KURT GDEL Constructor de Universos

Miguel Monsalve G. & Jos Alexander Vargas M.

(1906-1978)

Febrero de 2009

Kurt Gdel 1906 - 19781906Nace en Brno, provincia de Moravia, en ese entonces austro-hngara, hoy perteneciente a la Repblica Checa. Fue el segundo de los dos hijos de Rudolf y Marianne Gdel, alemanes protestantes.

Estudia Fsica1918Justo cuando Checoslovaquia logr su independencia al finalizar la Primera Guerra Mundial, el joven Kurt ingresa al Realgymnasium. Casi siempre logra dieces: Irnicamente, la nica vez que recibe algo menos de diez fue en una clase de matemticas.

Estudia Fsica1924Kurt sigue a su hermano mayor Rudolf a la Universidad de Viena, a poco ms de cien Kilmetros de Brno. Al principio quiso cursar la carrera de Fsica. De acuerdo a las fichas de biblioteca que coleccionaba, lee muchos textos de fsica.

De la Fsica a la Lgica1926Hans Hahn invita a Gdel a una de las reuniones del Crculo de Viena. A partir de ese momento, Gdel traslada su atencin de la fsica a la lgica. A travs de los positivistas vieneses conoce la primera edicin del Grundzge der Theoretischen

Logik, de Hilbert-Ackermann.

De la Fsica a la Lgica1928Gdel se plantea el problema de la completitud del Clculo de Predicados, que permite la formalizacin de la lgica de Aristteles, para desarrollar su tesis doctoral.

Tesis y Adele1929Trabaja en su tesis doctoral durante la primera mitad del ao y el director de tesis aprueba su defensa el 6 de julio. Mientras trabaja en su tesis doctoral, Kurt conoce a Adele Nimsburger, quien sera su pareja por el resto de su vida.

Kurt tena 22 aos, Adele 29; ella estaba a punto de divorciarse, era de clase baja, de religin catlica y trabajaba como bailarina en un club nocturno. Sus padres nunca aceptaran esta relacin.

El Teorema de Gdel1929Tesis Doctoral:

axiomas del clculo funcional de primer orden.OBJETIVO PRXIMO: Demostracin de la completitud de la Teora de Nmeros mediante la Aritmetizacin de la aritmtica formalizada.

La completitud de los

Un Universo aritmtico

1930En febrero recibi el ttulo de doctor e inicia el camino de demostrar la consistencia de los axiomas de la Aritmtica y lo finaliza en otoo de ese mismo ao, con un resultado totalmente inesperado.

Aritmetizacin de los signos elementalesConstante Nmero Variable Nmero Variable Nmero Variable Nmero de Numrica de Proposicional de Predicativa de Gdel Gdel Gdel Gdel 1 x 11 p 112 P 113 2 y 13 q 132 Q 133 3 z 17 r 172 R 173 T 193 4 u 19 s 192 = 5 . . . . . . 0 6 . . . . . . S 7 . . . . . . ( 8 ) 9 , 10

AritmetizacinFrmulas. Sea F la frmula siguiente: ( p p ) p 8 112 2 112 9 3 112

Luego : G(F) = 28 3112 52 7112 119 133 17112

Primer teorema de incompletezCualquier sistema axiomtico que permita formalizar la aritmtica elemental, y sea consistente, es esencialmente incompleto. Si la aritmtica es consistente, entonces es incompleta. Es decir, sin importar el conjunto de axiomas que se utilice, siempre habr en Matemticas verdades que no se pueden demostrar.

La completitud no podr alcanzarse jams.

Segundo teorema de incompletezSi la aritmtica elemental se puede formalizar en un sistema axiomtico consistente, entonces la consistencia del sistema no se puede demostrar dentro del sistema mismo. Es decir, es imposible establecer la consistencia lgica de una teora formalizada que contenga la aritmtica. La certeza de la no contradiccin jams ser alcanzada.

Publicacin y nombramiento1931En marzo son publicados los dos teoremas sobre la incompletitud de la Aritmtica y la indemostrabilidad de su consistencia.

1932Gdel utiliza esta investigacin como Habilitationsschrift y logra acceder a una plaza remunerada en la Universidad de Viena.

Viena - Princeton1933Es invitado a pasar un ao como investigador en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, E.U. All se conoce con Albert Einstein. Desarrolla sus ideas sobre computabilidad y descubre las llamadas funciones recursivas.

Viena - Princeton1934La salud de Gdel decae en forma paralela al declive del bienestar poltico del pas. Sufre de dolor de muelas durante todo el verano, en octubre se queja de estar exhausto mentalmente y pasa una semana de reposo en un sanatorio en las afueras de Viena.

Hipocondra y depresin1935En septiembre viaja a Princeton para otro perodo de un ao. Al cabo de dos meses, recae en la depresin. En noviembre vuelve a Viena. Esta vez necesit varios meses para recuperarse.

La Hiptesis del Continuo y Adele1938Gdel demuestra que si la teora de conjuntos es consistente, aadir el axioma del continuo (es decir, que el cardinal del continuo es el segundo cardinal transfinito) no la hace inconsistente.

En las puertas del exilio 1939En junio regresan a un pas totalmente dominado por los nazis. El ejrcito lo considera no apto para el combate, pero s para ocuparse de la guarnicin. Durante el otoo de 1939, mientras el ejrcito alemn invade Polonia, Gdel y el Instituto de Estudios Avanzados negocian visados de salida de Alemania y de entrada a E. U.

