Embed Size (px)
Citation preview
1
2
MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN ................................................................... 12
1.1. Khái niệm...................................................................................................................... 12
1.1.1. Nhiệm vụ của môn học ......................................................................................... 12
1.1.2. Đối tượng của môn học......................................................................................... 12
1.1.3. Các giả thiết cơ bản và nguyên lý độc lập tác dụng của lực ................................. 13
1.1.4. Nguyên lý độc lập tác dụng của lực...................................................................... 14
1.2. Ngoại lực, nội lực ......................................................................................................... 15
1.2.1. Ngoại lực, liên kết và phản lực liên kết : .............................................................. 15
1.2.2. Nội lực : ................................................................................................................ 16
1.3. Ứng suất........................................................................................................................ 18
1.3.1. Định nghĩa về ứng suất ......................................................................................... 18
1.3.2. Quy ước dấu của ứng suất..................................................................................... 19
1.4. Liên hệ giữa ngoại lực, nội lực và ứng suất.................................................................. 19
1.4.1. Mối liên hệ giữa ngoại lực và nội lực ................................................................... 19
1.4.2. Mối liên hệ giữa nội lực và ứng suất..................................................................... 20
1.5. Khái niệm về biến dạng ................................................................................................ 21
CHƯƠNG 2: KÉO VÀ NÉN ĐÚNG TÂM .......................................................................... 22
2.1. Khái niệm...................................................................................................................... 22
2.2. Nội lực .......................................................................................................................... 22
2.3. ứng suất......................................................................................................................... 23
2.3.1. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang......................................................................... 23
2.3.2. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng .............................................................................. 25
2.4. Biến dạng ...................................................................................................................... 26
2.4.1. Khái niệm về biến dạng kéo, nén.......................................................................... 26
3
2.4.2. Biến dạng dọc ....................................................................................................... 26
2.4.3. Biến dạng ngang và hệ số Poat-xông (Poisson):................................................... 27
2.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu ....................................................................................... 28
2.5.1. Thí nghiệm kéo ..................................................................................................... 28
2.5.2. Thí nghiệm nén vật liệu ........................................................................................ 31
2.5.3. Một số yếu tố ảnh hưởng đến các đặc trưng cơ học của vật liệu .......................... 32
2.6. Điều kiện bền và ứng suất cho phép............................................................................. 34
2.6.1. Điều kiện bền ........................................................................................................ 34
2.6.2. Ứng suất cho phép và hệ số an toàn...................................................................... 34
2.6.3. Ba loại bài toán từ điều kiện bền........................................................................... 35
2.7. Tính thanh chịu kéo (nén) có kể đến trọng lượng bản thân .......................................... 38
2.8. Thế năng biến dạng đàn hồi.......................................................................................... 40
2.9. Bài toán siêu tĩnh về kéo (nén) ..................................................................................... 41
BÀI TẬP.................................................................................................................................. 44
CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT........................................................................... 56
3.1. Khái niệm...................................................................................................................... 56
3.2. Trạng thái ứng suất phẳng ............................................................................................ 58
3.2.1. Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp giải tích ..................... 58
3.2.2. Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp đồ thị -....................... 62
3.3. Trạng thái ứng suất khối ............................................................................................... 67
3.3.1. Các vòng Mo ứng suất .......................................................................................... 67
3.3.2. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke. ....................................... 68
3.4. Thế năng biến dạng đàn hồi.......................................................................................... 71
BÀI TẬP.................................................................................................................................. 73
4
CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT BỀN.......................................................................................... 80
4.1. Khái niệm...................................................................................................................... 80
4.2. Lý thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất........................................................................... 81
4.3. Lý thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất ........................................................... 82
4.4. Lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ............................................................................ 82
4.5. Lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng................................................................... 83
4.6. Lý thuyết bền Mo.......................................................................................................... 83
4.7. Ví dụ ............................................................................................................................. 87
BÀI TẬP.................................................................................................................................. 90
CHƯƠNG 5: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG............................... 92
5.1. Khái niệm...................................................................................................................... 92
5.2. Mô men tĩnh và mô men quán tính............................................................................... 92
5.2.1. Mômen tĩnh:.......................................................................................................... 92
5.2.2. Mômen quán tính đối với một trục ....................................................................... 93
5.2.3. Mômen quán tính cực (hay mômen quán tính đối với gốc toạ độ). ...................... 94
5.2.4. Mômen quán tính ly tâm. ...................................................................................... 94
5.3. Mô men quán tính của một số hình đơn giản ............................................................... 95
5.3.1. Hình chữ nhật........................................................................................................ 95
5.3.2. Hình tam giác........................................................................................................ 96
5.3.3. Hình tròn. .............................................................................................................. 96
5.4. Công thức chuyển trục song song của mô men quán tính ............................................ 98
5.5. Công thức xoay trục của mô men quán tính – Cách xác định hệ trục quán tính chính............................................................................................................................................. 99
5.6. Trình tự giải bài toán xác định mô men quán tính chính trung tâm của hình phẳng có ít nhất một trục đối xứng ................................................................................................... 105
5
BÀI TẬP................................................................................................................................ 108
CHƯƠNG 6: XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG ................................................... 112
6.1. Khái niệm về thanh tròn chịu xoắn............................................................................. 112
6.1.1. Định nghĩa:.......................................................................................................... 112
6.1.2. Biểu đồ nội lực mô men xoắn ............................................................................. 112
6.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn............................................... 113
6.2.1. Quan sát thí nghiệm: ........................................................................................... 113
6.2.2. Các giả thiết: ....................................................................................................... 114
6.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang ............................................................................... 114
6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn ........................................................................... 116
6.4. Tính thanh tròn chịu xoắn........................................................................................... 117
6.4.1. Điều kiện bền: ..................................................................................................... 117
6.4.2. Điều kiện cứng.................................................................................................... 118
6.5. Thanh siêu tĩnh chịu xoắn........................................................................................... 119
6.6. Tính lò xo hình trụ bước ngắn .................................................................................... 120
6.6.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang dây lò xo ............................................................... 120
6.6.2. Độ cứng của lò xo ............................................................................................... 121
6.7. Xoắn thanh mặt cắt chữ nhật ...................................................................................... 121
6.7.1. Quan sát thí nghiệm: ........................................................................................... 121
BÀI TẬP................................................................................................................................ 122
CHƯƠNG 7: UỐN PHẲNG................................................................................................ 130
7.1. Khái niệm về dầm chịu uốn phẳng ............................................................................ 130
7.2. Nội lực và biểu đồ nội lực trong dầm chịu uốn phẳng .............................................. 131
7.2.1. Phương pháp xác định các thành phần nội lực Mx và Qy.................................... 131
7.2.2. Biểu đồ nội lực.................................................................................................... 132
6
7.2.3. Các ví dụ ............................................................................................................. 133
7.2.4. Mối liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng phân bố ........................................ 138
7.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng .............................. 143
7.3.1. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang ............................................................. 143
7.3.2 Biểu đồ ứng suất pháp σz ..................................................................................... 146
7.3.3. Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn thuần tuý phẳng ............................................... 147
7.4. Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng .................................. 149
7.4.1. Công thức tính ứng suất pháp ............................................................................ 150
7.4.2. Công thức tính ứng suất tiếp (công thức Ju-ráp-xki) ......................................... 150
7.5. Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn ngang phẳng ...................................................... 154
7.6. Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang của dầm chịu uốn .......................................... 157
7.7. Trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn ngang phẳng ....................................... 159
7.8. Khái niệm về tâm uốn............................................................................................. 161
7.9. Khái niệm về dầm chống uốn đều ......................................................................... 162
BÀI TẬP................................................................................................................................ 164
CHƯƠNG 8: CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN........................................................ 173
8.1. Khái niệm về chuyển vị của dầm chịu uốn................................................................. 173
8.2. Phương trình vi phân trục võng của dầm chịu uốn..................................................... 173
8.3. Các phương pháp xác định chuyển vị của dầm .......................................................... 175
8.3.1. Phương pháp tích phân trực tiếp ( hay phương pháp tích phân bất định) .......... 175
8.3.2. Phương pháp thông số ban đầu ........................................................................... 178
8.3.3. Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo) ...................................... 185
8.4. Một số ứng dụng về chuyển vị của dầm chịu uốn ...................................................... 190
8.4.1. Bài toán về độ cứng của dầm chịu uốn ............................................................... 190
7
8.4.2. Tính toán dầm siêu tĩnh...................................................................................... 192
BÀI TẬP................................................................................................................................ 194
CHƯƠNG 9: DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI....................................................................... 199
9.1. Khái niệm và các giả thuyết về nền ............................................................................ 199
9.2. Tính dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết Winkler ................................................... 204
9.2.1. Phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi ................................................. 204
9.2.2. Lời giải tổng quát của bài toán dầm trên nền đàn hồi......................................... 205
9.3. Bài toán dầm dài vô hạn ............................................................................................. 206
9.4. Bài toán dầm dài bán vô hạn....................................................................................... 210
9.5. Bài toán dầm dài hữu hạn ........................................................................................... 211
BÀI TẬP................................................................................................................................ 218
CHƯƠNG 10:TRƯỜNG HỢP CHỊU LỰC PHỨC TẠP................................................. 220
10.1. Khái niệm và phân loại bài toán ............................................................................... 220
10.2. Bài toán uốn xiên ...................................................................................................... 221
10.2.1. Định nghĩa và nhận dạng bài toán..................................................................... 221
10.2.2. Xác định các thành phần nội lực Mx và My ...................................................... 222
10.2.3. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang ........................................................... 223
10.2.4. Điều kiện bền của thanh chịu uốn xiên............................................................. 226
10.3. Bài toán uốn và kéo (nén) đồng thời........................................................................ 229
10.3.1. Định nghĩa và nhận dạng bài toán..................................................................... 229
10.3.2. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang ........................................................... 230
10.3.3. Điều kiện bền của thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời ............................... 233
10.3.4. Lõi của mặt cắt ngang ....................................................................................... 238
10.4. Bài toán uốn và xoắn đồng thời ................................................................................ 240
10.4.1. Định nghĩa......................................................................................................... 240
8
10.4.2. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang ........................................................... 241
10.5. Bài toán chịu lực tổng quát ....................................................................................... 247
BÀI TẬP................................................................................................................................ 247
CHƯƠNG 11: THANH CONG PHẲNG ........................................................................... 254
11.1. Khái niệm về thanh cong phẳng ............................................................................... 254
11.2. Nội lực và biểu đồ nội lực trong thanh cong phẳng.................................................. 254
11.3. Thanh cong chịu kéo (nén) thuần túy ...................................................................... 257
11.3.1. Định nghĩa:........................................................................................................ 257
11.3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang ............................................................................. 258
11.4. Thanh cong chịu uốn thuần túy phẳng..................................................................... 259
11.4.1. Định nghĩa......................................................................................................... 259
11.4.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang ............................................................................. 259
11.4.3. Xác định vị trí trục trung hoà trên mặt cắt ngang của thanh cong chịu uốn thuần tuý ................................................................................................................................. 262
11.5. Thanh cong chịu lực phức tạp.................................................................................. 264
11.5.1. Định nghĩa:........................................................................................................ 264
11.5.2. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang ........................................................... 264
11.5.3. Kiểm tra bền...................................................................................................... 264
BÀI TẬP................................................................................................................................ 268
CHƯƠNG 12: ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM ............................... 270
12.1. Khái niệm.................................................................................................................. 270
12.2. Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm - (bài toán Ơle 1774) ................ 271
12.3. Giới hạn áp dụng công thức Ơle ............................................................................... 274
12.4. Tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm ngoài miền đàn hồi............................... 275
12.5.Tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm theo phương pháp thực hành................. 277
9
12.6. Chọn hình dáng mặt cắt hợp lý và vật liệu ............................................................... 280
12.7. Uốn ngang và uốn dọc đồng thời.............................................................................. 282
BÀI TẬP................................................................................................................................ 285
CHƯƠNG 13: TẢI TRỌNG ĐỘNG .................................................................................. 291
13.1. Mở đầu...................................................................................................................... 291
13.2. Tính thanh chuyển động thẳng với gia tốc không đổi .............................................. 291
13.3. Những khái niệm cơ bản về lý thuyết dao động ...................................................... 292
13.4. Dao động tự do của hệ đàn hồi một bậc tự do ......................................................... 293
13.4.1. Dao động tự do không có lực cản .................................................................... 293
13.4.2. Dao động tự do có lực cản ............................................................................... 294
13. 5. Dao động cưỡng bức của hệ đàn hồi một bậc tự do - Hiện tượng cộng hưởng....... 296
13.6. Va chạm thẳng đứng vào hệ đàn hồi một bậc tự do ................................................. 300
13.7. Va chạm ngang vào hệ đàn hồi một bậc tự do......................................................... 303
BÀI TẬP................................................................................................................................ 305
CHƯƠNG 14: TÍNH ĐỘ BỀN KHI ỨNG SUẤT THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN..... 312
14.1. Khái niệm................................................................................................................. 312
14.2. Giới hạn mỏi và biểu đồ giới hạn mỏi ...................................................................... 314
14.2.1. Giới hạn mỏi của chu trình đối xứng ................................................................ 314
14.2.2. Biểu đồ giới hạn mỏi......................................................................................... 315
14.3. Các nhân tố chính ảnh hưởng tới giới hạn mỏi......................................................... 317
14.3.1. Ảnh hưởng của sự tập trung ứng suất. .............................................................. 317
14.3.2. Ảnh hưởng của kích thước chi tiết................................................................... 320
14.3.3. Ảnh hưởng của tình trạng bề mặt...................................................................... 320
14.4. Cách tính về độ bền mỏi ........................................................................................... 321
10
14.4.1. Trường hợp kéo, nén, uốn, xoắn thuần tuý ....................................................... 321
14.4.2. Trường hợp uốn và xoắn biến đổi đồng thời .................................................... 323
14.5. Ví dụ ......................................................................................................................... 323
BÀI TẬP................................................................................................................................ 328
15.1. Ý nghĩa của việc nghiên cứu bằng thực nghiệm...................................................... 330
15.2. Nguyên tắc và dụng cụ đo biến dạng....................................................................... 331
15.2.1. Đo biến dạng dựa trên nguyên lí cơ học ........................................................... 331
15.2.2. Đo biến dạng bằng tấm điện trở........................................................................ 334
15.3. Đo chuyển vị bằng phương pháp cơ học ................................................................. 338
PHẦN ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN OLYMPIC CƠ HỌC TOÀN QUỐC (1989 – 2005) ........ 340
PHỤ LỤC 1 ........................................................................................................................... 366
PHỤ LỤC 2 ........................................................................................................................... 370
PHỤ LỤC 3 ........................................................................................................................... 373
PHỤ LỤC 4 ........................................................................................................................... 374
PHỤ LỤC 5:.......................................................................................................................... 378
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 390
11
LỜI NÓI ĐẦU
Giáo trình Sức bền vật liệu xuất bản lần này được biên soạn theo đề cương "Chương trình giảng dậy môn Sức bền vật liệu" do tiểu ban môn học của Bộ Giáo dục và Đào tạo soạn thảo. So với lần xuất bản trước, giáo trình lần này đã có nhiều bổ sung và sửa chữa. Ngoài việc viết ngắn gọn, rõ ràng, còn đưa thêm nhiều dạng bài tập, ngoài các bài tập cơ bản, còn có một số bài tập khó, các đề thi Olympic cơ học toàn quốc của nhiều năm trước đây để làm tài liệu tham khảo và bồi dưỡng sinh viên giỏi môn học.
Sách có thể làm tài liệu học tập cho sinh viên tất cả các ngành của trường Đại học Thuỷ lợi, có thể làm tài liệu tham khảo cho các ngành của các trường Đại học kỹ thuật khác, cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các kỹ sư, nghiên cứu sinh và các cán bộ kỹ thuật, cho những ai có liên quan đến tính toán kết cấu xây dựng và chi tiết máy.
Tuy đã có nhiều cố gắng trong biên soạn, nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên không thể tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp, sinh viên và bạn đọc để hoàn thiện hơn trong lần xuất bản sau.
Mọi góp ý xin gửi về: Phạm Ngọc Khánh dđ: 0904047071 hoặc
CÁC TÁC GIẢ
12
CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Khái niệm
1.1.1. Nhiệm vụ của môn học Sức bền vật liệu là một môn học thuộc chuyên ngành cơ học vật rắn biến dạng, nó
có nhiệm vụ là nghiên cứu các phương pháp tính toán công trình trên 3 mặt: Độ bền, độ cứng và ổn định.
Một công trình được đánh giá là bền khi mỗi bộ phận của nó không bị phá hỏng khi chịu lực. Các bộ phận công trình hay các chi tiết máy được xem như là cứng khi biến dạng của từng bộ phận không vượt quá một giá trị yêu cầu nào đó để đảm bảo sự hoạt động bình thường trong quá trình khai thác. Yêu cầu về ổn định có nghĩa là các bộ phận của từng kết cấu công trình phải bảo toàn hình dạng hình học của kết cấu khi chịu lực, nhằm loại trừ các hiện tượng dẫn đến mất ổn định như bị cong vênh hoặc méo mó.
1.1.2. Đối tượng của môn học 1. Về vật liệu
Về vật liệu, môn sức bền vật liệu nghiên cứu các kết cấu công trình được làm từ các vật liệu thực - đó là các vật liệu có biến dạng khi chịu tác dụng của tải trọng – ví dụ như sắt , đồng, gang, bê tông… Khác với môn cơ học lý thuyết – môn học nghiên cứu các vật liệu lý tưởng – vật liệu không có biến dạng.
2. Về vật thể:
Trong không gian vật thể có các hình dạng rất khác nhau. Ta có thể phân các vật thể thành 3 dạng tuỳ theo các kích thước theo 3 chiều của chúng - đó là kết cấu dạng thanh, kết cấu dạng tấm và vỏ, kết cấu dạng khối.
a/ Kết cấu dạng thanh: Thanh là một vật thể hình lăng trụ có kích thước theo một chiều lớn hơn rất nhiều so với hai chiều còn lại. Ví dụ như trên hình 1-1a thể hiện một kết cấu thanh có chiều dài l lớn hơn nhiều lần so với h và b.
lb
h
l
l F
a) b)Hình 1-1
13
Về mặt hình học ta cũng có thể định nghĩa: Thanh là một phần không gian khép kín được lấp đầy vật liệu, phần không gian đó được tạo nên khi ta di chuyển một hình phẳng có diện tích F dọc theo một đường cong l nào đó sao cho trọng tâm O của hình phẳng F luôn luôn trượt trên l và hình phẳng F luôn luôn vuông góc với tiếp tuyến của l tại điểm nó đi qua. Ta gọi đường l là trục thanh, còn hình phẳng F là mặt cắt ngang của thanh (hình 1-1b). Trong tính toán công trình người ta biểu diễn thanh bằng đường trục thanh và mặt cắt ngang của thanh. Tuỳ thuộc vào dạng của đường trục l ta chia thanh thành các dạng: Thanh thẳng, thanh gẫy, thanh cong (hình 1-2a,b,c) hoặc dựa vào mặt cắt ngang có thể chia thanh thành thanh có mặt cắt không đổi, thanh có mặt cắt thay đổi (hình 1-2b,c).
b/ Kết cấu dạng tấm, vỏ: Là vật thể lăng trụ có kích thước hai chiều lớn hơn nhiều so với chiều còn lại (hình 1-3a,b).
c/ Kết cấu dạng khối: Là vật thể có kích thước theo 3 chiều không khác nhau nhiều (hình 1-3c).
Trong 3 dạng kết cấu nêu trên, dạng thanh là đối tượng nghiên cứu của môn Sức bền vật liệu. Hai dạng sau sẽ là đối tượng nghiên cứu của môn học khác như môn lý thuyết đàn hồi.
1.1.3. Các giả thiết cơ bản và nguyên lý độc lập tác dụng của lực Các giả thiết cơ bản
Khi tính toán công trình nếu xét tất cả các yếu tố ảnh hưởng thì vô cùng phức tạp. Để đơn giản cho quá trình tính toán ta đưa vào một số giả thiết.
Hình 1-2
a)
b)c)
a)Hình 1-3
b) c)
14
a/ Vật liệu liên tục, đồng chất và đẳng hướng:
Vật liệu liên tục có nghĩa là nó lắp đầy không gian vật choán chỗ, trong đó không tồn tại các khe nứt, các chỗ trống. Giả thiết này thừa nhận biến dạng trong vật thể là liên tục từ điểm này sang điểm khác. Do vậy ta có thể gán cho các đại lượng nghiên cứu những hàm toán học liên tục. Các loại vật liệu không thoả mãn tính chất này được gọi là vật liệu không liên tục hay vật liệu rời rạc, chẳng hạn như cát, sỏi…
Vật liệu đồng nhất có nghĩa là vật liệu có cùng tính chất (cơ học, lý học) ở mọi điểm. Phần lớn các loại vật liệu được dùng trong xây dựng và chế tạo máy thoả mãn giả thuyết này ở khía cạnh vĩ mô. Các loại vật liệu không thoả mãn tính chất này được gọi là vật liệu không đồng nhất ví dụ như bê tông cốt thép…
Vật liệu đẳng hướng có nghĩa là tại mỗi điểm trong vật tính chất cơ, lý như nhau theo mọi phuơng. Các loại vật liệu không thoả mãn tính chất này được gọi là vật liệu không đẳng hướng hay vật liệu dị hướng như tre, nứa, gỗ…
b/ Vật liệu đàn hồi lý tưởng: Dưới tác dụng của ngoại lực, vật bị biến dạng, nếu khi thôi tác dụng của ngoại lực, vật tự khôi phục lại vị trí và hình dạng ban đầu, khi đó vật liệu được gọi là đàn hồi tuyệt đối hay đàn hồi lý tưởng. Trong thực tế, biến dạng của vật liệu chỉ được coi là biến dạng đàn hồi lý tưởng khi ngoại lực tác dụng vào vật đang còn nhỏ hơn một giới hạn nhất định, giới hạn này phụ thuộc vào loại vật liệu. Khi ngoại lực tác dụng vượt quá giới hạn nói trên, trong vật sẽ phát sinh biến dạng dẻo hay còn gọi là biến dạng dư - biến dạng còn tồn tại trên vật ngay cả khi đã loại bỏ hoàn toàn tác dụng của ngoại lực.
Nói chung, trong phạm vi biến dạng đàn hồi quan hệ giữa lực tác dụng và biến dạng là quan hệ tuyến tính – quan hệ này được nhà vật lý người Anh Robert Hooke nêu thành định luật vào năm 1678 và gọi là định luật Hooke (Húc)- một định luật cơ bản trong lý thuyết đàn hồi và sức bền vật liệu (sẽ được trình bày trong chương 2).
e/ Biến dạng và chuyển vị của vật là rất nhỏ so với kích thước của vật: Từ giả thiết về biến dạng nhỏ ta có thể viết các phương trình cân bằng tĩnh hoặc động cho một vật được coi như ở trạng thái chưa biến dạng.
1.1.4. Nguyên lý độc lập tác dụng của lực Nguyên lý được phát biểu như sau: Một vật (hay một hệ đàn hồi) khi chịu tác dụng
đồng thời của một hệ gồm nhiều lực (hay nhiều nguyên nhân khác nhau), các đại lượng cơ học như ứng suất, biến dạng… gây ra trong vật được tính bằng tổng các đại lượng cơ học do từng lực (hay từng nguyên nhân) tác dụng riêng rẽ gây ra.
Dựa trên nguyên lý này, ta có thể làm giảm độ phức tạp khi giải các bài toán sức bền vật liệu.
15
1.2. Ngoại lực, nội lực
1.2.1. Ngoại lực, liên kết và phản lực liên kết : 1. Ngoại lực:
Một trong các nguyên nhân tác động vào vật và làm cho nó bị biến dạng là lực. Lực được truyền từ các vật thể khác sang vật nghiên cứu thông qua các phần tiếp xúc giữa chúng được gọi là ngoại lực. Tuỳ theo diện tích của bề mặt tiếp xúc lớn hay nhỏ so với kích thước của vật mà ta phân ngoại lực thành lực tập trung và lực phân bố.
- Lực tập trung: Thường được ký hiệu là P, là lực truyền vào vật đang xét thông qua một diện tích rất nhỏ mà ta có thể xem như là một điểm, đơn vị của P là Niutơn (N). Ví dụ như trọng lượng của toa xe truyền xuống đường ray thông qua diện tích tiếp xúc giữa bánh xe và ray có thể xem như là lực tập trung (hình 1-4a).
- Lực phân bố bề mặt: Ký hiệu là p, là lực tác dụng lên vật thông qua một diện tích đủ lớn, khi đó thứ nguyên của p là lực trên diện tích, đơn vị thường dùng là N/m2, ví dụ như lực tác dụng của hàng hoá chất trong toa xe lên sàn xe, áp lực nước lên thành bể chứa ... là các lực phân bố (hình 1-4b).
- Lực phân bố theo chiều dài: Ký hiệu là q, đối với các vật thể dạng thanh, nếu lực phân bố trên bề mặt dọc theo trục có cường độ không đổi theo phương ngang (phương vuông góc với trục thanh), khi đó ta có thể coi các lực đó như lực phân bố dọc theo chiều dài, thứ nguyên của nó là lực trên chiều dài, đơn vị thường dùng là N/m (hình 1-4c).
- Lực phân bố thể tích : Là lực tác dụng lên mọi điểm trong vật như lực trọng trường, lực quán tính, lực điện từ v...v..., thứ nguyên của nó là lực trên thể tích, đơn vị N/m3.
2. Liên kết và phản lực liên kết:
Trong tính toán công trình ta thường gặp rất nhiều loại liên kết, song có 3 loại thường gặp nhất như trên hình 1-5 (giới hạn xét các liên kết trong mặt phẳng).
Hình 1-4
b)
q
a) c)
16
- Liên kết đôi (còn gọi là khớp đôi, khớp cố định): Loại liên kết này như trên hình 1-5a) cho phép kết cấu quay xung quanh khớp, nhưng không cho phép dịch chuyển theo phương ngang và phương đứng. Với liên kết này có 2 thành phần phản lực là V và H hoặc hợp 2 thành phần này thành một thành phần có phương đi qua khớp.
- Liên kết đơn (còn gọi là khớp đơn, khớp di động): Loại liên kết này như trên hình 1-5b) cho phép kết cấu quay xung quanh khớp và dịch chuyển theo phương ngang nhưng không cho phép dịch chuyển theo phương đứng. Với liên kết này chỉ có một thành phần phản lực là V.
- Liên kết ngàm: Loại liên kết này như trên hình 1-5c) không cho phép kết cấu quay và cũng không cho phép dịch chuyển theo phương đứng và phương ngang. Với liên kết này có 3 thành phần phản lực là M, H và V. Một dạng đặc biệt của liên kết ngàm là loại ngàm trượt như trên hình 1-5.d). Đây cũng là loại liên kết mô mem, nó không cho phép kết cấu quay, dịch chuyển theo phương đứng nhưng cho phép dịch chuyển theo phương ngang.
1.2.2. Nội lực : Như phần trên ta đã định nghĩa, ngoại lực là lực truyền từ vật thể khác sang vật
nghiên cứu thông qua bề mặt tiếp xúc. Nếu ta quan niệm vật là một tập hợp vô số các phần vô cùng nhỏ được liên kết với nhau khi trên một phần bề mặt của vật nhận được ngoại lực (chịu tác dụng của ngoại lực), lực đó sẽ truyền lan đi trong toàn vật thông qua diện tích tiếp xúc giữa các phần nhỏ vật đó. Khi đó, ta coi lực truyền từ phần này sang phần khác của vật do tác dụng của ngoại lực là nội lực. Để truyền được nội lực này vật liệu phải có liên kết đủ bền, nói cách khác vật liệu phải đủ sức kháng lại nội lực. Do vậy khi nội lực vượt quá giới hạn sức kháng của vật liệu, vật sẽ bị phá hỏng. Như vậy, vấn đề nội lực và sức kháng của vật liệu sẽ là nội dung nghiên cứu chính của
DầmB
V
Dầm Dầm
DầmH
V
A
a)
DầmA
M
V
H
b)
c) d)
Dầm
V
M
B
Dầm
Hình 1-5
17
môn học: Một vật khi chịu tác dụng của ngoại lực khi nào sẽ được gọi là bền? Muốn vậy, trước hết phải xác định nội lực trong vật.
Để xác định nội lực trong vật khi vật chịu tác dụng của ngoai lực người ta dùng phương pháp mặt cắt, phương pháp này cho phép biểu diễn nội lực trên một phần vật được tách ra từ vật nghiên cứu bằng một mặt cắt tưởng tượng, mặt cắt đó chia vật thành hai phần độc lập nhau. Nội lực xuất hiện trên mặt cắt thuộc mỗi phần thể hiện lực tương tác giữa hai phần thông qua mặt cắt đó. Như vậy, nội lực xuất hiện trên mặt cắt thuộc mỗi phần xét là lực phân bố diện tích; cường độ của chúng (cả phương, chiều và trị số) có thể thay đổi tuỳ thuộc vào vị trí của mặt cắt, từng điểm trên mặt cắt và ngoại lực tác dụng trên vật thể.
Phương pháp mặt cắt cho phép ta thể hiện nội lực trên một mặt cắt. Theo nguyên lý cân bằng tĩnh học của phần vật thể được tách ra, ta hoàn toàn có thể xác định được thành phần hợp lực của nội lực trên một mặt cắt, ở đây ta chỉ xét nội lực trên các mặt cắt ngang của vật dạng thanh và chọn hệ trục toạ độ vuông góc x, y, z có trục z trùng với trục thanh, trục x,y nằm trong mặt phẳng của mặt cắt. Khi hợp các nội lực về trọng tâm mặt cắt ta nhận được một véc tơ chính R và một mômen chính M. Sau đó, phân tích véc tơ chính R thành ba phần theo phương của các trục toạ độ: NZ, QX , QY còn mômen chính M thành ba thành phần mômen đối và các trục toạ độ Mx, My, MZ (hình 1-6).
Các thành phần nội lực nói trên được gọi chung là nội lực trên mặt cắt ngang. Mỗi thành phần có một ý nghĩa cơ học riêng của nó: Nội lực NZ, có phương trùng với trục thanh (hoặc vuông góc với mặt cắt) nên được gọi là nội lực dọc trục hay nội lực pháp tuyến; còn các thành phần Qx, Qy có phương vuông góc với trục thanh, chúng được gọi là lực cắt. Các mômen Mx và My được gọi là nội lực mômen uốn còn MZ gọi là nội lực mômen xoắn.
P1
P2
A
Hình 1-7
x
y
z
Nz
Qx
QyMy
Mz
Mx
Hình 1-6
S P1
P2 P3
Pn
A B K
18
1.3. Ứng suất Như đã phân tích ở phần trên, nội lực được xem xét như là lực phân bố diện tích
xuất hiện trên mặt cắt nghiên cứu, cường độ của nội lực tại một điểm trên mặt cắt được gọi là ứng suất.
1.3.1. Định nghĩa về ứng suất Giả sử xét một vật bất kỳ chịu tác dụng của một hệ lực cân bằng Pi (i = 1, 2,..., n)
(hình 1-6). Trước hết, ta gắn vật vào một hệ toạ độ thích hợp, nói chung hệ này thường được xác định đối với mỗi bài toán, trong trường hợp vật có dạng thanh thẳng người ta thường chọn hệ trục toạ độ vuông góc x, y, z trong đó một trục trùng với trục thanh (trục z chẳng hạn), hai trục còn lại (x,y) thuộc mặt cắt ngang của thanh.
Để xác định ứng suất tại K ta tưởng tượng cắt qua K bằng một mặt cắt S tách vật ra thành hai phần độc lập nhau A và B. Nội lực xuất hiện trên mặt cắt thuộc mỗi phần thể hiện trên hình 1-6).
Bây giờ ta khảo sát một phần nhỏ diện tích bao quanh điểm K có độ lớn là ΔF. Nội lực trên ΔF có giá trị là Δp, nội lực này có cường độ, phương, chiều phụ thuộc vào trạng thái cân bằng của phần A. Cường độ trung bình của nội lực tại K thuộc mặt cắt S gọi là ứng suất trung bình, ký hiệu là p :
Fpp
ΔΔ
= (1.1)
Khi thu nhỏ ΔF dần tới không ứng suất trung bình p trở thành ứng suất toàn phần tại K:
dFdp
Fplimp
0F=
ΔΔ
=→Δ
(1.2)
Như vậy ứng suất có thứ nguyên lực trên diện tích. Trong hệ thống đơn vị quốc tế (SI) đơn vị ứng suất là N/m2. Chú ý rằng trong một số sách còn dùng các đơn vị ứng suất là Pascal (1Pa = 1N/m2).
Có thể phân tích ứng suất toàn phần p thành các thành phần theo 3 phương của hệ trục toạ độ vuông góc đã chọn (hình 1-8b).
P1
P2
A Δp
a)
Hình 1-8
b)
x
y
z
P1
P2
A
x
y
z
σz
τzx
τzy dF
19
- Thành phần vuông góc với mặt cắt, có phương trùng với pháp tuyến z, được gọi là ứng suất pháp và ký hiệu là σz, trong đó ký tự z chỉ phương của ứng suất.
- Hai thành phần tiếp tuyến với mặt phẳng cắt và theo hai phương của hệ trục toạ độ x và y, chúng được gọi là ứng suất tiếp. Hai thành phần này đuợc ký hiệu là τzx và τzy . Ký tự thứ nhất (z) chỉ mặt phẳng mà ứng suất tiếp nằm trên đó (mặt z – mặt có pháp tuyến ngoài là trục z). Ký tự thứ hai (x hoặc y) chỉ phương của ứng suất tiếp.
1.3.2. Quy ước dấu của ứng suất Trên hình 1-8b) thể hiện các thành phần ứng suất tại
điểm K trên mặt cắt thuộc phần A (phần trái).
Dấu của ứng suất được qui ước như sau:
Ứng suất pháp là dương khi là ứng suất kéo, tức là có chiều đi ra khỏi mặt cắt, còn ứng suất tiếp (chỉ giới hạn xét trong mặt phẳng) được xem là dương khi nó làm cho phần xét quay thuận chiều kim đồng hồ (xem thêm chương 3).
Để tính toán giá trị của sáu thành phần nội lực kể trên, ta phải thiết lập sáu phương trình cân bằng tĩnh học cho phần vật đang xét:
ΣX = 0 Σmx = 0
ΣY = 0 Σmy = 0
ΣZ = 0 Σmz = 0 (1.3)
Từ ba phương trình cân bằng hình chiếu ta có thể xác định ba thành phần nội lực Nz, Qx và Qy. Còn lại ba phương trình cân bằng mômen cho phép ta xác định ba thành phần Mx, My va Mz.
1.4. Liên hệ giữa ngoại lực, nội lực và ứng suất
1.4.1. Mối liên hệ giữa ngoại lực và nội lực Ta đã biết khi chịu tác dụng của ngoại lực thì trong vật thể xuất hiện nội lực, do đó
giữa chúng có mối liên hệ với nhau, nếu trên phần xét thì mối liên hệ này chính là các phương trình cân bằng (1.3). Cụ thể xét cân bằng của phần xét (PX) (xem hình 1-7):
+ Chiếu lên trục z có:
n
PXz i
i 1N Z(P )
=
= ∑
(1.4)
+Chiếu lên trục x có:
S P1
P2
A
Hình 1-9
x
y
zσz
τzx
τzy
K
20
QX n
PXi
i 1X(P )
=
= ∑
(1.5)
+ Chiếu lên phương y có:
Qy
nPX
ii 1
Y(P )=
= ∑
(1.6)
+ Lấy mô men đối với trục x có:
n
PXX x i
i 1M m (P )
=
= ∑
(1.7)
+ Lấy mô men đối với trục y có:
n
PXy y i
i 1M m (P )
=
= ∑
(1.8)
+ Lấy mô men đối với trục z có:
n
PXZ z i
i 1M m (P )
=
= ∑
(1.9)
1.4.2. Mối liên hệ giữa nội lực và ứng suất Như đã trình bày ở trên, nội lực trên mặt cắt là lực phân bố diện tích, cường độ
của nó được biểu thị bằng ứng suất pháp (σ) và ứng suất tiếp (τ). Do vật liệu phân bố liên tục nên các ứng suất cũng phân bố liên tục trên các mặt cắt và có thể biểu thị bằng các hàm toán học liên tục :
σz = σz (x,y)
τzx = τzx (x,y) ... (1.10)
Khi các hàm ứng suất (1.10) được xác định, ta có thể xác định được các thành phần nội lực bằng các liên hệ sau:
Nz = ∫σF
zdF Mx = ∫ σF z ydF
Qx = ∫ τF
zxdF My = ∫ σF z xdF (1.11)
Qy = ∫ τF
zydF Mz = ∫ τ−τF zyzx dF)xy(
21
Trong đó: Ký tự dưới dấu tích phân F chỉ tích phân được thực hiện trên toàn bộ mặt cắt.
Các liên hệ (1.11) là cơ sở để xác định ứng suất khi đã biết nội lực.
1.5. Khái niệm về biến dạng Sự thay đổi hình dáng và kích thước của vật
khi vật chịu tác dụng của ngoại lực được gọi chung là biến dạng. Trong sức bền vật liệu, người ta phân biến dạng thành hai dạng: biến dạng dài (còn gọi là biến dạng thẳng) và biến dạng góc (còn gọi là biến dạng trượt).
Để định nghĩa về các biến dạng này tại một điểm K bất kỳ trong vật, ta xét ba điểm A, B, C lân cận điểm K với KA, KB, KC là các đoạn thẳng vô cùng bé và song song với phương của trục toạ độ x, y, z đã chọn. Khi vật chưa biến dạng, ta có KA = Δx; KB = Δy; KC = Δz, các góc CKB,AKB,AKC
))) là các góc vuông. Sau khi vật bị biến dạng các
điểm chuyển dịch tới vị trí mới K’, A’, B’ và C’. Khi đó độ dài các đoạn thẳng và các góc giữa chúng bị thay đổi (hình 1-10).
Ta định nghĩa các biến dạng dài tương đối hay biến dạng thẳng tương đối (ε) tại điểm K theo các phương của trục toạ độ x, y, z là :
εx = 0KA
lim→ KA
KA'A'K −
εy = 0KB
lim→ KB
KB'B'K − (1.12)
εz = 0KC
lim→ KC
KC'C'K −
Biến dạng góc hay biến dạng trượt tương đối theo các mặt phẳng đi qua K và song song với các mặt toạ độ là trị số tang của hiệu giữa góc vuông ban đầu và góc hình thành giữa các đoạn thẳng sau biến dạng, ký hiệu là γ và các ký tự chỉ mặt phẳng.
xyγ = 0y0x
lim→Δ→Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Π 'B'K'A2
)
yzγ = 0x0y
lim→Δ→Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Π 'C'K'B2
) (1.13)
zxγ = 0x0z
lim→Δ→Δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Π 'A'K'C2
)
Hình 1-10
A
B y
x z
K C
K’ A’B’
C’
22
CHƯƠNG 2: KÉO VÀ NÉN ĐÚNG TÂM
2.1. Khái niệm
Một thanh được gọi là chịu kéo (hoặc nén) đúng tâm khi trên mặt mọi cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực có phương trùng với trục thanh (trục z) gọi là lực dọc và được ký hiệu là Nz, ký tự z chỉ phương của trục hoặc cũng chính là pháp tuyến của mặt cắt ngang.
Thanh chịu kéo, nén đúng tâm rất thường gặp trong các bộ phận công trình hay chi tiết máy. Ví dụ: ống khói ở các nhà máy (hình 2-1a) là thanh chịu nén bởi chính trọng lượng của nó nếu chưa kể tới tải trọng gió; dây cáp dùng để nâng vật nặng như hình 2-1b là kết cấu chịu kéo.
Ngoại lực gây ra kéo, nén trong thanh là những lực hoặc hợp lực của các lực có phương trùng với trục thanh. Hình 2-2a thể hiện một thanh thẳng chịu tác dụng của một hệ lực cân bằng gồm các lực tập trung P1, P2, P3 và lực phân bố đều trên chiều dài DB có cường độ q, các lực đều có phương trùng với trục (z) của thanh.
2.2. Nội lực Để xác định lực dọc trục (Nz) trên một mặt cắt ngang nào đó trên thanh AB (hình 2-2a),
ta áp dụng phương pháp mặt cắt. Chẳng hạn, ta tưởng tượng cắt thanh AB bằng lát cắt 1-1 vuông góc với trục thanh, chia thanh thành hai phần độc lập nhau. Bây giờ, ta giữ lại một phần, phần trái chẳng hạn. Để lập lại trạng thái cân bằng cho phần này, ta phải thêm vào mặt cắt một thành phần nội lực Nz
(1) (hình 2-2b). Từ phương trình cân bằng hình chiếu Σz = 0 viết cho phần đang xét ta được:
Nz(1)-P1=0 ⇔ Nz
(1)=+P1=12 KN (a)
a) Hình 2-1
b)
a)
b)
c)
d)
e)
Hình 2-2
1m 1m 2m
P1= 8KNP2=10KN
P3=12KN q=5KN/m
1
1
2
2
3
3
z
z P1 Nz
(1
P1 Nz(2P2
P3 Nz(3
q
8KN 8KN
2KN 2KN 12KN
A C D B
z
z
23
Dấu “+” trước P1 trong biểu thức (a) chứng tỏ rằng chiều tác dụng của Nz(1) được giả định
hướng ra khỏi mặt cắt như hình 2-2.b là đúng, khi đó Nz có giá trị dương và nó được gọi là lực kéo. Ngược lại, Nz có giá trị âm (<0) gọi là lực nén. Nhưng biểu thức (a) không thể sử dụng để tính tiếp nội lực trên các mặt cắt khác ngoài đoạn AC. Vì nếu lát cắt 1-1 vượt qua mặt cắt C (mặt cắt đặt lực P2) thì trạng thái cân bằng mới của phần đang xét phải kể thêm cả lực P2. Do vậy, để xác định nội lực Nz cho đoạn CD ta phải sử dụng lát cắt 2-2 (hình 2-2c). Từ điều kiện Σz = 0 viết cho phần trái lát cắt 2-2 ta có:
Nz(2) - P1 + P2 = 0 ⇔ Nz
(2) = +P1 - P2 = 8 –10 = -2 KN (b)
Nz(2) < 0 chứng tỏ rằng chiều tác dụng của Nz
(2) ngược với chiều giả định trên hình 2-2c, tức là chiều hướng vào mặt cắt và nó là lực nén. Với đoạn DB, ta dùng mặt cắt 3-3 và xét phần thanh bên phải, ta thêm vào mặt cắt một nội lực dọc trục Nz
(3) hướng ra ngoài (hướng từ phải qua trái), nói cách khác tức là giả định Nz
(3) dương. Khác với hai đoạn trên, phần thanh đang xét ngoài các lực Nz
(3), P3 còn có các lực phân bố q trên chiều dài z, (hình 2-2d), chú ý rằng gốc toạ độ khi xét từng đoạn có thể chọn chung tại A, cũng có thể chọn tại các điểm khác nhau cho từng đoan. Chiều của trục z có thể là chung cho tất cả các đoạn theo chiều từ trái sang phải hoặc có thể chọn riêng cho từng đoạn (có đoạn có thể chọn chiều ngược lại từ phải sang trái). Từ điều kiện cân bằng chiếu Σz = 0 ta có:
Nz(3) - q.z + P3 = 0 ⇔ Nz
(3) = q.z - P3 = 5.z - 12 (c)
Biểu thức (c) là một hàm bậc nhất đối với z.
Khi z = 0 : Nz(3) = 5.0 – 12 = -12 KN
Khi z = 2 : Nz(3) = 5.2 – 12 = -2 KN
Từ các biểu thức của nội lực ta thấy nội lực phụ thuộc vào toạ độ của mặt cắt nên để nhận biết sự biến thiên của nội lực trên các mặt cắt dọc theo trục thanh ta vẽ một đồ thị biểu diễn giá trị của Nz từ các biểu thức (a), (b) và (c) theo toạ độ của mặt cắt trên một hệ trục toạ độ vuông góc, với một trục được chọn là trục song song với trục thanh, còn trục kia được chọn là trục biểu thị giá trị của lực dọc ứng với từng mặt cắt với tỷ lệ thích hợp. Một đồ thị như vậy được gọi là biểu đồ nội lực – biểu đồ lực dọc (Nz) (xem thêm mục 7.2.2 chương 7). Hình 2-2e thể hiện biểu đồ lực dọc (Nz) của thanh AB. Biểu đồ này cho ta biết diễn biến của nội lực trong thanh.Từ biểu đồ này ta nhận thấy rằng trên các đoạn AC và CD nội lực trên các mặt cắt là như nhau, đường biểu diễn là các đường thẳng song song với trục hoành nhưng đoạn AC chịu kéo, (nội lực Nz > 0), đoạn CD chịu nén (nội lực Nz< 0). Còn trong đoạn DB nội lực thay đổi bậc nhất dọc theo trục thanh, do vậy đường biểu diễn là đường thẳng nghiêng với trục hoành với hệ số góc chính bằng trị số lực phân bố đều q. (xem lại biểu thức (c)). Mặt khác, biểu đồ Nz trên hình 2-2e còn cho ta nhận biết được mặt cắt nào trên thanh có trị số nội lực kéo, nén lớn nhất, đó là mặt cắt A chịu kéo lớn nhất với Nz
(A) = 8 KN và mặt cắt B có Nz
(B) = -12KN là mặt cắt chịu nén lớn nhất. Các nhận xét trên sẽ giúp ta kiểm soát được dạng các biểu đồ để vẽ đúng và xác định được các mặt cắt nguy hiểm - mặt cắt có nội lực hoặc ứng suất lớn nhất, sẽ được phân tích tiếp ở các phần sau.
2.3. ứng suất
2.3.1. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Nội lực Nz được xác định ở phần trên, thực
chất là hợp của nội lực pháp tuyến σz phân bố
Hình 2-3
a)
b)
l + Δl
l
P P
mặt cắt thớ
24
trên mặt cắt ngang, liên hệ giữa Nz và σz được biết trong công thức (1.11) ở chương 1:
z zF
N dF= σ∫ (2.1)
Do vậy, vấn đề đặt ra trong phần này là phải tìm một biểu thức σz phù hợp để làm thỏa mãn biểu thức trên khi mà giá trị của Nz đã biết. Tìm một biểu thức toán học σz để thoả mãn (1.11) không phải đơn giản, mà thường phải dựa vào các quan sát thực nghiệm để rồi từ đó đưa vào các giả thiết để làm giảm độ phức tạp của bài toán.
Ta quan sát thí nghiệm kéo một thanh thẳng mặt cắt không đổi, trước khi cho thanh chịu kéo ta vạch trên bề mặt của thanh những vạch dọc song song với trục và các vạch ngang vuông góc với trục thanh, tạo thành một lưới ô vuông, trong đó các vạch dọc thanh đặc trưng cho các thớ dọc, các vạch ngang được xem là vết của mặt cắt ngang (hình 2-3a). Khi thanh chịu kéo trong giới hạn đàn hồi, ta nhận thấy các vạch dọc vẫn thẳng và song song với trục thanh, các vạch ngang vẫn thẳng và các góc vuông trong các ô vẫn được bảo toàn (hình 2-3b), các hình vuông trở thành các hình chữ nhật. Nhận xét trên cũng đúng với thí nghiệm nén.
Từ quan sát thí nghiệm trên ta đưa ra các giả thiết sau:
a/ Giả thiết mặt cắt phẳng-giả thiết Béc-nu-li (Bernoulli):
Trước khi biến dạng mặt cắt phẳng và thẳng góc với trục thanh, sau khi biến dạng nó vẫn phẳng và thẳng góc với trục thanh đã biến dạng. Từ giả thiết này cho phép ta khẳng định rằng, nội lực Nz gây ra biến dạng thẳng tương đối theo phương trục thanh ở mọi điểm trên mặt cắt là như nhau (εz = const).
b/ Giả thiết về các thớ dọc thanh:
Nếu quan niệm thanh là tập hợp của vô số các thớ được ghép song song với trục và giữa chúng độc lập với nhau thì khi thanh bị kéo hoặc nén mọi thớ đều chịu lực như nhau và giữa chúng không tác dụng lẫn nhau theo phương ngang thớ (phương vuông góc với trục thanh). Với giả thiết này cho phép ta khẳng định tại mọi điểm trên một mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại ứng suất pháp tuyến σz, các thành phần khác đều bằng không.
Từ hai giả thiết trên và xét đến tính đàn hồi và tính liên tục của vật liệu ta có thể kết luận: Trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần ứng suất pháp tuyến σz 0≠ và ứng suất này phân bố đều trên toàn mặt cắt (σz = const) (hình 2-4).
Thay σz = const vào biểu thức (1.11) ta rút ra:
FNz
z =σ (2.2)
trong đó:
- Nz : giá trị nội lực dọc trục tại mặt cắt đang xét.
- F : diện tích của mặt cắt ngang.
Dấu của σz cùng dấu với Nz . Ứng suất dương khi nó là ứng suất kéo và ngược lại ứng suất âm khi nó là ứng suất pháp nén, đơn vị của ứng suất là N/m2 hoặc các bội số và ước số của nó. Lưu ý rằng công thức (2.2) được thiết lập trên cơ sở giả thiết mặt cắt phẳng (giả thuyết Béc-nu-li), do vậy tại những mặt cắt đặc biệt như: mặt cắt đặt lực tập trung, mặt cắt tại những vị trí thay đổi đột ngột về kích thước, mặt cắt ngang qua các lỗ khoét trong thanh v.v... giả thuyết
Pσz
Nz
Hình 2-4
25
mặt cắt phẳng không được thoả mãn. Ứng suất (σz ) tại các mặt cắt này phân bố không đều, có hiện tượng tăng cục bộ tại các vùng chuyển tiếp, hoặc tại các mép lỗ khoét. Các ứng suất này gọi là ứng suất cục bộ (σcb). Giá trị của ứng suất cục bộ thường lớn hơn nhiều lần so với giá trị ứng suất ở các mặt cắt bình thường. Hình 2-5 thể hiện ứng suất cục bộ ở một vài mặt cắt đặc biệt. Hình 2-5.a là biểu đồ ứng suất σz trên mặt cắt ngang qua lỗ khoét tròn của thanh chịu kéo. Hình 2-5b thể hiện sự phân bố σz trên mặt cắt của thanh có mặt cắt thay đổi đột ngột. Cách xác định các ứng suất cục bộ được trình bày trong giáo trình lý thuyết đàn hồi
2.3.2. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng Như đã chỉ ra ở tiết 2.3.1, trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo (nén) chỉ có ứng suất
pháp (σz) và nó được tính bằng công thức (2.2). Trong phần này ta nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt nghiêng.
Giả sử từ thanh thẳng chịu kéo dọc trục, tưởng tượng cắt thanh bằng một lát cắt phẳng (u), nghiêng so với mặt cắt ngang một góc α hay là góc hợp bởi trục u và trục x (h 2-6a). Ký hiệu góc α> 0 khi ta lấy góc α từ trục ứng suất tới trục z theo chiều kim đồng hồ. Lát cắt u chia thanh thành hai phần, ta xét phần bên trái lát cắt. Gọi diện tích mặt nghiêng u (mặt có pháp tuyến ngoài là u) là dF thì diện tích mặt cắt ngang của thanh là dF.cosα
Từ 2 phương trình cân bằng ∑ = 0u và ∑ = 0v ta có:
⇒=αασ−τ
=αασ−σ0sin.cosdFdF0cos.cosdFdF
zuv
zu
ασ=σ 2zu cos (2.3)
và ασ
=τ 2sin2
zuv (2.4)
Từ các công thức (2.3) và (2.4) ta nhận thấy rằng ứng suất pháp và tiếp trên mặt cắt nghiêng đi qua một điểm nào đó phụ thuộc vào góc nghiêng (α). Khi α = 0 tức là khi mặt nghiêng trùng với mặt cắt ngang, ứng suất pháp có giá trị lớn nhất :
max(σu) = σz
và τuv = 0
Hình 2-5
a)
b)
Nz Nz
σ
σcb
σcb Nz Nz
FNz
z =σ
FNz
z =σ
Nz Nz
u
α α
Fu
Fu σz α
σu τuv
a)
b)
Hình 2-6
v
26
Khi α = ± 450 ứng suất tiếp (τuv) đạt cực trị :
(τuv)max(min) = ±2
zσ
2.4. Biến dạng
2.4.1. Khái niệm về biến dạng kéo, nén Quan sát biến dạng của một thanh khi bị kéo hoặc nén, ta thấy rằng khi bị kéo theo chiều
dài thanh bị dãn ra, còn kích thước theo phương ngang bị co ngắn lại. Ngược lại, khi chịu nén chiều dài của thanh bị ngắn lại, kích thước theo phương ngang lại tăng lên.
Hình 2-7 thể hiện biến dạng của một thanh chịu kéo, trong đó l, h, b là kích thước ban đầu của thanh, Δl là biến dạng dài toàn phần của thanh; Δh, Δb biến dạng toàn phần theo phương ngang (phương vuông góc với trục thanh).
2.4.2. Biến dạng dọc Xét một đoạn thanh vô cùng ngắn
có chiều dài trước khi biến dạng là dz, sau khi thanh chịu kéo nó dài thêm một lượng Δdz, theo định nghĩa về biến dạng thẳng tương đối đã trình bày trong tiết 1.5. ta có:
dz.dz;dzdz
zz ε=ΔΔ
=ε (2.5)
Biến dạng dài toàn phần của thanh (Δl) sẽ bằng tổng các biến dạng từng phần nhỏ (Δdz):
∫∫ ε=Δ=Δll
l dz.dz z (2.6)
Ta biết rằng khi kéo, nén ứng suất σz và εz trên mặt cắt ngang là hằng số và giữa chúng có mối quan hệ tuyến tính, quan hệ này được thể hiện bằng định luật Húc, đối với trường hợp chịu kéo (nén) theo một phương, định luật Húc có dạng:
σ = E.ε (2.7)
Trong đó, hệ số tỷ lệ giữa ứng suất và biến dạng thẳng tương đối (E) được gọi là mô đun đàn hồi của vật liệu khi chịu kéo (nén). Mỗi loại vật liệu có một hằng số E, chúng được xác định bằng thực nghiệm. Bảng 2-1 giới thiệu trị số mô đun đàn hồi của một số vật liệu thường gặp trong xây dựng và chế tạo máy.
Từ liên hệ (2.7) và (2.2) ta rút ra:
EFN
E=
σ=ε (2.8)
Thay (2.8) vào công thức (2.6) ta tìm được công thức xác định biến dạng dài toàn phần của thanh chịu kéo, nén:
∫=Δl
l dzEFNz (2.9)
l
dz + Δdz
dz
Δl/2 Δl/2
h
b
Δb/2 Δb/2
Δh/2
Δh
/2
Hình 2-7
27
Trong trường hợp thanh có mặt cắt không đổi (F = const) dọc theo trục thanh (l), nội lực dọc trục Nz cũng là hằng số, công thức (2.7) cho kết quả:
EFN zll =Δ (2.10)
Đối với những thanh có mặt cắt (F) thay đổi trên từng đoạn thanh hoặc nội lực (Nz) chỉ liên tục theo từng đoạn, biến dạng toàn phần Δl bằng tổng đại số các biến dạng của từng đoạn:
∑Δ=Δ ill
hoặc ∑∫=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Δ
n
1i i
z dzEFN
l (2.11)
trong đó ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
EFNz là hàm liên tục trên chiều dài li.
Trong các công thức (2.9), (2.10), (2.11) tích EF được gọi là độ cứng của thanh khi chịu kéo (hoặc nén). Sở dĩ gọi như vậy vì nếu EF tăng thì lΔ giảm.
2.4.3. Biến dạng ngang và hệ số Poat-xông (Poisson): Các đại lượng Δb, Δh trên hình 2-7 thể hiện biến dạng theo phương vuông góc với trục,
gọi tắt là biến dạng ngang. Nếu ta chọn các trục toạ độ x, y vuông góc với trục thanh, các kích thước b, h của mặt cắt ngang lần lượt song song với x và y, theo định nghĩa ta sẽ có biến dạng thẳng tương đối theo phương ngang là:
hh
bb
yh
xb
Δ=ε=ε
Δ=ε=ε
(2.12)
Bằng nhiều thí nghiệm trên các vật liệu khác nhau, nhà bác học Pháp Poát-xông (Poisson) đã kết luận rằng: trong giới hạn đàn hồi tỷ số giữa các biến dạng thẳng tương đối theo phương ngang so với phương dọc là hằng số đối với mỗi loại vật liệu, tỷ số đó được gọi là hệ số Poát-sông, ký hiệu μ. Dấu (–) trong biểu thức (2.13) biểu thị biến dạng ngang trái dấu với biến dạng dọc.
z
y
z
x
ε
ε−=
εε
−=μ (2.13)
Đối với các vật liệu khác nhau, hệ số Poat-xông cũng khác nhau, chúng thay đổi trong giới hạn 0 ≤ μ ≤ 0,5. Bảng 2-1 giới thiệu hệ số E và μ của một số vật liệu thường gặp.
Bảng 2-1
Tên vật liệu Môđun đàn hồi E (N/m2)
Hệ số Poat-xông μ
Thép cácbon 2,1.1011 0,24-0,30
28
Hợp kim nhôm
Đồng
Gang
Gỗ thông dọc thớ
Bêtông
Cao su
0,72.1011
(1 ÷ 1,3).1011
(1,15 ÷ 1,6).1011
(0,1 ÷ 0,12).1011
(0,15 ÷ 0,23).1011
0,00008.1011
0,26-0,36
0,31-0,34
0,23-0,27
_
0,16-0,18
0,5
2.5. Đặc trưng cơ học của vật liệu Để nghiên cứu ứng xử của vật liệu dưới tác dụng của tải trọng, người ta phải tiến hành thí
nghiệm trên các mẫu của chính vật liệu đó trong các phòng thí nghiệm chuyên dùng. Các thí nghiệm được tiến hành nhằm xác định các đại lượng cho phép ta đánh giá được tính đàn hồi, tính dẻo, độ bền v.v... của vật liệu.
Những đại lượng đặc trưng đó được gọi là đặc trưng cơ học của vật liệu. Tiếp theo đây, ta sẽ phân tích kết quả của một số thí nghiệm cơ bản.
2.5.1. Thí nghiệm kéo Thí nghiệm kéo vật liệu được tiến hành trên một máy
sinh lực, gọi là máy kéo, nén vạn năng. Mẫu thí nghiệm được chế tạo với hình dạng và kích thước nhất định, tuỳ thuộc vào loại vật liệu và tuân thủ theo qui phạm của từng quốc gia. Hình 2-8 thể hiện kích thước của một mẫu thép hình trụ có đường kính ban đầu do = 2cm, chiều dài ban đầu tính trên độ dài mẫu có mặt cắt không đổi, lo = 20cm.
Sơ đồ nguyên lý hoạt động của máy thí nghiệm kéo (nén) được thể hiện trên hình 2-9. Từ một bơm thuỷ lực, dầu được dẫn vào xi lanh A, dầu tác dụng lên bề mặt pittông B một áp lực P. Cần pittông C được nối với mẫu M thông qua ngàm D, tác dụng vào mẫu một lực kéo, có trị số bằng áp lực P, lực này được chỉ thị trên đồng hồ áp lực N.
Khi bị kéo, biến dạng của mẫu rất bé (chỉ ở mức độ phần trăm hoặc phần nghìn milimét), để đo các biến dạng này, người ta phải sử dụng đến các thiết bị đặc biệt gọi là các ten-zô-mét (extensometre) là thiết bị có thể phóng đại biến dạng lên nhiều lần bằng các phương tiện cơ học, quang học, điện, điện tử v.v... tuỳ thuộc vào mục đích sử dụng và điều kiện đo đạc. Các thiết bị này sẽ được trình bày chi tiết hơn trong chương15: Thực nghiệm công trình.
Khi bắt đầu thí nghiệm, chiều dài của mẫu là lo, lực kéo (P) bằng không, trên đồ thị (hình 2-10) được biểu diễn bằng điểm gốc O. Lực kéo P tăng dần dần, chiều dài của mẫu tăng, thiết bị đo biến dạng cho ta giá trị Δl tương ứng với giá trị P:
Hình 2-9
A
B
C
D
M (mẫu)
N
Đồng hồ áp lực
P
Hình 2-8 lo
Fo
Δl
Hình 2-10
P Pmax
Pch
O
29
Δl = l - lo
Liên hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài toàn phần Δl của mẫu được biểu diễn bằng đường cong trên hình 2-10 được gọi là đường cong đặc tính của vật liệu. Mỗi loại vật liệu có một đường cong đặc tính riêng. Quan sát đường cong đặc tính của vật liệu thép ít cacbon trên hình 2-10, ta thấy khi P = Pch lực không tăng nhưng biến dạng vẫn tăng, lúc này ta coi vật liệu đạt đến giới hạn chảy dẻo (Pch). Mặt khác, khi P đạt giá trị Pmax mẫu bị co thắt liên tục cho đến lúc bị đứt (hình 2-11).
Nếu như cùng một loại vật liệu nhưng các mẫu có kích thước khác nhau thì giá trị P0 và Pmax cũng khác nhau. Để có được một đường cong đặc tính cho một loại vật liệu, độc lập với kích thước của mẫu ta lấy trục hoành biểu diễn biến dạng thẳng tương đối ε, còn trục tung biểu diễn ứng suất pháp σ, nghĩa là:
00 FP;
ll
=σΔ
=ε (2.14)
Trong đó Fo là diện tích của mặt cắt ngang khi chưa biến dạng. Khi đó ta thu được đường cong đặc tính của vật liệu như hình 2-12.
Căn cứ vào đường cong đặc tính của vật liệu như trên hình 2-12, ta có thể định nghĩa một số các đặc trưng cơ học của một loại vật liệu như sau:
1/ Tung độ của điểm A, giới hạn cuối cùng của đoạn thẳng OA trên đường cong đặc tính, được gọi là giới hạn tỷ lệ của vật liệu, ký hiệu σtl. Trong giới hạn này vật liệu tuân theo định luật Húc: Ứng suất tỷ lệ với biến dạng:
σ = E.ε
trong đó:
E: mô đun đàn hồi của vật liệu khi kéo, thể hiện bằng hệ số góc của đoạn thẳng OA với trục hoành (ε), αtg=E .
2/ Tung độ của điểm B được goi là giới hạn đàn hồi ký hiệu là σđh. Thực tế không có vật liệu nào tuyệt đối đàn hồi. Ngay cả khi lực tác dụng còn nhỏ, nó vẫn có một biến dạng dẻo (dư) nhất định. Do vậy, người ta định nghĩa giới hạn đàn hồi kỹ thuật σ0.01= σđh coi như bằng giá trị của ứng suất pháp ứng với nó vật liệu có biến dạng dư tương đối bằng 0,01%.
3/ Tung độ của điểm C - giới hạn chảy ký hiệu σch, là giá trị ứng suất với thời điểm biến dạng dài của mẫu tăng trong khi lực không tăng hoặc khi lực kéo là hằng số. Sau khi đạt đến
Hình 2-11
Pmax Pmax
Hình 2-12
σ ch
σ đh
σ tl
σ B
σ
ε O
A
B C D
E F M
Hình 2-13
σ ch σ B
σ
ε 0,2%
C
E
O α
30
giới hạn chảy (σch), đường cong đặc tính thể hiện bằng đoạn nằm ngang CD. Một số vật liệu trên đường cong đặc tính không xuất hiện đoạn nằm ngang CD. Trong trường hợp đó người ta xác định giới hạn chảy dẻo kỹ thuật: σ0,2 = σch là giá trị ứng suất pháp ứng với nó vật liệu có biến dạng dư tương đối trên mẫu là 0,2% khi dỡ tải hoàn toàn. Hình 2-13 thể hiện bằng điểm C trên đường cong đặc tính, với εd = OD = 0,2%. Từ thực nghiệm, ta nhận thấy rằng quá trình giảm tải quan hệ σ và ε thể hiện đường song song với đường chất tải ban đầu.
4/ Sau khi vượt quá giới hạn chảy dẻo đường cong đặc tính lại đi lên nhưng với độ nghiêng thoải hơn, vẽ nên đường cong DE, giai đoạn này được gọi giai đoạn củng cố của vật liệu. Giá trị lớn nhất của ứng suất:
B0
maxmax F
Pσ==σ (2.15)
Được gọi là giới hạn bền của vật liệu, ký hiệu σB (tung độ của diểm E). Sau khi đạt đến giá trị σmax trên mẫu bắt đầu xuất hiện chỗ co thắt (hình 2-12), ứng suất giảm dần, vùng co thắt phát triển dần cho đến lúc mẫu bị đứt, đường cong đặc tính thể hiện bằng đoạn EF (hình 2-12).
5/ Sau khi mẫu bị đứt, ta ráp nối hai phần lại với nhau và đo được chiều dài cuối cùng của mẫu l1, lập tỷ số:
%1000
01
l
ll −=δ : gọi là độ dãn dài tương đối khi bị phá hỏng.
Đồng thời ta đo diện tích mặt cắt mẫu tại vị trí bị đứt F1 và lập tỷ số :
%100F
FF
0
10 −=ψ : gọi là độ thắt tương đối của mặt cắt khi bị đứt.
Các hệ số δ và ψ là các chỉ số đánh giá tính dẻo của vật liệu. Vật liệu sẽ được coi là vật liệu dẻo khi biến dạng dài tương đối δ > 5%. Một số kim loại và vật liệu dẻo tổng hợp thường thoả mãn điều kiện này như: thép có hàm lượng cacbon thấp, đồng, nhôm, chì,...
Khi δ ≤ 5% được coi là vật liệu dòn như gang, gạch, bêtông, ... Những vật liệu này khi bị kéo biến dạng không lớn, khi bị đứt không có hiện tượng co thắt báo trước, đứt đột ngột, đường cong đặc tính có dạng như trên hình 2-13. Ta nhận thấy đồ thị không có giai đoạn chảy dẻo mà chỉ có giới hạn bền (σB).
Bảng 2-2 dưới đây giới thiệu một số đặc trưng cơ học của một số vật liệu thường gặp:
Bảng 2-2
Tên vật liệu Giới hạn chảy σc
(MN/m2)
Giới hạn bền σB
(MN/m2)
Biến dạng dài tương đối δ
(%)
Thép ít cácbon
Thép CT3
Thép CT5
Thép CT6
250
250
320
360
390
420
540
610
42
25
20
16
31
Đồng
Nhôm
Đuyra
250
50
340
320
84
540
15
35
13
2.5.2. Thí nghiệm nén vật liệu Đối với các kim loại nói chung, thí nghiệm nén
được tiến hành trên các mẫu hình trụ có chiều cao bằng hoặc lớn hơn đường kính chút ít (thường thì d = h = 10÷30 mm). Còn đối với các vật liệu khác, mẫu thường có dạng hình lập phương cạnh a = 50 ÷ 200 mm, thậm chí 300mm, tuỳ thuộc vào loại vật liệu và yêu cầu thí nghiệm.
Ta quan sát đường cong đặc tính khi nén của thép ít cacbon và gang. Để tiện cho việc nghiên cứu và so sánh ta thể hiện cả hai đường cong đặc tính khi kéo và khi nén trên cùng một đồ thị (hình 2-14).
Ở góc phần tư thứ nhất thể hiện biểu đồ kéo, còn ở góc phần tư thứ ba thể hiện biểu đồ nén. Hình 2-14 thể hiện đồ thị kéo và nén của thép non. Ta thấy rằng khi bị nén giới hạn chảy (σch) và giới hạn tỷ lệ (σtl) có trị số tương tự như khi bị kéo. Góc nghiêng của đoạn thẳng OA so với trục hoành như nhau. Nhưng khi ứng suất vượt qua giới hạn chảy đồ thị nén là đường cong tăng liên tục, không xác định được giới hạn bền (σB). Khi nén, quan sát biến dạng của mẫu ta thấy chiều cao mẫu giảm liên tục, còn đường kính của mặt cắt tăng lên, mẫu bị dát mỏng (xem hình 2-15).
Hình 2-14 thể hiện đường cong đặc tính khi kéo và nén của một mẫu gang xám. Ta nhận thấy trong thí nghiệm nén cũng không xác định được giới hạn chảy, mà chỉ xác định được giới hạn bến (σB
n) trị số này lớn hơn nhiều giới hạn bền khi kéo (σBk).
Khi bị nén mẫu biến dạng rất ít, mẫu bị phá hỏng khi xuất hiện các vết nứt xiên gần như nghiêng 450 so với phương của lực nén (hình 2-16). Mặt phá hỏng của mẫu bê tông hình lập phương cũng xuất hiện các vết nứt xiên như vậy (hình 2-17a,b). Khi các mặt trên và dưới của
ε
σ
Hình 2-14
σ đh
σk ch
σ B
σ B
σ đh
σn ch
σ B CT3
G
Hình 2-16 Hình 2-15
Hình 2-17a) b) c)
32
mẫu tiếp xúc với bàn nén được bôi trơn để giảm bớt ma sát thì mẫu bị phá hỏng với các vết nứt dọc theo phương lực nén (hình 2-17c).
So sánh các đường cong đặc tính của vật liệu ta nhận thấy rằng: Đối với vật liệu dẻo, giới hạn chảy khi kéo và khi nén bằng nhau (σch
k = σchn). Còn đối với vật liệu dòn có giới hạn bền
khi kéo thấp hơn nhiều so với giới hạn bền khi nén. Ví dụ: Với gang xám có giới hạn bền khi kéo σB
k =120 ÷180MN/m2 trong khi đó giới hạn bền khi nén σBn = 500 ÷ 800MN/m2. Bảng
2-3 dưới đây cho giới hạn bền của một số vật liệu thường gặp.
Bảng 2-3
Giới hạn bền (MN/m2) Tên vật liệu Khi kéo Khi nén
Gang thường
Gang cầu
Đá hoa cương
Sa thạch
Bê tông
Ba kê lít
Khối đá xây
Gỗ thông dọc thớ
Gỗ thông ngang thớ
140 ÷180
210 ÷ 250
3
2
0,25 ÷ 1,75
20 ÷ 30
0,2 ÷ 0,5
80
_
600 ÷1000
1400
120 ÷ 260
40 ÷150
5 ÷ 35
80 ÷100
2,5 ÷ 9
40
5
2.5.3. Một số yếu tố ảnh hưởng đến các đặc trưng cơ học của vật liệu Các thí nghiệm được trình bày trên đây được tiến hành trong các điều kiện chuẩn về nhiệt
độ, áp suất và tải trọng tĩnh (tải trọng tăng từ từ và không gây gia tốc cho vật). Nhưng trong thực tế, nhiều khi vật liệu phải làm việc trong các điều kiện đặc biệt làm ảnh hưởng đến các đặc trưng cơ học của vật liệu như tốc độ biến dạng, nhiệt độ,...
Khi tốc độ gia tải càng chậm, giới hạn bền càng thấp, nhưng biến dạng lại tăng. Đối với vật liệu dẻo, để thu được giới hạn chảy dẻo, tốc độ gia tải lớn nhất không quá 10N/mm2/s, còn trong miền biến dạng dẻo, tốc độ biến dạng lớn nhất là 30% chiều dài ban đầu trên một phút. Đối với những mẫu thông thường (d0 = 20mm) thời gian gia tải ngắn nhất cũng phải đạt 1 phút, nhiều nhất là 5÷6 phút, trung bình là 3 phút.
Khi tiến hành thí nghiệm các mẫu kim loại ở môi trường nhiệt độ cao, người ta nhận thấy rằng tính chất cơ học của chúng thay đổi đáng kể theo nhiệt độ. Hình 2-18 thể hiện các đường cong biểu thị các đặc trưng cơ học của thép. Trong đó ta thấy trong khoảng từ 200÷3000C giới hạn bền tăng theo nhiệt độ và đạt đến giá trị cực đại sau đó giảm nhanh từ nhiệt độ 4000C trở lên. Các đại lượng ψ, δ giảm trong giai đoạn đầu, cực tiểu ở 200 ÷3000C sau đó tăng liên tục. Mô đun đàn hồi E, giới hạn chảy và giới hạn tỷ lệ giảm liên tục khi nhiệt độ tăng lên...
33
σ = const
Hình 2-19
ε (t)
ε
t Hình 2-20
ε = const
t
σ (t)
σ
Ngược lại, ở nhiệt độ rất thấp, giới hạn phá hỏng của một số vật liệu, thép chẳng hạn tăng
đáng kể nhưng tính dòn lại tăng lên, nghĩa là biến tính dẻo giảm rất nhanh.
Khi thời gian tác dụng của lực kéo dài cũng làm ảnh hưởng đến trạng thái ứng suất và biến dạng của vật liệu. Hiện tượng thay đổi ứng suất và biến dạng theo thời gian là hiện tượng từ biến. Quan sát một mẫu thép khi chịu kéo một lực không đổi (σ = const) trong một thời gian dài, ta nhận thấy rằng biến dạng dài tương đối tăng theo thời gian thể hiện bằng đường cong trên hình 2-19, gọi là đường cong biến dạng đẳng nhiệt dưới tải trọng không đổi.
Ngược lại, nếu mẫu bị kéo và nung nóng và chiều dài được duy trì không đổi trong một thời gian dài, ta nhận thấy ứng suất bị giảm theo thời gian, (thể hiện trên hình 2-20): Người ta nói rằng xảy ra hiện tượng chùng ứng suất (hay rão hoặc nới).
Một nhân tố khác ảnh hưởng đến giới hạn bền của vật liệu là ứng suất thay đổi tuần hoàn theo thời gian. Ngay từ đầu thế kỷ XIX, người ta đã phát hiện rằng, khi ứng suất thay đổi luân phiên từ kéo (σmax) sang nén (σmin) sau một số lần (ta còn gọi là số chu trình) nhất định, vật liệu có thể bị phá hoại, ngay cả khi σmax còn nhỏ hơn giới hạn bền (σB) rất nhiều và sự phá hỏng còn xảy
Hình 2-18
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
10
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100 2,0.108
1,8.108
1,6.108
1,4.108
1,2.108
1,0.108
0,8.108
0,6.108
0,4.108
0,2.108
0,0.108
σ (MN/m2)μ δ, ψ
%E
2
100 200 300 400 500 600 700 800oC
E
E
E
σB
σB
ψ
δ
ψ
δ
σB σch
μ
μ
34
ra đột ngột ngay cả đối với vật liệu dẻo. Ta gọi đó là hiện tượng mỏi của vật liệu. Khi ứng suất thay đổi tuần hoàn có trị số ứng suất σmax càng bé thì số chu trình làm việc mà không phát sinh hiện tượng mỏi càng lớn, nghĩa là thời gian chịu được ứng suất thay đổi của vật liệu càng dài. Giá trị ứng suất σmax ứng với số chu trình thay đổi được coi là vô hạn mà vật liệu không bị phá hỏng vì mỏi được gọi là giới hạn mỏi (pr) của vật liệu. Giới hạn này phụ thuộc vào nhiều yếu tố như đặc điểm của chu trình ứng suất, sự hình thành của các vùng tập trung ứng suất, kích thước của vật, chất lượng bề mặt của vật, v.v…(phần này sẽ được trình bày chi tiết ở chương 14).
2.6. Điều kiện bền và ứng suất cho phép
2.6.1. Điều kiện bền Ở các phần trên ta đã nghiên cứu cách tính toán ứng suất và biến dạng trong thanh chịu
lực dọc trục (Nz); tiếp đó là xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu. Trong phần này, một vấn đề được đặt ra là khi nào một thanh chịu lực dọc trục (kéo, nén) sẽ được coi là bền. Đây là một trong những nội dung chính của môn sức bền vật liệu. Để giải quyết bài toán về độ bền cho các bộ phận công trình hay các chi tiết máy, hiện có ba phương pháp, đó là:
1/ Phương pháp tải trọng phá hoại.
2/ Phương pháp ứng suất cho phép.
3/ Phương pháp trạng thái giới hạn.
Trong khuôn khổ của giáo trình này chỉ trình bày phương pháp ứng suất cho phép. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong việc thiết kế các công trình xây dựng và chế tạo máy. Nội dung của phương pháp này là: Kích thước của các bộ phận công trình hay chi tiết máy phải được xác định sao cho ứng suất trong tất cả các mặt cắt gây ra bởi ngoại lực (tải trọng), không được vượt quá một giá trị cho phép nào đó. Giá trị này được gọi là ứng suất cho phép, ký hiệu là [σ] nếu là ứng suất pháp cho phép và ký hiệu là [τ] nếu là ứng suất tiếp cho phép. Như vậy một thanh khi chịu lực dọc trục (chịu kéo, nén) điều kiện bền sẽ là:
[ ]k Kmax σ ≤ σ (2.16)
[ ]N Nmax σ ≤ σ
trong đó:
Kmaxσ và Nmax σ : là giá trị ứng suất pháp kéo hoặc nén lớn nhất trong thanh. Giá trị này được tính tại mặt cắt nguy hiểm nhất trong thanh.
[σ]K,[ σ]N : là ứng suất pháp kéo (nén) cho phép của vật liệu.
Đối với vật liệu dẻo [σ]K = [σ]N = [σ]. Trong trường hợp này, ta chỉ cần kiểm tra ở mặt cắt nào ứng suất pháp có trị tuyệt đối lớn nhất:
[ ]zz
Nmax
Fσ = ≤ σ (2.16)’
trong đó: F là diện tích thực tại mặt cắt đang xét.
2.6.2. Ứng suất cho phép và hệ số an toàn Ứng suất cho phép được tính bằng ứng suất nguy hiểm σ0 chia cho hệ số an toàn bền n:
35
[ ] 0
nσ
σ = (2.17)
Đối với vật liệu dẻo, ứng suất nguy hiểm σo lấy bằng giới hạn chảy dẻo σch, nghĩa là:
σ0 = σch
Còn đối với vật liệu dòn, ứng suất nguy hiểm σ0 được chọn bằng giới hạn bền σB, khi kéo hoặc khi nén, nghĩa là:
σo = σB
Hệ số an toàn n lấy lớn hơn hoặc bằng 1. Điều này chứng tỏ rằng người ta luôn đòi hỏi ứng suất thực tế trong các bộ phận công trình phải nhỏ hơn ứng suất nguy hiểm được xác định bằng thực nghiệm. Khi hệ số an toàn n càng lớn độ an toàn về bền của công trình càng cao, nhưng kích thước công trình và khối lượng vật liệu càng tăng lên, làm cho giá thành công trình tăng lên. Do vậy, việc lựa chọn một hệ số an toàn n thích hợp để cho công trình vừa thoả mãn điều kiện bền vừa rẻ là rất quan trọng, nhưng cũng rất phức tạp. Bởi vì hàm chứa trong hệ số an toàn là hàng loạt các yếu tố phản ánh sự sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm như sơ đồ tính toán, phương pháp tính, điều kiện làm việc thực tế của công trình, qui mô công trình, điều kiện thi công v.v... Thông thường, mỗi quốc gia đều có ban hành các qui phạm để làm cơ sở cho việc chọn hệ số an toàn n.
Bảng 2-4 giới thiệu ứng suất cho phép của một số vật liệu thường gặp trong xây dựng.
2.6.3. Ba loại bài toán từ điều kiện bền Ta thấy rằng điều kiện bền (2.16) thể hiện quan hệ giữa ba đại lượng Nz, F và [σ]. Do vậy
nếu biết được hai trong ba đại lượng đó ta hoàn toàn có thể xác định được đại lượng thứ ba. Khi đó công thức (2.16) có thể viết thành ba dạng khác nhau, mỗi dạng ứng với một loại bài toán.
a/ Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang : trong đó ẩn F là diện tích cần thiết của mặt cắt ngang của thanh chịu kéo nén.
[ ]zNF ≥
σ (2.18)
Bảng 2-4
Ứng suất cho phép [σ] (MN/m2) Tên vật liệu Khi kéo Khi nén
Théo OC và CT2
Thép CT3
Đồng
Nhôm
Gang
Đá xây
Gạch xây
140
160
30 ÷120
30 ÷ 80
28 ÷ 80
0,3
0,2
140
160
30 ÷120
30 ÷ 80
120 ÷ 150
0,4 ÷ 4
0,6 ÷ 2,5
36
Bêtông
Gỗ thông dọc thớ
Gỗ thông ngang thớ
0,1 ÷ 0,7
7 ÷10
_
1 ÷ 9
10 ÷ 12
1,5 ÷ 2
b/ Bài toán chọn tải trọng : khi đã biết diện tích cần thiết của mặt cắt ngang F và ứng suất cho phép [σ] ta có thể xác định tải trọng từ điều kiện:
Nz ≤ [σ].F (2.19)
c/ Bài toán kiểm tra bền : khi đã biết cả ba đại lượng Nz, F, [σ], ta thay chúng vào biểu thức (2.16), nếu biểu thức được thoả mãn ta nói rằng thanh thoả mãn điều kiện bền hay nói cách khác ứng suất pháp do tải trọng gây ra không vượt quá ứng suất cho phép.
Ví dụ 2-1: Xác định kích thước mặt cắt ngang của thanh AB và BC của một giá treo trên tường (hình 2-21), biết rằng:
- Trên giá treo một vật nặng có trọng lượng P = 10KN
- Thanh AB làm bằng thép mặt cắt tròn có ứng suất cho phép [σ]t = 60 MN/m2
- Thanh BC làm bằng gỗ có ứng suất cho phép khi nén dọc thớ [σ]g = 5 MN/m2, mặt cắt ngang hình chữ nhật có tỷ số kích thước giữa chiều cao (h) và chiều rộng (b) là
h / b =1,5.
Bài giải:
Trước hết ta phải xác định nội lực trong các thanh AB và BC. Tưởng tượng cắt qua hai thanh bằng mặt cắt m-n, nút B được tách ra khỏi giá treo (hình 2-21b). Để lập lại trạng thái cân bằng cho phần đã tách ta phải đặt vào mặt cắt của các thanh các nội lực dọc trục NAB và NBC, giả định các lực này đều dương, nghĩa là có chiều đi ra khỏi mặt cắt (lực kéo). Viết các phương trình cân bằng hình chiếu lên các phương X, Y cho phần xét:
ΣX = 0 ⇔ NAB + NBCcosα = 0 (1)
ΣY = 0 ⇔ P + NBCsinα = 0 (2)
Giải hệ phương trình trên ta tìm được:
KN18322
10sin
PN
KN1523.10gcot.PN
22BC
AB
−=+
−=α
−=
==α=
NBC mang dấu âm (-) chứng tỏ rằng nội lực dọc trục NBC có chiều ngược với chiều giả định, có nghĩa là NBC có chiều hướng vào mặt cắt. Như vậy, trong giá đỡ thanh AB chịu kéo, thanh BC chịu nén. Từ điều kiện bền ta xác định kích thước cho thanh:
- Đối với thanh AB:
2m
Hình 2-22
P
d D
3m
αP
BA
C
m
n
a)
m
n
Y
Xα
NAB
NBC
b)
Hình 2-21
P
37
[ ]4 2 2AB
AB 3t
AB
N 15F 2,5.10 m 2,5cm60.10
4F 4.2,5d 1,78cm 1,8cm
−= = = =σ
= = = ≈π π
- Đối với thanh BC:
[ ]4 2 2BC
BC 3g
2BC
BC
N 18F 36.10 m 36cm5.10
F h.b 1,5b.b 1,5b
F 36b 4,9cm 5cm h 1,5b 7,5cm1,5 1,5
−= = = =σ
= = =
= = = ≈ = =
Ví dụ 2-2: Một cột bằng gang, mặt cắt ngang hình vành giếng có d = 100mm, D = 130mm (hình 2-22). Biết gang có ứng suất cho phép nén [σ]n = 90MN/m2. Hãy xác định lực nén P mà cột có thể chịu được, khi tính không xét trọng lượng bản thân cột.
Bài giải:
Trong trường hợp này lực dọc trục trên mặt cắt ngang Nz = - P (lực nén). Từ điều kiện bền ta có:
[ ] [ ]
[ ]
Z N N
2 22 26
N
N F P F
D d .130 100P 1 1 10 .90 0, 487MN 487kN4 D 4 130
≤ σ ⇒ ≤ σ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ − σ = − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ví dụ 2-3: Cho thanh AB, mặt cắt thay đổi, chịu lực như hình 2-23. Biết :
F1 = 4cm2 F2 = 6cm2, P1 = 5,6 kN, P2 = 8,0kN. Vật liệu làm thanh có ứng suất cho phép kéo [σ]k = 5MN/m2, ứng suất cho phép nén [σ]n = 15MN/m2. Kiểm tra bền cho thanh ?
Bài giải:
Để thực hiện việc kiểm tra bền ta phải xác định trị số lớn nhất của ứng suất pháp kéo và nén lớn nhất trong thanh, sau đó so sánh chúng với các ứng suất cho phép.
Trên hình 2-23b thể hiện biểu đồ nội lực dọc trục (Nz) còn hình 2-23c biểu thị sự biến thiên của ứng suất pháp σz trên các mặt cắt dọc theo trục thanh. Từ biểu đồ σz ta nhận thấy:
- Ứng suất pháp kéo lớn nhất thuộc các mặt cắt thuộc đoạn DB:
( ) [ ] 23k
34
2
DBmaxk m/KN10.510.4
10.64,2
FN
=σ<===σ −
- Ứng suất nén lớn nhất thuộc các mặt cắt trong đoạn AC:
( ) [ ] 23n
34
1
ACmaxn m/KN10.1510.14
10.46,5
FN
=σ<===σ −
Các ứng suất pháp đều nhỏ hơn ứng suất cho phép, thanh thỏa mãn điều kiện bền.
38
Hình 2-24
l
z
P
NZ
γF
γF
P
2.7. Tính thanh chịu kéo (nén) có kể đến trọng lượng bản thân Đối với những thanh có chiều dài lớn, đặt thẳng đứng khi tính ứng suất và biến dạng cần
phải xét đến trọng lượng bản thân thanh. Chẳng hạn xét thanh AB có mặt cắt không đổi F, được treo thẳng đứng, ngàm tại A, đầu tự do B chịu lực kéo P (h.2-24). Thanh được làm bằng vật liệu có trọng lượng riêng γ. Tại mặt cắt ngang cách đầu tự do B một khoảng z, khi có xét đến trọng lượng bản thân, nội lực dọc trục (Nz) tại mặt cắt đó là:
z.F.PNz γ+= (2.20)
và ứng suất pháp tại mặt cắt z có giá trị:
zFP
FzFP
FN z
z... γγσ +=
+== (2.21)
Ta nhận thấy rằng σz thay đổi tuyến tính dọc theo trục thanh:
- Tại mặt cắt đầu tự do (z = 0):
FP)0(
z =σ
- Tại mặt cắt ngàm A, (z = l):
l.FP
maxz γ+=σ=σ
Từ điều kiện bền ta xác định diện tích cần thiết của mặt cắt ngang F:
[ ]
[ ]
maxPFPF
σ = + γ ≤ σ
≥σ − γ
l
l
(2.22)
Khảo sát mẫu số của công thức (2.22) ta nhận thấy khi chiều dài thanh tăng đến một lúc [σ] = γ.l và dần đến F = ∞. Lúc này, ta kết luận rằng thanh với mặt cắt không đổi làm cho bài toán không giải được. Để cho phương trình (2.22) có nghiệm ta phải giảm chiều dài l sao cho [σ] > γ.l.
Hình 2-23
F2 F1 P1 P2 P3
A C B
2,42,45,6 5,6
14 9,33
4,0
NZ
σ
a)
b)
c)
KN
×103KN/m2
Hình 2-25
a) b)
dG
z
dz
F+dF
F(z) dz
F(z)
F+dF σz= [σ]
σz= [σ]
P
39
Nhưng nếu thanh với mặt cắt không đổi sẽ không tận dụng hết khả năng làm việc của vật liệu, vì chỉ có mặt cắt ngàm A có: σz = σmax= [σ] còn lại các mặt cắt khác ứng suất σz đều nhỏ hơn [σ], nói cách khác ở các mặt cắt khác nhau F cũng khác nhau và phụ thuộc vào khoảng cách z.
Để tiết kiệm vật liệu người ta có ý tưởng chế tạo thanh có mặt cắt thay đổi, với mục đích làm cho ứng suất trên mọi mặt cắt ngang đều bằng nhau và bằng ứng suất cho phép [σ] (hình 2-25)
Để thiết lập công thức tính F cho trường hợp này ta tách một đoạn thanh vô cùng ngắn nằm giữa hai mặt cắt có tung độ z và z+dz (hình 2-25b). Cả hai mặt cắt đều có ứng suất σz
= [σ], nhưng diện tích F của mặt cắt phía trên lớn hơn mặt cắt phía dưới một lượng dF. Từ điều kiện cân bằng chiếu lên phương thẳng đứng của đoạn thanh đang xét ta có:
[σ].F + dG = [σ] (F + dF) (a)
trong đó: dG = γ.F.dz là trọng lượng bản thân của đoạn thanh dz.
Rút gọn (a) ta được
[ ]
[ ]
Fdz dFdF dzF
γ = σ
γ=
σ (b)
Tích phân hai vế của (b) ta được
[ ]ln F C zγ
+ =σ
(c)
Hằng số tích phân C được xác định theo điều kiện biên của thanh:
Khi z = 0:
F = F0 = [ ]σP (d)
Thay (d) vào (c) ta được :
lnF0 + C = 0 ⇔ C = -lnF0 (e)
Thay (e) voà (c) và rút gọn ta được:
[ ]0
Fln zF
γ=
σ
hay [ ]z
0F F eγσ= (2.23)
Một thanh có mặt cắt thay đổi theo hàm mũ (2.23) được gọi là thanh chịu kéo (nén) có độ bền đều.
Trong thực tế, tạo ra một thanh có mặt cắt thay đổi theo hàm mũ nêu trên là rất khó khăn, nên người ta có thể tạo dạng gần đúng bằng các đường gẫy có dạng bậc thang (hình 2-26).
Hình 2-26
P
Hình 2-27
l
P
P
P
Δl Δl
dP
Δl d(Δl) O
B
C
BB’
A
a) b)
B B’1
B’’ B’
40
2.8. Thế năng biến dạng đàn hồi Xét một thanh như trên hình 2-27 có mặt cắt F không đổi, chiều dài l, chịu kéo bởi lực P.
Khi lực P tăng dần từ không đến giá trị cuối cùng thì điểm đặt của P cũng dịch chuyển từ B đến B’, lực P thực hiện một công trên quãng đường đi của nó do thanh bị biến dạng, gọi là công ngoại lực (A), công này chuyển hoá thành thế năng biến dạng (U) tích luỹ trong thanh và động năng (T). Nhưng vì tác dụng của P là tĩnh, vận tốc biến dạng rất nhỏ, động năng (T) được coi như bằng không. Do vậy toàn bộ công A của lực P được chuyển hoá hoàn toàn thành thế năng biến dạng U. Khi thanh biến dạng trong giới hạn đàn hồi cũng có nghĩa là tuân theo định luật Húc, liên hệ giữa lực dọc trục P và biến dạng dài của thanh được thể hiện bằng đoạn thẳng OBC trên đồ thị (2-27b). Ta nhận thấy rằng khi P tăng thêm một lượng dP thì biến dạng của thanh cũng tăng thêm và do đó công A cũng tăng thêm một lượng :
dA = dU = p.d(Δl) (a)
thể hiện gần đúng bằng diện tích dải chữ nhật BB”B1B1’ trên hình 2-27b. Từ công thức (2.10) ta tính được :
EF..P l
l =Δ (b)
dPEF
)(d ll =Δ (c)
Thay (c) vào (a) và tích phân theo P ta được :
dA dU PdPEF
= =l
P 2
0
PA U PdPEF 2EF
= = =∫l l (2.24)
Nếu để ý đến biểu thức (b), công thức (2.24) có thể viết dưới dạng khác :
ll
Δ=== .P21
EF.P.P
21UA (2.25)
Trong đó P và Δl lần lượt là giá trị lực nội lực dọc trục và biến dạng dài của thanh khi lực P đạt đến giá trị cuối cùng. Lưu ý rằng các công thức (2.24) và (2.25) được thiết lập cho thanh có mặt cắt không đổi, nội lực dọc trục là hằng số dọc theo trục thanh. Khi các điều kiện trên không thoả mãn, có nghĩa là lực dọc và mặt cắt ngang biến đổi dọc theo trục thanh, các công thức trên có thể áp dụng cho một đoạn thanh phần tử dz:
EF2dz.NdU
2z= (2.26)
Còn thế năng biến dạng tích luỹ trong toàn thanh sẽ là:
∫=l
0
2z
EF2dz.N
U (2.27)
Để tiện cho việc nghiên cứu về thế năng biến dạng đối với các trường hợp chịu lực khác, trong sức bền vật liệu ta đưa thêm định nghĩa về thế năng biến dạng riêng là phần thế năng tích luỹ trong một đơn vị thể tích của thanh, ký hiệu u, đại lượng thu được từ liên hệ (2.26):
41
2E2EF2N
dz.FEF2
dz.N
dVdUu zz
2z
2
2z
2z
εσ=
σ==== (2.28)
Từ liên hệ (2.28) ta có thể tính được năng lượng tích luỹ trong từng đoạn thanh phần tử dz hoặc trên toàn bộ thanh:
∫∫σ
==
σ==
v
2z
v
2z
dVE2
dV.uU
dVE2
dV.udU (2.29)
2.9. Bài toán siêu tĩnh về kéo (nén)
Trong các nghiên cứu ở phần trên ta chỉ đề cập đến các bài toán tĩnh định, nghĩa là khi xác định các phản lực liên kết giữa các thanh trong hệ hoặc giữa thanh với các kết cấu khác, hoặc xác định nội lực trong trong các thanh,... ta chỉ sử dụng đến các phương trình cân bằng tĩnh học (các phương trình cân bằng hình chiếu và cân bằng mômen). Nhưng trong thực tế ta còn gặp các kết cấu, ở đó số các phản lực liên kết cần xác định vượt quá số phương trình cân bằng tĩnh học có thể thiết lập, khi đó ta có bài toán siêu tĩnh, hay kết cấu siêu tĩnh. Trong trường hợp kết cấu siêu tĩnh chỉ có nội lực dọc trục (N) ta có bài toán siêu tĩnh kéo và nén. Để giải bài toán siêu tĩnh, việc làm đầu tiên là phải tìm các phương trình bổ xung thêm vào các phương trình cân bằng tĩnh đã viết để tạo ra hệ có số phương trình bằng số ẩn cần tìm. Thông thường các phương trình bổ xung là các phương trình tương thích về biến dạng của kết cấu siêu tĩnh. Để làm rõ cách giải bài toán siêu tĩnh ta xét một ví dụ đơn giản:
Xét thanh AB mặt cắt đều, bị ngàm chặt cả hai đầu, sơ đồ chịu lực như hình 2-28. Dưới tác dụng của lực P làm xuất hiện phản lực dọc trục tại các ngàm A và B lần lượt là VA và VB. Điều kiện cân bằng tĩnh, vì hệ lực VA,VB và P cùng giá, ta chỉ có thể viết được một phương trình chiếu lên phương trục thanh (z):
Σ z = 0 ⇔ VA + VB - P = 0 (a)
Trong (a) chứa hai ẩn lực VA và VB, ta phải tìm thêm phương trình thứ hai bổ xung với (a) tạo thành hệ hai phương trình. Ta nhận thấy rằng, dưới tác dụng của P các đoạn thanh AC và CB bị biến dạng dài, nhưng tổng chiều dài của thanh vẫn là l, có nghĩa là:
Δl = 0 (b)
Điều kiện Δl = 0 chính là phương trình bổ xung, nó kết hợp với phương trình (a) tạo thành hệ hai phương trình với hai ẩn số sử dụng công thức (2.10) để tính Δl:
EF
.32).PV(
EF
.31.V
l
EF.N
EF.N
AA
CBCBACACCBAC
ll
lllll
−+=Δ
+=Δ+Δ=Δ
(c)
Thay (c) vào (b) và giải hệ hai phương trình (a) và (b) ta nhận được:
Hình 2-28
2l/3
VB
B
A
VA
P 1 1
2 2l/3
C
42
3PV;
3P2V BA ==
Với bài toán trên, khi VA,VB đã được xác định, người ta có thể thực hiện tiếp các yêu cầu khác của bài toán, như tính nội lực, tính ứng suất, tính biến dạng, kiểm tra bền v.v...
Ví dụ 2-4: Cho một hệ gồm ba thanh thép cùng loại có mặt cắt ngang như nhau F = 4cm2, được nối khớp với nhau tại D. Biết vật liệu làm các thanh bằng thép có ứng suất cho phép [σ] =140MN/m2 (hình 2-29). Xác định trọng lượng tối đa của vật nặng P treo tại D, để các thanh trong hệ thoả mãn điều kiện bền? (Không xét đến trọng lượng bản thân của các thanh).
Bài giải:
Hệ đã cho được coi như có liên kết khớp tại các đầu thanh. Ngoại lực tác dụng lên hệ bao gồm tải trọng P đặt tại khớp D và các phản lực RA, RB và RC đặt tại các đầu thanh phía trên. Do không tính đến trọng lượng bản thân của mỗi thanh và trong phạm vi giữa hai đầu thanh không có ngoại lực tác dụng nên phương tác dụng của các phản lực trùng với phương trục thanh (xem hình vẽ).
Điều đó cũng có nghĩa là dưới tác dụng của tải trọng P, trên mặt cắt ngang của các thanh trong hệ chỉ có lực dọc trục Nz. Các nội lực này có giá trị đúng bằng giá trị các phản lực:
NAD = RA ; NBD = NB ; NCD = RC
Do vậy, trong trường hợp này, thay cho việc xác định các phản lực ta viết các phương
trình cân bằng và phương trình bổ xung thông qua các lực dọc Nz. Tưởng tượng dùng mặt cắt m-n cắt qua cả ba thanh, tách hệ thành hai phần độc lập nhau. Xét cân bằng của phần chứa tải trọng P (hình 2-29b), ta thấy đây là một hệ gồm bốn lực đồng quy tại D với 3 ẩn NAD, NBD và NCD. Trong trường hợp này ta chỉ có thể thiết lập được hai phương trình cân bằng hình chiếu:
ΣX =0 ⇔ NAD.sinα - NCD.sinα = 0 (a)
ΣY = 0 ⇔ NAD.cosα + NBD + NCD.cosα - P = 0 (b)
Để thiết lập phương trình bổ xung, ta đưa vào điều kiện tương thích về biến dạng của các thanh. Khi chịu tải P các thanh bị dãn, làm cho điểm D chuyển dời đến vị trị mới D’. Do hệ có cấu tạo đối xứng cả về hình học và cơ học nên độ dịch chuyển DD’ có phương trùng với phương thẳng đứng. Độ dãn dài của thanh giữa BD là ΔlBD = DD’, còn độ dãn dài của các
Hình 2-29
l=1,
5m
RA
P
CBA
RB RC
EF EFEF
D
D
30o 30o
α αα α
PD
D1D
NADNBD NCD
ΔlB
D
ΔlADx
y
a) b)
D2
43
thanh hai bên bằng nhau ΔlAD= ΔlCD, các biến dạng này thể hiện trên hình vẽ bằng các đoạn DD1 và DD2. Điểm D1 được xác định bằng cách vẽ một cung tròn tâm A bàn kính AD’, cung này cắt đường kéo dài AD tại D1, như vậy DD1 chính là độ dãn dài của thanh AD. Do biến dạng của thanh được xem là nhỏ nên tam giác DD1D’ được coi như có góc vuông tại D1. Từ các hệ thức trong tam giác vuông cho phép ta thiết lập biểu thức liên hệ giữa các biến dạng:
ΔlAD = ΔlBD.cosα (c)
Giải hệ ba phương trình (a),(b) và (c), ta sẽ tìm được giá trị các nội lực N:
Từ (a) ta suy ra:
NAD = NCD (d)
Thay (d) và (b) ta được :
2NADcosα + NBD – P = 0 (e)
Từ công thức (2.10) ta tính được:
EF.N
EF.N
cos.EF.N
EF.N
BDBDBDBD
ADADADAD
lll
lll
==Δ
α==Δ
(g)
Thay (g) vào (c):
α=α
cosEF
.NcosEF
.N BDAD ll (h)
Giải hệ hai phương trình (e) và (h) ta tìm được:
α+=
α+α
==
3BD
3
2
CDAD
cos.21PN
cos.21cosPNN
(i)
Vì ba thanh có mặt cắt ngang như nhau, nên lực dọc (Nz) trên thanh nào có trị tuyệt đối lớn nhất (Nz)max thanh đó sẽ có ứng suất pháp lớn nhất. So sánh các biểu thức nội lực (i) ta rút ra:
( )α+
== 3BDmaxz cos.21PNN
và theo điều kiện bền ta có:
( ) [ ]Fcos.21P][
F)N(
3maxz
maxz σ≤α+
⇔σ≤=σ
rút ra :
[ ] )cos21.(F.P 3 α+σ≤
Thay giá trị bằng số ta được:
MN10.7,128)30cos.21(10.4.140P 3034 −− =+≤
Chọn P = 128 KN.
