SEZIONI CONICHE

APPLICAZ. CONICHE

STORIA

TIPI DI CONICHE

CONTENUTICONTENUTI

Circonferenza Ellisse

ParabolaIperbole

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ESEMPI FISICIESEMPI FISICI

Gli esempi in natura di sezioni coniche sono infiniti. Certamente quella Gli esempi in natura di sezioni coniche sono infiniti. Certamente quella

più in comune è la circonferenza, che dall’invenzione della ruota, più in comune è la circonferenza, che dall’invenzione della ruota,

detiene il primato della sezione più diffusa. Citeremo quindi soltanto detiene il primato della sezione più diffusa. Citeremo quindi soltanto

alcuni esempi di altre sezioni coniche che trovano riscontro in natura.alcuni esempi di altre sezioni coniche che trovano riscontro in natura.

Le orbite di due corpi che Le orbite di due corpi che

interagiscono secondo la interagiscono secondo la legge di legge di

gravitazione universalegravitazione universale sono sono

sezioni coniche rispetto al loro sezioni coniche rispetto al loro

comune centro di massa comune centro di massa

considerato a riposo. Se tra i due considerato a riposo. Se tra i due

corpi si esercita una attrazione corpi si esercita una attrazione

sufficiente, entrambi percorrono sufficiente, entrambi percorrono

un’ellisse; se invece l’attrazione è un’ellisse; se invece l’attrazione è

insufficiente i due corpi si muovonoinsufficiente i due corpi si muovonocon la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo

entrambi parabole od iperboli.entrambi parabole od iperboli.

Alle stesse leggi obbediscono i satelliti

(per telecomunicazioni, militari, meteo,

Space Shuttle) che vengono lanciati

dalla Terra. A seconda del rapporto tra

la loro velocità e l’attrazione

gravitazionale esercitata dal nostro

pianeta, possono percorrere orbite

circolari, ellittiche, paraboliche od

iperboliche.

In campo aeronautico l’ellisse od il suo

solido di rotazione (ellissoide) trovano

vari impieghi: un’ala a pianta ellittica

riduce al minimo la resistenza indotta

dalla portanza, mentre una fusoliera a

forma di ellissoide riduce la resistenza

di pressione.

La caratteristica della parabola, per la quale i La caratteristica della parabola, per la quale i

raggi paralleli al suo asse di simmetria sono raggi paralleli al suo asse di simmetria sono

riflessi nel suo fuoco e viceversa, porta a molte riflessi nel suo fuoco e viceversa, porta a molte

interessanti applicazioni. Una di queste è interessanti applicazioni. Una di queste è

l’antenna satellitare, detta anche antenna l’antenna satellitare, detta anche antenna

parabolica o più semplicemente “parabola”. I parabolica o più semplicemente “parabola”. I

segnali provenienti da un satellite geostazionario, segnali provenienti da un satellite geostazionario,

cioè fermo nello spazio rispetto alla Terra, e cioè fermo nello spazio rispetto alla Terra, e

quindi paralleli all’asse di simmetria dell’antenna, quindi paralleli all’asse di simmetria dell’antenna,

sono concentrati da questa in un ricevitore posto sono concentrati da questa in un ricevitore posto

nel fuoco della parabola e inviati al televisore. nel fuoco della parabola e inviati al televisore.

Con lo stesso principio funzionano i Con lo stesso principio funzionano i

radarradar di terra, usati per esempio per il di terra, usati per esempio per il

controllo del traffico aereo. Il controllo del traffico aereo. Il

trasmettitore, che ha anche funzione trasmettitore, che ha anche funzione

di ricevitore ed è posizionato nel fuoco, di ricevitore ed è posizionato nel fuoco,

emette un fascio di radiazioni emette un fascio di radiazioni

elettromagnetiche, che sono riflesse elettromagnetiche, che sono riflesse

dalla parabola ed inviate dalla parabola ed inviate

parallelamente al suo asse verso il parallelamente al suo asse verso il

cielo. Quando queste incontrano un cielo. Quando queste incontrano un

oggetto, vengono riflesse in tutte le oggetto, vengono riflesse in tutte le

direzioni e quindi anche verso il radar. direzioni e quindi anche verso il radar.

