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Universos de Gödel - Instituto de Física da UFRGSmittmann/universos_de_godel_2014-08-28_VERSAO_2.pdf · Introdução Kurt Friedrich Gödel (1906-1978) Teorema da incompletude Time

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Universos de Gödel

Sérgio Mittmann dos [email protected]

UNESP, Câmpus de GuaratinguetáPrograma de Pós-Graduação em Física

Estrutura Algébrica da RelatividadeProf. Julio Marny Hoff da Silva

August 28, 2014

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Sumário

Introdução

A representação dos eventos que não violam a causalidade

O modelo de Gödel

O formalismo matemático do modelo de Gödel

A repercussão do trabalho de Gödel

Conclusão

Referências

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Introdução

Kurt Friedrich Gödel (1906-1978)

Teorema da incompletude

Time Uma das 100 personalidades mais importantes do século XX

Forte interesse sobre a concepção do tempo Contribuição a livro acercada relevância filosófica de Einstein e sua GTR

1949 Publica também An example of a new type of cosmologicalsolutions of Einstein’s field equations of gravitation→ Universos deGödel

31.ago.1950 Apresentação dos universos de Gödel no CongressoInternacional de Matemática→ Modificação significativa nas ideiassobre a questão do tempo

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Introdução (cont.)

Universos de Gödel

Nova geometria para caracterizar a estrutura métrica do Universo (porenquanto, não é uma descrição aceita)

Solução exata das equações de Einstein

Retorno ao passado permitido

Coloca em discussão a validade da GTR

Início do interesse científico nas viagens no tempo

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A representação dos eventos que não violam acausalidade

Representação de evento no espaço-tempo→ Diagrama que mostra ocomportamento da propagação de fótons

Relatividade especial vmaxima = c= 1→ fótons @ 45o→ t2 = x2

Figure: Diagrama de espaço-tempo indicando a linha de mundo de uma partículaestacionária como uma linha reta [McMahon (2006)].

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A representação dos eventos que não violam acausalidade (cont.)

Dentro do cone de luz Regiões tipo-tempo/timelike→ Eventoscasualmente relacionadosFora do cone de luz Regiões tipo-espaço/spacelikeUniversos de Gödel Do centro do diagrama/Retornando ao passado→partícula não viola a causalidade, porque se move numa regiãotipo-tempo dentro do cone de luz

Figure: Diagrama de espaço-tempo com duas dimensões espaciais [McMahon (2006)].Sérgio Mittmann dos Santos [email protected] (UNESP, Câmpus de Guaratinguetá Programa de Pós-Graduação em Física Estrutura Algébrica da Relatividade Prof. Julio Marny Hoff da Silva)Universos de Gödel August 28, 2014 6 / 25

A representação dos eventos que não violam acausalidade (cont.)

Figure: Representação espaço-temporal de uma trajetória tipo-tempo. Odeslocamento do corpo pode ser positivo ou negativo, mas o tempo evolui sempre detal forma que ∆t > 0 [Novello (2005)].

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O modelo de Gödel

Universo de Gödel

≡ Geometria que caracteriza o espaço-tempo do UniversoMatéria ≡ fluido perfeito, ideal, livre de ação externa, sem interação entresuas partes

Possui rotação intrínseca ≡ Vorticidade ω associada com a matéria geradoraTodos os pontos da matéria giram em torno de um eixo→ Não está presenteuma coordenada temporal absoluta

Energia do vácuo≡ Contribuição de todos os campos nos estados fundamentais≡ Constante cosmológica λ

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O modelo de Gödel (cont.)

Consequência da rotação da matériaPossibilide de curvas do tipo-tempo fechadas/closed timelike curves CTCLocalmente corpo viaja dentro do cone de luz→ Causalidade não évioladaEncurva o cone de luz, inclusive para onde ∆t < 0

Figure: Representação espaço-temporal de uma trajetória tipo-tempo fechada.[Novello (2005)].

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O modelo de Gödel: O formalismo matemático domodelo de Gödel

Espaço de Gödel VariedadeM=R1+3

Metrica gik = a2︸︷︷︸= 1

2ω2

1 0 ex1 00 −1 0 0

ex1 0 e2x1 /2 00 0 0 −1

, a > 0 (1)

Elemento de linha dS 2 = a2[(dx0 + ex1 dx2)

2 −dx 21 −

12

e2x1 dx 22 −dx 2

3

](2)

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O formalismo matemático do modelo de Gödel (cont.)

