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GAUSS- JORDAN
ALGEBRA LINEAL
ESTE ES UN METODO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 A MAS INCOGNITAS. COMUNMENTE SON 3 (x, Y y z). EN GENERAL SE LLAMA METODO POR ELIMINACION DE GAUSS-
JORDAN.
PARA SABER COMO ES SU FORMULA, SERA REPRESENTADA A CONTINUACION:
PARA ECUACIONES DE 3 INCOGNITAS:
1 0 00 1 00 0 1
𝑥𝑦𝑧
PARA ECUACIONES DE 4 INCOGNITAS:
1 0 0 00 1 0 000
00
10
01
𝑤𝑥𝑦𝑧
Y TAMBIEN SE PUEDE HACER PARA ECUACIONES DE VARIAS INCOGNITAS, SIEMPRE Y CUANDO SEAN MAYORES DE 3. DONDE AL EMPEZAR Y ACOMODAR LOS COEFICIENTES DE LA ECUACION DEBE DE
QUEDAR DE LA SIGUENTE MANERA:
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 93𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
2 3 −13 −1 11 1 1
917
DANDO UNA ESTRUCTURA AL COLOCAR LOS COEFICIENTES DE CADA INCOGNITA Y SU RESULTADO DE CADA ECUACION.
5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 22𝑥 − 𝑦 + 10𝑧 = 9𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 22𝑥 − 𝑦 + 10𝑧 = 9𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
5 3 −12 −1 101 1 −2
295
REALIZAREMOS UN INVERSO MULTIPLICATIVO AL PRIMER NUMERO DE LA MATRIZ PARA QUE NOS DE RESULTADO UNO, ES DECIR:
5 ×1
5= 1
Y COMO TODA FILA SERA MULTIPLICADA POR 1/5 SE OBTIENE LO SIGUIENTE:
1
5..
5 3 −12 −1 101 1 −2
295=
13
5−
1
5
2 −1 101 1 −2
2
5
95
AHORA, PARA EMPEZAR A GENEREAR CEROS, BASTA SOLAMENTE REALIZAR UN INVERSO ADITIVO PARA LA 2da FILA Y 3ra FILA. ESTO SE HACE (PARA LA 2da FILA) MULTIPLICAR EL1 (QUE ESTA EN LA 1ra FILA) Y SUMAR O RESTAR (DEPENDIENDO DEL SIGNO) CON LA FILA SIGUIENTE (ARRIBA O ABAJO) HASTA ACOMPLETAR CREAR NUEVOS VALORES A CADA COLUMNA Y SIN
ALTERAR NADA LOS VALORES QUE ESTAN EN LA 1ra FILA.
−1 −2..
13
5−1
52 −1 101 1 −2
2
595
=
13
5−1
5
0 −11
5
52
5
02
5−9
5
2
541
523
5
SE REALIZARÁ NUEVAMENTE EL INVERSO MULTIPLICATIVO PARA LA 2da FILA (, ES DECIR:
−11
5−−−−−−−→ −
5
11
_
−5
11_
13
5−
1
5
0 −11
5
52
5
02
5−
9
5
2
541
523
5
=
13
5−
1
5
0 1 −52
11
02
5−
9
5
2
5
−41
1123
5
Y REALIZAMOS UN INVERSO ADITIVO PARA LA TODOS LOS VALORES DE LA 1ra Y 3ra FILA PARA IRLOS CONVIRTIENDO EN CERO E IR DESCUBRIENDO NUEVOS VALORES PARA LOS RESTANTES, ES
DECIR:
.
−2
5−3
5.
13
5−1
5
0 1 −52
11
02
5−9
5
2
5
−41
1123
5
=
1 029
11
0 1 −52
11
0 01
11
29
11
−41
1167
11
CONTINUAREMOS CON EN INVERSO MULTIPLICATIVO PARA 59
9CON EL FIN DE OBTENER LA
UNIDAD
.
.11
1 029
11
0 1 −52
11
0 01
11
29
11
−41
1167
11
=
1 029
11
0 1 −52
11
0 0 11
29
11
−41
11
67
Y PARA FINALIZAR APLICAMOS EL INVERSO ADITIVO PARA LA 2da Y 1ra FILA DE LA MATRIZ PARA IR OBTENIENDO CEROS.
.
.
−29
11
52
11
1 029
11
0 1 −52
11
0 0 1
29
11
−41
11
67
=1 0 00 1 00 0 1
−17431367
DONDE SE OBTIENE LOS RESULTADOS SIGUIENTES DE LA 4ta COLUMNA:
𝑥 = −174 𝑦 = 313 𝑧 = 67
DONDE ESTOS RESULTADOS YA SON LOS VALORES DE LAS INCOGNITAS x, y y z.