La parabola dello stesso le riflette nel La parabola dello stesso le riflette nel

fuoco, cioè verso il ricevitore che le fuoco, cioè verso il ricevitore che le

invia ad un computer il quale le invia ad un computer il quale le

trasforma in una immagine su di uno trasforma in una immagine su di uno

schermo.schermo.

Un esempio in natura di iperbole è la forma che può assumere Un esempio in natura di iperbole è la forma che può assumere l’onda l’onda

d’urtod’urto, cioè la quasi istantanea ricompressione dell’aria, che si forma di , cioè la quasi istantanea ricompressione dell’aria, che si forma di

fronte ad un corpo di forma tozza a velocità supersonica, cioè oltre il fronte ad un corpo di forma tozza a velocità supersonica, cioè oltre il

muro del suono (1224 km/ora a bassa quota).muro del suono (1224 km/ora a bassa quota).

L’immagine in calce mostra l’onda d’urto attorno ad una velivolo militare L’immagine in calce mostra l’onda d’urto attorno ad una velivolo militare

statunitense (US Navy F-18) in volo supersonico. L’onda d’urto è resa statunitense (US Navy F-18) in volo supersonico. L’onda d’urto è resa

visibile dalla condensazione del vapore acqueo presente nell’aria.visibile dalla condensazione del vapore acqueo presente nell’aria.

CIRCONFERENZACIRCONFERENZA

La circonferenza si può considerare un caso particolare di ellisse. E’ il La circonferenza si può considerare un caso particolare di ellisse. E’ il

luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro della centro della

circonferenzacirconferenza. La distanza “r” del centro “C” da un punto “P” sulla . La distanza “r” del centro “C” da un punto “P” sulla

circonferenza è detta circonferenza è detta raggio della circonferenzaraggio della circonferenza..

In formule la proprietà della circonferenza In formule la proprietà della circonferenza

è:è:

(x-x(x-xcc))22 + (y-y + (y-ycc))22 = r = r22

xx22 + y + y22 + (-2x + (-2xcc)x + (-2y)x + (-2ycc)y + (x)y + (xcc22+y+ycc

22-r-r22) = ) =

00

ponendo: a=-2xponendo: a=-2xcc; b=-2y; b=-2ycc e c=(x e c=(xcc22+y+ycc

22-r-r22))

L’equazione canonica della circonferenza L’equazione canonica della circonferenza

sarà:sarà:

xx22 + y + y22 + ax +by + c = 0 + ax +by + c = 0

Il centro ed il raggio della circonferenza Il centro ed il raggio della circonferenza

sono:sono:

xxcc = - a/2 ; y = - a/2 ; ycc = -b/2 e r = = -b/2 e r = (a2 + b2 –

4c)1/2 /2

Gli Gli assi di simmetriaassi di simmetria della circonferenza sono della circonferenza sono

infinitiinfiniti..

PARABOLAPARABOLA

E’ il luogo dei punti (P) in un piano le cui distanze da un punto fisso, E’ il luogo dei punti (P) in un piano le cui distanze da un punto fisso,

detto detto fuocofuoco (F), e da una retta, detta (F), e da una retta, detta direttricedirettrice (d) sono uguali. (d) sono uguali.

Il punto medio della distanza tra il fuoco e Il punto medio della distanza tra il fuoco e

la direttrice è detto la direttrice è detto verticevertice della parabola. della parabola.

La parabola ha La parabola ha un asse di simmetriaun asse di simmetria, che , che

coincide con la retta perpendicolare alla coincide con la retta perpendicolare alla

direttrice e passante per il fuoco.direttrice e passante per il fuoco.

Per ricavare l’equazione della parabola Per ricavare l’equazione della parabola

scegliamo un sistema di assi coordinati scegliamo un sistema di assi coordinati

opportuno, per il quale il vertice della opportuno, per il quale il vertice della

parabola coincida con l’origine e l’asse parabola coincida con l’origine e l’asse

delle ordinate con l’asse di simmetria della delle ordinate con l’asse di simmetria della

parabola.parabola.