Equações de Einstein

Rik −12

gik R −λ gik︸ ︷︷ ︸≡ geometria do espaco−tempo

= 8πκ

≡Tik︷ ︸︸ ︷ρ ui uk︸ ︷︷ ︸

≡ distribuicao da materia

, c = 1

Rik −12

gik R = 8πκρ ui uk +λ gik (3)

κ = G

ρ = densidade media de materia

λ = constante cosmologica

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O formalismo matemático do modelo de Gödel (cont.)

Rik −12

gik R = 8πκρ ui uk +λ gik

Tensor de Ricci Rik =

1 0 ex1 00 0 0 0

ex1 0 e2x1 00 0 0 0

(4)

Escalar de curvatura de Ricci R =1

a2(5)

Velocidade ui = (a ,0,aex1 ,0) (6)

−12

gik R+Rik = 8πκρ ui uk+λ gik

Rik =1

a2ui uk (7)

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O formalismo matemático do modelo de Gödel (cont.)

Rik −12

gik R = λ gik+8πκρ ui uk

−λ =12

R =1

2a2= 4πκρ =ω2 > 0 (8)

(9)

λ < 0 → Pressão positiva, Ausência de expansão

ω = 2√πκρ→ Universo rotatório

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O formalismo matemático do modelo de Gödel (cont.)

Coordenadas cilíndricas padrão de Gödel Invariância rotacional paraa solução das equações de Einstein→ gik não depende de ϕ

ex1 = cosh(2r)+ cosϕ sinh(2r)

x2ex1 =√

2 sinϕ sinh(2r)

tan

2− x0 −2t

2√

2

)= e−2r tan

ϕ

2,

∣∣∣∣∣∣x0 −2t

2√

2

∣∣∣∣∣∣ < π2x3 = 2y (10)

Elemento de linha dS 2 = 4a2[dt2 −dr2−dy2 +(sinh4 r − sinh2 r)dϕ2

+ 2√

2 sinh2 r dϕ dt]

(11)

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O formalismo matemático do modelo de Gödel (cont.)

Solução de Gödel

Linhas de mundo da matéria que são curvas abertas com comprimentosinfinitos, que nunca se aproximam de um de seus pontos precedentesnovamente

Curvas tipo-tempo fechadas P precede Q →∃ uma trajetória tipo-tempo(velocidade < c) conectando P a Q , na qual se parte de Q para atingir P→ Viagem ao/Influência no passado

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O formalismo matemático do modelo de Gödel (cont.)

dS 2 = 4a2[dt2 −dr2−dy2 +(sinh4 r − sinh2 r)dϕ2 +2

√2 sinh2 r dϕ dt

]Círculo com raio R

y = 0 , t = 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π

r = R > rcritico = ln(1+√

2)sinhrcritico = 1sinh4 R − sinh2 R > 0

Qualquer região desse círculo será tipo-tempo, porque dS 2 > 0

Qualquer região será tipo-tempo também quando

r = R , y = 0 , t = −α ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , α pequeno > 0

Q(ϕ = 0) , P(ϕ = 2π)tfinal = tP < tinicial = tQ → Volta ao passado

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O formalismo matemático do modelo de Gödel (cont.)

Curvas fechadas em torno de r = 0

Figure: Representação tridimensional do universo de Gödel. Os cones de luz tombamno sentido anti-horário e se tornam mais abertos à medida que r aumenta [Dahmen(2006)].

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O formalismo matemático do modelo de Gödel (cont.)

Viagem ao passado com a manutenção da causalidade

Figure: Uma possível viagem ao passado, quando o viajante sai de Q e chega a P ,sendo que tP < tQ [Dahmen (2006)].

