L'ABACO NELL'OPERAZIONE DI ADDIZIONE Silvia Bondi 1. INTRODUZIONE Vari sono gli strumenti matematici ereditati dal passato, oggi presenti nell'insegnamento- apprendimento insieme alle nuove tecnologie, utili per motivare gli allievi ed efficaci per la soluzione di diversi problemi. Tra questi un ruolo importante lo detiene l'abaco, usato storicamente per eseguire calcoli, anche se non sempre i numeri venivano scritti in sistemi di notazione posizionale (vedi i numeri romani). In questo lavoro si vuole analizzare il ruolo che l'abaco può assumere nei processi di calcolo, in particolare, nell'affrontare l'operazione di addizione con il cambio, sia come strumento funzionale al calcolo che come strumento di mediazione semiotica relativamente alla costruzione del concetto di notazione posizionale decimale propria del nostro sistema di numerazione, quindi come esso sia uno strumento valido per la rappresentazione di qualunque numero naturale. Si vuole vedere se e in che modo l'abaco diviene strumento di mediazione semiotica per gli allievi nell'affrontare il problema del "cambio", mai affrontato precedentemente in operazioni di addizioni. Il lavoro è stato condotto dall'insegnante, alternando momenti collettivi a momenti individuali con l'intento di favorire gli scambi e i confronti tra gli alunni e di stimolare coloro che generalmente intervengono con più difficoltà. 2. I DATI SPERIMENTALI 2.1 IL CONTESTO Questa attività è stata proposta in una classe seconda elementare a tempo pieno (IIA B) della scuola elementare statale "E. Ferrari" di Fiorano Modenese composta da 22 alunni di cui due inseriti all'inizio della classe seconda. Il gruppo classe è eterogeneo e presenta diversi livelli di apprendimento: "basso" (con parecchie difficoltà in ogni campo); medio basso; medio; medio-alto. L'insegnante che ha proposto e gestito l'attività è la loro insegnante di classe (Silvia Bondi) titolare dell'ambito scientifico-matematico dal primo anno di scuola. Fin dalla classe prima si è introdotto l'abaco come strumento per la rappresentazione dei numeri da zero a trenta. Si è dedicata particolare attenzione all'introduzione del numero 10 e della decina. Si è sottolineato il problema di come non sia possibile rappresentare le 10

palline nell'asta delle unità perché troppo "corta" e, quindi, raggruppate insieme, è stato introdotto il CAMBIO di queste con una pallina-decina, che verrà posta in una nuova asta a sinistra dell'asta delle unità: l'asta delle decine. In seguito, si sono proposte parecchie attività sul valore posizionale delle cifre di ciascun numero. Il discorso del cambio si è affrontato collettivamente con varie attività finalizzate soprattutto alla comprensione dei diversi significati del termine: cambio/scambio di figurine, scambio un gioco con un compagno, cambio di monete (dieci monete da un euro con una banconota da dieci), cambio un cioccolatino per tre caramelle, … . L'abaco, artefatto fin dall'inizio presente su una mensola della classe, è divenuto attraverso l'uso continuo uno strumento fondamentale per gli allievi, che risolvevano in modo piacevole diverse situazioni problematiche ricorrendo di frequente ad esso. Possiamo dire che attraverso gli schemi d'uso l'abaco da artefatto era divenuto per gli allievi strumento. 2.2 LA PRIMA ATTIVITA' Durante la classe seconda si è introdotta l'operazione di addizione e, successivamente, di sottrazione utilizzando l'abaco sia come strumento reale, sia come strumento rappresentato (abaco grafico) per registrare ciò che veniva fatto. In un primo momento le addizioni proposte erano semplici, poi più complesse ma ugualmente senza cambio. Infine, si è pensato di assegnare agli alunni una situazione problematica in cui era necessario eseguire un'addizione con il cambio. E' stato inoltre chiesto di provare a spiegare il procedimento messo in atto per calcolare tale operazione aiutandosi con l'abaco. In questa attività non è stata data alcuna limitazione di tempo per svolgere il lavoro e sono stati messi a disposizione degli alunni diversi abaci per provare concretamente. Alla classe (presenti 21 alunni su 22) viene assegnata la seguente consegna (21 marzo 2002):

UN BAMBINO DI 7 ANNI HA CALCOLATO LA SEGUENTE OPERAZIONE: 37 + 15 = 52 DICE CHE SI E' AIUTATO CON L'ABACO. SECONDO TE COME HA FATTO A CALCOLARLA? SCRIVI LA TUA SPIEGAZIONE E SE VUOI ILLUSTRA CON DEI DISEGNI.