distanze ugualidistanze uguali

direttricedirettrice

Indicando con “p” la distanza tra il vertice ed il fuoco l’equazione della Indicando con “p” la distanza tra il vertice ed il fuoco l’equazione della

direttrice sarà: direttrice sarà: y = -py = -p. Per un punto generico P(x;y),. Per un punto generico P(x;y), appartenente alla appartenente alla

parabola, scriviamo la proprietà caratteristica della stessa:parabola, scriviamo la proprietà caratteristica della stessa:

xx22 + (y – p) + (y – p) 22 = (y + p) = (y + p) 22

Eseguendo alcuni passaggi algebrici, otteniamo:Eseguendo alcuni passaggi algebrici, otteniamo:

xx22 = 4py = 4py od anche od anche y = (1/4p) xy = (1/4p) x22

che rappresenta l’equazione di una parabola con concavità verso l’alto, che rappresenta l’equazione di una parabola con concavità verso l’alto,

con il vertice nell’origine degli assi e simmetrica rispetto all’asse delle con il vertice nell’origine degli assi e simmetrica rispetto all’asse delle

ordinate. Cambiando di segno il termine a destra dell’uguaglianza, ordinate. Cambiando di segno il termine a destra dell’uguaglianza,

otteniamo l’equazione della stessa parabola ma con concavità verso il otteniamo l’equazione della stessa parabola ma con concavità verso il

basso. Scambiando invece la “x” con la “y” otteniamo l’equazione di basso. Scambiando invece la “x” con la “y” otteniamo l’equazione di

una parabola con concavità verso destra, con il vertice nell’origine degli una parabola con concavità verso destra, con il vertice nell’origine degli

assi e simmetrica rispetto all’asse delle ascisse.assi e simmetrica rispetto all’asse delle ascisse.

Se immaginiamo di traslare la parabola a sinistra/destra o verso l’alto/basso, Se immaginiamo di traslare la parabola a sinistra/destra o verso l’alto/basso,

in modo tale che il suo vertice sia nel punto in modo tale che il suo vertice sia nel punto V(h;k),V(h;k), la sua equazione sarà: la sua equazione sarà:

(x - h)(x - h)22 = 4p (y – k) = 4p (y – k)

La parabola gode di una “proprietà di riflessione” molto importante per le sue La parabola gode di una “proprietà di riflessione” molto importante per le sue

molteplici applicazioni. Da un punto P appartenente alla parabola facciamo molteplici applicazioni. Da un punto P appartenente alla parabola facciamo

partire un segmento che lo congiunge al fuoco F ed una retta parallela partire un segmento che lo congiunge al fuoco F ed una retta parallela

all’asse della parabola. Il segmento FP e la retta formeranno angoli uguali all’asse della parabola. Il segmento FP e la retta formeranno angoli uguali

con la tangente alla parabola nel punto P. Di conseguenza, in base alle leggi con la tangente alla parabola nel punto P. Di conseguenza, in base alle leggi

dell’ottica geometrica, ogni raggio avente origine nel fuoco sarà riflesso dell’ottica geometrica, ogni raggio avente origine nel fuoco sarà riflesso

verso l’esterno della parabola parallelamente al suo asse. Questa proprietà è verso l’esterno della parabola parallelamente al suo asse. Questa proprietà è

molto usata nella costruzione di luci spot, fari delle autovetture, antenne, molto usata nella costruzione di luci spot, fari delle autovetture, antenne,

radar, ecc....radar, ecc....

FF

PP

Al contrario ogni raggio proveniente dall’esterno della parabola e Al contrario ogni raggio proveniente dall’esterno della parabola e

parallelo al suo asse sarà riflesso nel suo fuoco. Questa proprietà è parallelo al suo asse sarà riflesso nel suo fuoco. Questa proprietà è

sfruttata nella costruzione di antenne riceventi (antenne satellitari, sfruttata nella costruzione di antenne riceventi (antenne satellitari,

dette appunto “parabole”).dette appunto “parabole”).

La caratteristica di riflessione della parabola deriva dalla proprietà che La caratteristica di riflessione della parabola deriva dalla proprietà che

le tangenti alla parabola nei due punti estremi (“A” e “B”)le tangenti alla parabola nei due punti estremi (“A” e “B”) di una sua di una sua

corda si corda si intersecano sulla direttrice e formano un angolo rettointersecano sulla direttrice e formano un angolo retto..