EL INSLITO VIAJE DE GDEL Y ADELE 1940Mosc Vladivostok

Viena Yokohama

San Francisco

Princeton

POR QU NO ESTA RUTA?Viena

Princeton

Gdel y EinsteinEinstein comentaba que su propio trabajo ya no significaba demasiado para l y que mantena la tradicin de ir a su despacho slo para tener el privilegio de volver a casa caminando con Kurt Gdel

Gdel y EinsteinGdel era el nico de nuestros colegas que paseaba y hablaba de igual a igual con Einstein Freeman Dyson

UNIVERSO ROTATORIO UN MUNDO SIN TIEMPO?

Un mundo sin tiempoAl finalizar este ao, Gdel presta atencin a la cosmologa. Durante esa dcada construye un modelo rotatorio de universo que satisface las ecuaciones de Einstein. En tal universo rotatorio, cerrado, las lneas del tiempo, es decir, el viaje al pasado (remoto), es tericamente posible. Y si el pasado puede hacerse presente, no desaparece el tiempo?

1940

Filosofa 1943Explora en profundidad la filosofa Kantiana y su interpretacin de las nociones de espacio y tiempo, buscando una posible conexin con la Teora General de la Relatividad.

Involucrarse en la Filosofa es saludable, incluso cuando no emergen resultados positivos El color es ms brillante, es decir, la realidad aparece ms claramente como tal

Tesis filosficas1. Los objetos matemticos existen con independencia de nuestro conocimiento de ellos, su realidad es anloga a la de los objetos fsicos. 2. Los enunciados y axiomas matemticos se refieren a los objetos matemticos. 3. Poseemos una intuicin de los objetos y axiomas matemticos que puede aportar autntico conocimiento.

La Filosofa hoy, est, a lo mejor, en el punto donde estaban las Matemticas de Babilonia.

No veo ninguna razn por la cual deberamos tener menos confianza en la intuicin matemtica que en la percepcin sensible

Tender mi cama es un ejercicio saludable y de todas maneras no tengo nada mejor que hacer.

Alegras y dolores

1951Recibe el premio Albert Einstein.

1955Muere Albert Einstein. Gdel se siente profundamente afectado, empeorando su estado de nimo y su salud.

Honores y distinciones1950. Es nombrado Doctor Honorario en Literatura por la Universidad de Yale. 1952. Es nombrado Doctor Honorario en Ciencias por Harvard, con una mencin que lo llam el descubridor de la verdad matemtica ms significativa del siglo.

1955. Es elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias. 1967. Es elegido miembro honorario de la Sociedad Matemtica de Londres. 1957. Es elegido miembro de la Academia Americana de las Artes y Ciencias. 1961. Ingresa a la Sociedad Filosfica de Amrica.

1975. Recibe la Medalla Nacional de las Ciencias.

Declinacin y muerteA partir de 1970 la salud mental de Gdel se deteriora a tal punto, que sus temores de ser envenenado lo llevan a seguir una dieta extrema que termina por dejarlo en un estado de malnutricin severa.

Declinacin y muerte1977Tras las navidades de 1977 ingresa al hospital por ltima vez. El 14 de enero de 1978 muere Kurt Gdel de inanicin, pesando 30 Kilogramos.

Es fundada la Kurt Gdel organizacin Society, internacional dedicada a la promocin de la investigacin en Lgica, Filosofa e Historia de las Matemticas.

1987

Vivimos en un mundo en el que el noventa y nueve por ciento de todas las cosas bellas se destruye cuando an estn germinando.

Los matemticos tienen fama de excntricos. Este honor ( el de ser el ms excntrico de todos) recae indudablemente en Kurt Gdel, el mejor matemtico lgico de todos los tiempos y, ciertamente, el ms loco. Stephen Hawking

ZEITGEIST: El espritu del tiempo.TEORA GENERAL DE LA RELATIVIDAD PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE TEOREMAS DE INCOMPLETITUD

La filosofa de la matemtica actual ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre los problemas de la fundamentacin de la matemtica, especialmente tras los resultados de Gdel a comienzos de los aos 30, para enfocar su atencin en el carcter cuasiemprico de la actividad matemtica (I. Lakatos), as como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersin de la matemtica en la cultura de la sociedad en la que se origina (R.L.Wilder), considerando la matemtica como un subsistema cultural con caractersticas en gran parte comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de los matemticos sobre su propio quehacer vienen provocando, de forma mas o menos consciente, fluctuaciones importantes sobre lo que la enseanza de las matemticas debe ser. Miguel de Guzmn.

BibliografaAlonso, Enrique. Scrates en Viena. Una biografa intelectual de Kurt Gdel. Montesinos, 2007. Gdel, Kurt. Obras Completas. Edicin de Jess Mostern. Alianza Editorial. Madrid, 2006. Gdel, Kurt. Ensayos inditos. Biblioteca Mondadori, Barcelona, 1994. Guzmn, Miguel De. Tendencias Innovadoras en educacin matemtica. Universidad Complutense de Madrid, 1989. Hawking, Stephen. Dios cre los nmeros. Kurt Gdel. Vida y Obra. Ed. Crtica, Barcelona, 2005. Monsalve G. Miguel. Limitaciones internas de los sistemas formales. Contextualizacion de los sistemas de Gdel. Revista Ciencias Humanas. Universidad Nacional, Sede Medelln, N21, 1995. Vargas M., Jos Alexander. El teorema de Gdel. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelln 2006 Vlez, Juan Diego. Kurt Gdel. Grandes Pensadores. Matemticos, Fsicos y Qumicos. Universidad Nacional de Colombia, sede Medelln, 2003. Yourgrau, Palle. Un mundo sin tiempo. El legado olvidado de Gdel y Einstein. Tusquets editores, Barcelona, 2007.