LE CONICHE DEL PIANO REALE 2 x0 R - unibo.itverardi/lucidi Coniche.pdf · 2013. 5. 9. · Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche 1 LE CONICHE DEL PIANO REALE 2

Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche

1

LE CONICHE DEL PIANO REALE

§ 1. - IL PIANO PROIETTIVO REALE

A) Coordinate omogenee

Ad ogni punto

!

P= x,y"

# $ $

%

& ' ' del piano

!

R2 associamo

una terna ordinata

!

x0, x1, x2( ) non nulla in

modo che:

!

x = x1 x0y = x2 x0

" # $ (1)

Allora dobbiamo porre

!

x0 " 0.

Inoltre, ogni terna

!

kx0,kx1,kx2( ), k " 0,

individua lo stesso P.

Allora scriveremo

!

P = x0, x1, x2[ ] , classe

d’equivalenza di terne proporzionali, dette

coordinate omogenee di P.


2

Se

!

x0 = 0, non abbiamo un punto di

!

R2 .

Diremo che la classe di terne non nulle

!

0, x1, x2[ ] è un punto improprio.

Il piano

!

R2 unito con l’insieme dei punti

impropri è detto piano proiettivo reale

!

"2 R( ) .

Data ora una curva algebrica di equazione

!

f x,y"

#

$ $

%

&

' ' =0 di grado n ! 1, la sostituzione (1) e

l’eliminazione del denominatore comune

trasformano il polinomio f in un polinomio

omogeneo

!

f x0, x1, x2( ) = 0 di grado n.

!

!

k " 0 si ha

!

f kx0,kx1,kx2( ) = kn " f x0, x1, x2( ) ,

quindi potremmo scrivere

!

f x0, x1, x2[ ] = 0.

Le soluzioni con

!

x0 = 0 sono i punti impropri

della curva algebrica.


3

B) Le rette.

Una retta r di

!

R2 ha equazione

!

ax + by + c = 0 ,

con a, b non entrambi nulli.

In coordinate omogenee conviene riscriverla

così:

!

a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0.

Osserviamo che !

!

k " 0 anche l’equazione

!

ka0( )x0 + ka1( )x1 + ka2( )x2 = 0 rappresenta r,

quindi possiamo identificare ogni retta r con

la classe

!

r = a0,a1,a2[ ] di terne non nulle di

coefficienti proporzionali.

Il caso

!

a1 = a2 = 0, ossia

!

1,0,0[ ] , non dà una retta

di

!

R2 , ma l’equazione

!

x0 = 0 è di primo grado,

quindi è naturale chiamarla retta: i suoi punti

sono tutti e soli i punti impropri del piano

proiettivo, quindi la chiameremo ret ta impropria .


4

Notiamo ora che in

!

"2 R( ) non c’è distinzione

tra punti propri ed impropri, o tra le rette

proprie e la retta impropria; è un nuovo

ambiente geometrico, nel quale punti e rette

si rappresentano allo stesso modo.

a) L’appartenenza di un punto

!

P = x0, x1, x2[ ]

alla retta

!

r = a0,a1,a2[ ] è l’annullarsi del

prodotto scalare delle due terne:

!

a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0

b) La retta

!

r = a0,a1,a2[ ] passante per i punti

distinti

!

P = x0, x1, x2[ ] e

!

Q = y0, y1, y2[ ] si trova

calcolando il prodotto vettoriale di P e Q:

!

r = a0,a1,a2[ ] =x1 x2y1 y2

," x0 x2y0 y2

, x0 x1y0 y1

#

$ % %

&

' ( ( .

c) Analogamente, due rette distinte r ed s

hanno in comune il punto P ottenuto col

prodotto vettoriale delle due terne.


5

C) Le collineazioni

Un automorfismo o collineazione di

!

"2 R( ) è

una permutazione dei punti che trasforma

rette in rette. Le collineazioni costituiscono

il gruppo

!

G = Aut "2 R( )#

$ %

&

' ( .

Struttura di G: sia

!

GL3 R"

#

$ $

%

&

' ' il gruppo delle

matrici invertibili d’ordine 3. Il suo centro è

!

"I3

" #0$ % &

' &

( ) &

* & , (matrici “scalari”) ed il quoziente

!

PGL3 R"

#

$ $

%

&

' ' =GL3 R

"

# $ $

%

& ' ' Z GL3 R

"

# $ $

%

& ' ' ( ) è isomorfo a G,

perché trasforma vettori di

!

R3 in vettori di

!

R3 a meno di un fattore di proporzionalità.

Scritti i punti proiettivi X, Y come colonne,

presa una matrice invertibile M ed un

!

