Argumentul ontologic al lui Kurt Gdel

Kurt Gdel este cel mai bine cunoscut de ctre matematicieni i de ctre publicul larg pentru teoremele sale de incompletitudine. Fizicienii, de asemenea, i cunosc faimosul su model cosmologic, n care liniile temporale se apropie una de cealalt ntr-un continuum spaiu-timp curbat, astfel nct trecutul ndeprtat i viitorul sunt unul i acelai. Ceea ce este mai puin cunoscut este faptul c Gdel a schiat o versiune revizuit a argumentului ontologic tradiional al lui Anselm de Canterbury, pentru existena lui Dumnezeu.Cum ajunge un matematician s fie implicat n chestiunea legat de Dumnezeu? Gdel a fost un mistic, a crui cercetare matematic a ilustrat o atitudine filozofic apropiat de neo-platoniti. Din acest punct de vedere, Gdel a avut multe n comun cu teologii i filozofii medievali, precum i cu matematicienii secolului XX, care au fost pionierii teoriei computaiei i tiinelor computaionale moderne. Totui, un motiv mai profund al contribuiei lui Gdel la argumentul ontologic este acela c cele mai sofisticate versiuni ale argumentului ontologic sunt scrise astzi n termeni de logic modal, o ramur a logicii care era familiar crturarilor medievali i care a fost axiomatizat de ctre C. I. Lewis (a nu fi confundat cu C. S. Lewis sau C. Day Lewis). S-a dovedit c logica modal nu constituie numai un limbaj folositor pentru discutarea chestiunii lui Dumnezeu, dar de asemenea este un limbaj util pentru teoria argumentrii, studiul a ceea ce poate sau nu poate fi dovedit cadrul sistemelor deductive matematice. Chestiunile completitudinii sistemelor matematice, a independenei axiomelor fa de alte axiome, i chestiunea consistenei sistemelor matematice formale constituie toate pri ale teoriei argumentrii.Discuiile despre teoria argumentrii seamn deseori cu un discurs despre Dumnezeu: Atunci cnd vorbeti despre Dumnezeu, trebuie s discui chestiuni ca "dac Dumnezeu a creat Universul, atunci cine l-a creat pe Dumnezeu?" n cadrul teoriei argumentrii trebuie s discui probleme ca "dac o propoziie este adevrat, atunci este adevrat c putem dovedi propoziia?" n metafizic, o persoan discut posibila existen a unor lumi ipotetice n care Dumnezeu nu exist. n teoria argumentrii, o persoan examineaz independena unei axiome prin gsirea unor modele n cadrul crora axioma nu funcioneaz. n metafizic, o persoan poate vorbi despre "colapsul modal", n care orice propoziie care este adevrat ntr-o msur oarecare este n mod necesar adevrat. n teoria argumentrii, o persoan poate vorbi despre "completitudine", n care fiecare propoziie care poate fi adugat complet sistemului de axiome poate fi dovedit din alte axiome. O parte din munca de pionierat a lui Kurt Gdel a artat faptul c logica modal a filosofilor, care a fost utilizat pentru analiza argumentului ontologic pentru existena lui Dumnezeu, a fost de asemenea foarte folositoare n cadrul teoriei argumentrii i n matematic.

Un scurt portret biograficKurt Gdel s-a nscut n oraul ce se numete acum Brno, n Cehia, n anul 1906. (La vremea respectiv, oraul se numea Brnn i era parte a Imperiului Austro-Ungar.) n 1923, a intrat la Universitatea din Viena, obinndu-i doctoratul n anul 1929 sub supravegherea lui Hans Hahn (1879-1934), mai bine cunoscut de matematicieni drept jumtatea teoremei Hahn-Banach. Gdel s-a alturat Universitii din Viena i a devenit membru al faimosului grup al filozofilor pozitiviti pn n anul 1938. n perioada n care a fcut parte din acest cerc filosofic, gndirea sa a fost influenat enorm de lucrrile lui Leibniz. Acest lucru i va influena opinia cu privire la argumentul ontologic.Odat cu izbucnirea celui de-al Doilea Rzboi Mondial, Kurt Gdel a hotrt s prseasc Viena. A emigrat n Statele Unite n anul 1940 i s-a alturat Institutului pentru Studii Avansate (Institute for Advanced Study) din Princeton n 1953 pn la moartea sa n 1978.Rolul necesitii modaleAa cum a fost menionat mai sus, cadrul obinuit pentru discutarea argumentelor ontologice pentru existena lui Dumnezeu este constituit de contextul logicii modale. Ce este ns logica modal i de ce avem nevoie de aceasta?S lum n considerare urmtoarea "dovad" pentru existena lui Dumnezeu. S numim asta argumentul din omniscien. Dumnezeu este neles ca fiind o fiin care tie absolut totul, adic este omniscient. Dac ceva este adevrat, Dumnezeu (real sau imaginar) ar ti asta. n mod similar, dac ceva este fals, Dumnezeu (real sau imaginar) ar ti i asta, de asemenea. mpreun cu asta se gsete faptul c noi l concepem pe Dumnezeu ca deinnd toat nelepciunea (raiunea). O fiin care a creat universul, dar este iraional, nu ar putea fi numit n mod corespunztor Dumnezeu. Toate persoanele raionale cred n propria lor existen. Chiar dac acestea nu exist, aceasta se presupune a fi o propoziie adevrat. Popeye este conceput drept creznd n propria-i existen. Acesta pur i simplu se nal asupra acestui fapt. Indivizii reali cred n mod corect n propria lor existen, n vreme de persoanele fictive se nal din pcate asupra acestui lucru. Dac Dumnezeu nu ar exista, atunci conform primului punct de mai sus, Dumnezeu ar ti dac exist sau nu. ns acest lucru contrazice al doilea punct. Prin urmare, Dumnezeu trebuie s existe.Acum, nimeni nu poate crede nici mcar pentru o clip c acest argument va convinge pe cineva de existena lui Dumnezeu. Mai degrab, cele expuse mai sus aparin logicii modale naive. Ce am reuit ns s dovedim prin argumentul de mai sus, dac nu existena lui Dumnezeu?Argumentul l definete pe Dumnezeu ca fiind o fiin omniscient raional. Matematicienii au tendina de a accepta ideea c poi defini anumii termeni aa cum vrei. Nu exist vreo pretenie c acesta este Dumnezeul iudeo-cretin, sau dumnezeul altei religii. Ar trebui s acceptm cu toii c, indiferent dac aceast fiin este numit Dumnezeu sau nu, o dovad a existenei unei fiine omnisciente raionale nu constituie o realizare nensemnat. Aadar, nu aceasta este problema cu acest argument.n schimb, am putea cuta argumente despre posibilitatea ca o fiin raional s nu cread n propria sa existen. Descartes a emis afirmaia Cogito ergo sum, iar majoritatea dintre noi acceptm ideea c a te ndoi de propria existen ar constitui o stare mental ciudat.Adevrata problem este aceea c argumentul face o presupunere care nu este prezentat n mod explicit. Acesta presupune c este posibil ca o fiin omniscient raional s existe, unde omnisciena include cunoaterea propriei sale existene. Prin urmare, ceea ce argumentul pare s enune de fapt este c:DAC este posibil ca o fiin omniscient raional s existe, ATUNCI n mod necesar o fiin omniscient raional exist.Putem scrie acest lucru folosind simbolismul logicii modale dreptg gunde g este afirmaia c o fiin raional omniscient exist. Simbolul care arat ca un magnet reprezint implicaia material. Afirmaia ab este adevrat pentru implicaia material n afara cazului n care a este adevrat, iar b este fals.Putem scrie concluzia de mai sus i sub forma~g gunde denot o disjuncie slab - echivalent cu "sau/i" n limbajul obinuit, iar ~ nseamn negare. Alte simboluri includ ab, "a este echivalent cu b" iar a&b, "a i b".Simbolurile i sunt numite simboluri modale (operatori modali) i denot conceptul adevrului necesar (ca fiind opus contingentului sau accidentalului) i adevrul posibil. De exemplu, propoziia(exist un numr prim ntre n i 2n pentru toate numerele ntregi pozitive n)este adevrat, deoarece propoziia este demonstrabil, iar astfel este n mod necesar adevrat. Totui(un copac crete n Brooklyn)este fals, n felul n care nelegem noiunile copac i Brooklyn. Faptul c un copac crete n Brooklyn constituie un adevr contingent sau accidental, cel mai bine exprimat prin propoziiat & ~tunde t este afirmaia c "un copac crete n Brooklyn." Nu avem nevoie de doi operatori modali, deoarece este posibil s scriem n termeni de i viceversa. Astfel(a~~a) & (a~~a)este o tautologie.Nu trebuie s presupunem c singurele adevruri necesare sunt cele pe care le putem dovedi. Gdel a artat slbiciunile acestei presupuneri cu primele dou teorii ale incompletitudinii. Nici nu trebuie s presupunem c adevrul matematic i cel logic cuprind toate adevrurile necesare. Ar putea exista multe altele, de asemenea. Platon a considerat c adevrurile necesare pot i gsite, de asemenea, n estetic i etic foarte bine.Care sunt axiomele sau postulatele logicii modale? Pe lng postulatele obinuite sau logica prepoziional, logica modal impune de asemenea postulate precumaapentru toate propoziiile a. Contrapoziia acestei familii de postulate esteaaUn alt principiu deseori folosit este i postulatul(a b)(ab)care este modus ponens modal.De asemenea, este folositor i postulatul ineluctabila este adevrat cnd a este demonstrabiladic, a este el nsui un postulat sau o teorem.Aceste postulate reprezint nucleul comun al logicii modale. Dou postulate adiionale sunt deseori oferite pentru a conferi o soliditate suplimentar. Primul dintre acestea estea aiar al doilea estea ampreun, aceste dou postulate susin c statutul modal al unei propoziii este un adevr necesar. Principiul conform cruia statutul modal al unei propoziii este un adevr necesar este numit postulatul lui Becker.Definiie: Sistemul logic cu postulate generale (inclusiv necesitatea i modal modus ponens) i prima dintre cele dou afirmaii care alctuiesc postulatul lui Becker este numit S4. Sistemul logic cu postulatele generale (inclusiv necesitatea i modal modus ponens) mpreun cu ambele afirmaii ale postulatului lui Becker este numit S5.

