LINEE GUIDA E MANAUALE APPLICATIVO PER LA … · Progetto DPC-Reluis 2005-2008 Linea 3: Valutazione e riduzione del rischio sismico di ponti esistenti LINEE GUIDA E MANAUALE APPLICATIVO

Progetto DPC-Reluis 2005-2008

Linea 3: Valutazione e riduzione del rischio sismico di ponti esistenti

LINEE GUIDA E MANAUALE APPLICATIVO PER

LA VALUTAZIONE DELLA SICUREZZA SISMICA E IL CONSOLIDAMENTO

DEI PONTI ESISTENTI IN C.A.

Marzo 2009

Valutazione e consolidamento dei ponti esistenti 2

Il presente documento rappresenta il prodotto finale della Linea 3 del Progetto DPC-Reluis 2005-2008. Esso è stato redatto a cura dell’unità di ricerca dell’Università di Roma La Sapienza e riflette il contributo delle discussioni avute nello sviluppo del progetto con i partecipanti alla Linea di seguito indicati:

- Politecnico di Torino, Responsabile Prof. Giuseppe Mancini

- Università di Pavia, Responsabile Prof. Alberto Pavese

- Università G. D’Annunzio di Chieti-Pescara, Responsabile Prof. Enrico Spacone

- Università di Roma Tre, Responsabile Prof. Renato Giannini

- Università di Cosenza, Responsabile Prof. Alfonso Vulcano

All’Università di Roma Tre è dovuto l’esempio applicativo relativo al viadotto Rio Torto, nel Capitolo 4.

Università di Roma La Sapienza

prof. ing. Paolo E. Pinto

dott. ing. Paolo Franchin

dott. ing. Alessio Lupoi

Capitolo 1 : Introduzione ...............................................................................................................1 1.1 Premessa.............................................................................................................................1 1.2 Danni alle infrastrutture di trasporto nei terremoti recenti .......................................4

Capitolo 2 : Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti .............................9 2.1 Obiettivo delle linee guida...............................................................................................9 2.2 Sicurezza e prestazioni attese..........................................................................................9 2.3 Azione sismica.................................................................................................................12 2.3.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione ................................................................12 2.3.2 Spettro di risposta elastico in spostamento .................................................................15 2.3.3 Spostamenti massimi assoluti e relativi del terreno....................................................15 2.3.4 Storie temporali del moto sismico ................................................................................16 2.3.5 Variabilità spaziale del moto ..........................................................................................20 2.3.6 Considerazione della componente verticale dell’azione sismica ..............................20 2.3.7 Combinazione delle componenti ortogonali del sisma..............................................20 2.3.8 Combinazione dell'azione sismica con le altre azioni ................................................21 2.4 Valutazione della sicurezza............................................................................................21 2.4.1 Dati necessari per la valutazione ...................................................................................21 2.4.2 Livello di conoscenza e fattore di confidenza.............................................................23 2.4.3 Modello strutturale ..........................................................................................................24 2.4.4 Metodi di analisi ...............................................................................................................28 2.4.5 Verifiche di sicurezza ......................................................................................................37

Capitolo 3 : Rinforzo sismico dei ponti .....................................................................................43 3.1 Introduzione ....................................................................................................................43 3.2 Rinforzo degli appoggi...................................................................................................43 3.3 Rinforzo delle pile...........................................................................................................44 3.3.1 Incamiciatura in calcestruzzo.........................................................................................45 3.3.2 Incamiciatura in acciaio ..................................................................................................46 3.3.3 Fasciature con FRP .........................................................................................................48 3.3.4 Trasformazione in pila a setto .......................................................................................49 3.3.5 Precompressione verticale..............................................................................................50 3.4 Rinforzo di spalle e fondazioni.....................................................................................50 3.4.1 Spalle..................................................................................................................................50 3.4.2 Fondazioni ........................................................................................................................51

Capitolo 4 : Esempi applicativi....................................................................................................53 4.1 Introduzione ....................................................................................................................53 4.2 Viadotto con pile a fusto unico: stato di fatto ...........................................................53 4.2.1 Descrizione dell’opera.....................................................................................................53 4.2.2 Definizione dell’azione sismica di verifica...................................................................54 4.2.3 Analisi ................................................................................................................................56 4.2.4 Verifica delle pile .............................................................................................................61 4.2.5 Verifica degli appoggi......................................................................................................64


4.2.6 Verifica delle fondazioni.................................................................................................64 4.2.7 Conclusioni .......................................................................................................................67 4.3 Viadotto con pile a fusto unico: allargamento ...........................................................69 4.3.1 Descrizione dell’opera.....................................................................................................69 4.3.2 Analisi ................................................................................................................................69 4.3.3 Verifica delle pile .............................................................................................................73 4.3.4 Intervento di incremento di duttilità delle pile............................................................75 4.3.5 Isolamento sismico..........................................................................................................78 Verifica dei dispositivi ..............................................................................................................84 Verifica delle fondazioni ..........................................................................................................84 Riepilogo risultati.......................................................................................................................84 4.4 Viadotto con pile a telaio...............................................................................................86 4.4.1 Descrizione dell’opera.....................................................................................................86 4.4.2 Definizione dell’azione sismica .....................................................................................88 4.4.3 Metodo di analisi..............................................................................................................94 4.4.4 Risultati delle analisi ........................................................................................................95 4.4.5 Verifica delle pile .............................................................................................................98

Riferimenti bibliografici ..............................................................................................................105 Appendice A : Variabilità spaziale del moto ...........................................................................107

A.1 Introduzione .............................................................................................................107 A.2 Descrizione del modello .........................................................................................107 A.3 Generazione di campioni del vettore di moti asincroni ....................................108 A.4 Metodi di analisi .......................................................................................................108 A.4.1 Dinamica aleatoria lineare ...........................................................................................109 A.4.2 Analisi dinamica al passo con campioni del modo correlati ..................................109 A.4.3 Analisi con spettri di risposta multipli .......................................................................109 A.5 Esempio applicativo ................................................................................................112

Appendice B : Interazione terreno-struttura ...........................................................................113 B.1 Il fenomeno fisico....................................................................................................113 B.2 Modellazione ............................................................................................................115 B.2.1 Fondazioni superficiali .................................................................................................115 B.2.2 Fondazioni su pali .........................................................................................................118 B.2.3 Fondazioni a pozzo ......................................................................................................131

CAPITOLO 1: INTRODUZIONE

1.1 PREMESSA

Nel nostro Paese la sensibilità delle autorità preposte e del mondo professionale al problema della vulnerabilità sismica delle infrastrutture di trasporto e nello specifico dei ponti si può considerare molto recente. Una possibile spiegazione è data dal fatto che i danni ai ponti nei due terremoti maggiori avvenuti negli ultimi trent’anni: Friuli 1976 e Irpinia 1980, non hanno avuto conseguenze di particolare rilievo. Nel Friuli la realizzazione dell’infrastruttura autostradale era appena agli inizi. Nel terremoto Irpino, le opere d’arte presenti nel tratto appenninico dell’autostrada A16 subirono conseguenze di qualche rilievo, più che altro dovute all’inadeguatezza degli apparati di vincolo, che furono prontamente rimosse dall’Ente proprietario per mezzo di una sistematica adozione dell’allora innovativa tecnica dell’isolamento sismico.

Peraltro occorre osservare che il ritardo evidenziato nella sensibilizzazione al problema non è un’esclusiva del nostro Paese. Basti ricordare che dopo il terremoto di San Fernando nel 1971, che produsse spettacolari collassi di ponti di recentissima costruzione (Fig. 1.1), furono necessari dodici anni perché venisse pubblicato dalla Federal Highway Administration (FHWA) un primo documento intitolato “Retrofitting guidelines for Highway Bridges” (ATC, 1983). Ancora nel 1989, nonostante fosse già stato messo in atto un vasto programma di rinforzo preventivo (rivelatosi del tutto inadeguato), il terremoto di Loma Prieta evidenziò deficienze di natura sostanziale nelle opere da ponte in California (Fig. 1.2).

A partire dal 1992, su finanziamento della FHWA, è stato intrapreso un ampio programma di ricerca volto ad approfondire i diversi aspetti del problema della valutazione e riduzione della vulnerabilità sismica dei ponti.

Il primo prodotto di tale ricerca è comparso nel 1995 con il titolo “Seismic Retrofit Manual for Highway Bridges” (FHWA-RD-94-052), e i successivi sviluppi trovano oggi compimento nei documenti “Seismic Retrofitting Manual for Highway Structures: Part 1 Bridges” e “Seismic Retrofitting Manual for Highway Structures: Part 2 Retaining structures, Slopes, Tunnels, Culverts and Roadways” (MCEER-FHWA, 2005).


Fig. 1.1 Terremoto di San Fernando (1971).

In Europa il sistema degli Eurocodici contiene un documento normativo di moderna concezione allineato ai recenti criteri prestazionali per la progettazione dei ponti di nuova costruzione, l’Eurocodice 8 Parte 2 (CEN, 2005), ma per quanto riguarda l’esitente si limita alla valutazione e al rinforzo degli edifici, con l’Eurocodice 8 Parte 3 (CEN, 2005).

Quando nel 2003 il quadro normativo Italiano ha subito un deciso ri-orientamento nella direzione dell’armonizzazione alla normativa Europea, la priorità è stata data alla predisposizione di testi per il progetto del nuovo, sia per gli edifici che per i ponti, e per la valutazione dell’esistente, ma limitatamente agli edifici. A loro volta tali testi hanno costituito il riferimento per la redazione del capitolo 7 della vigente normativa tecnica, emanata dal Ministero delle Infrastrutture nel 2008 (DM2008).

Parallelamente, con finanziamento del Dipartimento di Protezione Civile (DPC) alla Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica (Reluis), è stato intrapreso un programma di ricerca di ampio respiro. La prima fase di tale progetto si è svolta nel triennio 2005-2008, e, tra le linee di ricerca, era presente una linea specifica sul tema “Valutazione e riduzione del rischio sismico dei ponti esistenti”. L’obiettivo dichiarato di questa linea era la produzione di un testo di linee-guida riguardanti tale argomento.

L’esigenza di avere a disposizione linee guida sull’argomento risale alla data stessa dell’emanazione dell’Ordinanza 3274, che prevedeva entro cinque anni dalla sua emanazione l’esecuzione di valutazioni della sicurezza sismica delle opere strategiche. A tale scopo tra l’altro il Dipartimento di Protezione Civile ha recentemente affidato all’ANAS il compito di valutare tutte le opere presenti sulla rete di sua pertinenza. Il tema è poi di pressante attualità per i molti lavori di adeguamento funzionale (allagamento) in corso sulla rete autostradale da parte delle Concessionarie.

Capitolo 1: Introduzione 3

Fig. 1.2 Terremoto di Loma Prieta (1989): sopra, collasso del Cypress Viaduct; sotto,

perdita di appoggio nel viadotto di approccio al East Bay Bridge.

Lo scopo del presente manuale è quello di fornire un aiuto per la valutazione dei ponti esistenti in accordo alle citate linee guida, il testo delle quali è presentato nel Capitolo 2. Per quanto riguarda il progetto dell’adeguamento, il Capitolo 3 illustra i più frequenti tipi di interventi che si rendono necessari per correggere le deficienze rilevate nella valutazione. Il Capitolo 4 presenta tre esempi di applicazione delle linee guida a ponti con


pile a fusto unico, sia nello stato di fatto che nell’ipotesi di allargamento. Completano il manuale due appendici che propongono metodi per trattare due aspetti più specialistici dell’analisi delle strutture da ponte: l’effetto del moto non-sincrono alla base delle pile e l’interazione, sia cinematica che inerziale, tra struttura e terreno.

1.2 DANNI ALLE INFRASTRUTTURE DI TRASPORTO NEI TERREMOTI RECENTI

Questo paragrafo descrive, senza pretesa di completezza, le tipologie di danno che più frequentemente sono state osservate nei recenti eventi distruttivi citati.

Per quanto riguarda gli impalcati, i quali non hanno generalmente una funzione preminente di resistenza anti-sismica, i danni sono essenzialmente legati a errori di concezione cinematica e comprendono il martellamento tra campate adiacenti e la perdita di appoggio. Quest’ultima è dovuta a una lunghezza d’appoggio inadeguata agli spostamenti sotto sisma, e all’assenza o a un difetto di resistenza di eventuali ritegni sismici. Questo danno, molto frequente, risulta in collassi spettacolari come mostrato in Fig. 1.2 e Fig. 1.3. La necessità di un sovradimensionamento degli appoggi risulta evidente dalla Fig. 1.4, in cui si può osservare la cerniera di un ponte ad arco a via inferiore appena realizzato, tagliata di netto per effetto delle azioni orizzontali.

Fig. 1.3 Perdita di appoggio: ponte Nishinomiya-ko, Giappone, Kobe 1995. In questo caso erano presenti ritegni sismici assolutamente inadeguati costituiti da bulloni colleganti le

lamiere terminali dell’arco e del traverso della campata collassata.


Fig. 1.4 Rottura dell’appoggio: ponte Higashi-Kobe, Giappone, Kobe 1995.

I danni di varia entità osservati sulle pile sono generalmente dovuti a difetti di duttilità flessionale e di resistenza a taglio. Il collasso avviene molto spesso seguendo una sequenza di snervamento flessionale della pila, degrado ciclico della sezione per insufficiente confinamento e conseguente decremento della resistenza a taglio. La rottura osservata denuncia un esaurimento della duttilità flessionale (Fig. 1.5), spesso combinato con il superamento della resistenza a taglio (Fig. 1.6). Molto più raramente, su pile tozze, sono stati osservati collassi a taglio dominante (Fig. 1.7).

Fig. 1.5 Collasso della cerniera plastica per eccesso di deformazione flessionale ciclica,

Viadotto Gothic Avenue (terremoto di Northridge, California, 1994)


Fig. 1.6 Collasso per flessione e taglio, Viadotto Gothic Avenue (terremoto di Northridge,

California, 1994).

Fig. 1.7 Collasso per taglio di una pila: viadotto Wushi (terremoto di Chi Chi, Taiwan,

1999).

Le rotture descritte portano a deformazioni residue anche elevate, con fuori-piombo significativi. Nel caso di impalcati di grande larghezza con pile a fusto unico, anche a causa del momento d’inerzia prodotto dalla rotazione dell’impalcato, la probabilità di un collasso completo per perdita di equilibrio è molto alta (Fig. 1.8).

La Fig. 1.9 mostra una delle pile del viadotto Hanshin della Fig. 1.8. In questo caso il cedimento della sezione di base è dovuto anche alla frattura delle saldature tra le barre longitudinali.


Fig. 1.8 Terremoto di Kobe, Giappone (1995): collasso del viadotto urbano Hanshin.

Fig. 1.9 Terremoto di Kobe, Giappone (1995): viadotto urbano Hanshin, dettaglio.

Nel caso particolare delle pile a telaio, relativamente diffuso tra i viadotti più vecchi anche nel nostro Paese, un ulteriore elemento di vulnerabilità rispetto a quelli descritti è dato dall’inadeguato dimensionamento dei nodi trave-pilastro. Un caso di particolare evidenza è mostrato nella Fig. 1.10.


Fig. 1.10 Terremoto di Kobe, Giappone (1995): danni su una pila a telaio, viadotto

Shinkansen a Kobe.

CAPITOLO 2: PROPOSTA DI LINEE GUIDA PER LA VALUTAZIONE DEI PONTI ESISTENTI

2.1 OBIETTIVO DELLE LINEE GUIDA

Nonostante la loro apparente semplicità, in molti casi le strutture da ponte sono caratterizzate da una risposta dinamica irregolare. Fa eccezione la categoria dei ponti con impalcato a travi semplicemente appoggiate, che costituisce peraltro un’importante porzione del patrimonio di opere d’arte della rete stradale e autostradale nazionale. Per tale categoria le presenti linee guida contengono metodi accurati e di semplice applicazione. Metodi di analisi più complessi di applicabilità generale sono forniti per opere di schema statico diverso, quali ad esempio ponti a travata continua, anche ad asse curvilineo o attraversanti terreni fortemente disomogenei, ponti a stampella, ad arco, ad arco-telaio.

Questo documento riguarda la valutazione della sicurezza sismica e il progetto degli interventi di adeguamento dei ponti con struttura in cemento armato, cemento armato precompresso e acciaio.

Le presenti linee guida sono coerenti con le Norme Tecniche per le Costruzioni (DM14/1/2008, nel seguito indicato brevemente come “Norme”), le relative Istruzioni per l’applicazione (in particolare l’appendice C8.H) e l’Eurocodice 8 Parte 2 (EN1998-2:2005), e forniscono indicazioni di maggiore dettaglio, presentando metodi e strumenti di analisi e verifica specifici.

2.2 SICUREZZA E PRESTAZIONI ATTESE

In accordo con la filosofia della sicurezza alla base delle norme nazionali e internazionali vigenti (DM2008, Eurocodici) le opere devono essere dotate di un livello di protezione antisismica differenziato in funzione della loro importanza, e, quindi, delle conseguenze più o meno gravi di un loro danneggiamento per effetto di un evento sismico.

La sicurezza (livello di protezione) è determinata dall’associazione di una prestazione attesa (stato limite) con un livello di intensità sismica caratterizzato da una assegnata probabilità di superamento

RVP in un assegnato periodo di tempo (vita di riferimento, RV ).

In accordo al DM2008 (para 2.4), la vita di riferimento si ottiene moltiplicando la vita nominale NV dell’opera, funzione del “tipo di costruzione”, per un coefficiente UC che è funzione della “classe d’uso”: NUR VCV = . I valori di NV e UC sono riportati nella Tabella 2.1 e Tabella 2.2.


La probabilità di superamento massima accettabile nella vita di riferimento è data nelle norme in funzione dello stato limite considerato. Il DM2008 definisce quattro stati limite, due di esercizio e due ultimi (la cui definizione è riportata nel seguito). I valori di

RVP sono quelli indicati in Tabella 2.3.

Tabella 2.1 Vita nominale (DM2008, T2.4.I).

Tipo di costruzione Vita nominale (anni)

Opere provvisorie, fasi di costruzione ≤ 10 Opere ordinarie ≥ 50 Opere strategiche ≥ 100

Tabella 2.2 Coefficiente d’uso (DM2008, T2.4.II).

Classe d’uso I II III IVCU 0.7 1.0 1.5 2.0

Tabella 2.3 Valori di PVR (DM2008, T3.2.I).

Stati limite PVR

SLO (operatività) 81% Stati limite di Esercizio SLESLD (danno) 63% SLV (salvaguardia della vita) 10% Stati limite Ultimi SLU SLC (collasso) 5%

Nella Norma l’intensità sismica è specificata in termini del periodo medio di ritorno RT . Quest’ultimo si ricava in funzione della probabilità

RVP e di RV tramite la relazione:

( )RVRR PVT −−= 1ln (2.1)

Per le strutture esistenti è generalmente ammesso verificare i soli stati limite ultimi, in alternativa lo stato limite di salvaguardia della vita (SLV) o quello di collasso (SLC) (DM2008, para 8.3), così definiti:

- SLV: “A seguito del terremoto la costruzione subisce rotture e crolli dei componenti non strutturali e impiantistici, e significativi danni dei componenti strutturali cui si associa una perdita significativa di rigidezza nei confronti delle azioni orizzontali; la costruzione conserva invece una parte della resistenza e rigidezza per azioni verticali e un margine di sicurezza nei confronti del collasso per azioni sismiche orizzontali” (DM2008, para 3.2.1).

- SLC: “A seguito del terremoto la costruzione subisce gravi rotture e crolli dei componenti non strutturali e impiantistici, e danni molto gravi dei componenti strutturali; la costruzione conserva ancora un margine di sicurezza per azioni verticali e un esiguo margine di sicurezza nei confronti del collasso per azioni

Capitolo 2: Proposta di linee guida per la valutazione dei ponti esistenti 11

orizzontali” (DM2008, para 3.2.1) Fanno eccezione le opere a carattere strategico, cioè ponti in classe d’uso III e IV, per i quali è necessario verificare che a seguito di un evento sismico intenso sia assicurata la completa transitabilità. Tale circostanza è prevista dalla norma che prescrive la verifica degli stati limite di esercizio per un valore dell’azione sismica caratterizzato da una

RVP inferiore a quella indicata (massima) “in funzione del grado di protezione che si vuole raggiungere”.

Lo stato limite associato al mantenimento della transitabilità è lo stato limite di danno, cui la norma associa il valore massimo

RVP =63%. Tale stato limite è definito nella Norma come segue:

- SLD: “a seguito del terremoto la costruzione nel suo complesso, includendo gli elementi strutturali, quelli non strutturali, le apparecchiature rilevanti alla sua funzione, subisce danni tali da non mettere a rischio gli utenti e da non compromettere significativamente la capacità di resistenza e di rigidezza nei confronti delle azioni verticali ed orizzontali, mantenendosi immediatamente utilizzabile pur nell’interruzione d’uso di parte delle apparecchiature.” (DM2008, para 3.2.1)

La capacità di rigidezza e resistenza alle azioni verticali non risulta compromessa se per effetto dell’azione sismica l’escursione inelastica massima (e quindi gli spostamenti residui) risulta limitata. Indicazioni quantitative sui limiti di duttilità sono fornite al paragrafo 2.4.5.

La scelta di adottare per un’opera un valore di RVP <63% per lo SLD (criterio di mantenimento della

transitabilità per sisma intenso) spetta alle Autorità competenti.

Esempio 2-1. Un ponte di importanza normale appartiene alle opere ordinarie, cui corrisponde una vita nominale 50≥NV anni. Se l’interruzione del traffico sul ponte (superamento dello SLV/SLC) non provoca situazioni di emergenza (ad es. il ponte non costituisce l’unica via di accesso a un centro abitato) esso ricade nella classe d’uso II, cui corrisponde un coefficiente

1=UC . La vita di riferimento vale pertanto 50150 =⋅== RNR CVV anni. Per tale ponte è possibile verificare solo un stato limite ultimo, SLV o SLC. Con riferimento allo SLV la probabilità di superamento massima ammessa vale 10%. Il corrispondente periodo medio di ritorno vale 475 anni.

Esempio 2-2. Un viadotto di caratteristiche ordinarie, classificato come strategico dal punto di vista funzionale, ha ancora una vita nominale di 50 anni ma ricade in classe d’uso IV cui corrisponde un coefficiente 0.2=UC . Tale opera deve essere verificata sia per uno stato limite ultimo che per uno di esercizio. Per lo SLV la probabilità del 10% in 100502 =⋅=RV anni corrisponde a un periodo medio di ritorno di 949 anni. Per lo SLD una probabilità di superamento del 50%<63% in 100 anni corrisponde a un periodo medio di ritorno di 144 anni ( 100=RT anni per %63=

RVP ).


2.3 AZIONE SISMICA

Nelle Norme l’azione sismica di verifica è definita a partire dalla “pericolosità sismica di base” del sito della costruzione, specificata in termini di spettro di risposta elastico in accelerazione della componente orizzontale.

In particolare le forme spettrali sono definite, per ciascuna delle probabilità di superamento

RVP nel periodo di riferimento, a partire dai valori dei seguenti parametri locali di sito (riferiti a condizioni di campo libero su suolo rigido con superficie topografica orizzontale):

• ga accelerazione orizzontale massima al sito • 0F valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione

orizzontale • *

CT periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione orizzontale.

Tali valori sono forniti in allegato alle Norme (DM2008, all.B) su un reticolo di punti che ricopre il territorio nazionale definiti in termine di latitudine e longitudine1.

In accordo alle Norme l’azione sismica è definita mediante tre componenti, due orizzontali X e Y e una verticale Z, descritte alternativamente in termini di:

- spettro di risposta elastico in accelerazione (DM2008, para 3.2.3.2) - spettro di risposta elastico in spostamento (DM2008, para 3.2.3.2.3) - storie temporali del moto sismico (DM2008, para 3.2.3.6).

2.3.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione Si distinguono ai fini dell’amplificazione locale del moto sismico sette “categorie di sottosuolo” e quattro “condizioni topografiche”, riportate rispettivamente nella Tabella 2.4 e nella Tabella 2.5 (dove ∑= siiS VhV //3030 , SPTN , uc e i sono, rispettivamente, la velocità delle onde di taglio in m/s media sui 30m superiori, il numero di colpi nella prova penetrometrica standard, la coesione non drenata in kPa, e l’inclinazione media della superficie topografica). Per le ultime due categorie, S1 e S2, è richiesta un’analisi specifica per la definizione per l’azione sismica.

1 Nell’allegato i valori dei parametri sono forniti in funzione del periodo medio di ritorno RT . Se il valore fornito non è tra quelli in tabella si può interpolare in accordo alla formula:

1

1

2

11

21 logloglogloglog

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

R

R

R

R

TT

TT

pp

pp

nella quale p è il valore del parametro di interesse ( 0, Fa g o *CT ), 1RT e 2RT sono i valori di RT

più prossimi per i quali si dispone dei valori di p .


Tabella 2.4 Categoria di suolo (DM2008 T3.2.II, III e V).

Descrizione (abbreviata)

VS30 SS CC

A Ammassi rocciosi affioranti o terreni molto rigidi,

>800 1.0 1.0

B Rocce tenere e depositi di terreni a grana grossa/fine molto addensati/consistenti,

360-800 2.14.04.10.1 0 ≤−≤

ga

F g ( ) 2.0*1.1 −

CT

C Depositi di terreni a grana grossa/fine mediamente addensati/consistenti

180-360 5.16.07.10.1 0 ≤−≤

ga

F g ( ) 33.0*05.1 −

CT

D Depositi di terreni a grana grossa/fine scarsamente addensati/consistenti

<180 8.15.14.29.0 0 ≤−≤

ga

F g ( ) 5.0*25.1 −

CT

E Terreni di tipo C o D con spessore non superiore a 20m e sottosuolo rigido

6.11.10.20.1 0 ≤−≤

ga

F g ( ) 4.0*15.1 −

CT

S1 Terreni con inclusione di strato (>8m) a grana fine bassa consistenza o strato (>3m) torba o argilla organica

<100

S2 Terreni suscettibili di liquefazione

Sono richiesti studi specifici

Tabella 2.5 Topografia (DM2008 T3.2.IV e VI)

Cat. Superficie topografica Ubicazione opera ST

T1 Pianeggiante (i<15°) 1.0

T2 Pendio (i>15°) In corrispondenza della sommità del pendio 1.2

T3 Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base e 15°<i (falde)<30°

In corrispondenza della cresta del rilievo 1.2

T4 Rilievi con larghezza in cresta molto minore che alla base e i (falde)>30°

In corrispondenza della cresta del rilievo 1.4


La definizione dello spettro di risposta elastico per le componenti orizzontali è illustrata in Fig. 2.1, nella quale sono anche riportate le espressioni analitiche dei vari rami.

ηTSg SSa

0FSSa TSg η

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

BBTSg T

TFT

TFSSa 11

00 η

η

TTFSSa C

TSg 0η

20 TTTFSSa DC

TSg η

( ) 55.0510

3.2.VI tabelladalla 3.2.V tabelladalla ,

1 tabellaall.B da ,, *0

≥+= ξηT

cS

Cg

SCS

TFa

*CCC TCT =

3CB TT =6.10.4 += gaT gD

ηTSg SSa

0FSSa TSg η

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

BBTSg T

TFT

TFSSa 11

00 η

η

TTFSSa C

TSg 0η

20 TTTFSSa DC

TSg η

( ) 55.0510

3.2.VI tabelladalla 3.2.V tabelladalla ,

1 tabellaall.B da ,, *0

≥+= ξηT

cS

Cg

SCS

TFa

*CCC TCT =

3CB TT =6.10.4 += gaT gD

Fig. 2.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione delle componenti orizzontali in

accordo al DM2008.

Per quanto riguarda la componente verticale la definizione analitica è la stessa con il coefficiente di amplificazione 0F sostituito dal coefficiente gaFF gV /35.1 0= . Inoltre i valori di 0.1=SS e dei periodi sTsTsT DCB 0.1,15.0 ,05.0 === sono indipendenti dalla categoria di sottosuolo (DM2008, T3.2.VII).

E’ attualmente disponibile nel sito http://www.infrastrutturetrasporti.it/consuplp il programma “Spettri di risposta” che fornisce gli spettri di risposta delle componenti orizzontali dell’azione sismica di progetto per il generico sito del territorio nazionale.

Esempio 2-3. Con riferimento alle opere nell’Esempio 2-1 e nell’Esempio 2-2, la Fig. 2.2 mostra gli spettri di risposta ottenuti per il sito di Barberino al Mugello. Il rapporto tra le accelerazioni di picco al suolo vale 57.1/ 475,1828, =gg aa (valore coincidente con la media per il territorio nazionale; i valori minimo e massimo di tale rapporto valgono circa 1.33 e 1.76).

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Periodo T (s)

Sa

(g)

Ponte ordinario (Vr = 50, Tr=475)Ponte strategico (Vr = 200, Tr = 1828)

Fig. 2.2 Spettri di verifica per lo SLV per le opere dell'Esempio 2.1

e dell’Esempio 2.2 per il sito di Barberino al Mugello.