44
BÀI TẬP 2.1. Cho một thanh chịu lực như trên hình 2-1B, diện tích mặt cắt ngang F = 4cm2, mô
đun đàn hồi của vật liệu làm thanh E = 2.108kN/m2, chịu tác dụng của các lực
P1 = 20kN, P2 = 30kN . Vẽ biểu đồ nội lực (Nz) và tính chuyển vị của các mặt cắt B và C. Cho a = 1m, b = 2m.
2.2. Cho một thanh có mặt cắt không đổi, chịu lực như hình 2-2B. Vẽ biểu đồ lực dọc và tính biến dạng dài của thanh theo P, a, E, F.
2.3. Một thanh phẳng có bề dày không đổi, bề rộng biến đổi theo hàm bậc nhất, chịu một lực tập trung P ở đầu tự do như trên hình 2-3B. Vẽ biểu đồ lực dọc và tính biến dạng dài toàn phần Δl của thanh. Biết mô đun đàn hồi của vật liệu là E.
a
B
A
C P2
b
P1
a
P
2a
2a
a
EF
P
b
h
P
l
Hình 2-2B Hình 2-1B
P
2P
2b
P
Hình 2-3B
45
2.4. Cho các thanh chịu lực như hình 2-4B. Vẽ biểu đồ lực dọc, tính ứng suất kéo, ứng suất nén lớn nhất trong thanh và biến dạng dài toàn phần Δl của thanh. Cho E = 2.108kN/m2.
2.5. Vẽ biểu đồ nội lực và tính chuyển vị dọc trục của đầu tự do của thanh chịu lực như trên hình 2-5B. Cho biết E = 2.105MN/m2.
2.6. Cho một cột như hình 2-6B chịu tác dụng của một lực tập trung P và trọng lượng bản thân.
a) Tính ứng suất tại điểm đặt lực B.
b) Tính chuyển vị của đầu tự do A của cột.
Biết diện tích mặt cắt ngang là F, trọng lượng đơn vị của cột là q, mô đun đàn hồi của vật
q=15kN/m
F=20cm2
EF
a
2EF
2P
3a
a 2a
P
a)
300kN
500kNN
80cm
60
cm
b
20cm
b
Hình 2‐4B
60kN
60kN
40kN
2m
2m
2m
b) c)
b
D
D=
q =4kN/m
P=2kN
F=4cm2
1,5m 1m
Hình 2-5B
b a
A
B
P
Hình 2-6B
46
liệu làm cột là E.
2.7. Một dầm cứng tuyệt đối AB cứng tuyệt đối được treo bằng hai thanh thép tròn AD và BC có cùng chiều dài l = 2m như trên hình 2.7B. Đường kính của thanh AD là d1 = 20mm, của thanh BC là d2 = 25mm. Tại điểm I ở trên dầm đặt lực P = 100kN.
a) Tính chuyển vị của điểm I, biết E = 2.105MN/m2.
b) Xác định lực P lớn nhất có thể đặt vào dầm, biết ứng suất cho phép [σ] =24kN/cm2-.
2.8. Xác định kích thước mặt cắt ngang của cột cao 30m, được chia làm 3 đoạn bằng nhau, mỗi đoạn có mặt cắt hình vuông như trên hình 2.8B. Biết cột có trọng lượng riêng
3m/kN20=γ và [ ] 2m/MN1=σ . Cột chịu lực nén P = 600 kN.
2.9. Thành tường chắn nước được giữ bởi các thanh chống AB cách đều nhau một khoảng bằng a như trên hình 2-9B.Thanh chống tròn có đường kính d = 1,5 cm và có [ ] 2m/MN2=σ . Xác định khoảng cách a giữa 2 thanh chống. Trọng lượng riêng của nước lấy bằng 10 kN/m3.
l
a2a
IPA B
CD
Hình 2-7B
D
3m
Hình 2-11B
300
B CP T
300A
Hình 2‐10B
100 c
m
A
C D
O
K
E F
50 c
m
Q
B
a3 a1 a2
P
Hình 2‐8B
10m
10m
10m
d H
=4m
h=3m
Hình 2-9B)
A
B C
3m
47
2.10. Một bộ phận nâng hàng như hình 2-10B. Thanh AB có mặt cắt ngang là hình chữ nhật 1,37×2,74 cm2. Chiều dài các thanh OC và OD bằng 60 cm. Khoảng cách OK = 10 cm.
Xác định trọng lượng Q của vật nâng theo điều kiện bền của thanh AB. Biết ứng suất cho phép của các thanh [σ] =16 kN/cm2.
2.11. Người ta dùng một giá chữ A để nâng một vật nặng P = 10kN thông qua một ròng rọc như hình 2-11B.
a) Tính lực căng và ứng suất trong dây kéo, biết diện tích mặt cắt ngang của dây là F = 1cm2.
b) Tính lực căng của đoạn dây AD nối ròng rọc với đỉnh giá A.
c) Tính nội lực và ứng suất trong hai cột của giá, biết diện tích mặt cắt ngang của mỗi cột là Fc = 20cm2.
Khi tính bỏ qua trọng lượng của hai thanh AB và AC.
2.12. Tính đường kính của cần pittông trong xilanh như hình 2-12B. Cho biết: áp lực hơi trong xilanh p = 120N/cm2, đường kính trong của xilanh D = 40cm, ứng suất cho phép của vật liệu làm cần pittông [σ] = 5kN/cm2.
2.13. Một cột gạch hình bậc, mặt cắt hình vuông chịu lực nén P = 10kN đặt ở đầu cột như trên hình 2-13B. Tính ứng suất ở các mặt cắt a-a và b-b trong hai trường hợp:
a) Không xét đến trọng lượng bản thân cột.
b) Có xét đến trọng lượng bản thân cột.
Biết trọng lượng riêng của cột γ = 20kN/m3.
2.14. Tính hệ số an toàn của các thanh thép AB và CD trong kết cấu trên hình 2-14B. Thanh AB có mặt cắt tròn đường kính d = 32mm. Thanh CD có mặt cắt ngang ghép bởi 2 thép góc L 100×100×10. Giới hạn chảy của thép σch = 22kN/cm2. Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm A. Biết thanh AB dài 3m, thép có mô đun đàn hồi E = 2.105MN/m2.
Pp
D
d
Hình 2-12B
A
B
M
D
P
C
E F
2m
1m
Hình 2-15B
∅32
1,2m
q=50kN/m
4,5m
1,5m1,5m
A
BC
D
100x100x10
P=60kN
Hình 2-14B
a
P
a
b b
3m
3m
0,46m
0,50m
Hình 2-13B
I I
I I
B
48
2.15. Một tấm cứng M được cố định bằng ba thanh thép đều dài 1m, diện tích mặt cắt ngang F = 20cm2 như trên hình 2-15B. Tấm cứng chịu tác dụng của lực ngang P =100kN. Cho E = 2.105MN/m2. Hãy tính:
a) Ứng suất trong các thanh.
b) Chuyển vị ngang, chuyển vị thẳng đứng và chuyển vị toàn phần của điểm B.
2.16. Xác định giá trị của lực P, biết rằng ứng suất pháp trên mặt cắt xiên1-1 đi qua điểm A bằng 6kN/cm2
(xem hình 2-16B).
2.17. Xác định kích thước mặt cắt ngang của các thanh 1, 2, 3 trên hình
2-17B. Dầm AB coi như cứng tuyệt đối,thanh 1 được ghép bởi 2 thép góc đều cạnh, thanh 2 và 3 có mặt cắt chữ I cùng số hiệu. Biết a = 0,4m, [σ] =16kN/cm2.
2.18. Tính chuyển vị thẳng đứng của khớp A trong các kết cấu cho trên hình 2-18B.
Các thanh đều bằng thép có E = 2.104kN/cm2 và có độ cứng EF không đổi. Các dầm AB và EC coi như cứng tuyệt đối.
2.19. Một dầm AC cứng tuyệt đối có trọng lượng một mét dài là q và chịu lực P như hình 2-19B. Xác định vị trí của khớp B (khoảng cách x) sao cho trọng lượng của thanh treo BD là nhỏ nhất.
2.20. Thanh có mặt cắt thay đổi bậc bị ngàm cứng hai đầu, chịu lực P và lực phân bố đều
có cường độ là q = aP như hình 2-20B. Mô đun đàn hồi của vật liệu làm thanh là E, diện tích
mặt cắt của các đoạn ghi trên hình vẽ.
P
2PF=3cm2
A1
1 450
Hình 2-16B
2aa a
q=800kN/m
1 2 3
300 300
Hình 2-17B
A B
P=150kN
3l
2l
a a
CD E
GH
A K B
P F
F
C
A
63x63x6
No 12
300
300
2m
ϕ ϕ
Hình 2-18B
a) b)
B
49
Tính phản lực ở các ngàm và vẽ biểu đồ nội lực của thanh.
2.21. Dầm cứng tuyệt đối AB được treo bằng hai thanh cùng vật liệu, có diện tích mặt cắt và chiều dài khác nhau. Tìm vị trí đặt lực P để cho dầm AB vẫn nằm ngang khi các thanh treo
biến dạng (xem hình 2-21B). Các thanh có môđun đàn hồi E nhưng diện tích tương ứng là F1, F2.
2.22. Một tấm tròn cứng tuyệt đối đặt trên ba cột có diện tích mặt cắt bằng nhau bố trí như hình 2-22B. Các cột làm bằng vật liệu có ứng suất cho phép là [σ]. Xác định diện tích
mặt cắt ngang của các cột.
2.23. Một dầm cứng tuyệt đối được treo bằng ba thanh thép và chịu tác dụng của lực P như hình 2-23B. Tính nội lực trong các thanh thép. Biết mô đun đàn hồi là E.
2.24. Vẽ biểu đồ lực dọc của thanh bị ngàm hai đầu như hình 2-24B.
D
A BP
C
l
Hình 2-19B
x h 0.6F 0.8F F
a/3 a/3 a/3
P q
Hình 2-20B
a/2a/2
a/2
P 2P C O
C
Hình 2-22B
O
2F F F1 32
1
3
2 600
600
1m
1,5m
0,5m
x PC B A
Hình 2-21B
2F
1
50
2.25. Một bu lông bằng thép được lồng vào trong một ống đồng như hình 2-25B. Tính ứng suất trong bu lông và trong ống đồng khi ta vặn ốc 1/4 vòng. Bước ren của bu lông là 3mm.
Cho Et = 2.104kN/cm2, Eđ = 1.104kN/cm2.
2.26. Cho một hệ thanh có kích thước và chịu lực như hình 2-26B. Thanh 1 có diện tích mặt cắt là F1, mô đun đàn hồi là E1, thanh 2 có diện tích mặt cắt là F2, mô đun đàn hồi là E2, các thanh còn lại coi như cứng tuyệt đối. Xác định chuyển vị ngang và chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực.
2.27. Thanh gẫy khúc ABC cứng tuyệt đối đặt trên gối A và được giữ bằng ba thanh CD, BE, BF có cùng diện tích mặt cắt ngang, cùng vật liệu như trên hình 2-27B. Tính nội lực của các thanh này khi hệ chịu tác dụng của lực P.
20
25
454
750
Hình 2‐25B
đồng thép
a a
a a
2F
F
P
P
Hình 2-24B 2m
2F
1m
F 3F
2 31
3m
4m
Hình 2‐23B
P
51
2.28. Cho hệ chịu lực như trên hình 2-28B. Tất cả các thanh treo đều làm bằng cùng loại vật liệu có [σ] =160MN/m2, các thanh AB, CD được xem là tuyệt đối cứng . Cho P = 100 kN, q = 100 kN/m, M = 5 kNm.
Yêu cầu :
1) Tính diện tích mặt cắt ngang của các thanh treo 1, 2, 3.
2) Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm B.
2.29. Cho hệ như trên hình 2.29B. Yêu cầu :
1) Xác định nội lực trong các thanh 1, 2, 3 theo q, a, b và α .
2) Xác định diện tích mặt cắt ngang của thanh 3. Biết thanh có [ ] 2m/MN8=σ , cho a = 4m, b = 3m, q = 20kN/m.
2.30. Cho hệ chịu lực như hình 2-30B. Thanh AB tuyệt đối cứng, các thanh CD và BE cùng vật liệu và kích thước. Yêu cầu:
1) Xác định nội lực trong các thanh CD và BE (theo M và a).
2) xác định M theo điều kiện bền của hệ. Biết a = 1,2m; F = 8cm2; [ ] 2120MN /mσ = .
Hình 2.28B
1,5m 1m 1,5m 1m
M P
q
1
2 3
B
B’ D G
A
a a
a
300
300
P
A
B
C
D
F
E
Hình 2-27B
a
a
a a
a
1
2
Hình 2‐26B
P
52
2.31. Cho hệ như trên hình 2-31B. Thanh AB cứng tuyệt đối. Thanh 1 bằng đồng có 2
1 cm1F = , thanh 2 bằng thép 22 cm5,1F = , thanh 3 bằng nhôm có 2
3 cm2F = . Biết , P = 30 kN 24
1 cm/kN10.1E = , 242 cm/kN10.2E = 24
3 cm/kN10.7,0E = . Yêu cầu xác định ứng suất trong các thanh.
2.32. Cho hệ chịu lực như trên hình 2-32B. Tất cả các thanh 1, 2, 3, 4 đều bằng thép CT3 số hiệu IN014. Cho q = 20kN/m, M =2qa2, a = 2m, b =1,5m, [ ] 2m/MN160=σ , E = 2.108kN/m2, 030=α , thanh AB tuyệt đối cứng. Yêu cầu :
1) Kiểm tra bền cho hệ.
2) Xác định chuyển vị của điểm A.
2.33. Cho hệ như trên hình 2-33B. Biết thanh AB tuyệt đối cứng, thanh BC và DE có cùng độ cứng EF, q = 15kN/m, P = 20kN, F = 3cm2, E =
28 m/kN10.2 . Yêu cầu :
1) Xác định nội lực trong các thanh BC và DE.
2) Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm D.
Hình 2‐30B
A
D
C
E
M
a
EJ = ∞
a
a
B
a a
E
A B
C D
1
2
3
α
α
q
b
a
a
Hình 2-29B
a
2,0
1
2
3
1,00 0,5m 0,75
P
1,5
A B
Hình 2.31B
Hình 2-33B
C
E
α=30o P
q
A B
D
EF
2m 4m
4/ 3 m
q
b α
A B
D I
M
K
a a
Hình 2.32B
1
4 2
3
53
2.34. Cho hệ như trên hình 2-34B. Các dây cáp neo đều làm bằng một loại vật liệu có cùng E và F. Cột AB tuyệt đối cứng. Yêu cầu tính F=? và chuyển vị của điểm A. Biết q=300N/m, P=2000 N, [ ] 2cm/kN35=σ , 24 cm/kN10.6,1E = . Chú ý rằng dây cáp chỉ chịu kéo.
2.35. Cho hệ như trên hình 2-35B. 2 thanh AB và EC cứng tuyệt đối, các thanh còn lại có cùng EF. Yêu cầu xác định chuyển vị thẳng đứng của điểm A: yA , của điểm K: yK và vẽ đồ thị quan hệ giữa yA và ϕ khi ϕ biến đổi từ 0 đến 2/π , a, l không thay đổi.
2.36. Cho hệ như trên hình 2-36B. các thanh có độ cứng lần lượt là 11FE , 22FE . Các thanh AC và AD có chiều dài 2l . Vẽ đồ thi quan hệ giữa chuyển vị của điểm A: yA và vị trí đặt lực P khi P di chuyển đủ chậm từ A đến B.
2.37. Cột AC ngàm hai đầu, diện tích mặt cắt ngang 4F được gia cường bằng hai thanh BD và B’D’ có diện tích mặt cắt ngang F bố trí đối xứng như hình 2-37B.
Xác định các phản lực ở hai đầu cột và nội lực trong các thanh, nếu tại mặt cắt BB’ ngời ta đặt một lực thẳng đứng P = 30 kN. Chọn mặt cắt của cột và của các thanh từ điều kiện bền của kết cấu. Cho biết cột và thanh đều có [σ]k = 160 MN/m2, [σ]n = 80 MN/m2.
Hình 2-36B
A
D
E1,F1
C
α
h
B
P
α
x
E2,F2 E2,F2
3l/4
l l/4
F F 4F
D D’ C
B B’P
3030
Hình 2-37B
A
Hình 2-35B
a a
ϕ ϕ
2l
3l
A B P
K
E C D
G H A
P
20m
Hình 2-34B
15m
5m
20m 20m B
q
54
2.38. Vẽ biểu đồ lực dọc của thanh chịu lực như hình 2-38B.
2.39. Vẽ biểu đồ lực dọc của các thanh cho trên hình 2-39B. Tính giá trị lớn nhất của ứng suất trong các thanh. Biết E=2.104kN/cm2, kích thước ghi trên hình vẽ có đơn vị là mm.
2.40. Tính khe hở δ theo điều kiện bền của các thanh đều làm bằng cùng loại vật liệu có mô đun đàn hồi E và ứng suất cho phép [σ] (hình 2-40B).
2.41. Tính ứng suất trong các đoạn thanh khi nhiệt độ trong thanh tăng Δt 0 C. Các đoạn thanh đều cùng một loại vật liệu (hình 2-41B).
2.42. Một thanh gồm hai đoạn thép và nhôm cùng chiều dài l = 50cm, cùng diện tích mặt cắt ngang F = 30cm2, mô đun đàn hồi Et = 2.108kN/m2, En = 0,7.108kN/m2 và ngàm hai đầu
a a
a a
a a
δ=
Pa/E
F
2F
4F
F
P
B
C
D
HK
2P
4P
Hình 2-38B
A
400
400
0,15
F=12 cm2
b)
P=120 kN
F=6 cm2
500
500
0,3
P= 240 kN
F=15 cm2
a)
Hình 2-39B
2F
F
1,5F
a a
a
Hình 2-41B
B
A
l l
DCA
A
En, F Et, F
Hình 2-42B
A
l
Hình 2.40B
l l
δ
D
B C E,F
E
lE,2F
55
như hình 2-42B.Tính ứng suất trong hai đoạn nhôm và thép khi nhiệt độ giảm đi Δt = 500C. Hệ số dãn nở của thép αt = 12.10-6 (1/độ), của nhôm αn = 23.10-6 (1/độ).
2.43. Cho hệ như trên hình 2.43B. Tăng dần lực P. Khi P = P1 thì đĩa cứng tuyệt đối D chạm vào gôi C. Tăng tiếp tục P = P2 thì đầu dưới của thanh chạm vào gối B. Cho E =
24 cm/kN10.2 .Yêu cầu:
1) Xác định các giá trị P1 và P2 =?
2) Vẽ đồ thị quan hệ giữa lực P và chuyển vị của điểm M khi P tăng từ 0 đến 2P2.
P
60cm
30cm 60cm
A
B
C D mm1,01 =δ
Hình 2-43B
2 0,25mmδ =
56
CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
3.1. Khái niệm Trong chương 1 ta đã biết trong vật thể cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực, ứng
suất có độ lớn, phương, chiều thay đổi tuỳ theo từng điểm, và tại mỗi điểm nó lại thay đổi theo phương của mặt cắt đi qua điểm đó. Tập hợp tất cả các ứng suất tại một điểm theo mọi phương được gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó. Tuy nhiên, như trong chương 1 đã trình bày, ứng suất là cường độ của nội lực trên một đơn vị diện tích, nó là lực phân bố mặt, do đó trạng thái ứng suất tại một điểm thực chất là tập hợp tất cả các ứng suất trên các mặt của phân tố bao quanh điểm đó. Lý thuyết nghiên cứu về sự biến thiên của ứng suất quanh một điểm gọi là lý thuyết trạng thái ứng suất.
Từ một vật thể cân bằng, ta tách ra một phân tố hình hộp vô cùng nhỏ bao quanh một điểm nào đó có các cạnh là dx, dy, dz, có các mặt vuông góc với các trục toạ độ xyz như trên hình 3-1a. Như vậy trên các mặt của phân tố sẽ có 9 thành phần ứng suất là:
σx σy σz τxy τxz τyx τyz τzx τzy (3.1)
được phân bố trên các mặt của phân tố như trên hình 3-1b, trong đó các cặp ứng suất tiếp:
τxy = τyx
τyz = τzy (3.2)
τzx = τxz
Các liên hệ (3.2) được rút ra từ các phương trình cân bằng mô men lấy lần lượt đối với các trục toạ độ x,y,z. (3.2) còn được gọi là luật đối ứng của ứng suất tiếp. Luật này phát biểu như sau: Trên 2 mặt vuông góc với nhau, nếu như mặt này
Hình 3-1
C
x
y
o
z
x
y
z
σy
σx
σz
τyz
τyxτxy
τxz τzy
τzx
a) b)
Hình 3-2
a) b)
57
có ứng suất tiếp thì mặt kia cũng có ứng suất tiếp, các ứng suất tiếp này bằng nhau về trị số nhưng ngược nhau về dấu. Với quy ước dấu như trong chương 1 thì các ứng suất này cùng đi vào cạnh chung (giao tuyến của 2 mặt) hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung như trên hình 3-2.
Như vậy trên các mặt của phân tố gồm 9 thành phần ứng suất, trong đó có 3 thành phần ứng suất pháp và 6 thành phần ứng suất tiếp, nhưng chỉ có 6 thành phần độc lập. Các thành phần ứng suất tại một điểm phụ thuộc vào phương của mặt cắt qua điểm đó, do đó nếu mặt cắt qua điểm xét thay đổi phương liên tục thì đến vị trí nào đó trên mặt cắt sẽ không có ứng suất tiếp. Mặt đó gọi là mặt chính. Như vậy mặt chính là mặt trên đó ứng suất tiếp bằng không. Pháp tuyến ngoài của mặt chính gọi là phương chính. Ứng suất pháp trên mặt chính gọi là ứng suất chính. Người ta cũng đã chứng minh được rằng tại một điểm trong vật thể cân bằng, bao giờ cũng tìm được 3 mặt cắt vuông góc với nhau, mà trên tất cả các mặt này không có ứng suất tiếp. Phân tố được tạo bởi 3 mặt này được gọi là phân tố chính. Các ứng suất chính này được biểu diễn bằng σ1, σ2, σ3 với quy ước là:
σ1 > σ2 > σ3
Trong công thức trên các ứng suất được quy định cả trị số và cả dấu. Ví dụ ta có phân tố chính có các ứng suất chính là –200 MN/m2, +5MN/m2 và –30MN/m2 thì:
23
22
21 m/MN200,m/MN30,m/MN5 −=σ−=σ+=σ .
Dựa vào các ứng suất chính ta phân trạng thái ứng suất thành 3 loại:
+ Trạng thái ứng suất khối (trạng thái ứng suất không gian): Là trạng thái ứng suất mà phân tố chính của nó có cả 3 ứng suất chính khác không như trên hình 3-3a.
+ Trạng thái ứng suất phẳng: Là trạng thái ứng suất khi phân tố chính của nó có 2 thành phần ứng suất chính khác không (hình 3-3b).
+ Trạng thái ứng suất đơn (đường): Là trạng thái ứng suất mà phân tố chính của nó chỉ có một thành phần ứng suất chính khác không (hình 3-3c). Ta đã gặp trạng thái ứng suất này trong chương 2 - chương kéo (nén) thanh thẳng. Trạng thái ứng suất này là trạng thái ứng suất đơn giản nhất nên còn được gọi là trạng thái ứng suất đơn.
σ2
σ1
σ3
σ2
σ1
σ3
σ2
σ1
σ2
σ1 σ σ
a) b) c)
Hình 3-3
58
Trạng thái ứng suất khối và trạng thái ứng suất phẳng được gọi là trạng thái ứng suất phức tạp. Trong các kết cấu thực tế, nếu ta chấp nhận một số giả thiết để đơn giản hoá quá trình tính toán thì nhiều bài toán ta có thể đưa về trạng thái ứng suất phẳng. Do đó ta sẽ xem xét tỷ mỷ trạng thái ứng suất này.
3.2. Trạng thái ứng suất phẳng
3.2.1. Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp giải tích 1. Ứng suất trên mặt nghiêng
Như ta đã biết, khi phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng thì các thành phần ứng suất chỉ xẩy ra trong mặt phẳng, ở đây ta chọn mặt phẳng này là mặt phẳng xy. Tại một điểm trong vật thể cân bằng trong trạng thái ứng suất phẳng ta tách ra một phân tố hình hộp có các mặt song song với các mặt phẳng toạ độ và có mặt z là mặt chính. Cắt phân tố này bằng một mặt nghiêng u (mặt có pháp tuyến ngoài là trục u) ta được một phân tố lăng trụ tam giác như trên hình 3-4a và có hình chiếu đứng như hình 3-4b. Trục u nghiêng với trục x góc α với quy ước α > 0 khi lấy góc theo chiều thuận kim đồng hồ từ trục u tới trục x.
Gọi diện tích của mặt ABCD là F, thì diện tích của mặt ABEF là Fcosα, còn diện tích của mặt EFCD là Fsinα.
Trên các mặt của phân tố có các ứng suất như trên hình 3-4, trong đó các thành phần ứng suất σx, σy, τxy đã biết, ta hãy xác định các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng u: σu và τuv.
Phân tố nằm trong trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các thành phần ứng suất trên các mặt. Để tìm các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng u ta sử dụng các phương trình hình chiếu lên các trục u và v:
∑ ⇒= 0u
0cos.sinFsin.cosFsin.sinFcos.cosFF yxxyyxu =αατ+αατ+αασ−αασ−σ
Hình 3-4
y
x
z v
u
σx
σy
τxy
τyx
σu
τuv α
A B
C
DE
F dz
dx
dy
x
u
σx
σy
τxy
τyx
τuv
σu
α
a) b)
59
∑ ⇒= 0v
0sin.sinFcos.cosFcos.sinFsin.cosFF yxxyyxuv =αατ+αατ−αασ+αασ−τ
Giải hệ 2 phương trình trên và chú ý rằng τxy = τyx và một vài biến đổi lượng giác:
sin 2α = 2 sinα.cosα
cos2α = cos2α - sin2α
ta được:
ατ−ασ−σ
+σ+σ
=σ 2sin2cos22 xy
yxyxu ατ+α
σ−σ=τ 2cos2sin
2 xyyx
uv
(3.3)
Thay α bởi α +900 vào (3.3) ta tính được các thành phần ứng suất trên mặt v vuông góc với mặt u:
ατ+ασ−σ
−σ+σ
=σ 2sin2cos22 xy
yxyxv
ατ−ασ−σ
−=τ 2cos2sin2 xy
yxvu (3.4)
Từ (3-3) và (3-4) ta có:
constyxvu =σ+σ=σ+σ (3.5)
và vuuv τ−=τ (3.6)
Biểu thức (3.4) là bất biến của trạng thái ứng suất, nghĩa là vị trí của 2 mặt cắt vuông góc với nhau thay đổi nhưng tổng các ứng suất pháp trên 2 mặt cắt đó không thay đổi, còn (3.6) chính là biểu thức của luật đối ứng của ứng suất tiếp đã có ở trên.
2. Ứng suất chính và phương chính
Như trên đã trình bầy, qua một điểm trong vật thể cân bằng bao giờ ta cũng tìm được mặt cắt đi qua điểm này là mặt chính, nghĩa là trên mặt đó ứng suất tiếp bằng không. Ta hãy tìm ứng suất chính và phương của mặt chính này.
+ Mặt chính và phương chính: Từ (3.4) ta thấy ứng suất phụ thuộc vào góc nghiêng của mặt cắt nên sẽ có một mặt nghiêng u nào đó trở thành mặt chính, nghĩa là trên mặt này ứng suất tiếp bằng không.
Từ (3.3) cho ⇒=τ 0uv được:
yx
xy0
22tg
σ−σ
τ−=α (3.6)
Đặt:
60
yx
xy2tg
σ−σ
τ−=β
Thay vào (3-6) và giải ra ta được:
00 90k
2+
β=α
Như vậy (3.6) có 2 nghiệm α1 và α2 chênh nhau một góc 900, có nghĩa là 2 mặt chính vuông góc với nhau. Công thức (3.6) cho phép ta xác định được các phương chính. Ta hãy xác định các ứng suất chính.
+ Ứng suất chính:
Từ (3.3) ta có:
022cos2sin2
2dd
0
00
uvxyyxu =τ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ατ+α
σ−σ−=
ασ
α=αα=αα=α
Như vậy ứng suất chính là các ứng suất cực trị. Trong trạng thái ứng suất phẳng có 2 ứng suất chính, đó là σmax và σmin. Để tìm các ứng suất này ta chỉ việc thay α0 từ (3.6) vào (3.3) sẽ được:
2xy
2yxyx
minmax 22
τ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ±
σ+σ=σ (3.7)
Trong (3.7) trước số hạng thứ 2 lấy dấu + ứng với σmax, lấy dấu - ứng với σmin. Cũng từ (3.7) ta có:
constyxminmax =σ+σ=σ+σ
Ta lại gặp lại biểu thức bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất.
+ Ứng suất tiếp cực trị và phương của nó:
Từ (3.3) ta cũng thấy ứng suất tiếp tại một điểm cũng phụ thuộc vào phương của mặt cắt, do đó ứng suất này cũng sẽ đạt cực trị khi:
0d
d uv =α
τ
Đặt (3.3) vào phương trình trên ta được:
0xy
yx 2gcot2
*2tg α=τ
σ−σ=α (3.8)
Do đó: 0
0 45k* +α=α
Như vậy, những mặt có ứng suất tiếp cực trị nghiêng với mặt chính một góc 450. Dựa vào (3.8) có thể xác định được những mặt có ứng suất tiếp cực trị, còn giá trị của
61
các ứng suất tiếp cực trị được tính bằng cách đặt (3.8) vào (3.4) và sau một vài biến đổi ta được:
2xy
2yx
minmax 2
τ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ±=τ (3.9)
Ví dụ 3-1: Phân tố cho trên hình 3-5 nằm trong trạng thái ứng suất phẳng. Hãy xác định các ứng suất trên mặt nghiêng m-m và các ứng suất chính.
Bài giải:
Chọn hệ trục toạ độ có trục x nằm ngang, y thẳng đứng. Phân tố có các ứng suất: 02
xy2
y2
x 30,m/MN5,12,m/MN25,m/MN50 −=α−=τ−=σ=σ
Thay các giá trị này vào (3.3) được các ứng suất trên mặt nghiêng m-m:
( ) ( ) ( ) ( ) 200u m/MN4,20302sin5,12302cos
22550
22550
=−−−−−−
+−
=σ
( ) ( ) ( ) ( ) 200uv m/MN7,38302cos5,12302sin
2
2550−=−−+−
−−=τ
Phương của σu và τuv cho trên hình 3-5.b.
Thay giá trị các ứng suất σx, σy, τxy vào (3.7) được giá trị các ứng suất chính:
( ) ( ) 222
max m/MN3,528,395,125,122
20502
2550=+=−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
+−
=σ
( ) ( ) 222
min m/MN3,278,395,125,122
20502
2550−=−=−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
−−
=σ
Từ (3.6) có:
( )( ) '119rad1617,0333,0
25505,1222tg 0
max0 ==α⇒=−−
−−=α
Hình 3-5
a) b)
m
m
x
uα
σu τuv
m
m 600
50 MN/m2
12,5 MN/m2
25 MN/m2
y
62
3.2.2. Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp đồ thị - Vòng tròn Mo ứng suất
Ở trên ta đã xác định được ứng suất tại một điểm trên mặt nghiêng bất kỳ theo công thức (3.3). Từ (3.3) chuyển vế và bình phương được:
2
xyyx
2yx
u 2sin2cos22 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ατ−α
σ−σ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ+σ−σ
2
xyyx2
uv 2cos2sin2 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ατ+α
σ−σ=τ
Cộng vế với vế của 2 đẳng thức trên được:
22
22
22 xyyx
uvyx
u τσσ
τσσ
σ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− (3.10)
Đặt :
2C yx σ+σ
= ; 2xy
2yx
2R τ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ+σ= (3.11)
thì (3.9) có dạng:
( ) 22uv
2u RC =τ+−σ (3.12)
Đây là phương trình đường tròn tâm C bán kính R trong hệ toạ độ σu và τuv. Mỗi điểm trên vòng tròn này có toạ độ σu và τuv chính là ứng suất tại điểm xét và trên mặt cắt u nào đó đi qua điểm xét. Nói cách khác, vòng tròn này biểu thị trạng thái ứng suất tại một điểm, là tập hợp các ứng suất tại một điểm theo mọi phương, do đó nó được gọi là vòng tròn ứng suất hay vòng tròn Mo ứng suất. Dựa trên vòng Mo ứng suất này chúng ta hoàn toàn có thể nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm của một vật thể cân bằng.
Ta hãy xem xét cách vẽ vòng tròn này. Để vẽ vòng tròn chúng ta phải xác định được tâm C và một điểm nằm trên vòng tròn gọi là điểm cực P. Như vậy vòng tròn có tâm C và bán kính R = CP. Để vẽ vòng tròn ta tiến hành theo trình tự sau:
- Chọn hệ trục toạ độ là hệ trục σu và τuv, thường chọn trục σu song song với trục x.
- Trên trục hoành lần lượt lấy 2 điểm A và B có hoành độ là σy và σx theo một tỷ lệ xích nhất định, tức là :
yx OA,OB σ=σ=
Khi dựng các đoạn OA và OB phải kể tới dấu của các ứng suất.
63
- Tại A dựng đoạn AP có tung độ bằng τxy (chọn cùng tỷ lệ xích như bước trước và cũng chú ý tới dấu của ứng suất), điểm P gọi là cực của vòng Mo, còn tại B dựng đoạn BP' có tung độ τyx. Đường thẳng nối PD cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ
OC=2
yx σ+σ như trên hình 3-6.
- Dựng vòng tròn tâm C bán kính CP chính là vòng Mo ứng suất. Thực vậy, vòng tròn này có tâm C có hoành độ:
OC= 2
yx σ+σ
và bán kính :
R= 2XY
2
YX22
2CPACCP τ+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ σ+σ=+=
đúng như biểu thức (3.11).
Ta cũng có thể vẽ vòng Mo theo toạ độ. Cũng như cách trên, ta phải xác định 2
điểm C và P. Tâm C có toạ độ C ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ+σ0,
2yx , cực P có toạ độ P ( )xyy ,τσ . Sau khi dựng
được 2 điểm C và P ta sẽ dựng được vòng tròn tâm C bán kính R =CP .
Có thể dùng vòng Mo để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm như đã làm bằng phương pháp giải tích ở phần trên, có nghĩa là dùng vòng Mo ta có thể xác định được ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ, các ứng suất chính, phương chính, các ứng suất tiếp cực trị.
* Tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng:
Để tìm ứng suất trên mặt nghiêng u nào đó với pháp tuyến u của mặt cắt làm với trục x một góc α ta tiến hành như sau: Từ cực P trên vòng tròn, ta kẻ một đường thẳng song song với trục u đã cho (hoặc kẻ đường thẳng hợp với phương của trục x- phương ngang- một góc α), đường thẳng này cắt vòng tròn tại điểm K như trên hình 3-7. Toạ độ của điểm K(σu, τuv) chính là các ứng suất trên mặt nghiêng α.
Hình 3-6
τxy
O σ // x
P
P’
C A B
τxy
τyx
σy
σx
σx+σy
2
Hình 3-7
τxy
O σ
P
CA B
σmin
σx
σmax
L M σy
I
E
Kuσu
τuv
θβ
τuvατxy
64
Thực vậy, theo hình 3-7 ta có:
OE = OC + CE
trong đó:
2OC yx σ+σ
=
CE = CKcosθ = CKcos(2α + β)
= CK cosβcos2α - CK sinβsin2α
= CI cosβcos2α - CI sinβsin2α
= CB cos2α - BI sin2α
= ατ−ασ−σ
2sin2cos2 xy
yx
Vậy hoành độ của điểm K:
ατ−ασ−σ
+σ+σ
= 2sin2cos22
OE xyyxyx
và tung độ của điểm K:
EK = CK sinθ = CI sin(2α + β)
= CI cosβsin2α + CI sinβcos2α
= CB sin2α + BI cos2α
= ατ+ασ−σ
2cos2sin2 xy
yx
So sánh với (3.3) ta thấy ngay toạ độ của điểm K đúng bằng các ứng suất trên mặt nghiêng u.
* Tìm các ứng suất chính:
Ta nối điểm cực P với các giao điểm L và M của vòng tròn Mo với trục hoành như trên hình 3-8 ta sẽ được :
maxmin OM,OL σ=σ= , còn PM chính là phương chính σmax, PL là phương chính σmin.
Thật vậy, như trên đã nói mỗi điểm trên vòng tròn biểu diễn ứng suất trên mặt nghiêng nào đó, mà điểm L và M có tung độ bằng không, tức là ứng với mặt nghiêng có ứng suất
Hình 3-8
τ
O
σ
P
C A B
σmin
σmax
L M
τmax
2α
450
α
αmax
τmin
H
N
65
tiếp bằng không, đó chính là các mặt chính. Như vậy hoành độ của các điểm L và M là các ứng suất chính. Ta phải chứng minh các ứng suất này có giá trị đúng như công thức (3.7). Thật vậy:
OM = OC + CM = OC + R = 2xy
2yxyx
22τ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ+
σ+σ= σmax
OL = OC – R = 2xy
2yxyx
22τ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ−
σ+σ= σmin
Cũng theo hình 3-8 ta xác định được phương chính. Góc PMC là góc α , còn góc PCA bằng 2α. Theo hình 3-8 ta có:
yx
xy
yx
xy 2
2ACAP
2tgσ−σ
τ−=
σ−στ
−=−=α
Công thức này hoàn toàn trùng với công thức (3.6).
Cũng từ hình 3-8 ta có thể thiết lập được công thức tính phương chính αmax:
minx
xy
ymax
xymax AM
PAtg
σ−σ
τ−=
σ−σ
τ−=−=α (3.13)
* Xác định ứng suất tiếp cực trị:
Từ hình 3-8 ta thấy ngay điểm H và N có giá trị ứng suất tiếp lớn nhất và nhỏ nhất. Cụ thể :
2xy
2yx
max 2RCH τ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ===τ
2xy
2yx
min 2RCN τ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ−=−==τ
Các biểu thức này hoàn toàn trùng với biểu thức (3.9).
Phương của các mặt nghiêng có ứng suất tiếp cực trị được xác định bằng cách nối P với H (phương τmax) và nối P với N (phương τmin).
Ví dụ 3-2: Số liệu cho như ở ví dụ 3-1, hãy xác định các ứng suất trên mặt nghiêng m-m và các ứng suất chính bằng vòng Mo.
Bài giải:
Để xác định các đại lượng cần tìm, trước hết ta vẽ vòng Mo ứng suất.
Tâm C có toạ độ:
66
( ) ( )0;5,12C0,2
2550C0,2
C yx =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ+σ
Cực P có toạ độ:
( ) ( )5,12;25P,P xyy −−=τσ
Vẽ vòng tròn tâm C bán kính CP theo tỷ lệ xích thích hợp ta được vòng tròn như trên hình 3-9.
Để xác định ứng suất trên mặt m-m từ P ta kẻ đường thẳng PK nghiêng một góc -300 so với phương nằm ngang. Đo trên hình vẽ theo tỷ lệ đã chọn ta tìm được:
2u m/MN20OE ==σ
2uv m/MN39EK ==τ
Cũng từ vòng Mo ta xác định được các ứng suất chính: 2
max 1 OM 52,3 MN / mσ = σ = =
2min 3 OL 27,3 MN / mσ = σ = = − .
Ví dụ 3-3: Cho phân tố trên hình 3-10 nằm trong trạng thái ứng suất phẳng. Cho τ = 10MN/m2. Hãy xác định các ứng suất chính bằng vòng Mo ứng suất.
Hình 3-9
a) b)
τ
O σ // x
P
C A B L M-25 50 E
-300
K
τuv= 39
σu= 20
P’
τ
O
σ // x
P
C A B L M
N
-25 50
P’
σ3
σ1
σ1=52 σ3= 27
Hình 3-10
τ
O
P
σminσmax
σ τ-τ αmax
τ
67
Bài giải:
Phân tố đã cho có :
σx = σy = 0
τxy = + 10 MN/m2.
Do đó tâm C có toạ độ:
( )0,0C0,2
C yx =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ+σ
Cực P có toạ độ:
P (σy, τxy) = P (0, 10)
Do đó vòng Mo được vẽ như trên hình 3-10. Từ hình vẽ này ta xác định được:
σmax = - σmin = τxy = 10 MN/m2
Phương của các ứng suất chính:
αmax = - 450
αmin = + 450
Đây là một phân tố đặc biệt, ta gọi là phân tố trượt thuần tuý. Vậy phân tố trượt thuần tuý là phân tố mà trên các mặt của nó chỉ có thành phần ứng suất tiếp, hoặc ta cũng có thể định nghĩa phân tố loại này theo các ứng suất chính: Phân tố trượt thuần tuý là phân tố mà phân tố chính của nó có đặc điểm là τ=σ−=σ minmax và các ứng suất này nghiêng 450 so với phương x. Các phân tố này gặp rất nhiều khi tính toán các liên kết đinh tán, các liên kết mộng…
3.3. Trạng thái ứng suất khối Trạng thái ứng suất khối là trạng thái chịu lực tổng quát nhất, nó bao gồm nhiều
nội dung, tuy nhiên trong giáo trình này chỉ giới hạn đề cập tới 2 nội dung chính sau đây.
3.3.1. Các vòng Mo ứng suất Trong phần trên, ta đã xét trạng thái ứng suất phẳng bằng vòng Mo ứng suất.
Trong trạng thái ứng suất khối, tồn tại 3 ứng suất chính là σ1, σ2, và σ3 (hình 3-11a). Nếu ta xét các mặt nghiêng nhưng luôn luôn song song với một trong 3 ứng suất chính, chẳng hạn các mặt song song với σ3 như trên hình 3-11b thì ứng suất trong các mặt này chỉ phụ thuộc σ1, σ2. Vì thế ứng suất trong các mặt này biến thiên theo quy luật như trong trạng thái ứng suất phẳng. Ta có thể vẽ vòng tròn Mo biểu thị sự biến thiên của các ứng suất đó là vòng tròn đường kính BC ứng với các ứng suất σ1, σ2 (hình 3-11c).
68
Tương tự, với các mặt nghiêng song song với σ1 ta vẽ được vòng tròn có đường kính AB ứng với σ2 và σ3, còn với mặt nghiêng song song với σ2 ta vẽ được vòng Mo đường kính AC (hình 3-11c).
Như vậy, với trạng thái ứng suất khối, ta vẽ được 3 vòng Mo ứng suất (hình 3-11c). Người ta đã chứng minh được rằng: Ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ trong một vật thể cân bằng có giá trị bằng toạ độ của điểm nào đó nằm trong miền giới hạn bởi 3 vòng Mo, miền chấm chấm như trên hình 3-11c.
Từ 3 vòng tròn Mo ứng suất ta thấy ứng suất tiếp lớn nhất trong trạng thái ứng suất khối bằng:
231
maxσ−σ
=τ (3.14)
Ứng suất này nằm trong mặt phẳng song song với σ2 và nghiêng một góc 450 so
với σ1 và σ3.
3.3.2. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke. Trong chương 2 ta đã có công thức của định luật Hooke liên hệ giữa ứng suất
pháp và biến dạng dài tương đối trong trạng thái ứng suất đường:
Eσ
=ε
trong đó ε là biến dạng dài tương đối theo phương của ứng suất σ.
Nếu theo phương của ứng suất, chẳng hạn ứng suất σz có biến dạng dài tương đối εz thì theo phương vuông góc với nó, phương x và phương y có biến dạng dài tương đối εx và εy bằng:
εx = εy = - μεz Ezσ
μ−=
Hình 3-12
σ1
σ2
σ3
II
III
I
Hình 3-11
σ1 σ1
σ2
σ2
σ3
σ3
a) b)
σ1σ1
σ2
σ2
τ
O σ3 σ1 σ
σ2
A B C
c)
69
Giả sử có một phân tố ở trạng thái ứng suất khối như trên hình 3-12.
Ta ký hiệu εij (i, j = 1, 2, 3) là biến dạng dài tương đối theo phương i do ứng suất σj gây ra và sử dụng nguyên lý cộng tác dụng ta có biến dạng tổng cộng theo phương 1 là:
( )[ ]3211 E1
σ+σμ−σ=ε
Tương tự với các phương 2 và phương 3 ta có:
( )[ ]3211 E1
σ+σμ−σ=ε
( )[ ]1322 E1
σ+σμ−σ=ε (3.15)
( )[ ]2133 E1
σ+σμ−σ=ε
(3.15) là biểu thức biểu thị quan hệ giữa biến dạng dài tương đối và ứng suất trong trường hợp trạng thái ứng suất khối được gọi là biểu thức của định luật Hooke khối. Biểu thức (3.15) cũng đúng cho phân tố nằm trong trạng thái ứng suất khối dưới dạng theo các phương xyz bất kỳ:
( )[ ]zyxx E1
σ+σμ−σ=ε
( )[ ]xzyy E1
σ+σμ−σ=ε (3.16)
( )[ ]yxzz E1
σ+σμ−σ=ε
Còn các ứng suất tiếp, mỗi cặp τxy và τyx , τxz và τzx và τzy và τyz lần lượt tác động trong một mặt phẳng xy, zx, yz. Các ứng suất tiếp này gây ra các biến dạng góc γxy, γxz , γyz trong từng mặt phẳng tác động của nó. Theo định luật Hooke, khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi thì các biến dạng này tỷ lệ bậc nhất với các ứng suất, cụ thể:
Gxy
xy
τ=γ
Gyz
yz
τ=γ (3.17)
Gzx
zxτ
=γ
trong đó :
70
G là mô đun đàn hồi của vật liệu khi trượt.
Giữa các hằng số đàn hồi E, μ và G có liên hệ sau:
( )μ+=
12EG (3.18)
Dưới tác dụng của các ứng suất, các cạnh của phân tố hình hộp bị co dãn, các góc vuông bị méo đi. Chiều dài các cạnh của phân tố theo các phương x, y, z lần lượt là a, b, c sau biến dạng chúng bằng:
a + Δa = a + aεx = a (1+εx)
b + Δb = b + bεy = b (1+εy)
c + Δc = c + cεz = c (1+εz)
Thể tích của phân tố trước biến dạng là V0 = abc và sau biến dạng là V1. Coi biến dạng góc không gây ra biến đổi thể tích ta có:
V1= a (1+εx). b (1+εy). c (1+εz) = abc.(1 + εx + εy + εz + εxεy + εyεz + εzεx)
Do đó có biến dạng thể tích tương đối bằng:
zyx0
01
0 VVV
VV
ε+ε+ε=−
=Δ
=θ (3.19)
Thay các biến dạng bằng biểu thức (3.16) ta được:
( )zyxE21
σ+σ+σμ−
=θ (3.20)
Ta nhận thấy: Biến đổi thể tích θ không phụ thuộc vào từng ứng suất σx, σy hay σz mà phụ thuộc vào tổng của 3 ứng suất pháp theo 3 phương vuông góc. Mặt khác, biến dạng thể tích của một trạng thái ứng suất là một lượng không đổi, nó không phụ thuộc vào hệ toạ độ đã chọn. Do đó từ (3.19) và (3.20) ta có:
εx + εy + εz = C1
σx + σy + σz = C2
trong đó: C1,C2 là tổng biến dạng và tổng ứng suất pháp theo 3 phương vuông góc, là các hằng số được gọi là các bất biến thứ nhất của trạng thái biến dạng và bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất .
Ngoài sự biến đổi về thể tích, phân tố hình hộp còn bị biến đổi về hình dáng. Sự thay đổi hình dáng do sự chênh lệch giữa các ứng suất pháp theo 3 phương và do các ứng suất tiếp gây ra.
Hệ số Poisson có giá trị lớn nhất là 0,5 khi vật liệu là đàn hồi tuyệt đối. Trong trường hợp này, dù chịu tải trọng như thế nào thì thể tích không hề thay đổi mà chỉ có thể có sự thay đổi hình dáng.
71
Đặt:
zyx σ+σ+σ=σΣ
gọi là ứng suất tổng, và hệ số tỷ lệ:
μ−=μ 21
EE (3.21)
thì (3.20) có dạng:
μ
∑σ=θE
(3.22)
Biểu thức (3.22) biểu thị quan hệ tỷ lệ thuận giữa biến dạng thể tích và ứng suất tổng, tương tự như biểu thức của định luật Hooke trong trạng thái ứng suất đơn. Chính vì thế (3.22) được gọi là định luật Hooke về biến dạng thể tích và ứng suất tổng. Eμ được gọi là mô đun đàn hồi thể tích và được tính bằng (3.21).
3.4. Thế năng biến dạng đàn hồi Trong chương 2, ta đã tính được thế năng biến dạng đàn hồi trong một đơn vị thể
tích của vật, gọi tắt là thế năng biến dạng riêng trong trạng thái ứng suất đơn:
2u σε
=
Từ đó có thể suy ra, trong trạng thái trượt thuần tuý, tồn tại ứng suất tiếp τ và biến dạng trượt tương ứng γ thì thế năng biến dạng riêng sẽ bằng:
2u τγ
=
Sử dụng nguyên lý cộng tác dụng đối với phân tố ở trạng thái ứng suất khối ta có công thức thế năng biến dạng riêng:
2u xxεσ
=2
yyεσ+ +
2zzεσ
2xyxyγτ
+2
yzyzγτ+
2zxzx γτ
+
Thay (3.16),(3.17),(3.18) vào biểu thức trên và sau khi rút gọn ta được biểu thức của thế năng biến dạng đàn hồi riêng dưới dạng viết theo ứng suất:
( ) ( ) ( )2zx
2yz
2xyxzzyyx
2z
2y
2x E
1EE2
1u τ+τ+τμ+
+σσ+σσ+σσμ
−σ+σ+σ= (3.23)
Nếu quan niệm biến dạng đã gây ra biến đổi thể tích và biến đổi hình dáng thì thế năng u có thể phân thành các phần:
+ Thế năng thể tích utt: Là thành phần thế năng riêng tích luỹ do biến đổi thể tích.
Hình 3-13
σU
σV
σW
72
+ Thế năng hình dáng uhd: Là thành phần thế năng riêng tích luỹ do biến đổi hình dáng.
và ta có:
u = utt + uhd (3-24)
Giả sử ta có một phân tố A có các ứng suất pháp bằng nhau như trên hình 3.13 và bằng:
3zyx
wvu
σ+σ+σ=σ=σ=σ (3.25)
Thế năng biến dạng riêng của phân tố đó được tính bằng cách thay (3.25) vào (3.23):
( ) ( ) 2uuwwvvu
2w
2v
2uA 3
E21
EE21u σ
μ−=σσ+σσ+σσ
μ−σ+σ+σ=
hay:
( )22w
2v
2uA E6
21u σ+σ+σμ−
= (3.26)
Nhưng ta lại có các ứng suất pháp của 2 phân tố :
σu + σv + σw = σx + σy + σz
Nên biến đổi thể tích của 2 phân tố này bằng nhau, nghĩa là:
utt = uA
Kể đến (3.26) ta được:
( )22w
2v
2utt E6
21u σ+σ+σμ−
= (3.27)
Thay (3.23), (3.27) vào (3.24) ta tính được thế năng hình dáng uhd của trạng thái ứng suất khối:
( ) ( ) ( )[ ] ( )2zx
2yz
2xy
2xz
2zy
2yxhd E
1E6
1u τ+τ+τμ+
+σ−σ+σ−σ+σ−σμ+
= (3.28)
Trường hợp đặc biệt: Trong trạng thái ứng suất đơn, giả sử chỉ có ứng suất chính σ1, thế năng riêng bằng:
21E2
1u σ=
21tt E6
21u σμ−
= (3.29)
21hd E3
1u σμ+
=
73
BÀI TẬP 3.1. Một thanh thẳng chịu lực kéo đúng tâm P = 40kN, diện tích mặt cắt ngang F = 5cm2. Xác định mặt xiên góc α với mặt cắt ngang để cho trên mặt ấy giá trị ứng suất pháp bằng bốn lần giá trị ứng suất tiếp. Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt xiên góc 300 với mặt cắt ngang.
3.2. Trên mặt cắt m-n đi qua một điểm trong vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng có ứng suất toàn phần p = 3000N/cm2, ứng suất này có phương tạo thành một góc 600 với mặt cắt như trên hình 3-2B. Trên mặt vuông góc với mặt cắt đó chỉ có ứng suất tiếp.
Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp với mặt cắt m-n một góc 450.
Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó.
3.3. Trên hai mặt tạo với nhau một góc 600 và đi qua một điểm ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất σy = 3kN/cm2, τyx = −5kN/cm2, τuv = 6kN/cm2 như trên hình 3-3B. Tính các ứng suất chính tại điểm đó.
3.4. Chứng minh rằng tại một điểm của vật thể có sự trượt thuần tuý thì ứng suất pháp trên hai mặt cắt bất kỳ vuông góc với nhau luôn luôn bằng nhau và ngược dấu, và ứng suất toàn phần trên mặt nào cũng bằng nhau.
3.5. Tìm giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt nghiêng của các phân tố vẽ trên hình 3-5B. Các ứng suất đã cho trước tính bằng kN/cm2.
τ
p
450
600
m
n
Hình 3-H2B
600
σy
τyx
τuv
σu
Hình 3-3B
Hình 3-5B
5
d)
600
600 7
3
2
a)
94
c)
600
600
2
e)
2
6
b)
600
4
600
4
4
g)
74
3.6. Tìm ứng suất chính và phương chính của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng vẽ trên hình 3-6B bằng phương pháp giải tích và phương pháp đồ thị.
3.7. Trên các mặt đi qua một điểm của một vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất như trên hình 3-7B. Tính các ứng suất chính và xác định các phương chính tại điểm đó.
3.8. Cho một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất như trên hình 3-8B. Tính các biến dạng εx, εy, εu. Biết: E = 2.106daN/cm2, μ = 0,3.
3 kN/cm2
2 kN/cm2
5 kN/cm2
Hình 3-6B
40 MN/m2
40 MN/m2
b)
30 MN/m2
40MN/m2
a)
80MN/m2
20MN/m2
Hình 3-9B
300
6 kN/cm2
2 kN/cm2
8 kN/cm2 u
Hình 3-8B
σu1=5 kN/cm2
α1
σy=6 kN/cm2
σu2=2 kN/cm2
α2
α1=450
α2=1500
a)
σy=18 kN/cm2
τxy=20 kN/cm2
σu1=30 kN/cm2
σu2=15 kN/cm2
b)
β
σu1=5 kN/cm2
α1
σy=6 kN/cm2
σu2=3 kN/cm2 α2
α1=300
α2=1050 c)
σu=5 kN/cm2
α1
α1=300
d)
τyx=7 kN/cm2
τuv=10.32 kN/cm2
Hình 3-7B
σu2=4.92 kN/cm2 α2
σu1=4.33 kN/cm2
α1
τu2=4.92 kN/cm2
α1=300
1300e)
450
600
600
σu1=211.3 daN/cm2
σ u2=
1000
.02
daN
/cm
2
τu3=577.36 daN/cm2
g)
75
3.9. Cho các phân tố như trên hình 3-9B. Tính các ứng suất chính và xác định phương chính. Hãy cho biết các phân tố này có gì đặc biệt. Vẽ vòng tròn Mo ứng suất.
3.10. Tại điểm A của một dầm cầu có gắn 2 tenxômét để đo biến dạng theo phương nằm ngang và phương thẳng đứng như trên hình 3-10B. Khi xe chạy qua cầu, người ta đo được: εx = 0.0004, εy = -0.00012
Tính ứng suất pháp theo phương dọc và phương thẳng đứng của dầm. Cho biết:
E = 2.104kN/cm2, μ = 0,3.
3.11. Để xác định trạng thái ứng suất tại một điểm của một dầm cầu do tải trọng xe đặt trên cầu gây ra, người ta dùng 2 tenxômét điện trở dán vào điểm đó theo 2 phương xiên góc với nhau. Khi xe đặt ở trên cầu, người ta đo được các biến dạng ghi ở trên các hình 3-11B.
Hãy xác định các ứng suất pháp, ứng suất tiếp trên mặt cắt vuông góc với trục dầm và xác định các ứng suất chính, phương chính của trạng thái ứng suất này. Biết ứng suất pháp trên mặt cắt song song với trục dầm bằng không và vật liệu làm dầm có mô đun đàn hồi E = 1.8.105daN/cm2, hệ số poát xông μ = 0.17.
3.12. Tại một điểm trên mặt của một thanh chịu lực, người ta đo được biến dạng theo một phương xiên góc với trục thanh (xem hình 3-12B). Vật liệu làm thanh trong các trường hợp đều có mô đun đàn hồi E = 2.107 N/cm2 và hệ số Poát xông μ = 0.3.
x x
y
yA
Hình 3-10B
Hình 3-11B
a)
x x
m A
m
600
εx= 5,556.10-5
εm= -2,134.10-5
x x m
A
m
450
b)εx= -11,17.10-5
εm= -12,43.10-5
x x m
A m
300
c)εx= 4,44.10-5
εm= -5,73.10-5
y
y
m A
m
450
d)εy= -1,78.10-5
εm= -1,3.10-5
76
a) Cho biết trạng thái ứng suất tại điểm đó là trạng thái ứng suất gì. Xác định ứng suất chính, phương chính của trạng thái ứng suất này. Biết thanh ở hình 3-12Ba, 3-12Bb có các thớ dọc không tác dụng vào nhau và mặt cắt ngang thanh không có ứng suất tiếp. Trên các mặt cắt song song và vuông góc với trục của các thanh ở hình 3-12Bc, 3-12Bd thì ứng suất pháp đều bằng không.
b) Góc α bằng bao nhiêu thì không đo được biến dạng ? Tại sao ?
3.13. Trên một phân tố lấy từ vật thể chịu lực như trên hình 3-13B có các ứng suất σ = 30kN/cm2, τ = 15kN/cm2. Xác định biến dạng của đường chéo Δlmn.
Cho biết E = 2.104kN/cm2, μ = 0,28
3.14. Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực người ta đo được biến dạng tương đối theo 3 phương như trên hình 3-14B.
300
τ
σ
n
m
25
Hình 3-13B
Hình 3-12B
α
α =300 b)
α
α = 450
5
a)
α
α =300 d)
α
α = 600 c)
77
.
Xác định các ứng suất σx, σy, τxy, ứng suất chính và phương chính tại điểm ấy. Gọi tên
những trạng thái ứng suất này. Cho E = 2.104kN/cm2, μ = 0,3.
3.15. Có một phân tố hình hộp có các cạnh: a = 2cm, b = 4cm, c = 2cm, chịu tác dụng của các lực P1, P2 trên bốn mặt của phân tố (xem hình 3-15B).
Cho P1 = 60kN, P2 = 120kN, E = 2.104kN/cm2, μ = 0,3.
a) Xác định các biến dạng dài Δa, Δb, Δc của các cạnh a, b, c và biến đổi thể tích của phân tố hình hộp.
b) Muốn biến đổi thể tích ΔV= 0 thì phải đặt thêm lực pháp tuyến P3 bằng bao nhiêu vào hai mặt còn lại? Tính τmax trong trường hợp này.
3.16. Xác định giá trị các ứng suất trên các mặt bên của một phân tố hình lập phương trên hình 3-16B có cạnh a = 5cm. Cho biết b các biến dạng dài tuyệt đối Δx = 5.10-2mm,
Δy = 1.10-2mm, Δz = 7,5.10-2mm, các biến dạng góc γxy = 2.10-2, γyz = γzx = 0, μ = 0,3,
E = 2.104kN/cm2.
Tìm giá trị các ứng suất chính của phân tố.
Hình 3-14B
450 450 mn
y
x
εm= 2,810.10-4
εn=-2,810.10-4
a)
x
y
m
n
u
εm=2,0.10-4
εn=2,5.10-4
300
300
1350
b)
x
y
300
u εx=2,0.10-4
εy=0,5.10-4 c) x
y
450
uεx= 3,00.10-4
εy=-0,90.10-4 d)
x
y n
m 300
300
εm= 2,4.10-4
εn=-1,0.10-4 e) x
ynm
300
450
εx= 4,0.10-4
εm=1,4.10-4 g)
78
3.17. Một khối hình hộp làm bằng thép có kích thước cho trên hình 3-17B, được đặt giữa hai tấm AC và BD cứng tuyệt đối, chịu lực nén P = 250kN. Tính lực tác dụng tương hỗ giữa mặt tiếp xúc của hình hộp với các tấm cứng. Cho μ = 0,3.
3.18. Một khối lập phương bằng bê tông đặt vừa khít rãnh của vật thể A chịu áp suất phân bố đều ở mặt trên p = 1kN/cm2 như trên hình 3-18B. Xác định áp lực nén vào vách rãnh và độ biến dạng thể tích tuyệt đối. Cho cạnh a = 5cm, E = 8.102kN/cm2, μ = 0,36. Vật thể A coi như cứng tuyệt đối.
3.19. Cho một trạng thái ứng suất như hình 3-19B. Bằng phương pháp giải tích và phương pháp đồ thị, hãy xác định:
a) Các ứng suất tiếp cực trị.
b) Ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt song song với phương chính I và có pháp tuyến tạo góc β = 300 với phương chính II.
c) Ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt song song với phương chính II và có pháp tuyến tạo góc α=600 với phương chính I.
d) Ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt song song với phương chính III và có pháp tuyến tạo góc α = 300 với phương chính I.
3.20. Một tấm thép có các kích thước 300×100×10mm như hình 3-20B. Trên các mặt có các ứng suất chính σ1 = 12kN/cm2, σ2 = 6kN/cm2. Tính sự thay đổi của tất cả các
800 N/cm2
400 N/cm2
200 N/cm2
Hình 3-19B
Hình 3-16B
a a
a x
y
z
10 c
m
5 cm
5 cm
x
y
Hình 3-17B
P1
P2 P2
P1a c
b
Hình 3-15B
P
P
x
y
z
a P
Hình 3-18B
A
79
kích thước của tấm do biến dạng đàn hồi. Lấy E = 2.105MN/mm2, μ = 0,25. Xác định độ biến đổi thể tích tương đối của tấm.
3.21. Một tấm thép kích thước a x b x c đặt giữa 2 tấm tuyệt đối cứng, 2 tấm này được liên kết với nhau bằng 4 thanh như trên hình 2.5. Khi tấm thép chịu áp lực p phân bố đều trên 2 mặt bên thì ứng suất kéo của thanh là bao nhiêu? Xác định ứng suất chính trong thanh thép. Biết tấm thép và thanh cùng có mô đun đàn hồi E.
10 mm10
0 300
Hình 3-20B
q
E1,μ1 ax y
E1,μ1 x z b
c
Hình 3-21B
80
CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT BỀN
4.1. Khái niệm Trong thanh chịu kéo (nén) đơn, vật liệu chịu lực trong trạng thái ứng suất đơn,
nghĩa là phân tố chính chỉ tồn tại một ứng suất chính theo phương của trục thanh. Với phân tố này ta đã có điều kiện bền là:
[ ]Kmax σ≤σ
[ ]Nmin σ≤σ (4.1)
với : [ ] ( ) n0
NKσ
=σ
trong đó:
σmax, minσ : ứng suất chính kéo, nén trong thanh.
σ0 : ứng suất nguy hiểm được xác định bằng thực nghiệm.
n : hệ số an toàn được lấy theo quy chuẩn .
Trong trường hợp vật liệu nằm trong trạng thái ứng suất phức tạp (trạng thái ứng suất khối và trạng thái ứng suất phẳng), ta chưa xác định được biểu thức kiểm tra bền vì các lý do sau đây:
- Một là: Phân tố nằm trong trạng thái ứng suất phức tạp thì trên các mặt của phân tố có nhiều thành phần ứng suất (6 thành phần đối với trạng thái ứng suất phẳng, 9 thành phần đối với trạng thái ứng suất khối), hoặc trên phân tố chính có 2 thành phần ứng suất chính với trạng thái ứng suất phẳng và 3 thành phần ứng suất chính với trạng thái ứng suất khối. Do đó, các phân tố này do thành phần ứng suất nào gây phá hoại hoặc do các tổ hợp các thành phần ứng suất nào sẽ gây phá hoại ta đều chưa biết. Và như vậy, với mỗi phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp ta phải tiến hành một thí nghiệm riêng ứng với trạng thái ứng suất này để kiểm tra độ bền, cũng có nghĩa là với phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp, để kiểm tra bền ta phải tiến hành vô số các thí nghiệm mà không phải là một thí nghiệm như trong trạng thái ứng suất đơn.
- Hai là: Để tạo ra thí nghiệm mẫu ở trạng thái ứng suất phức tạp bất kỳ là một việc rất khó khăn, hiện tại điều kiện kỹ thuật chưa đáp ứng được. Chỉ mới thực hiện được máy nén 3 trục để tạo ra trạng thái ứng suất khối đơn giản (ứng suất theo 2 phương như nhau, còn ứng suất theo phương thứ 3 thì khác).
Chính vì các lý do trên mà việc kiểm tra bền phải dựa vào các giả thuyết về độ bền của vật liệu mà ta gọi các giả thuyết này là các thuyết bền.
Các thuyết bền tuy xuất phát từ các giả thuyết khác nhau nhằm giải thích nguyên nhân phá hoại của vật liệu, nhưng tựu chung đều dẫn tới một công thức kiểm tra độ bền giống nhau là:
81
σtt ≤ [σ] (4-2)
trong đó:
σtt : được gọi là ứng suất tính toán, là tổ hợp các thành phần ứng suất của phân tố đang xét.
[σ] : là ứng suất cho phép được xác định bằng thí nghiệm phá hoại mẫu trong trạng thái ứng suất đơn, lấy như công thức (4-1).
Hiện nay có rất nhiều lý thuyết bền, dưới đây ta điểm lại một số thuyết bền thường sử dụng.
4.2. Lý thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất Lý thuyết bền này cho rằng: Nguyên nhân phá hoại vật liệu của một phân tố ở
trạng thái ứng suất bất kỳ là ứng suất pháp cực đại của nó đạt đến ứng suất giới hạn của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, còn các ứng suất khác không có ảnh hưởng gì:
σmax = σgh (4.3)
σgh là ứng suất nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:
σgh = σc đối với vật liệu dẻo
σgh = σB đối với vật liệu dòn.
Do đó:
ghN3
ghK1
σ=σ
σ=σ (4.4)
Các ứng suất ghKσ và gh
Nσ tìm được khi thí nghiệm vật liệu chịu kéo đơn , nén đơn.
Nếu đưa vào hệ số an toàn n thì điều kiện bền của vật liệu sẽ là:
[ ]K
ghK
1 nσ=
σ≤σ (4.5)
[ ]N
ghN
3 nσ=
σ≤σ (4.6)
Như vậy, với lý thuyết bền này ta có:
σtt = σ1 và σtt = σ3
Lý thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất là lý thuyết bền đầu tiên. Thuyết bền này đã bỏ qua ảnh hưởng của các ứng suất chính khác nên trong rất nhiều trường hợp nó cho kết quả không phù hợp với thực tế, chỉ phù hợp với những vật liệu dòn như gạch, đá v.v… Hiện nay nó có ý nghĩa lịch sử nhiều hơn là thực dụng.
82
4.3. Lý thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất Lý thuyết bền này cho rằng: Vật liệu sẽ được coi là bị phá hoại khi biến dạng dài
tương đối lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất bất kỳ đạt tới một biến dạng dài giới hạn của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:
εmax = εgh
εgh là biến dạng dài giới hạn của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn. Do đó, điều kiện an toàn của phân tố là:
[ ]ε=ε
≤εn
dgh
max (4.7)
trong đó: dghε : là biến dạng giới hạn trong trạng thái ứng suất đơn
[ε] : là biến dạng dài cho phép.
Áp dụng công thức của định luật Hooke tổng quát cho phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp ta được:
( )[ ]321max E1
σ+σμ−σ=ε (4.8)
Với phân tố ở trạng thái ứng suất đơn khi đạt đến trạng thái giới hạn:
E
ghKK
ghσ
=ε và E
ghNN
ghσ
=ε (4.9)
Thay (4.8) và (4.9) vào (4.7) được:
( ) [ ]K
ghK
321tt nσ=
σ≤σ+σμ−σ=σ (4.10)
và:
( ) [ ]N
ghN
213tt nσ=
σ≤σ+σμ−σ=σ (4.11)
Lý thuyết bền này thường chỉ phù hợp với vật liệu dòn nên không dùng cho vật liệu dẻo, và đặc biệt các công thức (4.10) và (4.11) không dùng được khi vật liệu không tuân theo định luật Hooke hoặc làm việc ngoài giới hạn đàn hồi .
4.4. Lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất Khác với 2 lý thuyết bền trên, lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất cho rằng: Vật
liệu bị phá hoại không phải là do nó có ứng suất pháp quá lớn hay có biến dạng dài quá lớn mà khi phân tố ở trạng thái ứng suất bất kỳ có ứng suất tiếp lớn nhất đạt tới một ứng suất tiếp giới hạn của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:
τmax = τgh (4.12)
83
Cũng giống như trên ta có:
2
dghd
ghgh
σ=τ=τ (4.13)
trong đó: dghτ và d
ghσ là các ứng suất tiếp và ứng suất pháp của phân tố trong trạng thái ứng suất đơn.
231
maxσ−σ
=τ (4.14)
Do đó điều kiện an toàn của phân tố:
[ ]σ=σ
≤σ−σ=σn
dgh
31tt (4.15)
Lý thuyết bền này khá phù hợp với vật liệu dẻo, nó được sử dụng nhiều khi tính toán các chi tiết máy trong ngành cơ khí.
4.5. Lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng Lý thuyết bền này còn được gọi tắt là lý thuyết bền thế năng. Theo lý thuyết bền
này, nếu giải thích nguyên nhân phá hoại của vật liệu mà chỉ là nội lực (ứng suất pháp, ứng suất tiếp) hoặc chỉ là biến dạng đều không toàn diện. Theo lý thuyết bền này, cả 2 yếu tố đó phải được kể đến đồng thời thông qua việc xét năng lượng của hệ. Trên cơ sở đó, lý thuyết bền này cho rằng vật liệu ở trạng thái ứng suất bất kỳ sẽ bị phá hoại khi thế năng riêng biến đổi hình dáng của nó đạt đến một giá trị giới hạn thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:
ghhdhd UU = (4.16)
Và điều kiện độ bền trong trường hợp này là:
[ ] [ ]σμ+
=σμ+
==≤E3
1E3
1.n1U
nUU d
ghdhd
d.ghhd
hd (4.17)
Thay (3.28) vào (4.17) và biến đổi ta được công thức kiểm tra bền:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ]σ≤τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ 2zx
2yz
2xy
2xz
2zy
2yxtt 3
21 (4.18)
Lý thuyết bền này cũng phù hợp với vật liệu dẻo, nó có ưu điểm là xét đến tất cả các thành phần ứng suất pháp và ứng suất tiếp, nhưng cũng có thiếu sót là không đề cập đến khả năng chịu kéo và chịu nén khác nhau của vật liệu.
4.6. Lý thuyết bền Mo Dựa trên nhiều kết quả thí nghiệm, lý thuyết bền Mo cho rằng độ bền của vật liệu
chỉ phụ thuộc vào các ứng suất chính σ1 và σ3, còn ứng suất chính trung gian σ2 ảnh hưởng không đáng kể nên được bỏ qua. Như vậy, giới hạn chịu lực của vật liệu ở
84
trạng thái ứng suất bất kỳ sẽ xuất hiện khi σ1, σ3 đạt tới những giới hạn nhất định. Vì thế, ở trạng thái ứng suất bất kỳ, trong 3 vòng Mo ứng suất chỉ có vòng tròn lớn nhất liên quan tới σ1 và σ3 là quan trọng. Ta gọi vòng tròn này là vòng tròn quyết định.
Tiến hành thí nghiệm trên một mẫu vật liệu cho tới giới hạn chịu lực, ta được các ứng suất chính giới hạn: gh
1σ , gh2σ và
gh3σ . Vòng tròn quyết định của phân tố đó
được gọi là vòng tròn quyết định giới hạn (vòng tròn lớn nhất trên hình 4-1). Lần lượt thí nghiệm tới giới hạn các mẫu kế tiếp nhau cùng một loại vật liệu nhưng có tỷ số khác nhau giữa các ứng suất chính σ1 và σ3 . Vẽ vòng tròn quyết định giới hạn ứng với mỗi lần thí nghiệm đó, ta sẽ thu được một họ vòng tròn quyết định giới hạn của loại vật liệu vừa thí nghiệm. Ta thấy rằng, tất cả các vòng tròn đó đều nhận một tiếp tuyến chung là một đường bao mà ta gọi là đường bao giới hạn (hình 4-2).
Đường bao giới hạn cắt trục hoành σ tại điểm A ứng với trạng thái ứng suất kéo đều theo 3 phương chính ( 0gh
3gh2
gh1 >σ=σ=σ ). Về phía trái, đường bao có dạng hở
(không cắt trục hoành) vì ứng với trạng thái ứng suất nén đều theo 3 phương ( 0gh
3gh2
gh1 <σ=σ=σ ) vật liệu sẽ không bị phá hoại dù trị số tuyệt đối của các ứng suất
lớn bằng bao nhiêu đi nữa.
Rõ ràng là một trạng thái ứng suất nào đó có vòng tròn quyết định nằm trong đường bao giới hạn sẽ an toàn (vòng 1 trên hình 4-3). Nếu trạng thái ứng suất nào đó có vòng tròn quyết định tiếp xúc với đường bao giới hạn hoặc vượt ra miền ngoài của đường bao giới hạn thì sẽ bị phá hoại (vòng 2 trên hình 4-3).
τ
σ
σ2gh
σ1gh
σ3gh
σ2gh
σ1gh
σ3gh
Hình 4-1
O
τ
σ
Hình 4-2
Oσ2
gh
σ1gh
σ3gh
A
σngh σn
gh
σKgh σK
gh
Đường bao giới hạn
85
Có thể vẽ được đường bao giới hạn của mỗi loại vật liệu bằng cách làm tương tự như trên. Ngoài đường bao giới hạn, người ta còn vẽ cả các đường bao an toàn (hay đường bao cho phép) ứng với các hệ số an toàn n (n = 1,1; 1,2;…;2; 3;…) bằng cách giảm nhỏ các ứng suất chính gh
1σ và gh31σ đi n lần như trên hình 4-4.
Muốn kiểm tra độ bền của phân tố làm bằng loại vật liệu nào đó, ta chỉ cần vẽ vòng tròn quyết định của phân tố đó vào sơ đồ có các đường bao giới hạn và đường bao cho phép với cùng một tỷ lệ xích. Đương nhiên trạng thái ứng suất cần kiểm tra bền sẽ an toàn nếu vòng tròn quyết định của nó nằm trong miền an toàn với hệ số an toàn n tương ứng. Trái lại nếu vòng tròn quyết định vượt ra ngoài đường bao an toàn tương ứng thì trạng thái ứng suất đó không thoả mãn điều kiện bền. Ví dụ: Trạng thái ứng suất có vòng tròn quyết định là vòng 1 trên hình 4-4 là an toàn khi ứng với hệ số an toàn n ≤ 1,5, và sẽ là không an toàn khi n ≥ 1,7.
Để vẽ đường bao giới hạn, đúng ra là phải làm rất nhiều thí nghiệm phá hoại vật liệu ở trạng thái ứng suất phức tạp, nhưng đó là việc rất khó thực hiện vì những lý do đã trình bầy ở phần trên. Do đó, trong thực tế ta coi gần đúng đường bao giới hạn là các đường thẳng. Khi đó chỉ cần làm 2 thí nghiệm phá hoại một loại vật liệu nào đó ở trạng thái kéo và nén đơn ta sẽ được gh
Kσ và ghNσ . Từ đó vẽ được 2 vòng tròn quyết định
giới hạn tương ứng. Đường tiếp tuyến chung của 2 vòng tròn quyết định giới hạn đó được xem gần đúng là đường bao giới hạn của loại vật liệu đang xét (hình 4-5).
τ
σ
σ1
σ3
Hình 4-3
O
1 2
Đường bao giới τ
σσ3 σ1
n=2 n=1,7 n=1,5 n=1,2
1
Hình 4-4
Đường bao giới
τ
σ
Hình 4-5
OA
σngh σn
gh σKgh σK
gh
Đường bao giới hạn
σngh σK
gh
B
86
Đường bao gần đúng đó có độ chính xác đủ tin cậy, nhất là với những trạng thái ứng suất có vòng tròn quyết định nằm về phía trái điểm B của vòng tròn quyết định của thí nghiệm kéo đơn (hình 4-5).
Từ dạng đường bao giới hạn thẳng đó có thể thiết lập công thức kiểm tra độ bền bằng biểu thức giải tích thay cho cách kiểm tra bằng đồ thị kể trên.
Giả sử với vật liệu đang xét, sau khi thí nghiệm kéo và nén đơn đến phá hoại ta được gh
Kσ và ghNσ . Dùng hệ số an toàn n > 1 ta được các ứng suất cho phép:
[ ]n
ghK
Kσ
=σ và [ ]n
ghN
Nσ
=σ
Sau đó, vẽ đường bao cho phép của vật liệu với hệ số an toàn n đã cho như hình 4-6. Trạng thái ứng suất cần kiểm tra muốn an toàn và tiết kiệm phải có vòng tròn quyết định tiếp xúc với đường bao cho phép, ví dụ là vòng tròn 3 có tâm O3 như trên hình 4-6.
Nối các tiếp điểm A,B,C của đường bao cho phép với 3 tâm O1, O2 và O3.
Đường thẳng qua điểm C và song song với trục hoành sẽ cắt O1A và O2B tại D và E. Có thể viết được các tỷ số đồng dạng của 2 tam giác đồng dạng CEB và CDA:
DAEB
CDCE
= (*)
Theo hình 4-6 ta có:
CE = O2O3 = OO3 - OO2 = [ ]22
K31 σ−
σ+σ
CD = O1O3 = O1O + OO3 = [ ]N 1 3
2 2σ σ + σ
+
EB = O2B – O3C = [ ]22
31K σ−σ−
σ
τ
σ
Hình 4-6
O
A Đường bao cho phép
[σ]n [σ]K
B C
E D 1
2 3
O1 O2 O3
σ3
σ1
87
DA = O1A - O3C = [ ]22
31N σ−σ−
σ
Thay tất cả vào (*) sau khi rút gọn ta được biểu thức kiểm tra độ bền theo lý thuyết bền Mo:
[ ][ ] [ ]K3
N
K1tt σ≤σ
σσ
−σ=σ (4.20)
Lý thuyết bền Mo tuy không xét đến ảnh hưởng của ứng suất chính σ2 nhưng lại có ưu điểm là đã xét đến khả năng chịu kéo và nén khác nhau của vật liệu. Thực nghiệm cho thấy lý thuyết bền Mo rất phù hợp với vật liệu dòn.
Như vậy, hiện nay tồn tại rất nhiều lý thuyết bền, nhưng không có một lý thuyết bền nào có ưu điểm tuyệt đối, tức là cho kết quả đúng cho mọi trường hợp và với mọi loại vật liệu. Mỗi lý thuyết bền chỉ có khả năng cho kết quả đúng đối với những điều kiện nhất định. Vì thế, khi cần kiểm tra bền phải tuỳ trường hợp cụ thể mà chọn lý thuyết bền nào cho thích hợp.
4.7. Ví dụ Ví dụ 4-1: Từ 3 vị trí khác nhau của một vật thể làm bằng một loại vật liệu chịu hệ
lực cân bằng, người ta tách ra 3 phân tố như trên hình 4-7. Theo lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất thì phân tố nào là nguy hiểm hơn cả? Đơn vị của ứng suất cho trên hình vẽ là MN/m2.
Bài giải:
Áp dụng công thức (4.15) ta có: σtt = σ1 - σ3
Phân tố a): σtt = σ1 - σ3 = 90 - 20 = 70 MN/m2.
Phân tố b): σtt = σ1 - σ3 = 50- (-20) = 70 MN/m2.
Phân tố c): σtt = σ1 - σ3 = 80 - 0 = 80 MN/m2.
Như vậy, theo lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất thì phân tố c) là nguy hiểm nhất, còn phân tố a) và b) mức độ nguy hiểm như nhau.
Hình 4-7
30
20
90
a)
20
50
b)
20
80
c)
50
88
Ví dụ 4-2: Kiểm tra bền cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng cho trên hình 4-8 theo lý thuyết bền Mo. Vật liệu là gang có [σ]K = 35MN/m2; [σ]N = 120MN/m2. Đơn vị ứng suất cho trên hình vẽ là MN/m2.
Bài giải:
Trong trường hợp này có:
σx = 5 MN/m2
σy = -25 MN/m2
τxy = 26 MN/m2
Tính ứng suất chính của phân tố :
22
2xy
2yxyx
31 26
2255
2255
22+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
±−
=τ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ+σ±
σ+σ=σ
σ1 = +20 MN/m2
σ3 = - 40 MN/m2
Theo lý thuyết bền Mo ta có:
[ ][ ] ( ) [ ] 2
K2
3N
K1tt m/MN35m/MN7,3140
1203520 =σ<=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=σ
σσ
−σ=σ
Vậy theo lý thuyết bền Mo phân tố trên thoả mãn điều kiện bền.
Ví dụ 4-3: Xác định bề dày t của phần trụ một nồi hơi chịu áp suất p. Biết rằng nồi hơi có đường kính ngoài là D như trên hình 4-9. Vật liệu làm nồi hơi là thép có ứng suất cho phép [σ].
Bài giải:
Dưới áp suất p phần vỏ trụ của nồi hơi chịu kéo theo 2 phương x, y. Ta tách ra phân tố hình hộp ở phần giữa trụ bằng các mặt cắt vuông góc với đường sinh và mặt
Hình 4-8
25
26 x
y
5
Hình 4-9
σx σx
σy
σy
D
p
Hình 4-10
σx
89
cắt chứa trục của vỏ trụ và đường sinh. Do tính đối xứng, trên các mặt cắt của phân tố không có ứng suất tiếp nên các ứng suất pháp σx, σy là các ứng suất chính.
Trên mặt cắt vuông góc với đường sinh, vì bề dày của thành nồi là mỏng nên coi các ứng suất σx phân bố đều trên toàn mặt cắt như trên hình 4-10. Các ứng suất này cân bằng với áp suất của nồi hơi tác dụng vào phần đáy nồi, ta có phương trình cân bằng:
t4pD
4DpDt x
2
x =σ⇒π
=πσ (*)
Tương tự như vậy, trên phần trụ dài l ta dùng mặt cắt chứa trục x và đường sinh, mặt cắt có diện tích là F = t.l (phần gạch chéo trên hình 4-11). Cũng coi ứng suất σy phân bố đều trên mặt cắt đó. Tổng các ứng suất σy trên mặt cắt cân bằng với tổng hình chiếu lên phương y của p vào thành nồi hơi (hình 4-11b). Ta có:
t2pDpDt2 yy =σ⇒=σ ll (**)
So sánh (*) và (**) ta được các ứng suất chính:
t2pD
y1 =σ=σ
t4pD
x2 =σ=σ
σ3 = 0
Nồi hơi bằng thép nên ta dùng lý thuyết bền thế năng để kiểm tra:
( ) ( ) ( )[ ] [ ]σ≤σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ 213
232
221tt 2
1
Thay các ứng suất vào ta được:
[ ] [ ]σ≤⇒σ≤⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=σ
t2pD86,0
t2pD
t4pD
t4pD
t2pD
21 222
tt
Hình 4-11
σy
t
l
a)
σyH σy
H
b)
p
90
Từ trên suy ra công thức tính bề dày t của thành nồi hơi:
[ ]σ≥
pD43,0t
BÀI TẬP 4.1. Xác định ứng suất tương đương của các phân tố theo các ứng suất chính ghi ở bảng dưới đây theo các lý thuyết bền thứ ba, thứ tư và lý thuyết bền Mo. (đơn vị
MN/m2). Cho μ=0,3; α = 4,1on
ok =σσ .
ƯS
TT
σ1 σ2 σ3
a 160 60 20
b 40 30 -50
c -10 -75 -80
4.2. Xác định ứng suất tương đương theo các lý thuyết bền thứ ba và thứ tư đối với các phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất như sau (đơn vị MN/m2).
ƯS
TT
σx σy τxy
a 140 100 45
b 120 0 -30
c -200 -400 -90
4.3. Cho trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể chịu lực như hình vẽ: σ1 = 20kN/cm2, σ2 = 40kN/cm2, σ3 = 80kN/cm2. Kiểm tra độ bền theo lý thuyết bền thứ ba và thứ tư, biết [σ] = 120kN/cm2.
91
4.4. Tại một điểm của một vật thể chịu lực có trạng thái ứng suất như hình vẽ. Kiểm tra độ bền theo lý thuyết bền thứ ba và thứ tư, biết [σ] = 140kN/cm2.
4.5. Một trụ tròn bằng thép (μ = 0,3) đặt khít giữa hai tường cứng như hình vẽ. Phần giữa của trụ chịu áp lực p phân bố đều. Tính ứng suất tương đương theo lý thuyết thế năng biến đổi hình dạng ở phần giữa và phần đầu của hình trụ.
Hình 4-5B
y
z
x
p
a a
a
p
120 MN/m2
s2
s2
s1 s1
s3
s3
Hình 4-3B
20 MN/m2
Hình 4-4B
92
CHƯƠNG 5: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
5.1. Khái niệm Khi nghiên cứu sự chịu lực của một thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm, chúng ta
nhận thấy rằng: Ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc đơn thuần vào một đặc trưng hình học là diện tích F của mặt cắt ngang mà không phụ thuộc gì vào hình dáng mặt cắt. Nhưng trong những chương dưới đây, khi tính những thanh chịu xoắn, chịu uốn v.v... thì sự chịu lực của thanh không những phụ thuộc vào diện tích F mà còn phụ thuộc cả vào hình dạng của mặt cắt ngang nữa.
Thí dụ, xét hai trường hợp chịu uốn của một thanh như trên hình 5-1. Bằng trực giác, ta dễ dàng nhận thấy rằng: Nếu tác dụng lực như hình 5-1a, thanh sẽ có khả năng chịu lực lớn hơn cách tác dụng lực như trường hợp trên hình 5-1b.
Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn tuỳ thuộc vào hình dạng mặt cắt nên ngoài diện tích F, ta cần phải xét những đại lượng khác đặc trưng cho hình dáng hình học của mặt cắt ngang. Dưới đây sẽ lần lượt xét các đại lượng đó.
5.2. Mô men tĩnh và mô men quán tính Giả sử xét một hình phẳng có diện tích là F như
hình 5-2. Chọn hệ trục toạ độ xoy như trên hình 5-2. Gọi x, y là toạ độ của một điểm A nào đó của hình phẳng F, và dF là vi phân diện tích của phân tố bao xung quanh điểm A. Ta định nghĩa một số đặc trưng hình học của hình phẳng như dưới đây.
5.2.1. Mômen tĩnh: Gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x và
đối với trục y lần lượt là Sx và Sy thì:
∫∫ ==F
yF
x xdFS;ydFS (5.1)
Mô men tĩnh có thứ nguyên [chiều dài]3, đơn vị là m3, cm3…
Mômen tĩnh có thể có trị số âm, dương hoặc bằng không.
Khi mômen tĩnh của diện tích F đối với một trục nào đó bằng không, thì trục đó được gọi là trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm được gọi là trọng tâm của mặt cắt.
PP
y
yx
x
Hình 5-1 a) b)
Hình 5-2
A
x
y
y
x
dF
o
Fρ
93
Xuất phát từ định nghĩa đó ta dễ dàng thiết lập công thức để xác định toạ độ trọng tâm của diện tích F đối với hệ trục toạ độ xoy như sau:
Ta giả thiết có hai trục trung tâm Cxo, Cyo cắt nhau tại trọng tâm C của mặt cắt (hình 5-3). Theo định nghĩa ta có:
Sxo = Syo = 0 (a)
Nếu gọi xc , yc là toạ độ trọng tâm C trong hệ trục xoy và xo, yo là toạ độ của A trong hệ trục xoCyo thì tương quan giữa xo, yo và x, y sẽ là:
x = xc + xo
y = yc + yo (b)
Từ định nghĩa ta có:
∫∫
∫∫+==
+==
Foc
Fy
Foc
Fx
dF)xx(xdFS
dF)yy(ydFS
hay:
yocF
oF
cy
xocF
oF
cx
SF.xdFxdFxS
SF.ydFydFyS
+=+=
+=+=
∫∫
∫∫ (c)
Thay (a) vào (c), ta được công thức xác định vị trí trọng tâm của diện tích F:
FS
x
FSy
yc
xc
=
= (5.2)
Từ công thức đó ta nhận thấy rằng: bất cứ trục nào đi qua trọng tâm cũng là trục trung tâm, thực vậy vì toạ độ của trọng tâm đối với trục đó là bằng không nên suy ra mômen tĩnh của diện tích F đối với trục đó là bằng không.
5.2.2. Mômen quán tính đối với một trục Ta gọi mômen quán tính của diện tích F đối với trục x: Jx , đối với trục y: Jy là các
biểu thức tích phân sau đây:
)m(dFxJ
dFyJ
4
F
2y
F
2x
∫
∫=
=
(5.3)
Hình 5-3
A
x
y yo
xo
y yo
xo
x
C dF
o
F
xC
yC
94
Thứ nguyên của J là [chiều dài]4, mômen quán tính JX, JY bao giờ cũng là một số dương.
5.2.3. Mômen quán tính cực (hay mômen quán tính đối với gốc toạ độ). Ta gọi mômen quán tính cực của diện tích F đối với gốc toạ độ 0 là biểu thức tích
phân:
)m(dFJ 4
F
2∫ρ=ρ (5.4)
Trong đó ρ là khoảng cách từ A (x, y) đến gốc toạ độ (xem hình 5-2). Vì:
ρ2 = x2 + y2
Nên:
yxF
22 JJdF)yx(J +=+= ∫ρ
Cũng như mômen quán tính, mômen quán tính cực bao giờ cũng là số dương và thứ nguyên là [chiều dài]4.
5.2.4. Mômen quán tính ly tâm. Mômen quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trục xoy: Jxy là biểu thức tích
phân:
∫=F
4xy )m(xydFJ (5.5)
Mômen quán tính ly tâm có thể dương, âm hoặc bằng không và thứ nguyên là [chiều dài]4.
Khi mômen quán tính ly tâm của diện tích F đối với một hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính.
Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt, ta cũng có thể xác định được một hệ trục quán tính chính. Thực vậy, giả sử diện tích F ban đầu nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục xoy (hình 5-4). Toạ độ x, y của A lúc đó là những trị số dương, do đó mômen quán tính ly tâm cũng là một trị số dương. Bây giờ, ta quay hệ trục xoy một góc 90o để đến một vị trí mới x’Oy’(trục vẽ nét đứt) trục y trở thành trục x, trục x trở thành trục y nhưng có chiều ngược lại, lúc này diện tích F nằm trong góc phần tư thứ hai, hoành độ x của A vẫn dương nhưng tung độ y của A là âm, mômen quán tính ly tâm của F đối với hệ trục xoy là một số âm. Như vậy, với phép quay đó mômen quán tính ly tâm đã biến đổi từ trị số dương sang trị số âm. Chắc chắn ta có thể
Hình 5-4
A
x
y
y
x
dF
o
F
v
u
900
x’
y’α
95
tìm thấy một góc α < 90o nào đó mà sao cho khi quay hệ trục xoy với góc α đến vị trí uov thì mômen quán tính ly tâm của F đối với hệ trục uov này là bằng không. Hệ trục đó là hệ trục quán tính chính. Như vậy nói chung một hình phẳng có vô số hệ trục quán tính chính.
Hệ trục quán tính chính có gốc toạ độ tại trọng tâm C của mặt cắt được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Ta có thể chứng minh tính chất sau đây: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục đối quán tính chính. Quả vậy, giả sử ta có mặt cắt ngang với trục đối xứng y như trên hình vẽ (hình 5-5). Với mỗi điểm A có toạ độ x, y trên mặt cắt, ta luôn luôn tìm thấy một điểm A' đối xứng với A qua trục y, nghĩa là hoành độ của A' trái dấu với hoành độ x và tung độ y của A' bằng tung độ của A. Vậy biểu thức tích phân:
∫=F
xy xydFJ
là phép tổng của những cặp:
xydF - xydF = 0
do đó Jxy phải bằng không.
Mặt khác, trọng tâm C của mặt cắt ở trên trục đối xứng y nên nếu từ C ta vẽ đường vuông góc với trục y, ta sẽ được một hệ trục quán tính chính trung tâm. Một hình phẳng chỉ có một trọng tâm C nên nói chung với một hình phẳng chỉ có một hệ trục quán tính chính trung tâm, trừ trường hợp hình phẳng là hình tròn hay là đa giác đều thì chúng có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm. Chính vì lẽ đó nên trong tính toán nội lực của kết cấu ta chọn hệ trục xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.
5.3. Mô men quán tính của một số hình đơn giản
5.3.1. Hình chữ nhật Gọi b là chiều rộng và h là chiều cao của hình chữ nhật (hình 5-6). Ta hãy tính các
mômen quán tính Jx, Jy đối với các trục của hệ trục quán tính chính trung tâm xoy.
Lấy một dải phân tố có chiều dày là dy song song với trục x và cách trục x một khoảng cách y. Diện tích của dải phân tố đó là dF = bdy. Ta có mômen quán tính của hình chữ nhật đối với trục x sẽ là:
∫∫+
−
==2h
2h
2
F
2x dy.b.ydFyJ
Hình 5-5 x’
y
xC
x -x
A’ A y
o
Hình 5-6
y
x
dy
y h
b
o
96
hay:
12bhy
3bJ
32h
2h
3x ==
+
−
(5.6)
Tương tự như vậy, ta dễ dàng tìm thấy:
12hbJ
3
y = (5-6)’
5.3.2. Hình tam giác Gọi b là chiều rộng của đáy và h là chiều cao của
tam giác (hình 5-7). Ta tính trị số mômen quán tính của tam giác đối với trục x trùng với đáy của tam giác.
Cắt một dải phân tố có chiều dày dy song song với đáy và cách đáy một đoạn là y, gọi bề rộng của dải phân tố là b(y), ta có: dF = b(y).dy.
Theo định lý Talét, ta có:
hyh
bby −
= hay h
)yh(bb y−
=
Mômen quán tính của tam giác đối với trục x là:
h
0
43h
0
3h
0
2
h
0
2h
0
2
F
2x
4y
3hy
hbdyydyyh
hb
dy)yh(yhbdy
h)yh(bydFyJ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=−
==
∫∫
∫∫∫
12bh
=J3
x (5.7)
5.3.3. Hình tròn. Vì tính chất đối xứng nên ta nhận thấy ngay rằng: Jx = Jy, do đó ta có:
Jp = Jx + Jy = 2Jx = 2Jy (a)
Như vậy, muốn tính Jx, Jy, ta hãy tính Jp .
Để xác định phân tố diện tích dF ta vạch hai vòng tròn đồng tâm có bán kính ρ và ρ+dρ và hai đường bán kính tạo với trục x các góc ϕ và ϕ+dϕ. Trong đó dρ và dϕ là các vi phân của bán kính ρ và góc cực ϕ. Phân tố diện tích dF được gạch chéo như trên hình vẽ (hình 5-8). Trị số của phân tố diện tích là:
dF = ρdϕ . dρ
Hình 5-7
y
x
dy
y h
b
by
o
y
xo ρ dρ
ϕdϕ
F
Hình 5-8
97
Vậy mômen quán tính độc cực của diện tích hình tròn đối với tâm sẽ là:
∫ ∫∫π
ρ ϕρρ=ρ=R
0
2
0
3
F
2 dp.d.dFJ
trong đó R là bán kính của đường tròn.
Từ đó ta có: R
0
R
0
43
42d2J ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ρπ=ρρπ=ρ
2RJ
4π=ρ (5.8)
Với các đẳng thức (a) ta được:
4R
2J
JJ4
yxπ
=== ρ (5.9)
Nếu gọi D là đường kính của hình tròn thì công thức (5-8) và (5-9) có thể viết lại dưới dạng:
44
yx
44
D05,064DJJ
D1,032DJ
≈π
==
≈π
=ρ
(5.10)
Đối với hình vành khăn, đường kính ngoài là D và đường kính
trong là d (hình 5-9), ta có mômen quán tính độc cực đối với
trọng tâm và mômen quán tính đối với các trục x, y là:
)1(32D
32d
32DJ 4
444
η−π
=π
−π
=ρ (5.11)
Trong đó: Dd
=η
)1(64D
2J
JJ 44
yx η−π
=== ρ (5.12)
Hay có thể viết lại với trị số gần đúng:
Jp ≈ 0,1D4 (1 - η4) (5.11')
Jx = Jy ≈ 0,05 D4 (1 - η4) (5.12')
y
xo
Hình 5-9
d D
C
98
5.4. Công thức chuyển trục song song của mô men quán tính Giả sử ta đã biết mômen tĩnh và mômen quán
tính của hình phẳng có diện tích F đối với hệ trục xoy, bây giờ phải tính các mômen quán tính của hình phẳng ấy đối với hệ trục XOY song song với hệ trục xoy cho trước (hình 5-10).