" #0,

ogni collineazione ha la forma

!

"Y=M#X .


6

Proprietà del gruppo G:

- G agisce transitivamente sui punti: !P,

Q"

!

"2 R( ) , #

!

" # G, tale che

!

" P( ) = Q .

- G agisce transitivamente anche sulle rette.

- G agisce transitivamente sull’insieme dei

quadrilateri non degeneri: dati i punti

!

O = 1,0,0[ ],

!

X = 0,1,0[ ] ,

!

Y = 0,0,1[ ] ,

!

I = 1,1,1[ ] , ed un

quadrilatero non degenere ABCD, #

!

" # G ,

tale che

!

" OXYI( ) = ABCD .

Allora, per semplificare calcoli, ai vertici di

ogni quadrilatero possiamo assegnare quelle

quattro terne di coordinate omogenee.


7

D) Le coniche

Una conica di

!

"2 R( ) è una curva algebrica di

II grado, che possiamo scrivere nella forma:

!

a00x02

+ a11x12

+ a22x22

+

+2a01x0x1 + 2a02x0x2 + 2a12x1x2 = 0

con i coefficienti non tutti nulli, individuati a

meno di una costante moltiplicativa non

nulla, come al solito.

Sia

!

A =

a00 a01 a02a01 a11 a12a02 a12 a22

"

#

$ $ $

%

&

' ' ' la matrice simmetrica

dei coefficienti. Se scriviamo il generico

punto

!

X "#2 R( ) come colonna, l’equazione

della conica diventa

!

Xt"A"X=0.

Gli autovalori

!

"0, "1, "2 di A sono tutti reali e

non tutti nulli, perché A non è la matrice nulla.


8

La trasformazione (ortogonale) di coordinate

che porta la matrice A alla forma diagonale

!

"0 0 00 "1 00 0 "2

#

$

% % %

&

'

( ( ( induce una collineazione nel piano

proiettivo, che trasforma la conica data nella

conica

!

"0 # x02

+ "1 # x12

+ "2 # x22

= 0.

Pertanto, ogni conica è proiettivamente

equivalente ad una di questo tipo.

Cerchiamo ora di classificarla.

Nel campo complesso la distinzione principale è

la quantità di autovalori non nulli, ossia il rango

della matrice A.

Nel campo reale conta anche il segno degli

autovalori.


9

A) Sia

!

"1 = "2 = 0. Allora

!

"0 # 0 e

quindi, semplificandolo, si ottiene

l’equazione

!

x02

= 0. Essa si spezza nelle

due equazioni uguali

!

x0 = 0, che danno la

retta proiettiva doppia

!

1,0,0[ ] .

B)

!

"2 = 0, unico autovalore nullo. Allora

la conica ha equazione

!

"0 # x02

+ "1 # x12

= 0,

o anche, posto

!

µ = "1 / "0 ,

!

x02

+ µ " x12

= 0.

Nel campo complesso avremmo due rette

distinte.

Nel campo reale, invece, tutto dipende dal

segno di µ


10

Se µ < 0, allora la trasformazione di

coordinate

!

y0 = x0y1 = µ " x1y2 = x2

#

$ % %

& % %

produce l’equazione

!

y02" y1

2= 0 e quindi si hanno le due rette

proiettive distinte

!

1, ±1,0[ ] ;

se µ > 0, allora la stessa trasformazione

produce l’equazione

!

y02

+ y12

= 0, che

implica

!

y0 = y1 = 0 e quindi il solo punto

reale

!

0,0,1[ ] .

C) I tre autovalori siano non nulli. Il

polinomio

!

f x0, x1, x2( ) = "0 # x02

+ "1 # x12

+ "2 # x22

non si spezza nel prodotto di due fattori

lineari, ossia la conica è non degenere.


11

Nel campo reale possiamo avere tre

autovalori con lo stesso segno, che

possiamo supporre positivo, oppure due con

un segno ed uno col segno opposto, e

possiamo supporre che siano positivi gli

ultimi due.

Nel primo caso, la forma quadratica è definita

positiva, dunque si annulla solo per

!

x0 = x1 = x2 = 0, che non ha significato nel piano

proiettivo, quindi la conica non ha punti reali.

Con un ulteriore cambio di coordinate, ossia

posto

!

y0 = "0 # x0y1 = "1 # x1y2 = "2 # x2

$

% & &

' & &

, si ottiene l’equazione:

!

y02

+ y12

+ y22

= 0.


12

Nel secondo caso, si possono dividere i tre

coefficienti per

!

"0 e porre

!

µi = "# i / #0,

ottenendo

!

x02

= µ1 " x12

+ µ2 " x22, con

!