2.3.2 Spettro di risposta elastico in spostamento La definizione dello spettro di risposta elastico per le componenti orizzontali è illustrata in Fig. 2.3, nella quale sono anche riportate le espressioni analitiche dei vari rami (dove

gd è lo spostamento massimo del suolo). Il valore del periodo ET è funzione della categoria di suolo. In particolare esso vale 4.5s, 5.0s o 6.0s rispettivamente per le classi A, B o C/D/E.

( )2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πTTSe

DCTSgg TTSSad 025.0=

CTBT DT ET sTF 10=

η0Fdg

gd

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+EF

Eg TT

TTFFd ηη 00 1DeS

( )2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πTTSe

DCTSgg TTSSad 025.0=

CTBT DT ET sTF 10=

η0Fdg

gd

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+EF

Eg TT

TTFFd ηη 00 1DeS

Fig. 2.3 Spettro di risposta elastico in spostamento delle componenti orizzontali in

accordo al DM2008.

2.3.3 Spostamenti massimi assoluti e relativi del terreno Lo spostamento massimo assoluto del terreno vale:

DCTsgg TTSSad 025.0= (2.2)

Lo spostamento relativo tra due punti i e j distanti x è dato dall’espressione:

( ) ( ) ( )( )[ ]7.00max,0 /25.1exp1 sijijijij Vxdddxd −−−+= (2.3)

gjgiij ddd −= 25.10 (2.4)

22max, 25.1 gjgiij ddd +=

(2.5)

dove dij0 e dij,max sono rispettivamente lo spostamento relativo tra punti a piccola distanza (x<20m) e quello massimo nell’ipotesi di completa indipendenza del moto in i e j. Gli spostamenti dgi e dgj si calcolano secondo la (2.2) in accordo alle caratteristiche locali di suolo.


2.3.4 Storie temporali del moto sismico Se la valutazione della sicurezza sismica viene effettuata mediante analisi dinamiche al passo, l’azione sismica deve essere rappresentata mediante storie temporali del moto sismico (normalmente in termini di accelerazione, denominati accelerogrammi, ma anche in termini di velocità e spostamenti, vedi punto 2.3.5). Gli accelerogrammi potranno essere artificiali, simulati o naturali (registrati).

Nel caso sia necessaria un’analisi spaziale l’azione sismica deve essere rappresentata da gruppi di tre storie temporali diverse agenti contemporaneamente nelle tre direzioni assunte come principali.

Condizioni di coerenza con lo spettro elastico in accelerazione

Gli accelerogrammi, artificiali, simulati o naturali (registrati), devono essere coerenti con lo spettro di risposta elastico in accelerazione di cui al punto 2.3.1. La coerenza con lo spettro è da verificare in base alla media delle ordinate spettrali ottenute con i diversi accelerogrammi per un coefficiente di smorzamento viscoso equivalente ξ del 5%. L'ordinata spettrale media non dovrà presentare uno scarto in difetto superiore al 10%, rispetto alla corrispondente ordinata dello spettro elastico, in alcun punto dell'intervallo di periodi 0,15s÷2,0s e 0,15s÷2T, in cui T è il periodo fondamentale di vibrazione della struttura in campo elastico. Nel caso di ponti con isolamento sismico, il limite superiore dell’intervallo di coerenza è assunto pari a 1,2 isT , essendo isT il periodo equivalente della struttura isolata, valutato per gli spostamenti del sistema d’isolamento prodotti dallo stato limite in esame.

Accelerogrammi artificiali

Il numero di accelerogrammi artificiali o, per analisi spaziali, di gruppi di accelerogrammi artificiali, deve essere almeno pari a 5, salvo i casi specificati al successivo punto 2.3.5. Nel caso di gruppi di accelerogrammi ogni componente potrà essere generata in maniera indipendente con gli stessi criteri (di spettro-compatibilità, durata, etc).

La durata degli accelerogrammi artificiali deve essere coerente con i valori della magnitudo e degli altri parametri fisici che determinano l’intensità sismica locale in termini di spettro di risposta (ovvero i parametri ga , *

CT e CC ). In assenza di studi specifici la durata della parte pseudo–stazionaria degli accelerogrammi deve essere almeno pari a 10s. La parte pseudo-stazionaria deve essere preceduta e seguita da tratti di ampiezza crescente da zero e decrescente a zero.

Accelerogrammi naturali registrati

Il numero di accelerogrammi naturali registrati o, per analisi spaziali, di terne di accelerogrammi naturali registrati, deve essere almeno pari a 10.

L’uso di accelerogrammi naturali registrati è ammesso alle seguenti condizioni: a) le registrazioni siano relative ad eventi sismici con caratteristiche sismogenetiche


(magnitudo, stile di fagliazione) simili a quelle del sito dove è ubicata l’opera in esame e b) che siano soddisfatte le condizioni di coerenza con lo spettro di riferimento sopra riportate.

Registrazioni naturali del moto sismico possono essere trovate ad esempio in una delle due basi dati seguenti:

- European Strong Motion Data Base (ESD), presso l’Imperial College di Londra http://www.isesd.cv.ic.ac.uk/ESD/frameset.htm

- Strong Motion Catalogne, presso il Pacific Earthquake Engineering Research Center http://peer.berkeley.edu/smcat/

Il programma REXEL (Iervolino et al, 2008) agevola molto la selezione delle registrazioni compatibili con lo spettro di normativa, che viene automaticamente generato (a partire dalle coordinate geografiche, la vita di riferimento, lo stato limite, la categoria di suolo, etc), permettendo inoltre di specificare anche il campo di variabilità di magnitudo e distanza nel quale cercare ile registrazioni. L’esempio successivo mostra una selezione mediante il programma REXEL.

Esempio 2-4. Si vogliono selezionare 7 registrazioni naturali dalla base dati ESD utilizzando REXEL per il sito di Barberino del Mugello, su categoria di suolo B per un periodo medio di ritorno di 475 anni (SLV, struttura ordinaria). I dati necessari sono mostrati nella Fig. 2.4, che riporta la maschera di input del programma. Si sono preselezionate registrazioni con magnitudo e distanza rispettivamente comprese tra 5.5 e 6.5, e 10km e 20km. La tolleranza, sull’intervallo di periodi compreso tra 0,15s e 2.0s, è stata assegnata pari a ±10%.

La Fig. 2.5 mostra lo spettro di risposta delle registrazioni selezionate, il corrispondente spettro medio, lo spettro di normativa con le corrispondenti tolleranze inferiore e superiore.

La Fig. 2.6 mostra infine le storie di accelerazione selezionate, già affette dal valore di scala necessario per soddisfare i requisiti di spettro-compatibilità assegnati.


Fig. 2.4 Maschera di input di REXEL, selezione registrazioni per Barberino del Mugello.

Fig. 2.5 Confronto tra gli spettri di risposta delle registrazioni selezionate e lo spettro

obiettivo.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

a(t)

(m/s

2 )

Ano Liosia 1999, Mw = 6.0 R = 17km

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

a(t)

(m/s

2 )

Friuli (aftershock) 1976, Mw = 6.0 R = 14km

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

a(t)

(m/s

2 )

Ano Liosia 1999, Mw = 6.0 R = 20km

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

a(t)

(m/s

2 )

Kalamata 1986, Mw = 5.9 R = 11km

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

a(t)

(m/s

2 )

Anchialos 1985, Mw = 5.6 R = 15km

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

a(t)

(m/s

2 )

Kalamata 1986, Mw = 5.9 R = 10km

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

a(t)

(m/s

2 )

t (s)

Friuli (aftershock) 1976, Mw = 5.5 R = 15km

Fig. 2.6 Registrazioni naturali selezionate da REXEL.

Accelerogrammi simulati

L’uso di accelerogrammi generati mediante simulazione fisica della sorgente e della propagazione, in numero comunque non inferiore a 10, è ammessa, a condizione che: a) siano adeguatamente giustificate le ipotesi relative alle caratteristiche sismogenetiche della sorgente (magnitudo, stile di fagliazione), del cammino di propagazione (distanza) e alle


condizioni del suolo del sito e b) che siano soddisfatte le condizioni di coerenza con lo spettro di riferimento sopra riportate.

2.3.5 Variabilità spaziale del moto Nei punti di contatto dell’opera con il terreno (fondazioni delle pile, spalle), il moto sismico è generalmente diverso, a causa del suo carattere intrinsecamente propagatorio, delle disomogeneità e delle discontinuità eventualmente presenti, e della diversa risposta locale del terreno dovuta a particolari caratteristiche meccaniche e morfologiche.

Gli effetti della variabilità spaziale del moto devono essere considerati nell’analisi quando le proprietà del suolo lungo il ponte variano in misura tale che non sia possibile associare un’unica categoria di suolo di fondazione (Tabella 2.4) ai punti di contatto con il terreno.

Gli effetti sulla struttura della variabilità spaziale del moto possono essere valutati mediante analisi accurate utilizzando modelli rappresentativi della variabilità spaziale del moto per la generazione di storie sismiche distinte in tutti i punti di contatto dell’opera con il terreno. Modelli di questo tipo sono presentati nell’Appendice A.

In alternativa un criterio approssimato e prudenziale per tener conto della variabilità spaziale del moto consiste nell’eseguire l’analisi dinamica della struttura con accelerogrammi distinti sotto ogni pila, ciascuno compatibile con il relativo spettro di risposta (trascurando cioè la correlazione spaziale tra i moti ai supporti).

2.3.6 Considerazione della componente verticale dell’azione sismica Gli effetti della componente verticale del moto sismico sulle pile possono in generale essere trascurati. Devono essere considerati ai fini della verifica degli apparecchi di appoggio e degli impalcati precompressi.

2.3.7 Combinazione delle componenti ortogonali del sisma Se l'analisi della risposta viene eseguita in campo lineare, la risposta può essere calcolata separatamente per ciascuna delle tre componenti e gli effetti combinati successivamente applicando una delle seguenti regole:

222dZdYdXd EEEE ++= (2.6)

oppure

dZdYdXd EEEE 3.0""3.0""0.1 ++= (2.7)


dove “+” si legge “combinato con”, dZdYdX EEE ,, indicano gli effetti delle componenti dirette secondo gli assi X, Y e Z, e le componenti vanno ruotate per ottenere il massimo di dE .

La regola (5) deve essere applicata prendendo per ogni effetto (ad es. lo sforzo normale, il momento flettente, la curvatura) il massimo:

( )dZdYdXdZdYdXdZdYdXd EEEEEEEEEE ++++++= 3.03.0 ;3.03.0 ;3.03.0max

Se l'analisi viene eseguita in campo non lineare mediante integrazione al passo, le due componenti di eccitazione orizzontale (e quella verticale, ove appropriato) devono venire applicate simultaneamente alla struttura.

2.3.8 Combinazione dell'azione sismica con le altre azioni Ai fini delle verifiche le azioni da considerare in aggiunta a quella sismica sono quelle dovute ai carichi permanenti e alla precompressione secondo l’espressione:

kk PGE ++ (2.8)

dove:

E Azione sismica per lo stato limite in esame

kG Carichi permanenti al loro valore caratteristico

kP Valore caratteristico della precompressione, a cadute di tensione avvenute.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++= ∑

=

n

iki0iqk1qkpkgd QQPGF

2ψγγγγ (2.9)

2.4 VALUTAZIONE DELLA SICUREZZA

2.4.1 Dati necessari per la valutazione Le verifiche di sicurezza di cui alle presenti linee guida comportano una analisi strutturale, di tipo lineare oppure non lineare, e successive verifiche puntuali di deformabilità e resistenza in tutte le parti critiche dell’opera. L’utilizzo delle linee guida richiede quindi la disponibilità dei valori di tutte le grandezze geometriche e meccaniche che consentono una verifica del tipo indicato. Nella generalità dei casi l’impalcato non è significativamente impegnato nella risposta sismica della struttura. Ne discende che le indagini conoscitive sono da indirizzare in modo prevalente alle sottostrutture (pile e spalle) e alle fondazioni, oltre che ovviamente ai sistemi di vincolo e interconnessione tra gli elementi strutturali (appoggi, giunti, etc).


In particolare è necessario disporre di:

- Geometria dell’opera nel suo stato attuale. Essa può essere desunta dai disegni costruttivi originali o, a vantaggio di più sicura attendibilità, dai disegni di contabilità. Ciò si estende naturalmente anche alle eventuali variazioni introdotte a seguito di interventi di rilevanza strutturale successivi alla costruzione. In mancanza della documentazione suddetta, è necessario procedere a un rilievo completo della geometria e a indagini conoscitive a campione sulle fondazioni.

- Dettagli costruttivi, ovvero disposizione e quantità delle armature. Essa può essere desunta dai disegni costruttivi originali o, a vantaggio di più sicura attendibilità, dai disegni di contabilità. Ciò si estende naturalmente anche alle eventuali variazioni introdotte a seguito di interventi di rilevanza strutturale successivi alla costruzione. In mancanza della documentazione suddetta, è necessario procedere a un numero di saggi che consenta la determinazione delle armature presenti in un numero di sezioni sufficiente per costruire un modello strutturale adeguato al tipo di analisi e alle successive verifiche.

- Proprietà meccaniche dei materiali: conglomerato e acciai. Le informazioni devono provenire, oltre che dalle indicazioni iniziali di progetto, da risultati di prove sperimentali eseguite all’atto del collaudo strutturale o successivamente ad esso. In mancanza della documentazione suddetta, per il conglomerato è necessario effettuare prelievi di campioni da sottoporre a prove di laboratorio. Prove di tipo non distruttivo eseguite a più larga scala sono un utile complemento ma non possono essere utilizzate in sostituzione di quelle distruttive. Per l’acciaio, in assenza di dati sperimentali adeguati, è consentito far riferimento alle caratteristiche del materiale prescritto in sede di progetto previa limitata verifica a campione dell’effettivo utilizzo dello stesso. Le prescrizioni di cui sopra si riferiscono alle strutture di sostegno degli impalcati, ossia a pile, spalle. Per quanto riguarda gli impalcati, qualunque sia la loro tipologia, è sufficiente la verifica del loro buono stato di conservazione, anche senza rilevazioni sperimentali, se ritenute non necessarie dal progettista.

- Caratterizzazione geotecnica (stratigrafia e parametri meccanici) adeguata alla attribuzione del sito a una categoria di suolo in accordo alla Tabella 4 e allo svolgimento delle verifiche delle spalle (spinta del terreno retrostante) e delle fondazioni.


2.4.2 Livello di conoscenza e fattore di confidenza Si definiscono i seguenti tre livelli di conoscenza:

- LC1: conoscenza limitata

- LC2: conoscenza adeguata

- LC3: conoscenza accurata

Il livello di conoscenza acquisito sulla base delle indagini e degli approfondimenti di cui al punto 2.4.1 determina il metodo di analisi e il valore del fattore di confidenza da applicare alle proprietà dei materiali (vedi Tabella 2.6).

Per le opere da ponte si deve in generale acquisire un livello di conoscenza accurata (LC3), salvo casi eccezionali per i quali, su indicazione della Committenza, è ammesso acquisire un livello di conoscenza adeguato (LC2).

La richiesta del livello di conoscenza accurato è giustificata in primo luogo dall’importanza strategica delle opere da ponte, e in secondo luogo in considerazione dell’assenza di elementi non strutturali che limitino l’accessibilità delle strutture.

Le verifiche in-situ limitate servono per verificare la corrispondenza tra le armature o le caratteristiche dei collegamenti effettivamente presenti e quelle riportate nei disegni costruttivi, oppure ottenute mediante il progetto simulato. Le verifiche in-situ estese servono quando non sono disponibili i disegni costruttivi originali come alternativa al progetto simulato seguito da verifiche limitate, oppure quando i disegni costruttivi originali sono incompleti. Le verifiche in-situ esaustive: servono quando non sono disponibili i disegni costruttivi originali e si desidera un livello di conoscenza accurata.

Le prove in-situ limitate servono a completare le informazioni sulle proprietà dei materiali ottenute o dalle normative in vigore all’epoca della costruzione, o dalle caratteristiche nominali riportate sui disegni costruttivi, o da certificati originali di prova. Le prove in-situ estese servono per ottenere informazioni in mancanza sia dei disegni costruttivi, che dei certificati originali di prova, oppure quando i valori ottenuti dalle prove limitate risultano inferiori a quelli riportati nei disegni o certificati originali. Le prove in-situ esaustive: servono per ottenere informazioni in mancanza sia dei disegni costruttivi, che dei certificati originali di prova, oppure quando i valori ottenuti dalle prove limitate risultano inferiori a quelli riportati nei disegni o certificati originali, e si desidera un livello di conoscenza accurata (LC3).

La definizione dei requisiti quantitativi per il raggiungimento di ogni livello di rilievo e prove è riportata in Tabella 2.7. Nel controllo del raggiungimento della percentuale di elementi indagati si può tener conto delle eventuali condizioni di ripetitività.


Tabella 2.6 Livelli di conoscenza.

LC Geometria (carpenterie)

Dettagli strutturali Proprietà dei materiali Metodi di analisi

FC

LC2 Disegni costruttivi incompleticon limitate verifiche in situ oppure estese verifiche in-situ

Dalle specifiche originali di progetto o dai certificati di prova originali con limitate prove in-situ oppure estese prove in-situ

Tutti 1.20

LC3

Da disegni di carpenteria originali con rilievo visivo a campione oppure rilievo ex-novo completo

Disegni costruttivi completi con limitate verifiche in situ oppure esaustive verifiche in-situ

Dai certificati di prova originali o dalle specifiche originali di progetto con estese prove in situ oppure esaustive prove in-situ

Tutti 1.00

Tabella 2.7 Requisiti quantitativi relativi ai rilievi e alle prove sui materiali.

Rilievo (dei dettagli costruttivi) Prove (sui materiali) Verifiche limitate

La quantità e disposizione dell’armatura è verificata per almeno il 20% delle pile (ma non meno di 2 pile)

1 provino di cls. e 1 campione di armatura per almeno il 20% delle pile (ma non meno di 2 pile)

Verifiche estese



Verifiche esaustive



2.4.3 Modello strutturale Il modello strutturale deve riflettere lo stato attuale della struttura o quello in cui essa si troverà a seguito di interventi migliorativi che saranno messi comunque in atto, quali la solidarizzazione delle solette, o di allargamento per l’adeguamento funzionale, etc. Il modello strutturale deve poter descrivere tutti i gradi di libertà significativi caratterizzanti la risposta dinamica e riprodurre fedelmente le caratteristiche di inerzia e di rigidezza della struttura, e di vincolo degli impalcati.

Nel caso in cui l’analisi sia di tipo non lineare, il modello strutturale deve poter seguire l’evolversi dello stato tensionale e deformativo della struttura oltre la fase elastica, prodotto dalla formazione di un numero crescente di zone plasticizzate. La plasticizzazione può essere considerata concentrata alle estremità degli elementi in “cerniere plastiche”, il cui comportamento può essere definito da un legame momento-curvatura bilineare o multi-lineare, purché in grado di tener conto dell’influenza dello sforzo normale, quando necessario. Ove disponibili sono da preferire modelli più accurati


in grado di descrivere la plasticizzazione diffusa (non concentrata alle sole estremità) degli elementi, sulla base del comportamento di numerose sezioni interne, ottenuto dall’integrazione sulla sezione stessa dei legami costitutivi non lineari dei materiali componenti.

Legami costitutivi per analisi non lineari

I legami costitutivi riportati nel seguito costituiscono un riferimento consolidato ai fini dell’analisi non lineare e delle verifiche degli elementi strutturali. E’ possibile utilizzare legami alternativi riportati in letteratura se adottati in codici di calcolo di comprovata affidabilità.

Il legame costitutivo di Mander, proposto per il conglomerato, è riportato nella Fig. 2.7a. La definizione di tale legame per un conglomerato non confinato richiede la conoscenza della resistenza cilindrica cf e del modulo elastico iniziale cE . In presenza di confinamento sono necessari in aggiunta il valore della percentuale geometrica di armatura trasversale ρ della relativa tensione di snervamento yf .

Il legame è descritto dalla relazione:

rcc

c

xrxr

f +−=

1σ

(2.10)

dove :

cccx 1εε= (2.11)

( )secEEEr cc −= (2.12)

ccccfE 1sec ε= (2.13)

cccc ff λ= (2.14)

254.1294.71254.2 −−+=c

e

c

ec ff

σσλ (2.15)

( )[ ]151002.01 −+= ccc λε (2.16)

La tensione di confinamento eσ e i fattori da cui essa dipende sono riportati in funzione della forma della sezione e della tipologia di staffe nella Tabella 2.8, dove α è il fattore di efficienza del confinamento, s è l’interasse delle staffe, cc hb , sono le dimensioni del nucleo confinato, n è il numero di barre longitudinali direttamente trattenute da staffe o cravatte, ib è la distanza tra barre trattenute adiacenti, cD il diametro del nucleo


confinato, sA rappresenta l’area complessiva dei bracci di staffe presenti in ciascuna delle due direzioni (sezioni rettangolari, il valore della tensione di confinamento si prenderà pari a eyexe σσσ = ) o l’area della staffa circolare/spirale.

Tabella 2.8 Modello di Mander: tensione di confinamento e suoi fattori.

Sezione Rettangolare Circolare

Staffe circolari Spirale

σe αρfy 0.5αρfy

ρ ρx = Asxbc/(bchcs)

ρy = Asyhc/(bchcs) ( )sDAsDAD cs

csc /4

4/

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ππρ

α ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑ =

cc

ni i

cc hbb

hs

bs

61

21

21 1

2

α2

21 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

cDsα ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

cDs

21α

Per quanto riguarda l’acciaio, vengono dati come riferimento due legami costitutivi, quello bilineare e quello non lineare isteretico di Menegotto-Pinto. Il primo rappresenta un’approssimazione accettabile per l’analisi momento-curvatura monotona di sezione. Il secondo è uno di quelli indicati per lo svolgimento di analisi dinamiche non lineari.

La definizione del legame bilineare richiede la conoscenza del valore della tensione di snervamento yf , del modulo elastico sE e del rapporto di incrudimento b .

Il legame di Menegotto-Pinto è mostrato in Fig. 2.7b. La definizione di tale legame richiede la conoscenza del valore della tensione di snervamento yf , del modulo elastico

sE , del rapporto di incrudimento b , delle costanti della funzione di transizione R che regola l’effetto Bauschinger: 210 ,, aaR . Il legame è descritto dalla relazione:

( ) ( )RRbb

1**** 11 εεεσ +−+= (2.17)

dove :

( ) ( )rr εεεεε −−= 0* (2.18)

( ) ( )rr σσσσσ −−= 0* (2.19)

( ) ( )ξξξ +−= 210 aaRR (2.20)

con ξ indicato nella figura.


Ai fini dell’analisi strutturale, sia essa lineare o non lineare, si utilizzano le caratteristiche meccaniche medie dei materiali. Nelle espressioni precedenti pertanto cmc ff = ,

cmc EE = , etc.

Se il modulo iniziale di deformazione del conglomerato non è determinato sperimentalmente, si può fare uso delle correlazioni tra il modulo e la resistenza disponibili in letteratura, quale ad esempio quella fornita nel DM2008 (cap.11):

( ) MPain e con 1022000 3.0cmcmcmcm EffE = .

cc1εcuε1cε

cE

secE

cf

ccf

cucε

cσb

*ε

*σ

2ξ

1ξ

1

1

0R

( )2ξR

( )1ξR

cε

(a) (b)

cc1εcuε1cε

cE

secE

cf

ccf

cucε

cσb

*ε

*σ

2ξ

1ξ

1

1

0R

( )2ξR

( )1ξR

b

*ε

*σ

2ξ

1ξ

1

1

0R

( )2ξR

( )1ξR

cε

(a) (b)

Fig. 2.7 Legami costitutivi dei materiali: a) Mander, b) Menegotto-Pinto.

Rigidezza degli elementi

Nei casi di analisi lineare o non-lineare a plasticità concentrata, la rigidezza degli elementi del modello deve tenere conto del livello di fessurazione degli stessi per effetto dell'azione sismica. Agli elementi costituenti l’impalcato (travi, traversi, solette), che rimangono generalmente in campo elastico lineare con limitata fessurazione, possono essere attribuite le caratteristiche delle sezioni interamente reagenti. Per le pile, che nella maggior parte dei casi superano in diversa misura lo stato limite di snervamento, la rigidezza secante efficace può essere ricavata dall’espressione:

( )y

Reffc

NMIEφ

ν= (2.21)

nella quale 2.1=ν è un fattore di correzione che tiene conto della maggiore rigidezza della parte di pila non fessurata, ( )NMR è il momento ultimo della sezione di base calcolato per il valore permanente dello sforzo normale e yφ è la curvatura di snervamento. In generale i valori del momento ( )NMR e della curvatura yφ si ottengono da un’analisi momento-curvatura della sezione.


Modellazione dell’interazione suolo-fondazione-struttura

Ai fini dell’analisi globale della struttura le pile e le spalle si considerano in generale incastrate alla base.

Gli effetti dell’interazione suolo-fondazione-struttura devono essere considerati quando si verificano contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

- Ponte in classe d’uso III o IV

- Categoria del suolo D o peggiore

- Sismicità medio-alta, ga g 15.0≥

Ai fini della valutazione degli effetti dell’interazione suolo-fondazione-struttura il sistema fondazione-terreno può essere schematizzato ponendo alla base della struttura dei vincoli visco-elastici, caratterizzati da opportuna impedenza dinamica. Nel calcolo di quest’ultima è necessario tener conto della dipendenza delle caratteristiche di rigidezza e smorzamento del terreno dal livello deformativo. Inoltre è necessario tenere conto che il moto sismico alla superficie del suolo può risultare diverso da quello in campo libero, per effetto delle caratteristiche dimensionali e/o di rigidezza del sistema di fondazione.

Indicazioni sulla natura del fenomeno di interazione e le alternative disponibili per la modellazione in funzione della tipologia di fondazione sono fornite nell’Appendice B.

2.4.4 Metodi di analisi

Ponti isostatici con pile a fusto unico

La grande maggioranza delle opere esistenti sulla rete viaria nazionale è costituito da ponti a travata con impalcati semplicemente appoggiati su pile a fusto unico. Nell’ipotesi che la strategia di intervento non preveda di modificare sostanzialmente lo schema statico, ad esempio mediante solidarizzazione degli impalcati o sostituzione integrale degli stessi con uno continuo, ed eventuale introduzione di apparecchi di isolamento/dissipazione, per tali ponti è possibile definire una metodologia specifica di analisi, che rappresenta un buon compromesso di semplicità e accuratezza, da usare in alternativa ai metodi più accurati illustrati al paragrafo successivo.

Il modello di riferimento è costituito da una mensola verticale a massa distribuita lungo l’altezza sulla quale grava la massa del pulvino e dell’impalcato. In direzione trasversale all’asse del ponte ogni pila costituisce in tutti i casi un oscillatore indipendente, mentre in direzione longitudinale, nell’ipotesi che siano previsti dei ritegni sismici, il sistema è ancora a un grado di libertà, caratterizzato dalla somma delle masse afferenti alle singole pile e dalla forza di richiamo somma delle forze delle singole pile.


Il procedimento proposto consiste in un’analisi statica non lineare semplificata, nella quale il legame forza-spostamento in sommità dell’oscillatore considerato si ottiene con semplici passaggi a partire dai legami momento-curvatura alla base delle pile.

La massa efficace della pila da considerare concentrata in sommità è data, per pile a sezione costante, dalla somma del 30% della massa della pila e della massa del pulvino. La massa totale per la generica pila vale quindi:

imppulvpila mmmm ++= 3.0 (2.22)

L’altezza di tale massa dalla base per l’analisi in direzione trasversale (vedi Fig. 2.8) è data dall’espressione:

( )m

HmHmmH impimpppilapulv ++

≅3.0

(2.23)

Per l’analisi in direzione longitudinale, l’altezza efficace è pari alla distanza del piano degli apparecchi di appoggio dall’estradosso della fondazione.

H HpHim

p

Vb

Mb=VbH

Mt=Vb(H-Hp)P

H HpHim

p

Vb

Mb=VbH

Mt=Vb(H-Hp)P

Fig. 2.8 Altezza efficace per analisi in direzione trasversale.

Il primo passo consiste nella determinazione del legame momento-curvatura della sezione di base nel piano di flessione considerato e per il valore del carico assiale agente. La curva così ottenuta viene successivamente bilinearizzata come indicato schematicamente in Fig. 2.9.

PV

Hφ

M

uφyφ

uMyM

sezionedi base

δ

V

uδyδ

uVyV

PV

Hφ

M

uφyφ

uMyM

φ

M

uφyφ

uMyM

sezionedi base

δ

V

uδyδ

uVyV

Fig. 2.9 Passaggio dal legame momento-curvatura al quello taglio-spostamento.


