Coniche st

BREVE STORIA DELLE CONICHE

PROPRIETA’:

Circonferenza Ellisse

Parabola Iperbole

LA COSTRUZIONE DELLE CONICHE

Circonferenza ellisse

Parabola iperbole

Coniche Classificazione

Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.Indichiamo con l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono.Se:

>

= 90°

=

<

L’equazione generale di una conica è: axax22+by+by22+cxy+dx+ey+f=+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f R

Ellisse

Circonferenza

Parabola

Iperbole


Circonferenza

Ellisse

Parabola

Iperbole

circonferenza ellisse

parabolaiperbole


LA CIRCONFERENZA DA UNA SEZIONE CONICA

• La circonferenza si ottiene sezionando un cono con un piano perpendicolare

all’asse di rotazione del cono .


Definizione

Equazione

Casi particolari

Formule


Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.


xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0a , b , c R


xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R

centro: centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2) raggio: raggio: r =r =


x2 + y2 = r2

C(

O

x2 + y2 + ax + by = 0

. C(

x2 + y2 + ax + ay+c = 0

O


L’ ELLISSE DA UNA SEZIONE CONICA

• L’ellisse si ottiene sezionando un cono con un piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo maggiore di

quello della retta generatrice del cono.


Definizione

Equazione

Grafici

Formule

Ellisse traslata


Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.

PF1+ PF2= k k R R++

y

x


xx22 y y22

+ = 1+ = 1aa22 b b22

aa: semiasse maggiore

bb: semiasse minore

cc:: F1F2 / 2

Caso in cui l’asse focale è l’asse x:y

x


Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ).

(x - )2 (y - )2

a2 b2

vettore V (; ) centro C (; )

vertici: A’(a ; ) B’( ; b)

fuochi:

a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2

a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2

+ =1y

x


C(0;0) a>bC(0;0) b>a

y

x

y

x


L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore.

0<e<1 ellisse

a2 = b2 + c2

Fuochi:a>b F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/aa<b F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b

Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)


LA PARABOLA DA UNA SEZIONE CONICA

• La parabola si ottiene sezionando un cono con un

piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del cono di un angolo

uguale a quello della retta generatrice del cono.


Definizione

Equazione

Formule

Casi particolari

concavità


Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.

d

F

x

y


y=ax2+bx+c

x=ay2+by+c

x

y

x

y


y=ax2+bx+c x=ay2+by+c

vertice V(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)

fuoco F(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)

direttrice dy=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)

equazione assex=-b/(2a) y=-b/(2a)


Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura.

Teorema di Archimede L'area di un segmento parabolico è uguale ai ⅔ dell'area del rettangolo circoscritto a tale figura

.

http://digilander.libero.it/scaroselli/images/an_archi.png

b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx

c=0 e b=0 y=ax2

x

y

y

x

x

y


a>0 a<0

x

y y

x

x

y y

x


L’ IPERBOLE DA UNA SEZIONE CONICA

• L’iperbole si ottiene sezionando un cono con un

piano inclinato rispetto all’asse di rotazione del

cono di un angolo minore di quello della retta

generatrice del cono.

Sezione iperbole


Definizione

Equazione

I. Equilatera

Formule

I. Traslata


Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.

PF1- PF2 = k k R R++


xx22 y y22

- = +1- = +1aa22 b b22

c = semidistanza F1 -F2

asse focale: 2c

I caso

II caso

xx22 y y22

- = -1- = -1aa22 b b22


I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0)

II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2)

asintoti: y= (b/a) x

eccentricità e = c/a

e =0 circonferenza0<e<1 ellissee>1 iperbole


Iperbole equilatera: a=bIperbole equilatera: a=b xx22 - y - y2 2 = -a= -a2 2 o xo x2 2 - y- y2 2 =a=a22

asintoti:asintoti: y = y = x x

c = a2

e = 2


Iperbole traslataIperbole traslataTraslazione di vettore: v ( ; )

I caso: vertici: ( a ; ) fuochi: ( c ; ) e = c/aII caso: vertici: ( ; b ) fuochi: ( ; c) e = c/b

asintoti: y - = (b/a) (x- )

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

Quadro riassuntivo

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

PARABOLAy=ax2+bx+c x=ay2+by+c

vertice V

(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)

fuoco F

(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)

direttrice d

y=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)

equazione asse

x=-b/(2a) y=-b/(2a)

CIRCONFERENZAxx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0 + ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R

Centro:Centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2)

raggio: raggio: r =r =

ELLISSEa2 = b2 + c2; Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)

vertici

(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),

fuochi F

a>b a<b

(- a a22 - b - b22 ; ;0), (+ a a22 - b - b22 ; ;0) (0;- b b22 - a - a22 ), (0;+ a a22 - b - b22 )

Eccentricità 0<e<1

e=c/a e= c/b

IPERBOLEa2 +b2= c2;

a>b a<b

vertici

(-a; 0), (a; 0), (0 ; -b), (0 ; b),

fuochi F

(- a a22 + b + b22 ; ;0), (+ a a22 + b + b22 ; ;0) (0;- b b22 + a + a22 ), (0;+ a a22 + b + b22)

Eccentricità e>1

e=c/a e= c/b

asintoti: y= (b/a) x

c - (b/2) - (a/2) 22

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