Kvantová mechanika stručne

Robert Redhammer

Bratislava, 2002

Slovenská technická univerzita v BratislaveFakulta elektrotechniky a informatiky

Obsah

• Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky

• Viazané stavy - kvantová jama

• Tunelovanie

Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky I• Kvantové vlastnosti žiarenia

• Vlnové vlastnosti častíc

• Analógia s optikou

• Vlnová funkcia

• Schrödingerova rovnica

Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky II• Operátory a stredné hodnoty

merateľných veličín• Bornova pravdepodobnostná

interpretácia vlnovej funkcie• Vlastnosti vlnových funkcií• Princíp superpozície • Rovnica kontinuity• Heisenbergov princíp neurčitosti

Kvantové vlastnosti žiarenia

Svetlo - elektromagnetické vlnenie (ω, λ)

- energetických kvánt - fotónov=častíc (E, p)

Planckova konštanta

základná kvantita určujúca miery kvantových javov

kp

orovo vekt2

h

phE

2/ Js,10x 626.6 -34 hh

Vlnové vlastnosti častíc

• Voľná častica: –moment p = mv –kinetickou energiou E = p2/2m

• Vlnenie:–de Broglieho vlnová dĺžka: = h/p–kruhová frekvencia a vlnovým vektorom k

pk1

1

E

Vlnové vlastnosti častíc

De Broglieho vlnu voľnej častice možno potom opísať ako rovinnú postupujúcu vlnu

Vlna nie je hmotnou - len opisuje vlastnosti správania sa častice!!!

pxEt

itx

exp

2

1,

Analógia s optikou

intenzita elektrického poľa postupujúcej vlny :

uhlová frekvencia a vlnová dĺžka λ

kxtiEtxEk exp, 0

c

kc2

Vlnová funkcia voľnej častice

komplexná vlnová funkca (r) napr. elektrónu:

Riešením akej rovnice je táto funkcia?

)(exp),( p.rr t

iCt

Schrödingerova rovnica

Vlnová rovnica komplexnej vlnovej funkcie

kde

)r()r()r(2

2

EVm

2

2

2

2

2

2

zyx

Schrödingerova rovnica II

Jednoduchší zápis

kde

je Hamiltonián, Hamiltonov operátor.

EH

rH Vm

2

ˆ2

Hamiltonián

Hamiltonán je Hermitovský operátor

Riešenie Schrödingerovej rovnice – vlnová funkcia je vlastná funkcia operátora.

Časovo závislá Schrödingerova rovnica Časovo závislá Schrödingerova rovnica

Riešenie rovnice

=> Separácia premenných

),()(),(2

),(22

txxVtxxm

txt

i

xiEttx exp,

Operátory a stredné hodnoty merateľných veličín

xix

p

yz

zyix

1ˆˆ LL

mm 22

ˆ22 p

Wk

r2

H2

Vm

priestorová súradnicax = x

zložka hybnosti

zložka momentu hybnosti

kinetická energia

Hamiltonián

Pravdepodobnostná interpretácia

Konštrukcia pokusu s interferenčným obrazcom

Prechod častíc cez dvojštrbinu

• Interferenčný obraz zodpovedá interferenčnému obrazu rovinnej vlny s vlnovou dĺžkou =h/p.

• Interferenčný obrazec nezávisí od intenzity zväzku - nie je dôsledkom vzájomnej interferencie elektrónov

• Každý elektrón vyvolá jedno bodové sčernenie - obrazec je súčtom sčernení spôsobených jednotlivými elektrónmi.

Pravdepodobnostná interpretácia

(r) amplitúda pravdepodobnostnej vlny (nie amplitúda hmotnej vlny)

|(r)|2 hustota pravdepodobnosti výskytu častice v bode r a v elemente d = d3r

|(r)|2d pravdepodobnosť výskytu častice v elemente d

Vlastnosti vlnových funkcií

1. Kvadraticky integrovateľné

2. Normovateľné

3. Ortogonálne

Spolu ... ortonormálne.

1)()(1 *

2dxxx

c

Princíp superpozície

Pre riešenia rovnice

je aj lineárna kombinácia

riešením rovnice, pričom cn sú komplexné čísla – váhovacie koeficienty.

n

nn xcx

nnn A A

rrr dc nn

Ortogonálnosť

znamená

kde Kroneckerová delta

nmmn dxxx )()(*

m=n pre 1

mn pre 0 nm

Rovnica kontinuity

Platí pre riešenia Schrödingerovej rovnice

kde

je hustota pravdepodobnosti a

je hustota toku (pravdepodobnosti)

0. jt

2, tr

**

2,

imt

rj

Vlnový balík

Superpozícia rovinných postupujúcich vĺn

vyhovuje pre opis priestorovo lokalizovanej častice.

kk

kk

dkikxkcx0

0

exp

Heisenbergov princíp neurčitosti

Súčin neurčitosti polohy a hybnosti

kde x2, p2, E2 a t2 sú stredné kvadratické odchýlky polohy, impulzu, energie a času.

Dôsledok vlnovej povahy!

4

4

222

222

tEpx

Viazané stavy - kvantová jama

Nekonečne hlboká pravouhlá kvantová jama Hľadáme riešenie Schrödingerovej rovnice

pre potenciálový profildxV 0 pre 0

ináč V

xEdx

xd

m

2

22

2

x0

V

0d

Okrajové podmienky

0da 00

Ponúkané riešenie

Matematický problém vlastných čísiel, skúsme riešenie napr. v tvare

kde

m je hmotnosť, E je celková energia.

xBxAx cossin

mE2

Dané okrajové podmienky

Prvá je splnená ak B = 0

a dosadením do druhej okrajovej podmienky

Parameter α je vlastné číslo

xA sin

ndn

Vlastné stavy

Dosadením za α máme vlastné energie

a vlastné funkcie

22

22

2n

mdEn

dxxd

nAxn

0 pre sin

0xn

Normovacia podmienka

dáva vyjadrenie pre koeficient A, teda

je sústava vlnových rovníc.

d

dxx0

2 1)(

,...3,2,1 pre sin2

nx

d

n

dxn

Tvar vlnových funkcií

0 d x

(x)

Konečná pravouhlá kvantová jama

Potenciálový profil

xd/2

V0

-d/2

V

0

2/ 0

2/ pre 00dxxV

dxVxV

Schrödingerova rovnica

pre hodnoty v rozmedzí

)()()()(2 2

2xExxVx

xm

0 0 xVEVxV

prepíšem rovnicu do tvaru kde (39)

a mimo jamykde (40)

022

2 ii

i

dx

d

022 2

VEm

022

2 ii

i

dx

d

Em2

2 2