Nell’ipotesi che la pila si mantenga in campo elastico fino al raggiungimento del momento di snervamento yM alla base (Fig. 2.10, sinistra), il corrispondente spostamento in sommità è dato dall’espressione:

3/1 2Hyy φν

δ = (2.24)

dove la curvatura di snervamento yφ risulta dalla bilinearizzazione del legame di sezione e 2.1=ν è il fattore di correzione che tiene conto della maggiore rigidezza della porzione

al di sopra della zona plasticizzata.

Lo spostamento ultimo in sommità della pila si ottiene aggiungendo a quello di snervamento il contributo della rotazione plastica nella zona plasticizzata alla base:

( ) ( )2/ppyuyu lHl −⋅−+= φφδδ (2.25)

dove uφ è la curvatura minima tra quelle corrispondenti allo schiacciamento del calcestruzzo, cumc εε =max, , e alla rottura per trazione dell’acciaio, sums εε =max, . In assenza di più accurate determinazioni i valori delle deformazioni medie a rottura di calcestruzzo e acciaio possono essere assunti pari a %5.0=cumε e %4=sumε . Per l’estensione della porzione di pila soggetta a plasticizzazione si può fare riferimento all’espressione

pbypp HdfHl 10.0015.010.0 ≅+= .

PV

PV

yMuMyφ uφ

yδuδyδ

pl

PV

PV

yMuMyφ uφ

yδuδyδ

pl

Fig. 2.10 Pile a fusto unico: distribuzione di momento e curvatura.

In direzione trasversale il periodo elastico della singola pila si ottiene dall’espressione:

yyii VmkmT // δππ 2=2= (2.26)

Il corrispondente spostamento massimo, da utilizzare ai fini della verifica di deformabilità della pila, è fornito dallo spettro di risposta elastico in spostamento:

( )( ) ( ) C

CDe

CDe

TTTT

qq

TSqTTTS

<⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

≤≥=

11

1 o *

*max

*max

δ

δ (2.27)


dove ( ) ye VTmSq /* = .

La forza di taglio per la verifica della pila si ottiene direttamente dal diagramma forza-spostamento in corrispondenza dello spostamento massimo di risposta maxδ .

La forza di taglio per la verifica degli apparecchi di appoggio vale:

( )max25.1 δVm

mV

i

impapp = (2.28)

dove il fattore 1.25 ha lo scopo di garantire una maggiore livello di protezione agli apparecchi di appoggio e il taglio ( )maxδV è la forza fornita dal legame δ−V in corrispondenza dello spostamento di risposta.

In direzione longitudinale la massa totale è data dall’espressione:

∑= imm (2.29)

e il legame forza-spostamento si ottiene sommando i legami delle singole pile come schematicamente mostrato in Fig. 2.11.

δ

V

1uδ1yδ

1uV1yV

2yδ 2uδ

2yV2uV1 2

Pila 2Pila 1

δ

V

1uδ1yδ

1uV1yV

2yδ 2uδ

2yV2uV1 2

Pila 2Pila 1

Fig. 2.11 Direzione longitudinale: legame complessivo a partire dai legami di pila.

Effettuata la bilinearizzazione della curva risultante il procedimento segue in modo analogo al caso precedente.

Ai fini delle verifiche a taglio delle pile la forza di taglio competente a ciascuna di esse si ricava in corrispondenza di maxδ dal relativo diagramma forza-spostamento.

Ai fini del calcolo della forza di taglio agente sugli appoggi la massa dell’impalcato nell’espressione (4-11) da considerare è quella afferente alla pila in esame.


Nel caso di appoggi mobili su pile e spalle è necessario verificare che non vi sia rischio di perdita d’appoggio dell’impalcato. Tale verifica si ritiene superata se la lunghezza di appoggio è pari o superiore a:

srelgrel ddLL ,,0min ++= (2.30)

dove 0L è un margine di sicurezza non inferiore a 40cm, greld , è lo spostamento relativo del suolo alla base degli elementi verticali adiacenti considerati, valutato in accordo alla (2.2), e sreld , è lo spostamento relativo tra gli elementi verticali adiacenti considerati valutabile mediante la radice quadrata della somma dei quadrati degli spostamenti massimi delle due pile.

La verifica deve essere eseguita sotto gli effetti di entrambe le componenti orizzontali dell’azione sismica, secondo le modalità illustrate al punto “Formato di verifica”, pagina 39. Per la verifica delle fondazioni si rimanda al punto “Spalle e fondazioni”, pagina 41.

Ponti iperstatici: analisi dinamica lineare

I metodi illustrati nel seguito si applicano a ponti iperstatici di tipologia generica, comprese le strutture con impalcati semplicemente appoggiati che presentino pile con struttura iperstatica (portali multipli, telaio, etc.).

Il metodo lineare di riferimento in queste linee guida consiste nell’impiego dell’analisi modale (DM2008, punto 7.3.3.1) associata allo spettro elastico non ridotto (punto 2.3.1). Le verifiche degli elementi sono eseguite in termini di capacità deformativa per i meccanismi/elementi duttili e di resistenza per quelli fragili.

Questo tipo di analisi è applicabile quando è verificata le seguente condizione legata alla uniformità della domanda inelastica2:

- Definito iii CD=ρ il rapporto tra il momento flettente iD fornito dall'analisi della struttura soggetta alla combinazione di carico sismica, e il corrispondente momento resistente iC nell'i-esima sezione di verifica, si indicano con maxρ e

minρ rispettivamente i valori massimo e minimo di ρ . Il rapporto minmax / ρρ non deve superare il valore 2.5.

La verifica di applicabilità del metodo, che deve essere svolta a posteriori, potrebbe risultare negativa a causa di un numero ridotto di elementi. In tal caso il metodo potrebbe comunque venire applicato, nell’ipotesi che si effettuino interventi su questi elementi tali da riportare il rapporto minmax /ρρ entro il limite indicato.

In alternativa è anche consentito di eseguire la verifica mediante analisi modale con spettro di risposta ridotto del fattore di struttura q (punto 3.2.3.5 del DM2008). In questo

2 Ovviamente deve risultare 1max >ρ altrimenti la risposta del ponte è elastica.


caso le verifiche sono di resistenza per tutti i meccanismi/elementi. I valori delle resistenze si calcolano come nelle situazioni non sismiche. Il valore massimo utilizzabile per q è pari a 1.5.

Per quanto riguarda il calcolo delle quantità di risposta, gli spostamenti massimi prodotti dall’azione sismica di verifica si assumono eguali a quelli forniti dall’analisi nell’ipotesi di comportamento lineare elastico.

I massimi delle grandezze di risposta derivate, quali ad esempio deformazioni flessionali e spostamenti relativi in corrispondenza dei giunti, devono essere calcolati modo per modo e successivamente combinati con la regola di combinazione modale adottata.

In particolare per la verifica degli elementi duttili la grandezza di verifica è generalmente rappresentata dalla rotazione rispetto alla corda θ . Per ogni piano di flessione, questa è pari al rapporto Hδ per elementi verticali a mensola (pile a fusto unico) o doppiamente incastrati (ritti), come mostrato in Fig. 2.12, casi (a) e (b), e approssimativamente uguale alla rotazione del nodo per elementi orizzontali (traversi), come mostrato in Fig. 2.12, caso (c). Nel caso (c) la rotazione rispetto alla corda per i ritti è solo approssimativamente uguale al rapporto Hδ .

Per ogni piano di flessione dell’elemento, lo sforzo di taglio agente V esso è dato da:

- il valore ottenuto dall'analisi nel caso in cui i momenti alle estremità dell'elemento non raggiungono il rispettivo valore plastico ( 1≤ρ )

- il valore:

( ) ( )L

NMNMVV RR

G21 +

+= (2.31)

dove GV è il taglio dovuto ai carichi gravitazionali agenti sull'elemento, ( )GR NM 1 ed ( )GR NM 2 sono i momenti resistenti (calcolati per il valore corrispondente ai carichi

gravitazionali dello sforzo normale GN , sommati se equiversi) alle estremità dell'elemento (calcolati utilizzando i valori medi delle caratteristiche meccaniche del conglomerato e dell'acciaio) ed L è la sua lunghezza.

(a) (b) (c)

δ δ δ

Hθ θ θ

(a) (b) (c)

δ δ δ

Hθ θ θ

Fig. 2.12 Rotazione rispetto alla corda: (a) fusto unico, (b) portale multiplo, (c) a telaio.


Ponti iperstatici: analisi statica non lineare

In generale diversi modi di vibrazione contribuiscono alla risposta sismica di ponti. Quando un singolo modo di vibrazione è caratterizzato da una massa partecipante pari o superiore all’80% è possibile fare uso dell’analisi statica non lineare mono-modale. In caso contrario è necessario fare ricorso a una versione avanzata dell’analisi statica non lineare, di tipo multi-modale. Nel seguito si illustrano i metodi di analisi statica non lineare mono-modale e multi-modale con distribuzione di forze invarianti3.

Analisi mono-modale

Il metodo consiste nell'applicazione a un modello non lineare del ponte di un sistema di forze statiche di intensità crescente fino al raggiungimento della capacità massima del sistema in termini di resistenza o di deformabilità, nella successiva trasformazione della curva taglio alla base-spostamento di un grado di libertà di controllo in un sistema bilineare equivalente, e quindi nella determinazione della risposta di tale sistema al sisma di verifica.

Ciò avviene applicando alla struttura un sistema di forze di intensità crescente dato da:

Mφf ⋅= λ (2.32)

dove M è la matrice delle masse e la prima forma modale φ deve essere normalizzata ponendo pari a 1 lo spostamento del grado di libertà di controllo. Quest’ultimo coincide con il grado di libertà caratterizzato dal massimo spostamento modale. L’intensità cresce fino al raggiungimento della capacità ultima della struttura. Il risultato dell’analisi viene espresso in termini di curva taglio alla base (somma delle forze applicate ∑= ib fV ) – spostamento in sommità u .

Si definisce quindi il coefficiente di partecipazione modale:

( ) ( )MφφM1φ TT=Γ (2.33)

La forza *V e lo spostamento *u del sistema a un grado di libertà equivalente sono dati da:

Γ= /*bVV (2.34)

Γ= /* uu (2.35)

La relazione ** uV − rappresenta il legame costituivo del sistema equivalente, la cui massa è data invece da ∑== i ii

T mm φM1φ* . 3 E’ ammesso l’uso di metodi in cui la distribuzione delle forze applicate segua l’evoluzione della deformata inelastica della struttura (adaptive pushover analysis).


La determinazione della risposta del sistema equivalente richiede la bilinearizzazione della curva ** uV − . Un criterio per effettuare questa operazione è quello di trovare un legame bilineare che sottenda la stessa area (energia) di quello ottenuto dall’analisi.

Nella Fig. 2.13 sono mostrati due casi, uno in cui l’incrudimento è trascurabile, l’altro in cui non lo è. Nella Fig. 2.13 (a) *

yV rappresenta la resistenza del sistema equivalente ed è uguale al forza in corrispondenza dello spostamento *

uu . Lo spostamento di snervamento *yu del sistema bilineare si ottiene dall’espressione:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒=−+ *

******* 221

yuyyuyyy V

EuuEuuVuV (2.36)

in cui E è l’area sottesa dalla curva ** uV − e si calcola per integrazione numerica. In Fig. 2.13 (b) *

uV rappresenta la resistenza ultima del sistema equivalente, mentre *yV è la

resistenza allo snervamento. Lo spostamento di snervamento *yu del sistema bilineare si

ottiene dall’espressione:

( )( ) ( )**

2********* 22

21

21

uyu

uyuuyyuuyyy ukV

EukuVuEuuVVuV

−−−

=⇒=−++

(2.37)

Noto *yu la rigidezza elastica risulta pari a: ** / yy uVk = , da cui segue il periodo elastico del

sistema bilineare *T :

kmT ** 2π= (2.38)

1

k

yk1

*yu *

uu

*yV

*uV

12 AA =

1A

*uu*

yu

*yV

1A

12 AA =

1

k( )a ( )b1

k

yk1

*yu *

uu

*yV

*uV

12 AA =

1A

*uu*

yu

*yV

1A

12 AA =

1

k( )a ( )b

Fig. 2.13 Bilinearizzazione con il criterio delle aree uguali: a) incrudimento nullo, b)

incrudimento non nullo.

La risposta massima del sistema equivalente in termini di spostamento è data in funzione del periodo e dello spettro elastico in spostamento dalle espressioni:


( )( ) ( ) C

CDe

CDe

TTTT

qq

TSu

qTTTSu

<⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

≤≥=*

**

*

**max

****max

11

1 o (2.39)

con ( ) **** / ye VTSmq = .

Si osserva che le caratteristiche del sistema bilineare equivalente dipendono dalla scelta dello spostamento ultimo *

uu a partire dal quale si impone l’equivalenza delle aree, il quale deve coincidere con il valore della risposta *

maxu . Ciò comporta l’esigenza di iterare fino al raggiungimento di tale condizione.

Una volta determinata la risposta massima dell’oscillatore equivalente è possibile determinare quella della struttura moltiplicando per il fattore di partecipazione

*maxmax uu Γ= : lo stato della struttura è quello corrispondente a tale spostamento massimo

nel punto di controllo. La verifica consiste nel controllare che in tale configurazione della struttura le domande di duttilità siano compatibili con le rispettive capacità e che le forze di taglio siano minori delle rispettive resistenze.

Analisi multi-modale

Il metodo consiste nei seguenti passi:

1. Effettuazione dell’analisi modale e selezione dei modi significativi 2. Per ciascun modo selezionato effettuazione dell’analisi statica non lineare in

modo analogo a quanto indicato con riferimento al caso mono-modale e in particolare:

a. Applicazione di una distribuzione di forze modali crescenti: ii Mφf ⋅= λ fino al raggiungimento di uno spostamento massimo predefinito o di un significativo degrado nel taglio alla base bV

b. Determinazione del sistema a un grado di libertà equivalente nelle due direzioni principali del sisma mediante le relazioni:

iXbiX VV Γ= /* ( )ciiXciiX uu ,,* / φΓ=

iYbiY VV Γ= /* ( )ciiYciiY uu ,,* / φΓ=

dove ( ) ( )iTiX

TiiX MφφMtφ /=Γ e ( ) ( )i

TiY

TiiY MφφMtφ /=Γ , Xt e Yt

sono i vettori di trascinamento nelle direzioni X e Y, ci ,φ è l’ordinata modale nel grado di libertà di controllo (che deve essere scelto per ogni modo come il grado di libertà con massima ordinata modale)

c. Bilinearizzazione dei diagrammi **iXiX uV −

d. Determinazione dei periodi *,

**, /2 YiXiYiX kmT π= e delle

corrispondenti risposte massime ( )*,

*,max, YiXDeYXi TSu =


e. Determinazione degli spostamenti massimi effettivi *

,max,,,,max,, YXiciYiXYXci uu φΓ= e delle corrispondenti configurazioni deformate della struttura.

f. Calcolo delle grandezze di risposta di interesse iEXD , e iEY

D , per ciascun modo e direzione dell’azione sismica

3. Combinazione delle grandezze di risposta iEXD , e iEY

D , ottenute mediante la regola (2.49).

Analisi dinamica non lineare Ai fini delle verifiche gli effetti sulla struttura (sollecitazioni, deformazioni, spostamenti, etc.) sono rappresentati dai valori medi ottenuti dalle analisi.

Come indicato al punto 0, il numero minimo di accelerogrammi da utilizzare è pari a cinque per quelli artificiali e dieci per quelli naturali o simulati a partire da modelli sismogenetici. La differenza nel numero richiesto è giustificata dalla inferiore dispersione intorno alla media degli accelerogrammi del primo tipo rispetto a quelli degli altri due. Il rispetto di tali minimi è sufficiente a garantire una adeguata stabilità della media degli effetti sulla struttura.

2.4.5 Verifiche di sicurezza Sotto l’effetto dell’azione sismica di verifica tutti gli elementi dell’impalcato devono soddisfare le verifiche come per le situazioni non sismiche.

Pile

Per quanto riguarda la capacità deformativa, il valore ultimo della rotazione rispetto alla corda da utilizzare per la verifica allo SLC è dato dall’espressione:

3V

yyL

φθ = (2.40)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−+=

V

ppyuy

elu L

ll

211 φφθ

γθ (2.41)

dove 5.1=elγ e VMLV /= è la luce di taglio, pari a H per una mensola e approssimabile ad H/2 negli altri casi. Le curvature di snervamento yφ e ultima uφ si ottengono dalla bilinearizzazione del legame momento-curvatura di sezione. La curvatura ultima è la minima tra quelle corrispondenti allo schiacciamento del calcestruzzo,

cumc εε =max, , e alla rottura per trazione dell’acciaio, sums εε =max, . In assenza di più accurate determinazioni i valori delle deformazioni medie a rottura di calcestruzzo e acciaio possono essere assunti pari a %5.0=cumε e %4=sumε . Per l’estensione della


porzione di pila soggetta a plasticizzazione si può fare riferimento all’espressione HdfHl byp 10.0015.010.0 ≅+= .

Per la verifica allo SLV il valore limite della rotazione si assume pari a ¾ di quello ultimo.

Per quanto riguarda la resistenza a taglio, in ogni piano di flessione, la resistenza a taglio sotto azione ciclica, RV , di elementi prismatici con sezione compatta è data dalla formula seguente (unità di misura MN e m):

( ) ( )( )

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−×

⎩⎨⎧

×−+−

= ∆

wccV

tot

plccVel

R

VAfh

L

fANL

xhV

;5min16.01100;5.0max16.0

;5min05.0155.0;min2

1,

ρ

µγ

(2.42)

dove:

( )

copriferrosezionedella diametro

staffe delle passocircolari staffe dellearea

circolari sez.per 22

e

ari rettangolsez.per a pari armatura dell' contributo alelongitudinarmatura di totalea geometricepercentual

confinato nucleo diametro circolare sezioneper /4 are, rettangolsezioneper sezionedella area

tagliodi luce trazionedi se zeroa uguale posto ne,compressiodi positivo normale, sforzo

neutro assedell' profonditàsezionedella efficacealtezza

sezionedella totalealtezza 15.1

2

====

−

====

======

cDs

A

cDfs

A

bzfρV

DDbdA

M/VLNxdh

sw

ysw

yww

tot

c

cc

V

el

π

ρ

π

γ

Il termine 1/1, −≅−= ∆∆ ypl θθµµ rappresenta la parte plastica della duttilità richiesta all’elemento.

In ogni piano di flessione, la resistenza a taglio sotto azione ciclica, RV , di setti (ad es: pareti di una pila a sezione cava rettangolare, mono- o pluri-cellulare) è non superiore alla forza di taglio corrispondente allo schiacciamento delle bielle diagonali max,RV , data dalla formula seguente:


( )( )

( )( ) zbfh

L

fANV

wcV

tot

ccel

plR

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+×

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= ∆

;2min2.01100;75.1max25.01

;15.0min8.11;5min06.0185.0 ,

max,

ρ

γµ

(2.43)

Appoggi

Gli apparecchi di appoggio fissi devono essere in grado di trasmettere, mantenendo la piena funzionalità, le forze di taglio in testa alle pile indotte dall’azione sismica di verifica, incrementate del fattore 20.1=Rγ .

Gli appoggi mobili devono essere in grado di consentire, mantenendo la piena funzionalità, lo scorrimento massimo indotto dall’azione sismica di verifica.

Nel caso di appoggi mobili su pile e spalle è necessario verificare che non vi sia rischio di perdita d’appoggio dell’impalcato. Tale verifica si ritiene superata se la lunghezza di appoggio è pari o superiore a:

srelgrel ddLL ,,0min ++= (2.44)

dove 0L è un margine di sicurezza non inferiore a 40cm, greld , è lo spostamento relativo del suolo alla base degli elementi verticali adiacenti considerati, valutato in accordo alla (2.2), e sreld , è lo spostamento relativo tra gli elementi verticali adiacenti considerati.

Formato di verifica

Indicando con xD e yD le quantità di domanda determinate dall’analisi (spostamenti, rotazioni, forze di taglio) nei due piani di principali flessione di un elemento, e con xC e

yC le corrispondenti capacità, la forma generale di verifica è data dall’espressione:

122

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

y

y

x

x

CD

CD (2.45)

Nel caso delle verifiche di deformabilità e di resistenza l’espressione precedente assume la forma:

( ) ( ) 12,

2, ≤+ yuyxux θθθθ (2.46)

( ) ( ) 12,

2, ≤+ yuyxux VVVV (2.47)


dove le grandezze di domanda, ad esempio di deformazione, sono ottenute mediante le regole di combinazione:

( ) ( )[ ]∑=

+±=N

iixEixExGx YX

1

2,

2, θθθθ (2.48)

per l’analisi dinamica lineare, e:

( ) ( )[ ]∑=

−+−±=N

iGixEGixExGx YX

1

2,

2, θθθθθθ (2.49)

per l’analisi statica non lineare, dove la sottrazione dell’effetto dei carichi gravitazionali dalla risposta modale per ciascuna direzione del sisma è necessaria in quanto l’applicazione delle forze orizzontali per ogni distribuzione modale è preceduta da quella dei carichi gravitazionali. Analogamente per la domanda nel piano di flessione ortogonale

yθ .

Esempio 2-5. Applicazione della regola di combinazione dei contributi modali a un ponte in curva. La Fig. 2.14 mostra i primi due modi di vibrazione di un viadotto continuo a tre campate, di luci 40m, 50, 40m, con pile alte rispettivamente 20m e 30m, con asse curvilineo di raggio 150m. Nella figura è evidenziato, per ogni modo, lo spostamento in testa a una delle pile, con le corrispondenti componenti secondo gli assi globali X e Y. Il contributo allo spostamento D trasversale all’asse dell’impalcato (parallelo all’asse x della sezione rettangolare cava della pila) fornito dal modo i–esimo eccitato dal sisma X è dato dall’espressione:

( ) ( )iDeiXXYXXiE TSDiiX

Γ+= αδαδ sincos

dove αX = 9.55° è l’angolo tra la tangente all’asse dell’impalcato e l’asse X.

Modo 2 – T=0.246s

Modo 1 – T=0.286s

δX2

δY2

δX1

δY1

Modo 2 – T=0.246s

Modo 1 – T=0.286s

δX2

δY2

δX1

δY1

Fig. 2.14 Due modi di vibrazione di un ponte con asse longitudinale curvilineo.


La Tabella 2.9 riporta i valori relativi all’esempio. Lo spostamento trasversale in accordo alla (2.48) risulta pari a D = 1.28 cm.

Tabella 2.9 Esempio di applicazione della regola di combinazione.

Modo T(s) Se (g) SDe (m) ΓX ΓY δX δY DEX (m) DEY (m)

1 0.286 0.5 0.010173 3.24 35.78 0.0049 0.0329 0.0011 0.0121

2 0.246 0.5 0.007526 -15.71 7.3 0.0109 0.0215 -0.0037 0.0017

Nel caso particolare dei ponti isostatici con pile a fusto unico (punto 0) le verifiche di deformabilità e resistenza assumono rispettivamente la forma:

( ) ( ) 12,

2, ≤+ LuLTuT δδδδ (2.50)

( ) ( ) 12,

2, ≤+ LuLTuT VVVV (2.51)

dove i pedici L e T indicano l’analisi in direzione longitudinale e trasversale, mentre le capacità di spostamento da utilizzare per la verifica allo SLC sono date dalle espressioni:

( ) ( )[ ]2/,,,, ppTyTuTyel

Tu lHl −⋅−+1

= φφδγ

δ (2.52)

( ) ( )[ ]2/,,,, ppLyLuLyel

Lu lHl −⋅−+1

= φφδγ

δ (2.53)

dove 5.1=elγ . Per la verifica allo SLV il valore limite degli spostamenti si assume pari a ¾ di quello ultimo. La resistenza a taglio si calcola come indicato in 2.4.5.

Nel caso di analisi dinamica non lineare, è possibile utilizzare un formato di verifica più accurato in cui si calcola il rapporto domanda/capacità tenendo conto a ogni passo dell’analisi della variazione delle capacità con lo sforzo normale N:

( )( )( )

( )( )( )

1max22

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛tNC

tDtNC

tD

y

y

x

x

t (2.54)

Spalle e fondazioni

Per la verifica delle spalle e delle fondazioni sotto l’azione sismica trasmessa dalla sovrastruttura e dal terreno, valgono le indicazioni applicabili alle opere di nuova progettazione, di cui ai punti 7.11.5 e 7.11.6 del DM2008.

CAPITOLO 3: RINFORZO SISMICO DEI PONTI

3.1 INTRODUZIONE

Nella maggioranza dei casi il rinforzo sismico deve essere realizzato in soggezione di traffico, quindi non solo in tempi molto stretti per ridurre il disagio alla viabilità, ma anche con notevoli condizionamenti sui metodi di rinforzo. Le soluzioni particolari o più innovative, come ad esempio l’impiego di materiali ad alta resistenza o prestazioni, trovano spesso il terreno naturale di impiego nei casi di rinforzo, diventando competitive proprio a causa delle restrizioni sopra citate.

In questo capitolo, che riprende in buona parte la più estesa trattazione in (fib, 2007), vengono presentate le soluzioni tecniche più comuni per il rinforzo delle varie parti di un ponte, senza fornire le relative procedure di dimensionamento, per le quali si rinvia a documenti specialistici (Priestley et al, 1996),(FHWA, 2006).

3.2 RINFORZO DEGLI APPOGGI

Dal punto di vista sismico, le carenze più comunemente rilevate nei ponti di costruzione meno recente riguardano l’inadeguatezza degli appoggi e delle lunghezze di appoggio, fattori che possono facilmente portare alla perdita di supporto e al conseguente collasso di intere campate negli impalcati semplicemente appoggiati (vedi Fig. 1.2 e Fig. 1.3). Non è un caso se i primi programmi di rinforzo negli Stati Uniti, a seguito del terremoto di San Fernando, si siano concentrati proprio sulla correzione di questi problemi.

Gli interventi per adeguare il sistema di appoggio sono molto vari e dipendono dalla tipologia dell’impalcato e dalla qualità dell’intervento che si intende realizzare.

Una gran parte dei ponti esistenti, con impalcato a travi appoggiate presentano appoggi sotto ogni trave, in neoprene non armato di piccolo spessore, la cui resistenza ad azioni orizzontali è trascurabile.

Un intervento economico ed efficace consiste nella sostituzione degli appoggi esistenti con appoggi nuovi della stessa tipologia e la realizzazione in cima alla pila di un sistema di ritegni che eviti la caduta degli impalcati e limiti gli spostamenti relativi. Un esempio di tale soluzione è mostrato in Fig. 3.1.

Nel caso mostrato in figura non sussistendo problemi di lunghezza di appoggio i ritegni, realizzati in c.a. con interposizione di cuscinetti in neoprene, hanno funzione unidirezionale nella direzione longitudinale. Nei casi in cui la lunghezza di appoggio risulti


invece insufficiente si può intervenire collegando gli impalcati ai ritegni o al pulvino, oppure realizzando delle seggiole in acciaio o c.a.

Fig. 3.1 Esempio di ritegni sismici longitudinali e trasversali (Furlanetto et al, 2008).

Interventi di maggiore incisività possono essere realizzati quando si interviene sullo schema statico dell’impalcato rendendolo continuo. In questo caso è possibile evitare di avere appoggi sotto ogni trave collocando un numero ridotto di apparecchi metallici, di tipo fisso e mobile, o dispositivi di isolamento su un’unica fila.

In passato è stata frequentemente adottata una soluzione che prevedeva la “continuizzazione” limitata alla sola soletta, congiuntamente con la disposizione di un numero pari a quello originale di dispositivi di isolamento in gomma.

3.3 RINFORZO DELLE PILE

Le pile in cemento armato progettate secondo criteri non sismici presentano spesso inadeguate lunghezze di sovrapposizione o di ancoraggio delle barre longitudinali e ridotto quantitativo di armatura trasversale, peraltro non ancorata nel nucleo. Ne risultano un difetto di resistenza a taglio e di duttilità (confinamento del calcestruzzo e delle barre longitudinali compresse inadeguati, sfilamento delle barre tese).

Le tecniche di rinforzo consolidate e mirate a risolvere tali problemi sono:

- Incamiciatura in calcestruzzo, acciaio, o elementi prefabbricati in calcestruzzo

- Fasciatura con materiali fibro-rinforzati

- Cambiamento dello schema statico della pila mediante interposizione di muri a taglio o aggiunta di colonne supplementari

Capitolo 3: Rinforzo sismico dei ponti 45

3.3.1 Incamiciatura in calcestruzzo Le ragioni principali che portano a scegliere il rinforzo mediante incamiciatura in c.a. sono due: generalmente esso risulta competitivo da un punto di vista economico e presenta un comportamento più favorevole in acqua rispetto alle alternative. Per questo motivo si tratta di una delle soluzioni più utilizzate, in particolari per le pile in alveo.

