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Artículo solicitado por Suma en julio de 2014 y aceptado en septiembre de 2014

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En puertas del

tercer milenio

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14 de enero de 1978

Después de entregarle el original a la enfermera eldoctor Greenway se detuvo antes de firmar la copiadel acta de defunción tras echarle una última ojeaday subrayó la fecha que aparecía sobre su firma: 14de enero de 1978; el nombre y las fechas que enca-bezaban el documento: Kurt Friedrich Gödel, 28de abril de 1906 – 14 de enero de 1978; y el últimopárrafo: víctima de desnutrición e inanición provo-cada por trastornos mentales. Metió la copia en unacarpeta en la que con letra casi de manual de cali-grafía había escrito el nombre del paciente y laguardó en un archivador, no sin recordar en esemomento cómo se dulcificaba el gesto agrio delque había sido su paciente mientras sus labios in-tentaban trazar lo que quería ser una sonrisa con laque lo recibía cada vez que entraba en su habitación,dispuesto a jugar la única partida de ajedrez que ju-garon juntos.

todos los médicos y enfermeras de la planta, a lavista del enfermo que acababa de ingresar, recono-cieron que nunca habían visto nada semejante. nose explicaban cómo podía seguir vivo aquel ancianoque parecía un cadáver viviente, que permanecíasin reaccionar a ningún tipo de estímulo, en posición

Kurt Gödel:

la fuerza de la lógica

Antonio Pérez SAnz

JoAquín CollAnteS Hernáez

SeccioneSnoviembre 2014

pp. 1-14

Todo error obedece a factores externos (tales como la emoción

y la educación); la razón, por sí sola, no yerra.

Kurt Gödel

Antonio Pérez SAnz y JoAquín cillAnteS Hernáez

fetal desde que lo acostaron en la cama. Pero sesorprendieron al comprobar que sí reaccionaba con-tra los que intentaban quitarle las gafas o cambiarlode la posición que él había elegido: sobre el costadoderecho y justo al borde del colchón.

Sólo el doctor Greenway supo quién era el pacienteque había ingresado de urgencia la mañana del 29de diciembre en el hospital de Princenton. Y al leersu nombre en la lista de recepción subió inmediata-mente a la habitación que le habían adjudicado paraencontrarse con un hombre con el cuerpo destruido,un muñeco roto que apenas pesaba 30 kilos y delque, como signo de vida, solamente destacaba elbrillo intenso de los ojos miopes tras las gafas queno quiso abandonar ni un solo momento.

el diagnóstico del médico que ordenó su ingresoen el hospital era tan impresionante como contun-dente. el doctor Greenway leyó:

Sufre desnutrición grave, paranoia aguda con alucinacio-nes, ataques de pánico, hipocondría y depresión apare-cida en un principio en crisis intermitentes para terminarhaciéndose aguda. Sufre bloqueo de los conductos urina-rios por hipertrofia de la próstata. Durante años se ha ne-gado a aceptar ayuda médica. Ha tenido rachas denormalidad que han ido espaciándose hasta desapareceren la actualidad, aunque solamente su mente continua in-tacta en un cuerpo prácticamente muerto. Diagnóstico:muy grave, y a mi juicio, en estado terminal.

el doctor Greenway no tiró la toalla.

—está usted intentando un imposible. este hombreno tiene solución, ya está fuera de este mundo.

Sin hacer caso del comentario de su colega, colocóuna mesa baja junto a la cabecera de la cama, dellado sobre el que estaba acostado el enfermo. Y so-bre la mesa un tablero de ajedrez. Y sobre el tablero,muy despacio, fue colocando las piezas sin quitarleojo al que todo lo observaba atentamente, a la esperade una reacción que solamente llegaría cuando, conel rey negro en una mano y el rey Blanco en laotra el médico, sonriendo, le preguntó al enfermo:

—¿negras o blancas?

el enfermo, con un gesto casi imperceptible, señalóla mano que contenía la pieza negra. Cuando, conun hilo de voz, dijo: peón reina, el doctor Greenway

supo que, aunque mínima, aún había es-peranza de salvar al hombre que era con-siderado un genio de las matemáticas.

Así pasaron seis días durante los cuales lapartida avanzaba lentamente con claro re-troceso de las piezas blancas ante el ata-que, tan lento como despiadado, de laspiezas negras. Hasta que un día, cuandosolamente defendían al rey blanco la reina,un caballo, un alfil, una torre y dos peones,el doctor, al entrar en la habitación se en-contró con que el matemático había ce-rrado los ojos solamente para volver aabrirlos apenas un minuto antes de sumuerte, ocho días después. Pero lo queno sabía el médico es que el matemáticohabía abandonado la partida, y la habita-ción y el hospital para asistir como espec-tador privilegiado a la rápida película desu vida antes de exhalar su último suspiro.

Su nacimiento, el 28 de abril de 1906 ysus primeros años en Brno, en la actualrepública Checa, junto a unos padres deposición acomodada, de origen alemán,junto a su neurosis y fiebres reumáticasinfantiles, fueron la primera imagen fijaseguida, a velocidad de vértigo, por susaños de estudiante de física y matemáticasen la universidad de Viena. Ya en 1928,dentro de sus investigaciones para su tesisdoctoral, Gödel focaliza su interés hacialos fundamentos de la matemática. Se su-merge en la lectura de los elementos delógica teórica, de Hilbert y Ackherman.Por lo tanto, la obra lógica de Gödel hayque relacionarla desde el principio con elprograma formalista de Hilbert. Su tesisdoctoral la completitud de los axiomasdel cálculo funcional de primer orden, di-rigida por Hans Hahn y Fürtwängler y le-ída en 1930 incorpora su famosa pruebade la suficiencia semántica del cálculo ló-gico de primer orden… ¡Y solamente tenía11 páginas! estas escasas páginas le abrie-ron las puertas para ejercer como privat-

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Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

dozent, profesor sin dere-cho a sueldo, en la univer-sidad de Viena hasta sumarcha a estados unidos.Su tesis incluía el:

teorema de completitud:

en el sistema axiomáticode la lógica de primer orden, si una afirma-ción es verdadera, entonces puede demos-trarse.