La parabola è inoltre importante La parabola è inoltre importante

negli studi di traiettorie balistiche, negli studi di traiettorie balistiche,

trascurando la resistenza trascurando la resistenza

aerodinamica, e nello studio del aerodinamica, e nello studio del

moto di corpi soggetti alla moto di corpi soggetti alla

attrazione di gravità.attrazione di gravità.

AA

FF BB

direttricedirettrice

ELLISSEELLISSE

E’ il luogo dei punti in un piano, per i quali la somma delle distanze di E’ il luogo dei punti in un piano, per i quali la somma delle distanze di

ogni punto da due punti fissi, detti ogni punto da due punti fissi, detti fuochifuochi, è costante., è costante.

PFPF11 + PF + PF22 = 2a = 2a (costante)(costante)

L’ellisse ha L’ellisse ha due assi di simmetriadue assi di simmetria, il più , il più

lungo dei quali viene definito come lungo dei quali viene definito come asse asse

maggioremaggiore ed il più corto ed il più corto asse minoreasse minore. I . I

due punti posti all’estremità dell’asse due punti posti all’estremità dell’asse

maggiore sono i maggiore sono i verticivertici dell’ellisse. La dell’ellisse. La

lunghezza dell’asse maggiore è pari a lunghezza dell’asse maggiore è pari a

2a2a..Indicando con Indicando con 2b2b la lunghezza dell’asse minore e con la lunghezza dell’asse minore e con 2c2c la distanza tra la distanza tra

i fuochi, dal Teorema di Pitagora si ottiene: i fuochi, dal Teorema di Pitagora si ottiene: aa22 = b = b22 + c + c2 2 (vedi figura (vedi figura

nella pagina seguente).nella pagina seguente).

FF1 FF2

pp

Se l’ellisse non è centrata nell’origine Se l’ellisse non è centrata nell’origine

degli assi, ma rispetto ad un punto P(h;k), degli assi, ma rispetto ad un punto P(h;k),

la sua equazione diventa:la sua equazione diventa:(x-h)(x-h)22 (y-k) (y-k)22 ------ + ------ = 1------ + ------ = 1 aa22 b b22

Se Se a = ba = b, i fuochi coincidono con il centro, e l’ ellisse diventa una , i fuochi coincidono con il centro, e l’ ellisse diventa una

circonferenzacirconferenza di raggio “a”. di raggio “a”.

L’ellisse ha una particolarità, molto sfruttata nel L’ellisse ha una particolarità, molto sfruttata nel

campo dell’ottica e del suono. Congiungendo un campo dell’ottica e del suono. Congiungendo un

qualsiasi punto P sull’ellisse con i due fuochi Fqualsiasi punto P sull’ellisse con i due fuochi F11

e Fe F22, i due segmenti PF, i due segmenti PF11 e PF e PF22 formano angoli formano angoli

uguali con la retta tangente all’ellisse nel punto uguali con la retta tangente all’ellisse nel punto

P. In base alle leggi dell’ottica geometrica P. In base alle leggi dell’ottica geometrica

questo implica che un raggio generato in un questo implica che un raggio generato in un

fuoco viene riflesso nell’altro.fuoco viene riflesso nell’altro.

F1 F2

Scegliendo gli assi cartesiani in modo Scegliendo gli assi cartesiani in modo

opportuno, vediamo che l’ellisse taglia opportuno, vediamo che l’ellisse taglia

l’asse delle ascisse nei punti (l’asse delle ascisse nei punti (verticivertici) di ) di

coordinate (-a;0) e (a;0), e l’asse delle coordinate (-a;0) e (a;0), e l’asse delle

ordinate nei punti (0;-b) e (0;b). Per un ordinate nei punti (0;-b) e (0;b). Per un

punto generico P(x;y),punto generico P(x;y), appartenente appartenente

all’ellisse, scriviamo la proprietà all’ellisse, scriviamo la proprietà

caratteristica dell’ellisse:caratteristica dell’ellisse:2a = PF2a = PF11 + PF + PF22 = [(x+c) = [(x+c)22 + y + y22 ] ]1/21/2 + [(c-x) + [(c-x)22 + y + y22]]1/21/2

Ricavando “c” dal Teorema di Pitagora (cRicavando “c” dal Teorema di Pitagora (c22 = a = a22 - b - b22) e svolgendo alcuni ) e svolgendo alcuni

passaggi matematici si ricava l’equazione dell’elisse centrata passaggi matematici si ricava l’equazione dell’elisse centrata

nell’origine degli assi:nell’origine degli assi:

xx22 y y22 ---- + ---- = 1---- + ---- = 1 aa22 b b22

Dove “a” e “b” sono le lunghezze dei semiassi maggiore e minore Dove “a” e “b” sono le lunghezze dei semiassi maggiore e minore rispettivamente.rispettivamente.