Ferestre ctre lumile modaleLumea I: Falsitatea necesar

Sursa: Galeria lui John Spirko. Toate drepturile rezervate.Frumoasa portretizare a Triunghiului Penrose de ctre John Spriko ne ofer o fereastr n prima dintre cele patru lumi modale: lumea propoziiilor care sunt n mod necesar false. Ceea ce vedem n aceast imagine este imposibil din punct de vedere geometric. S-ar putea s dorii s vizitai paginile lui John Spriko pentru a vedea ce crede acesta despre Triunghiul Penrose. Este credina noastr n imposibil doar o limitare n noi nine, sau este ceva fundamental al naturii realitii platoniene?

Lumea a II-a: Falsitatea contingent

Sursa: Galeria lui Slawek Wojtowicz.Universurile paralele, istoriile alternative i viziunile fantastice constituie toate hran pentru minte, n a doua dintre cele patru lumi modale: lumea n care propoziiile sunt contingente, dar false. Astfel de lumi sunt viziuni a ceea ce este posibil, chiar dac tim c astfel de lumi nu vor deveni niciodat realitate. n aceast imagine, vedem portretizarea misterioas a lui Slawek Wojtowicz a unor corpuri suspendate de "Baby Boomers" plutind n atmosfera superioar a planetei lor.

Lumea a II-a: Adevrul contingent

Sursa: NASA

Lumea adevrului contingent constituie decorul potrivit pentru tiine. n vreme ce scriitorii de science fiction pot permite cltorii cu o vitez mai mare dect viteza luminii sau paradoxul bunicului n cltoria n timp, oamenii de tiin sunt constrni de ceea ce este posibil sau de ceea ce este cunoscut. Asta las suficient loc pentru aventur.

Lumea a IV-a: Adevrul necesar

Sursa: Baza de date cu imagini fractal de la CNAM. Imagine de Noel Giffin.

Am ales aceast imagine fractal extraordinar a unui element mandelbrot din cadrul mulimii mandelbrot drept fereastra ctre lumea propoziiilor necesar adevrate. Complexitatea infinit a mulimii mandelbrot ne reamintete att de elegana adevrului matematic, ct i de subtilitatea acestuia. n vreme ce unii consider c lumea matematicii constituie un produs al minii umane, se poate trage concluzia privind mulimea mandelbrot c poate creaia i-a depit creatorul. Ce minuni rmn a fi descoperite n adncurile infinite ale acestei mulimi?

Logica falsDei logica modal poate prea relativ ciudat, n multe aspecte este mai consistent cu logica vorbirii obinuite dect este logica prepoziional (calculul prepoziional) folosit de matematicieni. O zon n care logica modal este util este aceea a discutrii propoziiilor false. De exemplu, propoziiaDac Napoleon ar fi ctigat btlia de la Waterloo,atunci limba francez ar fi nlocuit engleza ca limbaj n cadrul relaiilor internaionalepoate fi dezbtut semnificativ n cadrul logicii modale. Totui, n logica prepoziional, aceast propoziie ar fi trivial adevrat, deoarece orice propoziie de forma ab este adevrat n logica prepoziional dac propoziia a este fals. Alte propoziii trivial adevrate din logica prepoziional includ Dac Napoleon ar fi ctigat btlia de la Waterloo,atunci Statele Unite ar fi devenit n cele din urm o anarhie agrar panicsauDac Imperiul Roman nu ar fi deczut datorit barbarilor,atunci computerele ar folosi cifre romane n zilele noastre.Din nefericire, aceast propoziie este trivial adevrat n logica prepoziional, la fel ca i Dac Imperiul Roman nu ar fi deczut datorit barbarilor,atunci computerele nu ar folosi cifre romane n zilele noastre.Nu par s existe prea multe motive pentru o dezbatere. S presupunem c r reprezint propoziia "Imperiul Roman nu a deczut datorit barbarilor", iar c este propoziia "computerele folosesc numerale romane". Atunci, n logica prepoziional, propoziiile rc i r~c sunt amndou adevrate deoarece r este fals. Pe de alt parte, n cadrul logicii modale (reflectnd mai adecvat vorbirea obinuit) este rezonabil s se afirme c (rc) este adevrat i (r~c) este fals, sau viceversa. Logicienii modali numesc aceast form de implicare deducie, pentru a o deosebi de implicaia material aa cum este definit de ctre operatorul logic .Pentru a utiliza falsiti ntr-o argumentare, este important s se disting diferitele tipuri de necesiti modale sau posibiliti modale. De exemplu, un argument bazat pe posibilele consecine ale victoriei lui Napoleon la Waterloo, nu ar trebui s poat presupune c, de asemenea, legile fizicii s-au schimbat. ntr-un fel, legile fizicii ar trebui s apar ca fiind mai necesare dect faptul c Napoleon a pierdut btlia de la Waterloo. n vreme ce asta poate fi puin ngmfat din punctul de vedere filozofic, este cu siguran baza pentru vorbirea obinuit. n cartea sa, The Nature of Necessity, Alvin Plantinga face diferena ntre necesitatea natural pe de o parte i necesitatea logic general, pe de alt parte. PropoziiaVoltaire a notat odinioar n Atlanticeste imposibil din punct de vedere modal al necesitii naturale, dar este posibil din punctul de vedere modal al necesitii logice generale.Pentru modul meu de gndire, este ndoielnic faptul dac ne putem limita numai la aceste dou concepte modale de necesiti (sau posibiliti). Limbajul i lumea noastr abund de diverse restricii asupra posibilitilor. tiina nu poate ignora logica modal, exilnd-o pe trmurile speculaiilor metafizice. De exemplu, pentru a nelege relaionarea cauzal - pentru a afla felul n care un eveniment poate fi o cauz pentru un altul - s-ar prea c trebuie s lucrm cu falsiti n tiin. Dac voi afirma c un anumit medicament provoac un anumit rspuns la un subiect, atunci s-ar prea c am afirmat c dac medicamentul este administrat atunci va fi urmat de rspuns, n timp ce dac medicamentul nu este administrat nu va fi urmat de rspuns. Una dintre cele dou propoziii reprezint o argumentare fals.

Proprieti esenialeS presupunem c o persoan a pretins c a verificat dac Mo Crciun exist. Cum am putea confirma asta? S presupunem c l ntrebm de ce crede n Mo Crciun, iar acesta rspunde:"Pi, am rmas treaz noaptea trecut i am vzut un brbat n sufrageria mea mbrcat ntr-un costum rou. Avea un sac mare pe umr, era destul de gras i avea o barb alb bogat. Cnd l-am ntrebat cine este, mi-a rspuns: 'Spune-mi Mo Crciun, amice', i a ieit apoi pe fereastr."