El Círculo de Viena

y los teoremas de incompletitud

en la siguiente escena que pasa por sucabeza, a las 16,45 horas del día 26 deagosto de 1930, un Gödel sonriente, abrela puerta de la habitación para entrar enel ambiente ruidoso y ahumado del Caféreichsrat comprobando que, como siem-pre, llegaba tarde a su cita. Sentados alvelador de mármol que consideraban suyo,el que estaba en el rincón del café, juntoal ventanal que se abría a la ringstrasse,le esperaban Menger, Carnap, Feigl y Wais-mann, entre otros miembros de Círculode Viena, impacientes por ver el trabajoque Gödel les había asegurado que lesmostraría aquella tarde.

Así que, sentándose y dejando la carpetaque llevaba encima de la mesa, a modode saludo, les espetó a los que esperaban:

—la ciencia no tiene respuestas a todaslas preguntas.

Y aunque ya muchos científicos se habíanhecho tal pregunta, Kurt Gödel fue el pri-mero en demostrar rigurosamente estaaseveración construyendo su demostra-ción sobre el lenguaje preciso de la lógicasimbólica y utilizando el rigor de las ma-temáticas para demostrar, sin lugar a du-das, que las mismas matemáticas son in-completas.

Gödel debió dejar atónitos a susoyentes con afirmaciones tan simplesy al mismo tiempo tan sorprendentescomo:

—en cualquier sistema formal queincorpore al aparato de la lógica losprincipios y reglas de la aritmética

elemental hay sentencias bien construidas que noson demostrables, es decir que no se pueden ni re-futar ni demostrar, por tanto son indecidibles. Y siañadimos estas sentencias como axiomas, aparecenotras nuevas no demostrables. es decir, el sistemaes incompleto.

Además:

—la consistencia de estos sistemas no puede pro-barse dentro de ellos mismos.

el Círculo de Viena surgió con el nombre de Sociedadernst Mach –figura señera del racionalismo antime-tafísico– a partir de las reuniones mantenidas en 1907entre el matemático Hans Hahn, el economista ottoneurath y el físico Philipp Frank para hablar, funda-mentalmente, sobre filosofía y ciencia con un interéspositivista lógico.Su premisa era que lo que no es ve-rificable empíricamente no tiene sentido.

A partir de 1922, y con la incorporación del mate-mático Moritz Schlick como líder del Círculo, lasreuniones del ya definitivamente Círculo de Vienase hicieron cada vez más regulares y numerosas, se-ñalando como objetivo prioritario la propagaciónde una visión científica del mundo. en 1929 el Cír-culo preparó un manifiesto en el que se definíacomo movimiento científico y filosófico, consoli-dándose como un movimiento fundamental en lahistoria de la filosofía y la ciencia del siglo XX. enel manifiesto aparecían como miembros:

Gustav bergmann, filósofo y matemático

rudolf carnap, físico y filósofo

Herbert Feigl, filósofo

Philipp Frank, físico

Kurt Gödel, matemático

Hans Hahn, matemático

victor Kraft, filósofo e historiador

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la vida diaria requiere cada vez más conocimientosmatemáticos y tecnológicos.

Antonio Pérez SAnz y JoAquín cillAnteS Hernáez

Karl menger, matemático

marcel natkin, matemático

otto neurath, sociólogo

olga Hahn-neurath, matemática

theodor radakovic, filósofo

moritz Schlick, filósofo y físico

Friedrich Waismann, filósofo

Además de los socios habituales, elCírculo contaba con un cierto número de simpati-zantes entre los que se destacaban Albert einsteiny Bertrand russell –residentes en Alemania e in-glaterra, respectivamente–, ludwig Wittgenstein yKarl Popper, que residieron en Viena pese a no for-mar parte directa del círculo ni asistier a sus famosasreuniones.

en 1932 Gödel forma parte activa del seminario delógica de Hans Hahn, el matemático director de sutesis y es asiduo a los Coloquios de Menger (reu-niones promovidas por el matemático Karl Mengercon el que más tarde Gödel coincidiría en América).Durante estos años las reuniones con el Círculo deViena serán determinantes para Gödel por la opor-tunidad de establecer amistad con muchos de susmiembros, amistad que continuaría en estados uni-dos cuando ya la mayoría de sus componentes sehabían exiliado allí.

Sobre las sentencias formalmente

indecidibles de los Principia

Mathematica y sistemas afines

Marzo de 1931. un artículo publicado en una revistaespecializada al alcance de muy pocos, Monatsheftefür Mathematik und Phisik, el artículo más impor-tante de la lógica matemática del siglo XX, y quizásde toda la historia de la matemática, va a catapultara la fama mundial entre la colectividad científica aun extraño joven de tan solo 25 años. Y dentro deeste artículo, que tan sólo ocupa 26 páginas del nú-mero 38 de la revista, un resultado estrella va ponerpatas arriba todo el panorama matemático de laépoca: el teorema de incompletitud, que desde en-

tonces sería conocidocomo «teorema de Gödel».

Se trata de un resultado queviene a enterrar de maneradefinitiva el sueño de Hil-bert de dotar a las matemá-ticas de una formalizacióncompleta aceptada univer-salmente.

el teorema establece que en todo sistemaformal deductivo que incluya al menoslos principios y reglas de la aritmética exis-ten proposiciones que no se pueden de-mostrar ni refutar y que, por tanto, son«indecidibles». la existencia de estas pro-posiciones hace que el sistema sea «in-completo». una simple y triste consecuen-cia de este resultado va a hacer tambaleartodo el edificio de las matemáticas: losaxiomas y las reglas de la aritmética formalson incapaces de probar por sus propiosmedios que están libres de contradicción.es decir, que una proposición puede re-sultar al mismo tiempo verdadera y falsa.en definitiva, que no podemos decidir siel sistema es consistente.