L’incamiciatura consiste nella costruzione intorno alla pila esistente di una nuova sezione in cemento armato (Fig. 3.2a). La buona connessione tra la due porzioni di calcestruzzo è essenziale per la riuscita del rinforzo. Questo avviene attraverso una serie di barre inserite in appositi fori, praticati nel calcestruzzo esistente dopo la rimozione del copriferro, e iniettati con malta cementizia o resine epossidiche (fiorettature, Fig. 3.2b).

La camicia può essere di due tipi: a) staccata dalla base, mediamente di 100-150mm, nel qual caso fornisce un incremento di duttilità e di resistenza a taglio, b) connessa con la fondazione e dotata di barre longitudinali ancorate nella fondazione, nel qual caso fornisce anche un contributo alla resistenza flessionale (Fig. 3.2c,d). L’incremento del confinamento migliora sia il comportamento del calcestruzzo compresso che la trasmissione delle forze nelle zone di sovrapposizione tra le barre. Nel caso b, poiché lo spessore della camicia è normalmente compreso tra i 200 e i 300 mm, l’incremento di resistenza flessionale può essere importante e la fondazione potrebbe risultare inadeguata alle nuove forze trasmesse dalla pila. Per questo motivo la prima opzione è molto più diffusa. Naturalmente, se le fondazioni possono offrire una resistenza maggiore, la seconda opzione può essere utile per limitare le deformazioni plastiche e in particolare quelle residue.

Questo tipo di intervento risulta molto efficace per pile con sezione circolare. Nel caso di pile a sezione rettangolare esso presenta invece una riduzione di efficienza, crescente con le dimensioni della sezione da incamiciare. Il problema è particolarmente sentito nel rinforzo delle pile a setto, che possono presentare deficit di resistenza, nonostante la grande sezione, perché sono caratterizzate da quantitativi di armatura spesso ridotti. In tali casi è necessario provvedere al posizionamento di barre passanti attraverso la sezione esistente, parallelamente al lato corto, per connettere le due facce della camicia. Tali barre sono normalmente disposte a distanza di 300-400 mm in direzione verticale, e 1.0 m in direzione trasversale. L’operazione di perforazione per l’inserimento risulta essere quella più delicata, in quanto il rischio di troncare le armature esistenti è elevato. Lo sviluppo recente di tecniche che fanno uso di barre di diametro inferiore (anche di materiali innovativi quali le plastiche rinforzate con fibre di arramidio) risolve parzialmente questo problema.


Barre annegate nella fondazione

Pila esistente

Camicia in calcestruzzo

(a) Pila a sezione circolare (b) Pila a sezione rettangolare

Staffe o spirale

Cravatte

Pila esistenteBarre annegate

nella fondazione

Pila esistente



Staffe o spirale

Cravatte

Barre annegate nella fondazione

Pila esistente



Staffe o spirale

Cravatte

Pila esistente

Fig. 3.2 Esempio di incamiciatura in c.a. per incrementare duttilità e resistenza

(adattata da Priestley et al 1996)

3.3.2 Incamiciatura in acciaio Nella forma di camicie circolari o ellittiche (per le sezioni rettangolari) questa tecnica è stata una delle prime usate per il rinforzo delle pile in cemento armato. Utilizzata per migliaia di pile da ponte in California ha dimostrato di essere molto efficace durante il terremoto di Northridge del 1994: oltre cinquanta ponti rinforzati in questo modo hanno superato senza danni alle pile accelerazioni di picco alla base superiori a 0.3g. In Giappone la tecnica è stata utilizzata per oltre 40 000 pile dopo il terremoto di Kobe del 1995, durante il quale pile rinforzate con camicie in acciaio e soggette ad accelerazioni di picco superiori a 0.8g non hanno riportato danni (Fig. 3.3).

Fig. 3.3 Incamiciatura metallica di una pila dell'Hanshin Expressway in Giappone. Il

rinforzo realizzato nel 1989 ha dato ottimi risultati durante il terremoto di Kobe del 1995.


La camicia, normalmente di spessore intorno ai 6÷12 mm, viene saldata in opera e lo spessore che la separa dalla pila (12.5÷25 mm) viene iniettato con malta cementizia o resine (Fig. 3.4a). In alternativa alla saldatura, sono stati sviluppati anche giunzioni meccaniche (Fig. 3.4b). Come per le camicie in calcestruzzo, il campo di applicazione preferenziale è quello delle pile circolari piene. L’efficacia del confinamento per pile di diametro superiore ai 4.0 m non è stata ancora suffragata sperimentalmente.

Dati gli spessori utilizzati il quantitativo di acciaio è considerevole, specialmente se confrontato con l’acciaio presente nella pila. A di là dell’aspetto economico, che rende meno competitiva questa soluzione, è necessario osservare che l’incremento di resistenza flessionale e a taglio con questa soluzione di rinforzo è molto elevato e il distacco dalla base della pila è quasi obbligato (normalmente nella misura di 50÷100 mm). Se si vuole incrementare anche la resistenza a flessione è necessario ancorarla alla fondazione. Questo può essere fatto saldando alla base della camicia dei profili che vengono poi ancorati con tirafondi. Per le pile rettangolari le camicie, di forma ellittica (Fig. 3.4c), hanno effetto sulla resistenza a taglio, e possono averlo su quella a flessione (Fig. 3.4d), ma non sul confinamento.

(a) (b)

(c) (d)25 mm Camicia metallica

Camicia metallica12 mm

Tirafondi

Armatura esistenteTrave perimetrale


Lasco 20 mm

(a) (b)

(c) (d)25 mm Camicia metallica


Tirafondi

Armatura esistenteTrave perimetrale


Lasco 20 mm

Fig. 3.4 Esempio di incamiciatura in acciaio (adattata da fib, 2007).


3.3.3 Fasciature con FRP Molte varianti di polimeri/plastiche fibro-rinforzate sono usati nel rinforzo di pile da ponte. L’uso che ne viene fatto dipende dalla rigidezza, dalla resistenza e dalla deformazione di rottura del tipo specifico di materiale utilizzato (fibre di carbonio, arramidio, vetro, etc). Come già detto questi materiali, pur avendo un costo generalmente ancora elevato risultano economicamente competitivi in quei casi in cui il loro utilizzo permette un notevole accorciamento dei tempi di realizzazione del rinforzo, e quindi dell’interferenza con il traffico. Inoltre essendo normalmente leggeri e facilmente maneggiabili sono un’ottima alternativa alle camicie in c.a. o acciaio in tutte quelle situazioni in cui lo spazio operativo è limitato o disagiato.

Se lo scopo del rinforzo è quello di aumentare il confinamento, le fibre più adatte sono quelle di carbonio, caratterizzate dal modulo elastico più elevato (simile all’acciaio) e da un comportamento elastico lineare fino a rottura. Particolarmente rilevante in questo senso è l’elevata resistenza delle fibre di carbonio che è nell’ordine di 10 volte rispetto a quella dell’acciaio delle armature ordinarie. Il confinamento quindi risulta più efficace di quello offerto dall’armatura trasversale in quanto l’espansione laterale del calcestruzzo è contrastata elasticamente anche a livelli molto elevati di deformazione.

Questi materiali vengono forniti in fogli. Sono normalmente utilizzati trasversalmente all’asse della pila, per incrementare confinamento e resistenza a taglio, e si stanno sperimentando anche verticalmente, ancorati mediante piastre metalliche nella fondazione, per incrementare la resistenza flessionale (Fig. 3.5). Per le sezioni rettangolari è stata anche utilizzata una soluzione simile a quella delle incamiciature metalliche per aumentare l’efficacia del confinamento (Fig. 3.6).

Fig. 3.5 Esempio di fasciatura con FRP per incrementare la resistenza a taglio e flessione (sperimentazione presso lo EUCENTRE nell’ambito del Progetto DPC-Reluis - Linea 3).


Un altro tipo di fibre utilizzate sono quelle di arramidio, che sono meno rigide di quelle di carbonio, motivo per cui sono più adatte all’utilizzo su pile a sezione (leggermente) variabile. Vengono confezionate in fogli, barre, nastro intrecciato e non. I fogli e le barre sono quelli impiegati nel rinforzo dei ponti. In particolare i fogli sono utilizzati per le fasciature, mentre le barre sono utilizzate per precomprimere le fondazioni (vedi 3.4) o come connessione tra i lati di camicie in calcestruzzo nel caso di pile rettangolari allungate.

Fig. 3.6 Esempio di fasciatura con CFRP previa realizzazione di un profilo ellittico intorno

alla sezione rettangolare esistente (Furlanetto et al, 2008).

Un utilizzo interessante, per le modalità di applicazione, è quello delle fibre di vetro mescolate a resine. Questo materiale è spruzzato sulla superficie della pila da rinforzare, sulla quale normalmente è disposta anche una rete metallica, con modalità simili a quelle del betoncino spruzzato. Questa soluzione è stata sottoposta a prove cicliche dando buoni risultati in termini di incremento della duttilità (fib, 2007).

3.3.4 Trasformazione in pila a setto Un intervento realizzato in alcuni casi di pile a portale basse è quello consistente nella realizzazione di un riempimento in c.a. tra i due ritti, la fondazione e il pulvino. Il nuovo getto viene connesso alla pila esistente mediante fiorettature praticate sul contorno e il


risultato finale è una pila a setto di rigidezza e resistenza molto elevate nella piano del nuovo muro (Fig. 3.7).

Fig. 3.7 Realizzazione di un setto tra i due ritti di una pila a portale.

3.3.5 Precompressione verticale Un intervento meno diffuso ma meritevole di considerazione in virtù dei benefici che esso può portare consiste nella precompressione verticale a “cavi esterni” delle pile. Questo intervento riesce più agevolmente con pile a sezione cellulare, nel qual caso i cavi possono essere disposti all’interno della sezione. L’azione della precompressione può essere modulata lungo l’altezza avendo cura di controllare che non si verifichino bruschi cambi di rigidezza o spostamenti non intenzionali delle zone di plasticizzazione.

3.4 RINFORZO DI SPALLE E FONDAZIONI

3.4.1 Spalle Le tipologie di spalle più frequentemente impiegate nelle opere da ponte esistenti del nostro Paese sono del tipo a gravità, in calcestruzzo non armato, e a mensola in c.a., a parete continua o passante. Le fondazioni sono sia superficiali che su pali.

Gli interventi sulle spalle possono rendersi necessari a causa di una progettazione eseguita prescindendo dall’azione sismica, o con un’azione sismica di progetto convenzionale e minore rispetto a quella prevista dall’attuale mappa di pericolosità.

L’intervento più comune per risolvere i problemi di stabilità globale è costituito dalla realizzazione di tiranti congiuntamente a una paretina esterna di c.a. con funzione di ripartizione delle forze nei tiranti sul paramento della spalla. Le file di tiranti possono essere più d’una nel caso di spalle alte e in particolar modo in quello delle spalle a gravità che presentano un deficit di resistenza flessionale anche al di sopra della sezione di base. Interventi di questo tipo sono mostrati in Fig. 3.8.


Un altro intervento che viene a volte adottato per ridurre le spinte sismiche sul paramento della spalla è il rimpiazzo del riempimento a tergo con un materiale di peso inferiore e caratteristiche meccaniche migliori.

Per quanto riguarda la fondazione delle spalle gli interventi possibili sono quelli descritti al paragrafo successivo con riferimento alle pile.

(a) (b)(a) (b)

Fig. 3.8 Rinforzo spalle mediante camicia in c.a. e tiranti: a) spalla a mensola b) spalla a gravità (progetto SPEA, A14)

3.4.2 Fondazioni L’intervento sulle fondazioni può rendersi necessario nel caso in cui la fondazione esistente non sia adeguata a trasmettere al terreno le forze provenienti dalla sovrastruttura, valutate per un’azione sismica di verifica che è in generale maggiore di quella del progetto originale. Inoltre, nel caso in cui la pila o la spalla sia stata rinforzata occorre, in ossequio al principio di gerarchia delle resistenze, verificare che la fondazione sia in grado di sopportare le nuove aumentate forze che l’elevazione può trasmettere. L’intervento è infine sempre necessario quando la pila viene allargata per accogliere un impalcato di larghezza maggiore.

La porzione di fondazione di nuova realizzazione è costituita da un plinto normalmente fondato su micropali. La geometria del plinto riprende quella del plinto esistente nel caso di allargamento, e lo ingloba quando occorre nel caso di rinforzo. In entrambi i casi il problema principale è quello della solidarizzazione delle due porzioni del plinto in modo


da garantire un comportamento monolitico. La soluzione più comune consiste nell’uso di una fitta serie di fiorettature. Nel caso sia necessario trasmettere sollecitazioni elevate si può ricorrere anche alla precompressione trasversale. La Fig. 3.9 mostra un intervento sulla fondazione di un viadotto allargato. In casi come questo i micropali devono essere dimensionati per fornire una rigidezza verticale e rotazionale (per rotazione intorno all’asse trasversale del ponte) comparabili con quelle della parte esistente.

Fig. 3.9 Fondazione di un viadotto allargato (progetto SPEA, A14).

Un caso particolare è costituito da quelle pile, in particolare quelle a setto di altezza modesta, che per ragioni costruttive presentano una naturale sovra-capacità flessionale rispetto alle richieste. In questi casi, per salvaguardare le fondazioni, si può procedere a un indebolimento della pila interrompendo la continuità nella sezione di base di parte dell’armatura verticale. In tal modo si accetta che la pila sfrutti in parte la duttilità disponibile per trasmettere alla fondazione forze ridotte compatibili con la sua resistenza.

CAPITOLO 4: ESEMPI APPLICATIVI

4.1 INTRODUZIONE

In questo capitolo vengono illustrati tre esempi di valutazione della sicurezza sismica di viadotti con pile a fusto unico. Nel primo esempio viene analizzato lo stato di fatto di un viadotto con impalcato in c.a.p. a travi appoggiate, utilizzando il metodo semplificato descritto in §2.4.4. Nel secondo e terzo esempio si analizzano due ipotesi di intervento sul viadotto del primo esempio, in entrambi i casi sostituendo l’impalcato esistente con uno più largo, a sezione mista acciaio-calcestruzzo, continuo sulle pile.

In tutti i casi si è assunto un livello di conoscenza pari a LC3.

4.2 VIADOTTO CON PILE A FUSTO UNICO: STATO DI FATTO

4.2.1 Descrizione dell’opera L’opera è costituita da sei campate semplicemente appoggiate di luce pari a 30m, come mostrato in Fig. 4.1. L’impalcato è largo 9.50 m ed è costituito da tre travi prefabbricate in c.a.p., poste ad interasse di 3.20 m, con soletta in c.a. gettata in opera (htravi ~ 1.70 m, hsoletta ~ 0.22 m), come indicato in Fig. 4.2a. Gli apparecchi di appoggio consistono in cuscinetti di piccolo spessore in neoprene non armato. La sezione del fusto pila è circolare cava, di diametri esterno e interno rispettivamente pari a 3.0 m e 2.20 m, ed è costante su tutta l’altezza (Fig. 4.2b). Il pulvino è costituito da un traverso sagomato a sezione piena in c.a. Le pile hanno altezza variabile da 8.0m a 19.50m.

30.0

17.1

19.4

7

14.1 8.0

30.0 30.0 30.030.030.0

11.1

5

Fig. 4.1 Profilo longitudinale del viadotto.


3.2 3.2

1.0

2.2

9.5

1.7

(a)

3.00.4 2.2 0.4

1+1Ø12/20

32+

32Ø

20 (b)

Fig. 4.2 (a) Sezione dell'impalcato esistente (b) Sezione della pila.

Le fondazioni delle pile sono costituite da un plinto quadrato (~7.20 m × 7.20 m × 2.0 m) fondato su cinque pali ∅1500. Le spalle, di modesta altezza, hanno struttura in c.a. e fondazione diretta.

7.2

7.2

4.8

4.8

2.0

7.2

4.8

Fig. 4.3 Pianta e prospetto fondazione della pila tipo.

4.2.2 Definizione dell’azione sismica di verifica I parametri dello spettro di risposta elastico in accelerazione per il sito in esame sono riportati, in funzione del periodo medio di ritorno, nella Tabella 4.1. Trattandosi di un viadotto di importanza normale ad esso corrisponde una vita nominale VN di 50 anni. Poiché il viadotto fa parte di un tratto della viabilità principale (strada di categoria A/B) ad esso corrisponde una classe d’uso IV, per cui CU vale 2.0. La vita di riferimento è quindi VR = VN × CU = 100 anni. La caratterizzazione geotecnica del sito (VS,30 > 500m/s) e la superficie topografica pianeggiante (i<15°) indicano una categoria di suolo B e un coefficiente di amplificazione topografica ST=1. I parametri caratterizzanti gli spettri

Capitolo 4: Esempi applicativi 55

elastici per le due componenti, orizzontali, e per i due stati limite SLV (probabilità di superamento in VR pari al 10%, da cui TR = 949 anni) e SLC (probabilità di superamento in VR pari al 5%, da cui TR = 1950 anni) sono riportati nella Tabella 4.2. La Fig. 4.4 mostra il grafico degli spettri per i due stati limite.

Tabella 4.1 Parametri dello spettro di risposta elastico in accelerazione.

TR (anni) ag (g/10) Fo TC* (s)

30 0.742 2.403 0.270 50 0.960 2.353 0.278 72 1.143 2.320 0.284 101 1.327 2.312 0.288 140 1.525 2.306 0.294 201 1.765 2.303 0.304 475 2.447 2.341 0.325 975 3.140 2.365 0.342 2475 4.267 2.398 0.359

Tabella 4.2 Parametri dello spettro di risposta elastico in accelerazione.

SL ag (m/s2) Fo TC* SS S TB CC TC TD dg (m) vg (m/s)

SLV 3.05 2.36 0.34 1.11 1.11 0.16 1.36 0.47 2.85 0.11 0.25

SLC 3.87 2.39 0.36 1.02 1.02 0.16 1.35 0.48 3.18 0.15 0.30

0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0

10.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

T - sS ae

- m

/s2

SLCSLV

Fig. 4.4 Spettri di risposta elastici in accelerazione per i due stati limite considerati.


4.2.3 Analisi Trattandosi di un viadotto con impalcato a travi semplicemente appoggiate e pile a fusto unico, si fa riferimento al metodo di analisi semplificato presentato in 2.4.4. Il metodo prevede che in direzione trasversale l’analisi venga effettuata individualmente pila per pila, e che in direzione longitudinale l’analisi venga effettuata considerando come legame forza deformazione quello che si ottiene sommando i contributi di tutte le pile. Il legame forza-spostamento di ciascuna pila si ottiene con riferimento a un modello di oscillatore semplice, a partire dal legame momento-curvatura della sezione di base.

Presupposto per l’adozione del metodo sopra descritto è che la mobilità degli impalcati rispetto al pulvino sia molto ridotta. Ciò richiede la presenza di ritegni sismici in entrambe le direzioni, realizzati ad esempio come mostrato in Fig. 3.1. La realizzazione di un sistema di ritegni è peraltro da considerare un intervento obbligatorio su qualunque viadotto con impalcato a travi appoggiate con apparecchi d’appoggio di resistenza inadeguata.

Carichi e masse

A titolo esemplificativo, la Tabella 4.3 riporta il calcolo della massa afferente e dello sforzo normale nella sezione di base (estradosso della fondazione) con riferimento alla pila di altezza H=8.0m.

Tabella 4.3 Massa equivalente e sforzo normale nella sezione di base (H=8m)

Wimp = 125 kN/m × 30 m = 3750 kN peso impalcato

Himp = 2.0 m baricentro impalcato (da estradosso pulvino)

Wpulv = 1213.5 kN peso pulvino

Hpulv = 2.2 m ingombro pulvino in altezza

wpila = 81.7 kN/m peso unitario fusto pila

H = 8.0 m altezza totale fusto pila

Wpila = wpila × (Htot-Hpulv) = 474 kN peso fusto pila

Hfond = 2.0 m altezza plinto di fondazione

Nd = Wimp + Wpulv + Wpila = 5437 kN sforzo normale ad estradosso fondazione

m = (Wimp+Wpulv+0.3×Wpila)/g

= 520.4 kN-massa

massa equivalente

Wfond = 2543 kN peso plinto di fondazione

Nf = Nd + Wfond = 7980kN sforzo normale a intradosso fondazione


Legame forza-spostamento di pila

Il legame tra forza e spostamento per la pila si ricava a partire dal diagramma momento-curvatura della sezione di base. Essendo la sezione delle pile circolare tale legame è utilizzato sia per l’analisi in direzione trasversale che per quella in direzione longitudinale.

A titolo esemplificativo, la Fig. 4.5 riporta il diagramma momento curvatura della sezione di base per la pila di altezza H=8.0m, ottenuto con un apposito programma di calcolo. Per il calcestruzzo e l’acciaio sono stati utilizzati rispettivamente i legami uniassiali di Kent-Scott-Park e bilineare. I valori medi utilizzati per i parametri dei legami tensione-deformazione sono: per il calcestruzzo fc = 25 MPa, εc0 = 2‰, fcu = 20 MPa e εcu = 5‰, per l’acciaio fsy = 400 MPa, εy = 1.9‰, εsu = 40‰, α = 0.0.

La curvatura e il momento ultimi risultano pari a:

uφ ≅ 1.13⋅10-5 mm-1

uM = 16638 kNm

La bilinearizzazione del diagramma con il criterio delle aree uguali richiede il calcolo dell’area (energia) sottesa dal diagramma:

∫ ⋅= u dME φφ

0 ≅ 0.174 kNm/mm

La curvatura di snervamento del diagramma bilineare equivalente è quindi pari a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

uuy M

Eφφ 2 ≅ 1.65⋅10-6 mm-1

1.65

E-0

6

1.13

E-0

5

16638

02000400060008000

1000012000140001600018000

0.0E

+00

2.0E

-06

4.0E

-06

6.0E

-06

8.0E

-06

1.0E

-05

1.2E

-05

φ - mm-1

M -

kN

m

Fig. 4.5 Diagramma momento-curvatura della sezione di base (Hp=8.0).


Il passo successivo consiste nel determinare il legame forza-spostamento della pila. Per l’analisi in direzione trasversale il punto di applicazione della forza si trova nel baricentro delle masse, dato dall’espressione:

( )imppilapulv

impimpppilapulv

WWWHWHWW

H++++

≅3.0

3.0 ≅ 9.47 m

La lunghezza di cerniera plastica è pari a:

pp Hl ×= 1.0 = 0.80 m

Gli spostamenti di snervamento e ultimo alla quota del baricentro delle masse sono dati dalle espressioni (2.24) e (2.25):

νφ

δ3

2Hyy = = 0.041 m

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

2p

pyuyul

Hlφφδδ = 0.111 m

dove 2.1=ν tiene conto della maggiore rigidezza della parte di pila non fessurata. La forza massima è data dall’espressione:

HM

V yy = = 1757 kN

La corrispondente rigidezza risulta pari a:

y

yVk

δ≅ = 42871 kN/m

Il diagramma bilineare forza-spostamento è rappresentato in Fig. 4.6. Nella medesima figura è riportato anche il diagramma valido per l’analisi longitudinale.


0

500

1000

1500

2000

2500

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12

δ [m]

V [

kN

]

trasversalelongitudinale

Fig. 4.6 Diagramma bilineare forza-spostamento della pila di altezza H=8.0 m.

Analisi in direzione trasversale

La determinazione della domanda di spostamento richiede la valutazione del periodo proprio della pila in direzione trasversale (equazione (2.26)):

kmT π2= = 0.692 s

La corrispondente accelerazione spettrale, allo SLV, risulta pari a:

( )TT

FSSaTS CTsgae 0η= = 5.37 m/s2 ( )DC TTT ≤≤

da cui segue la domanda di spostamento (inelastico, ( ) == yae VTmSq / 1.59>1) pari allo spostamento spettrale elastico ( CTT > ):

( )2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

πδ TSTS aedeT = 0.065 m

Le sollecitazioni corrispondenti sono:

yT VV = = 1757 kN

HVM TT = = 16638 kNm


Analisi in direzione longitudinale

Per determinare la risposta in direzione longitudinale è necessario preliminarmente valutare il legame forza-spostamento dell’intero viadotto come somma di quelli delle pile. La Fig. 4.7 riporta i diagrammi forza-spostamento (già bilinearizzati) delle cinque pile, e il diagramma complessivo del sistema con la relativa bilinearizzazione.

risposta longitudinale

P3P2P4P1P5

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

δ [m]

V [

kN

]

Fig. 4.7 Diagramma forza-spostamento in direzione longitudinale.

La resistenza in direzione longitudinale è pari a:

totyV , = 5957 kN

e viene raggiunta per lo spostamento di “snervamento”:

toty ,δ = 0.062 m

calcolato con lo stesso criterio di uguaglianza delle aree già visto con riferimento al diagramma momento-curvatura. La rigidezza longitudinale risulta quindi:

toty

totytot

Vk

,

,

δ= = 96781 kN/m

La massa è pari alla somma delle masse afferenti alle pile:

∑= itot mm = 3059 kN massa


Il periodo in direzione longitudinale, l’accelerazione e lo spostamento spettrali elastici, quest’ultimo pari alla domanda in spostamento, valgono quindi:

tot

tot

km

T π2= = 1.12 s ( )DC TTT ≤≤

( )TT

FSSaTS CTsgae 0η= = 3.33 m/s2

( )2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

πδ TSTS aedeL = 0.105 m> yδ

Il sistema risulta snervato ( ) == yaetot VTSmq / 1.71. Le sollecitazioni domanda valgono pertanto:

yL VV = = 2080 kN

eqLL HVM ≅ = 16638 kNm

4.2.4 Verifica delle pile Le verifiche riportate nel seguito si riferiscono al solo SLV. Le verifiche relative allo SLC conducono, in questo caso, a indici di verifica sostanzialmente uguali.

Meccanismi duttili

A titolo esemplificativo si riporta il calcolo della capacità di spostamento allo SLV per la pila P5 in direzione trasversale (Hp=8.0m):

el

uSLV γ

δδ ×= 75.0 = 0.044 m

dove la divisione dello spostamento uδ per 5.1=elγ fornisce la capacità di spostamento allo SLC e il fattore 0.75 serve a passare da questa alla capacità per lo SLV.

La Fig. 4.8 mostra i diagrammi bilineari forza-spostamento in direzione trasversale e longitudinale, con evidenziati gli spostamenti domanda (uguale per tutte le pile per l’analisi in direzione longitudinale) e capacità.

Nella Tabella 4.4 sono riportati i rapporti domanda-capacità in termini di spostamento, per i due piani di flessione, calcolati per tutte le pile. Nell’ultima colonna è riportata la


combinazione degli indici di verifica trasversale e longitudinale mediante la regola di combinazione SRSS, in accordo all’equazione (2.50).

risposta trasversaleP5

P1

P4P2

P3

0200400600800

100012001400160018002000

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

δ [m]

V [

kN

]

capacitàdomanda

(a)


P3P2

P4

P1

P5

0

500

1000

1500

2000

2500

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

δ [m]V [

kN

]

capacitàdomanda

(b) Fig. 4.8 (a) trasversale, (b) longitudinale.

Tabella 4.4 Rapporti domanda/capacità nelle due direzioni e combinato.

Pila D (m) C (m) ρtrasv D (m) C (m) ρlong ρ

1 0.099 0.099 1.00 0.105 0.084 1.25 1.60

2 0.175 0.215 0.82 0.105 0.193 0.55 0.98

3 0.209 0.272 0.77 0.105 0.248 0.42 0.88

4 0.135 0.152 0.89 0.105 0.133 0.79 1.19

5 0.065 0.055 1.18 0.105 0.044 2.40 2.67

Meccanismi fragili

In accordo con l’espressione (2.42), la resistenza a taglio viene calcolata come somma dei contributi dovuti allo sforzo normale, al calcestruzzo e all’armatura trasversale:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

c

cc

VN

fAN

LxhV

γ55.0;min

2

( )( ) ( ) cc

cVtotplC A

fh

LV

γρµ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−×−= ∆ ;5min16.01100;5.0max16.0;5min05.01 ,

( )cDfpAV

s

YsW 2

4−=

πγ


Nel caso in esame, a titolo esemplificativo per la pila P5, si hanno i valori riportati nella Tabella 4.5.

Tabella 4.5 Calcolo della resistenza a taglio per la pila P5, Hp=8.0m.

h ≅ 3.0 m altezza sezione

VL H= = 9.47 m lunghezza di taglio

x ≅ 0.44 m profondità asse neutro

cA ( ) ( )[ ]22 2.02.22.034/ +−−×= π = 1.63 m2 area sezione (confinata)

cdf = 5.10.25=ccf γ = 16.67 MPa resistenza a compressione cls

ydf 15.1400== syf γ = 347.8 MPa resistenza acciaio

totρ lordacA ,2064φ= = 0.615 % > 0.5 percentuale armatura

pAsw ( ) m2.01222 φ×= = 2260 mm2/m armatura trasversale

N = 5437 kN cc fA55.0≤ = 14945 kN sforzo normale

VN = (3m-0.44m)/(2×9.47m) × N = 0.135 × N = 735 kN

VC = (1-0.05×0.59)×0.16×0.615×(1-0.16×3.16)×√(fc/γc) Ac = 315 kN

VW = 0.785×(3-2×0.1)×(fy/γs) Asw/p = 1729 kN

elγ 15.1=

RV ( ) elWCN VVV γ/++= = 2417 kN resistenza a taglio

I rapporti domanda/capacità per la pila in esame valgono dunque:

R

TTV V

V=,ρ = 1757 / 2417 = 0.68

R

LLV V

V=,ρ = 2080 / 2587 = 0.80

22,, LVTVV ρρρ += = 1.08

La Tabella 4.6 riporta i rapporti per tutte le pile.



