1Funkcie dvoch premenných

Základné pojmy

Definícia 4.1: Nech R×R= R2 oznacuje množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych císela nech M ⊂ R2 .

• Funkcia f dvoch premenných: priradenie f : M→ R , ktoré každej dvojici reálnych císel(x,y) ∈M priradí práve jedno reálne císlo z = f (x,y) .

• Definicný obor funkcie f (ozn. D f ): najväcšia podmnožina D f ⊂ R2 , pre ktorú je prirade-nie (x,y) 7→ z = f (x,y) korektne matematicky definované.

• Vrstevnica funkcie f prislúchajúca výške c : množina bodov (x,y) v rovine, v ktorých máfunkcia z = f (x,y) konštantnú hodnotu, t.j. z = c , pre niektoré reálne císlo c .

Príklad: Nájdime a znázornime definicný obor funkcie

f (x,y) =1√

1− x2− y2a g(x,y) =

14−√xy

.

2Riešenie:

D f ={(x,y) ∈ R2 : 1− x2− y2 > 0

}teda D f =

{(x,y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1

}Dg =

{(x,y) ∈ R2 : xy≥ 0 a

√xy 6= 4

}teda Dg =

{(x,y) ∈ R2 : xy≥ 0 a xy 6= 16

}.

Príklad: Zistime a nakreslime niekol’ko vrtevníc funkcie

f (x,y) =√

4− x2− y2 a g(x,y) = 3− y2 .

Riešenie: Rovnica √4− x2− y2 = c

má riešenie len pre 0 ≤ c ≤ 2 . Ak c = 2 , tak riešenie rovnice x2 + y2 = 0 je bod (x,y) = (0,0)a preto vrstevnica je bod v priestore (x,y,z) = (0,0,2) . Ak 0 ≤ c < 2 , tak vrstevnica je kružnicax2 + y2 = 4− c2 .

Rovnica3− y2 = c

má riešenie len pre c ≤ 3 . Ak c = 3 , tak riešením rovnice 3− y2 = 3 sú body (x,0) , ktoré tvoriajednu priamku v rovine z = 3 . Ak c < 3 , tak vrstevnica je dvojica rovnobežných priamok

y =√

3− c a y =−√

3− c

v rovine z = c .

3Cvicenia

1. Zistite a znázornite definicné obory nasledujúcich funkcií:

3. Pomocou znázornenia niekol’kých vrstevníc sa pokúste nacrtnút’ grafy nasledujúcich funkcií:

Výsledky1.

a) R2 ; celá rovina

b) {(x,y);x2 + y2 ≤ 72} ; kruh so stredom v pociatku a polomerom 7.

c) {(x,y);1 ≤ x2 + y2 ≤ 3} ; medzikružie ohranicené kružnicami so stredom v pociatku a polo-mermi 1 a

√3 .

d) {(x,y); |x| ≥ |y|} ; cast’ roviny ohranicená priamkami y = x a y =−x a obsahujúca os x .

e) {(r, t); [r > 0 a − π

2 +2kπ < t < π

2 +2kπ] alebo [r < 0 a π

2 +2kπ < t < 3π

2 +2kπ]} ; sústava "strie-dajúcich"sa pásov v rovine.

f) {(u,v);u2/4+ v2/9 < 1} ;vnútro elipsy s poloosami 2 a 3.

g) {(a,b);4a2 +9b2 ≤ 1} ; elipsa s poloosami 1/2 a 1/3.

h) {(a,b);ab < 1} ;cast’ roviny ohranicená vetvami hyperboly b = 1/a a obsahujúca bod (0,0).

i) {(x,y);−1≤ 2x+ y≤ 1} ;pás ohranicený priamkami y =−1−2x a y = 1−2x obsahujúci bod(0,0).

j) {(x,y);x2 + y2 ≤ 12} spolu s {(x,y);−1

2 +2k ≤ x2 + y2 ≤ 12 +2k} pre k ≥ 1 ; sústava koncentric-

kých medzikruží.

43. Riešenia sú na obrázkoch 4.10 až 4.19.

5Limita a spojitost’

Definícia 4.2: Nech δ > 0 je l’ubovol’né císlo a (x0,y0) ∈ R2 .