John von neumann se encargará de darleel espaldarazo definitivo:

—Puesto que has probado la indemostrabili-dad de la consistencia como continuación na-tural de tus resultados anteriores, nopublicaré nada al respecto.

ese año, los cursos de Von neumann enPrinceton tuvieron como tema central losteoremas de incompletitud de Gödel.

1933-1940:

cuatro viajes a América

la llegada de Adolf Hitler a la cancilleríade Alemania en 1933 provocó que Austriase viera inmersa en la convulsión que fa-cilitaría la posterior anexión al iii reich.

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Una simple y tristeconsecuencia de este resultado

va a hacer tambalear todo eledificio de las matemáticas: los

axiomas y las reglas de laaritmética formal son

incapaces de probar por suspropios medios que están

libres de contradicción

Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

las vejaciones al profesorado y alumnadojudío y a aquellos no afectos al ideario na-cional-socialista provocarían en el ánimode Gödel un sentimiento de frustraciónque desembocaría en un grave colapsonervioso que precisaría tratamiento du-rante una breve temporada en el sanatoriode rekawinkel.

el 6 de octubre de 1933, Gödel, a bordodel Aquitania, llegó a nueva York. Du-rante un primer periodo se dedicó a me-jorar su inglés y a participar en distintosseminarios para adentrarse en la vida delinstituto de estudios Avanzados (iAS) enPrinceton, impartiendo, además, dos con-ferencias en nueva York y Washington.el ambiente liberal de Princeton le im-presionó. Gödel volvió a Austria entu-siasmado por la noticia que le había dadoel director del iAS, Abraham Flexner: lehabían concedido una beca de dos mildólares para que volviera al curso si-guiente. la situación que se encontró asu regreso en Viena le hizo recordar aPrinceton como el paraíso. el ministroaustriaco de educación había establecidoque todos los rectores de las distintas uni-versidades y todos los decanos de todaslas facultades debían afiliarse al fascistaFrente Patriótico. Gödel, por su parte,también sería obligado a afi-liarse en mayo de 1935 comoúnica posibilidad de podercontinuar en la universidad.

en agosto de 1935 realiza susegundo viaje a Princeton abordo del Georgia. Y si biense incorporó al instituto deestudios Avanzados haciamediados de noviembre, ape-nas empezado el curso sufrióuna depresión que lo forzó aregresar a Viena. el claustrode profesores del iAS aceptóla interrupción y acordó que

se reincorporara a su puesto una vez hubiera supe-rado la depresión. ese mismo año, el matemáticoMax newman, dio una serie de conferencias enCambridge sobre el teorema de incompletitud deGödel, ya que quedó impresionado por las refe-rencias obtenidas sobre el tema y su autor en eliCM del año 1928. Así, el prestigio de Gödel seafianzó aún más en Gran Bretaña, recibiendo ofertasen sus prestigiosas universidades.

De vuelta en Viena el 10 de diciembre Gödel recor-daría siempre el año que le esperaba, 1936, como elpeor de su vida, ya que tuvo que ser internado en elsanatorio de enfermedades nerviosas de rekawinkel.el matemático estaba solo ya que la mayoría de susamigos y compañeros habían emigrado; su mentor,Hans Hahn, había muerto en 1934 y el profesorMoritz Schlick, había sido abatido a tiros en las es-caleras de la universidad por uno de sus alumnos.

el 20 de septiembre de 1938 Gödel se casó conAdele thusnelda contra la voluntad de su familia,que se negaba rotundamente a admitir en el senofamiliar a una mujer divorciada, de religión católica,seis años mayor que él y que trabajaba en el cabaretnachtfalter de Viena. Pero, contra todo pronóstico,tuvieron finalmente que reconocer que su presenciaactuaría positivamente en el ánimo y salud de Gödel,y que su papel como paciente esposa sería esencialen sus relaciones, incluso imprescindible durantesus crisis, sobre todo al final de su vida, época enque cuidó a su marido con una dedicación ejemplar,

a pesar de que ella, a su vez, estaba gra-vemente enferma.

en 1938, en su tercer viaje a América,pudo viajar con un permiso de salidade las autoridades alemanas, impres-cindible tras la anexión a Austria iiireich. Pero los barcos hacia inglaterray estados unidos salían atestados, detal manera que fue imposible encontrarun segundo pasaje en el new York paraAdele, que tuvo que quedarse en Viena.John von newmann consiguió que Gö-del impartiera un seminario sobre te-oría de Conjuntos durante los mesesde noviembre y diciembre de 1938,

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Kurt Gödel junto a su mujer, Adelethusnelda, en 1938

Antonio Pérez SAnz y JoAquín cillAnteS Hernáez

para pasar después a la universidadde notre Dame en South Bend, cercade Chicago, para impartir allí, en ca-lidad de profesor invitado y de fe-brero a junio de 1939, cursos de ló-gica elemental con la ayuda de suamigo vienés Karl Menger, exiliadoen 1936.

Ya en Princeton, Gödel se encontróen su ambiente, propiciado por laamistad de von newmann, einsten, Morgenstern yotros profesores que había conocido en Austria yAlemania y que ahora estaban refugiados en estadosunidos y con actividad investigadora y docente enesa universidad.

en Princeton, influenciado por el buen ambiente yla tan necesaria tranquilidad, el matemático trabajósobre su artículo la consistencia del axioma de elec-ción y de la hipótesis generalizada del continuo, quepublicaría incompleto, a modo de inicio, en el volu-men de noviembre de los Proceedings of the na-cional Academy of Sciences. el artículo completose publicaría el año siguiente.

