Lei de Gauss

Objetivos:● Calcular o Fluxo de Campo Elétrico através de

superfícies fechadas;● Resolver problemas de Campo Elétrico, usando a

simetria do sistema, com emprego da Lei de Gauss.

Sobre a Apresentação

Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros:

● Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics – ed. Pearson, 13a edition

● Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with Modern Physics – ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1a edition

● Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics, 9a edition.

Introdução

● Cap 22: “Conhecido uma distribuição de cargas, qual o Campo Elétrico gerado por ele em um ponto P?”

● Cap 23: “Se o Campo Elétrico é conhecido em uma dada região, posso conhecer a distribuição de carga que o gerou?”

? ?

+q0

Fluxo de Campo

Imagine uma caixa de material que não é afetado por campo elétrico.

Dentro da caixa serão colocadas cargas elétricas e o Campo na superfície da caixa será testado por uma carga teste q0.

Fluxo de Campo

Como calcular o Fluxo de Campo Elétrico através da superfície da caixa?

Vetor de Área: é um vetor saindo da superfície com módulo igual a sua área.

Fluxo de Campo

Fluxo de Campo Elétrico através de uma Superfície:

Fluxo de Campo

Campo Elétrico não homogêneo e Superfície fechada:

Fluxo de Campo

Fluxo de Campo Elétrico através de uma Superfície:

Unidade de Fluxo de Campo:

Fluxo de Campo

Campo Elétrico através de uma superfície cilíndrica, imersa em um campo elétrico homogêneo, paralelo ao eixo do cilindro.

Fluxo de Campo

Para um Campo Elétrico não uniforme dado por:

Determine o fluxo de campo através de uma superfície cúbica fechada de aresta L, colocada na origem como ilustra a figura ao lado.

Solução: Antes de iniciar a resolução vou determinar os diferentes elementos de área para as diferentes faces do cubo. Primeiro considere as faces S1 e S3. Estas faces são quadrados de aresta L que se estendem no plano yz. Um quadrado infinitesimal nestas faces pode ser escritos como dx dy, de forma que os elementos de área serão:

x

z

dA3

S3

dx

dz

Fluxo de Campo

As faces S5 e S6 são quadrados que se estendem nos eixos y e z, apontando para o eixo x:

As faces S2 e S4 são quadrados que se estendem nos eixos x e y, apontando para o eixo z:

Cálculo do Fluxo S2 e S4: Observe que o campo E está no plano xy, desta forma o fluxo de campo atravessando as faces S2 e S4 serão nulas, visto que as áreas direcionadas no eixo z, ortogonal ao plano do campo elétrico:

O que difere na superfície 4 é que o vetor dA aponta na direção -k.

Fluxo de Campo

Observe que como o campo variava apenas em x, poderia ter utilizado como elemento de área dA3 apenas L dx j, um retângulo de comprimento L e altura dx.

S1: nesta face y = 0 e o elemento de área aponta na direção do eixo y negativo:

S3: nesta face observe y = L e x varia entre 0 e L, enquanto que o elemento de área aponta na direção do eixo y positivo:

Fluxo de Campo

O fluxo total será a somas dos fluxos através das faces do cubo:

S6: nesta face x = 0, o que zera o campo em toda a face:

S5: nesta face x = L e y varia entre 0 e L, enquanto que o elemento de área aponta na direção do eixo x positivo:

Fluxo a Lei de Gauss

● Sabemos que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é radial e decai com r². Portanto para um raio fixo, o campo será constante em toda a superfície e sempre apontando para fora da superfície esférica.

Considere agora uma carga pontual +q, onde passamos uma superfície esférica centrada na carga, de raio r. O fluxo total através desta superfície será calculado como antes:

● Um elemento de superfície dA, sempre estará paralelo ao campo elétrico, fazendo um ângulo de zero graus:

Fluxo a Lei de Gauss

A integral sobre a área fechada de uma esfera, do elemento de área será a própria área da esfera. Desta forma:

Substituindo o campo elétrico de uma esfera:

Embora este resultado tenha sido encontrado para uma carga puntiforme, ele é válido para qualquer distribuição de cargas no espaço. Ou seja:

“O fluxo total de Campo Elétrico através de uma superfície fechada é igual a Carga Total dentro da superfície dividido pela permissividade do vácuo.”

Lei de Gauss