Gli scopi che l'insegnante si era prefissata possono essere così sintetizzati: - verificare se il concetto di "cambio" era interiorizzato - vedere come ogni allievo usava lo strumento abaco in una nuova situazione

- mettere alla prova la capacità di ogni allievo di risolvere individualmente una situazione problematica recuperando informazioni possedute

Il lavoro svolto con gli alunni può essere suddiviso in 4 fasi: • fase 1 (individuale): ogni alunni cerca di risolvere il problema da solo • fase 2 (collettiva): condivisione delle strategie adottate • fase 3 (collettiva): discussione collettiva gestita dall'insegnante • fase 4 (individuale/collettiva): nuovi problemi emersi Tutti gli alunni, in generale, hanno provato a risolvere il problema, ma gli esiti sono stati diversi: soluzione e verbalizzazione corretta (3 alunni) soluzione corretta e verbalizzazione "sofferta" (7 alunni) soluzione non corretta e difficoltà nella verbalizzazione (7 alunni) nessuna soluzione e spiegazione (4 alunni)

2.3 ANALISI DI ALCUNI PROTOCOLLI Si riportano alcuni protocolli. 2.3.1 Serena Serena descrive bene il procedimento che esegue, ha ben interiorizzato il cambio e ha utilizzato correttamente l'abaco come strumento per riuscire ad eseguire il calcolo assegnato, recuperando il "metodo" del cambio visto in classe in precedenza. Il suo testo risulta di tipo procedurale, infatti descrive passo dopo passo le operazioni che esegue e alla fine "vede" la soluzione. Non fa riferimento alla notazione posizionale e sembra soffermarsi unicamente sul cambio delle dieci unità con la pallina-decina, anche se la rappresentazione delle aste sull'abaco è corretta.

Metti nell'abaco 7 unità nell'asta delle unità e 3 decine nell'asta delle decine, poi prendo 5 unità e 1 decina e le infilo nell'abaco, però c'è un problema: nell'asta (delle unità) ci stanno solo 2 unità, 3 restano fuori dall'asta (le tiene in mano). Allora raggruppo tutte le unità dell'asta con una che ho in mano così ne ho dieci. Quelle dieci le metto sul banco e quelle due rimaste in mano le infilo nell'asta delle unità. Poi metto una pallina decina. Così vedo che il risultato è 52.

2.3.2 Luca Luca è uno degli alunni che individua per primo la soluzione del problema. Disegna l'abaco correttamente, mostrando anche come il raggruppamento delle dieci palline, venga trasformato in un'unica pallina-decina, che va ad occupare un'altra posizione. Il suo testo inizia con una premessa molto interessante: Luca ci dichiara cosa sa dell'abaco relativamente al cambio, mostrandoci in questo modo la sua "teoria" di riferimento. La conoscenza posseduta sembra di carattere generale, tanto è vero che parla di un'asta generica e di nove palline; tutto ciò forse gli permetterà successivamente di estendere l'abaco anche a numeri più grandi usando lo stesso procedimento. L'alunno non ci conferma neppure il risultato dell'operazione, al quale non sembra interessato poiché assorbito completamente dal far vedere il buon funzionamento del suo metodo. Possiede l'abaco come strumento e sa riutilizzarlo correttamente in una nuova situazione.

Con l'abaco ho imparato a fare il cambio e si fa così: quando l'asta finisce ce ne sono 9 ho un problema, però lo posso risolvere in questo modo: prendo 10 unità e le cambio con una pallina- decina e faccio una freccia cioè il cambio (vedi disegno) . In questa operazione prendo 7 unità e 3 decine e le infilo, poi prendo 5 unità e 1 decina e le infilo, però 3 unità rimangono fuori e cambio 10 unità con una pallina-decina.