De vuelta en Viena, en agosto de 1939, Gödel recibela temida carta de citación para someterse a la pruebade aptitud para el ejército. el matemático fue cons-ciente de que si estallaba la guerra su salida hacialos estados unidos sería prácticamente imposible.Para eludir el alistamiento alegó problemas de co-razón motivados por unas fiebres reumáticas, inclusoesgrimió imprudentemente su estancia en el sana-torio de Purkersdorf, especializado en enfermedadesnerviosas.

Kurt Gödel decidió que la única solución era huirsin que pareciera que huía. A pesar de que él eraario y no tenía que temer la represión desatada con-tra sus colegas judíos, Gödel despreciaba la actitudagresiva y hostil del gobierno nacional-socialista ha-cia la cultura y su control asfixiante de la ciencia yla vida universitaria. los profesores judíos habíansido expulsados de las universidades, los estudiantesafines a la ideología nazi mantenían una estricta vi-gilancia en una atmósfera de desconfianza y miedoen la que todos vigilaban a todos, ambiente propicio

para que se cometieran in-justicias y errores como elque sufrió Gödel, al ser to-mado por judío y vejado ygolpeado mientras paseabacon Adele por el campusde la universidad. este su-ceso le convenció de quetenía que abandonarcuanto antes el país. Pero

las cosas no eran tan sencillas. el Minis-terio de educación prohibía a los profe-sores establecer contactos con centros ex-tranjeros de enseñanza sin la autorizaciónde las autoridades académicas del iiireich. Así que, ante la solicitud de Gödelpara volver por cuarta vez a Princeton, elrector de la universidad declaró que, a pe-sar de la buena opinión que tenía del ma-temático, disentía enérgicamente de sufalta de compromiso con el régimen na-cional-socialista. el hecho de que el haberrealizado su tesis doctoral con el eminenteprofesor Hans Hahn, eminente matemá-tico pero judío, era considerado como unagravante en su expediente.

Desde Princeton, era reclamado por Johnvon newmann (residente en Princetondesde 1930 y miembro del instituto deestudios Avanzados desde 1933), porAbraham Flexner, director del iAS desdesu fundación hasta 1939 y por su sucesorFrank Aydelotte que ocuparía el cargo en-tre 1939 hasta 1947.

el 19 de diciembre de 1939, Gödel yAdele obtienen por fin los pertinentespermisos de salida por parte de las auto-ridades alemanas, y la visa de inmigrantessin cuota por parte de las autoridades ame-ricanas, los dos documentos imprescindi-bles para su cambio radical de vida. Perolas cosas se complicaron aún más al lle-garles la inquietante noticia -medio ru-mor, medio noticia sin confirmar- de queal ser ciudadanos alemanes (Alemania ha-

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A pesar de que él era ario y notenía que temer la represióndesatada contra sus colegasjudíos, Gödel despreciaba laactitud agresiva y hostil delgobierno nacional-socialistahacia la cultura y su control

asfixiante de la ciencia y la vidauniversitaria

Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

bía invadido Polonia el 1 de septiembreseñalando el comienzo de la ii GuerraMundial) podrían ser arrestados en elmismo barco mientras trataban de cruzarel Atlántico. Decididos a salir de Alemaniacomo fuera, optaron por elegir el reco-rrido más largo hacia América a travésdel territorio ruso después de obtener, el12 de enero de 1940, los correspondientesvisados de las autoridades soviéticas. Así,atravesaron letonia y lituania hasta Vla-divostok para trasladarse a Moscú comoetapa previa, para dirigirse a Yokohama,viajando en el transiberiano. el largo ro-deo los llevó hasta el puerto chino paraembarcarse en el President Cleveland condestino a San Francisco, lo que suponíadesembarcar en América justo en elpuerto opuesto al que hubieran deseado.Por fin, el día 4 de marzo de 1940 KurtGödel y su esposa, agotados tras dos me-ses de viaje, pisaron el continente en elque residirían hasta su muerte.

La casa definitiva:

129, Linden�Lane

Gödel se afinca en Princeton. Desde 1940hasta 1946 como miembro ordinario deliAS; en 1946 pasará a ser miembro per-manente, en 1948 adquirió la nacionalidadamericana y en 1953 es elegido miembrode la national Academy of Sciences loque provocaría que, al fin, el instituto deestudios Avanzados reconociera su statusde profesor titular, algo que su amigo vonnewmann venía reclamando desde su lle-gada. Sus excentricidades de aquella épocaretrasaron tal nombramiento ya que elclaustro de profesores se preguntaba si loque ya era clara paranoia de su compañero,no acabaría siendo peligrosa para la mar-cha del centro e incluso para ellos. Cuandofinalmente decidieron –con la oposiciónde varios miembros del claustro- conce-

derle la plaza de profesor titular, especificaron ensu contrato que en caso de enfermedad se podríaretirar con una pensión adecuada.

el mes de septiembre del año 1949 Gödel y Adelecompraron, gracias a la ayuda de oppenheimer, laque sería su casa definitiva, en el número 129 delinden lane, en Princeton. A su vuelta de un viajea europa, para visitar a los supervivientes de su fa-milia, Adele encontró a su marido en buen estadode salud y ánimo. instalados ya en la nueva casadisfrutaron de un periodo de equilibrio sin poderimaginar que no era más que una prórroga, un pe-riodo de inesperada tranquilidad que permitiría aAdele ocuparse de todo lo relativo a la puesta apunto de su nuevo y definitivo hogar, y a Gödelcentrarse en sus trabajos con una salud y, sobretodo, un equilibrio casi olvidado. Por aquella épocaGödel dejó a un lado sus trabajos sobre lógica y seorientó, influenciado por su colega y amigo einstein,hacia la filosofía y la física, discutiendo con él as-pectos filosóficos y matemáticos de la teoría de larelatividad, a la vez que se ocupaba de la cosmologíarelativista, buscando y encontrando, además, solu-ciones sorprendentes a las ecuaciones del campogravitatorio de la relatividad general que sorpren-derían al mismo einstein. Gödel publica, tambiénen 1949, en reviews of modern physiscs el artículotitulado un ejemplo de un nuevo tipo de solucionescosmológicas a las ecuaciones del campo gravitatoriode einstein, el que pone de manifiesto la existenciade soluciones cosmológicas en las que no se puede

