A.S.E.A.S.E. 7.7.11

ARCHITETTURA DEI SISTEMI ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICIELETTRONICI

LEZIONE N° 7LEZIONE N° 7• Addizione in C2Addizione in C2• CodiciCodici• RIEPILOGO Aritmetica in Base 2RIEPILOGO Aritmetica in Base 2• Interi assolutiInteri assoluti

• Somma, sottrazione, MoltiplicazioneSomma, sottrazione, Moltiplicazione

• Interi relativi Interi relativi • Somma, sottrazione, MoltiplicazioneSomma, sottrazione, Moltiplicazione

• Fattore di scalaFattore di scala• Rappresentazione normalizzataRappresentazione normalizzata• Operazioni in virgola mobileOperazioni in virgola mobile

– Somma, Sottrazione, MoltiplicazioneSomma, Sottrazione, Moltiplicazione

A.S.E.A.S.E. 7.7.22

RichiamiRichiami

• Sistema numericoSistema numerico• Base 2, 3, 4, 5, 8, Base 2, 3, 4, 5, 8, 1010, 12, 16, 12, 16• ConversioniConversioni• Aritmetica binariaAritmetica binaria• Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno

A.S.E.A.S.E. 7.7.33

Addizione in Complemento a 2Addizione in Complemento a 2• Somma [-2Somma [-2n-1n-1<(X+Y)<2<(X+Y)<2n-1n-1-1]-1]

• Osservare che K non è possibile rappresentarlo su n bitOsservare che K non è possibile rappresentarlo su n bit• ** Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2• **** Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2• ****** Il risultato è rappresentato in C. 2Il risultato è rappresentato in C. 2

***2'0

0

**''

0

0

*''

0

0

''0

0Correzione2 C. SommaSommaAddendi

KYXZYXZY

XXY

ZZKYXZYXZ

Y

XYX

ZZKYXZYXZ

Y

X

ZZYXZYXZY

X

A.S.E.A.S.E. 7.7.44

Esempi Esempi • Parola di 4 bit Parola di 4 bit • 3 + 4 = 73 + 4 = 7 5 + (-3) = 25 + (-3) = 2 (-5) + 3 = (-(-5) + 3 = (-

2)2)

• (- 4) +(-3) = -7 (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 6 + 5 =11 (-6) + (-5) (-6) + (-5) =(-11)=(-11)

00 00 11 11

00 11 00 00

00 11 11 11

00 11 00 11

11 11 00 11

11 00 00 11 00

00 11 11 00

00 11 00 11

11 00 11 11

11 00 11 11

00 00 11 11

11 11 11 00

11 11 00 00

11 11 00 11

11 11 00 00 11

11 00 11 00

11 00 11 11

11 00 11 00 11

A.S.E.A.S.E. 7.7.55

OsservazioniOsservazioni

• Se la word si estende “K” bit si haSe la word si estende “K” bit si ha• per numeri positivi si aggiungono in testa K zeriper numeri positivi si aggiungono in testa K zeri• per numeri negativi si aggiungono in testa K unoper numeri negativi si aggiungono in testa K uno

• EsempioEsempioWord Word di 4 bitdi 4 bit

Word Word di 6 bitdi 6 bit

33 0.0110.011 0.00010.000111

44 0.1000.100 0.00100.001000

77 0.1110.111 0.00110.001111

-3-3 1.1011.101 1.11101.111011

-4-4 1.1001.100 1.11101.111000

-7-7 1.0011.001 1.11001.110011

A.S.E.A.S.E. 7.7.66

OverfloWOverfloW• Parola di 4 bit Parola di 4 bit • 3 + 4 = 73 + 4 = 7 5 + (-3) = 25 + (-3) = 2 (-5) + 3 = (-(-5) + 3 = (-

2)2)

• (- 4) +(-3) = -7 (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 6 + 5 =11 (-6) + (-5) (-6) + (-5) =(-11)=(-11)