2.3.3 Alessandro L'alunno inizialmente si chiarisce la situazione problematica per focalizzare quale operazione deve eseguire. E' interessante notare come prenda per dati importanti l'età dell'allievo immaginario e il suo impegno nel calcolo; forse immedesimandosi totalmente nel protagonista del problema riesce a farsi carico dello stesso anche se poi non lo risolve. E' evidente la mancata interiorizzazione delle regole del cambio, infatti, rappresenta i due addendi sull'abaco, ma vedendo che le unità non stanno nella corrispettiva asta sostiene che non sia possibile calcolare l'addizione con questo strumento e che si possa eseguire con la tabella del calcolo in colonna. (L'alunno prova a parte ad eseguire il calcolo in colonna, ma commette diversi errori). Non possiede l'abaco come strumento da utilizzare nel cambio, anche l'abaco grafico non gli suggerisce il recupero di informazioni utilizzate in precedenza, anzi dichiara l'impossibilità di eseguire l'operazione con tale strumento. Ci pare evidente che

per Alessandro l'abaco è ancora un artefatto e che il processo di strumentazione (Meira, 1995) è ancora lungi dal divenire: saranno specifiche modalità d'uso, programmate dall'insegnante, che forse potranno aiutare il bambino ad appropriarsi dell'abaco come strumento di rappresentazione funzionale al calcolo.

Questo bambino di 7 anni sta calcolando con attenzione per farla bene. Questa operazione è con la più e non con la meno o la per. Questa operazione nell'abaco non ci sta e come avrà fatto? E' impossibile farla, io l'avrei fatta in tabella che così si può fare, perché nell'abaco le palline delle unità non ci stanno perché sono troppe.

2.3.4 Daniel Daniel al valore delle cifre (unità e decine) associa sempre il colore delle palline (blu e rosso): questa "grande" importanza del colore indica una padronanza ancora non completa del valore posizionale delle cifre. Le regole del cambio non vengono esplicitate e sembra procedere meccanicamente. La rappresentazione grafica del suo procedimento non è corretta in quanto raggruppa tutte le unità rappresentate (12) e le sostituisce con una decina. La verbalizzazione ci comunica il risultato finale, per altro corretto, del suo procedere; sembra esservi una contrazione del ragionamento a favore dell'esito, quasi come che il bambino, sapendo già il risultato finale dell'operazione, non fosse più interessato a comunicare nulla.

Nell'abaco ho aggiunto nelle decine 3 palline rosse e nelle unità 7 palline blu, dopo ho aggiunto nelle unità 5 palline blu, però ce ne stavano soltanto 2 e tre cadevano. Dopo ho liberato l'asta delle unità e ce ne ho messe 2. Nelle decine ne ho aggiunta una, così ho calcolato 37+15=52.

2.3.5 Barbara Anche Barbara è stata tra i primi ad intuire la soluzione corretta del "problema" e l'ha spiegata chiaramente, aiutandosi con il disegno dell'abaco che accompagna passo dopo passo la descrizione. La rappresentazione diviene l'esplicitazione di tutto il suo procedere ed è usata, parallelamente alle parole per una funzione descrittiva e quasi didattica. Ha

interiorizzato il concetto di cambio e di valore posizionale delle cifre. In questa nuova situazione utilizza con padronanza lo strumento abaco, recupera informazioni conosciute e le applica con successo in questo caso.

Prendo un abaco in cui fare il numero 37, infilo 7 unità nella colonna delle unità e 3 decine nella colonna delle decine. Poi nello stesso abaco sistemo il secondo numero (il 15), ma mentre metto le 5 unità mi accorgo che non ci stanno allora passo alle decine per vedere se posso risolvere il caso, infilo 1 decina del 15. Allora torno al problema delle 5 unità, uso un po’ di cervello, ne infilo 2 per liberarmi un po’ le mani, ma me ne restano comunque 3 in mano. Faccio uno scambio: 10 unità le cambio con una pallina-decina che prendo dal cestino e la infilo nell'asta delle decine e vuoto le 10 unità nel cesto. Sorpresa ora le 2 palline rimaste (che ho in mano) stanno nell'asta delle unità, le infilo e il risultato è 52.

