L’ellisse come luogo di punti

• Nell’ultima lezione abbiamo presentato le coniche, e in particolare l’ellisse, come sezioni di un cono circolare retto

• l’ellisse infatti si ottiene sezionando un cono con un piano che forma con il suo asse un angolo minore di 90°, ma maggiore della semiapertura del cono.

Stefano Lagomarsino: laboratorio 1, costruire e usare ipertesti

Stefano Lagomarsino: laboratorio 1, costruire e usare ipertesti

• Ora dimostreremo che l’ellisse può essere definita anche in un altro modo:

• Nel piano di un’ellisse, infatti, esistono due punti per i quali la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse è sempre la stessa.

• Questi due punti si chiamano “fuochi dell’ellisse”.

• Ma torniamo, per ora, al nostro cono.

• Supponiamo di inserire, all’interno del cono, una sfera tangente al piano dell’ellisse ed al cono stesso, nel modo mostrato nella figura.

• Secondo te, in quanti punti si toccano cono e sfera?

Due punti

Infiniti punti

Hai risposto: due punti

• Probabilmente ti ha confuso il disegno.

• In realtà, se una sfera tocca un cono in due punti, lo tocca anche in infiniti altri punti che stanno tutti su una circonferenza il cui piano è perpendicolare all’asse del cono.

• Nota anche un’altra cosa: le semirette giacenti sul cono e che partono dal vertice sono tutte tangenti alla sfera, ed i segmenti che vanno dal vertice al punto di tangenza sono tutti uguali.

• Un’altra domanda: ci sono altre sfere che sono tangenti al cono e al piano?

Si No

Hai risposto: infiniti punti

• Infatti. Il cono tocca la sfera su infiniti punti che stanno tutti su una circonferenza di raggio più piccolo del raggio della sfera.

• Il piano della circonferenza è perpendicolare all’asse del

cono.

Hai risposto: No

• Non nella parte di spazio compresa fra il vertice ed il piano dell’ellisse,

• però, nell’altra parte dello spazio ce n’è un’altra, più grande della prima.

• Ovviamente, anche questa circonferenza tocca il cono in infiniti punti.

• Altra domanda: in quanti punti si toccano la sfera e il piano dell’ellisse?

Uno infiniti

Hai risposto: Si

• Infatti, ce n’è un’altra nella parte di spazio illimitata che si trova dall’altra parte del vertice, rispetto al piano.

• Ora si chiede: in quanti punti si toccano la sfera e il piano dell’ellisse?

Uno

Infiniti

Hai risposto: uno

• Infatti fra una sfera ed un piano ad essa tangente ci può essere un solo punto di intersezione, quello più vicino alla sfera stessa.

• Da notare che ogni retta del piano che passa per tale punto è anch’essa tangente alla sfera.

Hai risposto: infiniti

• Questo era vero per il cono, ma non può essere vero per il piano.

• Infatti se ci fossero più punti di tangenza fra piano e sfera, il segmento che unisce tali punti (che per forza appartiene al piano) sarebbe interno alla sfera.

• Il piano quindi sarebbe in parte interno, in parte esterno alla sfera (e quindi non sarebbe tangente)

• Fra le due sfere ed il piano dell’ellisse ci sono quindi 2 punti di intesezione.

• Chiamiamo tali punti “fuochi dell’ellisse” (e indichiamoli con F1 ed F2).

F1

F2

• Scegliamo ora, a caso, un punto dell’ellisse (chiamiamolo “punto P”)

• tracciamo anche la semiretta che parte dal vertice del cono e passa per il punto dell’ellisse che abbiamo scelto.

PF1

F2

• Indichiamo poi con A e B i punti di contatto fra tale semiretta e le sfere tangenti al piano dell’ellisse.

• A proposito, secondo te, la distanza fra A e B dipende dalla scelta di P oppure no?

Non dipende dalla scelta di P

dipende dalla scelta di P

PF1

F2

B

A

Hai risposto: non dipende dalla scelta di P

• Infatti il segmento AB è la differenza fra il segmento VB ed il segmento VA, che non dipendono dalla scelta della semiretta. B

A

B’

A’

V

Hai risposto: dipende dalla scelta di P

• Guarda bene: prendi due punti P e P’ sull’ellisse, e considera i corrispondenti punti A’ e B’.

• I segmenti VA e VA’ sono uguali

• e sono uguali anche VB e VB’

• Allora AB e A’B’ non possono che essere uguali.

• Quindi la lunghezza di AB non dipende dalla scelta di P.

B

A

B’

A’

P’

P

V

• Unisci ora il punto P con i due fuochi

• sta attento perché questo passaggio è cruciale:

• Secondo te, il segmento PF1 ed il segmento PA sono uguali o diversi?

Sono uguali

sono diversi

PF1

F2

B

A

Hai risposto: sono diversi

• Bisogna ammettere che qui la prospettiva è veramente fuorviante.

• Pero pensaci un attimo:

• i due segmenti sono entrambi tangenti alla sfera

• inoltre passano entrambi per P. Giusto?

PF1

F2

B

A

• Ora, una sfera stacca segmenti uguali su tutte le tangenti che passano per un punto P (vedi disegno).

• Di conseguenza i segmenti, anche se sembrano diversi, per un effetto di prospettiva, in realtà sono uguali. P

Hai risposto: sono uguali

• Giusto, questo era proprio difficile.

• In effetti i segmenti di tangente condotti da un punto ad una sfera sono tutti uguali fra loro.

P

• Quindi il segmento PA ed il segmento PF1 sono fra loro uguali.

• E analogamente anche PB è uguale a PF2 (questo dal disegno si vede ancora meno, ma è sempre vero).

• Ora fa attenzione

• Se PA=PF1 e PB=PF2 allora:

PF1 + PF2 =AB

PF1 + PF2 =PA+PB

PF1

F2

B

A

Hai risposto: PF1 + PF2 =PA+PB

• Questo è vero, ovviamente, ma pensaci, A, P e B stanno sulla stessa retta, e sono consecutivi, quindi la somma dei due segmenti PA e PB è proprio uguale al segmento AB, non ti pare?

V

A

P

B

Hai risposto: PF1 + PF2 =AB

• Giustissimo, finalmente siamo arrivati all’ultimo passaggio ...

• Allora, abbiamo concluso che per ogni punto P dell’ellisse, la distanza PF1, sommata alla distanza PF2, è uguale al segmento AB

• Ora, come abbiamo visto, la lunghezza di AB è indipendente dalla scelta di P

• Ma allora, la somma delle distanze del punto P dai due fuochi F1 ed F2 è indipendente dalla scelta di P.

PF1

F2

B

A

P’

A’

B’

Conclusione

• Questo significa che per ogni ellisse esistono due punti (i due fuochi) per i quali è costante la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse.

• Questo è proprio quello che si voleva dimostrare.