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Adele y Kurt en su casa de linden lane (Princeton, 1949)

Antonio Pérez SAnz y JoAquín cillAnteS Hernáez

definir un tiempo absoluto, abriendo la posibilidadteórica de viajar a cualquier región del pasado, pre-sente y futuro y regresar a la posición inicial.

en agosto de 1950 presentó en el Congreso inter-nacional de Matemáticos (iCM) de Cambridge, Mas-sachussets, en su trabajo titulado universos rotato-rios en la teoría general de la relatividad, nuevassoluciones de las ecuaciones del campo gravitatorio,que determinan diversos universos posibles, todosellos rotatorios, espacialmente homogéneos y finitosen los que la existencia de líneas cerradas de tipotemporal depende la rotación.

en 1951 todo pareció volverse negro. Gödel, des-pués de una temporada que podría calificarse denormal, cayó en una profunda depresión a causa deuna hemorragia por ulcera de duodeno que necesitóurgente hospitalización. el sueño de que los pro-blemas de salud se hubieran terminado estallaronen pedazos, y a pesar de los cuidados de su esposael matemático adelgazó considerablemente pues sealimentaba prácticamente sólo con papillas de bebé.

Por esas fechas se estableció el Premio einstein quetendría carácter trianual. en esa primera convoca-toria el premio sería compartido entre Julian Schwin-ger y Kurt Gödel. Para Gödel la noticia supuso unainyección de optimismo no sólo por el prestigio delpremio en sí, sino también porque los 15.000 dólaresde dotación que lo acompañaban supondrían unaayuda estimable para sus continuos gastos médicos.el 14 de marzo de 1951, en la ceremonia de entregadel premio, oppenheimer presentó a Julian Schwin-ger y disertó sobre su obra, mientras que von new-mann lo hacía sobre la de Gödel, incidiendo en la

importancia de los teoremas de incom-pletitud y en que este trabajo fuera al finvalorado como se merecía, añadiendo, an-tes de que una cerrada ovación de los pre-sentes confirmara sus palabras, que la obrade este lógico genial marca un hito en lahistoria de la ciencia. einstein entregó losgalardones personalmente y al imponér-selo a Gödel, exclamó:

—éste, mi querido amigo, es para ti, aunqueno lo necesites.

en junio de 1951 la universidad de Yalele concede un doctorado honoris causa, yen diciembre es invitado por la AmericanMathematical Society para hablar en laprestigiosa conferencia Gibbs como elprimer lógico al que le ofrecían tal honor.en dicha conferencia, titulada Algunos te-oremas básicos sobre los fundamentos delas matemáticas y sus implicaciones filo-sóficas, el matemático meditaba sobre larelación de su obra con el conocimientohumano con argumentos no matemáticos,sino filosóficos. en 1952 la universidadde Harvard le concedió el doctorado ho-noris causa con una mención como el des-cubridor de la verdad matemática más sig-nificativa del siglo XX.

Paseando con Einstein

Durante años el físico y el matemático pa-searon juntos todos los días. Y formabanparte del paisaje de Princeton recorriendoel camino que iba de Fuld Hall hasta oldenFarm. Habían congeniado desde el primermomento, cuando Gödel llegó a Princetonen 1933 en su primera visita como profe-sor invitado. Y tras su incorporación defi-nitiva en 1940 se harían inseparables a pe-sar de los veintiocho años de diferenciaque los separaban y de sus caracteres an-tagónicos: einstein era extrovertido, alegrey reía por todo; mientras que Gödel era

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Albert einstein y Kurt Gödel

Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

introvertido, profunda-mente serio y solitario.

Gödel era de los pocos co-legas de Princeton al queeinstein consideraba comoun igual. los dos amigoshablaban de ciencia perotambién sobre música, política o religión,temas en los que ambos coincidían. eins-tein, en alguna ocasión aseguró: Si voy ami oficina en el instituto de estudiosAvanzados es únicamente para tener elprivilegio de volver luego a casa paseandocon Gödel. una peculiar pareja hacia laque todos se volvían a su paso.

es muy conocida la anécdota ocurrida enel año 1947 cuando Gödel se nacionalizónorteamericano. Al llevar siete años comoresidente en los estados unidos, sus ami-gos lo convencieron para que adoptase lanacionalidad de su país de acogida. Comotodo solicitante, Gödel debería demostrartener un conocimiento general del conte-nido de la Constitución Americana res-pondiendo a unas sencillas preguntas.Además, necesitaba dos avalistas que res-pondieran de su reputación y lo acompa-ñaran al examen oral ante un juez local.Gödel se presentó con dos padrinos delujo: Albert einstein, sobradamente co-nocido y respetado, y oskar Morgenstern.

el juez que tenía que examinarlo era amigode einstein, pero Gödel no quiso privile-gios y preparó el examen concienzuda-mente. tanto que… encontró resquiciosen el entramado legal que hacían de laConstitución Americana un sistema incon-sistente que permitiría la instauración deuna dictadura en el país. Morgenstern lecontestó que eso era algo completamenteabsurdo y que bajo ningún concepto debíamencionarlo en la entrevista ante el juez,ya que pondría en peligro la obtención dela nacionalidad. Cuando llegó la tan espe-rada cita, einstein y Morgenstern insistie-

ron en que se limitara a presentarse,dar las respuestas de rigor y los tópi-cos aprendidos de memoria y se fueracon la nacionalidad recién adquiridaen el bolsillo. Pero las sospechas delos padrinos, como se vería, no eraninfundadas. el juez Philipp Forman,

impresionado por la categoría intelectual de los tes-tigos, comenzó la entrevista diciendo:

—Hasta ahora usted tenía la nacionalidad alemana.

A lo que Gödel contestó:

—Perdone, señor juez: austriaca.