Gọi (a, b) là toạ độ của gốc o trong hệ trục XOY. X và Y là toạ độ của điểm A trong hệ trục đó. Ta có thể thiết lập tương quan giữa X, Y và x, y là:
X = x + a (a)
Y = y + b
Theo định nghĩa, ta có:
∫
∫
∫
=
=
=
FXY
F
2Y
F
2X
XYdFJ
dFXJ
dFYJ
(b)
Lần lượt thay (a) vào các biểu thức (b) ta có:
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
+++=++=
++=+=
++=+=
FFFFFXY
F
2
FF
2
F
2Y
F
2
FF
2
F
2X
dFabxdFbydFaxydFdF)ax)(by(J
dFaxdFa2dFxdF)ax(J
dFbydFb2dFydF)by(J
hay:
JX = Jx + 2bSx + b2F
JY = Jy + 2aSy + a2F (5.13)
JXY = Jxy + aSx + bSy + abF
Trường hợp đặc biệt:
Nếu hệ trục xoy là hệ trục trung tâm, ta có:
Sx = Sy = 0
Do đó công thức (5.13) sẽ có dạng:
JX = Jx + b2F
JY = Jy + a2F (5.14)
JXY = Jxy + abF
Hình 5-10
A
X
Y
Y
X
dF
O
F
x
y
o
a
b
y x
99
5.5. Công thức xoay trục của mô men quán tính – Cách xác định hệ trục quán tính chính
Giả sử đã biết mômen quán tính của hình phẳng F đối với hệ trục xoy, ta phải tính mômen quán tính của hình phẳng F đối với hệ trục uov. Hệ trục này là vị trí của xoy sau khi đã xoay đi một góc α ngược chiều kim đồng hồ (hình 5-11). Quy ước 0>α khi trục u quay đến trục x theo chiều kim đồng hồ.
Gọi u, v là toạ độ của A trong hệ trục uov. Trong phép quay hệ trục toạ độ, ta có:
u = xcosα + ysinα
v = ycosα - xsinα (a)
Theo định nghĩa ta có:
∫
∫
∫
=
=
=
Fuv
F
2v
F
2u
uvdFJ
dFuJ
dFvJ
(b)
Thay (a) vào các biểu thức (b) ta đuợc:
∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
αα−αα+
α−α=α−αα+α=
α+αα+α=α+α=
α+αα−α=α−α=
F
2
F
2
F
2
F
2
Fuv
F
22
FF
22
F
2v
F
22
FF
22
F
2u
dFxcossindFycossin
xydFsinxydFcosdF)sinxcosy)(sinycosx(J
dFysinxydFsincos2dFxcosdF)sinycosx(J
dFxsinxydFsincos2dFycosdF)sinxcosy(J
hay:
Ju = Jx cos2α + Jysin2α - 2Jxysinα cosα
Jv = Jx sin2α + Jycos2α + 2Jxysinα cosα
Juv = Jxsinα cosα - Jysinα cosα + Jxy (cos2α - sin2α)
Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác:
22cos1sin,
22cos1cos 22 α−
=αα+
=α
sin2α = 2sinα cosα , cos2α = cos2α - sin2α.
thay vào các công thức trên, ta có:
Hình 5-11
A
x
y
y
x
dF
o
F
v
u
α
vu
100
α+α−
=
α+α−
−+
=
α−α−
++
=
2cosJ2sin2
JJJ
2sinJ2cos2
JJ2
JJJ
2sinJ2cos2
JJ2
JJJ
xyyx
u
xyyxyx
u
xyyxyx
u
(5.15)
Nếu đem cộng các vế của hai phương trình đầu của công thức (5.15), ta sẽ được:
Ju + Jv = Jx + Jy = const
nghĩa là: tổng các mômen quán tính đối với hai trục vuông góc đi qua một điểm luôn luôn là hằng số. Ta gọi lượng đó là lượng bất biến của mômen quán tính.
Như ta đã định nghĩa ở trên, hệ trục uov là hệ trục quán tính chính nếu mômen quán tính ly tâm Juv của diện tích F đối với hệ trục đó là bằng không. Vậy vị trí của hệ trục quán tính chính được xác định từ phương trình thứ ba trong công thức (5.15) là:
02cosJ2sin2
JJJ xy
yxuv =α+α
−=
Rút ra:
yx
xy
JJJ2
2tg−
−=α (5.16)
Chú ý đến các công thức biến đổi lượng giác:
α+±=α
α+
α±=α
2tg112cos,
2tg12tg2sin
22
Thay trị số tg2α được tính từ công thức (5.16) vào các phương trình đầu của công thức (6-15) ta sẽ được các trị số mômen quán tính đối với trục quán tính chính là:
2xy
2yxyx
V
2xy
2yxyx
U
J2
JJ2
JJJ
J2
JJ2
JJJ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
+=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+=
Các trị số mômen quán tính đó là cực trị vì đạo hàm của Ju theo α là:
0J22cosJ2sin2
JJ2
ddJ
uvxyyxu =−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡α+α
−−=
α
Vì vậy:
2xy
2yxyx
minmax J
2JJ
2JJ
J +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+= (5.17)
101
Về phương diện toán học, tương quan giữa Ju, Juv và Jx, Jy, Jxy được biểu diễn bởi các công thức (5-15) hoàn toàn tương tự như tương quan giữa σu, τuv và σx, σy, τxy mà ta đã thiết lập được ở chương 3. Vì vậy, ta cũng nhận thấy rằng nếu dùng một hệ trục toạ độ với trục hoành biểu diễn cho trị số của Ju và trục tung biểu diễn cho trị số của Juv thì quan hệ giữa Ju và Juv được biểu diễn bởi một vòng tròn. Vòng tròn đó được gọi là vòng tròn Mo quán tính (hình 5-12).
Trình tự xác định vòng tròn đó hoàn toàn giống như trình tự xác định vòng tròn Mo ứng suất:
- Tâm C của vòng tròn là điểm giữa của các điểm có hoành độ Jx và Jy.
- Điểm gốc D có toạ độ là Jx, Jxy.
- Điểm cực P có toạ độ là Jy, Jxy.
Nếu từ P ta vạch một đường cát tuyến bất kỳ PM tạo với PD một góc α thì toạ độ M biểu diễn trị số mômen quán tính của hình phẳng F đối với hệ trục uov (vị trí của xoy sau khi đã xoay đi một góc α).
Phương của các trục quán tính chính là các đường PA và PB.
Từ hình vẽ ta cũng xác định được các công thức:
minx
xy2
ymax
xy1 JJ
Jtg,
JJJ
tg−
−=α−
−=α (5.18)
Trong đó α1 và α2 là các góc lập bởi các phương chính và PD. Ta cũng tìm lại được các công thức của Jmax và Jmin hoàn toàn giống như công thức (5.17).
Ví dụ 5-1: Xác định các mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích nửa hình tròn có bán kính R (hình 5-13).
Bài giải:
Xác định hệ trục toạ độ ban đầu xoy như hình vẽ trong đó oy là trục đối xứng của nửa hình tròn.
Mômen quán tính của nửa hình tròn đối với các trục ox, oy là bằng một nửa mômen quán tính của cả hình tròn đối với các trục đó. Vậy ta có:
8RJJ
4
yxπ
== (1)
dy
y C y
by
Hình 5-13 x
y
o
C x’ϕ
x
Juv
Hình 5-12
Juo B C Jy Ju Jx
Juv PM
D α α1
α2
A
Jxy
102
Trục y là trục đối xứng vậy trọng tâm C phải nằm trên trục đối xứng đó. Tung độ yc được xác định theo công thức:
FSy x
c = (2)
Vì vậy, trước hết ta phải xác định mômen tĩnh của nửa hình tròn đối với trục x. Chọn phân tố diện tích dF là một dải song song với trục x có bề dầy dy và bề rộng by.
dF = by . dy (3)
Để tính toán được dễ dàng, ta đổi biến số y theo biến số góc ϕ, (ϕ được xác định như trên hình vẽ). Tương quan giữa y và ϕ là:
y = Rsinϕ (4)
Lấy vi phân hai vế ta có:
dy = Rcosϕdϕ (5)
Chiều rộng by được xác định theo ϕ là:
by = 2Rcosϕ (6)
Theo định nghĩa: ∫=F
x ydFS
Đem các biểu thức (5), (6) thay vào cho (3) rồi thay vào đây, ta có:
∫π
ϕϕϕϕ=2/
Ox d.cosR.cosR2.sinRS
Sau khi tính tích phân đó, ta được:
3R2S
3
x = (7)
Diện tích của nửa hình tròn là:
2RF
2π= (8)
Thay (7) và (8) vào (2) ta được:
.R4244,03R4
FSy x
c =π
==
Từ C ta vạch đường thẳng Cx' vuông góc với trục y. Hệ trục x'Cy là hệ trục quán tính chính trung tâm. Với công thức chuyển trục song song, ta dễ dàng xác định mômen quán tính của diện tích đối với trục Cx' như sau:
Jx = Jx' + b2F.
ở đây b lấy bằng yc'. Thay các trị số vào và chuyển vế ta được:
103
.R1,09641
8RJ
2R.
3R4
8RJ
44
'x
224
'x
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
π−
π=
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
π−
π=
Ví dụ 5-2: Xét một hình phẳng gồm hai thép định hình ghép với nhau như hình vẽ (hình 5-14); thép chữ [có số hiệu là No 20a và thép góc đều cạnh có số hiệu là N08 (80×80×9). Xác định các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
Bài giải:
Tra bảng, ta có các số liệu đặc trưng hình học của các mặt cắt ngang của các thép hình như sau:
Đối với thép chữ [ số hiệu 20a (hình I):
h = 20 cm Jx = 1660 cm4
b1 = 8 cm Jy = 137 cm4
z1 = 2,27 cm F = 25 cm2
Đối với thép góc đều cạnh N08 (hình II):
b2 = 8 cm Jx2 = Jy2 = 57 cm4
z2 = 2,19 cm Jxo = Jmax = 90,4 cm4
F = 9,38 cm2 Jyo = Jmin = 23,5 cm4
1. Xác định trọng tâm của mặt cắt :
Đánh số các mặt cắt như hình vẽ và chọn hệ trục toạ độ ban đầu là hệ trục x1y1 đi qua trọng tâm o1 của thép hình chữ [. Mômen tĩnh của toàn hình đối với hệ trục này là:
3642II1y
I1y1y
3642II1x
I1x1x
m10.8348,4110.38,9.10).27,219,2(0SSS
,m10.2578,7310.38,9.10.19,210(0SSS−−−
−−−
=++=+=
=−+=+=
Toạ độ trọng tâm của mắt cắt ngang đối với hệ trục x1y1 là:
m10.21,110)2538,9(
10.8348,41F
Sx
m10.13,210)2538,9(10.2578,73
FSy
24
61x
c
24
61x
c
−−
−
−−
−
=+
==
=+
==
Xác định hệ trục trung tâm oxy song song với hệ trục x1y1 (hình 5-14). Toạ độ của các trọng tâm o1, o2 của các thép chữ [ và thép góc không đều cạnh đối với hệ trục toạ độ mới này là:
x x1
h
y1 y2
x2 x0
y0
o1
o2
o
b 2
z 2
b1
z1
III
Hình 5-14
y
104
x = - 1,21 . 10-2 m
y = - 2,13 . 10-2 m
x = (2,19 + 2,27) . 10-2 - 1,21 . 10-2 = 3,25 . 10-2 m
y = (10 - 2,19) . 10-2 - 2,13 . 10-2 = 5,68 . 10-2 m.
2. Tính các trị số mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm xoy.
48
42284228IIy
Iyy
48
42284228IIx
Ixx
m10.330
10.38,9)10.25,3(10.5710.25.)19.21,1(10.137JJJ
.m10.2133
10.38,9.)10.68,5(10.5710.25.)10.13,2(.10.1660JJJ
−
−−−−−−
−
−−−−−−
=
+++=+=
=
+++=+=
Để tính được mômen quán tính ly tâm, trước tiên ta phải tính mômen quán tính ly tâm của thép góc đều cạnh đối với hệ trục x2o2y2. Mặt cắt của thép góc đó được biểu diễn như trên hình 5-15.
Hệ trục xoyo là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. Ta lấy hệ trục đó làm hệ trục ban đầu và xoay đến hệ trục x2y2. Với công thức (5.15) ta có:
α+α−
= 2cosJ2sin2
JJJ xoyo
yoxo2y2x
trong đó: Jxoyo = 0
sin2α = sin(900) = + 1
Vậy:
4888
yoxo2y2x m10.45,33
210.5,2310.4,90
2JJ
J −−−
=−
=−
=
Mômen quán tính ly tâm của toàn hình đối với hệ trục trung tâm xoy là:
48
4228422
IIxy
Ixyxy
m10.27110.38,9)10.68,5.10.25,3(10.45,3310.25).10.13,2.10.21,1(
JJJ
−
−−−−−−−
=
++=
+=
3. Xác định phương chính và hệ trục quán tính chính trung tâm:
.301,010).3302133(
10.271.2JJ
J22tg 8
8
yx
xy −=−
−=−
−=α −
−
Giải phương trình đó, ta có:
α1 = - 8o36' và α2 = 81o24'
4. Tính trị số của các mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm:
o1
o2
y2
x2
x0
y0
o2 450
Hình 5-15
105
48min
2xy
2vxyx
min
48max
2828888
2xy
2yxyx
max
m10.5,292J
J2
JJ2
JJJ
m10.5,2171J
)10.271(2
10.33010.21332
10.33010.2133
J2
JJ2
JJJ
−
−
−−−−−
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−
=
=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+=
Chọn một tỷ lệ xích nhất định trên các trục toạ độ, ta cũng có thể xác định các phương chính và các mômen quán tính chính bằng vòng tròn Mo quán tính như trên hình 5-16.
5.6. Trình tự giải bài toán xác định mô men quán tính chính trung tâm của hình phẳng có ít nhất một trục đối xứng
Trong các kết cấu xây dựng phần nhiều các cấu kiện đều có mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng, do đó ta xem xét kỹ trường hợp này. Giả sử có hình phẳng F có một trục đối xứng là trục y. Như vậy trục y chính là một trục quán tính chính trung tâm của hình, ta chỉ cần xác định trọng tâm C của hình là có thể xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm của hình và do đó có thể xác định được mô men quán tính chính trung tâm của hình. Để giải bài toán này ta tiến hành theo 2 bước:
1. X ác đ ịnh hệ trục hệ trục quán tính chính trung tâm của hình:
1) Chia hình phức tạp đã cho thành n hình đơn giản (hình đơn giản là các hình chúng ta đã biết trọng tâm, hệ trục trung tâm và các mô men quán tính đối với hệ trục trung
Hình 5-16
x
Juv
Juo B C Jy Jx
P α1
A
Jxy
max
min
a)
x
x1
yy1
o2
o1
o
max
min
α1
b)
106
tâm của nó, chẳng hạn hình chữ nhật, hình tam giác, hình tròn, các mặt cắt thép cán nóng…).
2) Xác định trọng tâm C của hình: Để xác định trọng tâm C (xC,yC) của hình ta tiến hành như sau:
+ Sau khi đã chia hình F thành n hình đơn giản ta chọn một hệ trục ban đầu, thông thường là một hệ trục trung tâm hoặc hệ trục quán tính chính trung tâm của một hình thành phần.
+ Có hệ trục ban đầu ta xác định được toạ độ trọng tâm của các hình thành phần: ( ) n,...,2,1iy,xC Cicii = đối với hệ trục toạ độ này.
Vì ta đã giả thiết trục y là trục đối xứng nên xc = 0, còn yc được xác định theo công thức sau:
n21
ncn22c11cn
1ii
n
1iici
xC F...FF
Fy...FyFy
F
Fy
FSy
++++++
===
∑
∑
=
= (5.19)
F1, F2, …, Fn lần lượt là diện tích của các hình thành phần.
3) xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của hình: Sau khi xác định được trọng tâm C của hình, ta kẻ đường thằng vuông góc với trục y và đi qua trọng tâm C của hình, hệ trục này là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình.
2. xác định mô men quán tính chính trung tâm của hình.
Sau khi đã xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm của hình ( hệ trục xCy) ta xác định được khoảng cách từ các trục xi (khoảng cách ai) và từ các trục yi (khoảng cách bi) tới trục x và trục y của các hình thành phần. Sử dụng công thức chuyển trục song song của mô men quán tính và dùng nguyên lý chồng chất của mô men quán tính ta xác định được mô men quán tính của hình đối với các trục x,y đó là mô men quán tính chính trung tâm của hình. Cụ thể:
( )∑∑==
+==n
1ii
2i
ixi
n
1i
ixx FaJJJ
(5.20)
trong đó ixJ và i
xiJ lần lượt là mô men quán tính của hình thứ i đối với trục x và trục xi.
Ví dụ 5-3:
Xác định mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt chữ T cho trên hình 5-17.
107
Bài giải:
Bước 1: Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm: Vì trục y là trục đối xứng của hình nên nó là một trục chính của hình, do đó hệ trục quán tính chính trung tâm của hình chính là hệ trục xCy , với C là trọng tâm mặt cắt. Ta phải xác định C. Để xác định C ta tiến hành theo các bước sau:
+ Chia hình thành 2 hình đơn giản ( hình chữ nhật) là hình 1 và hình 2.
+ Chọn một hệ trục ban đầu: Hệ trục x1C1y là hệ trục trung tâm của hình 1. Với hệ trục đã chọn ta xác định được toạ độ trọng tâm của các hình 1,2: C1(0,0) ; C2(0,8). Lúc này ta tính được toạ độ trọng tâm C(xc,yc) theo công thức sau:
∑
∑
=
=== n
1i
i
n
1i
ici
yC
F
F.x
FS
x ∑
∑
=
=== n
1i
i
n
1i
ici
xC
F
F.y
FSy
với n là số hình đơn giản.
Trong trường hợp này xc = 0 và n = 2.
∑
∑
=
=== n
1i
i
n
1i
iiC
xC
F
F.y
FSy = cm4
2.142.1414.2.80
FFFyF.y
21
22C
11C =
++
=++ .
+ Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm: Kẻ trục x đi qua C vuông góc với trục y thì hệ trục xCy chính là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình.
+ Tính mô men quán tính chính trung tâm: Jx, Jy:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= 11
21
3112
x1xx hba
12hbJJJ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ 22
22
322 hba
12hb =1362,66cm4.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+=
12bhJJJ
3112
y1yy ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
12hh 3
22 =466,66cm4.
h1=2cm
h2=14cm
Hình 5-17
b1=14cm
b2=2cm
y
x
x1
x2
C
C1
C2
a1=4cm
a2=4cm
108
BÀI TẬP 5.1. Xác định mô men quán tính chính trung tâm cña mặt cắt chữ T cho trên hình
5.1B
5.2. Xác định chiều cao h của mặt cắt ngang hình chữ T biết trục trung tâm x-x ở vị trí cách đáy một khoảng bằng h/4. Cho b = 20cm, t = 1cm. Xác định mô men quán tính chính trung tâm cảu các mặt cắt.
5.3. Xác định trọng tâm và mô men quán tính đối với trục trung tâm song song với cạnh đáy của hình thang như hình vẽ.
5.4. Tính mô men quán tính Jx, Jy của hình bình hành đối với hệ trục trung tâm xy
như trên hình vẽ.
5.5. Cho 2 mặt cắt có dạng như trên hình 5.5B. Yêu cầu :
1) Xác định mô men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt đó.
2) Xác định bán kính quán tính chính trung tâm của các mặt cắt đó.
b
b
2b
y
Hình 5-3B
y
x h=4c
m
x
y
b=2cm Hình 5-4B
O
h
b y
xxyc=h/4
O
2t
2t
Hình 5-2B
h1=3cm
Hình 5.1B
b1=9cm
h2=12cm
b2=2cm
x C
y
109
5.6. Cho mặt cắt có dạng như trên hình 5.6B. Xác định mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
5.7. Tính mô men quán tính chính trung tâm của các hình 5.7B Kích thước ghi bằng cm
5.8. Tìm khoảng cách c của mặt cắt gồm hai thép chữ [ số hiệu 30 được bố trí như hình 5-8B để có Jx= Jy.
Hình 5-7B
5
3 6 3
15
a) c)
2 4
4
3 6 3 y
x
6 6
3 6 3
1 9
10
b)
y
x
x
c)
y
4a=12
a
2a
18
24
3 6
104 4
a)
y
x
10cm
25cm
2,5cm
20cm
5c
m
5c
m
Hình 5-6B
b)
x
y
2a
2a
a
2a
x
y
2a
2a
a
2a a)
b)
Hình 5-5B
a
110
5.9. Hãy tính các mô men quán tính chính trung tâm của các hình cho trên hình 5-9B:
5.10. Một mặt cắt được ghép bởi hai thép hình chữ [số 12 và hai tấm chữ nhật như hình 5-10B. Tính các mô men quán tính Jx và Jy và mô men tĩnh của nửa phần trên của hình đối với trục x.
b)
c z0
y0 y
x
Hình 5-8B
az0
xO
cb
a)
y y0
O
b)
100×63×7
số 24
240×10
số 24
số 20
Hình 5-9B
y
a)
Hình 5-10B
xO
y
26
Số 12
160×10
111
5.11. Một thanh ghép bởi hai thép hình chữ [ số 24. Xác định mô men quán tính chính và phương của trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (hình 5-11B).
5.12. Một thanh gồm hai thép hình có mặt cắt ngang như hình 5-12B. Xác định các mô men quán tính chính và phương của trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
Hình 5-12B
11
số 20
100×63×10
số 24
số 24
Hình 5-11B
112
CHƯƠNG 6: XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG
6.1. Khái niệm về thanh tròn chịu xoắn
6.1.1. Định nghĩa: Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại một thành phần
nội lực là mô men xoắn quay quanh trục thanh, ký hiệu là MZ (hình 6-1a).
Dấu của MZ được qui ước: Nhìn vào mặt cắt thấy mô men xoắn quay thuận chiều kim đồng hồ thì được coi là dương (MZ > 0), ngược lại là âm (MZ < 0) (hình 6-1b).
Ngoại lực gây xoắn là những mô men (tập trung hay phân bố) hoặc ngẫu lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh. Trong thực tế, ta thường gặp thanh chịu xoắn như: Trục truyền chuyển động quay, trục động cơ, trục máy bơm, trục tua-bin, mũi khoan, thanh chịu lực không gian .v.v…
6.1.2. Biểu đồ nội lực mô men xoắn Cũng như thanh chịu kéo, nén đúng tâm, để vẽ biểu đồ nội lực thanh chịu xoắn, ta
chia thanh thành các đoạn. Việc chia đoạn chỉ phụ thuộc vào sự thay đổi của tải trọng tác dụng. Trong mỗi đoạn, dùng phương pháp mặt cắt và viết phương trình cân bằng mô men quay quanh trục thanh cho toàn bộ ngoại lực và nội lực về một phía của mặt cắt, ta sẽ có biểu thức nội lực MZ cho mỗi đoạn. Vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ MZ với toạ độ mặt cắt z được biểu đồ nội lực mô men xoắn MZ. Để hiểu được các bước tính toán, ta xét một ví dụ cụ thể sau đây.
Ví dụ 6-1: Cho thanh AE có kích thước và chịu tác dụng của tải trọng như hình 6-2a.
Bài giải:
Bỏ qua lực ma sát trong hai ổ đỡ thì mô men phản lực quay quanh trục z tại B và D’ bằng không. Chia thanh thành 4 đoạn (AB, BC, CD và DE) và lần lượt dùng phương pháp mặt cắt cho các đoạn thanh:
- Đoạn AB : Thực hiện mặt cắt 1-1, chọn A làm gốc, 0 ≤ z ≤ 0,5m, xét phần trái: ABz 1M M 0+ = → AB
z 1M M 15kNm= − = −
z
MZ
M1 m2
a)
MZ<0
MZ>0
b)
Hình 6-1
113
- Đoạn BC : mặt cắt 2-2, chọn A làm gốc, 0,5 ≤ z ≤ 1,5m, xét phần trái:
( ) ( )BCz 1M M m z 0,5 15 5 z 0,5 5z 17,5= − + − = − + − = −
- Đoạn CD : mặt cắt 3-3, xét phần phải: CDz 3M M 10kNm= + =
- Đoạn DE: DEzM 0=
Từ các biểu thức trên ta vẽ được biểu đồ mô men xoắn nội lực của thanh như hình 6-2c
Trong thực tế, đối với các trục truyền lực, mô men xoắn ngoại lực được tính toán thông qua công suất truyền động W và số vòng quay của trục n (vòng/phút):
nW9550M = (Nm), W cho bằng KW (6.1)
nW7029M = (Nm), W cho bằng mã lực
6.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn
6.2.1. Quan sát thí nghiệm: Xét một thanh tròn chịu xoắn, trước khi chịu lực, kẻ lên bề mặt thanh những
đường thẳng song song với trục thanh và những đường tròn vuông góc với trục thanh tạo thành lưới ô vuông như hình 6-3a. Quan sát thanh sau khi biến dạng (hình 6-3b), ta nhận thấy:
A B
C DD
E
1
1
M1=15kNm m=5kNm/m
M2= 20 M3= 10 kNm
0,5m 1m 0,8m 0,2 0,5m
2
2
3
3
z
M1 MAB
M1
z
m MBCM3MCD
z
15 10
10 10kNm MZ
Hình 6-2
a)
b)
c)
114
- Các đường thẳng song song với trục thanh trở thành các đường xoắn ốc.
- Các đường tròn vẫn tròn và vuông góc với trục thanh. Khoảng cách giữa các đường tròn không thay đổi.
Từ thí nghiệm ta đưa ra một số giả thiết.
6.2.2. Các giả thiết: a) Giả thiết về mặt cắt ngang: Trước và sau biến dạng mặt cắt ngang vẫn phẳng và
vuông góc với trục thanh. Khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi .
b) Giả thiết về bán kính: Trước và sau biến dạng bán kính của mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi.
6.2.3. Ứng suất trên mặt cắt ngang Từ hai giả thiết trên, ta thấy trên mặt cắt ngang của thanh tròn chịu xoắn không có
ứng suất pháp (vì không có biến dạng dọc theo phương dọc trục và theo phương bán kính), chỉ có thành phần ứng suất tiếp vuông góc với bán kính (vì có biến dạng góc), ký hiệu là τρ.
Để tính ứng suất tiếp tại một điểm trên mặt cắt, cách tâm một khoảng ρ với MZ đã biết (hình 6-4a), trên thanh tròn chịu xoắn ta tách một mẫu hình trụ bán kính ρ, dài dz như hình 6-4b.
Sau biến dạng, điểm A dịch chuyển đến A’, đoạn dz có góc xoắn là dϕ và góc trượt γ. Vì góc trượt rất nhỏ nên:
dz
z
dz
z
M
Hình 6-3
a) b)
Hình 6-4
a) b)
MZ
o A
τρ ρ
dz
ρdϕo A
A’
γB
115
dzd
AB'AAtg ϕρ==γ≈γ (a)
Theo định luật Húc:
dzdGG ϕρ
=γ=τρ (b)
Mặt khác, ta có liên hệ giữa τ và MZ :
ρρϕ
=ρϕ
=ϕ
ρ=ρτ= ∫∫∫ JdzdGdF
dzdGdF
dzdGdF..M
F
2
F
2
FZ (c)
Từ (c) suy ra:
ρ
=ϕ
=θGJM
dzd Z (6.2)
Gọi θ là góc xoắn tỷ đối.
Thay (6.2) vào (b) ta có công thức tính ứng suất tiếp:
ρ=τρ
ρ JM Z (6.3)
Trong đó:
τρ : Ứng suất tiếp tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt cách tâm một đoạn ρ.
MZ : Giá trị mô men xoắn tại mặt cắt tính toán.
Biểu đồ ứng suất tiếp τρ phân bố bậc nhất theo bán kính (hình 6-5). Tại những điểm trên chu vi mặt cắt, ứng suất có giá trị lớn nhất:
ρ
=τWM Z
max
trong đó:
RJ
W ρρ = : là mô đun chống xoắn của mặt cắt .
Với hình tròn:
33
44
D2,016DW
D1,032DJ
≈π
=
≈π
=
ρ
ρ
Hình vành khuyên (hình 6-6) : Đặt Dd
=η
Hình 6-5
MZ
τmaxR
τmax
D
Hình 6-6
d
116
( ) ( )
( ) ( )4343
4444
1D2,0116DW
1D1,0132DJ
η−≈η−π
=
η−≈η−π
=
ρ
ρ
6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn Từ (6.2) ta có :
dzGJMd Z
ρ
=ϕ
dϕ : là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz, nên góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau đoạn l sẽ là:
∫ρ
=ϕl
0
Z dzGJM
Từ đó ta có công thức tổng quát cho thanh chia thành n đoạn:
dzGJMn
1i 0i
iZ
i
∑∫= ρ
=ϕl
(6.4)
trong đó : izM : Mô men xoắn của đoạn thứ i .
iJρ : Mô men quán tính cực của mặt cắt ngang đoạn thanh thứ i.
Nếu izM và iJρ trên mỗi đoạn thứ i là hằng số thì:
∑= ρ
=ϕn
1ii
iiZ
GJ.M l (rad)
(6.5)
Ví dụ 6-2: Cho thanh tròn có đường kính dCB = 2dAC = 10cm chịu lực như hình 6-7a. Tính ứng suất lớn nhất và góc xoắn của thanh AB với G = 8.103 kN/cm2.
Bài giải:
* Tính ứng suất :
- Để vẽ biểu đồ mô men xoắn MZ, ta chia thanh làm hai đoạn AC và CB, không cần xác định phản lực tại B.
Đoạn AC: mặt cắt 1-1, gốc tại A,
AC
1
1
m=1kNm/m M= 1kNm
1m
2
2
2kNm
MZ
Hình 6-7
B
1m
z z
2kNm
1kNm
a)
b)
117
0 ≤ z ≤ 1m, xét cân bằng phần trái : ACzM mz z= + =
Đoạn CB: mặt cắt 2-2, gốc tại A, 1m ≤ z ≤ 2m, xét cân bằng phần trái : CBzM m.1 M 2kNm= + + =
- Biểu đồ MZ như hình 6-7b. Từ biểu đồ ta thấy mô men lớn nhất trong mỗi đoạn: ACzmaxM 1kNm= CBzmaxM 2kNm=
- Ứng suất lớn nhất trong mỗi đoạn: AC 2
AC 2 2maxmax AC 3
M 1 10 4 kN / cm 40MN / mW 0,2 5ρ
×τ = = = =
×
CB 2CB 2 2maxmax CB 3
M 2 10 1 kN / cm 10MN / mW 0,2 10ρ
×τ = = = =
×
* Tính góc xoắn tương đối của 2 mặt cắt A và B:
( )1 21 2AC CB 2
z zAB AC CB AC CB AC CB
0 1 10
7 4 8 7 4 8
M M 1 z 1dz dz 2zGJ GJ GJ 2 GJ
1 2 0,01 0,025 0,0125 (Rad)2.8.10 .0,1.5 .10 8.10 .0,1.10 .10
ρ ρ ρ ρ
− −
⎛ ⎞ϕ = ϕ + ϕ = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + = + =
∫ ∫
ϕAB là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt A và B. Trong trường hợp này, B không xoay nên ϕAB = 0,0125 (rad) cũng chính là góc xoắn tuyệt đối của mặt cắt A.
6.4. Tính thanh tròn chịu xoắn Tính thanh chịu xoắn trước hết là phải đảm bảo điều kiện bền và sau đó đảm bảo
điều kiện cứng.
6.4.1. Điều kiện bền:
[ ]τ≤=τρW
M Zmax (6.6)
Ở đây: [ ]n
0τ=τ (τ0 được xác định từ thí nghiệm, n là hệ số an toàn): Là
ứng suất tiếp cho phép.
[τ] cũng có thể xác định từ [σ] theo các thuyết bền:
+ Theo thuyết bền thế năng:
118
[ ] [ ]3
σ=τ
+ Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:
[ ] [ ]2σ
=τ
Từ điều kiện bền (6.6) ta có 3 bài toán cơ bản:
* Bài toán kiểm tra bền: Cho trước tải trọng tác dụng lên thanh và kích thước mặt cắt ngang thanh, nghiệm lại điều kiện bền xem có thoả mãn hay không ?
[ ]τ≤=τρW
M Zmax
* Bài toán chọn tải trọng cho phép: Biết trước các thông số về vật liệu và hình dạng mặt cắt, xác định tải trọng cho phép tác dụng lên công trình.
MZ ≤ [τ]. Wρ
* Bài toán chọn kích thước mặt cắt : Cho trước tải trọng tác dụng lên công trình và các đặc trưng cơ học của vật liệu, xác định kích thước mặt cắt ngang của thanh.
[ ]τ≥ρ
ZMW
6.4.2. Điều kiện cứng Với thanh chịu xoắn, ngoài việc đảm bảo điều kiện bền thanh còn phải đảm bảo
điều kiện cứng: Góc xoắn tương đối lớn nhất (θmax) không vượt quá giới hạn xoắn cho phép [θ]:
[ ] )m/rad(GJ
MmaxZ
max θ≤=θρ
(6.7)
Nếu [θ] có đơn vị là độ/m (o/m) thì ta đổi ra Rad/m như sau:
[ ] [ ] )m/rad(180. θ=
πθ
Từ điều kiện cứng (6.7) ta cũng có 3 bài toán cơ bản như điều kiện bền.
Ví dụ 6-3: Chọn đường kính d cho thanh chịu xoắn như hình 6-8a.
Biết G = 8.104MN/m2, [θ] = 4,36.10-3 Rad/m, [τ] = 45MN/m2, M2 = 3M1 = 768 Nm.
Bài giải:
- Biểu đồ mô men xoắn có dạng như hình 6-8b.
- Nhìn vào biểu đồ, ta thấy: ⏐MZ⏐max = 512Nm.
119
- Từ điều kiện bền, ta có :
[ ] 263
maxZmax m/N10.45
d.2,0512
WM
=τ≤==τρ
Suy ra: d ≥ 3,84.10-2 m
- Từ điều kiện cứng, ta có:
[ ] 3410
maxZmax 10.36,4
d.1,0.10.8512
GJM
−
ρ
=θ≤==θ
Suy ra: d ≥ 6,2.10-2 m
Như vậy, để đảm bảo cả điều kiện bền và điều kiện cứng, ta chọn d = 6,2 cm.
6.5. Thanh siêu tĩnh chịu xoắn Cũng như trong chương kéo (nén) đúng tâm, ta gọi thanh siêu tĩnh chịu xoắn
khi thanh có “thừa” liên kết. Với thanh loại này nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học chưa đủ để xác định được phản lực, nội lực của thanh. Vì vậy, cũng giống như chương kéo đúng tâm, muốn tính thanh siêu tĩnh, ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học phải dùng thêm các phương trình bổ sung đó là các điều kiện tương thích về biến dạng. Trong phần này ta cũng giới hạn xét thanh mặt cắt tròn. Để hiểu các bước tính toán thanh siêu tĩnh chịu xoắn, ta xét một ví dụ sau:
Ví dụ 6-4: Vẽ biểu đồ mô men xoắn MZ cho thanh hai đầu ngàm, chịu tác dụng của mô men xoắn ngoại lực M như hình 6-9a. Biết độ cứng khi xoắn của thanh là GJρ.
Bài giải:
Có hai phản lực tại A và B mà ta chỉ có một phương trình cân bằng mô men quanh trục z nên không đủ để tìm phản lực và nội lực của thanh. Để giải quyết bài toán siêu tĩnh này, ta làm như sau:
- Loại bỏ một liên kết “thừa” tại B (hoặc A), ta được một hệ cơ bản là thanh tĩnh định. Để hệ cơ bản tương đương với hệ ban đầu, ta đặt thêm vào hệ cơ bản ẩn phản lực MB (hình 6-9b).
- Từ điều kiện tương thích về biến dạng: góc xoắn tại B trên hệ cơ bản do M và MB gây ra phải bằng góc xoắn tại B của hệ siêu tĩnh, tức là bằng không, ta có phương trình bổ sung:
ϕoB (M, MB) = ϕB (M) = 0 (a)
Khai triển điều kiện (a) ta có :
( ) ( ) ( ) 0GJ
b).M(GJ
a).MM(M,MM,MM,M BBB
0CBB
0ACB
0B =
−+
−=ϕ+ϕ=ϕ
ρρ
(b)
M1 M2
0,5m 0,5m
256Nm
MZ512Nm b)
a)
Hình 6-8
MBM
a b
MZ
b)
a)
Hình 6-9
M
A C B
c)MB
M-MB
120
Giải ra được:
aba.MM B −
+=
Dấu (+) chứng tỏ chiều quay của phản lực MB như chiều giả thiết là đúng. Biểu đồ mô men xoắn MZ có dạng như hình 6-9c.
6.6. Tính lò xo hình trụ bước ngắn
6.6.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang dây lò xo
Xét lò xo xoắn ốc hình trụ như hình 6-10a, gọi d là đường kính dây và D là đường kính trung bình của vòng lò xo. Khoảng cách giữa hai vòng lò xo được gọi là bước. Khi góc nghiêng α của vòng lò xo với trục lò xo lớn hơn 800 gọi là lò xo hình trụ bước ngắn. Với lò xo bước ngắn, có thể coi một cách gần đúng mỗi vòng lò xo nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục lò xo.
Cắt và xét một phần lò xo, ta có mô men xoắn và lực cắt trên tiết diện của dây là (hình 6-10b):
2D.PM Z =
Q = P
Ứng suất tiếp do MZ gây ra được tính theo (6.3) có phương vuông góc với bán kính và ứng suất tiếp do Q gây ra được giả thiết phân bố đều trên tiết diện dây (hình 6-11).
Hình 6-10
a)R=D/2P
P
b)
P
MZ=PR
Q=PA R
D
Hình 6-11
MZ
R R FQ
2 =τ
ρ
=τWMz
1
121
Điểm nguy hiểm nhất trong lò xo là điểm có τmax do đồng thời cả Q và MZ gây ra. Đó là điểm trên chu vi, ở mép trong của vòng lò xo vì tại đó τ1 và τ2 cùng phương và chiều:
32321max d4,0PD.1
dd6,1
4dP
d2,02D.P
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
π=
π+=τ+τ=τ (6.8)
6.6.2. Độ cứng của lò xo Độ co dãn λ của lò xo được xác định từ nguyên lý bảo toàn năng lượng và cho kết
quả như sau:
3
4
8nD PGd
λ = ( 6.9)
Hoặc: CP
=λ (6.10)
trong đó:
3
4
nD8GdC = (Lực/ chiều dài): gọi là độ cứng của lò xo. (6.11)
n : là số vòng lò xo.
Nếu biết C, ta tính được chuyển vị của lò xo theo (6.10). Muốn lò xo mềm, dễ biến dạng, ta cần giảm độ cứng C bằng cách giảm đường kính d của dây hoặc tăng số vòng n hay đường kính D của lò xo.
6.7. Xoắn thanh mặt cắt chữ nhật
6.7.1. Quan sát thí nghiệm: Ta tiến hành thí nghiệm như với thanh mặt
cắt tròn: Trên mặt ngoài của thanh, kẻ những đường song song và vuông góc với trục thanh. Sau biến dạng trục thanh vẫn thẳng nhưng các đường kẻ đều bị cong đi và giả thiết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng nữa.
Vì vậy, bài toán xoắn của thanh mặt cắt chữ nhật được giải quyết theo lý thuyết đàn hồi. Theo kết quả của lý thuyết này, biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt b×h (với h>b) có dạng như hình 6-12.
Tại trọng tâm tiết diện, ứng suất tiếp bằng không, tại trung điểm cạnh dài h, ứng suất tiếp đạt trị số lớn nhất:
h
Hình 6-12
b
A
A
BB τ1
τmax
122
2Z
max hbM
α=τ (6.12)
Tại trung điểm cạnh ngắn b, ứng suất tiếp đạt trị số khá lớn:
τ1 = γτmax (6.13)
Góc xoắn tương đối của thanh:
3Z
GhbM
β=θ (6.14)
Trong các công thức trên α, β, γ là các hệ số phụ thuộc vào tỷ số bh (qui định h >
b). Giá trị của chúng được cho trong bảng 6-1.
Bảng 6-1
h/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 6 10 ∝
α 0,208 0,231
0,239 0,246 0,258 0,267 0,299 0,313 0,333
β 0,141 0,196
0,214 0,229 0,249 0,263 0,299 0,313 0,333
γ 1,000 0,859
0,820 0,759 0,776 0,753 0,743 0,742 0,742
Khi bh > 10 có thể lấy α = β = 0,333.
BÀI TẬP 6.1. Vẽ biểu đồ mô men xoắn, tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn tương đối giữa hai đầu thanh (hình 6-1B). Cho G = 8.106 N/cm2, đường kính mặt cắt thanh d =7cm.
6.2. Vẽ biểu đồ mô men xoắn và biểu đồ góc xoắn của thanh cho trên hình 6-2B.
970 Nm 3650 Nm 1460 Nm 1220 Nm
60 cm 60 cm 80 cm
Hình 6-1B
2M
a a a
m=M/aGJ02 GJ01
Hình 6-2B
123
6.3. Tính ứng suất tiếp lớn nhất ở các đoạn thanh và góc xoắn tại đầu tự do của thanh. Cho G = 8.106N/cm2 (hình 6-3B).
6.4. Tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn tại các mặt cắt A và B của thanh cho trên hình 6-4B. Cho G = 8.106 N/cm2.
6.5. Xác định giá trị của mô men phân bố m để trục cân bằng. Vẽ biểu đồ mô men xoắn, tính ứng suất tiếp lớn nhất và góc xoắn giữa hai đầu trục. Cho G = 8.106N/cm2 (hình 6-5B).
6.6. Kiểm tra độ bền và độ cứng của trục tròn có đường kính d = 6cm, [τ] = 2000N/cm2, [θ] = 0,40/m, G =8.106N/cm2. Bánh A là bánh chủ động, n =150vòng/phút, công suất của bánh lái ghi trên hình 6-6B.
60 cm 40 cm 40 cm20 cm
1220 Nm 360 Nm 570 Nm
2,8
cm
B C D EA 4 cm
2,8
cm
Hình 6-3B
600 Nm300 Nm
40 cm 80 cm
1500 Nm/m
BA C
Hình 6-4B
5cm
2000 Nm m
8000 Nm 3000 Nm
60 cm 30 cm80 cm
Hình 6-5B
40 cm40 cm
10cm
6,0Dd
==η
4kW15kW
8kW 3kW
Hình 6-6B
d =
6 cm
A
124
6.7. Một trục tròn rỗng có tỉ số hai đường kính d/D = 0,5 chịu xoắn bởi ngẫu lực M = 57,267kNm.
a) Xác định đường kính ngoài của trục, biết [τ] = 3000N/cm2.
b) Kiểm tra độ cứng của trục, biết [θ]=10/m, G = 8.106N/cm2.
6.8. Một trục tròn truyền công suất N = 450 mã lực quay với tốc độ n = 300vòng/phút.
a) Tính đường kính cần thiết của trục để góc xoắn không vượt quá 0,50/m, biết G = 8.106N/cm2.
b) Tính ứng suất tiếp lớn nhất của trục.
6.9. Xác định mô men xoắn M tác dụng vào trục, nếu bằng cảm biến điện trở ta đo được biến dạng tương đối theo phương xiên góc 450 đối với đường sinh là: εA = 30.10-5, biết E = 2.107N/cm2; μ = 0,3.
6.10. Xác định công suất mà trục nhận được và ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang
của trục, nếu bằng tenxômét điện trở ta đo được biến dạng của tấm điện trở dán theo phương AB là: ε = 4,25.10-4 (hình 6-10B). Biết số vòng quay của trục là n =120 vòng/phút, G = 8.106N/cm2, D = 40cm, η= d/D = 0,6.
6.11. Thanh AB ngàm ở hai đầu. Đoạn AC mặt cắt tròn đường kính d, đoạn CB mặt cắt vuông cạnh a nội tiếp hình tròn đường kính d. như trên hình 6-11B Xác định khoảng cách zo để mô men Mo = 600N.m tạo ra các mô men phản lực ở hai ngàm bằng nhau.
Kiểm tra độ bền của thanh, biết [τ] = 4500N/cm2, d = 4cm.
D
AB 450
Hình 6-10B
d
Hình 6-11B
M0I
I
l
Z o
l
B C A
d
a
125
6.12. Xác định mô men cho phép [M], biết [τ] = 4500N/cm2 (hình 6-12B).
6.13. Vẽ biểu đồ mô men xoắn của thanh chịu lực như hình 6-13B. Biết M=10 N.m, d1=15cm, d2 = 10cm.
6.14. Một trục chịu tác dụng của các mô men xoắn như hình 6-14B. Xác định đường kính d của trục nếu n = 720 vòng/phút, [τ] = 30MN/m2.
Nếu sắp xếp lại các mô men hợp lý thì đường kính của trục giảm bao nhiêu % so với trường hợp trên?
6.15. Trên một đoạn dài 5m của một trục tuabin, người ta đo được góc xoắn tương đối giữa 2 mặt cắt là 1 độ. Trục rỗng có đường kính ngoài 25cm, đường kính trong 17cm, trục quay với tốc độ n = 250 vòng/phút.
a) Xác định công suất của tua bin.
b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang.
6.16. Một trục động cơ truyền công suất W = 7 kW, quay với tốc độ n = 120vòng/phút.
a) Hãy xác định đường kính của thanh để góc xoắn giữa hai mặt cắt cách nhau một khoảng bằng 30 lần đường kính của trục không vượt quá 10.
b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong trục.
6.17. Trên trục truyền lực có một đoạn ngắn mặt cắt vuông cạnh a. Trục truyền công suất W = 20 kW với tốc độ n = 120 vòng/phút. Xác định kích thước mặt cắt vuông theo điều kiện bền, biết [τ] = 5 MN/m2.
[M]
l l
Hình 6-12B
6 cm 4 cm
3M
l l
Hình 6-13B
d1 d2
l l
M
Hình 6-14B
118 kW 51,5 kW 40,5 kW 26 kW
d
126
6.18. Cho thanh chịu lực như trên hình 6-18B. Biết 26 cm/N10.8G = . Yêu cầu :
1) Vẽ biểu đồ nội lực của thanh.
2) Tính ứng suất tiếp lớn nhất trong các đoạn thanh.
3) Tính góc xoắn của mặt cắt E.
6.19. Để xác định công suất của một trục quay người ta dán một tấm điện trở ( Đattric)trên trục thanh và nghiêng 450 so với phương của trục như trên hình 6-19B, đo được biến dạng 410.25,4 −=ε . Biết số vòng quay của trục là n = 120 v/ph, G =
8.106N/cm2, Trục có D = 40cm, .6,0Dd
==η Hãy xác định công suất của trục.
6.20. Bộ phận gối đỡ dầm cầu trục có cấu tạo như trên hình 6-20B. Các đinh bu lông có đường kính d = 20 mm và [ ] 2cm/N6000=τ . Yêu cầu xác định tải trọng P có thể tác dụng lên gối .
6.21. Một lò xo hình trụ bước ngắn chịu lực nén P =10 kN như trên hình 6-21B. Đường kính dây lò xo d = 26 mm, còn đường kính trung bình của lò xo D = 150 mm. vật liệu làm lò xo có G = 26 cm/N10.5,8 , [ ] 2cm/kN25=τ . Lò xo có số vòng là n =
D d
450
Hình 6-19B
M
M 150
100100
225 P
Hình 6-20B
2,8cm
2,8cm 1,22kN 0,36kN 0,57kN
4cm 0,6m 0,4m 0,2 0,4m
Hình 6-18B
E A
B C D
127
10. Biết rằng khi chịu tải khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vòng dây là t0 = 3 mm. Yêu cầu: Kiểm tra bền cho lò xo và xác định chiều cao h0 của lò xo khi nó không chịu lực.
6.22. Cho hệ chịu lực như trên hình 6-22B. Biết P = 2 kN; G = 26 cm/N10.5,8 ; các lò xo có: R1 = 30 mm, r1 = 4 mm, n1 = 8; h1 = 80 mm; R2 = 40 mm, r2 = 5 mm, n2 = 5; h2 = 90 mm. Đĩa C coi như cứng tuyệt đối. Yêu cầu :
1) Khảo sát sự phân phối của P cho 2 lò xo: P1, P2 =?
2) Xác định chuyển vị của điểm C
6.23. Cho hệ chịu lực như trên hình 6-23B. Biết M = 2000 Nm. Trục thép có [ ] 24
T cm/N10.1=τ , dT = 5 cm. Lò xo có [ ] 24LX cm/N10.5,2=τ , D = 6 cm, d = 1 cm, n =
8. Yêu cầu Kiểm tra bền cho trục và lò xo.
d
P
h
t 0
D
Hình 6-21B
P
P1
P2
h 1=8
0 h 2
=90
Hình 6-22B
A
B
C
λ
c c
a a
M
P
λϕ
MB
A
B
BA
183kNc
17kNcm
Mz
c)
b)
Hình 6-23B
30
30
5 5
0 0
M
a)
128
6.24. Ống CBE rỗng có đường kính ngoài D, đường kính trong d ngàm tại C như trên hình 6-24B. Một thanh tròn đặc AEB có đường kính d0 = D/2 = d/16 được lồng vào trong ống BCE. Thanh này được hàn chặt vào ống tại E và B. Hệ chịu 2 mmô men xoắn tập trung như trên hình vẽ. Yêu cầu :
.
1) Vẽ Biểu đồ nội lực của hệ. Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh và trong ống.
2) Xác định góc xoắn tại A. Biết cả thanh và ống đều có cùng G.
6.25. Một biển báo của đường sắt có kích thước F =1200 x 900 mm được gắn trên một ống thép mỏng như trên hình 6-25B. Áp lực gió lớn nhất tác dụng lên biển báo q = 24 kN/m2. Góc xoắn ống trên chiều dài 3500mm=l không được vượt quá [ ] 05=ϕ . Vật liệu làm ống có [ ] 2cm/kN4,6=τ . Yêu cầu xác định đường kính ngoài cần thiết của ống, biết chiều dày ống mm4=δ (bỏ qua trọng lượng các chi tiết của kết cấu).
6.26. Xác định ứng suất lớn nhất trong các thanh I và II của hệ cho trên hình 6-26B. Tính góc xoắn ABϕ . Biết các thanh có 27 cm/N10.2E = , 26 cm/N10.8G = ; diện tích mặt cắt ngang của các thanh II FII = 4 cm2. D = 80 mm, d = 20 mm.
d D D
d0
a 2a
2a
M
2M
Hình 6-24B d
δ
800 1200
900
2600
Hình 6-25B
M
Hình 6-27B
4d
d
2F
II
I a
8d
A B
F 2a
a 2a
A
II
Hình 6-26B
2m
0,8m
2m
0,2m
D
d
B
II
I M
129
6.27. Cho hệ chịu lực như trên hình 6-27B. Trục AB có đường kính d. Các thanh I có
diện tích mặt cắt ngang là 2d
F64
π= , của các thanh II là 2F. Cho G = 0,4E. Yêu cầu xác
định ứng suất lớn nhất trong trục và các thanh.
6.28. Cho hệ chịu lực như trên hình 6-28B. Các kích thước cho trên hình vẽ. Yêu cầu xác định xác định ứng suất tiếp lớn nhất trong mỗi trục và các góc xoắn EFϕ , KLϕ . Biết 26 cm/N10.8G = , bỏ qua biến dạng của các thanh nối.
6.29. Kết cấu gồm một thanh thép tròn và một ống đồng và đầu kia được gắn với một đĩa cứng chịu mô men xoắn M như trên hình 6-29B. Biết M = 200 Nm; d1 = 3 cm; d = 4 cm;
t = 2 cm; m2=l ; d TG 2G= . Yêu cầu :
1) Tính góc xoắn tại A, ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh thép và trong ống đồng.
2) Nếu M di chuyển từ A đến B nhưng tác dụng vào ống đồng thì góc xoắn tại A thay đổi thế nào?
t
t
d d 1
l đồng
đồng
thép AB
đĩa cứng
Hình 6-29B M
Hình 6-28B
F
d 2=2
0
K
I
d 3=3
0
0,5m
0,4 m 0,2 m
d1=40
E
L
130
CHƯƠNG 7: UỐN PHẲNG
7.1. Khái niệm về dầm chịu uốn phẳng Trong các công trình xây dựng ta thường gặp các kết cấu thanh chịu tác dụng của
các lực có phương vuông góc với trục của chúng. Dưới tác dụng của các lực này ta thấy trục của thanh bị uốn cong. Các thanh thẳng chủ yếu chịu uốn được gọi là dầm, chẳng hạn như dầm cầu giao thông, dầm cầu trục trong các trạm bơm, dầm trong các nhà dân dụng và công nghiệp,v...v.
Xét một dầm chịu uốn với qui ước z là trục của thanh, hệ trục xoy có trục y là trục đối xứng- là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (hình 7-1a). Nếu mặt phẳng chứa tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng yoz của dầm thì trong trường hợp này trên các mặt cắt ngang của dầm chỉ tồn tại hai thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô men uốn Mx cùng nằm trong mặt phẳng đối xứng yoz của dầm. Ta gọi đây là dầm chịu uốn phẳng hay chịu uốn ngang phẳng (hình 7-1b). Trường hợp nếu trên các mặt cắt ngang của dầm chỉ tồn tại một thành phần nội lực là mô men uốn Mx, ta gọi đây là dầm chịu uốn thuần túy phẳng (hình 7-1c)
Các dầm thường được nối với đất bởi các liên kết có dạng các gối tựa hoặc các ngàm như đã mô tả trong chương 1, dưới đây chỉ nhắc lại các liên kết và các phản lực liên kết hay gặp đối với các dầm chịu uốn. Trên hình 7-2a,b mô tả một gối tựa cố định và các thành phần phản lực gối tựa tương ứng .
Trên hình 7-3a,b mô tả sơ đồ thực một gối tựa di động và thành phần phản lực gối tựa tương ứng.
Dầm Dầm
DầmH
V
A DầmB
V
Hình 7-2 Hình 7-3
a) a) b) b)
a)
b)
c)
Trôc dÇm
M M
P
Hình 7-1
P P
y
x
131
Trên hình 7-4a,b mô tả một liên kết ngàmvà 3 thành phần phản lực tương ứng
Các loại dầm đơn giản gặp trong thực tế là dầm hình thành từ một thanh thẳng đặt trên 2 gối tựa (một gối cố định và một gối di động), hoặc một thanh thẳng có một đầu được ngàm chặt như đã mô tả trên hình 7-5. Dễ dàng nhận thấy rằng ở các dầm đơn giản nói trên số thành phần phản lực của mỗi dầm là không vượt quá 3, do vậy chúng sẽ được xác định từ 3 phương trình cân bằng tĩnh học từ hệ lực phẳng bất kỳ. Ta thường gọi các dầm đơn giản nói trên là dầm tĩnh định.
7.2. Nội lực và biểu đồ nội lực trong dầm chịu uốn phẳng
7.2.1. Phương pháp xác định các thành phần nội lực Mx và Qy Như đã nói ở trên, trong dầm chịu uốn
phẳng thì trên các mặt cắt ngang của dầm chỉ tồn tại 2 thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô men uốn Mx. Để xác định các thành phần nội lực này ta dùng phương pháp mặt cắt quen thuộc đã trình bày ở chương 1. Dưới đây trình bày tóm tắt nội dung phương pháp mặt cắt để xác định nội lực trong dầm chịu uốn phẳng: Xét dầm chịu uốn trên hình 7-6a, lực tác dụng lên dầm bao gồm tải trọng và các phản lực liên kết (gọi chung là ngoại lực). Các thành phần phản lực liên kết VA, VB phụ thuộc vào các tải trọng đặt trên dầm và được xác định từ các phương trình cân bằng tĩnh học.
Giả sử cần xác định nội lực tại mặt cắt bất kỳ trong dầm đã cho ta tưởng tượng dùng một mặt cắt phẳng bất kỳ m-n đi qua điểm cần xác định nội lực và chia dầm làm 2 phần riêng biệt (phần trái và phần phải). Hãy xét cân bằng của một phần, chẳng hạn
DầmM
V
H
a) b)
Hình 7-4
a)
b)
c)
Hình 7-5
z
Mm
n
q P
Mx
Mx
Qy
VA
VA
VB
Qy
VB
P
q
q z
z
a)
b)
c)
Hình 7-6
A B
l
z
z
132
xét phần trái (hình 7-6b), hoặc xét phần phải (hình 7-6c). Lúc này ta phải thay thế phần bị loại bỏ bằng lực tương hỗ của nó lên phần đang xét, đó chính là các thành phần nội lực Qy và Mx cần phải xác định. Ta qui ước dấu các thành phần nội lực như sau:
+ Mô men uốn Mx sẽ mang dấu dương nếu nó làm căng các thớ dưới của dầm (hình 7-6 b,c) và ngược lại.
+ Lực cắt Qy sẽ mang dấu dương nếu quay pháp tuyến ngoài của mặt cắt đến mũi tên của lực cắt Qy một góc 90o theo chiều kim đồng hồ (hình 7-6b,c) (hoặc Qy làm cho phần xét quay theo chiều kim đồng hồ) và ngược lại.
Để xác định lực cắt Qy ta dùng phương trình tổng hình chiếu lên phương phương y của các thành phần nội lực (Qy và Mx) và tất cả các ngoại lực (ký hiệu chung là Pi) tác động lên phần đang xét (PX) phải bằng không:
PXy x iy (Q , M , P ) 0=∑ (7.1)
Để xác định mô men uốn Mx ta dùng phương trình tổng mô men đối với trọng tâm O của mặt cắt đang xét của các thành phần nội lực (Qy và Mx) và tất cả các ngoại lực ( Pi ) tác động lên phần đang xét phải bằng không:
PXo y x iM (Q , M , P ) 0=∑ (7.2)
Từ các phương trình cân bằng (7-1) và (7-2) ta rút ra được các biểu thức của lực cắt Qy và mô men uốn Mx là các hàm số phụ thuộc vào toạ độ z.
7.2.2. Biểu đồ nội lực Như trên đã nói, các nội lực Qy, Mx đều là hàm số của toạ độ z của mặt cắt. Để thể
hiện rõ sự biến thiên của các nội lực này theo toạ độ mặt cắt ta tiến hành vẽ đồ thị của các hàm số này theo z , các đồ thị này được gọi là biểu đồ nội lực.
Để vẽ biểu đồ nội lực ta tiến hành theo các bước như sau:
1) Xác định phản lực (nếu cần). Phản lực cũng được coi là ngoại lực, song khi vẽ biểu đồ nội lực có trường hợp cần phải xác định phản lực, cũng có trường hợp không cần xác định phản lực. Trường hợp nào cần, trường hợp nào không cần sẽ được làm rõ trong phần ví dụ ở dưới.
2) Chia đoạn: Cơ sở của việc chia đoạn là dựa vào sự biến đổi của ngoại lực. Phần này cũng được giải thích kỹ trong phần ví dụ ở dưới.
3) Xét từng đoạn: Mỗi đoạn ta dùng phương pháp mặt cắt để viết được các quan hệ giữa các nội lực Qy và Mx với toạ độ z của mặt cắt, tức là ta đã viết:
m
n
lz
VA VB
q
A B
Mx
VAz
Qy
q
z
Mql2/8
Hình 7-7
Qql/2
ql/2
a)
b)
c)
d)
133
( )zQ=Q yy , ( )zM=M xx (*)
4) Vẽ đồ thị của các hàm số (*) đó chính là các biểu đồ nội lực.
Các quy ước về vẽ biểu đồ nội lực xem mục 7.2.3. phần các ví dụ
7.2.3. Các ví dụ Dưới đây trình bày một số ví dụ tính toán và vẽ các biểu đồ nội lực trong các dầm
đơn giản thường gặp trong thực tế.
Ví dụ 7-1: Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho dầm đơn giản 2 đầu là gối tựa, chịu tải trọng phân bố đều như trên hình 7-7a.
Bài giải:
Đối với các dầm đơn giản này để tiến hành tính toán nội lực và vẽ biểu đồ nội lực, trước hết ta phải xác định phản lực tại các gối tựa A và B bởi vì khi dùng phương pháp mặt cắt dù ta bỏ phần nào và xét phần nào cũng tồn tại phản lực. Chú ý rằng đối với dầm chịu uốn phẳng, do tải trọng luôn có phương vuông góc với trục dầm (phương thẳng đứng) nên không tồn tại thành phần phản lực ngang tại gối cố định A (tức HA ≡ 0). Như vậy trong dầm chỉ có 2 thành phần phản lực theo phương thẳng đứng tại A và B (ký hiệu là VA,VB và giả thiết chiều hướng lên phía trên), chúng sẽ được xác định từ 2 phương trình cân bằng tĩnh học đối với hệ lực phẳng song song đã biết, chẳng hạn :
+ Phản lực VB được xác từ phương trình cân bằng tổng mô men đối với khớp A của các phản lực VA, VB và tất cả các tải trọng trên dầm (Pi) phải bằng không:
0)P,V,V(M iBAA =∑ (7.3)
Ta có : 0V2
q B =+− ll
l ; giải ra 2qVBl
+= (dấu + chứng tỏ chiều VB đã giả thiết là
đúng).
+ Phản lực VA có thể được xác định từ phương trình tổng mô men của tất cả các lực của phần xét đối với điểm B bằng không:
0)P,V,V(M iBAB =∑ (7.4)
Ta có: 0=V+2
q All
l ;giải ra 2qVAl
+= (dấu+chứng tỏ chiều VA đã giả thiết là đúng)
Chú ý:
* Khi tính các phản lực liên kết cần hết sức thận trọng để tránh được các sai sót về trị số và chiều của phản lực, bởi lẽ nếu sai phản lực kéo theo sai toàn bộ các kết quả tính toán bước tiếp theo. Để đảm bảo chắc chắn phản lực đã tính là đúng nên chăng phải tính toán thận trọng và tự kiểm tra lại từng kết quả tính toán theo thứ tự từ trên xuống dưới, hoặc sử dụng thêm một phương trình cân bằng khác, chẳng hạn phương trình:
134
0)P,V,V(y iBA =∑ (7.5)
Nếu phương trình này thoả mãn chứng tỏ kết quả phản lực đã tính là đúng, ngược lại nếu không thoả mãn chứng tỏ kết quả kết quả phản lực đã tính là sai. Thông thường ta chỉ dùng phương trình (7.5) làm phương trình kiểm tra mà không dùng làm phương trình để xác định VA vì rằng nếu sử dụng phương trình này để xác định VA thì khi ta xác định VB sai sẽ kéo theo VA cũng sẽ sai, còn nếu dùng phương trình (7.4) thì dù có xác định VB sai vẫn có thể xác định được VA đúng.
* Trong trường hợp tải trọng là phức tạp ta chưa khẳng định được chiều của các phản lực gối tựa, lúc này ta cần giả định trước chiều của các phản lực gối tựa rồi xác định chúng từ các phương trình cân bằng tĩnh học. Nếu kết quả phản lực mang dấu dương thì chiều đã giả định ở trên là đúng, còn nếu mang dấu âm có nghĩa là phản lực sẽ có chiều ngược với chiều đã giả định.
+ Để xác định các thành phần nội lực Qy và Mx trước hết ta phải chia dầm thành các đoạn tùy thuộc vào sự biến đổi của ngoại lực. Trong trường hợp này suốt trên dầm ngoại lực không thay đổi nên ta chỉ chia dầm thành một đoạn. Sử dụng phương pháp mặt cắt đã quen biết. Tưởng tượng dùng mặt cắt m-n cách gối A một đoạn là z, chia dầm làm 2 phần riêng biệt. Xét một phần nào đó, chẳng hạn phần bên trái. Đặt các thành phần nội lực Qy và Mx vào mặt cắt đang xét với chiều qui ước là dương như đã nói ở trên. Dùng các phương trình cân bằng (7.1) và (7.2) ta lập được các biểu thức của nội lực tại mặt cắt bất kỳ trong đoạn thanh đang xét như sau:
• Từ phương trình (7.1) ta có :
0z.qQV yA =−−
Suy ra : )z0(z.q2qz.qVQ Ay ll
≤≤+=+= (a)
• Từ phương trình (7.2) ta có :
02z.z.qMz.V xA =−−
Suy ra : )z0(2zqz.
2qM
2
x ll
≤≤−= (b)
Bảng 7-1
Toạ độ z 0 l/2 l
Lức cắt Qy 2q
+l 0
2ql
Mô men uốn Mx 0 8
q+
2l 0
135
a b l
P A B
VA VB
1
1
2
2
z2 z1
z1
z2
Mx
Qy
z
Mx
Qy
z
P.b Qy
P.a lMx
Pab/l
Hình 7-8
VA
VB
a)
b)
c)
d)
e)
C
Nhận xét: Từ các biểu thức (a) và (b) ta có nhận xét rằng khi trên các đoạn dầm chỉ có lực phân bố đều q = const thì lực cắt Qy thay đổi theo luật bậc nhất dọc theo trục dầm còn mô men uốn Mx thay đổi theo luật bậc hai dọc theo trục dầm.
Trị số của Qy và Mx tại các mặt cắt đầu, giữa và cuối mỗi đoạn dầm được tính từ biểu thức (a) và (b) và ghi vào bảng 7-1. Các biểu đồ Qy và Mx được vẽ trên hình 7-7c,d.
Khi vẽ biểu đồ nội lực ta phải tuân theo một số quy định sau:
+ Lấy trục chuẩn song song với trục z mặc định ký hiệu là trục z.
+ Trục vuông góc với trục chuẩn (không vẽ trục) mặc định là trục biểu diễn nội lực.
Giá trị dương của Qy thường vẽ phía trên đường chuẩn, còn giá trị âm vẽ phía dưới.
biểu đồ mô men vẽ theo thớ căng, mô men căng phía nào thì vẽ phía đó.
+ Phải đề dấu của biểu đồ Qy, dấu này được đặt trong vòng tròn, còn biểu đồ mô men không cần đề dấu.
+ Phải đề các trị số cần thiết vào các biểu đồ, đó là các trị số đủ để người khác khi đọc bản vẽ có thể suy ra mọi giá trị nội lực trên biểu đồ.
+ Phải đề tên biểu đồ, tên biểu đồ được đặt trong đường tròn và đặt cạnh biểu đồ nội lực .
Ví dụ 7-2: Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho dầm đơn giản 2 đầu gối tựa, chịu tải trọng tập trung P như trên hình 7-8a.
Bài giải:
Tương tự như ở ví dụ 1, các phản lực gối tựa VA và VB được xác định từ các phương trình cân bằng (7.3) và (7.4).
Kết quả ta có: l
aPVB += và l
bPVA +=
Để xác định nội lực trong dầm ta chia dầm làm 2 đoạn AC và BC, tiến hành viết biểu thức của Qy và Mx trong từng đoạn rồi vẽ biểu đồ.
+ Với đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc toạ độ A một đoạn z1, xét cân bằng phần bên trái (hình 7-8b). Từ các phương trình cân bằng (7.1) và (7.2) ta
136
rút ra các biểu thức của Qy và Mx như sau:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
11Ax
Ay
zbPz.VM
bPVQ
l
l )az0( 1 ≤≤ (a)
+ Với đoạn BC: Dùng mặt cắt 2-2 cách gốc toạ độ B một đoạn z2 và xét cân bằng phần bên phải (hình 7-8c ). Từ các phương trình cân bằng (7.1) và (7.2) ta rút ra các biểu thức của Qy và Mx như sau:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=−=
22Bx
By
zaPz.VM
aPVQ
l
l )bz0( 2 ≤≤ (b)
Bảng 7-2
Đoạn AC Đoạn BC
z1 Qy Mx z2 Qy Mx
0 l
bP 0 0
l
aP 0
a l
bP
l
abP b
l
aP
l
abP
Trị số của Qy và Mx tại các mặt cắt đầu và cuối đoạn dầm được tính từ biểu thức (a) và (b) và ghi vào bảng 7-2. Các biểu đồ Qy và Mx được vẽ trên hình 7-8d,e.
Nhận xét:
* Từ các biểu thức (a) và (b) ta có nhận xét rằng khi trên các đoạn dầm không có lực phân bố đều (tức q = 0) thì lực cắt Qy không thay đổi (Qy = const) dọc theo đoạn trục dầm, còn mô men uốn Mx thay đổi theo luật bậc nhất dọc theo đoạn trục dầm.
* Tại mặt cắt có lực tập trung P, biểu đồ lực cắt Qy có bước nhảy |ΔQy|= P, chiều của bước nhảy ΔQy theo chiều của lực tập trung P (nếu hướng đi từ trái sang phải), ngoài ra biểu đồ mô men uốn Mx có điểm gẫy theo chiều của lực tập trung P. Mũi tên độ võng của biểu đồ Mx tại vị trí có lực tập trung P bằng Pab/l. Trường hợp hay gặp khi lực P đặt chính giữa dầm thì ta có mô men uốn lớn nhất trong dầm: Mxmax = Pl /4.
a b l
M A B
VA VB
1
1
2
2
z2 z1
z1
z2
Mx
Qy
z
Mx
Qy
z
Mx
Mb/l
Hình 7-9
VA
VB
M/l Qy
M/l Ma/l
a)
b)
c)
d)
e)
137
Ví dụ 7-3: Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho dầm đơn giản 2 đầu gối tựa, chịu mô men tập trung M như trên hình 7-9a.
Bài giải:
+ Ta thấy rằng các phản lực gối tựa VA và VB phải tạo thành một ngẫu lực cân bằng với mô men ngoại lực M. Do vậy chúng phải có chiều ngược nhau như trên hình vẽ và có trị số bằng nhau :
l
MVA = (hướng xuống dưới) ;
l
MVB = (hướng lên trên)
+ Để xác định nội lực ta chia dầm làm 2 đoạn AC và BC rồi viết biểu thức của lực cắt và mô men uốn trong mỗi đoạn:
• Với đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc toạ độ A một đoạn z1, xét cân bằng phần bên trái ( hình 7-9b). Từ các phương trình cân bằng (7.1) và (7.2) ta rút ra các biểu thức của Qy và Mx như sau:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=
−=−=
11Ax
Ay
zMz.VM
MVQ
l
l )az0( 1 ≤≤ (a)
• Với đoạn BC: Dùng mặt cắt 2-2 cách gốc toạ độ B một đoạn z2 và xét cân bằng phần bên phải (hình 7- 9c). Từ các phương trình cân bằng (7.1) và (7.2) ta rút ra các biểu thức của Qy và Mx như sau:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=−=
22Bx
By
zMz.VM
MVQ
l
l )bz0( 2 ≤≤ (b)
Tương tự như trên ta vẽ được các biểu đồ Qy và Mx trên hình 7-9 c,d.
Nhận xét: Tại mặt cắt có mô men tập trung M, biểu đồ mô men uốn Mx có bước nhảy |ΔMx| = M, chiều của bước nhảy ΔMx đi xuống khi mô men tập trung M quay thuận chiều kim đồng (nếu hướng đi từ trái sang phải), ngược lại bước nhảy ΔMx đi lên khi men tập trung M quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Từ mỗi ví dụ trên ta đã nêu ra các nhận xét cụ thể về dạng biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx khi trên dầm có lực phân bố đều q, lực tập trung P và mô men tập trung M. Dưới đây ta sẽ đi tìm mối liên hệ về mặt toán học (liên hệ vi phân) giữa các thành phần nội lực Qy và Mx với tải trọng q.
138
7.2.4. Mối liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng phân bố Xét một dầm chịu uốn trong đó tải trọng phân bố q(z) có dạng bất kỳ như trên
hình 7-10a. Tải trọng phân bố q(z) được qui ước mang dấu dương khi hướng từ dưới lên trên và mang dấu âm khi có hướng ngược lại.
Giả sử tách ra một đoạn dầm rất ngắn có chiều dài dz bởi hai mặt cắt như trên hình 7-10a. Các thành phần nội lực tại các mặt cắt là : Qy và Mx ; Qy+dQy và Mx+dMx; và có thể xem rằng q(z ) là không đổi trên đoạn thanh dz rất nhỏ này (hình 7-10b). Vì dz rất nhỏ nên ta có thể xem q phân bố đều trên đoạn này.Bây giờ ta xét cân bằng của đoạn thanh dz:
• Từ phương trình tổng hình chiếu của tất cả các lực lên phương vuông góc với trục dầm bằng không:
Giải ra ta được :
)z(qdz
dQy =
(7.5)
Phát biểu từ (7.5): Đạo hàm bậc nhất của lực cắt Qy tại mỗi điểm dọc theo trục dầm bằng chính cường độ của lực phân bố q(z) tại điểm đó.
• Từ phương trình tổng mô men của tất cả các lực đối với trọng tâm của mặt cắt 2-2 bằng không ta có:
0)dMM(2dz.dz).z(qMdz.Q xxxy =++−−−
Vì dz là vô cùng bé nên số hạng thứ 3 cũng là vô cùng bé bậc cao ta bỏ qua so với các số hạng khác, giải phương trình trên ta được :
yx Q
dzdM
= (7.6)
• Từ (7.5 ) và ( 7.6 ) suy ra :
)z(qdzMd
2x
2
= (7.7)
Phát biểu từ (7.6): Đạo hàm bậc nhất của mô men uốn Mx tại mỗi điểm dọc theo trục dầm bằng chính giá trị của lực cắt Qy tại điểm đó.
Phát biểu từ (7.7): Đạo hàm bậc hai của mô men uốn Mx tại mỗi điểm dọc theo trục dầm bằng chính cường độ của lực phân bố q(z) tại điểm đó.
dz
q(z)
Mx+dMx
Qy+dQy Qy
Mx
dz
a)
b)
Hình 7-10
y y yQ q(z).dz (Q dQ ) 0+ − + =
139
Từ các liên hệ vi phân (7.5), (7.6) và (7.7) ta có thể nêu ra các nhận xét sau đây:
1. Nếu trên đoạn thanh đang xét có lực phân bố q(z) bậc n, thì biểu đồ lực cắt Qy
có bậc n+1 và biểu đồ mô men uốn Mx có bậc n+2, chẳng hạn:
+ Khi trên đoạn thanh không có lực phân bố (hay q = 0 ở ví dụ 2 và 3) thì biểu đồ lực cắt Qy là hằng số, còn biểu đồ mô men uốn Mx là bậc nhất.
+ Khi trên đoạn thanh có lực phân bố đều q (hay q = const ở ví dụ 1) thì biểu đồ lực cắt Qy là đường thẳng (bậc nhất), còn biểu đồ mô men uốn Mx là đường cong bậc hai.
2. Tại các mặt cắt mà trị số lực cắt Qy = 0 thì biểu đồ mô men uốn Mx tại đó đạt giá trị cực trị (cực đại tại mặt cắt có trị số Qy = 0 và đổi dấu từ dương sang âm, và cực tiểu tại mặt cắt có trị số Qy = 0 và đổi dấu từ âm sang dương).
Từ liên hệ vi phân (7.5) ta có :
dQy = q (z) . dz (c)
Tích phân biểu thức (c) từ mặt cắt trái (có hoành độ z1) tới mặt cắt phải (có hoành độ z2) của đọan thanh đang xét ta được :
∫ Ω==−==Δ2
1
2
1
z
z
traiy
phaiy
z
zyy )z(qdz)z(qQQQQ
Hay có :
)z(qQQ traiy
phaiy Ω+= (7.8)
Tương tự từ (7.6 ) ta được :
ytrai
xphai
x QMM Ω+= (7.9)
Phát biểu từ (7.8) và (7.9):
• Giá trị của lực cắt Qy tại mặt cắt phải của đoạn thanh đang xét (có hoành độ z2) bằng giá trị của lực cắt Qy tại mặt cắt trái (có hoành độ z1) cộng với giá trị diện tích của biểu đồ lực phân bố Ωq(z) trên đoạn thanh đó.
• Giá trị của mô men uốn Mx tại mặt cắt phải của đoạn thanh đang xét (có hoành độ z2) bằng giá trị trị của mô men uốn Mx tại mặt cắt trái (có hoành độ z1) cộng với giá trị diện tích của biểu đồ lực cắt ΩQy trên đoạn thanh đó.
Lưu ý rằng các phát biểu và nhận xét đã nêu ở trên sẽ giúp chúng ta kiểm tra sự đúng đắn (dạng biểu đồ, giá trị các tung độ của biểu đồ nội lực, các giá trị cực trị, các bước nhảy) của biểu đồ Qy và Mx đã vẽ theo phương pháp lập biểu thức, hoặc giúp ta có thể vẽ nhanh các biểu đồ nội lực Qy và Mx .
Ví dụ 7-4: Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho dầm đơn giản có mút thừa, chịu tải trọng như trên hình 7-11a.
140
Bài giải:
+ Xác định phản lực gối tựa VA và VB: Giả thiết trước chiều các phản lực VA và VB như hình vẽ. Từ phương trình cân bằng:
• ∑ = 0)P,V,V(M iBAA
Ta có:
0a3.V)2a3a(a3.qa.PM B =++−+−
Rút ra: 2qa5VB += (dấu + chứng tỏ
VB có chiều giống như đã giả thiết)
• ∑ = 0)P,V,V(y iBA
Ta có:
0Va3.qVP AB =−−+
Rút ra: 2
qaVA += (dấu + chứng tỏ VA có chiều giống như đã giả thiết)
+ Để vẽ các biểu đồ nội lực ta có thể dùng một trong 2 cách sau đây:
* Cách1 (lập biểu thức nội lực và vẽ biểu đồ): Trong các ví dụ 7.1, 7.2 và 7.3 đã trình bày cách lập biểu thức của lực cắt Qy và mô men uốn Mx từ việc lập các phương trình cân bằng tĩnh học của đoạn thanh đang xét. Tuy nhiên có thể thiết lập nhanh hơn các biểu thức nội lực mà không cần vẽ tách riêng đoạn thanh đang xét bằng cách sau đây:
a. Qui tắc chung: Để viết biểu thức nội lực của đoạn thanh nào đó, ta tưởng tượng dùng một mặt cắt đi qua đoạn thanh đó chia dầm làm 2 phần riêng biệt. Khi xét cân bằng của một phần nào đó (phần trái hoặc phần phải) ta hãy xem mặt cắt đang xét như một ngàm cứng. Áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng (cộng tác dụng) của các lực để viết các biểu thức của lực cắt và mô men uốn như sau:
- Viết biểu thức lực cắt Qy: Lực cắt Qy tại mặt cắt đang xét bằng tổng của các lực tập trung và tổng hợp lực của các lực phân bố trên phần dầm đang xét. Đối với mỗi lực riêng biệt thì lực cắt Qy sẽ lấy dấu dương khi lực đó có xu thế làm phần dầm đang xét quay theo chiều kim đồng hồ và lấy dấu âm khi ngược lại.
- Viết biểu thức mô men uốn Mx : Mô men uốn Mx tại mặt cắt đang xét bằng tổng tích của mỗi lực tập trung với khoảng cách từ nó đến mặt cắt đang xét và tổng tích hợp lực của lực phân bố với khoảng cách từ vị trí của hợp lực đến mặt cắt đang xét. Đối
Hình 7-11
z1 z2
la
VA VB
q
A B a) C D
1
1
2
2
3
3 a 2aVA
P=qa
M=qa2
E
z3
Qy qa/2b) qa/2
qa
3qa/2
Mx
9qa2/16
c)
qa2/2qa2
qa2/2
141
với mỗi lực riêng biệt thì mô men uốn Mx sẽ lấy dấu dương khi lực đó có xu thế làm căng các thớ dưới của dầm và lấy dấu âm khi làm căng thớ trên của dầm đang xét.
b. Áp dụng (vào ví dụ 7.4):
- Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1, xét phần bên trái ta có:
)az0(z
2qaqazVMM
2qaVQ
1
12
1Ax
Ay
≤≤
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=
−=−= (a)
- Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2, xét phần bên trái ta có:
)az0(
2zqz
2qa
2qa
2zqzPz)za(VMM
qz2
qaqzPVQ22
22
22
222Ax
22Ay
≤≤
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+=−++−=
−=−+−= (b)
- Đoạn AC: Dùng mặt cắt 3-3, xét phần bên phải ta có:
)az0(
2z
q2z
qzM
qzQ
3233
3x
3y
≤≤⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=
+= (c)
Tính giá trị lực cắt và mô men uốn tại đầu và cuối mỗi đoạn dầm theo các biểu thức (a), (b) và (c) ta vẽ được các biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx như trên hình 7-11b,c. Riêng biểu đồ Mx cần chú ý rằng tại mặt cắt có z2 = a/2 thuộc đoạn CB có trị số lực cắt Qy = 0 nên tại đó mô men uốn Mx đạt giá trị cực trị (cực đại):
8qa5M(max)M
2
2/azxx2
===
* Cách 2 (tính và vẽ nhanh biểu đồ nội lực)
a. Qui tắc chung: Để vẽ nhanh các biểu đồ nội lực ta dựa vào các nhận xét về:
- Liên hệ vi phân giữa Qy, Mx và tải trọng phân bố q để xác định đúng dạng của biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx trên mỗi đoạn thanh, xác định đúng các giá trị cực trị của của biểu đồ mô men uốn Mx tại điểm có lực cắt Qy = 0.
- Tại mặt cắt có đặt lực tập trung P cần xác định đúng bước nhảy của biểu đồ lực cắt Qy và mũi gẫy của biểu đồ mô men uốn Mx .
- Tại mặt cắt có mô men tập trung M cần xác định đúng bước nhảy của biểu đồ mô men uốn Mx .
- Dựa vào công thức (7.8) để tính nhanh giá trị lực cắt Qy tại mặt cắt phải Qy phải khi đã biết được giá trị lực cắt tại mặt cắt trái Qy trái và diện tích biểu đồ lực phân bố Ωq trên đoạn dầm giữa 2 mặt cắt trái và phải.
142
- Dựa vào công thức (7.9) để tính nhanh giá trị mô men uốn tại mặt cắt phải Mx phải khi đã biết được giá trị mô men uốn tại mặt cắt trái Mx trái và diện tích biểu đồ lực cắt ΩQy trên đoạn dầm giữa 2 mặt cắt trái và phải.
b. áp dụng (vào ví dụ 7.4)
- Vẽ biểu đồ lực cắt Qy: Xuất phát từ mút trái của dầm ta thấy tại gối A có phản
lực 2
qaVA = hướng xuống dưới, nên có bước nhảy 2
qaQy =Δ đi xuống. Trên đoạn AC
không có lực phân bố (hay q = 0) nên biểu đồ Qy nằm ngang (Qy = 2qa
− = const).
Tại điểm C có lực tập trung P = qa hướng lên trên, nên có bước nhảy ΔQy = qa đi
lên (nghĩa là tại bên phải mặt cắt C sẽ có 2
qa+=Qy ).
Trên đoạn CB có lực phân bố đều q(z) = -q, nên biểu đồ Qy là bậc nhất và tại mặt phải (mặt cắt B) có :
2qa3
=)a2.q(+2
qa+=QB
y
Tại gối B có phản lực 2qa5VB = hướng lên trên, nên có bước nhảy
2qa5Qy =Δ đi
lên (nghĩa là tại bên phải mặt cắt B sẽ có Qy = + qa).
Trên đoạn BD có lực phân bố đều q(z) = -q, nên biểu đồ Qy trên đoạn BD là bậc nhất và tại mặt phải (mặt cắt D) có :
0=)a.q(+qa+=QDy .
- Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx:
Xuất phát từ mút trái của dầm ta thấy tại gối A có mô men uốn Mx = qa2. Trên
đoạn AC có const2
qaQy =−= nên biểu đồ Mx là bậc nhất và tại mặt cắt C ta có:
2qa
+=a).2
qa.(
21
+qa=M2
2Cx .
Trên đoạn từ C đến D biểu đồ lực cắt Qy là bậc nhất nên biểu đồ mô men uốn Mx là đường cong bậc 2.
Tại mặt cắt E (mặt cắt có Qy = 0) mô men uốn Mx có giá trị cực đại là:
( ) 8qa5
=2a
.2
qa.
21
+2
qa=M=M
22
MaxXEx
Tương tự tại mặt cắt B và D ta có :
2qa
=2a3
)2qa3
(21
+8
qa5=M
22Bx
143
và .0=a.qa.21
+2
qa=M
2Dx
7.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng
7.3.1. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang Xét một dầm chịu uốn thuần tuý phẳng, trên các mặt cắt ngang của nó chỉ có một
thành phần nội lực là mô men uốn Mx như trên hình 7-12a. Bây giờ hãy phân tích để tìm ra qui luật phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang, từ đó giúp ta kiểm tra độ bền của dầm hoặc biết cách thiết kế các dầm chịu uốn đảm bảo được độ bền vững lâu dài. Quá trình phân tích ứng suất được tiến hành qua các bước sau đây:
Bước 1: Quan sát thực nghiệm
• Trước khi tiến hành thực nghiệm uốn ta kẻ lên bề mặt ngoài của dầm các đường thẳng song song với trục của dầm - chúng tượng trưng cho các thớ dọc của dầm; kẻ lên bề mặt ngoài của dầm các đường thẳng vuông góc với trục của dầm - chúng tượng trưng cho các mặt cắt ngang của dầm (hình 7-12b). Các đường kẻ này tạo thành lưới ô vuông trên bề mặt dầm.
• Tiến hành uốn dầm bởi cặp mô men uốn ở 2 đầu và quan sát ta thấy:
- Các đường thẳng vuông góc với trục dầm trong suốt quá trình chịu uốn luôn luôn thẳng và vuông góc với trục của dầm.
- Các đường thẳng song song với trục dầm đã bị uốn cong nhưng vẫn còn song song với trục của dầm.
- Trong quá trình chịu uốn các góc vuông trên bề mặt dầm vẫn được bảo toàn.
Nhờ quan sát thực nghiệm ta có thể nêu ra một số giả thiết giúp ta phân tích ứng suất được đơn giản hơn nhưng vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết của kết quả.
Bước 2: Các giả thiết về uốn thuần tuý phẳng
y
y
x
z
Mx
A
Mx Mx
a)
b)
c)
Hình 7-12
144
Giả thiết về mặt cắt phẳng (Giả thiết Becnuli): Trong quá trình chịu uốn thuần tuý phẳng các mặt cắt ngang của dầm luôn luôn phẳng và vuông góc với trục của dầm đã biến dạng.
Giả thiết về các thớ dọc: Trong quá trình chịu uốn thuần tuý phẳng các thớ dọc của dầm không kéo và ép lẫn nhau.
Bước 3:Phân tích và thiết lập công thức tính ứng suất
• Phân tích ứng suất trên mặt cắt ngang :
Từ quan sát thực nghiệm ta thấy rằng khi chịu uốn các thớ dọc phía dưới trục thanh đã bị dãn dài ra còn các thớ dọc phía trên trục thanh bị co ngắn lại. Do tính chất liên tục của biến dạng và giả thiết mặt cắt phẳng nên chuyển tiếp từ các thớ bị dãn dài ra đến các thớ bị co ngắn lại chắc chắn sẽ có một thớ không bị dãn dài ra và cũng không bị co ngắn lại, ta gọi là thớ trung hoà. Tập hợp các thớ trung hoà tạo thành một lớp trung hoà hay mặt trung hoà, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang gọi là đường trung hoà hay trục trung hoà (có thể xem gần đúng đường trung hoà là một đường thẳng). Từ giả thiết về các thớ dọc ta nhận thấy rằng trên mặt cắt ngang không có thành phần ứng suất pháp theo phương x và phương y. Tại các điểm trên mặt cắt ngang của dầm không có ứng suất tiếp, bởi vì trên mặt cắt ngang không xuất hiện biến dạng góc. Tóm lại, tại mọi điểm trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất pháp σz. Như vậy, nếu tách ra một phân tố hình hộp nhỏ bởi các mặt phẳng song song với các mặt toạ độ xy,yz và zx thì trên phân tố chỉ tồn tại một thành phần ứng suất - đó là ứng suất pháp σz, đây là phân tố thuộc trạng thái ứng suất kéo (nén) đơn đã biết.
• Lập công thức tính ứng suất pháp σz :
Bây giờ ta hãy thiết lập công thức tính ứng suất pháp σz tại điểm A bất kỳ trên mặt cắt ngang có toạ độ x,y ( hình 7-13a). Theo định luật Húc trong kéo nén đơn ta có:
zz Eε=σ (a)
trong đó: E là mô đun đàn hồi của vật liệu làm dầm.
εz là biến dạng tỉ đối theo phương z tại điểm cần tính ứng suất pháp σz.
Để tìm εz ta hãy xét một đoạn thanh ngắn có chiều dài dz (hình 7-13a). Theo giả thiết mặt cắt phẳng của Becnuli đã nêu ở trên thì hai mặt cắt ngang của đoạn thanh luôn phẳng và vuông góc với trục thanh, chúng bị xoay đi và tạo với nhau góc dϕ. Gọi ρ là bán kính cong của thớ trung hoà và y là khoảng cách từ trục trung hoà đến điểm A đang xét. Xét biến dạng của thớ AA chứa điểm cần tính ứng suất pháp σz.
x
y nxn
y k
xn
minσ
maxσ
σz
Mx
dϕ
ρ
y O O1 A A
z
y
Hình 7-13
145
+ Trước biến dạng AA có chiều dài: dz = ρdϕ (bằng thớ OO1 là thớ trung hòa).
+ Sau biến dạng AA có chiều dài: (ρ+y)dϕ.
Suy ra :
ρ=
ϕρϕρ−ϕ+ρ
=Δ
=εy
ddd)y(
dzdz
z (b)
Thay εz từ (b) vào (a) ta được :
ρ=ε=σ
yEE zz (c)
Mặt khác từ mối liên hệ giữa nội lực Mx và ứng suất σz (chương 1) ta có:
∫σ=F
zx ydFM (d)
Thay σz từ (c) vào (d), biến đổi ta được:
xF
2x JEdFyEM
ρ=
ρ= ∫ (e)
Từ (e) rút ra:
x
x
EJM1
=ρ
(f)
Thay (f) vào (c), kết quả ta được công thức tính ứng suát pháp σz như sau:
yJ
M
x
xz =σ (7.10)
Để tính được ứng suất pháp σz theo (7.10) ta cần phải biết vị trí trục trung hoà x, từ đó mới xác định được y và Jx. Xuất phát từ liên hệ giữa lực dọc Nz và ứng suất pháp σz (xem chương 1) ta có:
∫σ=F
zz dFN (g)
Thay σz từ (c) vào (g) và chú ý Nz = 0 ta được:
∫ =ρ
=ρ F
x 0SEydFE
(E, ρ là hằng số khác không đối với mặt cắt)
Rút ra: Sx = 0 (h)
Biểu thức Sx = 0 chứng tỏ trục trung hoà x là một trục trung tâm của mặt cắt , hơn nữa khi trục y đã là một trục đối xứng của mặt cắt, nên trục trung hoà x sẽ là trục quán tính chính trung tâm thứ 2 của mặt cắt ngang đang xét.
146
7.3.2 Biểu đồ ứng suất pháp σz Nhìn vào công thức (7.10) ta thấy ứng suất pháp σz là hàm bậc nhất theo toạ độ y
và không phụ thuộc vào toạ độ x, có nghĩa ứng suất pháp phân bố đều theo bề ngang của mặt cắt và thay đổi bậc nhất dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang.
Như vậy biểu đồ ứng suất pháp phẳng là một đường bậc nhất dọc theo chiều cao của mặt cắt, trong đó tại điểm trên trục trung hoà x ứng suất pháp có trị số bằng không, còn tại các điểm biên dưới và biên trên ứng suất pháp có trị số tuyệt đối là lớn nhất- dấu của ứng suất pháp phụ thuộc vào chiều (hay dấu) của mô men uốn Mx. Nếu Mx gây ra căng mặt phía dưới của dầm (hay Mx>0) thì:
+ Các điểm biên dưới với kxnyy = sẽ có ứng suất pháp kéo lớn nhất k
maxz σ=σ là:
kx
x
kxn
x
xkxn
x
xmax W
M=
yJM
=yJ
M=σ (7.11)
+ Các điểm biên trên với nxnyy = sẽ có ứng suất pháp nén lớn nhất n
maxz σ=σ là:
nx
x
nxn
x
xnxn
x
xmin W
M=
yJM
=yJ
M=σ (7.12)
Trong đó :
nxn
xnxk
xn
xkx y
JW;
yJ
W == (7.13)
nxn
kxn y,y là tung độ xa nhất của các điểm của vùng kéo và vùng nén.
Ta gọi nx
kx W,W đựơc gọi là các mô đun chống uốn kéo và mô đun chống uốn nén
của mặt cắt ngang. Nếu mặt cắt có nxn
kxn y=y thì =W=W n
xkx Wx và được gọi chung là
mô đun chống uốn của mặt cắt ngang. Khi trị số của các mô đun chống uốn càng tăng bao nhiêu thì trị số ứng suất pháp lớn nhất trên mặt cắt càng giảm đi bấy nhiêu và do đó độ bền chống uốn của mặt cắt tăng lên bấy nhiêu lần.
Dưới đây là công thức tính Wx cho một số mặt cắt thường gặp:
• Mặt cắt chữ nhật (kích thước b x h)
Ta có: 2hy,
12bhJ xn
3
x ==
Suy ra: 6
bhyJW
2
xn
xx ==
• Mặt cắt tròn (đường kính D)
Ta có: 2DRy,
64D
4RJ xn
44
x ==π=π= ,
147
Suy ra: 32D
4R
yJW
33
xn
xx π=π==
• Mặt cắt hình vành khăn (bán kính trong r, bán kính ngoài R)
Ta có : 2DRy,)1(
64D)1(
4RJ xn
44
44
x ==η−π=η−π= ,
(với η= )Dd
Rr
=
Suy ra: )1(32D)1(
4R
yJW 4
34
3
xn
xx η−π=η−π==
7.3.3. Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn thuần tuý phẳng Như đã phân tích ở trên ta thấy mọi điểm trong dầm chịu uốn thuần tuý phẳng
đều làm việc trong trạng thái ứng suất kéo đơn hoặc nén đơn. Trên mặt cắt ngang chỉ xuất hiện ứng suất kéo và ứng suất nén. Ứng suất pháp σz tại những điểm nằm ở biên dưới (hoặc biên trên) của mỗi mặt cắt sẽ có giá trị lớn nhất. Ta coi đây là các điểm nguy hiểm của mỗi mặt cắt. Để đảm bảo độ bền cho dầm ta cần tìm ra được các mặt cắt nguy hiểm của dầm, đó là các mặt cắt chứa điểm có ứng suất kéo lớn nhất
kzmaxσ và ứng suất nén lớn nhất n
zmaxσ trong toàn dầm. Do vậy điều kiện bền của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng được viết:
[ ][ ]
max k
min n
max
max
⎧ σ ≤ σ⎪⎨
σ ≤ σ⎪⎩ (7.14)
trong đó:
• [σ]k và[σ]n gọi là ứng suất kéo cho phép và ứng suất nén cho phép của vật liệu làm dầm, chúng được xác định từ thực nghiệm hoặc tra theo bảng đã có sẵn.
• Ứng suất kéo lớn nhất maxσmax và ứng suất nén lớn nhất minσmax trong toàn dầm xuất hiện tại mặt cắt có trị số mô men uốn là lớn nhất max xM hoặc Mx tương đối lớn,
ứng suất kéo lớn nhất ( maxσmax ) xuất hiện tại các điểm biên dưới và ( minσmax ) xuất hiện tại các điểm xa trục trung hòa nhất.
Khi dầm làm bằng vật liệu dẻo thì ta có:
[ ] [ ] [ ]σ=σ=σ nk
Trường hợp này chỉ cần kiểm tra:
[ ]σ¡Üσmax z (7.15)
* Chú ý : Từ các điều kiện bền (7.14) và (7.15) ta rút ra 3 bài toán sau đây:
• Bài toán kiểm tra bền:
148
Cho trước sơ đồ dầm, tải trọng và vật liệu làm dầm ([σ]k, [σ]n hoặc [σ]). Tiến hành giải bài toán để tìm ra maxσmax , minσmax rồi so sánh chúng với các ứng suất cho phép ở vế phải. Nếu bất đẳng thức (7.14) hoặc (7.15) thoả mãn thì kết luận dầm đủ độ bền, ngược lại dầm không đủ độ bền.
• Bài toán chọn kích thước mặt cắt (bài toán thiết kế)
Cho trước sơ đồ dầm, tải trọng và vật liệu làm dầm (cho [σ]k,[σ]n hoặc [σ]), hãy lựa chọn hình dáng và kích thước mặt cắt sao cho dầm đảm bảo độ bền.
• Bài toán chọn tải trọng cho phép (bài toán dành cho người quản lý công trình)
Cho trước sơ đồ dầm, tải trọng và mặt cắt dầm, vật liệu làm dầm (cho [σ]k, [σ]n hoặc [σ] ), hãy xác định giá trị của tải trọng tác dụng cho phép để dầm được bền vững.
Ví dụ 7-5: Hãy kiểm tra bền cho dầm có sơ đồ chịu lực như trên hình 7-14a, biết dầm làm từ thép CT3 có [σ] =160 MN/m2 ; P =15 kN ; a =1,2m.
Bài giải:
1. Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx
Do tính chất đối xứng của dầm nên các phản lực gối tựa VA= VB = P =15 KN. Biểu đồ mô men uốn Mx vẽ được bằng cách tính nhanh giá trị mô men tại đầu các đoạn thanh như trên hình 7-14c. Từ biểu đồ Mx đã vẽ ta nhận thấy đoạn dầm CD chịu uốn thuần tuý phẳng, mọi mặt cắt trên đoạn từ C đến D đều chịu uốn bởi mô men uốn Mx =18 kNm.
2. Xác định các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang:
Phân chia mặt cắt đã cho thành 2 hình chữ nhật 1 và 2 (hình 7-14b). Chọn hệ trục ban đầu xoyo ≡ x1y1 và xác định trọng tâm C (xc, yc) của mặt cắt đối với hệ trục ban đầu xoyo. Do tính chất đối xứng của mặt cắt nên xc = 0 và yc bằng:
)cm(414.22.1414.2.80
FFF.yF.y
FS
y21
22c11cxoc +=
++
=++
==
a
P=15kN A B
V V
M
18 kNm
Hình 7-14
a
P
18 kNm
14cm
14cm
2
2y
x x1
x2
Cynxn=5cm
ykxn=11cm
C D a)
c)
b)
2
1
149
y
y
x
z
Mx
A Qy
M M
b)
c)
Hình 7-15
Q
Q
Như vậy hệ trục xy có gốc toạ độ nằm ở tâm C của mặt cắt là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt đã cho, và trục x đồng thời là trục trung hoà của mặt cắt ngang. Từ đây ta có:
)cm(67,1362)14.2.41214.2()2.14.4
122.14(J 42
32
3
x =+++=
)cm(53,2725
67,1362W);cm(88,12311
67,1362W
;cm5y;cm11y
3nx
3kx
nxn
kxn
====
==
3. Kiểm tra bền cho dầm:
+ Kiểm tra cho điểm có ứng suất kéo lớn nhất kzσmax (mặt dưới dầm trong đoạn
CD):
226
3
kx
xkz m/MN160][m/MN24,116
10.88,12310.4,14
WmaxM
max =σ<===σ −
−
Kết luận: Dầm đảm bảo độ bền (an toàn) khi chịu ứng suất kéo.
+ Kiểm tra cho điểm có ứng suất nén lớn nhất nzmaxσ (mặt trên dầm trong đoạn
CD):
226
3
nx
xnz m/MN160][m/MN84,52
10.53,27210.4,14
WmaxM
max =σ<===σ −
−
Kết luận: Dầm đảm bảo độ bền (an toàn) khi chịu ứng suất nén.
Tóm lại, dầm an toàn về độ bền.
7.4. Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng Xét một dầm chịu uốn ngang phẳng (gọi tắt là uốn phẳng), trên mặt cắt ngang của
dầm tồn tại đồng thời lực cắt Qy và mô men uốn Mx (hình 7-15.a). Trước khi thí nghiệm ta cũng kẻ lên bề mặt ngoài của dầm các đoạn thẳng song song và vuông góc với trục dầm (hình 7-15.b).