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A repercussão do trabalho de Gödel

Gödel e o tempo de Kant

Viagens ao passado Não era a questão central para GödelImportante para Gödel Relatividade geral admitia um tempo condizentecom a concepção de Immanuel Kant→ Tempo não tem realidade objetiva,existe apenas como sensação da mente ≡ Tempo não é independente doobservadorRelatividade especial concorda parcialmente com Kant, por causa darelatividade da simultaneidade, mas o tempo é o mesmo para todos osobservadores com ~vSoluções de Gödel Linhas de mundo não admitem uma definição desimultaneidade relativa (desde que toda a matéria esteja girando)

Volume comemorativo aos 70 anos de Einstein Gödel conclui que seriaimpossível a viagem ao passado de uma espaçonave com uma turbinaque transformasse toda a massa do combustível em energia

Gödel acompanhava os resultados experimentais que pudessem atestaruma rotação no nosso universo, na esperança de que as suas soluçõesfossem válidas para nós

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A repercussão do trabalho de Gödel (cont.)

Apresentação dos resultados numa conferência em homenagem aEinstein Homenageado não gostou do que ouviu, talvez porque fosseuma espécie de crítica à sua teoria

Texto de Einstein no volume comemorativo aos seus 70 anos

Destaca a importância do trabalho de Gödel para a GTR sobre o conceito dotempoJá havia notado o problema, quando elaborou a GTR, mas não sabia o quefazerMenciona que as soluções deveriam ser descartadas por razões físicas,mas não cita quais

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A repercussão do trabalho de Gödel (cont.)

Stephen W. Hawking

GTR x Causalidade→ Qual a consequência para aquele que mata o própriopai enquanto bebê?Soluções de Gödel não são para o nosso universo→ Conjectura deproteção da cronologia→ Leis da física não permitem o aparecimento decurvas fechadas tipo-tempoOnde estão os turistas do futuro?

Para a filosofia, surgiram questões relacionadas aos paradoxosoriginados por uma viagem ao passado e à contextualização históricada filosofia do tempo

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Conclusão

A estreita relação entre Gödel e Einstein não impediu que a GTR fossecolocada em cheque pelo primeiroGödel mostrou que a sua solução para a GTR admitia curvas fechadasno espaço-tempo, abrindo a possibilidade de viagens ao passadoPara Gödel, mais importante foi a sua solução trazer dúvidas sobre aconcepção do tempo→ No universo de Gödel, não há uma estruturatemporal que possa ser determinada pela relativização das linhas demundo principaisEinstein não admirava a proposta de Gödel (se vivo, talvez se dedicassea confirmar a conjectura de Hawking)A conjectura de Hawking exige que se responda por que as leis da físicasproíbem o estabelecimento de um universo de Gödel, o que ainda não éconhecido

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Conclusão (cont.)

Apesar da importante contribuição de Gödel à discussão sobre avalidade da GTR, em geral, ele não é lembrado por isso

O trabalho de Gödel continua sendo importante para a pesquisa sobre otempo

Fomenta atividades que procuram validar as soluções de 1949Estimula a busca por estruturas no Universo capazes de permitir a volta aopassadoContribui para a discussão científica sobre a construção da máquinapensada por H. G. Wells

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Referências

S. R. Dahmen, Gödel e Einstein: E quando o tempo não resiste àamizade?, Revista Brasileira de Ensino de Física 28, n. 4 (2006)K. Gödel, An example of a new type of cosmological solutions ofEinstein’s field equations of gravitation, Rev. Mod. Phys. 21, n. 3 (1949)M. Novello, Máquina do tempo: um olhar científico, 2a. ed., Rio deJaneiro, Jorge Zahar Editor (2005)D. McMahon, Relativity demystified: a self-teaching guide, New York,McGraw-Hill (2006)S. Deser e R. Jackiw, Time travel?, arXiv:hep-th/9206094v1 (1992)S. W. Hawking, O Universo numa casca de noz, 5a. ed., São Paulo, Arx(2002)M. Novello, Cosmologia, Coleção CBPF – Tópicos de Física, São Paulo,Editora Livraria da Física (2010)L. A. Anchordoqui, S. E. P. Bergliaffa, M. L. Trobo e G. S. Birman,Cylindrically symmetric spinning Brans-Dicke spacetimes with closedtimelike curves, arXiv:gr-qc/9804074v1 (1998)B. Jensen, Notes on spinning strings, Class. Quantum Grav. 9, L7 (1992)

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Obrigado!

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