00 00 00 00

00 00 11 11

00 11 00 00

00 11 11 11

11 11 00 11

00 11 00 11

11 11 00 11

11 00 00 11 00

00 11 00 00

00 11 11 00

00 11 00 11

11 00 11 11

00 00 11 11

11 00 11 11

00 00 11 11

11 11 11 00

11 11 00 00

11 11 00 00

11 11 00 11

11 11 00 00 11

11 00 11 00

11 00 11 00

11 00 11 11

11 00 11 00 11

1 nn ccOv

A.S.E.A.S.E. 7.7.77

CODICICODICI

• Numeri binarii OK per sistemi elettronici Numeri binarii OK per sistemi elettronici digitalidigitali

• Numeri decimali OK per sistema “uomo”Numeri decimali OK per sistema “uomo”• Necessità di rappresentare anche non Necessità di rappresentare anche non

numerinumeri• Codifica binaria di informazioni varieCodifica binaria di informazioni varie• EsempioEsempio

– Codifica binaria di numeri decimaliCodifica binaria di numeri decimali

A.S.E.A.S.E. 7.7.88

BCD (BCD (Binary-Coded Decimal Binary-Coded Decimal numbersnumbers))

• Necessità di rappresentare i numeri Necessità di rappresentare i numeri decimali in codice binariodecimali in codice binario

• 8421 BCD8421 BCD• si codifica in binario ciascuna cifra decimale si codifica in binario ciascuna cifra decimale

utilizzando i primi 10 numeri binari su 4 bitutilizzando i primi 10 numeri binari su 4 bit• EsempioEsempio

• 4534531010

• 010001010011010001010011• è possibile eseguire somme e sottrazioni in è possibile eseguire somme e sottrazioni in

BCDBCD

001101010100354

A.S.E.A.S.E. 7.7.99

Altri codici (1)Altri codici (1)

• Codici decimali pesatiCodici decimali pesati

B10B10 C9C9 84218421 24212421 54215421 50432150432100

00 99 00000000 00000000 00000000 01000001000011

11 88 00010001 00010001 00010001 01000101000100

22 77 00100010 00100010 00100010 01001001001000

33 66 00110011 00110011 00110011 01010001010000

44 55 01000100 01000100 01000100 01100001100000

55 44 01010101 10111011 10001000 10000010000011

66 33 01100110 11001100 10011001 10000110000100

77 22 01110111 11011101 10101010 10001010001000

88 11 10001000 11101110 10111011 10010010010000

99 00 10011001 11111111 11001100 10100010100000

A.S.E.A.S.E. 7.7.1010

Altri codici (2)Altri codici (2)

• Codici decimali non pesatiCodici decimali non pesati

B10B10 Eccesso a 3Eccesso a 3 2 su 52 su 5

00 00110011 1100011000

11 01000100 0001100011

22 01010101 0010100101

33 01100110 0011000110

44 01110111 0100101001

55 10001000 0101001010

66 10011001 0110001100

77 10101010 1000110001

88 10111011 1001010010

99 11001100 1010010100

A.S.E.A.S.E. 7.7.1111

BCD – Sette SegmentiBCD – Sette Segmenti

• Per visualizzare le cifre decimali si usa Per visualizzare le cifre decimali si usa frequentemente un Display a sette frequentemente un Display a sette segmentisegmenti

• È possibile realizzare un codificatore È possibile realizzare un codificatore • BCD SETTE SEGMENTIBCD SETTE SEGMENTI

a

b

ce

f

d

g

A.S.E.A.S.E. 7.7.1212

Tabella di “Corrispondenze”Tabella di “Corrispondenze”