Quan sát thí nghiệm uốn phẳng dầm ta có thể nêu ra các nhận xét sau đây:
- Các đoạn thẳng song song với trục dầm đã bị uốn cong nhưng chúng vẫn song song với trục dầm giống như trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý phẳng.
``
a)
150
- Khác với trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý phẳng, ở đây ta thấy các đoạn thẳng vuông góc với trục dầm ban đầu đã bị uốn cong và các góc vuông ban đầu đã bị biến dạng. Điều này chứng tỏ trên mặt cắt ngang của dầm đã xuất hiện ứng suất tiếp.
Dưới đây ta sẽ nghiên cứu để thiết lập các công thức tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn phẳng.
7.4.1. Công thức tính ứng suất pháp Như đã nhận xét ở trên ta thấy khi dầm chịu uốn phẳng, các mặt cắt ngang của dầm không còn phẳng nữa mà đã bị vênh đi. Để thiết lập công thức tính ứng suất pháp σz trên mặt cắt ngang của dầm, ta không thể dựa vào giả thiết mặt cắt phẳng của Becnuli như đã nêu trong trường hợp dầm chịu uốn thuần tuý phẳng mà phải dựa vào lời giải chính xác của môn học Lý thuyết đàn hồi. Tuy nhiên qua so sánh lời giải chính xác của lý thuyết đàn hồi với công thức tính ứng suất pháp trong dầm chịu uốn thuần tuý phẳng (7-10) đã thiết lập ở trên, người ta thấy có sự sai khác là không đáng kể (sự sai khác này nằm trong phạm vi cho phép). Do đó trong thực tế có thể dùng công thức (7-10) để tính ứng suất pháp cho dầm chịu uốn phẳng.
7.4.2. Công thức tính ứng suất tiếp (công thức Ju-ráp-xki) Xét một đoạn dầm dz rất nhỏ được tách ra bởi 2 mắt cắt z và z+dz (hình 7-16a).
Các thành phần nội lực tại mắt cắt z là Qy và Mx, còn tại mặt cắt z+dz là Qy (bỏ qua dQy) và Mx+dMx. Để tính ứng suất tiếp tại điểm A có toạ độ (x,y) bất kỳ ta tưởng tưởng dùng mặt phẳng đi qua điểm A và song song với mặt phẳng toạ độ xoz chia đoạn thanh dz làm 2 phần. Xét cân bằng của một phần đoạn thanh dz chẳng hạn phần phía dưới, ta nhận thấy rằng: trong trường hợp mặt cắt hẹp (mặt cắt có bề rộng b rất bé so với chiều cao h) có thể bỏ qua thành phần ứng suất tiếp theo phương nằm ngang (ký hiệu τzx) và xem gần đúng thành phần ứng suất tiếp theo phương thẳng đứng (ký hiệu τzy) phân bố đều theo bề rộng bc của lát cắt trên mặt cắt ngang.
Từ phương trình cân bằng chiếu lên phương z ta được:
∫∫ =σ+τ−σ−cc F
phaiz
Fcyz
traiz 0dFdz.b.dF (a)
Thay phaiz
traiz σ,σ theo (7.10) vào ( a ) và chú ý tới τzy= τyz ta có:
∫∫ =+
+τ−−cc F x
xxczy
F x
x 0ydFJ
dMMdz.b.ydF
JM (b)
151
Biến đổi và rút gọn (b) với chú ý: Jx, Mx và Mx+dMx là các hằng số nên có thể
đưa ra ngoài dấu tích phân và liên hệ vi phân yx Q
dzdM
= ta được công thức tính ứng
suất tiếp τzy như sau:
cx
CXy
zy b.J
SQ=τ (7.16)
Công thức (7-16) mang tên một tác giả người Nga lập ra và được mang tên ông là công thức Ju-ráp-xki. Các đại lượng trong công thức (7.16) có ý nghĩa như sau:
- Qy là giá trị của lực cắt tại mắt cắt chứa điểm cần tính ứng suất tiếp.
- Jx là mô men quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà x của mặt cắt đó.
- bc là chiều dài của lát cắt đi qua điểm cần tính ứng suất tiếp (phương lát cắt song song với trục x ).
- CXS là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hoà x của mặt cắt,
và nó được xác định theo công thức sau:
cccx F.yS = (7.17)
Trong đó:
- Fc là diện tích của phần mặt cắt đựơc giới hạn bởi lát cắt và biên dưới (hoặc biên trên) của mặt cắt.
- yc là khoảng cách từ trọng tâm diện tích Fc đến trục trung hoà x của mặt cắt.
Trong công thức (7.16), do các đại lượng Jx, CXS và bc luôn mang dấu dương nên
ứng suất tiếp zyτ luôn cùng dấu với lực cắt Qy. Dưới đây chúng ta sẽ ta áp dụng công thức Ju-ráp-xki để vẽ biểu đồ ứng suất tiếp cho một số mặt cắt thường gặp:
• Mặt cắt chữ nhật có các cạnh b và h (hình 7-17a):
τyz
τzy
yJ
dMM
x
xxphz
+=σ
yJ
M
x
xtrz =σ
dz
Mx
Mx + dMx
Qy
Qy
x
z
y dz
a) b)
Hình 7-16
152
Ta có: 12h.bJ
3
x = ; bc = b ;
)y4
h(2b)]y
2h(
21y)[y
2h(bS 2
2cx −=−+−=
Chú ý rằng khi ta cắt lát cắt song song với trục x chia mặt cắt thành 2 phần: Phần có gạch chéo ta gọi là phần 1 và phần trắng gọi là phần 2(hình7-17a). Đối với toàn hình ta có: 0=S+S=S 2
x1xx vì trục x là trục trung tâm của mặt cắt. Do đó 2
x1x S=S .
Nhưng trong công thức (7.16) Sx cỉ lấy giá trịtuyệt đối nên ta có thể tính Sx phần nào cũng được.
Thay Jx, cxS và bc ở trên vào (7.16) và rút gọn ta có biểu thức tính ứng suất tiếp
cho mặt cắt hình chữ nhật như sau:
)y4h(
bhQ6 2
2
3y
zy −=τ (7.18)
Từ (7.18) ta thấy ứng suất tiếp τzy phân bố theo luật parabol bậc 2 dọc theo chiều cao của mặt cắt chữ nhật. Tại các điểm thuộc biên dưới và biên trên của mặt cắt có
2
hy ±= thì giá trị ứng suất tiếp τzy = 0 ; còn tại các điểm nằm trên trục trung hoà x có y
= 0 thì ứng suất tiếp τzy đạt giá trị cực đại F2
Q3=τ y
max (trong đó F là diện tích mặt cắt
ngang).
• Mặt cắt tròn bán kính R (hình 7-17b ):
.
Ta có: 22c
4
x yR2b;4RJ −=
π=
23
2222R
y
21
22R
y
22
F
cx )yR(
32)R(d)R(dR2dFS
c
−=η−η−−=ηη−η=η= ∫∫∫
h/2
h/2 y yc
b
x
y y
x
FQ
23
=τ ymax F
Q34
=τ ymaxy η
d
R R
FC FC
a) b)
Hình 7-17
α
153
Thay vào (7.16) và rút gọn ta được công thức tính ứng suất tiếp cho mặt cắt tròn như sau:
)yR(R3
Q4 224
yzy −
π=τ (7.19)
Từ (7.19) ta thấy ứng suát tiếp τzy phân bố theo luật parabol bậc 2 dọc theo chiều cao của mặt cắt tròn. Tại các điểm thuộc biên dưới và biên trên của mặt cắt có y = ± R thì giá trị ứng suất tiếp τzy = 0; còn tại các điểm nằm trên trục trng hoà x có y = 0 thì ứng suất tiếp τzy đạt giá trị cực đại
F3
Q4 ymax =τ (trong đó F là diện tích mặt cắt
ngang).
• Mặt cắt thép định hình chữ I (hình 7-18a):
Mặt cắt thép định hình chữ I có thể xem gần đúng gồm các hình chữ nhật hẹp sau:
- Phần lòng (hay phần bụng) là hình chữ nhật hẹp theo phương thẳng đứng, do vậy có thể bỏ qua thành phần ứng suất tiếp theo phương ngang τzx và chỉ xét đến thành phần ứng suất tiếp theo phương thẳng đứng τzy.
- Phần đế (hay phần cánh) là các hình chữ nhật hẹp theo phương nằm ngang, do do vậy có thể bỏ qua thành phần ứng suất tiếp theo phương thẳng đứng τzy và chỉ xét đến thành phần ứng suất tiếp theo phương nằm ngang τzx mà thôi.
Các ứng suất tiếp τzy và τzx thuộc phần lòng và phần cánh phân bố theo luồng trên mặt cắt chữ I hướng theo chiều của lực cắt Qy (hình 7-18b).
+ Ứng suất tiếp τzy trong phần lòng: Tương tự như trong mặt cắt chữ nhật hẹp đã biết, ở đây ứng suất tiếp τzy trong phần lòng cũng phân bố theo luật parabol bậc 2 dọc theo chiều cao phần lòng, chú ý tới 2 giá trị đặc biệt sau đây:
Tại các điểm trên trục trung hoà x: ứng suất tiếp τzy đạt giá trị cực đại τmax là:
d.JS.Q
x
xymax =τ (7.20)
trong đó:
d là bề rộng của phần lòng (tra bảng)
Jx là mô men quán tính của mặt cắt đối với trục trung hoà x (tra bảng)
Sx là mô men tĩnh của nửa mặt cắt đối với trục trung hoà x (tra bảng)
x
y
τmax
τ1
τ1
a) c)
Hình 7-18
x
y
Qy
τ2
τ2
b)
x
154
Tại các điểm tiếp giáp giữa lòng và cánh: ứng suất tiếp zyτ đạt giá trị khá lớn 1τ là:
d.JS.Q
x
*xy
1 =τ (7.21)
trong đó: 2xx
*x )t-
2h
(2d
-S=)t-2h
(21
).t-2h
(d-S=S
+ Ứng suất tiếp τzx trong phần đế: Để tính ứng suất tiếp τzx trong phần đế ta dùng lát cắt qua phần cánh (có khoảng cách tới mép cánh là x) và lát cắt có phương song song với trục y. Từ điều kiện cân bằng của phần đế được tách ra ta lập được công thức tổng quát để tính ứng suất tiếp τzx trong phần đế như sau:
t.JS.Q
=τx
cxy
zx (7.22)
Trong đó: )2t
-2h
.(x.t=Scx
Thay vào (7.22) ta được biểu thức tính ứng suất tiếp τzx trong phần đế như sau:
yzx
x
Q (h t).x2J
−τ = (7.23)
Từ (7.23) ta thấy ứng suất tiếp τzx trong phần đế phân bố theo luật bậc nhất theo bề rộng của đế. Tại các điểm mép của đế có x = 0 suy ra trị số τzx = 0, còn tại các điểm
tiếp giáp với phần lòng có x = b d2− suy ra trị số ứng suất tiếp τzx có giá trị bằng τ2 là:
y2
x
Q .(h t).(b d)4J− −
τ =
7.5. Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn ngang phẳng Như đã biết tại các điểm trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng có
đồng thời cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp. Nhìn vào biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp ta thấy rằng: Tại các điểm thuộc biên dưới và biên trên của mặt cắt thì ứng suất pháp σz có trị số lớn nhất ( maxσmax và minσmax ) trong khi đó ứng suất tiếp τzy lại có trị số bằng không; tại các điểm nằm trên trục trung hoà x thì ứng suất pháp σz có trị số bằng không, trong khi đó ứng suất tiếp τzy lại có trị số lớn nhất (τmax); tại các điểm còn lại trên mặt cắt ngang thì cả ứng suất pháp σz và ứng suất tiếp τzy (hoặc τzx) đều có trị số khác không. Do vậy mặt cắt ngang của dầm có thể bị phá hỏng do ứng suất pháp lớn nhất tại các điểm thuộc biên dưới hoặc biên trên của mặt cắt; hoặc bị phá hỏng do suất tiếp lớn nhất tại các điểm nằm trên trục trung hoà x; hoặc bị phá hỏng đồng thời do ứng suất pháp và ứng suất tiếp khá lớn tại điểm nào đó trên mặt cắt ngang mà tổ
155
hợp của các ứng suất là bất lợi nhất theo lý thuyết bền. Như vậy đối với các dầm chịu uốn ngang phẳng ta cần phải kiểm tra bền theo 3 bước sau đây:
• Bước 1: Kiểm tra theo ứng suất pháp lớn nhất.
Nếu gọi maxσ K và max Nσ là trị số ứng suất kéo lớn nhất và trị số ứng suất nén lớn nhất trong toàn dầm thì các trị số này phải thuộc về các điểm biên dưới hoặc biên trên của mặt cắt nguy hiểm của dầm, đó là các mặt cắt có trị số mô men uốn Mx lớn nhất (ký hiệu là Mmax) hoặc Mx khá lớn (ký hiệu là Mkl). Như đã phân tích ở trên tại các điểm biên dưới hoặc biên trên của mặt cắt sẽ không có ứng suất tiếp mà chỉ có ứng suất pháp maxσ K
Z hoặc maxσ nZ ; nói cách khác các phân tố này thuộc về trạng thái
ứng suất kéo nén đơn và điều kiện bền ở đây sẽ hoàn toàn giống như điều kiện bền của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng đã xét ở trên, cụ thể là:
+ Đối với các dầm làm bằng vật liệu dòn ( [σ]k < [σ]n )
]σ[¡ÜWM
=σmax
]σ[¡ÜWM
=σmax
nnx
*x
min
kkx
*x
max
+ Đối với các dầm làm bằng vật liệu dẻo ( [σ]k = [σ]n )
[ ]σ¡Üσmax z
Trong đó: M*x là trị số mô men uốn tại các mặt cắt nguy hiểm của dầm
• Bước 2: Kiểm tra theo ứng suất tiếp lớn nhất.
Nếu gọi maxτz là trị số ứng suất tiếp lớn nhất trong toàn dầm thì trị số này phải thuộc về các điểm nằm trên trục trung hoà x thuộc mặt cắt nguy hiểm của dầm, đó là mặt cắt có trị số lực cắt Qy là lớn nhất (ký hiệu là Qmax). Như đã phân tích ở trên tại các điểm trên trục trung hoà x của mặt cắt sẽ không có ứng suất pháp, còn ứng suất tiếp τxy sẽ có trị số cực đại τmax. Như vậy phân tố này thuộc về trạng thái ứng suất trượt thuần tuý và điều kiện bền ở đây được viết như sau:
]τ[¡Ü)bS
.(J
Q=τmax max
c
cx
x
maxz (7.24)
Trong đó [τ] sẽ được xác định từ thực nghiệm, hoặc dựa vào ứng suất pháp cho phép [σ] và các lý thuyết bền đã học, chẳng hạn:
- Lấy [τ]=2
]σ[ (theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất)
- Lấy [τ]=3]σ[ (theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực
đại)
156
- Lấy [τ]=
n
k
k
]σ[]σ[
+1
]σ[ (theo thuyết bền Mo)
• Bước 3: Kiểm tra theo ứng suất pháp và ứng suất tiếp.
Nếu gọi σkl và τkl là trị số ứng suất pháp và ứng suất tiếp tương đối lớn (khá lớn) trong toàn dầm thì các trị số này phải thuộc về các điểm trung gian nào đó thuộc mặt cắt nguy hiểm của dầm - đó là mặt cắt tại đó mô men uốn Mx có trị số lớn nhất hoặc khá lớn (ký hiệu là Mkl) và lực cắt Qy có trị số lớn nhất hoặc khá lớn (ký hiệu là Qkl). Các trị số ứng suất pháp σkl và ứng suất tiếp τkl được xác định theo các công thức (7.10) và (7.16) đã biết, việc kiểm tra bền cho dầm dựa vào các lý thuyết bền như sau:
* Đối với các dầm làm bằng vật liệu dẻo:
- Áp dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất : 2 2
tt kl kl4 [ ]σ = σ + τ ≤ σ (7.25)
- Áp dụng thuyết bền thế năng BĐHD cực đại : 2 2
tt kl kl3 [ ]σ = σ + τ ≤ σ (7.26)
* Đối với các dầm làm bằng vật liệu dòn:
- Áp dụng thuyết bền Mo ta có:
2 2tt kl kl kl k
1 1 4 [ ]2 2+ α + α
σ = σ + σ + τ ≤ σ (7.27)
với n
k
][][
σσ
=α
Chú ý:
• Đối với các dầm ngắn (khi chiều cao h của mặt cắt không nhỏ thua 10 lần chiều dài dầm l) thì cần phải kiểm tra bền theo cả 3 bước đã nêu ở trên, và chú ý:
* Nếu mặt cắt có Mmax trùng khớp với mặt cắt có Qmax thì 3 bước kiểm tra bền đều phải thực hiện với cùng mặt cắt này.
* Nếu mặt cắt có Mmax không trùng khớp với mặt cắt có Qmax thì cần:
- Kiểm tra bước 1 cho mặt cắt có Mmax.
- Kiểm tra bước 2 cho mặt cắt có Qmax.
- Kiểm tra bước 3 cho 3 mặt cắt sau:
+ Mặt cắt có Mmax và Qkl.
+ Mặt cắt có Qmax và Mkl.
+ Mặt cắt có Mkl và Qkl .
157
• Đối với các dầm dài (khi chiều dài dầm l lớn hơn 12 lần chiều cao h của mặt cắt), qua thực tế thấy rằng các dầm này chủ yếu bị phá hỏng do ứng suất pháp chứ không phải do ứng suất tiếp. Do vậy đối với dầm dài (trong thực tế đa số dầm thuộc loại dầm dài) ta chỉ cần kiểm tra bền theo bước 1 (kiểm tra theo ứng suất pháp) là đủ an toàn.
Từ các điều kiện bền đã nêu trên ta rút ra 3 bài toán quen thuộc sau đây:
* Bài toán kiểm tra bền.
* Bài toán chọn mặt cắt để dầm đủ độ bền (bài toán thiết kế).
*Bài toán chọn tải trọng cho phép để dầm đủ độ bền (bài toán quản lý).
Ví dụ 7-6: Hãy kiểm tra bền cho dầm có sơ đồ trên hình 7-11 (ví dụ 7-4). Biết dầm làm bằng thép xây dựng CT3, mặt cắt thép định hình chữ I số hiệu 30 (INo30) có [σ] =16 kN/cm2 ; cho giá trị a = 2m, q =10 kN/m.
Bài giải:
a. Vẽ biểu đồ nội lực (biểu đồ lực cắt Qy và mô men uốn Mx )
Biểu đồ Mx , Qy cho trên hình 7-11. Tại mặt cắt A mô men uốn có trị số lớn nhất Mmax = qa2 = 40 kNm.
b. Kiểm tra bền:
+ Xác định đặc trưng của dầm: chiều dài nhịp của dầm là khoảng cách giữa 2 gối tựa
l = 3a = 6m. Chiều cao h của mặt cắt chữ INo30 bằng 30cm. Với tỷ số 20h
=l ,
dầm đã cho thuộc loại dài, do vậy chỉ cần kiểm tra bền theo ứng suất pháp là đủ.
+ Với mặt cắt chữ INo30, tra bảng ta có Wx = 472 cm3.
+ Tính ứng suất pháp lớn nhất trong dầm:
)cm/KN(16][)cm/KN(475,8472
10.40W
Mmax 22
2
x
maxz =σ<===σ
Kết luận: dầm đã cho an toàn về độ bền.
7.6. Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang của dầm chịu uốn Như đã biết đối với các thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm ứng suất pháp phân bố
đều trên mặt cắt ngang, trị số của nó tỷ lệ nghịch với độ lớn của diện tích mặt cắt F. Điều này có nghĩa là độ bền của thanh chịu kéo nén đúng tâm chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích F của mặt cắt mà không hề phụ thuộc gì vào hình dáng của mặt cắt ngang. Ngược lại, đối với các dầm chịu uốn ứng suất pháp phân bố không đều trên mặt cắt ngang, trị số của nó không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích F mà còn phụ thuộc vào mô men quán tính Jx của mặt cắt (hay đặc trưng hình học của mặt cắt
158
x
y
z
Mx
h
y
nmaxzσ
kmaxzσ
nmaxσ
y nxn
y k
xn
kmaxσ
x
y
Mx
C z
a) b)
Hình 7-19
ngang). Các dầm có diện tích mặt cắt ngang F như nhau, nhưng có hình dạng mặt cắt khác nhau sẽ cho khả năng chịu uốn khác nhau và ta gọi mặt cắt hợp lý là mặt cắt có diện tích mặt cắt ngang F nào đó nhưng có hình dạng sao cho khả năng chịu uốn của dầm là lớn nhất.
Hình dạng hợp lý của mặt cắt được thể hiện qua 2 điểm sau đây:
• Bố trí mặt cắt phù hợp với loại vật liệu tương ứng của dầm:
- Đối với các dầm làm bằng vật liệu dẻo thì khả năng chịu ứng suất kéo và ứng suất nén của dầm đều đạt đến giới hạn nguy hiểm, nghĩa là Max σ = [σ]k = [σ]n = [σ].
- Đối với các dầm làm bằng vật liệu dòn thì khả năng chịu ứng suất kéo là rất kém so với khả năng chịu ứng suất nén, nghĩa là [σ]k< [σ]n ,
Vậy mặt cắt của dầm phải có hình dạng sao cho khi chịu uốn ứng suất kéo lớn nhất trong dầm max k
zσ đạt đến trị số [σ]k thì cùng lúc đó ứng suất nén lớn nhất trong dầm max n
zσ cũng đạt đến trị số [σ]n, có nghĩa là:
kkx
xmaxkxn
x
maxkz ][
WM
y.J
Mmax σ===σ (a)
và max nnx
maxnxn
x
maxnz ][
WM
y.J
Mσ===σ (b)
Lập tỷ số (a)/(b) ta được biểu thức tổng quát biểu thị sự hợp lý của mặt cắt ngang:
n
knxn
kxn
][][
yy
σσ
= (7.28)
Từ biểu thức (7.28) có thể phát biểu như sau:
+ Đối với các dầm làm bằng vật liệu dẻo ([σ]k = [σ]n = [σ]), thì mặt cắt phải có hình dạng sao cho n
xnkxn y=y tức là trục trung hoà x là trục đối xứng của mặt cắt, chẳng
hạn mặt cắt hình chữ nhật, mặt cắt tròn, mặt cắt chữ I…
159
+ Đối với các dầm làm bằng vật liệu dòn ([σ]k < [σ]n), thì mặt cắt phải có hình dạng sao cho n
xnkxn y<y tức là trục trung hoà x phải lệch về phía biên chịu ứng suất kéo
của mặt cắt và phải đảm bảo điều kiện (7.28), chẳng hạn mặt cắt chữ T, chữ U (hình 7-19b).
• Bố trí mặt cắt sao cho mô đun chống uốn của mặt cắt Wx càng lớn càng tốt
Như đã biết trị số ứng suất pháp kéo và nén lớn nhất trong dầm ( kzmaxσ và
nzmaxσ ) trong dầm tỷ lệ nghịch với trị số mô đun chống uốn k
xW và nxW ( hoặc Wx) của
dầm. Do vậy khi Wx (hoặc kxW và n
xW ) càng lớn bao nhiêu thì trị số của ứng suất pháp lớn nhất trong dầm càng nhỏ đi bấy nhiêu, tức là độ bền của dầm càng tăng lên bấy nhiêu. Cách đơn giản để tăng Wx của mặt cắt là tăng diện tích F của mặt cắt ngang, điều này không có lợi vì tốn thêm nhiều vật liệu và tiền của. Nếu giữ nguyên diện tích của mặt cắt F, ta có thể tăng được mô đun chống uốn Wx bằng cách bố trí các mặt cắt hình rỗng thay cho các mặt cắt đặc quen thuộc, chẳng hạn mặt cắt dạng hình chữ nhật rỗng, mặt cắt vành khăn, mặt cắt chữ I có phần lòng hẹp, v.v…
Để đánh giá được khả năng chịu uốn của dầm cũng như hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang người ta thường dùng tỷ số Wx/F ( tỷ số phụ thuộc giữa độ lớn của mô đun chống uốn và diện tích mặt cắt ngang). Khi tỷ số này càng lớn bao nhiêu thì mặt cắt ngang của dầm càng hợp lý bấy nhiêu, tức là độ bền của dầm càng tăng lên bấy nhiêu. Trong kỹ thuật người ta quen dùng tỷ số không thứ nguyên Wx/ 3F thay cho tỷ số Wx/F đã nói ở trên.
7.7. Trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn ngang phẳng Xét một mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng (hình 7-20), ta thấy:
- Các phân tố thuộc biên dưới và biên trên của mặt cắt (phân tố A và B) chỉ tồn tại ứng suất pháp σz (σy = 0 và τzy = 0), đó là các phân tố ở trạng thái ứng suất kéo, nén đơn. Phương của các ứng suất chính này song song với trục của dầm.
- Các phân tố nằm trên trục trung hòa x (phân tố C) chỉ có ứng suất tiếp τzy (còn σz = σy = 0), đó là các phân tố ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý. Trị số ứng suất chính (σmax và σmin) và phương ứng suất chính αmax được xác định theo phương pháp giải tích hoặc phương pháp vẽ vòng Mo ứng suất:
160
max2max3,1minmax, τ±=τ±=σ=σ
zy omax max
max
tg 1 45τ
α = − = − ⇒ α = −σ
- Các phân tố còn lại (phân tố D, E) là các phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, bao gồm ứng suất σz và τzy (σy = 0). Các ứng suất chính và phương của chúng được xác định theo phương pháp giải tích hoặc phương pháp vẽ vòng Mo ứng suất:
2zy
2z
z3,1minmax, τ4+σ
21
±2σ
=σ=σ
max
zymax σ
τ=αtg
Ta nhận thấy rằng đối với dầm đơn giản chịu tải trọng như trên hình 7-21a, thì phương ứng suất chính kéo σ1 thay đổi theo một qui luật xác định: từ chỗ song song với phương trục dầm tại các điểm ở biên phía dưới, chuyển thành góc 45o so với phương trục dầm tại các điểm ở trên trục trung hoà x, rồi tiến tới vuông góc với phương trục dầm tại các điểm ở biên phía trên của mặt cắt. Phương của ứng suất chính nén σ3 luôn luôn vuông góc với phương ứng suất chính kéo tại mọi điểm và biến đổi theo thứ tự ngược lại. Từ kết quả tính toán người ta lần lượt vẽ được một họ các đường cong sao cho tại mỗi điểm tiếp tuyến của nó trùng với phương ứng suất chính kéo σ1 và gọi họ đường cong này là quỹ đạo ứng suất chính kéo (đường nét đứt). Tương tự vẽ được họ đường cong sao cho tại mỗi điểm tiếp tuyến của nó trùng với phương ứng suất chính nén σ3 và gọi họ đường cong này là quỹ đạo ứng suất chính nén (đường nét liền). Ta gọi chung hai họ đường cong trên là quỹ đạo ứng suất chính.
Trong thực tế người ta có thể vẽ được quỹ đạo ứng suất chính cho dầm bất kỳ dựa vào các phương pháp thực nghiệm, chẳng hạn phương pháp quang đàn hồi hoặc phương pháp sơn dòn, hoặccũng có thể tính toán bằng phương pháp số.
B
E
C
D
A A
C
B
E
D
Nmaxσ
Kmaxσ
Qy
Mx
τzy
τmax
τzy
σz
σz
σ3 = σNmax
σ1 = σKmax
αmax= 90o
αmax= 45o
σ1 = τmax
αmax=0o
σ1
σ1
σ1
σ1
σ3
σ3
σ3
σ3
αmax> 45o
αmax< 45o
Hình 7-20
161
Quỹ đạo ứng suất chính có ý nghĩa rất quan trọng và đã được ứng dụng rộng rãi trong thực tế. Chẳng hạn đối với dầm làm bằng bê tông cốt thép gồm hai loại vật liệu chính là bê tông và thép có tính chất cơ học rất khác nhau. Thép có khả năng chịu ứng suất kéo và nén rất tốt, nhưng là loại vật liệu hiếm và đắt tiền. Trái lại bê tông rẻ tiền hơn, có khả năng chịu nén tốt nhưng khả năng chịu ứng suất kéo rất kém. Nhờ biết được quỹ đạo ứng suất chính trong dầm người ta bố trí các thanh thép dọc theo phương ứng suất chính kéo (ta thường gọi là cốt thép) để nó có thể chịu được lực kéo thay cho bê tông trong vùng chịu kéo. Hình 7-21b mô tả cách bố trí cốt thép dựa vào quĩ đạo ứng suất chính của dầm đã biết. Việc bố trí cốt thép một cách hợp lý trong mỗi kết cấu bê tông cốt thép sẽ góp phần làm tăng khả năng chịu lực và tính ưu việt của loại kết cấu mới này.
7.8. Khái niệm về tâm uốn Xét một dầm chịu uốn mặt cắt có trục y đối xứng như trên hình 7-22a. Khi tải
trọng P nằm trong mặt phẳng đối xứng yoz của dầm ta thấy dầm hoàn toàn chịu uốn phẳng, hay đường cong trục dầm nằm trong mặt phẳng đối xứng yoz của dầm.
Xét dầm đã cho trên hình 7-22b, khi này trục y không phải là trục đối xứng của mặt cắt và mặt phẳng yoz không phải là mặt phẳng đối xứng của dầm. Ta nhận thấy rằng tuy tải trọng P nằm trong mặt phẳng yoz nhưng dầm không những bị uốn mà còn bị xoắn, có nghĩa là đường cong trục dầm không còn phẳng nữa. Sở dĩ dầm bị xoắn là do ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang phân bố theo luồng và tạo thành mô men xoắn như trên hình 7-22c. Nếu gọi hợp lực của ứng suất tiếp τzy trong phần lòng là To (To = Qy = P ), và hợp lực của ứng suất tiếp τzx trong phần đế là Td thì trên mặt cắt xuất hiện mô men xoắn Mz là:
)th(T+x.P=)th(T+x.T=M dcdcoz (a)
Để khử hiện tượng xoắn nói trên ta cần tìm vị trí đặt lực P tại một điểm E nào đó để dầm chỉ chịu uốn mà không bị xoắn nữa, có nghĩa là tạo ra mô men xoắn ngoại lực Mz để cân bằng với mô men xoắn do ứng suất tiếp trên mặt cắt gây ra:
Mz = P ( eo+ xc ) = P.xc + P.eo (b)
Đồng nhất (a) và (b) ta xác định được vị trí của điểm E (gọi là tâm uốn) như sau:
q
a) b)Hình 7-21
162
P)th(T
e do
−= (c)
Trong đó: x
2
x2d J
tb)th.(P.41t.b.
t.J2
tht.b.P.
21bt
21T −
=
−
=τ≈ (d)
Thay (d) vào (c) và chú ý t rất nhỏ so với h, ta được công xác định tâm uốn là:
x
22
o J4t.h.b
=e (7.29)
Từ (7-29) ta thấy rằng vị trí của tâm uốn không phụ thuộc vào độ lớn của tải trọng mà chỉ phụ thuộc vào hình dạng và kích thước của mặt cắt ngang mà thôi.
7.9. Khái niệm về dầm chống uốn đều Trong các bài toán đã nêu ở trên chúng ta mới chỉ xét đến các dầm có mặt cắt
không thay đổi dọc theo chiều dài của dầm. Kích thước mặt cắt ngang của dầm được xác định từ điều kiện bền tại mặt cắt có mô men uốn Mx đạt trị số cực đại (Mmax). Như vậy tại tất cả các mặt cắt còn lại đều có mô men uốn nhỏ thua Mmax, nghĩa là ứng suất pháp lớn nhất tại các mặt cắt này vẫn còn nhỏ thua ứng suất cho phép của vật liệu [ ]σ . Dầm có mặt cắt không đổi như trên sẽ dẫn đến lãng phí nhiều vật liệu và gọi là dầm chống uốn không đều.
Một dầm có kích thước mặt cắt thay đổi dọc theo chiều dài của nó theo một qui luật nào đó sao cho khi dầm chịu tải trọng thì ứng suất pháp lớn nhất trên mọi mặt cắt của dầm cùng đồng thời đạt đến ứng suất cho phép của vật liệu[ ]σ , ta gọi đó là dầm chống uốn đều.
x
y
τzx
τzx
τzy
xc
P
A B
B/x
y
P
x
y
Tđ
Tđ
To
eo
x
y z
P
a)
b) c) d)
Hình 7-22
E
163
Chẳng hạn xét một dầm công xôn chịu tải trọng tập trung P tại đầu tự do như trên hình 7-23a, có biểu đồ mô men uốn Mx như trên hình 7-23b. Giả thiết dầm có mặt cắt hình chữ nhật với bề rộng không đổi (b = const), hãy xác định qui luật thay đổi của chiều cao h để dầm đã cho có khả năng chống uốn đều?
Gọi h(z) là chiều cao của dầm tại mặt cắt bất kỳ có hoành độ z, ta có mô đun chống uốn Wx của mặt cắt là:
6)z(h.bW
2
x = (a) `
Từ điều kiện chống uốn đều ta có;
][
6)z(h.b
z.PWM
max 2x
xz σ===σ (b)
Rút ra: ].[b
z.P6)z(hσ
= (7.30)
Nếu gọi ho là chiều cao của mặt cắt tại đầu tự do của dầm thì từ điều kiện bền theo ứng suất tiếp lớn nhất ta có thể xác định ho như sau:
]τ[=bh2P3
=F2
Q3=τmax
o
yz (c)
Rút ra : ]τ[b2
P3=ho (7.31)
Trường hợp nếu mặt cắt chữ nhật có chiều cao h không đổi (h = const), có thể xác định bề rộng b của mặt cắt thay đổi để dầm có khả năng chống uốn đều.
Từ điều kiện chống uốn đều ta có:
][
6h).z(b
z.PWM
max 2x
xz σ===σ (d)
Rút ra : ]σ.[h
z.P6=)z(b 2 (7.32)
Chiều rộng bo tại đầu tự do của dầm được xác định từ điều kiện sau:
][h.b2
P3F2
Q3max
o
yz τ===τ (e)
Rút ra: ]τ.[h2
P3=bo (7.33)
Chú ý rằng, trong thực tế để thuận tiện cho việc thi công các dầm chống uốn đều người ta thường làm các dầm có mặt cắt thay đổi dạng bậc thang xấp xỉ với đường
Mx
l
P
lP
Hình 2-23
a)
b)Mx
164
biểu diễn chính xác theo công thức (7.30) và (7.32). Dầm chống uốn đều không những tiết kiệm được nhiều vật liệu mà còn làm cho dầm được nhẹ nhàng, đẹp mắt hơn nên nó được sử dụng nhiều trong các công trình xây dựng, hoặc làm lò xo lá để giảm sóc trong các ô tô, tàu hoả v...v.
BÀI TẬP 7.1. Vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn của dầm cho trên hình 7-1B (a, b, c, d, e, f)
7.2. Không cần tính phản lực hãy vẽ nhanh biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn cho các dầm trên hình 7-2B (a, b, c).
a) 1m 1m2
P=10kN
M=5kNm
A C
D B
q=10kN/m q
3aa a
P=qa M=qa2
b)
AD C B
1m 1m 2
AC D B
d)
P=4kN M=16kNm q=2kN/m
P=6qa 3q
A B
a 2a C
c)
e)
l
q q0=2kN/m
3m 1 1
P=4kN
f)
A DCB
Hình 7-1B
P=qaq
2a 3a a
A B DC
3 a
M=qa2 q M M
l
b)
c)
a)
Hình 7-2B
165
7.3. Vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn của các dầm cho trên hình 7-3B (a,b).
7.4. Vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn cho các dầm tĩnh định nhiều nhịp cho trên hình 7-4B (a, b)
7.5. Vẽ Biểu đồ nội lực của dầm cho trên hình 7.5B.
7.6. Đã biết biểu đồ mô men uốn của các dầm đặt trên hai gối tựa A và B như trên hình 7-6B (a, b). Hãy suy ra biểu đồ lực cắt và xác định tải trọng tác dụng lên các dầm đã cho.
a a a
Pa
Pa B
A
a) a 2a 2a
b)
qa2
1,5qa2
A B
parabol bậc 2
Hình 7-6B
a a
P = M= qa2
b)
a a a
q
c
P
a b a)
Hình 7-4B
q
l
b)
a b
P
a) Hình 7-3B
Hình 7-5B
AB C
D
a 3a a
P=qa M=qa2 q
166
7.7. Đã biết biểu đồ lực cắt Q và một phần biểu đồ mô men uốn M của dầm cho trên hình 7-7B. Hãy vẽ đầy đủ biểu đồ M và sơ đồ tải trọng tác dụng lên dầm.
7.8. Một dầm mặt cắt hình chữ nhật chịu lực như trên hình 7-8B.
a) Vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mô men uốn.
b) Tính giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại điểm M thuộc về mặt cắt nguy hiểm nhất của dầm.
7.9. Cho dầm AB dài l = 2m, chịu lực tập trung P = 2 kN đặt tại chính giữa dầm (hình 7-9B).
a) Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực đại trên dầm.
b) Tính ứng suất chính và xác định phương ứng suất chính tại điểm K thuộc mặt cắt C chính giữa dầm.
2m2m
q=1 kN/m
Hình 7-8B
32cm
8
16
A
cm
M=2 kNmM
l/2l/2
Hình 7-9B
P
16
24
6 K
(cm)
M0=3qa2
a2a 2a 1,6a 1,4a
2qa2
1,2qa2
Hình 7-7B
167
7.10. Một dầm đơn giản AB dài 4m làm bằng thép chữ I số 18 chịu tải trọng phân bố đều trên toàn nhịp như trên hìn 7-10B. Tính ứng suất tiếp cực đại trên dầm, biết rằng ứng suất pháp cực đại là 140MN/m2.
7.11. Một dầm chịu lực như trên hình 7-11B. Cho biết P = 160kN, a = 0,35m, l = 4m và [σ] =16kN/cm2. Kiểm tra bền cho dầm trong hai trường hợp:
a) Dầm gồm hai thép chữ I số 18 đặt song song với nhau.
b) Dầm gồm hai thép chữ I số 18 đặt chồng lên nhau và hàn liền.
7.12. Kiểm tra bền dầm cho trên hình 7-12B theo điều kiện bền ứng suất pháp lớn nhất. Cho biết a = 1 m, P = 26 kN, M =10 kN.m, [σ]k=10 kN/cm2, [σ]n=14 kN/cm2.
7.13. Cho dầm có sơ đồ chịu lực như hình 7.13B . Yêu cầu :
1) Vẽ các biểu đồ nội lực : Mô men uốn M, lực cắt Q ( theo q và a ).
2) Xác định độ dài a theo điều kiện bền của dầm?
Biết : q = 20 KN/ m ; [ ] σ = 160 MN/ cm2.
3) Xác định giá trị lớn nhất của ứng suất pháp kéo, nén trong dầm ứng với a tính đư-ợc ở câu 2 .
l a
Hình 7-11B
P P
a
P M
a a a
10
2
102
(cm)Hình 7-12B
q
l
A B
Hình 7-10B
N0 14
N0 33
P= qa
Hình 7-13B
DA C
BM= qa2 q
a a a
168
7.14. Cho dầm có sơ đồ chịu lực như hình 7-14B . Yêu cầu :
1) Vẽ các biểu đồ nội lực : Mô men uốn M, Lực cắt Q (theo q và a)
2) Tính hệ số an toàn về bền n của dầm ?
Biết : a = 1,2 m ; q = 10 KN/m ; σch = 240 MN/m2.
3) Nếu mặt cắt của dầm bố trí lại nh hình 2b thì dầm có an toàn không?
7.15. Cho dầm có sơ đồ chịu lực nh hình 7-15B. Yêu cầu :
1) Vẽ các biểu đồ nội lực : Mô men uốn M, lực cắt Q ( theo q và a ) ứng với α = 1 .
2) Xác định q theo điều kiện bền ứng suất pháp? Biết a = 1m; α = 1; [ ]σ = 160 MN/
m2 .
3) Người ta dán 2 tấm Đatric trên mặt trên và mặt dưới trong đoạn AC của thanh để đo biến dạng dài tương đối dọc theo chiều dài của thanh, khi thay đổi giá trị của α đến một lúc nào đó ta thấy cả 2 biến dạng trên 2 Đatric đều bằng 0. Hãy xác định giá trị của α trong trường hợp này và vẽ lại biểu đồ nội lực của dầm ứng với giá trị α vừa tìm được.
7.16. Cho dầm như trên hình 7-16B. Biết P = 3qa, M = qa2. Yêu cầu:
1) Xác định phản lực tại gối A và B.
P= αqa
Hình 7-15B
DA C
B
q
a a a
N0 18
Hình 7-14B
A C
B
M= qa2 qP= 2qa
a 2a
x
y
N0 14
x
y
N0 14 a) b)
169
2) Vẽ biểu đồ nội lực của dầm.
3) Xác định giá trị của q. Biết rằng người ta đo được ứng suất tiếp tại điểm M (xem
4) h.7.16Bb) của mặt cắt bất kỳ thuộc đoạn AE là 2zy m/MN12=τ . Cho a = 2 m, các
kích thước mặt cắt ngang cho trên hình vẽ, 4x cm711J = , C là trọng tâm mặt cắt .
7.17. Cho dầm như trên hình 7-17B. Yêu cầu:
1) Xác định phản lực .
2) Vẽ biểu đồ nội lực .
3) Xác định a = ? cho q = 3 kN/cm. Biết ứng suất pháp tại điểm A1 của mặt cắt D bằng 2A
Z cm/kN81 −=σ . Cho 4x cm90400J = .
9cm
3cm
9cm
y
3cm
Mx
C
q
A B D
2
P=3qa
M=qa2
E
a a
Hình 7-16B
Hình 7-17B
y
10
18
12
A1
5
C
5
30
x
q
A B D
2a
P=3qa M=qa2
E
a a
170
4) Tính ứng suất chính tại điểm A1 của mặt cắt DPhải.
7.18. Chọn kích thước của mặt cắt ngang theo điều kiện bền của các dầm cho trên hình 7-18B cho 2 trường hợp:
a) Dầm mặt cắt chữ nhật kích thước b x h (với h = 2b) và vật liệu dầm có [σ]=1kN/cm2.
b) Dầm mặt cắt thép định hình chữ I và vật liệu dầm có [σ]=16 kN/cm2.
7.19. Xác định kích thước a của mặt cắt ngang của dầm chịu lực như hình 7-19B cho hai trường hợp ( cho biết a = 1m và q = 1 kN/m).
a) Vật liệu làm dầm là vật liệu dẻo có [σ]k = [σ]n = 16 kN/cm2.
b) Vật liệu làm dầm là vật liệu dòn có [σ]k = 3 kN/cm2, [σ]n = 9kN/cm2
7.20. Xác định tải trọng cho phép [P] tác dụng lên dầm các dầm trên hình 7-20B.
a/ Hình a): Dầm mặt cắt chữ I số hiệu 18, vật liệu dẻo có [σ]=160MN/m2.
b/ Hình b): Dầm mặt cắt chữ T , vật liệu dòn có [σ]k= 3 kN/cm2, [σ]n= 9 kN/cm2
q
a3a
Hình 7-19B
5a
a
a 5a
1,25m
q=2 kN/m P=16kN
b/
1,25m 2,5m 1m 1m
q=2 kN/m
a/
h
P=3kN
b
Hình 7-18B
q=P/2a P
a=1m
A B C
a)
a a số 18
P
2m 2m 1m
b)
15
5
155
(cm)
P
A C B D
Hình 7-20B
171
7.21. Cho dầm có sơ đồ chịu lực như trên hình 7-21B. Hãy xác định trị số của tải trọng phân bố q, cho biết tại điểm C thuộc mặt cắt có trị số mô men uốn lớn nhất, ứng suất tiếp τzy(C) =10MN/m2.
7.22. Một dầm cầu gồm hai thép chữ I số 36, chiều dài l = 6m, chịu lực tập trung P=125kN như trên hình 7-22B. Tại điểm M ở bản cánh phía dưới thuộc mặt cắt chính giữa dầm, người ta đo được biến dạng dài theo phương trục dầm εz = 4.10-4. Hãy tính trị số ứng suất pháp tại điểm M và so sánh với kết quả lý thuyết, cho biết E = 2.108
kN/m2.
7.23. Cho dầm có sơ đồ chịu lực như trên hình 7-23B. Tại điểm M ở chính giữa chiều cao của mặt cắt bất kỳ thuộc đoạn AC, người ta đo được biến dạng tỷ đối theo phương nghiêng 45o so với trục dầm bằng εo = 4.10-4. Hãy xác định trị số của tải trọng phân bố q và kiểm tra bền cho dầm, biết rằng vật liệu có E = 2.108 kN/m2, μ = 0,3, [σ] = 160MN/m2.
7.24. Vẽ Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp cho trên hình 7-24B.
qP=qa
a=2m
A
BC
Hình 7-23B
a a
24
20
DM
x
cm
45o
P
3m 3m
2m 4m
M My
x
Hình 7-22B
l = 4m
Hình 7-21B
P = ql
a=0,5
P = qlq
a=0,5
16
4
12
C
cm
P
172
7.25. Đã biết biểu đồ lực cắt Q và một phần biểu đồ mô men uốn M của dầm cho trên hình 7-25B. Hãy vẽ đầy đủ toàn bộ biểu đồ M và sơ đồ tải trọng tác dụng lên dầm.
q
3l
P=4ql M=ql 2
3l l
Hình 7-24B
A B C D
l
E
M0=3qa2
a2a 2a 1,6a 1,4a
2qa2
1,2qa2
Hình 7-25B
Q
M
A B C D E
173
CHƯƠNG 8: CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN
8.1. Khái niệm về chuyển vị của dầm chịu uốn Xét một dầm công xôn chịu lực tập trung P tại đầu tự do như trên hình 8-1. Dưới
tác dụng của tải trọng ta thấy trục dầm bị uốn cong. Đường cong A’B’ được gọi là trục võng hay đường đàn hồi của dầm chịu uốn. Trong trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng thì trục võng của dầm là một đường cong phẳng nằm trong mặt phẳng chứa tải trọng, cũng là mặt phẳng đối xứng yoz của dầm.
Với giả thiết vật liệu đàn hồi tuyệt đối (tuân theo định luật Hook) và chuyển vị là rất nhỏ ta có thể xem rằng tại điểm có hoành độ z bất kỳ trên trục dầm không có chuyển vị theo phương ngang, mà chỉ có chuyển vị theo phương thẳng đứng, ta gọi đó là độ võng của dầmvà ký hiệu là y(z). Chú ý rằng khi trục dầm bị uốn cong, các mặt cắt ngang của dầm cũng bị xoay đi một góc nào đó so với vị trí ban đầu của chúng, ta gọi đó là góc xoay của mặt cắt của dầm và ký hiệu là ϕ(z). Ta gọi chung y(z) và ϕ(z) là chuyển vị của dầm chịu uốn, giữa chúng có mối liên hệ vi phân như sau:
ϕ(z) = α ≈ tgα = y’(z) (8.1)
Biểu thức (8-1) cho thấy rằng giá trị góc xoay ϕ(z) tại một mặt cắt bất kỳ của dầm luôn bằng với giá trị đạo hàm bậc nhất của độ võng y(z) của dầm tại chính mặt cắt đó. Như vậy để xác định chuyển vị của dầm ta chỉ cần tìm phương trình độ võng y(z), đạo hàm phương trình độ võng ta sẽ được phương trình góc xoay ϕ(z).
Quy ước dấu:
- Độ võng y(z) dương khi dầm võng xuống phía dưới.
- Góc xoay ϕ(z) dương khi mặt cắt xoay theo chiều thuận kim đồng hồ.
Để tìm phương trình độ võng y(z) của dầm người ta thường bắt đầu từ việc viết phương trình vi phân của độ võng, giải phương trình vi phân này ta sẽ được phương trình của độ võng y(z) và phương trình góc xoay ϕ(z) của dầm.
Chú ý rằng việc nghiên cứu tính toán chuyển vị của dầm chịu uốn là rất cần thiết, nó giúp chúng ta thiết kế được các dầm có đủ độ cứng cần thiết và giúp chúng ta giải các bài toán dầm siêu tĩnh sau này.
8.2. Phương trình vi phân trục võng của dầm chịu uốn Xét một dầm chịu uốn ngang phẳng, gọi y(z) là tung độ của đường cong trục võng
tại hoành độ z và ρ là bán kính cong của trục võng tại hoành độ z đó.
- Theo toán giải tích ta có độ cong của trục võng y(z) là:
zP
zy(z)
ϕ(z)
y’(z)=ϕ(z)
y
A
A’
B
Hình 8-1
174
2/32,
,,
]))z(y(1[
)z(y1
+±=
ρ (a)
Với giả thiết chuyển vị nhỏ ta có thể bỏ qua 2dy
dz⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
so với 1 ta có:
1 + (y’(z))2 ≈ 1 (b)
Nên từ (a) và (b) suy ra :
)z(y1 ,,±=ρ
(c)
- Mặt khác nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt Qy đối với chuyển vị thì ta có thể sử dụng công thức tính độ cong đã có như sau (xem mục 7-3 chương 7):
x
x
EJ
M1=
ρ (d)
Trong đó tích số EJx (viết tắt là EJ) gọi là độ cứng chống uốn của dầm.
- Đồng nhất (c) và (d) ta có liên hệ:
,, xMy (z)EJ
= ± (e)
Trên hình 8-2 mô tả quan hệ về dấu giữa hai đại lượng y’’ và Mx theo quy ước của sức bền và toán, từ đó ta thấy 2 đại lượng này luôn trái dấu nhau nên từ (e) ta có thể viết:
,, xMy (z)EJ
= − (8.2)
Hình 8-2
z
y
Mx > 0
y’’< 0 a)
Mx Mx
z
y
Mx < 0
y’’> 0
b)
Mx Mx
175
Biểu thức (8.2) được gọi là phương trình vi phân độ võng của dầm chịu uốn. Giải phương trình vi phân cấp 2 này ta sẽ nhận được phương trình độ võng và góc xoay của dầm. Dưới đây lần lượt giới thiệu một số phương pháp quen thuộc và khá tiện lợi để giải phương trình vi phân (8.2) nhằm xác định chuyển vị của dầm chịu uốn.
8.3. Các phương pháp xác định chuyển vị của dầm
8.3.1. Phương pháp tích phân trực tiếp ( hay phương pháp tích phân bất định) Giả sử xét một dầm chịu uốn gồm có n đoạn. Đối với mỗi đoạn ta tiến hành lập
biểu thức của mô men uốn Mx rồi viết phương trình vi phân của độ võng dưới dạng:
xMy ''(z)EJ
= − (8.3)
Giải phương trình vi phân( 8.3 ) bằng phương pháp tích phân trực tiếp:
- Tích phân lần thứ nhất ta được phương trình của góc xoay ϕ(z):
( ) ( ) CdzEJMz'yz x +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−==ϕ ∫ (8.4)
- Tích phân lần thứ hai ta được phương trình của độ võng y(z):
xMy(z) dz C dz DEJ
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ (8.5)
Trong các biểu thức (8.4) và (8.5) thì C và D được gọi là các hằng số tích phân, chúng sẽ được xác định từ các điều kiện biên và các điều kiện liên tục của chuyển vị (điều kiện này sẽ được làm rõ trong các ví dụ ).
Sau đây sẽ trình bày một số ví dụ cụ thể để xác định chuyển vị của dầm theo phương pháp tích phân trực tiếp (hay phương pháp tích phân bất định).
Ví dụ 8-1: Thiết lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm công xôn chịu tải trọng tập trung P tại đầu tự do như trên hình 8-3, sau đó tính độ võng tại mặt cắt A. Cho biết dầm có độ cứng EJ = const.
Bài giải:
Quá trình giải bài toán có thể chia ra các bước sau đây:
+ Bước 1: Thiết lập phương trình vi phân độ võng trong các đoạn dầm
- Viết biểu thức của mô men uốn Mx tại mắt cắt z bất kỳ:
z
P
A
A’B
Hình 8-3
m
n
l
EJ=const z
y
176
Mx = - P. z (a)
- Thiết lập phương trình vi phân của độ võng của đoạn dầm đang xét:
EJz.P
EJz.P
EJM
)z(y x,, =−
−=−= (b)
+ Bước 2: Tích phân trực tiếp phương trình vi phân (b) lần lượt ta được:
- Phương trình góc xoay:
1
2, C
EJ2z.P)z(y)z( +==ϕ (c)
- Phương trình độ võng :
11
3
Dz.CEJ6z.P)z(y ++= (d)
+ Bước 3: Xác định các hằng số tích phân C1 và D1 từ điều kiện biên
Tại ngàm B (ứng với z =l ) ta có:
- Góc xoay : 0z =ϕ =l (e)
- Độ võng : 0y z ==l (f)
Từ (e) và (f) giải ra :
EJ2PC
2
1l
−= và EJ3
PD3
1l
+= (g)
Thay các hằng số C1 và D1 từ (g) vào (c) và (d) ta được các phương trình góc xoay và phương trình độ võng của dầm đã cho như sau:
EJ2P
EJ2Pz)z(y)z(
22, l
−==ϕ (h)
EJ3P
EJ2P
EJ6Pz)z(y
323 ll+−= (i)
Từ (i) suy ra độ võng tại A :
EJ3Pyy
3
0zAl
+== = (8.6)
yA> 0 tức là mặt cắt A bị võng xuống dưới.
Ví dụ 8-2: Dùng phương pháp tích phân trực tiếp để thiết lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm đơn giản hai đầu khớp chịu tải trọng tập trung P đặt tại chính giữa của dầm như trên hình 8-4.
Hình 8-4
P z1
1
1
z2
2
2l/2 l/2
A BC
177
Bài giải:
Chia dầm AB làm 2 đoạn AC và CB, thực hiện các bước như ví dụ 8-1.
+ Bước 1: Thiết lập phương trình vi phân độ võng trong các đoạn dầm:
- Đoạn AC: Mx = VA.z1= 1z.2P
EJ2z.P
EJM
)z(y 1x,,1
−=−= ( )
2z0 1
l≤≤ (a)
- Đoạn CB : )2
z(Pz.2P)
2z(Pz.VM 2222Ax
ll−−=−−=
)2
z(EJP
EJ2z.P
EJM
)z(y 22x,,
2l
−+−=−=
=EJ2
PEJ2z.P 2 l
−+ )z2
( 2 ll
≤≤ (b)
+ Bước 2: Tích phân trực tiếp phương trình vi phân (a) và (b) lần lượt ta được:
- Đoạn AC: 1
21,
11 CEJ4z.P)z(y)z( +−==ϕ (c)
111
31
1 Dz.CEJ12z.P)z(y ++−= (d)
- Đoạn CB: 22
22,
22 CEJ2z..P
EJ4z.P)z(y)z( +−==ϕ
l (e)
222
22
32
2 Dz.CEJ4z.P
EJ12z.P)z(y ++−=
l (f)
+ Bước 3: Xác định 4 hằng số tích phân C1, C2 và D1, D2 từ điều kiện biên và điều kiện liên tục về chuyển vị giữa 2 đoạn AC và CB như sau:
• Điều kiện biên:
0y 0z1 1== (g)
0y2z2 ==l (h)
• Điều kiện liên tục về góc xoay và độ võng tại điểm nối 2 đoạn dầm (điểm C):
2z
2
2z
121
ll==
ϕ=ϕ (i)
2z
2
2z
121
yy ll==
= (k)
178
Giải hệ 4 phương trình ( g ), (h), (i), (k) ta xác định đước 4 hằng số:
0DD 21 == (l)
EJ16
PCC
2
21l
+== (m)
Thay các hằng số tích phân vừa xác định ở trênvào (c), (d), (e), (f) ta sẽ được phương trình góc xoay và độ võng của dầm như sau:
- Đoạn AC:
EJ16P
EJ4z.P)z(
221
1l
+−=ϕ với )2
z0( 1l
≤≤ (n)
1
231
1 z.EJ16
PEJ12z.P)z(y l
+−= với )2
z0( 1l
≤≤ (o)
- Đoạn CB:
EJ16P
EJ2z..P
EJ4z.P)z(
22
22
2ll
+−=ϕ với )z2
( 2 ll
≤≤ (p)
2
222
32
2 z.EJ16
PEJ4z.P
EJ12z.P)z(y ll
+−= với )z2
( 2 ll
≤≤ (q)
Độ võng lớn nhất tại điểm C chính giữa dầm bằng:
EJ48Pyyy
3
2z1maxC
1
ll +===
= (8.7)
* Nhận xét: Phương pháp tích phân trực tiếp vừa trình bày ở trên là một trong các phương pháp tổng quát cho phép ta thiết lập được phương trình góc xoay và độ võng của dầm chịu tải trọng bất kỳ, dầm có độ cứng thay đổi bất kỳ, từ đó có thể suy ra góc xoay và độ võng tại mọi điểm của dầm. Tuy nhiên, phương pháp này có hạn chế đối với các dầm có nhiều đoạn, vì nó dẫn đến việc phải giải hệ nhiều phương trình để xác định các hằng số tích phân (nếu dầm có n đoạn thì phải giải hệ gồm 2n phương trình).
8.3.2. Phương pháp thông số ban đầu Xét dầm gồm có nhiều đoạn, ký hiệu theo thứ tự là : 1, 2,..., i, i+1,..., n. Giả sử xét
đoạn thứ i và thứ i+1 kề liền nhau, được nối với nhau tại hoành độ z = a. Gọi yi(z) và yi+1(z) là phương trình trục võng của đoạn thứ i và i+1 (hình 8-5). Nếu kéo dài trục võng của đoạn thứ i sang đoạn thứ i+1 thì ta có thể viết:
)z(y)z(y)z(y i1i Δ+=+ (8.8)
179
Trong đó Δy(z) là số gia của độ võng tại hoành độ z > a. Giả sử đã biết phương trình trục võng của đoạn thứ i, muốn biết phương trình trục võng của đoạn thứ i+1 ta cần phải xác định số gia của độ võng Δy(z). Thực hiện khai triển Taylor số gia Δy(z) tại hoành độ z = a, ta được:
!3)az().a(y
!2)az().a(y)az).(a(y)a(y)z(y
3,,,
2,,, −
Δ+−
Δ+−Δ+Δ=Δ
.....!5
)az().a(y!4
)az().a(y5
V4
IV +−
Δ+−
Δ+ (8.9)
Chú ý rằng, các hệ số của chuỗi số Taylor Δy(a), Δy’(a), Δy”(a).... là các giá trị của hàm số gia Δy(z) và đạo hàm các cấp của nó tại hoành độ z = a, trong đó:
• Δy(a)=yi+1(a) - yi(a) = Δya (a)
• a,i
,1i
, )a(y)a(y)a(y ϕΔ=−=Δ + (b)
Các hệ số Δya và Δϕ a chính là là số gia (bước nhảy) của độ võng và goc xoay tại z = a
• ii
i
1i1i
1i,,i
,,1i
,,
JE)a(M
JE)a(M
)a(y)a(y)a(y +−=−=Δ++
++ (c)
Nếu chọn EJ là độ cứng của một đoạn nào đó làm độ cứng qui ước (chẳng hạn EJ=E1J1) và đặt :
1i1i1i
iii
KJE
EJ;KJE
EJ+
++
== (d)
thì ta có:
))a(MK)a(MK(EJ1)a(y ii1i1i
,, −−=Δ ++ (e)
Nếu chú ý tới các liên hệ vi phân giữa mô men uốn M, lực cắt Q và tải trọng phân bố q (từ chương 7), ta có thể viết tiếp:
• ))a(QK)a(QK(EJ1
=)a(y)a(y=)a(yΔ ii1+i1+i,,,
i,,,1+i
,,, (f)
y o
P
Mo
ϕo
y1(z)
y
(1) (2) (i) (i+1) a
z
y i(z
) Δy
(z) y i
+1(z
)
qi(z) qi+1(z)P
Ma
Δya
Δϕa
Hình 8-5
180
• ))a(qK)a(qK(EJ1)a(y)a(y)a(y ii1i1i
IVi
IV1i
IV −−=−=Δ +++ (g)
• ))a(qK)a(qK(EJ1)a(y)a(y)a(y ,
ii,
1i1iVi
V1i
V −−=−=Δ +++ (h)
* Chú ý: Thông thường ta chỉ xét đến tải trọng phân bố q tối đa là bậc nhất nên số hạng tiếp theo của chuỗi kể từ đạo hàm cấp 6 trở đi sẽ bằng không.
Thay các hệ số của chuỗi vừa mới xác định được vào phương trình (8.8) và (8.9) ta viết được phương trình độ võng của đoạn thứ i+1 theo đoạn thứ i như sau:
!5)az().)a(qK)a(qK(
EJ1
!4)az()].a(qK)a(qK[
EJ1
!3)az()].a(QK)a(QK[
EJ1
!2)az()].a(MK)a(MK[
EJ1)az(y)z(y)z(y
5,ii
,1i1i
4
ii1i1i
3
ii1i1i
2
ii1i1iaai1i
−−−
−−−
−−−
−−−−ϕΔ+Δ+=
++
++++
+++
(8.10)
Trường hợp thường gặp trong thực tế là dầm có độ cứng không thay đổi dọc theo chiều dài của nó, nghĩa là:
E1J1 = E2J2 = ... = EiJi = Ei+1Ji+1 = ... = EnJn = EJ
do đó K1 = K2 = ... = Ki = Ki+1 = ... = Kn = 1
Do vậy từ (8.10) suy ra phương trình độ võng của đoạn thứ i+1 là:
!3)az(.
EJQ
!2)az(.
EJM
)az(y)z(y)z(y3
a2
aaai1i
−Δ−
−Δ−−ϕΔ+Δ+=+
...!5
)az(.EJq
!4)az(.
EJq 5,
a4
a +−Δ
−−Δ
− (8.11)
trong đó:
• )a(M)a(MM i1ia −=Δ + là bước nhảy của mô men uốn tại z = a.
• )a(Q)a(QQ i1ia −=Δ + là bước nhảy của lực cắt tại z = a.
• )a(q)a(qq i1ia −=Δ + là bước nhảy của lực phân bố tại z = a.
• )a(q)a(qq i,
1i,
a, −=Δ + là số gia của đạo hàm lực phân bố tại z = a.
Các hệ số Δya, Δ ϕ a, ΔMa, ΔQa, Δqa, Δqa’ là các thông số tại đầu mỗi đoạn dầm, chúng sẽ được xác định từ điều kiện chuyển vị và tải trọng tại z = a (vị trí nối tiếp giữa thứ i và thứ i+1). Do vậy, phương pháp này có tên gọi là phương pháp thông số ban đầu.
Nhìn vào công thức (8.10) và (8.11) ta thấy chúng có dạng công thức truy hồi, có nghĩa là muốn có phương trình độ võng của đoạn thứ i+1 ta đã phải biết phương trình
181
độ võng của đoạn thứ i phía trước nó. Vậy để viết được phương trình độ võng của đoạn dầm thứ nhất ta phải tưởng tượng phía trước nó có đoạn thứ 0 (đoạn này xem như không có chuyển vị). Gọi yo, ϕ o, Mo, Qo, qo và qo’ là các thông số tại đầu đoạn thứ nhất (tại z = 0), áp dụng công thức (8.11) và chú ý a = 0 ta viết được phương trình độ võng của đoạn thứ nhất như sau:
...!5
z.EJq
!4z.
EJq
!3z.
EJP
!2z.
EJMz.y)z(y
5o
,4o
3o
2«
oo1 +−−−−ϕ+= (8.12)
Hình vẽ 8-6 minh hoạ cụ thể cách xác định các thông số đầu đoạn của dầm.
Ví dụ 8-3: Dùng phương pháp thông số ban đầu viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm đơn giản trên hình 8-7. Xác định độ võng tại C ( yc = ? ).
Bài giải:
Quá trình giải bài toán có thể chia ra các bước sau đây:
+ Bước 1: Lập bảng thông số tại đầu các đoạn dầm:
- Xác định các phản lực gối tựa tại VA và VB bằng các
phương pháp đã biết, kết quả:
Δya ≠ 0
Δ ϕ a=0
Hình 8-6
ϕ0
M
yo = 0
ϕ 0 ≠ 0
M0 = +M
qo = - q
Δya
(i) (i+1)
(i) (i+1)
Δ ϕ a Δya = 0
Δ ϕ a ≠ 0
Δqa = -q
Δq’a = 0
q
q 2q M
P
(i) (i+1)
Δya = 0
Δ ϕ a =0 0
ΔMa = +M
ΔQa = - P
a)
b)
c)
d)
Hình 8‐7
l/2
A B
P
C
l/2 P/2 P/2
182
VA=VB = 2P
- Chia dầm làm 2 đoạn AC và CB, lập bảng thông số tại A và C ( đầu của đoạn AC và CB) – xem Bảng 8-1.
Bảng 8-1: Bảng thông số ban đầu
Đoạn Đoạn AC
Tại A (a = 0)
Đoạn CB
Tại C (a = l /2)
yΔ yo=0 Δya=0
ϕΔ ϕ o ≠ 0 aΔϕ =0
MΔ Δ Mo=0 ΔMa=0
QΔ Δ Qo= + P / 2 ΔQa= - P
qΔ Δ qo=0 Δqa=0 'qΔ Δ q,
o=0 Δq,a=0
+ Bước 2: Viết phương trình độ võng của dầm theo (8.12 ) và (8.10):
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤≤−
+−ϕ=
≤≤−ϕ=
)z2/(!3
)2
z(.
EJP
!3z.
EJ2Pz.)z(y
)2/z0(!3
z.EJ2Pz.)z(y
33
o2
3
o1
ll
l
l
(a)
+ Bước 3: Xác định các thông số chưa biết ( ϕ o) từ điều kiên :
Tại B có: 0y z2 ==l
Giải ra: EJ16
P 2
ol
+=ϕ (b)
+ Bước 4: Viết lại phương trình độ võng và góc xoay của dầm:
- Thay (b) vào (a) ta được phương trình độ võng của dầm: 2 3
1
32 3
2
P P zy (z) .z . (0 z / 2)16EJ 2EJ 3!
(z )P P z P 2y (z) .z . . ( / 2 z )16EJ 2EJ 3! EJ 3!
⎧= − ≤ ≤⎪
⎪⎨
−⎪= − + ≤ ≤⎪
⎩
ll
ll
l l
(c)
- Đạo hàm độ võng ta được phương trình góc xoay của dầm:
183
2 2
1
22 2
2
P P z(z) . (0 z / 2)16EJ 2EJ 2!
(z )P P z P 2(z) . . ( / 2 z )16EJ 2EJ 2! EJ 2!
⎧ϕ = − ≤ ≤⎪
⎪⎨
−⎪ϕ = − + ≤ ≤⎪
⎩
ll
ll
l l
(d)
+ Bước 5: Xác định chuyển vị tại các mặt cắt theo yêu cầu của đề bài:
Độ võng tại C : EJ48
Pyy3
2z1C
ll +==
= (e)
Dấu dương có nghĩa là điểm C võng xuống phía dưới.
Nhận xét: Ví dụ 8-3 vừa trình bày phương pháp thông số ban đầu để xác định chuyển vị của dầm giống hoàn toàn với dầm ở ví dụ 8-2 đã giải theo phương pháp tích phân trực tiếp. Kết quả lời giải của 2 phương pháp hoàn toàn trùng khớp với nhau, tuy nhiên nếu giải theo phương pháp thông số ban đầu chỉ cần phải xác định 1 hằng số chưa biết (thông số ϕ o), còn nếu giải theo theo phương pháp tích phân trực tiếp thì phải xác định 4 hằng số chưa biết bằng cách giải hệ 4 phương trình, do vậy dẫn đến làm tăng khối lượng tính toán lên một cách đáng kể. Chính vì lẽ đó mà phương pháp thông số ban đầu được sử dụng rất hiệu quả để xác định chuyển vị của các dầm có nhiều đoạn.
Ví dụ 8-4: Dùng phương pháp thông số ban đầu để viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm cho trên hình 8-8, sau đó xác định độ võng tại mặt cắt B và góc xoay tại mặt cắt A của dầm.
Bài giải:
+ Bước 1: Lập bảng thông số tại đầu các đoạn dầm:
- Xác định các phản lực gối tựa tại VA và VC dựa vào các phương trình cân bằng đã biết, kết quả:
VA =4qa9 và VC =
4qa11
- Chia dầm làm 3 đoạn AB, BC và CD, lập bảng thông số tại A, B và C (đầu của đoạn AB,BC và CD) - xem Bảng 8- 2.
Hình 8‐8
P=4qa
a
AB C D
a a
M=qa2
q
VA=9qa/4 VC=11qa/4
184
Bảng 8-2: Bảng thông số ban đầu
Đoạn Đoạn AB
Tại A (a*=0)
Đoạn BC
Tại B (a*=a)
Đoạn CD
Tại C (a* = 2a)
yΔ yo=0 Δya=0 Δya=0
MΔ ϕo =? 0=φΔ 0=φΔ
QΔ Mo = - qa2 ΔMa=0 ΔMa=0
qΔ Po= + 9qa /4 ΔQa= - 4qa ΔQa= 11qa/4
'qΔ qo=0 Δqa=0 Δqa= - q
q,o=0 Δq,
a=0 Δq,a=0
+ Bước 2: Viết phương trình độ võng của dầm theo (8-12 ) và (8-10):
)a3za2(!4
)a2z(.EJq
!3)a2z(.
EJ4qa11
!3)az(.
EJqa4
!3z.
EJ4qa9
!2z.
EJqaz.y
)a2za(!3
)az(.EJqa4
!3z.
EJ4qa9
!2z.
EJqaz.y
)az0(!3
z.EJ4qa9
!2z.
EJqaz.y
433322
o3
3322
o2
322
o1
≤≤
−+
−−
−+−+ϕ=
≤≤−
+−+ϕ=
≤≤−+ϕ=
(a)
+ Bước 3: Xác định các thông số chưa biết ϕ o từ điều kiên :
Tại C có: 0y a2z2 ==
Giải ra : EJ6
qa 3
o +=ϕ (b)
+ Bước 4: Viết lại phương trình độ võng và góc xoay của dầm:
- Thay (b) vào (a) ta được phương trình độ võng của dầm như sau:
)a3za2(!4
)a2z(.EJq
!3)a2z(.
EJ4qa11
!3)az(.
EJqa4
!3z.
EJ4qa9
!2z.
EJqaz.
EJ6qay
)a2za(!3
)az(.EJqa4
!3z.
EJ4qa9
!2z.
EJqaz.
EJ6qay
)az0(!3
z.EJ4qa9
!2z.
EJqaz.
EJ6qay
4333223
3
33223
2
3223
1
≤≤
−+
−−
−+−+=
≤≤−
+−+=
≤≤−+=
(c)
185
- Đạo hàm (c) ta được phương trình góc xoay của dầm như sau:
)a3za2(!3
)a2z(.EJq
!2)a2z(.
EJ4qa11
!2)az(.
EJqa4
!2z.
EJ4qa9
1z.
EJqa
EJ6qa
)a2za(!2
)az(.EJqa4
!2z.
EJ4qa9
1z.
EJqa
EJ6qa
)az0(!2
z.EJ4qa9
1z.
EJqa
EJ6qa
322223
3
2223
2
223
1
≤≤
−+
−−
−+−+=ϕ
≤≤−
+−+=ϕ
≤≤−+=ϕ
(d)
+ Bước 5: Xác định chuyển vị tại các mặt cắt theo yêu cầu của đề bài:
- Độ võng tại B:
EJ24qa7yy
4
az1B +== = (dấu + chứng tỏ tiết diện B chuyển vị xuống phía dưới)
- Góc xoay tại A:
EJ24qa 3
az1A +=ϕ=ϕ = (dấu + chứng tỏ mặt cắt A xoay theo chiều thuận kim đồng
hồ).
8.3.3. Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo) Hai phương pháp vừa trình bày ở trên là các phương pháp tổng quát cho phép thiết
lập được phương trình của độ võng và góc xoay của dầm chịu tải trọng bất kỳ, từ đó giúp ta có thể xác định được chuyển vị của mọi mặt cắt trên dầm. Tuy nhiên trong trường hợp chỉ cần thiết xác định chuyển vị tại một vài mặt cắt nào đó ta vẫn phải thiết lập phương trình độ võng và góc xoay cho toàn dầm, rồi từ đó mới tính ra được chuyển vị tại mặt cắt cụ thể. Để giảm bớt công sức và thời gian, dưới đây ta sẽ nghiên cứu phương pháp đồ toán (hay còn gọi là phương pháp tải trọng giả tạo) giúp ta có thể tính toán nhanh gía trị độ võng và góc xoay tại các mặt cắt cụ thể theo yêu cầu.
Từ chương 7, ta đã biết giữa mô men uốn M, lực cắt Q và tải trọng phân bố q có mối liên hệ vi phân sau:
)z(qdzdQ
dzMd2
2
== (a)
Mặt khác ta biết giữa độ võng y(z), góc xoay ϕ(z) và mô men uốn M cũng có mối liên hệ vi phân :
EJM
dz)z(d
dz)z(yd
2
2
−=ϕ
= (b)
Nếu đặt :
186
)z(qEJM
gt=− (gọi qgt là tải trọng phân bố giả tạo) (8-13)
)z(Q)z( gt=ϕ (gọi Qgt(z) là lực cắt giả tạo)
)z(M)z(y gt= (gọi Mgt(z) là mô men uốn giả tạo)
Thì từ (b) có thể viết:
)z(qdz
)z(dQdz
)z(dMgt
gt2
gt == (c)
Như đã biết, từ phương trình vi phân (a) nếu đã biết tải trọng phân bố q(z) để tìm ra lực cắt Q và mô men uốn M ta thường dùng phương pháp mặt cắt đã quen thuộc mà không cần thiết phải giải phương trình vi phân (a) tốn nhiều công sức. Nhìn vào quan hệ vi phân (c) và (a) ta thấy chúng có hình thức hoàn toàn gíông nhau, do vậy nếu biết được qgt(z) ta cũng có thể tìm ra được lực cắt giả tạo Qgt(z) và mô men giả tạo Mgt (z) bằng phương pháp mặt cắt quen thuộc, có nghĩa là tìm ra được độ võng và góc xoay thực tại mặt cắt cụ thể trên dầm.
Để tính Qgt và Mgt ta cần đặt tải trọng giả tạo qgt (z)= -EJM lên một dầm giả tạo
thoả mãn các điều kiên sau đây:
• Chiều dài của dầm giả tạo phải bằng với chiều dài của dầm thật đã cho.
• Mô men uốn giả tạo Mgt(z) và lực cắt Qgt(z) của dầm giả tạo phải bằng với độ võng y(z) và góc xoay ϕ(z) của dầm thật đã cho.
( Bảng 3 dưới đây mô tả các dầm giả tạo tương ứng với các dầm thật đã cho).
Để tính chuyển vị theo phương pháp đồ toán ta thực hiện các bước sau đây:
+ Bước 1: Vẽ biểu đồ mô men uốn M cho dầm thật.
+ Bước 2: Vẽ dầm giả tạo, đặt tải trọng phân bố giả tạo EJMqgt −= lên dầm giả tạo.
* Chú ý: qgt luôn ngược dấu với mô men uốn M và qui ước qgt là dương khi nó có chiều hướng từ dưới lên phía trên và qgt là âm khi ngược lại).
Bảng 8- 3 : Sơ đồ dầm thật và dầm giả tạo
DẦM THẬT DẦM GIẢ TẠO
187
+ Bước 3: Xác định các phản lực liên kết của dầm giả tạo chịu tải trọng giả tạo, sau đó xác đinh các giá trị của lực cắt giả tạo Qgt và mô men uốn giả tạo Mgt tại một số mặt cắt, tương ứng ta có được góc xoay và độ võng của dầm tại một số mặt cắt đã yêu cầu.
Tóm lại: Phương pháp đồ toán rất tiện lợi khi dùng để tính toán chuyển vị của dầm tại một số mặt cắt cần thiết. Cũng có thể dùng phương pháp này để xác định độ võng và góc xoay của cả dầm bằng cách vẽ các biểu đồ Mgt và Qgt cho dầm giả tạo, tuy
A B
A B
A B C D
A B
C
A B
A B
A
B
C
A B
C D
y=0
ϕ ≠0
y=0
ϕ ≠0
y=0
ϕ =0
y≠0
ϕ ≠0
y=0
ϕ ≠0
y=0
ϕ ≠0
y=0
θ≠0
y=0
ϕ ≠0
y≠0
ϕ ≠0
y≠0
ϕ ≠0
y≠0
ϕ ≠0
Mgt=0
Qgr≠0
Mgt=0
Qgr≠0
Mgt=0
Qgr=0
Mgt≠0
Qgr≠0
Mgt=0
Qgr≠0
Mgt=0
Qgr≠0
Mgt≠0
Qgr≠0
Mgt≠0
Qgr≠0
Mgt≠0
Qgr≠0
Mgt=0
Qgr≠0
Mgt=0
Qgr≠0
188
nhiên do tải trọng giả tạo có dạng khá phức tạp nên ta gặp nhiều khó khăn và tốn nhiều công sức khi vẽ các biểu đồ nội lực giả tạo.
Bảng 8-4 dưới đây sẽ giới thiệu các công thức tính diện tích và toạ độ trọng tâm của một số hình đơn giản thường gặp, rất tiện ích cho việc tính toán chuyển vị của dầm theo phương pháp đồ toán.
Bảng 8-4: Diện tích và toạ độ trọng tâm các hình đơn giản
Hình (Biểu đồ) Diện tích (Ω) Toạ độ trọng tâm(xC)
l. h
2
l3
1xC =
l. h
2
)a(3
1xC += l
2 l. h
3
l2
1xC =
2 l. h
3
l8
3xC =
l. h
3
l4
1xC =
l
xC
h C
l
xC
h C
a b
l
xC
h C
parabol bËc 2
l
xC
h
C
parabol bËc 2
l
xC
h C
parabol bËc 2
189
l. h
n+1
l2n
1xC +
=
V í dụ 8-5: Dùng phương pháp đồ
toán xác định độ võng và góc xoay tại đầu tự do B của dầm công xôn AB chịu tải trọng phân bố đều như trê hình 8-9.a, biết dầm có độ cứng là hằng số (EJ = const).
Bài giải:
+ Bước 1: Vẽ biểu đồ mô men uốn M cho dầm thật (xem hình 8-9.b).
+ Bước 2: Vẽ dầm giả tạo, đặt tải trọng phân bố giả tạo lên dầm giả tạo (xem hình 8-9.c):
EJ2qz
EJ2qz
EJMq
22
gt +=−
−=−=
+ Bước 3: Xác định các đại lượng theo yêu cầu của đề bài:
- Độ võng tại B:
EJ8q
43..
2qz.
31My
42BgtB
lll +=+==
- Góc xoay mặt cắt B:
EJ6
q.EJ2
q.31Q
32BgtB
ll
l+=+==ϕ
Ví dụ 8-6: Xác định độ võng tại mặt cắt C và góc xoay tại mặt cắt trên gối tựa A của dầm đơn giản chịu tải trọng tập trung P đặt tại chính giữa dầm như trên hình 8-10.a, biết dầm có độ cứng EJ = const.
Bài giải:
+ Bước 1: Vẽ biểu đồ mô men uốn M cho dầm thật (xem hình 8-10.b).
q
A Bl
ql2
2
ql2
2EJ A
B
qgt
M
a)
b)
c)
Hình 8‐9
Hình 8-10
A Bl l
P4l
a)
b)
c)
P
P4EJl
190
+ Bước 2: Vẽ dầm giả tạo, đặt tải trọng giả tạo lên dầm giả tạo (xem hình 8-10.c):
+ Bước 3: Xác định các đại lượng theo yêu cầu của đề bài:
- Xác định các phản lực gối tựa Bgt
Agt V,V thuộc dầm giả tạo từ nhận xét hoặc từ các
phương trình cân bằng tĩnh học:
EJ16P.
EJ4P.
21.
21VV
2Bgt
Agt
ll
l===
- Độ võng tại mặt cắt C:
EJ48P
EJ96P
2.
EJ16P
231.
2.
EJ4P.
21
2.VMy
332Agt
CgtC
llllllll+=−=−== (đơn vị dài)
- Góc xoay tại mặt cắt A:
EJ16PVQ
2Agt
AgtA
l+=+==ϕ (đơn vị góc )
8.4. Một số ứng dụng về chuyển vị của dầm chịu uốn Việc tính toán chuyển vị của dầm chịu uốn đã nêu ở trên sẽ giúp chúng ta giải
được các bài toán sau đây:
- Bài toán về độ cứng của dầm chịu uốn.
- Bài toán dầm siêu tĩnh.
8.4.1. Bài toán về độ cứng của dầm chịu uốn Đối với các dầm chịu uốn ngoài việc tính toán để đảm bảo cho dầm bền vững
(không bị phá hoại) thì chúng ta phải tính toán để đảm bảo cho dầm có đủ độ cứng cần thiết, chẳng hạn các dầm cầu giao thông không được võng quá mức làm ảnh hưởng đến sự qua lại của tàu thuyền dưới sông, dầm (xà) của nhà không được võng quá mức ảnh hưởng đến việc sử dụng và sinh hoạt bình thường của nhà, v.v…
Để đảm cho dầm có đủ độ cứng cần thiết ta phải bắt buộc độ võng lớn nhất của dầm ymax phải nhỏ thua một giá trị nào đó gọi là độ võng cho phép [f], từ đây ta viết điều kiện cứng của dầm như sau:
ymax ≤ [f ] (8.14)
trong đó :
- ymax là trị số độ võng lớn nhất trong dầm có thể xác định được theo một trong 3 phương pháp đã nêu ở trên.
- [f] là trị số độ võng cho phép của dầm thông thường lấy bằng l⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ÷
10001
1001 , tuỳ
theo tính chất của kết cấu và vật liệu (với l là chiều dài nhịp của dầm).
191
Chú ý : Từ điều kiện cứng (8.14) ta cũng sẽ có 3 bài toán cơ bản như sau:
+ Bài toán kiểm tra độ cứng.
+ Bài toán chọn kích thước mặt cắt của dầm theo điều kiện cứng.
+ Bài toán chọn tải trọng cho phép theo điều kiện cứng.
Ví dụ 8 -7: Một dầm bằng gỗ có chiều dài 5m, mặt cắt hình chữ nhật có chiều cao h gấp 1,5 lần bề rộng b. Dầm chịu một lực tập trung P = 12 kN đặt tại chính giữa chiều dài của dầm như trên hình 8-11. Hãy xác định kích thước cần thiết của mặt cắt theo điều kiện cứng của dầm, biết rằng mô đun đàn hồi của gỗ bằng E = 1.107 kN/m2.
Trong tính toán lấy độ võng cho phép [ f ] =1000l .
Bài giải:
Để tìm kích thước của mặt cắt ta xuất phát từ điều kiện cứng của dầm:
ymax ≤ [f ] (a)
trong đó:
- Độ võng cho phép :
[ f] = mm2)m(10.21000
51000
3 === −l
- Độ võng lớn nhất :
EJ48Py
3
maxl
= ( kết quả lấy từ ví dụ 8-2) (b)
Từ (a) và (b) rút ra:
]f[EJ48
P 3
≤l , suy ra
3PJ48E[f ]
≥l (c)
Mặt khác ta có:
96b27
12
)2b3.(b
12h.bJ
43
3
=== (d)
Từ (c) và (d) rút ra:
)cm(3,27)m(10.73,210.2.10.27
5.12.2]f[E27
P22796.
]f[E48Pb 14
37
3
4
3
4
3
====≥ −ll
Hình 8-11
P=12 kN
3m
A BC
3m ymax
192
Kết luận: Để dầm có đủ điều kiện cứng ta phải chọn mặt cắt chữ nhật có bề rộng b lớn hơn 27,3 cm (chẳng hạn lấy b = 30cm, h = 45cm).
8.4.2. Tính toán dầm siêu tĩnh Trong các ví dụ ở trên chúng ta mới chỉ xét đến các dầm đơn giản: đó là các dầm
được cấu tạo bằng một thanh thẳng có một đầu được ngàm chặt và một dầu tự do, hoặc
đặt trên hai gối tựa gồm một gối tựa cố định và một gối di động như trên hình 8-12a,b, hoặc dầm đơn có mút thừa... Như vậy, ở mỗi dầm đơn giản bao gồm 3 liên kết đơn đủ đảm bảo cho dầm có khả năng chịu được ngoại lực. Để xác định tất cả các phản lực cũng như nội lực của dầm đơn giản nói trên, ta chỉ cần sử dụng 3 phương trình cân bằng tĩnh học của hệ lực phẳng, chứ không cần sử dụng thêm bất kỳ phương trình nào khác.
Trong thực tế ta còn gặp rất nhiều dầm cấu tạo bằng một thanh thẳng nối với đất với số lượng lớn hơn 3 liên kết, chẳng hạn 4 liên kết (hình 8-12c), hoặc 5 liên kết (hình 8-12d),v.v... Về mặt cấu tạo, đây là các dầm có “thừa” liên kết. Những dầm có thừa liên kết được gọi là dầm siêu tĩnh. Bậc siêu tĩnh của một dầm bằng với số lượng liên kết thừa của nó tính đổi ra liên kết đơn. Nếu ký hiệu n là số bậc siêu tĩnh của dầm thì các dầm trên hình 8-12c và 8-12d có bậc siêu tĩnh lần lượt là n =1 và n = 2.
Chú ý rằng chữ “thừa” để trong dấu nháy nói lên rằng về mặt cấu tạo hình học thì dầm có thừa liên kết, nhưng thực tế các liên kết thừa này có tác dụng làm tăng độ cứng của dầm và làm giảm đáng kể nội lực phát sinh trong dầm.
Vì dầm siêu tĩnh có thừa liên kết nên số lượng phản lực liên kết của dầm luôn nhiều hơn số lượng phương trình cân bằng tĩnh học độc lập có thể viết cho hệ. Như vậy, về bản chất vật lý muốn xác định được tất cả các phản lực cũng như nội lực trong dầm siêu tĩnh thì ngoài số lượng phương trình cân bằng đã có ta phải bổ xung thêm một số phương trình dựa vào điều kiện chuyển vị của dầm, số lượng phương trình phải bổ xung thêm sẽ bằng với số bậc siêu tĩnh n của dầm. Dưới đây trình bày một ví dụ cụ thể giúp ta có thể nắm bắt được cách giải các bài toán dầm siêu tĩnh.
Hình 8-12
a)
b)
c)
d)
193
Ví dụ 8-8: Cho dầm có một đầu được ngàm chặt còn đầu kia đặt trên gối tựa di động như trên hình 8-13a. Hãy vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt của dầm, biết dầm có độ cứng EJ = const.
Bài giải:
+ Bước 1: Biến đổi dầm siêu tĩnh đã cho về một đầm tĩnh định tương đương:
Tưởng tượng loại bỏ gối tựa di động tại B (xem đây là liên kết thừa) để đưa dầm siêu tĩnh đã cho về dầm tĩnh định đã biết cách giải. Để dầm tĩnh định này làm việc hoàn toàn tương đương với dầm siêu tính đã cho ta phải:
- Bổ xung thêm ẩn lực VB tại vị trí gối tựa B bị loại bỏ (chiều VB có thể giả thiết bất kỳ).
- Bổ xung thêm phương trình dựa vào điều kiện chuyển vị: Độ võng tại gối B trong dầm tĩnh định do tải trọng q và ẩn lực VB gây ra phải bằng không (vì trong dầm siêu tĩnh chịu tải trọng phân bố q độ võng tại gối B luôn bằng không):
yB(q,VB) = 0 (a)
+ Bước 2: Giải phương trình bổ xung và các phương trình cân bằng tĩnh học để xác định ẩn lực đặt thêm vào (VB) và các phản lực. Trong ví dụ, người ta chỉ cần giải phương trình bổ xung để tìm VB:
Theo nguyên lý độc lập tác dụng của các lực, ta có thể viết lại (a) như sau:
yB(q) + yB(VB) = 0 (b)
trong đó:
- yB(q) là độ võng tại tiết diện B do tải trọng phân bố q gây ra có thể tìm được nhờ 3 phương pháp đã nêu ở trên. Lấy kết quả đã có ở ví dụ 8-5:
EJ8q)q(y
4
Bl
+= (c)
- yB(VB) là độ võng tại mặt cắt B do tải trọng ẩn lực VB gây ra, từ kết quả ví dụ 8-1, ta có:
EJ3.V)V(y
3B
BBl
−= (d)
Từ (b), (c) và (d) ta có:
0EJ8
qEJ3.V 43
B =+−ll
q
A Bl
ql2
5ql
M
a)
b)
c)
Hình 8-13
q
A BVBql2
3ql
Qd)
194
Giải ra :
8q3VBl
+= (dấu + chứng tỏ chiều VB có chiều đi lên nhưđã giả thiết là
đúng)
+ Bước 3: Vẽ các biểu đồ nội lực Qy và Mx
Đặt ẩn lực VB vừa tìm được cùng với tải trọng phân bố q lên dầm tĩnh định. Dùng phương pháp mặt cắt quen thuộc để thiết lập biểu thức và vẽ các biểu đồ nội lực Qy và Mx như trên hình 8-13c,d.
Chú ý: Có thể vẽ nhanh hơn các biểu đồ nội lực Qy và Mx bằng phương pháp cộng biểu đồ (biểu đồ mô men và lực cắt chỉ do q gây ra và biểu đồ mô men và lực cắt chỉ do VB gây ra).
BÀI TẬP 8.1. Viết phương trình đường đàn hồi của dầm cho trên hình 8-1B( a,b,c,d) bằng phương pháp tích phân bất định, biết độ cứng chống uốn của dầm là EJ=const.
8.2. Bằng phương pháp thông số ban đầu, viết phương trình độ võng và góc xuay của dầm cho trên hình 8-2B (a, b, c, d), biết EJ = const.
q
l
)
M0
2m 6m
b)
l/2 l/2
q=4P/l
)
A BP
P = qa
a 2a
q
d)Hình 8-1B
l a
a)
l/2
A D B C
q P
a a a
b)
qM
3a a
c)
q
M
d)
P
3a a
q
Hình 8-2B
195
8.3. Cho các dầm trên hình 8-3B , biết EJ = const. Bằng phương pháp đồ toán, hãy:
a) Tính độ võng và góc xoay tại đầu A ( yA =?, ϕA =?) của dầm trên Hình 8-3B(a)
b) Tính độ võng tại C (yC =?) và góc xoay tại A (ϕA =?) của dầm trên hình 8-3B(b)
c) Tính độ võng tại B (yB =?) và góc xoay tại A (ϕA =?) của dầm trên hình 8-3B(c)
8.4. Một dầm có mặt cắt ghép 2 hình chữ [ chịu lực như hình 8-4B. Hãy chọn số hiệu thép mặt cắt hình chữ [ để dầm đảm bảo độ bền và độ cứng, cho biết P = 40kN, l = 3m, [σ] = 16kN/cm2. E = 2.104kN/cm2, [ f] = (1/400)l.
8.5. Vẽ biểu đồ mô men uốn và biểu đồ lực cắt cho các dầm siêu tĩnh chịu tải trọng như trên hình 8-5B, cho biết độ cứng của các dầm EJ = const.
P
l/ 2
A B C
l/ 2 l/ 2
Hình 8-4B
B
q
l
a)
EJ
q
l b)
EJ
l
P
a
A B
C
2a
c)
aa
d)
M
A C
Hình 8-5B
aa
a)
PM=Pa
A C B
a
b)
A
P
BC
a
l
)
M M
BA
Hình 8-3B
196
8.6. Một hệ gồm ba công xon 1, 2, 3 cùng vật liệu, mặt cắt chữ nhật được liên kết với nhau bằng các thanh giằng cứng tại đầu tự do (EF = ∞) và chịu lực như trên hình 8-6B. Yêu cầu:
a/ Tính ứng suất cực đại trong 3 dầm trong trường hợp cả 3 dầm này có kích thước mặt cắt ngang b x h như nhau
b/ Giả sử mặt cắt ngang của 3 dầm có cùng bề rộng b (b1 = b2 = b3 = b) và có chiều cao lần lượt là h1, h2, h3. Hãy xác định quan hệ giữa chiều cao mặt cắt h1, h2, h3 để sao cho cả 3 dầm đều có độ bền như nhau. Mở rộng cho trường hợp có n dầm.
8.7. Hai dầm AB và CD được đặt chồng lên nhau và giữa hai dầm có một miếng kê hình trụ tròn có đường kính bằng chiều cao của gối C và D ( hình 8-7B). Giả sử độ cứng chống uốn của dầm AB là EJ, của dầm CD là EJ/24. Yêu cầu:
a/ Tính lực truyền từ dầm CD xuống dầm AB qua miếng kê.
b/ Nếu tăng độ cứng của dầm CD và giữ nguyên độ cứng của dầm AB là EJ thì lực truyền từ dầm CD xuống dầm AB qua miếng kê tăng hay giảm? Độ cứng tối thiểu của dầm CD bằng bao nhiêu thì miếng kê không còn tác dụng truyền lực nữa?
8.8. Một dầm AB đặt trên 2 gối tựa cứng tại A, B và gối lò xo có độ cứng c tại điểm I ở chính giữ dầm AB. Cho biết dầm dài l = 2m có mặt cắt hình chữ nhật kích mặt 5× 6cm2 ,
a a a a
PC D
A B
Hình 8-7B
P
l
2l
3l
Hình 8-6B
3
2
1
EF = ∞
EF = ∞
197
vật liệu làm dầm có mô đun đàn hồi E = 2.105MN/m2, tải trọng phân bố q =1 kN/m. Yêu cầu xác định độ cứng c của lò xo ( c =?) để mô men uốn tại mặt cắt I ở chính giữa dầm bằng không (hình 8-8B).
8.9. Cho một hệ có sơ đồ chịu lực như trên hình 8-9B. Tại mặt cắt B ở chính giữa thanh thép AC có gắn đai B cách các dầm công xon 1 đoạn rất nhỏ δ1 = a.10-3, đầu C của thanh AC cách nền 1 đoạn nhỏ δ2 = 2δ1 như hình vẽ.
a) Xác định giá trị lực P ( P = P1) để đai B vừa chạm vào dầm ngang
b) Xác định giả trị của lực P ( P = P2) để đầu C của dầm chạm vào nền N.
Cho biết F = 4cm2, E = 2.104 kN/cm2, a = 1m, dầm công xon có chiều dài l = 2m và có độ cứng EJ = 2EF.a2.
8.10. Cho dầm có độ cứng EJ như trên hình 8-10B. Xác định khe hở Δ sao cho ứng suất lớn nhất trong dầm có giá trị là nhỏ nhất.
8.11. Thanh thép AB được uốn cong như trên hình 8-11B. Người ta đặt lực P ở 2 đầu để đưa thanh AB thẳng trở lại và và chịu áp lực phân bố đều do mặt cứng CD tạo nên. Tính trị số cần thiết của lực P để và ứng suất lớn nhất khi nén thanh trở thành thẳng.
Pl l
δ 2
A
B
C
δ 1
N
a
Hình 8-9B
a
q
lHình 8-10B
A B
l
Δ A
b)
P P
BC Δ
a)
l/2 l/2 l/2 l/2
q
l/2
Hình 8-8B
l/2
A I
B
198
Cho l = 50cm, độ võng lớn nhất f = 0,25cm, mặt cắt thanh hình vuông a×a = 2,5×2,5cm.
8.12. Người ta phải uốn một dầm tựa trên hai gối đơn giản theo đường cong như thế nào để khi có một lực P di động trên dầm, điểm đặt của lực P luôn luôn ở vị trí cùng độ cao với hai gối A và B (hình 8-12B).
8.13. Một công xon AB dài l, mặt cắt có độ cứng chống uốn EJ1 và mô men chống uốn W1, được đỡ ở đầu B bằng một công xon thứ hai BC dài l/2 có độ cứng chống uốn EJ2 = 4EJ1 và mô men chống uốn W2 = 10W1. Tại B có lực P tác dụng (hình 8-13B).
a) Tính ứng suất cực đại trong các công xôn AB và BC.
b) Giả sử ứng suất cực đại trong AB lớn gấp hai lần ứng suất cho phép [σ]. Để cho ứng suất này giảm xuống bằng ứng suất cho phép, người ta chèn vào đầu B giữa hai công xon một miếng đệm cứng dày Δ. Hỏi bề dày Δ phải bằng bao nhiêu ?, tính ứng suất cực đại trong thanh BC ở trường hợp này.
l
P1
l/2
PĐệm dày Δ
Hình 8-13B
Hình 8-11B
P P
l
A BDC f l
Hình 8-12B
P
A B
199
CHƯƠNG 9: DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
9.1. Khái niệm và các giả thuyết về nền Trong các chương 7 và 8 chúng ta đã nghiên cứu cách tính các dầm đặt trên các
liên kết bao gồm các ngàm và các gối tựa cứng như trên hình 9-1a. Đối với loại dầm này tải trọng tác dụng lên dầm sẽ truyền xuống nền tại vị trí có liên kết tựa. Các phản lực liên kết của nền lên dầm chỉ là các mô men tập trung hoặc lực tập trung. Số lượng các phản lực liên kết nói trên luôn luôn là hữu hạn nên chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học (đối với dầm tĩnh định), hoặc dùng các phương trình cân bằng tĩnh học và bổ xung thêm một số phương trình về chuyển vị của dầm là đủ (đối với dầm siêu tĩnh).
Tuy nhiên trong thực tế xây dựng ta còn gặp rất nhiều dầm và các bản đáy công trình đặt trực tiếp trên nền đất, nền đá, nền nhân tạo,v...v. Chẳng hạn như các dầm móng nhà dưới hàng cột (hình 9-1b), bản đáy các trạm bơm và các cống trong công trình thuỷ lợi, các đường ray đặt trên nền đường sắt,v.v…Do các nền đều có tính đàn hồi nên người ta gọi tên chúng là dầm trên nền đàn hồi. Dầm trên nền đàn hồi có đặc điểm rất khác với các dầm đặt trên gối tựa cứng ở chỗ là khi tải trọng đặt lên dầm nó sẽ truyền xuống nền tại mọi vị trí mà dầm tiếp xúc với nền. Có thể thấy phản lực của nền lên dầm phân bố trên toàn bộ diện tích tiếp xúc giữa dầm và nền và nói chung qui luật phân bố của chúng là rất phức tạp vì nó phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố khác nhau của dầm cũng như của nền. Vì tại mọi điểm tiếp xúc giữa dầm và nền đều xuất hiện các phản lực nền có cường độ phân bố p mà ta chưa biết được nên dầm trên nền đàn hồi là một loại dầm siêu tĩnh đặc biệt với bậc siêu tĩnh n là vô hạn. Ngoài ra ta còn thấy độ võng của dầm tại mỗi điểm không những phụ thuộc vào độ cứng của dầm mà còn phụ thuộc vào các đặc tính đàn hồi của nền. Do có nhiều yếu tố phức tạp kể trên nên khi giải bài toán dầm trên nền đàn hồi người ta thường phải sử dụng các giả thuyết về nền. Mỗi giả thuyết mô phỏng khái quát về các đặc tính chung của nền, từ đó đưa ra các lời giải tương ứng. Cho đến nay đã có rất nhiều giả thuyết khác nhau về nền, tuy nhiên chỉ có một số ít các giả thuyết đã và đang được chấp nhận để tính toán dầm trên nền đàn hồi. Dưới đây sẽ trình bày một số giả thuyết rất cơ bản về nền.
Giả thuyết 1:
A MA
VA
HA B
a) b)
Hình 9-1
P q
200
Phản lực nền phân bố theo luật bậc nhất dọc theo chiều dài của dầm.