Sursa: Wikipedia. Ilustraie deThomas Nast - "Merry Old Santa Claus".Ce putem crede despre asta? Putem examina logica adus n favoarea argumentului pentru existena Moului, n felul urmtor:1. Mo Crciun este un brbat gras care poart un costum rou i are o barb alb.2. Un brbat gras purtnd un costum rou i avnd o barb alb a fost n sufrageria mea noaptea trecut.Consecina punctelor 1 i 2 este:3. Mo Crciun a fost n sufrageria mea noaptea trecut.4. Dac Mo Crciun nu exist, atunci nu ar fi fost n sufrageria mea noaptea trecut.Concluzia punctelor 3 i 4 este:5. Mo Crciun exist.n pofida dovezilor consistente din partea a milioane de copii din lumea ntreag, cititorul va fi iertat dac nu a gsit aceste argumente convingtoare. Mai departe, s presupunem c altcineva care crede de asemenea n Mo Crciun, furnizeaz urmtoarea mrturie:"M gseam n sufrageria mea n ajunul Crciunului trecut n jurul miezului nopii, i am fost uimit s vd un brbat care a aprut din emineu i a intrat n camer purtnd un sac mare pe umr. Puteam s jur c emineul nu era suficient de larg pentru a-i permite s ptrund, dar a reuit cumva s-o fac. i-a dus degetul arttor de la mna dreapt la gur i dup un sst!,a scos n linite din sac un set de lego, un tractor de jucrie i o main de splat adevrat. Cum a reuit s coboare maina de splat pe hornul emineului i cum a ncput n acel sac nu pot s-mi dau seama. Nu era mbrcat ca Mo Crciun: costumul su era cafeniu, nu rou, iar barba era roie, nu alb. Totui, avea o licrire n ochi i prea un tip foarte vesel. A disprut apoi ca prin magie pe horn i a luat cteva prjituri cu el. Sunt sigur c era Mo Crciun."Putem identifica n mod cert o structur logic n acest raionament:1. Mo Crciun este un ins vesel i cu puteri magice, care aduce cadouri n ajunul Crciunului.2. Un ins vesel i cu puteri magice se afla n sufrageria mea livrnd cadouri n ajunul Crciunului.Consecina punctelor 1 i 2 este:3. Mo Crciun a fost n sufrageria mea n ajunul Crciunului.4. Dac Mo Crciun nu exist, atunci nu ar fi fost n sufrageria mea n ajunul Crciunului.Consecina punctelor 3 i 4 este:5. Mo Crciun exist.Acum, am putea fi tentai s punem la ndoial veridicitatea mrturiei acestui personaj. ns s presupunem pentru moment c amndou mrturiile prezentate mai sus sunt despre nite evenimente care s-au petrecut n realitate. Este evident c a doua mrturie ofer mai multe motive pentru a crede n Mo Crciun dect prima. De ce?Diferena fundamental ntre cele dou argumentri este reprezentat de definiia lui Mo Crciun. Dac Mo Crciun ar fi definit drept un individ care este gras, are o barb alb i poart un costum rou, atunci n mod clar orice persoan care se potrivete acestei descrieri ar fi, prin definiie, Mo Crciun. n mod evident exist numeroase persoane care se potrivesc acestei descrieri. Aadar, Moul nu este definit n mod unic prin aceast descriere. Exist i o alt problem, de asemenea. Dac Moul este definit ca fiind o persoan care poart un costum rou, atunci acesta nceteaz s mai fie Moul atunci cnd i-l scoate? Ar nceta s mai fie Moul dac s-ar brbieri? Ar deveni altcineva dac ar ine o diet i un program de exerciii fizice care l-ar determina s slbeasc?Problema este de o importan practic. Cunoatem cu toii persoane care au slbit ori s-au ngrat att de mult, nct prietenii acestora i recunosc cu greu. Organele de poliie de pretutindeni i caut pe suspeci n funcie de anumite descrieri i cunosc foarte bine faptul c aceste descrieri nu sunt complet satisfctoare drept caracteristici pentru identificare. Care sunt caracteristicile definitorii pentru orice individ? n termeni filosofici formali, cum putem determina dac un individ este cu adevrat identificat drept "Mo Crciun" sau este doar cineva care se potrivete descrierii acestuia?Logicienii modali definesc o proprietate a unui individ ca fiind esenial, dac este evident faptul c acel individ are acea proprietate. Prin urmare, dac x este individul cunoscut drept "Mo Crciun", iar F este proprietatea de a avea puteri magice, atunci F este o proprietate esenial dac Fx este o propoziie adevrat. Altfel, se spune c o proprietate este contingent. Astfel, a avea puteri magice se pare c reprezint o proprietate esenial a lui Mo Crciun, n vreme ce a fi gras, din cte tim, este contingent. Dac Mo Crciun exist sau nu este irelevant aici. Faptul c Mo Crciun ar putea sau nu s existe poate fi determinat numai prin deinerea unei informaii neechivoce despre proprietile eseniale ale Moului, pe care s le putem identifica la acesta, n cazul n care l-am ntlni.Un concept adiional de care avem nevoie este cel al esenei unui individ sau obiect. Esena unui individ reprezint o ntrire a noiunii unei proprieti eseniale, pentru a o face maximal.Definiie: o proprietate F reprezint esena unui individ x dac pentru fiecare proprietate G, propoziiaGx (Fx Gx) este adevrat.A se remarca faptul c propoziia FxFx este o teorem a logicii prepoziionale. Prin urmare, alturi de axioma necesitii, avem (FxFx). Aadar, dac F este o esen a x, putem deduce c Fx, adic, F este o proprietate esenial a lui x. Bineneles, nu fiecare proprietate esenial trebuie s fie o esen.A sosit momentul s avem n vedere argumentul ontologic original propus pentru prima oar de ctre Anselm.Argumentul ontologic al lui AnselmEste o concepie comun pentru epoca noastr secular tehnologic faptul c clericii cretini medievali erau intolerani cu opiniile i religiile altora. Imaginea noastr despre viaa monastic medieval rentrete aceast idee. Ne imaginm un clugr stnd ntr-o mnstire ntunecoas i recitnd la nesfrit dogmele vechi ale unei religii antice, captiv ntr-o ordine social care nu permitea vreo mobilitate. De fapt, adevrul este c universitile au fost nfiinate pentru prima dat n Europa n perioada medieval. Multe din principiile libertii de gndire i a cuvntului au fost elaborate din dorina universitilor timpurii de a pstra o oarecare independen fa de puterea autoritar a vremii.Orict temei ar exista n tabloul Evului Mediu zugrvit mai sus, provenit parial din filme, emisiuni de televiziune i literatura medieval romantic, acesta reprezint o simplificare excesiv a realitii. Evul Mediu s-a ntins pe o mare perioad de timp. A pune laolalt toate aceste societi ar fi comparabil cu a confunda Anglia lui Jane Austen cu America lui Bill Gates. De asemenea, multe dintre ideile pe care le avem despre instituiile eclesiastice nu provin din Evul Mediu, ci din schimbrile dinamice ale perioadei Reformei i Contra-Reformei. Cu siguran, acolo nu se gsea linia clar dintre sacru i secular, aa cum exist astzi. Dar nu era vorba despre faptul c viaa obinuit era mai sacr, ci instituiile eclesiastice erau mai seculare. Violena era endemic n societatea de la mijlocul perioadei evului mediu, cea mai mare parte a puterii fiind concentrat n minile unor oameni care erau de fapt despoii rzboinici locali. Justificarea pentru violen nu era arbitrar, ci era determinat de autoritatea persoanei care o svrea. n vremea lui Anselm, marile catedrale din Europa nc nu fuseser construite. ns nevoia de structuri fortificate din lemn era mare, datorit faptului c atacurile reciproce ntre liderii regionali erau un lucru obinuit.n educaie, nu exista vreo separaie ntre biseric i stat, aa cum exist astzi. Pentru ca o persoan cu o minte luminat s primeasc o educaie bun, era necesar s se gseasc n interiorul structurilor eclesiastice i nu s fie n afara acestora. Din acest motiv, liniile de separaie dintre filosofi, savani i teologi nu erau att de mari ca n zilele noastre. Oportunitile erau cu mult mai mari pentru brbai. Cu toate acestea, oricine a citit biografia (Historia Calamitatum) lui Peter Abelard (1101-1164), inclusiv povestea tumultuoasei aventuri romantice cu Heloise, tie c iubirea de cunoatere a ambelor sexe nu reprezint n exclusivitate un concept modern. (Cititorul lucrrii Historia Calamitatum nu trebuie s-l confunde pe Anselm din acea poveste cu Anselm cel care a elaborat argumentul ontologic.) tim din scrisorile acesteia faptul c Heloise era bine pregtit n domeniile filosofiei i logicii: una dintre scrisorile ei arat o cunoatere profund a problemelor filosofice ale timpului. Pe de alt parte, Abelard era un susintor puternic al principiului precum adevrata fundaie a religiei nu era dogma nechibzuit, ci scepticismul hotrt. Numai o credin fundamentat pe posibilitatea ndoielii era demn de respect n ochii acestuia.Ce putem spune despre Hildegard de Bingen (1098-1179)? n termeni moderni, aceasta ar putea fi descris ca fiind o polimat, adic o persoan cu cunotine vaste, care a fost o contribuitoare major n trei domenii ale culturii medievale: arta, muzica i scrierile religioase.Anselm din Aosta (1033-1109) trebuie neles, de asemenea, n acelai context. Precum Abelard sau Hildegard, Anselm a fost un individ genial a crui vocaie natural se gsea n cadrul Bisericii medievale. Biografii si s-au referit la transformarea pe care acesta a prezentat-o drept "revoluia Anselmian." Cu toate c este mai cunoscut n afara cercurilor ecleziastice pentru argumentul ontologic, influena sa asupra scrierilor religioase este la fel de important. Anselm a inventat o nou form de poezie: poezia devotamentului personal scris cu rim n latin, cu o structur logic complex i antiteze.

