Logika Stosowana - Wykład 2 - Logika modalna Czesc 1

Logika StosowanaWykład 2 - Logika modalna

Część 1

Marcin Szczuka

Instytut Matematyki UW

Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018

Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 28

Plan wykładu

1 Język logiki modalnej

2 Semantyka stukturalna, modalna konsekwencjaModele KripkegoSemantyka modalna

3 Przykład

4 Trzy relacje spełnialnościWłasności relacji spełnialności


Modalność (Modality) (za Wikipedią)

In linguistics, modals are expressions broadly associated with notions ofpossibility and necessity. Modals have a wide variety of interpretationswhich depend not only upon the particular modal used, but also upon wherethe modal occurs in a sentence, the meaning of the sentence independentof the modal, the conversational context, and a variety of other factors. Forexample, the interpretation of an English sentence containing the modal“must” can be that of a statement of inference or knowledge (roughly,epistemic) or a statement of how something ought to be (roughly, deontic).The following pair of examples illustrate the interpretative difference:

1 John didn’t show up for work. He must be sick.2 John didn’t show up for work. He must be fired.

Modal logic is a type of formal logic that extends the standards of formallogic to include the elements of modality (for example, possibility andnecessity). Traditionally, there are three “modes” or “moods” or “modalities”represented by modal logic, namely, possibility, probability, and necessity.


Logiki modalne (za Wikipedią)

Logika modalna, obok klasycznych spójników logicznych, posiada funktorymodalne. Funktor modalny jest to funkcja, która przypisuje wartościlogiczne termom, które same mogą zawierać funktory modalne. Cechącharakterystyczną funktorów modalnych jest fakt, że nie są ekstensjonalne,czyli funktor może przyporządkowywać inną wartość dwóm równoważnymzdaniom. Najczęściej spotykane, klasyczne operatory modalne tokonieczność i możliwość.Logika modalna uprawiana była już przez Arystotelesa jako sylogistyka zdańmodalnych. Ten bardzo rozwinięty w logice średniowiecznej system byłbardzo zbliżony do sylogistyki zdań asertorycznych, z tą różnicą, żeprzynajmniej jedna przesłanka każdego sylogizmu musiała być zdaniemmodalnym, tj. problematycznym (zawierającym funktor możliwości) lubapodyktycznym (zawierającym funktor konieczności).Niekiedy termin “logika modalna” rozumie się szerzej, włączając w jegoobręb takie podejścia jak: logiki epistemiczne, logiki temporalne, logikideontyczne i logiki programów.


Język logiki modalnej

Język (zdaniowej) logiki modalnej jest rozszerzeniem języka rachunku zdań.Dodajemy zestaw unarnych operatorów modalnych. Początkowo w logikachmodalnych rozpatrywano tylko jeden taki operator, � (i dualny do niego♦). Wygodniej jest od razu wprowadzać rodzinę operatorów �i

etykietowanych elementami zbioru I (i ∈ I), nazywanego sygnaturą.

Język logiki modalnej nad sygnaturą I tworzą:Zbiór zmiennych zdaniowych V AR = {p, q, r, ...}Spójniki rachunku zdań:

¬,∨,>,⊥,→,∧

Rodzina spójników modalnych

{�i : i ∈ I}

wraz z nawiasami ’(’ i ’)’ do określenia kolejności obliczeń.


Formuły modalne

Formuły w języku modalnym nad sygnaturą I są definiowane rekurencyjnienastępująco:

[Formuły atomowe:] Zmienne zdaniowe ze zbioruV AR = {p, q, r, ...} oraz >,⊥ są formułami.[Formuły zdaniowe:] Jeśli φ i ψ są formułami, to

¬φ, (φ ∨ ψ), (φ ∧ ψ), (φ→ ψ)

są formułami.[Formuły modalne:] Jeśli φ jest formułą, to

�iφ

dla każdej etykiety i ∈ I też jest formułą.Zbiór wszystkich formuł (w tym modalnych) ponownie oznaczamy przezFORM .Przykładem formuły modalnej jest

�1((p ∧ q) ∨�2¬p)→ p


Systemy modalne

Pierwsze badania nad logiką modalną dotyczą języka z jednym spójnikiem.Wówczas formuła �φ może być różnie interpretowana np.:

Koniecznie, że φ zachodziWiadomo, że φ...

Operator modalny może być traktowany jako kwantyfikator ogólny.Możemy wprowadzić dodatkowy operator analogiczny do kwantyfikatoraszczególnego ♦i przez:

♦iφ =def ¬�i¬φ

który może być czytany: możliwe, że φ zachodzi.Przykładem binarnej logiki modalnej jest logika temporalna, która ma dwaoperatory modalne: � oraz �. Mogą być one interpretowane jakooperatory temporalne, tzn. formuła �φ jest czytana jako “φ zajdzie wprzyszłości” a formuła �φ jest czytana jako “φ zaszło w przeszłości” .