Pila D (kN) C (kN) ρtrasv D (kN) C (kN) ρlong ρ

1 1342 2190 0.61 1517 2299 0.66 0.90

2 941 1988 0.47 824 2014 0.41 0.63

3 845 1957 0.43 569 1974 0.29 0.52

4 1106 2041 0.54 1217 2109 0.58 0.79

5 1757 2417 0.73 2080 2587 0.80 1.08

4.2.5 Verifica degli appoggi È necessario verificare che la lunghezza di appoggio sia adeguata, in accordo all’equazione (2.44). A titolo esemplificativo si procede al calcolo della lunghezza necessaria per la campata compresa tra la pila P4 e la pila P5, che distano x = 30 m.

Lo spostamento massimo del suolo alla base di ciascuna pila (suolo uniforme, categoria B, velocità media delle onde di taglio assunta pari a m/s 50030, =sV ) vale dgi=dgj=dg=0.11m (SLV), come indicato in Tabella 4.2. Lo spostamento relativo massimo tra le basi delle pile vale:

( ) ( )( )[ ]( )( )[ ] m 03.0/25.1exp1225.1

/25.1exp17.02

7.0max,,

=−−=

=−−=

sg

sijgrel

Vxd

Vxdxd

Lo spostamento relativo massimo tra le teste pila, dovuto all’oscillazione delle pile stesse vale:

m 25.019.016.0 2225,

24,, =+=+= PLPLsreld δδ

La lunghezza minima di appoggio risulta pari a:

m 68.025.003.040.0 =++=L

4.2.6 Verifica delle fondazioni Il plinto di fondazione della generica pila ha cinque pali (n=5) di diametro ∅1500. Si procede al calcolo delle sollecitazioni di presso-flessione e taglio in ogni palo, per le fondazioni delle cinque pile. Il calcolo, riportato per completezza, non differisce da quello di una fondazione di nuova costruzione.


Calcolo sollecitazioni

Nel seguito si presenta come in precedenza il calcolo dettagliato con riferimento alla pila P5. Lo sforzo normale sul palo soggetto alla variazione maggiore è dato dall’espressione:

22TLpalo NN

nNN ∆+∆±=

nella quale la variazione dello sforzo normale dovuta all’azione sismica è valutata mediante la combinazione direzionale quadratica delle variazioni dovute alle componenti longitudinale e trasversale:

T

TT

L

LL W

MNWMN =∆=∆

dove ML e MT sono i momenti longitudinale e trasversale all’intradosso della fondazione, e WL=WT=9.6m3 i corrispondenti moduli di resistenza a flessione, calcolati nell’ipotesi di plinto rigido.

Lo sforzo normale N all’intradosso della fondazione, già calcolato in precedenza (ultima riga della Tabella 4.3) vale 7980 kN. Quindi sotto i soli carichi verticali lo sforzo normale nel palo generico vale N/n = 1596 kN.

Per effetto del sisma trasversale all’asse del ponte il momento all’intradosso della fondazione è dato dal momento alla base della pila, Mpila,T=14057 kNm, trasportato all’intradosso della fondazione, cui va sommato il momento dovuto all’inerzia della fondazione (Vf =Wf×ag/g =2543×0.31g = 791 kN):

=++=2,,

fffTpilaTpilaT

hVhVMM 16638+1757×2.0+791×1.0 = 20943 kNm

Combinando similmente l’effetto del sisma longitudinale, si ottiene lo sforzo normale sul palo che vale quindi:

kN 313315966.9

215896.9

20943159622

±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±=paloN

Il taglio sul palo vale (essendo i pali circolari è possibile calcolare la combinazione dei tagli domanda invece che dei rapporti domanda/capacità):

kN 7685

79108025

7911757 2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+= LTpalo VVV


Il momento sul palo è dato da (Matlock e Reese):

kNm 267893.0 == λpalopalo VM

dove 5.2≅λ ∅=3.75 m.

Verifica a presso-flessione

I pali sono armati con 2644φ , corrispondenti a una percentuale geometrica di armatura del 1.32%. La Fig. 4.9 riporta il dominio di resistenza a presso-flessione del palo (fc/γc=16.67 MPa, fy/γs=347.8 MPa, εsmax=εy) al limite elastico con i due punti “domanda”. Il rapporto domanda/capacità vale:

( ) ( )( ) ( ) 20.13854,2227min

2678,min max,min,

===NMNM

M

eluelu

paloρ

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

400000 1000 2000 3000 4000 5000 6000

M - kNm

N -

kN

Fig. 4.9 Diagramma N-M palo, verifica SLV.

La verifica è soddisfatta in quanto ρ<1.5 (risposta sostanzialmente elastica).

Verifica a taglio

Il calcolo della resistenza a taglio del palo è analogo a quello del fusto pila e non viene riportato nel dettaglio. L’armatura a taglio è pari a φ12/20, trascurando del tutto il contributo dello sforzo normale (Nmin ~ 0), la resistenza vale :

=RV 946 kN

cui corrisponde un rapporto domanda/capacità pari a :


==R

paloV V

Vρ 768/946 = 0.81

La Tabella 4.7 riporta i rapporti di verifica a pressoflessione e taglio dei pali su tutte le pile.

Tabella 4.7 Rapporti domanda/capacità per pressoflessione e taglio.

Pila DM

(kNm) CM

(kNm) ρM

DV (kN)

CV (kN)

ρV

1 2192 2277 0.96 629 946 0.66

2 1652 2410 0.69 474 946 0.50

3 1484 2491 0.60 426 946 0.45

4 1927 2306 0.84 553 946 0.58

5 2678 2227 1.20 768 946 0.81

4.2.7 Conclusioni La Tabella 4.8 riporta il riepilogo dei risultati di tutte le verifiche effettuate.

Tabella 4.8 Riepilogo rapporti domanda/capacità di tutte le verifiche (SLV).

Elemento Meccanismo Verifica P1 P2 P3 P4 P5

Duttile Spostamento ρδ 1.60 0.98 0.88 1.19 2.67 Fusti pile

Fragile Taglio ρV 0.90 0.63 0.52 0.79 1.08

Limite elastico Pressoflessione ρM 0.96 0.69 0.60 0.84 1.20 Pali


I risultati esposti evidenziano un deficit della struttura in termini di duttilità dei fusti pila, con valori di resistenza a taglio sostanzialmente idonei e che similmente i pali di fondazione sono adeguati a sostenere il livello di azione sismica considerato (ρM<1.5, ρV<1).


Le medesime verifiche svolte per lo stato limite di collasso (SLC), come già accennato, conducono a indici di verifica ρ confrontabili con lo stato limite di salvaguardia della vita (SLV), con una leggera penalizzazione delle verifiche dei pali a causa dell’aumentato contributo dell’inerzia della fondazione (le forze derivanti dalla sovrastruttura sono uguali nei due casi essendo tutte le pile plasticizzate allo SLV).

Tabella 4.9 Riepilogo rapporti domanda/capacità di tutte le verifiche (SLC).







4.3 VIADOTTO CON PILE A FUSTO UNICO: ALLARGAMENTO

4.3.1 Descrizione dell’opera Si esamina l’ipotesi progettuale che prevede l’allargamento della sede stradale del ponte descritto al §4.2. Tra le molteplici soluzioni progettuali si analizza in particolare quella di completa sostituzione degli impalcati esistenti con un impalcato continuo acciaio-calcestruzzo. Tale soluzione sarà ulteriormente differenziata prevedendo l’adozione di dispositivi di appoggio tradizionali o, in alternativa, isolatori elastomerici (§4.3.5).

Dato il deficit delle pile evidenziato già nell’analisi del viadotto allo stato attuale, a causa della scarsa duttilità dei fusti, è logico supporre che anche in caso di sostituzione dell’impalcato tale deficit permanga, benché lo schema strutturale cambi da appoggiato a continuo. Al fine di progettare l’intervento sui fusti pila è necessario valutare preliminarmente il deficit relativo al nuovo impalcato e nuovo schema.

Data la tipologia di impalcato scelto (acciaio-calcestruzzo) l’aggravio complessivo di massa sulle sottostrutture risulta contenuto, da 125 kN/m del vecchio impalcato (larghezza 9.5 m) a 140 kN/m del nuovo (larghezza 12.0 m). Ove non esplicitamente indicato si farà riferimento alle carpenterie ed alle caratteristiche dei materiali relative all’esempio precedente.

6.0

1.0

2.2

12.0

1.6

Fig. 4.10 Sezione del nuovo impalcato a struttura mista acciaio-calcestruzzo.

4.3.2 Analisi Trattandosi di un viadotto continuo in cui il primo modo di vibrazione in entrambe le direzioni ha una massa partecipante superiore all’80% (vedi Tabella 4.10), è possibile impiegare come metodo di analisi il pushover mono-modale (per ciascuna direzione del sisma) presentato in 2.4.4.


Nel caso specifico sono stati istituiti due modelli di calcolo non lineari: uno a con modellazione a fibre della sezione trasversale, utilizzando il codice di calcolo OpenSees, e l’altro con modellazione delle sezioni mediante legami M-φ utilizzando il codice di calcolo commerciale Sap2000. Opportunamente impiegato (legami M-φ tri-lineari, cerniere plastiche multiple lungo l’elemento) il programma commerciale fornisce risultati in eccellente accordo con il programma a fibre.

Fig. 4.11 Modello di calcolo

Il primo passo della procedura prevede l’analisi modale della struttura. La Tabella 4.10 riporta le informazioni più importanti per i due modi rispettivamente trasversale e longitudinale (riportati in Tabella 4.10), ed in particolare quelle utili ad eseguire la procedura di trasformazione delle curve di pushover in oscillatori equivalenti (fattori di partecipazione Γ e spostamento modale massimo nel grado di libertà di controllo φc, scelto come quello di massima ordinata modale, che in entrambi i casi è quello, trasversale o longitudinale, del nodo di impalcato sulla pila centrale4).

Tabella 4.10 Caratterizzazione modale.

Modo T (s) Mx (%) My (%) Γx (m-1) Γy (m-1) φc (m)

1 0.724 0.0% 83.4% 0.0 -55.455 -0.0283 (uy)

2 0.485 90.0% 0.0% 57.604 0.0 0.0182 (ux)

4 Si osserva che entrambi i programmi di calcolo utilizzati normalizzano i modi di vibrazione imponendo la condizione 1=MφφT , pertanto l’ordinata modale cφ nel grado di libertà di controllo non risulta pari a 1.


Fig. 4.12 Deformata elastica modo 1 (trasversale) – pianta

Fig. 4.13 Deformata elastica modo 2 (longitudinale) – prospetto

Il secondo passo della procedura prevede due analisi di tipo pushover, una per ciascuno dei due modi significativi, realizzata in controllo di spostamento con una distribuzione di forze proporzionali al prodotto delle masse per la corrispondente deformata modale.

Diagrammando la reazione vincolare totale V (nella direzione del g.d.l. considerato) ed il corrispondente spostamento del nodo di controllo δ, si ottiene la curva in Fig. 4.14 (relativa al modo 1):

0

2000

4000

6000

8000

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

δ - m

V -

kN

Fig. 4.14 Curva di pushover modo 1

Tale curva viene trasformata nella curva di un oscillatore equivalente mediante le (2.33) e (2.34):

Γ= /* VV = V / 55.455 m-1

( )cφδδ Γ= /* = u / (55.455 m-1 × 0.0284 m)


La procedura di bilinearizzazione, le cui espressioni sono già state illustrate in precedenza, va eseguita in maniera iterativa in modo che lo spostamento massimo della bilatera coincida con il valore di domanda massima calcolato. Il risultato dell’ultima iterazione è riportato di seguito e illustrato in Fig. 4.15.

=*yδ 0.073 m

=−*

1max,iδ 0.111 m

=*yV 118.5 kNm

*

**

y

yVk

δ= = 1623.3 kN

*m = 55.455 kN s2

*

*

2kmT π= = 1.161 s ( )DC TTT ≤≤

( )TSde=*maxδ = 0.109 m ≅ 0.111 m

dove ( )TSde è lo spettro elastico relativo allo stato limite SLV.

Lo spostamento della struttura reale, in corrispondenza dell’azione considerata (SLV), vale quindi:

( )cφδδ Γ= *maxmax = 0.109m ⋅ (55.455m-1×0.0284m) = 0.172 m

Si noti che il valore della m* coincide numericamente con il valore del fattore di partecipazione Γ in quanto i modi sono normalizzati rispetto alle masse. Le due espressioni hanno unità di misura differenti:

( ) ( )MφφM1φM1φ TTTm =Γ≠=*


020406080

100120140

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

δ ∗ - m

V* -

kN

m

0

2000

4000

6000

8000

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

δ - m

V -

kN

domanda

Fig. 4.15 Sinistra: curva dell’oscillatore equivalente e relativa bilinearizzazione (modo 1);

destra: domanda di spostamento nella struttura reale.

Svolgendo il medesimo calcolo per il secondo modo, si ottiene:

( )cφδδ Γ= *maxmax = 0.079m ⋅ (57.604m-1 × 0.0182m) = 0.083 m

020406080

100120140

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

δ ∗ - m

V* -

kN

m

0

2000

4000

6000

8000

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

δ - m

V -

kN

domanda

Fig. 4.16 Curva oscillatore equivalente e relativa bilinearizzazione

4.3.3 Verifica delle pile Le verifiche riportate nel seguito si riferiscono al solo SLV, poiché come già osservato le verifiche relative allo SLC conducono, anche in questo caso, a indici di verifica sostanzialmente uguali.

Le grandezze di spostamento nelle successive verifiche sono relative al passo 35 per l’analisi in direzione trasversale (per cui lo spostamento nel grado di libertà di controllo uguaglia 0.172m) e al passo 17 per l’analisi in direzione longitudinale (per cui lo spostamento nel grado di libertà di controllo uguaglia 0.083m).


Meccanismi duttili

Il calcolo della capacità delle pile in termini di spostamento è analogo a quello dell’esempio precedente e non viene riportato nel dettaglio. Si evidenzia solo il fatto che tale capacità cambia in quanto a parità di sezione trasversale è cambiato lo sforzo normale (impalcato più pesante e su uno schema continuo). Si riporta nella Tabella 4.11 il riepilogo dei risultati per tutte le pile.


Pila D (m) C (m) ρtrasv D (m) C (m) ρlong ρ

1 0.071 0.095 0.74 0.081 0.080 1.01 1.26

2 0.133 0.212 0.63 0.080 0.190 0.42 0.75

3 0.149 0.266 0.56 0.080 0.241 0.33 0.65

4 0.110 0.150 0.73 0.081 0.131 0.62 0.96

5 0.049 0.053 0.91 0.077 0.042 1.86 2.07

La Fig. 4.17 mostra i diagrammi forza-spostamento in direzione trasversale e longitudinale di tutte le pile, con evidenziati gli spostamenti domanda derivanti dall’analisi non lineare e capacità derivanti dal calcolo già illustrato.

risposta trasversale

P3P2P4P1

P5

0

500

1000

1500

2000

2500

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

δ [m]

V [

kN

]

capacità

domanda

(a)


P3P2P4

P1

P5

0

500

1000

1500

2000

2500

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

δ [m]

V [

kN

]

capacitàdomanda


Come anticipato il deficit di duttilità riscontrato per il ponte nell’analisi dello stato di fatto permane anche nell’allargamento.

Per garantire il soddisfacimento di tutte le verifiche si esamineranno nei paragrafi successivi due approcci differenti: un intervento di rinforzo sui fusti pila e l’isolamento sismico dell’impalcato.


4.3.4 Intervento di incremento di duttilità delle pile L’intervento proposto mira ad aumentare la duttilità delle pila mediante fasciature con fibre di carbonio della parte inferiore del fusto (dove si forma la cerniera plastica). Si aumenta la duttilità in curvatura della sezione della pila, che governa la duttilità in spostamento complessiva, aumentando la deformazione ultima di rottura del calcestruzzo per effetto del confinamento delle fibre.

In accordo con la CNR-DT 200/2004 §4.5, è possibile quantificare l’effetto benefico del confinamento mediante, ad esempio, le seguenti espressioni:

Dt f

f

4=ρ

ridfdffeff Eff ,1,1 21 ερ=≅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

3/2,16.21c

effccc f

fff

c

effccu f

f ,115.00035.0 +=ε

dove ρf è la percentuale geometrica di rinforzo, tf lo spessore della fasciatura, D il diametro della pila, Ef il modulo di Young delle fibre, f1,eff la pressione effettiva di confinamento, εfd,rid la deformazione ridotta di calcolo del composito fibro-rinforzato, fc ed εccu, la resistenza e la deformazione ultima del calcestruzzo confinato dalle fibre.

Assumendo valori correnti per i parametri delle fibre (Ef = 235 GPa, εfd,rid = 0.004), si rappresenta in Fig. 4.18 il beneficio sul calcestruzzo confinato in funzione dello spessore di fibre impiegate5.

L’intervento di fasciatura non può essere risolutivo per la pila P5 che esibisce un deficit di duttilità in spostamento ρδ pari a 2.2 (Fig. 4.18b), equivalente ad un deficit in curvatura (~2.5) e quindi di materiale ancor più grande. Per tale ragione l’intervento proposto prevede la fasciatura solo delle pile da P1 a P4 e l’impiego di dispositivi di appoggio

5 Nell’espressione della deformazione ultima del calcestruzzo si è utilizzato a titolo prudenziale il valore della base della deformazione del calcestruzzo pari al 3.5‰, in luogo del valore assunto nella valutazione dello stato attuale, pari al 5‰.


mobili sulla pila P5, al fine di disaccoppiare l’impalcato (Fig. 4.19, nella quale è indicata un’altezza di fasciatura di poco superiore alla lunghezza di cerniera plastica).

05

1015202530354045

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

tf - mm

f cc -

MP

a

(a)

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

tf - mm

εccu

(b) Fig. 4.18 (a) resistenza del cls confinato, (b) deformazione ultima del cls confinato.

appoggimobili

fasciatura fibre

Fig. 4.19 Schema intervento.

Si adotta una fasciatura con uno spessore equivalente da ~1 mm, tale da incrementare la deformazione ultima del calcestruzzo εccu fino a ~0.0069 e la sua resistenza di picco fcc fino a 33.8 MPa. I due diagrammi momento-curvatura, con e senza effetto del confinamento, sono rappresentati nella Fig. 4.20. L’incremento di curvatura ultima è pari a circa il 50% rispetto alla sezione non confinata (1.57/1.05 ≅ 1.5).

L’analisi di pushover presentata al paragrafo precedente è stata ripetuta variando i parametri meccanici del calcestruzzo e lo schema di vincolo degli appoggi. La Fig. 4.21 mostra i diagrammi forza-spostamento in direzione trasversale e longitudinale delle prime quattro pile. L’esame dei risultati indica che un affinamento finale del progetto potrebbe consentire di ridurre o eliminare completamente la fasciatura sulle pile P2 e P3.

La risposta della pila P5, eccitata da un modo proprio superiore, è valutata mediante un calcolo a mano simile a quello presentato nell’analisi dello stato di fatto, avendo cura di togliere la massa dell’impalcato per il calcolo delle forze di inerzia. La Tabella 4.12 riporta il riepilogo dei risultati di tutte le verifiche effettuate.


2.02

E-0

6

1.57

E-0

5

18775

0

5000

10000

15000

20000

0.0E

+00

2.0E

-06

4.0E

-06

6.0E

-06

8.0E

-06

1.0E

-05

1.2E

-05

1.4E

-05

1.6E

-05

1.8E

-05

φ - mm-1

M -

kN

mconfinatonon confinato

Fig. 4.20 Diagramma momento-cruvatura della sezione di base della pila P1 (H=11.15 m).

risposta trasversale

P1P4

P2 P3

0

500

1000

1500

2000

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

δ [m]

V [

kN]

capacità

domanda

(a)

risposta longitudinaleP1

P4P2

P3

0

500

1000

1500

2000

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

δ [m]

V [

kN

]

capacità

domanda



Elemento Meccanismo Verifica P1 P2 P3 P4 P5(*)




Fragile Taglio ρV 0.69 0.53 0.49 0.61 0.56 (*)risultati da analisi semplificata


4.3.5 Isolamento sismico In questo paragrafo si analizza una soluzione alternativa di adeguamento mediante isolamento sismico. Si fa riferimento alla soluzione più comune che consiste nell’utilizzo di dispositivi elastomerici ad alta dissipazione.

Le sollecitazioni nella sottostruttura di un ponte isolato sono dovute alla combinazione di quelle trasmesse dall’impalcato attraverso il sistema di isolamento e di quelle dovute alla risposta dinamica delle pile secondo i modi propri di vibrazione. Un’analisi preliminare delle pile considerate libere in sommità è utile in quanto permette di valutare che parte della resistenza delle pile è già impegnata dai modi propri.

Il calcolo della risposta delle pile prese singolarmente è effettuato in accordo alla procedura semplificata (§4.2), nella quale la massa mp è pari a quella del pulvino e a un’aliquota di quella del fusto. Lo sforzo normale per il calcolo della resistenza della sezione di base include invece il peso dell’impalcato.

La Fig. 4.22 riporta il dominio di resistenza a presso-flessione delle pile (fc/γc=16.67 MPa, fy/γs=347.8 MPa, εsmax=εy) al limite elastico. Il momento massimo al limite elastico, valutato per uno sforzo normale medio di tutte le pile (~6275 kN), è pari a My ≅ 9000 kNm.

-100000

10000200003000040000500006000070000

0 5000 10000 15000 20000 25000

M - kNm

N -

kN

Fig. 4.22 Diagramma N-M delle pile al limite elastico.

La Tabella 4.13 riporta il riepilogo dei risultati per tutte le pile. La tabella riporta, nell’ordine, l’altezza, la massa, la rigidezza, il periodo, l’accelerazione e lo spostamento spettrali, il taglio e il momento alla base di ogni pila. L’indice ρM = √2Mp/My rappresenta il rapporto domanda/capacità, in cui il fattore √2 tiene conto della combinazione (SRSS) degli effetti delle due componenti ortogonali dell’azione sismica (pila circolare). Tale rapporto indica l’aliquota di resistenza impegnata dai modi propri. L’analisi della tabella evidenzia che le pile uscirebbero dal campo elastico anche per il solo effetto dei modi propri. Se ne conclude che, dovendo la sottostruttura rimanere sostanzialmente elastica


nella soluzione con isolamento, sarà comunque necessario un intervento di incremento della resistenza delle pile.

Tabella 4.13 Riepilogo rapporti domanda/capacità di tutte le pile (SLV).

Pila H m k T Sa Sd Vp Mp ρΜ

m kN/g kN/m s m/s2 m kN kNm −

1 11.15 146 28313 0.45 7.98 0.041 1165 12994 2.04

2 17.10 161 7849 0.90 4.13 0.085 665 11373 1.79

3 19.47 167 5318 1.11 3.34 0.105 557 10852 1.71

4 14.10 153 14001 0.66 5.65 0.062 867 12229 1.92

5 8.00 138 76655 0.27 7.98 0.014 1103 8821 1.39

Nel caso in esame è possibile modellare gli isolatori con caratteristiche elastiche secanti. La rigidezza, della coppia di isolatori in testa a ogni pila, viene stimata, trascurando la flessibilità delle pile in prima approssimazione, in modo da ottenere un periodo isolato minimo pari a Tis~2.2 s:

22

2.2230/1402

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

sgmmkN

TgWk

isis

ππ≅ 3500 kN/m

La selezione della tipologia di dispositivo tra quelle in produzione corrente richiede di determinare la deformazione massima attesa e il carico verticale agente sull’isolatore. Per uno smorzamento equivalente ξ del 10%, la deformazione attesa dei dispositivi (due componenti ortogonali dell’azione sismica) è pari a :

%10,,2 ξδ SLVdeis S⋅= ≅ 0.24 m

mentre il carico verticale sul singolo appoggio è 140×30/2=2100kN.

La Fig. 4.23 mostra il modello di calcolo utilizzato per l’analisi. La Tabella 4.14 riporta periodi e masse partecipanti dei principali modi di vibrazione della struttura. Sono stati inclusi nell’analisi 22 modi, i primi quattro relativi alla risposta globale dell’impalcato (di cui i modi 3 e 4, corrispondenti rispettivamente a un moto rigido di rotazione intorno a un asse verticale baricentrico e al primo modo flessionale dell’impalcato, hanno massa partecipante trascurabile), i rimanenti che coinvolgono singolarmente le pile.


Fig. 4.23 Modello di calcolo

Tabella 4.14 Caratterizzazione modale.

Modo T (s) Mx (%) My (%) Γx Γy

1 2.31 0.000 0.753 0.000 -53.129

2 2.18 0.754 0.000 -53.177 0.000

3 1.83 0.000 0.001 0.000 -2.080

4 0.96 0.000 0.003 0.000 3.467

5 0.72 0.025 0.000 9.662 0.000

6 0.67 0.000 0.027 0.000 -10.057

7 0.62 0.031 0.000 10.763 0.000

8 0.58 0.000 0.030 0.000 -10.523

9 0.48 0.035 0.000 -11.455 0.000

10 0.46 0.000 0.034 0.000 -11.301

12 0.34 0.037 0.000 11.747 0.000

13 0.33 0.000 0.035 0.000 11.450

19 0.21 0.037 0.000 -11.701 0.000

20 0.20 0.000 0.035 0.000 -11.482

Fig. 4.24 Deformata modo 1 (trasversale) – pianta.


Fig. 4.25 Deformata modo 2 (longitudinale) – prospetto.



La Tabella 4.15 riporta il riepilogo delle sollecitazioni agenti alla base delle pile, assumendo: una combinazione modale di tipo CQC, una combinazione direzionale delle due componenti sismiche di tipo SRSS ed uno smorzamento del 10% solo sui primi quattro modi di vibrare e un fattore q=1.5 (risposta della sottostruttura sostanzialmente elastica). Sulla base di tali sollecitazioni è stato dimensionato il rinforzo mostrato in Fig. 4.28 e Fig. 4.29.

Tabella 4.15 Sollecitazione alla base delle pile.

Pila Fx

(kN) Fy

(kN) |F| (kN)

Mx (kNm)

My (kNm)

|M| (kNm)

1 833 804 1158 8653 8744 12302

2 588 605 844 9652 9248 13367

3 478 510 699 9227 8543 12575

4 780 776 1100 10237 10175 14434

5 833 802 1156 6447 6382 9072


3.00.4 2.2 0.4

32+

32Ø

20

3.4

32Ø

30

Fig. 4.28 Sezione pila rinforzata

rinforzo

5.6

8.6

9.7 7.

1 4.0

Fig. 4.29 Schema rinforzo

Verifica a presso-flessione

La Fig. 4.30 riporta il dominio di resistenza a presso-flessione al limite elastico (fc/γc=16.67 MPa, fy/γs=347.8 MPa, εsmax=εy) della sezione di base delle pile e la Fig. 4.31 quello della sezione immediatamente superiore ai rinforzi, con i punti “domanda” relativi alle varie pile (ridotti del fattore q=1.5). I corrispondenti rapporti D/C sono riportati in Tabella 4.16.

-20000

0

20000

40000

60000

80000

1000000 10000 20000 30000 40000 50000

M - kNm

N -

kN

Fig. 4.30 verifica SLV, diagramma N-M della pila sezione (a) di base, rinforzata, (b)

immediatamente sopra il rinforzo.


-20000

0

20000

40000

60000

80000

1000000 10000 20000 30000 40000 50000

M - kNm

N -

kN

Fig. 4.31 verifica SLV, diagramma N-M della pila sezione (a) di base, rinforzata, (b) immediatamente sopra il rinforzo.

Tabella 4.16 Rapporti D/C totali per la sezione (a) di base rinforzata (b) immediatamente al di sopra del rinforzo.

Pila D (kNm) C (kNm) ρ D (kNm) C (kNm) ρ

1 12302 17401 0.71 5949 8989 0.66

2 13367 17343 0.77 6312 8760 0.72

3 12575 17701 0.71 5932 8917 0.67

4 14434 17105 0.84 6826 8695 0.79

5 9072 17151 0.53 4520 8927 0.51

Meccanismi fragili

La verifica della capacità a taglio non differisce da quanto già visto negli esempi precedenti. La Tabella 4.17 riporta il riepilogo dei risultati per tutte le sezioni di base delle pile (q=1.5).