Anselm s-a nscut la Aosta, n regatul Burgundiei. A intrat n mnstirea Notre-Dame du Bec, i, la vrsta de 30 ani, l-a nlocuit pe Lanfranc n funcia de egumen al mnstirii. n 1078 a devenit stare, dup moartea lui Herluin. n 1093 a devenit arhiepiscop de Canterbury, o funcie pe care a deinut-o pn la moartea sa. Totui, majoritatea materialului pentru care a rmas n memoria posteritii l-a scris n perioada petrecut la Bec, inclusiv "Rugciuni i Meditaii" i "Proslogion". Lucrarea intitulat Proslogion este cea care conine argumentul de baz pentru existena lui Dumnezeu, pe care-l cunoatem astzi drept argumentul ontologic.Dac numim argumentul ontologic privind existena lui Dumnezeu abordarea lui Anselm, este probabil mai bine dect dac numim acest lucru dovada ontologic. Pentru ca un argument s constituie o dovad trebuie s nceap printr-o niruire de propoziii, fiecare dintre acestea putnd fi dedus din propoziiile anterioare sau care poate fi considerat axiomatic prin natura ei. Dovezile matematice, de exemplu, sunt de obicei extrem de convingtoare, lsnd foarte puin loc de ndoial, atta vreme ct nu sunt prea complexe nct s copleeasc intelectul persoanei care le abordeaz. Argumentul ontologic al lui Anselm, dei foarte subtil, nu este complex n acest sens, precum, s zicem, demonstraia lui Wiles a ultimei teoreme lui Fermat. Cu toate acestea, foarte puini oameni au fost convertii de la ateism sau agnosticism ctre tabra teist de acest argument. Motivul acestui lucru este acela c majoritatea oamenilor care ncep prin a fi sceptici rmn astfel, deoarece au o obiecie la una dintre presupunerile argumentului ontologic sau la una dintre regulile sale de deducie. Nu numai scepticii au aceste obiecii. Muli gnditori religioi i-au gsit fundamentul pentru vieile lor spirituale n experiena personal mai degrab, dect n argumentrile logice seci.Totui, argumentul este unul puternic. Cunoscutul scriitor religios C. S. Lewis, autorul crilor pentru copii despre Narnia i a altor lucrri de natur religioas, se pare c s-a convertit la cretinism datorit argumentului ontologic. Alte persoane au considerat argumentul ontologic absurd i l-au respins. ("Existena," spunea Immanuel Kant, "nu este un predicat.") Alii au gsit argumentul ca fiind curios de captivant. Un lucru este cert, totui: cei care l resping pe Dumnezeu, ca fiind produsul culturilor iraionale sau superstiioase, trebuie s se lupte cu contextul intelectual pe care argumentul ontologic l stabilete. Au existat multe persoane, att n trecut ct i n prezent, care au fost atrase de credina n Dumnezeu, dar i-au gsit calea blocat de anumite bariere intelectuale. Pentru aceti oameni, credina nu era suficient dac nu era compatibil cu raiunea uman. Dac inima uman ne cluzete spre Dumnezeu, n vreme ce mintea i strig indignarea, atunci o reconciliere ntre cele dou ar putea deveni punctul de pornire pentru o credin adevrat pentru aceste persoane. Pentru cei care nu au dificulti intelectuale cu existena lui Dumnezeu, argumentul ontologic va rmne probabil doar o curiozitate i nimic mai mult.Aa cum am prezentat n prima parte, o determinare a existenei sau inexistenei oricrui individ necesit o examinare a proprietilor eseniale ale acelui individ. De exemplu, o afirmaie c Mo Crciun nu exist trebuie s fie susinut de o argumentare referitoare la faptul c purtarea unui costum rou i a unei brbi albe nu te transform n Mo Crciun. Acelai lucru pare s fie adevrat cu privire la argumentele despre existena sau inexistena lui Dumnezeu. Dac dou persoane au preri diferite cu privire la existena lui Dumnezeu, sunt prerile lor contradictorii, sau pur i simplu au concepii diferite despre Dumnezeu (adic, despre esena lui Dumnezeu)? Unii oameni simt c au depit nevoia unui Dumnezeu. Pentru aceti oameni, Dumnezeul iudeo-cretin cu care au crescut este mult prea uman n caracteristicile sale, pentru a fi mai mult dect o simpl proiecie a vanitii umane pe canavaua cosmic. Ali oameni, care cred n Dumnezeu, sunt de acord cu acest lucru. Acetia consider c Dumnezeu reprezint o constant, una ctre care ne ndreptm cu un grad de aproximare din ce n ce mai exact. Iar alii, care consider Biblia ca fiind infailibil, argumenteaz c pasajele biblice ne ofer o nelegere clar i precis a lui Dumnezeu, de vreme ce Dumnezeu a considerat potrivit s ne fie revelat. nelegerea acestor oameni cu privire la proprietile eseniale ale lui Dumnezeu variaz, ntr-o msur mai mare sau mai mic.Una dintre concluziile importante ale lui Anselm, a fost aceea c existena reprezint o proprietate esenial a lui Dumnezeu. Aceast idee este obinut n Proslogion prin deducia dintr-o nelegere a esenei lui Dumnezeu. Proslogion nu se oprete la existena lui Dumnezeu, ci deduce multe alte atribute ca fiind eseniale pentru Dumnezeu: c Dumnezeu este creatorul tuturor lucrurilor, c Dumnezeu este atotputernic, milos totui dincolo de pasiune, nemrginit dar n afara timpului, precum i alte proprieti sau atribute. Totui, cel mai important argument oferit de Anselm este cel al existenei.Traducerea lucrrii Proslogion pe care o voi folosi este cea a lui Benedicta Ward, care poate fi gsit n populara ediie Penguin Classics "The Prayers and Meditations of Saint Anselm with the Proslogion," publicat n anul 1973. Numerotarea versetelor urmeaz aceast ediie.n acest pasaj introductiv al Proslogion, Anselm ntreab"Dumnezeul meu, nva inima mea unde i cum s te caute, unde i n ce chip s te gseasc: Doamne, de ce nu eti aici, unde s te caut, absent fiind? Iar dac eti pretutindeni, de ce nu te vd prezent?" (27)Consider aceast ntrebare ca fiind o investigare privind calitile eseniale (proprietile) ale lui Dumnezeu, i posibil o investigare a esenei lui Dumnezeu. Anselm realizeaz c fr o oarecare nelegere a calitilor eseniale ale lui Dumnezeu, acesta va fi complet inaccesibil."Cci fr ndoial credem c tu eti ceva dect care nimic nu poate fi gndit mai mare." (160)Aceasta este faimoasa afirmaie a lui Anselm despre Dumnezeu. Poate fi neleas fie ca o afirmaie despre esena lui Dumnezeu, fie o afirmaie despre o proprietate esenial a lui Dumnezeu, din care multe alte proprieti eseniale pot fi deduse. Expresia "poate fi gndit" nu este intenionat ca avnd sensul psihologic, ci ca o limitare a posibilitii: Dumnezeu este motivul pentru care este imposibil sa existe o fiin mai mare n orice privin."Ori poate nu e nimic de asemenea fire, cci spuse-n inima sa nesocotitul: Nu este Dumnezeu? E sigur ns c nesocotitul nsui, de ndat ce aude ceea ce spun - ceva dect care nu poate fi gndit ceva mai mare - nelege ceea ce aude, iar ceea ce nelege, n intelectul lui se afl, chiar dac nu nelege c acesta este." (163, 173)[footnoteRef:1] [1: Proslogion sau Alloquium de Dei existentia PROSLOGION sau Discurs despre existena lui Dumnezeu; traducere din limba latin, note i postfa de Alexander Baumgarten APOSTROF Cluj, 1996.]