• La tabella risultaLa tabella risulta88 44 22 11 aa bb cc dd ee ff gg

00 00 00 00 00 11 11 11 11 11 11 00

11 00 00 00 11 00 11 11 00 00 00 00

22 00 00 11 00 11 11 00 11 11 00 11

33 00 00 11 11 11 11 11 11 00 00 11

44 00 11 00 00 00 11 11 00 00 11 11

55 00 11 00 11 11 00 11 11 00 11 11

66 00 11 11 00 11 00 11 11 11 11 11

77 00 11 11 11 11 11 11 00 00 11 00

88 11 00 00 00 11 11 11 11 11 11 11

99 11 00 00 11 11 11 11 11 00 11 11

A.S.E.A.S.E. 7.7.1313

Interi AssolutiInteri Assoluti

• Base 2Base 2• Dinamica Dinamica • dati “N” bitdati “N” bit

• Esempio N = 8Esempio N = 8012 WN

Base 10Base 10 Base 2Base 2

0 0 0000000000000000

1616 0001000000010000

9595 0101111101011111

255255 1111111111111111

A.S.E.A.S.E. 7.7.1414

Somma di Interi AssolutiSomma di Interi Assoluti• N = 8N = 8

Base 10Base 10 Base 2Base 2

43+43+

25=25=

68 . 68 .

0111011001110110

0010101100101011

0001100100011001

0100010001000100

139+139+

141=141=

280. 280.

110001111000111100

1000101110001011

1000110110001101

110001100000110000

Il carry N+1 indica l’overflow

La somma di due numeri di N bit è rappresentabile sempre su N + 1 bit

24

A.S.E.A.S.E. 7.7.1515

Sottrazione di Interi AssolutiSottrazione di Interi Assoluti• N = 8N = 8

Base 10Base 10 Base 2Base 2

143+143+

86=86=

57 . 57 .

1111000011110000

1000111110001111

0101011001010110

0011100100111001

95+95+

141=141=

-46. -46.

110000000000000000

0101111101011111

1000110110001101

111101001110100100

Il borrow N+1 indica l’errore

210

A.S.E.A.S.E. 7.7.1616

Prodotto di Interi AssolutiProdotto di Interi Assoluti

• N = 5N = 5 Base 10Base 10 Base 2Base 2

19 x19 x23 =23 =57 . 57 . 380 .380 .

437 . 437 .

100111001110111101111001110011

10011010011010011001001100

0000000000000000100110000100110000011011010011011010

11

Il prodotto di due numeri su N bit è rappresentabile su 2N bit

121221212 2)1(2 NNNNN

A.S.E.A.S.E. 7.7.1717

Interi RelativiInteri Relativi

• Complemento a 2Complemento a 2• Dinamica Dinamica • dati “N” bitdati “N” bit

• Esempio N = 8 (+127 > W > -128)Esempio N = 8 (+127 > W > -128)

11 2'12 NN W

NWW N

22'

Base 10Base 10 Base 2 C-Base 2 C-22

87 87 256+87=34256+87=3433

0101011010101111

-123-123 256-256-123=133123=133

1000010100001011

A.S.E.A.S.E. 7.7.1818

Complemento a 2Complemento a 2

• Primo metodoPrimo metodo• Applicare la definizioneApplicare la definizione

• Secondo metodoSecondo metodo• complemento bit a bit più 1complemento bit a bit più 1

NWW N

22'

1010100111010100087

0101011187

A.S.E.A.S.E. 7.7.1919

Somma di Interi Relativi (C-2)Somma di Interi Relativi (C-2)• Se non c’è overflow la somma è sempre Se non c’è overflow la somma è sempre

correttacorretta– W’ rappresentazione di W in C-2W’ rappresentazione di W in C-2– Z’ rappresentazione di Z in C-2Z’ rappresentazione di Z in C-2

NNNNZWZWZW NNN

2222222''

Base 10Base 10 Base 2Base 2

43+43+

25=25=

68 . 68 .

0111011001110110

0010101100101011

0001100100011001

0100010001000100

Base 10Base 10 Base 2Base 2

43+43+

-25=-25=

18 . 18 .

111101111110111100

0010101100101011

1110011111100111

0001001000010010

A.S.E.A.S.E. 7.7.2020

Sottrazione di Interi Relativi (C-Sottrazione di Interi Relativi (C-2)2)

• Coincide con la sommaCoincide con la somma

A.S.E.A.S.E. 7.7.2121

Prodotto di Interi Relativi (C-2)Prodotto di Interi Relativi (C-2)

• N = 5N = 5 Base 10Base 10 Base 2 (C-Base 2 (C-2)2)

14 x14 x-13 =-13 =

42 .42 .14 .14 .

-182 . -182 .