IPERBOLEIPERBOLE

E’ il luogo dei punti in un piano, per i quali la E’ il luogo dei punti in un piano, per i quali la differenza delle distanzedifferenza delle distanze di di

ogni punto (P) da due punti fissi, detti ogni punto (P) da due punti fissi, detti fuochi fuochi (F), è costante.(F), è costante.

PFPF11 - PF - PF22 = 2a = 2a (costante)(costante)

Seguendo il procedimento adottato per l’ellisse, Seguendo il procedimento adottato per l’ellisse,

indichiamo con “2a” la differenza di tali distanze, indichiamo con “2a” la differenza di tali distanze,

tale che: tale che: PFPF1 - PF - PF2 = 2a. = 2a. Chiameremo i due punti, Chiameremo i due punti,

appartenenti all’iperbole e che stanno sulla retta appartenenti all’iperbole e che stanno sulla retta

congiungente i due fuochi, congiungente i due fuochi, verticivertici, che distano , che distano

tra di loro tra di loro 2a2a. Indichiamo infine con . Indichiamo infine con “2c” la “2c” la

distanza tra i fuochidistanza tra i fuochi e definiamo la costante e definiamo la costante bb22 = =

cc22 – a – a22 (ovviamente c > a). (ovviamente c > a).

Scegliendo un opportuno sistema di riferimento, Scegliendo un opportuno sistema di riferimento,

tale che l’asse delle ascisse coincida con la tale che l’asse delle ascisse coincida con la

congiungente i fuochi e l’asse delle ordinate con congiungente i fuochi e l’asse delle ordinate con

l’asse di simmetria, si ottiene la figura a lato.l’asse di simmetria, si ottiene la figura a lato.

(c;0)(-c;0)

Per un punto generico P(x;y),Per un punto generico P(x;y), appartenente all’iperbole, scriviamo la appartenente all’iperbole, scriviamo la

proprietà caratteristica della stessa:proprietà caratteristica della stessa:

Ricavando “c” dal Teorema di Pitagora (cRicavando “c” dal Teorema di Pitagora (c22 = a = a22 + b + b22) e svolgendo alcuni ) e svolgendo alcuni

passaggi matematici si ricava l’equazione dell’iperbole centrata passaggi matematici si ricava l’equazione dell’iperbole centrata

nell’origine degli assi:nell’origine degli assi:

xx22 y y22 ---- - ---- = 1---- - ---- = 1 aa22 b b22

Risolvendo l’equazione in y si ottiene:Risolvendo l’equazione in y si ottiene:

bb y = +/- ---- (xy = +/- ---- (x22 – a – a22)) aa

Quando “x” diventa molto grande rispetto ad “a”, tende cioè all’infinito, Quando “x” diventa molto grande rispetto ad “a”, tende cioè all’infinito,

l’equazione di sui sopra tende a diventare:l’equazione di sui sopra tende a diventare: bb y = +/- ---- xy = +/- ---- x aa

2a = PF2a = PF11 - PF - PF22 = (x+c) = (x+c)22 + y + y22 - (c-x) - (c-x)22 + y + y22

La precedente è l’equazione degli La precedente è l’equazione degli asintotiasintoti dell’iperbole; significa che dell’iperbole; significa che

l’iperbole, per grandi valori di “x”, tende a coincidere con le rette di l’iperbole, per grandi valori di “x”, tende a coincidere con le rette di

equazione y = +/- (b/a) x.equazione y = +/- (b/a) x.