• Štvorcové okolie bodu (x0,y0) : množina všetkých bodov (x,y) ∈ R2 , pre ktoré platí

x0−δ < x < x0 +δ a y0−δ < y < y0 +δ .

• Kruhové okolie bodu (x0,y0) : (ozn. Oδ(x0,y0) ) množina všetkých bodov (x,y) ∈ R2 , prektoré platí

(x− x0)2 +(y− y0)

2 < δ2 .

• Hromadný bod (x0,y0) množiny M : ak každé okolie (štvorcové alebo kruhové) bodu(x0,y0) obsahuje aspon jeden bod množiny M rôzny od (x0,y0) .

• Hovoríme, že funkcia f (x,y) má v hromadnom bode (x0,y0) definicného oboru D f limiturovnú L , co symbolicky zapisujeme v tvare

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x,y) = L

ak ku každému (jednorozmernému) okoliu O(L) bodu L existuje nejaké δ -okolie Oδ(x0,y0)bodu (x0,y0) také, že pre každý bod (x,y) ∈ Oδ(x0,y0)∩D f rôzny od (x0,y0) platí: f (x,y) ∈O(L) .

• Hovoríme, že funkcia f (x,y) je spojitá v hromadnom bode (x0,y0) definicného oboru D f ,ak

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x,y) = f (x0,y0) .

• Spojitá funkcia na množine M ⊂ D f : ak f (x,y) je spojitá v každom bode množiny M

6Vlastnosti limity a spojitosti funkcie:Nech lim

(x,y)→(x0,y0)f (x,y) = A a lim

(x,y)→(x0,y0)g(x,y) = B

• VLS1: lim(x,y)→(x0,y0)

c. f (x,y) = c.A , lim(x,y)→(x0,y0)

(f (x,y)±g(x,y)

)= A±B ,

• VLS2: lim(x,y)→(x0,y0)

f (x,y).g(x,y) = A.B , lim(x,y)→(x0,y0)

f (x,y)g(x,y)

=AB

,

• VLS3: Každá elementárna funkcia dvoch premenných (t.j. funkcia vytvorená z konecnéhopoctu polynómov, goniometrických, exponenciálnych fukncií a k nim inverzných funkciípoužitím algebraických operácií a operácie skladania funkcií) je automaticky spojitá v kaž-dom hromadnom bode svojho definicného oboru.

Metóda na výpocet limity:

• použitie algebraických úprav a vzorcov z funkcií jednej premennej.

Metódy na dôkaz neexistencie limity:Limita lim

(x,y)→(x0,y0)f (x,y) neexistuje, ak

• limx→x0

(lim

y→y0f (x,y)

)6= lim

y→y0

(lim

x→x0f (x,y)

)(tzv. dvojnásobné limity)

• existujú dve funkcie/krivky y = r(x) a y = s(x) také, že limx→x0

r(x) = limx→x0

s(x) = y0 (t.j. k bodu

(x0,y0) sa "blížime" po funkcii/krivke y = r(x) , resp. y = s(x) ), pricom

limx→x0

f (x,r(x)) 6= limx→x0

f (x,s(x))

(ciže funkcné hodnoty f (x,y) sa pozdlž kriviek y= r(x) a y= s(x) "blížia" k rôznym bodom).

Príklad: Dokážme, že limita funkcia f (x,y) =xy

x2 + y2 v bode (0,0) je iná, ak sa k bodu (0,0)

blížime po funkcii y = x , resp. po y =x2

.

7Riešenie:

f (x,x) =12

resp. f(

x,x2

)=

52

preto limx→0

f (x,x) =12

resp. limx→0

f(

x,x2

)=

52

Príklad: Dokážme, že ak sa k bodu (0,0) blížime po krivách y = kx , k ∈ R , tak limita funkcie

f (x,y) =x2 y

x4 + y2 v bode (0,0) sa nemení, ale ak sa k bodu (0,0) blížime po krivách y = kx2 , k ∈R ,

tak limita je závislá od parametra k .

Riešenie:

f (x,kx) =kx

x2 + k2 , preto limx→0

f (x,kx) = 0

f (x,kx2) =k

1+ k2 , preto limx→0

f (x,kx2) =k

1+ k2 , teda pre k = 1 je výsledok12

a pre k = 2 je25

.