011100111010011100110111001110

01110001110000000000000000

0000000000000000011100000011100000010000101010000101

00

Il prodotto di due numeri in C-2 non torna per i numeri negativi

ZWZWZW NNNN 2222 2

A.S.E.A.S.E. 7.7.2222

Prodotto di Interi Relativi (C-2)Prodotto di Interi Relativi (C-2)

• N=5 Estensione a 10N=5 Estensione a 10 Base 10Base 10 Base 2 (C-Base 2 (C-2)2)

-13 x-13 x14 =14 =42 .42 .

14 .14 .-182 . -182 .

11111100111111100111

00000011100000011100

00000000000000000000

11111001111111001100

11110011011110011000

11100110011100110000

00000000000000000000

11010010111010010100

Il prodotto di due numeri in C-2 torna se si estende larappresentazione a 2N bit

NN

NN

ZWZWZWZW

ZWZWWZW

NNNNN

NNN

22

22

2

2

2

2422

2

2

2

22

22222

222

A.S.E.A.S.E. 7.7.2323

Errori di rappresentazione 1Errori di rappresentazione 1

• In generale, la rappresentazione con un In generale, la rappresentazione con un numero numero finitofinito di cifre di un numero reale di cifre di un numero reale introduce erroreintroduce errore

• Se lavoriamo con interi, possiamo convertire Se lavoriamo con interi, possiamo convertire un numero decimale attraverso un numero decimale attraverso l’arrotondamento o il troncamentol’arrotondamento o il troncamento

• Per numeri frazionari si procede in maniera Per numeri frazionari si procede in maniera analogaanaloga– 11.6531 su 2 cifre decimali 11.6531 su 2 cifre decimali 11.65 (sia arr. che 11.65 (sia arr. che

tronc.) tronc.)

11.611.611 (troncato) 11 (troncato) =>=> 10111011

12 (arrotondato)12 (arrotondato) =>=> 11001100

A.S.E.A.S.E. 7.7.2424

Errori di rappresentazione 2Errori di rappresentazione 2

• Per i numeri negativi si applica la stessa Per i numeri negativi si applica la stessa definizione (si tronca verso -definizione (si tronca verso -))

• Va bene anche in complemento a 2Va bene anche in complemento a 21 2 3 4 5

-1

0Errore di Troncamento

X-5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

-0.5

0.5

Errore di arrotondamento

X

-5 -4 -3 -2 -1

A.S.E.A.S.E. 7.7.2525

Errori di rappresentazione 3Errori di rappresentazione 3• Detta xDetta x** la rappresentazione di x, si definiscono la rappresentazione di x, si definiscono

due errori:due errori:– Errore Errore assolutoassoluto: : AA=|x-x=|x-x**||

– Errore Errore relativorelativo: : RR=|x-x=|x-x**|/|x||/|x|

• Supponiamo di operare con 4 cifre decimaleSupponiamo di operare con 4 cifre decimale (n = (n = – 314.1592 314.1592 AA=0.00265, =0.00265, RR=8.446 10=8.446 10-7-7

(n = (n = – 3.1415 3.1415 AA=9.265 10=9.265 10-5-5, , RR=2.949 10=2.949 10-5-5

• Inoltre, supponiamo di voler rappresentare Inoltre, supponiamo di voler rappresentare distanze per uso scientifico:distanze per uso scientifico:– Atomi: 10Atomi: 10-10-10mm– Galassie: 10Galassie: 102121mm

A.S.E.A.S.E. 7.7.2626

Virgola mobile 1Virgola mobile 1

• Dato un generico numero reale W*Dato un generico numero reale W*

• Si può rappresentare in complemento a Si può rappresentare in complemento a due con N bit utilizzando W tale che:due con N bit utilizzando W tale che:

• Esempio N = 10 (+esponente 6 bit)Esempio N = 10 (+esponente 6 bit)

1*1 222 NExN WW

7028747135259045235367182818284.2* eW

11100101010110117109.22347

11110000001010116875.2243

00000000000000100000.222

7

4

0

W

W

W

mantissa esponente

A.S.E.A.S.E. 7.7.2727

Virgola mobile 2Virgola mobile 2

• Fra tutte le rappresentazioni possibili ne Fra tutte le rappresentazioni possibili ne esiste una che utilizza al meglio la esiste una che utilizza al meglio la dinamica a disposizione ( minimo errore)dinamica a disposizione ( minimo errore)