2.4 CONDIVISIONE DELLE SCOPERTE E DISCUSSIONE (fase collettiva) Dopo il lavoro individuale, l'insegnante ha chiesto agli alunni di cercare di spiegare ai compagni di classe la loro soluzione del problema. Gli alunni si sono offerti volentieri di raccontare il modo in cui avevano risolto il problema assegnato. Mentre gli alunni a turno raccontavano e i compagni ascoltavano e intervenivano per chiedere chiarimenti o precisazioni, l'insegnante registrava su una cassetta le loro "parole". In questa fase il ruolo dell'insegnante era soprattutto quello della gestione degli interventi degli alunni, cercando di mantenersi neutrale e di intervenire il meno possibile. Al termine delle spiegazioni degli alunni, l'insegnante ha avuto un ruolo più attivo, poiché ha creato una discussione collettiva, ponendo alcune domande-stimolo prese dagli interventi precedenti degli alunni, cercando in questo modo di chiarire i passaggi più complessi e meno chiari, chiedendo inoltre il significato di alcuni termini come: "cambio" e "pallina-decina", inducendo i bambini a riflettere sul loro significato e sull'uso dell'abaco come strumento funzionale al calcolo. L'insegnante ha anche voluto verificare se negli allievi era

presente la consapevolezza di un nuovo apprendimento e la possibile estensione di quest'ultimo a tutte le operazioni di addizione. Stralci di discussione. …. Luca: due rimangono fuori dall'asta. Ins.: perché restano fuori? Luca: perché nell'asta non ce ne stanno più di 9.Allora svuoto l'asta e cambio con una pallina-decina. Ins.: perché nel cesto hai messo anche un'altra unità oltre a quelle che si trovavano sull'asta? Luca: perché devo formare la decina. … Alessandro: … metto 7 palline-unità e 3 decine, svuoto le unità e scambio una unità con una decina. Barbara: no, scambio 10 unità con una decina, cioè ne prendo una e le 9 dell'asta. … Ins.: chi vuole spiegarmi che cos'è una pallina-decina, potete anche rappresentarmela alla lavagna? Debora: una pallina-decina è una decina, cioè il 10. Erica: E' una pallina rossa che quando hai 10 palline blu visto che non puoi metterle nell'asta ci metti una sola decina. Arianna: Ecco una pallina-decina. (Disegna alla lavagna un abaco e una pallina rossa nell'asta delle decine.) Ins.: Oppure come posso rappresentarla? Arianna: Con 10 palline unità blu, ma devo sempre ricordarmi di fare le aste dell'abaco di 9 quadretti, quindi una pallina esce dall'asta. (Disegna un altro abaco e una pila di 9 palline blu sull'asta delle unità e una unità fuori.) L'insegnante e gli alunni hanno cercato poi di definire insieme un metodo condiviso dalla classe, da usare per calcolare le addizioni con il cambio recuperando i vari passaggi dagli interventi. Così, si è individuato un metodo (scritto da tutti sul quaderno) al fine di farlo diventare "proprio" anche di quegli allievi che da soli si erano trovati in particolare difficoltà ad eseguire il calcolo assegnato. 2.5 I NUOVI PROBLEMI EMERSI A questo punto gli alunni hanno chiesto all'insegnante di poter inventare delle addizioni e di calcolarle da soli (ad es.: 65+36=; 68+84=; 125+39=; …), ma subito sono emersi nuovi problemi. Infatti, si sono accorti che anche l'asta delle decine può riempirsi, cioè risultare troppo "corta", e allora … COME FARE? In questo momento nasceva la necessità di estendere l'abaco anche con l'asta delle centinaia, ma contemporaneamente c'era il problema dell'estensione dell'ambito numerico dei naturali. Si è pensato di procedere prima con l'estensione dei naturali fino al cento e solo successivamente di affrontare il problema dell'addizione in colonna con somme che superassero l'ambito delle decine. Inoltre, in questo periodo si è affrontato anche il concetto di centinaia utilizzando l'abaco.

2.6 LA SECONDA ATTIVITA' Dopo varie esercitazioni di calcolo in colonna dove le somme dovevano essere minori di 100 e dopo la presentazione del cento e delle centinaia, si è pensato di assegnare ai ragazzi un problema che richiamasse quelli inventati da loro precedentemente. Ecco la consegna, assegnata il giorno 2 maggio 2002 ( presenti 21 alunni su 22): QUESTA MATTINA "FATAMATE' * " TI LANCIA UNA SFIDA. TI ASSEGNA IL SEGUENTE COMPITO: " CALCOLA L'ADDIZIONE 65 + 37 = AIUTANDOTI CON L'ABACO" FATAMATE' TI CONSIGLIA DI AIUTARTI CON L'ABACO. IL TUO COMPITO E' QUELLO DI PROVARE AD ESEGUIRE L'ADDIZIONE CON L'AIUTO DELL'ABACO E DI SPIEGARE IL TUO PROCEDIMENTO. SE VUOI PUOI AIUTARTI CON I DISEGNI.