Cuvntul "nesocotit" nu trebuie neles n sensul modern. Anselm se refer la un ateist prin acest termen. Aceast ntrebuinare provine din Biblie, unde cuvntul ebraic tradus ca "nesocotit" denot mai degrab o persoan cu deficiene morale, dect o persoan care este proast n sensul intelectual. Din nou, prin "intelect", Anselm se refer la sfera modal a posibilitii. Ceea ce exist n intelect este ceea ce este posibil. Prin urmare, Anselm afirm c pn i ateitii ar putea accepta c este posibil ca Dumnezeu s existe. Chiar dac ateitii susin c existena lui Dumnezeu reprezint o noiune fals, acetia vor accepta cu siguran faptul c aceasta este o falsitate contingent. Precum un pictor care realizeaz o schi a tabloului nainte de a-l picta, ateul poate concepe o lume n care Dumnezeu exist, chiar dac acea lume nu este lumea real. Acest lucru ne aduce la prima dintre axiomele lui Anselm, i anumeAxioma 1: gunde g este propoziia "Dumnezeu exist". Atunci cnd vom lua n considerare argumentul ontologic al lui Gdel, vom vedea c aceast propoziie nu va fi luat ca fiind axiomatic. ntr-adevr contribuia lui Gdel la argumentul ontologic este n parte o analiz profund a acestei propoziii, care la Anselm este axiomatic. Trebuie s spunem c Anselm furnizeaz un argument pentru Axioma 1. Totui, argumentul su nu este convingtor, deoarece nu face distincia ntre propoziiile care sunt conceptibile i propoziiile care sunt posibile. Distincia este foarte important. De exemplu, pot s concep un numr ntreg mai mare ca doi, care nu poate fi scris sub forma sumei a dou numere prime. Cu toate acestea, faptul c eu pot concepe un astfel de numr nu nseamn posibilitatea existenei unui astfel de numr. Obiectele matematice, precum numerele ntregi, sunt de obicei interpretate ca avnd numai proprieti eseniale i nu accidentale. (Cel puin, asta este nelegerea obinuit a matematicienilor platoniti.)"Exist, prin urmare, departe de orice ndoial, ceva dect care nu are sens a fi gndit ceva mai mare, i n intelect, i n fapt." (194)Cu aceast afirmaie, Anselm exclude contingentul (accidentalul) existentei unei zeiti. Putem formaliza acest lucru n logica modal, caAxioma 2: g gArgumentul lui Anselm este acela c, dac Dumnezeu ar fi existat numai ntr-un sens contingent, atunci am fi putut s ne imaginm o fiin mai mare, adic una a crei existen este necesar (inevitabil). Prin nelegerea noastr a proprietilor eseniale ale lui Dumnezeu, aa cum au fost prezentate mai sus, este imposibil s putem concepe o fiin mai mare dect Dumnezeu. Poate un limbaj mai modern va ajuta la nelegerea Axiomei 2. Anselm spune, de fapt, c dac Dumnezeu ar exista n mod contingent, dar nu i n mod necesar, atunci ne-am putea pune ntrebri precum "dac Dumnezeu a creat universul, atunci cine l-a creat pe Dumnezeu?" O fiin invocat pentru a explica existena universului, dar a crei existen are nevoie de o explicaie, nu este suficient de mare pentru ca Anselm s-o numeasc Dumnezeu.Ideea fundamental a lui Anselm era c Dumnezeu are o proprietate care le lipsete altor indivizi, i anume mrimea maximal sau perfeciunea. Imaginai-v c dumneavoastr, precum marele poet italian Dante Alighieri, suntei transportai prin intermediul unui vis pentru un interviu personal cu Dumnezeu. Dup ce v explica modul n care a creat universul i v ofer rspunsurile la ntrebrile misterioase ale mecanicii cuantice i fizicii nucleare, la final ajungei s punei urmtoarea ntrebare: "Bine, Doamne, mi-ai explicat cum ai creat universul. Aa c, acum tiu de unde provine universul i de ce este aa cum este. Dar Tu de unde provii?" Dac Dumnezeu ar rspunde "Pi, nu tiu", am fi probabil dezamgii. Am simi c Dumnezeu nu este chiar att de atottiutor precum ar trebui s fie. Abordarea lui Anselm este c Dumnezeul care ar putea rspunde acestei ntrebri (chiar dac noi n-am nelege rspunsul) ar fi mai mare dect Dumnezeul care n-ar putea rspunde. De vreme ce Dumnezeu, prin definiie, este maximal mare, ar trebui s aib un rspuns. A spune c nu poate exista un rspuns nseamn a spune c Dumnezeul lui Anselm nu exist n mod necesar. A spune c exista un rspuns nseamn a spune c Dumnezeul lui Anselm exist n mod necesar. (A se remarca faptul c am vorbit numai despre Dumnezeul lui Anselm aici. Alii l-au vzut pe Dumnezeu n termeni diferii.) De vreme ce Dumnezeu este maximal mare, acesta trebuie s se fi creat singur, adic s i aib cauza ntregii existene (inclusiv a existenei sale) n sine.[Ca o parantez tehnic, trebuie s notm afinitatea dintre acest punct al argumentului lui Anselm i anumite raionamente din cadrul argumentului cosmologic pentru existena lui Dumnezeu. Principiul cauzei suficiente presupune c, pentru ca universul s aib o prim cauz, adic Dumnezeu, prima cauz trebuie s fie o cauz avndu-i propria cauza n sine. Dac nu, atunci Dumnezeu ar avea o cauz anterioar. Dar o cauz cu propria cauz n sine - una care conine explicaia pentru propria sa existen - este mai curnd o fiin care exist n mod necesar. Asemnrile ntre argumente nu trebuie exagerate: credina ntr-un argument nu necesit credina n cellalt. De exemplu, Toma de Aquino a acceptat argumentul cosmologic dar nu i argumentul ontologic.]Acum s lum n considerare ramificaiile axiomelor 1 i 2N n cadrul sistemului modal S5.1. g g (Axioma 2)2. ~g ~g (Postulatul lui Becker 2)3. g ~g (legea terului exclus)4. g ~g (2, 3 folosind regula substituirii)5. ~g ~g (contrapoziia axiomei 2)6. ( ~g~g) (postulatul necesitii asupra 5)7. ~g ~g (modus ponens asupra 6)8. g ~g (regula substituirii asupra 4 i 7)9. ~~g (Axioma 1)10. g (8 i 9)Aceasta reprezint forma modern a argumentului ontologic al lui Anselm, datorat lui Charles Hartshorne. Anselm nsui nu a avut la dispoziie ntreaga putere a sistemului S5. n consecin, acest argument nu este identic cu al su. Totui, ideea fundamental a ambelor argumente este c existena necesar constituie o proprietate esenial pentru Dumnezeu, impus de mrimea lui Dumnezeu.Trebuie fie s acceptm concluzia argumentului, i anume c Dumnezeu exist n mod necesar, fie s gsim fisuri n cadrul unei axiome sau a unui postulat. Cercetarea critic a ajuns s se refere la urmtoarele pri ale argumentului: Postulatul lui Becker Axioma 2 Axioma 1 Dei a existat iniial un oarecare grad de suspiciune cu privire la postulatul lui Becker i la sistemul modal S5, praful pare s se fi aezat peste asta. tim astzi c nu este nimic remarcabil asupra presupunerilor sistemului S5. Dei postulatul lui Becker nu este necesar n cadrul altor sisteme modale, semantica lumilor posibile ale lui Saul Kripke a interpretat postulatul lui Becker pentru noi. Dac ne imaginm c doi indivizi din dou lumi posibile diferite sunt capabili s-i compare comprehensiunea cu privire la semnificaiile , atunci postulatul lui Becker este o propoziie de echivalen a interpretrilor . Am putea s ne imaginm, de pild, c un Napoleon care a ctigat btlia de la Waterloo a fost capabil s se aeze la aceeai mas cu acel Napoleon care a pierdut btlia de la Waterloo pentru a discuta modul n care s-a desfurat btlia. Dac postulatul lui Becker este satisfcut, atunci acetia ar trebui s poat cdea de acord asupra contingenelor care sunt cu adevrat posibile. Acest lucru pare s fie cel mai apropiat de viziunea noastr naiv asupra posibilitilor modale. Nu se poate spune ns c acest lucru ne este impus.n absena unor erori grosolane n sistemul modal S5, putem s ne ndreptm atenia spre cele dou axiome. Axioma 2 a fost analizat deseori. Cu toate acestea, multe dintre argumente i-au pierdut puterea. n versiunea original a argumentului, Anselm a susinut c existena contingent este mai mare dect existena posibil, iar existena necesar este mai mare dect existena contingent. Acest lucru pare s considere existena ca pe o alt proprietate a indivizilor, precum faptul dac poart costume roii sau au brbi albe. Immanuel Kant (1724-1804) a criticat argumentul ontologic prin susinerea faptului c existena nu este un predicat. Asta nsemnnd c existena nu este o proprietate a indivizilor n acelai fel n care sunt a fi scund sau rou. Este cu siguran adevrat c trebuie s fim ateni aici. Dac putem n mod arbitrar s adugm existena ca pe o proprietate definitorie pentru un individ, se pare c nu exist nicio limit pentru ceea ce putem dovedi c exist. De exemplu, am putea defini un unicorn dup cum urmeaz:Definiie: Un unicorn este o creatur cu patru picioare care seamn cu un cal i are un corn pe cap i exist. Prin urmare, unicornii exist. Prin definiie.ns aceasta este o parodie a argumentului lui Anselm, i nu rezist la o examinare ndeaproape. Orice matematician ne va permite (n limita bunului sim) s ne definim termenii aa cum dorim. Aadar, nu este nimic n neregul cu definiia. Putem oare s dovedim cu adevrat c unicornii exist, folosind acest argument? Rspunsul este nu. Definiia noastr asupra unicornului ar nsemna doar sugerarea faptului c unicornii exist, sau c pentru orice x, dac x este un unicorn, atunci x exist. Totui, aceast afirmaie este trivial adevrat, deoarece este satisfcut fr noim.[footnoteRef:2] [2: Un adevr fr noim este un adevr lipsit de coninut, deoarece afirm ceva despre un lucru inexistent sau spune "dac A, atunci B..." cnd de fapt A este fals. De exemplu, propoziia "toate telefoanele mobile din camer sunt oprite" ar putea fi adevrat, pur i simplu deoarece nu sunt telefoane mobile n camer. n acest caz, propoziia "toate telefoanele din camer sunt pornite" ar fi i aceasta adevrat i fr noim astfel, precum i conjuncia celor dou: "toate telefoanele din camer sunt pornite i oprite".]