Theo giả thuyết này người ta cho rằng phản lực p của nền lên dầm phân bố đều theo bề rộng b của dầm (vì bề rộng b là rất nhỏ so với chiều dài l của dầm) và phân bố theo luật bậc nhất dọc theo suốt chiều dài của dầm, tức là:
p(z) = a.z + c (9.1)
Trên hình 9-2 mô tả qui luật phân bố của phản lực nền theo giả thuyết này, trong đó a và c là các hằng số được xác định từ các phương trình cân bằng . Theo giả thuyết này khi đã biết được các hằng số a và c thì ta hoàn toàn có thể xác định được nội lực và chuyển vị của dầm, có nghĩa là theo giả thuyết này dầm trên nền đàn hồi được tính toán dễ dàng như một dầm tĩnh định đơn giản.
Rõ ràng rằng giả thuyết này là quá thô sơ vì bất luận độ cứng của dầm ra sao và tính chất đàn hồi của nền như thế nào thì nó đều cho rằng phản lực của nền đều là hàm bậc nhất dọc theo chiều dài của dầm. Do tính quá thô sơ như vậy nên các kết quả tính toán dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết này gần như không phù hợp với thực tế. Chỉ trong trường hợp dầm có độ cứng rất lớn được đặt trên nền rất mềm (hoặc trên nền phao) thì giả thuyết này mới cho kết quả tương đối phù hợp. Do vậy hiện tại giả thuyết này không được sử dụng mà nó chỉ mang ý nghĩa lịch sử mà thôi.
Giả thuyết 2: Giả thuyết Winkler ( Vin-cơ-le 1867):
Cường độ phản lực của nền tại mỗi điểm tỷ lệ với độ lún của nền hay độ võng của dầm tại chính điểm đó.
Nếu gọi y(z) là độ lún của nền hay độ võng của dầm tại điểm bất kỳ có toạ độ z, ko là hệ số nền và p(z) là phản lực của nền tại chính điểm đó, thì theo giả thuyết Winkler giữa chúng có mối liên hệ như sau:
P(z) = ko.y(z) (9.2)
Nếu bề rộng b của dầm rất nhỏ so với chiều dài l của dầm thì ta có thể xem rằng phản lực nền phân bố đều theo bề rộng b và chỉ biến thiên theo trục dầm z nên theo (9.2) có thể viết:
p(z) = k . y(z) (9.3)
trong đó : k = ko.b (9.4)
Trong các công thức trên ko và k được gọi là hệ số nền.
P q
PMax PMin
y
z
P=a.z+c
l
z
Hình 9-2
201
Chú ý:
• Đối với móng các trạm bơm, móng các cống (hình 9-3a) v.v thường thoả mãn tính chất của bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi, để cho tính toán được đơn giản hơn người ta thường cắt ra một giải có bề rộng b = 1m (hình 9-3b) để tính toán như một dầm trên nền đàn hồi.
• Hệ số nền ko hoặc k là một đặc trưng cơ học rất quan trọng của nền (có đơn vị là kN/m3, MN/m3,...). Với mỗi loại nền khác nhau hệ số nền k phải được xác định chính xác bằng thực nghiệm hiện trường (khoan nền để lấy mẫu và phân tích), dùng bàn nén tại hiện trường hoặc có thể lấy gần đúng bằng cách tra bảng đã có sẵn dưới đây:
Bảng 9-1 : Hệ số nền ko
Đặc tính chung của nền Tên đất nền Hệ số nền ko(MN/m3)
Đất có độ chặt kém Đất chảy
Đất mới đắp
Đất sét ướt và mềm nhão
1 ÷ 5
Đất có độ chặt trung bình Sỏi đắp (nhân tạo)
Đất sét ẩm
5 ÷ 10
Đất chặt
Cát đầm chặt
Sạn, sỏi
Đá dăm
Đất sét có độ ẩm bé
50 ÷ 100
Đất rất chặt Đất sét pha cát đầm kỹ
Đất sét cứng
100 ÷ 200
Nền cứng Đá mềm có vết nứt
Đá vôi
Đá đá sa thạch
200 ÷ 1000
Nền rất cứng Đá rất rắn 1000 ÷ 15000
Nền nhân tạo Nền cọc 50 ÷ 150
Nền từ vật liệu xây dựng Gạch
Đá xây
Bê tông và bê tông cốt
4000 ÷ 5000
5000 ÷ 6000
202
thép 8000 ÷ 15000
Giả thuyết Winkler là một giả thuyết rất nổi tiếng, nó có ưu việt hơn hẳn giả thuyết thứ nhất ở chỗ đã xét đến sự làm việc tương tác giữa dầm và nền, đã coi phản lực của nền tại một điểm là một đại lượng có liên quan chặt chẽ đến độ cứng (độ võng) của dầm và tính chất cơ học của nền (hệ số nền ko). Vì vậy kết quả tính toán dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết này cho kết quả khá phù hợp với thực tế, nhất là trong trường hợp nền là lớp đất mềm và tương đối mỏng nằm phía trên của lớp đá cứng.
Nền theo giả thuyết Winkler (gọi tắt là nền Winkler) là loại nền lún cục bộ, nghĩa là độ lún của nền chỉ xảy ra tại các điểm nằm phía dưới của dầm nên có thể mô tả nền như một hệ thống gồm vô số lò xo độc lập đặt thẳng đứng sát với nhau (hình 9-4.a). Nói cách khác mô hình nền Winkler mới chỉ xét đến tính đàn hồi của nền theo một phương (phương thẳng đứng) mà thôi. Thực tế chỉ ra rằng nền không chỉ bị lún trong phạm vị dưới đáy dầm mà còn bị lún ngoài phạm vi của đáy dầm nữa (hình 9- 4.b), có nghĩa là nền không chỉ có tính đàn hồi theo phương thẳng đứng mà còn có tính đàn hồi theo phương ngang và theo nhiều phương nữa. Điều này nói lên rằng phản lực của nền tại mỗi điểm không những phụ thuộc vào độ lún của nền tại chính điểm đó mà còn phụ thuộc vào độ lún của các điểm lân cận nó nữa. Tóm lại việc sử dụng nền Winkler để tính toán dầm và các kết cấu trên nền đàn hồi nói chung là đơn giản nhưng lại cho kết quả có độ chính xác khá cao. Chính vì vậy hiện nay nó đã và đang được áp dụng rộng
1m
Nền
Hình 9-3
a)
b)
Hình 9-4
a) b)
203
rãi ở nhiều nước trên thế giới, nhất là ở Mỹ và các nước Tây Âu. Để khắc phục được một số tồn tại đã nêu ở trên của giả thuyết này, hiện nay người ta đã mở rộng giả thuyết Winkler sang mô hình nền có hai hệ số (hệ số theo phương thẳng đứng và phương ngang – nền Paschernak), và một số mô hình nền khác. Đồng thời trong tính toán độ lún người ta còn chú ý xét đến ảnh hưởng của tải trọng bên.
Giả thuyết 3:
Nền được coi là một nửa không gian vô hạn đàn hồi đồng chất và đẳng hướng.
Trên cơ sở của giả thuyết này, môn Lý thuyết đàn hồi đã lập ra các lời giải khá dài và phức tạp, có thể áp dụng để tính toán dầm và các kết cấu trên nền đàn hồi. Lời giải của Lý thuyết đàn hồi cho thấy lực đặt tại một điểm bất kỳ trên nền không những gây ra độ lún tại chính điểm đó mà còn gây ra độ lún của các điểm xung quanh nó với độ lớn giảm dần theo khoảng cách đến điểm đặt lực. Theo quan điểm này ta có thể xét ảnh hưởng của tải trọng bên đến độ lún của dầm đang khảo sát. Hình 9-5 là sơ đồ tính toán bản đáy của một cống lấy nước. Tải trọng tác dụng lên cống ngoài trọng lượng bản thân, trọng lượng và áp lực nước ta còn xét đến ảnh hưởng theo phương thẳng đứng và phương ngang của lớp đất đắp hai bên mang cống.
Trong thực tế hầu như ta không gặp các loại nền hoàn toàn đồng chất và đẳng hướng. Theo kết quả khoan thăm dò địa chất rất nhiều nền công trình thì thấy rằng các nền được cấu tạo bởi rất nhiều lớp, mỗi lớp có tính chất cơ lý khác nhau. Do vậy, việc tính toán các kết cấu trên nền theo giả thuyết nền bán không gian vô hạn đàn hồi, đồng chất và đẳng hướng thường không cho kết quả phù hợp với thực tế. Để khắc phục nhược điểm này người ta đã đưa ra mô hình nền nhiều lớp, trong đó mỗi lớp là một môi trường đồng chất và đẳng hướng, và sử dụng các phương pháp số (phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn) để tính toán các kết cấu trên nền.
Tóm lại, mỗi giả thuyết về nền cũng chỉ cho kết quả phù hợp trong một số trường hợp nhất định, chính vì vậy dầm trên nền đàn hồi nói riêng và các kết cấu trên nền đàn
Đất đắp
Đất gốc Đất gốc
a)
b)
Hình 9-5
204
hồi nói chung vẫn là một vấn đề đang đòi hỏi các nhà cơ học phải tiếp tục quan tâm nghiên cứu.
Dưới đây sẽ trình bày cách tính dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết Winkler, lời giải nhận được khá đơn giản nhưng rất có hiệu quả và hiện nay đang được nhiều nước trên thế giới áp dụng.
9.2. Tính dầm trên nền đàn hồi theo giả thuyết Winkler
9.2.1. Phương trình vi phân của dầm trên nền đàn hồi Xét một đoạn dầm có độ cứng EJ không đổi đặt trên
nền đàn hồi và chịu tải trọng phân bố dọc theo trục dầm q(z) như trên hình 9-6. Giả thiết rằng khi chịu lực dầm và nền không bong tách khỏi nhau, có nghĩa là độ võng của dầm luôn luôn bằng với độ lún của nền tại mọi điểm. Gọi y(z) là độ võng của dầm hay độ lún của nền tại mặt cắt bất kỳ có hoành độ z, theo Winkler ta có phản lực của nền là:
)z(y.k)z(p = (a)
Theo chiều hệ toạ độ đã chọn trên hình 9-6, ta qui ước dấu của các đại lượng như sau: y(z) là dương khi dầm hay nền bị lún xuống phía dưới, còn tải trọng phân bố q(z) và phản lực nền p(z) là dương khi có chiều từ dưới hướng lên phía trên. Nếu gọi )z(q là tổng cường độ của lực phân bố tác dụng lên dầm tại mặt cắt z thì ta có thể viết :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )zkyzqzpzqzq +=+= (b)
Giả sử rằng trong quá trình bị uốn vật liệu của dầm vẫn làm việc trong giới hạn đàn hồi nên ta có thể áp dụng phương trình vi phân quen thuộc đã được thiết lập ở chương 9 cho bài toán này như sau:
EJM
dz)z(yd
2
2
−= (c)
Đạo hàm tiếp hai lần phương trình (c) ta sẽ được:
)](.)([1)(.1.1)()( 2
2
4
4
zykzqEJ
zqEJdz
MdEJdz
zydzy IV +−=−=−== (d)
Chuyển vế (d) ta được phương trình sau:
EJ)z(q)z(y.
EJk)z(yIV −=+ (e)
Nếu đặt:
,m4EJk 4= hay 4
EJ4km = (9.5)
z q(z)
p(z)
z
y
O
Hình 9‐6
205
thì ta sẽ có phương trình vi phân trục võng của dầm trên nền đàn hồi mhư sau:
EJ)z(q)z(y.m4)z(y 4IV −=+ (9.6)
Chú ý rằng (9.6) là phương trình vi phân cấp 4 không thuần nhất, trong đó m là một hệ số đặc trưng của dầm trên nền đàn hồi, nó phụ thuộc vào cả độ cứng EJ của dầm và tính chất đàn hồi (hệ số ko) của mỗi loại nền khác nhau. Hệ số m có thứ nguyên là :
[m]= 1]dµichiÒu[]dµichiÒu[
1 −=
và có đơn vị là : m-1 , cm-1 .
9.2.2. Lời giải tổng quát của bài toán dầm trên nền đàn hồi Nghiệm y(z) của phương trình vi phân cấp 4 không thuần nhất (9.6) sẽ bằng tổng
của nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng:
0)z(y.m4)z(y 4IV =+ (9.7)
và một nghiệm riêng )(zy của phương trình vi phân không thuần nhất (9.6).
Trong đó:
• Phương trình đặc tính của phương trình vi phân thuần nhất (9.7):
0m4r 44 =+
sẽ có 4 nghiệm là :
r1= m+im r2 = m-im
r3 = -m+im r4 = -m-im
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất (9.7) là: imm
4imm
3imm
2imm
1o eAeAeAeA)z(y −−+−−+ +++= (9.8)
Trong đó : A1, A2, A3, A4 là các hằng số tích phân sẽ đựơc xác định tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể.
• Trong trường hợp tải trọng phân bố q(z) có dạng hằng số hoặc bậc nhất thì nghiệm riêng )z(y của phương trình vi phân không thuần nhất (9.6) có thể chọn:
k)z(q)z(y1 −= (9.9)
Cuối cùng nghiệm y(z) của của phương trình vi phân không thuần nhất (9.6) là:
k)z(qeAeAeAeA)z(y imm
4imm
3imm
2imm
1 −+++= −−+−−+ (9.10)
Nghiệm (9.10) có thể biến đổi về dạng hàm lượng giác như sau:
206
k)z(q)simzCmzcosC(e)mzsinCmzcosC(e)z(y 43
mz21
mz −+++= − (9.11)
Như vậy theo (9.11) ta có được phương trình trục võng của dầm trên nền đàn hồi. Đạo hàm một lần (9.11) ta sẽ nhận được phương trình góc xoay của trục võng. Tiếp tục đạo hàm lần thứ hai và thứ ba ta sẽ nhận được phương trình biểu thị mô men uốn và lực cắt dọc theo trục dầm dưới dạng:
( ) ( )z'EJy'zM −=
và ( ) ( )z''EJy'zQ −=
Chú ý rằng các hằng số C1, C2, C3, C4 trong (9.11) cũng tương tự như các hằng số A1, A2, A3, A4 đã nói ở trên sẽ được xác định tuỳ thuộc vào các bài toán cụ thể.
Dưới đây ta sẽ áp dụng lời giải tổng quát (9.11) vào một số bài toán thường gặp trong thực tế.
9.3. Bài toán dầm dài vô hạn Xét một dầm được giả thiết là dài vô hạn đặt trên nền đàn hồi, chịu một lực tập
trung P như trên hình 9-7a. Vì dầm dài vô hạn nên có thể xem rằng lực P nằm trên trục đối xứng y của dầm.
Chọn gốc O của hệ trục toạ độ trùng với điểm đặt lực P như hình 9.7. Áp dụng lời giải tổng quát (9.11) đã có vào bài toán này và chú ý tới q(z) = 0, ta có phương trình trục võng của dầm là:
mz mz1 2 3 4y(z) e (C cos mz C sin mz) e (C cos mz C sin mz)−= + + + (9.12)
Để xác định các hằng số C1, C2, C3, C4 ta dựa vào các điều kiện biên sau đây:
• Tại mặt cắt cuối của dầm với +∞=z thì độ võng của dầm tại đó bằng không, nghĩa là:
0y z =+∞= (a)
Từ (a) rút ra:
C1 = C2 = 0 (b)
và phương trình (9.12) được viết lại là: mz
3 4y(z) e (C cos mz C sin mz)−= + (9.13)
Từ phương trình trục võng (9.12), có thể suy ra phương trình góc xoay, mô men uốn và lực cắt của dầm như sau:
]mzsin)CC(mzcos)CC[(e)z(y)z( 4343mz, +−−==θ − (9.14)
)mzcosC2mzsinC2(eEJm)z(y.EJ)z(M 43mz2,, −−=−= − (9.15)
207
]mzsin)CC(2mzcos)CC(2[eEJm)z(M)z(Q 3443mz3, −++−== − (9.16)
Ta có thể nhận thấy rằng do tính chất đối xứng của dầm và tải trọng nên biểu đồ độ võng y(z) và biểu đồ mô men uốn M(z) sẽ đối xứng, còn biểu đồ góc xoay )z(θ và biểu đồ lực cắt Q(z) sẽ phản đối xứng qua trục đối xứng y của dầm. Do vậy ta chỉ cần xét cho nửa dầm phía bên phải rồi suy ra cho nửa bên trái.
• Do tính chất đối xứng của dầm và tải trọng nên góc xoay tại gốc toạ độ O nằm trên trục đối xứng của dầm phải bằng không, nghĩa là:
00z =θ = (c)
Từ (c) rút ra:
C3 - C4 = 0
hay C3 = C4 (d)
• Tách ra một đoạn dầm rất ngắn giới hạn bởi mặt cắt lân cận trái và lân cận phải của mặt cắt đi qua gốc toạ độ như trên hình 9-8. Để thỏa mãn điều kiện cân bằng thì trị số lực cắt tại mặt cắt bên trái và bên phải điểm O phải bằng P/2 và có chiều đi lên, nghĩa là tại mặt cắt bên phải điểm O ta có:
z
y
dz
P
2
PQ i¸tr =
2
PQ i¶ph −=
Hình 9-8
P
m43π
k2Pm
mπ
mπ
m4π
m2π2
P m4P
2P
+-
+
+
+
-
y
θ
M
Q
Hình 9-7
b)
c)
d)
a)
e) -
208
2
PQ 0z −== (e)
Từ (e) rút ra:
2P)CC(EJm2 43
3 −=+− (f)
Từ (d) và (f) rút ra:
k2Pm
EJm8PCC 343 === (g)
Thay các hằng số C3 và C4 từ (g) vào (9.12) đến (9.15) và chú ý đặt: mz
mz1
mz2
mz3
e (cos mz sin mz)e (cos mz sin mz)
e cos mz
e sin mz
−
−
−
−
⎧η = +⎪
η = −⎪⎨
η =⎪⎪η =⎩
(9.17)
thì phương trình độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt của dầm là:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
η−=η=
η−=θη=
2;1
3
2
2P)z(Q
m4P)z(M
kPm)z(;
k2Pm)z(y
(9.18)
(chú ý: các hàm số 321 ,,, ηηηη có thể tính trực tiếp bằng máy tính hoặc tra bảng trong phụ lục 1 ở cuối giáo trình).
Các biểu đồ biểu diễn độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt của dầm theo lời giải (9.18) được vẽ trên hình 9-7 b,c,d,e). Từ các biểu đồ này ta đưa ra các nhận xét sau đây:
1. Tại mặt cắt đặt lực tập trung P thì độ võng, mô men uốn và lực cắt đạt giá trị cực đại bằng:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
2PQ
m4PM
k2Pmy
max
max
max
(9.19)
2. Các biểu đồ trên hìmh 9-7 đều có dạng tuần hoàn tắt dần theo z với chu kỳ
.m
2T
π= Thật vậy, tại mặt cắt cách gốc toạ độ O một nửa chu kỳ
mz π
= thì độ võng chỉ
209
còn bằng 4% độ võng lớn nhất, tại mặt cắt cách gốc toạ độ O một chu kỳ m2z π
= thì
độ võng chỉ còn bằng 0,2% độ võng lớn nhất và có thể coi như bằng không.
Từ đây ta rút ra kết luận rằng dầm được coi là dài vô hạn nếu khoảng cách từ điểm dặt lực P đến các đầu mút của dầm lớn hơn
m
2π như trên hình 9-9. Nếu không thoả mãn
thì dầm được coi là dài hữu hạn và sẽ được nghiên cứu sau.
Chú ý:
1) Khi tính toán dầm chịu nhiều lực tập trung ta có thể sử dụng nguyên lý cộng tác dụng, nhưng để ý rằng khi áp dụng công thức (9.18) ta phải chọn gốc toạ độ tại điểm đặt lực đối với mỗi lực tập trung.
2) Khi dầm chịu tải trọng phân bố trước khi áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta phải chia khoảng trên đó có lực phân bố tác dụng thành nhiều các khoảng nhỏ và thay thế các lực phân bố trên từng khoảng nhỏ này bằng hợp lực bằng tải trọng tập trung tương đương và lại tính toán theo quy tắc ở chú ý 1).
Ví dụ 9-1: Cho một dầm có chiều dài 16m đặt trên nền đàn hồi, chịu 4 lực tập trung P1, P2, P3 và P4 mỗi lực có trị số bằng 200 kN như trên hình 9-10. Hãy tính độ võng và mô men uốn tại mặt cắt B của dầm, biết dầm có mặt cắt hình chữ nhật với kích thước b = 60cm, h = 20cm, mô đun đàn hồi E = 2.107 kN/m2. Nền có hệ số ko= 80 MN/m3.
Bài giải:
* Bước 1 : Phân tích các số liệu về dầm:
- Mô men quán tính của mặt cắt:
)m(10.412
)10.2(10.6
12
h.bJ 44
3113−
−−
===
- Hằng số k: k = ko. b = 8.104. 6.10-1= 4,8.104 (kN/m2)
- Tính hệ số m: )m(1,110.4.10.2.4
10.8,4
EJ4
km 14
47
44 −
−===
- Tính chu kỳ T: )m(7,51,1
14,3.2
m
2T ==
π=
So sánh và thấy a > T và b>T, nên dầm đã cho thuộc loại dài vô hạn.
* Bước 2: Tính các giá trị đề bài yêu cầu:
Pm
2a
π≥
m
2b
π≥
l
Hình 9-9
P
1m
Hình 9-10
1m 1m a=7m b=6m A B C D
P P P
210
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính độ võng và mô men uốn tại mặt cắt B như sau:
- Độ võng tại B:
)P(y)P(y)P(y)P(y)P,P,P,P(y 4B3B2B1B4321B +++= (a)
- Mô men uốn tại B:
)P(M)P(M)P(M)P(M)P,P,P,P(M 4B3B2B1B4321B +++= (b)
Sử dụng công thức (9-18) để tính độ võng và mô men uốn tại mặt cắt B do 4 lực P1, P2, P3 và P4 lần lượt đặt tại 4 điểm A, B, C, D gây ra. Trong tính toán cần chú ý đến toạ độ của B đối với các gốc toạ độ lần lượt là A, B, C, D của 4 bài toán riêng biệt. Các trị số 1BB ,,mz,z ηη lần lượt đối với 4 lực P1, P2, P3 và P4 được cho trong bảng dưới đây:
Tên các lực tập trung P1 P2 P3 P4
Toạ độ điểm B (zB) +1,0 (m) 0,0 (m) -1,0 (m) -2,0 (m)
mz 1,1 0,0 -1,1 -2,2
η 0,4476 1,0 0,4476 0,0244
η1 -0,1457 1,0 -0,1457 -0,1548
Vậy:
∑ ==++=η= )mm(1,7)m(0071,0)0244,00,14476,0.2(10.8,4.2
1,1.200
k2
Pmy
4B
∑ =−++−=η= )kNm(6,25)]1548,0(0,1)1457,0.(2[1,1.4
200
m4
PM 1B
9.4. Bài toán dầm dài bán vô hạn Xét một dầm đặt trên nền đàn hồi, một
đầu chịu lực tập trung Po và mô men tập trung Mo còn đầu kia xem như dài vô hạn như trên hình 9-11. Ta gọi đây là dầm dài bán vô hạn. Chọn hệ trục toạ độ zoy có gốc O trùng với vị trí đặt lực. Áp dụng lời giải tổng quát dưới dạng đã rút gọn (9.16) cho bài toán này, trong đó 2 hằng số tích phân C3 và C4 được xác định từ 2 điều kiện biên sau đây:
o0z MM +==
o0z PQ −==
Rút ra:
Po
Mo
O z
y
Hình 9-11
211
o42 M)C2(EJm =−− (a)
o433 P)]CC(2[EJm −=+− (b)
Từ (a) và (b) giải ra:
2o
43oo
3 EJm2M
C;EJm2
mMPC =
−= (c)
Thay các hằng số vừa tìm được vào (9.16) ta được phương trình của trục võng, tiếp tục suy ra phương trình của góc xoay, mô men uốn và lực cắt như sau:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
η−η−=
η+η−=
η+η−=θ
η−η=
)mM2P)z(Q
)mMP(m1)z(M
)mM2P(km2)z(
)mMP(km2)z(y
3o1o
o3o
2oo
2
1o2o
(9.20)
9.5. Bài toán dầm dài hữu hạn Những dầm không thuộc loại dài vô hạn, hoặc dài bán vô hạn như đã nói trên sẽ
được xem là dầm dài hữu hạn.
Xét một dầm thuộc loại dài hữu hạn có độ cứng EJ không đổi đặt trên nền đàn hồi như trên hình 9-12. Giả sử dầm gồm có n đoạn, ký hiệu là 1, 2, 3,..., i, i+1,...,n. Xét hai đoạn i và i+1 kề liền nhau, tải trọng phân bố q(z) trên 2 đoạn dầm ký hiệu là qi(z) và qi+1(z) có dạng hằng số hoặc bậc nhất. Tại điểm nối đoạn i và i+1 có hoành độ z = a, có đặt lực tập trung Pa và mô men tập trung Ma, có cấu tạo để dầm có bước nhảy độ võng ayΔ và bước nhảy góc xoay Δθa. Tương tự như phương pháp thông số ban đầu đã biết, ta có thể biểu diễn độ võng và tải trọng của đoạn thứ i+1 theo đoạn thứ i như sau:
)z(yΔ+)z(y=)z(y i1+i (9.21)
)z(qΔ+)z(q=)z(q i1+i (9.22)
trong đó: Δy(z) và Δq(z) là bước nhảy của độ võng và của tải trọng phân bố tại hoành độ
z > a và là hàm của (z – a).
Bây giờ ta viết phương trình vi phân trục võng cho đoạn thứ i và thứ i+1:
Pa Ma
z
A
Hình 9-12
a
z > a
Δq(z) qi(z)
Δy(z)
yi(z) yi+1(z)Δθa
Δya
212
+ Đoạn thứ i: EJ
)z(qym4)z(y i)z(i
4IVi −=+ (9.23)
+ Đoạn thứ i+1: EJ
zqymzy i
ziIVi
)(4)( 1
)(14
1+
++ −=+ (9.24)
Thay )z(y 1i+ từ (9.21) cùng đạo hàm cấp 4 của nó và )z(q 1i+ theo (9.22) vào (9.24) ta được:
IV IV ii i
q (z) q(z)[y (z) y (z a)] 4m[y (z) y(z a)]EJ+ Δ
+ Δ − + + Δ − = − (9.24*)
Thực hiện phép trừ giữa 2 phương trình (9.24*) với (9.23) ta được:
IV 4 q(z)y (z) 4m y(z a)EJ
ΔΔ + Δ − = − (9.25)
Nhận xét: Phương trình (9.25) chính là phương trình vi phân cấp 4 của bước nhảy độ võng của dầm tại hoành độ z > a. Nó có dạng hoàn toàn giống với phương trình vi phân trục võng của dầm (9.6), do vậy có thể viết nghiệm của (9.25) là:
m(z a)1 2
m(z a)3 4
y(z) e [C cos m(z a) C sin m(z a)]q(z a)e [C cos m(z a) C sin m(z a)]
k
−
− −
Δ = − + −Δ −
+ − + − − (9.26)
Từ (9.26) thực hiện thêm các bước sau đây:
1. Khai triển Taylor bước nhảy )z(qΔ tại hoành độ z = a ta được: ,
a aq(z) q q (z a)Δ = Δ + Δ − (9.27)
Trong đó: ,aa q,q ΔΔ là bước nhảy của cường độ tải trọng phân bố và đạo hàm của
nó tại hoành độ z = a.
2. Đưa vào (9.26) một số hàm Hypecbolic ký hiệu như sau:
Am(z-a) = chm(z-a). cosm(z-a)
Bm(z-a) =21 [cosm(z-a).shm(z-a)+sinm(z-a).chm(z-a)] (9.28)
Cm(z-a) =21 shm(z-a).sinm(z-a)
Dm(z-a) =41 [sinm(z-a).chm(z-a)-cosm(z-a).shm(z-a)]
Bây giờ ta có thể viết lại (9.26) như sau:
Δy(z-a) = H1Am(z-a) + H2Bm(z-a) + H3Cm(z-a) + H4Dm(z-a) -
- )]az(qq[k
1 ,aa −Δ+Δ (9.29)
213
Từ đây tiếp tục đạo hàm ta nhận được phương trình bước nhảy góc xoay, bước nhảy mô men uốn và lực cắt như sau:
=−θΔ )az( - 4H1Dm(z-a)+ mH2Am(z-a)+ mH3Bm(z-a)+ mH4Cm(z-a) ,aq
k1
Δ−
)az(yEJ)az(M ,, −Δ−=−Δ = 4EJm2H1Cm(z-a) + 4EJm2H2Dm(z-a) -
- EJm2H3Am(z-a) -- EJm2H4Bm(z-a) (9.30)
)az(M)az(Q , −Δ=−Δ = 4EJm3H1Bm(z-a)+ 4EJm3H2Cm(z-a) +
+ 4EJm3H3 D m(z-a)- EJmH4Am(z-a)
* Chú ý rằng các đại lượng trong công thức (9.29) có ý nghĩa như sau:
1. Các hàm A, B, C, D có đối số là m(z-a) có tên gọi là hàm Krưlốp. Giá trị các hàm Krưlốp có thể tính trực tiếp theo( 9.28) hoặc tra bảng phụ lục 2 ở cuối giáo trình này. Lưu ý rằng các hàm Krưlốp có một số tính chất đặc biệt như sau:
• Từ (9.28) suy ra rằng khi đối số m(z-a) = 0 thì chỉ hàm A có giá trị bằng 1, còn lại các hàm B, C, D đều có giá trị bằng không.
• Từ (9.28) thấy rằng các hàm A, B, C, D có tính chất hoán vị vòng quanh theo sơ đồ trên hình 9-13.
2. Các hằng số H1, H2, H3, H4 được xác định từ liên hệ giữa các chuyển vị và nội lực tại vị trí nối tiếp giữa 2 đoạn như sau:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=Δ=Δ
=Δ=Δ
θΔ=θΔ
Δ=Δ
=
=
=
=
aaaz
aaaz
aaz
aaz
PQQ
MMM
yy
A
C
BD
-4m m
m m
Hình 9-13
A = -4m D
D = m C
C = m B
214
Giải ra được
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ+θΔ=
Δ+Δ=
3a
4
2a
3
,aa2
aa1
EJmP
H
EJmM
H
qk1
m1H
qk1yH
Thay các hằng số vừa tìm được vào (9.29) và (9.30), từ đó viết các phương trình của độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt của đoạn thứ i+1 như sau:
+=+ )z(y)z(y i1i ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+Δkq
y aa Am(z-a)+ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+
θΔmkq
m
,aa Bm(z-a)
2a
EJmM
− Cm(z-a) 3a
EJmP
− Dm(z-a) - )]az(qq[k
1 ,aa −Δ+Δ (9.31)
+θ=θ + )z()z( i1i ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+θΔ
kq,
aa Am(z-a)
EJmMa− Bm(z-a)
2a
EJmP
− Cm(z-a)- 4m ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+Δkq
y aa Dm(z-a)
k
q,aΔ
− (9.32)
+=+ )z(M)z(M i1i Ma.Am(z-a)+mPa Bm(z-a)+ )qyk(
m1
aa2 Δ+Δ Cm(z-a)
)qk(m1 ,
aa3 Δ+θΔ+ Dm(z-a) (9.33)
+=+ )()(1 zQzQ ii Pa Am(z-a)+ )(1 qy aak
mΔ+Δ Bm(z-a)
)qk(m1 ,
aa2 Δ+θΔ+ Cm(z-a) - 4mMa Dm(z-a) (9.34)
Chú ý : trong các phương trình từ (9.31) đến (9.34) :
1. Các đại lượng Δya, Δθa, ΔMa(Ma), ΔQa(Pa), Δqa, Δq’a là các bước nhảy của chuyển vị, nội lực, tải trọng và đạo hàm của tải trọng tại hoành độ z = a (đầu đoạn thứ i+1).
2. Các phương trình trên đều có dạng công thức truy hồi, do vậy muốn sử dụng được chúng ta tìm cách viết các phương trình trên cho đoạn thứ nhất bằng cách tưởng tưởng thêm đoạn thứ “không” đứng trước nó (đoạn không có chuyển vị). Gọi các thông số tại đầu đoạn thứ nhất tại z = 0 là : yo, θo, Mo, Po, qo, q’o , ta có thể viết các phương trình chuyển vị và nội lực cho đoạn thứ nhất như sau:
215
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
kq
y)z(y oo1 Amz + ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
θkmq
m
,oo Bmz 2
o
EJmM
− Cmz 3o
EJmP
− Dmzk
z.qq ,oo+− (9.35)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+θ=θ
kq
)z(,o
o1 AmzEJmMo− Bmz 2
o
EJmP
− Cmz ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
kq
ym4 oo Dmz
kq,
o− (9.36)
M1(z) = MoAmzmpo+ Bmz )qky(
m1
oo2 ++ Cmz ( ),oo3 qk
m1
+θ+ Dmz (9.37)
Q1(z) = PoAmz )qky(m1
oo ++ Bmz )qk(m1 ,
oo2 +θ+ Cmz - 4mMoDmz (9.38)
Chú ý : các thông số yo, θo, Mo, Qo, qo, q’o và Δya, Δθa, ΔMa, ΔQa, Δqa, Δq’a đa số đã biết, chỉ có yo, θo là chưa biết và chúng sẽ được xác định dựa vào điều kiện mô men uốn và lực cắt đã biết tại đầu cuối của dầm.
Ví dụ 9-2:
Cho một dầm dài 12m, đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền ko= 60 MN/m3. Biết dầm mặt cắt hình chữ nhật có b = 1,0 m và h = 0,8 m, dầm chịu các tải trọng q = 20kN/m; P = 300kN; M = 90kNm. Mô đun đàn hồi của dầm E = 1.107 kN/m2 (hình 9-14).
Yêu cầu: Vẽ biểu đồ mô men uốn M và biểu đồ lực cắt Q cho dầm.
Bài giải:
• Bước 1: Xác định các đặc trưng của dầm và nền:
- Mô men quán tính: )cm(4266000)m(04266,012
)10.8.(112bhJ 44
313
====−
- Tính hệ số k: k = ko.b = 6.104 ×1,0 = 6.104 ( kN/m2).
- Tính hệ số m : )m(4332,004266,0.10.4
10.6EJ4km 14
7
44 −===
Suy ra: m2 = 0,1877; m3 = 0,0813; m4 = 0,0352 .
• Bước 2: Viết phương trình mô men uốn và lực cắt cho dầm
- Lập bảng thông số ban đầu cho các đoạn của dầm :
Bảng thông số ban đầu
Đoạn AB
( zA= 0 )
Đoạn BC
( zB = 4m )
Đoạn CD
( zC = 8m )
yo ≠ 0 ΔyB = 0 ΔyC = 0
θo ≠ 0 ΔθB = 0 ΔθC = 0
216
Mo = 0 ΔMB = -M ΔMC = 0 Po = - P ΔQB = 0 ΔQC = - P
qo = 0 ΔqB = -q ΔqC = 0
q,o =0 Δq’B = 0 Δq’C = 0
- Viết phương trình mô men uốn và lực cắt cho các đoạn dầm
Đoạn AB: mP)z(M1 −= Bmz 3
o
mky
+ Cmz 3o
mkθ
+ Dmz
Q1(z) = P Amz m
kyo+ Bmz 2o
mkθ
+ Cmz )40( ≤≤ z
Đoạn BC: M)z(M)z(M 12 −= Am(z-4) 2mq
− Cm(z-4)
mM4)z(Q)z(Q 12 += Dm(z-4)mq
− Bm(z-4) )84( ≤≤ z
Đoạn CD: mP)z(M)z(M 23 −= Bm(z-8)
P)z(Q)z(Q 23 −= Am(z-8) )128( ≤≤ z
- Tính các hệ số phụ:
a)
b)
c)
300
86.1 147,7
152,3
- -
+
+
- -
226,8 196
177,3
90
108
P M M q P
4m 4m 4m
Hình 9-14
Q
M
(kN)
(kNm)
217
43
4
3
42
4
2
44
10.8,734332,010.6
mk
10.0,324332,0
10.6mk
10.9,134332,010.6
mk
==
==
==
0,1074332,020
mq
2,464332,020
mq
0,6934332,0300
mP
22 ==
==
==
0,159904332,04mM4 =××=
- Tìm các thông số yovà θo từ điều kiện mô men uốn và lực cắt tại cuối dầm:
0Q z3 ==l
90MM z3 −=−==l (a)
Khai triển (a) ta được hệ 2 phương trình sau chứa các thông số yo và θo :
300 Aml + 13,9.104yoBml + 32,0.104oθ Cml + 159,0Dm(l-4)
+ 46,2 Bm(l-4) - 300 Am(l-8) = 0 (b)
- 693 Bml + 32,0.104yo Cml + 73,8.104oθ Dml - 90Am(l-4)
- 107,0 Cm(l-4) - 693,0 Bm(l-8) =- 90
Tính trực tiếp hoặc tra bảng các hàm Krưlốp với trị số các đối số là:
ml = 0,4432.12 = 5,2
m(l- 4) = 0,4432.(12-4) = 3,47
m(l- 8) = 0,4432.(12-8) = 1,73
Ta được giá trị hàm Krưlốp, thay vào (b), kết quả giải ra được:
yo = 4,32. 10-3 (m )
θo = - 17,18.10- 4 (Rad) (c)
Với các giá trị yovà θo vừa tìm được ta viết được phương trình cuối cùng của mô men uốn và lực cắt trong các đoạnn dầm như sau:
+ Đoạn AB: )40( ≤≤ z
M1(z) = 693Bmz + 1352Cmz - 1312 Dmz
Q1(z) = -300Amz + 587,3Bmz - 569Cmz (d)
+ Đoạn BC: )84( ≤≤ z
M2(z) = M1(z) - 90Am(z-4) - 107Cm(z-4)
Q2(z) = Q1(z) +159 Dm(z-4) - 46,2Bm(z-4) (e)
218
+ Đoạn CD: )128( ≤≤ z
M3(z) = M2(z) - 693Bm(z-8)
Q3(z) = Q2(z) - 300 Am(z-8) (f)
• Bước 3: Vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt.
Chia dầm bằng 13 mặt cắt cách đều nhau 1m. Tính giá trị các hàm Krưlốp ứng với các giá trị của đối số mz, m(z-4), m(z-8) và tính được giá trị của mô men uốn và lực cắt trên 13 mặt cắt tương ứng với các giá trị z = 0,1,2,...,12. Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn với các giá trị đã tính được như trên hình 9-14b,c.
BÀI TẬP 9.1. Hai dầm thép chữ I số 30 đặt trên nền đất chặt có hệ số nền k0=100MN/cm2 chịu tác dụng của xe ô tô tiêu chuẩn H30, trọng lượng các trục xe ghi trên hình 9-1B.
Tính độ võng và mô men uốn của dầm ở các mặt cắt A, B và C. Coi như dầm dài vô hạn.
9.2. Một dầm dài vô hạn đặt trên nền đàn hồi chịu lực như hình 9-2B. Tính ứng suất
pháp lớn nhất tại mặt cắt A. Cho biết hệ số dầm nền 1cm241m −= , mô men uốn của mặt
cắt ngang của dầm Wx=180 cm3.
9.3. Một dầm dài vô hạn đặt trên nền đàn hồi chịu lực như hình 9-3B. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại mặt cắt A.
Cho biết: m = 1/20cm-1, Wx = 200cm3.
9.4. Viết biểu thức độ võng và mô men uốn ở điểm giữa C của một dầm có gối cứng ở hai đầu, đặt trên nền đàn hồi và chịu tải trọng phân bố đều như trên hình 9-4B.
6m 1,6m
60 kN 120 kN 120 kN
Hình 9-1B
Ab 146 cm 146 cm 143 cm 143 cm
85 kN 85 kN 87 kN 87 kN 90 kN
Hình 9-2B
2m 1m 5m
P1=80kN q=2000 kN/m P2=90kN
Hình 9-3B
l
q
C
Hình 9-4B
219
9.5. Viết các thông số ban đầu của các dầm đặt trên nền đàn hồi cho trên hình 9-5B. Viết các điều kiện biên để xác định các thông số ban đầu chưa biết.
9.6. Thành lập biểu thức của lực cắt, mô men uốn, góc quay và độ võng của dầm đặt trên nền đàn hồi cho trên hình 9-6B. Vẽ biểu đồ của các đại lượng đó. Cho hệ số dầm nền m = 0.0021cm-1.
Hình 9-6B
3m
P=10 kN q=10 kN/mM=3 kNm
2m2m
2m
P=2 kN q=2 kN/mM=5kNm
3m 3m
q=3 kN/m
3m 4m
Hình 9-5B
3m
P=2 kN q=3 kN/m M=5 kNm
4m
220
CHƯƠNG 10:TRƯỜNG HỢP CHỊU LỰC PHỨC TẠP
10.1. Khái niệm và phân loại bài toán Trong các chương trước đây ta mới chỉ nghiên cứu các thanh thẳng chịu lực đơn giản như
kéo (nén) đúng tâm, xoắn thuần tuý và uốn ngang phẳng. Đó là các trường hợp dưới tác dụng của ngoại lực trên các mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện một trong ba thành phần nội lực là: Nz, Mx (hoặc My) và Mz.
Trong thực tế, ta gặp nhiều các thanh thẳng chịu cả kéo (nén) và uốn (như hình 10-1a), chịu uốn và xoắn (hình 10-1b), chịu kéo (nén), uốn và xoắn đồng thời (hình 10-1c). Ta gọi đây là các trường hợp chịu lực phức tạp, có nghĩa là mỗi bài toán bao gồm 2 hay nhiều trường hợp chịu lực đơn giản đã nghiên cứu trước đây.
Đối với các bài toán chịu lực phức tạp, người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt mà chỉ xét đến ảnh hưởng của lực dọc Nz, mô men uốn Mx và My, mô men xoắn Mz.
Tuỳ thuộc vào sự có mặt các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang người ta phân chia ra các bài toán sau đây:
1. Bài toán uốn xiên: Khi trên các mặt cắt ngang tồn tại đồng thời mô men uốn Mx và mô men uốn My.
2. Bài toán uốn và kéo (nén) đồng thời (hay uốn + kéo, nén): Khi trên các mặt cắt ngang tồn tại đồng thời lực dọc Nz và các mô men uốn Mx, My ( hoặc Nz và Mx, hoặc Nz và My).
3. Bài toán uốn và xoắn đồng thời: Khi trên các mặt cắt ngang tồn tại đồng thời mô men xoắn Mz, và các mô men uốn Mx, My (hoặc Mz và Mx, hoặc Mz và My).
4. Bài toán chịu lực tổng quát: Khi trên các mặt cắt ngang tồn tại đồng thời lực dọc Nz, các mô men uốn Mx, My và mô men xoắn Mz.
Để nghiên cứu các bài toán chịu lực phức tạp chúng ta có thể áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng của các lực. Theo nguyên lý này, có thể xem kết quả của bài toán
x
z
P1
P2
x
yz
P
x
yz
P1
P2
a) b) c)
Hình 10-1
y
221
chịu lực phức tạp là tổng các kết quả của các bài toán chịu lực đơn giản như kéo (nén) đúng tâm, xoắn thuần tuý và uốn phẳng đã biết.
Dưới đây ta lần lượt đi sâu nghiên cứu từng bài toán cụ thể.
10.2. Bài toán uốn xiên
10.2.1. Định nghĩa và nhận dạng bài toán 1. Định nghĩa:
Một thanh được gọi là uốn xiên nếu trên các mặt cắt ngang của nó tồn tại đồng thời 2 thành phần nội lực là mô men uốn Mx và My (hình 10-2a).
Để tiện lợi cho tính toán, ta qui ước dấu các thành phần nội lực như sau: • Mô men uốn Mx mang dấu dương nếu nó làm căng phần phía dương của trục y
(hay gây ra ứng suất kéo ở miền có tung độ y là dương) như trên hình 10-2a và ngược lại sẽ mang dấu âm.
• Mô men uốn My mang dấu dương nếu nó làm căng phần phía dương của trục x (hay gây ra ứng suất kéo ở miền có hoành độ x là dương) như trên hình 10-2a và ngược lại sẽ mang dấu âm.
Các mô men uốn Mx và My cũng có thể biểu diễn dưới dạng véc tơ như trên hình 10-2b, chiều véc tơ mô men uốn xM và yM xác định theo qui tắc vặn nút chai. Khi đã biết các véc tơ mô men uốn xM và yM ta sẽ có véc tơ mô men tổng M là:
yx MMM += (10.1)
Ngược lại nếu đã biết véc tơ mô men tổng M lại suy ra được giá trị của các mô men uốn thành phần xM và yM là:
⎩⎨⎧
α=
α=
cos.MM
sin.MM
y
x (10.2)
Suy ra giá trị góc α:
x
y
z
Mx
My
x
y
z
Mx
My M
a) b)Hình 10-2
α
222
y
x
M
Mtg =α (10.3)
Ta gọi đường thẳng tạo với trục x của mặt cắt một góc α xác định theo (10.3) gọi là đường tải trọng của mặt cắt, đường thẳng này cũng là giao tuyến của mặt phẳng tác dụng của mô men tổng với mặt cắt ngang. 2. Nhận dạng bài toán
Một thanh chịu uốn xiên khi tải trọng là các lực tập trung (P), các lực phân bố dọc theo chiều dài của trục (q) phải có phương vuông góc với trục dầm, cắt trục dầm nhưng không trùng với phương trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt (xem hình 10-3a,b).
Khi tính toán ta thường phân các lực q,Prr ra 2 thành phần lần lượt theo
phương các trục quán tính chính trung tâm x và y của mặt cắt, ký hiệu là Px, Py, qx, qy, sau đó cộng kết quả của 2 bài toán độc lập nhau: Bài toán uốn phẳng quanh trục x do các tải trọng Py, qy gây ra và bài toán uốn phẳng quanh trục y do các tải trọng Px, qx gây ra.
10.2.2. Xác định các thành phần nội lực Mx và My Như đã phân tích ở trên, để xác định các thành phần nội lực Mx và My do các lực
tập trung (P) và các lực phân bố (q) gây ra trước hết ta phải phân tích chúng thành 2 thành phần Px và Py , qx và qy. Sau đó, áp dụng phương pháp mặt cắt để xác định mô men uốn Mx do các thành phần tải trọng Py và qy gây ra; tương tự xác định mô men uốn My do các thành phần tải trọng Px và qx gây ra.
Ví dụ 10-1: Dầm công xôn AB đầu A được ngàm chặt còn đầu B tự do, chịu các tải trọng như trên hình 10- 4a. Hãy vẽ các biểu đồ mô men uốn Mx và My của dầm.
Bài giải : • Bước 1: Phân tích các tải trọng ra 2 thành phần
theo phương x và y:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
===→
2
3.qa30cos.PP
2
qa
2
1.qa60cos.PP
Po
y
oxr
và ⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==→
q0cos.qq
090cos.qqq
oy
oxr
• Bước 2: Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx và My :
a)
Hình 10-4
l=2a
P=qa q
x
y
P q
60o
b)
c)
(2+√3)qa2
qa2
Mx
My
l/2 l/2
P
P1
a a a
P2
x
y α
P q≡
x
y
P1
P2
a)
b)
Hình 10-3
q
223
* Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx (do Py và qy gây ra): - Dạng biểu đồ: Trên đoạn dầm AB có lực phân bố qy = const, nên biểu đồ mô
men uốn Mx có dạng Parabol bậc 2. - Tính trị số Mx tại các mặt cắt A và B (áp dụng qui ước dấu đã có): + Tại đầu tự do B :
Mx = 0. + Tại ngàm A:
)32(qaa2.qa2.2
3qaa.a2.qa2.PM 22
yyx +−=−−=−−=
- Vẽ biểu đồ mô men uốn Mx như trên hình 10- 4b (biểu đồ Mx lấy dấu đã quy ước) .
* Vẽ biểu đồ mô men uốn My (do Px và qx gây ra): - Dạng biểu đồ: Trên đoạn dầm AB không có lực phân bố qx, nên biểu đồ mô men
uốn My có dạng đường thẳng (bậc nhất). - Tính trị số My tại các mặt cắt A và B (áp dụng qui ước dấu đã có): + Tại đầu tự do B :
My = 0. + Tại ngàm A:
2xy qaa2.
2
qaa2.PM ===
- Vẽ biểu đồ mô men uốn My như trên hình 10- 4c (biểu đồ My vẽ theo quy ướcdấu đã có).
10.2.3. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang Xét điểm A bất kỳ có toạ độ x, y trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên
(hình 10-5a). Ta nhận thấy rằng, do không xét lực cắt Qx và Qy cho nên tại mọi điểm trên mặt cắt ngang ta chỉ xét một thành phần ứng suất pháp σz do đồng thời cả mô men uốn Mx và My gây ra. Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất pháp σz do đồng thời cả mô men uốn Mx và My gây ra sẽ bằng tổng các ứng suất pháp σz do từng thành phần mô men uốn Mx và My tác dụng riêng biệt gây ra, nghĩa là:
)M()M()M,M( yzxzyxz σ+σ=σ (a)
Theo kết quả của các bài toán uốn phẳng đã biết thì: • Ứng suất pháp do riêng Mx gây ra bằng:
y.J
M)M(
x
xxz =σ (b)
• Ứng suất pháp do riêng My gây ra bằng:
224
x.J
M)M(
y
yyz =σ (c)
Thay (b) và (c) vào (a) ta đựơc:
x.J
My.
J
M
y
y
x
xz +=σ (10.4)
Công thức (10.4) là công thức tổng quát để tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên. Các đại lượng trong công thức này có ý nghĩa như sau:
- Jx và Jy là mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ( Jx > 0 và Jy > 0) - Mx và My là mô men uốn trên mặt cắt ngang chứa điểm cần tính ứng suất pháp,
(Mx và My là các đại lượng có dấu). - x và y là toạ độ của điểm cần tính ứng suất pháp (x và y là các đại lượng đại số). Trong kỹ thuật để tránh nhầm lẫn khi tính toán người ta thường dùng công thức (10-
4) dưới dạng công thức kỹ thuật sau đây:
x.J
My.
JM
y
y
x
xz ±±=σ (10.5)
Trong công thức (10.5) dấu (+) hay (-) trước các số hạng được lấy tương ứng với
vị trị của điểm cần tính ứng suất pháp dựa trên cơ sở phân vùng ứng suất. Hình 10-5b,c minh hoạ rõ cách phân vùng ứng suất pháp σz lần lượt do Mx và My gây ra. Từ đây suy ra dấu của ứng suất pháp tại điểm A (xA, yA) trên hình vẽ như sau:
Ay
yA
x
xAz x.
JM
y.J
M++=σ
x
y
z A
x
y
Mx
My
x
y
z A
x
y
Mx x
y
z A
x
y My
+
-
+
- -
- +
+ -
+
+ - σZ
A
σZA
a) bc)
Hình 10-5
225
Nhìn vào công thức tổng quát (10.4) ta thấy rằng trên mỗi mặt cắt ngang ngọn của
các véc tơ ứng suất pháp σz tạo thành một mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cắt ngang như trên hình 10-6a, ta gọi đây là biểu đồ ứng suất không gian. Vết của mặt phẳng ứng suất nói trên với mặt cắt ngang là một đường thẳng qua gốc toạ độ, đó là đường ranh giới giữa miền chịu ứng suất kéo và miền chịu ứng suất nén trên mặt cắt ngang. Đường thẳng này được gọi tên là đường trung hoà (hay trục trung hoà) - đó là tập hợp các điểm mà tại đó ứng suất pháp σz có giá trị bằng không. Do vậy, để xác định vị trị của trục trung hoà trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên ta xuất phát từ công thức tổng quát (10.4) và cho σz bằng không, nghĩa là:
0x.J
My.
JM
y
y
x
x =+
rút ra: x.JJ
.tg1x.
JJ
.
MM1x.
JJ
.MM
yy
x
y
x
y
xy
x
x
y
α−=−=−=
Nếu đặt : β=α
− tgJ
J.
tg
1
y
x (10.6)
Cuối cùng ta nhận được phương trình:
y = tgβ.x (10.7)
Ta gọi (10.7) là phương trình đường trung hoà trong uốn xiên. Dưới đây, ta nêu ra một số tính chất quan trọng của đường trung hoà:
1. Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt. 2. Đường trung hoà và đường tải trọng nói chung không vuông góc với nhau. Thật
vậy, ta có:
y
x
y
x
JJ)
JJ.
tg1.(tgtg.tg −=α
−α=βα
(Đối với hầu hết các loại mặt cắt ta luôn có yx JJ ≠ , nên tgα.tgβ ≠ -1).
σmax
σmin
x α
β
y
Đường trung hòa
Đường tải trọng α
β E
F
Hình 10-6 a) b) c)
x
y
z
E E
F F
y
x
σz
226
Trường hợp đặc biệt khi thanh có mặt cắt tròn hoặc đa giác đều, ta luôn có Jx = Jy, dẫn đến tgα.tgβ = -1, lúc này đường trung hòa vuông góc với đường tải trọng. Do vậy, thanh không bị uốn xiên mà bị uốn phẳng trong mặt phẳng chứa trục thanh và đường tải trọng.
Từ biểu đồ ứng suất không gian ta thấy rằng tất cả các điểm cùng nằm trên cùng một đường thẳng song song với đường trung hoà sẽ có cùng một giá trị ứng suất pháp σz. Do vậy, có thể chuyển việc vẽ biểu đồ ứng suất pháp không gian về việc vẽ biểu đồ ứng suất pháp trong mặt phẳng một cách đơn giản hơn (ta gọi tên là biểu đồ ứng suất pháp phẳng):
1. Dựng một đường chuẩn vuông góc với đường trung hoà của mặt cắt.
2. Tính các giá trị ứng suất pháp kéo lớn nhất kmaxσ và ứng suất pháp nén lớn
nhất nmaxσ theo công thức:
kxn
y
ykxn
x
xkmax x.
JM
y.J
M+=σ (10.8)
nxn
y
ynxn
x
xnmax x.
JM
y.J
M+=σ (10.9)
Dựng các tung độ vuông góc với đường chuẩn biểu thị các giá trị kmaxσ và n
maxσ tại các điểm xa đường trung hoà nhất thuộc về miền chịu ứng suất kéo và chịu ứng ứng nén trên mặt cắt. Nối hai tung độ trên với nhau và kẻ nốt các tung độ còn lại ta được biểu đồ ứng suất pháp phẳng như trên hình 10-6.c.
Với các mặt cắt có 2 trục quán tính chính trung tâm là 2 trục đối xứng (như trên hình 10-7) thì ta có các gía trị k
maxσ và nmaxσ chỉ có thể xuất hiện tại các điểm góc cuả
mặt cắt mà thôi. Do vậy trị số của kmaxσ và n
maxσ luôn bằng nhau và bằng:
y
y
x
xnmax
kmax W
M
WM
+=σ=σ (10.10)
10.2.4. Điều kiện bền của thanh chịu uốn xiên Như đã nói ở trên trong trường hợp chịu lực phức tạp ta chỉ xét ảnh hưởng của
ứng suất pháp zσ do vậy, ta có thể viết điều kiện bền cho thanh chịu uốn xiên như sau:
Hình 10-7
y
x
y
x
y
x
y
x
a) b) c) d)
227
- Với vật liệu dòn:
K k
N n
max [ ]max [ ]
σ ≤ σ⎧⎪⎨ σ ≤ σ⎪⎩
(10.11)
- Với vật liệu dẻo: Do vật liệu dẻo có [σ]K = [σ]N = [σ] nên chúng chỉ cần thoả mãn điều kiện bền sau:
max⎪σ⎪≤ [σ] (10.11)’
trong đó:
• [σ]K và [σ]N là ứng suất cho phép khi kéo và khi nén của vật liệu, được xác định bằng thực nghiệm.
• Kmaxσ và Nmax σ là trị số của ứng suất kéo lớn nhất và ứng suất nén lớn nhất xuất hiện trong thanh chịu uốn xiên, nó xuất hiện tại các điểm xa đường trung hoà nhất trên các mặt cắt được xem là nguy hiểm nhất của thanh.
• max⎪σz⎪ = max K Nmax max( , )σ σ
Như vậy từ điều kiện bền (10.11) ta rút ra được 3 bài toán cơ bản như sau:
1. Bài toán kiểm tra bền. 2. Bài toán chọn kích thước mặt cắt. 3. Bài toán chọn tải trọng cho phép. Lưu ý rằng, riêng đối với bài toán chọn kích thước mặt cắt ta phải giải đúng dần. Riêng
đối với bài toán dầm làm bằng vật liệu dẻo và mặt cắt ngang thoả mãn điều kiện để áp dụng công thức (10.10) thì ta có thể viết lại điều kiện bền :
][WM
WM
y
y
x
x σ≤+ (10.12)
hay ][)MWWM(
W1
yy
xx
x
σ≤+ (10.13)
Biểu thức (10.13) vẫn chứa 2 ẩn là Wx và tỷ số yx W/W . Tuy nhiên so với (10.12) thì biểu thức (10.13) thuận lợi hơn vì tỷ số yx W/W biến đổi trong phạm vi hẹp hơn là Wy. Chẳng hạn:
+ Đối với mặt cắt chữ nhật ta có:
bh
hb6.
6bh
WW
2
2
y
x ==
+ Đối với các mặt cắt thép chữ I thì yx W/W = 8 – 10, thép chữ C thì yx W/W = 5 -7
228
Ví dụ 10-2: Một xà gồ (dầm) bằng gỗ đặt trên 2 vì kèo có nhịp l=4m chịu tải trọng phân bố đều q=1kN/m như trên hình 10-8a. Hãy xác định kích thước mặt cắt ngang của xà gồ theo điều kiện bền, biết gỗ có [σ]=8 MN/m2. Giả thiết mặt cắt có kích thước h = 2b, 030α = .
Bài giải: - Bước 1: Phân tích tải trọng q
ra 2 thành phầm qx và qy:
)m/kN(5,02
1.130sinqq o
x ===
)m/kN(2
3
2
3.130cosqq o
y ===
- Bước 2: Vẽ biểu đồ Mx và My
và xác định mô men uốn tại mặt cắt nguy hiểm:
+ Biểu đồ Mx : qy gây ra Mx, biểu đồ Mx đã vẽ như trên hình 10-8b. + Biểu đồ My : qx gây ra My, biểu đồ My đã vẽ như trên hình 10-8c.
Từ biểu đồ ta thấy tại mặt cắt nguy hiểm C ở giữa dầm, ta có:
22
y*x x
3 .4q . 2M M 38 8
= = + = = +l
(kNm)
2 2* xy y
q . 0,5.4M M8 8
= = − = −l =-1 (kNm)
- Bước 3: Xác định kích thước của mặt cắt:
Từ điều kiện bền ta có :
3
x
10.8)1123(
W1
≤−+
Rút ra : )cm(5,466)m(10.5,466W 336x =≥ − (a)
Mặt khác : 3b2
6)b2(b
6bhW
322
x === (b)
Từ (a) và (b) giải ra :
)cm(88,82
5,466.3b 3 =≥ (c)
Kết luận : Vậy có thể chọn xà gồ mặt cắt chữ nhật có kích 9cm ×18cm.
Hình 10-8
x
yα
q
qy.l2/8
qx.l2/8
A B C
l=4m
Mx
My
a)
b)
c)
Hình 10-8
229
10.3. Bài toán uốn và kéo (nén) đồng thời
10.3.1. Định nghĩa và nhận dạng bài toán 1. Định nghĩa:
Một thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời khi trên các mặt cắt ngang của nó xuất hiện các thành phần mô men uốn Mx, My và lực dọc Nz hoặc Mx và Nz hoặc My và Nz cùng như trên hình 10-9a,b,c.
2. Nhận dạng bài toán
Thanh sẽ bị uốn và kéo nén đồng thời khi tải trọng tác động vào thanh là các lực tập trung P và các lực phân bố q có phương cắt trục thanh nhưng không vuông góc với trục thanh và lực dọc trục thanh, hoặc các lực có phương song song với trục thanh nhưng đặt lệch tâm mặt cắt.
Chẳng hạn như đập chắn nước (hình10-10a) và tường chắn đất (hình10-10b) sẽ chịu nén và uốn đồng thời do trọng lượng bản thân và áp lực của nước hoặc của đất; cột đỡ dầm cầu trục trong các trạm bơm và các xưởng cơ khí (hình 10-10c) sẽ chịu uốn và nén đồng thời do lực đặt không trùng với trục thanh.
Thật vậy khi có lực dọc đặt lệch tâm tại điểm K có toạ độ xK, yK bất kỳ trên mặt
cắt ngang (hình 10-11a) thì trên mặt cắt ngang sẽ xuất hiện các thành phần nội lực là:
z
x K
y K
N PM P.yM P.x
⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩
(10.14)
x
y
z A
x
y
Mx
My
x
y
z
Mx x
y
z My
a) b c) Hình 10-9
Nz Nz Nz
a) b c)
Hình 10-10
P
230
Kết quả trên chứng tỏ rằng, cột chịu lực dọc đặt lệch tâm là một trường hợp riêng của thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời. Ngược lại một thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời bởi các thành phần nội lực Nz, Mx và My thì cũng có thể đưa về trường hợp trên mặt cắt ngang đó có đặt lực lệch tâm P có giá trị bằng Nz tại điểm K có toạ độ xK, yK như sau:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
z
xK
z
yK
z
NMy
NM
x
NP
(10.15)
10.3.2. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang Xét điểm A bất kỳ có toạ độ x, y trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn và kéo nén
đồng thời (hình 10-9a). Ta nhận thấy rằng, tại mọi điểm trên mặt cắt ngang nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt thì chỉ có một thành phần ứng suất pháp σz do đồng thời cả lực dọc Nz, mô men uốn Mx và My gây ra. Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất pháp σz do cả lực dọc Nz, mô men uốn Mx và My gây ra sẽ bằng tổng các ứng suất pháp σz do từng thành phần nội lực Nz, Mx và My tác dụng riêng biệt gây ra, nghĩa là:
σz (Nz, Mx, My) = σz (Nz) + σz (Mx) + σz (My) (a) trong đó: Theo kết quả của các bài toán đơn giản đã biết thì:
+ Ứng suất pháp do riêng Nz gây ra bằng :
FN
)N( zzz =σ (b)
+ Ứng suất pháp do riêng Mx gây ra bằng:
y.JM
)M(x
xxz =σ (c)
+ Ứng suất pháp do riêng My gây ra bằng:
Hình 10-11
z
x
y K xk
yk
P
z
x
y
MyMx
P
a) b)
231
x.J
M)M(
y
yyz =σ (d)
Thay (b), (c), (d) vào (a) ta được:
x.J
My.
JM
FN
y
y
x
xzz ++=σ (10.16)
Công thức (10.16) được gọi là công thức tổng quát để tính ứng suất pháp trong thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời. Các đại lượng trong công thức này có ý nghĩa như sau:
- F là diện tích của mặt cắt ngang .
- Jx và Jy là mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ( Jx >0 và Jy>0). - Nz, Mx và My là lực dọc và mô men uốn trên mặt cắt ngang chứa điểm cần tính
ứng suất pháp σz (Nz, Mx và My là các đại lượng đại số). - x và y là toạ độ của điểm cần tính ứng suất pháp (x và y là các đại lượng đại số). Trong kỹ thuật, để tránh dễ nhầm lẫn khi tính toán, người ta thường dùng công thức
(10.16) dưới dạng công thức kỹ thuật sau đây:
x.J
My.
JM
FN
y
y
x
xzz ±±±=σ (10.17)
Dấu (+) hay (-) trong công thức (10-17) tuỳ thuộc vào vị trí của điểm cần tính ứng suất thuộc vùng ứng suất nào (vùng ứng suất kéo hay nén lấy theo phân vùng ứng suất) do từng thành phần nội lực Nz, Mx và My gây ra.
Công thức tổng quát (10.16) cho phép chúng ta xác định giá trị của ứng suất pháp σz tại các điểm trên mặt cắt ngang và vẽ ra đựơc một mặt phẳng ứng suất trong không gian gọi là biểu đồ ứng suất không gian. Vết của mặt phẳng ứng suất này trên mặt cắt ngang là một đường thẳng có tên gọi là đường trung hoà (hay trục trung hoà) như trên hình 10-12. Rõ ràng rằng ứng suất pháp σz tại mọi điểm nằm trên đường trung hoà đều có giá trị bằng không.
Như vậy để tìm vị trí của đường trung hoà ta xuất phát từ công thức (10.16) và cho ứng suất pháp σz bằng không, và chú ý tới công thức (10.14 ), ta viết:
0x.Jx.Py.
Jy.P
FP
y
K
x
K =++ (e)
hay: 0
FJ
x.x
FJ
y.y1FP
y
k
x
K =
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++ (f)
x
y
Đường trung hòa
σkmax
σnmax
Hình 10-12
232
Nếu đặt:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
F
Ji
F
Ji
y2y
x2x
hay
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
F
Ji
F
Ji
yy
xx
(10.18)
và chú ý 0P ≠ , từ (10.18) rút ra được:
K K2 2x y
y .y x .x1 0i i
+ + = (g)
hay có: 1
yiy
xix
K
2x
K
2y
=−
+
−
(h)
Nếu đặt: K
2y
xi
a −= và K
2x
y
ib −= (10.19)
thì từ (h) ta viết được phương trình sau:
1by
ax
=+ (10.20)
Phương trình (10.20) là phương trình đường trung hoà trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời (hay trong trong trường hợp kéo (nén) lệch tâm) và dưới đây là một số tính chất của nó:
1. Đường trung hoà là một đường thẳng không qua gốc toạ độ, nó cắt trục hoành tại hoành độ x = a, và cắt trục tung tại tung độ y = b như hình 10-13 (trong đó a và b xác định theo công thức (10.19)).
2. Vị trí của đường trung hoà trong trường hợp lệch tâm không phụ thuộc vào độ lớn của lực mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm đặt của lực mà thôi. Thật vậy, các hệ số a và b trong phương trình của đường trung hoà theo công thức (10.19) không phụ thuộc vào độ lớn của lực đặt lệch tâm P, nó chỉ phụ thuộc vào toạ độ xK và yK của điểm đặt lực lệch tâm.
3. Đường trung hoà và điểm đặt lực lệch tâm luôn luôn nằm ở hai góc phần tư đối nhau. Thật vậy theo biểu thức (10.19), a và b luôn trái dấu với xKvà yK.
4. Khi điểm đặt lực dịch chuyển trên một đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt thì đường trung hoà sẽ dịch chuyển song song với nhau. Khi điểm đặt lực càng tiến gần vào
trọng tâm mặt cắt bao nhiêu thì đường trung hoà càng dịch chuyển ra xa khỏi trọng tâm mặt cắt bấy nhiêu, và ngược lại (hình 10-14).
Đường trung hòa
x
y
σnmax
σkmax
a
b
O
Hình 10-13
+
-K
xK
yK
233
5. Khi điểm đặt lực dịch chuyển trên một đường thẳng không đi qua trọng tâm của
mặt cắt thì đường trung hoà sẽ quay quanh một điểm cố định (hình 10-15). Sau khi đã xác định được vị trí cuả đường trung hoà, ta tiếp tục tính ứng suất pháp
lớn nhất và nhỏ nhất trên mặt cắt ngang rồi tiến hành vẽ biểu đồ ứng suất pháp phẳng như trên hình 10-13. Trong đó, ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất (ký hiệu là σmax và σmin) sẽ thuộc về các điểm cách xa đường trung hoà nhất và giá trị của chúng như sau:
yz x k kmax xn xn
x y
yz x n nmin xn xn
x y
MN M. y . x
F J J
MN M. y . x
F J J
⎧⎪σ = ± + +⎪⎨⎪
σ = ± − −⎪⎩
(10.21)
Đặc biệt với các mặt cắt nội tiếp được trong hình chữ nhật ta có thể viết lại (10.21):
yz xmax
x y
yz xmin
x y
MN MF W W
MN MF W W
⎧⎪σ = ± + +⎪⎨⎪
σ = ± − −⎪⎩
(10.22 )
Trong các công thức (10.21) và (10.22) trước số hạng đầu tiên ở vế phải lấy dấu + khi NZ là lực kéo, lấy dấu – khi NZ là lực nén.
10.3.3. Điều kiện bền của thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời Điều kiện bền cho thanh: - Với thanh làm bằng vật liệu dòn:
⎩⎨⎧
σ≤σσ≤σ
nmin
kmax
][
][ (10.23)
- Với thanh làm bằng vật liệu dẻo:
max⎪σ⎪≤ [σ] (10.23)’
trong đó:
x
y
K1
K2 yK2 yK1
xK1 xK2 b2
b1
a2 a1
Δ2 Δ1
Hình 10-14
x
y
K1K2
b2
b1
a2 a3
Δ2
Δ1
Hình 10-15
K3O
Δ3
234
• [σ]K và [σ]N là ứng suất cho phép khi kéo và khi nén của vật liệu.
• σmax và σmin là trị số của ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trong thanh.
Các trị số σmax và σmin sẽ được xác định theo các công thức (10.21) đối với các thanh có mặt cắt không phải là hình chữ nhật, và theo công thức (10.22) đối với các thanh có mặt cắt hình chữ nhật hoặc mặt cắt có 2 trục đối xứng nội tiếp được trong hình chữ nhật.
Như vậy từ (10.23) ta rút ra 3 bài toán cơ bản sau đây:
1. Bài toán kiểm tra bền.
2. Bài toán chọn kích thước mặt cắt. 3. Bài toán chọn tải trọng cho phép.
Ví dụ 10-3: Một cột có kích thước và sơ đồ chịu lực như trên hình 10-16.a. Hãy tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất tại mặt cắt chân cột, cho biết trị số các lực P1=100 kN; P2 = 50kN; P3 = P4 = 10kN. Kích thước mặt cắt cột a = 24cm, b = 16cm và chiều cao cột h = 400cm.
Bài giải: - Bước 1: Xác định nội lực tại mặt cắt chân cột:
)kN(150)50100(PPN 21z −=+−=−−=
)kNm(0,240,2.1008,0.502h.P
2b.PM 42x =+=++=
)kNm(340,4.1012,0.50h.P2a.PM 32y −=−=−+=
- Bước 2: Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất tại mặt cắt chân cột:
• Phân vùng ứng suất do các thành phần nội lực tại mặt cắt chân cột gây ra như trên hình 10-16b.
• Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất σmax và σmin:
h/2
h/2
a
b x
y
P2 P1
P3
P4
y
x
z
NzMy
Mx
-
+
+
-
- -
--
+
-
+
- Do lực dọc Nz
Do mô men uốn Mx
Do mô men uốn My
a) b) Hình 10-16
235
+ Tính các đặc trưng của mặt cắt:
Diện tích mặt cắt:
)m(10.84,310.6,1.10.4,2b.aF 2211 −−− ===
Mô đun chống uốn:
)m(10.024,16
)10.6,1.(10.4,26b.aW 33
2112
x−
−−
===
)m(10.536,16
)10.4,2.(10.6,16a.bW 33
2112
y−
−−
===
+ Tính ứng suất pháp lớn nhất:
yz xmax
x y
3 22 3 3
MN MF W W
150 24 34 41,67.10 (kN / m )3,84.10 1,024.10 1,536.10− − −
σ = − + +
= − + + =
+ Tính ứng suất pháp nhỏ nhất:
yz xmin
x y
3 22 3 3
MN MF W W
150 24 34 49, 48.10 (kN / m )3,84.10 1,024.10 1,536.10− − −
σ = − − −
= − − − = −
Ví dụ 10-4: Một đập chắn nước bằng bê tông có chiều cao h = 9m, chiều rộng đỉnh đập a = 2m, chiều rộng chân đập b = 5m, trọng lượng riêng của bê tông γ = 25kN/m3. Hãy xác định trị số ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất tại mặt cắt đáy đập khi hồ chứa đầy nước.
Bài giải:
• Bước 1: Xác định nội lực tại mặt cắt chân đập (đáy đập):
Để tính toán ứng suất trong đập người ta thường đưa về bài toán phẳng bằng cách cắt ra một giải có chiều dài 1m để tính toán như trên hình 10-17a. Lúc này ta có sơ đồ tính toán một cột có mặt cắt thay đổi chịu nén và uốn do trọng lượng bản thân, đồng thời chịu uốn do áp lực nước có phương vuông góc với mặt đập. Các tải trọng được xét đến trong tính toán bao gồm:
+ Trọng lượng bản thân đập được tính theo 2 khối như sau:
* Khối lăng trụ chữ nhật 1:
- Trọng lượng: )kN(4501.9.2.251.ahVG 11 ==γ=γ=
- Toạ độ điểm đặt lực : )m(5,1)22
25()
2a
2b(e1 −=−−=−−=
* Khối lăng trụ tam giác 2:
- Trọng lượng: )kN(5,3371.2
9).25(.251.2
h)ab(VG 22 =−
=−
γ=γ=
236
- Toạ độ điểm đặt lực : )m(5,0)25(32
25)ab(
32
2be2 =−−=−−=
+ Áp lực nước phân bố theo luật bậc nhất theo chiều sâu và có phương vuông góc với bề mặt đập:
- Cường độ áp lực tại chân đập : )m/kN(909.10h.p n ==γ=
- Tổng áp lực nước : )kN(4051.9.90.211.h.p
21R ===
Tính nội lực tại mặt cắt đáy đập:
)kN(5,787)5,337450()GG(N 21z −=+−=+−=
0Mx =
)kNm(75,70839.4055,0.5,3375,1.450
3h.Re.Ge.GM 2211y −=−−=−−=
• Bước 2: Phân vùng ứng suất do từng thành phần nội lực Nz và My gây ra như trên hình 10-17b.
• Bước 3: Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất tại mặt cắt đáy đập:
yZ 2max 2
y
MN 787,5 708,75 12,6(kN / m )1.5F W 5.1
6
−σ = − + = + = +
yZ 2min 2
y
MN 787,5 708,75 327,6 (kN / m )1.5F W 5.1
6
−σ = − − = − = −
Ví dụ 10-5: Một giá khoan bằng gang có mặt cắt hình chữ T như hình 10-18a. Hãy xác định giá trị cho phép của tải trọng P theo điều kiện bền của giá khoan, biết [σ]K = 30 MN/m2, [σ]N = 120 MN/m2 và a = 0,5 m.
h=9
m
a=2m
b=5m
G1 G2
e1 y e2
x
1m
G1 G2
R
h/3
γh
a) b) Nz My
z
x
yDo lực dọc Nz
Do mô men uốn Mx
Hình 10-17
237
Bài giải:
Ta nhận thấy rằng khi máy khoan làm việc thì mặt cắt A sẽ là mặt cắt nguy hiểm nhất, nó vừa chịu kéo vừa chịu uốn do lực P đặt lệch tâm.
* Kết quả tính toán đặc trưng hình học của mặt cắt như sau:
- Điểm C là trọng tâm mặt cắt; các khoảng cách e1 = 13,875cm; e2 = 19,125 cm.
- Diện tích mặt cắt F = 120 cm2; mô men quán tính Jx = 12898 cm4.
* Tính toán nội lực tại mặt cắt nguy hiểm (mặt cắt A):
Nz = +P
P63875,0)13785,05,0(P)ea(PM 1x =+=+=
My = 0
* Xác định tải trọng cho phép P theo điều kiện bền:
a/ Từ điều kiện bền:
k1x
zmax ][e.
JM
FN
σ≤+=σ
rút ra: 342 10.3013875,0.
10.2898,1P63875,0
10.2,1P
≤+ −−
Giải ra được: )kN(94,38P ≤ (a)
b/ Từ điều kiện bền:
n2x
zmin ][e.
JM
FN
σ≤−=σ
rút ra: 342
10.12019125,0.10.2898,1
P63875,0
10.2,1
P≤−
−−
Giải ra được: )kN(92,138P ≤ (b)
Kết luận: Tải trọng cho phép P được chọn là trị số nhỏ nhất trong 2 trị số vừa tìm được (a) và (b), nghĩa là trị số tải trọng cho phép [P] = 38,94 kN.
x
y
C
e1 e2
10
3
3 30
cm
b)
e1 a
P P
a)
A A
Hình 10-18
238
10.3.4. Lõi của mặt cắt ngang 1. Khái niệm về lõi của mặt cắt
Trong thực tế xây dựng người ta thường phải thiết kế các kết cấu chịu uốn và kéo (nén) đồng thời làm từ vật liệu dòn như: các đập bê tông trọng lực, tường chắn đất xây bằng gạch, đá,v...v. Ta đã biết rằng các vật liệu dòn có khả năng chịu ứng suất nén rất tốt, còn khả năng chịu ứng suất kéo lại rất kém, hay nói cách khác là vật liệu dòn khả năng chịu kéo rất kém. Thông thường các công trình được đặt trên nền đất, mà đất là môi trường không có khả năng chịu kéo. Vấn đề đặt ra là đối với các kết cấu chịu uốn và kéo (nén) đồng thời cũng như chịu lực đặt lệch tâm chúng ta cần phải xác định đựơc vùng đặt lực lệch tâm sao cho trên mặt cắt ngang hoặc mặt cắt đáy móng đối với công trình đặt trên nền đất, chỉ tồn tại ứng suất pháp một dấu (hoặc là ứng suất kéo hoặc ứng suất nén, có trường hợp chỉ tồn tại ứng suất nén). Người ta gọi miền bao quanh trọng tâm của mặt cắt được giới hạn bằng một đường khép kín sao cho khi lực dọc lẹch tâm có điểm đặt trong hoặc trên biên của miền này thi trên mặt cắt ngang, ứng suất pháp chỉ có một dấu được gọi là lõi của mặt cắt (hình 10-19).
2. Cách xác định lõi của mặt cắt
Với nội dung vừa nêu trên, để xác định lõi của mặt cắt ta lần lượt cho các đường thẳng tiếp xúc với đường bao của mặt cắt ngang và coi chúng là các đường trung hoà của mặt cắt. Chẳng hạn ứng với đường trung hoà thứ i nào đó (ký hiệu là Δi), ta hoàn toàn có thể xác định đựơc toạ độ của điểm đặt lực tương ứng Ki (xKi và yKi ) Với ai và bi của đường trung hoà được xác định như sau:
i
2y
Ki ai
x −= và i
2x
Ki biy −= (10.24)
Như vậy tập hợp các điểm đặt lực Ki được xác định theo cách vừa nêu trên tương ứng với các đường trung hoà lần lượt tiếp xúc với chu vi mặt cắt sẽ tạo ra chu vi lõi của mặt cắt cần tìm.
Dưới đây minh hoạ cách xác định lõi của một vài mặt cắt đơn giản.
a/ Mặt cắt chữ nhật (b×h) (hình 10-20a)
- Các đặc trưng hình học:
F = b.h
12
hbJ
12
bhJ
3
y
3
x
=
=
12
b
F
Ji
12
h
F
Ji
2y2
y
2x2
x
==
==
- Cho các đường hoà lần lượt tiếp xúc với chu vi mặt cắt và xác định các điểm đặt lực tương ứng:
x
y b1
b2
a1 a2
Δ1 Δ2
K2
Hình 10-19
K1
239
+ Đường trung hoà Δ1 tiếp xúc với cạnh AB, ta có :
∞=1a ; .2
hb1 −=
Theo (10.24) ta xác định được điểm đặt lực K1 (xK1 và yK1) tương ứng:
012b
ai
x
2
1
2y
1K =∝
−=−= và 6h
2h
12h
biy
2
1
2x
1K +=−
−=−=
- Tương tự cho đường trung hoà Δ2 , Δ3 và Δ4 lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CD và DA, ta xác định được toạ độ các điểm đặt lực tương ứng trên chu vi của lõi:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− 0;
6bK;
6h;0K;0;
6bK 432
- Theo tính chất thứ 5 của đường trung hoà, khi ta cho đường trung hoà quay quanh các điểm góc A, B, C và D thì các điểm đặt lực tương ứng sẽ dịch chuyển trên các đoạn thẳng K1-K4 , K2-K3 , K3-K4 . Cuối cùng tập hợp các điểm thuộc tứ giác K1K2K3K4 chính là lõi của mặt cắt chữ nhật.
b/ Mặt cắt tròn : Xét mặt cắt tròn có bán kính R (hình 10-20b)
- Cho đường trung hoà Δ1 song song với trục x và tiếp xúc với chu vi mặt cắt, các tham số tương ứng của đường trung hoà Δ1 là a1 = ∝ và b1 = -R.
Theo (10.25) ta xác định được điểm đặt lực K1(xK1 và yK1) tương ứng:
04R
ai
x
2
1
2y
1K =∝
−=−= và 4R
R4
R
biy
2
1
2x
1K +=−
−=−=
Như vậy lõi của mặt cắt tròn là một miền tròn đồng tâm với mặt cắt có bán kính là R/4.
x
y
K1
K2
K3
K4
Hình 10-20
x
y
b/6
h/6
h/2
h/2
b/2 b/2
R
R
R/4
Δ1 Δ1
Δ2
Δ3
Δ4
K1
a) b)
240
10.4. Bài toán uốn và xoắn đồng thời
10.4.1. Định nghĩa Một thanh được gọi là chịu uốn và xoắn đồng thời nếu trên các mặt cắt ngang của nó tồn
tại các mô men uốn Mx và My ( hoặc chỉ có Mx. hoặc chỉ có My) và mô men xoắn Mz (hình 10-21a,b,c).
Ví dụ các thanh vừa chịu uốn vừa chịu xoắn như trên hình 10-22a,b.
Để xác định các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang ta sử dụng phương pháp mặt cắt đã quen thuộc. Chẳng hạn tại mắt cắt ngàm của thanh trên hình 10-22a, ta có các thành phần nội lực sau:
Mx = -P.l
My = 0
2b.PMz =
y
x
z My
Mx Mz
a) y
x
z
Mx Mz
b) y
x
zMy
Mz
c)
Hình 10-21
Hình 10-22
a) b)
x
z
P
y z
A
BC
x
y z
P
l
241
10.4.2. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang Ta thấy rằng tại đểm A có toạ độ x, y bất kỳ trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn và
xoắn đồng thời sẽ xuất hiện ứng suất pháp do mô men uốn uốn Mx và My gây ra và và ứng suất tiếp do mô men xoắn Mz gây ra, trong đó:
+ Ứng suất pháp σz được tính theo công thức:
x.J
My.
JM
y
y
x
xz +=σ (10.25)
+ Ứng suất tiếp τz được tính theo công thức trong trường hợp thanh mặt cắt tròn chịu xoắn thuần tuý:
ρ=τρ
.JM z
z (10.26)
Hoặc theo công thức ứng suất tiếp (6.12), (6.13) trong trường hợp mặt cắt chữ nhât.
Dưới đây chúng ta sẽ đi sâu phân tích ứng suất tại những điểm đặc biệt, hay tại những điểm được xem là nguy hiểm trên mặt cắt tròn và mặt cắt chữ nhật làm cơ sở cho việc kiểm tra bền cho các thanh chịu uốn và xoắn đồng thời.
1. Thanh mặt cắt tròn:
Giả sử xét thanh mặt cắt tròn chịu uốn và xoắn đồng thời bởi các mô men uốn Mx , My và mô men xoắn Mz . Dưới tác dụng của các mô men uốn Mx và My ta thấy rằng thanh không chịu uốn xiên, mà chịu uốn phẳng bởi mô men uốn tổng cộng Mu nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh và đường tải trọng (hình 10-23a) và có trị số là :
2y
2xu MMM += (10.27)
Như vậy tại các điểm A và B là giao điểm của đường tải trọng với chu vi mặt cắt ngang sẽ tồn tại các ứng suất sau:
+ Ứng suất pháp σz có trị số lớn nhất σmax và nhỏ nhất σmin bằng:
x
u
u
uminmax W
MWM
==σ=σ )2Rπ
=W=W(3
xu (10.28)
+ Ứng suất tiếp τz có trị số lớn nhất τmax bằng:
a)
Mz
b)
Hình 10-23
z
MU
τz max B
τz max σk
max
σnmax
τz max
σkmax
A
(A)
τz max
σnma
(B)
c)
d)
B A
242
x
zzmax W2
MWM
==τρ
)W2W( x=ρ (10.29)
Nếu mặt cắt đang xét là mặt cắt nguy hiểm nhất thì các điểm A và B chính là các điểm nguy hiểm nhất trong thanh cần phải được kiểm tra về độ bền. Như đã biết các phân tố ứng suất tại điểm A và B thuộc trạng thái ứng uất phẳng với các gía trị ứng suất σz = σmax (σmin) và ứng suất tiếp τz = τmax cần được kiểm tra dựa vào các lý thuyết bền đã trình bày ở chương 3.
Chẳng hạn nếu kiểm tra bền theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có:
][4 4z
2ztt σ≤τ+σ=σ (a)
hay ][MMW1
W2M4
WM 2
x2u
x
2
x
z
2
x
utt σ≤+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=σ (10.30)
Nếu kiểm tra bền theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại ta có:
][3 4z
2ztt σ≤τ+σ=σ (b)
Hay ][M43M
W1
W2M3
WM 2
x2u
x
2
x
z
2
x
utt σ≤+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=σ (10.31)
Ví dụ 10-6: Một pu-li nặng 5 kN có đường kính 1,2m được lắp tại chính giữa trục quay AB bằng thép có đường kính d và được làm quay bởi động cơ điện như trên hình 10-24a. Lực căng trong dây Cu-roa thuộc phần căng T1 = 6 kN và thuộc phần chùng T2 = 3 kN. Hãy xác định đường kính d của trục quay theo điều kiện bền, biết vật liệu làm trục có [σ] = 160(MN/m2).
Bài giải:
Ta nhận thấy rằng mặt cắt C chính giữa của trục AB là mặt cắt nguy hiểm nhất của trục khi động cơ làm việc, tại đây sẽ có các thành phần nội lực sau:
+ Mô men uốn :
xP 5.1,2M 1,5 (kNm)4 4
= = + =l
1 2y
(T T ) (6 3).1, 2M 2,7 (kNm)4 4
+ += = =
l
suy ra : )kNm(09,37,25,1MMM 222y
2xu =+=+=
243
+ Mô men xoắn:
)kNm(8,122,1).36(
2D).TT(M 21z =−=−=
Thay vào điều kiện bền (10.30) ta có:
322
x
10.1608,109,3W1
≤+
Giải ra: 3363
22
x cm35,22)m(10.35,2210.160
8,109,3W ==
+≥ − (c)
Mặt khác ta có:
32dW
3
xπ
= (d)
Đồng nhất (c) và (d) giải ra:
)cm(1,614,3
35,22.32W32d 33 x ==π
≥
2. Thanh mặt chữ nhật:
Xét thanh mặt cắt chữ nhật chịu uốn và xoắn đồng thời như trên hình 10-25a. Trên cơ sở qui luật phân bố ứng suất pháp σz do các mô men uốn Mx và My gây ra và ứng suất tiếp τz do mô men xoắn Mz gây ra, ta hãy phân tích ứng suất tại một số điểm đặc biệt (những điểm được xem là nguy hiểm nhất trên mặt cắt) để làm cơ sở cho việc kiểm tra bền như sau:
x
T1 = 6 kN
T2 = 3 kNy
d
D=1
,2m
P = 5 kN
P0,6m 0,6m
3,09 kNm
1,8 kNm
MU
MZ
a)
A
B
B
b)
c)
Hình 10-24
C
A C
T1+T2
244
* Tại các điểm góc của mặt cắt B và D ta thấy:
- Ứng suất pháp σz có giá trị lớn nhất:
y
y
x
xmaxz W
M
WM
+=σ=σ (e)
- Ứng suất tiếp τz có giá trị bằng không: τz = 0
Kết luận: Các phân tố tại các điểm góc thuộc trạng thái ứng suất kéo (nén) đơn và buộc chúng phải thoả mãn điều kiện bền sau:
][W
M
WM
y
y
x
xtt σ≤+=σ (10.32)
* Tại các điểm giữa cạnh dài E và F ta thấy:
- Ứng suất pháp σz có trị số khá lớn:
y
yz W
M=σ (f)
- Ứng suất tiếp τz có giá trị cực đại bằng :
2z
xoan
zmax ab
MWM
α==τ (g)
Kết luận: Các phân tố tại các điểm giữa cạnh dài thuộc trạng thái ứng suất phẳng và buộc chúng phải thoả mãn điều kiện bền sau:
- Nếu theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có:
][ab
M4WM 2
2z
2
y
ytt σ≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=σ (10.33)
- Nếu theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại ta có:
][ab
M3
WM 2
2z
2
y
ytt σ≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=σ (10.34)
* Tại các điểm giữa cạnh ngắn G và H ta thấy:
- Ứng suất pháp σz có trị số khá lớn:
x
y
z
A
E F Mx
My
a)
τz max
y
yz W
M=σ
(E)
γτz
(G)
c) d)
B
Mz
C D H
G σk
max
xz W
M=σ
(B)
b)
Hình 10-25
245
x
xz W
M=σ (f)
- Ứng suất tiếp τz có giá trị khá lớn :
2z
xoan
zmax1 ab
MWM
αγ=γ=γτ=τ (g)
Kết luận: Các phân tố tại các điểm giữa cạnh dài thuộc trạng thái ứng suất phẳng và buộc chúng phải thoả mãn điều kiện bền sau:
- Nếu theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có:
][ab
M4WM
2
2z
2
x
xtt σ≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α
γ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=σ (10.35)
- Nếu theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại ta có:
][ab
M3WM
2
2z
2
x
xtt σ≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α
γ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=σ (10.36)
Ví dụ 10-7: Một thanh công xôn dài l = 0,8m, mặt cắt ngang hình chữ nhật có kích thước b = 8cm và h = 6cm chịu tải trọng như trên hình 10-26.a. Hãy kiểm tra bền cho thanh, biết vật liệu làm thanh có ứng suất cho phép [σ] = 60 MN/m2 và các gía trị của tải trọng P = 4,8 kN và
q = 60 kN/m.
Bài giải:
* Bước 1: Xác định nội lực tại mặt cắt nguy hiểm
Với tải trọng đã cho ta thấy mặt cắt ngàm là nguy hiểm nhất của thanh, với các giá trị nội lực được xác định như sau:
+ Mô men uốn:
)kNm(2,192
8,0.602
qM22
x −=−=−=l
x
y
z
D
E FMx
My
a)
C
Mz
B A H
G
Hình 10-26
x
y z P
q
P h
b b
l
246
)kNm(384,008.0.8,4b.PM y ==+=
+ Mô men xoắn:
)kNm(92,18,0.208,0.60.
2b.qM z ==+= l
* Bước 2: Kiểm tra bền tại các điểm đặc biệt tại mặt cắt nguy hiểm
+ Tại điểm góc B ( hoặc D):
- Ứng suất pháp:
y
y
x
xmaxz W
M
WM
+=σ=σ
2222222 m/MN5,58
6)10.8.(10.16
384,0
6)10.16.(10.8
2,19=+= −−−−
- Ứng suất tiếp: τz = 0
Kiểm tra bền theo điều kiện bền (10-32) ta có: 22
maxtt m/MN60][m/MN5,58 =σ<=σ=σ
Kết luận: phân tố tại các điểm góc an toàn về độ bền.
+ Tại điểm giữa cạnh dài E ( hoặc F):
- Ứng suất pháp:
y 2z 2 2 2
y
M 0,384 2,26 MN / m16.10 .(8.10 )W
6
− −σ = = =
- Ứng suất tiếp:
2z zz max 2 2 2
xoan
M M ,92 7,62 MN / mW ab 0,246.16.10 .8.10− −τ = τ = = = =
α
Kiểm tra bền theo điều kiện bền (10-34) ta có: 2 2 2 2
tt 2, 26 3.7,62 13,39 MN / m [ ] 60 MN / mσ = + = < σ =
Kết luận: phân tố tại các điểm giữa cạnh dài an toàn về độ bền.
+ Tại điểm giữa cạnh ngắn G ( hoặc H):
- Ứng suất pháp:
x 2z 2 2 2
x
M 19,2 56,24 MN / m8.10 .(16.10 )W
6
− −σ = = =
- Ứng suất tiếp:
247
2zz 2 2 2
M ,920,795. 6,06 MN / mab 0, 246.16.10 .8.10− −τ = γ = =
α
Kiểm tra bền theo điều kiện bền (10.36) ta có: 2 2 2 2
tt 56,24 3.6,06 57,2 MN / m [ ] 60 MN / mσ = + = < σ =
Kết luận: phân tố tại các điểm giữa cạnh ngắn an toàn về độ bền.
10.5. Bài toán chịu lực tổng quát Trong giáo trình này không đề cập tới trường hợp này.
BÀI TẬP 10.1. Xác định nội lực tại mặt cắt nguy hiểm của dầm, biểu diễn nội lực này trên mặt cắt, xác định giá trị tuyệt đối lớn nhất của ứng suất pháp và vị trí đường trung hoà tại mặt cắt nguy hiểm của dầm. Xác định độ võng toàn phần tại đầu tự do của dầm trên hình 10-1B. 10.2. Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất tại mặt cắt nguy hiểm của dầm cho trên hình 10-2B và kiểm tra độ bền của dầm. Biết [σ]k = 6kN/cm2, [σ]n = 18kN/cm2, E = 103kN/cm2.
10.3. Một dầm gỗ đặt nghiêng góc α = 300 chịu tải trọng phân bố đều q = 1,2kN/m theo phương thẳng đứng. Mặt cắt ngang của dầm hình chữ nhật có h = 15cm, b = 10cm (hình 10-3B).
Vẽ biểu đồ mô men uốn của dầm.
Tính ứng suất pháp ở bốn góc của mặt cắt nguy hiểm.
Kiểm tra độ bền của dầm, biết [σ] = 1200kN/m2. 10.4. Xác định trị số tuyệt đối lớn nhất của ứng suất pháp và vị trí của trục trung hoà tại mặt cắt nguy hiểm cuả các dầm cho trên hình 10-4B.
Hình 10-2B
1m
P=2kN P 30o
9cm
2cm 12
cm
2cm
Hình 10-1B
2m
P=2,4kN P 30o
12cm
20cm
hb
α
q
l=4m
Hình 10-3B
q
248
10.5. Xác định kích thước mặt cắt ngang của các dầm cho trên hình 10-5B. Cho h = 2b, [ ] 2m/MN160=σ .
10.6. Xác định tải trọng cho phép tác dụng lên các dầm cho trên hình 10-6B. Cho biết [σ] = 160MN/m2. Biết P1 = P2 = P.
10.7. Một thanh thép có bề rộng a, bề dày Δ, bị kéo đúng tâm bởi lực dọc trục P đặt ở hai đầu thanh (hình a). Hỏi nếu khoét một rãnh sâu a/4 ở một bên như hình vẽ (hình b) thì ứng suất pháp lớn nhất trong thanh tăng bao nhiêu lần? Nếu khoét đối xứng (hình c) thì ứng suất thay đổi như thế nào? (hình 10-7B)
Hình 10-4B
l = 4m
l / 2 P=10kN
120
20
20
120
P 30oa
2m P1=20kN
2m
P2=10kN
α=30o
b)I No50
Hình 10-5B
a=1m
P1=800kN P1
h
b
P2
a=1m P2=P1
2aa
P=10kN M1= 2Pa M2= Pa
b)a)
P ≡M 30o
Hình 10-6B
a=1m
P1 P2
16cm
12
P1
a=1m 2aa=2m
M=25kNm
b)a)
P ≡ q≡M30o
P2 P=10kN
q
Δ
a
P Pa)
P Pb)
a/4
P Pc)
a/4
a/4
Hình 10-7B Hình 10-8B
120 cm
60 c
m
G
A
P
A
60 cm
249
10.8. Một cột điện gồm bốn thép góc 63×63×6(mm) cho trên hình 10-8B, cho biết trọng lượng cột G = 8kN, trọng lượng dây điện tác dụng lên cột P = 20kN. Tính ứng suất kéo lớn nhất và ứng suất nén lớn nhất ở chân cột. 10.9. Một cột gạch mặt cắt hình vuông 1×1m2, cao 5m, chịu tải trọng bản thân và áp lực gió nằm ngang phân bố đều q = 800N/m2 cho trên hình 10-9B. Cho biết trọng lượng riêng của cột là γ = 20kN/m3. Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất ở chân cột. 10.10. Kiểm tra độ bền ở phần dưới của cột bê tông mặt cắt ngang hình chữ nhật 18×20cm2. Cho biết [σ]k = 60N/cm2,
[σ]n = 700N/cm2 (hình 10-10B). 10.11. Xác định giá trị cho phép của tải trọng q đối với dầm gỗ cho trên hình 10-11B. Cho biết [σ] =1kN/cm2. 10.12. Xác định số hiệu thép mặt cắt ngang của dầm cho trên hình 10-12B. Cho biết [σ] = 16kN/cm2 (lực truyền xuống dầm qua thanh tuyệt đối cứng). 10.13. Một cột bê tông mặt cắt hình vuông bị nén bởi lực P đặt lệch tâm trên trục y (hình 10-13B). Cho biết ứng suất tại điểm A bằng 200N/cm2, tại điểm B bằng không. Xác định tải trọng P tác dụng lên cột, độ lệch tâm của tải trọng và ứng suất nén lớn nhất ở cột. 10.14. Một tường chắn đất mặt cắt hình thang có kích thước a =1,5m, b = 2,5m, h = 6m như trên hình 10-14B. Tường có trọng lượng riêng γ = 22kN/m3, lực xô ngang của đất có hợp lực H = 100kN/m đặt ở độ cao h/3 so với đáy tường. Hãy tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất ở mặt cắt đáy tường.
Hình 10-9B
5 m
1m
q
Hình 10-10B
A
25cm
20 cm
P = 8kN
40 cm
15 cm
40 cm
18 c
m
A
h=2b=30cm b q
α=300
l=4m
Hình 10-11B
q P = 20kN
Hình 10-12B
2m 2m
2P
2m
250
10.15. Một đập chắn nước bằng bê tông mặt cắt hình thang như trên hình 10-15B. Cho biết kích thước a = 2m, h =7m, trọng lượng riêng của bê tông γB = 25kN/m3, trọng lượng riêng của nước γ = 10kN/m3. Hãy xác định chiều rộng b của đáy đập để không sinh ứng suất kéo ở đáy đập. 10.16. Một đập chắn nước mặt cắt tam giác có chiều cao H và bề rộng b = λH, chịu tác dụng của trọng lượng bản thân có dung trọng γđ và áp lực nước có dung ttrọng γn như trên hình 10-16B. Hãy xác định hệ số λ để ứng suất pháp mép biên của tất cả các mặt cắt nguy hiểm có trị số như nhau.
10.17. Cho hệ như trên hình 10-17B. Biết P = 10 kN, q = 8 kN/m. Yêu cầu :
1) Vẽ biểu đồ nội lực của dầm, xác định nội lực tại mặt cắt D và biểu diễn chúng trên mặt cắt.
2) Xác định ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất tại mặt cắt D.
3) Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại mặt cắt D.
40cm
Hình 10-13B
P a
Hình 10-15B
b
1m
H =
7 m
h =
6 m
h 3
a
H
Hình 10-14B
b h
1m
Hình 10-16B
H
b = λH
q
A BD l/2=1m
q
a=1ml/2=1m
P
x
y No 22a
Hình 10-17B
o60=α P
251
10.18. Cho dầm chịu lực như trên hình 10.18B. Biết P = 2ql/3, [ ] 2m/MN160=σ , l = 2m, a = 1m. Yêu cầu:
1) Vẽ biểu đồ nội lực của dầm theo q
2) Xác định giá trị cho phép của q.