* Fatamatè è "la fata della matematica" un personaggio che ci fa scoprire tante cose in matematica, che ci porta i numeri, le operazioni, le tabelline, …. Le intenzioni dell'insegnante nel proporre questa attività erano le seguenti: • vedere se gli alunni estendono il concetto di cambio (già conosciuto) alle centinaia • vedere se qualche allievo scopre che questo concetto si può applicare anche "oltre" i

numeri conosciuti (1000) • verificare se il centinaio è un concetto posseduto • vedere se l'abaco diviene strumento di mediazione per ciò che concerne il valore

posizionale delle cifre, quindi diventi uno strumento di rappresentazione estendibile a qualunque numero

• mettere alla prova la capacità di ogni allievo di risolvere individualmente una situazione problematica recuperando informazioni possedute e precedentemente utilizzate

Si riteneva questa attività più semplice della precedente perché già conoscevano il cambio delle unità (cioè il riporto delle decine) ed era stato lasciato loro molto tempo per esercitarsi e per interiorizzare questo concetto. Inoltre, era stato presentato il numero 100 ed erano state proposte varie attività riguardo al centinaio per far acquisire all'intera classe familiarità con esso. Le aspettative sono state solo parzialmente confermate: un buon gruppo di alunni (9 alunni) ha individuato subito il CAMBIO delle decine con la pallina-centinaia. Ci sono stati però dodici bambini che non sono riusciti a risolvere il problema: chi (7 alunni) si è trovato

in difficoltà a spiegare ed è stato confuso dai due cambi (quello delle unità e poi quello decine), ed è arrivato correttamente solo a quello delle unità e poi si è bloccato; chi (5 alunni) invece non si è accorto di poter utilizzare un metodo già conosciuto per risolvere il problema di questa addizione e non ha trovato nessuna soluzione. La maggior parte degli alunni ha sottolineato che l'abaco sia fisico (prima) che grafico (dopo) è stato un grande aiuto nell'eseguire questo calcolo. 2.7 ANALISI DI ALCUNI PROTOCOLLI E' sembrato interessante nella scelta dei protocolli da inserire metterne alcuni di alunni già analizzati nel paragrafo precedente, per farne un confronto, e introdurne anche alcuni che non erano stati riportati prima per avere una panoramica più ampia del lavoro fatto. Si riportano alcuni protocolli. 2.7.1 Serena L'alunna ha spiegato correttamente la sua strategia aiutandosi con il disegno dell'abaco. Ha interiorizzato il concetto di cambio e lo estende con sicurezza alle centinaia. "Prolunga" l'abaco alle centinaia dalla parte corretta e lo utilizza come strumento che ha regole d'uso funzionali al suo ragionamento. Mentre nel problema precedente aveva un po’ faticato ad individuare nel cambio il modo per poter calcolare l'addizione, ora tutto le appare chiaro fin da subito. Sembra essersi impossessata del discorso di notazione posizionale e in qualche modo localizza i posti delle cifre (… dove stanno …), tutto ciò mancava nella prima attività.

Prendo 5 unità e 6 decine, aggiungo 7 unità e 3 decine. Dopo unisci tutte le 10 unità e quelle 2 palline delle unità le metti sul tavolo, però anche la pallina decina ce ne rimane fuori una, allora metti una centinaia nell'abaco dove sono le centinaia e 2 palline unità dove stanno le unità, così fa 102.

2.7.2 Luca Come nell'attività precedente, Luca individua subito come risolvere il problema introducendo il cambio delle decine, trasferendo così le conoscenze possedute al nuovo contesto numerico. Possiede il concetto di cambio e sa spiegarlo con chiarezza e sicurezza. Durante la discussione Luca dice che si possono aggiungere "tante" aste dopo le centinaia e fare tutte le addizioni che si desiderano. Sa estendere l'abaco e lo utilizza come strumento di mediazione per ciò che riguarda il valore posizionale delle cifre. Il centinaio è un concetto

posseduto. Recupera informazioni già utilizzate in precedenza per risolvere questo problema.