Pila D (kN) C (kN) ρtrasv D (kN) C (kN) ρlong ρ

1 804 3825 0.21 833 3825 0.22 0.30

2 605 3202 0.19 588 3202 0.18 0.26

3 510 3183 0.16 478 3183 0.15 0.22

4 776 3473 0.22 780 3473 0.22 0.32

5 802 4228 0.19 833 4228 0.20 0.27


Il rinforzo ipotizzato (camicia di calcestruzzo di 20cm e staffatura φ12/20) aumenta sensibilmente la capacità a taglio del fusto pila.

Verifica dei dispositivi La Tabella 4.18 riporta il riepilogo delle deformazioni degli isolatori (q=1). Tabella 4.18 Deformazione isolatori longitudinale, trasversale e totale.

Pila δis,L (m) δis,T (m) δis,tot (m)

1 0.164 0.162 0.231

2 0.141 0.149 0.206

3 0.127 0.137 0.187

4 0.156 0.161 0.224

5 0.172 0.159 0.234

Verifica delle fondazioni La verifica della capacità dei pali non differisce da quanto già visto negli esempi precedenti. La Tabella 4.19 riporta i rapporti di verifica a pressoflessione e taglio dei pali su tutte le pile. Nella verifica è utilizzato un q=1 anche se non strettamente richiesto dalla norma (l’Eurocodice 8 o il DM2008 richiedono una risposta sostanzialmente elastica, q=1.5).

Tabella 4.19 Rapporti domanda/capacità per pressoflessione e taglio.

Pila DM (kNm) CM (kNm) ρM DV(kN) CV (kN) ρV

1 2022 2543 0.80 571 940 0.61

2 1688 2505 0.67 477 940 0.51

3 1535 2587 0.59 433 940 0.46

4 1960 2411 0.81 554 940 0.59

5 2020 2688 0.75 571 940 0.61

Riepilogo risultati La Tabella 4.20 riporta il riepilogo dei risultati di tutte le verifiche effettuate.




Limite elastico Pressoflessione ρM 0.71 0.77 0.71 0.84 0.53 Fusti pile





4.4 VIADOTTO CON PILE A TELAIO

4.4.1 Descrizione dell’opera Il viadotto oggetto dello studio si trova sull’autostrada A1 nel tratto Firenze-Bologna in località Roncobilaccio (BO), a cavallo del torrente Rio Torto dal quale prende nome, ed è stato costruito intorno alla fine degli anni ’50 (Fig. 4.32).

Il viadotto è composto da 12 stilate di pile a telaio di altezza variabile tra i 41 m al centro del viadotto e i 13.8 m in prossimità della spalla dal lato Firenze. Le campate sono 13 di cui le iniziali, sia dal lato Firenze che dal lato Bologna, misurano 29.05 m, mentre le restanti hanno luci di 33.00 m; pertanto lo sviluppo complessivo dell’opera è di 421 m (Fig 4.34).

Fig. 4.32 Foto del viadotto

La struttura presenta due impalcati affiancati, realizzati in calcestruzzo armato ordinario ciascuno costituito da una trave con sezione a “pi greco” di altezza 2.75 m (Fig. 4.33). La continuità dell’impalcato è interrotta, longitudinalmente, da seggiole tipo “Gerber” nella seconda, settima e dodicesima campata (Fig. 4.33b, 4.34).

24 m

Fig. 4.33 Geometria dell’impalcato

Anche le pile sono realizzate in calcestruzzo armato con barre lisce ancorate mediante ganci. Ciascuna delle pile è costituita da due pilastri a sezione circolare piena o cava, con diametro esterno variabile tra 120 e 160 cm, collegati, ad altezze differenti, da uno o più traversi intermedi ed in sommità da una trave-pulvino, sulla quale poggia il singolo impalcato. I trasversi presentano tre tipologie dimensionali: 40 × 120 cm, 40 × 130 cm ed

(a)(b)


infine 40 × 150, mentre le travi di pulvino, uguali per tutte le pile, hanno sezione ad U rovescia con ringrossamenti in prossimità dei pilastri. A titolo d’esempio la figura 4.36 mostra lo schema di due delle pile (n° 8 e 12). La prima è costituita da pilastri circolari cavi con diametro esterno di 160 cm e diametro interno di 100 cm, armati longitudinalmente con 20φ20 esterni, 14φ16 interni e staffe a spirale φ6/14. La seconda ha colonne circolari piene con armatura longitudinale costituita da 16φ20 e staffe a spirale φ6/14.

spalla BO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 spalla FI

piena

piena pienapiena

pienapienapiena

cava

cava cavacava

cava

17,

35

30,6

1

30,4

9

26,7

5

27,8

6

39,

41

41,

34

36,

49

25,7

4

17,1

9

14,3

7

13,

8

275

29,05 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 29,05

Fig. 4.34 Prospetto longitudinale: le selle Gerber sono indicate in rosso.

Per tutti i trasversi l’armatura longitudinale è composta, in prossimità dei nodi, da 4φ24 + 8φ20 superiori e inferiori, che si riducono a 4φ24 superiori e inferiori nella mezzeria, mentre l’armatura trasversale è costituita da staffe a due bracci φ8 con passo variabile (10 cm ai nodi e 14 cm in mezzeria) e da 3 barre φ20 piegate a 45°. Il pulvino, in prossimità dei nodi, ha sezione rettangolare 120 × 120 cm con armatura longitudinale composta da 4φ24 + 8φ20 superiori e inferiori e armatura trasversale costituita da staffe φ8. In mezzeria la trave presenta una sezione ad U rovesciata con anime di spessore 30 cm e soletta di collegamento di 20 cm di spessore.

Fig. 4.35 Immagini del viadotto


Fig. 4.36 Particolari armature pile

Le fondazioni sono costituite da plinti isolati in cemento armato collegati tra loro da cordoli (fig. 4.35b). Ciò suggerisce evidentemente la presenza di un terreno di ottima portanza anche se la documentazione tecnica disponibile dell’opera non contiene informazioni a riguardo. Inoltre, a causa dell’orografia del terreno, i plinti si trovano spesso posizionati su quote diverse anche nell’ambito della singola pila.

4.4.2 Definizione dell’azione sismica Trattandosi di un viadotto di importanza notevole da un punta di vista storico si ritiene di assegnargli una vita nominale VN di 100 anni (questa decisione ha carattere puramente esemplificativo poiché l’attribuzione della vita nominale attiene all’autorità preposta). Poiché il viadotto fa anche parte di un tratto della viabilità principale (strada di categoria A/B) ad esso corrisponde una classe d’uso IV, per cui CU vale 2.0. La vita di riferimento è


quindi VR = VN × CU = 200 anni. La tipologia delle fondazioni indica un terreno con VS,30>500m/s e quindi di categoria almeno B e un coefficiente di amplificazione topografica ST=1. I parametri caratterizzanti lo spettro elastico delle due componenti orizzontali (quella verticale sarà trascurata), e per lo stato limite di collasso (SLC: probabilità di superamento in VR pari al 5%, da cui TR = 1950 anni) dedotti sulla base delle coordinate geografiche della località Rio Torto, sono riportati nella Tabella 4.21. La figura 4.37 mostra il grafico dello spettro corrispondente.

Tabella 4.21. Parametri dello spettro di risposta elastico in accelerazione

SL ag (g) F0 T*C SS S TB CC TC TD dg (m)

SLC 0.31 2.45 0.318 1.09 1.09 0.147 1.386 0.441 2.868 0.105

0 2 4 6 8Periodo (s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Acc

eler

azio

ne (g

)

Fig. 4.37 Spettro elastico in accelerazione nel sito del ponte Rio Torto (TR = 1950 anni).

Gli accelerogrammi naturali utilizzati per analisi dinamiche non lineari della pila secondo le due direzioni principali sono stati selezionati all’interno dello Strong Motion Catalogue del Pacific Earhquake Engineering Research Center (http://peer.berkeley.edu/smcat/) nel rispetto delle condizioni seguenti: intervallo di Magnitudo 6.5-7.5, distanza dalla faglia compresa tra 15 e 30 km, suolo tipo B, PGA compresa tra 0.1 e 0.5g.

Poiché il primo periodo naturale del ponte è di oltre 4 s, è necessario selezionare delle registrazioni che siano significative nel campo delle basse frequenze; questo porta automaticamente a scartare la maggior parte delle registrazioni di eventi meno recenti, poiché generalmente sono state processate con filtri passa-alto con frequenza di taglio


superiore a 0.2Hz (Corrispondente ad un periodo di 5 s). A causa di questo taglio, queste registrazioni hanno un contenuto in frequenza eccessivamente basso sui lunghi periodi, che sono quelli più significativi per la struttura in esame.

Con queste cautele, sono stati selezionate le registrazioni riportate nella Tab. 4.22 Tabella 4.22. Elenco delle registrazioni selezionate

Evento Data Mag. Stazione Dist.

(km)

Filtro

(Hz)

Sigla

Duzce, Turkey 12/11/99 7.1 1061 15.6 0.07 1061

Chi-Chi, Taiwan 20/09/99 7.6 CHY029 15.3 0.03 CHY029

Chi-Chi, Taiwan 20/09/99 7.6 TCU045 24.1 0.03 TCU045

Chi-Chi, Taiwan 20/09/99 7.6 TCU070 19.1 0.03 TCU070

Landers 28/06/92 7.3 23 Coolwater 21.2 0.1 CLW

Landers 28/06/92 7.3 12149 Desert Hot Springs 23.2 0.07 DSP

Cape Mendocino 25/04/92 7.1 89486 Fortuna 23.6 0.07 FOR

Northridge 17/01/94 6.7 90058 Sunland 17.7 0.05 GLE

Northridge 17/01/94 6.7 24688 LA - UCLA 15.0 0.08 UCL

Imperial Valley 15/10/79 6.5 6604 Cerro Prieto 26.5 0.1 H-CPE

In questo caso si è ritenuto di adoperare la procedura seguente: ciascuno dei 20 accelerogrammi selezionati (10 coppie delle componenti orizzontali del moto) è stato scalato in modo da approssimare lo spettro normativo nell’intervallo dei periodi tra 0.5 e 8 secondi; questa scalatura di base è stata poi leggermente corretta per rispettare la richiesta che lo spettro medio di ciascun set di 10 accelerogrammi non scenda in alcun punto, tra 0.2 e 8 secondi, sotto il 90% dello spettro normativo. I valori adottati per i coefficienti di scalatura, compresi tra 0.704 e 4.78, sono riportati nella Tabella 4.23.

Le storie temporali dei due insiemi di accelerogrammi scalati sono riportate nelle Figure 4.38 e 4.39.


0 20 40 60t (s)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.2

0

0.2-0.2

0

0.2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0

0.2

a g (g

)

-0.2

0

0.2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.2

0

0.2-0.4-0.2

00.20.4

1061-N

CHY029-N

CLW-TR

DSP000

FOR000

GLE-170

H-CPE147

TCU045-N

TCU070-N

UCL360

Fig. 4.38 Storie accelerometriche del primo insieme di registrazioni, dopo la

normalizzazione.


0 20 40 60t (s)

-0.4

0

0.4

-0.20

0.2-0.2

0

0.2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0

0.2

a g (g

)

-0.2

0

0.2-0.4

-0.2

0

0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.40

0.2-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1061-E

CHY029-W

CLW-LN

DSP090

FOR090

GLE-260

H-CPE237

TCU045-W

TCU070-W

UCL090

Fig. 4.39 Storie accelerometriche del secondo insieme di registrazioni, dopo la normalizzazione.


Tabella 4.23 Coefficienti di scalatura delle 20 registrazioni selezionate

1061 CHY029 TCU045 TCU070 CLW DSP FOR GLE UCL H-CPE

4.16 0.773 1.36 0.704 0.91 2.74 2.07 2.67 1.33 2.62

4.78 1.05 1.68 0.99 1.52 2.03 1.78 2.93 3.27 1.92

0.01 0.1 1 10 100T (s)

0.01 0.1 1 10 100T (s)

0.001

0.01

0.1

1

S a (g

)

0.001

0.01

0.1

1

10

S a (g

)

Insieme 1 Insieme 2

Fig. 4.40 Spettri di risposta delle dieci coppie di accelerogrammi. Spettri medi e di

riferimento (sopra) e spettri di tutti gli accelerogrammi e loro media (sotto).

In Figura 4.40 sono invece rappresentati gli spettri dei due blocchi di dieci accelerogrammi; nella parte inferiore della figura sono riportati gli spettri di tutte le storie di accelerazione insieme alla loro media ed allo spettro normativo. Per maggior chiarezza, nei due grafici superiori sono rappresentati solamente lo spettro medio e quello di norma; come si può vedere gli spettri medi così ottenuti, in particolare quello dell’insieme 1, approssimano con buona accuratezza lo spettro di riferimento, almeno fino a periodi di 4


secondi; per periodi superiori lo spettro medio sovrastima in modo sensibile quello normativo; ciò è fondamentalmente dovuto all’impiego di registrazioni derivate da eventi con magnitudo di oltre 7.5, in particolare quelle relative al terremoto di Chi-Chi del 1999, per le quali il contenuto in frequenza dello spettro è notevolmente spostato verso gli alti periodi. È anche utile osservare che, almeno per i periodi compresi nell’intervallo tra 0.5 e 4 secondi, la dispersione degli spettri non è molto ampia; questo evidentemente è conseguenza dalla strategia di normalizzazione seguita, per cui si è cercato di minimizzare lo scarto tra lo spettro di riferimento e quello di ciascuna registrazione, non soltanto di quello medio.

4.4.3 Metodo di analisi Per la verifica del viadotto in esame è stato impiegato il metodo dell’analisi dinamica non lineare. Tale metodo è il più impegnativo per la valutazione delle strutture da ponte; esso richiede l’impiego di un codice di calcolo affidabile e un’accurata modellazione della struttura e delle sue connessioni. I risultati, sotto forma di storie temporali delle risposte (forze, spostamenti, tensioni, deformazioni) sono molto voluminosi e richiedono un idoneo strumento di post-processing perché possano essere utilmente usati per la verifica dell’opera.

In precedenza sono stati illustrati i criteri di selezione delle due decuple di accelerogrammi che sono stati utilizzati per le analisi. La terza componente (verticale) del moto è stata trascurata, avendo ritenuto che fosse scarsamente influente sul comportamento della struttura.

Il modello della struttura sommariamente descritta in precedenza è stato inserito nel codice ad elementi finiti OpenSEES. Gli elementi delle pile (fusti, trasversi, pulvini) sono stati modellati mediante elementi a fibre. Alle fibre di calcestruzzo è stato assegnato il modello di Kent e Park privo di resistenza a trazione, mentre per l’acciaio è stata usata la legge Giuffré-Menegotto-Pinto. Le caratteristiche dei materiali sono state dedotte dalle informazioni contenute nella documentazione tecnica. In particolare al calcestruzzo non confinato è stata assegnata una resistenza di 30 MPa ed un modulo elastico tangente di 30 GPa, mentre all’acciaio, previsto di classe AQ42, è stata assegnata una tensione di snervamento di 350 MPa ed un modulo elastico di 200 GPa. Si è ritenuto che le informazioni disponibili fossero sufficientemente attendibili e dettagliate da poter raggiungere il livello di conoscenza 3 (FC=1).

La connessione impalcato-pile è stata rappresentata con due cerniere poste in corrispondenza delle stilate dei pilastri (Fig. 4.41); le selle Gerber sono invece modellate come elementi gap a comportamento rigido-plastico.

Per ragioni di efficienza del calcolo, nel modello globale dell’intero ponte e in particolare nei trasversi, non è stato inserito il meccanismo di rottura a taglio; inoltre il comportamento globale della pila non cambia significativamente se si realizza l’uno o


l’altro dei due meccanismi di flessione o taglio (che peraltro hanno resistenze molto prossime tra loro).

L’integrazione è stata condotta con il metodo di Newmark e l’algoritmo di Krylov-Newton. Per facilitare la convergenza è stato scelto un passo di integrazione piuttosto piccolo (0.0025 s). Lo smorzamento viscoso, del 3%, è stato modellato alla Rayleigh.

Fig. 4.41 Connessione pila-impalcato Fig. 4.42 Modello agli E.F. del ponte

L’impalcato è stato modellato con elementi di trave elastici, utilizzando quattro elementi per ogni campata. In prossimità delle stilate l’asse delle travi è stato collegato ai pilastri delle singole pile mediante connessioni di tipo rigido, così come indicato in figura 4.41. Il modello dell’intero ponte è rappresentato schematicamente in figura 4.42.

Carichi e masse

La massa dell’impalcato, pari a 200 kN/m, è stata concentrata nei nodi di estremità delle travi di impalcato e nei nodi di sommità delle pile. Sulle pile sono stati poi applicati i carichi verticali corrispondenti alle masse di impalcato che competono ai pilastri di ogni pila, i cui valori sono indicati in tabella 4.24.

Tabella 4.24. Valori del carico verticale (kN) applicato in sommità di ogni pilastro

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3102 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300 3300

4.4.4 Risultati delle analisi

Analisi elastica

Come prima fase è stata eseguita l’analisi modale del ponte in campo elastico, assegnando al calcestruzzo il modulo elastico tangente Ec = 30 GPa. In Figura 4.43 sono rappresentati i primi due modi di vibrazione, insieme al corrispondente valore del periodo proprio della

z

xy


struttura. I due modi sono modi trasversali delle due porzioni principali in cui la trave tampone appoggiata con seggiole Gerber tra le pile 6 e 7 suddivide il viadotto.

La snellezza della struttura, con pile di fusto sottile e di notevole altezza, ha come conseguenza periodi propri di vibrazione piuttosto grandi; questi periodi tendono poi ad aumentare ulteriormente a seguito del danneggiamento delle pile, specialmente per la plasticizzazione (o rottura per taglio) dei trasversi, a seguito della quale il funzionamento trasversale tende a passare da quello a telaio a quello a pile singole. La lunghezza dei periodi propri fa cadere la struttura in una zona dello spettro dove le accelerazioni sono molto piccole ma gli spostamenti grandi. Questo lascia prevedere che, nonostante la modesta resistenza delle pile alle azioni orizzontali, del resto non considerate in fase di progetto, il ponte potrebbe non risultare inadeguato; dati i notevoli spostamenti si dovrà però porre particolare attenzione alla compatibilità cinematica dei vincoli, in particolare si dovranno valutare gli spostamenti relativi degli impalcati in corrispondenza delle seggiole Gerber, onde verificare il rischio di caduta per perdita di appoggio.

Analisi non-lineare

Per la verifica allo stato limite di collasso, il modello del ponte descritto in precedenza è stato sottoposto all’azione delle dieci coppie di accelerogrammi selezionate. Gli accelerogrammi appartenenti al gruppo indicato come insieme 1 sono stati applicati in direzione trasversale, mentre quelli dell’insieme 2 agivano simultaneamente in direzione longitudinale. Molte grandezze, meccaniche e cinematiche, sono state registrate durante le simulazioni; in particolare: gli spostamenti e le rotazioni dei nodi, le forze ed i momenti alle estremità degli elementi, le deformazioni delle fibre più sollecitate nell’acciaio e nel calcestruzzo.

Nella Figura 4.44a sono riportati i valori del drift interpiano massimo di ogni pila:

Luu ii −

= +1δ

Fig. 4.43 Primi due modi di vibrazione del ponte.

1° Modo T = 4.2s 2° Modo T = 1.2s


in cui ui e ui+1 sono gli spostamenti di due piani successivi ed L è la lunghezza del pilastro. Nel grafico a barre sono riportati i valori relativi a ciascuno degli accelerogrammi ed il corrispondente valore medio.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

PILA (#)

DR

IFT

INTE

RP

IAN

O (%

)

CHY029CLWDSPH-CPETCU045TCU070UCLFOR1061GLEMEDIA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

2

4

6

8

10

12

PILA (#)

DE

FOR

MA

ZIO

NE

MA

SSI

MA

NE

L C

LS (1

/100

0)

CHY029CLWDSPH-CPETCU045TCU070UCLFOR1016GLEMEDIA

Fig. 4.44 Massimo drift interpiano (sopra) e massima deformazione del calcestruzzo compresso (sotto) per tutte le pile e per l’azione dei 10 accelerogrammi selezionati.

Questo grafico è utile per individuare le pile maggiormente sollecitate e quindi per selezionare quelle di cui successivamente saranno esposte le verifiche.

Nella Fig. 4.44b sono rappresentati, con analogo formalismo, i valori massimi delle deformazioni nelle fibre di calcestruzzo delle pile. Anche questa grandezza può essere utilizzata per individuare gli elementi del ponte più sollecitati.

Poiché il criterio di collasso adottato (per flessione) è sempre in ultima analisi determinato dall’eccessiva deformazione di uno dei materiali (accorciamento del calcestruzzo o allungamento dell’acciaio), il valore della deformazione massima potrebbe essere preso come diretto criterio di valutazione della resistenza. Tuttavia è ben noto che i valori delle deformazioni negli elementi a fibre sono fortemente influenzati dalle lunghezze degli elementi stessi, quindi un tale criterio è da ritenersi non sufficientemente oggettivo. Le verifiche saranno pertanto condotte confrontando le rotazioni delle estremità delle aste con quelle ultime, calcolate con le relazioni (2.40) e (2.41) precedentemente illustrate nel Capitolo 2.


4.4.5 Verifica delle pile

Meccanismi duttili

Per la verifica degli elementi sollecitati a presso-flessione si procede come indicato nel punto 2.4.5 delle linee guida.

Data un’asta di lunghezza L (Fig 4.45) se ui e ui+1 sono gli spostamenti dei nodi di estremità e ϕi la rotazione del nodo i, la rotazione relativa alla corda θi, che deve essere confrontata con quella ultima fornita dall’equazione (2.41), si determina sottraendo alla rotazione ϕi la parte rigida, dovuta allo spostamento:

Luu ii

ii−

−= +1ϕθ (a)

Il calcolo della rotazione ultima richiede la determinazione della lunghezza LV, distanza del nodo dal punto di momento nullo. Se i due momenti alle estremità dell’asta hanno lo stesso segno, questa lunghezza LV si determina facilmente con la relazione

VmL i

V = (b)

In cui mi è il momento all’estremità dell’elemento e ( ) LmmV ii /1++= indica il taglio.

Se i due momenti alle estremità della trave sono discordi, si ha in almeno un caso, che LV>L e la formula (2.40) cade in difetto. In questo caso la condizione di verifica può porsi nella forma più generale (valida nell’ipotesi che all’estremo i+1 non si sia formata una cerniera plastica):

( )24

31

41++≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+ i

ip

pyuy Ll

lL θθφφφ (c)

La lunghezza della cerniera plastica lp si calcola sempre come indicato nel punto 2.4.5, in cui LV si calcola come in precedenza, con la condizione che risulti LV ≤ zi, dove zi è la distanza del nodo i dalla sommità della pila.

Quest’ultima condizione si verifica frequentemente nell’analisi degli elementi della pila nel senso longitudinale, in cui prevale il comportamento a mensola sull’intera altezza, e pertanto la formula (2.40) non è applicabile all’analisi di un singolo elemento.

Il calcolo della capacità rotazionale dell’elemento dipende, oltre che dalle grandezze di cui si è discusso in precedenza, dalle seguenti:

Fig. 4.45 Calcolo della

rotazione della cerniera plastica

x

z

y

ui

ui+1

θi

L


• Deformazione ultima del calcestruzzo εcu = 0.0033

• Deformazione di snervamento dell’acciaio εsy = 0.0015

• Resistenza del calcestruzzo fc =30MPa

• Forza normale N agente nella sezione

Tutti questi parametri sono fissi, tranne N. Per ogni sezione si possono quindi facilmente costruire, per interpolazione, delle semplici leggi che forniscono φy e φu in funzione di N.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60001.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7x 10

-5

N (kn)

Curv

atur

a a

sner

vam

ento

(1/c

m)

Pilastro a sezione circolare piena D=120 cm

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10-4

N (kN)

curv

atur

a ul

tima

(1/c

m)


0 1000 2000 3000 4000 5000 600010

15

20

25

30

35

40

45

N (kN)

yc (c

m)


Fig. 4.46 Curvatura di snervamento, curvatura ultima e posizione dell’asse neutro di una delle sezioni delle pile (Sezione piena D = 120 cm), in funzione della forza normale N.

Il procedimento di verifica segue pertanto i seguenti passi:

1. Fissato un elemento, al passo tk, per la direzione x, si calcolano le rotazioni θi, θi+1

2. In funzione della forza normale N si determinano le curvature di snervamento ed ultima

3. A partire dai momenti di estremità e della forza di taglio si determinano la lunghezza LV, la lunghezza di cerniera plastica e si decide se applicare la relazione (2.41) o la (c)

4. Mediante la (2.41) o la (c) si determina la capacità rotazionale dell’elemento θu in quella direzione; si calcola quindi il rapporto domanda/capacità ρx = θi/θu se si applica la (2.41), oppure (θi+θi+1/2)/ θu se si applica la (c)

5. Si ripete il procedimento per la direzione y e si ottiene il valore di ρy relativo allo stesso istante

6. Si calcola il valore complessivo 22yx ρρρ += relativo all’istante tk

7. Si ripete il procedimento in tutti gli istanti dell’analisi e si trattiene il massimo valore di ρ ottenuto durante l’intera storia della risposta sismica

8. Si ripete l’intera procedura per tutte le risposte relative ai dieci accelerogrammi campione e si determina la media dei risultati

L’elemento è verificato se il valore di ρ così calcolato risulta ≤ 1.


Tabella 4.25 Valutazione del rapporto domanda/capacità di una sezione della pila 1

Dir

M (kNcm)

V (kN)

N (kN)

LV (cm)

δ θ φy (1/cm)

φu (1/cm)

Lp

(cm)θy θu ρ ρtot

x 219295 378.8 3266 579 0.034 0.033 2.18×10-5 1.67×10-4 68.38 6.31×10-3 1.04×10-2 3.16

y 72413 79.8 3266 916 0.002 0.0077 2.18×10-5 1.67×10-4 102.1 9.99E×10-3 1.60×10-2 0.48 3.20

Questi passaggi sono illustrati nella tabella 4.25, che si riferisce alla sezione di uno dei pilastri posti al secondo livello della pila 1 soggetta all’azione della registrazione TCU45. I valori riportati nella tabella si riferiscono all’istante in cui il rapporto ρtot tra la domanda e la capacità della sezione assume il valore massimo. Nella tabella sono riportati per le due direzioni (trasversale x e longitudinale y) i valori del momento M e del taglio V, oltre alla forza normale N, che consentono di determinare la lunghezza LV (che risulta in entrambi i casi minore di L). Il drift δ e la rotazione del nodo ϕ (non riportata in tabella) consentono di determinare la rotazione θ (domanda); dai grafici della Figura 4.46 si determinano, per il valore di N dato, le curvature di snervamento φy ed ultima φu della sezione (nel caso in esame queste grandezze risultano uguali per le due direzioni in virtù dell’isotropia della sezione circolare), da cui, usando la lunghezza della cerniera plastica lp, si determinano, applicando le (2.39) e (2.40), le rotazioni di snervamento ed ultima (capacità). I rapporti θ/θu relativi alle due direzioni permetto di calcolare il fattore complessivo ρtot come radice quadrata della somma dei quadrati. Il valore trovato di 3.2 nettamente maggiore di 1, mostra che, per il caso considerato, l’elemento esaminato ha largamente superato la soglia di resistenza.

Meccanismi Fragili

Per i meccanismi di rottura fragili il confronto tra domanda e capacità viene fatto in termini di forze anziché di deformazioni, come è stato fatto per i meccanismi duttili.

Nel caso in esame i meccanismi di rottura considerati fragili sono quelli dovuti alle forze di taglio. Nelle strutture esaminate i pilastri delle pile sono strutture molto snelle (rapporto lunghezza/altezza ∼ 10 nella direzione trasversale e molto maggiore nell’altra): è dunque prevedibile, anche tenendo conto dell’aumento di resistenza legato alla forza normale, che per questi elementi, benché scarsamente armati nei confronti della sollecitazione di taglio, la resistenza sarà sempre largamente maggiore della sollecitazione. I trasversi sono al contrario elementi piuttosto tozzi (vedi Fig. 4.36), per i quali un meccanismo di rottura a taglio è chiaramente possibile.

Nelle verifiche a taglio la domanda (forza di taglio) è fornita direttamente dall’analisi, mentre la capacità (resistenza a taglio) viene calcolata con la relazione (2.42). Anche in questo caso la resistenza dipende da alcune grandezze che variano nel tempo con la risposta, in particolare la forza normale, la posizione dell’asse neutro x, la lunghezza di taglio LV, la duttilità impegnata µ; pertanto il rapporto tra domanda e capacità deve essere valutato in ogni istante dell’analisi e quindi posto uguale al massimo raggiunto durante


ciascun terremoto. Il valore di riferimento sarà quindi quello medio sulle dieci simulazioni effettuate.