Y el juez, sin inmutarse, añadió:

—Ah, ya. De todos modos su país tuvo que sufrir una ho-rrible dictadura. Afortunadamente, eso no puede sucederen América.

—¡todo lo contrario! –exclamó Gödel. yo sé cómo puedeocurrir. y puedo probarlo.

Y comenzó a disertar con vehemencia sobre el me-canismo que había descubierto en el texto de la Cons-titución hasta que el juez, probablemente advertidocon anterioridad por einstein, le interrumpió:

—tampoco creo que sea cuestión de meternos en hondu-ras…

Y comenzó a hacerle las preguntas rutinarias. esun misterio qué fue lo que Gödel había descubierto.

la década de los sesenta fue para Gödel la épocade prestigiosos reconocimientos. en 1968 fue ele-gido miembro extranjero de la royal Society, ya queel año anterior había sido nombrado miembro ho-norario de la london Mathematical Society a la vezque el prestigioso Amherst College le concedía undoctorado honoris causa.

Sin embargo, dos años antes, en 1966, había recha-zado vehementemente la propuesta de nombra-miento como miembro honorario de la AcademiaAustriaca de Ciencias. este hecho se interpreta comouna inequívoca ruptura con su pasado. Más todavíasi lo comparamos con el entusiasmo con el queaceptó, en 1961, ser miembro de la American Phi-losophical Society.

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… encontró resquicios en elentramado legal que hacían dela Constitución Americana un

sistema inconsistente quepermitiría la instauración de

una dictadura en el país

Antonio Pérez SAnz y JoAquín cillAnteS Hernáez

en 1957, el mismo año en que es ele-gido miembro de la American Aca-demy of Arts and Sciences y cuandoaún no había superado la ausencia deAlbert einstein, desaparecido dosaños antes, fallece su entrañableamigo Joseph von newmann, el padrede la teoría de juegos. Von newmann,como muchos de los primeros investigadores quetrabajaron sobre la energía atómica, subestimó elpeligro de las radiaciones a que se exponía en losensayos nucleares y en agosto de 1956 le detectaronun cáncer que acabaría con su vida el 8 de febrerode 1957, a los cincuenta y tres años. este segundoimpacto vino a ahondar el dolor producido por lamuerte de Albert einstein en 1955.

La recta final: 1970-1978

Desde 1970, sus crisis de hipocondría eran cada vezmás agudas unidas a rachas intermitentes de euforiaen la que hacía todo tipo de planes de trabajo, quequedaban en nada en cuanto volvía la depresióncrónica que ya no lo abandonaría. Sufría alucina-ciones y en sus rachas de paranoia aseguraba quetenía pinchado el teléfono, lo que le llevaba a utilizarclaves absurdas para hablar con sus amigos, con-vencido así de despistar a los posibles espías. Comotambién aseguraba estar vigilado por el FBi por susopiniones contrarias a la guerra de Vietnam, asícomo que alguien lo había hechizado por medio dehipnosis.

Su desprecio por el mundo académico va en au-mento. Si bien en 1972 había aceptado entusiasmado,en la que sería su última aparición pública, el docto-rado honoris causa que, a instancias del profesorWang, le había concedido la universidad rockefellerde nueva York. también aceptó su nombramientocomo miembro de la Academia de Ciencias Moralesy Políticas del instituto de Francia.

en mayo de 1975, la universidad de Princeton de-cide, al fin, concederle el doctorado honoris causa,un reconocimiento que tantas veces se le había ne-gado. Gödel comenta a sus amigos que llegaba con

retraso, ya que lo lógicohubiera sido recibirlo almismo tiempo que susdoctorados honoris causaen Yale y Harvard veinteaños antes, en 1951 y 1952,respectivamente. en sep-tiembre de 1972 renunció

también a la Medalla nacional de Cienciaque debería entregarle en Washington elpresidente Gerald Ford.

Durante este año, encerrado cada vez másen sí mismo, solamente comparte susideas sobre economía, filosofía y mate-máticas con oskar Morgenstern y HaoWang. Wang, como fruto de estas reunio-nes, escribiría sus reflexiones sobre KurtGödel que tanto aportó al conocimientode la vida y obra del matemático; y tam-bién las obras De las matemáticas a la filosofía

y Un viaje lógico: de Gödel a la filosofía.

Ante la insistencia de Adele, su mujer, yde Hao Wang, el único amigo que le que-daba en quien poder confiar, Kurt Gödelcedió y permitió que le hospitalizaran. Así,

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Su peso iba a menos mientrassu paranoia iba a más, hasta elpunto de que se desentendíade los que lo rodeaban para

hablar solamente de susenfermedades, las reales y las

inventadas por su hipocondría

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el 29 de diciembre de 1977,ingresó en el hospital dePrinceton, el mismo en elque 22 años antes había fallecido Alberteinstein, su mejor amigo desde que llegaraa estados unidos. Hao Wang se diocuenta de la gravedad de la situación nadamás entrar en el hogar de los Gödel. Pul-cro y cuidado hasta extremos exageradoshasta entonces –y de dudoso gusto esté-tico en la decoración, según el juicio ge-neral de quienes lo visitaban–, aparecíaahora como si hubiera sido abandonadopor los dos ancianos que recibieron al re-cién llegado como si no fueran conscien-tes de su presencia, como si no lo vieran.Cuando Wang consiguió al fin que Adelereaccionara estuvieron de acuerdo en quela única solución para salvar la vida delmatemático era su ingreso urgente en uncentro hospitalario.

