1

LINEARNE JEDNAČINE

Pod linearnom jednačinom ‘’po x’’ podrazumevamo svaku jednačinu sa nepoznatom x koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika:

bxa

gde su a i b dati realni brojevi. Rešenje ove jednačine je svaki realan broj 0x za koji važi:

0a x b

Ako nam posle rešavanja ostane jednačina većeg stepena (drugog, trećeg …) onda nju probama da rastavimo na činioce i koristimo: 0BA 0A 0B

0 CBA 0A 0B 0C Za svaku linearnu jednačinu važi:

a x b

a

bx ,0a 0b

ako je 0a 0 ba Nema rešenja Primer: ima beskonačno Primer mnogo rešenja Primer: Svaki broj je rešenje Deljenje sa 0 nije

dozvoljeno (za sad)

www.matematiranje.com

52

10

102

x

x

x

00 x ?0

7

70

x

x

2

Kako rešavati jednačinu?

- Prvo se oslobodimo razlomaka (ako ih ima) tako što celu jednačinu pomnožimo sa NZS

- Onda se oslobodimo zagrada (ako ih ima) množeći ‘’svaki sa svakim’’. - Nepoznate prebacimo na jednu a poznate na drugu stranu znaka =.

(PAZI: prilikom prelaska sa jedne na drugu stranu menja se znak) - ‘’sredimo’’ obe strane (oduzmemo i saberemo) i dobijemo bxa

- Izrazimo nepoznatu a

bx

VAŽNO: Ako negde vršimo skraćivanje moramo voditi računa da taj izraz koji kratimo mora biti različit od nule. U suprotnom se može desiti apsurdna situacija.

Primer: Rešiti jednačinu: 02

x

x

Ako skratimo x x

x0 0x ?

Ne smemo skratiti jer je uslov 0x

ZADACI:

1) Reši jednačinu Nema razlomaka i zagrada tako da odmah ‘’prebacujemo’’ nepoznate na jednu a poznate na drugu stranu. 2) Reši jednačinu xxx 10)116(4)32(3 (oslobodimo se zagrada)

3(2 3 ) 4(6 11) 10

6 9 24 44 10

9 24 10 6 44

16 48

48

16

3

x x x

x x x

x x x

x

x

x

www.matematiranje.com

9 2 5 2

2 5 2 9

7 7

7

7

1

x x

x x

x

x

x

3

2) Reši jednačinu 5 2 3 6 5

27 2 14

y y y

14/14

56

2

322

7

5

yyy Nadjemo NZS za 7, 2 i 14; to je 14. Celu jednačinu

)56(1)32(728)5(2 yyy pomnožimo sa 14. 2 10 28 14 21 6 5

2 14 6 21 5 10 28

6 44

44

6

22

3

y y y

y y y

y

y

y

4) Reši jednačinu 132)4()3( 22 xxx

132)4()3( 22 xxx

2 2

2

( 6 9) ( 8 16) 2 13x x x x x

x

26 9x x 8 16 2 13

6 8 2 13 9 16

12 6

6

12

1

2

x x

x x x

x

x

x

5) Reši jednačinu 3

1

2

2

xx

PAZI: Ovde odmah postavi uslove: 02 x 2x

3

1

2

2

xx 03 x 3x

Množe se unakrsno : 2( 3) 1 ( 2)

2 6 2

2 2 6

8

x x

x x

x x

x

www.matematiranje.com

4

6) Reši jednačinu 42

32

2

1

63

5

x

x

x

x Uslovi: 02 x

2x

5 1 2 3/ 6( 2)

3( 2) 2 2( 2)

2( 5) 3( 2) 3(2 3)

2 10 3 6 6 9

2 3 6 6 9 10

7 25

25

7

x xx

x x

x x x

x x x

x x x

x

x

7) Reši jednačinu 12

12

14

8

12

122

x

x

xx

x

2 1 8 2 1

....... / (2 1)(2 1)2 1 (2 1)(2 1) 2 1

x xx x

x x x x

Uslovi: 012 x 012 x 12 x 12 x

2

1x

2

1x

8) Reši jednačinu 215 xx

Ovd moramo najpre da definišemo apsolutnu vrednost:

0,

0,

Dakle: 5 1, za 5 1 0

5 1(5 1), za 5 1 0

x xx

x x

=

),15(

,15

x

x

5

15

1

x

x

Sad rešavamo dve jednačine:

www.matematiranje.com

2 2

2 2

2 2

(2 1) 8 (2 1)