Oricum, forma argumentului ontologic folosit mai sus nu presupune n mod explicit c existena este un predicat. Presupune faptul c statutul modal al unui individ (turnul Eiffel, sau numrul 17) poate fi considerat o proprietate. Un numr ntre 16 i 18 exist n mod necesar, n vreme ce turnul Eiffel exist n mod contingent, iar deosebirea ntre cele dou poate fi privit drept o proprietate a fiecruia. Propoziiile(x) (16 < x < 18) (x) (16 < x < 18)i(x) (18 < x < 16) (x) (18 < x < 16)sunt amndou adevrate n domeniul numerelor naturale, deoarece numerele naturale sunt obiecte platonice. (Ultima este de asemenea adevrat fr noim.) Ambele propoziii sunt rezonabile matematic i paralele cu Axioma 2. n consecin, Axioma 2 nu poate fi respins cu uurin.Problema cu argumentul ontologic al lui Anselm este Axioma 1. Am considerat c motivele oferite pentru a crede Axioma 1 nu sunt corecte, deoarece confund propoziii care sunt posibil adevrate cu propoziii care sunt presupus (conceptibil) adevrate. Dac ndeprtm Axioma 1 din argument, atunci tot putem dovedi afirmaiag gi anume, c posibilitatea existenei lui Dumnezeu implic necesitatea existenei lui Dumnezeu. Dar nu putem dovedi mai mult de att. Muli filosofi care au studiat argumentul ontologic pot s accepte faptul c raionamentul lui Anselm ne poate duce pn aici, dar nu mai departe. n vreme ce saltul de la existena posibil la existena necesar ar prea util, trebuie s ne amintim c dac propoziia g este interpretat ca orice propoziie matematic, adevrat sau fals, despre numerele naturale, atunci propoziia este adevrat, de asemenea. Poate fi puin exagerat s declarm c Anselm a demonstrat c Dumnezeu, precum cel mai mic numr natural par mai mare dect doi care nu poate fi reprezentat sub forma sumei a dou numere prime, este o entitate platonic. Totui, n sensul larg, aceasta este ceea ce a realizat Anselm.A fost Gdel cel care a abordat problema posibilei existene a lui Dumnezeu mai departe. nainte s lum n discuie argumentul acestuia, trebuie subliniat c o mare parte din argumentul lui Gdel este inspirat de scrierile lui Leibniz asupra subiectului. Leibniz a cutat s arate c slbiciunea argumentului lui Anselm const n propoziia despre posibila existen a lui Dumnezeu. Argumentul lui Gdel l urmeaz pe Leibniz, prin susinerea acestui pas cu argumente adiionale. Cititorii care sunt familiarizai cu argumentul ontologic al lui Leibniz, pot descoperi ecouri ale metodei afirmativelor simple a lui Leibniz n lucrarea lui Gdel.

Operatorul de pozitivitate al lui Gdel

A exista, a fi fericit, a fi trist, a fi nelept, a fi frumos, a avea o extensie n timp i spaiu, a fi iubitor, a fi plin de ur.

Coborrea de pe Cruce - Rembrandt. Sursa: Wikipedia Commons.Pentru un logician, toate acestea sunt proprieti ale indivizilor sau predicate, pentru a folosi termenul tehnic. n logica predicatelor de ordinul nti, toate au aproximativ acelai statut: un predicat este un operator unar ce ofer o atribuire adevrat-funcional indivizilor. Dar, ca fiine umane, cunoatem faptul c logica rece poate categorisi att cel mai mare bine ct i cel mai mare ru, cele mai ptrunztoare raionamente sau cele mai ridicole prostii.A spune, cum a fcut-o Anselm, c Dumnezeu este mare, nseamn a distinge ntre proprieti. nelepciunea este mai bun dect prostia i e mai bine s existe dect s nu existe. Personal, consider c este mai bine s iubeti dect s urti. Mai bine s fii panic dect rzboinic. Fiecare trebuie s aleag. Majoritatea dintre noi suntem suficient de egocentrici pentru a ne considera deasupra rmelor. De ce considerm asta nu este foarte evident i este dificil de obinut perspectiva rmei asupra chestiunii n cauz. Dar, probabil, noi oamenii credem c suntem superiori rmelor, deoarece deinem o serie de proprieti pozitive care le lipsesc rmelor. Unii ar putea argumenta c abilitatea noastr de a contempla originile universului n Big Bang, cu eoni n urm, reprezint o astfel de proprietate pozitiv. Rma ar putea foarte bine s contracareze acest argument, prin sublinierea faptului c este un custode mult mai bun al solului acestei planete dect oamenii.Pentru a formaliza ideea unei proprieti pozitive, Gdel a introdus un operator de pozitivitate. La fel cum un predicat sau o proprietate furnizeaz o atribuire adevrat-funcional indivizilor (adic, Rx, unde "x=Mo Crciun", iar "R=poart un costum rou"), tot aa i operatorul de pozitivitate Pos furnizeaz o atribuire adevrat-funcional proprietilor nsei. Spunem c Pos(F) este adevrat, dac F este o proprietate pozitiv.Gdel a sugerat c despre o proprietate se poate spune c este pozitiv ntr-un sens moral-estetic sau ntr-un sens de atribuire absolut. n vreme ce muli dintre noi am avea preri diferite cu privire la detalii, o interpretare moral-estetic a Pos(F) este neechivoc ntr-un mod rezonabil. Interpretarea lui Pos(F) ca semnificnd "atribuire absolut" este ns departe de a fi evident. Gdel a interpretat negarea "atribuirii absolute" drept "inexisten", adic o lips a anumitor elemente ale existenei. De exemplu, dac F este proprietatea a fi prezent lng turnul Eiffel n ziua de 17 mai la ora 9:35 am, atunci am putea fi dispui s acceptm faptul c Pos(F) este adevrat. Aceasta nu nseamn c a fi altundeva n acelai timp nu este, de asemenea, o form de atribuire pur. Dac a fi prezent ntr-un amplasament nseamn a fi absent dintr-un alt amplasament, atunci participarea la un anumit aspect al existenei nu poate fi considerat a fi absolut. Prin urmare, se poate afirma despre Dumnezeu c ar fi prezent lng turnul Eiffel, n sensul atribuirii absolute. Exist multe alte tipuri de atribuire absolut? Probabil, att sublime ct i ridicole. S-ar putea susine c F="tie capitalele tuturor statelor SUA" este o form de atribuire absolut. Cu siguran, proprietatea ~F pare s indice un tip de inexisten educaional deinut de muli oameni, inclusiv de mine. M-a atepta ca Dumnezeu s obin note maxime la un concurs pe aceast tem. Atribuirea absolut ar putea, de asemenea, s necesite ca o proprietate s aib "deplintatea existenei", cu toate c aceast idee n sine mi este neclar.

Exist vreo legtur ntre pozitivitate, ca un concept moral-estetic, i pozitivitate, ca atribuire absolut? Mi-ar place s cred c rspunsul este da. Ceea ce este moral sau estetic, de obicei mbuntete sau adncete existena. n mod alternativ, s-ar putea afirma c lucrurile care sunt morale sau estetice sunt lucrurile care afirm creativul n faa distructivului. O rezoluie asupra acestor chestiuni nu este, din fericire, necesar pentru argumentul care urmeaz.Singura indicaie suplimentar pe care a oferit-o Gdel pentru ncordrile sale asupra problemei, a fost de a spune c pozitivitatea este "independent de structura accidental a lumii". A interpreta acest lucru ca nsemnndPos(F) Pos(F)Cum partea dreapt implic partea stng, este suficient s se afirme c