Wyróżnione formuły modalne

Pewne rodziny formuł mają szczególne znaczenie w logice modalnej.Przyjmujemy te oznaczenia z pewnych historycznych powodów. Są to:

D(φ) : �φ→ ♦φT(φ) : �φ→ φB(φ) : φ→ �♦φ4(φ) : �φ→ ��φ5(φ) : ♦φ→ �♦φP(φ) : φ→ �φQ(φ) : ♦φ→ �φR(φ) : ��φ→ �φG(φ) : ♦�φ→ �♦φL(φ) : �T(φ)→ �φM(φ) : �♦φ→ ♦�φ

Ponadto wyróżniamy regułę rozdzielności konieczności względem implikacji

K(φ, θ) : �(φ→ θ)⇒ (�φ→ �θ)


Plan wykładu



3 Przykład



Plan wykładu



3 Przykład



Struktury relacyjne, stany, przejścia

W logice zdaniowej do zbudowania semantyki wystarczał zbiórdwuelementowy B = {0, 1}. Przypadek modalny jest bardziej zagmatwany,gdyż musimy odzwierciedlić modalność, czyli określać znaczenie formuł tak,by odpowiadało to wykorzystaniu operatorów modalnych.Dopiero w latach 1960. Saul Kripke spopularyzował wykorzystanieskierowanych struktur relacyjnych (grafów skierowanych) jako modelu dlasystemów logiki modalnej. Podejście Kripkego pozwoliło na znacznieefektywniejsze i bardziej przejrzyste interpretowanie logiki modalnej. Dotego stopnia, że przekształcił logiki modalne w dziedzinę zajmująca siębadaniem i opisywaniem struktur za pomocą języka formuł (modalnych).

Definicja – model KripkegoModelem Kripkego nazywamy parę K = 〈Γ, val〉, gdzie Γ = (W,E) jestskierowanym grafem określającym relację przejścia między stanami (lubświatami) ze zbioru W , a val : W × V AR→ {0, 1} jest wartościowaniem.


Plan wykładu



3 Przykład



Semantyka strukturalna

Semantyka formuły φ w modelu K i w stanie q ∈W jest definiowana przezrelację (K, val, s) |= φ pomiędzy:

modelem Awartościowaniem val

stanem s (element struktury K)formułą modalną φ.

Jeśli model K jest ustalony, to będziemy pisali s |= φ dla uproszczenia.Semantyka, podobnie jak w przypadku zdaniowym, będzie określana jakofunkcja przypisująca formule jej wartość logiczną. Tym razem jednak,funckcja ta będzie będzie zależała także od stanu (wierzchołka, miejsca,swiata) w strukturze relacyjnej (grafie).W dalszej części będzie nam potrzebne pojęcie osiągalności. Stan(wierzchołek) q ∈W jest osiągalny ze stanu s ∈W jeśli −→sq ∈ E. PrzezR(s) oznaczymy zbiór wszystkich stanów w W osiągalnych ze stanu(wierzchołka) s.


Semantyka strukturalna – definicja

Dla każdego stanu s ∈W , definiujemy przez indukcję względem konstrukcjiformuły φ funkcję [[.]]s : FORM → {0, 1} taką, że:

(Const) [[>]]s = 1; [[⊥]]s = 0(Var) dla zmiennych p ∈ V AR

[[p]]s = val(s, p)

(¬) dla dowolnej formuły φ ∈ FORM[[¬φ]]s = 1− [[φ]]s

(∗) dla dowolnych formuł φ, ψ ∈ FORM[[φ ∗ ψ]]s = [[φ]]s ∗ [[ψ]]s

gdzie ∗ jest dowolnym operatorem logicznym (∨,∧,⇒, . . .)(�) dla dowolnej formuły φ ∈ FORM

[[�φ]]s =∏

s′∈R(s)

[[φ]]s′

gdzie R(s) jest zbiorem stanów osiągalnych ze stanu s.Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 14 / 28

Modalna konsekwencja logiczna(semantyczna)

Modalna relacja konsekwencji logicznejRelacja s |= φ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy [[φ]]s = 1.

Formalnie, relacja K, val, s |= φ jest odczytywana jako “s wymusza φ”.Możemy również rozumieć to jako:

φ jest spełniona w modelu (K, val, s);φ jest prawdziwa w stanie s;

Łatwo można się przekonać, że zachodzi następujące twierdzenie:

Jeśli formuła φ jest tautologią rachunku zdań, to φ jest spełniona wewszystkich stanach modelu Kripke’go.


