Upload
aykut-oezcan-coskun
View
387
Download
9
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Source: http://www.gyte.edu.tr/anibal/AblDrive/75163039/w/Storage/219_2008_2_214_75163039/Downloads/linsis1.pdf
Citation preview
11.03.2009
1
LİNEER SİSTEMLER
Lineer Sistemler (Linear Systems)
• Uygulamalı matematiğin ve mühendisliğin birçok alanında Uygu a a ate at ğ ve ü e d s ğ b ço a a dalineer denklem sistemlerine çok sık rastlanmaktadır.
bxA
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
A, m×n’lik bir matristir ve lineer sistemlerde “katsayılar matrisi” olarak adlandırılır. b, m-boyutlu “sonuç vektörü” ve x, n-boyutlu “bilinmeyenler vektörü”dür.
LİNEER SİSTEMLER
Lineer Sistemler (Linear Systems)
• n×n boyutlu bir lineer denklem sistemi aşağıdaki koşullardan y ğbirini sağladığında “tekil” olarak adlandırılır.
1. A katsayılar matrisinin tersinin bulunmaması
2. det(A) = 0
3. rank(A) < n
4. A z = 0 ( z ≠ 0 olan bir vektör)
• Lineer denklem sisteminin tekil olup olmamasının sonuca
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
etkisi ise şöyledir:
Tekil olmamaTekil olmaTekil olma
Tek çözümÇözümsüzSonsuz sayıda çözüm
11.03.2009
2
LİNEER SİSTEMLER
Lineer Sistemler (Linear Systems)
• Bir lineer denklem sisteminin çözümü genel olarak şöyle g yifade edilebilir:
bAAxA
bAx11
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
bAx 1
ÜÇGEN YAPILI LİNEER SİSTEMLER
Üçgen Yapılı Lineer Sistemler (Triangular Lin. Sys.)
• Katsayılar matrisinin köşegeninin altı veya üstünün tüm elemanlarının sıfıra eşit olduğu durumlarda sözkonusu sisteme “üçgen yapılı” lineer sistem denir. Örneğin
Yukarıdaki örneklerden soldakine “üst üçgen matrisi”, sağdakine ise “alt üçgen matrisi” denir.
333231
2221
11
33
2322
131211
0
00
00
0
aaa
aa
a
Lveya
a
aa
aaa
U
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
üçgen matrisi denir.
jiamatrisiüçgenAlt
jiamatrisiüçgenÜst
ij
ij
,0
,0
11.03.2009
3
ÜÇGEN YAPILI LİNEER SİSTEMLER
Üçgen Yapılı Lineer Sistemler (Triangular Lin. Sys.)
• Üst üçgen matrisli sistemlerin çözümü
• Alt üçgen matrisli sistemlerin çözümü
nnnn abx
1,,1,1
niaxabx ii
n
ijjijii
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
1111 abx
niaxabx ii
i
jjijii ,,2,
1
1
ÜÇGEN YAPILI LİNEER SİSTEMLER
Üçgen Yapılı Lineer Sistemler (Triangular Lin. Sys.) – Örnek
• Aşağıdaki üst üçgen matrisli sistemin çözümünü elde ediniz.
8
4
2
400
110
132
3
2
1
x
x
x
284 33 xx
11x
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
1232
24
1321
232
xxxx
xxx
2
2
3
2
x
x
11.03.2009
4
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
Gauss Eliminasyon Yöntemi
• Basit cebirsel işlemlerle bir katsayılar matrisini üst üçgen ya da altüçgen matrisine dönüştürmek kolayca mümkündür. Ardından dahaçg ş yönce de gösterilmiş olan çözüm yöntemleri ile amaca ulaşılmış olur.
• Köşegen üzerindeki elemanlar en üst satırdan başlanarak pivotolarak seçilir ve adım adım en alt satıra kadar yöntem uygulanır. Budurumda n×n boyutlu bir kare matris için belli bir yapı oluşmuşolur. Gauss Eliminasyon Yönteminde (şart olmamakla birlikte)köşegen üzerindeki elemanlar 1’e eşit gelecek şekilde düzenlenir.
Al i
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
• Algoritma:– Genişletilmiş Katsayılar Matrisi üzerinde cebirsel işlemler ile köşegen
altındaki elemanların sıfıra eşitlenmesi
– Basit cebirsel bir işlem ile köşegen üstündeki elemanların 1’e eşitlenmesi
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
Genişletilmiş Katsayılar Matrisi
bAA
bAx
~ bAA
nnnnn
n
n
b
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A
2
1
21
22221
11211
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
A
21
222221
111211
~
11.03.2009
5
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
Gauss Eliminasyon Yöntemi – Örnek
8394
2242 321 xxx
2242 1x
10732
8394
321
321
xxx
xxx
10
8
732
394
3
2
x
x
10732
8394
2242~A
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
10732
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
Gauss Eliminasyon Yöntemi – Örnek
İleri doğru Eliminasyon (1. Sütundan başlanır):
4110
1121
10732
8394
1121
10732
8394
2242~A
Önce birinci sütundaki köşegen elemanını 1 yapacak şekilde tüm satır uygun katsayı ile çarpılır.Sonra ilk satır uygun değerler ile çarpılarak ikinci ve
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
12510
4110 Sonra ilk satır uygun değerler ile çarpılarak ikinci ve üçüncü satıra eklenir, öyle ki, bu satırlardaki 1. sütun elemanları 0 olur.
Burada 1. satır önce 2’ye bölünüyor. Sonra birinci satır -4 ile çarpılıp ikinci satıra ekleniyor. Son olarak yine birinci satır 2 ile çarpılıp üçüncü satıra ekleniyor.
11.03.2009
6
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
Gauss Eliminasyon Yöntemi – Örnek
İşlemlere 2. sütun ile devam edilir.
8400
4110
1121
12510
4110
1121
Ve son sütun ile işlem eliminasyon işlemi biter.
11211121 x
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
2
4
1
100
110
121
2100
4110
1121
3
2
1
x
x
x
Gauss Eliminasyon Yönt. için Elektronik Müh. Uygulaması
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
V2= 0 V
V1= 0 V
R1= 20 R4= 25
R3= 10
i1
i2
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
R5= 30 R2= 10
V3= 200 V
i3
200101030
0201025
01020
13233
12322
3121
iiiii
iiiii
iiii
11.03.2009
7
Gauss Eliminasyon Yönt. için Elektronik Müh. Uygulaması
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
0201025
01020 3121
iiiii
iiii
200101030
0201025
13233
12322
iiiii
iiiii
0102030 1i
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
200
0
0
501010
105520
102030
3
2
1
i
i
i
Gauss Eliminasyon Yönt. için Elektronik Müh. Uygulaması
GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ
0
0
105520
31321
0
0
105520
102030
200
0
0
4000
35031250
31321
200
0
0
31403500
35031250
31321
200
0
501010
105520
200
0
501010
105520
Ai 22 Ai 22
Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma
Aiiii
Aiii
Aii
303
1
3
2
203
50
3
125
520040
1321
232
33