Wang, lógico, filósofo y matemáticochino-americano, llegó a la universidadrockefeller de nueva York en 1967, con-tratado como profesor de lógica. impre-sionado por los trabajos de Gödel le haríacontinuas visitas a Princeton hasta esta-blecerse entre ambos una sólida amistad.

el punto de inflexión en la vida de Gödelse había producido unos meses antes desu ingreso en el hospital, pues en julio delmismo año, 1977, habían tenido que in-gresar a su mujer Adelle. Durante los me-ses que estuvo internada, Gödel se des-preocupó de su propia salud. incapaz dedesenvolverse en una casa en la que lapresencia de Adele era insustituible, aban-donó los hábitos imprescindibles, empe-zando por la alimentación. los amigosmás cercanos, como Morgenstern y HaoWang, se ocuparon como pudieron, yaque rechazaba toda ayuda. la situaciónempeoró cuando el 26 del mismo mes dejulio, su querido amigo oskar Morgens-tern falleció. tras conocer la noticia, Gö-

del cayó en un estado de ensimisma-miento del que apenas lograrían sa-carlo la vuelta de Adele a casa y el

fiel Hao Wang con sus atenciones. Desde la muertede einstein, Gödel había convertido a Morgensternen el inseparable amigo que siempre estaba dis-puesto a escucharle cuando sus depresiones lo ago-biaban. entonces Gödel reclamaba con vehemenciala presencia de este matemático nacido en Silesia,que había estudiado también en la universidad deViena, donde había conocido a Gödel, y que habíaemigrado a estados unidos durante la ii GuerraMundial, estableciéndose en Princeton. en 1944Morgenstern publicaría conjuntamente con Johnvon newmann la gran obra por la que sería inter-nacionalmente conocido: Theory of Games and Eco-

nomic Behavior, su teoría de los juegos que tanta in-fluencia tendría en el mundo de la economía.

la larga ausencia de su mujer se dejó plasmar en elcuerpo del matemático, que bajó hasta los cuarentakilos. Su peso iba a menos mientras su paranoia ibaa más, hasta el punto de que se desentendía de losque lo rodeaban para hablar solamente de sus en-fermedades, las reales y las inventadas por su hipo-condría. Abrumaba a sus amigos telefoneándolesconstantemente para pedirles ayuda al sentirse fal-samente acosado por la policía, vigilado por seresextraños, acechado por los vecinos y perseguidopor médicos que querían inyectarle medicamentosen estado de experimentación.

Convencido de que estaba en marcha una conspi-ración para envenenarlo hervía varias veces las ver-duras que comía y el agua que bebía, auto-recetán-dose toda clase de medicamentos sin hacer caso delos consejos de los médicos conocidos, convencidode que todos formaban parte de la conspiración yde que los medicamentos que le recetaban eran pó-cimas para mermar sus capacidades físicas y men-tales. Su estricta dieta llegó a componerse de unhuevo duro y una taza de té por la mañana y unapequeña porción de verdura a la hora del almuerzo.Su estado de debilidad era tal que siempre tenía fríode tal manera que, cuando acudía a su despacho, searropaba con tres o cuatro jerséis de lana gruesasobrepuestos, bufanda de lana, guantes y un abrigo

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Su tesis doctoral tenía tan solo11 páginas

Antonio Pérez SAnz y JoAquín cillAnteS Hernáez

que a veces no se quitaba en todo el día ante el es-tupor de quienes lo contemplaban vestido así enplena primavera y hasta en verano.

Desde que en el mes de julio de 1976 se jubilara deliAS (instituto de estudios Avanzados) como pro-fesor emérito se agudizaron sus problemas de saludy, sobre todo, su paranoia, dado que ahora no en-tretenía parte de su tiempo en el instituto y se dedi-caba obsesivamente a observarse ya que se tomabala temperatura y la tensión varias veces al día, ano-tando las incidencias en un cuaderno que siemprellevaba en el bolsillo.

la partida de ajedrez no llegaría a su final. KurtGödel había puesto punto final a la partida de lavida. el doctor Greenway estampó su firma en elcertificado.

14 de enero de 1978,

Kurt Friedrich Gödel. 28 de abril de 1906 - 14 de enero de1978;

causa de la defunción: Desnutrición e inanición provocadapor trastornos mentales.

Metió la copia en una carpeta en la que una letracasi de manual de caligrafía había escrito el nombredel paciente, y la guardó en un archivador, no sinrecordar en ese momento cómo se dulcificaba elgesto agrio del que había sido su paciente, mientrassus labios intentaban trazar lo que quería ser unasonrisa con la que lo recibía cada vez que entrabaen su habitación, dispuesto a jugar la única partidade ajedrez que jugaron juntos.

Las 26 páginas más famosas de

la lógica matemática

Gödel siempre fue parco a la hora de es-cribir. Su tesis doctoral tenía tan solo 11páginas. Sus obras completas ocupan unúnico y breve volumen del que existe edi-ción castellana de 1981: Kurt Gödel. Obras

completas, Alianza universidad.

los contenidos están separados en cuatrocapítulos diferenciados y numerados.

Capítulo 1

Contiene un breve resumen de poco másde tres páginas de las ideas fundamentalesdel artículo y presenta un esbozo de laidea principal de la demostración del teo-rema 11. en este resumen Gödel nos sitúaante la terminología y la notación que vaa utilizar:

las fórmulas de un sistema formal (nos limi-tamos a un sistema Pm – Principia mathema-tica–), externamente consideradas sonsecuencias finitas de signos primitivos (varia-bles, constantes lógicas, paréntesis y signosde puntuación) y se puede precisar fácilmentequé filas de signos primitivos son fórmulas ycuáles no. De igual forma, las deducciones noson sino secuencias finitas de fórmulas (conciertas propiedades explicitables). Para lasconsideraciones metamatemáticas resulta in-diferente qué objetos usemos como signosprimitivos. usemos números naturales comotales signos. Por tanto, una fórmula será unasecuencia finita de números naturales y unadeducción será una secuencia finita de se-cuencias de números naturales.