Nella Tabella 4.26 sono riportati, a puro titolo esemplificativo e analogamente a quanto fatto per le verifiche di duttilità, le quantità richieste per il calcolo del rapporto ρt (domanda/capacità del taglio), in un dato istante per due elementi della pila 1 sotto l’azione della coppia di registrazioni TCU45. Tabella 4.26 Verifica a taglio di un pilastro e del trasverso della pila 1

El.

x (cm)

N (kN)

µ As (cm2)

Ac (cm2)

Asw/s (cm2/m)

h (cm)

Lv (cm)

fc/γc

(MPa)V

(kN)Vc

(kN)Vw

(kN) Vu

(kN) ρt

pil 35 4900 7 50.24 10201 4 120 540 20.0 374 568 167 735 0.518

tras -- -- 4 43.20 4900 12 140 302 20.0 350 454 300 755 0.463

Verifica del ponte allo SLC

Le analisi esemplificate nei punti precedenti per un elemento di una pila, relativamente ad un certo istante della storia della risposta sismica del ponte ad un particolare terremoto, devono essere ripetute per i diversi elementi, per i diversi terremoti, e per tutti gli istanti di tempo. Si perviene quindi, per ogni elemento di ciascuna pila, ad un valore medio del rapporto ρ relativo al collasso duttile (flessione) ed a quello fragile (taglio). Per chiarezza, data la loro diversa funzione, in ciascuna pila gli elementi sono stati raggruppati in due classi: pilastri e trasversi; sono quindi stati presi i valori massimi del rapporto ρ per flessione e taglio (ottenuti come media delle 10 analisi) degli elementi di una pila di uno stesso piano appartenenti alla stessa classe. I risultati, limitatamente a tre pile (1, 6, 12), sono sintetizzati nella tabella 4.27.

I risultati si prestano ad un breve commento. Per quanto riguarda i pilastri, i valori del coefficiente ρf di flessione relativi alle due pile più basse (1 e 12) sono nettamente superiori a quelli presi nella pila snella 6; in particolare il coefficiente ρf supera l’unità solamente nella pila 1; il fatto che questo si verifichi nel piano superiore e non alla base è dovuto alla peculiarità di questa pila, in cui il trasverso si trova ad una quota poco superiore a quella delle fondazioni, per cui i pilastri del primo livello sono molto più brevi degli altri (vedi Fig. 4.35). I coefficienti ρt relativi alle verifiche a taglio sono invece, in tutti i casi e con largo margine, minori di uno, come era stato anticipatamente previsto in base a considerazioni generali.

Nei trasversi, il coefficiente ρf è nettamente minore di 1, escludendo il rischio di collasso duttile, mentre il coefficiente ρt del taglio, con l’eccezione del caso anomalo della pila 1, è molto vicino ad uno. Questo è dovuto al fatto che, per questi elementi, la resistenza a taglio è molto prossima alla forza che provoca la plasticizzazione delle sezioni di estremità della trave, così che i due meccanismi concorrenti sono molto prossimi. Tenuto conto


delle incertezze sulle stime della resistenza a taglio e del momento di snervamento, il rischio di rottura per taglio dei trasversi non può essere affatto escluso. Tabella 4.27 Verifiche a flessione e taglio degli elementi delle pile 1, 6 e 12

Pilastri Trasversi

PILA PIANO ρf ρt ρf ρt

1 0.14 0.54 0.37 0.37 1

2 1.42 0.42

1 0.199 0.34 0.227 0.81

2 0.273 0.33 0.367 0.94

3 0.199 0.3 0.366 0.93 6

4 0.205 0.27

1 0.704 0.45 0.27 0.94 12

2 0.469 0.43

Verifica degli spostamenti relativi

Nel caso di ponti la verifica allo SLC non deve essere limitata solo agli aspetti di capacità degli elementi strutturali, ma deve necessariamente mettere in conto anche la verifica di cinematismi causabili da appoggi progettati con una insufficiente corsa. Tale evenienza potrebbe infatti determinare il crollo dell’impalcato. Come sopra ricordato nel caso in esame non è difficile prevedere elevati spostamenti longitudinali per effetto del sisma. La figura 4.47 mostra gli spostamenti relativi delle due parti dell’impalcato poggianti su una delle selle presente nella settima campata.

1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12

ACCELEROGRAMMA (#)

SP

OS

TAM

EN

TI R

ELA

TIV

I SE

LLA

(cm

)

Valor medio 7.72 cm

Figura 4.47 Spostamenti relativi massimi delle selle gerber

Gli spostamenti relativi massimi registrati durante le analisi vanno da un minimo di 6.5 cm (per il terremoto di Northridge) ad un massimo di 11 cm (per il terremoto di Chi-Chi TCU045), mentre in media lo spostamento massimo è pari a 7.72 cm. La lunghezza delle


seggiole rilevata dal disegno dell’impalcato è di circa 30 cm; tenendo conto dei giunti, si può ritenere che vi sia una sovrapposizione di circa 25 cm. Assumendo che la sovrapposizione residua, per essere efficace, non deve scendere sotto i 20 cm (L0 nella formula 2.30), si ottiene una corsa ammissibile dell’ordine 5 cm. Lo spostamento relativo massimo del terreno sotto le pile, come indicato dalla (2.44), vale drel,g = 3.2 cm (dg = 10.5 cm, x =33m, Vs = 500m/s). Questa verifica non è pertanto soddisfatta in quanto drel,g + drel,s = 7.7+3.2 = 10.9 cm > 5 cm.

Fig. 4.48. Dettaglio di una delle selle di appoggio dell’impalcato del ponte

In conclusione dalle verifiche eseguite si traggono le seguenti conclusioni. Il viadotto necessita di un intervento ai trasversi che ne aumenti la resistenza a taglio (intervento operativamente non impegnativo che potrebbe realizzarsi mediante fasciature con FRP), e la realizzazione in corrispondenza delle seggiole Gerber di ritegni sismici che impediscano la perdita di appoggio.

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APPENDICE A: VARIABILITÀ SPAZIALE DEL MOTO

A.1 INTRODUZIONE

A.2 DESCRIZIONE DEL MODELLO

La variabilità spaziale del moto sismico può essere descritta mediante un vettore di processi aleatori a media nulla. Nell’ipotesi di stazionarietà di tali processi, il vettore risulta completamente definito tramite la matrice simmetrica di dimensioni nn × delle densità spettrali di potenza:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ω

ωωωωω

ω

nn

n

n

G

GGGGG

MO

L

L

222

11211

G

(A.1)

dove n è il numero dei punti di contatto dell’opera con il terreno.

E’ conveniente introdurre la seguente funzione adimensionale a valori complessi denominata funzione di coerenza:

( ) ( )( ) ( )ωω

ωωγ

jjii

ijij GG

G=

(A.2)

Essa ha modulo limitato tra zero e uno, e fornisce una misura lineare della dipendenza statistica dei due processi nei punti i e j a distanza ijd .

Nella letteratura viene frequentemente impiegata la forma seguente della funzione di coerenza (Luco e Wong, 1986)(Der Kiureghian, 1996):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ωθωαω

ωγωγωγωγ ijapp

Lij

s

ijijijijij i

vd

iv

dexpexpexp

2

3,2,1, ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅⋅=

(A.3)

nella quale sv è la velocità delle onde di taglio, α è una costante, appv è la cosiddetta velocità apparente delle onde, L

ijd è la proiezione nella direzione di propagazione delle onde della distanza tra i punti i and j e ( )ωθ ij è un angolo di fase dipendente dalla


frequenza. I tre fattori ( )ωγ 1,ij , ( )ωγ 2,ij e ( )ωγ 3,ij tengono rispettivamente conto della perdita di correlazione dovuta alla rifrazione/riflessione delle onde nel mezzo di propagazione, del valore finito della velocità di propagazione delle onde e dell’angolo di incidenza del fronte d’onda con la superficie, nonché della differenza tra le caratteristiche del suolo di fondazione nei punti i e j. Di questa ultima si tiene conto nel modello considerando due colonne di suolo che rappresentano i due profili stratigrafici in i e j, eccitate alla base da un rumore bianco stazionario di potenza 0G . Le colonne di suolo sono caratterizzate dalle funzioni di trasferimento ( )ωiH e ( )ωjH , tali da fornire il desiderato contenuto in frequenza alla superficie in i e j:

( ) ( ) 20 ωω iii HGG =

(A.4)

In particolare, lo spettro di densità di potenza puntuale deve essere coerente con lo spettro di risposta elastico locale specificato al punto 2.3.1.

Si può mostrare che:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−= −

ωωωω

ωθji

jiij HH

HHReIm

tan 1

(A.5)

A.3 GENERAZIONE DI CAMPIONI DEL VETTORE DI MOTI ASINCRONI

Al fine di eseguire analisi dinamiche al passo è necessario disporre di campioni del processo vettoriale descritto in A.2. Allo scopo è necessario preliminarmente decomporre la matrice ( )ωG nel prodotto:

( ) ( ) ( )ωωω T*LLG =

(A.6)

tra ( )ωL e la trasposta della complessa coniugata. Se la decomposizione adottata è quella di Cholesky la matrice ( )ωL risulta triangolare inferiore.

Come indicato in [3] un campione del moto nel generico punto i si ottiene dalla serie:

( ) ( ) ( )[ ]∑∑= =

+−∆=i

j

N

kjkkijkkiji tLta

1 1cos2 φωθωωω

(A.7)

dove N il numero totale delle frequenze discrete kω nel quale viene suddivisa la banda di frequenze significativa per ( )ωijL , N/maxωω =∆ , e gli angoli jkφ sono, per ogni j , un insieme di N variabili indipendenti distribuite uniformemente tra zero e π2 . I campioni generati in accordo all’equazione (A.7) sono caratterizzati dal desiderato spettro di potenza locale e dall’assegnato grado di correlazione.

A.4 METODI DI ANALISI

Appendice A: Variabilità spaziale del moto 109

Sulla base di quanto esposto in A.2 e A.3, si possono seguire le seguenti alternative ai fini della determinazione della risposta strutturale a un’eccitazione variabile nello spazio.

A.4.1 Dinamica aleatoria lineare

Un’analisi dinamica aleatoria lineare può essere svolta utilizzando l’analisi modale, funzioni di trasferimento in frequenza modali e la matrice delle densità spettrali di potenza ( )ωG .

Per gli effetti elastici delle azioni si prendono i valori medi dalla distribuzione dei massimi della risposta per una durata coerente con la scelta di ga .

A.4.2 Analisi dinamica al passo con campioni del modo correlati

L’analisi dinamica al passo, lineare e non lineare, può essere svolta facendo uso di campioni di moti correlate generate come indicato in A.2 a partire da spettri di potenza compatibili con gli spettri di risposta elastici nei punti di contatto dell’opera con il terreno.

Il numero di campioni da utilizzare deve essere tale da garantire stime stabili delle medie dei massimi della risposta.

Per gli effetti delle azioni si prendono i valori medi dei massimi.

A.4.3 Analisi con spettri di risposta multipli

E’ disponibile una soluzione per determinare la risposta elastica di una struttura soggetta ad eccitazione alla base non uniforme che fa uso dello spettro di risposta. Di seguito se ne fornisce una descrizione sintetica. Per una trattazione completa si rimanda al riferimento originale (Der Kiureghian e Neuenhofer, 1992).

Le equazioni del moto di un sistema lineare discreto a n gradi di libertà con m punti di contatto col terreno si scrivono:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡F

0

u

x

KK

KK

u

x

CC

CC

u

x

MM

MM

gT

c

c

gT

c

c

gT

c

c

&

&

&&

&&

(A.8)

dove x è il vettore 1×n degli spostamenti totali dei gradi di libertà non vincolati; u è il vettore 1×m dei moti imposti ai supporti; CM, e K sono le matrici nn × di massa, smorzamento e rigidezza associate ai gradi di libertà non vincolati; gg CM , e gK sono le matrici mm × di massa, smorzamento e rigidezza associate ai gradi di libertà vincolati;

cc CM , e cK sono le matrici di accoppiamento mn × e F è il vettore 1×m delle reazioni ai supporti.

La risposta totale può essere decomposta nella somma:

ds xxx +=

(A.9)


dove sx , la componente pseudo-statica, è la soluzione dell’equazione (A.8) senza i termini di inerzia e smorzamento, ovvero:

RuuKKx =−= −c

s 1

(A.10)

Sostituendo le equazioni (A.9) e (A.10) nella (A.8), l’equazione differenziale per la componente dinamica/inerziale assume la forma:

( )uMMRKxxCxM &&&&& cddd +−≅++

(A.11)

Dopo aver eliminato il termine trascurabile ( )uCCR &c+− .

Siano Φ , iω e iξ la matrice delle forme modali, le frequenze modali e i corrispondenti rapporti di smorzamento critico per la struttura a base fissa. Ponendo Φyx =d nella (A.11), le equazioni modali disaccoppiate diventano:

( ) nituyyy mk kkiiiiiii ,,1 2 1

2 K&&&&& ==++ ∑ =βωωξ

(A.12)

Dove i fattori di partecipazione modale sono dati dall’espressione:

( )i

Ti

kckTi

ki Mφφ

iMMrφ +=β

(A.13)

nella quale kr è la k-esima colonna di R e ki è la k-esima colonna di una matrice identità nn × .

Risulta conveniente definire un vettore normalizzato di risposta modale ( )ts ki , che rappresenta la risposta di un sistema a un grado di libertà con frequenza e smorzamento dell’i-esimo modo, a un’accelerazione alla base ( )tuk&& :

( )tusss kkiikiiiki &&&&& =++ 22 ωωξ

(A.14)

Segue:

( ) ( )∑ == m

k kikii tsty 1 β

(A.15)

La generica quantità di risposta di interesse ( )tz (spostamento nodale, forza interna, etc) può essere espresso come funzione lineare di ( )tx :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttttz dsTT xxqxq +==

(A.16)

Sostituendo le espressioni trovate per sx e dx si ottiene:

Appendice A: Variabilità spaziale del moto 111

( ) ( ) ( )∑∑∑= ==

+=m

k

n

ikiki

m

kkk tsbtuatz

1 11 (A.17)

con:

( ) kiiT

kikT

k bta βφqrq ==

(A.18)

Facendo uso di nozioni elementari di dinamica aleatoria lineare e utilizzando il modello illustrato in A.2 per i moti ai supporti ( )tu , la deviazione standard della generica quantità di risposta ( )tz può essere determinata direttamente in funzione delle deviazioni standard dei processi di eccitazione ( )tu , dei processi di risposta normalizzata ( )ts , e delle correlazioni tra quantità di eccitazione e di risposta.

Tenendo conto della relazione tra spettro di potenza dell’eccitazione, ( )ωuuG &&&&6, e le

deviazioni standard e correlazioni indicate, come anche della relazione tra densità spettrale dell’eccitazione e spettro di risposta, si può derivare la seguente espressione per il valore medio del massimo della risposta (i.e. gli effetti dell’azione)7:

( ) ( )∑∑∑∑∑∑= = = == =

+=m

k

m

l

n

i

n

jjjliikssljki

m

k

m

llkuulkz DDbbuuaa

ljkilk1 1 1 11 1

max,max, ,,max

ξωξωρρµ

(A.19)

dove max,ku e max,lu sono gli spostamenti massimi del suolo in k e l coerenti con gli spettri elastici in spostamento forniti in 2.3.2; ( )iikD ξω , e ( )jjlD ξω , sono i valori dello spettro di risposta elastico in spostamento in k e l per le frequenze e lo smorzamento dei modi considerati.

I coefficienti di correlazione lkuuρ , tra gli spostamenti di picco al suolo, e

ljki ssρ , tra le risposte modali normalizzate, sono dati dalle espressioni:

( )

( ) ( ) ( )∫

∫∞

∞−

∞

∞−

−=

=

ωωωωσσ

ρ

ωωσσ

ρ

dGHH

dG

lk

ljki

ljki

lk

lk

lk

uujiss

ss

uuuu

uu

&&&&

1

1

(A.20)

e:

6 ( )ωuuG &&&& indica la matrice delle densità spettrali di potenza dei processi di accelerazione, indicata semplicemente con ( )ωG in D.1. 7 Nella (A.19) si è omesso un contributo, che tiene conto della correlazione tra i termini di spostamento u e quelli modali s, ovvero

ljksuρ . Analisi numeriche mostrano che il contributo corrispondente è trascurabile.


( )

( ) ( )∫

∫∞

∞−

∞

∞−

=

=

ωωωσ

ωωσ

dGH

dG

kkki

kkk

uuis

uuu

&&&&

22

2

(A.21)

dove ( )ωlkuuG è il termine kl della matrice di densità spettrale di potenza dei processi di

spostamento del terreno, ottenuta dalla corrispondente matrice dei processi di accelerazione mediante la relazione: ( ) ( )ω

ωω uuuu GG &&&&4

1= ; ( )ωiH è la funzione di

trasferimento in frequenza per lo spostamento modale normalizzato:

( )ωωξωω

ωiii

i iH

21

22 +−=

(A.22)

Al fine di valutare gli integrali nelle (A.20) e (A.21) è necessario esprimere la densità spettrale di potenza in funzione dello spettro di risposta, che rappresenta l’informazione disponibile all’utente. In mancanza di determinazioni più accurate ci si può avvalere della seguente espressione approssimata, leggermente modificata rispetto a quella proposta in (Der Kiureghian e Neuenhofer, 1992)., che può essere usata a ogni supporto:

( ) ( ) 0 5.2,42 2

2 ≥⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ωξω

πτπξωωω DG uu &&&&

(A.23)

Nell’espressione precedente τ è la durata della parte pseudo-stazionaria del moto, da scegliere coerentemente con il valore di ga .

In pratica, quando le condizioni stratigrafiche locali differiscono sostanzialmente da un supporto all’altro, l’effetto di questa differenza tende a predominare sull’effetto delle altre cause di perdita di correlazione. Analisi numeriche hanno mostrato inoltre che il termine

( )ωγ 3,ij nella funzione di coerenza ha un’influenza limitata sui risultati al punto che può essere posto in via di approssimazione uguale a zero. Sulla base di queste considerazioni e tenendo conto del carattere approssimato del metodo descritto, si può ottenere una notevole semplificazione considerando una matrice di potenza dell’eccitazione diagonale

( )ωG , cioè considerando la struttura soggetta a moti indipendenti ai supporti, ognuno caratterizzato dalla propria distinta densità spettrale di potenza. L’equazione (A.19) si semplifica in:

( ) ( )∑∑∑∑= = ==

+=m

k

n

i

n

jjjkiiksskjki

m

kkkz DDbbua

kjki1 1 11

2max,

2 ,,max

ξωξωρµ

(A.24)

A.5 ESEMPIO APPLICATIVO

APPENDICE B: INTERAZIONE TERRENO-STRUTTURA

B.1 IL FENOMENO FISICO

La Fig. B. 1 mostra le tre tipologie di fondazione: diretta, su pali e a cassone, che riassumono le soluzioni tradizionali di trasmissione delle forze dalla struttura al terreno. In relazione a ciascuna di esse vengono brevemente illustrati i caratteri del fenomeno di interazione terreno-fondazione-struttura.

In tutti e tre i casi il moto sismico (orizzontale) si suppone provenire da strati profondi con direzione di propagazione verticale (onde di taglio). Alla profondità z, tale moto è indicato con ug(z,t) o più semplicemente con ugz. In condizioni di campo libero (cioè in assenza della struttura) il moto alla superficie z = 0 si indica con ug(0,t) o più semplicemente con ug.

In presenza della struttura, il moto all’interfaccia tra la struttura e il sistema fondazione-terreno risulta diverso da quello di campo libero uff, a causa delle deformazioni localmente indotte dalle forze di inerzia trasmesse dalla struttura. Tale aspetto del fenomeno è comunemente denominato interazione inerziale. Nella Fig. B. 1a l’effetto di modifica del moto in campo libero ug, è indicato con la traslazione e la rotazione della fondazione uf e θf. Quest’ultima componente del moto, non presente nel caso di struttura a “base fissa”, comporta un incremento degli spostamenti in sommità che possono avere una rilevanza nel caso di strutture sensibili agli effetti del secondo ordine.

L’altro aspetto del fenomeno è quello comunemente denominato interazione cinematica, il quale si presenta sotto diverse forme. Nel caso, ad esempio, di un edificio esteso in pianta e con fondazione a platea, l’interazione cinematica consiste nella modifica del moto del suolo all’interfaccia tra la struttura e il sistema fondazione-terreno, dovuta all’aderenza tra la platea e il terreno. Il moto risultante è costituito da una traslazione “mediata” sull’estensione della fondazione, di entità normalmente ridotta rispetto al moto in campo libero, cui si aggiunge una componente di rotazione attorno all’asse verticale.

Nel caso in esame di fondazione superficiale (Fig. B. 1a), se le sue dimensioni sono contenute, come normalmente avviene nel caso delle pile da ponte, è lecito considerare il moto sismico uniforme sull’estensione della fondazione.

La considerazione dell’interazione cinematica è invece necessaria nel caso di fondazioni profonde. Nel caso delle fondazioni su pali il fenomeno è chiaramente illustrato nella Fig. B. 1b, nel quale si osserva come i pali, immersi nel terreno, siano coinvolti nella sua


deformazione, alla quale si oppongono, modificandola localmente, in funzione del rapporto delle rigidezze palo/terreno. Il moto risultante in superficie è quindi gk uu ≠ .

H

z

gu

gu fufHθ su

H

z

H

z

gu

gu

kufu fHθ su

kufHθ sufu

a) Fondazione superficiale

b) Fondazione su pali

c) Fondazione a pozzo

Azioni sui pali somma delle deformazioni imposte dal terreno e delle sollecitazioni dovute all’inerzia della struttura

Azioni sui pali dovute solo alle deformazioni imposte dal terreno (ovunque z>La, rilevante in presenza di forti contrasti)gzu

gzu

gzu

H

z

gu

gu fufHθ su

H

z

H

z

gu

gu

kufu fHθ su

kufHθ sufu

a) Fondazione superficiale

b) Fondazione su pali

c) Fondazione a pozzo

Azioni sui pali somma delle deformazioni imposte dal terreno e delle sollecitazioni dovute all’inerzia della struttura

Azioni sui pali dovute solo alle deformazioni imposte dal terreno (ovunque z>La, rilevante in presenza di forti contrasti)gzu

gzu

gzu

Fig. B. 1 Interazione terreno-fondazione-struttura.

Per quanto riguarda la struttura, anche in questo caso il moto all’interfaccia tra essa e il sistema fondazione-terreno risulta diverso da quello di campo libero. La differenza è dovuta sia alle deformazioni indotte dalle forze di inerzia trasmesse dalla struttura al sistema pali-terreno, che all’alterazione del campo d’onde dovuta alla rigidezza dei pali.

Appendice B: Interazione terreno-struttura 115

Per quanto riguarda i pali, il loro stato di sollecitazione è somma dell’effetto cinematico, associato alla deformazione del terreno, e di quello inerziale, associato alle azioni trasmesse dalla struttura in elevazione. L’effetto cinematico è particolarmente importante in presenza di terreno stratificato con rilevanti contrasti di rigidezza.

Un caso particolare è costituito infine dalle fondazioni a pozzo, nelle quali, come è illustrato nella Fig. B. 1c, l’aspetto cinematico del fenomeno di interazione diviene predominante. In questo caso infatti la rigidezza del pozzo è tale da modificare in maniera sostanziale il moto locale del terreno sull’intera profondità del pozzo. È da osservare come in questo caso la traslazione e la rotazione uf e θf della fondazione, all’interfaccia con la struttura, abbiano natura sostanzialmente cinematica. Al contrario, nel caso di fondazione superficiale (Fig. B. 1a) uf e θf hanno natura sostanzialmente inerziale, in quanto la rimozione della struttura annullerebbe tali quantità.

B.2 MODELLAZIONE

B.2.1 Fondazioni superficiali

La modellazione degli effetti dell’interazione terreno-fondazione-struttura nel caso di fondazioni superficiali viene brevemente illustrata in questo paragrafo per ragioni di completezza. È da ritenere infatti che nei casi reali le situazioni in cui sia richiesta (vedi 2.4.3) la loro considerazione siano infrequenti, in quanto tale soluzione fondale è normalmente associata a condizioni di suolo di buone caratteristiche meccaniche.

La deformabilità del terreno di fondazione viene introdotta attraverso delle molle equivalenti da porre alla base della struttura. Queste molle esprimono il legame dinamico forza-spostamento, ricavato con formulazioni di diverso livello di rigore in riferimento a impronte rigide8. Sono disponibili soluzioni per forze agenti orizzontali, verticali e coppie, e per impronte di forma qualsiasi con profondità variabile del piano di posa. Una rassegna completa e aggiornata può essere trovata ad esempio in (Gazetas, 1992).

Poiché in dinamica lo spostamento e la forza non sono in fase, è di uso comune esprimere il legame tra forza e spostamento mediante una grandezza complessa, detta rigidezza dinamica o impedenza dinamica, e data dall’espressione:

( ) ( ) ( )ωωωω cikk ⋅+=~

(B. 1)

nella quale ω è la frequenza circolare, k(ω) è la rigidezza dinamica, funzione debolmente dipendente dalla frequenza, e c(ω) rappresenta la dissipazione di energia dovuta all’irraggiamento. In presenza di significativa risposta non lineare del terreno, volendo mantenere una modellazione lineare, è possibile includere in c(ω) anche un termine di

8 Con il termine impronta rigida si indica una fondazione indeformabile e priva di massa.


smorzamento isteretico non dipendente dalla frequenza (vedi la successiva equazione (B. 5)). Inoltre, per tenere conto del comportamento non lineare del terreno, la rigidezza deve essere ridotta a quella secante per una deformazione efficace del terreno, frazione di quella massima.

La Fig. B. 2a mostra la modellazione descritta. In questa forma la soluzione può essere ottenuta sia nel dominio delle frequenze, che nel dominio del tempo, utilizzando rispettivamente come eccitazione lo spettro di potenza ( )ωG o un corrispondente insieme di accelerogrammi ( )tu g&& rappresentativi del moto in campo libero.

Nel caso più comune di analisi nel dominio del tempo, ai parametri k(ω) e c(ω) vengono attribuiti valori costanti, medi sul campo di frequenza significativo per la risposta.

L’analisi nel dominio del tempo è vantaggiosa in quanto permette una diretta estensione alla modellazione non lineare della struttura e del suolo. In questo caso al posto della forza di richiamo elastiche ksus nella struttura, kxuf nella fondazione, etc si sostituiscono legami isteretici del tipo f(us) e ff(uf).

ufθf

kx

kθ

cθ

cx

us

ufθf

us

kx

kθ

Sa

T

ks,cs

gu&&

ksmf,If

ms

mf,If

ms

ufθf

kx

kθ

cθ

cx

us

ufθf

us

kx

kθ

Sa

T

ks,cs

gu&&

ksmf,If

ms

mf,If

ms

Fig. B. 2 Modellazione, fondazioni superficiali: (a) molle e smorzatori per l’analisi al passo

o in frequenza, (b) molle e smorzamento pesato per l’analisi con spettro di risposta.

La Fig. B. 2b differisce dalla precedente per l’eccitazione, che è rappresentata da uno spettro di risposta (in accelerazione, campo libero), e per l’assenza di organi di dissipazione. L’effetto di questi ultimi è tradotto in un fattore di smorzamento che modifica lo spettro di risposta. A tal fine è necessario combinare i diversi contributi allo smorzamento provenienti dalla deformazione della struttura, dalla deformazione del suolo e dall’irraggiamento. Una tecnica di uso frequente per ottenere uno “smorzamento equivalente” è quella di pesare i singoli contributi mediante le energie di deformazione nella deformata del primo modo (Roesset et al, 1973). Se { }sff

T uu ,,θ=u è il vettore degli spostamenti relativi al moto del suolo e { }3211 ,, ϕϕϕ=Tφ la corrispondente prima forma modale, l’energia di deformazione immagazzinata nel sistema (struttura e suolo, traslazione e rotazione) è pari a:


22

21

2

21 ,

21 ,

21 ϕϕϕ θθ kEkEkE fxufss ==∆=

(B. 2)

dove ∆ϕ = ϕ3-(ϕ1+Hϕ2) è il valore modale della deformata flessionale della pila (vedi Fig. B. 3).

fu fHθ

fθ

su( )ffs Huu θ+−

Deformazione flessionale

fu fHθ

fθ

su( )ffs Huu θ+−

Deformazione flessionale

Fig. B. 3 Modellazione, fondazioni superficiali:deformazione flessionale.

Le corrispondenti energie dissipate si possono esprimere come segue. Per quanto riguarda la struttura:

ssds EE πξ4=

(B. 3)

Per quanto riguarda il sistema fondazione-terreno:

221

211 ϕωπϕωπ θθ cEcE fdxduf ==

(B. 4)

dove 1ω è la frequenza del primo modo di vibrazione, e i coefficienti sono dati, come già detto, dalla somma dello smorzamento per irraggiamento e di quello isteretico nel terreno:

( ) ( ) firrufx

irrxx

kcckcc θθ

θθ ξω

ξω 11

2 2+=+=

(B. 5)

Lo smorzamento equivalente risulta pari a:


fufs

fddufdseq EEE

EEE

θ

θ

πξ

++

++=

41

(B. 6)

Un’analisi modale con spettro di risposta come quella descritta può rappresentare l’unico tipo di analisi in caso di effettivo comportamento elastico del sistema, o un’esplorazione iniziale volta a determinare l’effettiva rilevanza del fenomeno di interazione.