• Per numeri positivi èPer numeri positivi è

• Per numeri negativi èPer numeri negativi è

511)W256 10 Nper (22 12 NN W

11100101010110117109.22347 7 W

)255W512- 10 Nper (22 21 NN W

A.S.E.A.S.E. 7.7.2828

Virgola mobile 3Virgola mobile 3

• La rappresentazione normalizzata è La rappresentazione normalizzata è caratterizzata dal fatto che le due cifre caratterizzata dal fatto che le due cifre più significative sono diversepiù significative sono diverse

• Esempio rappresentare Esempio rappresentare su 10 bit su 10 bit

77

0

201100100104022Int

tanormalizza azioneRappresent

7

)256128(65.162511

51151210per dinamica

E

kk

ZN

A.S.E.A.S.E. 7.7.2929

Virgola mobile 4Virgola mobile 4

• Esempio rappresentare -Esempio rappresentare - su 10 bit su 10 bit

7

77

0

21001101110

201100100104022Int

tanormalizza azioneRappresent

7

)256128(9.162512

51151210per dinamica

E

kk

ZN

A.S.E.A.S.E. 7.7.3030

Aritmetica in Virgola MobileAritmetica in Virgola Mobile

• Consideriamo X=XConsideriamo X=XMMxBxBXEXE

• Somma Z = X+Y=(XSomma Z = X+Y=(XMM2 2 XE-YEXE-YE +Y +YMM)x2)x2YEYE

• Sottrazione Z = X-Y=(XSottrazione Z = X-Y=(XMM22XE-YEXE-YE-Y-YMM)x2)x2YEYE

• Moltiplicazione Z = XxY=(XMoltiplicazione Z = XxY=(XMMxYxYMM)x2)x2XE+YEXE+YE

• Divisione Z = X÷Y=(XDivisione Z = X÷Y=(XMM÷Y÷YMM)x2)x2XE-YEXE-YE

• Somma e sottrazione sono più complesse Somma e sottrazione sono più complesse di moltiplicazione e divisione!di moltiplicazione e divisione!– Occorre allineare gli esponenti prima di Occorre allineare gli esponenti prima di

effettuare l’operazioneeffettuare l’operazione

A.S.E.A.S.E. 7.7.3131

Somma in virgola mobileSomma in virgola mobile

• calcolare calcolare + ln59 =3.1415 + + ln59 =3.1415 + 4.0775=7.2194.0775=7.219

2031.72461

20011001001010000010059ln

20100000100226059ln

65.12559ln/512

20110010010

6

6

66

0

7

E

A.S.E.A.S.E. 7.7.3232

Prodotto in virgola mobileProdotto in virgola mobile

• calcolare calcolare ∙ ln59 =3.1415 ∙ ∙ ln59 =3.1415 ∙ 4.0775=12.80994.0775=12.8099

6875.122406220110010110

20110010010010000010059ln

2010000010059ln

20110010010

5138

67

6

7

A.S.E.A.S.E. 7.7.3333

ErroreErrore

• Nella rappresentazione in virgola fissa Nella rappresentazione in virgola fissa l’errore e assoluto (± 0.5)l’errore e assoluto (± 0.5)

• Nella rappresentazione in virgola mobile Nella rappresentazione in virgola mobile l’errore è relativol’errore è relativo

A.S.E.A.S.E. 7.7.3434

ConclusioniConclusioni

• Interi assolutiInteri assoluti• Somma, sottrazioneSomma, sottrazione• Moltiplicazione, Moltiplicazione,

• Interi relativi Interi relativi • Somma, sottrazioneSomma, sottrazione• MoltiplicazioneMoltiplicazione

• Aritmetica in virgola mobileAritmetica in virgola mobile• Rappresentazione normalizzataRappresentazione normalizzata• Somma in virgola mobileSomma in virgola mobile• Prodotto in virgola mobileProdotto in virgola mobile