Con esta idea Gödel aritmetiza el sistemaformal permitiendo definir fórmula, de-ducción o fórmula deducible en términosdel propio sistema de los Principia. Definelos signos de clase como una fórmula dePM con exactamente una variable libredel tipo de los números naturales y losordena mediante una relación R(n) que asu vez puede ser definida en el sistemaPM. Veamos como hila su argumento:

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tumba de Kurt y Adele en el cementeriode Princeton (Foto: Antonio t. colombo)

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las constantes son: noviembre

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Sea a un signo de clase cualquiera; mediante[a, n ] designamos la fórmula que resulta desustituir la variable libre por el signo que de-nota el número natural n en el signo de clasea...

Ahora definimos una clase K de números na-turales del siguiente modo:

donde Bew x significa: «x es una fórmula de-ducible»

Siguiendo el razonamiento de Gödel, exis-tirá un signo de clase s tal que la fórmula[s; n] significa nŒK. Como s es un signode clase, le corresponderá en la ordena-ción un cierto R(q) para cierto númeronatural q. Gödel muestra que la sentencia[r(q); q] es indecidible, ya que si fuese de-ducible, sería verdadera y entonces qŒK.Pero por la definición de K:

q K Bew R q q( );∈ ↔¬

n K Bew R n n( );∈ ↔¬

es decir, [r(q); q] no es deducible. lo quesupone una contradicción con el supuestoinicial de que era deducible.

Si suponemos que la negación de [r(q);q] es deducible entonces y se verificaríay por tanto [r(q); q] sería deducible. esdecir, tanto [r(q); q] como su negaciónserían deducibles, lo que es imposible.

Capítulo 2

en este capítulo se hace una descripciónprecisa del sistema formal P con el queva a trabajar. P es un sistema en el que alos axiomas de Peano se le añade la lógicadel sistema PM. Se definen los signos pri-mitivos del sistema: constantes, variablesde tipo 1, de tipo 2, de tipo n, signos deprimer tipo, de tipo n, los signos de clase,fórmulas, sentencias, los axiomas, etc.

cero

s siguiente

negación

o

para todo

signo puntuación

signo puntuación

0

" "

" "

(

)

→→¬→∨→Π→→→

Y se procede a asignar números naturales a los sig-nos primitivos y a las variables de esta forma:

s

0 1

3

5

7

9

( 11

) 13

→→¬→∨→Π→→→

A las variables de tipo n les corresponden númerosde la forma rn, donde r es un número primo mayorque 13. Así a cada fórmula le corresponde una se-cuencia finita de números naturales, y viceversa. Acada secuencia finita de números naturales: n

1, n

2,

..., nk, se le asigna de forma biunívoca el número:

⋅ ⋅…⋅ρ2 3n n nk1 2

Y a cada secuencia finita de signos primitivos (a cadafórmula) se le asigna biunívocamente un númeronatural y a cada relación entre signos primitivos osecuencias le asignamos el número natural corres-pondiente a la relación entre los números naturalesasociados a los signos o secuencias originales.

en una digresión Gödel define el concepto de fun-ción numérica y de relación n-aria recursiva primitivay nos da un listado de 46 funciones o relaciones deeste tipo que se corresponden con 46 nociones me-tamatemáticas. A lo largo del capítulo demuestravarios teoremas. el teorema Vi es el famoso Teorema

de incompletitud de Gödel que, adaptado a un lenguajemás prosaico de cómo él lo presenta, puede expre-sarse de la manera siguiente:

Antonio Pérez SAnz y JoAquín cillAnteS Hernáez

Sea K una clase recursiva primitiva y con-sistente de FÓrMulAS. entonces ocurreque la SentenCiA que dice que K esconsistente no es K-DeDuCiBle. enespecial, la consistencia de P no es dedu-cible en P, suponiendo que P sea consis-tente (en caso contrario, toda fórmulasería deducible).

Gódel esboza una demostración. Sabedorde las consecuencias del mismo, en el úl-timo párrafo del artículo, anuncia una ge-neralización y una prueba detallada del te-orema Xi. este trabajo nunca se llevó acabo. realmente no hizo falta. nadie seatrevió a poner en duda las conclusionesde este breve, denso, contundente y defi-nitivo artículo.

Referencias bibliográficas

FreSán, J. (2007), Gödel. La lógica de los escépti-

cos, editorial nivola, Madrid.GÖDel, K. (1981), Obras completas, Alianza

universidad, Madrid.GÖDel, K. (2006), Sobre proposicones formal-

mente indecidibles de los Principia Mathematica

y sistemas afines, KrK Pensamiento.oviedo.

GrAnneC, Y. (2012), La Déesse des petites victoi-

res. ed. Anne Carriére, ParísHoFStADter, D.r. (2007), Gödel, Escher, Bach,

tusquets editores, BarcelonanAGel, e., neWMAn, J.r. (1999), El Teorema

de Gödel, editorial tecnos, Madrid

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«en el sistema P, aunque lo completemos con nue-vos axiomas, hay siempre alguna sentencia tal queni ella ni su negación son deducibles en el sistema».

Gödel lo demuestra construyendo la famosa sen-tencia (17 Gen r) que afirma de sí misma que no esdecidible.

Capítulo 3

Gödel introduce el concepto de relación (o clase)aritmética. una relación se llama aritmética si puedeser definida con la sola ayuda de las nociones « + »,« · » (adición y multiplicación de números naturales)y de las constantes lógicas:

¬ ∀ =x

donde los dos últimos sólo se refieren a númerosnaturales. Y completa el teorema Vi del capítuloanterior con los teoremas Viii y iX que dicen, res-pectivamente:

teorema viii:

en cada uno de los sistemas formales mencionados en elteorema vi hay sentencias aritméticas indecidibles.

teorema iX:

en todos los sistemas formales mencionados en el teo-rema vi hay problemas indecidibles de la lógica pura depredicados de primer orden.

Capítulo 4:

Gödel culmina su obra esbozando la demostracióndel último teorema, el broche final. el teorema Xi:

Antonio Pérez SAnz

IES Salvador Dalí (Madrid)

JoAquín collAnteS Hernáez

SMPM Emma Castelnuovo