µi > 0, i = 1,2.

Per ogni coppia di valori non entrambi nulli

assegnati ad

!

x1, x2 si ricavano due valori

opposti di

!

x0 : ci sono infiniti punti reali.

L’ulteriore cambio di coordinate:

!

y0 = x0y1 = µ1 " x1y2 = µ2 " x2

#

$ %

& % %

dà il risultato finale,

!

y02

= y12

+ y22.

Il cambiare sistema di riferimento equivale a

trasformare la conica con una collineazione,

pertanto, ogni conica con il determinante della

matrice A non nullo è proiettivamente

equivalente ad una conica di equazione

!

y02

+ y12

+ y22

= 0 oppure

!

y02

= y12

+ y22.


13

Riassumendo, ogni conica nel piano

proiettivo reale è proiettivamente equivalente

ad una delle coniche seguenti:

!

x02

= 0 Retta doppia

!

x02" x1

2= 0 Due rette

distinte Coniche

degeneri

!

x02

+ x12

= 0 Un solo punto

reale

!

x02

+ x12

+ x22

= 0 Nessun punto

reale Coniche non

degeneri

!

x02" x1

2" x2

2= 0 Conica reale

non degenere


14

Esercizio. Sia data la conica proiettiva

!

8x0x2 + 5x12

= 0 . Proviamo a classificarla:

La sua matrice è

!

A =

0 0 40 5 04 0 0

"

#

$ $ $

%

&

' ' ' ed i suoi

autovalori si trovano risolvendo

!

det A " t # I3( ) =

"t 0 40 5 " t 04 0 "t

= " t "5( ) # t2 "16$

% &

'

( ) = 0

.

Si trovano le tre radici 5, -4, 4, ossia due

positive ed una negativa. Siamo quindi nel

caso “ordinario” della conica reale non

degenere.


15

Proprietà delle coniche nel piano proiettivo

Lemma 1. Se una conica ed una retta hanno

in comune tre punti distinti, allora la conica è

degenere e contiene la retta.

Teorema 2. Siano dati in

!

"2 R( ) cinque punti

distinti A, B, C, D, E.

a) Esiste sempre una conica alla quale

appartengono.

b) Se al più tre di essi sono allineati,

allora la conica è unica.

Teorema 3. La retta tangente alla conica reale

non degenere C di equazione

!

Xt " A " X = 0

in un suo punto P ha equazione

!

Pt " A " X = 0,

dove A è la matrice di C .


16

Teorema 4. (Pappo – Pascal). Sia data una

conica reale non degenere e siano A, B, C, A’,

B’, C’ sei punti distinti su di essa. Siano:

L = AB’$A’B, M = AC’$A’C, N = BC’$B’C.

Allora i tre punti L, M, N sono su una stessa

retta u.


17

Sia data una conica non degenere C e sia O

un punto non su di essa. Si traccino tre rette

per O, che intersechino la conica in tre

coppie di punti A, A’, B, B’, C, C’. La retta u

determinata dal teorema di Pappo – Pascal si

chiama polare di O rispetto alla conica.

Per completezza, chiamiamo polare di un

punto T della conica la tangente in T alla

conica. Questa definizione risulta compatibile

con i risultati seguenti.


18

Lemma 5. La polare del punto O rispetto alla

conica non degenere C intersechi la conica

in un punto H. Allora la retta OH è tangente

alla conica.

Un punto O è esterno alla conica se la sua

polare è una secante; è interno se la polare è

esterna; appartiene alla conica se la sua polare è

la tangente in O alla conica.


19

Teorema 6. Sia C una conica non degenere.

a) (Reciprocità della polare). Sia O un punto e

sia N un punto della polare u di O rispetto a

C . Allora la polare di N passa per O.

b) Ogni retta è la polare di un punto rispetto

alla conica.

c) Il polo di una secante r alla conica C è

l’intersezione delle tangenti condotte dai

punti d’intersezione di r con C.

Teorema 7. La polare di un punto P rispetto

alla conica non degenere C di equazione

!

Xt " A " X = 0 è la retta di equazione

!

Pt " A " X = 0.

Questa equazione ha senso anche per la conica

immaginaria, quindi la nozione di polare di un

punto ha senso anche per questa conica.


20

IL PIANO AFFINE REALE

Dal piano

!

"2 R( ) togliendo una retta, che

diremo impropria, ed i suoi punti, si ottiene

un unico tipo di piano affine, perché il gruppo

delle collineazioni è transitivo sulle rette del

piano proiettivo.

Le affinità sono gli elementi dello

stabilizzatore della retta impropria.