Axioma G0: Pos(F) Pos(F)Nu este o coinciden faptul c exist o asemnare ntre aceast axiom i Axioma 2 a argumentului lui Anselm. Aa cum Dumnezeu este conceput ca fiind independent de structura accidental a lumii, tot aa i pozitivitatea este conceput n acest fel.Acum s formalizm unele dintre celelalte axiome despre pozitivitate. Versiunea particular a acestor axiome pe care o voi folosi este datorat lui C. Anthony Anderson. A se vedea lucrarea "Some emendations of Gdel's ontological proof" de C.A. Anderson, Faith and Philosophy 7 (1990) 291-303. Prima axiom afirm c, pentru orice proprietate FAxioma G1: Pos(F)~Pos(~F)Asta nseamn c, dac orice proprietate este pozitiv, negaia acesteia nu este pozitiv. Ideea din spatele acestui lucru ar trebui s fie limpede din discuia de mai sus.Pentru urmtoarea axiom, avem nevoie de unele notaii. S presupunem c F i H sunt dou proprieti. Vom scrie F => H dac(x)[FxHx]i vom spune c proprietatea F determin proprietatea H.Acest lucru ne duce la urmtoarea axiom, care susine c o proprietate determinat de o proprietate pozitiv este ea nsi pozitiv.Axioma G2: Pos(F)[(F => H) Pos(H)]Un alt concept de care vom avea nevoie este consistena unei proprieti. Acest lucru nu trebuie confundat cu consistena logic. Vom spune c o proprietate F este consistent dac este posibil de exemplificat, adic dac (x)Fx este adevrat. A se observa c dac F este o proprietate inconsistent, atunci F => ~F, asta nsemnnd c F i determin negaia. Demonstraia acestui fapt este elementar n logica modal cuantificat i este lsat pe seama cititorului.Cu aceste idei definite, putem purcede acum la prima noastr teorem, i anume, cea conform creia toate proprietile pozitive sunt consistente.Teorema G1: Pos(F) (x)FxDemonstraie: S presupunem c Pos(F) este adevrat, iar F este inconsistent. Vom demonstra o contradicie. Dac F este inconsistent, atunci F => ~F. Prin urmare, Axioma G2 impune ca Pos(~F) s fie adevrat. Totui, din Axioma G1 i Pos(F), obinem ~Pos(~F), care este o contradicie. Quod erat demonstrandum.Teorema G1 este o teorem remarcabil de nsufleit, care ne spune c orice lucru care este pozitiv este de asemenea posibil. Avem nevoie att de Axioma G1, ct i de Axioma G2 pentru a dovedi asta. Dintre cele dou axiome, G2 pare mai puin evident dect G1. Faptul c putem demonstra Teorema G1 din aceasta, sugereaz c ar trebui s privim atent la Axioma G2. Consider c ideea Axiomei G2 n cadrul demonstraiei lui Gdel datoreaz ceva lui Gottfried Leibniz (1646-1716), cu ideea acestuia c Dumnezeu, conceput ca binele suprem, a creat cea mai bun dintre lumile posibile. Axioma G2 nu este att de radical precum aceasta. Nu neag existena rului, ci afirm numai c acesta nu poate fi determinat niciodat de buntatea absolut. Astfel, Axioma G2 este departe de a fi doar o observaie trivial. Dac Dumnezeu, a crui esen este "independent de structura accidental a lumii", a putut crea o lume cu bine i ru, atunci rul din aceast lume poate fi numai accidental i niciodat necesar. A spune altceva ar contrazice Axioma G2. Oamenii care cred n existena rului ca fiind fundamental, la fel cum cred n existena binelui, vor fi probabil n dezacord cu Gdel i Leibniz asupra acestei chestiuni.n mod surprinztor, Teorema G1 susine un principiu elaborat de Immanuel Kant, n pofida faptului c nsui Kant era un oponent hotrt al argumentului ontologic. Poziia lui Kant poate fi rezumat de ctre aforismul "trebuie implic a putea," [principiu dedus din capitolul 8 al "Kritik der praktischen Vernunft"] cu alte cuvinte c dac o persoan are o obligaie de a face ceva, atunci trebuie s fie posibil s fac asta. Dei Kant se referea la ideea aciunii umane n lume i la obligaiile morale inerente ale acesteia, pare s existe o asemnare interesant cu Teorema G1, care susine c Binele (adic, starea de lucruri pozitiv) este ntotdeauna posibil.Definiiile fundamentaleUrmtoarea etap a argumentului lui Gdel introduce un "limbaj divin" n discuie. Vom introduce acum trei concepte n discuie. Acestea sunt Ideea unui Dumnezeu individual; Esena unui individ; Proprietatea existenei necesare. O not tehnic: "Limbajul" particular care este necesar pentru aceast problem trebuie s fie mai bogat dect logica modal de ordinul nti pe care am folosit-o pn acum. De aici ncolo, va trebui s cuantificm chiar predicatele nsei. Anderson a considerat c semantica lui Cocchiarella pentru logica modal de ordinul doi este suficient. A se vedea lucrarea lui Nino B. Cocchiarella, "A completeness theorem in second order modal logic," Theoria 35 (1969), pp. 81-103.Acum, argumentul se dezvolt dup cum urmeaz. Un individ x se spune c este precum Dumnezeu, adic, Gx este considerat adevrat, dac fiecare proprietate esenial a lui x este pozitiv i dac x are fiecare proprietate pozitiv ca pe o proprietate esenial. n mod formal, aceasta se scrieDefiniia G1: Gx =df (F) [ Fx Pos(F)]A se remarca faptul c Gdel face cu grij deosebirea dintre dovezile pentru existen i unicitate. Nu se afl nimic n Definiia G1 care s susin c exist cel mult un individ precum Dumnezeu (monoteism). Acesta i stabilete cu atenie indiciile asupra prii despre existen din cadrul argumentului su, i las de-o parte chestiunea unicitii. Acest lucru este mai mult o problem de precizie logic dect vreo cochetare cu politeismul. Cnd am discutat existena lui Mo Crciun ntr-o parte anterioar, am fcut presupunerea implicit i nefondat c ar exista un singur Mo Crciun. Cu toate acestea, nu exist vreun motiv logic pentru ca doi Moi Crciuni s nu existe, poate lucrnd ca parteneri, pentru a se asigura ca toate cadourile s fie livrate la timp. O ntrebare mai atent construit, ar fi cea dac exist un individ precum Mo Crciun. Aa cum orice matematician ar fi de acord, stabilind existena unui individ precum Mo Crciun, ne vom afla n poziia de a ncerca s dovedim c exist numai unul singur.Urmtorul punct n discuie, este acela c Definiia G1 nu presupune c fiecare proprietate a lui Dumnezeu este pozitiv. Numai acele proprieti ale lui Dumnezeu care sunt eseniale, sunt necesare s fie pozitive n conformitate cu aceast definiie. Definiia original a lui Gdel asupra Gx, nu a fost exact precum cea oferit mai sus, ci mai degrabGx =df (F) [Pos(F)Fx]Asta nsemnnd c un individ x este precum Dumnezeu, dac x posed fiecare proprietate pozitiv. Acest lucru difer de definiia noastr, deoarece utilizeaz implicaia material mai degrab dect echivalena material, iar operatorul modal nu apare.n cele din urm, a se remarca faptul c operatorul apare n interiorul cuantificrii asupra F n Definiia G1. Trebuie s pim cu atenie aici. Pn acum, cuantificatorii notri au fost la dreapta operatorului modal. Punnd un cuantificator la stnga nseamn c trebuie s putem interpreta proprietile dintre lumile posibile, n sensul semanticii unei lumi posibile. n semantica lui Cocchiarella, o proprietate (singular) reprezint o funcie de caracteristicile tuturor lumilor posibile nspre caracteristicile indivizilor posibili.Ideea din spatele Definiiei G1, este aceea de a defini un individ precum Dumnezeu ca deinnd perfeciunea (adic, proprieti pozitive maximale), ca esen individual. Putem formaliza o esen a unui individ spunnd cDefiniia G2: F Ess x =df (H) [Hx (F => H)]n partea stng aici, observm c F este o esen a lui x. Nu exist nimic n aceast definiie care necesit n mod formal ca o proprietate care este o esen a lui x s fie unic. Totui, o form de unicitate este evident n definiie. Dac F Ess x este adevrat, precum i H Ess x, atunci rezult c F < = > H, n sensul c F = > H and H = > F. Astfel, F i H vor fi realizate mpreun sau vor eua s fie realizate mpreun, putnd fi identificate n mod formal.ntrebarea dac fiecare individ are o esen a fost centrul filosofiei existenialiste a lui Jean-Paul Sartre. Dei a acceptat c indivizii obinuii, precum pietrele, copacii, cinii i pisicile au esene, iar esena precede existena pentru astfel de lucruri, Sartre a considerat c, pentru fiinele umane, existena precede esena, n sensul c existm mai nti i ne definim ulterior.Al treilea concept pe care-l vom prezenta n aceast seciune este proprietatea existenei necesare. Cu toate c logica predicatele are cuantificatori existeniali, aceti cuantificatori nu sunt proprieti (aa cum ne reamintea Kant). ns putem introduce conceptul existenei necesare ca pe o proprietate, prin derivarea acestuia din noiunea esenei. Vom spune c un individ x exist n mod necesar, dac fiecare proprietate care reprezint o esen a lui x este n mod necesar realizat ntr-un anumit individ. n mod formal,Definiia G3: NE(x) =df (F) [F Ess x(y) Fy]Restul argumentuluin virtutea Definiiei G2, am putea s spunem c un individ precum Dumnezeu este unul a crui esen este saturat (n sensul matematic) privitoare la toate proprietile pozitive. Ar prea rezonabil c din aceasta ar trebui s rezulte faptul c proprietatea de a fi precum Dumnezeu este ea nsi pozitiv. Totui, nu putem deduce acest lucru din axiomele i definiiile oferite mai sus. Motivul acestui fapt este determinat de faptul c nu putem dovedi c pozitivitatea proprietilor rmne neschimbat n acumulare. De exemplu, fie F i H dou proprieti. Definim(F&H)x =df Fx & HxAsta nsemnnd c F&H reprezint proprietatea de a avea att F, ct i H. Atunci ne vom atepta ca [Pos(F) & Pos(H)]Pos(F&H)]Cu toate acestea, acest lucru nu poate fi dovedit din axiomele i definiiile de mai sus. Dac nu putem dovedi asta, nu este de mirare faptul c nu putem dovedi c acumularea tuturor proprietilor pozitive este pozitiv. Putem aduga acest lucru ca pe o axiom, mpreun cu o notaie care s descrie acumularea pe clase de proprieti. ns parcursul prin aceast construcie va fi dificil i ocolit, de vreme ce dorim doar s dovedim c proprietatea de a fi precum Dumnezeu este o proprietate pozitiv. Este mult mai simplu s adugmAxioma G3: Pos(G)la lista noastr de axiome. Cititorii care sunt nemulumii cu aceast scurttur, sunt invitai s scrie asta n termenii unor acumulri arbitrare de proprieti.O consecin imediat este aceea c proprietatea de a fi precum Dumnezeu este consistent, adic poate fi exemplificat.Consecina G1: (x) GxDemonstraie. Teorema G1 i Axioma G3. Quod erat demonstrandum.Consecina G1 este foarte aproape de afirmaia pe care am numit-o Axioma 1 n argumentaia lui Anselm. Am afirmat c Axioma 1 a fost cea mai slab susinut din cadrul argumentului; astfel c nu se poate afirma categoric c am fcut vreun progres. Problema de rezolvat acum este de a termina aceast demonstraie ntr-o manier asemntoare cu cea a lui Anselm. Anselm a susinut c o fiin care exist n mod necesar este mai mare dect o fiin care exist n mod accidental sau una care nu exist deloc, toate celelalte fiind egale. n termenii limbajului operatorului de pozitivitate al lui Gdel, aceasta nseamn c existena necesar este o proprietate pozitiv. Aadar, avem axioma lui Anselm:Axioma G4: Pos(NE)Evident, pentru ca Axioma G4 s fie adevrat, trebuie s interpretm operatorul de pozitivitate ca fiind "atribuire absolut". i iat, aceasta este lucrul de care aveam nevoie! Acum putem ncepe demonstraia acestui lucru, folosind ntreaga putere a sistemului logic modal S5. Mai nti avem nevoie de rezultatul c dac un individ este precum Dumnezeu, atunci a fi precum Dumnezeu reprezint esena acelui individ. Simbolic, aceasta se reprezint:Teorema G2: Gx G Ess xDemonstraie: S presupunem c Gx este adevrat i c x are n mod necesar proprietatea H. Asta nseamn c presupunem c Hx este adevrat. Atunci, conform Definiiei G1, avem Pos(H). Adic, H este o proprietate pozitiv. Dar[Pos(H) (y)(Gy Hy)]care poate fi dedus din Definiia G1 i faptul c orice lucru care are o proprietate necesar trebuie s aib acea proprietate. Totui, conform Axiomei G0, orice proprietate care este pozitiv este n mod necesar pozitiv. Astfel, Pos(H) este adevrat. Printr-o aplicare a modus ponens modal, deducem c(y)(Gy Hy)Astfel am demonstrat c dac x are orice proprietate H esenial, atunci acea proprietate este determinat de ctre proprietatea G. Adic, G => H.Invers, s presupunem c Gx este adevrat i c G => H. Atunci, conform Axiomelor G2 i G3, trebuie s avem Pos(H). Rezult c un individ x precum Dumnezeu are proprietatea H n mod necesar, conform Definiiei G1. Adic, Hx este adevrat.Punnd cele dou direcii ale argumentului laolalt, observm c G Ess x. Quod erat demonstrandum.Concluzia noastr final este urmtoarea: n mod necesar un individ precum Dumnezeu exist. n mod echivalent, putem spune c n mod necesar proprietatea de a fi precum Dumnezeu este exemplificat. n termeni simbolici, asta se scrieTeorema G3: (x) GxDemonstraie: Dac Gx ar fi adevrat, atunci conform Definiiei G1, x are fiecare proprietate pozitiv n mod necesar. Dar Axioma G4 ne spune c existena necesar este o proprietate pozitiv. Aadar, rezult c NE(x) este adevrat, adic x ar exista n mod necesar. Dar conform Teoremei G2, dac Gx ar fi adevrat, atunci G Ess x a fi adevrat. Folosind Definiia G3 deducem c dac orice individ x este precum Dumnezeu, atunci proprietatea de fi precum Dumnezeu este exemplificat n mod necesar. Acest lucru poate fi scris n mod simbolic drept(x)Gx(x) GxAa cum am menionat mai sus, aceasta rezult din Definiia G1, Axioma G4 i Teorema G2. Putem recunoate acest lucru ca fiind Axioma 2 din cadrul argumentului lui Anselm. De vreme ce ultima afirmaie a fost dovedit, axioma obligatorie a logicii modale presupune c[(x)Gx (x)Gx]Acum, o teorem a logicii modale care poate fi dovedit este aceea c (pq)(pq). Combinnd asta cu formula de mai sus, obinem(x)Gx (x)GxDar Consecina G1 ne spune c (x)Gx este adevrat. Prin urmare, rezult c(x)Gxeste, de asemenea, adevrat. Dar o anumit teorem a sistemului logic modal S5 este cea cp p. (Dac nu credei, luai contrapoziia acestei propoziii!) Aadar, concluzia rezult. Quod erat demonstrandum.n concluzie, asta este. ntrebarea evident de pus este dac demonstraia lui Gdel este corect. Aici sunt de acord cu C. Anthony Anderson, care a spus urmtoarele:"Luarea n considerare a axiomelor, mai ales ... [Axioma G2], poate avea tendina de a descuraja ncrederea unei persoane n ... [Axioma G3] i ... [Axioma G4] - adic, dac o persoan nutrete vreo ndoial cu privire la propria consisten. Nu spun c argumentul solicit ntrebrile despre...[existena posibil a lui Dumnezeu]; misiunea este prea dificil de demonstrat. Dar a se observa c o persoan nu poate spune doar prin analizarea unei proprieti ce impune aceasta; o persoan ar putea fi surprins de consecine."Pentru modul meu de gndire, aceasta se rezum spunnd c demonstraia lui Gdel este de fapt un argument, deoarece axiomele (mai ales cele menionate de Anderson) nu sunt suficient de axiomatice pentru a justifica numirea acesteia o demonstraie.Asta nseamn c am ajuns din nou de unde am plecat? Dimpotriv. Argumentul lui Gdel sugereaz o cale pozitiv (sau cale afirmativ) interesant pentru a nelege ideea de Dumnezeu. De exemplu, este interesant de comparat ideea proprietii pozitive n accepiunea lui Gdel cu acele aspecte ale acestei lumi pe care Calvin a descris-o ca fiind "scnteile gloriei lui Dumnezeu". Potrivit lui William Wordsworth aceasta este"A presence that disturbs me with the joyOf elevated thoughts; a sense sublimeOf something far more deeply interfused,Whose dwelling is the light of setting suns." [Composed a few miles above Tintern Abbey, on revisiting the banks of the Wye during a tour. 13 July, 1798.]Dei nimic nu a fost demonstrat n mod convingtor, argumentul poate apela la cei care, precum filosoful Baruch Spinoza sau teologul Paul Johannes Tillich, l vd pe Dumnezeu ntr-o oarecare msur ca fiind acumularea ideal a unor anumite aspecte fundamentale i eseniale ale existenei. Ridic ntrebri metafizice cu privire la determinarea acelor aspecte eseniale ale existenei, care trebuie s fie prezente oricnd se spune despre cineva c exist. Avanseaz posibilitatea explorrii ideii de Dumnezeu, printr-o investigaie metafizic asupra exact acelor proprieti care pot fi determinate ca fiind pozitive.Chiar dac argumentul este corect n toate aspectele sale, tot nu vom putea avea o determinare clar a ceea ce reprezint "atribuirea absolut". Este posibil ca Dumnezeul care va fi dovedit c are o existen necesar s fie o ecuaie oarb care guverneaz fluctuaiile cuantice ale realitii, sau este posibil ca Dumnezeul care va fi dovedit c exist s fie Dumnezeul iudeo-cretin sau Tao al misticismului oriental. Pur i simplu nu tim asta. Totui, argumentul lui Gdel va furniza atunci un indicator pentru cutarea unui rspuns despre esena lui Dumnezeu. A fi contient este un exemplu de atribuire absolut? Dumnezeul matematic orb al fizicienilor, care caut legile fundamentale ale universului, poate reprezenta o idee inadecvat, dac este determinat faptul c contiina este o component de baz a realitii. Dac, aa cum spunea Berkeley, esse est percipi, atunci implicaiile pentru nelegerea noastr a noiunii de Dumnezeu vor fi transformate n mod radical. Recent, o serie de fizicieni au propus c orice descriere fundamental a realitii mecanicii cuantice poate necesita o comprehensiune a naturii contiinei. Cine tie? Argumentarea lui Gdel merit oarecare atenie n contextul rezolvrii acestei probleme dificile.Ei, cam asta este. Trebuie s reamintesc cititorului c versiunea argumentului lui Gdel pe care am prezentat-o nu reprezint argumentul original al lui Gdel. Atunci cnd am citit pentru prima oar observaiile lui Gdel asupra argumentului ontologic, la fel ca muli alii, am gsit axiomele ca fiind confuze i greu de acceptat. Prin urmare, am apelat la versiunea amendat a argumentului, datorat lui Anderson. Aceast versiune a devenit astzi larg comentat. Dar cu ct insist mai mult asupra acestei versiuni, cu att m simt mai incomod. M-am ntors la versiunea original a lui Gdel i am descoperit c era mult mai bun dect am neles iniial. Dac suntei interesai de studierea acestui argument, precum i de motivele pentru care l prefer amendrilor lui Anderson, putei studia fiierul PDF intitulat Reflections on Gdel's Ontological Argument.n ncheiere, dac suntei n cutarea unei perspective directe asupra argumentelor ontologice, v recomand s explorai lucrrile lui Graham Oppy. Graham Oppy ridic unele obiecii importante la adresa argumentelor ontologice, care merit analizate atent. Sunt de acord cu opinia lui Graham Oppy, care susine c argumentul ontologic conine destule incertitudini astfel nct s lase concluziile interpretabile.

Traducere i adaptare dup "Kurt Gdel's Ontological Argument" de Christopher Small. Toate drepturile rezervate autorului.

2