10.19. Một cột có kích thước và sơ đồ chịu lực như trên hình 10-19B. Hãy xác định nội lực tại mặt cắt chân cột, biểu diễn nội lực này trên mặt cắt và tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất tại mặt cắt chân cột, cho biết trị số các lực P1=100 kN; P2= 50kN; P3 = P4 =10kN. Kích thước mặt cắt cột a = 24cm, b =16cm và chiều cao cột h = 400cm. 10.20. Cho hệ chịu lực như trên hình 10.20B. Dầm AC có mặt cắt ghép như trên hình vẽ. Các thanh AD, BD, DC tròn đường kính d có ứng suất cho phép [ ] 2cm/N8400=σ . Xác định ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trong dầm AC, biết q = 20 kN/m, 3,2m=l . Khi tính bỏ qua độ lệch tâm tại 2 gối A và C.
10.21. Dầm AB có mặt cắt chữ nhật b x h. Cho dầm chịu lực với 2 trường hợp như trên hình 10-21B. Yêu cầu :
1) Vẽ biểu đồ nội lực cho cả 2 trường hợp. 2) Xác định x để minσ trong trường hợp ở hình b) giảm đi 25% so với trường
hợp ở hình a) (tại mặt cắt C). 3) Xác định hệ số k0 để thoả mãn điều kiện ở câu 2) khi x đạt giá trị bé nhất.
a h/2
h/2
b x
y
P2 P1
P3
P4
Hình 10-19B
A BD
l/2
q
a l/2
P
x
y
No 24
Hình 10-18B
P
q
α
No 20
C
A B C
Hình 10-20B D
20o
l=3,2m l=3,2m
y
x No 20
q
252
10.22. Vẽ lõi của các mặt cắt cho trên hình 10-22B.
10.23. Một máy nâng có sơ đồ chịu lực như trên hình 10-23B. Biết lực sản ra do động cơ của máy P = 1kN, các kích thước a = 50cm, b = 150cm, D1 = 180cm, D2 = 60cm. Hãy xác định tải trọng Q mà máy có thể nâng được và đường kính trục máy d, biết [σ] = 6.104 kN/cm2 (kiểm tra theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại).
10.24. Một thanh gẫy khúc mặt cắt chữ nhật có kích thước 3×6cm2, chịu lực như hình 10-24B. Hãy vẽ biểu đồ nội lực của thanh và xác định các ứng suất tính toán tại các điểm giữa cạnh ngắn và cạnh dài tại mặt cắt ngàm theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại. Cho biết P = 900N.
Hình 10-22B
a
a)
2a
2a
a
4 m
1,5m 1m
1m
1m
1,5m
b)
6a
2a
2a
4a
c)
D2
P
Q
D1
PQ
a b a
Hình 10-23B
P
Hình 10-24B
60 cm
90 cm
6 cm
3cm
20 cm
h =
2 m
x
y P2 P1
q
Hình 10-25B
12 cm
z
/ 2l //2
Hình 10-21B
P
A B
C
/ 2l
a)
b
h
/ 2lP
A B D
/ 2l b)
E f=k0h
x x
253
10.25. Một cột mặt cắt chữ nhật 20×12 cm2, chiều cao h = 2m, chịu lực như hình 10-25B. Cho biết q = 2kN/m, P1 = 10kN, P2 = 2kN, cột có trọng lượng riêng γ = 24kN/m3. Hãy kiểm tra bền cho cột, biết [σ] = 160 MN/m2. 10.26. Cho thanh gẫy khúc ABC có mặt cắt tròn đường kính do = 3cm, chịu lực như trên hình 10-26B. Cho biết l = 50cm, b = 75cm, E = 2.108kN/m2, [σ] = 160MN/m2. Lò xo có D = 5cm, d = 1cm, số vòng lò xo n =10, G = 8.107 kN/m2, [τ] = 400 MN/m2. Hãy xác định tải trọng cho phép P tác dụng lên hệ (khi tính toán sử dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại). 10.27. Cho một trục thép CD chịu lực như trên hình 10-27B. Thanh cứng AB nối với hai lò xo giống nhau. Cho biết trục có đường kính do = 5cm, [τ]tr = 100 MN/m2, G = 8.107 kN/m2; lò xo có D = 6cm, d = 1cm, số vòng lò xo n = 8 và [τ]lx = 250 MN/m2. Hãy kiểm tra bền cho trục và lò xo, biết M = 2kNm.
10.28. Hệ 2 thanh tròn dài l ngàm một đầu và được gắn cứng vào tấm cứng A như trên hình 10-28B, chịu mô men xoắn M. Khi chịu xoắn tấm A luôn luôn ở vị trí thẳng đứng. Yêu cầu tìm góc xoay ϕ của tấm cứng, biết các thanh 1, 2 có các độ cứng chống uốn và chống xoắn lần lượt là cu1, cu2, cx1, cx2.
P
Hình 10-26B
b
l
do
do
A
B
C
30
M
Hình 10-27B
50 D
C
B
A30
50
(cm)
M
A
l 1
2
f1f2
C
e1 e2
e
C
e1 e2
Q1
Q2
Mz1 Mz2
a) b) c)
Hình 10-28B
ϕ
254
CHƯƠNG 11: THANH CONG PHẲNG
11.1. Khái niệm về thanh cong phẳng Trong ngành xây dựng nói chung và đặc biệt trong ngành cơ khí nói riêng ta
thường gặp các thanh có trục là một đường cong - ta gọi đó là thanh cong. Khi trục thanh là một đường cong không gian ta gọi là thanh cong ghềnh hay thanh cong không gian. Trường hợp hay gặp là các thanh có trục là đường cong phẳng, khi đó chúng đựơc gọi là thanh cong phẳng, chẳng hạn như móc treo của cần cẩu, vành các bánh xe, các vòng mắt xích, các dầm cầu cong và các đập vòm, v.v... (hình 11-1).
Trong chương này ta giới hạn chỉ nghiên cứu cách tính toán các thanh cong phẳng trong trường hợp mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng (chẳng hạn trục y) và tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng yoz của thanh (hình 11-2a).
11.2. Nội lực và biểu đồ nội lực trong thanh cong phẳng Ta nhận thấy rằng đối với các thanh cong phẳng khi tải trọng nằm trong mặt
phẳng đối xứng yoz của thanh thì tại các mặt cắt ngang thường tồn tại 3 thành phần nội lực là: lực dọc Nz, lực cắt Qy và mô men uốn Mx. Để xác định các thành phần nội lực nói trên ta dùng phương pháp mặt cắt đã quen biết, cụ thể:
1. Lực dọc Nz tại một mặt cắt nào đó sẽ bằng tổng hình chiếu của tất cả ngoại lực ở về một phía của mặt cắt đang xét lên phương pháp tuyến z của mặt cắt đó. Lực dọc Nz được qui ước là dương khi gây ra kéo và âm khi gây ra nén đối với mặt cắt đang xét.
2. Lực cắt Qy tại một mặt cắt nào đó sẽ bằng tổng hình chiếu của tất cả ngoại lực ở về một phía của mặt cắt đang xét lên phương trục y của mặt cắt đó. Lực cắt Qy được qui ước là dương khi quay pháp tuyến ngoài của mặt cắt đang xét một góc 90o theo chiều thuận kim đồng hồ trùng với chiều của lực cắt, và ngược lại mang dấu âm.
3. Mô men uốn Mx tại một mặt cắt nào đó bằng tổng mô men của tất cả ngoại lực ở về một phía của mặt cắt đang xét đối với trục quán tính chính trung tâm x của mặt
P
P
P
P
P P
Hình 11-1
255
cắt đó. Mô men uốn Mx được qui ước là dương khi chiều của nó có xu thế làm cho thanh bị cong thêm, và ngược lại thì mang dấu âm.
Qui ước dấu dương của các thành phần nội lực được minh hoạ trên hình 11-2b.
- Trong trường hợp khi trên mặt cắt ngang của thanh cong chỉ tồn tại lực dọc Nz ≠ 0 (còn Qy = 0 và Mx= 0) thì ta gọi là trường hợp thanh cong chịu kéo (nén) thuần tuý phẳng.
- Trong trường hợp khi trên mặt cắt ngang của thanh cong chỉ tồn tại mô men uốn Mx 0≠ (còn Qy = 0 và Nz = 0) thì ta gọi là trường hợp thanh cong chịu uốn thuần tuý phẳng.
- Trong trường hợp khi trên mặt cắt ngang của thanh cong tồn tại đồng thời 3 thành phần nội lực Nz, Qy và Mx thì ta gọi là trường hợp thanh cong chịu lực phức tạp.
Ví dụ 11-1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong một đầu ngàm và một đầu tự do chịu lực tập trung P hướng tâm như trên hình 11-3a, biết rằng trục cong là một phần tư đường tròn bán kính R.
Bài giải:
Tưởng tượng cắt thanh cong làm 2 phần bởi mặt cắt ngang bất kỳ m-n và xét cân bằng của một phần thanh cong (chẳng hạn phần phía trái) như sau:
+ Đặt các thành phần nội lực Nz, Qy và Mx theo chiều qui ước dương lên mặt cắt đang xét (hình 11-3b).
+ Lập các phương trình cân bằng đối với đoạn thanh này ta được:
∑ =ϕ+⇒= 0sinPN0z z ;
Giải ra : Nz = - Psinϕ )2
0(π
≤ϕ≤ (a)
∑ =ϕ−−= ;0cosPQ:0y y
Giải ra : Qy = Pcosϕ )2
0(π
≤ϕ≤ (b)
∑ =ϕ+−⇒= 0sinPRM0M xo
Giải ra : Mx = PRsinϕ )2
0(π
≤ϕ≤ (c)
yz
m
n
Pq
Mx>0 Nz>0
Qy>0
a) b)
Hình 11-2
xo
256
Các phương trình (a), (b), (c) biểu thị sự biến thiên của các thành phần nội lực Nz, Qy và Mx dọc theo trục thanh tương ứng với góc ϕ biến thiên từ 0 ÷π/2. Lấy đường cong trục thanh làm đường chuẩn, tính các giá trị của Nz, Qy và Mx tại các mặt cắt ϕ = 0; π/4; π/2, ta vẽ được các biểu đồ lực dọc dọc Nz, lực cắt Qy và mô men uốn Mx như trên hình 11-3c,d,e. Chú ý rằng, tung độ của các biểu đồ được vẽ vuông góc với đường chuẩn của mỗi biểu đồ.
Ví dụ 11-2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong đặt trên 2 gối tựa A và B chịu lực tập trung P có phương thẳng đứng như trên hình 11- 4a. Biết rằng trục cong là một nửa đường tròn bán kính R.
Bài giải:
Nhận xét: Do tính chất đối xứng của hệ nên phản lực tại gối VA= VB = P/2, biểu đồ lực dọc Nz và mô men uốn Mx sẽ đối xứng qua trục thẳng đứng, còn biểu đồ lực cắt Qy sẽ phản đối xứng qua trục thẳng đứng.
Dùng mặt cắt bất kỳ m-n chia thanh cong làm 2 phần, giả sử xét cân bằng của phần bên phải (hình 11-4b) ta được:
∑z = 0 ⇒ Nz + VBcosϕ = 0
Giải ra : ϕ−= cos2
PNz )
20(
π≤ϕ≤ (a)
∑y = 0 ⇒ Qy + VBsinϕ = 0
R ϕ
P y
a)
ϕ
P
Mx
Nz Qyz
Rsinϕ
b)
Hình 11-3
ϕ ϕ ϕ
P.Rsinϕ -Psinϕ -Pcosϕ
c) d) e)
Mx Nz Qy
257
Giải ra : ϕ−= sin2
PQy )
20(
π≤ϕ≤ (b)
∑Mo = 0 ⇒ Mx + VB(R - Rcosϕ) = 0
Giải ra : )cos1(R2
PMx ϕ−−= )
20(
π≤ϕ≤ (c)
Các biểu đồ nội lực của thanh cong đã cho được vẽ như trên hình 11-4c,d,e.
11.3. Thanh cong chịu kéo (nén) thuần túy
11.3.1. Định nghĩa: Thanh cong được gọi là chịu kéo nén thuần tuý khi trên các mặt cắt ngang của nó
chỉ tồn tại một thành phần nội lực là lực dọc Nz.
ϕ A B
y
R
P
O
ϕ
R VB=P/ 2
Rcosϕ
Qy Nz
Mx
O
P/ 2 P/ 2
P/ 2
P/ 2
Nz
Qy
PR/ 2
Mx
b)
a) c)
d)
e)
Hình 11-4
q=ma
Nz Nz
a)
q
t
b)
Hình 11-5
258
Trong thực tế ta ta chỉ gặp các thanh cong chịu kéo (nén) thuần tuý khi tính các vành bánh đà chịu lực ly tâm sinh ra trong quá trình quay (hình 11-5a), các đường ống chịu lực xuyên tâm (hình 11-5b), hoặc các vòm cong khi trục cong có dạng hợp lý ...
11.3.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang Để phân tích ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong chịu kéo (nén) thuần tuý
ta hãy tách ra một đoạn thanh rất ngắn giới hạn bởi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 tạo với nhau một góc dϕ như trên hình 11-6. Sử dụng giả thiết mặt cắt phẳng của Becnuli- nghĩa là trong quá trình biến dạng các mặt cắt ngang của thanh luôn luôn phẳng và vuông góc với trục thanh, giữa hai mặt cắt có dịch chuyển tương đối một góc Δdϕ.
Xét biến dạng tại điểm M nằm trên thớ m-n cách trục thanh một khoảng là y, gọi r là bán kính cong của thanh ta có:
- Trước khi biến dạng chiều dài của thớ m-n là:
dS = (r+y)dϕ (a)
- Sau khi biến dạng thớ m-n co giãn ra một đoạn là:
ΔdS = (r +y) Δdϕ (b)
Suy ra biến dạng tỷ đối tại điểm M là :
ϕϕΔ
=ϕ+ϕΔ+
=Δ
=εd
d
d)yr(
d)yr(
dS
dSz (c)
Nếu áp dụng giả thiết trong quá trình biến dạng các thớ dọc không kéo và ép nhau lẫn nhau và vật liệu vẫn còn làm việc trong giới hạn đàn hồi thì tại mọi điểm trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại ứng suất pháp σz. Theo định luật Húc trong trạng thái ứng suất đơn ta có:
Nz
Nz
y
σz
dϕ Δdϕ
Δds m n
ds
Hình 11-6
r
259
zz .E ε=σ (d)
Thay (c) vào (d) ta được:
constd
d.Ez =
ϕϕΔ
=σ (e)
(vì ϕϕΔ
d
d là đại lượng không phụ thuộc vào điểm tính ứng suất trên mặt cắt).
Theo (e) ta thấy ứng suất pháp σz phân bố đều trên mỗi mặt cắt ngang và được xác định từ mối liên hệ sau đây:
F.dFdFN z
F F
zzz σ=σ=σ= ∫ ∫
rút ra:
F
Nzz =σ (11.1)
11.4. Thanh cong chịu uốn thuần túy phẳng
11.4.1. Định nghĩa Thanh cong được gọi là chịu uốn thuần thuý phẳng khi trên các mặt cắt ngang
của nó chỉ tồn tại một thành phần nội lực là mô men uốn Mx.
11.4.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang Để phân tích ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh cong chịu uốn thuần tuý
phẳng ta hãy tách ra một đoạn thanh rất ngắn giới hạn bởi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 tạo với nhau một góc dϕ như trên hình 11-7. Sử dụng giả thuyết mặt cắt phẳng của Becnuli- nghĩa là trong quá trình biến dạng các mặt cắt ngang của thanh luôn luôn phẳng và vuông góc với trục thanh, giữa 2 mặt cắt bị xoay đi một góc Δdϕ. Ta nhận thấy rằng khi mô men uốn Mx dương thì các thớ xa tâm cong sẽ bị dãn dài ra, ngược lại các thớ
Mx
C
dϕ
Δdϕ
m
n
ds
Hình 11-7
n’
O
1
1
2
2
dy
y r
xo x
dFC
y
y 2
y 1
R2
R1
)( maxkmax σσ
)( minnmax σσ
σz
O
a) b)
260
gần tâm cong sẽ bị co ngắn lại. Do tính chất liên tục của vật liệu ta thấy từ thớ bị dãn dài ra đến thớ bị co ngắn lại chắc chắn sẽ tồn tại các thớ không bị dãn ra và cũng không bị co ngắn lại, ta gọi đây là thớ trung hoà và chúng hợp thành một lớp trung hoà. Giao tuyến của lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hoà hay trục trung hoà x của mặt cắt ngang.
Nếu gọi r là bán kính cong của thớ trung hoà và y là khoảng cách từ điểm M nằm trên thớ m-n đang xét đến trục trung hoà x của mặt cắt thì ta có:
- Trước khi biến dạng chiều dài của thớ m-n là:
dS = (r+y) dϕ (a)
- Sau khi biến dạng thớ m-n co dãn ra một đoạn là:
ΔdS = y Δdϕ (b)
Suy ra biến dạng tỷ đối tại điểm M là :
ϕϕΔ
+=
ϕ+ϕΔ
=Δ
=εd
d.
yr
y
d)yr(
dy
dS
dSz (c)
Nếu áp dụng giả thiết trong quá trình biến dạng các thớ dọc không kéo và ép nhau lẫn nhau và vật liệu vẫn còn làm việc trong giới hạn đàn hồi thì tại mọi điểm trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại ứng suất pháp σz. Theo định luật Húc trong kéo (nén) ta có:
zz .E ε=σ (d)
Thay (c) vào (d) ta được:
yr
y.
d
d.Ez +ϕ
ϕΔ=σ (11.2)
Nhìn vào (11.2) ta thấy ứng suất pháp σz phân bố theo luật Hyperbol dọc theo chiều cao mặt cắt. Tại mỗi điểm trên mặt cắt ngang ứng suất pháp σz phụ thuộc vào toạ độ y (hay khoảng cách từ nó đến trục trung hoà x của mặt cắt ngang). Để xác định vị trí của trục trung hoà x của mặt cắt ta xuất phát từ liên hệ sau và chú ý tới Nz = 0:
∫ ==σF
zz 0NdF ,
Suy ra: ∫ ∫ =+ϕ
ϕΔ=
+ϕϕΔ
F F
0dFyr
y
d
d.EdF
yr
y.
d
d.E (e)
Do 0d
d.E ≠
ϕϕΔ , nên rút ra:
∫ =+
F
0dFyr
y (11.3)
261
Như vậy phương trình (11.3) về nguyên tắc giúp ta xác định được vị trí của trục trung hoà x trên mặt cắt ngang, hay bán kính cong r của thớ trung hoà của thanh cong chịu uốn thuần túy.
Để lập được công thức tính ứng uất pháp σz ta xuất phát từ liên hệ sau đây:
∫ ∫∫ +ϕϕΔ
=+ϕ
ϕΔ=σ=
F F
22
F
zx dFyr
y
d
dEdF
yr
y.
d
d.EydF.M (f)
Biến đổi tích phân trong biểu thức (f) ta sẽ có:
∫ ∫ ∫ +−
ϕϕΔ
=+
−+ϕϕΔ
=F F
x )dFyr
yrydF(
d
d.EdF
yr
)ryr(y
d
d.EM (g)
Nếu chú ý tới: ∫ =F
xSydF và ∫ =+
F
0dFyr
y theo (11.3), thì từ (g) ta có:
xx S.d
d.EM
ϕϕΔ
= (h)
Rút ra : x
x
ES
M
d
d=
ϕϕΔ (i)
Cuối cùng thay (i) vào (11.3) ta được công thức tổng quát để tính ứng suất pháp trong thanh cong chịu uốn thuần tuý phẳng như sau:
yr
y.
S
M
x
xz +
=σ (11.4)
Các đại lượng trong công thức (11.4) có ý nghĩa như sau:
- r là bán kính cong của thớ trung hoà được xác định theo biểu thức tổng quát (11.3) và sẽ được xác định chi tiết đối với một số mặt cắt thường gặp trong mục tiếp theo.
- Sx là mô men tĩnh của mặt cắt đối với trục trung hoà x :
Sx = yc . F (11.5)
(trong đó yc là khoảng cách từ trọng tâm mặt cắt đến trục trung hoà x)
Theo biểu thức (11.4) ta thấy ứng suất pháp trên mặt cắt ngang phân bố theo luật Hyperbol dọc theo chiều cao của mặt cắt, nếu mô men uốn Mx là dương thì tại điểm biên xa tâm cong nhất ứng suất pháp có gía trị lớn nhất σmax và tại điểm biên gần tâm cong nhất ứng suất pháp có gía trị nhỏ nhất σmin là:
262
2
2
x
x
2
2
x
xmax R
y.
S
M
yr
y.
S
M=
+=σ (11.6)
1
1
x
x
1
1
x
xmin R
y.
S
M
yr
y.
S
M=
+=σ (11.7)
Trong đó:
R1 = r + y1 là bán kính cong của thớ gần tâm cong nhất.
R2 = r + y2 là bán kính cong của thớ xa tâm cong nhất.
11.4.3. Xác định vị trí trục trung hoà trên mặt cắt ngang của thanh cong chịu uốn thuần tuý
Để có thể tính được ứng suất pháp trên mặt cắt ngang theo công thức (11.4) ta cần phải biết vị trí của trục trung hoà x. Xuất phát từ công thức tổng quát xác định vị trí trục trung hoà (11.3) và nếu gọi ρ là bán kính cong của thớ bất kỳ trên mặt cắt ngang (hình 11-8) ta có:
∫ ∫ ∫∫ =ρ
−=ρ−ρ
=+
F F FF
0dF
rdFdFr
dFyr
y (k)
Rút ra:
∫ ρ
=
F
dFF
r (11.8)
Như vậy theo (11.8) ta có thể xác định được vị trí của trục trung hoà trên mặt cắt ngang của thanh cong chịu uốn thuần tuý phẳng. Dưới đây, ta sẽ lập các công thức chi
xo
x
C
dϕ
Hình 11-8
y C
r
ρ
dFC
y
O
r
y
dρ
O
263
tiết hơn cho các thanh cong có mặt cắt chữ nhật và các mặt cắt khác thường gặp trong thực tế:
Giả sử xét thanh cong mặt cắt hình chữ nhật như trên hình 11-9, thay các đại lượng F = b×h và dF = b.dρ và vào công thức (11.8), ta rút ra được:
1
2R
RF
R
Rln
h
db
h.bd.bh.b
r2
1
=
ρρ
=
ρρ
=
∫∫ (11.9)
Cũng làm tương tự cho các mặt cắt tròn, vành khăn, eliptic và hình thang ta xác định được vị trí trục trung hoà x như trong bảng 11-1 dưới đây:
Bảng 11-1: Công thức xác định bán kính cong của thớ trung hoà
Dạng mặt cắt Bán kính cong r của thớ trung hoà
)dR4R2(4
dr
22
2
−−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−−
−=
4
DR
4
dR8
dDr
22
22
22
)bR4R2(4
hr
22
2
−−=
y 2
y 1
R2
R1
xo
x
y C
r
y
O
ρ dρ
Ro
h
b
Hình 11-9
R2
R1 R1 d
C
y
xr
Ro
o
R2
R1 D
y
xr
Ro
o
d
C
R2
R1 h
C y
xr
Ro
o
b
264
]h)bb(R
Rln)RbRb[(2
h)bb(r
211
21221
221
−−−
+=
11.5. Thanh cong chịu lực phức tạp
11.5.1. Định nghĩa: Thanh cong được gọi là chịu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang của nó tồn
tại đồng thời các thành phần nội lực là Nz, Qy và Mx.
11.5.2. Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang Theo định nghĩa nói trên ta thấy rằng thanh cong chịu lực phức tạp là một thanh
cong vừa chịu kéo vừa chịu uốn. Nếu bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt Qy thì trên mặt cắt ngang của thanh sẽ tồn tại ứng suất pháp do σz đồng thời lực dọc Nz và mô men uốn Mx gây ra. Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng và chú ý đến công thức (11.1) và (11.4) ta được:
yry.
SM
FN
x
xzz +
+=σ (11.10)
11.5.3. Kiểm tra bền Để kiểm tra bền cho thanh cong trước hết ta dựa vào các biểu đồ nội lực Nz và Mx
đã có để chọn ra mặt cắt nguy hiểm nhất cần phải kiểm tra. Nếu ký hiệu *zN và *
xM là nội lực tại mắt cắt nguy hiểm thì chúng có thể là giá trị của nội lực tại mặt cắt có đồng thời Nmax và Mmax (hoặc Mmax và Nz khá lớn, hoặc Nmax và Mx khá lớn). Tiếp theo tính ứng suất pháp có giá trị lớn nhất σmax và nhỏ nhất σmin và buộc chúng phải thoả mãn điều kiện bền, với trường hợp Mx >0 ta có:
k2
2
x
xzmax ][
R
y.
S
M
F
Nσ≤+=σ (11.11)
n1
1
x
xzmin ][
R
y.
S
M
F
Nσ≤+=σ (11.12)
b1
b2 y
x
R2
R1 h
r
Ro
C o
265
Từ các điều kiện bền (11.10) và (11.11) ta cũng sẽ có 3 bài toán cơ bản sau đây:
• Bài toán kiểm tra bền.
• Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang.
• Bài toán chọn trị số cho phép của tải trọng.
Ví dụ 11-3: Tính ứng suất kéo và nén lớn nhất trong thanh cong có trục cong là một phần đường tròn bán kính Ro = 10cm, chịu uốn thuần tuý bởi mô men M = 2kNm như trên hình 11-10a. Cho biết thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật với b = 3cm và h = 5cm.
Bài giải:
• Tính các số liệu cần thiết:
- Bán kính cong của thớ gần tâm cong nhất R1 và xa tâm cong nhất R2:
)cm(5,72
510
2
hRR o1 =−=−=
)cm(5,122
510
2
hRR o2 =+=+=
- Tính bán kính cong r của thớ trung hoà theo (11.9):
)cm(45,95108,0
5
5,7
5,12ln
5
R
Rln
hr
1
2≈===
- Tính mô men tĩnh:
)cm(25,85.3).45,910(bh).rR(F.yS 3ocx =−=−==
σz
Hình 11-10 r
O
Ro
R1
b
R2
y C
x
xo
O
Mx
Mx
h
σmax
σmin
y
a) b)
266
- Tính các toạ độ y1 và y2:
)cm(95,145,95,7rRy 11 −=−=−=
)cm(05,345,95,12rRy 22 =−=−=
• Tính ứng suất σmax và σmin theo công thức (11.6) và (11.7):
- Tại điểm biên xa tâm cong nhất:
)m/MN(15,5910.5,12
10.05,3.
10.25,8
10.2
R
y.
S
M 22
2
6
3
2
2
x
xmax ===σ
−
−
−
−
- Tại điểm biên gần tâm cong nhất:
)m/MN(03,6310.5,7
10.95,1.
10.25,8
10.2
R
y.
S
M 22
2
6
3
1
1
x
xmin −=
−==σ
−
−
−
−
Biểu đồ ứng suất pháp σz vẽ như trên hình 11-10b.
Ví dụ 11-4: Hãy kiểm tra bền cho móc cẩu khi nâng vật nặng P = 100kN (hình 11-11). Biết rằng mặt cắt ngang của móc cẩu có dạng hình thang cân với b1 = 8 cm, b2 = 3 cm, h = 12 cm và vật liệu làm móc cẩu có [σ ] = 160 MN/m2.
Bài giải:
• Bước 1: Xác định các số liệu của mặt cắt:
- Diện tích :
)cm(6612.2
38h
2
bbF 221 =
+=
+=
- Trọng tâm C (so với đáy b1 của mặt cắt ):
Hình 11-11
P
P
A A
A A
b1 b
2y
y
x
8cm 12cm8cm 12cm
267
)h2
bb.
2
1(2hb
)3
h.h.
2
bb.
2
1(2
2
h.hb
F
Sy
212
212
xooc −
+
−+
==
)cm(09,5)12.
238.
21(212.3
312.12.
238.
21(2
212.12.3
=−
+
−+
=
- Bán kính cong trục thanh:
Ro = 8+yc = 8 + 5,09 = 13,09 (cm)
- Xác định bán kính cong của thớ trung hoà theo công thức trong bảng 11-1:
]h)bb(
R
Rln)RbRb[(2
h)bb(r
211
21221
221
−−−
+=
)cm(26,12]12).38(
8
20ln)8.320.8[(2
12).38( 2
=−−−
+=
- Mô men tĩnh Sx của mặt cắt đối với trục trung hoà x:
)cm(8,5466).26,1209,13(F)rR(F.yS 30cx =−=−==
- Xác định toạ độ gần tâm cong nhất y1 và xa tâm cong nhất y2:
)cm(26,426,128rRy 11 −=−=−=
)cm(74,726,1220rRy 22 =−=−=
• Bước 2 : Kiểm tra bền cho móc cẩu
-Tính nội lực tại mặt cắt nguy hiểm nhất (mặt cắt A-A):
)kN(100PNz =+=
)kNm(09,1310.09,13.100R.PM 20x −=−=−= −
- Tính ứng suất pháp lớn nhất σmax và σmin theo công thức (11.6) và (11.7):
+ Tại điểm biên gần tâm cong nhất:
222
2
61
1
x
xmax m/MN160][)m/MN(4,142
10.8
10.26,4.
10.8,54
09,13
R
y.
S
M=σ<=
−−==σ
−
−
−
+ Tại điểm biên xa tâm cong nhất:
222
2
62
2
x
xmin m/MN160][)m/MN(2,77
10.20
10.74,7.
10.8,54
1309
R
y.
S
M=σ<−=
−==σ
−
−
−
268
• Kết luận: Móc cẩu an toàn khi nâng vật nặng 100 kN đã cho.
BÀI TẬP 11.1. Vẽ biểu đồ nội lực cho các thanh cong trên hình 11-1B.
11.2. Xác định ứng suất pháp kéo và nén lớn nhất cho các thanh cong trên hình 11-2B.
11.3. Xác định tải trọng cho phép P lên một móc thép trên hình 11-3B. Biết giới hạn chảy của vật liệu σch = 270MN/m2, hệ số an toàn n = 1,5. Móc có mặt cắt tròn đường kính d = 2cm, bán kính cong R = 3cm.
11.4. Xác định tải trọng cho phép P cho thanh cong trên hình 11-4B. Cho [σ] = 270MN/m2, R2 = 30cm, R1 = 50cm.
q=12kN/m
1,5m 3m
b)
P
R R
P
a) Hình 11-1B
R R P
RR=8cm
6cm
4cm
P=20kN
R1 R2
d
R2=14cm, R1=4cm
a) P b)
Hình 11-2B
R
d
P
Hình 11-3B
P
P
R2
l=80cm
R1
12cm
6cm
Hình 11-4B
269
11.5. Kiểm tra bền cho thanh cong dạng nửa tròn bằng gang trên hình 11-5B. Biết [σ]K = 60MN/m2, [σ]N = 180MN/m2.
11.6. Kiểm tra bền cho thanh cong trên hình 11-1B (sơ đồ b), nếu biết mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước b = 6cm, h = 16cm, vật liệu bằng thép có [σ] = 140MN/m2.
d=5cm
P P=7kN
Hình 11-5B
270
CHƯƠNG 12: ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM
12.1. Khái niệm Trong chương 1 ta đã đề cập đến nhiệm vụ của môn SBVL là nghiên cứu các
phương pháp tính toán công trình trên 3 mặt: Tính toán độ bền, độ cứng và ổn định của công trình. Trong các chương trước chúng ta đã giải quyết 2 nhiệm vụ đầu, chương này ta sẽ giải quyết nốt nhiệm vụ còn lại. Trong thực tế, có một số trường hợp tuy điều kiện bền và điều kiện cứng vẫn còn đảm bảo, nhưng công trình vẫn bị phá hoại. Sự phá hoại này do một nguyên nhân khác, đó là do công trình bị mất ổn định. Để có khái niệm về sự mất ổn định của một thanh chịu nén ta xét một ví dụ đơn giản sau.
Giả sử một thanh dài và mảnh chịu lực nén đúng tâm như trên hình 12-1. Khi lực P còn nhỏ hơn một giá trị nào đó mà ta gọi là lực tới hạn (Pth) thì thanh vẫn thẳng (hình 12-1a), lúc này thanh vẫn chịu nén đúng tâm. Khi đó ta nói thanh ở trạng thái cân bằng ổn định. Khi tăng P đạt tới giá trị tới hạn P = Pth thì thanh vẫn thẳng và nếu tác dụng một lực R rất nhỏ vuông góc với trục thanh thì thanh sẽ bị cong đi (hình 12-1b), nhưng khi ta bỏ lực R đi thì thanh vẫn cong và không trở lại dạng thẳng ban đầu. Trạng thái này của thanh được gọi là trạng thái tới hạn (hình 12-1c). Ở trạng thái này thanh vẫn chịu nén đúng tâm. Lực P ứng với trạng thái này được gọi là lực tới hạn Pth. Nếu ta tăng lực P lên lớn hơn giá trị này P>Pth thì thanh ở trạng thái mất ổn định, thanh không còn giữ được trạng thái thẳng ban đầu.
Trạng thái cân bằng của thanh chịu nén cũng tương tự sự cân bằng của viên bi có trọng lượng đặt trên một mặt cong chúng ta đã gặp trong môn Cơ học lý thuyết. Viên bi này cũng sẽ cân bằng ổn định khi ta đặt nó ở vị trí thấp nhất của mặt cong lõm (hình 12-2 a), vì nếu ta đẩy nó dời khỏi vị trí cân bằng này thì trọng lượng bản thân nó sẽ kéo nó ngay lập tức trở lại vị trí cân bằng ban đầu. Nếu ta đặt nó ở vị trí cao nhất của mặt cong lồi thì vật sẽ ở trạng thái cân bằng không ổn định (hình 12-2b), vì nếu ta đẩy nó khỏi vị trí cân bằng này nó sẽ chuyển động và không thể trở lại vị trí ban đầu nữa.
P < Pth P = Pth
R
P > Pth
R
a) b) c)
Hình 12-1
a) b)
Hình 12-2
271
Qua các ví dụ trên ta thấy vật thể đàn hồi cũng như vật thể rắn đều có những trạng thái cân bằng ổn định và không ổn định tương tự nhau.
Đặc điểm của hệ khi bị mất ổn định là biến dạng của nó tăng rất nhanh và hệ có thể bị phá hoại đột ngột. Để đảm bảo an toàn về mặt ổn định cho thanh chịu nén thì lực nén tác dụng lên thanh (P) phải nhỏ hơn giá trị tới hạn :
od
th
K
PP ≤
Trong đó Kođ là hệ số an toàn về mặt ổn định. Kođ>1, giá trị của nó tuỳ thuộc vào mức độ quan trọng của công trình và được lấy theo quy chuẩn của nhà nước. Do đó nội dung chính của việc giải bài toán về mặt ổn định là xác định tải trọng tới hạn.
12.2. Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm - (bài toán Ơle 1774) Giả sử một thanh thẳng 2 đầu liên kết khớp chịu nén đúng tâm bởi lực P
như trên hình 12-3. Hãy xác định lực tới hạn Pth của thanh. Bài toán này đã được nhà bác học nổi tiếng L.Ơle giải năm 1774. Khi P đạt tới giá trị tới hạn, thanh vẫn thẳng nhưng do một nguyên nhân nào đấy thanh bị cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất. Chọn hệ trục toạ độ như trên hình vẽ và xét mặt cắt cách gốc toạ độ một đoạn z. Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh ta tính được mômen uốn nội lực tại mặt cắt đó:
M(z) = Pth.y(z) (a)
Giả sử ở trạng thái này, vật liệu làm thanh vẫn còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, do đó có thể sử dụng phương trình vi phân gần đúng đường đàn hồi của dầm chịu uốn. Gọi mômen quán tính chính trung tâm nhỏ nhất của mặt cắt ngang của thanh là Jmin , ta có :
y’’(z)= minEJ
)z(M− (b)
trong công thức trên ta lấy Jmin vì rằng khi thanh bị cong nó sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất, tức là mặt phẳng có EJmin.
Thay (a) vào (b) ta được :
y’’(z)=- min
th
EJ)z(yP
y’’(z) + 0)z(yEJ
P
min
th =
Đặt : α2 = min
th
EJP (c)
yy(z)
P z
Hình 12-3
z
272
ta được phương trình vi phân đường đàn hồi của dầm dưới dạng :
y’’(z) + α2 y(z) = 0 (d)
Đây là phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất hệ số hằng số, có nghiệm tổng quát:
y(z) = C1 sin αz +C2 cos αz (e)
trong đó C1, C2 là các hằng số tích phân được xác định từ các điều kiện biên, đó là các điều kiện tại các đầu thanh :
+ Tại A: z = 0 có y = 0 , do đó có : y = C1.0 + C2.l = 0
+ Tại B : z = l có y = 0 , do đó có : y = C1.sin αl + C2.cosαl =0
Từ các điều kiện trên ta tìm được C2 = 0 và phương trình (e) có dạng :
y = C1. sin αz (f)
Sử dụng điều kiện thứ 2 ở trên ta có :
y = C1. sin αl = 0
Nếu C1 = 0 thì y luôn luôn bằng 0, thanh luôn luôn thẳng, nghĩa là thanh còn nằm trong trạng thái ổn định, điều này trái với giả thiết ban đầu là thanh bị cong và đã mất ổn định. Như vậy còn lại :
Sin αl = 0
αl = nπ ( n = 1, 2, 3... )
α =l
πn (g)
Thay (g) vào (f) ta được phương trình đường đàn hồi của dầm có dạng :
y(z) = C1 sin znl
π (h)
Thay (g) vào (c) ta xác định được lực tới hạn :
Pth = 2min
22 EJnl
π (i)
Với những giá trị khác nhau của số tự nhiên n ta được những giá trị khác nhau của lực tới hạn tương ứng với các dạng đường đàn hồi khác nhau như trong bảng 12-1.
Ta chỉ xét kết cấu chịu tác dụng của tải trọng tĩnh, tức là tải trọng tăng dần từ 0 đến một giá trị xác định, như vậy khi P đạt đến giá trị tới hạn đầu tiên (ứng với n =1) thì thanh đã bị mất ổn định. Do đó, thực tế lực tới hạn chỉ bằng:
Pth = 2min
2EJ
l
π (12.1)
273
Bảng 12-1
n Hình dáng thanh khi mất ổn định
Số nửa bướcsóng
Lực tới hạn
1
1 2min
2
th
EJP
l
π=
2
2 2
min22
th
EJ2P
l
π=
3 3 2
min22
th
EJ3P
l
π=
Và lực tới hạn này được gọi là lực tới hạn Ơle: PƠle, còn lực tới hạn Pth > Pơle là không có nghĩa. Tuy nhiên về mặt lý thuyết ta thấy khi thanh mất ổn định nếu như đường đàn hồi của dầm có dạng n lần nửa bước sóng hình sin thì Pth tăng gấp n2 lần so với Pơle, có nghĩa là nếu trong điều kiện cho phép không làm ảnh hưởng tới điều kiện làm việc của thanh ta có thể đặt thêm các gối tựa tại những điểm uốn của thanh khi mất ổn định như trên hình 12-4 thì có thể làm tăng giá trị của lực tới hạn lên 4 hoặc 9 lần .
Phần trên ta đã tính được lực tới hạn đối với thanh chịu nén đúng tâm 2 đầu liên kết khớp, với những thanh có các liên kết khác, chẳng hạn một đầu ngàm một đầu tự do, một đầu ngàm một đầu khớp... bằng cách tính toán tương tự ta có thể tìm được lực tới hạn Ơle bằng một biểu thức có dạng tương tự biểu thức (12.1):
Pth = m2 2min
2EJ
l
π
Hay Pth = 2min
2
)(EJlμ
π
P
P
P
P P
Hình 12-4
Hình 12-5 μ = 1 μ = 2 μ = 0,7 μ = 0,5
274
Trong đó μ và m = μ1 là các hệ số phụ thuộc vào loại liên kết ở 2 đầu thanh, các trị
số này cho trên hình 12-5.
Để ý rằng m chính là bằng số nửa bước sóng hình sin của đường đàn hồi của thanh khi mất ổn định.
Như trên đã nói, khi đạt tới trạng thái tới hạn thanh vẫn chịu nén đúng tâm nên ta có thể tính được ứng suất tới hạn :
2
2min
2
2min
2th
th )(Ei
F)(
EJFP
ll μπ
=μ
π==σ
Trong đó: FJ
i Minmin = là bán kính quán tính chính cực tiểu của mặt cắt
ngang.
Đặt: λ=minilμ (12.2)
thì công thức tính ứng suất tới hạn có dạng :
σth= 2
2Eλ
π (12.3)
Như vậy σth của thanh phụ thuộc vào vật liệu làm thanh (môđun đàn hồi E của vật liệu) và λ của thanh. λ phụ thuộc vào đặc trưng hình học (Jmin , F) của mặt cắt ngang và liên kết của thanh. Trị số của λ càng lớn (thanh có chiều dài l lớn và Jmin nhỏ) thì σth của thanh càng nhỏ, do đó tính ổn định của thanh càng kém. Thanh có đặc điểm như vậy gọi là thanh mảnh, do đó λ được gọi là độ mảnh của thanh.
12.3. Giới hạn áp dụng công thức Ơle Như đã xét ở trên, khi tính Pơle của thanh chịu nén đúng tâm ta đã đưa vào giả thiết
vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính, vì vậy các công thức trên chỉ đúng khi chúng còn thoả mãn các giả thiết đó, có nghĩa là khi ứng suất trong thanh còn nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ :
tlth σ≤σ
Hay: tl2
2Eσ≤
λπ
Từ đó suy ra : tl
2Eσπ≥λ (12.4)
Kí hiệu: 20 t
Eπλ = σ l (12.5)
thì điều kiện để áp dụng công thức Ơle là :
λ ≥ λ0 (12.6)
275
Trị số của λ0 chỉ phụ thuộc vào vật liệu làm thanh .
Ví dụ : Với thép CT3 có E = 2,1.105 MN/m2 , σtl = 210 MN/m2 nên λ0 ≈ 100.
Với gỗ thông λ0 = 75 và gang λ0 = 80.
Những thanh có λ >λ0 được gọi là thanh có độ mảnh lớn, còn những thanh có λ < λ0 được gọi là thanh có độ mảnh vừa và bé. Như vậy các công thức tính ứng suất tới hạn ở trên chỉ đúng cho những thanh có độ mảnh lớn, còn không dùng cho các thanh có độ mảnh vừa và bé .
12.4. Tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm ngoài miền đàn hồi Như ta đã biết các công thức tính ứng suất tới hạn ở trên chỉ đúng khi vật liệu của
thanh còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, còn với các thanh khi vật liệu của nó không còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi nữa, tức là các thanh có độ mảnh vừa và bé thì các công thức trên không thể dùng được. Với các thanh này khi tính ổn định ta thường dùng các công thức kinh nghiệm. Cụ thể :
Với những thanh có độ mảnh vừa, tức là :
λ1 ≤ λ ≤ λ0
trong đó λ1 là giới hạn của độ mảnh vừa, thì ta tính ứng suất tới hạn theo công thức thực nghiệm của Ia-xin-ski :
σth = a – bλ (12.7)
trong đó a và b là các hằng số phụ thuộc vào vật liệu làm thanh và được xác định bằng thực nghiệm. Ví dụ: Thép CT3 thì a = 336MN/m2, b = 1,47 MN/m2.
Với những thanh có độ mảnh bé, tức là :
0 ≤ λ ≤ λ1
thì ứng suất tới hạn được lấy bằng :
σth = σ0 (12.8)
trong đó σ0 là ứng suất nguy hiểm, nó phụ thuộc vào vật liệu :
Với vật liệu dẻo thì σ0 = σc
Với vật liệu dòn thì σ0 = σB
Nếu ta biết được a, b, σ0 thì từ công thức (12.7) ta có thể tính được λ1.
Như vậy ứng suất tới hạn phụ thuộc vào độ mảnh của thanh, ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất tới hạn và độ mảnh của thanh như trên hình 12-6.
Hyperbol Ơle
σth
σo
σ1
λ1 λo λ
đường thẳng Iaxinxki
Hình 12-6
276
Chú ý rằng ở trên ta đã xét các thanh có liên kết 2 phía như nhau: Hoặc đó là liên kết khớp cầu, hoặc đó là liên kết ngàm cả 2 phía. Trong những trường hợp này, khi mất ổn định thanh sẽ bị cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất. Tuy nhiên trong trường hợp khi liên kết ở 2 phía không như nhau thì khi mất ổn định thanh sẽ bị cong theo phương có độ mảnh lớn mà không nhất thiết bị cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất .
Ví dụ 12-1: Một cột bằng thép CT3 có mặt cắt chữ I số hiệu No 22a như trên hình 12-7. Tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn của cột trong 2 trường hợp :
a) l = 3m
b) l = 2,25 m.
Biết E = 2,1.105 MN/m2.
Bài giải:
Với thép INo 22a tra bảng ta được: F = 32,4cm2, iy = imin = 2,5cm. Thanh 2 đầu khớp cầu nên μ = 1 .
a) Trường hợp l = 3m
minilμ=λ = 210.5,2
3.1− = 120
Như vậy λ > λ0 = 100, do đó ta tính ứng suất tới hạn theo công thức Ơle :
thσ = 2
2Eλ
π = 2
52
12010.1,2.14,3 = 143 MN/m2
Pth = thσ .F = 143 . 32,4 . 10-4 = 0,463 MN = 463 KN
b)Trường hợp l = 2,25 m
minilμ=λ = 210.5,2
25,2.1− = 90 < λ0 =100
Do đó ta tính ứng suất tới hạn theo công thức Ia-xin-ski :
σth = a - b λ = 336 − 1,47 × 90 = 204 MN/m2
Pth = σth × F = 204 × 32,4 . 10-4 = 0,66 MN = 660 KN
Ví dụ 12-2: Cho một cột bằng gỗ cao 7m, mặt cắt ngang hình chữ nhật 12×22 cm2 như trên hình 12-8. Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất 2 đầu bị ngàm chặt, trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất 2 đầu liên kết khớp. Xác định lực tới hạn và ứng suất tới hạn của thanh, biết E = 9.103 MN/m2.
Bài giải:
l
P
Hình 12-7
l12cm
22cm
Hình 12-8
P P
277
Với mặt cắt chữ nhật ta có:
imax cm36,61222
12h ===
imin = b 12 3, 46 cm12 12= =
Trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất, độ mảnh của thanh bằng :
2max 10.36,6
7.1i' −=μ=λ l = 110
Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất, độ mảnh của thanh bằng :
10110.46,37.2
i 2min
'' ==μ=λ −l .
Rõ ràng λ’ > λ’’ nên khi mất ổn định cột sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất. Như vậy ta sẽ dùng λ’ để tính ứng suất tới hạn và lực tới hạn .
Với gỗ λ0 = 75, do đó λ’ > λ0 nên ứng suất tới hạn được tính theo công thức Ơle:
22
3
2'
2th m/MN33,7
11010.9.86,9
)(E ==
λπ=σ
KN194N10.19422,0.12,0.10.33,7F.P 36thth ===σ=
12.5.Tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm theo phương pháp thực hành Như đã thấy ở trên, ứng suất tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm phụ thuộc vào
độ mảnh của thanh và như vậy phải phân thanh thành 3 loại với 3 công thức tính ứng suất tới hạn khác nhau. Để thuận tiện hơn ta sẽ dùng phương pháp thực hành để tính .
Cơ sở của phương pháp này là dựa vào điều kiện bền và điều kiện ổn định của thanh. Với thanh chịu nén đúng tâm thì :
Điều kiện bền :
[ ] nFN 0
Nσ
=σ≤ (a)
trong đó σ0 là ứng suất nguy hiểm , n là hệ số an toàn về độ bền.
Điều kiện ổn định :
[ ]od
thod KF
N σ=σ≤ (b)
trong đó Kođ là hệ số an toàn về ổn định.
Chia vế với vế của (b) cho (a) và kí hiệu :
od0
th
N
od
Kn.
][][
σσ
=σσ
=ϕ (c)
278
Theo hình 12-5 ta có 0th σ≤σ và thông thường n ≤ Kod , do đó 1≤ϕ .
Như vậy : [ ] [ ]Nod σϕ=σ
và [ ] [ ]Nod σ≤σ
Do đó ϕ được gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép.
Hệ số ϕ phụ thuộc vào vật liệu, độ mảnh của thanh và các hệ số an toàn về độ bền, hệ số an toàn về ổn định. Dựa vào công thức (c) và biểu đồ quan hệ giữa [ ]thσ vàλ người ta đã lập bảng tính sẵn các trị số ϕ cho một số vật liệu thường gặp như trong bảng của phụ lục.
Từ cơ sở trên ta đi đến cách giải 3 bài toán cơ bản :
1) Bài toán kiểm tra ổn định : Cho trước hình dạng, kích thước của kết cấu, cho trước vật liệu làm kết cấu và tải trọng tác dụng lên kết cấu. Yêu cầu kiểm tra bất đẳng thức:
[ ]NFN σϕ≤ (12-9)
có thoả mãn hay không.
Muốn giải bài toán này trước hết ta tính trị số λ :
minilμ=λ
Có λ ta tra ϕ từ bảng tra ở phụ lục và thay vào (12.9), nếu bất đẳng thức đó thoả mãn thì thanh ổn định, nếu bất đẳng thức đó không thoả mãn thì thanh không ổn định.
2) Bài toán chọn tải trọng cho phép: Cho trước hình dạng, kích thước và vật liệu của kết cấu. Yêu cầu xác định tải trọng cho phép tác dụng lên kết cấu.
Từ công thức (12.9) ta xác định được :
[ ] [ ]NFN σϕ= (12.10)
Để giải bài toán này ta cũng tính λ , sau đó tra bảng được ϕ và thay vào công thức (12.10) ta sẽ xác định được giá trị lực dọc cho phép và từ đó xác định được tải trọng cho phép tác dụng lên thanh.
3) Bài toán chọn mặt cắt: Cho vật liệu làm kết cấu và tải trọng tác dụng lên kết cấu, yêu cầu chọn kích thước mặt cắt ngang của kết cấu.
Từ công thức (12.10) ta có :
N][NFσϕ
≥ (12.11)
Từ (12.11) ta thấy chỉ có một phương trình mà có 2 ẩn số là F và ϕ , vì muốn tra được ϕ ta phải tính λ , mà λ lại phụ thuộc vào các đặc trưng của mặt cắt ngang. Do
279
đó bài toán này phải giải bằng phương pháp đúng dần. Trình tự giải bài toán này như sau :
a) Giả thiết ϕbằng một giá trị ϕ 0 nào đó (ϕ 0 = 0 ÷ 1, thường chọn 5,00 =ϕ ), thay ϕ 0 vào (12.11) ta xác định được F.
b) Có mặt cắt ta xác định được imin và do đó tính được λ .
c) Có λ và vật liệu, tra bảng tra ϕ ở phụ luục được giá trị ϕ 1 . Nếu
01 ϕ≈ϕ (ta coi 1 0ϕ ≈ ϕ khi 1 0
0
100% 5%ϕ − ϕ≤
ϕ) thì F đã tính được ở bước a) là nghiệm
của bài toán, trường hợp ngược lại nếu 1 0ϕ ≠ ϕ thì ta lại quay lại từ bước a) bằng cách giả thiết lại trị sốϕ 2 = (ϕ 1+ ϕ 0)/2 và cứ tiếp tục quá trình như trên đến khi giá trị ϕ của 2 lần giả thiết và tính liên tiếp xấp xỉ nhau thì dừng lại .
Từ công thức (12.10) và ta đã có 1≤ϕ nên nếu điều kiện ổn định đã được đảm bảo thì nói chung điều kiện bền cũng được đảm bảo. Do đó với thanh chịu nén đúng tâm nói chung chỉ cần kiểm tra theo điều kiện ổn định là đủ. Tuy nhiên, nếu trong thanh vì một lý do nào đó mà mặt cắt ngang bị giảm yếu cục bộ, chẳng hạn như có những lỗ khoét để bắt bulông hoặc đinh tán, thì sự giảm yếu đó chỉ ảnh hưởng đến độ bền, còn ảnh hưởng không đáng kể tới tính ổn định của thanh. Chính vì thế, trong trường hợp này ta phải kiểm tra cả theo điều kiện bền và cả theo điều kiện ổn định. Tuy nhiên khi kiểm tra theo điều kiện bền ta phải dùng diện tích thực Fth của mặt cắt bị giảm yếu, còn khi kiểm tra ổn định ta dùng diện tích nguyên Fng.
Ví dụ 12-3: Một cột cao l = 3m bằng thép CT2 có mặt cắt ngang hình chữ I số 30a, hai đầu liên kết khớp. Xác định tải trọng cho phép tác dụng lên đầu cột, biết thanh có [ ]σ N = 140 MN/m2.
Bài giải :
Thép IN030a có F = 49,9cm2, iy = imin = 2,95cm, thanh 2 đầu khớp nên μ =1.
10110.95,23.1
i 2min
==μ=λ −l
Tra bảng được 592,0=ϕ , do đó :
[ ] [ ] KN41310.140.10.9,49.592,0FP 34N ==σϕ= −
Ví dụ 12-4 : Chọn số hiệu thép chữ I cho thanh dài l = 2m chịu lực nén đúng tâm P = 230 KN bằng thép CT2 có [ ] 2
N m/MN140=σ và có liên kết khớp ở 2 đầu.
Bài giải :
- Giả thiết 5,00 =ϕ , thay vào công thức (12.12) :
2243
Ncm8,32m10.8,3210.140.5,0
230][
PF ===σϕ≥ −
280
- Tra bảng thép định hình, với I N0 22a ta được F = 32,8 cm2, cm5,2ii miny == .
805,2200.1
imin==μ=λ l
- Tra bảng hệ số ϕ ta được .75,01 =ϕ Rõ ràng 01 ϕ≠ϕ nên ta phải chọn lại ϕ , lấy:
625,0275,05,0
201
2 =+=ϕ+ϕ
=ϕ
Lại lặp lại quá trình trên :
- Thay 2ϕ vào công thức (12.12) ta được:
F 2243
N2cm2,26m10.2,2610.140.625,0
230][
P ===σϕ≥ −
- Tra bảng với I N020 được F = 26,8 cm2 , iy = imin = 2,06 cm và ta tính được :
9710.06,22.1
i 2min
==μ=λ −l
- Tra bảng được 23 627,0 ϕ≠=ϕ nhưng %5%2,0%100x2
23 <=ϕ
ϕ−ϕ nên có thể
xem 23 ϕ≈ϕ , do đó ta chọn I N020.
12.6. Chọn hình dáng mặt cắt hợp lý và vật liệu Như ta đã biết, với thanh chịu nén đúng tâm, nếu chỉ kiểm tra theo điều kiện bền
thì chỉ có diện tích mặt cắt ngang ảnh hưởng đến độ bền của thanh còn hình dáng của mặt cắt không có ảnh hưởng gì. Tuy nhiên khi kiểm tra theo điều kiện ổn định, ngoài trị số diện tích của mặt cắt ngang thì hình dáng của mặt cắt ngang ảnh hưởng rất lớn tới tính ổn định của thanh. Do đó việc thay đổi hình dáng mặt cắt có thể làm tăng hoặc giảm tính ổn định của thanh, có nghĩa là với những thanh có cùng diện tích mặt cắt ngang nhưng hình dáng khác nhau thì có thể chịu được những lực nén khác nhau.
Như vậy thanh có mặt cắt ngang có hình dáng hợp lí khi với một diện tích mặt cắt nhất định thanh chịu được lực nén lớn nhất. Với thanh như thế vừa đảm bảo an toàn lại vừa tiết kiệm được vật liệu vì nó tận dụng được khả năng chịu lực của vật liệu.
Như ta đã biết, muốn tăng tính ổn định của thanh (làm tăng ứng suất tới hạn thσ ) cần phải giảm độ mảnh λ , mà:
Minilμ=λ
Như vậy, muốn giảm λ có nhiều biện pháp: Có thể giảm chiều dài l của thanh, thay đổi liên kết ở 2 đầu thanh sao cho μ nhỏ đi (nếu điều kiện làm việc của thanh cho phép) hoặc làm tăng trị số của mini . Do đó, điều kiện để mặt cắt ngang có hình dáng hợp lí là :
281
a) maxmin ii = , tức là maxmin JJ = . Điều kiện này đảm bảo thanh chống lại sự mất ổn định như nhau theo mọi phương. Để đảm bảo điều kiện này mặt cắt chỉ có thể là hình tròn hoặc đa giác đều .
b) Mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang càng lớn càng tốt. Muốn như thế ta phải tìm cách phân bố vật liệu ra xa trục trung hoà, tức là phải dùng các hình rỗng hoặc hình ghép như trên hình 12-9.
Tuy nhiên chiều dầy của mặt cắt ngang không được quá mỏng để tránh xẩy ra hiện tượng mất ổn định cục bộ. Đối với các mặt cắt ghép bằng các thép định hình, người ta thường sử dụng các thanh giằng phải đảm bảo chắc chắn, đồng thời kích thước và khoảng cách giữa các thanh giằng phải đủ để đảm bảo mặt cắt làm việc như mặt cắt nguyên và không xẩy ra hiện tượng mất ổn định cục bộ trong thanh ghép cũng như trong mỗi thanh giằng.
Ngoài hình dáng của mặt cắt, vật liệu làm thanh cũng ảnh hưởng tới tính ổn định của thanh. Tuy nhiên, với những thanh có độ mảnh lớn thì chỉ có môđun đàn hồi E là ảnh hưởng tới thσ , còn với những thanh có độ mảnh vừa và bé thì giới hạn bền và giới hạn chảy lại ảnh hưởng lớn tới ứng suất tới hạn.
Trên hình 12-10 biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất tới hạn với các yếu tố ảnh hưởng tới nó: độ mảnh của thanh, giới hạn bền và giới hạn chảy của 2 loại thép :
+ Thép ít cácbon (σC = 240 MN/m2)
+ Thép hợp kim (σC = 300 MN/m2)
Nhìn vào đồ thị trên, ta thấy: Việc sử dụng vật liệu cường độ cao để làm thanh chịu nén không phải bao giờ cũng có lợi. Việc chọn vật liệu nào còn tuỳ thuộc vào độ mảnh của thanh.
Như ta đã biết, với những loại thép khác nhau thì ứng suất nguy hiểm khác nhau, nhưng môđun đàn hồi E lại có giá trị gần như không đổi. Do đó với những thanh có độ mảnh lớn không nên dùng thép có cường độ cao vì không những không tăng được ứng suất tới hạn mà còn rất đắt. Còn với những thanh có độ mảnh vừa và bé thì lại nên dùng thép có cường độ cao để tăng ứng suất tới hạn.
Hình 12-9
σth
2
λ
240
300
40 100
Thép hợp kim
Thép ít các bon
Hình 12-10
282
Ví dụ 12-5 : Một cột được ghép bởi 2 thép chữ N014 như trên hình 12-11. Hãy xác định khoảng cách ghép a để thanh có mặt cắt hợp lí. Với mặt cắt đó, hãy xác định tải trọng cho phép tác dụng lên cột, biết cột làm bằng thép CT3 có [ ] .m/MN160 2
N =σ Cho 4m=l .
Bài giải :
Với thép N014 tra bảng ta được: F = 15,6cm2, Jx = 491cm4, ix = 5,6cm, Jy = 45,4cm4, zo = 1,67 cm.
Điều kiện để mặt cắt hợp lí là: Jxo = Jyo mà Jxo = 2 Jx suy ra:
Jyo = 2 ( )[ ]F.z2aJ
2oy ++
Thay số vào ta được :
( )2a2.419 2. 45,5 1,67 .15,62⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦
Giải phương trình trên ta được a = 7,35cm.
Ta chọn a = 7,4 cm.
Xác định [P]:
Vì thanh có mặt cắt hợp lí nên xomaxmin iii == .
cm6,5iF
JF2
J2i XXX
min ====
14210.6,5
4.2
i 2Min
==μ
=λ−
l
Tra bảng được 35,0=ϕ , do đó :
[ ] [ ] KN17410.160.10.6,15.2.35,0.F.P 34N ==σϕ= −
12.7. Uốn ngang và uốn dọc đồng thời Xét dầm đơn chịu tác dụng của lực nén đúng
tâm P và các lực ngang R1, R2 như trên hình 12-12. Nếu như không xét đến biến dạng uốn do lực P gây ra thì dầm trên được tính như một dầm chịu uốn và nén đồng thời; nghĩa là lực dọc chỉ do P gây ra, còn mômen uốn do các lực R gây ra. Việc tính như vậy chỉ đúng cho dầm có biến dạng nhỏ. Trong trường hợp dầm có biến dạng uốn tương đối lớn thì không thể bỏ qua ảnh hưởng của lực nén P tới biến dạng uốn được. Khi đó nội lực mômen uốn trên mặt cắt ngang của dầm đồng thời do cả lực ngang và lực dọc gây ra, ta gọi dầm là chịu uốn ngang và uốn dọc đồng thời.
Xét mặt cắt 1-1 có mômen uốn bằng :
M = MR + P.y (a)
xo
P
Hình 12-11
a
y yo
zo
l
y
P
Hình 12-12
R1 R2
1
1
283
trong đó:
MR là mômen uốn do các lực ngang gây ra.
P.y là mômen uốn do lực dọc gây ra, với y là độ võng của dầm do cả lực dọc và lực ngang gây ra tại mặt cắt xét.
Để xác định độ võng y ta dựa vào phương trình vi phân độ võng của dầm chịu uốn:
EJM''y −=
Đặt M từ biểu thức (a) vào ta được:
EJy''=- M = -MR - P.y
hay EJ
MyEJP''y R−=+ (b)
Đặt: EJ
P2 =α
thì (b) trở thành: EJ
My''y R2 −=α+ (c)
Nghiệm tổng quát của phương trình trên là:
yzcosCzsinCy 21 +α+α= (d)
trong đó y là một nghiệm riêng của phương trình có vế phải của (c), nó phụ thuộc vào dạng của tải trọng ngang.
Nếu tải trọng ngang phân bố đối xứng qua mặt cắt giữa dầm thì có thể coi gần đúng đường đàn hồi của dầm có dạng hình sin:
Zsinfyl
π= (e)
trong đó f là độ võng lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm, và nghiệm riêng trong (d) có dạng:
zsin.fy Rl
π= (f)
với fR là độ võng lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm do tải trọng ngang gây ra.
Nhưng ta đã có:
EJM''y −=
Đặt (e) và (f) vào biểu thức trên ta được:
284
zsinf''y R2
2
ll
ππ−=
zsinf''y R2
2
ll
ππ−=
Thay tất cả vào (c) được:
zsinfzsinfzsinf R2
22
2
lllll
ππ−=
πα+
ππ−
hay yyy 2
22
2
2
ll
π−=α+
π−
Sau khi rút gọn và để ý đến ký hiệu α ta được:
2
22
2
2
2
2
EJP1
yyy
l
l
l
π−
=α−
π
π
=
Ở đây ta thấy 2
2EJ
l
π có dạng giống biểu thức tính lực tới hạn Ơle của thanh chịu
nén đúng tâm nên ta cũng ký hiệu nó là Pth. Do đó biểu thức tính độ võng y của dầm trong trường hợp này sẽ là:
thPP1
yy−
= (12.12)
và từ mối liên hệ vi phân giữa nội lực với độ võng của dầm ta có:
thPP1
MM−
= (12.13)
thPP1
QQ−
= (12.14)
trong đó Q,M,y là độ võng, mômen uốn, lực cắt chỉ do lực ngang gây ra.
Các công thức (12.12),(12.13),(12.14) được thiết lập cho dầm đơn có liên kết khớp ở 2 đầu. Với các dầm có liên kết khác ta cũng tính được y, M, Q tương tự như các công thức trên, chỉ khác là thay lực Pth bằng công thức:
( )2
2
thEJPlμ
π=
285
với μ là hệ số phụ thuộc loại liên kết ở 2 đầu dầm như đã trình bầy ở phần trên.
Chú ý rằng trong các công thức (12.12),(12.13) và (12.14), Pth không phải bao giờ cũng tính với EJMin như khi tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm, ở đây EJ là độ cứng chống uốn trong mặt phẳng uốn.
Sử dụng các công thức (12.12),(12.13),(12.14) ta có thể tính được các giá trị nội lực lớn nhất:
th
MaxMax
PP1
MM−
=
th
MaxMax
PP1
QQ−
=
và ứng suất nén lớn nhất trong dầm bằng:
X
MaxZ W
MFP
Max +=σ
Từ công thức trên ta nhận thấy ứng suất không tỷ lệ bậc nhất với tải trọng, do đó khi kiểm tra bền cho dầm chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời người ta không dùng phương pháp ứng suất cho phép mà thường dùng phương pháp tải trọng cho phép. Nếu n là hệ số an toàn chung cho cả tải trọng ngang và tải trọng dọc thì điều kiện bền của dầm sẽ là :
X
MaxMax W
nMF
nP+=σ
BÀI TẬP
12.1. Cho các thanh 2 đầu liên kết khớp sau đây:
a) Mặt cắt hình chữ nhật 9×4 cm2, l1 = 2m.
b) Mặt cắt chữ I số 16, l2 = 3m. Hình 12-3B
2 cm
286
c) Mặt cắt hình chữ nhật rỗng có các cạnh ngoài 20×12 cm2, bề dày vách 2cm, l3 = 12m.
Tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn bằng công thức Ơle đối với từng thanh.
12.2. Một cột làm bằng thép góc đều cạnh 100×100×8 mm, dài 2m, hai đầu liên kết khớp, chịu lực nén đúng tâm ở đầu cột.Tính độ mảnh lớn nhất và lực tới hạn của cột. Biết E = 2.107N/cm2, độ mảnh giới hạn λ0 = 100.
12.3. Một cột cao 5m được làm bằng thép góc đều cạnh 100×100×8 mm như hình vẽ. Cột có một đầu liên kết ngàm, một đầu liên kết khớp, chịu lực nén đúng tâm P = 200kN. Kiểm tra ổn định của cột. Cho biết cột làm bằng thép CT2 có [σ] = 140 MN/m2.
12.4. Một thanh thép chữ I số 10 có chiều dài l = 7m, một đầu bị ngàm, đầu kia cách một bức tường cứng tuyệt đối một khoảng Δ = 2mm như trên hình 12-4B.
Kiểm tra ổn định của thanh khi nhiệt độ trong thanh tăng thêm 300C. Cho biết kôđ=2, độ mảnh tới hạn λ0 = 100, E = 2.1011N/m2, hệ số nở nhiệt α = 125.10-7l/độ. Giả thiết khi nhiệt độ tăng, các đặc trưng về độ bền không thay đổi.
12.5. Một giá đỡ chịu tải trọng phân bố đều như hình 12-5B. Xác định cường độ tải trọng cho phép [q] tác dụng lên giá đỡ trong trường hợp không xét và có xét tới ổn định của thanh AB. Biết thanh AB bằng gỗ, mặt cắt ngang hình vuông 5x5 cm, [σ]n = 10MN/m2.
12.6. Một cột gỗ cao 7m, mặt cắt ngang hình chữ nhật 12×22cm2 như trên hình 12-6B. Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ hai đầu liên kết ngàm, trong mặt phẳng có độ cứng lớn có hai đầu liên kết khớp. Tính độ mảnh lớn nhất của cột và tính lực nén cho phép theo điều kiện ổn định, biết [σ] = 100N/cm2.
l
Hình 12-4B
Δ
q
100
cm
AC
BHình 12-5B
300
x y
P
x
y
P
Hình 12-6B
Hình 12-7B
2,4 m
D
q
287
12.7. Cần trượt của pittông một máy hơi nước dài 2,4m có mặt cắt hình tròn đường kính d = 7,5 cm. Hãy kiểm tra điều kiện ổn định của cần. Cho biết áp suất trong xi lanh q = 0,8MN/cm2, độ mảnh giới hạn λ0 = 100.
12.8. Một cột cao 7,5m làm bằng thép chữ I số 24a hai đầu liên kết ngàm.
a) Xác định lực nén cho phép của cột.
b) Nếu chiều cao của cột giảm đi một nửa thì lực nén cho phép tăng lên bao nhiêu lần?
Cho biết cột làm bằng thép có σtl = 240 MN/m2, E = 2.1011N/m2, hệ số an toàn về ổn định kôđ = 3, công thức Iaxinxki đối với thép có a = 464MN/m2, b = 3,617 MN/m2.
12.9. Xác định hệ số an toàn của cột làm bằng gang chịu một lực nén đúng tâm P = 60kN. Cột có chiều dài 1,6m, mặt cắt hình chữ thập và bị ngàm ở hai đầu. như hình 12-9B.
Chú thích: ứng suất tới hạn ngoài giới hạn đàn hồi của gang có thể tính theo công thức:
σth = 776 - 12λ + 0,053λ2 (MN/m2).
12.10. Một cột thép mặt cắt chữ I hai đầu liên kết khớp, dài l = 3m chịu lực nén đúng tâm P = 400kN. Chọn số hiệu mặt cắt của cột, biết vật liệu cột thép có [σ]n = 160 MN/m2.
12.11. Cho một hệ thanh chịu lực như hình 12-11B. Xác định số hiệu mặt cắt chữ I và hệ số an toàn về ổn định nôđ của thanh AB. Biết [σ] = 160 MN/m2.
12.12. Một giá đỡ chịu tải trọng phân bố đều như hình 12-12B. Kiểm tra ổn định cho thanh AB. Cho biết thanh chống AB có mặt cắt hình vuông cạnh là 5cm và làm bằng gỗ có [σ]n = 10 MN/m2, q = 2 KN/m.
P
6
6 1
1
Hình 12-9B
(cm)
P=950 kN
Hình 12-11B
2m 3m 2m
q
1m
Hình 12-12B
5cm
5cm
1−1
α = 300
288
12.13. Một cột gỗ dài 3m như trên hình 12-13B, mặt cắt hình chữ nhật b×h. Đầu dưới của cột được chôn vào nền bê tông, đầu trên có thể trượt theo một khe nhỏ song song với phương của cạnh h của mặt cắt. Xác định kích thước của mặt cắt bxh sao cho mặt cắt là hợp lý nhất về ổn định. Biết lực nén P = 100 kN, [σ] = 10 MN/m2.
12.14. Một thép chữ I số 24 dài 4m, hai đầu liên kết khớp chịu lực nén đúng tâm.
a) Tính độ mảnh lớn nhất và lực tới hạn của cột.
b) Tính lực nén cho phép theo điều kiện ổn định.
c) Hệ số an toàn về ổn định trong trường hợp này là bao nhiêu ? Cho biết λ0 = 100, E = 2.105MN/m2, [σ]n = 160MN/m2.
12.15. Một dầm chịu lực như hình 12-15B. Cột BC ghép bởi hai thanh chữ I số 14 để mô men quán tính đối với hai trục x và y bằng nhau.
Xác định chiều dài a của đầu hẫng của dầm theo điều kiện ổn định của thanh BC. Cho biết thanh BC có [σ] = 160MN/m2, và P = 100kN, q = 4kN/m.
12.16. Có một cần cẩu như trên hình 12-16B. Thanh AB được ghép bởi hai thanh chữ [ số 12 sao cho mô men quán tính đối với hai trục chính bằng nhau.
Hãy xác định tải trọng Q mà cần cẩu có thể nâng được. Thanh AB bằng thép CT3 có [σ] = 160MN/m2.
P
Hình 12-13B
3m
b
P
h
P
Hình 12-15B
8m
10m a q
x y
4
Q
600
300
11
Hình 12-16B
1−1
289
12.17 Thanh AB của một dàn phẳng được ghép bởi hai thanh thép góc không đều cạnh sao cho mô men quán tính của mặt cắt đối với hai trục chính bằng nhau như trên hình 12-17B.
Hai thanh được ghép cứng với nhau bằng đinh tán Φ20 và các bản giằng, mỗi bản có hai hàng đinh tán.
a) Chọn số hiệu thép góc, biết [σ] = 160 MN/m2.
b) Xác định bề dày a của bản giằng.
c) Kiểm tra lại mặt cắt theo điều kiện bền.
12.18. Xác định xem các hệ cho trên hình 12-18B mất ổn định với chiều dài l là bao nhiêu?
P l l
dα α l
4l
P=80 kN
600600
d=30cm
E=105 daN/cm2
l
a
q
l
E1=E2=E
a 1
2
d
Hình 12-18B
a
x
y
600
d=3m
Hình 12-17B
400 kN 200 kN 400 kN
600
d d d d d
290
12.19. Có bốn thanh chiều dài a tạo thành một hệ thanh vuông ABCD nối khớp với nhau như trên hình 12-19B. Kết cấu chịu tác dụng bởi lực P theo phương đường chéo AC, với hai trường hợp: P hướng vào và P hướng ra. Độ cứng của tất cả các thanh đều bằng EJ.
Hỏi với giá trị nhỏ nhất của P bằng bao nhiêu trong từng trường hợp thì kết cấu mất ổn định. Coi thanh làm việc trong giai đoạn đàn hồi.
12.20. Một thanh hai đầu liên kết khớp, dài l = 40cm, vật liệu có E = 2,1.105MN/m2, σb = 100 MN/m2, σtl = 750MN/m2. Tải trọng tới hạn là Pth = 200 KN.
Hỏi tải trọng tới hạn sẽ tăng bao nhiêu lần khi diện tích mặt cắt ngang của thanh tăng 2 lần, nếu thanh có:
a) Mặt cắt ngang hình vuông.
b) Mặt cắt ngang hình tròn.
c) Mặt cắt ngang hình vành khăn với d/D = 0,8.
Chỉ dẫn: Khi σth > σtl, có thể dùng công thức: σth = 11-0,665λ (kN/cm2).
12.21. Cho hệ chịu lực như trên hình 12-21B. Kiểm tra ổn định cho thanh AB, biết thanh làm bằng thép CT5 có [σ]N = 200 MN/m2.
P P
a a P P
a a
Hình 12-19B
8000 kN
4m
2m
4,2
m
30 c
m
30 cm
5cm
5cm
Hình 12-21B
1 1
291
CHƯƠNG 13: TẢI TRỌNG ĐỘNG
13.1. Mở đầu Phần trên chúng ta đã xét hệ chịu tác dụng của tải trọng tĩnh, đó là các tải trọng có
độ lớn tăng từ từ, từ không tới một giá trị xác định nên không làm xuất hiện lực quán tính trong hệ (gia tốc của hệ bằng không). Nhưng trong nhiều trường hợp tải trọng tác dụng lên hệ lại làm xuất hiện lực quán tính trong hệ, chẳng hạn như khi tải trọng tác dụng lên hệ tăng đột ngột hay tải trọng thay đổi theo thời gian... Những tải trọng đó được gọi là tải trọng động. Ví dụ: Lực ly tâm do phần lệch tâm của rôto khi quay gây ra tạo nên lực biến đổi tuần hoàn theo thời gian; lực do va đập từ vật này vào vật khác…
Lực quán tính phát sinh trong hệ có thể do nhiều nguyên nhân khác nhau gây ra, nhưng trong chương này ta chỉ xét một số trường hợp thường gặp trong kỹ thuật: Đó là lực quán tính sinh ra do hệ chuyển động thẳng đều, do chuyển động quay của một vài bộ phận trong hệ hoặc do sự va chạm của vật khác lên hệ.
Đối với bài toán động trong chương này, khi nghiên cứu ta thường sử dụng nguyên lí Dalambert hoặc sử dụng định luật bảo toàn năng lượng. Khi giải các bài toán này ta thường đưa về việc xét các đại lượng động (nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị động) chỉ khác các đại lượng tĩnh ở hệ số động, nghĩa là khi tính toán ta chỉ tính toán hệ chịu tác dụng của tải trọng tĩnh, rồi nhân các đại lượng động đó với hệ số động ta sẽ được các đại lượng có kể tới tác dụng động lực học của tải trọng.
13.2. Tính thanh chuyển động thẳng với gia tốc không đổi Giả sử vật nặng P treo vào dây cáp và được kéo lên
nhanh dần đều với gia tốc không đổi a như trên hình 13-1. Dây cáp có trọng lượng riêng là γ, diện tích mặt cắt ngang F.
Tưởng tượng cắt dây bằng mặt cắt 1-1 cách đầu dây một khoảng x và xét cân bằng phần dưới. Như vậy phần xét cân bằng dưới tác dụng của các lực: Trọng lượng P, trọng lượng của dây q = γ F và lực quán tính. Lực quán tính gồm 2 thành phần: Do khối lượng m của lực tập trung P gây ra bằng agP , do khối lượng
phân bố của dây gây ra là agFγ . Trong đó g là gia tốc trọng trường. Theo nguyên lý
Dalambert thì ta có phương trình cân bằng của phần xét là :
Nđ = (P+ γ Fx)+ ( agP + agFxγ ) (a)
Ứng suất trên mặt cắt ngang của dây cáp là :
x
Nđ
1 1
q
P
Hình 13-1
x
1 1
P
l
292
( )( )ga1xF
PF
Ndd +γ+==σ (b)
Gọi σt là ứng suất trên mặt cắt ngang của dây cáp khi hệ ở trạng thái tĩnh:
xFP
t γ+=σ (c)
và hệ số Kđ là :
Kđ = ( )ga1+ (13.1)
thì ứng suất động sẽ là :
σđ = Kđ . σt (13.2)
Ứng suất pháp lớn nhất trong dây cáp tại mặt cắt x = l :
max σđ = maxσt . Kđ (13.3)
Khi đó điều kiện bền của dây cáp là :
max σđ [ ]σ≤
Từ (13.1) ta thấy :
Kđ >1 khi a >0 (a có chiều hướng từ dưới lên trên) tức là trong trường hợp khi vật đi lên nhanh dần đều, hoặc đi xuống chậm dần đều;
Kđ <1 khi a < 0 (a có chiều hướng từ trên xuống dưới) tức là khi vật chuyển động đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều .
13.3. Những khái niệm cơ bản về lý thuyết dao động Trước hết ta đề cập tới bậc tự do của hệ đàn hồi. Bậc tự do của hệ đàn hồi khi
dao động là số thông số độc lập để xác định vị trí của hệ .
Ví dụ 13-1: Hệ dầm cho trên hình 13-2 mang khối lượng tập trung m là hệ một bậc tự do nếu như bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm, vì rằng ta chỉ cần biết một thông số đó là độ võng y của m là có thể xác định được ngay vị trí của nó. Ngược lại nếu kể đến trọng lượng bản thân của dầm thì hệ có vô số bậc tự do vì rằng lúc này để xác định vị trí mọi điểm của dầm ta phải biết vô số độ võng của các điểm.
Khi tính toán một hệ ta phải tính trên sơ đồ tính toán. Muốn đưa sơ đồ thực về sơ đồ tính toán ta phải đơn giản hoá một số điều kiện trong mức độ gần đúng cho phép. Chẳng hạn hệ trên hình 13-2 ta có thể coi là hệ có một bậc tự do nếu như khối lượng m khá lớn so với khối lượng của dầm.
Dao động của hệ có thể chia thành dao động tự do và dao động cưỡng bức.
y
Hình 13-2
m
293
Dao động cưỡng bức của hệ là dao động dưới tác dụng của ngoại lực biến đổi theo thời gian. Lực này được gọi là lực kích thích.
Dao động tự do là dao động không chịu tác dụng của lực kích thích.
Ta gọi hệ thực hiện được một dao động toàn phần là khi hệ đã chuyển từ vị trí cân bằng này tới vị trí cân bằng tiếp theo sau khi hệ đã qua mọi vị trí được xác định bởi quy luật dao động của hệ .
Chu kỳ T của dao động: Là khoảng thời gian để hệ thực hiện một dao động toàn phần. Chu kỳ được đo bằng giây.
Nghịch đảo của chu kỳ gọi là tần số của dao động. Tần số được kí hiệu là f, đó là số dao động mà hệ thực hiện được trong một giây. Tần số được đo bằng 1/s hoặc bằng Héc (Hertz).
f = T1
Trong kỹ thuật ta còn thường dùng một đại lượng nữa là tần số góc ω, đó là số dao động hệ thực hiện được trong 2π giây :
ω = 2π f = T2π
Tần số góc cũng được tính bằng 1/s hoặc Héc .
13.4. Dao động tự do của hệ đàn hồi một bậc tự do
13.4.1. Dao động tự do không có lực cản Xét một dầm đơn trên đặt một khối lượng tập trung m và bỏ qua trọng lượng bản
thân của dầm, khi đó hệ được xem là hệ một bậc tự do như trên hình 13-3.
Do trọng lượng P = mg của khối lượng m mà dầm từ vị trí 1 chuyển đến vị trí 2. Khi hệ dao động tại thời điểm t thì hệ chuyển đến vị trí 3, khối lượng m có chuyển vị y(t) chịu tác dụng của các lực:
- Trọng lượng của khối lượng m : P = mg.
- Lực đàn hồi của dầm : Fđh .
- Lực quán tính : Fqt = 2
2
dtyd
m−
Tuy nhiên trọng lượng P và lực đàn hồi Fđh hợp với nhau thành hệ lực cân bằng . Như vậy theo nguyên lý Dalembert hệ được cân bằng dưới tác dụng của các lực trên và chuyển vị của khối lượng m sẽ là :
y(t) = 2
2
dtyd
mδ−
(a)
yt
yđ
Hình 13-3
y
m 1
2
3
294
trong đó:
δ là chuyển vị đơn vị, là chuyển vị tại mặt cắt đặt khối lượng m do lực tập trung bằng đơn vị đặt tĩnh tại mặt cắt có khối lượng m và có phương theo phương dao động gây ra.
Đặt : δ=ω m12
(b)
thì phương trình dao động tự do không có lực cản của hệ một bậc tự do (a) sẽ là:
0ydtyd 22
2
=ω+ (c)
Nghiệm của (c) là :
y(t) = C1cos tsinCt 2 ω+ω (d)
Các hằng số C1,C2 được xác định từ điều kiện ban đầu.
Có thể viết (d) dưới dạng :
y(t) = Asin ( )ϕ+ωt (e)
trong đó: A gọi là biên độ dao động, còn ϕ là góc pha và ω là tần số dao động riêng của hệ .
δ=ω m1 (13.4)
Chu kỳ của dao động :
δπ=ωπ= m22T (f)
Gọi trọng lượng của khối lượng m là P thì Pδ chính là chuyển vị tĩnh yt do P gây ra, do đó :
tyg
Pg =δ=ω (13.5)
Từ (13.5) ta thấy nếu yt càng lớn (tức là khối lượng m càng lớn hoặc độ cứng của dầm càng nhỏ) thì tần số dao động càng nhỏ.
13.4.2. Dao động tự do có lực cản Xét hệ một bậc tự do như trên hình 13-3 nhưng nó dao động trong môi trường có lực cản. Nói chung lực cản của môi trường rất phức tạp, ở đây ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất, đó là trường hợp lực cản của môi trường tỷ lệ với vận tốc của chuyển động. Như vậy ngoài các lực như đã xét ở phần (13.4.1) khối lượng m còn chịu thêm lực
cản FC = dtdyβ trong đó β là hệ số cản.
295
Do đó chuyển vị của khối lượng m sẽ là :
y(t) = dtdy
dtydm 2
2βδ−δ−
Đặt m2 β=α ta có phương trình vi phân dao động tự do có lực cản của hệ là :
0ydtdy
2dtyd 22
2=ω+α+ (1)
Nghiệm của (1) là :
y(t) = A )tsin(e 11t ϕ+ωα− (2)
trong đó ω1 là tần số dao động tự do có lực cản của hệ đàn hồi một bậc tự do :
221 α−ω=ω (13.6)
Như vậy ω1 < ω. Phương trình (2) biểu diễn dao động tắt dần. Sự tắt dần càng nhanh khi lực cản càng lớn. Đồ thị của dao động này cho trên hình 13-4 .
Sau mỗi chu kỳ biên độ dao động sẽ giảm nhỏ đi với tỷ số :
consteee T
)Tt(t
== α+α−
α−
Ví dụ 13-2: Một động cơ có trọng lượng Q = 12kN, đặt trên 2 dầm chữ I số hiệu 24 a như trên hình 13-5. Dầm có nhịp l = 3m. Tìm tần số dao động riêng của dầm. Khi tính bỏ qua trọng lượng của dầm.
Bài giải :
Với thép IN024 a ta có : Jx = 3800 cm4 , E = 2.108 kN/m2.
y
t
y= Ae-αt
T
Hình 13-4
Hình 13-5
Q Q
xo
2/l 2/l
296
Gọi xo là trục quán tính chính trung tâm của hình, ta có : Jxo = 2Jx.
tyg=ω
)m(10.9,8=10.3800.2.10.2.483.12=EJx48
Ql=y 488
3
0
3
t
419,8 1308,9.10 s−ω = =
13. 5. Dao động cưỡng bức của hệ đàn hồi một bậc tự do - Hiện tượng cộng hưởng
Xét hệ một bậc tự do chịu tác dụng của lực kích thích P(t) =P0sinΩt như trên hình 13-6, trong đó P0 và Ω lần lượt là biên độ và tần số của lực kích thích. Ngoài các lực như đã xét ở trên, khối lượng m còn chịu thêm lực P(t). Do đó chuyển vị của khối lượng m là :
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ β−−δ= dt
dydtydm)t(P)t(y 2
2
Từ đó ta có phương trình dao động của hệ :
tsinmPydt
dy2dtyd 022
2Ω=ω+α+ (a)
Đây là phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng số, nên nghiệm của (a) có dạng :
y = y0 + y1
trong đó :
y0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất suy từ phương trình (a):
)tsin(Aey 11t
0 ϕ+ω= α−
y1 là một nghiệm riêng của (a) :
tcosCtsinCy 211 Ω+Ω= (b)
Đặt (b) vào (a) và đồng nhất 2 vế ta xác định được các hằng số C1 và C2 :
( ) 22222
2201
4.m
PCΩα+Ω−ω
Ω−ω=
( ) 22222
02
42
mPC
Ωα+Ω−ωΩα= (c)
Đặt : ( ) 22222 4
2sinΩα+Ω−ω
Ωα=ψ
yđ
Hình 13-6
P(t) = Po.sinΩt
297
( ) 22222
22
4cos
Ωα+Ω−ωΩ−ω=ψ
và thay 2m1ω=δ vào trên ta được :
( )( )
( )ψ−Ω
ωΩα+ω
Ω−
δ=Ψ−Ω= tsin
41
PtsinAy4
222
22
011 (d)
Do đó :
( ) 11t ytsinAey +ϕ+ω= α− (e)
Nghiệm (e) biểu diễn tổng của 2 dao động: Số hạng đầu biểu diễn dao động tự do tắt dần, số hạng thứ 2 biểu diễn dao động cưỡng bức gây ra do lực kích thích P(t). Dao động tự do sẽ mất đi sau một thời gian nào đó, tiếp theo hệ sẽ dao động với tần số của lực kích thích mà biên độ của nó là:
( ) 4222
22
01
41
PA
ωΩα+ω
Ω−
δ= (f)
Tích số δ0P gọi là chuyển vị tĩnh tại mặt cắt mang khối lượng m do P0 coi như đặt tĩnh lên dầm gây ra :
δ=Δ 0t P
và như vậy, hệ số Kđ sẽ là :
4
222
2
2t
1d
41
1AK
ωΩα
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωΩ
−
=Δ
= (13.7)
Hệ số Kđ phụ thuộc vào tỷ số ωΩ và hệ số α, nó được biểu diễn trên hình 13-7.
298
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 Hình 13-7
Từ biểu đồ ta thấy: Khi tỷ số 1=ωΩ tức là khi tần số của lực kích thích trùng với
tần số dao động riêng của hệ, và nếu không có lực cản (α = 0) thì ∞→dK ; nếu có lực cản ( )0≠α thì Kđ có trị số cực đại hữu hạn. Hiện tượng tăng biên độ dao động của hệ khi tần số của lực kích thích trùng với tần số dao động tự do của hệ gọi là hiện tượng cộng hưởng. Thực tế khi tần số của lực kích thích gần với tần số dao động riêng của hệ thì biên độ dao động của hệ đã tăng lên rõ rệt tạo thành một miền cộng hưởng. Khi tính toán công trình ta cần phải để ý đến hiện tượng này.
Để tránh hiện tượng cộng hưởng, tần số của lực kích thích phải khác xa tần số dao động tự do của hệ. Để thực hiện điều này, ta thường làm tăng tỷ số ω
Ω . Có thể có 2 cách: Hoặc là làm giảm độ cứng của công trình (để giảm ω ), hoặc là tăng tần số của dao động kích thích Ω. Tuy nhiên khi đóng mở máy, tần số của lực kích thích tăng hoặc giảm dần, ở một thời điểm nào đó, tần số của lực kích thích có thể trùng với tần số riêng, lúc này cần làm cho tần số của lực kích thích thay đổi nhanh chóng để hiện tượng cộng hưởng không kịp xảy ra. Trường hợp nếu công trình phải làm việc trong miền cộng hưởng ta phải tìm giải pháp để tiêu tán năng lượng như sử dụng các bộ giảm chấn .
Cũng từ biểu đồ hình 13-7 ta thấy: Những đường cong Kđ khác nhau nhiều trong miền cộng hưởng, còn khi tỷ số ω
Ω có trị số ở ngoài khoảng 0,5 đến 2 thì những đường cong Kđ gần trùng nhau. Điều đó có nghĩa là: Trong miền này, ảnh hưởng của hệ số cản là không đáng kể, do đó có thể tính tính Kđ theo công thức (13.7) với α = 0, tức coi như môi trường không có lực cản :
0.02=
ωα
15.02=
ωα
3.02=
ωα
4.02=
ωα
5.02=
ωα
Kđ
Ω
299
2
2d
1
1K
ωΩ
−= (13.8)
Nếu biết Kđ ta có thể tính được các đại lượng cơ học S khác (chẳng hạn ứng suất, biến dạng, chuyển vị) theo công thức:
tPtdtp SSKS 0 += (13.9)
trong đó : 0PtS - Đại lượng cần tính do P0 coi như đặt tĩnh lên hệ gây ra .
St - Đại lượng cần tính chỉ do các lực hoàn toàn tĩnh gây ra (khi hệ ở trạng thái tĩnh).
Stp - Đại lượng cần tính toàn phần (khi hệ ở trạng thái động).
Ví dụ 13-3: Số liệu như trong ví dụ 13-2, tính ứng suất lớn nhất trong dầm. Biết động cơ quay với vận tốc n = 1200 vòng/phút, cường độ lớn nhất của lực ly tâm P0 = 972 N. Khi tính bỏ qua ảnh hưởng của lực cản.
Bài giải : Với thép I No 24a ta có Wx = 317 cm3 .
xxxo
xo W2h.5,0
J2h.5,0
JW ===
trong đó : h là chiều cao của mặt cắt ngang.
Tần số góc của lực kích thích :
)s/1(6,12530
1200.14,330n ==π=Ω
15
1306,1251
1
1
1K
2
2
2
2d =−
=
ωΩ
−=
26
6
x
0
Pt m/MN15,110.317.2
410.3.972
W24
P0 ===σ −
−l
26
6
xt m/MN2,1510.317.2
410.3.1200
W24
Q
===σ −
−l
Ứng suất lớn nhất toàn phần trong dầm : 2
tPtdtp m/MN45,322,1515,1.15K 0 =+=σ+σ=σ
300
13.6. Va chạm thẳng đứng vào hệ đàn hồi một bậc tự do Giả sử có một vật nặng Q rơi từ độ cao H xuống
đập vào vật nặng Q’ của hệ đàn hồi một bậc tự do như trên hình 13-8. Giả sử quá trình va chạm không đàn hồi, có nghĩa là khi va chạm Q và Q’ gắn chặt với nhau và cùng chuyển động làm cho dầm có chuyển vị yđ.
Khi va chạm, vận tốc của khối lượng trên hệ thay đổi đột ngột nên hệ có gia tốc lớn, do đó ta không dùng phương pháp nghiên cứu như trên mà ở đây sử dụng định luật bảo toàn năng lượng để xác định hệ số Kđ.
Khi Q đập vào Q’ chúng cùng chuyển động với vận tốc V, sau đó vận tốc giảm dần đến không và hệ đạt được chuyển vị cực đại yđ do đó chúng có động năng là:
g2V')QQ(T
2+= (a)
Gọi V0 và V lần lượt là vận tốc tức thời của Q và Q + Q’ ngay lúc va chạm. Bỏ qua sự mất mát năng lượng khi xẩy ra va chạm và coi va chạm là tức thời thì theo định luật bảo toàn xung lượng ta có :
Vg'QQVg
Q0
+=
Do đó ta có : 0V'QQQV +=
(b)
Thay (b) vào (a) được: gQ
'Q1
QV.2
1T20
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= (c)
Trường hợp rơi tự do ta có: gH2V0 =
Khi kết thúc va chạm (V = 0), tại mặt cắt va chạm dầm có chuyển dịch yđ , khi đó thế năng của hệ sẽ giảm đi một lượng là π :
)'QQ( +=π .yđ (d)
Trước thời điểm va chạm, Q’ gây ra một dịch chuyển yt thì trong dầm tích một thế năng biến dạng đàn hồi U1 :
t1 y'Q21U =
Nhưng ta lại có : δ= ty'Q nên :
.y21U
2t
1 δ=
yđ
Hình 13-8
yt H 1
2
Q
Q’
301
Lúc va chạm, Q gắn chặt với Q’ dịch chuyển thêm một đoạn yđ nên lúc này thế năng trong dầm là :
δ+
=2
td2
)yy(21U
Như vậy hệ chuyển động từ vị trí 1 đến vị trí 2 và đã tích thêm một lượng thế năng U:
δ+
δ=
δ−
δ+
=−= dt2d
2t
2td
21y.y
2y
2y
2)yy(UUU (e)
Để ý đến δ= ty'Q ta có:
d
2d y'.Q
2y
U +δ
=
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có :
U = π + T (f)
Thay (c) , (d), (e) vào (f) ta được :
)'QQ(y)Q'Q1(g2
Qvy'.Q2y
d
20
d
2d ++
+=+
δ (g)
Gọi tΔ là chuyển vị tĩnh tại mặt cắt xảy ra va chạm khi coi trọng lượng Q đặt tĩnh lên dầm gây ra thì :
QtΔ
=δ
Thay δ vào phương trình (g) ta được : 2
2 t 0d t d
Vy 2 y 0Q'g 1 Q
Δ− Δ + − =
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
(h)
Nghiệm của (h) là :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Δ+Δ±Δ=
Q'Q1g
Vy20t2
ttd (i)
Nhưng ta có gH2V20 = và yđ > 0 nên :
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++Δ=t
td
Q'Q1
H211y (k)
302
Do đó :
tt
dd
Q'Q1
H211yKΔ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++=Δ= (13.10)
Khi đã tính được Kđ, bằng cách tương tự như trên ta có thể xác định được các đại lượng S khác trong hệ :
'Qt
Qtdtp SSKS +=
QtS là đại lượng cần tính (ứng suất, chuyển vị...) do Q coi như đặt tĩnh lên hệ tại
mặt cắt va chạm gây ra. 'Q
tS là đại lượng cần tính (ứng suất, chuyển vị...) do các tải trọng hoàn toàn tĩnh đặt lên hệ gây ra (khi hệ ở trạng thái tĩnh).
Từ công thức (13.10) ta thấy: Nếu chuyển vị tΔ lớn thì hệ số Kđ nhỏ. Để tăng chuyển vị tĩnh này, ta có thể hoặc làm giảm độ cứng của hệ, hoặc có thể đặt thêm tại mặt cắt va chạm những chi tiết có độ cứng nhỏ (chẳng hạn như lò xo).
Công thức Kđ ở trên lập cho dầm đơn một bậc tự do, nhưng nó vẫn đúng cho hệ có một bậc tự do khác.
Ví dụ 13-4: Một vật nặng Q = 200N rơi từ độ cao H = 4cm xuống dầm mặt cắt chữ I số hiệu 22a như trên hình 13-9a. Yêu cầu :
a) Xác định ứng suất lớn nhất trong dầm.
b) Ứng suất lớn nhất trong dầm sẽ bằng bao nhiêu nếu như tại mặt cắt va chạm ta đặt thêm một lò xo có độ cứng C = 100N/mm như trên hình 13-9b (khoảng cách H vẫn giữ nguyên bằng 4cm), trọng lượng của lò xo và bộ phận giữ nó trên dầm nặng 200N.
Bài giải :
Thép INo22a tra bảng được Jx = 2760cm4, Wx = 251cm3, E = 2.1011 N/cm2.
a) Biểu đồ mômen do Q coi như đặt tĩnh lên dầm gây ra cho trên hình 13-9.c.
26
6
X
QX
t m/MN39,210.25110.600
WM
===σ −
−
( )1X
21
At llEJ3Qly +==Δ
( ) m10.810.2760.10.2.3353.200 4
811
2−
− =+
=
m31 =l
H
Q
C B A a)
b)
Q
Hình 13-9
MxQ
600 Nm
H
C B A
c)
m5=l
303
4,1110.804,0.211H211K 4
td =++=Δ++= −
2tdtp m/MN25,2739,2.4,11.K ==σ=σ
b) Trường hợp này yA gồm 2 thành phần: Phần do võng của dầm dtΔ (đã tính ở
phần a), phần do lún của lò xo: dt
lxtAt y Δ+Δ==Δ
lxt Q / C 200 /100 2mm 0,002mΔ = = = =
Do đó : )m(0028,00008,0002,0t =+=Δ
Ở đây Q’ = Q = 200N nên :
9,40028,0.
2002001
04,0.211
Q'Q1
H211K
t
d =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++=Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++=
)m/MN(39,210.251
3.10.200W
'Q' 26
6
X
1t ===σ −
−l
Do đó : )m/MN(10,1439,239,2.9,4'.K 2ttdtp =+=σ+σ=σ
13.7. Va chạm ngang vào hệ đàn hồi một bậc tự do Giả sử một vật nặng Q chuyển động với vận tốc Vo đến
đập vào hệ đàn hồi một bậc tự do như trên hình 13-10. Ta cũng giả thiết quá trình va chạm là không đàn hồi. Trường hợp này cũng sử dụng định luật bảo toàn năng lượng và tính toán hoàn toàn tương tự như trên ta được:
( ) 2Vg2'QQT +
=
Hay: ( )'QQg2VQ
T20
2
+= (a)
Vì Q và Q’ chuyển động theo phương ngang nên 0=π , do đó:
T = U (b)
Gọi δ là chuyển vị theo phương ngang tại mặt cắt va chạm gây ra do lực đơn vị đặt tĩnh theo phương ngang và yđ là chuyển vị động do va chạm. Khi dầm có chuyển vị yđ thì thế năng biến dạng đàn hồi của dầm là:
δ=
2y
U2d (c)
Hình 13-10
yđ
Q
Vo
Q Q’
304
Thay (a) và (c) vào (b) được :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=δ
Q'Q1g
QV21y
21 2
02d (d)
Gọi tΔ là chuyển vị tĩnh do một lực ngang có giá trị bằng Q đặt tại mặt cắt va
chạm gây ra thì QtΔ
=δ . Từ (d) ta có :
gQ
'Q1
Vy t202
d
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Δ=
hay: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +Δ
Δ=
Q'Q1g
Vyt
t0d (e)
và hệ số động:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +Δ
=Δ=
Q'Q1g
VyKt
0
t
dd (13.11)
Nếu Q’= 0 thì :
t
0d g
VKΔ
= (13.12)
Ứng suất và chuyển vị được tính như ở các phần trên .