Se l’iperbole non è centrata nell’origine degli assi, ma rispetto ad un Se l’iperbole non è centrata nell’origine degli assi, ma rispetto ad un

punto P(h;k), la sua equazione diventa:punto P(h;k), la sua equazione diventa: (x - h)(x - h)22 (y - k) (y - k)22 --------- - -------- = 1--------- - -------- = 1

aa22 b b22

Le proprietà di riflessione dell’iperbole sono molto Le proprietà di riflessione dell’iperbole sono molto

importanti nell’ottica. Prendiamo un punto P importanti nell’ottica. Prendiamo un punto P

sull’iperbole. Le congiungenti il punto P con i fuochi sull’iperbole. Le congiungenti il punto P con i fuochi

dell’iperbole formano un angolo, la cui bisettrice è dell’iperbole formano un angolo, la cui bisettrice è

la tangente all’iperbole nel punto P. Di conseguenza la tangente all’iperbole nel punto P. Di conseguenza

ogni raggio diretto verso un fuoco, incontrando ogni raggio diretto verso un fuoco, incontrando

l’iperbole dalla parte convessa viene riflesso l’iperbole dalla parte convessa viene riflesso

nell’altro fuoco.nell’altro fuoco.

 Storia delle ConicheStoria delle Coniche

Le coniche sono curve studiate sin dall’ antichità da molti matematici. Sembra che per primo Menecmo (375-325 a.C.), un matematico greco maestro di Alessandro Magno, si sia imbattuto nelle coniche mentre stava studiando curve dotate di proprietà adatte a risolvere uno dei tre famosi problemi della matematica greca: la duplicazione del cubo. Il problema della duplicazione del cubo è stato spesso associato a una leggenda secondo la quale, durante una terribile peste, gli abitanti di Atene si recarono dall’ oracolo di Delo chiedendo di sapere cosa dovevano fare affinché la peste fosse debellata. L’oracolo rispose che si doveva raddoppiare l’ altare dedicato al dio Apollo, che era di forma cubica. I cittadini pensarono che ciò equivalesse a raddoppiare il lato dell’ altare, ma la peste non cessò. Infatti questo procedimento fornisce un cubo che è 23=8 volte il volume del cubo iniziale, mentre il cubo da costruirsi doveva avere il lato 3√2 volte la misura iniziale.

Il procedimento proposto da Menecmo risolve il problema, anche se “non rispetta le regole” ovvero utilizza strumenti diversi da quelli ammessi dalla geometria greca tradizionale: la riga e il compasso. Menecmo considerò l’ intersezione tra la parabola di equazione y=x2 e l’iperbole equilatera di equazione xy=2. Risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due curve si ottiene P( 3√2, 3√4 ) e dunque l’ ascissa del punto P fornisce il valore cercato.Pur interessante dal punto di vista matematico, lo studio delle coniche aveva scarsi interessi pratici e dopo i matematici greci venne abbandonato per diversi anni. Solo dopo circa 1800 anni lo studio di Apollonio potè fare passi avanti. Questo fu dovuto essenzialmente all'introduzione dei nuovi metodi matematici basati sulle coordinate cartesiane, ma anche al sorgere di un nuovo interesse scientifico per le applicazioni fisiche delle proprietà delle coniche. Da segnalare nell'ordine Galileo (moto di un proiettile) Cartesio,Keplero, Pascal, ed infine Newton che utilizzarono lo studio delle coniche applicato a scoperte scientifiche .     

Se accendiamo una torcia elettrica, la luce della lampadina, uscendo dalla lente di forma circolare, formerà un cono di luce che ha come vertice il filamento della lampadina, e come asse la retta che passa per quest'ultimo e per il centro della lente. Supponiamo ora di dirigere il raggio luminoso verso una parete; la parte illuminata assumerà forme diverse, a seconda dell'inclinazione dell'asse, e precisamente: se il muro viene illuminato perpendicolarmente (ovvero se l'asse del cono di luce è perpendicolare alla parete), la figura che si forma è un cerchio, tanto più grande quanto maggiore è la distanza della lampadina dalla parete. Se ora cominciamo a inclinare la torcia, il cerchio si deforma assumendo una forma delimitata da una linea dapprima quasi circolare, poi sempre più allungata: si tratta di un'ellisse che diventa sempre più eccentrica, fin quando il raggio più esterno del fascio di luce diventa parallelo alla parete. Abbiamo in questo momento una parabola. ..... Basta girare ancora un po', e il raggio più esterno ora diverge dalla parete, e abbiamo un'iperbole. Queste quattro curve prendono il nome comune di sezioni coniche, dato che esse appaiono come sezioni di un cono (il cono di luce) con un piano (della parete). In realtà, almeno nel caso dell'iperbole, l'esperimento della torcia elettrica ci dà solo metà della curva. L'iperbole completa si ottiene considerando il cono completo, formato cioè da due coni uniti per l'origine.