B.2.2 Fondazioni su pali

Il problema della valutazione degli effetti dell’interazione terreno-fondazione-struttura nel caso delle fondazioni su pali è particolarmente complesso. Nonostante l’esistenza una vasta letteratura a partire dagli anni ’70 del secolo scorso, non è possibile reperire una proposta che sia al contempo sufficientemente semplice per l’applicazione pratica e in grado di tener conto di tutti gli aspetti rilevanti del problema. Tra questi quello di maggior impegno è la modellazione dell’interazione dinamica tra i pali in un gruppo, o del cosiddetto effetto di gruppo.

Il fenomeno dell’interazione tra i pali è ben noto e la sua soluzione in campo statico, dovuta a Poulos (1980), fa parte della prassi corrente: essa porta alla valutazione di un’efficienza del gruppo, sempre inferiore a uno, che fornisce la rigidezza del gruppo a partire dalla somma delle rigidezze dei pali. L’efficienza è ridotta nel gruppo in quanto lo spostamento di ogni palo è dato dalla somma dello spostamento dovuto al carico applicato direttamente al palo, e degli spostamenti indotti sul palo dai carichi applicati ai pali limitrofi.

In campo sismico, la deformazione del singolo palo produce un campo d’onda che si propaga nel suolo circostante e investe i pali limitrofi. La natura oscillatoria di questo campo di spostamento indotto rende il fenomeno radicalmente diverso da quello dell’interazione statica: in funzione della frequenza e dello smorzamento, lo spostamento indotto dal palo i sul palo j in generale non è in fase con lo spostamento del palo j, e può ridurlo anziché aumentarlo. L’effetto risultante, in termini di rigidezza complessiva di un insieme di pali, è quello di un’efficienza fortemente dipendente dalla frequenza e anche maggiore di uno. Questo fatto ha una ricaduta importante dal punto di vista del calcolo in quanto la forte dipendenza dalla frequenza non permette, a rigore, l’usuale approccio di operare nel dominio del tempo con valori medi dei parametri indipendenti dalla frequenza.

La mancanza di un approccio con le caratteristiche indicate di semplicità e completezza è confermato da un’analisi del panorama normativo internazionale. La normativa europea non fornisce alcuna indicazione sui metodi da adottare in campo dinamico. Negli Stati Uniti, la FHWA, nel Seismic Design of Highway Bridge Foundations (1986), come anche le ATC-32 Improved Seismic Design Criteria for California Bridges: Provisional Recommendations (1996), forniscono i valori delle rigidezze globali della fondazione su pali(indipendenti dalla frequenza), ignorando: a) la dissipazione per irraggiamento b) il descritto effetto di


gruppo c) l’effetto di modifica del moto in input alla struttura dovuto all’interazione cinematica.

Nel seguito si illustrano brevemente alcune delle opzioni di modellazione, caratterizzate da diversi livelli di rigore, in grado tuttavia di cogliere tutti gli aspetti del fenomeno.

Dal punto di vista operativo è possibile distinguere una modellazione globale, comprendente cioè il suolo, la fondazione e la struttura, come indicato in Fig. B. 4, da una modellazione disaccoppiata o per sottostrutturazione. In questo caso, illustrato in Fig. B. 5, dapprima di risolve il problema della determinazione del moto modificato uk per effetto dell’interazione cinematica e della matrice di impedenza che tiene conto dell’effetto di gruppo, per poi utilizzare questi risultati nell’analisi della struttura.

z

∆z

Traslazioneorizzontale

kxcxTraslazioneverticalekzcz

z

H

ugz

Colonna di suolo (moto in campo libero)

Impedenza alla punta

z

∆z

Traslazioneorizzontale

kxcxTraslazioneverticalekzcz

z

H

ugzugz

Colonna di suolo (moto in campo libero)


Fig. B. 4 Modellazione, fondazioni su pali: modello globale.

ug uk

us

ufθfz

∆z

ugz

Traslazione orizzontale kxcxTraslazioneverticalekzcz

uk


ms

ks ,cs

mf , If

Gxk

Gxc Gkθ

Gcθ

ug uk

us

ufθfz

∆z

ugz

Traslazione orizzontale kxcxTraslazioneverticalekzcz

uk


ms

ks ,cs

mf , If

Gxk

Gxc Gkθ

Gcθ

Fig. B. 5 Modellazione, fondazioni su pali: sottostrutturazione.


La modellazione globale può essere messa in atto in diversi modi:

1. Modellazione agli elementi finiti 3D del sistema terreno-fondazione-struttura. Questa opzione, chiaramente molto onerosa e destinata a casi di importanza molto rilevante, richiede una discretizzazione fine di una porzione di suolo di grandi dimensioni intorno all’intera opera, e l’adozione di vincoli assorbenti al contorno. Permette naturalmente di valutare anche l’effetto dell’eccitazione non uniforme alla base delle varie pile. Un esempio si può trovare in (Zhang et al, 2008)

2. Modellazione agli elementi finiti 2D plane strain di strati sovrapposti di terreno nell’intorno dei pali. In questa opzione gli strati sono connessi a una colonna di suolo attraverso vincoli visco-elastici che danno conto della dissipazione per isteresi e irraggiamento. La colonna impone il moto al contorno di questi strati che lo trasmettono ai pali. Gli strati sono anche la sede della propagazione delle onde da un palo all’altro, e permettono la modellazione dell’effetto di gruppo. Un esempio si può trovare in (Klar, 2003).

3. Modellazione 1D alla Winkler. Come nel caso precedente il moto del suolo alla profondità z, ug(z,t) è modellato attraverso una colonna di suolo che riceve il moto alla base ub(t). La colonna è collegata attraverso vincoli viscoelastici alla fondazione. Quest’ultima è modellata come insieme di pali (elementi frame) connessi tra loro, a due a due, da molle che danno conto dell’interazione e forniscono l’effetto di gruppo. Molle di quest’ultimo tipo sono state proposte da (El Naggar e Novak, 1996).

Sottostrutturazione: determinazione dei fattori di interazione orizzontali

Per quanto riguarda l’analisi disaccoppiata, tra le diverse varianti disponibili in letteratura, si illustrano i tratti principali del procedimento semplificato descritto in (Makris e Gazetas, 1992).

Il metodo parte dalla considerazione che il moto di un palo è dato dalla somma del moto indotto dalle forze d’inerzia provenienti dalla struttura in elevazione (interazione inerziale), e di quello prodotto dalle onde sismiche provenienti dagli strati sottostanti (interazione cinematica). Per ognuno dei due aspetti del fenomeno il metodo comporta la soluzione di tre problemi in sequenza (vedi Fig. B. 6):

1. Determinazione della risposta di un palo isolato, ad un’eccitazione armonica in testa (inerziale), o alle onde sismiche di taglio che si propagano in verticale (cinematica).

2. Determinazione del moto (attenuato) in corrispondenza di un palo a distanza r=S, prodotto dal moto del palo ottenuto come soluzione al primo problema.

3. Determinazione della risposta del secondo palo al moto proveniente dal primo.


Il suolo, nella soluzione dei problemi 1 e 3, è modellato alla Winkler con una distribuzione continua di molle e smorzatori dipendenti dalla frequenza, per le quali sono state adottate le espressioni semplificate seguenti:

sx Ek 2.1=

(B. 7)

ωβρ x

sssx

kdaVc 26 4/10 += −

(B. 8)

dove Es, ρs, Vs e βs sono rispettivamente il modulo di Young, la densità di massa, la velocità delle onde di taglio e il rapporto di smorzamento del suolo, d è il diametro del palo e a0 = ωd/Vs, la frequenza adimensionale. Ai fini del calcolo dell’impedenza rotazionale della fondazione sono necessarie anche le molle verticali distribuite lungo il palo. Espressioni coerenti con quelle indicate per la direzione orizzontale sono riportate in (Gazetas et al, 1993):

( )05.016.0 aEk sz +=

(B. 9)

ωβρ z

sssz

kdaVc 24/1

0 += −

(B. 10)

Nella (B. 8) e nella (B. 10) il primo termine rappresenta lo smorzamento per irraggiamento e il secondo quello isteretico nel materiale.

Interazione inerziale: passo 1 (Fig. B. 6a)

L’equazione della linea elastica di un palo in vibrazione libera armonica U11(ω,z)eiwt, alla frequenza ω, in un terreno alla Winkler, nel caso inerziale è:

( ) ( ) ( ) 0112

411 =−++ zUmcik

dzzUdIE xx

IV

pp ωω

(B. 11)

nella quale la dipendenza dalla frequenza circolare ω (dell’ampiezza dello spostamento U11, e delle due funzioni di rigidezza e smorzamento, kx e cx) è stata omessa per semplicità di notazione.

Una soluzione semplificata, di ottima approssimazione, tenuto conto delle condizioni ai limiti, si ottiene ponendo cx=0 (l’effetto dello smorzamento diventa apprezzabile solo a profondità superiori alla lunghezza attiva del palo, cioè laddove gli spostamenti sono trascurabili):

( ) ( ) ( ) tizti ezzeUezUtzu ωλω λλ cossin, 01111 +== −

(B. 12)


dove U0(ω)=U(ω ,z=0) è l’ampiezza dello spostamento in sommità, e:

4

2

4 pp

x

IEmk ω

λ−

=

(B. 13)

Passo 1

Palo 1carico in testa

Posizione del Palo 2 (r=S)

Onde che si propagano radialmente

Passo 2 Passo 3

Palo 2Moto che

eccita il Palo 2

ug

ugz

Moto differenza tra

quello in campo libero e quello del Palo 1, attenuato alla posizione del

Palo 2


a) b) c)

d) e) f)

Passo 1

Palo 1carico in testa

Posizione del Palo 2 (r=S)


Passo 2Passo 2 Passo 3

Palo 2Moto che

eccita il Palo 2

ug

ugz

Moto differenza tra

quello in campo libero e quello del Palo 1, attenuato alla posizione del

Palo 2


a) b) c)

d) e) f)

Fig. B. 6 Interazione palo-terreno-palo: (a,b,c) inerziale, passi da 1 a 3 (d,e,f) cinematica, passi da 1 a 3.

Interazione inerziale: passo 2 (Fig. B. 6b)

Il moto del palo in (B. 12) produce campi d’onda P e S che irraggiano in tutte le direzioni, rispettivamente con velocità VLa=3.4/(π(1-ν))Vs (la cosiddetta velocità di Lysmer) e Vs, e vengono riflesse dalla superficie libera del terreno. La trattazione tridimensionale rigorosa del problema è estremamente complessa, esistono numerose soluzioni approssimate (tra tutte ad esempio Novak et al 1978). Makris e Gazetas fanno uso di quella in (Gazetas e Dobry, 1984), che fornisce il moto a distanza r dal palo eccitatore nella forma:

( ) ( ) ( )tzurtzrus ,,,,, 11θψθ =

(B. 14)


( ) ( ) ( ) θπψθψθψ 22 sen 2/,cos0,, rrr +=

(B. 15)

( ) ( ) ( ) LaLa VrriVrr eerrr //0

000, −−−− ⋅⋅= ωβωψ

(B. 16)

( ) ( ) ( ) ss VrriVrr eerrr //0

002/, −−−− ⋅⋅= ωβωπψ

(B. 17)

dove r0 è il raggio del palo. Nella stessa equazione la radice quadrata e il primo esponenziale danno conto, rispettivamente, dell’attenuazione geometrica e per dissipazione nel mezzo.

Interazione inerziale: passo 3 (Fig. B. 6c)

Il campo d’onde generato dal moto del palo eccitatore dato dalla (B. 14) per r = S fornisce l’input al secondo palo. L’equazione che governa il moto U21(z) di tale palo è:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 021212

421 =−++− zUzUcikzUm

dzzUdIE sxx

IV

pp ωω

(B. 18)

la cui soluzione fornisce lo spostamento del palo ricevente causato dal moto del palo eccitatore. Il rapporto tra questo spostamento e lo spostamento del primo palo è il cosiddetto fattore di interazione dinamica, che per z=0 vale:

( )( )

( ) 211

2121 ,

43

00

ωωω

θψαmcik

cikS

UU

xx

xx

−++

==

(B. 19)

Interazione cinematica: passo 1 (Fig. B. 6d)

Il moto del suolo in condizioni libere alla frequenza ω e alla profondità z, soluzione del problema mono-dimensionale di propagazione delle onde di taglio, è dato da:

( ) ( ) tigz

tigg e

LzUezUtzu ωω

δδ

coscos, ==

(B. 20)

dove L è lo spessore dello strato poggiante su una base rigida (riflettente9) e:

βωωδ

iVV ss 21* +==

(B. 21)

Questo moto eccita il palo 1, la cui risposta è la soluzione dell’equazione: 9 Il moto free-field dello strato Ug/Ugz = cosδz/cosδL è la soluzione particolare ottenuta per contrasto di rigidezza α=0 dalla soluzione per base “flessibile” (Gerolymos e Gazetas, 2006).


( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 011112

411 =−++− zUzUcikzUm

dzzUdIE gxx

IV

pp ωω

(B. 22)

Interazione cinematica: passo 2 (Fig. B. 6e)

In questo caso il campo d’onda generato dal palo 1 è dato dal moto differenziale ∆u11=u11-ug. Il moto attenuato alla distanza r è dato quindi dall’espressione:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tzurtzurtzru gs ,1,,,,,, 11 −Γ=∆= θψθψθ

(B. 23)

dove Γ(ω)=U11(ω)/Ug(ω) è dato dall’espressione:

( ) 24 ωωδ

ωωmcikIE

cik

xxpp

xx

−+++

=Γ

(B. 24)

Interazione cinematica: passo 3 (Fig. B. 6f)

Il moto del palo 2 risulta dalla soluzione dell’equazione (B. 18) dove il moto in input è dato dalla (B. 23).

Il rapporto tra gli spostamenti nel palo 2 e nel palo 1 fornisce il fattore di interazione dinamica (cinematica):

( )( )

( )( )1,00

11

2121 −Γ== θψα S

UU

(B. 25)

Sottostrutturazione: determinazione dei fattori di interazione verticali

Dobry e Gazetas (1988) forniscono la seguente espressione per il fattore di interazione verticale nel caso di suolo omogeneo:

( )( )

ss VSiVS eeSr

WW //0

11

2121 0

0 ωβωα −−≅=

(B. 26)

ottenuta trascurando l’interazione tra terreno e palo “ricevente” (infatti in essa non compaiono, come nella (B. 19) le impedenze lungo il palo). Sotto le stesse ipotesi gli autori forniscono anche un’analoga espressione per il fattore di interazione orizzontale.

L’espressione (B. 26) è il punto di partenza per lo sviluppo, in Makris e Gazetas (1991), di un’espressione più accurata, per suolo non omogeneo e palo assialmente flessibile (ma sempre trascurando l’interazione tra terreno e palo ricevente):


( )∫ −−=L VSiVS dzeez

LSr

ss

0//

110

21 0,1 ωβωψα

(B. 27)

dove:

( ) ( ) ( )( )∫

=≅L dzzw

L

zwzz

0 11

111111 10,, ψωψ

(B. 28)

è il rapporto tra lo spostamento verticale alla quota z e quello medio sulla lunghezza del palo.

Impedenza dinamica del singolo palo, orizzontale e verticale

I fattori di interazione dinamica trovati sono necessari per determinare il moto che eccita la struttura e l’impedenza dinamica alla base di quest’ultima. Nel calcolo, che si basa in entrambi i casi sul metodo di sovrapposizione di Poulos, entra naturalmente, oltre ai fattori di interazione, l’impedenza dinamica del singolo palo. Quest’ultima può essere determinata, nel caso più generale di suolo stratificato, con un modello numerico dell’equazione (B. 11), in cui il palo è discretizzato con elementi frame e le impedenze per unità di lunghezza sono trasformate in molle e smorzatori discreti. Ad ogni frequenza, il rapporto tra la forza armonica applicata e lo spostamento indotto fornisce l’impedenza cercata.

Per il caso semplice di terreno omogeneo (Gs = costante) esiste una soluzione in forma chiusa per l’impedenza del singolo palo (Novak, 1974). Tale soluzione è ottenuta modellando il suolo alla Winkler con una distribuzione continua di molle e smorzatori di caratteristiche dipendenti dalla frequenza Gs(Sx1(a0)+iSx2(a0)) e Gs(Sz1(a0)+iSz2(a0)), che rappresentano la soluzione esatta in elastodinamica per l’impedenza di uno strato elastico (Baranov, 1967). Queste impedenze distribuite, mostrate in Fig. B. 7a, sono le stesse semplificate da Gazetas nelle equazioni (B. 7)-(B. 8) e (B. 9)-(B. 10): kx = GsSx1 e cx = GsSx2/ω.

La matrice di impedenza dinamica del singolo palo ha la forma (vedi Fig. B. 7b):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=s

zz

ssx

sx

sxx

s

kkkkk

~000~~0~~

~θθθ

θ

k

(B. 29)

dove:

( )λxxp

ppsxx F

LIE

k 3~ =

(B. 30)


( )λθθθθ FL

IEk

p

pps =~

(B. 31)

( )λθθ xp

ppsx F

LIE

k 2~ =

(B. 32)

e

( )Λ= zzp

ppszz F

LAE

k~

(B. 33)

dove Lp è la lunghezza del palo.

S x1(ν=0.4

)

S x1(ν=0.2

5)

S z1

Sx2 (ν=0.25)

Sx2 (ν=0.4)

Sz2

S x1(ν=0.4

)

S x1(ν=0.2

5)

S z1

Sx2 (ν=0.25)

Sx2 (ν=0.4)

Sz2

Fig. B. 7 Sopra: impedenza distribuita lungo un palo (adattata da Novak, 1974);

sotto: termini della matrice di impedenza in testa al palo.

Nelle equazioni precedenti i due parametri complessi λ e Λ sono definiti come:

( )[ ] ppxxp IEcikmLi ωωλλλ +−=+= 221

(B. 34)

( )[ ] ppzzp AEcikmLi ωω +−=Λ+Λ=Λ 221

(B. 35)


Le espressioni delle funzioni Fxx, Fxθ e Fθθ sono fornite da Novak (1974) per il caso di palo incastrato oppure incernierato in una base rigida. Ai fini della determinazione della rigidezza globale alla traslazione orizzontale e alla rotazione della fondazione, interessano solamente le rigidezze s

xxk~ e szzk~ . Le corrispondenti funzioni sono:

( )1coscoshcossinhsincosh3

, −+

=λλ

λλλλλλfixedxxF

(B. 36)

( )λλλλ

λλλλcossinhsincosh

coscosh23, −

=pinnedxxF

(B. 37)

( ) ΛΛ=Λ cotzzF

(B. 38)

Novak mostra anche come, normalizzando le funzioni precedenti per la snellezza del palo (Re(fxx)= Re(Fxx)/(Lp/r0)3) e, per la parte immaginaria, anche per la frequenza adimensionale a0 (Im(fxx)= Im(Fxx)/(Lp/r0)3/a0), si ottengono dei valori praticamente indipendenti dalla snellezza e dalle condizioni di vincolo alla base, per i valori usuali di snellezza e lunghezza dei pali. Novak fornisce inoltre i valori costanti approssimati mostrati in Tabella B. 1 in funzione del rapporto tra la velocità delle onde di taglio nel terreno e la velocità delle onde nel calcestruzzo Vc = √Ep/ρp.

Tabella B. 1 Valori costanti approssimati delle funzioni di impedenza del singolo palo (ν è il coefficiente di Poisson del terreno).

ν = 0.25 ν = 0.4

Vs/Vc Re(fxx) Im(fxx) Re(fxx) Im(fxx)

0.01 0.0032 0.0076 0.0036 0.0084

0.02 0.0090 0.0215 0.0100 0.0238

0.03 0.0166 0.0395 0.0185 0.0438

0.04 0.0256 0.0608 0.0284 0.0674

0.05 0.0358 0.0850 0.0397 0.0942

Moto modificato in input alla struttura

Per effetto delle onde di taglio che si propagano verticalmente nascono in sommità al singolo palo una componente di spostamento orizzontale ed una rotazione. Se quest’ultima è impedita (palo incastrato nel plinto) nasce un momento flettente. La somma dei momenti flettenti in sommità ai pali induce una rotazione nel plinto. Generalmente, per le dimensioni usuali dei pali, tale componente dell’eccitazione alla struttura risulta


trascurabile rispetto alla componente orizzontale. Nel seguito quindi si fa riferimento solo a quest’ultima.

Gli spostamenti orizzontali Ui e Uj in testa ai pali i e j dovuti alla propagazione del moto sismico all’interno della palificata sono diversi, a causa del diverso contributo di interazione dai pali circostanti:

∑∑ =≠=i

iijijj

jjiji UUUU αα (B. 39)

dove αii = αjj = 1, e Uii = Ujj = U11 è il moto in testa al singolo palo eccitato dalle onde sismiche per effetto dell’interazione con il suolo.

Nell’ipotesi di plinto rigido deve risultare Ui = Uj =U. Perché questo avvenga devono nascere delle forze in testa ai pali che ristabiliscano la compatibilità. Tali forze, che devono essere auto-equilibrate:

0=∑i

iF (B. 40)

producono spostamenti diretti Fi/ sxxk~ e αji Fi/ s

xxk~ per effetto dell’interazione.

Lo spostamento orizzontale del plinto sarà quindi dato dall’espressione:

∑∑∑∑ +=+==i

jii

sxx

iji

iiiji

is

xx

ijijk U

kFU

kFUU αααα 11~~

(B. 41)

che può essere riscritta come:

∑∑ =−i

jii

sxx

iji

k

UkF

UU αα

1111~

(B. 42)

Questa equazione, scritta per gli n pali, insieme all’equazione di equilibrio (B. 40), formano un sistema di equazioni lineari nelle incognite Uk/U11 (moto in sommità) e Fi/ s

xxk~ U11 con i=1,…,n (forze), che si può scrivere in forma matriciale:

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

×

××

××

××

11

1

11

11

111

1

0~0nnn

sxx

k

n

nnn

UkUU 1α

F1

α1

(B. 43)

Impedenza dinamica della fondazione

Si vogliono determinare le impedenze dinamiche della sistema fondazione-terreno secondo la componente di spostamento orizzontale e di rotazione.


Per quanto riguarda la prima, nell’ipotesi di plinto rigido, lo spostamento in testa a ciascun palo è uguale a quello del plinto che può essere espresso come:

∑=i

sxx

iji k

FU ~α

(B. 44)

Le forze di inerzia in testa ai pali sommano alla forza totale applicata al plinto FG:

G

ii FF =∑

(B. 45)

L’equazione (B. 41), scritta per gli n pali, insieme all’equazione di equilibrio (B. 45), formano un sistema di equazioni lineari nelle incognite U (moto in sommità) e Fi/ s

xxk~ con i=1,…,n (forze), che si può scrivere in forma matriciale:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

×

×

××

××G

ns

xxns

xx

nnn

FkU

k 11

1

111

1~~0

0

F1

α1

(B. 46)

nella quale a FG può essere assegnato un valore arbitrario. Risolto il sistema è possibile calcolare l’impedenza globale allo spostamento orizzontale come:

UFk

GG

x =~

(B. 47)

Per quanto riguarda l’impedenza alla rotazione, nell’ipotesi di plinto rigido, lo spostamento verticale in testa al palo i a distanza xi dall’origine del riferimento può essere espresso come:

∑=⋅+=i

szz

zizjiii k

FxWW ~αθ

(B. 48)

dove W e θ sono lo spostamento verticale e la rotazione del plinto.

Le forze verticali in testa a ciascun palo devono soddisfare l’equilibrio alla rotazione e quello alla traslazione verticale:

Gi

izi MxF =∑

(B. 49)

0=∑i

ziF

(B. 50)


Poiché normalmente il riferimento della fondazione coincide con il baricentro della stessa, lo spostamento verticale W è nullo e l’equilibrio (B. 50) è soddisfatto. Rimane pertanto il sistema:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −Gs

zzzs

zz

z

Mkk0

Fx

αx~~0

θ

(B. 51)

Nel quale a MG si può assegnare un valore arbitrario. L’impedenza cercata vale:

θθ

GG Mk =~

(B. 52)


B.2.3 Fondazioni a pozzo

Come notato in precedenza, la caratteristica principale di una fondazione a pozzo è la sua capacità di modificare in maniera sensibile il moto in input alla struttura, rispetto al moto in campo libero, in particolare per la comparsa di componenti di rotazione potenzialmente rilevanti.

La matrice di impedenza è disponibile nell’ipotesi di pozzo rigido e terreno omogeneo come soluzione del problema elastodinamico (Gazetas, 1991). Riferita alla base del pozzo (invece che alla sua sommità) essa è data dall’espressione10:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

MMHM

HMHHemb KK

KK~~~~

~ ωK

(B. 53)

Tale impedenza da sola non permette di valutare l’effetto dell’interazione sulla risposta della struttura. Per consentire l’analisi dell’interazione cinematica, Gerolymos e Gazetas (2006a) hanno proposto di schematizzare il terreno intorno al pozzo mediante molle e smorzatori distribuiti lungo l’altezza del pozzo e alla sua base. Le caratteristiche di tali elementi vengono determinate in modo da approssimare l’impedenza in (B. 53).

La Fig. B. 8a mostra la configurazione deformata di un pozzo di fondazione con evidenziate le reazioni del suolo, lungo il fusto e alla base. La Fig. B. 8b mostra la corrispondente schematizzazione alla Winkler in (Gerolymos e Gazetas, 2006a), con i quattro funzioni di impedenza dinamica, alla traslazione xk~ e rotazione θk~ lungo il fusto, e concentrate per traslazione hK~ e rotazione rK~ alla base. Le impedenze θk~ , hK~ e rK~ costituiscono un’importante differenza qualitativa con il caso dei pali, nei quali questi contributi, per le proporzioni geometriche, risultano trascurabili.

Scrivendo l’equilibrio alla traslazione e alla rotazione:

( ) ( ) ( ) ( )tQtuKdztzuzkum h

d

xc 00,0~,~ =++ ∫&&

(B. 54)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tDQtMtKdztzk

zdztzuzktuDmtJ

cr

d

c

d

xccc

000

0

~~

,~2

+=++

+++

∫

∫

θθ

θ

θ

L&&&&

(B. 55)

si ricava la matrice di impedenza riferita alla base:

10 Per l’analisi della struttura in elevazione serve la matrice di impedenza riferita alla sommità del pozzo ( )ωTK~ . Questa si ricava a partire dalla (B. 53) mediante un semplice cambiamento di riferimento.


( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

3

~~~2

~ 2

~~~~

32

2

dkdkKdk

dkdkK

xr

x

xxh

B

θ

ωK

(B. 56)

Fig. B. 8 (a) Cassone e reazioni del terreno (b) schematizzazione alla Winkler.

Le impedenze θkkx~,~ si determinano imponendo l’uguaglianza dei termini sulla diagonale

della (B. 56) e della (B. 53), e verificando che ne risulti una ragionevole somiglianza per i termini fuori diagonale:

HHxh KdkK ~~~ =+

(B. 57)

MMx

r KdkdkK ~3

~~~ 3

=++ θ

(B. 58)

Imponendo le (B. 57)(B. 58) separatamente per la parte reale e immaginaria si ottengono, rispettivamente, kx, kθ e cx, cθ.

I risultati di questa operazione, svolta per un certo numero di rapporti di forma d/B, forniscono espressioni analitiche approssimate delle rigidezze. Ad esempio per un cassone circolare si ha:

( ) 13.0/75.1 −≅ BdEk sx

(B. 59)

( ) 71.12 /85.0 −≅ BddEk sθ

(B. 60)


E’ interessante notare che per cassoni molto snelli (d/B>10), le relazioni precedenti forniscono sx Ek 2.1≅ e 0≅θk , coerenti con le corrispondenti espressioni per un palo (vedi equazione (B. 7)).

Nel caso di eccitazione sismica (onde di taglio a propagazione verticale), le equazioni di equilibrio per i due gradi di libertà del cassone rigido si scrivono (vedi Fig. B. 9):

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0,0,0~,,~0

=−+−+ ∫ tutuKdztzutzuzkum ffh

d

ffxc&&

(B. 61)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0,0~,~

,,~2

0

0

=′−+′−+

+−++

∫

∫

tutKdztzutzk

zdztzutzuzktuDmtJ

ffcr

d

ffc

d

ffxccc

θθ

θ

θ

L&&&&

(B. 62)

dove il moto del terreno è descritto dalle (B. 20)e (B. 21). La soluzione delle equazioni (B. 61) e (B. 62) fornisce il moto in superficie da applicare alla struttura.

Fig. B. 9 Modellazione, fondazioni a cassone: interazione cinematica.

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