AHORA PARA SABER SI ESTOS VALORES SON CORRECTOS, LOS PODEMOS COMPROBAR MEDIANTE LAS ECUACIONES DADAS EN EL EJERCICIO, ES DECIR:
1) 5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 2
2) 2𝑥 − 𝑦 + 10𝑧 = 9
3) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
PRIMERO COMENZAREMOS CON LA 1ra ECUACION
1) 5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 2
5 −174 + 3 313 − 67 = 2
−870 + 939 − 67 = 2
2 = 2
OBSERVAMOS QUE CONCUERDA BIEN NUESTRA COMPROBACION PERO AUN NO DEBEMOS DE CONFIAR. CONTINUAREMOS CON LA 2da ECUACION
2) 2𝑥 − 𝑦 + 10𝑧 = 9
2 −174 − 313 + 10 67 = 9
−348 − 313 + 670 = 9
9 = 9
Y PARA SEGUIR COMPROBANDO, UTILIZAREMOS LA 3ra ECUACION
3) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
−174 + 313 − 2 67 = 5
5 = 5
AHORA VEAMOS COMO PODEMOS RESOLVER EL SIGUIENTE EJEMPLO
2𝑥 + 3𝑧 = 8𝑥 + 9𝑦 = −32𝑦 + 9𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑧 = 8
𝑥 + 9𝑦 = −3
2𝑦 + 9𝑧 = 1
Y COMENZAMOS POR ACOMODAR LOS COEFICIENTES A LA MATRIZ QUE RESOLVEREMOS:
2 0 31 9 00 2 9
8−31
Y REALIZAREMOS LOS PASOS SIGUENTES:
1
2..
2 0 31 9 00 2 9
8−31
=1 0
3
2
1 9 00 2 9
4−31
COMO EN LA 3ra FILA DE LA 1ra COLUMNA YA TIENE CERO SOLO NOS ENCARGAREMOS EL NUMERO DE LA 2da FILA DE LA 1ra COLUMNA REALIZANDO EL INVERSO ADITIVO, ES DECIR:
−1..
1 03
2
1 9 00 2 9
4−31
=
1 03
2
0 9 −3
2
0 2 9
4−71
AHORA NOS ENCARGAREMOS DEL 9 Y LO HAREMOS MULTIPLCANDO EL INVERSO
MULTIPLICATIVO ES DECIR DE 9 A 1
9:
.1
9.
1 03
2
0 9 −3
2
0 2 9
4−71
=
1 03
2
0 1 −1
6
0 2 9
4
−7
9
1
OBSERVAMOS QUE YA HAY UN CERO EN LA 2da COLUMNA DE LA 1ra FILA, ASI QUE, NOS FALTA CONVERTIR EL CERO DE LA 2da COLUMNA DE LA 3ra FILA UTILIZANDO EL INVERSO ADITIVO, ES
DECIR:
.−2.
1 03
2
0 1 −1
6
0 2 9
4
−7
9
1
=
1 03
2
0 1 −1
6
0 028
3
4
−7
923
9
Y COMVERTIREMOS EN LA UNIDAD EL ULTIMO NUMERO QUE ESTA EN LA 3ra FILA Y COLUMNA UTILIZANDO EL INVERSO MULTIPLICATIVO, ES DECIR:
.
.3
28
1 03
2
0 1 −1
6
0 028
3
4
−7
923
9
=
1 03
2
0 1 −1
6
0 0 1
4
−7
923
84
PARA FINALIZAR, CONVERTIREMOS EN CEROS LA 3ra COLUMNA DE LA 1ra y 2da FILA, ES DECIR:
.
.
−3
2
1
6
1 03
2
0 1 −1
6
0 0 1
4
−7
923
84
=1 0 00 1 00 0 1
201
56
−41
5623
84
Y POR LO TANTO LOS VALORES DE CADA VARIABLE SON:
𝑥 =201
56𝑦 = −
41
56𝑧 =
23
84
A CONTINUACION SE REALIZARA LA COMPROBACION PARA SABER SI ESTOS VALORES DE CADA VARIABLE SON CORRECTOS.
2𝑥 + 3𝑧 = 8
2201
56+ 3
23
84= 8
402
56+
69
84= 8
33768+3864
4704= 8
37632
4704= 8
8 = 8
𝑥 + 9𝑦 = −3
201
56+ 9 −
41
56= −3
201
56−
369
56= −3
201−369
56= −3
−168
56= −3
−3 = −3
2𝑦 + 9𝑧 = 1
2 −41
56+ 9
23
84= 1
−82
56+
207
84= 1
−6888+11592
4704= 1
4704
4704= 1
1 = 1
ESTAS 3 ECUACIONES CONCUERDAN (IGUAL QUE EL EJEMPLO ANTERIOR), ESTO QUIERE DECIR QUE LOS VALORES DE X, Y y Z SON CORRECTOS. RECUERDEN QUE AL MOMENTO DE COMPROBAR
UNA ECUACION Y CONCUERDA, NO HAY QUE CONFIARNOS SOLAMENTE EN 1 PORQUE NO SABEMOS SI LAS OTRAS ECUACIONES RESTANTES CONCUERDEN CON EL RESULTADO
ESTABLECIDO. ES RECOMENDABLE QUE SI QUIERES COMPROBAR TUS VALORES DE LAS VARIABLES, TIENES QUE HACERLOS A TODAS LAS ECUACIONES NO SOLAMENTE 1 Y SI TIENES
VALORES FRACCIONARIOS SERA CON MUCHA MAS RAZON, COMO EN EL CASO DEL 2do EJEMPLO.
BIBLIOGRAFIAS
Larson, Edwards, “INTRODUCCION AL ÁLGEBRA LINEAL”, 2006, Editorial LIMUSA, México, 752 Págs.