KVADRATICKÁ FUNKCIA

Mgr. Jozef Vozár 2007

Definícia

Kvadratickou funkciou budeme nazývať každú funkciu určenú vzťahom:

f: y = ax2 + bx + c

kde a,b,c sú z R a okrem toho a<>0.

Grafom kvadratickej funkcie je parabola.

Tvary kvadratickej funkcie

f: y = x2

x -3 -2 -1 0 1 2

x2 9 4 1 0 1 2

Graf f: y = x2

0

12

3

45

6

7

89

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Funkcia f: y = ax2

a = 2

Funkcia f: y = ax2

a = 2

a = 3

Funkcia f: y = ax2

a = 2

a = 3

a = 4

Funkcia f: y = ax2

a = - 2

Funkcia f: y = ax2

a = - 2

a = - 3

Funkcia f: y = ax2

a = - 2

a = - 3

a = - 4

Graf f: y = (x – B)2

A = 2

B = 1

Graf f: y = A(x – B)2

A = 2

B = 1

B = -2

Graf f: y = A(x – B)2 + C

B = -2

C = - 3

Vplyv koeficientov na tvar grafu

f: y = 2( x + 2)2 – 3

f: y = A( x + B)2 + C

A – má vplyv na „rýchlosť“ rastu funkcie

B - posúva graf po osi x ( + vľavo, - vpravo)

C - posúva graf po osi y ( + hore, - dole)

Vplyv koeficientov na tvar grafu

Úprava na úplný štvorec

Úplným štvorcom voláme výraz

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

alebo

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Úprava na úplný štvorec - príklady

x2 – 4x + 4

x2 – 2.2x + 4 = (x – 2)2

x2 – 5x + 9

x2 – 2.2,5x + 2,52 - 6,25 + 9 =

= (x – 2,5)2 +2,75

Úprava na úplný štvorec - príklady

2x2 – 5x +12

2(x2 - 5/2x + 6) =

=2(x – 2.5/4x + 25/16 – 25/16 + 6) =

2((x – 5/4)2 – 25/16 + 96/16)=

= 2 (x – 5/4)2 – 71/8

Úprava na úplný štvorec - všeobecneax2 + bx + c

a(x2 + b/ax + c/a)=

= a(x2 + 2.b/2a.x + (b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a)=

a((x + b/2a)2 - (b/2a)2 +c/a))=

= a((x + b/2a)2 + (b2 -4ac)/4a2)=

= a(x + b/2a)2 + (b2 - 4ac)/4a

Diskriminant

Výraz:

D = b2 - 4ac

nazývame diskriminat

( z lat. discriminare – rozlišovať)

Využitie pri kvadratickej funkcii

ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + (b2 - 4ac)/4a

ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a

Takto je možné nakresliť graf kvadratickej funkcie

f: y = ax2 + bx + c

Nakresli graf funkcie

f: y = 3x2 + 4x + 5

f: y = 3(x + 2/3)2 + 11/3

A = 3

B = 2/3 - doľava

C = 11/3 - hore

Základná fcia

Základná fcia f:y=x2

Posunutie po osiach

Vlastnosti

Na grafe sa dá rozoznať výrazný bod – extrém funkcie ak a> 0 - minimum

a< 0 – maximum

Hodnotu výrazu

ax2 + bx + c =a(x + b/2a)2 + D/4a

určuje výraz v zátvorke.

Takže ak a>0 je najmenšia hodnota výrazu D/4a a to je vtedy ak x = -b/2a.

Vrchol paraboly

Ak a<0 potom najväčšia hodnota výrazu je ak x = -b/2a a je D/4a.

Toto sú vlastne extrémy.

Bod v ktorom je extrém sa nazýva vrchol paraboly. Podľa predchádzajúcich výpočtov má teda súradnice:

V[-b/2a ; D/4a] = [-b/2a ; (b2 - 4ac) /4a]