Due figure sono dette affini se esiste

un’affinità che muti la prima nella seconda. In

tal modo, tutti i punti propri sono affini, e lo

stesso accade per le rette proprie, ed anche

per i fasci di rette parallele.

La classificazione delle coniche del piano affine è

più complicata rispetto al piano proiettivo,

perché dipende dalla posizione della retta

impropria rispetto alla conica.


21

Scegliamo come retta impropria la retta

!

x0 = 0. Allora i punti propri hanno coordinate

!

1, x, y[ ] , o semplicemente (x,y). Le rette proprie

hanno equazione

!

a " x + b " y + c = 0, con a e b

non entrambi nulli. Un’affinità ha la forma:

!

" x = m11x + m12y + c1" y = m21x + m22y + c2

# $ %

, m11 m12m21 m22

& 0

Riprendiamo i cinque casi di coniche visti nel

piano proiettivo: Retta doppia Due rette distinte Coniche degeneri Un solo punto reale Nessun punto reale

Coniche non degeneri Conica reale non degenere.

Come si spezzano nel piano affine reale?

Vediamo le varie possibilità:


22

A) Una retta doppia: può essere propria,

per esempio

!

x2 = 0, ma potrebbe essere

la retta scelta come impropria, e

l’equazione diventerebbe 1 = 0.

B) Due rette distinte: possono essere o

entrambe proprie non parallele, per

esempio

!

x2 " y2 = 0, o proprie parallele,

come

!

x2 "1 = 0, ma anche una propria e

l’altra impropria, e l’equazione

diventerebbe del tipo x = 0.

C) Un solo punto reale: può essere

proprio, per esempio

!

x2 + y2 = 0, oppure

improprio, per esempio

!

x2 +1 = 0.


23

D) Una conica non degenere immaginaria:

è solo del tipo

!

x2 + y2 +1 = 0, in quanto non

ha punti reali impropri, ed è chiamata

ellisse immaginaria.

E) Una conica reale non degenere: ci

sono tre possibili situazioni: se interseca

la retta impropria in due punti distinti, per

esempio

!

x2 " y2 = 1, è detta iperbole; se le è

tangente, per esempio

!

x2 " y = 0, è detta

parabola; se non l’interseca, per esempio

!

x2 + y2 = 1, è detta ellisse.

I casi elencati, 11 in tutto, corrispondono a

situazioni non equivalenti dal punto di vista

affine, e non ce ne sono altri, perché

abbiamo esaminato le possibili posizioni

della retta impropria rispetto alla conica.


24

PROPRIETÀ AFFINI DELLE CONICHE. Teorema 8. La polare di una conica rispetto

ad un punto improprio O non appartenente

alla conica, da cui esce un fascio di rette

parallele, è il luogo dei punti medi delle

corde in cui la conica taglia ogni retta del

fascio.

Un diametro Il centro O

La polare di un punto improprio prende il

nome di diametro della conica. Il polo della

retta impropria si chiama centro della conica.

Per la reciprocità, tutti i diametri passano per il

centro.


25

Se la conica è un’iperbole, le rette che

congiungono il centro O con i due punti

impropri (che sono le intersezioni della sua

polare con la conica) sono le tangenti

all’iperbole condotte da O, e prendono il

nome di asintoti.

Anche l’ellisse immaginaria ha il centro in un

punto proprio. Ellisse, ellisse immaginaria ed

iperbole sono dette coniche a centro.


26

Se la conica è una parabola, è tangente alla

retta impropria, quindi il suo centro è il punto

di tangenza, ossia è il punto improprio della

parabola. Ne segue che tutti i diametri sono

paralleli tra loro.

Teorema 10. Tutte le iperboli sono affini tra

loro, tutte le parabole lo sono e così pure le

ellissi e le ellissi immaginarie.

Questo teorema conferma quanto affermato in

precedenza: ci sono in tutto 11 classi di affinità di

coniche affini.


27

Esercizio. Si classifichi la conica affine

!

x " y #1 = 0.

Svolgimento: moltiplichiamo per 2 i

coefficienti, per comodità. La matrice della

conica è allora

!

"2 0 00 0 10 1 0

#

$

% % %

&

'

( ( ( , di determinante 2,

quindi la conica non è degenere.

Uguagliamo a zero la forma quadratica ed

otteniamo i due punti impropri

!

0,1,0[ ] e

!

0,0,1[ ] .

Pertanto, abbiamo un’iperbole. Il suo centro

ha coordinate affini

!

A01A00

, A02A00

"

# $ $

%

& ' ' = 0,0( ).

I suoi asintoti sono le

rette che congiun-

gono il centro con i

punti impropri, ossia

!

x = 0 e

!

y = 0.

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