”nagyobb, mint hét.” igazigaz

KontrafaktuálisokKontrafaktuálisok

A A □□→ B: ha A volna a helyzet, akkor B volna a → B: ha A volna a helyzet, akkor B volna a helyzethelyzet

„„Ha a kenguruknak nem lenne farkuk, hanyatt Ha a kenguruknak nem lenne farkuk, hanyatt esnének.” esnének.” → igaz→ igaz

„„Ha a nagymamámnak hat kereke volna, ő lenne a Ha a nagymamámnak hat kereke volna, ő lenne a villamos” → hamisvillamos” → hamis

Lehetséges világok: Lehetséges világok: @ v@ v11 v v22 … …

A A □□→ B igaz:→ B igaz: ha nem létezik olyan világ, amelyben A igaz (ha nem létezik olyan világ, amelyben A igaz (A A □□→ B → B

üresen igaz), vagyüresen igaz), vagy ha a legközelebbi olyan világ, amelyben A igaz, abban ha a legközelebbi olyan világ, amelyben A igaz, abban

B is igaz (B is igaz (A A □□→ B nem üresen igaz).→ B nem üresen igaz).

1. feladatsor1. feladatsor

1.1. Írjuk fel az alábbi mondat kvantifikációs szerkezetét!Írjuk fel az alábbi mondat kvantifikációs szerkezetét! Ha az ember mindent akar, semmit sem ér el.Ha az ember mindent akar, semmit sem ér el.

2.2. Írjuk fel az alábbi mondatot univerzális illetve Írjuk fel az alábbi mondatot univerzális illetve egzisztenciális kvantor használatával!egzisztenciális kvantor használatával!

Nem minden külsőség előítélet.Nem minden külsőség előítélet.

3.3. Formalizáljuk az alábbi mondatot!Formalizáljuk az alábbi mondatot! Vagy Dezsőhöz megyek feleségül, vagy senkihez.Vagy Dezsőhöz megyek feleségül, vagy senkihez.

4.4. Határozza meg az alábbi relációt reflexivitás, szimmetria Határozza meg az alábbi relációt reflexivitás, szimmetria és tranzitivitás szempontjából!és tranzitivitás szempontjából!

1.1. testvéretestvére2.2. elviszielviszi

2. feladatsor2. feladatsor

1.1. Fejezze ki az alábbi modális állítást a lehetséges Fejezze ki az alábbi modális állítást a lehetséges világok nyelvén!világok nyelvén!

Nem szükségszerűen fekszik Budapest a Duna partján.Nem szükségszerűen fekszik Budapest a Duna partján.

2.2. Keressük meg a predikátumot az alábbi Keressük meg a predikátumot az alábbi mondatban!mondatban!

Ez nem más, mint a rektor.Ez nem más, mint a rektor.

3.3. Igazoljuk, hogy (p Igazoljuk, hogy (p ⊃⊃ q) q) ⊃⊃ r és p r és p ⊃⊃ (q (q ⊃⊃ r) r) igazságértéke lehet különböző!igazságértéke lehet különböző!

4.4. Igaz-e az alábbi következtetés?Igaz-e az alábbi következtetés?1.1. {p & ~q, ~p {p & ~q, ~p ∨∨ q} q} ⇒⇒ p p ∨∨ q q

3. feladatsor3. feladatsor

1.1. Milyen típusú funktorokat tartalmaznak az alábbi mondatok?Milyen típusú funktorokat tartalmaznak az alábbi mondatok? Lehetséges, hogyLehetséges, hogy esni fog. esni fog. Mária Mária egyetemistaegyetemista..

2.2. Melyek a szabad és melyek a kötött változók az alábbi Melyek a szabad és melyek a kötött változók az alábbi formulában?formulában?

∀∀x∀y [F(x,y,z) & ∃z(G(z,x)) &x∀y [F(x,y,z) & ∃z(G(z,x)) & ∃z(G∃z(G(y,x))](y,x))]

Igazoljuk, hogy p Igazoljuk, hogy p ≡≡ q q ⇔ (p ⊃⇔ (p ⊃ q) & (q ⊃q) & (q ⊃ p)p)!!

1.1. Formalizáljuk az alábbi mondatokat, és vizsgáljuk meg az Formalizáljuk az alábbi mondatokat, és vizsgáljuk meg az alábbi következtetést!alábbi következtetést!

Ha nem lesz prémium, Brúnó dühös lesz és kilép.Ha nem lesz prémium, Brúnó dühös lesz és kilép. Ha Brúnó összevész a főnökkel és kilép, Zénó is felmond.Ha Brúnó összevész a főnökkel és kilép, Zénó is felmond. Nem lesz prémium, és Brúnó összevész a főnökkel.Nem lesz prémium, és Brúnó összevész a főnökkel. Zénó felmond.Zénó felmond.