4 4 1 8 4 4 1

4 4 4 4 1 1 8

8 8

1

x x

x x x x

x x x x

x x

x

5

9

9

342

2324

2)32()4(

x

x

x

xx

xx

Uslov 5

1x Uslov

5

1x

(5 1) 2

5 1 2

4 2 1

4 1

1

4

x x

x x

x

x

x

Ovo rešenje je ''dobro'' jer je5

1

2

1 I ovo je ‘’dobro’’ jer je

5

1

4

1

9) Reši jednačinu 2324 xx

Najpre definišemo obe apsolutne vrednosti:

),4(

,44

x

xx

04

04

x

x=

).4(

,4

x

x

4

4

x

x

II

I

Uslov

Uslov

),32(

,3232

x

xx

032

032

x

x=

),32(

,32

x

x

2

32

3

x

x

IV

III

Uslov

Uslov

Zadatak ćemo podeliti na 4 dela u zavisnosti od uslova: i) I i III uslov:

4x i 2

3x

,4x Nije ''dobro'' rešenje jer ne zadovoljava ,4x ii) I i IV uslov

,4x 2

3x

Ovde nema rešenja

x

5 1 2

6 2 1

6 3

3

6

1

2

x x

x

x

x

x

6

3

1

13

4323

2324

2)32()4(

x

x

x

xx

xx

5

342

2324

2)32()4(

x

x

xx

xx

iii) II i III uslov

4x i 2

3x

4,

2

3x

Dobro je rešenje 1 3

,43 2

iv) II i IV uslov

,4x i 2

3x

2

3,x

‘’Dobro’’ rešenje, jer

2

3,5

Zaključak: rešenja su 1

1

3x i 2 5x

10) Rešiti i diskotuvati jednačinu u zavisnosti od parametra a) 3 1 5mx m x sve ‘’sa x’’ prebacujemo na jednu stranu, sve što nema x na drugu

mxmx 315 Izvučemo x kao zajednički ispred zagrade

mmx 31)5(

1 3

5

mx

m

www.matematiranje.com

7

Diskusija:

Za 5m 0

531 x nemoguća, nema rešenja

Za 5m 5

31

m

mx jednačina ima rešenja I to beskonačno mnogo jer Rm

b) 2 4 8 7 5ax a a x Diskusija:

Za 052 a 2

5a Jednačina nemoguća

Za 052 a 5

2a jednačina ima mnogo rešenja

Jednačine imaju veliku primenu u rešavanju takozvanih ‘’problemskih’’ zadataka. Važno je dobro proučiti tekst, ako treba skicirati problem i naći vezu izmedju podataka. 11) Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko će godina otac biti dva puta stariji od sina? Obeležimo sa X-broj godina koji treba da prodje. Otac → 43 godine Sin → 18 godina Kako godine teku i za oca i za sina, to je: Otac → 43+X Sin → 18+X U zadatku se kaže da će otac biti dva puta stariji od sina: 2 (18 ) 43

36 2 43

2 43 36

7

x x

x x

x x

x

2 5 8 7 4

(2 5) 9 3

9 3

2 5

ax x a a

x a a

ax

a

8

Proverimo: Kroz 7 godina otac će imati 43+7=50 godina, a sin 18+7=25 godina, pa je otac zaista dva puta stariji od sina.

12) Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 5

2 da bi smo dobili

razlomak 7

5?

7

5

5

2

x

x Množimo unakrsno

7(2 ) 5(5 )

14 7 25 5

7 5 25 14

2 11

11

2

x x

x x

x x

x

x

13)

Učenik je prvog dana pročitao 4

1 knjige, drugog dana

3

2 od ostatka knjige,a trećeg dana

poslednjih 40 stranica. Koliko ima stranica ta knjiga? Obeležimo sa x-broj stranica knjige.

x4

1I Dan

2 3

3 4x II Dan 40 str.→ III dan

1 2

4 3x

3 40

4

1 240

4 43

404

340

41

404

160

x x

x x x

x x

x x

x

x

Knjiga ima 160 strana. www.matematiranje.com

9

14) Jedan radnik može da završi posao za 9, a drugi za 12 dana. Ako se njima pridruži treći radnik, oni će taj poso završiti za 4 dana. Za koje bi vreme treci radnik sam završio posao? Neka je x-vreme za koje treći radnik završi posao. Kako razmišljamo?

Ako prvi radnik sam završi posao za 9 dana onda će za 1 dan odraditi 9

1 posla.

Slično će drugi radnik za 1 dan odraditi 12

1 posla, a treći

x

1 deo posla.

Znači da oni zajedno za 1 dan odrade x

1

12

1

9

1 deo posla, Kako rade 4 dana, to je:

1 1 1

4 19 12

4 4 41 ........ / 36

9 1216 12 144 36

28 36 144

8 144

18

x

xx

x x x

x x

x

x

Dakle, treći radnik bi sam završio posao za 18 dana.

www.matematiranje.com