Ho messo le unità nell'asta delle unità e le decine nell'asta delle decine poi ho calcolato, ma nell'asta delle unità ce ne sono più di 9. Allora ho preso 10 unità e le ho cambiate con una pallina-decina. Poi anche nell'asta delle decine sono più di 9. Allora ho preso 10 decine e le ho cambiate con 1 pallina-centinaia.

2.7.3 Fabio Nella prima attività relativa al cambio delle unità, Fabio non era riuscito a risolvere il problema. Ora, si è impossessato dell'abaco come strumento di calcolo e introduce il cambio delle centinaia in modo corretto. In un primo momento estende l'abaco alle centinaia inserendo l'asta delle centinaia a destra delle unità, poi da solo si corregge (come si vede dal

disegno). Possiede il concetto di centinaio. La sua verbalizzazione non ci dà ulteriori informazioni su come sia avvenuto il processo di strumentazione, ma la sofferta rappresentazione grafica ci comunica che questo è certamente in atto.

Metto 5 unità e poi 6 decine, dopo metto 7 unità e scopro che rimangono 3 unità fuori (fa il cambio delle unità lo disegna soltanto e non lo scrive). Infine, cambio 10 decine con una pallina-centinaia.

2.7.4 Barbara Ha individuato subito come risolvere la situazione, così come aveva fatto nell'attività precedente riguardante il cambio delle unità. Spiega passo a passo il procedimento con chiarezza e accompagna tutti i passaggi con il disegno. Utilizza il cambio delle decine con padronanza. Possiede il concetto di centinaio e quello di valore posizionale delle cifre. Sa utilizzare l'abaco come utile strumento per risolvere situazioni problematiche.

Prendo le unità del primo numero in questo caso il numero è 65 e le unità sono il 5, infilo le unità nell'asta delle unità dove in basso c'è scritto u. Poi passo alle decine che in questo caso sono il 6. Poi nello stesso abaco metto anche le unità del 37 (cioè il 7). Ma mi accorgo che ci stanno solo 4 palline, allora ne raggruppo 10 e le cambio con 1 pallina-decina. Poi metto le decine in questo caso il 3, ma mi accorgo che non ci stanno neanche quelle e le 10 decine le scambio con 1 pallina-centinaia. Il risultato è 102.

2.7.5 Alessandro L'alunno fa proprio l'abaco come strumento per calcolare, mentre questo processo era completamente assente nella prima attività dove tentava di usare il calcolo in colonna poiché riteneva l'abaco uno strumento inadeguato alla situazione. Individua bene quale sia il problema nel testo e subito lo comunica nella sua verbalizzazione. Estende l'abaco dalla parte esatta ed esegue il cambio delle decine, ma fatica a verbalizzare il procedimento, infatti scrive che cambia "una decina con una centinaia" mentre nel disegno raggruppa 10 decine e mette un centinaio al posto giusto, mostrando così di possedere il concetto di centinaio e di valore posizionale delle cifre.

C'è un problema quando metti 7 unità nell'asta rimangono 3 palline fuori allora cambi con una pallina-decina, ma l'asta (delle decine) è già piena allora rimane fuori una pallina-decina. Cambio una decina per una centinaia e metto 0 decine , 2 unità e così fa 102.

2.7.6 Erica Erica non riesce ad estendere il cambio alle centinaia, anche se il risultato dell'operazione è corretto. Cambia dieci unità con una decina, verbalizza questo unico passaggio e poi si blocca. Recupera un metodo già utilizzato, ma non sa applicarlo ad una nuova situazione.

La sua verbalizzazione risulta faticosa e molto stringata e ci mostra la non chiarezza dell'allieva e il mancato processo di strumentazione relativamente all'abaco.

Ho messo le unità e le decine, ho raggruppato 10 unità e poi ho cambiato le unità con una decina e fa 102.