8Cvicenia

4. Vypocítajte nasledujúce limity:

5. Pomocou výberu vhodných kriviek "približovania sa" k bodu (x0,y0) ukážte, že nasledujúcelimity neexistujú:

Výsledky4. a) 28 b) 0 c) 1/2 d) 1/3 e) -1/6 f) 16 g) 1 h) -4 i) 0 j) 1

5. a)-f): použite priamky y = kx , g)-j): použite paraboly y = kx2 .

Parciálne derivácie

Definícia 4.3: Nech funkcia z = f (x,y) je definovaná a spojitá na nejakom okolí bodu (x0,y0) .

• Parciálna derivácia funkcie f v bode (x0,y0) vzhl’adom na premennú x (ozn.∂ f∂x

(x0,y0)

alebo f ′x(x0,y0) ):∂ f∂x

(x0,y0) = limx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)

x− x0

• Parciálna derivácia funkcie f v bode (x0,y0) vzhl’adom na premennú y (ozn.∂ f∂y

(x0,y0)

alebo f ′y(x0,y0) ):∂ f∂y

(x0,y0) = limy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)

y− y0

9

Definicné obory parciálnych derivácií f ′x a f ′y sa nemusia zhodovat’ s definicným oborom funkcief .Pravidlo pocítania parciálnej derivácie podl’a niektorej premennej:

• Všetky ostatné premenné sa pre úcely derivovania považujú za konštanty.

Definícia 4.4:

• Diferencovatel’nost’ funkcie f v bode (x0,y0) : ak všetky parciálne derivácie sú spojitýmifunkciami v bode (x0,y0) ,

• Diferenciál funkcie f v bode (x0,y0) (ozn. d f (x0,y0) ): lineárna funkcia

d f (x0,y0) = f ′x(x0,y0)(x− x0

)+ f ′y(x0,y0)

(y− y0

)• Dotyková rovina funkcie f v bode (x0,y0) : rovina z = f (x0,y0)+d f (x0,y0)

Vlastnosti parciálnych derivácií a diferencovatel’ných funkcií:

• VPD1: f ′x(x0,y0) = tgβ , f ′y(x0,y0) = tgα

• VPD2: Pre funkcie diferencovatel’né v bode (x0,y0) platí rovnost’

f (x,y)− f (x0,y0) = d f (x0,y0)+ω(x,y)√(x− x0)2 +(y− y0)2 , kde lim

(x,y)→(x0,y0)ω(x,y) = 0

10• VPD3: Pre body (x,y) , ktoré sú "blízke" k bodu (x0,y0) (t.j. (x,y)→ (x0,y0) ), môžeme funkcnú

hodnotu f (x,y) aproximovat’ nasledovne:

f (x,y)≈ f (x0,y0)+d f (x0,y0)

• VPD4: Dotyková rovina funkcie f v bode (x0,y0) (teda táto špeciálna lineárna funkcia)aproximuje funkciu f v malom okolí bodu (x0,y0) .

Definícia 4.5:

• Parciálne derivácie druhého rádu funkcie f :

∂2 f∂x2 (x,y) =

∂

∂x

(∂ f∂x

(x,y))

∂2 f∂x∂y

(x,y) =∂

∂x

(∂ f∂y

(x,y))

∂2 f∂y2 (x,y) =

∂

∂y

(∂ f∂y

(x,y))

∂2 f∂y∂x

(x,y) =∂

∂y

(∂ f∂x

(x,y))

11Cvicenia

6. Vypocítajte všetky prvé parciálne derivácie:

10. Ukážte, že každá z nasledujúcich funkcií splna Laplaceovu rovnicu f ′′xx + f ′′yy + f ′′zz = 0 :

11. Ukážte, že pre l’ubovol’né konštanty a,b funkcia

u =1

2a√

πte−(x−b)2

4a2t

splna tzv.rovnicu pre šírenie tepla u′′xx =1a2 u′t

15. Zistite dotykové roviny ku daným plochám v daných bodoch B :

12Výsledky

6.

15.

13Extrémy funkcií dvoch premenných

Lokálne extrémyDefinícia 4.6: Nech funkcia z = f (x,y) je definovaná na množine D f .