Ví dụ 13-5: Một vật nặng Q = 2kN chuyển động trên mặt nước với vận tốc Vo =1 m/s đến đập vào cột tròn có đường kính d = 20cm như trên hình 13-11.Vật liệu làm cột có E = 1,1.1010 N/m2. Tìm ứng suất lớn nhất trong cột.
Bài giải : Mặt cắt cột có mômen quán tính Jx ≈0,05d4 .
m10.4,22,0.05,0.10.1,1.33.2
EJ3Ql 2
473
X
3
t−===Δ
06,210.4,2.8,9
1gVK
2t
0d ==
Δ=
−
Wx3d1,0≈
2233
xt m/MN5,7m/KN10.5,72,0.1,0
3.2WQl ====σ
2tdmax m/MN8,155,7.06,2.K ==σ=σ
Hình 13-11
Vo
Q
d x
y m3=l
305
BÀI TẬP 13.1. Một dây dài 60 m, đầu dưới treo một vật nặng Q = 50 KN, được kéo lên theo phương thẳng đứng với gia tốc không đổi. Sau 3 giây đầu tiên, vật Q được nâng lên một độ cao là 9m. Hãy xác định đường kính của dây khi không kể và khi có kể tới trọng lượng bản thân của dây. Biết trọng lượng riêng của dây
γ = 70 KN/m3, [ ] 2m/MN160=σ
13.2. Một dầm thép chữ I số hiệu 20a dài 8m đặt nằm ngang như trên hình 13-2B. Dùng 2 dây có diện tích mặt cắt ngang F = 1cm2 để nâng dầm lên theo phương thẳng đứng với gia tốc không đổi a = 9m/s2 nhưng vẫn giữ cho dầm nằm ngang.
Hãy xác định ứng suất lớn nhất trong dây và trong dầm.
13.3. Một dầm cầu trục AD dài 5m, ghép bằng 2 thép chữ I số hiệu 30 như hình 13-3B. Tời B đặt chính giữa dầm có trọng lượng 20KN nâng một vật trọng lượng P = 60KN.
Xác định lực căng trong dây của tời và ứng suất pháp lớn nhất trong dầm. Biết P được nâng lên với gia tốc không đổi, sau giây thứ nhất nó đi được 2,5m/s.
13.4. Một vật P đặt trong hòm kín với các lò xo có độ cứng C1 và C2 như trên hình 13-4B. Hòm kín chuyển động lên theo phương thẳng đứng với gia tốc a. Tính lực tác dụng vào các lò xo (bỏ qua trọng lượng của lò xo).
13.5. Một cần cẩu nâng kiện hàng lên với gia tốc a = 2m/s2 . Dây cáp nâng hàng có diện tích F = 3,5cm2 và ứng suất cho phép
[σ] = 18kN/cm2, 28 m/kN10.2=E Hỏi:
Hình 13-3B
P
2,5 m 2,5 m
P
1
1
1-1
I No 30
A D
P
P1
Hình 13-6B
a a
2 4 m 2
1
1
1-1
Hình 13-2B
Hình 13-4B
1
2
P
a
306
a) Với dây cáp đó cần cẩu có thể nâng được kiện hàng nặng bao nhiêu với gia tốc này?
b) Nếu dây cáp dài 6m thì dây bị dãn dài bao nhiêu?
c) Khi nâng kiện hàng bằng một nửa tải trọng cho phép thì có thể nâng với gia tốc là bao nhiêu?
13.6. Một vật P được kéo lên bằng ròng rọc di động như trên hình 13-6B. Nếu kéo dây cáp với gia tốc không đổi a thì lực căng dây là bao nhiêu?
13.7. Xác định ứng suất động trong thanh 1 và thanh 2 có diện tích mặt cắt ngang là F1
= 8cm2, F2 = 200cm2, khi trọng lượng Q =3 0KN được kéo lên với gia tốc a=9,8m/s2 như trên hình 13-7B. Bỏ qua ma sát giữa ròng rọc và dây cáp.
13.8. Một công xon có mặt cắt ngang hình tròn đường kính d =15cm, dài l = 1m như hình 13-8B. Tại đầu tự do có gắn một ròng rọc, ma sát coi như không đáng kể. Vật nặng P = 1kN được nâng lên nhờ dây cáp CBD nằm trong mặt vuông góc với trục công xon, kéo theo phương ngang, chuyển động với gia tốc a = 3m/s2. Kiểm tra độ bền của công xon. biết [σ] = 10MN/m2.
13.9. Một lò xo hình trụ bằng thép có 20 vòng dây, đường kính trung bình D =12cm, đường kính sợi lò xo d = 1cm. Đầu lò xo treo một vật nặng 250N. Trọng lượng bản thân lò xo là 50N. Tính chu kỳ dao động dọc trục của lò xo khi tính không kể đến khối lượng của lò xo. Cho G = 8.106N/cm2.
13.10. Dầm đơn ghép bằng 2 thép chữ I số hiệu 33. Một môtơ nặng 12kN đặt ở giữa dầm như trên hình 13-10B. Môtơ quay với vận tốc n = 2000 vòng/phút, sinh ra lực ly tâm với cường độ P0 = 4kN. Cho E = 2.108kN/m2.
Xác định ứng suất lớn nhất trong dầm, khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân dầm và bỏ qua lực cản.
Hình 13-10B
2I33
1,5 m 1,5 m
1
Hình 13-7B
2
300 450
300 a Q
A B
D
CP
d
Hình 13-8B
307
13.11. Một môtơ có trọng lượng Q = 1,35kN đặt giữa một dầm đơn mặt cắt chữ I dài 3m , hai đầu liên kết khớp.
Xác định số hiệu thép chữ I của mặt cắt dầm sao cho tần số riêng của dầm bằng 1,2 lần tần số góc của lực kích thích. Biết môtơ quay với vận tốc n = 1200 vòng/phút.
Nếu biên độ của lực kích thích PO = 0,2kN thì ứng suất pháp lớn nhất trong dầm là bao nhiêu? Cho E = 2.108kN/m2.
13.12. Một động cơ có trọng lượng
Q = 48KN đặt giữa dầm chữ I số 40 dài 4m như hình 13-12B. Tốc độ quay của động cơ là n = 510 vòng/phút. Do khối lượng lệch tâm nên khi quay động cơ tạo ra lực quán tính P0 = 4,8KN.
a) Tính độ võng và ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm.
b) Tìm số vòng quay trong một phút của động cơ để phát sinh hiện tượng cộng hưởng.
Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm nhưng có kể tới lực cản. Cho biết mô đun đàn hồi
E = 2.107N/cm2, hệ số tắt dao động s
12=α .
13.13. Một động cơ có trọng lượng Q = 2kN đặt trên dầm đơn kê trên 2 lò xo có độ cứng C = 1,5KN/cm như trên hình 13-13B. Mặt cắt dầm là thép chữ I số 12. Phần lệch tâm của rôto có trọng lượng là 50N, đặt lệch tâm một đoạn 10cm .
a) Xác định ứng suất pháp lớn nhất trong dầm khi động cơ quay với vận tốc n = 200vòng/phút. Cho
E =10.108KN/m2.
b) Xác định số vòng quay lớn nhất để thoả mãn điều kiện bền của dầm. Biết [ ] 2m/MN160=σ . Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân dầm và lực cản.
13.14. Một động cơ nặng Q = 2400N được gắn chặt vào đầu một công xôn gồm hai thép chữ I số 14 đặt ngang nhau. Động cơ quay với tốc độ n = 600 vòng/phút.
Hình 13-13B
I12
2 m 2 m 2 KN
l
Hình 13-15B
Q
1m
Hình 13-12B
2/l 2/l
308
a) Tính chiều dài của công xon để phát sinh cộng hưởng. Biết E = 2.105MN/m2.
b) Nếu cho tần số riêng của dầm bằng 1,3 lần tần số kích thích thì dầm phải có chiều dài bao nhiêu? Tính hệ số động trong trường hợp này.
Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm và lực cản của môi trường.
13.15 Một vật nặng Q = 300N rơi tự do từ độ cao 1m xuống một đĩa cứng gắn ở một đầu thanh thép tròn đường kính d = 2cm, dài l = 3m như hình 13-15B. Tính độ dãn dài và ứng suất trong thanh. Khi tính bỏ qua trọng lượng của thanh.
13.16. Một vật nặng Q = 1250N rơi từ độ cao H =1cm xuống đĩa C như trên hình 13-16B. Thanh AB dài 250cm, có diện tích mặt cắt ngang 0,25cm2. Thanh BC dài 200cm, có diện tích mặt cắt ngang 0,2cm2. Tính ứng suất động lớn nhất trong thanh ABC. Biết E = 2.105MN/m2. Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh.
13.17. Một kết cấu gồm ba thanh thép có diện tích mặt cắt ngang và chiều dài như nhau, F = 1cm2,
l = 1m, chịu một vật nặng Q rơi từ độ cao
h = 0,5m như hình 13-17B.
Xác định trọng lượng cho phép của vật nặng theo điều kiện bền của các thanh. Biết α =300, E = 2.104kN/cm2, [σ] = 16kN/cm2.
13.18. Một vật nặng P rơi tự độ cao h xuống một lò xo có độ cứng C đặt ở đầu một
công xon như trên hình 13-18B. Công xon có độ cứng ở đầu A là 50
C
f
PC
A1 == .
Tính độ cao cần thiết để ứng suất động trong thanh lớn gấp 2,4 lần ứng suất
tĩnh.
Nếu muốn ứng suất động lớn gấp ba lần ứng suất tĩnh thì phải thả vật nặng ở độ cao h với vận tốc ban đầu là bao nhiêu?
Hình 13-19B
h
P
A
Hình 13-18B 21 2m
AH B C D
Hình 13-16B
Q
HC
B
A
l
lα α
Q
h
Hình 13-17B
309
13.19. Một vật nặng 10kN rơi từ độ cao H = 10cm va chạm vào dầm thép chữ I 20 như hình 13-19B.
Tính độ võng và ứng suất động tại mặt cắt C cho hai trường hợp:
a) Gối B và D là gối cứng.
b) Gối B và D tựa trên lò xo có độ cứng CB = 2000N/cm và CD = 5000N/cm.
13.20. Một trọng lượng P = 50N rơi từ độ cao H = 10mm xuống đầu A của một dầm mặt cắt hình chữ nhật bxh = 50x10mm2, dài 500mm như hình 13-20B. Đầu A của dầm có một lò xo đỡ ở duới. Lò xo có đường kính D = 100mm. Đường kính sợi thép d = 10mm, số vòng lò xo n = 10. Cho E = 2.105MN/m2, G = 8.104MN/m2.
Kiểm tra độ bền của dầm. Biết [σ] = 100MN/m2.
13.21. Một hệ thanh phẳng vuông góc như hình 13-21B. Tính chuyển vị thẳng đứng của đầu B khi một vật nặng Q rơi tự do từ độ cao h xuống đầu B. Độ cứng chống uốn của các thanh là EJ. Bỏ qua biến dạng xoắn.
13.22. Một vật nặng Q = 5kN chuyển động đều theo phương ngang va chạm vào đầu mút thừa A của dầm thép chữ [ số 18 như hình 13-22B. Xác định vận tốc tối đa của vật nặng Q, biết [σ] = 16kN/cm2.
13.23. Một ca nô nặng 100kN khi cập bến va chạm phải một dầm cầu tầu. Lúc va chạm ca nô có tốc độ 0,36km/h. Dầm cầu tàu dài 4m, mặt cắt ngang hình tròn đường kính 30cm, làm bằng gỗ có E = 104MN/m2 và có sơ đồ tính như hình 13-23B.
a) Kiểm tra độ bền của dầm, biết [σ] = 10 MN/m2.
b) Khi va chạm, mặt cắt C dịch chuyển theo phương nằm ngang là bao nhiêu?.
13.24. Một vật nặng chuyển động ngang với vận tốc đều v va chạm vào đầu tự do một cột có độ cứng không đổi như trên hình 13-24B. Để giảm tác dụng va chạm, người ta
H P
A
Hình 13-20B
b
h
a
ah
B
Q
EJ
Hình 13-21B l
310
đệm một lò xo ở đầu công xon theo hai cách a) và b). Hãy xét xem trong trường hợp nào ứng suất ở ngàm nhỏ hơn.
13.25. Một trụ tròn bằng gỗ đường kính bằng 30cm được chôn chặt dưới đáy sông (có thể coi như liên kết ngàm tại đáy) như trên hình 13-25B. Một vật nổi trọng lượng 5kN trôi theo dòng nước với vận tốc 2m/s va vào trụ.
Tính ứng suất pháp lớn nhất trong trụ khi va chạm. Biết gỗ có E = 1,2.107KN/m2. Bỏ qua trọng lượng cột.
13.26. Một vật nặng Q gắn vào đầu một thanh dài l có độ cứng chống uốn EJ quay xung quanh trục O với vận tốc n vòng/phút như hình 13-26B. Thanh bị hãm đột ngột bởi hãm A. Tính mô men uốn cực đại trong thanh khi hãm.
13.27. Tính hệ số động trong trường hợp va chạm ngang của một vật cứng có trọng lượng Q = 30 N bay với vận tốc v = 5m/s đến một lò xo đường kính D = 10cm, đường kính sợi lò xo d = 1cm, số vòng làm việc n = 10 như hình 13-27B. Cho G = 8.104MN/m2. Khi tính bỏ qua trọng lượng lò xo.
1m
5m
Q A v
Hình 13-22B
vQ
v
Q
Hình 13-24B
2m
C
Hình 13-23B
2m
Hình 13-27B
Qv
Vo
Q
Hình 13-25B
l = 3
m
Hình 13-26B
O
Q
A2l
l 1l
311
13.28. Một công xon AB dài 9a, đoạn AC cứng tuyệt đối, đoạn CB cho biết có độ cứng chống uốn EJ chịu va chạm của một vật nặng P rơi từ độ cao a như hình 13-28B. Hãy xác
định hệ số động của hệ. Cho biết 684
1
EJ
Pa2= .
13.29. Một kết cấu chịu lực như hình 13-29B.
Hai thanh kim loại AB (có độ cứng a4
EF ) và
AC (có độ cứng a3
EF ) được liên kết khớp bản
lề tại A. Tại đây lắp một bánh xe lăn trên mặt phẳng nằm ngang. Bánh xe được kéo bởi sợi dây mềm vắt qua ròng rọc cố định D treo đĩa
K. Dây mềm có độ cứng chống kéo a12
FE 11 .
Thanh AB và AC tạo với mặt phẳng nằm ngang các góc α và β.
a) Tính nội lực xuất hiện trong hai thanh kim loại và áp lực bánh xe để lên mặt lăn khi có trọng lượng P đặt tĩnh lên đĩa K.
b) Tính hệ số động của hệ do để rơi trọng lượng P từ độ cao h. Trong trường hợp
này cho 11FE
Pa8,721h = , α = 450, β = 600,
160
EFFE 11 = .
Khi tính bỏ qua lực ma sát và trọng lượng bản thân của hệ.
13.30. Một công xon dài l làm bằng thép chữ I số 20, có E = 2.105MN/m2 như trên hình 13-30B. Tại đầu công xon có đặt một trọng lượng Q1 = 0,3kN. Một vật nặng Q = 0,2kN rơi tự do từ độ cao 13cm xuống đầu công xon. Tính ứng suất lớn nhất trong công xon.
13.31. Xác định chuyển vị động của gối di động B khi vật nặng Q va chạm ngang với vận tốc v vào gối (hình 13-31B). Cho biết độ cứng chống uốn của mặt cắt thanh là EJ.
13.32. Xác định chiều cao rơi h theo điều kiện bền của thanh AB (hình 13-32B). Biết thanh AB có diện tích mặt cắt ngang F=2cm2, E=2.1011N/m2, [σ]=160MN/m2. Thanh CD coi như tuyệt đối cứng.
6a
a
3a
A
P
C B
Hình 13-28B
h
A D
B
C
P
K
α
β
Hình 13-29B
13cm
4
E,J
Q
Q1
Hình 13-30B
Q
a
EJ B
v
Hình 13-31B 0,7 m 1,4 m
1,0 m
h Q
A
B
C D
Hình 13-32B
312
CHƯƠNG 14: TÍNH ĐỘ BỀN KHI ỨNG SUẤT THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN
14.1. Khái niệm Trong ngành chế tạo máy, người ta thường gặp việc tính độ bền cho những chi
tiết có ứng suất thay đổi tuần hoàn theo thơì gian. Một trong những trường hợp thường gặp là các loại trục truyền động (hình 14-1)
Như vậy ngay cả khi tải trọng P là tĩnh, thì ứng suất trên mặt cắt ngang vẫn thay đổi theo thời gian :
ϕ==σ sin.WM
yJ
M
x
xA
x
xA
Nếu trục quay đều, ϕ(t) = ωt thì :
tsin.WM
x
xA ω=σ
Như vậy, cứ một vòng quay của trục, ứng suất ở A lại lần lượt qua các giá trị cực đại và cực tiểu, hai giá trị này bằng nhau nhưng khác dấu. Sự biến thiên ứng suất ở A được vẽ thành một đường hình sin. Cứ mỗi lần ứng suất đi qua các giá trị tương ứng với một vòng quay của trục, ta nói điểm A đã thực hiện được một chu trình ứng suất .
Thời gian thực hiện một chu trình ứng suất là một chu kỳ. Người ta đưa ra các định nghĩa (hình 14-2):
Ứng suất trung bình :
w P
Mu
ϕA
yA
Hình 14-1
Hình 14-2
Pbđ
PtbPmi
n
Pmax
t
P
313
2
ppp minmax
tb
+=
Ứng suất biên độ:
2PP
P minmaxbd
−=
Như vậy:
Pmax = Ptb + Pbđ
Pmin = Ptb - Pbđ
Khi : Pmax = - Pmin chu trình được gọi là đối xứng.
Pmax ≠ Pmin chu trình được gọi là bất đối xứng.
Hệ số bất đối xứng:
max
min
ppr =
- Khi r = -1 tức là khi Pmax = - Pmin ta có chu trình đối xứng (hình14-3).
- Khi r = 1 ta có ứng suất là một đường thẳng nằm ngang, đó là trường hợp tải trọng tĩnh (hình14-4).
- Khi r = 0 hoặc ∞=r ta có chu trình mạch động, lúc này (hình14-5a,b):
Hình 14-3
Pmax
t
p
Pmin
Hình 14-4
Pmax
t
p
Pmin
Hình 14-5
Pmax
t
p
Pmin
t
p
a) b)
314
2P
PP 0bdtb ==
P : là ứng suất pháp σ hoặc ứng suất tiếp τ.
14.2. Giới hạn mỏi và biểu đồ giới hạn mỏi
14.2.1. Giới hạn mỏi của chu trình đối xứng Để tính về độ bền mỏi của các chi tiết máy, người ta phải làm các thí nghiệm để
xác định giới hạn mỏi của vật liệu ứng với các chu trình có hệ số bất đối xứng khác nhau. Giới hạn mỏi của vật liệu là giá trị lớn nhất của ứng suất thay đổi tuần hoàn mà vật liệu có thể chịu đựng được một số chu trình không hạn định và không xuất hiện vết nứt vì mỏi. Giới hạn mỏi được kí hiệu pr (σr , τr) với r là hệ số không đối xứng.
Với chu trình đối xứng, giới hạn mỏi được ký hiệu là σ-1 , τ-1; với trường hợp kéo nén đơn σ+1. Việc xác định giới hạn mỏi của các chu trình đối xứng tương đối đơn giản hơn các loại chu trình khác.
Hình 14-6 trình bày sơ đồ nguyên lý của máy thí nghiệm xác định σ-1 khi uốn. Mẫu thí nghiệm được đặt lên máy và gia tải qua các ổ bi sao cho phần giữa của mẫu chịu uốn thuần tuý. Trong thí nghiệm, người ta chuẩn bị từ 6 đến 10 mẫu thử giống nhau. Với mẫu đầu tiên, người ta đặt tải P sao cho ứng suất cực đại trên mẫu thử vào khoảng 0,5 giới hạn bền. Cho máy chạy cho tới khi mẫu bị phá hỏng, ghi lại giá trị của σ và số chu trình N. Với mẫu 2,3.. , tải P được giảm dần. Biểu đồ mỏi Vê le được lập trên quan hệ giữa σ và số chu trình N để mẫu bị gãy. Giá trị ứng suất ứng với lúc đường cong nằm ngang được coi là giới hạn mỏi khi uốn thuần tuý đối xứng của mẫu thử (hình14-7). Kinh nghiệm cho thấy đối với thép, nếu mẫu chịu được 107 chu trình mà không bị phá hoại thì sẽ chịu được mãi mãi. Đối với kim loại mầu thì số chu trình cần thiết là 20.107 đến 50.107.
Người ta đã thiết lập những quan hệ gần đúng sau đây giữa giới hạn bền mỏi cho chu trình đối xứng trong trường hợp uốn σ-1u, kéo nén dọc trục σ-1k, xoắn τ-1 với giới hạn bền σb:
+ Đối với thép:
σ-1,u ≈ (0.4 ÷ 0.6 )σb
Pa a
Hình 14-6
P/2 P/2
P P
Hình 14-7 107
P
P1Pb
P2P-1
N1 N2
315
σ-1,k = (0.7 ÷ 0.8 )σ -1
τ-1 ≈ (0.4 ÷ 0.7) σ-1,u
+ Đối với gang:
σ-1,u ≈ (0.4 ÷ 0.5)σ b
τ-1 ≈ (0.7 ÷ 0.9)σ -1,u
+ Đối với kim loại mầu:
σ-1,u ≈ (0.25 ÷ 0.5 ) σb .
14.2.2. Biểu đồ giới hạn mỏi Để xác định đầy đủ độ bền mỏi của vật liệu, ngoài giới hạn mỏi của các chu trình
đối xứng, người ta còn phải xác định giới hạn mỏi của các chu trình không đối xứng. Thực nghiệm cho thấy giới hạn mỏi của các chu trình không đối xứng lớn hơn các chu trình đối xưng và phụ thuộc vào hệ số không đối xứng của chu trình. Với các dữ liệu thu thập được, người ta lập thành một biểu đồ gọi là biểu đồ giới hạn mỏi. Có hai loại biểu đồ giới hạn mỏi, một loai vẽ trên quan hệ pmax, pmin - ptb (biểu đồ Smit)(hình 14-8), loại thứ hai vẽ trên quan hệ pbđ - ptb (biểu đồ Clây), (hình 14-9).
Đường cong trên biểu đồ là tập hợp những điểm biểu thị giới hạn mỏi của cùng vật liệu ứng với các chu trình khác nhau. Điểm A có ptb = 0, pbđ = p-1 ứng với chu trình đối xứng. Điểm B và B' có pbđ = 0 ứng với trường hợp tác dụng của tải trọng tĩnh.
Xét một chu trình bất kì biêủ thị bằng một điểm L trên hình vẽ. Nối OL, tia OL gặp đường cong tại M. Với chu trình biểu diễn bằng điểm L, ta có:
Hình 14-8
Ptb
PmiPma
Pb
Pma
PmiPtP-
P- Pb
Hình 14-9
Pbđ
p-1
ptb
AM
θpbđp’b
L
p’t
pb, pb,B’ B
316
tb
bd
tb
bd
bdtb
bdtb
max
min
pp
1
pp
1
pppp
pp
r+
−=
+−
==
θ+θ−
=tg1tg1r
Trong đó θ là góc của tia OL đối với trục hoành.
Với chu trình biểu thị bằng điểm M, ta có:
tb
bd
tb
bd
bdtb
bdtb
max
min
'p'p
1
'p'p
1
'p'p'p'p
'p'p
'r+
−=
+−
==
θ+θ−
=+
−=
+−
=tg1tg1
'p'p
1
'p'p
1
'p'p'p'p
'p'p
bd
tb
bd
tb
bdtb
bdtb
max
min
Như vậy r = r' . Hai chu trình có hệ số bất đối xứng bằng nhau được gọi là hai chu trình đồng dạng với tỉ số đồng dạng:
bd
bd
tb
tbr p
'pp'p
OLOMn ===
Vì điểm M biểu thị chu trình giới hạn nên tỉ số nr là hệ số an toàn của chu trình biểu thị bằng điểm L. Chu trình được coi là an toàn nếu nr > 1. Vì những thí nghiệm để tìm giới hạn mỏi đều là những thí nghiệm phá hoại nên hai điểm B và B' đều có hoành độ là giới hạn bền của vật liệu. Nhưng với vật liệu dẻo, ta coi giới hạn nguy hiểm là giới hạn chảy pch. Vì vậy giới hạn mỏi của bất cứ chu trình nào cũng không được vượt quá giới hạn chảy. Do đó ta phải thay thế biểu đồ B'D'ADB bằng đường gãy C'D'ADC trong đó C' và C có hoành độ bằng giới hạn chảy khi kéo và nén và nghiêng góc 45o với trục hoành (hình14-10). Với một điểm K bất kì nằm trên đường CD ta luôn có :
pmax = Ok + kK = Ok + kC = pch,k
Nhằm giảm thiểu số thí nghiệm để xác định giới hạn mỏi, người ta đưa ra những cách lập các biểu đồ gần đúng. Có nhiều loại biểu đồ gần đúng như coi đường cong qua AB là đường bậc hai, hoặc coi biểu đồ gồm hai đoạn thẳng xác định bởi các ứng suất p-1 , pch,k, pb,k hoặc đơn giản hơn là p-1,pch,k (hình 14-11).
Hình 14-10
pch,k
A
450pbđ
ptb R
pb,k
C’B
Cpch,n
D’ D
317
Biểu đồ gần đúng được dùng phổ biến nhất là biểu đồ của Sêrensen và Kinasôvili với các giá trị pch,n, po,n , p-1 , po,k , pch,k (hình14-12).
14.3. Các nhân tố chính ảnh hưởng tới giới hạn mỏi
14.3.1. Ảnh hưởng của sự tập trung ứng suất. Yếu tố quan trọng nhất làm giảm giới hạn
mỏi là hiện tượng ứng suất tập trung gây ra do sự thay đổi đột ngột của mặt cắt chi tiết. Trong thực tế, sự tập trung ứng suất xuất hiện tại những rãnh then, lỗ khoan, rãnh thoát dao, trục bậc... Sự tập trung ứng suất không những phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của mặt cắt mà còn phụ thuộc cả vào dạng biến dạng và vật liệu.
Có hai loại hệ số tập trung ứng suất:
- Hệ số tập trung ứng suất lý thuyết: là tỉ số giữa ứng suất cục bộ lớn nhất tính theo lý thuyết đàn hồi và ứng suất danh nghĩa:
dn
maxlt p
p=α
- Hệ số tập trung ứng suất thực tế có xét tới ảnh hưởng của vật liệu, hệ số này
Hình 14-11
A
B O
a)
A
C
G
450
p-1
Pch, Pb,kO
b)
p-1
Pch,
A
C O
c)
Hình 14-12
pch,
A p-1
po,k
C pch,
F’F
E
po,n
ptb
Pb
40 60 80 100 120 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 q
σb kG/mm2 (σb.10MN/m2)
Hình 14-13
HỆ SỐ ĐỘ NHẬY VỚI ỨNG SUẤT TẬP TRUNG CỦA THÉP
1,6
1,7
1,8 1,9 2,0
α = 1,2
1,3
1,4
1,5
318
bằng tỉ số của giới hạn mỏi p-1 theo chu trình đối xứng của mẫu có mặt cắt đều và giới hạn mỏi thực tế p-1tt theo chu trình đối xứng của mẫu có mặt cắt thay đổi:
tt1
1tt p
p
−
−=α
Hệ số tập trung ứng suất thực tế thường nhỏ hơn hệ số tập trung ứng suất lý thuyết. Quan hệ giữa hai hệ số này được biểu thị bằng hệ số nhạy q:
11
qlt
tt
−α−α
=
- Với thép hợp kim: q ≈1 và do đó: αtt ≈ αtt
- Với thép cac bon: q = 0,6 ÷ 0,8
- Với gang : q = 0 → α = 1
Như vậy giới hạn mỏi của gang không chịu ảnh hưởng của sự tập trung ứng suất.
Ta có :
( )1q1 lttt −α+=α
Hình 14-13 là đồ thị hệ số nhạy q với các hệ số αlt khác nhau có kể đến độ bền của thép. Hình 14-14, 14-15, 14-16 và 14-17 là những đồ thị của các hệ số tập trung ứng suất thực tế đối với một số chi tiết thường gặp trong thực tế ứng với các dạng chịu tải khác nhau. Trong nghành cơ khí, các hệ số αtt cũng hay được cho dưới dạng các bảng số liệu.
1,2
1,4
1,8
2,0
Hình 14-14
ĐỒ THỊ CÁC HỆ SỐ TẬP TRUNG
0 0,1 0,2 0,3
ασt
1
2 3 1,0
1,6
0,4 0,5 r/d 0,6 0,7
1. Đối với thép có σb = 120 kG/mm2 (1200 MN/m2)
2. Đối với thép có σb = 80 kG/mm2 (800 MN/m2)
d
D
P
P
r
1,2
1,4
1,8
2,0
Hình 14-15
ĐỒ THỊ HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT THỰC TẾ
40 50 60 70
ατt
1,0
1,6
80 90 100 110
d
a Mx
Mx
σb kG/mm2
319
Trường hợp các trục bậc chịu xoắn và uốn có tỉ số 2dD
< thì các hệ số của biểu
đồ (hình 14-16 và 14-17) phải được hiệu chỉnh theo biểu đồ ở hình 14-18.
1,5
2,0
3,0
Hình 14-16
HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT THỰC TẾ
đối với những tc bậc khi xoắn
0 0,1
ατtt
1,0
2,5
0,2 0,3 p/d
Mxo
Mxo
d D
p
1. Đối với thép có σb = 120 kG/mm2 (1200 MN/m2)
2. Đối với thép có σb = 50 kG/mm2 (500 MN/m2)
1
2
1,5
2,0
3,0
Hình 14-17
HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT THỰC TẾ
đối với những trục bậc chịu uốn
0 0,1
ατtt
1,0
2,5
0,2 0,3 p/d 1. Đối với thép có σb = 120 kG/mm2 (1200 MN/m2)
2 Đối với thép có σb = 50 kG/mm2 (500 MN/m2)
M M
d D
p
1
2
0,4
ĐỒ THỊ CỦA NHỮNG HỆ SỐ ĐIỀU CHỈNH với tỷ số D/d < 2 ξ
1,0 1,25 1,5 1,75 D/d 0,25
0,5
0,75
1,0
2
1
1. Uốn
2 X ắ
Hình 14-18
Nếu D/d < 2 thì αhd được xác định theo công thức : αtt = 1 + ξ (αtto – 1)
Trong đó αtto là hệ số tìm từ đồ thị hình 14-16 hoặc 14-17
320
14.3.2. Ảnh hưởng của kích thước chi tiết. Nhiều thực nghiệm cho thấy với các chi tiết máy cùng loại biến dạng, giới hạn
mỏi thay đổi tuỳ theo kích thước của các chi tiết. Chi tiết có kích thước lớn sẽ có giới hạn mỏi nhỏ hơn, ảnh hưởng của kích thước chi tiết đối với giới hạn mỏi được biểu thị bằng hệ số kích thước αkt.. Hệ số này bằng tỷ số giữa giới hạn mỏi p-1do của mẫu thử có đường kính từ 7mm ÷ 10 mm với giới hạn mỏi p-1d của chi tiết đồng dạng hình học với mẫu thử:
d1
do1kt p
p
−
−=α
Hệ số kích thước αkt không những phụ thuộc kích thước chi tiết mà còn phụ thuộc vật liệu, phương pháp gia công nữa (xem hình 14-19)
14.3.3. Ảnh hưởng của tình trạng bề mặt Giới hạn mỏi còn chịu ảnh hưởng của chất lượng bề mặt khi gia công cơ .Nếu bề
mặt chi tiết không nhẵn, có nhiều vết nứt cực nhỏ, giới hạn mỏi của chi tiết giảm. Hệ số bề mặt αbm bằng tỷ số giữa giới hạn mỏi p-1bm của mẫu mặt ngoài đánh bóng với giới hạn mỏi p-1dbm của mẫu có bề mặt bất kì:
dbm1
bm1
bmbm p
p1
−
−=ε
=α
Nếu xét cả ba yếu tố chính ảnh hưởng đến sự tập trung ứng suất ta có một hệ số chung αr bằng tỷ số giữa giới hạn mỏi p-1 của một mẫu có đường kính từ 7 ÷ 10 mm bề mặt đánh bóng với giới hạn mỏi (p-1)ct của chi tiết thực tế :
10 0,4
0,6
0,8
1,0
Hình 14-19
6,35 20 30 40 50 60 80 100 d,mm
εtl =1/αkt
1
2 3
4
5 6
1. Thép các bon, đánh bóng nhẵn
2. Thép các bon, mài nhẵn
3. Thép hợp kim, đánh bóng nhẵn
4. Thép hợp kim, mài nhẵn
5.Thép hợp kim với ứng suất tập trung vừa phải (ασhd< 2)
321
( ) bmktttct1
1r ..
pp
ααα==α−
−
Do đó giới hạn mỏi của một chi tiết thực tế làm việc theo chu trình đối xứng bằng:
( )r
1ct1
pp
α= −
−
14.4. Cách tính về độ bền mỏi Khi tính độ bền mỏi của một chi tiết máy, người ta thường dùng phương pháp
kiểm tra, phương pháp này được tiến hành như sau:
- Chọn sơ bộ kích thước của chi tiết máy trên cơ sở tính toán gần đúng và xét đến tính công nghệ của chi tiết đó.
- So sánh hệ số an toàn nr của chi tiết trên với hệ số an toàn cho phép [n] theo điều kiện :
nr ≥ [n]
Hệ số an toàn nr chính là hệ số đồng dạng của chu trình đã cho với chu trình giới hạn đồng dạng của nó.
14.4.1. Trường hợp kéo, nén, uốn, xoắn thuần tuý Đây là những trường hợp chịu lực đơn giản. Giả sử ta có một chu trình ứng suất
bất kì biểu thị bằng điểm L. Nếu tia OL gặp đường cong giới hạn mỏi trên đoạn A’F’
0,2
0,4
0,8
1,0
Hình 14-20
40 60 80 100
εBm=1/αm 1 2 3 4
5
6
0
0,6
7
120 140 σb kG/mm2 (σb.10MN/m2)
1. Đánh bóng cẩn thận
2. Đánh bóng thô
3. Mài mỏng hoặc tiện mỏng
4. Mài thô hoặc tiện thô
322
thì chu trình cho trước đồng dạng với chu trình bị phá hoại vì mỏi. Nếu tia OL gặp đường cong trên đoạn F’C thì chu trình cho trước bị phá hoại vì chảy. Điểm L biểu thị chu trình ứng suất của chi tiết có toạ độ ptb và pbđ . Tia OL cắt A’F’ tại K có toạ độ p’tb và p’bđ .
tb
tb
bd
bdr p
'pp'p
OLOKn ===
Vì K nằm trên đoạn A’E’ nên:
p’bđ = ap’tb + b
Tại A’ : p’tb = 0
r
1bd
p'p
α= −
Tại E’ : p’tb = 0,5.po
r
0bd
p.5,0'p
α=
Thay các giá trị trên vào phương trình đường thẳng, ta có:
r0r
01
p..5,0p5,0p
aαβ
−=α
−−= −
r
1pb
α= −
Trong đó:
0
01
p5,0p5,0p −
=β −
Do đó: r
1
r
tbbd
p'p'p
α+
αβ
−= −
Hay: p’bđ.αr + β.p’tb = p’-1
Thay: p’bđ = nr. pbđ
p’tb = nr . ptb
nr .β.ptb + nr. αr. pbđ = p-1
bdrtb
1r pp
pn
α+β= −
Trường hợp chu trình ứng suất biểu thị bằng điểm L’ và tia OL’ gặp đường cong giới hạn mỏi trên đoạn F’C, giới hạn phá hoại tương ứng với chu trình này là giới hạn chảy
Hình 14-21
ptb
pbđ
pbđ
Po
2
K’(p’bđ)
E’
E
K
K”
A
A’
ptb p’tb ptb k’
(p’tb)
pch,k
pbđ
p’bđ
P-1
αr
p-1
C
F’
L
L’
323
p’tb + p’bđ = Ok’ + k’K = Ok’ + k’C = pch,k
Ta suy ra: bdtb
k,chr pp
pn
+=
Trong thực tế, người ta có thể tính nr theo cả hai công thức trên và lấy giá trị nhỏ nhất để so với [n].
14.4.2. Trường hợp uốn và xoắn biến đổi đồng thời Ta có thể áp dụng lý thuyết bền ứng suất tiếp cực đại hay lý thuyết thế năng biến
đổi hình dáng lớn nhất để đến công thức tính hệ số an toàn nr như sau:
222r n
1n1
n1
τσ
+=
Hay : 22r
nn
n.nn
τσ
τσ
+=
Trong đó nσ và nτ là những hệ số an toàn của các biến dạng uốn và xoắn.
14.5. Ví dụ Ví dụ 14-1: Một trục pit tông rỗng (D = 30 mm, d =16 mm) của động cơ nhiệt
chịu lực uốn P biến thiên giữa hai giới hạn Pmax = 60KN và Pmin = -20KN (hình 14-22)
Đặc trưng cơ học của vật liệu: σb = 1000MN/m2, σch = 800MN/m2, giới hạn mỏi của chu trình đối xứng σu-1 = 500MN/m2, giới hạn mỏi của chu trình mạch động σo = 750MN/m2. Bề mặt của trục đánh bóng, αbm = 1, hệ số kích thước αkt = 1.2.
Kiểm tra độ bền của chi tiết, biết rằng [n] = 1,5
Bài giải:
Hình 14-22
P P
P
a b a
a)
b)
c)
324
Sơ đồ tải trọng của trục vẽ ở hình 14-22a, trong đó ta coi áp lực tác động lên trục và vào hai gối bên phân bố đều (hình 14-22.b), hình 14-22c là biểu đồ mômen uốn.
Mômen uốn cực đại tại mặt cắt giữa trục là:
P10.375,14b
2P
2b
2a
2PM 2
U−=×−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +×=
Mômen chống uốn của mặt cắt:
3643243
X m10.44,236,11
32)10.3.(
Dd1
32DW −
−
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
π=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
π=
Mômen uốn cực đại và cực tiểu:
Mxmax = 1,375.10-2Pmax = 1,375.10-2.60000 = 825Nm
Mxmin = 1,375.10-2Pmin = 1,375.10-2. (-20000) = -273Nm
Ứng suất pháp cực đại và cực tiểu:
2266
X
maxmax m/MN338m/N10,338
10.44,2825
WM
====σ −
2266
x
minmin m/MN113m/N10,113
10.44,2273
WM
−=−=−
==σ −
Ứng suất trung bình và ứng suất biên độ của chu trình :
σbđ = 0,5(σmax -σmin) = 0,5 [338-(-113)] =225,5MN/m2
σtb = 0,5( σmax + σmin) = 0,5(338 - 113) =112,5MN/m2
Hệ số an toàn tính theo công thức:
bdrtb
1r ..
nσα+σβ
σ= −
Trong đó : 33,0750.5,0
750.5,0500.5,0
5,0
o
bd1 =−
=σ
σ−σ=β −
2,11.2,1.1.. bmktttr ==ααα=α
Vậy: 6,15,225.2,15,112.33,0
500n r =+
=
Nếu tính theo điều kiện bị phá hỏng vì chảy thì:
tbbd
k,chrn
σ+σ
σ= 36,2
5,1125,225800
=+
=
Vậy : nr = 1,6 > [n]
325
Ví dụ 14-2: Một lò xo hình trụ bằng thép của van động cơ nhiệt có giới hạn mỏi của chu trình đối xứng và chu trình mạch động bằng τ-1 = 270MN/m2, τo = 450MN/m2, G = 8.104 MN/m2. Lò xo có số vòng nv = 4,5; dây thép làm lò xo có đường kính d = 4 mm, đường kính ngoài của lò xo hình trụ là Dn = 48mm. Để tự do, lò xo có chiều dài L = 60 mm, khi van đóng lò xo dài Lđ = 43 mm, khi van mở lò xo dài Lm = 29 mm. Trong chế tạo, lò xo được làm cứng bề mặt (αbm = 1). Tính hệ số an toàn của lò xo (hình 14-23).
Bài giải:
Từ công thức tính độ lún của lò xo:
4V
3
GdnPD8
=λ
Suy ra V
3
4
nD8GDP λ
=
Trong đó λ và D (đường kính trung bình của lò xo hình trụ) được tính như sau:
λmax = L - Lm = 60 - 29 = 31mm
λmin = L - Lđ = 60 - 43 =17 mm
D = Dn - d = 48 - 4 = 44 mm
Thay bằng số, ta có:
Pmax =V
3
4max
nD8Gdλ =
5,4.10.4,4.810.4.10.8.031,0
63
12410
−
−
= 207N
Pmin = V
3
4min
nD8Gdλ =
5,4.10.4,4.810.4.10.8.017,0
63
12410
−
−
= 114N
Ứng suất tiếp do biến dạng xoắn của dây lò xo (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt) bằng :
3max
max dDP8
π=τ = 63
2
10.4.14,310.4,4.207.8
−
−
=362.106 N/m2 = 362MN/m2
3min
min dDP8
π=τ = 63
2
10.4.14,310.4,4.114.8
−
−
= 200.106 N/m2 =200MN/m2
Từ đó, ta có:
2minmaxbd m/MN81
2200362
2=
−=
τ−τ=τ
2minmaxtb m/MN281
2200362
2=
+=
τ+τ=τ
Dùng công thức :
326
97,181.1281.2,0
270nbdrtb
1r =
+=
τα+βττ
= −
Trong đó:
2,0450.5,0
450.5,02705,0
5,0
0
01 =−
=τ
τ−τ=β −
11.1.1.. bmktttr ==ααα=α
Ví dụ 14-3: Trục truyền động của một bánh răng trụ truyền công suất 28KW với tốc độ n = 720 vòng/phút. Khi ăn khớp với bánh răng to, nó tạo ra lực vòng P và lực hướng kính T = 0,364P. Xác định hệ số an toàn n. Biết trục làm bằng thép 45 có σch=320MN/m2, σ-1 = 250MN/m2. Khi tính toán, coi σ do uốn là chu trình đối xứng, τ do xoắn là chu trình mạch động, cho αutt = 1,95 ; αubm = 1,03 ; αukt = 1,2 ; ρ = 2 ; βτ = 0,1 ; ατtt = 1,8 ; ατbm = 1,03 ; ατkt = 1,2.
Bài giải:
Lực T uốn trục trong mặt phẳng yoz, lực P uốn trục trong mặt phẳng xoz và gây ra mômen xoắn M z = PD/2 , các ổ lăn được coi như khớp bản lề.
Mômen xoắn được xác định theo công suất truyền động và số vòng quay là:
Nm37172028.9550
nN.9550
zM ===
P = 3z
10.90371.2
DM2
= = 8.3KN
T = 0,364P = 3,01 KN
Mômen uốn lớn nhất tại giữa dầm tính theo P và T là :
Nm5,1284
10.170.01,34l.TM
3
x ===
Nm3514
10.170.3,84l.PM
3
y ===
2y
2x
u MMM += = 22 3515,128 + = 373Nm
Như vậy:
22693
u
max m/MN5,41m/N10.5,41
3210.45.
373WM
==π
==σ −
22693
zmax m/MN8,20m/N10.8,20
1610.45.
371WM
==π
==τ −ρ
327
Do mômen uốn là chu trình đối xứng nên ứng suất pháp :
σbđ = σmax = 41,5 MN/m2, σtb = 0
Mômen xoắn là chu trình mạch động nên :
2maxtbbd m/MN4,10
28,20
2==
τ=τ=τ
Các hệ số an toàn nσ và nτ được tính theo các công thức:
53,25,41.41,2
250.
nbd
1 ==σα
σ=
σ
−σ
Trong đó :
41,22,1.03,1.95,1.. ktbmtt ==ααα=α σσσσ
7,54,10.1,04,10.22,2
137..
ntbbd
1 =+
=τβ+τα
τ=
ττ
−τ
Trong đó :
τ-1 = 0,55.σ -1 = 0,55.250 = 137 MN/m2
βτ = 0,1
D 9
0
Φ 4
5
P T
PT
MzMz
Mx
My
Mz
y
zx
o
Hình 14-23
328
ατ = ατtt. ατbm. ατkt = 1,8.1,03.1,2 = 2,22
3,27,553,2
7,5.53,2nn
n.nn
2222r =+
=+
=τσ
τσ
Vậy hệ số an toàn của trục vừa chịu xoắn vừa chịu uốn là 2,3.
BÀI TẬP 14.1. Một trục tròn d = 40,bề mặt mài nhẵn có σ-1 = 200MN/m2 chịu uốn thuần tuý trong chu trình đối xứng Mmax = -Mmin = 640Nm .Xác định hệ số an toàn n
14.2. Một trục bậc có D = 80, d = 40 làm bằng thép 40 X có σ-1kn = 250MN/m2,
σb = 1000MN/m2, bề mặt mài nhẵn bóng. Xác định lực Pmax trong chu trình đối xứng với hệ số an toàn cho phép [n] = 1,8,biết ρ/d = 0.2.
14.3. Một trục tròn d = 50,thép C có σB = 600MN/m2, bề mặt mài bóng cao , có khoan một lỗ xuyên tâm a = 10 mm chịu xoắn với Mxmax = -Mxmin = 900 Nm. Xác định [n] nếu
σ-1= 0.4σb ,τ-1= 0.5σ-1.
14.4. Một trục bậc đường kính D = 60, d = 50 chịu lực kéo nén chu kỳ có r = -0.5. Trục bằng thép có σ-1 = 204MN/m2 ,σb = 500MN/m2 trục được gia công bằng phương pháp tiện. Xác định lực tác dụng lên trục . Biết αlt = 1.6, [n] =3 , β = 0
14.5. Một trục trơn rỗng quay tròn có tiết diện nguy hiểm vì khoan một lỗ tra dầu. Trục chịu uốn với Mu = 1.5 KNm, mô men xoắn Mxmax = 1.8KNm , hệ số bất đối xứng rx = -0.25 . Trục có D = 70, d = 35. Trục làm bằng thép 45 có σ-1 = 300MN/m2,τ-1 =1 80MN/m2 .Bề mặt trục màI nhẵn .Xác định hệ số an toàn của trục. Biết ασlt = 2.5, qσ = 0.65, αkt = 1.43, αm = 1.09, ατlt = 3, qτ = 0.65, βτ = 0.05.
14.6. Thí nghiệm với thép CT3 người ta xác định được σb = 388MN/m2, σ-1= 185MN/m2 và một số giá trị tương ứng giữa σbd và σtb như sau:
σrbđ 175 140 85 (MN/m2)
σrtb 100 200 300 (MN/m2)
Xác định giới hạn mỏi σ0.25
14.7. Một trục chịu uốn với Mumax = 400Nm, Mumin = -160Nm và chịu xoắn Mxmax= 640Nm, Mxmin = 320Nm. Trục có D = 50, d = 40, ρ = 0.25 . Vật liệu trục thép CT5 có
329
σb = 500MN/m2, σ-1 =240MN/m2,τ-1 =140MN/m2,σo =400MN/m2, τo= 254MN/m2, trục được mài nhẵn. Xác định hệ số an toàn.
14.8. Một chi tiết bằng thép có D =80 mm, d = 40 mm,l = 400mm , a = 100 mm , ρ = 0.2 cm ,Po = 160 N = const .Lực P biến thiên từ Pmax= -Pmin .Xác định Pmax nếu [n] = 2 .Bề mặt chi tiết tiện thô .Vật liệu có σb= 600MN/m2 , σ-1 =250MN/m2 , τ-1 = 150 MN/m2 ,σo = 415 MN/m2 ,τo =255MN/m2 (hình 14.8B)
a
l
P0
P
Hình 14-8B
d
D
330
CHƯƠNG 15: THỰC NGHIỆM CÔNG TRÌNH
15.1. Ý nghĩa của việc nghiên cứu bằng thực nghiệm Như trong chương 1 đã trình bầy: phương pháp nghiên cứu của môn sức bền vật
liệu là kết hợp lí thuyết với thực nghiệm. Từ việc quan sát thí nghiệm người ta đưa ra các giả thiết làm đơn giản hoá quá trình tính toán, và bằng các công cụ là toán, cơ, vật lí mà tìm ra các phương pháp tính toán công trình. Cuối cùng lại dùng thực nghiệm để kiểm tra lại kết quả tính toán. Như vậy thực nghiệm giữ vai trò ở khâu đầu và khâu cuối cùng, nó vừa góp phần làm đơn giản hoá quá trình tính toán, vừa là xác minh độ tin cậy, mức độ chính xác của phương pháp tính toán đã dựa trên những giả thiết gần đúng.
Ngoài ý nghĩa trên, các bài toán thực tế đôi khi rất phức tạp. Mức độ phức tạp không chỉ ở hình dạng kết cấu mà còn phức tạp ở các điều kiện biên, điều kiện đầu và các tính chất của vật liệu. Việc giải một số bài toán loại này bằng phương pháp giải tích để tìm ra kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích đóng đôi khi rất khó khăn, thậm chí có trường hợp không thể thực hiện được. Trong những trường hợp như thế thì việc nghiên cứu giải bài toán bằng thực nghiệm đóng vai trò hết sức quan trọng. Trên cơ sở hàng loạt những kết quả thí nghiệm, ta sử dụng công cụ toán học (xác suất thống kê) có thể tìm ra những công thức tính toán công trình dươí dạng những biểu thức thuận lợi cho tính toán thiết kế (đường hồi qui).
Thông thường, có hai loại thí nghiệm: thí nghiệm vật liệu và thí nghiệm công trình. Những thí nghiệm nhằm mục đích xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu như mô đun đàn hồi E, mô đun trượt G, hệ số Poat-xông μ..., những đặc trưng về tính dẻo của vật liệu như độ dãn tỉ đối, độ thắt tỉ đối, góc xoắn tỉ đối..., những đặc trưng về tính bền của vật liệu như giới hạn tỉ lệ, giới hạn chảy, giới hạn bền, độ bền mỏi... gọi là thí nghiệm vật liệu. Còn những thí nghiệm nhằm mục đích kiểm tra các kết quả tính toán, kiểm tra khả năng làm việc của công trình hay các chi tiết máy được gọi là thí nghiệm công trình.
Thí nghiệm vật liệu có thể được tiến hành trên các mẫu thí nghiệm chế tạo từ các vật liệu thực của công trình (thí nghiệm phá hoại) hoặc thí nghiệm ngay trên các cấu kiện của công trình thực (thí nghiệm không phá hoại). Các mẫu thí nghiệm được chế tạo theo những quy định của nhà nước. Vì tính chất cơ học của vật liệu phụ thuộc vào hình dáng, kích thước và chế độ gia công của mẫu thí nghiệm nên hình dáng, kích thước, chế độ gia công mẫu thí nghiệm cũng được quy định theo tiêu chuẩn của nhà nước.
Thí nghiệm công trình có thể tiến hành ngay trên các cấu kiện của công trình thực hoặc trên các mô hình tương tự. Các mô hình có tỉ lệ kích thước biến đổi trong phạm vi rất rộng tuỳ thuộc vào mục đích nghiên cứu và khả năng kinh phí cho phép. Vật liệu làm mô hình có thể là cùng loại vật liệu với công trình thực hoặc có thể là các loại vật liệu khác nhưng phải tuân theo định luật tương tự. Cùng với tỉ lệ về kích thước, sự
331
tương tự về vật liệu thì các tỉ lệ về tải trọng tác dụng lên mô hình, các điều kiện biên, các điều kiện đầu... cũng được qui định theo luật tương tự.
Trong các thí nghiệm công trình ta thường phải xác định ứng suất và chuyển vị. Để xác định ứng suất trong công trình hoặc trong mô hình thường thông qua việc đo biến dạng, rồi trên cơ sở của định luật Hooke mà tìm ra ứng suất. Do đó một trong những vấn đề cơ bản của việc nghiên cứu bằng thực nghiệm là việc đo biến dạng và chuyển vị của mẫu thí nghiệm. Dưới đây sẽ đề cập đến một số phương pháp và dụng cụ đo biến dạng và chuyển vị thường gặp.
15.2. Nguyên tắc và dụng cụ đo biến dạng Có rất nhiều phương pháp đo biến dạng, song dưới đây chỉ trình bầy một vài
phương pháp cơ bản và thông dụng nhất.
15.2.1. Đo biến dạng dựa trên nguyên lí cơ học Dụng cụ để đo biến dạng gọi là Ten-zô-met (Tensometre), thông dụng nhất là ten-
zô-met kiểu đòn bẩy. Cấu tạo của Ten-zô-met này như trên hình 15-1 và sơ đồ nguyên lí như trên hình 15-2.
332
Trên khung 1 của Ten - zô - met có một lưỡi dao cố định và một lưỡi dao động 2
hình quả trám tì lên khung 1. Khoảng cách giữa 2 lưỡi dao này gọi là chuẩn đo (Base) của dụng cụ. Lưỡi dao 2 được nối với tay đòn 3. Ngoài ra còn có kim chỉ thị 4 và bảng chia độ 5. Để đo biến dạng của mẫu ta dùng bộ gá lắp gắn chặt 2 lưỡi dao của Ten - zô - met vào mẫu tại vị trí đo. Khi mẫu thí nghiệm bị biến dạng thì khoảng cách giữa 2 lưỡi dao cũng bị thay đổi, lưỡi dao 2 quay làm thanh 3 quay theo (đường nét đứt trên hình 16-2) đẩy kim 4 quay trên mặt chia độ 5. Nhờ hệ thống đòn bẩy, biến dạng dài (sự thay đổi độ dài của khoảng cách giữa 2 lưỡi dao) được khuếch đại lên K lần. K gọi là hệ số khuếch đại của Ten-zô-met (thông thường K=1000). Như vậy hiệu số δ đọc được trên bảng chia độ trước và sau khi mẫu bị biến dạng cho ta biến dạng dài Δl của đoạn l của mẫu đã được nhân lên K lần. Do đó biến dạng dài tương đối của mẫu được tính :
ll
l
Kδ
=Δ
=ε (15.1)
Hình 15-1 Hình 15-2
333
Ưu điểm của loại Ten-zô-met này là đơn giản, dễ sử dụng, ít chịu ảnh hưởng của môi trường. Tuy nhiên độ nhậy của dụng cụ này thấp nên độ chính xác không cao. Quán tính của dụng cụ lớn nên không sử dụng để đo biến dạng động. Ngoài ra độ chính xác khi đo còn phụ thuộc rất lớn vào kỹ thuật gá lắp dụng cụ vào mẫu thí nghiệm, tức là phụ thuộc vào trình độ tay nghề của cán bộ thí nghiệm. Khi muốn đo biến dạng tại nhiều điểm thì phải sử dụng nhiều Ten-zô-met.
Một loại dụng cụ khác nhưng cũng dựa trên nguyên lí này đó là Đi-mêch (Demec). Sơ đồ của dụng cụ này cho trên hình 16-3. Về cơ bản cấu tạo của nó cũng tương tự như Ten-sơ-met đòn bẩy, chỉ khác là bộ chỉ thị ở đây là một chuyển vị kế (cấu tạo của chuyển vị kế sẽ được trình bầy ở phần dưới). Khung của Đi-mêch được làm bằng một loại kim loại có độ dãn nở vì nhiệt vô cùng nhỏ (thường là thép Inva) để khử ảnh hưởng của môi trường.
cúc
Hình 15-3
334
Muốn đo biến dạng của mẫu tại vị trí nào đó ta chỉ việc dán 2 chiếc ”cúc” vào vị trí cần đo. Hai cúc này đặt cách nhau một khoảng xấp xỉ chuẩn đo của dụng cụ (khoảng cách của các cúc này được định vị bằng một dụng cụ riêng kèm theo). Để đo biến dạng của mẫu ta chỉ việc cắm 2 lưỡi dao của Đi-mêch vào 2 lỗ của 2 cúc đã dán sẵn trên mẫu thí nghiệm trước và sau khi mẫu bị biến dạng. Hiệu số 2 lần đọc này chính là biến dạng tuyệt đối Δl của đoạn dài giữa 2 cúc đã dán sẵn trên mẫu đã đưọc nhân lên K lần. K được gọi là hệ số khuếch đại của Đi-mêch. Biết Δl, l và hệ số K của Đi-mêch ta dễ dàng xác định được biến dạng tương đối ε của mẫu. Với cách đo như trên, chỉ cần một Đi-mêch ta có thể đo biến dạng tại nhiều vị trí khác nhau trên công trình, và cũng có thể đo biến dạng của mẫu nhiều lần ở nhiều thời điểm khác nhau (đo biến dạng theo thời gian). Ngoài ra, với dụng cụ này, kết quả đo không phụ thuộc vào kỹ thuật gá lắp dụng cụ. Do mở rộng được chuẩn đo nên độ nhậy tăng. Tuy nhiên dụng cụ này cũng có quán tính lớn nên chỉ đo được biến dạng tĩnh.
15.2.2. Đo biến dạng bằng tấm điện trở Đây là phương pháp đo biến dạng dài được dùng phổ biến hiện nay. Phương pháp
này có nhiều ưu điểm mà các phương pháp khác không thể có được như là :
- Có độ chính xác cao.
- Chỉ cần một máy đo có thể đo biến dạng tại nhiều vị trí trên công trình.
- Có thể đo biến dạng theo nhiều phương khác nhau tại cùng một điểm và do đó có thể xác định được giá trị, phương của ứng suất chính.
- Có thể đo biến dạng gây ra do tải trọng tĩnh, tải trọng động cũng như tải trọng xung.
- Có thể đo biến dạng ở khoảng cách xa vị trí đặt máy đo, ở những vị trí kín không thể quan sát được, ví dụ đo biến dạng ở những điểm trong lòng cấu kiện bê tông, kết cấu chìm ngập dưới nước, các điểm trong lòng công trình đất ...
- Có thể sử dụng tấm điện trở để chế tạo thành các đầu chuyển đổi (Transducer) để đo nhiều các đại lượng cơ học khác.
Tuy nhiên phương pháp đo này chịu ảnh hưởng rất nhiều của môi trường ngoài như nhiệt độ, độ ẩm, từ trường... nên cần có biện pháp kỹ thuật xử lí thích hợp mới cho được kết quả tin cậy.
Đo biến dạng bằng phương pháp này ta sử dụng một tấm điện trở (hay còn gọi là Đattric điện trở, cảm biến điện trở...). Cấu tạo của tấm điện trở (Straingate) cho trên hình 15-4. Lớp vỏ bằng giấy cách điện hoặc bằng Polyeste. Một dây điện trở được dán chặt vào giữa 2 lớp vỏ và được hàn vào 2 dây dẫn điện. Chiều dài l được gọi là chuẩn đo. Điện trở của Đattric thường có giá trị là 120, 350, 600 Ω đến 2000 Ω. Chuẩn đo thường là 5,10, 20, 50 mm...
335
Muốn đo biến dạng dài theo phương nào đó, ta chỉ việc dán (bằng các loại keo dán đặc biệt) tấm điện trở lên mẫu theo phương cần đo biến dạng. Khi mẫu bị biến dạng làm chiều dài của nó thay đổi, đoạn dán tấm điện trở cũng thay đổi, và do đó chiều dài dây điện trở cũng bị thay đổi. Chiều dài dây điện trở thay đổi làm cho điện trở của nó cũng bị thay đổi theo. Ta đã biết điện trở R của dây dẫn được xác định bằng công thức sau:
FR lρ
= (a)
trong đó : ρ là điện trở suất của vật liệu làm dây dẫn.
l là chiều dài dây dẫn.
F là diện tích mặt cắt ngang của dây dẫn.
Từ (a) ta có :
ln R = ln ρ + ln l - ln F
và do đó sự biến đổi tương đối của điện trở :
FF
RR Δ
−Δ
+ρρΔ
=Δ
l
l (b)
Nhưng Δl/l = ε là biến dạng dài tương đối của dây điện trở và cũng là biến dạng dài tương đối của mẫu thí nghiệm tại điểm đo. Gọi ε = ε z và ta cũng đẫ biết:
εx = εy = - μεz = -με
Do đó:
FFΔ = εx + εy = - 2με
với μ là hệ số Poat-xông.
Nếu bỏ qua sự thay đổi của điện trở suất thì từ (b) ta có :
RRΔ = ε + 2με = ε( 1 + 2μ ) (c)
l
Hình 15-4 Hình 15-5
R2 R4
R3 R1
B
A
D
C
i
336
Đối với mỗi loại vật liệu (để làm dây điện trở) thì μ = Const nên 1 + 2μ = Const. Ta ký hiệu:
K = 1 + 2μ
K gọi là hệ số nhậy của tấm điện trở. Do đó :
ε=Δ KRR hay
KRRΔ
=ε (d)
Sự thay đổi tương đối của điện trở tỉ lệ bậc nhất với sự thay đổi tương đối của chiều dài dây dẫn, tức là tỉ lệ bậc nhất với biến dạng dài tương đối. Như vậy nếu đo được tỉ số ΔR/R thì sẽ xác định được biến dạng dài tương đối ε của dây điện trở, cũng chính là biến dạng dài tương đối của mẫu thí nghiệm.
Để xác định sự thay đổi điện trở này, ta dùng một cầu đo điện trở, thông thường đó là cầu Uytstơn (hình 15-5). Khi cầu cân bằng, tức là khi điện kế G chỉ số 0 thì ta có VA = VC hay :
I1R1 = I2R3 (*)
I1R2 = I2R4 (**)
Từ (*) và (**) ta có :
4
3
2
1
RR
RR
= hay R1R4 = R2R3 (***)
Nếu dùng R1 làm Đattric đo thì khi R1 biến đổi từ R1 thành R1 + ΔR1, ta sẽ thay đổi điện trở R4 thành R4 + ΔR4 để đẳng thức (***) được thoả mãn. Biết ΔR4 ta có thể xác định được ΔR1 và do đó theo (d) có thể xác định được ε.
Nếu mẫu thí nghiệm không thuộc trạng thái ứng suất đơn mà thuộc trạng thái ứng suất phẳng thì muốn đo được ứng suất chính ta phải đo biến dạng theo nhiều phương, rồi dựa vào các công thức của trạng thái biến dạng ta sẽ xác định được các biến dạng chính. Để đo biến dạng theo nhiều phương ta thường dùng các đattric loại đặc biệt gọi là hoa điện trở như trên hình 15-6.
Nếu đã biết phương chính ta thường dùng hoa điện trở vuông góc (hình 15-6a). Các tấm điện trở được dán vuông góc với nhau và dán theo các phương chính. Các biến dạng đo được này chính là các biến dạng chính. Từ các biến dạng chính, nhờ định luật Hooke ta xác định được các ứng suất chính σmax, σmin .
3
2
1
3
2
1
a) c)
Hình 15-6
1
23
b)
337
Nếu tại điểm cần đo chưa biết các phương chính, ta phải đo biến dạng theo 3 phương khác nhau. Trong trường hợp đó ta dùng hoa điện trở 45o (hình 16-6 b) hay hoa điện trở 60o ( hình 16-6 c ). Giả sử ta dùng hoa điện trở 45o. Kí hiệu εo, ε45, ε90 lần lượt là các biến dạng đo được theo phương ngang, phương 45o và phương 90o so với phương ngang. Theo công thức của trạng thái biến dạng ta xác định được các biến
dạng theo các phương chính εMax,εMin theo các công thức sau:
Hình 15.7: Máy đo biến dạng tĩnh kiểu hiện số
Hình 15-8: Máy đo biến dạng tĩnh quét tự động
εmax + εmin = εo + ε90
( ) ( )2900
290450minmax 2 ε−ε+ε+ε−ε=ε−ε
338
và góc giữa phương εmax và phương εo là ϕ được xác định từ biểu thức:
tg 2ϕ = (εo- 2ε45+ ε90 )/ (εo - ε90)
15.3. Đo chuyển vị bằng phương pháp cơ học Dụng cụ để đo chuyển vị gọi là chuyển vị kế (Indicator). Chuyển vị kế kiểu cơ
học có sơ đồ như trên hình 15-9. Cấu tạo của nó gồm: Trục 1 trượt được trong ống 2. Đồng hồ chỉ thị 3 gồm một hệ thống bánh răng làm nhiệm vụ truyền chuyển động
thẳng của trục 1 thành chuyển động quay của các kim trên mặt chia độ. Nhờ hệ thống bánh răng này mà trụ
Hình 15-9: Chuyển vị kế kiểu cơ học
chuyển dịch của trục 1 được khuếch đại lên K lần. K gọi là hệ số khuếch đại của chuyển vị kế. Muốn đo chuyển vị tại một điểm nào đó của kết cấu ta dùng bộ gá lắp để đặt đầu của trục 1 tiếp xúc với điểm đó. Bộ gá lắp được kẹp chặt vào vỏ 2 và được đặt trên một vị trí cố định (không bị chuyển vị). Khi mẫu bị chuyển vị thì đầu của trục 1 cũng dịch chuyển theo. Hiệu số đọc được trên đồng hồ khi mẫu đã chuyển vị và khi chưa chuyển vị cho ta trị số chuyển vị của mẫu. Các chuyển vị kế kiểu này thường có độ chính xác tới 0,01 mm hoặc 0,001mm.
Nhược điểm chính của loại chuyển vị kế kiểu cơ học là :
- Độ nhậy không cao.
- Muốn đo chuyển vị cần phải có điểm cố định để đặt bộ gá lắp.
- Mỗi chuyển vị kế chỉ đo chuyển vị tại một điểm.
- Chuyển vị kiểu cơ học thuần tuý (không có cầu đo bên trong) chỉ có thể sử dụng để đo chuyển vị tĩnh.
Tuy nhiên chuyển vị kế loại này cho kết quả khá tin cậy và ít chịu ảnh hưởng của môi trường ngoài.
1
2
3
339
Hình 15-20: chuyển vị kế dựa trên nguyên lý điện
Tuy nhiên có một số loại chuyển vị kế này người ta lắp bên trong nó một cầu đo nên hệ số khuếch đại cao hơn nhiều và có quán tính nhỏ có thể dùng để đo được cả chuyển vị động với tần số không lớn lắm (chuyển vị kế dựa trên nguyên lý điện: Hình 15-20).
340
PHẦN ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN OLYMPIC CƠ HỌC TOÀN QUỐC (1989 – 2005)
PHẦN ĐỀ BÀI
Năm 1989:
1. Vẽ biểu đồ nội lực của dầm AD như trên hình 1.
2. Một thanh tròn AB chịu xoắn như trên hình 2. Trên mặt ngoài của đoạn AC và CB theo phương 450 so với trục thanh ta đo được biến dạng dài tỷ đối trên AC là 01 ε=ε ;
trên CB là 02 ε−=ε . Biết các hằng số vật liệu là E, G và μ .
1) Vẽ biểu đồ nội lực của thanh AB và xác định giá trị M0.
2) Xác định tỷ số 21 a/a để thoả mãn điều kiện trên.
3. Dầm cứng tuyệt đối AB, đầu B tựa trên cột bê tông BE có kích thước và liên kết như trên hình 3. Cột bê tông có mô đun đàn hồi E2, diện tích mặt cắt ngang F2, chiều dài 2l và mô men quán tính đối với trục x là J2. Thanh CD có mô đun đàn hồi E1, diện tích mặt cắt ngang F1, chiều dài 1l .
Hãy khảo sát giá trị lớn nhất của ứng suất tại mặt cắt ngàm của cột BE khi lực P dịch
chuyển từ A đến B. Biết 2/21 lll == , 222
1122JE2FE2FE
l== .
3a a 2a
q
P=3qa M=qa2
Hình 1
A B C
D
a1
Hình 2
2d
a2
d
45o 45o
Mo
A
C
B
341
Năm 1990:
4. Thanh OD tuyệt đối cứng được treo tại khớp A và D, dây kim loại ABCD đi qua các ròng rọc B và C, chịu lực như trên hình 4.Biết dây có diện tích mặt cắt ngang F, mô đun đàn hồi E, bỏ qua ma sát ở các ròng rọc.
1) Mặt cắt nà của dây kim loại không bị dịch chuyển theo phương dọc trục dây? Vị trí đó có phụ thuộc vào vị trí của điểm đặt lực P trên thanh OD không?
2) Hãy xác định chuyển vị của điểm đặt lực P.
3) Cho P = 15 kN, hãy tìm vị trí điểm đặt lực P để dây kim loại đảm bảo điều kiện bền. Cho [ ] 22 cm/kN10,cm1F =σ= .
5. Cho một hệ chịu lực như trên hình 5. Độ cứng chống uốn của dầm AB là EJ, của CD là 0,5EJ.
a
Hình 3
a
z P
a/4
By
E
BA
C
D
l/2 l/2
342
1) Hãy xác định khe hở δ giữa dầm CD và AB sao cho dưới tác dụng của lực P, dầm CD vừa chạm vào vào dầm AB tại K ( K là điểm giữa nhịp của dầm AB).
2) Nếu giảm khe hở δ một lướngao cho mô men uốn lớn nhất phát sinh trong dầm CD giảm đi một lượng là 4/PaM =Δ thì giá trị lớn nhất của mô men uốn phát sinh trong dầm AB trong trường hợp này là bao nhiêu?
6. Hai dầm nằm ngangcó cùng chiều dài l và độ cứng chống uốn EJ, đặt chéo nhau trong không gian, cách nhau theo phương thẳng đứng một khoảng nhỏ δ như trên hình 6 ( IK = δ , I là điểm giữa nhịp dầm AB, K là điểm giữa nhịp dầm CD). Lực phân bố đều q theo phương thẳng đứng tác dụng lên dầm AB.
1) Hãy xác định trị số q0 của lực phân bố để dầm AB vừa chạm vào dầm CD.
2) Hãy xác định độ võng tại I của dầm AB khi trị số của lực phân bố q = 4 q0, trong đó q0
xác định theo câu hỏi 1).
a a
a a/2 O A
B C
D
Hình 4
2aa a
P
Hình 5
A B C D I
K
δ
a
a a
l/2
A B
C
D
IK
δ
l/2
l/2
l/2
q
Hình 6
343
Năm 1991:
7. Một kết cấu như trên hình 7. Thanh AB có mặt cắt hình chữ nhật b x h với h thẳng đứng, thanh BC có mặt cắt hình tròn đường kính dầm. Trên mặt trên cùng của thanh AB gá các Tensơmét đòn hướng thẳng đứng với chuẩn đo là L ( cm ) để đo dịch chuyển theo phương theo phương dọc trục của thanh. Ở bất cứ tenssơmét nào người ta cũng đọc được độ dịch chuyển dịch của kim như nhau và bằng s khoảng chia, giá trị của mỗi khoảng chia là 10-3. Trên bề mặt của thanh BC dán các tấm điện trở theo 2 phương tạo với phương BC các góc 450 và 1350, nhờ máy đo biến dạng người ta xác định được %t13545 =ε−=ε .
1) Hãy xác định tải trọng tập trung tác dụng tại mặt cắt A.
2) Cho b = 2h, hãy xác định tỷ số h/dầm để 2 thanh AB và CD thoả mãn điều kiện đồng bền.
3) Hãy xác định chuyển vị thẳng đứng tại điểm A. Biết d1023
ABBC == ll , trong đó
BCl và ABl biểu thị chiều dài của các thanh BC và AB; d = 20 mm;
[ ] [ ].2;4,0EG
τ=σ=
8. Một dầm chịu lực như trên hình 8. Dầm làm bằng vật liệu dòn có [ ] 2
K cm/N1000=σ ; [ ] 2N cm/N6000=σ .
Hãy tính khoảng cách x từ đầu C đến vị trí đặt gối tựa B để dầm làm việc hợp lý và xác định kích thước δ của mặt cắt ngang. Cho P = 4,8 kN; m7,2=l .
9. Dầm thép DE theo thiết kế sẽ chịu lực phân bố đều q0 như trên hình 9.a. Để tăng khả năng chịu lực của dầm , người ta gia cường như trên hình 9.b, trong đó AA1 và BB1 là cứng tuyệt đối có chiều dài các. Dây AB làm bằng cùng vật liệu với dầm, có diện tích mặt cắt ngang F1 và được kéo trước bởi một lực X1 nào đó.
1) Xác định trị số của X1 sao cho ứng suất lớn nhất tại các mặt cắt nguy hiểmcủa dầm là như nhau và không vượt quá trị số lớn nhất của ứng suất của dầm khi chưa gia cường.
2) Sau khi gia cường, dầm có thể chịu được lực phân bố q bằng bao nhiêu lần so với q0?
Cho diện tích mặt cắt ngang của dầm là F, mô men quán tính là J và môđun đàn hồi của vật liệu làm dầm là E.
344
Năm 1992:
10. Dầm AB chịu lực như trên hình 10.a.Chiều dài nhịp và kích thước mặt cắt ngang cho trên hình vẽ. Dầm có các đặc trưng cơ học là E và μ . Tại điểm C trên đường trung gian của mặt ngoài , bằng các phương tiện thí nghiệm, người ta đo được biến dạng dài tỷ đối theo phương nghiêng với trục thanh một góc 450 có giá trị 0ε .
1) Hãy xác định giá trị mô men M.
2) Đường đàn hồi của trục dầm có dạng như đường nét liền hay nét đứt biểu thị trên hình 10.b. ( tiếp tuyến của đường nét đứt tại A trùng với trục thanh, điểm uốn của cả 2 đường cách A một đoạn bằng )3/l .
3) Giá trị M thay đổi thế nào khi M1 và M2 tác dụng ngược chiều nhau.
4) Phân tích trạng thái ứng suất tại các điêmtreen mặt cắt cách gối A một khoảng bằng 3/l trong cả 2 trường hợp ( khi M1 và M2 tác dụng cùng chiều và ngược chiều).
l
D E
0.6l
Hình 9
q0
D E
0.2l 0.2l c
q
A1
A
B1
B
l
a) b)
d
Hình 7
B A b h
C ax
2P
Hình 8
A BC
a
P
l
4δ
δ
2δ
4δ
345
11. Một trục tròn ngàm 2 đầu chịu lực như trên hình 11. Biét ,cm20d,cm40 ==l
mô đun đàn hồi khi trượt 26 cm/N10.8G = , góc xoay tương đối giữa 2 mặt cắt A và B rad01,0AB =ϕ .
1) Hãy xác định ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trong trục.
2) Vẽ biểu đồ biểu thị góc xoay của các mặt cắt .
12. Một kết cấu chịu lực như trên hình 12. Các dầm AB, CE, E’K có cùng độ cứng chống uốn EJ. Lực P di chuyển trên dầm AB từ A đến B ( trong quá trình chịu lực dầm AB không tiếp xúc với dầm CE). Đầu E của dầm CE cách đầu E’ của dầm E’K một
khoảng JE
Pa21 3
=δ .
1) Khảo sát chuyển vị thẳng đứng của điểm E khi P di chuyển từ A đến B ( Vẽ đồ thị biểu diễn sự biến thiên của chuyển vị thẳng đứng của điểm E phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm đặt lực P đến gối A).
2) Khảo sát sự biến thiên của mô men uốn lớn nhất phát sinh trong dầm E’K khi P di chuyển từ A đến B ( vẽ đồ thị).
Hình 11
l
C
d
4l l
d
M M
A B D
l
Hình 10
A B
z
M1=M M2=2M
45o
b
h x
y
M1=M M2=2M
A B
ll/3
a)
b)
346
Năm 1993:
13. Một trục tròn gồm 2 đoạn đường kính khác nhau, làm bằng cùng loại vật liệu, ngàm 2 đầu chịu xoắn bởi mô men M như trên hình 13. Cho D = 7 cm, dầm = 5 cm, a = 150 cm , [ ] 24 m/kN10.6,cm250 =τ=l .
1) Xác định khoảng cách x ( khoảng cách từ điểmmđặt mô men đến ngàm trái) để độ bền của 2 đoạn trục như nhau.
2) Xác định giá trị mô men M đảm bảo điều kiện bền.
14. Cho trước các biểu đồ nội lực của khung như trên hình 14.
Xác định tải trọng tác dụng lên khung.
15. Một kết cấu như trên hình 15. Lực P tác dụng tại nút A có giá trị không đổi quay đủ chậm trong mặt phẳng ABC ( không gây lực quán tính cho các phần tử kết cấu ).
Hãy xác định giá trị của góc để diện tích mặt cắt ngang thanh bé nhất và đảm bảo điều kiện bền. Thanh AB và AC có cùng độ cứng chống kéo EF. Các kích thước khác cho trên hình 15.
16. Một kết cấu chịu lực như trên hình 16. Dầm AD có độ cứng chống uốn EJ. Thanh BM và CN có cùng độ dài a và độ cứng EF. Thanh MN cứng tuyệt đối . Cho EF = EJ/a2. Các kích thước khác cho trên hình 16.
1) Tính trị số mô men uốn cực đại của dầm AD khi Q đặt tĩnh tại D.
2) Tính hệ số động của hệ khi vật Q rơi từ độ cao h = a lên mặt cắt D của dầm.
3) Xác định chiều dài các thanh BM và CN đảm bảo điều kiện ổn định trong trường hợp Q đặt tĩnh lên dầm. Biết thanh có mô đun đàn hồi E, mô men quán tính của mặt cắt ngang theo mọi phương như nhau và bằng J1, vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi .
4)
a
P
Hình 12
A B
C K D δ
x
A'E
E'a a a
M
x
Hình 13
D d
a l
A B
347
Năm 1994:
17. Cho 2 ống thép, ống thứ nhất có đường kính ngoài 90 mm, đường kính trong 80 mm; ống thứ 2 có đường kính ngoài 100 mm, đường kính trong 90 mm. 2 ống có chiều dài bằng nhau được lồng hoàn toàn vào nhau. Cho ống bên trong chịu xoắn bởi mô men M0 = 2000 Nm, sau đó hàn các đầu ống vào nhau.
1) xác định ứng suất tiếp lớn nhẫtuất hiện trong mỗi ống khi cắt bỏ mô men M0.
2) Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang ống.
18. Một kết cấu chịu lực như trên hình 18. Thanh AB có phương thẳng đứng, chiều dài các thanh bằng nhau và bằng l , diện tích mặt cắt ngang của các thanh AB và AC như nhau và bằng F, của thanh AD bằng 2F. Các thanh cùng làm bằng một loại vật liệu có mô đun đàn hồi E.
1) Tìm giá trị góc α ( tạo bởi phương của lực P và phương thẳng đứng) để cho chuyển vị của nút A chỉ theo phương thẳng đứng.
2) Tìm giá trị lực P nếu biết chuyển vị thẳng đứng của nút A bằng δ .
19. Một dầm chịu lực như trên hình 19. Độ cứng chống uốn của dầm là EJ. Hãy xác định khoảng cách a ( khoảng cách từ điểm đặt lực đến gối A) để độ võng của dầm trên đoạn AB thay đổi theo quy luật tuyến tính.
Hình 15
A
B
C
α
α ϕ
h P
a
2a
N Q M
qa
2qa 2qa qa qa
2qa
Hình 14
Hình 16
a
Q
M N
D
2a
a
A B C
a3a 3a
348
20. Một kết cấu chịu lực như trên hình 20. Thanh AC có độ cứng chống uốn EJ, thanh MK cứng tuyệt đối . 2 thanh BM và CN có cùng độ cứng EF và chiều dài a. Ở chính giữa CN treo vật nặng có trọng lượng P ( xem như tác dụng đúng tâm). Cho EF = EJ / a2.
1) Tìm nội lực trong các thanh BM và CN.
2) Tìm chuyển vị của điểm M.
Năm 1995:
21. Một thanh có chiều dài l , mặt cắt không đổi , được kê trên mặt phẳng nằm ngang bằng 2 gối tưa cách đều 2 đầu thanh một đoạn x như trên hình 21.
xác định giá trị x để giá trị của mô men uốn cực đại phát sinh trong dầm do trọng lượng bản thânđạt trị số nhỏ nhất.
22. Một kết cấu chịu lực như trên hình 22. Hai thanh kim loại AB (có độ cứng EF/ 4a) và AC (có độ cứng EF/ 3a) được liên kết khớp bản lề tại A. Tại đây lắp một bánh xe lăn trên mặt phẳng nằm ngang. Bánh xe được kéo bởi một sợi dây mềm vắt qua ròng rọc cố định D và treo đĩa K. Dây mềm có độ cứng chống kéo a12/FE 11 . Thanh AB và AC tạo với mặt phẳng nằm ngang các góc α và β .
P Hình 18α
300
300
l l
2F, l
A
B C
D P
Hình 19
A D
b a
l
P B C
Hình 20
PN
I
a aa
a/2
a/2
A B C
M K
349
1) Tính nội lực trong 2 thanh kim loại và áp lực bánh xe đè lên mặt lăn khi có trọng lượng P đặt tĩnh lên đĩa K.
2) Tính hệ số động của hệ do để rơi trọng lượng P từ độ cao h . Biết:
11FE
Pa8,721h = ; 045=α ; 060=β ; 160
FEFE 11 = .
Chú ý: Khi tính bỏ qua lực ma sát của các chi tiết chuyển động của hệ và trọng lượng của bản thân hệ.
23. Một kết cấu chịu lực như trên hình 23. Thanh AB mặt cắt tròn có độ cứng chống uốn E J và độ cứng chống xoắn GJ ρ . Vật liệu làm thanh có 3/1=μ . Tìm quan hệ giữa lực P và mô men uốn M để thanh CM không có nội lực.
Chú ý: Cho ( )μ+=
12EG và bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt đến chuyển vị của kết cấu .
24. Một dầm dài l có độ cứng chống uốn EJ, bên trái ngàm chặt, ben phải gối lên lò xo có độ cứng C. Khối lượng M đặt lên dầm như hình 24.
xác định tần số dao động riêng ω của hệ. Khi tính không kể trọng lượng bản thân dầm và lò xo.
Hình 21
xx l
h
A D
B
C
P
K
α
β
Hình 22
P
Hình 23
2a
A
B
C
2a
a a
M
D
M
2a
Hình 24
EJm
lc
350
Năm 1996:
25. Một hệ gồm 2 dầm AB và CD được liên kết với nhau bởi 2 thanh AC và BD. Hệ được gối lên 2 gối khớp H và K ( hình 25). Độ cứng của các thanh có quan hệ EF = 3EJ/a2. Cho b = 2a.
1) Tính nội lực cực đại ở các thanh khi đặt tại C một lực P.
2) Tính chuyển vị của điểm C.
3) Vẫn để lực P tại C, người ta co ngắn thanh AC một đoạn Δ bằng tăng đơ với:
JE3Pa3
=Δ . Tính nội lực trong các thanh và chuyển vị của điểm C.
4) Có nhận xét gì về vị trí tương đối của 2 gối H và K.
26. Công xôn AB được gắn cứng với thanh CD cứng tuyệt đối tại đầu A. Xác định khe hở Δ và khoảng cách a để khi nối thanh 1 và 2 vào đầu C và D thì các thanh đó và trục AB thoả mãn điều kiện đồng bền. Cho biết E, G = 0,5E, [ ]σ và [ ]τ .
27. Cho dầm như trên hình 27. Xác định khe hở Δ để ứng suất pháp lớn nhất trong dầm có giá trị nhỏ nhất. Biết độ cứng chống uốn của dầm EJ =const.
Năm 1997:
28. Dầm thép AB ngàm ở B, được treo ở đầu A bởi dây thép AH ( hình 28).Ban đầu dây vừa hết chùng và có độ dài L, có diện tích mặt cắt ngang S, trục dây AH vuông góc với trục dầm AB. Bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm và dây, D là điểm bất kỳ trên đoạn giao tuyến của mặt phẳng đối xứng zx và mặt sườn dầm trong đoạn a, tại D đo được độ dãn dài tỷ đối theo phương u – u tạo góc 450 với phương trục dầm
4u 10.t −=ε ( t là số nguyên), gây ra bởi tải trọng P đặt trong mặt phẳng đối xứng y và
B
Hình 26
a a
a Δ
AC D
l=2a
a Δ
1
2 d
d
8d P
Hình 27
A B
l/2
P
D C Δ
l/2 l/2 l/2
E
Hình 25
b
a b
a
a a
A H B
DC K
EFEF EJ
EJ
351
sông song với trục y. Giả thiết trị số tuyệt đối lớn nhất của mô men uốn trong 2 đoạn dầm có độ dài a và L – a bằng nhau.
1) Tính lực căng dây ( T) và tính P.
Cho 31a,
101h
==ll
. Hãy xác định tỷ số l
L để ứng suất trong day bằng ứng suất maxσ
trong dầm .
2) Trong câu 2) liệu có thể cho l
a một trị số khác bất kỳ ( )1,0∈ được không?
Tính góc xoay của mặt cắt ngang A của dầm với tỷ số l
h và l
a đã cho ở câu 2).
29. Dầm đã cho có biểu đồ mô men uốn do bị tẩy xoá nên chỉ còn lại như trên hình 29.
1) Hãy bổ sung cho hoàn chỉnh biểu đồ mô men uốn.
2) Hãy bổ sung cho hoàn chỉnh dầm như đã cho ban đầu.
3) Hãy lập lại lời giải để vẽ được biểu đồ mô men uốn đối với dầm đã cho.
30. Hộp lò xo ở trạng thái tự do thì như trên hình 30.b), đáp ứng yêu cầu dầm AC làm việc tối ưu với hộp lò xo đặt ở B làm gối tựa ( hình 30.a).
1) Vẽ biểu đồ mô men uốn của dầm .
2) Giả thiết 31a
=l
; hãy xác định % tỷ số 0A
A
yy , Ay và 0
Ay theo thứ tự là độ võng tại A
trong điều kiện ở đầu bài và độ võng tại A nhưng giả sử không có hộp lò xo tại B.
3) Giả thiết JkE
Pa 2l=δ , G1 = G2, đường kính dây lò xo 1, 2 : d1 = d2, đường kính trung
bình và số vòng của lò xo 1, 2: 2
13
1
2
nn
DD
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛. Hãy tính tỷ số:
JEaC 2
i l , Ci là độ cứng
của lò xo thứ i.
352
Năm 1998:
31. Một trục ngàm 2 đầu chịu xoắn bởi mô men M đặt tại mặt cắt giữa nhịp ( hình 31). Một nửa trục có mặt cắt ngang hình tròn đặc đường kính D, một nửa có mặt cắt ngang hình vành khăn đường kính ngoài D, đường kính trong dầm ( )D/d=α .
1) Không xác định mô men phản lực ở các ngàm, xác định quan hệ giữa trị số ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang của 2 nửa trục.
2) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên mặt cắt ngang ở 2 nửa trục và góc xoay của mặt cắt giữa trục ( mặt cắt đặt mô men xoắn ngoại lực M).
Biết 3 3G 8.10 kN / cm ; M 40kNm; 120cm; D 16cm; d 12,8cm= = = = =l .
3) Ngàm B phải xoay đi một góc bằng bao nhiêu để ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang ngàm A bằng không?
32. Một thanh gẫy khúc cứng tuyệt đối ABCD đựoc liên kết như trên hình 32.a. Các thanh CH và DH có độ cứng EF. Một vật có khối lượng m bay với vận tốc v0 đập vào đầu A.
1) Tính nội lực trong thanh CH và DH.
Hình 28
a l
l
P
450 D u
u B A
z
h x
y
b
H P
Hình 29
a
2P
a a 2a
EJx=const
Mz
14 aP
28 aP
Hình 30
EJx = const
l
ABC
a
Pa)
H2 H
1 δ 1
2
b)
353
2) Đặt thêm lò xo vào bên phải đầu A như trên hình 32.b. Độ cứng lò xo phải bằng bao nhiêuđể cho hệ số kd gấp 2 lầ khi chưa đặt lò xo?
Khi tính bỏ qua trọng lượng bản thân hệ.
33. Một dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật, liên kết như hình 33, chịu tác dụng của lực P di chuyển từ ngàm trái đến gối phải.
1) Tìm giá trị khoảng z ( khoảng cách từ điểm đặt lực P đến ngàm trái ) để cho mô men uốn tại mặt cắt đặt lực P đạt giá trị lớn nhất.
2) Khi lực P đặt cách ngàm trái một khoảng 3/l , tại điểm D ở mặt ngoài của dầm cách lớp trung hoà một khoảng h/4 thuộc mặt cắt đặt lực P , người ta đo được biến dạng dài tỷ đối theo phương dọc trục 4
D 10.1 −−=ε . Xác định trị số của lực P.
3) Vẽ biểu đồ nội lực của dầm trong trường hợp của câu 1).
Cho h = 12 cm, b = 4 cm , 7 2150cm, E 2.10 N / cm= =l .
M
Hình 31
D d
l
A B
l
1 2
D
Hình 32
a 2a
2a
HEF
EF
D
C
vo m A
B
a 2a
2a
HEF
EF
D
C
vo mA
B Tuyệt đối cứng
Hình 33
l/3
l
P
D B A h x
y
b P
z
h/4
354
Năm 1999:
34. Dầm AC dài 2a có độ cứng chống uốn EJ không đổi, được ngàm ở đầu A và tựa trên gối khớp di động ở đầu C và chịu lực như trên hình 34.
1) Hãy xác định các thông số đầu đoạn cần thiết, sau đó viết biểu thức đường đàn hồi của 2 đoạn dầmtheo phương pháp thông số ban đầu.
2) Tính góc xoay tại mặt cắt B.
3) Vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt của dầm .
35. Một bánh xe nhỏ được giữ bởi 2 thanh AC và AD. Bánh xe có thể lăn không ma sát trên một mặt phẳng cứng thẳng đứng. Tại trục bánh xe có treo thanh AE, dưới có đĩa E trọng lượng 2Q. Người ta thả rơi một trọng lượng Q xuống đĩa từ độ cao h = 150Qa / EF.
1) Tính nội lực ở các thanh khi chưa cho trọng lượng Q rơi.
2) Tính hệ số động của hệ do sự va chạm.
3) Tính nội lực các thanh khi sự va chạm đã hoàn thành.
Khi tính không xét đến khối lượng của các thanh và bánh xe.
36. Có một ống thép hình vành khăn mỏng chịu lực phức tạp ( uốn thuần tuý, kéo – nén, xoắn). Người ta đo biến dạng dọc thớ tại các điểm A, B, C cách nhau 1200 trên một mặt cắt ngang. Các kết quả thu được như sau: 5
A 10.1 −=ε , 5B 10.8,0 −=ε ,
5C 10.8,1 −−=ε . Tại A người ta còn đo biến dạng theo phương xiên góc với trục thanh
là 450 và được 545 10.65,0 −=ε .
1) Tính ứng suất pháp trên mặt cắt ngang tại các điểm A, B, C.
2) Tính giá trị của lực dọc và các mô men uốn trên mặt cắt ngang.
3) Tính ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại A và giá trị của mô men xoắn.
4) Tính ứng suất tính toán lớn nhất theo lý thuyết bền thứ 4.
Cho biết : 3,0,cm/daN10.2E,cm1,cm20D 26 =μ==δ= . Khi tính có thể dùng
công thức gần đúng: 2/D14,3W;4/D14,3W 22x δ=δ= ρ .
Hình 34
A
a C
a B
P M=Pa
355
Năm 2000:
37. Một thanh mặt cắt chữ nhật b = 2h, dài 3a = 6m, có trọng lượng trên 1m dài là q = 768 N/m, được đặt trên bệ cứng và bị biến dạng như trên hình 37.a. Vật liệu làm thanh có mô đun đàn hồi E = 2.107 N/cm2.
1) Người ta đo được khoảng cách δ từ mặt bệ tới trục thanh tại mặt cắt giữa thanh bằng: cm4,11=δ . Hãy xác định các kích thước b và h.
2) Thanh có bán kính cong nhỏ nhất Rmin tại mặt cắt nào và hãy xác định giá trị bán kính cong này.
3) Giả sử mở rộng bệ cứng về phía trái, thanh bị biến dạng như trên hình 37.b. Hãy xác định độ dài l của đoạn thanh bị tách khỏi bệ cứng.
4) Giả sử mở rộng bệ cứng về 2 phía, hãy xác định lực P cần thiết để kéo thanh lên để thanh có dạng như trên hình 37.các.
38. Thanh gẫy ABC tròn đường kính dầm = 20 cm đầu được hàn cứng với thanh CD cứng tuyệt đối dài R = 0,8m và tại đầu D mang một vật nặng Q = 0,2 kN như trên hình 38. Tại A đặt một lực vuông góc với mặt phẳng ABCD và đo được điểm A dịch chuyển một đoạn cm32,4=δ như trên hình 38. Mặt cắt C xoay đi một góc 0
B 2=ϕ so với vị trí ban đầu. Biết m6,1,m11 == ll , vật liệu làm thanh có mô đun đàn hồi E =
8.10 8 kN/m2, hệ số biến dạng ngang 25,0=μ . Cho ( )μ+= 12/EG . Giả thiết chuyển vị của hệ là bé và có thể lấy gần đúng giá trị góc α≈α≈α tgsin . Yêu cầu :
h
Hình 35
a
Q 2Q
DEF
A
C
EF
300
600
5a, EF
E
1200
Hình 36
1200
1200
y
δ
xA
B
C
D
C
B
1
1
1 - 1
A 450
z
356
1) Hãy xác định giá trị của lực P.
2) xác định giá trị của δ .
3) Nếu thanh CD không phải cứng tuyệt đối mà là thanh cùng vật liệu và cùng đường kính với thanh ABC thì mặt cắt A phải xoay đi một góc Aϕ bằng bao nhiêu so với vị trí ban đầu của nó.
39. Cho hệ như trên hình 39. Thanh gẫy ABC có độ cứng EJ, mô đun chống uốn W, diện tích mặt cắt ngang F = W/l , lò xo có độ cứng C = 32 / 3EJl . Dây dài 2l có độ cứng 2
1 1E F 18EJ / 7= l . Một vật nặng P rơi từ độ cao H = 33P / 2EJl xuống một đĩa không có trọng lượng. Puli được gắn vào khung bằng chốt C, bỏ qua ma sát giữa dây và Puli. ( Khi tính chuyển vị của các phần tử chịu uốn hoặc chịu lực phức tạp thì bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc). Yêu cầu :
1) Vẽ biểu đồ nội lực của hệ nếu coi P đặt tĩnh lên đĩa.
2) Ứng suất pháp lớn nhất trong hệ sẽ thay đổi thế nào khi P rơi từ độ cao H xuống đĩa so với trường hợp 1) và giá trị của nó bằng bao nhiêu? ( bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị ngang).
Hình 38
l
Q
δA
P
A1
B C
D
R
l1
Hình 39
l
l
P
C B
A
H
a A
B
a a
D
D’
Qh
a/2
Hình 40
C
357
Năm 2001:
40. Cho hệ như trên hình 40. Các thnah AB, BC có mô đun đàn hồi E, diện tích mặt cắt ngang F, mô men quán tính J và mô đun chống uốn W, với W = FA / 8. CD’ là dây mềm có độ cứng là
211 a3/JE6FE = . D là đĩa cứng coi như
không có trọng lượng. Một vật nặng Q rơi từ độ cao h = JE/Qa3 xuống đĩa. Yêu cầu :
1) Vẽ biểu đồ nội lực của hệ khi coi Q đặt tĩnh lên đĩa D.
2) Xác định Q, biết thanh ABC có ứng suất cho phép là [ ]σ .
3) Tính tần số dao động riêng của hệkhi đã kết thúc quá trình va chạm.
Chú ý: Với những thanh cứng khi tính chuyển vị bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt.
41. Cho hệ như trên hình 41, trong đó AB là dây mềm có độ cứng EF; CD có độ cứng FEaJE 2β= ; BC coi như cứng tuyệt đối ( ∞=JE ), Đ’ làm bằng vật liệu dòn có độ
cứng FEα với các ứng suất cho phép [ ]Kσ và [ ]Nσ . Hệ chịu tác dụng của lực tập trung P di động đủ chậm (không gây gia tốc cho hệ) dọc theo dầm từ B đến D . Cho P = 40 kN. Yêu cầu :
1) Vẽ biểu đồ quan hệ giữa nội lực trong thanh Đ’ với vị trí của lực P. Biết 4=α , 19=β .
2) Xác định phạm vi di động của P ( x = ?) để thanh Đ’ thoả mãn cả điều kiện bền và cả điều kiện ổn định . Biết thanh Đ’ có hệ số an toàn ổn định Kod= 3. Biết hệ vẫn còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi . Khi tính chuyển vị bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.
42. Cho hệ như trên hình 42. Giữa 2 dầm có kê một miếng cứng hình trụ tròn có đường kính vữa bằng chiều cao các gối tựa tại C và D. Biết dầm AB có độ cứng EJ, còn dầm CD có độ cứng EJ / 6. Yêu cầu :
1) Tính lực truyền qua miếng cứng xuống dầm AB.
Hình 37
aa a
AB C
D
Bệ
δ
a)
a
A B C
Bệ
l
b)
a
A BC
P c)
358
2) Nếu giữ nguyên độ cứng của dầm AB và tăng độ cứng của dầm CD thi lực truyền qua miếng cứng xuống dầm AB sẽ tăng hay giảm? Độ cứng tối thiểu của dầm CD bằng bao nhiêu thì miếng cứng không còn tác dụng tuyền lực nữa.
Năm 2002:
43. Dầm AB có mặt cắt ngang hình chữ nhật có diện tích F như trên hình 43. Biết phao có diện tích đáy A0 đã chìm một phần trong nước. Tại một mặt cắt bất kỳ trên AB , tại điểm C là điểm mặt ngoài của thanh và chia đều chiều cao h của mặt cắt, người ta đặt một thiết bị đo biến dạng theo phương nghiêng 030=α so với phương ngang, Khi dầm chịu lực P ta đọc được giá trị biến dạng là ε ( phao vẫn còn một phần nổi trên mặt nước). Biết dầm có độ cứng EJ = const, hệ số biến dạng ngang μ và nước có trọng lượng riêng là nγ , với 3
0n /JE3A l=γ . Yêu cầu :
1) Vẽ biểu đồ nội lực của dầm .
2) Hãy xác định giá trị của lực P.
44. Thanh AB có mặt cắt ngang hình chữ nhật b = 12 cm, h = 20 cm. Vật liệu làm thanh có mô đun đàn hồi E = 2.104 kN/cm2, [ ] 2cm/kN16=σ . Một dây mềm treo một vật nặng P vắt qua ròng rọc C và D. Bằng dụng cụ đo biến dạng người ta đo biến dạng trên mặt trên của thanh ( mặt y) dọc theo phương song song vối trục thanh trên suốt đoạn BD thấy trị số biến dạng không thay đổi và bằng 510.5,2 −−=ε . Cho a = 1 m. ( Đoạn dây nối vào tường gối B song song với trục thanh). Bỏ qua ma sát giữa dây và ròng rọc. Yêu cầu :
1) Không tính toán mà bằng nhận xét cho biết trạng thái ứng suất tại các điểm trên đoạn BD là trạng thái ứng suất gì? Giải thích lý do.
a
A
B
a a
D
D’
Q h
a/2
Hình 40
C
P
2a
2a
2a a
x
A
B
C D
D’
Hình 41
a a a
A BD C I
K
P
Hình 42
359
2) Vẽ biểu đồ nội lực của thanh AB theo P và a.
3) Xác định lực P.
4) Xác định ứng suất chính tại các điểm trên trục thanh của đoạn AC ( theo P và a).
5) Kiểm tra bền cho thanh (theo ứng suất pháp).