3. DISCUSSIONE L'abaco, artefatto culturale, sotto la guida dell'insegnante è stato trasformato in strumento, che ha permesso l'introduzione di alcuni concetti matematici e ha sollevato una serie di "nuovi" problemi quali l'estensione del cambio oltre i numeri conosciuti, l'ampliamento dell'ambito numerico, l'introduzione del concetto di centinaio, il collegamento tra addizione con l'abaco e addizione in colonna e l'approfondimento del valore posizionale delle cifre. Durante tutto il lavoro si è cercato di favorire l'interiorizzazione della strategia di cambio, sollecitando gli allievi ad operare concretamente con lo strumento e a verbalizzare (aiutandosi con il disegno dell'abaco grafico) la sequenza delle operazioni necessarie, e si è cercato di analizzare il processo di internalizzazione del principio posizionale per scrivere i numeri. Per la classe è stata la prima attività in cui gli alunni hanno dovuto verbalizzare una situazione matematica, ciò spiega le molteplici difficoltà incontrate nei loro elaborati. Si può notare dai protocolli analizzati che questo lavoro di ricerca ha portato progressivamente a cambiamenti, infatti, nella seconda attività (relativa al cambio delle decine) un maggior numero di alunni ha trovato una soluzione. Inoltre, anche in seguito, quando è stato abbandonato l'uso concreto dell'abaco per addizionare e si è passati al calcolo in colonna con il cambio, parecchi alunni al momento di indicare il riporto ricordavano e portavano come giustificazione del riporto l'esperienza vissuta in precedenza: "togliere dall'asta le unità e cambiarle con una decina da mettere nella colonna delle decine", utilizzavano cioè un abaco mentale. Questa attività è stata proposta anche per sottolineare l'importanza di partire nel calcolo dalle unità. In seguito, l'insegnante ha recuperato l'intervento di un alunno (Luca) che in un momento collettivo aveva sostenuto: "… si possono aggiungere tante aste dopo le centinaia e fare tutte le addizioni, anche quelle con i numeri molto grandi che faremo in terza …" .

I possibili significati di questa frase sono diventati argomento di riflessione da parte della classe. Parecchi alunni, stimolati dall'intervento del compagno, senza incontrare particolari difficoltà sono arrivati a scoprire i numeri oltre l'ambito delle centinaia, argomento appena introdotto che verrà poi ripreso in terza (come ha detto Luca!). Questo fa notare una non separazione tra il cambio nell'addizione e il valore posizionale delle cifre e come una attività può influire sull'altra. A questo punto il lavoro ci suggerisce e ci apre alcune problematiche, potremmo chiederci per esempio: "Come sarebbe stata l'attività senza l'utilizzo dell'abaco?", oppure "Cosa fare per i bambini come Erica o altri che ancora non hanno l'abaco come strumento?", ancora "Come avrebbero affrontato i bambini la seconda attività senza aver prima introdotto il centinaio?", "In che misura questo lavoro aiuterà gli allievi ad eseguire la sottrazione con il cambio?" ed inoltre, essendo stata questa la prima attività per la classe di verbalizzazione di un problema matematico "Quanto influirà sulle prossime proposte di ricerca?". 4. BIBLIOGRAFIA Bartolini Bussi M. (2001), Strumenti reali ed esperimenti mentali nella didattica della matematica, in Atti del Convegno nazionale (Castel S. Pietro terme, Bologna): Didattica della matematica e rinnovamento curricolare, Bologna: Pitagora editrice. Betti B., Canalini R., (2001), Abaco e notazione posizionale: storie di internalizzazione, in Atti del IV Convegno nazionale degli Internuclei scuola dell'obbligo (Monticelli terme, Parma), Bologna: Pitagora editrice. Ferri F. (2001), L'abaco e lo zero, in Atti del IV Convegno nazionale degli Internuclei scuola dell'obbligo (Monticelli terme, Parma), Bologna: Pitagora editrice. Jannamorelli B. (1995), Strumenti di calcolo aritmetico ingenui … ma ingegnosi, Edizioni Qualevita. Meira L. (1995), Mediation by tools in the mathematics classroom, in Proc. 19th PME Conference, Brazil: Recife. Rabardel P. (1995), Les Hommes & Les Technologies. Approche cognitive des instruments contemporains, Paris: Armand Colin. Vygotskij L. S. (1974), Storia dello sviluppo delle funzioni psichiche superiori e altri scritti, Firenze: Giunti. Vygotskij L. S. (1992), Pensiero e Linguaggio, Bari: Laterza editrice.