• Funkcia f má v bode (x0,y0) ∈ D f lokálne maximum: ak existuje okolie Oδ(x0,y0) bodu(x0,y0) také, že

f (x,y)≤ f (x0,y0)

pre každý bod (x,y) ∈ Oδ(x0,y0)∩D f

• Funkcia f má v bode (x0,y0) ∈ D f lokálne minimum: ak existuje okolie Oδ(x0,y0) bodu(x0,y0) také, že

f (x,y)≥ f (x0,y0)

pre každý bod (x,y) ∈ Oδ(x0,y0)∩D f

• Lokálne extrémy: lokálne minimá a lokálne maximá

Vlastnosti lokálneho extrému:

• VLE1: Ak funkcia f má v bode (x0,y0) lokálny extrém, tak dotyková rovina v tomto bodebude rovnobežná so súradnicovou rovinou xy .

• VLE2: Ak funkcia f má v bode (x0,y0) lokálny extrém, tak

∂ f∂x

(x0,y0) = 0 a zároven∂ f∂y

(x0,y0) = 0 .

Definícia 4.7:

• Stacionárny bod funkcie f : bod (x0,y0) ∈ D f , pre ktorý platí vlastnost’ VLE2, t.j.

∂ f∂x

(x0,y0) = 0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Stacionárne body sú teda body, v ktorých funkcia môže (!!nemusí!!) mat’ extrém, t.j. sú "kandi-dátmi" na existenciu lokálneho extrému.

Definícia 4.8:

• Hessova matica funkcie f v bode (x0,y0) (ozn. H f (x0,y0) ):

H f (x0,y0) =

∂2 f∂x2 (ξ)

∂2 f∂x∂y

(ξ)

∂2 f∂x∂y

(ξ)∂2 f∂y2 (ξ)

, D = detH f (x0,y0) .

Postup pre zistenie existencie lokálneho extrému v stacionárnom bode:Nech (x0,y0) je stacionárny bod funkcie f . Potom platí, že

14

• ak D > 0 a∂2 f∂x2 (x0,y0)> 0 , tak v bode (x0,y0) má funkcia f lokálne minimum,

• ak D > 0 a∂2 f∂x2 (x0,y0)< 0 , tak v bode (x0,y0) má funkcia f lokálne mmaximum,

• ak D < 0 , tak v bode (x0,y0) funkcia f nemá extrém - tzv. sedlový bod .

Príklad: Nájdime všetky lokálne extrémy funkcie f (x,y) = 6x4 +3y4−3x2−6y2 +72

.

Riešenie:Stacionárne body, t.j. riešenie systému rovníc

∂ f∂x

= 24x3−6x = 0

∂ f∂y

= 12y3−12y = 0 ,

sú body

A = (0,0), B = (0,1), C = (0,−1), D =

(12,0), E =

(−1

2,0),

F =

(12,1), G =

(−1

2,−1

), H =

(12,−1

), I =

(−1

2,1).

Hessova matica v l’ubovol’nom bode (x,y)

H f (x,y) =(

72x2−6 00 36y2−12

).

Pre bod A = (0,0) dostaneme

H f (A) =(−6 00 −12

), teda D = 72 > 0 a

∂2 f∂x2 (A)< 0

15preto má funkcia f v tomto bode lokálne maximum.

V bodoch B = (0,1) a C = (0,−1) dostaneme

H f (B) = H f (C) =

(−6 00 24

), teda D =−144 < 0

preto funkcia v týchto bodoch lokálny extrém nenadobúda, je tam sedlový bod.

V bodoch D =(1

2 ,0), E =

(−1

2 ,0)

dostaneme

H f (D) = H f (E) =(

12 00 −12

), teda D =−144 < 0

preto funkcia v týchto bodoch lokálny extrém nenadobúda, je tam sedlový bod .

V bodoch F =(1

2 ,1), G =

(−1

2 ,−1), H =

(12 ,−1

), I =

(−1

2 ,1)

dostaneme

H f =

(12 00 24

), teda D = 288 > 0 a

∂2 f∂x2 > 0 v týchto bodoch ,

preto má funkcia f v týchto bodoch lokálne minimum.

Viazané extrémyDefinícia 4.9:

• Viazaný extrém funkcie f : extrém funkcie f na množine N , ktorá je daná vzt’ahomg(x,y) = 0 , tzv. väzbou

Metódy hl’adania viazaného extrému:

1. Z väzby možno vyjadrit’ jednu premennú.

Teda x =m(y) alebo y= k(x) . Ak dosadíme vyjadrenú premennú do funkcie z= f (x,y) , tak zredu-kujeme pocet premenných na jednu a riešime úlohu lokálneho extrému funkcie jednej premennej.

