1. Teoremas da Incompletude de Gdel o Teoremas da Incompletude de Gdel o Helio H. L. C. Monte-Alto Anderson da Silva Marcolino Lucas de Oliveira Teixeira 2012 1 / 28

2. Teoremas da Incompletude de Gdel o Sumrio aSumrio I a 1 Sumrio a 2 Viso geral a 3 Denies co 4 Demonstrao ca 5 Prova usando Sistemas de Representao Abstratos ca 2 / 28

3. Teoremas da Incompletude de Gdel o Viso geral aViso geral a Kurt Gdel o Matemtico austr a aco Desenvolveu os dois teoremas da incompletude em 1931 Matemtica no in do sculo XX a cio e Positivismo Acreditava-se que seria poss encontrar um conjunto de vel axiomas completo e consistente para toda matemtica a Segundo problema de Hilbert: provar que a aritmtica e e consistente Os teoremas da incompletude so largamente aceitos como a uma resposta negativa a este problema 3 / 28

4. Teoremas da Incompletude de Gdel o Viso geral aTeoremas - Viso geral a Denio informal: ca 1 Qualquer teoria axiomtica recursivamente enumervel e a a capaz de expressar aritmtica elementar no pode ser, ao e a mesmo tempo, consistente e completa. 2 Para qualquer teoria formal recursivamente enumervel T que a inclui verdades aritmticas bsicas e tambm certas verdades e a e da teoria da prova, se T inclui uma armao de sua prpria ca o consistncia, ento T inconsistente e a e 4 / 28

5. Teoremas da Incompletude de Gdel o Denioes cDenioes c Um sistema consistente se no poss deduzir e a e vel contradies a partir de seus axiomas. co Um sistema completo se de poss deduzir todas as e e vel frmulas verdadeiras a partir de seus axiomas. o Uma teoria axiomtica uma teoria baseada num conjunto de a e axiomas a partir dos quais so deduzidos teoremas utilizando a procedimentos bem denidos. Em sntese, Gdel provou que, se a aritmtica consistente, ento o e e a incompleta. e 5 / 28

6. Teoremas da Incompletude de Gdel o Demonstrao caDemonstrao ca Princ pio: auto-referncia e Reescrita de um sistema formal utilizando a linguagem dos nmeros naturais u Exemplo: Problema de Smullyan 6 / 28

7. Teoremas da Incompletude de Gdel o Demonstrao caProblema Gdeliano de Smullyan o Seja um programa que imprime cadeias com os seguintes s mbolos , I , N, (, ) Uma cadeia X imprim se o programa pode imprimi-la. e vel Supomos que o programa imprimir, mais cedo ou mais tarde, a todas as cadeias imprim veis. A norma de uma cadeia X a cadeia X (X ). e Uma sentena uma cadeia de uma das quatro formas abaixo: c e 1 I (X ) 2 IN(X ) 3 I (X ) 4 IN(X ) onde X uma cadeia. e 7 / 28

8. Teoremas da Incompletude de Gdel o Demonstrao caProblema Gdeliano de Smullyan o Seja a sentena IN(IN). c Por denio, esta sentena verdadeira se e somente se a norma ca c e da cadeia IN no imprim a e vel. No entanto, a norma de IN justamente a sentena IN(IN), e c logo esta sentena verdadeira se e somente se ela no c e a e imprimvel. Temos duas hipteses: o a sentena imprim c e vel, mas falsa - contradio, pois o ca programa s imprime sentenas verdadeiras; o c a sentena verdadeira, mas no imprim c e a vel; 8 / 28

9. Teoremas da Incompletude de Gdel o Demonstrao caProblema Gdeliano de Smullyan o Analogia: O programa no capaz de imprimir todas as sentenas a e c verdadeiras Um sistema formal possuir armaes verdadeiras que no a co a podem ser provadas 9 / 28

10. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caProva usando Sistemas de Representao Abstratos ca Os teoremas foram inicialmente provados para o sistema formal da aritmtica (Aritmtica de Peano) e e Prova mais genrica: utilizando Sistemas de Representao e ca Abstratos (SRA) SRAs permitem representar sistemas de alta diversidade de estruturas sintticas a 10 / 28

11. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSistemas de Representao Abstratos ca Um sistema de representao abstrato (SRA) Z uma stupla ca e e E, g , S, T , R, P, onde E um conjunto enumervel de elementos chamados de e a expresses; o g uma funo de E em N, bijetora, chamada de enumerao de e ca ca Gdel; o S E: sentenas;c T S sentenas verdadeiras, ou teoremas; c R S sentenas falsas, ou anti-teoremas; c P E um conjunto de predicados unrios; e a , chamada de funo de representao, uma funo de E N ca ca e ca em E, que atribui a cada expresso H e nmero natural n, a a u expresso (H, n), que ser abreviada por H(n). a a 11 / 28

12. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSistemas de Representao Abstratos ca Figure : Sistemas Abstratos de Representao (SRA). ca 12 / 28

13. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSistemas de Representao Abstratos ca Exemplo: Teoria dos nmeros - Nmeros primos u u Seja o predicado Primo. Ento (Primo, n) a sentena Primo(n), lida como n a e c e primo. Supondo que n = 5 temos que Primo(5) uma sentena e c verdadeira (Primo(5) T ) e que se n = 6 temos que Primo(6) uma sentena falsa (Primo(6) R). e c 13 / 28

14. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSRAs - Consistncia e Completude e Seja Z = E, g , S, T , R, P, um SRA. Dizemos que Z : e Consistente Se T R = ; Completo Se T R = S; Saturado Se Z consistente e completo. e Z completo se, e somente se, toda sentena de Z decid em e c e vel Z 14 / 28

15. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caDiagonalizao, nmeros e sentenas de Gdel ca u c o Diagonalizao ca Seja Z um SRA e X uma expresso de Z, cujo nmero de Gdel a u o e g(X). A expresso (X , g (X )) a diagonalizao ou norma de X. a e ca Caso X seja um predicado H, (H, g (H)) uma sentena, e c chamada de sentena diagonal, que denotamos por H(h). c Nmeros de Gdel u o Seja Z um SRA e W E. W o conjunto dos nmeros de Gdel e u o das expresses X cuja diagonalizao (X , X ) W, isto : o ca e W = {X |X = g (X ) e (X , X ) W} 15 / 28

16. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caDiagonalizao, nmeros e sentenas de Gdel ca u c o Figure : Diagonalizao de duas expresses: a de uma expresso X ca o a qualquer e a de um predicado H. 16 / 28

17. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Sentenas de Gdel c o Seja X uma sentena e A um conjunto de nmeros. Dizemos que c u X uma sentena de Gdel para A se e somente se X tem a e c o propriedade: X T X A. Intuitivamente, uma sentena de Gdel arma que o nmero de c o u Gdel de um predicado satisfaz o predicado. o X uma sentena de Gdel para um conjunto A de nmeros e c o u quando g (X ) (o signicado de X em N) pertence ao conjunto A se e somente se este fato (sua pertinncia) provvel no sistema, isto e e a , pertence a T . e 17 / 28

18. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Exemplo - Analogia Conjunto das palavras que gozam da propriedade implicada por seu signicado Ex: proparox tono uma proparox e tona Vamos chamar as palavras que no gozam dessa propriedade a de heterossignicantes. Pergunta: heterossignicante heterossignicante? e 18 / 28

19. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Exemplo - Analogia Conjunto das palavras que gozam da propriedade implicada por seu signicado Ex: proparox tono uma proparox e tona Vamos chamar as palavras que no gozam dessa propriedade a de heterossignicantes. Pergunta: heterossignicante heterossignicante? e CONTRADICAO!! 18 / 28

20. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Sentenas de Gdel c o Seja X uma sentena e W um conjunto de expresses. Dizemos c o que X uma sentena de Gdel para W se e somente se X tem a e c o propriedade: X T X W. Podemos concluir disso que todas as sentenas de Gdel se c o encontram na regio (T g 1 (A)) (S (T g 1 (A))) a 19 / 28

21. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Figure : Sentenas de Gdel para W. c o 20 / 28

22. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Primeiro lema da diagonalizao ca Seja Z um SRA e W E. Se W representvel em Z ento W e a a admite (existe) uma sentena de Gdel. Mais especicamente, se c o H um predicado que representa W , ento H(h) uma sentena e a e c de Gdel para W . o 21 / 28

23. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Primeiro lema da diagonalizao ca Seja Z um SRA e W E. Se W representvel em Z ento W e a a admite (existe) uma sentena de Gdel. Mais especicamente, se c o H um predicado que representa W , ento H(h) uma sentena e a e c de Gdel para W . o Teorema 1 Seja Z um SRA. O conjunto T no representvel em Z. a e a Demonstrao: Suponha que T representvel. Ento existe um ca e a a predicado H que o representa em Z. Pelo Lema da diagonalizao, ca H(h) uma sentena de Gdel para T . Desse modo, H(h) T se e c o e somente se H(h) T , o que um absurdo. Logo, T no e a e representvel. a 21 / 28

24. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Figure : Sentenas de Gdel para W. c o E se considerarmos W = R, quais seriam as sentenas de Gdel c o para R? 22 / 28

25. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Figure : Sentenas de Gdel para W. c o E se considerarmos W = R, quais seriam as sentenas de Gdel c o para R? Corolrio a Seja Z um SRA. Ento, toda sentena indecid uma sentena a c vel e c de Gdel para R. o 22 / 28

26. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Teorema Quase L a Seja Z um SRA. Se R representvel em Z, ento Z e a a e inconsistente ou incompleto. Demonstrao: Se R representvel ento existe um predicado, ca e a a digamos H, que o representa. Pelo lema da diagonalizao, H(h) ca e uma sentena de Gdel para R. Assim, H(h) T H(h) R. c o Isto signica que: (i) H(h) T R e assim Z seria inconsistente ou (ii) H(h) T R e neste caso Z seria incompleto. / 23 / 28

27. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSentenas de Gdel c o Figure : As duas alternativas para um SRA. 24 / 28

28. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSistemas formais como SRAs Teorema 1F Seja Z uma SRAE. Se todo conjunto recursivo representvel em e a Z, ento Z um sistema formal indecid a e vel. Demonstrao: Suponha que T fosse recursivo. Logo T tambm ca e seria recursivo. Ento, T seria recursivo. Desta forma, T seria a representvel em Z, pela hiptese do teorema, o que contraria um a o dos teoremas mostrados. 25 / 28

29. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caSistemas formais como SRAs Teorema 2F Seja Z uma SRA. Se Z um sistema formal indecid e vel, ento Z a e inconsistente ou incompleto. Demonstrao: Se Z saturado (negao do teorema), ter ambos ca e ca a T e R como conjuntos recursivamente enumerveis e a complementares com respeito a S, portanto ambos T e R seriam recursivos e portanto Z decid vel. Logo Z no saturado, ou seja, e a inconsistente ou incompleto. 26 / 28

30. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caTeorema nal Primeiro Teorema de Gdel o Se um sistema formal Z sucientemente poderoso para e representar todos os conjuntos recursivos, ento Z inconsistente a e ou incompleto. Demonstrao: Por hiptese todo conjunto pode ser representado ca o em Z, ento, pelo Teorema 1F, Z indecid e, portanto, pelo a e vel Teorema 2F, Z inconsistente ou incompleto. e 27 / 28

31. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos caConcluses o At hoje se especula as implicaes dos Teoremas da e co Incompletude na matemtica e na losoa. a Gdel discute exaustivamente em seus trabalhos posteriores o questes que variam, desde o conceito de inteligncia at a o e e existncia de Deus (argumento ontolgico de Gdel). e o o Em teoria da computabilidade: os teoremas so relacionados a a vrios resultados a Stephen Cole Kleene (1947) mostrou que se a aritmtica fosse e consistente e completa isto foraria o problema da parada a ser c decid vel, o que implica em uma contradio. ca Sempre haver mais coisas que so verdadeiras do que se a a pode provar; Todos os sistemas fechados dependem de suposies feitas co fora do sistema e que no podem ser provadas; a 28 / 28

32. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos ca [1] R. de Carvalho, Modelos de computao e sistemas formais. ca DCC/IM, COPPE/UFRJ, NCE-UFRJ, 1998. [2] O. Goldreich, Computational complexity - a conceptual perspective. Cambridge University Press, 2008. [3] D. Hilbert, Mathematische Probleme, ser. Archiv der Mathematik und Physik, M. W. English Translation, Ed. Bulletin of the American Mathematical Society 8, 1901, vol. 3, no. 1. [Online]. Available: http://aleph0.clarku.edu/djoyce/hilbert/problems.html [4] J. Hopcroft, R. Motwani, and J. Ullman, Introduction to automata theory, languages, and computation. Addison-wesley Reading, MA, 1979, vol. 2. [5] S. Kleene, Mathematical logic. Dover publications, 2002. 28 / 28

33. Teoremas da Incompletude de Gdel o Prova usando Sistemas de Representao Abstratos ca [6] M. Sipser and R. de Queiroz, Introduo ` teoria da ca a computao. Thomson Learning, 2007. ca [7] R. Smullyan, Five Thousand BC and Other Philosophical Fantasies. St. Martins Press, 1983. [8] A. Whitehead and B. Russell, Principia mathematica. University Press, 1912, vol. 2. 28 / 28