Le conicheStoria e applicazioni

Di Anna Brambilla 3°E

Le coniche

Apollonio di PergaKeplero

Menecmo

Pascal Fermat

Cartesio

Newton

Applicazioni nell’arte

Galileo

Applicazioni moderne

Ellisse

L'ellisse è il luogo dei punti del piano le cui distanze dai due fuochi hanno somma costante, uguale a 2a, dove a rappresenta il semiasse maggiore.

Equazione dell’ellisse:L’ombra dell’ellisse proiettata con un pallone e una torcia

CirconferenzaScelti un punto C del piano ed un numero reale positivo r, si definisce circonferenza di centro C e raggio r il luogo geometrico dei punti del piano aventi distanza da C uguale a r.

L’ombra della circonferenza proiettata con un pallone e una torcia.

Equazione della circonferenza:

ParabolaLa parabola è il luogo dei punti del piano le cui distanze da un fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante uguale ad e (l’eccentricità della parabola).

Equazione della parabola:

y = ax2 + bx + c

L’ombra della parabola proiettata con un pallone e una torcia

IperboleL'iperbole è il luogo dei punti le cui distanze dai due fuochi hanno differenza costante in valore assoluto, uguale a 2a (dove a indica il semiasse traverso).

Equazione dell’iperbole:

L’ombra dell’iperbole proiettata con un pallone e una torcia.

Menecmo380 a. C. circa Asia Minore- 320 a. C. circa

Menecmo è famoso per aver scopeto le coniche. Le scoprì casualmente cercando di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Questo problema è uno di

classici problemi dell’antichità.Si tratta di trovare il lato di un cubo che abbia il volume doppio rispetto a quello di un cubo dato.

 

Menecmo fu il primo a mostrare che ellisse, parabola ed iperbole si potevano ottenere mediante la sezione di un cono con un piano. Menecmo utilizzava però un piano perpendicolare alla generatrice del cono, facendo variare la generatrice del cono stessa.

Sezioni coniche

Se l’angolo al vertice del cono è ottusangolo, si ottiene l'amblitome (iperbole).

Se il triangolo per l’asse è isoscele e acutangolo, si ottiene l'oxitome (ellisse).

Se il triangolo per l’asse è rettangolo isoscele, si ottiene l'ortotome (parabola).

Apollonio di Perga262 a C Perga - 190 a C Alessandria

Apollonio è passato alla storia come Grande Geometra. La sua opera più famosa sono Le coniche. È anche conosciuto per il cerchio di Apollonio.

Cono a doppia falda

Apollonio dimostrò che non era necessario prendere sezioni perpendicolari a un elemento del cono, che da un unico cono si potevano ottenere tutte le sezioni coniche. Inoltre affermò che il cono non doveva essere necessariamente retto e sostituì il cono con una falda di Menecmo, con il cono a doppia falda.

Le coniche:La prima edizione delle coniche è stata scritta a Pergamo. Era composta da 8 libri. I primi 4 contengono informazioni sulle coniche che erano già note a Euclide. I libri dal 5 al 7 introducono nuovi aspetti e sono giunti a noi attraverso gli arabi. L’ultimo è stato perduto.

Apollonio, nelle Coniche, introdusse i termini: Ellisse = mancanza; parabola = mettere accanto; iperbole = andare oltre.

Applicazione delle coniche all’arte: i romani

I Romani usavano le coniche, in particolare l’ellisse, per le piante degli anfiteatri.

L’anfiteatro di Pompei, il più antico anfiteatro in pietra ha la pianta a forma di ellisse.

L’anfiteatro Flavio, noto col nome di Colosseo, ha anch’esso la pianta a forma di ellisse.

Applicazione delle coniche all’arte: il rinascimento

Pianta ellittica della chiesa di S. Andrea al Quirinale

Le coniche acquistano grande importanza nell’arte, in particolare nel periodo del rinascimento e del barocco. La linea curva prevale sulla linea retta. Nel Barocco ha particolare importanza l’uso dell’ellisse.

Applicazione delle coniche all’arte: scultura e pittura

Domenico Rambelli Testa di Mitya Ciarlantini

Il volto della scultura è contenuto in un’ellisse.

Modigliani Donna con cravatta nera

Il volto della donna dipinta è contornato da una parabola

Keplero27 Dicembre 1571 a Weil der Stadt - 15 Novembre 1630 a Regensburg

Frequentò l’università di Tubinga dove studiò principalmente teologia e filosofia, ma anche astronomia e matematica. E' famoso soprattutto per le cosiddette leggi di Keplero ed è grazie a queste che viene considerato il fondatore della fisica astronomica.

Keplero formulò per le coniche un principio di continuità.Per lui i diversi tipi di coniche formavano un unico insieme, senza interruzioni.

Le leggi di KepleroI Legge: i pianeti si muovono in semplici orbite ellittiche delle quali il Sole occupa uno dei due fuochi.

II Legge: La linea retta che congiunge il pianeta con il sole forma aree uguali in tempi uguali, mentre il pianeta descrive la sua orbita.

L’orbita di Marte secondo Keplero.

III Legge: Detti T1 e T2 i periodi necessari a due pianeti per compiere le loro orbite ed R1 e R2 le rispettive distanze medie fra i pianeti e il Sole, T1²/T2² = R1³/ R2³.

Le prime due si trovano nell'opera Astronomia Nova (Praga, 1609). La terza apparve nell'opera Armonices mundi (1619).

Galileo Galilei1564 - 1642

Galileo dimostrò che la traiettoria del moto di un proiettile è una parabola.

Galileo intraprese importanti studi sui vari tipi di moto. Si soffermò in particolare sul moto parabolico e circolare.

Isaac Newton1642 - 1727

Newton costruì un telescopio usando specchi parabolici e specchi ellittici (sostituì poi lo specchio ellittico con uno iperbolico).

Newton intraprese numerosi studi sul moto orbitale dei pianeti. In particolare dimostrò che la forza necessaria a far percorrere a un corpo un’orbita ellittica deve variare come l’inverso del quadrato della distanza.

Cartesio (René Descartes)

1596 - 1650

Cercando di risolvere il problema di Pappo nell’opera Geometrie, Cartesio scoprì l’equazione generica di una conica passante per l’origine.

Problema di Pappo con 4 rette.

L’equazione generica di una conica passante per l’origine :

Pierre de Fermat 1601 - 1665

Fermat sapeva rappresentare curve matematiche tramite equazioni prima di Cartesio. Dimostrò che l’equazione generica di una conica è un equazione di secondo grado in x e y. Fermat si occupò del problema delle tangenti ad una curva data e lo risolse in modo diverso da Cartesio.

problema delle tangenti

Blaise Pascal1623 - 1662

Scrive il “Saggio sulle sezioni coniche” in cui formulò il teorema di Pascal.Questo afferma che i sei vertici di un esagramma giacciono su una conica se e solo se i punti d’intersezione delle tre coppie di lati opposti giacciono su una stessa retta.

Teorema di Pascal

Applicazioni delle coniche Specchi sferici

Antenna parabolica

Il fuoco F rappresenta la sorgente luminosa. I raggi riflessi escono parallelamente e, dopo aver colpito la superficie, si concentrano nel fuoco.

Gli specchi sferici sono poi sostituiti da specchi a sezione parabolica.

Sitografia:

www.db.unibo.itwww.dti.unimi.itwww.unife.itwww.itg-rondani.itwww.electroyou.itwww.museo.unimo.itwww.wikipedia.orgwww.atuttascuola.itwww.liceartcs.it www.itis-molinari.eu