45. Hệ thanh được gắn trong khung cứng tuyệt đối như trên hình 45. Các thanh đều có mặt cắt nganglà hình vuông cạnh b = 2,24 cm. Đoạn thanh 6 cứng tuyệt đối và đủ dài để khi hệ dao động các thanh 4 và 5 không chạm vào khe trượt của động cơ. Lò xo 7 có độ cứng a5/FE2c2 = . Động cơ A có trọng lượng bản thân và trọng lượng các bộ gá lắp là P = 5 kN. Động cơ quay với n = 1200 vòng/phút và có biên độ lực ly tâm ( lực kích thích) P0 = 1 kN. Bỏ qua ma sát giữa đường trượt và động cơ. Khi động cơ làm việc , vật liệu làm các thanh vẫn còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi ( các thanh và lò xo coi như không có trọng lượng). Yêu cầu :
1) Tính hệ số dự trữ ổn định n của hệ thanh( n=Pth/N). Lấy g = 9,8 m/s2.
2) Hệ số n sẽ thay đổi thế nào khi quay hệ đi 900 và 1800 so với vị trí ban đầu? Giải thích?
Hình 43
lP
A B C α=30o
diện tích đáy Ao
P
Hình 44
A B a 2a a
D C
h/2 h/2
h
Hình 45
A
7
6 5 4
3 1 2
α=60o
360
Năm 2003:
46. Cho hệ như trên hình 46. AC = 4c, BC = 3c, c = 1 m. Thanh chống CD vuông góc với AB. Thanh AB chịu tải trọng q thẳng đứng. Yêu cầu :
1) Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AB theo q, c.
2) Thanh AB có mặt cắt chữ nhật b = 3cm, h = 6cm. Vật liệu làm thanh có E = 810.2 kN/m2. Người ta gắn một thiết bị đo biến dạng trên mặt dưới của thanh tại mặt cắt D và đo được biến dạng dọc theo phương trục thanh là: 310.21,2 −=ε . Hãy xác định q.
3) Với q đã xác định ở câu 2), hãy xác định lực tới hạn , ứng suất tới hạn và Kiểm tra ổn định cho thanh CD, biết hệ số an toàn về ổn định Kod = 3, thanh có
4x cm929,29J = , 4
y cm05,24J = , cm55,1i,cm73,1i yx == , trục x,y là các trục đối xứng của mặt cắt , ,1000 =λ các hằng số trong công thức tính ứng suất tới hạn theo Iaxinski: a = 336 MN/m2, b = 1,47 MN/m2; thanh không thuộc loại độ mảnh nhỏ.
47. Dầm ABCD dài l = const chịu lực như trên hình 47. Cho P = 0,1ql . Yêu cầu :
1) Hãy xác định vị trí của các gối A và B (a = ?) để dầm có thể tích nhỏ nhất. Biết dầm làm bằng vật liệu dẻo.
2) Vẽ biểu đồ nội lực của dầm với a đã xác định ở câu 1).
3) Hãy chỉ ra tất cả các mặt cắt ngang của dầm mà tất cả các điểm trên mỗi mặt cắt ngang này với các ứng suất chính khác không, cùng dấu có phương không thay đổi. Giải thích lý do. Xác định vị trí của các mặt cắt này ( khoảng cách đến gối tựa). Hãy chỉ rõ phương của các ứng suất chính tại các mặt cắt này.
48. Cho thanh gẫy ABC như trên hình 48. Vật nặng Q chuyển động ngang với vận tốc v0 = 0,5 m/s đến đập vào vật nặng Q’ = Q. Thanh ABC làm bằng thép chữ I số 10 có E = 2.104 kN/ cm2, [ ] 2m/MN160=σ . Yêu cầu :
1) Coi lực Q đặt tĩnh theo phương ngang tại A, hãy viết phương trình đường đàn hồi và phương trình góc xoay của dầm BC bằng phương pháp tích phân không xác định, tính góc xoay tại mặt cắt B cũng bằng phương pháp này và tính chuyển vị ngang tại A ( có thể sử dụng thêm kết quả tính chuyển vị của dầm công xôn). Khi tính bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt.
2) Kiểm tra bền cho hệ khi xẩy ra va chạm. Hãy chỉ rõ Kiểm tra cho mặt cắt nào và điểm nào trên mặt cắt. Bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm. Biết rằng nếu ta đặt Q đột ngột lên Q’ theo phương thẳng đứng thì đo được giá trị lớn nhất của ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của hệ bằng 0,075 kN/cm2.
361
Số liệu tham khảo: Thép I số 10 có:
3y
4y
3x
4x
2 cm49,6W,cm9,17J,cm7,39W,cm198J,cm12F ===== .
Năm 2004:
49. Cho hệ như trên hình 49. Biết thanh AB cứng tuyệt đối , các thanh 1, 2, 3, 4 giống hệt nhau, cùng có E, F, l . Do chế tạo không chính xác, cả 4 thanh đều bị ngắn một đoạn δ so với thiết kế nhưng hệ vẫn được lắp vào để sử dụng. Yêu cầu :
1) Khi bỏ đi một thanh( trường hợp a) bỏ thanh 4, ( trường hợp b) bỏ thanh 3, thì nội lực trong các thanh còn lại trong từng trường hợp bằng bao nhiêu? Bỏ thanh nào hệ nguy hiểm hơn?
2) Giá trị lớn nhất của δ bằng bao nhiêu để hệ an toàn khi xảy ra 2 trường hợp như ở câu 1). Biết l = 2m, [ ] .cm/kN10.2E,cm/kN16,cm2F 2422 ==σ=
4c
3c
h=6cm
b=3cm
C B
A
q 1
1
1-1
Hình 46
D
l
a
q
a A BC D
P=0,1ql P=0,1ql
Hình 47
Hình 48
4a
a
2
Q' Q
Vo
B
A
C
362
3) Ứng với trường hợp như ở câu 1) hãy xác định ứng suất tiếp lớn nhất (ứng suất tiếp cực trị ) trong hệ, chỉ ra vị trí và phương của các ứng suất này (các số liệu như ở
câu 2).
50. Cho dầm có biểu đ lực cắt và mặt cắt ngang ( C là trọng tâm mặt cắt ) như trên hình 50. Biết rằng trên dầm chỉ có một mô men tập trung tác dụng và các tải trọng khác. Yêu cầu :
1) Hãy xác định tải trọng tác dụng lên dầm theo q và a.
2) Vẽ biểu đồ nội lực của dầm theo q và a.
3) Hãy chỉ ra tất cả các mặt cắt ngang mà trên các mặt cắt này nếu dọc theo chiều cao của dầm ta tách ra các phân tố hình hộp có một mặt vuông góc với trục dầm có:
a) Tất cả các phân tố đều là phân tố trượt thuần tuý.
b) Tất cả các phân tố đều là phân tố chính ( phân tố có tất cả các mặt đều là mặt chính).
4) Xác định giá trị của q và a. Biết rằng ứng suất chính có trị số lớn nhất ứng với trường hợp 3) a) là 1,32 kN/cm2, ứng với trường hợp 3) b) là 32,9 kN/cm2,
1 2
4 3
A B
l
l
l l
Hình 49
A
Hình 50
Qy
a a 2a D E B
M
9 cmy
9cm
3cm
3cm
x
4,5cmC
363
51. Cho hệ như trên hình 51, trong đó CDI là dây mềm có diện tích mặt cắt ngang là F’ = 1 cm2, mô đun đàn hồi E = 2.103 kN/cm2. 2 dầm AB và IK có E = 2.103 kN/cm2, mặt cắt ngang là hình chữ nhật b = 6cm, h = 12 cm. Một vật nặng Q = 5 kN rơi từ độ cao H xuống dầm AB. Bỏ qua ma sát giữa ròng rọc và dây. Yêu cầu :
1) Xác định lực căng T trong dây khi coi Q đặt tĩnh lên dầm AB tại vị trí va chạm. Cho l= 1m. Khi tính chuyển vị của dầm bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc.
2) Xác định giá trị của H. Biết khi va đập ta đo được biến dạng tương đối dọc trục dầm ở mặt dưới của dầm IK tại mặt cắt sát ngàm K là .10.597,1 3−+=ε
Năm 2005:
52: Dầm ABCD có biểu đồ mô men như trên H.1.a). Dầm có mặt cắt chữ nhật.Yêu cầu:
1) Vẽ biểu đồ lực cắt Q. Hoàn thiện biểu đồ mô men M biết rằng ứng suất chính lớn nhất trong đoạn CD bằng 5,208 kN/cm2.
2) Xác định các tải trọng tác dụng lên dầm .
3) Xác định tất cả các liên kết có thể có của dầm biết dầm là tĩnh định.
4) Ngời ta dán một tấm điện trở trên mặt ngoài của dầm và tại vị trí nửa chiều cao dầm có phương nghiêng 450 so với trục dầm (xem H.52.a) để đo biến dạng dài tơng đối, hỏi biến dạng này bằng bao nhiêu? Cho E = 2.107 N/cm2, 3,0=μ .
53: Dầm AB chịu hệ lực P và fP ( f là một hệ số dương và h,1f >>≤ l ) nh trên hình 53.a) có cùng điểm đặt. Các kích thớc của dầm cho trên hình vẽ. Yêu cầu:
Trường hợp 1:
1) Xác định vị trí của hệ lực ( z = ? ) để ứng suất nén trong dầm có trị số lớn nhất. Biết hệ lực P và fP di chuyển từ B đến A đủ chậm để không gây ra lực quán tính.
l/2 l/2 l
A B I K
l
D
C 300
Đo biến dạng
b
h
H Q
Hình 51
364
Trường hợp 2: Đảo vị trí gối A cho gối B (hình 53.b)
2) Trờng hợp khi hệ lực P và fP vừa chạm đầu A ( lực P đi qua A) (hình 53.b); xét trư-ờng hợp f = 1, hãy tìm quỹ tích của các điểm có ứng suất pháp 0Z =σ tại thời điểm này ( có thể chọn hệ trục toạ độ nh trên hình 53.b).
54: Cho hệ chịu lực như trên hình 3. Thanh AC ( thanh 1) và thanh BD (thanh 2) cùng làm bằng một loại vật liệu có 27
21 m/kN10.2,1EEE === . Thanh 1 tròn đường kính d, thanh 2 ghép bởi 2 thanh tròn đường kính d (ghép đủ chặt để coi như dầm nguyên). BC bằng thép tròn đường kính d3 = d/10 và có E20E3 = . Yêu cầu :
Trường hợp 1:
Cho Q = 0, khi đó hệ chỉ chịu tải trọng P người ta đo được ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh AC là 2
max cm/kN0981,0=τ .
1) Xác định giá trị của P biết: d = 15 cm.
2) Kiểm tra ổn định cho thanh AC, biết thanh có [ ] 2N m/MN5=σ .
3) Tính ứng suất pháp kéo, nén lớn nhất trong dầm AB ứng với lực P vừa tìm.
Trường hợp 2:
Khi hệ được đặt thêm đối trọng Q. Yêu cầu :
4) Xác định giá trị của Q ( theo P) để ứng suất nén lớn nhất trong dầm AB và thanh AC bằng nhau.
5) Khi thay đổi giá trị của Q đến mức nào đó ngời ta đo được biến dạng dọc trục tại mặt trên và dưới của mặt cắt D của dầm BD. Ngời đo không nhớ chính xác nên đã nói: 2 biến dạng này có giá trị bằng nhau nhưng có thể cùng dấu nhưng có thể khác dấu. Hãy chỉ ra trường hợp nào đúng hãy xác định trạng thái chịu lực của dầm và xác định Q, chuyển vị thẳng đứng của mặt cắt C trong trường hợp này. ( Khi tính chuyển vị bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc trong dầm BD).
24cm
A
B C D
100kNm 0,8m 0,3m 0,5m
12cm
Hình.52
b)
a)
o45
365
P
h
b P
Hình 53
a)
lz
z
y 2/l
b)
fP A B
h/2 h/2
A B
P
Q
AB D
C
d
d d
d3
10d 5d
15d
Hình 54
EJ= ∞ o60
366
PHỤ LỤC 1 Trị số của hàm η, η1, η2, η3 để tính dài vô hạn trên nền đàn hồi
η = e-mz . (cosmz + sinmz); η2 = e-mz . cosmz
η1 = e-mz . (cosmz - sinmz); η3 = e-mz . sinmz
mz η η3 η1 η2 mz
0,0 +1,0000 +0,0000 +1,0000 +1,0000 0,0
0,1 +0,9907 +0,0903 +0,9003 +0,8100 0,1
0,2 +0,9651 +0,1627 +0,8024 +0,6398 0,2
0,3 +0,9267 +0,2189 +0,7077 +0,4888 0,3
0,4 +0,8784 +0,2610 +0,6174 +0,3564 0,4
0,5 +0,8231 +0,2908 +0,5323 +0,2415 0,5
0,6 +0,7628 +0,3099 +0,4530 +0,1431 0,6
0,7 +0,6997 +0,3199 +0,3798 +0,0599 0,7
π/4 +0,6448 +0,3224 +0,3224 +0,0000 π/4
0,8 +0,6354 +0,3223 +0,3131 - 0,0093 0,8
0,9 +0,5712 +0,3185 +0,2527 - 0,0657 0,9
1,0 +0,5083 +0,3096 +0,1988 - 0,1108 1,0
1,1 +0,4476 +0,2967 +0,1510 - 0,1457 1,1
1,2 +0,3899 +0,2807 +0,1091 - 0,1716 1,2
1,3 +0,3355 +0,2626 +0,0729 - 0,1897 1,3
1,4 +0,2849 +0,2430 +0,0419 - 0,2011 1,4
1,5 +0,2384 +0,2226 +0,0158 - 0,2068 1,5
π/2 +0,2079 +0,2079 +0,0000 - 0,2079 π/2
1,6 +0,1959 +0,2018 - 0,0059 - 0,2077 1,6
1,7 +0,1576 +0,1812 - 0,0235 - 0,2047 1,7
1,8 +0,1234 +0,1610 - 0,0376 - 0,1985 1,8
367
mz η η3 η1 η2 mz
1,9 +0,0932 +0,1415 - 0,0484 - 0,1899 1,9
2,0 +0,0667 +0,1231 - 0,0563 - 0,1794 2,0
2,1 +0,0439 +0,1057 - 0,0618 - 0,1675 2,1
2,2 +0,0244 +0,0896 - 0,0652 - 0,1548 2,2
2,3 +0,0080 +0,0748 - 0,0668 - 0,1416 2,3
3π/4 +0,0000 +0,0670 - 0,0670 - 0,1340 3π/4
2,4 - 0,0056 +0,0613 - 0,0669 - 0,1282 2,4
2,5 - 0,0166 +0,0491 - 0,0658 - 0,1149 2,5
2,6 - 0,0254 +0,0383 - 0,0636 - 0,1019 2,6
2,7 - 0,0320 +0,0287 - 0,0608 - 0,0895 2,7
2,8 - 0,0369 +0,0204 - 0,0573 - 0,0777 2,8
2,9 - 0,0403 +0,0132 - 0,0534 - 0,0666 2,9
3,0 - 0,0423 +0,0070 - 0,0493 - 0,0563 3,0
3,1 - 0,0431 +0,0019 - 0,0450 - 0,0469 3,1
π - 0,0432 +0,0000 - 0,0432 - 0,0432 π
3,2 - 0,0431 - 0,0024 - 0,0407 - 0,0383 3,2
3,4 - 0,0408 - 0,0085 - 0,0323 - 0,0237 3,4
3,5 - 0,0389 - 0,0106 - 0,0283 - 0,0177 3,5
3,6 - 0,0366 - 0,0121 - 0,0245 - 0,0124 3,6
3,7 - 0,0341 - 0,0131 - 0,0210 - 0,0079 3,7
3,8 - 0,0314 - 0,0137 - 0,0177 - 0,0040 3,8
3,9 - 0,0286 - 0,0139 - 0,0147 - 0,0008 3,9
5π/4 - 0,0279 - 0,0139 - 0,0139 +0,0000 5π/4
4,0 - 0,0258 - 0,0139 - 0,0120 +0,0019 4,0
4,1 - 0,0231 - 0,0136 - 0,0095 +0,0040 4,1
368
mz η η3 η1 η2 mz
4,2 - 0,0204 - 0,0131 - 0,0074 +0,0057 4,2
4,3 - 0,0179 - 0,0124 - 0,0054 +0,0070 4,3
4,4 - 0,0155 - 0,0117 - 0,0038 +0,0079 4,4
4,5 - 0,0132 - 0,0109 - 0,0023 +0,0085 4,5
4,6 - 0,0111 - 0,0100 - 0,0011 +0,0089 4,6
4,7 - 0,0092 - 0,0091 - 0,0001 +0,0090 4,7
6π/4 - 0,0090 - 0,0090 +0,0000 +0,0090 6π/4
4,8 - 0,0075 - 0,0082 +0,0007 +0,0089 4,8
4,9 - 0,0059 - 0,0073 +0,0014 +0,0087 4,9
5,0 - 0,0045 - 0,0065 +0,0019 +0,0084 5,0
5,1 - 0,0033 - 0,0056 +0,0023 +0,0079 5,1
5,2 - 0,0023 - 0,0049 +0,0026 +0,0075 5,2
5,3 - 0,0014 - 0,0042 +0,0028 +0,0069 5,3
5,4 - 0,0006 - 0,0035 +0,0029 +0,0064 5,4
7π/4 +0,0000 - 0,0029 +0,0029 +0,0058 7π/4
5,5 +0,0000 - 0,0029 +0,0029 +0,0058 5,5
5,6 +0,0005 - 0,0023 +0,0029 +0,0052 5,6
5,7 +0,0010 - 0,0018 +0,0028 +0,0046 5,7
5,8 +0,0013 - 0,0014 +0,0027 +0,0041 5,8
5,9 +0,0015 - 0,0010 +0,0025 +0,0036 5,9
6,0 +0,0017 - 0,0007 +0,0024 +0,0031 6,0
6,1 +0,0018 - 0,0004 +0,0022 +0,0026 6,1
6,2 +0,0019 - 0,0002 +0,0020 +0,0022 6,2
2π +0,0019 +0,0000 +0,0019 +0,0019 2π
6,3 +0,0019 +0,0000 +0,0018 +0,0018 6,3
369
mz η η3 η1 η2 mz
6,4 +0,0018 +0,0002 +0,0017 +0,0015 6,4
6,5 +0,0018 +0,0003 +0,0015 +0,0011 6,5
6,6 +0,0017 +0,0004 +0,0013 +0,0009 6,6
6,7 +0,0016 +0,0005 +0,0011 +0,0006 6,7
6,8 +0,0015 +0,0006 +0,0010 +0,0004 6,8
6,9 +0,0014 +0,0006 +0,0008 +0,0002 6,9
7,0 +0,0013 +0,0006 +0,0007 +0,0001 7,0
9π/4 +0,0012 +0,0006 +0,0006 +0,0000 9π/4
370
PHỤ LỤC 2 Tịi số của hàm Crưlốp để tính dầm có mặt cắt không đổi trên nền đàn hồi
mz Amz Bmz Cmz Dmz
0,000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,001 1,0000 0,0010 0,0000 0,0000
0,002 1,0000 0,0020 0,0000 0,0000
0,003 1,0000 0,0030 0,0000 0,0000
0,004 1,0000 0,0040 0,0000 0,0000
0,005 1,0000 0,0050 0,0000 0,0000
0,006 1,0000 0,0060 0,0000 0,0000
0,007 1,0000 0,0070 0,0000 0,0000
0,008 1,0000 0,0080 0,0000 0,0000
0,009 1,0000 0,0090 0,0000 0,0000
0,010 1,0000 0,0100 0,0000 0,0000
0,011 1,0000 0,0110 0,0001 0,0000
0,012 1,0000 0,0120 0,0001 0,0000
0,013 1,0000 0,0130 0,0001 0,0000
0,014 1,0000 0,0140 0,0001 0,0000
0,015 1,0000 0,0150 0,0001 0,0000
0,016 1,0000 0,0160 0,0001 0,0000
0,017 1,0000 0,0170 0,0001 0,0000
0,018 1,0000 0,0180 0,0002 0,0000
0,019 1,0000 0,0190 0,0002 0,0000
0,020 1,0000 0,0200 0,0002 0,0000
0,030 1,0000 0,0300 0,0004 0,0000
0,040 1,0000 0,0400 0,0008 0,0000
371
mz Amz Bmz Cmz Dmz
0,050 1,0000 0,0500 0,0012 0,0000
0,060 1,0000 0,0600 0,0018 0,0000
0,070 1,0000 0,0700 0,0024 0,0001
0,080 1,0000 0,0800 0,0032 0,0001
0,090 1,0000 0,0900 0,0040 0,0001
0,100 1,0000 0,1000 0,0050 0,0002
0,110 1,0000 0,1100 0,0060 0,0002
0,120 1,0000 0,1200 0,0072 0,0003
0,130 1,0000 0,1300 0,0084 0,0004
0,140 0,9999 0,1400 0,0098 0,0005
0,150 0,9999 0,1500 0,0112 0,0006
0,160 0,9999 0,1600 0,0128 0,0007
0,170 0,9999 0,1700 0,0144 0,0008
0,180 0,9998 0,1800 0,0162 0,0010
0,190 0,9998 0,1900 0,0180 0,0011
0,200 0,9997 0,2000 0,0200 0,0013
0,210 0,9997 0,2100 0,0220 0,0015
0,220 0,9996 0,2200 0,0242 0,0018
0,230 0,9995 0,2300 0,0264 0,0020
0,240 0,9994 0,2400 0,0288 0,0023
0,250 0,9993 0,2500 0,0312 0,0026
0,260 0,9992 0,2600 0,0338 0,0029
0,270 0,9991 0,2700 0,0364 0,0033
0,280 0,9990 0,2799 0,0392 0,0037
0,290 0,9988 0,2899 0,0420 0,0041
372
mz Amz Bmz Cmz Dmz
0,300 0,9987 0,2999 0,0450 0,0045
0,310 0,9985 0,3099 0,0480 0,0050
0,320 0,9983 0,3199 0,0512 0,0055
0,330 0,9980 0,3299 0,0544 0,0060
0,340 0,9978 0,3398 0,0578 0,0066
0,350 0,9975 0,3498 0,0612 0,0071
0,360 0,9972 0,3598 0,0648 0,0078
0,370 0,9969 0,3698 0,0684 0,0084
0,380 0,9965 0,3797 0,0722 0,0091
0,390 0,9961 0,3897 0,0760 0,0099
0,400 0,9957 0,3997 0,0800 0,0107
0,410 0,9953 0,4096 0,0840 0,0115
0,420 0,9948 0,4196 0,0882 0,0123
0,430 0,9943 0,4295 0,0924 0,0132
0,440 0,9938 0,4395 0,0968 0,0142
0,450 0,9932 0,4494 0,1012 0,0152
0,460 0,9925 0,4593 0,1057 0,0162
0,470 0,9919 0,4692 0,1104 0,0173
0,480 0,9912 0,4792 0,1151 0,0184
0,490 0,9904 0,4891 0,1200 0,0196
0,500 0,9896 0,4990 0,1249 0,0208
0,510 0,9887 0,5089 0,1300 0,0221
0,520 0,9878 0,5187 0,1351 0,0234
0,530 0,9869 0,5286 0,1403 0,0248
0,540 0,9858 0,5385 0,1457 0,0262
373
mz Amz Bmz Cmz Dmz
0,550 0,9848 0,5483 0,1511 0,0277
0,560 0,9836 0,5582 0,1566 0,0293
0,570 0,9824 0,5680 0,1623 0,0308
0,580 0,9811 0,5778 0,1680 0,0325
0,590 0,9798 0,5876 0,1738 0,0342
0,600 0,9784 0,5974 0,1797 0,0360
0,610 0,9769 0,6072 0,1858 0,0378
0,620 0,9754 0,6169 0,1919 0,0397
0,630 0,9738 0,6267 0,1981 0,0416
0,640 0,9720 0,6364 0,2044 0,0437
0,650 0,9703 0,6461 0,2108 0,0457
0,660 0,9684 0,6558 0,2173 0,0479
0,670 0,9664 0,6655 0,2239 0,0501
0,680 0,9644 0,6752 0,2307 0,0524
0,690 0,9622 0,6848 0,2375 0,0547
0,700 0,9600 0,6944 0,2443 0,0571
0,710 0,9577 0,7040 0,2513 0,0596
0,720 0,9552 0,7136 0,2584 0,0621
0,730 0,9527 0,7231 0,2656 0,0647
0,740 0,9501 0,7326 0,2729 0,0674
0,750 0,9473 0,7421 0,2803 0,0702
0,760 0,9444 0,7516 0,2877 0,0730
0,770 0,9415 0,7610 0,2953 0,0760
0,780 0,9384 0,7704 0,3029 0,0790
0,790 0,9351 0,7797 0,3107 0,0820
374
mz Amz Bmz Cmz Dmz
0,800 0,9318 0,7891 0,3185 0,0852
0,810 0,9283 0,7984 0,3265 0,0884
0,820 0,9247 0,8076 0,3345 0,0917
0,830 0,9210 0,8169 0,3426 0,0951
0,840 0,9171 0,8261 0,3508 0,0985
0,850 0,9131 0,8352 0,3592 0,1021
0,860 0,9090 0,8443 0,3676 0,1057
0,870 0,9046 0,8534 0,3760 0,1095
0,880 0,9002 0,8624 0,3846 0,1133
0,890 0,8956 0,8714 0,3933 0,1171
0,900 0,8908 0,8803 0,4020 0,1211
0,910 0,8859 0,8892 0,4109 0,1252
0,920 0,8808 0,8981 0,4198 0,1293
0,930 0,8755 0,9068 0,4289 0,1336
0,940 0,8701 0,9156 0,4380 0,1379
0,950 0,8645 0,9242 0,4472 0,1423
0,960 0,8587 0,9329 0,4565 0,1469
0,970 0,8528 0,9414 0,4658 0,1515
0,980 0,8466 0,9499 0,4753 0,1562
0,990 0,8403 0,9583 0,4848 0,1610
1,000 0,8337 0,9667 0,4944 0,1659
1,010 0,8270 0,9750 0,5042 0,1709
1,020 0,8201 0,9832 0,5139 0,1760
1,030 0,8129 0,9914 0,5238 0,1811
1,040 0,8056 0,9995 0,5338 0,1864
375
mz Amz Bmz Cmz Dmz
1,050 0,7980 1,0075 0,5438 0,1918
1,060 0,7902 1,0155 0,5539 0,1973
1,070 0,7822 1,0233 0,5641 0,2029
1,080 0,7740 1,0311 0,5744 0,2086
1,090 0,7655 1,0388 0,5847 0,2144
1,100 0,7568 1,0464 0,5952 0,2203
1,110 0,7479 1,0539 0,6057 0,2263
1,120 0,7387 1,0614 0,6162 0,2324
1,130 0,7293 1,0687 0,6269 0,2386
1,140 0,7196 1,0760 0,6376 0,2449
1,150 0,7097 1,0831 0,6484 0,2514
1,160 0,6995 1,0902 0,6593 0,2579
1,170 0,6891 1,0971 0,6702 0,2646
1,180 0,6784 1,1039 0,6812 0,2713
1,190 0,6674 1,1107 0,6923 0,2782
1,200 0,6561 1,1173 0,7034 0,2852
1,210 0,6446 1,1238 0,7146 0,2922
1,220 0,6327 1,1302 0,7259 0,2995
1,230 0,6206 1,1364 0,7372 0,3068
1,240 0,6082 1,1426 0,7486 0,3142
1,250 0,5955 1,1486 0,7601 0,3217
1,260 0,5824 1,1545 0,7716 0,3294
1,270 0,5691 1,1603 0,7832 0,3372
1,280 0,5555 1,1659 0,7948 0,3451
1,290 0,5415 1,1714 0,8065 0,3531
376
mz Amz Bmz Cmz Dmz
1,300 0,5272 1,1767 0,8182 0,3612
1,310 0,5126 1,1819 0,8300 0,3694
1,320 0,4977 1,1870 0,8419 0,3778
1,330 0,4824 1,1919 0,8538 0,3863
1,340 0,4668 1,1966 0,8657 0,3949
1,350 0,4508 1,2012 0,8777 0,4036
1,360 0,4345 1,2056 0,8897 0,4124
1,370 0,4178 1,2099 0,9018 0,4214
1,380 0,4008 1,2140 0,9139 0,4305
1,390 0,3834 1,2179 0,9261 0,4397
1,400 0,3656 1,2216 0,9383 0,4490
1,410 0,3474 1,2252 0,9505 0,4584
1,420 0,3289 1,2286 0,9628 0,4680
1,430 0,3100 1,2318 0,9751 0,4777
1,440 0,2907 1,2348 0,9874 0,4875
1,450 0,2710 1,2376 0,9998 0,4974
1,460 0,2509 1,2402 1,0122 0,5075
1,470 0,2304 1,2426 1,0246 0,5177
1,480 0,2095 1,2448 1,0370 0,5280
1,490 0,1882 1,2468 1,0495 0,5384
1,500 0,1664 1,2486 1,0620 0,5490
1,510 0,1442 1,2501 1,0745 0,5597
1,520 0,1216 1,2515 1,0870 0,5705
1,530 0,0986 1,2526 1,0995 0,5814
1,540 0,0751 1,2534 1,1120 0,5925
377
mz Amz Bmz Cmz Dmz
1,550 0,0512 1,2541 1,1246 0,6036
1,560 0,0268 1,2544 1,1371 0,6149
1,570 0,0020 1,2546 1,1497 0,6264
π/2 0,0000 1,2546 1,1506 0,6273
1,580 -0,0233 1,2545 1,1622 0,6379
1,590 -0,0490 1,2541 1,1747 0,6496
1,600 -0,0753 1,2535 1,1873 0,6614
1,610 -0,1020 1,2526 1,1998 0,6734
1,620 -0,1291 1,2515 1,2123 0,6854
1,630 -0,1568 1,2500 1,2248 0,6976
1,640 -0,1849 1,2483 1,2373 0,7099
1,650 -0,2136 1,2463 1,2498 0,7224
1,660 -0,2427 1,2440 1,2623 0,7349
1,670 -0,2724 1,2415 1,2747 0,7476
1,680 -0,3025 1,2386 1,2871 0,7604
1,690 -0,3332 1,2354 1,2995 0,7733
1,700 -0,3644 1,2319 1,3118 0,7864
1,710 -0,3961 1,2281 1,3241 0,7996
1,800 -0,7060 1,1789 1,4326 0,9237
1,810 -0,7433 1,1716 1,4444 0,9381
1,820 -0,7811 1,1640 1,4560 0,9526
1,830 -0,8195 1,1560 1,4676 0,9672
1,840 -0,8584 1,1476 1,4792 0,9819
1,850 -0,8980 1,1388 1,4906 0,9968
1,860 -0,9382 1,1296 1,5019 1,0117
355
mz Amz Bmz Cmz Dmz
1,870 -0,9790 1,1201 1,5132 1,0268
1,880 -1,0203 1,1101 1,5243 1,0420
1,890 -1,0623 1,0997 1,5354 1,0573
1,900 -1,1049 1,0888 1,5463 1,0727
1,910 -1,1481 1,0776 1,5572 1,0882
1,920 -1,1920 1,0659 1,5679 1,1038
1,930 -1,2364 1,0537 1,5785 1,1196
1,940 -1,2815 1,0411 1,5890 1,1354
1,950 -1,3273 1,0281 1,5993 1,1513
1,960 -1,3737 1,0146 1,6095 1,1674
1,970 -1,4207 1,0006 1,6196 1,1835
1,980 -1,4683 0,9862 1,6295 1,1998
1,990 -1,5167 0,9712 1,6393 1,2161
2,000 -1,5656 0,9558 1,6489 1,2326
2,010 -1,6153 0,9399 1,6584 1,2491
2,020 -1,6656 0,9235 1,6677 1,2657
2,030 -1,7165 0,9066 1,6769 1,2825
2,040 -1,7682 0,8892 1,6859 1,2993
2,050 -1,8205 0,8712 1,6947 1,3162
2,060 -1,8734 0,8528 1,7033 1,3332
2,070 -1,9271 0,8338 1,7117 1,3502
2,080 -1,9815 0,8142 1,7200 1,3674
2,090 -2,0365 0,7941 1,7280 1,3846
2,100 -2,0922 0,7735 1,7359 1,4020
356
mz Amz Bmz Cmz Dmz
2,110 -2,1487 0,7523 1,7435 1,4194
2,120 -2,2058 0,7305 1,7509 1,4368
2,130 -2,2636 0,7082 1,7581 1,4544
2,140 -2,3221 0,6852 1,7651 1,4720
2,150 -2,3814 0,6617 1,7718 1,4897
2,160 -2,4413 0,6376 1,7783 1,5074
2,170 -2,5020 0,6129 1,7845 1,5252
2,180 -2,5633 0,5876 1,7905 1,5431
2,190 -2,6254 0,5616 1,7963 1,5610
2,200 -2,6882 0,5351 1,8018 1,5790
2,210 -2,7517 0,5079 1,8070 1,5971
2,220 -2,8160 0,4800 1,8119 1,6152
2,230 -2,8810 0,4515 1,8166 1,6333
2,240 -2,9467 0,4224 1,8210 1,6515
2,250 -3,0131 0,3926 1,8250 1,6697
2,260 -3,0802 0,3621 1,8288 1,6880
2,270 -3,1481 0,3310 1,8323 1,7063
2,280 -3,2167 0,2992 1,8354 1,7247
2,290 -3,2861 0,2667 1,8383 1,7430
2,300 -3,3562 0,2335 1,8408 1,7614
2,310 -3,4270 0,1995 1,8429 1,7798
2,320 -3,4986 0,1649 1,8447 1,7983
2,330 -3,5709 0,1296 1,8462 1,8167
2,340 -3,6439 0,0935 1,8473 1,8352
2,350 -3,7177 0,0567 1,8481 1,8537
357
mz Amz Bmz Cmz Dmz
2,360 -3,7922 0,0191 1,8485 1,8722
2,370 -3,8675 -0,0192 1,8485 1,8906
2,380 -3,9434 -0,0582 1,8481 1,9091
2,390 -4,0202 -0,0980 1,8473 1,9276
2,400 -4,0977 -0,1386 1,8461 1,9461
2,410 -4,1759 -0,1800 1,8445 1,9645
2,420 -4,2548 -0,2221 1,8425 1,9830
2,430 -4,3345 -0,2651 1,8401 2,0014
2,440 -4,4149 -0,3088 1,8372 2,0198
2,450 -4,4961 -0,3534 1,8339 2,0381
2,460 -4,5780 -0,3988 1,8301 2,0564
2,470 -4,6606 -0,4450 1,8259 2,0747
2,480 -4,7440 -0,4920 1,8212 2,0930
2,490 -4,8280 -0,5398 1,8161 2,1111
2,500 -4,9128 -0,5885 1,8104 2,1293
2,510 -4,9984 -0,6381 1,8043 2,1473
2,520 -5,0846 -0,6885 1,7977 2,1654
2,530 -5,1716 -0,7398 1,7905 2,1833
2,540 -5,2593 -0,7919 1,7829 2,2012
2,550 -5,3477 -0,8450 1,7747 2,2190
2,560 -5,4368 -0,8989 1,7660 2,2367
2,570 -5,5266 -0,9537 1,7567 2,2543
2,580 -5,6171 -1,0094 1,7469 2,2718
2,590 -5,7084 -1,0661 1,7365 2,2892
2,600 -5,8003 -1,1236 1,7256 2,3065
358
mz Amz Bmz Cmz Dmz
2,610 -5,8929 -1,1821 1,7140 2,3237
2,620 -5,9862 -1,2415 1,7019 2,3408
2,630 -6,0802 -1,3018 1,6892 2,3578
2,640 -6,1748 -1,3631 1,6759 2,3746
2,650 -6,2701 -1,4253 1,6619 2,3913
2,660 -6,3661 -1,4885 1,6474 2,4078
2,670 -6,4627 -1,5526 1,6322 2,4242
2,680 -6,5600 -1,6177 1,6163 2,4405
2,690 -6,6580 -1,6838 1,5998 2,4565
2,700 -6,7566 -1,7509 1,5826 2,4725
2,710 -6,8558 -1,8190 1,5648 2,4882
2,720 -6,9556 -1,8880 1,5463 2,5037
2,730 -7,0561 -1,9581 1,5270 2,5191
2,740 -7,1571 -2,0291 1,5071 2,5343
2,750 -7,2588 -2,1012 1,4864 2,5493
2,760 -7,3611 -2,1743 1,4651 2,5640
2,770 -7,4639 -2,2484 1,4430 2,5786
2,780 -7,5674 -2,3236 1,4201 2,5929
2,790 -7,6713 -2,3998 1,3965 2,6070
2,800 -7,7759 -2,4770 1,3721 2,6208
2,810 -7,8810 -2,5553 1,3469 2,6344
2,820 -7,9867 -2,6346 1,3210 2,6477
2,830 -8,0928 -2,7150 1,2942 2,6608
2,840 -8,1995 -2,7965 1,2667 2,6736
2,850 -8,3067 -2,8790 1,2383 2,6861
359
mz Amz Bmz Cmz Dmz
2,860 -8,4144 -2,9626 1,2091 2,6984
2,870 -8,5226 -3,0473 1,1791 2,7103
2,880 -8,6312 -3,1331 1,1481 2,7220
2,890 -8,7403 -3,2199 1,1164 2,7333
2,900 -8,8499 -3,3079 1,0837 2,7443
2,910 -8,9599 -3,3969 1,0502 2,7549 2,920 -9,0703 -3,4871 1,0158 2,7653 2,930 -9,1811 -3,5784 0,9805 2,7753 2,940 -9,2923 -3,6707 0,9442 2,7849 2,950 -9,4039 -3,7642 0,9071 2,7941 2,960 -9,5158 -3,8588 0,8689 2,8030 2,970 -9,6281 -3,9545 0,8299 2,8115 2,980 -9,7407 -4,0514 0,7899 2,8196 2,990 -9,8537 -4,1493 0,7488 2,8273 3,000 -9,9669 -4,2484 0,7069 2,8346 3,010 -10,0804 -4,3487 0,6639 2,8414 3,020 -10,1942 -4,4500 0,6199 2,8479 3,030 -10,3083 -4,5526 0,5749 2,8538 3,040 -10,4225 -4,6562 0,5288 2,8594 3,050 -10,5370 -4,7610 0,4817 2,8644 3,060 -10,6517 -4,8670 0,4336 2,8690 3,070 -10,7665 -4,9740 0,3844 2,8731 3,080 -10,8815 -5,0823 0,3341 2,8767 3,090 -10,9966 -5,1917 0,2828 2,8798 3,100 -11,1119 -5,3022 0,2303 2,8823 3,110 -11,2272 -5,4139 0,1767 2,8844 3,120 -11,3426 -5,5268 0,1220 2,8859 3,130 -11,4581 -5,6408 0,0662 2,8868 3,140 -11,5736 -5,7559 0,0092 2,8872 π -11,5920 -5,7744 0,0000 2,8872 3,150 -11,6890 -5,8722 -0,0490 2,8870 3,160 -11,8045 -5,9897 -0,1083 2,8862 3,170 -11,9199 -6,1083 -0,1688 2,8848 3,180 -12,0353 -6,2281 -0,2304 2,8828 3,190 -12,1505 -6,3490 -0,2933 2,8802 3,200 -12,2657 -6,4711 -0,3574 2,8769 3,210 -12,3807 -6,5943 -0,4227 2,8730 3,220 -12,4955 -6,7187 -0,4893 2,8685 3,230 -12,6102 -6,8443 -0,5571 2,8633
360
mz Amz Bmz Cmz Dmz3,240 -12,7246 -6,9709 -0,6262 2,8573 3,250 -12,8387 -7,0987 -0,6965 2,8507 3,260 -12,9526 -7,2277 -0,7682 2,8434 3,270 -13,0662 -7,3578 -0,8411 2,8354 3,280 -13,1794 -7,4890 -0,9153 2,8266 3,290 -13,2923 -7,6214 -0,9909 2,8170 3,300 -13,4048 -7,7549 -1,0678 2,8068 3,310 -13,5169 -7,8895 -1,1460 2,7957 3,320 -13,6284 -8,0252 -1,2256 2,7838 3,330 -13,7395 -8,1620 -1,3065 2,7712 3,340 -13,8501 -8,3000 -1,3888 2,7577 3,350 -13,9602 -8,4390 -1,4725 2,7434 3,360 -14,0696 -8,5792 -1,5576 2,7282 3,370 -14,1784 -8,7204 -1,6441 2,7122 3,380 -14,2866 -8,8628 -1,7320 2,6954 3,390 -14,3940 -9,0062 -1,8213 2,6776 3,400 -14,5008 -9,1506 -1,9121 2,6589 3,410 -14,6067 -9,2962 -2,0044 2,6393 3,420 -14,7119 -9,4428 -2,0981 2,6188 3,430 -14,8162 -9,5904 -2,1932 2,5974 3,440 -14,9197 -9,7391 -2,2899 2,5750 3,450 -15,0222 -9,8888 -2,3880 2,5516 3,460 -15,1238 -10,0395 -2,4877 2,5272 3,470 -15,2244 -10,1913 -2,5888 2,5018 3,480 -15,3239 -10,3440 -2,6915 2,4754 3,490 -15,4224 -10,4977 -2,7957 2,4480 3,500 -15,5197 -10,6525 -2,9014 2,4195 3,510 -15,6159 -10,8081 -3,0087 2,3899 3,520 -15,7109 -10,9648 -3,1176 2,3593 3,530 -15,8047 -11,1224 -3,2280 2,3276 3,540 -15,8971 -11,2809 -3,3401 2,2948 3,550 -15,9882 -11,4403 -3,4537 2,2608 3,560 -16,0780 -11,6006 -3,5689 2,2257 3,570 -16,1663 -11,7618 -3,6857 2,1894 3,580 -16,2531 -11,9239 -3,8041 2,1520 3,590 -16,3384 -12,0869 -3,9242 2,1133 3,600 -16,4221 -12,2507 -4,0458 2,0735 3,610 -16,5043 -12,4153 -4,1692 2,0324 3,620 -16,5847 -12,5808 -4,2942 1,9901 3,630 -16,6634 -12,7470 -4,4208 1,9465 3,640 -16,7404 -12,9141 -4,5491 1,9017 3,650 -16,8156 -13,0818 -4,6791 1,8555 3,660 -16,8888 -13,2504 -4,8107 1,8081
361
mz Amz Bmz Cmz Dmz
3,670 -16,9602 -13,4196 -4,9441 1,7593
3,680 -17,0296 -13,5896 -5,0791 1,7092
3,690 -17,0969 -13,7602 -5,2159 1,6577
3,700 -17,1622 -13,9315 -5,3543 1,6049
3,710 -17,2253 -14,1034 -5,4945 1,5506
3,720 -17,2862 -14,2760 -5,6364 1,4950
3,730 -17,3449 -14,4491 -5,7800 1,4379
3,740 -17,4012 -14,6229 -5,9254 1,3794
3,750 -17,4552 -14,7972 -6,0725 1,3194
3,760 -17,5067 -14,9720 -6,2213 1,2579
3,770 -17,5558 -15,1473 -6,3719 1,1949
3,780 -17,6023 -15,3231 -6,5243 1,1305
3,790 -17,6462 -15,4993 -6,6784 1,0644
3,800 -17,6874 -15,6760 -6,8343 0,9969
3,810 -17,7259 -15,8531 -6,9919 0,9278
3,820 -17,7616 -16,0305 -7,1513 0,8570
3,830 -17,7945 -16,2083 -7,3125 0,7847
3,840 -17,8244 -16,3864 -7,4755 0,7108
3,850 -17,8513 -16,5648 -7,6403 0,6352
3,860 -17,8752 -16,7434 -7,8068 0,5580
3,870 -17,8959 -16,9223 -7,9751 0,4791
3,880 -17,9135 -17,1013 -8,1452 0,3985
3,890 -17,9278 -17,2805 -8,3172 0,3161
3,900 -17,9388 -17,4598 -8,4909 0,2321
362
mz Amz Bmz Cmz Dmz
3,910 -17,9463 -17,6393 -8,6663 0,1463
3,920 -17,9504 -17,8188 -8,8436 0,0588
3,930 -17,9510 -17,9983 -9,0227 -0,0306
3,940 -17,9480 -18,1778 -9,2036 -0,1217
3,950 -17,9413 -18,3572 -9,3863 -0,2146
3,960 -17,9308 -18,5366 -9,5707 -0,3094
3,970 -17,9165 -18,7158 -9,7570 -0,4061
3,980 -17,8983 -18,8949 -9,9451 -0,5046
3,990 -17,8761 -19,0738 -10,1349 -0,6050
4,000 -17,8499 -19,2524 -10,3265 -0,7073
4,010 -17,8195 -19,4308 -10,5200 -0,8115
4,020 -17,7849 -19,6088 -10,7152 -0,9177
4,030 -17,7460 -19,7864 -10,9121 -1,0258
4,040 -17,7028 -19,9637 -11,1109 -1,1359
4,050 -17,6551 -20,1405 -11,3114 -1,2480
4,060 -17,6029 -20,3168 -11,5137 -1,3622
4,070 -17,5461 -20,4925 -11,7177 -1,4783
4,080 -17,4847 -20,6677 -11,9235 -1,5965
4,090 -17,4184 -20,8422 -12,1311 -1,7168
4,100 -17,3473 -21,0160 -12,3404 -1,8391
4,110 -17,2712 -21,1891 -12,5514 -1,9636
4,120 -17,1902 -21,3614 -12,7642 -2,0902
4,130 -17,1040 -21,5329 -12,9786 -2,2189
4,140 -17,0126 -21,7035 -13,1948 -2,3498
363
mz Amz Bmz Cmz Dmz
4,150 -16,9160 -21,8732 -13,4127 -2,4828
4,160 -16,8140 -22,0418 -13,6323 -2,6180
4,170 -16,7065 -22,2094 -13,8535 -2,7554
4,180 -16,5935 -22,3759 -14,0765 -2,8951
4,190 -16,4749 -22,5413 -14,3010 -3,0370
4,200 -16,3505 -22,7054 -14,5273 -3,1811
4,210 -16,2204 -22,8683 -14,7551 -3,3275
4,220 -16,0843 -23,0298 -14,9846 -3,4762
4,230 -15,9422 -23,1899 -15,2157 -3,6272
4,240 -15,7941 -23,3486 -15,4484 -3,7805
4,250 -15,6398 -23,5058 -15,6827 -3,9362
4,260 -15,4792 -23,6614 -15,9185 -4,0942
4,270 -15,3122 -23,8153 -16,1559 -4,2546
4,280 -15,1388 -23,9676 -16,3948 -4,4173
4,290 -14,9588 -24,1181 -16,6353 -4,5825
4,300 -14,7721 -24,2668 -16,8772 -4,7500
4,310 -14,5787 -24,4135 -17,1206 -4,9200
4,320 -14,3785 -24,5583 -17,3655 -5,0925
4,330 -14,1713 -24,7011 -17,6118 -5,2673
4,340 -13,9571 -24,8417 -17,8595 -5,4447
4,350 -13,7357 -24,9802 -18,1086 -5,6245
4,360 -13,5071 -25,1164 -18,3591 -5,8069
4,370 -13,2711 -25,2503 -18,6109 -5,9917
4,380 -13,0277 -25,3818 -18,8641 -6,1791
4,390 -12,7768 -25,5108 -19,1185 -6,3690
364
mz Amz Bmz Cmz Dmz
4,400 -12,5182 -25,6373 -19,3743 -6,5615
4,410 -12,2518 -25,7612 -19,6313 -6,7565
4,420 -11,9776 -25,8823 -19,8895 -6,9541
4,430 -11,6954 -26,0007 -20,1489 -7,1543
4,440 -11,4052 -26,1162 -20,4095 -7,3571
4,450 -11,1068 -26,2288 -20,6712 -7,5625
4,460 -10,8002 -26,3383 -20,9341 -7,7705
4,470 -10,4852 -26,4447 -21,1980 -7,9812
4,480 -10,1617 -26,5480 -21,4630 -8,1945
4,490 -9,8296 -26,6480 -21,7289 -8,4104
4,500 -9,4888 -26,7446 -21,9959 -8,6291
4,510 -9,1392 -26,8377 -22,2638 -8,8504
4,520 -8,7807 -26,9273 -22,5326 -9,0743
4,530 -8,4132 -27,0133 -22,8023 -9,3010
4,540 -8,0366 -27,0955 -23,0729 -9,5304
4,550 -7,6508 -27,1740 -23,3442 -9,7625
4,560 -7,2556 -27,2485 -23,6164 -9,9973
4,570 -6,8509 -27,3191 -23,8892 -10,2348
4,580 -6,4368 -27,3855 -24,1627 -10,4751
4,590 -6,0129 -27,4478 -24,4369 -10,7181
4,600 -5,5793 -27,5057 -24,7117 -10,9638
4,610 -5,1358 -27,5593 -24,9870 -11,2123
4,620 -4,6823 -27,6084 -25,2628 -11,4635
4,630 -4,2186 -27,6529 -25,5392 -11,7175
4,640 -3,7448 -27,6928 -25,8159 -11,9743
365
mz Amz Bmz Cmz Dmz
4,650 -3,2607 -27,7278 -26,0930 -12,2339
4,660 -2,7661 -27,7579 -26,3704 -12,4962
4,670 -2,2609 -27,7831 -26,6481 -12,7613
4,680 -1,7451 -27,8031 -26,9261 -13,0291
4,690 -1,2186 -27,8179 -27,2042 -13,2998
4,700 -0,6811 -27,8275 -27,4824 -13,5732
4,710 -0,1327 -27,8315 -27,7607 -13,8494
3π/2 0,0000 -27,8317 -27,8272 -13,9158
4,720 0,4269 -27,8301 -28,0390 -14,1284
4,730 0,9977 -27,8230 -28,3173 -14,4102
4,740 1,5797 -27,8101 -28,5955 -14,6948
4,750 2,1733 -27,7913 -28,8735 -14,9821
4,760 2,7784 -27,7666 -29,1513 -15,2723
4,770 3,3951 -27,7357 -29,4288 -15,5652
4,780 4,0236 -27,6986 -29,7060 -15,8608
4,790 4,6640 -27,6552 -29,9827 -16,1593
4,800 5,3164 -27,6053 -30,2590 -16,4605
4,810 5,9809 -27,5488 -30,5348 -16,7645
4,820 6,6576 -27,4857 -30,8100 -17,0712
4,830 7,3466 -27,4156 -31,0845 -17,3807
4,840 8,0481 -27,3387 -31,3583 -17,6929
4,850 8,7621 -27,2546 -31,6313 -18,0078
4,860 9,4887 -27,1634 -31,9034 -18,3255
4,870 10,2281 -27,0648 -32,1745 -18,6459
4,880 10,9804 -26,9588 -32,4446 -18,9690
366
4,890 11,7457 -26,8452 -32,7137 -19,2948
4,900 12,5240 -26,7238 -32,9815 -19,6232
4,910 13,3156 -26,5946 -33,2481 -19,9544
4,920 14,1204 -26,4575 -33,5134 -20,2882
4,930 14,9387 -26,3122 -33,7772 -20,6247
4,940 15,7704 -26,1587 -34,0396 -20,9637
4,950 16,6158 -25,9967 -34,3004 -21,3054
4,960 17,4749 -25,8263 -34,5595 -21,6497
4,970 18,3478 -25,6472 -34,8169 -21,9966
4,980 19,2347 -25,4593 -35,0724 -22,3461
4,990 20,1356 -25,2625 -35,3260 -22,6981
5,000 21,0506 -25,0565 -35,5776 -23,0526
5,010 21,9798 -24,8414 -35,8271 -23,4096
5,020 22,9234 -24,6169 -36,0744 -23,7691
5,030 23,8814 -24,3829 -36,3194 -24,1311
5,040 24,8539 -24,1392 -36,5621 -24,4955
5,050 25,8410 -23,8858 -36,8022 -24,8623
5,060 26,8429 -23,6223 -37,0397 -25,2315
5,070 27,8596 -23,3488 -37,2746 -25,6031
5,080 28,8912 -23,0651 -37,5067 -25,9770
5,090 29,9378 -22,7710 -37,7359 -26,3532
5,100 30,9995 -22,4663 -37,9621 -26,7317
5,110 32,0763 -22,1509 -38,1852 -27,1125
5,120 33,1685 -21,8247 -38,4050 -27,4954
5,130 34,2760 -21,4875 -38,6216 -27,8806
5,140 35,3990 -21,1392 -38,8348 -28,2678
367
5,150 36,5375 -20,7795 -39,0444 -28,6572
5,160 37,6916 -20,4084 -39,2503 -29,0487
5,170 38,8614 -20,0256 -39,4525 -29,4422
5,180 40,0470 -19,6311 -39,6508 -29,8378
5,190 41,2484 -19,2246 -39,8451 -30,2352
5,200 42,4658 -18,8060 -40,0352 -30,6346
5,210 43,6992 -18,3752 -40,2211 -31,0359
5,220 44,9487 -17,9320 -40,4027 -31,4391
5,230 46,2144 -17,4762 -40,5797 -31,8440
5,240 47,4963 -17,0077 -40,7522 -32,2506
5,250 48,7945 -16,5262 -40,9199 -32,6590
5,260 50,1090 -16,0317 -41,0827 -33,0690
5,270 51,4400 -15,5240 -41,2404 -33,4806
5,280 52,7875 -15,0029 -41,3931 -33,8938
5,290 54,1515 -14,4682 -41,5405 -34,3085
5,300 55,5322 -13,9198 -41,6824 -34,7246
5,310 56,9295 -13,3575 -41,8188 -35,1421
5,320 58,3436 -12,7811 -41,9495 -35,5610
5,330 59,7744 -12,1906 -42,0744 -35,9811
5,340 61,2221 -11,5856 -42,1933 -36,4024
5,350 62,6866 -10,9661 -42,3060 -36,8249
5,360 64,1681 -10,3318 -42,4126 -37,2485
5,370 65,6665 -9,6826 -42,5126 -37,6732
5,380 67,1819 -9,0184 -42,6062 -38,0988
5,390 68,7144 -8,3390 -42,6930 -38,5253
5,400 70,2640 -7,6441 -42,7729 -38,9526
368
5,410 71,8306 -6,9336 -42,8458 -39,3807
5,420 73,4144 -6,2074 -42,9115 -39,8095
5,430 75,0154 -5,4653 -42,9699 -40,2389
5,440 76,6336 -4,7070 -43,0208 -40,6689
5,450 78,2689 -3,9325 -43,0640 -41,0993
5,460 79,9215 -3,1416 -43,0993 -41,5301
5,470 81,5913 -2,3341 -43,1267 -41,9612
5,480 83,2784 -1,5097 -43,1460 -42,3926
5,490 84,9827 -0,6684 -43,1569 -42,8241
5,500 86,7043 0,1900 -43,1593 -43,2557
5,510 88,4432 1,0657 -43,1530 -43,6873
5,520 90,1993 1,9589 -43,1379 -44,1188
5,530 91,9727 2,8698 -43,1138 -44,5500
5,540 93,7633 3,7984 -43,0805 -44,9810
5,550 95,5712 4,7451 -43,0378 -45,4116
5,560 97,3962 5,7099 -42,9855 -45,8417
5,570 99,2385 6,6931 -42,9235 -46,2713
5,580 101,0979 7,6947 -42,8516 -46,7002
5,590 102,9745 8,7151 -42,7695 -47,1283
5,600 104,8682 9,7543 -42,6772 -47,5555
5,610 106,7789 10,8125 -42,5744 -47,9818
5,620 108,7067 11,8899 -42,4609 -48,4070
5,630 110,6515 12,9867 -42,3365 -48,8310
5,640 112,6132 14,1030 -42,2011 -49,2537
5,650 114,5917 15,2390 -42,0544 -49,6749
5,660 116,5871 16,3949 -41,8962 -50,0947
369
5,670 118,5993 17,5708 -41,7264 -50,5128
5,680 120,6281 18,7669 -41,5448 -50,9292
5,690 122,6736 19,9834 -41,3510 -51,3437
5,700 124,7356 21,2205 -41,1450 -51,7562
5,710 126,8141 22,4782 -40,9266 -52,1665
5,720 128,9089 23,7568 -40,6954 -52,5747
5,730 131,0200 25,0564 -40,4513 -52,9804
5,740 133,1473 26,3773 -40,1942 -53,3837
5,7500 135,2907 27,7194 -39,9237 -53,7843
5,760 137,4500 29,0831 -39,6397 -54,1821
5,770 139,6252 30,4685 -39,3420 -54,5770
5,780 141,8161 31,8757 -39,0303 -54,9689
5,790 144,0227 33,3049 -38,7044 -55,3576
5,800 146,2447 34,7562 -38,3641 -55,7429
5,810 148,4821 36,2298 -38,0092 -56,1248
5,820 150,7346 37,7259 -37,6395 -56,5031
5,830 153,0023 39,2445 -37,2546 -56,8775
5,840 155,2848 40,7860 -36,8545 -57,2481
5,850 157,5820 42,3503 -36,4388 -57,6146
5,860 159,8939 43,9377 -36,0074 -57,9768
5,870 162,2201 45,5482 -35,5600 -58,3347
5,880 164,5606 47,1821 -35,0964 -58,6880
5,890 166,9151 48,8395 -34,6163 -59,0365
5,900 169,2835 50,5205 -34,1195 -59,3802
5,910 171,6655 52,2252 -33,6058 -59,7189
5,920 174,0609 53,9538 -33,0749 -60,0523
370
5,930 176,4696 55,7065 -32,5266 -60,3803
5,940 178,8913 57,4832 -31,9607 -60,7028
5,950 181,3257 59,2843 -31,3769 -61,0195
5,960 183,7727 61,1098 -30,7749 -61,3302
5,970 186,2321 62,9598 -30,1546 -61,6349
5,980 188,7034 64,8345 -29,5157 -61,9333
5,990 191,1866 66,7339 -28,8578 -62,2252
6,000 193,6814 68,6583 -28,1809 -62,5104
6,010 196,1874 70,6076 -27,4846 -62,7887
6,020 198,7044 72,5820 -26,7687 -63,0600
6,030 201,2321 74,5817 -26,0329 -63,3240
6,040 203,7702 76,6067 -25,2769 -63,5806
6,050 206,3184 78,6571 -24,5006 -63,8295
6,060 208,8764 80,7331 -23,7037 -64,0705
6,070 211,4439 82,8347 -22,8859 -64,3035
6,080 214,0206 84,9620 -22,0469 -64,5282
6,090 216,6061 87,1151 -21,1866 -64,7444
6,100 219,2000 89,2942 -20,3045 -64,9518
6,110 221,8021 91,4992 -19,4006 -65,1504
6,120 224,4119 93,7302 -18,4745 -65,3398
6,130 227,0292 95,9874 -17,5259 -65,5198
6,140 229,6534 98,2708 -16,5546 -65,6902
6,150 232,2843 100,5805 -15,5604 -65,8508
6,160 234,9213 102,9166 -14,5429 -66,0013
6,170 237,5642 105,2790 -13,5020 -66,1416
6,180 240,2125 107,6679 -12,4373 -66,2713
371
6,190 242,8658 110,0832 -11,3485 -66,3903
6,200 245,5236 112,5252 -10,2355 -66,4982
6,210 248,1855 114,9937 -9,0979 -66,5949
6,220 250,8510 117,4889 -7,9356 -66,6801
6,230 253,5197 120,0108 -6,7481 -66,7535
6,240 256,1912 122,5593 -5,5352 -66,8149
6,250 258,8648 125,1346 -4,2968 -66,8641
6,260 261,5401 127,7366 -3,0325 -66,9008
6,270 264,2167 130,3654 -1,7420 -66,9247
6,280 266,8939 133,0209 -0,4251 -66,9355
6,290 269,5713 135,7033 0,9185 -66,9331
6,300 272,2484 138,4124 2,2891 -66,9171
6,400 298,8725 166,9716 17,5361 -65,9496
6,500 324,7853 198,1633 35,7712 -63,3103
6,600 349,2563 231,8808 57,2530 -58,6871
6,700 371,4257 267,9380 82,2255 -51,7433
6,800 390,2936 306,0560 110,9094 -42,1183
6,900 404,7121 345,8486 143,4926 -29,4314
7,000 413,3774 386,8069 180,1182 -13,2850
7,100 414,8243 428,2836 220,8715 6,7300
7,200 407,4225 469,4769 265,7656 31,0275
7,300 389,3764 509,4135 314,7252 60,0187
7,400 358,7284 546,9323 367,5680 94,1021
7,500 313,3658 580,6689 423,9858 133,6516
7,600 251,0333 609,0400 483,5232 179,0034
7,700 169,3515 630,2306 545,5547 230,4396
372
7,800 65,8419 642,1827 609,2616 288,1704
5π/2 0,0000 643,9927 643,9925 321,9964
7,900 -62,0404 642,5866 673,6066 352,3135
8,000 -216,8648 628,8766 737,3088 422,8706
8,100 -401,1743 598,2307 798,8177 499,7025
8,200 -617,4230 547,5769 856,2882 582,4999
8,300 -867,9027 473,6048 907,5560 670,7537
8,400 -1154,6557 372,7868 950,1145 763,7212
8,500 -1479,3747 241,4076 981,0949 860,3911
8,600 -1843,2882 75,6048 997,2487 959,4464
8,700 -2247,0301 -128,5784 994,9365 1059,2258
8,800 -2690,4945 -375,1263 970,1208 1157,6840
8,900 -3172,6741 -667,9691 918,3679 1252,3525
9,000 -3691,4825 -1010,8835 834,8577 1340,2994
9,100 -4243,5622 -1407,3762 714,4048 1418,0929
9,200 -4824,0766 -1860,5457 551,4926 1481,7654
9,300 -5426,4899 -2372,9237 340,3212 1526,7831
9,400 -6042,3351 -2946,2938 74,8737 1548,0206
3π -6195,8239 -3097,9119 0,0000 1548,9560
9,500 -6660,9738 -3581,4865 -250,9996 1539,7436
9,600 -7269,3506 -4278,1495 -643,4742 1495,6005
9,700 -7851,7461 -5034,4938 -1108,6208 1408,6261
9,800 -8389,5351 -5847,0153 -1652,2478 1271,2599
9,900 -8860,9546 -6710,1922 -2279,7150 1075,3811
10,000 -9240,8902 -7616,1607 -2995,7156 812,3647
373
PHỤ LỤC 3 Bảng tra hệ số giảm ϕ theo hệ số λ.
λ CT31, CT34,
CT38, CT42 CT51
Gang
15 − 30 Gỗ các loại
0 1,00 1,00 1,00 1,00
10 0,99 0,98 0,97 0,99
20 0,97 0,96 0,91 0,97
30 0,95 0,93 0,81 0,92
40 0,92 0,89 0,69 0,87
50 0,89 0,85 0,57 0,80
60 0,86 0,80 0,44 0,71
70 0,81 0,74 0,34 0,61
80 0,75 0,67 0,26 0,49
90 0,69 0,59 0,20 0,38
100 0,60 0,50 0,16 0,31
110 0,52 0,43 − 0,26
120 0,45 0,37 − 0,22
130 0,40 0,32 − 0,18
140 0,36 0,28 − 0,16
150 0,32 0,25 − 0,14
160 0,29 0,23 − 0,12
170 0,26 0,21 − 0,11
180 0,23 0,19 − 0,10
190 0,21 0,17 − −
200 0,19 0,15 − −
374
PHỤ LỤC 4 Bảng tra các hệ số ảnh hưởng đến hiện tượng mỏi
Trị số ks và kt – tại góc lượn khi 225,1 ÷=dD
ks đối với thép có sb ( N/mm2) kt đối với thép có sb ( N/mm2)
Tỷ số
dr ≤500 600 700 800 900 ≥1000 ≤700 800 900 ≥1000
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.15
0.20
3.20
2.40
2.0
1.85
1.66
1.57
1.41
1.32
3.50
2.60
2.10
1.85
1.66
1.57
1.41
1.32
3.85
2.80
2.15
1.90
1.70
1.61
1.45
1.36
–
3.0
2.25
1.90
1.70
1.61
1.45
1.36
–
3.25
2.35
2.00
1.76
1.64
1.49
1.40
–
3.50
2.45
2.00
1.76
1.64
1.49
1.40
2.15
1.80
1.53
1.40
1.30
1.25
1.15
1.10
2.40
1.90
1.60
1.45
1.35
1.28
1.18
1.14
2.60
2.00
1.65
1.50
1.40
1.32
1.20
1.16
2.85
2.10
1.70
1.53
1.42
1.35
1.24
1.20
chú thích:
Nếu dD < 1.25 ; ks và kt được tính theo công thức.
ks = 1)1)(90.128.2( +−− bangkdD
σ
1)1)(12.228.2( +−−= bangkdDk ττ
ks bang và ks bang tra theo bảng trên, ( 225.1 ÷=dD )
D
dt
r
375
Trị số ks và kt tại chỗ rãnh vòng của trục
Trị số ks và kt tại rãnh then
Giới hạn bền tb ( N/mm2) Hệ số tập trung ứng suất
500 600 700 800 1000
ks kt
1.6 1.4
1.75 1.50
1.9 1.7
2.0 1.9
2.3 2.2
Hệ số kích thước es, et.
Đường kính trục d (mm) 15 20 30 40 50 70 100 200 Loại vật liệu Hệ số kích thớc
es của thép các bon 0.95 0.92 0.88 0.85 0.81 0.76 0.70 0.61
es của thép hợp kim và et của tất cả các loại thép
0.87 0.83 0.77 0.73 0.70 0.65 0.59 0.52
Chú ý: τ
τσ
σ εα
εα 1,1
== ktkt
d0/D
0.05 ÷ 0.1 0.15 ÷ 0.25
0.05 ÷ 0.25
Giới hạn bền sb ( N/mm2)
ks kt
≤ 700 900 100 ≥
2.00 2.15 2.35
1.8 1.9 2.1
1.75 1.90 2.00
d0
D
376
Trí số ks tại vị trí vòng của trục
Tỷ số ks đối với trục có sb (N/mm2)
rt ≤
dr ≤ 650 700 800 900 ≥ 1000
4.06.0 ≥≥rt
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.15
2.09 1.93 1.87 1.82 1.76 1.71 1.60
2.25 2.04 1.93 1.87 1.82 1.76 1.62
2.43 2.20 2.09 1.98 1.87 1.82 1.66
2.58 2.37 2.20 2.04 1.98 1.87 1.71
2.69 2.47 2.31 2.09 2.04 1.93 1.76
6.01 ≥≥rt
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.15
1.96 1.82 1.77 1.72 1.68 1.63 1.53
2.11 1.92 1.82 1.77 1.72 1.68 1.55
2.26 2.06 1.96 1.87 1.77 1.72 1.58
2.40 2.21 2.06 1.92 1.87 1.77 1.63
2.50 2.30 2.16 1.96 1.92 1.82 1.68
15.1 ≥≥rt
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.15
2.00 1.85 1.80 1.75 1.70 1.65 1.55
2.15 1.95 1.85 1.80 1.75 1.70 1.57
2.30 2.10 2.00 1.90 1.80 1.75 1.60
2.45 2.25 2.10 1.95 1.90 1.80 1.65
2.55 2.35 2.20 2.00 1.96 1.85 1.70
5.12 ≥≥rt
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.15
2.05 1.89 1.84 1.78 1.73 1.68 1.58
2.20 1.99 1.89 1.84 1.78 1.73 1.60
2.36 2.15 2.05 1.94 1.84 1.78 1.63
2.52 2.31 2.15 1.99 1.94 1.84 1.68
2.62 2.21 2.26 2.05 1.99 1.89 1.73
D
dt
r
377
Trị số kt tại chỗ rãnh vòng của trục
T
Tỷ số kt đối với trục thép có sb ( N/mm2)
rD
dr ≤ 650 700 800 900 ≥
1000
1.102.1 ≥≥rD
0.02 0.04 0.06 0.08 0.01 0.15
1.29 1.27 1.25 1.21 1.18 1.14
1.32 1.30 1.29 1.25 1.21 1.18
1.39 1.37 1.36 1.32 1.29 1.21
1.46 1.43 1.41 1.39 1.32 1.25
1.50 1.48 1.46 1.43 1.37 1.29
2.11.1 ≥≥rD
0.02 0.04 0.06 0.08 0.01 0.15
1.37 1.35 1.32 1.27 1.23 1.18
1.41 1.38 1.37 1.32 1.27 1.23
1.50 1.47 1.46 1.41 1.37 1.27
1.59 1.55 1.52 1.50 1.41 1.37
1.65 1.62 1.59 1.55 1.47 1.37
4.12.1 ≥≥rD
0.02 0.04 0.06 0.08 0.01 0.15
1.40 1.38 1.35 1.30 1.25 1.20
1.45 1.42 1.40 1.35 1.30 1.25
1.55 1.52 1.50 1.45 1.40 1.30
1.65 1.60 1.57 1.55 1.45 1.35
1.70 1.68 1.65 1.60 1.52 1.40
378
PHỤ LỤC 5: THÉP CHỮ C TCVN 1654−75
Tiêu chuẩn này áp dụng cho thép chữ C cán nóng có chiều cao từ 50 mm đến 400mm.
1. Kích thước, diện tích mặt cắt ngang, khối lượng và các đại lượng tra cứu phải phù hợp với bảng 1 và hình vẽ.
2. Ký hiệu qui ước thép chữ C.
Vớ dụ: Thép chữ C cú chiều cao thân 200 mm.
C 20 TCVN 1654 − 75.
h − chiều cao;
b − chiều rộng chân;
d − chiều dày thân;
t − chiều dày trung bình của chân;
R − bán kính lượn trong;
r − bán kính lượn chân;
I − mô men quán tính;
i − bán kính quán tính;
W − mô đun chống uốn;
S − mômen tĩnh của nửa mặt cắt;
Z − khoảng cách từ trục Y −Y đến mép ngoài của thân.
x x
d
z0y
t
2db −
b
h
R r
độ dốc không
lớn hơn 10%
379
THÉP CHỮ C TCVN 1654−75
Kích thước (mm) Đại lượng tra cứu cho trục
X−X Y−Y Số hiệu h b d t
Diện tích mặt cắt ngang
(cm2)
Khối lượng 1m chiều dài
(kg) Ix
(cm4)
Wx, cm3
ix
(cm) Sx (cm3) Iy (cm4) Wy
(cm2)
iy
(cm)
Z0 (cm)
5
6,5
8
10
12
14
14a
16
16a
18
18a
20
20a
22
22a
24
24a
27
30
33
36
40
50
65
80
100
120
140
140
160
160
180
180
200
200
220
220
240
240
270
300
330
360
400
32
36
40
46
52
58
62
64
68
70
74
76
80
82
87
90
95
95
100
105
110
115
4,4
4,4
4,5
4,5
4,8
4,9
4,9
5,0
5,0
5,1
5,1
5,2
5,2
5,4
5,4
5,6
5,6
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,1
8,7
8,4
9,0
8,7
9,3
9,0
9,7
9,5
10,2
10,0
10,7
10,5
11,0
11,7
12,6
13,5
6,16
7,51
8,98
10,90
13,30
15,60
17,00
18,10
19,50
20,70
22,20
23,40
25,20
26,70
28,80
30,60
32,90
35,20
40,50
46,50
53,40
61,50
4,84
5,90
7,05
8,59
10,40
12,30
13,30
14,20
15,30
16,30
17,40
18,40
19,80
21,00
22,60
24,00
25,80
27,70
31,80
36,50
41,90
48,30
22,8
48,6
89,4
174,0
304,0
491,0
545,0
747,0
823,0
1090,0
1190,0
1520,0
1670,0
2110,0
2330,0
2900,0
3180,0
4160,0
5810,0
7980,0
10820,0
15220,0
9,1
15,0
22,4
34,8
50,6
70,2
77,8
93,4
103,0
121,0
132,0
152,0
167,0
192,0
212,0
242,0
265,0
308,0
387,0
484,0
601,0
761,0
1,92
2,54
3,16
3,99
4,78
5,60
5,66
6,42
6,49
7,24
7,32
8,07
8,15
8,89
8,99
9,73
9,84
10,90
12,00
13,10
14,20
15,70
5,59
9,00
13,30
20,40
29,60
40,80
45,10
54,10
59,40
69,80
76,10
87,80
95,90
110,00
121,00
139,00
151,00
178,00
224,00
281,00
350,00
444,00
5,61
8,70
12,80
20,40
31,20
45,40
57,50
63,30
78,80
86,00
105,00
113,00
139,00
151,00
187,00
208,00
254,00
262,00
327,00
410,00
513,00
642,00
2,75
3,68
4,75
6,46
8,52
11,00
13,30
13,80
16,40
17,00
20,00
20,50
24,20
25,10
30,00
31,60
37,20
37,30
43,60
51,80
61,70
73,40
0,954
1,080
1,190
1,370
1,530
1,700
1,840
1,870
2,010
2,040
2,180
2,200
2,350
2,370
2,550
2,600
2,780
2,730
2,840
2,970
3,100
3,230
1,16
1,24
1,31
1,44
1,54
1,67
1,87
1,80
2,00
1,94
2,13
2,07
2,28
2,21
2,46
2,42
2,67
2,47
2,52
2,59
2,68
2,75
Chú thích:
1. Diện tích mặt cắt ngang, khối lượng 1m chiều dài được tính theo kích thước danh nghĩa và khối lượng riêng của thép lấy bằng 7,85g/cm3.
2. Bán kính lượn R và r được chỉ dẫn.
380
THÉP CHỮ I TCVN 1655−75
Tiêu chuẩn này áp dụng cho thép chữ I cán nóng có chiều cao từ 100 mm đến 600mm.
1. Kích thước, diện tích mặt cắt ngang, khối lượng và các đại lượng tra cứu phải phù hợp với bảng 1 và hình vẽ.
2. Ký hiệu qui ước thép chữ I.
Vớ dụ: Thép chữ I có chiều cao 300 mm.
I 30 TCVN 1655 − 75.
h − chiều cao;
b − chiều rộng chân;
d − chiều dày thân;
t − chiều dày trung bình của chân;
R − bán kính lượn trong;
r − bán kính lượn chân;
I − mụ men quán tính;
i − bán kính quán tính;
W − mô đun chống uốn;
S − mômen tĩnh của nửa mặt cắt;
dx x
y
r R độ dốc không
b
h
381
THÉP CHỮ I TCVN 1655−75
Kích thước, mm Đại lượng tra cứu cho trục
X−X Y−Y Số hiệu h b d t
Diện tích mặt cắt ngang, cm2
Khối lượng 1m chiều dài,kg Ix, cm4 Wx,
cm3 ix, cm Sx, cm3 Iy, cm4 Wy, cm2 Iy,cm
10
12
14
16
18
18a
20
20a
22
22a
24
24a
27
27a
30
30a
33
36
40
45
50
55
60
100
120
140
160
180
180
200
200
220
220
240
240
270
270
300
300
330
360
400
450
500
550
600
55
64
73
81
90
100
100
110
110
120
115
125
125
135
135
145
140
145
155
160
170
180
190
4,5
4,8
4,9
5,0
5,1
5,1
5,2
5,2
5,4
5,4
5,6
5,6
6,0
6,0
6,5
6,5
7,0
7,5
8,3
9,0
10,0
11,0
12,0
7,2
7,3
7,5
7,8
8,1
8,3
8,4
8,6
8,7
8,9
9,5
9,8
9,8
10,2
10,2
10,7
11,2
12,3
13,0
14,2
15,2
16,5
17,8
12,0
14,7
17,4
20,2
23,4
25,4
26,8
28,9
30,6
32,8
34,8
37,5
40,2
43,2
46,5
49,9
53,8
61,9
72,6
84,7
100,0
118,0
138,0
9,46
11,50
13,70
15,90
18,40
19,90
21,00
22,70
24,00
25,80
27,30
29,40
31,50
33,90
36,50
39,20
42,20
48,60
57,00
66,50
78,50
92,60
108,00
198
350
572
873
1290
1430
1840
2030
2550
2790
3460
3800
5010
5500
7080
7780
9840
13380
19062
27696
39727
55962
76806
39,7
58,4
81,7
109,0
143,0
159,0
184,0
203,0
232,0
254,0
289,0
317,0
371,0
407,0
472,0
518,0
597,0
743,0
953,0
1231,0
1589,0
2035,0
2560,0
4,06
4,88
5,73
6,57
7,42
7,51
8,28
8,37
9,13
9,22
9,97
10,10
11,20
11,30
12,30
12,50
13,50
14,70
16,20
18,10
19,90
21,80
23,60
23,0
33,7
46,8
62,3
81,4
89,8
104,0
114,0
131,0
143,0
163,0
178,0
210,0
229,0
268,0
292,0
339,0
423,0
545,0
708,0
919,0
1181,0
1491,0
17,9
27,9
41,9
58,6
82,6
114,0
115,0
155,0
157,0
206,0
198,0
260,0
260,0
337,0
337,0
436,0
419,0
516,0
667,0
808,0
1043,0
1356,0
1725,0
6,49
8,72
11,50
14,50
18,40
22,80
23,10
28,20
28,60
34,30
34,50
41,60
41,50
50,00
49,90
60,10
59,90
71,10
86,10
101,00
123,00
151,00
182,00
1,22
1,38
1,55
1,70
1,88
2,12
2,07
2,32
2,27
2,50
2,37
2,63
2,54
2,80
2,69
2,95
2,79
2,89
3,03
3,09
3,23
3,39
3,54
Chú thích:
1. Khối lượng 1m chiều dài tính theo kích thước danh nghĩa với khối lượng riêng của thép bằng 7,85g/cm3.
2. Bán kính lượn R và r được chỉ dẫn trong bảng 1 và hình vẽ không kiểm tra mà chỉ làm số liệu cho thiết kế lô hình.
382
THÉP GÓC ĐỀU CẠNH TCVN 1656−75
Tiêu chuẩn này áp dụng cho thép góc cạnh đều cán nóng có chiều rộng cạnh từ 20mm đến 200 mm.
1. Kích thước của thanh, diện tích mặt cắt ngang, khối lượng và các đại lượng tra cứu phải phù hợp với bảng 1 và hình vẽ.
2. Ký hiệu qui ước thép góc cạnh đều.
Ví dụ: Thép góc cạnh đều có kích thước 40 x 40 x 4 mm.
L 40 × 40 × 4. TCVN 1656 − 75.
a − chiều rộng cạnh;
d − chiều dày cạnh;
R − bán kính lượn trong;
r − bán kính lượn cạnh;
I − mô men quán tính;
i − bán kính quán tính;
Z0 − khoảng cách từ trọng tâm đến mép cạnh.
x0 a
z 0
d
x1
x x
x0
y0
y0
y1
y
R
d y1y
r
a
383
THÉP GÓC ĐỀU CẠNH TCVN 1656−75
Kích thước, mm Đại lượng tra cứu
X−X X0−X0 Y0−Y0 X1−X1 Số hiệu
a d
Diện tích mặt cắt ngang, (cm2)
Khối lượng 1m chiều dài, (kg)
I x’, (
cm4 )
i x, (c
m)
I x0m
ax
(cm
4 )
i x0m
ax
()
I y0m
in
(4 )
I y0m
in
(cm
)
I x1’
(cm
4 )
Z0, cm
2 20 3
4
1,13
1,46
0,89
1,15
0,40
0,50
0,59
0,58
0,63
0,78
0,75
0,73
0,170,22
0,39
0,38
0,81
1,09
0,60
0,64
2,5 25 3
4
1,43
1,86
1,12
1,46
0,81
1,03
0,75
0,74
1,29
1,62
0,95
0,93
0,34
0,44
0,49
0,48
1,57
2,11
0,73
0,76
2,8 28 3 1,62 1,27 1.16 0,85 1,84 1,07 0,48 0,55 2,20 0,80
3,2 32 3
4
1,86
2,43
1,46
1,91
1,77
2,26
0,97
0,96
2,80
3,58
1,23
1,21
0,74
0,94
0,63
0,62
3,26
4,39
0,89
0,94
3,6 36 3
4
2,10
2,75
1,65
2,16
2,56
3,29
1,10
1,09
4,06
5,21
1,39
1,38
1,061,36
0,71
0,70
4,64
6,24
0,99
1,04
4,0 40
3
4
5
2,35
3,08
3,79
1,85
2,42
2,97
3,55
4,58
5,53
1,23
1,22
1,20
5,63
7,26
8,75
1,55
1,53
1,54
1,47
1,90
2,30
0,79
0,78
0,79
6,35
8,53
10,73
1,09
1,13
1,17
4,5 45
3
4
5
2,65
3,48
4,29
2,08
2,73
3,37
5,13
6,63
8,03
1,39
1,38
1,37
8,13
10,50
12,70
1,75
1,74
1,72
2,12
2,74
3,33
0,89
0,89
0,88
9,04
12,10
15,30
1,21
1,26
1,30
5,0 50
3
4
5
2,96
3,89
4,80
2,32
3,05
3,77
7,11
9,21
11,20
1,55
1,54
1,53
11,30
14,60
17,80
1,95
1,94
1,92
2,95
3,80
4,63
1,00
0,99
0,98
12,40
16,60
20,90
1,33
1,38
1,42
5,6 56 4
5
4,38
5,41
3,44
4,25
13,10
16,00
1,73
1,72
20,80
25,40
2,18
2,16
5,41
6,59
1,11
1,10
23,30
29,20
1,52
1,57
6,3 63
4
5
6
4,96
6,13
7,28
3,90
4,81
5,72
18,90
23,10
27,10
1,95
1,94
1,93
29,90
36,60
42,90
2,45
2,44
2,43
7,81
9,52
11,2
1,25
1,25
1,24
33,10
41,50
50,00
1,69
1,74
1,78
7,0 70
5
6
7
8
6,86
8,15
9,42
10,70
5,38
6,39
7,39
8,37
31,9037,60
43,00
48,20
2,162,15
2,14
2,13
50,70
59,60
68,20
76,40
2,72
2,71
2,69
2,68
13,2
15,5
17,8
20,0
1,39
1,38
1,37
1,37
56,7
68,4
80,1
91,9
1,90
1,94
1,99
2,02
8,0 80 6 9,38 7,36 57,0 2,47 90,4 3,113,093,
23,5 1,58 102,0 2,19
384
7
8
10,80
12,30
8,51
9,65
65,3
73,4
2,45
2,44
104,0
116,0
08 27,0
30,3
1,58
1,57
119,0
137,0
2,23
2,27
9,0 90
6
7
8
9
10,60
12,30
13,90
15,60
8,33
9,64
10,90
12,20
82,1
94,3
106,0
118,0
2,78
2,77
2,76
2,75
130,0
150,0
168,0
186,0
3,503,493,483,46
34,0
38,9
43,8
48,6
1,79
1,78
1,77
1,77
145,0
169,0
194,0
219,0
2,43
2,47
2,51
2,55
10,0 100
7
8
10
12
14
16
13,80
15,60
19,20
22,80
26,30
29,70
10,80
12,20
15,10
17,90
20,60
23,30
131,0
147,0
179,0
209,0
237,0
264,0
3,08
3,07
3,05
3,03
3,00
2,98
207,0
233,0
284,0
331,0
375,0
416,0
3,883,873,843,813,783,74
54,2
60,9
74,1
86,9
99,3
112
1,98
1,98
1,96
1,95
1,94
1,94
231,0
265,0
333,0
402,0
472,0
542,0
2,71
2,75
2,83
2,91
2,99
3,06
385
THÉP GÓC ĐỀU CẠNH TCVN 1656−75
Kích thước, mm Đại lượng tra cứu
X−X X0−X0 Y0−Y0 X1−X1
Số hiệu a d
Diện tích mặt cắt ngang, (cm2)
Khối lượng 1m chiều dài, (kg)
I x’, (
cm4 )
i x, (c
m)
I x0m
ax
(cm
4 )
i x0m
ax (c
m)
I y0m
in (c
m4 )
I y0m
in (c
m)
I x1’,
(cm
4 )
Z0, (cm)
11,0 110 7
8
15,20
17,20
11,90
13,50
176,0
198,0
3,40
3,39
279,0
315,0
4,29
4,28
72,7
81,8
2,19
2,18
308,0
353,0
2,96
3,00
12,5 125
8
9
10
12
14
16
19,7
22,0
24,3
28,9
33,4
37,8
15,5
17,3
19,1
22,7
26,2
29,6
294,0
327,0
360,0
422,0
482,0
539,0
3,87
3,86
3,85
3,82
3,80
3,78
467,0
520,0
571,0
670,0
764,0
853,0
4,87
4,86
4,84
4,82
4,78
4,75
122
135
149
174
200
224
2,49
2,48
2,47
2,46
2,45
2,44
516,0
582,0
649,0
782,0
916,0
105,1
3,36
3,40
3,45
3,53
3,61
3,68
14,0 140
9
10
12
24,7
27,3
32,5
19,4
21,5
25,5
466,0
512,0
602,0
4,34
4,33
4,31
739,0
814,0
957,0
5,47
5,46
5,43
192
211
248
2,79
2,78
2,76
818,0
911,0
109,7
3,78
3,82
3,90
16,0 160
10
11
12
14
16
18
20
31,4
34,4
37,4
43,3
49,1
54,8
60,4
24,7
27,0
29,4
34,0
38,5
43,0
47,4
774,0
844,0
913,0
1046
1175
1299
1419
4,96
4,95
4,94
4,92
4,89
4,87
4,85
1229
1341
1450
1662
1866
2061
2248
6,25
6,24
6,23
6,20
6,17
6,13
6,10
319
348
376
431
485
537
589
3,19
3,18
3,17
3,16
3,14
3,13
3,12
1356
1494
1633
1911
2191
2472
2756
4,30
4,35
4,39
4,47
4,55
4,63
4,70
18,0 180 11
12
38,8
42,2
30,5
33,1
1216
1317
5,60
5,59
1933
2093
7,06
7,04
500
540
3,59
3,58
2128
2324
4,85
4,89
20,0 200
12
13
14
16
20
25
30
47,1
50,9
54,6
62,0
76,5
94,3
111,5
37,0
39,9
42,8
48,7
60,1
74,0
87,6
1823
1961
2097
2363
2871
3466
4020
6,22
6,21
6,20
6,17
6,12
6,06
6,00
2896
3116
3333
3755
4560
5494
6351
7,84
7,83
7,81
7,78
7,72
7,63
7,55
749
805
861
970
1182
1438
1688
3,99
3,98
3,97
3,96
3,93
3,91
3,89
3182
3452
3722
4264
5355
6733
8130
5,37
5,42
5,46
5,54
5,70
5,89
6,07
386
Chú thích:
1. Khối lượng 1m chiều dài tính theo kích thước danh nghĩa với khối lượng riêng của thép bằng 7,85g/cm3.
2. Bán kính lượn R và r được chỉ dẫn trên hình vẽ chủ yếu cho thiết kế lô hình, không cần kiểm tra trên thanh thép góc.
THÉP GÓC CẠNH KHÔNG ĐỀU TCVN 1657−75
Tiêu chuẩn này áp dụng cho thép góc cạnh không đều cán nóng có chiều rộng cạnh từ 25 mm đến 250 mm.
1. Kích thước của thanh, diện tích mặt cắt ngang, khối lượng và các đại lượng tra cứu phải phù hợp với bảng 1 và hình vẽ.
2. Ký hiệu qui ước thép góc cạnh không đều.
Ví dụ: Thép góc cạnh không đều có kích thước 63 x 40 x 4 mm.
L 63 × 40 × 4. TCVN 1657 − 75.
a − chiều rộng cạnh nhỏ;
b − chiều rộng cạnh lớn;
d − chiều dày cạnh;
R − bán kính lượn trong;
a
y 0
d
x1
xx
y1
y
R
d
y1 y
r
b
x0
u
u
α
387
r − bán kính lượn cạnh;
I − mô men quán tính;
i − bán kính quán tính;
X0 ; Y0 − khoảng cách từ trọng tâm đến mép cạnh.
THÉP GÓC CẠNH KHÔNG ĐỀU TCVN 1657−75
Kích thước, (mm) Đại lượng tra cứu
X−X Y−Y X1−X1 Y1−Y1 U−U Số hiệu
b a d
Diện tích mặt cắt ngang, (cm2)
Khối lượng 1m chiều dài, (kg) Ix’,
(cm4) Ix', (cm)
Iy’, (cm4)
Iy',
(cm)
IXi’, (cm4)
Y0, (cm)
Iymin
(cm4)
X0’, (cm)
Iumin
(cm4)
iumin (cm)
Gúc lệch, (tg)
2,5/1,6 25 16 3 1,16 0,91 0,70 0,78 0,22 0,44 1,56 0,86 0,43 0,42 0,13 0,34 0,392
3,2/2 32 20 3
4
1,49
1,94
1,17
1,52
1,52
1,93
1,01
1,00
0,46
0,57
0,55
0,54
3,26
4,38
1,08
1,12
0,82
1,12
0,49
0,53
0,28
0,35
0,43
0,43
0,382
0,374
4/2,5 40 25 3
4
1,89
2,47
1,48
1,94
3,06
3,93
1,27
1,26
0,93
1,18
0,70
0,69
6,37
8,53
1,32
1,37
1,58
2,15
0,59
0,63
0,56
0,71
0,54
0,54
0,385
0,381
4,5/2,8 45 28 3
4
2,14
2,80
1,68
2,20
4,41
5,68
1,43
1,42
1,32
1,69
0,79
0,78
9,02
12,10
1,47
1,51
2,20
2,98
0,64
0,68
0,79
1,02
0,61
0,60
0,382
0,379
5/3,2 50 32 3
4
2,42
3,17
1,90
2,49
6,17
7,98
1,60
1,59
1,99
2,56
0,91
0,90
12,40
16,60
1,60
1,65
3,26
4,42
0,72
0,76
1,18
1,52
0,70
0,69
0,403
0,401
5,6/3,6 56 36 4
5
3,58
4,41
2,81
3,46
11,40
13,80
1,78
1,77
3,70
4,48
1,02
1,01
23,20
29,20
1,82
1,86
6,25
7,91
0,84
0,88
2,19
2,66
0,78
0,78
0,406
0,404
6,3/4 63 40
4
5
6
8
4,04
4,98
5,90
7,68
3,17
3,91
4,63
6,03
16,30
19,90
23,30
29,60
2,01
2,00
1,99
1,96
5,16
6,26
7,28
9,15
1,13
1,12
1,11
1,09
33,00
41,40
49,90
66,90
2,03
2,08
2,12
2,20
8,51
10,80
13,10
17,90
0,91
0,95
0,99
1,07
3,07
3,72
4,36
5,58
0,87
0,86
0,86
0,85
0,397
0,396
0,393
0,386
7/4,5 70 45 5 5,59 4,39 27,80 2,23 9,05 1,27 56,70 2,28 15,20 1,05 5,34 0,98 0,406
8/5 80 50 5
6
6,36
7,55
4,99
5,92
41,60
49,00
2,56
2,55
12,7
14,8
1,41
1,40
84,6
102
2,60
2,65
20,80
25,20
1,13
1,17
7,58
8,88
1,09
1,08
0,387
0,386
9/5,6 90 56
5,5
6
8
7,86
8,54
11,18
6,17
6,70
8,77
65,30
70,60
90,90
2,88
2,88
2,85
19,7
21,2
27,1
1,58
1,58
1,56
132
145
194
2,92
2,95
3,04
32,20
35,20
47,80
1,26
1,28
1,36
11,8
12,7
16,3
1,22
1,22
1,21
0,384
0,384
0,380
388
10/6,3 100 63
6
7
8
10
9,59
11,10
12,60
15,50
7,53
8,70
9.87
12,10
98,30
113,0
127,0
154,0
3,20
3,19
3,18
3,15
30,6
35,0
39,2
47,1
1,79
1,78
1,77
1,75
198
232
266
333
3,23
3,28
3,32
3,40
49,90
58,70
67,60
85,80
1,42
1,46
1,50
1,58
18,2
20,8
23,4
28,3
1,38
1,37
1,36
1,35
0,393
0,392
0,391
0,387
Chú thích:
1. Khối lượng 1m chiều dài tính theo kích thước danh nghĩa với khối lượng riêng của thép bằng 7,85g/cm3.
2. Bán kính lượn R và r được chỉ dẫn trên hình vẽ chủ yếu cho thiết kế lô hình, không cần kiểm tra trên thanh thép góc.
THÉP GÓC CẠNH KHÔNG ĐỀU TCVN 1657−75
Kích thước, (mm)
Đại lượng tra cứu
X−X Y−Y X1−X1 Y1−Y1 U−U
Số hiệu
b
a
d
Diện tích mặt cắt ngang, (cm2)
Khối lượng 1m chiều dài,
(kg) Ix’, (cm4)
Ix', (cm)
Iy’, (cm4)
Iy',
(cm)
IXi’, (cm4)
Y0, (cm)
Iymin
(cm4)
X0’, (cm)
Iumin
(cm4)
Iumin (cm)
Gúc lệch, tg α
11/7 110 70 6,5
8
11,40
13,90
8,98
10,90
142,0
172,0
3,53
3,51
45,6
54,6
2,00
1,98
286
353
3,55
3,61
74,30
92,30
1,58
1,64
26,9
32,3
1,53
1,52
0,402
0,400
12,5/8 125 80
7
8
10
12
14,10
16,00
19,70
23,40
11,00
12,50
15,50
18,30
227,0
256,0
312,0
365,0
4,01
4,00
3,98
3,95
73,7
83,0
100,0
117,0
2,29
2,28
2,26
2,24
452
518
649
781
4,01
4,05
4,14
4,22
119,0
137,0
173,0
210,0
1,80
1,84
1,92
2,00
43,4
48,8
59,3
69,5
1,76
1,75
1,74
1,72
0,407
0,406
0,404
0,400
14/9 140 90 8
10
18,00
22,20
14,10
17,50
364,0
444,0
4,49
4,47
120,0
146,0
2,58
2,56
727
911
4,49
4,58
194,0
245,0
2,03
2,12
70,3
85,5
1,98
1,96
0,411
0,409
16/10 160 100
9
10
12
14
22,90
25,30
30,00
34,70
18,00
19,80
23,60
27,30
606,0
667,0
784,0
897,0
5,15
5,13
5,11
5,08
186,0
204,0
239,0
272,0
2,85
2,84
2,82
2,80
1221
1359
1634
1910
5,19
5,23
5,32
5,40
300,0
335,0
405,0
477,0
2,23
2,28
2,36
2,43
110,0
121,0
142,0
162,0
2,20
2,19
2,18
2,16
0,391
0,390
0,388
0,385
18/11 180 110 10
12
28,30
33,70
22,20
26,40
952,0
1123
5,80
5,77
276,0
324,0
3,12
3,10
1933
2324
5,88
5,97
444,0
537,0
2,44
2,52
165,0
194,0
2,42
2,40
0,375
0,374
20/12,5 200 125
11
12
14
16
34,90
37,90
43,90
49,80
27,40
29,70
34,40
39,10
1449
1568
1801
2026
6,45
6,43
6,41
6,38
446,0
482,0
551,0
617,0
3,58
3,57
3,54
3,52
2920
3189
3726
4264
6,50
6,54
6,62
6,71
718,0
786,0
922,0
1061
2,79
2,83
2,91
2,99
264,0
285,0
327,0
367,0
2,75
2,74
2,73
2,72
0,3920,392
0,390
0,388
389
25/16 250 160
12
16
18
20
48,30
63,60
71,10
78,50
37,9
49,9
55,8
61,7
3147
4091
4545
4987
8,07
8,02
7,99
7,97
1032
1333
1475
1613
4,62
4,58
4,56
4,53
6212
8308
9358
10410
7,97
8,14
8,23
8,31
1634
2200
2487
2776
3,53
3,69
3,77
3,85
604,0
781,0
866,0
949,0
3,54
3,50
3,49
3,48
0,410
0,408
0,407
0,405
Chú thích:
2. Khối lượng 1m chiều dài tính theo kích thước danh nghĩa với khối lượng riêng của thép bằng 7,85g/cm3.
2. Bán kính lượn R và r được chỉ dẫn trên hỡnh vẽ chủ yếu cho thiết kế lô hình, không cần kiểm tra trên thanh thép góc.
390
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trịnh Đình Châm, Phạm Hồng Giang, Nguyễn Khải, Nguyễn Văn Lệ: Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Nông nghiệp, Hà nội 1989.
2. Phạm Ngọc Khánh, Trịnh Đình Châm, Nguyễn Ngọc Oanh, Đỗ Khắc Phương, Hoàng Đình Trí, Nguyễn Ngọc Trương: Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Xây dựng, Hà nội 2002.
3. Phạm Ngọc Khánh, Hoàng Xuân Lượng, Vũ Văn Thành: 15 năm Olympic cơ học toàn quốc 1989-2003- Sức bền vật liệu: Đề thi, lời giải, bài tập chọn lọc. Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà nội. Hà nội 2003.
4. Phạm Ngọc Khánh, Nguyễn Ngọc Oanh, Nguyễn Công Thắng, Phạm Thu Hư-ơng: Cơ học cụng trình. Nhà xuất bản Nông nghiệp. Hà nội 1998.
5. Phạm Ngọc Khánh, Vũ Văn Thành: Bài tập Sức bền vậi liệu. Nhà xuất bản Xây dựng, Hà nội 2006.
6. Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng. Bài tập sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật. Hà nội 1998.
7. Nguyễn Xuân Lựu và NNK: Bài tập sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Giao thông vận tải. Hà nội 2000.
8. Abovski N.P. Bài tập Cơ học kết cấu và lý thuyết đần hồi chọn lọc. Nhà xuất bản
Xây dựng. Maxtcơva 1978. Bản tiếng Nga.
9. Bêliaev N.M. Tuyển tập bài tập sức bền vật liệu. Nhà xuất bản sách tham khảo Toán lý. Maxtcơva 1958. Bản tiếng Nga.
10. Đôlinxki Ph.V., Mikhailốp M.N. Giáo trình sức bền vật liệu tóm tắt. Nhà xuất bản Vưsaiaskôla, Maxtcơva 1958. Bản tiếng Nga.
11. Ixcôvitr G.M., Vinakurốp A.I., Baranốpski N.V.: Tuyển tập bài tập sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Đóng tầu. Lêningrat 1970. Bản tiếng Nga.
12. Katrurina V.K.Tuyển tập bài tập sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Khoa học. Matxcơva 1972. Bản tiếng Nga.
13. Kơrưlôv P.G.: Tuyển tập bài tập sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Vưsaiaskôla, Kiev 1977. Bản tiếng Nga.
14. Pôpôv A.A. Giáo trình sức bền vật liệu. Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật sách tham khảo đóng tầu. Maxtcơva 1958. Bản tiếng Nga.
391
15. Phêôđôcev V.I. Bài tập chọn lọc và cỏc vấn đề về sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Khoa học. Matxcơva 1973. Bản tiếng Nga.
16. Stêpin P.A. Sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Vưsaia Skôla, Matxcơva, 1979. Bản tiếng Nga.
17. Umanski A.A. Tuyển tập bài tập sức bền vật liệu. Nhà xuất bản Khoa học. Matxcơva 1975. Bản tiếng Nga.
18. Mirolyubov I.N. An Aid to Solving Problems in Streng of Materials. Mir Publishers, Moscow, 1974.
19. I. Mirolioubov et coll. Problems de Resistance des Materiaux. Editions Mir Moscou 1986.
20. Kết cấu lực học tập 1, tập 2. Học viện Thủy lợi Điện lực Vũ Hán 1981. Bản tiếng Trung quốc.
