(LA FUNZIONE SENO – LA FUNZIONE COSENO – LA … 19... · LA FUNZIONE SENO – LA FUNZIONE COSENO – LA FUNZIONE TANGENTE A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia Redatti e pubblicati

CLASSE 3^D LA FUNZIONE SENO – LA FUNZIONE COSENO – LA FUNZIONE TANGENTE

A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia Redatti e pubblicati in data 23/11/10

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APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 19/11/10

(LA FUNZIONE SENO – LA FUNZIONE COSENO – LA FUNZIONE TANGENTE)

F La funzione “seno” associa ad un angolo x, misurato in radianti, il suo seno,

ovvero

( )( )

( ) [ ] CDfCD

senxysenxx

⊂−=

+∞∞−=

+∞∞−=

=

1;1;;

osserviamo che: se l’angolo viene assunto misurato in radianti, allora la sua ampiezza è un numero reale e sappiamo tra l’altro che, sulla circonferenza goniometrica, l’angolo al centro, misurato in radianti, si identifica con l’arco che insiste su di esso; dunque si può parlare indifferentemente di angolo o di arco

possiamo parlare di seno dell’angolo α o di seno dell’arco l; in entrambi i casi, il seno è, sulla circonferenza goniometrica, l’ordinata del punto B.



2

Il DOMINIO della funzione seno è l’insieme ℜ dei numeri reali, il CODOMINIO della funzione seno è l’insieme ℜ dei numeri reali, l’INSIEME DELLE IMMAGINI della funzione seno è l’intervallo chiuso [ ]1;1− sottoinsieme di ℜ . Per passare dalla misura di un angolo in gradi sessagesimali alla misura dello stesso angolo in radianti moltiplichiamo l’ampiezza dell’angolo in gradi per il fattore di conversione

°180π ; costruiamo allora la tabella di conversione da gradi a radianti degli

angoli fondamentali (multipli di 30° e di 45°): Angolo in gradi Angolo in radianti 0° 0

30° 6π

45° 4π

60° 3π

90° 2π

120° π32

135° π43

150° π65

180° π

210° π67

225° π45

240° π34

270° π23

300° π35

315° π47

330° π611

360° π2



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Vogliamo ora tracciare il grafico della funzione seno, nell’intervallo fondamentale [ ]π2;0 : riportiamo sull’asse delle ascisse il valore dell’angolo in radianti ed sull’asse delle ordinate il corrispondente valore del seno; possiamo costruirci la tabella dei punti utilizzati per tracciare l’andamento del grafico: questi punti avranno per ascissa l’ampiezza in radianti di un angolo fondamentale e per ordinata il corrispondente seno: x senx punto 0 0 O

6π

21 A

4π

22 B

3π

23 C

2π 1 D

π32

23 E

π43

22 F

π65

21 G

π 0 H

π67

21

− I

π45

22

− L

π34

23

− M

π23 1− N

π35

23

− P

π47

22

− Q

π611

21

− R

π2 0 S



4

Congiungiamo i punti della tabella ed otteniamo la sinusoide fondamentale. Caratteristiche della funzione seno:

F la funzione seno è limitata, ovvero 11 ≤≤− senx F la funzione seno è periodica, di periodo π2 , ovvero senxkxsen =+ )2( π

con Zk ∈ ; questo significa che la sinusoide fondamentale si ripete identicamente in ogni intervallo a sinistra dell’intervallo fondamentale o a destra dell’intervallo fondamentale, di ampiezza π2 .



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F La funzione “coseno” associa ad un angolo x, misurato in radianti, il suo coseno, ovvero

( )( )

( ) [ ] CDfCD

xyxx

⊂−=

+∞∞−=

+∞∞−=

=

1;1;;

coscos

possiamo parlare di coseno dell’angolo α o di coseno dell’arco l; in entrambi i casi, il coseno è, sulla circonferenza goniometrica, l’ascissa del punto B. Il DOMINIO della funzione coseno è l’insieme ℜ dei numeri reali, il CODOMINIO della funzione coseno è l’insieme ℜ dei numeri reali, l’INSIEME DELLE IMMAGINI della funzione coseno è l’intervallo chiuso [ ]1;1− sottoinsieme di ℜ .