Coniche e sezioni

Le sezioni coniche si possono osservare variando con l’apposita manovella l’inclinazione del doppio cono: in esso è contenuto un liquido che determina una circonferenza se l’asse del cono è perpendicolare al suolo; se invece si comincia ad inclinare il doppio cono, il pelo libero del liquido determina un’ellisse e successivamente, aumentando ancora l’inclinazione, una parabola, allorché il piano individuato dalla superficie che delimita il liquido è parallela a una delle infinite rette che delimitano il cono (generatrice). Inclinando ulteriormente l’asse del doppio cono si osservano i due rami di iperbole.

Doppio cono

Tra i numerosissimi esempi di edifici a pianta circolare possiamo citare il mausoleo di Cecilia Metella a Roma (poco oltre il complesso di Massenzio). La tomba ha una pianta circolare: sopra un basamento, alto blocco di calcestruzzo privo ormai del suo rivestimento marmoreo, poggia un tamburo rotondo realizzato in blocchi di travertino quasi completamente conservati, così come la merlatura con la quale termina la costruzione. Nella parte alta del tamburo è visibile un fregio di marmo in cui la presenza di teste di buoi fece dare al monumento nel medioevo il nome di Capo di Bove. Dal lato dell’edificio che si affaccia sull’Appia si trova l’iscrizione dedicatoria a Cecilia Metella, qui sepolta tra il 50 e il 40 a.C.

Nel campo dell’architettura anche la Nel campo dell’architettura anche la

forma ellittica è diffusa: basti pensare ai forma ellittica è diffusa: basti pensare ai

soffitti di alcuni teatri od auditorium soffitti di alcuni teatri od auditorium

oppure alla forma in pianta di diversi oppure alla forma in pianta di diversi

edifici, quale, ad esempio, il edifici, quale, ad esempio, il Colosseo Colosseo di di

Roma.Roma.

G.L. Bernini, Sant'Andrea al

quirinale, Roma.

Colosseo, Roma.

 

Camera a volta ellittica

Le proprietà di riflessione dell’ellisse descritte nelle

precedenti diapositive hanno come conseguenza che un raggio di luce (o

un’onda sonora) che parte da uno dei fuochi e si riflette

sull’ellisse, passa necessariamente per l’altro fuoco. L’utilizzo di soffitti a

volta ellittica permette quindi di migliorare le

caratteristiche di illuminazione ed acustiche

di un ambiente.

QUADRANTI SOLARI

Per rendere i quadranti solari più ricchi, e talvolta meno comprensibili, alle linee orarie sono spesso abbinate altre curve quali: 

- le linee solstiziali: rami di iperbole percorse dall'ombra della punta dello gnomone all'epoca del solstizio estivo (concavità rivolta verso il basso) e del solstizio invernale (concavità rivolta verso l'alto). In questi giorni, in cui raggiunge la massima declinazione positiva (circa 23° 27' il 21 o 22 giugno) e la massima declinazione negativa (circa –23° 27' il 21 o 22 dicembre), la nostra stella sembra quasi sostare, da cui il nome di solstizio, prima di iniziare il cammino inverso.

-la linea equinoziale, retta percorsa dall'ombra della punta dello gnomone all'epoca degli equinozi di primavera e d'autunno. Il 21 marzo e il 23 settembre la declinazione del Sole assume il valore zero; la durata del giorno è uguale a quella della notte

-le linee diurne, rami di iperbole situati tra le linee solstiziali e la linea equinoziale e che indicano l'entrata del Sole nei vari segni zodiacali.

- la linea meridiana o linea del mezzogiorno solare vero o linea oraria delle ore 12 locali, su cui cade l'ombra dello gnomone quando, per la località dove è situato il quadrante, il Sole ha raggiunto la massima altezza sull'orizzonte, cioè transita sul meridiano del luogo, e lo stilo proietta la minima ombra.

ESEMPI FISICIESEMPI FISICI

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