2. Z väzby nemožno vyjadrit’ žiadnu premennú.

Definujeme tzv. Lagrangeovu funkciu

L(x,y) = f (x,y)+λg(x,y)

s parametrom λ a budeme hl’adat’ lokálne extrémy tejto novej funkcie.Ak bod (x0,y0) ∈ N , s urcitým parametrom λ , je stacionárnym bodom funkcie L(x,y) ,t.j.

∂L∂x

(x0,y0) = 0∂L∂x

(x0,y0) = 0

pre (x0,y0) ∈ N , (g(x0,y0) = 0 ,) tak je stacionárnym bodom aj pre pôvodnú funkciu f .Ak funkcia L(x,y) má v stacionárnom bode lokálne minimum alebo lokálne maximum, tak má v

16

tomto bode pôvodná funkcia f viazané lokálne minimum, resp. viazané lokálne maximum.!!Ak má Lagrangeova funkcia v stacionárnom bode sedlový bod, tak o charaktere tohto bodu prefunkcie f neviem nic povedat’!!

Príklad: Nájdime viazané extrémy funkcie f (x,y) = xy s väzbou x+ y+2 = 0 .

Príklad: Nájdime viazané extrémy funkcie f (x,y) = x+ y s väzbou x2 + y2−1 = 0 .

17Príklad: Nájdime extrémy funkcie f (x,y) = 2+(x−2)2 +(y−1)2 na množine x2 + y2 ≤ 12 .

Cvicenia

16. Urcte stacionárne body, lokálne extrémy a sedlové body grafov nasledujúcich funkcií:

18. Lagrangeovou metódou urcte najmenšiu a najväcšiu hodnotu funkcie z = f (x,y) na krivkeg(x,y) = 0 , ak:

18Výsledky

16.

a) Stacionárny bod (3,2), v ktorom má funkcia lokálne minimum.

b) Stacionárny bod (-5,3), v ktorom má funkcia sedlový bod.

c) Stacionárny bod (-4,-2), v ktorom má funkcia lokálne maximum.

d) Stacionárny bod (1,-2), v ktorom má funkcia sedlový.

e) Stacionárny bod (2,-1), v ktorom má funkcia lokálne minimum.

f) Stacionárny bod (3,-2), v ktorom má funkcia lokálne maximum.

g) Nekonecne mnoho stacionárnych bodov tvaru (r,r+2). Ked’že D = 0, nemožno záver urobit’podl’a D-testu. Avšak l’ahkou úpravou vidíme, že p(r,s) = (r− s+ 2)2 , a teda v každom zuvedených stacionárnych bodov nadobúda naša funkcia lokálne minimum.

h) Stacionárny bod (3/2,5/4), v ktorom má funkcia sedlový bod.

i) Stacionárny bod (3,-3), v ktorom má funkcia lokálne minimum.

j) Stacionárny bod (-2,1), v ktorom má funkcia lokálne maximum.

18.

a) Najväcšia hodnota 254 v bode ( 3

2 ,- 12 );najmenšia hodnota neexistuje.

b) Najväcšia hodnota 5c.413 v bode ( 2c

3 , c3 );najmenšia hodnota neexistuje.

c) Najväcšia hodnota 54 v bodoch (−1

2 ,−√

32 ) a (−1

2 ,√

32 ); najmenšia hodnota -1 v bode (1,0).

d) Najväcšia hodnota 9 v bodoch (-3,0) a (3,0); najmenšia hodnota -9 v bodoch (0,-3) a (0,3).

e) Najväcšia hodnota 125 v bodoch (−√

5 ,2√

5 ) a (√

5 ,−2√

5 ); najmenšia hodnota 0 v bodoch(2√

5 ,√

5 ) a (−2√

5 ,−√

5 ).

f) Najmenšia hodnota 12 v bode (6,6); najväcšia hodnota neexistuje.

g) Najväcšia hodnota 25 v bode (5,5); najmenšia hodnota neexistuje.

h) Najmenšia hodnota 0 v bode (0,0); najväcšia hodnota 20 v bode (2,4).