Plan wykładu



3 Przykład



Przykład - semantyka formuły modalnej

Załóżmy, że V AR = {p}.Rozpatrzmy prosty model Kripke’go o (4) stanach {a, b, c, d} i osiągalnościzadanej przez graf poniżej:

��

�� 6

-@

@@@

@@I

-

?d c

a b


Przykład – wartościowanie

Rozpatrzmy następujące wartościowanie:

val(a, p) = val(c, p) = 1;

val(b, p) = val(d, p) = 0;

Bezpośrednio z tego wartościowania mamy:

a |= p b |= ¬p c |= p d |= ¬p

Dalej, z grafu mamy:

R(a) = {b}, R(b) = {c}, R(c) = {a}, R(d) = {a, c}

Stąd prawdziwość semantyczna zachodzi dla następujących formuł:

a |= �¬p b |= �p d |= �p


Przykład c.d.

Możemy teraz przerysować przykładowy graf razem z formułamiprawdziwymi semantycznie w odpowiednich wierzchołkach:

��

�� 6

-@

@@@

@@I

-

?d c

a b

¬p,�p p,�p

p,�¬p ¬p,�p


Przykład - formuły z podwójną modalnością

Rozpatrzmy formuły o dwóch operatorach modalnych. Zauważmy, że:

a |= ��p b |= ��p c |= ��¬p

Ponadto stan d jest bardzo interesujący, gdyż startując z niego można dojśćdo wszystkich innych stanów następująco:

��

@@@R

d

a - b - c - a . . .

c - a - b - c . . .


Przykład c.d.

Dla stanu d mamy:

d |= �p d |= ¬�2p d |= ¬�3p d |= �4p itd...

Dla stanu a mamy zaś tylko jedną ścieżkę o długości 3:

a - b - c - a

Zatem dla każdej formuły φ:

a |= �3φ ⇔ a |= φ

czylia |= (�3φ↔ φ)

Z tego samego powodu, formuła (�3φ↔ φ) jest pradziwa w stanach b i c.Stąd możemy pokazać, że

d |= (�4φ↔ �φ)


Operator modalny ♦

Stwierdzenie – semantyka ♦Niech (K, val) będzie modelem Kripke’go. Wówczas

a |= ♦φ ⇔ (∃x ∈ R(a))[x |= φ]

Dowód:

a |= ♦φ ⇔ a |= ¬�¬φ⇔ ¬[a |= �¬φ]

⇔ ¬(∀x ∈ R(a))[x |= ¬φ]

⇔ (∃x ∈ R(a))¬[x |= ¬φ]

⇔ (∃x ∈ R(a))[x |= φ]


Plan wykładu



3 Przykład



Trzy relacje spełnialności

W odróżnieniu od przypadku zdaniowego, w systemach modalnychwprowadzimy nie jedną, a aż trzy różne relacje spełnialności:

|=p |=v |=u

Są one zdefiniowane następująco:Relacja punktowa |=p jest po prostu relacją |= z poprzedniej sekcji.Relacja ’|=p’ oznacza model punktowy (stanowy) z wartościowaniem.Relacja |=v jest stosowana dla modeli z wartościowaniem. Jest onadefiniowana z relacji punktowej poprzez uogólnienia stanów, czyli

K, val |=v φ ⇔ (∀s ∈W ) {K, val, s |= φ}

Relację |=u nazywamy spełnialnością strukturalną, gdyż jest onadefiniowana z relacji |=v następująco

K |=u φ ⇔ (∀val) {K, val |=v φ}


Przykład – trzy relacje

Wróćmy do modelu Kripkego wykorzystanego we wcześniejszymprzykładzie.

Zachodzi dla niego:K, val |=v P → �3P

ale (np. dla wartościowania val(P, {a, b, c, d} = {0, 0, 0, 1})) mamy

nieprawda, że K |=u ¬P → �3P

Za to relacja spełnialności strukturalnej zachodzi dla

K |=u �4P ↔ �P


Plan wykładu



3 Przykład



Własności spełnialności strukturalnej

Jeżeli dana struktura relacyjna (graf) K = (W,E) jest odpowiednio:1 zwrotna (reflexive)2 przechodnia (transitive)3 dyskretna (pathetic)4 gęsta (dense)

to, w każdej sytuacji następujące formuły1 �φ→ φ

2 �φ→ �2φ

3 φ→ �φ4 �2φ→ �φ

są odpowiednio spełnialne w K (w relacji |=u)


Rodzaje relacji

Relacja gęstaRelacja binarna R jest gęsta jeśli dla każdej pary (x, y) ∈ R- istnieje ztakie, że (x, z) ∈ R i (z, y) ∈ R.Formalnie:

∀x ∀y xRy ⇒ (∃z xRz ∧ zRy).

Przykładowo, ostry porządek częściowy � jest porządkiem gęstym wtedy itylko wtedy gdy � jest relacją gęstą.


Documents

Logika Stosowana - Wykład 2 - Logika modalna Czesc 1