4. feladatsor4. feladatsor

1.1. Írjuk fel az alábbi mondatot univerzális illetve Írjuk fel az alábbi mondatot univerzális illetve egzisztenciális kvantor használatával!egzisztenciális kvantor használatával!

A pályázók közül csak a kiskorúak nem feleltek meg.A pályázók közül csak a kiskorúak nem feleltek meg.

2.2. Készítsük el az alábbi formula analitikus Készítsük el az alábbi formula analitikus táblázatát!táblázatát!

[p ⊃[p ⊃ (p (p ⊃⊃ r r)] & (p ⊃ q) & p & ~r)] & (p ⊃ q) & p & ~r

Igazoljuk, hogy p Igazoljuk, hogy p ≡≡ q q ⇔⇔ (p & (p & q) v (~p & ~q) q) v (~p & ~q)

Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést!Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést! Ha logikát vagy pedagógiát tanulsz, filozófiát is tanulsz.Ha logikát vagy pedagógiát tanulsz, filozófiát is tanulsz. Ha filozófiát tanulsz, nem tanulsz pedagógiát.Ha filozófiát tanulsz, nem tanulsz pedagógiát. Logikát tanulsz, de pedagógiát nem.Logikát tanulsz, de pedagógiát nem.

5. feladatsor5. feladatsor

1.1. Az alábbi predikátumok közül melyek adnak Az alábbi predikátumok közül melyek adnak mindigmindig más más igazságértéket, ha argumentumaikat felcseréljük?igazságértéket, ha argumentumaikat felcseréljük?

… … testvére …-nak; … megszökteti …-t; … alacsonyabb, mint …; … testvére …-nak; … megszökteti …-t; … alacsonyabb, mint …; … anyja …-nakanyja …-nak

2.2. Írja fel az alábbi állítás logikai szerkezetét!Írja fel az alábbi állítás logikai szerkezetét! Nincs olyan sielő, aki ne szeretné a havat.Nincs olyan sielő, aki ne szeretné a havat.

3.3. Vizsgáljuk meg igazságtáblázattal, hogy helyes-e az alábbi Vizsgáljuk meg igazságtáblázattal, hogy helyes-e az alábbi következtetés!következtetés!

Ha a jelzőlámpa ég, és a páratartalom normális, akkor a készülék Ha a jelzőlámpa ég, és a páratartalom normális, akkor a készülék működik.működik.

A jelzőlámpa ég, ám a készülék nem működik.A jelzőlámpa ég, ám a készülék nem működik. A páratartalom nem normális.A páratartalom nem normális.

4.4. Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést!Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést! Ha Péter zenét hallgat, a szomszédok őrjöngenek, mindenki Ha Péter zenét hallgat, a szomszédok őrjöngenek, mindenki

mindenkivel összevész.mindenkivel összevész. Ha Péter zenét hallgat, mindenki mindenkivel összevész.Ha Péter zenét hallgat, mindenki mindenkivel összevész.

6. feladatsor6. feladatsor

1.1. Írjuk fel az alábbi állítások szerkezetét kifejező formulákat!Írjuk fel az alábbi állítások szerkezetét kifejező formulákat! Ha elalszom, nem kapok várakozás nélkül reggelit. Ha elalszom, nem kapok várakozás nélkül reggelit. Ha nem alszom el, akkor várakozás nélkül kapok reggelit, és meg is Ha nem alszom el, akkor várakozás nélkül kapok reggelit, és meg is

érkezem nyolc órára.érkezem nyolc órára. Ha várakozás nélkül kapok reggelit, akkor Ha várakozás nélkül kapok reggelit, akkor – – feltéve, hogy nem alszom feltéve, hogy nem alszom

el el – – nyolc órára megérkezem.nyolc órára megérkezem.

2.2. Igazoljuk, hogy (p Igazoljuk, hogy (p ∨∨ q) q) ∨∨ r r ⇔ p ∨⇔ p ∨ ( (q ∨ r)!q ∨ r)!

Írjuk fel az alábbi állítás logikai szerkezetét!Írjuk fel az alábbi állítás logikai szerkezetét! Néger eszkimók nincsenek.Néger eszkimók nincsenek.

Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést!Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést! Ha a mama elzárta a macskát, akkor a tejfelnyaló gyermek volt, és Ha a mama elzárta a macskát, akkor a tejfelnyaló gyermek volt, és

fölmászott a polcra.fölmászott a polcra. Ha a tejfelnyaló fölmászott a polcra, és elhagyta a papucsát, csak Ha a tejfelnyaló fölmászott a polcra, és elhagyta a papucsát, csak

Ancsa lehetett.Ancsa lehetett. Mama elzárta a macskát, és a tejfelnyaló elhagyta a papucsát.Mama elzárta a macskát, és a tejfelnyaló elhagyta a papucsát. A tejfelnyaló csak Ancsa lehetett.A tejfelnyaló csak Ancsa lehetett.