6

Vogliamo ora tracciare il grafico della funzione coseno, nell’intervallo fondamentale [ ]π2;0 : riportiamo sull’asse delle ascisse il valore dell’angolo in radianti ed sull’asse delle ordinate il corrispondente valore del coseno; possiamo costruirci la tabella dei punti utilizzati per tracciare l’andamento del grafico: questi punti avranno per ascissa l’ampiezza in radianti di un angolo fondamentale e per ordinata il corrispondente coseno x xcos punto 0 1 O

6π

23 A

4π

22 B

3π

21 C

2π 0 D

π32

21

− E

π43

22

− F

π65

23

− G

π -1 H

π67

23

− I

π45

22

− L

π34

21

− M

π23 0 N

π35

21 P

π47

22 Q

π611

23 R

π2 1 S



7

Congiungiamo i punti della tabella ed otteniamo la cosinusoide fondamentale. Caratteristiche della funzione coseno:

F la funzione coseno è limitata, ovvero 1cos1 ≤≤− x F la funzione coseno è periodica, di periodo π2 , ovvero xkx cos)2cos( =+ π

con Zk ∈ ; questo significa che la cosinusoide fondamentale si ripete identicamente in ogni intervallo a sinistra dell’intervallo fondamentale o a destra dell’intervallo fondamentale, di ampiezza π2 .



8

Riportiamo ora sullo stesso riferimento cartesiano la sinusoide fondamentale e la cosinusoide fondamentale:

è evidente che

xysenxy

senxyxy

v

v

cos

cos

0;2

0;2

=⎯⎯⎯ →⎯=

=⎯⎯ →⎯=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

π

π

ovvero la funzione seno è ottenibile, per traslazione, dalla funzione coseno, e viceversa.



9

F La funzione “tangente” associa ad un angolo x, misurato in radianti, la sua tangente, ovvero

( )

( )( ) ( ) CDfC

ZkkxxD

tgxytgxx

⊆+∞∞−=

+∞∞−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+≠ℜ∈=

=

;;

,2

12/ π

possiamo parlare della tangente dell’angolo α o della tangente dell’arco l; in entrambi i casi, la tangente è, sulla circonferenza goniometrica, l’ordinata del punto T. Il DOMINIO della funzione tangente è l’insieme ℜ dei numeri reali privato dei valori ( ) Zkk ∈+ ,

212 π , il CODOMINIO della funzione tangente è l’insieme ℜ dei

numeri reali, l’INSIEME DELLE IMMAGINI della funzione tangente è l’insieme ℜ dei numeri reali. Vogliamo ora tracciare il grafico della funzione tangente, nell’intervallo [ ]π2;0 : riportiamo sull’asse delle ascisse il valore dell’angolo in radianti ed sull’asse delle ordinate il corrispondente valore della tangente; possiamo costruirci la tabella dei punti utilizzati per tracciare l’andamento del grafico: questi punti avranno per ascissa l’ampiezza in radianti di un angolo fondamentale e per ordinata la corrispondente tangente:



10

x tgx punto 0 0 O

6π

33 A

4π 1 B

3π 3 C

2π non

esiste

π32 3− D

π43 -1 E

π65

33

− F

π 0 G

π67

33 H

π45 1 I

π34 3 L

π23 non

esiste

π35 3− M

π47 -1 N

π611

33

− P

π2 0 Q



11

Per rappresentare la tangentoide fondamentale, assumiamo come intervallo

fondamentale ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−2;2ππ ; dunque



12

Caratteristiche della funzione tangente: F la funzione tangente è illimitata F la funzione tangente è periodica, di periodo π , ovvero tgxkxtg =+ )( π

con Zk ∈ ; questo significa che la tangentoide fondamentale si ripete identicamente in ogni intervallo a sinistra dell’intervallo fondamentale

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−2;2ππ o a destra dell’intervallo fondamentale ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−2;2ππ , di ampiezza π .

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